ISSN 2177-5095 nº2 - 2010REMat REVISTA ELETRÔNICA DE MATEMÁTICA www2.jatai.ufg.br/ojs/index.php/matematica contato:
[email protected] Estruturas de grupos finitos Henrique Bernardes da Silva Aluno do curso de Licenciatura em Matemática do CAJ/UFG
[email protected] Esdras Teixeira Costa Professor do Campus Jataí da Univesidade Federal de Goiás
[email protected] Resumo Nosso ponto de partida para este trabalho foi uma análise sobre as necessidades matemáticas que levaram à criação do conceito de grupo. A partir da de nição de grupo e das implicações desta de nição sobre um dado conjunto munido de uma operação ∗, nosso interesse foi estudar, a partir da tábua da operação ∗ quais as estruturas algébricas possíveis para um dado conjunto com n elementos. Esta estratégia foi e ciente para conjuntos nitos de ordem não superior a 6. Para conjuntos nitos de ordem maior, nossos esforços se concentraram em teoremas que, se não fornecem toda a estutura do grupo, fornecem a maior quantidade de informação possível. Seguindo esta linha de raciocínio, este artigo de revisão aborda determinados tópicos da teoria de grupos, chegando até os teoremas de Sylow. Palavras-chave: Grupos nitos, estrutura, Sylow. Finite groups structures Abstract We begin this work with an analysis of the mathematic motivations that have resulted in the creation of the concept of group. With the de nition of group and the implications of this de nition upon a given set with an operation ∗, we were concerned with studing, through the table of the operation ∗, which were the possible algebraic structures for a given set with n elements. This strategy was su cient for nite groups of order less than 6. For nite sets of greater order, we concentrate on theorems that, if doesn't bring the whole structure of the groups, at least bring out the most of information about them. We present here some topics of groups theory, up to Sylow theorems. Keywords: Finite groups, structure, Sylow. 1 Introdução Suponha que sejam dados um conjunto elementos X munido de uma operação binária ∗ e e dois a, b ∈ X . Vejamos quais seriam as condições necessárias sobre a, b, X ∗ para que exista solução para uma equação do tipo Silva, H.B. Costa, E.T. - 1- Estruturas de grupos nitos T. as seguintes três condições são imprecindíveis: Associatividade da operação ∗ em X. ∗ em Existência de elemento neutro para a operação X. permite que cheguemos então ao desfecho de nossa pequena investigação sobre a solução de 1: a−1 ∗ (a ∗ x) (a−1 ∗ a) ∗ x e∗x x a b X = = = = a− 1 ∗ b a− 1 ∗ b a− 1 ∗ b a− 1 ∗ b a∗x = b na É razoável concluir então que. o que se traduz em termos matemáticos por: dado qualquer y ∈ X. E. ∗ deve satisfazer.2- . chamada de associativa.br/ojs/index.com a∗x=b A solução mais comum pede que existam dois elementos especiais dentro de 1. por comodidade. que possui a capacidade de ser neu- tro em relação à operação ∗. γ ∈ X : α ∗ (β ∗ γ ) = (α ∗ β ) ∗ γ Esta propriedade. ao operarmos à esquerda ambos os lados da equação 1 por a .ufg@gmail. y ∗ e = e ∗ y = y com a propriedade de transformar 2. Um outro elemento mento neutro ya dependente de a a no ele- e através da operação ∗. Costa. H.2010 REMat REVISTA ELETRÔNICA DE MATEMÁTICA www2. a o que se traduz em termos matemáticos por: ∗ ya = ya ∗ a = e Uma vez que assumimos a existência destes dois elementos e e ya e ainda. se quisermos resolver uma operação do tipo qual e são elementos de um conjunto que tem uma operação binária ∗. Um elemento (1) X: e∈X chamado de elemento neutro. temos: a −1 a∗x = b ∗ (a ∗ x) = a−1 ∗ b ∗ seja exível o su ciente para permitir que façamos Novamente.ufg.B. para quaisquer α. β. em linguagem É necessário agora que a operação matemática.php/matematica contato: remat.jatai. −1 −1 denotemos ya por a . . Estruturas de grupos nitos Silva.ISSN 2177-5095 nº2 . a operação a escolha sobre quais elementos devem ser operados primeiro. ufg. é evidente que este único elemento deve ser justamente o neutro. A única operação possível também tem resultado trivial. mas que facilita muito o trabalho com grupos. ao outro elemento. em honra ao matemático norueguês Niels Henrik Abel (1802-1829). denotado por a. como em (FRALEIGH-2000). com apenas dois elementos. Então necessariamente um deles deve ser o elemento neutro e. Isto quer dizer que um grupo de um único elemento só pode ter como tábua de sua operação esta dada a seguir: Seja G um grupo de ordem dois. H. Na análise que se segue das tábuas de e como sendo o elemento neutro.2010 REMat REVISTA ELETRÔNICA DE MATEMÁTICA www2. A propriedade em questão se chama comutatividade. X munido Detalhes sobre tais propriedades são exaustivamente considerados em (DOMINGUES-2003). . se a operação de um grupo possui esta propriedade. 5 ou 6 elementos. o grupo é chamado abeliano.3- Estruturas de grupos nitos . Estamos então a par da necessidade de se nomear de forma particular um conjunto de uma operação ∗ de tal forma que sejam satisfeitas as três condições acima. operação destes grupos. 2 Tábua de grupos com ordem menor ou igual a seis Apresentaremos agora os exemplos mais simples de grupos nitos. E. Existe uma outra propriedade que nem toda operação possui.com * e e e Tabela 1: Um grupo com um único elemento Existência de um inverso a− 1 com relação à operação ∗ para cada elemento a ∈ X. consideraremos sempre o elemento consideraremos grupos com apenas 2. Para isto.php/matematica contato: remat. ou grupo de ordem um. Como este grupo deve ter um elemento neutro. Inicialmente. De nição
[email protected]. 4. De nição 1. Silva.br/ojs/index. do contrário teríamos dois inversos para e. Costa. Um grupo é um conjunto X munido de uma operação ∗ que satisfaz as três condições acima.jatai. o que é absurdo. Dizemos que ∗ é comutativa se para quaisquer elementos a.ISSN 2177-5095 nº2 . Seja G um grupo e ∗ a operação deste grupo. Podemos representar este grupo pela tábua a seguir. temos o caso óbvio de um grupo com apenas um elemento. só resta a possi- bilidade que ele seja seu próprio elemento inverso. 3. ou seja.T. Considerações adicionais sobre esta de nição podem ser encontradas em (HERSTEIN-1975) e (MONTEIRO-1971). Uma boa fonte de exemplos de operações não comutativas é (DOMINGUES-2003). b ∈ G temos a validade da igualdade abaixo: a∗b=b∗a É importante frisar novamente que nem toda operação possui tal propriedade. A multiplicação pelo elemento neutro a∗b tem três resultados possíveis: a∗b=e a∗b=a a∗b=b a∗b=a distintos a.php/matematica contato: remat. tem sempre resultado óbvio. c. que. no sentido de que qualquer outro grupo com dois elementos terá uma tábua idêntica a esta.ufg@gmail. 2. notamos que desta vez existem duas possibilidades para a tábua da operação: A primeira estrutura guarda similaridades com aquelas apresentadas anteriores. Costa. de acordo com o que vimos acima. E. na área das respostas de uma tábua da operação de um grupo não podem haver repetições de elementos nem nas linhas e nem nas colunas. Temos representado na 3 um grupo de ordem três.br/ojs/index. isto nos permite concluir a tabela abaixo. 3. . b.2010 REMat REVISTA ELETRÔNICA DE MATEMÁTICA www2.com ∗ e a e e a a a e Tabela 2: Um grupo com apenas dois elementos ∗ e a b e e a b a a b e b b e a Tabela 3: Um grupo com exatamente três elementos A partir do que vimos acima.ISSN 2177-5095 nº2 . tal estrutura é chamada de grupo cíclico nito detalhes em (FRALEIGH-2000) e para o caso Silva.jatai. H. então teríamos É fácil ver que se elementos b = e. Já o produto 1. o que é absurdo pois nosso grupo tem três Um argumento inteiramente análogo nos permite concluir que sendo assim podemos a rmar que a ∗ b = b é igualmente absurdo.B.T. Ao estudarmos o caso de um grupo de ordem quatro.4- Estruturas de grupos nitos . é a única alternativa possível para um grupo de apenas três elementos.ufg. esta é a única estrutura possível para tal grupo. a ∗ b = e. Como visto em (FRALEIGH-2000). jatai. por exem- plo. por conta da É interessante notar que para o caso dos grupos de ordem quatro. Já a segunda estrutura apresentada acima tem particularidades como. o fato de que palavra alemã a ∗ a = b ∗ b = c ∗ c = e. existem 14 tipos diferentes de estruturas sendo 5 abelianos (apenas um cíclico) e 9 não abelianos. aj } j UUU ii4 V O U UUUU iiii i UUUU i i i i UUUU i iii UUUU i i i ii {e} UUUU UUUU UUUU UUUU < b >= {e. Para o caso dos grupos cíclicos nitos. podemos agora denotá-los respectivamente por grupo Z2 . A notação mais comum para esta estrutura é Viergruppe. b} O < e >= {e} iii4 iiii i i i ii iiii < c >= {e. como visto em (GARCIA-2002) e (GONÇALVES-1999).5- Estruturas de grupos nitos . Silva. ou simplesmente grupo de Klein.br/ojs/index. H.ISSN 2177-5095 nº2 . Costa.2010 REMat REVISTA ELETRÔNICA DE MATEMÁTICA www2. V.B.php/matematica contato: remat. para grupos de ordem um pouco maior a necessidade de ferramentas um pouco mais poderosas se faz presente. estes grupos são cíclicos e obviamente de ordem menor que quatro. Este grupo é chamado de grupo-4 de Klein. c} Tais grupos contidos em outros maiores são chamados subgrupos. E. 2} O < a >= {e. .ufg.com ∗ e a b c e e a b c a a b c e b b c e a c c e a b Tabela 4: Grupo cíclico com quatro elementos ∗ e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e Tabela 5: Klein Viergruppe dos grupos já apresentados. É através deles que estudamos os grupos de ordens superiores. neste caso. Se para o caso de ordens pequenas como as que vimos até agora a análise da estrutura é fácil e praticamente imediata. existem outros grupos dentro
[email protected]. Para grupos de ordem 16. como podemos observar nos diagramas abaixo: ZO 4 < b >= {0. Z3 e o atual Z4 . por exemplo. Se a ordem de um grupo cíclico {e. n. a3 b3 . temos que este conjunto é fechado em relação a esta operação. todo grupo cíclico é abeliano. . De nição 4. H. . . . .ISSN 2177-5095 nº2 . G é n então este grupo é sempre da forma G = Vale ainda. . an ) (b1 . S2 . n i=1 Seja G1 . n Gi i=1 é um grupo. Esta mesma fonte deve ser consultada caso haja dúvidas quanto a grupos nitamente gerados. a2 .com é possível estabelecer uma estrutura geral devido à simplicidade dos mesmos. . Comutatividade. b3 .ufg@gmail. sobre esta operação binária. . Costa. . a2 . n mdc(n. × Sn ou por Si i=1 e Teorema 5. . 3 Estrutura dos grupos abelianos nitamente gerados Para entendermos a estrutura dos grupos abelianos nitamente gerados.T. Note que se ai .php/matematica contato: remat. a3 . produto direto dos grupos Então Gi . b2 . . b2 . . . · · · . . a3 bn ) . Então pela de nição de operação binária em Gi . Silva. an ) onde S1 . retirado de (FRALEIGH-2000): Teorema 3. . a2 . Sn é o ai ∈ Si i = 1. . . . . . . s) Na seção seguinte veremos a estrutura dos grupos abelianos nitamente gerados. .jatai. . 2. an−1 }.B. assim. bn ) em Gi . O produto cartesiano dos conjuntos as n-uplas ordenadas (a1 .br/ojs/index. . bn ) sendo o elemento (a1 b1 . Se G = {e. a3 . . bi ∈ Gi n i=1 e Gi é um grupo temos que ai · bi ∈ Gi . . a2 b2 . 2. . . precisamos revisar as seguintes de nições e teoremas. . conjunto de todas O produto cartesiano é denotado por n S1 × S2 × S3 × . de na (a1 a2 . grupos.6- Estruturas de grupos nitos . a. vistos em (FRALEIGH-2000). b3 . Para (a1 a2 . . a3 . Gn . an )·(b1 . então qualquer elemento b = as ∈ G gera um subgrupo cíclico H de G contendo exatamente elementos. o teorema a seguir. · · · . . .ufg. S3 . . ou seja. 3. . todo grupo cíclico tem uma estrutura com as seguintes propriedades: 1. . 3.2010 REMat REVISTA ELETRÔNICA DE MATEMÁTICA www2. . Demonstração. . . . an−1 } é um grupo cíclico com n elementos. G2 . E. a. Todos os seus subgrupos são também cíclicos. 3.. an ) é 1 −1 −1 −1 a− 1 . . onde pmax(i. Demonstração. De nição 9. G tem a estrutura de um produto direto de grupos cíclicos em que a ordem é uma potência de um número primo. uma vez que o mesmo fornece a estrutura de qualquer grupo abeliano nitamente gerado. .1 A estrutura dos grupos abelianos nitamente gerados O teorema a seguir tem importância evidente. As provas do teorema e do corolário a seguir podem ser encontradas em (FRALEIGH-2000): Teorema 6. . . e somente se. exceto unicamente por uma possível reorganização de seus fatores. i = 1.ISSN 2177-5095 nº2 .. . a3 . e2. . Então Zpr é indecomponível pois. este produto direto consiste apenas de um grupo cíclico em que a ordem é uma potência de um número primo. . p qualquer. e ri são inteiros positivos. Corolário 7.7- Estruturas de grupos nitos . Uma prova completa pode ser encontrada na seção 4. an n .jatai.2010 Se REMat REVISTA ELETRÔNICA DE MATEMÁTICA www2. Zmi é cíclico tem a mesma estrutura de Zm1 m2 m3 . . Desta forma Gi i=1 é um grupo. Considere agora um número primo fosse isomorfo a máximo igual a Zpi × Zpj . O produto direto é único.T. é o elemento identidade em ei Gi . o número de seus fatores Z é único e as potências de primos (pi ) i são únicas. então todo elemento teria que possuir ordem no Silva. ou seja.ufg@gmail. Seja e G um grupo abeliano nito indecomponível.4 de (FRALEIGH-2000). 3. (e1 . . se Zpr i + j = r. m e O grupo Zm × Zn n é cíclico e tem a mesma estrutura de n são primos entre si. .br/ojs/index. (Teorema Fundamental dos grupos abelianos nitamente gerados ) Todo grupo abeliando nitamente gerado tem a estrutura de um produto direto de grupos cíclicos da forma Z(p1 )r1 × Z(p2 )r2 × . × Z(pn )rn × Z × Z × . . e só se.php/matematica contato: remat.mn se.. Um grupo é decomponível se tem uma estrutura igual ao produto direto de dois grupos próprios não triviais. . ×Z onde pi são números primos. . .. r isto é. Zmn se. j ) < pr . Então.B.. . o inverso de é o elemento identidade em então. a2 . en ) (a1 a2 .ufg. i=1 Claramente notamos que a lei associativa é válida neste conjunto. Já que G é indecomponível. Teorema 10. pelo Teorema 8. Finalmente. O grupo mdc (m. n são relativamente primos . Se isto não ocorre dizemos que tal grupo é indecomponível. Teorema 8. .com n Gi . i=1 quaisquer dos mi distintos. . a3 . Os grupos abelianos nitos indecomponíveis são exatamente os grupos cíclicos em que a ordem é a potência de um número primo. Costa. 2. n) = 1. não necessáriamente distintos. . H. . E. .com a ordem de um grupo abeliano nito G.br/ojs/index. · (pn ) n é a ordem de G.ufg. então todo grupo abeliano de ordem m é cíclico.pn . (pi ) i i r r i gera um subgrupo cíclico de Z(pi )ri de ordem igual ao quociente de (pi ) pelo mdc de (pi ) i e (pi )ri −si .ISSN 2177-5095 nº2 .php/matematica contato: remat. Seja Se m não é divisivel por nenhum quadrado de algum número primo. Costa. E. . f (x) = e}. . . × (pn )rn −sn )ri −si da forma é o subgrupo de ordem G m desejado. em que os r r r primos pi não são necessariamente distintos. mas também presentes em (LANG-1972). retirados de (FRALEIGH-2000) Proposição 13.B. um homomor smo de Existe um único isomor smo Estruturas de grupos nitos . então G possui um Demonstração. y ) = f (x)f (y ).8- K. Pelo Teorema 3. . Temos então que (p1 )r1 −s1 × (p2 )r2 −s2 × . Se REMat REVISTA ELETRÔNICA DE MATEMÁTICA www2. 4 Teoremas de isomor smo O leitor atento certamente já observou a esta altura que utilizamos até aqui a expressão ter a mesma estrutura de como sinônimo de isomor smo. . Teorema 14. de Seja G um grupo. · (pn ) n . . onde 0 ≤ si ≤ ri . Então o homomor smo canônico f : G → G/N é uma função sobrejetora tal que: f (x.2010 Teorema 11. e seja Silva. y ∈ G b) N = {x ∈ G. Já que que G tal que m não é divisível pelo quadrado de nenhum é isomorfo a Z(p1 )r1 × Z(p2 )r2 × . número primo. então (pi )ri −si gera um subgrupo cíclico de r i) i Z(pi )ri . g : G/K → f (G) tal que f (x) = g (h(x)) para cada x ∈ G.T. Se (p1 ) 1 · (p2 ) 2 · . (Primeiro Teorema de Isomor smo ) Seja f : G → G h : G → G/K o homomor smo canônico. (pi )ri −si ) = (pi )ri −si .. podemos dizer que um isomor smo entre dois grupos é Desuma bijeção que preserva completamente a operação entre os elementos destes grupos. .ufg@gmail. × Z(pn )rn . Demonstração. onde e a) núcleo é a identidade de G e e ¯é a identidade de G/N . de ordem (p(ip = (pi )si . Pelo Teorema 8. podemos escrever Z(p1 )r1 × Z(p2 )r2 × . Teorema 12.. . H. m = (p1 )r1 · (p2 )r2 · . N um subgrupo normal de G e G/N o grupo quociente G por N. Então pelo Teorema 8. creveremos abaixo os teoremas de isomor smo mais comuns. r −s s s s então m deve ser da forma (p1 ) 1 · (p2 ) 2 · . G um grupo abeliano de ordem m. Como mdc((pi )ri . G é cíclico. . .jatai. . uma vez que duas estruturas algébricas isomorfas são indistinguíveis do ponto de vista da álgebra. · (pn )rn . ∀ x. × Z(pn )rn . Esta é uma noção central em álgebra. . O corolário 7 mostra-nos que G i é isomorfo a Zp1 p2 . . m divide subgrupo de ordem m. onde m é livre de quadrados . temos para todo índice ri = 1 e que todos então pi são primos distintos. De maneira informal. x ∼ y ⇐⇒ ∃ g ∈ G Esta é uma relação de equivalência. Sejam X um G-set. E. ∗: G×X →X 1.pois. Uma ação de G em X é a aplicação tal que: ex = e para todo x ∈ X . pois: −1 i) x ∼ x. Se denotarmos . 2. são válidas as seguintes propriedades: xe = x. A melhor destas técnicas tem sido a coleção de resultados Antes de introduzirmos os teoremas de conhecidos coletivamente por Teoremas de Sylow. ii) se tal que y = g −1 xg x ∼ y então y ∼ x. Seja H e K subgrupos normais de um 5 Classes de conjugação e Teoremas de Sylow Quando a ordem de um grupo é grande o su ciente para tornar cansativo e enfadonho o trabalho de análise de seus subgrupos um a um. Nestas condições.ufg.B. g xg = x a) Se x ∼ y dizemos que −1 g x e y são elementos conjugados.2010 REMat REVISTA ELETRÔNICA DE MATEMÁTICA www2. ou seja y ∼ x. são necessárias técnicas mais avançadas para proceder com tal análise. (Terceiro Teorema de Isomor smo ) grupo G com K ≤ H. x ∈ X e g ∈ G.jatai. Sylow. onde u = gh. De nição 17.ufg@gmail. (Segundo Teorema de Isomor smo ) Seja H subgrupo normal de G. veremos algumas preliminares que podem ser vistas também em (FRALEIGH-2000).ISSN 2177-5095 nº2 . Assim −1 −1 se u = g temos x = u yu. (g1 g2 )(x) = g1 (g2 x) para todo x ∈ X e todo g1 . . h ∈ G temos −1 z = u xu. ∀ x ∈ G. Então (HN )/N ∼ = H/(H ∩ N ). ∀ x ∈ G. y.com Teorema 15. um subgrupo de G e seja N um Teorema 16. X é um G-conjunto ou G − set. De nição 18. Seja X um conjunto e G um grupo.T. Costa. H. De fato se y = g xg e z = h−1 yh onde g.9Estruturas de grupos nitos .php/matematica contato: remat. Basta observar que se x ∼ y existe g ∈ G tal que y = g −1 xg . g2 ∈ G. ∀ x. portanto temos que x ∼ z . g ∈ G De nição 19. y ∈ G. de niremos uma relação em G como segue: (2) x. Se G é um grupo. x = e xe. −1 iii) se x ∼ y e y ∼ z então x ∼ z .br/ojs/index. Quando gx = x de nimos os conjuntos auxiliares Silva. Então G/H ∼ = (G/K )(H/K ). ∀x ∈ G g h (gh) c) (x ) = x . ∀ x ∈ G g g −1 b) y = x ⇒ x = y . E. G − set. xn . Teorema 21.com Xg = {x ∈ X/gx = x} notemos que se e Gx = {g ∈ G/gx = x} é um subgrupo de X é um de subgrupo de isotropia G − set então para cada x ∈ G.php/matematica contato: remat. Costa. então n classes de conjugação em G.ISSN 2177-5095 nº2 . pois. determinada pelo elemento x ∈ G. se e somente se |G| = |Cx1 | + |Cx2 | + .br/ojs/index. .jatai.T. H.ufg@gmail. Se |G|é nita. . o teorema é verdadeiro. .B. chamada de Seja G um grupo de ordem pn e seja X um G − set nito. . Se x ∈ X. A classe nito e existem de nida em 2 é Se G é um grupo x1 . Então |Gx| = (G : Gx ). . Gx de x. . Cx = {y : x ∼ y } = {xg : g ∈ G} para a relação classe de conjugação em G. Utilizaremos indução sobre a ordem de existe primo dividindo G. Se |G| = 1 |G| = 1. e x ∈ X.ufg. Então ∃a ∈ G tal que a ordem de a é igual a p. a célula contendo x Denotaremos esta célula por Os teoremas a seguir têm suas demonstrações disponíveis em (FRALEIGH-2000). Silva. com representantes G = C x1 ∪ C x2 ∪ . + |Cxn | .10- Estruturas de grupos nitos . Cx = {x} e a equação de classes torna-se |G| = |Z (G)| + xi ∈ / Z (G) o centro do |Cxi | Teorema 24. |Gx|é Seja um divisor X um G − set de |G|. G chamado De nição 20. ∪ C xn de onde temos que grupo G. Notemos que x ∈ Z (G). então Teorema 22. . é a Seja X um Cada célula na partição da relação de equivalência descrita na de nição 17 é chamada de órbita de x. .2010 REMat REVISTA ELETRÔNICA DE MATEMÁTICA www2. órbita em X sobre G. |XG | (mod p). Então |X | ≡ De nição 23. . não Demonstração. x2 . Gx. (Teorema de Cauchy ) Seja p um primo divisor da ordem de um grupo nito G. Costa. estamos agora em condições de apresentar os teoremas de Sylow. ou seja. H. g ∈ p n pn se |N | = ntemos então que (g ) = g e. Agora ∃ g ∈ L tal que g = e e g p = e. Caso 3 Assim Z = Z (G) = G. G é um grupo não abeliano. a = e como queríamos demonstrar. Seja Caso 2 |G|e seja x ∈ G. Seja H um subgrupo de ordem prima de um grupo nito G. .B.jatai. x = e. implicando na i+1 existência de um subgrupo de ordem p . como já dito anteriormente. Suponhamos entao que p não divide |N |onde N = x .com Suponhamos que o teorema seja válido para todos os grupos Caso 1 L tais que 1 ≤ |L| ≤ |G|.php/matematica contato: remat. H de G de pi para cada i onde 1 ≤ i ≤ n i ordem p é um sugrupo normal de m subgrupo de ordem Demonstração. Os resultados são bem conhecidos e podem ser conferidos em (LANG-1972).2010 REMat REVISTA ELETRÔNICA DE MATEMÁTICA www2. (HERSTEIN-1975) ou ainda (FRALEIGH-2000). Então (N [H ] : H ) = Finalmente. tem uma prova bastante detalhada em (FRALEIGH-2000). Pelo Teorema de Lagrange temos que p divide a ordem do grupo quociente L = G/N (observe que N G pois G é abeliano). Teorema 25. as melhores ferramentas para se avaliar a estrutura de grupos de ordem alta. Neste caso sabemos que O (x) = r −1 p ·m onde r ≥ 1 e a = xp ·m é tal que ap = e. mais uma vez.11- Estruturas de grupos nitos
[email protected]. Como |H | < |G| pela hipótese de indução temos que ∃ a ∈ H tal que O (a) = p e o teorema está provado. que O teorema a seguir. g p = e. portanto. Se p divide | x |então pelo O (a) = p e o terorema está provado para este caso. p divide | g | e novamente pelo caso 1 ∃ a ∈ g tal que O (a) = p e o teorema está provado para mais este p um divisor primo de caso anterior ∃a ∈ x tal que caso. Se p divide |N |segue ∃ xi ∈ / Z (G) tal que p não divide [G : CG (xi )]. Teorema 26. Como |L| < |G| temos pela hipótese de indução que / N. Utilizando i indução mostraremos a existência de um subgrupo de ordem p para i < n. Seja r G = x e seja p um divisor primo de |G|. (G : H ) (mod p). G contém um subgrupo de ordem p Silva. g p ∈ N . i) Sabemos que pelo Teorema de Cauchy. ou ainda.ISSN 2177-5095 nº2 . G é um grupo abeliano não cíclico.br/ojs/index. E. Portanto p divide |H | onde H = CG (xi ) = G. que são.ufg. Seja G um grupo nito de ordem |G| = mpn Então: i) G contém um subgrupo de ordem ii) Todo subgrupo i+1 p para 1 ≤ i ≤ n. G é um grupo cíclico. (Primeiro Teorema de Sylow) com n ≥ 1e p não divide m. 12- P ).ufg. p- Se P ∈ S . Agora consideremos a ação de G sobre S pela conjugação. são também p -subgrupos de N [T ]. Se γ : N [H ] → N [H ] /H é o −1 isomor smo canônico. O teorem nos mostra n são exatamente aqueles de ordem p . então xT x−1 = T para p -subgrupo e p. e a ação de P2 em L dada por y (xP1 ) = (yx)P1 y ∈ P2 . notando que p divide |N [H ] /H |. Um Sylow p divide pi . Seja xP1 ∈ LP2 . SP . . Mas então eles são conjugados em N [T ] pelo Teorema 28. (Terceiro Teorema de Sylow ) Se G número de Sylow p -subgrupos é congruente a 1 módulo p de é um grupo inito e e divide p divide |G|. Então P1 e P2 G.B. Sabendo que todo Sylow subgrupos são conjugados. Mas G. tal que |S| ≡ |SP | (mod p). e |L| = (G : P1 ) = 0.com H um subgrupo de ordem 25 temos que formar N [H ] /H . então |S| = (G : GP ) é um divisor Estruturas de grupos nitos . −1 ii) Repetindo a construção do item anterior notemos que H < γ [K ] ≤ N [H ] onde −1 i+1 |γ [K ] = p | . Demonstração. Teorema podemos De nição 27. logo LP 2 −1 y ∈ P2 . assim x yxP1 = P1 para todo y ∈ P2 . Desta forma x−1 yx ∈ P1 para todo y ∈ P2 −1 −1 e x P2 x ≤ P1 . há somente uma órbita em S sobre de (G : GP ) pelo Teorema 21. G um grupor nito em que que os Sylow todo conjugado p -subgrupos de G gP g −1 de P também é um p -subgrupo. Como H é normal em N [H ].ISSN 2177-5095 nº2 . LP2 ≡ |L| (mod p). G. Pelo Teorema de Cauchy o grupo quociente N [H ] /H possui um subrupo K que é de ordem p. Se é um -subgrupo. Se T ∈ SP . um p-subgrupo que não está contido em nenhum p-subgrupo maior.2010 Seja REMat REVISTA ELETRÔNICA DE MATEMÁTICA www2. Teorema 29. Sylow p -subgrupos de um grupo Demonstração. Então Lé um P2 -set. Este subgrupo contém H e é de ordem p . Como H temos que p divide é um subgrupo (G : H ). Seja P um Sylow p -subgrupo a ação de P em S de nida pela Pelo Teorema 22. (N [H ] : H ). então γ [K ] = {x ∈ N [H ] /γ (x) ∈ K } é um subgrupo de N [H ]e i+1 consequentemente de G. Logo T = P . o normalizador de|G| . este é o único conjugado em N [T ]. Então SP = {P }. Luma coleção de classes laterais de P1 . (GP é de fato. Costa. E. Seja S o conjunto de todos os Sylow conjugação.ufg@gmail. Assim P ≤ N [T ] e T ≤ N [T ]. |G| = mpn como P p Teorema 28. são grupos conjugados de no Teorema 26 . isto é. Seja p -subgrupo P de G é o máximo p -subrupo de G. Temos assim todo x ∈ P . temos que o número de Sylow p -subgrupos é congruente a 1 modulo x ∈ P e T ∈ S implica em xT x−1 . Como |P1 | = |P2 | . então o |G|.T. Como P e T são Sylow p -subgrupos de G. logo o número de Sylow p -subgrupos divide |G|. H.jatai. Pelo Teorema 22. portanto P1 e P2 são de fato Seja para subgrupos conjugados. Já que T é um subgrupo normal de N [T ]. Silva. temos que P1 = x P2 x.br/ojs/index. Se i < n. Como |S| ≡ |SP | = 1(mod p).php/matematica contato: remat. Pelo normal de N [H ] . Então yxP1 = xP1 para todo não é divisível por p. (Segunto Teorema de Sylow ) Sejam P1 e P2 nito G. John B. Rio de Janeiro: Livros Técni- Projeto Euclides/ IMPA. H.H. Rio de Janeiro: Livro Técnicos Cienti cos.H. [DOMINGUES-2003] DOMINGUES. . Costa. [GONÇALVES-1999] GONÇALVES. A First Course in Abstract Algebra. A. Elementos de álgebra. Álgebra Moderna. New York: John Wiley & Sons.com Referências th [FRALEIGH-2000] FRALEIGH. Silva.php/matematica contato: remat. L.13- Estruturas de grupos nitos .T. 2002. Serge. Inc. LEQUAIN. Janeiro: Projeto Euclides/IMPA. 4ª edição Atual 5ª edição.ufg@gmail. N. [MONTEIRO-1971] MONTEIRO. E. H. [HERSTEIN-1975] HERSTEIN.jatai.. 1972. 1971. Y. 2ª edição. cos e Cienti cos. Estruturas Algébricas. Editora . New York: Addison Wesley.. [GARCIA-2002] GARCIA.ufg. 1999. 2000. 1975.ISSN 2177-5095 nº2 . Rio de Introdução à Álgebra. I. [LANG-1972] LANG. IEZZI. Rio de Janeiro: Elementos de Álgebra. 6 Edition..B.br/ojs/index. Adilson.2010 REMat REVISTA ELETRÔNICA DE MATEMÁTICA www2. Tópicos de Álgebra.2003. G.