Tema 2.Geometría de masas 2. GEOMETRÍA DE MASAS 2.1.Introducción La geometría de masas es la parte de la Mecánica que estudia la distribución espacial de la masa en los sistemas materiales. La masa es la magnitud física empleada para expresar la cantidad de materia de un sistema material y es una magnitud escalar no negativa. En la geometría de masas, por lo tanto, sólo intervienen dos magnitudes fundamentales: masa y longitud. La geometría de masas tiene como objeto la definición y el cálculo de los atributos o características másicas de un sistema. Nos interesan fundamentalmente el centro de masas del sistema material y los momentos de inercia del sistema. La ley de la gravitación establece que dos puntos materiales de masas y se atraen con una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, y en la dirección de la recta que uno ambos puntos. (1) siendo r la distancia entre los puntos y G es la constante de gravitación universal cuyo valor es 6,67·10-11 N·m2·kg-2. Si se aplica la expresión para un caso concreto de un punto material dentro del campo gravitatorio terrestre la expresión se simplifica a: (2) donde es la constante de la gravedad que engloba distintos factores asociados al campo gravitatorio terrestre. 2.2.Concepto de centro de gravedad Habitualmente, por simplicidad, el peso de un cuerpo se representa como una única fuerza puntual. Sin embargo, la realidad es que la fuerza gravitacional se encuentra distribuida por todo el volumen del cuerpo afectando a cada una de las partículas infinitesimales que lo forman. Se puede suponer la acción de la gravedad como la suma de la totalidad de fuerzas individuales, ⃗ , actuando sobre cada partícula infinitesimal, Ai. Javier Corral 1 Tema 2. Geometría de masas Figura 1. Peso de un cuerpo y sistema de partículas que lo componen. En el campo gravitacional todas las fuerzas tienen la misma dirección (vertical) y el mismo sentido (hacia abajo). Se puede plantear la obtención de la resultante del campo vectorial como suma de las fuerzas Fi sobre cada partícula como: ⃗⃗ ∑⃗ (3) La resultante así definida tiene una interpretación física concreta que se denomina peso del cuerpo. Al ser suma de fuerzas paralelas y del mismo sentido el peso del cuerpo será igualmente vertical y hacia abajo. Si se toma un punto O cualquiera del sólido, se pueden calcular los momentos de todas las fuerzas ⃗ respecto de él: Figura 2. Momento de una partícula respecto al punto O. Donde: ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ (4) Y puesto que ⃗⃗⃗ debe ser perpendicular a ⃗ , y como ⃗ es vertical, ⃗⃗⃗ debe ser horizontal. Por otra parte la suma de todos los momentos individuales da lugar al momento total: ⃗⃗⃗ ∑ ⃗⃗⃗ (5) Javier Corral 2 Tema 2. Geometría de masas Y puesto que todos los momentos individuales son horizontales (aunque no paralelos) el momento total será también un vector horizontal. Además, al ser la resultante de las fuerzas y el momento resultante dos vectores perpendiculares: ⃗⃗⃗ ⃗⃗ (6) Figura 3. Sistema fuerza-par equivalente en el punto O. El esquema de la Figura 3 representa el sistema fuerza-par equivalente a las fuerzas asociadas a cada partícula que compone el sólido. La resultante del sistema de fuerzas es ⃗⃗ y no varía. Al modificar el punto respecto del que se toman momentos, el valor del momento ⃗⃗⃗ irá variando y, por tanto, la cuestión será si es posible encontrar un punto fuerzas distribuidas en el sólido tal que ⃗⃗⃗ , de manera que el efecto de las pueda sustituirse únicamente por el vector resultante ⃗⃗ . Figura 4. Sistema fuerza-par equivalente en el punto P. Como una fuerza es un vector deslizante, la resultante ⃗⃗ se puede aplicar sobre cualquier punto de su línea de acción ya que todos los puntos de esa recta verifican que ⃗⃗⃗ . Si giramos el cuerpo sucesivas veces obtendríamos el lugar geométrico de los puntos que verifican que el sistema equivalente es sólo una fuerza y cuya intersección da como resultado un único punto. Javier Corral 3 Simetría central. de manera que la acción gravitacional. Físicamente el centro de gravedad es el punto en el que se puede considerar concentrada toda la masa del sólido. Si el sólido tiene un eje de simetría. Sistema fuerza-par equivalente en el punto G. Simetrías: Si el cuerpo tiene un centro de simetría. G estará sobre él.3. de revolución y respecto a un plano. El efecto de ambos sistemas fuerzas sobre el cuerpo es el mismo pero. Para ello será necesario tener una referencia respecto de la cual calcular dicha posición (Figura 7). G estará en él.Coordenadas del centro de gravedad A continuación se van a obtener las expresiones matemáticas que permiten calcular la posición del centro de gravedad. 2. evidentemente. Figura 6. se puede sustituir por una única fuerza aplicada en dicho punto. uno de ellos es mucho más sencillo. Javier Corral 4 .Tema 2. ése es su G. El punto que verifica este planteamiento es el centro de gravedad del sólido y se identifica mediante la letra G. Geometría de masas Figura 5. distribuida en realidad por todo su volumen. Si el sólido tiene un plano de simetría. Por otra parte. ⃗⃗⃗ ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ⃗ ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ (9) (∑ ⃗⃗ ⃗⃗ se puede sacar del sumatorio ya que no depende del subíndice. Coordenadas del centro de gravedad. Puesto que todas las ⃗ son paralelas y tienen el mismo sentido el vector unitario de cada una de ellas es el mismo.Tema 2. Geometría de masas Figura 7. así se puede escribir que: ⃗⃗ ∑⃗ ∑( ⃗⃗) (∑ ) ⃗⃗ (7) El momento en un punto cualquiera O: ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ [(∑ ) ⃗⃗] [(∑ ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗ (8) Tomando el punto O en el origen del sistema de referencia este desarrollo proporcionará las coordenadas del centro de gravedad respecto de dicho sistema. Si igualamos ambas expresiones del momento: [(∑ ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ] [(∑ ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∑ ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ (∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ⃗⃗ (∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) (10) Al eliminar ⃗⃗ se obtiene una expresión independiente de la orientación del cuerpo y del sistema de fuerzas paralelas. que Javier Corral 5 . válida para cualquier orientación del cuerpo. es decir. Tema 2. Geometría de masas proporciona un único punto. La ecuación (10) es una ecuación vectorial que se puede expresar escalarmente por componentes: Z G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ( ∑( ∑ ∑( ∑ ) ) ) ) ) Ai ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ O X si suponemos que la partícula ∑( ∑ ∑( ∑ ∑( ∑ ) Y tiene una masa ) ∑( ∑ ) y puesto que ∑( ∑ ) ∑( ∑ (11) ) En un sólido real. que es un sistema continuo. ∑ ∫ (12) y las expresiones (11) se convierten en: ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Donde: ∫ Siendo la masa total del sólido. Para poder considerar la suma de las infinitas masas infinitesimales habrá que integrar. (13) (14) Javier Corral 6 . las masas mi serán infinitamente pequeñas y habrá que hacer la suma para las infinitas partículas. Con estas expresiones es posible calcular el centro de gravedad de un volumen. Al pasar al sistema continuo harán referencia a . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ representaba las coordenadas concretas de ( ) . Placa de espesor constante.Tema 2. Si el sólido tuviera una dimensión despreciable frente a las otras dos como puede ser una placa delgada de superficie y espesor constante : ∫ ∫ (18) ∫ e Figura 8. dA Javier Corral 7 . ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (15) la posición respecto del sistema de referencia del diferencial de masa ⃗ ( Si además se tiene en cuenta la densidad del sólido y el volumen del mismo v: (16) Puesto que una masa diferencial ocupa un volumen diferencial: (17) Si la densidad es constante se pueden reescribir las expresiones (15) como: ∫ ∫ ∫ ∫ Siendo V el volumen total del sólido. Geometría de masas Cuando se ha considerado el sistema discreto formado por partículas. con dos dimensiones despreciables frente a la tercera: ∫ (20) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (21) Las expresiones (21) son las que permiten calcular el G de una curva. es decir. Geometría de masas En este caso al considerar un diferencial de área con el espesor constante. El centro de gravedad no tiene por qué estar sobre una zona material del cuerpo. el volumen diferencial será: (19) De manera que las expresiones pasan a ser: ∫ ∫ ∫ Así estas expresiones nos permiten calcular el centro de gravedad para superficies. superficies y curvas. volúmenes. 2. También se podría obtener. por ejemplo.4.Tema 2. se trataría del momento estático respecto a un plano. Hemos pasado de sólidos con masa a volúmenes y de ahí a superficies geométricas. Conviene destacar que los centros de gravedad de las figuras geométricas. En el caso tridimensional. que no tienen por qué ser sólidos con masa (materia) se suelen denominar también centroides. el caso de una circunferencia o de una esfera hueca. de manera análoga la expresión para las coordenadas del centro de gravedad de un elemento con forma de línea curva.Momento estático Las integrales que aparecen en el numerador de las expresiones que permiten obtener el centro de gravedad reciben el nombre de momentos estáticos. y la coordenada que aparece en la integral Javier Corral 8 . . véase. En el caso plano. En este caso se ha definido el momento estático para el caso con masa pero se define exactamente igual para los volúmenes (dv).Tema 2. Momento estático respecto a un plano. para una figura plana (superficie o curva). Geometría de masas es la distancia entre el elemento diferencial y el plano respecto del que se define el momento estático: ∫ (22) Sería en este caso el momento estático respecto de un plano perpendicular a la dirección X. y la coordenada que aparece en la integral es la distancia entre el elemento diferencial y el eje respecto al cual se define el momento estático: Y dA X Figura 10. Momento estático respecto a un eje. el momento estático se define respecto de un eje. el momento estático respecto de un eje que pasa por el centro de gravedad es nulo: Javier Corral 9 . Igualmente. superficie o curva no planas) el momento estático respecto de un eje que pasa por el centro de gravedad es nulo. Figura 9. el YZ. es decir. Y representa el momento estático del área considerada respecto al eje que se mide la distancia: ∫ (23) Para una figura tridimensional (volumen. superficies (dA) y líneas (dL). en el Pero al igual que en el momento estático se debe concretar con respecto a qué es esa distancia. 2. se va a definir ahora una propiedad característica de los sistemas con masa. aunque también lo es para las entidades geométricas. Se pueden definir así los siguientes casos: m Momento de inercia respecto de un plano d Momento de inercia respecto de un eje m d Momento de inercia respecto de un punto d O m Javier Corral 10 . Geometría de masas Y Por una parte: ∫ ∫ G dA El momento estático respecto de YG es: ∫ ∫( ∫ ) ∫ (24) X ∫ Y respecto del eje paralelo al eje que pasa por el resultado es exactamente el mismo.I. De forma general se definie como el producto de una masa y una distancia al cuadrado: (25) De esta definición se desprende que las unidades del momento de inercia serán S. El momento de inercia siempre será respecto a algo. denominado momento de inercia. y que se trata de una magnitud siempre positiva.5. .Momentos de inercia de superficies planas De manera análoga a lo hecho para el desarrollo del momento estático.Tema 2. Sistema de referencia Cartesiano.Tema 2. Geometría de masas A continuación se presentan los momentos de inercia respecto de un sistema de referencia Cartesiano como el de la Figura 11: Figura 11. En primer lugar los momentos de inercia respecto de los tres planos cartesianos . e : (26) Respecto a los tres ejes coordenados: (√ ( ( ) ) ) (27) De las expresiones (27) se desprende que el momento de inercia respecto de un eje es igual a la suma de los momentos de inercia respecto de los dos planos perpendiculares que intersecan a lo largo de dicho eje. El momento de inercia respecto al origen O del sistema de referencia será: ( ) (28) Luego también se verifica que el momento de inercia respecto de un punto es igual a la suma de los momentos de inercia respecto de tres planos perpendiculares que intersecan en dicho punto. Si se particulariza lo expuesto al caso plano según dos ejes perpendicualres cualesquiera: Javier Corral 11 . (29) ( ) Y se vuelve a verificar que el momento de inercia respecto de un punto es igual a la suma de los momentos de inercia respecto de dos ejes perpendiculares que se cortan en dicho punto. Sistema de ejes en el plano. y la distancia a tener en cuenta será la que haya entre dicho diferencial de masa y la referencia respecto de la cual se desee calcular el momento de inercia. Javier Corral 12 . Si en lugar de una masa continua se tuviera un sistema formado por varias masas discretas: e2 mi O e1 Figura 13. Sistema formado por varias masas.Tema 2. El momento de inercia total será la suma de los momentos de inercia de cada una de las masas: ∑ (30) Y cuando se tenga un sistema continuo el concepto es aplicable igualmente sin más que pasar del discreto al continuo. Para ello basta con sustituir los sumatorios por integrales y las masas puntuales por un diferencial de masa. Geometría de masas Figura 12. Conviene tener en cuenta que en el cálculo de los momentos de inercia se ha sustituido el sistema másico por un sistema matemático de tipo superficie. Sin más que aplicar consideraciones de densidad y espesor constantes como las presentadas en las ecuaciones (18) y (20) se deriva el cálculo del momento de inercia para una superficie plana como la de la Figura 14: Y dA X O Figura 14. En este caso las unidades del momento de inercia son las del producto de superficie por distancia al cuadrado. Considerando el sistema de referencia de la Figura 14 se pueden definir los momentos de inercia: ∫ ∫ ∫( ) (31) Nota: en este punto se ha presentado el caso que se desarrollará en los sucesivos apartados. Hasta ahora se ha hablado de los momentos de inercia con respecto a los ejes del sistema Cartesiano pero se puede definir con respecto a un eje cualquiera: Javier Corral 13 . Por tanto. que en el Sistema Internacional serán: . Superficie continua.Tema 2. el momento de inercia que se calcula es un momento de inercia de una superficie plana que es función exclusivamente del área de la superficie y no de la masa ni del material del sistema. Geometría de masas A continuación se va a plantear el caso de superficies planas. Tema 2. Análogamente se va a definir otra propiedad de los sólidos y que nosotros vamos a emplear particularizada para el caso de superficies planas. negativo o nulo. el producto de inercia será nulo: Cz=0. sin embargo. Producto de inercia respecto de ejes perpendiculares. son también son m4. puede ser positivo.I. tales que al menos uno de ellos sea eje de simetría de la figura. Las unidades del producto de inercia para una superficie matemática en el S. Se trata del producto de inercia Cz y se define de la siguiente manera: ∫ (33) El producto de inercia también se puede definir tanto para una pareja de ejes cartesianos así como para una pareja de ejes perpendiculares cualesquiera: e2 Y dA e1 X O Figura 16. Geometría de masas Y dA e d ∫ (32) X O Figura 15. Momento de inercia respecto de un eje cualquiera. Javier Corral 14 . El producto de inercia. Siempre que se plantee el cálculo del producto de inercia con respecto a una pareja de ejes mutuamente perpendiculares. 6. relaciona el momento de inercia respecto de un eje cualquiera ( ) con el momento de inercia respecto de otro eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de gravedad de la superficie ( ).Tema 2. Geometría de masas e2 + + + e1 Figura 17.Teorema de Steiner También conocido como Teorema de ejes paralelos. Producto de inercia respecto de un eje de simetría. Signo del producto de inercia. Al integrar para obtener el producto de inercia este hecho deriva en que la integral será nula. 2. En el resto de casos dependerá de la posición relativa entre la superficie y la pareja de ejes con respecto a la cual se calcule el producto de inercia: Y - + X + - Figura 18. Para obtener la expresión vamos a plantear el caso plano de una superficie respecto de un sistema de referencia Cartesiano: Javier Corral 15 . Cuando se trate de calcular el producto de inercia respecto de una pareja de ejes como la de la Figura 17 será posible encontrar una pareja de diferenciales de área a ambos lados del eje de simetría de manera que tengan una de sus dos coordenadas iguales y de signos opuestos. G. Relación entre los momentos de inercia de dos ejes paralelos.Tema 2. de la superficie. Gy) X O Figura 19. ∫ (36) (37) Y para una pareja de ejes paralelos cualesquiera: Javier Corral 16 . luego: ∫ Por tanto. Por definición ∫ (34) ∫ Si se desarrolla la expresión del momento de inercia respecto de O. Se va a plantear la relación entre los momentos de inercia respecto del sistema Cartesiano con origen en O y el sistema paralelo que tiene origen en el centro de gravedad. teniendo en cuenta la relación geométrica entre las distancias: (35) ∫( ∫ ∫ ) ∫( ∫ ) Donde el tercer sumando es el momento estático respecto del centro de gravedad que como se ha demostrado es nulo. Geometría de masas Y dA G (Gx. Se plantea el desarrollo para uno de los ejes y el resultado es completamente análogo para el otro. de todos los ejes paralelos entre sí.Tema 2. La expresión del primero se puede desarrollar como sigue: ∫( ∫( ∫ ∫ ∫ )( )( ∫ ∫ ) ) ∫ (39) Como las dos integrales son los momentos estáticos respecto de ejes que pasan por el centro de gravedad Habrá que prestar especial atención al signo de las coordenadas del centro de gravedad ya que en función del sistema de referencia respecto al que estén referidas podrán tomar valores positivos o negativos. Y para el producto de inercia: ∫ (38) ∫ Donde y son respectivamente los productos de inercia respecto de una pareja de ejes perpendiculares que pasan por O y por G. depende de la posición relativa entre los ejes y el área. Mediante la aplicación de los Teoremas de Steiner se puede obtener la relación entre los momentos y producto de Javier Corral 17 . Círculo de Mohr El momento de inercia de un área respecto de un eje.7. Geometría de masas A G d eG e De este resultado se deduce que. o el producto de inercia respecto de una pareja de ejes. aquel respecto del cual el momento de inercia es menor es el que pasa por el centro de gravedad de la superficie.Ejes principales de inercia. 2. Respecto de esta pareja de ejes se conocen los valores de . Para obtener la relación entre los momentos y/o productos de inercia entre ejes girados se va a suponer inicialmente una pareja de ejes mutuamente perpendiculares. A continuación se va a plantear el desarrollo que permite obtener cómo varía el momento o el producto de inercia cuando se giran los ejes con respecto a los que están calculados. Relación entre ejes girados. los momentos principales de inercia principales de inercia ( verifican que uno de ellos es el momento de inercia máximo y el otro mínimo. girados un ángulo Y Y’ X’ O Figura 21. cómo varían el momento y el producto de inercia al trasladarse paralelamente a sí mismos los ejes con respecto a los que están referidos. sistema Cartesiano habitual .Tema 2. Figura 20. Javier Corral 18 . Geometría de masas inercia de ejes paralelos. El objetivo es determinar el valor de la orientación para la cual el producto de inercia se anula. y a los momentos de inercia respecto de ellos se los denomina momentos ). o lo que es lo mismo. Para una superficie dada. X En concreto nos va a interesar encontrar los valores de los momentos de inercia para una orientación determinada de la segunda pareja de ejes. y y el objetivo será obtener la expresión de los valores referidos a otra pareja de ejes respecto del sistema Cartesiano. Variación de los momentos de inercia por traslación y giro de ejes. A la pareja de ejes girados que verifica que el producto de inercia respecto de ellos es nulo se le denomina ejes principales de inercia ( ). ( ). El punto C será el centro del Círculo de Mohr y se obtiene como intersección del eje horizontal con el segmento que une los puntos A y B. dicho eje es un eje principal de inercia y el perpendicular a él también lo es. Además. Para calcular los valores respecto de los ejes girados se debe partir de los valores de los ejes originales.Tema 2. en la horizontal. La construcción gráfica comienza definiendo una pareja de ejes en la que se acota. De hecho. Con estos valores conocidos se representan ambos puntos en el sistema de ejes anteriormente indicado: Figura 22. Geometría de masas La condición para que el producto de inercia respecto de una pareja de ejes se anule responde a cuestiones puramente geométricas. En concreto a la distribución del área de dicha superficie respecto de uno de los ejes. se cumple que si alguno de los ejes con respecto a los cuales se calcula el producto de inercia es un eje de simetría. que el punto . el valor de los momentos de incercia y en la vertical el producto de inercia respecto de los ejes de partida. Construcción gráfica Círculo de Mohr. En función del valor de los momentos y productos de inercia se pueden dar varias situaciones distintas de la Figura 23 que se corresponde con la situación de y Javier Corral 19 . Con ellos se realiza una construcción gráfica que recibe el nombre de Círuclo de Mohr (ver Figura 22) y que nos servirá para obtener el valor del ángulo a girar para obtener los ejes principales así como el valor de los momentos de inercia principales máximo y mínimo. es determinante el signo del producto de inercia. por tanto. Sobre estos ejes se ubican dos puntos A y B que responden a las siguientes coordenadas: ( ( ) ) está asociado al eje y el al eje (40) Se deduce. Javier Corral 20 .Tema 2. Círculo de Mohr. Ubicaciones de los puntos de partida. Es decir. Geometría de masas Figura 23. Las coordenadas del punto C son ( ) y los otros dos parámetros geométricos del dibujo: (41) √ √( ) está relacionada con el giro de los en el La orientación del segmento ̅̅̅̅ definida por el ángulo ejes originales XY. Un giro de valor en el círculo de Mohr equivale a un giro de sistema de ejes XY. Con centro en C y diámetro el segmento ̅̅̅̅ se construye el Círculo de Mohr: Figura 24. para obtener el valor de los momentos de inercia respecto de una pareja de ejes X’Y’ que forman un ángulo ángulo en el sistema coordenado se deberá girar un en el sistema de ejes del círculo de Mohr y el giro se efectúa en el mismo sentido en ambos diagramas. cumplen que el producto de inercia es nulo. Geometría de masas Figura 25. Orientación de los ejes principales. Las nuevas coordenadas de A son A’ ( ) y las de B son B’ ( ). Por otra parte. Por tanto este giro es el que nos da la dirección de los ejes principales de inercia sin olvidar que en el diagrama de ejes XY tendrá el mismo sentido pero valor la mitad. al estar sobre el eje horizontal. Estas nuevas posiciones. El valor numérico del giro se puede obtener como: (42) O también: y los momentos principales de inercia: (43) donde y son respectivamente el momento de inercia máximo y mínimo. si se gira el diámetro hasta ponerlo horizontal: Figura 26. Se aprecia en la Figura 26 que las nuevas coordenadas de los puntos A y B son precisamente AP y BP. Así es como se determina gráficamente la orientación de los ejes principales de inercia. Javier Corral 21 . Correspondencia entre orientaciones.Tema 2. Reglas generales En primer lugar se van a comentar algunas cuestiones generales aplicables al cálculo de la mayoría de las figuras que se van a estudiar. todo el respecto de dicho eje: Javier Corral 22 . mediante El área total se va a obtener como suma de las áreas infinitesimales integración. En la mayor parte de los casos el consistirá en una tira que equidiste del eje respecto del se encontrará a la misma distancia que queremos calcular la propiedad. Los valores se obtienen según: la distancia al eje e del diferencial de área ∫ (44) ∫ El diferencial de área es un área infinitamente pequeña.1. al eje e. En primer lugar la notación: Figura 27. Para calcular tanto los centros de gravedad como los momentos de inercia por integración se van a establecer unas reglas en cuanto a las características geométricas que se deben considerar para cada figura geométrica.8.8. Nomenclatura.Cálculo de centros de gravedad y momentos de inercia de áreas simples por integración 2. e representa la posición del centro de gravedad de la superficie con respecto es es el momento de inercia de la superficie respecto de dicho eje. En la Figura 27. El puede tener cualquier forma pero será interesante escoger aquel que simplifique el cálculo a la hora de operar.Tema 2. Geometría de masas 2. un área infinitesimal. Además . es decir. Geometría de masas Figura 28. Barrido de los diferenciales de área.Tema 2. la que varía. Con estas consideraciones la obtención de infinitesimal. la variable de integración. Diferencial de área para superficies planas. Donde y son respectivamente el ancho del diferencial de área y su altura que es . por tanto. Al realizar ese barrido. Figura 29. Javier Corral 23 . los límites de integración. Y en que tener en cuenta si también varía. los límites de integración son y y representan respectivamente la altura mínima y máxima entre las que hay que barrer con el diferencial de área para cubrir toda la superficie. y se puede escribir también como los parámetros geométricos se traduce en: ∫ (45) ∫ El diferencial de una integral define la variable de integración y. En este caso. es precisamente la distancia . Tema 2. Para determinar la distancia del al otro eje basta con considerar la posición de su centro de . por ejemplo a e1 de manera que dicho diferencial equidiste de uno de los ejes en este caso: Figura 31. Y según la definición el producto de inercia será: ∫ (46) Para simplificar el cálculo se plantea una tira diferencial de área paralela a uno de los ejes. gravedad respecto a e2 que en este caso será Vistas estas pautas generales se van a determinar a continuación las propiedades geométricas de varias figuras geométricas simples. Geometría de masas Para el producto de inercia se platea la siguiente figura: Figura 30. Javier Corral 24 . Diferencial de área general para el producto de inercia. Diferencial de área general para el producto de inercia. Y se sigue verificando que . 8. Rectángulo. Obviamente. el centro de gravedad deberá estar en la intersección de ambos. por tanto. puesto que el rectángulo tiene dos ejes de simetría.2. Se propone. ( ). Obtención del G del rectángulo. Aprovechando este resultado se obtendrá la posición mediante el método general de integración. por tanto: posición de . El se plantea de manera que todo él equidiste del eje respecto del que se desea calcular la es . Rectángulo b h G Figura 32. Geometría de masas 2. El área del Javier Corral 25 . obtener la posción del centro de gravedad (en adelante ) respecto de un eje que pasa por la base: b h GY dy G dA y X Figura 33.Tema 2. en este caso el eje . por analogía: ∫ ] (48) (49) Y de forma general. ( ) y en general: (51) (52) Javier Corral 26 . Geometría de masas ∫ ∫ ∫ ] (47) Y para el momento de inercia del rectángulo con respecto a un eje que pasa por su base: ∫ para el eje Y. el momento de inercia de un rectángulo respecto de un eje que pasa por uno de sus lados será: (50) Para calcular el momento de inercia respecto de los ejes que pasan por el centro de gravedad se aplicará el Teorema de Steiner: YG b h GY dy G XG dA y X Figura 34. Propiedades respecto del G del rectángulo.Tema 2. Triángulo ∫ ] (54) Consideremos ahora la figura geométrica compuesta por tres lados y el eje que contiene a la base: Figura 35. en este caso el eje la anchura depende ahora de la altura a la que se considere. Conocido este resultado y sin más que aplicar el Teorema de Steiner para productos de inercia: (53) También se podría calcular integrando sin más que tener en cuenta que : ∫ 2.8. Triángulo.3.Tema 2. Geometría de masas Y por último se va a calcular el producto de inercia del rectángulo. Puesto que se trata de una figura con ejes de simetría. el producto de inercia respecto de la pareja de ejes que pasa por el centro de gravedad sera nulo: . El área del es . El se plantea de manera que todo él equidiste del eje respecto del que se desea calcular la que contiene la base. Esa variación está determinada por la ley de proporcionalidad de los triángulos: ( El área de un triángulo es pasa por la base se tendrá que: ) (55) así que para obtener la posición respecto del eje que Javier Corral 27 . Pero posición de . Triángulo general. Geometría de masas ∫ ∫ ( ) ∫ ([ ] [ ∫ ] ) ( ( ) ) (56) Independientemente de la orientación del triángulo. Triángulo rectángulo.Tema 2. para un triángulo rectángulo es posible ubicar las dos coordenadas del centro de gravedad dando la posición completa del mismo: Figura 37. su centro de gravedad estará siempre a respecto de la base: Figura 36. Momento de inercia del triángulo con respecto a un eje que pasa por su base: ∫ ( [ ] [ ∫ ] ) ( ( ) ) ∫ ( ( ) ) (57) Javier Corral 28 . Por lo tanto. Geometría de masas Y el momento de inercia respecto de un eje paralelo a la base que pasa por el centro de gravedad ( ). teniendo en cuenta el Terema de Steiner: ( ) ( ) ( ) (58) Figura 38.Tema 2. Momento de inercia respecto de . Producto de inercia. Producto de inercia de un triángulo rectángulo respecto de una pareja de ejes que contienen los dos catetos: Figura 39. ∫ ∫ ∫ ( ( ) ∫ ( ) ( ( ) ) (59) ∫ ) Javier Corral 29 . si el área se encuentra en el primer cuadrante del sistema de ejes respecto de los que se calcula el producto. Ejes en el centro de gravedad del triángulo. Criterio de signos para el producto de inercia para ejes que contienen a los catetos Para el caso en el que los ejes son paralelos a los catetos pasando por el del triángulo: Figura 41.Tema 2. Geometría de masas ( [ ] [ ] [ ] ) ( ) Se ha obtenido el producto de inercia para una disposición de área concreta respecto de unos ejes concretos pero se debe recordar que el producto de inercia tiene signo y en función de la ubicación del área con respecto a los ejes que se calcula dicho producto influye en el signo del producto. el signo será positivo. En el resto de casos basta con tener en consideración en base al siguiente criterio: Figura 40. Aplicando el Teorema de Steiner para el producto de inercia se tiene que: (60) Javier Corral 30 . Puesto que el producto de inercia implica el producto de dos coordenadas. Así que habrá que tener en cuenta la orientación del triángulo con respecto a los ejes: Figura 43.Tema 2. Producto de inercia para el triángulo escaleno. Geometría de masas ( ) En este caso el signo negativo indica que el área que queda en los cuadrantes negativos es mayor que el de las zonas que quedan en cuadrantes positivos (primero y tercero) como se ilustra en la siguiente figura: Figura 42. ( ) (61) Javier Corral 31 . Distribución de áreas respecto de los ejes. Criterio de signos en función de la orientación del triángulo. Si el triángulo no es rectángulo se considerará uno de los ejes el que pasa por la base y el otro el perpendicular que pasa por el vértice: Figura 44. de un cuarto de círculo: Figura 45. . el radio del sector.8. Centro de gravedad de un cuarto de círculo. Para barrer todo el área con este diferencial es necesario variar el ángulo que el es pequeño se puede considerar que el . Resultado esperable ya que en estas es eje de simetría.4. El objetivo es obtener una formulación matemática algo más sencilla. condiciones el eje . 2. Sectores circulares Cálculo del centro de gravedad. El diferencial que se va a considerar para el sector circular es un triángulo de altura R. así: entre [ ]. Puesto es un triángulo cuya base es un diferencial de arco (62) además es un resultado conocido que el centro de gravedad de un triángulo se encuentra a dos tercios de su vértice: Javier Corral 32 . base diferencial y origen en el centro del sector como se muestra en la Figura 46: Figura 46.Tema 2. Centro de gravedad de un cuarto de círculo. En este caso se va a plantear un alternativo y que difiere ligeramente de la propuesta establecida en el apartado de reglas generales. Geometría de masas Si el triángulo es isósceles. y entonces . 33 . Geometría de masas (63) Por tanto. sólo será necesario modificar el y tener en cuenta que el área total es el doble: Figura 48. Y para el semicírculo el cálculo de barrido de para el es totalmente análogo. ∫ ∫ ∫ (65) [ ] ( ( ) ) . ∫ ∫ ∫ (64) [ ] ( ) Este resultado es respecto de los radios que delimitan el cuarto de cículo por lo que el resultado es válido independientemente de la orientación del sector circular: Figura 47.Tema 2. Puesto que el semicírculo tiene un eje de simetría el está en el eje y por tanto Para el caso del círculo completo. Centro de gravedad de un cuarto de círculo arbitrario. Centro de gravedad de un semicírculo. como tiene centro de simetría Javier Corral coincide con dicho centro. Como punto de partida para plantear el momento de inercia con respecto al origen (momento respecto a un punto) se va a utilizar un nuevo espesor y está situado a una distancia genérica que es un anillo circular. Geometría de masas Se van a plantear a continuación los momentos de inercia de estas figuras elementales. (70) quedando: (71) siendo cualquier eje diametral del círculo. dada la simetría de la figura: (69) luego. Momento de inercia de un círculo. Tiene un del origen : (66) Figura 49. Veamos a continuación el caso del semicírculo: Javier Corral 34 .Tema 2. ∫ ∫ ∫ ] (67) Se ha demostrado previamente que el momento de inercia respecto de un punto es igual a la suma de los momentos de inercia respecto de dos ejes perpendiculares que se cortan según dicho punto: (68) Además.Se va a plantear el momento de inercia del círculo completo respecto de un eje que contiene a un diámetro. Momento de inercia de un semicírculo. por tanto.Tema 2. Javier Corral 35 . Y. Geometría de masas Figura 50. se puede descomponer el círculo en dos semicírculos de manera que el momento de inercia de todo el sistema con respecto a un eje se puede obtener como: (72) y puesto que ambos semicírculos son iguales: (73) que es el momento de inercia de un semicírculo respecto de un eje que pasa por su díametro. este resultado es exactamente el mismo para el eje perpendicular: (74) Siguiendo el mismo razonamiento se puede descomponer el semicírculo en dos cuartos de círculo quedando así: (75) Figura 51. Momento de inercia de un cuarto de círculo. A continuación se presenta la obtenición de los productos de inercia: Por existir ejes de simetría. tanto para el semicírculo como para el círculo el producto de inercia es nulo. Producto de inercia del cuarto de círculo. √ Así para calcular el producto de inercia. en función de la coordenada (77) (78) (79) ( ] ] ) ( ) Javier Corral 36 . ∫ ∫ ( ) ∫ √ √ . La ecuación de una circunferencia es: (76) Por lo que para definir el ancho del diferencial de área. basta con despejarla de la ecuación anterior: √ y para plantear el diferencial de área. Producto de inercia de figuras con simetría. Geometría de masas Figura 52. Para el cuarto de círculo se va a emplear el diferencial de área propuesto en las reglas generales: Figura 53.Tema 2. Tema 2. Áreas parabólicas La ecuación general de una parábola es: (80) si se desea que pase por el punto ( ) ( ). Las expresiones respecto de los ejes que pasan por el centro de gravedad no son tan inmediatas. 2. Signo del producto inercia para el cuarto de círculo. Se obtendrán por aplicación del Teorema de Steiner a partir de los valores que se han calculado para los ejes diametrales. Geometría de masas Y nuevamente habrá que tener en cuenta la posición del cuarto de círculo con respecto a los ejes para determinar el signo del producto de inercia: Figura 54.8. entonces (81) y resulta la siguiente ecuación: (82) Figura 55. Área parabólica.5. Obtenida la función se va a plantea el diferencial de área: Javier Corral 37 . Geometría de masas Figura 56. Diferencial de área para el caso de área parabólica. ] (87) (88) Y si se desea obtener el área superior: Javier Corral 38 . Puesto que se trata de una figura simple continua habrá que plantear su G por integración: ∫ así que será necesario obtener el área: (85) ∫ y el momento estático : ] (86) ∫ por tanto.Tema 2. (83) donde (84) puesto que es un punto de la parábola. 9. el área compuesta de la siguiente figura se puede descomponer como sigue: Figura 58. Por ejemplo. (89) y para el centro de gravedad (90) 2. Descomposición en figuras simples. cuando tengamos un área compuesta sus propiedades geométricas se obtendrán a partir de las de las figuras simples que se han calculado.Áreas compuestas En base a los distintos resultados en apartados anteriores tanto para centros de gravedad como para momentos y productos de inercia. Y con esta descomposición se calcularán las distintas propiedades: ∑ ∑ y análogamente para los momentos y los productos de inercia ∑ ∑ (92) (91) Javier Corral 39 . Geometría de masas Figura 57. Parte superior de la parábola.Tema 2.