1 ABC es equilátero. halle x. 20º a a D n m α x 2x α A C E A) 80º B) 90º A) 20º B) 30º D) 50º C) 60º D) 140º E) 160º C) 40º E) 60º 5. Halle x. calcule x. Del gráfico m+n=x. CDE es NIVEL BÁSICO isósceles de base CD. además. Derechos reservados D. 3. ABC y ADC son isósceles de bases AC y AD.º 822 2 . respectivamente. calcule a+b+m+n. Halle x. B x 40º 100º A C x x α α A) 150º B) 140º D) 120º C) 130º A) 20º B) 25º D) 40º E) 110º a B x b m α α α A α n A) 90º B) 120º D) 180º C) 30º E) 35º 6.Geometría Triángulo 4. Del gráfico. D C) 150º E) 270º 2x β β C A) 60º B) 75º D) 70º C) 65º E) 50º Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. 2. Del gráfico. LEG N. Según el gráfico. B 1. calcule x. Del gráfico. En el gráfico. tal que EQ ∩ BC={P} y mSQPC – mS ACB=18º. En un triángulo ABC. Calcule la medida del menor ángulo que determinan las bisectrices de los ángulos ABC y EPC. la mS BCA=60º. AB=10 y BC=18. A) 30º B) 32º D) 72º C) 36º E) 18º 10. la base es congruen- 14. calcule x. Calcule la suma de los posibles valores enteros de AB.º 822 3 C) 10 E) 12 . mS BAC > mS ACB y te con una de las bisectrices de los ángulos de igual medida. Calcule x. A) 30º B) 32º D) 36º A) 8 B) 9 D) 11 C) 34º E) 75º Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. A) 3 B) 4 D) 7 ω θ y C) 5 E) 6 θθ NIVEL INTERMEDIO A) 30º B) 20º D) 40º 9. AB=5. mS BAC > mS ACB. En un triángulo ABC. AC es el máximo valor entero par. α α 11. En la figura. Halle la medida de uno de los ángulos interiores de dicho triángulo. Del gráfico adjunto. En un triángulo ABC. 8. calcule x – y. β A) 26 B) 27 C) 28 D) 29 E) 30 75º 2θ γ θ 2γ x A) 100º B) 110º D) 130º C) 120º E) 140º 12. En un triángulo isósceles.Geometría 7. en la región exterior relativa a la hipotenusa se ubica el punto Q. En un triángulo rectángulo ABC recto en A se x β x x β C C) 140º E) 110º ubica el punto E en AB. Según la figura. Calcule la suma del máximo y mínimo valor entero de AC si BC toma su mínimo valor entero. LEG N. Derechos reservados D. B A A) 120º B) 130º D) 150º ω ω C) 35º E) 55º 13. adeβ más. 60º BC=5 y AC=8. Halle el semiperímetro de la región ABC. En la región exterior de un triángulo rectángulo ABC. Derechos reservados D. luego en BC se ubica el punto Q. se ubican los puntos Q y P. Si AB=AC. respectivamente. calcule x. Halle la suma de valores enteros de AC. AB=BC. relativo a la hipotenusa AC se ubica el punto P.º 822 4 . Calcule el mínimo valor entero de la medida del ángulo LMC. Calcule la medida del ánguloformado por las bisectrices trazadas en los triángulos APC y AQC de los ángulos interiores de los vértices P y Q. Calcule la mS APQ. B x m A C n D A) 5º B) 10º D) 20º C) 15º E) 25º 16. en AB y BC se ubican los puntos N y L. En las prolongaciones de AB y CB de un trián- NIVEL AVANZADO 15. Calcule la mS APC si mS PAC=16º y mS ABC=28º. respectivamente. En un triángulo isósceles ABC. tal que mS FAP=mS BCQ y mS PAB=mSQCG. AB=6 y BC=8. En la prolongación de CA se ubica el punto F y en la prolongación de AC se ubica el punto G. Luego se traza la bisectriz LM del ángulo NLC (M ∈ AC). mS ABC > 90º.Geometría 18. LEG N. A) 29º B) 44º C) 45º D) 46º E) 31º Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. tal que AP=AB=BC. tal que AP=PQ=PC y mS BAC=4(mS APQ). En un triángulo ABC. recto en B. En un triángulo ABC en la región exterior y relativa al lado BC se ubica el punto P. de modo que mS ANL > 90º. A) 47º30’ B) 57º30’ C) 67º30’ D) 77º30’ E) 87º30’ 19. A) 14 B) 23 D) 36 C) 25 E) 48 20. AD=BD y m+n=200º. respectivamente. A) 18º B) 20º D) 30º C) 24º E) 36º gulo ABC. A) 8º B) 10º D) 14º C) 12º E) 16º 17. tal que mS ADC=90º. Si dicho punto dista 3 de BC y 4 de AC. Calcule la suma de longitudes de la distancia menor y mayor. calcule BE. θº mS BAD=mSCAD=mS ACB=10º y AB=6 m. A) 13º B) 26º D) 43º A) 12 m C) 2 3 E) 6 AB=CE y mS EAC=mS BCE.Geometría Congruencia de triángulos 5. En un triángulo rectángulo ABC recto en B. AB=7 u y bisectriz interior trazada del vértice A intersecan a la perpendicular a la hipotenusa trazada por el vértice B. En su región interior se ubica un punto. A) q/2 B 3θº M A C) q – 90º E) 2q – 90º 7. Derechos reservados D.º 822 5 E) 3 m isósceles ABC recto en B se ubica E. En un triángulo rectángulo ABC. Dichas distancias están en progresión aritmética. tal que 4. Si BM=MC. A) 1 B) 2 D) 1/3 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. En la región exterior de BC de un triángu- D B) q – 45º D) 2q – 180º lo ABC se ubica D. respectivamente. A) 8º B) 14º D) 16º C) 15º E) 53º/2 NIVEL INTERMEDIO 9. 2. C A) 10 B) 12 D) 18 Halle CD. m S BCA Halle . AD=LM y mS LAM=2(mS LMA). halle mS MBN. (E está en la región exterior de m S EBC BC). desde el cual se trazan distancias hacia los lados del triángulo. C) 15 E) 20 3. Calcule q. Se tiene un triángulo equilátero cuyo lado A) 3 3 B) 3 D) 9/2 C) 6 m 8. A) 3 B) 4 D) 6 C) 5 E) 7 AC=12 u. LEG N.5 u C) 2 u E) 5 u 6. la medida del ángulo NIVEL BÁSICO interior de vértice C es la tercera parte de la medida del ángulo exterior del vértice B. halle BM – AM. Halle mS BAE.5 u D) 2. AB=2DM. las mediatrices de AB y BC intersecan a AC en M y N. En la región interior de un triángulo ADM se ubica L. mS ABC > 90º. la mediatriz de BC interseca a AC en M. En un triángulo ABC. en el punto E. tal que AL=DL. Si mS ABC=q. A) 1 u B) 1. En la región interior de un triángulo rectángulo C) 36º E) 30º mide 6 3. recto en B. B) 8 m D) 3 3 m C) 1/2 E) 3 . tal que AC=2(BE). Si mS DLM=130º. en la mediatriz de AC se ubica E. En un triángulo ABC. Si la 1. calcule mS LMA. tal que mS ABC=40º. Calcule mS BCP. tal que AD=BC. Calcule m DBC. Calcule RB si R es punto medio de AK. Calcule mS BAC.Geometría 10. AC=b y mS AKC=4(mS BAC). 3 A) 16 B) 7 D) 5 B 45+x NIVEL AVANZADO C) 12 E) 8 20. A) 7º B) 8º D) 37º/2 C) 14º E) 53º/2 11. mS BDA=37º. Sobre AC. Derechos reservados D. de un triángulo ABC. mS ABD=10º. 90 – x A A) 30º B) 10º D) 25º 15. Calcule mS BCD. A) 10º B) 15º D) 20º C D C) 20º E) 15º C) 16º E) 40º 16. a+ b A) 2 D) B) ab 2ab a+ b a 2 + b2 C) 2 E) b2 − a 2 2 14. se ubica D. tal que AC=10. se ubica D. Calcule x. Exteriormente relativo al lado AB de un triángulo ABC se ubica el punto P. Calcule mS BAC. tal que BC=6. AB=BC=AD. mS BAD=40º y m BCD=20º. En la prolongación de AC. Sobre AC. mS APC=120º. AD=BC y mS ABC=120º. En la región interior de un triángulo ABC. A) 1 B) 2 D) 3 C) 2 3 E) 3 13. recto en B. además. Calcule BC. se ubica D. se ubica K. En un triángulo ABC se traza la ceviana interior BD. tal que mS ADB=30º. donde AB=BC. mS BAC=20º. de un triángulo ABC.º 822 6 . mS BCE=20º. Calcule AD. En un triángulo ABC. se traza la ceviana interior CE. Según el gráfico. de un triángulo rectángulo ABC. A) 15º B) 14º D) 10º C) 12º E) 9º 12. tal que AD=BC. A) 5º B) 6º D) 15º C) 10º E) 20º 19. CD=1 y mS BDC=2(mS BAC). tal que AB=PC. de un triángulo ABC. En la región interior de un triángulo rectángulo. A) 1 B) 2 2 D) 2 3 2 E) 2 C) 17. se ubica P. A) 100º B) 135º D) 120º C) 130º E) 150º Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. recto en B. mS ABP=60º y mS BAP=20º. AD = 1 + 3. Calcule mS APB si mS BAC=2mS PAB=2aº y mS ACB=90º+aº. (mBCD > 90º) A) 150º B) 140º D) 100º C) 120º E) 90º 18. En un cuadrilátero convexo ABCD. LEG N. Sobre AC. tal que AK=KC=a. AB=CD=1. mSCDA=60º. tal que PB=BC. mS BAD=30º. se ubica D. Calcule AC/BE. mS BCD=53º/3 y mS=BAD= 106º . Derechos reservados D. En el gráfico. se traza el cuadrado ABDE exteriormente al triángulo. Señale la verdad (V) o falsedad (F) de las si- guientes proposiciones. Si BP=DE. entonces es un cuadrado. Las diagonales de un trapecio isósceles son perpendiculares entre sí. y la bisectriz del ángulo ACB interseca a DE en F. En un triángulo rectángulo ABC recto en C. Si las diagonales de un trapecio tienen igual longitud. B 1. B P M C O x A A D E A) 53º B) 37º D) 30º C) 45º/2 E) 15º A) 106º B) 98º C) 92º D) 90º E) 82º Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. MNPQ y QEFG NIVEL BÁSICO son cuadrados. Del gráfico. ABCD es un trapecio y AM=MN=ND. O es el centro del cuadrado ABCD. B y F P A C) VVFF E) FFFV 2. además. IV. III. LEG N. Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan.º 822 7 O N D . Calcule BE/MN. En el gráfico mostrado ABCD. calcule mS ABC. Si EF=3(DF). I. entonces es isósceles.Geometría Cuadriláteros 4. A) VFFF B) FFVF D) VFVF E Q M A) 5 D) Calcule x/y. II. AMON es un trapecio isósceles cuyas bases están en la razón de 1 a 5. calcule x. Se muestra un cuadrado ABCD cuyo centro es O. Halle mS CMN. 60º x A M N A) 1/2 B) 2/9 D) 5/13 D C) 3/7 E) 3/5 B C 3. C 40º A) 15º B) 18º30’ D) 30º C) 26º30’ E) 37º 6. entonces es un paralelogramo. Si los lados de un cuadrilátero son congruentes. C N G D B) 2 5 C) 3 3 2 2 E) 10 5. Se muestran los rombos ABCD y OMNP. A) 135º B) 127º D) 106º C) 120º E) 143º 8.Geometría 7. Se ubica el punto N en BC. A) 1 B) 2 D) 6 P R A 9. A) 15º B) 60º D) 45º C) 30º E) 75º Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. DP=2. respectivamente. y a AD en O y M. Sean O y M el centro del cuadrado ABCD. Halle mS PON. y MCND es un paralelogramo. Según el gráfico. tal que el cuadrilátero MONC es un trapecio isósceles. ABCD y NPMQ son tra- pecios. Calcule QC si ABCD. Halle la longitud del segmento cuyos extremos son los puntos medios de BC y AD. la mediatriz de AM interseca a AB y AD en P y N. ABOP C A N D A) 3 B) 4 D) 6 P C) 5 E) 8 13. Dado un romboide ABCD. B O C) 8 cm E) 12 cm 10. B L A) 3 B) 7 D) 4 2 C) 5 E) 3 2 12. Si O es P A centro de ABCD y BM=MP=6. Calcule mS BCA. calcule x. además. Si AR=3(PQ). mS BAD+mS CDA=60º. además. y el A) 15º B) 30º C) 37º D) 53º/2 E) 37º/2 punto medio de OC. Se sabe que BM=MC y AT=3. calcule QT. Si AD+BC – LP=8 cm. PQRD y ARST son cuadrados. ABCD es un cuadrado. LEG N. N T B M C D A) 10 cm B) 4 cm D) 5 cm es un romboide y APQR es un trapecio isósceles. Según el gráfico. la mediatriz de AC x O A D S T C Q C C) 3 E) 7 NIVEL INTERMEDIO M M Q B D P Q R interseca a AC. AB=4. CD=6 y 11.º 822 8 . En un cuadrilátero ABCD. Derechos reservados D. calcule NP. tal que III. se ubica el punto P. D) 45º 3 −1 3 ( 3 + 1) B) 8 3 3 +1 D) 4 C) A) 3 −1 2 E) 3 17. A) 120º B) 121º30’ C) 122º30’ D) 123º30’ E) 124º30’ Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Las prolongaciones de AF y CE se intersecan en B y las prolongaciones de FE y AC se intersecan en D. A) 60º B) 74º C) 30º D) 127º/2 E) 143º/2 FM=MA. tal que mS AEC=90º. Se tiene un cuadrado ABCD. En un cuadrado ABCD. mS BAP=mS PBC=mS ADC y 3mS CDA=mS CMP+90º. C está contenido en NP y el centro del cuadrado está en MP. LEG N. AD=CE y mS AFB=53º/2. Todo trapecio isósceles presenta simetría axial. Calcule mS AFM si 15. tal que BP=AP.Geometría 14. II. En la región exterior relativa a AD de un trapecio ABCD (BC // AD). Si dos trapecios presentan bases congruentes. Halle mS BCE (F=AD ∩ CE). Calcule mSCDA si AM=3 y MC=10. tal que AFCE es un trapecio isósceles. Halle la razón de los A) 53º/2 perímetros de dichos polígonos regulares.º 822 9 B) 37º . sobre AD y su prolongación se ubican M y N. A) VVV B) VFV D) FFV C) VFF E) VVF 18. además. 16. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. En BC y en la prolongación de AD se ubican los puntos F y E. dichos trapecios son con- A) 36º B) 45º D) 52º/2 C) 60º E) 54 gruentes. Si BE=EC=CD. Calcule mS BAD. ro. FE ∩ CD={M}. son congruentes. calcule mS ABC. Se tiene el cuadrilátero AFEC. Se tiene un paralelogramo ABCD y se traza BH ⊥ AD (H ∈ AD). I. Derechos reservados D. entonces son congruentes. A) 37º B) 45º D) 55º C) 53º E) 60º 19. C) 60º E) 53º 20. Si las diagonales de dos trapecios isósceles mS FAC=90º y AF=FE. En la región exterior relativa al lado AD de un rectángulo ABCD se ubica E. BH ∩ AC={M} y mS BAC=2mS CAD. NIVEL AVANZADO respectivamente. CM=MD. AB+2BC=24. tal que MNP es equiláte- PM=10. y en CD el punto M. Geometría Circunferencia A) 127º B) 124º C) 121º D) 125º E) 120º NIVEL BÁSICO . SP=4(OM). OB=1 y BC=4. En el gráfico. Calcule m C) 45º E) 60º . m CDN P C 45º R 45º S B O A T M M D 0 A Q N A) 48º B) 58º D) 78º C) 68º E) 74º Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Calcule x. m AB = 70º . calcule m 3. Según el gráfico. En el gráfico mostrado. Del gráfico. OA=AB. En el gráfico. Del gráfico. cunferencia mostrada. Si AQ − m BQ . 5. Derechos reservados D. P y Q son puntos de tangencia. Calcule . 1.º 822 10 . Calcule m MS B 4. LEG N. Calcule m AE A 50º A O E B O 30º A) 100º B) 110º D) 140º C) 120º E) 160º A O B A) 37º B) 45º D) 60º C C) 53º E) 74º 6. M x A B S A) 45º B) 50º D) 60º C) 55º E) 65º A) 30º B) 37º D) 53º 2. TD=3(AT) y MN // AD. O es el centro de la cirAB. halle mS BAC. halle m AD . Calcule la medida del ángulo formado por las rectas tangentes comunes exteriores a dichas circunferencias. Calcule m AE A A 10. Se tienen dos circunferencias tangentes exteriores. A D O C) 60º E) 76º T R 8. AM=MC y OB=BD. En la figura. Del gráfico mostrado. cuya distancia entre sus centros es el doble de la longitud del radio de la menor de las circunferencias. A) 37º B) 53º D) 74º 11. cuyos radios se encuentran en la razón de 1 a 4. Derechos reservados D.º 822 11 E B D C) 18º E) 24º . A) 30º B) 37º D) 53º C A) 20º B) 25º C) 30º D) 35º E) 40º E A) 37º B) 45º C) 53º D) 127º/2 E) 60º T C) 45º E) 60º M C O A) 23º B) 16º D) 65º Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. m DE M A A) 37º B) 45º D) 60º C) 53º E) 69º B E NIVEL INTERMEDIO D 9. D y T son puntos de tangencia. 13. Se muestra una circunferencia de centro O (A y cuyo radio mide 2 y OH=1. LEG N. gencia. Se tiene dos circunferencias tangentes interiores. Si C. AB=BC y = 40º. R=5 y OB = 3 2. Halle la medida del ángulo formado por las tangentes trazadas del centro de la mayor circunferencia hacia la menor. Halle m A N B A) 53º/2 B) 15º D) 7º r R 82º C) 16º E) 8º 12. Halle m BE B son puntos de tangencia). M y N son puntos de tanAN (3R=8r). Si T es punto de tangencia.Geometría 7. H O B . En una circunferencia de diámetro AB se traza internamente una circunferencia tangente AB y AB en D y N. respectivamente. Si ) + m BC = 34º . y luego se trazan PL y QL tangentes = {K} . LEG N. Si BD=AD+AN. Si los radios de las circunferencias menores miden 3 y 4. En el gráfico.Geometría 14. y la tercera es tangente a las circunferencias anteriores. calm AB = 3 (m BNC ). Dadas dos circunferencias tangentes exteriores en el punto T. B. Luego se traza BT. dos de las cuales C son concéntricas. D y T son puntos de tangencia. B. De la figura. se traza la tangente común exterior. halle mS ACB. Si A. Se tienen 3 circunferencias. calcule mPLQ. C y D son puntos de tangen- = θ. 2 m OBC + m BT C A) 17º B) 18º D) 30º C) 24º E) 34º 16. Calcule m CD .º 822 12 . 2 (m TE 18. respectivamente. (D está más próximo al a . Se tiene una circunferencia C1 tangente inte- 17. AO=BC. Se ubican los puntos P y Q en C1 y C2. AB + mBC cia y m A) 30º B) 37º C) 60º D) 45º E) 53º D A T B O C A 20. Derechos reservados D. T es punto de tangencia. DE B C) 106º E) 100º C) 2q E) 180º – q A) 7 ∨ 5 B) 5 ∨ 10 C) 10 ∨ 11 D) 11 ∨ 10 ∨ 7 E) 5 ∨ 10 ∨ 11 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. que es tangente en A y B a las circunferencias mayor y menor. calcule m DN . m PK ( ) A) 20º B) 30º D) 40º C) 10º E) 60º A) 53º B) 74º D) 180º NIVEL AVANZADO 15. rior a la circunferencia C2 en el punto T. halle la longitud del radio de la circunferencia mayor. cule la mTD T A N A) 60º B) 75º D) 120º L = 180º . cuya prolongación interseca a la circunferencia mayor en M. Si a dichas circunferencias TQ ∩ TP = 40º. A. vértice A). B D A) q/2 B) q D) 90º – q C) 90º E) 150º 19. Calcule la medida del menor de los arcos determinados si la longitud del mayor de los radios es 2 y AB=3. AC=25. A) FFVF B) VVVV D) FVVF C) VVFV E) FVFV 8. entonces dichas circunferencias son ortogonales. Se tiene un hexágono circunscrito ABCDEF tal NIVEL BÁSICO que AB=2. Los ángulos opuestos en un cuadrilátero bicéntrico son suplementarios. entonces dicho cuadrilátero es un trapezoide simétrico. Halle m S BAC . I.Geometría Figuras inscritas y circunscritas 6. I. El centro de la circunferencia circunscrita a un cuadrilátero inscriptible siempre está en su región interior. Halle la razón de las longitudes del inradio y circunradio de un triángulo equilátero. m SCAD C) 1/2 E) 3 5. DE=5 y EF=6. halle la longitud de la base media (BC // AD). A) FFF B) FFV D) FVV C) FVF E) VVF 3. BC=3. III. Si dos circunferencias son secantes y la suma de medidas de los arcos asociados a la cuerda común es 180º. El rombo es inscriptible. Todo cuadrilátero es circunscriptible. Calcule mS BMO. LEG N. Todo cuadrilátero es inscriptible. CD=4. III. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. En un cuadrilátero inscriptible ABCD. Derechos reservados D. I. Todo trapecio es circunscriptible. Todo trapecio es inscriptible. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. III. Todo trapecio presenta simetría axial. II. III. A) 45º B) 37º D) 53º/2 C) 30º E) 37º/2 NIVEL INTERMEDIO A) 1 B) 2 D) 1/3 A) 1 A) 2 B) 3 D) 5 1 B) 2 3 3 C) 2 2 E) 3 4 9. Si dos circunferencias coplanares tienen un punto en común. AB=7. El rectángulo es inscriptible. D) C) 4 E) 6 7. A) VVV B) VVF D) FVF Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. M es el punto medio de BC y O es el centro de la circunferencia inscrita al ABC. entonces dichas circunferencias son tangentes. 1. Se tiene un trapecio ABCD circunscriptible. Halle AF. A) 4K B) 2K D) K/2 C) K E) K/4 4. Si un cuadrilátero es circunscriptible y exinscriptible. IV. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.º 822 13 C) VFV E) FFF . I. Todos los paralelogramos son inscriptibles. Si AB+CD=K. En un triángulo rectángulo ABC recto en B. II. BC=CD. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. A) VVV B) VFV D) FFF C) FVV E) FFV 2. II. II. A) r1+r2+r B) 2(r1+r2+r) C) r+3(r1+r2) D) 3r – (r1+r2) E) r+2(r1+r2) 16. LEG N. P y Q son puntos de tangencia. En el gráfico. I. y aquella que es tangente a AD.º 822 14 . de BC. inscrito en una circunferencia de radio R. mS DBC=2(mS BDC) y mS ADC=mS ABC=90º. II. Un triángulo rectángulo ABC (recto en B) está 12. Es inscriptible. La razón de su inradio y circunradio es 1/2. Si los radios de las circunferencias máximas inscritas en los segmentos circulares determinados por AB y BC son r1 y r2. BE. En el triángulo rectángulo ABC recto en B. indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) según los siguientes enunciados. las bisectrices de sus ángulos interiores son concurrentes en E. CD y CM. A) 30º B) 45º/2 D) 60º C) 45º E) 90º 17. Q A) 20º B) 25º D) 50º C) 40º E) 70º NIVEL AVANZADO A) romboide B) rombo C) inscriptible D) bicéntrico E) circunscriptible 15. halle el perímetro de la región ABM. la circunferencia inscrita en M y N. III. Halle m MN A) 90º B) 74º D) 60º C) 53º E) 120º Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. las mediatrices 14. el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC es r. además. Calcule x.Geometría 10. Indique qué cuadrilátero es aquel cuyos vértices so los puntos de intersección de las mediatrices de AE. En un cuadrilátero ABCD. IV. Se tiene un cuadrado ABCD. halle mS ABC. En un cuadrilátero ABCD. En un cuadrilátero ABCD. tal que AM=1 y MB=3. A) 1/2 B) 2/3 D) 4/5 70º P C) 3/4 E) 1/3 13. en AB se ubica M. Es cricunscriptible. A) VVVV B) VVFF C) VVVF D) VVFV E) VFVV mS ACB=37º y la mediatriz de AC interseca a . calcule R. Si la mS ADC=q. M es la intersección de AC y BD. CE y DE. A) q B) 2q D) 90º – q x C) 3q E) 180º – q 11. Es bicéntrico. Derechos reservados D. Respecto a un cuadrado. Si AB+BC+AD=k. CD y AD son concurrentes en E. Halle la razón entre las longitudes de los radios de la circunferencia inscrita en el BCM. CD y AD. cuyas bases miden 2 3 y 6 3. Indique qué cuadrilatero es RSTU. Si AO. En un triángulo rectángulo ABC recto en B. S. CO y DO intersecan a QM.º 822 15 . además. BC. A) romboide B) rombo A) 6 C) rectángulo B) 2 6 D) cuadrado C) 13 E) trapecio Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. se traza una recta per- D) 2 13 E) 3 3 pendicular a AC y tangente a la circunferencia inscrita en E. P y Q los A) 7º B) 8º D) 15º C) 14º E) 16º 19.Geometría 18. Halle mS ACE. T y U. 20. BO. y un lado lateral mide 4. Halle la longitud del circunradio del trapecio puntos de tangencia de dicha circunferencia con AB. NP y PQ en R. y M. MN. LEG N. BC=12. Derechos reservados D. AB=5. respectivamente. N. Sea O el centro de la circunferencia inscrita al cuadrilátero bicéntrico ABCD. Si AB=IC. En un triángulo acutángulo ABC.5 D) 2.5 4θ A se ubica E en BC.º 822 16 . la bisectriz del ángulo exterior de vértice B es paralela a la recta de Euler. Si M es el punto medio de AC y BH=6. BM=MC. Si mS POR=mS PCR. calcule mS PIR. A) 30º B) 45º D) 135º C α θ P 2α ortocentro y circuncentro. halle mSGMH. respectivamente. NIVEL INTERMEDIO A 9. Si M es el punto medio de BC. En un triángulo acutángulo PQR. I es el incentro del ABC. Si mS AIC+mSCOA=150º. de incentro I. denote con I al incentro y C) 30º E) 53º/2 5. En un cuadrado ABCD. Derechos reservados D. H y O son el A) 1 B) 1. (BH es la altura relativa a AC). I es el incentro. A) 76º B) 74º D) 53º C) 60º E) 45º Calcule mBMI. LEG N. En un triángulo ABC. En un triángulo rectángulo ABC recto en B. A) 15º B) 30º D) 60º A) 30º B) 37º D) 53º C) 40º E) 75º C) 45º E) 60º UNI 2010 - I 2. tal que AIEC es un trapecio isósceles. En un triángulo acutángulo ABC. halle la medida del án- D A) 100º B) 106º D) 135º C) 30º E) 40º 7. B 6. halle la distancia entre los puntos medios de BM y OH. con O a la intersección de la bisectriz interior del ángulo A con la bisectriz exterior del ángulo C. C) 2 E) 3 8. Halle mS BPC. C) 120º E) 150º 4. Halle mS ABC. además. halle mS COA. G es el baricentro del ABH. En un triángulo acutángulo ABC. O es el ortocentro y C es el circuncentro. 2(AB)=3(BC).Geometría Puntos notables asociados al triángulo A) 37º B) 45º D) 37º/2 NIVEL BÁSICO 1. gulo determinado por las tangentes trazadas desde el incentro del ABC hacia la circunferencia inscrita en el ADC. halle mS ACB. Se muestra un rombo ABCD. I B M 53º C A) 30º B) 45º D) 90º C) 60º E) 120º Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. A) 20º B) 25º D) 35º C) 120º E) 150º 3. Del gráfico. El baricentro siempre pertenece a la región interior de una región triangular. IV. A) 2 B) 3 C) 5 D) 4 E) 6 de las siguientes proposiciones. Si G es el baricentro del . que equidistan de los lados de un triángulo. II. Si en dicho triángulo se traza la altura AM y mS BHM=37º. dos de sus excentros y un vértice son colineales. halle x. N y P. El circuncentro de un triángulo puede ser un vértice. halle m BE 2q 3 = 90º. En un triángulo ABC. la circunferencia inscrita en ABC es tangente a AB. ABC. En un triángulo acutángulo ABC. BC y AC en M. N y P son puntos medios de AB. Indique qué punto notable es I del DPE. respectivamente. LEG N. III. En un triángulo acutángulo ABC. Si H y O son el ortocentro y el circuncentro del triángulo ABC. En un triángulo. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) 12. L es punto medio de MN. calcule HP/OL. la distancia del ortocentro H a B es 4 y la distancia del punto medio de HO a AC es 5 (O es el circuncentro del triángulo ABC). Las bisectrices de los ángulos BAC y ACB se intersecan en I. calcule AC. E G A A) 37º/2 C B) 53º/2 D) 45º A) incentro B) ortocentro C) circuncentro D) baricentro E) excentro C) 37º E) 53º NIVEL AVANZADO 15. e intersecan a MN en D y E. M. m BM B M 11.º 822 17 C) FVFV E) FVVF . Solo existen 3 puntos en el plano. C A) 18 B) 20 C) 19 D) 21 E) 22 B A x A) q B) 2q q D) 3 q C) 2 E) 14. A) VVVV B) VFVF D) VFFV Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Si B y C son puntos de tangencia y m AB = θ.Geometría 10. I. 13. Derechos reservados D. respectivamente. BC y AC. LEG N. respectivamente. BO y CO se intersecan entre sí. Si O es el circuncentro del triángulo ABC. Halle la medida del ángulo entre AO y BG . en los puntos M. tal que mS BAD=2(mSCAD). G y O son su ortocentro. A) q q B) 2 D) 2q C) q 4 E) 2q 3 ABD). BE y DE intersecan a AD y AC en M y N. Halle .Geometría 16. mS BCP=mS PCA=4b. halle x en función de m y n. 3β + 4α ubica D en BC. mS PBC=6a.º 822 18 . N B 18. H. ¿Qué punto notable es O del MNP? A) baricentro B) incentro C) ortocentro D) circuncentro E) excentro O A A) m m+ n 2 x M B) m− n 2 D) m – 2n n C C) 2m – n E) m – 3n Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. tal que mS ABC+mS HBG=q. respectivamente. Calcule mS NMD (E es el excentro del C) 4/7 E) 2/7 A) 80º B) 70º C) 60º 17. N y P. D) 50º E) 40º 20. Derechos reservados D. A) 6/7 B) 5/7 D) 3/7 además. se triángulo. En un triángulo ABC. BN=OM. En un triángulo acutángulo ABC. En un triángulo ABC se ubica el punto P interior al 19. donde mS ABC=80º. AM=ON. cuyo circuncentro es O. las mediatrices de AO. En un triángulo acutángulo ABC. mS BAP=2b y β + 2α mS PAC=6b. baricentro y circuncentro. tal que la mS ABP=2a. d 18 .C 03 .c 14 .d 05 .B 07 .c 02 .c 13 .E 16 .E 12 .d 03 .e 10 .e Circunferencia 01 .e 07 .e 11 .d 04 .c 12 .c Puntos notables asociados al triángulo 01 .B 09 .b 08 .e 15 .e .c 03 .d 09 .e 08 .b 20 .d 04 .a 13 .C 15 .d 14 .d 18 .c 11 .e 08 .E 05 .b 09 .d Congruencia de triángulos 01 .b 09 .e Cuadriláteros 01 .c 07 .B 06 .D 03 .e 16 .e 17 .a 08 .c 10 .e 16 .c 19 .a 17 .C 04 .e 18 .e 10 .C 15 .c 10 .c 15 .b 10 .a 16 .e 12 .e 17 .d 11 .e 16 .e 09 .d 02 .C 17 .c 20 .d 17 .C 20 .b 04 .a 06 .d 14 .b 19 .e Figuras inscritas y circunscritas 01 .c 07 .c 04 .b 02 .a 19 .d 19 .c 20 .D 14 .Semestral UNI Triángulo 01 .e 13 .e 19 .e 12 .e 20 .d 05 .c 03 .c 07 .a 14 .B 17 .e 12 .c 11 .e 06 .B 19 .c 05 .e 10 .d 13 .d 06 .b 15 .d 02 .D 02 .b 18 .e 16 .c 15 .e 06 .c 08 .c 13 .b 03 .c 14 .e 06 .d 08 .B 13 .a 18 .b 05 .D 12 .D 02 .e 09 .a 05 .d 04 .B 07 .E 11 .e 20 .D 18 .E 11 .