4. EJES.Una flecha es un elemento rotatorio, por lo general de sección transversal circular, que se emplea para transmitir potencia o movimiento. Ella constituye el eje de rotación u oscilación de elementos como engranes, poleas, volantes de inercia, manivelas, catarinas y miembros similares y, además, controla la geometría de su movimiento. Un eje es un elemento no giratorio que no transmite par de torsión que se utiliza para soportar ruedas rotatorias, poleas y elementos parecidos. Un eje no giratorio puede diseñarse con facilidad y analizarse como una viga estática, pero no justifica la atención especial que se le da en este capítulo a los ejes giratorios que están sometidos a carga por fatiga. 4.1. ANÁLISIS POR RESISTENCIA. Un eje de transmisión es un elemento de sección circular cuya función es la de transmitir movimiento y potencia. La transmisión del movimiento se realiza a través de otros elementos tales como engranes, poleas, cadenas, etc. Diseñar un eje consiste básicamente en la determinación del diámetro correcto del eje para asegurar una rigidez y una resistencia satisfactorias, cuando el eje transmite potencia bajo diferentes condiciones de carga. El diseño de un eje debe estudiarse a partir de los siguientes puntos de vista: 1.- Análisis por resistencia. · Bajo cargas estáticas. · Bajo cargas dinámicas. 2.- Análisis por rigidez. · Cálculo de deformaciones. · Velocidades críticas. 4.1.1. BAJO CARGAS ESTÁTICAS. En un eje redondo macizo de diámetro d, que se somete a cargas de flexión, axiales y de torsión se desarrollan los siguientes esfuerzos: 32 M 4 F + π d3 π d2 a) (esfuerzo por flexión y carga axial). σ x= b) (esfuerzo por torsión). τ xy = 16 T π d3 2) y (3.Para ejes huecos: σ x= c) 4F π (d −d ) π (d 2o−di2) τ xy = d) 32 M d o 4 o 4 i + 16 T d o π (d 4o −d 4i ) Los esfuerzos principales no nulos son: σ σ 1.4) (4.2 = x ± 2 √( σx 2 2 + τ xy 2 ) (4.3) se tiene: τ máx = σ'= 2 ( 8 M + Fd )2 + ( 8 T )2 3 √ πd 4 ( 8 M + Fd )2+ 48 T 2 3√ πd (4.6) .3) Sustituyendo las ecuaciones (a) y (b) en (3. τ entonces el valor admisible de máx es: τ máx = Sy 2 ns (4.5) Si el análisis o diseño ha de ser con base a la teoría del esfuerzo cortante máximo.2) El esfuerzo de Von Mises (energía de distorsión máxima) es: ' 2 2 1/ 2 2 2 1 /2 σ =(σ 1 −σ 1 σ 2 +σ 2 ) =(σ x +3 τ xy ) (4.1) El esfuerzo cortante máximo es: τ máx = σ 1−σ 2 = 2 √( σx 2 2 + τ xy 2 ) (4. 4) y (4.12) .5) se transforman en: τ máx = σ'= 16 √ M 2 +T 2 3 πd (4. entonces: [ 16 n s 1/ 2 ( 4 M 2+3 T 2 ) d= π Sy 1/ 3 ] (4.9) 3 Si utilizamos el esfuerzo cortante admisible a partir de la ecuación (4. Con F = 0 las ecuaciones (4.10) entonces: 1 /2 1 32 = 3 ( M 2 +T 2 ) ns π d S y (4.8) 16 π d √ 4 M 2 +3 T 2 (4.7) En la mayoría de los casos la componente axial F es nula.8) tenemos que: [ 32 ns 1 /2 ( M 2+T 2 ) d= π Sy Si se conoce d 1/ 3 ] (4.Donde: S y =resistencia a la fluenciadel material n s=factor de seguridad Con base a la teoría de la energía de distorsión se tiene que: σ '= Sy ns (4.11) Si utilizamos la teoría de la energía de distorsión máxima. o es tan pequeña que su efecto puede despreciarse. actuarán esfuerzos por flexión completamente invertida debido a la rotación del árbol.14) Relación de Goodman modificada para la fatiga y la energía de distorsión para el esfuerzo. [ √( 32 ns d= π 1/ 3 ) ( )] Kf Ma 2 3 T m + Se 4 Sy 2 (4. (Norma ANSI B106.13) 4.16) .1M-1985).2.1. BAJO CARGAS DINÁMICAS.15) En donde S e =K a K b K c K d K e S 'e Donde: S e =límite de resistencia ala fatiga corregido para todoslos efectos . [ ( 32 ns K f M a √ 3 T m d= + π Se 2 Su 1/ 3 )] (4.Si se conoce d entonces 1/ 2 1 16 = 3 ( 4 M 2+ 3T 2 ) ns π d S y (4. excepto concentración de esfuerzos (4. pero el esfuerzo torsional permanecerá estable. Por lo tanto se tiene que: a) (amplitud del esfuerzo atenuante) b) (esfuerzo de punto medio o estable) σ xa= 32 M a π d3 τ xym = 16 T m πd 3 De acuerdo con lo anterior se han desarrollado una serie de teorías para el diseño por fatiga. En cualquier eje rotatorio cargado por momentos estacionarios de flexión y torsión. siendo las más populares: Relación elíptica ASME para la fatiga y la energía de distorsión para el esfuerzo. T m=Valor promediodel momento torsional . • Desviación es la diferencia algebraica entre un tamaño y el tamaño básico correspondiente. En Estados Unidos existen dos normas de límites y ajustes: una se basa en unidades del sistema inglés y la otra en unidades del sistema métrico. . La versión métrica es la más reciente de las dos y está bien organizada. Las normas difieren en nomenclatura.2 RESTRICCIONES GEOMÉTRICAS. No serviría de nada estudiar por separado cada uno de los sistemas. • Desviación superior es la diferencia algebraica entre el límite máximo y el tamaño básico correspondiente. Al utilizar la norma. las minúsculas se usan para el eje. Se ha acumulado una experiencia suficiente con situaciones comúnmente recurrentes para hacer normas útiles. pero se incluye un conjunto de conversiones al sistema inglés para permitir que se utilice el mismo sistema con cualquier tipo de unidades.S ' e =Límite de resistencia a la fatiga de la muestra de viga rotatoria . las letras mayúsculas siempre se refieren al agujero. 4. definiciones y organización. El diseñador tiene libertad para adoptar cualquier configuración geométrica de ajuste para ejes y agujeros que garantice la función propuesta. S y =Resistencia de fluenciadel material S u=Resistencia últimadel material M a=Momento flector atenuante . por lo que aquí sólo se presenta esta versión. Las definiciones que se dan en la figura 7-20 se explican de la manera siguiente: • Tamaño básico es el tamaño al cual se asignan límites o desviaciones y es el mismo para ambos elementos del ajuste. • Desviación fundamental es la desviación superior o inferior.• Desviación inferior es la diferencia algebraica entre el límite mínimo y el tamaño básico correspondiente. Aquí no se incluye al sistema de eje base. • Árbol base representa un sistema de ajustes correspondiente a un tamaño de eje básico. llamados números IT. La desviación fundamental es H. • Tolerancia es la diferencia entre los límites de tamaño máximo y mínimo de una parte. Las zonas de tolerancia se especifican en números de grado de tolerancia internacional. y varían de IT 0 a IT16. La desviación fundamental es h. • Agujero base representa un sistema de ajustes correspondientes a un tamaño de agujero básico. pero para los ajustes preferentes sólo se necesitan los grados IT6 a IT11. En la norma se emplean letras de posición de tolerancia. La magnitud de la zona de tolerancia es la variación de tamaño de la parte y es igual para las dimensiones internas y externas. en función de cuál se aproxime más al tamaño básico. Los números de grado menores especifican una zona de tolerancia menor. • Grado de tolerancia internacional es el conjunto de números IT (siglas en inglés de la tolerancia internacional) que designan grupos de tolerancia tales que las tolerancias de un número IT en particular tengan el mismo nivel relativo de exactitud. pero varíen según el tamaño básico. donde las letras mayúsculas representan dimensiones internas (agujeros) y las minúsculas denotan . En las tablas de la A-11 a la A-13 se presentan los ajustes para tamaños básicos de hasta 16 pulg o 400 mm. Los lados de un elemento sobre la superficie cilíndrica de radio r1 no cambian de longitud. 1 .dimensiones externas (ejes). pero los ángulos en las esquinas cambian un ángulo γ respecto a sus valores originales de 90º. La única deformación en la barra es la rotación de las secciones transversales entre sí. 4. γ =τ /G . Como se muestra en la figura 7-20. La figura muestra un eje circular de sección transversal uniforme cargado en sus extremos por los pares de torsión T que lo tuercen alrededor de su eje longitudinal. la sección transversal del fondo ha girado un ángulo φ con respecto a la de la parte superior. donde G es e modulo de elasticidad en cortante.1. Como se muestra en la figura 3.1. permanecen planas y perpendiculares después de las cargas T han sido aplicadas. la desviación fundamental localiza la zona de tolerancia con relación al tamaño básico. La sustitución de la ley de Hooke. da. El elemento está sometido así a un cortante puro. Puede demostrarse experimentalmente que las secciones transversales perpendiculares al eje antes de la aplicación de la carga. El diámetro de la barra no cambia y las líneas radiales permanecen rectas y radiales después de la torcedura. Según r φ=lγ se aprecia en la figura 3.3 EJES HUECOS. τ= φG r 1 l (1) . de la ecuación (b) τ= Tr 16 T = J π d3 La similitud de la ecuación (2) con la ecuación para el esfuerzo de flexión. Si la porción de la barra arriba del elemento del esfuerzo cortante τ dA en la figura 3-1 se retira. σ =Mc/I .G y l son importantes en la figura 3. r τ 2 τ τ r 1 dA= ∫ r 21 dA=¿ J r1 r1 0 r1 r T =∫ ¿ 0 En la última forma de la ecuación (b).Como φ. Por la ecuación (1). J= π d 4 π r2 = 32 2 . El valor máximo del esfuerzo cortante se presenta en la superficie externa. Por tanto. el símbolo J . La razón J /r se llama módulo de sección del eje. llamado momento polar de r inercia. debe ser patente. el par τ . el valor del esfuerzo cortante varía directamente con el radio r1 . Por consiguiente. la es una constante y puede retirarse de la integral. Así. Para una sección transversal circular sólida. r T =∫ τ r 1 dA 0 El lado derecho se multiplica y después se divide entre razón τ /r 1 r1 . al sumarlo o integrarlo sobre toda la sección transversal. será igual al par de torsión aplicado T.1. ha sido sustituido por la integral ∫ r 21 dA 0 . donde r 1=r . Para determinar la deflexión de un eje en cualquier punto. podemos utilizar los siguientes criterios: a).Método de la doble integración. Para un eje hueco con diámetro exterior y diametro interior di . para deformación axial. b). se basa principalmente en determinar la ecuación de la curva elástica. J= π 4 4 π 4 4 ( d −d )= ( r −r ) 32 0 i 2 0 i La eliminación de φ= τ entre las ecuaciones (b) y (1) da Tl JG Esta ecuación puede memorizarse fácilmente cuando se advierte su parecido con la ecuación (4). para un eje hueco. Por consiguiente. El “método de la doble integración” recomendado para ejes de sección uniforme. EI y ' ' =M ( x ) (1) . Recuerde que 1º es igual a o bien 1 rad= 57. φ El ángulo π /180rad debe expresarse en radianes.Debe notarse que el valor de J para un círculo es dos veces mayor que el d0 correspondiente valor de I.4 ANÁLISIS POR RIGIDEZ. a partir de la ecuación de momentos.. El problema de la deflexión en un eje es de suma importancia cuando este efecto es una limitante en el diseño del mismo. del capítulo 1.Método del área de momentos.296º. δ=Pl / AE .. el valor neto del momento polar de inercia es igual al valor de J para el círculo exterior menos la J del círculo interior. 4. se obtiene una ecuación de la forma y= 1 F (x) EI (2) A partir de la ecuación (2). (Ver figura 4. Cuando un eje gira. está fundamentado en dos teoremas básicos: El primer teorema dice: El ángulo de las tangentes A y B es igual al área del diagrama de momentos flectores entre esos dos puntos divididos por el producto EI. se obtienen las deflexiones en los puntos deseados. El “método del área de momentos” recomendado para ejes de sección variable.1). B 1 θ= ∫ Mdx EI A (3) El segundo teorema dice: La distancia vertical entre el punto B de la elástica y la tangente trazada a la curva por A es igual al momento respecto a la vertical por B del área del diagrama de momentos flectores entre A y B divididas por EI. Sin embargo.1).Resolviendo la ecuación (1) y aplicando las condiciones iniciales.5 VELOCIDAD CRÍTICA. B ∆= 1 ∫ Mxdx EI A (4) 4. no se ocasiona ningún daño. (Ver figura 4. otro . la excentricidad ocasiona una deflexión debida a la fuerza centrífuga que se resiste por la rigidez a flexión del eje EI. Siempre y cuando las deflexiones sean pequeñas. para una viga simplemente apoyada con una sola carga unitaria.problema potencial se llama velocidades críticas: a ciertas velocidades el eje es inestable. tiene una velocidad crítica. aunque la forma de la deflexión dinámica se desconoce. Para tres cargas los coeficientes de influencia se presentarían como: . De igual forma. Por fortuna. debido a su propia masa. debida a una carga unitaria en la ubicación j del eje. y las deflexiones se incrementan sin un límite superior. ( ) √ ( ) √ gEI Aγ π l ω1 = 2 EI π = m l 2 Donde m es la masa por unidad de longitud. que son las deflexiones transversales en la ubicación i de un eje. como la que se muestra en la figura 7-13. La estimación de estas velocidades críticas (y sus armónicas) es una tarea del diseñador. el ensamble de elementos a un eje tiene una velocidad crítica que es mucho menor que la velocidad crítica intrínseca del eje. Esa curva cumple con la condición de frontera de la ecuación diferencial (momento y deflexión cero en ambos cojinetes) y la energía del eje no es en particular sensible a la anatomía de la curva de deflexión. se utilizan coeficientes de influencia. De la tabla A-9-6 se obtiene. se adopta un punto de vista útil. El eje. el método de Rayleigh para masas concentradas establece: ω1 = √ Donde g ∑ ωi y i ∑ ωi y 2i ωi es el peso de la i-ésima ubicación y yi es la deflexión en la ubicación del i-ésimo cuerpo. mediante una curva de deflexión estática se obtiene una estimación excelente de la velocidad crítica. A el área de la sección transversal y γ el peso específico. Para contrarrestar la complejidad mayor del detalle. En el caso de un ensamble de elementos. Puesto que el eje es un cuerpo elástico. se pueden determinar y1 .El teorema de reciprocidad de Maxwell establece que hay una simetría respecto de δ 11 . escrito con las fuerzas de inercia. de la forma δ ij=δ ji . para lo cual se emplea la ecuación (7-23) de la manera siguiente: y 1=F 1 δ 11 + F 2 δ 12+ F 3 δ 13 y 2=F 1 δ 21+ F 2 δ 22+ F3 δ 23 y 3=F 1 δ 31 + F 2 δ 32+ F3 δ 33 Las fuerzas Fi pueden surgir del peso sujeto ωi o de las fuerzas centrífugas mi ω 2 yi . se representa como 2 2 2 y 1=m1 ω y 1 δ 11 +m2 ω y 2 δ12 +m3 ω y3 δ 13 y 2=m1 ω2 y1 δ 21+m2 ω2 y 2 δ 22+ m3 ω2 y 3 δ 23 y 3=m1 ω2 y 1 δ 31+m 2 ω2 y 2 δ 32+ m3 ω2 y 3 δ 33 . Esta relación reduce el trabajo de encontrar los coeficientes de influencia. δ 22 y δ 33 la diagonal principal compuesta por . y2 y y3 las deflexiones . El conjunto de ecuaciones (7-25). A partir de los coeficientes de influencia anteriores. 6 MATERIALES PARA EJES. la rigidez no puede controlarse mediante decisiones sobre el material. Por esa razón. Si se desprecia el término o los términos de modo superior. Para la carga de la estación 1. representada por el módulo de elasticidad. Como en la ecuación anterior no aparecen cargas. . colocada en el centro del claro y denotada con el subíndice c.Que pueden reescribirse como 2 ω m1 δ 11−1 /¿ y 1 + ( m 2 δ 12 ) y 2+ ¿ ( m3 δ 13) y 3 =0 ¿ ω2 m2 δ 22−1/ ¿ y 2+ ( m3 δ 23 ) y 3 =0 ( m1 δ 21) y 1 +¿ ω2 m3 δ 33−1/¿ y 3=0 ( m1 δ 31 ) y 1 + ( m2 δ 32 ) y 2+ ¿ Esta idea puede ampliarse a un eje con n cuerpos: n 1 1 ≐∑ 2 2 ω1 1=1 ωii Esta expresión se llama ecuación de Dunkerley. La resistencia necesaria para soportar esfuerzos de carga afecta la elección de los materiales y sus tratamientos. Muchos ejes están hechos de acero de bajo carbono. La deflexión no se ve afectada por la resistencia sino por la rigidez. la estimación de la primera velocidad crítica es menor de lo que en realidad sucede. entonces la velocidad crítica de una serie de cargas se podría determinar sumando las cargas equivalentes. se deduce que si cada carga se pudiera colocar en una ubicación convenientemente transformada en una carga equivalente. todas colocadas en una sola ubicación conveniente. que es esencialmente constante en todos los aceros. la carga equivalente se determina mediante: 2 ω11 = g g = ω1 δ11 ω 1 c δ cc 4. sino sólo por decisiones geométricas. Si la concentricidad es importante. los esfuerzos residuales pueden tender a causar alabeo. Se puede especificar el hierro fundido si la cantidad de producción es alta. tratamiento térmico. las aleaciones de acero típicas para tratamiento térmico incluyen ANSI 1340-50. En el caso de ejes grandes que requieren la remoción de mucho material. Cuando se debe seleccionar el material. luego maquinar para el terminado y llegar a las dimensiones finales. Una buena práctica consiste en iniciar con un acero de bajo o medio carbono de bajo costo. como lo son los aceros ANSI 1020-1050. El acero laminado en caliente debe maquinarse por completo. Por lo general. 4140. como primer paso en los cálculos del diseño. Las propiedades del eje dependen localmente de su historia: trabajo en frío. 3140-50. el acero estirado en frío se usa para diámetros menores de 3 pulgadas.La alta producción puede permitir un método de conformado conservador de volumen (formado en caliente o en frío. 4820 y 8620. Para pequeñas producciones. y después sólo a cierto nivel antes de que los efectos adversos en el límite de resistencia a la fatiga y la sensibilidad a la muesca comience a contrarrestar los beneficios de una resistencia mayor.acero estirado en frío o acero laminado en caliente. agitación y régimen de templado. incluyendo el medio de temple. después tratar térmicamente para remover los esfuerzos residuales e incrementar la resistencia. Cuando están garantizadas. el torneado es el proceso de formado más común. Por lo general. entonces debe probarse un material con mayor resistencia. El diámetro nominal de la barra puede dejarse sin maquinar en áreas que no requieren el ajuste de los componentes. A menudo no está garantizado el incremento significativo de la resistencia proveniente del tratamiento térmico ni el contenido de alta aleación. Un punto de vista económico puede requerir la eliminación de una cantidad mínima de material. El costo del material y su procesamiento debe ponderarse en relación con la necesidad de contar con diámetros de eje más pequeños. La falla por fatiga se reduce moderadamente mediante el incremento de la resistencia. los ejes no requieren endurecimiento superficial a menos que sirvan como un recubrimiento real en una superficie de contacto. laminado de los rasgos del filete. lo que permite que los tamaños del eje se reduzcan hasta que el exceso de deflexión adquiera importancia. 4340. 5140 y 8650. y los engranes deberán fundirse de manera integral con el eje. la cantidad que se producirá es un factor sobresaliente. puede ser necesario maquinar las rugosidades. 4340. Si las consideraciones de resistencia resultan dominar sobre las de deflexión. . formado en frío. fundición) y un mínimo de material en el eje puede convertirse en una meta de diseño. Las elecciones típicas para el material para el endurecimiento superficial incluyen los grados de carburización ANSI 1020. El acero inoxidable puede resultar apropiado para algunos entornos. Un ejemplo típico se muestra en la figura 3-16(a). La . Es costumbre suponer que toda la carga de apoyo actúa en el centro del cojinete. la fuerza sobre el pistón puede determinarse. como se muestra en la figura 316(c). Dibujando un triangulo de fuerzas puede determinarse la fuerza en la biela. Con el diámetro interior del cilindro y la presión de aire. y las fuerzas y momentos de cada porción puede determinarse de manera usual. usando las fuerzas en la biela y en la banda y con las reacciones de apoyo determinadas por estática. debe determinarse la carga en cada una de las diversas partes de éste. esta fuerza se divide en las componentes tangencial y normal al plano de la manivela. La manivela puede ahora cortarse. 4.8 CIGÜEÑALES. Suponga que se conocen las dimensiones de la máquina y que se desea encontrar los esfuerzos en el brazo CD del cigüeñal. Para determinar los esfuerzos en un cigüeñal.7 FLECHAS FLEXIBLES. Como se muestra en la figura 3-16(b). que ilustra una compresora de aire impulsada por banda y de un solo cilindro. Esta fuerza también actúa sobre el pasador A. El diagrama de cuerpo libre para la manivela debe ahora dibujarse como se muestra en la figura 3-16(d). Las fuerzas en los lados tensos y flojos de la banda se determinan ahora a partir del par y la suma se divide en componentes en las direcciones coordenadas. 4. .figura 3-16(e) muestra el brazo después de cortado en el punto medio entre C y D con varias fuerzas y momentos que actúan sobre la superficie cortada.