Soluções de Análise Real Vol 1 Elon Lages Lima

Solu¸oes dos exerc´ c˜ ıcios de An´lise do livro An´lise real a a volume 1 de Elon Lages Lima.Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡ Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ rodrigo.uﬀ[email protected] ‡ 8 de dezembro de 2011 1 Sum´rio a 1 Solu¸oes-An´lise Real Volume 1 (Elon ﬁno) c˜ a 1.1 1.2 Nota¸˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . co Cap´ ıtulo 1-Conjuntos ﬁnitos e inﬁnitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.4 1.4.1 1.4.2 1.4.3 1.4.4 1.5 1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.5.4 1.6 1.6.1 1.6.2 N´meros naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u Conjuntos ﬁnitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 6 6 6 9 Conjuntos inﬁnitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Conjuntos enumer´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 a R ´ um corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 e R ´ um corpo ordenado e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 R ´ um corpo ordenado completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 e Limite de uma sequˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 e Limites e desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Opera¸˜es com limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 co Limites inﬁnitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 S´ries convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 e S´ries absolutamente convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 e Teste de convergˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 e Comutatividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Conjuntos abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Cap´ ıtulo 2-N´meros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 u Cap´ ıtulo 3-Sequˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 e Cap´ ıtulo 4-S´ries num´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 e e Cap´ ıtulo 5-Algumas no¸˜es topol´gicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 co o Conjuntos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2 ´ SUMARIO 3 1.6.3 1.6.4 1.6.5 1.7 1.7.1 1.7.2 1.7.3 1.8 1.8.1 1.8.2 1.8.3 1.8.4 1.9 1.9.1 1.9.2 1.9.3 1.9.4 Pontos de acumula¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 ca Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 O conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Deﬁni¸˜o e primeiras propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 ca Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Limites no inﬁnito, limites inﬁnitos, etc. . . . . . . . . . . . . . . . 85 Deﬁni¸˜o e primeiras propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 ca Fun¸oes cont´ c˜ ınuas num intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Fun¸oes cont´ c˜ ınuas em conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . 95 Continuidade uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 A no¸˜o de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 ca Regras operacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Derivada e crescimento local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Fun¸oes deriv´veis num intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 c˜ a Cap´ ıtulo 6-Limite de fun¸oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 c˜ Cap´ ıtulo 7-Fun¸˜es cont´ co ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Cap´ ıtulo 8-Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 1.10 Cap´ ıtulo 9-F´rmula de Taylor e aplica¸˜es da Derivada . . . . . . . . . . . 120 o co 1.10.1 F´rmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 o 1.10.2 Fun¸oes cˆncavas e convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 c˜ o 1.10.3 Aproxima¸˜es sucessivas e m´todo de Newton . . . . . . . . . . . . 132 co e 1.11 Cap´ ıtulo 10-A integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 1.11.1 Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 1.11.2 Propriedades da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 1.11.3 Condi¸oes suﬁcientes de integrabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . 146 c˜ 1.12 Cap´ ıtulo 11-C´lculo com integrais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 a 1.12.1 Os teoremas cl´ssicos do c´lculo integral. . . . . . . . . . . . . . . . 150 a a 1.12.2 A integral como limite de somas de Riemann . . . . . . . . . . . . . 152 1.12.3 Logaritmos e exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 1.12.4 Integrais impr´prias o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 1.13 Cap´ ıtulo 12-Sequˆncias e s´rie de fun¸oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 e e c˜ 1.13.1 Convergˆncia simples e convergˆncia uniforme . . . . . . . . . . . . 168 e e 1.13.2 Propriedades da convergˆncia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 172 e ´ SUMARIO 4 1.14 Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Cap´ ıtulo 1 Solu¸˜es-An´lise Real Volume 1 co a (Elon ﬁno) Este texto ainda n˜o se encontra na sua vers˜o ﬁnal, sendo, por enquanto, consa a titu´ apenas de anota¸˜es informais. Sugest˜es para melhoria do texto, corre¸oes da ıdo co o c˜ parte matem´tica ou gramatical eu agradeceria que fossem enviadas para meu Email a rodrigo.uﬀ[email protected]. Se houver alguma solu¸˜o errada, se quiser contribuir com uma solu¸ao diferente ou ca c˜ ajudar com uma solu¸˜o que n˜o consta no texto, tamb´m pe¸o que ajude enviando a ca a e c solu¸˜o ou sugest˜o para o email acima, colocarei no texto o nome da pessoa que tenha ca a ajudado com alguma solu¸˜o. Espero que esse texto possa ajudar alguns alunos que ca estudam an´lise pelo livro do Elon. a Os exerc´ ıcios que possuem dicas no ﬁnal do livro s˜o feitos, em geral, seguindo essas dia cas, por´m em alguns casos resolvemos um problema mais geral e tirando o exerc´ como e ıcio corol´rio direto de outra proposi¸ao, outras vezes damos solu¸oes diferentes. Tentamos a c˜ c˜ detalhar essas solu¸oes tornando claras passagens que poderiam ser obscuras. c˜ Os enunciados das quest˜es s˜o escritos no texto ,na maioria das vezes alterados, o a por´m tomamos o cuidado de manter a essˆncia de cada quest˜o. e e a A exposi¸ao do texto segue a linha Teorema-Demonstra¸ao. c˜ c˜ 5 ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 6 1.1 Nota¸˜es co denotar como (xk )n . 1 X Denotamos (xn ) uma sequˆncia (x1 , x2 , · · · ). Uma n upla (x1 , x2 , · · · , xn ) podemos e X O conjunto de valores de aderˆncia de uma sequˆncia (xn ) iremos denotar como e e A[xn ]. X Usaremos a abrevia¸˜o P BO para princ´ ca ıpio da boa ordena¸ao. c˜ X Denotamos f (x + 1) − f (x) = ∆f (x). X Usamos nota¸˜o Qxn = ca xn+1 . xn X Para simbolizar a k-´sima derivada da fun¸ao f , usamos os s´ e c˜ ımbolos Dk ou f (k) . X Se a sequˆncia (xn ) converge para a, podemos usar as nota¸oes lim xn = a ou e c˜ xn → a. 1.2 1.2.1 Cap´ ıtulo 1-Conjuntos ﬁnitos e inﬁnitos N´ meros naturais u Quest˜o 1 a) a Propriedade 1. Mostrar que n ∑ k=1 k= n(n + 1) . 2 Demonstra¸˜o. Por indu¸˜o sobre n. Para n = 1 a igualdade vale pois ca ca 1 ∑ k=1 k=1= 1(2) . 2 Supondo a validade para n n ∑ k=1 k= n(n + 1) 2 vamos provar para n + 1 n+1 ∑ k=1 k= (n + 1)(n + 2) . 2 ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 7 Por deﬁni¸˜o de somat´rio temos ca o n+1 ∑ k=1 k = (n + 1) + n ∑ k=1 k = (n + 1) + n(n + 1) n (n + 1)(n + 2) = (n + 1)(1 + ) = 2 2 2 . onde usamos a hip´tese da indu¸ao o c˜ Quest˜o 1 b) a Propriedade 2. Mostrar que n ∑ k=1 (2k − 1) = n2 . Demonstra¸˜o. Por indu¸˜o sobre n. Para n = 1 temos ca ca 1 ∑ (2k − 1) = 2.1 − 1 = 1 = 12 . k=1 supondo a validade para n, n ∑ k=1 (2k − 1) = n2 vamos provar para n + 1 n+1 ∑ k=1 (2k − 1) = (n + 1)2 . Usando a deﬁni¸ao de somat´rio e hip´tese da indu¸˜o tem-se c˜ o o ca n+1 ∑ k=1 (2k − 1) = n ∑ k=1 (2k − 1) + 2n + 1 = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 . Quest˜o 2 a Propriedade 3 (Axioma de Eudoxius). Dados m e n naturais com n > m ent˜o existe a q ∈ N tal que qm ≤ n < (q + 1)m. Demonstra¸˜o. Seja A = {x.m | xm > n, x ∈ N }, tal conjunto ´ n˜o vazio pois ca e a (n + 1).m > n, pelo P BO ele possui um menor elemento. Sabemos tamb´m que m n˜o e a pertence a esse conjunto, ent˜o x > 1, x sempre ´ sucessor de algum n´mero natural , a e u ent˜o podemos tomar o elemento m´ a ınimo de A da forma (q + 1)m. Tem-se (q + 1) > q ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 8 logo (q + 1).m > q.m, assim q.m n˜o pode pertencer ao conjunto A, pois iria contrariar a o P BO, logo por tricotomia vale q.m ≤ n e q.m ≤ n < (q + 1).m. Propriedade 4 (Divis˜o Euclidiana). Dados n > m, ent˜o existe q tal que n = q.m ou a a qm + r = n com r < m. Demonstra¸˜o. ca Pelo axioma de Eudoxius existe q tal que q.m ≤ n < (q + 1).m. da´ q.m = n ou ı q.m < n, se a primeira vale a demonstra¸ao termina, se vale a segunda existe r ∈ N tal c˜ que q.m + r = n. Agora analisamos as possibilidades para r, se r = m, q.m + m = n, m(q + 1) = n que ´ absurdo. Se r > m ent˜o q.m + r = n > q.m + m = m(q + 1) que e a tamb´m ´ absurdo, como n˜o vale r ≥ m ent˜o por tricotomia vale r < m e e a a Quest˜o 3 a Propriedade 5. Seja A ̸= ∅ subconjunto de N , com propriedade n, m ∈ A ⇔ m, m + n ∈ A ent˜o existe t ∈ N tal que A = {tn | n ∈ N }. a Demonstra¸˜o. A ´ n˜o vazio, ent˜o ele possui um elemento m´ ca e a a ınimo t. Primeiro vamos mostrar que B = {tn | n ∈ N } ⊂ A. t ∈ A, supondo tn ∈ A vamos mostrar que t(n + 1) ∈ A. A propriedade vale pois t(n + 1) = tn + t a adi¸˜o ´ fechada em A. Ent˜o ca e a os m´ltiplos de t pertencem ao conjunto A. u Agora dado um elemento m ∈ A, tomamos a divis˜o euclidiana de m por t, da´ existe a ı q ∈ N tal que m = q.t ou ∃r ∈ N tal que m = q.t + r. Se vale para todo m a primeira possibilidade ent˜o A ⊂ B implicando A = B. Vamos mostrar que a segunda n˜o ocorre. a a Se m ∈ A ´ da forma qt + r, como qt ∈ A segue que r ∈ A, mas vale r < t o que e contraria a minimalidade de t, ent˜o essa possibilidade n˜o pode acontecer e vale sempre a a m = q.t Quest˜o 4 a Propriedade 6. N˜o existe x ∈ N tal que n < x < n + 1. a . . ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 9 Essa propriedade nos mostra que todo n´mero natural diferente de 1 ´ sucessor de u e algum outro n´mero. u Demonstra¸˜o. Suponha que exista x nas condi¸˜es dadas, ent˜o x = n + p com p ca co a natural, p n˜o pode ser 1 e tamb´m n˜o pode ser p > 1, pois de 1 < p somando n, segue a e a x < n + 1 < n + p chegar´ ıamos em n + p < n + p que ´ falsa, resta ent˜o a possibilidade e a de p < 1 que n˜o acontece pois 1 ´ o menor elemento de N . a e Quest˜o 5 a Propriedade 7. Provar o princ´ ıpio da boa ordena¸ao por meio do axioma de indu¸ao. c˜ c˜ Demonstra¸˜o. ca Seja B um conjunto que satisfa¸a as condi¸˜es do axioma de indu¸ao, 1 ∈ B e ∀k ∈ B, c co c˜ k + 1 ∈ B, vamos provar que B = N. Suponha por absurdo que B ̸= N , deﬁnimos A = N \ B, tal conjunto ´ n˜o vazio ent˜o possui um elemento m´ e a a ınimo, tal elemento n˜o a pode ser 1 pois 1 ∈ B, ent˜o esse elemento ´ sucessor de algum n´mero natural e podemos a e u denotar tal elemento como t + 1 , isso implica que t ∈ B e por indu¸˜o t + 1 ∈ B que ´ ca e um absurdo . 1.2.2 Conjuntos ﬁnitos Quest˜o 1 a) a Propriedade 8. Se B ´ ﬁnito e A ⊂ B ent˜o |A| ≤ |B|. (nota¸ao |A| ´ o n´mero de e a c˜ e u elemento de A e A A ̸= B). Demonstra¸˜o. Faremos o caso de B = In . Como A ´ subconjunto de um conjunto ca e ﬁnito ent˜o ele ´ ﬁnito, seja ent˜o |A| = m, supondo por absurdo que m > n vale In a e a e de A ⊂ In Im segue que A Im Im , isto ´, A ´ subconjunto pr´prio de Im , por´m como e e o e B signiﬁca que A ´ subconjunto pr´prio de B, isto ´ A ⊂ B e e o e |A| = m, existe bije¸˜o entre Im e A, absurdo! pois n˜o pode existir bije¸ao entre um ca a c˜ conjunto ﬁnito e sua parte pr´pria. o ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 10 Quest˜o 1 b) a Propriedade 9. Se A e B s˜o ﬁnitos e disjuntos com |A| = n e |B| = m ent˜o A ∪ B ´ a a e ﬁnito com |A ∪ B| = m + n. Demonstra¸˜o. Existem bije¸oes f : In → A, g : Im → B. Deﬁnimos h : Im+n → ca c˜ A ∪ B como h(x) = f (x) se 1 ≤ x ≤ n e h(x) = g(x − n) se 1 + n ≤ x ≤ m + n (1 ≤ x − n ≤ m), como h ´ bije¸ao segue o resultado. e c˜ Propriedade 10. Se A e B s˜o conjuntos ﬁnitos n˜o necessariamente disjuntos vale a a a rela¸˜o ca |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. Demonstra¸˜o. Escrevemos A como a uni˜o disjunta A = (A \ B) ∪ (A ∩ B), da´ ca a ı |A| − |A ∩ B| = |A \ B| agora escrevemos A ∪ B = (A \ B) ∪ B, uni˜o disjunta logo a |A ∪ B| = |A \ B| + |B| usando a primeira express˜o segue que a |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. Quest˜o 1 c) a Propriedade 11. Sejam (A1 , A2 , · · · , An ) = (Ak )n (nota¸ao) conjunto ﬁnitos dois a dois c˜ 1 n n n ∑ ∑ ∪ mk . disjuntos, onde |Ak | = mk ent˜o | a Ak | = |Ak | = k=1 k=1 k=1 Demonstra¸˜o. Indu¸˜o sobre n. ca ca Propriedade 12. Se A e B s˜o ﬁnitos e disjuntos com |A| = m e |B| = n ent˜o A × B a a ´ ﬁnito com |A × B| = m.n. e Demonstra¸˜o. Podemos escrever A × B = ca m, logo |A × B| = | n ∪ k=1 n ∪ k=1 n ∑ k=1 Ak onde Ak = A × {Bk } com |Ak | = Ak | = |Ak | = m.n. ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 11 Quest˜o 2 a Propriedade 13. Seja |A| = n ent˜o |P (A)| = 2n . a Demonstra¸˜o. Por indu¸ao sobre n, se n = 1, ent˜o A = {a1 } possui dois subconca c˜ a juntos que s˜o ∅ e {α1 }. Suponha que qualquer conjunto qualquer B com n elementos a tenha |P (B)| = 2n , vamos provar que um conjunto C com n + 1 elementos implica |P (C)| = 2n+1 . Tomamos um elemento a ∈ C, C \ {a} possui 2n subconjuntos (por hip´tese da indu¸ao), sk de k = 1 at´ k = 2n , que tamb´m s˜o subconjuntos de C, por´m o c˜ e e a e podemos formar mais 2n subconjuntos de C com a uni˜o do elemento {a}, logo no total a temos 2n + 2n = 2n+1 subconjuntos de C e mais nenhum subconjunto, pois n˜o temos a nenhum outro elemento para unir aos subconjuntos dados. Quest˜o 3 a Propriedade 14. Sejam (Ak )n com |Ak | = mk ent˜o | a 1 Demonstra¸˜o. Por indu¸˜o sobre n. ca ca Propriedade 15. Se |A| = m e |B| = n ent˜o |F (A; B)| = nm . a Demonstra¸˜o.[1] Faremos o caso em que A = Im . As fun¸˜es de F (Im ; B) s˜o m ca co a uplas, sendo que em cada coordenada existem n possibilidades de elementos F (Im ; B) = da´ ı |F (Im ; B)| = | m ∏ k=1 m ∏ k=1 m ∏ k=1 n ∏ k=1 Ak | = n ∏ k=1 |Ak | = n ∏ k=1 mk . B B| = |B| = nm . No caso geral mostramos que existe uma bije¸˜o entre F (Im ; B) e F (A; B) logo tais ca conjuntos possuem a mesma quantidade de elementos. Demonstra¸˜o.[2] Por indu¸ao sobre m. Para m = 1. A = {a1 } e B = {b1 , · · · , bn }, ca c˜ temos n fun¸˜es fk (a1 ) = bk , ∀k ∈ In . Suponha a validade para um conjunto A′ qualquer co com m elementos, vamos provar para A com |A| = m+1. Tomamos a ∈ A, da´ A\{a} = A′ ı possui m elementos, logo |F (A′ , B)| = nm , podemos estender cada ft′ : A′ → B para f : A → B de n maneiras diferentes, tomando f (a) = bk , k ∈ In , logo temos no total nnm = nm+1 fun¸˜es co . ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 12 Quest˜o 4 a Propriedade 16. Se A ̸= ∅ ⊂ N ´ limitado superiormente ent˜o A possui m´ximo. e a a Demonstra¸˜o. Seja B = {n ∈ N | n > x, ∀x ∈ A.} , B ´ um conjunto n˜o vazio de ca e a n´meros naturais, logo pelo princ´ u ıpio da boa ordena¸ao B possui um elemento m´ c˜ ınimo, tal elemento n˜o pode ser o n´mero 1 ent˜o ele ´ sucessor de algum n´mero natural, que a u a e u denotaremos por t + 1, logo t tem que satisfazer uma das propriedades, existe y ∈ A tal que t < y ou existe y ∈ A tal que t = y . A primeira op¸˜o n˜o pode valer pois ter´ ca a ıamos t < y < t + 1 que ´ absurdo . Vamos mostrar que tal y realmente ´ o m´ximo do conjunto. e e a Seja z ̸= y elemento de A, ent˜o z < y, pois se t = y < z, ent˜o t < z < t + 1 que ´ a a e absurdo. Propriedade 17. Um conjunto A ̸= ∅ , A ⊂ N ´ ﬁnito sse ´ limitado. e e 1.2.3 Conjuntos inﬁnitos Quest˜o 1 a) a Propriedade 18. Se A ´ inﬁnito e f : A → B ´ injetiva ent˜o B ´ inﬁnito. e e a e Demonstra¸˜o. f : A → f (A) ´ bije¸ao e f (A) ⊂ B ´ inﬁnito, logo B ´ inﬁnito , B ca e c˜ e e n˜o pode ser ﬁnito, pois todo subconjunto de um conjunto ﬁnito ´ ﬁnito. f (A) n˜o pode a e a ser ﬁnito, pois se fosse A estaria em bije¸˜o com um conjunto ﬁnito logo seria ﬁnito. ca Quest˜o 1 b) a Propriedade 19. Se B ´ inﬁnito e f : A → B ´ sobrejetiva ent˜o A ´ inﬁnito. e e a e Demonstra¸˜o. Dado y ∈ B escolhemos x ∈ A tal que f (x) = y e com isso deﬁnimos ca a fun¸˜o g : B → A tal que g(y) = x, g ´ injetiva ent˜o pelo resultado anterior segue que ca e a A ´ inﬁnito. e Quest˜o 2 a Propriedade 20. Se A ´ inﬁnito ent˜o existe fun¸ao injetiva f : N → A. e a c˜ ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 13 Demonstra¸˜o. Podemos deﬁnir f indutivamente. Tomamos inicialmente x1 ∈ A e ca n ∪ deﬁnimos f (1) = x1 e para n ∈ N escolhemos xn+1 ∈ A\ {xk } deﬁnido f (n+1) = xn+1 . A\ n ∪ k=1 {xk } nunca ´ vazio pois A ´ inﬁnito. f ´ injetora pois tomando m > n tem-se e e e m−1 ∪ k=1 k=1 f (n) ∈ {xk } e f (m) ∈ A \ m−1 ∪ k=1 {xk }. Corol´rio 1. Existe fun¸ao injetiva de um conjunto ﬁnito B num conjunto inﬁnito A. a c˜ Propriedade 21. Sendo A inﬁnito e B ﬁnito existe fun¸˜o sobrejetiva g : A → B. ca Demonstra¸˜o. Existe fun¸˜o injetiva f : B → A, logo f : B → f (B) ⊂ A ´ ca ca e bije¸˜o, possuindo inversa g −1 : f (B) → B. Considere a fun¸ao f : A → B deﬁnida como ca c˜ f (x) = g −1 (x) se x ∈ f (B) e f (x) = x1 ∈ B se x ∈ f (B), f ´ fun¸ao sobrejetiva. / e c˜ Quest˜o 3 a Propriedade 22. Existem inﬁnitos n´meros primos. u Demonstra¸˜o. Suponha que existam (pk )n ,n primos, vamos mostrar que existe ca 1 mais um primo distinto dos anteriores . Considere s=( n ∏ pk ) +1 k=1 =a se esse n´mero ´ primo a demonstra¸˜o termina, se n˜o, ele ´ composto e ir´ existir um u e ca a e a n´mero primo p tal que p|s, tal p n˜o pode ser nenhum dos pk dados pois se pk |s ent˜o u a a pk |(s − a) = 1 que ´ absurdo, assim ele possui um fator primo p ̸= pk . e Uma maneira de denotar tal fato ´ escrever e lim π(n) = ∞. Exemplo 1. O produto de primos consecutivos adicionados de 1 n˜o s˜o sempre primos a a 2 + 1 = 3 ´ primo e 2.3 + 1 = 7 ´ primo e ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 14 2.3.5 + 1 = 31 ´ primo e 2.3.5.7 + 1 = 211 ´ primo e 2.3.5.7.11 + 1 = 2311 ´ primo e 2.3.5.7.11.13 + 1 = 30031 = 509.59 n˜o ´ primo a e 2.3.5.7.11.13.17 + 1 = 510511 = 19.97.277 n˜o ´ primo a e Quest˜o 4 a Exemplo 2. Dar exemplo de uma sequˆncia (Ak ) decrescente de conjuntos inﬁnitos cuja e intersec¸˜o seja vazia. ca Considere os conjuntos deﬁnidos como Ak = {n ∈ N | n > k}, cada um desses conjuntos ´ inﬁnito e vale Ak ⊂ Ak+1 , por´m n˜o existe elemento que perten¸a ao intersec¸˜o e e a c ca ∞ ∩ k=1 Ak se houvesse algum t que pertencesse a intersec¸ao ent˜o tal t deveria ser elemento de todo c˜ a Ak , por´m isso n˜o acontece, pois existe k tal que k > t, da´ todos elementos de Ak s˜o e a ı a maiores que t. 1.2.4 Conjuntos enumer´veis a Quest˜o 1 a Exemplo 3. f : N × N → N deﬁnida como f (m + 1, n) = 2m (2n − 1) e f (1, n) = 2n − 1 ´ e uma bije¸˜o. Dado um n´mero natural n qualquer, podemos escrever esse n´mero como ca u u produto dos seus fatores primos n= n ∏ k=1 pαk = 2α1 . k n ∏ k=2 pαk k como os primos maiores que 2 s˜o ´ a ımpares e o produto de ´ ımpares ´ um n´mero ´ e u ımpar ent˜o n = 2m (2n − 1). Agora vamos mostrar que a fun¸ao ´ injetora seja f (m, n) = f (p, q) a c˜ e 2m (2n − 1) = 2p (2q − 1) ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 15 se m ̸= p os n´meros ser˜o diferentes pela unicidade de fatora¸˜o (2s − 1 n˜o possui u a ca a fatores 2 pois sempre ´ ´ e ımpar), ent˜o devemos ter m = p, da´ segue que n = q e termina a ı a demonstra¸ao. c˜ Quest˜o 2 a Exemplo 4. Existe g : N → N sobrejetiva tal que g −1 (n) ´ inﬁnito para cada n ∈ N . e e e Seja f : N → N deﬁnida como f (n) = k se n ´ da forma n = pαk onde pk ´ o k-´simo e k n´mero primo e f (n) = n caso contr´rio, f ´ sobrejetiva e existem inﬁnitos n ∈ N tais u a e que f (n) = k para cada k natural. Quest˜o 3 a Exemplo 5. Exprimir N = Tome Nk+1 = {pαk , αk k ∞ ∪ k=1 Nk onde os conjuntos s˜o inﬁnitos e dois a dois disjuntos. a ∞ ∪ k=2 ∈ N onde pk o k-´simo primo} e N1 = N \ e Nk , cada um deles ´ inﬁnito, s˜o disjuntos e sua uni˜o d´ N . e a a a Quest˜o 4 a Propriedade 23. Pn = {A ⊂ N | |A| = n} ´ enumer´vel. e a Demonstra¸˜o. Deﬁnimos a fun¸˜o f : Pn → N n da seguinte maneira: Dado A = ca ca {x1 < x2 < · · · < xn }, f (A) = (x1 , · · · , xn ). Tal fun¸˜o ´ injetiva pois dados A = {xk , k ∈ ca e In } e B = {yk , k ∈ In } n˜o pode valer xk = yk para todo k, pois se n˜o os conjuntos a a seriam iguais. Corol´rio 2. o conjunto Pf dos subconjuntos ﬁnitos de N ´ enumer´vel pois a e a Pf = ∞ ∪ k=1 Pk ´ uni˜o enumer´vel de conjuntos enumer´veis. e a a a ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 16 Quest˜o 5 a Daremos duas demonstra¸oes para essa quest˜o uma mais direta outra um pouco mais c˜ a longa. Propriedade 24. O conjunto X das sequˆncias (xn ) tais que dado n, xn = 0 ou xn = 1 e ´ n˜o enumer´vel. e a a Demonstra¸˜o. ca Vamos supor por absurdo que tal conjunto seja enumer´vel com a enumera¸ao s : N → a c˜ X , tal que dado v natural associamos a sequˆncia sv = (xv (n) ). Podemos ent˜o tomar e a o elemento y = (yn ), deﬁnido da seguinte maneira: yn ̸= xn (n) , podemos tomar yn dessa maneira pois se para n ﬁxo vale xn (n) = 0 escolhemos yn = 1, se xn (n) = 1 escolhemos yn = 0, da´ tem-se que y ̸= sv para todo v natural, logo y n˜o pertence a enumera¸˜o, o ı a ca que ´ absurdo. Logo a sequˆncia ´ n˜o enumer´vel. e e e a a Propriedade 25. P (N ) ´ n˜o enumer´vel. e a a Demonstra¸˜o. Deﬁnimos a fun¸˜o f : X → P (N ) (onde X ´ o conjunto de ca ca e sequˆncias de elementos 0 ou1 ) da seguinte maneira para cada sequˆncia (xk ), deﬁnie e mos f (xk ) = V = {k | xk ̸= 0}. Tal fun¸ao ´ bije¸˜o pois dadas duas sequˆncias distintas c˜ e ca e (xk ) e (yk ) ent˜o existe k tal que xk ̸= yk , sem perda de generalidade, yk = 0 ent˜o a a k ∈ f (yk ) e k ∈ f (xk ) logo as imagens s˜o distintas. A fun¸ao tamb´m ´ sobrejetiva pois / a c˜ e e dado um subconjunto V ⊂ N a ele est´ associado a sequˆncia (xk ) onde xk = 0 se k ∈ V a e / e xk = 1 se k ∈ V . Como tal fun¸˜o ´ bije¸ao e X ´ n˜o enumer´vel, segue que P (N ) tamb´m ´ n˜o ca e c˜ e a a e e a enumer´vel. a Teorema 1 (Cantor). Sejam A um conjunto arbitr´rio e B um conjunto contendo pelo a menos dois elementos, ent˜o nenhuma fun¸ao f : A → F (A, B) ´ sobrejetiva. a c˜ e Demonstra¸˜o. A fun¸ao f : A → F (A, B) associa a um elemento de x de A a ca c˜ um elemento y de F (A, B), que por sua vez ´ uma fun¸ao de A em B, y : A → B, que e c˜ denotaremos por fx = y. Para mostrar que f n˜o ´ sobrejetiva, temos que mostrar que a e existe z em F (A, B) tal que para nenhum x ∈ A vale fx = z. Deﬁniremos z : A → B da seguinte maneira, para todo x ∈ A ﬁxo temos que fx (x) ´ e um elemento de B, como B possui no m´ ınimo dois elementos, ent˜o associamos z(x) a um a ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 17 elemento diferente de fx (x), assim as fun¸oes(imagens da fun¸˜o) z e fx s˜o distintas para c˜ ca a todo x (pois diferem em um elemento) , logo f : A → F (A, B) n˜o pode ser sobrejetiva. a Propriedade 26. Existe bije¸ao entre P (A) e F (A, {0, 1}). Os elementos de P (A) s˜o c˜ a subconjuntos de A. Demonstra¸˜o. Seja a fun¸˜o C : P (A) → F (A, {0, 1}), chamada de fun¸˜o caca ca ca racter´ ıstica, deﬁnida como: Dado V ∈ P (A), CV deve ser uma fun¸ao de A em {0, 1}, c˜ deﬁnimos ent˜o CV (x) = 1 se x ∈ V e CV (x) = 0 se x ∈ V . a / Tal fun¸ao ´ injetiva, pois sejam V ̸= H elementos de P (A) ent˜o CV ´ diferente de c˜ e a e CH , pois existe, por exemplo, x1 ∈ H tal que x1 ∈ V e x1 ∈ A e vale CV (x1 ) = 0 e / CH (x1 ) = 1, logo as fun¸oes s˜o distintas. c˜ a A fun¸˜o ´ sobrejetiva, pois dado um elemento y de F (A, {0, 1}), ele deve ser uma ca e fun¸˜o de A em {0, 1}, ent˜o existe um subconjunto V que cont´m todos x ∈ A tal que ca a e y(x) = 1 e para todo x ∈ L = A \ V tem-se y(x) = 0, tal fun¸ao ´ a mesma que CV . Logo c˜ e a fun¸ao ´ bijetora. c˜ e Corol´rio 3. N˜o existe bije¸˜o entre os conjuntos A e P (A), pois n˜o existe fun¸ao a a ca a c˜ sobrejetiva entre A e F (A, (0, 1)) essa ultima que est´ em bije¸ao com P (A). Em especial ´ a c˜ n˜o existe bije¸˜o entre N e P (N ). a ca Quest˜o 6 a Propriedade 27. Sejam B enumer´vel e f : A → B tal que ∀y ∈ B, f −1 (y) ´ enumer´vel, a e a ent˜o A ´ enumer´vel. a e a Demonstra¸˜o. ca A= ∪ y∈B f −1 (y) ent˜o A ´ uni˜o enumer´vel de conjuntos enumer´veis, da´ A ´ enumer´vel. a e a a a ı e a ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 18 1.3 1.3.1 Cap´ ıtulo 2-N´ meros reais u R ´ um corpo e Quest˜o 1 a) a Propriedade 28 (Unicidade do elemento neutro da adi¸ao). Se x + θ = x para algum c˜ x ∈ R ent˜o θ = 0. a Demonstra¸˜o. Vale que x + θ = x + 0, logo pela lei do corte segue θ = 0. ca Quest˜o 1 b) a Propriedade 29 (Unicidade do elemento neutro da multiplica¸ao). Se x.u = x para todo c˜ x ∈ R ent˜o u = 1. a Demonstra¸˜o. Tomamos x ̸= 0 ele possui inverso x−1 multiplicando por x−1 de ca ambos lados segue que u = 1. Quest˜o 1 c) a Propriedade 30. Se x + y = 0 ent˜o y = −x. a Demonstra¸˜o. Adicionamos −x em ambos lados. ca Quest˜o 1 d) a Propriedade 31. Se x.y = 1 ent˜o y = x−1 . a Demonstra¸˜o. Como x.y = 1 ent˜o nenhum dos n´meros ´ nulo, logo ambos ca a u e possuem inverso, multiplicamos em ambos lados por x−1 de onde segue o resultado. Quest˜o 2 a Propriedade 32. (bd)−1 = b−1 .d−1 . ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 19 Demonstra¸˜o. ca (bd)−1 .bd = 1 b−1 .d−1 .b.d = 1 logo (bd)−1 = b−1 .d−1 . por unicidade de inverso . Propriedade 33. a c ac . = . b d bd Demonstra¸˜o. ca a c ac . = a.b−1 .c.d−1 = ac.b−1 .d−1 = ac.(bd)−1 = . b d bd Propriedade 34. a c a+c + = . d d d Demonstra¸˜o. ca a c a+c + = d−1 a + d−1 c = d−1 (a + c) = d d d por distributividade do produto em rela¸ao a soma. c˜ Propriedade 35. a c ad + bc + = . b d bd Demonstra¸˜o. ca a c ad cb ad cb ad + bc + = + = + = . b d bd db bd db bd Quest˜o 3 a Propriedade 36. (x−1 )−1 = x. Demonstra¸˜o. Pois x.x−1 = 1, logo x ´ o inverso de x−1 , isto ´ x = (x−1 )−1 . ca e e Corol´rio 4. a ( )−1 a b = b a ( )−1 b a = (ab−1 )−1 = a−1 b = b a pois . ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 20 Quest˜o 4 a Propriedade 37. Mostrar que n ∑ k=0 xk = 1 − xn+1 1−x para x ̸= 1. Demonstra¸˜o. Usamos a soma telesc´pica ca o n ∑ k=0 xk+1 − xk = xn+1 − 1 como xk+1 − xk = xk (x − 1) ent˜o a n ∑ k=0 xk = xn+1 − 1 1 − xn+1 = . x−1 1−x 1.3.2 R ´ um corpo ordenado e Quest˜o 1 a Vamos dar algumas demonstra¸oes da desigualdade triangular e tirar a quest˜o como c˜ a corol´rio. a Propriedade 38. Sejam 0 ≤ x e 0 ≤ y. Se x2 ≤ y 2 ent˜o x ≤ y. a Demonstra¸˜o. ca Vale (x − y)(x + y) ≤ 0 como 0 ≤= x + y deve valer (x − y) ≤ 0 da´ x ≤ y . ı Propriedade 39 (Desigualdade triangular). |a + b| ≤ |a| + |b| para quaisquer a e b reais. Demonstra¸˜o. ca a.b ≤ |ab| = |a||b| ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 21 multiplicando por 2 e somando a2 + b2 em ambos lados a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 ≤ a2 + 2|a||b| + b2 = |a|2 + 2|a||b| + |b|2 = (|a| + |b|)2 logo (|a + b|)2 ≤ (|a| + |b|)2 de onde segue usando a propriedade anterior |a + b| ≤ |a| + |b|. Demonstra¸˜o.[2] Valem as desigualdades ca −|a| ≤ a ≤ |a|, −|b| ≤ b ≤ |b| somando ambas −(|b| + |a|) ≤ a + b ≤ |b| + |a| que equivale ` a |a + b| ≤ |a| + |b|. Demonstra¸˜o.[3] Sabemos que vale sempre x ≤ |x| e y ≤ |y| ent˜o x + y ≤ |x| + |y|, ca a da´ se 0 ≤ x + y temos ı |x + y| = x + y ≤ |x| + |y|. Vale tamb´m que −x ≤ |x| e y ≤ |y| ent˜o se x + y < 0 segue |x + y| = −(x + y) ≤ e a |x| + |y|. Em qualquer dos casos temos |x + y| ≤ |x| + |y|. Corol´rio 5. Na desigualdade triangular a |a + b| ≤ |a| + |b| tomando a = x − y , b = y − z segue |x − z| ≤ |x − y| + |y − z| Quest˜o 2 a Propriedade 40. ||a| − |b|| ≤ |a − b|. ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 22 Demonstra¸˜o. Pela desigualdade triangular temos que ca |a| ≤ |a − b| + |b| logo |a| − |b| ≤ |a − b| tem-se tamb´m que e ( ) |b| ≤ |a − b| + |a| ⇒ |b| − |a| = − |a| − |b| ≤ |a − b| ⇒ −|a − b| ≤ |a| − |b| juntando as duas desigualdades −|a − b| ≤ |a| − |b| ≤ |a − b| que implica ||a| − |b|| ≤ |a − b|. Quest˜o 3 a Propriedade 41. Dados x, y ∈ R, se x2 + y 2 = 0 ent˜o x = y = 0. a Demonstra¸˜o. Suponha que x ̸= 0, ent˜o x2 > 0 e y 2 ≥ 0 de onde segue que ca a x2 +y 2 > 0 , absurdo ent˜o deve valer x2 = 0 ⇒ x = 0 logo temos tamb´m y 2 = 0 ⇒ y = 0, a e portanto x = y = 0. Quest˜o 4 a Exemplo 6. Mostre que x2 (1 + x) ≥ 1 + nx + n(n − 1) 2 n para n natural e x ≥ 0. Vamos chamar C(n, x) = 1 + nx + n(n − 1) Por indu¸˜o sobre n, para n = 1 ca (1 + x) ≥ 1 + 1.x + 1(1 − 1) x2 =1+x 2 x2 . 2 logo vale a igualdade. Considere agora a validade da hip´tese o (1 + x)n ≥ 1 + nx + n(n − 1) x2 2 ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 23 vamos mostrar que vale (1+x) n+1 ( ) ( ) x2 n+1 n+1 2 n(n − 1)x2 ≥ 1+(n+1)x+(n+1)(n) = 1+ x+ x = 1+nx+ +x+nx2 2 1 2 2 (1 + x)n+1 ≥ C(n, x) + x + nx2 onde usamos a rela¸˜o de Stiefel. Multiplicando a desigualdade da hip´tese da indu¸ao ca o c˜ por 1 + x, n˜o alteramos a desigualdade pois 1 + x ´ positivo, temos ent˜o a e a (1 + x)n+1 ≥ C(n, x)(1 + x) = C(n, x) + C(n, x)x agora vamos mostrar que C(n, x) + C(n, x)x ≥ C(n, x) + x + nx2 que ´ equivalente ` e a C(n, x)x ≥ x + nx2 desigualdade v´lida se x = 0, agora se x > 0 equivale ` a a C(n, x) ≥ 1 + nx 1 + nx + n(n − 1) x2 x2 ≥ 1 + nx ⇔ n(n − 1) ≥ 0 2 2 se n = 0 ou n = 1 ela se veriﬁca, se n ̸= 0, 1 tamb´m pois temos x2 > 0. e Quest˜o 5 a Exemplo 7. Para todo x ̸= 0 real, prove que (1 + x)2n > 1 + 2nx. Se x > −1 tomamos a desigualdade de bernoulli com 2n no expoente. Se x < −1 vale 1 + x < 0 por´m elevando a uma potˆncia par resulta num n´mero positivo, por outro e e u lado 2nx < −2n logo 1 + 2nx < 1 − 2n < 0 ent˜o (1 + x)2n ´ positivo e 1 + 2nx ´ negativo, a e e logo nesse caso vale (1 + x)2n > 1 + 2nx . ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 24 Quest˜o 6 a Propriedade 42. |a − b| < ε ⇒ |a| < |b| + ε. Demonstra¸˜o. Partindo da desigualdade |a − b| < ε, somamos |b| a ambos lados ca |a − b| + |b| < ε + |b| e usamos agora a desigualdade triangular |a| ≤ |a − b| + |b| < ε + |b| da´ segue ı |a| ≤ ε + |b|. Quest˜o 7 a Propriedade 43. Sejam (xk )n e (yk )n n´meros reais, ent˜o vale a desigualdade a 1 1 u n n n ∑ ∑ ∑ 2 2 xk yk ) ≤ ( (xk ) )( (yk )2 ). ( k=1 n ∑ k=1 k=1 k=1 Demonstra¸˜o. Dado f (x) = ca (xk + xyk )2 , vale f (x) ≥ 0, sendo um polinˆmio de o grau 2 em x, expandindo vale tamb´m e n ∑ k=1 (xk + xyk )2 = n ∑ k=1 (xk )2 +x 2 c n ∑ k=1 (xk yk ) +x2 b n ∑ k=1 (yk )2 a temos que ter o discriminante ∆ = b2 − 4ac ≤ 0 ⇒ b2 ≤ 4ac para que f (x) ≥ 0, 4( implicando ﬁnalmente que n n n ∑ ∑ ∑ 2 2 ( xk yk ) ≤ ( (xk ) )( (yk )2 ). k=1 k=1 k=1 n ∑ k=1 n n ∑ ∑ 2 (xk yk )) ≤ 4( (xk ) )( (yk )2 ) 2 k=1 k=1 A igualdade vale sse cada valor xk + xyk = 0 para todo k ∈ N. ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 25 Quest˜o 8 a Propriedade 44. Sejam ak ∈ (α, β) e tk , bk > 0 para cada k ∈ In , ent˜o vale que a bk n ∑ k=1 n ∑ k=1 tk ak ∈ (α, β). tk bk Demonstra¸˜o. Vale para cada k ca α< tk ak <β tk bk como cada tk bk > 0, podemos multiplicar por tal termo em ambos lados sem alterar a desigualdade, ﬁcamos ent˜o com a αtk bk < tk ak < βtk bk , tomando a soma n ∑ k=1 n ∑ k=1 n ∑ k=1 n ∑ n ∑ k=1 ,sabendo que a soma preserva desigualdades, da´ segue que ı αtk bk < tk a k < β tk bk logo α< n ∑ tk a k <β tk bk k=1 n ∑ k=1 tk ak ∈ (α, β). tk bk n ∑ k=1 n ∑ k=1 implicando que k=1 n ∑ k=1 ak ∈ (α, β). bk Em especial tomando tk = 1 tem-se 1.3.3 R ´ um corpo ordenado completo e Quest˜o 1 a Vamos primeiro demonstrar alguns resultados podem ser usados para resolver as quest˜es. o ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 26 Propriedade 45. Se A ´ limitado superiormente e B ⊂ A ent˜o sup(A) ≥ sup(B). e a Demonstra¸˜o. Toda cota superior de A ´ cota superior de B, logo o sup(A) ´ cota ca e e superior de B, como sup(B) ´ a menor das cotas superiores de B segue que sup(A) ≥ e sup(B). Propriedade 46. Se A ´ limitado inferiormente e B ⊂ A ent˜o inf (A) ≤ inf (B). e a Demonstra¸˜o. inf A ´ cota inferior de A, logo tamb´m ´ cota inferior de B, sendo ca e e e cota inferior de B vale inf A ≤ inf B, pois inf B ´ a maior cota inferior de B. e Sejam A, B ⊂ R, conjuntos limitados . Propriedade 47. O conjunto A + B = {x + y | x ∈ A, y ∈ B} tamb´m ´ limitado. e e Demonstra¸˜o. Se A ´ limitado , existe t tal que |x| < t para todo x ∈ A e se B ´ ca e e limitado existe u tal que |y| < u ∀y ∈ B. Somando as desigualdades e usando desigualdade triangular segue |x| + |y| < u + t e |x + y| ≤ |x| + |y| < u + t logo o conjunto A + B ´ e limitado. Propriedade 48 (Propriedade aditiva). Vale sup(A + B) = sup(A) + sup(B). Demonstra¸˜o. Como A, B s˜o limitidados superiomente, temos sup A := a e ca a sup B := b, como vale a ≥ x e b ≥ y para todos x, y ∈ A, B respectivamente segue que a + b ≥ x + y logo o conjunto A + B ´ limitado superiormente. Para todo e qualquer e ε > 0 existem x, y tais que ε ε a<x+ , b<y+ 2 2 somando ambas desigualdades-segue-se que a+b<x+y+ε que mostra que a + b ´ a menor cota superior, logo o supremo, ﬁca valendo ent˜o e a sup(A + B) = sup(A) + sup(B). Propriedade 49. inf(A + B) = inf A + inf B Demonstra¸˜o. Sejam a = inf A e b = inf B ent˜o ∀x, y ∈ A, B tem-se a ≤ x, b ≤ y ca a de onde segue por adi¸ao a + b ≤ x + y, assim a + b ´ cota inferior de A + B. ∃x, y ∈ A, B c˜ e ε ε tal que ∀ε > 0 vale x < a + e y < b + pois a e b s˜o as maiores cotas inferiores, a 2 2 somando os termos das desigualdades segue x + y < a + b + ε, que implica que a + b ´ a e maior cota inferior logo o ´ ınﬁmo. ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 27 Seja uma fun¸ao limitada f : V → R. c˜ Deﬁni¸˜o 1. ca sup f := sup f (V ) = sup{f (x) | x ∈ V } Deﬁni¸˜o 2. ca inf f := inf f (V ) = inf{f (x) | x ∈ V } Sejam f, g : V → R fun¸oes limitadas . c˜ Propriedade 50. sup(f + g) ≤ sup f + sup g Demonstra¸˜o. ca Sejam A = {f (x) | x ∈ V }, B = {g(y) | y ∈ V }, C = {g(x) + f (x) | x ∈ V } temos que C ⊂ A + B, pois basta tomar x = y nos conjuntos, logo sup(A + B) ≥ sup(f + g) sup(A) + sup(B) = sup f + sup g ≥ sup(f + g) Propriedade 51. inf(f + g) ≥ inf(f ) + inf(g). Demonstra¸˜o. De C ⊂ A + B segue tomando o ´ ca ınﬁmo inf(A + B) = inf(A) + inf(B) = inf(f ) + inf(g) ≤ inf(C) = inf(f + g). Exemplo 8. Sejam f, g : [0, 1] → R dadas por f (x) = x e g(x) = −x, vale sup f = 1, sup g = 0, f + g = 0 logo sup(f + g) = 0 vale ent˜o sup f + sup g = 1 > sup(f + g) = 0. a Vale ainda inf f = 0, inf g = −1, f + g = 0, inf (f + g) = 0 logo inf f + inf g = −1 < inf(f + g) = 0. ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 28 Quest˜o 2 a Deﬁni¸˜o 3. Sejam A e B conjuntos n˜o vazios, deﬁnimos A.B = {x.y | x ∈ A, y ∈ B}. ca a Propriedade 52. Sejam A e B conjuntos limitados de n´meros positivos, ent˜o vale u a sup(A.B) = sup(A). sup(B). Demonstra¸˜o. Sejam a = sup(A) e b = sup(B) ent˜o valem x ≤ a e y ≤ b, ∀x ∈ ca a t A, y ∈ B da´ x.y ≤ a.b, logo a.b ´ cota superior de A.B. Tomando t < a.b segue que < b ı e a t t t logo existe y ∈ B tal que < y da´ < a logo existe x ∈ A tal que < x logo t < x.y ı a y y ent˜o t n˜o pode ser uma cota superior, implicando que a.b ´ o supremo do conjunto. a a e Propriedade 53. Sejam A e B conjuntos limitados de n´meros positivos, ent˜o vale u a inf(A.B) = inf(A). inf(B). Demonstra¸˜o. Sejam a = inf(A) e b = inf(B) ent˜o valem x ≥ a e y ≥ b, ∀x ∈ ca a t A, y ∈ B da´ x.y ≥ a.b, logo a.b ´ cota inferior de A.B. Tomando t > a.b segue que > b ı e a t t t logo existe y ∈ B tal que > y da´ > a logo existe x ∈ A tal que > x logo t < x.y ı a y y ent˜o t n˜o pode ser uma cota inferior, implicando que a.b ´ o inf´ a a e ımo do conjunto. Propriedade 54. Sejam f, g : A → R+ limitadas superiormente, ent˜o a sup(f.g) ≤ sup(f ) sup(g). Demonstra¸˜o. Sejam C = {g(x).f (x) | x ∈ A} , B = {g(y). | y ∈ A} e A = ca {f (x) | x ∈ A} . Vale que C ⊂ A.B, da´ ı sup(A.B) ≥ sup(C) sup(A) sup(B) ≥ sup(C) sup(f ) sup(g) ≥ sup(f.g). Propriedade 55. Sejam f, g : A → R+ limitadas superiormente, ent˜o a inf(f.g) ≥ inf(f ) inf(g). ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 29 Demonstra¸˜o. Sejam C = {g(x).f (x) | x ∈ A} , B = {g(y). | y ∈ A} e A = ca {f (x) | x ∈ A} . Vale que C ⊂ A.B, da´ ı inf(A.B) ≤ inf(C) inf(A) inf(B) ≤ inf(C) inf(f ) inf(g) ≤ inf(f.g). Exemplo 9. Sejam f, g : [1, 2] → R dadas por f (x) = x e g(x) = sup g = 1 sup f. sup g = 2 e sup(f.g) = 1, pois f.g = 1 logo sup f sup g > sup(f.g). Da mesma maneira inf f = 1, inf g = 1 1 vale inf f. inf g = e inf(f.g) = 1 portanto 2 2 1 , vale sup f = 2, x inf f. inf g < inf(f.g). Quest˜o 3 a Propriedade 56. Seja f : A → R+ ent˜o inf(f 2 ) = (inf f )2 . a Demonstra¸˜o. Seja a = inf f tem-se f (x) ≥ a ∀x da´ f (x)2 ≥ a2 ent˜o a2 ´ cota ca ı a e √ inferior de f 2 , e ´ a maior cota inferior pois se a2 < c ent˜o a < c logo existe x tal que e a √ a < f (x) < c e da´ a2 < f (x)2 < c logo a2 ´ a maior cota inferior inf(f 2 ) = inf(f )2 . ı e Quest˜o 4 a Exemplo 10. X Sejam X = {x ∈ R+ | x2 < 2} e Y = {y ∈ R+ | y 2 > 2}. X ´ e limitado superiormente por 2 pois se fosse x > 2 ent˜o x2 > 4 que ´ absurdo. Os a e conjuntos X e Y s˜o disjuntos, pois x n˜o pode satisfazer x2 < 2 e x2 > 2 . Dado a a y ∈ Y vale y > x pois se fosse y < x ter´ ıamos y 2 < x2 < 2 que ´ absurdo pois e y 2 > 4. X X n˜o possui elemento m´ximo. Seja x ∈ X ent˜o x2 < 2, 0 < 2 − x2 , vale tamb´m a a a e 2 2−x , podemos ent˜o tomar um racional r < 1 tal que a que 2x + 1 > 0, da´ 0 < ı 2x + 1 ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 30 0<r< 2 − x2 , e vale ainda x + r ∈ X, pois de r < 1 tem-se r2 < r e da rela¸˜o ca 2x + 1 r(2x + 1) < 2 − x2 implica (x + r)2 = x2 + 2rx + r2 < x2 + 2rx + r = x2 + r(2x + 1) < x2 + 2 − x2 = 2 ent˜o (x + r)2 < 2. a X O conjunto Y n˜o possui elemento m´ a ınimo. Como vale y > 0 e y 2 > 2, tem-se y2 − 2 y 2 − 2 > 0 e 2y > 0, logo existe um racional r tal que 0 < r < , logo 2y r2y < y 2 − 2, y 2 − 2ry > 2. Vale ainda que y − r ∈ Y pois (y − r)2 = y 2 − 2ry + r2 > y 2 − 2ry > 2 logo vale (y − r)2 > 2. Vale tamb´m y − r > 0 pois de 2ry < y 2 − 2 segue e y 1 r < − < y, logo y − r > 0, logo y − r ∈ Y , perceba ainda que y − r < y ent˜o a 2 y o conjunto Y realmente n˜o possui m´ a ınimo. X Existe sup X = a, vale a > 0, n˜o pode ser a2 < 2 pois da´ a ∈ X, mas X n˜o a ı a possui m´ximo. Se a2 > 2 ent˜o a ∈ Y , por´m Y n˜o possui m´ a a e a ınimo o que implica existir c ∈ Y tal que x < c < a∀X o que contradiz o fato de a ser a menor cota superior (supremo). Sobre ent˜o a possibilidade de ser a2 = 2. a Quest˜o 5 a Propriedade 57. O conjunto dos polinˆmios com coeﬁcientes racionais ´ enumer´vel. o e a Demonstra¸˜o. Seja Pn o conjunto dos polinˆmios com coeﬁcientes racionais de grau ca o ≤ n a fun¸ao f : Pn → Qn+1 tal que c˜ n ∑ P( ak xk ) = (ak )n 1 k=0 ´ uma bije¸˜o. Como Qn+1 ´ enumer´vel por ser produto cartesiano ﬁnito de conjuntos e ca e a enumer´veis, segue que Pn ´ enumer´vel. a e a Sendo A o conjunto dos polinˆmios de coeﬁcientes racionais, vale que o A= ∞ ∪ k=1 Pk ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 31 portanto A ´ uni˜o enumer´vel de conjuntos enumer´veis , sendo assim A ´ enumer´vel. e a a a e a Deﬁni¸˜o 4 (N´mero alg´brico). Um n´mero real (complexo) x ´ dito alg´brico quando ca u e u e e ´ raiz de um polinˆmio com coeﬁcientes inteiros. e o Propriedade 58. O conjunto dos n´meros alg´bricos ´ enumer´vel. u e e a Demonstra¸˜o. Seja B o conjunto dos alg´bricos . Para cada alg´brico x escolhemos ca e e um polinˆmio Px tal que Px (x) = 0. o Deﬁnimos a fun¸˜o f : B → A tal que F (x) = Px . Dado Px ∈ F (B), temos que o ca conjunto g −1 (Px ) dos valores x ∈ B tal que f (x) = Px ´ ﬁnito pois Px possui um n´mero e u =y ﬁnito de ra´ e da´ tem-se ızes ı B= ∪ y∈f (B) g −1 (y) logo B ´ uni˜o enumer´vel de conjuntos enumer´veis ( no caso ﬁnitos), ent˜o B ´ enue a a a a e mer´vel. a Corol´rio 6. Existem n´meros reais que n˜o s˜o alg´bricos, pois se todos fossem alg´bricos a u a a e e R seria enumer´vel. a Deﬁni¸˜o 5 (N´meros transcendentes). Os n´meros reais que n˜o s˜o alg´bricos s˜o ca u u a a e a ditos transcendentais Quest˜o 6 a Propriedade 59. Um conjunto I ⊂ R ´ um intervalo sse a′ < x < b′ com a′ , b′ ∈ I e implica x ∈ I. Demonstra¸˜o. Se I ´ um intervalo ent˜o ele satisfaz a propriedade descrita. Agora ca e a se a deﬁni¸ao tomada de intervalo for: dados a′ , b′ elementos de I se para todo x tal que c˜ a′ < x < b′ ent˜o x ∈ I, logo o conjunto I deve ser um dos nove tipos de intervalos. a Caso I seja limitado, inf I = a e sup I = b, se a < x < b, existem a′ , b′ tais que a′ < x < b′ logo x ∈ I, isto ´, os elementos entre o supremo e o ´ e ınﬁmo do conjunto pertencem ao intervalo. Vejamos os casos X inf I = a, sup I = b s˜o elementos de I, logo o intervalo ´ da forma [a, b]. a e ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 32 X a ∈ I, b ∈ I, o intervalo ´ do tipo (a, b]. / e X a ∈ I e b ∈ I, o intervalo ´ do tipo [a, b). / e X a ∈ I e b ∈ I tem-se o intervalo (a, b). Com isso terminamos os tipos ﬁnitos de / / intervalos. Se I ´ limitado inferiormente por´m n˜o superiormente. e e a X a ∈ I , gera o intervalo [a, ∞). X a ∈ I, tem-se o intervalo (a, ∞). / Se I ´ limitado superiormente por´m n˜o inferiormente. e e a X b ∈ I , gera o intervalo (−∞, b]. X b ∈ I, tem-se o intervalo (−∞, b). / O ultimo caso, I n˜o ´ limitado ´ a e I = (−∞, ∞) 1.4 1.4.1 Cap´ ıtulo 3-Sequˆncias e Limite de uma sequˆncia e Quest˜o 1 a Propriedade 60. Uma sequˆncia peri´dica ´ convergente sse ´ constante. e o e e Demonstra¸˜o. Considere as subsequˆncias da sequˆncia (xk ) que possui per´ ca e e ıodo p (x1 , x1+p , x1+2p , · · · ) = (x1+kp )k∈N (x2 , x2+p , x2+2p , · · · ) = (x2+kp )k∈N . . . (xp−1 , xp−1+p , xp−1+2p , · · · ) = (xp−1+kp )k∈N cada sequˆncia dessas ´ constante e possui valor sempre igual ao seu primeiro termo pelo e e fato da sequˆncia ser peri´dica de per´ e o ıodo p, xn+p = xn . Se (xk ) converge ent˜o todas suas a ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 33 subsequˆncias devem convergir para o mesmo valor, ent˜o deve valer x1 = x2 = · · · = xp−1 e a e cada termo da sequˆncia (xk ) deve pertencer a uma dessas subsequˆncias, disso segue e e que (xk ) ´ constante. e Quest˜o 2 a Propriedade 61. Se lim x2n = a lim x2n−1 = a ent˜o lim xn = a. a Demonstra¸˜o. Sejam yn = x2n e zn = x2n−1 como temos lim yn = lim zn = a, para ca qualquer ε > 0 existem n0 e n1 tais que para n > n0 vale yn ∈ (a − ε, a + ε) e n > n1 vale zn ∈ (a − ε, a + ε), escolhendo n2 = max{n0 , n1 } temos simultaneamente zn , yn ∈ (a − ε, a + ε), x2n−1 , x2n ∈ (a − ε, a + ε), ent˜o para n > 2n2 − 1 temos xn ∈ (a − ε, a + ε) a logo vale lim xn = a. Quest˜o 3 a Propriedade 62. Se lim xn = a ent˜o lim |xn | = |a|. a Demonstra¸˜o. Se lim xn = a ent˜o ca a ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N | n > n0 ⇒ |xn − a| < ε por´m temos a desigualdade ||xn | − |a|| ≤ |xn − a| logo ||xn | − |a|| < ε e lim |xn | = |a|. e Quest˜o 4 a Propriedade 63. Se uma sequˆncia mon´tona possui subsequˆncia limitada, ent˜o a e o e a sequˆncia ´ limitada. e e Demonstra¸˜o. Suponha que (xn ) seja n˜o-decrescente e possua uma subsequˆncia ca a e limitada, vamos mostrar que para todo n natural vale xn < M para algum M . Como a subsequˆncia de (xn ) ´ limitada, ent˜o para todo n ∈ N existe n0 ∈ N tal que n0 > n e n0 e e a ´´ e ındice da subsequˆncia limitada de (xn ) com isso tem-se xn ≤ xn0 e como a subsequˆncia e e ´ limitada, existe M tal que xn0 < M , da´ por transitividade xn < M , isso implica que e ı (xn ) ´ limitada superiormente e como a sequˆncia n˜o-decrescente ´ limitada inferiormente e e a e ent˜o ela ´ limitada. a e ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 34 Corol´rio 7. Se uma sequˆncia mon´tona possui subsequˆncia limitada ent˜o ela ´ cona e o e a e vergente, pois a sequˆncia mon´tona ser´ limitada e toda sequˆncia mon´tona limitada ´ e o a e o e convergente. Corol´rio 8. Em especial se uma sequˆncia mon´tona possui subsequˆncia convergente, a e o e ent˜o essa subsequˆncia ´ limitada e da´ a sequˆncia mon´tona ´ convergente. a e e ı e o e Quest˜o 5 a Deﬁni¸˜o 6 (Valor de aderˆncia). Um n´mero real a ´ dito valor de aderˆncia de uma ca e u e e sequˆncia (xn ), quando existe uma subsequˆncia de (xn ) que converge para a. Simbolizae e remos o conjunto dos valores de aderˆncia de uma sequˆncia por A[xn ]. e e Corol´rio 9. Se uma sequˆncia ´ convergente ent˜o todas subsequˆncias convergem para a e e a e o mesmo limite que ´ o limite da sequˆncia, ent˜o se uma sequˆncia ´ convergente ela e e a e e possui apenas um valor de aderˆncia, isto ´, se lim xn = a ent˜o A[xn ] = {a} = {lim xn }. e e a Exemplo 11. Os racionais s˜o densos na reta e s˜o enumer´veis, ent˜o podemos tomar a a a a uma sequˆncia (xn ) que enumera os racionais, logo pra essa sequˆncia vale A[xn ] = R, pois e e tomando qualquer valor a ∈ R qualquer intervalo (a − ε, a + ε) para qualquer ε possui inﬁnitos racionais, elementos da sequˆncia, ent˜o podemos com esses inﬁnitos valores e a tomar uma subsequˆncia de (xn ) que converge para a. Em especial os racionais em [0, 1] e s˜o enumer´veis e densos logo tomando uma enumera¸ao (xn ) dos racionais nesse conjunto a a c˜ temos A[xn ] = [0, 1]. Exemplo 12. A sequˆncia (1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, · · · ) que satisfaz x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3 e sendo peri´dica de per´ o ıodo 3, xn+3 = xn , tem A[xn ] = {1, 2, 3}. Exemplo 13. Dar o exemplo de uma sequˆncia (xn ) que possua A[xn ] = N. Para que e isso aconte¸a ´ necess´rio que cada n´mero natural apare¸a inﬁnitas vezes na sequˆncia. c e a u c e Deﬁnimos a sequˆncia (xn ) como xn = k se n ´ da forma pαk , onde pk ´ o k-´simo primo e e e e e k αk ∈ N , da´ existem inﬁnitos valores de n tais que xn = k com isso geramos subsequˆncias ı e ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 35 que convergem para um k qualquer dado, deﬁnimos tamb´m xn = 1 caso n n˜o seja da e a forma pαk , apenas para completar a deﬁni¸˜o da sequˆncia. ca e k Quest˜o 6 a Propriedade 64. a ∈ A[xn ] ⇔ ∀ ε > 0, ∀k ∈ N exista n > k tal que |xn − a| < ε. Demonstra¸˜o. ca ⇒. Se a ´ valor de aderˆncia de (xn ), ent˜o ela possui uma subsequˆncia que converge e e a e para a, logo para qualquer ε > 0 e k ∈ N ﬁxo, existe n ´ ındice da subsequˆncia tal que e n > k e |xn − a| < ε. ⇐ . Supondo que ∀ ε > 0, ∀k ∈ N exista n > k tal que |xn − a| < ε. No primeiro passo tomamos ε = 1 e k = 1 da´ existe n1 > 1 tal que xn1 ∈ (a − 1, a + 1). ı 1 1 1 Podemos tomar agora ε = e k = n1 ent˜o existe n2 > n1 tal que xn2 ∈ (a − , a + ), a 2 2 2 1 e k = nt da´ existe nt+1 > nt tal que xnt+1 ∈ ı na t + 1-´sima etapa tomamos ε = e t+1 1 1 ,a + ), logo constru´ ımos uma subsequˆncia (xnt ) tal que lim xnt = a. e (a − t+1 t+1 Quest˜o 7 a Corol´rio 10. Negamos a proposi¸ao anterior. a c˜ a ∈ A[xn ] ⇔ ∃ ε > 0, ∃k ∈ N tal que para todo n > k implique |xn − a| ≥ ε. / 1.4.2 Limites e desigualdades Quest˜o 1 a Propriedade 65. Se lim xn = a, lim yn = b e |xn − yn | ≥ ε para todo n, ent˜o |a − b| ≥ ε. a Demonstra¸˜o. Suponha por absurdo que |a − b| < ε e |yn − xn | ≥ ε. Podemos ca tomar n > n0 tal que |yn − b| < ε2 e |xn − a| < ε3 onde ε1 + ε2 + ε3 < ε, que pode ser feito, pois basta tomar ε2 + ε3 < ε − ε1 logo >0 =ε1 |yn − xn | ≤ |yn − b| + |b − a| + |xn − a| < ε1 + ε2 + ε3 = ε que contradiz |yn − xn | ≥ ε. ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 36 Quest˜o 2 a Propriedade 66 (Permanˆncia de sinal ). Se lim xn = b com b > 0 ent˜o no m´ximo uma e a a quantidade ﬁnita de termos dessa sequˆncia pode n˜o ser positiva, isto ´, existe n0 ∈ N e a e tal que para n > n0 vale xn > 0. Demonstra¸˜o. Como lim xn = b para todo ε > 0 existe n0 tal que para n > n0 ca b b 2b − b b temos |xn − b| < ε, xn ∈ (b − ε, b + ε) tomando ε = temos b − ε = b − = = 2 2 2 2 3b b 3b b logo existe n0 tal que para n > n0 tem-se xn ∈ ( , ) logo xn ´ e e b+ε = b+ = 2 2 2 2 positivo. Corol´rio 11. Sejam (xn ), (yn ) duas sequˆncias com lim xn = a e lim yn = b. Se b > a a e ent˜o existe n0 ∈ N tal que yn > xn para qualquer n > n0 . Considerando a sequˆncia a e (xn − yn ) ela tem limite lim xn − yn = b − a > 0 logo pela permanˆncia de sinal existe e n0 ∈ N tal que para n > n0 vale xn − yn > 0, xn > yn Quest˜o 3 a Propriedade 67. Se uma sequˆncia limitada n˜o ´ convergente ent˜o ela possui mais de e a e a um ponto de aderˆncia . e Demonstra¸˜o. ca Como a sequˆncia (xn ) ´ limitada ela possui subsequˆncia (xnk ) convergente, convere e e gindo para uma valor a . Como a sequˆncia n˜o ´ convergente, deve haver uma outra e a e subsequˆncia (xnt ) que n˜o converge para a, da´ existem inﬁnitos valores de nt tal que xnt e a ı e a n˜o est´ no intervalo (a − ε, a + ε) para algum ε. Como (xnt ) ´ limitada ent˜o ela possui a a subsequˆncia convergente, que n˜o pode convergir para a, converge ent˜o para um valor e a a b ̸= a e a proposi¸˜o est´ demonstrada. ca a Quest˜o 4 a Propriedade 68. Seja (xn ) uma sequˆncia limitada. (xn ) converge ⇔ possui um unico e ´ valor de aderˆncia . e . ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 37 Demonstra¸˜o. Se ela ´ convergente ela possui um unico valor de aderˆncia . Se ela ca e ´ e possui um unico valor de aderˆncia ent˜o ela converge, pois se n˜o convergisse ela teria ´ e a a mais de um valor de aderˆncia (contrapositiva e quest˜o anterior). e a Quest˜o 5 a Exemplo 14. Quais s˜o os valores de aderˆncia da sequˆncia (xn ) deﬁnida como x2n−1 = a e e 1 n e x2n = ? Para que um ponto seja de aderˆncia ´ necess´rio que existam inﬁnitos e e a n termos arbitrariamente pr´ximos de tal ponto, no caso de tal sequˆncia o unico n´mero o e ´ u que satisfaz tal propriedade ´ o 0, al´m disso tal sequˆncia n˜o ´ convergente pois n˜o ´ e e e a e a e limitada. Quest˜o 6 a √ a+b √ Propriedade 69. Sejam a, b > 0 ∈ R, x1 = ab, y1 = , xn+1 = xn .yn , yn+1 = 2 xn + yn . Ent˜o (xn ) e (yn ) convergem para o mesmo limite. a 2 Demonstra¸˜o. Sabemos que yn ≥ xn pela desigualdade das m´dias, ent˜o ca e a xn .yn ≥ x2 ⇒ n √ xn .yn ≥ xn ⇒ xn+1 ≥ xn , ent˜o (xn ) ´ crescente . Da mesma maneira yn ´ decrescente pois de xn ≤ yn tem-se a e e (xn + yn ) xn + yn ≤ 2yn da´ yn+1 = ı ≤ yn . Como vale x1 ≤ xn ≤ yn ≤ y1 para todo n, 2 conclu´ ımos que xn e yn s˜o convergentes, por serem mon´tonas e limitadas . a o yn+1 = tomando o limite y= x+y ⇒ x = y. 2 xn + yn 2 Deﬁni¸˜o 7 (M´dia aritm´tico-geom´trica). Dados dois n´meros reais positivos a e b o ca e e e u valor comum para o qual convergem as sequˆncias (xn ) e (yn ) deﬁnidas na propriedade e anterior se chama m´dia aritm´tico-geom´trica de a e b. e e e ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 38 Quest˜o 7 a) a Propriedade 70. Toda sequˆncia de Cauchy ´ limitada. e e Demonstra¸˜o. Seja (xn ) uma sequˆncia de Cauchy, ent˜o para todo ε > 0 existe ca e a n0 ∈ N tal que para n, m > n0 vale |xm − xn | < ε. Tomando ε = 1 e um n´mero natural u n1 > n0 ﬁxando m = n1 segue |xn −xn1 | < 1 logo para n > n0 temos xn ∈ (xn1 −1, xn1 +1) , consideramos ent˜o o conjunto A = {x1 , x2 , . . . , xn1 − 1, xn1 + 1} tomamos b = max A e a a = min A ent˜o xn ∈ [a, b]. a Quest˜o 7 b) a Propriedade 71. Se uma sequˆncia de Cauchy (xn ) possui subsequˆncia (xnk ) convere e gente ent˜o (xn ) ´ convergente e converge para o mesmo valor de (xnk ) . Com essa proa e priedade conclu´ ımos que uma sequˆncia de Cauchy n˜o pode ter dois valores de aderˆncia e a e a e b distintos, pois se n˜o a sequˆncia iria convergir para a e para b, o que n˜o acontece a e a por unicidade do limite. Demonstra¸˜o. Vale lim xnk = a para algum a ∈ R, da´ para todo ε > 0 existe ca ı k ε n0 ∈ N tal que p > n0 implica |xnp − a| < , pela sequˆncia ser de Cauchy, existe n1 ∈ N , e 2 ε tal que para n, m > n1 tem-se |xn − xm | < . 2 Tomamos um termo da subsequˆncia xnt tal que nt > n0 e nt > n1 logo vale |xnt −a| < e ε ε e |xn − xnt | < somando por desigualdade triangular tem-se 2 2 |xn − a| ≤ |xnt − a| + |xn − xnt | ≤ ε ε + =ε 2 2 ent˜o vale |xn − a| < ε implicando que (xn ) converge para a. a Quest˜o 7 c) a Propriedade 72. Toda sequˆncia convergente ´ de Cauchy. e e ε Demonstra¸˜o. Se lim xn = a ∀ > 0 ∃n0 ∈ N tal que para m > n0 e n > n0 temos ca 2 ε ε |xn −a| < e |xm −a| < e por desigualdade triangular |xn −xm | ≤ |xn −a|+|xm −a| < ε 2 2 logo a sequˆncia convergente ´ de Cauchy. e e ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 39 Corol´rio 12. Como toda sequˆncia limitada possui subsequˆncia convergente ent˜o toda a e e a sequˆncia de Cauchy ´ convergente. Observe que para provar esse fato usamos o Teorema e e de Bolzano-Weiertrass que usa o fato de R ser um corpo completo, em corpos que n˜o a sejam completos como Q o conjunto dos racionais, existem sequˆncias de Cauchy que n˜o e a s˜o convergentes. a Corol´rio 13. Uma sequˆncia ´ convergente, se e somente se, ´ de Cauchy. a e e e 1.4.3 Opera¸oes com limites c˜ Quest˜o 1 a Exemplo 15. Para todo p ∈ N tem-se lim n n+p = 1 pois vale 1 ≤ n n+p ≤ n n de onde n→∞ 1 1 1 segue por sandu´ ıche que lim n n→∞ 1 n+p = 1. Quest˜o 2 a Propriedade 73. Se existem ε > 0 e p ∈ N tais que ε ≤ xn ≤ np para n > n0 ∈ N ent˜o a lim(xn ) n . Demonstra¸˜o. Vale ε ≤ xn ≤ np , tomando a raiz n-´sima tem-se ca e εn ≤ 1 1 √ 1 n xn ≤ (np ) n 1 tomando-se o limite segue pelo teorema do sandu´ ıche que lim(xn ) n = 1. Exemplo 16. Para n suﬁcientemente grande tem-se 1 < n+s < n2 e da´ lim(n+s) n = 1. ı Da mesma maneira 1<n+ √ n < (n)2 1 1 < a ln n < (n)2 1 < n ln n < (n)2 para n grande, da´ ı √ lim n n+ √ n=1 ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ √ n a ln n = 1 √ n n ln n = 1. 40 lim lim Quest˜o 3 a Generaliza¸˜o da quest˜o do livro. ca a Exemplo 17. Seja a sequˆncia (xn ) deﬁnida como x1 = a e xn+1 = e e x2 < x1 + b, isto ´ , a2 < a + b, a e b positivos , calcular lim xn . 1 √ xn + b, onde Vamos mostrar primeiro que a sequˆncia ´ crescente. Por indu¸˜o sobre n, temos e e ca √ √ x2 = a + b e a < a + b pois a2 < a + b. Supondo para n, xn < xn+1 vamos mostrar que vale para n + 1, xn+1 < xn+2 . Da hip´tese tem-se que xn + b < xn+1 + b da´ o ı √ √ xn + b < xn+1 + b implicando xn+1 < xn+2 . Vamos mostrar agora que a sequˆncia ´ e e limitada superiormente. Existe t > 0 ∈ R tal que t2 > a + b e t2 − b > t. Da´ a sequˆncia ´ ı e e limitada superiormente por t2 − b pois, por indu¸ao x1 = a < t2 − b e supondo xn < t2 − b c˜ segue xn + b < t2 tomando a raiz segue xn+1 < t < t2 − b. Ela ´ limitada superiormente e e crescente logo ´ convergente. e Tomando limite em ambos lados de x2 = xn + b resolvendo a equa¸ao do segundo c˜ n+1 √ 1 + 1 + 4b grau encontramos L = . 2 Podemos tomar x1 = 0 e b = a da´ 0 < a, logo converge e temos o corol´rio ı a √ √ √ √ 1 + 1 + 4a a + a + a + ··· = . 2 √ √ √ √ 1+ 5 1 + 1 + 1 + ··· = 2 Exemplo 18. converge para a raz˜o ´urea. a a ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 41 Quest˜o 4 a √ √ xn − a √ Propriedade 74. Seja en = o erro relativo na n-´sima etapa do c´lculo de a e a a 1 a por meio da recorrˆncia xn+1 = ( + xn ). Vale que e 2 xn en+1 Demonstra¸˜o. ca en+1 e2 n = . 2(1 + en ) xn+1 − √ = a √ a 1 a substituindo xn+1 = ( + xn ) segue que 2 xn 1 a en+1 = √ ( + xn ) − 1. 2 a xn Por outro lado √ x2 − 2xn a + a n = a √ √ √ xn − a xn − a + a xn √ 2(en + 1) = 2( √ + 1) = 2( ) = 2( √ ) a a a e2 n a xn da´ ı √ √ xn − 2 a + e2 x2 − 2xn a + a √ n n √ =( ) a=( 2(en + 1) 2xn a 2 a )=( xn + xa √ n ) − 1 = en+1 . 2 a e2 n . Se en ≤ 10−2 tem-se en+1 ≤ 2(1 + en ) 10−4 10−4 102 10−2 1 = = que podemos aproximar por = 0, 00005 −2 ) 2 + 1) 2 + 1) 2(1 + 10 2(10 2(10 2.104 aplicando novamente Exemplo 19. Usando a express˜o en+1 = a en+2 ≤ que aproximamos para Quest˜o 5 a 1 Propriedade 75. Deﬁnimos uma sequˆncia (xn ) recursivamente como x1 = , a > 0, e a 1 2 xn+1 = . (xn ) converge para a solu¸ao positiva de x + ax − 1 = 0. c˜ a + xn 1 4.104 2.104 1 8 (1 + 8.10 = = 2.104 8.108 (2.104 + 1) 1 ) 2.104 1 = 0, 00000000125. 8.108 ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 42 Demonstra¸˜o. Vale xn+2 = ca xn+2 = 1 1 e xn+1 = ent˜o a a + xn+1 a + xn 1 a + xn = 2 1 a + axn + 1 a + ( a+xn ) xn+2 = a2 a + xn + axn + 1 em especial x3 = a + x1 . a2 + ax1 + 1 1 1 1 De c2 + ac − 1 = 0 segue que c(c + a) = 1, c = . Vale x1 = > c = > c+a a c+a 1 1 = x2 e da´ x1 > x2 = ı que implica a + x1 a + x1 ax1 + x2 > 1 1 multiplicando por a e depois somando x1 em ambos lados segue que a2 x1 + ax2 + x1 > a + x1 ⇔ x1 (a2 + ax1 + 1) > a + x1 ⇒ x1 > 1 a2 a + x1 + ax1 + 1 =x3 da´ x1 > x3 e como x2 < c segue que x3 = ı x2 . Vale tamb´m que x4 = e ent˜o a 1 1 >c= , logo temos x1 > x3 > c > a + x2 a+c 1 1 > x2 = , pois x1 > x3 e c > x4 pois x3 > c, a + x3 a + x1 x 1 > x 3 > c > x4 > x2 . Seguindo esse procedimento mostramos que a sequˆncia dos ´ e ımpares ´ decrescente e limitada inferiormente e a sequˆncia dos pares ´ crescente limitada superiormente, ent˜o e e a ambas as sequˆncias s˜o convergentes. Supondo lim x2n = L1 e lim x2n−1 = L2 segue da e a a + xn que identidade xn+2 = 2 a + xn + 1 L= a+L ⇒ a2 L + aL2 + L = a + L ⇒ a2 L + aL2 = a ⇒ aL + L2 = 1 2 + aL + 1 a como L1 , L2 > 0 essa equa¸˜o possui apenas uma solu¸˜o positiva, ent˜o segue que L1 = ca ca a L2 = c. ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 43 Quest˜o 6 a Propriedade 76. Dado a > 0 deﬁnimos (yn ) com y1 = a e yn+1 = a + lim yn = a + c onde c ´ raiz positiva de x2 + ax − 1 = 0. e 1 para todo n natural, onde (xn ) ´ e yn a sequˆncia deﬁnida na propriedade anterior. Por indu¸˜o sobre n, para n = 1 temos e ca 1 1 1 1 ok! Suponha por hip´tese que xn = o e vamos mostrar que xn+1 = . x1 = = a y1 yn yn=1 1 ayn + 1 Vale que yn+1 = a + = , por deﬁni¸˜o de xn tem-se que ca yn yn Demonstra¸˜o. Vamos mostrar que xn = ca xn+1 = 1 1 yn 1 = . = 1 = a + xn ayn + 1 yn+1 a + yn 1 . Vale que yn Ent˜o yn+1 = a + xn tomando o limite segue que lim yn+1 = a + c. a Quest˜o 7 a Exemplo 20. Seja a sequˆncia de ﬁbonacci deﬁnida como f (n + 2) = f (n + 1) + f (n) e f (n) com condi¸˜es iniciais f (1) = f (2) = 1, deﬁnindo xn = co ent˜o lim xn = c raiz a f (n + 1) positiva de x2 + x − 1 = 0. Da recorrˆncia f (n + 2) = f (n + 1) + f (n) dividindo por f (n + 1) em ambos lados e f (n + 2) f (n) f (n) f (n + 1) segue que = + 1 de xn = segue que xn+1 = , logo f (n + 1) f (n + 1) f (n + 1) f (n + 2) 1 xn+1 = xn + 1 ⇒ xn+1 = 1 1 + xn logo ca´ ımos no caso j´ demonstrado da sequˆncia (xn ) com a = 1, da´ (xn ) converge para a e ı solu¸˜o positiva de x2 + x − 1 = 0. ca 1.4.4 Limites inﬁnitos Quest˜o 1 a Exemplo 21. lim(n!) n = ∞. 1 ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 44 De n! > an , com a > 0 arbitr´rio para n grande, tem-se (n!) n > a ent˜o a sequˆncia a a e de termo xn = (n!) n n˜o ´ limitada superiormente al´m disso ´ crescente, pois de n + 1 > a e e e n n ∏ ∏ k > 0 tem-se (n + 1) > k logo (n + 1)n > n! o que implica (n!)n (n + 1)n > n!(n!)n k=1 k=1 1 1 1 1 e da´ ((n + 1)!)n > (n!)n+1 de onde segue (n + 1)! n+1 > (n!) n . ı como ela ´ crescente e ilimitada superiormente, ent˜o seu limite ´ inﬁnito. e a e Quest˜o 2 a Propriedade 77. Se lim xn = ∞ e a > 0 ent˜o a lim Demonstra¸˜o. ca √ ln(xn + a) − ln(xn ) √ ln(xn = √ ln(xn + a + ln(xn a a o denominador ln(1 + ) < 1+ → 1 logo o numerador ´ limitado e o numerador e xn xn tende ao inﬁnito, ent˜o o limite ´ nulo. a e ln(xn + a − Quest˜o 3 a Propriedade 78. Com a > 0, p ∈ N vale lim np an = 0. n! √ √ ln(xn + a − √ ln(xn = 0. Demonstra¸˜o. Pelo testa da raz˜o , tomando xn = ca a xn+1 xn da´ lim ı np an > 0 segue n! (n + 1)p an+1 n! a 1 = = (1 + )p n .np (n + 1)! a (n + 1) n xn+1 = 0 e lim xn = 0. xn n! Corol´rio 14. lim p n = ∞. a na an n!np an n!np = 0 se a < e e lim = ∞ se a > e. nn nn an n!np > 0 tem-se Demonstra¸˜o. Deﬁnindo xn = ca nn 1 p an+1 (n + 1)!(n + 1)p nn a xn+1 = = ) 1 n (1 + n+1 np n .n! xn (n + 1) a n (1 + n ) a ı, cujo limite ´ , da´ se a < e lim xn = 0 , se a > e lim xn = ∞. e e Propriedade 79. Seja a > 0 ent˜o lim a ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 45 Quest˜o 4 a Propriedade 80. Se (xn − yn ) ´ limitada e lim yn = ∞ ent˜o lim e a xn = 1. yn Demonstra¸˜o. Existem t1 , t2 ∈ R e n0 tal que para n > n0 vale ca t1 < xn − yn < t2 , ⇒ t1 + yn < xn < t2 + yn com yn > 0 dividimos por esse valor t1 xn t2 +1< < +1 yn yn yn tomando o limite em ambos lados tem-se por sandu´ ıche 1 ≤ lim lim lim xn ≤1 yn xn = 1. yn 1 1 Corol´rio 15. A sequˆncia (ln(n + 1) − ln(n)) ´ limitada pois vale 0 < ln(1 + ) < 1 + a e e n n 1 ln(n + 1) com 1 + limitada da´ lim ı = 1 pois e lim ln(n) = ∞. n ln(n) Outra maneira ´ considerar e 1 ln(1 + n ) ln(n + 1) ln(n + 1) − ln(n) −1= = ln(n) ln(n) ln(n) como o numerador ´ limitado e o denominador tende ao inﬁnito o limite ´ nulo e e lim Quest˜es 5 e 6 o Propriedade 81 (Stolz-Ces`ro). Dada uma sequˆncia (xn ) e uma sequˆncia (yn ) cresa e e cente com lim yn = ∞ e lim xn ∆xn = a ent˜o lim a = a. ∆yn yn ln(n + 1) ln(n + 1) − 1 = 0 ⇒ lim = 1. ln(n) ln(n) ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 46 Demonstra¸˜o. Como lim ca para k > n0 tem-se a − ε ≤ ∆xk ≤ a + ε e yn > 0 (pois tende ao inﬁnito), como (yn ) ´ e ∆yk crescente vale ∆yk > 0, logo podemos multiplicar por ele em ambos lados da desigualdade sem alterar (a − ε)∆yk ≤ ∆xk ≤ (a + ε)∆yk tomamos o somat´rio o n−1 ∑ k=n0 +1 ∆xn = a ent˜o para todo ε > 0 existe n0 ∈ N tal que a ∆yn em ambos lados (a − ε)(yn − yn0 +1 ) ≤ (xn − xn0 +1 ) ≤ (a + ε)(yn − yn0 +1 ) isso implica (a − ε)(yn − yn0 +1 ) + xn0 +1 ≤ xn ≤ (a + ε)(yn − yn0 +1 ) + xn0 +1 yn0 +1 xn +1 xn yn +1 xn +1 )+ 0 ≤ ≤ (a + ε)(1 − 0 ) + 0 yn yn yn yn yn xn como lim yn = ∞ segue que o que implica lim = a. yn (a − ε)(1 − Propriedade 82. Se limzn = a e (wn ) ´ uma sequˆncia de n´meros positivos com e e u n ∑ w k zk n ∑ k=1 wk = ∞ ent˜o lim ∑ a lim = a. n k=1 wk k=1 n ∑ k=1 n ∑ k=1 Demonstra¸˜o. Tomamos xn = ca wk .zk e yn = wk ent˜o ∆xn = wn+1 .zn+1 a ∆xn , ∆yn = wn+1 > 0 ent˜o yn ´ crescente e lim yn = ∞, temos tamb´m que a e e = ∆yn wn+1 zn+1 = zn+1 cujo limite existe e vale a ent˜o nessas condi¸oes vale a c˜ wn+1 wk .zk xn k=1 = lim ∑ = a. lim n yn wk k=1 n ∑ k=1 n ∑ Corol´rio 16. Tomando wn = 1 ent˜o a a wk = n e seu limite ´ inﬁnito, tomando uma e sequˆncia (zn ) tal que lim zn = a ent˜o segue que e a n ∑ zk =a lim k=1 n ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 47 n ∑ zk = a. n ∑ k=1 , isto ´, se lim zn = a ent˜o lim e a k=1 n Corol´rio 17. No corol´rio anterior tome xn = a a que lim xn = a. n zk , da´ segue que lim ∆xn = a implica ı Propriedade 83. lim ln(n + 1) = 0. n Demonstra¸˜o. Tomando yn = n e xn = ln(n + 1) vale que ∆yn = 1 > 0 e ca n+1 lim yn = ∞, ∆xn = ln( ) vale ainda que n lim logo lim ln(n + 1) = 0. n ∆yn n+1 = lim ln( )=0 ∆xn n 1.5 1.5.1 Cap´ ıtulo 4-S´ries num´ricas e e S´ries convergentes e Quest˜o 1 a Exemplo 22. Dadas as s´ries e √ √ 1 n + 1 − n , bn = log(1 + ) n k=1 k=1 , mostre que lim an = lim bn = 0. Calcule explicitamente as n-´simas reduzidas sn e tn e ak e bk com an = destas s´ries e mostre que lim sn = lim tn = +∞. e n ∑ k=1 n n ∑√ ∑ √ √ √ k+1− k = ∆ k= k k=1 k=1 n+1 ∞ ∑ ∞ ∑ sn = ak = = 1 √ n+1−1 logo lim sn = ∞ ∑ ∑ 1 log(k+1)−log(k) = ∆log(k) = log(k) tn = log(1+ ) = k k=1 k=1 k=1 n ∑ n n n+1 = log(n+1)−log(1) = log(n+1) 1 logo lim tn = +∞. O limite dos termos das s´ries e an = √ √ 1 n+1− n= √ √ lim an = 0 n+1+ n ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 48 1 ) n 1 1 log[(1 + n )n ] (1 + n )n 1 0 < log(1 + ) = ≤ n n n 1 (1 + n )n 1 n como lim(1 + ) = e ent˜o tal sequˆncia ´ limitada, logo lim a e e = 0 de onde segue n n 1 por teorema do sandu´ ıche que lim log(1 + ) = 0. Usamos que log(n) < n. Assim temos n duas s´rie cujos termos gerais tendem a zero, por´m as s´ries divergem, esse exemplo e e e ∞ ∑ mostra que a condi¸ao de lim f (k) = 0 em uma s´rie c˜ e f (k) ser satisfeita n˜o garante a bn = log(1 + k=b que a s´rie ser´ convergente, a condi¸ao ´ apenas uma condi¸˜o necess´ria. e a c˜ e ca a Quest˜o 2 a Usaremos muito a propriedade telesc´pica que diz que o n ∑ k=1 ∆f (k) = f (n + 1) − f (1) onde ∆f (k) = f (k + 1) − f (k). ∞ ∑ 1 Exemplo 23. Mostrar que a s´rie e converge, usando o crit´rio de compara¸˜o. e ca k2 k=1 Come¸aremos com o somat´rio c o n ∑ k=2 n ∑1 1 1 1 =− − =− k(k − 1) k k−1 k−1 k=2 b ∑ k=a n+1 == − 2 n−1 1 +1= n n b+1 onde usamos soma telesc´pica o ∆f (k) =f (k+1)−f (k) = f (b + 1) − f (a) = f (k) a , ∆f (k) = f (k + 1) − f (k) ´ apenas uma nota¸˜o para essa diferen¸a. Tomando o limite na express˜o e ca c a acima ∑ 1 1 . lim − + 1 = 1 = n k(k − 1) k=2 ∞ ∞ ∑ 1 converge , temos que para k > 1 k2 k=1 Vamos mostrar com esse resultado que a s´rie e 1 1 > 2 k(k − 1) k ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 49 pois k2 > k2 − k k>0 e k > 1 por an´lise de sinal , logo aplicando o somat´rio a o ∞ ∑ k=2 ∑ 1 1 > k(k − 1) k=2 k 2 ∞ ∞ ∞ ∑ 1 ∑ 1 = . k2 k2 k=1 k=2 somando 1 em ambos lados e usando o resultado da s´rie que foi calculada e 2>1+ . Quest˜o 3 a Vamos agora demonstrar alguns resultados que n˜o s˜o necess´rios para resolver a a a a quest˜o, por´m achamos que sejam interessantes , simples e podem enriquecer um pouco a e o material. Vamos usar o seguinte pequeno resultado em certas demonstra¸oes. c˜ Propriedade 84. Sejam (xn ) e (yn ) sequˆncias, se ∆xn = ∆yn para todo n, ent˜o e a xn = yn + c para alguma constante c. Demonstra¸˜o. Aplicamos o somat´rio ca o e usamos a soma telesc´pica, de onde segue o xn − x1 = yn − y1 ⇒ xn = yn + x1 − y1 =c n−1 ∑ k=1 em cada lado na igualdade ∆xk = ∆yk . Corol´rio 18. Se ∆xn = ∆yn ∀n e existe t ∈ N tal que xt = yt ent˜o xn = yn para todo a a n. Tal propriedade vale pois xn = yn + c, tomando n = t segue xt = yt + c que implica c = 0, logo xn = yn para todo n. Propriedade 85. Seja e n > 0 ∈ N ent˜o a n−1 ∑ s=0 2s+1 −1 ∑ k=2s f (k) = 2n −1 ∑ k=1 f (k) ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 50 Demonstra¸˜o. Para n = 1 ca 0 ∑ s=0 2s+1 −1 ∑ k=2s f (k) = 2−1 ∑ k=20 f (k) = 21 −1 ∑ k=1 f (k) Temos que ∆ e ∆ 2n −1 ∑ k=1 n−1 ∑ s=0 2s+1 −1 ∑ k=2s f (k) = 2n+1 −1 ∑ k=2n f (k) f (k) = 2n+1 −1 ∑ k=1 f (k) − 2n −1 ∑ k=1 2∑ −1 2 −1 2 −1 2∑ −1 ∑ ∑ 1 = f (k) + f (k) − f (k) = f (k). kr k=2n k=1 k=1 k=2n n+1 n n n+1 logo est´ provada a igualdade. a Propriedade 86 (Crit´rio de condensa¸ao de Cauchy). Seja (xn ) uma sequˆncia n˜oe c˜ e a ∑ ∑ crescente de termos positivos ent˜o a xk converge, se e somente se, 2k .x2k converge. Demonstra¸˜o. Usaremos a identidade ca n−1 ∑ s=0 2s+1 −1 ∑ k=2s f (k) = 2n −1 ∑ k=1 f (k). Como xk ´ n˜o-crescente ent˜o vale e a a 2 x2s+1 = n−1 ∑ s=0 s 2s+1 −1 ∑ k=2s x2s+1 ≤ 2s+1 −1 ∑ k=2s xk aplicando 2 segue n−1 ∑ 2 s+1 x2s+1 ≤ 2n −1 ∑ k=1 xk logo se ∑ 2s x2s diverge ent˜o a ∑ s=0 xk diverge. 2s+1 −1 ∑ k=2s Usando agora que 2s+1 −1 ∑ k=2s xk ≤ x2s = 2s x2s aplicando n−1 ∑ s=0 segue que 2n −1 ∑ xk ≤ n−1 ∑ s=0 2s x2s . da´ se ı ∑ 2 x2s converge ent˜o a s ∑ k=1 xk converge ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 51 Exemplo 24 (S´rie Harmˆnica). Os n´meros harmˆnicos s˜o deﬁnidos como e o u o a Hn = n ∑1 k=1 k temos que lim 1 = 0 satisfaz a condi¸˜o necess´ria para convergˆncia de s´ries mas vamos ca a e e n mostrar que a s´rie e ∞ ∑1 =∞ lim Hn = k k=1 , isto ´, a s´rie diverge. e e Suponha que a s´rie harmˆnica seja convergente, denotando lim Hn = H Sejam N1 o e o subconjunto de N dos ´ ındices pares e N2 o conjunto dos n´meros ´ u ımpares. Se Hn converge temos que a s´rie sobre suas subsequˆncias tamb´m converge, sendo ent˜o e e e a n ∑ k=1 ∞ ∑ 1 1 = tn , =t 2k − 1 2k − 1 k=1 n ∞ ∞ ∑ 1 ∑ 1 1∑1 H = sn , =s= = 2k 2k 2 k=1 k 2 k=1 k=1 H temos H2n = sn + tn tomando o limite lim H2n = H = lim(sn + tn ) = s + t , como s = 2 H segue que t = pois a soma deve ser H, desse modo a diferen¸a t − s = 0, mas c 2 tn − sn = logo lim tn − sn = t − s > 0 de onde segue t > s que ´ absurdo. Pode-se mostrar que lim tn − sn = ln(2). e Exemplo 25. Na s´rie harmˆnica percebemos que e o 1 1 2 1 + > = 3 4 4 2 4 1 1 1 1 1 + + + > = 5 6 7 8 8 2 1 1 1 1 1 1 1 8 1 1 + + + + + + + > = 9 10 11 12 13 14 15 16 16 2 n ∑ k=1 ∑ 1 ∑ 1 1 1 ∑ 1 − = = + >0 2k − 1 k=1 2k (2k)(2k − 1) 2 k=2 (2k)(2k − 1) k=1 n n n ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 52 podemos continuar agrupando os termos das somas dessa maneira, vendo que a soma dos termos harmˆnicos n˜o s˜o limitados superiormente. o a a ∞ ∑ 2k ∑ Usando o crit´rio de condensa¸˜o de Cauchy e ca = 1 diverge. 2k k=1 ∞ ∑ 1 1 1 Corol´rio 19. a diverge se p < 1. Para p < 1 vale k p < k e da´ < p , da´ por ı ı p k k k k=1 ∞ ∞ ∑1 ∑ 1 compara¸˜o como ca diverge isso implica que tamb´m diverge. e k kp k=1 k=1 Vejamos outro corol´rio do crit´rio de condensa¸ao de Cauchy. a e c˜ ∞ ∑ 1 Propriedade 87. A s´rie e converge se p > 1 e diverge se p < 1. kp k=1 ∞ ∑ 1 Demonstra¸˜o. Pelo crit´rio de condensa¸ao de Cauchy a s´rie ca e c˜ e converge, se kp k=1 ∞ ∑ 2k 1 e somente se, converge da´ p−1 < 1 logo p − 1 > 0, p > 1, caso p < 1 a s´rie ı e kp 2 2 k=1 diverge. Vamos resolver as quest˜es 4 e 5 usando o crit´rio de condensa¸˜o de Cauchy. o e ca Quest˜o 4 e Quest˜o 5 a a Propriedade 88. A s´rie e ∞ ∑ k=2 1 k(ln k)r diverge se r ≤ 1 e converge se r > 1. Demonstra¸˜o. ca Usamos o crit´rio de condensa¸˜o de Cauchy e ca ∑ ∑ 1 2k = k (ln(2k ))r r (ln(2))r 2 k ∑ ln(n) n2 que diverge se r ≤ 1 e converge se r > 1 . Exemplo 26. Provar que a s´rie e Cauchy temos que converge. Pelo crit´rio de condensa¸ao de e c˜ ∑ n ln(2) 2n ∑ 2n ln(2n ) 2n .2n = tal s´rie converge, logo a primeira tamb´m converge. e e ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 53 Quest˜o 6 a Exemplo 27. Provar que a s´rie e Cauchy temos que ∑ ln(n) n2 converge. Pelo crit´rio de condensa¸ao de e c˜ ∑ n ln(2) 2n ∑ 2n ln(2n ) 2n .2n = tal s´rie converge, logo a primeira tamb´m converge. e e Quest˜o 7 a Propriedade 89. Seja (an ) uma sequˆncia n˜o-crescente de n´meros reais positivos. Se e a u ∑ ak converge ent˜o lim nan = 0. a Demonstra¸˜o. Usaremos o crit´rio de Cauchy . Existe n0 ∈ N tal que para n + 1 > ca e n0 vale 2n ∑ 2na2n ak < ε = na2n ≤ 2 k=n+1 logo lim 2na2n = 0. Agora mostramos que a subsequˆncia dos ´ e ımpares tamb´m tende a e zero. Vale a2n+1 ≤ a2n da´ 0 < (2n + 1)a2n+1 ≤ 2na2n + a2n por teorema do sandu´ ı ıche segue o resultado. Como as subsequˆncias pares e ´ e ımpares de (nan ) tendem a zero, ent˜o a a sequˆncia tende a zero. e 1.5.2 S´ries absolutamente convergentes e Quest˜o 1 a Propriedade 90. Sejam an ≥ 0 e convergente ∀x ∈ [−1, 1]. Demonstra¸˜o. Com x ∈ [−1, 1] vale |x| ≤ 1 da´ ca ı ∑ ∑ |an xn | = ∑ an |x|n ≤ ∑ an ∑ an convergente, ent˜o a ∑ an xn ´ absolutamente e logo an xn ´ absolutamente convergente. e ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 54 Quest˜o 2 a Exemplo 28. Seja a s´rie e ∞ ∑ k=1 ak (−1)k+1 = 2 1 2 1 2 1 2 1 − + − + − + − + · · · onde 3 3 4 4 5 5 6 6 2 1 a2k = e a2k−1 = ent˜o lim ak = 0 e tem termos alternados, por´m diverge. a e k+2 2+k Por que ela n˜o contradiz o teorema de Leibniz? Tal sequˆncia n˜o satisfaz a propriedade a e a 2 1 de ser n˜o-crescente, pois a2k+1 > a2k , a > . 2+k+1 2+k Tal s´rie realmente diverge pois e 2n ∑ k=1 ak (−1) k+1 = n ∑ k=1 a2k−1 − n ∑ k=1 a2k = n ∑ k=1 ∑ 1 1 2 − = 2+k 2+k k+2 k=1 n que diverge pela divergˆncia da s´rie harmˆnica (perceba acima que separamos os termos e e o pares dos ´ ımpares na soma). Quest˜o 3 a an pode ser convergente e quando seus termos s˜o multia ∑ plicados por uma sequˆncia limitada (xn ) a s´rie e e an xn , pode divergir, como ´ o caso e ∑ (−1)n da s´rie e com termos multiplicados pela sequˆncia limitada de termo (−1)n , e n ∑1 ∑ gerando a s´rie e que ´ divergente. (xn ) pode ser convergente e ainda assim e an x n n ∑ (−1)n √ divergir como ´ o caso de e que converge pelo crit´rio de Leibniz e tomando e n (−1)n ∑ (−1)n (−1)n ∑ 1 √ √ xn = √ = diverge. n n n n ∑ ∑ Propriedade 91. Se (xn ) ´ limitada e e an ´ absolutamente convergente ent˜o e a an x n ´ convergente. e Demonstra¸˜o. Existe m ∈ R tal que |xn | < m ∀n ∈ N da´ |xn an | ≤ m|an | da´ segue ca ı ı ∑ ∑ por compara¸ao que c˜ |xn an | ´ convergente logo e xn .an converge. Quest˜o 4 a Propriedade 92. Seja (xn ) uma sequˆncia n˜o-crescente com lim xn = 0 ent˜o a s´rie e a a e obtida somando p termos com sinais positivos da sequˆncia (xn ) alternando com p termos e negativos alternadamente ´ convergente. e Exemplo 29. Uma s´rie e ∑ ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 55 Demonstra¸˜o. A s´rie pode ser escrita como ca e ∞ ∑ t=1 (−1) t+1 p ∑ k=1 xk+(t−1)p = =yt ∞ ∑ t=1 (−1)t+1 yt Vamos mostrar que essa s´rie satisfaz os crit´rio de Leibniz. Como lim xn = 0 ent˜o o e e a limite de qualquer subsequˆncia de (xn ) tamb´m tende a zero, logo lim xk+(t−1)p = 0 e e , para todo k ﬁxo, tem-se lim yt = lim p ∑ k=1 t→∞ xk+(t−1)p = 0. Agora vamos mostrar que a sequˆncia (yt ) ´ n˜o-crescente, como (xn ) ´ n˜o-crescente temos que xk+tp ≤ xk+(t−1)p e e a e a p ∑ para todo k, aplicando tem-se k=1 p ∑ k=1 p ∑ k=1 ∞ ∑ t=1 t+1 p ∑ k=1 yt+1 = xk+tp ≤ xk+(t−1)p = yt da´ yt ´ n˜o-crescente, logo vale o crit´rio de Leibniz, implicando que ı e a e ´ convergente. e (−1) xk+(t−1)p Exemplo 30. A s´rie obtida somando p termos com sinais positivos da sequˆncia (xn ) = e e 1 ( ) alternando com p termos negativos alternadamente ´ convergente, pois lim xn = 0 e e n xn ´ decrescente. e Quest˜o 5 a Propriedade 93. Se n ∑ ak bn−k → 0. k=1 ∑ ak ´ absolutamente convergente e lim bn = 0 ent˜o cn = e a Demonstra¸˜o. Existe B > 0 tal que |bn | < B, ∀n ∈ N. Vale ca ∞ ∑ k=1 |ak | = A. Dado n ∑ ε e por |ak | ser de cauchy vale ε > 0 existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica |bn | < 2A k=1 n ∑ ε | ak | < ent˜o para n > 2n0 (n − n0 > n0 ) segue que a 2B k=n +1 0 | n ∑ k=1 ak bn−k | ≤ n ∑ k=1 |ak ||bn−k | = n0 ∑ k=1 |ak ||bn−k | + n ∑ k=n0 +1 |ak ||bn−k | ≤ ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 56 n ∑ ε Aε εB ε ε |ak | |ak |B ≤ ≤ + + ≤ + =ε 2A k=n +1 2A 2B 2 2 k=1 0 n0 ∑ isso implica que lim cn = 0. Quest˜o 6 a Propriedade 94. Seja (xk ) uma sequˆncia de n´meros n˜o negativos com a s´rie e u a e ∑ convergente ent˜o a x2 ´ convergente. k e n ∑ k=b ∑ xk Demonstra¸˜o. Como temos xk ≥ 0 segue tamb´m x2 ≥ 0, sendo ent˜o s(n) = ca e a k x2 temos ∆s(n) = x2 ≥ 0, logo s(n)´ n˜o decrescente, se mostrarmos que a s´rie ´ e a e e k n+1 limitada superiormente teremos uma sequˆncia que ´ limitada e mon´tona logo convere e o gente. Temos que s(n) ´ limitada superiormente da seguinte maneira e n ∑ k=b n n ∑ ∑ xk ) xk )( ≤( k=b k=b x2 k logo a s´rie ´ convergente. e e ∑ ak ´ absolutamente convergente ent˜o e a a2 converge, usamos o k ∑ resultado anterior com xk = |ak |, ent˜o a convergˆncia de a e |ak | implica a convergˆncia e ∑ ∑ de |ak |2 = a2 . k Corol´rio 20. Se a Quest˜o 7 a Propriedade 95. Se ∑ x2 e n ∑ 2 yn convergem ent˜o a ∑ ∑ xn .yn converge absolutamente. Demonstra¸˜o. Usando a desigualdade de Cauchy ca n n n n n ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 2 2 2 2 2 ( |xk ||yk |) ≤ ( |xk | )( |yk | ) = ( xk )( yk ) k=1 k=1 logo por crit´rio de compara¸˜o segue que e ca Quest˜o 8 a Propriedade 96. Seja S={ ∑ k∈A ∑ k=1 k=1 k=1 xn .yn converge absolutamente. ∑ an uma s´rie qualquer, denotamos e ak , tal que A ´ qualquer conjunto ﬁnito de ´ e ındices de (ak )}. ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ ∑ 57 ak ´ absolutamente convergente ⇔ S ´ limitado. e e ∑ Demonstra¸˜o. ⇒ Se ca ak ´ absolutamente convergente ent˜o a soma dos termos e a ∑ positivos ´ no m´ximo p = e a pk e a soma dos termos negativos ´ no m´ximo −q = e a ∑ − qk , logo S ´ um conjunto limitado, pois qualquer outra combina¸˜o de soma de e ca termos positivos e negativos do conjunto deve estar entre esses dois valores. ⇐. Se S ∑ ∑ ´ limitado ent˜o e a pn e qn s˜o limitados e por isso convergentes pois determinam a ∑ ∑ sequˆncias n˜o-decrescentes limitadas superiormente, da´ segue que e a ı |an | = pn + ∑ qn ´ convergente. e 1.5.3 Teste de convergˆncia e Quest˜es 1 e 2 o a Propriedade 97. Se |an | n ≥ 1 para uma inﬁnidade de indices n ent˜o lim an ̸= 0 e a ∑ s´rie e an diverge. Demonstra¸˜o. Se lim an = 0 ent˜o existe n0 ∈ N tal que para n > n0 tem-se ca a 1 1 a ındice n1 > n0 |an | < , se |an | n ≥ 1 para uma inﬁnidade de indices n, ent˜o existe um ´ 2 1 tal que |an1 | n1 ≥ 1 logo |an1 | ≥ 1 o que entra em contradi¸˜o com a suposi¸˜o de que ca ca ∑ lim an = 0 ent˜o tal propriedade n˜o vale, de onde segue que a s´rie a a e an diverge, pois se ela fosse convergente ent˜o ter´ a ıamos lim an = 0. Propriedade 98. Se an ̸= 0∀n ∈ N e existe n0 ∈ N tal que para n ≥ n0 tem-se ∑ |an+1 | ≥ 1 ent˜o a an diverge. |an | n ∏ |ak+1 | ≥ 1 da´ aplicando ı de ambos lados, Demonstra¸˜o. Para k > n0 vale ca |ak | k=n0 segue por produto telesc´pico que o 1 |an+1 | ≥ 1 ⇒ |an+1 | ≥ |an0 | > 0 an0 ∑ logo n˜o vale que lim an = 0, portanto a s´rie a e an diverge. Exemplo 31. A s´rie e ∞ ∑ k=1 ak = a + b + a2 + b2 + a3 + b3 + a4 + b4 + · · · deﬁnida como a2k = bk e a2k−1 = ak onde 0 < a < b < 1 converge. O teste de d’Alembert ´ inconclusivo e ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 58 a2k b b = ( )k > 1 pois de a < b segue 1 < . O teste de Cauchy funciona a2k−1 a a √ √ √ 2n n = pois para ´ ındices pares b b < 1 e para ´ ındices ´ ımpares 2n−1 an < 1, logo vale ∑ √ para todo n, n |an | < 1 e o teste de Cauchy implica que an converge. No caso do a2k b teste de d’Alembert, caso fosse a = b seguiria que = ( )k = 1, por´m a s´rie s´ria e e e a2k−1 a convergente pois 2n n n n n ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ k ak = a2k + a2k−1 = a + bk pois ∀k k=1 k=1 k=1 k=1 k=1 sendo que a sequˆncia das reduzidas ´ convergente logo a s´rie ´ convergente, em especial e e e e 1 esse argumento vale para a = b = . 2 Quest˜o 3 a Propriedade 99. A sequˆncia de termo ( e Demonstra¸˜o. ca n+1 n ) < n da´ (n + 1)n < nn+1 tomando o logaritmo n ln(n + 1) < ı n ln(n + 1) n+1 ln(n + 1) n n+1 n (n + 1) ln(n) logo < elevando ` n segue que ( a ) < ( ) , ln(n) n (n + 1) n sendo menor que uma sequˆncia limitada segue que ela ´ limitada. e e Para n ≥ 3 vale ( Exemplo 32. Mostrar que ∑ ln(n) ( )n ´ convergente. e n Pelo crit´rio de D’Alembert, temos e ( ln(n + 1) n+1 (n) n ln(n + 1) ln(n + 1) n n n ) ( ) = ( ) ( ) (n + 1) ln(n) n+1 (n + 1) n+1 ln(n + 1) n ) ´ limitada. e (n + 1) o primeiro limite tende a zero, a segunda express˜o ´ limitada e o terceiro limite converge, a e ent˜o tal express˜o tende a zero. a a √ ln(n) n ln(n) n Pelo crit´rio de Cauchy, ( e ) = → 0 logo a s´rie converge. e n n Quest˜o 4 a |xn+1 | = L ent˜o a Propriedade 100. Seja (xn ) uma sequˆncia de termos n˜o nulos, se lim e a |xn | √ lim n |xn | = L. ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 59 Demonstra¸˜o. Seja L > 0, ent˜o existe n0 ∈ N tal que para k > n0 vale ca a 0 < L − ε < t1 < aplicando n ∏ k=n0 +1 |xk+1 | < t2 < L + ε |xk | em ambos lados e usando produto telesc´pico tem-se o |xn0 +1 |(t1 )n−n0 < |xn+1 | < |xn0 +1 |(t2 )n−n0 tomando a raiz n-´sima e |xn0 +1 | n (t1 )1− n < |xn+1 | n < |xn0 +1 | n (t2 )1− n para n grande tem-se L − ε < |xn+1 | n < L + ε da´ segue que lim |xn+1 | n = L. ı Se L = 0, temos argumento similar, existe n0 ∈ N tal que para k > n0 vale 0< aplicando n ∏ k=n0 +1 1 1 1 n0 1 1 n0 |xk+1 | < t2 < ε < 1 |xk | em ambos lados e usando produto telesc´pico tem-se o 0 < |xn+1 | < |xn0 +1 |(t2 )n−n0 tomando a raiz n-´sima e 0 < |xn+1 | n < |xn0 +1 | n (t2 )1− n para n grande tem-se 0 < |xn+1 | n < ε da´ segue que lim |xn+1 | n = 0. ı Propriedade 101 (Limite da m´dia geom´trica). Seja (xn ) tal que xn > 0, se lim xn = a e e n ∏ 1 ent˜o lim( xk ) n = a. a k=1 1 1 1 1 n0 xn+1 . xn √ Demonstra¸˜o.[1] Usamos o resultado de que se lim Qyn = a ent˜o lim n yn = a. ca a n ∏ Tomando yn = xk segue que Qyn = xn+1 logo lim Qyn = lim xn+1 = a implica que Usando a nota¸ao Qxn = c˜ ∏√ √ n lim n yn = a = lim xk = a.. n k=1 k=1 ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 60 Demonstra¸˜o.[2] Seja a > 0 . lim xn = a ent˜o lim ln(xn ) = ln(a) que implica ca a lim n ∑ ln(xk ) k=1 n = ln(a), lim ln(( n ∏ k=1 xk ) n ) = ln(a) 1 pela continuidade e propriedade bijetiva de ln segue lim( n ∏ xk ) n = a. 1 k=1 Se a = 0 usamos desigualdade das m´dias e teorema do sandu´ e ıche 0 < (( da´ ı 0 ≤ (( ent˜o a lim( em todos esses casos. Corol´rio 21. Sabendo que lim xn = a, xn > 0 podemos provar que lim a usando a desigualdade das m´dias e teorema do sandu´ e ıche ∏ 1 ∑ ak n n ≤ ak ≤ n ∑ n k=1 ak k=1 n n k=1 n ∏ k=1 1 n ak = a n ∏ xk ) n ) ≤ 1 n ∑ xk k=1 k=1 n ∏ n xk ) ) ≤ lim n ∏ 1 n n ∑ xk k=1 k=1 n =0 xk ) n = a 1 k=1 ∑ ak ∏ 1 n n usando que lim ∑ ak por sandu´ ıche . = a e lim = a segue que lim n n k=1 k=1 ak n n k=1 Quest˜o 5 a Exemplo 33. Estudamos os valores x reais com os quais as s´ries a seguir convergem. e 1. ∑ nk xn . √ n nk |x|n = √ n nk |x| → |x| ent˜o a s´rie converge com |x| < 1, ela n˜o a e a converge se x = 1 ou x = −1 pois nesses casos o limite do termo somado n˜o tende a a zero. ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ ∑ 61 √ o nn xn . n nn |x|n = n|x| → ∞ se x ̸= 0 ela s´ converge para x = 0. √ ∑ xn n |x|n |x| 3. . = → 0, logo ela converge independente do valor de x. n n n n n ∑ √ √ n n!xn . n n!|x|n = n!|x| → 0, logo ela s´ converge com x = 0. 4. o √ ∑ xn n |x|n 5. . → |x|, ent˜o ´ garantida a convergˆncia com |x| < 1 , com x = 1 a e e n2 n2 ela converge e com x = −1 tamb´m, pois ´ absolutamente convergente. e e 2. 1.5.4 Comutatividade Quest˜o 1 a Propriedade 102. Se uma s´rie ´ condicionalmente convergente ent˜o existem altera¸oes e e a c˜ na ordem da soma dos seus termos de modo a tornar a s´rie +∞ ou −∞. e ∑ Demonstra¸˜o. Como vale ca qn = ∞ podemos somar uma quantidade suﬁciente de termos negativos da s´rie tal que a soma resulte em −s1 e qn seja arbitrariamente e ∑ pequeno, da´ como ı pn = ∞ somamos um n´mero suﬁciente de termos positivos para u que o resultado seja s2 + A > 0, como qn ´ pequeno somamos um n´mero suﬁciente tal e u >0 >0 que o resultado seja s3 tal que A < s3 < s2 + A, novamente somamos uma quantidade de termos positivos tal que o resultado seja s4 = s2 +2A, somamos agora os termos negativos tal que o resultado seja s5 com 2A < s5 < s2 + 2A, continuamos o processo, sendo que para n suﬁcientemente grande vale sn > p.A, onde p ´ natural e A > 0, logo a soma e diverge para inﬁnito. Para que a s´rie seja divergente para −∞ tomamos procedimento e semelhante, por´m come¸ando a somar termos positivos at´ que pn seja pequeno e depois e c e come¸amos a somar os termos negativos. c Quest˜o 2 a (n˜o feita ainda) Demonstrar que (hip´tese) a o n 4n n 4n−4 ∑ 1 ∑ 1 ∑ 1 ∑ 1 −1 1 < s(2n) = − < 0 < s2n−1 = − < n 2k − 1 k=1 2k 2k − 1 2k n k=1 k=1 k=1 da´ lim sn = 0 , sn ´ uma reordena¸ao da s´rie ı e c˜ e ∑ (−1)k k . ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 62 Quest˜o 3 a) a Deﬁni¸˜o 8 (Sequˆncia som´vel). Uma sequˆncia (an ) ´ som´vel com soma s quando ca e a e e a X ∀ε > 0, existe J0 ⊂ N tal que ∀J ⊂ N ﬁnito com J0 ⊂ J tem-se | ∑ k∈J ak − s| < ε. Propriedade 103. Se (an ) ´ som´vel ent˜o para toda bije¸ao f : N → N , (bn ) dada por e a a c˜ bn = af (n) ´ som´vel com a mesma soma. e a Demonstra¸˜o. Como (an ) ´ som´vel ent˜o dado ε > 0 existe j1 ⊂ N ﬁnito tal que ca e a a ∀A j ⊂ N com J1 ⊂ j tem-se | ∑ k∈j ak − s| < ε. Tomamos j0 ⊂ N tal que f (j0 ) = j1 , da´ f (j0 ) = j1 ⊂ j. Se j0 ⊂ j ent˜o f (j0 ) = j1 ⊂ ı a f (j) que implica | ∑ k∈f (j) ak − s| = | ∑ k∈j af (k) − s| = | ∑ k∈j bk − s| < ε Quest˜o 3 b) e c) a Propriedade 104. (an ) ´ som´vel com soma s ⇔ a s´rie e a e ∑ gente e vale an = s. Demonstra¸˜o. Adotaremos a nota¸˜o sj = ca ca ﬁnito. ⇒ Vamos mostrar que o conjunto das somas ﬁnitas ´ limitado e da´ a s´rie ir´ convergir e ı e a absolutamente , por resultado j´ demonstrado. a Dado ε = 1 existe j0 ∈ N ﬁnito tal que ∀j com j0 ⊂ j ⇒ |s − sj | < 1. Denotaremos ∑ a= |ak |. Seja A ⊂ N um conjunto ﬁnito arbitr´rio, por identidade de conjuntos vale a A ∪ j0 = (j0 \ A) ∪ A sendo que essa uni˜o ´ disjunta, da´ tomando a soma sobre esses a e ı conjuntos ﬁnitos segue ∑ k∈A∪j0 k∈j0 ∑ an ´ absolutamente convere ∑ k∈j ak , lembrando que j ´ um conjunto e ak = ∑ k∈j0 \A ak + ∑ k∈A ak ⇒ ∑ k∈A ak = ∑ k∈A∪j0 ak − ∑ k∈j0 \A ak sA = sA∪j0 − sj0 \A ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ ∑ k∈A∪B 63 pois em geral se A e B s˜o conjuntos disjuntos vale que1 a ak = ∑ k∈A ak + ∑ k∈B ak . Disso segue que |s − sA | = |s − sA∪j0 + sj0 \A | < |s − sA∪j0 | + |sj0 \A | < 1 + a pois j0 ⊂ A ∪ j0 c˜ a ımos ent˜o que o conjunto das a logo |s − sA∪j0 | < 1 pela condi¸ao de ser som´vel . conclu´ ∑ somas ﬁnitas de ak ´ limitado, ent˜o tal s´rie converge absolutamente. e a e ∑ ∑ ⇐. Supondo agora que a s´rie e an seja absolutamente convergente com an = ∑ ∑ ∑ ∑ pn − qn = u − v = s. Tomando uj = p k , vj = qk temos sj = uj − vj . u v an , dado ε > 0 arbitr´rio existe n0 ∈ N tal que, sendo a ε ε pela deﬁni¸˜o de limite ca j0 = In0 = {1, · · · , n0 }, j0 ⊂ j ⇒ |u − uj | < , |v − vj | < 2 2 aplicada as somas, da´ j0 ⊂ j ⇒ ı ε ε |s − sj | = |uj − vj − (u − v)| ≤ |u − uj | + |v − vj | < + = ε. 2 2 da´ a sequˆncia ´ som´vel. ı e e a Pela convergˆncia absoluta de e ∑ k∈J k∈J 1.6 1.6.1 Cap´ ıtulo 5-Algumas no¸oes topol´gicas c˜ o Conjuntos abertos Quest˜o 1 a Propriedade 105. Se (x − ε, x + ε) ⊂ A ent˜o (x − ε, x + ε) ⊂ intA. a Demonstra¸˜o. Queremos mostrar que um ponto y ∈ (x − ε, x + ε) arbitr´rio ´ ca a e ponto interior de A , da´ seguindo que todo intervalo (x − ε, x + ε) ´ subconjunto de intA. ı e Como y ∈ (x − ε, x + ε) ent˜o vale x − ε < y e y < x + ε, podemos tomar um n´mero a u real δ > 0 tal que x − ε < y − δ e y + δ < x + ε, da´ cada (y − δ, y + δ) ⊂ (x − ε, x + ε), ı y ´ ponto interior de (x − ε, x + ε) ⊂ A, logo y ´ ponto interior de A o que implica que e e (x − ε, x + ε) ⊂ intA. Propriedade 106 (Idempotˆncia de int). Vale int (int(A)) = int(A). e Demonstra¸˜o. Temos que int (intA) ⊂ int(A), vamos mostrar agora que int(A) ⊂ ca int( int(A)). Dado x ∈ int(A) existe ε > 0 tal que (x − ε, x + ε) ⊂ A logo (x − ε, x + ε) ⊂ intA = B , ent˜o x ∈ int(B) = int( int(A)), o que mostra a proposi¸ao. a c˜ 1 Isso pode ser tomado como parte da deﬁni¸˜o de soma sobre conjuntos ﬁnitos ca ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 64 Quest˜o 2 a Propriedade 107. Seja A ⊂ R. Se ∀(xn ) com lim xn = a ∈ A, ∃n0 ∈ N | n > n0 ⇒ xn ∈ A ent˜o A ´ aberto. a e Demonstra¸˜o. Vamos usar a contrapositiva que no caso diz: Se A n˜o ´ aberto ca a e ent˜o existe (xn ) com lim xn = a ∈ A e xn ∈ A. Lembrando que a contrapositiva de a / p⇒q´ e q⇒ p, (onde ´ o s´ e ımbolo para nega¸˜o da proposi¸˜o) sendo proposi¸˜es ca ca co equivalentes, as vezes ´ muito mais simples provar a contrapositiva do que a proposi¸ao e c˜ diretamente. Se A n˜o ´ aberto, existe a ∈ A tal que a n˜o ´ ponto interior de A, assim ∀ε > 0 a e a e , (a − ε, a + ε) ∩ (R \ A) ̸= ∅, ent˜o podemos tomar uma sequˆncia (xn ) em R \ A que a e converge para a ∈ A. Quest˜o 3 a Propriedade 108. int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B). Demonstra¸˜o. Primeiro vamos mostrar que int(A ∩ B) ⊂ int(A) ∩ int(B). Se ca x ∈ int(A ∩ B) ent˜o existe ε > 0 tal que (x − ε, x + ε) ⊂ (A ∩ B) da´ (x − ε, x + ε) ⊂ A a ı e (x − ε, x + ε) ⊂ B , o que implica que (x − ε, x + ε) ⊂ intA e (x − ε, x + ε) ⊂ intB , provando a primeira parte. Vamos mostrar agora que intA ∩ intB ⊂ int(A ∩ B). Dado x ∈ intA ∩ intB, sabemos que tal conjunto ´ aberto por ser intersec¸˜o de abertos, logo existe ε > 0 tal que (x−ε, x+ e ca ε) ⊂ intA ∩ intB da´ (x − ε, x + ε) ⊂ intA e (x − ε, x + ε) ⊂ intB, logo (x − ε, x + ε) ∈ A, B ı provando o resultado. Exemplo 34. Podemos ter dois conjunto X e Y tais que int(X ∪ Y ) ̸= int(X) ∪ int(Y )? Sim, basta tomar X = [a, b] e Y = [b, c] temos que intX = (a, b), intY = (b, c) e que X ∪ Y = [a, c] segue que int(X ∪ Y ) = (a, c) que ´ diferente de (a, b) ∪ (b, c). Em especial e tomando A = (0, 1] e B = [1, 2) vale que int(A∪B) = (0, 2) ̸= intA∪intB = (0, 1)∪(1, 2). ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 65 Propriedade 109. Vale intA ∪ intB ⊂ int(A ∪ B). Demonstra¸˜o. Seja x ∈ intA ent˜o existe ε > 0 tal que (x − ε, x + ε) ∈ A ca a logo (x − ε, x + ε) ∈ A ∪ B e (x − ε, x + ε) ∈ int(A ∪ B) o mesmo para B, logo vale intA ∪ intB ⊂ int(A ∪ B). Quest˜o 4 a Usamos a nota¸ao ∂A para fronteira do conjunto A. c˜ Propriedade 110. Dado A ⊂ R vale que R = int(A) ∪ int(R \ A) ∪ ∂A onde a uni˜o ´ disjunta. a e Demonstra¸˜o. ca Dado x ∈ R e A ⊂ R vale uma e apenas uma das propriedades a seguir: X Existe ε > 0 tal que (x − ε, x + ε) ⊂ A, da´ x ∈ int(A). Caso contr´rio ∀ε > 0 ı a (x − ε, x + ε) A e ﬁca valendo uma das propriedades a seguir: X Existe ε > 0 tal que (x − ε, x + ε) ⊂ (R \ A) da´ x ∈ int(R \ A) ou vale que ı X ∀ε > 0, (x − ε, x + ε) ∩ A ̸= ∅ e ∀ε > 0, (x − ε, x + ε) ∩ (R \ A) ̸= ∅ , nessas condi¸˜es co x ∈ ∂A. Com isso conclu´ ımos que R ⊂ int(A)∪int(R\A)∪∂A e como int(A)∪int(R\A)∪∂A ⊂ R segue que R = int(A) ∪ int(R \ A) ∪ ∂A. Propriedade 111. A ´ aberto ⇔ A ∩ ∂A = ∅. e Demonstra¸˜o. ⇒. Se A ´ aberto, ent˜o intA = A com intA e ∂A disjuntos. ca e a ⇐. Supondo que A ∩ ∂A = ∅, ent˜o, dado a ∈ A vale a ∈ int(A) ∪ int(R \ A) ∪ ∂A, a n˜o pode valer a ∈ ∂a ou a ∈ int(R \ A), da´ for¸osamente tem-se a ∈ int(A) implicando a ı c A ⊂ int(A) logo A = intA e A ´ aberto. e ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 66 Quest˜o 5 a Propriedade 112. Dado A = [a, b] tem-se ∂A = {a, b}. Demonstra¸˜o. Os pontos de (a, b) n˜o podem ser pontos de fronteira de A pois ca a s˜o pontos interiores do conjunto, da mesma maneira os pontos de (b, ∞) e (−∞, a) n˜o a a podem ser pontos de fronteira pois s˜o pontos de R \ A, da´ segue que ∂A = {a, b} a ı Exemplo 35. Dado A = [0, 1] tem-se ∂A = {0, 1}. Exemplo 36. Achar a fronteira do conjunto A = (0, 1) ∪ (1, 2). Tal conjunto ´ aberto, e ent˜o nenhum ponto desse conjunto pode pertencer a sua fronteira. Temos R \ A = a (−∞, 0] ∪ {1} ∪ [2, ∞), cujo interior ´ int(R \ A) = (−∞, 0) ∪ (2, ∞), logo a fronteira ´ o e e que resta ∂A = {0, 1, 2}. Exemplo 37. ∂Q = R pois intQ = ∅, int(R \ Q) = ∅, da´ ∂Q = R. ı Propriedade 113. Se R \ A ´ aberto e intA = ∅ ent˜o ∂A = A. e a Demonstra¸˜o. Vale que int(R \ A) = (R \ A) e intA = ∅ logo ca ∂A = R \ (int(A) ∪ int(R \ A)) = R \ ((R \ A)) = A. Exemplo 38. R \ Z ´ aberto, por ser reuni˜o de abertos a al´m disso Z tem interior e a e vazio, da´ ∂Z = Z. ı Quest˜o 6 a Propriedade 114. Sejam (Ik ) uma sequˆncia de intervalos limitados dois a dois disjuntos e ∞ ∩ tais que Ik ⊃ Ik+1 ∀ k ∈ N e a intersec¸ao I = c˜ Ik n˜o ´ vazia. a e k=1 Nessas condi¸oes I ´ um intervalo que n˜o ´ um intervalo aberto. c˜ e a e Demonstra¸˜o. Sejam ak e bk extremidades de Ik ent˜o vale ak ≤ bp , ∀k, p ∈ N. As ca a sequˆncias (ak ) e (bk ) s˜o limitadas, (ak ) ´ n˜o-decrescente e (bk ) n˜o-crescente, logo elas e a e a a s˜o convergentes sendo lim an = a, lim bn = b. a X Dado x ∈ I n˜o pode valer x < a, pois existe xn tal que x < xn < a e (xn ) ´ a e n˜o-decrescente, da mesma maneira n˜o pode valer b < x, pois da´ existe yn tal que a a ı b < yn < x e yn ´ n˜o-crescente. Com isso conclu´ e a ımos que I ⊂ [a, b]. ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 67 X Se a = b, ent˜o I ⊂ [a, a] = {a} de onde segue I = {a}. a X Se a < b ent˜o ∀ x com a < x < b ⇒ an < a < x < b < bn , logo (a, b) ⊂ I ⊂ [a, b]. a Da´ conclu´ ı ımos que I ´ um intervalo com extremos a e b. e X Como os In s˜o dois-a-dois distintos ent˜o (an ) ou (bn ) tem uma inﬁnidade de termos a a distintos. Digamos que seja (an ), ent˜o ∀n ∈ N existe p ∈ N tal que an < an+p ≤ a a logo a ∈ (an , bn ) ⊂ I, como a ∈ I ent˜o I n˜o pode ser um intervalo aberto, sendo a a do tipo [a, b) ou [a, b]. 1.6.2 Conjuntos fechados Quest˜o 1 a Propriedade 115. Sejam I um intervalo n˜o degenerado e k > 1 natural. O conjunto a m A = { n ∈ I | m, n ∈ Z} ´ denso em I. e k 1 Demonstra¸˜o. Dado ε > 0 existe n ∈ N tal que k n > , da´ os intervalos ca ı ε m+1 m 1 m m+1 ] tem comprimento − n = n < ε. [ n, k kn kn k k m+1 m Existe um menor inteiro m + 1 tal que x + ε ≤ da´ n ∈ (x − ε, x + ε) pois ı n k k m m se fosse x + ε < n iria contrariar a minimalidade de m + 1 e se fosse n < x − ε ent˜o a k k m m+1 [ n, ] teria comprimento maior do que de (x − ε, x + ε), que ´ ε, uma contradi¸ao e c˜ k kn com a suposi¸˜o feita anteriormente. ca Quest˜o 2 a Propriedade 116. Vale A = A ∪ ∂A. Demonstra¸˜o. Iremos mostrar inicialmente que A ⊂ A ∪ ∂A. ca Se x ∈ A ent˜o x ∈ A ∪ ∂A. Caso x ∈ A e x ∈ A ent˜o existe uma sequˆncia (xn ) em a / a e a tal que lim xn = a, ∀ε > 0 existe n0 ∈ N tal que para n > n0 tem-se xn ∈ (a − ε, a + ε), logo nessas condi¸oes (a − ε, a + ε) ∩ A ̸= ∅ e (a − ε, a + ε) ∩ (R \ A) ̸= ∅, pois a ∈ A c˜ / e a ∈ (a − ε, a + ε), ent˜o temos pelo menos esse elemento no conjunto, implicando pela a deﬁni¸˜o que x ∈ ∂A. ca ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 68 Agora A ∪ ∂A ⊂ A, basta mostrar que ∂A ⊂ A, pois j´ sabemos que A ⊂ A. Dado a a ∈ ∂A ent˜o para todo ε > 0 (a − ε, a + ε) ∩ A ̸= ∅, logo podemos tomar uma sequˆncia a e de pontos em A que converge para a, da´ a ∈ A. ı Propriedade 117. A ´ fechado se , e somente se, ∂A ⊂ A. e Demonstra¸˜o. Se A ´ fechado ent˜o A = A, usando a identidade A = A ∪ ∂A, ca e a segue que A ∪ ∂A = A logo deve valer ∂A ⊂ A. Suponha agora que ∂A ⊂ A ent˜o a A ∪ ∂A = A = A logo A ´ fechado. e Quest˜o 3 a Propriedade 118. a ∈ A ⇔ a ∈ int(R \ A). / Demonstra¸˜o. ⇒.Se a ∈ A existe ε > 0 tal que (a − ε, a + ε) ∩ A = ∅, da´ todo ca / ı x ∈ (a − ε, a + ε) n˜o pertence a A logo pertence a R \ A, ent˜o a ∈ int(R \ A). a a ⇐ . Se a ∈ int(R \ A) ent˜o existe ε > 0 tal que (a − ε, a + ε) ⊂ (R \ A), logo existe a ε > 0 tal que (a − ε, a + ε) ∩ A = ∅ portanto a ∈ A. / Corol´rio 22. (R \ A) = int(R \ A). Pois a ∈ A ⇔ a ∈ int(R \ A) . a / Conclu´ ımos ent˜o que R \ A ´ um conjunto aberto. a e Propriedade 119. Vale que A = ∂A ∪ int(A). Demonstra¸˜o. Temos que R = intA ∪ ∂A ∪ int(R \ A) e R \ A = int(R \ A), da´ ca ı segue A = ∂A ∪ int(A). Propriedade 120. Vale que R \ int(A) = R \ A. Demonstra¸˜o. Temos que R = int(A) ∪ int(R \ A) ∪ ∂A da´ ca ı R \ int(A) = int(R \ A) ∪ ∂A = int(R \ A) ∪ ∂(R \ A) = (R \ A). ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 69 Quest˜o 4 a Propriedade 121. Se A ´ aberto e A = B ∪ C ´ uma cis˜o de A, ent˜o C e B s˜o e e a a a abertos. Demonstra¸˜o. Vale B ∩ C = ∅ e C ∩ B = ∅. Seja x ∈ A e x ∈ B, por A ser ca aberto, sabemos que existe ε > 0 tal que (x − ε, x + ε) ⊂ A. Se tiv´ssemos ∀r > 0 e (x − r, x + r) ∩ C ̸= ∅ ent˜o ter´ a ıamos uma sequˆncia em C convergindo para x e da´ x ∈ C e ı o que contraria C ∩ B = ∅, ent˜o deve existir um ε1 > 0 tal que (x − ε1 , x + ε1 ) ∩ C = ∅, a da´ temos (x − ε2 , x + ε2 ) ⊂ B, logo B ´ aberto. De maneira semelhante para A. ı e Propriedade 122. Seja A = B ∪ C cis˜o com A fechado, ent˜o B e C s˜o fechados. a a a Demonstra¸˜o. ca Seja x ∈ B ent˜o x ∈ A, pois A ´ fechado. Por B ∩ C = ∅ segue que x ∈ C, da´ a e / ı for¸osamente tem-se x ∈ B. De maneira an´loga para C. c a Quest˜o 5 a Propriedade 123. Se ∂A = ∅ ent˜o A = R ou A = ∅ a Demonstra¸˜o. Sabendo a identidade R = intA ∪ ∂A ∪ int(R \ A) uni˜o disjunta, ca a sendo ∂A vazio segue R = intA ∪ int(R \ A) e sabendo que R ´ conexo isso implica que e A = R ou vazio. Quest˜o 6 a Propriedade 124. Vale que A ∪ B = A ∪ B. Demonstra¸˜o. Vamos mostrar inicialmente que A ∪ B ⊂ A ∪ B. ca De A ⊂ A ∪ B e B ⊂ A ∪ B segue que A ⊂ A ∪ B e B ⊂ A ∪ B da´ A ∪ B ⊂ A ∪ B. ı Agora mostramos que A ∪ B ⊂ A ∪ B. Seja x ∈ A ∪ B, ent˜o existe uma sequˆncia a e (xn ) ∈ A ∪ B tal que lim xn = x, tal sequˆncia possui um n´mero inﬁnito de elementos em e u A ou B, logo podemos tomar uma sequˆncia (yn ) em A ou B tal que lim yn = x ∈ A ∪ B. e Que prova o que desejamos. ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 70 Propriedade 125. Vale que A ∩ B ⊂ A ∩ B. Demonstra¸˜o. Tem-se que A ∩ B ⊂ A e A ∩ B ⊂ B , logo A ∩ B ⊂ A e A ∩ B ⊂ B ca de onde segue A ∩ B ⊂ A ∩ B. Exemplo 39. Podemos ter conjuntos X e Y tais que X ∩ Y ̸= X ∩ Y ? Sim, basta tomar X = (a, b) e Y = (b, c), temos que X = [a, b] , Y = [b, c] , X ∩ Y = {b} e X ∩ Y = ∅ de onde X ∩ Y = ∅ , logo s˜o diferentes. a Quest˜o 7 a Propriedade 126. Dada uma sequˆncia (xn ) o fecho de X = {xn , n ∈ N } ´ X = X ∪ A e e onde A ´ o conjunto dos valores de aderˆncia de (xn ). e e Demonstra¸˜o. Inicialmente podemos perceber que X ∪ A ⊂ X pois X ⊂ X e ca A ⊂ X, esse ultimo pois ´ formado pelo limite de subsequˆncias de X, que deﬁnem de ´ e e modo natural sequˆncias. e Agora iremos mostrar que X ⊂ X ∪ A. Se x ∈ X ent˜o x ∈ A ∪ X. Se x ∈ X \ X a ent˜o vamos mostrar que x ∈ A, isto ´, existe uma subsequˆncia de termos de (xn ) que a e e converge para x. x ∈ X \ X implica que todo intervalo (x − ε, x + ε) possui elementos de X distintos de x, isto ´, possui termos xn da sequˆncia. e e Deﬁnimos indutivamente n1 = min{n ∈ N | |xn − a| < 1} supondo deﬁnidos de n1 at´ e 1 nk deﬁnimos nk+1 = min{n ∈ N | |xn − a| < }, da´ (xnk ) ´ subsequˆncia de (xn ) e ı e e k+1 converge para a, logo a ∈ A. 1.6.3 Pontos de acumula¸˜o ca Quest˜o 1 a Propriedade 127. Dado A ⊂ R ent˜o A ⊂ A ∪ A′ . a Demonstra¸˜o. Se a ∈ A ent˜o ca a { a ∈ A ⇒ a ∈ A ∪ A′ a ∈ A, da´ existe (xn ) em A \ {a} tal que lim xn = a, logo a ∈ A′ . / ı ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 71 Corol´rio 23. Temos que A ∪ A′ ⊂ A logo a A = A ∪ A′ . Propriedade 128. A ´ fechado se, e somente se, A′ ⊂ A. e Demonstra¸˜o. ⇒. Se A ´ fechado vale A = A da´ A = A ∪ A′ , que implica A′ ⊂ A. ca e ı ⇐. Da mesma maneira se A′ ⊂ A ent˜o A = A ∪ A′ = A logo A ´ fechado. a e Quest˜o 2 a Propriedade 129. Toda cole¸ao de intervalos n˜o degenerados dois a dois disjuntos ´ c˜ a e enumer´vel. a Demonstra¸˜o. Seja A o conjunto dos intervalos n˜o degenerados dois a dois disca a juntos. Para cada intervalo I ∈ A escolhemos um n´mero racional q e com isso deﬁnimos u a fun¸ao f : A → Q, deﬁnida como f (I) = q, tal fun¸ao ´ injetiva pois os elementos c˜ c˜ e I ̸= J de A s˜o disjuntos , logo n˜o h´ possibilidade de escolha de um mesmo racional q a a a em pontos diferentes do dom´ ınio, logo a fun¸˜o nesses pontos assume valores distintos . ca Al´m disso Podemos tomar um racional em cada um desses conjuntos pois os intervalos e s˜o n˜o degenerados e Q ´ denso. Como f : A → Q ´ injetiva e Q ´ enumer´vel ent˜o A a a e e e a a ´ enumer´vel. e a Quest˜o 3 a Deﬁni¸˜o 9 (Conjunto discreto). Um conjunto A ´ dito discreto quando todos os seus ca e pontos s˜o isolados. a Propriedade 130. Se A ´ discreto ent˜o para cada x, y ∈ A existem intervalos abertos e a Ix , Iy de centro x, y respectivamente tais que se x ̸= y ent˜o Ix ∩ Iy ̸= ∅, isto ´, podemos a e tomar intervalos de centro x e y respectivamente, tais que eles sejam disjuntos em R ( n˜o possuam elementos em comum de R). a Demonstra¸˜o. ca Para cada x ∈ A existe ex > 0 tal que (x − εx , x + εx ) ∩ {x}. Deﬁnimos para cada x, εx εx a Ix = (x − , x + ).Tomando x ̸= y ∈ A podemos supor εx ≤ εy . Se z ∈ Ix ∩ Iy ent˜o 2 2 ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 72 z ∈ Ix e z ∈ Iy , logo |z − x| ≤ εx εy , |z − y| ≤ da´ ı 2 2 εx εy εy εy |x − y| ≤ |z − y| + |z − x| ≤ + ≤ + = εy 2 2 2 2 da´ ir´ ı ıamos concluir que x ∈ Iy , o que ´ absurdo pois Iy cont´m um unico ponto de A, e e ´ que ´ y, logo podemos tomar intervalos disjuntos como quer´ e ıamos demonstrar. Quest˜o 4 a Propriedade 131. Se A ´ discreto ent˜o A ´ enumer´vel. e a e a Demonstra¸˜o. Pelo resultado anterior vimos que podemos para cada x, y ∈ A ca escolher intervalos centrados em x, y denotados por Ix , Iy respectivamente tais que Ix ∩Iy = ∪ ∪ Ix ´ enumer´vel por ser reuni˜o de intervalos n˜o e a a a ∅, ent˜o A ⊂ a Ix , sendo que x∈A x∈A degenerados dois a dois disjuntos, portanto seu subconjunto A tamb´m ´ enumer´vel. e e a Propriedade 132. Se A ´ n˜o enumer´vel ent˜o A′ ̸= ∅ , isto ´, se A ´ n˜o enumer´vel e a a a e e a a ent˜o A possui ponto de acumula¸˜o. a ca Demonstra¸˜o. Usamos a contrapositiva que ´: se A′ = ∅ (da´ A n˜o possui pontos ca e ı a de acumula¸ao, logo todos seus pontos s˜o isolados) ent˜o A ´ enumer´vel, por´m essa c˜ a a e a e proposi¸˜o j´ foi demonstrada. ca a Quest˜o 5 a Propriedade 133. A′ ´ fechado. e Demonstra¸˜o.[1] Vamos mostrar que R \ A′ ´ aberto, ent˜o A′ ´ fechado. ca e a e Seja a ∈ R \ A′ ent˜o a ∈ A′ portanto existe ε > 0 tal que (a − ε, a + ε) ∩ A \ {a} = ∅ a / logo (a − ε, a + ε) ∩ A′ = ∅ que implica (a − ε, a = ε) ⊂ R \ A′ , logo R \ A′ ´ aberto. e Demonstra¸˜o.[2] Vale em geral que B ⊂ B, o mesmo vale tomando B = A′ , falta ca mostrar ent˜o que A′ ⊂ A′ . a Tomamos a ∈ A′ , logo existe uma sequˆncia (xn ) em A′ tal que lim xn = a, por e deﬁni¸˜o temos que ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N tal que n > n0 tem-se xn ∈ (a − ε, a + ε) \ {a}, ca como cada xn ´ ponto de acumula¸ao de A, ent˜o existem termos yn ∈ A arbitrariamente e c˜ a pr´ximos de xn , logo existem termos yn em (a − ε, a + ε) \ {a} com ε arbitr´rio, sendo o a assim podemos construir uma sequˆncia (yn ) que converge para a, portanto a ∈ A′ e ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 73 Quest˜o 6 a Propriedade 134. Seja a ∈ A′ ent˜o existem (xn ) ou (yn ) em A, crescentes ou decresa centes respectivamente tais que lim xn = lim yn = a. Demonstra¸˜o. ca 1 1 , a) e Bn = (a, a + ), como a ∈ A′ ent˜o um desses conjunto a n n possui inﬁnitos elementos de A, se An ´ inﬁnito podemos deﬁnir (xn ) em crescente com e Sejam An = (a − lim xn = a caso contr´rio deﬁnimos (yn ) decrescente, ambos com limite a a 1.6.4 Conjuntos compactos Quest˜o 1 a Propriedade 135. O conjunto A dos valores de aderˆncia de uma sequˆncia (xn ) ´ e e e fechado. Demonstra¸˜o. Temos que mostrar que A = A.J´ sabemos que vale A ⊂ A, falta ca a mostrar que A ⊂ A . Se a ∈ A ent˜o a ∈ A, vamos usar a contrapositiva que ´ se a ∈ A a e / ent˜o a ∈ A. a / Se a ∈ A ent˜o existe ε > 0 tal que (a − ε, a + ε n˜o possui elementos de (xn ) da´ n˜o / a a ı a pode valer a ∈ A. Propriedade 136. Se uma sequˆncia (xn ) for limitada ent˜o seu conjunto de pontos de e a aderˆncia ´ compacto. e e Demonstra¸˜o. J´ vimos que A ´ fechado, agora se (xn ) for limitada ent˜o A ´ ca a e a e limitado, sendo limitado e fechado ´ compacto. e Nessas condi¸˜es A possui elemento m´ co ınimo e elemento m´ximo. o M´ a ınimo de A ´ e denotado como lim inf xn e o elemento m´ximo de A ´ denotado como lim sup xn . a e Quest˜o 2 a Propriedade 137. Se A1 e A2 s˜o compactos ent˜o A1 ∪ A2 ´ compacto. a a e ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ ∪ k∈L 74 ∪ k∈L n ∪ k=1 Demonstra¸˜o.[1] Seja uma cobertura ca Bk = B para A1 ∪ A2 , como A1 ⊂ Bk Bk , e A1 compacto, podemos extrair uma subcobertura ﬁnita da cobertura B, A1 ⊂ da mesma maneira podemos extrair uma subcobertura ﬁnita para A2 , A2 ⊂ m ∪ k=1 m ∪ k=n+1 Bk , da´ ı Bk = n ∪ k=1 Bk ∪ m ∪ k=n+1 Bk ´ uma subcobertura ﬁnita para a uni˜o. e a Propriedade 138. Reuni˜o ﬁnita de compactos ´ um conjunto compacto. a e Demonstra¸˜o.[2] Seja A = ca n ∪ k=1 Ak a reuni˜o, como cada Ak ´ fechado tem-se que A a e ´ fechado por ser reuni˜o ﬁnita de fechados. Al´m disso o fato de cada Ak ser limitado e a e implica que A tamb´m ´ limitado, pois, cada Ak pertence a um intervalo do tipo [ak , bk ], e e n ∪ Ak ⊂ [a, b] tomando a < ak ∀k e b > bk ∀k tem-se que Ak ⊂ [ak , bk ] ⊂ [a, b] da´ A = ı k=1 ent˜o A ´ limitado. Sendo limitado e fechado segue que A ´ compacto. a e e Propriedade 139. A intersec¸˜o arbitr´ria de compactos ´ um conjunto compacto. ca a e ∩ Ak a intersec¸ao arbitr´ria de compactos, como cada c˜ a Demonstra¸˜o. Seja A = ca k∈B Ak ´ fechado a e intersec¸˜o arbitr´ria de fechados ´ fechado segue que A ´ fechado, al´m e ca a e e e disso A ´ limitado, pois dado t ∈ B, A ⊂ At , sendo A subconjunto de um conjunto e limitado implica que A ´ limitado. A ´ fechado e limitado, portanto ´ compacto. e e e Quest˜o 3 a Exemplo 40. Dˆ um exemplo de uma sequˆncia decrescente de conjuntos fechados n˜o e e a ∞ ∩ vazios Fk ⊂ Fk+1 tal que Fk = ∅. k=1 Perceba que os conjuntos n˜o podem ser intervalos fechados do tipo [a, b], pois nesse a caso ir´ ıamos cair no caso do teorema de intervalos encaixados e nesse caso a intersec¸ao c˜ n˜o seria vazia. Sabendo disso tomamos Fk = [k, ∞), n˜o pode existir x nessa intersec¸˜o, a a ca pois dado x real, existe k > x e da´ x ∈ [k, ∞). ı / Exemplo 41. Dˆ um exemplo de uma sequˆncia decrescente de conjuntos limitados n˜o e e a ∞ ∩ vazios Lk ⊂ Lk+1 tal que Lk = ∅. k=1 ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 75 1 Nesse caso escolhemos Lk = (0, ), nenhum n´mero pode pertencer a intersec¸˜o pois u ca k 1 dado x existe k tal que < x e da´ x n˜o pode pertencer ao conjunto LK , assim tamb´m ı a e k n˜o pertence a intersec¸ao . a c˜ Quest˜o 4 a Propriedade 140. Sejam A, B n˜o vazios com A compacto e B fechado, ent˜o existem a a x0 ∈ A e y0 ∈ B tais que |x0 − y0 | ≤ |x − y ∀x ∈ A, y ∈ B.| Demonstra¸˜o. Seja C = {|x − y|, x ∈ A y ∈ B}, tal conjunto ´ limitado inferica e ormente por 0. Sendo assim possui ´ ınﬁmo. Seja a = inf C. Pelo fato de a ser ´ ınﬁmo de C existe sequˆncia de elementos de C que converge para a, isso implica que existem e sequˆncias xn ∈ A e yn ∈ B tais que lim |xn − yn | = a. e Como A ´ compacto, portanto limitado a sequˆncia (xn ) possui subsequˆncia convere e e gente, de modo que podemos admitir que (xn ) seja convergente (se n˜o passamos a uma a subsequˆncia), logo lim xn = a ∈ A pelo fato de A ser fechado. e Da desigualdade |yn | ≤ |xn − yn | + |xn | conclu´ ımos que (yn ) ´ limitada, logo possui subsequˆncia convergente, tomando sua sube e sequˆncia convergente se necess´rio, tem-se que lim yn = y0 ∈ B, pelo fato de B ser e a fechado. Dessas propriedades segue que lim |yn − xn | = lim |x0 − y0 | = a da´ ﬁca provado o resultado. ı Quest˜o 5 a Propriedade 141. Seja A compacto. Se A ´ discreto ent˜o A ´ ﬁnito. e a e Demonstra¸˜o. Contrapositiva, se A fosse inﬁnito sendo limitado ele teria ponto de ca acumula¸˜o, pelo fato de ser fechado esse ponto de acumula¸ao pertenceria ao conjunto. ca c˜ observe que a contrapositiva de A ´ discreto que ´ todos os pontos de A s˜o isolados ´ e e a e existe pelo menos um ponto de A que n˜o ´ isolado, isto ´, que ´ ponto de acumula¸ao. a e e e c˜ ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 76 Exemplo 42. Z ´ um conjunto fechado ilimitado em que todos seus pontos s˜o isolados. e a 1 A = { | n ∈ N } ´ um conjunto limitado n˜o fechado em que todos os pontos s˜o isolados. e a a n Perceba nesse ultimo exemplo que existem termos do conjunto arbitrariamente pr´ximos, ´ o mesmo assim todos seus pontos s˜o isolados, tal conjunto admite ponto de acumula¸˜o 0, a ca mas tal elemento n˜o pertence ao conjunto o conjunto n˜o ´ fechado. a a e Quest˜o 6 a Propriedade 142. Seja A compacto ent˜o os seguintes conjuntos tamb´m s˜o compactos a e a X S = {x + y, x, y ∈ A} X D = {x − y, x, y ∈ A} X P = {x.y, x, y ∈ A} x X Q = { , x, y ∈ A} y Demonstra¸˜o. Primeiro vamos mostrar que tais conjuntos s˜o limitados. Como A ca a ´ limitado ent˜o existe M > 0 tal que |x| ≤ M, ∀x ∈ A. e a X |x + y| ≤ |x| + |y| ≤ M + M = 2M da´ S ´ limitado. ı e X |x − y| ≤ |x| + |y| ≤ 2M , portanto D ´ limitado. e X Vale |x| ≤ M e |y| ≤ M logo |x.y| = |x|.|y| ≤ M 2 . X Vale |x| ≤ M como 0 ∈ A e A ´ fechado ent˜o n˜o existem termos arbitrariamente / e a a 1 1 < pr´ximos de zero, logo existe c tal que vale 0 < c < |y| disso segue que o |y| c |x| M multiplicando pela primeira rela¸ao tem-se c˜ ≤ . |y| c Vamos mostrar que os conjuntos s˜o fechados. a X S ´ fechado, tomamos (zn ) em S tal que lim zn = a vamos mostrar que a ∈ S. e zn = xn + yn , como A ´ compacto conseguimos uma subsequˆncia de (xn ) que seja e e convergente, da´ passando para a subsequˆncia temos lim xn = x0 , lim xn +yn −xn = ı e lim yn converge para y0 da´ lim xn + yn = a = lim xn + lim yn = x0 + y0 ´ a soma ı e ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 77 de dois elementos de A logo lim xn + yn converge para um elemento de S. Esse argumento de passar a uma subsequˆncia ser´ usado nos pr´ximos itens sem ser e a o mencionado novamente. X D ´ fechado, tomamos (zn ) em D tal que lim zn = a vamos mostrar que a ∈ S. zn = e xn − yn , conseguimos xn convergente em A, da´ lim xn − yn + xn = lim −yn = −y0 , ı logo lim xn − yn = x0 − y0 ∈ D X P ´ fechado lim xn .yn = a se um dos limites tende a zero o limite tamb´m tende a e e zero, pois a outra sequˆncia ´ limitada, pois tem termos no conjunto limitado A. e e 1 Seja ent˜o lim xn = x0 ̸= 0, lim xn .yn a = lim yn = y0 , da´ (yn ) converge e o limite ı xn do produto converge para um elemento de P . xn X Da mesma maneira que as anteriores, lim = a, (yn ) converge para um elemento yn xn = x0 , portanto o limite do quociente converge para um n˜o nulo da´ lim yn a ı yn elemento de Q. 1.6.5 O conjunto de Cantor Quest˜o 1 a Exemplo 43. Quais s˜o os n´meros da forma a u pertencem ao conjunto de Cantor?. Os n´meros que devemos analisar s˜o u a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , , . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 J´ sabemos de antem˜o que e s˜o elementos conjunto de Cantor pois s˜o extrea a a a 3 9 1 mos de intervalos que permanecem no conjunto ap´s as remo¸oes. Sabemos que , n˜o o c˜ a 2 1 2 1 pertence ao conjunto de Cantor , pois ele pertence a um intervalo removido ( , ). 3 3 4 pertence ao conjunto de cantor pois temos sua representa¸˜o como ca ∞ ∞ ∑ 2 ∑ 2 2 1 = = 0, 02 = 2k k 3 9 91− k=1 k=1 1 9 1 com 2 ≤ m ≤ 10, m natural, que n = 1 4 lembrando que um tra¸o em cima da parte decimal signiﬁca que tal parte se repete na c representa¸˜o. ca ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 78 1 1 1 1 , , e n˜o pertencem ao conjunto de Cantor , pois s˜o elementos pertencentes a a 5 6 7 8 1 2 ao intervalo removido ( , ). 9 9 1 Agora vemos que pertence ao conjunto de cantor, pois ele pode ser representado 10 por 0, 0022 = ∞ ∑ k=1 ∞ ∞ ∞ ∑ 2 1 ∑ 2 1 ∑ 2 1 81 1 81 6 2 8 1 + = + = + = + = = . 4k−1 4k k k 3 3 27 k=0 81 81 k=0 81 27 80 81 80 80 80 80 10 k=1 2 1 1 1 1 Ent˜o os n´meros que pertencem ao conjunto de cantor s˜o , , e . Os n´meros a u a u 3 4 9 10 1 1 1 1 1 que n˜o pertencem ao conjunto de cantor s˜o , , , , . a a 2 5 6 7 8 Para determinar a express˜o de um n´mero entre 0 e 1 na base 3, pode-se usar esse a u processo que mostramos abaixo por meio de um exemplo 1 ∑ xk = 2 k=1 3k ∞ multiplicamos por 3 ∞ ∑ xk 3 1 = 1 + = x1 + 3 2 2 3k k=2 logo x1 = 1, continuamos o processo para encontrar x2 ∞ ∑ xk 1 =3 2 3k k=2 multiplicamos por 3 ∞ ∑ xk 3 1 = 1 + = x2 + 9 2 2 3k k=3 da´ x2 = 1, nesse caso conclu´ ı ımos que 1 = 0, 11 · · · , e conclu´ ımos de outra maneira que 2 ele n˜o pertence ao conjunto de Cantor, por possuir algarismos 1 . a Quest˜o 2 a Propriedade 143. Seja a ∈ (0, 1] ent˜o existem x > y ∈ K tais que y − x = a. a m m , existem x, y ∈ K tais que x − y = a, pois se a = n n 3 3 ´ extremo de intervalo removido que pertence ao conjunto de Cantor, ent˜o tomamos e a Demonstra¸˜o. Dado a = ca ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 79 , podemos sempre arranjar y ﬁnito formado 3k por algarismos xk sendo 0 ou 2 (ou no m´ximo o ultimo algarismo sendo 1) tal que a soma a ´ k=1 y = 0 ∈ K e x = a. Caso contr´rio a = a s ∑ xk y + a tamb´m seja elemento do conjunto de cantor e por exemplo a = 0, 1212, tomamos y de forma conveniente para que a soma seja um elemento do conjunto de cantor, escolhendo os algarismos que devem ser somados, nesse caso podemos tomar y = 0, 0020. (Falta provar isso de forma rigorosa!!!) Deﬁnimos agora o conjunto D = {|x − y|, x, y ∈ K}, tal conjunto ´ limitado, pois e vale |x − y| ≤ |x| + |y| ≤ 1 + 1 = 2 por x e y serem elementos do conjunto de Cantor que ´ limitado. Vamos agora mostrar que tal conjunto ´ fechado, seja (zn ) uma sequˆncia e e e convergente nesse conjunto, vamos mostrar que o limite da sequˆncia pertence ao conjunto, e lim zn = lim |xn − yn | = t ∈ D. Como o conjunto de Cantor ´ limitado as sequˆncias e e (xn ) e (yn ) s˜o limitadas, logo possuem subsequˆncias convergentes, passando para estas a e subsequˆncia denotando ainda por (xn ), (yn ) elas convergem para elementos x0 , y0 no e conjunto de cantor (pelo fato de tal conjunto ser fechado), da´ temos ı lim zn = lim |xn − yn | = |x0 − y0 | = t logo, existem x0 , y0 ∈ K tais que |x0 − y0 | = t limite de uma sequˆncia arbitr´ria e a m de pontos de D, portanto D ´ fechado. O conjunto das fra¸˜es do tipo a = n (que e co 3 s˜o elementos de D) ´ denso em [0, 1], disso seque tamb´m que D ´ denso [0, 1], sendo a e e e conjunto fechado conclu´ ımos que D = [0, 1] logo para qualquer valor a ∈ (0, 1] existem x, y no conjunto de Cantor, tais que y − x = a. Quest˜o 3 a Propriedade 144. A soma da s´rie cujos termos s˜o os comprimentos dos intervalos e a omitidos para formar o conjunto de Cantor ´ igual a 1. e Demonstra¸˜o. Cada intervalo Ik remove 2k−1 intervalos de comprimento ca ∞ ∪ k=1 ∞ ∑ 2k−1 k=1 1 . Assim 3k Ik remove um comprimento limite de 1 ∑ 2k 1 3 = = ( )=1 k 3 k=1 3 3 3−2 ∞ 3k ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 80 Quest˜o 4 a Propriedade 145. O conjunto A dos extremos dos intervalos removidos mer´vel . a Demonstra¸˜o. Para cada k seja Ak o conjunto dos extremos de intervalos de Ik , Ak ca ´ ﬁnito e vale e A= ∞ ∪ k=1 ∞ ∪ k=1 Ik ´ enue Ak como A ´ uni˜o enumer´vel de conjuntos enumer´veis(ﬁnitos) ent˜o A ´ enumer´vel. e a a a a e a Propriedade 146. Os extremos de intervalos removidos que pertencem ao conjunto de Cantor, possuem representa¸ao ﬁnita na base 3. Da mesma maneira se um n´mero possui c˜ u representa¸˜o ﬁnita na base 3 e pertence ao conjunto de Cantor ent˜o ele ´ extremo de ca a e um intervalo omitido. Demonstra¸˜o. Os extremos de intervalos removidos possuem representa¸ao ﬁnita ca c˜ n ∑ xk t na base 3 pois s˜o da forma s que pode ser expandido em a com xk 0 ou 2, que d´ a 3 3k k=1 a sua representa¸ao na base 3. c˜ Suponha agora que um n´mero possui representa¸ao ﬁnita na base 3 e pertence ao u c˜ conjunto de Cantor, ent˜o ele ´ da forma a e n ∑ xk k=1 n ∑ xk 3n−k k=1 n 1 ∑ m xk 3n−k = n = n 3 k=1 3 =m 3k = 3n ent˜o ele ´ extremo de um intervalo removido. a e Propriedade 147. Os extremos dos intervalos removidos que pertencem ao conjunto de Cantor s˜o densos nele. a Demonstra¸˜o. Os elementos do conjunto de Cantor s˜o da forma ca a xk assume valor 0 ou 2, como cada sn = removido, segue que conjunto de Cantor. ∞ ∑ xk k=1 n ∑ xk k=1 ∞ ∑ xk k=1 3k , onde cada 3k nessas condi¸oes ´ extremo de intervalo c˜ e 3k ´ limite de pontos de extremos, ent˜o tal conjunto ´ denso no e a e ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 81 1.7 1.7.1 Cap´ ıtulo 6-Limite de fun¸oes c˜ Deﬁni¸˜o e primeiras propriedades ca Quest˜o 1 a Propriedade 148. Seja f : A → R, a ∈ A′ , B = f (A \ {a}). Se lim f (x) = L ent˜o a x→a L ∈ B. Tal propriedade signiﬁca que o limite L pertence ao fecho da imagem f (A \ {a}), isto ´, existem pontos de f (A \ {a}) arbitrariamente pr´ximos de L. e o Demonstra¸˜o. Usaremos o crit´rio de sequˆncias. Como lim f (x) = L, ent˜o existe ca e e a sequˆncia (xn ) em A \ {a} tal que lim f (xn ) = L, da´ tome f (xn ) = yn , (yn ) ´ uma e ı e sequˆncia em f (A \ {a}) tal que lim yn = L, portanto L ∈ B. e Quest˜o 2 a Propriedade 149. Se ∀(xn ) em A \ {a} com lim xn = a implicar (f (xn )) convergente ent˜o lim f (x) existe. a x→a x→a Demonstra¸˜o. Usaremos que lim f (x) = L ⇔ ∀ (zn ) ∈ A \ {a} com lim zn = a ca x→a vale lim f (zn ) = L. Por isso vamos tomar duas sequˆncias arbitr´rias (xn ) e (yn ) com e a lim xn = lim yn = a em A \ {a} e vamos mostrar que lim f (xn ) = lim f (yn ). Tomamos (zn ) deﬁnida como z2n = xn e z2n−1 = yn , da´ lim zn = a, portanto lim f (zn ) existe, como ı (f (xn )) e (f (yn )) s˜o subsequˆncias de (f (zn )) ent˜o elas convergem para o mesmo limite a e a L, da´ provamos que ∀ (zn ) ∈ A \ {a} com lim zn = a vale lim f (zn ) = L que implica ı x→a lim f (x) = L. Quest˜o 3 a Teorema 2 (Limite da composi¸˜o de fun¸oes). Sejam A, B ⊂ R, f de A em R e g de ca c˜ B em R com f (A) ⊂ B. Se lim f (x) = b e lim g(y) = c ainda com c = g(b), tem-se x→a y→b x→a lim g(f (x)) = c. Demonstra¸˜o. Da existˆncia do limite de g(x) temos que para todo ε > 0 existe ca e δ1 > 0 tal que y ∈ B, |y − b| < δ1 ⇒ |g(y) − c| < ε, onde tiramos a restri¸ao de c˜ ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 82 y ̸= b, pois no caso y = b a propriedade vale. Agora usando a existˆncia do limite e de f tomando δ1 como εf , ε para f , temos que para δ1 existe δ2 > 0 tal que x ∈ A, 0 < |x − a| < δ2 ⇒ |f (x) − b| < δ1 como f (x) ∈ B, podemos tomar y = f (x) de onde do primeiro limite que |g(f (x)) − c| < ε implicando que lim g(f (x)) = c. Se x ̸= a implicar f (x) ̸= b ainda teremos a propriedade pois , repetindo o argumento com pequenas altera¸˜es: co Da existˆncia do limite de g(x) temos que para todo ε > 0 existe δ1 > 0 tal que y ∈ B, e 0 < |y − b| < δ1 ⇒ |g(y) − c| < ε, onde agora mantemos a restri¸˜o de y ̸= b. Usando a ca existˆncia do limite de f tomando δ1 como εf , ε para f , temos que para δ1 existe δ2 > 0 e tal que x ∈ A, 0 < |x − a| < δ2 ⇒ 0 < |f (x) − b| < δ1 ( aqui usamos que x ̸= a implica f (x) ̸= b) como f (x) ∈ B, podemos tomar y = f (x) de onde do primeiro limite que |g(f (x)) − c| < ε implicando que lim g(f (x)) = c. x→a x→a Quest˜o 4 a Exemplo 44. Sejam f : gR → R deﬁnidas como X f (x) = 0 se x ∈ R \ Q, f (x) = x se x ∈ Q. X g(0) = 1 e g(x) = 0 se x ̸= 0. Nessas condi¸oes vale lim f (x) = lim g(x) = 0 e n˜o existe lim g(f (x)). c˜ a x→0 x→0 x→0 Vale lim f (x) = 0, pois tomamos ε = δ ent˜o par 0 < |x| < δ vale |f (x)| < δ = ε, a x→0 tanto para x irracional, pois no caso vale |f (x)| = 0 < ε, tanto no caso de x racional pois nesse caso vale |f (x)| = |x| < δ = ε, ent˜o em qualquer desses casos temos |f (x)| < ε. a Tamb´m vale que lim g(x) = 0, pois tomando ε = δ, 0 < |x| < δ implica x n˜o nulo, e a x→0 portanto g(x) = 0 e da´ |g(x)| = 0 < δ = ε. ı N˜o existe lim g(f (x)). a x→0 Seja xn → 0 por valores racionais, ent˜o f (xn ) = xn e da´ lim g(f (xn )) = lim g(xn ) = 0. a ı Tomando yn → 0 por valores irracionais temos f (yn ) = 0 e lim g(f (yn )) = lim g(0) = 1, logo n˜o pode existir lim g(f (x)), pois o limite depende de como se aproxima de zero a x→0 (usamos o crit´rio de divergˆncia por meio de sequˆncias). e e e ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 83 Quest˜o 5 a 1 Exemplo 45. lim sen( ) n˜o existe. a x→0 x 1 1 Tomamos as sequˆncias xn = e e yn = vale lim xn = 0 = lim yn e 2nπ 2nπ + π 2 1 1 π sen( ) = sen(2nπ) = 0 e sen(2nπ+ ) = 1 logo os limites s˜o distintos ent˜o lim sen( ) a a x→0 xn 2 x n˜o existe. a 1 Em geral, existe t ∈ R tal que sen(t) = v ∈ [−1, 1], tomando xn = vale t + 2πn 1 lim xn = 0 e sen( ) = sen(t + 2πn) = sen(t) = v. xn 1.7.2 Limites laterais Quest˜o 1 a Propriedade 150. a ∈ A′+ (a ∈ A′− ) ⇔ existe (xn ) em A decrescente (crescente) com lim xn = a. Demonstra¸˜o. ⇒). Se a ∈ A′+ ent˜o existe sequˆncia de termos zn > a com ca a e lim zn = a, da´ podemos tomar uma subsequˆncia (xn ) de (zn ) que seja decrescente e ı e lim xn = a. ⇐). Se existe (xn ) decrescente com lim xn = a ent˜o por deﬁni¸ao ∀ε > 0 A∩(a, a+ε) ̸= a c˜ ∅ e da´ a ´ ponto de acumula¸ao ` direita. ı e c˜ a De maneira similar, s´ trocando as palavras na argumenta¸˜o acima se prova o caso o ca para pontos de acumula¸˜o ` esquerda. ca a ⇒). Se a ∈ A′− ent˜o existe sequˆncia de termos zn < a com lim zn = a, da´ podemos a e ı tomar uma subsequˆncia (xn ) de (zn ) que seja crescente e lim xn = a. e ⇐). Se existe (xn ) crescente com lim xn = a ent˜o por deﬁni¸˜o ∀ε > 0 A∩(a−ε, a) ̸= ∅ a ca e da´ a ´ ponto de acumula¸ao ` esquerda. ı e c˜ a Quest˜o 2 a Propriedade 151. lim+ f (x) = L ( lim f (x) = L) ⇔ ∀(xn ) em A decrescente (crescente) − x→a x→a com lim xn = a tem-se lim f (xn ) = L. ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 84 Demonstra¸˜o. Vale que lim+ f (x) = L ⇔ lim g(x) = L onde g : B → R onde ca B = A ∩ (a, ∞). Por´m lim g(x) = L ⇔ ∀(xn ) em B com lim xn = a vale lim g(xn ) = L. e x→a x→a x→a Vamos ent˜o provar a propriedade. a ⇒). Se lim+ f (x) = L ent˜o lim g(x) = L que implica ∀(xn ) em B com lim xn = a a x→a x→a vale lim g(xn ) = L, em especial para as sequˆncias (xn ) que sejam decrescentes. e ⇐). Vamos usar a contrapositiva que ´ se lim g(x) ̸= L ent˜o existe (xn ) em A decrese a cente com lim xn = a tal que lim g(xn ) ̸= L. Supondo que temos lim g(x) ̸= L ent˜o existe a sequˆncia (yn ) em B com lim yn = a tal que lim g(yn ) ̸= L, como (yn ) ∈ (a, a + ε) ∩ A, e podemos tomar (xn ) subsequˆncia de (yn ) tal que lim xn = a e lim g(xn ) ̸= L (pois as e subsequˆncias devem convergir para o mesmo valor das sequˆncias), assim ﬁca provado o e e resultado. Quest˜o 3 a Exemplo 46. Tomamos f : R \ {0} → R deﬁnida como f (x) = analisar os limites laterais lim f (x) e lim f (x). + − x→0 x→0 1 x→a x→a 1 1 + ax 1 com a > 1, vamos Seja (xn ) em R \ {0} tal que lim xn = 0 ent˜o vale lim a xn = ∞, pois como lim xn = 0 a 1 1 podemos tomar c > 0 tal que ac > M > 0 arbitr´rio e 0 < xn0 < < 1 da´ axn0 < a c ⇒ a ı c 1 M < ac < a xn0 e como xn ´ decrescente para n0 < n vale xn < xn0 portanto axn < axn0 ⇒ e 1 1 1 1 = 0 que M < a xn0 < a xn logo lim a xn = ∞ de onde segue que lim f (xn ) = lim 1 1 + a xn por sua vez implica lim f (x) = 0. + x→0 , como 1 a −yn yn+1 > yn segue que −yn > −yn+1 , (−yn ) ´ decrescente e tende a zero logo pelo resultado e 1 1 1 1 anterior lim a −yn = ∞ ⇒ lim a yn = lim 1 = 0, portanto lim 1 + a yn = 1 e lim f (xn ) = a −yn 1 lim = 1 da´ vale lim f (x) = 1. ı 1 x→0− 1 + a xn Quest˜o 4 a Propriedade 152. Seja f : A → R mon´tona. Se existe (xn ) em A com xn > a, o lim xn = a e lim f (xn ) = L ent˜o lim+ f (x) = L. a x→a Admitimos agora (yn ) crescente em R \ {0} tal que lim yn = 0. a yn = 1 1 ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 85 Demonstra¸˜o. Suponha f n˜o decrescente, vamos mostrar que ca a B = {f (x), x ∈ R, x > a} ´ um conjunto limitado inferiormente. Dado x arbitr´rio e ﬁxo tal que x > a existe xn > a e a que satisfaz x > xn > a, pois lim xn = a, f n˜o decrescente implica f (x) ≥ f (xn ), como a (f (xn )) ´ convergente, vale que tal sequˆncia ´ limitada inferiormente, portanto existe M e e e tal que f (xn ) > M ∀n ∈ N da´ f (x) ≥ f (xn ) > M para f (x) ∈ B arbitr´rio, logo B ´ ı a e limitado inferiormente. Por B ser limitado inferiormente ele possui ´ ınﬁmo . Seja L′ = inf B = inf{f (x), x ∈ R, x > a}, vale que lim f (x) = L′ (resultado j´ a x→a demonstrado), disso segue pelo crit´rio de sequˆncias para limite lateral que lim f (xn ) = e e L′ = L, pela unicidade de limite, portanto lim f (x) = L. x→a Quest˜o 5 a 1 1 Exemplo 47. Seja f : R \ {0} dada por f (x) = sen( ) 1 . Determine o conjunto x 1 + 2x dos pontos L tais que lim f (xn ) = L, com lim xn = 0, xn ̸= 0. Tomando o m´dulo da express˜o o a 1 1 1 sen( ) = 1 1 < 1 x 1 + 2x 1 + 2x pois 0 < 2 x , da´ n˜o podemos ter limites dessa express˜o fora do intervalo [−1, 1], vamos ı a a mostrar que temos limites em cada ponto desse intervalo . −1 1 vale sen( ) = t + 2πn xn sen(−t) = v, al´m disso (xn ) ´ decrescente com lim xn = 0, portanto vale lim f (xn ) = e e v lim = v, pois o limite no denominador resulta em 1 (limite j´ calculado). a 1 1 + 2 xn Existe −t ∈ R tal que sen(−t) = v ∈ [−1, 1]., Tomando xn = 1 1.7.3 Limites no inﬁnito, limites inﬁnitos, etc. Quest˜o 1 a Propriedade 153. Seja P : R → R com P (x) = x→∞ x→−∞ n ∑ k=0 ak xk com an ̸= 0, n ≥ 1. Se n ´ par e ent˜o lim P (x) = lim P (x) sendo ∞ se an > 0 e −∞ se an < 0. Se n ´ ´ a e ımpar ent˜o a x→∞ lim P (x) = ∞ e lim P (x) = −∞ com an > 0 e lim P (x) = −∞ e lim P (x) = ∞ se x→−∞ x→∞ x→−∞ an < 0. ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 86 →1 n−1 ∑ Demonstra¸˜o. Escrevemos P (x) = an x ( ca n k=0 ak +1). Se n ´ par lim xn an = e x→∞ an xn−k →0 ∞ = lim xn an com an > 0 e lim xn an = −∞ = lim xn an se an < 0, portanto o x→−∞ x→∞ x→−∞ mesmo segue para P (x). Se n ´ ´ e ımpar, lim xn an = ∞ e lim xn an = −∞ com an > 0, caso an < 0 tem-se x→∞ lim xn an = −∞ e lim xn an = ∞. x→−∞ x→∞ x→−∞ Quest˜o 2 a Exemplo 48. Seja f : R → R deﬁnida por f (x) = xsen(x), ent˜o para todo c ∈ R existe a (xn ) em R com lim xn = ∞ e lim f (xn ) = c. Para x suﬁcientemente grande a oscila¸ao de f (x) ´ t˜o grande quanto queremos e a c˜ e a oscila¸˜o ´ crescente. ca e π π + 2πn, vale sen(x) = 1 e f (x2 ) = + 2πn. 2 2 π π X Para x1 = − + 2πn, vale sen(x) = −1 e f (x1 ) = − 2πn. 2 2 X Para x2 = X Da´ segue que f (x2 ) − f (x1 ) = 4πn, a oscila¸ao cresce pois ı c˜ π π + 2π(n + 1), vale sen(x) = 1 e f (x4 ) = + 2π(n + 1). 2 2 π π X Para x3 = − + 2π(n + 1), vale sen(x) = −1 e f (x3 ) = − 2π(n + 1). 2 2 X Para x4 = X Segue que f (x3 ) − f (x2 ) = 4π(n + 1) > f (x2 ) − f (x1 ) = 4πn, portanto a oscila¸ao c˜ da fun¸˜o ´ t˜o grande quanto queremos e cresce. ca e a π π Ent˜o, dado c ∈ R existe n0 ∈ N tal que c ∈ [ − 2πn0 , + 2πn0 ] e por continuidade a 2 2 π π existe x1 ∈ [− + 2πn0 , + 2πn0 ] tal que f (x1 ) = c. Da mesma maneira existe x2 ∈ 2 2 π π π [− + 2π(n0 + 1), + 2π(n0 + 1)] tal que f (x2 ) = c, em geral xn ∈ [− + 2π(n0 + n − 2 2 2 π 1), + 2π(n0 + n − 1)] tal que f (xn ) = c, valendo lim xn = ∞ e lim f (xn ) = c. 2 ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 87 Quest˜o 3 a Propriedade 154. Seja f : [a, ∞) → R limitada. Para cada t ≥ a deﬁnimos Mt = sup{f (x) | x ∈ [t, ∞)} = sup At mt = inf{f (x) | x ∈ [t, ∞)} = sup At wt = Mt − mt , chamada de oscila¸˜o de f em I = [t, ∞). Nessas condi¸˜es, existem ca co t→∞ lim Mt e lim mt . t→∞ ∃ lim f (t) ⇔ lim wt = 0. t→∞ t→∞ Demonstra¸˜o. Mt ´ n˜o-crescente e mt ´ n˜o-decrescente. Se s > t vale que ca e a e a {f (x) | x ∈ [s, ∞} = As ⊂ {f (x) | x ∈ [t, ∞)} = At , portanto sup At ≥ sup As , implicando Mt ≥ Ms logo mt ´ n˜o-crescente. Da mesma maneira mt ´ n˜o-decrescente, e a e a pois de As ⊂ At segue inf As ≥ inf At e da´ ms ≥ mt que signiﬁca que mt ´ n˜o-decrescente. ı e a Ambas fun¸˜es s˜o limitadas logo os limites lim Mt e lim mt existem. co a t→∞ t→∞ t→∞ lim Mt = L, lim mt = l ⇒ lim wt = L − l. t→∞ t→∞ t→∞ t→∞ Agora provamos a equivalˆncia enunciada. ⇐). Se lim wt = 0 ent˜o ⇒ lim f (t) e a existe. Vale que mt ≤ f (t) ≤ Mt (pois mt e Mt s˜o ´ a ınﬁmo e supremo respectivamente), se ⇒ lim wt = 0 ent˜o L − l = 0 ⇒ L = l, da´ por teorema do sandu´ a ı ıche tem-se t→∞ L = lim mt ≤ lim f (t) ≤ lim Mt = L t→∞ t→∞ t→∞ de onde segue lim f (t) = L. ⇒). Se lim f (t) = L ent˜o ∀ε > 0 ∃x ≥ a tal que para t ≥ a vale L − ε < f (t) < L + ε, a logo L − ε ≤ mt ≤ f (t) ≤ Mt ≤ L + ε pois mt ´ ´ e ınﬁmo e Mt ´ supremo, portanto e Mt − mt ≤ 2ε (pois ambos pertencem ao intervalo (L − ε, L + ε)) e isso implica que t→∞ t→∞ t→∞ lim Mt = lim mt = L da´ lim wt = 0. ı t→∞ 1.8 1.8.1 Cap´ ıtulo 7-Fun¸˜es cont´ co ınuas Deﬁni¸˜o e primeiras propriedades ca Quest˜o 1 a Propriedade 155. Vale max(x, y) = x + y − |x − y| x + y + |x − y| e min(x, y) = 2 2 ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 88 x+y+x−y = x como vale 2 x + y − |x − y| max(x, y) + min(x, y) = x + y ent˜o min(x, y) = a . 2 Demonstra¸˜o. Se x ≥ y ent˜o x − y = |x − y| da´ ca a ı Propriedade 156. Se f : A → R ´ cont´ e ınua em a ent˜o |f | : A → R tamb´m ´ cont´ a e e ınua em a. Demonstra¸˜o. Vale ||f (x)| − |f (a)|| ≤ |f (x) − f (a)| < ε. ca Propriedade 157. Dadas f, g : A → R cont´ ınuas, ent˜o h, t : A → R dada por h(x) = a max{f (x), g(x)}e t(x) = max{f (x), g(x)} s˜o cont´ a ınuas. Demonstra¸˜o. Vale h(x) = max{f (x), g(x)} = ca min{f (x), g(x)} = Quest˜o 2 a Propriedade 158. Sejam f, g : B → R cont´ ınuas Y = {x ∈ B | f (x) < g(x)} Z = {x ∈ B | f (x) ≤ g(x)} ent˜o existem A aberto e F fechado tais que Y = B ∩ A e Z = B ∩ F. a Demonstra¸˜o. Pela continuidade de f e g, para cada y ∈ Y existe um intervalo Iy ca de centro y, tal que {y} ⊂ B ∩ Iy ⊂ Y da´ ı Y = logo Y = ∪ y∈Y f (x) + g(x) − |f (x) − g(x)| , da´ h e t s˜o uniformemente cont´ ı a ınuas. 2 f (x) + g(x) + |f (x) − g(x)| e t(x) = 2 ∪ y∈Y y⊂ ∪ y∈Y (B ∩ Iy ) ⊂ Y ∪ y∈Y (B ∩ Iy ) e por identidade de conjuntos temos que ∪ y∈Y (B ∩ Iy ) = B ∩ ( ∪ y∈Y Iy ), tomando A = Iy segue que A ´ aberto por ser uni˜o de abertos, da´ Y = B ∪ A. e a ı Vale que Z = B \ {ξ ∈ B, g(x) < f (x)}, pelo que provamos acima, existe B aberto tal que Z = B \ (B ∩ A) = B ∩ (R \ A) ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 89 onde essa ultima passagem se deu por identidade de conjuntos, temos que R \ A = F ´ ´ e um conjunto fechado, logo provamos que Z = B ∩ F , onde F ´ fechado. e Corol´rio 24. Se B ´ aberto Y = B ∩ A ´ aberto por ser intersec¸ao de abertos, se B ´ a e e c˜ e fechado ent˜o Z = B ∩ F ´ fechado por ser intersec¸˜o de fechados. a e ca Corol´rio 25. Se f, g : B → R s˜o cont´ a a ınuas e B aberto ent˜o {x ∈ B | f (x) ̸= g(x)} a ´ aberto pois {x ∈ B | f (x) < g(x)} ∪ {x ∈ B | f (x) > g(x)} onde ambos conjuntos s˜o e a abertos. Corol´rio 26. Se f, g : B → R s˜o cont´ a a ınuas e B fechado ent˜o {x ∈ B | f (x) = g(x)} a ´ fechado pois {x ∈ B | f (x) ≤ g(x)} ∩ {x ∈ B | f (x) ≥ g(x)} onde ambos conjuntos s˜o e a fechados. Quest˜o 3 a Deﬁni¸˜o 10 (Semi-cont´ ca ınua superiormente (scs)). f : A → R ´ scs em a ∈ A quando e ∀ c > f (a) ∃ δ > 0 | ∀ x ∈ A, |x − a| < δ ⇒ f (x) < c. Deﬁni¸˜o 11 (Semi-cont´ ca ınua inferiormente (sci)). f : A → R ´ sci em a ∈ A quando e ∀ c < f (a) ∃ δ > 0 | ∀ x ∈ A, |x − a| < δ ⇒ c < f (x). Propriedade 159. f : A → R ´ cont´ e ınua em a ∈ A ⇔ f ´ sci e scs em a. e Demonstra¸˜o. ⇒). Se f ´ cont´ ca e ınua em a ent˜o a ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 | ∀x ∈ A, |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε temos ent˜o f (x) < f (a) + ε e f (a) − ε < f (x). Sendo c > f (a) arbitr´rio, podemos a a tomar ε = c − f (a), ε + f (a) = c, logo ∃ δ > 0 | ∀x ∈ A, |x − a| < δ implicando f (x) < f (a) + ε = c, portanto f ´ scs em a. e Da mesma maneira se c < f (a), tomamos ε = f (a)−c ⇒ f (a)−ε = c e a continuidade garante que ∃ δ > 0 | ∀x ∈ A, |x − a| < δ implicando c = f (a) − ε < f (x), logo f ´ sci em e a. ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 90 ⇐). Suponha que f seja scs e sci em a, seja ε > 0 arbitr´rio ent˜o pela primeira a a condi¸˜o podemos tomar c − f (a) = ε que ﬁca garantida a existˆncia de δ1 , tal que ca e |x − a| < δ1 implica f (x) < c, f (x) − f (a) < ε, por f ser sci em a para qualquer, podemos tomar f (a) − c2 = ε e da´ existe δ2 tal que |x − a| < δ2 implica c2 < f (x), f (a) − ε < f (x), ı da´ tomando δ = min{δ1 , δ2 } as duas condi¸˜es s˜o satisfeitas logo vale |f (x) − f (a)| < ε ı co a e f ´ cont´ e ınua em a. Propriedade 160. Se f ´ scs e g ´ sci em a e f (a) < g(a) ent˜o existe δ > 0 tal que e e a x ∈ A, |x − a| < δ implica f (x) < g(x). Demonstra¸˜o. Como f ´ scs tomamos c = ca e x ∈ A, |x − a| < δ1 ⇒ f (x) < f (a) + g(a) > f (a), ent˜o existe δ1 > 0, a 2 f (a) + g(a) . Da mesma maneira como g ´ sci, tomando o e 2 f (a) + g(a) f (a) + g(a) mesmo c = < g(a) existe δ2 > 0, x ∈ A, |x − a| < δ2 ⇒ < g(x). 2 2 f (a) + g(a) Tomando δ = min{δ1 , δ2 } tem-se com x ∈ A , |x − a| < δ que f (x) < e 2 f (a) + g(a) < g(x) que implica f (x) < g(x). 2 Quest˜o 4 a Propriedade 161. Seja f : R → R cont´ ınua e f (x) = c uma constante para todo x ∈ A um conjunto denso em B, ent˜o f (x) = c para todo x ∈ B. a Demonstra¸˜o. Dado a ∈ B arbitr´rio, por A ser denso em B, podemos tomar uma ca a sequˆncia (xn ) em A tal que lim xn = a da´ f (xn ) = c e lim f (xn ) = c = f (a), logo e ı f (a) = c para todo a ∈ B. Corol´rio 27. Em especial A ´ denso em A, da´ f (x) = c ∀x ∈ A. a e ı Quest˜o 5 a Propriedade 162. f : R → R ´ cont´ e ınua sse ∀A ⊂ R vale f (A) ⊂ f (A). Demonstra¸˜o. ⇒. Supondo f cont´ ca ınua, vamos mostrar que dado a ∈ f (A) ent˜o a a ∈ f (A). Seja a ∈ f (A), ent˜o existe y ∈ A tal que f (y) = a, mas como y ∈ A, a ent˜o existe uma sequˆncia (xn ) em A tal que lim xn = y, por f ser cont´ a e ınua segue que f (xn ) ∈ f (A) e lim f (xn ) = f (y) = a ∈ f (A), o que conclu´ a demonstra¸˜o. ı ca ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 91 ⇐. Vamos usar a contrapositiva, se f ´ descont´ e ınua, ent˜o existe um ponto a ∈ R tal a que f ´ descont´ e ınua em a, assim existe uma sequˆncia (xn ) em R tal que e ∃ε > 0 ∀ 1 1 > 0 |xn − a| < e |f (xn ) − f (a)| ≥ ε n n tomando A como conjunto dos termos da sequˆncia (xn ) segue que a ∈ A, logo f (a) ∈ f (A) e mas a propriedade |f (xn ) − f (a)| ≥ ε nos garante que f (a) ∈ f (A), de onde segue o / resultado. Quest˜o 6 a Propriedade 163. Seja f : A → R cont´ ınua em a ∈ A. Se para toda vizinhan¸a de a c existem x e y ∈ A tais que f (x) e f (y) tem sinais contr´rios ent˜o f (a) = 0. a a Demonstra¸˜o. Usando a contrapositiva, temos que mostrar que se f (a) ̸= 0 ent˜o ca a existe vizinhan¸a do ponto a tal que para todos x e y em tal vizinhan¸a vale que f (x) e c c f (y) tem o mesmo sinal. Essa propriedade vale realmente para fun¸˜es cont´ co ınuas, logo a proposi¸˜o ´ verdadeira. ca e Corol´rio 28. Sejam f, g : A → R cont´ a ınuas no ponto a, tal que para toda vizinhan¸a c V de a existam pontos x e y, tais que f (x) < g(x) e f (y) > g(y) ent˜o f (a) = g(a). a Tomamos h : A → R com h(x) = f (x) − g(x) da´ em toda vizinhan¸a de a existem ı c x, y tais que h(x) < 0 e h(y) > 0, portanto pelo resulado anterior vale que h(a) = 0 = f (a) − g(a) ⇒ f (a) = g(a). Quest˜o 7 a Propriedade 164. Seja f : A → R descont´ ınua em a ∈ A. Ent˜o existe ε > 0 tal que a X Existe (xn ) em A com lim xn = a e f (xn ) > f (a) + ε ∀ n ∈ N , ou X existe (yn ) em A com lim yn = a e f (yn ) < f (a) − ε ∀ n ∈ N . Demonstra¸˜o. Usamos o crit´rio de sequˆncias, usando a nega¸ao da continuidade ca e e c˜ ∃(xn ) ∈ A com lim xn = a e lim f (xn ) ̸= f (a) (podendo n˜o existir), disso segue que a |f (xn ) − f (a)| > ε para n ∈ N ′ um subconjunto inﬁnito de N . Para cada n ∈ N ′ vale ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 92 X f (xn ) − f (a) > ε ou −f (xn ) + f (a) > ε uma das duas condi¸oes ´ satisfeita para um n´mero inﬁnito de ´ c˜ e u ındices, logo podemos tomar uma subsequˆncia (tn ) de (xn ) que satisfaz lim tn = a (pois toda subsequˆncia e e tende ao mesmo limite) e vale uma das propriedades citadas acima para todo n ∈ N . 1.8.2 Fun¸oes cont´ c˜ ınuas num intervalo Quest˜o 1 a Propriedade 165. Toda fun¸˜o f : I → R localmente constante ´ constante, onde I ´ ca e e um intervalo. Demonstra¸˜o. Dado a ∈ I, deﬁnimos ca A = {x ∈ I | f (x) = f (a)}, B = {x ∈ I | f (x) ̸= f (a)}, vale que A ̸= ∅, pois a ∈ A, vale tamb´m que I = A ∪ B. Como f ´ localmente constante, e e ∀x ∈ A existe Ix = (x − ε, x + ε) tal que f (Ix ) = {f (a)} logo Ix ∩ B = ∅, da´ n˜o poder ı a existir sequˆncia em B tendendo ` x, portanto x ∈ B ⇒ A ∩ B = ∅. Suponha por absurdo e a / que exista pelo menos um y ∈ B, ent˜o para y ∈ B arbitr´rio vale f (y) = cy ̸= f (a) e a a existe ε tal que, para Iy = (y − ε, y + ε) tem-se f (Iy ) = {cy }, portanto (y − ε, y = ε) ∩ A ´ vazio, logo y ∈ A, A ∩ B = ∅. Da´ temos que A ∩ B = I ´ uma cis˜o n˜o trivial de um e / ı e a a intervalo, o que ´ um absurdo, logo B = ∅ e f ´ constante. Suponha por absurdo que B e e n˜o seja vazio. a Quest˜o 2 a Propriedade 166. Seja f : I → R uma fun¸˜o mon´tona, I um intervalo. Se f (I) ´ um ca o e intervalo ent˜o f ´ cont´ a e ınua. Demonstra¸˜o. Seja a ∈ int(I). Suponha f n˜o-decrescente. Existem2 os limites ca a laterais l = lim− f (x) e L = lim+ f (x), onde x→a x→a X L = inf{f (x) , x ∈ A, x > a)} = inf B 2 Essa propriedade segue por resultado j´ demonstrado para limite de fun¸˜es a co ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 93 X l = sup{f (x) , x ∈ A, x < a)} = sup C sendo que f (a) ´ cota superior de C e cota e inferior de B pelo fato da fun¸˜o ser n˜o-decrescente. Al´m disso vale l ≤ L. ca a e Como a ∈ int(I) ent˜o existem x, y ∈ I com x < a < y. Suponha por absurdo que f seja a descont´ ınua em a, da´ L > l e vale uma das possibilidades ı X l < f (a) ≤ L ou X l ≤ f (a) < L, pois n˜o pode acontecer de L = f (a) = l, se n˜o f seria cont´ a a ınua em a. Por isso podemos tomar z ̸= f (a) tal que l < z < L, valendo f (x) < z < f (y) , temos tamb´m que z ∈ f (I), portanto f (I) n˜o ´ intervalo, o que ´ absurdo. e / a e e O caso de a ser uma extremo inferior ou superior do intervalo se fazem de maneira similar. Se a ´ extremidade inferior do intervalo, existe L = lim+ f (x) = inf{f (x) , x ∈ A, x > e a)}, vale L ≥ f (a) pelo fato de f ser n˜o-decrescente. Suponha que L > f (a) (f ser a descont´ ınua em a), ent˜o existe z tal que L > z > f (a), da´ de x > a segue f (x) > z a ı e z ∈ f (I), logo f (I) n˜o ´ intervalo. Se a ´ intervalo inferior procedemos de maneira / a e e similar. Quest˜o 3 a 1 Exemplo 49. f : R → R dada por f (x) = sen( ) para x ̸= 0 e f (0) = 0, tem a x propriedade do valor intermedi´rio, por´m ´ descont´ a e e ınua em 0. Separamos os intervalos de R em dois tipos: X Os intervalos que cont´m 0. e X Os intervalos que n˜o cont´m 0. a e x→a Em todo intervalo que cont´m 0 a imagem da fun¸˜o ´ o intervalo [−1, 1], que j´ mostramos e ca e a 1 , onde c ´ tal que sen(c) = v ∈ [−1, 1], e por meio de sequˆncias da forma xn = e 2nπ + c todo intervalo que cont´m 0 possui termos desse tipo para n suﬁcientemente grande. e Em intervalos que n˜o cont´m 0, a fun¸ao f ´ cont´ a e c˜ e ınua logo sua imagem ´ um intervalo. e Portanto para qualquer tipo de intervalo vale a propriedade do valor intermedi´rio para a a fun¸ao f . c˜ ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 94 Quest˜o 4 a Propriedade 167. Seja f : I → R com a propriedade do valor intermedi´rio. Se ∀ c ∈ R a existe apenas um n´mero ﬁnito de pontos x ∈ I tais que f (x) = c, ent˜o f ´ cont´ u a e ınua. Demonstra¸˜o. Suponha que exista a ∈ I, em que f seja descont´ ca ınua. Pelo crit´rio e de sequˆncias, existe (xn ) em I com lim xn = a e f (xn ) > f (a) + ε ∀n ∈ N (ou f (xn ) < e f (a) − ε, garantido por resultado j´ mostrado). Tomando algum c ∈ (f (a), f (a) + ε), a observamos o intervalo (f (a), f (xn )), como f (xn ) > f (a) + ε segue que c ∈ (f (a), f (a) + ε) ⊂ (f (a), f (xn )) ∀n ∈ N a propriedade de valor intermedi´rio garante a existˆncia de z1 entre a e x1 tal que a e f (z1 ) = c, como lim xn = a, podemos tomar xn1 tal que z1 n˜o esteja entre a e xn1 , por´m a e novamente a propriedade de valor intermedi´rio garante a existˆncia de z1 entre a e xn1 a e tal que f (z1 ) = c, com esse processo conseguimos inﬁnitos valores z tais que f (z) = c, o que contraria a hip´tese, ent˜o a fun¸ao deve ser cont´ o a c˜ ınua. Quest˜o 5 a Propriedade 168. Sejam p ≥ 0 real, f : [0, 2p] → R cont´ ınua com f (0) = f (2p). Ent˜o a existe c ∈ [0, p] tal que f (c) = f (c + p). Demonstra¸˜o. Deﬁnimos g : [0, p] → R, por g(x) = f (x + p) − f (x). Temos ca g(p) = f (2p) − f (p) = k g(0) = f (p) − f (0) = −k =f (2p) como g ´ cont´ e ınua, por ser soma de fun¸oes cont´ c˜ ınuas, segue que, existe c ∈ [0, p] tal que g(c) = 0 = f (c + p) − f (c), logo f (c + p) = f (c). 1 Exemplo 50. Tomando p = ent˜o f : [0, 1] → R cont´ a ınua com f (0) = f (1) implica 2 1 1 1 que existe c ∈ [0, ] tal que f (c) = f (c + ). Da mesma maneira tomando p = 2 2 3 2 2 1 ent˜o f : [0, ] → R cont´ a ınua com f (0) = f ( ) implica que existe c ∈ [0, ] tal que 3 3 3 1 f (c) = f (c + ). 3 ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 95 1.8.3 Fun¸oes cont´ c˜ ınuas em conjuntos compactos Quest˜o 1 a Propriedade 169. Seja f : R → R cont´ ınua com lim f (x) = lim f (x) = ∞. Ent˜o a x→∞ x→−∞ existe x0 ∈ R tal que f (x0 ) ≤ f (x) ∀ x ∈ R. f possui m´ ınimo global. Demonstra¸˜o. Tomamos a ∈ R qualquer, da deﬁni¸˜o dos limites inﬁnito temos ca ca X ∃ B > 0 tal que x > B ⇒ f (x) > f (a) X ∃ B1 > 0 tal que x < −B1 ⇒ f (x) > f (a). Podemos tomar A > 0 tal que A > B, A > a, −A < −B1 , −A < a, logo para x > A, y < −A tem-se f (x) > f (a), f (y) > f (a), f restrita ` [−A, A] possui m´ a ınimo f (x0 ) pois o conjunto ´ compacto, al´m disso como a ∈ [−A, A] segue que f (x0 ) ≥ f (a), tal valor f (x0 ) e e ´ m´ e ınimo global da fun¸˜o, pois em [−A, A] tal valor ´ m´ ca e ınimo e fora desse intervalo a fun¸˜o assume valores maiores que f (x0 ). ca Quest˜o 2 a Propriedade 170. Seja f : R → R cont´ ınua com lim f (x) = ∞ e lim f (x) = −∞. x→∞ x→−∞ Ent˜o para todo c ∈ R existe entre as ra´ a ızes da equa¸˜o f (x) = c uma cujo m´dulo ´ ca o e m´ ınimo. Demonstra¸˜o. Come¸amos de maneira similar ao resultado anterior, pela deﬁni¸˜o ca c ca dos limites inﬁnitos X ∃ B > 0 tal que x > B ⇒ f (x) > c X ∃ B1 > 0 tal que x < −B1 ⇒ f (x) > −c. Podemos tomar A > 0 tal que A > B, A > c, −A < −B1 , −A < −c, logo para x > A, y < −A tem-se f (x) > c, f (y) < −c. As ra´ ızes de f (x) = c pertencem ao conjunto [−A, A]. Seja V = {|x| ∈ [−A, A] | f (x) = c}, tal conjunto ´ limitado inferiormente, logo e possui ´ ınﬁmo. Seja t = inf V . Se o ´ ınﬁmo pertence ao conjunto nada precisamos fazer, essa ´ nossa ra´ com m´dulo m´ e ız o ınimo. Se n˜o, existe (xn ) ∈ V tal que lim xn = t, vale a f (xn ) = c ∀n ∈ N e por continuidade de f temos lim f (xn ) = f (t) = c, ent˜o o ´ a ınﬁmo pertence ao conjunto, logo existe sempre uma ra´ cujo m´dulo ´ m´ ız o e ınimo. ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 96 Quest˜o 3 a Propriedade 171. N˜o existe f : [a, b] → R cont´ a ınua que assume cada um dos seus valores f (x) exatamente duas vezes. Demonstra¸˜o. [a, b] possui apenas dois extremos , temos 2 pontos de m´ximo e ca a 2 pontos de m´ ınimo da fun¸˜o f , ent˜o obrigatoriamente teremos que um desses pontos ca a cr´ ıticos deve ser imagem de um ponto interior de [a, b]. Suponha que seja o m´ximo. a O valor m´ximo de f ser´ ent˜o assumido num ponto xm1 ∈ int[a, b] vamos supor o a a a outro ponto xm2 em que a fun¸˜o atinge m´ximo tamb´m no interior do intervalo , com ca a e xm1 > xm2 . Tomamos x3 < xm2 , xm2 < x2 < xm1 , xm1 < x1 e A = max{f (x3 ), f (x1 ), f (x2 )}, pelo T V I existe valores x ∈ [x3 , xm2 ), y ∈ [x2 , xm1 ) e z ∈ (xm1 , x1 ], tais que f (x) = f (y) = f (z) = A, absurdo, pois deveria haver apenas 2 valores distintos em [a, b] tais que suas imagens fossem iguais. Quest˜o 4 a Propriedade 172. Toda fun¸ao cont´ c˜ ınua peri´dica f : R → R ´ limitada e atinge valores o e m´ximo e m´ a ınimo. Demonstra¸˜o. Seja p o per´ ca ıodo da fun¸˜o, ent˜o ∀x ∈ R vale f (x + p) = f (x) , a ca a fun¸˜o repete os valores de sua imagem no intervalo [0, p] logo estudamos a sua restri¸ao ca c˜ ao compacto [0, p]. f |[0,p] ´ cont´ e ınua e sua imagem ´ um compacto, logo ela possui m´ximo e a e m´ ınimo, existindo x1 , x2 ∈ R tal que f (x1 ) ´ m´ e ınimo e f (x2 ) ´ m´ximo. e a Quest˜o 5 a Propriedade 173. Seja A ⊂ R compacto. Se f : A → R e cont´ ınua ent˜o a ∀ε > 0, ∃cε > 0 | |y − x| ≥ ε ⇒ |f (y) − f (x)| ≤ cε |y − x|. Demonstra¸˜o. Vamos usar a contrapositiva ca ∃ε > 0, ∀cε > 0 |y − x| ≥ ε e |f (y) − f (x)| > cε |y − x| ≥ cε ε a rela¸˜o |f (y) − f (x)| ≥ cε ε ∀cε > 0 implica que f (A) n˜o ´ limitado, logo f n˜o pode ca a e a ser cont´ ınua, pois a imagem do compacto A seria o compacto f (A) que ´ limitado. e ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 97 1.8.4 Continuidade uniforme Quest˜o 1 a Propriedade 174. Toda fun¸ao f : N → R ´ uniformemente cont´ c˜ e ınua. Demonstra¸˜o. Podemos tomar δ < 1 da´ |x − y| < δ implica x = y, que implica ca ı |f (x) − f (y)| = 0 < ε. N ´ fechado, por´m n˜o ´ limitado, toda sequˆncia ´ uma fun¸ao uniformemente e e a e e e c˜ cont´ ınua. Propriedade 175. Se toda fun¸ao f : A → R ´ uniformemente cont´ c˜ e ınua ent˜o A ´ a e fechado, por´m n˜o necessariamente compacto. e a Demonstra¸˜o. Usaremos a contrapositiva. Se A n˜o ´ fechado ent˜o existe fun¸ao ca a e a c˜ f : A → R que n˜o ´ uniformemente cont´ a e ınua. Daremos ent˜o um exemplo desse tipo de a fun¸˜o. Como A n˜o deve ser fechado ent˜o deve existir a ∈ A tal que a ∈ A, tomamos ca a a / 1 f : A → R deﬁnida como f (x) = o limite lim f (x) n˜o existe ent˜o A n˜o pode ser a a a x→a x−a uniformemente cont´ ınua. Quest˜o 2 a Exemplo 51. A fun¸ao f : R → R dada por f (x) = sen(x2 ) n˜o ´ uniformemente c˜ a e cont´ ınua. Tomamos xn = √ 1 (n + )π e yn = nπ, ent˜o a 2 √ π √ 1 2 yn − xn = (n + )π − nπ = √ →0 √ 2 1 (n + 2 )π + nπ √ onde acima racionalizamos a fra¸ao. Por´m c˜ e 1 1 f (yn ) − f (xn ) = sen((n + )π) − sen(nπ) = sen((n + )π) 2 2 e tal sequˆncia n˜o tende a zero. e a ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 98 Quest˜o 3 a Propriedade 176. Dada f : A → R uniformemente cont´ ınua, deﬁnimos g : A → R como g(x) = f (x) se x ∈ A ´ um ponto isolado e g(a) = lim f (x) se a ∈ A′ . Nessas condi¸oes g e c˜ x→a ´ uniformemente cont´ e ınua e vale g(x) = f (x) ∀x ∈ A. Demonstra¸˜o. Vamos mostrar inicialmente que vale g(x) = f (x) ∀x ∈ A. Se x ´ ca e ponto isolado sabemos por deﬁni¸˜o de g que tem-se g(x) = f (x). Seja agora um ponto ca a ∈ A que n˜o seja isolado, ent˜o existe (xn ) ∈ A tal que lim xn = a, por f ser cont´ a a ınua vale que lim f (xn ) = f (a) = lim f (x) = g(a), onde a ultima passagem foi pela deﬁni¸˜o ´ ca da g. Fica provado ent˜o que g(x) = f (x) ∀x ∈ A. a Vamos mostrar agora que g ´ uniformemente cont´ e ınua. f ´ uniformemente cont´ e ınua, ε da´ para x, y ∈ A com |x − y| < δ tem-se |f (x) − f (y)| < , sendo a, b ∈ A existem ı 2 (xn ), (yn ) em A, tais que lim xn = a, lim yn = b, se |a − b| < δ temos |xn − yn | < δ para n grande, por causa da desigualdade |xn − yn | ≤ |xn − a| + |yn − b| + |a − b| ε isso implica que |f (xn ) − f (yn )| < , passando o limite temos |g(a) − g(b)| = lim |f (xn ) − 2 ε f (yn )| ≤ , da´ g ´ uniformemente cont´ ı e ınua. 2 Quest˜o 4 a Propriedade 177. Seja f : R → R cont´ ınua. Se existem lim f (x) = L e lim f (x) = l x→∞ x→−∞ x→a ent˜o f ´ uniformemente cont´ a e ınua. Demonstra¸˜o. Pela deﬁni¸˜o de limite temos que ca ca X ∀ ε > 0 ∃A > 0 | x > A ⇒ |f (x) − L| < ε 4 ε X ∀ ε > 0 ∃B > 0 | x < −B ⇒ |f (x) − l| < . 4 ε ε Se x > A, y > A vale que |f (x) − L| < e |f (y) − L| < , da´ ı 4 4 ε ε ε |f (y) − f (x)| ≤ |f (x) − L| + |f (y) − L| < + = . 4 4 2 ε ε ı Da mesma maneira se x < −B, y < −B vale que |f (x) − l| < e |f (y) − l| < , da´ 4 4 ε ε ε |f (y) − f (x)| ≤ |f (x) − l| + |f (y) − l| < + = . 4 4 2 ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 99 O conjunto [−B, A] ´ compacto, ent˜o f ´ uniformemente cont´ e a e ınua em tal conjunto, da´ ı ε se x, y ∈ [−B, A] com |x − y| < δ tem-se |f (x) − f (y)| < . Caso x < −B e y ∈ [−B, A] 2 com |x − y| < δ temos tamb´m que | − B − y| < |x − y| < δ, pois x < −B ≤ y, a distˆncia e a de y at´ B ´ menor que a distˆncia de y at´ x, portanto e e a e |f (x) − f (y)| ≤ |f (x) − f (−B)| + |f (−B) − f (y)| < ε ε + = ε. 2 2 Da mesma forma se x > A e y ∈ [−B, A] com |x − y| < δ vale y ≤ A < X da´ ı |A − y| < |x − y| < δ e vale |f (x) − f (y)| ≤ |f (x) − f (A)| + |f (A) − f (y)| < ε ε + = ε. 2 2 Conclu´ ımos que f ´ uniformemente cont´ e ınua em qualquer um dos casos X x, y > A X x ∈ [−B, A] y > A X x, y ∈ [−B, A] X x, y < −B. Logo f ´ uniformemente cont´ e ınua em R. Exemplo 52. Suponha f : R → R cont´ ınua , ent˜o g : R → R dada por g(x) = f (x) − x a tamb´m ´ cont´ e e ınua, se existem lim g(x) = L e lim g(x) = l ent˜o g ´ uniformemente a e x→∞ x→−∞ cont´ ınua. A soma de fun¸oes uniformemente cont´ c˜ ınuas ´ uniformemente cont´ e ınua ent˜o a g(x) + x = f (x) tamb´m ´ uniformemente cont´ e e ınua. Quest˜o 5 a Propriedade 178. Se f, g : A → R s˜o uniformemente cont´ a ınuas, ent˜o f + g ´ unifora e memente cont´ ınua. Demonstra¸˜o. Dado ε arbitr´rio existe δ1 > 0 tal que |x−y| < δ1 ⇒ |f (x)−f (y)| < ca a ε ε e δ1 > 0 tal que |x − y| < δ2 ⇒ |g(x) − g(y)| < tomando δ = min{δ1 , δ2 } segue que 2 2 ε ε |g(x) − g(y)| < e |f (x) − f (y)| < , pela desigualdade triangular tem-se 2 2 ε ε |g(x) + f (x) − g(y) − f (y)| ≤ |g(x) − g(y)| + |f (x) − f (y)| < + 2 2 logo f + g ´ uniformemente cont´ e ınua. ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 100 Propriedade 179. Sejam f, g : A → R limitadas e uniformemente cont´ ınuas, ent˜o f.g a ´ uniformemente cont´ e ınua. Demonstra¸˜o. Tomamos duas sequˆncias (xn ), (yn ) em A tais que lim yn − xn = 0. ca e Escrevemos f (yn ).g(yn ) − f (xn ).g(xn ) = f (yn ).g(yn ) − f (xn ).g(yn ) + f (xn ).g(yn ) − f (xn ).g(xn ) = = [f (yn ) − f (xn )] g(yn ) + f (xn ) [g(yn ) − g(xn )] → 0 →0 →0 pois (f (xn )) e (g(yn )) s˜o limitadas, usamos tamb´m que f e g s˜o uniformemente cona e a vergentes e o crit´rio de sequˆncias. Portanto vale que lim f (yn ).g(yn ) − f (xn ).g(xn ) e da´ e e ı f.g ´ uniformemente cont´ e ınua. Propriedade 180. Dadas f, g : A → R uniformemente cont´ ınuas, ent˜o h, t : A → R a dada por h(x) = max{f (x), g(x)}e t(x) = max{f (x), g(x)} s˜o uniformemente cont´ a ınuas. Demonstra¸˜o. Vale h(x) = max{f (x), g(x)} = ca min{f (x), g(x)} = f (x) + g(x) + |f (x) − g(x)| e t(x) = 2 f (x) + g(x) − |f (x) − g(x)| , da´ h e g s˜o uniformemente cont´ ı a ınuas. 2 1.9 1.9.1 Cap´ ıtulo 8-Derivadas A no¸˜o de derivada ca Quest˜o 1 a Propriedade 181 (Caracteriza¸˜o de Carath´odory). f ´ deriv´vel em a ⇔ existe g : ca e e a A → R cont´ ınua em a tal que f (x) = f (a) + g(x)(x − a) ∀x ∈ A. Demonstra¸˜o. ⇐) . Suponha que existe g : A → R cont´ ca ınua em a tal que f (x) = f (a) + g(x)(x − a), da´ para x ̸= a tem-se ı f (x) − f (a) = g(x) x−a como existe lim g(x) por g ser cont´ ınua em a, ent˜o existe lim a x→a logo f ´ deriv´vel. e a f (x) − f (a) = f ′ (a) = g(a), x→a x−a ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 101 ⇒). Supondo que f seja deriv´vel, ent˜o podemos escrever f (a + h) = f (a) + f ′ (a)h + a a r(h) r(h), se h ̸= 0, deﬁnimos g(a + h) = f ′ (a) + , se h = 0 deﬁnimos g(a) = f ′ (a), ent˜o a h vale que f (a + h) = f (a) + g(a + h).h se h ̸= 0 e se h = 0 tamb´m, al´m disso g ´ cont´ e e e ınua em a, pois de g(a + h) = f ′ (a)+ tomando lim , tem-se h→0 h→0 r(h) , h lim g(a + h) = f ′ (a) = g(a). Quest˜o 2 a Propriedade 182 (Teorema do sandu´ ıche para derivadas). Sejam f, g, h : X → R tais que para todo x ∈ X se tenha f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) . Se num ponto a ∈ X ∩ X ′ tem-se f (a) = h(a) e existem f ′ (a) = h′ (a) ent˜o existe a g ′ (a) = f ′ (a) . Demonstra¸˜o. Da identidade f (a) = h(a) e da desigualdade f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), ca temos f (a) ≤ g(a) ≤ h(a) = f (a), ⇒ g(a) = f (a) = h(a) tem-se tamb´m e f (a + h) ≤ g(a + h) ≤ h(a + h), ⇔ f (a + h) − f (a) ≤ g(a + h) − g(a) ≤ h(a + h) − h(a) pois f (a) = h(a) = g(a), como as derivadas f ′ (a) e h′ (a) existem, ent˜o tamb´m existem a e as derivadas laterais ′ ′ f+ (a) = f− (a) = f ′ (a) = g ′ (a) = h′+ (a) = h′− (a) dividindo a ultima desigualdade por h > 0 e tomando o limite a direita segue ´ f ′ (a) ≤ lim+ h→0 g(a + h) − g(a) ≤ f ′ (a) h g(a + h) − g(a) ≥ f ′ (a) h . e dividindo por h < 0 e tomando o limite a esquerda f ′ (a) ≥ lim − h→0 assim h→0 lim − g(a + h) − g(a) g(a + h) − g(a) = lim+ = f ′ (a) = g ′ (a) h→0 h h ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 102 Quest˜o 3 a Veremos um lema que ajudar´ na pr´ximo resultado. a o Lema 1. Sejam (an ) e (bn ) sequˆncias limitada tais que an + bn = 1 ∀n ∈ N , (zn ) e (tn ) e com o mesmo limite a, ent˜o lim an .zn + bn .tn = a. a Demonstra¸˜o. Escrevemos ca an .zn + bn .tn = an .zn − a.an + a. an +bn .tn = an (zn − a) + a(1 − bn ) + bn .tn = =1−bn = an (zn − a) + a − a.bn + bn .tn = an (zn − a) + a + bn (tn − a) da´ ı lim an (zn − a) + a + bn (tn − a) = a = lim an .zn + bn .tn pois an e bn s˜o limitadas e zn − a, tn − a tendem a zero. a Propriedade 183. Seja f : A → R deriv´vel em a. Se xn < a < yn ∀n e lim xn = a f (yn ) − f (xn ) = f ′ (a). lim yn = a ent˜o lim a yn − xn Demonstra¸˜o. Come¸amos com uma manipula¸˜o alg´brica ca c ca e f (yn ) − f (xn ) f (yn ) − f (a) − f (xn ) + f (a) f (yn ) − f (a) f (xn ) − f (a) = = − = yn − x n yn − xn yn − xn yn − xn f (yn ) − f (a) = + yn − xn f (yn ) − f (a) + = yn − xn ( ( −xn + a yn − xn )( f (xn ) − f (a) xn − a )( ) = ) = yn − xn − yn + a yn − xn f (xn ) − f (a) xn − a ( )( ) yn − a f (xn ) − f (a) f (yn ) − f (a) + 1− = = yn − xn yn − x n xn − a ( = yn − a yn − xn =tn )( f (yn ) − f (a) yn − a ) )( ( ) f (xn ) − f (a) yn − a + 1− = yn − x n xn − a ( +(1 − tn ) f (xn ) − f (a) xn − a →f ′ (a) ( = tn f (yn ) − f (a) yn − a →f ′ (a) ) ) ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 103 yn − a < 1, pois yn − xn yn > xn da´ podemos dividir por yn − xn sem alterar a desigualdade. Da mesma maneira ı yn − a vale 0 < yn − a e da´ 0 < ı < 1, logo (tn ) ´ limitada, o mesmo vale para 1 − tn , e yn − xn logo aplicamos o lema anterior que nos garante que ( ( ) ) f (yn ) − f (xn ) f (yn ) − f (a) f (xn ) − f (a) +(1 − tn ) = f ′ (a). lim = lim tn yn − xn yn − a xn − a observamos que (tn ) ´ limitada pois xn < a ⇒ yn − a < yn − xn ⇒ e →f ′ (a) →f ′ (a) Quest˜o 4 a 1 Exemplo 53. Seja f : R → R dada por f (x) = x2 sen( ) se x ̸= 0 e f (0) = 0, tomamos x 1 1 , da´ vale lim xn = lim yn = 0 ı e yn = xn = nπ nπ + π 2 f (xn ) = 1 sen(nπ) = 0 (nπ)2 1 π (−1)n f (yn ) = sen(nπ + ) = (nπ + π )2 2 (nπ + π )2 2 2 π π π n pois sen(nπ + ) = sen(nπ) cos( ) + sen( )cos(nπ) = (−1) , da´ ı 2 2 2 =0 f (yn ) − f (xn ) f (yn ) = yn − x n yn − xn yn − xn = 1 nπ + − nπ − nπ − π −π 1 2 2 = = nπ (nπ + π )(nπ) (nπ + π )(nπ) 2 2 π 2 f (yn ) − f (xn ) (−1)n+1 π (−1)n+1 (−1)n+1 = .2n(nπ + ) = .2n = π .2 yn − xn (nπ + π )2 2 (nπ + π ) (π + 2n ) 2 2 −1 −1 que n˜o converge, pois para n par temos a .2 e para n ´ ımpar tem-se π .2 → (π + 2n ) π 1 1 .2 duas subsequˆncias convergindo para valores distintos, logo a sequˆncia e e π .2 → (π + 2n ) π n˜o converge. a Tal fun¸ao ´ deriv´vel no 0, pois c˜ e a 1 x2 sen( x ) − 0 1 = lim xsen( ) = 0 lim x→0 x→0 x x em outros pontos distintos de 0 a fun¸˜o tamb´m ´ deriv´vel por ser produto de fun¸oes ca e e a c˜ deriv´veis. a ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 104 Quest˜o 5 a Propriedade 184. Se f : A → R ´ deriv´vel em a ∈ int(A) ent˜o e a a f (a + h) − f (a − h) = f ′ (a). h→0 2h lim Demonstra¸˜o. Como f ´ deriv´vel em a ∈ intA podemos escrever f (a + h) = ca e a r(h) f (a) + f ′ (a)h + r(h) onde lim = 0, podemos tomar f (a − h) = f (a) − f ′ (a)h + r(−h), h→0 h subtraindo as duas express˜es e dividindo por 2h, tem-se o r(h) − r(−h) f (a + h) − f (a − h) = f ′ (a) + 2h 2h →0 tomando o limite segue que f (a + h) − f (a − h) = f ′ (a). h→0 2h lim f (a + h) − f (a − h) pode existir por´m a fun¸˜o pode n˜o e ca a h→0 2h ser deriv´vel em a, considere por exemplo f : R → R dada por f (x) = |x|, no ponto a = 0 a Exemplo 54. O limite lim ela n˜o ´ deriv´vel por´m a e a e |h| − | − h| |h| − |h| = lim = 0. h→0 h→0 2h 2h lim 1.9.2 Regras operacionais Quest˜o 1 a Propriedade 185. A fun¸˜o f : R → R com f (x) = e x2 para x ̸= 0 e f (0) = 0, satisfaz ca Dn f (0) = 0 para todo n ∈ N. 1 −1 Demonstra¸˜o. Para x ̸= 0 vale f n (x) = gn ( )e x2 onde gn ´ um polinˆmio. Tal ca e o x 1 −1 resultado segue por indu¸˜o sobre n, pois para n = 1 a identidade se veriﬁca f ′ (x) = 3 e x2 ca x pela regra da cadeia. Supondo a validade para n, vamos provar para n + 1 1 −1 1 2 −1 1 ′ 1 −1 1 2 1 ′ 1 −1 f n+1 (x) = (f n (x))′ = (gn ( )e x2 )′ = gn ( ) 3 e x2 − 2 gn ( )e x2 = (gn ( ) 3 − 2 gn ( ))e x2 = x x x x x x x x x 1 −1 = (gn+1 ( ))e x2 . x −1 ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 105 Agora provamos por indu¸ao que Dn f (0) = 0 para todo n ∈ N. Para n = 1 temos c˜ e x2 1 y f (0) = lim = lim 1 = lim 2 = 0. x→0 x x→0 y→∞ ey xe x2 ′ −1 Supondo que Dn f (0) = 0, provamos agora que Dn+1 f (0) = 0 1 gn ( x )e x2 Dn f (x) − Dn f (0) Dn f (x) D f (0) = lim = lim = lim = x→0 x→0 x→0 x x x ygn (y) =0 = lim y→∞ ey 2 logo ﬁca provado que Dn f (0) = 0 para todo n natural. n+1 −1 Quest˜o 2 a Propriedade 186. Sejam I um intervalo aberto , f : I → R de classe C 2 . Se f (I) ⊂ J e g : J → R ´ de classe C 2 ent˜o a composta g ◦ f : I → R ´ de classe C 2 . e a e Demonstra¸˜o. Pela regra da cadeia a fun¸ao g ◦ f ´ de classe C 1 , pois ´ deriv´vel e ca c˜ e e a vale (g ◦ f )′ (x) = f ′ (x).g ′ (f (x)) , g ′ (f (x)) ´ cont´ e ınua pois f ´ cont´ e ınua e g ′ ´ cont´ e ınua, da mesma maneira f ′ ´ cont´ e ınua logo o produto das fun¸˜es tamb´m ´ uma fun¸ao cont´ co e e c˜ ınua. Deﬁnindo h : I → R com h(x) = (g ◦ f )′ (x) = f ′ (x).g ′ (f (x)), vamos mostrar que tal fun¸˜o ´ deriv´vel e possui derivada cont´ ca e a ınua. f ′ ´ deriv´vel pois f pois ´ C 2 . g ′ ◦ f ´ deriv´vel, pois dado a ∈ I arbitr´rio existem e a e e a a f ′ (a) e g ′′ (f (a)) pois f e g ′ s˜o deriv´veis. Portanto f ′ .(g ′ ◦ f ) = h ´ deriv´vel, valendo a a a e a regra da cadeia h′ (x) = f ′′ (x).g ′ (f (x)) + f ′ (x)g ′′ (f (x)) como f ′′ , g ′ ◦ f , f ′ e g ′′ ◦ f s˜o cont´ a ınuas , segue-se que h′ ´ cont´ e ınua, portanto h ´ C 1 , e que implica g ◦ f ser C 2 . Quest˜o 3 a Propriedade 187. Seja f : I → R de classe C 2 com f (I) = J e f (x) ̸= 0 ∀x ∈ I. Ent˜o a f −1 : J → R ´ de classe C 2 . e Demonstra¸˜o. Temos que f ´ deriv´vel em x ∈ I arbitr´rio, valendo f ′ (x) ̸= 0 , ca e a a supondo g = f −1 cont´ ınua em f (x) = y segue pelo teorema da derivada da inversa que g ′ (y) = 1 f ′ (x) ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 106 como f ´ C 2 tem-se que f ′ ´ deriv´vel e da´ e e a ı 1 tamb´m ´ deriv´vel portanto e e a f′ −f ′′ (x) = (g ′ (y))′ (f ′ (x))2 dessa express˜o tiramos que g ′ ´ deriv´vel e cont´ a e a ınua pois f ′′ e f ′ s˜o cont´ a ınuas, logo g ´ C 2. e O c´lculo explicito de g ′′ (y) nos d´ a a g ′′ (y) = Quest˜o 4 a Propriedade 188. Seja f : R → R uma fun¸ao par C ∞ , ent˜o vale Dn f (−x) = c˜ a (−1)n Dn f (x). Demonstra¸˜o. Por indu¸ao sobre n, temos que f (−x) = f (x), derivando pela ca c˜ regra da cadeia tem-se −f ′ (−x) = f ′ (x), logo a propriedade vale para n = 1. Suponha que vale para n, Dn f (−x) = (−1)n Dn f (x), vamos provar a validade para n + 1. Seja g(x) = Dn f (x) ent˜o g(−x) = Dn f (−x) e vale a g(−x) = (−1)n g(x) derivando pela regra da cadeia tem-se g ′ (−x) = (−1)n+1 g ′ (x) portanto Dn+1 f (−x) = (−1)n+1 Dn+1 f (x). Corol´rio 29. Se n ´ par tem-se Dn f (−x) = Dn f (x) e se n ´ ´ a e e ımpar Dn f (−x) = −Dn f (x). Se uma fun¸ao g ´ ´ c˜ e ımpar ela satisfaz g(x) = −g(−x) da´ tomando x = 0 tem-se ı g(0) = −g(0), portanto g(0) = 0. Da´ segue que se f ´ par e n ´ ı e ımpar ent˜o Dn f (0) = 0. a Propriedade 189. Seja f : R → R uma fun¸ao ´ c˜ ımpar C ∞ , ent˜o vale Dn f (−x) = a (−1)n+1 Dn f (x). Demonstra¸˜o. Por indu¸ao sobre n, temos que f (−x) = −f (x), derivando pela ca c˜ regra da cadeia tem-se −f ′ (−x) = −f ′ (x) ⇒ f ′ (−x) = f ′ (x), logo a propriedade vale −f ′′ (x) . [f ′ (x)]3 ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 107 para n = 1. Suponha que vale para n, Dn f (−x) = (−1)n+1 Dn f (x), vamos provar a validade para n + 1. Seja g(x) = Dn f (x) ent˜o g(−x) = Dn f (−x) e vale a g(−x) = (−1)n+1 g(x) derivando pela regra da cadeia tem-se g ′ (−x) = (−1)n g ′ (x) = (−1)n+2 g ′ (x) portanto Dn+1 f (−x) = (−1)n+2 Dn+1 f (x). Quest˜o 5 a Propriedade 190. Seja f : R → R k vezes deriv´vel tal que f (tx) = tk f (x)∀ t, x ∈ R. a k D f (0) k Nessas condi¸oes temos f (x) = c˜ x = cxk . k! Dk Demonstra¸˜o. Aplicamos ca na identidade f (tx) = tk f (x) , isto ´, derivamos k e k! vezes em rela¸ao ` t , aplicando a regra da cadeia. c˜ a Dk k k k (k) Usamos que D f (tx) = x f (tx) e t f (x) = f (x) logo k! xk (k) f (tx) = f (x) k! tomando t = 0 tem-se xk (k) f (0) = f (x). k! Em especial se k = 1, f (x) = x.f ′ (0) = c.x. 1.9.3 Derivada e crescimento local Quest˜o 1 a Propriedade 191. Se f : R → R ´ de classe C 1 ent˜o o conjunto dos seus pontos cr´ e a ıticos ´ fechado. e Demonstra¸˜o. Deﬁnimos ca F = {x ∈ R | f ′ (x) = 0}. Podemos ver que F ´ fechado de diversas maneiras, como R ´ fechado segue por resultado e e j´ demonstrado na parte de fun¸˜es cont´ a co ınuas do texto que F ´ fechado, podemos olhar e tamb´m para R \ F = {x ∈ R | f ′ (x) < 0} ∪ {x ∈ R | f ′ (x) > 0} como R ´ aberto segue e e que esses dois ultimos conjuntos s˜o aberto, portanto F ´ fechado . ´ a e ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 108 ( ) 1 x Exemplo 55. Seja f : R → R dada por f (x) = x sen + se x ̸= 0 e f (0) = 0. A x 13 derivada no ponto zero ´ e ( ) 1 x 2 ( ) x sen x + 13 1 1 = lim xsen + lim x→0 x→0 x x 13 2 a derivada em outros pontos ´ dada por e ( ) ( ) 1 1 1 − cos + . f (x) = 2xsen x x 13 ′ 1 1 Podemos tomar x ̸= 0 arbitrariamente perto de 0 tal que sen( ) = 0 e cos( ) = 1 x x da´ tem-se f ′ (x) < 0, da mesma maneira com x ̸= 0 arbitrariamente pr´ximo de zero com ı o 1 1 sen( ) = 1 , cos( ) = 0 e f ′ (x) > 0. x x ′ Como f ´ cont´ e ınua existem pontos muito pr´ximos de zero tais que f ′ (x) = 0 (pontos o cr´ ıticos), da´ temos sequˆncias de pontos cr´ ı e ıticos que tendem a zero, por´m f ′ (0) > 0. e Quest˜o 2 a Propriedade 192. Seja f : (a, b) → R deriv´vel e c um ponto cr´ a ıtico de f , se existe δ > 0 tal que 1. Se f ′ (x) ≥ 0 para x ∈ (c − δ, c) e f ′ (x) ≤ 0 para x ∈ (c, c + δ) ent˜o c ´ um m´ximo a e a local de f . 2. Se f ′ (x) ≤ 0 para x ∈ (c − δ, c) e f ′ (x) ≥ 0 para x ∈ (c, c + δ) ent˜o c ´ um m´ a e ınimo local de f . Demonstra¸˜o. ca 1. f ´ n˜o-decrescente em (c − δ, c) e f ´ n˜o-crescente em (c, c + δ) . Dado qualquer e a e a y ∈ (c − δ, c) existe uma sequˆncia de pontos (yn ) em (y, c) tal que lim yn = c, vale e que f (y) ≤ f (yn ) pelo fato da fun¸ao ser n˜o-decrescente, tomando o limite e usando c˜ a a continuidade segue que f (y) ≤ f (c). Da mesma maneira, dado x ∈ (c, c + δ) existe (xn ) em (c, x) implicando que vale f (x) ≤ f (xn ) pelo fato da fun¸ao ser n˜o-crescente c˜ a ent˜o tomando o limite e usando a continuidade tem-se que f (x) ≤ f (c). a ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 109 Resumindo para quaisquer x ∈ (c, c + δ), y ∈ (c − δ, c) vale que f (y) ≤ f (c) e f (x) ≤ f (c) ent˜o c ´ um m´ximo local de f . a e a 2. f ´ n˜o-crescente em (c − δ, c) dai para qualquer x nesse conjunto tomamos uma e a sequˆncia (xn ) em (x, c) que converge para c, vale f (xn ) ≤ f (x), por continuidade e passando o limite tem-se que f (c) ≤ f (x). f ´ n˜o-crescente em (c, c + δ), dado e a y nesse intervalo tomamos uma sequˆncia (yn ) em (c, y) tal que lim yn = c, temos e f (yn ) ≤ f (y), tomando o limite, temos por continuidade que f (c) ≤ f (y), como vale f (c) ≤ f (y) e f (c) ≤ f (x) para x ∈ (c − δ, c), y ∈ (c, c + δ) tem-se que f (c) ´ ponto e de m´ ınimo local de f . Corol´rio 30. a X Seja c ponto cr´ ıtico e f ′ n˜o-crescente para x ∈ (c − δ, c) tem-se a x < c implicando f ′ (x) ≥ f (c) = 0 e y ∈ (c, c + δ) implica y > c e f ′ (c) = 0 ≥ f ′ (y), ent˜o c ´ ponto de m´ximo. a e a X Se f ′′ (x) ≤ 0, ∀x ∈ (c − ε, c + ε) ent˜o f ′ ´ n˜o-crescente portanto c ´ ponto de a e a e m´ximo. a X Se f ′′ for cont´ ınua em c e vale f ′′ (c) < 0, ent˜o por continuidade vale o item anterior. a Resultados similares valem para m´ ınimo. Corol´rio 31. a X Seja c ponto cr´ ıtico e f ′ n˜o-decrescente para x ∈ (c − δ, c) tem-se a x < c implicando f ′ (x) ≤ f (c) = 0 e y ∈ (c, c + δ) implica y > c e f ′ (c) = 0 ≤ f ′ (y), ent˜o c ´ ponto de m´ a e ınimo. X Se f ′′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ (c − ε, c + ε) ent˜o f ′ ´ n˜o-decrescente portanto c ´ ponto de a e a e m´ ınimo. X Se f ′′ for cont´ ınua em c e vale f ′′ (c) > 0, ent˜o por continuidade vale o item anterior. a Deﬁni¸˜o 12 (Ponto cr´ ca ıtico n˜o-degenerado). Seja f : I → R deriv´vel no intervalo a a aberto I. Um ponto cr´ ıtico c ∈ I ´ dito ser n˜o-degenerado quando f ′′ (c) ̸= 0. e a Propriedade 193. Todo ponto cr´ ıtico n˜o degenerado ´ um ponto de m´ximo local ou a e a m´ ınimo local. ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 110 Demonstra¸˜o. Se vale f ′′ (c) > 0 ent˜o c ´ um ponto de m´ ca a e ınimo e se vale f ′′ (c) < 0 ent˜o c ´ um ponto de m´ximo pelos resultados anteriores. a e a Quest˜o 3 a Propriedade 194. Sejam f : I → R, c ∈ I um ponto cr´ ıtico n˜o degenerado, ent˜o a a existe δ > 0 tal que c ´ o unico ponto cr´ e ´ ıtico de f em (c − δ, c + δ). Demonstra¸˜o. Vale f ′′ (c) > 0 ou f ′′ (c) < 0, supondo a primeira condi¸˜o existe ca ca δ > 0 tal que c − δ < x < c < y < c + δ ⇒ f (x) < f ′ (c) < f (y) =0 logo s´ existe um ponto cr´ o ıtico no intervalo (c − δ, c + δ) que ´ no ponto c. No caso de e f ′′ (c) < 0 segue que existe δ > 0 tal que c − δ < x < c < y < c + δ ⇒ f (y) < f ′ (c) < f (x) =0 da´ conclu´ ı ımos o mesmo do caso anterior. Propriedade 195. Se f ´ de classe C 1 num conjunto compacto K ⊂ I em que todos e pontos cr´ ıticos de f s˜o n˜o degenerados, s´ existe um n´mero ﬁnito deles. a a o u Demonstra¸˜o. Suponha por absurdo que exista uma inﬁnidade de pontos (cn ) ca cr´ ıticos n˜o-degenerados em K. (cn ) ´ limitada logo possui subsequˆncia convergente, a e e passamos a tal subsequˆncia convergente que tamb´m simbolizaremos por (cn ). lim cn = e e c ∈ K pois K ´ fechado. ∀ cn vale f ′ (cn ) = 0, como f ′ cont´ e ınua tem-se que lim f ′ (cn ) = f ′ (c) = 0, da´ c ´ ponto cr´ ı e ıtico, por´m isso ´ absurdo pois deveria existir δ > 0 tal que e e (c − δ, c + δ) ∩ K tivesse apenas um ponto cr´ ıtico de K mas nessas condi¸˜es teria uma co inﬁnidade pois lim cn = c com cada cn ∈ K. Quest˜o 4 a Propriedade 196. Se o ponto cr´ ıtico c da fun¸ao f : I → R ´ limite de uma sequˆncia c˜ e e de pontos cr´ ıticos cn ̸= c e f ′′ (c) existe ent˜o f ′′ (c) = 0, nessas condi¸˜es c ´ um ponto a co e cr´ ıtico degenerado. ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 111 Demonstra¸˜o. Se f ′′ (c) existe ent˜o para qualquer sequˆncia (cn ) → c devemos ter ca a e lim f ′ (cn ) − f ′ (c) = f ′′ (c), cn − c tomamos ent˜o a sequˆncia de pontos cr´ a e ıticos e vale lim pois f ′ (cn ) = f ′ (c) = 0. Quest˜o 5 a Propriedade 197. o conjunto dos pontos de m´ximo ou de m´ a ınimo local estrito de qualquer fun¸ao f : R → R ´ enumer´vel. c˜ e a Demonstra¸˜o. Seja M o conjunto dos pontos de m´ximo local estrito de f , vamos ca a mostrar que M ´ enumer´vel. Para cada c ∈ M podemos tomar racionais Ic , Sc tais que e a c ∈ (Ic , Sc ) e c seja o ponto de m´ximo estrito de (Ic , Sc ) \ {c}, isto ´, ∀x ∈ (Ic , Sc ) e x ̸= c a e vale que f (c) > f (x). Seja B o conjunto dos intervalos da forma (p, q), com p e q racionais, tal conjunto ´ e enumer´vel pois em bije¸ao com um subconjunto de Q × Q que ´ enumer´vel. Deﬁnimos a c˜ e a a fun¸ao f : M → B tal que f (d) = (Id , Sd ), tal fun¸˜o ´ injetiva, dado c ̸= d n˜o vale c˜ ca e a c ∈ (Id , Sd ) e d ∈ (Ic , Sc ), pois se fosse ter´ ıamos f (c) < f (d) e f (d) < f (c), que ´ absurdo, e ent˜o tais intervalos devem ser diferentes e portanto f ´ injetiva implicando que M ´ a e e enumer´vel. a O argumento para pontos de m´ ınimo ´ o mesmo, s´ trocamos as desigualdades na e o demonstra¸˜o acima. ca Seja m o conjunto dos pontos de m´ ınimo local estrito de f , vamos mostrar que m ´ e enumer´vel. Para cada c ∈ m podemos tomar racionais Ic , Sc tais que c ∈ (Ic , Sc ) e c a seja o ponto de m´ ınimo estrito de (Ic , Sc ) \ {c}, isto ´, ∀x ∈ (Ic , Sc ) e x ̸= c vale que e f (c) < f (x). Deﬁnimos a fun¸ao f : M → B tal que f (d) = (Id , Sd ), tal fun¸˜o ´ injetiva, dado c˜ ca e c ̸= d n˜o vale c ∈ (Id , Sd ) e d ∈ (Ic , Sc ), pois se fosse ter´ a ıamos f (c) < f (d) e f (d) < f (c), que ´ absurdo, ent˜o tais intervalos devem ser diferentes e portanto f ´ injetiva implicando e a e que m ´ enumer´vel. e a f ′ (cn ) − f ′ (c) = 0 = f ′′ (c), cn − c ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 112 1.9.4 Fun¸oes deriv´veis num intervalo c˜ a Quest˜o 1 a Propriedade 198. Seja g : I → R cont´ ınua, exceto em c. Se existem lim g(x) = l e − x→c x→c− lim g(x) = L com l ̸= L ent˜o n˜o existe f : I → R com f = g. a a Demonstra¸˜o. Como g ´ descont´ ca e ınua em c e possui os limites laterais ent˜o existe a ′ δ > 0 tal que c − δ ≤ x < c < y ≤ c + δ ⇒ g(x) < l − ε < L + ε < g(y) tomamos d ̸= g(c) em (l − ε, L + ε). Vale g(c − δ) < l + ε e g(c + δ) > L − ε mas n˜o a existe x ∈ (c − δ, c + δ) tal que g(x) = d. Se g fosse derivada de alguma fun¸˜o, ent˜o ca a pelo teorema de Darboux existiria x em tal intervalo tal que g(x) = d. Quest˜o 2 a ln(x) , determinar os intervalos de x crescimento e decrescimento de f , seus pontos cr´ ıticos e seus limites x → 0 e x → ∞. 1 − ln(x) Calculamos a derivada f ′ (x) = pela regra do quociente, o ponto cr´ ıtico da x2 fun¸˜o acontece quando ln(x) = 1 logo x = e, a derivada ´ positiva quando 1 − ln(x) > ca e Exemplo 56. Seja f : R+ :→ R dada por f (x) = 0, 1 > ln(x) da´ x < e, a derivada ´ negativa quando 1 − ln(x) < 0, 1 < ln(x) da´ x > e. ı e ı Ent˜o temos a X Para x < e, f ´ crescente. e X Para x > e, f ´ decrescente. e Vamos mostrar que lim x→0 1 x da forma n , da´ ı 2 ln(x) ln(x) = −∞ e lim = 0. Para o primeiro limite tomamos x→∞ x x 2n . ln(2−n ) = 2n .(−n) ln(2) → −∞ logo lim ln(x) = −∞ pelo fato de f ser crescente para x < e. Para o outro limite tomamos x x = 2 logo ln(2) ln(2n ) =n n →0 n 2 2 x→0 n ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 113 logo lim ln(x) = 0 pois f ´ decrescente para x > e. e x→∞ x Quest˜o 3 a Exemplo 57. Seja g : R+ → R com g(x) = ex ex (x − 1) . Calculamos g ′ (x) = logo x x2 1 temos ponto cr´ ıtico apenas para x = 1. Vale que ex > 0 e 2 > 0, da´ o sinal de g ′ (x) ı x depende de x − 1. X Se x > 1 ent˜o g ′ (x) > 0 e g ´ crescente. a e X Se x < 1 ent˜o g ′ (x) < 0 e g ´ decrescente. a e ex 1 Vale lim = ∞, pois tomando da da forma x = ln(1 + n ) temos com esse x aplicado x→0 x 2 a fun¸ao c˜ 1 1 →∞ (1 + n ) 2 ln(1 + 21 ) n ex como a fun¸ao ´ decrescente para x < 1 ent˜o lim c˜ e a = ∞. Da mesma forma, vale que x→0 x x e lim = ∞, pois f ´ crescente para x > 1 e tomando x = ln(n) tem-se e x→∞ x eln(n) n = →∞ n ln(n) pois ln(n) → 0. n Quest˜o 4 a Exemplo 58. Prove que π π X sen : (− , ) → (−1, 1) 2 2 X cos : (0, π) → (−1, 1) π π X tg : (− , ) → R 2 2 s˜o bije¸˜es com derivadas n˜o nulas e calcule a derivada das fun¸oes inversas arcsen, arccos a co a c˜ e arctg. ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 114 π π X (sen(x))′ = cos(x), que n˜o se anula em (− , ), para x nesse intervalo vale que a 2 2 ′ cos(x) = (sen(x)) > 0 logo a fun¸˜o ´ crescente. A imagem da fun¸˜o ´ (−1, 1), ca e ca e −π π ) = −1 , sen( ) = 1 e a fun¸˜o ´ cont´ ca e ınua. Como ela ´ crescente, e pois sen( 2 2 ent˜o temos bije¸ao. a c˜ X Da mesma maneira com cos, temos (cos(x))′ = −sen(x) em (0, π) sen(x) ´ positivo, e logo −sen(x) < 0, portanto cos ´ decrescente. Vale cos(0) = 1 e cos(π) = −1 e e a fun¸ao ´ cont´ c˜ e ınua logo sua imagem ´ o intervalo (−1, 1), al´m disso a derivada e e nunca se anula em (0, π) . Pelo fato da fun¸ao ser decrescente temos bije¸˜o . c˜ ca π π X A derivada de tg(x) ´ sec2 (x) > 0 em (− , ), portanto a fun¸˜o ´ crescente. Vale e ca e 2 2 π 1 lim tg(x) = ∞, tomamos x = − , aplicando na fun¸ao e simpliﬁcando c˜ x→ π 2 n 2 1 cos( n ) 1 → ∞ sen( n ) portanto lim tg(x) = ∞, de maneira semelhante mostramos que lim tg(x) = −∞. π −π x→ 2 x→ 2 π 1 Tomamos x = − + , aplicando na fun¸˜o e simpliﬁcando ca 2 n − 1 cos( n ) 1 → −∞ sen( n ) Pelo fato da fun¸ao ser cont´ c˜ ınua segue que sua imagem ´ R, por ser crescente, temos e bije¸ao. c˜ Todas essas fun¸oes s˜o bije¸˜es, logo podemos deﬁnir suas fun¸oes inversas. c˜ a co c˜ Propriedade 199. D[arcsen(x)] = √ 1 . 1 − x2 Demonstra¸˜o. Tomando arcsen(x) = y ent˜o sen(y) = x, derivando y ′ cos(y) = 1 ca a √ 1 2 2 ′ como cos (y) = 1 − sen (y) segue que cos(y) = 1 − sen2 (y) e e da´ y = ı cos(y) 1 y′ = √ . 1 − x2 −1 Propriedade 200. Vale D[arccos(x)] = √ . 1 − x2 ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 115 Demonstra¸˜o. Tomando y = arccos(x) tem-se cos(y) = x e da´ −y ′ sen(y) = 1 logo ca ı 1 sen(y) √ √ como sen(y) = 1 − cos2 (x) tem-se sen(y) = 1 − x2 ent˜o a y′ = − 1 . y′ = − √ 1 − x2 Propriedade 201. Vale D[arctg(x] = 1 . x2 + 1 Demonstra¸˜o. Se arctg(x) = y ent˜o tg(y) = x, derivando ambos lados tem-se ca a 1 2 ′ y sec (y) = 1 logo y = . Da identidade sec2 (y) = tg 2 (y) + 1 ent˜o sec2 (y) = x2 + 1 a 2 (y) sec de onde segue 1 y′ = 2 . x +1 ′ Quest˜o 5 a Propriedade 202. Sejam f deriv´vel em I, A = {f ′ (x) | x ∈ I} e a B={ Vale que X B⊂A X B=A X sup(B) = sup(A) e inf(B) = inf(A). f (y) − f (x) , x ̸= y ∈ I}. y−x Demonstra¸˜o. ca X B ⊂ A, pelo TVM que diz x, y ∈ I ent˜o existe x < c < y tal que a f ′ (c). f (y) − f (x) = y−x X B ⊂ A implica que B ⊂ A, por deﬁni¸ao de derivada temos que A ⊂ B da´ A ⊂ B c˜ ı implicando ﬁnalmente que B = A. ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 116 X Da rela¸˜o A ⊂ B temos que sup(B) ≤ sup(A) por´m n˜o pode valer sup(A) > ca e a sup(B) pois sup(B) ∈ A (de A = B) da mesma rela¸˜o temos inf(B) ≥ inf(A) e ca n˜o pode valer inf(B) > inf(A). Portanto sup(B) = sup(A) e inf(B) = inf(A). a O conjunto A pode estar contido em B propriamente, um exemplo e a fun¸ao de lei c˜ f (x) = x3 , temos A = {3x2 | x ∈ I} e B = {y 2 + yx + x2 | x ̸= y ∈ I | x ∈ I}, o primeiro conjunto cont´m o n´mero 0 o segundo n˜o cont´m o n´mero zero. e u a e u Quest˜o 6 a Propriedade 203. Seja f : (a, b) → R limitada e deriv´vel. Se n˜o existir lim+ f (x) ou a a x→a x→b− lim f (x) ent˜o para todo c ∈ R existe x ∈ (a, b) tal que f (x) = c. a Demonstra¸˜o. Vamos mostrar que f ′ ´ ilimitada superiormente e inferiormente. ca e Suponho por absurdo que f ′ fosse limitada inferiormente, ent˜o valeria f ′ (x) ≥ m ∀x, a ′ da´ tomando g : (a, b) → R dada por g(x) = f (x) − mx ter´ ı ıamos g ′ (x) = f ′ (x) − m ≥ 0, logo g seria n˜o-decrescente e limitada e por isso existiriam os limites laterais lim+ g(x) a ou lim g(x) e o mesmo valeria para f por causa da identidade g(x) = f (x) − mx, o que − contraria nossa suposi¸ao . Da mesma maneira f ′ n˜o pode ser limitada superiormente. c˜ a x→b x→a Suponho por absurdo que f ′ (x) ≤ M ∀x, da´ tomando g : (a, b) → R dada por ı g(x) = −f (x) + M x ter´ ıamos g ′ (x) = −f ′ (x) + M ≥ 0, logo g seria n˜o-crescente e a limitada e por isso existiriam os limites laterais lim+ g(x) ou lim g(x) e o mesmo valeria − para f por causa da identidade g(x) = −f (x) − M x, o que contraria nossa suposi¸ao c˜ novamente. Ent˜o f ′ n˜o ´ limitada inferiormente ou superiormente, ent˜o dado qualquer c ∈ R a a e a existem x1 , x2 ∈ (a, b) tais que f ′ (x1 ) < c < f ′ (x2 ) da´ segue pelo teorema de Darboux que existe x3 com x1 < x3 < x2 tal que f (x3 ) = c. ı Quest˜o 7 a Propriedade 204. Seja f : [a, b] → R cont´ ınua e deriv´vel em (a, b) com f ′ (x) ≥ 0, ∀ x ∈ a (a, b). Se {x ∈ [a, b] | f ′ (x) = 0} ´ ﬁnito ent˜o f ´ crescente. e a e Demonstra¸˜o. Como vale f ′ (x) ≥ 0 ent˜o f ´ n˜o-decrescente. Suponha por ca a e a absurdo que f n˜o seja crescente, ent˜o existem x < y ∈ (a, b) tais que f (x) = f (y) da´ a a ı x→a x→b ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 117 f ´ constante no intervalo [x, y], pois dado z ∈ [x, y] vale que f (x) ≤ f (z) ≤ f (y) = f (x) e pois f ´ n˜o-decrescente, logo f (z) = f (x) = c nesse intervalo e f ′ (z) = 0. Nesse caso e a a derivada seria nula numa quantidade inﬁnita de pontos, o que contraria a hip´tese , o portanto f ´ crescente. e Quest˜o 8 a Propriedade 205. Seja f de I em R uma fun¸˜o cont´ ca ınua em um intervalo I tal que f ′ (x) = 0 para todo x ∈ I, ent˜o f ´ constante. a e Demonstra¸˜o. Sejam dois pontos a e b em A, com b > a pelo TVM existe α ∈ A ca f (b) − f (a) tal que f ′ (α) = = 0, logo temos que ter f (b) − f (a) = 0, logo f (b) = f (a) o b−a que implica a fun¸ao ser constante, dada a arbitrariedade dos pontos a e b escolhidos em c˜ A. Demonstra¸˜o.[2-Intervalos encaixados] Suponha por absurdo que f n˜o seja consca a tante em I, ent˜o existem a, b ∈ I tais que a α := |f (a) − f (b)| > 0 α em uma das metades do intervalo [a, b] deve valer |f (b1 ) − f (a)| ≥ , pois caso contr´rio a 2 α α ı ıamos valeria |f (b) − f (b1 )| ≤ e |f (b1 ) − f (a)| ≤ , da´ pela desigualdade triangular ter´ 2 2 |f (b) − f (a)| ≤ |f (b) − f (b1 )| + |f (b1 ) − f (a)| ≤ α α + =α 2 2 o que contraria nossa deﬁni¸ao inicial. Podemos continuar o processo, tomando intervalos c˜ b−a encaixados [ak , bk ] ⊃ [ak+1 , bk+1 ] com bn − an = n e (an − bn → 0) 2 α |f (bn ) − f (an )| α ⇒ ≥ n 2 bn − a n b−a por propriedade de intervalos encaixados, existe c ∈ [an , bn ]∀ n com an , bn → c logo |f (bn ) − f (an )| ≥ |f ′ (c)| = lim |f (bn ) − f (an )| α ≥ >0 bn − an b−a portanto n˜o valeria f ′ (x) = 0 o que contradiz a hip´tese. a o ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 118 Quest˜o 9 a Propriedade 206. Seja f de I(um intervalo aberto) em R deriv´vel em I. Se existe a k ∈ R tal que |f ′ (x)| ≤ k para todo x ∈ I ent˜o f ´ lipschitziana em I(implicando a e tamb´m ser uniformemente cont´ e ınua em I). Demonstra¸˜o. Pelo TVM existem y, x, α ∈ R, y > x com α entre x e y tal que ca f (y) − f (x) = f ′ (α), f (y) − f (x) = f ′ (α)(y − x), |f (y) − f (x)| = |f ′ (α)||(y − x)| y−x |f (y) − f (x)| = |f ′ (α)||(y − x)| ≤ k|(y − x)| Demonstra¸˜o.[2-Intervalos encaixados] Suponha por absurdo que existem a < b ∈ I ca tais que |f (b) − f (a)| > k(b − a) = α > 0 dai seguimos a mesma constru¸ao da demonstra¸ao anterior existindo c ∈ [an , bn ]∀ n tal c˜ c˜ que |f (bn ) − f (an )| α ≥ =k>0 bn − a n b−a o que entra em contradi¸˜o com a hip´tese de |f ′ (x)| ≤ k para todo x ∈ I. ca o |f ′ (c)| = lim Quest˜o 10 a Propriedade 207. Seja f : [a, b] → R cont´ ınua, em que a princ´ ıpio ´ garantida a difee renciabilidade em [a, b] \ {c} . Se existe lim f ′ (x) = L ent˜o f ′ (x) existe e vale f ′ (c) = L. a x→c Demonstra¸˜o. ca Para todo x ̸= c em (a, b) existe zx entre x e c tal que pelo T V M f (x) − f (c) = f ′ (zx ) x−c da´ ı f ′ (c) = lim f (x) − f (c) = lim f ′ (zx ) = L x→c x→c x−c ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 119 Quest˜o 11 a Propriedade 208. Seja f : [a, b] → R deriv´vel em (a, b), com f ′ limitada no mesmo a conjunto. Se f possui propriedade do valor intermedi´rio, ent˜o f ´ cont´ a a e ınua em [a, b]. Demonstra¸˜o. Basta prova que f ´ cont´ ca e ınua em a e b, pois nos outros pontos ela j´ ´ cont´ ae ınua por ser deriv´vel. a f restrita ao conjunto (a, b) ´ uniformemente cont´ e ınua, pelo fato da derivada ser limitada (aplica¸ao do teorema do valor m´dio), isso implica que os limites laterais c˜ e x→a+ lim f (x) = L e lim f (x) = l existem3 − Suponha por absurdo que f (a) < L, ent˜o existe δ > 0 tal que x ∈ (a, a + δ) implica a x→b f (x) ∈ (L − ε, L + ε) com L − ε > f (a), seja f (a + δ) = t ∈ (L − ε, L + ε) , n˜o existe a x ∈ (a, a + δ) tal f (x) = y ∈ (f (a), L − ε), por´m tomando o intervalo [a, a + δ) sua e imagem cont´m intervalo (f (a), t) da´ existe x ∈ (a, a + δ) tal que f (x) ∈ (f (a), L − ε) e ı que ´ garantido pela propriedade do valor intermedi´rio, mas isso ´ absurdo! Da mesma e a e maneira podemos argumentar para L < f (a), conclu´ ındo que L = f (a) e para o ponto b. Quest˜o 12 a Propriedade 209. Se f : I → R satisfaz |f (y) − f (x)| ≤ c|y − x|α com α > 1, c > 0, x, y ∈ R arbitr´rios ent˜o f ´ constante. a a e Demonstra¸˜o. De |f (y) − f (x)| ≤ c|y − x|α tomamos x = a ∈ R ﬁxo por´m ca e arbitr´rio a |f (y) − f (a)| ≤ c|y − a|α−1 y−a com α − 1 > 0, aplicamos o limite de ambos os lados e pelo teorema do sandu´ ıche segue 0≤ que f ′ (a) = 0, logo f ´ constante. e Quest˜o 13 a Propriedade 210. Se f ´ deriv´vel em I e f ′ ´ cont´ e a e ınua em a ent˜o ∀ xn ̸= yn com a lim xn = lim yn = a ent˜o a lim 3 f (yn ) − f (xn ) = f ′ (a). yn − xn Propriedade de fun¸˜es uniformemente cont´ co ınuas. ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 120 Demonstra¸˜o. Pelo T V M , para cada yn , xn existe zn entre eles tal que ca f (yn ) − f (xn ) = f ′ (zn ) yn − xn da´ lim zn = a por sanduiche e lim f ′ (zn ) = f ′ (a) por continuidade, logo ı lim f (yn ) − f (xn ) = lim f ′ (zn ) = f ′ (a). yn − xn 1.10 Cap´ ıtulo 9-F´rmula de Taylor e aplica¸˜es da o co Derivada 1.10.1 F´rmula de Taylor o Quest˜o 1 a Exemplo 59. Calcule as derivadas sucessivas da fun¸˜o f : (−1, 1) → R com f (x) = ca 1 . 1−x Tomamos P (h) = hn+1 da´ ı 1−h R(h) = f (h) − P (h) = vale lim n ∑ k=0 hk = hn+1 − 1 1 − hn+1 1 hn+1 = = − h−1 1−h 1−h 1−h e r(h) = hn+1 1−h R(h) h = lim = 0 portanto P ´ o polinˆmio de Taylor de f em 0 ent˜o e o a h→0 hn h→0 1 − h Dk f (0) = ak coeﬁciente do polinˆmio P , ent˜o Dk f (0) = k! para k de 1 at´ n. o a e k! Quest˜o 2 a Exemplo 60. Seja f : R → R com f (x) = e 2003 de f em 0. Usamos a identidade ∑ 1 y n+1 = − yk 1−y 1 − y k=0 n x5 , calcular as derivadas de ordem 2001 1 + x6 ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 121 tomando y = −x6 multiplicando por x5 ∑ (−x6 )n+1 x5 x5 = − (−1)k x6k+5 1 + x6 1 + x6 k=0 n vale D k f (0) k! n ∑ = ak o coeﬁciente de (−1)k x6k+5 , da´ se k n˜o ´ da forma 6t + 5 vale ı a e k=0 f (0) ak = 0 e a6k+5 = D6k+5 = (−1)k que implica D6k+5 f (0) = (−1)k (6k + 5)! (6k + 5)! tomando k = 333 segue que D2003 f (0) = −(2003)! e D2001 f (0) pois 2001 n˜o ´ da forma a e 6k + 5. Quest˜o 3 a Propriedade 211. Seja f : I → R de classe C ∞ no intervalo I, Suponha que exista K > 0 tal que |f (n) (x)| ≤ K para todo x ∈ I e todo n ∈ N , ent˜o para x0 , x ∈ I a quaisquer vale f (x) = ∞ ∑ f (k) (x0 )(x − x0 )k k=0 k! . Demonstra¸˜o. Pela fun¸ao ser C ∞ podemos escrever o polinˆmio de taylor de ca c˜ o ordem n f (x) = com rn (h) = tomando o valor absoluto |rn (h)| = K|(x − x0 )n+1 | |f (n+1) (ψ)||(x − x0 )n+1 | ≤ (n + 1)! (n + 1)! n−1 ∑ f (k) (x0 )(x − x0 )k k=0 k! + rn (h) f (n+1) (ψ)(x − x0 )n+1 (n + 1)! com x, x0 , K ﬁxos, podemos aplicar o teorema do sandu´ ıche , sendo que os limites tendem a zero, conclu´ ımos da´ que lim rn (h) = 0 logo a s´rie de taylor converge para a fun¸˜o ı e ca f (x) = ∞ ∑ f (k) (x0 )(x − x0 )k k=0 k! . ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 122 Quest˜o 4 a Propriedade 212. Se f ′′ (x) ≥ 0 ent˜o f ´ convexa . a e Demonstra¸˜o. Pela f´rmula de Taylor com resto de lagrange vale a identidade ca o f (x) = f (a) + f ′ (a)(x − a) + com algum c entre a e x arbitr´rios, da´ a ı f (x) − f (a) − f ′ (a)(x − a) = portanto f (x) ≥ f (a) + f ′ (a)(x − a) desigualdade que implica f ser convexa4 . Quest˜o 5 a Propriedade 213. Seja f : I → R C 2 em I. Dado a ∈ I deﬁnimos g : I → R como f (x) − f (a) g(x) = se x ̸= a e g(a) = f ′ (a). x−a X Nessas condi¸˜es g ´ de classe C 1 . co e X Se f ∈ C 3 ⇒ g ∈ C 2 . f ′′ (c)(x − a)2 2 f ′′ (c)(x − a)2 ≥0 2 Demonstra¸˜o. Pela f´rmula de Taylor podemos escrever ca o f (x) = f (a) + f ′ (a)(x − a) + f ′′ (a) onde vale lim (x − a)2 + R(x) 2 R′ (x) R(x) = 0 e vale tamb´m lim e = 0 pois derivando a identidade x→a (x − a) x→a (x − a)2 acima tem-se f ′ (x) = f ′ (a) + f ′′ (a)(x − a) + R′ (x) agrupando convenientemente e dividindo por x − a R′ (x) f ′ (x) − f ′ (a) ′′ − f (a) = x−a x−a 4 Propriedade equivalente a deﬁni¸˜o de fun¸˜o convexa. ca ca ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 123 como f ´ C 2 podemos aplicar o limite lim resultando em e x→a f ′′ (a) − f ′′ (a) = lim Tem-se ent˜o que a g(x) = derivando temos que g ′ (x) = tomando o limite lim segue x→a R′ (x) = 0. x→a x − a f (x) − f (a) x−a R(x) = f ′ (a) + f ′′ (a) + x−a 2 x−a f ′′ (a) R′ (x) R(x) + − 2 x − a (x − a)2 x→a lim g ′ (x) = lim f ′′ (a) R′ (x) R(x) f ′′ (a) + − = x→a 2 x − a (x − a)2 2 →0 →0 portanto g ′ (a) existe e vale lim g ′ (x) = g ′ (a), portanto g ´ C 1 . e x→a Para o segundo caso procedemos de maneira similar Pela f´rmula de Taylor o f (x) = f (a) + f ′ (a)(x − a) + f ′′ (a) onde vale lim (x − a)2 (x − a)3 + f ′′′ (a) + R(x) 2 3! R(x) R′ (x) R′′ (x) = 0 e vale tamb´m lim e = 0 e lim = 0 pois x→a (x − a)3 x→a (x − a) x→a (x − a) derivando a identidade acima tem-se f ′ (x) = f ′ (a) + f ′′ (a)(x − a) + f ′′′ (a) (x − a)2 + R′ (x) 2! agrupando convenientemente e dividindo por x − a f ′ (x) − f ′ (a) R′ (x) (x − a) − f ′′ (a) = + f ′′′ (a) x−a x−a 2! como f ´ C 3 podemos aplicar o limite lim resultando em e x→a f ′′ (a) − f ′′ (a) = lim R′ (x) = 0. x→a x − a (x − a)2 + R′ (x) segue 2! Derivando a identidade f ′ (x) = f ′ (a) + f ′′ (a)(x − a) + f ′′′ (a) f ′′ (x) = f ′′ (a) + f ′′′ (a)(x − a) + R′′ (x) ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 124 agrupando e dividindo por x − a f ′′ (x) − f ′′ (a) R′′ (x) ′′′ − f (a) = x−a x−a aplicando o limite lim x→a f ′′ (x) − f ′′ (a) R′′ (x) − f ′′′ (a) = 0 = lim = 0. x→a x→a x − a x−a lim Tem-se ent˜o que a g(x) = derivando f (x) − f (a) x−a (x − a)2 R(x) = f ′ (a) + f ′′ (a) + f ′′′ (a) + x−a 2 3! x−a g ′ (x) = f ′′ (a) (x − a) R′ (x) R(x) + f ′′′ (a) + − 2 2! x − a (x − a)2 tomando o limite lim segue x→a x→a lim g ′ (x) = lim f ′′ (a) R(x) (x − a)2 R′ (x) f ′′ (a) + − + f ′′′ (a) = x→a 2 3! x − a (x − a)2 2 →0 →0 →0 portanto g ′ (a) existe e vale lim g ′ (x) = g ′ (a), portanto g ´ C 1 . Agora provamos que g ´ e e x→a C 2 , derivamos a rela¸ao g ′ (x) = c˜ g ′′ (x) = f ′′′ (a) (x − a) R′ (x) R(x) f ′′ (a) + f ′′′ (a) + − 2 2! x − a (x − a)2 1 R′′ (x) R′ (x) R′ (x) R(x) + − − +2 2! x−a (x − a)2 (x − a)2 (x − a)3 aplicando o limite lim tem-se x→a 1 2! ′′ ′ R (x) R (x) R(x) pois → 0, → 0 por L’Hospital e → 0. Portanto lim g ′′ (x) = g ′′ (a) 2 x→a x−a (x − a) (x − a)3 e g ´ C 2. e x→a lim g ′′ (x) = f ′′′ (a) Quest˜o 6 a Propriedade 214. Se P : R → R ´ um polinˆmio de grau n ent˜o para a, x ∈ R tem-se e o a P (x) = n ∑ P (k) (a) k=0 k! (x − a)k . ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 125 Demonstra¸˜o. Usamos a f´rmula de Taylor inﬁnitesimal ca o P (a + h) = com x = a + h, h = x − a logo P (x) = n ∑ P (k) (a)(x − a)k k=0 n ∑ P (k) (a)(x − a)k k=0 n ∑ P (k) (a)hk k=0 k! + r(h) k! + r(x − a) como P ´ polinˆmio e e o k! tamb´m ´, segue que r(h) tamb´m ´ polinˆmio e e e e o r(h) = 0 ent˜o vale a hn (t) que r (0) = 0 para todo t de 0 at´ n, se r(h) n˜o fosse nulo, sendo de grau s ≤ n ent˜o e a a e tem grau at´ n, por ser diferen¸a de polinˆmios. Como vale lim e c o r(s) (0) ̸= 0 o que n˜o acontece, ent˜o r(h) = 0 e da´ a a ı P (x) = n ∑ P (k) (a)(x − a)k k=0 k! . Quest˜o 7 a Propriedade 215. Sejam f, g : I → R ambas duas vezes deriv´veis em a. Se f (a) = a g(a), f ′ (a) = g ′ (a) e f (x) ≥ g(x) ∀c ∈ I ent˜o f ′′ (a) ≥ g ′′ (a). a Demonstra¸˜o. Pela f´rmula de Taylor inﬁnitesimal temos ca o f (x) = f (a) + f ′ (a)(x − a) + f ′′ (a) g(x) = g(a) + g ′ (a)(x − a) + g ′′ (a) (x − a)2 + R1 (h) 2 (x − a)2 + R2 (h) 2 usando que f (x) ≥ g(x) e anulando os termos semelhantes temos f ′′ (a) (x − a)2 (x − a)2 + R1 (h) ≥ g ′′ (a) + R2 (h) ⇒ 2 2 f ′′ (a) − g ′′ (a) r1 (h) − r2 (h) + ]≥0 2 (x − a)2 (x − a)2 [ se fosse g ′′ (a) > f ′′ (a) ent˜o o termo entre colchetes teria o sinal de negativo pois a r1 (h) − r2 (h) → 0, com h pequeno, o que n˜o pode acontecer, logo f ′′ (a) ≥ g ′′ (a). a ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 126 1.10.2 Fun¸oes cˆncavas e convexas c˜ o Quest˜o 1 a Propriedade 216. Sejam f : I → R e g : J → R convexas com f (I) ⊂ J e g n˜oa decrescente. Nessas condi¸oes g ◦ f : I → R ´ convexa. c˜ e Demonstra¸˜o. Sejam t1 , t2 tais que t1 + t2 = 1 como f e g s˜o convexas ent˜o vale ca a a f (t1 .a1 + t2 .a2 ) ≤ t1 f (a1 ) + t2 f (a2 ) e g(t1 .y1 + t2 .y2 ) ≤ t1 g(y1 ) + t2 g(y2 ) a1 , a2 ∈ I e y1 , y2 ∈ J. Pelo fato de g ser n˜o-decrescente ela preserva a desigualdade, ent˜o a a g(f (t1 .a1 + t2 .a2 )) ≤ g(t1 f (a1 ) +t2 f (a2 )) = g(t1 .y1 + t2 .y2 ) ≤ t1 g(y1 ) + t2 g(y2 ) y1 y2 logo g(f (t1 .a1 + t2 .a2 )) ≤ t1 g(f (a1 )) + t2 g(f (a2 )) logo g ◦ f ´ convexa. e Demonstra¸˜o.[2] Supondo f e g duas vezes deriv´veis vale g ′′ (x) ≥ 0, f ′′ (x) ≥ 0 e ca a g ′ (y) ≥ 0 as duas primeiras por serem fun¸oes convexas e a ultima desigualdade por g ser c˜ ´ n˜o-decrescente, ent˜o a a (g ◦ f )(x)′ = f ′ (x)g ′ (f (x)). (g ◦ f )(x)′′ = f ′′ (x) g ′ (f (x)) + (f ′ (x))2 g ′′ (f (x)) ≥ 0 ≥0 ≥0 ≥0 ≥0 portanto g ◦ f ´ convexa. e Exemplo 61. Se g n˜o ´ mon´tona n˜o-decrescente, ent˜o g ◦ f pode n˜o ser convexa, a e o a a a como por exemplo, tomando g(x) = −x que ´ convexa, f (x) = x2 da´ g(f (x)) = −x2 que e ı n˜o ´ convexa. a e ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 127 Quest˜o 2 a Propriedade 217. Se f : I → R possui ponto cr´ ıtico n˜o degenerado c ∈ int(I) e f ′′ ´ a e cont´ ınua, ent˜o existe δ > 0 tal que f ´ convexa ou cˆncava em (c − δ, c + δ). a e o Demonstra¸˜o. Se o ponto cr´ ca ıtico c ´ n˜o degenerado ent˜o f ′′ (c) > 0 ou f ′′ (c) < 0 e a a pela continuidade de f ′′ existe δ > 0 tal que x ∈ (c − δ, c + δ) implica f ′′ (x) > 0 ou f ′′ (x) < 0, portanto f ´ convexa ou cˆncava em tal intervalo, respectivamente. e o Quest˜o 3 a Propriedade 218. A soma de fun¸˜es convexas ´ uma fun¸ao convexa . co e c˜ Demonstra¸˜o. Temos que mostrar que ca (f + g)(t1 a1 + t2 a2 ) ≤ t1 (f + g)(a1 ) + t2 (f + g)(a2 ) onde t1 + t2 = 1. f (t1 a1 +t2 a2 )+g(t1 a1 +t2 a2 ) ≤ t1 f (a1 )+t2 f (a2 )+t1 g(a1 )+t2 g(a2 ) = t1 (f +g)(a1 )+t2 (f +g)(a2 ) Exemplo 62. O produto de fun¸oes convexas pode n˜o resultar numa fun¸ao convexa. c˜ a c˜ Por exemplo f (x) = x2 − 1 e g(x) = x2 de R em R s˜o convexas, por´m seu produto a e p(x) = x4 − x2 n˜o ´ convexa, pois p′ (x) = 4x3 − 2x, p′′ (x) = 12x2 − 2, em x = 0 o a e resultado ´ negativo, se ela fosse convexa deveria resultar um valor n˜o negativo. e a Quest˜o 4 a Propriedade 219. Toda fun¸˜o convexa ´ quase-convexa e toda fun¸˜o cˆncava ´ quase ca e ca o e cˆncava. o Demonstra¸˜o. Sejam f convexa e A = {x ∈ I | f (x) ≤ c} dados x, y ∈ A e ca z ∈ [x, y] tem-se z = t1 x + t2 y com t1 + t2 = 1 ent˜o a f (z) = f (t1 x + t2 y) ≤ t1 f (x) + t2 f (y) ≤ (t1 + t2 )c = c portanto f (z) ≤ c e A ´ um intervalo, isso prova que f ´ quase-convexa. e e . ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 128 Sejam f cˆncava e B = {x ∈ I | f (x) ≥ c} dados x, y ∈ B e z ∈ [x, y] tem-se o z = t1 x + t2 y com t1 + t2 = 1 ent˜o a f (z) = f (t1 x + t2 y) ≥ t1 f (x) + t2 f (y) ≥ (t1 + t2 )c = c portanto f (z) ≥ c e B ´ um intervalo, isso prova que f ´ quase-cˆncava. e e o Propriedade 220. Toda fun¸ao mon´tona ´ ao mesmo tempo quase-convexa e quase c˜ o e cˆncava. o Demonstra¸˜o. Sejam f mon´tona n˜o-decrescente e A = {x ∈ I | f (x) ≤ c} dado ca o a x, y ∈ A e z ∈ [x, y] vale f (z) ≤ f (y) ≤ c portanto z ∈ A. A ´ intervalo portanto f ´ e e quase-convexa. Da mesma forma, seja B = {x ∈ I | f (x) ≥ c} dados x, y ∈ B e z ∈ [x, y] , c ≤ f (x) ≤ f (z) portanto c ≤ f (z) e B ´ um intervalo, portanto f ´ quase-cˆncava. e e o Sejam f mon´tona n˜o-crescente e A = {x ∈ I | f (x) ≤ c} dado x, y ∈ A e z ∈ [x, y] o a vale f (z) ≤ f (x) ≤ c portanto z ∈ A. A ´ intervalo portanto f ´ quase-convexa. e e Da mesma forma, seja B = {x ∈ I | f (x) ≥ c} dados x, y ∈ B e z ∈ [x, y] , c ≤ f (y) ≤ f (z) portanto c ≤ f (z) e B ´ um intervalo, portanto f ´ quase-cˆncava. e e o Quest˜o 5 a Propriedade 221. f : I → R ´ quase-convexa ⇔ x, y ∈ I e t ∈ [0, 1] vale e f (t1 x + t2 y) ≤ max{f (x), f (y)} onde t1 = 1 − t, t2 = t. Demonstra¸˜o. ⇒ .) Suponha f quase-convexa, ent˜o deﬁnimos c = max{f (x), f (y)} ca a como A = {x ∈ I | f (x) ≤ c} ´ um intervalo, ent˜o para qualquer z entre x e y tem-se e a f (z) ≤ c, por´m, todo z dessa forma pode ser escrito como z = t1 x + t2 y da´ e ı f (t1 x + t2 y) ≤ max{f (x), f (y)}. ⇐ .) Sejam x, y ∈ A = {x ∈ I | f (x) ≤ c} ent˜o A ´ intervalo pois dado z entre x e y a e tem-se z = t1 x + t2 y e vale f (t1 x + t2 y) ≤ max{f (x), f (y)} ≤ c portanto A ´ um intervalo. e ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 129 Propriedade 222. f : I → R ´ quase-cˆncava ⇔ x, y ∈ I e t ∈ [0, 1] vale e o f (t1 x + t2 y) ≥ max{f (x), f (y)} onde t1 = 1 − t, t2 = t. Demonstra¸˜o. ⇒ .) Suponha f quase-cˆncava , ent˜o deﬁnimos c = max{f (x), f (y)} ca o a como B = {x ∈ I | f (x) ≥ c} ´ um intervalo, ent˜o para qualquer z entre x e y tem-se e a f (z) ≥ c, por´m, todo z dessa forma pode ser escrito como z = t1 x + t2 y da´ e ı f (t1 x + t2 y) ≥ max{f (x), f (y)}. ⇐ .) Sejam x, y ∈ B = {x ∈ I | f (x) ≥ c} ent˜o A ´ intervalo pois dado z entre x e y a e tem-se z = t1 x + t2 y e vale f (t1 x + t2 y) ≥ max{f (x), f (y)} ≥ c portanto B ´ um intervalo. e Quest˜o 6 a Propriedade 223. Seja f : [a, b] → R cont´ ınua, quase-convexa, cujo valor m´ ınimo ´ e atingido em c ∈ [a, b]. X Se c = a ent˜o f ´ n˜o-decrescente. a e a X Se c = b ent˜o f ´ n˜o-crescente. a e a Demonstra¸˜o. ca X M´ ınimo em a. Dados x < y em [a, b] temos x ∈ [a, y] da´ ı f (x) ≤ max{f (a), f (y)} = f (y) logo f ´ n˜o-decrescente. e a X M´ ınimo em b. Dados y < x em [a, b] temos x ∈ [y, b] da´ ı f (x) ≤ max{f (b), f (y)} = f (y) logo f ´ n˜o-crescente. e a ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 130 Corol´rio 32. Se f ´ quase-convexa e atinge m´ a e ınimo em c ∈ (a, b) ent˜o f ´ n˜o-crescente a e a em [a, c] e n˜o-decrescente em [c, b], basta considerar as restri¸oes a esses conjuntos e a c˜ aplicar a propriedade anterior. Propriedade 224. Seja f : [a, b] → R cont´ ınua, quase-cˆncava, cujo valor m´ o ınimo ´ e atingido em c ∈ [a, b]. X Se c = a ent˜o f ´ n˜o-crescente. a e a X Se c = b ent˜o f ´ n˜o-decrescente. a e a Demonstra¸˜o. ca X M´ ınimo em a. Dados x < y em [a, b] temos x ∈ [a, y] da´ ı f (x) ≥ max{f (a), f (y)} = f (y) logo f ´ n˜o-crescente. e a X M´ ınimo em b. Dados y < x em [a, b] temos x ∈ [y, b] da´ ı f (x) ≥ max{f (b), f (y)} = f (y) logo f ´ n˜o-decrescente. e a Corol´rio 33. Se f ´ quase-cˆncava e atinge m´ a e o ınimo em c ∈ (a, b) ent˜o f ´ n˜oa e a decrescente em [a, c] e n˜o-crescente em [c, b], basta considerar as restri¸oes a esses cona c˜ juntos e aplicar a propriedade anterior. Propriedade 225. Seja f : [a, b] → R cont´ ınua. f ´ quase-convexa ⇔ existe c ∈ [a, b] e tal que f ´ n˜o-crescente em [a, c] e n˜o decrescente em [c, b]. e a a Demonstra¸˜o. f ´ cont´ ca e ınua num conjunto compacto [a, b] ent˜o f assume m´ximo a a e m´ ınimo, digamos m´ ınimo em c ∈ [a, b]. ⇒). f ´ quase-convexa da´ f ´ n˜o-crescente em [a, c] e n˜o decrescente em [c, b] por e ı e a a resultado j´ demonstrado. a ⇐ .) Seja A = {x ∈ [a, b] |f (x) ≤ l}, vamos mostrar que tal conjunto ´ um intervalo, e dados x, y ∈ A se x < z < y ∈ [a, c] nesse intervalo a fun¸˜o ´ n˜o-crescente, logo ca e a ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 131 f (y) ≤ f (z) ≤ f (x) ≤ l. Se x < z < y ∈ [c, b], nesse intervalo a fun¸˜o ´ n˜o-decrescente ca e a portanto f (x) ≤ f (z) ≤ f (y) ≤ l No ultimo caso x ∈ [a, c] e y ∈ [c, b], f (c) ´ m´ ´ e ınimo ent˜o f (c) ≤ f (x) ≤ l e f (c) ≤ f (y) ≤ l a pois c ´ ponto de m´ e ınimo, se z = c a propriedade vale, se z ̸= c ent˜o z pertence a um a dos intervalos (c, b) ou (a, c) da´ a propriedade reca´ nos casos j´ demonstrados. ı ı a Quest˜o 7 a Propriedade 226. Para cada n ∈ N seja fn : I → R uma fun¸˜o convexa tal que ∀ x ∈ I ca (fn (x)) seja convergente, ent˜o f : I → R deﬁnida como f (x) = lim fn (x) ´ convexa. O a e n→∞ mesmo vale para fun¸oes cˆncavas, quase-cˆncavas e quase-convexas. c˜ o o Demonstra¸˜o. ca 1. Caso de fun¸˜es convexas. Para cada n vale a desigualdade co fn (t1 x1 + t2 x2 ) ≤ t1 fn (x1 ) + t2 fn (x2 ) como o limite preserva a desigualdade, na passagem do limites temos f (t1 x1 + t2 x2 ) ≤ t1 f (x1 ) + t2 f (x2 ). logo f ´ convexa. e 2. Caso de fun¸oes cˆncavas. Usamos procedimento similar a das fun¸˜es convexas. c˜ o co Para cada n vale a desigualdade fn (t1 x1 + t2 x2 ) ≥ t1 fn (x1 ) + t2 fn (x2 ) como o limite preserva a desigualdade, na passagem do limites temos f (t1 x1 + t2 x2 ) ≥ t1 f (x1 ) + t2 f (x2 ) 3. Caso de fun¸˜es quase-convexas. Para cada n vale a desigualdade co fn (t1 x1 + t2 x2 ) ≤ max{fn (x1 ), fn (x2 )} = novamente a passagem do limite implica f (t1 x1 + t2 x2 ) ≤ f (x1 ) + f (x2 ) + |f (x1 ) − f (x2 )| = max{f (x1 ), f (x2 )}. 2 fn (x1 ) + fn (x2 ) + |fn (x1 ) − fn (x2 )| 2 ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 132 4. Finalmente para fun¸˜es quase-cˆncavas. Para cada n vale a desigualdade co o fn (t1 x1 + t2 x2 ) ≥ max{fn (x1 ), fn (x2 )} = novamente a passagem do limite implica f (t1 x1 + t2 x2 ) ≥ Quest˜o 8 a Propriedade 227. Seja f : [a, b] → R cont´ ınua e convexa tal que f (a) < 0 < f (b). Ent˜o a existe um unico c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0. ´ Demonstra¸˜o. Existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0 pelo fato de f ser cont´ ca ınua. Suponha a < c1 < c2 < b com f (c1 ) = f (c2 ) = 0. Tomamos o intervalo [a, c2 ] podemos escrever c1 = t1 a + t2 c2 e usando a propriedade de f ser convexa, segue que 0 = f (c1 ) ≤ t1 f (a) + t2 f (c2 ) = t1 f (a) da´ ter´ ı ıamos f (a) > 0 o que ´ absurdo, ent˜o existe um unico c com tal propriedade. e a ´ f (x1 ) + f (x2 ) + |f (x1 ) − f (x2 )| = max{f (x1 ), f (x2 )}. 2 fn (x1 ) + fn (x2 ) + |fn (x1 ) − fn (x2 )| 2 1.10.3 Aproxima¸˜es sucessivas e m´todo de Newton co e Quest˜o 1 a Propriedade 228. Sejam f : I → R, I = [a − δ, a + δ] tal que |f (y) − f (x)| ≤ c|y − x| com c ∈ [0, 1). Se |f (a) − a| ≤ (1 − c)δ ent˜o existe um unico x ∈ I com f (x) = x. a ´ Demonstra¸˜o. ca f ´ contra¸ao , I ´ fechado, para que possamos usar o teorema do ponto ﬁxo de e c˜ e contra¸˜es basta mostrar que f (I) ⊂ I, isto ´, x ∈ I implica f (x) ∈ I. co e Se x ∈ I = [a − δ, a + δ] ent˜o |x − a| ≤ δ, o que implica por desigualdade triangular a |f (x) − a| ≤ |f (x) − f (a)| + |f (a) − a| ≤ c|x − a| + (1 − c)δ ≤ cδ + (1 − c)δ = δ portanto f (x) pertence ao intervalo [a − δ, a + δ] = I e podemos usar o teorema do ponto ﬁxo das contra¸oes, da´ f possui um unico ponto ﬁxo. c˜ ı ´ ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 133 Quest˜o 2 a Exemplo 63. Seja f : [0, ∞) → [0, ∞) com f (x) = 2 2 . f ´ uma contra¸ao. e c˜ −x x − ln(2)2 2 e vale |f ′ (x)| ≤ 1, 20 = 1, 2 2 ´ crescente, Derivando a fun¸ao temos f ′ (x) = c˜ e 2 portanto x ln(2) ln(2) < 2 2 ⇒ |f ′ (x)| = x < 1 2 2.2 2 portanto f ´ contra¸˜o deﬁnida num conjunto fechado e com contradom´ e ca ınio igual ao dom´ ınio, portanto podemos aplicar o teorema do ponto ﬁxo, que nos garante que tal fun¸˜o possui apenas um ponto ﬁxo a, valendo ca 2 −a 2 −x = a ⇒ 2−a = a2 −a ´ raiz negativa da equa¸˜o 2x = x2 . Agora utilizamos o m´todo das aproxima¸oes e ca e c˜ sucessivas para obter o valor de a com 8 algarismos decimais exatos, tomamos x0 = 0 x1 = 2− 2 = 1 0 x2 = 2− 2 ≈ 0, 70710678 1 x3 = 2− 2 ≈ 0, 78265402 x4 = 2− 2 ≈ 0, 76247990 x5 = 2− 2 ≈ 0, 76779123 x6 = 2− 2 ≈ 0, 76636542 x7 = 2− 2 ≈ 0, 76674421 x8 = 2− 2 ≈ 0, 76664356 x9 = 2− 2 ≈ 0, 76667031 x10 = 2− 2 ≈ 0, 76666320 x11 = 2− x12 = 2− x10 2 x9 x8 x7 x6 x5 x4 x3 x2 ≈ 0, 76666509 ≈ 0, 76666459 x11 2 ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 134 x13 = 2− x14 = 2− x12 2 ≈ 0, 76666472 ≈ 0, 76666469 x13 2 o valor com 8 algarismos decimais exatos ´ 0, 76666469, observe que precisamos de bastante e itera¸˜es para chegar nesse valor, apesar de termos tomado uma condi¸ao inicial pr´xima. co c˜ o As contas foram feitas no site wolfram alpha (http://www.wolframalpha.com). Quest˜o 3 a Propriedade 229. Seja I = [a − δ, a + δ]. Se f : I → R ´ C 2 com e f ′ (x) ̸= 0, | e | f (x)f ′′ (x) |≤c<1∀x∈I [f ′ (x)]2 f (a) | ≤ (1 − c)δ ent˜o independente do valor inicial x0 ∈ I o m´todo de Newton a e f ′ (a) converge para a unica raiz x ∈ I de f (x) = 0. ´ Demonstra¸˜o. Primeiro vamos mostrar que N : I → R com N (x) = x − ca contra¸˜o. Derivando temos N ′ (x) = ca f (x)f ′′ (x) logo pelo T V M temos que [f ′ (x)]2 f (x) ´ e f ′ (x) |N (y) − N (x)| ≤ c|y − x| ≤ cδ Portanto N ´ contra¸ao, I ´ fechado , falta mostrar que N (I) ⊂ I. Temos tamb´m que e c˜ e e f (a) f (a) N (a) − a = ′ portanto |N (a) − a| = | ′ | ≤ (1 − c)δ que iremos usar na pr´xima o f (a) f (a) desigualdade. Dado x ∈ I, por desigualdade triangular temos |N (x) − a| ≤ |N (x) − N (a)| + |N (a) − a| ≤ cδ + (1 − c)δ = δ portanto N (x) ∈ I, assim N satisfaz todas condi¸oes necess´rias para aplica¸˜o do teoc˜ a ca rema do ponto ﬁxo, portanto o m´todo de Newton converge para a unica raiz de f , pois e ´ se houvesse mais uma N teria mais de um ponto ﬁxo. Quest˜o 4 a Propriedade 230. Seja f : [0, ∞) → R com f (x) = 1 , a > 1. a+x Dado x0 > 0 ﬁxo, a sequˆncia deﬁnida como x1 = f (x0 ), xn+1 = f (xn ) converge para e a ra´ positiva da equa¸ao x2 + ax − 1 = 0. ız c˜ ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 135 Demonstra¸˜o. Usaremos o m´todo de Newton. Vale f ′ (x) = ca e −1 , (a + x)2 1 < a ⇒ a < a2 ⇒ a < a2 + 2ax + x2 = (a + x)2 ⇒ ≥0 ≥0 |f ′ (x)| = 1 1 ≤ < 1. 2 (a + x) a Portanto f ´ contra¸˜o. Vale tamb´m que [0, ∞) ´ fechado e f (x) ∈ [0, ∞). Da´ e ca e e ı 1 podemos aplicar o teorema do ponto ﬁxo. Existe um unico valor c tal que c = ´ ⇒ a+c 2 c + ac − 1 = 0. Tal valor n˜o pode ser negativo, pois a sequˆncia ´ de valores positivos. a e e Quest˜o 5 a Exemplo 64. Mostre que 1, 0754 ´ um valor aproximado com 4 algarismos exatos da ra´ e ız positiva da equa¸ao x6 + 6x − 8 = 0. c˜ Tomamos f (x) = x6 + 6x − 8, vale f ′ (x) = 6x5 + 6 que possui sua unica raiz real em ´ −1. Observamos que f (1) = −1 e f (2) > 0, logo existe ra´ em [1, 2] por continuidade de ız f , aplicamos o m´todo de Newton com x0 = 1. e xn+1 = xn − x6 + 6xn − 8 n 6x5 + 6 n x1 = 1, 083 x2 = 1, 07554 x3 = 1, 0754 no terceiro termo, j´ conseguimos uma aproxima¸ao com 4 d´ a c˜ ıgitos , o m´todo de Newton e converge ”r´pido”. a Quest˜o 6 a Propriedade 231. Seja f : [a, b] → R convexa, duas vezes deriv´vel. Se f (a) < 0 < f (b) a ent˜o para qualquer condi¸ao inicial x0 ∈ [a, b] com f (x0 ) > 0 o m´todo de Newton a c˜ e converge sempre para a unica raiz x ∈ [a, b] da equa¸˜o f (x) = 0. ´ ca ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 136 Demonstra¸˜o. Como f (a) < 0 < f (b) e f ´ cont´ ca e ınua ent˜o existe c ∈ (a, b) tal que a f (c) = 0, portanto f possui ra´ ız. Vamos mostrar que a sequˆncia (xn ) obtida com o m´todo de Newton e e xn+1 = xn − f (xn ) f ′ (xn ) converge para uma ra´ de f , sendo que a condi¸ao inicial f (x0 ) > 0. Como f ´ duas vezes ız c˜ e f (xn ) deriv´vel ent˜o f e f ′ s˜o cont´ a a a ınuas se xn → c ent˜o de xn+1 = xn − ′ a temos pela f (xn ) passagem do limite e usando a continuidade que f (c) f (c) c=c− ′ ⇒ ′ = 0 ⇒ f (c) = 0 f (c) f (c) portanto o limite da sequˆncia ´ a raiz. e e A fun¸˜o f ´ cont´ ca e ınua deﬁnida num compacto logo ela possui um m´ ınimo, esse m´ ınimo ´ unico e global pelo fato de f ser convexa, o m´ e´ ınimo ´ alcan¸ado em t ∈ [a, b], nesse ponto e c de m´ ınimo a fun¸ao deve assumir valor negativo pois vale f (a) < 0, no intervalo [a, t] a c˜ fun¸˜o ´ n˜o-crescente e no intervalo [t, b] a fun¸ao ´ n˜o-decrescente, portanto x0 ∈ [t, b], ca e a c˜ e a pois f (x0 ) > 0. Por f ser convexa e duas vezes deriv´vel vale que f ′′ (x) ≥ 0 portanto a f ′ (x) ´ n˜o-decrescente em [t, b] tem-se f ′ (x) > 0. e a Vamos provar por indu¸ao que f (xn ) ≥ 0 ∀n. Para n = 0 o resultado vale, agora c˜ −f (xn ) , pela fun¸ao c˜ f ′ (xn ) ser convexa tem-se que seu gr´ﬁco est´ sempre acima dos pontos da tangente f (x) ≥ a a Pela recorrˆncia do m´todo de Newton vale que xn+1 − xn = e e f (a) + f ′ (a)(x − a) ∀ x, a disso segue que tomando x = xn+1 e a = xn tem-se f (xn+1 ) ≥ f (xn ) + f ′ (xn )(xn+1 − xn ) = f (xn ) − f (xn ) = 0 portanto vale que f (xn ) ≥ 0∀ n por indu¸˜o . Como f (xn ) ≥ 0 segue que f ′ (xn ) ≥ 0 ca pois os pontos xn pertencem todos ao intervalo [c, b] onde a fun¸ao ´ n˜o-decrescente. c˜ e a −f (xn ) Como vale xn+1 − xn = ′ ≤ 0 ent˜o (xn ) ´ n˜o decrescente, como ela ´ limitada a e a e f (xn ) inferiormente, ent˜o ela converge, e converge para a raiz da fun¸˜o. Notamos que n˜o a ca a precisamos nos preocupar com f ′ (xn ) = 0 pois xn ∈ [c, b] o unico ponto em que a derivada ´ se anula ´ no m´ e ınimo global t, que est´ fora desse intervalo. a Quest˜o 7 a Exemplo 65 (C´lculo aproximado de a p .). Dados a > 0, p ∈ N consideramos o intervalo a I = [a p , ∞) a fun¸ao f : I → R com f (x) = xp − a. Vale f ′ (x) = pxp−1 a fun¸ao de c˜ c˜ 1 1 supondo f (xn ) ≥ 0 vamos provar que f (xn+1 ) ≥ 0. ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 137 Newton N : I → R satisfaz 1 a N (x) = ((p − 1)x + p−1 ). p x p N (x) ´ a m´dia aritm´tica dos p n´meros (x, · · · , x, e e e u aritm´tica e geom´trica (M.A ≥ M.G) tem-se e e N (x) ≥ (xp−1 p−1 a xp−1 ). Da desigualdade entre m´dia e )p = ap xp−1 a 1 1 da´ x ∈ I ⇒ N (x) ∈ I. Seja (xn ) com xn+1 = N (xn ) vale que ı 1 p−1 p xn > a p ⇒ xp−1 > a n onde usamos racionaliza¸ao, da´ c˜ ı ap > portanto vale a xp−1 n 1 = a ap 1 a xp−1 n 1 < a p < xn p a m´dia aritm´tica dos n´meros (xn , · · · , xn , e e u p−1 ) xp−1 n a deve estar entre xn e p−1 , xn a mas tal m´dia ´ N (xn ) = xn+1 , da´ segue que xn+1 < xn e a sequˆncia ´ decrescente. e e ı e e 1.11 1.11.1 Cap´ ıtulo 10-A integral de Riemann Integral de Riemann Quest˜o 1 a Exemplo 66. Seja f [0, 1] → R com f (0) = 0 , f (x) = ent˜o f ´ integr´vel . a e a ε 1 1 < a restri¸ao f1 de f ao intervalo [ t , 1] ´ uma c˜ e t 2 2 2 fun¸˜o escada, logo ´ integr´vel, portanto existe uma parti¸ao P1 de tal intervalo com ca e a c˜ Dado ε > 0 existe t ∈ N tal que ε S(f1 , P1 ) − s(f1 , p1 ) < . 2 1 1 1 se x ∈ ( n+1 , n ]n ∈ N ∪ {0}, 2n 2 2 ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 138 Seja a parti¸ao P = P1 ∪ {0} de [0, 1], tem-se c˜ S(f, P ) = n ∑ k=1 Mk ∆tk−1 = 1 1 1 + S(f1 , P1 ), M1 = sup f = t , ∆T0 = t (2t )2 2 2 x∈ [0, 1 ] t 2 1 x∈ [0, 2t ] s(f, P ) = s(f1 , p1 ), m1 = sup f = 0 logo S(f, P ) − s(f, p) = S(f1 , P1 ) − s(f1 , p1 ) + logo a fun¸ao ´ integr´vel . c˜ e a Para calcular o valor da integral, calculamos o limite da soma n n ∑ 1 1 ∑ 1 1 2 ( − k+1 ) = → . k 2k k 2 2 2.4 3 k=0 k=0 ε ε 1 < + =ε t )2 (2 2 2 Quest˜o 2 a Propriedade 232. Seja f : [−a, a] → R integr´vel. Se f ´ ´ a e ımpar ent˜o a ∫ a f (x)dx = 0. −a Se f ´ par ent˜o e a ∫ a ∫ f (x)dx = 2 0 a f (x)dx. −a Demonstra¸˜o.[1] Suponha f ´ ca ımpar ∫ a ∫ a ∫ f (x)dx = f (x)dx + −a 0 0 f (x)dx = −a por mudan¸a de vari´vel temos que c a ∫ a ∫ a ∫ = f (x)dx + f (−x)dx = 0 0 0 a ∫ f (x)dx + 0 a −f (x)dx = 0. Suponha f par ∫ a ∫ f (x)dx = 0 a ∫ f (x)dx + 0 f (x)dx = −a −a por mudan¸a de vari´vel temos que c a ∫ a ∫ a ∫ = f (x)dx + f (−x)dx = 0 0 0 a ∫ f (x)dx + 0 a ∫ f (x)dx = 2 0 a f (x)dx. ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ ∫ Demonstra¸˜o.[2] Suponha f ´ ca ımpar .Vamos provar que −a 139 ∫ 0 a f (x)dx = − 0 f (x)dx. Seja P uma parti¸ao de [0, a] com pontos t0 , t1 , · · · , tn ent˜o temos c˜ a t0 = 0, t1 , · · · , tn = a correspondendo a uma parti¸ao P ′ com pontos t′0 , t′1 , · · · , t′n de [−a, 0] da seguinte c˜ maneira t′n = −t0 = 0, t′n−1 = −t1 , · · · , t′0 = −tn = −a como temos cada 0 ≤ tk ≤ a ent˜o −a ≤ −tk ≤ 0 . Vale ainda que f (−x) = −f (x). a Dado um k-´simo intervalo de P , [tk−1 , tk ] temos uma correspondˆncia com um intervalo e e de P ′ , [−tk , −tk−1 ] = [t′n−k , t′n−k+1 ], na parti¸ao P , temos o supremo no intervalo Mk e o ´ c˜ ınﬁmo mk , por propriedade de supremo e ´ ınﬁmo temos os correspondentes no intervalo de P ′ ′ sup −f (x) = − inf f (x) = −mk = Mn−k inf −f (x) = − sup f (x) = −Mk = m′n−k com isso calculamos a soma inferior e superior relativa a parti¸ao P ′ c˜ S(f, P ) = ′ n ∑ k=1 ′ Mk ∆t′k−1 = n ∑ k=1 ′ Mn+1−k (t′n+1−k − t′n−k ) = = de maneira similar s(f, P ) = ′ n ∑ k=1 −mn+1−k (−tk−1 + tk ) = −s(f, p), n ∑ k=1 m′k ∆t′k−1 = n ∑ k=1 m′n+1−k (t′n+1−k − t′n−k ) = = da´ ı n ∑ k=1 −Mn+1−k (−tk−1 + tk ) = −S(f, p), ∫ a inf S(f, P ) = inf (−s(f, P )) = − sup s(f, P ) = − P P P ′ f (x)dx ∫ 0 a sup s(f, P ) = sup(−S(f, P )) = − inf S(f, P ) = − P P P 0 ′ f (x)dx ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ ∫ logo vale ∫ f (x)dx = − 0 140 0 a f (x)dx. ∫ 0 ∫ Para f par vamos mostrar que f (x)dx = −a −a 0 a f (x)dx. Tomamos a mesma parti¸˜o ca associada P ′ , por´m agora o ´ e ınﬁmo e supremo s˜o diferentes do caso anterior, pois f (−x) = a ′ f (x), logo vale Mk = Mn−k e mk = m′n−k , dai as somas ﬁcam como n ∑ k=1 n ∑ k=1 S(f, P ′ ) = ′ Mk ∆t′k−1 = ′ Mn+1−k (t′n+1−k − t′n−k ) = = e s(f, P ) = ′ n ∑ k=1 Mn+1−k (−tk−1 + t′k ) = S(f, p), n ∑ k=1 n ∑ k=1 m′k ∆t′k−1 = m′n+1−k (t′n+1−k − t′n−k ) = = ∫ portanto −a 0 n ∑ k=1 a mn+1−k (−tk−1 + tk ) = s(f, p), ∫ f (x)dx = 0 f (x)dx. Quest˜o 3 a Exemplo 67. Seja f : [a, b] → R com f (x) = 0 se x ´ irracional , f (x) = e 1 p se x = q q irredut´ ıvel com q > 0 , f (0) = 1 caso 0 ∈ [a, b]. Nessas condi¸˜es f ´ cont´ co e ınua nos irracionais, descont´ ınua nos racionais e integr´vel com a ∫ a b f (x)dx = 0. p p 1 f ´ descont´ e ınua nos racionais. Tome um racional , vale f ( ) = ̸= 0. Existe uma q q q p sequˆncia de irracionais xn → , vale e q f (xn ) = 0 ⇒ lim f (xn ) = 0 ̸= logo f ´ descont´ e ınua nos racionais . Seja (xn ) sequˆncia de n´mero reais tal que lim xn = a irracional, vamos mostrar que e u lim f (xn ) = f (a) = 0. 1 q ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 141 xn ∈ (a−δ, a+δ), se xn ´ irracional vale f (xn ) = 0, se xn ´ racional ele ´ da forma xn = e e e p 1 . O conjunto dos q tais que ε ≤ ´ ﬁnito ent˜o podemos tomar o intervalo (a − δ, a + δ) e a q q contendo nenhum ponto x racional tal que f (x) ≥ ε, portanto vale 0 ≥ f (xn ) < ε, da´ ı lim f (xn ) = 0, f ´ cont´ e ınua nos irracionais. Vale que s(f, P ) = 0 para qualquer parti¸˜o P , pois todo intervalo n˜o-degenerado ca a cont´m n´meros irracionais, logo o ´ e u ınﬁmo em qualquer desses intervalos mk = 0, da´ ı ∫ b f (x)dx = 0. a Agora iremos mostrar que a integral superior ´ nula . Dado ε > 0 arbitr´rio, seja e a ε F = {x1 , · · · , xt } o conjunto dos pontos de [a, b] para os quais tem-se ≤ f (xk ). 2(b − a) Com centro em cada xk tomamos t intervalos dois a dois disjuntos com comprimento ε onde M = sup f , da´ completamos uma parti¸˜o P com s intervalos ı ca menor que M 2t x∈ [a,b] ε onde Mk ≤ , pois os pontos que assumem valores maiores que esse est˜o em a 2(b − a) outros intervalos, ent˜o dividimos a soma da parti¸ao em duas como se segue a c˜ S(f, P ) = t ∑ k=1 Mk ∆tk−1 + ε ≤ M 2t s ∑ Mk ∆yk−1 k=1 ≤ ε 2(b−a) t s ∑ ε ∑ ε ≤ Mk + ∆yk−1 ≤ 2tM k=1 2(b − a) k=1 ≤tM ≤ ε ε ε ε + (ys − y1 ) ≤ + = ε. 2 2(b − a) 2 2 Portanto a integral superior tamb´m ´ nula e a integral existe e vale zero . e e Quest˜o 4 a Propriedade 233. Seja f : [a, b] → R integr´vel com f (x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b]. Se f ´ a e cont´ ınua em c ∈ [a, b] com f (c) > 0 ent˜o a ∫ b f (x)dx > 0. a Demonstra¸˜o.[1] Existe δ > 0 tal que x ∈ [c−δ, c+δ] ⇒ f (x) > 0, pela continuidade ca de f , portanto ∫ a b ∫ f (x)dx = a c−δ ∫ f (x)dx + c+δ ∫ f (x)dx + b f (x)dx > 0 c+δ ≥0 c−δ ≥0 >0 ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 142 f (c) , existe δ > 0 tal que f (x) > m para todo x ∈ 2 [c − δ, c + δ] por continuidade no ponto c, tomamos parti¸oes que contenham os pontos c˜ Demonstra¸˜o.[2] Seja m = ca c − δ e c + δ, logo existe s tal que ts−1 = c − δ, ts = c + δ, ms = inf f ≥m>0 f ∈[c−δ,c+δ] pois o ´ ınﬁmo ´ a maior das cotas inferiores, logo e s−1 ∑ k=1 n ∑ s(f, P ) = mk ∆tk−1 + ms ∆ts−1 + ≥0 >0 ≥m ≥2δ mk ∆tk−1 ≥ m(c + δ − c + δ) = 2mδ, >0 k=s+1 ≥0 como f ´ integr´vel temos e a ∫ b f (x)dx = sup s(f, p) ≥ s(f, p) ≥ 2mδ > 0 a p logo a integral ´ positiva. e Quest˜o 5 a Exemplo 68. Sejam f, g : [a, b] → R, g integr´vel e f com f (x) = g(x) se x ´ racional , a e f (x) = g(x) + 1 para x irracional . Calcule a integral inferior e superior de f em fun¸˜o ca de g . Vale que Mkf = Mkg + 1 e mkf = mkg , da´ para uma parti¸˜o qualquer P tem-se ı ca S(f, P ) = n ∑ k=1 Mkf ∆tk−1 = n ∑ k=1 Mkg ∆tk−1 + n ∑ k=1 ∆tk−1 = S(g, P ) + b − a s(f, P ) = s(g, P ) Disso segue ∫ ∫ ∫ f (x)dx = a b b b g(x)dx a ∫ b f (x)dx = a a g(x)dx + b − a. ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 143 1.11.2 Propriedades da integral Quest˜o 1 a Propriedade 234. Seja f : [a, b] → R integr´vel. Prove que g : [a, b] → R com g(x) = a ∫ x f (t)dt ´ lipschitziana. e a Demonstra¸˜o. Como f ´ integr´vel, ent˜o f ´ limitada , existindo M tal que ca e a a e |f (x)| ≤ M ∀ x. Da´ temos que ı ∫ y ∫ x ∫ |g(y)−g(x)| = | f (t)dt− f (t)dt| = | a x ∫ f (t)dt+ x y ∫ f (t)dt− a x ∫ f (t)dt| = | x y f (t)dt| ≤ ∫ ≤ x a y ∫ |f (t)|dt ≤ a y M dt ≤ M |y − x| x portanto f ´ lipschitziana e uniformemente cont´ e ınua . Em especial se M < 1 g ´ uma e contra¸˜o . ca Quest˜o 2 a Propriedade 235. Se f, g : [a, b] → R s˜o integr´veis ent˜o tamb´m s˜o integr´veis as a a a e a a fun¸˜es co X h : [a, b] → R com h(x) = max{f (x), g(x)}. X T : [a, b] → R com T (x) = min{f (x), g(x)}. X f+ : [a, b] → R com f+ (x) = 0 se f (x) ≤ 0, f+ (x) = f (x) se f (x) > 0. X f− : [a, b] → R com f− (x) = 0 se f (x) ≥ 0, f+ (x) = −f (x) se f (x) < 0. Demonstra¸˜o. ca X Vale que max{f (x), g(x)} = f (x) + g(x) + |f (x) − g(x)| , da´ max{f (x), g(x)} ´ ı e 2 integr´vel pois o valor absoluto ´ integr´vel. a e a f (x) + g(x) − |f (x) − g(x)| , 2 X Da mesma maneira que o item anterior min(f (x), g(x)) = logo o m´ ınimo ´ integr´vel. e a X Vale que f+ (x) = max{f (x), 0}, pois se f (x) > 0 f+ (x) = f (x) se f (x) ≤ 0 ent˜o a f+ (x) = 0, portanto pelo primeiro item segue que f+ ´ integr´vel . e a ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 144 X Vale que f− (x) = min{−f (x), 0}, pois se −f (x) > 0 ⇒ f (x) < 0 e f− (x) = −f (x) se −f (x) ≤ 0 ⇒ f (x) ≥ 0 ent˜o f− (x) = 0, portanto pelo segundo item segue que a f+ ´ integr´vel . e a Quest˜o 3 a Deﬁni¸˜o 13 (Produto interno em R). Seja V um espa¸o vetorial real, um produto ca c interno sobre V ´ uma fun¸ao que associa a cada par de vetores v, w de V um n´mero e c˜ u real < v, w >, satisfazendo as propriedades 1. Positividade . ⟨v, v⟩ ≥ 0 e ⟨v, v⟩ = 0 sse v = 0. 2. Linearidade . ⟨av + bw, u⟩ = a⟨v, u⟩ + b⟨w, u⟩. 3. Simetria . ⟨v, w⟩ = ⟨w, v⟩. ∀ v, w, u vetores de V e a, b n´meros reais. u Deﬁni¸˜o 14. Seja V um espa¸o com produto interno ⟨, ⟩, deﬁnimos a norma (ou comca c primento) de um vetor v em rela¸˜o a esse produto interno por ca ∥v∥ := √ ⟨v, v⟩. Propriedade 236 (Desigualdade de Schwarz). ∥w∥ ∥v∥ ≥ |⟨v, w⟩|. Demonstra¸˜o. Para v = 0 vale a igualdade, pois ∥v∥ = 0 e ⟨0, w⟩ = 0, ent˜o seja ca a v ̸= 0, para qualquer t real vale ⟨tv + w, tv + w⟩ ≥ 0 logo t2 ⟨v, v⟩ + 2t⟨v, w⟩ + ⟨w, w⟩ ≥ 0 (tentar ver potencia¸ao de produtos internos) como ⟨v, v⟩ ´ sempre positivo, temos que c˜ e ter o discriminante negativo, logo 4⟨v, w⟩2 − 4⟨v, v⟩ ⟨w, w⟩ ≤ 0 ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 145 donde segue ∥w∥ ∥v∥ ≥ |⟨v, w⟩|. Se ⟨v, w⟩ ≥ 0 temos ∥w∥ ∥v∥ ≥ ⟨v, w⟩ se ⟨v, w⟩ < 0 ainda temos ∥w∥ ∥v∥ ≥ ⟨v, w⟩ pois a norma ´ um n´mero n˜o negativo. e u a Propriedade 237. No espa¸o vetorial das fun¸˜es cont´ c co ınuas em [a, b] ∫ < f, g >= a b f (x)g(x)dx deﬁne um produto interno. Demonstra¸˜o. As propriedades de linearidade e simetria s˜o decorrentes da linearica a dade da integral e o produto ser comutativo, falta mostrar a positividade, tal propriedade ∫ b segue de: se f for n˜o nula em ponto em [a, b] ent˜o a a a f (x)2 dx > 0 por propriedade de fun¸˜es cont´ co ınuas , ent˜o para que o produto interno seja nulo ´ necess´rio que f seja a e a identicamente nula. Corol´rio 34 (Desigualdade de Cauchy Schwarz para integrais). Se f, g : [a, b] → R s˜o a a cont´ ınuas ent˜o pela propriedade de produto interno a √ √ ∫ b ∫ b ∫ b 2 dx 2 dx ≥ | g(x) f (x) g(x)f (x)dx| a a a que implica, ao elevarmos ao quadrado que ∫ [ a b ∫ g(x)f (x)dx] ≤ 2 a b ∫ g(x) dx. a 2 b f (x)2 dx. Demonstra¸˜o.[2] ca Sejam f, g : [a, b] → R integr´veis, ent˜o [f (x) + tg(x)]2 ´ integr´vel ∀t ∈ R, deﬁnimos a a e a ∫ h(t) = a b [f (x) + tg(x)]2 dx e vale h(t) ≥ 0, expandindo e usando linearidade da integral temos que ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 146 ∫ h(t) = a b ∫ [f (x)] dx + 2 a c 2 b ∫ f (x)g(x)dx tdx + a b b [g(x)]2 dx t2 a uma equa¸ao de segundo grau satisfaz essa condi¸˜o quando ∆ = b2 − 4ac ≤ 0, isto ´ c˜ ca e ∫ [ a b ∫ g(x)f (x)dx] ≤ 2 a b ∫ g(x) dx. a 2 b f (x)2 dx. Perceba que a propriedade vale para f e g integr´veis, n˜o necessariamente continuas, a a por´m para ter o produto interno as fun¸oes devem ser cont´ e c˜ ınuas. 1.11.3 Condi¸˜es suﬁcientes de integrabilidade co Quest˜o 1 a 1 p se x = irredut´ ıvel q q com q > 0 , f (0) = 1 caso 0 ∈ [a, b]. f ´ integr´vel pois f ´ limitada o conjunto dos seus e a e Exemplo 69. f : [a, b] → R com f (x) = 0 se x ´ irracional , f (x) = e pontos de descontinuidade tem medida nula, pois ´ Q ∩ [a, b] que ´ enumer´vel . e e a Quest˜o 2 a Propriedade 238. O conjunto de pontos de descontinuidade de uma fun¸˜o mon´tona ca o ´ enumer´vel . e a Demonstra¸˜o. Seja f n˜o-decrescente , D o conjunto de pontos de descontinuidade ca a da fun¸ao , para cada a ∈ D , pelo fato de f ser mon´tona existem os limites laterais c˜ o x→a− lim f (x) = a1 e lim+ f (x) = a2 , com a ̸= b ponto de descontinuidade os intervalos x→a (a1 , a2 ), (b1 , b2 ) s˜o disjuntos . Deﬁnimos a fun¸˜o g : D → Q dado a ∈ D tomamos um a ca racional ra ∈ (a1 , a2 ) e colocamos f (a) = ra . g ´ injetora com Q enumer´vel segue que D e a ´ enumer´vel . e a O caso de uma fun¸ao g n˜o-crescente segue de tomar −g que ´ n˜o-decrescente . c˜ a e a Corol´rio 35. Como o conjunto dos pontos de descontinuidade de uma fun¸ao mon´tona a c˜ o ´ enumer´vel ( logo tem medida nula), ent˜o toda fun¸ao mon´tona ´ integr´vel . e a a c˜ o e a ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 147 Quest˜o 3 a Propriedade 239. Seja D o conjunto dos pontos de descontinuidade de f : [a, b] → R limitada. Se D′ ´ enumer´vel ent˜o f ´ integr´vel . e a a e a Demonstra¸˜o. ca D \ D′ ´ um conjunto de pontos isolados, portanto enumer´vel . Vale que (D \ e a D′ ) ∪ D′ ´ enumer´vel por ser uni˜o de conjuntos enumer´veis e D ⊂ (D \ D′ ) ∪ D′ e a a a , D ´ subconjunto de um conjunto enumer´vel ent˜o D ´ enumer´vel, da´ segue que e a a e a ı f : [a, b] → R ´ integr´vel, pois seu conjunto de pontos de descontinuidade tem medida e a nula. Quest˜o 4 a Propriedade 240. Seja f : [a, b] → R limitada que se anula em um conjunto de medida ∫ b n˜o nula . Se f ´ integr´vel ent˜o a e a a f (x)dx = 0. a Demonstra¸˜o. Em qualquer subintervalo de [a, b] o ´ ca ınﬁmo de |f | ´ zero, logo e ∫ b ∫ b ∫ b |f (x)|dx = 0 = |f (x)|dx ⇒ f (x)dx = 0 a a a pois | ∫ a b ∫ f (x)dx| ≤ a b ∫ |f (x)|dx = 0 ⇒ | a b ∫ f (x)dx| = 0 ⇒ a b f (x)dx = 0. Exemplo 70. Uma fun¸˜o pode se anular num conjunto de medida n˜o nula e sua integral ca a n˜o existir, como a fun¸ao f [a, b] → R com f (x) = 1 se x ´ racional e f (x) = 0 se x ´ a c˜ e e irracional , pois nesse caso as somas inferiores valem 0 e as somas superiores valem 1. Quest˜o 5 a Quest˜o 5-a) a Propriedade 241. Se X tem conte´do nulo ent˜o X tamb´m. u a e Demonstra¸˜o. Se X ⊂ ca n ∪ k=1 IK ent˜o X ⊂ a X⊂ n ∪ k=1 n ∪ k=1 IK , usamos que A ∪ B = A ∪ B, logo IK , ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 148 podemos tomar para cada Ik um intervalo Jk com o dobro do comprimento de IK e mesmo centro, logo Ik ⊂ JK , pois o fecho de um intervalo aberto (a, b) s´ acrescenta as bordas o n ∑ ε a e b, que est˜o contidas num intervalo do dobro de comprimento, logo se a |Ik | < , o 2 k=1 que pode ser tomado pois X tem conte´do nulo, vale u |Jk | = 2|Ik | ⇒ logo X tem conte´do nulo. u Quest˜o 5-b) a Corol´rio 36. Um conjunto X de conte´do nulo ´ limitado. Pois X ⊂ a u e n ∪ k=1 n ∪ k=1 n ∑ k=1 |Jk | = 2 n ∑ ε |Ik | ≤ 2 = ε, 2 k=1 Ik com |Ik | < ε, logo cada intervalo Ik ´ limitado e X tamb´m ´ limitado, pois est´ contido e e e a n ∪ k=1 num conjunto limitado Ik (Uni˜o ﬁnita de conjuntos limitados ´ um conjunto limitado). a e Exemplo 71. Existem conjuntos de medida nula que n˜o cont´m conte´do nulo, basta a e u tomar A um conjunto enumer´vel n˜o limitado, ele possui medida nula por´m n˜o sendo a a e a limitado n˜o pode ter conte´do nulo, como exemplos podemos tomar Z e Q. a u Existem ainda conjuntos limitados , de medida nula que n˜o possuem conte´do nulo, a u como ´ o caso de Q ∩ [a, b], pois seu fecho ´ [a, b] que n˜o possui conte´do nulo. e e a u Quest˜o 5-c) a Corol´rio 37. Todo conjunto com conte´do nulo tem medida nula. a u Propriedade 242. Um compacto tem medida nula ⇔ tem conte´do nulo. u Demonstra¸˜o. ca ⇒). Suponha X com medida nula, logo temos X⊂ ∞ ∪ k=1 ∞ ∑ k=1 Ik , |Ik | < ε, ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 149 como X ´ compacto ent˜o X admite uma subcobertura ﬁnita, e a X⊂ A ﬁnito, logo ∑ k∈A ∪ k∈A Ik , |Ik | < ε e x tem conte´do nulo. u ⇐). Em geral se X tem conte´do nulo (para qualquer X, n˜o necessariamente comu a pacto), ent˜o X tem medida nula. a Quest˜o 5-d) a Propriedade 243. Se g : [a, b] → R satisfaz g(x) = f (x) limitada ∀x ∈ [a, b] \ X onde X tem conte´do nulo, ent˜o g ´ integr´vel e sua integral ´ igual a de f . u a e a e Demonstra¸˜o. g − f : [a, b] \ X → R ´ nula. Seja M = sup |g − f |. Vale que ca e x∈[a,b] inf |g − f | = 0 em qualquer intervalo de [a, b] pois X n˜o pode conter um intervalo, a portanto sempre existe um elemento de [a, b] \ X em qualquer intervalo. Disso segue que qualquer soma inferior de |g − f | ´ nula. Dado ε > 0 existem intervalos abertos (Ik )n tais e 1 que X⊂ n ∪ k=1 Ik = u e n ∑ k=1 |Ik | < ε , M supondo que cada Ik ⊂ [a, b], ent˜o as extremidades desses intervalos e a, b formam uma a parti¸˜o P de [a, b], os intervalos dessa parti¸ao que cont´m os pontos de X s˜o os Ik , ca c˜ e a logo temos a soma superior S(|g−f |, P ) = ∫ logo integr´vel e a a b ∑ ∃j | [tk−1 ,tk ]=Ij Mk ∆tk−1 + ∑ 0 Mk ∆tk−1 ≤ M ∑ ∃j | [tk−1 ,tk ]=Ij ∆tk−1 = M [tk−1 ,tk ]̸=Ij , ∀j ε = ε, M |g − f | = 0, g − f ´ integr´vel e sua integral ´ nula, da´ g = f + (g − f ) ´ e a e ı e ∫ a b ∫ g(x)dx = a b f (x)dx . ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 150 Quest˜o 6 a Quest˜o 7 a Quest˜o 8 a Quest˜o 9 a 1.12 1.12.1 Cap´ ıtulo 11-C´lculo com integrais. a Os teoremas cl´ssicos do c´lculo integral. a a Quest˜o 2 a Teorema 3 (F´rmula de Newton-Leibnz-FNL-TFC parte II.). Seja f : [a, b] → R ino tegr´vel, ent˜o a a ∫ a b f (x)dx = g(b) − g(a) onde g(x) ´ uma primitiva de f (x), isto ´, g ′ (x) = f (x). e e Demonstra¸˜o. Seja P uma parti¸ao de [a, b]. Por hip´tese temos g ′ (x) = f (x) ∀x ∈ ca c˜ o [a, b] e pelo T V M para derivadas existe uk ∈ [tk−1 , tk ] tal que ∀k ∈ In vale g(tk ) − g(tk−1 ) = ∆g(tk−1 ) = g ′ (uk )(tk − tk−1 ) = f (uk )∆tk−1 ∆g(tk−1 ) = f (uk )∆tk−1 aplicando n ∑ k=1 n ∑ k=1 segue n ∑ k=1 ∆g(tk−1 ) = g(tn ) − g(t0 ) = g(b) − g(a) = f (uk )∆tk−1 vale que mk ≤ f (uk ) ≤ Mk , multiplicando por ∆tk−1 e somando, segue que s(f, P ) ≤ n ∑ k=1 g(b)−g(a) f (uk )∆tk−1 ≤ S(f, P ) de onde tem-se ∫ a b f (x)dx = g(b) − g(a). ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 151 Quest˜o 3 a Propriedade 244. Seja f : [a, b] → R deriv´vel com f ′ (x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b]. a Se {x ∈ [a, b] | f ′ (x) = 0} tem conte´do nulo ent˜o f ´ crescente. u a e Demonstra¸˜o. Sabemos que f ´ n˜o-decrescente por propriedade de derivada. Se ca e a f n˜o fosse crescente existiriam y > x em [a, b] com f (x) = f (y), logo dado z ∈ (x, y) a ter´ ıamos f (y) ≥ f (z) ≥ f (x) ⇒ f (y) = f (z) = f (x), ent˜o f ´ constante em [x, y] logo a e f ′ (t) = 0 nesse intervalo , que n˜o possui conte´do nulo. a u Quest˜o 4 a Corol´rio 38 (T V M para derivadas). Seja f : [a, b] com derivada cont´ a ınua, ent˜o existe a c ∈ (a, b) tal que f ′ (c)(a − b) = f (b) − f (a). ∫ b Sabemos que f ′ (x)dx = f (b) − f (a) e pelo T V M para integrais sabemos que a ∫ b ′ ′ f (x)dx = f (c)(b − a) para alguma constante c ∈ (a, b) ent˜o segue a a f ′ (c)(a − b) = f (b) − f (a). Quest˜o 5 a ∫ g(x) Exemplo 72 (Derivada da composi¸˜o). Derivar ca f (t)dt = t(x), onde f ´ cont´ e ınua a ∫ x e g deriv´vel. Deﬁnimos h(x) = a f (t)dt, da´ t(x) = h(g(x)), derivamos pela regra da ı a cadeia t′ (x) = g ′ (x)h′ (g(x)) = g ′ (x)f (g(x)) pois h′ (x) = f (x). Se tivessemos ∫ g(x) ∫ t(x) = f (t)dt = h(x) a h(x) ∫ f (t)dt + a ∫ f (t)dt = a h(x) ∫ f (t)dt − a h(x) f (t)dt. h(x) derivando pela regra da cadeia temos t′ (x) = g ′ (x)f (g(x)) − h′ (x)f (h(x)). ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 152 Quest˜o 6 a Exemplo 73. Seja f, g deﬁnidas em [0, 1] da seguinte maneira.   1 se x =  q f (x) =   p , p, q ∈ N, mdc(p, q) = 1. q 0 se x ´ irracional e g(0) = 0 e g(x) = 1 se x > 0. Ambas g e f s˜o integr´veis, por´m g ◦ f n˜o ´ integr´vel, a a e a e a pois se x racional g ◦ f (x) = 1 e para x irracional g ◦ f (x) = 0. A composi¸˜o de fun¸oes ca c˜ integr´veis pode n˜o ser integr´vel. a a a As duas fun¸˜es s˜o descont´ co a ınuas apenas em conjunto de medida nula, f nos racionais de [0, 1] e g em 0, logo s˜o integr´veis. a a Quest˜o 7 a Exemplo 74. Sejam f : [a, b] → R com derivada integr´vel, m = a 2 f (a) + f (b) = b−a Integramos por partes ∫ b a ∫ a a+b , ent˜o vale que a 2 b f (x) + (x − m)f ′ (x)dx. xf (x)dx = bf (b) − af (a) − a ′ ∫ b f (x)dx ent˜o o resultado da integral ﬁca como a ∫ b ∫ b 2 a+b 2bf (b) − 2af (a) ( f (x)dx − (f (b) − f (a)) + − f (x)dx) b−a a 2 2 a que podemos simpliﬁcar em f (a) + f (b). 1.12.2 A integral como limite de somas de Riemann Quest˜o 1 a Alguns limites de somat´rios podem ser encontrados usando a integral deﬁnida com a o seguinte rela¸˜o ca n ∑ (k)1 ∫ 1 = f (x)dx. lim f n→∞ n n 0 k=1 ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 153 Considerando f integr´vel em [0, 1], sendo tomada a parti¸ao pontilhada a c˜ 0 1 2 k n P = (t0 , t1 , · · · , tk , · · · tn ) = ( , , , · · · , , · · · = 1) n n n n n em cada [tk−1 , tk ] = [ k k−1 k , ] tomando o ponto para pontilhar a parti¸ao, com isso c˜ n n n formamos a soma de Riemann que deve convergir para a integral. Exemplo 75 ((a)). Calcular n ∑ kp lim np+1 k=1 onde p > −1. Temos n n ∑ kp ∑ ( k )p 1 ∫ 1 xp+1 lim = lim = xp dx = np+1 n n p+1 0 k=1 k=1 1 = 0 1 . p+1 k kt Exemplo 76 ((b)). Tomando f (x) = sen(xt), temos f ( ) = sen( ) da´ ı n n ∫ 1 n ∑1 kt 1 − cos(t) sen( ) = sen(tx)dx = . lim n n t 0 k=1 Por exemplo, temos ∫ 1 n ∑1 kπ 1 − cos(π) 2 lim sen( ) = sen(tx)dx = = . n n π π 0 k=1 Quest˜o 2 a Propriedade 245. Se existe lim |P |→0 ∑ (f, P ∗ ) ent˜o f ´ uma fun¸ao limitada. a e c˜ Demonstra¸˜o. Vamos provar a contrapositiva, que ´, se f ´ uma fun¸˜o ilimitada ca e e ca ∑ ent˜o n˜o existe lim a a (f, P ∗ ). |P |→0 f ´ uma fun¸ao ilimitada, ent˜o ela deve ser ilimitada em algum intervalo [ts−1 , ts ] e c˜ a com comprimento ﬁxo de uma parti¸ao qualquer dada P , como f ´ ilimitada em [ts−1 , ts ], c˜ e podemos escolher us em tal intervalo tal que |f (us )∆ts−1 | > | n ∑ k=1, k̸=s f (uk )∆tk−1 | + A ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 154 logo | ∑ (f, P ∗ )| = |f (us )∆ts−1 + n ∑ k=1, k̸=s f (uk )∆tk−1 | ≥ ||f (us )∆ts−1 |−| n ∑ k=1, k̸=s f (uk )∆tk−1 || > A logo o limite n˜o pode existir, pois se existisse o limite, ela seria limitada para parti¸˜es a co com norma pequena. Para qualquer ε > 0 existiria δ > 0 tal que | ∑ (f, P ∗ ) − L| < ε ⇒ | ∑ (f, P ∗ )| ≥ | ∑ (f, P ∗ ) − L| + |L| < ε + |L| para qualquer parti¸ao com |P | < δ. c˜ Quest˜o 3 a Propriedade 246. Se f : [a, b] → R limitada. f ´ integr´vel ⇔ existe o limite e a lim ∑ (f, P ∗ ). |P |→0 Nessas condi¸oes vale c˜ ∫ a b f (x)dx = lim Demonstra¸˜o. ca ⇒) Se f ´ integr´vel ent˜o e a a |P |→0 ∑ (f, P ∗ ). ∫ |P |→0 b lim s(f, P ) = lim S(f, P ) = |P |→0 a f (x)dx como tem-se s(f, p) ≤ ∑ (f, P ∗ ) ≤ S(f, P ) ent˜o por sandu´ a ıche tem-se ∫ a b f (x)dx = lim ⇐). |P |→0 ∑ (f, P ∗ ). Dado ε > 0 existe parti¸˜o P = {t0 , · · · tn } tal que ca | ∑ ε (f, P ∗ ) − L| < 4 para qualquer maneira que pontilhamos P . Fixamos P e partilhamos a parti¸˜o de 2 ca modos. ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 155 1. Em cada [tk−1 , tk ] escolhemos uk tal que f (uk ) < mk + ε 4n∆tk−1 (podemos tomar elementos t˜o pr´ximos do ´ a o ınﬁmo quanto quisermos), obtemos assim uma parti¸˜o pontilhada P ∗ tal que ca n ∑ k=1 n ∑ k=1 f (uk )∆tk−1 < ∑ mk ∆tk−1 + ε 4 ε (f, P ∗ ) < s(f, p) + . 4 2. Em cada [tk−1 , tk ] escolhemos vk tal que Mk − ε < f (vk ) 4n∆tk−1 , obtemos assim uma parti¸˜o pontilhada P ′ tal que ca ∑ ε − + S(f, P ) < (f, P ′ ). 4 Usando as duas desigualdades temos que S(f, P ) − s(f, P ) < como | tem-se | portanto S(f, P ) − s(f, P ) < e f ´ integr´vel. e a ∑ (f, P ′ ) − ∑ (f, P ∗ ) + ε ε + =ε 2 2 ∑ ∑ ∑ ε (f, P ′ ) − (f, P ∗ ) + 2 ∑ ε ε e| (f, P ∗ ) − L| < 4 4 ∑ (f, P ∗ )| < ε 2 (f, P ′ ) − L| < ∑ (f, P ′ ) − ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 156 Quest˜o 4 a Propriedade 247. Sejam f, g : [a, b] → R integr´veis. Para toda parti¸ao P = {t0 , · · · , tn } a c˜ de [a, b], sejam P ∗ = (P, x) e P ′ = (P, y) ent˜o a n ∑ k=1 ∫ f (xk )g(yk )∆tk−1 = a b |P |→0 lim f (x)g(x)dx. Demonstra¸˜o. Escrevemos ca f (xk )g(yk ) = f (xk )g(xk ) + f (xk )[g(yk ) − g(xk )] multiplicando por ∆tk−1 e somando, tem-se n ∑ k=1 n ∑ k=1 n ∑ k=1 f (xk )g(yk )∆tk−1 = f (xk )g(xk )∆tk−1 + f (xk )[g(yk ) − g(xk )]∆tk−1 o segundo membro tende a zero pois n ∑ k=1 f (xk )[g(yk ) − g(xk )]∆tk−1 ≤ M ≤M n ∑ k=1 [g(yk ) − g(xk )]∆tk−1 ≤ M [S(g, P ) − s(g, P )] ≤ M ε pois g ´ integr´vel. e a Quest˜o 5 a Propriedade 248. Se f ´ integr´vel e g possui derivada integr´vel ent˜o e a a a ∑ ∫ a b |P |→0 lim (f, g, P ) = ′ f (x)g ′ (x)dx. Demonstra¸˜o. ca g ´ deriv´vel, ent˜o aplicamos o T V M para derivadas e temos vk ∈ [tk , tk−1 ] tal que e a a g(tk ) − g(tk−1 ) = g ′ (vk )(tk − tk−1 ), da´ ı n ∑ k=1 f (uk )∆g(tk−1 ) = n ∑ k=1 f (uk )g ′ (vk )∆tk−1 ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 157 que pelo resultado anterior converge para ∫ b f (x)g ′ (x)dx. a Quest˜o 6 a Propriedade 249. Dada f : [a, b] → R, deﬁnimos para cada n ∈ N 1∑ M (f, n) = f (a + kh) n k=1 n onde h = b−a . Se f ´ integr´vel ent˜o e a a n 1 lim M (f, n) = n→∞ b−a ∫ a b f (x)dx. Tal limite ´ chamado de valor m´dio de f em [a, b]. e e Demonstra¸˜o. Tomamos a parti¸˜o P com t0 = a, t1 = a + ca ca b−a , · · · tk = a + n k(b − a) b−a , · · · , tn = b com ∆tk−1 = , pontilhamos a parti¸ao tomando em cada c˜ n n [tk−1 , tk ] o ponto tk , temos com isso b−a∑ lim f (a + kh) = n→∞ n k=1 n ∫ a b f (x)dx e da´ segue ı 1 lim M (f, n) = n→∞ b−a Quest˜o 7 a ∫ a b f (x)dx. Propriedade 250. Se f : [a, b] → R ´ convexa ent˜o e a 1 b−a ∫ a b f (x)dx ≥ f ( a+b ). 2 Demonstra¸˜o. Lembre-se que, com f convexa temos ca n ∑ k=1 n ∑ tk f (ak ) ≥ f ( tk ak ) k=1 ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 158 com cada tk ∈ [0, 1] e n ∑ k=1 tk = 1. Aplicamos tal propriedade com a soma n ∑1 f (a + hk) n k=1 n ∑1 1 = 1), logo com tk = (temos n n k=1 n n ∑1 ∑1 f (a + hk) ≥ f ( [a + hk]). n n k=1 k=1 como h = b−a , temos n n ∑1 (b − a)n(n + 1) b−a b+a [a + hk] = a + →a+ = . 2 n 2n 2 2 k=1 Lembre tamb´m que f convexa ´ cont´ e e ınua no interior de [a, b], pois sempre temos as derivadas laterais existindo no interior ( n˜o necessariamente de igual valor, apenas a a existˆncia de ambas j´ implica a continuidade, n˜o necessitando que sejam iguais). e a a n ∑1 Podemos trocar a ordem do limite com a fun¸ao, pois a < c˜ [a + hk] < b por ser m´dia e n k=1 e b ̸= a, logo o ponto ´ interior e por propriedade de limite temos e ∫ b n n n ∑1 ∑1 ∑1 1 b+a lim f (a+hk) = f (x)dx ≥ lim f ( [a+hk]) = f ( lim [a+hk]) = f ( ), n→∞ n→∞ n→∞ n b−a a n n 2 k=1 k=1 k=1 isto ´, e 1 b−a ∫ a b f (x)dx ≥ f ( a+b ). 2 1.12.3 Logaritmos e exponenciais Quest˜o 1 a Propriedade 251. Seja f : R → R cont´ ınua tal que f (x + y) = f (x) + f (y) ∀x, y ∈ R. Nessas condi¸oes f ´ uma fun¸ao linear. c˜ e c˜ ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 159 Demonstra¸˜o. ca X Vale f (0) = 0 pois f (0 + 0) = f (0) + f (0) = 2f (0) = f (0) se fosse f (0) ̸= 0 chegar´ ıamos no absurdo de 2 = 1 ent˜o vale f (0) = 0. a X Dado x real arbitr´rio, vale que f (−x) = −f (x) pois f (x − x) = f (x) + f (−x) = 0 a portanto f (−x) = −f (x). X Vale que f (nx) = nf (x) para qualquer x real e n natural pois, por indu¸ao f (1.x) = c˜ 1.f (x), supondo f (nx) = nf (x) tem-se que f ((n + 1)x) = f (nx) + f (x) = nf (x) + f (x) = (n + 1)f (x). X f (−nx) = −f (nx) = −nf (x) logo a propriedade f (nx) = nf (x) vale para n inteiro. x f (x) nx x f (x) X Dado n natural vale que f ( ) = pois f ( ) = nf ( ) = f (x) logo = n n n n n x f ( ) isso para x real arbitr´rio. a n px p p X Da´ conclu´ ı ımos que f ( ) = f (x) onde ´ um n´mero racional. e u q q q X Podemos denotar f (1) = a da´ vale f (x) = xf (1) = ax onde x ´ racional. ı e X Tomamos uma sequˆncia (xn ) de n´meros racionais que convergem para um valor e u x real arbitr´rio (racional ou irracional), vale que a f (xn ) = xn .f (1) = xn .a aplicando o limite e usando a continuidade segue que lim f (xn ) = f (x) = lim xn .a = a.x logo f (x) = a.x. Corol´rio 39. Seja f : R → R com f (x + y) = f (x)f (y) ∀x, y ∈ R, cont´ a ınua n˜o nula, a ent˜o existe a ∈ R tal que f (x) = eax . a A fun¸ao f s´ assume valor positivo pois c˜ o x x x f (x) = f ( + ) = f ( )2 > 0 2 2 2 ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 160 ent˜o a fun¸ao assume valores em R+ , podemos aplicar o logaritmo, gerando ainda uma a c˜ fun¸˜o cont´ ca ınua h com h(x) = ln f (x) e temos pela rela¸˜o funcional ca ln f (x + y) = ln f (x) + ln f (y), isto ´, e h(x + y) = h(x) + h(y) com h cont´ ınua, por ser composi¸ao de cont´ c˜ ınuas e h : R → R, pela propriedade anterior temos que h(x) = ax para algum valor a ∈ R, logo ln f (x) = ax ⇒ f (x) = eax . Sendo g : R+ → R continua, que satisfaz g(uv) = g(u) + g(v). Como u e v s˜o a arbitr´rio em R+ , ent˜o existem x, y ∈ R tais que ex = u, ey = v, substituindo segue a a g(ex+y ) = g(ex ) + g(ey ) deﬁnindo h : R → R+ com h(x) = g(ex ) temos pela rela¸ao funcional acima que c˜ h(x + y) = h(x) + h(y) h cont´ ınua, por ser composi¸ao de cont´ c˜ ınuas, ent˜o ´ uma fun¸˜o linear h(x) = bx para a e ca alguma constante b ∈ R g(ex ) = bx tomando y = ex temos x = ln(y) ent˜o a g(y) = b ln(y). ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 161 Quest˜o 2 a − ln(n), tal sequˆncia ´ decrescente e limitada, logo e e k k=1 convergente, seu limite ´ denotado por γ chamada de constante de Euler-Mascheroni e Propriedade 252. Seja xn = 1 ela ´ decrescente, logo usamos desigualdade usada e x para demonstra¸ao o teste de integral para s´ries c˜ e ∫ n n−1 n 1 ∑1 ∑1 ≤ < k k 1 x k=1 k=1 Demonstra¸˜o. Sendo f (x) = ca da´ ı n ∑1 k=1 n ∑1 k − ln(n) > 0 a sequˆncia ´ limitada inferiormente, al´m disso ´ decrescente pois e e e e xn − xn+1 = ln(1 + 1 1 )− <0 n+1 n+1 pois ∫ 1+ 1 n+1 dx 1 1 n 1 ln(1 + )= > = . n+1 x nn+1 n+1 1 Sendo decrescente e limitada inferiormente ela converge. Quest˜o 3 a Propriedade 253. ln x =0 x→∞ x lim Demonstra¸˜o. Seja f (x) = x − ln x, temos f (1) = 1 e f ′ (x) = 1 − ca logo x > ln x para x > 1. Temos 0 < ln x < x para x > 1 da´ ı 1 1 1 ln x 4 ln x < x 2 , (ln x)2 < x, 0 < < 2 4 x ln x ln x tomando x → ∞ segue que lim =0 x→∞ x 1 > 0 para x > 1 x ln x 2 < x 2 , 1 1 Corol´rio 40. a x→0 lim x ln x = 0 tomando x = 1 y x→0 lim x ln x = lim 1 ln y y→∞ y = lim − ln y = 0. y→∞ y ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 162 Quest˜o 4 a Exemplo 77. Calcular a lim (1 + )cx+b . x→∞ x Tomamos y = a a , da´ x = e o limite ﬁca como ı x y y→0 lim (1 + y) y (1 + y)b = lim (1 + y) y = eca . y→0 ca ca 1.12.4 Integrais impr´prias o ∫ Quest˜o 1 a 1 1 Exemplo 78. Estudar a convergˆncia da integral e dx. 0 1 − cos(x) x Usamos que 1 − cos(x) = 2sen2 ( ), da´ ca´ ı ımos na integral 2 ∫ 1 dx = 2sen2 ( x ) 2 ∫ cossec2 ( x ) x 2 dx = −cotg( ) + c 2 2 aplicando os limites, temos ∫ 0 1 cos( x ) 1 1 2 dx = −cotg( ) + lim x = ∞ x→0+ sen( ) 1 − cos(x) 2 2 Exemplo 79. Estude a integrabilidade de xα para valores reais de α, com x ∈ (0, 1]. Se α = −1 ent˜o a ∫ 0 1 x−1 dx = lim ln(1) − ln(x) = ∞ + x→0 logo a integral n˜o existe, caso α < −1 temos tamb´m a e ∫ 0 1 xα dx = lim + x→0 1 1 − −α−1 =∞ α+1 x (α + 1) portanto a integral n˜o existe para α ≤ −1. Se α > −1, α + 1 > 0, da´ a ı ∫ 0 1 xα dx = lim + x→0 xα+1 1 1 − = . α + 1 (α + 1) α+1 ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 163 Exemplo 80. Estude a convergˆncia das integrais e ∫ 3 −3 dx e x2 ∫ 1 −1 dx x3 1 . 1 > −1 logo a primeira 3 Na primeira integral temos α = −2 e na segunda α = − diverge e a segunda converge. Quest˜o 2 a Exemplo 81. Estudar a convergˆncia de e ∫ ∫ 0 ∞ ∫ 1 ∫ ∞ dx dx dx √ = √ + √ e Separamos a integral em duas (1 + x) x (1 + x) x 0 0 (1 + x) x 1 analisamos a convergˆncia de cada uma delas, primeiro para a inﬁnita. e ∫ ∞ ∫ ∞ dx dx √ < √ (1 + x) x x x 1 1 ∞ dx √ . (1 + x) x onde a da direita converge logo a da esquerda tamb´m converge. e ∫ 1 1 dx √ fazemos a transforma¸ao y = de onde podemos chegar c˜ Na integral x 0 (1 + x) x na integral ∫ ∞ ∫ 1 dx dx √ = √ (1 + x) x 1 0 (1 + x) x que j´ vimos que converge. a Exemplo 82. Estudar a convergˆncia de e ∫ ∞ −∞ dx . 1 + x6 ∫ 1 ∞ A fun¸ao integrada ´ par, logo basta estudar a convergˆncia de c˜ e e que converge por compara¸˜o. ca Exemplo 83. Estudar a convergˆncia de e ∫ ∞ 1 dx < 1 + x6 ∫ 1 ∞ dx x6 xdx . 1 − ex ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 164 ∫ ∞ xdx xdx =− 1 − ex ex − 1 1 1 ∫ ∞ xdx ent˜o estudamos a convergˆncia de a e que ´ integral de uma fun¸˜o positiva em e ca x−1 e 1 [1, ∞), para x suﬁcientemente grande temos ∞ ∫ x x2 < x ex − 1 e x x2 pois isso equivale a e > , por´m a integral inﬁnita de x converge e da´ e ı x−1 e tamb´m, por compara¸˜o. e ca x ∫ 1 ∞ ex xdx −1 Quest˜o 3 a ∫ Exemplo 84. Estudar convergˆncia e convergˆncia absoluta de e e 1 ∞ sen(x) dx com r > 0. xr Por meio de integra¸ao por partes temos c˜ ∫ x cos(t) sen(t) dt = − r r t t 1 x ∫ −r 1 x 1 cos(t) dt tr+1 onde cada um dos limites acima com x → ∞ converge, a primeira parcela por ser limitada e a segunda converge pois ´ absolutamente convergente, e ∫ x ∫ x |cos(t)| 1 1 dt ≤ dt = r+1 r+1 t −rtr 1 1 t x 1 logo a integral converge. ∫ ∞ |sen(x)| dx n˜o converge, pois a xr 0 ∫ ∞ ∞ ∑ ∫ 2(n+1)π |sen(x)| |sen(x)| dx = dx xr xr 2π n=1 2nπ como 1 decresce temos xr ∞ ∞ ∑ ∫ 2(n+1)π |sen(x)| ∑ ∫ 2(n+1)π |sen(x)| dx ≥ dx = xr (2π)r (n + 1)r n=1 2nπ n=1 2nπ em cada intervalo [2nπ, 2(n + 1)π] a integral tem um valor constante por |sen(x)| ser peri´dica de per´ o ıodo π, ent˜o o valor da integral ´ C, a s´rie ﬁca como a e e = ∞ ∑ n=1 C (π2)r (n + 1)r ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 165 que ´ uma s´rie divergente com r ≤ 1, nesses caso a integral n˜o converge absolutamente. e e a Se r > 1 a s´rie converge absolutamente, pois e ∫ 1 ∞ |sen(x)| dx ≤ xr ∫ 1 ∞ 1 1 dx = lim r t→∞ (−r + 1)xr−1 x t 1 como r > −1, r − 1 > 0 ela converge. ∫ ∞ Exemplo 85. sen(x2 )dx converge, mas n˜o absolutamente. Basta estudar a cona ∫ ∞0 vergˆncia de e sen(x2 )dx, fazendo a mudan¸a y = x2 a integral ﬁca como c 1 ∫ ∫ que ca´ no caso da integral ı 1 1 ∞ ∞ sen(y) √ dy 2 y 1 sen(y) dy, com 0 < r = < 1, que converge por´m n˜o e a r y 2 absolutamente. Quest˜o 4 a ∫ Exemplo 86. Mostre que tudamos a convergˆncia de e 1 0 ∫ ∞ xsen(x4 )dx converge por´m xsen(x4 ) n˜o ´ limitada. Ese a e xsen(x4 )dx. Fazemos a mudan¸a x4 = y, a integral ﬁca c ∫ 1 ∞ ∞ como sen(y) √ dy 4 y que converge, mas n˜o absolutamente, como j´ vimos. a a Quest˜o 5 a ∫ Propriedade 254. Seja f : [a, ∞) → R , cont´ ınua, n˜o-crescente. Se a + a ∞ f (x)dx con- verge ent˜o lim xf (x) = 0. a x→∞ ∫ a x f (t)dt, x ≥ a, existe lim g(x) = L, logo dado ε > 0, x→∞ x existe A > 0, tal que x > A ⇒ L − ε < g(x) < L. Para x > 2A ⇒ > A ⇒ L − ε < 2 x g( ) < L, g ´ crescente e 2 x L − ε < g( ) < g(x) < L, 2 Demonstra¸˜o. Seja g(x) = ca ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 166 x da´ ε > g(x) − g( ), pois o comprimento do intervalo ´ L − (L − ε) = ε, ı e 2 ∫ x x x x f (t)dt ≥ (x − )f (x) = f (x). ε > g(x) − g( ) = x 2 2 2 2 Demonstra¸˜o.[2-Por crit´rio de Cauchy] Como a integral converge, ent˜o para qualca e a x quer ε > 0 existe M tal que x > > M vale 2 ∫ x f (t)dt < ε x 2 como f ´ decrescente e positiva e 0≤ logo segue que o limite ´ zero. e Quest˜o 6 a Propriedade 255 (Crit´rio de Cauchy). Seja f : [a, ∞) → R em que f |[a,r] ´ integr´vel e e a ∫ ∞ ∀ r > a . Nessas condi¸˜es co f (x)dx converge ⇔ ∀ε > 0 ∃ M tal que para B > A > M a x f (x) ≤ ε 2 tenhamos | ∫ B f (x)dx| < ε. A Demonstra¸˜o. ca ⇒). Suponha que a integral converge para L, seja ε > 0, usando a deﬁni¸ao de c˜ convergˆncia, podemos tomar M ≥ a suﬁcientemente grande tal que se A ≥ M temos e ∫ A ε | f (x)dx − L| < , 2 a tomando B > A ≥ M temos ∫ | A B ∫ f (x)dx − L| = | a B ∫ f (x)dx − a A ∫ f (x)dx| = | a B ∫ f (x)dx − L + L − a A f (x)dx| ≤ por desigualdade triangular ∫ B ∫ | f (x)dx − L| + | a a A f (x)dx − L| ≤ ε ε + =ε 2 2 ∫ logo vale | B f (x)dx − L| < ε como queriamos mostrar. A ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 167 ⇐). Para n natural, deﬁnimos an = a ∫ n f (x)dx. Para ε > 0, existe m ≥ a tal que se m, n ≥ M temos ∫ n |an − am | = | f (x)dx| < ε, m logo (an ) ´ uma sequˆncia de Cauchy, logo ´ convergente, seja lim an = L. Dado ε > 0 e e e escolhemos M ≥ a ( M natural) tal que n > m, e quaisquer A1 , B1 com B1 > A1 > M ε tem-se |an − L| < e 2 ∫ B1 ε | f (x)dx| < 2 A1 . Tomando A ≥ M + 1 ent˜o ⌊A⌋ > M , tal que5 a B1 A1 ∫ | a A ∫ f (x)dx−L| = | a ⌊A⌋ ∫ f (x)dx−L+ A ∫ f (x)dx| ≤ |a⌊A⌋ −L|+| ⌊A⌋ ε ε f (x)dx| < + = ε 2 2 ⌊A⌋ A . Quest˜o 7 a Propriedade 256. Seja f : [1, ∞) → R+ decrescente. Nessas condi¸oes c˜ ∞ ∑ k=1 ∫ f (k) < ∞ ⇔ 1 ∞ f (t)dt < ∞. Se a s´rie converge para s, vale a estimativa e ∫ n ∑ k=1 ∞ ∫ f (t)dt ≤ s − sn ≤ n ∞ f (t)dt n+1 onde sn = f (k). Demonstra¸˜o. De ca ∫ m(b − a) ≤ a 5 b f (t)dt ≤ M (b − a) Lembre que ⌊⌋ ´ a fun¸˜o piso, que dado x ∈ [n, n + 1), n inteiro, associa x a n. e ca ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 168 onde M, m s˜o o supremo e ´ a ınﬁmo de f em [a, b], se tomamos o intervalo [k − 1, k] com f decrescente essa identidade implica que ∫ k f (k) ≤ f (t)dt ≤ f (k − 1) k−1 n ∑ k=2 n ∑ k=1 aplicando a soma tem-se ∫ n n ∑ k=2 n−1 ∑ k=1 f (k) − f (1) = sn − f (1) ≤ 1 f (t)dt ≤ ∫ n f (k − 1) = f (k) = s(n − 1) s(n) − f (1) ≤ 1 f (t)dt ≤ s(n − 1) portanto segue o resultado de convergˆncia. e ∫ k m ∑ Da desigualdade f (k) ≤ f (t)dt ≤ f (k − 1) aplicando resulta k−1 n+1 ∫ s(m) − s(n) ≤ n m ∫ f (t)dt ≤ s(m − 1) − s(n − 1) ⇒ n m ∫ f (t)dt ≤ s(m) − s(n) ≤ n m f (t)dt tomando m → ∞ segue ∫ ∞ ∫ f (t)dt ≤ s − sn ≤ n ∞ f (t)dt. n+1 1.13 1.13.1 Cap´ ıtulo 12-Sequˆncias e s´rie de fun¸oes e e c˜ Convergˆncia simples e convergˆncia uniforme e e Quest˜es 1 e 2 o xn 1 = 1− , 1 + xn 1 + xn converge simplesmente, pois em 0 a sequˆncia ´ constante assumindo valor zero, para e e n x x ∈ (0, 1) ﬁxo vale lim xn = 0 logo lim = 0, se x = 1 a sequˆncia ´ constante e e 1 + xn n x 1 1 = 1− → 1, logo a assumindo valor , para x > 1, lim xn = ∞ logo 2 1 + xn 1 + xn convergˆncia n˜o pode ser uniforme, pois apesar das fun¸oes serem cont´ e a c˜ ınuas n˜o h´ a a Exemplo 87. A sequˆncia de fun¸˜es fn : [0, ∞) → R, com fn (x) = e co convergˆncia para fun¸ao cont´ e c˜ ınua. ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 169 Por´m temos que a sequˆncia converge uniformemente em [0, a] e [b, ∞), com a < 1 e e e b > 1, pois em [0, a] a sequˆncia ´ decrescente valendo e e xn+1 xn ≤ 1 + xn+1 1 + xn que vale em x = 0 e com x > 0 a desigualdade equivale a x(1 + xn ) ≤ (1 + xn+1 ) ⇔ x + xn+1 ≤ 1 + xn+1 ⇔ x ≤ 1 que ´ verdadeira pois x ≤ a < 1, temos uma sequˆncia de fun¸˜es deﬁnida em um e e co compacto que ´ mon´tona e converge simplesmente, logo pelo teorema de Dini a sequˆncia e o e converge uniformemente. Para x ∈ [b, ∞) temos que a sequˆncia ´ crescente, pois e e xn+1 xn ≥ 1 + xn+1 1 + xn vale em x = 0 e com x > 0 a desigualdade equivale a x(1 + xn ) ≥ (1 + xn+1 ) ⇔ x + xn+1 ≥ 1 + xn+1 ⇔ x ≥ 1 que ´ verdadeira pois x ≥ b > 1. e Provamos o resultado por deﬁni¸ao, mas primeiro provamos que dado n ﬁxo fn ´ c˜ e crescente Dados x ≥ y ≥ b > 1 1− 1 1 1 1 ≥1− ⇔ ≥ ⇔ xn ≥ y n n n n 1+x 1+y 1+y 1 + xn o que vale para potˆncias maiores que 1. e Dado ε > 0 vale que (fn (b)) converge para 1, sendo crescente, ent˜o para n > n0 temos a |fn (b) − 1| < ε ⇒ −fn (b) + 1 < ε ⇔ fn (b) > 1 − ε isso pois fn (b) ´ crescente como sequˆncia, dado x ≥ b vale fn (x) ≥ fn (b) pelo fato da e e fun¸˜o ser crescente, ent˜o fn (x) ≥ 1 − ε, isto ´, 1 − fn (x) ≤ ε, |fn (x) − 1| ≤ ε para ca a e qualquer x em [b, ∞) e n > n0 , logo a convergˆncia ´ uniforme. e e ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 170 Quest˜o 3 a Exemplo 88. A s´rie e ∞ ∑ k=1 xk (1 − xk ) converge com x ∈ (−1, 1] e converge uniformemente 1 em [−a, a] com < a < 1. 2 A s´rie converge em (−1, 1) por ser soma de s´ries geom´tricas, al´m disso converge e e e e ∞ ∑ em 1 pois se anula, 1k (1 − 1k ) = 0. Agora vejamos a convergˆncia uniforme. Com |x| ≤ a temos |x|k ≤ ak < 1, temos e ainda |1 − xk | ≤ |1| + |xk | ≤ 2, agora aplicando essas desigualdades na s´rie temos e ∞ ∑ k=n ∞ ∑ k=n ∞ ∑ k=n k=1 |x (1 − x )| ≤ 2 k k |x | ≤ 2 k ak = 2 ak a−1 ∞ =2 n an 1−a express˜o que pode ser tomada menor que qualquer ε independente de x para n suﬁa cientemente grande, logo temos convergˆncia uniforme. e Quest˜o 4 a Deﬁni¸˜o 15 (Sequˆncia de Cauchy de fun¸˜es). Uma sequˆncia de fun¸oes (fn ), cada ca e co e c˜ fn : T → R chama-se uma sequˆncia de Cauchy ⇔ e ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N | ∀x ∈ T, (m, n > n0 ) ⇒ |fm (x) − fn (x)| < ε. Teorema 4 (Crit´rio de Cauchy para convergˆncia uniforme.). Uma sequˆncia de fun¸˜es e e e co (fn ) ´ uniformemente convergente ⇔ ´ uma sequˆncia de Cauchy. e e e Demonstra¸˜o. ca ⇒). Suponhamos que fn →u f , ent˜o a ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N | ∀x ∈ T, n > n0 ⇒ |fn (x) − f (x)| < e para m > n0 acontece o mesmo fato |fm (x) − f (x)| < , somando ambas desigualdades tem-se |fm (x) − fn (x)| ≤ |fm (x) − f (x)| + |f (x) − fn (x)| < ε ε 2 ε 2 ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 171 logo a sequˆncia ´ de Cauchy. e e ⇐). Se (fn ) ´ uma sequˆncia de fun¸oes de Cauchy ent˜o (fn (x)) ´ uma sequˆncia de e e c˜ a e e cauchy logo (fn (x)) ´ convergente e deﬁnimos uma fun¸ao f (x) no seu limite para cada e c˜ x. Mostraremos agora que fn →u f , por ser uma sequˆncia de Cauchy de fun¸˜es temos e co ∀x ∈ T, (m, n > n0 ) ⇒ |fm (x) − fn (x)| < ε fm (x) − ε < fn (x) < ε + fm (x) que tomando m → ∞ segue f (x) − ε ≤ fn (x) ≤ ε + f (x) ⇒ |fn (x) − f (x)| ≤ ε isso para todo x, logo fn →u f . Quest˜o 5 a Propriedade 257. Seja fn : A → R que converge uniformemente para f : A → R. f ´ limitada ⇔ existem K > 0 e n0 ∈ N tais que n > n0 ⇒ |fn (x)| ≤ K ∀x ∈ A. e Demonstra¸˜o. Se fn →u f em A ent˜o dado ε = 1 existe n0 ∈ N tal que para ca a n > n0 tem-se ||fn (x)| − |f (x)|| ≤ |fn (x) − f (x)| < 1 ∀ x ∈ A pela continuidade uniforme. Usaremos que ||fn (x)| − |f (x)|| ≤ 1. ⇒). Se f ´ limitada existe K > 0 tal que |f (x)| ≤ K ∀x ∈ A, da´ por desigualdade e ı triangular |fn (x)| ≤ ||fn (x)| − |f (x)|| + |f (x)| < 1 + |f (x)| ≤ 1 + K logo cada fn ´ limitada para n > n0 . e ⇐). Se vale |fn (x)| ≤ K ∀x e n > n0 |f (x)| ≤ ||fn (x)| − |f (x)|| + |fn (x)| < 1 + |fn (x)| ≤ 1 + K da´ f ´ limitada. ı e ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 172 Quest˜o 7 a Propriedade 258. Se n ∑ k=1 |fk (x)| converge uniformemente em A, ent˜o a n ∑ k=1 fk (x) tamb´m e converge uniformemente. Demonstra¸˜o. Usamos o crit´rio de Cauchy, para qualquer ε > 0, existe n0 ∈ N ca e tais que m > n > n0 e qualquer x ∈ A vale | isto implica, | n ∑ k=1 m ∑ k=1 m ∑ k=n+1 |fk (x)| − n ∑ k=1 |fk (x)|| = | m ∑ k=n+1 m ∑ k=n+1 |fk (x)|| < ε, fk (x)| ≤ |fk (x)| < ε, ∀x portanto fk (x) ´ de cauchy uniformemente, logo converge uniformemente. e 1.13.2 Propriedades da convergˆncia uniforme e Quest˜o 1 a Propriedade 259 (Adi¸˜o de uniformemente convergentes). Se fn → uf e gn →u g em ca A ent˜o fn + gn →u f + g em A. a Demonstra¸˜o. Dado ca que ε |fn (x) − f (x)| < , ∀ x n > n0 2 ε |gn (x) − g(x)| < , ∀ x n > n1 2 tomando n > n1 +n0 valem as duas desigualdades, da´ aplicamos a desigualdade triangular ı |fn (x) + gn (x) − [f (x) + g(x)]| ≤ |fn (x) − f (x)| + |gn (x) − g(x)| < de onde segue a convergˆncia uniforme da soma. e Propriedade 260 (Produto de uniformemente convergentes). Se fn → uf , gn →u g, com f e g limitadas em A ent˜o fn .gn →u f.g a ε ε + =ε 2 2 ε > 0 arbitr´rio por continuidade uniforme de fn e gn , temos a 2 ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 173 Demonstra¸˜o. Sabemos que se f e g s˜o limitadas ent˜o para valores de n suﬁcica a a entemente grandes cada fn e gn s˜o limitadas, valendo |fn (x)| ≤ K e |g(x)| ≤ K1 . a Podemos escrever fn (x).gn (x) − f (x).g(x) = fn (x).gn (x) + −fn (x)g(x) + fn (x)g(x) −f (x).g(x) = 0 = fn (x).[gn (x) − g(x)] + g(x)[fn (x) − f (x)] ε ε para n grande podemos tomar |gn (x) − g(x)| < e |fn (x) − f (x)| < , tomando a 2K 2K1 desigualdade triangular aplicada na express˜o acima a |fn (x).gn (x) − f (x).g(x)| = = |fn (x).[gn (x)−g(x)]+g(x)[fn (x)−f (x)]| ≤ |fn (x)|.|gn (x)−g(x)|+|g(x)||fn (x)−f (x)| ≤ ε ε ε ε K + K1 = + = ε. 2K 2K1 2 2 Propriedade 261 (Quociente de uniformemente convergente). Se gn →u g, com |g(x)| ≥ 1 1 c em A ent˜o a →u . gn g Demonstra¸˜o. ca 1 1 1 ≤ , logo para n > n0 vale ≤ K ⇒ g(x) c gn (x) 1 K cε ≤ , por convergˆncia uniforme, podemos tomar |gn (x) − g(x)| ≤ e logo |g(x)||gn (x)| c K Como |g(x)| ≥ c ∀x ent˜o a | logo temos 1 1 g(x) − gn (x) |gn (x) − g(x)| K cε − |=| |= ≤ =ε gn (x) g(x) gn (x)g(x) |gn (x)g(x)| c K 1 1 →u . gn g fn f →u , gn g Corol´rio 41. Se fn →u f , gn →u g, com |g(x)| ≥ c e f limitada em A ent˜o a a pois 1 →u g e da´ por produto de fun¸oes uniformemente convergentes que convergem ı c˜ gn fn f para fun¸oes limitadas vale que c˜ →u . gn g Quest˜o 2 a Exemplo 89. Se xn → 0 uma sequˆncia n˜o nula e g(x) ´ ilimitada em A ent˜o fn (x) = e a e a [xn + g(x)]2 n˜o converge uniformemente. a ´ CAP´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) ¸˜ 174 Vale que fn (x) = x2 + 2g(x)xn + g(x)2 n temos que hn (x) = x2 e tn (x) = g(x)2 convergem uniformemente, ent˜o para mostrar a n que fn n˜o converge uniformemente basta mostrar que sn (x) = g(x)xn n˜o converge a a uniformemente. Dado ε = 1 para qualquer n ﬁxado, como g ´ ilimitada em A, podemos tomar x tal e 1 que |g(x)| > da´ |xn ||g(x)| > 1, isto ´, ı e |xn | |xn g(x) − 0| > 1 ent˜o sn (x) n˜o converge uniformemente. a a 1 . Essa exemplo mostrar n como o produto de sequˆncias uniformemente convergentes pode n˜o ser uniformemente e a Como um exemplo podemos tomar g(x) polinˆmio e xn = o convergente. 1.14 Agradecimentos

Soluções de Análise Real Vol 1 Elon Lages Lima

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