Valores y Vectores Propios Diagonalizacion

VALORES Y VECTORES PROPIOSEn los diversos campos de la ingeniería y las matemáticas surge el problema de calcular los valores escalares λ y los vectores x ≠ 0 tales que para la A matriz cuadrada AX =λX …(1) se cumple Algunos campos de aplicación son: Las Ecuaciones diferenciales, Estabilidad de sistemas lineales, Sistemas eléctricos, Polos y ceros de transferencia, diagonalizacion de matrices, etc. Podemos averiguar si el problema planteado en (1) tiene solución si tenemos ( A− λI ) X =0 …(2) , el problema se transforma en un sistema lineal BX =0 homogéneo det ( B ) ≠ 0 X =0 , el cual tiene solución para , cuando λ , es justamente lo que no nos interesa .El numero que es el valor propio de la matriz cuadrada A si y solo si …(3) esta es la ecuación característica de la matriz A det ( A−λI )=0 .El polinomio que surge de la ecuación (3) resulta un polinomio en ponencias de expresión A a ( λ ) =det ( A−λI ) n λ , la se le llama polinomio característico de la matriz .El polinomio característico de una matriz de dimensión grado se dice , por lo que se tiene n valores propios λ nxn es de que satisfacen la ecuación (3) . VALOR PROPIO Sea T :V →V sobre un cuerpo un operador lineal sobre un espacio vectorial K. Un escalar λϵ K V se llama valor propio de T si existe un vector diferente de cero, v ϵ V tal que T ( v ) =λv . Todo vector que satisface esta relación se llama “vector propio” de T perteneciente al valor propio λ . . el espacio propio de λ T si y solo si λ Ι −T V . w ∈V λ Sean escalar av +bw . es es entonces el núcleo de λ Ι −T .Observación: Las transformaciones lineales del espacio como la rotación. T ( av +bw )=aT ( v ) +bT ( w )=a ( λv ) +b ( λw )=λ (av +bw) es un vector propio perteneciente a λ es decir . Entonces para todo a .T ( w )= λw . b ∈K . Sea el conjunto de todos los vectores propios de T pertenecientes Ejemplo: Sea Vλ al valor propio Vλ λ λ (llamado el espacio propio de λ ) Demostrar que es un subespacio de V .De forma geométrica los vectores se visualizan como flechas de cierta longitud apuntado en una dirección y sentido determinado. TEOREMA Sea T :V →V entonces λϵK un operador lineal sobre un espacio vectorial es un valor propio de singular. luego Vλ es un subespacio de V . Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que no se ven afectados por la transformación. un valor propio de un operador T :V →V . Demostración v . TEOREMA Vectores propios diferentes de cero pertenecientes a valores propios diferentes son linealmente independientes. es decir T ( v )=λv . el ensanchamiento o cualquier combinación de las anteriores pueden interpretarse mediante el efecto que producen en los vectores . la reflexión. n términos con máximo n−2 factores de la forma t−an Ejemplo ( ) 1 4 Sea la matriz A= 2 3 i) Hallar los valores propios de A y los correspondientes vectores propios −1 2i) Hallar una matriz inversible P tal que P AP sea diagonal Solución: Ejemplo: ( El polinomio característico de la matriz A es: 1 3 0 A= −2 2 1 4 0 −2 ) . el determinante se llama ecuación característica. el polinomio característico es de la forma: Δ ( t )=( t−a11 ) ( t−a 22) … ( t −a nn ) .POLINOMIO CARACTERISTICO Sea una matriz cuadrada A sobre un cuerpo K a11 a12 a a22 A= 21 ⋮ ⋮ a n1 an 2 La ( … a1 n … a2 n ⋱ ⋮ … a nn matriz t Ι n− A det ( t Ι n −A ) =0 ) se llama matriz característica. Si λ es un valor propio de AX =λX ⟹ X A y si X es el vector no nulo tal que se dice vector propio de A correspondiente al valor propio de λ . Ejemplo Dada la matriz ( ) 3 1 −1 A= 2 2 −1 2 2 0 determine el polinomio característico y los valores propios de A Solución |( ) ( )| | | 3 1 −1 1 0 0 3−λ 1 −1 P ( λ )=det 2 2 −1 −λ 0 1 0 = 2 2−λ −1 =( 2−λ )( 2− λ ) ( 1−λ ) =0 Enton 2 2 0 0 0 1 2 2 −λ ces los valores propios son λ=2 . valor característico o “eigen valor”. polinomio Mónico de tercer grado. λ=1 . λ=2 .| | t−1 −3 0 3 2 Δ ( t ) = ( t Ι − A )= 2 t−2 −1 =t −t +2t +4 −4 0 t+ 2 Es un polinomio característico. El polinomio característico de una matriz de dimensión nxn es de grado n . por lo cual tendrá n posibles valores propios. OBSERVACION: λ también llamado autovalor. Un espacio propio es un espacio formado por todos los vectores propios del mismo valor propio. y sea A una matriz cuadrada de orden n . La multiplicidad geométrica de un valor propio es la dimensión del espacio propio asociado. TEOREMA Sean f y g dos polinomios sobre un cuerpo k . . entonces definimos: n f ( A ) =an A +a n−1 A n−1 +…+ a1 A+ a0 Ι Se dice que A es una raíz o un cero del polinomio si f ( A ) =0. sobre k . entonces: i) (f + g)( A) =f ( A)+ g( A) ii) (f . g( A) iii) (kf )(A )=kf ( A ) OBSERVACION 1. además del vector nulo que no es un vector propio. Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que no se ven afectados por la transformación. si A es una matriz cuadrada.POLINOMIO DE MATRICES Y OPERADORES LINEALES n f ( t )=a n t +an−1 t Sea un polinomio n −1 +…+ a1 t +a 0 . g)( A )=f ( A ) . 2. 3. 4. El valor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado. λ2=4 Para λ1=−1 | || | 2 2 x 1 =0 3 3 x2 2 x 1 +2 x2 =0 3 x1 +3 x 2=0 ⟹ x 1 + x 2=0 ⟺ x1 =−x 2 Vector propio: Para λ2=4 ( ) ( ) x1 =x 1 ⟶ vector propio 1 −1 −x2 −1 ( ) ( ) A= 1 2 3 2 .Ejemplo: Hallar los vectores propios de la matriz SOLUCION: AX =λX ( A− λ Ι ) X=0 (1−3 λ ) 2 X=0 2−λ Hallando los valores propios: | | 1− λ 2 =0 3 2−λ λ2−3 λ−4=0 λ1=−1 . | || −3 2 x 1 =0 3 −2 x 2 −3 x 1 +2 x 2=0 3 x1 −2 x 2=0 3 x 1=2 x 2 x1 =t 2 ⟶ vector propio 2 x2 3 3 ( ) () () TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTON Toda matriz es un cero de su polinomio característico. ( ) A= 1 2 3 2 Ejemplo: P ( λ )=λ 2−3 λ−4 2 ( ) ( ) ( )( )( )( )( ) P ( A )= 1 2 −3 1 2 −4 1 0 = 7 6 − 3 2 − 4 0 = 0 0 3 2 3 2 0 1 9 10 9 6 0 4 0 0 TEOREMA Si A es una matriz cuadrada de orden n y λ A⟹ λ es una raíz del polinomio característico. es un valor propio de . … . (λ−4)2 (λ−3)3 (λ−2)2( λ−1)=0 DIAGONALIZACION V un operador lineal sobre un espacio vectorial V Sea T :V ⟶ dimensión finita entonces T es un operador lineal que se puede representar por una matriz diagonal. ¿ k2 ¿ k1 ¿ ¿ ¿ ⋱ ¿ kn ¿ ¿ ¿ T =¿ Si y solo si existe una base { v1 .MULTIPLICIDAD ALGEBRAICA La multiplicidad algebraica de un valor propio λ como cero del polinomio característico.2. 4. 2. 1 significan que la multiplicidad algebraica del valor propio4 es 2. v 2 . 3. la de 3 es 3. Ejemplo: Si los valores propios de una matriz A son 4. v n } de V tal que: T ( v 1) =k 1 v 1 T ( v 2 )=k 2 v2 ⋮ T ( v n )=k n v n con .3. la de 1 es 1. la de 2 es 2. 3. diagonalizar una matriz precisamente escribirla de manera simple encontrando una matriz invertible P y una diagonal D la matriz P −1 ( si es posible) tal que A=PD P . MATRIZ DIAGONALIZABLE Una matriz n x n es diagonalizable si existe una matriz diagonal D tal que A es semejante a D . : FORMAS CUADRATICAS O CUADRICAS es semejante a una matriz . Para estudiar una matriz. Si D es una matriz diagonal entonces los valores propios son sus componentes en la diagonal . v n } son vectores propios de T perteneciente a los valores propios k 1 . k n . suele ser conveniente expresarla de la forma más sencilla posible.Si D semejante a entonces si A A es entonces tienen los mismos valores propios . Para estudiar una matriz suele ser conveniente A es expresarla lo más sencilla posible . k 2 . A diagonal.Es decir los vectores { v1 . OBSERVACION ¿Qué es diagonalizar? Es determinar un sistema de referencia conveniente donde se tenga una simplicidad para los cálculos. es diagonalizable . v 2 . … . se denomina matriz de paso . … . A es una matriz cuadrada de orden nxn OBSERVACION Dadas las matrices A y X se presenta una forma cuadrática t P ( λ )= X AX 2 2 Ejemplo: P ( X )=2 x +6 xy + y P ( X )= ( x ( )( ) y ) 1 x2 2 3 x 3 1 y =( 2 x+3 y 3 x + y )1 x2 x y 2x 1 () 2 2 2 Ejemplo: P ( X )=x + y + 2 xy + z −5 xz +6 yz ( )( ) 1 P ( X )= ( x y z) 1 −9 2 −9 2 1 2 1 2 1 x y z 2 2 2 2 2 Ejemplo: P ( X )=3 x − y +t + w −5 z + xt+ wz+ xy 2x 1 =2 x 2+6 xy + y 2 . Una forma cuadrática P tiene la siguiente expresión matricial: n n P ( X )=X AX=∑ ∑ aij x j1 x i1 t i=1 j=1 Donde X es una matriz columna de orden nx 1 .Se llama forma cuadrática a un polinomio homogéneo de grado 2. Se dice que una forma cuadrática q ( X )=X AX es diagonalizable si existe una matriz no singular B. resulta: .. tal que al hacer la transformación X =BY .1 2 P ( X ) =( x y t w 1 2 0 0 0 0 0 1 0 0 1 2 ( ) 3 1 −1 2 z) 1 0 2 0 0 0 1 0 0 0 1 −5 2 x y t w z () DIAGONALIZACION DE FORMAS CUADRÁTICAS Una forma cuadrática P se dice que se encuentra en su forma diagonal si en ella no aparece ningún término mixto: x i1 x j 1 coni ≠ j 2 2 2 t P=a 11 x 1 +a22 x2 +…+ ann x nn =X AX Donde A es la matriz diagonal: ¿ a11 0 … 0 0 a22 … 0 ⋮ ¿⋱ ¿0 0 ¿ A=( a nn¿ ) t DEFINICION. … . y 2 . B es una matriz no singular. Se dice que B diagonaliza a la matriz A. Ejemplo: Diagonalizar la forma cuadrática. para ello A es una matriz simétrica. y n .t t t t q ( Y )= ( BY ) A ( BY ) =Y B ABY =Y D Y . y3 . esta matriz B siempre existe. donde D es una matriz diagonal tal que q ( Y )=d 11 y12 +d 22 y 22 +…+ d nn y nn2 Es una forma diagonal en las nuevas variables y 1 . En muchos casos los elementos de la matriz diagonal en la diagonal principal son los valores propios de A. considere B= 0 1 ) Solución: ( )( ) y) 1 2 x 2 5 y q ( X )= ( x ( ) A= 1 2 2 5 Sea X=BY ( xy )=( 10 )( ) −2 y 1 1 y2 q ( y )= ( BY )t A ( BY )= ( y 1 )( ) y y 2 ) 1 0 1 2 1 −2 1 −2 1 2 5 0 1 y2 ( )( )( . considere 2 q ( X )=x + 4 xy +5 y 2 ( ) → A= 1 2 2 5 ( 1 −2 . la cual se interpreta como una rotación de coordenadas. Hallar los valores propios y vectores propios de la matriz A linealmente independientes.. DIAGONALIZACION ORTOGONAL DE FORMAS CUADRÁTRICAS Dada una forma cuadrática P ortogonal ( P−1=Pt ) P ( X )=X t AX . para ello se debe tener en cuenta que: 1. … .¿ ( y1 )( ) y y 2 ) 1 2 1 −2 1 0 1 0 1 y2 ( )( q ( y )=( y 1 ( ) ( yy )=( y y 2 )1 x 2 1 0 0 1 1 2x2 2 1 y 2 )1 x2 y1 y2 () = y 12 + y 22 2x 1 OBS: ( ) A= 1 2 2 5 ( ) 2 =0 ⟺ λ 2−6 λ+1=0 det ( A−λ Ι )=det 1−λ 2 5−λ NOTA. hacer: a. es posible hallar una matriz que diagonalice ortogonalmente a la matriz A. 2. v 2 . es decir. v 1= u1 ‖u 1‖ . v n forman una base ortonormal para lo cual se utiliza el proceso de GRAM-SCHMIDT.En el ejemplo la forma cuadrática diagonalizable es: 2 q ( y )= y1 + y 2 2 Hemos hablado de la transformación X =BY . Los vectores v 1 . Ejemplo: Diagonalizar ortogonalmente la forma cuadrática P=3 w 2+ 3 x 2 +9 y 2 +6 z 2+ 2wx−4 yz Solución: ( 3 1 A= 0 0 1 0 0 3 0 0 0 9 −2 0 −2 6 ) . v 2 . v k } . v 2 ⟩ v 2+ …+ ⟨ uk+ 1 . vn son vectores columna de la matriz P. … . Calculamos los vectores ' v k +1 que son ortogonales entre si. y son ortogonales a los vectores { v1 . formamos la matriz P de modo que cada uno de los vectores v1 . v 1 ⟩ v 1 + ⟨ uk+1 . Se tiene la forma diagonalizable: P ( X )=X t AX ⇒ P (Y )=Y t ( Pt AP ) Y =Y t DY Donde D es una matriz diagonal formada por valores propios de A. v k ⟩ v k ] b. 3.v k +1=uk +1−[ ⟨ uk +1 . v2 . … . λ4 =10 Para λ1=2: | 1 1 0 0 || | 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 ⟶ 0 7 −2 0 0 0 −2 4 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 x 1+ x 2=0 x 3=0 ( x1 x 4=0 Para λ2=4 : | || −1 1 0 0 1 −1 0 0 ⟶ 0 0 5 −2 0 0 −2 2 ( x1 | 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 x 2 x 3 x 4 ) =s ( 1 1 0 0 ) x 2 x 3 x 4 ) =t ( 1 −1 0 0 ) .| | 3−λ 1 0 0 0 | A−λ Ι|= 1 3−λ 0 =0 0 0 9−λ −2 0 0 −2 6− λ | || | 3−λ 0 0 1 0 0 ¿ ( 3−λ ) 0 9−λ −2 − 0 9− λ −2 0 −2 6− λ 0 −2 6−λ ¿ ( 3−λ )( 3−λ )( λ−5 ) ( λ−10 )−( λ−5 ) ( λ−10 )=0 ¿ ( λ−5 )( λ−10 ) ( λ−4 )( λ−2 ) =0 Los valores propios son: λ1=2. λ 3=5 . λ 2=4 . 2 ) − ( 0. 0. −1 ) ( ) ( ) ( ⟩ √ 2 √2 ⟨ ⟩ √ 2 .− √12 . .0) = [⟨ ' v 3=u3−[ ⟨ u3 .− . 0. 0. 0 )= . 0. 0.−1. v 2= v 2' ' ‖v 2 ‖ ( √12 . 1. 0.− .1. v 1 ⟩ v 1= (1. v 2 ⟩ v 2 ]=( 0. v 1 ⟩ v 1+ ⟨ u3 . 0. 0 + ( 0. 0. 0. 0)+⟨ √2 √ 2 √2 . 0.−2.−2. 0. 0. . 0. 0. 0. 0 ) ( √12 . 1.−2. 0 ) . v 2 ⟩ v 2 + ⟨ u 4 . v 4= v 4' ' ( = 0. 1. 1 )− ( 0. 0) ⟩( √12 .0. √2 √2 √ 2 √2 ( ) v '4=u 4−[ ⟨ u4 . 0 . 0 )− ( 1.1. 0. . 2 ) . v 3 ⟩ v 3 ] [⟨ v '4=( 0. 1 ) . v 3= v 3' ' ( = 0.0 √2 √2 )⟩ ( )⟨ 1 1 1 1 .0 ‖u 1‖ √2 √ 2 ( ) ⟨ v '2=u 2−⟨ u1 . . 0. 1. v1 ⟩ v 1 + ⟨ u4 . 0. √ 2 . √5 √ 5 ( 1 1 .− .0.− √12 . 0. ‖v 3 ‖ 1 2 .Para λ3 =5: ( 0 0 1 2 ) Para λ 4=10 : ( 0 0 −2 1 ) v 1= u1 1 1 =( 1. 0. 0 + ( 0.2 ) . √12 . √5 √ 5 ) [ ] 1 √2 −1 P= √ 2 0 0 Luego: 1 √2 1 √2 0 0 0 0 0 0 1 √5 2 √5 −2 √5 1 √5 1 −1 1 1 1 1 .1 ) . 0)=( 1. ‖v 4 ‖ −2 1 .0 ( √12 . 1 √2 1 D=Pt AP= √ 2 0 1 √2 −1 √2 1 √2 1 √2 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 −1 √2 1 √2 0 0 0 0 1 √5 −2 √5 0 3 1 2 0 √5 0 1 √5 0 ( P ( X )=X t AX ⟺ P ( Y )=Y t DY =( y 1 Forma diagonalizada 1 0 0 3 0 0 0 9 −2 0 −2 6 ) y2 y3 y4 ) ( 2 0 0 0 0 4 0 0 0 0 1 √5 2 √5 0 2 =0 −2 0 √5 0 1 √5 0 ( 0 4 0 0 0 0 0 0 5 0 0 10 ) 0 0 y1 0 0 y 2 =2 y 2+ 4 y 2 +5 y 2+ 10 y 2 1 2 3 4 5 0 y3 0 10 y 4 )( ) .