TECSUP - PFR Geometría Analítica____________________________________________________________________________________ 61 UNIDAD V LA CIRCUNFERENCIA 1. INTRODUCCIÓN Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro punto fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. Sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene. Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales. También se puede describir como un polígono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio. 2. CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN Consideremos el centro de la circunferencia en el origen de coordenadas (0;0) C y un punto fijo ( ; ) P x y que pertenezca a la circunferencia, debe satisfacer. = ( ; ) d C P R (*) 2 2 ( 0) ( 0) x y R ÷ + ÷ = 2 2 2 ( 0) ( 0) x y R ÷ + ÷ = Obteniéndose: 2 2 2 x y R + = Geometría Analítica TECSUP - PFR 62 3. CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL PUNTO P ( H, K ) Ahora encontremos la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (h, k) siendo( , ) (0,0) h k = . Para esto consideremos la definición = ( ; ) d C P R (*) Luego tenemos: 2 2 ( ) ( ) x h y k R ÷ + ÷ = Por lo tanto: 2 2 2 ( ) ( ) x h y k R ÷ + ÷ = Si la ecuación ordinaria de la circunferencia se desarrolla, entonces se tiene: 2 2 2 2 2 2 2 0 x y hx ky h k R + + + + + ÷ = Ordenando la ecuación, obtenemos: X 2 + y 2 + (-2h) x + (-2k)y + (h 2 + k 2 – R 2 ) = 0 Haciendo: D = -2h ; E = - 2k, F = h 2 + k 2 – R 2 Ecuación que tiene la forma: La ecuación anterior es llamada forma general de la ecuación de la circunferencia. x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 TECSUP - PFR Geometría Analítica ____________________________________________________________________________________ 63 OBSERVACIÓN: Para saber si una ecuación de la forma: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0, representa una circunferencia, procedemos a completar cuadrados y obtenemos: (x 2 + Dx + D 2 /4) + (y 2 + Ey + E 2 /4) + F – D 2 /4 – E 2 /4 = 0 (x + D/2) 2 + (y + E/2) 2 = (D 2 + E 2 – 4F)/4 Comparando esta ecuación con la ecuación: (x - h) 2 + (y - k) 2 = R 2 Observamos que toda ecuación de la forma: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 Representa una circunferencia de centro: Donde: h = -D/2 y k = - E/2 Siempre que se cumpla la condición: D 2 + E 2 – 4F > 0 Análisis: a) Si: D 2 + E 2 – 4F = 0, entonces r = 0 y la ecuación se reduce a un punto, al centro. b) Si: D 2 + E 2 – 4F < 0, entre el radio r será imaginario (Complejo), luego, la ecuación no tendrá representación geométrica real. Es decir la ecuación representa a una circunferencia imaginaria. c) Si: D 2 + E 2 – 4F > 0, entonces r > 0, y la ecuación representará a una circunferencia de centro y radio dados. EJEMPLO 1: La ecuación x 2 + y 2 – 2x – 4y + 4 = 0, corresponde a una circunferencia. Hallar el centro y el radio. Centro = (D/2 ; - E/2) Radio = R = 4F E D 2 1 2 2 ÷ + Geometría Analítica TECSUP - PFR 64 RESOLUCIÓN: Completando cuadrados podemos transformar la ecuación dada en la forma: (x 2 – 2x + 1) + (y 2 – 4y + 4) – 1 = 0 (x - 1) 2 + (y - 2) 2 = 1 Luego: C(1;2) y r = 1. EJEMPLO 2: La ecuación: x 2 + y 2 + 4x + 2y + 1 = 0, representa o no a una circunferencia. RESOLUCIÓN: Si la ecuación representa a una circunferencia, se debe cumplir: D 2 + E 2 – 4F > 0 Reemplazando valores: 4 2 + 2 2 – 4(I) > 0 16 > 0 Efectivamente se cumple: El radio: r = 2. r 16 2 1 = ÷ Centro: 1) 2; ( C 2 2 ; 2 4 C ÷ ÷ ÷ | . | \ | ÷ EJEMPLO 3: Determinar el centro y el radio de la circunferencia de ecuación: 4x 2 + 4y 2 – 12x + 16y + 9 = 0 RESOLUCIÓN: Llevemos la ecuación dada a la forma ordinaria, dividiendo entre 4: x 2 + y 2 – 3x + 4y + 9/4 = 0 Completando cuadrados: (x – 3/2) 2 - 0 4 9 4 2) (y 4 9 2 = + ÷ + Simplificando: (x – 3/2) 2 + (y + 2) 2 = 4 Por lo tanto tenemos el centro: C (3-2 ; - 2) y radio: r = 2. TECSUP - PFR Geometría Analítica ____________________________________________________________________________________ 65 OBSERVACIÓN: La ecuación ordinaria: (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2 o la ecuación general: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 De una circunferencia contienen 3 constancias arbitrarias, por tanto es necesaria, en general, imponer 3 condiciones geométricas para definir su ecuación. EJEMPLO 4 Determinar la ecuación de una circunferencia que pasa por los puntos A(4;6), B(-2; -2) y C(-4;2) RESOLUCIÓN: Los 3 puntos dados siempre que no estén sobre una misma recta, determinan 3 condiciones geométricas que permiten definir a la circunferencia; x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0, se obtienen 3 ecuaciones con 3 incógnitas o constantes arbitrarias D, E y F: 4D + 6E + F = - 52 ……. (1) -2D – 2E + F = - 8 …….. (2) -4D + 2E + F = - 20 …… (3) Resolviendo el sistema se encuentran los valores: D = - 2, E = - 4 y F = - 20. La ecuación de la circunferencia es: x 2 + y 2 – 2x – 4y – 20 = 0 Esta solución se ha determinado siguiendo un método estrictamente algebraico. EJEMPLO 5. La ecuación de una circunferencia es; (x - 4) 2 + (y - 3) 2 = 20. Hallar la ecuación de la tangente a esta circunferencia en el punto (6;7). RESOLUCIÓN: La pendiente de la recta que pasa por C(4;3) y el punto de tangencia (6;7) es: m = 2 m 4 6 3 7 = ÷ ÷ ÷ Geometría Analítica TECSUP - PFR 66 Si m, es la pendiente de la tangente, se cumple que: m.m 1 = - 1→ 2.m 1 = -1 → m 1 = - 2 1 Luego la ecuación de dicha tangente será: 0 20 - 2y x 6 x 7 y 2 1 = + ÷ ÷ ÷ = ÷ OBSERVACIONES: Otro método que también se usa para determinar si una recta L de ecuación: L : Ax + By + C = …………… (α) Es tangente a una circunferencia de ecuación: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ……….. (θ) Consiste en resolver simultáneamente las ecuaciones dadas; para determinar sus intersecciones. Si de (α) despejamos “y”, en términos de “x”, y se reemplaza en (θ), se obtiene una ecuación de la forma: ax 2 + by + c = 0 Cuyas raíces están dadas por: 2a 4ac b b x 2 ÷ ± ÷ = La naturaleza de estas raíces depende del discriminante. 4. CONDICIÓN DE TANGENCIA Veamos los siguientes casos: 1. Si: Δ = b 2 – 4ac < 0, entonces las raíces no son reales, es decir, no existe intersección entre la recta y la circunferencia. d L C r Δ = b 2 – 4ac TECSUP - PFR Geometría Analítica ____________________________________________________________________________________ 67 2. Si: Δ = b 2 – 4ac > 0, entonces las raíces son reales, esto es, existen dos puntos de intersección entre la recta y la circunferencia, por tanto la recta es secante. d L C r A B 3. Si: Δ = b 2 – 4ac = 0, entonces existe una única raíz real, es decir, existe un único punto de intersección entre la recta y la circunferencia. Luego la recta es Tangente a la circunferencia. L C d = r T Este método, llamado MÉTODO DEL DISCRIMINANTE, se usa también para determinar las Tangentes a curvas cuyas ecuaciones son de segundo grado. 5. LONGITUD DE LA TANGENTE. Dados una circunferencia y punto P, exterior a ella, se denomina longitud de la Tangente (t) a la distancia entre el punto P y el punto de Tangencia T. t d P C r T EJEMPLO: Dada la ecuación de una circunferencia. C: x 2 + y 2 – 4x – 9 = 0 I. Hallar la ecuación de la Tangente a la circunferencia C en el punto T = (4;3). t = 2 2 r d ÷ Geometría Analítica TECSUP - PFR 68 II. Hallar la longitud de la tangente a la circunferencia dada, trazada desde el punto Q = (8;8). RESOLUCIÓN: I. T = (4;3) C r L Completando cuadrados, obtenemos la ecuación de la circunferencia: (x - 2) 2 + y 2 = 13 ¬ C = (2;0) y r = 13 Ecuación de la recta : y – 4 = 3/2 m 3) (x 2 3 = ¬ ÷ Luego la pendiente de la recta L será: m = - 2/3. En consecuencia, su ecuación es: L: 2x + 3y – 17 = 0 II. POR PROPIEDAD: t = 13 100÷ t = 87 PROBLEMAS RESUELTOS 1. La ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(1;2), B(4;6) y cuyo centro está sobre el eje x, es: a. 12x 2 + 6x – y 2 – 14 = 0 b. 6x 2 + 12y 2 + 2x – 56 = 0 c. 36x 2 – 2x + y 2 = 0 d. 36x 2 + 36y 2 – 564x + 384 = 0 e. 36x 2 + 12y 2 – 564x + 420 = 0 RESOLUCIÓN: Puntos de pase A = (1; 2) y B = (4; 6) TECSUP - PFR Geometría Analítica ____________________________________________________________________________________ 69 Centro: C = (h; 0). Calculamos h igualando las ecuaciones cartesianas siguientes: (1-h) 2 + (2-0) 2 = (4-h) 2 + (6-0) 2 1-2h + h 2 + 4 = 16 – 8h + h 2 + 36 6h = 47 → h = 47/6 Luego: r 2 = (4 - 6 47 ) + 36 → r 2 = 36 1825 Finalmente, la ecuación de la circunferencia será: 36 1825 0) (y ) 6 47 (x 2 2 = ÷ + ÷ Reduciendo tenemos: C: 36x 2 + 36y 2 – 564x + 384 = 0 2. La ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (2;3) y (4;1) y que tiene su centro en la recta 3x – 4y = 0, es: a. (x-4) 2 + (y+3) 2 = 4 b. (x-4) 2 + (y-3) 2 = 4 c. x 2 +y 2 – 4x+4 = 4 d. (x+4) 2 + (y+3) 2 = 4 e. (x-4) 2 + y 2 = 1 RESOLUCIÓN: (2;3) C (h;k) x 4 3 y = (4;1) X 4 2 1 3 Y Puntos de paso: (2;3) y (4;1) Centro: C = (h; k) Para calcular h y k, estableceremos dos ecuaciones, ello se consigue de la siguiente manera: (2-h) 2 + (3-k) 2 = (4 - h) 2 + (1 - k) 2 Simplificando: h = 1 + k …… (1) Geometría Analítica TECSUP - PFR 70 También: k = h 4 3 …………… (2) De (1) y (2): h = 1 + 4 3 h → h = 4 . k = 3 Luego: (2-4) 2 + (3-3) 2 = r 2 → r 2 = 4 En consecuencia, la ecuación de la circunferencia será: (x - 4) 2 + (y - 3) 2 = 4 3. En la figuras mostrada. Hallar el área de la región sombreada. a. 2 3 π 36 265 + b. 3 2 π 72 265 ÷ c. 2 3 π 72 265 ÷ d. 3 2 π 72 265 + e. 2 3 π 72 265 + y = x + 1 25 y x 2 2 = + Y X RESOLUCIÓN: y = x + 1 Y P = (3;4) θ 3 x 1 4 TECSUP - PFR Geometría Analítica ____________________________________________________________________________________ 71 Para calcular las coordenadas del punto “P” resolvemos simultáneamente las ecuaciones: y = x + 1…………………(1) x 2 + y 2 = 25 ……………. (2) Resolviendo: x = 3 . y = 4. Luego: θ = 53. π /180 Área: S = 2 3 72 π 265 S 2 3 .25 180 π 53 + = ÷ + 4. La distancia mínima del punto (3;9), a la circunferencia: x 2 + y 2 – 26x + 30y + 313 = 0 es: a) 17 b) 595 c) 26 d) 9 e) 667 RESOLUCIÓN: d 13 (3;9) 3 Y 9 X -15 9 (13; -15) Tenemos la ecuación de la circunferencia: x 2 + y 2 – 26x + 30y + 313 = 0 es: Completando cuadrados: (x-13) 2 – 169 + (y + 15) 2 – 225 + 313 = 0 (x - 13) 2 + (y + 15) 2 = 81 (x - 13) = (x - h) → h = 13 Geometría Analítica TECSUP - PFR 72 (y + 15) = (y - k) → k = - 15 r 2 = 81 → r = 9 La distancia mínima será “d”; en la figura: (d + 9) 2 = (3 - 13) 2 + (9 + 15) 2 (d + 9) 2 = 676 → d + 9 = 26 d = 17 5. Hallar la medida del ángulo agudo formado por la recta 3x – y – 1 = 0 y la circunferencia x2 + y2 – 4x – 1 = 0 a. 45º b. 60º c. 30º d. 75º e. 15º RESOLUCIÓN: θº 3 x - y - 1 = 0 X r d 1/3 (2;0) -1 θ En la figura, para calcular θº, es necesario obtener los valores de ”r” y “d”. Tenemos la ecuación: X 2 + y 2 – 4x – 1 = 0 Completando cuadrados obtenemos: (x - 2) 2 + y 2 = 5 Luego: h = 2 ; k = 0 y r = 5 Pasamos a calcular “d”. d = 1 3 1 (0) 1) ( 3(2) 2 + ÷ ÷ + → d = 2 10 Tenemos la ecuación: x 2 + y 2 – 4x – 1 = 0 Completando cuadrados obtenemos: (x - 2) 2 + y 2 = 5 TECSUP - PFR Geometría Analítica ____________________________________________________________________________________ 73 Luego: h = 2 ; k = 0 y r = 5 Pasamos a calcular “d”. d = 2 10 d 1 3 1 (0) 1) ( 3(2) 2 = ÷ + ÷ ÷ + tenemos el triángulo rectángulo siguiente: θ 5 2 / 10 De donde: θ = 45º OBSERVACIÓN: El ángulo entre la recta y la circunferencia es el ángulo que forma la recta dada con la tangente a la circunferencia en el punto de intersección. 6. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A = (3; 2) y B = (7; 8), sabiendo que la recta x – y = 5 pasa por el centro de la circunferencia. a. (x - 8) 2 + ( y – 3 ) 2 = 25 b. (x - 8) 2 + ( y – 3 ) 2 = 26 c. (x - 3) 2 + ( y – 8 ) 2 = 25 d. (x - 3) 2 + ( y – 8 ) 2 = 26 e. (x - 8) 2 + ( y + 3 ) 2 = 26 RESOLUCIÓN: x - y - 5 = 0 C = (h;k) (3;2) (7;8) X 7 5 3 0 2 Y Si los puntos A = (3; 2) y B = (7;8) pertenecen a la circunferencia, entonces satisfacen la ecuación de dicha circunferencia, veamos: (7 - h) 2 + (8 - k) 2 = r 2 …………… (1) (3 - h) 2 + (2 - k) 2 = r 2 …………… (2) Igualando (1) y (2): (7 - h) 2 + (8 - k) 2 = (3 - h) 2 + (2 - k) 2 Geometría Analítica TECSUP - PFR 74 Simplificando: 2h + 3k = 25 ………… (α) Además el centro C = (h; k) pertenece a la recta cuya ecuación es: x – y – 5 = 0, entonces: h – k – 5 = 0 ………………. (θ) Resolviendo (α) y (θ): h = 8 Λ k = 3 El radio: r 2 = (7 - 8) 2 + (8-3) 2 r 2 = 26 → r = 26 Finalmente, la ecuación pedida será: (x - 8) 2 + (y - 3) 2 = 26 7. Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia, x 2 + y 2 – 6x + 10y – 2 = 0; cuyo radio es un tercio del radio de esta circunferencia. a. x 2 + y 2 b. (x - 3) 2 + (y + 5) 2 = 9 c. (x - 3) 2 + (y - 5) 2 = 9 d. (x - 3) 2 + (y - 5) 2 = 4 e. (x - 3) 2 + (y + 5) 2 = 4 RESOLUCIÓN: Tenemos la ecuación de la circunferencia: C 2 : x 2 + y 2 – 6x + 10y – 2 = 0 Completando cuadrados, tenemos: (x - 3) 2 + (y + 5) 2 = 36 X (3; -5) 5 Y 3 2r 36 5) (y 3) (x 2 2 = + + ÷ 1 C 2 C Luego: h = 3; k = -5 y 3r = 6 → r = 2 En consecuencia, la ecuación de la circunferencia C 1 será: C 1 : (x – 3) 2 + (y + 5) 2 = 4 8. Hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia: x 2 + y 2 + 2x – 2y – 23 = 0. En el punto P = (2;5). a. 3x – 4y = 26 b. 4x – 3y = 26 c. 3x + 4y = 26 d. 4x + 3y = 26 e. 6x + 2y = 13 RESOLUCIÓN: Tenemos la ecuación de la circunferencia: TECSUP - PFR Geometría Analítica ____________________________________________________________________________________ 75 x 2 + y 2 + 2x – 2y – 23 = 0 (-1;1) P = (2;5) -1 0 X Y 1 L L Completando cuadrados, tenemos: (x + 1) 2 + (y - 1) 2 = 25 Luego su centro es: L = (-1;1) La pendiente de L 1 es: m 1 = 1 2 1 5 + ÷ m 1 = 4/3 → m = - 3/4 La ecuación de la recta L será: y – 5 = - 2) (x 4 3 ÷ 4y – 20 = -3x + 6 L: 3 < + 4y = 26 9. Los puntos extremos de una cuerda de una circunferencia son. A = (2;7) y B =(4;1). La ecuación de esta circunferencia que tiene su centro en el eje Y es: a. x 2 + y 2 + 6y – 11 = 0 b. x 2 + y 2 – 6y + 29 = 0 c. x 2 + y 2 – 6y – 29 = 0 d. x 2 + y 2 – 6y – 11 = 0 e. x 2 + y 2 + 6y + 11 = 0 RESOLUCIÓN: (4;1) (2;7) Y r 3 0 X Los puntos A = (2; 7) y B = (4;1) perteneciente a la circunferencia, entonces satisfacen a la ecuación: Geometría Analítica TECSUP - PFR 76 x 2 + (y - k) 2 = r 2 Reemplazando: 2 2 + (7 - k) 2 = 4 2 + (1 - k) 2 = r 2 Resolviendo: K = 3 y r 2 = 20 En consecuencia la ecuación de la circunferencia es: x 2 + y 2 – 6y – 11 = 0 TECSUP - PFR Geometría Analítica ____________________________________________________________________________________ 77 NIVEL I : BASICO 1.- La ecuación de una circunferencia es: 2 2 x + y - 4x - 8y + 11 = 0 . Hallar su centro y el radio A) (-2;4); r = 3 B) (2;4); r = 3 C) (0;0); r = 3 D) (0;4); r = 3 E) (2;4); r = 6 2.- Hallar “m” si el punto (2;3) pertenece a la circunferencia. 2 2 x + y + 2x + my + 25 = 0 A) 12 B) 14 C) -14 D) -12 E) 16 3.- Para que la ecuación 2 2 x + y + Dx + Ey + F = 0 , represente a un punto, ¿qué se debe cumplir? A) D + E – F < 0 B) D + E – F > 0 C) 2 2 D + E - 4F > 0 D) 2 2 D + E - 4F < 0 E) 2 2 D + E - 4F = 0 4.- Hallar la distancia del punto (4;-3) al centro de la circunferencia: 2 2 x + y = 3 A) 3 B) 5 C) 2 D) 10 E) 5 5.- Hallar el centro de la circunferencia de ecuación. , 2 2 x + y = y A) ( ) 0;1 B) | | | \ . 1 0; 2 C) | | ÷ | \ . 1 1 ; 2 2 D) | | | \ . 1 0;- 2 E) (1 ; 1) 6.- Hallar la distancia del centro de la circunferencia ( ) 2 2 x + y - 2 = 16 a la recta 3x + 4y – 18 = 0 A) 4 B) 5 C) 2 D) 6 E) 3 7.- Hallar los interceptos de la circunferencia 2 2 x + y + 6x - 2y + 5 = 0 ; con el eje X. A) (5;0) y (1;0) B) (2;0) y (-2;0) C) (4;0) y (-2;0) D) (-4;0) y (-1;0) E) (-5;0) y (-1;0) 8.- Cuántos puntos de coordenadas enteras hay en la circunferencia 2 2 x + y = 5 A) 2 B) 5 C) 4 D) Infinitos E) Ninguno 9.- Hallar la longitud de la circunferencia, que tiene por ecuación 2 2 x + y - 8x - 10y + 25 = 0 A) 16tµ B) 6tµ C) 4tµ D) 8tµ E) 10tµ 10.- Qué punto de la circunferencia: ( ) ( ) 2 2 x - 15 + y - 18 = 100 está más cerca al eje X. A) (8;15) B) (15;10) C) (15;8) D) (0;10) E) (15;18) Geometría Analítica TECSUP - PFR 78 11.- Hallar la distancia del centro de la circunferencia al origen de coordenadas, sabiendo que su ecuación es: 2 2 x y 8x 6y 0 + ÷ ÷ = A) 3 B) 5 C) 4 D) 1 E) 6 12.- Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (3;5) y que sea tangente a la recta y – 1 = 0 A) 2 2 (x 3) (y 5) 16 ÷ + ÷ = B) 2 2 (x 3) (y 5) 16 ÷ + + = C) 2 2 (x 3) (y 5) 16 + + ÷ = D) 2 2 (x 3) (y 5) 4 ÷ + ÷ = E) N.A. 13.- Se tiene la circunferencia: 2 2 x y 4x 6y 12 0 + + ÷ ÷ = y el punto (3;3). Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia trazada por dicho punto. A) x+y-1=0 B) x+2y-1=0 C) x-2=0 D) x=3 E) x=-3 14.- Hallar la longitud de la tangente trazada desde el punto P(6;4) a la circunferencia: 2 2 x y 4x 6y 19 0 + + + ÷ = . A) 7 B) 8 C) 9 D) 1 E) 0 15.- La distancia mínima del punto (3; 9), a la circunferencia: 2 2 x y 26x 30y 313 0 + ÷ + + = es: A) 17 B) 595 C) 26 D) 9 E) 667 NIVEL II : INTERMEDIO 16.- Hallar el área sombreada. A) ( ) 2 100 - t µ B) ( ) 2 40 - t µ C) 2 40tµ D) ( ) 2 80 - t µ E) 2 80tµ 17.- Hallar el área del triángulo sombreado. A) 2 40µ B) 2 50µ C) 2 20µ D) 2 30µ E) 2 10µ X Y 2 2 (x 10) (y 8) 4 ÷ + ÷ = X Y 2 2 x y 16x 20y 139 0 + ÷ ÷ + = TECSUP - PFR Geometría Analítica ____________________________________________________________________________________ 79 18.- Hallar el área del trapecio. A) 2 50µ B) 2 108µ C) 2 40µ D) 2 54µ E) 2 48µ 19.- Hallar la ecuación de la circunferencia mostrada. A) 2 2 x + y - 4x - 4y = 0 B) 2 2 x + y - x - y + 4 = 0 C) 2 2 x + y - 4x - 4y + 4 = 0 D) 2 2 x + y + x + y + 4 = 0 E) 2 2 x + y = 4 20.- Se tiene la circunferencia: 2 2 x + y - 7x - 10y - 31 = 0 . Hallar el perímetro del cuadrado circunscrito a dicha circunferencia. A) 15µ B) 30µ C) 60µ D) 20µ E) 40µ 21.- Las circunferencias ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 C = x + a + y - b = 15 C = x + y - 8x + 6y + 20 = 0 Son concéntricas. Hallar a + b A) 7 B) 10 C) – 7 D) -10 E) 8 22.- Qué punto de la circunferencia ( ) ( ) 2 2 x + 5 + y - 8 = 16 está más cerca al eje Y. A) (-1;5) B) (-1;8) C) (-5;8) D) (1;8) E) (1;-5) 23.- En la figura, calcular la ecuación de la circunferencia, si L=(3,0) y A=(13,0) 53º y x o L A 2 2 x y 100 + = y 6 = X y X Y 4x 3y 24 0 + ÷ = Geometría Analítica TECSUP - PFR 80 24.- Calcular la ecuación de la circunferencia inscrita en el triangulo IRE. Si OI = 2 y EI = 10 37º x y o I E R 25.- Del grafico, calcular la ecuación de la circunferencia, si el ángulo de inclinación de la recta “L” es 53º. x y o L (12,8) 26.- Del grafico: OL = 15, OA = 14 y LA = 13 Calcular el radio de la circunferencia x y o L L A 27.- Del grafico, calcular la ecuación del circunferencia, si la ecuación de la recta: x y o L r 37º TECSUP - PFR Geometría Analítica ____________________________________________________________________________________ 81 28.- Del grafico, calcular la ecuación de la circunferencia, si el ángulo de inclinación de la recta “L” es 53º. x y o L (12,8) 29.- En la figura, calcular la ecuación de la circunferencia, si L=(3,0) y A=(13,0) 53º y x o L A NIVEL III : APLICACIONES 1. Un camión de 7 pies de ancho y 13 pies de altura se acerca al arco semi circular mostrado en la figura. La base del arco mide 28 pies de ancho y el camino bajo el está dividido, lo que posibilita el transito en los dos sentidos. a) Escribir una ecuación que represente la forma del arco b) Si el camión permanece justo a la derecha de la pista ¿Sera posible que pase bajo el arco sin dañarlo? 2. Se tiene un mecanismo que une dos ruedas como se muestra en la figura, para poder diseñarlas se desea saber sus respectivas ecuaciones , la recta que une estas circunferencias tiene ecuación x = 2y. Geometría Analítica TECSUP - PFR 82 3. La rueda de un camión ti ene 90 cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la rueda ha dado 100 vueltas? 4. En un parque de forma circul ar de 700 m de radio hay situada en el centro una fuente, tambi én de forma circular, de 5 m de radio. Cal cula el área de l a zona de paseo. 5. La superfi ci e de una mesa está formada por una parte central cuadrada de 1 m de lado y dos semi círculos adosados en dos l ados opuestos. Cal cula el área. 6. En una pl aza de forma circul ar de radio 250 m se van a poner 7 farol as cuyas bases son cí rcul os de un 1 m de radi o, el resto de l a pl aza lo van a util izar para sembrar césped. Cal cul a el área del césped. 7. Un policía de 1.80m. de estatura hace ronda siguiendo la trayectoria 144 2 2 = + y x . En el punto ( ) 0 , 8 ÷ se levanta un poste vertical de 7.2m de altura, en cuyo extremo hay un foco. Hallar la ecuación del extremo de la sombra del policía. 8. Se quiere construir una piscina redonda en una finca circular de 50 m de radio, conservando un pino que hay en el centro. Calcula el diámetro máximo de la piscina y la superficie de finca que quedará después de la obra. 9. Ana se ha montado en el caballo que está a 3,5 m del centro de una plataforma que gira y su amiga Laura se ha montado en el león que estaba a 2 m del centro. Calcular el camino recorrido por cada una cuando la plataforma ha dado 5 vueltas. 10. Los brazos de un columpio miden 1,8 m de largo y pueden describir como máximo un ángulo de 146°. Calcula el espacio recorrido por el asiento del columpio cuando el ángulo descrito en su balanceo es el máximo. TECSUP - PFR Geometría Analítica ____________________________________________________________________________________ 83 11. Un faro barre con su luz un ángulo plano de 128° . Si el alcance máximo del faro es de 7 millas, ¿Cuál es la longitud máxima en metros del arco correspondiente? (1 milla = 1852 m) 12. Dadas dos circunferencias concéntricas de radio 8 y 5 cm respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman un ángulo de 60° . Calcular el área del trapecio circular formado. 13. En un balneario particular se quiere construir una alberca circular aprovechando 3 alcantarillas de desagüe, situadas en los puntos coordenados A(0,0) ; B(1,–1) y C(–3,1). Se quiere que la circunferencia que rodea la alberca, pase por estas tres alcantarillas; para que se cumpla esta condición, ¿cuál debe ser el centro y el radio de la alberca circular? 14. En una casa particular se va a construir un chapoteadero circular aprovechando 3 alcantarillas de desagüe, situadas en los puntos coordenados A(0,0) ; B(6,2) y C(2,–2). Se quiere que la circunferencia que rodee el chapoteadero, pase por las tres alcantarillas; de acuerdo con esto, ¿cuáles deben ser las coordenadas del centro y la medida del radio del chapoteadero? 15. En la estructura que se indica calcule las longitudes de todas las barras.