VIBRACION FORZADA AMORTIGUADA CASO GENERAL LINEALAplicamos la ecuación del movimiento (2° ley de Newton) F(t) – FK – FA = m𝑥 FK es proporcional al desplazamiento. - - kx FA en función a la velocidad - c𝑥 m𝑥 + c𝑥 + kx = F(t) 𝑥 + 2δ𝑥 + ω02x = . F(t) ω0 = ωn= frecuencia natural ω0 = 𝐾 𝑚 δ = coeficiente de atenuación δ = 𝐶 2𝑚 1 𝑚 Si δ = 0 F(t) = F0.𝐜𝐨𝐬 Ω𝒕 OSCILACION FORZADA SIN AMORTIGUAMIENTO. Ω: frecuencia de la fuerza excitadora F0 = amplitud de la fuerza 𝒙 + ω02x = .F0.𝐜𝐨𝐬 Ω𝒕 ……. (*) 𝟏 𝒎 La solución general es: X(t) = Xhomogenea + Xparticular X(t) = Xc(t) + Xp(t) Siendo Xc(t) = A.Sen(ω0t+ф) Solución complementaria La solución complementaria Xc define la vibración libre, lo cual depende de la frecuencia natural (ω0= ωn) y las constantes A y ф. Para la solución particular o permanente nuestra modelo de solución es: Xp(t) = V𝐜𝐨𝐬 Ω𝒕 V: amplitud de la vibración forzada xP(t) = - V.Ω.SenΩt Ω: frecuencia de la fuerza excitadora 𝑥P(t) = - V.Ω2.CosΩt Reemplazamos en (*) (𝒙 + ω02x = .F0.𝐜𝐨𝐬 Ω𝒕) 1 𝑚 𝐹 1 2 −Ω2 𝑚 𝑤0 Ω ω0 𝟏 𝒎 - V.Ω2.CosΩt + ω02 Vcos Ω𝑡 = .F0.cos Ω𝑡 (ω02 - Ω2).V = .F0 1 𝑚 V= 0. donde: ɳ =u = r= K = m ω02 V= 𝐹0 1 . 2 𝐾 1−n Por lo tanto Xp = 𝑭𝟎𝟏 . 𝟐 𝑲 𝟏−𝒏 𝒄𝒐𝒔Ω𝒕 La solución particular Xp describe la vibración forzada del bloque y provocada por la fuerza aplicada F= F0.cos Ω𝑡. Como todos los sistemas vibratorios se someten a fricción, la vibración libre, Xc, se amortiguara en el paso del tiempo, por eso se le conoce como transitoria y la vibración forzada XP se conoce como estado continúo, puesto que es la única vibración que permanece. La solución general es, por consiguiente, la suma de dos funciones de frecuencias diferentes. X= xc+xp= A.Sen(ω0t+ф) + V𝐜𝐨𝐬 Ω𝒕 FACTOR DE AMPLIFICACION MF Se define como la relación de la amplitud de la vibración de estado continuo V, a la deflexión estática F0/K, producida por la amplitud de la fuerza periódica F0, entonces: Xest=𝐹0 𝐾 deflexión estática 𝐹0 1 . 2 𝐾 1−n De la ecuación de la amplitud V = MF = 𝑽 𝑿𝒆𝒔𝒕 y de la definición de MF. = 𝟏𝟏−𝒏𝟐 En la figura se observa, que si la fuerza o desplazamiento se aplica con una frecuencia natural del sistema, es decir ɳ≈ 1, la amplitud de vibración del bloque llega a ser extremadamente grande. Esto ocurre porque la fuerza F se aplica al bloque de modo que siempre siga el movimiento de este. Esta condición se llama resonancia; en la práctica, las vibraciones resonantes pueden dar lugar a esfuerzos tremendos y a la rápida falla de las partes . Es importante que la frecuencia forzada no se aproxime a la frecuencia natural de vibración del compactador. de lo contrario habrá resonancia y la maquina se volverá incontrolable. la cual puede determinarse cuando se apaga el motor.Aplicación Fisica de la VFA El compactador de suelo opera por vibración forzada desarrollada por un motor interno. Vibración forzada con amortiguamiento viscoso Demostracion de las ecuaciones que gobiernan este movimiento Para determinar la ecuación que gobierna este movimiento. consideremos el siguiente sistema masa-resorte con un amortiguador y una fuerza armónica externa. . del bloque se tiene: Aplicando entonces la segunda Ley de Newton se tiene: .C.L.Luego realizando el D. Como la función de la fuerza aplicada es armónica. el movimiento del estado permanente también es armónico. Luego reemplazando en la ecuación diferencial (I) . . . . . . . Cos(Ωt) Fo :Amplitud de la excitación armónica Ω: Frecuencia de la fuerza excitadora .Sen(Ωt) ó F(t)=Fo.Vibraciones Forzadas Amortiguadas 2) Cuando δ >0 : Maquinas desbalanceadas: F(t)=Fo. 𝐶𝑜𝑠(𝛺𝑡) 𝑥 + 2δ𝑥 + 𝜔𝑜 2 𝑥 = 𝐹𝑜 . 𝑚 (1) Trabajando con números complejos : Z = X + iY 𝑧 = 𝑧 𝑒 𝑖∅ Después: 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 𝑒 𝑖∝ = cos ∝ + 𝑖 sin ∝ . 𝐶𝑜𝑠(𝛺𝑡) ….De el grafico obtenemos la siguiente ecuación diferencial: 𝑚𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝐹𝑜.. 𝑒 𝑚 . 𝑆𝑒𝑛(𝛺𝑡) …….Dando forma 𝑖𝐹 𝑖𝑦 + 𝑖2δ𝑦 + 𝑖𝜔𝑜 2 𝑦 = 𝑜 . (𝐶𝑜𝑠 𝛺𝑡 + 𝑖𝑆𝑒𝑛 𝛺𝑡 ) 𝑚 2 𝑧 + 2δ𝑧 + 𝜔𝑜 2 𝑧 𝐹𝑜 𝑖𝛺𝑡 = .(2) 𝑚 Sumando 1 y 2: 𝐹𝑜 𝑧 + 2δ𝑧 + 𝜔𝑜 𝑧 = . 𝑉 = 𝑚 𝑖𝛺𝑡 2 𝑖𝛺𝑡 𝐹𝑜 1 𝑉 = . 𝑉𝑒 𝑖𝛺𝑡 𝑧 = 𝑉𝑒 𝑖𝛺𝑡 𝑧 = 𝑖 2 𝛺2 .Considerando como solución: Derivando : 𝑧 = 𝑖𝛺. 𝑚 −𝛺2 + 2δ. 𝑖𝛺 + 𝜔𝑜 2 . 𝑒 𝑚 𝐹𝑜 2 2 −𝛺 + 2δ. 𝑖𝛺𝑉𝑒 + 𝜔𝑜 𝑉𝑒 = . 𝑉𝑒 𝑖𝛺𝑡 Reemplazando en la ecuación anterior: −𝛺 𝑉𝑒 2 𝑖𝛺𝑡 𝐹𝑜 𝑖𝛺𝑡 + 2δ. 𝑖𝛺 + 𝜔𝑜 . 𝑚 𝜔𝑜 2 − 𝛺2 𝜔𝑜 2 − 𝛺 2 2 + 4δ2 𝛺2 𝐹𝑜 − 𝑚 2δ𝛺𝑖 𝜔𝑜 2 − 𝛺2 2 + 4δ2 𝛺2 .𝐹𝑜 1 ( 𝜔𝑜 2 − 𝛺2 − 2δ𝛺𝑖) 𝑉 = . 2 2 𝑚 −𝛺 + 2δ. . 𝑖𝛺 + 𝜔𝑜 ( 𝜔𝑜 2 − 𝛺2 − 2δ𝛺𝑖) 𝐹𝑜 𝑉 = . 𝑚 𝜔𝑜 2 − 𝛺2 − 2δ𝛺𝑖 𝜔𝑜 2 − 𝛺2 2 + 4δ2 𝛺2 𝐹𝑜 𝑉 = . 𝑚 1 𝜔𝑜 2 − 𝛺 2 2 + 4δ2 𝛺2 𝜔𝑜 : Frecuencia natural.Luego 𝐹𝑜 𝑉 = 𝑉 = . 𝑦𝑚 2δ𝛺 −1 −1 𝜑 = 𝛼 = tan = tan 𝑅𝑒 𝜔𝑜 2 − 𝛺2 𝑉 = 𝑉𝑒 𝑖∝ 𝑧 = 𝑉𝑒 𝑖(𝛺𝑡+∝) = 𝑉[𝐶𝑜𝑠 𝛺𝑡 +∝ + 𝑖𝑆𝑒𝑛 𝛺𝑡 +∝ ] . 𝜔 = 𝛺 : Frecuencia del sistema ó de la fuerza excitadora. 𝛿) = 𝑘 1 1 − 𝑛2 2 2 + 2𝛿𝑛 2 . 2 𝑚 𝜔𝑜 1 − 𝑛2 2 + 2𝛿𝑛 Pero como 𝑘 = 𝜔𝑜 2 . 𝐶𝑜𝑠 𝛺𝑡 +∝ 𝛺 𝜔𝑜 ó 𝑋 = 𝑉. 𝑚 𝐹𝑜 𝑉(𝑛.Luego : 𝑋 = 𝑉. 𝑆𝑒𝑛 𝛺𝑡 +∝ 𝑐 2𝑚 V: Amplitud de vibración Haciendo que V dependa de un parámetro n y δ siendo: 𝑛 = y δ= n = u :razón de frecuencias Reemplazando en la ecuación de la amplitud V : 𝐹𝑜 1 1 𝑉 = . la amplitud de la vibración aumentara indefinidamente y estará gobernada únicamente por la cantidad de amortiguamiento presente en el sistema.RESONANCIA La resonancia ocurre cuando la frecuencia de la fuerza de excitación es igual a la frecuencia natural del sistema. cuando esto ocurre. Por tanto la frecuencia natural del sistema debe conocerse y escogerse con cuidado. con el fin de evitar los efectos desastrosos producidos por una amplitud muy grande de vibración (en una estructura mecánica por ejemplo) . se dice que hay resonancia en la amplitud.v que es la variación del trabajo con el tiempo siempre sea positiva y máxima. . luego: podemos hablar de resonancia en la energía cuando la frecuencia de la fuerza es igual a la frecuencia natural y la velocidad se encuentre en fase con la fuerza aplicada. para que el producto F. inclusive puede colapsar una maquina o estructura.En una vibración forzada armónica. entonces la amplitud de resonancia se hace infinita. Cuando menor sea el amortiguamiento más pronunciada será la resonancia (la amplitud de vibración será mayor). y si fuera cero. La velocidad del oscilador forzado también se hace máxima cuando la frecuencia de la fuerza es igual a la frecuencia natura. a esta frecuencia la velocidad y la energía cinética de las oscilaciones son máximas. Un efecto como el mencionado antes es perjudicial en mecánica. cuando la frecuencia de la fuerza se hace igual a la frecuencia natural. Estos edificios de 20 plantas.Cómo los terremotos afectan a los edificios • Cuando el contenido de frecuencia del movimiento del suelo se centran alrededor de la frecuencia natural del edificio. a menudo se encuentran en buen estado a pesar de que se encuentra justo al lado de la historia de 20 edificios dañados . tenían un período natural de alrededor de 2. se encontraban en resonancia con el contenido de frecuencias del terremoto de 1985. los edificios sufren el mayor daño del movimiento del suelo en una frecuencia cercana o igual a su frecuencia natural • El terremoto de Ciudad de México del 19 de septiembre de 1985 prevé una notable ilustración de esto. Otros edificios de diferentes alturas y con las características de vibración diferentes. Debido a esto.0 segundos. La mayoría de los muchos edificios que se derrumbaron durante el terremoto fueron alrededor de 20 pisos de altura es decir. se dice que el edificio y el movimiento de la tierra están en resonancia con otros. La resonancia tiende a aumentar o amplificar la respuesta del edificio. TEORIA DE AISLAMIENTO DE MOTORES • Cuando un motor está colocado sobre la base transmite a dicha base una fuerza alternativa que provocan desequilibrios internos al motor o de excitaciones externas transmitidas por otros sistemas 𝐹 = 𝐹0 cos(𝑤𝑡) M 𝑘 2 𝑐 𝑘 2 • Se idealiza el problema suponiendo una base fija y rígida B. sostenidos por un sistema de resortes con amortiguación la masa M del motor se considera sometida a la excitación exterior de una fuerza sinusoidal • 𝐹 = 𝐹0 × cos(𝑤𝑡) B . sobre la cual descansa el motor de masa M. • La ecuación del movimiento está dado por: • 𝑀𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝐹0 cos(𝑤𝑡) • 𝑥 = 𝑥𝑐 + 𝑥𝑝 • La respuesta permanente del sistema es: • 𝑋𝑝 = 𝐴 cos(𝑤𝑡 − 𝜑) • Luego se puede calcular la fuerza transmitida a la base B. 𝐴. 𝑤. 𝑤. • 𝐹𝑅 = 𝑘𝑥 = 𝑘𝐴 cos(𝑤𝑡 − 𝜑) • 𝐹𝑎 = 𝐶𝑥 = −𝑐. sin cos(𝑤𝑡 − 𝜑) . 𝐴. sin cos(𝑤𝑡 − 𝜑) • 𝐹𝑅 : 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒 • 𝐹𝑅 : 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑑𝑜𝑟 • La fuerza total transmitida a la base B es (FT) • 𝐹𝑇 = 𝑘𝐴 cos(𝑤𝑡 − 𝜑) − 𝑐. 𝑛 2 − 𝜑 − 𝛾) .𝑤 𝑘 2 +(𝑐.• Haciendo que tan 𝛾 = cw 𝑘 • cos 𝛾 = • sin 𝛾 = • 𝐴 = 1− 𝑘 𝑘 2 +(𝑐.𝑤 2 𝑘 𝑐 𝑐𝑟 𝑤 = 𝑤𝑛 cos(𝑤𝑡 1−𝑛2 2 + 2𝜁.𝑤)2 𝑐.𝑤 2 +( ) 𝑤𝑛 𝑤𝑛 • Índice de amortiguamiento: 𝜁 = • Relación de frecuencias: = 𝑛 • 𝐹𝑇 = 𝐹0 𝑘 2 − 𝑐.𝑤)2 𝐹0 /𝑘 2 𝑤 2 2𝜁. Fuerza transmitida máxima 𝐹𝑇 = 𝐹0 𝑘 2 − 𝑐.𝑛 2 .𝑤 2 𝑘 1−𝑛2 2 + 2𝜁. Si x representa el desplazamiento de la masa no rotante (M. desde la posición de equilibrio. El desbalance está representado por una masa excéntrica m con excentricidad e que rota con velocidad angular w. como muestra la figura.m). la aceleración de m es: 𝑥 M 0 m C k/2 k/2 .DESBALANCE ROTATORIO El desbalance en máquinas rotatorias es una fuente común de excitación vibratoria. Consideremos un sistema masa-resorte-amortiguador restringido a moverse en la dirección vertical y excitado por una maquina rotatoria no balanceada. g 𝑎𝑐 = 𝑤 2𝑒 𝑥 = 𝑤 2 𝑒 cos(𝑤𝑡) La aceleración vertical que actúa sobre m es: 𝑥 − 𝑒 𝑤 2 cos 𝑤𝑡 . 𝑎𝑐𝑚 = 𝑚𝑤 2 𝑒 m e 𝑤𝑡 m.𝐹 = 𝑚. cos 𝑤𝑡 = 𝐹𝑂 cos(𝑤𝑡) • El movimiento es del tipo: • 𝑀𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝐹𝑂 cos(𝑤𝑡) . 𝑤 2 . 𝑒.• la fuerza vertical que actúa sobre m es: • 𝐹 = 𝑚 𝑥 − 𝑒𝑤 2 cos(𝑤𝑡) • La ecuación diferencial del movimiento del motor es: • 𝑀 − 𝑚 𝑥 = −𝑘𝑥 − 𝑐𝑥 − 𝑚 𝑥 − 𝑒𝑤 2 cos(𝑤𝑡) • Finalmente: • 𝑀𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝑚. 𝑥 𝑚. sino que depende de w. 𝑟 = 𝑟^2 • Entonces: = 1−𝑟 2 2 + 2𝜁𝑟 2 . 𝑒. 𝑤 2 no es constante.• Donde 𝐹𝑂 es la amplitud de la excitación externa equivalente que hace oscilar el motor • Una diferencia importante ha de observarse con respecto al caso estudiado.𝑒 𝑘/𝑚 . • Sabemos que: • 𝑥 = • 𝑥 = 𝐹𝑂 𝑘 1−𝑟 2 2 + 2𝜁𝑟 2 = 𝑚𝑒𝑤 2 𝑘 1 1 1−𝑟 2 2 + 2𝜁𝑟 2 𝑚𝑒𝑤 2 𝑘 𝑘 𝑀. y es que 𝐹𝑂 = 𝑚.𝑤𝑛 2 1−𝑟 2 2 + 2𝜁𝑟 2 𝑤 𝑤𝑛 • Dónde: • 𝑤𝑛 = • 𝑀. En otras palabras la excitación crece con la velocidad angular del motor. • Representación grafica 𝑀.𝑒 vs n .𝑥 𝑚. . . 5 kg de masa situado a 100 mm desde el eje de rotación. Si la deflexión estática de la viga es 50 mm. como resultado del peso del ventilador. . La base del ventilador está montado excéntricamente sobre el eje de tal manera que es equivalente a un desequilibrio 3. determinar la amplitud de la vibración de estado estable del ventilador si la velocidad angular de las paletas del ventilador es 10 rad / s.El ventilador tiene una masa de 25 kg y se fija al extremo de una viga horizontal que tiene una masa despreciable. . Un bloque de 7 lbs esta suspendido de dos resortes de k = 37.15Sen2t (pies).8. Si el factor de amortiguamiento ζ = 0. El soporte al cual estan conectados los resortes se le imprime un movimiento armonico.5 Lbs/pie. Determine el angulo de fase ɸ de la vibracion forzada. Asimismo determine la magnificacion . el cual puede ser expresado por δ = 0. . . La barra uniforme tiene una masa de m.Senωt. Si se recibe la acción de una fuerza periódica de F = Fo. . Determinar la amplitud de la vibración en estado estable. Considerando valores pequenos de θ: Senθ = θ y Cosθ = 1 La solucion permanente es: . . y c = 300 N · s / m.Si el bloque 30 kg se somete a una fuerza periódica P = (300Sen5t) N. Determinar la ecuación que describe la vibración de estado estable como una función del tiempo. . k = 1500 N / m. Y = 01109 m . . El factor de amortiguamiento es c / cc = 0. determinar la amplitud de la vibración cuando el rotor está girando a ωo = 10 rad / s. Si el rotor está desequilibrado de tal manera que su efecto es equivalente a una masa de 4 kg situado 60 mm desde el eje de rotación.El motor eléctrico 30-kg se muestra en la figura. está soportada por cuatro resortes. . cada resorte tiene una rigidez de 200 N / m.15. . Determinar la velocidad máxima del bloque despreciando la fuerza de fricción. Se aplica al bloque una fuerza periódica F = (8 Cos3t) libras.El bloque de 30 libras está unido a dos muelles con una rigidez de 10 lb / ft. donde t está en segundos. . . Se aplica al bloque una fuerza periódica F = 150Cos6t (N) . c = 125 N.s/m. donde t está en segundos. Determine la ecuación que describe el movimiento en estado permanente.172Cos(6t – 59. X = 0.6°) .El bloque de 10 kg está unido a dos muelles con una rigidez de 400 N/m.