Trabajo colaborativo física – Fase I.1. Un galón de pintura (volumen 3.78 × 10−3 m3) cubre un área de 22.4 m2. ¿Cuál es el grosor de la pintura fresca sobre la pared, en mm? Se sabe que V =bhl A=bh Por ende V = Al Se despeja l= l V A Se reemplazan valores l= 3.78 x 10−3 m3 2 22.4 m l= 3.78 x 10−3 m 22.4 l=0.00016875 m ( 10001 mmm ) l=0,16875 mm La pintura tiene un grosor de 0.16875 mm. 2. Las coordenadas polares de un punto son r = 4.20 m y θ = 210°. ¿Cuáles son las coordenadas cartesianas de este punto? Para x x=r cos θ Se reemplazan los valores x=( 4.20 ) cos ( 210 ) x=( 4.20 ) (−2√ 3 ) x=−3.63 Para y y=r sen θ Se reemplazan los valores y=( 4.20 ) sen ( 210 ) y=( 4.20 ) ( −12 ) y=−2.10 Para el caso planteado, las coordenadas cartesianas son (−3.63,−2.10 ) 3. Un avión vuela desde el campo base al lago A, a 280 km de distancia en la dirección 20.0° al noreste. Después de soltar suministros vuela al lago B, que está a 190 km a 30.0° al noroeste del lago A. Determine gráficamente la distancia y dirección desde el lago B al campo base. Gráficamente, se determina que el lago B está a una distancia de 214.73km con una dirección de 62.67° del campo base. 4. Dos autos están en los extremos de una autopista rectilínea de 5.00 × 103 m de longitud. Sean A y B los puntos extremos. Dos autos (que llamaremos los autos A y B) parten simultáneamente de los puntos A y B para recorrer la autopista, con rapideces v A =18.0 m/s y v B=15.0 m/s . Usando un sistema de coordenadas (eje X) con origen en el punto A y sentido positivo en la dirección ⃗ AB (a) Construya gráficas cuantitativas (escalas marcadas numéricamente) de las funciones de posición x A (t) y xB ( t ) (tomar � = 0 como el instante en que parten los autos). (b) Determine analíticamente el instante y la coordenada X del punto de encuentro. ¿Concuerdan los resultados con las gráficas de posición? Sabiendo que v⃗ = dx dt Se hallan las dos funciones de posición integrando la velocidad con respecto al tiempo x=∫ v⃗ dt Para el auto A x A=∫ v A dt x A=∫ 18 dt x A=18 t +C Sabiendo que cuando t = 0, xA = 0 0=18 ( 0 )+ C C=0 Por ende, para el auto A, la ecuación de posición es x A=18 t Se despeja el tiempo para que t= xA sea la variable independiente xA 18 Para el auto B, el sentido hace que vB sea negativa x B=∫ v B dt x B=∫ −15 dt x B=−∫ 15 dt x B=−15 t+ C Sabiendo que cuando t = 0, x B=5000 5000=−15 ( 0 ) +C C=5000 Por ende, para el auto B, la ecuación de posición es x B=−15 t+ 5000 Se despeja el tiempo para que t= xB sea la variable independiente 5000−x B 15 Ambas son funciones lineales. Para graficar, se necesitan dos puntos de cada función. Se tienen la siguiente tabla para x A ( m) 0 t ( s) Para 0 5000 277.77 xB xB ( m ) 0 500 0 xA t ( s) 333.33 0 Se grafica usando el programa Geogebra, donde el eje de las ordenadas (x) representa la posición, y el eje de las abscisas (y) representa el tiempo. La línea roja representa el movimiento que realiza el auto A, y la línea verde representa el movimiento que realiza el auto B. Ahora, hallamos el instante del punto de encuentro analíticamente igualando las dos posiciones x A=x B 18 t=−15 t+ 5000 18 t+15 t=5000 33 t=5000 t= 5000 33 t=151.51 s Se reemplaza el tiempo hallado en cualquiera de las dos fórmulas para hallar la coordenada X. En este caso, se reemplaza en xA ( ms ) ( 151.51 s ) x A= 18 x A=2727.27 m Comparando los datos obtenidos analíticamente con el punto E de la gráfica, se puede decir que concuerdan. 5. Una persona camina, primero con rapidez constante de 1.50 m/s a lo largo de una línea recta desde el punto A al punto B, y luego de regreso a lo largo de la línea de B a A con una rapidez constante de 1.20 m/s. (a) ¿Cuál es su velocidad promedio durante todo el viaje? (b) ¿Cuál es su rapidez promedio durante todo el viaje? La velocidad promedio es definida como v prom = En este caso, Δ x=0 Δx Δt porque la persona termina su trayectoria en el mismo lugar en el que la empezó, por lo tanto v prom = 0 m Δt s v prom =0 m s En el caso de la rapidez promedio, se define como rapidez prom = x total x AB + x BA = t t AB +t BA Como este caso es un movimiento rectilíneo uniforme, la distancia recorrida es definida como x=vt Tenemos dos recorridos, por ende x AB=v AB t AB x BA=v BA t BA Se reemplazan valores x AB=1.5 t AB x BA=1.2t BA x AB=x BA , se igualan las dos expresiones Como 1.5 t AB=1.2t BA Se define una variable con respecto a la otra t AB = 1.2 t 1.5 BA Se reemplazan las ecuaciones obtenidas en la fórmula de rapidez promedio rapidez prom = Se reemplaza de t AB = 1.2 t 1.5 BA 1.5 t AB+ 1.2t BA m t AB+ t BA s en la ecuación para dejar todo en términos t BA 1.5 rapidez prom = rapidez prom = t ( 1.2 1.5 ) BA +1.2 t BA 1.2 t +t 1.5 BA BA 1.2 t BA +1.2 t BA m 1.2 s t BA + t BA 1.5 rapidez prom = ( 1.2+1.2 ) t BA m s 1.2 +1 t BA 1.5 ( ) m s rapidez prom = 1.2+1.2 m 1.2 s +1 1.5 rapidez prom = 2.4 m 1.8 s rapidez prom =1.33 m s La rapidez promedio es de 1.33 m/s. 6. La figura representa la aceleración total, en cierto instante de tiempo, de una partícula que se mueve a lo largo de una circunferencia de 2.50 m de radio. En este instante encuentre: (a) La magnitud de su aceleración tangencial. (b) La magnitud de su aceleración radial. (c) La rapidez de la partícula. Se calcula su aceleración tangencial por medio de la fórmula t a =a sen ( θ ) Se reemplazan valores ( ms ) sen ( 30 ) at = 15 2 at = 15 m ( 0.5 ) s2 at =7.5 m s2 ( ) La partícula tiene una aceleración tangencial de aceleración radial por medio de la fórmula 7.5 m s2 . Se calcula su Se reemplazan valores ( ms ) cos ( 30) ar = 15 2 ( ms )( √23 ) ar = 15 2 ar =12.99 m s2 La partícula tiene una aceleración radial de ar =ω 2 r Por ende ω2 = ω= ar r √ ar r Se reemplazan valores ω= √ 12.99 2.5 ω=2.23 rad s Se sabe que ω= v r Por ende v =ωr Se reemplazan valores 12.99 m s2 . Se sabe que ( v = 2.23 v =5.57 rad ( 2.5 m) s ) m s 7. Un pez que nada en un plano horizontal tiene velocidad v i= ( 4.00 i ̂ +1.00 j ̂ ) m/s en un punto en el océano donde la posición relativa a cierta roca es r i=( 10.00 î + 4.00 ĵ ) m . Después de que el pez nada con aceleración constante durante 20.0s, su velocidad es v i= ( 20.00i ̂ +5.00 ĵ ) m/s . a) ¿Cuáles son las componentes de la aceleración? b) ¿Cuál es la dirección de la aceleración respecto del vector unitario �̂? c) Si el pez mantiene aceleración constante, ¿dónde está en t = 25.0 s y en qué dirección se mueve? Se sabe que v f =v o +at Se reemplazan valores ( 20 i^ +5 ^j ) m =( 4 i^ +1 ^j ) m + ( 20 s ) a s s ( 20 i^ +5 ^j ) m −( 4 i^ +1 ^j ) m = (20 s ) a s s ( 16 i^ + 4 ^j ) m =( 20 s ) a s ( 16 i^ +4 ^j ) a= m s 20 s m a=( 0.8 i^ + 0.2 ^j ) 2 s Se calcula la dirección de la aceleración con respecto al vector unitario. tan −1 =14.03 ° ( 0.2 0.8 ) La dirección de la aceleración es de 14.03° sobre la horizontal con respecto al vector unitario. Se calcula la posición en t=25 sabiendo que 1 r=r o +v o t+ a t 2 2 Se reemplazan valores r=( 10 i^ +4 ^j ) m+ ( 4 i^ +1 ^j ) m 1 m (25 ) s+ ( 0.8 i^ +0.2 ^j ) 2 (25 )2 s2 s 2 s ^ ^j ) m+ ( 250 i^ + 6 2.5 ^j ) m r=( 10 i^ +4 ^j ) m+ ( 100 i+25 r=( 360 i^ +91.5 ^j ) m Se calcula la velocidad en este punto v f =v o +at Se reemplazan valores v f =( 4 i^ +1 ^j ) m ^ ^j ) m ( 25 s ) + ( 0.8 i+0.2 2 s s v f =( 4 i^ +1 ^j ) m m + ( 20 i^ +5 ^j ) s s v f =( 24 i^ +6 ^j ) m s Se calcula la dirección del pez en este punto tan −1 En ( 246 )=14.03 ° t=25 , el pez viaja con una dirección de 14.03° por encima de la horizontal. 8. Una fuerza ⃗ F aplicada a un objeto de masa aceleración de 3.00 m1 produce una m s 2 . La misma fuerza aplicada a un segundo objeto de masa m2 produce una aceleración de 1.00 m 2 s . (a) ¿Cuál es el valor de la relación m1 m2 ? (b) Si m1 y m2 se combinan en un solo objeto, ¿cuál es su aceleración bajo la ⃗ F ? acción de la fuerza La segunda ley de Newton indica que ⃗ F =m ⃗a Por ende m= ⃗ F a⃗ Se halla la relación m1 m2 mediante ⃗ F m1 ⃗ a = ⃗1 m2 F a2 ⃗ 1 m1 ⃗ a1 = m2 1 a2 ⃗ m1 ⃗ a = 2 m2 ⃗ a1 m 1 2 m1 s = m2 m 3 2 s m1 =0.33 m2 Se despeja m1 con respecto a m2 m1=0.33 m2 Se suman ambas masas mf =m1+ m2 Se reemplazan valores mf =0.33 m2 +m2 mf =1.33 m2 Se tiene que ⃗ F =m f ⃗ af Como ⃗ F es constante, se iguala con la ecuación de mf ⃗ a f =m2 ⃗ a2 af = ⃗ m2 ⃗ a2 mf Se reemplazan valores af = ⃗ 1 m2 m 1.33 m2 s2 a f =0.75 ⃗ m s2 m2 9. Dos fuerzas ⃗ F1 magnitudes son y F1 ⃗ F2 actúan sobre un objeto de 5.00 kg. Sus = 20.0 N y magnitud y dirección (respecto a F2 = 15.0 N. Determine la ⃗ F1 ) de la aceleración del objeto en los casos (a) y (b) de la figura. Caso (a) ⃗ F R= √ ⃗ F x2 +⃗ F y2 ⃗ F R= √ ⃗ F 12 + ⃗ F 22 Se reemplazan valores 2 2 ⃗ F R= √ ( 20 ) + ( 15 ) N ⃗ F R= √ 400+225 N ⃗ F R= √ 6 25 N ⃗ F R=25 N Se sabe que ⃗ F R=m⃗ aR Por lo tanto a R= ⃗ ⃗ FR m Se reemplazan valores La dirección de la aceleración es igual a la de la fuerza resultante, por ende ⃗ F θ=tan −1 ⃗y Fx ( ) θ=tan −1 ( 1520 ) θ=36.86 ° Caso (b) ⃗ F R= √ ⃗ F x2 +⃗ F y2 √ 2 ⃗ F R= [ ⃗ F 1+ ( ⃗ F2 cos 60 ) ] + ( ⃗ F2 sen 60 )2 Se reemplazan valores √ 2 2 ⃗ F R= [ 20+ ( 15 cos 60 ) ] + ( 15 sen 60 ) √ 2 ⃗ F R= [ 20+ ( 7.5 ) ] + ( 0.86 )2 2 2 ⃗ F R= √ [ 2 7.5 ] + ( 0.86 ) ⃗ F R= √ 756.25+0.7396 ⃗ F R= √756. 9896 ⃗ F R=27.51 N Se sabe que ⃗ F R=m⃗ aR Por lo tanto a R= ⃗ ⃗ FR m Se reemplazan valores 27.51 kg a R= ⃗ m 2 s a R=5 , 5 ⃗ 5 kg m s2 La dirección de la aceleración es igual a la de la fuerza resultante, por ende θ=tan −1 θ=tan −1 ⃗ Fy ⃗ Fx ( ) ( 0.86 27.5 ) θ=1.79 ° 10. Un niño de 40.0 kg se mece en un columpio sostenido por dos cadenas, cada una de 3.00 m de largo. La tensión en cada cadena en el punto más bajo es 350 N. Encuentre a) la rapidez del niño en el punto más bajo y b) la fuerza que ejerce el asiento sobre el niño en el punto más bajo. (Ignore la masa del asiento.) Se tiene que la fuerza de tensión total es T =350 N + 350 N T =350 N + 350 N Se tiene que T =⃗ Fcen +⃗ F col ⃗ Fcen =T −mg Se reemplazan valores m ⃗ Fcen =700 N− ( 40 kg ) 9.8 2 s ( ) ⃗ Fcen =700 N−392 N ⃗ Fcen =308 N Se tiene que mv ⃗ Fcen = r 2 Se despeja v= √ v ⃗ F cen r m Se reemplazan valores √ m 308 kg 3 m ( s ) v= 2 40 kg √ m2 9 24 2 s v= 40 √ v = 1 1 .55 v =3.39 m2 s2 m s La rapidez del columpio en el punto más bajo es de 3.39 m s . La fuerza que ejerce el asiento sobre el niño es igual a la tensión de las cadenas, o sea, 700N.