Vigas curvas. La teoría de la flexión de vigas curvas.Se considera solo vigas que tengan un eje de simetría de su sección recta situada en el plano longitudinal de las vigas se trata únicamente el caso elástico con las suposición usual del modulo de elástico es el mismo de la tensión a la compresión. Las vigas curvadas que permite el estrés que se determinen por las formas como ganchos de la grúa y los anillos. Cuando las dimensiones de la sección transversal son pequeñas en comparación con el radio de curvatura del eje longitudinal la teoría de la flexión puede ser relativamente precisa. Cuando esto no es el caso, incluso mediante la modificación de Bernoulli-Euler sólo proporciona soluciones aproximadas ε = cepa e = excentricidad (r c - n r) (m) c c = distancia desde el eje centro de gravedad a la superficie interna. (m) c i = Distancia del eje neutro a la superficie interna. (m) o c = Distancia del eje neutro a la superficie exterior. (m) d φ = Superficie de rotación resultante de la flexión σ = tensión (N / m 2) E = Módulo de Young = σ / e (N / m 2) y = distancia de la superficie de la superficie neutra (m). n r = radio del eje neutro (m). r c = radio del centro de gravedad (m). r = radio del eje considerado (m). I = momento de inercia (4 m - de manera más normal de 4 cm) Módulo de la sección Z = E / y max (m 3 - de manera más normal de 3 cm. Análisis para vigas curvas. negar el efecto de srq sobre sqq es razonable. Por equilibrio de fuerzas en la dirección de z y de momentos al eje centroidal x. La cara F*H* de la viga deformada forma un ángulo D(dq) con respecto a FH. Para desplazamientos infinitesimales. Un diagrama de cuerpo libre de esfuerzos de la viga es mostrado en la (elemento FBCH). Sin embargo. y el momento Mx.La sección transversal de la viga tiene un plano de simetría. Este hecho distingue a una viga curva de una viga recta. el cual coincide con el plano de simetría. La intersección de sus líneas ocurre en el eje neutral de la sección transversal (para el cual sqq=0) a la distancia Rn del centro de curvatura. Como en el caso de vigas rectas. La deformación correspondiente eqq.2) no puede ser evaluada hasta que sqq sea evaluada en términos de r.1b). Simplemente.1b representa el elemento FBCH en estado no deformado. el movimiento del centro de curvatura es infinitesimal. excepto para vigas curvas con tramas muy delgadas. Generalmente. el efecto del esfuerzo srq en el calculo de sqq es pequeño. el cortante V. La elongación deqq de un típico elemento en la dirección q es igual a la distancia entre caras FH y F*H* y varia linealmente con la distancia (Rn-r). encontramos Ó Donde R es la distancia del centro de curvatura de la viga curva al centroide de la sección transversal y r coloca el elemento dA del centro de curvatura. hemos colocado al elemento deformado de tal manera que la cara B*C*. Las cargas aplicadas producen un momento positivo. Además por medio de la figura 8-2. La tracción normal N. el radio de curvatura. La relación fundamental entre sqq y r es obtenida de la geometría supuesta de deformación y las relaciones de esfuerzo-deformación del material.1b. sin embargo. F*B*C*H* nos representa en la misma figura después de deformación por las cargas. desde que el elemento de longitud rdq varía con r. actuando sobre la cara FH son mostrados en sus dirección positivas. mostrado. en cada sección de la viga. Estas fuerzas deben ser balanceadas por las resultantes durante la tensión normal sqq y la tensión de corte srq que actúa sobre la cara BC. por causa del momento. se incrementa en una magnitud. El movimiento del centro de curvatura 0 a 0* es exagerado en la figura 8-2. coincida con la cara BC. La figura 8-2.1) y (8-2. La integra de la ecuación (8-2. ordinariamente. Además. en el centroide la sección transversal. Dejemos al eje z ser normal a la cara BC (figura 8-2. en la practica estas vigas de trama delgada no se diseñan por la posibilidad de fallas debido a una tensión radial excesiva. suponemos que B*C* permanece plano bajo la deformación. es una función no lineal de r.1b para visualizar los cambios en la geometría. en la practica. en cada sección de la viga curva. Asumimos que las cargas aplicadas todas en un mismo plano. Deseamos determinar una formula aproximada para la distribución de la tensión circunferencial sqq sobre la sección BC. obtenemos para la deformación: Donde . Resultados predichos para la formula de viga curva pueden ser comparados con los obtenidos de la solución para vigas curvas con sección rectangular y los obtenidos de los experimentos en vigas curvas con otras clases de secciones transversales. negamos su efecto sobre eqq.6) da La distribución de tensiones circunferenciales para la viga curva es obtenida sustituyendo las ecuación (8-2.7) puede ser reescrita de la siguiente forma Sustituyendo dentro de la ecuación (8-2. El valor máximo de la tensión circunferencial sqq (CB) es dado por la formula de viga curvas pueden ser calculadas con la ecuación 8-2-11 para vigas curvas de sección transversal rectangular sujetos a esfuerzo puro y cortante Los radios de sqq (CB) de la solución elástica sqq (elast) listados en la tabla 8-2-1 para esfuerzo puro y cargas cortantes . o sea.2). obtenemos Donde A es el área de la sección transversal de la viga curva y A m tiene las dimensiones de longitud y es definida por la relación La ecuación (8-2.1) y (8-2.9) y (8-2. por ley de Hooke. Para el caso de sección transversales rectangulares (R/h=0. encontramos Sustituyendo la ecuación (8-2.10) en la ecuación (8-2.5) en las ecuaciones (8-2. para obtener la formula de la viga curva: La distribución normal de esfuerzos dados por la ecuación (8-2. De aquí. Y aunque s rq puede en ciertos casos ser importante.11) es en forma hiperbólica. que varia 1/r.5).75) se muestra la distribución.Suponemos que sxx es muy pequeña y por lo tanto puede ser descartada. El valor de R/h es mas grande que 1 para vigas curvas por eso el error en la formula de vigas curvas no es particularmente significante. También en la tabla 8-2-1 están los radios de tensión circunferencial máxima sqq (ST) dados para la flexión en vigas rectas formula 6-1-1 así como el valor de sqq (elast) . el menor error en la ecuación 8-2-11. De cualquier manera posibles errores ocurren en la formula para vigas curvas para una sección en I o sección en T.0 El error no es conservable. El signo negativo es porque para vigas curvas es lo opuesto que para vigas rectas.En las soluciones para vigas curvas es apreciable en error para valores pequeños de R/h y el error es 7%. La formula de viga curva es mas exacta para esfuerzos puros que para esfuerzos cortantes. Entonces el termino RA m en la ecuación 8-211 puede ser reescrito como Por eso el denominador del término de la derecha en la ecuación 8-2-11 se convierte para R/h ®¥ .0 se usa la formula de flexión. para valores de R/h= 5. Para probar dicha reducción se nota que r= R + y. La mayoría de las vigas curva son sujetas a la combinación de esfuerzo puro y cortante. Generalmente para vigas curvas con R/h mas grandes que 5. Como R empieza mas larga en comparación con h. el término a la derecha en la ecuación 8-2-11 se reduce a –Mxy/Ix.Para varios valores de R/h donde h denota la longitud de la viga El más cercano de estos radios es uno. Am. Los valores de A. y R para áreas compuestas están dados por sumatorias. 1+ y / R ®1.Como R/h ®¥ Y y/R ® 0. el valor de RAm se aproxima al valor de A cuando R/h se incrementa. El término de la derecha en ecuación 8-2-11 entonces se simplifica La solución viga curva requiere que Am definida por la ecuación 8-2-8 es calculada para secciones transversales de varias figuras. De esta manera para secciones transversales compuestas Donde n es el número de áreas fundamentales que forman el área compuesta. Am y R para varias secciones transversales de vigas curvas se muestran en la tabla 8-2-2 Frecuentemente secciones transversales de una viga curva son compuestas por dos o mas áreas fundamentales como se observa en la tabla 8-2-2 . ver ecuación (a) Formulas explicitas para A. El número de dígitos significantes retenido en calcular Am debe ser mas grande que el requerido para sqq . . La curvatura. con radio OC. Antes de abordar el estudio de esfuerzos sobre vigas. Este llamado círculo de curvatura es tangente a la curva en C y su radio es .2. en el punto C se deduce de la definición como. la pendiente en un punto contiguo D es q + Dq. En el limite. la longitud del arco Ds a lo largo de la curva entre C y D es aproximadamente la distancia O'D por Dq. que generalmente se designa con la letra griega k (kappa). La pendiente o ángulo de la tangente a la curva en el punto C medido respecto de una línea paralela al eje x es q. En la figura 5. La curvatura tiene unidades 1/longitud. El símbolo indica que C y D son puntos contiguos en la curva. como se muestra en la figura 5. y el Angulo CO'D es Dq. Cuando Dq es pequeño. y la distancia OC es igual al radio de curvatura. como se muestra en la figura 5. esta curva se puede considerar como especificada por y = y(x). Considérese una curva plana ACDB en el plano xy. Se puede trazar un círculo con centro en O. Una línea normal a la curva en el punto C y una línea normal a la curva en el punto D se cortan O'. Se desea estudiar la velocidad del cambio en el valor de la pendiente a lo largo de la curva al desplazarse del punto C al punto D. La curvatura de una curva plana en un punto de esta se define como la velocidad del cambio en dicho punto de la pendiente respecto de la distancia a lo largo de la curva. se revisara como antecedente conceptos importantes como curvatura y radio de curvatura de una curva plana. La longitud del arco entre los puntos C y D se escribe como Ds.Radio de Curvatura de la línea neutra. y por lo tanto el radio de curvatura en el punto C se define como el reciproco de la curvatura y es . cuando D se aproxima a C.2 se observa que las normales a la curva en los puntos C y D se cortan en O'. el punto O' se aproxima a O.2. y con el área transversal A reemplazada por el área de la trama Aw=th. Las secciones transversales de vigas curvas sufren distorsiones cuando se aplica una carga. Recomendamos calcular US (energía de deformación) con k=1. En general. . Deflexiones de vigas curvas con sección transversal en forma de I. donde t es la anchura de la trama y h es la profundidad de la viga curva. y la curvatura . El eje neutral de esfuerzo de sección transversal se define por las condiciones en que sqq = 0 el eje neutral es localizado a la distancia de Rn de el centro de la curvatura. uno de los resultados de esa distorsión es el decremento de la rigidez de la viga curva. en el caso de una curva plana la curvatura será una función de la posición a lo largo de la curva.0. Para esfuerzo puro N=0 a entonces la ecuación Anterior queda Esfuerzos de vigas curvas. descarte UMN si es negativa y duplicarla si es positiva. Si la curva plana es un circulo de radio R. entonces el radio de curvatura es constante en todos los puntos del circulo. T.igual al radio de la curva en C. La magnitud de Rn se obtiene de la ecuación con la condición que sqq = 0 en la superficie neutra r= Rn De esta manera la ecuación. Además como sugerencia. r = R. Los términos UN y UM pueden ser calculados usando las sección transversales modificadas. 2 (b) SOLUCIÓN La prensa esta hecha de 2 miembros rectos y uno curvo. Entonces la carga aplicada cortante V y el momento Mx a la sección de viga recta es V=P Mx=z .7x103 mm4.Ejemplo.2a) tiene una sección transversal mostrada en la figura E8-5. Figura E8-5.2b. Determine la separación de las quijadas de la prensa debido a la carga. Escogemos el origen de los ejes a la carga P. Calculamos las energías de deformación debidas al doblez y cortante en vigas rectas. Deflexión en una prensa La prensa (figura E8-5.30. sin modificación de la sección transversal. La prensa está hecha de acero con E=200 GPa y =0. El momento de inercia de la sección es Ix= 181. con z medido de P hacia la viga curva. 1) calculamos el incremento en la distancia P entre los puntos de carga como El modulo.822.En la porción de la viga curva.1 obtenemos =0. entonces.2a. y el momento Mx para la viga curva es: Tomando los términos de la energía de deformación para las 2 vigas rectas y la viga curva y la derivada con respecto a P (ecuación 8-5.2b. (8-2. Con dimensiones de la figura E8-5.13) y (8-2. las ecuaciones (8-2. la carga cortante V. encontramos Interpolando en la tabla 8-4. La sección modificada es mostrada en la figura E8-5.2b.12). .14) nos dan Con definido como se indica en la figura E8-5. empleamos el factor de corrección de Bleich para obtener una sección transversal modificada. la carga normal N.