Unidad #5 Vibraciones Mecánicas

30 de mayo de 2014 [UNIDAD #5 SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD] Vibraciones Mecánicas Página 1 INSTITUTO TECNOLÓGICO DE PIEDRAS NEGRAS MATERIA: VIBRACIONES MECÁNICAS TEMA: UNIDAD #5 SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD ALUMNA:  ZUJEY MANZANAREZ MARTINEZ CARRERA: ING. MECATRÓNICA 6° SEM PROFESOR: ING. CESAR RODRÍGUEZ 30 de mayo de 2014 [UNIDAD #5 SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD] Vibraciones Mecánicas Página 2 INDICE 5.1 Vibraciones de modo normal………………………………….3 5.2 Acoplamiento De Coordenadas……………………………….5 5.3 Ortogonalidad de los modos de vibración…………………..8 5.4 Análisis modal; coordenadas normales…………………….11 5.5 Vibración libre…………………………………………………….14 5.6 vibraciones forzadas y absorción de vibraciones…………20 30 de mayo de 2014 [UNIDAD #5 SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD] Vibraciones Mecánicas Página 3 5.1 Vibraciones de modo normal Un modo normal de un sistema oscilatorio es la frecuencia a la cual la estructura deformable oscilará al ser perturbada. Los modos normales son también llamados frecuencias naturales o frecuencias resonantes. Para cada estructura existe un conjunto de estas frecuencias que es único. Es usual utilizar un sistema formado por una masa y un resorte para ilustrar el comportamiento de una estructura deformable. Cuando este tipo de sistema es excitado en una de sus frecuencias naturales, todas las masas se mueven con la misma frecuencia. Las fases de las masas son exactamente las mismas o exactamente las contrarias. El significado práctico puede ser ilustrado mediante un modelo de masa y resorte de un edificio. Si un terremoto excita al sistema con una frecuencia próxima a una de las frecuencias naturales el desplazamiento de un piso (nivel) respecto de otro será máximo. El Modo normal incluye 2 efectos: 1- Frecuencia de resonancia: (la fuente sonora puede generar alguna de las frecuencias naturales o de resonancia del aire encerrado dentro de la sala) 2- Onda estacionaria cuando el aire entra en resonancia la presión sonora dentro del recinto presentará máximos (antinodos) y mínimos (nodos)de presión sonora). Modos normales Supongamos, que el sistema vibra en un modo de frecuencia w. Cada partícula describirá un M.A.S. de la misma frecuencia w y fase j , pero cuya amplitud A i vamos a calcular. y i =A i ·cos(w t+j ) Introduciendo esta expresión en la ecuación diferencial que describe el movimiento de cada partícula, obtenemos, la relación entre las amplitudes de los M.A.S. de las partículas i+1, i, e i-1. Vamos a buscar una solución a esta ecuación de la forma A i =A·sen(k·ia) 30 de mayo de 2014 [UNIDAD #5 SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD] Vibraciones Mecánicas Página 4 donde k es el número de onda k=2p /l . Después de algunas operaciones, se obtiene y finalmente, Esta ecuación que relaciona la frecuencia angular w con el número de onda k, se denomina relación de dispersión. Aplicaremos las longitudes de contorno para la solución buscada A i =A·sen(kia) Las partículas imaginarias situadas en las posiciones extremas i=0, e i=N+1, están fijas, de aquí se obtiene los posibles valores del número de onda o de la longitud de onda. A N+1 =A·sen(ka(N+1))=0, se cumple cuando ka(N+1)=np La fórmula de las frecuencias angulares de los distintos modos de vibración son Donde K es la constante del muelle, m la masa de las partículas, que hemos tomado como unidad, N el número de partículas del sistema. En la figura, se muestra la relación de dispersión para un sistema de 3 partículas. La curva continua en color azul es la representación de la frecuencia angular w en función del número de onda k, cuyo valor máximo se obtiene para k=p /a. Los puntos en color rojo sobre la curva continua señalan las frecuencias de los tres modos de vibración. 30 de mayo de 2014 [UNIDAD #5 SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD] Vibraciones Mecánicas Página 5 Fig. 1 En el siguiente applet se van a mostrar de forma animada el movimiento de las partículas del sistema en el modo normal de vibración seleccionado. En la parte inferior del applet, se representa en el eje vertical el desplazamiento de cada una de las partículas. Como ejercicio se recomienda representar gráficamente, la frecuencia de los distintos modos en función del número de onda (o del número del modo n), tomando como modelo la figura anterior. Observar los modos de vibración de un sistema compuesto por muchas partículas y muelles, por ejemplo, 20, y compararlos con los modos de vibración de una cuerda u ondas estacionarias en una cuerda sujeta por ambos extremos. 5.2 Acoplamiento De Coordenadas Un acoplamiento de coordenadas es una serie de acoplamientos donde las coordenadas concuerdan formando una cadena cerrada, o una serie de cadenas cerradas. Es similar a un acoplamiento mecánico que tiene uno o más ligas, y éstas tienen diferentes grados de libertad que le permiten tener movilidad entre los ligamentos. Un acoplamiento es llamado mecanismo si dos o más ligas se pueden mover con respecto a un ligamento fijo. Los acoplamientos mecánicos son usualmente designados en tener una entrada, y producir una salida, alterando el movimiento, velocidad, aceleración, y aplicando una ventaja mecánica. Se denominan informalmente coordenadas generalizadas (acoplamiento de coordenadas) a un conjunto cualquiera de parámetros numéricos que sirven para determinar de manera unívoca la configuración de un mecanismo o sistema mecánico con un número finito de grados de libertad. Más formalmente, las coordenadas generalizadas se definen como un sistema de coordenadas curvilíneas sobre la variedad de configuración de un sistema físico como por ejemplo el espacio de configuración o el espacio de fases de la mecánica clásica. 30 de mayo de 2014 [UNIDAD #5 SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD] Vibraciones Mecánicas Página 6 El número mínimo de coordenadas generalizadas para definir el estado del sistema se conoce como: coordenadas independientes. En este contexto, las coordenadas pueden ser absolutas (referidas a un sólido inmóvil, respecto del cual el mecanismo "se mueve"); o bien pueden ser relativas a otro miembro del mecanismo.  Noción intuitiva La mecánica newtoniana usa sistemas de referencia con ejes cartesianos en que la posición de una partícula puntual en un instante dado viene dada por un vector del espacio euclídeo. Las ecuaciones de movimiento son ecuaciones diferenciales que relacionan las derivadas de la posición con la posición de las otras partículas. Sin embargo, matemáticamente podemos usar un conjunto de coordenadas curvilíneas cualesquiera tales que el vector posición pueda ser expresado en términos de esas coordenadas y viceversa. Esto implica que en un sistema de P partículas (y 2Ngrados de libertad) existirán funciones invertibles de la otra tales que:  Noción formal Formalmente, en mecánica lagrangiana el estado físico de un sistema mecánico, también llamado estado de movimiento, viene representado por un punto del espacio de configuración "ampliado". Este espacio se designa por TQ y matemáticamente es el fibrado tangente del espacio de configuración Q de posibles posiciones. Por construcción el espacio de configuración ampliado tiene una estructura de variedad diferenciable de dimensión 2N, siendo N el número de grados de libertad del sistema. Naturalmente los 2N números anteriores tienen que ver con las coordenadas curvilíneas en términos de los cuales representamos la posición ordinaria de una partícula. De la discusión anterior se sigue que un conjunto adecuado de coordenadas generalizadas para un sistema lagrangiano no puede venir dado por un conjunto cualquiera de m números reales sino que debe existir un conjunto abierto U del fibrado tangente TQ y una función de clase C k , con k > 1, tal que: Un sistema como el anterior se llama sistema natural. Sin embargo, algunos sistemas admiten coordenadas generalizadas más complicadas que dependen además del tiempo, 30 de mayo de 2014 [UNIDAD #5 SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD] Vibraciones Mecánicas Página 7 como se discutió al principio y esos sistemas requieren ser descritos mediante una variedad de dimensión 2N+1 siendo los detalles similares.  Oscilaciones acopladas En ciertos problemas mecánicos sencillos como el problema de las vibraciones u oscilaciones acopladas aparecen sistemas de coordenadas generalizadas no relacionados con ninguna medida directa realizable sobre el sistema físico, pero útiles en la resolución matemática de los problemas. Un problema de oscilaciones acopladas puede resolverse mediante ciertos cambios de variables que llevan a las coordenadas normales o amplitudes de los modos propios de vibración, que son de hecho una forma particular de coordenadas generalizadas para el problema mecánico original. El problema de oscilaciones acopladas, aparece por ejemplo en las vibraciones térmicas de un cristal, o el movimiento horizontal de un edificio en un terremoto o el movimiento de un sistema de masas unidas por muelles o resortes. Estos problemas conducen a un sistema de ecuaciones del siguiente tipo: Que puede resolverse fácilmente definiendo unas nuevas coordenadas llamadas coordenadas normales, definidas mediante un cambio lineal: Donde la matriz cambio de masa se calcula a partir de los modos propios del sistema. Con ese cambio el sistema se convierte en un conjunto de N ecuaciones sencillas del tipo: Cada una de las cuales es de resolución inmediata. Es interesante notar que estos modos no son cantidades directamente medibles, sino sólo un sistema de coordenadas con dimensiones de longitud matemáticamente adecuado, pero que de no están relacionadas de manera directa o natural con ninguna medición realizable sobre el sistema. 30 de mayo de 2014 [UNIDAD #5 SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD] Vibraciones Mecánicas Página 8 5.3 Ortogonalidad de los modos de vibración Una propiedad de gran importancia en el estudio de las vibraciones es la ortogonalidad de los modos. Gracias a ella, podemos desacoplar las ecuaciones del movimiento convirtiéndolas en N ecuaciones diferenciales independientes por medio del cambio de variables conocido como transformación modal que veremos más adelante. Basándonos en la ecuación (9.133), particularizada para las frecuencias naturales ω i , ω j y sus modos correspondientes A i y A j , podemos escribir K A i = ω 2 M A i (9.136) i K A j = ω 2 j M A j (9.137) Premultiplicando la ecuación (9.136) por el vector A j transpuesto y la ecuación (9.137) por el vector A i transpuesto, obtenemos A T K A i = ω 2 A T M A i (9.138) j i j A T i K A j = ω 2 j A T i M A j (9.139) Restando ambas ecuaciones término a término y teniendo en cuenta que tanto M como K son simétricas, obtenemos ( ω i 2 − ω 2 j )A T i M A j = 0 (9.140) Si ω i y ω j son valores propios distintos, concluimos que A T i M A j = 0 para i ≠ j (9.141) A T i M A j ≠ 0 para i = j Es decir, los vectores propios asociados con valores propios distintos son ortogonales respecto a la matriz de masas. Debido a que la matriz de masas es positivo definida queda garantizado que el producto A T i M A i no es nulo excepto en el caso en que A i sea nulo. Por ello, podemos escribir A T i M A j = 0 para i ≠ j A T M A = m (9.142) j para i = j i i donde m i es un término escalar, positivo y constante. Los modos de vibración también son ortogonales respecto a la matriz de rigidez. La prueba es evidente a partir de la ecuaciones (9.138)-(9.139) y de la ecuación (9.142), lo que conduce a 30 de mayo de 2014 [UNIDAD #5 SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD] Vibraciones Mecánicas Página 9 A T i M A j = 0 para i ≠ j A T M A = m (9.142) j para i = j i i donde m i es un término escalar, positivo y constante. Los modos de vibración también son ortogonales respecto a la matriz de rigidez. La prueba es evidente a partir de la ecuaciones (9.138)-(9.139) y de la ecuación (9.142), lo que conduce a A T i K A j = 0 para i ≠ j A T K A = m ω 2 = k (9.143) j para i = j i i i i siendo k i otro término escalar, positivo o nulo y constante. Independencia lineal de los modos de vibración La propiedad de ortogonalidad recién vista se puede utilizar para probar que los modos de vibración son linealmente independientes. Como es sabido, el conjunto de vectores A 1 , A 2 ,…, A N es linealmente independiente si la relación c 1 A 1 + c 2 A 2 + …+ c N A N = 0 (9.144) se cumple sólo cuando las constantes c 1 ,c 2 ,...,c N son nulas. Premultiplicando la ecuación (9.144) por A T i M resulta c i m i = 0 (9.145) Como m i es distinto de cero, se concluye que (9.146) c i = 0 es decir, los vectores son linealmente independientes. Probando la ortogonalidad de los modos de vibración hemos asumido que los valores propios ω i 2 y ω 2 j eran distintos. En algunos casos particulares pueden aparecer valores propios repetidos. En un problema de valores propios general, los vectores propios asociados con valores propios repetidos pueden ser independientes o no serlo. Supongamos un valor propio ω 2 con multiplicidad s, de manera que ω 2 , ω 2 ,…,ω 2 r r r + 1 r + s −1 son iguales. Si todos los demás vectores propios son independientes entre sí, el rango de la matriz K − ω 2 M es igual a N-s, y se puede demostrar que el sistema de ecuaciones r 30 de mayo de 2014 [UNIDAD #5 SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD] Vibraciones Mecánicas Página 10 (K − ω r 2 M )A r = 0 (9.147) tiene s soluciones no triviales A r , A r +1 ,…, A r + s −1 que son linealmente independientes. En el caso de que el rango de la matriz fuese superior a N-s, esta propiedad no se verificaría. Afortunadamente, se puede demostrar que si las matrices M y K son reales y simétricas, como ocurre en el caso de los sistemas mecánicos, los vectores propios aso- ciados a valores propios repetidos son linealmente independientes. Ejemplo 10.2.3.2-1 Calculemos las frecuencias y modos de vibración del ejemplo 10.1-1 para los valores m 1 = m 2 =1 Kg, c 1 = c 2 = c 3 = 0 y k 1 = k 2 = k 3 =1 N/m. Particularizando, las ecuaciones del movimiento para el caso de las vibraciones libres, resulta: 1 0 x 2 −1 x 0 0 1 1 + −1 2 1 = 0 x 2 x 2 Las frecuencias naturales se calculan de la ecuación característica dada por la ecuación (9.132), que para este caso es 2 −1 2 1 0 2 = 0 4 −1 2 − ω i 0 1 = ω − 4 ω + 3 La solución a esta ecuación bicuadrática es ω 2 = 4 ± 2 = 1 2 3 de manera que ω 1 2 =1 y ω 2 2 = 3 . Para calcular el primer modo de vibración, particularizamos la ecuación (9.133). Para el primer modo, la ecuación se convierte en 2 −1 − 1 1 0 A 1 1 −1 A 1 0 −1 2 0 1 = −1 1 = 0 Dando arbitrariamente a la primera componente de A 1 el valor de 1, resulta 1 A 1 = 1 30 de mayo de 2014 [UNIDAD #5 SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD] Vibraciones Mecánicas Página 11 Análogamente, para el segundo modo podemos escribir 2 −1 − 3 1 0 A 2 −1 −1 A 2 0 −1 2 0 1 = −1 −1 = 0 5.4 Análisis modal; coordenadas normales La solución general de las ecuaciones [M]{q¨} + [K]{q} = {0}, ), debido a la linealidad de las soluciones, se puede expresar como una combinación lineal de las mismas, de la forma Denominando aki a la componente i del vector propio {a k }, la expresión anterior se puede escribir en componentes como: donde se sobreentiende el sumatorio implícito en el índice repetido k. Definamos ahora unos coeficientes (función del tiempo) que denominamos coordenadas normales. En función de ellas queda Esta expresión puede interpretarse como un cambio de coordenadas para obtener u k (t) a partir de las q i (t). La matriz del cambio es la definida por los coeficientes a ki , que son constantes en relación al tiempo, y que como hemos visto son precisamente las componentes de los modos normales de vibración. Las componentes a ki definidos para la expresión constituyen la llamada Matriz Modal, Es inmediato comprobar que ésta está formada por los modos normales como filas, El cambio de coordenadas establecido por está definido por la traspuesta de la matriz modal, [A] T . La expresión de la solución {q} en función de las coordenadas normales {u} es pues: Es decir 30 de mayo de 2014 [UNIDAD #5 SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD] Vibraciones Mecánicas Página 12 Las coordenadas normales así definidas poseen una propiedad notable, ya que en función de ellas las ecuaciones del movimiento quedan desacopladas. Al realizar el cambio a las coordenadas normales, en lugar de un sistema de n ecuaciones simultáneas acopladas, se obtienen n ecuaciones independientes, cada una con una sola variable, que se pueden solucionar unaa una. En efecto, sustituyendo en [M]{q¨} + [K]{q} = {0}, y premultiplicando por la matriz modal [A], Desarrollando en componentes los productos de matrices en esta ecuación, la componente (ij) de [A][M][A] T corresponde a: es decir, se trata del producto interior a través de [M] del modo {ai} (fila i de [A]) y el modo {aj} (columna j de [A] T), que como se vió en son las deltas de Kronecker multiplicadas por las masas modales. Por tanto el resultado es una matriz diagonal: En el caso en que la normalización se haya hecho con masas modales unitarias, esta sería la matriz identidad. Análogamente, el otro producto de matrices, empleando ( ), resulta otra matriz diagonal: Por lo tanto, la ecuación [M]{q¨} + [K]{q} = {0}, queda expresada en coordenadas normales como En componentes, equivale a n ecuaciones desacopladas (independientes) (sin sumatorio sobre el índice repetido k). Ejemplo 1: Sea un péndulo doble, formado por dos masas iguales m unidas por varillas rígidas sin masa de longitud l, la primera de las cuales está articulada en un punto fijo (figura 2). Estudiar las pequeñas oscilaciones alrededor de la posición de equilibrio vertical 30 de mayo de 2014 [UNIDAD #5 SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD] Vibraciones Mecánicas Página 13 calculando las frecuencias propias y modos normales de vibración. Figura 2. Empleando las coordenadas (ϕ1, ϕ2) definidas en la figura 1. La Lagrangiana es: Las ecuaciones de Lagrange del movimiento resultan: Las ecuaciones se linealizan despreciando términos de segundo orden: La expresión matricial de las ecuaciones es: La ecuación característica resulta cuyas soluciones son A partir de éstas podemos calcular el vector propio asociado a cada una, así como la frecuencia propia. El resultado es: 30 de mayo de 2014 [UNIDAD #5 SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD] Vibraciones Mecánicas Página 14 5.5 Vibración libre Una vibración se produce cuando el sistema en cuestión es desplazado desde una posición de equilibrio estable, el sistema tiende a retornar a dicha posición, bajo la acción de fuerzas de restitución elásticas o gravitacionales, moviéndose de un lado a otro hasta alcanzar su posición de equilibrio. El intervalo de tiempo necesario para que el sistema efectúe un ciclo completo de movimiento se llama periodo de vibración, el número de ciclos por unidad de tiempo define la frecuencia y el desplazamiento máximo del sistema desde su posición de equilibrio se denomina amplitud de vibración. Existen dos clases de vibraciones, las libres y las forzadas. Cualquier sistema elástico puede tener una vibración libre a consecuencia de un impulso inicial, donde el movimiento es mantenido únicamente por las fuerzas de restitución inherentes al mismo. El sistema bajo vibración libre vibrará en una o más de sus frecuencias naturales, dependientes de la distribución de su masa y rigidez. Cuando al sistema se le aplica fuerzas perturbadoras externas, el movimiento resultante es una vibración forzada. Cuando la excitación es oscilatoria, ya sea periódica o no, como la de un sismo, el sistema es obligado a vibrar a la frecuencia de excitación, si ésta coincide con una de las frecuencias naturales del sistema se produce resonancia, en este estado tienen lugar oscilaciones peligrosamente grandes; así la falla por resonancia de estructuras como puentes o edificios es una dramática posibilidad que debe tenerse muy en cuenta. Por este motivo el cálculo de las frecuencias naturales de vibración es de gran importancia en el diseño sísmico de estructuras. DEFINICIÓN Una estructura está en vibración libre cuando es perturbada de su posición estática de equilibrio y comienza a vibrar sin la excitación de fuerza externa alguna (p (t) = 0). VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA 30 de mayo de 2014 [UNIDAD #5 SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD] Vibraciones Mecánicas Página 15 Figura 3 Sistema SDF: vibración libre sin amortiguamiento La ecuación que representa el movimiento de un sistema lineal SDF sin amortiguamiento y que no está sometido a la acción de una fuerza externa es: (1) (2) donde w n es la frecuencia natural en vibración libre del sistema y es igual a: (3) El desarrollo de la ecuación diferencial 4.1 se expone en el Apéndice I, y su solución es: (4) Las constantes A y B se hallan a partir de las condiciones iniciales: u (0) y , el desplazamiento y la velocidad iniciales respectivamente. Obteniéndose por lo tanto: (5) Las Figuras 1 (a) y 1 (b) ilustran el movimiento de la masa durante un ciclo de vibración libre del sistema para la ecuación 4.5. A partir de estas figuras se observa que el tiempo requerido de un sistema no amortiguado para completar un ciclo de vibración libre es denominado periodo natural de vibración, T n , y es: 30 de mayo de 2014 [UNIDAD #5 SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD] Vibraciones Mecánicas Página 16 (6) La frecuencia cíclica natural de vibración, f n , es definida como el número de ciclos que se repiten en 1 [s] de tiempo y su valor es: (7) Las propiedades de vibración natural, w n , T n y f n , dependen de la masa y rigidez de la estructura, y el término “natural” es utilizado para enfatizar el hecho de que éstas son propiedades naturales del sistema cuando éste esta en estado de vibración libre. El movimiento representado por la ecuación 5 puede también ser expresado en la forma: (8) Figura 4 Vibración libre, representación vectorial Donde u 0 es la magnitud del desplazamiento máximo y es llamada amplitud de movimiento, la cual esta dada por: (9) 30 de mayo de 2014 [UNIDAD #5 SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD] Vibraciones Mecánicas Página 17 Y el ángulo de fase f esta dado por: (10) En la Figura 4 esta representada vectorialmente la ecuación de movimiento, donde la respuesta esta dada por la parte real o proyección horizontal de los dos vectores de rotación; y el ángulo de fase representa la distancia angular de retraso en la respuesta del término del coseno. VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO La ecuación de movimiento para un sistema lineal amortiguado en vibración libre es: | (11) dividiendo la ecuación 4.11 por la masa se obtiene: (12) donde: (13) (14) El coeficiente de amortiguamiento crítico, c cr , y la razón o relación de amortiguamiento crítico, x, son parámetros que determinan el tipo de movimiento del sistema. Tipos de Movimiento 30 de mayo de 2014 [UNIDAD #5 SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD] Vibraciones Mecánicas Página 18 Figura 5 Vibración libre de un sistema críticamente amortiguado, sobreamortiguado y subamortiguado La Figura 3 ilustra el desarrollo de este punto; ésta es una gráfica del movimiento u (t) debido a un desplazamiento inicial u (0) para tres valores distintos de x : § Si c=c cr ó x=1 El sistema retorna a su posición inicial de equilibrio sin oscilar, por tal razón es llamado sistema críticamente amortiguado o sistema con amortiguamiento crítico. § Si c>c cr ó x>1 El sistema no oscila pero retorna a su posición de equilibrio lentamente, por tal motivo es denominado sistema sobreamortiguado. § Si c<c cr ó x<1 El sistema oscila alrededor de la posición de equilibrio con una amplitud que decrece progresivamente, y es llamado sistema subamortiguado. El coeficiente de amortiguamiento crítico, c cr , llamado así debido a que es un valor pequeño de c que inhibe completamente la oscilación y representa la línea de división entre el movimiento oscilatorio y mono oscilatorio. 30 de mayo de 2014 [UNIDAD #5 SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD] Vibraciones Mecánicas Página 19 Las estructuras civiles (puentes, edificios, embalses, etc.) poseen una relación de amortiguamiento x<1 la cual las cataloga como sistemas subamortiguados, es por esta razón que dichos sistemas se estudian con mayor preferencia. Sistema subamortiguado Para un sistema subamortiguado (x<1) el desarrollo de la ecuación 4.12 se encuentra en el Apéndice I, y su solución es: (15) Donde w D es la frecuencia natural de vibración amortiguada y su valor es: (16) Figura 6 Efecto del amortiguamiento en Vibración libre Nótese que la ecuación 4.15 aplicada a un sistema no amortiguado (x=0) se reduce a la ecuación 4.5. La Figura 4.4 ilustra una comparación entre un sistema subamortiguado y uno sin amortiguamiento; se observa que la amplitud del sistema no amortiguado es la misma en todos los ciclos de vibración, en cambio para el sistema amortiguado la amplitud decrece y lo hace en forma exponencial. El valor del periodo natural de vibración amortiguado es: 30 de mayo de 2014 [UNIDAD #5 SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD] Vibraciones Mecánicas Página 20 (17) y está relacionado con el periodo natural sin amortiguamiento de la siguiente forma: (18) La relación entre dos desplazamientos pico en un intervalo de tiempo T D es constante, y el decremento logarítmico está definido como el logaritmo natural de esta cantidad y está dado por: (19) y la relación entre dos desplazamientos cuales quiera es: (20) 5.6 Vibraciones forzadas y absorción de vibraciones Una vibración forzada ocurre con la aplicación de fuerzas externas al sistema, que le imponen una respuesta. Las vibraciones forzadas pueden ser periódicas o no. El movimiento periódico se repite a si mismo en todas sus características después de un determinado intervalo de tiempo, denominado período. El período es entonces el intervalo mínimo de tiempo para el cual la vibración se repite a si misma. En los movimientos aperiódicos no existen esos intervalos regulares. Si la excitación que actúa sobre el sistema es periódica y continua, la oscilación es un estado estacionario, en el que el desplazamiento, la velocidad y la aceleración vibratorias del sistema son cantidades periódicas continuas. Tanto las vibraciones libres como las forzadas pueden ser amortiguadas, que es el término usado para indicar que se produce una disipación de energía en el medio. La vibración forzada amortiguada es un movimiento forzado exteriormente en tanto que se disipa su energía. Cuando parte del movimiento desaparece después de un período de tiempo, se conoce a esa parte como transitoria. La parte que permanece después que ha desaparecido la transitoria, se llama vibración de estado estacionario. VIBRACION AMORTIGUADA FORZADA 30 de mayo de 2014 [UNIDAD #5 SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD] Vibraciones Mecánicas Página 21 Consideremos el movimiento en la dirección del eje x de un sistema masa-resorte, en un medio de constante de amortiguamiento c y sometido a la acción de una fuerza externa armónicamente variable, F (t) = F 0 sen ω t, como podría ser la causada por fuerzas en rotación que no están equilibradas. F 0 es la amplitud de fuerza (valor máximo de la fuerza externa) y ω es el valor de la frecuencia angular con la que varía en el tiempo esta fuerza, en radianes/s. Por la segunda Ley de Newton, entonces: ma + cv + kx = F 0 sen ω t Donde ma es la fuerza de inercia, cv la fuerza amortiguadora, kx la fuerza elástica del resorte y F 0 sen ω t la fuerza externa. Matemáticamente, la solución de la ecuación se compone de la suma de una solución de estado transitorio y de otra de estado estacionario. La solución transitoria corresponde a la solución de la ecuación de la vibración libre amortiguada, es decir, es un movimiento vibratorio de amplitud decreciente en el tiempo, ejecutado a la frecuencia angular natural del sistema masa-resorte, ωn, que se amortigua rápidamente en el tiempo. En general, el transitorio acompaña a cualquier cambio en la cantidad o la forma de la energía almacenada en un sistema vibratorio. En muchos casos se puede ignorar la vibración transitoria, considerando solamente la vibración de estado estacionario. Pero, no siempre son posibles grandes márgenes de seguridad que permitan dejar de lado la consideración de las condiciones transitorias. La solución de estado estacionario es un movimiento a la frecuencia forzada ω. Como la solución general de la ecuación [3] consiste en la superposición de la vibración libre amortiguada con la vibración forzada, después de un corto tiempo, la vibración libre amortiguada desaparece y sólo persiste la vibración forzada, como se observa en la Figura 30 de mayo de 2014 [UNIDAD #5 SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD] Vibraciones Mecánicas Página 22 Figura 7. Vibración libre amortiguada (gráfico superior), Vibración forzada sin amortiguamiento (gráfico central) y superposición de ambas en el movimiento forzado total, que constituye una vibración forzada amortiguada. 1 Resonancia Mecánica Nos interesa el caso para el cual ω (la frecuencia con la que varía la fuerza externa) y ωn (frecuencia natural del sistema masa-resorte) coinciden, denominado resonancia. En resonancia entonces, ω = ωn y la fuerza puede siempre "empujar" a la masa en la dirección en la que se mueve y la amplitud puede aumentar indefinidamente. Como un péndulo al que empujamos un poco en la dirección del movimiento cada vez que oscila. En resonancia, cualquier cambio, por pequeño que sea, en la frecuencia de la excitación produce una disminución de la respuesta del sistema. La importancia de la resonancia radica en que una fuerza relativamente pequeña puede producir amplitudes muy grandes, que podrían llevar, incluso, a la destrucción del sistema. 30 de mayo de 2014 [UNIDAD #5 SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD] Vibraciones Mecánicas Página 23 Figura 8. Amplitudes de la Vibración Forzada en función del amortiguamiento. La condición de resonancia mecánica constituye claramente algo que debe evitarse si se desea prolongar la duración del sistema y lograr que éste opere silenciosamente. En resonancia, la amplitud del movimiento llega a ser muy grande y el sistema literalmente se destroza. Aunque, por supuesto, existen condiciones en que se busca la resonancia, como ser el caso de los agitadores mecánicos de uso industrial. Para frecuencias ω bajas, cuando ω<< ωn, la amplitud del movimiento es la deformación que tendría el sistema masa-resorte si la fuerza aplicada fuera estática, por lo que a veces se denomina "deformación o deflexión estática", xstat = Fo/k. Para frecuencias ω altas el movimiento será pequeño, dismuyendo más y más a medida que aumenta la frecuencia con la que varía la fuerza. En la Figura 5 se han representado las amplitudes de la vibración forzada para distintos grados de amortiguamiento. En ordenadas se representa la relación de amplitudes, cociente entre la amplitud de desplazamiento del sistema y la deflexión estática, xo/xstat, y en el eje de abscisas, la relación de frecuencias ω/ωn. La figura contiene una familia de curvas, una para cada valor de la relación de amortiguamiento, c/cc, siendo todas estas 30 de mayo de 2014 [UNIDAD #5 SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD] Vibraciones Mecánicas Página 24 relaciones cantidades adimensionales. Todas las curvas están por debajo de la que corresponde al amortiguamiento cero, mostrando que la amplitud de la vibración forzada disminuye al aumentar el amortiguamiento. Debe observarse que el máximo de las distintas curvas no ocurre para ω/ωn = 1 sino a una frecuencia algo menor. En este caso de vibraciones amortiguadas forzadas, deben distinguirse tres frecuencias diferentes, que para amortiguamiento c=0 coinciden y que difieren muy poco una de otra para amortiguamientos pequeños.