1º I.T.I.: MECANICA I TEMA Nº 6: ESTÁTICA EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS Departamento: INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila I.T.I 1º: MECANICA I Indice Punto 6.1 Introducción Punto 6.2 Diagramas de sólido libre Punto 6.2.1 Idealización de apoyos y conexiones bidimensionales Punto 6.2.2 Idealización de apoyos y conexiones tridimensionales Punto 6.3.1 Cuerpo de dos fuerzas (miembros de dos fuerzas) Punto 6.3.2 Cuerpo de tres fuerzas (miembros de tres fuerzas) Punto 6.3.3 Reacciones hiperestáticas y ligaduras parciales Punto 6.3.4 Resolución de problemas Punto 6.3 Equilibrio en dos dimensiones Punto 6.4 Equilibrio en tres dimensiones -2- Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila I.T.I 1º: MECANICA I 6.1 Introducción En el capítulo 4 se vio que, en el caso de un cuerpo rígido, el sistema de fuerzas más general se puede expresar mediante una fuerza resultante R y un par resultante C. Por tanto, para que esté en equilibrio un cuerpo rígido deberán anularse la fuerza resultante R y el par resultante C. Vectorialmente: R Fx i Fy j Fz k 0 C M x i M y j M z k 0 Escalarmente: F 0 F 0 F 0 M 0 M 0 M 0 x y z x y z Estas últimas ecuaciones son condiciones necesarias para el equilibrio de un cuerpo rígido. Cuando a partir de estas ecuaciones se puedan determinar todas las fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo, serán también condiciones suficientes para el equilibrio. -3- Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila I.T.I 1º: MECANICA I Las fuerzas y momentos que se ejercen sobre un cuerpo rígido pueden ser exteriores o interiores: - Fuerzas exteriores: Fuerza que sobre un cuerpo rígido ejerce otro cuerpo por contacto directo o a distancia. Ej.- Peso - Fuerzas interiores: Fuerzas que mantienen unidas las partículas del cuerpo rígido o, si el cuerpo de interés está compuesto de varias partes, las fuerzas que mantienen unidas dichas partes. Las fuerzas exteriores pueden dividirse a su vez, en fuerzas aplicadas y fuerzas de reacción: - Fuerzas aplicadas: Fuerzas que sobre el cuerpo ejercen agentes exteriores. - Fuerzas de reacción: Fuerzas que sobre el cuerpo ejercen los apoyos y las conexiones. Como las fuerzas interiores son, dos a dos, de igual módulo y recta soporte pero de sentidos opuestos, no tendrán efecto sobre el equilibrio del cuerpo rígido en su conjunto. Por tanto, en este capitulo solo nos ocuparemos de las fuerzas exteriores y de los momentos que esta originan. -4- Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila I.T.I 1º: MECANICA I 6.2 Diagramas de sólido libre La mejor manera de identificar todas las fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo de interés es seguir el método del diagrama de sólido libre. Este diagrama de sólido libre debe mostrar todas las fuerzas aplicadas y todas las reacciones vinculares que se ejercen sobre el cuerpo. Repasamos de nuevo el procedimiento básico: Primer paso: Decidir qué cuerpo o combinación de cuerpos se va a considerar en el DSL. Segundo paso: Preparar un dibujo o esquema del perfil de este cuerpo aislado o libre. Tercer paso: Seguir con cuidado el contorno del cuerpo libre e identificar todas las fuerzas que ejercen los cuerpos en contacto o en interacción que han sido suprimidos en el proceso de aislamiento. Cuarto paso: Elegir el sistema de ejes de coordenadas a utilizar en la resolución del problema e indicar sus direcciones sobre el DSL. -5- I 1º: MECANICA I 6. Energetikoa eta Materialeen Saila I. junto con las F y M que se utilizan para representar sus acciones sobre el cuerpo rígido en el DSL. Recta soporte: tangente al hilo.1 Idealización de apoyos y conexiones bidimensionales A continuación se indican los tipos habituales de apoyos y conexiones utilizados en cuerpos rígidos sometidos a sistemas bidimensionales de fuerzas. cadena o cable flexible en el punto de amarre. cuerda. B) Hilo. A) Atracción gravitatoria Peso de cuerpo W. Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa. Recta soporte: pasa por el centro de gravedad del cuerpo y dirigida al centro de la Tierra.T. -6- . cuerda. cadena o cable flexible Ejerce siempre una fuerza R de tracción sobre el cuerpo.2.Departamento de Ingeniería Mecánica. T. -7- . D) Bola. Recta soporte: dirigida según el eje de conexión.Departamento de Ingeniería Mecánica. rodillo o zapata Pueden ejercer sobre el cuerpo una fuerza R de compresión. Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa. Energetikoa eta Materialeen Saila I. Recta soporte: normal a la superficie de apoyo.I 1º: MECANICA I C) Conexión rígida (barra) Puede ejercer sobre el cuerpo una fuerza R de tracción o de compresión. F) Pasador liso Puede ejercer sobre el cuerpo una fuerza R de módulo R y dirección θ desconocidos. Recta soporte: normal a la superficie lisa en el punto de contacto del cuerpo con la superficie. la fuerza R suele representarse en el DSL mediante sus componentes rectangulares Rx y Ry. -8- .T. Debido a ello. Energetikoa eta Materialeen Saila I. Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa.I 1º: MECANICA I E) Superficie lisa (plana o curva) Puede ejercer sobre el cuerpo una fuerza R de compresión.Departamento de Ingeniería Mecánica. Energetikoa eta Materialeen Saila I. Se supondrá un sentido para R en el DSL pudiendo ser hacia abajo y a la izda o hacia arriba y a la dcha. Debido a ello.I 1º: MECANICA I G) Superficie rugosa Pueden resistir una fuerza tangencial de rozamiento Rt así como una fuerza normal de compresión Rn. -9- .T.Departamento de Ingeniería Mecánica. Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa. La fuerza R suele representarse en el DSL mediante sus componentes rectangulares Rn y Rt. la fuerza R es de compresión dirigida según un ángulo θ desconocido. H) Pasador en una guía lisa Solo puede transmitir una fuerza R perpendicular a las superficies de la guía. T. Energetikoa eta Materialeen Saila I.I 1º: MECANICA I I) Collar sobre un árbol liso (Conexión con pasador) J) Apoyo fijo (empotramiento) Puede ejercer sobre el cuerpo una fuerza R y un momento M. Como no se conoce ni el módulo ni la dirección de R. esta suele representarse mediante sus componentes rectangulares.10 - . Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa.Departamento de Ingeniería Mecánica. (Conexión fija-soldada) . Sentido: dependiendo si el resorte está alargado o acortado. la tensión T del cable será constante para satisfacer el equilibrio de momentos respecto al eje de la polea. Recta soporte: coincide con el eje del resorte.11 - . . Energetikoa eta Materialeen Saila I. Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa.I 1º: MECANICA I K) Resorte elástico lineal La fuerza R que ejerce el resorte sobre el cuerpo es proporcional a la variación de longitud del resorte. Como el pasador es liso.T.Departamento de Ingeniería Mecánica. L) Polea ideal El pasador que conecta una polea ideal con un miembro puede ejercer sobre el cuerpo una fuerza R de módulo y dirección desconocidos. Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa.T.I 1º: MECANICA I PROBLEMA 6. DSL .Departamento de Ingeniería Mecánica.12 - . Energetikoa eta Materialeen Saila I.1 Dibujar el diagrama de sólido libre de la viga de la figura. Departamento de Ingeniería Mecánica. Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa.13 - .T. Energetikoa eta Materialeen Saila I.2 Dibujar el diagrama de sólido libre de la viga de la figura. Despreciar el peso de la viga. DSL .I 1º: MECANICA I PROBLEMA 6. I 1º: MECANICA I PROBLEMA 6.14 - . Energetikoa eta Materialeen Saila I. Dibujar el diagrama de sólido libre para el cilindro.Departamento de Ingeniería Mecánica.T. Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa. para la armadura de dos barras y para el pasador en C. DSL´s .3 Un cilindro se apoya sobre una superficie lisa formada por un plano inclinado y una armadura de dos barras. para el poste AB y la viga CD.15 - .I 1º: MECANICA I PROBLEMA 6. Energetikoa eta Materialeen Saila I.Departamento de Ingeniería Mecánica.T. DSL´s . Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa.4 Dibujar el diagrama de sólido libre para la polea. Energetikoa eta Materialeen Saila I.16 - . Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa.Departamento de Ingeniería Mecánica.6 (Pag. 222) Dibujar el diagrama de sólido libre para el cilindro y la barra AB. Incluye el peso de los dos cuerpos y supón lisas todas las superficies.I 1º: MECANICA I PROBLEMA 6. .T. 7 (Pag. Incluye el peso de la viga. 223) Dibujar el diagrama de sólido libre para la viga AD. Energetikoa eta Materialeen Saila I.Departamento de Ingeniería Mecánica.17 - . Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa.T. .I 1º: MECANICA I PROBLEMA 6. Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa.14 (Pag.18 - . 224) Dibujar el diagrama de sólido libre para la barra AB y para la barra BD.Departamento de Ingeniería Mecánica. . Energetikoa eta Materialeen Saila I.I 1º: MECANICA I PROBLEMA 6.T. Desprecia el peso de las barras. A) Rótula Puede transmitir una fuerza R pero no momentos.T. junto con las F y M que se utilizan para representar sus acciones sobre el cuerpo rígido en el DSL.2 Idealización de apoyos y conexiones tridimensionales A continuación se indican los tipos habituales de apoyos y conexiones utilizados en cuerpos rígidos sometidos a sistemas tridimensionales de fuerzas.I 1º: MECANICA I 6.19 - . Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa.Departamento de Ingeniería Mecánica.2. . Esta fuerza suele representarse mediante sus tres componentes rectangulares. Energetikoa eta Materialeen Saila I. C) Cojinete de bolas El cojinete de bolas ideal (liso) tiene por misión transmitir una fuerza R en una dirección perpendicular al eje del cojinete. Si el cojinete tiene la dirección del eje y. . Ciertos goznes pueden transmitir pequeños momentos respecto a ejes perpendiculares a ejes del pasador. la acción del cojinete se representa en el DSL por las componente Rx y Rz. Las parejas de goznes alineadas adecuadamente sólo transmiten fuerzas en las condiciones de utilización normales.20 - . Su diseño puede también permitir transmitir una componente de la fuerza a lo largo del eje del pasador.I 1º: MECANICA I B) Gozne (Bisagra) Normalmente destinado a transmitir una fuerza R en una dirección perpendicular al eje del pasador del gozne.T. Energetikoa eta Materialeen Saila I.Departamento de Ingeniería Mecánica. Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa. T.I 1º: MECANICA I D) Cojinete de fricción (Chumacera) Han de transmitir una fuerza R en una dirección perpendicular a su eje. Ciertas chumaceras pueden transmitir pequeños momentos respecto a ejes perpendiculares al eje del árbol. Ciertos cojinetes de empuje pueden transmitir pequeños momentos respecto a ejes perpendiculares al eje del árbol. Las parejas de chumaceras alineadas adecuadamente sólo transmiten fuerzas perpendiculares al eje del árbol.21 - . E) Cojinete de empuje Ha de transmitir componentes de fuerza tanto perpendiculares como paralelas al eje del cojinete. . Las parejas de cojinetes alineados adecuadamente sólo transmiten fuerzas en condiciones normales de funcionamiento. Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa.Departamento de Ingeniería Mecánica. Energetikoa eta Materialeen Saila I. G) Apoyo fijo (Empotramiento) Puede resistir tanto una fuerza R como un par C.I 1º: MECANICA I F) Articulación lisa de pasador Ha de transmitir una fuerza R en una dirección perpendicular al eje del pasador. Se desconocen los módulos y direcciones de fuerza y par por lo que en el DSL se representan las tres componentes rectangulares de cada uno. También pueden transmitir pequeños momentos respecto a ejes perpendiculares al eje del pasador. Energetikoa eta Materialeen Saila I. Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa. pero también puede transmitir una componente de la fuerza según dicho eje.Departamento de Ingeniería Mecánica. .22 - .T. 23 - . un cable flexible en B y una articulación de pasador en C.Departamento de Ingeniería Mecánica.T. Energetikoa eta Materialeen Saila I. Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa. DSL .5 Dibujar el diagrama de sólido libre de la barra curva soportada por una rótula en A.I 1º: MECANICA I PROBLEMA 6. Despréciese el peso de la barra. 225) Dibujar el diagrama de sólido libre del bloque representado en la figura.Departamento de Ingeniería Mecánica. El apoyo en A es una rótula y el soporte en B es una articulación de pasador.21 (Pag. Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa.I 1º: MECANICA I PROBLEMA 6.24 - . . Energetikoa eta Materialeen Saila I.T. 24 (Pag. El apoyo en A es una chumacera y los apoyos en B y C son cojinetes de bolas.T. Energetikoa eta Materialeen Saila I.25 - . 225) Dibujar el diagrama de sólido libre de la barra doblada de la figura.I 1º: MECANICA I PROBLEMA 6. Despréciese el peso de la barra 3 .Departamento de Ingeniería Mecánica. Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa. Departamento de Ingeniería Mecánica. Esta últimas ecuaciones constituyen las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un cuerpo rígido sometido a un sistema bidimensional de fuerzas. tres de las seis ecuaciones escalares independientes del equilibrio se satisfacen automáticamente: F 0 M 0 M 0 C Mzk 0 z x y Por tanto.3 Equilibrio en dos dimensiones Problema bidimensional: en él. las fuerzas que intervienen están contenidas en un plano y los ejes de todos los pares son perpendiculares al plano que contiene las fuerzas.I 1º: MECANICA I 6. Energetikoa eta Materialeen Saila I. . Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa. Las ecuaciones de equilibrio se reducen (vectorialmente) a: R Fx i Fy j 0 Así. sólo hay tres ecuaciones escalares independientes para el equilibrio de un cuerpo rígido sometido a un sistema bidimensional de fuerzas: F x 0 F y 0 M A 0 La tercera ecuación se refiere a la suma de momentos de todas las fuerzas respecto a un eje z que pase por un punto cualquiera A perteneciente al cuerpo o no.T.26 - . que no se halle en el Fy 0 eje y. La resultante puede expresarse mediante sus componentes rectangulares (figura 2). . Si se cumple la condición: Si además se cumple que: M 0 C 0 F 0 R F A x y j Para todo punto B del cuerpo o exterior a él. la ecuación M B 0 sólo puede satisfacerse si Así pues. 1ª En la primera figura se aprecian la resultante R y el par resultante C de un sistema bidimensional cualquiera de fuerzas que se ejercen sobre un cuerpo rígido.27 - . Energetikoa eta Materialeen Saila I. otro sistema de ecuaciones escalares para el equilibrio en problemas bidimensionales es: F x 0 M A 0 M B 0 en donde los puntos A y B han de tener coordenadas x diferentes.T.I 1º: MECANICA I Hay otras dos maneras de expresar las ecuaciones de equilibrio de un cuerpo sometido a un sistema bidimensional de fuerzas.Departamento de Ingeniería Mecánica. Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa. T. Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa.I 1º: MECANICA I Si se cumple la condición: 2ª Las ecuaciones de equilibrio para un sistema bidimensional de fuerzas se pueden escribir también utilizando tres ecuaciones de momentos. Energetikoa eta Materialeen Saila I. perteneciente al cuerpo o no. M A 0 C0 Además para un punto B del eje x que pertenezca o no al cuerpo (excepto en el punto A). B y C son tres puntos cualesquiera no alineados. la ecuación M B 0 podrá satisfacerse Fy 0 sólo si Así pues. otro sistema de ecuaciones escalares para el equilibrio en problemas bidimensionales es: M A 0 M B 0 M C 0 donde A. .28 - . que no esté sobre el eje x.Departamento de Ingeniería Mecánica. R F i x Para todo punto C. la ecuación M C 0 solo podrá satisfacerse si Fx 0 Así pues. en los miembros de dos fuerzas. Energetikoa eta Materialeen Saila I.1 Cuerpos (miembros) de 2 fuerzas El equilibrio de un cuerpo sometido a dos fuerzas se presenta con bastante frecuencia por lo que se le presta especial atención.T.3. el equilibrio exige que las fuerzas sean de igual módulo y recta soporte.29 - . .Departamento de Ingeniería Mecánica. Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa. por tanto: Ay B y 0 Así pues. Ejemplo: barra de conexión de peso despreciable (figura).I 1º: MECANICA I 6. pero opuestas. Aplicado ecuaciones de equilibrio: Fx 0 Ax Bx 0 Ax Bx F y 0 Ay B y 0 Ay B y Las fuerzas Ay y By forman un par que debe ser nulo si la barra está en equilibrio. Los pesos de los miembros deben ser despreciables. La forma del miembro no influye en este sencillo requisito. Las fuerzas que sobre la barra ejercen los pasadores lisos situados en A y B se pueden descomponer en componentes según el eje de la barra y perpendicular a él. la fuerza no concurrente ejercería un momento respecto al punto de concurso de las otras dos fuerzas. .2 Cuerpos (miembros) de 3 fuerzas El equilibrio de un cuerpo bajo la acción de tres fuerzas constituye también una situación especial. Ejemplo: DSL de AB Si un cuerpo está en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas las rectas soportes de éstas deben ser concurrentes (pasar por un punto común).I 1º: MECANICA I 6.Departamento de Ingeniería Mecánica. Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa.30 - .3. Energetikoa eta Materialeen Saila I.T. Si no fuera así. El punto de concurso es el infinito. Caso particular: Un cuerpo sometido a tres fuerzas paralelas. La barra B origina una fuerza en y generando así un momento respecto a A que impida la rotación del cuerpo.I 1º: MECANICA I 6. los apoyos deben poder ejercer sobre el cuerpo un sistema fuerza-par igual y opuesto (ligaduras). Este puede sustituirse por uno equivalente formado por una fuerza que pase por un punto arbitrario A y un par.Departamento de Ingeniería Mecánica.31 - .3 Reacciones hiperestáticas y ligaduras parciales Tenemos un cuerpo sometido a un sistema de fuerzas coplanarias. Para que el cuerpo esté en equilibrio.T. Energetikoa eta Materialeen Saila I. Cuando las ecuaciones de equilibrio sean suficientes para determinar las fuerzas incógnitas en los apoyos el cuerpo está determinado estáticamente con ligaduras adecuadas (isostáticas). . Ejemplo: Consideremos los apoyos de la figura (a) El pasador en A puede ejercer fuerzas en x y en y que eviten la traslación del cuerpo pero no puede ejercer un momento que impida la rotación entorno a A.3. Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa. pero como la recta soporte de Bx pasa por A.Departamento de Ingeniería Mecánica. Energetikoa eta Materialeen Saila I. Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa. El cuerpo está ligado parcialmente (insuficientemente) y las ecuaciones de equilibrio no son suficientes para determinar todas las reacciones incógnitas. Ejemplo 1: El pasador en A puede ejercer fuerzas en x y en y que eviten la traslación del cuerpo. no ejerce el momento necesario para evitar la rotación en torno a A.T. Lo mismo ocurre en el siguiente ejemplo: .I 1º: MECANICA I Tres reacciones vinculares para un cuerpo sometido a un sistema de fuerzas coplanario no siempre garantizan que el cuerpo esté determinado estáticamente con ligaduras isostáticas.32 - . Energetikoa eta Materialeen Saila I.33 - . . Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa. Un cuerpo con un número adecuado de reacciones está insuficientemente ligado cuando las ligaduras estén dispuestas de tal manera que las fuerzas en los apoyos sean concurrentes o paralelas.T.Departamento de Ingeniería Mecánica.I 1º: MECANICA I Ejemplo 2: Sus tres conexiones pueden evitar la rotación en torno a un punto cualquiera y la traslación del cuerpo en la dirección y pero no la traslación del cuerpo en la dirección x. 34 - . Energetikoa eta Materialeen Saila I.T. la viga está insuficientemente ligada ya que se movería en la dirección x si cualquiera de las cargas aplicadas tuviera una pequeña componente según x.Departamento de Ingeniería Mecánica.I 1º: MECANICA I Los cuerpos ligados parcialmente pueden estar en equilibrio bajo la acción de sistemas de fuerzas específicos. . Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa. Ejemplo: Las reacciones RA y RB de la viga se pueden determinar usando F 0 M 0 y A Sin embargo. se obtiene una reacción MECANICA I adicional Bx que no es necesaria para evitar el movimiento del cuerpo. Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa.35 - . Energetikoa eta Materialeen Saila Si en vez de una conexión rígida en B I.T. Los apoyos que no son necesarios para mantener el equilibrio del cuerpo se llaman superabundantes. las 3 ecuaciones independientes de equilibrio no proporcionan suficiente información para determinar las 4 incógnitas.Departamento de Ingeniería Mecánica.I 1º: colocamos un pasador. DSL DSL Los cuerpos ligados con apoyos de más están indeterminados estáticamente ya que serán necesarias relaciones referentes a propiedades físicas del cuerpo (sistemas hiperestáticos). Así. Ejemplos: . I 1º: MECANICA I 6. Dibujar el diagrama de sólido libre adecuado. Leer atentamente el enunciado.4 Resolución de problemas La aplicación a problemas de equilibrio del procedimiento visto en el capítulo primero para resolver problemas de tipo técnico. .Departamento de Ingeniería Mecánica. escribir otras ecuaciones de equilibrio y ver si las satisface la solución. Aplicar las ecuaciones adecuadas de fuerzas y momentos. Identificar las ecuaciones de equilibrio a utilizar para obtener el resultado. 4. conduce a lo siguiente: Pasos para analizar y resolver problemas de equilibrio: 1. 6. Estudiar la respuesta y determinar si es razonable. Identificar el resultado que se pide. Energetikoa eta Materialeen Saila I.36 - . Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa.3. Como comprobación. Registrar la respuesta con el número adecuado de cifras significativas y las unidades apropiadas. 5.T. 2. Preparar un esquema a escala y tabular la información de que se dispone. 8. 3. 7. 37 - . El cuerpo W tiene una masa de 100 kg.6 Una armadura conectada mediante pasadores está cargada y apoyada en la forma que se indica en la figura.T. Determinar las componentes de las reacciones en los apoyos A y B. Energetikoa eta Materialeen Saila I. Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa. DSL .Departamento de Ingeniería Mecánica.I 1º: MECANICA I PROBLEMA 6. Energetikoa eta Materialeen Saila I. DSL .T. Determinar las componentes de las reacciones en los apoyos A y B. Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa.38 - .I 1º: MECANICA I PROBLEMA 6.7 Una viga está cargada y apoyada en la forma que se indica en la figura.Departamento de Ingeniería Mecánica. Determinar las componentes de las reacciones en los apoyos A y B.8 DSL .T. Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa.39 - .I 1º: MECANICA I Una viga está cargada y apoyada en la forma que se indica en la figura.Departamento de Ingeniería Mecánica. Energetikoa eta Materialeen Saila I. PROBLEMA 6. Determinar las reacciones en los apoyos A y B.Departamento de Ingeniería Mecánica. Energetikoa eta Materialeen Saila I.9 Un entramado conectado mediante pasadores está cargado y apoyado según se indica en la figura. DSL .40 - . Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa.I 1º: MECANICA I PROBLEMA 6.T. 10 Un entramado de dos barras conectado por pasadores está cargado y apoyado según se indica en la figura. DSL´s . Determinar las reacciones en los apoyos A y B. Energetikoa eta Materialeen Saila I.I 1º: MECANICA I PROBLEMA 6.41 - . Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa.T.Departamento de Ingeniería Mecánica. 11 Una barra que pesa 1250 N está soportada por un poste y un cable según se indica en la figura. Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa. Energetikoa eta Materialeen Saila I. Se suponen lisas todas las superficies.T. DSL .42 - . Determinar la tensión del cable y las fuerzas que se ejercen sobre la barra en las superficies de contacto.Departamento de Ingeniería Mecánica.I 1º: MECANICA I PROBLEMA 6. Las reacciones en los apoyos A y C del entramado de dos barras.Departamento de Ingeniería Mecánica.T.12 Un cilindro de masa 50 kg se apoya sobre un plano inclinado y un entramado de dos barras articulado por pasador. Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa. determinar: a) Las fuerzas que sobre el cilindro ejercen las superficies de contacto. Suponiendo lisas todas las superficies.43 - . Energetikoa eta Materialeen Saila I. b) .I 1º: MECANICA I PROBLEMA 6. Energetikoa eta Materialeen Saila I. Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa.Departamento de Ingeniería Mecánica.T.44 - .I 1º: MECANICA I PROBLEMA 6.12 bis DSL´s . Departamento de Ingeniería Mecánica. 244) Tres tuberías se encuentran sobre un bastidor según se indica en la figura.51 (Pag.T. Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa. Determinar las reacciones en los apoyos A y B.45 - . .I 1º: MECANICA I PROBLEMA 6. Energetikoa eta Materialeen Saila I. Cada tubería pesa 500 N. (figura 2) El sistema dado se sustituye por dos sistemas (figura 3) : • Un sistema de fuerzas no coplanarias concurrentes en O con módulo. dirección y sentido igual a los de las fuerzas del sistema original.46 - . • Un sistema de pares no coplanarios. Energetikoa eta Materialeen Saila RECUERDA: Resultante de un sistema de fuerzas cualesquiera La resultante de un sistema tridimensional de fuerzas cualesquiera (figura 1) se puede determinar descomponiendo cada fuerza del sistema en una fuerza igual y paralela que pase por un punto dado (O origen de coordenadas) y un par.I 1º: MECANICA I 6. Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa.4 Equilibrio en tres dimensiones .Departamento de Ingeniería Mecánica. I.T. Departamento de Ingeniería Mecánica. Casos particulares: •R=0 •C=0 • R = 0 y C = 0 (Sistema en equilibrio) Por tanto. Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa. la resultante de un sistema de fuerzas cualquiera puede ser o una fuerza R o un par C o una fuerza más un par.47 - .T.I 1º: MECANICA I Cada una de las fuerzas y cada uno de los pares de los dos sistemas se pueden descomponer en componentes según los ejes de coordenadas (figuras 1 y 2) La resultante del sistema de fuerzas concurrentes es un fuerza R que pasa por el origen y la resultante del sistema de pares no coplanarios es un par C. Energetikoa eta Materialeen Saila I. . . un sistema genérico.T. de n fuerzas y n pares puede sustituirse por un sistema equivalente constituido por fuerzas concurrentes no coplanarias y un sistema de pares no coplanarios cuyas resultantes se pueden expresar así: R Fx i Fy j Fz k C Mxi M y j Mz k La fuerza resultante R. escalares de equil. Estas son las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio del cuerpo.I 1º: MECANICA I 6.48 - . Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa. lo que exige que F 0 F 0 F 0 M 0 M 0 M 0 x y z x y z 6 ec. junto con el par resultante C. un cuerpo rígido sometido a un sistema genérico tridimensional de fuerzas estará en equilibrio si R = C = 0. Energetikoa eta Materialeen Saila I.Departamento de Ingeniería Mecánica. tridimensional. constituyen la resultante del sistema genérico tridimensional de fuerzas.4 Equilibrio en tres dimensiones (Continuación) Por tanto y como ya se ha dicho. Así pues. indep. 5 kN está soportada por un árbol AB y un cable C.49 - .T. DSL .13 Una placa que pesa 2. Los cojinetes están alineados adecuadamente de forma que solo trasmiten fuerzas. Determinar las reacciones en los cojinetes A y B y la tensión en el cable C cuando se apliquen a la placa las tres fuerzas indicadas. En A hay un cojinete de bolas y en B un cojinete de empuje.Departamento de Ingeniería Mecánica.I 1º: MECANICA I PROBLEMA 6. Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa. Energetikoa eta Materialeen Saila I. Energetikoa eta Materialeen Saila I.I 1º: MECANICA I PROBLEMA 6.T.50 - .14 Un poste y un soporte sostienen una polea. Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa. DSL . Determinar la reacción en el apoyo A del poste. Un cable que pasa sobre la polea transmite una carga de 2500 N en la forma indicada.Departamento de Ingeniería Mecánica. DSL .51 - .Departamento de Ingeniería Mecánica. Energetikoa eta Materialeen Saila I.T.15 Las masas de las cajas que descansan sobre la plataforma son 300 kg. Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa. 100 kg y 200 kg respectivamente. B y C que la soportan.I 1º: MECANICA I PROBLEMA 6. La masa de la plataforma es de 500 kg. Determinar las tensiones de los tres cables A. 16 El tablero de la figura tiene una masa de 25 kg y lo mantienen en posición horizontal dos goznes y una barra.T.52 - . Los goznes están alineados adecuadamente de forma que solo ejercen reacciones de fuerza sobre el tablero. B y D. Determinar las reacciones en los apoyos A. DSL .Departamento de Ingeniería Mecánica. Energetikoa eta Materialeen Saila I.I 1º: MECANICA I PROBLEMA 6. Supóngase que el gozne en B resiste toda fuerza dirigida según el eje de los pasadores de los goznes. Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa. Energetikoa eta Materialeen Saila I.T.Departamento de Ingeniería Mecánica.I 1º: MECANICA I PROBLEMAS Recomendados: Los ejercicios de las Paginas 257-258 Del 6-72 al 6-81 . Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa.53 - . 54 - . Determinar la fuerza p que hay que aplicarle para que supere el escalón que se indica. Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa.T.73 (Pag.I 1º: MECANICA I PROBLEMA 6. 257) El rodillo de la figura pesa 1250 N. . Energetikoa eta Materialeen Saila I.Departamento de Ingeniería Mecánica. .Departamento de Ingeniería Mecánica.I 1º: MECANICA I PROBLEMA 6.T.55 - . Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa. masa 25 kg y longitud 1 m. 257) La barra AB de la figura tiene sección recta uniforme.74 (Pag. Determinar el ángulo correspondiente al equilibrio. Energetikoa eta Materialeen Saila I.