SEC 9.2 SERIES Y CONVERGENCIA.docx

9.2 Series y convergencia    Entender la definición de una serie infinita convergente. Usar propiedades de las series infinitas geométricas. Usar el criterio del término n-ésimo para la divergencia de una serie infinita. Series infinitas Una aplicación importante de las sucesiones infinitas es la representación de “sumas infinitas”. a Informalmente, si { n } es una sucesión infinita, entonces ∞ ∑ a n=a 1+ a2+ a3 +…+ an +… Series infinitas n=1 es una serie infinita (o simplemente una serie). Los números serie. En algunas series es conveniente empezar con el índice a1 , a2 , a3 n=0 son los términos de la (o algún otro entero). Como convenio de escritura, es común representar una serie infinita simplemente como ∑ an . En tales casos, el valor inicial para el índice debe deducirse del contexto establecido. Para encontrar la suma de una serie infinita, considerar la siguiente sucesión de sumas parciales. S 1=a 1 S 2=a 1+ a2 S 3=a1+ a2 +a3 ⋮ S n=a1+ a2 +a3 + …+ an Si esta sucesión de sumas parciales converge, se dice que la serie converge y tiene la suma indicada en la definición siguiente. SERIES INFINITAS El estudio de las series infinitas fue considerado toda una novedad en el siglo XIV. El lógico Richard Suiseth, cuyo apodo era el Calculador, resolvió este problema. Si durante la primera mitad de un intervalo de tiempo una variación tiene cierta intensidad, durante el siguiente cuarto la intensidad es el doble, en el siguiente octavo la intensidad es el triple, y así de forma infinita, entonces, la intensidad media durante todo el intervalo será la intensidad de la variación durante el segundo subintervalo. Esto es lo mismo que decir que la suma de las series infinitas 1 2 3 n + + +…+ n + … 2 4 8 2 Es 2. DEFINICIÓN DE SERIE CONVERGENTE Y DIVERGENTE ∞ Dada una serie infinita ∑ an la n-ésima suma parcial está dada por n=1 S n=a1+ a2 +a3 + …+ an ∞ S a n converge. Si la sucesión de sumas parciales { n } converge a S entonces la serie ∑ n=1 El límite S se llama suma de la serie. ∞ S n=a1+ a2 +a3 + …+ an +… , S=∑ an n=1 Si { Sn } diverge, entonces la serie diverge. AYUDA DE ESTUDIO A medida que se estudie este capítulo, se verá que hay dos preguntas básicas relacionadas con series infinitas. ¿Una serie converge o diverge? Si una serie converge, ¿cuál es su suma? Estas preguntas no siempre son fáciles de contestar, sobre todo la segunda. EXPLORACIÓN Encontrar la suma de una serie infinita Hallar la suma de cada serie infinita. Explicar su razonamiento. a ¿ 0.1+0.01+0.001+0.0001+… b¿ 3 3 3 3 + + + +… 10 100 1 000 10 000 1 1 1 1 c ¿1+ + + + + … 2 4 8 16 d¿ 15 15 15 + + +… 100 10 000 1000 000 TECNOLOGÍA La figura 9.5 muestra las primeras 15 sumas parciales de la serie infinita en el ejemplo 1a. Observar cómo los valores parecen tender hacia la recta y=1. Figura 9.5 EJEMPLO 1 Series convergente y divergente a) La serie ∞ 1 +… ∑ 21n = 12 + 14 + 18 + 16 n=1 tiene las sumas parciales siguientes. 1 S 1= 2 1 1 S 2= + 2 4 1 1 1 7 S 3= + + = 2 4 8 8 ⋮ 1 1 1 1 2n−1 S n= + + +…+ n = n 2 4 8 2 2 Como lim n →∞ 2n −1 =1 2n se sigue que la serie converge y su suma es 1. NOTA Puede determinar geométricamente las sumas parciales de la serie del ejemplo 1 a usando la figura 9.6. Figura 9.6 b) La n-ésima suma parcial de la serie ∞ 1 1 1 1 1 1 = 1− + − + − + … ∑ 1n − n+1 2 2 3 3 4 n=1 ( ) ( )( )( ) está dada por 1 S n=1− n+ 1 Como el límite de Sn es 1, la serie converge y su suma es 1. c) La serie ∞ ∑ 1=1+1+1+1+ … n=1 diverge porque S n=n y la sucesión de sumas parciales divergen. La serie en el ejemplo 1b es una serie telescópica de la forma ( b1 −b2 ) + ( b 2−b 3) + ( b3−b4 ) + ( b 4−b 5 )+ … Serie telescópica . Nótese que b2 es cancelada por el segundo término, b3 es cancelada por el tercer término, y así sucesivamente. Como la suma parcial n-ésima de esta serie es S n=b 1−b n+1 se sigue que una serie telescópica convergerá si y sólo n→∞. Es más, si la serie converge, su suma es bn si tiende a un número finito cuando S=b 1−lim bn +1 . n→∞ EJEMPLO 2 Expresar una serie en forma telescópica Encuentre la suma de la serie ∞ ∑ 4 n22−1 . n=1 Solución Usando fracciones parciales, puede escribirse an = 2 2 1 1 = = − . 2 4 n −1 ( 2 n−1 ) ( 2 n+1 ) 2 n−1 2 n+1 En esta forma telescópica, puede verse que la n-ésima suma parcial es S n= 1 1 1 − =1− ( 11− 13 )+( 13 − 51 )+…+( 2 n−1 2 n+1 ) 2 n+1 Así pues, la serie converge y su suma es 1. Es decir, ∞ 1 S n=lim 1− =1. ∑ 4 n22−1 =lim 2 n+1 n→∞ n→ ∞ n=1 ( ) Series geométricas La serie dada en el ejemplo 1a es una serie geométrica. En general, la serie dada por ∞ ∑ a r n=a+ ar+ a r 2 +…+a r n+ … , a≠ 0 Serie geométrica . n=1 es una serie geométrica de razón r. EXPLORACIÓN En “Proof Without Words” de Benjamin G. Klein e Irl C. Bivens, los autores presentan el diagrama siguiente. Explicar por qué la última afirmación bajo el diagrama es válida. ¿Cómo está relacionado este resultado con el teorema 9.6? entonces la serie converge a la suma ∞ a . octubre de 1988. ∑ ar n= 1−r n=0 DEMOSTRACIÓN Es fácil ver que la serie diverge si S n=a+ar +a r 2 +…+ a r n−1 . TEOREMA 9. Bivens. Mathematics Magazine. . con permiso de los autores. Si r ≠± 1 entonces Multiplicando por r se obtiene r S n=ar + a r 2+ a r 3 +…+a r n .6 CONVERGENCIA DE UNA SERIE GEOMÉTRICA Una serie geométrica de razón r diverge si |r|≥ 1. 0<|r|<1. Restando la segunda ecuación de la primera resulta S n (1−r )=a−a r n y la n-ésima suma parcial es S n−r Sn =a−a r n Por consiguiente. Si 0<|r|<1. r=± 1.∆ PQR ∆ TPS 2 3 1+r +r +r +…= 1 1−r Ejercicio tomado de “Proof Without Words” de Benjamin G. Klein e Irl C. como muestra el próximo ejemplo.999994. la serie converge y su suma es a 3 = =6 1−r 1−(1/2) b) La serie geométrica ∞ 3 n ∑ 2 =1+ 32 + 94 + 278 + … n=0 () tiene razón de r=3 /2. TECNOLOGÍA Usar una herramienta de graficación o escribiendo un programa de computadora para calcular la suma de los primeros 20 términos de la sucesión en el ejemplo 3a. EJEMPLO 4 Series geométricas para un decimal periódico ´ Usar una serie geométrica para expresar 0. Solución El decimal periódico se puede escribir 0. Se debe obtener una suma de aproximadamente 5. La fórmula para la suma de una serie geométrica puede usarse para escribir un decimal periódico como el cociente de dos enteros. 08 como cociente de dos enteros.S n= Si a ( 1−r n ) . 1−r 0<|r|<1. EJEMPLO 3 Series geométricas convergentes y divergentes a) La serie geométrica ∞ ∞ 3 1 n 1 1 2 ∑ 2n =∑ 3 2 =3 (1 ) +3 2 + 3 2 + … n=0 n=0 () tiene razón S= r= () () 1 2 con a=3 Como 0<|r|<1. Como |r|≥ 1. la serie diverge.080808 …= 8 8 8 8 + 4 + 6 + 6 +… 2 10 10 10 10 . se sigue que lim S n=lim n →∞ n→∞ [ n r →0 ] n → ∞ y se obtiene cuando a ( 1−r n ) = a lim ( 1−r n ) = a 1−r 1−r n → ∞ 1−r [ ] lo cual significa que la serie es convergente y que su suma es demostración de que la serie diverge cuando a 1−r Se deja al lector la |r|>1 . Una sucesión es una colección ordenada de números a1 . Así que.080808 …= = = . como la suma de la segunda serie es a =2 1−r se puede concluir que la suma de la primera serie es [( ) ( ) ( ) ( ) ] 0 S=2− 1 2 1 1 1 1 + + + 2 2 2 2 3 =2− 15 1 = 8 8 AYUDA DE ESTUDIO Al estudiar este capítulo es importante distinguir entre una serie infinita y una sucesión.… . … mientras que una serie es una suma infinita de los términos de una sucesión a1 +a 2+ a3 +…+a n+ … Las propiedades siguientes son consecuencias directas de las propiedades correspondientes de límites de sucesiones. se tiene 8 102 y r= 1 102 . B y c números reales.∞ ¿∑ n=0 1 n . 08 La convergencia de una serie no es afectada por la eliminación de un número finito de términos iniciales de la serie. a3 . ∑ a n= A y . a2 . a n . Además.7 PROPIEDADES DE SERIES INFINITAS Sea ∑ an ∑ b n=B y ∑ bn una serie convergente y sea A. las series geométricas ∞ ∞ n n ∑ 12 y ∑ 12 n=4 n=0 () () ambas convergen. 0. Si . entonces la serie siguiente converge a las sumas indicadas. 8 a 10 2 8 0. Por ejemplo. 1−r 1 99 1− 2 10 Probar dividiendo 8 entre 99 en una herramienta de graficación para ver que resulta ´ . TEOREMA 9. 102 8 102 ( )( ) a= En esta serie. entonces la serie puede converger o puede divergir.9 CRITERIO DEL TÉRMINO N-ÉSIMO PARA LA DIVERGENCIA . Este criterio del término n-ésimo para la divergencia establece que si el límite del término n-ésimo de una serie no converge a 0. el límite de su término n-ésimo debe ser 0. TEOREMA 9.8 LÍMITE DEL TÉRMINO N-ÉSIMO DE UNA SERIE CONVERGENTE lim an=0. la serie debe divergir. NOTA Asegurarse de ver que el recíproco del teorema 9.∞ 1. Es decir. si la a sucesión { n } converge a 0 . ∑ a n=lim n→∞ n=1 Entonces. TEOREMA 9. como S n=S n+1 +an y lim S n=lim Sn−1=L n →∞ n→∞ se sigue que L=lim Sn= lim ( S n−1+ an ) n→∞ n→ ∞ ¿ lim S n−1+ lim an n →∞ n→ ∞ ¿ L+ lim an n →∞ lo cual implica que converge a 0. ∑ ( an −bn ) =A−B n=1 Criterio del término n-ésimo para la divergencia El siguiente teorema establece que si una serie converge. ∑ c a n=cA n=1 ∞ 2.8 generalmente no es verdad. ∑ ( an +b n )= A+ B n=1 ∞ 3. Si ∑ a n converge.8 proporciona un criterio útil para demostrar la divergencia. entonces n →∞ DEMOSTRACIÓN Suponga que ∞ S n=L . El contrarrecíproco del teorema 9. . 2 n !+1 2 n→∞ Así pues. EJEMPLO 5 Aplicación del criterio del término n-ésimo para la divergencia ∞ a) En la serie ∑ 2n n=0 se tiene n lim 2 =∞ . el límite del término n-ésimo no es 0 . y la serie diverge. ∞ ∑ 1n =1+ 12 + 13 + 14 +… n=0 Se verá que esta serie diverge aunque el término n-ésimo tienda a 0 cuando n tiende a ∞ . el límite del término n-ésimo no es 0. EJEMPLO 6 Problema de la pelota que bota Una pelota se deja caer de una altura de 6 pies y empieza a botar.7.Si lim an ≠ 0 n →∞ entonces ∑ an diverge. Encontrar la distancia vertical total recorrida por la pelota. (En la próxima sección se verá que esta serie particular diverge. ∞ b) En la serie ∑ 2 n!n !+1 n=0 se tiene lim n ! 1 = . n →∞ Así pues. y la serie diverge.) AYUDA DE ESTUDIO La serie del ejemplo 5c jugará un papel importante en este capítulo. La altura de cada salto es de tres cuartos la altura del salto anterior. ∞ c) En la serie ∑ 1n n=0 se tiene lim 1 n→∞ n =0 . como se muestra en la figura 9. Como el límite del término n-ésimo es 0. el criterio del término n-ésimo para la divergencia no es aplicable y no se puede obtener alguna conclusión sobre convergencia o divergencia. Por ejemplo. puede determinarse que la distancia total vertical recorrida es D=6+ 12 3 3 2 3 3 + 12 +12 +… 4 4 4 () () () ∞ n=0 ∞ ¿ 6+ ∑ n=0 ¿ 6+8 3 4 n +1 () ¿ 6+12 ∑ 3 4 n () 1 ( ) 1− 3 4 D 1=6 .La altura de cada salto es tres cuartos la altura del salto anterior Figura 9.7 Solución Cuando la pelota toca por primera vez el suelo. D 2=6 D2=6 3 4 ( 34 )+ 6( 34 )=12( 34 ) 3 3 +6 4 4 3 3 =12 4 4 2 ( )( ) ( )( ) ( ) Continuando este proceso. sea D2 D3 y la distancia recorrida al subir y bajar. Para los saltos subsecuentes. son como sigue. ha recorrido una distancia de Di pies. 1+ + + + +… 4 9 16 25 Solución: 2. S 4 .¿ 6+9 (4) ¿ 42 pies 9.3− + − + +… 2 4 8 16 Solución: . 1 1 1 1 1.2 Ejercicios En los ejercicios 1 a 6. 1 2 3 4 5 + + + + +… 2 ∙3 3∙ 4 4 ∙5 5 ∙6 6 ∙7 Solución: 9 27 81 243 3. y S 5 parciales . S2 . S 3 . encontrar los primeros cinco términos de la sucesión de las sumas S 1 . ∑ Solución: . ∑ n=1 1 n−1 2 Solución: ∞ (−1 )n+1 n! n=1 6. + + + + + … 1 3 5 7 9 11 Solución: ∞ 5.1 1 1 1 1 1 4. determinar si 7. an=3 Solución: En los ejercicios 9 a 18. ∑ 5 10 n =0 n ( ) Solución: ∞ 11. ∑ n=0 n 7 6 () Solución: ∞ 11 10. an= {a n } y ∑ an son convergentes.En los ejercicios 7 y 8. ∞ 9.055 ) n=0 Solución: n . verificar que la serie infinita diverge. n+1 n Solución: 4 5 n () 8. ∑ 1 000 ( 1. ∑ n=1 n n+1 Solución: ∞ 14. ∑ n=1 n 2 n+3 Solución: ∞ 15. ∑ 2 (−1.03 ) n =0 Solución: ∞ 13.∞ 12. ∑ n=1 n2 n2 +1 Solución: n . c). ∑ n=1 2n +1 2n+1 Solución: ∞ 18. b). ∑ n=1 n √ n2 +1 Solución: ∞ 17.] Usar la gráfica para estimar la suma de la serie. e) y f). . d). [Las gráficas se etiquetan a).∞ 16. asignar la serie a la gráfica de su sucesión de sumas parciales. Confirmar la respuesta analíticamente. ∑ n=1 n! 2n Solución: En los ejercicios 19 a 24. ∞ 19. ∑ n =0 9 1 4 4 () Solución: ∞ 20. ∑ n=0 n 2 3 n () Solución: . ∑ n=0 n 5 −1 4 4 ( ) Solución: ∞ 22. ∑ n=0 17 −1 3 2 Solución: n ( ) .∞ 21. ∑ n=0 17 −8 3 9 n ( ) Solución: ∞ 23. ∑ n=0 2 5 n () Solución: ∞ 26. ∑ n=0 n 2 5 () Solución: En los ejercicios 25 a 30. verificar que la serie infinita converge. ∑ 2 n=0 n ( ) Solución: −1 2 .∞ 24. ∞ 25. 9 ) =1+0. .9+ 0.81+ 0. c) usar una herramienta de graficación y representar gráficamente los primeros 10 términos de la sucesión de sumas parciales y una recta horizontal que represente la suma. a) hallar la suma de la serie.6 ) =1−0.6+0. ∑ n=1 1 (Usar fracciones parciales) n (n+1) Solución: ∞ 30.216+… n=0 Solución: ∞ 29. ∑ n=1 1 (Usar fracciones parciales) n( n+2) Solución: Análisis numérico. gráfico y analítico En los ejercicios 31 a 36. ∑ (−0. ∑ ( 0.729+… n=0 Solución: ∞ n 28. y d) explicar la relación entre las magnitudes de los términos de la serie y la tasa a la que la sucesión de sumas parciales se aproxima a la suma de la serie. b) usar una herramienta de graficación para encontrar la suma parcial indicada y completar la tabla.∞ n 27.36−0. ∑ n=1 6 n( n+4 ) Solución: ∞ 33.∞ 31. ∑ 2 ( 0. ∑ n=1 6 n( n+3) Solución: ∞ 32.9 ) n=1 Solución: n −1 . ∑ 3 ( 0.∞ 34.25 ) n−1 n=1 Solución: ∞ 36.85 ) n−1 n=1 Solución: ∞ 35. ∑ 10 ( 0. ∑ 5 n=1 n −1 ( ) Solución: −1 3 . ∑ n =0 1 2 n () Solución: ∞ 4 38. ∑ n=2 n ( ) −6 7 1 n −1 2 Solución: . encontrar la suma de las series convergentes. ∑ n =0 n ( ) −1 3 Solución: ∞ 40. ∑ 6 5 n =0 n () Solución: ∞ 39. ∞ 37.En los ejercicios 37 a 52. ∑ 3 n=0 Solución: ∞ 41. 1+0. 3−1+ − +… 3 9 Solución: .001+… Solución: 9 27 46. 8+6+ + + … 2 8 Solución: 1 1 47.01+0. ∑ n=1 n n(n+2) Solución: ∞ 8 n=1 (n+1)(n+2) 43. 1+0.∞ 42. ∑ Solución: 45. ∑ Solución: ∞ 1 n=1 (2 n+1)(2 n+ 3) 44. 1 48. ∑ [ ( 0.9 ) n n=1 Solución: ∞ 51. ∑ ( sen 1 ) n n=1 Solución: ∞ 52. ∑ n=2 1 9 n +3 n−2 Solución: 2 n ] .7 ) + ( 0. 4−2+1− +… 2 Solución: ∞ 49. ∑ n=0 ( 21 − 31 ) n n Solución: ∞ 50. En los ejercicios 53 a 58. 81 Solución: . 53. 0. a) expresar el decimal periódico como una serie geométrica y b) expresar su suma como el cociente de dos enteros. ´4 Solución: 54. 0. 0. 9´ Solución: ´ 55. 0. 0. 0.075 ) n =0 Solución: ∞ n 3 n=0 1 000 60. ∞ 59.´ 56. ∑ (1. ∑ Solución: n .2 15 Solución: En los ejercicios 59 a 76. determinar la convergencia o divergencia de la serie. 01 Solución: ´ 57.0 75 Solución: ´ 58. ∞ n+10 n=1 10 n+1 61. ∑ Solución: . ∑ Solución: ∞ 63. ∑ Solución: ∞ 4 n+1 n=1 3 n−1 62. ∑ n=1 ( 1n − n+21 ) Solución: ∞ 64. ∑ n=1 ( n+11 − n+21 ) Solución: ∞ 1 n=1 n (n+3) 65. ∑ Solución: ∞ 3 n−1 n=1 2n+1 67.∞ 1 n=1 2 n(n+ 1) 66. ∑ Solución: ∞ 3n 3 n=1 n 68. ∑ Solución: . ∑ Solución: ∞ 4 n n=0 2 69. ∑ n =0 3 5n Solución: ∞ 71. ∑ ln n =0 1 n Solución: ∞ 73. ∑ n=1 k 1+ n n ( ) Solución: . ∑ n=2 n ln n Solución: ∞ 72.∞ 70. ∑ ln n=1 ( n+1n ) Solución: Desarrollo de conceptos 77.∞ 74. Describir la diferencia entre Solución: lim an=5 n →∞ ∞ y ∑ a n=5 . ∑ e−n n=1 Solución: ∞ 75. ∑ arctan n n=1 Solución: ∞ 76. Solución: 78. Enunciar las definiciones de series convergente y divergente. n=1 . ¿La nueva serie aún diverge? Explicar el razonamiento. ¿La nueva serie aún converge? Explicar el razonamiento. Dé el criterio del término n-ésimo para la divergencia. Solución: Desarrollo de conceptos (continuación) 80. ∞ ∞ ∞ n=1 k=1 n=1 a ¿ ∑ anb ¿ ∑ ak c ¿ ∑ ak Solución: 82. Explicar todas las diferencias entre las series siguientes. b) Se agrega un número finito de términos a una serie convergente. enuncie cuándo converge y dar la fórmula para la suma de una serie geométrica convergente. a) Se elimina un número finito de términos de una serie divergente. Solución: 81. Solución: .79. Definir una serie geométrica. ∞ 83.En los ejercicios 83 a 90. Para estos valores de x. ∑ ( x−1 ) n=1 Solución: n . escribir la suma de la serie como una función de x. encontrar todos los valores de x para los cuales las series convergen. ∑ ( 3 x ) n n=1 Solución: ∞ 85. ∑ n=1 xn 2n Solución: ∞ 84. ∑ n=0 n 1 x n () Solución: . ∑ (−1 ) x n n=0 Solución: ∞ n 88.∞ x−3 86. ∑ (−1 ) x 2 n n=0 Solución: ∞ 89. ∑ 4 4 n=0 ( ) Solución: ∞ n 87. ∑ ( 1+ c ) =2 −n n=2 Solución: ∞ 92. . encontrar el valor de c para el cual la serie iguala a la suma indicada. Para pensar Considerar la fórmula 1 2 3 =1+ x + x + x + … 1−x Dados x=−1 y x=2 ¿se puede concluir que alguna de las afirmaciones siguientes son verdaderas? Explicar el razonamiento. ∑ n=1 x2 x 2+4 n ( ) Solución: En los ejercicios 91 y 92.∞ 90. ∑ e =5 cn n=0 Solución: 93. ∞ 91. 1 a ¿ =1−1+1−1+… 2 b ¿−1=1+2+4 +8+ … Solución: Para discusión 94. 1+ x+ x 2 + x 3+ … Solución: x x 2 x3 96. ∞ ∑ n14 =0. b) escribir la función que da la suma de la serie. 1− + − +… 2 4 8 Solución: . Para pensar ¿Son verdaderos los siguientes enunciados? ¿Por qué sí y por qué no? 1 a) Ya que n4 se aproxima a 0 cuando n se aproxima al ∞ . a) hallar la razón común a las series geométricas. y c) usar una herramienta de graficación para representar la función y las sumas parciales y ¿Qué se puede notar? 95. n=1 lim 1 b) Ya que n→∞ 4 √n ∞ =0 la serie ∑ 41 n=1 √n converge Solución: En los ejercicios 95 y 96. usar una herramienta de graficación para representar la función.5 ) x 97. f ( x )=3 1−0.8 Solución: ∞ ∑ 2 45 n=0 n .5 ∞ n ∑ 3 ( 12 ) n=0 Solución: 1−( 0. f ( x )=2 1−0. Identificar la asíntota horizontal de la gráfica y determinar su relación con la suma de la serie. Función Series [ ] [ ] () 1−( 0.8 ) x 98.En los ejercicios 97 y 98. ∑ n=1 ∞ 1 1 . Cada año 5% de las unidades que se han vendido dejan de funcionar.0001 en cada una de las series convergentes.01 ) n ∑ 2 n=1 Solución: 101. ∞ 99. ∑ n =1 ∞ 1 n . Explicar cómo afecta esto a la razón en que converge la serie.95(8 000)] .Redacción En los ejercicios 99 y 100. 8 000 unidades estarán en uso después de un año. Notar que las respuestas son muy diferentes. usar una herramienta de graficación para hallar el primer término menor que 0. Comercio Un fabricante de juegos electrónicos que produce un nuevo producto estima que las ventas anuales serán 8 000 unidades. Así pues. [8 000+ 0.∑ n(n+1) n=1 8 n () Solución: ∞ 100. ( 0. Cada vez que cae desde h pies. Distancia Una pelota se deja caer de una altura de 16 pies. Encontrar una fórmula para el valor de la máquina después de n años. Aproximadamente 75% de ese ingreso se reinvierte en la ciudad. ¿Cuál es su valor después de 5 años? Solución: 103. Encontrar la distancia total recorrida por la pelota. Escribir la serie geométrica que da la cantidad total de gasto generado por los $200 millones y encontrar la suma de la serie. y así sucesivamente. la cual se deprecia a un ritmo o velocidad de 30% por año. y de esa cantidad aproximadamente 75% se reinvierte en la misma ciudad. rebota 0. Efecto del multiplicador Repetir el ejercicio 103 si el porcentaje del ingreso que es gastado de nuevo en la ciudad decrece a 60%. Solución: 105. Depreciación Una compañía compra una máquina por $475 000. Efecto multiplicador El ingreso anual por turismo en una ciudad es de $200 millones. ¿Cuántas unidades estarán en uso después de n años? Solución: 102.unidades estarán en uso después de 2 años. Solución: . Solución: 104.81h pies. y así sucesivamente. s 3=0 sit=( 0. s 2=0 sit=( 0.9 ) n n=1 Encontrar este tiempo total.9 )2 2 3 2 n−1 s 4 =−16 t +16(0. Solución: . Tiempo La pelota en el ejercicio 105 tarda los tiempos siguientes en cada caída. s 1=0 sit=1 2 s 2=−16 t +16 (0. s 2=0 sit=0.81) .9 s 3=−16 t 2+16 (0.9 ) n−1 Empezando con la pelota toma la misma cantidad de tiempo para botar hacia arriba que para caer.81)2 .106. 2 s 1=−16 t +16.81) .9 ) 3 ⋮⋮ s n=−16 t +16 (0.81) . de tal modo que el tiempo total que tarda hasta quedar en reposo está dado por ∞ t=1+2 ∑ ( 0. s 4=0 sit=( 0. 1 1 2 2 n 107.Probabilidad En los ejercicios 107 y 108. la variable aleatoria n representa el número de unidades de un producto vendidas por día en una tienda. La distribución de probabilidad de n está dada por Calcular la probabilidad de que se vendan dos unidades en un día determinado y demostrar que P ( 0 ) + P ( 1 ) + P ( 3 ) +…=1. P ( n ) = () Solución: Solución: () . P ( n ) = 1 2 3 3 n 108. La probabilidad de que se obtenga la n ( n )= 1 P primera cara en el lanzamiento n-ésimo está dada por . y una de ellas cae cara.109. Determinar. Probabilidad Una moneda es lanzada repetidamente. Verificar que la suma de las tres probabilidades es 1. tres personas lanzan una moneda. Probabilidad En un experimento. donde n ≥1. 2 () a) Mostrar que ∞ n ∑ 12 =1. n=1 () b) El número esperado de lanzamientos requeridas hasta que la primera cara ocurra en el experimento está dado por ∞ 1 n n ∑ 2 n=1 () ¿Es geométrica esta serie? c) Usar un sistema algebraico por computadora para encontrar la suma en el apartado b). Solución: 110. para cada persona. la probabilidad que él o ella lance la primera cara. Solución: . Área Los lados de un cuadrado son de 16 pulgadas de longitud.111. donde |XY |=z y ∠ X=θ . z=1 y θ=π /6 encontrar la longitud total de los segmentos perpendiculares. como se muestra en la figura. Y y + x y + x y +… a) Hallar la longitud total de los segmentos perpendiculares | 1| | 1 1| | 1 2| en términos de z b) Si y θ. . Determinar el área de las regiones sombreadas a) si este proceso se repite cinco veces más y b) si este patrón de sombreado se repite infinitamente. Longitud Un triángulo rectángulo se muestra arriba. y dos de los triángulos fuera del segundo cuadrado están sombreados (ver la figura). Figura para 111 Solución: 112. Un nuevo cuadrado se forma uniendo los puntos medios de los lados del cuadrado original. Segmentos de recta son continuamente dibujados perpendiculares al triángulo. Valor presente Al ganador de $2 000 000 de una lotería se le pagará $100 000 por año durante 20 años. A la esfera grande se unen nueve esferas 1 1 de radio 3 . Solución: 114.06 n=1 ( ) Calcular el valor presente e interpretar su significado. Copo esférico Un copo esférico (mostrado abajo) es un fractal generado por computadora creado por Eric Haines. El dinero gana 6% de interés por año.Figura para 112 Solución: En los ejercicios 113 a 116. Este proceso es infinitamente continuo. A cada una de éstas se unen nueve esferas de radio 9 . El radio de la esfera grande es 1. Demostrar que el copo esférico tiene una superficie de área infinita. usar la fórmula para la n-ésima suma parcial de una serie geométrica n−1 n a(1−r ) i ∑ a r = 1−r i=0 Solución: 113. El valor presente de las ganancias es 20 1 n ∑ 100 000 1. . e r /12−1 12t ) A −1 ] en la cuenta después de t años es .01 de dólar el primer día.04 el tercero. la cantidad A en la cuenta al final de t años es r r A=P+ P 1+ + …+ P 1+ 12 12 ( ) ( 12t −1 ) =P ( ) [( 12 r 1+ r 12 Si el interés es compuesto continuo. doblándose cada día. la cantidad A=P+ P e r /12 + P e2 r / 12+ P e(12t −1)r /12= Solución: P(e rt −1) . Anualidades Al recibir a fin de mes su paga.Solución: 115. Si el salario se mantiene así.02 el segundo. 0. y así sucesivamente. ¿cuánto habrá cobrado en total por trabajar a) 29 días. Salario Una persona va a trabajar en una compañía que paga 0. b) 30 días y c) 31 días? Solución: 116. 0. Si el interés es compuesto mensualmente. un empleado invierte P dólares en un plan de pensiones. Los depósitos se hacen cada mes durante t años y la cuenta gana interés a un ritmo o tasa porcentual anual r . t=35 años Solución: 120. P=$ 75. 117. considerar que se efectúan depósitos mensuales de P dólares en una cuenta de ahorro a una tasa de interés anual r. t =20 años Solución: 118. r=4 . r=5.5 . r =6 . t=25 años Solución: 119. Usar los resultados del ejercicio 116 para encontrar el balance A después de t años si el interés se compone a) mensualmente y b) continuamente. P=$ 45. t =50 años Solución: . P=$ 100.Anualidades En los ejercicios 117 a 120. r=3 . P=$ 30. Salario Una persona acepta un trabajo cuyo salario es de 50 000 dólares para el primer año. explicar por qué o dar un ejemplo que lo demuestre. n=0 Solución: ∞ 125. Si lim an=0. ¿Cuál sería su compensación total en el periodo de 40 años? Solución: 122. n →∞ ∞ entonces ∑ an n=1 converge. determinar si la afirmación es verdadera o falsa. Si es falsa. ∑ a r n= 1−r n=1 Solución: ∞ 126. Solución: ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 123 a 128. . Solución: ∞ 124. Si |r|<1 entonces a .121. La serie Solución: n ∑ 1 000(n+1) n=1 diverge. Salario Repetir el ejercicio 121 si el aumento que recibe la persona cada año es de 4. 123.5%. Comparar los resultados. Si ∑ a n=L n=1 ∞ entonces ∑ an=L+a 0 . Durante los siguientes 39 años recibe 4% de aumento cada año. Solución: ∞ 129. Cada decimal con un conjunto de dígitos periódico es un número racional. Solución: 128. y sea RN =aN +1 +a N +2+ … . Mostrar que la serie ∑ an n=1 puede expresarse en forma telescópica ∞ ∑ [ ( c−Sn−1 )−( c−Sn ) ]=¿ n=1 Donde S 0=0 Sn y es la n-ésima suma parcial. Solución: 130.127. 0.74999999… . Sea ∑ an una serie convergente.75=0. Dadas dos series infinitas demostrar que ∑ (an +b n) ∑ an y ∑ bn tales que ∑ an converge y ∑ bn diverge. diverge.el resto de la serie después de los N primeros términos. Demostrar que . Suponer ∑ c an Solución: que diverge. Solución: 132. Encontrar dos series divergentes ∑ an y ∑ bn tales que ∑ (an +b n) converja. Solución: 133. ∑ an diverge y c es una constante distinta de cero. Demostrar que lim R N =0. N →∞ Solución: 131. donde an es distinta de cero. a) Mostrar que 1 1 1 = − an+1 an +3 an+1 an +2 a n+2 an+3 b) Mostrar que ∞ ∑ a 1a =1. demostrar que ∑ 1/a n n=1 diverge. n=0 n +1 n+3 Solución: an +2=a n+ an+1 . Si ∑ an n=1 ∞ converge.∞ 134. Solución: 135. donde a1=1 . La sucesión de Fibonacci se define recurrentemente mediante y a2=1. Demostrar que para 1 1 1 1 + 2 + 3 + …= . para|r|>1 r r r r−1 Solución: . ¿Cuál es la suma cuando la serie converge? Solución: 137.136. Encontrar los valores de x para la cual la serie infinita 1+2 x + x 2+ 2 x 3 + x 4 +2 x5 + x 6 +… converge. n(n+1)(n+2) n n+1 n+ 2 Solución: 139. Encontrar la suma de la serie ∞ 1 ∑ n(n+ 1)(n+ 2) n=1 Sugerencia: Encontrar las constantes A. 1 c) Sea Evaluar ∫ ( x n−1−x n ) dx 0 ¿Qué se puede observar? Solución: 140. a) El integrando de cada integral definida es una diferencia de dos funciones. 1 1 1 ∫ ( 1−x ) dx ∫ ( x −x ) dx ∫ ( x 2−x 3 ) dx 2 0 0 0 b) Encontrar el área de cada región en el apartado a). Redacción La figura de abajo representa una manera informal de demostrar que ∞ ∑ n12 < 2 n=1 Explicar cómo la figura implica esta conclusión. . B y C tales que 1 A B C = + + . Trazar la gráfica de cada función y sombrear la región cuya área esté representada por la integral.138. Solución: 141.PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre este ejercicio. Redacción Leer el artículo “The Exponential-Decay Law Applied to Medical Dosages” de Gerald M. Expresar 3 6k (¿ ¿ k +1−2k+1 )(3k −2k ) ∞ ∑¿ k=1 como un número racional. Midgley en Mathematics Teacher. J. Armstrong y Calvin P. Después escribir un párrafo sobre cómo una sucesión geométrica puede usarse para encontrar la cantidad total de una droga que permanece en el sistema de un paciente después de que se le han administrado n dosis iguales (en iguales intervalos de tiempo). Rippon en American Mathematical Monthly. Solución: Preparación del examen Putman 142. ver el artículo “Convergence with Pictures” de P. Solución: . © The Mathematical Association of America. 1. si n es impar 2 { Mostrar que si x y y son enteros positivos y x> y . entonces xy=f ( x + y ) −f ( x− y ) . 3. 2. 4. . Solución: . Todos los derechos reservados. .2.. sin es par 2 an = n−1 . donde el término n-ésimo está dado por n .143. Este problema fue preparado por el Committee on the Putnam Prize Competition.1. 3. Sea f (n) la suma de los primeros n términos de la sucesión 0. . PROYECTO DE TRABAJO La mesa que desaparece El procedimiento siguiente muestra cómo hacer desaparecer una mesa ¡quitando sólo la mitad de ésta! a) La mesa original tiene una longitud . Ahora. usted ha eliminado trozo restante tiene una longitud menor de de las partes centrales de cada 1 1 1 + + 4 8 16 de la mesa. 8 Continuando este proceso ¿ocasionará que desaparezca la mesa. Cada pieza restante 1 L.b) Eliminar 1 4 menor de 1 L. aunque se haya eliminado sólo la mitad? ¿Por qué? . usted ha eliminado tiene una longitud menor de d) Eliminar 1 16 de longitud de la parte central de cada 1 1 + 4 8 de la mesa. 2 c) Eliminar 1 8 de la mesa centrándose en el punto medio. Ahora. Cada 1 L. Cada parte restante tiene una longitud de la mesa tomando secciones de 1 L 16 una de las dos piezas restantes. 4 de la mesa tomando secciones de longitud 1 L 64 uno de los cuatro fragmentos restantes. PARA MAYOR INFORMACIÓN Lea el artículo “Cantor’s Disappearing Table” de Larry E. Solución: . Knop en The College Mathematics Journal.