Unidad 5 Sistemas de Varios Grados de Libertad

Unidad 5 Sistemas de varios grados de libertad5.1 Vibración de modo normal para sistemas de dos grados de libertad Se dice que un sistema tiene dos grados de libertad cuando se requieren dos coordenadas para describir su movimiento. Tal sistema ofrece una introducción simple al estudio del comportamiento de sistemas con varios grados de libertad. Un sistema con dos grados de libertad tendrá dos frecuencias naturales. Cuando la vibración tiene lugar a una de estas frecuencias naturales, existe una relación definida entre las amplitudes de las dos coordenadas y, la configuración correspondiente es un modo normal. Los dos grados de libertad entonces tendrán dos modos normales de vibración, correspondientes a las dos frecuencias naturales. La vibración libre iniciada bajo cualquier condición será en general la superposición de los dos modos normales de vibración. Sin embargo, la vibración armónica forzada ocurrirá a la frecuencia de excitación y la amplitud de las dos coordenadas tendera a un máximo, a las dos frecuencias naturales. Consideremos el sistema no amortiguado de la figura. Usando coordenadas X1 y X2 medidas desde una referencia inercial, las ecuaciones diferenciales de movimiento para el sistema son: m ´x 1=−k ( x 1−x 2 )−k x 1 2 m ´x 2=k ( x 1−x 2 )−kx 2 Definimos ahora un modo normal de oscilación como uno en el cual cada masa experimenta un movimiento armónico de la misma frecuencia, pasando simultáneamente por la posición de equilibrio. Para tal movimiento podemos escribir: 6339745962 mk λ2= ( 32 + 12 √3) mk =2. Para ω 12=0.366 k m Si sustituimos estas frecuencias naturales en las ecuaciones diferenciales nos permite hallar la razón de las amplitudes.634 k m ω2 =√ λ2= 2.6339 k/m obtenemos: . el determinante de arriba conduce a la ecuación característica: k 3 k 2 λ+ =0 m 2 m ( ) ( ) λ2− 3 Las raíces de esta ecuación son: λ1= ( 32 − 12 √3) mk =0.iωt x 1=A 1 e iωt x 2=A 2 e Sustituyendo en las ecuaciones diferenciales tenemos: ( 2 k−ω2 m) A1 −k A 2=0 −k A 1+ ( 2 k−2 ω2 m ) A 2=0 Que se satisfacen para cualquier A1 y A2 si el determinante es cero | ( 2 k −ω2 m ) −k | −k =0 ( 2 k −2 ω2 m) Haciendo ω2=λ.366025404 mk Y las frecuencias naturales del sistema son: √ √ ω1 =√ λ1= 0. Podemos representar los dos modos normales gráficamente como en la figura.36602 k/m obtenemos: A1 A2 (2) ( ) = k 1 = =−2.7320508076 2 2 k −ω1 m 2−0. en el segundo modo normal las masas se mueven en oposición o fuera de fase. Determine las vibraciones en modo normal. Ejemplo En la figura los dos péndulos están acoplados por medio de un resorte débil k.6339 Que es la razón de amplitudes o la forma modal correspondiente al primer modo normal. Analógicamente usando ω22=2.A1 A2 (1) ( ) = k 1 = =0. En el primer modo normal las dos masas se mueven en fase.732050808 2 2 k −ω2 m 2−2. .366 Para la forma modal correspondiente al segundo modo normal. no esforzado cuando los péndulos están en posición vertical. con un nodo en su punto medio. .0 Así.Suponiendo que los desplazamientos angulares contrarreloj son positivos y. En el segundo modo los dos péndulos se mueven en oposición y el resorte de acoplamiento esta activamente involucrado. la frecuencia natural es más alta. los dos péndulos se mueven en fase y el resorte permanece no esforzado. tomando momentos con respecto a los puntos de suspensión. en el primer modo. obtenemos las siguientes ecuaciones de movimiento para oscilaciones pequeñas: ml 2 θ´ 1=−mgl θ1−ka2 ( θ1−θ2 ) ml2 θ´ 2=−mgl θ 2+ ka2 ( θ1−θ2 ) Estudiando soluciones de modo normal de la forma: θ1= A 1 cos ωt θ2= A 2 cos ωt Se encuentra que las frecuencias naturales y las formas modales son: ω1 = A1 A2 √ √ g g k a2 ω2= +2 l l m l2 (1) ( ) =1. Por consiguiente.0 A1 A2 (2) ( ) =−1.