Solucionario Demidovich Tomo III - ByPriale.pdf

www.FreeLibros.me WWW.SOLUCIONARIOS.NET www.FreeLibros.me ANALISIS MATEMATICO III SOLUCIONARIO DEMIDOVICH TOMO III OO 1 n X n -\ EDUARDO ESPINOZA RAMOS •:r^-vrv¿PVMj{vr; yvai? -*-?*>■1r1 - > - v r * - ' rr\' 'VK/ rgr; ,-•>? '■" '>- r ~1’ ' ■r <& -■t : . *V !••;<• “*«r www.FreeLibros.me IMPRESO EN EL PERÚ 11- 10- 2010 5 / 0 EDICIÓN DERECHOS RESERVADOS .KMBWVWIOKmHmWmKtf ^flSK 33wKVM««»irMpBHBnnW SS^5?5BSSB8SS8B85SSSS^!BBBB^3 ESTE LIBRO NO PUEDE REPRODUCIRSE TOTAL Ó PARCIALMENTE POR NINGÚN MÉTODO GRÁFICO, ELECTRÓNICO O MECÁNICO, INCLUYENDO LOS SISTEMAS DE FOTOCOPIA, REGISTROS MAGNÉTICOS O DE ALIMENTACIÓN DE DATOS, SIN EXPRESO CONSENTIMIENTO DEL AUTOR Y EDITOR. RUC Ley de Derechos del Autor Registro comercial Escritura Publica Hecho el deposito legal en la Bilblioteca Nacional del Perú con el número N° 20520372122 N°13714 N°10716 N° 4484 N° 2007 - 12592 www.FreeLibros.me PROLOGO Se sabe que la humanidad ha avanzado lentamente hacia la conquista de los conocimientos y la mayor de estas es la escritura, con ella la humanidad alcanzó el más alto sitial en la creación; pero tan antiguo como ella, es el concepto de cantidad. Esto nace aun antes de la escritura por eso la ciencia de los números están importante como la vida misma. El avance tecnológico funda sus bases en los conceptos primarios, lo que estudiados, desarrollados y perfeccionados han llevado al hombre hacia grandes conquistas. La aventura del pensamiento nos ha llevado de la mano con la tecnología a descubrir grandes realidades. Por ello mi deseo es plasmar en las paginas de este tercer tomo, en su cuarta edición del solucionarlo del libro problemas y ejercicios de análisis matemático por B. Demidovich, el planteo fácil a los diversos ejercicios que se presentan, además se incluye una colección de gráficos los que ayudarán eficazmente a la captación de los diferentes problemas. Mi agradecimiento al lector por la preferencia que brindan a cada una de mis publicaciones, las que emanan del deseo de que encuentren en ellos una ayuda para su avance y desarrollo intelectual. EDUARDO ESPINOZA RAMOS www.FreeLibros.me www.FreeLibros.me Este libro lo dedico a mis hijos: RONALD, JORGE y DIANA que Dios ilumine sus caminos para que puedan ser guías de su prójimo www.FreeLibros.me 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.8. 6.9. 6. 10. 6.11. 6. 12. 6.13. 6.14. 6.15. 6.16. www.FreeLibros.me Conceptos Fundamentales. Continuidad. Derivadas Parciales. Diferencial Total de una Función. Derivación de Funciones Compuestas. Derivada de una Función dada y Gradiente de una Función. Derivadas y Diferenciales de Ordenes Superiores. Integración de Diferenciales Exactas. Derivaciones de Funciones Implícitas. Cambio de Variables. Plano Tangente y Normal a una Superficie. Formula de Taylor para las Funciones de Varias Variables. Extremo de una Función de Varias Variables. Problemas de Determinación de los Máximos y Mínimos Absolutos de las Funciones. Puntos Singulares de las Curvas Planas. Envolvente. www.FreeLibros.me 242 246 257 277 290 323 335 345 362 373 384 420 435 479 493 % Longitud de un Arco de una Curva en el Espacio. Función Vectorial de un Argumento Escalar. Triedro Intrínseco de una Curva en el Espacio. Curvatura de Flexión y de Torsión de una Curva en el Espacio. INTEGRVLES MULTIPLES Y CURVILINEAS Integrales Dobles en Coordenadas Rectangulares. Cambios de Variables en la Integral Doble. r Calculo de Areas de Figuras Planas. Calculo de Volúmenes. 1 ■’ » 7 i 1 M i . * ' / ; í i- t / Calculo de Areas de Superficies. Aplicaciones de la Integral Doble a la Mecánica. Integrales Triples. Integrales Impropias, Dependientes de un Parámetro. Integrales Impropias Múltiples. Integrales Curvilíneas. Integrales de Superficie. Formula de Ostrogradski - Gauss. www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 1 FUNCIONESDE VARIAS VARIABLES 6.1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES. ( 7 ) DEFINICIÓN.- A una función de dos variables x e y se designa por z = f(x,y) donde las variables x e y se llaman argumentos o variables independientes, en forma similar para el caso de tres variables. 2 J CONCEPTOS DE EXISTENCIA DE LA FUNCION.- Se entiende por campo de existencia de la función z = f(x,y) al conjunto de puntos (x,y) del plano XY que determinan la función dada. ( ? ) LINEAS Y SUPERFICIES DE NIVEL DE LAS FUNCIONES.- La línea de nivel de la función z =f(x,y) es la línea f(x,y) =c del plano XY, en cuyos puntos de la función toma un mismo valor z =c. Se entiende por superficie de nivel de una función de tres variables u =f(x,y,z) a la superficie f(x,y,z) = c, en cuyos puntos la función toma un valor constante u = c. 1782 Expresar el volumen V de una pirámide cuadrangular regular en función de Su • • , ; i ' ; • ; . 1 • ' ' , 1 ' ■ ' ’ * altura x y de su arista y. Desarrollo www.FreeLibros.me 2 Eduardo Espinoza Ramos 1783 Por Pitágoras se tiene: 4b2 = 2a2 => a2 - 2b2 En el triángulo ABC, se tiene: y 2 = b 2 + x 2 => b2 = y 2 - x2 a 2 2 — = y - x 2 a2 = 2 ( y 2 - x 2) Como V = ^(area basé)x(altura), en donde Area base = aA=2( y 2 - x 2) y la altura es x Luego F = j 2 ( y 2 - x 2)x = - ^- ( y2 - x 2) r r 2x 2 2 \ V = - ( y 2 - x ~) Expresar el área S de la superficie lateral de un tronco de pirámide regular, en función de los lados x e y de las bases y de la altura z. Desarrollo Haremos la representación gráfica de acuerdo a los datos^del problema. En el A ABC se tiene: a2 = ( x - y ) 2 + z 2 •••(!) www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 3 1784 2 2 x - y 2 por Pitágoras se tiene: h - a - (-------) (2) ahora reemplazando (2) en (1) se tiene: ,j 4- ! +3(.t- , , , h = — de donde h = + 3;) _^ además área de la superficie laterales: x *+■v S =6A¡ donde Ax=-------./*, que al reemplazar h se tiene: S = 6(x +y) y]4z 2 +3(.x->>)i S = - ( x + y)y¡4z2 +3 ( x - y ) ‘ Hallar f A ,3) y f( 11) si f ( x, y) = xy + - 2 y www.FreeLibros.me 4 Eduardo Espinoza Ramos 1785 1786 Desarrollo 1 Como f ( x , y ) = xy + - => / ( i ,3) = (I )(3) + | = | + i = | y 2 2. 3 2 6 3 2 2 Hallar f(x,y), f(-x,-y), / ( - , 2) , - si f ( x, y) = X y x y f ( x , y ) 2 Desarrollo f , , X 2 - y 2 _ ( - x ) 2 x2 - y 2 f ( x , y ) = — ------- =>f ( - x , - y ) = — ~ =—i------ 2 xy 2( - x) { - y) 1 1 f ( L i ) =i L _ x ' y 2(—)(—) 2xy x y , x2- y 2 1 2xy f ( x , y ) = — => —— ~= ~ — 7 2xy /(x,y) x - / Hallar los valores que toma la función f(x,y) = 1+ x - y en los puntos de la 2 r 2 parábola y = x y construir la gráfica de la función F(x) = f ( x 9x ). v v Desarrollo Se tiene que f(x,y) = 1+x - y entonces www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 5 1787 1788 F(x) = /(x,x“) =1+ x - x => y - l + x —xJ 5 1 2 ahora completamos cuadrados se tiene y - —= - ( x - —) que nos representa una parábola de vértice V(— ) cuya gráfica es: 2 4 4 2 2 2 4 Hallar el valor de la función z = en los puntos de la i 2 2 1- x - y circunferencia x2 + y 2 = R2 Desarrollo Como z = f { x , y ) x4+2 x2y 2 + y 4 (x2+y2)2 1~ x2- y 2 l ~( x 2 + y 2) 7 9 9 í> Como x + y = R entonces z = /(x,y) = R¿ 1- R' n 2 Determinar f(x) si / ( —) = — , (xy >0) x y www.FreeLibros.me 6 Eduardo Espinoza Ramos 1789 1790 Desarrollo K -)2+1= y ii 1 A 2 +i r , x I 1 , Vl + X' /(*) = ./— + ! = Vi /w= Tí + x' X Hallar f(x,y) si f ( x + y , x - y ) = xy + y' Desarrollo Haciendo x + y = u x - y - u x = u +v ^2~~ u - v y = „ \ r, \ U+ V U~ V , U~ V\2 Como f ( x + y , x - y ) = f ( u, v) = —— . - y - + ( - ^—) u2 - v 2 u2 2uv v2 w2 wv u2 - uv _ l --------------------------------------------------------------------- 4 4 4 4 2 2 Sea z = yfy +/ ( Vx -1). Determinar las funciones f y z si z =x para y - 1 Desarrollo Como z = yfy +/ ( Vx -1) y z = x para y = 1 NT Entonces x = l +/( V x - l ) => /( V x - l ) =x - l www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 1 Sea U = yfx -1 => yfx =U + 1 => X =( u +1)2 / (Vx - 1 ) = / (w ) = ( u + 1)2 - 1 = u 2 + 2m / (x) = x2+ 2x como /( V x- l ) = x - l entonces z = x - \ + yfy 1791 Sea z = x f (—). Determinar las funciones f y z, si z = >/l + y2 , para x = 1. x Desarrollo Como z = x f ( —) => \J\ + y 2 = /(y) , donde z = >Jl + y 2 , para x = 1 x Como z = x f '(—) y / (y) =>jl + y 2 entonces x / ( - ) = J l + ( - ) 2 = ~ ~ ~ de donde z = x f ( - ) = ^ - + - ~ X V x I X | X | X | í v .. z =x - ----------- |x| 1792 Hallar y representar los campos de existencia de las siguientes funciones: a) z = y j \ - x 2 - y 2 Desarrollo Para que z = y j l - x 2 - y 2 esté bien definida debe cumplirse que i i # y * > '' f *4 * i-i' * r. " " 1- x2- y 2>0 de donde x2+ y 2<1 Luego su campo de existencia es el disco de radio 1. www.FreeLibros.me 8 Eduardo Espinoza Ramos b) z =1+ Desarrollo Para que z =1+y ¡ - { x - y ) 2 esté bien definida debe cumplirse que - ( x - y ) 2 >0 de donde (x - y ) 2 <0 como (x - y ) 2 <0 => y = x Luego y = x es el campo de existencia de la función z = 1+>/-(* - y y c) z = In (x + y) Desarrollo Para que z = ln (x + y) esté bien definida debe cumplirse x +y >0, que nos representa un semi - plano que se encuentra sobre la recta x + y > 0 www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 9 d) z =x +árceos y Desarrollo Sea w = árceos y => eos w = y, pero como coseno varia entre -1 y 1es decir para este caso - 1<y< 1 y la x toma todos los valores reales. Luego el campo de existencia nos representa una faja comprendida entre - i y 1 Y - 1 , i .. \ V , f t * t -~l. ' Y * • / . •' •* J y f V 0 X - 1 e) z = VT-x2 + y ] \ - y 2 Desarrollo z = y j \ - x 2 +y j \ - y 2 está bien definida si 1- x2 >0 a 1- y 2 >0 www.FreeLibros.me 10 Eduardo Espinoza Ramos donde x2<1 a y 2 < 1 =í> un cuadrado Y 4 -1 <x <1 a -1 <y <1, que nos representa - i «' ..Vi i / ’t-tH . .... > -V ' ................. - • ; x : • A-' a t . • ........ i * . 0 ^ y i: ’:;VV í; V i 1 x -1 f) z = \¡(x2 + y 2 - a 2)(2a2 - x 2 - y 2) , (a >0) Desarrollo z = f(x,y) está bien definida si se cumple que: (x2+y 2 - a2 )(2a2 - x2 - y 2) >0 de donde se tiene: (x2+ y 2 - a 2 > 0 a 2al - x ¿ - y ¿ >0) v (xz + / - a ¿ <0 a 2aL- xz - y A<0) 2 2 2 2 2 2 (x2+y2> a 2 a x2+y2<2a2) v (x2+y2 a 2a2<x2+y2) {a2 < x 2 + y 2 < 2 az ) v (2az <xz + yz < a z ) 2 ^ 2 . .2 ^ 2 a2<x2+y2<2a2 v (p => a2<x2+ y2<2a 9 9 9 9 Luego a <x +y <2¿r nos representa su anillo. www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 11 i) z = J y senx Desarrollo z = yjy sen x está definida si y sen x >0 ” .1 • • •'...................■...............-i - V. •' [.! ‘ •*, '• ¿ i ' como y sen x>0 <=> (y>0 a sen x >0) v (y <0 a sen x <0) <=> (y>0 a 2nn < x <(2n +1)7i) v (y <0 a (2n +1)ti <x <(2n +2)n i www.FreeLibros.me 12 Eduardo Espinoza Ramos j) z = ln(x +y) Desarrollo La función z = ln(x +y) está definida si jc +y >0 que nos representa 2 la parte del plano por encima de la parábola y - - x / x ~ y x k) z = arctg{------— ) 1+0 Desarrollo ^ / x—y x x~y Como z = arctg{- T- T) => t gz = 1+ x2y 2 1+ x2y 2 ^ • 7Ü 7T Como tg z vana entre y — se tiene: 6 2 2 n x - y n , 2 2 ^ * — < y —y < — y como 1+x y >0 entonces 2 2 i + x y — (\ + x1y 1) < x - y < —{\ + x1y 2) de donde 2 2 www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 13 1) z = ambas desigualdades son validas para tos x , y eR Luego el campo de existencia es todo el plano XY 1 La función z = 1 2 2 +/ Desarrollo está definida para todo x,y e R que cumple x2 + y 2 * 0 es decir que el campo de existencia es R2 menos el origen m) z = yj y- yf x Desarrollo La función z =.................. está definida si y - V * > 0 a x>0 de donde y > \ f x a x > 0 que nos representa la parte del plano sobre la rama de la parábola y = Jx y a la derecha del eje Y sin incluirlo. n) z = h— x —\ y www.FreeLibros.me 14 Eduardo Espinoza Ramos Desarrollo La función z =—-— f — está definida para x - 1* 0 a y ^0, es decir x - \ y que el campo de existencia es todos los puntos del plano menos los puntos de las rectas x =1 a y =0 ,*j • i!1' í n;/ v ' ’ .V * Y ' ■j ; 9bol . | i -%; ?$'m-M'swx'j '> 0 i , ..... '.‘i ••':' •,r::; •; yomuzi u; Á A: ; i p. , i i i r \n ’V-: ' "í ■ L Ar Oa ~ ?<:’ . .. ' • % • ' :.■' . ' .. . • X ' X V o) z = yjsen(x2 +y 2) Desarrollo La función z =yjsen(x2 +y2) está definida para sen(x2+y 2) >0 de donde 2nn <x2 +y 2 <(2n +1 , n e Z k Y + www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 15 1793 Hallar los campos de existencia de las siguientes funciones de tres argumentos. a) ti - Vx +yjy +Vz Desarrollo La función u = Vx + J y + Vz está definida si x >0 a y >0 a z >0 que nos representa el primer octante incluyendo la frontera. b) u = ln (xyz) Desarrollo La función u =ln (xyz) está definida si xyz >0 De donde (x>0 a y>0 a z>0) v (x<0 a y<0 a z>0) v (x<0 a y>0 a z<0) v (x>0 a y<0 a z <0) Que nos representa el 1er, 3er, 6to y 8vo octante sin incluir la frontera. c) u = arcsec x + arcsen y + arcsen z Desarrollo Como la función seno varia entre -1 y 1se tiene: -1 <x <1 a -1 <y <1 a -1 <x <1, que nos representa un cubo. d) U = yJ 1 - X 2 - - - 2 ~2 y Desarrollo La función u =y j l - x 2 - y 2 - z 2 está definida si: 1- x2- y2- z2>0 ==> x2-fy2+z2<l que nos representa el interior de una esfera incluido el borde. www.FreeLibros.me 16 Eduardo Espinoza Ramos 1794 Construir las líneas de nivel de las funciones que se dan a continuación y averiguar el carácter de las superficies representadas por dichas funciones: a) z =x + y Desarrollo Hacemos z = c donde c = 0, ±1, ±2,... Luego x +y = c nos representa rectas, que vienen hacer líneas de nivel. b) z = x2 +y 1 Desarrollo 2 2 \ En forma similar que la parte a) se tiene x + y =*c, donde c = 0,1,2,... y las líneas de nivel son circunferencias concéntricas con centro en (0,0) donde c >0 www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 17 v 2 2 c) z =x - y Desarrollo Haciendo z = c, c e R se tiene x2 - y 2 - c que son hipérbolas que nos representa a las líneas de nivel. Desarrollo Hacemos z = c luego c = yjxy => xy = c2 que son hipérbolas equiláteras y nos representan a las líneas de nivel. www.FreeLibros.me 18 Eduardo Espinoza Ramos Desarrollo 7 'y Hacemos z = c de donde (1 + x +y Y - c => x +y +1 =c => x + y = k que son rectas paralelas y nos representa a las líneas de nivel. www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 19 f) z —1 - | x | - 1y Desarrollo Hacemos z =c => c = 1- 1x | - 1y | de donde | x | +| y | = k donde k = 1- c que nos representa las líneas de nivel que son cuadrados g) z = y Desarrollo Sea z = c, c e R es decir: y - ex representa las curvas de nivel. que son parábolas y que nos www.FreeLibros.me 20 Eduardo Espinoza Ramos 1795 h) y yfx Desarrollo Hacemos z =-~= - c , c e R => y = cj~x que nos representa ramas de V i la parábola y que son las líneas de nivel. i) 2x 2 2 x2+ / Desarrollo _ . 2x 2 2 Hacemos z = c, c eR es decir: —----- - ~ c => x +y =—x que x 2 + y ~ c son circunferencias que nos representa las líneas de nivel. Hallar las líneas de nivel de las siguientes funciones: a) z ='ln(x -y y) Desarrollo Hacemos z = c, c e R entonces: ln(x2+y) = c entonces x2 + y = ec - k V: V www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 21 1796 Luego x~ t v = k que son parábolas que nos representan las líneas de nivel. b) z =arcsen (xy) Desarrollo Hacemos z =c ==>sen c =xy =k que son hipérbolas equiláteras En forma similar para las demás c) z = f ( yj x2 + v2) d) z = f(y - ax) e) z = / ( —) Hallar las superficies de nivel de las funciones de tres variables independientes, a) u =x + y +z Desarrollo Hacemos u = c, c g R, entonces x +,y +z =c que son planos paralelos que nos representan las superficies de nivel. ■ ^ 2 7 2 b) u = x +y +z Desarrollo 9 0 Hacemos u =c, donde c >0 entonces x +y~ +z“ =c que son esferas concéntricas de centro (0,0,0) y nos representan las superficies de nivel. v 2 2 2 c) u —x + y —z Desarrollo ? i Hacemos u = c donde c e R, luego x" + - z~ =c a que consideremos dos casos. 7 7 7 Cuando c > 0, x + y -?z~ - c nos representan hipérbolas de revolución de una hoja alrededor del eje Z. www.FreeLibros.me 22 Eduardo Espinoza Ramos cuando c < 0, v + y~ - z - c nos representan hiperboloides de revolución de dos hojas, alrededor del mismo eje, ambas superficies están divididas por el cono x + y ' - =c . 6.2. CONTINUIDAD.- O LIMITE DE UNA FUNCION.- Sea z = f(x,y) una función de dos variables, entonces: lim /(a*, y) =L o V c >0, 3 ó >0 tal que si (.v,r »—>(<?,'?) 0 <!(x,y) - (0,0) I <6 entonces | f(x,y) - L |< 8 © CONTINUIDAD Y PUNTO DE DISCONTINUIDAD.- •!' i $•f1,•' i•*, ’’’ , La función z =f(x,y) es continua en el punto P(a,b) si: lim / (. v, v ).= f ( a, b) (,v. y)—>( a.h) Si la función es continua en todos los puntos de un campo determinado, se llama continuidad en ese campo. Las condiciones de continuidad de una función f(x,y) puede no cumplirse en puntos aislados o en puntos que formen una o varias líneas y a veces figuras geométricas más complicadas. 1797 Hallar los siguientes limites de las funciones. a) lim (x2 + y 2)sen(— ) (A-, v)-K(),0) " xy V Desarrollo www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 23 Se conoce que: -1 <sen{—) <1 xy -(x2 + y 1) <(x2 + y 2 )sen{— ) < x2 +y 2 xy lim - ( x 2 + y 2) < lim (x2 +y 2 )sen{— ) < lim (x2 + y 2) (x,^)->(o,o) >(0,0) xy (-*■*>')—>(o,o> 0 < lim (x2 +y 2 )sen{— ) <0 lim (x2 + y 2 )sen(—) = 0 (*,.y)->(0,0) xy (x,y)-*( 0,0) xy b) lim x + > (x,^)->(oo,ao) x2 _|_ y 2 Desarrollo Tomemos el camino y = x que para por e origen Un, - Í Ü L = |lm 4 ±£ _ =lim i = o (*,>-)->(oc,go) x + y *->0° x + x •X->Q0x tomamos otro camino que pase por el origen y = x V ' 'i x + y x + x 1+ x lim — = lim — = lim = 0 (x,y)-+(cc,oo) x¿ + *->00 x + X x—>ocx -f x lim 4 ^ = 0 (■^jO-H00,00) * + y i í ahora se aplica la definición de limite y se demuestra que si existe lim 4 ± 4 = 0 ( a- , ^) - >( oo, x ) x + y www.FreeLibros.me 24 Eduardo Espinoza Ramos senxy c) lim — (*,>-)->( 0,2) x Desarrollo Sea y = 2 una recta que pasa por (0,2) senxy s e n l x ^ s e n l x lim -------- =lim-------- = lim 2---------- = 2 (a'O’)- >(0,2) x a—>0 x, a—>0 2x tomemos otro camino y = 2 + x que pasa por (0,2) 2 2 2 senxy sert(2x + x ) , senl x. eos x eos2x. senx x lim - = lim 1 =lim(------------------+------------------ ) (a,v)->(0,2) x a-»0 X *->0 X X = lim 2 eos x2 + lim x eos 2x. = 2 + 0 = 2 ■->o 2x a—>o X 2 d) lim (1 + - ) * (A,.y)->(ao,Á:) X Desarrollo Sea y =k entonces se tiene: X lim (1 + —)x = lim (1 + —)x = lim [(1 + —)k ]k - e k ( x , y ) —>(oc,k) X a - > o c x X e) lim (a,.v)->(0,0) x + y Desarrollo Tomemos dos caminos que pasen por el origen y = 2x, y = 5x entonces se tiene: , , ^ v' y lim —— = lim—- — = — ... (1) (a,>>)—>(0,0) x y *-»ox + 2x 3 www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 25 1798 i i- x .. x 1 ... hm -------- = lim---------= — ... (2) >(0,0) x + y *—>ox +5x 6 x como (1) * (2) entonces / í lim (*,.y)->(0,0) x + y 2 2 f) lim * - y (A-,^)->(0,0) x2 +y 2 Desarrollo Tomemos dos rectas que pasan por el origen de coordenadas tal como y = 2x, y = 3x x2 —y2 x2 —4x2 —3x2 3 Si y = 2x, lim - = lim - =l i m- ~V =— ... (1) (aj’)->(0,0) x + y *->o x + 4x 5x 5 *2- y 2 r *2- 9* 2 r -8jc2 Si y = 3x, lim — - = lim — 7 =l i m - (x,y)->(0,0) x + y X-+0 X + 9x *->° \ Qx 8 4 10 5 2 2 , x —y como (1)^(2) entonces A lim ... (2) (a,^)->(0,0) x2 +y2 Averiguar si es continua la función / (jc, y) = Desarrollo y j l - x 2 - y 2 si x2 +y 2 <1 0 si x2 +y 2 >1 9 9 Consideremos z = x + y , luego se tiene: F(z) = f (x, y) = y J \ - Z SÍ Z < 1 0 si z <1 www.FreeLibros.me 26 Eduardo Espinoza Ramos 1798 ahora calculamos el limite de F(z) cuando z —>1 3 limF(z) <=> lim F(z) = lim F(z) z—>1 z—►1 z—^1 lim F(z) = lim \ l \ - z = V1-1 = 0 z—>r z—>r lim F(z) =lim 0 = 0 z->r z->r como lim F(z) = lim F(z) =0 => 3 lim F(z) =0 z-»r z—>r z —>i además lim F(z) =F(l) =0 se concluye que F(z) es continua z —>1 Hallar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones: a) z =ln yjx2 + y 2 Desarrollo Como V (x,y) * (0,0), x2+y2>0 entonces la función z = ln y¡.x2 + y2 es continua en todo R~ menos en el origen b) z = (x-y)2 Desarrollo La función z = ------—- es discontinuidad en todos los puntos y - x. ( x - y )2 * 1 ' v C) Z = \ - x 2 - y 2 Desarrollo www.FreeLibros.me Punciones de Varías Variables 27 1800 > * La función z =------ es discontinua en todos los puntos de la 1 2 2 - x - y circunferencia x2 + y 2 =1 Demostrar que la función z = t v 2 xy si x1 +y 2 ^0 x2 +y 2 es continua con 0 si x - y =0 relación a cada una de las variables x e y por separado, pero no es continua en el punto (0,0) respecto al conjunto de estas variables. Desarrollo Veremos la continuidad de x e y por separado: 2kx Sea y = k entonces /¡ (v) = — — es continua en todas partes puesto que x+k y y x +L ^0 y para el caso k = 0, f\ (x) = 0 2 my En forma similar para x =m se tiene: /> (y) = —-----— es continua en todas y +m partes puesto que y 2 +m2 * 0, m * 0 y para el caso m = 0, f 2 (y) = 0 Ahora veremos que en (0,0) la función no es continua Tomemos y =x que pasa por (0,0) i- 2j*y 2x2 lim —-~=l i m—- = 1 ...(1) (v,>’)—>(0,0) x2 +y2 v—>02x ' ■ I : " "’■,■ ¡ l '• .■ : 1'■Í para y = 4x que para por (0,0) 2 xy Sx2 8 lim —------7 = lim - — *..(2) (Xi\’)—>(0,0)x + y .r->0 \ 7x2 17 www.FreeLibros.me 28 Eduardo Espinoza Ramos como (1) y (2) son diferentes es discontinua en (0,0). $ lim 2xy por lo tanto la función 6.3. DERIVADAS PARCIALES.- 1) DEFINICION DE LAS DERIVADAS PARCIALES.- Sea z = f(x,y) una función de dos variables si consideramos a la variable y como constante entonces: la derivada parcial de z con respecto a x es: ,im f ( x + Ax , y ) - f ( x , y ) r - - ,limA -------- J x (x>y) C X A x ~>0 lHA ■s?yi si consideremos a la variable x como constante entonces la derivada parcial de z con respecto a y es:, ( 2 ) TEOREMA DE EULER.- La función f(x,y) se denomina función homogénea de grado n, si para cada factor real k se cumple que: f( kx, ky) = kn^f ( x, y) una función racional entera será homogénea si todos los puntos de la misma son del mismo grado para toda función homogénea diferenciable de grado n, se verifica siempre la igualdad (Teorema de Euler). xf' (x, y) + v f ‘y (x, y) = nf (x, y) Hallar las derivadas parciales de las funciones www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 29 1801 z = x3- yr’ - 2axy Desarrollo Como z =x3- y3- 3axy dz dx dz dy - 3x - 3ay - -3y - 3ax 1802 z = x - y x +>> Desarrollo dz dx Ó Ó 2y (x + yY (x + yY (x + dz 2 y dx (x +yY (x +>>) — (x - y) - (x - y) — )(x +y) dz dy y dy * (x + y ) ( - \ ) - ( x - y ) - 2x dv (x + yY (x + y ) ‘ (x +jy)' dz -2x ¿y (x + y ) : 1803 z = y X Desarrollo www.FreeLibros.me 30 Eduardo Espinoza Ramos 1804 1805 1806 í~2 2 = >Jx - y Desarrollo Z = y[ : 2 2 x - y dz dx dz 2x yjx2 - y - y d>; v? y i x1 +y 2 Desarrollo dz dy +y í 2 2 x + y y 2 2 X + V ( x2 + y 2)2 V 7 7 7 w ) - - J L . dz _ yjx + y dy x2 +y 2 -xy ( x2 + y 2) 2 z - ln(x +y]x2 + y 2 ) Desarrollo 1+ dz dx >í X + y l X 2 + y 2 1 yjx' + y 2 s]x2 +y 2 {x + yjx2 + V2 ) yjx2 ^ 2 dz CX + V ' www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 31 l«807 1808 0-f v cz V I 1 x ' + y y dy x +V-v2+V2 a/x2+v2(x +A/.v2+r ) dz " o 7 7 T 7 (-v + V ^ 7 ) arct g( - ) X Desarrollo y dz dx v V i+(zr x X + v“ dz_ dy 1 i +( - r .Y o 9 .Y” + V" CZ <3x dz '■N 2 2 A' +V Z = X Desarrollo Z = .Y dz ~dx dz •*> i-i = VA' = a* 1 ln x .Vt//( 1809 z = e v Desarrollo www.FreeLibros.me 32 Eduardo Espinoza Ramos 1810 1811 ' V C)Z s e n ( - ) y ] 1 s e n ( ~) y ~ - e ' cos(—)(—) =—e v cos(—) cy x x x x arcsen •> i x ~ - v“ 1 ■> X “ + V Desarrollo ,, i -i i— -> o /^ i _ ■) cz c x ]¡ x + y “ v 2 xv ~ x y “J 2 x ~- 2 v" .2_ -> -> -> I o ¡ 1 / 4 4 \ C*Y I x~ - v~ i V j (a*“ 4- _v")y x~ - v“ !.v ; ( v ~ y ) j 2 ~ ~ ~ 2 \ v + cz xv2y]2x~ - 2 y - - C | A - V cr cy y x ‘ -f v2 ~ v~ ^ 2 x 2 - v2 <*v~ ! v !(-y 4 - v 4) ’l X“ + v;“ 1 -V+a ■V r = ln(.s^/ 7(— 7=“)) V-v Desarrollo x + ci 1 v cos( j—) 2 = = I t.(Jf(í±í., y y , x + cos( f=~) cz V y , x +«. x +a , x + — = y — ( y) = yC-lgi—f ^) c y r x + a \ - - v v • sen jy 2 v2 2>’2 www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 33 1812 1813 1814 Desarrollo u =(xy): => < cu dx Su oy du — 7 = (.vv)’ ln(.vv) 11= zu Desarrollo u = av dy cu dz =_yz'u ln z - xzxy ln z xyz' .AV-I Hallar 2,1) y f ‘(2,1) si f ( x , y ) = Jxy + - Desarrollo www.FreeLibros.me 34 Eduardo Espinoza Ramos 1815 1816 1817 JU 2,1) f (2,1) = 14-1 _ 1 2-Jl + l 2 2 - 2 O O 272+2 4 / , (2,1) =- ./;' ( 2,n=o Hallar / V(L2,0), f (1,2,0) y f l (1,2,0) si f(x.y.z) = ln (xy +z) Desarrollo / VU\ y,r) = v f(x,y,z) = ln (xv +z) => </,. (x, y, z) - /. (x, v\-) = xy +z x XV 4- Z 1 XV 4- Z /; .d,2,o) i => 2/; (1.2,0) ./: d,2,o) 24- 0 1 2 + 0 1 2 2 ¿mé 1 7+0 ” 2 Comprobar el Teorema de Euler sobre las funciones homogéneas del 1816 1819 /(x, y) - Ax~ + 2Bxy + Cy‘ Desarrollo /(Ax,ky) = Ak2x2 +2Bk~xy + CA: V =A‘ ( Ax1 +2&vv +(V - A^/(x,y) ■> Luego f(x,y) es homogénea de grado k =2 ? o a - + y - Desarrollo f ( kx, ky) = — = A: 1 , A = k 1/ (. v, v ) A:“x + A“y x^ + v “ por lo tanto / (Ax, Ay) = A !/(x,y) www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 35 1818 1819 1820 1821 i f ( x , y ) = ln(—) X Desarrollo f{kx, ky) = l n(^) = ln(—) = kx x Luego f(x,y) es homogénea de grado cero x + y ti Desarrollo n i c . k y ) = , t fM,- = - 4 >/<*•>•) yjk2X2 + k 2y 2 yjx2 +y' por lo tanto f ( kx, ky) = k 3f ( x , y ) ^ i j---------------- Hallar (—) , donde r =>/x2+y 2 +z2 Desarrollo cbt r / o ó" V + z' —=(x2+y 2 +z2) 2 v>. dx r —(x2+ y 2 +z2) 22x = 2 x 2x0 (x +y +z“) Calcular dx dx dr d# qy qy dr d# , si x =r eos 0, y =r sen 0 www.FreeLibros.me 36 Eduardo Espinoza Ramos 1822 1823 Desarrollo x - r eos 0 dx dr = cosG dx ~dó - - r sen G y = r sen 0 dy_ dr cy do =sen 0 eos 6 - r sen 6 sen 6 r eos 6 2 =r cos^0 +r 0 =r dz dz . . 1 / 2 2 2n Demostrar que x— +y— = 2 , si z =ln(x +y +z ) dx dy Desarrollo ln(x2+y2+z2) dz 2 x +y dx dz 2 2 x +yx +y 2 y +x 2 2" x +yx +y dz dz 2x +xy 2y2+xy 2(x2+xy +y 2) *dx ^dy x2+xy +y2 x2+xy +y2 x2+xy +y2 =2 dz dz x — + y — = 2 dx dy dz dz Demostrar que: x — +y -— =xy + z si z - xy +xe dx ' dy www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 37 1824 1825 Desarrollo xy +xe dz ex , V T - y - - - e a + e .\ dz dy = x + eY ^ ^ ' V » CZ CZ — — — — x +y — =xy - yeY+x e Y-f vev+xv = xy +(xy +xeY) =xy + ex dv dz dz x hv— = xy +z ex " dv Demostrar que — +~ =0, si u = (x - y )(y - z)(z - x) dx dv cz Desarrollo u = (x - y)(y - z)(z - x) CU dx cu cy cu . dz = ( y - z ) ( z - x ) - ( x - y ) ( y - z ) = (a- - y)(z -x)-(y - x) = (x- v)(y - z) - (x- du 8u du w , w . — + — +— = ( y - z ) ( z - x ) - ( x - y ) ( y - z ) + ( x - y ) ( z - x ) ex ev cz ~(y - z)(z - x) +(x - >’)(>’ - z) - (x - y)(z - x) =0 du cu du — + — + — - () ^ ^ ^ ex ev cz _ du du cu , . x - y Demostrar que: — +— +— =1, si «=x + ^ ex ev cz y - z www.FreeLibros.me 38 Eduardo Espinoza Ramos 1826 1827 Desarrollo u =x 4- x - y y - z cu ex cu dy cu cz 1+ 1 y- < z - x ( y - z ) : X - y du du du 1 z - x x —y +--- +-----=1+------- +----------r + ex dy dz y - z ( v- z) (y - z)‘ i * z ~ y i i = 1+ --------- 4----------- ^- r = 1+------ V-Z (v- z)' v- z v- z CU ^CU CU _ J ex cy cz Hallar z = z(x,y) si . cz dy x2 4- y Desarrollo dz x cy x~ +y4 —, integrando se tiene: í: .ydy , v , V, , , — z =arctg(—) + (p{x) X~ +V A* Hallar z ~z(x,y), sabiendo que: — =------- — y z(x,y) - sen y «cuando x ex Desarrollo www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 39 1828 2 , 2 2 C Z X “I - V X -— = —. integrando se tiene: z = — +yMnx +g(>>) dx x 2 cuando x =1, z = sen y entonces y = —+g(jy) => g(.y) = v - — 2 .2 x2 2 , 1 _ = l -yl nx + sen y — 2 2 J 9 Por el punto M(l,2,6) de la superficie z = 2x~ + y se han hecho pasar planos paralelos a las coordenadas XOZ e YOZ. Determinar, que ángulos forman con los ejes coordenados las tangentes a las secciones así obtenidos en su punto común M. Desarrollo a) Si se considera el plano paralelo al plano XOZ, este plano es perpendicular al eje Y y por lo tanto p = 90° y tg p = co y la pendiente dz de la tangente seria: t ga = dx = 4(1) = 4 => tg a = 4 y el ángulo A ' = l formado por la tangente y el eje Z será a + y =90° =>y =90° - a de donde t gy = t g ( 9 0 - a ) =ct ga = — => t gy = — 4 4 b) Si se considera el plano paralelo al plano YOZ entonces dicho plano es perpendicular al eje X y su ángulo a = 90° de donde tg a = ao y la pendiente de la tangente será Luego t gp - dy dz = 2y =4 - v=2 >-2 ay = 4 => tg P =4 >-2 Y el ángulo formado por la tangente y el eje X será: www.FreeLibros.me 40 Eduardo Espinoza Ramos 1829 1830 P +y =90° => y =90° - p t gr = tg{9o° - p) =ct gp = i 4 1 /ory —_ ft/ 4 El área de un trapecio de bases a, b y de altura h es igual a S a +b h , hallar as as as da db dh S y mediante su dibujo, establecer su sentido geométrico. Desarrollo ) ' ' ■ V | • i as_ h CUf ~ 2>'y: a + b ! as h ------ h => < — — 2 aa 2 as a + b lch 2 Demostrar que la función /(x, v) = < 2 xv 7 7 si x +y~ * 0 x“ +y" tiene derivadas 0 si x ~ y —0 parciales / ’ (x,y) y / ’ (x,y) en el punto (0,0) a pesar de ser discontinua en este punto. Desarrollo Calculando las derivadas parciales en el punto (0,0) m i Mizim, lim i m - i m , lim « z » . 0 //->o h //->o // /j—»o h r l (0,0) = lim / <M ±* W Í M = lim /(Q.* )-/(°.Q) = l i mo^2_ „ //—>0 h /?—»o h /?—>0 >/? ahora veremos la discontinuidad, para esto tomamos dos caminos que pasen por (0,0), tales como y =x, y = 4x www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 41 r 2xy r 2x2 1 lim —----- —= lim— - =1 ... (1) (a', v)—>(0,0) x +y -v_>02x 2 xy 8a* 8 lim — = lim =— ... (2) (A-,v)->(0,0) X2 + y 2 -V->017X2 17 como (1)^(2) entonces $ lim f ( x , y ) (a,v)—>(0,0) por lo tanto f(x,y) es discontinua en (0,0) 6.4. DIFERENCIAL TOTAL DE UNA FUNCIÓN.- INCREMENTO TOTAL DE UNA FUNCION.- Si z - f(x,y) es una función de x e y entonces el incremento total de una función definiremos por: Az = Af(x,y) = f(x + Ax, y + Ay) —f(x,y) DIFERENCIAL TOTAL DE UNA FUNCIÓN.- Si z = f(x,y) es una función de x e y entonces a la diferencial total de la función z = f(x,y) es definida por: ( ? ) APLICACIÓN DE LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN A LOS CÁLCULOS APROXIMADOS.- Si z = f(x,y) se verifica la igualdad aproximada: Az =dz www.FreeLibros.me 42 Eduardo Espinoza Ramos 1831 Para la función f ( x , y ) = x~y, hallar el incremento total y la diferencial total en el punto (1,2) compararlo entre sí. a) Ax = 1; Ay =2 Desarrollo Af(x,y) = f(x +Ax, y +Ay ) - f(x,y) Af( 1,2) = f( 1+1, 2 +2) - f( 1,2) /(2,4) - / ( l , 2) = f(2)24 - (l)22] - 16 - 2 - 14 /. Af( 1,2) - 14 jyv ^ df ( x, v) . of(x, y) df (x, y) =— — dx + dy ex cy #(1,2) == df y y ) Ax + g / £ j ) - 2(1)2 +(1)22 =4 + 2 -- 6 dx Luego Af( 1,2) - df( 1,2) = 14- 6 =8 .*. Af(l,2) - df(l,2) =8 b) Ax =0.1 , Ay =0.2 Desarrollo Af(x,y) = f(x +Ax, y + Ay) - f(x,y) Af( 1,2) = f( 1+0.1, 2 +0.2) - f( 1,2) =f( 1.1,2.2) - f( 1,2) (1.1)2(2.2) - (l)22 = 2.662 0.662 Af(l,2) =0.662 # ( 1 , 2 ) = ^ ) ^ x + ^ l Ay V dx dy 2(2)(0.1) +1(0.2) = 0.4 +0.2 = 0.6 df( 1,2) =0.6 www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 43 1832 1833 Luego Af(1,2) - df( 1,2) - 0.662 - 0.6 - 0.062 Af( 1,2) - df( 1,2) =0.062 Demostrar, que para las funciones u y v de varias variables (por ejemplo de dos) se verifican las reglas ordinarias de derivación. a) d(u +v) = du + dv b) d(uv) = u dv + v du ,/u. vdu- udv C ) d(-)=------------------ v \ r Desarrollo d(u +v) 6(u + v) du dv du dv a) d i n + v ) = — dx + -----------dv - — dx + — dx + — dv-H----- dv ex cy ex ex ey ey ,du . cu . x .dv . dv . . - (— dx h------ dv) + (— dx h---- d v ) = du + dv dv dy ' dx dy Hn forma similar las anteriores Hallar las diferenciales totales de las siguientes funciones: Desarrollo CZ . CZ dz - — d x + — d y dx dv dz - (3.v2- 3y)dx +(3 v~- 3x)dy 1834 : = .vV Desarrollo www.FreeLibros.me 44 Eduardo Espinoza Ramos 1835 1836 1837 í7'7 r)'r d z = — dx + — d y ex dy 7 7 dz = 2 xy dx + 3x~y~dy 7 7 .v“ - y 7 7 x" +y" Desarrollo dz - — dx +— dv / -V, ex cy (o y i x~ - \ r y y X 4~V C Z 4.vv‘ cz dv (..v*' +v~ Y -4v2y ( P T 7 ) T (2) ahora reemplazamos (2) en (1): dz 4.v y / 2 2x2 (x 4-y ) dx 4x~ v 7 7 7 ( v“ i- y~)“ dv 7 7 : z —sen~x +eos" v Desarrollo dz dz dz - — dx 4 — dy dx dv dz =2 sen x eos x dx - 2 eos y sen y dy dz = sen (2x) dx - sen (2y) dy z - yx Desarrollo www.FreeLibros.me Funciones de Varías Variables 45 1838 1839 1840 dz dz = — dx-\----------- ay dx O 1 dz —y xy~ dx +xy (1 +y ln x)dy i i z = ln(x" +y - ) dz dz dz - — dx H dy dx dy 2x 2y dz = —-- dx + — -dy x+y x+y f ( x , y ) = ln(l +—) y Desarrollo Desarrollo dx dy df (x, y) = —— dy---- —-—- dy x + j y(x + y) y x z = arctg — +arctg — ^ x y Desarrollo dz dz dx = — dx H dy dx dy ... (1) y x z - arctg —barctg — x y dz dx dz y 2 2 x+y ... (2) www.FreeLibros.me 46 Eduardo Espinoza Ramos 1841 1842 1843 v x ahora reemplazando (2) en (1) se tiene: dz - — dx — dy x2 + y xz + y z z = ln t g( - ) X Desarrollo dz dz dx = — dx H dy dx dy dz 2 v —— ( dy— dx) X xsen(— ) x Hallar df( 1,1) si / (x, y) = Desarrollo n 5/0,1). 3/0,1). df{ 1,1)= 7- -~dx + -d- :—- dy dx dy (1 ) / (x, y) = y 3/(1,1) dx 3/(10) = -2 (2) reemplazando (2) en (1) se tiene: df( 1,1) = dx - 2 dy u =xyz Desarrollo du , du , <3*/ . du = — dx + — ay H------az dx dy dz du = yz dx + xz dy + xy dz www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 47 1844 1845 1846 1847 x + y +z Desarrollo , cu . du . du , du = — dx H dy h dz dx dy ' dz x dx y dy z dz du = +—= = + yjx2 + y 2 +z2 yjx2 + y 2 + z 2 y]x2 + y 2 +z2 u=(x^+—y y Desarrollo . du . du . du . du =— dx +— dy -l- — dz dx dy dz du = (xy +— )z 1((y + — )z dx + ( 1— \r)xz dy + (xy + —) \n(xy +—)dz) y y y 1 y y xy u = arctg(— ) z Desarrollo du . du . du . du = — dx + — dy-\ dz dx dy dz du = % - ( y d x + x d y - ^ ^ - d z ) (xy)2 +z4 z Hallar df(3,4,5) si f ( x , y , z ) = \R~+ / Desarrollo www.FreeLibros.me 48 Eduardo Espinoza Ramos 1848 d( 3, 4,5) = dx + ^ (3; 4’5) dy + dz dx dy dz df (x, yz) = xz dx 3 r “ ,y • 1 2 2 / 2 2x9 / 2 2x9 \ M + V (v +.T ) 2 (* +/ ) 2 * 15 20 1 rf/(3,4,5) dx dy +- ¿/z 125 125 5 df (3,4,5) =— (-3 dx - 4 dy +5 c/z) 2 5 Uno de los lados de un rectángulo es a = 10 cm, el otro b =24 cm ¿Cómo variara la diagonal L de este rectángulo si el lado a se alarga 4 mm y el lado b se acorta 1mm? Hallar la magnitud aproximada de la variación y compararla con la exacta. Desarrollo I 1 7 Por Pitágoras se tiene: L - \Ja~ +¿r dL =— da +— db donde a =10 cm oa oh b = 24 cm, da = 0.4 cm, db - -0.1 cm dL = 7 a - da + 7 = - db 10 (0.4)+ . 24_ ( 0 . 1 ) L J d b 2 L d d b 2x/lOO +576 ' Vi 00+ 576 4 2.4 1.ó ^r\/-r\ dL —------------ =— =0.062 cm 26 26 26 AL = yJ(a + Aa)2+(b + Ab)2 - y ¡ a2 +b 2 -0.065 cm www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 49 1849 t. 1850 Una caja cerrada, cuyas dimensiones exteriores son de 10 cm, 8 cm y 6 cm; esta hecha de madera contrachapada de 2 mm de espesor. Determinar el volumen aproximado del material que se gasto en hacer la caja. Desarrollo Sean x,y,z las dimensiones de la caja, luego el volumen de la caja es: V = xyz, además x = 10 cm, y = 8 cm, z = 6 cm y dx = dy = dz = 0.4 cm dv = yz dx + xz dy +xy dz = (8)(6)(0.4) +(10)(6)(0.4) + (10)(8)(0.4) = (48 +60 +80X0.4) = 188(0.4) = 75.2 dV = 75.2 en? con relación a las dimensiones anteriores. El ángulo central de un sector circular es igual a 80° y se desea disminuirlo en I o¿En cuánto hay que alargar el radio del sector, para que su área no varié, si su longitud inicial era igual a 20cm? s Desarrollo área del sector circular =f A = -- -- - , donde 360° r = 20 cm, es el radio yx =ángulo central = 80°, dx = -1 ° ,, 8A , 8A, , . k r 2 , 2nxr , dA =— dx h-----dr dA = —— dx H-------- dr dx dr 360 360 ¿JA= r^dx + xv dr reemplazando se tiene: iñ (—D 0 = ±^ ±J ± + 2 0 m) d r => 1600 dr = 200 www.FreeLibros.me 50 1851 Eduardo Espinoza Ramos dr = = - => dr =- es lo que debe alargar el radio p*ra que el área no 1600 8 8 k . vane. Calcular aproximadamente: a) (1.02)3.(0.97)2 b) /(4.05)2+(2.93)2 c) sen 32° eos 59° (al convertir los grados en radianes y cuando se calcule el sen 60°, tomar solamente tres cifras decimales; la ultima cifra debe redondearse) Desarrollo a) Sea f { x , y ) = x3y 2 donde x = 1, y = 1, Ax - 0.02 , Ay =-0.03 n k a \ -w-Tí a df(x,y) A ,<3/ (A',.y) A f ( x +A\%v +Ay) = f (x, v) 4------------Ay -f----------- Av dx dy /( l .02,0.97) s /(l , 1) + — 11 -■(0.2) + - - A Ü (_o.()3) dx dv (l.02)3(0.97)2s 1+3(1 )(0.02)-2(l)(0.ft3) =1+ 0.06 - 0.06 = 1 b) J \ x , y ) = J x 2 +y 2 donde x = 4, y = 3, Ax =0.05, Ay - -0.07 f ( x + Ax, y +Ay) = j \ x , y) + A* + A>’ dx cy /(4.05,2.93) s /(4,3) + (0.05) + 3). (-0.07) cv dv www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 51 yj(4.05)2+(2.93)2 = 5+ -(0.05)+ -(-0.07) = 4.998 5 5 .'. V(4-05)2+(2.93)2 s 4.998 1852 Demostrar, que el error relativo de un producto es aproximadamente igual a la suma de los errores relativos de los factores. Desarrollo Consideremos z = x¡.x2.x3...xn producto de números positivos, entonces ln z = ln(jc}.x2.x3...xn) =ln jc, + ln x2 +ln x3+... +ln xn dz dx, dx*, dx** dx„ , , — = —L +—- +—- +...+—- dedonde z x, x2 x3 x„ Az A-Vt Axo Aas A x „ , . Az — =------ 1---- —+ —- + ... +------ , donde — es el error relativo de un z X, x2 x3 x„ z Axi Ax? Áx3 Ax.. producto y -----,------,------,...,----- son los errores relativos de los factores, por Xj X2 X3 xn lo tanto el error relativo de un producto es aproximadamente igual a la suma de los errores relativos de los factores. 1853 Al medir en un lugar el triangulo ABC, se obtuvieron los datos siguientes: el lado a = lOOm±2m el lado b = 200m ± 3m y el ángulo c = 60° ± I o¿Con que grado de exactitud puede calcularse el lado c? Desarrollo Por la ley de los cosenos se tiene que: V 'l 1 a“ +b~ - 2abcosC , la exactitud que puede calcularse el lado c es de www.FreeLibros.me 52 Eduardo Espinoza Ramos 1854 i 1855 de dx de de donde d e ==— Aa +— Ab- \ ------AC da db dC , a- bc os C b- ac os C 4f absenC dc = —j=== A<7+- = = = = = = = A&+ == ■— —AC y¡a2 +b2 - l abe os C yja2 +b2 - l abcos C \la2 +b2 - l abc os C reemplazando los valores para a =lOOm, b = 200m, C = 60°, Aa ~2, Ab = 3, AC = I o= — , de =4.25 m 180° i Mj M' é i El periodo T de oscilación del péndulo se calcula por la fórmula T = l n ^ L g donde L es la longitud del péndulo y g, la aceleración de la gravedad. Hallar el error que se comete al determinar T, como resultado de los pequeños errores AL =a, Ag =p cometidos al medir L y g. Desarrollo El error que se comete al determinar T es: < ' '! •" ; . ’) ■. . - V •' ■ i, \>'■ , ‘ , ‘ i ,f ‘ ■ ■ . • i , . J r r d T K r d T nt t s Í L T r i g a - dT =— AL + -—Ag => dT = —= a ------¡= p L i dT = g a~ g j g L La distancia entre los puntos /q (a*0, y 0) y P(x,y) es igual a p, y 1 ángulo formado por el vector P0P con el eje OX, es igual a a ¿En cuánto variará el ángulo a, si el punto P toma la posición P¡(x + dx, y + d y ) , mientras que el punto P0 sigue invariable? Desarrollo www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 53 x-x, cosa = sena ____ o_ P y-yo p r- « /ocosa = x - x 0 p s e na - y - y ^ t ga = ——— diferenciando x —x. o sec a. da = ( x - x Q) d y - ( y - y 0)dy (x - x0f pero del gráfico se tiene se/i a = x - x . o P ¿ ) d y - ( y - y 0)dx ( x - x 0) ( x - x 0y d _ ( x - x 0) d y - ( y - y 0)dx _ cosa dy - sena dx PÁ P ..... 6.5. DERIVACION DE FUNCIONES COMPUESTAS.- ( ¡ ) CASO DE UNA SOLA VARIABLE INDEPENDIENTE.- Si z = f(x,y) es una función diferenciable en x e y, y a la vez funciones diferenciables de una variable independiente t: x = cp(t), y = \|/(t), la diferenciación de la función compuesta z = f(cp(t), i|/(t)) se puede calcular por la fórmula: dz dx dz - - — i dt dx dt dy www.FreeLibros.me 54 Eduardo Espinoza Ramos 1856 ■j 1857 © ► t ► t CASO DE VARIAS VARIABLES INDEPENDIENTES.- Si z es una función compuesta de varias variables independientes tal como z = f(x,y), donde x = cp(u,v), y =v|/(u,v), las derivadas parciales de z con respecto a u y v se expresa así: & _ dz dx dz dy du dx dy dy du 5v ñr dv dy dv dz x Hallar — si z = —, donde x = e*, y = ln t * : '' .y ' ¡ Desarrollo U V u V ¿Zz dz ¿/ x dz dy , , , é/z e' x 1 ^ e — = — .— +— de donde dt dx dt dy dt dt y y 2 t lní t i n2 í dz dt t ln2t (t l n¿-l ) Hallar du dt X 2 r 2 , si m= lnsen(—j = ) , donde x = 3t = vi +1 www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 55 1858 1859 Desarrollo du du dx du dy t , +— .— de donde se tiene: dt dx dt dy dt du , x . 1 _ 1 y x w x , t Ctg(-¡=). -¡= .6t - Ctg(-¡=r)(--- 7=) dt J y 'Jy 2 V r+i du t x x = c t g( - =) ( 6 - — ) dt d y 2y~ Hallar — , si u =xyz, donde x = t 2 +1 , y = ln t, z =tg t dt Desarrollo du du dx du dy du dz . , t du xz ? — - — — +— .— +— .— dedonde — - y z 2 t + — +xysec~t dt dx dt dy dt dz dt dt t 2 du t +1 o 1\ i 2 — =2í¿g¿lnM .tgt + (t +Oln/.sec" ¿ dt t Hallar — , si u - —= J = = . ■, donde x = R eos t, y =R sen t, z =H dt i v ? > Desarrollo du du dx du dv du dz — —— _ f- -—;-----1-----.— dt dx dt dy dt dz dt du xz . _ . yz . n . 1 — ---------------(-Rsent ) ----------------- —(/? eos/) +—===== (0) /// 3 3 / 2 2 / 2 2\o / 2 2 \ -> v y * (.x2 + y ‘ )2 (x2 + y 2) 2 y du HR eostsent HR" sen t cosí „ du — = — +0 = 0 — =0 d t - - dt (x2 + y 2) 2 (x2 + y 2) 2 www.FreeLibros.me 56 Eduardo Espinoza Ramos 1860 1861 1862 dz Hallar — si z =u , donde u = sen x, v = eos x dx Desarrollo dz dz du dz dv v_j dx du dx dv dx -l .— =vuv cosx + t/vlnu{-senx) = cosz (sen x)C0SX 1- (sen jc)C0SYsen x. ln (sen x) dz — = (senx)C0SX[eos x.ctg x - sen x. ln sen x] dx TT „ dz dz . .y. 2 Hallar — y — , si z = arctg(~-) e y - x dx dx x Desarrollo dz _ dx x _ x2 _ y . _ y dx í -f(Z) 2 1+zí_ j f 2+>;2 dx *2 + y 2 X x 2 dz dz dz dy , , , dz y 2x~ 2x - y — = — +— .— de donde — = — - +—5----- —= j dx dx dy dx dx x + y x + y x + y dz _ 2x2 - y “ 2 . . 2 dx x + y Hallar — y — si z = xy donde y = (p(x) dx dx www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 51 1863 1864 Desarrollo ^ = yxrv~' dx dz dz dz dy dz v._j y — =-----1-----de donde — =yx +x ln xxp (x) dx dx dy dx dx vr y »/ M 1 — =x; [— +(p (x) ln x] dx x dz dz Hallar — y — , si z =f(u,v), donde u =x dx dy Desarrollo U 2 2 V X y X y dz ex dz cu dz dv dz — >— -i .— de donde — =2xfu(u, v)+ vexy y (u,v) du dx dv dx dx cz cz cu cz ov , t , cz — de donde + - 2 yfu (m, v) +xe™f v (u, v) dy du dy dv dy dy TT „ cz cz X Hallar — y — si z - arctg— , donde x =u sen v, y =u eos v du dv y Desarrollo www.FreeLibros.me 58 Eduardo Espinoza Ramos 1865 U V u V cz oz ex cz cy _ ——— _——f ——#—— du dx cu dy du cz y X u sen v eos v u sen v eos v du X1 4 v2 sen v 2 2 X + V eos V 2 2 x 4 y 2 2 xÁ+y 0 cz du 0 d -“\ «**/■> z cz ex cz cy dv ex dv dy cv dz i i CV X 4 v y * u eos V 4 1 1 X- -f y u sen v y 4 X i i X~ 4 V i i ' i i i i X + y~ f 4 V X 4 V 02 dv - 1 CZ CZ V Hallar — y — si z = f(u) donde u = xv 4 — dx dv ' x Desarrollo U CZ ( Z ( a V f (u).(y —V ) de donde ex cu ex dz '"S ex f ( x j + — ) v( l — ] ~) x www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 59 cz dz du / 1 dz / y 1 _ = + dedonde — =f ( x v + — )(x +- ) dy cu dy x dy x x 1866 Demostrar que si u =<j>{x2 + y 2 + z z ) donde x = R eos <peos y, _ r> r» . du ^ du y - K eos (psen v|/, z = R sen cp entonces —— = 0 y =0 ccp dy/ Desarrollo 9 9 Sea w =x~ +y + z" => u = <j)(w) U y 9 9 9 9 9 dw dvi> ex cu dv du dz H .----.------(- d(p dw dx dep dw dy d(p dw dz ccp du d(p ib/ (w)2x(-Rsencp eos y/) +cf)' (w)2y(-Rsencpseny/) +^\ w)2zR eos cp du d(p - (j)' (w)2R(-x sen cp eos y/ - y sen cp sen y/ + z eos cp) i 2 - 2R(p (w)[-/? sen cp eos (p eos" y/ - R sen (p eos (p sen y/ + R sencp eos cp] = 2R~(¡)!(w)[-sencp eos (p{eos2y/ + sen2y/)+sencp eos cp] 2 / 7 i 2 R $ (w)[-s en cp eos cp +sencp eos cp] = 2R"c¡)(w)(0) =0 du ccp =0 www.FreeLibros.me 60 Eduardo Espinoza Ramos 1867 1868 du du dw dx du 6\v dv + 8 y/ dw dx dy/ dw dy dy/ Cu dy/ - (/)' (w)2x(-R eos cp sen y/) + </>f (w)2 y Reos <peos y/ = 2R(j)!(h ’) ( - x eos cp sen y/ + y eos cp eos y/) / ¿ ¡V í •; " ' ‘f .11’ ~2R(¡) (w)[-R cos“ (peosy/ seny/ + R eos" (p sen y/ eos y/] 2R(¡) (w)(0) =0 du cy/ 0 Hallar — si u - f(x,y,z) donde y =cp(x), z =v|/(x,y) dx Desarrollo X U X X du du du dy du dz — ~ 1 . 1 .— dx dx dy dx dz dx — =— + de donde — = y/x (jr, y) +y/[, (x, y).<p' ( x) dx ex dv dx dx du dx f x (x, y, z) +f v (x, v, z).<p (x) +f ! (x, y, z)Oa.(x, y) +y/\. (x, y).<p (x)] v Demostrar, que si z =f(x +ay), donde f es una función difereneiable, entonces www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 61 1869 Desarrollo „ du _ du Sea u = x +ay — = 1, — = a dx dy z = f(u) donde u = x +ay U dz dz du „/ dx du dx = / » dz dz du i — = — .— = af (u) dy du dy dz i dz a — - af (u) = — d* dy dz dz — = a — dy dx Demostrar que la función w =f(u,v) donde u = x +at, v = y +bt, satisfacen a dw dw . dw la ecuación — - a — + b — dt dx dy Desarrollo X t y t dw dw du dw dv dw f dw — - — .— -f — .— - a — +b— dt du dt dv dt du dv www.FreeLibros.me 62 Eduardo Espinoza Ramos dw dw , dw — = a — + b — dt du dv ... (1) dw dw du dw dx dw du dx dw dv du dw dy dv dy dv ... (2) dw dw dw reemplazando (2) en (1) se tiene: — = a — +b — dt dx dy 1870 Demostrar que la función z = y(p(x2 - y 2) satisface a la ecuación 1 dz ^ 1 dz z x dx y dy y Desarrollo 2 2 z =y (p(u) donde u - x - y U X y dz dz d u / — = — .— = 2xy(p (u) dx d u dx dz dz dz du 2 ¡ — =— +— .— = ( p( u) - 2v (p (tt) dy oy du dy - . — + —.— = -{2xyt pl {n)) + — (<<p{u)-2y2(pl (u)) x dx y dy x y 2y<p'(u) + ^ ^ - - 2 y < p ' ( y ) - ^ - ^ = y donde y y y -v www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 63 1 dz 1 dz z x dx y dy y 2 y 1871 Demostrar, que la función z = xy + xcp(—) x dz dz x f- y— =xy + z dx dy Desarrollo satisface a la ecuación y z - x y + xcp{—) => x i - V A GX X X X 5z , //A — = x+^ ( - ) qy x ^ i i y w / i<yw X— + y — = x(y + cp(—) ---- (p i—)) + y(x + (p (—)) dx dy x x x x =xy +x^(—) - (—) +x.y +yV (—) =xj +(xy +x^(-)) =xy +z X X X X dz dz x — +y— = xy + z dx ' dy X 1872 Demostrar, que la función z = ey(p{ye v ) satisface a la ecuación 2 2 , dz dz (X - y )— + xy— = xyz dx dy Desarrollo .V* Sea z = ey<f>(ye2y) = ey(j)(u) donde u = ye 2/ www.FreeLibros.me 64 Eduardo Espinoza Ramos Aplicando la regla de la cadena se tiene: i dóiu) dó(u) du t , du x y =--------.— donde — - —e y dx du dx dx y x d<j>{u) _ d<p{u) du = x_ / dx du dx y x- 2 x~ dt f u) _ df t u) a» donde d u = e 2 y - _ £ _ e2y dy du dy dy y 2 x- 2 x- d(j)(u) __ at/ _ 2y~ x J l y 1 ______ dy du dy y 2 (e~y —e y )(j) (u) , como z = ey(p{u), entonces & =eV^ = * eV , y (M) dx dx y x~ 2 -v~ í , + M i l =e>m + ey ^ r * «V , / ay ay y .Y 2 ** az . v . i, x -x* é"v^(w) +eve2v (/>'( u) - — ey .e2y </>(u) dy / -5 X" -Y a z x é, v (x2 -j y2) — =— — e2v (/)'( u) - xyeye 2y (j)‘(u) ... (1) ax y 3 v xy — = xvey(¡)(u) +xyeye 2y (j)1(u) —— eye 2y (p1(u) ... (2) dy " y www.FreeLibros.me funciones de Varias Variables 65 2 2 dz sumando (1) y (2) se tiene: (x - y )— + xy — = xyey <¡>(u) - xyz dx dy 2 2^dz dz (x - y ) — +'xy — = xyz dx dy 1873 IJ n lado de un rectángulo de x = 20 m, aumenta con una velocidad de 5m/s, el otro lado de y = 30m, disminuye con una velocidad de 4m/s ¿Con qué velocidad variarían el perímetro y el área de dicho rectángulo? Desarrollo X El perímetro del rectángulo es: P = 2x + 2y además se tiene: — - - A m i s e g , — = 5m/ seg dt dt ''i la velocidad con que varía el perímetro es: dP dP dx dP dy — = — #— + — uJL - 2(5) +2(—4) = 2m/ seg dt dx dt dy dt por otra parte el área = A = xy; la velocidad de variación del área es: dA dA dx dA dy x — - — .— +— —y(5) “ 4(x), para x = 20, y = 30 se tiene: dt dx dt dy dt dA dt = 30(5) - 4(20) = 150 - 80 = 70 dA ~dt lOm / seg 1874 Las ecuaciones del movimiento de un punto material son x = t, y = t 2, z - t 3 ¿Con qué velocidad aumentara la distancia desde el punto al origen de coordenadas? Desarrollo i www.FreeLibros.me 66 Eduardo Espinoza Ramos La distancia del punto (0,0,0) al punto P(x,y,z) es: V 2 2 o / 2 4 6 x + y + z =v¿ + f +¿ , ahora calculamos la velocidad con que aumenta la distancia del origen al punto P dr 1+ 212 + 3 t A ^ Vi + t 2 + t i 1875 Dos barcos, que salieron al mismo tiempo del punto A, va uno hacia el norte y el otro hacia el ñor - este. Las velocidades de dichos barcos son 20km/hr, 40km/hr, respectivamente. Con que velocidad aumenta la distancia entre ellos. Desarrollo Por la ley de los cosenos tenemos que: z = yfx2 + y 2 - 2xv eos 45 reemplazando valores se tiene: '202 + 402- 2(20)(40)— 20V5-2V2 6.6. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DADA Y GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN.- V - V + ; ( T ) DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UNA DIRECCIÓN DADA.- ■ v" La derivada de una función z = f(x,y) en una dirección dada t =PXP se define por: www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 67 donde f(p) y /(/}) son los valores de la función en los puntos P y P} . Si la función z es diferenciable, se verifica la fórmula dz dz dz ..'f —. = — eos a +— sena di dx dy donde a es el ángulo formado por el vector l - P{P con el eje X En forma similar para función u = f(x,y,z) se verifica la relación du du du „ du -— = —- cos a +— eos 6 +— eos y di dx dy dz — > donde a, P y y son los ángulos entre i - P/¡ y los ejes coordenados. ( ¿ ) GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN.- Se da el nombre de gradiente de una función z =f(x,y) a un vector, cuyas proyecciones sobre los ejes coordenados son sus derivadas parciales de dicha función: www.FreeLibros.me 68 Eduardo Espinoza Ramos 1876 i i i --i i 71 cz ? dz grua\z j <\r. — l -7 dx dy La derivada de la función en la dirección esta relacionada con el gradiente de la misma función mediante la fórmula dz wigr-adiz)) , , - Pr di . / : i ■■ : <■ La dirección del gradiente de la función en un punto dado, es la dirección de la velocidad máxima de crecimiento de la función en este punto, es decir: cuando ¿-grad(z), la derivada 02 dí toma su valor máximo igual a: dz i , dz |(___) + (— ) ex cy En forma similar para una función u =f(x,y,z) se tiene: EL gradiente de una función de tres variables, en cada punto lleva la dirección de la normal a la superficie de nivel que pasa por dicho punto. 'l 'l Hallar la derivada de la función z - x ~xy ~2y ' en el punto P( 1,2) y en la dirección que forma con el eje X un ángulo de 60°. i . V ' ' Desarrollo o*7 d f ( x vi cz dz - 7 1 , 7 ' “ eos 60° + sen60° df di dx cy www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 69 «877 «878 1879 " •2) . (2 - 2, i - K - U S ) ^ +0 + ^ => <m2> ^ di 2 2 2 (•'/ 2 7 7 Hallar la derivada de la función z -- x - 2,y'j’ + at“ +1 en el punto M(l,2) en la dirección que va desde este al punto N(4,6)„ Desarrollo 3 4 Se tiene eos a =—, sen a =-• 5 5 C)2Z 'y o "*> — - — eos a +—-- sen a =(3.v' - 4xy +v“) eos « +(-2x~ +2xy )sen a di ex dy calculando en el punto M(l,2) dz „ ..3 , . 4 3 8 5 . dz ( 3 ~8 "f"4) f ( —2 +4) “ “ t* ~ ———1 —v>———1 di 5 5 5 5 5 di Hallar la derivada de la función z = \nyjx2 + y 2 en el punto P(l ,l ) en la dirección de la bisectriz del primer ángulo coordenado. Desarrollo O ''**1, — - — eos 45° +—- se/i 45° = —4 —~ eos 45° + —- sen 45° 51 ex dy x y x ~ + y 2 calculando en el punto P( 1,1) se tiene: & 1 \Í2 _1 77 72 ^72 __ 72 & _ 72 ~di ~2' ~2 ’I ’T “ 4 4 ~ 2 “ 2 O Hallar la derivada de la función u = 3x~ - 3 y z + 5 en el punto ) en la dirección que forma ángulos iguales con los ejes coordenados. Desarrollo www.FreeLibros.me 70 Eduardo Espinoza Ramos 1880 1881 y Se conoce que eos2 a +eos2 fi + eos2 y = 1 \» •;. , 1 1' ■,■. '■( !'! % •' ' ... Vs Pero como a =p = y => cosa = ±— 3 du du du _ du _ . „ ^ — = — cosa +— cosp + — eos r =2x eos a - 3z eos p - 3y eos a dx dx dy dz calculando en el punto M( 1,2,-1) 8u _ 2V3 3a/3 6%/3 _ 5n/3 6>/3 _ V3 ó» _ 73 ~ 3 + 3 3 ~ 3 ~ 3 3 Hallar la derivada de la función u = xy +yz +xz en el punto M(2,l ,3) en la dirección que va desde el punto N(5,5,15) Desarrollo 1 > " t. ~ 3 „ 4 12 Como eos a = — , eos p = — , eos y = — 13 13 13 dw du du _ du — = — eos a + — eos B +— eos r d¿ dx dy dz dw - = ( y +z) eos a + (x + z) eos ¡3 + ( y +x) eos y di calculando en el punto M(2,l,3) se tiene: dw , 3 , 4, 12 68 . du _ 68 — —4(—) +5(—) +3(—) —— •• ~~ d£ 13 13 13 13 ' di 13 Hallar la derivada de la función u = ln(eA+ ey + e z ) en «el origen de if. -■ coordenadas, en la dirección que forma con los ejes de coordenadas x, y, z los ángulos a, p y y, respectivamente. www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 71 1882 Desarrollo du du du n du — = — cosa +— eos p eos y dx dx di di ex ey „ e- cos a + eos B + eos y Y * 1 J T 9 Y i ; 7 9 ex + ey +ez ex +ey + ez ex + ey + e” calculando en el punto (0,0,0) se tiene: du eos a eos B eos/ cosa + cos/? +cosy — = + — + —= - di 3 3 3 3 El punto en que la derivada de una función, en cualquier dirección, es igual a cero, se llama punto estacionario de esta función. Hallar los puntos estacionarios de las siguientes funciones. 7 7 a) z —x + xy + y - A x - 2 y Desarrollo dz — = 2x+v- 4 = 0 r „ dx \x —2 : => \ n=> p(2,o> 8 z , O T O V = 0 — = x + 2 v —2 = 0 u b) z = jc3 +_y3 - 3 xv Desarrollo § - * >- 3, - 0 ^ p¡m ) — =3y2 -3x = 0 ^ P=(U) dy c) u = 2y 2 + z 2 - xy - y z + 2x www.FreeLibros.me 72 Eduardo Espinoza Ramos 1883 Desarrollo du dx - y +2 =0 du - - 4y ~z —x =0 => p(7,2,1) oy CJU ÜZ 2x - y = 0 Demostrar que la derivada de la función z = -— , tomada en cualquier punto de x 9 9 9 la elipse 2x* +y~ =c~ a lo largo de la normal de la misma, es igual a cero. ‘ r i ’ j " ■ l > •, *.V ' ■ '■; f ■;{. ■ ' ;■ ’ v* 1 i . \ \ •! í ' ' . • i ■ .. . : • ' • J . i ... • Desarrollo ¿/y 2x ? ? o 2x~+ v = c‘ => dx y = tgO dy 2 v itiLf = — -= =¿g# => mL( - tgO de donde mZ,jV dx v 1 tgG mLN =tga tgO 1 +- 4 - ) = t ga 2x cosa = sena y C'Z a- 2 2 +V oz +y =— cosa h----- sena df dx dv www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 73 1884 1885 1886 + - M - = Q , ^ = 0 •y¡Ax2 +y 2 X y ¡ 4 x 2 4- y 2 dt Hallar el grad(z) en el punto (2,1) si z = x3 4- y 2 - 3xy Desarrollo dz~t d z ^ grad(z) = — i 4-— / , calculando se tiene: dx dy grad(z) = (3x2 - 3>’) i +(3y 2 - 3x) j en (2,1) grad(z) = 9 i +(-3) j = 9 i - 3 j Hallar el grad(z) en el punto (5,3) si z = yjx - y 2 Desarrollo oz ! az-r grad(z) = — i + — j dx dy X/ 1^ y grad(z) = - ===■ í — - = = = = j en (5,3) V* 2 - y 2 y* 2 2 X - y 5 3 1 grad(z) = - i - - j = - (5 /' - 3 y) 4 4 4 Hallar el grad(u) en el punto (1,2,3), si u = xyz Desarrollo du grad(u) = — i + — j + — k dx dy dz 4 . www.FreeLibros.me 74 Eduardo Espinoza Ramos 1887 1888 grad(u) = yz i +xz j +xy A: en (1,2,3) —^ > grad(ii) - 6 / +3 j - v 2 k Hallar la magnitud y la dirección del grad(u) en el punto (2,-2,!) si Desarrollo ,. , du 0«A 01/ 7 grad (u) = — i + —- j + ex cy cz grad(u) = 2x / +2 y / +2z A en (2,-2,1) grad(u) =4 i - 4 j + 2 k , su magnitud es: j grr/<7(//) j = Vi 6 +16 +4 - 6 ahora encontraremos los cosenos directores 4 4 2 eos a = —, eos Z?= — , eos y = ~ 6 6 3 2 2 2 es decir: eos a = —, eos B = — , eos y =— 3 3 3 v Hallar el ángulo entre los gradientes de la función z = ln— en los puntos x y B(l,l). 2 4 Desarrollo dz~* dz 1 1 grad(z) = — i +- — j =— i + —j dx cy x y calculando en los puntos A y B se tiene: www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 75 1889 1890 — > — > —^ ^ grad(z) =-2 i + 4 j , grad(z) =- i + j (-2,4).(-l ,l ) 2 + 4 6 3 eos üt = - _ v4 +16.vm V2ÓV2 ^40 Vio COSÉ? ^ V i o 2 2 Hallar la magnitud de la elevación máxima de la superficie z = x +4y en el punto (2,1,8). Desarrollo dz fe ~T grad(z) = -^L i +-— / => grad(z) = 2x / +8y j en (2,1,8) dx dy ‘ •) >;• ■V grad(z) = 4 i +8 j La magnitud de la elevación máxima es: ¿g#= (—)2 + (—) 2 =Vl6 + 64 = 8.944 es decir: ]¡ dx dy 0 = arctg (8.944) s 83°37’ Construir el campo vectorial del gradiente de las siguientes funciones, a) z = x +y Desarrollo dz~> dz~* grad(z) = — i + — j = i + j dx dy Luego el campo vectorial es el vector normal a la superficie z = x + y www.FreeLibros.me 76 Eduardo Espinoza Ramos b) z =xy Desarrollo ¿V $7 grad(z) =—- (' +—^ j = y i +x j ex ey Luego el campo vectorial es una familia de vectores normales a la superficie z = xy en el punto P(x,y). c) z - x ~+y 2' Desarrollo grad(z) = 2x i +2y j , luego el campo vectorial es una familia de 7 7 vectores normales a la superficie z =x“ +v~en el punto P(x,y) 6J. DERIVADAS Y DIFERENCIALES DE ORDENES SUPERIORES.* (7) DERIVADAS PARCI ALES DE ORDENES SUPERI ORES.- Se llaman derivadas parciales de segundo orden de una función z =f(x,y) a las derivadas parciales de sus derivadas parciales de primer orden. Para designar las derivadas de segundo orden se emplean las siguientes notaciones. > i a ^2 O CZ C Z ; (- - ) =—T = 7 v7 ^? dx dx dx" dy dx dxdy v’ análogamente se determinan y se designan las derivadas parciales de orden superior al segundo. www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 11 Si las derivadas parciales que hay que calcular son continuas, el resultado de la derivación no depende del orden de dicha derivación. (5) DIFERENCIALES DE ORDENES SUPERIORES.- Recibe el nombre de diferenciables de segundo orden de una función z = f(x,y), la diferencial de la diferencial de primer orden de dicha función: i f* ” d2z= d(dz) y en general ^ ¿ ^ d ( d n^z ) Si z =f(x,y), donde x e y son variables independientes y la función f tiene derivadas parciales continuas de segundo grado, la diferencial de 2do orden de la función z = f(x,y) se calcula por la fórmula: ... (1) E11 general, cuando existen las correspondientes derivadas se verifica la fórmula simbólica Que formalmente se desarrolla según la ley binomial. Si z = f(x,y), donde los argumentos x e y son a su vez funciones de una o varias variables independientes, tendremos: ... (2) www.FreeLibros.me 78 Eduardo Espinoza Ramos Si x e y son variables independientes, d 2x =0, d 2y se hace equivalente a la fórmula (1) 1891 Hallar d2z d2z d2z dx2 ’ dxdy ' dy 2 2 x y '• , si: z = c j — + — a2 b2 Desarrollo 2 2 X v c Z = C J — + —,- = — a b2 ab 1,1 i 1 ? y¡b~x- +a~y dz V-‘W cbx a2z abey2 CX üyj t f x 2 + a2y 2 ' ,»■■' ‘ 1 ;Í, ■■..¡i ax2 !.../ '«( (b2x2 + a2y 2 ) 2 dz :; ; ‘;¡ bcx ==> -.2 C7 Z -abcxv dx ay 1, 2 2 , 2 2 Jb x +a y ''1 1.' dxdy 3 / 12 2 2 2\o (b x +a y ) 2 dz acy => a2z abex2 dy h \ l u 2 2 . 2 2 jb x +a y e>’2 3 / l .2 2 2 2x7 (o x +a y )z n2 ^2 ^2 -rr ,1 d Z O Z O Z . t / 2 X 1892 Hallar — , —- si z =ln(x +y ) dx~ dxdv dyá Desarrollo z = az 2x f -,2 O z 2( v - x2) dx x2+y dx1 (X2 4- y) 2 dz 2x d2z - 2x dx 2 xz + y dxdy (x2 +y)2 dz 1 d2 z !» 1 dy x2 + y dy2 ‘ (x2 +v) 2 = 0 y la fórmula (2) •• i 1 &r www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 19 1893 Hallar a2z dx dy si z = + y ‘ Desarrollo =7^7 dz dx y d2z y¡2 xy + y 2 xy dxdy - (2 xy )2 1894 Hallar si z = arctg(—-—- ) dxdy 1 - xy' Desarrollo J +V v = arctgV— —) 1 - x y dz 1 dx 1 +x2 =0 d2z dxdy P>2 ___________ 1895 Hallar —4, si r = yfx2 + y 2 +z2 dx* Desarrollo dr 2 2 + V + Z => ✓ ^ ex k 7* 2 + 7 + z2 S2r (x2 + _y2 + z2) - jc2 r 2 2 dx2 (x2 +V’2 +z2) 2 -¡2 o r r dx2 1896 Hallar todas las derivadas parciales de segundo orden de u = xy + yz + zx x" .3 la función www.FreeLibros.me 80 Eduardo Espinoza Ramos 1897 1898 Desarrollo du d2u . d2u , — = y + z => ------- =1 => =1 dx " dxdy dxdz ”52 ->2 ^2 cu c u d u o u dy dv2 oydx dydz du d2u _ d2 u d2u — = y +x => ——=0 => ------- =1~->--------- =1 dz dz~ dzdx dzdy c u Hallar , si u = xa y ^ z r Desarrollo u ~ xa yPzy => — - axa ly ^z r dx d ^ U „ ¿/—I B—1 y =apx vA z' a*dy 5 U j a-\ fí-1 /-I apyx y h z r dxdydz d27 H al l ar ^ , si z = sen xy cxcy Desarrollo dz z = sen xy => — = y eos xy dx ~s2 o z eos xy - xy sen xy dxdy www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 81 d3z dxdy —- - x sen xy - x sen x - x 1 y eos xy dxdy' =- 2x sen x y - x y eos xy 1899 Hallar /"(0,0), /" (0,0), /"(0,0) si Desarrollo f U x, y) = m(\ + x)m \ \ - y ) n => / xÍ (jc,j) = ot(ot-1)(1 + jt)'" 2(l+.y)" /v> ( JC- >) = m«(l + a:)"' ‘ (1 + j O" 1 => / ^ ( 0 ,0 f l \ x , y ) = n(\ + x)m{\ + y ) n 1 => f = n(«-l )(l + x)'”(l + j )" 2 f ‘‘ (0,0) = n(n-l ) d2z <32z . 1900 Demostrar que ------ =-------- , si z = aresenA dxdy dydx Desarrollo x - y x —y y z = aresenÁ/—— => sen z = J —-— = J 1---- cz y y eos z — =-----p - pero eos z = * — dx 2x\ ¡x. yj x- y V * www.FreeLibros.me 82 Eduardo Espinoza Ramos 1901 <*> cz ex y y 2x y f x s j x - y eosz 2 x ] ¡ x - y 1 dxdv - 4 y ¡ y ( x - y ) 2 (1) y dz senz = J 1- — -z> cosz — x dy v x - y dz dy 2\[x y] x - y eos y 2 JJ' ^Jx-y ^2 o z 4yfy(x-y) ... (2) comparando (1) y (2) se tiene: d2z ■',2 Demostrar que c * O SI Z = X Desarrollo c)z 2 = X =VX dx v-l O dxdv xy 1+ y. xy 1inx x y ( l + y l n x ) (1) tíz z - xy => — =xvln x ^2 C7 Z =xy 1+vxy~l Inx dy =xJ 1(1 f v ln x) (2) www.FreeLibros.me I unciones de Varias Variables 83 comparando (1) y (2) se tiene: ->2 ^.2 C Z O Z dxdy dydx 2 2 X —y I c>02 Demostrar que para la función f ( x , y ) = xy(— - ) con al x 4- y complementaria de f(0,0) = 0, tenemos /^,(0,0) = - l , /^.(0,0) =+ Desarrollo ¡) s¡ y <0 ^ dx *->o x *-»o x + y 82f ( 0 , y ) } ^ 82m 0 ) _ , dxdy dxdy dy y->o y v->o x- + y z d~f(x, 0) } ^ g¿/ ( 0,0 ) _ 1 dydx dydx d2 z d2z d2z 1903 Hallar —- , , —^si z = f(u,v) donde u = x2 + y 2 , v = x y dx2 dxdy dy2 Desarrollo X u _ y X dz dz du dz dv dx du dx dv dx condición 1 =- y www.FreeLibros.me 84 Eduardo Espinoza Ramos d"z d dz du. d .dz dv — — = — ( — . — ) + — ( — . — ) dx" dx du dx dx dv dx dz d du du d dz dz d dv dv d dz — • — (— +— •— (— ) cu ex ex dx dx eu dv dx dx dx dx dv ez d~u du d .dz dz d v dv d .dz. — .—- +— .— (— ) +— .—- +— .— (— ) cu dx" dx dx du dv dx dx dx dv Sz Sz 8)l i ’ 8v c d z .. d , d z . cu d .dz dv c ( ^) =— (— )— +— (— ) o z cu o z cv — 4--------.— dx cu cu du dx dv du dx -\ du 1 dx dudv ex .. (2) c .a d dz du „ ... (— — +— (—) ( ) d , dz . dv ^ ~<2 o z cu o z en ni; + ->• dx dv du cv ex dv dv ex dudv dx dv" ex reemplazando (2), (3) en (1) -2_ -,2.. q u ¿)2:Zj¿)u z v ov d2z du d2z dv o z cz o u dx2 du dx" dx + O* ^ du" dx dudv ex cv cx‘ +— ( 4' dx dudv ox Ov ex ) www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 85 I <>04 O z ex f int(w,v)Ax2 +f vv{u, v) y2 +4xyfjlt(u, v) +2f v (w,v) (7 Z 7 r-H } = 4.V f;nt (u ,v) + / / , ''( « , v) + 4.ry/TO(m, v) +2/u(«, v) av En forma similar para el caso C7 ^2 CV O Z O Z CU O C Z OV 2 ^ — r +— (— ) * +2 cj2z du dv dz d2u dz d2v dy~ cu" oy dv2 ^ + dy dvdu dy dy du dy dv dv' ( 2 2 U - X “ -f V cu =2 y oy dv — = X dy => < OV2 a2v cfy2 7 Z w 0 ^2 O z 7 = ^y2f uu(«>v) + (M’,;)+ («>v>+ 2 («, V) 2 rll II dy en forma similar para el caso a2z ax-av 5 * =4xyfl¡u (u, v) + (w,v) +2(x2 +j 2)/„"(«,v) + (u,v) dxcv Hallar a2 a T T GX si u = f(x,y,z) donde z = cp(x,y) Desarrollo www.FreeLibros.me 86 Eduardo Espinoza Ramos 1905 U X y z X y du dx =fx (x, y, z ) + ^ = f'x (*, y , z ) + <p'x (x, y)f'z (x, y, z) dz ex d2u , v du d u dz , d ,du dx dz dx dx dx dz = f n ( x , y , z ) + du d2z dz , d2u dz dz dx2 dx dz2 dx +t 1 i r r r - + f í (*>y*z)) d2u dx2 U u dz du d2z dz = fxx{*>y>z ) +f xz( x>y>z ) - z - + — • — dx dz dx dx dz dx r", ^ . ->fU, ^ , du d Z fjcx (*> y>z) + 2fxz (*, .y, z) — + —y ( — ) + — .—y dx dz dx dz dx —x=f!L ( y >’>z)+2/c (*>3’,z Vx (■*. >0+/ i (*>3, zK 2 (x, y, z) +f ' ( x, y, z)<¡>" (x, y) or Hallar d2z d2z d2z dx2 ’ dxdy ’ dy2 , si z = f(u,v) donde u = cp(x,y), v = v)/(x,y) Desarrollo www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 87 dz dz du dz dv dx du dx dv dx d"z d .dz du dz dv 8 .dz dux 8 .dz dv. —7 =— (— .— +— .—) =— (— .— ) +— (— .—) dx~ dx du dx dv dx dx du dx dx dv dx dz d .du. du d .dz. dz d .dv. dv o .dz. — . — ( — ) + — . — ( — ) + — . — ( — ) + — . — ( — ) du dx dx dx dx du dv dx dx dx dx dv dz o u du d .dz. dz d v dv d .dz. . T- +--- .----(---)+----.----7 +----.----(----) du dx" dx dx du dv dx dx dx dv O) dz u V dz dv d . dz . d .dz . du d .dz üv d z du d z dv (-----) = ------(---- ) ----- + ----- (---- ) ---- = ----- -- ---- 4----------.----- dx du du du dx dv du dx du" dx dudv dx (2) d dz. d dz du d dz . dv d2z du d2z dv — (—) = — (—) — +— (—)— ------ .— +—7 .— dx dv du dv dx dv dv dx dudv dx dv dx (3) reemplazando (2), (3) en (1) d2z dz d2u du / d2z du d2z dv dz d2v dv d2z du d"z dv — 7 =— .— 7 +— (— 7 .— +-------.—) +— .— 7 +— (-------.— +—7 .—) dx" du dx dx du" dx dudv dx dv dx dx dudv dx dv dx d"z d z ,du. 2 d z ,dv. 2 ~d~z du dv dz d u dz o v —- = —- ( — y +—7 (—y +2-------.— .— +— .—7 +— .— 7 dx" du dx dv dx dudv dx dx du dx dv dx www.FreeLibros.me 88 Eduardo Espinoza Ramos 1906 1907 en forma similar se obtiene: d2z d2z du du d2z .du dv dv du. d2z dv dv dz d2u dz d2v +—TÍ— —T-— •— +— -T-T- + dxdy du dx dy dv dx dy dx dy dv dx dy du dxdy dv dxdy d2z d2z , du. 2 d2z . dv^ d2z du dv dz d2u dz d2v = — - ( — y +_ ( _ ) - + 2 ------- dy du dy dv dy dudv dy dy du dy dv dy~ Demostrar que la función u = arctg(—) satisface a la ecuación de Laplace d2u d2u _ — +—y - 0 dx" dy Desarrollo y, du - y d u 2xy — ) => =------- ----- zz> --------= H------------------ x dx x2 +y 2 dx2 (x2 + )' du x d u - 2 xy 2 . . \ dy x2 + y 2 dy2 (x2 + y 2 f d2u d2u _ 2xy 2xy _ # d"u d2u _ dx2 dy2 (x2 +>>2) 2 (x2 +y2) 2 dx2 dy2 Demostrar que la función u = ln(—) donde r = y j ( x - a )" +\ y - b)2 , satisface a r la eeuación de Laplace ^ ^ = 0 dx2 dy2 Desarrollo u = ln(-) = - I nr =- ~l n[(x- a) 2 +( v - 6)2] r 2 www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 89 1908 =yl(x- a)2+(y- b)2 => < dr _ , x - a _ x - a 8x J ( x - a)2 + ( y - b ) 2 r cr _ y -/? _ y ~ b dy J ( x - a)2 + ( y - b ) 2 r du _ d u dr 1 x - a _ x - a dx dr dx r r r 2 du du dr _ 1 (y —b . _ y - b dy dr dy r r r 2 d2u (y - b)2 - (x - a)2 dx1 [( x - a)2 +{ y d2u _ {y - b)2 - (x - a)2 ~dy* ~ [{X~a) 2 + ( y - b ) 2]2 . . . (1) ... (2) d2u d2u sumando (1) y (2) se tiene: ——+ —- = 0 dx dy Demostrar que la función u(x,t) = A sen (a^t + cp) sen A,x satisface a la ., . d2u 2 d2u ecuación de las vibraciones de la ecuación ——= a dt2 dx2 Desarrollo du u(x,t) = A sen (aXt + (p) sen Ax ==> — = AaA cos(aAt +(p)senAx dt = - Aa A sen(aAt +q>)senAx d2u XA — = AAseniaAt + cp) eos Ax dx www.FreeLibros.me 90 Eduardo Espinoza Ramos 1909 d2 u —- - —AAsen(aAt 4- (p)senÁx dx~ d2 u c 2 a " —^= a~ (-AA"sen(aÁt + (p)senAx) =-Aa^Á‘~sen(aAt 4- (p)senÁx - —— ¿br dt 2 - \ 2 CU 1c u a ^, 2 ^2 ct ex ( x - Xr , ) 2-H v - R , ) + ( - - - f i -> Demostrar que la función u(x, y, z, t ) = 7==r~Te 4ot (2 a^7Ct)' ( x0, v0, z0 son constantes) satisface a la ecuación de ia conductividad calorífica cu o <32u d2u d2u — = a“(—r +T T 4—--) ct dx dy~ dz~ Desarrollo A ^ (x-xü)■+(>'->•„f+(z- =(,y Cl l A Xr ex 2a2t(2a\!~7rt) _(-v~4))~+(.V->,o): +(¿-~r, )2 ó2u e7 4ü7 (x- x0)2 1 2 - 1 1 . T o _ o / CX~ (2tfV/zt)3 4a2/ 2 2¿72r (-y~4)) +(v-r0)~+(z-¿..,): =e ^2 ( - .yo)2__l_x c¡>’2 (2aV//7)3 4a2/ 2 2a2/ (x-v0 )2 +(y- v0)- + (z-z0 )- d2u _ e ( z - z 0) 2 1 & 2 ” ( 2 a j ñ t ) 3 4a2/ 2 2a2/ www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 91 1910 (a-x0)2+(y-y{))2+(z-z0)2 d2u d2u d2u ^ e_______ ^ (x-x0)2 + { y - y () f +(z- z0)2 ___3_ d x 2 d y 2 dz2 (layfxt)2 4a212 2a21 (x-Xq)2+(y-y0f+(z-z0)2 1¡dLu tfu e y x - x ^ f + { y - y (í)2 3^ a W dy2 dz2) ( 4t2 2tM ) (x-x0)2+(y-yü); +(z-z0)2 du _ e 4a>‘ , ( x - x0)2 + ( y - y 0)2 + ( z - z0)2 3 dt ( 4t2 - ( > <3w o d2 u d2 u d2 u comparando (1) y (2) se tiene: — = a (—- +——H--—) dt dx dy dz Demostrar que la función u = (p(x —at) + V (x + at), donde cpy \|/ son unas funciones cualquiera, diferenciables dos veces, satisface a la ecuación de las vibraciones de la cuerda = a2 dt 2 dx2 Desarrollo du / / u = <p(x - at) + \|/(x + at) => — = -a(p (x - at) + ay/ (x +at) dt o u 2 // / \ 2 l¡, X ——~a (p ( x- at ) - \ - a y/ (.x + at) d r d2u ——=a2^ 11{ x - a t ) + y/!l\ x + at)) ... (1) dt2 du ¡ / u = cp(x - at) +\\f(x + at) => — = (x-tf/) +ty/ (x +tf/)) -Z CX c u 3 u ahora comparamos (1) y (2) se tiene: ——=a “ —-- 2 dv y y 1911 Demostrar que la función z = x(p(~) +\j/(—) satisface a x x 2 d2z 4 ¿52z t d2z ■V—T +2>y ——+y —- =0 dv2 dxdy dy2 Desarrollo z = * * K > W ( Z ) => ^ = ^ ) _ z ^ (z ) _ 4 ^ (z ) X X OX X X X x X - - - V < V 4 * ' < ¿ > + 4 / < z >+ V < - > + 4 * ' ,'<z > dx~ x" x x -X x x x x x x dx x x x' x x x (2) la ecuación (1) www.FreeLibros.me Funciones de Varías Variables 93 1912 (2) z = x(p{-) + X X dz 1 / y 1 , y - = -<p { - ) + -<// ( - ) oy x x x x oy' xx x x (3) 1 1 1 1 • 2 d ~ z ^ d Z 2 d ' Z sumando (1) +(2) + (3) se tiene: x —- +2xy-------+v —r- = 0 dx2 dxdy ' dy' Demostrar que la función u = <p(xy) + yfxyi//(—) satisface a la ecuación x i d'u 2 x~ - - y ox d2 u dy =0 Desarrollo Sea w = xy, v = — ; u - <p(w) + y/w i//(v) x U V X y X Se ha deducido que: r\2 c u d2u , dw. i d2u dv 2 ~d2u dv dw du d2w du d2v T = T-( Y + TÍ ) +2-------•----•---- +---- •----T- +--- •----T dx' dw dx dv dx dwdv dx dx dw dx dv dx' www.FreeLibros.me 94 Eduardo Espinoza Ramos dw I I £ ■ y y => < V—— dx => < dv y l x .dx2 x2 < d2 w dx2 d2v =0 2 y kdx2 x3 u —(p{w) + dw / 1 — =p (w) + —=^(v) dw 2v w d2w //, x i / , —- = <2>(w)------ 5-^(v) 3 4h’2 u = ^>(w) +Vw ^(v) ®ü=V í r ',v ) , i ! í _ =£ >) 5v ovc?w 2>/w 52m av = Vw y( v) A dx2 = >'2((p'(w)---- - 3 4u’2 ^( v^ + ^-jy/ñ-y/11(v ) + 2^- j ^ ( - ^ t ) +0 + 2v w x" w y/ (v) x chr 2 //, x y2 , , , y2J ñ J!, , y2V'(v) , 2y^fw y/1(v) T =y (p(w)- r K y)+— — ^ (v)— ^- r- + 3 4w2 Vwvvx _2 a2M 2 2 , j i t . A ^(VK , y 24 wy / n(v) : — y = x j (í ? (m)-------- r-) + ----------- -- 7=— + •••(*) (3x - X VW * 4w2 0 0 0 O O O d u d u , dw\ i d~u , dv, ? ^ dv ow di/ d~w du d~v - =----- ( ----)“ +----- ( )" +2 --------.----.-----+-----•----T- +T -----7 dy" dw~ dy dv~ dy dvdw dy dy dw dy dv dy www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 95 cw /• 3 I I dy = JC 1 V => i V —— => \ dv 1 l X dy J I H I I d2w d2v S y 2 = 0 0 d2u ->d2u 1 d2u —T = jc — - +— .—- + c y dw2 x2 dv2 2Vvv d2u y z = x2j f (<pl¡ (w) dy t;'" x¿ + y y/ (v) (2) d ¿ ll y 8 ¿U X dx' - v dy' 2y 2y/'(v) ( l yfmyi y (v) yfw X 2/ ^ /(v) + 2vvy^(v) Vvv yfwx 2 y 2 y / \ v ) | 2 y 2 y / \ v ) _ Q Vw Vw 2 d 2 U 2 d 2 U x —-~y —7 dx dy —0 1913 Demostrar que la función z = f(x + <p(y)) satisface a la ecuación dz d2z dz d2z dx p dy dx2 Desarrollo z ~f(u) donde u =x +(p(y) U dx CZ c u -'“N CZ = f (u) CU CX Cl l -\2 C ^ /-*. t í CZ . c u d dz ébrcv 5v o» 5i/ du www.FreeLibros.me 96 Eduardo Espinoza Ramos 1914 1915 ... (1 ) cz az cu dy du dy = f'(u)<p (.y) $■= / ( « ) CX d"~ ,u» CU CX dx2 dx dz d z du dx2 ... (2) comparando ( 1) y (2) se tiene: dz d2z _ dz d2z dx dxdy dy dx2 Hallar U = u(x,y) si _ q dxdv Desarrollo d u(x, v) cxcy 0 integrando con respecto a y cu(x, y) dxdy =f ( x ) integrando con respecto a x u(x,y) = F(x) +G(y) d2u Determinar a la ecuación u = u(x,y) que satisface a la ecuación - j - =0 Desarrollo dx' dx‘ 0 , integrando respecto a x www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 97 1916 I c>17 du dx = p ( y ) , integrando respecto a x u = x (p(y) +v|/(y) u(x,y) = x (p(y) + \j/(y) Hallar z , si z = e Desarrollo _ , dz , dz . Como dz —— dx +— av , entonces se tiene: dx dy z - e ' -XV dz dx dz dy ye XV reemplazando = xe XV dz - yexv dx +xexydy =exy ( ydx + x dy) _ „xy dz = eAV(y dx +x dy) r2 ^2z •? d2z d2z d z = ——d x + 2-------dxdy-\ - d y dx2 dxdy dy' dz <?x dz dv = yeA;v = xe XV d2z dx~ d2z d 7 ' d2z dxdy 2 xv 7 =y e • XV x e XV . XV = e • +xye reemplazando d Lz = y 2exvd 2x + 2(xyexv + eAV)¿/x¿/y + x exyd Ly xv , xv .2 xv i 2 c/zz =exy [ y2d 2x + 2(xy +1 )dx dy +xzd zy] = eA>[(y dx +x ¿/y)z +2 dx dy] 2 12 Hallar <r/2a si u = xyz Desarrollo www.FreeLibros.me 98 Eduardo Espinoza Ramos 1918 ,2 d 2 U 2 d 2 U j 2 d 2U j 2 d 2 u 7 7 d u - —^-d“x + — - d y + -—j d z + 2(—~~dydz + d x dy 'dvdz d2u dxdz dx dz Hr d2u dxdy) u = xyz => du !k du dy du dz xz , = xy , c?2t< ¿)x2 -s2 O w ay2 a2^ az2 - o , o o d2u oycz ^2 c> u dxdz =X =y a2w axay = z w w—0 +O+O+2(x dy dz +y dx dz + zdx dy) 9 d u = 2 (x dy dz +y c/x c/z +z dx dy) ^ 7 7 Hallar c/“z, si z =cp(t) donde t —x +y~ Desarrollo d2 z i c 2z d~ z d~z ———dx +2 dx dy -i---- —dy" ax2 cxcy 2 cy dz __ az a/ ax dt dx = (p‘ (t)2x =2xcp (/) 2 O z T~T ex 2cp!(t) + 2x(p \ t ) . 2x Ax2 <p1(t) + 2(p>(t) dz dz dt ' - y . CV ct cv (p1{t).2y = ycp (t) d2z dv2 = 2<p!(t) + 2 y y ( t ) 2 y = y 1 <p!‘(t) + 2(p (/) www.FreeLibros.me / unciones de Varias Variables 99 ¡919 _ 9 c dxdy dy dx dy (2xqJ (t)) =2x( p\ t ) 2y - 4xyip (l) d 1z =(4x2(t)(xdx +ydy)~ +2^>(t)(dx +dy ) Hallar dz y r/“z si z =u , donde m=— , v - xy Desarrollo . dz , cz . A , dz dz du dz dv v_| 1 v. d z - — d x h dy , donde — = — .------(- — . — = vu + u m u.y dx dy dx du dx dv dx y dz dx = A T (- V " 1- + ( - ) " l n(-).y = y ( - r (1 + ln - ) = y ( - ) * (ln e + ln - ) y >’ y y y y y y dz dz du dz dv + dy du dy dv dy vuv 1(— +uv ln u .x y “ X ) +(—)'vin(—,.x x Á - r ~ ' ( , y y- y y CZ = jr(—) (ln(— )) => dz = y ( —)xv ln(— )dx + (x(—)xy. ln(— ))dv dy y ye y y y ye d z ^ i - ^ ’l yl n — dx + x W — l dy] y y www.FreeLibros.me ! 00 Eduardo Espinoza Ramos 1920 1921 En forma similar para: -) Y' i * -> Y' Y P Y d~z =(—) [v~ ln"(—) +—]dx~ +2[ln — -f xy ln(-—).ln(— )]dxdv v * y x y ‘ v ve +(x2 in2( - ) - - ) dv 2 V V 7 Hallar d z , si z - f(u,v), donde u =ax, v = by Desarrollo az . cz dz =— dx +— dy =afu(ii. v)dx + £/¡; (¿z>v)c/v cbr oy ? ,">• / / ^ /: 2 ♦;■/ d ¿'z =a^fuu (//, v)dx~ + 2abfm\ u, v)dxdy +b f v, (m, v)t/y‘ Hallar si z =f(u,v) donde u - xe} , v = ye' f<"‘¡ n:í} "i -)"! | - jrJ ;•■ Y ! "i ) i í í Desarrollo O ,v? •T « /’7 5 ■' y 1 _ d ~z =—~¿/a*‘ +2 — dx dy h— — c/y" CY“ OAY V* ......... ^ •> ^ ^ '■) . ^ • '" v c “z o“z dz/. o d"z dv •> ^d~z cz/ dv cz 6~u dz d' \ —(— ) --i------ (— ) -f- 2 ------- .— . — i . —r' ~y dv2 dz/ 2 dx ¿V2 dv dz/Sv clr dv du Sx* dv d\ ~ r = ..c, (w. v) 4- r 2fc'“' (íf, v) +2 f' Uu, y)ye' ey +j u (//. v)(0) + (u, i)(0) 6A“ www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 101 1922 ~ ~ T = x2e2yf!m (« , v) + 2 ye* eyf+ e2x f ' l v) + xev f'„ (u, v) + 0 ^2 7 - 7 = fuu( «» v) +2y e' e> fuv(u>v) +*2'V/vv («»v) +xe fu (">v) CV" <32z 5 ,3z , . =-~~ir^-) = eyf ú(u, v) + xe2yf¡^{ut v) + exf^.{u,v) + cxcy cy ex +ex+y (1 +xy)f¿l(u, v) + (", v) ^- T = e' fu v’) +xelyfuu («’v) +e*fí («>v) +é>A+'’ 0 + -KV)/„v (M>V) +Ví’2* /^ (M- V) exoy d 2z = [elyf!m(w, v) + y 2e2x ff («>v) + 2v + + k 7 «(u, v) +xe2 v (u, v)+exf l (u, v)+ev+v (1+xv)/„t («, v)+ye2x f ' i (11, v)]dx dy ( . ' +f-v2e'-v.4 /(">>') + 2 yexe' f yv(u,v) +e2v/w («•v) + (u,v)]dy2 Hallar d z si eos Desarrollo -> d t. d~z - (dx— +dv— ) z , desarrollando ex dv ,3 j 3 o dJ z y 2 / -j , , 2 1 3 d z - —- í/.y +3 —-— dx dv +3------- dx dy +—- dv~ dv av qy arqy qv dz x c z Y c z x — - eos v , —- = £ eos y , —- = e eos v eos y , —- = e eos y , —- ¿ir ' 8x2 ‘ dx3 -3 -n3 O Z v . <7 Z v . —-— = - e sen y , = - e eos y dx dy cxdy www.FreeLibros.me 102 Eduardo Espinoza Ramos 1923 1924 d i z - ex eos y dx3 - 3exsen y dxl dy - 3ex eos y dx dy2 +ex eos y dy 3 3 ? 2 3 d' z - e x (eos y dx' - 3 sen y dx"dy - 3 eos y dx dy +eos y dy ) Hallar la diferencial de 3er orden de la función z =x eos y +y sen x Desarrollo i d2 z i d2 z d~ z ? d z - —- dx +2 — — dx dv -\ dy dx2 exoy dV z = x eos y +y sen x cz dx eos y +y eos x d z dx2 -y sen x dxdy - eos x - sen y cz dv s e nx - xsen y ^2 C 2 - - x eos v oy d~z - - y sen x dx +2(cos x - sen y)dx dy - x eos y dy Hallar df( 1,2) y d 2f ( 1,2) si: f(x,y) = a:2 +xy +y 2-41nj c-l Ol ny Desarrollo dx cy www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 103 dx x g/(U ) dx 2 +2- 4 = 0 ^ y l = x + 2 y J l => ^ = 1 +4- ^ = 5 - 5 = 0 dy y dy 2 dz = df( 1,2) =0 dx +0 dy =0 df(l,2) = 0 d ~ f ( l 2) = d f ( \ , 2 ) 2 . dxÁ dx + 2 dxdy dx dy + d / ( 1, 2 ) 2 - 2 + cy df ( x, y) dx cf(x, y) dy =2x +y - ■ a +2>> d2f { x , y ) 4 dx2 — => A > c 2f ( ^ y ) 10 ' — => dxdy ;. . y d2f ( x , y - 2 - 2 + = 1 =2 + 10 2 y d V i 1.2) a*2 a2/ d , 2) dxdy 82f ( U2) ^ 2 cy - 1 _ 9 ” 2 é/2/(1, 2) =6¿/a2+Idxdy +4.5 dy2 1925 Hallar d 2f i f i , 0,0), si / (a, y,z) =a2 +2j ’2 +3z2 - 2a;v +4az + 2_yzr Desarrollo d 2f ( x , y , z) = ( d x f + d y ~ + - ^- )2 / ca cy cz d 2f ( x , y , z ) = ^ f d x 2 + ^ f d y 2+ ^ f d z 2 *v2 ^2 ov cv dz dxdy dxdz dydz dydz) www.FreeLibros.me 104 Eduardo Espinoza Ramos c f ( x , \ \ z ) dx df ( x, y, z) dy 3f ( x, y, z) CZ - 2 x - 2 v +4; = 4 v - 2x +2. —6z +4x +2 y d ~f ( x, y , z )| ar 8 f ( x , y , z) ov' cr f ( x, y, z) dz2 = 2 =6 d2f ( x , y , z ) dxdy d f ( x , y, z) dxcz d f ( x , y , z ) = 4 =2 0V<7Z d~ f ( 0,0.0) = 2dx2 +4¿/vz +6dzz -f 2(0 +4áxc/z +2dy dz) d 2f ( 0,0,0) = 2dx2 +4¿/y2 +6<iz2 +8dx dz +4c/v (iz 6.8. INTEGRACIÓN DE DIFERENCIALES EXACTAS.- Ira. CONDICIÓN DE DIFERNCIAL EXACTA.- Para que la expresión P(x,y)dx •+•Q(x,y)dy, en que las funciones P(x,y) y Q(x,y) son continuas conjuntamente con sus derivadas parciales de primer orden en un recinto simplemente con D, represente de por si, en el recinto D, la diferencial exacta de una función determinada u(x,y), es necesario y suficiente que se cumpla la condición. dQ dF[ dx dy 2da. CASO: DE TRES VARIABLES.- La expresión P(x,y,z)dx +Q(x,y,z)dy +R(x,y,z)dz, en que P(x,y,z), Q(x,y,z) y R(x,y,z) junto con sus derivadas parciales de 1er orden, son funciones continuas de las variables x, y, z representa la diferencial exacta de una función determinada u(x,y,z), en un recinto simplemente conexo D del espacio, y solo cuando en D se cumpla la condición: www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 105 1926 dQ dP dR dQ dP dR dx dy ’ dy dz dz dx Después de comprobar que las expresiones que se dan más abajo son diferenciales exactas de ciertas funciones, hallar estas funciones. y dx +x dy Desarrollo ( P(x, y) Q(x,y y X => < dP dy dQ „dx =1 dQ cP -i , x i como —- =— es exacta entonces 3 u(x,y) tal que: dx dy du( x, y) dx = y , integrando respecto a x u(x,y) =xy +g(y), derivando respecto a y du(x, y) dy —x + s (.v) g (y) =0 => g(y) = c •. u(x,y) = xy +c I ‘>27 (eos jc +3x2 y)clx +(.v3 - y i )dy Desarrollo www.FreeLibros.me 106 Eduardo Espinoza Ramos 1928 cP cQ ‘ x , como — = es exacta => 3 u(x,y) tal que: dy dx dw(x,y) dx 7 7 =eos x +3x y , integrando u(x, y) = x +x y +g(y), derivando di/(x,y) 3 / 3 2 - =x +g (y) =0 (x,y) —x - y dy g 0 ;) = -.v3 => £(>•) =“ 3 y u(x, y) = x y vsen x (x +2 y)dx + y dy (x + y)' Desarrollo P(x, = Q(x, y) = x + 2 y (x + y ) 2 => v (x + dPj xX, dy SQ{x, y) dx 2 y (x + y) 2_y (x +y)' dP dO como — = — es exacta => 3 u(x,y) tal que: dy dx du(x, y) n x + 2 y —i—— = p = v , integrando respecto a x dx ( x+y) ' u(x, y) J; x + 2 y (x + y) dx + g( y) = ln(x + .y) .V x + y +g(y) www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 107 1929 u(x, y) = ln(x +y ) — + g{y) x + y du(x, y) 1 dy x +y (x +y) A + ¿ (y) = Q(x, y) = y (x + y)' x + y - x / y ——T +g\y) = — T (x + y) (X + y ) 2 y + g ' ( y ) = y (x + y)' g' ( y ) = 0 => g(y) = c y u(x, y) =lníjc + y) 1-c x + y 2 2 x 4- y X 2 + y 2 Desarrollo P = Q = x + 2 y 2 x + y 2x —y 2 2 X +V => i 6P 2x~ - 2xy - 2y 4 dy dQ dx (x2 + y 2)2 2x2 - 2xy - 2y 2 (x2 + y 2)2 dP dQ _ e x , como — = — es exacta => 3 u(x,y) tal que cy ex du(x. y) x + 2y , = P = — , integrando respecto a x dx x + y u( x, y) = f dx + g(y) = | ln(.v2 J x~ + y- 2 y 1 . - 2 , 2 • - X u(x, y) = - ln(jc + y ) + l arct g— + g ( y ) , derivando 2 y $ www.FreeLibros.me 108 Eduardo Espinoza Ramos 1930 1931 6u(x, y) y 2 x, 2 x - y — - — = — — ~— T— T + S — ^ 7 oy x + y~ x + v j c + y 2x - y / 2x - y —— v +s 0 0 =— 5— "t jc + y x 4- y " => g(y)=o => g(y) = c i -) -) x a(x, y) = — ln(.r" 4- y") 4- 2arctg{—) 4- c 1 " y —dx —-~dy v Desarrollo y dP i => < Q= y dy dQ dx y dP dQ _ . . . como — = -=• es exacta =^>3 u(x,y) tal que: dy dx = P - — integrando se tiene: u(x, y) = — 4- g ( y ) , derivando dx y y du(x, y) x ¡ x — = —y +g (y) =Q(x,y) =-— dy y y g(y) =0 => g(y) = c u(x, y) = —f e y X d x 4- 7= £ = d y sjx2 + V2 www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 109 1932 Desarrollo P = Q = 477/ y V* 2 + y 2 8P dy dQ dx xy ( * 2 + / ) 2 - xy ( x2 + y 2)~2 dP dQ , x 1 como — = —— es exacta ==> 3 u(x,y) tal que dy dx du(x, y) _ p _ _ x ^ integrando u(x, y) = ^ x 2 + y 2 + g ( y ) , derivando dx $ y i x 2 + y 2 x2 + g ( y) = 0 => g(y) = c u( x, y) = \Jx2 + y 2 + !■ t Determinar las constantes a y b de tal forma, que la expresión (ax2 + 2 xy + y 2 )dx - ( x2 + 2xy + by2 )dy ( x2 + y 2)2 función z, y hallar esta ultima. sea la diferencial exacta de una Desarrollo Q = ax +2xy + y ( x2 + y 2)2 x 2 + 2xy + by2 ( x2 + y 2)2 dP dy dQ dx 2x3 - 6xy2 + (2 - 4a)x2y - 2y 2 (x2+y2)3 2x3+(4b- 2)xy2+ 6x2y- 2y} (x2+y2)3 para que sea exacta debe cumplirse que: www.FreeLibros.me 110 Eduardo Espinoza Ramos 2x3- 6xy2 + (2 - 4á)x2y - 2y3 2x3 + (4b - 2)xy2 +6.Q ’ - 2>’3 cy dx de donde í 4¿>—2 =—6 ífl = - l 2-4úf = 6 ^ \b =-1 ahora calculamos la función z = u(x,y) de acuerdo a los criterios establecidos Después de comprobar que las expresiones que se dan más abajo son las diferenciales exactas de ciertas funciones, hallar estas funciones. <. .• • . T 7 ■ , \ ': j f • i ■■; ¡ •• ; i y ;■■- ú-;\ , 1933 (2x + y +z)dx +(x + 2y +z)dy +(x +y +2z)dz Desarrollo P = 2x +y +z , Q = x + 2y +z , R =x + y +2z se tiene: z - u(x, y) = —^ x +y 1 www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 111 g'y (y , z ) = 2y +z => g( y , z ) = y 2 + yz + <p(z) g lz( y, z ) = y + <p'(z) I I 2 v +(p (z) = y +2z => cp (z) = 2z =>(p(z) = z +c g( y, z) = y 2 + yz + z 2 +c 7 7 7 ll(x, v, z) = X~ + XV + XZ + + VZ + Z“ + C 1934 (3x2 + 2 v2 +3z)dx +(4xy + 2y - z)dy +(3x - y - 2)dz Desarrollo P = 3x2 +2y 2 + 3z , Q = 4xy + 2y - z , R = 3x - y - 2 dP , dQ dR , dP dR „ — = —^ = 4g ; — = — = -1 ; — = — = 3 dy dx dz dy dz dx / v i 5m(x , y, z) es exacta => 3 u(x,y,z) tal que = P dx ^u(x\-y±z) - i x 2 +2y2 -f 3z , integrando respecto a x dx u(x, y, z) =x +2x;v“ +3xz +g ( y , z), derivando ui(a,y,¿) _ + ^Z) =0 =4xy +2y-z => g',(>-,z) = 2v-z cv ✓ ^Z) = 3* +gí (>-, z) = R = 3x - y - 2 oz gí (7 ,z) =- y - 2 => g(y,z) =-yz - 2z +(p(y), derivando respecto a y www.FreeLibros.me 112 Eduardo Espinoza Ramos 1935 g'y (y, z) = - z + <p' (y) =2 y - z = g' (y, / 7 ’ (p (y) = 2y => cp(y) = y" +c de donde g(y, z) = - yz - 2z +y^+c u(x, y, z) =xJ +2xy -f 3xz - yz - 2z +y~ +c ( 2xyz - 3yr z + 8xy ~+ 2 ) d x + (x z - 6xyz + 8x y + 1) d y + (x y - 3xv“ -f 3) d z Desarrollo Í P = Q= 2 xyz 2 x~ z r- 3y 2z +8.vv2 +2 6 xyz +8.v“ y +■1 dP dv cQ - 2xz - 6 yz +16xy _ i xz - 6 vz +16xy f x ap co oy ex P =2xyz - 3 y z +8xv“ +2 (2 =x2 y - 3xv’2 +3 ap oz ap l CX 2 xv - 3 v“ = 2xy-3y a p ap cz ax Luego es exacta => 3 u(x,y,z) tal que: du(x, y\ z) dx 7 7 = P - 2xyz - 3 y“z +8xy“ +2 , integrando w(x, y, z) - A'2 yz - 3xv2z +4x2 y2 +2x +g(y\ z), derivando ^ C i Z i í l = X2Z _ 6xyz + 8x2 y + gv(y, z) =O = x2z - 6xyz +8x2y +1 dy g ( y\ z) = 1 => g(y,z) = y +cp(z) de donde g z( y, z) ^ cp\z) du(x, y, z) dz = x“y - 3xy +yy (y, z) =P = x y - 3xv" -i- 3 www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 113 1936 g'z(y,z) =3 de do nde g'z(y,z) =tpl (z)- 3 => <p(z) = 3z + c g(y,z) = y + 3z + c u(x,y,z) = jczj>z-3Ayzz + 4jt >> + 2x + .y + 3z + c ( — — y + ( - — y ) d y + ( - - -y)í/z y X z y x Z Desarrollo P =— Q =— R Q =— R =— P =- ~ 1z 1 $ I I1 1 y => < ay / i X dQ i z '7 dx y2 1 y I 5 S 2 L i X z 2 :=> 8y < z 2 1 X dQ 1 z "7 .dz z 2 1 y dR 1 X z 2 ==> < dx x2 1Z dP 1 y X2 dz x2 dP =dQ dy dx dR dQ dy dz dR dP dx dz es exacta => 3 u(x,y,z) tal que ’ =P =- — i ntegrando dx y x X z u( x, y, z) = —+ —+ g ( y , z ) , deri vando y x e , www.FreeLibros.me 114 Eduardo Espinoza Ramos 1937 / I y gv(y,z) =- => g lz { y, z) = - ^ j + ( p l (z) Z = = , ¿ w - J L CZ X X z z "17 / y Mi*$w y Luego — - +^/ (z) = — Y => (p(z) =c => g(>\ z) =- + c z “ Zz 2 / x x z y u( x, y, z) ——l----i he xdx + y dy + zdz V* 2 + >'2 + 22 i Desarrollo www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 115 1938 R yjx2 +y ’ +z2 X +z ‘ dR dx dP az xz (x +>’~+ z“) -xz => cR ex dP dz (x2 +V2 + Zz ) 3 2 \ ? entonces es exacta =>3 u(x,y,z) tal que í/m(x,y,z) =dyj x2 + v2 +z2 , integrando w(x,y, z) = ^/x2 +y2 +z2 + c Se dan las proyecciones de una fuerza sobre los ejes de coordenadas v ’' 1 ' Ax X - — :— - , Y =------ 1—- , donde X es una magnitud constante ¿Cuál debe (x +y) (x + y) } ’• í y , ; ' . i' . i " + i {• 1 i jy ' ■[. ,»••?.'*» ;Vf ser el coeficiente X; para que la fuerza tenga potencial? Desarrollo Consideremos dF(x, y) y ' í x ax 3----------- dy (x +y) 2 (x+y)2 Donde P Q y (x +y) Ax (x + y y => dP dy dQ dx x - y (•V + v ) 3 (jc + j )3 5P dQ Para que sea exacta debe cumplirse que — =— es decir: 8v dx - Á( x - y ) = x - y (x +j )3 (x + y)' => X - - l A —- 1 1939 ¿A qué condición debe satisface la función f(x,y), para que la expresión f(x,y) (dx +dy) sea una diferencial exacta? www.FreeLibros.me 116 Eduardo Espinoza Ramos 1940 Desarrollo f(x,y) (dx +dy) =f(x,y)dx +f(x,y)dy, donde P(x, y) = f ( x , y ) Q(x, y) = f ( x , y ) cP dy oQ dx = f x (x>y) para que sea exacta debe cumplirse que: d P _ c Q dy dx Luego la condición que debe cumplirse es f x (.y , y) =f v ( .y , v ) Hallar la función u, si du =f(xy) (y dx +x dy) Desarrollo du =y f(xy) dx +x f(xy) dy, de donde P = yf ( x, y) Q = x f (x , y) 8P 8y oQ „ dx = f ( x y) + = f ( xy ) + (xy) Luego — = —— es exacta entonces como du = f(xy)(ydx +xdy) = f(x,y)d(xy) dy dx Integrando el 1er miembro con respecto a y, y el segundo miembro con respecto a xy. du= \ f ( xy) d( xy) + c h =í *xy u=I i - f (t)dt +c , donde t = xy, a constante www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 117 6.9. DERIVACIONES ÜÉ FÜNCIÜNteÍ IÍÉÍÍf(:ifÁS> ler. CASO DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTE.- esta función f y (x, y) * 0 , se puede hallar por la fórmula — = - L í ^ l Z .2 jas Sea f(x,y) = 0 una función diferenciable de las variables x e y, la derivada de 'i dx f y ( x , y ) derivadas de orden superior se hallar por derivación sucesiva de la fórmula dada. 2do. CASO DE VARIAS VARIABLES INDEPENDIENTES.- En forma similar si la ecuación F(x,y,z) = 0 donde F(x,y,z) es una función diferenciable de las variables x, y, z, determina a z como función de las variables independientes x, y, y: Fz ( x, y, z) * 0; las derivadas parciales de esta función dada de forma implícita puede hallarse por la fórmula: ' dz _ F¿(x, y, z) dz _ Fy( x, y, z) F' ( x, y, z ) ’ FÍ( x, y, z) otro procedimiento para hallar las derivadas de la función Z es el siguiente: diferenciando la ecuación F(x,y,z) = 0, obtenemos 8F 8F 8F — dx + — dy + — dz = 0 8X 8Y 8Z de donde puede determinarse dz, y por consiguiente: www.FreeLibros.me 118 Eduardo Espinoza Ramos 3er. SISTEMA DE FUNCIONES IMPLÍCITAS.- , ÍF(x, y, u, v) - 0 Si el sistema de dos ecuaciones < determinar y y v funciones [G(x,y,w,v) = 0 diferenciables de las variables e y y el jacobiano. dF dF D(F, G) D(u, v) las diferenciales de estas funciones se pueden hallar de las siguientes ecuaciones: dF , 3F J dF dF dF J A — dx + — dy H-------4- — du H-----dv = 0 dx dy dz du dv dG J dG , dG dG dG J A — dx + — dy-\ dz +— du+ —- dv = 0 dx dy dz du dv 4to. FUNCIONES DADAS EN FORMA PARAMETRICA.- Si la función diferenciable Z de las variables x e y se da en ecuaciones paramétricas X = x(u,v), Y = y(u,v), Z = z(u,v) y i • i ; - j ' , { '* . " ; f | . , - . t , diferencial se puede hallar el sistema de ecuaciones: dx dx D( x, y) _ du * 0 D(u, v) dy dy du dv www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 119 1941 1942 conociendo la diferencial dz = p dx +q dy hallamos las derivadas parciales - - P . - . Q ex cy x2 2 dv Sea Y una función de X, determinada por la ecuación — +— = 1. Hallar — , a b~ dx d~ y d 3y dx2 dx3 Desarrollo 2 2 Sea f ( x , y) = 2- + Z- - 1 a Ir f í (v. y) = —7 , f í (x, y) = -¿- a~ o 2x dy _ f í e y) = _ y _ _ __^ £ A- / , W ) 2y rt-v 62 dy d y =d_ dy__ d fe2x = ¿>2 y dx_ dx2 dx dx dx a2y a2 y 2 i b“x T? , 7 / 2 »^ 2 0 I 2 f2 »2 2/ 2 , 4 d~v _ b a b~ a y ~ + b x d~y _ b a b b ——y — — ( 2 4~* í ■ j 2 ~ 4 ^ 3 ' — 2 3 ¿Zx a~ y a y dx a y a y d y d , d y. d b 3b dv d y 3b b x 3b x —- ( —) =— (-----------------------1- Z=> ——=------- (--------) =---------- / 3 / v ^ ' J v ? 1 1 *> 4 j | 3 2 4 v 2 7 4 s z/jc' d!x: í/jc dx a y a~y dx dx a y a y a y Sea Y una función determinada por la ecuación .r2 y- y 2 +2 axy =0 (a > 1). d 2y Demostrar, que —y = 0 y explicar el resultado obtenido. dx~ www.FreeLibros.me 120 Eduardo Espinoza Ramos 1943 Desarrollo -> i Sea /(x, y) - x~ +y" -+- 2axy f ' (x, v) = 2x -t~2ay , / (x. y) = 2y +2ax c/v 2x -f 2av x + ay dy x + ay 2 y +2ax v +ax dx y +ax dx\ , w dr. ,2 , ( y +ax)(1+a — ) -- (x +av){ a + ) dy= d(x +ay = _ v_ __ (/.Y dx_ dx2 dx y + ax (v +ax)' 1 wi ax + a~\ \ x +c/v. 7 ( y +¿?x)(1------------------) - (x -f ay)(a----------- —) d~y ' y + ax y + ax y ~ 7 dx" ( v’ +ax)~ 2 > (-V +ay)(a , i ( y - a v)------------------------------------------ — -------------------------------------------------- d~v Y+ax , -> 2 í /x “ ( v + ax)~ d " v (¿T - 1 )[(>' +ax) v+x(x -f ay)) dx2 ( y + ax)3 d2v (a2- 1)[ y2+x2 +2tfxy] ia~ - 1) d~y - - (0) =0. Luego — ~0 ¿/x2 ( y-fax) 2 (y + ax)' dx Hallar — si y =1+yx dx Desarrollo / (x, v) = 1+ / - v => f x (x, >0 = y x ln x www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 121 1944 1945 f Ux , y ) = xyx- ' - i dy f x( x, y) v' ln -v >’' ln dx f y ( x , y ) 1- 1 1-A y' 1 TT tl dy d y . Hallar — y — — si y = x +ln y dx dx Desarrollo f(x,y) = y - x - l n y => 1 f i f \ i 1 y ~ l f v( x, y) = 1 — =------ y y dy fí(x,y)- 1 y dx fí(x,y)Zz l y -1 dy dy y - t </2>’ _ f* ( J; ) - dx 7 dx = y d 2y _ 1 í/x2 dx >’- 1 (.y-l)2 (y-O2 dx2 ^(^“0 Hallar ^ dx d 2v x=\ dx2 si x2 - 2 x y + y 2 + x + y - 2 = 0 utilizando los A - l resultados obtenidos, representar aproximadamente la gráfica de esta curva en el entorno del punto x = 1. Desarrollo / (x, y) = x2 - 2xy -f y2 +x +>>- 2 f í ( x , y ) = 2 x - 2 y + l , f y (x,y) = 2 y - 2 x + \ www.FreeLibros.me 122 Eduardo Espinoza Ramos 1946 dy f x( x, y) 2x - 2y +1 2 — =— =-------------------para x = 1, v - v = O, y =O, y = 1 dx f v(x, y) 2 y - 2x +1 para dx —36 —1 V=1 d 2y d 2.Y -2y +l -8 d 2 v ' =— -------— 7) dx2 dx 2 y - 2 x + \ ( 2y -2x +l) 3 dx4 = 8 6 - 8 A' —l V i 1 y x +y~ = arctg — (a * 0). x dy d^y Hallar — y dx dx~ Desarrollo ^ 2 2 y Sea / ( y) = —ln(x 4- y " ) - a.arctg — 2 ' x « ( - 4 ) , x v- x + ay f l ( x , y ) 1 1 x + y i l+7 1 1 1 j c " + y y .... . . . . 4 .................. y - a x 2 1 1 1 1 x y , v y" +y~ 1 +- o . Y “ x +ay = f í (*>>’) = x2 + / = x + ay * / VW ) Z z ^ 2 , 2 X + y d 2y _ d x + ay^ _ ( +l)(x2 + y 2) dx2 dx a x - y (a x - y ) 3 www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 123 2 1947 Hallar y L X si 1+ xy - ln(e'v+e_Jev) = O dx dx2 Desarrollo Sea / (x, y) =14 xy - ln(eAV4 e xy) z ye™ - ve xy yexy +ve xv- yexy 4 ye xy 2xe x f x (x, y) = y ~ * ' * exy 4 e xv erv 4 e xy exy 4 e~ dy _ f x (*, _ y dx fUx, yx d 2y d v 2 y <¿r c/v .x x2 ID48 La función Z de las variables x e y se da por la x14 2 y3 4 z3 - 3xyz - 2 y 4 3 = 0 . Hallar — y — ex dv Desarrollo ^■•>' , •>dz ^ dz , 7 vdz 3x~4 3z" ----- 3 y v- 3xy — =0 => (z^ - xv) — =vz -- x ex ex ex 7 2 ez yz - x v - yz 7 7 ex z“ - x v x y - z ~ 6 y2 4 3z~— - 3xz - 3xy — - 2 =0 => (3z2 - 3xv) — =3xz - 6 y" dv dy " dy dz 3xy - 6y 4 2 _ 6 y" - 3xy - 2 dy 3z2 -3xy 3(xy- z2) A'V ecuación: 4 2 www.FreeLibros.me 124 Eduardo Espinoza Ramos 1949 1950 TT dz dz . Hallar — y — si x eos y +y eos z +z eos x = 1 dx dy Desarrollo x eos y +y eos z +z eos x =1 dz dz eos v - v sen z — +eos x — - z sen x = 0 e x CX dz (eos jc - y sen z)-^- = —eos y - z sen x ex dz _ - eos y +z sen x _ z sen x - eos y dx eos x - y sen z eos x - v sen z dz dz -x sen z +eos z - y sen z -----heos x — =0 dy dy dz dz x sen y - eos z (cosjc- y s e n z )— =x sen y - eos z dy dy eos x —ys enz 9 CZ La función Z viene dada por la ecuación x2 +y “ - z - x y = 0. Hallar — y ex dz — para el sistema de valores: x = - 1, y =0, z = 1. dy Desarrollo r, dz n _ dz y - 2 x 2 x - 2 z y =0 => — =--------- dx dx —2 z CZ para x =- 1, y = 0, z = 1, — = - 1 dx www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 125 1951 ^ ~ dz x —2 y 2y —2 z -------x =O => — =--------- dy dy - 2 z \ n 1 dz 1 para x = 1, y = O, z = 1, — = — 2 dz cz d z d z . x y z Hallar— , — , —7 , si — + — + — = 1 ex dy dx dxdy a b c Desarrollo 2x 2z dz dz c2x _ + _ — = o => — = — — a c dx dx a~z dz c2x2 2 Z - X 2 z + d z _ c í dx \ _ c / a z .2 _2 ^ _2 ' 2 ' _2 ck" 0 z 0 z‘ 2 2_2 2 2 2 22/7 2 2\ c z _ c , 0 2 +c x ^_ c , 0 c (b —y á 2 ~ T* 3 ' “ ~T* ,2 3 ”' ex a z a b z = S ( £ z y ~ \ 8x1 a2 ¿>2z3 W z 3' 2 y 2z dz . & c2 y — = 0 => — =------f- b c dy dy b~z d2z c4(a2 - x 2) dy2 “ a2d2z3 d2z c2x =± ( * ) =±( dy dx dj> a2z 0 - x ) = —r(- 0 www.FreeLibros.me 126 Eduardo Espinoza Ramos 1952 1953 d 2 z = c 2 ( b 2 z > = c 4 x y d x d y a 2 z 2 a 2b 2 z 3 f(x,y,z) = O demostrar que = -1 d y d z d x Desarrollo d x J y X . y ) d y _ f í ( x , y ) &_ _ f x (x, y ) ¿y / ;( * , . y) & /;( x,.y) av / r (x, y) — ?y. — ~ ( f y ( x , y K f í ( x , y ) Zi l hzl ) = _i a/az' a* //( * , v) /; (x, y) ' /.;(x,y Z = cp(x,y) donde y es función de r determinada por la ecuación y(x,y) = 0. d z Hallar d x Desai rollo d z * d z (y*"* d v — calcularemos por la formula siguiente: — =— +— d x d x d x d y d x d z , , , , / , w V/X(x, y) — = <pK(x, y) +<pv(x, y)(----7 ) d x y/ ( x, y ) www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 127 1954 <C<X>') <p¡ y (x, y) ¥y{ x, y) v) Hallar dz y d 2z, si x2 + + - a2 Desaíro!!' mmmmmmmmmmmmrnmmmmmmaa» m dz I' d z =— dx +— í/y donde V ex oy ex F dv F i i Sea F(xsy, z ) =x~ + y “ +z ' - a~ entonces: Fx = 2x , Fv =2y , FJ - 2z cz .v cz v x y Luego — - —- , — - . Entonces: dz = — dx - — dv ex z ay z z z ->2 >2 "> a z ") c z o z o d ‘ z = — r/x' +2 —— dx dv + - dy donde -v 2 * -s 7 ex” oxoy cy~ dz c ^- CX X -f X CX 2 2 X + Z~ C P-r 2 \ y -,2 Z + -— 2 2 2 c z cv - ■v +z x —a - . 2 2 2 CV Z Z d2z d . xx xv t _ =— (— ) =—V? luego se tiene: dxdy dy z z3 2 2 7 2 2 V - a 2 2 xv , , x - a 2 dz - I d x — CX c/v H Cjv ¿i z z www.FreeLibros.me 128 Eduardo Espinoza Ramos 1955 Sea Z una función de las variables x t y determinadas por la ecuación 9 9 9 y 2x" +2y +z - 8xz- z +8 =0 . Hallar dz y d z para el sistema de valores: x = 2, y =0, z =1 Desarrollo Sea F(x, y, z) = 2x2 +2y2 +z2 - 8xz - z +8 Fjr'=4x - 8z , F' =4y , / z =2z - 8x - l & /y 4x - 8z cz 4 y dr FL 2z- 8x- l cv F_ 2z- 8x- l , dz . cz , 4x-8z , 4>y , az = — ax h dv = ----------------ax----------:-------ay dr <3y 2z - 8x - l 2z - 8x - 1 para x = 2, y = 0, z = 1 se tiene dz =0 'v2 ^2 ^2 i C Z n C Z C Z o é/'z = —-dx" +2 -------dxdy-i—— í/v' dx1 dxdy ' www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 129 d2z _ ^ d z d 4 x - S z dxdy dy dx dy 2z - 8x - 1 para x = 2 , y = O, z == 1, — = O, —— = 0 , d 2z = — (dx2 +dy2) dy dxdy 15 1956 Hallar dz y d 2z , si ln z = x + y + z - 1 ¿A qué son iguales las derivadas primera y segunda de la función Z? Desarrollo Sea F(x,y,z) = l n z - x - y - z +l ddonde Fv = -1, F! y = -1, F'z = —-1 dz dz dz F —1 dz = — dx + — dy donde — = — ^ = —----- dx dy dx Fz z 5 z _ z _ z dz _ z dx 1 - z z - 1 dx z - 1 dz _ Fy _ - 1 _ z dy FÍ I _ i Z_ 1 dz = — r— ¿/x----— dy = —^—(dx +¿/y) z - 1 z —1 1—z 2 C'2Z 2 ^2z i / ^2Z j 2 d z - —- c/v + 2 ---------dxdv + —r-rfy dx2 dxdy " ay2 (2 z - 8x - 1X-8 ~ ) - (4x - 8z)(2 —) ______________qr_____________dy (2z —8x - 1)2 í / 2z = — - — r ( dx2 (1- z )3 www.FreeLibros.me 130 Eduardo Espinoza Ramos 1957 1958 O 7 9 Sea la función Z dada por la ecuación x~ + y +z“ =<p(ax + by + cz) donde cp es una función cualquiera diferenciable y a, b, c constantes. Demostrar que: (cy - b z ) —H(az - ex) — = bx - ay x dy Desarrollo i 2 x~ +y~ + z - (p(ax +by +cz) dz dz dz l x- a( p' 2.V+2 z— = <p'[a + c —] dx dx dx ccp'-2z _ . dz dz dz 2 y - bcp' 2 y + 2z — - (p [b + c. —] ^ r dx dy dy c(p'~2z d~ d** (cy - b z ) — + (az - cjc) — - bx - ay dx dy . w2x —a(p\ , 2 y —b(p\ 2ayz - 2bxz +bcxcpaccp' y (cy- feX----— - ) + («- - crX =-— ------------7 V ---------- “ c(p — 2 zc<p- 2 z — - 2z^ay Z^ + c<pVZ Z aA = (2z-c^')(a>'-fev) = bx _ av c(p'—2z c c p 2z Demostrar que la función Z, determinada por la ecuación F(x - az, y - bz) = 0 donde F es una función diferenciable cualquiera de dos argumentos dz dz , a — + b — =1 dx dv Desarrollo Sean u = x - az , V =y - bz dF dF du ^ dx d u dx = F 1- F U II www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 131 1959 °IL - — — - f i - dy dv dy ' ' dF dF du dF dv ¡ cF ¡ — = = Fu. {-a) + Fv ( - b) ^ — = -aFu - b Fv dz du cz dv cz cz dz F ' Fv / ¿y Fi-(aF'+bFÍ) aF,í+bF' dz u8z aFu bF' aFu +bF' a — + b — =— — - +----— 5— 7 = —---------V = 1 dyaFu + bF' aFu + bF' c,Fu +bFv dz . dz a v b— =1 dx dv n/x y, * _ dz dz F( — ) - 0. Demostrar que x — +y — = z z dx dy r r Desarrollo Sean u = — y v = — como F (—,—) =F(u, v) = 0 z z z z cF dF du _/ 1 cF = F. . ~ => dx du ex “ z dx z dF cF dv , 1 dF F' = F - => - dy cv dy z dy z dF _ d F du ^ dF dv cz du dz dv dz => ? ¡ r — \ r f + yF!) dz z z cz z www.FreeLibros.me 132 Eduardo Espinoza Ramos — q 1960 dz F' z Fu dz Fy zFv dx F xF' + vF 1 cu F xFf +vF : u -' V z u ~ v _ dz dz xzF yzFv Luego x hv — = +—1— -— dx ' dy x f u + */<; +}f \ dz dz xF + vF., x — + y — = Z ( 1------- ) = Z ex cy xFu +yFv Demostrar, que la función Z, determinada por la ecuación y =x <p(z) + vp(z) ., d2z dz 2 ^ dz dz d2z d2z dz 2 A satisface a la ecuación —- ( —) - 2 — .— .--------f —- ( — ) - 0 dx cy ex cy cxcy dy ex Desarrollo dz _ <p(z) dz _ 1 í t ^ — IZ> — - ... (1) dx x(p\z)-\ -y/ \z) cy x(p\z) + y/ \ z ) d2z =2<p(z)(p >(r)[x^'( -) +W '(z )] - (z)[-Y^ "(-) +V "(■z )3 ex2 [x(p\z) + y / \ z ) f (2) C~Z X(p'Xz) + i/ / "{z) dy2 [x (p\ z) + (3) d2z <p(z)(.xtp "(z) + y/ "(z) - (p '{z)){xcp ’(z) + '(z)) 3 dxdy de (1), (2), (3) y (4) se tiene que: d2z t d z ^ dz dz d2z —T(— )- - 2— .— .------- +—T (—) =0 ex dy dx dy dxdy ‘ (4) www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 133 1961 Las ftmciones Y y Z de la variable independiente x se dan por el sistema de ecuaciones x2 +y 2 - z2 = 0 , x2 +2y 2 +3z2 = 4 . Hallar — , — , — y dx dx ’ dx1 d 2 z n 1 —— para x = 1, y =0, z = 1. dx Desarrollo Diferenciando las dos ecuaciones se tiene que: 2x dx +2y dy - 2z dz = 0, 2x dx +4y dy +6z dz =0 despejando z dz y reemplazando en la otra ecuación 8 dz =x dx +y dy =>x dx + 2y dy +3(x dx + y dy) = 0 ^ , dy Ax 4x dx +5y dy = 0 =>— =------- dx 5 y dy para x =1, y =0, z = 1 => — = ^o dx dy , 4x" d 2y 4 y ~ x Jx 4 ' Sy 4 5y 2 4x2 dv2 5 v2 S l y 2 ’ / d 2y para x =1, y =0, z = 1 => ——=oo dx despejando y dy y reemplazando en la otra se tiene: y dy =z dz - x dx => x dx +2z dz - 2x dx + 3z dz = 0 dz x 5z dz =x dx dx 5 z rx i dz 1 para x =1, y = 0, z =1 => — =— dx 5 www.FreeLibros.me 134 Eduardo Espinoza Ramos 1962 Las funciones Y y Z de la variable independiente x se dan por el sistema de ecuaciones: xyz =a, x +y + z = b. Hallar dy, dz, d 2y , d 2z Pesarroilo Diferenciando a la ecuación xyz =a se tiene: xy dz +xz dy +yz dx =0 ... (1) Diferenciando a la ecuación x +y +z =b se tiene: dx +dy +dz =0 => dz - - dx —dy ... (2) reemplazando (2) en (1) se tiene: yí -r —y) xy(-dx - dy) +xz dy +yz dx =0 de donde d \ - :— ——dx ...(a) x ( y - z ) de dx +dy +dz = 0 se tiene dy = -dx - dz ... (3) reemplazando en (1) se tiene: xy dz +xz (-dx - dz) + yz dx =0 de donde se tiene: dz = —— dx ... (B) x ( y - z ) www.FreeLibros.me Funciones de Varías Variables 135 I '>63 , cz cz 8y cy oz P,2 „ (z + x ■— - y - - - z ~ ) ( x y - xz)~ (xz - yz)(x-y- + y - x - — z) f > dx av (’Y____________________ av_______av____ - 2 2, x2 e x x ( y - z ) d2z a [ ( x - v) 2 +( y - z )2 + (z- x)2] . — ~= — r~ - , de las ecuaciones (a) y (p) se tiene: L . j i \ j e x X (>’ - z) ov . o y _ . —- = 0 , ——= 0 luego tenemos: d z dz~ d 2y = ^y-jdx2 = — r—^ -[(x - y)2 +(y - z ) 2 + (z - x)2 ]¿/x2 dv x (y- z) d 2z ~ ~~y~ydx2 = — —— y[(x- y)2 + ( y - z ) 2 +(z- x)2]dx2 dx“ x ( y - z ) Las funciones u y v de las variables independientes x e y, se dan por el sistema de ecuaciones implícitas: du du d2u d2u d2u dv dv d2v d2 v dx ’ dy ’ dx2 ’ dxdy ’ dy2 * dx ’ dy dx2 dxdy d“v —- , para x = 0, y = 1. dy“ Desarrollo Diferenciando la ecuación u =x + y se tiene: du =dx +dy ... (1) diferenciando la ecuación uv =y es decir: u dv +v du =dy ... (2) y reemplazando (2) en ( 1) se tiene: ( t +y ) d v 4 de donde x + y X v d v = d y ---------1— - d x de aquí se tiene: (x + _v) (x + y) www.FreeLibros.me \ 13 6 Eduardo Espinoza Ram dv y j dv x -— = — - ax, — =--------- de donde dx (x + y)~ dy (* +>•) c"v 2 y d2v 2x dx2 (x -f y f dy1 (jc+y)3 . i 8 v y - x , du Bu = ademas — = 1, — =1. Luego: dxdy (x + y ) dx d~u _ o~u . dru —- = 0 , —- = 0 , = 0 para x = 0, y =1 tenemos que: dx dy2 dxdy du . du . d2u d2u , d2u . , dv , „ 1. — = 1. — 7 = 0 , — = 0 , — - = 0 , — = - 1, — = 0 , — = 2 dx dy dx dv' dxdy dx dx' ->2 ^2 ° V - A ° V = o, dy dxdy 1964 Las funciones u y v de las variables independientes x e y se dan por el sistemé 2 ? de ecuaciones implícitas: u +v = x, u- yv = 0. Hallar du, dv, d"u, a v . Desarrollo Diferenciando u +v =x => du = dx- dv •••(!) Diferenciando u - yv = 0 => du - y dv - v dy = 0 ... (2) Reemplazando (1) en (2) se tiene: 1 . v , , dv 1 dv v dv d x ---------dy de aquí se tiene: Y V » V V 4 V * * t-X V V i v í y ^ y +1 y +1 ' dx y + \ dy y +1 " ) y o" v o'v 2v 1 luego: —- = 0 , —- = , —— =-----------y dx' d y (v +1) cxdy (v +1) www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 137 !%5 reemplazando en (1) se tiene: , y ,v , du y v du = dx + dy , de aquí se tiene: - - y +1 y +1 ' dx y + \ dy y + \ d2u „ d2u —2v d2w Luego: -7- 7 =0 , , 9 , ox 0 +1)“ SxSy (y +lV Reemplazando estos valores en: ,2 C U , 2 ~ O U O U 2 d~u =—-úfjc +2 ------dxdy + —- d y 1 ^ o . . ¿ ex dxdy " dy1 j 2 2v 2 d 11=-----------— dx dy dy y en d~v es decir: Cv +i)- (v + 1) ~,2 í>2 2 , n o y , 9 ^ c v , , o v , > d~y = ——ax“ 4- 2 ox c/y +— 7 ay“ cv“ 3x5y ' dy- d 2 y -------- -—7 c/.x J y 4 ——7 dy2 (y + \ y ' ( y + i y Las funciones u y v de las variables x e y se dan por el sistema de ecuaciones x tt 11 cu du dv dv implícitas: x =cp(u,v), y = \|/(u,v). Hallar dx dy dx dv Desarrollo Diferenciando las ecuaciones es decir: dx - (pudu 4- <pvdv •*•(!) dy - y/"du 4- y/vdv ... (2) dx- ( p du de (1) despejamos dv = ----- <Pv www.FreeLibros.me 138 Eduardo Espinoza Ramos 1966 i t • ' i / / 7 ^ — (Pndll reemplazando en (2) se tiene: ¿/v =y / ud u +y / v d v = y Hd u f (--------- —— ) ^'/(v =(<3,V;i - ) </ « +=> du =— — —— + ;■v"rf>.— - (3) <PvVu -Vv<Pu <P‘vVU- VV<P,, ^ ! de donde — = — r;H o.v ’ dv <p! vy/'u - y / v<p:u reemplazando (3) en dv se tiene: í / v = --------—:— -í /,y +---------- ——r— n'v <PÍ,¥v-<P'v¥u VuVr ~ <PvVu de donde * - < 5v - av 9Í,v[. ‘P ‘K o <PÍ¥Í - f , . K CU a) Hallar — y — si x =u eos v , y = u sen v y Z ~cv ar ¿¡y Desarrollo Diferenciando las 3 ecuaciones se tiene: dx = eos v du - u sen v dv ... (1) dy = u eos v dv +sen v du ... (2) dz =c dv ... (3) dx senv de (1) despejando du f- u------- dv eos v eos v 7 / dx senv reemplazando en (2) se tiene: dv =v eos v.dv +sen v( H- u dv) eos v eos v eos v.dy = u eos2 v.dv +sen v.dx +u sen2v.dv www.FreeLibros.me i unciones de Varías Variables 139 1967 eos v dy =u dv +sen v dx cp n y COS V dv dx h dx reemplazando en (3) u u c.senv . c. eos v , d z - ----------- dx +----------dy de aquí u 11 dz senv dz c.cosv . . — = - c . ------- , — =---------- , en forma similar para: dx u dv u dz dz b) Hallar — , — si x = u +v , y =u - v , z =uv dx dy c) Hallar dz, si x = el,+v, y - e 11 v, z = uv Z = F(r,cp) donde r y cpson funciones de las variables X e Y determinadas por dz dz el sistema de ecuaciones X = r eos cp, Y = r sen cp. Hallar — a — dx dy Desarrollo Diferenciando: dz = F' dr +F^dcp ... (1) dx =eos cpdr - r sen cpdep ... (2y dy =sen cpdr +r eos cpdep ... (3) i i , dx + r sen(pd(p despejando de (2) dr -------------------- cos^> . dx + r sen (pd(p v . reemplazando en (3) se tiene: dy = se/Kp(-------------------- ) +r eos <pd(p eos cp eos cpdy = sen cpdx +r dep www.FreeLibros.me 140 Eduardo Espinoza Ramos 1968 . eos dy - sen x dx f ay =------ 1--------------- reemplazando en dr se tiene: r _ (1 - sen"cp)dx +sew eos dy eos (p reemplazando los valores de dr y dep en (1) se tiene: / ¡ sencp / / cos<p dz =(t r eos ( p - F )<zr +(Fr sen (p +F )av r r , , , oz / j sen (p cz ¡ , coscp de donde: — = Fr eos (p - F --------, — =Fr sen ( p - F -------- dx r dv r dz dz Considerando z como función de x e y, hallar — y — si: x = a eos cpeos \p, dx dy y = b sen cpeos \p , z = c sen ip. Desarrollo Diferenciando dx = -a sen cpeos vpdep - a eos cpsen vpdvp ... (1) dy = b eos cpeos vpdep - b sen cpsen vpdvp ... (2) dz = c eos vpdvp ... (3) 1 / , X • CX de (1) se tiene: —— =- a eos cp sen y/ dy/ oy de (2) se tiene: =- b sen y/ sen y/ cy/ * • * 02 de (3) se tiene: = ccosy/ dy/ www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 141 dz dz dy/ ecos y/ dx dx a eos (p sen y/ dy/ dz dz l ecos y/ dy dy v sen tp sen \p dy/ c = — sec (p.ctg y/ a - 7 CSC {y/)ctg{y/) b 6.10. CAMBIO DE VARIABLES.- ler. CAMBIO DE VARIABLS EN LAS EXPRESIONES QUE CONTIENEN DERIVADAS ORDINARIAS.- 2do. CAMBIO DE VARIABLES EN LAS EXPRESIONES QUE CONTIENEN DERIVADAS PARCIALES.- d v dv 1969 Transformar la ecuación: x — —+2x— + v = 0 haciendo x = e' dx Desarrollo dy dy = dt_ = e-t <ty_ ^ dy = e->dy dx dx dt dx dt dt dy' dx dx dx dt dt dt d 2y -yt / d 2y dy i d 2y dy —f =c “ (—f - — ) como x ——+ 2x— +v =0 dx~ d r dt dx dx www.FreeLibros.me 142 Eduardo Espinoza Ramos 2t -2t , d 2y dy , _t dy d 2y dy setiene: e .e (—;----- ) + 2e. e — +y =0 => —f- +— +y =O dt 2 dt dt dt1 dt d 2 * dv 1970 Transformar la ecuación (1- x2)—y - x — =0 poniendo x = eos t. dx~ dx Desarrollo dx x = eos t => — = -sen t dt dy — = - ___ L & dx dx^ sen t dt dt \ í ; ^ . A - f >U : /':■ ■-.a.- / ; ,v,.: d 2y _ d y ' _ 1 dy' _ 1 d 2y cosí dy dx2 dx sent dt sen2t dt 2 ser?t dt 2 d 2y dy como (1- x )— —- x — = 0 se tiene que: dx2 dx 2 xr 1 d y cosí ¿/v, , 1 d) \ (1-cos /)[-—.— — •—~]~cosí (--------------•“r) = 0 sen~t dt sen t dt sent dt d y , xdv , . d y d y —-— ct g(t)— + ctg(t)~j - = 0 => —^ =0 d r dt dt d r 1971 Transformar las siguientes ecuaciones tomando y como argumento. d 2y dv i a) —f +2y( - ~) 2 ^0 dx dx Desarrollo www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 143 I *>72 d 2x dv 1 d 2 v dv2 dx dx dx2 ( - - ) 3 dy dy reemplazando en la ecuación diferencial se tiene: d~x 1 *) dv' , I -> „ d ' x _ a.v - 2 >’(— )- =0 => — - 2 v— = 0 . d * 3 ' ' ^ ' ~ J v 2 ' d \ dv dv k> . » ¿v J * 3 J a2 Desarrollo d 2x d 2y dv2 Se tiene que ——=----- — entonces: dx { dxd dy _ 3 i . , d~x ?,c/.v -> í7 x , d\\% 3( )-( ) - ------------( )-' dy _ í/v" íA; t/i- í/v ¿x3 ( </y dy reemplazando en la ecuación se tiene: —- = 0 í/j.3 La tangente del ángulo u, formado por la tangente MT y el radio vector OM del y - z punto de tangencia (fig 69) se expresa de la forma siguiente: tgu =------- — 1 +—y' X transformar esta expresión, pasando a las coordenadas polares x =r eos cp, y - r sen (p www.FreeLibros.me 144 Eduardo Espinoza Ramos Desarrollo Diferenciando las ecuaciones x = r eos (p, y =r sen (p dx = eos cpdr - r sen cpdep •••(!) dy =sen ipdr +r eos cpdep ...(2) dy senepdr +r eos (pd cp dividiendo (2) entre ( 1) se tiene: dx eos cpdr - r sen cp d cp de donde y ' = dr sencp— +r eos cp dep dr eos cp r sen cp d(p y además tgu = 1U y ' X reemplazando (1) en (2) se tiene: tg u dr sen cp — +r eos cp dep dr eos cp r sen (p dep ... (2) r sencp r eos cp dr sen (p 1- reos (p dep - , r sen (p , ]_i---------- ( reoscp ^ eos (p rsernp dep ) www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 145 dr 2 2 g dr r eos (p sen (p.----- f r eos (p - r sen (p(cos (p rsenep) d(p dep t g U = --------------------------- r eos 4?(cos (p r sen (p) + r sen ep(sen ep hr eos ep) d(p d(p r2 (sen2(p +eos2 (p) r r r tg u —-------------------------— —— — ~ => t g u= — t 2 , 2 xdr dr r ' r' r(eos cp^-sen (p) dep dep y 1973 Expresar la fórmula de la curvatura de una línea: k =----- — en [ i+(y')2V coordenadas polares x =r eos (p, y =r sen cp. Desarrollo Diferenciando las ecuaciones se tiene: dx = eos cpdr - r sen cpdep •••(!) dy = sen cpdr + r eos cpdep ... (2) , i • , i • , eoscp.dr-dx de (1) despejamos dep es decir: dep ----------------- r sen (p rs f /Cos ( pdr- dx. reemplazando en (2) se tiene: dy - sen ep.dr +r cos(p{----------------- ) r sen (p 7 7 /•sen (p dy +r cos cp dx - r sen~cp.dr +r cos“ (p dr r =sen cpdy +r cos cpdx = r dr => dr = sen cpdy +cos cpdx ()t* de donde — =cos <p, — =sencp además: ex cy www.FreeLibros.me 146 Eduardo Espinoza RamoÉ Ük 1974 dr sen ep - — +r eos (p _2_ =-------- -JfL------------ p0r 0^ra parte reemplazando dr en d(p es decir en: dx d eos (p.------- r sen (p dep ^ _ eos (p.dr - dx _ eos ep(sen (pdy + eos (pdx- dx) r sen (p r sen (p . eos (p . senep , , dep senep dep eos ep dep = —d y —dx de donde: —- =--------— ; —- =-----— r r dx r dy r 'í , , dep dep dep dy ademas — = ——+ —— aquí hacemos los reemplazos respectivos se tiene: dx dx dy dx dep _ senep eos (p dy " i • dx r r dx P>m dr n2 d 2r 2 , r — + senep ,2 i2 ~ r ~7~2+r dy dx 1 1 1 d y . d y dep dep _j_ - — ----------- calculando —~ se tiene: —— --------- ------------------ dx C0S(P dx dx (eos dep _. dr .2 d 2r 2 2(— Y - r — —+r l y" . dep dep~ reemplazando en k —se tiene que: k =-----^--------------------- — dr — [ 0 +(>,f) 2] 2 [(-T“ )2 +r 2 ] 2 dep Transformar a las nuevas variables independientes u y v la ecuación d z d z 2 2 x — = 0 si U = X, V = X + v . dx dy Desarrollo az dz cu dz dv Conocemos que: — = — .— +— . — dx du dx dv dx v www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 147 1975 -—V '■*> ' “N CU cz cz cz cv cv Pero como - —=1 entone > ■•■tiene: — =— + — .— además — = 2x dx ex du cv dx dx dz dz ; "z — =— -+ ...(1) ex cu r , ., dz dz dv dz dv cu dv también se conoce que: — --- ■—. — ■-+ donde — =0 , — - 2 y dy du dy dv dy dy dy es decir: — =2 v— •••(2) dy ' cv d7 dz reemplazando en la ecuación: y — - x — = 0 se tiene: dx dy .dz dz. dz dz dz y(---- f 2x—) - x ( 2 y —) = 0 => y — = 0 de donde — = 0 du dv dv du du Transformar a las nuevas variables independientes u y v la ecuación dz dz . y x hy z =0 si u = x, v —— dx dy x Desarrollo cz cz du dz cv du dv y Se conoce que — =— .— h-----.— donde — =1, — =— - dx du dx dv dx dx dx x dz dz y dz luego se tiene: — =— ... (1) ex cu x~ cv dz dz du cz cv , , . cu rs cv 1 ademas — =— .— +— .— de donde se tiene: — = 0 , — =— dy du dy dv dy oy dy x dz 1 dz Luego se tiene: — = — ... (2) dy x c v www.FreeLibros.me 148 Eduardo Espinoza Ramos 1976 Reemplazando (1) y (2) en la ecuación .v — +y - z = 0 dx ' dv C <C Z y C Z \ z 1 A Se tiene que: x( —)+y(—.—) - z =0 du x2 dv x dv dz y dz y dz dz . dz . y H— .------ z - 0 => x z =0 o u z =0 dw x dv x dv dw dw d2w d2w Transformar la ecuación de Laplace —- h---- - =0 a las coordenadas polares r ax2 ay2 y (p, poniendo x = r eos (p, y = r sen (p. Desarrollo V ~? 7 v x~+y~ y 0 = arctg — dr x d2r x2 dx J x2 +v2 dx2 ? 0 - +> (x2 + / ) 2 ->2 2 dr v o r y d y y j x 2 + V2 ^ y ~ 2 2 x 1 ^ ' (x2 +y “) 2 dO —y c 20 2xy ==> a.v a- + v“ ax~ (x +>■■)■ a (9 x d20 -2 J —, ademas se conoce que: dy x1 +v2 oy2 (x2 + y 2) www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 149 reemplazando en esta ecuación se tiene: 2 2 2 2 d~w , x d w - xy , d w y du = ( - f r = r ) T T + 2( ------- ^ - T ) T ^ + 2 j_ ,,2 r?r“ ' . - drd<9 ^ - dr , 2 ^\ o / 2 ^\ o (X + y " ) 2 (X + y )- v- 5 u 2xy du H Z T-J. - +— r- T — ... (1) (x +y“) dO“ (x~+y )“ dx también se conoce que: d 2 u d r . 2 d 2# _ d 2w dr d 0 d2r dw , d 0 *>d 2w d 2# dw ——= (—) —- +2 .— .— +——.— +(— )“ — - +— — d y d y d r d r . d O d y d y d y d r o d y d O dy" d O haciendo los reemplazamos en esta ecuación: 2 2 ->2 d"w y 2 d “w 2xy d w dy2 ~ i ' » * * 9 9 x dw x 2 d w 2xy dw + + ( 2 . 2 ^ * -,„2 , 2 . 2 \2 ' a/ i •" ^ / 2 § > v + / ' s e 1 ( x ' + S Y d e (X2 + y - ) 2 sumando (1) y (2) se tiene que: d 2w d2w d 2w 1 dw 1 d 2w —y + —7 — ~ r = = — + t — 7 ... (a) dx2 dy dr" ^ + ^2 dr x2 + y o0 pero r 2 =x2 +y 2 entonces reemplazando en (a) d~w d~w d 2w 1 dw 1 d"w +—- =—- + — + dx2 dy2 dr2 r dr r 2 dO1 www.FreeLibros.me 150 Eduardo Espinoza Ramos 1977 1978 (32z j d2z x Transformar la ecuación: x —y - y —- =0. Haciendo u =xy, v =— dx dv v Desarrollo w A . ,, , . dz dz du dz dv Mediante la formula se tiene que: — =— .— h-----.— dx du dx dv dx , , du dv 1 . dz dz 1 dz donde — - y , — =— luego se tiene: — = y 1------- dx dx y dx du y dv d2u 7 d2z d2z 1 d2z . . . —r- = y — t + 2------- +———- de acuerdo al ejercicio 1976. dx2 du2 dudv, y 2 dv- c u 7 o z _ x o z x~ c z 2 x dz - = x* —- ~ 2 —r . --------+ —----—h—-----de acuerdo al ejercicio anterior i -s 2 2 ^ ^ 4^7 i ^ q¡y du y du.dv y Hdv y cv d'zz d2 , reemplazando en la ecuación x2 —- - y2 —y =0 dx dy i , 7 d2z d2z 1 d2u. 7 , oc^2z 2x2 d2z x2 d2z 2x d z x- ( y - - — + 2—— - y (x~—j ------r T T +'T 7 7 +_ T~ ) - 0 du du.dv y- dv* diC y~ dudv y* cv~ y~ dv 7 c 2z 2x dz d2z 1 dz drz 1 dz 4x~ — = 0 => 2— — =0 => 2 - — =—— du.dv y cv du.dv xy dv du.dv u dv dz dz Transformar la ecuación v— - x — = (y —x)z introduciendo las nuevas dx cy 2 7 1 1 variables independientes u ~ x + y , v = —+— y la nueva función x y *' w = ln z - (x + y). Desarrollo www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 151 1979 du _ ^ du _ ^ ^v _ 1 dv _ 1 dx dy dx x2 ’ dy y2 w = l nz- ( x + y) => ln z =w +x +y de donde: z =e ■ luego se tiene dz dw du dw dv dz _ dw 1c\v — = — .— +— .— => — = 2x--------- 7 .— dx du dx dv dx dx du x~ dv dz dw du dw dv dz _ dw 1dw — = — .— + — .— => — = 2 y ----------- --— dy du dy dv dy dy du y“ dv CZ reemplazando en la ecuación: y - - x — = ( y - x ) z y después simplificando dx dv ✓ dw se tiene que — = 0 dv d2 z d2 z d2 z Transformar la ecuación —- - 2---------1 :r = 0 tomando como nuevas dx2 dxdy dy2 y Z variables independientes u = x +y, v =— tomando una nueva función w =— . x x Desarrollo du _ j du _ ^dv _ y dv _ 1 dx ’ dy ’ dx x2 dy x ’ z además como w = — => z =xw de donde: dz dw .cw du dw cv = W + X = W + X y .------ 1-------.-----) dx dx du dx cv dx dz dw y dw = w + X ----------— .— dx cu x ov www.FreeLibros.me 152 Eduardo Espinoza Ramos 'y Z c z o 2 ex ew du dw dv dw , d 2w du d2w ev. — .------1------ .------ 1--------b a*(-------.------ 1---------- . — ) du dx ev dx du du2 dx du.dv dx y , d w d~w dv dw ev - - ( --------+— 7-.— +— .—) V a / A A» A / x du.dv dv~ dx ev ex ahora reemplazando se tiene: 2 ^ 2 ^ 2 2 <3z dw y dw dw d~w y d w y~ e w y d w y dw _______________ — ________________________ _ _ i ________________________|_____________________j _ y ________________________— - ____________________________ |~ — _________________ — . i — |._ - ____________________ dx2 du x2 ev du du2 x du.dv x3 dv2 x du.dv x dv ez dw du dw dv dw dw — = x — .— + x — .— =x — h----- dy du ey ev dy du ev e z A 2 ey d 2 a a2 a a 2 a a 2 a w cu e w ev o w ev c w cu A* —.------b X-------- .------ 1 —. b du2 dy du.dv ey dv1 ey du.dv dy d2z A 2 ey ^2 a2 1 a2 a2 c w c w l e w o w = A' e w + + du2 du.dv x dv .2 ~b du.dv d2z dw du 1 dw dv +---- .— + y d2w dv d2w du +x dx.dy du dy dv dy " du.dv dy du2 dy y d2w ev d2w du 1 dw +—(— — +--------.— ) +- •— x dv" dv du.dv dv x ev d2w dw 1 dw d2w d2w y d2w y d2w 1 dw + -b + x dx.dv du x dv du.dv du2 x3 dv2 x du.dv x dv reemplazando en la ecuación d2 z - 2 A 2 a 2 c z d z + dx~ cx.dy ey 0 y simplificando se tiene que: d2w dv2 =0 . www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 153 1980 ^2 ^2 ^2 C7 Z ^ O Z O Z —r +2--------+ — cbt ox.oy <3y v = x - y, w = xy - z, donde w =w(u,v). U L u ¿ u ¿ . Transformar la ecuación: . +2 - +—y = 0 poniendo u = x +y, Desarrollo Su du dv _ dv _ c^r qy gx qy de la ecuación w =xy - z se tiene: z = xy - w derivando se tiene: dz dw du dw dv _ dw dw dx ^ du dx dv dx ^ du dv d2z d2w du d2w dv d2w dw d2w du dx cu dx du.dv dx dv dx du.dv dx d2z d2w ^ d2w d2w dx2 du2 du.dv dv2 en forma similar para — es decir: dy d2z d2w d2w d2w + 2- cy 2 du2 du.dv dv2 d2w . d2w d2w 1 +—y reemplazando en la ecuación dx.dy diV dv www.FreeLibros.me 154 Eduardo Espinoza Ramos 6.11. PLANO TANGENTE Y NORMAL A UNA SUPERFICIE. ler. ECUACIONES DEL PLANO TANGENTE Y DE LA NORMAL PARA EL CASO EN QUE LA SUPERFICIE ESTÉ DADA EN FORMA EXPLICITA.- Se llama plano tangente de una superficie en el punto M al plano en donde están situados todas las tangentes en el punto M, a las curvas trazadas en dicha superficie que pasan por el punto M. Si la superficie está dada en forma explicita en un sistema de coordenadas cartesianas z =f(x,y) donde: f(x,y) es una función diferenciable, la ecuación del plano tangente en el punto M(xQyy 0, z 0) a la superficie es 2 - zo = f.x (*0 ’ y ox* - *0) + fí(*o, yo )(.v - ) donde z0 = , y„) a x,y, z, son las coordenadas variables de los puntos del plano tangente. La ecuación de la normal tiene la forma: y-yo z“ zo /r (•*()’>’o) / , (-Wo ) - 1 2do. ECUACIÓN DEL PLANO TANGENTE Y DE LA NORMAL PARA EL CASO EN QUE LA SUPERFICIE ESTE DADA EN FORMA IMPLÍCITA.- En este caso la ecuación dada en forma implícita es: F(x,y,z) = 0 y F(x0, y0, z0) =0 y la ecuación del plano tangente es: Fx(x0, y0, z0)(x - x0 ) + E,; (.v0 , y0, z0)(>- - + (x0, y0, z0)(z - z0) =0 y la ecuación normal es: www.FreeLibros.me Funciones de Varías Variables 155 1981 i Escribir las ecuaciones de los planos tangentes y las de las normales a las siguientes superficies en los puntos que se indican: 9 9 a) Al paraboloide de revolución z =x~ +y en el punto (1,-2,5). 2 2 2 x y z b) Al cono — + ---------- = 0 en el punto (4,3,4) 16 9 8 9 9 9 c) A la esfera x + y + z = 2Rz , en el punto: (R eos a, R sen a, R) Desarrollo 2 2 dz dz a) Como z = x +y =>— = 2 x , — = 2y en el punto x = 1e y =-2 se dx dy dz dz tiene que: — = 2, — = -4 y la ecuación del plano en el punto (1 ,-2,5) dx dy es: z - 5 = 2(x - 1) - 4(y + z) que simplificando es: z - 2x + 4y + 5 = 0. x —\ y + 2 z- 5 La ecuación de la normal en el punto (1,-2,5) es: -4 -1 2 2 2 X V z b) Sea / (j c, y, z) = — + — — que esta en forma implícita: de donde fy —~~ i f í = “ en el punto (4,3,4) se tiene que: 1 2 f'x - —, f v - —, f [ - - 1. Luego la ecuación del plano tangente es: ^ 3 1 2 —(x - 4) +—(y - 3) - l(z - 4) = 0 y la ecuación de la normal es: ^ 3 2{x —4) 30;-3) z - 4 v t . ---------- = — =------- que escrito de otra rorma es: 1 2 - 1 x —4 v —3 z - 4 www.FreeLibros.me 156 Eduardo Espinoza Ramos 1982 c) Sea /(x, y, z) - x2 + y 2 + z 2 - 2Rz de donde se tiene: f x - 2x, f y - 2 y , f i - 2 z - 2 R en el punto: (R eos a, R sen a, R) se tiene f x = 2 Rc o s a , f y = 2 R s e n a , / / = 0. Luego la ecuación del plano tangente es: 2R eos a (x - R eos a) + 2R sen a (y - R sen a) = 0 de donde al simplificar se tiene: x eos a + y sen a - R =0 y la ecuación de t , x - R c o s a y - R s e n a z - R la normal es: = =-------- 2/? coser 2Rsena 0 2 2 2 X y z ¿En qué punto del elipsoide — + ^r- + — = 1 la normal forma ángulos iguales a b c“ con los ejes coordenados? Desarrollo Para que la normal forme ángulos iguales con los ejes coordenados los cosenos directores deben de ser iguales es decir: f i = f y = fz donde f ( x , y,z) = ^- + ^- + — - 1 a b c 2 y 2 y ¡ ^ de donde f i = — , , f! = —~ y de acuerdo a la condición se tiene j x 2 > i 2 z 2 a b e 2x 2y 2z - 1 1 1 j • b2 que: — = —^ = — de esta igualdad despejamos: y = —y x , z - — x a b c a a~ 2 2 2 x y z esto reemplazando en la ecuación — +— +— = 1 se tiene que a" b c 4 a2 x2 = ---------------- => x = ± , ■...—— y esto reemplazando en , 2 j 2 2 2 12 2 a + b + c v a + b + c % b 2 c 2 b 2 c 2 y = — x, z = — x se tiene: y = ±- 7== = , z = ±- 7=----- — a2 ’ a2 ' 4 a 2 + b2 + c 2 4 ¿ ^ b 2 l Z 2 -f- b 4- c www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 157 1983 Por el punto M(3,4,12) de la esfera x2 + y 2 +z2 =169 pasan planos perpendiculares a los ejes OX, O Y. Escribir la ecuación del plano que pasa por las tangentes a las secciones que originan aquello, en el punto común M. Desarrollo Como jc2 +y2 +z2 - 169 => z = 169- dz x dz v De donde — - — , — = - — en la cual: dx z dv dz x dx = — es perpendicular al eje OY. dz v cy es perpendicular al eje OX y para el punto M(3,4,12) se tiene: dz 1 dz _ 1 dx 4 ’ dy 3 De acuerdo al gráfico se tiene BMP es paralela al plano XOZ, y la curva BMP es paralela al plano YOZ, el plano que pasa por la curva BMP es perpendicular al eje OY, el plano que pasa por la curva AMC es perpendicular al eje OX y la cz pendiente a la curva BMP en el punto Mes — y al pendiente a la curva AMC ex O cz en el punto M es —- y el plano que comprende estas dos tangentes es: dy z - 12 - ( x - 3) - - - ( y - 4) de donde: 3x +4y +12 z - 169 —0 4 3 www.FreeLibros.me 158 Eduardo Espinoza Ramos 1984 1985 Demostrar, que la ecuación del plano tangente a la superficie central de 2do orden ax~ +by2 +cz2 = k en su punto M(x0, y0,z0) tiene la forma ax(jX +by0z +cz0z ~ k . Desarrollo Sea f ( x , y , z ) = ax2 + byz -fez2 - k de donde: f x =2 a x , f'y =2 by , / 7 =l ea En el punto M es f x - 2ax0 , f'Y = 2by0 , f¡. - 2cz0 y la ecuación del plano es: 2 ax0 (x - x0) +2 by0 (y - >’0) +2cz0 (z - z0) =0 de donde ax0x + óy0>’ -f ez0z - (í/Xq + f cz¿) =0 ax0x + by0y -f cz0z = k Dada la superficie x2 + 2y 2 + 3z 2 = 2 1 , trazar a ella planos tangentes que sean paralelos al plano x +4y +6z =0. Desarrollo Sea / z) =x2+2y 2 + 3z^- 21 de donde: / 7 = 2x, J v =4y , /_; =6z www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 159 1986 Calculando en el punto (x0, y 0, z 0) se tiene: =2x0 , f y = 4y0, / z =6r0 además los planos tangentes son paralelos al plano x +4y +6z = 0 entonces: 2x0 =1, 4y 0 = 4, 6z0 - 6 de donde se tiene: a0 =--, v0 =1, z0 = 1 por lo tanto el plano paralelo a: x +4y +6z es (x - —) +4(y —1) +6(z -1) = 0 de donde 2x +8y + 12z —21 =0 1 1 1 X~ y “ Dado el elipsoide — + - 1, trazar a los planos tangentes que a~ b~ c interceptan en los ejes coordenados segmentos de igual longitud. Desarrollo 2 2 2 x y z Sea f ( x) =— + ^—+— - 1 de donde se tiene: a2 b2 c2 f ' = — /•/ =2z fi = J A' 9 ’ J V , ? ’ J Z 1 a~ b~ c Calculando en el punto (x0, ; 0,z0) esta en el elipsoide, entonces se tiene: .2 2 9 « 2 />2 c la ecuación del plano tangente es: (.v-J t0)-::::y- + (.y-;>’0)—^- + ( z- z0 )- — = 0 , 2 > ’r 2 «• 6* www.FreeLibros.me 160 Eduardo Espinoza Ramos 1987 í 5L +a L +5 . „ 4 +4 +4 * * * , 3 i +ffi >+. 5 i , i ...(2) a" c ¿r b~ c a" 6*" c“ ahora encontrarnos los puntos de intercepción con los ejes coordenadas: n para y = z = 0 => x = —- n x = z = 0 => y - — >'o A X—y = 0 => Z --- Z0 cf b~ c~ es decir que los puntos de intercepción son: (— , 0,0), (0,— , 0), (0,0, — ) *0 >0 z0 además los segmentos que se interceptan son iguales, o sea: 2 / 2 2 2 2 2 a b e * 0 v0 Zn , x —y = z => — - — = — como —~ 4 —~ 4 = 1se tiene: *o yo zo <** ^ c- 2 , 2 2 Aa O C 2 i 2 . 9 , 2 2 \ 4 i i j ~ 4 —j X Q4 — x0 =1 =>jc0 (a + b 4 c ) = a , de donde a" a a *> , i ? . _____ 6" , g~______ , / 2 1 1 1 r / 2 ; 1 ^ , 2 2 ±Va 4 4 c~ +yla*'+b“ +c ±yj a~+b 4 c reemplazando (3) en (2) se tiene: x 4 y 4 z -- ±\fa^ 4 / / 4 c' Hallar en la superficie x2 4 y2- z2 - 2a - 0 los puntos en que los tangentes a ella sean paralelos a los planos coordenados. www.FreeLibros.me ..y / ' ’ í : '• '* J : ' > i ’' "i i > Funciones de Varias Variables 161 Desarrollo 2 2 2 Proyectamos sobre el plano XOY la superficie .y +y~ +z - 2x = 0 haciendo •~i ■) , 2 2 z =0. Luego tenemos x“ + y~ - 2x = 0 lo que es lo mismo (x-1) + y = 1 que nos representan una circunferencia cuyo gráfico es: Por los puntos A y B pasan planos tangentes paralelos al plano XOZ donde: A( 1,1,0) a B( 1,-1,0) y por los puntos 0(0,0,0) y C(2,0,0) pasan planos tangentes paralelos al plano YOZ. 1988 Demostrar, que los planos tangentes a la superficie x y z - n ? forman con los planos coordenados tetraedros de volumen constante. Desarrollo Consideremos el punto /?(x0,y0,z0) en la superficie f ( x , y , z ) = x y z - m ?> en donde / ; - >’0z0 , f ’y = x0z0 , f z = x0y0 . Luego la ecuación del plano tangente es: (* ~ x0 )y0z0 +(y - y Q)x0z0 +(z - z0 )x0y 0 = 0 de donde xy0z0 + yx0z 0 + zx0y 0 = 3m3 www.FreeLibros.me 162 Eduardo Espinoza Ramos 1989 r r Luego para y =z = 0 se tiene x = 3 m} >o-o Para x = z = 0 se tiene y - 3m3 x0z0 r» /x • 3/72 Para x = y =0 se tiene z = Ao>o Además el volumen de un tetraedro es: V = 0.1178 a* - 0.1178xyz . 3/m\ 3/«3w 3/w\ rr (0.1178X27) F =0.1178(------ )(-------)(-------) => F = --------- -f-—- es constante -Voro V o *o>o rn Demostrar, que los planos tangentes a la superficie \[x + +s T z ^ r a interceptan en los ejes coordenados segmentos cuya suma es constante. Desarrollo Tornemos un punto P(x0, y0, z0) de la superficie /(x, y, z) = yfx+>/y + - yfq. de donde / v = , f!. = —1==, f i = 1 2yíx0 ' 2Jyo ’ ‘ , 2P o Y Y y __ y 7 __ 7 La ecuación del plano tangente a la superficie es: :— +—— - = 0 2 ^ - \ ¡zo de donde: —L=- +- ~= +—^=r = J xq + = yfa V a o v >’o V z o Ahora interceptamos con los ejes coordenados para: www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 163 1990 y = z = 0 se tiene x - yja: axo x = z = O se tiene y = x = y = O se tiene z —yjüz0 sumando los segmentos se tiene: x + y + z = yjax^ + y[ay^ + yjaz^ = yfa(y[x¿ + = Luego x + y + z = a es una constante 1 7 a“ v z~ Demostrar, que el cono — + -r-y = — y la estera ¿T b" c~ ,2 , 2 . »2;, A~+y"+(- )“ = — 0 y c“) son tangentes entre si en los puntos c c" (0 ,±b,c) Desarrollo 2 ^ 2 A V Z Consideremos f ( x , y , z ) = — + — y cr b~ c~ b“+ c~ b~ g(A*,y,z) = a2 + v2 + (------------------) 2 — y( b2 + c2) en el punto (0 ,±b,c) c c~ se tiene: f ' = 0 , /,' = ± , f l = - - y g' =0 , g'. = ±2b, gí = b e c Luego para que sean tangentes ambas superficies es necesario que sean 2b1 proporcionales las derivadas parciales como: (ü,±2¿?,— —-) es proporcional a c 2 *> o (0,±—,— ) puesto que al multiplicar por ¿r se obtiene los términos de la b c primera. www.FreeLibros.me 164 Eduardo Espinoza Ramos 1991 1992 Se llama ángulo entre dos superficies en el punto de su intersección, al ángulo que forman los píanos tangentes a dichas superficies en el punto que se considera ¿Qué ángulo forman su punto de intersección el cilindro x2 -f y 2 - R2 y la esfera ( x - R ) 2 +>’2-fz 2 =R2 en el punto M(—, — - ,0) 2 2 Desarrollo Consideremos /(x, y) =x2+y 2 - R2 -> R \Í3 g( x, y, z ) = (a ~7?)2+v2+z2- /?2 en el punto: A/(—,—- ^,0) se tiene que f ' = R , f'. = 3R , g'x = - R , = 73 R , g : 0 /■*/ I /’ / i /■/ / . fx-Sx+Jv-Sv+Jz-Sz se conoce que cos 0 = (./, )2+( /; )2+ )2+ cg' >2+(g, )2+ (gi >■ 2 7?^ 1 COS 6 = ——- = — => 0 =60° 47? 2 Se llaman las superficies que se cortan entre si formando un ángulo recto en cada uno de los puntos de la línea de su intercepción. Demostrar que las superficies x2+ y 2 +z2- r 2 (esfera), y=x tg (plano) y z2=(x2+ y 2)tg2cono que son superficies coordenadas del sistema de coordenadas esféricas r, cp, i{/, son ortogonales entre si. Desarrollo Como las coordenadas esféricas son r, cp, \j/, se tiene que: x = r cos cpcos i;/ y = r cos cpsen \p www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 165 9 9 9 9 z = rsencp y consideremos f ( x , y , z ) = x +y + z - r , g(x,y) = y - x tg cp, h(x, y, z) = z2 - (x2+ y 2)tg de donde f í = 2 x , f'y z , = -í g , g'y = 1 , > K = ~ 2 v^ , h'z =2z si (x0, y0, z0) es un punto de la superficie entre dos x02 + y \ + z02 = r 2, y0 = x0tg(p , z0 = (x] + y02 )íg^ para que las superficies sean perpendiculares deben cumplirse que: f í . g í +f í . g í + // -gí = o, f í K +f í .gí + . hí =0 h'x .g'x + h'y .g! y + hí ,g'z = 0 es decir: - 2x0tg<p + 2y0 = 0 = - 2y0 + 2yn = 0 -4 x0tg2<p-Ayltg2 + 4zq = -4z0 + 4z0 = 0 2 x0tg<p.tg2y / - 2y0tg2<p = 2y0tg2<p- 2y0tg2(p = 0 y 1993 Demostrar, que todos los planos tangentes a la superficie cónica z = x f (—) en x su punto M(x0,y0,z0) donde x0 * 0 pasan por el origen de coordenadas. Desarrollo y Como z = x f (—) entonces en el punto M JC dx x x0 x0 — = / ' ( —) luego la ecuación del plano es: dy x0 www.FreeLibros.me 166 Eduardo Espinoza Ramo Z - z Q = f ( * ) - > ! ° f '(^-Xx-x0 ) + f - y0) x0 x0 x0 x0 simplificando se tiene: x ( f (— ) - — / '( — )) +/ \ — )(y - y 0) - z = 0 x0 x0‘ x0 x0 que es la ecuación del plano que pasa por el origen y ^ y 1994 Hallar las proyecciones del elipsoide x +y +z - xy -1 =0 sobre los planos coordenados. Desarrollo Para hallar la proyección sobre el plano XOY se hace z = 0 obteniéndose; 2 2 x + y - xy- 1 =0 en forma similar para el plano XOZ se hace y = 0 de donde x2+z2= 1 y por ultimo para el plano YOZ se hace x = 0 de donde y 2 + z 2- 1= 0. 1995 Demostrar que la normal, en cualquier punto de la superficie de revolución z =/( V x2+ y2) ( / ' * 0) corta a su eje de rotación. Desarrollo Como z - f (yjx2 +y2) entonces se tiene: dz _ f x j ? +y2)x /' (V* 2 +J2)>’ dx y ? +/ ’ & V 7 +/ " T J , , ( X - x ) y j x 2 + y 2 { Y- y)yjx2 + y 2 Z - z La ecuación de la normal es: =====— =................=====— =------- xf'(\¡x2 + y 2) rf'ixjx2 + y 2) "• www.FreeLibros.me i unciones de Varias Variables 167 , J J „ ( X - x ) J T T y 1 V ( Y- yyJ. de donde Z - z ------------, ■■■ y Z - z f'(\jx2+/ ) * / W * 2+v2) donde x,y,z son las variables de la recta normal. Si x = 0 se tiene z = / (<yx2+y2) + x2+ y2 f \ y ¡ x 2 + y 2) Corta al eje de rotación para cualquier valor de x e y. Si y =0 se tiene z Corta al eje de rotación para cualquier valor de x e y. 6.12. FÓRMULA DE TAYLOR PARA LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.- Suponiendo que la función f(x,y) alrededor del punto (a,b) tiene derivadas parciales continuas hasta el orden (m - 1) inclusive. Entonces se verifica la fórmula de Taylor. / (*, y) =/ ( «, *) +yj [fx (a>- 6)] + b^x ~a)2+fyy (a'b)(y - h)2+2/^(a>b)(x ~a)(y~b)\ Zmt • +... + —Ux- a) - ^- + ( y-b)-^-]" f ( a, b) ... (l)donde n\ dx dy R(x, y) = —i — [ ( x- a) ^r + ( y - b ) ^ - r i x f ( a + d( x- a) , b + d ( y - b ) ) , (0<9< 1) (« +!)! dx dy www.FreeLibros.me 168 Eduardo Espinoza Ramos 1996 en otras anotaciones: f ( x + h, y + k) = f ( x , y ) + ~ [hf' ( x, y) + kf'v (x, y)] (x, y) + 2h*f£ (x, y) + k1 f'Jy (x, y)] + l ( h£ + kA )- f ( x, y) + — !— { h ^ + k ^) " +1 (2) ni ex cy (ft + 1)! ex cy o bien: A/(x, y) = df (x, y)+ ^7a2f ( x , y ) + ... +—d"_f(x,y) 2! ni +— -— d"+l f ( x + 8h, y + 8k) ...(3) (ji +1)! para el caso particular cuando a = b = 0 la formula (1) recibe el nombre de Maclourin. Desarrollar f(x + h, y + k) en potencias enteras y positivas de h y k, si 2 2 / (x, y) = ax + 2bxy + cy Desarrollo f'x = 2 xa + 2by => f ^ = 2 a f y = 2¿>x + 2cy => / " = 2c f ( x + h, y + k) = /(x, y) + h f x + kf.í + 2 + k 1f " ) ^ r/xy = ax2+ 2¿*xy + cy2+ 2 hax + 2tóy + Ikbx +2kcy + —(h2l a + l hk2b +A'22c) 2 www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 169 f ( x + h, y + k) = ax2 + 2bxy + cy2 + 2h(ax + by) + 2k(bx + cy) + ah2 + bhk + ck2 1977 Desarrollar la función / (x, v) =- x 2 +2xy +3y - 6.v - 2 v - 4 para la fórmula de Taylor en un entero del punto (-2,1). Desarrollo Calcularnos sus derivadas en el punto (-2,1) f x = 0 > = - 2 . /v = 0 , fyy. = 6 , / " = 2 / ( x , y) = / ( a , ¿>) + [f'x (a, b)(x - a) + f'y (a, b)(y -/>)] + + \ [ f ^ a , b ) U ~ a)2 + 2 f " (a, b)(x - - b ) + / " - ] f ( x , y) = 1 - (x - 2) 2 + 2(x + 2 )(y -1) + 3(v -1 )2 1978 Hallar el incremento que recibe la función f ( x , y ) = x y al pasar de los valores x = 1, y = 1 a ios valores x, = 1 + h , y x =1 + k Desarrollo /( x , y) = / ( I + h, 1 + *:) - / ( l , 1) = hf l (x, y) + kf'y (.v, y) + + \ [ h 2C i x , y ) + 2khf ^ ( x, y) + k 2f ^ ( x , y ) ] + +7 t f f Z( x, >>) + 3h2k f (*, y) +lhk2f^ (x, y)] o Luego y^ (l,l) = 2, 4(1,1) = 2, 4(1,1) = 2, /,'(1,1) = 1, 4 = 0 , 4 ( U ) = o , 4 d , i ) = 2 , 4 ( i , i ) = o , 4 ( i , d = o www.FreeLibros.me 170 Eduardo Espinoza Ramos 1999 2000 Reemplazando A/( x,y) = Ih + k-rh2+2hk + klr 1 1 1 Desarrollar la función /( .v, v, z) = x“+y~+z“4- 2xy - yz - 4x - 3y - r +4 por la fórmula de Taylor en el entorno del punto ( 1,1,1) . Desarrollo Se conoce que: /( x, y,z) = f (aj i . c) + f x (aj.\c)(x - a) +/;! (a,b,c)(y - b) f f . {aj \ c)(z -c) + 4 “ [/ va- (a’ C)(X - a ) 2 + fvv (a>b' C X- V “ b ) 2 + fzz b-C ) ( - “ C.)¿ + +2 / ’:;. (a, K c)(x - a)(y - /?) -f 2/ v. (a, ¿xc)(y - b)(z - c) + 4-2/.,r {ajy c)(y - b)(z - c) +2 / / (a, c)(x - a)(z - c)] 1 1 *9 como /( .v, v,z ) = .V +y" + r~+2.yy- vz- 4.v- 3y - z +4 en el punto ( 1. 1, 1) se tiene: / ; = 0, /,.( = 2 , /,! = 0 , 2, . / 2=0, f í - 2 , f xv= 2, V‘- 1 •• •'.! ■ f .i;; • ¡ 1‘7 ■ • 7 <,{ u/ / // / / -- - 1, / / = 0 , reemplazando se tiene: / ( x, y, z ) = ( x - 1)2 4- (y —l) 2 +( z - l ) 2+2(x - l)(y - 1) - (y - l ) ( z - 1) Desarrollar f(x +h, y +k, z +1) en potencias enteras y positivas de h, k y 1si 1 1 1 f ( x, v, z) =x" +y~ +z~ - 2xy - 2xz - 2yz Desarrollo Se conoce que: f ( x + h, y + k, z + l ) - / ( x, y, z) +/z/v+kfy +lfz f + ^ h 2f ¿ +k2f £ +l 2y +2hkf “ - 2/;//v_ • 2A//;,] ... (1) www.FreeLibros.me i unciones de Varías Variables 171 9 9 9 como f ( x , y , z ) = x + y~ + z - 2xy - 2xz - 2yz entonces fx = 2 x - 2 y - 2 z => f £ = 2 f í = 2 y - 2 x - 2 z => f ^ = 2 f ' = 2 z - 2 x - 2 y => f z í = 2 füy = - 2 . f í = - 2 , / " = - 2 reemplazando en la ecuación (1) se tiene: * f ( x + h, y + k, z + l) = f ( x , y , z ) + 2 h(x - y - z ) + 2 h(y - x - z +2/(z - x - y) + +h2 + k 2 + l 2 - 2 h k - 2 h l - 2 k l 2001 Desarrollar por la fórmula de Moclaurin hasta los términos de 2o orden inclusive, la función / (x, y) = ex sen y Desarrollo Se conoce que: f ( x , y) = / ( 0,0) + xfl (0,0) + yf'y (0 ,0 ) + + U x 2f í ( 0 , 0 ) + 2xyf í ( 0, 0) + y 2f í ( 0 M ... (1) como / (x, y => f(0 ,0) = 0 f ' ( x , y ) = exseny => / x(0,0) = 0 f í ( x , y) = ex sen y => / " ( 0,0) = 0 www.FreeLibros.me 172 Eduardo Espinoza Ramos 2003 f x y (x , y) = ex eos y => / " ( 0,0 ) = 1 f l (x, y) = ex eos y => /,' (0,0 ) = 1 fyy (x, y) = - e xseny => /^ (0,0 ) = 0 /(x, V) = /(0,0) + xf ' (0,0) + v/; (0,0) + +^ ( * 2/ « (0,0) + 2 x y / " {0 ,0) + y 2/ " (0,0)) + ^ (x3/ ^ (0,0) + 2x2/ ^ (0,0) + 3x2/ " ; (0,0) + +\ - MAf L (0,0)+4x3yQ , (0,0) + 6 x2 y 2 (0,0) + 4xf3/ ^ (0,0)+y4/ ^ (0,0)) 4! como f(x,y) = eos x eos y en el punto (0,0) se tiene: f(oo)=o f1=o f11=i f111=o r =1 /, / =o fn = - i f!/l = o v, j x v ? 7 jor A’ xxxv v ’ Jxxxx v -> J y ^ •> J y y 1>-'vyy ’ =1 f 7/ = o f'" = 0 f111= 0 = 0 = 1 = o J yyyy ’ x xy ’ J xxy > J xyy ’ y x u y ’ / xxyy 1 x yvvy reemplazando y simplificando se tiene: 2 2 4 x- 2 2 4 /v a , * +.V x +6x y +y / (x, y) = 1----------— + — 2! 4! Desarrollar por la fórmula de Taylor, en un entorno del punto (1,1) hasta los términos de 2 o orden inclusive, la función / (x, y) = y x y í, ^ • Desarrollo Se conoce que: www.FreeLibros.me h unciones de Varias Variables 173 /(x, y) = A l 1) + & *X* - 1) + f'y d, 1X.V - 1) + /«(U D(* - D2 + + f y y (1, A ) ’ - I)' + 2 f ' y IX* ~ ~ 0 ] como f ( x , y ) = y x en el punto (1,1) se tiene: f(l,l) = 1, /* = 0 , f'y = 1, - 0 , f[ ! y = 0 , f-J y ~ 1 ? ahora reemplazando se tiene: f(x,y) = 1 + (y- l) + (x- l)(y- 1) 2004 Desarrollar por la formular de Taylor, en un entorno del punto (1,-1) hasta los términos de 3er. orden inclusive, la función f ( x , y ) = ex+y Desarrollo Se conoce que: A x , y) = A l -1) + J j t/x .(1-IX* -1) + f y 0. - l)(y +1)] + + ^ [ /»a-1X*-1) 2 + / "( 1, - 1)(>' + 1)2 +2füy {l - \ ) {x- X) {y + \)} - IX* - D3 + 3/^ (1 , - i x * - 1)2O +1) +3/", (1, - i x* - i x J + o2+ C í 1-W-v + 1)3] como f ( x , y ) = e**1 en el punto (1,-1) se tiene: f(l,-l) = 1, 1 , j xx = 1 ■ f ! L = 1> /r =1. f y, = 1 • f m = 1» / w = 1 ’ füty = 1 ’ reemPlazando se tiene: /(x, jO = 1 + (x - 1) + O +1) + 2 -((x - 1)2 + (y l ) 2 + 2(x - 1 +1) www.FreeLibros.me 174 Eduardo Espinoza Ramos 2005 +~[(* ~1)3+3(x-l )2(^+l) +3(x-l )(y-f l)2+(v + l)3] « \ i xt n / ni [(^ -D +(^+l )]2 [(-V — 1) +( y +1)]3 / (x, y) = 1 + [( jc - 1) + ( V +1)] +— —— — + — — — 2 * 3 * Deducir las fórmulas aproximadas, con exactitud hasta los términos de 2do orden, con relación a las magnitudes ex y P para las expresiones: 1+ a (l + a ) m+(1+fi )n a) ar ct gj —^ b) ÍV Si | a | y | P | son pequeños en comparación con 1. Desarrollo 1+ (X a) Sea f ( a , /?) = arct g------- , de donde se tiene: ^ r / l - l f ,i 2(1-/?)(! +a) * (1-f a)2+(1-/?)2 “ [(l +<z)2+(l - /?)2]2 r¡ l + _ _ _ _ // _ 2( l-/7) ( l +ar) * ( l + a f + Q - t f ' & [(1 + a)2+(1_ /?)2]2 W/ ( l - ^- ( l - a ) Z u • j f aB = r — , haciendo a = P = 0 W [(1 +a) + (1-/?) ] -/ 1 ,// 1 w 1 w/ 1 setiene: f a = - , f aa = - , f p = - , f e = f(0,0) = arctg 1 = 45° reemplazando en la formular de Taylór se tiene: www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 175 b) Consideremos f { a , P ) - J - ——-— de donde Ja \ \ + a ) m +(1 + P) n C = - J (1+ar+(1 + /?r (ro-l )(l +a)m~2~( l +« r ' w(1+a) 4 V 2 m-1 í ( l +af +(1+^" / ; = «a+/?)-* '(1 + «)m+ (1 + y0)" 4 V 2 fap = (|(1 + / ? r ‘ + «)m_1] para a = p = 0 se tiene: f(0,0) = \ = ~ 7 . f L = TTÍ3"1_ 4) , /« = ^, 4 16 4 /-// ^2 // AW/2 f , f w = - y > n - A ) , f a/ }= — , reemplazando se tiene: ¡( U g T+Q +j y = |+=« ü A +l [£ . (3m_ 4)a2 +i ( 3„ _ 4)J 2 4 2! 16 16 16 www.FreeLibros.me s Á Á x Mw r MJ E w mmMw m 2006 Aplicando la fórmtda d^Taylor, irasta los términos de 2do orden, calcular " ( \ \ 4 i l f - | W__ aproximadffiiéWt: aj yJl.Üi.f ^^rn^üi anc^q^Sfoi Desarrollo " í d 4- I )u\ ' ~l"i 14 4- ! }\ \ \ vA a) Sea f ( x, y) = Jxyf y en el punto ()v(fsp t¡¡esr\e& +| n, 14- \í rl 1 rll 1 />/ 1 rll 2 „// 1 A = - - f xx = ~ . / r = - , / w = - entonces "'(tt+Iim , v . , w , / 'W +[)+’"(»+1)| m ,H =====7- (»+[)- (iVr l)(l ~H\)----------------------------------\ 1\+ i)+ y +k) = f( 1+ 0.03, 1- 0.02) C \f Wü- f1 /( I + 0.03,1 - 0.02) =/(1,1) + -(0.03) - 0.2(—) + 2 ____ ' ‘V^3 ( ¡h , i '’{4\ +í)+ “'(v + +—[(0.03)2(— )2- 2(0.03)((K.02)------- f-0.02)2] =1.0081 21 4 6 9 í b)\ Consideremos f ( x¿y) = x en el p^ptp]^l,2) ^ ti^ne\que t( 1,2) =1. = = — — H rrrr=rrr^r- - ) ( \ \ - f f ) - i - j ){ f - - V\ }— ------------------- : i. * ~ = vv. \ '"/o r, . o-,... , r C |/ L v' ■ 5 C\ 'í~ ; i “t“ * í ) -4- ( ) “* * r Luego f(x,+ h,;v+^7=i r- p,0^ 2,+ 0.01) í "i" ■i 1: !•< ------------------------ .,(-- ! "Í í\ t-!)- ) =,.u\ \ t í \ \ - / . . _ /( I - 0.05,2 + 0.1) = 1- 0.05(2) +-(0.05)2(2) - 2(0.05)(0.01)(0.95)201 2\ \ \ \ V i i - — - * . \ * - m ^ . }— ,^\ , — - v \ . i ----- ( 0 , 0 ) 1 . ‘j í v j U *j r; 0 - t \ ~ X) i r t B q ■’ ' ' = 1- 0.1 + (0.05)2-(0.05)(0.01) = 0.902 2007 Sea Z una;; ftmcióiv,nimplj deu & e y, determinada por la ecuación » o j fV> ’ r)í z - 2xz + y = 0 que toma el valor de z = 1 cuando x = 1 e %y = 1. Escribir varios términos del desarrollo <Je la función ^ef í pótenciasr crecientes de las» <\*\m <• , r m i T\u -i-m\\ t (A i-IH- ’0o+í)| a ¡ ñ c r i ? x%{ k vr m a ) — ¡ — ■ f- ~ : - i . dffererfelá^x - T (fey - T ^ f bA ^ ¿ ~+ l ~ r ~ ~ www.FreeLibros.me / unciones de Varias Variables 177 * Cf •: Desarrollo Calcularemos su diferencial: 3z dz - 2(x dz + z dx) + dy = 0 ~ . 2 z d x - d y dz 2 z dz 1 De donde dz = entonces — = — ------- y — = — —- ~ 2 o.. 2 m J 3 ,. 2 3z - 2x 3x 3z“ —2x a_y 3z —2x ,2 2— (3z2- 2x) - 2z(6z — —2) d z 5x ; v cbc ax2 (3z2- 2x)2 ¿ & 5z 6z^“ 6z------ 2 a z a>- a z dy- (3z - 2x) axa^ (3z2 ~ 2 x f para x =y = 1= z se tiene: dz _ d2z d2z dz d2z — = 2, - = - 16, —— = 10, — = - 1, - = - 6. Luego ex dx dxdy dy dy z = f ( x, y) = 1+ 2(x -1) - ( y -1) + i (-16(x - 1)2- 6 (y - 1)2+20(x - l)(v -1)) W ’;v/ J ( J f ( x , y ) = l + 2 ( x - l ) - ( y - l ) - 8(x- 1)2 - 3 ( y - 1)2 +10(x-1)(^-1) (>. 13. EXTREMO DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES.- lra. DEFINICIÓN DE EXTREMO DE UNA FUNCIÓN. Una función f(x,y) tiene un máximo y un mínimo f(a,b) en el punto p(a,b), si para todos los puntos Px(x, y) diferentes de p(x,y), de un entorno suficientemente pequeño del punto P, se cumple la desigualdad f(a,b) > f(x,y) o f(a,b) <f(x,y), el máximo o mínimo de una función se denomina extremo, en forma similar se termina los extremos para una función de tres variables. www.FreeLibros.me 178 í Eduardo Espinoza Ramos 2do. CONDICIÓN NECESARIA PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMOS. Los puntos, en que la función diferenciable f(x,y) pueda alcanzar un extremo (es decir, los llamados puntos estacionarios) se hallan resolviendo el sistema de ecuaciones f'x (x, y) = 0 , f'y (x, y) = 0 ... (1) (Que es la condición necesaria para la existencia de extremo) El sistema (1) es equivalente a la ecuación df (x,y) = 0, en el caso general, en el punto extremo P(a,b) de la función f(x,y) o no existe df(a,b) o df(a,b) = 0. 3ro. CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMO. Si P(a,b) es un punto estacionario de la función f(x,y) es decir df(a,b) = 0; entonces i ) Si d 2f { a , b ) < 0, siendo dx2 +dy 2 > 0 , f(a,b) es un máximo de la función f(x,y). i i ) Si d 2f ( a , b ) > 0, siendo dx2 +dy 2 > 0 , f(a,b) es un mínimo de la función f(x,y). i i i ) Si d 2f ( a, b) cambia de signo, f(a,b) no es punto extremo de la función f(x,y) Las condiciones mencionadas equivalen a: <; yf/ t- v ff ;v r j "ví; ■ f *(a,b) = f ' ( a, b) = 0 y A = f £ ( a , b ) , B =f " ( a , b ) , C = f £ ( a , b ) . 2 formamos el discriminante A = AC - B , entonces: * > , . , 1 . . . , . • e * V • i f • • [ ; " • t. • • i ' • : • ! - ;VÍ . •< > , ! ; . : f : ■ i) Si A > 0, la función tiene un extremo en el punto P(a,b) y es un máximo si A < 0 (o C <0) y un mínimo si A >0 (o C >0). www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 179 i i ) Si A <O, en el punto P(a,b) no existe extremo. li i ) Si A = 0 en el punto P(a,b) no existe extremo (si A =0 la existencia del extremo de la función en el punto P(a,b) queda indeterminada es necesario continuar la investigación). 4to. CASO DE FUNCIONES DE MUCHAS VARIABLES.- Para las funciones de tres o más variables las condiciones necesarias para la existencia de extremos son análogas que los casos anteriores. 5to. EXTREMO CONDICIONADO.- Se llama extremo condicionado de una función f(x,y) en el caso más simple, al máximo o mínimo de esta función, alcanzando con la condición de que sus argumentos estén ligados entre si por la ecuación <p(x,y) - 0 (ecuación de enlace) para hallar el extremo condicionado de la función f(x,y) con la ecuación q>(x,y) =0 se forma la llamada función de Lagrange. F(x,y) = f(x,y) + X tp(x,y) donde X es un multiplicador constante indeterminado, y se busca el extremo ordinario de esta función auxiliar. Las condiciones necesarias para que haya un extremo se reduce el sistema de tres ecuaciones. + ÁÉ £ = o dx dx dx í £ =áC +/l £2=0 dy cy cy ... (2) con tres incógnitas, x, y, A. de las que, en general, se pueden deducir estas. El problema de la existencia y el carácter del extremo condicionado se resuelve sobre la base di estudio del signo que tiene la segunda diferencial de la función de Lagrange. www.FreeLibros.me . ’ t*' M- I *• r * . a.J I f M t H K - Vrt ..4’ .«<- <«•- 4..- Mt r f l M' l .wmi KVO 4' .JUHHil' ••%.•«.-«*b*W.‘U 1» I* V•>.»•« MMri’MOT» <• / W H H Í ' l W W l 1 l? {i* d r c x c y d y Mv BíomieVAO ai 0 ~¿ a&i/.o ah (n,r á] oJi'u/q i f-- ■0 - /., iZ (¡si r¿ ^' Cn p ^ ^l si ^toa de C al ores- J A , que ^hyestigaiáosjobtétndó de (2), con la condición de que dx y dy>pstén^lapionaáqs*jeptr^^p^pr la ecuación ^ dx + dy = 0, (dx2 + dy2 * 0). OX J f l A I H / ' / ^A I I b b J M 3 0 ^ 3 / Ü I >/ ■!"! 3 0 O ^ A 3 .o)!' 1 1 '■íiá1 füííéióii ft>cí,5r)Jííéiiüfáí'iífiJ rníá^imo "¿brídi6toii¿tfo; ki 3f2F <f b f tm mínimo . ? w > h 3 ! n & ¿ o z a o ? o i - ' ¿u o f c f c j a o b n s n o * z o : i : t í - ? x y :>b e i Q í n i ^ i x o condicionado, si d"F >O; en particular, si el discriminante A para la función F(x,y) en el punto estacionario* é&í póMtivó|CM(éSte(piÉitOl Káteá,<wñ. máximo condicionado de la función f(x,y) si A < O (o C < 0) y un mínimo iv; Iqüí ,'¿chiH Q%K0 h í v./íl ^on/iui un¿) aj L obhr.oblbao^ornVi?¡to smaH o?, condicionado, si A > 0 (o C > 0). rüjn oup üt> nobibnoo ib noo oi>/iisfAhjU: .nobnu-i v.- ev¿ O.) orrricifn o orrdxf-;m b nóiofiEirafoftna Similar íoárbd. easdde>Iasífunciones«delüesnvamble&^rnu2-u ¿íi no'j (y>fx)'i no hm i í ü ob noioíf>no_ o.n^iix:) b míbri meo Investigar si tiene extremos las siguientes funciones de dos variables. .ugnmgfíJ vi? riobniil #L&fn&!í. ib .íinrnói ^ 0 •■ív././o í/>;b&u:b • 2008 z = (x-1)2+2 y2 v i n o f ó n o o l o b i í o i l q i í l u m n u A ■ ^ e ¿ a r r o l Í o ' / ' ' ^ A r y. nJ .wi lixif s rroijmJ i s ú z z vb on^mlno oríiínt/ o h wrdd 33 v oLimí/ tnsiidim g^ii so gSe$d¿ « t)$ x#2y?í¿haHa*em<s«#Sr:.puntos:'ostacácwrairio^:.para esto encontramos las derivadas parciales: a : .j d z 1 ) d x d z = 2(x - 1) = 0 => x = 1 10 <\V~i . Vj ; X'") x ’> y. > => p( 1,0) punto estacionario = 4 y = 0 => y = 0 d y .zñías li'juhvh mlsj-nq qz Al h h h aá1vj .oup.acl sL ,.b,7 ..r, ncyi nv ahora encontramos las derivadas parciales de 2do. orden en el punto p(l,0), oh.fí/ioíaibnco onmix'j bb i^t:bi£3 h v e,i P2Z „ , t . d 2 r r d 2 Z í¿1()i ’Ji >UI iiÁL.»[33?2^| ¿rf’ p-4^M¡ >4 4 ¡ d x 2 ’ Sri9>» ’ (3v2 www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 181 2009 2010 Formando el discriminante se tiene: A - AC - B^ =2(4) - 0 = 8 >0 a A >0 Luego en el punto P( 1,0) la función tiene un mínimo es decir: para x=l , y =0 se tiene: z min =0 z = ( x - \ ) 2 - 2y2 Desarrollo z = ( x - l ) 2 - 2 y 2 — = 2(x-l ) dx d2 z dx2 = 2 cz dy = - 4 y d2z dv2 = - 4 d .dz. d (—) =— (2* - l ) =0 dxdy dy dx dy para encontrar los puntos estacionarios se tiene: di dx = 0 de donde x =1 dz dy = 0 de donde y =0 a = A)A dx dy dxdy 2(—4) - 0 <0 (1,0) como A <0, la función no tiene extremos. z = x2 +xy + y 2 - 2 x - y Desarrollo www.FreeLibros.me 182 Eduardo Espinoza Ramoi 2011 2 2 z - x + xy + y - 2 x - y CZ — = 2x 4- y - 2 dx d z =>— =2 dx" dz dy d2z x +2y —1 => —- = 2 dv' d z d dxdy dy (2x + y - 2 ) = \ dz dz para encontrar los puntos estacionarios se tiene: — =0 y — =0 dx dy de donde se tiene: 2x +y - 2 =0 x +2 y -1 = 0 resolviendo x =1 >>= 0 A = ~)2 ^2 ^2 o z d z dx2 dy2 'dxdy (2)(2) —1 =3 >0 ( 1,0) a2z como ax' >0 => existe un mínimo en el punto p(l ,0). (1,0) Es decir zmin =l 2+1(0) +0- 2(1)- 0 => zmin = -l z = x3y 2( 6 - x - y ) , (x > 0, y > 0) Desarrollo www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 183 2012 CZ CZ, encontraremos los puntos estacionarios para esto hacemos — = 0 y ^ dx ' cv 0 x2y 2 (18 - Ax - 3y) = 0 12x3y - 2 x4 y - 3 = 0 es decir: resolviendo el sistema se tiene: x = 0, y =0, p(0,0), x =3, y = 2, p 2(3,2) - 36x2v2 - 12x2y 2 - 6xy3, - 12x3 - 2x4 - 6x3 v ax2 ay2 a2z dxdy 2 2 36xy - S x y - 9 x y a2z a2z a2z 2 para el punto p x(0,0) se tiene: A = — 7 7 - ( ) =0 dx2 dy2 $ extremo ahora veremos para el punto P2 (3,2) a2z a2z a2z 2 &2z a A =— —- - ( ------ ) =11664 y como—- <0 •2 °--2 ' dxdy dxz dy dx' se tiene un máximo en el punto P2(3,2) donde z max = 106. z =x4+y 4 - 2x2 +4xy - 2y‘ Desarrollo www.FreeLibros.me 184 Eduardo Espinoza Ramos 2013 dz cz encontraremos los puntos estacionarios para esto hacemos: — = 0 a — =0 dr dy , . 4r3- 4x +4y = 0 es decir: 4 y 3 +4x - 4y = 0 resolviendo el sistema se tiene: x - 0, y =0 => /¡(0,0), x = \¡2 y = - J 2 => P2(V2, -y¡2) x = ~\Í2 , >’ = V2 => -\2 ~*2 ^2 -v2 ,c z ^ c z^ , o z ^ ^ c z Para los puntos A y P3 se tiene que: A = (—-)(—~) - (------ ) >0 a —~ = 0 dx" dy dxdy dx~ entonces la función tiene un mínimo en z min =-8 y para el punto /^(0,0) se tiene A =0 no tiene extremo. a2 b1 Desarrollo 1 x y xy i 2,2 Z ~ X}> a2 ~ ab ^ •> *> 3 cz v / i 7 x~ y a~b y —2x"v—v~ I - - I ‘ ✓ v / -7, o 9 o x v — Ja~b^ - x" - \r ,.......... - ^-T ab^a2b2 - x 2 - y 2 abyja^b2 - x 1- y 2 , 2 2/2 o - 3 GZ X / 1,2 2 7 #r - 2xv - x yja^b - x - y ^ abyja2b2 - x2- v2 ab^¡a2b2 - x 2- y 2 ■ » ■ V . ' dr dr haciendo — =0 y — =0 para obtener los puntos estacionarios se tiene: dx dy www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 185 2014 a2b2y - l x 2y - y 3 =0 a2b2x - 2xy2 - x3=0 resolviendo el sistema se tiene: a b x =0, y = 0, x —± j= , y = ±-r= 73 73 a b x <2 b . Luego para los puntos /j (— ^=r) y P2{ - —j = , - —j =) se tiene: d2z d2z d2z 2 A A = (— )(— ) - (-T-r -) >0 y como _ 2 a2z <0 ojc ay entonces la función tiene un máximo en Z max = 373 ^ 6 x ✓ a b x y para los puntos P3( - j =, — y PA{— -¡=,—¡=) se tiene: 73’ 73 a2z d2z d2z d2z 2 n v l _ A = ( - ) ( — ) - ( ——) >0 y como — >0 ax ay ax' entonces la función tiene un mínimo en Z min se tiene A =0 no tiene extremo. ab 373 para el punto P5 (0,0) z = l - ( x 2 + / ) 3 Desarrollo www.FreeLibros.me 186 Eduardo Espinoza Ramos 2015 dz dz Haciendo — = 0 y — = 0 para obtener los puntos estacionarios es decir: dx dy A A • 32 Z r, 32 Z r, d2 Z r, x = 0 ; y = 0 y para este punto se tiene: —- = 0, —- = 0 y = 0 dx dy dxdy y como para cualquier valor de x e y se resta de 1de la gráfica 2 z = \ - ( x + y )3 se tiene z max = 1esto ocurre en el punto (0,0). z =(x2 + y 2)e (x2+y2) Desarrollo z = (x2 + y 2)e~(x2+y2) => — = { 2 x - 2 x y 2 - 2 x } )eHx2+y2) dx ~ = ( 2 y - 2 x 2y - 2 x i )eHx2+yl) dy dz dz haciendo — = 0 y — = 0 para obtener los puntos estacionarios es decir: dx dy 2x - 2xy2- 2x3 = 0 2y - 2x2y - 2x3 = 0 resolviendo el sistema se tiene: 9 9 x = 0, y = 0, x + y =1 luego para el punto p(0,0) se tipne: d2z d2z 8 2z 2 r, d2z A = >0 A T T <0 dx dy dxdy dx ' 2 2 La función tiene un mínimo en z min = 0 para el caso en que jc +y =1 se * a d2z A , , • , . 1 tiene A > 0 y como —- <0 , la función tiene un máximo en z max = — dx2 e www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 187 2016 2016 Vi l + x ~2 9 9 + x + y~ Desarrollo 1+ x —y cz y~ —x + xy +1 •y/l +x2+ y 2 ex yj\+X2 +y dz _ x + xy + y +1 dy yj\ + x2 + y 2 dz dz Haciendo — =0 y — =0 para obtener los puntos estacionarios es decir: dx dy y - x + xy -l-1=0 - ( x 2 +jty +y +l) =0 resolviendo el sistema se tiene: d2z ^, d2z v , d2 x = 1, y = -1 de donde en este punto: A = (— r)(—-) - ( >0 dx~ dy dxdy como: d2z dx2 < 0 => la función tiene un máximo en Z max = V3 8 x y z = —+— + y (x >0, y>0) x y Desarrollo 8 x z = —i y x y dz dx 8 1 +_ * y dz _ x dy y : + 1 www.FreeLibros.me 188 Eduardo Espinoza Ramos Sz S^ Hacemos — =0 y — =0 es decir: dx dv 4 +i =0 + 1= 0 y Resolviendo el sistema se tiene: x = 4, y =2 a2z en donde para este punto se tiene: A =( -)( >0 y —t >° dx~ dv~ dxoy dx“ entonces la función tiene un mínimo en: z min = 6 2016 z = ex }'(x2 —2y 2) Desarrollo ex y (x2 - 2y 2 ) => — = (x2+2x - 2y2)ex v dx dz ^ , -— = (2y~ - x~ - 4y)e dy X - V Sz ^Z haciendo — =0 a — =0 es decir: dx cv x2+2 .y - 2 y 2 =0 2y2—x2 ~4y =0 resolviendo el sistema se tiene que: x =y =0, x = 4, y = -2 . Luego para el punto fj (0, 0) se tiene: -\2. C Z . .O Z v O Z j A = (-— )(——) - (~:-----Y <0 no tiene extremo y para el punto B> (-4,2) ax2 dy*- dxdy T" ,a2z. ,aV „a2z v? a2. se tiene: A = ( ^X ^r y ) - ( j r z r Y >0 y como — <0 dx dy dxoy dx" www.FreeLibros.me I unciones de Varias Variables 189 2(117 entonces la función tiene un máximo en z max = 8e Hallar los extremos de las funciones de tres variables: u = x~ +y" +z - xy + x - 2z Desarrollo 2 o 9 u =x +y +z~- xy +x - 2z derivando se tiene: du du du _ _ 2 x — y +1, — = 2y —x , — - 2 z - 2 dx dy dz haciendo — =— = — =0 para obtener los puntos estacionarios es decir: dx dy dz 2x~ y + 1 = 0 2 v - x — 0 ✓ 2z - 2 = 0 2 1 resolviendo el sistema se tiene: x =—, y =— 3 3 '* > '2 / - s 2 ^2 ^2 o u d u d u - d z ademas — — = —- = — — = 2 a --------- = 2 dx2 dy2 dz2 dxdy d2u dxdz d2u 0 ; ------- = 0 además se conoce que: dydz 2 d u 2 d 11 j 2 d 11 i 2 - d~u d u O 8^u d2u dxJ dx~ h - dy H-------— dz~ + 2 dxdy + 2 --------dxdx + 2---------dyd; ay dz dxdy dxdz dydz 2 1 2 i - v d~ U en el punto (— ,— ) se tiene d u > 0 y como —- >0 3 3 dx entonces la función tiene un mínimo en Z min = - www.FreeLibros.me 190 Eduardo Espinoza Ramos i ? O 2018 u = x-\------+— +—, (x >0, y >0, z >0) 4x y z Desarrollo 2 2 ^ y z 2 Como w=x +------ 1 h—, se tiene: 4* y z du _ y2 dw _ y z2 dw _ 2z 2 dx 4x2 dy 2x y2 ’ dz y z 2 TT . du du du _ t . Haciendo — = — =— = ü para obtener los puntos estacionarios es decir: dx dy dz 1- 4x2 2 y Z 2x / 2 z 2 = 0 resolviendo el sistema se tiene: , =±I , y = ± 1, z = ± 1 como dw y d u 1 2z d w 2 4 = — + dxz 2x3 ’ dy2 2x y3 ’ dz2 y z3 d2u y d u dxdy 2x2 ’ dxdy = 0, d2w dydz 2z 1 . n ^ J i > Q ja función tiene un mínimo para el punto (—,1,1), w>0 y como 1 dx' en z min = 4 y para el punto: (— ,-1,-1) no se tiene en cuenta de acuerdo a 2mt las condiciones del problema. www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 191 2019 2020 Hallar los extremos de las funciones Z, dadas de forma implícita: x2 + y 2 + z 2 - 2 x + 4y - 6 z - \ l = 0 Desarrollo Consideremos /(x, y, z) = x2+ y 2 + z2- 2x +4y - 6z -11 = 0 de donde f l = 2x - 2, f ' = 2y +4, / / = 2z - 6 haciendo = f[, = f l =0 para obtener los puntos estacionarios es decir: 2 x - 2 =0 2^+ 4 = 0 2 z - 6 = 0 resolviendo el sistema se tiene que: x = 1, y = -2, z = 3 como x2+y2+z 2 - 2x +4y - 6z -11 =0 determina dos funciones es decir: z = 3±y25- ( x- l ) 2-(>>+2)2 para una función en el punto x = 1, y =-2 se tiene un máximo en z =8 y para la otra función en el punto x = 1, y = -2, se tiene un mínimo en zmin =-2 . x3- y 2 - 3x + 4y + z2+ z - 8 = 0 Desarrollo Sea / (x, y, z) = x3- y 2 - 3x +4y + z2+ z - 8 = 0 de donde se tiene: f l = 3x2- 3, f ¿ = - 2 y + 4 , f l =2z +I dedonde = f [ =0 para obtener los puntos estacionarios es decir x =± 1, y = 2. Luego para el punto /j (l ,2) se tiene: www.FreeLibros.me 192 Eduardo Espinoza Ramos 2021 2022 d2z d 2z d2z 2 d2z . . A = (—-)(—-) - ( ) >0 y como —- >0 la función tiene un mmimo en dx1 dy2 dxdy dx2 zmin = 1; para el punto Px{ - 1,2) se tiene >0y A <0 => la función tiene un máximo en zmax = -2 . Determinar los extremos condicionados de las funciones: Z =xy si x + y =1 Desarrollo Sea F(x,y) = xy + A(x + y - 1) de donde se tiene: F‘ = y + A, F’ = x + A, F* =0 , F" =1, F" =0 xy *// vv formamos el sistema siguiente F ' = 0 f ; =o x + y = 1 y + A x + A x + y = 0 = 0 = 1 x = v 2 2 2 2 diferenciando x +y = 1 se tiene dx + dy = 0 además d F =-2¿/x <0 entonces la función tiene un máximo en: Z max = para el punto z = x +2y , si x +y" = 5 Desarrollo Sea /^(x, v) = x +2 +y +Z(x +y - 5) de donde = 1+ 2Ax, F ' = 2 + 2Ay, , f "=0,f£ =2/1 ahora formamos el sistema siguiente: www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 193 f ; - o Fv - O v) •“ O í 1 + 2Áx O <2 -i- 2Xy =O i ■> i x~ 4- v~- 5 =0 resolviendo el sistema se tiene: x t' 1, y - 2, - . x -•- l .v - -2, A = --- ") ' " 9 corno d ¿F ~-2?AdxJ rdy~) para xp l, y *=2, i Se tiene t/'F <0 => la función tiene un máximo en zmax = 5 para x -i, y - -2, 2 ~- se tiene: d F > 0 ~min ~ la función tiene un mínimo 9 / _ 9 . X V . - .r ‘ +v" , si ~ +— = 1 2 3 Desarrollo , v) = x¿ +v2+2(- -f — -1) de donde: 2 3 f ¡ ? X' + — F - v -t- --- F // = 2 F !/ = 0 F lf = 2 í v ^ » * v 3 ' XV *V ’ _VV ahora formamos el sistema siguiente: r?1 , ¿ 2v -i— 9 /•; = o < 3 i ! F ' = 0 0 ¡ ! A _ 9 ^ 2 y -f- — * 3 O 1 ! f ( V. .n = 0 > X V7 ---h —-- 1 3 i i i O www.FreeLibros.me 194 Eduardo Espinoza Ramos 2024 v- i £ - 1 1 X ~ 3 ’ y ~ 13’ ~ 13 para este punto se tiene d 2F - 2(dx2 + dy2) >0 la función tiene un máximo en Z max = 36 13 ? ? n cos“ x +eos y“ , si y - x - — 4 Desarrollo Sea F(x, y) = eos2a*+eos2v +A( y - x - —) de donde: Fx - -2 eos a .sen x - Á , 4 Fy = -2 eos y sen y , F'x - - 2 eos 2a* , Fvy =-2 eos 2y, /^. =0 Fonnamos el sistema siguiente: Fx = 0 Fv=0 <P(X, V) =0 -2 eos a* sen x - A =0 -2 eos y y +/ =0 71 y - x = — 4 >z=>séw 2x - -sen 2y 71 como v - x + — => sen 2x = -sen(2x H— ) 4 2 o o 71 K o sen 2x - -sen 2x eos----- sen — eos ¿a' 2 2 sen 2x =- eos 2x sen 2x = —eos" x +sen"x => 2sen x eos a* =2sen"x —1, de donde 4 ° — 2- • 1 A J -1- ^—- -> sen x =±0.9238 y, sen x - %sen~x +1= 0, de donde sen x - ±, www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 195 2025 sen x =±0.3856 de estas soluciones tomamos las siguientes: para x = 67.5°, y =157.5° 3>7T sen x = 0.9238 => x = arcsen(0.9238) = — + kn donde k = 0,l,2,3. Sen x =-0.3826 => x = arcsen (-0.3826) x = —7r + kn para k = 0,1,2, en este punto d F > 0 la función tiene un 8 3 3 mínimo en el punto (—n + kn, —x + kn) 8 8 ^ . 2-V 2 , , 1 n . 9n . x Z min =--------- y para el punto (— + kn, hkn) 2 8 8 de donde d 2F < 0 => la función tiene un máximo en: Z max = 2 +V2 u = x - 2y + 2z , si + z2= 9 Desarrollo Sea F( x, y, z) = x - 2 y + 2z + A(x2 + y 2 + z 2 - 9) , de donde se tiene F' = l + 2Ax, F ' = - 2 + 2Ay, Fz/ =2 + 2Az, F " = 2 A , F " = 2 A , F " = 2 A , = 0 , FyZ- 0 , F"z = 0. Formamos el sistema siguiente: = JC F 7= y 0 0 1+ 2x = 0 -2 + 2y = 0 resolviendo el sistema se tiene que: www.FreeLibros.me 196 Eduardo Espinoza Ramos 2026 2 x = ±l , y = ±2, z = ±2, A =+— además d 2F = 2A(dx2 +dy 2 +d z 2) para los valores x = 1, y = 2, z = 2, A = se tiene d F < 0 => la función tiene un máximo en z max = 9 1 2 para los valores x = -1, y = -2, z = -2, A = — se tiene d F > 0 entonces la función tiene un máximo z min = -9. 2 2 2 u = x2 + y 2 + z 2, si -t-~~r”"i- —1 ( a>b>c>0) a2 b2 c2 Desarrollo 2 2 2 7 7 7 x y z Sea F{x, y, z) = x + y + z + +^ + —y -1) de donde se tiene: a b c Fl =2x + 2 Ax F Í = 2 + ^ , F" =2 + a 2A F ' = 2 y + 2 Ay u 2A yy 9 - ZZ Z777—f 11 xy * yz _¡ 2Az Fz = 2 z + — F" =0 XZ F11 = 2 + 2Á XX a Ahora formamos el sistema siguiente: F’ = 0 f ; = o f ' = o <p(x, y, z 2x 2x + - y = 0 a 2 V + = 0 2z 2z + — = 0 c 2 2 2 x y z —r +^ + ^r = 1 a resolviendo el sistema se tiene que: www.FreeLibros.me / unciones de Varias Variables 197 2027 2028 para x = ±a, y = z = 0, A = - a y = ± b, x = z =0, A - - b ‘ z - ± c, x = y = 0, A —- c ‘ para x = ± a, d F < 0 tiene máximo en Umax = a para z = ±c, d F > 0 tiene mínimo en Umin = c u = xy2z 3, si x + y + z=12, (x,y,z>0) Desarrollo Sea F' = 2jtyz3+ / l , f ; J xyV + A, F£ = 0, F" = 2xzJ , Fz" = 6xyzz , F( x, y, z ) = x\ ::* + A(x + y + z —12) de donde: 2.2 II .// .// .y .// F” = 2yzi , F1' = 6,v , /'v; = 3j>zzz, formamos el sistema siguiente: .// 2_2 K =o F ' = 0 f ; = o <p(x,.y,z) = 0 • z + /í = 0 2 xyz + A = 0 resolviendo el sistema se tiene: 3.xy2z2+ A = 0 x = 2, y = 4, z = 6, X = -3456 2 2 3 donde este punto d F <0 => la función tiene un mínimo en Umin = 2.4 .6 u = xyz con las condiciones x +y + z = 5, xy + yz + zx = 8 Desarrollo Sea F(x,y,z) = xyz + A(x + y + z - 5) + p(xy + yz + xz - 8) de donde: www.FreeLibros.me 198 Eduardo Espinoza Fxí = yz + A + Py + pz , F'y = xz + A + p x + Pz , además se tiene: F[' - FÍL = Fl = O , F A A VV A Fvr = y + p ahora formamos el sistema siguiente: Fz - xy + A + p v + Px z + P , Fvz —x + p \ Fí - 0 X f ; - o f : = o <p(x,y,z) y/ (x, y, z) 0 0 16 yz + A + p y -f Pz XZ ~h A Px Pz xy + A + P y -f- P x x + y 4- z = 5 xy + yz + xz = 8 0 0 0 resolviendo el sistema se tiene que: para A = — , /? 4 se tiene: ¿ A A A 3 3 3 3 “ 3 3 3 3 3 3 para A = 4, (3= -2, se tiene: F4(2,2,1), F5(2,l,2), F6(l,2.2) como las condiciones son: x + y + z = 5 , xy + yz + xz = 8 diferenciando se tiene dx dy + dz = 0 (y + z)dx + (x + z)dy + (y + x)dz = 0 resolviendo en términos del diferencial dy se tiene: dx v x — v -- dy , dz — dy x {5 4 d~F = (z +A)dx dy + (x + p)dy dz + ( y + p)dx dz para A — — , P — — en. 9 3 2 • , 1124 estos puntos d F < 0 entonces la función tiene un máximo en Umax = ------ 2 í para los valores A = 4, (3 = -2 en estos puntos d 2F > 0 la función tiene uni mínimo en Umin = 4 www.FreeLibros.me / unciones de Varias Variables 199 2029 2030 "X* | 12 | ^ .......... ....... . Demostrar la desigualdad 1— - ——>-y xyz , si x >0, y >0, z >0 F I NDI CACI ON: Buscar el máximo de la función u = xyz con la condición de que x +y +z =s Desarrollo Sea F(x,y,z) =xyz +X(x +y +z - s) de donde: Fx = yz + A , Fv = xz + A , Fz =xy +A además: Fxx = FVT= FÍ =0 , Fxy = z , Fyz =x , Fxz =y ahora formamos el sistema siguiente: f; =o f ; =0 = 0 yz +/i =0 xz +A-- 0 xy +A =0 x +y +z = s resolviendo el sistema se tiene que para A — ; x =y =z =^ s s s como d 2F < 0 la función tiene un máximo para el punto »“ ) en zzmax = 27 Luego la desigualdad — >yxyz es verdadera con lo cual queda demostrada. Determinar el máximo absoluto de la función: z =1+x +2y en las regiones:_ a) x >0 , y >0 , x +y<l b) x > 0 , y < 0 , x - y < l www.FreeLibros.me 200 Eduardo Espinoza Ram< Desarrollo Examinando en la frontera de la región. Cuando x = 0 se tiene z = 1 + 2y como x + y < 1 entonces zmax = 3 en el punto (0,1) y además en el punto (0,0) se tiene Z min abs = 1 Ahora cuando y = 0 se tiene z = 1 + x como x + y < 1 entonces z max abs = 2 para el punto (1,0) y para el punto (0,0) se tiene Z min abs = 1, luego el valor máximo absoluto es z = 3 para el punto (0,1). b) Cuando x = 0 se tiene z = 1 +2v, -1 <y <0 como x - y < 1 (ver gráfico) => Z max abs =1 en el punto (0,0) y en el punto (0,-1) se tiene Ahora cuando y = 0 se tiene z = 1 + x, 0 < x < 1 ==> z max - 2 en el — -d t - punto (1,0) y en el punto (0 ,0 ) se tiene: Z min abs = 1. Luego el valor máximo absoluto es z = 2 para valores de x = 1, y = 0. www.FreeLibros.me ¡ unciones de Varias Variables 201 m \ Determinar el máximo y mínimo absoluto de las funciones: 9 2 9 • ' 2 2 a) z ~ x y b) z - x - y en la región x + y < 1 Desarrollo 2 2 2 "> a) Suponiendo que x +y - 1 => x =1- y~ O O ^ f/.Z ^ como z = x " y = y(l — ~y - z de donde — = 1- 3 y" =0 dy 1 , 2 i . . /2 1 y =±—— x = ±J — luego se tiene para el punto (±J - ,—pr) V3 V 3 V 3 V3 2 2 1 2 Z max «fe = —pr y para el punto ( / —+ / - ) , Z min = /--- J V/i ^4/ ? 4/ / 9 ^ ****** ^*1^7 /-- 3^3 V 3 V 3 3V3 b) Sea f ( x , y ) = x2 - y 2 + A(x2 + y 2 -1) de donde: ahora formamos el sistema ./; - 2. v 2/l.v , f ' = 2 A y - 2 y,f''x =2 + 2A, / " =2A - 2 , / " =0 www.FreeLibros.me 202 Eduardo Espinoza Ramos ________________________ fx = 0 2x +2Ax =O ~ O > => ^2dy- 2y- 0 resolviendo el sistema se tiene: <p(x,y) = 0 x2+y2= 1 para X = -1, x =0, y = ± 1 A, = 1, x = ±1, y = 0 Luego se tiene que para el punto (±1,0) se tiene z max abs = 1 y para el punto (0,±1) se tiene z min abs = -1 Para la región dentro del circulo el valor de la función es menor que 1y a menos l . 2032 Determinar el máximo y mínimo absoluto de las funciones z =sen x +sen y Tí Tí sen (x +y) en la región 0 <x <—, 0 <v <— 2 " 2 Desarrollo Como z = sen x + sen y +sen (x +y) entonces cz - eos x +cos(x +y ) , eos y +cos(x +y) y para encontrar los puntos ex cv estacionarios hacemos — = 0 , — =0 es decir: cz „ cz de donde eos x +eos y = 0 => x = y , x = -y reemplazando en la ecuación eos x +eos (x +y) = 0 www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 203 7T 71 71 77 x —— como x = y => y = — como — <— está dentro de las condiciones 3 3 3 2 y para el caso de que eos x =-1 =>x - tu que no está dentro las condiciones K K del ejercicio. Luego para el punto se tiene un máximo interno 3 3 3n/3 Z maxa/)5=—— y para el punto (0,0) se tiene un mínimo en la frontera Z mintí¿)v- 0. 2033 Determinar el máximo y mínimo absoluto de la función z = x3+y - 3xy en la región 0 <x <2 , -1 <y <2 Desarrollo 7 7 CZ i CZ 7 Como r =x + y - 3xy entonces se tiene: — = 3x“ - 3 y , —- = 3 y“ - 3x y ex oy cz dz para encontrar los puntos estacionarios hacemos — =0 , — =0 es decir: ex dv 3x - 3 y =0 3 y 2 - 3.v = 0 => resolviendo el sistema se tiene: (0,0) y (1,1) ahora de acuerdo a las condiciones del problema se tiene cuando x =2, y = -1 se tiene un máximo absoluto (máximo de frontera) en z =13 y cuando x = y = 1 se tiene un mínimo absoluto (mínimo interno) en z =-1 y cuando x =0, y - -1 se tiene mínimo de frontera en z =-1. 6.14. PROBLEMAS DE DETERMINACIÓN DE LOS MÁXIMOS V MÍNIMOS ABSOLUTOS DE LAS FUNCIONES.- 2034 Entre todos los paralelepípedos rectangulares de volumen V dado, hallar aquel cuya superficie total sea menor. Desarrollo www.FreeLibros.me 204 Eduardo Espinoza Ramos Por condición dei problema se tiene: V V =xyz de donde z = — además la superficie es: xv 2xv 2 y v A = 2xy + 2xz + 2yz d donde: A - 2xv H--------h—— XV XV . . 2v 2v A = 2xy + h — V x cA , 2v o A Derivando se tiene: — =2 v — - , — ex x~ cv 2x - 2v V cA cA Haciendo — =0, — - 0 para obtener los puntos estacionarios se tiene: cv V - 2V x 0 IV 2x - ——= 0 V >resolviendo el sistema se tiene que: x - y - \> d A 4V 5~A V . . . . _ _ ^ ex x cy y a i *» ^ v exoy >0 en el punto x = y - IÍV y como 2 4 2 i c A x A ex cv dxcv 2 4 c A ex >0 www.FreeLibros.me inficiones de Varias Variables 205 2035 la superficie total seria menor cuando x = y = z = 1¡V donde At = 6V3 Que dimensiones deberá tener un baño abierto, de volumen V dado, para que su superficie sea la menor posible? Desarrollo Consideremos las dimensiones del baño x,y,z donde: V = xyz V xv además su área es: A = xy +2xz +2yz donde: 2F 2V A =xv +— h derivando se tiene: y * dA 2V cA 2V = y , = .V dx x“ oy V d2A 4V d2A 4V d2A dx2 3 ’ z 2 X CV 1 ’ dxdy = \ / ! 7 1 1 ! 1 / / / x / / / f ................................................J / formando el sistema siguiente se tiene: dA dx dA dy =y 2V 2 X 2V - x - 0 0 resolviendo el sistema se tiene: x =y =i f l V ^2 i 4 ^,2 a ^2 4 8 A c A . o A o 8 A como ——.—— — —)“ >0 y — —>ü . dx2 dy2 dxdy dx2 Luego la superficie es mínima para x =y = \¡2V , z 2C www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ram - Entre todos los triángulos de perímetro igual a 2p, hallar el que tiene mayo^| área. Desarrollo condición del problema: x + y + z = 2p ... (a) además el área de un triángulo conociendo sus lados es: A = y¡P(P - x)( P - y) ( P - z) , como z = 2p - x - y, reemplazando se tiene: 2p (x + y) - p (x + y + 3xy) + pxy(x + y) - p dA dx 2p3 - 2 p2x — 3p2 V + 2 pxy + py f 'X ^ ^ ^ 2 y 2 p (x + y) - p ( x + y +3 xy) + pxy (x + y) - p dA -y p 2p - 2 p y - 2px +px + 2 pxy EV 2^ 2p3 (x, y) - p2 (x2 + y2 + 3xy) + pxy(x + y) - p‘ formando el sistema siguiente: dÁ = o > => dx d/l 2 p3 - 2p2x - 3p2y + 2 pxy + py2 = 0 dy 0 2p - 2p y - 3px + px" + 2pxy = 0 - ( I ) •..(2) simplificando y sumando (1) y (2 ) se tiene: (x - y)(x + y - p) - 0 de donde: x - y - 0 x + y - p = 0 x - y x + y = p como 2 p' - 2 p “x - 3p2y + 2 pxy + py = 0 2p2- 2px - 3py +2xy + y =0 como x =y tenemos: www.FreeLibros.me / unciones de Varias Variables 207 2037 2p 2 - 2 p x - 3 p x +2x2+x2 =0 i i 2 p 3x" - 5 p x + 2p =0 de donde al resolver se tiene: x =— =y = z Luego se trata de un triángulo equilátero. Hallar el paralelepípedo rectangular de área s dada, que tenga el mayor volumen posible. .Desarrollo Se conoce que: V = xyz S = 2xy + 2xz +2yz S ~2xy 2 (x + y) Sxy - 2x2y 2 , . Luego V - — — derivando se tiene: 2(x +y) 5V _ 1 Sy2 - 2 x 2y 2 - 4 x y 3 _ 1 Sx2 - 2 x 2y 2 - 4r V ~~ ~ V ’ 1 ) > ^ ~ ^V _ ^2 ' dx 2 (x + y ) ‘ dy 2 (x +v) formando el siguiente sistema se tiene: dV a* dv dy S - 2x" - 4xy =0 S - 2y 2 - 4xy = 0 x =y como S =2xy +2xz +2yz ^ ^ 5 - 2x‘ S =2x +4xz => z = 4x 2 2 como ^- 2x“ - 4xy - 0 => s - 2x = 4xy www.FreeLibros.me 208 Eduardo Espinoza Ramos «- . . m . »,, —— - . . — -I— — ............................................ ..... . i i l l » » , — M—r — n, - — — .— — — .1 1 .. • m S - 2x2 4xy Luego z =----------- =——= y ; x =y =z. Luego se trata de un cubo 4x 4x 2038 Representar el número positivo A en forma de producto de cuatro factores positivos, cuya suma sea la menor posible. Desarrollo De acuerdo a las condiciones del problema se tiene: a =xyzt, s =x + v +z +t Sea f(x,y,z,t) =x +y +z +t +A(xyzt) de donde se tiene: f x ~ 14- Ay z t , f y - 14- Axzt , f l - 1+Axyt , f j =1+Axyz formando el sistema se tiene: fx = 0 J X 14- yzt = 0 f y =0 14- xzt = 0 ! i o> => <14- yyt - 0 o I I o I I & cp(x, y, z, t) =0 y xyzt =a \_ resolviendo el sistema se tiene: x =y = z =t =ci4 . 1 i 1 1 Luego a - a 4 .a4 .a4 .a4 2039 En el plano XOY hay que hallar un punto M(x,y) tal, que la suma de ios cuadrados de sus distancias hasta las tres rectas x = 0, y = 0, x - y + 1= 0 sea la menor posible. Desarrollo www.FreeLibros.me / unciones de Varias Variables 209 2040 Y 4 \ \ \ ^ M(x,y) l A X condición del problema es: F - [d(A, M)\ +[ d( B, M)] +[d(M, C)]' De donde: d(A,M) =y , d(B,M) =x , d(M,C) =—— -V 2 Luego / ( jc, y ) - x“ +y + 2 , 2 , (x ~ >* +1)* derivando se tiene: f l = 2x +(x - y +1), f y = 2y - (x - y +1) es decir: f x =3x - y +1 , / v =3y - jc - 1, formando el sistema se tiene: K =o f í =o > => < 3x - y +1 = 0 3 y - x - 1=0 x =v Luego el punto M (x, y) = M 4 4 Hallar el triángulo de perímetro 2p dado, que al girar alrededor de uno de sus lados engendra el cuerpo de mayor volumen. www.FreeLibros.me 210 Eduardo Espinoza Ramos Desarrollo Aplicando la ley de cosenos se tiene: 9 9 9 y — x" + z" - 2xz eos 0 eos 6 1 ~> x“ + z" y 2 xz 9 7 además cos~ 0 = 1- sen 6 reemplazando se tiene: 2 2 2 1 2n ( x +z - y .2 1 - sen 6 = (— i Y => sen26 = 1 - (2Ljt£------21) 2 xz 2xz además se tiene sen6 = — => h2 = z 2sen"6 por condiciones del problema se tiene: /rx x +y +z = 2p y F = — reemplazando se tiene: i www.FreeLibros.me /' unciones de Varias Variables 211 por el multiplicador de Lagrange se tiene: ti 4x2z2- ( x2+ z 2 - y 2)2 f ( x , y , z) = — ( — — +2(x +y +z - 2/?)) 3 4x / /r 2x2y 2 +l x 2z 2 - 2y 2z 2 - 3x4+y4+z4. f x = 7 T ( ^ : ) + ¿ 12 x r =— ( J y 12 t i 4x2y + 4yz2 - 4 y 3 ) + A t i 4x z +4y z- 4z' ) + A formado el sistema siguiente se tiene: f x = 0 f y = 0 => f l = o O 2 2 , o 2 2 o 2 2 t i I x y +2x z - 2y z l 4 , 4 . 4 3x -f y +z 12 x ;r 4x2y +4 vz2-- 4 v3x ( — ) + A 12 x k 4x2z + 4y2z- 4z3x (----------- :-------------) +A 12 — 0 0 ) + A = 0 ... (1) ... (2) (3) (x,y,z) = x + y + z = 2p - (4) resolviendo el sistema se tiene: de (2) y (3) tenemos: (z - y)(zL +2jyz + y 2 - x2) = 0 luego y = z, z"+2yz + y z - x z - 0 2 2 de (2) y (1) se tiene que: 2x2y2+2x2z2- 2 y2z? - 4xJ - 3xH+y '' +zH+4xzJ - 4xyAz = 0 (5) reemplazando y =z en las ecuaciones (4) y (5): www.FreeLibros.me 212 2041 Eduardo Espinoza Ramos -3x2 - 4xy +4y 2 = 0 ... (6) x +2y = 2p ... (7) 3 de (7) despejamos x = 2p - 2y reemplazando en (6) se tiene que y = —p 4 _ p como x + 2y = 2p => x - ~ p 3 3 luego los lados del triangulo es: x = — , y = —p , z = —p 2 4 4 En un plano se dan tres puntos materiales: Px(xj, y l ) , P2 (x2, y 2) Y i 3 (* 3,J;3) cuyas masas respectivas son mx, y m3, que posición deberá ocupar el punto P(x,y) para que al momento cuadrático (momento de inercia) de este sistema de puntos, con relación a dicho punto P (es decir, la suma 9 9 ? m]P]P +m2P2P +m3P3P ) sea el menor posible. Desarroílo De acuerdo a las condiciones del problema se tiene: I = mx(x - Xj) +m2(x - x2 ) +m3 (x - x3) de donde d l v ——=2ml (x —Xj) +2m2 (x —x2) + 2m3 (x - x3) = 0 , entonces dx (2ml +2m2 + 2m3)x = 2mxxx+ 2m2x2 +2w3x3 de donde se tiene: mxx | +m2x2 +m3x3 mx-f m2 +m3 Ix =ml ( y - v,)2+w2(>>->-2)2+ )' www.FreeLibros.me ¡ unciones de Varias Variables 213 2042 dlx dy =2m\ (y- y\ ) +(y - y 2) +2nh(y ~>3) =0 (2m, + 2 w2 + 2m3)y - 2mxy\ + 2m2y2 + 2m3y3 de donde se tiene: v ^ mxy {+m2y2 +m3y3 m{ + m2 + m3 Hacer pasar un plano por el punto M(a,b,c) que forme con los planos coordenados un tetraedro que tenga el menor volumen posible. Desarrollo 1 •' 1 1 1 • 1 A V _ La ecuación del plano que intercepta a los ejes es: — 4- — 4— = 1 a y b' c' ci b c además el plano pasa por el punto: M(a,b,c) = > ------1-------1— = 1 a ' b y c y ahora formemos la función de acuerdo a las condiciones del problema: Abh „ a b c - L a yb yc y , a b e - L V =-------+ M— 4- — 4---------) =------------4-A(— +-------------) k a y b y c y 2k a y b y c y www.FreeLibros.me 214 Eduardo Espinoza Ramos 2043 donde k es un factor de proporcionalidad. dV b' c' „ a Luego ---- =---------A da' 2 k a ’ db' 2k dV a' c ' „ b dV b' a' „ c — =--------- A—- , — = /t a b' 2 de' 2 k ,2 Formando el sistema se tiene: =o 2 k a' c' a' 2 Ab 2 k b a 0 =0 di r de' a b e _ » i» i a b e = i a'¿' . c A 2 k ,2 a b e — i----- 1— Va' b' c' resolviendo el sistema se tiene que: — =— =— y reemplazando en la ultima z b c ecuación se tiene: a ' - 2 a , b' = 2b, c ' - 2c x y z . x y z como P — \------ \— = 1 => P - —t- — + —= 3 a ' b ' c ' a b e Inscribir en un elipsoide un paralelepípedo rectangular que tenga el mayor volumen posible. Desarrollo 2 2 2 , t 1• • , V V z La ecuación del elipsoide es: — +— + — =I a~ b c Y el volumen del paralelepípedo es xyz. \ - ~~Í J 1 7 x ir z~ Luego formamos la función: V - xyz +A(— + -1) de donde: a ~ b~ c ~ www.FreeLibros.me ¡ unciones de Varias Variables 215 2044 8V dx vz + 2Ax 8V a2 ’ dy xz 2Ay dV 2Az Ir cz - xy + ahora formamos el sistema siguiente: ex dV dy dV 0 =0 => =0 2Ax vz + ------- = 0 ¿r 2 A v X Z ■+ = U b2 2Az xy -f — - 0 c ...(1) •(2) . . . (3) 2 2 2 <p(x,y,z) = 0 => —- + ^- 4-- —=1 Z i _ ¿ a b c ... (4) resolviendo el sistema se tiene: de ( 1), (2) y (3) *> •■> 2 a*" y “ z~ a 2 1 2 2 b c reemplazando en la ecuación (4) se tiene: a b c x - ±—pr, y - ± —=r, z - ±—t=- esto es en los semiejes. V3 ' y3 v3 2f/ 2/2 2 c Luego las dimensiones del paralelepípedo es: V3 V3 v3 Calcular las dimensiones exteriores que deberá tener un cajón rectangular abierto, del que se dan el espesor de las paredes ó y la capacidad (interior) V, para que al hacerlo se gaste la menor cantidad posible de material. Desarrollo Si las dimensiones del cajón rectangular son x, y, z su volumen interior es: www.FreeLibros.me 216 Eduardo Espinoza Ramos ¡ i tí 2045 V7= (x - 25)(y -- 26)(z - 26) y la superficie es: A =2xy + 2xz +2yz Luego fonuemos la función siguiente: V = 2xy +2xz + 2yz +X(x - 26)(y - 25)(z - 26) T/ el ex 2y -f 2z +A(y - 26)(z - 26) 6V ov - =2x + 2z + A(x - 26)(z —26) eV CZ - 2x +2y +A(x - 2S)(y - 26) ahora formamos el sistema siguiente: e v /■■V ex eV ov dV 0 =0 o [<p(x,y,z) oz 2 v + 2z +A( y~ 26) =0 2 v +2.v +A(x - 26)(z - 26) = 0 2.v +2 v +2. (x —26)( y - 26) - 0 (a - 26)( v - 26)(z - 26) =E z) =0 V ' resolviendo el sistema se tiene: de ( I ), (2) y (3) se tiene x - y 2z (1) (2) (3) 14) de donde en (4) se tiene: V ( X “ 2 ) - V l = -------------------- - V A \Jl V n JL t f l F + 2 8 , v = $Í2V + 2 8 , = +.s i 2 Y“ >T En que punto de la elipse 7 a~ b~ coordenados él triangulo de menor área. +—---1 la tangente a esta forma con los ejes www.FreeLibros.me i unciones de Varias Variables 217 Desarrollo ► X x y La recta tangente a la elipse que intercepta a los ejes es: L : — H— =1 ¿L b' Formamos la función siguiente: a 'b ' , / x v 1v , , a' b' , , q -------(_ 1_ — ]) ¿onde ------ es el area 2 a' b' 2 Luego se tiene: dA b' Ax dA a 1 Xy Ahora formamos el sistema siguiente: d 4 b f /l y £1 =0 ; =o a/?’ o i , ¿ a a ' /l v T ~/l t = o (p{a\b') = 0 ; —; +77 =1 <7 h ...(o ...(2) ...(3) resolviendo el sistema se tiene: de (1) y (2) se tiene que . b ' „ a x www.FreeLibros.me 218 2046 Eduardo Espinoza Ramos b ' por otro lado la pendiente de L es t ga = y la pendiente de la tangente a a f 2 2 ,2 11- x ^ 1 * la elipse: — + — = l es t g a - — — a~ b a y Luego se tiene: t g a = b' b2.x b' y x2 y2 /t! 2 i 2 2 i 2 o a y a a y x a b 2x2 . a b Reemplazando en la elipse se tiene: —— = 1 => x = ± —j=r, y = ± «2 ■ ” 75 Hallar los ejes de la elipse sx" + 8xy + 5y =9 Desarrollo 2 2 ^ La ecuación general de 2do grado es: Ax +By +Cxy + Ex + Dy + F = 0 Para eliminar el término xy, consideremos a el ángulo que se va a girar, C 8 n k Donde tg l a =------- =-------- entonces 2a - — => a - — A - B 5 - 5 2 4 x = x 'cos 45° - y ’se/7 45° - ——— v = jc'sen45°+ v'cos45° = A" +4 75 ' 2 2 ahora reemplazamos en la ecuación 5x* + 8xy + 5y - 9 www.FreeLibros.me / unciones de Varias Variables 219 9 9 simplificando se tiene: 9x '+>>’ = 9 lo que es lo mismo Y’ y' 0 \--— = 1 => a = 9 a b = 1 1 9 Luego el eje mayor es 2a = 6 y el eje menor 2b = 2 2047 Es una esfera dada, inscribir el cilindro cuya superficie total sea máxima. Desarrollo Altura del cilindro = H = 2h ; Radio de la esfera = R ; Radio del cilindro = r área total del cilindro = 2icrh + 27ir De acuerdo a las condiciones del problema formamos la función siguiente: $ A - Ircrh + 2/zr2 + Á(r2 + h2- R2) donde (h,r) pertenece a ax2 -f y 2 = R2 entonces: h2 +r2 - R2 c^A c)A. — = 2/rh -f 4itr + 2Ar , — = 2nr + 2Ah , ahora formamos el sistema siguiente: dr dh www.FreeLibros.me 220 Eduardo Espinoza Ram 2048 = 0 dr dA = 0 dh (p(r Ji) => < 2/7 + 2nr + 2Ar = 0 ... (1) 2/zr + 2/l/z = 0 ...(2 ) r2 + h2 = R2 ... (3) resolviendo el sistema se tiene que: de (1), (2) y (3) se tiene que: 8r 4 - 8/-2/?2 +R4 =0 dedonde r = —V2 + 72 . r = —y ¡ 2 - 4 l 1 ? para r = — y¡2 + \ í l => h = — \ ¡ 2 - \¡2 2 2 y = — \J 2 - y¡2 => h = —yJ 2 - y¡2 1 1 ^ i w , d2/4 o2/! d2.4 ademas —— = 4;r + 2/t , —— = 2/ , ----------= 2/r c> 2 a//2 aro/z d2A d2A o2A 2 n • , . ÍZ TZ , ^ [Z /H (—r-)(——) - (---------)“ < 0 tiene máxi mo en r = —yj 2 + v 2 , h = —\ ¡ 2- \ ¡ . dr dh2 drJñh 2 2 como H = 2/i = R\¡2~ y¡2 , r = — \¡2 + J~2 2 luego el radio de la base del cilindro es: y = — V2 + V2 y la altura es RyJ2 - ^ 2 donde R es el radio de la esfera. 2 Los cursos de dos ríos (dentro de los limites de una región determinada] representan aproximadamente una parábola y - x y una recta, x - y - 2 = 0, Hay que unir estos ríos por medio de un canal rectilíneo que tenga la menoi longitud posible. Porque puntos habrá que trazarlo? www.FreeLibros.me / unciones de Varias Variables 221 Desarrollo Graíicando la parábola y — .v“ y la recta x - y - 2 = 0 Sea Px (Ay, Vj) de la parábola => y { - jc, y la distancia del punto /^(jc, , y,) X, —y, —2 7 a la recta x - y - 2 = 0 es D = —— -¡=— pero y, = jc, -V 2 JC- A'2 - 2 Entonces reemplazando se tiene: D = ——’ -j =— -V2 . , . dD 1 - 2x, Derivando se tiene: ------=--------------= 0 => jc, = d x . y¡2 1 como y { = A*f => V] = — luego la distancia es D -2 I s í l -1 8 la pendiente de la recta x - y - 2 = 0 es m} = 1 y la pendiente de la perpendicular a esta recta es m2 = - 1 . www.FreeLibros.me 222 Eduardo Espinoza Ramos 2049 2050 La ecuación que pasa por PA—, —) y m1 =- \ es v - — = - l ( j t - —) es decir 2 4 ‘ 4 2 4x + 4y - 3 = 0 ahora resolviendo el sistema siguiente: x - y —2=0 se 4x + 4 v - 3 = 0 2 tiene x = ~ , y = - ~ de donde el punto de la parábola: v = x debe unirse con el punto /?(— ) de la recta x - y - 2 = 0 con una “ 8 8 longitud 8 £ = = £ 1 -3 ~ 2 Desarrollo Hallar la distancia más corta del punto M(í ,2,3) a la recta La ecuación de un plano que pasa por el punto M( 1,2,3) y que sea .r v rr perpendicular a la recta: es: Hx ~ O ~ 3(y - 2) + 2(z - 3) = 0 es decir x - 3y + 2z - 1 =0 ahora hacemos la intersección del plano con la x - 3 y + 2z = 1 J J 4 1 3 1 recta es decir: <x v z de donde jc = — , v = — , z = — - = ^ - = - 4 4 7 .1 - 3 2 1 3 1 - ahora hallaremos la distancia d entre los puntos: Mí 1,2,3) y P(—,------,—) es 14 14 7 i ' ^ — \n ^ \2 /o ^ \2 ^ \ 2 _ v2730 decir: d —. 1(1 ) + (2-h------) -t- (3 — ) —------------ 14 14 7 14 Los puntos A y B están situados en diferentes medios ópticos, separados el uno al otro por una línea recta (fig 72) la velocidad de propagación de la luz en el primer medio es igual a V¡ , en el segundo a V2. Aplicando el “principio de 1 r H Fei-mat”, según el cual el rayo luminoso se propaga a lo largo de la línea AMB, para cuyo recorrido necesita el mínimo de tiempo, deducir la ley de la refracción del rayo de la luz. www.FreeLibros.me I unciones de Varias Variables 223 Desarrollo Sea u — f + A (a tg a + b tg p - c) eos a V2 eos p cu a 2 du b 2 — =—tga sec a 4- Áa sec a ; — = — t gn sec o + Ab sec p da V] cp V2 formando el sistema siguiente se tiene: du da cu = 0 0 a — tga sec a + Aa sec" a = 0 :z> <! Cp a tga + btg p - c — t gp sec p + Ab sec~ P = 0 resolviendo el sistema se tiene: sena _ V¡ senP ~ V2 2051 Aplicando el “Principio de Fermat” deducir la ley de la reflexión del rayo de luz de un plano en un medio homogéneo, (fig 73) www.FreeLibros.me 224 Eduardo Espinoza Ramos 2052 Desarrollo Por tratarse de un plano en un medio homogéneo se tiene V¡ - V1 Luego sea u a b , 1-----------------+ a t ga + b tg ¡3 —c) Y¡ cos a \\ cos p du a 2 cz/ b 1 n tga sec a + A a sec a ; = — t gp sec p + Ab sec“ /) da l i cp V formando el sistema se tiene que: cu da du dp = 0 = 0 o /gtf sec « + /lí/ sec~ a = 0 / t gp sec P + Ab sec" /? - 0 a tg a + btgp-c = 0 => a tg a + b tg p = c resolviendo el sistema se tiene: sen a = sen p de donde a = p Si por un circuito eléctrico de resistencia R pasa por una corriente í, la cantidad ? ' de calor que se desprende en una unidad de tiempo es proporcional a !~R ¿Determinar, como habrá que distribuir la corriente 1 en / , , / 2 e p valiéndose de tres conductores de resistencia R2 y R3, respectivamente para conseguir que el desprendimiento de calor sea mínimo? www.FreeLibros.me /unciones de Varias Variables 225 Desarrollo De acuerdo a las condiciones del problema se tiene: ahora definiremos la función: /7(7,, í¿ > /3) - / ( A * A»^3) f ^ ^ de donde: F ( /j, /2, /3) = /f At + /2- r 2 + /3 a3 + /(/i + /2 + /3) ahora hallaremos sus derivadas parciales: dF cF dF — = 21 F + A, — = 2 F I F + Á , = 2 I , R , + Á cL 1 1 dF - “ formaremos el sistema siguiente: 5/, cF f/T 0 o o => d i 2 1 = 1, + / 2 + / 3 2/, A, 4-A —0 212R2 +A = 0 2/3A3 + A = 0 /j + /-) + / 3 —/ resolviendo el sistema se tiene: /,/?! = = /3A3 esto reemplazando en al ecuación /j + / 2 + / 3 = / se tiene: /, - /A2A3 A¡ A2+Aj A3+A2A3 /, = //?, /?3 R\R¿ 4~Aj A3+A2A^ , / i /A, A A, A. + A, A3a- A, A www.FreeLibros.me 226 Eduardo Espinoza Ramos 6.15. PUNTOS SINGULARES DE LAS CURVAS PLANAS.- Ira. DEFINICIÓN DE UN PUNTO SIGULAR.- Un punto M(x0,y0) de una curva plana f(x,y) = 0 , se llama punto singular, si sus coordenadas satisfacen simultáneamente a las tres ecuaciones. / 0*0’>'o) = 0. / v l W o ) = 0, //( x o,.F0) = 0 2do. TIPOS PRINCIPALES DE PUNTOS SINGULARES.- Supongamos que en el punto singular M (-Y0, v0) las derivadas de 2do orden. A =f x Áx^y<)) B = f'xy(* 0 >3 ’0 ) C=f ’y y ( XQ , y 0 ) A = AC - B2 no son todos iguales a cero y que: en este caso tendremos: a) Si A > 0, M será un punto aislado (fig 74) ✓ b) Si A < 0, M será un punto crunadal (punto doble) (fíg 75) c) Si A = 0, M puede ser un punto de retroceso de 1ra especie (fig 76) o de 2 da especie (fíg 7 7 ) o un punto aislado, o punto doble cotangentes coincidentes o tecnodo (fíg 78). Al resolver los problemas de este apartado, se considera obligatoriamente la construcción de las curvas. www.FreeLibros.me / unciones de Varias Variables 227 1053 M FIG. 74 RG. 75 M FIG. 77 FIG. 78 > curvas siguientes: v = -v~+x Desarrollo Sea / (x, y) = x 2 + v2 - .v4 de donde f x (x, y) = 2x - 4 x 3, / v(a\ y) = 2 y Ahora fonnamos el sistema siguiente: < f ( x, y) = x2 +-.v4=0 f x i ^ y ) - 2a--4r4 = 0 f ' ( x , y ) = 2y = 0 resolviendo el sistema se tiene: x = y = 0 => p(0 ,0 ) r fyy(X,y {f ^, (x, y) 2 0 12x2 < f í (0,0) fyy ( ° ’ 0) A (0,0) 7 / 2 0 A - / v;.(0,0)- / vv((),0)-(/^ (0,0)) = 4 > 0, luego el punto p(0,0) es punto aislado. FiG.76 www.FreeLibros.me 228 Eduardo Espinoza Ramos 2054 ( y - x 2)2 Desarrollo 7 5 5 Sea /(x, y) = (y - x~)~ -- x~ de donde se tiene: fie (-V, V) = -4.V(y - -V2) - 5x4 , / ' (x, y ) = 2(y - . f ) f ( x , y) = (y - - = 0 ahora formamos el sistema siguiente: ■! f x (x, y ) = -4x(y - x~) - 5x - 0 f í Ú, );) = 2 (y - x2) = 0 resolviendo el sistema se tiene x = y = 0 es decir p(0 ,0 ) f y y ( V. V) ; ¡ f n A . X - . V ) 4y + 12x2 - 20x3 f í (0.0) <f y y (0,0) = 2 I 0 (0,0 ) - 0 Ax A ~ f[íx(0,0).fyV(0,0)--( f ^ :(0,0))2 = 0, luego ei punto p(0,0) es un punto de retroceso de 2da especie. 4 2 2 4 6 2055 a v = a x - x Desarrollo Sea / (.x,y) - a*y2 - a 2x4 + x6 de donde se tiene: J'x (x, y) - - 4a2x3 + 6x5 , f (x. y) = 2a4y ahora formamos el sistema se tiene: f ( x , y ) = a 4 y2 - a 2x4 f x 6 = 0 /* (x, >■) = ~4a2 x3 + 6xD= 0 /v (-X, y) = 2 a4 y = 0 www.FreeLibros.me /•unciones de Varias Variables 229 resolviendo el sistema se tiene x = y = 0 es decir p(0 ,0) f £ ( x , y ) I2a2x 2 +30x4 f í ( x , y ) = 2a yy •// / " ( 0,0) = o 4 (0,0) = 2a4 4 (0,0) = 0 f xy (*, y) = 0 A = 4 (0,0)./" (0,0) - < 4 (0,0) ) 2 = 0, luego el punto p(0,0) es un punto tacnodo. 2056 x 2y 1 - x 2 = 0 Desarrollo Sea / (x,y) = x2y 2 - x 2 - y 2 de donde se tiene: f x (x, y) = 2 xy2 - 2x , (x,y) = 2 y Ahora formamos el siguiente sistema r/ \ 2 2 2 2 f ( x , y ) = x y - x - y f l (x, y) = 2xy2 - 2x = 0 = 0 f J x , y ) = 2x y - 2 y = Q resolviendo el sistema se tiene x = y = 0 es decir p(0,Q) f „ (x, y) = 2y - 2 fyy(X, y) =2X2 - 2 f ' l ( x , y) = 4 xy => / " ( 0,0) = - 2 4 (0 ,0 ) = - 2 4 (0,0) =0 A = 4 (0,0).4 (0,0) - ( 4 (0, o))2= 4 > 0, entonces el punto p(0,0) es un punto aislado. 1(157 jt3+y 3 - 3axy - 0 (Folium de Descartes) www.FreeLibros.me 230 Eduardo Espinoza 2058 Desarro llo *5 *5 Sea f ( x , y ) = x + y - 3axy de donde se tiene: fx(*>y) =3*2- 3ay> (-*> ahora formando el sistema se tiene: 3 3 J(x, y) = x~ + y - 3axy = 0 f l (x, y) = 3x2 - 3ay = 0 f í (x, y) = 3y 2 - 3ax = 0 resolviendo el sistema se tiene x = y = 0, es decir: p(0 ,0) f x x ( x >y) = 6 x = 6 y fíy (x, y) =-la fyy (*> y) •// /« ( 0,0) = 0 /vv(0,0) = 0 yy •// / " (0,0) = -3a A = (0,0)./". (0,0) - ( / " (0,0))2 = -3a < 0, entonces el punto p(0,0) es punto crunadal. y 2(a - x) = x3 (cisoide) Desarro llo Sea f ( x , y ) = y ( a - x ) - x , de donde se tiene: fx (x>y) =-y2 - 3x2>fy(x>y) =2 y(a~x) ahora formamos el sistema: f ( x , y ) = y ( a - x ) - x = 0 f í ( x, y) = - y 2 ~ 3* 2 =° f U x , y) = 2y { a- x ) = 0 '*Í' resolviendo el sistema se tiene: x = y = 0, es decir: p(0,0) t www.FreeLibros.me f unciones de Varias Variables 231 J05‘> 106(1 = - 6x fyy (x, y) = 2 - fxy (X, y) = ~2y f!L(o,o>=o f " (0,0) = 2a 4 (0 ,0) = O A = /"(0,0)/"(0,0)-(/"(O,O)) 2 = O, luego el punto p(0,0) es un punto de yy xy retroceso. (x2 + y 2 ) 2 = a2 (x2 - y 2) (Lemniscata) Desarrollo Sea f ( x 9y) = (xz + y 2)2 - a 2(x2 - y z) , de donde f ' ( x , y ) = 4x(x2 +y 2) - 2 a 2x , f ' ( x , y ) = +y2)+ ahora formamos el sistema f ( x , y ) = (x2 + y 2)2 - a2 (x2 - y 2) f ’ x (x, y) = 4x(x2+y 2) - 2 a 2x = 0 f y (x, y) = 4 y( x2 +y 2) + 2a2y = 0 = 0 resolviendo el sistema se tiene: x = y = 0 es decir p(0 ,0) f xx(x, y) = \ 2x2 +4y2 - 2a' f l ( x , y ) = 4x2 +\ 2y2 + 2a1 f í ( x , y ) = 8 xy f í i 0,0 ) XX *// yy = -2a' f " (0,0) = 2a- f " ( 0 ,0 ) = o xy A = f xx (0,0).f"y (0,0) - ( / " (0,0))2 = - 4a4 < 0 entonces el punto p(0,0) es un punto crunadal. (a + x) y2 = ( a - x)x3 (Estrofoide) Desarrollo www.FreeLibros.me 232 Eduardo Espinoza Ra 2061 9 ^ Sea / ( x , y) = (a + x)y ~ - (a - x)x de donde se tiene: f l (x,y) = y2 - 3ax2 + 4x3, f l (x, y) = 2_y(a + x) ahora formando el sistema se tiene: 2 2 / ( x , = (a + x ) j - - x)x f í (x, y) = y 1 ~ 3ax2 + 4x3 = 0 = 0 f y (x, y) = 2y(a + x) = 0 resolviendo el sistema se tiene x = y = 0 es decir p(0,0) f í ( x , y ) = -6ax + l2x- f í ( x , y ) = 2(a + x) yy f!cy{x,y) = 2 y /» ( 0,0) = 0 2a 0 4 (0, 0) A = 4 (°> ° ) - 4 (°, 0) - ( 4 (°> °))2 = 0 entonces el punto p(0,0) es un puifl crunadal (x2 + y 2 )(x - a)L = bzx z (a < 0, b < 0) (concoide) examinar tres casos: ,2 ,2 2 1) a > b 2) a = b Desarrollo 3) a >0 = 2*(* - a)2 + 2(x2 + y 2 )(x - a ) - 2 b 2x , (x, y) = 2;;(x - ahora formando el sistema de ecuaciones: /(*>y) =(x¿ +y¿)(x - aY o f l (x, y) = 2x(x - a)2 + 2(x2 + y 2 )(x - a) f'y (X, y) = 2 y(x - a)2 = 0 2 b2x = 0 www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 233 resolviendo el sistema se tiene x = y = 0 > « >\ füx (x> y) ~ 2(x ~ a ) 2 + 4x(x - a) + 4x(x - a) + 2(x2 + >>2) - 2b2 > í ’ j . i. . - - t f ^ x , y ) = 2{ x - a) 2+S x ( x - a ) + 2(x2 +y 1) - 2 b 1 => / " ( 0 , 0 ) = 2a2 ' f £'■ y "".ífT'V'i'í r/ ó'- i ■* '7 í »'í ,f!5*7; V■!S“ f ^ x , y ) = 2 { x - á ) 2 => / " ( 0 , 0 ) = 2a2 f ^ x , y ) = 4 y ( x - a ) => /"( 0,0) = 0 A = / " (0,0)./" (0,0) - ( / " (0,0))2 = (2a2 - 262 )2a2 - 0 " ¡‘ 1 , • ; * •; . • .í ' r ; •' ' í i. % / A = 4a2(a2 -¿>2) 1 s; •¿¡ ■'i,-: ?j j, .Ai i*.■5i ';.i i / ■ r.'>¿í;¡<; [1 -1 i . \ 1) Si a > b se tiene A > 0 entonces p(0,Q) es un punto aislado. 2) para a = b se tiene A= 0 entonces p(0,0) es un punto de retroceso de Ira especie, 3) Para a < b se tiene A < 0 entonces p(0,0) es un punto crumadol. f - í. ,0 2062 Determinar como varía el carácter del punto singular de la curva v I f ■*' I í $/ f ■'/J ?’•, 5 4 <•’l ;<*■'’ * /'•i? j. */' í '.v¿’ I #’i „' ■' ■ y 1 - (x - a)(x - b ) ( x - c) en dependencia de los valores de a, b y c (a -ri Sea f ( x , y ) = y - (x - a)(x - b)(x - c) de donde f x (x, y ) = -3x2 + 2(a + b + c)x + a + b - a b , (x, y) = 2y ‘ .1f. r u- > - \ j'S l..' ' • v' <./ ..4-t 1í ... .r. .^K4 .i' ahora formando el sistema de ecuaciones se tiene: www.FreeLibros.me 234 Eduardo Espinoza Ram ' "MM I I ^ ■I.HI I. ,» " " ■ ■— ■■■■ .. ..,■■■■■■■1111!,. I. I ■■■■■■ IPI, , . I. I I l i l i), 11 II I..................................... j j j f ( x, y) = y 2 ~( x~ a)(x - b)(x - c) = O • f x( x, y) = - 3x2+2(a + b + c)x + a + b - a b = O f y( x, y) = 2y = 0 < A _ ^ \ .. • 1 ? •• resolviendo el sistema se tiene: x = a, x = b, x = c, y = 0 füx (*>y) = ~ 6 x +2 (a + b + c) f w( x, y ) = 2 füy(.x, y) = o A = f " (x, y).fl (x, y)-(f¡i (x, y))2 - i f si a, b y c no son iguales entre sí, entonces no hay punto singular Si a = b < c, el punto p(a,0) es un punto aislado Si a < b = c, el punto p(b,0) es un punto crunodal Si a = b = c, el punto p(c,0) es un punto de retroceso de 1ra especie. Ira. DEFINICIÓN DE LA ENVOLVENTE.- Envolvente de una familia de curvas se llama a la curva (o el copjunto á curvas) tangentes a todas las líneas de dicha familia, además cada uno de sti puntos tiene contacto con alguna de las líneas de la familia que se examinara. t • _ . , .. í 2do. ECUACIÓN DE LA ENVOLVENTE.- ¡ ... , Si una familia de curvas dependientes de un parámetro variable a. www.FreeLibros.me / unciones de Varias Variables 235 2(163 2664 tiene envolvente, las ecuaciones paramétricas de esta se determinan por medio del sistema de ecuaciones: f ( x , y , a ) = 0 f á( x, y, a) = 0 ... (1 ) Eliminando el parámetro a del sistema (1), obtendremos una ecuación de la forma: D(x,y) = 0 ... (2) Debe advertirse, que la curva (2), obtenida formalmente llamada curva discriminante, además de la envolvente, si esta existe, puede contener lugares geométricos de puntos singulares de la familia dada, que no forme parte de la envolvente de la misma al resolver los problemas de este párrafo se recomienda A, hacer el gráfico. 2 o @ Hallar la envolvente de la familia de circunferencias ( ) + = — Desarrollo Sea f ( x , y , a ) - ( x - a ) 2 + y— . . . (1) / a De donde f a (x,y, a) - - 2 ( x - a ) - a = 0 => x = — 2 Reemplazando en (1) se tiene y = ± x Hallar la envolvente de la familia de rectas y = kx + — (k es un parámetro, 2 k p = constante) Desarrollo www.FreeLibros.me 236 Eduardo Espinoza Ramos Sea /( * , v,k) = y - k x - — = O 2k f l ( x , y , k) = - x + ~ - = O 2 k ... O) ... (2 ) De (2) se tiene k = ±< 2x reemplazando en (1) >’ = ±(2/7X)2 => = 2 /?X 2065 Hallar la envolvente de la familia de circunferencias de radios iguales a R, cuyos centros se encuentra en el eje OX. Desarrollo La ecuación de la circunferencia de centro en el eje OX es: (x - h)2 + y 2 - R2 de donde: Sea f ( x , y j i ) = ( x - h ) ~+y - R = 0 f ¿ ( x 9y, h) = - 2 ( x - h ) = 0 ...(1) ...(2 ) De la ecuación (2) se tiene x = h y que al reemplazar en la ecuación (2) se tiene y = ± R. 2066 Hallar la curva que envuelve a un segmento de longitud 1, cuando sus extremos resbalan por los ejes de coordenadas. < x Desarrollo www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 237 Como — + — = 1 de donde b — a b a - x además en el A AOB por Pitágoras se tiene: a2 +b2 = 1 2 2 a2 + a y. = i donde {a - x y 2 2 \ 2 a y f ( x , y 9a) = a + : (a - x ) A 1= 0 ¡2ay ( a - x - 1) f a (x, y, a) = 2a + ------ (a-x) 0 1 3 2 1 de donde a = x + x3j^2 además b = y + x3y 3 como a2 +b2 =l 2 => x3+^ 3=l 2067 Hallar la envolvente de la familia de rectas que forman con los ejes coordenados triángulos de área constante s. Desarrollo x v , La ecuación de la recta es — + — = 1 , a b como datos del problema se tiene: a b s = - 1- (área del triángulo) de donde 2 S b - — , reemplazando en la ecuación a www.FreeLibros.me 238 Eduardo Espinoza Ramos i 1 't '/? r¡¿ ■:i J ' ' % - •' 1 ' 'j 2068 x y i x ay . —+ —= 1 se tiene: — + — = 1 ... (1) a = ¿z 2S que es lo mimo 2*Sx + a y - 2aS = 0 2 sea /(x, y, z) = a y + 2Sx - 2aS de donde fa (*> y^a) - 2ciy - 2S , ahora formando el sistema de ecuaciones se tiene: f ( x , y , a) = a^y + 2Sx- 2aS = 0 S / a = ~ f a(x, y, a) = 2ay - 2S = 0 y que al reemplazar en (1) se tiene: — + — = 1 de donde xy = — S 2 S 2 Hallar la envolvente de las elipses de áreas constante s, cuyos ejes de simetría coinciden. Desarrollo 2 2 La ecuación de la elipse es: + ~ r = 1 ... (a) a o 2 & además el área de la elipse es: S = rcab => b = 2 2 7ü a 2 2 2 4 2 2 reemplazando en la ecuación (a) se tiene: x S + y í i ra' =a*S* ...(1) ahora consideramos la función < f ( x , y , a ) = x2S2 + y2;rtf4 - a2S 2 = 0 fa (x, y, a) = 4a37ry2 - 2aS2 =0 j S2 S de donde a2 = —^r-r reemplazando en la ecuación (1) se tiene: xy - ±— 2n y ' I ‘ l n www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 239 2069 Averiguar el carácter de las curvas discriminantes de la familia de curvas siguientes (c es el parámetro) a) y - (x - c) (parábola cúbica) Desarrollo Sea f ( x , y, c ) = y - ( x - c ) , de donde f !c (jc, y, c) = 3(x - c)2 ahora formando el sistema /( x , y, c) = y - ( x - c ) 3 = 0 ... (1) fe (*> y , c ) - 3 ( x - c ) 2 = 0 ...(2) de la ecuación (2) se tiene: x = c al reemplazar en la ecuación (1) se tiene y = 0 por lo tanto la curva discriminante y = 0 es el lugar geométrico de los puntos de inflexión y la envolvente de la familia dada. í . O l b) y = (x - c) (parábolas semi cúbicas) v Desarrollo Sea f ( x, y, c) = y 2 - ( x - c ) 3 de donde f ¿( x 9y, c) = 3(x-c) 2 Ahora formamos el sistema siguiente f { x, y, c) = y 1 - { x - c f = 0 ... (1) f c( x, y, c) = \ x - c f = 0 ...(2 ) • !' n [} ’' ■v.!’”í.••;‘ -‘I i •:-i ' í , } . •. •’*..* , ■. / ..'p'ift.. ' de la ecuación (2 ) se tiene x = c que al reemplazar en (1) se tiene y = 0, luego la curva discriminante y = 0 es el lugar geométrico de los puntos cuspidolas y la envolvente de la familia. ^ ; www.FreeLibros.me 240 / M Eáüardo Espinoza Ramok 7 i t J J ü) (parábola de Naíl) J < Desarrollo o / Sea / (x, y, c) = y - (x - c) de donde f c (x, y , c) = 2(x - c) Ahora formando el sistema se tiene: obriob sh /(.)•■ f ( x , y, c) = y 2- ( x - c)2 = 0 I ílffíOteitf rJ OÍ f c (x, y, c) = 2(x - c ) = u de la ecuación (2) se tiene x = c,,que,al reemplazar ep^ l) se tiene y = 0 por lo tanto la curva discriminante y = 0 es el lugar geométrico de los puntos cuspidales pero que no es dé la envolvente. no ; • j x « » ✓ * f . V , \ S ^ *( f •.** I •? vmT O 1 9- y l i V - J * w» i-..* .-M V v , / di / . + x)(y — c) =x ( a - x ) (estrofoide) A í ! r A l , r w v f o h cr r -V,:* * >V t r< j . T>. • ! « / Desarrollo bi‘l: Sea / (x, y, c) = (a + x)(y - c)2 - x 2(a - x) de donde f ñ (**y »c) - - 2(a.+ x)(v- c), ahora formamos el sistema r c V K ”• í r.. i . n A Qonnu *¿b - /. f - ! “ i ). J , > ) \ \YJS h tX; ?i j j j rn' i} f f j I ; f ( x , y, c) = (a + x)(jy - c) - Je (a - i ) = Ó ¡f c( *, y, c) = - 2(a + *)(>>-c) =¡=:0 (S)V.:; i _ ' . i de la ecuación (2) se tiene y = c, que al reemplazar en la ecuación (1) se ,0 / snaii tidhe ^ ! luégo la curva discriminante SedescÓmpone en las ^oínuq <!ol ■ií-téctas'7íx?'^:ij0 (qitó es) efHu¿ar geóiWétfícó tíé jiühtós Cifeíldales) y x = a (que es la envolvente^; www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 241 2070 La ecuación de la trayectoria que sigue un proyectil lanzado desde el punto O, con la velocidad inicial V0 y formando un ángulo a con la horizontal 2 gX (prescindiendo de la resistencia del aire), es y = x t g a ——-— tomando 2V¡ eos2 a el ángulo a como parámetro, hallar la envolvente de todas las trayectorias del proyectil situados en un mismo plano vertical (parábola de seguridad) ver figura. Desarrollo Sea f ( x , y , a ) = y - x t g a + — —, de donde 2V0 cos^ a f a (-L y\ a ) = ~*sec2 a + seca t g a ^ ajiora f0rman¿0 ej sistema se tiene: www.FreeLibros.me 242 Eduardo Espinoza Ramos de la ecuación (1) se tiene: tga Vr O g X que al reemplazar en (1) y = x tga 2Vq cos2 a => y = Vr o gx 2g 2V02 6.17. LONGITUD DE ESPACIO.-' ARCO DE UNA CURVA EN EL :u íi La diferencial del arco de una curva en el espacio en coordenadas cartesianas rectangulares es: dS - yj(dx)2 +(dy)2+(dz)2 desde x,y,z son las I coordenadas variables del punto de la curva. 1 "-.s.' ‘ -hfi Si X = x(t), Y = y(t), Z = z(t) son las ecuaciones paramétricas de la curva en el espacio, la longitud en el intervalo comprendido entre / - tx y t = t2 será: Hallar la longitud de los arcos de las curvas que se dan en los problemas 2071 - 2076 2p 2071 x = t, y = t 2, z = desde t = 0 hasta t = 2. 3 Desarrollo www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 243 2072 073 fi d x . 2 , d v . 2 , d z . (—) + (“7“) + ("T") d t d t d t 2dt = jTVSl + 4 t 2 + 4í 4 dt = y](\ + 2t2)2 dt = j ^( l + 2 t 2)dt = ( / + ~ - ) ^ = 2 - f y 16 22 3 x = 2 eos t, y = 2 sen t, z = — í desde t = 0 hasta t = rc 71 Desarrollo A* = J = Z = 2 cosí I s e nt 3£ 71 dx dt dy dt dz ~dt - - 2 sent = 2cosí _ 3^ 7T í l s = I dt dt dt , , . n 4cos2 t + 4sen2t + — dt + 9 x —e* eos í , >>= e'sew í , z = <?' desde t = 0 hasta el valor arbitrario de t. x —e cosí y z = e sen í => <¡ c/jt dt dy dt dz dt Desarrollo = e' (eos t - s e n t ) = e \ s e n t + cosí) = e www.FreeLibros.me 244 Eduardo Espinoza Ramos 2074 2075 .dx. 2 .dy.') .dz. 2 , (—) +( - j - Y+( —) d t dt dt dt \ V e2t (eos t - sen t) + e2t (sen t + eos t)2 + e2t dt Í e*^¡3dt ~ ^Í3(el o 2 3 y = — , z = — desde x = 0 x = 6 Desarrollo y = X ~2 3 dy dx dz dx ri ,dv^ .dz 2j + +(—) dt dt dt 1 + x2 + — dx rt. 6 o = 6 + 36 = 42 x2 = 3 v , 2xy = 9z desde el punto 0(0,0,0) hasta el punto M(3,3,2). Desarrollo ''nurríaí^’j ** •«*, '•Mrtfl.'fWV«¡¡r/*’í'Hlt#».'»rtru«i i.J Parametrizando la curva se tiene: \ \ 1 3» i 1 t . . . ^ x2=3y 2 xy = 9z y = 1 X > 2x T => < i ¿¿X7 . T < v 2x3 dz 2x 27 dx 9 www.FreeLibros.me Funciones de Varías Variables 245 2076 2077 S= \ + (— )2+ (— )2dx dx dx fl , 4 a 2 4 a 4 . 1+ +------- 9 81 1(1 + dv = f (1 + ( a + ^ ) / ] = (3 + 2) - 0 = 5 X a ^ “H X y-arcseiir-), z= —ln(---------) desde 0 (0 ,0 ,0) hasta el punto M{ x ^ y ^ z § ) a 4 a-x Desarrollo y=arcsen- a , ,^ + x z = - l n ( ) 4 a- z dx J dz a~-X1 2 dx 2( a2 - a2 ) a2 a4 1+—:-------r + a 2 4(a2 - a 2 ) ' ,J& ' a2 , 0 + ~ ) dx 2( a2 - a2) “ f j Í 'V, a2 . , r a . . a + A . , / - ^ a . ,^+aó. ( 1+ r r-)í/A = [ A+ - l n ( ------- ) ] / = A ó + - l n ( ---------) = Xq + Zq 2( a2 - A 2) 4 a - A / o 4 a-A¡, ■« La posición de un punto en cualquier instante t (t > 0) se determina para las ecuaciones x = 2t, y = ln t, z= t1. Hallar la velocidad media del movimiento entre los instantes t = 1 y t = 10. Desarrollo www.FreeLibros.me 246 Eduardo Espinoza Ramos -Í1 4 + 4 - + 4 ? dt n i (2 t + j Y d t = J ( 2t +- ) d t =( i 2 +l nf ) / ™ = ( 1 0 0 + l n l 0 ) - ( l + 0) = 99 + lnl0 s r r o ESCALAR. La función vectorial a = a(f ) puede determinarse dando las tres funciones escalares ax{t), ay(t) y az(f) de sus proyecciones sobre los ejes de coordenadas: —> —> La derivada de la función vectorial a = a(t) con respecto al argumento escalar t es una nueva función vectorial determinada por la igualdad. r El modulo de la derivada de la función vectorial es igual a: —> —) El extremo del radio variable r = r( t ) describe en el espacio una curva. www.FreeLibros.me Funciones de Varías Variables 247 Que recibe el nombre de hadografo del vector r . —> d r La derivada -------- representa de por si un vector, tangente al hodografo en el dt punto correspondiente. —> d r dS |-------1= — , donde s es la longitud del arco del hodografo, tomada desde cierto dt dt d r punto inicial. En particular |--------1= 1 dt —> d r Si el parámetro y es el tiempo, - j - = v es el vector de la velocidad del —> extremo del vector r , y —~ = —- = w es el vector de la aceleración de d? dt dicho extremo. 2do. REGLAS PRINCIPALES PARA LA DERIVACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES DE UN ARGUMENTO ESCALAR.- * i d ¿a d b d e 1 ) - ( a + b - c ) =-------+------------------ dt dt dt dt d/ ~\ da — yma) = m , m es una constante dt dt d/ ^ dtp da . ., , 4 — (cpa)- a—^+tp , (p(t) es función de t. dt dt dt www.FreeLibros.me 248 Eduardo Espinoza Ramos 2078 —(a xb) =^-xb+ ax W d t dt dt dH </"». . . . — a(<p{f)) ---- dt dt dt d a . . i -*, a = 0 , si | a | = constante dt Demostrar que la función vectorial r-rx-(r2-rx)t donde rx, r2 son los radios vectores de dos puntos dados, es la ecuación de una recta. Desarrollo Consideremos r = x i+y j+ zk f \ = \ i +X j + ^ k —> —> —> —> r2 = x2i+y2j+ z2k como r-rx= (r2-/}) t, se tiene: —> ( * - .*¡) /+ ( y - ^ ) j+(z-z[)k=((aj - a¡) /+ - ) y+ ( z 2- 3 ) k)t X-Xi =(x2- ^ ) t y- Jí =(y2 - Jí)t => ( Z - 2 ¡ = ( z , - ^ ) t t = t = t = x2-xi y- y y2- y z- zi ^ 2-3 www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 249 2079 , , , . x - x , y - y , z- z, , ., , de donde se tiene: — = - — = — que es la ecuación de una recta *2 ~ *i y 2 “ y\ z2 - zi Determinar, que líneas son los hodrografos de las siguientes funciones vectoriales. i a) r = a t + c b) c) r = a t + b t d) —> donde a , b y c son vectores constantes, al mismo tiempo los vectores a y —► son perpendiculares entre si. Desarrollo r - a eos t -f b sen t r - a cosh t + b senh t a) Se tiene r - a t - v c donde r = x i + y j + z k a = ax i + av j + ciz k c = cx i + cv j + cz k como r = a t+ c => r - c = a t (x - cv) i + ( V -cy) j + ( z - c 2) k = a xt i + a y t j + a z t k X- Cx y~c\ c_ = axt a j y a j t = x - c . a X t = y ~ cv v t = ay z - c . a_ www.FreeLibros.me 250 Eduardo Espinoza Ramos JC C y mmm“' ^ ^ ' c* d e d o n d e se ti en e: ------------ = — — — = ~— — q u e es l a e c u a c i ó n d e u n a a y a v a . r ec ta. b ) r - a c o s í + b s e n t •••( ! ) m u l t i p l i c a n d o p o r a a l a e c u a c i ó n ( 1 ) —> —► —> —>—> —y —> r . a =\ a \~ cosí y a . b = 0 p o r q u e a JL b “ r " r r ^ y ^ r . a =1 a I eos/ => cosí = — :— a m u l t i p l i c a n d o p o r b a l a e c u a c i ó n ( 1 ) - r . b — * ,2 r . ¿ > = | é | i ’e n / => s e n t = b —> —> —►—> 2 . , 2 . , r b . s e n ^ t + eo s í = ( — :— ) + ( — :— ) = 1 , q u e r e p r e s e n t a a u n a el i p s e b I2 l a '2 c) r = a t + b t m u l t i p l i c a n d o p o r a y b www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 251 -» -> r . a —^ O a Y (—1—) representa a una parábola —^ ^ ^ ^ ^ d) r = í7 cosh t + b senh t , multiplicando por a y b —■>—> —y I I O a —> -» r . b = V b 1 cosht = -» -> r . a z=> < a j —> -> r . b —> b l2 •—> —> — > — > / ■¿7 ? r b j (—:— )*- _(—:— )*■ ±= 1 5qUees la ecuación de una hipérbola. a b i~ 2080 Hallar la derivada de la función vectorial a(/) = a(t). a°(t), donde a(/) es una —^ función escalar, mientras que a°(í) es un vector unidad, en los casos en que el — y vector a(t) varía. 1) Solamente en longitud 2) Solamente en dirección t '■ . . ' . . . . , . . . . . . ’ l t . . ' 1 • ' ' • . ., . ‘ ■ _ 1 ,i :,, 'V a •* • ¡% . . ■»■' '. " ! , •' • ■ ¡ ; >. . .* 3) En longitud y dirección (caso general) V. ' 1 1'• Esclarecer el sentido geométrico de los resultados obtenidos Desarrollo —^ ^ ^ Como a(t) = a(t).a°(t) se tiene: www.FreeLibros.me 252 Eduardo Espinoza Ramos 2081 2082 2) = a j L ao ^ (varia ja dirección y sentido) „ dt dt d d a(t) “t , \ da (t) 3) — a(t)=—-— ,a°(t) + a(t ) — dt dt dt Aplicando las reglas para la derivación de funciones vectoriales de un argumento escalar, deducir la formula para la derivación del producto mixto de —► —> —> tres funciones vectoriales a , b , c Desarrollo d -> -» — (a .{b x c ) ) - — dt dt —> —> —> e a , by c es a .(b x c) ax ay üz bx by b. desarrollando se obtiene: Cx cy cz d ~? -* d a -? -* d b ~? d e — (a \ b x c)) =--------( b x c)+ a .( x c ) +a( b x ) dt dt dt dt Hallar la derivada, con respecto al parámetro t, del volumen del paralelepípedo — > — > — > — > construido sobre los tres vectores: a(t )= i + t j +t k b(t) = 2t i - j + t k c(t) = -t2 Desarrollo > > > El volumen del paralelepípedo = a . { b x c) www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 253 d (ajbx c) —— dt 1 t t 2 21 - i / 3 7 - r i 3 i — (t4 + 2t2+ 1) = 4 + 4 r = 4*(/2 +1) dt -' ■■ La ecuación de un movimiento es r = 3cosí i + 4 sen t j , donde t es el tiempo. Determinar la proyección de este movimiento, la velocidad y aceleración del mismo. Construir la trayectoria del movimiento y los vectores de la velocidad y 7T 71 de la aceleración para los instantes t = G, / = — y / = — Desarrollo í , i i j r = 3cos¿ i + 4senl j d r ' ' = - 3sent i + 4cos/ / A d2r a 2 . « 4 V = —3cost i —4 sent j t = a * v = ------= 4 i , fl = dt, 1L.#” * L* • 13. i - d 2 r dt2 = - 3 i r..- / Pí íii í m dr yj2~? 4y¡2“í —, v = —— = ---- — 1+—— J , a 7 rf2 r <*2 í ¿ • 4^ 2- - i - 1— r t = ~ r 2 d r v = ------= —3 i , a = dt d2 r dt2 2084 La ecuación de un movimiento es: r - 2 eos t i + 2sen t j + 3í A: . Determinar la trayectoria, velocidad y aceleración de este movimiento ¿A qué son iguales la magnitud de la velocidad y aceleración y cuales son sus direcciones en los www.FreeLibros.me 254 Eduardo Espinoza Ramos Desarrollo tt- Como r = 2cos¿ i + 2 sent j + 31 k w"l *' J l . d r = - 2 sent i + 2cosí j + 3 k = v d 2 r 7 —- 2 eost i —l s e nt j =w dt para t = 0, se tiene v = 2 j +3 &, w - - 2 i V * •' *1..: ^ r —r —T 7 —f / = —, se tiene v = - 2 / + 3 A:, w = —2 i 2 • . I. • : \CVV/.* además V t, j j=VÍ3, .2 d* dt 2085 La ecuación de un movimiento es: r = cos a cos wt i + sen t cos wt j + senwt k donde a y w son constantes y t es el tiempo. Determinar la trayectoria, magnitud y la dirección de la velocidad y la aceleración del movimiento. f , . f ' . f • v ’■ > , .■ - - y T ' , y ' . v y , / f ‘ t, Desarrollo -► -> —> -> r = cos a cos wt i + sen orcos wt j + s e n w t k d r x '• d r - ~ - = —w e o s a s e n w t i ^ w s e n a s e n w t j + w c o s w t k =i> I |=iv i s?‘‘•-}*\ IJ i i l, -}¡:firwfrv . - * -■ ' J iíO! ?í?¿ ;*■' •/ ‘‘2 . í it»; . - ' - •*h ' ; ; r*WTfÍ - •' ¡ t -> ’ -■ • 7 - " ‘ * -> rf r 2 ^ 2 ^ 2 7 r . 2 — r- = - w cosacos wt i —w sena cos wt j - w senwt k => , — r- = w dt2 : 2 www.FreeLibros.me Funciones de Varías Variables 255 2086 2087 La ecuación del movimiento de un proyectil (prescindiendo de la resistencia grt del aire) es: r - r0 t — — k , donde r0 = (Vox + Voy + Voz) es la velocidad inicial. Hallar la velocidad y la aceleración en cualquier instante. Desarrollo ¡ i gt 2 7 d r 7 r =rfít k => --------= r« - gt k 0 2 dt 0 d 2 r dt2 Luego V=J V0l +V02y + (Vm - g t ) : 2 Demostrar, que si un punto se mueve por la parábola y = — , z = 0 de tal a forma, que la proyección de la velocidad sobre el eje OX se mantiene constante dx ( — = constante), la aceleración también se mantiene constante. dt Desarrollo x 2 d x A A Como y = — , z = 0 además —L = Vx ; | Vx \=VX= constante a dy d 2 X A A l = Wx 9 | | = wY = 0 en este caso la aceleración se mantiene constante dt 2 —^ sobre la proyección OX, ahora consideremos r un vector de posición —> —y —¥ r = x i + y j x d r t~*. r = x i -\ j => --------= M-----j =VX a dt a www.FreeLibros.me 256 Eduardo Espinoza Ramos 2088 2089 d 2 r 2 - — = - j = w dt a Luego se mantiene constante para cualquier valor de t. '■- • v 'í' v i , - ' ‘ ‘ .f »; ) . Un punto situado en la rosca del tomillo, que se enrosca en una viga, describe una hélice circular x = a eos 0 , y = a sen 0 , z = h0 donde 0 es el ángulo de giro áé[ tomillo, a, el radio del tomillo y h la elevación correspondiente al giro de un radiante. Determinar la velocidad del movimiento del punto. Desarrollo —> —^ > Consideremos el vector de posición r - x i + y j + z k y como x =a eos 0, —► —> —> —> y = a sen 0 , z = h0 entonces r = a eos 6 i +a sen 0 j + hO k de donde d r d r dO ~> dO =------.— = (—asen9 i + acos6 j +h k)w donde — = w (velocidad dt dO dt dt de rotación del tomillo) t d r Luego se tiene: --------= ( - as en6 i + a eos0 j + h k)w dt dt Hallar la velocidad de un punto de la circunferencia de una meda, de radio a, que gira con una velocidad angular constante w, de tal forma, que su centro, al ocurrir esto, se desplaza en línea recta con una velocidad constante V0. i Desarrollo Consideremos el vector de posición de la trayectoria www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 257 r = x i + y j => r —a eos / + a sen wt j a —> ~> d v V --------= -awsen wt i + ¿zwcos wt j , donde Fv = aw sen wt , F, = avíeos u/ dt como la circunferencia se desplaza con una velocidad horizontal z F( o la velocidad final es F : V = (V0 - awsenwt) i +awcoswt j de donde V ~\ V \- \J{V0 - aw sen wt)2 + (aw eos wt)2 I ó ó I F =| F | = JF0“ +a~w~ - 2awV0sen wt 6.19. TRIEDRO INTRÍNSECO DE UNA CURVA EN EL ESPACIO.- En todo punto M(x,y,z) que no sea singular, de una curva en el espacio —> —^ r - r(t ), se puede construir un triedro intrínseco formado por tres planos perpendiculares entre si. Ver figura. www.FreeLibros.me 258 Eduardo Espinoza Ramos d y 1) El plano osculador MMlM2 , en el que están situados los vectores y dt d 27 dt 2 d y 2) El plano normal MM2M3, perpendicular al vector y dt 3) El plano rectificante MM]M3, perpendicular a los dos planos primeros. Las intersecciones de estos tres planos forman tres rectas: i ) la tangente i i ) La normal principal MM2 i i i ) labinormal MM3 que se determinan respectivamente por los vectores —> d r 1) T -------- (vector de la tangente) dt —^ ^ ^ 2) B = —— x ---- - (vector de labinormal) dt dt 2 —^ ^ ^ 3) N = B x T (Vector de la normal principal) -> T B Z N Los correspondientes vectores unitarios T =--------, B = , N = —— B I IV A —> A ti y A A A —> d y ~ Se pueden calcular por las formulas T = — —, V = - ^ - , B = T x N dS * , d y www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 259 2090 Si X, Y, Z, son las coordenadas variables del punto de la tangente, las ecuaciones de dichas tangentes en el punto M(x,y,z) tendrán la forma. X - x _ Y - y Z - z Tx Tv Tz ... (1) dx dv dz donde T' = — , Tv = — , T = — x dt y dt 2 dt partiendo de la condición de perpendicularidad de la recta y el plano, obtenemos la ecuación del plano normal. Tx ( X - x) + Ty ( Y - y ) + T2 (Z-z) = 0 ... (2) sustituyendo en las ecuaciones (1) y (2) Tx ,Ty, Tz por Bx , By , Bz y Nx, Ny , Nz obtenemos las ecuaciones de las rectas binormal y normal principal y respectivamente, de los planos osculador y rectificante. Si la curva en el espacio se da como la intersección de dos superficies -> d k d r F(x,y,z) = 0, G(x,y,z) = 0 en lugar de los vectores ----- y se puede dt ^ 2 ^ 2 2 2 r tomar los vectores d r = (d x , d y , d z ) y d r = ( d x , d y, d z ) , pudiéndose considerar una de las variables x,y,z como independiente y suponer su segunda diferencial es iguala cero. A A A Hallar los vectores unitarios principales T , B 9N de la curva x - 1 - eos t, y - www.FreeLibros.me 260 Eduardo Espinoza Ramos Desarrollo Sea r (t ) = (\ -cos t, s ent, t) entonces a -> d r - r T = -------= (sen t, eos t, 1) , — r - = (eos -sen t, 0) dt dt' n d r para t = — , — = (1, 0, 1) , 2 dt d 2 r dt2 = (0, - l , 0) de donde T= (1,0,1) => , = - = (-)=,0,4 =) I T\ \ Í2 \ ¡ 2 d r B =-------x —— dt dt i j k 1 0 1 0 - 1 0 (1,0, - 1) » B , 1 « 1 x i ~ k B = — = (-7=,0, - - — ) = B \ ¡2 VT 42 — > — > — > — > « * — > j A: N = B x T = ■ " i V > *. ( r 1 0 - 1 = (0, - 2,0) 1 0 1 —► A ^ AT = — = (0 - 1,0) = - J www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 261 2091 Hallar los vectores unitarios de la tangente y normal principal de la espiral cónica r (t ) = el (eos/ i + sent j +k ) en un punto arbitrario. Determinar los ángulos que forman estas rectas con el eje OZ. Desarrollo d r , t t = e (eos t - sen t) i + e (eos t + sen t) j + e k dt d 2 r dt2 - l e 1sen t i + 2el eos t j +e* k ~2 d r d r B jc dt dt2 e (eos t - sen t) - l e 1sen t —> j ét (eos t + sen t) l e 1 eos t ^ ^ r y --------------------------------------------------------------------------------------- ------ ^ ^ B = e2t(sent - e o s t) i - e *(sen t +cosí) j + l e f k N = B x T r \ . e (s ent -eos t ) - e Ll (sent + cos¿) 2e e* (eos t -s e n t) el (eos t s e n t) el 21 2t www.FreeLibros.me 262 Eduardo Espinoza Ramos 2092 sent + eos t sent - eos t ) j A eos <(T, OZ) = A <(T, OZ) = => A cos<(jV, OZ) = 0 A <(N, OZ) = K ~6 7T A A A Hallar los vectores unitarios principales T , B , N de la curva y = x , z - 2x en el punto x = 2 . Desarro llo —^ 2 d r Sea r =( x , x , 2x) de donde -7—= (l,2x,2) dx d 2 r dx2 (0,2,0) para x = 2 —> ~> d r T = — = (1,4,2) dx T I = VÍ+T6 + 4 = VÍI —> —> 2, T . 1 4 2 d r T = —— = ( - = , - = , - = ) como - 7— = (1,4,2), 1— ? /— ? i— V21 V21 v 21 ¿/x J2 r dx1 = (0,2,0) k 2 0 = (“4,0,2) A 5 4 2 * = = ( - — ,0, - 7= ) 20 V20 —^ ^ ^ N = B x T i -4 1 J 0 4 k 2 2 = (-8,10,-16) www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 263 2093 A -» v \ N\ 8 10 16 4 8 2\ / l 05 ’2VÍ 05 ’ 2VÍ 05 VT05 ’ Vl 05 ’ x/í05 ) Dada ía hélice circular x = aeos t, y = asen t, z = bt escribir las ecuaciones de las rectas que forman las aristas del tetraedro intrínseco en un punto arbitrario de dicha línea. Determinar los cosenos directores de la tangente y de la normal principal. Desarrollo i, 1 " , '( - " .7 ' ‘w —> Sea r (/) = (¿7eos t, a sen t, ¿tf), derivando _> d r T dt r~j ? (-a sen t, a eos t,b) => | T |= sja~ + de donde T -» A J7 a sent a eos ¿ T si a2 +b1 si a2 + b2 sia2 +1? ) d 2 7 dt (-a eos t, -¿7 se/? 0) , ahora calculamos . d r d r B =-------x—- dt d r 1 asen t -acost j acost - a sent k b 0 (ab sen t, eos t, a“) —> B = (absent , -abcost , a ) i? 1= 2, i? , absent B =-------= ( abeost a si a2 +b2 asía2+b2 asía2~+'b2 www.FreeLibros.me 264 Eduardo Espinoza Ramos b s e n t - b c o s t b yja2 + b 2 yja2 + b 2 yja2 + b 2 —> —> —^ N = B x T = i j k a b s e n t - a b cosí a —.a s e n t a eos t b - ( - ( ab2 + a3) eos /, - ( abz + aJ ) s e n t , 0 ) N = (ab2 + a3)Vcos2 t + s e n 21 = a(a2 +b2) N N = —— = (- eos t, - s e n t , 0 ) I N I Luego la ecuación de la recta tangente que pasa por el punto (a eos t, a sen t, bt) es: x - a eos t _ y - a s e n t _ z - b t -a s e n t a eos t La recta binomial es: j t - ¿ i c o s / _ y - a s e n t _ z - b t b s e n t - b c o s t a La recta normal principal se tiene: x - a eos t y - a s e n t z - b t eos / s e n t a Los coseno directores son: -a s e n t n a eos/ b eos a = ,.........— , eos [5 - -r =....= , eos / = 'Ja* ~+b2 4 a -2 + b 2 Y los cosenos directores de normal principal son: * eos P x - s e n t , eos y x = 0 eos ax- eos /, www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 265 2094 2095 Escribir las ecuaciones de los planos que forman ei tetraedro intrínseco de la ¡ f : ■. • ' t cun a x = t, y = t 2 , z = P en el punto M(2,4,8). Desarrollo Sea r (t } = (/, r , t ) , de donde se tiene: — = ( 1. 2/ , 3r) dt para t = 2 d 2 r = (0,2,60 -> d r dt - (1,4,12) i 2 d r dt — = (0,2,12) —^ —)■ 2 d r d~ r B = x —~ dt l 1 0 J 4 2 —> A' 12 12 (24,-12,2) La ecuación de la tangente en el punto M(2,4,8) se tiene: a*- 2 v - 4 o La ecuación del plano osculador es: 24(x - 2) - 12(y - 4) + 2(z - 8) = 0 de donde 12x - 6y + z -- 8 = 0 La ecuación del plano normal es: l(x - 2) + 4(y - 4) + 12(z - 8 ) = 0 x -f 4y + 12z — 114 = 0 Escribir las ecuaciones de los planos que forman el tetraedro intrínseco de la curva x + y + r = 6 , x“ - y* + z^ = 4 en el punto M( 1,1,2) Desarrollo www.FreeLibros.me 266 Eduardo Espinoza Ramos C: x 2 + y 2 + z 2 = 6 x2 - v2 +z 2 =4 paramétrizando la curva se tiene: sumando las dos ecuaciones se tiene: 'y *) *) I O 2x"'+2z =1 0 => x +z = 5 => z = V5 — jc además v“ =1 - y = l Sea r(t) ~ (/,!, Vs T2 ) para t = l se tiene: 7xo=(i,o,-7=4=) =>7(i)=(i,o,-7) 7 5 - t 2 2 la ecuación del plano normal es: 1( a - 1) - 0( v - 1)~—(z - 2) = 0 de donde 2x - z =: 0 ;•'(/) = (1,0, — 7= ) :=> r \ t ) = (0,0,----------------- => r"(l) = (0,0, 75 ~ 2 (5 - ñ 2 ^ ^ ^ £ = r\ \ ) x r ”(l) k 1 0 — 0 0 - <P¿Q> O La ecuación del plano osculador es: 0(x -1) + — (y -1) + 0(z - 2) = 0 8 de donde se tiene: y - 1= 0 O O i Í S i www.FreeLibros.me / unciones de Varias Variables 267 N = B x T = i 0 1 J 5 8 O -> k O 2 ( 16’°’ 8 } - —(1,0, 2) 16 La ecuación del plano rectificante es: 1 (x - 1) + 0(y - 1) + 2(z - 2) = O 2x + z - 5 = O 2096 Hallar las ecuaciones de la tangente, de la normal principal y de la binormal en i 4 P t 2 un punto arbitrario de la curva: x = —, y - —, z - — . Hallar los puntos en 4 3 <2 que la tangente a esta curva es paralela al plano x + 3y + 2z - 10 = 0 Desarrollo t4 t3 r Sea r {t) = {— ) => 4 3 2 ,3 ,2 r"(í ) = (3/ , 2/, 1) B = ~r\t)x r"(t) —> / —» j —> k / 3 t 2 t 3í2 2/ 1 —> -> —^ i 7 k N = B x T = - / 2 2r3 r1 / 2 t = (í 6 +2f4, / 3 - - 2 t h) - P { r +2 t , \ - t H, ) , www.FreeLibros.me 268 Eduardo Espinoza Ramos 2097 4 1 2 t t t La ecuación de la tangente que pasa por el punto M (—,—,—) es: 4 3 2 t t r x V z ------ 4 _ 3 _ 2 t 2 t 1 , 4 í 3 x V -- - z ------ 4 ' 1 o La ecuación de la binorrnal es: - - -1 21 -~t2 4 1 0 t t r x V - - z------- 4 3 2 La ecuación de la normal principal es: - - 2t + t4 1 - I 4- t 2/3 Si P: x + 3y + 2z - 10 = 0 entonces ~r\t)HP « ~r\t) Jl N = (L3,2) r \ t ) . N = 0 (1,3, 2).(í3,í 2,0 = 0 => íi +3t1 +2t = 0 t(t2 +3t + 2) = 0 => t = 0 , t = - 1, t = -2 para t = 0 , x = 0, y - 0, z = 0 t =-2, x = 4, y — — , z ~ 2 3 «■ Hallar las ecuaciones de la tangente, del plano oscu 1 ador, de la normal 0 - y t 2 principal y de la binomial de la curva x = t, y = -t, z = — en el punto t r;r 2 . Calcular los cosenos directores de la binomial en este punto. www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 269 Desarrollo Sea r(t) =(/,-/, *—) => (1,-1,í) r ' \ t ) = (0,0,1) para t = 2 , 7* = (1, - 1,2), r"(2) = (0,0,1) i j k 1 -1 2 0 0 1 = ( - 1 - 1,0) N = Bx T i j k -1 - 1 0 1 -1 2 = ( - 2, 2, 2) = 2 ( - l , l , l ) = -2(1,-1,-1) para t = 2 se tiene x = z = 2, y = -2, P(2,-2,2) La recta tangente: x —2 >> + 2 z- 2 Recta normal es: x- 2 v + 2 z- 2 1 - 1 J el plano osculador es: 1 (x - 2) + 1 (y + 2) + 0(z - 2) = 0 Los cosenos directores de la binomial es: cosa = —J=r, eos /? = V2 —pr, eos y = 0 V2 www.FreeLibros.me 270 Eduardo Espinoza Ramos 2098 Escribir las ecuaciones de la tangente y del plano osculador a las curvas siguientes. 7 7T a) .v = R~ eos t , y = R sen t eos t, z = R sen t, cuando t = — 4 b) z = x2 + y 2 , x = y en el punto (1,1,2) c) x2 + y 2 +z 2 = 25 , x + z = 5 en el punto (2,2>/3,3) Desarrollo —^ a) Sea r(t) = (Rcos t , Rsent cosí , Rsent ) —> r ’(í) = (-Rsen 2tyRcos2t , Rcost ) r \ t ) - (-2/? eos 2t, - 2R sen 21, - R sen t ) t i R R R para t - —, x - — , v = —, z = —j=r 4 2 2 V2 r ’(^ ) = = - * (2,0,-V2 ) y — X _ 2 y ~ 2 ‘ V2 La recta tangente es: ——— =-----------=-------;=— 2 0 —v/ 2 i? R r~ R La ecuación del plano normal es: 2(x - --) + 0(y - — - y 2(z —7=) =f 0 www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 271 2099 b) z = x +y , y = x => z = 2x . Sea r(t) = (t,t,2t ) Calculando t = ? se tiene (t, t, 2t2) = (1,1,2) => t = l r'(0 = (1,1,40 r"(0 = (0,0,4) para t = 1 r'(l) = (1,1,4) >1(1) -(0,0,4) la recta tangente es: jc — l y — l z — 2 La ecuación del plano normal es: 1 (x - 1) + 1 (y - 1) + 4(z - 2) = 0 x + y + 4z - 10 = 0 c) x 2 + y 2 + z 2 = 25, x + z = 5 =^> z = 5 - x .v2 + y2 +(5 - x ) 2 = 25 => 2;c2 +y2 =10x V 10x - 2x2 de donde r(¿) = (¿,Vl0í - 2¿2 , 5 - t ) para t = 2 VlOí - 2r 7(2) = (1,—7= ,-l) = -L(2> /3,l,—2>/3) 2V3 2V3 La recta de la tangente es x - 2 _ y - 2 \ Í 3 _ z-3 2%/3 -2^3 La ecuación del plano normal: 2y¡3(x - 2 ) + l(y - 2^3) - 2y¡3(z - 3) = 0 Es decir: 2a/3x +v - 2V3z = 0 2 . Hallar la ecuación del plano normal ala curva z = x z + y , y = x en el origen de coordenadas. www.FreeLibros.me 272 Eduardo Espinoza Ramos 2100 Desarrollo C 2 2 z - x - y y = x paramétrizando la curva se tiene: y = x, z = x 2 - x2 = 0 de donde a(t) = (t,t, 0), para t = t0 se tiene a(t 0) = (t0,t0,0) = (0,0,0) => ¿0 = 0 «•(0 = (1,1,0) => a \ 0) = (1,1,0) la ecuación del plano normal es: 1 (x - 0) + l(y - 0) + 0(z - 0) = 0 x + y = 0 Hallar la ecuación del plano osculador a la curva x = el , y = e~l , z = 72/ en el punto t = 0 . Desarrollo Sea r(t) = (et 9e t ,y¡2t) ?’(/) = 2 ) _ r"(í ) = (e',e-',0 ) r ’(0) = (l,-l,V2 ) 7"(0) = (1,1,0) 5 = r'(0)x r"(0) = ? j 1 - 1 V2 1 1 0 = (-V2 ,V2 ,2) 1 . La ecuación del plano normal es: -y¡2(x - 1) + \¡2(y - 1) + 2(z - 0) = 0 y¡2x - \ f l y - 2 z - 0 www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 273 2101 Hallar las ecuaciones de los planos osculador alas curvas: o 'y o o o a) jc“ + = 9 , -+■ - 3 en el punto (2 ,1,2) Desarrollo C >’ = v ? - 3 r = V12- 2,v2 Sea ' ’( 0 = (1, ■2? ) r"(í ) = (0 , 7 r -3 ’ Vl2-2í 2 -3 24 => —> B = 7\ 2)x~r\ 2) 3 ’ 2 (12 - 2¿2) —^ -> —> / j 1 2 - 2 — 0 -3 -3 r \ 2) = (1,2, - 2) ^"(2) = (0,-3,-3) (-12,3,-3) La ecuación del plano osculador es: -12(x - 2) + 3(y - 1) - 3(z - 2) = 0 4x - y + z = 9 b) x 2 = Ay , x3 = 2Az en el punto (6,9,9) ■4 Desarrollo www.FreeLibros.me 274 Eduardo Espinoza Ramos — > p p Sea r(t) = (t,—,—) donde t = 6 4 24 t t 1 t r \ t ) = ( 0, - , - ) 7x6) = (1,:3,|) = |(2,6,9) ¿L* j L * > (6 ) = (0, i | ) = 1 (0,1,3) B = r'(6)* r"(6) 1 j k 2 6 9 0 1 3 = (9,--6,2) La ecuación del plano osculador es: 9(x - 6) - 6(y - 9) + 2(z - 9) = 0 9x - 6y + 2z = 18 c) x +z =a , y +z~=b~ en cualquier punto de la curva (x0,^0,z0) Desarrollo www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 275 2102 i B = r\ t ) x r \ t ) = j a‘ j b 2 - 12 ¿ 2 2 .2x3 k 1 0 ( b - z 2)(a2 - t 2)2 [ b 2 ( a 2 - t 2 ) 2 , a 2 ( b 2 - t 2 ) 2 , - t 2b 2 + ¿3a 2 ) 1 ( ¿ 2X o , a 2^o , - Zo ( - ¿ 2 + a 3 3 •Vo La ecuación del plano osculador es: b 2x l ( x - x 0) + a 2 Jo (.v - j 0) + z¿ ( - 6 2 + a2 )(z - z0) = 0 b 2 x^x - a2Vq y + (—b 2+ a 2 )zqZ =b2x^ + Jq + Zq ( - ¿ 2 + a2) = b2(x04- z04) + a2(jo4+ z04) = a2¿>2(a2 + b2- 4z0) + 2a4z04 Hallar las ecuaciones del plano osculador, de la normal principal y de la binormal a la curva y = x , x = z en el punto (1,1,1). Desarro llo y =x X = z => < x = y z - y Sea r(t) = (t2, t , t 4) , t = 1 www.FreeLibros.me 276 Eduardo Espinoza Ramos 2103 r'(0 = (2Ú 4/3) r \ t ) = (2,0,12r) r'(l) = (2,1,4) = J O) 7"(D =(2,0,12) B = 1 j k 2 1 4 2 0 12 = (12,-16,-2) = 2(6, -8,-1) La ecuación del plano osculador es: 6(x - 1) - 8(y —1) —l (z—1) = 0 —^—y —y N = Bx T z +3 =0 — > — » i j k 6 -8 -1 2 1 4 = (-31, -26,22) = -(31,26, -22) La ecuación de la recta binormal que pasa por el punto (1,1,1) es: x -1 y - 1 z -1 -8 - 1 La ecuación de la normal principal x —1 y -1 z —1 31 26 -22 Hallar la ecuación del plano osculador, de la normal principal y de la binormal !• a la hélice cónica x =t eos t, y = t sen t, z = bt en el origen de coordenadas. Hallar los vectores unitarios de la tangente, de la normal principal y de la binormal en el origen de coordenadas. Desarrollo www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 277 r'(t) = ( c o s í sen t,sen t - f 1cosí, b) —^ r"(t) = (~2 sen t - i eos /, 2 eos/ - 1sent, 0) i • : '• <5 : r P ) = (l ,0,6)=7’(l) /•"(O) = (0, 2,0) V B = r'(0).v r"(0) = —^ —) —£ i j té 1 0 b 0 2 0 I" ...* “Vi ri (-26,0,2) = 2(-6,0,l) La ecuación del plano osculador es: -b(x - 0) +0(y - 0) +1(z - 0) = 0 -bx +z =0 n i — > - > N - Bx T I Hi i; n ‘;: í'í í/i o.í —> -> ' j k -b 0 1 1 0 "/ ; i Oíí!í n; :ij'. i4::i La ecuación del plano rectificante que pasa por el punto (0,0,0) es: ÍT! i,l i ■i-1 0(x - 0) 4- (b +1)(y - 0) + 0(z - 0) - 0 /. y = 0 y la ecuación de lá binórrñál (recta) es la intersección de los planos normal y l.í Oí *„;; i ' í.j, ?,¿¿Á/ ' -J ¿i Lf ■'•üj f ¡ jc +bz -- 0 rectiíicante es decir: ^ ¡.i 'í 5 V = 0 f' :!: ¡V' 6.20. CURVATURA DE FLEXION Y DE TORSION DE UNA CURVA EN EL ESPACIO*- V ler. CURVATURA DE FLEXION.- i .. -jf • La curvatura de flexión de una curva es un punto M, es el número k - 1 <p = lim -H-y donde 9 . es el ángulo de giro de la tangente (ángulo de R As-a0 contingencia) en el segmento de curva MN y As, la longitud del arco de este segmento de curva R se llama radio de curvatura de flexión. www.FreeLibros.me 278 Eduardo Espinoza Ramos Si la curva se da por la ecuación r ==r(s) donde s es la longitud de arco, tendremos: para el caso en que la curva se da en forma paramétrica general, tenemos: 1 —> > d r d" r , dis^ 1 R •dr>3 2do. CURVATURA DE TORSI ON.- Se entiende por curvatura de torsión de una cura en el punto M, él número donde 0 es el ángulo de giro de la binormal (ángulo de contingencia de la curva MN. La magnitud p se llama radio de curvatura de la torsión. Si r = r( s) se tiene: d r d ^r d t ds ds2 ds P ds r f r ds' d¡5 ■V ' I? f Á' donde el signo menos se toma cuando los vectores — y v tienen la misma ds dirección, y el signo más en el caso contrario. www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 279 2104 -> —> Si r - r (t) donde t es un parámetro arbitrario se tendrá: 3ra. FÓRMULA DE FRENET.- dr _ V dV r P dJS V dt R ’ dS R P ds P Demostrar, que si la curvatura de flexión es igual a cero en todos los puntos de una línea, esta es una recta. Desarrollo Del triangulo Bkl^ se tiene: BK - BL^ + L{k donde LAk = t —^ como la longitud del vector t es el mismo entonces t | = | t + At ¡ por lo tanto él ABkl^ es isósceles y el ángulo 0 es el vértice de la tangente a la curva cuando pasa del punto A al punto B, como 6 k = lim | — | como 0 = 0, puesto que el ángulo de rotación se confunde con As-»0 As 0 la recta. Luego se concluye: k = lim j — ¡ = 0 As—>0 As www.FreeLibros.me 280 Eduardo Espinoza Ramos 2105 2106 2107 Demostrar, que si la curvatura de torsión es igual a cero en todo los puntos de una curva, esta es una curva plana. Desarrollo La demostración es similar al ejercicio 2104, por lo tanto se deja como un entrenamiento. 9 9 9 Demostrar, que la curva x = 1+3t +2t , y - 2 - 2t +5t , z = \ - t es plana, hallar el plano en que se encuentra. Desarrollo Como x y =l +3í +2r = 2 - 2 t + 5t2 z —1—t Eliminamos el parámetro t, se tiene: 2x —2 +ót +41 3y = 6 - 6 t + 15/' 19z = 19-19/2 - (1) - (2) .. (3) sumando las tres ecuaciones tenemos 2x +3y + I9z = 27, que es la ecuación del plano en donde se encuentra la curva. Calcular la curvatura de las líneas a) x = eos t, y =sen t, z = cosh t, cuando t = 0 Desarrollo Sea r (¿) = (eos t, sen t , cosh t ) , de donde V . r \ t ) = (-sen t, eos t, senh t) r'(0) = (0,1,0) r"{t) = ( - eos t , - sent , cosh/) r"(0) = (-1,0,1) www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 281 r'(0)x r \ 0) = i 0 - 1 —> -> j k 1 0 0 1 =(1,0,1) k _ r'(0)xr"(0) |_ |(1,0,1) | ^ |p (0) |3 I (0,1,0) |3 b) x2 - y 2 + z 2 = 1, y 2 - 2x + z = 0 en el punto (1,1,1) Desarro llo 2 2 , 2 i x —y + z =1 Sea C : paramétrizando la curva se tiene: y 2 - 2x +z = 0 9 9 Al suma las dos ecuaciones se tiene: x +z - 2x +z - 1, completando 2 2 1 1 cuadrados se tiene: (jc —1) + (z~+z +—) = 2 +— 4 4 , v2 , 1x2 9 1 3 1 3 (jc —1) +(z +—) = — entonces x = 1+ —eosí , z = v —sent 2 4 2 2 2 . 1 3 5 3 y = 4/2 + 3cosM se«í => y = J —+ 3 cosí — sent 2 2 V2 2 3 1 3 5 3 Sea r (í) = (1 +—co sí,— +— sent , J — + 3cosí — se«í) 2 2 2 V2 2 ^ 3 sent +—cosí 3 3 ? rYí) = (— sent, —cosí , -----, ....= = = = = ) 2 2 ^ r 2J —+3 cosí — sent V2 2 www.FreeLibros.me 282 Eduardo Espinoza Ramos 2108 - * 3 3 3 r \ t ) = (— eos/,— sen /,— ( 2 2 2 /5 eos / sent +3cos/ — sent 2 2 / COS/ x2 ^ (sent-\ ) 25 3 - (- +3cos/ — sent)2 2 2 )) ;r 3 3 -* k 3 3 r ’(—) = (— ,0, - —) , r"( - ) = (0, — ,— ) 2 2 2 2 2 2 3 " 2 0 - - - 71 -* 7T r \ - ) | I rX f ) P 44 0 - 1 9 = - ( - U ,D 2 4 3 3 2 2 9 /r 4 _ 3 >/3 _3Vó 3 ^ 2V2 4 Calcular las curvatura de flexión y de torsión de las siguientes curvas en cualquier punto a) x - e l eos t , y = elsen t , z - e t Desarrollo —> Sea r (/) = (e1eos /, e sen t , e‘) —► r \ t ) = (V eost - e*sen / , ¿s ent + el eos/,el ) —^ r "(/) = (-2 sefl /.e*, 2 eos ) www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 283 r \ t ) x r"(t) = e (cos t - sent ) e* ( - 2 sen t) j k e* (sen t cosí) e* e* ( Icost ) e = e2t (sen t - cos t, -(eos t + sen t ), 2) r"'(t) = (-2e* (sen t + cos t\2e* (cos t —sen t),e*) ^ ^ ^ r'(t). r"(t)x r'"(t) = e* (cost - sen t) e* (sen t +cos t) e* - 2 sen t .e* 2 cos t.e* e* -2e* (sent +cos¿) 2e* (cos t —sen t) e* - e 3t cos t - sen t sen t +cos t 1 - 2 sen t 2 cos t 1 -2(sent-\-cost) cos t - s e n t 1 = 2e r'(t) |= 4 l e *, | r'(t)x r"(t) |= y¡6e2* k r \ t ) x r"(t)| 4~2e-1 T- r'(t). r"(t)x r'"(t) e -t -y -> r\t) \ ! r \ t ) x r"(t) |‘ b) x = a cosh t , y =a senh t, z =at (helice hiperbólica) Desarrollo r (t) = (a cosh t , a senh t, at) r '(/) =(czao/?/z /, a cosh t, a ) —y r"(t) =(a cosh t, a senh t,0) , r"'(/) = (a.sett/z¿,¿zcoshí,0) www.FreeLibros.me 284 Eduardo Espinoza Ramos 2109 r \ t ) x r \ t ) = —> i -> j — » k asenht a cosh t a a cosh/ asenht 0 (-<3 senh t, a cosh t , - a ‘ r \ t ) |= \Í2a cosh t , | r'(Y)* r "(/) |= J l a 1 cosh t r\ t ). r"(t)x r'"(t) asenht a cosh t a a cosh t asenht 0 asenht a cosh t 0 = a' k = r \ t ) x r \ t ) \ V2¿z2 cosh/ 1 r \ t ) 2 ^ a 3 cosh31 2a cosh21 T - a' 1 r \ t ) x r \ t ) 2a4 cosh2 t 2a cosh2 t Hallar los radios vectores de curvatura de flexión y de torsión de las siguientes líneas en un punto arbitrario (x,y,z) 2 3 2 a) x = 2a y , x - 6a z Desarrollo C: x = 2 ay x3 =6 a2z x v = 2a A 6 a1 t 2 / 3 Sea r ( t ) - ( t ,— ,—- ) , derivando 2a 6a~ www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 285 ?'(í) = ( 7 " ( í ) = (0, - , 2 r), P"(í) = (0,0,- U a a aÁ a r \ t ) x r"(t) —^ —> -> i j k 1 t 2 r a 2 a2 0 1 t o a =( t ' A 2a3 ’ a2 a t2 /4 í 2 +2a2 ',W I =J l +- +7 7 = ----------- a 4a' 2a' -> / 2 + 2a2 r'(í)*r"(OI = 2a r\t) r'(l)x 7"(t) | (í2 +2a2) 2 . (r'(í )xr''(0 ): — ; p = 4 a' r\ t ). r"(t)x r m(t) (t2 +2a2) 2 4a3 b) x - 3 p y , 2xz = p Á Desarrollo C x3 = 3 p 2y 2 xz - p 1 y = V .2 P 2x t 3 z?2 Sea r (/) =(í, — —, — ), derivando 3p 21 V d 2 21 t)2 2 3 r-(0 = ( l — , ~ r ) , r"(O = (0— ,^ r), r m(t) = (0, — 2 ’ .3 P 1 PA t 4 www.FreeLibros.me 286 Eduardo Espinoza Ramos g r' ( t ) . rXt ) xrm(t) = — t r \ t ) |3 ( / +2r4) 2 (7'(/)*r"(0) 2 (/74 +2í 4) 2 2110 Demostrar, que los componentes tangencial y normal del vector de aceleración dV V1 w se expresan por las formular wT= r , vv = - — v, donde V es la dt R velocidad, R radio de curvatura de flexión de la trayectoria, x, v los vectores unitarios de la tangente y la normal principal a la curva. Desarrollo Consideremos el gráfico siguiente: A www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 287 Si en un instante t, un punto móvil se encuentra en A, determinado por el vector O A - r ( t ) de acuerdo a la figura y en otro instante t + At se -> -» encuentra en el punto B determinado por el vector OB = r( t + At ) . Luego el vector AB se denomina vector desplazamiento del punto A, la razón del vector desplazamiento AB con respecto al incremento correspondiente al tiempo t se denomina velocidad media durante un tiempo. t7 A B A r Vmed =------= = AL At At La velocidad del punto en un instante dado se determina por: —> —> —> A r d r d r V = lim Vmed = l i m = — es decir: V = A/—>o A/—>0 At dt dt ahora tomemos la longitud s del arco, al cual a s consideremos como función —> —> —> d k d r ds d r del tiempo t. Luego tenemos V — ------ = -------- .— - t v donde t — — es un dt ds st ds ds vector unitario de la tangente y v =— es el vector velocidad. dt dv La aceleración w de un punto es w = — dt ds d 2s d r . , Como v =— => vv =—— como V =------=t v ademas dt d r ds dV d . x dV T_ dr dr dr ds w =-----= —(r,v) = r + V pero — = — .— entonces se tiene: dt dt dt dt dt ds dt www.FreeLibros.me 288 Eduardo Espinoza Ramos 2111 dV Trdr ds dV TTi d z w = r +V . =T + V ----- dt ds dt dt ds dV vV¿ w = r H pero w = wr + w. dt R r v dV V2 dv V2 Luego wr +wv - r +— v entonces \vr =r — , w = — v T dt R dt v R Por la hélice circular R(t) =(a eos t, a sent, bt) se mueve uniformemente un punto con velocidad v. Calcular su aceleración w. Desarrollo Como R(t) = (a eos a sen t ybt ), derivando dR dt (~a sen t, a eos t,b) d 2 R d 2 R dr — = ( - a e o s t , - a s e nt , 0) ; — — =( a s e nt , - a eost , 0) dt' d R d R •*— r - dt dt / -a sen t -acost J acost -a sen t k b 0 2 =(ab sen t, - ab eos t, a ) V2 como wv =— v pero R d R d R x 1 dt dr R a ( df ? dt a + b 4 Luego w. aV2 V a +b www.FreeLibros.me Funciones de Varias Variables 289 2112 r • ^ 2 3 La ecuación de un movimiento es r(¿) = (t,t ,t ) determinar en los instantes t = 0, t= 1. 1) La curvatura de flexión y de la trayectoria. 2) Los componentes tangenciales y normal del vector de aceleración del movimiento. ■, ' 1 -> 1 ' ' í % r , í ' y • ' / . ‘ ■*. .* % • s: v •» . • ... i ; * -i: l. . K .? ;• ■■■' • r: fí Desarrollo Como r (t ) = (f,/2,/3), derivando se tiene: ■U’ ; i:i ' 'i' rwJ, >?: /•’(?) = (1,2/,3r), /■"(*) = (0,2,60, r "'(/) = (0,0,6) i r ' - ■ i ; ! ,}; .. ! ‘ i f ' . f t . r \ % l .i' y 3 (,■ : i f para t = 0, r'(0) = (1,0,0), r"(0) = (0,2,0), r m(0) = (0,0,6) —» —» -> i j —> & r'(0)jt r"(0) = 1 0 0 = (0,0,2) => I 0 2 0 •# -> —> r'(0)x r " { 0) |= 2 k 1 | r'(0)x r' (0) I 2 _ g * | r'(0) 1 1 r ’(0) |=1 componente tangencial wr = ? y la normal wv- ? —^y'i / "• ' •• :l . \ ' í :¡ " V = — =(l ,2r.3r) pero F =1 F |=ó + 4r +9í4 d t entonces vr ¿F 4/ +18F para t - 0 se tiene w dt Vl + 4r +9í4 dV dt - 0. Luego u’r - 0, wv- 0 www.FreeLibros.me 290 Eduardo Espinoza Ramos CAPITULO VII INTEGRALES MÚLTIPLES Y CURVILÍNEAS s-1•i.} i. ? 7 j 7.1. INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS RECTANGULARES.- lro. CALCULO INMEDIATO DE INTEGRALES DOBLES.- Se llama integral doble de una función continua f(x,y) sobre un recinto cerrado y acotado S del plano XOY al limite de la suma integral doble correspondiente. f ( x , y ) d x d y = lim > > max Atfj —>0 ¿Lmmd émmmá max Ay k ~>0 i k ... (1) donde Ax¿ = xj+l - x ¡ , Auk =Ava+| - y k y la suma se extiende a aquello valores de i y k, para los que los puntos (x,, y k) pertenecen al recinto S. 2do. COLOCACIÓN DE LOS LIMITES DE INTEGRACIÓN DE LA INTEGRAL DOBLE.- Se consideran dos formas principales de recinto de integración. l ) El recinto de integración S, está limitado a izquierda y derecha por las rectas x = xx y x = x2 (x2 >Xj), mientras que por abajo y por arriba lo está por las curvas continuas y = (p} (x) e y = <p2(x) ( P i W - <P\ (x)) www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 291 Luego la integral doble se puede realizar reduciéndola a una integral reiterada de la forma. © El recinto de integración S, está limitado por abajo y por arriba por las rectas y, = y e y 2 = y (y2>y¡) mientras que por la izquierda y por la derecha lo está por las curvas continuas x = (px( y) , x- { ¡ / 2{y) (y/2(y)>y/\(y)) www.FreeLibros.me 292 Eduardo Espinoza Ramos 2113 2114 Luego la integral doble se puede realizar reduciéndola a una integral reiterada de la forma. *yi eviiy) m m í *) f ( x, y ) dxdy = j dy | f { x yy) dx= j ( | f ( x, y) dx) dy s Calcular las siguientes integrales reiteradas. w (x +2y)dx Desarrollo dy( (x2 +2y)dx = (x2 +2y)dx)dy = J V U 2 x y ) / ' d y = 1( 1 + 2 y+ = - +4 = — + 3 L í dy (x +y ) Desarrollo J 3 J (x + y Y J) J (x + y f i x + y f i f (— -------- -—)dx = -[ln |x + 2 |- l n|x + l |] / x+2 x + 1 ' 4 3 l n |^l l | / “ = —(ln— —,n—>= , n ~ x + 1 / 3 5 4 24 www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 293 2115 2116 f dxf xldy i + r Desarrollo Í n j ;rx3 / ] /r — x~ a x =---------/ = — 4 12 / o 12 H x'Vv JV A Desarrollo f Aí i ? =f - f ■(— - — ) / 2 =- [ - - 4 ) - ( - - - ) ] = — ] = — 6 4 / i 3 6 4 3 12 12 í " í 2117 I dy I (x + 2y)dx Jy2 -4 Desarrollo j . ^X + = (x + 2v)dx)dy = J (^ - + 2xv) j ^ dy www.FreeLibros.me 294 Eduardo Espinoza Ramos 4 i 3(~y + y5 5 - j U - 243 5 4 A 3 . o 2 / + ^ 3+18/+9j ) / 33 243 -81 +72 +162 +27) - (--------81-72 +162-27) ] = 50.4 f n m dep Jas* 2118 I d o I r dr m sen q> Desarrollo r n m f 2* i** t * V2 / a d(p I r dr - I ( I rdr)d(p= I — j d(p Ja sen (p J) vasencp ^ asen(p 1 {2/r a2 C2^ = — I (a2 - a 2sen2(p)d(p = — I cosA(pd(p 2 a (l +cos2<p)d<p = ^ W + ^ y — I (l + cos2 (p)d(p- — [cp + o 2 2 a a n — (2 7i + 0 - 0) = ------ f K m dep I r dr = va sen (p a n 2119 K *2 K d(p í COS (p 2 2 r sen (pdr www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 295 Desarrollo n ' k ¿o eos cp tucos (p | d(p I r^sen ( pd r - | ( | r~ seiCcp dr)d(p n *7 r 3 ? , 3cos^‘ — sen~(p d(p * 3 / o n " p « 3 y a 27 ¡z 3 eos (p.sen'(pd(p JL 3 5 A 21 12 „ 2 x "> , 21 sen íd sen'cp. / -> (\-sen~(p)sen (pcoscpdrp =— (-------------- -— )/ ^ 3 3 5 2 2 71 l 2120 i-y 27 1 l 1 1 27 2 2 5- 3 12 — [(---- ) - ( — + ")] - — ( ) - 18(--- :-) - — - 2.4 3 3 5 3 5 3 3 5 15 5 Vi - * 2-. y 2 dy Desarrollo sj\ - x 2 - v2c/v = / 2 2 yj\ —x - y dy)dx fl _ | _ v2 = | ( ~ ^ \ ~ x - y + —- — aresen Vi —v 2 VT-j =-) / dx .2 / 0 í 1- X [(0 +—-— aresen 1) - 0 ]¿t/a: 2, í 1- x“ /r . . — í/x ■7 '2 www.FreeLibros.me 296 Eduardo Espinoza Ramos 2121 x +y 2122 Escribir las ecuaciones de las líneas que limitan los recintos a que se extienden las integrales dobles que se indican más abajo y dibujar estos recintos. M y f ( x, y) dx -1 Desarrollo [ * £ f ( x , y)dx = £ ' £ f ( x , y)dy)dx = if/a , y)dxdy D donde D :< - 6 <y < 2 y 2 ^— 1<x <2 - y l 4 Y ^ grafícando la región D se tiene: Los limites de integración es de y = 6 a y = 2 y2 De x = ------1 a x = 2 - y 4 H +9 f { x, y ) dy Desarrollo /«3 f>x+9 fkx+9 p dx I f ( x , y ) d y = I ( I f ( x, y) dy) dx= I i f ( x, y ) dxdy •I Jx2 J J x2+9 J J www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 297 2123 fi /•*-* 2124 donde D :< 1<x <3 x2 < y < x + 9 graficando la región í * í M 0-v f ( x, y ) dx 0-v f ( x , y)dx Desarrollo i - r f ( x , y)dx)= í l ' 1' , y)dxdy D donde D : í 0 < >’ < X Los limites de integración es de y = 0 hasta y - 4, de x —y a x - 10- y K f ( x, y) dy y <4 , graficando la región se tiene: x <10- jy www.FreeLibros.me 298 Eduardo Espinoza Ramos 2125 Desarrollo *2: r 4 f ( x , y ) d y = í' f f ( x , y)dy)dx = u n * , y)dx dy Í P D donde D :< 1 <jc <3 x , grafícando la región se tiene: — <y <2x 3 *3 **¡25- x2 M f { x , y)dy Desarrollo 25- jT f ( x , y ) d y = «í pjlí- ( •o f ( x, y ) dy ) dx= D donde D : 0 <x <3 0 < y < y j 2 5 - x 2 , grafícando se tiene: www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 299 2126 Y = s¡25x¿ Los limites t*r i*r donde D :< - 1 <x <2 ^ , graficando se tiene: x“ < v <x + 2 * Los limites de integración es de x = -1 a x =2 de y - x" a y = x + 2 de integración es de x = 0 a x =3 de y = 0 a v = V25 - x2 f ( x, y ) dy Desarrollo Í 2 pv+2 ( j f ( x, y) dy) dx = | | íf' www.FreeLibros.me 300 Eduardo Espinoza Ramos Colocar los limites de integración, en uno y otro orden, la integral doble J*J*/(a% y)dxdy para los recintos S qua continuación se indican s 2!27 S es un rectángulo cuyos vértices son: 0(0,0), A(2,0), B(2,l) y C(0,1). Desarrollo Í C y)dxdy = y)dy 2128 S es un triángulo cuyos vértices son 0(0,0), A(1,0) y B(l,l). Desarrollo íí /(x, y)dx dy i) f(x, y)dx)dx {) s í í J\ x, y)dx)dv 2129 S es un trapecio cuyos vértices son 0(0,0), A(2,0), B( 1,1) y 0(0,1) Desarrollo www.FreeLibros.me t w Integrales Múltiples y Curvilíneas 301 130 2131 (0,1) 0 íf f (x, y)dx dy s H í 'í f ( x , y)dy)dx) + M / (x, y)dy)dx f ( x, y)dx) dy S es el paralelogramo cuyos vértices son A(l,2), B(2,4) Desarrollo Y D íf f ( x , y)dxdy x+3 ( I f ( x, y) dy) dx '¿X X S es un rector circular OAB con centro en el punto 0(0,0) cuyo arco tiene sus extremos en A( 1,1) y B( 11). W H N M I www.FreeLibros.me 302 Eduardo Espinoza Ramo 2132 í*í /O , y )+ dy f rJi-y2 -jb- f (x, y)¿/x 2-jc¿ f ( x , y ) dy + f ( x, y ) dy S es un segmento parabólico recto AOB, limitado por la parábola BOA y por el segmento de recta BA, que une entre sí los puntos B(-l,2) y A(l,2) f*f J -i f ( x, y)dy f ( x, y)dx www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 303 2133 2134 S es un anillo circular limitado por las circunferencias cuyos radios son r = 1 y R =2 y cuyo centro común está situado en el punto 0(0,0). Desarrollo O O Las ecuaciones de las circunferencias son: .r + y =1, xz + y z = 4 í, 14-x2 fi «/ 4-x- + I dx l f ( x , y ) d y + dx I f ( x , y ) d y l] ~x2 J f ( x, y ) dx + m \ d y /— f ( x , y)dx + f ( x, y ) dx + f ( x , está limitado por la hipérbola y2 -.v2=l y por la circunferencia - + y z = 9 (se considera el recinto que comprende el origi www.FreeLibros.me 304 Eduardo Espinoza Ramos 2135 X2 +y2 =9 Calculando los puntos de intersección se tiene: -3 X * 2+ / = 9 [ y 2 - x 2 =l ==> S x —±2 y= ±V5 J dx (^¡9—x2 -a/9-.v2 f ( x, y ) dy + dx Í 2 p / í + x 2 /*3 p / 9-.v2 dx I __f (x, y)dy+ dx I J' {x,y)dy = 2 J -vl+.v“ J -V9-.V2 Í -i r-\ly2~i r-1 W9~>' dy I /(.*, j)dx + I dy | ___ /(x, >’)¿v + -^5 J -J 9-V2 J - Vs f ( x , y + r i p-'Jy2“i /(x, >>)¿x + J J^jy2-] f (x, >')<& Colocar los limites de integración en la integral doble /( * , dy si el recinto S está determinado por las desigualdades siguientes: a) x >0 , y >0 , x + y <1 Desarrollo y2 - x2=1 www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 305 M —X f ( x, y)dy)dx í'í - V f ( x, v) dx) dy b) .v2 + < Desarrollo íí f (x, y)dxdy s /(x, y)dydx j . -> a -v~ f ( x. y) dx) dy Va" 1 "> c) x~ + y~ < x Desarrollo x2+y 2 - x => (x - —)2+y 2 =— circunferencia de centro (~,0) Desarrollo íí f ( x , y)ddy www.FreeLibros.me 306 Eduardo Espinoza Ramos J J / ( x, y)dxdy s O x-x yjx—x¿ f ( x , y)dy)dx 1 \+\j\-4y2 f ( x , y)dx)dy d) y >x , x >1 , y <1 Desarrollo \ y ( . x , y ) d x d y s Í,(f/K y)dy)dx í ' í f ( x, y) dx) dy e) y <x <y <2a Í i my+2a n Desarrollo f { x, y)dx = r mx - rita fia dx I f ( x , y)d +J dx fi&a •fea dx I / (x, y)dy +I í /(.v, y)dy a f x - 2 a Investigar el orden de integración en las siguientes integrales dobles. www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 307 2136 M 2x f { x, y ) dy Desarrollo Sea D : 0 <x <4 . graficando la región 3x2 < y < 1 2 x íí f ( x, y ) dxdy = D 2137 f * r •I) *2x f { x, y ) dy Desarrollo w 2x f ( x , y ) d y y)dx 12 Sea D : 0 <x <1 2x <y < 3x graficando la región íí f ( x , y)dxdy= W . f ( x, y) dy) dx D i ( f ( x , y)dx)dy + ( f ( x , y)dx)dy W www.FreeLibros.me 308 Eduardo Espinoza Ramos 2138 f y2 i {*Ja - x 2 a f ( x, y ) dy Desarrollo Sea D : 0 < x < a 2 2 a - x 2a < y < yJa2 - graficando íf f ( x , y)dxdy = r ¡ 2 2 - x (£ i 2a f ( x, y) dy) dx ; ( j f ( x , y)dx)dy ¡a - 2a y + m a 2 la2-y2 f ( x , y)dx)dy 2139 f 2 a x - x dx I /(x, Desarrollo Sea Z): a —< x < a 2 0 < y < yjlax - graficando J J f ( x , y)dx dy = m fN 2 a x - x ( I f ( x , y)dy)dx a D H ' » - y)dx)dy + t - L , i • f ( x , y)dx)dy www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 309 2140 2141 r a {*j4ax dx\ - vy2ax-x' f ( x , y ) d y Desarrollo 0 <x < 2a Sea D : V 2ax - a*2 <y <a/4ax , graficando íf / ( x, y)dx dy ; — a f*j4ax ( I _ f ( x J\J2ax-x~ Í i fia-^¡a2~v2 ( I W f ( x, y) dx + f ( f ___f ( x, y)dx) dy + •J) Ja+yj a2- y ly[2 a + Jb mía O y" 4a f ( x, y) dx) dy www.FreeLibros.me 310 Eduardo Espinoza Ramos, Desarrollo Sea D : < 0 <.y <1 ->/r y <x<\ , graficando íf f ( x, y ) dxdy = D 2142 Desarrollo Í ' C p J\ x, y) dx) dy + f ( x, y) dy) dx í ' f » f ( x, y) dy) dx Sea D 0 < <I , graficando í í / ( "' f ( x, y)dx dy = ( I , /(x, D rJT* f(x,y)dy)dx + J2 f(x,y)dy)dx + f { x, y) dy) dx www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 311 2143 2144 & R í ’*í dx | /(.v, y)dy + | ^ dx J2R r*i ’R2- x 2 f ( x , y ) d y Desarrollo Ir 2- y 2 f ( x, f fifi enx 4 f ( x , y ) d y Desarrollo Sea D : < 0 <x < n 0 <x <sen x , graficando Y www.FreeLibros.me 312 Eduardo Espinoza Ramos 2145 2146 íí / ( x, y)dx dy - D f msen x * í f { x, y ) dy Í fvr-arsen v dy I varesen y f ( x, y ) dx Calcular las siguientes integrales dobles. J J 'x d x d y , donde S es un triángulo cuyos vértices son 0(0,0), A (l ,l ) y B(0,1) Desarrollo íí x dx dy - a í í / x dx)dy 1 í dy = - | 0 2 =z i / ' =1 6 / o 6 íí x d x d y , donde el recinto de integración S está limitado por la recta que pasa por los puntos A(2,0) y B(0,2) y por el arco de circunferencia de radio 1 que tiene su centro en el punto (0,1). www.FreeLibros.me ________________________________________M i Desarrollo ! y '« i ¡ *» \ j '4h ] | Tv>/.Vi | | La ecuación de la circunferencia es'x2 +(y ^ 1)^= 1 de donde X ’k 4%y - y La ecuación de la recta,es x +y =2\,=> x =2 - y ^ r VV.< \ •‘.'V,vV. V'\,i | j * § \ | 0 ñ')>Vj\v>- I ív.-if.-ysKs í 5 í í x dx dv = a*£¿r)¿/y = í í / r dy •i .* . r . -if - [ 2 y - y ¿ - ( 2 - y r í ( 6y - 4 - 2y~ )dy r , \ i l¡m»; í i’ ,;.í 11hív ni; 'í;’í 7. "jo.b v ”i — • * - v ¡ ! s I L 3 ■• f -y V*Sfr 8) _ (3_ 4)] 23 f 5 A •o Oh...) = —[ 5- —] = — 2 3 6 oIloTm/'jCI J tS"í*.¿i*T»r«4 VkKV-VÍ'Í*<VÍ»VV* «W M kW m 2147 íí; dxdy *.■ • u i X\ 1 *i*í 3 ww , donde S es la parte del círculo de radio a, con centro en el TV> V f \ -j | l .... ;vV V o 7 ¿r - . r j f * i —------ , ¡*i ■* , | 7» f ’l . | púito €)(0;G) situado en elvpnjnfer cuadrante. ■' - í. i íl Desarrollo t 0)-y" V -9’1 A ” I i 8 "i ■-Oy ■% 4 *a-fimaqióad«J íL ^«nferencia es r i / ¡o www.FreeLibros.me 314 Eduardo Espinoza Ramóh 2148 í s i dxdy i i 2 sja~ ~x - y •> ¡mi a X ( dy J a 2 2 2 x ~ y -)¿/x aresen 2 = 1 2 ..2 / ¡~~2 2 Va - a dx Va - x o (aresen 1- aresen O)dx ) , / * - / o ,7TX / " /ZY/ ^ i O í f 7 ¿/x dy , donde S es un triángulo con los vértices en los puntos 0(0,0), A( 11) y B( 1,1). Desarrollo f f í v ^ , = f ( f v JJ Jo l x y ? x - y” - k : í í y r T 7 x y _ / A , í :- \¡x~ y +— aresen —I/ ax ' 2 x / -x x~ x [(0 -f-— aresen 1) - (0+— arasen(~ 1)]dx 2 í m x- x (— aresen 1+ — aresen 1)dx 2 2 dx X37T ‘ 1 71 0 6 y www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 315 2149 2150 JP x y - y d x d y , donde S es un triángulo con los vértices en los puntos 0(0,0), A(10,l) y B(l,l). Desarrollo JP xy - v dx dy — í « n xy —y dx)dy = f — J )3> 7 ~ / l0> -(xy - y - ) - j dy s Y ‘ l 3 1 / í ^ A(10,1) -!J ( Q j ^ - 0 )d I ^ i =l 8. Í y 2dy = 6 v3 j ^ 0 1 X í í ey d x d y , donde S es un triángulo mixtilíneo OAB, limitado por la parábola y = x y por las rectas x = 0, y =1 íí X e dxdy = j f ( jf e' dx)dy = j e1’ j ^dy www.FreeLibros.me 316 j Eduardo Espinoza Ramos 1 Í 2 j «*»•*, (yey - y)dy = (i v' - e1’ •~ ) / = (e- e~4 ) (0 - 1- 0 )- 2 / 0 2 2 2151 íf: x dxdy — , donde S es un segmento parabólico limitado por la parábola x + / y#i, y X y por la recta y =x Desarrollo íí: S xdxdy 2 2 x +y ( f , - J dy n yix = t x ( - a r c t g - ) l zdx = f ' A J ' v +v" J) -v x I -- J , (arctg 1- arctg—)dx m2 I (-— arctg—)dx J) 4 2 ' 2 t n x x , . . ¡ h í =[— - x arctg - +ln(4 +x“)] / ». 4 2 / o ■; I,í ■■V ;J'J'i /*•*•;i / — + In8)~(0 + ln4) = ln2 2 Y 4 i!? i í 2152 Calcular las siguientes integrales y dibujar los recintos a que se extiende a) f * í +cosx 2 y senxdx Desarrollo Í0 < X < 7T Sea Z):^ , graficando [0 <y <1 +cosx www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 317 íí y sen x dx dy = +COSX f f T 3 l 4 - r n <; r 2 I v sen x / 1+C0SA y sen x dy)dx = I -— j dx s T j - 1,l+co“ ,‘ (1 +eos jc ) senx dx = — . 3 Jb , I 3 / K o 12 1 [0 - 24] b) H y 4dy Desarrollo Sea D : 0 < jc < 71 2 , graficando cosx <y <1 15tt —16 150 www.FreeLibros.me 318 Eduardo Espinoza Ramos c) n i *3cosv J > 1 * 2 ___2 sen ydx Desarrollo Sea D : < 7T 71 <y < - 2 2 0 <x <3 cos y t i íí x2sen2y dx dy = M f&cosy 2 2 x sen ydx)dy n 7i 3____2 Í 2 x sen y / 3cosy , f 2 3 2 * / «F= 9 cos y sen y dy * 3 / o JL* 2 72T „ 5 , , 2 x 2 » sen y. /y 9 I (1- .sen >-)■*<?« cos 3; ¿fy = 9(— -----------—) j 2 2 Antes de resolver los problemas del 2153 - 2157 se recomienda hacer los dibujos correspondientes. 2153 Calcular la integral doble I I xy2d x d y , si S es un recinto limitado por la íí .2 parábola y —2px y por la recta x = p. Desarrollo www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 319 íf Í pJ2 pp ( I , xyzdx)dy psí l JV Í P^2 2 2 „ / f / ¿ * 2 p í V2 2 2 6 PV2 2 8p2 = ( / y y 7 , / P ^ _ 2 p 5yÍ2 &p5y¡2 _ 5^2 (2 _i_) 4^2p5 6 56/2" • -pd2 »/ 56 3 7 21 J P 2154 Calcular la integral doble | J xydxdy que se extiende el recinto S, limitado 5 por el eje OX y la semi circunferencia superior (x - 2)~ + y =1 Desarrollo v i y=s/i •(x- 2)2 íf xydxdy = ( í xydy)dx •1) www.FreeLibros.me 320 Eduardo Espinoza Ramos 2155 Calcular la integral doble íí dxdy , donde S es un circulo de radio a, tangente 2 a - x a los ejes coordenadas y que se encuentra en el primer cuadrante. Desarrollo La ecuación de la circunferencia es: ( x - a ) 2 + ( y - a ) 2 = a2 Y ' L ( (a.a) \ a ----------|---------- j U. i j v ¡ y \ 0 a X y = a±yj a2 - ( x- a) ' íí dx dy 2 a - x r e •Ja2-{x-a dv -Ja2-{x-a)2' 2a~* )dx — -— [(a +aJa2- ( x - a ) 2) - ( a - y]a~ - ( x - a ) 2)]r/.r 2 a - x r 2 a - x " J 5 dx - —a-j2a 2a - x 3 2156 Calcular la integral doble J J *y d x d y , donde S está limitado por el eje de s abscisa y el arco de la cicloide x = R(t - sen t), y = R(1 - eos t), 0 <t <2n Desarrollo í (l-COSÓ - eos t)dt I y dy f f R , 5 i (l +cos¿) dt ~ — R k 2 www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 321 íf 2157 Calcular la integral I I xy dx dv en la que el recinto de integración S está s limitado por los ejes de coordenados y por el arco de astroide x - R eos t y - R sen31 , 0 <t < — 2 Desarrollo 2 2 3 [ a*- x 3)2 4 5 2 7 f f Ma3-x3)~ j mR ^ ^ I J.xy£/x¿/y = I xdx I y dy = — I (R2x - 3 R 3x3 +3 R3x 3 - x 3)dx 80 9 2158 Hallar el valor medio de la función f ( x , y ) = xy~ en el recinto S ={0 <x <1, 0 <y <1}. INDICACIONES.- Se dá el nombre de valor medio de una función f(x,y) en e. redn.o S al dañero -onde S en e, 5 denominador señala el área del recinto S. Desarrollo Calculando el área del recinto S www.FreeLibros.me 322 Eduardo Espinoza Ramos 2159 S - dy ~ dy)dx - dx = 1 f J j*/ (x, y) dx dy - J *Jxyzdxdy V- 1 6 / o 6 Hallar el valor medio del cuadrado de la distancia del punto M(x,y) del circulo 9 9 9 ( x - a) + y < R al origen de coordenadas. Desarrollo A la distancia del punto M(x,y) al origen elevado al cuadrado denotaremos por: / (x, y) =x2 + y 2 , luego tenemos: y *a+R *jRz-(x-aY / = — I ( I (x2 + y 2)dy)dx >2 , \2 R‘ f +/? -i _£. (x 2^ R 2 - ( x - a ) 2 + ~ ( ^ 2 ~( x ~a) 2)2)dx = a2 + R f = a2 + www.FreeLibros.me integrales Múltiples y Curvilíneas 323 1.2. CA M BI OS DE V A RI A BL ES EN L A I NT EGRA L DOBL E, 1ro. I NTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS POLARES.- Cuando en la integral doble se pasa de las coordenadas rectangulares x e y a las polares r, 0, relacionados con Jas primeras por las expresiones. j x ~r eos 0 , y := r sen 0 Se verifica la fórmula íí / (x. y ) dx dy = I I / ( r eos Or sen 0 )r dr d0 S Si el recinto de integración S está limitado por los rayos 0 -a, 0 =jó (a < y por las curvas r = t \ { 0 ) y r = r->( 9 ) donde r,{ 0 ) < r , ( 0 ) y además son funciones uniformes en el segmento a < 0 <p, la integral doble se puede calcular por la fórmula. f {0 yr) r dr dO ú V'! . va S Í 2' (0) f (<9, r)r dr donde F(r,0) = f(r eos 0, r sen 0) (0) F(6,r)dr se considera constante la magnitud 0. 0) • , ' ■ • ' , . , Si el recinto de integración no pertenece a la forma examinada, se divide en partes, de manera que cada una de ellas represente de por sí un recinto déla forma dada. al calcular la integral I www.FreeLibros.me 324 Eduardo Espinoza Ramos 2160 2do. INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS CURVILÍNEAS.- 1 En e! caso más general, si en la integral doble I h , y) dx dy se quiere pasar de las variables x, y a las variables u y v relacionadas con aquellos por medio de las expresiones continuas y diferenciables. x = <p(u,v), y = \j/(u,v) que se establecen una correspondencia biunívoca y continua en ambos sentidos, entre los puntos del recinto S del plano XOY y los puntos de un recinto determinado S ’ del plano wo’v, al mismo tiempo que el J acobiano. / = £(*> y) D(u, v) conserva invariable su signo en el recinto S, será valida la fórmula. Los limites de integración se determinan de acuerdo con las reglas generales sobre la base de la forma que tenga el recinto S '. Pasar a las coordenadas polares r y 0 y colocar los limites de integración para las nuevas variables en las siguientes integrales. j f dx J f ( x, ’s, v i»/ y)dy Desarrollo www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 325 2161 2162 Sea* 5 r o <jc <i O<y <1 x = r eos 0 , y = r sen 0 íf /( * , y) dxdy = H f ( x, y ) dy ‘ 7t 1 f 4 d6 | C0S<9 / (r eos 0, r sen 0)r dr + 7T 1 f (r eos O, r sen G)r dr í n x í /(^ d x 2 + y 2)dy Desarrollo Graficando la región sobre el cual se integra Pasando a coordenadas polares x = r co§ 0, y =r sen 0 r fXK dx 1 /'(V- x2 + y2 )dy = M C0S<9 f ( r )r dr í í / ( x, y) dxdy donde S es un triángulo limitado por las rectas y = x, y =-x, e y = 1 Desarrollo Graficando la región S se tiene: www.FreeLibros.me 326 Eduardo Espinoza Ramos 2163 Pasando a coordenadas polares x'= r eos 0 , y = r sen 0 H 3;r T tr 4 dO I / (/eos9, r s en0) r dr n-)dy Desarrollo Sea S : 1<X <1 X* < y < 1 graficando la región S se tiene: , Pasando a coordenadas polares x = r eos 0 , y = r sen 0 j t senO Í dx Í / {—)dy = F d6 ícos 6, f ( í g 0)r dr + Xi Jx2x X X 3 K +^ d d J R / (tg @)r dr + sen 0 eos2 # f ( t g0 ) r d r NOTA.- Como y - x 2 2 a» ^ sen 6 r sen ü —r eos 6 => rj = 0 , r2 =----- — eos 0 2164 íf /( * , y ) d x d y , donde el recinto S está limitado por la lemniscata ( x2 + y 2)2 = a 2(x2 - y 2) www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 327 Pasando a coordenadas polares x =r cos 0 , y =r sen 0 4 2 2 o /i r - a r cos20 r =O, r = a Veos 2# íí / O , y) dxdy = M Veos 2# dO I / ( r cos O, r sen 0)r dr + + E - í Veos 2$ / (r cos 0 , r sen 0)r dr 2165 Calcular la siguiente integral doble, pasando previamente a coordenadas polares J ' Jydxdy donde S es un semicírculo de diámetro a con centro en el a punto C(—,0) La ecuación del gráfico es: ( x - ~ ) 2 + y 2 = — 2 •* 4 www.FreeLibros.me 358 Eduardo Espinoza Ramos 2166 x2 +y 2 - ax - O v - Ma x - x como x =r eos 0 , y = r sen 0 entonces r2 - a r cos# = 0 => r = 0, r =acos0 íí 71 y dxdy = M pacosO K r sen 6 rdr f T S“ V acosé? de o 71 3 3 -—[0 - 1] =— o 12 12 Pasando a coordenadas polares, calcular la siguiente integral doble Jf ( * 2 + y 2)dxdy que se extiende al recinto limitado por la circunferencia x2 +v2 =2 ax Desarrollo x2 y 2 - 2ax ( x- a)2 + y 2 =a2 pasando a coordenadas polares x =r eos 0 , y =r sen 0 r = 2ar eos (9 => r 2a eos 0 r .rdr)dO = 2 ÍT/ 4 , 2acosé? 0 71 1 f 2 4 4 ^ _ 4 f 2/ l +COS2<9, 2 d0 = — I 16a eos OdO =%a 2 Jb f 1 y d d www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 329 2167 2168 =2 a T ^l (1 +2 cos 2#+ eos2 26)d9 - ' z Calcular la siguiente integral doble, pasando a coordenadas polares JJvü~~ " >’2 donde el recinto de integración S es un semicírculo de 5 radio a con centro en el origen de coordenadas, situado sobre el eje X. Desarrollo y = \ f a2- x2 /o o r =VéT - x" JP a - x ~ - v dxdv s £ /*Ja2-x~------------------- ( I yja1 - x 1 - y~ dy)dx re 2 JT2 ( f V« 2 ~ r 2r dr y i 0 = j 2 (a2 - r 2)* j "dO = j 1 ° * 3 / o 3 Calcular la integral doble de la función f(r,0) = r sobre el recinto limitado por la cardiode r =a(l +eos 0) y la circunferencia r =a (se considera el recinto que no contiene al polo) Desarrollo J JP / (x, y) dx dy = | xjx2 +v2 dxdy = 2 K b í z(l+COS#) r~dr)dO www.FreeLibros.me 330 Eduardo Espinoza Ramos 2169 2170 2a'J f i r [(l + cos0) í f 2 a \¿ t, „ „ i (eos' 0 + 3 eos' 0 + 3 cos 0) d6 i i 71 Z.L. 3 (—-+ )a 2 9 Calcular la siguiente integra! pasando a coordenadas Desarrollo J ki * J a " - A' 2 _________________ dx y x 2 + y 2dy i Jo Sea D: < 0 < x < a 0 <y <s¡a2 —x~ x ~r cos 0 y = r sen 0 => dx dv = r dr d0 F — t r + y"dxdy = I ( (W 71 a -x y¡'x2+ y 2dy)dx = j* ( r.rdr)d0 D 71 3 r 3 - a / a__ ü^ f 2 3 / o“ l l a- 12 ... a k do ------ Calcular la integral siguiente, pasando a coordenadas polares ¥ ~x2 - y 2 d x d y y donde el recinto S está limitado por Ja hoja de lemniscata ( a “ + v~)~ = a" ( x “ - y ) , x > 0 www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 331 2171 Desarrollo í x = r eos 0 4 ? *> o o < ==> r - a~r1' (cos“ 0 - sen^0) y - r sen 0 0 *7 / r“ = ¿r eos 26^ =>r =a\¡ eos 20 , Graficando • « ______________________________ « — «/Veos 2# _________ ^y j a^- x2, - y 2 dxdv =2 j ( sí a2 - r 2 r dr)dO s a3 , n 16V2-20 2 3 ( ~ ^ ) 2 ,2 Caleular la integral doble | | J l dxdy , que se extiende al recinto S, 2 2 y y limitado por la elipse — +— =1 , pasando a las coordenadas polares ¿r ¿r x y generalizadas r y 0 según las fórmulas — - r eos 0 , — =r 0 a b : ■ '"i- • < . j \ i; Desarrollo www.FreeLibros.me 332 Eduardo Espinoza Ramos 2172 .Y a y = reos O jc = arcos O v =br sen 9 J( r, 9) = ÍJ <?(*, y) d(r,0 ) '1- a ar or cy dr 2 » 2 dxdy ex 89 dy 89 a eos 9 —arsen 9 b sen 9 br eos 9 a b r , Graficando abrdr)d9 = ab f d9 = 2abn Transformar la integral f dx f f ( x , y ) d y , (0 <a <p, c > 0) introduciendo J ) Xxx las nuevas variables u =x +y , uv =y Desarrollo Como x + y =u y —uv í x = u( 1- v) J(u, v) = d( x, y) d(u,v) \y- uv dx dx du dv dy_ dy du dv , de donde V, 1 - V - u V u u www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 333 2173 calculando los limites de la integral x - 0 , u - 0 para < C 9 y - ax - uv , v a 1 —v 1+ a p uv v = u . v = a 1+ p X dx I f ( x £ ( 11' f ( u ~ uv>uv)u da )dv f - f 1+a Efectuar el cambio de variable u = x + y, v = x - y en la integral H dx I f ( x, y ) dy Desarro llo X -f y - u x - y = v y U + V ~2 u - V J (u, v) ~ dr dr 1 1 d( x, y) da dv 2 2 5(m, v) dy dy 1 i cu dv 2 2 Sea D 1 0 <.v <1 [0 <y <1 2 1 D 0 1 ; Calculando para x = 0 , v —--a ¡y - 0 , v =u } x = 1 , /./ +v =2 |v --1 , a ~ v - 2 www.FreeLibros.me 334 Eduardo Espinoza Ramos 2174 v - u - 2 íí f { x, y ) dxdy dx f ( x. y)dy = 1~~~)¡ «A»* v) !^ll dv D R f*C/,ír'!r" i'H" i/ + v u - W-Vw ( , f2 v„ w+v i/ - V , -— -)du + | rfv J / ( —— ,-y-) ¿/w] Calcular la integral doble j J í /xJ y, donde S es un recinto limitado por la 5 i i i i .x“ y“ 2 *“ v“ curva (— + — ) = — a~ o n k I NDI CACI ÓN.- Efectuar el cambio de variables x = arcos0, y = brsen0 Desarrollo * 2 2 2 2 x y i x v Como la ecuación es: (— +—;-Y = —r - ~ , entonces a2 b2 h k¿ www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 7 7 7 0 a o ct eos*0 b sen 6 r f = - ------------ -— ) de donde el limite inferior es r =0, y el limite h k Ur o b2 superior es r J — cós" O - s e n~6 ! r k~ a1 ' 62 como r debe ser real entonces — cos~6 - —- sen10 >0 , de donde para el h k~ Qfr primer ángulo coordenado, tenemos que tgO < — bh Luego por simetría del campo de integración con respecto a los ejes, se puede calcular basándose en el 1er cuadrante multiplicado por 4. 1Hv‘ 4Í oh f a' i /> t ... A -~cos~ 0,1 m »lr d u s ’ 0 — --s en"6 abr dr s a2 ó2 ak ab = ab[(—r - 7T )arctg(—r + — )] h~ k~ bh hk I X CÁLCULO DE AREAS DE FIGURAS PLANAS - lro . EL AREA EN COORDENADAS RECTANGULA RES.- E1 área S del recinto plano (S) es igual a: Si el recinto (S) está determinado por las desigualdades a: a <x <b, cp(x) <y <v¡/(x) de donde se tiene: ¡■K*) s = dx dy «7 • www.FreeLibros.me 336 Eduardo Espinoza Ramos 2do. EL AREA EN COORDENADAS POLARES.- Si el recinto (S) está determinado en coordenadas polares r y 0, por las desigualdades a <0 <p, f(0) <r <g(0), se tiene: 2175 Construir los recintos cuyas áreas se expresan por las siguientes integrales: a) H: dv b) f dy dx va- v Calcular estas áreas y cambiar el orden de integración. Desarrollo a) Sea S : - 1<v <2 x2 <y <x -f 2 , graficando 2 t -» X X / " 5 - (— +2x ) / 2 3 / - (x +2 - x2 )dx = 4— i 2 Í 2 M+2 H p/C p/v c/x J dy = j dy J ¿/x +J dy Jj dx b) Sea 5: 0 < y < a a - y < x < yfaA~ y - , graficando www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 337 2176 I , 2 2 [a - y dy m dx ( ^ - y 2 - a + y)dy r v T a* y y ^ i / a - [ - yja - y ~+— arcsen{-) - ay +"—] / 2 2 a 2 / o 2 2 a K a 4 2 X s = f p / á ^ - J 2 p / ? - A ' 2 dy I dx = I dx I J a - v Jo J a - x dy Construir los recintos cuyas áreas se expresan por las integrales. i r c t g l fñsecO a) [, dQ | rdr n b) (1+COS0) dO I r dr M Calcular estas áreas. Desarrollo a) f r c t g l *3 sec 0 *arctg2 2 3sec# 9 " I j / o ¿í , = 2 4 4 4 £ r c t g l sec2 6 dQ 9 2 . arctg 2 Q Q « . « / . - f p - o - j 4 b) /r M 2 (l+cos¿?) /T 2T *3 / tf(l+cos$) ¿7 r¿r = I" — / d&=- , £ 2 / a 2 J Lí 2 2 /r ñ [(l + cos¿7)“ -l]¿/6> www.FreeLibros.me 338 Eduardo Espinoza Ramod i 1------ —* 2177 2a a 2a ^ d x í = ± d y + t d x i - d y +f í/xf dv A 2a pT 2x - a J 3 4 dx + a 2 X p 2a —3x . l a dx + I ---------- dx = ------ 2 k 2 120 5 2 2178 Calcular el área de la figura situada sobre el eje OX y limitada por este eje, la parábola y 1 - 4ax y la recta x + y = 3a. Y ♦ Desarrollo Calcular el área limitada por las rectas x = y, x =2y, x + y = a, x +2y = a, a >0. Desarrollo www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 339 2179 2180 Calcular el área limitada por la elipse ( y - x)~ +x~ - 1 Desarrollo \J\ —x A f & \ d y = f [ix+& ) - ( X- ^7 )dx J -l Jv—\J 1—.Y2 j-l = J* 2 \ J \ - x 2<dx = 2[~ Vi - a*2 + aresen x] j =2[(0 +~) - (0 - —)] = n 4 4 Hallar el área limitada por las parábolas >’ =1Ox +25 , y " - - 6x +9 /ís 9 - v r/v Vil r - 2 5 10 dx 5 9 - v2 v2 - 25 V í / 6 10 )</v iVÍ5 15 v i 5 Vis 15^ ' 3 7-VÍ 5 4 [(15V15 - V i5) - ( —15n/Ts + VÍ 5) - 4( 207l 5) =^(V í 5) 15 3 15 www.FreeLibros.me 340 2181 Eduardo Espinoza Ramos Hallar el área limitada por las siguientes líneas, pasando a coordenadas polare x2 +v2 = 2 x , x2 + y 2 = 4jc , y = x, y = 0 Desarrollo x - r cos 6 v = r sen 0 r 2 = 2 r cos 6 ir = 2 cos 0 => \ r2 =4rcos# [r = 4cos# r =4 cos 0 r =2 cos 0 Í í ? cos0 f c r 2 , 4co*0 1 ñ 7 2 d 0 \ r dr = — / d0 = - \ (lóeos2 0 - 4 eos2 0) d0 •feeos# J ) ^ 2cos# 2 A = n /T A = 6 J r eos2 e de = 3 J r <1+eos 26>)í/6>= 3(6» + sen^ ° ) n sen 2 , /rkx, 3/t 3 1 3[(— 1---------)~(0)]—-------1— •• A —3(— 1— ) 4 2 4 2 4 2 2182 Hallar el área limitada por la recta r cos 0=1 y la circunferencia r =2 (se considera la superficie que no contiene el polo). Desarrollo www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 341 2183 2184 n 71 r = sec 0 A = 2 •*) «sec# r dr — t ! d e sec O A P (4 - sec2 9) d0 = (40 - t g 0 ) j J A - l í - S Hallar el área limitada por las curvas r = a(l+ eos 0), r = a eos 0 Desarrollo 71 7(l+cos60 A = 2 Í - (1+c< 2der •1/COS# r dr +2 H ,(I+cos6') 5 r dr = i i i i x y~ i x~ y~ Hallar el área limitada por la línea (— + -—)“ =---------- 4 9 4 9 Desarrollo Sean x = 2 r eos 0 = 3r sen 0 => dx dy = 6r d0 dr www.FreeLibros.me 342 Eduardo Espinoza Ramos r A- r2 (eos2 0 - sen^O) => r =0, r - Veos 20 — eos 2/9 *— 2 c7/í 6rrfr = 2 4 F ^. / = 12 •Í^C O S “ /T / 4= / o 2185 Hallar el área limitada por la elipse (x - 2>’ +3) +(3x +4v- l ) Desarrollo Sean <( f m=x - 2 y +3 2 u +v- 5 [v = 3x +4y- l x = V = v —3í/ -f- 10 ÍÓ Calculando el J acobiano se tiene: J(u, v) c(-y,.v) 5(u,v) A » JJ 'dxJ, = Jf CX dx 2 d u di’ 5 cy_ dv •/ 3 d u CV 10 J(u, v) I du dv = 5 10 2+J L-_L 50 50 10 10 í f R R 2 =100 v r= 10 donde /?: u2 + v2=100 www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 343 5 H / 71 10 1 dO = - o 5 r \QOd0 = 2OO/ 2 / o A = IOtt 2186 Hallar el área del cuadrilátero curvilíneo limitado por los arcos de las parábolas x2 = a y , x2 - by , y 2 = ax ,\v2 =/?x (0 <a <b, 0 < a <P) V 1 ^ S < Desarrollo y y X - a a = P u - — , a •> 3 => ;> uv 1 r y = 3 V’3 2 I X = / C V3 Calculando el J acobiano se tiene: 4 ’5. www.FreeLibros.me 344 Eduardo Espinoza Ramos 2187 J(u, v) = o(x, y) d(u,v) dx du cy_ du dx dv dy dv _ 2 2 2 — - 2 - a 3v3 ir* - íí A = I \dxdy = I || J(u, v) |du dv = 3 9 O 1 i í 1 - w J - 3 3 1 2 2 — lt?V 3 3 ? ■> m3v 3 ]_ 3 ¿/v D R R V - i p v ’■ R a 0 a b u íí A - | | dx dy ~ \ \ du dv - i * ( ' * . * X X 3 D R Hallar el área del cuadrilátero curvilíneo limitado por los arcos de las curvas y 2 =ax , y 2 = b x , xy =a, xy = P (0 < a <b, 0 < a <P) Desarro llo www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 345 y x y X a = b v u , a <u <b xy xy a p v =xy, a <v <p R = {(u,v) / a <u <b, a <v <p¡ y vi x xy = v y =uv i i y - i/3v3 _i ± x - u 3V3 J(u, v) cj xyy) 3(«,v) 2 -i dx dx 2 — - — u 3v 3 2 -- -- — u 3v 3 ---- — du dv 3 3 dy dy 1 - - - - u 3v3 3 1 - - - —t/ 3v 3 3 du dv 2 _ - — u i _ 4 A = 9 u J( u, v) \ dudv = - 9 J J u 9 rV f du i d v i - D R R y* * 9 a 9 a 7.4. CALCULO DE VOLUMENES.- E1 volumen V de un cilindroide, limitado por arriba por la superficie continua z = f(x,y), por abajo por el plano z = 0 y lateralmente por la superficie cilindrica recta que corta en el plano XOY el recinto S es igual a: www.FreeLibros.me 346 Eduardo Espinoza Ramos r • v = \ f ( x, y ) dxdy J « i ' :; , . 2188 Expresar, por medio de la integral doble, el volumen de una pirámide cuyos vértices son 0(0,0,0), A( 1,0,0), B( 1,1,0) y C(0,0,1), colocar los limites de integración. Desarrollo www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 347 íí V = I \ f { x, y) dxdy í * í (1 - x)dx ti m , d ' í (1 - x)dy 2189 En los problemas 2189 - 2192, hay que dibujar los cuerpos, cuyos volúmenes se expresan por las integrales dobles que se dan. H ( l - x - y ) d y Desarrollo Sea D : 0 <x <1 0 < y < 1 - jc La parte sombreada es la proyección del sólido. 2190 2191 Desarrollo www.FreeLibros.me 348 Eduardo Espinoza Ramos 2192 2193 Sea D: < ÍO <x <2 0 <y < Vi - x f"vI (4 - x - y ) d y Sea D: 0 <x <2 2 - x < y <2 Desarrollo Dibujar el cuerpo, cuyo volumen expresa la integral f •> 7 ia —x~ dx I y[a2 - x 2 - y Zdy , y basándose en razonamiento geométricos,. hallar el valor de esta integral. Desarrollo Sea D : 0 <x <a 0 < y <^ j a2 - x 2 / 2 2 2 , z = yja - x - y www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 349 2194 Hallar el volumen del cuerpo limitado por el paraboloide elíptico 7 7 z = 2a" +y“ +1, el plano x +y - 1 y los planos coordenados. Desarrollo Sea D : x —0, y =0, z =0 x +y =1 planos coordenados proyectado al plano XY se tiene: V = H - J f í 3 (2a + y +1 )</y —I [-2a + 2a —a +1 + -]í/a www.FreeLibros.me 350 Eduardo Espinoza Ramos 2195 2196 2197 _ x4 2x* x 1 (1—jc)* 3 3 =[----- +------------- +x----------— ] = —u 2 3 2 12 4 Un cuerpo está limitado por el paraboloide hiperbólico z = x " - y ' y los planos y = 0, z =0, x = 1 calcular su volumen. Desarrollo ' - H í (x“ - y )dy = I (x dx o (xJ - — )dx = — I x c/x 3 3 í 4 - / 6 / 1 1 6 / o 6 F =- H 3 6 Un cuerpo está limitado por el cilindro x +z - cr y los planos y = 0, z =0, y =x calcular su volumen: Desarrollo f i f i ¿z - x ' d v V = xsfa2 —x2 dx —— u2 3 Hallar los volúmenes de ios cuerpos limitados por las superficies siguientes: ? 2 ^ ? ¿zz =y" , x +y~=r“ , z = 0 Desarrollo www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 351 2198 y - Va , y = 2\[x , x + z = 6, z = O Y * Desarrollo y = 2 s/x ^ \ H \ l n 0 " V ^ C D X £ yfx V= (6 - x ) d y V = (6 - a ) V * é/a = ^ a/ ó 2199 z = a 2 + v2 , v = a z , y = l , z = 0 1 ^ (a" +y“ )cly)dx ¡i ><v; www.FreeLibros.me 352 , Eduardo Espinoza Ramoé ..... , .•- 1 1 1 1 1 1 1 L 4------ I— ) — ( ------ 4- — - — — 21 5 3 3 / -i 21 5 3 3 21 5 3 3 2 2 +4_ 88 21 5 3 105 3 .Y 2200 x 4 y 4 z = a, 3x +y = a, — +y = a , y =0, z = 0 Desarrollo a 18 2 T2 i 2201 — 4 - = 1 , y = —x, y = 0, z = 0 tí" c « Desarrollo www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 353 2202 V f ‘f b f ( f ^ Jo Jo ^ 2 - x2 dy)dx i) a- l o ¿r J-) jc" jcdx abe 9 9 jc + y = 2ax , z = ax, z =|3x (a >|3) Desarrollo Proyectando al plano XY se tiene: 2 9 o ^ 2 ; r + y" = 2ax => (jc - + y“ = a x = r eos 6? < => dx dy = r dr d0 [y - rsen6 Í - ÁüacosO ' A (a - f))r eos 9 r dr)d9 V = ( a - f i ) £*f 2 « eos 0 r eos Odr)dO = ( a - f i ) 2 r eos# i 2acos'* ----------- / du / o =( » - / » p 8“3c°s- g ^ =8‘,,(<,- w ■* 3 9 2 eos4 0 d9 7T 71 8a- (a - /?) 2 2 + C O S 2 6 J -> f / 1 2 j L í 2a ( a - f í ) \ i (j +2eos 2#+eos2 www.FreeLibros.me 354 Eduardo Espinoza Ramos — ............— ..... - g .................................— 2203 71 2a ( a - f í ) [2 3 . „ cos4<9 1 (—+2 cos 26 + )dO 3 1 ^2 2 2 71 2a- (a - p) P J_£ 2 _ cos4¿? , _ +2 eos 2# -i---------- )d0 7T 2 a ~\ a ~P) r3& __ senAO / -> — [— +sen 20 +---------] / ~ 3 2 8 / --- 2 3 4 4 F = a ' 7 r ( a - P) En los problemas 2203 - 2211 empléense coordenadas polares y generalizados. Hallar el volumen total del espacio comprendido entre el cilindro x“ + y - = a 7 2 7 7 y el hiperboloide x +y - z - a Desarrollo x - r eos 0 Mediante coordenadas polares se tiene: [y = rsenO dx dy =r dr d0 www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 355 V = 2 ^ r dr)clO = 2 + r^)2j dO V = | f (2a2 V ía - a3 )¿/ 0 =| C~/T í <2^ -Y)a*dO 3 _ 4avr (2V2 -D 2204 Hallar el volumen total del espacio comprendido entre el cono 7 7 7 7 7 2(x~ +v’ ) - =0 y el hiperboloide x~ + r z ‘ Desarrollo 7 7 7 = —a" Proyectando al plano XY 0 0 0 2(.r + v ) = r ‘ x +v~=z“ —a“ ~ , 7 7. 2 2(z - a ) - z => a 1 7 T Luego x“ +v" - a" F H t . /*2/r Vr2 +a2 - y¡2r)rdr)dO = 2 I *2;r I [(2a2 V ia - V i a3) - (a3 - 0)]¿/x r 1/ 2 2X7 VI r" ¡° [—(r +a ) - ] / dO 3 3 / o F = *2/T I (a3V I - a 3)í/^= ^V ( 72- 1) www.FreeLibros.me 356 Eduardo Espinoza Ramos O O O O O 2205 Hallar el volumen limitado por la superficie 2ax =x +y “ , +y - z - a , z =0. ? 2 1 v~ y r “ 2206 Determinar el volumen del elipsoide — 4- — +— =1 a" b“ c“ Desarrollo 2 i X v~ z ~ — + =1— — proyectando al plano XY, z = 0 cr b~ c~ www.FreeLibros.me integrales Múltiples y Curvilíneas 357 V = 2 z dxdy = 2 H O 7 i C - v \ J(i i , v)\ dudv D R V = 2a¿>c* 7 7 " - du dv R V - l abe r - F ’ r r dr )dO =l abe o f 4 abe f = n 3 2207 Hallar el volumen del sólido limitado por la hiperboloide 2 a* = x +v~ y la 7 7 7 7 esfera x + y +2~ - 3a“ (se sobre entiende el volumen situado dentro del paraboloide). Desarrollo Calculando la proyección l ax —x2 + y2 2 2 2 ->2 x +y +z =3a z +2az - 3a" =0 ==>(z +3a)(z —a) —0 ? 9 ? de donde z = a por lo tanto se tiene x“+y “ =l a x = r eos 0 V — r ve/2 ó1 dx dy - r dr d0 .u, . www.FreeLibros.me 358 Eduardo Espinoza RamaÁ 2208 n V - *¿n M í a * W2 a _________ 2 ( (z2 - 2, )t/ r)£/ 6> = 4 2 ( (V3a2 - r 2 - — )r.d r ) d d 0 2 a X V = 4 ( f f*Jla [(3(3 2 - r 2) 2r - - —]dr)dO 2 a b x V = 4 1 r 4 V2* (__(3 ^ _ r 2)2 ) / 8(3/ 0 ;r F = 4 J p[(- y - y ) -(-W3a3)]^ x V - 4 ^ 3^ 6^3- 5 3 —)<3 d ü = a k 6 3 Calcular el volumen del sólido limitado por el plano XOY, el enmaro 2 ? ' x +y =2<az y el cono xz +y Desarrollo .2 , 2 2 Proyectando el plano XY -7 1 j x“ +y =2az i i i X 4- V" = Z~ => z = 2a por lo tanto x" 4 y = 4a www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 359 2209 2210 Í l-'/T Ala (I V r ( r )r dr)dO 2 a 3 4 r r 3 8a / o »/ f F = V f 2'7 — dG = 3 Jb 4a3;r Calcular el volumen del sólido limitado por el plano XY, la superficie ae - X - V Y 4 y el circulo x2 +y 2 = R2 Desarrollo X r = R V 0 / R ^ La proyección sobre el plano XY es 1 " > r , n x +y~= X í z dxdy r r ae 1 rdr)dO D V - R~ V ~ an{ \ - e "R ) Calcular el volumen del sólido limitado por el plano XY el paraboloide 2 2 2 ^ x~ v , -i- , , x y 2x -f —r- y el cilindro a 2 ' t2 a a a2 b2 Desarrollo Sean x =ar(l +eos#) V = br sen 0 dxdy = abr dr dB www.FreeLibros.me 360 2211 Eduardo Espinoza Ramoh •M V - 2 /•— ÁlcosO n abr~ .r dr)dO =2 I ab 4 . 2cos# M / : d e n K \ í V = - I " a/>(16)cos4 9 d 9 = 8 i ^¿ ( 1 +COs26>)2^6> J W ;r ;r 1 +cos4# V = 2 ¿z6(l +2 eos 20 +eos2 20) d0 = 2 afr(l + 2 eos 26 +..)d0 /í F eos 4<9 40 /r V = 2 I ' a&(- +2 eos 26» + —— - )d9 = 2ab[- 9 + sen 29 + / 2 J> 2 2 2 8 / o _ , r3;r 3 V = 2ab[— + 0] =------- 4 2 0 9 *7 ¿En qué razón divide el hiperboloide a " -i- v “ - z“ = a" al volumen de la esfera 1 o o x + v~ -f z" < 3a~ ? Desarrollo www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 361 2212 !V“ ---------- w Fj = 2 | ( | Vr“ - t/“ rdr)dO = /T F>=4 p ._( í \¡3a2 - r 2r dr)dO - • á r c e o s J — J ~ —— (óV3 - 8);zYr 3 Luego »í +* 2 =— (6>/3-4) por lo tanto la razón que divide al volumen de la esfera entre el hiperboloide es: F, +F, 3x/3 - 2 F, Hallar el volumen d el sólido limitado por las superficies z = x + y, xy = 1, xy =2, y - x, y =2x, x = 0 (x >0 , y >0) u Desarrollo y = 2x = xy de donde de donde 1 <u<2 1<v<2 xy = 1 \ xy =2 => y X y X = 1 — = 2 é ,*r\ www.FreeLibros.me 362 Eduardo Espinoza Ramoá . , ,.. además x>= u v = ^ u x = j — 1 v y el jacobiano es: J( u, v) ~- — — 2v y - yj 11V V = v = — 2 J{u, v) ¡dv)du = Ü ' S L +\fñv)dv)du v r +—^r)dv)du = (2\Í2 - 1 ) V2 3 7.5. CALCULO DE AREAS DE SUPERFICIES.- El área A de una superficie regular z = f(x,y), que tenga como proyección en el plano XY un recinto S es igual a: x y z 2213 Hallar el área de la parte del plano - +— + - = 1, comprendida entre los planos a b e coordenados. Desarrollo X V x Proyectando al plano XY se tiene: z = 0, —+— = 1 => y = b ( 1— ) a b a Yn \ www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 363 2214 x v c( 1- — f ) a b cz CX cv c a c ~b A í í s 1+ (— )2 +(— )2 dx d v dy X A = I 2 ? 1 + ~ - + ^~dy)dx - 4 y a^ bl a2 -\~b2 +( a 2 +b2)c2 a b r * ( i - £ Jb « )¿/x A J ( a 2 +b) 2(\ + c2) b / a J( a2 + b 2)(\ + c2) ab. - ) (Z?x x 2a '' A o >/. /í = —^(a" +62)(1 -fe*2) Hallar el área de la parte de superficie del cilindro j r +f - , (z > 0) comprendida entre los planos z = mx y z = nx (m >n > 0) Desarrollo Y z =mx r = R Proyectando al plano XZ se tiene: www.FreeLibros.me 364 2215 Eduardo Espinoza Ranm . A= I I 11 +( —)2 +( — y d x d y dx dv s íírwh^-Ibrr S s A = 4 r < r Jb J nx 4 r 2 2 '«a V K —X dz)dx =4R( m- n) I , A - dz r fl O /í = 47?“(a?7- /i) 7 7 7 Calcular el área de la parte de la superficie del cono jc - y = z , situada en el primer ociante y limitada por el plano y + z =a. Desarrollo y = a - z 2 2 2 x - y —z =V ? T 7 dx v yjy2 + z 2 dx _ z dz -Jy2 + z 2 I I 1 +(—)2 + (—)2dydz = A - | |V2 dydi dx dy JJ- A = \Í2 dy)dz = \¡2 - z)dz = \ [ l { az - j = a www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 365 2216 2217 7 7 Calcular el área de la parte de superfipie del cilindro x~ +y~ = ax , cortada del mismo por la esfera x2 +y2 +z 1 - a2 Desarrollo Proyectando al plano XY, (x +—)2 + y 2 = — 2 4 2 . 2 dy ex a - 2x ey 2 yfc 0 2 d z ax - x La intersección entre el cilindro y la esfera es ° .2 x" +y - ax < 1 2 2 x +v +z - a \ * •a +ja~ - ax I I I ( J • 3 • 3 * ,1 , d\ ’ 2 ,dy\ 2 J 1 [1+( t- ) +( t“) dxdz CX CZ A = 4 f*J la' - a x dz y j a x - x 2 í )dx = 2a I x 2dx - 4a 7 7 7 7 Calcular el área de la parte de superficie de la esfera x“ +y“ +z “ =a , cortada x2 y2 por la superficie — + = 1 a~ b www.FreeLibros.me 366 Desarro llo Eduardo Espinoza Ramal I 2218 cz ex dz dy a2 - x 2 1 - V A i 2 *> 0 yja -* X - V V í ? 1 1 yja - x~ - \r i-------------------------------------- — A = S I I.I1+ * í í V -f v ■> 1 j ■■> 1 2 a~ --x~ - y~ a~ - x~ —y dx dv A = a dv & x - v b )dx =8a" crxsení—) a Calcular el área de la parte de superficie del paraboloide v~4- z“ =2ax, comprendida entre el cilindro jC = ax y el plano x = a. Desarrollo y = ax )’ =6/A' v*" +z“ =2or y = ±Jax yjlax - y~ X oz Í5- a 2ax - v cz 2 C'V y v 2a.v - v m , a x 1 f ‘Jí J y . . ■s 1 a y 2 ax - y~ 2 ax - y ' -dy)dx www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 367 2219 A = 4 dy)dx =4 b V2 2 y ci x-a arcsen J 2 ax l o / yfax dx ' f l - 1 (2ax +a~ ) 2 arcsen{—j=)dx - k V 2 « 1 (2ízx + a ) 2 dx 4 - — (2ax + a ) 2 I ---- ( 3V3- 1) 3a / o 3 7 7 Calcular el área de la parte de superficie del cilindro x 4- y =2ax 7 7 7 comprendido en el plano XY y el cono x + y ' = z Desarrollo a - x -) "> / -> dv xz +v~- 2ax => v = ±V2¿/x - x" de donde — = —========= , at v 2¿zx - x calculando la intercepción se tiene: dy <7Z 0 www.FreeLibros.me 368 2220 Eduardo Espinoza Ramos Calcular el área de la parte de superficie del cono x * - y 7 7 del cilindro x + y - l ax Desarrollo 2 2 2 í z" situado dentro 7 9 7 La proyección de x - y = z~ sobre el plano XY es x2 - y 2 =0 => y = x, y = -x 2 2 x +y - ax / &\2 7 a ( x — y + y~= — 2 4 yjx2 - A = 4 I I ./I + (—) 2 + (—)2dxdy = 4 I I J 1 +— - + ‘cbc 2 2 2 2 x - y x - y dxdy r eos 6 r dr Vr2 eos2 0 - r 2sen20 )d0 A = 4y¡2 /*- ÁLacosB f ‘f eos# Veos26 - s e n 2 6 rdr)dO www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 369 2221 K A = 4V2 r eos# 9 O eos*" 0 -sen"0 y-*- .lacosd ¡ 2 1o d6 = 8/ 2/ 2 (*4 " 1 cos 0 V 7 7 cos" 0 - sen"0 de ir A =8 / >« 2 “T eos3 OdO TC 2 sen 0 - 8 / 2 / f 0 —sen" 0} cos 0 vr 2sen~0 z =sen 0 => dz =cos 0 d0 para 0 =0, z =0, 0 di A = 8/ 2 a f >r T í h ¿ B = 8„!( ^) = 3™: •Ji—l e * Demostrar que las áreas de las partes de las superficies de los paraboloides 7 7 7 7 . 7 7 7 .x"+y"=2¿/z y x ~ - y ~ = 2 a z cortados por el cilindro x + y~ = R" son iguales. Desarrollo x2 + y2 = R2 Ecuación de la superficie es: www.FreeLibros.me 370 2222 Eduardo Espinoza Ramos -*! para la superficie x2 - y 2 = 2 a z de donde — ~—, — = dx a dv a A = I IJl + (-T“)z + ( ~ Y d x d y = I IAl+?-r + ^ —dxdv s s 2 a a a ~ — I I V ^2 y ~d%dy ... (2) Comparando (1) y (2) se tiene que (1) = (2) con lo cual queda demostrado. Una esfera de radio a esta cortada por dos cilindros circulares cuyas bases i tienen los diámetros iguales al radio de aquella y que son tangentes entre sí a lo largo de uno de los diámetros de la misma. Hallar el volumen y el área de la parte de superficie de la esfera que queda. Pesarrolío La ecuación de la esfera de radio a es: 2 1 "> A* +V +z =cr => Z yja - x 2 -~y2 de donde www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 371 2223 A K rcos<9 /•/* ^ /•-- ma cose/ , s Superficie de la esfera cortada y la superficie de la esfera no cortada es: '7 9 TC *y A = 4/Ta“ - 8¿r (y -1) = 8“ , ahora calculamos el volumen que queda. reos# /•va2- / - 2 V = 8 M cos *\ <1 rdz)dr)dO 71 a reos# M e ó s e / _________ . ^ ry[a2 - r 2dr)d0 = ~~a3 En una esfera de radio a se ha cortado un orificio, con salida de base cuadrada, cuyo lado es igual también a a. El eje de este orificio coincide con el diámetro de la esfera. Hallar el área de la superficie de esta cortada por el orificio. Desarrollo La ecuación de la esfera de radio a es: x2 +y2 +z 2 - a2 V 9 1 9 a - x - y~ => dz x d.z f , p L - T4 - ^ +- T - Z l J J V ^ Jb Jb V « +JT flT-jr-y 5 = 8[ P ( P . . = = =)<&] = 8a f aresen—===== 1 2dx J , J> ^ a2 _ x2 _ y 2 J , Va2 - x 2 1 0 www.FreeLibros.me 372 2224 Eduardo Espinoza Ram\ a A =8a | arcseni—===== )dx = 9a2arctg---- 2 7 7 ^7 5 a f Calcular el área de la parte de superficie helicoidal z = c arctg —, situada en ei y 9 9 9 primer octante y que está comprendido entre los cilindros x - + y - = a ] x 2 + y 2 =b2 Desarrollo c.arctg — x dz cy dz ex y dx x 2 + y 2 ’ dy x 2 + y 2 III dz 2 2 f f I c2y 2 c2x 2 s s A = .2 . _.2 . _2 A2 . .2 j L ±Z_ ±£ ^ 4 = p ( f6^ L a ^ — rdr) dd x ^ y J ) «L www.FreeLibros.me integrales Múltiples y Curvilíneas 373 7.6. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DOBLE A LA MECANI CA.- Y , __________ ___ ler. MASA Y MOMENTOS ESTÁTI COS DE LA LAMINAS.» Si S es un recinto del plano XY , ocupado por una lamina, y p(x,y), es la densidad superficial de dicha lamina en el punto (x,y), la masa M de esta y sus momentos estáticos Mx y My con respecto a los ejes OX y OY se expresan por las integrales dobles. M ==Q p ( x yy)clxdy , M x - ^ yp( x , y ) dxdy , Mv - J J vp(x, y )dx dy „ ,.(!) s s s Si la lamina es homogénea, p(x,y) constante. , | . . . . . . . . , 2do. COORDENADAS DEL CENTRO DE GRAVEDAD DE L AS LAMINAS.- Si C( .\,y ) es el centro de gravedad de una lamina se tiene: - M ] - M x - —t- , y = M donde M es la masa de lamina y M x, M x sus momentos estáticos con respecto alos ejes de coordenadas. Si la lamina es homogénea, en la fórmula ( l) se puede poner p = 1. í ' V : i !•■. ‘ ■ ' ' ' • M 3er. MOMENTOS DE I NERCI A DE LAS LAMINAS.» Los momentos de inercia de una lamina, con respecto a los ejes X, Y son iguales respectivamente a www.FreeLibros.me 374 Eduardo Espinoza Ramos 2225 Ix = Q y 2p( x, y) dxdy s ¡ v = j T t2/?(.v, y)dxdy s ... (2) El momento de inercia de la lamina con respecto al origen de coordenadas. 7° = JJU2 +.v2 )p(x, y)dxdy = Ix + / v .v ... (3) poniendo p(x,y) = 1 en las fórmulas (2) y (3) obtenemos los momentos geométricos de inercia de las figuras planas. Hallar la masa de una lamina circular de radio R, si su densidad es proporcional a la distancia desde el punto al centro e igual a 6 en el borde de la lamina. Desarrollo Yi 1 Como la lamina es circular — r = R entonces x2 +v2 =R2 m/ De acuerdo a las condiciones del V 0 J X problema se tiene: p( x, y) =— \¡x2 + y 2 íí M ~ I I p( x, y) dxdy = x + y 'dxdy - r r R .r.r dr)d 6 s n 2 k 8 <W = - — R www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 375 2226 Una lamina tiene forma de triángulo rectángulo con catetos OB = a y OA = b; su densidad en cualquier punto es igual a la distancia desde este al cateto OA. Hallar los momentos estáticos de la lamina con respecto a los catetos OA y OB. Desarrollo (p(x,y) = x) M X í f vp( x, v) dxdy s J N ab-bx a M„= I ( " xydy)dx = ) f 2 üb~hx , 2 / o 2 r J b a ) dx 2a f b2 r , 2 3 x(a - 2ax + x )¿/x =—- I ( a~x- 2ax -fx )dx 2 a 1 J b b2 , a2x2 2ax3 x4 / a b2 , a4 2a4 a4. a2b2 2a (- + >/ — ( 1 ) — 4 / o 2a2 2 3 4 24 íf xp( x, y) dxdy = I |x = í í ab-bx r ( I * x2dy)dx www.FreeLibros.me 376 Eduardo Espinoza Ramos\ 2227 Calcular las coordenadas del centro de gravedad de la figura OmAnO limitadas por las curvas y = sen x y por las rectas OA que pasa por el origen de 71 coordenadas y por el vértice A(— ,1) de la sinusoide. 2 La ecuación de la recta es y =mx donde m = — y p(x,y) = 1 entonces: K í í 71 M — I I y d x d y - r - f y dy)dx = K 24 s p /• muen x xdy)dx = 12- ^ 12 71 /•<• peen x M = I Id!* ¿/y “ 12 ^I 1 dy)dx - 4- K - M y \ 2 - n á x - M 3(4- ;r) K M 6(4 - t t ) 2228 Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por la cardioide r = a (1 + eos (p) www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 377 2229 Desarrollo M - 2 =2 f f f«f f r dr) d( p- I a (1 +eos (py dep 3 /rar (1 +c o s ^p ) o r eos (pdr)d(p f My = ^ | a3(l + cos?>)3eos<pd(p = 5/ra' - My 5a x - 5a para 7 =0 por simetría. Luego (x, y ) = (— , 0) M 6 6 Hallar las coordenadas del centro de gravedad de un sector circular de radio a, cuyo ángulo ¿fentral es igual a 2a. www.FreeLibros.me 378 Eduardo Espinoza Ramos 2230 y 2231 Desarrollo Usando coordenados polares se tiene: A/„ - 2 r - í rr M - 2 | ( | rdr)dO - a1 ^ d O - a1 r e os 6r dr ) d0 2a a r cosOdO M 2a 3 v 3 sen 0 a 2a^sena como x M 3a , v = 0 por simetría. Calcular las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por las 9 9 parábolas v =4x +4 e y~ =-2x +4 y2 =4x +4 Desarrollo M í 4-yy ( j , ' dxyiy = 8 M,. í 4- y" 16 ( | xdx Luego x — - M v 2 M 5 y y - 0 por simetría (x>y) =(t»^) Calcular el momento de inercia del triángulo limitado por las rectas x +y - 2, x = 2 e y = 2 con respecto al eje OX www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 379 2232 Desarrollo - u <.i íf- ¡x = 11y 2p( x, y ) dxdy , como p(x,y) = 1 f íin.riwi’íí.l por ser segmentos geométricos de inercia de figuras planas Luego Ix = | ly íí l i í í / dx)dy = 4 • y *-• . <L Hallar el momento de inercia de un anillo circular de diámetros d y D (d <D). a) Con respecto a su propio centro. í> b) Con respecto a su diámetro a) íí Desarrollo [x2 + y 2) p( x, y) dxdy íí (x2 +y 2)dxdy Por ser momentos de inercia de figuras planas. www.FreeLibros.me 380 Eduardo Espinoza Ramos 2233 2234 Ahora usando coordenadas polares se tiene: D íí< 1o = l l ( x2 + y 2 • n rdr)dO = — (£>4 - d A) 32 2 D bi ' - - í í = 11 r*sen20 dO dr - f ' f r*sen20dr)d0 = — (D4 - ¿ / 4) 64 Calcular el momento de inercia de un cuadrado de lado a, con respecto al eje que, pasando por uno de sus vértices, es perpendicular al plano del cuadrado. Desarrollo 7° =J j + y 2 ^ d x d y s (x2 + y 2 )dy)dx = 2 d Calcular el momento de inercia del segmento interceptado de la parábola ... j ‘ . . f 1} , / y ? . •' ; 1; i l f ;i V| i 1I ' - ’ .*■ y 1 - ax por la recta x = a, con respecto a la recta y = -a. Desarrollo www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 381 2235 fc 2236 / Í i ax ( (v +a J-yfax x2 j xi ) dy)dx = 5 Calcular el momento de inercia de la superficie limitada por la hipérbola xy 4 y la recta x +y = 5, con respecto a la recta y =x. Desarrollo La distancia del punto (x,y) a la recta y = x es: d x - v xy = 4 o => .Y" - 5A- +4 - 0 A' + V= 5 / = — dy )dx i= ~ | ( / •fi X (a*- - 2xy +v‘ )dy)dx í / 2 2 . y ( x V -- VV i— >/ 5--v 3 dx =16 ln 2- 9— 8 4 En una lamina cuadrada de lado a, la densidad es proporcional a la distancia hasta uno de sus vértices, calcular el momento de inercia de dicha lamina con respecto a los lados que pasan por este vértice. !i 1•••, ■ ■ .i Desarrollo r 2 9 De acuerdo a las condiciones del problema se tiene p( x, y) = xjx + y~ , el momento de inercia se determina con respecto al eje X, luego pasamos a coordenadas polares. www.FreeLibros.me 382 Eduardo Espinoza Ramos 2237 2238 K /T M sec cp m- mi CSCcp kr(r sen<p)~ r dr)d(p + I ( I kr(r sen (p)~ r dr)d(p ;sc cp jF- n n k t i Ix = ~ J^4 sen2(p.a5 sec5 <pd<p + sen2(p.aJ cscJ cpdcp 4 ka5 / v=----- [ 7 ^ + 31n(V2 + l)] 40 Hallar el momento de inercia de la superficie de la lemniscata r~ = 2«" eos 2(p, con respecto al eje perpendicular al plano de la misma que pasa por el polo. Desarrollo JT mm m— miyjlcoslcp I0 = I |(jt2 + y 2)dxdy = 4 14 ( I r 2dr)d(p s n n ayj l cosl cp Í 4 . ayj2cos2cp ti A ? r I d( p- I a (4 eos 2cp)d(p = v + - 2a4( I +0) = ^ Hallar el momento de inercia de la cardioide r =a( 1+eos cp) con respecto al polo. Desarrollo r r C* pHl+coscp) fitr r 4 „(i+Cos<p) 70 = I |(x2 +y 2)dxdy = 2 I ( I r3dr)d(p = 2 I ~ / Q ^ www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 383 ’ . x . f! 2239 4 - É í - 4 1 4(l + COS0>)4</^> =—r 2 1 (1 + 2 eos <p + eos2 <p) d<p 19 aA7r .19 _ eos 4^ 2 v» (--- h5cos0 +4cos2<p +--------- - s e n (peos(p)d(p = 4 2 8 tu Calcular el momento de inercia de una lamina homogénea limitada por un arco de la cicloide x = a (1 - sen t), y = a (1 - eos t) y el eje OX, con respecto al eje OX. Desarrollo Se tiene que x = a(t - sen t) => dx =a( 1- eos t )dt ' j -j : /r-fi • >4-; •..( ■. . >. i y =a (1 - eos t) r(l-cos/) x + + fQ. n «(1-cos/) = 1 I v2dfccrfy = I ( I y 1 a ( \ - e o s t)dy)dt ?'K.' ' *i ¿r.< 3 =« r (i - eost ) ~ i a(l-cos/) a dt =— f i a* (\ - eos t)* dt o 3 www.FreeLibros.me 384 Eduardo Espinoza Ramos a4 ,35/ 7 _ . / 2;r 35/r a ,JJ¡ / „ sen h i sen i . / = — [--------1— sen------------- 21- 4 sen H-----------) / 3 6 4 16 3 / o 12 7.7. INTEGRALES TRIPLES.- si'. s • -5 ••>- • • i •* • ■'&>* - S f f .’y , Ira. LA INTEGRAL TRIPLE EN COORDENADAS RECTANGULARES.- . . . f , " k ■ : ■ ■■-, f ■ / ■ I I I I 1 ' > > '■* ■ 1 J h ■ ■ •• • • ■• v •' 6 • * * ’• 1 v i < • '• ■ * ■' . . .• ,/t» Se llama integral triple una función f(x,y,z) sobre un recinto V, al limite de la correspondiente suma triple. \ \ \ f ( x , y , z ) d x d y d z = _Jim ^^ ^ ^ f ( x ¡ , y¡. z,)Ar,A>,.Az¡ y max Av, —>0 i j k max Áz, —»0 el cálculo de la integral triple se reduce a calcular sucesivamente tres integrales ordinarias (simples) o a calcular una doble y una simple. 2do. CAMBIO DE VARIABLE EN LA INTEGRAL TRIPLE.- Si en 1» integral triple hay tpte pasa, de las variables V x, y, z a las variables u, v, w relacionados con las primeras por las igualdades x = (p(u,v,w), y = \j/(u,v,w), z = <|>(u,v,w) donde las funciones <p, \j/, <|>. Son continuas, junto con sus derivadas parciales de primer orden. Establecen una correspondencia biunívoca continua en ambos sentidos entre los puntos del recinto de integración V del espacio OXYZ y los V puntos de un recinto determinado V %del espacio O'UVW y El determinante funcional (jacobiano) de estas funciones es: www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 385 J {u,V, = y, z) d(u,v,M’) CX dx dx dw CZ cu dv dy dy du dv dw cz cz dz du cv dw Conserva invariable su signo en el recinto V, entonces, será válida la fórmula. I x, y, z)dxdydz = ÍÍJ/w‘ i, v, w), y/(u, v, w), (p(u, v, w) |J(u, v, vv) |du dv dw v v En particular: © Para las coordenadas cilindricas r, cp, h r x =r eos cp, y =r sen cp, z =h obtenemos que J(r,cp,h) =r © Para las coordenadas esféricas cp, vp, r ( 9 es la longitud, vpla latitud y r el radio vector) donde x = r eos vpeos cp, y = r eos vpsen cp , z =r sen vp 2 2 tenemos J((p,y/,r) = r eos y/ www.FreeLibros.me 386 Eduardo Espinoza Ramos 3er. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES.- E1 volumen de un recinto del espacio tridimensional OXYZ es igual a: *- La masa de un cuerpo que ocupa el recinto V donde y(x,y,z) es la densidad del cuerpo en el punto (x,y,z). Los momentos estáticos de un cuerpo, con respecto a los planos coordenados son: • AL -•.\ / ^'<%: M yz = •: *S> i y(x, y, z)z dxdy dz y(x, y , z)x dxdy dz ,i *.• fe r / ’ . ^ZÜV í y(x,y,z r ; : V G ' . Ut' www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 387 Las coordenadas del centro de gravedad - Hyz~ M - A/n. X = i - % v = , z = — M ' M M Si el cuerpo es homogéneo, en las fórmulas para determinar las coordenadas del centro de gravedad se puede poner y(x,y,z) = 1. Los momentos de inercia, con respecto a los ejes coordenados son: / , = Í Í J cy2 + z 2) y( x, y, z) dxdydz y - JJ V | J (jc2 + z2 )y(x, y\ z)dx d y dz '■" |J |(x2 + y 1 )r(x, y, z) dxd •/ V V poniendo en estas fórmulas y(x,y,z) = 1, obtenemos los momentos geométricos de inercia del cuerpo. A) CÁLCULO DE LAS INTEGRALES TRIPLES. Calcular los limites de integración de la integral triple Í Í L , y, z) dxdydz para los recintos V que se indican a continuación. v 2240 V es un tetraedro limitado por las superficies x + y +z =1, x =0, y =0, z = 0 Desarrollo i www.FreeLibros.me 388 Eduardo Espinoza Ramos Jff V = I l ^f ( x, y , z ) dxdydz v H - x - Y f ( x, y , z ) di 2 2241 V es un cilindro limitado por las superficies x“ + y~ = R , z = 0, z =H. Desarrollo fíí F = l l j / ( * , y, z)dx dy dz v f p/tf2—.Y2 W/ J-\lR~-x~ Jo f ( x, y , z ) dz 2242 x v V es un cono limitado por las superficies 2 2 Z ¿r c~ Desarrollo Y :>a X * i f X www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 389 l} ¡ 2 2 -ya -x rrr r1 r ü v r 111/(-*» V,z)dx dy dz = I dx I“ dy i / (a*, v, z )d V U a ° X 9 9 2243 V es un volumen limitado por las superficies z = 1- x - y , z = 0 Desarrollo V f ( x , z)¿/x dy dz 2244 I H i-.\2 , - v M /l -r Jo *> - v - r f ( x , y , z ) d z dx I dv dz y[x + y +z +1 Desarrollo dx I d\ di y[X j ° dx (2tJx + y + 2 - 2yjx +y +1 )dy f 4 - 4 “ / l I l ~( x + y + 2)2 - ~ ( x + y + l ) 2] / d y 4 ¡ o 2 3 3 3 “ I [(* +3) 2 - (x +2) 2 - (x +2) 2 +(x +l )2]¿/x www.FreeLibros.me 390 Eduardo Espinoza Ramos 4.2, - 2, 2. /° 16.. = - b(- v +3)- —- (x +2)2+-(.v + l )2] / = — (3 / 35 5 5 / i 15 2 2245 JTdx f * dy jf~2 x dz Desarro llo ¿ J / T X\¡4x - y 2dy 1 V2 f 2 xy I i y ji'f* I [ ~ v4.x - y“ + 2x aresen —¡=] / dx Jb 2 2\¡x ' o —7= í [xyf xy/ 4x- 4x + 2x aresen 1 ]dx n/2 l 1 _ f XTt dx = —j= / = V2 Jb 2V2 ' o 1 7 1 7 ? a"-x~ +Ja~- x - y 2246 I ¿/x I ¿/y dz 1 2 2 2 2 sja - x - y - z Desarro llo i i a" ~a" dy 2 2 2 a - x -y dz f~2 2 2 I ya - X - y - z * r > 1 r i www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 391 r 1 o o z arcsen(—F= = = = = ) / c/y \[a2 - x 2 - y2 ' " I 7 7 V ¿r —jr aresen l dy I y / dx - f f v o /r 2 r r~i t , /r * r~i 7 a2 x Ia \a~ - x dx - —I- y j a - x H aresen — 2 2 2 a ! o — [(0 + a2 aresen l ) —0] — 4 8 H - x M - x - y 2247 I dx | dv | xyzdz Desarrollo H ••í ; H ¥/ >-H xv( l -x-y ) , ----- :----¿/y 1 f* x3y2 xy4 2x2y3 ? ? xy2 2xv3 / !”A‘ - I (—— + 1------- x" v“ + —--------—) / dx 2 Jb 2 4 3 ' 2 3 / o 1 1 a ^ i 1 2x5 9x . -t. 5x^n / - —(-2x +9x - 12x + 5x)dx = — ---------+-------- 4r3+ — / 2 Jb 6 12 5 4 2 / 1(111) 133 12 80 260 www.FreeLibros.me 392 Eduardo Espinoza Ramos 2248 2249 Calcular JK dx dy di (x -f y *f z +1)' , donde V es el recinto de integración que está limitado por los planos coordenados y por el plano x + y + z =1. Desarrollo 1 dx dy di (x +y +z +1) dz (x + J/ + Z + 1) ( 1 1 4 (.v -f y +1)J )dy ]_ 2 Í l - .Y dx i r r i - v i /A i i [(------+—) —(() + )]í/.V — ? l 4 2 x +1 2 r , 3 - x i - , (----------------)dx i , 4 x -f 1 1 3x x“ . . , _ ------------- ln x + 1 / 2 4 8 / o 2 4 8 1 5 ln 2 5 —(—- l n 2) =----------- 2 8 2 16 Calcular J j j (x + y + z ) 2dx dy d z , donde V es la parte común del paraboloide v 2 , .2 i i i 2ax >x + y y de la esfera x~+ y +z = 3¿z www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 393 Desarrollo Proyectando la intersección al plano XY x“ + v' XIZ 1 ■> 1 - ..y" -f v“ + z =3a z* +2¿/r - 3//" =0 z =a 7 7 7 por lo tanto \*“ -i- y“ =2a~ es la intersección proyectada Y o o www.FreeLibros.me 394 Eduardo Espinoza Ramos 2250 7 7 z 3 [(x + y)~z + (x +y)z~ + —] / 3 / o v =— — [I8>/3—— ] Calcular Í J j z 2<¿rrfyífe, donde V es la parte común de las esferas 7 7 7 „ 7 7 7 7 _ _ x^+v“ +z~<R" y x“ +y~+z~<2/?z Desarrollo z =N/ R2 - x2 - y2 = R - 7 R 2 - x 2 - y 2 Y Proyectando la intercepción al plano XY se tiene: x2 +y 2 + z 2 = R2 X 1 + y 2 + z 2 =2Rz 7 R => 2 Rz = R“ => z —— 2 2 2 X + V = — www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 395 2251 ííf SR s¡3R2-4ax2 z~dxdvdz = í¿(f . O O “> IR--.X- - v2 >/3/? | j3R¿--4ax dz)dv)dx v JR-yjfd-X2-. S R y¡3 R2 - .V2 i— — Í 2 f 2 . 3 .y]R'-\--)^ 5 9 7 TR ííí= Calcular " j - dxdydz , donde V es el volumen limitado por el plano z v Qy y“ z‘ por la mitad superior del elipsoide ^- f ^~ +— a" b c Desarrollo a www.FreeLibros.me 396 Eduardo Espinoza Ramos 2252 2 2 2 2 2 2 2 x y z 2 2 ,, x y ^ i x y — +— +— =« => z = c (l ---- - ) => Z = c j l J ------ y a2 62 c2 a 2 b 2 V a b 2 j j j z dx dy dz = 2 ^ zdz)dy)dx V £<f \ l a2- x 2 2 2 c2(\ - y - ^j ) dy) dx a b~ 3 * J a 2- x 2 , r r 2 „2 f V = c 2 f ( ! - - $ ■ >V" J -„ «2 36 / O y a 2 36- / O c2 6 r s i 1 1 3b2 / 1 62 s i l ">* 71 3/?" a •7 n - ^ , (a Í n A* l b~ 2 2 \ ~\ b \~~2 Tí [l - — r(flT - x ¿) ] - \ ¡ a ¿ - x Adx a2 3/r a a r [l ~~T ----^-(<32 -X 2)]V<32 - X 1 dx i - a 3í T j 2 bcA r 2 x“. n 7 , abc~K x2 dx JLa3 ¿r 2 2 2 Calcular I I I (^r- + ^ - + :Lr)dx dy dz , donde V es la parte interna del elipsoide I 2 l 2 - a b e x1 y 2 z 2 ~T + 7T + — - 1 a b c Desarrollo x =p sen (p eos 0 y - p s e n ( p s e n 6 => J(p, 6, (p) - p 2sen(p p eos cp www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 397 2253 para el caso del elipsoide se tiene: x = apsenepcosO 2 y = bepsenepsenO => J(p,@,ep) = abep senep z - epeosep Uf ( ^r + ~ r + :Lz- )dx dydz =8 a2 b2 c2 n n 0 í ( I p~abcp senep d p)dep)dO v K TC 8 abe ¡ i / d e p ) d 6 / o 8 abe TC TC t í senepdep)dO k n ir Sabe f í / y ,^ 8abe f 2 4abc/r I - eose p / ~ c W- I d(i ~ J ) 'o 5 J , f f f h 2 2 Calcular 111 zdxdydz , donde V es el recinto limitado por z“ =- — (x~+ y ) R v y por el elipse z = h. Desarrollo Mediante coordenadas cilindricas se tiene: x —r eos 0 v - r sen 6 => J(r,0,z) = r z - z JJJ z dx dy dz =4 f <f <í ir rzdz)dr)dO —2 í rzV hr R 0 dr)d6 JC Jb Jo 47? Jo www.FreeLibros.me 398 Eduardo Espinoza Ramos 2254 2225 ííí‘ Calcular I , siguiente Integral, pasando a cootdenadas dlíndHcas |J |*** , V 7 7 7 * donde V es el recinto limitado por las superficies x +y +z =2R z , 2 2 2 x + y = z y que contiene al punto (0,0,R). Desarrollo x = r eos 6 y - r s e n O => J (r,0,z) =r , proyectando al plano X Y z - z 2 2 2 x + y = z => z =0, z =R x2 + y 2 + { z - R ) 2 - R2 7 7 7 Luego se tiene x~ + y~ =R~ es la proyección sobre el plano XY \lR2-r P P P t &x pR mR+yJR*—r" I I \dx dy dz = I ( 1 ( 1 rdz)dr)dO v = £ ( j T [r(7? +\¡R2 - r 2 ) - r 2 i Rr2 1 r ' /* (---------- ( R - - r - ) 2 ------ ) / dO 2 3 3 / o f2'7,/?3 /?3 tf3 = I (— +----------- )cW - R Ji J, 2 2 3 Calcular dx f " dy f zy¡x2 + y 2dz , transformando previamente a las coordenadas cilindricas. www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 399 2256 Desarrollo Sea D : 0 <x <2 0 < y < s¡2x —x 2 0 < z <a ÁL mj 2 x - x 2 ma 1*1 x2 + y 2 dz M cosO f»a <J> rdz)dr)dO r+~ a2cos# 2 n 2 3 = M 2 eos 6 d e o n ~ a 2 F eos3 OdO =“~~ \ ¿ ( \ - s e n 20) co§0d6 K f 4a‘ (sen 6 ser?0v /T 4a2 _ L 8¿z2 ■>/ ■(1— ) = 3 / o 3 3 9 Calcular *2r f d l r x - x 2 I dx •fe J - y j l r x - x 2 . . i i -> [ 4 r ~ - x ~ - y dy dz Desarrollo Sea D : < 0 <x <2r -V2rx - x2 <y < \¡2rx ()<z< 2 2 X x = p cos 6 y = p sen 6 J(p,0,z) = p www.FreeLibros.me 400 Eduardo Espinoza Ramols 2257 r * ' ~A' - v“ dz =2 M ^cos 0 <f 7 7 «2co$0 p J 4 r ~ - p ‘ ( I pdz) dp) dO = 2 Í - *2rcos# _____ /7 p^ d p) d0 2 3 f 4 - • / 2r cos¿? o i /r | f (8/fW<9 - 8r >) de= ^ 3 3/ i o J w / i _ 16r P ( sen3(9- l )r f él '.4^. 16r eos (9 /•, 8r 4 —— [-costf +— ------ 6»] / ¿ =— (íTi*,-) 3 3 / o 3 3 Calcular R 2 - x : dx I dy R j-y¡R2- X2 f 'V-.r2-v; (x~ +y 2 previamente a las coordenadas esféricas. transformándola www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 401 K *L7T ( r<f • 3 • 3 4) p 1 sen2 cp.p2 sen cp d p)dcp)d O f ‘f ■3 5 7 * . p / d(p)dO 5 / of : sen~ cp 5 / n , . ,„ R5 *2/r b 3 1 / COS (D / o . _ (-cos#> +----------- ) / ~d9 3 / o r 5 j , r , m ; , 1 , n j. f 1* í(0- 0)- (yl +-)}d0 = - ~ - 9 =—— 3 15 / o 15 2258 Calcular la integral, pasando a las coordenadas esféricas W ") J x ~+y ~+z dxdy d z , donde V es la parte interna de la esfera v 1 2 ”>- X + V + Z“ S. Y Desarrollo Proyectando al plano XY se tiene z = 0 2■ 7 X + V" - X x = /:? .ve/?cpeos 0 y —p sen cpsen 0 Z - p eos cp J(pJKcp) =p'sencp K m x + y + z dxdy dz M < f mt (¡sen <pcose O p.p*'sencp d p)dcp)dO v 4 71 TC Í 7 í * /i / sen (pcos 0 1 í*2 a " ( I e sencp dcp)d6 =—J ( j sen'cp cos Odcp)dO www.FreeLibros.me 402 Eduardo Espinoza Ramos 2259 X 4 2* , 2 COS (D eos5 0 (—eos (p +-------------------- — X )cosAo / dO / o x x i r 4 J L- [(i ( - i +—- —)] eos4 e de 3 5 3 5 = - f 4 X* — eos4 6 d 6 a 15 2 15 ^ /r + COS 2 . 0 . 2 i 1 _ 2 »/i -----------) dO =— I (1 + 2 eos 2# +eos 26)d6 2 15 1* 2 2 x £<! X LP 15 J_* 3 eos 40 130 2sen26 sen 40 [—+2 eos 20 +--------- 1úí0 =— [— +----------- +-------- 15J * 2 2 15 2 2 8 — [(— + 0) - ( - — )] = — 15 4 4 10 B) CÁLCULO DE VOLÚMENES DE INTEGRALES TRIPLES.- Calcular, por medio de una integral triple, el volumen del cuerpo limitado por 9 9 9 las superficies y =4a —3ax , y - ax , z = ±h Desarrollo I www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 403 2260 Proyectando al plano XY se tiene: y 2 —4 a2 —3 ax v~ —ax =>4a" —3ax = ax —> x =a , y = ±a 1 V = I i \ dxdydz 4a^-y~ r - r - r , ( I dz)dx)dy = 2h 4 a ~ - V i < r dx)dy v a a r 3a 3a - i / 17>/ £7 2*[( 4a2 4a2 V = 32a h 9 Calcular el volumen de la parte de cilindro v2 -f y2 = 2a.v , comprendido entre el paraboloide a" +y =2az y al plano XY. 7 Desarrollo x2 - y2 2a"~ Y Y 0 0 - x - r = 2a eos / Pasando a coordenadas cilindricas se tiene: www.FreeLibros.me 404 Eduardo Espinoza Ramos x = reos O y = r sen 6 => J (r,0,z) = r z - z JIF dx dy dz = 2 7t r (&acosO (+— H f rdz)dr)dO - 2 acosé? 3 l a dr)dO n í f T / ^ , 2acos6? 1 d O = — o 4a K f 16a4eos4 6 d 0 K 7t f .3 l ~ „ ------- 0 ^2 J / , 3 I ¿ ( 2 + 2cos26> + a I (l +cos2#) d O - a f eos 4# /r 3r3<9 senAG1 = a [ b 2#+ 2 ] / 2 = a3 (— + 0) = 2í!2L 8 / o 4 4 2 7 2 2 2261 Calcular el volumen del cuerpo limitado por la esfera x +y" + z = a~ y el 7 7 7 arco z = x +y la parte posterior con respecto al cono. Desarrollo Proyectando al plano XY se tiene: 2 x + y x y z —p sen cp eos 6 O< p < a 71 „ K p sen cp sena , —<g) S — 4 2 p eos (p O< 6 < 27ü www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 405 2262 F íff dxdydz = 2 f ‘í ‘f 7 p sencpdp)d(p)dO r « f p~ I a 2a3 f§ sen (p j d(p)dO= — I ( JJ* sen cp d(p)dO ? 3 f2/T * - y - | - COS( p/ l d0- a O 3 / o / 2 ;r 2y[2a37T 2 2 2 Calcular el volumen del cuerpo limitado por la esfera x +y +z~~4 y el 7 7 • paraboloide x“ +y“ =3z (la parte interior con respecto al paraboloide). Desarrollo Proyectando al plano XY la intersección de superficies ( i o y , x“ + y +z =4 •> . „ => z~+3z- 4- 0 => z —1 2 2 o x + y ~3 z Y- k _ r=\ / 3 2 2 o . x +y =3 l y ' Í x = r eos <9 V 0 iv/3 I ^ y =r sen 0 V z = z V ííí F = I I |¿/xc/y¿/z í K fmjA-r2 ( ( rdz)dr)d6 www.FreeLibros.me 406 Eduardo Espinoza Ramos 2263 2264 19 — d6 = 12 J> 19/T Calcular el volumen del cuerpo limitado por el plano XY, el cilindro 9 9 9 9 7 9 * +v” =ar y la esfera x + + z“ =a~ (interno respecto al cilindro). Desarrollo r =a eos 0 x = r eos 6 y —r sen 6 => J (r,0,z) =r z =z 71 í í f /*/ eos 0 dx dy dz =2 I ( I ( r dz)dr)dO v 71 cosO 71 '\¡a2 - r 11dr)dO = —— (a2 - r 2)2 j a eos 61 o /r /T f' [(a" - a COS~ 0 ) “ - a ]¿/ 0 = 3 J . 3 f 2a [—cos0 + .3/. -3 eos* 0 v \ ! “ =--------1(- 3 / o 3 9. 2 1 y z" Calcular el volumen del cuerpo limitado por el paraboloide — +— b c plano x =a. 2 — y al a Desarrollo % i»1 Proyectando la intercepción www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 407 V = dx dy dz = b c 2x a , x =a Y + = ? i 2 2 b C v - rh eos 6 ✓ z - r e sen 6 de donde J (r,6,x) =bcr jc = JC f ' f ' t rdz)dr)dd v 2264 1 Hallar el volumen del cuerpo limitado por las superficies 2 2 2 2 2 2 .x y z 2 x y z (— +— +-y) - —y +--2-----T a2 b c 2 a ¿>2 c2 Desarrollo Mediante coordenadas esféricas x = apsencpeosO y = b p sencp senO z = c p eos cp J{p, cp,0) = p sencp reemplazando las coordenadas esféricas en la ecuación 2 2 2 2 2 2 X V Z X V Z (----- f-— i---- y = ------(---------- V V c2' a2 b2 2 p - p~ {sen cp - eos cp) p 1 - sen1 cp - eos1 cp => p - y[sen^p-eos^p www.FreeLibros.me 408 Eduardo Espinoza Ramos V = I i j dx d v dz «2rr ¿vr ¿*] sen"(p- cos" - cos~cp)sen cpdcpYlO y _ aben2 4sf2 2 Hallar el volumen del cuerpo limitado por las superficies 9 0 0 9 0 0 2_ +Z_ +£l =2 , 4 +^ - ^ = o, (z >0) a b c~ a b e Desarrollo Proyectando al plano XY la intercepción. 2 2 2 i L +Z_ +£_ = 2 , , «2 b2 c2 ^ ^ x2 >-2 z = C => ——H r- = 1 £_ +2L _ £_ =0 a2 6 2 c 2 .v = a p s e n cp eos 0 y - bp s e n cp s e n 6 => J(p, (p, 0) - abe p ~ s e n cp Z = C p C O S í p www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 409 2265 ? i 2 X y 2 r. 1 1 — 2 0 * 2 2 p 2 —2 => p —\ j 2 2 2 i Í l +Z _ _ f l =0 a2 b2 c2 2 2 ^ 2 . 1 ^ p~sen (p - p cos tg cp = l => <p= — 4 F I r/.v dy dz ( | ( J abep sen <pdp)d(p)dO v 3 ( ) l) abe t n í*4 3 / ^2 27*2abe C'n p sen (p dtpydd ------------ I - eos / o 3 Jb 4 cos<^/ dO f o i j l a b c , \Í2 3 ' 2 « ^ 4c/¿><; rr , - I )2j t --------- ( v 2 - l )/T } ¿\abe(\¡2 —X) 7T C) APLI CACI ONES DE LAS I NTEGRALES TRI PL ES A LA MECANI CA Y A LA FÍSICA, Hallar la masa M del paralelepípedo rectangular 0 <x <a, 0 <y <b, 0 <z <c si la densidad en el punto (x,y,z) es p(x,y,z) =x +y +z. Desarrollo JJJ M - | | | p{x, y>z)dxdydz [<J (a* +y +z)dz)dy)dx v 1c *.7 W ] / dy )dx - ( 1 o' 3 •J [(x + y)c + — ]dy)clx www.FreeLibros.me 410 Eduardo Espinoza Ramos 2266 i 2 2 / 0 b c be' 1 )dx ? 1 x^ be b1ex bc2x . ¡a abe ( + + 2 2 r V o 2 (a + b + c) 1 9 1 1 Del ociante de la esfera x + y" +z~<c , x >0, y >0, z >0, se ha cortado el x y cuerpo OABC, limitado por los planos coordenadas y por el plano —+ — =1, a b (a <c, b <c). Desarrollo x2 +y 1 + z2 <c2 , x >0, y >0, z >0 X V La ecuación del plano — + — = 1, a <c, b< c por definición a b M = donáQ P(x^’z) = z’ dV - dx dy dz www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 411 2267 í f í O<x < a M - I I I z dx dy dz => O<y < 6( 1---- ) a O<Z<yfc^ - X 2 - V «7 Ü ( ü(l *3 •3 Jb i -» n c~- x * - v~ z dz)dy)dx ( o í O *1 A- - dv )dx = — I ( 9 1) ' .*> ¿O...) a ( 2 (c - x - V f 1 T 2 2 V3 / W - - * [(c2 - x 2) v - ~] / " 3 / o 2 6 r r 2/i 2/, & /, , [c'( 1— )~x (1— )——(1— ) ]dx a a 3 ¿z 3 3 . . ... r a a M =—[----- +— +— 2 3 4 2 6 ¿zJ a3 zzc" ¿z6\ *~íT . , ¿Z¿>, ? , 0 »2\ 2 2 i 0 x A/ - — “ -f 6c~- b ) - — (6c - a - h ) 24 24 9 O 7 7 En el cuerpo de forma semiesférica x +y +z" <a ', z >0, la densidad varia proporeionalmente a la distancia desde el punto al centro. Hallar el centro de ', ■ í \ -,V. 1‘ - ■' i • ••, "i •\ •, ,v » ' V gravedad de este cuerpo. Desarrollo 9 9 9 9 x~ +y- +z“ < , z >0 por dato p( r ) = kr por definición rM - M I r ám donde M í í h www.FreeLibros.me 412 Eduardo Espinoza Ramos rM = m r p d V = — fT[ r k r d V M J J J M S í ' d V c V donde <3V es el volumen que encierra la masa M, en coordenadas polares 71 r = r(sen 9 eos <p, sen 9 sen (/>, eos 9 ) , donde 0 <<9< —, 0 <(() <2tc, 0 <r <a (sen 9 eos <¡), sen 9 sen (¡), eos 0).r sen 9 drdO d<j) Mx cu = kr4dr)sen 9 d 9) eos <f>d(f>= 0 My CM í ' f ' f kr4 dr)sen2 9 d9)sen (/) d (¡>= 0 71 *¿71 2 kr4 cos9sen9d9d(j>dr www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 413 2268 2_ 7T ^ r Insen' O ¡y kr~ ¡ a kna l ' A I M = JJJ*. = j*Jj*p d V ~k | | | / 3sen O drdO d(f) dr cv dr kitcC 4 t 4 ^ , a _ 5 2<7 M - k .— .2/r =------- ; zrM =—:—r =— 4 2 GW fcra4 5 - n 2a X CM ~ y C U - O > Hallar el centro de gravedad del cueipo limitado por el paraboloide y +2z“ =4.x: y por el plano x =2. Desarrollo 7. Sea 6V : ^X de donde v 2 + ~ - = 4jc * =2 * 1 En el problema no da la función de densidad se asume que esta es constante, es decir p(x,y,z) = p por definición: rCM i í f f — ¿ J P - dv dr donde también por definición M - \ p d \ ííf' www.FreeLibros.me 414 Eduardo Espinoza Ramos rCM =(- ÍJP I r dV dV d V j j í . d V c V A(x)dx donde A(x) es el área de la d v correspondiente a la intersección del plano x =x con dW V2 z 2 -— +— =1 donde 4x 2x \a - 2 b =yjlx , A(x) = 27TyJ2x JJf' x dx - 4x^2 dV = V ev l+flx J ~ 4 x - 2 f ( d V V - 2 -42.x J -\l4x-2z2 dy)dz)dx Í \j4x - 2z 2dz)dx - 2^¡2k I x dx \¡2x •*) por lo tanto xCM - “ t J s Í S Í d V xdV = \ 6- Jl — A 3 4 A'ÍIt t 3 XCM = - > ycM = zcu = 0 por simetría de la elipse V =4s¡2n 2269 Hallar el momento de inercia del cilindro circular, que tiene por altura h y por radio de la base a, con respecto al eje que sirve de diámetro de la base del propio cilindro. www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 415 2270 Desarrollo (r"sen"(p +z~)r d<p dr dz Tra^h 2 „»? x (3 a1 +4 i r ) 12 c V El eje del cilindro se toma como eje OZ, al plano de la base del cilindro como plano XOY. El momento de inercia se calcula con respecto al eje OX. Después de pasar a las coordenadas cilindricas, el cuadrado de la distancia del elemento r d<pdr dz al eje OX es igual a r 2sen2cp + z2. Hallar el momento de inercia del cono circular que tiene por altura h, por radio de la base a y de densidad p, con respecto al diámetro de su base. Desarrollo hy I d dm c v yy 1 d 2<pdV o V I yv JJf p I I Í dl dV V d = distancia del punto p al eje Y. En coordenadas cilindricas www.FreeLibros.me 416 Eduardo Espinoza Ramos 2271 opx j i x O -> —> j k y z i o = - z i + x k ^vy = ^ ~P C°s2 ^ + d V d V (1"77) f-71 ( | (r2 eos2 (j) + z 1)rd(j))dr)dz r r 4' í “ M (1"i ) r2 r(— + z 2 )dr)dz „ a4H a2H \ npHa2 2 o » 2v 2^P(—— + — (3a¿ + 2 H¿) 40 60 60 Hallar la atracción que ejerce el cono homogéneo, de altura h y ángulo en el vértice a (en la sección axial), sobre un punto material, que tenga una unidad de masa y que este situado en su vértice. Desarrollo V www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 417 M = masa del cono (se asume que la densidad por la ley de gravitación universal del cono es constante) —y km}mj un Fn - donde ml y m2 son masas puntuales y r12 es la distancia r12 * - k m , u n u n entre ellos, k - constante universal de gravitación Fn =-----~~f—~ — (1) ri2 > —y Fl2 ~ fuerza de atracción de la masa m{ sobre ía masa m2, u n ~ vector unitario cuyo sentido va de mx a m2 —y —y mx -- dm , ni2 =i , m - (0,0,//)-- r en coordenadas cilindricas r - (r eos (p, r sen ó, z) —> r 12 “ (0,0, h) - (r cos (p, r sen <p, z) , 0 <(f) <2 re 0 <z <h 0 <r <a(l - —) h . k dm(r cos (p, r sen <p, z- h) d i i -i — - 3 [ r + { h - z y ] para encontrar la fuerza total gravitacional del cono sobre la partícula de masa m debernos de integrar. Í Í K - Í Í 'dm(r cos (p, r sen <p, z - h ) F r o t a ! = k p dv dv [r + ( h - z Y ] \ r cos (p, r sen <p, z - h )r dr d = 0 r r :n , j f dt dv [r + ( z - h ) ] Mi = 2knp Mh- z) t ga (z —h)dz rdr [r2 + (/i - z ) 2] 2 f 2 n k p I (z —h). --- - -- S—- dz h - z 2/rkp( 1 - cos á) z j = - 2 xkrph( 1 - cos a) Ftotal = - 2nkph{ \ - cos a) w. Demostrar, que la atracción que ejerce una esfera homogénea sobre un punto material exterior a ella no varia, si toda la masa de la esfera se concentra en su centro. Desarrollo d F 12 kmxm2 12 «12 ¿ F i 2 = k dm m r 12 r3 12 _ km M dV d Fn =— — — r 12 r3 F r12 www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 419 hnM dV V *r? r 12 12 r 12= r2 - 1] =(O, O, z0) - (r sen 9 eos <¡), r sen 9 sen </>, r eos 9) r 12 'i 2 2 2 ' [r .9^7“^+(z0+r cos#)z ]2, entonces se tiene I d F kmM 2 r senOdrdOdij) V [r2sen20 +(r eos 9 —z0)" ]2 (r sen 9 eos c¡), sen 9 sen </>, r eos 9 - z0) íí. ar *kmM r 2sen OdrdOd9( r sen 9 eos <j>ssen 9 sen (j), r eos 0 —z0) V [r2sen20 +(r eos0 - z0)2]2 i«2/r es obvio que Fxlolal= 0 ( sen<j)d(¡) Jo mlrr eos (¡)d<¡) = 0) F z t ot al kmM V f n ^ r2sen 9{r eos 6 - z0)dr d9d<j) 3“ [r2sen29 + (r eos 9 - z 0)2]2 2nkmM V ~ ~ O r"sen 9{ r eos 9 - z 0)d 9 -)dr (r + Zq—2rz0eos 9 }~ 4 r 2f/r AjtkmM v J í r2dr www.FreeLibros.me 420 Eduardo Espinoza Ramos AirkMm R A ir kMm R Fz o F. z total' kMm ■o además la fuerza entre dos masas puntuales kMm '0 .. (a) (P) por lo tanto (a) y (p) son exactamente iguales las expresiones. 7.8. INTEGRALES IMPROPRIAS, DEPENDIENTES DE UN PARÁMETRO. INTEGRALES IMPROPIAS MULTIPLES : . •. ...•■■■ ■ i' ■ ■ ■' ; :•• ;_____;_, m' Ira. DERIVADA RESPECTO DEL PARÁMETRO.- Cumpliendo ciertas restricciones que se impone a las funciones f(x,a) y y a las correspondientes integrales impropias, se verifica la regla de Leibnis. f / ( j c, a)dx «X f a (x, a)dx 2do. INTEGRALES DOBLES IMPROPIAS.- a) CASO EN QUE EL RECINTO DE INTEGRACIÓN ES INFINITO.- Si ia función f(x,y) es continua en un recinto infinito S, se supone. ... ó) www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 421 donde C es un recinto finito, situado totalmente en S, entendiéndose por C —» S, que ampliamos el recinto C según una ley arbitraria, de manera que en este entre y permanezca en el cualquier punto del recinto S. Si el segundo miembro tiene limite y éste no depende de la elección que se haga de C, la correspondiente integral impropia recibe el nombre de convergente; en el caso contrario se llama divergente. Si la función subintegral f(x.y) no es negativa (f(x,y) >0), para que la integral impropia sea convergente es necesario y suficiente que exista él limite del segundo miembro de la igualdad (1), aunque sea para un sistema de recintos C que completen el recinto S. b) CASO DE UNA FUNCIÓN DI SCONTINUA Si la función f(x,y) es continua en todo recinto ceñudo y acotado S. a excepción del punto P(a,b), se supone. ... (2) donde S£ es el recinto que resulta de excluir del S un recinto interior pequeño de diámetro r, que contiene al punto P. En el caso de que exista él limite (2) y de que no dependa de la fonna de los recintos interiores pequeños que se excluyan del recinto S, la integral considerada se llama convergente, mientras que en el caso contrario, es divergente. Si f(x,y) >0, él limite del segundo miembro de la igualdad (2) no depende de la forma de los recintos internos que se excluyen de S; en particular, en 8 calidad de tales recintos pueden tomarse círculos de radio -- con centro -£m*> en el punto P. www.FreeLibros.me 422 Eduardo Espinoza Ramos El concepto de integrales impropias dobles es fácil pasarlo al caso de integrales triples. 2273 Hallar / ' ( j c ) , s í / ( j c) ¡mxj xy . v f ( x ) e ^ dy , x > 0 Desarrollo ^ _ ,2 r e~A>dy ~~~ I e A>dy + I e xy dy , calculando la derivada r > > +r Ja Ja x va va f ’(.r) = - e ''3- j y 1e~xy2 dy Ja U W “00 2274 Demostrar, que la función u - I — — satisface a la ecuación de + (y - z) ‘ dzu d2u laplace —- +—- =0 ox" 2 Desarrollo u *« a . . f x x f ( z ) d z du _ r ^ J-x x 2 + ( y - z ) 2 dx J .x d-'-u „ r ° [ 3 ( y - z ) 2 - x 2) x f { z )_dz(J ) - 2Í•¿-oc dx2 J-oo [x2+(>>- z)2]3 . F™( y - z ) x f ( z ) d z -2 r J—oo ay JIoo fx2+(y-z)2r o 2?/ _ r ” [ 3 ( y - z ) 2 - x 2 ] x / ( z ) < f e ay2 L íx2 + ( y - z ) 2f www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 423 2275 ahora sumando (1) y (2) se tiene: d2u 32u _ 2 r [3( y --z)2- X ]x/(z)<7z | 2 J-X ax ay p [3(j ; ~z ) 2 ~x 2]x / ( z )^2 J- x [ x 2 + ( y - z ) 2 [ x 2 + ( y - z ) 2 ]3 3 - 0 d2u d2u + .2 a. .2 0 a x qy La transformada de Laplace F(p) para la función f(t) se determina por la fórmula F( p) = e~pt f ( t ) d t . Hallar F(p) sí a) f (t) - l b) f ( t ) = e a t c) f(t) = sen pt d) f(t) = e o s pt Desarrollo a) F( p ) = T e píf ( t ) d t r -ptdt e~pt / * 1 — / = (0-1) = p í o p \_ P F(P) P b) F( p) ~ e~p‘f ( t ) d t = f e - p'ea,d t = f e ^ ' d t JO í /* = () 1 1 a - P ¡ o a - p p —a c) F(p) = jT° e p‘f ( t ) d t = | e pt sen p t d t I _pt - p sen p t - P eos p t V x 0 n~ P www.FreeLibros.me 424 Eduardo Espinoza Ramos 2276 Aplicando la fórmula í xil 1ln x dx x" 1ln x dx n > 0, calcular la integral b n Desarrollo u —ln x dv ■- x>l ]dx du - dx x n V n í x"”1ln Jt ífr = — —- / 1- - f x" ■' ífc = 0 ! ! n/ o n J , í x !l n x dx = /?“ n 2277 Aplicando la fórmula b £ ptdt - -- , p > 0, calcular la integral I r e ptdt P f Desarrollo www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 425 2278 2279 f - pl 2j 2 te~pí / x 1 r - p t j i 2 11 £ / +— I =—[0-h—(—)] P P ' 0 P Jb P P P 1 p 3 Utilizando la derivación respecto al parámetro, calcular las siguientes integrales. f — (a > 0, P >0) v Desarrollo - a x ~ f i x r - a x e* - 6 . e —c h \ e , [ e dx - I dx— i dx •••(!) F(a) F(fi) F( a) = j — <7x => F ’(a) =- f e axdx =--—- _> F(a) = - ln a ... (2) Jb x J) a F(/?) = j f rí>F'(/?) = - £ e =- 2 => F(P) = - ln p ... (3) Reemplazando (2), (3) en ( i ) P I ' _ e - f i x n dx = - ln a +ln /? = ln x a - a x - Bx e -e- X senmxdx (a > 0, P > 0) Desarrollo www.FreeLibros.me 426 Eduardo Espinoza Ramos 2280 Tí \ ^ S L{sen mx) = ----- arctg — 2 m e ax- e Px k s + a. n s + p . ----- sen mxj - (----------------arctg-------) - (-----arctg--------) x 2 m 2 m e ax- e f3x s + P s + a L{----------------sen(mx)dx) - arctg----------arctg------- f x m m -sx e ax - e Px s + p s + a c .----------------sen( mx)ax - arctg----------arctg------- m m f . -s x e ax- e px . , lim I e ‘ . sen{mx)dx = hm(arctg----------arct g------- ) s->o V x v—>o m m P a arctg arctg — m m f arctg ax . — —dx x(l +X ) Desarrollo r Sea F( a ) = | arC- ?-a * d x , derivando A'(l +X ) F'(a) = í dx (1 + x2)(1 +a V ) s r , Ax + B Cx + D 1 r , / F \ a ) = I ( — +------ •— )<:& =------- - [arcfg x - a arc/g ax] / A 1+ x 1+ a x 1-a" ce 0 www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 427 2281 r £ í £ £ 2 £ * = £ i 0„ +a) 1 *(! + * ) 2 Í l n ( l + a 2j c2 ) , . .. .i:-;-:- - dX x 2' i \ - x 2 Desarrollo v f1ln(l + a zx2) , , . , Sea F( a ) ~ I = = - d x , denvando se tiene: F \ a ) = - 2 a i) x 2 yj\ f .v2 dx A ( l - a 2x 2) j \ - x 2 - - a Í dx f dx ^ ^ +<2 ... (1) ( ax- h l ) v l - x 2 J) ( a x - Y ) v l - x 2 —=== = yja2 -1 ln(a2+ a —1) ... (2) (ax +l)vl~x2 f = •-- - 1 ln(¿z2 - a -1) ... (3) J) ( a x - \ ) y j l - x 2 reemplazando (2) y (3) en (1) F ’(a) = - a l y f a 2 -1 ln(a2 + a -1) - \ l a 2 -1 ln(a2 - a -1)] r~5 “ a + cr- l = - aV a - l l n(— ) 2 i a - a - 1 Í 2 2 , ___ —— jÜLJL = -1) x2V l - .r 2 www.FreeLibros.me 430 Eduardo Espinoza Ramos 2287 Sea x = reos O v - r sen O dx dy =r dr d0 Pasando a coordenadas polares se tiene: M dy 71 / 2 2 a 2 (x + y +a ) 4a La integral de Euler - Poisson, determinada por la fórmula / f e x dx , se puede escribir también en la forma I - e v dy multiplicando entre sí estas fórmulas y pasando después a las coordenadas polares, calcular I. Desarrollo í h> , rr - X " i . I - v ~ Ip = | e"x dx = | <T-Vdy í y sea I - lim / el valor de la integral p~y og Luego Ip = I Ac/x | e y dy - íí Donde Rn es el cuadrado O ABC de lado P Sea Rx la región del primer cuadrante comprendida por la circunferencia de radio P, es decir: +> Y R2 la región del primer cuadrante correspondiente por la circunferencia de radio yfl p , es decir: S S ‘ ~( x2+y2) dx d y , luego t www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 431 2288 0 ~(jr +>' ] dxdy 0 dxdy R-, x = r cos 6 por medio de coordenadas polares se tiene: < [y = r sen 0 7T M e rdr)dO </ “ < f < r - rdr)dO dx dy = r dr d0 71 71 l —r — / rd e oc se tiene: 4 p 4 lim —(1-e p ) < \ \ m I 2 < lim — (1-e ¿p ) p—>004 p—>00 p—■>004 7!T _2 1 1 i r2 ^ rn — T f e x dx — Calcular j ¿/x j dy | — ----- — Jb Jb «o (x*'+>y + / +z2+1)2 Desarrollo www.FreeLibros.me 432 Eduardo Espinoza Ramos 2289 Pasando a coordenadas esféricas se tiene: x =p eos 0 sen § , y =p sen 0 sen , z =p eos (j) C y C ; r dz f , f & w w 1 & 1 ¡ 7 7 7 T 7 7 T ? - 1 <1 ( 1 ¡ 7 +? +7 7 m d ' f'f'I p s m j ) 7T V dp)d(j))d9 =— (p +1) » Averiguar si convergen las integrales dobles impropias. íí 2 o 2 o ln(x +y )¿/xc/y, donde S es él circulo x" +y <1 Desarrollo Excluimos de S el origen de coordenadas con su entorno de amplitud 8, es decir examinamos I£ - J ] W x2+ y 2dxdy , donde el recinto que se excluye sr es un circulo de radio 8 con centro en el origen de coordenadas, pasando a las coordenadas polares tenemos: L = J J "ln \Jx2+ y 2 *dxdy - r \nrdr)dO - J^" [~l n r j ^ r d r \ d 6 2 2 , 27r[—— — ln £— ] de donde 7=l i m/ =- — 4 2 4 £--»o 2 www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 433 2290 2291 íí dxdv , donde S es un recinto que se determina por la desigualdad (*“ +v“) x2 +y 2 >1 (parte exterior del circulo). Desarrollo 5 f x 1 •2x ——- / dO - f (0 +— -— ) d 0 cuando 2 a - 2 >0 ^ - 2 / i l 2a - 2 /r <2- 1 si a >1 ci\ TC Luego | |— = —— 7 es convergente si a >1 íí 5 (x + y ~ )■ íí dx dv s S ( x - y ) 2 , donde S es un cuadrado | x | <1, | y | <1 Desarrollo Ponemos a la recta y =x con una franja estrecha y supongamos íí dxdy ^=2= =lim 3l\ x~ y)2 " : ~ > 0 b b —7—^ — V/ v +lim ^ 7 ) 2 í c/y b Ja+s l j ( x - y) Los dos limites existe por lo tanto f f dx dv es convergente. www.FreeLibros.me 434 Eduardo Espinoza Ramos 2292 ííí; dx dy dz . . — , donde V es un recinto, que se determina por la (x + y~ +z“) v 2 . 2 2 desigualdad +y +z“ >1 (parte exterior de la esfera) Desarrollo Pasando a coordenadas esféricas se tiene: x =p cos 0 sen (j) , y =p sen 0 sen <\> , z =p cos <|> v J) I ( 2 a - 3 ) p i f ‘í sen(f> d(p)dO si 2a - 3 >0 2a - 3 f ^n — COS (f) / 2 a - 3 I 71 dO l a - 3 / o 3 2 3 si a >—=----------- 2 n si a> — 2 2a- 3 2 JJJi «. . dxdydz 4;r 3 L“' 8° 11' ( T T T T T f ° "2 ^ 3 s' a > I 3 Por lo tanto es convergente si a >— www.FreeLibros.me integrales Múltiples y Curvilíneas 435 7.9. INTEGRALES CURVILÍNEAS.^ Ira. INTEGRALES CURVILINEAS DE PRIMER TIPO.- Sea f(x,y) una función continua e y = cp(x), a <x <b, la ecuación de una curva plana determinada C. Marcamos un sistema de puntos M¡ (x¡, y ;) (i = 0,l,2,3...,n), que dividen a la curva C en arcos elementales M¡_XM¡ =ASi y , -i ■ >' .. ' '■ '• ■ ' ■); 1 8 ' ■• ; , ' , ‘ r r ? H / ■ ( ,■ ' formamos la suma integral. S/7= ^ ^f(x¡ ;yi )ASi . El limite de esta suma, cuando n —» oo y —> 0 /-i recibe el nombre de integral curvilínea de primer tipo. (dS es la diferencial del arco) y se calcula por la fórmula f f { x, y)dS f 7 ( „ ( W Ja 1+ (p w (x) dx En el caso de que la curva C esté dada en forma paramétrica x = cp(t), y = \j/(t), • 1 . i (a <t <p) tenemos Se considera también las integrales curvilíneas de primer tipo de funciones de tres variables f(x,y,z), tomadas sobre una curva en el espacio, que se calculan *, ■ í •<'■»•' i ' 1 ' -':'h ' •" Í,V| análogamente. www.FreeLibros.me 436 Eduardo Espinoza Ramos La integral curvilínea de primer tipo no depende del sentido del camino de integración. Si la función sub integral f se inteipreta como la densidad lineal de la curva de integración C esta integral representará de por si la masa de curva C. 2do. INTEGRALES CURVILÍNEAS DE SEGUNDO TIPO.- Si P(x,y) y Q(x,y) son funciones continuas ey = (p(x) es una curva plana C, que se recorre al variar x desde a hasta b, la correspondiente integral curvilínea de segundo tipo se expresa de la forma siguiente: En el caso más general, cuando la curva C se da en la forma paramétrica x =cp(t), y =\|/(t), donde t varia de a hasta p, tenemos: Fórmulas análogas son validas para la integral curvilínea de segundo tipo tomada sobre una curva en el espacio. 3er. CASO DE INTEGRAL EXACTA.- •> i 1 Si la expresión subintegral de la integral curvilínea de segundo tipo es la diferencial exacta de una función uniforme determinada U = u(x,y), es decir: P(x,y) dx + Q(x,y) dy = du(x,y) esta integral curvilínea no depende del camino de integración y se cumple la fórmula de Newton - Leibniz. ... (1) www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 437 donde (jq,y ]) es le punto inicial y (x2, y 2) , el punto final del camino. En particular, si el contorno de integración C es cerrado se tiene: P(x, y)dx + Q{x, y)dy = 0 3■>'• * ''4' .V ■ ¿ ■'V / '<5 ‘ ... (2) Si, 1) el contorno de integración C está comprendido totalmente en un determinado recinto simplemente conexo S y 2) las funciones P(x,y) y Q(x,y) junto con sus derivadas parciales de 1er orden, son continuas en el recinto S, la condición necesaria y suficiente para la existencia de la función u es que se verifique idénticamente en todo el recinto S la igualdad . ... (3) Si no se cumple la condición (1) y (2), la subsistencia de la condición (3) no garantiza a la existencia de la función uniforme u y las fórmulas (1) y (2) pueden resultar ser erróneas. Señalemos un procedimiento para hallar la función u(x,y) por medio de su diferencial exacta, basado en el empleo de las integrales curvilíneas. 4to. FÓRMULAS DE GREEN PARA EL PLANO.- © Si C es la frontera del recinto S y las funciones P(x,y) y Q(x,y) son continuas, junto con sus derivadas parciales de 1er orden, en el recinto cerrado S +C. Se verifica la fórmula de Green. donde el sentido del recorrido del contorno C se eligen de forma que el recinto S queda a la izquierda. www.FreeLibros.me 438 Eduardo Espinoza Ramos Sto. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES CURVILÍNEAS.- El área limitada por un contomo cerrado C, es igual a: ydx = Q xdy ^C 1* C (el sentido del recorrido del contorno debe elegirse contrario al movimiento de las agujas del reloj). Mas útil para las aplicaciones en la siguiente fórmula. El trabajo de una fuerza, cuyas proyecciones sean X = x(x,y,z), Y = y(x,y,z), Z = z(x,y,z) (o correspondientemente, el trabajo de un • »; • í , 1 ' f.„ ,'•••• i •• ' ! . campo de fuerzas) a lo largo del camino de C, se expresa por la integral. . A r . f xdx -\- y d y +, zdz r • .y\, r :. : . . — 4---------- Si la fuerza tiene potencial, es decir, si existe una función U = u(x,y,z) • í* ■ ; •; ‘ ’ ' ([ / ’ ' ;(• í í ' / "• . y y . . .*» (función potencial o de fuerza) tal que: 4“ - x , ~~ = y , — = z dx dy dz El trabajo independientemente de la forma del camino C, es igual a: f; [x2, y2',z2) Áx 2, y2, z2) A - I ; xdx + y d y + z dz - I du = u(x2, y 2^z2) ~ u(x\^y\->z \) donde (xl , y l , z x) es el punto inicial y (x2, y 2, z 2) punto final de camino. www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 439 A) 2293 INTEGRALES CURVILINEAS DE PRIMER TIPO.- Calcular las siguientes integrales curvilíneas. í xy dS , donde C es el contorno del cuadrado | x | + | y | = a, a>0 a x(t) = ( a - a t , a t ) , 0 < t < 1 (0 = ( - at , a - a t ) , 0 < t < 1 a 3 ( t ) = ( - a 4- at , - at ) , 0 < t < 1 #4 (0 = (at, - a + at) , 0 <t <1 a 2\ t ) = ( - a, - a) => |a2'(01 = a3’(0 = («, - a) => | «3'(0 | = V2a a4f(OI =>/20 I x y d S = ^ x y d S + | xydS 4- | x y d S4- | x y dS í i . í . (a - at)aty¡2a dt 4- - at)\Í2a dt 4- www.FreeLibros.me 440 Eduardo Espinoza Ramos 2294 + - a t ( - a +at)\¡2a dt + at ( - a +at)\Í2a dt f xydS = a ^ ¿ - i / 1+ V2a3( 4 + T > / 1+ Jc 2 3 / 0 2 3 / o ¿2 .3 i ,2 .3 i +V2a3( y - ^- ) / + a i 4 2 { - — + —) / 2 3 / o 2 3 / o £ ,2 .3 .2 ,3 .2 ,3 ,2 ,3 i ;t}>¿S = V2a3[-— -— — +— +-— -— 3 3 2 3 2 2 2 3 / o = 7 2 a \ t 2 - t 2 + P - t 2) ^ = 0 í s]x2 + y 2 + 4 0(0,0) y A( 1,2). ^ , donde C es un segmento de recta que une entre si los puntos Desarrollo Sea a(t) = (t,2t) => &X0 = (U2) => |a \ t ) | =y¡5 a(a) = (a,2a) = (0,0) => a =0 a(b) = (b,2b) =(1,2) => b =1 f _.r= ( - — ¿ £ = = f1 f ^ dt = ln 1-Jst + yjst2 +4 | / J c yjx2 + y 1 +4 J ) V/2+4¿2+4 i) v5^+4 o /? ^ = ln |V? + 31- ln 10 + 21=l n| — — www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 441 2295 i 2296 í 2 2 X V xy d S , donde C es el cuadrante de la elipse — +— =1, situado en el cr b primer cuadrante. Desarrollo Sea a(t) =(a eos t, b sen t) => a \ t ) - { - a sen t , b eos t) ¡a ’(t ) |= Va2sen21 +b2 eos21 T í f xy dS —J^2a c r 2 / 7 o 9 7 a eost.bsen tsla~sen~t + b~ cos“ t dt ab i 2(a2- b 2) 2(¿r - b~) eost sent(a sen~t + b~ eos" í )2¿/í ‘ 3 ab 2 i ? ,2 2 \3 / ^ —.—(a sen t + b eos t y 2{a2 - b 2) 3. / o ^ ^ 3 ^ -) o ab r/ o.r ab( a~- b ) ab(a~ +ab + b ) 3 “ [(<*“) “ (*“)“] =.— 1~— “T~ = ¡T--------- 3 (a~—b~) 3(a“ —b~) 3(a + b) í , donde C es el primer arco de la cicloide x = a(t sen t), y =a(l - eos t). Desarrollo Sea a(t) =(a(t - sen t), a(l - eos t», 0 <t < — 2 a \ t ) =(a(l -cosí ),asent) => |ar'(/) |= V2«Vl - eos/ /T n ^ y 2dS = ¿r(l -cosí )2V2<Wl -cosí dt =\Í2a} Asen4 —.yflsen —dt www.FreeLibros.me 442 Eduardo Espinoza Ramos 2297 2298 K j V í / S = 8a3J p .2 / \2 * (1-cos —Y sen —dt 2 2 re =8<z3 | (1- 2 eos2—+cos4—)sen—dt 2 2 2 O 3/ o / 4 3 ¿ 2 5 Y / 2 ^56 3 = 8¿z (-2 eos —+—eos eos 2 3 2 5 2 / o 15 x2+ y2¿/S, donde C es el arco de la envolvente de la circunferencia x = a(cos t + t sen t), y = a(sen t, at sent) (0 <t <2n) Desarrollo a(t) = (a(cos t +1sen t), a(sen t - 1eos t)) => a '(í) = (at eos t, at sen t) dS =| a \ t ) \dt = sja212 eos2t + a2t 2sen2t = at dt yjx2 +y 2dS = yja2 (eos t + t sen t)2 + a2 {sen t - t eos t )2at dt f re _______ 2 3 2K 2 3 V Í +7í A = y ( l + r)2 j ^ =^_ [(1+4^2)2_ 1] (x2+y 2 )2dS , donde C es el arco de la espiral logarítmica r - aem(p (m >0) desde el punto A(0,a) hasta el punto O(-ao,0). Desarrollo í www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 443 x =r cos cp, y =r sen cp x - aem(p cos cp y —aem<psen cp Sea a((p) =(aem(p coscp,aem(psen<p) , oc <cp<co m(p a '(<p) = aem(p(m cos (p - sen (p, m sen (p +eos cp) a'icp) |= aenétp V mü+1 r í O„9 I V + V- )- T, ( a5 yjnT +1 5m?1 / 0 __ a3\Jm~ + 1 5/w —00 O í 9 9,9 a5 Vw +1 (x +y ) dS ~ 5m í 2299 I {x-í- y )(IS , donde C es el lazo derecho de la lemniscata r' Desarrollo x = r cos <£> y = r sen (p x - ciyfcos2(p cos (p y - dyfcoslcp sencp Sea a((p) = ( a j eos 2) e5m<pd(p ■oo = a2 cos 2(¿9 www.FreeLibros.me 444 f i, ; , _____ . ' ' . . ; r .. Eduardo Espinoza Ramos 2230 „ , . senZcp eos3(p x a\<p) = a(— --------- ,—==£=) ylcos2(p y eos 2(p a \ 6 )|= a 1 a ^/cos2~cp -Jcosl p 71 |( x + >’)J 5'= I ( aJ eos 2) j l u 4 l J 2 . , 2 rz = a~[(------------) - ( ---------------)] = a V2 2 2 2 2 4 TC ~ 4 f 3/2 3 I (x + z)¿/S , donde C es un arco de la curva x = t, y = - 7=, z - V , 0 <t <1 Jb V2 Desarrollo 3¿2 Sea a(0 = , 0 <t <1 V2 a'(í ) =(l,3V2í,3í2) => |a'(0|=V T +18r +9/4 f (x + z)í/5= jf <7+/3) ^ + 18/2+9t 4dt = ~ ( \ + m 2 +9t 4) 2 ^ www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 445 2301 í dS 2 ? 2 x +y~+z , donde C es la primera espira de la hélice circular x z = a sen t, z = bt Desarrollo Sea a(t) = (a cos t, a sen t, bt), 0 <t <2n a \ t ) = ( - a sen t, a cos t,b) => |a \ t ) ^fa2 + b2 1 dS 2 , 2 , 2 x +y + z f yja2 + b2dt \¡a2 +Í)2 bt ,2k a2 W t 2 DI / aret e— / ab a / o V#2+/?2 ab arctg 2xb a 2302 V o o 2 2 2 ^ 2y“ +z c/S , donde C es el circulo x +y +z - ¿T , y = x Desarrollo C: V = -V paramétrizando la curva se tiene: a cos t a cos t x =— , z =a sen t, y = 75 , a cosí a cos t , Sea a(í) = (—7=r-,— ,asent) 75 ’ 75 = a cos t, www.FreeLibros.me 446 Eduardo Espinoza Ramos 2303 2304 3 2 Hallar el área de la superficie lateral del cilindro parabólico y = —x , limitado 8 por los planos z =0, x =0, z =x, y = 6. Desarrollo El área de la superficie lateral del cilindro que tiene la generatriz paralela al eje OZ, cuya base es el cilindro de integración y las alturas iguales a los valores de la función subintegral, por esto S = donde C es el arco O A de la 3x2 parábola y = ----- que une los puntos (0,0), (4,6). 8 312 Sea a(t) = (t,— ), 0<t <4 8 3 ........................ 1 9 12 o f L 912 , 4 912 ~ ; 4 1 6 rzz 1N S — I x d S — a I h 1dt —— (1H ) / —— (37V37—1) Je Jb V 4 27 4 / o 27 Hallar la longitud del arco de hélice cónica x = aet cost , y = a e s e n t , z ^ a e *, desde el punto 0(0,0,0) hasta el punto A(a,0,a). Desarrollo Sea a(t) = (aef eos t, ae*sen t^ae*) a( t x) = (aet] eos tx, aetxsen tx, aet]) = (0,0,0) => tx —>oo a(í 2) =(ae*2eos/2,a e 2sent2, ) =(a, 0,a) =í> t2 =0 www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 447 2305 2306 a \ t ) = ae*(eos/- s ent , s ent +cosí, 1) => |a \ t ) |= aefV3 L - j^| a' (t )\ dt = j*0 ayfíe* dt - a\¡3et j —ay¡3 L —ay¡3 i i X~ y Determinar la masa del contorno de la elipse — + •- =1, si su densidad lineal a b en cada punto M(x,y) es igual | y Desarrollo M [ p ( x , y)dS donde p(x,y) = | y 2 2 c- — +Z_ = i 2 . 2 a b paramétrizando la curva x =a cosí, y = b sen t Sea a(t) =(a eos t, b sen t) a ' = ( - a sen t , b eos t ) a \ t ) r 2 1 i 2 \¡a sen t + b~ eos t I' r M = I \ y \ d S = | b eos t v eos2 ¡O. a b = (b + ——v— aresen ia ^ b - a Hallar la masa de la primera espira de la hélice circular x =a eos t, y =a sen t, z = bt, si la densidad en cada punto es igual al radio vector del mismo. Desarrollo — — .— »m m »m m i una»* .* -» www.FreeLibros.me 448 Eduardo Espinoza Ramos 2307 M = I p( x, y, z ) dS donde p( x, y, z ) = yjx2 + y 2 +z2 M = y[x2 +v2+ z 2 dS y C: a(t) = (a cos t, a sen t, bt) a'(t) = ( - as ent í a cost, b) => | a \ t ) |= y¡a2 +b 2 M = yja2 +b2t 2yja2 + b2dt = yja2 +b 2 y]a2 +( bt ) 2dt V# vbt í~2 ,2 2 i ir / 2 j 2 2 n ¡ 2n —------------ [—yj ci + b t H ln|¿>/-+-\£Z -\-b t | ] / h 2 2 / o / - — = [2;rWa2+4¿>V + a2ln | 2jtb + Va2+4 ¿ V | - a2ln a] 2b / 2 Tlr n ,,.2 2 a2, , 2bx + ']a2 + 4¿>2;r2 n = Va +6 [Wa + 46z;r +— ln |--------------------------- 1] 2/? a Determinar las coordenadas del centro de gravedad del semi arco de la cicloide x = a(t - sen t), y = a( 1- cos t), 0 <t <27t Desarrollo Sea a(t) = (a(t - sen t), a(l - cos t)) de donde a \ t ) = (a(l - cos t \ a sen t ) => |a \ t ) |= a42^\ - eos/ - 2a sen — 2* M - | a \ t ) \ d t - 2a sen-^dt = - A a c o s ^ j - 4 a www.FreeLibros.me integrales Múltiples y Curvilíneas 449 2308 2309 x — í a(t - sen t)2a sen —dt 2__ M 4 a y [ a( \ - eos t)2a sen —dt 2 4 a M 3 4 ci 4 a Luego las coordenadas son (— .—-) 3 3 Hallar el momento de inercia con respecto al eje OZ, de la primera espira de la hélice circular x a eos t, y = a sen t, z = bt. Desarrollo Sea a(t) - (a eos t, a sen t, bt) / p a \ t ) - (- a sen i , eos/,b) | a '(/) ¡= va" + h •2/T I a a 1 / . - J j (.v2 4- y2)/?(.v, y,z)dS = i (¿T eos" t +a 2sen"i )Ja~ 4- h"'dt L J) 2 /7' >f~ ~> 7 ">j ) _n ü~sja~ 4- b " dt ~ 271 a~ Vu" 4 />" •o ¿Con qué fuerza influye la masa M, distribuida con densidad constante por la circunferencia jr“ +y =éC, z = 0, sobre la masa m, situada en el punto A(0,0,b)? Desarrollo Sea U(x,y,z) =u función potencial de la ñierza además . du du du F= I xdx + y d y + zd% donde se tiene: x = — , V=— , z í dx ' dy dz. www.FreeLibros.me 450 Eduardo Espinoza Ramos Luego F - I x dx +y dy +zdz = y¡(a2 +62)3 donde X = x(x,y.z), Y = y(x,y,z), Z = z(x,y,z) son las proyecciones correspondientes al trabajo de campo de fuerza. R) INTEGRALES CURVILÍNEAS DE SEGUNDO TIPO.- Calcular las siguientes integrales curvilíneas. 2310 I (a" - 2xy)dx + (2xy + y ¿)dv , donde AB es el arco de la parábola y - a' J a b que van desde el punto A(1,1) hasta respecto B(2,4). Desarrollo Sea a(x) - (x, x2), 1<x <2 Í ( a 2- 2xy)dx +(2x>’ + v2)dy = t[ ( x 2- 2x~) f (2x3+ x4)2x]dx r 3 4 ^ 5 6 ? x x 4x x (x2- 2x3+4x4+ 2x5)r/x =(--------- +— +— ) / 3 2 2 3 / 8 , 128 64 1 1 4 1 = ( — 8 + ------- + — - ( -------- + - + - ) 3 5 3 3 2 5 3 70 . 124 1 1219 i n19 8 +----- +- =------ =40— 3 5 2 30 30 2311 I (2a - y)dx + xdy , donde C es el primer arco de la cicloide x - a(t - sen t), í y =a(l - eos t) recorrido en el sentido del crecimiento del parámetro t. www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 451 2312 Desarrollo í K 7 [(a +a cos/)&(l - eos t) + a~(t - sent)sen t]dt a f [(1 - cos“ t) +t sen i - sen~t]dt =a" I t sen t dt r / Ln 2 =a~{sent - /eos/)/ =¿r(0- 2; r - 0) =-2cCn / o í 2 x y d x ~ x 2d}\ tomándola a lo largo de las diferentes caminos, que parten del origen del coordenadas 0(0,0) y que finaliza en el punto A (2,l). a) Sobre la recta OmA. b) Sobre la parábola OnA, cuyo eje de simetría es el eje OY. c) Sobre la parábola OpA, cuyo eje de simetría es el eje OX. d) Sobre línea quebrada OBA. e) Sobre la línea quebrada OC A. www.FreeLibros.me 452 Eduardo Espinoza Ramos .... " t 2313 a) Sea cx(t) = (2t,t), O<t <1 j 2 x y d x - x 2dy = j [4r.2- 4 t 2]dt = \ ( S t 2 - 4 t 2)dt= f 4t 2dt Jo a Jo Jo Jo 4t3 />_ 4 T / o ’ 3 b) a(t) = (í, —), 0 <t <2 4 I "7 2 x y d x - x dy = —)c/r = 0 2 c) a ( í ) = ( y , í ) , 0 <t <1 L 2 x y d x - x 20 / o 20 L 2xy dx + x 2dv en las mismas condiciones del problema 2312 ■ Desarrollo www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 451 2312 Desarrollo r [(a +a eos t)a(\ - eos /) +a~ (t - sen t. )sen t]dt r n ~) i t 'y a' I [(1 - cos~t) + t sen t - sen~t\dt =a~ I / sen / di f a (sent - t eos :os t ) / ~ T / o = a~( 0 - 2 7T- 0) = ~2cr K \ JOA 2.vi' dx —x~dy , lomándola a lo largo de las diferentes caminos, que parten del origen del coordenadas 0(0,0) y que finaliza en el punto A (2,l). a) Sobre la recta OmA. b) Sobre la parábola OnA, cuyo eje de simetría es el eje OY. c) Sobre la parábola OpA, cuyo eje de simetría es el eje OX. d) Sobre línea quebrada OBA. e) Sobre la línea quebrada OCA. www.FreeLibros.me 452 Eduardo Espinoza Ramos 2313 a) Sea a(t) = (2t,t), O<t <1 í 2x y dx - x 2dy - í [ 4 / 2. 2 - 4 t 2]dt = f Jo a Jo Jo (8¿2- 4t 2)dt = I 4t Ldt 41 / l 4 3 / 0 3 í I Í 4 - 1 2xy dx - x zdy = | (— - f —)dt - 0 c) a(t ) = (—,í ), 0<t <l <2 2x y d x - x 2dy= (/3 i 3 o 20 i. I xydx +x dy en las mismas condiciones del problema 2312 Desarrollo www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 453 2314 2315 t 2 b) Sea a(t) = (t,—), 0<t <2 4 2xy dx + x 2dy = ( ~ 4- ~~) dt — t Jdt - 4 en todas las demás caso también da 4 (x -f y)dx —(x —y)dv . , ? o ? _— _— _— -----— --, tomando a lo largo de la circunferencia 4- v" - a x 4- y en sentido contrario de las agujas del reloj. Desarrollo Sea a(t) = (a eos t, a sen t), 0 <t <2rc J (x 4- y )dx - (x - y)dy | a(sen t 4- eos t )(-« se/; /) - a (eos t - sen t)ci eos t J „y2 4- v2 Jb a1 eos" t y a2sen21 í •'\r '>/ 2 7 \ ¿7" (-sen í - sen t eos t + sen t eos t - eos" t ) _ -dt 2 a Í 7 \ ■■ / ¿X (- sen7 - eos" t)dt = —r / -2/r o y 2dx 4 v2c/v , donde C es la mitad superior de la elipse x=a eos t y=b sen t, que sigue en el sentido de las agujas del reloj. Desarrollo Sea a(t) =(a eos t, b sen t) de donde www.FreeLibros.me 454 Eduardo Espinoza Ramos 2316 ¡ *71 7 3 9 3 ( - ab sen t + a~b cos t)dt í VJZ \—ab2 (1 —eos2t)sent + a2b{\ - sen21) cos t]dt 9, eos3 9, • ser? t _ /° = \-ab~ (- cos t A---------) + a~b(sen t .» )/ 7T [-ab2( - \ + i ) + a2b( 0 - 0)] - [-a/>2(1 - 1)] J ? 2 l ab2 l ab2 l ab2 4 2 = - a b - ( - - ) - ( -----— = — — A-—— = - a b z 3 3 3 3 3 cos y dx - sen x dy , tomándola a lo largo de segmento AB de la directriz del segundo ángulo coordenado, sí la abscisa del punto A es igual a 2 y la ordenada del punto B igual a 2. Desarrollo Sea a(t) =(-t,t), -2 <t <2 I JAB cos y dx - s e n x dy X JE t (- cos t - sen(-t))dt ( - cos t + sen t)dt www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 455 2317 2318 / 2 - { - s e n i - eost) j —( - sen2 - e o s 2 ) - (-sen{-2) - cos{-2)) = (- sen 2 - eos 2) - (sen 2 - eos 2) =-2 sen 2 —í f W ? donde C es el lazo derecho de la lemniscata c x “ +y r = a eos2<p, que sigue en el sentido contrario al de las agujas del reloj. Desarrollo r 2= a2 eos 2(p r = ay]eos 2 cp x = r eos cp acospyjeos 2^> v =r sen cp - a sen cpyjeos 2(p ^ x v ( v d x - x d y ) _ (*4 > ' .v2- , ’ “ = J 4 ¿/“xen ^9 eos ( - a cp sen 3cp-a eos (p eos 2<p) n 4 2 2 . 2 ^ 2 ¿/ eos 2(p eos cp + a eos 2cp sen (p d(p j 3 | 4 sen cp eos cp{sen (p senicp + eos (peos2(p) í d(p a a 4 2 J 5 sen 2(p eos 4<pdcp —0 impar Calcular las integrales curvilíneas de las expresiones diferenciales exactas siguientes. www.FreeLibros.me 456 Eduardo Espinoza Ramos í ;2,3) a) | x dy + v dx 1,2) Desarrollo *2,3) -(2,3) (23) | a* dy + y dx = I d (a, y ) ~ xy / = 6 - ( - 2 ) = 8 4- 1,2) 4- K2) ' (~L2> í 3,4) b) | a dy + y dx (0,1) Desarrollo I I 3,4) v2 + y2 /<3'4) 25 1 xdy + ydx= / = - - - = 12 (0,1) 2 2 i , i ) c) I (a-f y)(dx + dy) (0,0) Desarrollo f (1J ) f 0'0 Í A + V ) 2 / I ( a + y)(dx + ¿/y) = I (.x- -i- v ) í / ( a + y) = - — -— / 4 o,0) 4 0,0) 2 u+,y ,<'-»=2_0=2 (0,0) Í 2,l) 2 .2) 2j) ^ d d) | 2 _ _ ( p 0r U11camino que no corte al eje OX) Desarrollo f* ~ ’ 1 }y dx - x dy _ f*2J \ ^ x _ a / 4i,2) • y" 4i,2) y y ' (2’i) = 2 _ J _ == 3 y / 0,2) 2 2 ■v,3) dx + dy ^ e) I ^p0r un camino que no corte a la recta x + y =0) í L,i) x + y 99 www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 457 2319 í Desarrollo x'y ) dx + dy - ln(x + y) 2 2 í Í-A’2vv2) f) | (p(x)dx + y/(y)dy A, , V, ) Desarrollo Í (a2,V2) py 2 cp(x)dx +i//(y)dy = I <p(x)dx + I if/(y)dy V,, v ,) J xl J y¡ Hallar las funciones primitivas de las expresiones subintegrales y calcular las siguientes integrales. f ;3,o) a) | ( x4 + 4 x y 3)dx + ( 6 x 2y 2 —5y4)dy 2 - 1) Desarrollo dP 2 P(x, y) = x4+ 4xv3 cy Q{x,y) = 6x2y 2- 5 y 4 oQ = 2 dx dP dO como — =— es exacta => 3 f(x,y) dy dx talque m h A =P(, , y) y s « i z ) . e ( I O ,) dx dy —1—— = P(x, y) = x 4 + 4xy3 integrando dx www.FreeLibros.me 458 Eduardo Espinoza Ramos v? , f ( x , y) = | ( x + 4 xy) dx + g(y) = h2x 2>'2 + g(y) derivando Cf(x,y) s 2 2 ií \ n / ^ ¿ 2 2 c 4 — = 6* y +g (y) = Q(x, y - 5 y dy g \ y ) = - 5 y 4 => g(v) = - / f ( x , y ) = - r + - y 5 Í 3,0) ¿3,0) (x4 + 4 xy3)dx + (6.v2 v2 - 5 )dy = I df(x, y ) -2, - 1) 4 - 2 - 1) / (3.0) 243 32 = f(x, y) = y (3,0) —/ ’( —2, —1) = ( — ) - ( - — - 8 + l) = 62 / 1-2,-D 3 5 4o ;u) b) I ( - ¡ ' V , +y)dy + ( J = = = + X)dy :o,0) yjx~ + y" \¡x~+y Desarrollo Y " i ? (—===== 4- y)dx + -...■'~4- „y )¿/ v = / 2 7 1 ”> yjx +y~ yjjir+y xdx vdy , , xdx+ vdy . . h— p = ^ = - 4- y 4- x dv —— ............... •+ y dx 4- x dy V ~> ~> I 7 T ' ' I 1 1 x +v" yjx 4- y \jx 4- y~ d x 4- y 2 ) 4- d( xy) = d( yj x2 + y 2 +xy) www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 459 2320 2321 ( i , i ) ( J x 4- v~4- xv) / —- V2 4- 1 / (0,0) Calcular la integral x dx 4- vdv !] , tomándola en el sentido de las agujas del •r ^ 1+ v" + v“ reloj; a lo largo del cuarto de la elipse primer cuadrante. Desarrollo "» 2 X" V’ 2 + 77 a b 1, que se encuentra en el í x dx 4- v dv V K04) 4«- 0) d(\¡ 1+a'" 4- y ~) X r X 3 ,(04) = 41+ X 4- V / / (u.0) —V 14 /?” - 14 Cí Demostrar, que si f(u) es una función continua y C es un contorno cerrado “regular a trozos'1, la f ( x 2 + y 2 )(x dx + y dy) —0 '■ ' ' 1 i '<■ ■ . ■ ■■■ V' Desarrollo o ? ? du . j Sea u ~ x~ +v“ — = x ax 4- y dy 2 cji /(.V2 + .V2 )(-vdx + ydy)=-^ | / ( « )du = 0 I í ' i / (x24- y 2)(x í/x 4- y dy) = 0 www.FreeLibros.me 460 Eduardo Espinoza Ramos 2322 Hallar la función primitiva u, sí: a) du =(2x +3y)dx +(3x - 4y)dy Desarrollo Sea \ p 2x +3 y | Q =3.v - 4 v => dP cy dQ dx = 3 =3 - d P d O _ . Como — =—- es exacta => d u tai que cy ex du ex P - 2x +3y , integrando u = |(2x +3y)dx + g ( y ) 7 u ~ x“ +3xv +g(y), derivando respecto a y du cy - 3x +g \ y ) = Q = 3x - 4 v g \ y ) = -4y g( y) = -2y~ 2 -> 2 u - x +3xv - 2 v . / •/ 7 7 7 7 b) du - (3x“ - 2xy + y~ )dx - (x“ - 2xy +3 y“ )dy Desarrollo du _ , U l l . C U . C U _ 1 _ 7 , Como du - — r/x +■— c/v entonces — - 3x“ - 2xv +y" , integrando *7 -s ex qy <7X f = I (3jf - 2xy + )dx +g(>’) u ^ ^ 2 =x - x~y +xv +g ( y ) , derivando respecto a y www.FreeLibros.me integrales Múltiples y Curvilíneas 461 — = -V- +2xy + g '(>•) =-(.v2 - 2 xy + 3. V) cv g '(y) = - 3 y" => g(y) = - v" u - a' - a"y +a;v" -- v* , dx dv c) du v x -i- v x 4- y Desarrollo . dx dy dx +dv d ( x +y ) j u --------- i-----:— — — —------------ -— X -r V A* -r V A' 4 V X 4 V . d (A' 4- V) ¡ I I I I lt - i —. in |a' 4 y u =ln x - y f A" 4 V Calcular las siguientes integrales curvilíneas, tomadas a lo largo de curvas en el 1 espacio. 2323 I (y - z)dx 4 (z - x)dy 4- ( a* - v)dz , donde C es una espira de la hélice circular í x - a eos t, y =a sen t, z =bt, correspondiente a la variación del parámetro t desde 0 hasta 2ti. /■ t . Desarrollo & Jt I ( v -- z)dx 4- (z - x)dy +(a* —y)dz = I [{a sen t - bt)(- a sen t ) 4 a f +(bt - a eos t )a eos t + (aeost - a sen t)b]dt >2K 9 9 ( - asen~t 4 bt sen t + bt eos t - a cos“ t 4 b eos t - b sen t]dt www.FreeLibros.me 462 Eduardo Espinoza Ramos f ' a I i~a +b(t - \ ) s e n t 4- b(t +1)eost]dt = a[-at 4- b( - t eos 14-2 sen t + t sen 14-2 eos t)] J = a[(-2aji; - 2b7i 4- 2b) - (2b)] =-2a7c(a +b) ln 0 2324 donde C « 1. drcuníérend, x - R c o s a c o s , . y =R eos a sen t, z =R sen a (a =constante) recorriendo en el sentido del crecimiento del parámetro. Desarrollo C^y dx 4- z dy + xdz - [/? eos a sen t ( - R eos a sen t ) + 4-R sen aR eos a eos t + R eos a eos t.0]dt Áln f [-/?7eos2a s e n 2t 4- R2sen a eos a eos t]dt L eos2or(l-cos2r) R I [-------------------------- (- sen a coser eos t]dt f O O eos" a eos a s e n l t _ / 2yT -> - ----- n ------------------- y sena cosa sent] / = - a eos" a. ir 2 4 / o 1 2325 I xydx+vzdy +z xdz , donde OA es el arco de la circunferencia 14 ~) 0 9 x" 4- y" 4- z = 2Rx , z = x, situado por el lado del plano XOZ, donde y >0. Desarrollo www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 463 2326 9 9 z =x => 2x +y = 2Rx , paramétrizando 2 „ y2 n , V2 f l 2 x -/J xH = 0 => (x ) + 2 2 2 4 j ^ R R s¡2R t donde x - — i— eos t, y = sen t 2 2 2 , R R ' J l R R sera a(t ) = (— I— eos t , -----Rsent , — +— eos/), 0 <t <— 2 2 2 2 2 2 7T xy dx +yz dy +zx dz = [(— R R , V2 n R +— eos t ) ----- R sen t(---- sen t) + 2 2 2 sÍ2 n , R R , 42 n R R ^ R R sen t(— +— eos t ) R eos t +(— +— eos t y ( sen t)\dt n 2 2 2 2 2 2 , 2 f f c f í - 1 ^ [------- /?3(1+ eos t)-sen21 +— (1+eos t )sen t eos t -(1+eos t )2sen 8 4 8 = {l z A - J L y/2)R3 24 32 Calcular las integrales curvilíneas de las diferenciales exactas siguientes: £ 16,4,8) a) | x dx +y dy - zdz 1,0-3) Desarrollo www.FreeLibros.me 464 Eduardo Espinoza Ramos c) d) X“ 4- V 2 —Z2 y ( M, 8 ) J L / = —[(36+ 16-64)-(1 + 0- 9) ] = -2 2 / (i,o,- 3) 2 £ + Ac) b) | yzdx + zx dy + xy dz ; u , n Desarrollo Í {a, b, c) Ma, b, c) yz dx + zxdy-\- xy dz - I d(xyz) = xyz / i,u) 4 i ,i,d i (a%b,c) (1,1,1) 3’4,5^xdx + y dy + zdz o,o,0) a/x + Desarrollo fM'5)fga»±£jU f3A5,rf(^7777) +.o,o) y¡x2+y 2+z 2Jo.o.o) 4 x 2 +y 2 +z 2 ñ A'S) = 5 A / (0,0,0) £ *,J \ — ) vv yzdx +zxdy + xydz 1,1,1) Desarrollo = ln(A;vz) / , 1, r (*,y,— ) ^ = ln 1- ln 1=0 (i.i.O www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 465 C) 2327 2328 FORMULA DE GREEN.- Valiéndose de la fórmula de Green, transformar la integral curvilínea I =Q V*2 +y 2 dx +y[xy +ln(x +yjx2 +y 2 )]dy , donde el contorno C limita Jc un recinto S. Desarrollo +y P = y/ ^ Q- ylxy+ yv •*2+y2) dP dy cQ dx y + y y~+ y s j y + y 2 i = (j) J x 2 +V' 2 dx +y[xv + ln(x +J x 2 +y 2 )]dv = í [(—— - — )dx dy Jc J J c-Y cy S 5 r~ ~ r~i 2 y¡X + y ~ yJX + y )dxdy íf- y dxdy 4 2(xl Aplicando el teorema de Green, calcular I —( ^ 2(x~+y )dx + (x + y) dy, donde C es el contorno de un triángulo, cuyos vértices están en los puntos A (l,l), B(2,2) y C(l,3) y que recorre en sentido positivo. Comprobar el resultado obtenido, calculando la integral directamente. Desarrollo 2(*2 + y2) P £? = ( * + y) => dP_ dy dQ , dx = 2 (x + y) www.FreeLibros.me 466 Eduardo Espinoza Ramos 2329 / = 2(x2 + y 2)dx + (x + y ) 2dy = “ ~Z~)dxdy dx dy í í 2(x - y)dx dy 2(x - y)dy)dx JT(2 x y - y 1) / dx 70 .. 40 -Ax)/' = 4(— — +2) = Aplicando la fórmula de Green, calcular la integral - x 2y dx + xy2d y , donde C es la circunferencia x 2 + y 2 = R2, que se recorre en sentido contrario al de las agujas del reloj. Desarrollo P = - x ¿y Q = dP - x“ R x ay a £ . dx = y aplicando la fórmula de Green i -xzy dx +xy¿dy = \ \ { - ^ - - —-)dxdy íf‘ dx dy www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 467 í í (x2 + y 2 )dx H r rdr)dO i 71/ .R 4 / o 4 r \ 2330 Por los puntos A(1,0) y B(2,3) se ha trazado una parábola AmB, cuyo eje coincide con el eje O Y, y su cuerda es AnB. Hallar la integral 4 J A m B n A (x +y)dx —(jc —y)dy directamente, aplicando la fórmula de Green. Desarrollo y - k = 4 px~ ■t ) para A( 1,0) se tiene: - k = 4p para B(2,3) se tiene: 3- k=16p ' 1 , t entonces p = —, k = 1 4 Luego y - x 2 -1 4 v A m B n A ( x+y) dx- ( x - y)dy = JT \ ^ - = dxdy s s íf =-2 n a- 3 í dy)dx - - 2 I ( 3 x - 3 - x ~ +\)dx www.FreeLibros.me 468 Eduardo Espinoza Ramos 2331 2332 x 3 3x2 / 2 8 1 3 -2(------ + ------- 2x) = - 3 [ ( — + 6 - 4) - + — 2)] 3 2 ! \ 3 3 2 7 3 23 1 = - 2 [ ------- --- + 4] = -2[~— + 4] = - - 3 2 6 3 Hallar la integral I exy(y¿dx + (\ +xy)dy) si los puntos A y B están * A m B situados en el eje OX y el área limitada por el camino de integración AmB y por el segmento AB, es igual a S. Desarrollo Por diferencial exacta se tiene: . X V / . . 2 f 7 /<*•' I e^[y dx + {\ + xy)]dy = I J A m B 4«, 0) ^a’ (b, 0) 0) eA(0) (0) - ea<0) (0) = 0 - 0 = 0 Calcular la Cfc —y_^_ examinar ¿os casos: 1c x 2 + / a) Cuando el origen de coordenadas esta fuera del contorno C. b) Cuando el contorno rodea n veces el origen de coordenadas. Desarrollo ——ydy www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 469 2333 2334 R R ■ i x d y - y dx _ 2 2 c X + y Demostrar que si C es una curva cerrada, entonces: eos(x, n)dS =0 donde S es la longitud del arco y n la normal exterior. . . . i- , ' ' - ;• i Desarrollo Si se supone que la dirección de la tangente coincide con la dirección del dy recorrido positivo del contorno, tendremos que cos(x, n) = eos {y, t) = — , por dS consiguiente: £f cos(x, n)dS = dy = 0 cos(x,n)dS = 0 Valiéndose de la fórmula de Green, hallar la integral / = (j^[jtcosO,n) + ysen(x, n)]dS donde dS es la diferencial del arco y n, la normal exterior del contorno C. Desarrollo cos(x,n) = cosíy, t)=-¥; dS dx sen(x,b) = sen(y,t) - —— dS www.FreeLibros.me 470 Eduardo Espinoza Ramos 2335 i ■ Q> [xcos(x,n) +ysen(x,n)]dS = Q (x— - y —)dS = 0 xdy - y dx Jc Jc ds ds Jc í 1 [x cos(x, n) + y sen (x, n)]dS = Q xdy- ydx í p - ~y Q = x dP dy dQ kdx = - 1 = 1 / = [xcos(x,n) + ysen(x,n)]dS = ^{-^--~z~)dxdy dx dy fí 2 dxdy - 2S R R i [x cos(x, n) + y sen (x, n)]dS = 2S Calcular la integral o — —— tomada a lo largo del contorno del cuadrado i 'c x+y \ ii i ' t i " 1 ' í • « ■> , - ■) que tiene sus vértices en los puntos A(1,0), B(0,1), C(-1,0) y D(0,-1), con la condición de que el recorrido del contorno se haga en sentido contrario al de las agujas del reloj. Desarrollo www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas r dx —el v i * ( ' x y dt - dt 2t -1 mí 4~ -dt - dt 4" 1 í dt —{—dt ) f di dt It + 1 í ; í j =0- 2 dt -f 0 f f 2 di - -4 | dt = -4t / ° - -4(0 +1) = -4 J-i 1 -i dr —dv r +v* - -4 D) APLI CACI ONES DE LA I NTEGRAL CURVI LI NEA. Calcular el área de las figuras limitadas por las siguientes curvas. 2336 Por la elipse x =a eos í, y = b sen t Desarrollo ' V 7 r v . xdv V d x 1 O (a eos i b eos / + b sen f a sent )dt ib •) n {eos"/ +scn~ ab ? d/ rd? 1,7 J / - r/ZiT / o •> 2337 Por el astroide r =■a cosJ /, v - a sen' í Desarrollo .7 1 * 1 fv . ' i A - —Q x dy - y dr - 4[— i “ (<7eos" t.3a sen' t eos / -(asetd t)(~3a eos' t sen t ))dt 2 Jo C r r / >• ~(3¿r cos^ t sen't + 3a~ setr i cos“¿)dr www.FreeLibros.me 472 Eduardo Espinoza Ramos 2338 2339 i = 6 a~ K) / T - ) 7 1 - i 2 7 2 , 6¿T fz , 6cr serrt eos' t dt = I sé77' 2tdt ----- 4 1 8 T í 7 (1- cos4f)¿// 3¿r r sen 4/ /y 3¿r;r T [' “ r V » = n r Por la Cardioide x = a(2 cos t - cos 2t), y =a(2 sen t - sen 2t) Desarrollo x dy - y dx = (2 cos t - cos 2/)(2 cos t - 2 cos 2/) - a (2 sen t - sen 21 )(-2 sen t + 2 sen 2t)]dt í = I rr[(2cos¿ -cos2t)(2cost-2cos2t) +(2sent - sen 2t)(2sen t - 2sen 2t)]dt !í =2a' I [(2 cos t - co$2t)(cost - cos2t) + {2 sen t - sen 2t)(sen t - sen 2t)]dt I y 1 ~) " > / 2a~ I (2 eos' t + 2 serrt - 3 cos t cos 21- 3 sen t sen 2t +eos' 2t + sen“ 2/)r// 2¿72 (3 - 3 cos 3 / - 2 a 1 (21 - ser/ 3o / /r o óa~/r Por el lazo de Folium de Descartes x3+y - 3axy =0 , a >0 Desarrollo 3<7f 3 « r Sea y = tx => x = , v = 1 + /J L + r www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 473 2340 2 í A = (^) jc dy - y d x , donde la curva es: ->/ . . 3at 3at2 . . «(0 = ( 7, t ) 90<t<oc 1+ / 3 1+ c A = l r ^ ( ~ ) - ~ ^ ) 2 J) l + r3 i + t3 1+ r 1+ í 3 3at 2 v 3¿z/2 w 3aí /Í = 9í/2 f y dt =9a2[-------l - r ] / " J od+/3)2 3(1 + / ) > o A = 3a2(0 +1) =3a2u2 A = 3a2u2 i Por la curva (x +y) = axy Desarrollo 9 9 V , ► Sea y =xt => (x +xt) = ax~t de donde x = 7 , v = , o + o 3 ' ( i + / r at at 2 ? at at Sea «(/) = ( r , t ) (1 + / ) 3 (1 + / ) 3 í ¿í , . 1 at at~ a r at A = — I - d ( -------- - ) ------------ T- d { ---------r-) 2 J) (1 + / ) (1 + / ) 3 - (1 + 0 (1 + 0 , 1 f114 - 2/3- 2/2- / , a , a A = - I = dt =— ••• A= — 2 J , (1 + 0 60 60 www.FreeLibros.me 474 Eduardo Espinoza Ramos 2341 Una circunferencia de radio rueda sin resbalar sobre otra circunferencia fija, de radio R, conservándose siempre fuera de ella, suponiendo que — sea un r número entero, hallar el área limitada por la curva (epicicloide) que describe cualquiera de los puntos de la circunferencia móvil. Analizar el caso particular en que r =R (cardioide) Desarrollo La ecuación de la epicicloide tiene la forma: ,_ R + r , _ R + r x = (R +r)cost - reos 1 ; y = (R +r)sent - r s e n------- 1 donde t es el ángulo de giro del radio del circulo fijo, trazado en el punto de contacto. r A - — | x dy - y dx \ í R + r . . R + r A = ~ \ ([(tf +r) cos t —r cos------- t][(R + r ) c o s t - ( R + r)cos------- 1] 2 A, r r R -f- r R. “l- r -[(/? +r)sent - r s e n /][—(/? +r)sent -f (R +r)sen------- t])dt R + r f * , •> R + r A - —-— I [(R + r)(sen~t + cos“ z) —[(7? +2r)cos/cos 1 . R + r A =------- 2 ~(R +2r)(sen t + sen 1) +r cos“-t + r sen t]dt r r r [(R + 2 r ) - ( R + r ) eos—t]dt = ——~ ( R + 2r) I ( 1 - c o s —t)dt www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas AIS A = ^ - ^ ( R + 2 r ) [ t - - s e n - t ] / ^ A = (R + r)(R +2r)jt 2 R . r ¡ o 2342 Una circunferencia de radio r rueda sin resbalar por otra circunferencia fija, de R radio R, permaneciendo siempre dentro de ella, suponiendo que — sea un r número entero, hallar el área limitada por la curva hipocicloide descrita por cualquiera de los puntos de la circunferencia móvil, analizar el caso particular en que r ~~~ (astroide). Desarrollo La ecuación de la hipocicloide se obtiene de la ecuación de la epicicloide correspondiente (ver problema 2341) sustituyendo r por - r es decir: R —r R — r x - ( R - r ) eost +r eos 1 ; y - (/? - r ) s e n t - r s e n 1 r " r donde t es el ángulo de giro del radio del circulo fijo, trazado en el punto de contacto. 1 A = — I x dy - y dx 1 f&X _ y . g__ y - A = — I ([(i? - r) eos t + r eos —-— í][(7? - r) eos t - ( R - r ) eos------ í ] - R —r R —r -[(i? - r)sen t - r sen------- 1] [-(i? - r)sen t - ( R - r)sen------- 1])dt www.FreeLibros.me 476 Eduardo Espinoza Ramos 2343 A R - r í K (R - 2 r ) | ( 1 - c o s — t)dt =——- { R - 2 r ) ( t - — sen — t ) ¡ 2 R r / o R r .71 A R - r (R - 2r)(2n - 0) de donde A = (R - r)(R - 2r)n p i R r , 3R Para el caso en que r = — se tiene A =------k 4 8 Un campo está engendrado por una fuerza de magnitud constante F, que tiene la dirección del semi eje positivo OX. Hallar el trabajo de dicho campo, cuando un punto material describe, en el sentido de las agujas del reloj, el cuarto del círculo =R" que se encuentra en el primer cuadrante. Desarrollo r WAB = I F .d i de donde d i - dx i + dy j => F = F i f WAB = \ Fd x = FI f ••• WAB = F.R www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 477 2344 Hallar el trabajo que realiza la fuerza de gravedad al trasladar un punto material de masa m, desde la posición v4(X),y,,z,) hasta la posición z 2) )(el eje OZ está dirigido verticalmente hacia arriba). Desarrollo Fuerza de gravedad: x =0, y =0, z =-mg Zj < z < z2, z > 0 como x =y = 0 => dx =dy = 0 cuya magnitud es proporcional al alejamiento del punto respecto al origen de coordenadas, si el punto de aplicación de dicha fuerza describe, en sentido 2345 Hallar el trabajo de una fuerza elástica, dirigida hasta el origen de coordenadas, x v r r m t r a r i n a l d e l a s a c n i i a s HpI r p l n i e l e n a n t n d e l a e l i n s e 1-------------= 1 situado Fuerza elástica x =kx, y = ky www.FreeLibros.me 478 Eduardo Espinoza Ramos 2346 Hallar la función potencial de la fuerza R(x,y,z) y determinar el trabajo de dicha fuerza en el trozo de camino que se da, sí: a) x = 0, y = 0, z = -mg (fuerza de gravedad) y el punto material se desplaza desde la posición A(x{, y x, z x) a la posición B(x2, y 2, z2) • , . ux uy k z , . b) x - — - , y = — - , z = — —, donde u = constante y r r r V 9 9 9 + y +z“ (fuerza de atracción de Newton) y el punto material se desplaza desde la posición A(a,bc) hasta el infinito. 9 9 9 c) X - - k ~ x , Y = - k y , Z = - k z , donde k =constante (fuerza elástica), 9 9 9 9 estando el punto inicial del camino en la esfera x" +>’“ + z = JR y el 9 9 9 9 final de la esfera x +y~ +z~ = r~ (R >r) , : « • . . ' . • - 4 * Desarrollo a) Fuerza potencial =diferencial exacta x =y =0, dx =dy =dz, z = -mg í w - I - mgdz =- mg ( z l - z 2) b) w= J^x dx + y dy + z dz = - ux dx - uy dy - u dz u 3 ¡ 2 t2 2 , 2 1 V cl +b +c (x“ +y + z~Y c) X = - k 2x , y =- k 2y , Z = - k 2z w = - k 2 \ x dx + y dy + z dz es exacto w = - k 2( f ( R2) - f(r)) www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas / 479 7.10. INTEGRALES DE SUPERFICIE. l e r . INTEGRALES DE SUPERFICIE DE PRIMER TIPO.- Sea f(x,y,z) una función continua y z =cp(x,y) una superficie regular S. La integral de superficie de primer tipo representa de por sí él limite de la suma integral. n LA___ ___ ■ «-* 00 f ( x , y , z ) d S = lim y i ____ donde AS¡ es el área de un elemento i de la superficie S, al que pertenece el punto (x¡, y ¿,z¡); el diámetro máximo de estos elementos en que se divide la superficie tiende a cero. El valor de está integral no depende del lado de la superficie S que se elija para la integración si la proyección C de la superficie S sobre el plano XOY es uniforme, es decir que cualquier recta paralela al eje OZ corta a la superficie S en un sólo punto, la correspondiente integral de superficie de primer tipo se puede calcular por la fórmula: 2do. INTEGRAL DE SUPERFICIE DE SEGUNDO TIPO.- Si P =P(x,y,z), Q = Q(x,y,z) y R =R(x,y,z) son funciones continuas y S es la cara de una superficie regular S que se caracteriza por la dirección de la normal n(cos a, eos p, eos y) la correspondiente integral de superficie de segundo tipo se expresan de la forma siguiente: www.FreeLibros.me 480 Eduardo Espinoza Ramos ] Pdy dz + Qdzdx + R dxdy = f f(P eos a 4- Q eos f i + R eos y)dS - v y mi ¿í a h * v > •* Al pasar a la otra cara S de la superficie, está integral cambia su signo por el contrario. Si la superficie S está dado de forma implícita F(x,y,z) = 0, los cosenos directores de la normal a esta superficie se determinan por las fórmulas i p'~ iu' 1 dF 1 dF 1 dF eos a - —.— , eos p ——.— , cosx = —.— D dx D dy D dz donde D = ±J (— )“ +(— ) +(— ) y el signo que ponga delante del dx dy dz radical debe elegirse de acuerdo con la cara de la superficie S que se tome. 3er. FÓRMULA DE STOCKES.- Si las funciones P =P(x,y,z), Q = Q(x,y,z) y R =R(x,y,z) tienen derivadas continuas y C es un contorno cerrado, que limita una superficie bilateral S, se verifica la fórmula de STOCKES: r/— < f í P BRJ ^ ¿dQ dP. , [(—---- — } eos a+ (~— — ) eos P + {-— — ) eos y] dS dy dz cz dx dx donde eos a, eos P y eos y, son los cósenos directores de la normal a la superficie S, debiendo determinarse la dirección de la normal de tal forma que, desde esta, el recorrido del contorno C se efectúa en sentido contrario al que siguen las agujas del reloj (en un sistema de coordenadas de manó derecha). Calcular las siguientes integrales de superficie de primer tipo. www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 481 2347 2348 í í (x 2 +y 2)dS , donde S es la esfera x 2 + y 2 + z 2 - a2 Desarrollo 2 2 2 2 x + y + z = a dz ¿k X dz y V« 2 - * 2 ~ v 2 ’ c> V« 2 - * 2 - í í í í (x2 + y 2 )dS = I I (x2 + y 2) Jl + ( | ^ ) 2 + (— )2 ¿x dy ex dy S D í í (*2+ / ) J i + \ — 7+ — 4 — 2 dxdy a - x - y a - x - y D = a íí 2 2 + y D I 2 I y]a - x dxdy y dr)dO • t ' h h 3 i) 3 J I / x 2 y y dS, donde S es la superficie lateral del cono 2 2 2 = o, a2 a2 2 (0 <z <b) Desarrollo www.FreeLibros.me 482 Eduardo Espinoza Ramos 2349 *2 y 2 zl a b l — + — - - y = 0 => z = - V a a b a dz dx bx (7Z by a^jx2 ~+y2 + _y2 JF x 2 + y 2 ds JF + ( ^ ) 2 + A 2* ^ dx dy D yjx2 + y 2 ll + b2y 2 + —JLJ L —dxdy D a2( x2 + y 2) a2( x2 + y 2) JF dxdy D <2 jV*2+.',2 dxdy D yJa 24-d — T( r , 2 í / r V ^ = 2 f W Z ± Z Calcular las siguientes integrales de superficies de segundo tipo. Ií >>z ¿/y ¿/z + xz ¿/x ¿/z + x>>í /x dy , donde S es la cara exterior de la superficie del tetraedro limitado por los planos x = 0, y =0, z =0, x +y +z =a. * >’ Desarrollo Según el teorema de Gauss. www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 483 2350 I íí- ( h 1 ) dxdydz= \ \ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy dx dy dz s P como <|Q R yz xz xy dP_ dx dQ dy dR dz = 0 = 0 luego se tiene: = 0 íí yzdydz + xzdzdx + xydxdy = | | | (—— +—r~ +~~)dx dy dz í í í dx dy dz k í í í (o + 0 +ü)dx dydz = 0 í í 2 2 2 x y z z dx dy , donde S es la cara exterior del elipsoide T + 7T + T - 1 a b~ c Desarrollo 2 ^ 2 x y z a b e 1 => 2 2 : * + ^ = i - z a2 b2 ‘ c2 z 2 I z 2 el eje mayor es: a j 1— j ; el eje menor es: b j 1 Área de la elipse es: A = 7c(base mayor)(base menor) www.FreeLibros.me 484 Eduardo Espinoza Ramos 2351 Jf f zdxdy = 2n | ab( 1- ~ ) d z = 2irab{z - ~ t ) j = 27iab{c - Y v 3c' Jf z dxdy = Anabc íí x dydz + y dzdx + z dxdy , donde S es la cara exterior de la superficie de la semi esfera x 2 + y 2 + z 2 = a2 , (z > 0). Desarrollo Según el teorema de Gauss. P = Y <C? = y P =z2 a p SR_ dz = 2x 2z Jf x 2dy dx + y 2dz dx + z 2dx dy = 1 1 1( 2* +2 v +2z)dx dy dz h f A' Jff 71 2 x dx dy dz = 8 Y b J I 2 I - r ) • 4 4 * ¿2 7T r ( r c o s 0)dz)dr)d0 =a arcsen\ =----- íff ;r 2I I Ij2¿/x¿/y£/z=8 ma ( / 2 2 'a —r r.r sen 0 dz)dr)dO www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 485 352 2 j j j z d x d y d z = 8 ( (-eos#) j k r? *3 ( O JO o 2 r.zdz)dr)dO = ------ & por lo tanto se tiene: 4 _ 4 _ 4 _ 4 íí 2 2 , , 2 » i a n a n a t c a t í x dyaz + y dz dx + z dxdy = ------------------1-------- = ------- Hallar la masa de la superficie del cubo 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < z < 1, si la densidad superficial en el punto M(x,y,z) es igual a xyz. Desarrollo Sobre el plano XY, 0 <z < 1 1 n \ 2 /dz 2 i Z = i => j i + ( — ) + ( — r = i ex dy Sobre el plano XZ, 0 <y <1 y - , =* + OX dz V-1 4/ 0 4 Sobre el plano YZ, 0 <x <1 www.FreeLibros.me 486 Eduardo Espinoza Ramos 2353 X=1 => dy dz Mi = | < | ( 1 W z W , = | y / W = f U , = 3 por lo tanto Masa = M = M x+ M2 + A/3=— Determinar las coordenadas del centro de gravedad de la cápsula parabólica homogénea az = x 2 + y 2, (0 <z <a) Desarrollo p(x,y,z)= 1, 0 <z <a 1 . 2 2\ dz 2x dz 2y z = - ( x ~ + y z) => — = — , — = — a dx a dy a 2 2 2 2 2 z = a => az = x + y => x +y = a M = , P ( x , y , z ) l + (— ) +(—) ¿JhV*' \) dx _. _2 -2 ' 4 a:2 4 / 1 + —— + ——dy)dx V a2 \a2- x 2 1 y] a2 +4(x2+ y 2)dy)dx x = rcos# t => dx dy = r dr d0 y = rsenG www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 487 2354 M - f ( f ry¡ar +4rI dr)d0 = ~(5^5-1) a Jb J) 6 M xv = f f z p ( x , y , z ) d a = | ( f°— 'Ja2 +4r2dr)d8 =^-^-{25^[5 +1) JJ J) Jb a a6 0 R - _ Mxy _ a(25^5 + 1) M 10(5^5-1) x =v =0, pues la cápsula es simétrica respecto al eje Z. Hallar el momento de inercia de la parte de superficie lateral del cono z = y[x2 + y 2 (0 <z <h) con respecto al eje OZ. Desarrollo r“> 2 dz x dz y 8x Vx2 + y '8y íí- 2 2\ I, r^z \2 ,dz^~L I \(x +y + +(— )~dydx R z = h => z —y¡x2+v2 => x2+ y 2 - h2 i z = f í( x2 + y2) J i + j j ( *2 + R R www.FreeLibros.me 488 Eduardo Espinoza Ramos 2355 / 7= y¡2 J J í *2+ y 2)dx dy = yÍ2 J ' J r 2.rdrd& = y¡2 r3dr)dO R R 4 j f ) / o 4 / o 2 Valiéndose de la fórmula de STOCKES, transformar las integrales: a) (x 2 - yz)dx +(y 2- zx)dy + (z2- xy)dz b) i y dx + z dy + xdz P Q = x - yz = y 2 - y z R - z - x y Desarrollo dR dQ dP dR dQ dP dy dR dz dQ dy dz dz dx dx dy 0 . = 0 dz dx dx dy i a) (x ~ yz)dx + (y - zx)dy + (z - xy)dz í í dR dQ .dPdR. _ [ ( - f -)cos or + ( - — — ) cos + ( - — — ) cos dy cz dz dx ex cy í í (0 cos a +0 cos p +0 cos y)dS =0 s b) P Q R y z X i o I I dQ = x dR SQ dy dz dy . dz ap - n , dR 1 — =\ => < dP dR dz dx dz dx ae- o , l l & dQ dP dx dy dx < dy = - 1 = - 1 = -1 www.FreeLibros.me I Integrales Múltiples y Curvilíneas 489 i ¿ ¿ j i i i y ^ dQ, ,dP dR dQ dP. ydx + zdy + xdz = 11[(—----- —) c o s ¿2+ (—-—) eos¡3+ ——) cos/ ]<i ¿ dy dz dz dx dx dy í í eos a + eos p + eos y)dS 2356 Aplicando la fórmula de STOCKES, hallar las integrales que se dan a continuación y comprobar los resultados, calculándolas directamente. í (y + z)dx +(z +x)dy +(x +y)dz , donde C es la circunferencia x 2 +y 2 +z2=a2 , x +y + z =0 Desarrollo P = y + z Q = z + x R = x + y í 8R dQ Sy dz 8P dR dz dx dQ dP dx dy = 1- 1=0 = 1- 1=0 = 1- 1=0 (y + z)dx + (z + x)dy + (x 4- y) dz í í , , r/dR a o , ,&P dR. . ,8Q 8P. = 11[(— “ a )cos a + + — — )c°s/? +( - — — ) eos y]dS dy dz dz dx dx dy s í í (o cos ex + 0 cos P + 0 cos y)dS = jJ o.¿/ó, = 0 5 S www.FreeLibros.me 490 Eduardo Espinoza Ramos 2357 i O O (y - z)dx + (z - x)dy +(x - y)dz , donde C es la elipse* +y =l , x + z =l c Desarrollo Según el teorema de Stockes: Qn. rot(f)dS = f. dr ... (*) D como ndS = dS = ruxrv du dv expresamos (*) como xrv .roí f dudv ÍF D tomada sobre la región D sobre el plano uv f(y - x, z - x, x - y) expresado como vector, tomado sobre el plano x + z = 1y la circunferencia x2+y 2 =l que es D. Si las ecuaciones del plano se toman como x = u y - v la normal positiva n tiene z = \ - u > la dirección de ruxrv =[1,0,-l]x[0,1,1] = [1,0,1] Donde r = rv = y el elemento de área vectorial CU CU CU OV CV CV es: n.dS = ruxrvdu dv = [1,0,\]dx dy ahora él ™,(/ ) = . S . í p . ) dy dz dz dx dx = ( - 1 - 1 , - 1 - 1 , - 1 - 1 ) - ( - 2 ^ 2 ) Luego J*j« rot(f)dS = J*J[1,0,1].[—2,-2,-2]dxdy = -4 JJdxdy D D D pero D es el área de la circunferencia de radio 1entonces www.FreeLibros.me Integraém Múkipfasy Curvilíneas 491 c j ( y- z) dx + ( z - x)dy +(x - y)dz - -4 | | í / j c dy - - 4 ( nr 2) = | -4n | = 4t í D i 2358 a x dx +(x + y)dy +(x + y + z)dz , donde C es la curva x =a sen t, y= a eos t, z = a(sen t + eos t) (0 <t <2n) Desarrollo —► a( t ) = (a sen t ,0 eos t , t + eos /)), 0 <t <2tc x dx +(x + +C* + J + z )dz - c r [a sen t(a eos i) +a(sen t + eos t){-a sen t) + 2a(sen t + eos t)a(eos t - sen t )]dt a2 (~3sen2t+ 2cos2 t)dt = a2 [ - ——^°S- —■+1+cos2¿]¿/¿ * i 5 (----- b—cos2t)dt = - n a 2 2 2 2359 Q y 2dx + z 2dy + x 2d z , donde ABCA es el contorno del A ABC con los J a b c a vértices en los puntos A(a,0,0), B(0,a,0) y C(0,0,a) Desarrollo www.FreeLibros.me 492 Eduardo Espinoza Ramos 2360 AB = {A + { B- A) t l O<t <\ } = {(a y'dx + z dy + x~dz AB í - I [a2t2(-adt + 0) = /•' ti l - BC = {B + ( C- B)t / 0 < / < 1} Joc = {(0, a - at, at) / 0 <t <1} .3 (0 +a212{ - a dt) +0 = - — CA = {C + ( A- C)t / 0 < t < 1} = {(at, 0, a - at) / 0 < t < 1} ( j v2dx + z 2dy + x 2dz = - a 3 I t 2dt = - — JC4 i ) ' 3 3 í 3 3 3 2 , ? , 2 t a a a 3 v á + z dy + x dz ----------------------- - - a A B C A 3 3 3 ¿En qué caso la integral curvilínea / = (j^ Pdx + Qdy + R dz será igual a cero, para cualquier contorno C? Desarrollo V curva cerrada C se tiene 1= 0 entonces P dx +Q dy +R dz es una diferencial exacta at, at, 0) / 0 <t <1J www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 493 dR dQ dP^ dR dQ _ 8P dx dx dv c v CZ C2 1 = í Pdx + Qdy +Rdz = I I c o s a + í í ap a/? _ . a e ap^ +(_------—) eos p +(----------- ) eos y]dS dz dx dx dv í í (0 . eos ex -V0. eos P + 0. eos y )dS —J | O.dS —0 s s í í í / =n Pdx + Qdy + Rdz = Q 'c 7.11. FORMULA DE OSTROGRADSKI - GAUSS.- Si S es una superficie regular cerrada, que limita un volumen Vx y P = P(x,y,z), Q = Q(x,y,z) y R = R(x,y,z) son funciones continuas, junto con sus derivadas parciales de 1er orden en el recinto cerrado V, se verifica la fórmula de Ostrogradski -- Gauss. í í (Pcosa +£>eos P + Rcosy)dS í í í ap dQ dR _ , . , ( h— h )¿/jc dy dz dx dy dz donde eos a, eos p, eos y, son los cósenos directores de la normal exterior a la superficie S valiéndose de la fórmula de Ostrogradski - Gauss, transformar las siguientes integrales de superficie, sobre la superficie cerrada S, que limitan el volumen V (donde eos a, eos p, eos y son los cósenos directores de la normal exterior a la superficie S). www.FreeLibros.me 494 Eduardo Espinoza Ramos 2361 2362 2363 í í xy dx dy +yz dy dz +zx dz dx s Desarrollo i j i j dx dy +yz dy dz +zx dz dx - JJj/z dy dz +zx dz dx +xy dx dy s s í í í [^- + (zx) + -f-(xy)]dx dy dz ex ey ez v í í í (o +0 +0 )dx dydz = 0 v íí xy dx dy +yz dy dz + zxdzdx = 0 íí 2 2 2 x dydz-\-y dzdx + z dxdy Desarrollo J *jx2dy dz +y2dz dx + z 2dx dy - |||[ 5 V r d 1 d 2 0 2 - * , , , [— x “ H----- y H z Jdx dy d: dx dy ez í í í = 2 (x +y +z)dx dy dz íí v xcosa + y eos J3 + z eos y ío . ; í x2 + y 2 + dS Desarrollo www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 495 2364 V*2 +>'2 + z' Q R = y +z‘ ,/x2+ _y2+z2 dP 2 2 / +Z dx 3 2 1 +/ +z2 )2 dQ 2 2 xz + / dy 3 (x2 + y 2 + z 2 )2 dR 2 2 x + y dz 2 (X2 + / + Z 2)2 í í x cos a +jy cos p + z cos y 2 " " 2 " _2 v í í í ¿/ S = I I l ( i 1 )dxdydz dx dy dz v í í í 2 dx dy dz V 2 2 2 x +y + z í í (— cos a + — cos fl + — cos y)dS dx dy dz Desarrollo du p = dx du Q = cy du R = dz dP d2u dx dx2 dQ d2u dy dy2 dR d2u dz dzÁ í í cu (— cos a-i----- cos p -i-— cos y)dS dx dy dz s V í í í (SP_+SQ + SR_)dxdydz dx dy \dz www.FreeLibros.me 496 Eduardo Espinoza Ramos 2365 2366 í í í v d2u d2u d2u Valiéndose de la formula de Ostrogradski - Gauss, calcular las siguientes integrales de superficies. í í x dydz + y dzdx + z~dxdy , donde S es la cara exterior de la superficie del cubo 0 <x <a, 0 <y <a, 0 <z <a Desarrollo J dz +y 2dz dx +z 2dx dy = í í í - + 2y +2z)dx dy dz = 2 f < H (x + y + z)dz)dy)dx = 2 f ' f ^ T ]/dy)dx = 2 1 ° ( J Í t ( x + y ^a + ~2^dy'*dx = 2 j ‘(-axy + - j - +~ y.) / odx 2 jT(a2x + a3)í/x = 2a2( ^ - + a x ) j =2 a 2 ( ^ ! ) = 3a4 2 íí x dy dz +y dz dx +z dx dy , donde S es la cara exterior de la pirámide limitada por la superficie x + y + z = a, x = 0, y =0, z = 0 Desarrollo www.FreeLibros.me ■ I Integrales Múltiples y Curvilíneas 497 2367 2368 |í ( i dy dz + y dzdx + z dx dy) = J j j ( l +1 +1 )dx dy dz s v í í H -x ma—x—y m m-x ( I dz)dy)dx - 3 I ( i (a - x - y ) d y ) d x Jo Jd Jd = 3f[(<1 dx " 3 ( a - » ) ’ / * _ _ I [ 0 - ^ 1 = 2 Í 3 3 x 5dydz + y 3dzdx + z*dxdy, donde S es la cara exterior de la esfera 2 2 2 2 x + y + z = a j j 'x3dy dz + y* dz dx +z 3dx dy =3 í í í Desarrollo 2 . 2 , 2 (x +jT +z )dx dy dz v 0.7T f ( ^ ^ P Asen<¡)dp)d<l>)de = | £ ( j ^ Sf -~fd<t>)dO t t ( ^sen^d<¡>)d9 =^- £ - e o s # j * d 9 > t • , ' • 3«5 f2" ...............„ 6a5 f 2* ,a 12 5 du = —a n f ' - ' - . ' - T Í f f (x2cosa + j 2eosP + z 2 c os y ) dS, donde S es la superficie exterior total 2 2 2 del cono +2^.------7 =0 , 0 <z x =r eos 0, y =r sen 0, z =—— a br \ \ ( x 2 cos or + y2 eos f i + z2 eos y)dS = 2 r2 (eos 6 + sew # + —)¿/z drdO s f n *a 2 br ( I [ r ( c o s # + se/2 6) + ~ V I a dr)dO _ 2 b f 2^ r a Jo A 3 é r ((eos 6 + sen 6)r i )dr)dO 2a 2b f2* ^ _ a4 a4¿> r jj [(eos 0 + sen 6)— + ------]d 0 a 1 4 8a 2 b r, a o y a 3 w 2* = — [(sen0 - c o s &)— +------ ] a 4 8 / o 2 2 2 a b 7T (x cos a + y cos P + z cos y)dS =-------- Demostrar, que si es una superficie cerrada y í cualquier dirección constante (eos(n9i )dS = 0 donde n es la normal exterior a la superficie S. ÍJ‘ 5 Desarrollo www.FreeLibros.me Integrales Múltiples y Curvilíneas 499 Como P, Q, R son constantes t ~ dirección constante Jf eos (n,£)dS= Jff + dxdydz = JJj^O+0 + 0 )dxdydz . dxdydz- 0 370 Demostrar, que el volumen V, limitado por la superficie S, es igual a K=- j Q(xcosa+ ycos {}+ zcosy)dS, donde eos a, eos p y eos y son los 5 cósenos directores de la normal exterior a la superficie S. Desarrollo p = * 3 o - i - < R . í 3 dx 3 dy 3 dR_}_ ^dz 3 V~~ Q(xcos a + ycos P + zcos y) dS 5 -i Jff 4 ííí ^ r ^ + Í T ^ +^(¿Í)dxdydz=f + 1+ dxdydz V v Jff ' 11 3 dxdydz- 111 dxdydz v Jff 1 ÍJ< V- 111 dxdydz- j | |(*cosar+ycos/?* z c o s / ) ^ www.FreeLibros.me www.FreeLibros.me

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