SOLUCIONARIO EXAMEN PARCIALProblema1. La viga AB mostrada, es de 2.5 m de longitud y 200 N de peso, en equilibrio apoyada en A está sujeta a una cuerda de CB de aluminio (Y=7,0x10 10 N/m2), de sección transversal 1.30 mm2; la cuerda puede soportar un esfuerzo máximo de 250x106 N/m2. La viga sostiene un bloque de 300 N. a. Haga el Diagrama de Cuerpo Libre de la viga. b. Halle el esfuerzo de la cuerda e indique si se ha roto. c. Halle el peso máximo que puede tener el bloque antes de romperse la cuerda y la deformación de la cuerda. Solución: D.C.L. de la viga: Hagamos uso de la 2da condición de equilibrio, tomando torques respecto al punto “A”: A 0 Td1 (200 N )(d 2 ) (300 N )(d3 ) 0 T (2.5Sen(15)m) (200)(1.25Cos(45)( N .m) (300)(2.5Cos(45))( N .m) 0 T 1092.82 N Calculemos el esfuerzo de la cuerda CB provocado por la Tensión (T): T 1092.82 N N T 840.63(106 ) 2 6 2 S 1.3(10 )(m ) m Comparando con el esfuerzo máximo que puede soportar la cuerda: MAX 250(106 ) N 6 N 840.63(10 ) 2 T m2 m Entonces la cuerda llega a romperse debido a que el esfuerzo aplicado supera al esfuerzo máximo. Para que la cuerda se encuentre a punto de romperse, la tensión aplicada (T’) debe provocar un esfuerzo de igual magnitud al esfuerzo máximo. Es decir: T' N N 250(106 ) 2 T ' (1.3)(106 )(m2 )(250)(106 ) 2 A m m T ' 325 N MAX Con este último dato y nuevamente calculando torques respecto al punto A, tomando un peso W del bloque: A 0 T ' d1 (200 N )(d 2 ) (W )(d3 ) 0 (325 N )(2.5Sen(15)m) (200)(1.25Cos(45)( N .m) (W )(2.5Cos(45))(m) 0 W 18.958 N 19 N Problema2. Un cilindro sólido está unido a un resorte horizontal sin masa de modo que puede rodar sin resbalar a lo largo de una superficie horizontal, como se ve en la figura. La constante de fuerza k del resorte es de 2.94 N/cm. Si el sistema parte del reposo desde una posición en que el resorte esta estirado 23.9 cm, halle: a. La energía de cinética de traslación. b. La energía cinética de rotación del cilindro al pasar por la posición de equilibrio. c. El periodo de oscilación del centro de masa también efectúa MAS. Solución: Se encontrara la ecuación del movimiento mediante el uso de Energía: La energía total del sistema es la suma de la energía cinética (traslación y rotación) y la energía potencial (elástica) y es constante durante todo el tiempo: E ( Ktraslación K rotación ) U elástica Ktraslación K rotación 1 dx M 2 dt 1 d Io 2 dt 2 2 1 1 2 2 d Momento de inercia del cilindro I o MR K rotación MR 2 4 dt dx d 1 dx R K rotación M También se sabe: dt dt 4 dt 2 2 1 2 kx 2 U elástica 1 dx 1 dx 1 3 dx 1 E M M kx 2 E M kx 2 2 dt 4 dt 2 4 dt 2 Como E es constante, 2 2 2 dE 0 dt dx dE 3 d 2 x M 2 kx 0 dt 2 dt dt 3 d 2x M 2 kx 0 2 dt d 2 x 2k dt 2 3M 2k 2 x 0 3M La ecuación del vector posición sería: x ( t ) ASen(t ) Cuando t=0, x = -A (estiramiento), entonces θ= -π/2, con esto obtenemos la ecuación de la posición: x (t ) ASen t 2 Cuando el cilindro pasa por la P.E. : x(t)=0, entonces posición la velocidad seria: t 2 0 y en ésta dx ACos t A dt 2 Con dicha velocidad en el P.E podremos hallar la Energía cinética de traslación y rotación: K traslación 1 1 2k M 2 A2 M 2 2 3M K traslación K traslación K rotación 2 N kA2 (294 m)(0.239m) 3 3 5.5978 5.6( J ) 1 1 2k M 2 A2 M 4 4 3M K rotación 2 A 2 A kA2 2.8( J ) 6 Calculo del periodo del M.A.S.: 2 T 2k 2 6M T 3M T k Si M=1Kg (no nos dan en los datos), el periodo seria: T T 7 6(1Kg ) (294 N ) m ( s) Problema3.Se hace oscilar el extremo de una cuerda (x=0), según la ecuación: y=A Sen(ωt), siendo: A=0.15 m y ω=20π rad/s. Por la cuerda se origina una onda armónica, y el punto x1=0.05 m oscila según la expresión y = A Sen(ωt-π/4). Calcular: a. b. c. d. La frecuencia y la fase inicial de la onda. La longitud de onda y velocidad de propagación. La ecuación de la onda y(x,t). Determine como obtener una onda estacionaria del 2° armónico con estos datos. Solución: Primeramente se hallará la ecuación de la onda: 2 y( x ,t ) ASen t x Cuando x=0: 2 y(0,t ) ASen t (0) ASen(t ) 0 Cuando x=0.05: 2 y(0.05,t ) ASen t (0.05) ASen t 4 2 (0.05m) 0.4(m) 4 Además se sabe: 20 rad 2 f f 10 Hz s Con estos datos ya se puede hallar la ecuación de la onda: y( x ,t ) 0.15 Sen(20 t 5 x) (m) Velocidad de la onda: m v f v 4 s Problema4. Un ingeniero geólogo UNI está haciendo exploración, se zambulle en el mar donde la velocidad del sonido es 2500 m/s, y con su martillo de punta circular de ½ de pulgada de diámetro golpea por un 3/4 de hora con una fuerza de 36700 dinas, o que equivale a una presión continua del 2.5%. Después se traslada a otro ambiente donde trabaja por 90 min, y soporta una potencia sonora de 64 watts en 10 hectáreas de área. Si el resto del tiempo lo hace caminando, ¿Qué dosis de ruido soporta el trabajador minero? ¿Este trabajador está en condiciones sonoras adecuadas? Calcule y mencione que comentarios haría. (Densidad del mar 1.05 g/cc). Datos: I P2 2 vS , ρ= densidad del medio P= presión VS= velocidad del sonido I = intensidad C C C Dosis 100 1 2 ... n Tn T1 T2 Dónde: C = El tiempo que un trabajador está expuesto a cada nivel sonoro. T= El tiempo que de exposición permitido. Nivel de ruido en la escala de ponderación “A” Tiempo de exposición máximo en una jornada laboral 82 decibeles 85 decibeles 88 decibeles 90 decibeles 100 decibeles 16 horas/día 8 horas/día 4 horas/día 1 ½ horas/día ¼ horas/día Solución: En el primer ambiente (mar): C1=3/4 hora= 45 min Hallemos la presión: P F 0.367 N 2897.135( Pa) A (0.635 x102 m) 2 Solo tomamos el 2.5% de esta presión, para hallar la presión continua: PC 2.5% P 72.43( Pa) Ahora calculando la Intensidad: I PC 2 (72.43Pa) 2 2 vS 2(1050 Kg m3 )(2500 m ) s I 103 (Watts / s) Con éste último dato calculamos el nivel de ruido: I 103 10 Log 10 Log 12 90dB 10 Io Consultando la tabla, tenemos que T1=1 ½ hora=90 min En el segundo ambiente: C2=90 min La Intensidad es: I P 64Watts Watts (6.4)(104 ) 2 A 100000m m2 El nivel de ruido es: I 6.4 x104 10 Log 88dB 12 I 10 o 10 Log Consultando la tabla, tenemos que T2=4 horas=240 min Hallando la dosis: C C 45 min 90 min Dosis 100 1 2 100 T T 90 min 240 min 1 2 Dosis 87.5 100 Comentarios: La dosis es menor a 100, es decir el ingeniero se encuentra en óptimas condiciones de nivel sonoro en ambos ambientes. El ingeniero puede realizar sus exploraciones sin ningún riesgo sonoro. Problema5. Debido a la resolución de la corte de la Haya el Perú debe fabricar un submarino donde la parte cilíndrica es de 150m de largo y 24m de diámetro, la parte triangular es equilátero (cono), la otra parte es semiesfera, si tiene un espesor de 1 pulgada de plancha de acero (D=7.8 g/cm3), si se quiere que el submarino viaje hasta 200m de profundidad. Adicionalmente se tiene una tripulación de 80 marinos que pesan en promedio 80Kg, la maquinaria interna en el submarino pesa un equivalente a 200 toneladas ¿Qué haría? ¿Cuánta agua necesitaría? Solución: Vacero Vacero Primeramente se hallará la masa total del sistema: Masa de la tripulación=8x80Kg=640Kg Masa de la maquinaria del submarino=200 Tn=200000 Kg Masa del acero: o Teniendo su densidad = 7800Kg/m3, podemos hallar su masa calculando su volumen. o El volumen del acero es: R2h 2 R 3 ( R 0.0254m) 2 (h 0.0254m) 2 ( R 0.0254m)3 2 2 R L R 0.0254m L 3 3 3 3 74611.76m3 74289.875m3 VTOTAL VINTERNO VACERO 321.885m3 o La masa del acero es: M ACERO (7800 Kg m3 )(321.885m3 ) M ACERO 2510703Kg Masa del agua que ocupa un Volumen “V”: MAGUA=(1000Kg/m3)(V) Masa del aire que ocupa la parte interna del submarino restándole el volumen que ocupa el agua: M AIRE ( AIRE )(VAIRE ) ( AIRE )(74289.875m3 V ) M AIRE (1.26 Kg m3 )(74289.875m3 V ) La masa total del sistema es: M SIST 640 Kg 200000 Kg 2510703Kg (1000 Kg m 3 )V (1.26 Kg m 3 )(74289.875m3 V ) Usemos el Principio de Arquímedes: E M SIST xg AGUA xVTOTAL xg M SIST xg (1000 Kg 3 )(74611.76m3 ) 640 Kg 200000 Kg 2510703Kg (1000 Kg 3 )V (1.26 Kg 3 )(74289.875m3 V ) m m m 3 71806811.76m 1000V 1.26V V 71897.4m3 En conclusión se necesitará agregar de manera regular un volumen de 71897.4m3 de Agua para llegar a la profundidad pedida.