Raciocínio Lógico

ApostilasBrasil.com Seu Futuro é o Nosso Presente! Em lógica, pode-se distinguir três tipos de raciocínio lógico: dedução, indução e abdução. Dada uma premissa, uma conclusão, e uma regra segundo a qual apremissa implica a conclusão, eles podem ser explicados da seguinte forma: RACIOCÍNIO LÓGICO Dedução corresponde a determinar a conclusão. Utilizase da regra e sua premissa para chegar a uma conclusão. Exemplo: "Quando chove, a grama fica molhada. Choveu hoje. Portanto, a grama está molhada." É comum associar os matemáticos com este tipo de raciocínio. Indução é determinar a regra. É aprender a regra a partir de diversos exemplos de como a conclusão segue da premissa. Exemplo: "A grama ficou molhada todas as vezes em que choveu. Então, se chover amanhã, a grama ficará molhada." É comum associar os cientistas com este estilo de raciocínio. Abdução significa determinar a premissa. Usa-se a conclusão e a regra para defender que a premissa poderia explicar a conclusão. Exemplo: "Quando chove, a grama fica molhada. A grama está molhada, então pode ter chovido." Associa-se este tipo de raciocínio aos diagnosticistas e detetives. 1 Conceitos básicos de raciocínio lógico: proposições; valores lógicos das proposições; sentenças abertas; número de linhas da tabela verdade; conectivos; proposições simples; proposições compostas. 2 Tautologia. 3 Operação com conjuntos. 4 Cálculos com porcentagens. Lógica Matemática Imagine que você foi convocado a participar de um júri em um processo criminal e o advogado de defesa apresenta os seguintes argumentos: Conceito de raciocínio lógico Raciocínio Lógico “Se meu cliente fosse culpado, a faca estaria na gaveta. Ou a faca não estava na gaveta ou José da Silva viu a faca. Se a faca não estava lá no dia 10 de outubro, segue que José da Silva não viu a faca. Além disso, se a faca estava lá no dia 10 de outubro, então a faca estava na gaveta e o martelo estava no celeiro. Mas todos sabemos que o martelo não estava no celeiro. Portanto, senhoras e senhores do júri, meu cliente é inocente. Ao procurarmos a solução de um problema quando dispomos de dados como um ponto de partida e temos um objetivo a estimularmos, mas não sabemos como chegar a esse objetivo temos um problema. Se soubéssemos não haveria problema. É necessário, portanto, que comece por explorar as possibilidades, por experimentar hipóteses, voltar atrás num caminho e tentar outro. É preciso buscar idéias que se conformem à natureza do problema, rejeitar aqueles que não se ajustam a estrutura total da questão e organizar-se. Pergunta: O argumento do advogado esta correto? Como você deveria votar o destino do réu? E mais fácil responder a essa pergunta reescrevendo o argumento com a notação de lógica formal, que retira todo o palavrório que causa confusão e permite que nos concentremos na argumentação subjacente. Mesmo assim, é impossível ter certeza de que escolheu o melhor caminho. O pensamento tende a ir e vir quando se trata de resolver problemas difíceis. A lógica formal fornece as bases para o método de pensar organizado e cuidadoso que caracteriza qualquer atividade racional. Mas se depois de examinarmos os dados chegamos a uma conclusão que aceitamos como certa concluímos que estivemos raciocinando. "Lógica: Coerência de raciocínio, de ideias. Modo de raciocinar peculiar a alguém, ou a um grupo. Sequencia coerente, regular e necessária de acontecimentos, de coisas." (dicionário Aurélio), portanto podemos dizer que a Lógica e a ciência do raciocínio. Se a conclusão decorre dos dados, o raciocínio é dito lógico. 1. PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS EM LÓGICA MATEMÁTICA Nova teoria científica 1.1 CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES A ciência é bàsicamente a combinação do raciocínio lógico bom com o conhecimento prático bom de fenômenos naturais reais. Todos os seres humanos fazem algum raciocínio lógico e têm algum conhecimento prático de alguns fenômenos naturais reais, mas na maior parte têm que combinar ciência com sobrevivência. Alguns povos puderam devotar muito de seu tempo ao raciocínio e/ou a ganhar o conhecimento melhor da natureza e com isso nos legaram contribuições pequenas ou grandes ao desenvolvimento da ciência. http://wwwracimate.blogspot.com.br/ Raciocínio Lógico Partindo-se do contexto histórico, a lógica enquanto ciência do raciocínio pode ser subdividida em duas grandes correntes, quais sejam: Lógica Clássica e Lógica Formal. Enquanto Lógica Clássica esta fundamentada em processos não matemáticos, processos não analíticos, sendo que suas verdades advêm de entidades filosóficas. Pode-se dizer que a Lógica Clássica tem um caráter intuitivo. Enquanto Lógica Formal, a qual encerra dentre outras tendências a Lógica Matemática, esta baseada em métodos e técnicas matemáticas. 1 ApostilasBrasil.com Seu Futuro é o Nosso Presente! A Lógica matemática, ou a Lógica Simbólica ou Lógica Algorítmica é caracterizada pela axiomatização, pelo simbolismo e pelo formalismo. Tem seu desenvolvimento na instância dos símbolos e passam a analisar o raciocínio segundo operações e ralações de cálculo específico. A Lógica Matemática constitui em termos gerais um sistema científico de raciocínio, que se baseia em estados bivalentes, ou seja, é um sistema dicotômico onde a quaisquer de suas entidades pode-se predicar a “verdade” ou a “falsidade”, sendo estados mutuamente excludentes. Desta forma a partir de seus axiomas fundamentais e do sistema bivalente estabelecido desenvolver-se-á um método analítico de raciocínio que objetiva analisar a validade do processo informal a partir das denominadas primeiras verdades, “primícias”. 1.2 CÁLCULO PROPOSICIONAL E CÁLCULO DOS PREDICADOS: A Lógica Matemática é fundamentada pelo cálculo proposicional (ou cálculo dos enunciados, ou cálculo sentencial) e pelo cálculo dos predicados. No cálculo sentencial têm-se as entidades mínimas de análise (proposições ou enunciados) como elementos geradores. No cálculo dos predicados os elementos de análise correspondem às chamadas funções proposicionais. 2.2 DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DE PROPOSIÇÕES NO CÁLCULO PROPOSICIONAL: Na linguagem falada ou escrita quatro são os tipos fundamentais de sentenças; quais sejam as imperativas, as exclamativas, interrogativas e as declarativas (afirmativas ou negativas); tendo em vista que em lógica matemática tem-se apenas dois estados de verdade, esta tem por objeto de análise as denominadas sentenças declarativas, afirmativas, de sentido completo e não elípticas (não ambíguas). No primeiro caso não se analisa a relação íntima entre o nome e o predicado da estrutura em análise. Sendo oposto no segundo caso. Os símbolos têm significado e usos específicos no cálculo proposicional. Desta forma toda sentença declarativa, afirmativa de sentido completo que expressão um determinado pensamento são denominado predicados ou enunciados, as quais de acordo com o universo relacional onde se encontram é sempre possível predicar-se “verdade” ou a “falsidade”. 1.2.1 PROPOSIÇÃO, DECLARAÇÃO É todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo para a qual se associa apenas um dos dois atributos verdadeiro ou falso. São exemplos de proposições em lógica: São exemplos de proposições: “A filosofia é a lógica dos contrários” - Quatro e maior que cinco. “Bananas solitárias são aves volares se e somente se, um logaritmo vermelho é um abacate feliz”. - Ana e inteligente. - São Paulo e uma cidade da região sudeste. “Se todo homem inteligente é uma flor, então flores racionais são homens solitários”. - Existe vida humana em Marte. - A lua é um satélite da Terra No cálculo proposicional o que dever ser considerado é a forma do enunciado e não o significado que esta alcança no mundo real. - Recife é capital de Pernambuco Portanto os exemplos acima permitem afirmar que o número de nomes e/ou predicados que constituem as sentenças declarativas, afirmativas de sentido completo dão origem às denominadas proposições simples ou proposições compostas. Exemplos de não proposições: - Como vai você? - Como isso pode acontecer! 1.3 PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS: 2.3 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES: A Lógica Matemática constitui um sistema científico regido por três leis principais, consideradas princípios fundamentais: Uma proposição simples ou um átomo ou ainda uma proposição atômica, constituem a unidade mínima de análise do cálculo sentencial e corresponde a uma estrutura tal em que não existe nenhuma outra proposição como parte integrante de si próprio. Tais estruturas serão designadas pelas letras latinas minúsculas tais como:  Princípio da não-contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.  Princípio do terceiro excluído: toda preposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro. p, q, r, s, u, v, w, p1, p2. . . ¸pn... As quais são denominadas letras proposicionais ou variáveis enunciativas. Desta forma, pra se indicar que a letra proposicional p designa a sentença: “A Matemática é atributo da lógica”, adota-se a seguinte notação: Neste sistema de raciocínio tem-se estabelecido tão somente dois “estados de verdade”, isto é, a “verdade” e a “não verdade”. Portanto a Lógica Matemática é um sistema bivalente ou dicotômico, onde os dois estados de verdade servem para caracterizar todas as situações possíveis sendo mutuamente excludentes (isto é, a ocorrência da primeira exclui a existência da segunda). p: A matemática é atributo da lógica. Observe que a estrutura: “A matemática não é atributo da lógica” não corresponde a uma proposição simples, pois possui como parte integrante de si outra proposição. Portanto de uma forma geral pode-se dizer que qualquer entidade (proposição ou enunciado) em Lógica Matemática apresenta apenas dois “estados de verdade” ou será correspondente a “verdade” ou correspondente a “falsidade” não admitindo quaisquer outras hipóteses e nem tão pouco a ocorrência dos dois estados de verdade simultaneamente. 2.4 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DE PROPOSIÇÒES COMPOSTAS: Uma proposição composta, ou uma fórmula proposicional ou uma molécula ou ainda uma proposição molecular é uma sentença declarativa, afirmativa, de sentido completo constituída de pelo menos um nome ou pelo menos um predicado ou ainda negativa, isto é, são todas as sentenças que possuem como parte integrante de si própria pelo menos uma outra proposição. 2. PROPOSIÇÕES OU ENUNCIADOS - FUNDAMENTAÇÃO DO CÁLCULO PROPOSICIONAL 2.1 CONSIDERAÇÕES SOBRE O SISTEMA DICOTÔMICO OU BIVALENTE: Raciocínio Lógico 2 ApostilasBrasil.com Seu Futuro é o Nosso Presente! As proposições compostas serão designadas pelas letras latinas maiúsculas tais como: indicar o valor lógico ou valor verdadeiro desta fórmula proposicional adotar-se-á as notações: P, Q, R, S, U, V, W, P1, P2. . . Pn... V [ P ( p, q, r,..., p1,..., pn)] = V ou V [ P ( p, q, r,..., p1,..., pn)] = F Considere as proposições simples: É oportuno salientar-se que a lógica matemática não cabe a obrigação de decidir se uma dada proposição é verdade ou falsidade, isto é, compete aos respectivos especialistas das correspondentes áreas de conhecimento. Contudo a lógica tem por obrigação estruturar métodos ou procedimentos de decisão que permita, num tempo finito, a decisão sobre os valores lógicos de fórmulas proposicionais constituídas de n proposições e m raciocínios (sobre o ponto de vista da analiticidade de tais processos). A de se observar também, que validade em lógica matemática corresponde, tão somente a avaliação de argumentos dedutivos ou de inferência de argumentos, não tendo sentido associar validade ou legitimidade a proposições ou enunciados. p: A filosofia é arte q: A dialética é ciência. Seja, portanto, a proposição composta “A filosofia é arte embora a dialética é a ciência”. Para se indicar que a dada sentença é designada pela letra proposicional P, sendo constituída de p e q componentes adota-se a notação P (p, q): A filosofia é arte embora a dialética é a ciência. Observe que uma fórmula proposicional pode ser constituída de outras fórmulas proposicionais. Além do mais uma letra proposicional pode designar uma única proposição, quer seja simples ou composta, contudo uma dada proposição pode ser qualificada por quaisquer das letras proposicionais num dado universo. De forma resumida, a validade esta associada à coerência ou a consistência do raciocínio analítico. 2.6 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO, NOTAÇÃO DE CONECTIVOS LÓGICOS: Sejam as proposições: p: A lógica condiciona a Matemática (ou conectivos proposicionais) q: A dialética fundamenta o pensamento ambíguo. Vejam os exemplos: P (p, q): A lógica condiciona a Matemática, mas a dialética fundamenta o pensamento ambíguo. “A matemática é a juventude da lógica e a lógica é a maturidade da matemática” Q (p, q): A lógica condiciona a Matemática e/ou a dialética fundamenta o pensamento ambíguo. “A matemática é a juventude da lógica ou a lógica é a maturidade da matemática” Sejam ainda proposições compostas: “A matemática é a juventude da lógica ou a lógica é a maturidade da matemática e não ambos” S (P, Q): Se a lógica condiciona a Matemática mas a dialética fundamente o pensamento ambíguo, então a Lógica condiciona a matemática e/ou a dialética fundamente o pensamento ambíguo. “Se a matemática é a juventude da lógica, então a lógica é a maturidade da matemática”. “A matemática é a juventude da lógica se, e somente se, a lógica é a maturidade da matemática”. De forma simbólica tem-se que; P (p, q): p mas q “Não é fato que a matemática é a juventude da lógica” Q (p, q): p e/ou q Designamos as proposições simples: S (P, Q):Se p mas q, então p e/ou q p: A matemática é a juventude da lógica Observe que: S (P, Q) é análoga a S (p, q). q: A lógica é a maturidade da matemática 2.5 VERDADE E VALIDADE: Tem-se que: (Valor lógico ou valor verdade das proposições) P (p, q): p e q. Partindo-se do fato de que a lógica matemática é um sistema científico de raciocínios, bivalentes e dicotômicos, em que existem apenas dois “estados de verdade” capazes de gerar todos os resultados possíveis, a “verdade” corresponde a afirmações do fato enquanto tal, sendo a “falsidade” a contradição ou a negação do fato enquanto tal. Assim a verdade ou a falsidade, corresponde respectivamente ao “verdadeiro” ou “falso”, segundo o referencial teórico que institui as determinadas entidades “proposições” ou “enunciados”, de um dado universo relacional. Q (p, q): p ou q. R (p, q): p ou q, e não ambos. S (p, q): Se p, então q. W (p, q): p se, e somente se q. P1 (p): não p Observe que as fórmulas proposicionais ou proposições compostas anteriormente apresentadas foram obtidas a partir de duas proposições simples quaisquer, unidas pelo conjunto de palavras, quando utilizadas para estabelecer a conexão entre duas ou mais proposições (simples ou compostas), são denominadas conectivos lógicos ou conectivos proposicionais, os quais definem classes de fórmulas proposicionais específicas. Prof.a Paula Francis Benevides Em resumo, a verdade é a afirmação do fato e a falsidade é a negação do fato estabelecido. Dada uma proposição simples qualquer, designar, por exemplo, pela letra proposicional p, tem-se pelos princípios fundamentais que tal proposição será a verdade (V) ou a falsidade (F) não se admitindo outra hipótese, e, nem tão pouco a ocorrência dos dois estados simultaneamente, portanto, para denotar tais situações, adotar-se-á a simbolização: Símbolos V ( p ) = V (valor lógico de p é igual à verdade) ou V ( p ) =F. Considere uma proposição composta P, constituída das proposições simples p, q, r,...., p1,...., pn componentes. Para Raciocínio Lógico 3 ∼ não ∧ e º ano. como eu lancho no bar da escola. porque não há nenhuma pretensão de justificar uma proposição com base nas outras. o João é aluno do 11. mas temos de sustentar o que defendemos com bons argumentos e. Premissa 2: O João é um aluno do 11. Com efeito. preciso de um aumento da "mesada". ∨ ou → se .~ ou ' Um argumento é um conjunto de proposições que utilizamos para justificar (provar.. Nem há nenhuma pretensão de apresentar um conjunto de proposições com alguma relação entre si.º ano. Há apenas uma sequência de afirmações. o João estuda filosofia. dar razão. Exemplo 2 Premissa: O João e o José são alunos do 11.. logo. um conjunto de proposições em que se pretende que uma delas seja sustentada ou justificada pelas outras — o que não acontece no exemplo anterior. Também se diz que estuda inferências ou raciocínios..se. Este exemplo permite-nos esclarecer outro aspecto dos argumentos.então. Em filosofia temos a liberdade de defender as nossas ideias. Estás a ver por que é que o estudo dos argumentos é importante. Então. E um argumento é. criando teorias que se apoiam em argumentos. mas . também temos de aceitar discutir os nossos argumentos. Conclusão: Logo. Então. são as razões que utilizas para defender a conclusão. a lógica estuda argumentos. então estuda filosofia.. Temos aqui um argumento. A Joana come pipocas no cinema. qual é o objecto de estudo da lógica? O que é que a lógica estuda? A lógica estuda e sistematiza a validade ou invalidade da argumentação. Os preços no bar da escola subiram. É importante. tenho de te lembrar que a argumentação é o coração da filosofia. as proposições que pretendem apoiar a conclusão ou a justificam têm o nome de premissas.. permite-nos compreender por que razão uns Raciocínio Lógico 4 .ApostilasBrasil. além disso Disjunção ou Condicional se. Neste caso. também. estas são as premissas do teu argumento. Portanto. o lanche fica me mais caro.¬. Como justificas este aumento? Recorrendo a razões.. E como justificas esta conclusão? Com a subida dos preços no bar da escola e com o facto de lanchares no bar. Os outros dois são os problemas e as teorias. não é? Dirás qualquer coisa como: ⇒ implica ⇔ equivalente ∃ existe ∃| existe um e somente um ∀ qualquer que seja Valor lógiSímbolo co Negação .. mas o João não. por que é que a lógica é importante. não é verdade que Conjunção e. então ↔ se e somente se | tal que O que é um argumento? Supõe que queres pedir aos teus pais um aumento da "mesada". Os argumentos constituem um dos três elementos centrais da filosofia.. Muito bem. é claro. e somente se. isto é.. Podes considerar que argumentos. Conclusão: Logo. A proposição que queremos justificar tem o nome de conclusão..é condição necessária que . somente se Bicondicional . mas só pode ter uma conclusão. Mas qual é o interesse disso para a filosofia? Bem.com Seu Futuro é o Nosso Presente! são válidos e outros não e ensina-nos a argumentar correctamente. implica. Eu lancho no bar da escola. Um argumento pode ter uma ou mais premissas. suportar) algo. porque nos ajuda a distinguir os argumentos válidos dos inválidos. é falso. Por exemplo. . ALGUMAS NOÇÕES DE LÓGICA António Aníbal Padrão Introdução Todas as disciplinas têm um objecto de estudo. cuja conclusão é: "preciso de um aumento da 'mesada'". os filósofos têm procurado resolver problemas. O objeto de estudo de uma disciplina é aquilo que essa disciplina estuda. Conclusão: Logo. Exemplos de argumentos com duas premissas: Exemplo 1 Premissa 1: Se o João é um aluno do 11. não temos um argumento. Exemplos de argumentos com uma só premissa: Exemplo 1 Premissa: Todos os portugueses são europeus.. que é o seguinte: embora um argumento seja um conjunto de proposições. ao longo dos séculos.º ano... alguns europeus são portugueses. o seguinte conjunto de proposições não é um argumento: Expressão não. O Rui foi ao museu.º ano. E isto é fundamental para a filosofia. nem todos os conjuntos de proposições são argumentos. como já vimos. inferências e raciocínios são termos equivalentes. o conjunto de palavras "Braga é uma" não é uma frase. Por isso.. no argumento: Uma proposição é uma entidade abstracta. Ora."). (2003b) no site de apoio ao manual A Arte de Pensar: Proposições e frases Um argumento é um conjunto de proposições. Mas o conjunto de palavras "Braga é uma cidade" é uma frase. por exemplo. Por exemplo. Portanto. é o pensamento que uma frase declarativa exprime literalmente. onde estará? Exemplo 3: O que se segue à palavra "Então" não é conclusão de nenhum argumento. A frase 1 é falsa. se eu disser: Premissa 1: Se não houvesse vida para além da morte. 2. o cão nunca mais foi o mesmo. Neste argumento. imperativas e exclamativas. Braga é a capital de Portugal. um dia ele partiu e nunca mais foi visto. mas as premissas não têm nenhum indicador. As frases seguintes também exprimem a mesma proposição: "A neve é branca" e "Snow is white". a 2 e a 3 são verdadeiras. porque têm valor de verdade. Uma frase só exprime uma proposição quando o que ela afirma tem valor de verdade. não são verdadeiras nem falsas: Um indicador é um articulador do discurso. Mas o que é uma proposição? "De um ponto de vista imparcial. É claro que nem sempre as premissas e a conclusão são precedidas por indicadores. são verdadeiras ou falsas. Há seres extraterrestres inteligentes. Premissa 1: Todos os minhotos são portugueses. interrogativas. se são verdadeiras ou falsas: por isso por conseguinte implica que logo portanto então daí que segue-se que pode-se inferir que consequentemente 1. há certas expressões que nos ajudam a perceber qual é a conclusão do argumento e quais são as premissas. pois nem sequer tenho aqui um argumento. Também há indicadores de conclusão: dois dos mais utilizados são "logo" e "portanto"." Uma proposição é o pensamento que uma frase declarativa exprime literalmente. Mas só as frases declarativas exprimem proposições.. Há vários tipos de frases: declarativas. Braga é uma cidade minhota. cada pessoa é um fim em si. Prometo ir contigo ao cinema. Mas se cada pessoa é um fim em si. as seguintes frases não exprimem proposições. isto é. Indicadores de conclusão Mas as frases seguintes exprimem proposições. isto é. a felicidade de cada pessoa tem valor de um ponto de vista imparcial e não apenas do ponto de vista de cada pessoa. Admitindo que não morreu. não saibamos. acerca de algumas. Não deves confundir proposições com frases. E a 4? Bem. Então. as frases "O governo demitiu o presidente da TAP" e "O presidente da TAP foi demitido pelo governo" exprimem a mesma proposição. Quer as premissas quer a conclusão de um argumento são proposições. não sabemos se é verdadeira ou falsa. Por isso. Por exemplo. Por isso. é a unidade gramatical mínima de sentido. Conclusão: Todos os minhotos são europeus. Premissa 2: Todos os portugueses são europeus. Quem me dera gostar de Matemática. embora seja útil. mas sabemos que tem de ser verdadeira ou falsa. 3. Repara. Por exemplo. Traz o livro. há treinadores de futebol que ganham mais de 100000 euros por mês. O quadro seguinte apresenta alguns indicadores de premissa e de conclusão: Indicadores de premissa pois porque dado que como foi dito visto que devido a a razão é que admitindo que sabendo-se que assumindo que 1. pois já se apresenta com sentido gramatical. porque não têm valor de verdade. há vida para além da morte. Esta expressão é um indicador de premissa: ficamos a saber que o que se segue a esta expressão é uma premissa do argumento. Que horas são? 2. a conclusão está claramente identificada ("podemos concluir que.com Seu Futuro é o Nosso Presente! Exemplo 2 Por outro lado. ainda que. Premissa 2: Mas a vida faz sentido. Repara. na expressão "dado que". 3. Por exemplo. e o que segue a "Admitindo que" não é premissa. tal como é apresentado por Aires Almeida et al. também exprime uma proposição. A conclusão é precedida do indicador "Portanto". Dado que cada pessoa é realmente um fim em si. Por exemplo. não sabemos qual é o seu valor de verdade. no argumento anterior. O Mourinho é treinador de futebol e ganha mais de 100000 euros por mês. É claro que a maior parte das vezes os argumentos não se apresentam nesta forma.ApostilasBrasil. mas nem sempre isto acontece. podemos concluir que a felicidade tem valor de um ponto de vista imparcial. no argumento de Kant a favor do valor objectivo da felicidade. 4. A neve é branca. neste momento. deves usar a informação do quadro de indicadores de premissa e de conclusão criticamente e não de forma automática. então a vida não faria sentido. é uma palavra ou expressão que utilizamos para introduzir uma razão (uma premissa) ou uma conclusão. Conclusão: Logo. Contudo. a mesma proposição pode ser expressa por diferentes frases. aqueles indicadores (palavras e expressões) podem aparecer em frases sem que essas frases sejam premissas ou conclusões de argumentos. Uma frase é uma entidade linguística. 4. Depois de se separar do dono. Raciocínio Lógico 5 . um mesmo pensamento pode ser expresso por diferentes frases. com premissas verdadeiras e conclusão falsa. Mas não podemos ter: Neste momento (Julho de 2004). nove é um número par. Neste caso dizemos que a frase é ambígua. imagina que são verdadeiras. um homem português pega numa mulher ao colo" é ambígua. com premissas verdadeiras e conclusão falsa. Para além de podermos ter a mesma proposição expressa por diferentes frases. a conclusão não pode ser falsa. neste não podemos imaginar nenhuma circunstância em que a premissa seja verdadeira e a conclusão falsa. Premissa 2: O Mourinho é um treinador de futebol. Ao contrário do argumento que envolve o Mourinho. então o argumento não é válido. porque não é impossível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Podes imaginar o caso em que o João não é aluno do 11. Argumentos válidos. a conclusão já seria falsa. Validade e verdade A verdade é uma propriedade das proposições. Os argumentos não são verdadeiros nem falsos. Argumentos válidos. mas a premissa também é falsa. Considera o seguinte argumento: Argumentos inválidos. É preciso que seja impossível que sendo as premissas verdadeiras.º ano. Argumentos inválidos. Quinhentos? Cem? Dez? Outro exemplo de frase vaga é o seguinte: "Muitos alunos tiveram negativa no teste de Filosofia". este argumento tem premissas verdadeiras e conclusão verdadeira e. Considera. pois é impossível que a premissa seja verdadeira e a conclusão falsa. As proposições só podem ser verdadeiras ou falsas. A validade é uma propriedade dos argumentos. Então. Repara. em cada dez minutos.com Seu Futuro é o Nosso Presente! Ambiguidade e vagueza Este argumento é válido. a ganhar 1000 euros por mês). isto significa que a conclusão é falsa. Argumentos inválidos. pois.º ano. agora. porque não sabemos a partir de quantos cabelos é que podemos considerar que alguém é calvo. mas quantos? Dez? Vinte? Em filosofia devemos evitar as frases vagas. Consegues imaginar alguma circunstância em que. como pode querer dizer que. Repara que. se as premissas forem verdadeiras. pega numa mulher ao colo. repara que podemos ter: Argumentos válidos. a validade é uma propriedade diferente da verdade. São as frases vagas. Continua a aplicar-se a noção de validade dedutiva anteriormente apresentada: é impossível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Uma frase vaga é uma frase que dá origem a casos de fronteira indecidíveis. Também é incorrecto dizer que os argumentos são verdadeiros ou que são falsos. com premissas falsas e conclusão falsa. com premissas falsas e conclusão verdadeira. Não é válido. A frase "Em cada dez minutos.º ano. Portanto. É incorrecto falar em proposições válidas. agora. porque exprime mais do que uma proposição: tanto pode querer dizer que existe um homem português (sempre o mesmo) que. e Premissa 1: Alguns treinadores de futebol ganham mais de 100000 euros por mês. em cada dez minutos. a conclusão seja falsa. referirei apenas a validade dedutiva. A verdade é uma propriedade das proposições que constituem os argumentos (mas não dos argumentos) e a validade é uma propriedade dos argumentos (mas não das proposições). com premissas verdadeiras e conclusão verdadeira. não é válido. Por exemplo. Podemos perfeitamente imaginar uma circunstância em que o Mourinho ganhasse menos de 100000 euros por mês (por exemplo. com premissas falsas e conclusão verdadeira. Premissa: O João e o José são alunos do 11. em que o Mourinho é treinador do Chelsea e os jornais nos informam que ganha muito acima de 100000 euros por mês. Muitos. como é que podemos esperar que os outros nos compreendam? Este argumento é válido. apesar de as premissas serem verdadeiras. o seguinte argumento. o Mourinho ganha mais de 100000 euros por mês. o João é aluno do 11. "O professor de Filosofia é calvo" é uma frase vaga. Como podes determinar se um argumento dedutivo é válido? Podes seguir esta regra: Mesmo que as premissas do argumento não sejam verdadeiras. e. com premissas verdadeiras e conclusão verdadeira. Como vês. Por vezes. Argumentos inválidos. Conclusão: Logo. o argumento é inválido. o Mourinho como treinador de um clube do campeonato regional de futebol. se não comunicarmos com exactidão o nosso pensamento. Conclusão: Logo. A validade de um argumento dedutivo depende da conexão lógica entre as premissas e a conclusão do argumento e não do valor de verdade das proposições que constituem o argumento. com premissas falsas e conclusão falsa.ApostilasBrasil. Raciocínio Lógico 6 . não basta que as premissas e a conclusão sejam verdadeiras. deparamo-nos com frases que não sabemos com exactidão o que significam. Bem. Quando é que um argumento é válido? Por agora. então o argumento é válido. apesar de quer as premissas quer a conclusão serem falsas. Conclusão: Logo. Se não. para um argumento ser válido. contudo. Argumentos válidos. anteriormente apresentado: Lembra-te: num argumento válido. também pode acontecer que a mesma frase exprima mais do que uma proposição. neste caso. Premissa 2: Nove é um número primo. Os argumentos dizem-se válidos ou inválidos. no seguinte argumento: Premissa 1: Todos os números primos são pares. um homem português (diferente) pega numa mulher ao colo (a sua). As proposições não são válidas nem inválidas. Diz-se que um argumento dedutivo é válido quando é impossível que as suas premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. a conclusão é falsa? Se sim. considerando as premissas verdadeiras. ajudar-te-ão a fazer um melhor trabalho na disciplina de Filosofia e. porque a conclusão se limita a repetir a premissa. é válido e tem premissas verdadeiras. podemos ter argumentos válidos com conclusão falsa (se pelo menos uma das premissas for falsa). mas não é um bom argumento. s e t. ou seja. Este argumento não é sólido. a vida faz sentido. Em filosofia pretendemos chegar a conclusões verdadeiras. além de ser válido. pois com um argumento deste tipo não consegues persuadir ninguém. os alunos continuarão a enfrentar dificuldades quando chegarem ao ensino secundário. candidato a secretário geral do Partido Socialista. t). e não ao Sócrates. está indicando que a proposição composta Q é formada pelas proposições simples r. preciso de um aumento da "mesada". por exemplo. Um argumento sólido é um argumento válido com premissas verdadeiras. s. não é um bom argumento: a razão que apresentamos a favor da conclusão não é mais plausível do que a conclusão e. Ora. pois. as premissas têm de ser mais plausíveis do que a conclusão. Logo. todos os bracarenses são portugueses.ApostilasBrasil. Raciocínio Lógico Exemplo: Proposições simples: 7 . como viste. por isso. porque preciso de um aumento da 'mesada'". Logo. Este argumento é válido. As proposições simples ou atômicas são assim caracterizadas por apresentarem apenas uma idéia. O seguinte argumento é sólido (é válido e tem premissas verdadeiras): Para que um argumento seja bom (ou forte). se as dominares. "Preciso de um aumento da 'mesada'. Um argumento sólido não pode ter conclusão falsa. s. mas não é sólido: Todos os minhotos são alentejanos. Todos os bracarenses são minhotos. Logo. São indicadas pelas letras maiúsculas: P. apesar de o argumento ser válido. As proposições compostas ou moleculares são assim caracterizadas por apresentarem mais de uma proposição conectadas pelos conectivos lógicos. já viveste situações semelhantes a esta: Obs: A notação Q(r.) Logo. É o que acontece com o seguinte argumento: O seguinte argumento é válido. isto é. a validade exclui a possibilidade de se ter premissas verdadeiras e conclusão falsa. r. sendo a premissa verdadeira. Limitaste-te a dizer "Porque sim". porque as premissas não são menos discutíveis do que a conclusão. E é porque tem uma premissa falsa que a conclusão é falsa. o argumento não é persuasivo. por definição. Se não se aumentarem os níveis de exigência de estudo e de trabalho dos alunos no ensino básico. q. Sócrates era grego. — Pai. Sócrates era grego". Também podemos ter argumentos sólidos deste tipo: Sócrates era grego. mais vezes do que imaginas. É sólido. a conclusão seja falsa... ora. trata-se de um argumento muito mau. apesar de sólido. pois. (É claro que me estou a referir ao Sócrates. S. As noções de lógica que acabei de apresentar são elementares.. Se a vida não faz sentido. porque tem premissa verdadeira e é impossível que. Um argumento bom (ou forte) é um argumento válido persuasivo (persuasivo.com Seu Futuro é o Nosso Presente! Argumentos sólidos e argumentos bons O que temos aqui? O seguinte argumento: Em filosofia não é suficiente termos argumentos válidos. do ponto de vista racional). T. então os alunos continuarão a enfrentar dificuldades quando chegarem ao ensino secundário. não se aumentaram os níveis de exigência de estudo e de trabalho dos alunos no ensino básico. porque a primeira premissa é falsa (os minhotos não são alentejanos). preciso de um aumento da "mesada". mas não é um bom argumento. Este argumento pode ser considerado bom (ou forte). Mas não penses que só os argumentos em que a conclusão repete a premissa é que são maus. precisamos de argumentos sólidos. tem premissas menos discutíveis do que a conclusão. mas. logo. querias justificar o aumento da "mesada" (conclusão) e não conseguiste dar nenhuma razão plausível para esse aumento. Este argumento é sólido. então Deus não existe. São indicadas pelas letras minúsculas: p. Afinal. porque. noutras. Mas Deus existe. Preciso de um aumento da "mesada". filósofo grego e mestre de Platão. Por isso.. Todos os bracarenses são minhotos. t. R. a premissa e a conclusão são verdadeiras. Como vês. Por isso. Um argumento é mau (ou fraco) se as premissas não forem mais plausíveis do que a conclusão. Proposições simples e compostas Fica agora claro por que é que o argumento "Sócrates era grego. Talvez recorras a argumentos deste tipo. Logo. como acontece no seguinte exemplo: Todos os minhotos são portugueses. argumentos que não são bons (apesar de sólidos). todos os bracarenses são alentejanos. Logo. porventura. Q. Com certeza. é certo. — Porquê? — Porque sim. é o processo mental que consiste em coordenar dois ou mais juízos antecedentes. portanto. O erro pode derivar de duas espécies de causas: das palavras que o exprimem ou das idéias que o constituem. expressar verbalmente um raciocínio (2). É ela que fornece ao filósofo o instrumento e a técnica necessária para a investigação segura da verdade. as normas do pensamento correto. precisamos partir de dados exatos e raciocinar corretamente. a lógica se apresenta como ciência normativa. que é um 4. portanto. a lógica é a “ciência da demonstração”. por Diógenes Laércio. r: 8 + 1 = 3 . ao mesmo tempo que define os princípios universais do pensamento. sob o nome de Organon. JUÍZO E O RACIOCÍNIO Entende-se por juízo qualquer tipo de afirmação ou negação entre duas idéias ou dois conceitos. o juízo e o raciocínio. ora. para atingir a verdade. Vejamos um exemplo típico de raciocínio: 1ª) premissa . Para Aristóteles. Daí as várias divisões da lógica. por exemplo. portanto. logo. O silogismo. “razão”. uma disciplina propedêutica. com razão. Mas. A filosofia. um juízo é Aristóteles é considerado. “discurso”. cientificamente. Por isso. o primeiro a investigar.ApostilasBrasil. vertebrado. em busca de um juízo novo. denominado conclusão ou inferência. Assim sendo. o silogismo e o sofisma são estudados dentro do tema lógica. os sofismas de idéias ou intelectuais. são. “pensamento”. EXTENSÃO E COMPREENSÃO DOS CONCEITOS LÓGICA Ao examinarmos um conceito. SILOGISMO Raciocínio Lógico 8 .do grego logos significa “palavra”. uma vez que seu objeto não é definir o que é. O objetivo primacial da lógica é. racional. deriva logicamente das duas primeiras. de um sofisma. a extensão e compreensão do conceito. por exemplo. sempre se preocupou com o conhecimento. o fundador da lógica. A compreensão do conceito homem refere-se ao conjunto de qualidades que um indivíduo deve possuir para ser designado pelo termo homem: animal. 2ª) premissa . que “este livro é de filosofia”. dispostas de tal maneira que a terceira. Ao afirmarmos. tomar por causa um simples antecedente ou mera circunstância acidental (3). Suas pesquisas lógicas foram reunidas. tomar a figura pela realidade.logo. os sofismas de palavras ou verbais. A extensão desse conceito refere-se a todo o conjunto de indivíduos aos quais se possa aplicar a designação homem. a caridade é louvável (1). Diz-se que a lógica é uma ciência porque constitui um sistema de conhecimentos certos. No primeiro. no ato próprio da razão”. As leis do pensamento formuladas por Aristóteles se caracterizam pelo rigor e pela exatidão. “expressão”. Exemplo de sofisma intelectual: tomar por essencial o que é apenas acidental. 2. portanto. no segundo. baseados em princípios universais. 3 s: O número 7 é ímpar t: O número 17 é primo Proposições compostas P: O número 24 é divisível por 3 e 12 é o dobro de 24.com Seu Futuro é o Nosso Presente! p: O número 24 é múltiplo de 3. Todo erro provém de um raciocínio ilegítimo. em termos lógicos. SOFISMA 1. Lógica é a ciência das leis ideais do pensamento e a arte de aplicá-los à pesquisa e à demonstração da verdade. o estudo da inteligência sob o ponto de vista de seu uso no conhecimento. realmente. dois a dois.o ser humano é racional. facilmente e sem erro. formulando a esse respeito várias questões: Qual a origem do conhecimento? Qual a sua essência? Quais os tipos de conhecimentos? Qual o critério da verdade? É possível o conhecimento? À lógica não interessa nenhuma dessas perguntas. CONCEITO DE LÓGICA Sofisma é um raciocínio falso que se apresenta com aparência de verdadeiro. mamífero. denomina- Raciocínio . foram adotadas pelos pensadores antigos e medievais e. Todo silogismo regular contém. acabamos de formular um juízo. com ordem. 3. o conceito homem. você é racional. bípede. afirmando-os diferentes do que. Exemplo de sofisma verbal: usar mesma palavra com duplo sentido. q: Brasília é a capital do Brasil. Maritain a define como a “arte que nos faz proceder. para Liard é “a ciência das formas do pensamento”. mas apenas dar as regrasdo pensamento correto. Noções de Lógica Sérgio Biagi Gregório 5. na realidade. ainda hoje. O enunciado verbal de do proposição ou premissa. A lógica é também uma arte porque. Q: A raiz quadrada de 16 é 4 e 24 é múltiplo de 3. Poderíamos ainda acrescentar: “É a ciência das leis do pensamento e a arte de aplicá-las corretamente na procura e demonstração da verdade. Lógica . a caridade é uma virtude. isto é. devemos considerar a sua extensão e a sua compreensão. três proposições nas quais três termos são comparados. o argumento. mas o que deve ser. Exemplo: toda a virtude é louvável. portanto. as leis do pensamento. A lógica é. Foi ele. chamada conclusão. no correr dos séculos. t): O número 7 é ímpar e o número 17 é primo. R(s. Silogismo é o raciocínio composto de três proposições. estabelece as regras práticas para o conhecimento da verdade (1).você é um ser humano. “conceito”. a fim de que o espírito não caia em contradição consigo mesmo ou com os objetos. chamadas premissas. Argumentar significa. Formulando as leis ideais do bem pensar. Vejamos. são admitidas por muitos filósofos. O enunciado de um raciocínio através da linguagem falada ou escrita é chamado de argumento. conclusão . Esta última qualidade é aquela que efetivamente distingue o homem dentre os demais seres vivos (2). mas confirmá-la ou invalidá-la: provar e confirmar são coisas diferentes embora divisadas por uma linha tênue. mais logos. pelas regras da lógica. na realidade. afirmação ou proposição. Um exemplo de dito popular tautológico é "tudo o que é demais sobra". PROPOSIÇÃO CATEGÓRICA Proposição categórica faz uma afirmação da qual não ficaremos com duvidas. um argumento é um conjunto de uma ou mais sentenças declarativas. e somos deixados na dúvida sobre quando o produto realmente será entregue. podem existir muitas explicações possíveis. são válidas ou são inválidas. Não são proposições: 1) frases interrogativas: “Qual é o seu nome?” 2) frases exclamativas: “Que linda é essa mulher!” 3) frases imperativas: “Estude mais. “Z é a capital do Chile”. Toda premissa. Por exemplo. para as questões mais complexas. Um argumento categórico (formado por proposições categóricas) é. Literalmente pode ser compreendida como uma suposição ou proposição na forma de pergunta. quer pelo confronto com os resultados obtidos via novos caminhos de investigação (novas hipóteses e novos experimentos). Mas. chamada conclusão. argumento e contra-argumento (argumento dialógico)1 . nunca pode ser ambígua. Em funçao disso. “x+y = 10”. Por exemplo: “O produto será entregue hoje”. A Hipótese (do gr. Seja qual termo for utilizado. toda a certeza se esvai. acompanhadas de uma outra frase declarativa conhecida comoconclusão. Alguns autores referem-se à conclusão das premissas usando os termos declaração. às vezes redundante ou falaciosamente. Tautologia é uma proposição dada como explicação ou como prova. Argumentos Formais são estudados na lógica formal (historicamente chamada lógica simbólica. tautologia é dizer sempre a mesma coisa em termos diferentes. ou ainda. apenas repete o que foi dito. Sérgio Biagi Gregório A origem do termo vem de do grego tautó. uma ou duas experiências talvez não provem ou refutar uma hipótese. em português). 9 . uma conjetura que orienta uma investigação por antecipar características prováveis do objeto investigado e que vale quer pela concordância com os fatos conhecidos quer pela confirmação através de deduções lógicas dessas características.” 5) frases sem verbo: “O caderno de Maria. Temos certeza de que o produto será entregue hoje. bem como a conclusão.” 4) frases optativas: “Deus te acompanhe. o mais efetivo dos argumentos porque nos fornece certo conhecimento. se a frase fosse: “Talvez o produto seja entregue hoje” ou “O produto poderá ser entregue hoje”. Um argumento pode ser definido como uma afirmação acompanhada de justificativa (argumento retórico) ou como uma justaposição de duas afirmações opostas.ApostilasBrasil. deve ser capaz de ser apenas verdadeira ou falsa e nada mais: elas devem ser truthbearers ("portadores de verdade". e em consequência. mas que. então. um conjunto secundário de proposições. frase. Um argumento dedutivo afirma que a verdade de uma conclusão é uma consequência lógica daspremissas que a antecedem. que têm por objetivo elucidar o mecanismo associado às evidências e dados experimentais a se explicar.com Seu Futuro é o Nosso Presente! . expressa em palavras ou símbolos. São apresentados em linguagem comum e se destinam a ser o nosso discurso diário. . Entretanto. dispostos de tal maneira que a terceira. tem lugar de destaque. Na lógica. que exprima um juízo ao qual se possa atribuir. as frases que apresentam um argumento são referidas como sendo verdadeiras ou falsas. João foi ao cinema ou ao teatro. pode ser apenas verdadeira ou falsa. dizer que "o mar é azul porque reflete a cor do céu e o céu é azul por causa do mar" é uma afirmativa tautológica. Hypóthesis) é uma proposição que se admite de modo provisório como verdadeira e como ponto de partida a partir do qual se pode deduzir. PROPOSIÇÃO Denomina-se proposição a toda frase declarativa. Não é possível provar ou refutar uma hipótese. lembre-se. deriva logicamente das duas primeiras chamadas premissas.TAUTOLOGIA raciocínio composto de três proposições. Raciocínio Lógico A razão para a preocupação com a verdade é ontológica quanto ao significado dos termos (proposições) em particular. 23 > 10 Existe um número ímpar menor que dois. toda premissa.PROPOSIÇÃO HIPOTÉTICA. também conhecidas como proposições. São exemplos de proposições as seguintes sentenças declarativas: A capital do Brasil é Brasília. que significa "o mesmo". somente um de dois valores lógicos possíveis: verdadeiro ou falso. Ela é uma palavra usada na terminologia própria da Lógica e da Retórica. Em filosofia diz-se que um argumento é tautológico quando se explica por ele próprio. Essas não são proposições categóricas. assim como toda conclusão. premissas. É que todos os argumentos começam com uma afirmação caminhando depois por etapas até chegar à conclusão.” 6) sentenças abertas (o valor lógico da sentença depende do valor (do nome) atribuído a variável): Exemplo clássico é o famoso 'subir para cima' ou o 'descer para baixo' (dizem que devemos evitar uso das repetições desnecessárias). ARGUMENTO “x é maior que 2”. dentro de certo contexto. Um argumento indutivo afirma que a verdade da conclusão é apenas apoiada pelas premissas.Portanto. que significa "assunto". Argumentos formais e argumentos informais Argumentos informais são estudados na lógica informal. ela continua sendo o modelo de rigor dentro da lógica. Argumento válido. todos os gregos são mortais. P=R Seu Futuro é o Nosso Presente! argumentos são válidos. e a sua premissa é verdadeira. Uma forma de declaração pode ser mostrada como sendo uma lógica de verdade por um ou outro argumento. “Um raciocínio dedutivo é válido quando suas premissas. Argumentos dedutivos O argumento dedutivo é uma forma de raciocínio que geralmente parte de uma verdade universal e chega a uma verdade menos universal ou singular.ApostilasBrasil. Raciocínio Lógico Argumentos indutivos 10 . Logo.35). a conclusão já está contida nas premissas. não somos todos salvos por isso estamos todos condenados. pois se as premissas são verdadeiras a conclusão deve ser verdadeira. lógica formal e de inferência. seria independente das premissas. portanto. e isso pode ser feito. Geralmente os argumentos dedutivos são estéreis. (Lembre-se que não significa que a conclusão tem de ser verdadeira. que é considerado não-rigoroso em matemática. dando um outro argumento da mesma forma que tenha premissas verdadeiras mas uma falsa conclusão. eles não são. que mostra se tratar de uma tautologia por meio de uma prova. o argumento deve ser considerado válido. da real veracidade ou falsidade das suas premissas e e de sua conclusões. Para cada forma de argumento. Logo. fornecem provas convincentes para sua conclusão. alguns gregos são chatos. se é verdade sob todas as interpretações. Argumento válido. A forma de argumento pode ser demonstrada através da utilização de símbolos. A declaração é uma forma lógica de verdade. sendo verdadeiras. A Lógica visa descobrir as formas válidas. Logo. Mesmo que a ciência não faça tanto uso da dedução em suas descobertas. pois a conclusão decorre necessariamente das premissas. deve seguir uma conclusão verdadeira. p. 2) Tudo que respira é um ser vivo. Solidez de um argumento Um argumento sólido é um argumento válido com as premissas verdadeiras. 5) P=Q Q=R Logo. pois depende de saber se suas premissas são verdadeiras. 1978. isto é. talvez.pois as premissas implicam a conclusão. chamado de Correspondente Condicional. mas não implicam nela. fornecem provas evidentes para sua conclusão. Indução é uma forma de raciocínio que faz generalizações baseadas em casos individuais. Exemplos Alguns gregos são lógicos e alguns lógicos são chatos. a planta é um ser vivo. Lógica indutiva é o processo de raciocínio em que as premissas de um argumento se baseiam na conclusão. O carro está em movimento. por isso. e talvez alguns nem salvos nem condenados!) Argumentos podem ser invalidados por uma variedade de razões. exceto a matemática. não há som na lua. Na lua tem vácuo. Um argumento sólido pode ser válido e. quando as premissas e a conclusão estão de tal modo relacionados que é absolutamente impossível as premissas serem verdadeiras se a conclusão tampouco for verdadeira” (COPI. Logo. Existem padrões bem estabelecidos de raciocínio que tornam argumentos que os seguem inválidos. A conclusão de um argumento válido não precisa ser verdadeira. se poderia dizer que a conclusão decorre necessariamente das premissas. Este argumento é inválido porque todos os chatos lógicos poderiam ser romanos! Ou estamos todos condenados ou todos nós somos salvos. ou resulta de uma necessidade lógica. Na lógica informal este argumento é chamado de contador. se verdadeiras. Exemplo: Todos os gregos são humanos e todos os seres humanos são mortais. No entanto. há combustível no carro. Apesar do nome. a conclusão deve ser verdadeira: um argumento válido não pode ter premissa verdadeira e uma conclusão falsa. Dessa forma. Uma vez que a validade de um argumento depende da sua forma. Validade Argumentos tanto podem ser válidos ou inválidos. uma vez que nós admitimos como verdadeira as premissas teremos que admitir a conclusão como verdadeira. apenas se as premissas são verdadeiras e. 3) O som não se propaga no vácuo. um argumento pode ser demonstrado como inválido. Um argumento válido pode ter premissas falsas e uma conclusão falsa. mostrando que a sua forma é inválida. A conclusão nunca vai além das premissas. Sua característica principal é a necessidade. apenas o argumento possui uma forma lógica. ou seja. uma vez que eles não apresentam nenhum conhecimento novo. Uma forma de argumento é válida Se e somente se o seu correspondente condicional é uma verdade lógica. na lua não pode haver fogo. 1) Só há movimento no carro se houver combustível. esses padrões são conhecidos como falácias lógicas. Se um argumento é válido. Note que em todos os argumentos dedutivos a conclusão já está contida nas premissas. Lógica informal pode chamar a atenção para o estudo da argumentação. talvez algumas pessoas são salvas e algumas pessoas são condenadas. O correspondente condicional de um argumento válido é necessariamente uma verdade (verdadeiro em todos os mundos possíveis) e. A validade de um argumento depende. Esta forma de raciocínio é válida quando suas premissas. existe um forma de declaração correspondente. porém. Como dissemos. que enfatiza implicação. as formas que fazer argumentos válidos. A validade de um argumento não é uma garantia da verdade da sua conclusão. Uma Forma de Argumento é válida se e somente se todos os seus Indução matemática não deve ser incorretamente interpretada como uma forma de raciocínio indutivo.com mais comumente referida como lógica matemática) e são expressos em uma linguagem formal. por isso. tendo ambas as premissas verdadeiras. A planta respira. 4) Só há fogo se houver oxigênio Na lua não há oxigênio.Tal conclusão não precisa ser uma verdade: se fosse assim. uma transformação qualitativa na direção do diálogo. lógicas de verdades. ou outros meios de comunicação. Este tem sido realizado usando Axioma de Peano. João é humano. o argumento é forte). ou seja. existem algumas regras que se aplicam aos argumentos indutivos. Segundo John Stuart Mill. Exemplo: “Sócrates é um homem e todos os homens são mortais.o que se descartou pode mostrar uma falha no raciocínio. Argumentos em várias disciplinas As declarações são apresentadas como argumentos em todas as disciplinas e em todas as esferas da vida. candidatos a cargos políticos e funcionários públicos. deixam de fora uma premissa estritamente necessária no seu conjunto de premissas se ela é amplamente aceita e o escritor não pretende indicar o óbvio. no final. ou um argumento válido com premissas "disfarçadas". mas uma síntese ou combinação das afirmações opostas ou. Exemplo: Nada Saberei se nada tentar. são. (hipótese que o pastor não era o assassino). Neste caso. um argumento aparentemente válido pode ser encontrado pela falta de uma premissa . “normalmente” e “consequentemente” separam as premissas a partir da conclusão de um argumento. um argumento em Matemática. pode ser considerado válido apenas no caso de poder ser demonstrado que é de uma forma tal que não possa ter verdadeiras premissas e uma falsa conclusão. As premissas são discutidas. dialética e diálogos argumentativos Considerando que os argumentos são formais (como se encontram em um livro ou em um artigo de investigação). Classicamente. é bem provável que a conclusão realizar-se-á ou será válida. então ele pode ser testado através da aplicação de provas. A Lógica está preocupada com o que consititui um argumento e quais são as formas de argumentos válidos em todas as interpretações e.com Seu Futuro é o Nosso Presente! a indução matemática é uma forma de raciocínio dedutivo e é totalmente rigorosa. eu bebi” não é um argumento. por isso. Nos argumentos indutivos as premissas dão alguma evidência para a conclusão. Em primeiro Lugar. “porque”. o método da diferença. apesar de sua aparência. Logo. Exemplo: Ferro é um metal. Diz-se então que as premissas poderão ser falsas ou verdadeiras e as conclusões poderão ser válidas ou não válidas. Podemos reescrever o argumento separando cada sentença em sua determinada linha: (2) Todo humano é mentiroso. Argumentos podem também ser interativos tendo como Raciocínio Lógico Dialética significa controvérsia. Isso é claramente um argumento. 11 . como em qualquer outra disciplina. mas há também — e com muita relevância — o discurso escrito e o discurso visual. em particular. em geral. Sócrates é mortal”. pelo menos. FORMA DE UM ARGUMENTO Os argumentos lógicos.um "pressuposto oculto" . Argumentação convincente Um argumento é convincente se e somente se a veracidade das premissas tornar verdade a provável conclusão (isto é. logo. os diálogos argumentativos são dinâmicos. possuem uma certa forma (estrutura). Seja como for. meios de comunicação social. por isso. Argumentos políticos também são utilizados por cidadãos comuns em interações de comentar e compreender sobre os acontecimentos políticos. Argumentos Políticos são utilizados por acadêmicos. o discurso no qual se aplica a retórica é verbal. por isso. já que é evidente que a afirmação de que Sócrates é mortal decorre das declarações anteriores. Argumentos matemáticos A base de verdade matemática tem sido objeto de um longo debate. A retórica é a técnica de convencer o interlocutor através da oratória. verdadeiras. em disciplinas diferentes. Ele não está reivindicando que eu bebi por causa da sede. de fato. Um exemplo de um argumento: (1) Todos os humanos são mentirosos. Frege procurou demonstrar. que as verdades aritméticas podem ser obtidas a partir de lógicas puramente axiomáticas e. exceto o pastor. o assassino deve ter saído pela porta dos fundos”. “por isso”. Falácias e não argumentos Uma falácia é um argumento inválido que parece válido. O resultado do exercício poderá não ser pura e simplesmente a refutação de um dos tópicos relevantes do ponto de vista. porque existe uma premissa que necessita de algo mais para torná-lo válido. No entanto: “eu estava com sede e. Exemplo: Uma testemunha fundamentada diz “Ninguém saiu pela porta da frente. as conclusões devem ser declarações. As palavras. em todas as disciplinas. mas isto não é necessariamente assim.ApostilasBrasil. João é mentiroso. Não existem diferentes formas válidas de argumento. Retórica. Argumentos políticos Um argumento político é um exemplo de uma argumentação lógica aplicada a política. Por outro lado. Argumentos elípticos Muitas vezes um argumento não é válido. e o método das variações concomitantes. Uma estrutura pode ser criada a partir da substituição de palavras diferentes ou sentenças. Em segundo lugar não é necessário afirmar que a conclusão resulta das premissas. Um bom argumento indutivo terá uma conclusão altamente provável. por conseguinte. portanto. que são: O método da concordância. bem como a validade das inferências intermediárias. Servem como um registro publicado de justificação para uma afirmação. Se um argumento pode ser expresso sob a forma de frases em Lógica Simbólica. (premissa descartada: todos os metais se expandem quando aquecidos). a troca de argumentos e contra-argumentos defendendo proposições. eu poderia ter bebido por algum outro motivo. Alguns escritores. e as premissas do argumento são. interlocutor a relação simétrica. que geram uma substituição de letras (variáveis lógicas) ao logo das linhas da álgebra. ele irá expandir quando aquecido. muitas vezes. capazes de serem verdadeiras ou falsas. Quando um argumento válido é usado para derivar uma conclusão falsa de premissas falsas. Para a conclusão ser necessariamente verdadeira. mesmo se as partes são falsos. e se um deles é inválido. Agora nos voltamos para um forma inválida.3 Muito utilizado em Direito. a palavra "válido" não se refere à verdade das premissas ou a conclusão. se um deles é válido. que podem ser usados como blocos de construção para o raciocínio mais complexo. Conclusões inferidas a partir de observações múltiplas podem ser testadas por observações adicionais.2 Tal como na locução "a pari".ApostilasBrasil. ao estar consignado na Constituição Portuguesa que "a lei estabelecerá garantias efectivas contra a obtenção e utilização abusivas. (Correto) Bananas são frutas. O processo pelo qual uma conclusão é inferida a partir de múltiplas observações é chamado processo dedutivo ou indutivo. Filósofos gregos definiram uma série de silogismos. Raciocínio Lógico Processo acima é chamado de dedutivo. Todas as maçãs são frutas. John Lennon era gordo. buscamos demonstrar como ela pode levar a partir de premissas verdadeiras para uma conclusão falsa. Vale enfatizar que quando dois ou mais argumentos têm a mesma forma. A conclusão pode ser correta . podem ser simultaneamente falsas. Da mesma forma. para que não se caia num argumentofalacioso. as bananas são maçãs. Portanto. em linguagem jurídica. Mas uma forma válida e com premissas verdadeiras sempre terá uma conclusão verdadeira. todos os outros também são. se duas proposições contrárias não podem ser simultaneamente verdadeiras. e pode ser nulo. pode-se inferir que "A lei poderá não estabelecerá garantias efectivas contra a obtenção e utilização abusivas. "João" por "J" e "mentiroso" por "M". mas sim a forma da inferência. poderia ser aplicado a outra espécie do mesmo género.4 Assim. Inferência Inferência. Uma inferência pode ser válida. contudo. pois segue a forma de uma inferência correta. A CONTRARIO A contrario (ou a contrario sensu1 ) é uma locução latina que qualifica um processo de argumentação em que a forma é idêntica a outro processo de argumentação. J é M. Sócrates é mortal. ou contrárias à dignidade humana. Exemplos de Inferência (6) J é H. (4) Logo. Tornou-se posteriormente um tipo de raciocínio aplicável a outros campos do conhecimento em que a oposição existente numa hipótese se reencontra também como oposição nas consequências dessa hipótese. corrigir três inferências de peças. Um argumento válido pode também ser usado para derivar uma conclusão verdadeira a partir de premissas falsas: Todas as pessoas gordas são músicos John Lennon era gordo 12 . em Lógica. ou correta em certas situações. de informações relativas às pessoas e famílias". as premissas precisam ser verdadeiras. usado a respeito de uma dada espécie. mas a lógica segue junto com inferência: a verdade da conclusão segue da verdade das premissas? A validade de uma inferência depende da forma da inferência. para mostrar a importância da noção de forma de argumento a seguir: (5) Todo H é M. ou seja (5-7) é a forma de argumento de (1). C é um B. Para mostrar que esta forma é inválida. o contrário da proposição falsa "todos os portugueses têm direito de voto" continua a ser falsa a proposição "nenhum português tem direito de voto". cada sentença individual de (5-7) é a forma de sentença de uma respectiva sentença em (1). para se referir a um argumento que. a conclusão são as inversas deste último. Isto é. usavase originalmente. já que podem admitir a particular intermédia. Começamos com o mais famoso de todos eles: Todos os homens são mortais Sócrates é um homem Portanto. (7) Logo. O que fizemos em C foi substituir "humano" por "H".com Seu Futuro é o Nosso Presente! Definição (3) João é humano. já que existe um meio termo verdadeiro: "alguns portugueses têm direito de voto". A banana é uma fruta. Por exemplo. ou contrárias à dignidade humana. O leitor pode verificar que as premissas e a conclusão são verdadeiras. C é um A. todos os outros também são. a banana é doce. Todo A é B. à proposição verdadeira "todos os portugueses têm direito à segurança social" opõe-se a proposição falsa "nenhum português tem direito à segurança social". A conclusão também é chamada de idiomática. Portanto. dependendo do contexto. incorreta. John Lennon era grego. é o ato ou processo de derivar conclusões lógicas de premissas conhecida ou decididamente verdadeiras. mesmo se as peças são verdadeiras. a inferência é válida. João é mentiroso. mas em que a hipótese e. (Correto) Portanto. correta dentro de um certo grau de precisão. como resultado dessas alterações temos que (5-7) é uma forma do argumento original (1). por consequência. de informações relativas às pessoas e famílias". Portanto. o argumento "a contrario" tem de ser fundamentado nas leis lógicas de oposição por contrários. considere o seguinte exemplo: Todos os frutos são doces. Substituimos os termos similares de (2-4) por letras. Além disso. (Errado) Um argumento válido com premissas falsas podem levar a uma falsa conclusão: Todas as pessoas gordas são gregas. temos duas falsas premissas que implicam uma conclusão verdadeira. Frege trata sentenças simples sem substantivos como predicados e aplica a eles to "dummy objects" (x). com alguns detalhes adicionais para adicionar e remover quantificadores. as ciências como um todo evoluíram para uma crescente capacidade do intelecto em alavancar o conhecimento. A lógica sentencial explica como funcionam palavras como "e". Por exemplo. "se-então". "alguns". Lógica De Predicados Gottlob Frege. John Lennon era um músico Neste caso. Origem: Wikipédia. em sua Conceitografia (Begriffsschrift).". se x é humano. um mecanismo da inteligência. cuja ordem interna. Logo. Antes de Frege. A estrutura lógica na discussão sobre objetos pode ser operada de acordo com as regras da lógica sentencial. que prescinde de dados empíricos. Não era possível mostrar como "Vacas são animais" leva a concluir que "Partes de vacas são partes de animais". prova algo que deva ser verdadeira. Um quantificador "algum" (existe) pode ser adicionado a uma sentença verdadeira de qualquer objeto. Por exemplo. com a intenção de mostrar como as sentenças se relacionam em certos aspectos. P para simbolizar "João é pai de Maria "e Q para simbolizar "José é pai de João" ) e não estaríamos captando com esta representação o fato de que as duas frases falam sobre a mesma relação de parentesco entre João e Maria e entre José e João. se quiséssemos representar em linguagem proposicional "Qualquer objeto é igual a si mesmo " e "3 é igual a 3". e o E invertido) e variáveis. e os psicólogos cognitivos têm documentado muitas vieses de raciocínio humano que favorecem o raciocínio incorreto. Seu Futuro é o Nosso Presente! partes menores. "ou". Este é utilizado para isolar questões e desenvolver métodos e resoluções nas mais diversas questões relacionadas à existência e sobrevivência humana. este considerado instrumento puramente teórico e dedutivo. seria razoável querermos concluir que esta 13 . e "nem-ou". o raciocínio pode ser considerado também um dos integrantes dos mecanismos dos processos cognitivos superiores da formação de conceitos e da solução de problemas. descobriu uma maneira de reordenar várias sentenças para tornar sua forma lógica clara. gerou a convicção nos humanos de que a razão unida à imaginação constituem os instrumentos fundamentais para a compreensão do universo. segundo alguns. Ele mostrou como podemos introduzir variáveis e quantificadores para reorganizar sentenças. pode ser removida em favor de um temo sobre o qual você ainda não esteja pressupondo qualquer informação. é sua incapacidade de representar instâncias de um propriedade geral. portanto. aliás. O trabalho de Frege foi um dos que deu início à lógica formal contemporânea. para concluir. Frege expandiu a lógica para incluir palavras como "todos". resumidamente. Foi pelo processo do raciocínio que ocorreu o desenvolvimento do método matemático. tem um caráter racional. "não". Através da aplicação do raciocínio. se por algum processo de dedução chegássemos à conclusão que um indivíduo arbitrário de um universo tem uma certa propriedade. • "Todos os humanos são mortais" se torna "Para todo x. e "nenhum". Inferência logica automática • "Alguns humanos são vegetarianos" se torna "Existe Os sistemas de IA primeiro providenciaram "inferência logica automática". Neste. e então prova que não importa que variável você escolha. mas não podia quebrar sentenças em Raciocínio Lógico Para introduzir um quantificador "todos". Os filósofos que estudam lógica informal compilaram grandes listas deles. a lógica formal não obteve sucesso além do nível da lógica de sentenças: ela podia representar a estrutura de sentenças compostas de outras sentenças. "ou" e "não". sendo parte do pensamento. Uma vez que estes já foram temas de investigação extremamente popular. algum (ao menos um) x tal que x é humano e x é vegetariano".ApostilasBrasil. • métodos para usá-los numa linguagem. se fôssemos usar uma linguagem proposicional para representar "João é pai de Maria e José é pai de João" usaríamos duas letras sentenciais diferentes para expressar idéias semelhantes (por exemplo. Das premissas chegamos a conclusões. que aquilo deve ser sempre verdade. O raciocínio. através de mecanismos de comparações e abstrações. então x é mortal. você assume uma variável arbitrária. o intelecto humano utiliza uma ou mais proposições. sem captar que a segunda frase é uma instância particular da primeira. este processo é a base do racionalismo.com Portanto. "mas". A base de conhecimento (KB) é um conjunto de proposições que representam o que o sistema sabe sobre o mundo. Um quantificador "todos" pode ser removido aplicando-se a sentença para um objeto em particular. quais são os dados que levam às respostas verdadeiras. Lógica De Primeira Ordem A linguagem da lógica proposicional não é adequada para representar relações entre objetos. Da mesma forma. Outro exemplo do limite do poder de expressão da linguagem proposicional. a enciclopédia livre. Inferência incorreta Uma inferência incorreta é conhecida como uma falácia. RACIOCÍNIO Frege adiciona à lógica sentencial: • o vocabulário de quantificadores (o A de pontacabeça. Várias técnicas podem ser utilizadas pelo sistema para estender KB por meio de inferências válidas. falsas ou prováveis. O Raciocínio (ou raciocinar) é uma operação lógica discursiva e mental. usando palavras como "e". O trabalho de um sistema de inferência é a de estender uma base de conhecimento automaticamente. "se e somente se". levaram a aplicações industriais sob a forma de sistemas especialistas e depois "business rule engines". usaríamos letras sentenciais distintas para representar cada uma das frases. • e uma semântica que explica que as variáveis denotam objetos individuais e que os quantificadores têm algo como a força de "todos" ou "alguns" em relação a esse objetos. ."ser homem"). A linguagem de primeira ordem vai captar relações entre indivíduos de um mesmo universo de discurso e a lógica de primeira ordem vai permitir concluir particularizações de uma propriedade geral dos indivíduos de um universo de discurso."Existem números naturais que são pares" por ∃xPar(x). por um número real entre 0 e 1." ARGUMENTO INDUTIVO: a verdade das premissas não basta para assegurar a verdade da conclusão. "Todo aluno do departamento de Ciência da Computação estuda lógica" por∀x(Aluno(x.r. permitem que o argumento possa ter uma análise lógica apropriada para a verificação de sua validade. OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PROPOSICIONAL • VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p. representados. Esta sentença fala de um propriedade (a de ser par) que vale para alguns (pelo menos um dos) indivíduos do universo dos números naturais. a conclusão é também verdadeira. soc para "Sócrates". Seqüências de símbolos tais como suc(0) e suc(suc(suc(0))) são chamadas termos. isto é.lg)). etc. Tais objetos poderão ser representados usando os símbolos ." Premissa : "Está chovendo. formuladas em uma linguagem estruturada. cc para "departamento de Ciência da Computação". Tais técnicas de análise serão tratadas no decorrer deste roteiro." Conclusão: "Ficará nublado. g. Os argumentos estão tradicionalmente divididos em DEDUTIVOS e INDUTIVOS..etc em particular. etc. Premissa : "Todo homem é mortal." As premissas e a conclusão de um argumento. "ser aluno de " relaciona os indivíduos de uma universidade com os seus departamentos. "1" vai ser denotado por suc(0). Exemplos: • 14 A lua é quadrada: p A neve é branca : q CONECTIVOS LÓGICOS: As fórmulas atômicas po- .com propriedade vale para qualquer indivíduo do universo. Raciocínio Lógico ARGUMENTO DEDUTIVO: é válido quando suas premissas. sem identificar os objetos deste universo. "3". "possível". As propriedades "ser aluno de ". Premissa : "É comum após a chuva ficar nublado. falar no número" 0" ou "2" ou "4". Por exemplo podemos representar os números naturais "1". etc através do uso de símbolo de função. por exemplo. Considere agora a sentença "Existem números naturais que são pares"." Conclusão : "João é mortal. Nos exemplos citados podemos usar Estuda e Aluno que são símbolos de relação binária. "3" vai ser denotado por suc(suc(suc(0))). A primeira frase fala de uma propriedade (ser homem) de um indivíduo distinguido ("Sócrates") de um domínio de discurso. no entanto. captando. Jan Łukasiewicz investigou a extensão dos tradicionais valores verdadeiro/falso para incluir um terceiro valor.. As relações unárias expressam propriedades dos indivíduos do universo (por exemplo "ser par". digamos. Considere as sentenças: "Sócrates é homem" "Todo aluno do departamento de Ciência da Computação estuda lógica" O principal objetivo será a investigação da validade de ARGUMENTOS: conjunto de enunciados dos quais um é a CONCLUSÃO e os demais PREMISSAS. sem. . Porém. . se verdadeiras. respectivamente. "2". Considere a sentença "Todo objeto é igual a si mesmo".s. usando uma linguagem proposicional para expressar "um indivíduo arbitrário de um universo tem uma certa propriedade " e "esta propriedade vale para qualquer indivíduo do universo" usaríamos dois símbolos proposicionais distintos e não teríamos como concluir o segundo do primeiro.q. suc. "estuda" relacionam objetos do universo de discurso considerado." Premissa : "João é homem. sendo representada pelo símbolo de igualdade ≈. Fonte: UFRJ Esta sentença fala de uma propriedade (a de ser igual a si mesmo) que vale para todos os indivíduos de um universo de discurso. A segunda frase fala sobre objetos distiguidos "departamento de Ciência da Computação" e "lógica". Para ter tal poder de expressão.cc) →Estuda (x. a partir da constante 0. Assim. "2". ou lógica de vários valores (ou então lógicas polivaluadas. Seu Futuro é o Nosso Presente! - Já vimos como representar objetos do domínio através de constantes. "estuda" relaciona os indivíduos de uma universidade com as matérias. Probabilidade bayesiana pode ser interpretada como um sistema de lógica onde probabilidade é o valor verdade subjetivo..Uma outra maneira de representá-los é atravez do uso de símbolos de função. Lógica De Vários Valores Sistemas que vão além dessas duas distinções (verdadeiro e falso) são conhecidos como lógicas nãoaristotélicas. que vai gerar nomes para os números naturais "1". No início do século 20. Para representar tais relações serão usados símbolos de predicados (ou relações). ou ainda polivalentes). "3". A relação "ser igual a" é tratata de forma especial."Todo mundo é igual a si mesmo " por ∀x x≈x. Lógicas como a lógica difusa foram então desenvolvidas com um número infinito de "graus de verdade". Para expressar propriedades gerais (que valem para todos os indivíduos) ou existenciais (que valem para alguns indivíduos) de um universo são utilizados os quantificadores ∀ (universal) e ∃ (existencial).ApostilasBrasil.. assim como derivar generalizações a partir de fatos que valem para um indivíduo arbitrário do universo de discurso. a idéia de estarem simbolizando as palavras "para qualquer" e "para algum". Estes quantificadores virão sempre seguidos de um símbolo de variável. lg para "lógica"."Sócrates é homem" por Homem(soc).Tais símbolos são chamados de símbolos de constantes. desta forma. a frase "Todo número natural diferente de zero é sucessor de um número natural" pode ser simbolizada por ∀x(¬x≈0 →∃ysuc(y)≈x). para indicar as proposições (fórmulas atômicas) . e. a linguagem de primeira ordem vai usar um arsenal de símbolos mais sofisticado do que o da linguagem proposicional. Desta forma podemos simbolizar as sentenças consideradas nos exemplos da seguinte forma: . por vezes. Toda fórmula atômica é uma fórmula. um paradoxo é "o oposto do que alguém pensa ser a verdade". que fundou o estudo da Semântica Geral. ∨: ou . ela pode estar sujeita a paradoxos. São fórmulas apenas as obtidas por 1. Outro exemplo é o conflito Raciocínio Lógico Proposição Segundo Quine. Quine (1962) distingüe três classes de paradoxos: Os paradoxos verídicos produzem um resultado que parece absurdo embora seja demonstravelmente verdadeiro. : p ∧ q (p e q são chamados conjuntos) • A lua é quadrada ou a neve é branca. por exemplo) e alguns já foram atribuídos ocasionalmente às limitações inerentes da linguagem e dos modelos científicos. ou a uma situação que contradiz a intuição comum. Suponha que tenhamos duas proposições. → : se. Exemplos: 1. : p → q (p é o antecedente e q o conseqüente) • A lua é quadrada se e somente se a neve é branca. filosofia e matemática. resume o conceito simplesmente declarando que. o teorema da impossibilidade de Arrow envolve o comportamento de sistemas de votação que é surpreendente mas.. A etimologia da palavra paradoxo pode ser traçada a textos que remontam à aurora da Renascença. definições circulares e confusão nos níveis de raciocínio. As primeiras formas da palavra tiveram por base a palavra latina paradoxum. 2. Alfred Korzybski.então . 15 . Se A e B são fórmulas então (A ∨ B). Um exemplo comum das limitações da linguagem são algumas formas do verbo "ser". verdadeiro. que quer dizer "contrário a".com dem ser combinadas entre si e. Este processo é conhecido por Composição de Proposições. mas máquinas de moto contínuo não existem. e 2. Compare com ortodoxia e heterodoxo.: ((∼ p) ↔q)) • DEFINIÇÃO DE FÓRMULA : 1.ApostilasBrasil. . além do mais. conjungada com o sufixo nominal doxa. Seu Futuro é o Nosso Presente! entre a injunção contra roubar e o cuidado para com a família que depende do roubo para sobreviver. Outro exemplo é o paradoxo do cavalo. mas está em contradição com um "próximo" armado tentando ativamente matar você: se ele é bem sucedido. "alterado" ou "oposto de". ↔ : se e somente se . Assim. W. Isso pode ser considerado um dilema ético. infinitudes. Com o mesmo conectivo adotaremos a convenção pela direita. uma frase é uma proposição apenas quando admite um dos dois valores lógicos: Falso (F)ou Verdadeiro (V). Frases que são proposições o A lua é o único satélite do planeta terra (V) o A cidade de Salvador é a capital do estado do Amazonas (F) o O numero 712 é ímpar (F) o Raiz quadrada de dois é um número irracional (V) Composição de Proposições É possível construir proposições a partir de proposições já existentes. Exemplo: a fórmula p ∨ q ∧ ∼ r → p → ∼ q deve ser entendida como (((p ∨ q) ∧ (∼ r)) → ( p → (∼ q))) Paradoxo O frasco com auto-fluxo de Robert Boyle preenche a si próprio neste diagrama. A palavra é composta do prefixo para-. um período de acelerado pensamento científico na Europa e Ásia que começou por volta do ano de 1500. : p ∨ q ( p e q são chamados disjuntos) • Se a lua é quadrada então a neve é branca. mas também são encontradas em textos em grego como paradoxon (entretanto.g. auxiliado significativamente o progresso da ciência. 3. muitos comportamentos paradoxais podem ser observados (o princípio da incerteza de Heisenberg. (A ↔ B) e (∼ A) também são fórmulas. que 1 = 2) são exemplos clássicos. (A → B). Em termos simples. Em física quântica. Deve ser notado que muitos paradoxos dependem de uma suposição essencial: que a linguagem (falada. "Ser" não é definido claramente (a área de estudos filosóficos chamada ontologia ainda não produziu um significado concreto) e assim se uma declaração incluir "ser" com um elemento essencial. com a adição das letras "J" e "U"). (A ∧ B). uma declaração que chega a um resultado auto-contraditório aplicando apropriadamente meios aceitáveis de raciocínio. ainda assim. Frases que não são proposições o Pare! o Quer uma xícara de café? o Eu não estou bem certo se esta cor me agrada 2. a admoestação ética para "amar o seu próximo" não apenas contrasta. V. Um paradoxo é uma declaração aparentemente verdadeira que leva a uma contradição lógica. Por exemplo. o paradoxo de Grelling-Nelson aponta problemas genuínos na nossa compreensão das idéias de verdade e descrição. Por exemplo. Da mesma forma. você não será capaz de amá-lo. o Latim é fortemente derivado do alfabeto grego e. visual ou matemática) modela de forma acurada a realidade que descreve. geralmente dependendo de uma divisão por zero despercebida. Na filosofia moral. Exemplos: • Se a lua é quadrada e a neve é branca então a lua não é quadrada. o paradoxo tem um papel central nos debates sobre ética. que quer dizer "opinião". As várias provas inválidas (e. toda proposição é uma frase mas nem toda frase é uma proposição. ∼: não Exemplos: • A lua é quadrada e a neve é branca. Um paradoxo que não pertence a nenhuma das classes acima pode ser uma antinomia. A identificação de um paradoxo baseado em conceitos aparentemente simples e racionais tem. Os paradoxos falsídicos estabelecem um resultado que não somente parece falso como também o é demonstravelmente – há uma falácia da demonstração pretendida. para representar tais combinações usaremos os conectivos lógicos: ∧: e . "O mapa não é o território". o Português é também derivado do Latim romano..: ((p ∧ q) → ∼ p) • A lua não é quadrada se e somente se a neve é branca. parênteses que servem para denotar o "alcance" dos conectivos. o paradoxo do aniversário de Frederic na opereta The Pirates of Penzance estabelece o fato surpreendente de que uma pessoa pode ter mais do que N anos em seu N-ésimo aniversário. : p ↔ q • A lua não é quadrada. Mas atacá-lo preemptivamente ou restringi-lo não é usualmente entendido como algo amoroso.. Tipos de paradoxos Temas comuns em paradoxos incluem auto-referências diretas e indiretas. : ∼p • SÍMBOLOS AUXILIARES: ( ). "Maria tem 23 anos" ou "Maria não é menor" (A ou não(B)) 8. Valores Lógicos das Proposições Chama-se valor lógico de uma proposição a verdade se a proposição é verdadeira e a falsidade se a proposição é Raciocínio Lógico falsa. Se "Maria não tem 23 anos" então "Maria é menor" (não(A) => B) 11. Algumas Leis Fundamentais Lei do Meio Excluido Um proposição é falsa (F) ou verdadeira (V): não há meio termo. valor lógico da proposição: falsidade (F) TIPOS DE PROPOSIÇÃO Simples ou Atômicas . chamadas letras proposicionais. Observação: As proposições compostas são também denominadas fórmulas proposicionais ou apenas fórmulas. Princípios Adotados como Regras Fundamentais do Pensamento..são palavras que se usam para formar novas proposições a partir de outras. "Maria tem 23 anos" e "Maria não é menor" (A e não(B)) 9. isto é "e". "Maria tem 18 anos" é equivalente a "Maria não é menor" (C <=> não(B)) Note que.. Valor Lógico Símbolo de Designação Verdade V Falsidade F Toda proposição tem um e um só dos valores V. uma pessoa é considerada de menor idade caso tenha menos que 18 anos. PROPOSIÇÕES E CONECTIVOS Proposição .toda proposição ou é verdadeira ou é falsa. "Maria não tem 23 anos" e "Maria é menor" (não(A) e B) 6. finalmente. q : Mauro é dedicado OU Pedro é trabalhador.. <=> (equivalência). Exemplo: a) a lua é um satélite da Terra. simultaneamente. Assim. "Maria não é menor"(não(B)) 3. ENTÃO sabe biologia. r . V e F.é a proposição formada pela combinação de duas ou mais proposições. Exemplo: p: Oscar é prudente. b) O sol é amarelo. q. ". São habitualmente designadas por letras maiúsculas P.). As proposições simples são geralmente designadas por letras minúsculas p. que usou-se um símbolo para representar uma proposição: C representa a proposição Maria tem 18 anos. r.. ou (disjunção).. e (conjunção). A = "Maria tem 23 anos" 2. "Maria não tem 23 anos" e "Maria é menor" (não(A) e B) 12. uma vez que B representa Maria é menor. Exemplo: p : Walter é engenheiro E Pedro é estudante. sem conhecer quem fala verdade ou quem fala mentira. "Maria tem 23 anos" ou "Maria é menor" (A ou B) 5.é a proposição que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. Conectivos .com Seu Futuro é o Nosso Presente! 1." VERDADES E MENTIRAS Este item trata de questões em que algumas personagens mentem e outras falam a verdade.. em segui- 16 . Se "Maria tem 23 anos" então "Maria é menor" (A => B) 10.é todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. evidentemente. também denominadas letras proposicionais. o que faz com que a proposição B seja F. então". T: o triângulo ABC é equilátero SE E SOMENTE SE é equilátero.. se e somente se . S: o triângulo ABC é isósceles OU equilátero. q: Mário é engenheiro. "Maria não tem 23 anos" ou "Maria é menor" (não(A) ou B) 7.. r: Maria é morena. c) Brasília é a capital do Brasil. F (de acordo os dois princípios supracitados). Note.. A aprendizagem das soluções de questões desse tipo depende apenas de treinamento. não(B) representa Maria não é menor. para compor proposições usou-se os símbolos não (negação).uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. valor lógico da proposição: verdade (V) b) o sol gira em torno da Terra.. • Princípio do terceiro excluído . Quando interessa destacar que uma proposição composta P é formada pela combinação de proposições simples. "se . na interpretação da proposição A ser V. r : SE Flávio é estudioso ENTÃO será aprovado. Lei da Contradição Uma proposição não pode ser.. "Maria tem 23 anos" e "Maria é menor" (A e B) 4. escreve-se: P ( p. "não". R. isto é. Um dos métodos para resolver questões desse tipo consiste em considerar uma das afirmações verdadeira e. Q.. São os chamados conectivos lógicos. afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados entes. verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro. S . Trata-se de descobrir qual é o fato correto a partir das afirmações que forem feitas por eles. Q: NÃO vai chover. s . também. Exemplo: P: 6 é par E 8 é cubo perfeito. "Maria não tem 23 anos" (nãoA) 2. O valor lógico (V ou F) de uma proposição composta é unicaLei da Funcionalidade mente determinada pelos valores lógicos de suas proposições constituintes. Também não há uma teoria a respeito. isto é. São conectivos usuais em lógica Matemática as palavras que estão grifadas. Observação: Pode ser usada qualquer letra do alfabeto minúsculo para representar uma proposição simples. na Lógica Matemática • Princípio da não contradição . Exemplo: a) o mercúrio é mais pesado que a água. Composta ou Molecular . q..ApostilasBrasil. B = "Maria é menor" Pela legislação corrente de um país fictício. R: SE Mauro é médico. => (implicação) e. Vamos a alguns exemplos: 1. "ou".. Se Maria é mentirosa. Turing. Marcos ou Mara. disse Manuel. Regina. verificar se as demais são ou não consistentes com ela.com da. Edu diz a verdade. Sandra. a esposa de Marcos. segue-se que as esposas de Luís. então um dos dois entrou sem pagar. É Regina. somente um estará dizendo a verdade. pois se Armando mente. o culpado é Tarso. Exemplo 4 . Mário não poderia estar mentido.(CVM 2000 ESAF) . Nesse caso. de acordo com a hipótese somente Mário é o mentiroso. teria sido Maria. cada um deles respondeu: Armando: "Sou inocente" Celso: "Edu é o culpado" Edu: "Tarso é o culpado" Juarez: "Armando disse a verdade" Tarso: "Celso mentiu" Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade. Armando não mente. A única hipótese possível é a segunda. pois a esposa de Marcos é Regina" Marcos: "Nestor e Luís mentiram. Sandra. Seriam então. que queria saber qual deles entrou sem pagar. pela fala de Mário. – “Foi a Mara”.Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando. Hipótese 5: Maria é a mentirosa. nem o Manuel”. Assim. Isto permite afirmar que a opção (d) está correta.(MPU 2004/ESAF) Uma empresa produz andróides de dois tipos: os de tipo V. Maria também diz a verdade. Mas Marcos pagou. Delta e Épsilon –. teria sido Mara. Manuel. sua esposa seria Teresa e não Sandra.ApostilasBrasil. Armando diz a verdade . Perguntados sobre os nomes das respectivas esposas. um dos dois Manuel ou Maria entrou sem pagar. Teresa. nem Maria e nem Manuel teria entrado sem pagar. Teríamos então dois culpados: Armando e Tarso. Ora. pelo menos. Manuel e Maria. A esposa de Marcos é Regina. Como Mário também fala a verdade. Sandra. Perguntados sobre quem era o culpado. Hipótese 1: Marcos é o mentiroso. Pois quando se usa o ou. Gama. os três fizeram as seguintes declarações: Nestor: "Marcos é casado com Teresa" Luís: "Nestor está mentindo. sua esposa deveria ser Tereza. A esposa de Nestor é Sandra. Mas. Pois. Conclusão Marcos fala a verdade. Solução: Temos dois fatos a considerar: 1 – O marido de Teresa disse a verdade. – “Foi o Manuel ou a Maria”. 2 – O marido de Sandra mentiu. seriam dois a entrar sem pagar Mara e Marcos ou Mara e Manuel. Regina. Isto é impossível. A esposa de Luís é Teresa. Resposta: letra (e) Exemplo 2 . Portanto. Mara teria dito a verdade pois. Marcos estando mentindo. disse Mário. Juarez também disse uma verdade. se ele estivesse falando a verdade. da qual se conclui que Mara é a pessoa que não pagou a entrada. Edu é inocente (Celso mente). d) Teresa. duas mentirosas. Apanhados por um funcionário do parque. Mas e se houver outra possibilidade? Devemos então tentar outras hipóteses. Não foi Marcos e nem Manuel. não foi ele (Marcos) e nem o Manuel. Hipótese 3: Manuel é o mentiroso. Celso teria dito uma verdade. Isto é falso. Assim. a resposta é: letra (c). Temos duas pessoas que entraram sem pagar: Maria e MaRaciocínio Lógico Seu Futuro é o Nosso Presente! ra. um especialista em Inteligência Artificial. Letra (d). disse Mara. Como não pode ter sido o Manuel. Marcos pagou. A esposa dele seria a Teresa. b) Sandra. Regina. c) Regina. Hipótese 4: Mara é a mentirosa. Neste caso ele é o culpado. Não teria pago a entrada. Isto contradiz às palavras de Celso. ao serem interpelados: – “Não fui eu. Seria então Mara pois Manuel não seria mentiroso. Tarso também foi verdadeiro. Ele pergunta a Alfa: “Você é do tipo M?” Alfa responde. Portanto. tentando a terceira hipótese. de acordo com a verdade de Marcos. pois o marido de Teresa fala a verdade. disse Maria. Juarez e Tarso. Se Marcos é o mentiroso.(Fiscal Trabalho 98) Três amigos – Luís. A esposa de Marcos é Teresa. Mas segundo Manuel. Maria e Mara. e os de tipo M. Teresa. Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu. Então Maria entrou sem pagar. Marcos e Nestor – são casados com Teresa. – “O Mário está mentindo”. respectivamente: a) Sandra. Hipótese 2: Mário é o mentiroso. Todos os três fazem afirmações sobre a esposa de Marcos. 2ª hipótese: Luís fala a verdade. Portanto: Marcos. pode-se concluir que o culpado é: a) Armando b) Celso c) Edu d) Juarez e) Tarso Vamos considerar que Armando foi quem mentiu. Isto é consistente. pois somente uma pessoa não pagou a entrada. Hipótese que não pode ser aceita pois teriam duas pessoas entrado sem pagar. Isto significa verificar se há ou não contradição nas demais afirmações. Novamente dois mentirosos. que sempre dizem a verdade. Como Marcos fala a verdade. pois. Mas como Manuel deve dizer a verdade (só um mente). A esposa de Nestor será então Sandra. Mas.(Fiscal Trabalho 98 ESAF) . Mario e Maria são os que pagaram a entrada e Mara a que não pagou. como já foi dito. está examinando um grupo de cinco andróides – rotulados de Alfa. fabricados por essa empresa. Estão eliminados Marcos. segundo a afirmação de Marcos que é verdadeiro. não é Sandra e nem Teresa. pois a minha esposa é Sandra" Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que o marido de Teresa disse a verdade. Então Mara não pagou a entrada. 3ª hipótese: Marcos fala a verdade. para determinar quantos entre os cinco são do tipo V. Exemplo 1 . vejamos se existe outra possibilidade. A única hipótese que satisfaz as condições do problema é a de número dois. Como Maria também não seria a mentirosa. outra vez. Então Mara estaria falando mentira. Edu. Temos então: 1ª hipótese: Nestor fala a verdade. disse Marcos. conclui-se logicamente que quem entrou sem pagar foi: a) Mário b) Marcos c) Mara d) Manuel e) Maria Façamos como no item anterior. será verdade desde que um deles seja verdadeiro. Mas como o único a falar a verdade é Nestor. Teresa. O que confirma a veracidade da afirmação de Luís. – “Foi a Mara ou o Marcos”. Nestor não fala a verdade. Passemos agora a considerar Celso o mentiroso. Exemplo 3 . Celso. Beta. que sempre mentem.Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Marcos e Nestor são. O que confirma a resposta. nem Mara nem Marcos teria entrado sem pagar. Regina. Mara entrou sem pagar. mas 17 . Regina e Sandra (não necessariamente nesta ordem). Dr. Portanto. e) Teresa. naquele grupo. cada um pode ser expresso em função do outro e da negação: Origem: Wikipédia. O pronome ele que aparece na última sentença acima. Delta é um mentiroso. Então Alfa é do tipo V. Turing pôde. "Era possível o assassinato de Arnaldo" e "Arnaldo foi possivelmente assassinado" são exemplos que contêm a noção de possibilidade. portanto. Dr. Há mais que três planetas). São então. contingência é o status de proposições que não são necessariamente verdadeiras nem necessariamente falsas. proposições necessariamente falsas ou Contradições. Como Delta disse que Gama está mentindo. comentamos sobre as sentenças abertas.). “você mente”. Nenhum solteiro é casado). que resulta em 4 = 4.. que devem ser falsas. que são sentenças do tipo: a) x + 3 = 10 b) x > 5 c) (x+1)2 – 5 = x2 d) x – y = 20 e) Em 2004 foram registradas 800+z acidentes de trânsito em São Paulo. então. Pois. Tradicionalmente. y. Formalmente. duas maneiras de transformar sentenças abertas em proposições: 1ª) atribuir valor às variáveis. não importa quais são ou poderiam ser as circunstâncias (exemplos: 2 + 2 = 5. não importa quais são ou poderiam ser as circunstâncias (exemplos: 2 + 2 = 4. algumas das quais se sobrepõem: proposições necessariamente verdadeiras ou Tautologias. que devem ser verdadeiras. deve. as seguintes declarações: Beta: “Alfa respondeu que sim”. entretanto. ele é do tipo V e Alfa é do tipo M. Raciocínio Lógico 18 . probabilidade. pod eria. funciona como uma variável. então. distraído. No capítulo um. que não são necessariamente verdadeiras nem necessariamente falsas (exemplos: Há apenas três planetas. tendo. z. Turing. padronização.Geralmente o que se entende por "proposição necessária" é a proposição necessariamente verdadeira.). como probabilidade.com Dr. (2) se Épsilon é do tipo M ele mente. Tais sentenças não são consideradas proposições porque seu valor lógico (V ou F) depende do valor atribuído à variável (x. Nas lógicas modais clássicas. as modalidades mais comuns são possibilidade e necessidade. esta transforma-se na proposição (2+1)2 – 5 = 22. Como a resposta tinha que ser NÃO e Beta disse que alfa respondeu SIM. além do andróide Gama tem mais um andróide do tipo V. poder. Épsilon: “Alfa é do tipo M”. A primeira maneira foi mostrada no capítulo um. a qual se pode atribuir nomes de pessoas. b) 2. Das duas uma: (1) se Épsilon fala a verdade. já que elas podem ser tratadas de maneira similar. Portanto. mas vejamos outros exemplos: Todas as proposições necessariamente verdadeiras e todas as proposições contingentes também são proposições possíveis. Por exemplo. possibilidade. Sendo feita a pergunta. dois andróides do tipo V. proposições contingentes. Como Gama disse Beta está mentindo. etc. a enciclopédia livre. então Gama disse a verdade. um dos dois é do tipo V. Há quatro classes de proposições. Gama: “Beta está mentindo”. cujo valor lógico é F.. que são verdadeiras ou poderiam ter sido verdadeiras sob certas circunstâncias (exemplos: 2 + 2 = 4. Ao atribuir a x o valor 2 na sentença aberta (x+1)2 – 5 = x2. Normalmente os operadores modais básicos unários são (ou L) para Necessário e (ou M) escritos como para Possível. Solução: Vejamos as informações: (1) Os andróides do tipo M sempre mentem. Beta está mentindo. Épsilon disse que Alfa é do tipo M. Resposta: letra (b) Aula 8 . Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa. Uma lógica modal formal representa modalidades usando operadores modais. 2ª) utilizar quantificadores.ApostilasBrasil. não ouve a resposta. aplicado à sentença "Arnaldo foi assassinado". Ao atribuir a x o valor 5 na sentença aberta x + 3 = 10. (2) Os andróides do tipo V sempre falam a verdade. c) 3. Ana é mais alta e é mais baixa que Beto). Isto é Alfa é mentiroso. concluir corretamente que o número de andróides do tipo V. são por extensão também chamadas de lógicas modais. Há mais que três planetas).internet Seu Futuro é o Nosso Presente! LÓGICA MODAL Lógica modal se refere a qualquer sistema de lógica formal que procure lidar com modalidades (tratar de modos quanto a tempo. esta transforma-se na proposição 5 + 3 = 10. d) 4. essa noção é tratada como o operador modal Possível. Lógicas para lidar com outros termos relacionados. proposições possíveis. valor lógico V. f) Ele é o juiz do TRT da 5ª Região. Há.eventualidade. Os andróides restantes fazem.. o mentiroso iria negar dizendo NÃO e o verdadeiro também iria negar dizendo NÃO. Assim. Há apenas três planetas. era igual a a) 1. Delta: “Gama está mentindo”. SENTENÇAS ABERTAS Sentenças Abertas CONTINGÊNCIA Em filosofia e lógica. a resposta só poderia ser uma: NÃO. e) 5. Restam agora Alfa e Épsilon. c) quarta-feira. a) x é ímpar. fala tão baixo que o professor não consegue ouvir sua resposta." . c) Algum animal é selvagem. d) R$ 136. um quantificação. um grampeador. Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido 7) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Considere verpor um ou por mais de um deles. Nesse mês sobraram __________ para as demais despesas. o professor de lógica conclui corretamente que o verdamano é: a) Delta b) Alfa c) Gama d) Beta 4) Três amigos têm o hábito de almoçar em um certo restaurante no período de segunda à sexta-feira e. “cada um”. um relógio e um tinteiro. pelo menos um deles almoça nesse local.Bento: "Não é verdade que vou às quartas ou sextasfeiras. não os dois. é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: b) R$ 146. a quantificação universal é uma formalização da noção de que algumas coisas são verdadeiras para todas as coisas.ApostilasBrasil. então x é par. habitado rímetro será igual a: pelos verdamanos e pelos mentimanos. então as medidas dos c) somente a governanta é culpada segmentos determinados pelo ponto P e os respectivos pond) somente o mordomo é culpado tos de tangência serão iguais. o professor deparase com um grupo de cinco habitantes locais. Beta. d) y é par. ou para todas as coisas relevantes. mas não sabe qual deles o é. pelo me. "pelo menos um". B) ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada. Logo: a) o cozinheiro e o mordomo são os culpados 8) Se de um ponto P qualquer forem traçados dois segmenb) somente o cozinheiro é inocente tos tangentes a uma circunferência. vaso.00 b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. d) terça-feira. então y é ímpar. Se a 3) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Um professor de hipotenusa desse triângulo for igual a 20 cm. quartas ou quintas-feiras. b) Cada um dos alunos participará da excursão.O violino não é o primeiro objeto e o relógio não é o último.00 alto. Na lógica de predicados. b) Terceira posição. O que os distingue é Raciocínio Lógico 19 . 1) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) De seu salário c) Quarta posição. Certo dia. em cada um destes dias. que: base na declaração. e) Existe uma pessoa que é poliglota. 1/6 com a d) Quinta posição. então. umel emento do domínio.O grampeador está entre o tinteiro e o relógio. c) y é ímpar. a governanta e o mordomo.com A seguir. enquanto os mentimanos sempre mentem. Conhecemos as seguintes informações quanto à ordem dos objetos: Na lógica de predicados. então seu pelógica encontra-se em viajem em um país distante. nos. então Alberto é alto. a predicação de uma propriedade ou relação para. d) Pelo menos um professor não é rico. mas b) x é ímpar. então o dia da semana em que os três costumam almoçar nesse restaurante é: a) sexta-feira. então y é par.O vaso está separado do relógio por dois outros objetos. veremos a transformação de uma sentença aberta numa proposição por meio de quantificadores. Expressões como “todo”.Carlos: "Não é verdade que vou às segundas ou terçasfeiras. então y é ímpar”. a cada um do grupo quem entre eles é verdamano e obtém as seguintes respostas: Alfa: "Beta é mentimano" Beta: "Gama é mentimano" Gama: "Delta é verdamano" Delta: "Épsilon é verdamano" Épsilon. se: A) se o cozinheiro é inocente." . O resultado é uma afirmação universalmente quantificada.00 a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. então a governanta é culpada. então x é ímpar. Há fundamentalmente dois tipos de quantificadores: Universal e Existencial. c) R$ 156. QUESTÕES RACIOCÍNIO LÓGICO Qual é a posição do violino? a) Segunda posição. informalmente lido como "para todo". Sabe-se. “existe”. de R$ 408. d) se Pedro não é pobre. São quantificadores: outro(s) pouco(s) quantos tanto(s) qualquer / quaisquer certo(s) todo(s) ambos algum / alguns vário(s) / vária(s) Seu Futuro é o Nosso Presente! que os verdamanos sempre dizem a verdade. “nenhum” são quantificadores. 6) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é a) R$ 166. ainda. farmácia e 1/6 com material escolar dos filhos. o quantificador universal (usu5) (QUESTÕES DEoRACIOCÍNIO LÓGICO) Há cinco objetos almente ∀) universo é o símde bolo usado para denotar alinhados numa estante: um violino." Se somente um deles está mentindo. Mesmo assim. Chamemo-los de Alfa. b) quinta-feira. O professor sabe que um e apenas um no grupo é verdamano. 2) Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro. é correto concluir que. C) o mordomo não é inocente. Consultados sobre tal hábito. um quantificador existencial é . Em símbolos lógicos. Quantificadores Consideremos as afirmações: a) Todo sangue é vermelho. "algum". Delta e Épsilon. eles fizeram as seguintes afirmações: . . Com individualmente ou não.00 você gastou 2/6 com alimentação. Pergunta. afônico. Sabe-se que o raio de um círculo inscrito em um triângulo retângulo mede 1 cm. Gama.Antônio: "Não é verdade que vou às terças. já que podem ter agido dadeira a declaração: “Se x é par.00 c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. f) Nenhum crime é perfeito. vermelha e amarela. c) 100 gramas.diz o homem alto. O fotógrafo pediu para que elas se posicionassem lado a lado da seguinte maneira: . c) a porta Leste necessariamente leva ao Paraíso. b) Não é possível que algum fato não tenha ato gerador. a outra ao Inferno. amarela. 13) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Marcos que pesar três maçãs numa balança de dois pratos. As irmãs se posicionaram conforme as orientações de Flávio. 20) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Cinco moças. Sabe-se que as moças que vestem blusas vermelhas sempre contam a verdade e as que vestem blusas amarelas sempre mentem. uma que fica a Leste e outra a Oeste.Ilda não deveria ficar imediatamente ao lado de Isabela. b) A lotérica fica entre a padaria e o supermercado. c) É necessário que algum fato não tenha ato gerador. A esse respeito. Denise diz que Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferentes. todos do mesmo lado da rua. estão vestindo blusas vermelhas ou amarelas. mas não se pode dizer se o homem alto disse a verdade ou não. b) Lucas não acorda cedo. Beatriz.0 Kg b) 9. Qual será a diferença entre as idades quando Roberto Carlos tiver o dobro da idade de Carlos Roberto? a) 15 anos.do ponto de vista do fotógrafo. Observando o equilíbrio na balança. amarela e amarela. 14) Se João toca piano. b) o homem alto necessariamente disse a verdade e a porta Leste leva ao Inferno.Isabela não deveria ficar imediatamente ao lado de Isadora. c) Se A + B é par. Logo: a) Caio e Beto são inocentes b) André e Caio são inocentes c) André e Beto são inocentes d) Caio e Dênis são culpados 12) Qual das alternativas a seguir melhor representa a afirmação: “Para todo fato é necessário um ato gerador”? a) É possível que algum fato não tenha ato gerador. Eduarda diz que Ana veste blusa vermelha. vermelha. Carolina. assinale a afirmativa FALSA. d) Não é necessário que todo fato tenha um ato gerador. Beatriz diz que Carolina veste blusa amarela.0 Kg c) 8. o homem baixo diria que é a saída do Leste que levaria ao Paraíso .1 Kg 18) A negação de "Se A é par e B é ímpar. Um dos homens apenas fala a verdade. vermelha. mas não se pode dizer se o homem alto disse a verdade ou não. Ana. d) A é par. d) amarela. c) vermelha. . d) 50 gramas. amarela. Se Beto é inocente. Dênis é culpado. Por fim. Desse modo.8 Kg. Denise e Eduarda são. . a diferença entre as idades de Roberto Carlos e Carlos Roberto é de 15 anos. Uma das saídas leva ao Paraíso. pelo menos uma irmã deveria estar entre Ilda e Isabela. também há dois homens. as cores das blusas de Ana. Então. qual das proposições abaixo é verdadeira? a) O supermercado fica entre a padaria e a lotérica.ApostilasBrasil. b) Ilda não está entre duas irmãs. d) 20 anos. então A é ímpar ou B é par. Ilma. Por fim. b) 30 anos.Sim. o outro apenas diz o falso. Isabela e Isadora iriam ser fotografadas juntas por Flávio. Considerando essa situação. 16) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) As irmãs Ilda.questiona Alice. . c) Ilma não está entre duas irmãs. vermelha. d) A farmácia fica entre o supermercado e a padaria.O homem baixo diria que é a saída do Leste que leva ao Paraíso? . passa-se em frente ao restaurante. d) Ilma está imediatamente ao lado de Ilda. respectivamente: a) amarela. b) 150 gramas.0 Kg d) 1. Alice mantém o seguinte diálogo com um deles: . o bloco e a maçã menor pesam tanto quanto as outras duas maçãs. Ora. 0 m de óleo tem a massa de 28. b) Se A é par e B é ímpar. 15) Alice entra em uma sala onde há apenas duas saídas. amarela. Ilda deveria estar mais à direita do que Isabela. então A + B é par. mas a porta Leste leva ao Paraíso. amarela e amarela. Na sala. c) 45 anos. 17) Se 0. então Lucas acorda cedo e Cristina não consegue estudar. por sua vez. então A + B é ímpar" é: a) Se A é ímpar e B é par. a padaria fica entre o supermercado e a lotérica e o supermercado fica entre o restaurante e a farmácia. Beatriz. pelo menos uma irmã deveria estar entre Isabela e Isadora. B é ímpar e A + B é par. 20 . ele percebe que a maçã maior tem o mesmo peso que as outras duas maçãs.Isadora não deveria ficar entre duas irmãs. pode-se afirmar que: Raciocínio Lógico Seu Futuro é o Nosso Presente! a) o homem alto necessariamente disse algo falso. na foto. Segue-se logicamente que: a) Lucas acorda cedo. a maçã maior junto com a menor pesam tanto quanto o bloco. c) Para ir do supermercado à lotérica. Assim. a) f[f(x)] = avô paterno de x b) g[g(x)] = avó materna de x c) f[g(x)] = avô materno de x d) f[g(x)] = g[f(x)] 10) Numa avenida reta há cinco pontos comerciais. Mas Cristina consegue estudar. é possível ver que: a) Isabela está entre duas irmãs. diz que Denise veste blusa amarela. . a fotografia foi batida e revelada com sucesso. sejam f(x) o pai de x e g(x) a mãe de x. amarela. então A + B é par. 11) André é inocente ou Beto é inocente. Qual é o peso total das três maçãs? a) 300 gramas. c) João toca piano.com a) 40 cm b) 35 cm c) 23 cm d) 42 cm 9) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Para cada pessoa x. 19) Hoje. d) João não toca piano. mas ele dispões apenas de um bloco de 200 gramas. isto é. Carolina. Caio é inocente se e somente se Dênis é culpado. Ana diz que Beatriz veste blusa vermelha. Carolina. isto é. Denise e Eduarda.036³ . b) vermelha. então Caio é culpado. podemos concluir que 1 litro desse mesmo óleo tem a massa no valor de: a) 4. d) a porta Leste necessariamente leva ao Inferno. amarela e amarela. um alto e outro baixo. vermelha. Nessas condições. A farmácia fica entre a padaria e o restaurante. B 12. a) f[f(x)] = avô paterno de x b) g[g(x)] = avó materna de x c) f[g(x)] = avô materno de x d) f[g(x)] = g[f(x)] Gabarito 1. c) 28. d) Nenhuma mulher é deselegante. Diferentemente.B 19. e a mãe de Marcos não é gaúcha". mas não depende da estrutura interna das sentenças. A forma lógica de (1) deixa isso claro: (1a) Se A. d) 21. b) Todas as mulheres são deselegantes.70 b) R$ 1. Uma pessoa que está doente tem que tomar três colheres de sopa de um remédio por dia. A forma lógica de (2) é a seguinte: (2a) Todo A é B. A lógica sentencial estuda argumentos que não dependem da estrutura interna das sentenças.D 11.D 2.B 6.C 18. b) "O pai de Marcos não é pernambucano. de modo que fique ao menos uma cadeira vazia entre eles. ou a mãe de Marcos é gaúcha".ApostilasBrasil.D 25.D 29. entretanto. 30) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Para cada pessoa x.A 14.25 m de lado.A 30.D 17. a lógica de predicados estuda argumentos cuja validade depende da estrutura interna das sentenças. Logo. sejam f(x) o pai de x e g(x) a mãe de x. então Pedro é pedreiro c) se Pedro não é pedreiro. algum B é A.D 4. Por exemplo: (1) Se Deus existe.D 16. então B. A esse respeito. Logo.B 23.5 m o serralheiro separou 2/6 dela para cortar quadrados que medem 0. A segunda.D 21. Logo.D Postado por cleiton silva LÓGICA SENTENCIAL E DE PRIMEIRA ORDEM Elementos de Lógica sentencial 1.A 22. Logo.318. assinale a afirmativa FALSA.D 9.D 15. Por exemplo: (2) Todos os cariocas são brasileiros. c) Urubu. A primeira premissa do argumento (2) diz que o conjunto dos indivíduos que são cariocas está contido no conjunto dos brasileiros. 27) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Pedro e Paulo estão em uma sala que possui 10 cadeiras dispostas em uma fila.B 26.C 27.D 20. A. B.70 24) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) De uma chapa que mede 2 m por 1. e a mãe de Marcos é gaúcha" é: a) "O pai de Marcos não é pernambucano. diz que ‘dentro’ do conjunto dos cariocas. Algum A é C. O número de diferentes formas pelas quais Pedro e Paulo podem escolher seus lugares para sentar. No final de uma semana. e a mãe de Marcos não é gaúcha".B 5.D 8. o mesmo que dizer que: a) se Pedro é pedreiro. que as sentenças ‘todos os cariocas são brasileiros’ e ‘alguns cariocas são flamenguistas’ têm uma 21 . b) 56. ou a mãe de Marcos não é gaúcha".D 10.B 13.50.Pá .A 3. Essa conclusão se segue das premissas. d) Café. Com esse pedaço de chapa ele cortou exatamente: a) 12 quadrados b) 10 quadrados c) 20 quadrados d) 16 quadrados 25) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Esta sequência de palavras segue uma lógica: .B 28. há alguns indivíduos que são flamenguistas. Deus existe.com 21) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é.087. c) "O pai de Marcos não é pernambucano. a quantidade de colheres de chá desse remédio que ela terá tomado é de: a) 63.Japeri Uma quarta palavra que daria continuidade lógica à sequência poderia ser: a) Casa.A 7.Xale . então Paulo é paulista b) se Paulo é paulista. A validade do argumento (1) depende do modo pelo qual as sentenças são conectadas. Note. A diferença entre a lógica sentencial e a lógica de predicados A lógica divide-se em lógica sentencial e lógica de predicados.329.70 c) R$ 976.A 24. então Paulo é paulista d) se Pedro é pedreiro. c) Algumas mulheres são deselegantes. Alguns cariocas são flamenguistas. então a felicidade eterna é possível. é igual a: a) 80 b) 72 c) 90 d) 18 28) MMMNVVNM está para 936 assim como MMNNVMNV está para: a) 369 b) 693 c) 963 d) 639 Raciocínio Lógico Seu Futuro é o Nosso Presente! 29) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Uma colher de sopa corresponde a três colheres de chá. b) Anseio. do ponto de vista lógico. d) "O pai de Marcos é pernambucano.70 d) R$ 1. alguns brasileiros são flamenguistas. pois esses flamenguistas que são cariocas serão também brasileiros. O valor real (inicial) do serviço é de: a) R$ 1. 26) A negação da sentença “Todas as mulheres são elegantes” está na alternativa: a) Nenhuma mulher é elegante. a felicidade eterna é possível. É fácil concluir então que existem alguns brasileiros que são flamenguistas. 23) Em um orçamento foram acrescidos juros no valor de R$ 73.80 a fim de que o mesmo pudesse ser financiado em 5 prestações de R$ 278. então Paulo não é paulista 22) A negação lógica da proposição "O pai de Marcos é pernambucano. que é equivalente à própria sentença (5). ‘Lula’. ou. Sentenças atômicas não contêm nenhum dos operadores lógicos e. 5. Quando x =1. a negação predicativa é equivalente à negação sentencial. 4. y =4. e assim por diante. Uma sentença verdadeira. uma única sentença. um predicado que.. diferentemente de x é brasileiro. (2c) x é mãe de y. 3. e não apenas o modo pelo qual sentenças são conectadas umas às outras. algum e nenhum. e vice-versa. que correspondem a três predicados diferentes que podem ser formados a partir de (2): (2a) x é mãe de Sasha.ApostilasBrasil. não dirija. nenhum. y =2. Já para analisar o argumento (2) precisamos analisar a estrutura interna das sentenças. estudaremos elementos da lógica de predicados. Uma sentença atômica é uma sentença formada por um predicado com um ou mais espaços vazios. Na próxima unidade. is to é . Note que negar duas vezes uma sentença equivale a afirmar a própria sentença. se. quando negada. Considere-se a seguinte função matemática: (4) y =x + 1. No lado esquerdo da tabela de verdade temos as sentenças a partir das quais a sentença composta foi formada – no caso da negação.. e a negação de (9). nem os quantificadores todo. A sentença (1) é composta por um nome próprio. A negação de (5) Lula é brasileiro é (9) Lula não é brasileiro.com estrutura diferente da sentença ‘se Deus existe. Aqui. usamos uma variável para marcar o(s) lugar(es) em que podemos completar um predicado. se. Considere a sentença verdadeira (5) Lula é brasileiro. A tabela de verdade da negação de uma sentença Aé A não A VF FV A negação simplesmente troca o valor de verdade da sentença. A lógica sentencial interpreta esses operadores como funções de verdade ou vero-funcionalmente. A negação em (9) é denominada negação predicativa. A sentença (2) pode ser analisada de três maneiras diferentes. Isso significa que eles operam apenas com os valores de verdade dos seus operandos. o que s g inifica que o valor de y depende do valor atribuído a x. é brasileiro’. x =2. o valor de verdade de uma sentença formada com um dos operadores é determinado somente pelos valores de verdade das sentenças que a constituem. y =3. Esta última é formada a partir de duas outras sentenças ‘Deus existe’ e ‘a felicidade eterna é possível’. É por esse motivo que a validade de um argumento como o (2) depende da estrutura interna das sentenças.. Considere-se a sentença (11) João foi à praia e Pedro foi ao futebol. Os operadores sentenciais se comportam de uma maneira análoga às funções matemáticas. As sentenças (6) Não é o caso que Lula é brasileiro. ou em outras palavras. Considere agora a sentença (2) Xuxa é mãe de Sasha.então. As sentenças (1) e (2) acima são denominadas sentenças atômicas. (12) João foi à praia e 22 . conectadas pelo operador lógico se. A sentença (1) é composta por duas sentenças.. ou. se... Dizemos que y =f(x). deve completado por dois nomes próprios para formar uma sentença.. é a negação da negação de (5). Exemplos de sentenças moleculares são (3) Lula é brasileiro e Zidane é francês. podemos também negar (5) por meio da sentença (9) Lula não é brasileiro. pois nega o predicado. isto é. 2. ‘. e um predicado. A interpretação vero-funcional dos operadores sentenciais Os operadores sentenciais que estudaremos aqui são as partículas do português não. Sentenças atômicas e moleculares Considere-se a sentença (1) Lula é brasileiro. produz uma sentença falsa. mas veremos que isso não ocorre com sentenças moleculares e sentenças com quantificadores. e.. Nesta unidade vamos estudar alguns elementos da lógica sentencial. expressões do tipo x é brasileiro designam predicados. As letras V e F representam os valores de verdade verdadeiro e falso. (5) João vai à praia ou vai ao clube. e seguiremos esse caminho aqui. A diferença entre a lógica sentencial e a lógica de predicados ficará mais clara no decorrer desta e da próxima unidade. sendo todos os espaços vazios completados por nomes próprios. Analogamente a uma função matemática. O que caracteriza a lógica de predicados é o uso dos quantificadores todo.então etc. Os operadores sentenciais são funções porque recebem valores de verdade como argumentos e produzem valores de verdade. a felicidade eterna é possível’. Usualmente o estudo da lógica começa pela lógica sentencial. uma função de verdade recebe valores de verdade como argumentos e produz valores de verdade como valores. algum etc.então. Sentenças moleculares são sentenças formadas com o auxílio dos operadores sentenciais. Há diferentes maneiras de negar uma sentença atômica em português. (10) Não é o caso que Lula não é brasileiro. As chamadas tabelas de verdade mostram como os operadores da lógica sentencial funcionam. para evitar o uso de ‘.. No caso de sentenças atômicas. Do ponto de vista lógico. (2b) Xuxa é mãe de x. ‘ y é funçã o de x’ . O valor produzido pela função de verdade está na coluna da direita. (4) Se você beber.. Estas recebem números Raciocínio Lógico Seu Futuro é o Nosso Presente! como argumentos e produzem números como valores. a negação. A conjunção Uma sentença do tipo A e B é denominada uma conjunção. e somente se. x = 3. (7) Não é verdade que Lula é brasileiro e (8) É falso que Lula é brasileiro são diferentes maneiras de negar (5).’.. em (2c) temos o que é chamado de um predicado binário. Como (5) é uma sentença atômica. A negação Comecemos pelo operador sentencial mais simples. Em lógica. ao passo que em (6) há uma negação sentencial porque toda a sentença é negada. a inclusiva e a exclusiva. Em (23) dizemos que A é o antecedente do argumento. a disjunção inclusiva admite a possibilidade de A e B serem simultaneamente verdadeiras. A disjunção Uma sentença do tipo A ou B é denominada uma disjunção. geralmente usamos se. Em (24). Parece estranho que uma condicional seja verdadeira sempre que o antecedente é falso.então como uma função de verdade. então B. nem de B. Analisada vero-funcionalmente. vimos que a interpretação vero-funcional do operador sentencial e não corresponde exatamente ao uso que dela fazemos na linguagem natural. vel para a disjunção inclusiva e aut para a exclusiva. 7. A sentença (15) Maria e Pedro tiveram um filho e casaram não é equivalente a (16) Maria e Pedro casaram e tiveram um filho. isto é. uma sentença A ou B é verdadeira quando uma das sentenças A e B é verdadeira ou quando são ambas verdadeiras.. O ou da sentença (20). Há dois tipos de disjunção. Na linguagem natural. Isso vale tanto para o ou inclusivo quanto para o exclusivo. é importante deixar clara a diferença entre um argumento (23) A. nada se diz acerca da verdade de A. Isso não ocorre na interpretação do se. Na lógica simbólica. (22) o PP receberá o ministério da saúde. Assim como ocorre com a conjunção. Note que apesar de uma condicional e um argumento serem coisas diferentes usamos uma terminologia similar para falar de ambos.então. A tabela de verdade da condicional material é a seguinte: A B se A. a possibilidade de serem ambas as sentenças verdadeiras. Posto que há somente um ministro da saúde. A tabela de verdade de uma conjunção A e B é a seguinte: ABAeB VVV VFF FVF FFF Note que. isto é. B também será verdadeira. A é denominado o antecedente e B o conseqüente da condicional. 23 . A tabela de verdade da disjunção inclusiva é a seguinte: A B A ou B VVV VFV FVV FFF No sentido inclusivo do ou. No português isso não ocorre. logo B e uma condicional (24) se A. Note que o que vem depois do ‘logo’ é afirmado como verdadeiro e é a conclusão do argumento. uma sentença A ou B é verdadeira apenas em duas situações: (i) A é verdadeira e B é falsa. na interpretação vero-funcional da conjunção. que é formada pela sentenças (18) João vai à praia e (19) João vai ao clube combinadas pelo operador ou. Quando se diz que um determinado partido receberá um ministério. É fácil perceber que (11) é verdadeira somente em uma situação: quando (12) e (13) são ambas verdadeiras. são usados símbolos diferentes para designar o ou inclusivo e o exclusivo. (ii) B é verdadeira e A e falsa. queremos dizer que A é uma causa ou uma explicação de B. Não faz diferença alguma afirmarmos (11) ou (14) Pedro foi ao futebol e João foi à praia. No sentido exclusivo do ou.. o valor de verdade de (11) depende apenas dos valores de verdade das sentenças (12) e (13). o e que ocorre em (15) e (16) não é uma função de verdade. Isso ocorre de modo até mais acentuado com o operador se. então B. isso significa que um membro de tal partido será nomeado ministro. A e B é equivalente a B e A. Quando analisamos a conjunção. sentenças A ou B e B ou A são equivalentes. e B é o conseqüente da condicional. portanto. na disjunção exclusiva.então para expressar uma relação entre os conteúdos de A e B. É importante observar que a interpretação vero-funcional da conjunção não expressa todos os usos da partícula e em português. Já em (24). (24) diz apenas que se A é verdadeira.com (13) Pedro foi ao futebol conectadas pelo operador lógico e. dizemos que A é o antecedente da condicional.. Começarei pela disjunção inclusiva. Da mesma forma que analisamos o e e o ou como funções de verdade. Em (23) a verdade tanto de A quanto de B é afirmada. não é possível que (21) e (22) sejam simultaneamente verdadeiras. faremos o mesmo com a condicional.ApostilasBrasil. (ii) João vai à praia mas não vai ao clube e (iii) João não vai à praia mas vai ao clube. Considere-se a sentença (17) Ou João vai à praia ou João vai ao clube. 6. há duas palavras diferentes. mas veremos que isso é menos estranho do que parece. Não há. A terceira e a quarta linhas da tabela de verdade da condicional material costumam causar problemas para estudantes iniciantes de lógica. A condicional Uma condicional é uma sentença da forma se A. a condicional é denominada condicional material. Na maioria das vezes é apenas o contexto que deixa claro se se trata de uma disjunção inclusiva ou exclusiva. é exclusivo... então B VVV VFF FVV FFV Uma condicional material é falsa apenas em um caso: quando o antecedente é verdadeiro e o conseqüente falso. A sentença (17) é verdadeira em três situações: (i) João vai à praia e também vai ao clube. A tabela de verdade da disjunção exclusiva é A B A ou B VVF VFV FVV FFF Um exemplo de disjunção exnclusiva é (20) Ou o PMDB ou o PP receberá o ministério da saúde. e B é o conseqüente do argumento. Raciocínio Lógico Seu Futuro é o Nosso Presente! que é formada a partir das sentenças: (21) o PMDB receberá o ministério da saúde. Ambas tomam dois valores de verdade como argumentos e produzem um valor de verdade como resultado. Na interpretação verofuncional do operador e. No latim. Em outras palavras. Em primeiro lugar.. é verdadeira nas mesmas circunstâncias em que (35) é verdadeira. O problema é que. (b) Victor é paulista. (30) é falsa. que tornaria a condicional falsa. Considere a condicional (28) Se Pedro não jogar na loteria. mas ainda assim faz um mau governo. Variantes da condicional material Partindo de uma condicional (31) Se A. (c) Victor é francês. O antecedente de (25) é (26) Victor é carioca e o conseqüente é (27) Victor é brasileiro. Considere as sentenças: (35) Se João é carioca. isto é. basta afirmar a(s) linha(s) da tabela de verdade em que a sentença é falsa. Raciocínio Lógico 9. então fará um bom governo. Descartada a terceira linha. em que o antecedente é verdadeiro e o conseqüente falso. Se A. Note que toda condicional material com antecedente falso será verdadeira. (37) Se João não é brasileiro. então B é falsa. a sentença (25) é verdadeira. Fica como exercício para o leitor a construção da tabela de verdade de (28).. então não A são equivalentes. Suponha agora que Victor é paulista. então não B e sua contrapositiva (34) Se não B. Nesse caso. corresponde exatamente ao caso em que. Temos nesse caso a terceira linha da tabela de verdade da condicional. Note que a condicional (25) continua sendo verdadeira mesmo que Victor seja paulista.mas elas serão vistas com mais atenção na seção sobre condições necessárias e suficientes. por que uma condicional é verdadeira quando o antecedente é falso. Mas pode ser também intuitivamente percebido. coisas como (29) se 2 + 2 = 5. mas o conseqüente (27) Victor é brasileiro é verdadeiro. caso A As expressões abaixo também são equivalentes a se A. sendo a condicional material uma função de verdade. Negações Agora nós vamos aprender a negar sentenças construídas com os operadores sentenciais... se A Caso A. que Lula obtém o apoio do PMDB durante todo o seu mandato. que correspondem às seguintes situações: (a) Victor é carioca. Isto é. Suponha que Victor é carioca. Negar uma sentença é o mesmo afirmar que a sentença é falsa. Por quê? Porque é impossível (em uma situação normal) o antecedente ser verdadeiro e o conseqüente falso. suponha que Victor é francês.com Suponha que você não conhece Victor. (32) Se B. ainda há três possibilidades. Essa é uma condicional verdadeira. então Victor é brasileiro. Isso pode ser constatado pela construção da tabela de verdade. Até aqui não há problema algum. B B. então B: A. uma condicional se A. pois sabemos que todo carioca é brasileiro. Temos a primeira linha da tabela de verdade. Temos aqui a quarta linha da tabela de verdade da condicional material. todas equivalentes. então B e sua contrapositiva se não B. não ganhará o prêmio. A sentença (25) é verdadeira. Por fim. o antecedente e o conseqüente da condicional são verdadeiros. a segunda linha da tabela de verdade. Seu Futuro é o Nosso Presente! Em (30). na linguagem natural. por que ela é útil para o estudo de argumentos construídos com a linguagem natural? A resposta é muito simples. esse é um resultado contra-intuitivo. Vimos que A e B e B e A. 8. Considere-se a sentença (30) Se Lula conseguir o apoio do PMDB. Nesse caso. ou e se. não é carioca. Nesse caso. Abaixo. assim como A ou B e B ou A são equivalentes.então em português e. Uma condicional se A. Há dois pontos importantes sobre as sentenças acima que precisam ser observados. então não A. se A. então A sua inversa (33) Se não A. no uso corrente da linguagem. é impossível que alguém simultaneamente seja carioca e não seja brasileiro. B B. então B e se B então A NÃO SÃO EQUIVALENTES!!! Isso pode ser constatado facilmente pela construção das respectivas tabelas de verdade. não é possível Pedro não jogar e ganhar na loteria. A A é condição suficiente para B B é condição necessária para A. Mas cabe perguntar: se a condicional material de fato não expressa todos os usos do se. Por esse motivo. tanto (26) Victor é carioca quanto (27) Victor é brasileiro são falsas. o antecedente da condicional (26) Victor é carioca é falso. Por esse motivo.então.. Isso ficará mais claro na seção sobre condições necessárias e suficientes. 24 . Em outras palavras. Enquanto a sentença (35) é verdadeira. somente se B Somente se B. Mas note que a contrapositiva de (35). Suponha. então a Lua é de queijo são verdadeiras. pois João pode perfeitamente ser brasileiro sem ser carioca. que fica como exercício para o leitor.ApostilasBrasil. Mas. mas sabe que Victor é um parente do seu vizinho que acabou de chegar da França. entretanto. Vejamos outro exemplo. quando o antecedente é falso. Mas no uso corrente da linguagem normalmente não formulamos condicionais com o antecedente falso. Há um suposto nexo explicativo e causal entre o antecedente e o conseqüente. então B podemos construir sua conversa. uma sentença se A. para negar uma sentença construída com os operadores sentenciais e. o ponto é que Lula fará um bom governo porque tem o apoio do PMDB. João é carioca. que fica como um exercício para o leitor. produz resultados contra-intuitivos como a sentença (29). Agora considere a sentença: (25) Se Victor é carioca. a terceira linha da tabela de verdade. Entretanto. Nesse caso. em casos como (25) e (28) acima. então B. Você não sabe mais nada sobre Victor. é evidente que (36) pode ser falsa. enquanto (37) enfatiza que ser brasileiro é condição necessária para ser carioca. A diferença entre (35) e (37) é que (35) enfatiza que ser carioca é condição suficiente para ser brasileiro. além disso. O caso em que a condicional material é falsa. você encontra diferentes maneiras de expressar. João é brasileiro e (36) Se João é brasileiro. nunca ocorre. Sem dúvida. Não é difícil perceber. ainda assim. Sendo p a proposição Roberto fala inglês e q a proposição Ricardo fala italiano traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições: Raciocínio Lógico Seu Futuro é o Nosso Presente! a) Roberto fala inglês e Ricardo fala italiano. d) existe um e um só gato pardo. c) o gato não mia ou o rato não chia. Exemplos de negações de conjunções: (6) O PMDB receberá o ministério da saúde e o ministério da cultura. nem o PP receberá o ministério da cultura. Fonte: http://abilioazambuja.br/1d. portanto.90m. 3 = 5) d) (2 = 3) ou (2 . a disjunção (inclusiva). a única necessariamente verdadeira é: a) pelo menos uma delas tem altura superior a 1. e) pelo menos uma delas nasceu em janeiro ou fevereiro. 3 = 5) c) (2 = 3) e (2 . 03. uma disjunção A ou B é falsa no caso em que tanto A quanto B são falsas.a. Negação da disjunção Comecemos pelos caso mais simples. c) Paulo é paulista ou Ronaldo é carioca. traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: a) ~q b) p ^ q c) p v q d) p " q e) p " (~q) 02. Na linguagem natural. a) Paulo não é paulista. nem comprou uma moto. A negação de A e B. (VUNESP) Um jantar reúne 13 pessoas de uma mesma família. (ABC) A negação de todos os gatos são pardos é: a) nenhum gato é pardo. 08. c) Se Ricardo fala italiano então Roberto fala inglês.sites. freqüentemente formulamos a negação de uma disjunção com a expressão nem. É fácil perceber que basta uma das sentenças ligadas pelo e ser falsa para a conjunção ser falsa. Pode-se concluir que: a) se A 2 antão B 5 b) se A = 5 então B = 2 c) se B 5 então A 2 d) se A = 2 então B = 2 e) se A = 5 então B 2 10. não A e não B. 3 = 5) b) (2 = 2) => (2 .. 25 . (UFB) Se p é uma proposição verdadeira. d) pelo menos uma delas nasceu num dia par. d) Roberto não fala inglês e Ricardo não fala italiano. qualquer que seja q e) n. A negação de (4) é: (5) Nem o PMDB receberá o ministério da saúde. 09. e) Se Paulo é paulista então Ronaldo não é carioca. (1) João comprou um carro ou uma moto. A negação de (6) é (6a) Ou PMDB não receberá o ministério da saúde. Nem A. A e B é falsa quando: (i) A é falsa. (ii) B é falsa ou (iii) A e B são ambas falsas. 3 = 5) e) (2 = 3) e (~ ( 2= 2)) 06. e) o gato chia e o rato mia. qualquer que seja q. d) o gato e o rato não chiam nem miam. Negação da conjunção Por um raciocínio análogo ao utilizado na negação da disjunção. (ABC) Se A negação de o gato mia e o rato chia é: a) o gato não mia e o rato não chia. Como vimos. d) Se Paulo é paulista então Ronaldo é carioca.. DISJUNÇÃO NEGAÇÃO A ou B não A e não B A ou não B não A ou B não A ou não B 9b. e) nenhum gato não é pardo. Duas grandezas A e B são tais que "se A = 2 então B = 5". Exercício: complete a coluna da direita da tabela abaixo com a negação das sentenças do lado esquerdo. Fica como exercício para o leitor a construção das tabelas de verdade de A e B e não A ou não B para constatar que são idênticas.pdf QUESTÕES I 01. referentes às pessoas reunidas. para negar uma disjunção. (MACK) Duas grandezas x e y são tais que "se x = 3 então y = 7". Das afirmações a seguir. é não A ou não B. d) p =>q é falsa. (UGF) A negação de x > -2 é: a) x > 2 b) x #-2 c) x < -2 d) x < 2 e) x #2 07. a terceira e a quarta linhas da tabela de verdade.com 9a. qualquer que seja q. 04. ou (3) João nem comprou um carro. ou não receberá o ministério da cultura. (4) O PMDB receberá o ministério da saúde ou o PP receberá o ministério da cultura. c) p ^ q é verdadeira só se q for falsa. b) existe gato pardo.uol.d. (7) Beba e dirija. b) pelo menos duas delas são do sexo feminino. para negar uma conjunção precisamos afirmar os casos em que a conjunção é falsa. c) pelo menos duas delas fazem aniversário no mesmo mês. nós precisamos dizer que A é falsa e também que B é falsa. A negação de (1) é: (2) João não comprou um carro e não comprou uma moto. b) p v q é verdadeira. b) o gato mia ou o rato chia.ApostilasBrasil.nem. Resolução: 01. nem B significa o mesmo que não A e não B. isto é. (ABC) Assinale a proposição composta logicamente verdadeira: a) (2 = 3) => (2 . Isto é. A negação de (7) é (7a) não beba ou não dirija. b) Ou Roberto não fala inglês ou Ricardo fala italiano. Esses casos são a segunda. Fica como exercício para o leitor a construção das tabelas de verdade de A ou B e não A e não B para constatar que são idênticas. Pode-se concluir que: a) se x 3 antão y 7 b) se y = 7 então x = 3 c) se y 7 então x 3 d) se x = 5 então y = 5 e) se x = 7 então y = 3 05.com. Logo. então: a) p ^ q é verdadeira. b) Paulo é paulista e Ronaldo é carioca. Sendo p a proposição Paulo é paulista e q a proposição Ronaldo é carioca. c) existe gato não pardo. visite o Convento da Penha. II – Em Vila Velha. Rossana é mais velha que Marcela? 5. proposição 6. I – Mariana mora em Piúma.com Seu Futuro é o Nosso Presente! 02. C http://www. não há um terceiro valor lógico (“mais ou menos”. ou estudar é fácil ou estudar é difícil). a) p ^ q b) (~p) v p c) q " p d) (~p) ^ (~q) 03. proposição ( variável não livre ) 10. certa 2. vaga ou sentença aberta 3. GABARITO 1. C 09. É um péssimo livro de geografia 9.ApostilasBrasil. sentença aberta ou imperativa TESTES 1. x + 2 = 5 7. Julgue se a afirmação a seguir é CERTA ou ERRADA. Essas proposições podem ter um sentindo positivo ou negativo. Tanto o exemplo 1 quanto o 2 caracterizam uma afirmação/proposição.sentença aberta 4.A 4. (o contrário seria: “Estudar é difícil”. são afirmações que expressam um pensamento de sentindo completo. Não existe meio termo. A base das estruturas lógicas é saber o que é verdade ou mentira (verdadeiro/falso). É verdade que APENAS a) I e II são sentenças abertas b) I e III são sentenças abertas c) II e III são sentenças abertas d) I é uma sentença aberta e) II é uma sentença aberta 4. Exemplo 2: Maria não gosta de banana. Raciocínio Lógico III – O jogo terminou empatado? IV – Existe vida em outros planetas do universo. proposição 8. x é um número primo. Exemplo 1: João anda de bicicleta. ou seja. O que é isto? 3. Das cinco frases abaixo. I – Que belo dia! II – Um excelente livro de raciocínio lógico. x > y 4. 2. 3 + 4 = 9 8.D 5. Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa. dão razão a algo. que são símbolos que comprovam a veracidade das informações e unem as proposições uma a outra ou as transformam numa terceira proposição. quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum. há exatamente três proposições. 3. Veja abaixo: 26 . III – A expressão algébrica x + y é positiva. Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças: I – O BB foi criado em 1980. Os resultados das proposições SEMPRE tem que dar verdadeiro. Ex. proposição 9. C 08. Terceiro Excluído: Dadas duas proposições lógicas contraditórias somente uma delas é verdadeira. C 07. II – (x + y) / 5 é um número inteiro III – João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000. certa ESTRUTURAS LÓGICAS As questões de Raciocínio Lógico sempre vão ser compostas por proposições que provam. “a frase dentro destas aspas é uma mentira” A expressão x + y é positiva O valor de + 3 = 7 Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. C 05. CESPE (Adaptado) – JULGUE COM CERTO OU ERRADO: Das cinco (5) afirmações abaixo. V – A SEGER oferece 220 vagas em concurso público. enquanto uma delas não tem essa característica. Para facilitar a resolução das questões de lógica usam-se os Conectivos Lógicos. três delas são proposições. 2.com/matematica/logica JULGUE SE É PROPOSIÇÃO E JUSTIFIQUE: 1. IV – Se Joana é economista. Mário é pintor 6. Julgue com CERTO ou ERRADO: Na lista de frases apresentadas a seguir. Estudar é fácil. interrogativa 5. A frase que não possui essa característica comum é a a) I b) II c) III d) IV e) V 5. GABARITO 1. C 10. B 04. errada 3. III – Manuela tem mais de 40 anos de idade.coladaweb. II – Faça seu trabalho corretamente. Há alguns princípios básicos: Contradição: Nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. então ela não entende de políticas públicas.proposição 2. Se x é um número primo então x é um número real 10. sentença aberta 7. V – Escreva uma poesia. Agente Fiscal de Rendas – Nível I / SP 2006 – FCC Considere as seguintes frases: I – Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005. Paulo é alto. meio verdade ou meio mentira). A 06. dão suporte. Ele foi o melhor jogador da copa. Charles Peirce e outros da década de 1880.) ↔ = “se e somente se” CONJUNÇÃO (símbolo Λ): Regrinha para o conectivo bicondicional (↔): Este conectivo é utilizado para unir duas proposições formando uma terceira. Q: O Queijo não é bom. (É a negação lógica de Q) Regrinha para o conectivo de negação (~): P ~P V F F V BICONDICIONAL (símbolo ↔) O resultado dessas proposições será verdadeiro se e somente se as duas forem iguais (as duas verdadeiras ou as duas falsas). As tabelas-verdade derivam do trabalho de Gottlob Frege.. representa a primeira proposição e a letra Q. Veja os exemplos: V V V V F V F V V F F F CONDICIONAL (símbolo →) Este conectivo dá a ideia de condição para que a outra proposição exista. “P” será condição suficiente e necessária para “Q” Ex5. quando usamos a negação vira verdadeira. tabela de verdade ou tabela veritativa é um tipo de tabela matemática usada em Lógica para determinar se uma fórmula é válida ou se um sequente é correto. Ex3. O resultado será verdadeiro se pelo menos uma das proposições for verdadeira. de Wittgenstein.: P ↔ Q.então”: condicional (↔) “se e somente se”: bicondicional Agora. Ex4.) Λ = “e” Regrinha para o conectivo de conjunção (Λ): P Q PΛQ V V V V F F F V F F F F DISJUNÇÃO (símbolo V): Este conectivo também serve para unir duas proposições..) V = “ou” Raciocínio Lógico Q Q P↔Q V V V V F F F V F F F V Fonte: http://www.2: P Λ Q. e tomaram a forma atual em 1922 através dos trabalhos de Emil Post e Ludwig Wittgenstein. O Queijo não é bom. (Ou o Pão é barato ou o Queijo não é bom. “P” será condição suficiente para “Q” e “Q” é condição necessária para “P”. vejamos na prática como funcionam estes conectivos: Temos as seguintes proposições: O Pão é barato.: P V Q. temos: P: O Pão é barato. sendo pelo menos uma falsa. A letra P. Ex. F F V ~Q (não Q): O Queijo é bom.: P → Q.com/ TABELA VERDADE Tabela-verdade. : ~P (não P): O Pão não é barato. utilizava as mesmas para classificar funções veritativas em uma série. O resultado dessa união somente será verdadeiro se as duas proposições (P e Q) forem verdadeiras. o resultado será FALSO.com Seu Futuro é o Nosso Presente! (~) “não”: negação (Λ) “e”: conjunção (V) “ou”: disjunção (→) “se.. (O Pão é barato e o Queijo não é bom. quando usamos a negação vira falsa. A publicação do Tractatus LogicoPhilosophicus. (O Pão é barato se e somente se o Queijo não é bom. (Se o Pão é barato então o Queijo não é bom. ou seja.ApostilasBrasil. A vasta influência de seu trabalho levou. a segunda.concursospublicosonline. então. à difusão do uso de tabelas-verdade. (É a negação lógica de P) Regrinha para o conectivo condicional (→): P Q P→Q V V V Se uma proposição é verdadeira. NEGAÇÃO (símbolo ~): Quando usamos a negação de uma proposição invertemos a afirmação que está sendo dada.) → = “se.então” Ex1.. Regrinha para o conectivo de disjunção (V): P P Como construir uma Tabela Verdade PVQ Uma tabela de verdade consiste em: 27 . V F F F V V Se uma proposição é falsa. Assim. F V V). sendo n o número de valores que o sistema permite (sempre 2 no caso do Cálculo Proposicional Clássico) e t o número de termos que a fórmula contém. A . B . e viceversa.ApostilasBrasil. e somente se. o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 4: um caso de ambos termos serem verdadeiros (V V). e somente se ambos os operandos forem falsos A B AvB V V F F V F V F V V V F A B A→B V V F F V F V F V F V V Modus tollens Condicional (Se. três casos de apenas dois termos serem verdadeiros (V V F . Em caso negativo. Por exemplo. Alguns argumentos válidos Modus ponens Disjunção (OU) A disjunção é falsa se. de maneira que se "A" é verdade então "~A" é falsa. o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 8: um caso de todos termos serem verdadeiros (V V V). V F F V A→B V F V F V F V V A conjunção é verdadeira se. Se a fórmula contiver 3 termos. (A∧B)→C . três casos de apenas um dos termos ser verdadeiro (V F F . ambos operandos forem falsos ou ambos verdadeiros A B A↔B V V F F V F V F V F F V DISJUNÇÃO EXCLUSIVA (OU. C} { ¬((A∋B) 2º) l linhas em que estão todos possíveis valores que os termos podem receber e os valores cujas as fórmulas moleculares tem dados os valores destes termos. Em caso positivo. o argumento é válido. F V) e um caso no qual ambos termos são falsos (F F). se uma fórmula contém 2 termos. Então) [Implicação] A conjunção é falsa se.. F F V) e um caso no qual todos termos são falsos (F F F).. a fórmula ¬((A ∧B)→C) nte conjuntos tem de o segui subfórmulas: →C) .com Seu Futuro é o Nosso Presente! 1º) Uma linha em que estão contidos todas as subfórmulas de uma fórmula. o primeiro operando é verdadeiro e o segundo operando é falso Raciocínio Lógico 28 A B ¬A ¬B A→B V V F F V . O número destas linhas é l = nt . e somente se. e somente se.. dois casos de apenas um dos termos ser verdadeiro (V F . apenas um dos operandos for verdadeiro Negação ~A B V V F F Bicondicional (Se e somente se) [Equivalência] Tabelas das Principais Operações do Cálculo Proposicional Dei A A A B A(B V V F F V F V F F V V F Adaga de Quine (NOR) A conjunção é verdadeira se e somente se os operandos são falsos A negação da proposição "A" é a proposição "~A". Conjunção (E) A conjunção é verdadeira se e somente se os operandos são verdadeiros A B A^B V V F F V F V F V F F F A B A(B A↓B V V F F V F V F V V V F F F F V Como usar tabelas para verificar a validade de argumentos Verifique se a conclusão nunca é falsa quando as premissas são verdadeiros.. é inválido. OU XOR) A conjunção é verdadeira se. Assim. A∧B . V F V . F V F . particularmente da filosofia. Ao considerar a forma. ao escrever cartas a uma princesa da Alemanha. DEDUÇÕES E CONCLUSÕES. F V V Mais de 100 anos depois de Euler. Ele considera a sua forma. INFERÊNCIAS. se foi produzido por uma pessoa embriagada ou sóbria. Introdução Comutação dos Condicionais A implica B. político. Ao lógico.com V F F F V F Seu Futuro é o Nosso Presente! F V V V F V Algum A não é B. Algumas falácias Afirmação do conseqüente Indica que não existem elementos comuns entre os conjuntos. A B A→B V V F F V F V F V F V V OBS: CONSIDERE QUE O TAMANHO DOS CÍRCULOS NÃO INDICA O TAMANHO RELATIVO DOS CONJUNTOS. o raciocínio é estudado de modo muito especial no âmbito da lógica. o sociólogo considerará as influências do meio. o logicista inglês John Venn (1834 – 1923) aperfeiçoou o emprego dos diagramas. Indica que os dois conjuntos tem alguns elementos em comum. Em sua longa história e nas múltiplas modalidades em que se desenvolveu. se está de acordo com uma doutrina religiosa ou não. então B. 1.) em diante. (A→B) B. não interessa se o raciocínio teve esta ou aquela motivação. A. o criminólogo levará em conta as circunstâncias que o favoreceram na prática de um ato criminoso etc. a lógica tornou-se um dos campos mais férteis do pensamento humano. pouco importam os contextos psicológico. O suíço Leonhard Euler (1707 – 1783) por volta de 1770. especialmente de Aristóteles (384-322 a. Raciocínio Lógico Desde suas origens na Grécia Antiga.C. as 29 . usou os diagramas ao explicar o significado das quatro proposições categóricas: Todo A é B. hoje conhecemos como diagramas de Euler/Venn. (B→A) A B A→B B→A V V F F V F V F V F V V V V F V Fonte: Wikipédia DIAGRAMAS LÓGICOS História Para entender os diagramas lógicos vamos dar uma rápida passada em sua origem. Nenhum A é B. entende-se tanto uma atividade mental quanto o produto dessa atividade. Logo.ApostilasBrasil. mas não todos. religioso. Apesar de todas estas possibilidades. se teve influências das emoções ou não. mas o inverso não é verdadeiro. Algum A é B. Esse. ele investiga a coerência do raciocínio. econômico. B implica A. se respeita ou não a moral social. Por raciocínio. Silogismo Hipotético Tipos Existem três possíveis tipos de relacionamento entre dois diferentes conjuntos: A B C A→B B→C A→C V V V V F F F F V V F F V V F F V F V F V F V F V V F F V V V V V F V V V F V V V F V F V V V V Indica que um conjunto está ompletamente contido no outro. pode ser analisado sob muitos ângulos: o psicólogo poderá estudar o papel das emoções sobre um determinado raciocínio. ideológico. Para ela. Desta forma. utilizando sempre círculos. sempre foi bem claro seu objetivo: fornecer subsídios para a produção de um bom raciocínio. (A→B) Logo. jurídico ou de qualquer outra esfera que constituam o “ambiente do raciocínio”. LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO: ANALOGIAS. Se A. por sua vez. válida ou não-válida. o leitor ou qualquer interlocutor tem-se a argumentação. Nesse caso. os juízos e o raciocínio. Argumentar é o núcleo principal da retórica. nos permite chegar com ordem. da intuição racional. costuma-se falar de dois tipos de verdade: a verdade formal e a verdade material. parte-se de premissas para se chegar a conclusões que devem ser adequadas. de acordo com as circunstâncias da vida e as decisões pessoais (subjetividade). 1. seja ela formal ou material. materialmente válida. coerente ou incoerente. mais recentemente.com relações entre as premissas e a conclusão. Por exemplo: “Se os três arcanjos estão sobre a mesa da sala. processa formalmente informações nele previamente inseridas. mas que também respeite a matéria. então. na maioria dos casos. este é um raciocínio falso porque a experiência nos diz que a premissa é falsa. No entanto. Partindo do pressuposto de que as pessoas pensam aquilo que querem. sobrenatural etc) que. ideal. em suma. p. ordenando adequadamente os conteúdos da consciência. A simples apreensão consiste na captação direta (através dos sentidos. o erro não está no seu aspecto formal e. por meio do qual visa-se à consecução da verdade. um argumento conseguirá atingir mais facilmente a meta da persuasão caso as idéias propostas se assentem em boas razões. a cada passo. seu primeiro grande organizador. a habilidade no argumentar. Apenas a título de ilustração. Muitas vezes. Por exemplo: “Há três arcanjos sobre a mesa da sala” O raciocínio. Materialmente. ao próprio ato da razão – o raciocínio” (Jacques Maritain). o conteúdo ou a matéria do raciocínio tem uma importância relativa. A preocupação sempre será com a sua forma. também chamada de “lógica menor” e a da lógica material. a lógica investiga as regras adequadas à produção de um raciocínio válido. 1. pode-se dizer que é importante que se obtenha não somente uma verdade formal. A verdade formal diz respeito. 30 . uma verdade que corresponda à experiência. não passam de preconceitos pessoais. Mesmo assim. no segundo. No entanto. lógica ou ilógica. A forma é respeitada quando se preenchem as exigências de coerência interna. na sua matéria. é um raciocínio válido.: “mesa”. mas. O juízo é ato pelo qual os conceitos ou idéias são ligadas ou separadas dando origem à emissão de um “julgamento” (falso ou verdadeiro) sobre a realidade. julga-se que estão sendo usadas como bom argumento opiniões que. Se houver coerência. mesmo que as conclusões possam ser absurdas do ponto de vista material (conteúdo). é preciso preencher os requisitos da coerência e do rigor. fraca ou forte etc. No entanto. ex. a informática” (Bastos. já a verdade material tem a ver com a forma do discurso e as suas relações com a matéria ou o conteúdo do próprio discurso. formalmente. trata-se da correspondência entre pensamento e realidade. capazes de mexer com as convicções daquele a quem se tenta convencer. Relacionando a lógica com a prática. “A lógica é o estudo dos métodos e princípios usados para distinguir o raciocínio correto do incorreto” (Irving Copi). Nem sempre um raciocínio formalmente correto corresponde àquilo que chamamos de realidade dos fatos. “A lógica investiga o pensamento não como ele é. de um objeto material. adquirem-se conhecimentos novos e defende-se ou aprofunda-se o que já se conhece. por fim. considerada a arte de convencer mediante o discurso. recebe uma denominação (as palavras ou termos. por lograr a persuasão. a atividade argumentativa envolve o interesse da persuasão. Que seja. não estão sobre a mesa da varanda” Quando os raciocínios são organizados com técnica e arte e expostos de forma tal a convencer a platéia. mas como deve ser” (Edmundo D. Assim sendo. no primeiro caso. Para esse campo de estudos da lógica. acaba. A lógica formal preocupa-se com a correção formal do pensamento. Raciocínio e Argumentação Três são as principais operações do intelecto humano: a simples apreensão. já que. Já. É nesse sentido que se costuma dizer que o computador é falho. que o seu conteúdo corresponda à natureza do objeto a que se refere. na verdade. tem-se a verdade. portanto. A conexão entre os princípios formais da lógica e o conteúdo de seus raciocínios pode ser denominada de “lógica informal”. o pensamento científico ocidental e. chegar-se-á à conclusão lógica que (3) Pedro é europeu. consistente/sólida ou inconsistente/frágil. Assim. Procedendo dessa forma.. Pode-se. do ponto de vista lógico. Neste caso. Trata-se de uma lógica aplicada ao plano existencial. muitas vezes. de acordo com a natureza ou matéria do objeto em questão. mediante proposições orais ou escritas. Keller). ou seja.2. facilmente e sem erro. Por exemplo. ou seja. ex. de modismos. formalmente. por sua vez. No raciocínio. de egoísmo ou de outras formas de desconhecimento. consiste no “arranjo” intelectual dos juízos ou proposições. associada à desatenção ou à ignorância de quem ouve. também. mas não tem a capacidade de verificar o valor empírico de tais informações. partindo das premissas que (1) todos os brasileiros são europeus e que (2) Pedro é brasileiro. falar de dois tipos de argumentação: boa ou má. sim. somente e tão-somente. Lógica formal e Lógica material Desde Aristóteles. Para tanto. à Raciocínio Lógico Seu Futuro é o Nosso Presente! forma do discurso. interessa que o raciocínio não só seja formalmente correto. “A princípio. Em seu conjunto.ApostilasBrasil. a lógica material preocupa-se com a aplicação das operações do pensamento à realidade.1. e coerência e correspondência. a escolástica. os estudos da lógica orientaram-se em duas direções principais: a da lógica formal. seguem-se algumas definições e outras referências à lógica: “A arte que dirige o próprio ato da razão. sua história demonstra o poder que a mesma possui quando bem dominada e dirigida a um propósito determinado. Nascimento). da imaginação etc) de uma realidade sobre a qual forma-se uma idéia ou conceito (p. também conhecida como “lógica maior”. à vida quotidiana. porque a conclusão é adequada às premissas. a lógica não tem compromissos. sua obediência a algumas regras apropriadas ao modo como foi formulado etc. “três” e “arcanjo”). como o fizeram os sofistas. Um bom raciocínio. possa ocorrer. 2. pode fazer uso de diversos tipos de raciocínio. Tudo isso pressupõe um clima democrático. descartar as emoções. assim também o pensamento deve respeitá-los. Do ponto de vista da lógica. quando se emprega. mais recentemente. que são palavras acompanhadas de conceitos. Por exemplo. por isso. Contudo. a expressão “mulher rica” pode ser tratada como dois termos: pode ser uma pessoa do sexo feminino cujos bens materiais ou financeiros estão acima da média ou aquela cuja trajetóriaexistencial destaca-se pela bondade. pode-se apelar para raciocínios fracos ou inválidos sob o mesmo ponto de vista. Podem ser entendidos como princípios que se referem tanto à realidade das coisas (plano ontológico). Nas frases assertivas afirma-se algo. referido a um conceito. nas frases não assertivas. meu carro é um quadrúpede. Meu carro é um Jaguar logo. Ao serem ligadas estas assertivas. visando à verdade. Raciocínio Lógico Seu Futuro é o Nosso Presente! Desse modo. É o caso das interrogações ou das frases que expressam estados emocionais difusos. chamase inferência. empregamos palavras tais como “animal”. “furto” etc. 1. Trata-se de conceituar logicamente qual é a identidade de algo a que se está fazendo referência. que é o ato mental correspondente ao signo. “lei”. não está são. por exemplo. c) Princípio da exclusão do terceiro termo. pelo qual se delimita a realidade de um ser. são empregados raciocínios aceitáveis do ponto de vista lógico. manter-se num plano distante da existência humana. Entre o falso e o verdadeiro não há meio termo. sob o mesmo aspecto e ao mesmo tempo. Assim sendo. A lógica clássica e a lógica matemática aceitam os três princípios como suas pedras angulares. Enfim. constituindo raciocínios válidos. (3) logo. desprezando sentimentos e motivações pessoais. só faz sentido falar de verdade ou falsidade quando entram em jogo asserções nas quais se declara algo. O ponto de partida de um raciocínio (as premissas) deve levar a conclusões óbvias. já. Já. Pode-se argumentar bem sem.5. necessariamente. embora. como no caso de convencer o aluno a se esforçar nos estudos diante da perspectiva de férias mais tranqüilas. se as coisas em geral devem respeitar tais princípios. por isso. Quem argumenta. admitindo valor lógico não somente ao falso e ao verdadeiro. ainda que. Esse processo. é preciso que fique bem claro. em outras ocasiões. Se algo é aquilo que é. São eles: a) Princípio da identidade. Ou está chovendo ou não está. não pode ser outra coisa. não é crime matar ET’s. Termo e Conceito Para que a validade de um raciocínio seja preservada. quanto ao pensamento (plano lógico).ApostilasBrasil. o significado dos termos empregados no discurso. não é falsa nem verdadeira. o termo “mulher rica”. precisa ser dotado de duas características fundamentais: ter premissas aceitáveis e ser desenvolvido conforme as normas apropriadas. valores vivenciados subjetivamente ou ordens. 31 . ou é falso ou é verdadeiro. A frase “toque a bola”. doente ou são. necessariamente. virtude. e. em função do contexto ou de uma manifestação de quem emite o juízo. “mulher rica”. 1. não entram em jogo o falso e o verdadeiro. Princípios lógicos Existem alguns princípios tidos como conditio sine qua non para que a coerência do raciocínio. Existem. seu conceito deve manterse ao longo do raciocínio. Inferência Lógica Cabe à lógica a tarefa de indicar os caminhos para um raciocínio válido. na mente do interlocutor. procurando apreender uma nota característica comum a todos os elementos do conjunto. é fundamental que se respeite uma exigência básica: as palavras empregadas na sua construção não podem sofrer modificações de significado. Quando pensamos e comunicamos os nossos pensamentos aos outros. 1. a argumentação é o modo como é exposto um raciocínio. o termo é o signo lingüístico. por não se tratar de uma asserção (juízo). As frases declaratórias ou assertivas podem ser combinadas de modo a levarem a conclusões conseqüentes. na tentativa de convencer alguém de alguma coisa. argumentar não implica. não posso estar me referindo a Antônio. Às vezes. que muitas vezes permite que a conclusão seja antecipada sem que ainda sejam emitidas todas as proposições do raciocínio. como nos exemplos: “a raiz quadrada de 9 é 3” ou “o sol brilha à noite”. capaz de resistir a críticas. Como resultado. Lukasiewicz e outros pensadores desenvolveram sistemas lógicos sem o princípio do terceiro excluído. afetividade e equilíbrio. como também ao indeterminado. não tem validade. se estou falando de um homem chamado Pedro. b) Princípio da não-contradição. (2) não há uma lei que defina matar ET’s como crime. É bastante comum que raciocínios desse tipo sejam usados para convencer e logrem o efeito desejado. de acordo com a ‘intencionalidade’ presente no ato mental. daqui a pouco possa vir a curar-se. ele seja brasileiro. “crime”. então. sustentar adequadamente um diálogo. Uma vez conceituada uma certa coisa. promovendo a dinamização do pensamento. Por exemplo. Veja-se o exemplo: (1) Não há crime sem uma lei que o defina. não é possível um terceiro termo: está meio chovendo ou coisa parecida. ou seja. Observe-se o exemplo: Os jaguares são quadrúpedes. “cadeira”.4. por exemplo. Para que não se obstrua a coerência do raciocínio. enquanto João.com De qualquer modo. dois tipos de frases: as assertivas e as não assertivas. no entanto. que também podem ser chamadas de proposições ou juízos. Argumentação e Tipos de Raciocínio Conforme vimos. argumentar corretamente (sem armar ciladas para o interlocutor) é apresentar boas razões para o debate. explorando a incapacidade momentânea ou persistente de quem está sendo persuadido de avaliar o valor lógico do raciocínio empregado na argumentação. vão sendo criadas as condições lógicas adequadas à conclusão do raciocínio. O termo “jaguar” sofreu uma alteração de significado ao longo do raciocínio. em absoluto. tais palavras são classificadas como termos.3. emitindo-se um juízo de realidade. elas não têm “valor de verdade”. falado ou escrito. por sua vez. se o brasileiro João está doente agora. tende-se a pensar no conjunto das mulheres às quais se aplica esse conceito. João usa terno. O esquema básico do raciocínio analógico é: A é N. não é o mais adequado para os objetos em questão. Y. levariam a uma conclusão necessariamente válida. semelhantes e tiram-se as conclusões adequadas. deles somente se exige “que tenham alguma probabilidade” (Introdução à lógica. o verdadeiro objeto da lógica formal. ainda que um meio bastante poderoso de convencimento. também tem servido de inspiração para muitos gênios das ciências e das artes. terá bom gosto ao comprar as roupas de sua filha. tal como na Terra. Seu Futuro é o Nosso Presente! bom senso e de boa técnica para desempenhar adequadamente seu papel. no caso da analogia. pelo senso comum e. a analogia (aná = segundo. tal como a carroça. c) Não devem existir divergências marcantes na comparação.T. clima ameno e água. Y. a maioria dos operários brasileiros. aquilo que é familiar é usado como ponto de apoio na formação do conhecimento. particularmente. da perspectiva adotada na abordagem da natureza e do alcance do conhecimento. eu dormirei durante 3 1/2 horas por noite e. aplicando a elas as informações previamente obtidas quando da vivência direta ou indireta da situação-referência." Analogia forte . a conclusão não o será necessariamente. baseado na observação empírica. Tal acontece porque é difícil estabelecerlhe regras rígidas. Normalmente. a maioria dos operários brasileiros também vive bem. Nesses exemplos fica bem claro que o raciocínio indutivo. tal como A. tal como A. tal como na Terra. tal como os operários suíços.tc "c) Não devem existir divergências marcantes na comparação. uma vez observadas. é fonte de conhecimentos do dia-a-dia.A Terra é um planeta com atmosfera. Por isso." Analogia forte . 314). sendo bastante usado pela filosofia. compara-se uma situação já conhecida com uma situação desconhecida ou parcialmente conhecida. b) o número de elementos semelhantes entre uma situação e outra deve ser significativo. A distância entre a genialidade e a falha grosseira é muito pequena. No entanto. casos. por isso.A pescaria em rios não é proveitosa por ocasião de tormentas e tempestades. também. Tal ocorre porque. c) não devem existir divergências marcantes na comparação. é muito importante que se avalie o seu conteúdo.tc "a) Os elementos comparados devem ser verdadeiros e relevantes. apesar de existir uma estrutura geral do raciocínio analógico. também recebe um salário mínimo. já que a alma e Deus são de ordem metafísica. L.ApostilasBrasil. Pode-se notar que. por isso. 2. com clima ameno e tem água. Analogia fraca .Ana Maria sempre teve bom gosto ao comprar suas roupas. objetos etc. mas possivelmente. logo. logo. B. por um lado. não se trata propriamente de considerá-los válidos ou não-válidos.1. mas de verificar se são fracos ou fortes. em Marte deve ter havido algum tipo de vida. não física. Analogia fraca . por outro. Às vezes. como os suíços.com Dos raciocínios mais empregados na argumentação. Aplicação das regras acima a exemplos: a) Os elementos comparados devem ser verdadeiros e relevantes. em Marte. um determinado tipo de raciocínio não é adequadamente empregado.tc "b) O número de aspectos semelhantes entre uma situação e outra deve ser significativo. também serei um gênio inventor. merecem ser citados a analogia. não imaginários ou insignificantes. pelo senso comum e. X. nos discursos jurídico e religioso. comparam-se duas situações." Analogia forte . a indução e a dedução. b) O número de aspectos semelhantes entre uma situação e outra deve ser significativo. também. p. isto caso cumpram-se as exigências acima. é N. o astronauta russo Gagarin (1934-1968) afirmou que Deus não existe pois “esteve lá em cima” e não o encontrou. o carro a motor é um meio de transporte que necessita de um condutor. Analogia fraca . como nos casos de Arquimedes na banheira (lei do empuxo). logo. Antônio usa terno. Edison dormia entre 3 e 4 horas por noite e foi um gênio inventor. No raciocínio analógico. ainda. basicamente. a pescaria marinha não está tendo sucesso porque troveja muito. na Terra existe vida. não existem regras claras e precisas que. tanto num caso quanto no outro. Na ilustração. L. precisa ser dotado de Raciocínio Lógico 32 . Raciocínio analógico Se raciocinar é passar do desconhecido ao conhecido. logo. não imaginários ou insignificantes. a dedução é tida por alguns como o único raciocínio autenticamente lógico. esse tipo de raciocínio não é admitido pela lógica formal. de três aspectos: a) os elementos comparados devem ser verdadeiros e importantes. houve atmosfera.Os operários suíços que recebem o salário mínimo vivem bem.. No caso dos raciocínios analógicos. sapato de cromo e perfume francês. Se as premissas forem verdadeiras. o segundo é amplamente empregado pela ciência e. do modo como é desenvolvido ou. X. o primeiro é o menos preciso. sapato de cromo e perfume francês e é um bom advogado. deve ser um bom advogado. Dos três. A força de uma analogia depende. também é uma forma de raciocínio em que se cometem muitos erros. de Galileu na catedral de Pisa (lei do pêndulo) ou de Newton sob a macieira (lei da gravitação universal). a analogia é um dos meios mais comuns de inferência. de acordo + lógon = razão) é um dos caminhos mais comuns para que isso aconteça. é partir do que se sabe em direção àquilo que não se sabe. por isso. Segundo Copi. não basta considerar a forma de raciocínio. B. Se. Vejam-se os seguintes exemplos: o médico alemão Ludwig Büchner (1824-1899) apresentou como argumento contra a existência da alma o fato de esta nunca ter sido encontrada nas diversas dissecações do corpo humano. No raciocínio analógico. A é. é também Z. por fim. Este. A maior ou menor valorização de um ou de outro tipo de raciocínio dependerá do objeto a que se aplica. Z logo. os elementos enumerados são tidos como suficientes para serem tiradas determinadas conclusões.do particular ao geral Ainda que alguns autores considerem a analogia como uma variação do raciocínio indutivo. Nele. Indução por enumeração incompleta suficiente Nesse procedimento. no caso do “gato preto”. Paulo é político e é corrupto. portanto. onde foram encontrados cisnes pretos. “Se quisermos obter uma rosa mais bonita e perfumada. Fernando é político e é corrupto. Observe-se o seguinte exemplo: John Holland. apesar de não poderem ser conferidos todos os elementos (cobras) em particular. Esse processo se repete por várias gerações . Antonio também viu o mesmo gato e. do ponto de vista da lógica formal. Contudo. “Para resolver um problema. Aplicando o modelo: A jararaca é uma cobra e não voa. uma certeza de séculos caiu por terra. caiu e quebrou o braço. 12). lançou a hipótese (1995) de se verificar. 2. Nesse exemplo. Já. por se tratar de mera coincidência. A avaliação da suficiência ou não dos elementos não é tarefa simples. chega-se a uma conclusão de cunho geral. logo. está pressuposta a possibilidade da coleta de dados ou da observação de muitos fatos e. Há dois procedimentos principais de desenvolvimento e aplicação desse tipo de raciocínio: o da indução por enumeração incompleta suficiente e o da indução por enumeração completa. Antes da descoberta da Austrália. semelhante ao processo de seleção natural. D é A e também é X. fazemos o mesmo.2. no campo da computação. Vejam-se os exemplos das conclusões que pretendem ser aplicadas ao comportamento da totalidade dos membros de um grupo ou de uma classe tendo como modelo o comportamento de alguns de seus componentes: 1. a. p.ApostilasBrasil. ele é muito importante na formulação de hipóteses científicas e de teses jurídicas ou filosóficas. sob o ponto de vista do valor lógico. em que só sobrevivem os mais aptos”. o raciocínio analógico é precário. as cobras não voam. 19/10/95. Assim sendo. 2. Carla é mulher e dirige mal. também o cruzamento de programas pode contribuir para montar um programa mais adequado para resolver um determinado problema. todos os políticos são corruptos. as verdades do raciocínio indutivo dependem das probabilidades sugeridas pelo número de casos observados e pelas evidências fornecidas por estes. não parece haver sustentabilidade da conclusão. 1º cad. na informática. Estevão é político e é corrupto. Contudo. teremos que cruzar duas espécies: uma com forte perfume e outra que seja bela” diz Holland. A cascavel é uma cobra e também não voa. É. no qual.sempre selecionando o melhor programa até obter o descendente que mais se adapta à questão. ela ocorre quando: 33 .um indivíduo mais adaptado ao ambiente -. É forte quando não há boas probabilidades de que um caso particular discorde da generalização obtida das premissas: a conclusão “nenhuma cobra voa” tem grande probalidade de ser válida. os que foram enumerados são representativos do todo e suficientes para a generalização (“todas as cobras. também da verificação experimental. mediante procedimentos indutivos ou dedutivos.2.”) b. Assim como na natureza espécies diferentes podem ser cruzadas para obter o chamado melhoramento genético . só depois. Além disso. A caninana é uma cobra e também não voa. as hipóteses científicas oriundas de um raciocínio analógico necessitam de uma avaliação posterior. Ana Maria é mulher e dirige mal. A indução consiste em partir de uma série de casos particulares e chegar a uma conclusão de cunho geral. alguns minutos depois. E é A e também é X. Raciocínio Indutivo . 2. É o caso do exemplo das cobras. todos os A são X No raciocínio indutivo. fica bem clara a necessidade da averiguação indutiva das conclusões extraídas desse tipo de raciocínio para. na maioria dos casos. serem confirmadas ou não.com Se. físico e professor de ciência da computação da Universidade de Michigan. logo. O esquema principal do raciocínio indutivo é o seguinte: B é A e é X. Os exemplos acima sugerem. bateu com o carro. Como dificilmente são investigados todos os casos possíveis. C é A e também é X. A enumeração de casos deve ser realizada com rigor e a conexão entre estes deve ser feita com critérios rigorosos para que sejam indicadores da validade das generalizações contidas nas conclusões. Pegamos um programa que dê conta de uma parte do problema e cruzamos com outro programa que solucione outra parte. João viu um gato preto e. ao sair do estacionamento. logo a seguir. logo. foi assaltada. havendo muitos exemplos na história do conhecimento indicadores dos riscos das conclusões por indução. Antônio Carlos é político e é corrupto. logo. Ao ser visto o primeiro cisne preto. Basta que um caso contrarie os exemplos até então colhidos para que caia por terra uma “verdade” por ela sustentada. Um exemplo famoso é o da cor dos cisnes. acaba-se aplicando o princípio das probabilidades... este é um dos recursos mais empregados pelas ciências para tirar as suas conclusões. Maria viu o mesmo gato e. Raciocínio Lógico Seu Futuro é o Nosso Presente! Ao sair de casa. há casos em que uma simples análise das premissas é suficiente para detectar a sua fraqueza. Mônica é mulher e dirige mal. tratando-se de uma indução fraca. acreditava-se que todos os cisnes fossem brancos porque todos os até então observados eram brancos. selecionam-se aquelas que parecem mais adequadas. Entre as várias soluções possíveis. (Entrevista ao JB. Logo. Adriana é mulher e dirige mal. todas as mulheres dirigem mal. dois tipos de indução: a indução fraca e a indução forte. uma situação semelhante à que ocorre no da genética. ver um gato preto traz azar. Indução por enumeração completa Costuma-se também classificar como indutivo o raciocínio baseado na enumeração completa. Ainda que alguns a classifiquem como tautologia. Procedimentos indutivos Apesar das muitas críticas de que é passível o raciocínio indutivo. A urutu é uma cobra e também não voa. da observação de muitos casos particulares.1.. esse último tem uma base mais ampla de sustentação. Construção do Silogismo A estrutura básica do silogismo (sýn/com + lógos/razão) consiste na determinação de uma premissa maior (ponto de partida). As inferências ocorrem a partir do progressivo avanço de uma premissa de cunho geral. é aquele no qual são superadas as deficiências da analogia e da indução. obtevese. Assim. a possibilidade de algo ocorrer – na fração. indução e probabilidade Nos raciocínios analógico e indutivo. é possível calcular. necessariamente. se disfarça de modos sempre novos.com b.b. a corrupção parece recrudescer. para se chegar a uma conclusão tão ou menos ampla que a premissa. todas as partes de um conjunto são enumeradas.. Eis um exemplo de silogismo: 34 .3. Tanto no primeiro quanto no segundo exemplos está sendo empregando o método indutivo porque o argumento principal está sustentado pela observação de muitos casos ou fatos particulares que. depois do escárnio popular em festividades como o carnaval e depois de tanta insistência de muitos sobre necessidade de moralizar o nosso país. deve-se ter um relativo cuidado com as suas conclusões. b. tem-se uma conclusão segura. podendo-se classificá-los como formas de indução forte. depois do vexame sofrido por alguns políticos denunciados pela imprensa. contudo. No raciocínio dedutivo. inferida a partir da premissa menor. . Por exemplo. de uma premissa menor (termo médio) e de uma conclusão. No primeiro caso. necessariamente. somente pelo fato de terem sido postas”. o silogismo sai de uma premissa maior. Às vezes. Conhecendo-se a meiguice de Maria. que Pedro é um mamífero. por conseguinte. conforme a convicção de muitos estudiosos da lógica. percebe-se o seu uso pela maneira como o conteúdo (a matéria) fica exposta ou ordenada. também revelam as limitações humanas no que diz respeito à construção do conhecimento. A previsão meteorológica é um exemplo particular de probalidade natural.ApostilasBrasil. O silogismo é o melhor exemplo desse tipo de raciocínio: Premissa maior: Todos os homens são mamíferos. Raciocínio dedutivo . enquanto que. mesmo que se revelem pouco criativos em termos de pesquisa científica. De certo modo. os seus atos sempre foram pautados pelo respeito às leis e à dignidade de seus pares. É o caso da possibilidade de um comportamento criminoso ou virtuoso. Uma vez posto que todos os homens são mamíferos e que Pedro é homem. da observação do comportamento do amigo infere-se sua inocência. no segundo exemplo. a) A probabilidade matemática é aquela na qual. b. há de se inferir. Pedro é mamífero. Observem-se os exemplos: . colocadas certas coisas.Não parece haver grandes esperanças em se erradicar a corrupção do cenário político brasileiro. constata-se que são 32 peças. a conclusão já está presente nas premissas. Particular No raciocínio dedutivo. progride através da premissa menor e infere. Seu Futuro é o Nosso Presente! sorteio usando uma moeda. Assim sendo. há sempre a possibilidade do erro. 2.1. no caso de um Raciocínio Lógico c) A probabilidade natural é a relativa a fenômenos naturais dos quais nem todas as possibilidades são conhecidas. Exemplos: considerando seu comportamento pregresso. 2. de uma reação alegre ou triste etc.. a probabilidade de dar cara é de 50% e a de dar coroa também é de 50%. inversamente ao indutivo. apesar de boas chances do contrário.a. partindo-se dos casos numerados. encontrando-se maneiras inusitadas de ludibriar a nação. Conclusão: Logo. sob forma de fração. contam-se ou conferem-se todos as peças do jogo de xadrez: ao final da contagem. Analogia. A teoria do caos assenta-se na tese da imprevisibilidade relativa e da descrição apenas parcial de alguns eventos naturais. Nesses raciocínios. a moral e a natural. todos os casos são verificados e contabilizados. basta observar algumas regras e inferir a conclusão. Em outras palavras. é provável que ela o receba bem.Sentia-me totalmente tranqüilo quanto ao meu amigo. depois das provas apresentadas nas CPI’s. parte-se do geral e vai-se ao particular. Aristóteles refere-se à dedução como “a inferência na qual.b. de uma premissa de cunho geral podem-se tirar conclusões de cunho particular. O raciocínio indutivo nem sempre aparece estruturado nos moldes acima citados. até então. enquanto alguns insinuavam a sua culpa. universal Premissa menor: Pedro é homem. é provável que Pedro não tenha cometido o crime. a constatação de que diversas tentativas de erradicar a corrupção mostraram-se infrutíferas conduzem à conclusão da impossibilidade de sua superação. Isso ocorre porque se está lidando com probabilidades e estas não são sinônimas de certezas. Há três tipos principais de probabilidades: a matemática. mas. eu continuava seguro de sua inocência. a conclusão segura de que a dor de cabeça é um dos sintomas da dengue. por sua vez. Depois da série de protestos realizados pela população. fundamentam a conclusão. Elas expressam muito bem a necessidade humana de explicar e prever os acontecimentos e as coisas. Exemplos correspondentes às duas formas de indução por enumeração completa: b) A probabilidade moral é a relativa a fatos humanos destituídos de caráter matemático.a. o denominador representa os casos possíveis e o numerador o número de casos favoráveis. pois.. uma conclusão adequada. a indução e a analogia são passíveis de conclusões inexatas. contudo..3.do geral ao particular O raciocínio dedutivo. todas as ocorrências de dengue foram investigadas e em cada uma delas foi constatada uma característica própria desse estado de morbidez: fortes dores de cabeça. b. outra diferente se lhe segue necessariamente. apresenta novos tentáculos. Por lidarem com probabilidades. portanto. Exemplo de formulação incorreta: Premissa Maior: Todos os bens morais devem ser desejados. não se tira uma conclusão negativa. Exemplo de formulação incorreta: Termo Maior: Antônio e José são poetas.3. Conclusão: (?) Fonte: estudaki. que outras verdades podemos inferir delas unicamente por meio do raciocínio? Estas questões são respondidas na sua obra Analíticos Posteriores. Termo Médio: Maria é uma gata(2). Termo Menor: Pedro ou é homem (?) ou pode infringir a lei. Regras dos Termos 1) Qualquer silogismo possui somente três termos: maior. Quais delas são consistentes ou inconsistentes com as outras? Quando temos uma ou mais afirmações verdadeiras. “Antonio e José” é um termo menos extenso que “todos os surfistas”. ato que fere a lei é o termo médio e concussão é o menor. Exemplo de formulação incorreta: Termo Maior: Todos os homens podem infringir a lei.1.com/2009/03/logicaargumentacao. 4) O termo médio deve ser tomado ao menos uma vez em sua extensão universal. A ocorrência do termo médio “homem” na conclusão é inoportuna. Termo Médio: Mimi é um gato. A premissa mais fraca é sempre a de caráter negativo. Exemplo de formulação incorreta: Premissa Maior: As aves são animais que voam. Premissa Menor: Um gato foi covarde. Termo Menor: Pedro pode infringir a lei. Exemplo de formulação incorreta: Premissa Maior: Mimi é um gato. As Regras do Silogismo Oito são as regras que fazem do silogismo um raciocínio perfeitamente lógico. "nenhum" e "alguns". os ignorantes são sábios O predicado “homens” do termo médio não é universal. Conclusão: Alguns animais voam. por sua vez. as premissas são chamadas de proposições que.1. Aristóteles não toma como elementos básicos da estrutura lógica as frases simples compostas por substantivo e verbo.3.1. Exemplo de formulação correta: Termo Maior: Todos os homens podem infringir a lei. Regras das Premissas 5) De duas premissas negativas.3. 3) O predicado do termo médio não pode entrar na conclusão. médio e menor.1.1. 2. Exemplo de formulação incorreta: Premissa Maior: Nenhum gato é mamífero Premissa Menor: Lulu não é um gato. Exemplo de formulação correta: Termo Maior: Todos os gatos são mamíferos.1. 2. há quatro termos ao invés de três. São elas: 2. escreveu: No caso da retórica existiam muito escritos antigos para nos apoiarmos. mas no caso da lógica nada tínhamos absolutamente a referir até termos passado muito tempo em laboriosa investigação. Termo Menor: Maria é quadrúpede. Os termos de um silogismo são necessariamente três: maior. O termo “gata” tem dois significados. nada se conclui. médio e menor. 8) De duas premissas particulares nada se conclui. Termo Médio: Pedro é homem. Exemplo de formulação correta: Termo Maior: Todos os homens são dotados de habilidades. As quatro primeiras dizem respeito às relações entre os termos e as demais dizem respeito às relações entre as premissas. Ao contrário de Platão. punível é o termo maior. Exemplo de formulação incorreta: Termo Maior: Toda gata(1) é quadrúpede. Exemplo de formulação incorreta: Termo Maior: Alguns homens são sábios. 6) De duas premissas afirmativas. Raciocínio Lógico Seu Futuro é o Nosso Presente! Termo Médio: Pedro é homem. Termo Médio: Ora os ignorantes são homens Termo Menor: Logo. No exemplo acima.wordpress. Termo Menor: Nikita é feroz. como "Teeteto está sentado". Termo Menor: Pedro é dotado de habilidades. Termo Médio: Pedro é homem. No fim de uma das suas obras de lógica. o termo médio é o que serve de intermediário ou de conexão entre os outros dois termos (não figura na conclusão) e o termo menor é o de menor extensão (normalmente. é o predicado da conclusão).ApostilasBrasil. Conclusão: Alguns animais não voam. Está muito mais interessado em classificar frases que começam por "todos". são a expressão oral ou gráfica de frases assertivas ou juízos. Conclusão: (?). O termo é uma palavra ou um conjunto de palavras que exprime um conceito.files.2. Termo Menor: Todos os surfistas são poetas. é o sujeito da conclusão). Exemplo de formulação incorreta: Premissa Maior: As aves são animais que voam. O termo maior é aquele cuja extensão é maior (normalmente. Premissa Menor: Alguns animais não são aves.1. Afirma-o explicitamente em apenas um caso: o da lógica. Termo Médio: Nikita é uma onça. a concussão é punível Conclusão O silogismo estrutura-se por premissas. Premissa Menor: Ajudar ao próximo é um bem moral. Termo Médio: Antônio e José são surfistas. Exemplo de formulação correta: Termo Maior: Todas as onças são ferozes.com Todos os atos que ferem a lei são puníveis Premissa Maior A concussão é um ato que fere a lei Premissa Menor Logo. 2) Os termos da conclusão nunca podem ser mais extensos que os termos das premissas. Conclusão: Ajudar ao próximo não (?) deve ser desejado. No âmbito da lógica.pdf A FUNDAÇÃO DA LÓGICA Anthony Kenny Universidade de Oxford Muitas das ciências para as quais Aristóteles contribuiu foram disciplinas que ele próprio fundou. Termo Menor: Mimi é um mamífero. Premissa Menor: Alguns animais não são aves. 7) A conclusão segue sempre a premissa mais fraca. As principais investigações lógicas de Aristóteles incidiam sobre as relações entre as frases que fazem afirmações. mas particular. e em avaliar as infe- 35 . Aristóteles serviu-se então destas classificações para estabelecer regras para avaliar as inferências. As ciências práticas são aquelas que guiam os comportamentos. Alguns mamíferos são animais terrestres. para que um silogismo seja válido é necessário que pelo menos uma premissa seja afirmativa e que pelo menos uma seja universal. todo o A é C.com rências entre elas. São ambas inferências que retiram uma conclusão a partir de duas premissas. é de noite. Em cada inferência há uma palavra-chave que surge no sujeito gramatical da conclusão e numa das premissas. as práticas e as teóricas. Aristóteles estuda todas as formas possíveis de inferência silogística e estabelece um conjunto de princípios que permitem distinguir os bons silogismos dos maus. Aristóteles nomeia as suas três divisões: "física. alguns europeus são do sexo masculino. não obstante a sua conclusão ser de facto verdadeira. as regras de Aristóteles bastam para validar os silogismos válidos e para eliminar os inválidos. mas nesta classificação só a matemática é aquilo que parece ser. mas não com as inferências que dependem de palavras como "se…. Uma forma de definir a lógica é dizer que é uma disciplina que distingue entre as boas e as más inferências. por exemplo. Embora o próprio Euclides tivesse nascido numa altura tardia da vida de Aristóteles. As ciências teóricas são aquelas que não possuem um objectivo produtivo nem prático. em ambos os casos. Só 22 séculos após a morte de Aristóteles esta lacuna seria colmatada. afirma Aristóteles. As regras de Aristóteles não nos permitem determinar. matemática. corresponde apenas a uma fracção da lógica. então ". a primeira é válida. Das duas inferências apresentadas acima. a ciência teórica é tripartida. Aristóteles pensava que a sua silogística era suficiente para lidar com todas as inferências válidas possíveis. Uma vez que a inferência 3) conduz a uma falsa conclusão a partir de premissas verdadeiras. E apresenta dois pontos fracos. ou teoremas. Em primeiro lugar. mas não é de dia. O termo "física" designa a filosofia natural ou o estudo da 36 . Estava enganado. Logo. A lógica não teria conseguido avançar além dos seus primeiros passos sem as letras esquemáticas. Por sua vez. A obra Analíticos Anteriores mostra-nos de que modo a lógica funciona nas ciências. 2) Todas as vacas são mamíferos. Quem estudou geometria euclidiana na escola recorda-se certamente das muitas verdades geométricas. destacando-se entre elas a política e a ética. tanto as premissas como a conclusão são verdadeiras. chamamos "silogística". Por exemplo. teologia". Aquelas que começam pela palavra "todos" são proposições universais. Em segundo lugar. podemos ver que a forma do argumento 4) não é de confiança. e a sua invenção foi tão importante para a lógica quanto a invenção da álgebra para a matemática. As ciências poderiam ser ordenadas hierarquicamente. como poderemos verificar se mostrarmos a sua estrutura por meio de letras esquemáticas: 4) Todo o A é B. e cada ciência teria o seu próprio conjunto especial de axiomas. mas mais um instrumento ou ferramenta das ciências. ainda que completo em si mesmo. denominadas "Organon" a partir da palavra grega para instrumento. todas as vacas são quadrúpedes. Ao ramo da lógica que estuda a validade de inferências deste tipo. A lógica forneceria as regras para a derivação de teoremas a partir de axiomas. Consideremos as duas inferências seguintes: 1) Todos os gregos são europeus. As ciências produtivas incluem a engenharia e a arquitectura. cujos produtos são menos concretos. Uma inferência válida é uma inferência que nunca conduz de premissas verdadeiras a uma conclusão falsa. este método axiomático era já familiar aos geómetras. Logo. Esta inferência tem a mesma forma que a inferência 2). Mas podemos rejeitá-la com base no "portanto": a conclusão pode ser verdadeira. Se tomarmos o termo "ciência" numa acepção ampla. De facto. e a segunda inválida. Alguns gregos são do sexo masculino. Aquelas que contêm a palavra "não" são proposições negativas. Só alguns séculos mais tarde se pôde formalizar padrões de inferência como este: "Se não é de dia. Alguns mamíferos são quadrúpedes. Podemos esclarecer melhor este assunto se concebermos uma inferência paralela que. portanto é de noite".ApostilasBrasil. mas que procuram a verdade pela verdade. a validade de inferências que contenham premissas como "Todos os estudantes conhecem algumas datas" ou "Algumas pessoas detestam os polícias todos". Não podemos rejeitar a segunda inferência com base na falsidade das frases que a constituem. o sistema. mesmo no seu próprio campo de acção. Começa por classificar individualmente as frases ou proposições das premissas. e disciplinas como a retórica e a dramaturgia. é possível distinguir três tipos de ciências: as produtivas. e uma outra palavra-chave que surge no predicado gramatical da conclusão e na outra premissa. com as ciências inferiores tratando como axiomas proposições que poderiam ser teoremas de uma ciência superior. iniciado por Aristóteles. para que aceitemos a inferência 1) e rejeitemos a inferência 2). e a sua utilização é hoje entendida como um dado adquirido. aquelas que começam com "alguns" são proposições Raciocínio Lógico Seu Futuro é o Nosso Presente! particulares. conduza a uma conclusão falsa. Por exemplo: 3)Todas as baleias são mamíferos. talvez não seja tanto uma ciência em si mesma. Daí a não validade da inferência 2). Algum B é C. Aristóteles dedicou muita atenção às inferências que apresentam esta característica. alcançadas por raciocínio dedutivo a partir de um pequeno conjunto de outras verdades chamadas "axiomas". Logo. mas algures no predicado gramatical. Na sua totalidade. a lógica de Aristóteles não é capaz de lidar com inferências nas quais palavras como "todos" e "alguns" (ou "cada um" e "nenhum") surjam não na posição do sujeito. hoje chamadas "silogismos". a partir da palavra grega que ele usou para as designar. por exemplo. mas não se segue das premissas. Foi essa a ideia que os sucessores de Aristóteles retiraram das suas obras de lógica. todas as baleias são animais terrestres. Logo. A lógica é utilizada em todas as diversas ciências que Aristóteles estudou. É verdade que. São suficientes. e Aristóteles pensava que podia ser amplamente aplicado. as outras são afirmativas. que interligam as frases. As duas inferências têm muitas coisas em comum. a conclusão tem de ser negativa. só lida com as inferências que dependem de palavras como "todos" e "alguns". mas foi Aristóteles quem primeiro começou a utilizá-las. que se ligam a substantivos. partindo de premissas verdadeiras. se ambas as premissas forem negativas. ApostilasBrasil.com natureza (physis); inclui, além das disciplinas que hoje integraríamos no campo da física, a química, a biologia e a psicologia humana e animal. A "teologia" é, para Aristóteles, o estudo de entidades superiores e acima do ser humano, ou seja, os céus estrelados, bem como todas as divindades que poderão habitá-los. Aristóteles não se refere à "metafísica"; de facto, a palavra significa apenas "depois da física" e foi utilizada para referenciar as obras de Aristóteles catalogadas a seguir à sua Física. Mas muito daquilo que Aristóteles escreveu seria hoje naturalmente descrito como "metafísica"; e ele tinha de facto a sua própria designação para essa disciplina, como veremos mais à frente. Anthony Kenny ARGUMENTOS DEDUTIVOS E INDUTIVOS Desidério Murcho É comum falar em argumentos dedutivos, opondo-os aos indutivos. Este artigo procura mostrar que há um conjunto de aspectos subtis que devem ser tidos em linha de conta, caso contrário será tudo muito confuso. Antes de mais: a expressão "argumento indutivo" ou "indução" dá origem a confusões porque se pode ter dois tipos muito diferentes de argumentos: as generalizações e as previsões. Uma generalização é um argumento como Todos os corvos observados até hoje são pretos. Logo, todos os corvos são pretos. Numa generalização parte-se de algumas verdades acerca de alguns membros de um dado domínio e generaliza-se essas verdades para todos os membros desse domínio, ou pelo menos para mais. Uma previsão é um argumento como Todos os corvos observados até hoje são pretos. Logo, o próximo corvo que observarmos será preto. Uma pessoa imaginativa e com vontade de reduzir coisas — uma síndrome comum em filosofia — pode querer afirmar que podemos reduzir as previsões às generalizações via dedução: a conclusão da previsão acima segue-se dedutivamente da conclusão da generalização anterior. Não acho que isto capta de modo algum a natureza lógica ou conceptual da previsão, mas isso não é relevante neste artigo. O que conta é que, mesmo que a previsão seja redutível à generalização mais dedução, continua a ser um modo comum de falar e uma parte importante do nosso pensamento. Numa veia ainda reducionista, algumas pessoas poderão querer dizer que todos os outros tipos de argumentos não dedutivos se reduzem à generalização e à previsão. Assim, não valeria a pena falar de argumentos de autoridade, por exemplo, que são argumentos como o seguinte: Einstein afirmou que não se pode viajar mais depressa do que a luz. Logo, não se pode viajar mais depressa do que a luz. Uma vez mais: pode ser que este tipo de argumentos seja redutível à generalização e à previsão. Mas é útil compreender que este tipo de argumentos tem exigências próprias e portanto é útil falar deles explicitamente, ainda que se trate de um tipo de inferência redutível a qualquer outro tipo ou tipos. Raciocínio Lógico Seu Futuro é o Nosso Presente! Dados estes esclarecimentos, importa agora esclarecer o seguinte: O que é um argumento dedutivo? E como se distingue tal coisa de um argumento indutivo? Vou começar por dizer o modo como não se deve entender estas noções. A primeira coisa a não fazer é pensar que um argumento dedutivo se caracteriza por ser impossível a sua conclusão ser falsa se as suas premissas forem verdadeiras. Pensar isto provoca confusão porque significaria que não há argumentos dedutivos inválidos. Porquê? Porque só nos argumentos dedutivos válidos é impossível a conclusão ser falsa se as suas premissas forem verdadeiras; nos argumentos dedutivos inválidos, nas falácias (como a afirmação da antecedente, por exemplo) é perfeitamente possível as premissas serem verdadeiras e a conclusão falsa. Em termos rigorosos, não há problem algum com esta opção; significa apenas que estamos a dar ao termo "dedução" força factiva, como damos ao termo "demonstração". Do mesmo modo que não há demonstrações inválidas, também não há, de acordo com esta opção, deduções inválidas. Se é uma dedução, é válida; se é uma demostração, é válida. Uma "demonstração" inválida nada demonstra; uma "dedução" inválida nada deduz. O primeiro problema desta opção é exigir a reforma do modo como geralmente se fala e escreve sobre argumentos dedutivos — pois é comum falar de argumentos dedutivos inválidos, como as falácias formais (por oposição às informais). Este problema não é decisivo, caso não se levantasse outro problema: o segundo. O segundo problema é o seguinte: Dado que todos os argumentos são dedutivos ou não dedutivos (ou indutivos, se quisermos reduzir todo o campo da não dedução à indução), e dado que não faz muito sentido usar o termo "dedução" factivamente e o termo "indução" não factivamente, o resultado bizarro é que deixa de haver argumentos inválidos. O termo "argumento" torna-se factivo tal como os termos "dedução" e "indução". E isto já é demasiado rebuscado; as pessoas não usam mesmo o termo deste modo, nunca; passamos a vida a falar de argumentos inválidos. E faz todo o sentido que o façamos, pois se adoptarmos o entendimento factivo do termo um "argumento" inválido não é de todo em todo um argumento: é apenas um conjunto de proposições. É sem dúvida possível aceitar o resultado bizarro, e passar a usar o termo "argumento" factivamente. Mas se tivermos a possibilidade de o evitar, de forma fundamentada e reflectida, estaremos a facilitar as coisas — sobretudo ao nível do ensino. E temos possibilidade de evitar este resultado bizarro, e manter o uso de "argumento" de tal modo que faça sentido falar de argumentos inválidos, de deduções inválidas e de induções inválidas. Para o fazer temos de distinguir cuidadosamente a noção de argumento (dedutivo ou não) da noção de validade (dedutiva ou não). Podemos, claro, usar um termo diferente para a validade não dedutiva, e reservar o termo "validade" para a validade dedutiva, mas esta é uma mera opção terminológica: tanto faz. O que é crucial é poder dizer que um argumento é dedutivo, apesar de inválido, ou indutivo, apesar de inválido. E como se faz isso? Apresentando os argumentos dedutivos como argumentos cuja validade ou invalidade depende exclusivamente da sua forma lógica; e os argumentos não dedutivos como argumentos cuja validade ou invalidade não depende exclusivamente da sua forma lógica. Evidentemente, isto não se aplica a todos os argumentos dedutivos, mas esta é uma 37 ApostilasBrasil.com complicação que esclareceremos dentro de momentos. Para já, vejamos alguns exemplos: Se Sócrates era ateniense, era grego. Sócrates era grego. Logo, era ateniense. Seu Futuro é o Nosso Presente! Os diagramas lógicos são usados na resolução de vários problemas. Uma situação que esses diagramas poderão ser usados, é na determinação da quantidade de elementos que apresentam uma determinada característica. Se Sócrates era ateniense, era grego. Sócrates era ateniense. Logo, era grego. O primeiro argumento é inválido. Mas qualquer argumento indutivo, ainda que válido, sofre deste tipo de invalidade dedutiva. Devemos então dizer que os argumentos dedutivamente inválidos não se distinguem dos argumentos indutivos válidos? Claro que não, dado que eles se distinguem muito claramente uns dos outros. O primeiro argumento é dedutivamente inválido porque a sua invalidade pode ser explicada recorrendo unicamente à sua forma lógica. Mas seria uma enorme falta de sensibilidade lógica abandonar uma indução boa com base no facto de a sua forma lógica e a verdade das suas premissas não garantir a verdade da sua conclusão. Assim, um argumento é dedutivo ou indutivo em função da explicação mais adequada que tivermos para a sua validade ou invalidade. Um argumento dedutivo inválido explicase adequadamente recorrendo unicamente à sua forma lógica, no sentido em que a sua forma lógica é suficiente para distinguir os argumentos dedutivos inválidos dos válidos; o mesmo não acontece com os argumentos indutivos, pois a sua validade ou invalidade não depende exclusivamente da sua forma lógica. Assim, se num grupo de pessoas há 43 que dirigem carro, 18 que dirigem moto e 10 que dirigem carro e moto. Baseandose nesses dados, e nos diagramas lógicos poderemos saber: Quantas pessoas têm no grupo ou quantas dirigem somente carro ou ainda quantas dirigem somente motos. Vamos inicialmente montar os diagramas dos conjuntos que representam os motoristas de motos e motoristas de carros. Começaremos marcando quantos elementos tem a intersecção e depois completaremos os outros espaços. Deste modo, podemos manter a tradição de falar de argumentos dedutivos e indutivos; e podemos dizer que há argumentos dedutivos inválidos; e não somos forçados a aceitar que todo o argumento indutivo, por melhor que seja, é sempre um argumento dedutivo inválido. Isto não acontece porque os argumentos dedutivos nunca são indutivos, ainda que sejam inválidos. Porque o que conta é o tipo de explicação adequada para a sua validade ou invalidade. Em termos primitivos, pois, o que conta é a validade e invalidade; há diferentes tipos de validade e invalidade: a dedutiva e a indutiva. E os argumentos são dedutivos ou indutivos consoante a sua validade ou invalidade for dedutiva ou indutiva. Marcando o valor da intersecção, então iremos subtraindo esse valor da quantidade de elementos dos conjuntos A e B. A partir dos valores reais, é que poderemos responder as perguntas feitas. É agora tempo de esclarecer que nem todos os argumentos dedutivos dependem exclusivamente da sua forma lógica; há argumentos dedutivos de carácter conceptual, como "O João é casado; logo, não é solteiro". Não é difícil acomodar estas variedades de dedução não formal no esquema aqui proposto: tudo depende da melhor explicação disponível para a validade ou invalidade em causa. Podemos assim continuar a falar de argumentos dedutivos e indutivos, validos ou inválidos. E os argumentos dedutivos inválidos nunca são uma subclasse dos argumentos indutivos. DIAGRAMAS LÓGICOS Prof Msc SANDRO FABIAN FRANCILIO DORNELLES Introdução Raciocínio Lógico a) Temos no grupo: 8 + 10 + 33 = 51 motoristas. b) Dirigem somente carros 33 motoristas. c) Dirigem somente motos 8 motoristas. No caso de uma pesquisa de opinião sobre a preferência quanto à leitura de três jornais. A, B e C, foi apresentada a seguinte tabela: 38 ApostilasBrasil.com Para termos os valores reais da pesquisa, vamos inicialmente montar os diagramas que representam cada conjunto. A colocação dos valores começará pela intersecção dos três conjuntos e depois para as intersecções duas a duas e por último às regiões que representam cada conjunto individualmente. Representaremos esses conjuntos dentro de um retângulo que indicará o conjunto universo da pesquisa. Seu Futuro é o Nosso Presente! Com essa distribuição, poderemos notar que 205 pessoas lêem apenas o jornal A. Prof Msc SANDRO FABIAN FRANCILIO DORNELLES Verificamos que 500 pessoas não lêem o jornal C, pois é a soma 205 + 30 + 115 + 150. Notamos ainda que 700 pessoas foram entrevistadas, que é a soma 205 + 30 + 25 + 40 + 115 + 65 + 70 + 150. EXERCÍCIOS DE CONCURSOS Diagramas Lógicos 1. De um total de 30 agentes administrativos sabe-se que: I. 18 gostam de cinema II. 14 gostam de teatro III. 2 não gostam de cinema, nem de teatro O número de agentes que gostam de cinema e de teatro corresponde a: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 2. De um grupo de N auxiliares técnicos de produção, 44 lêem jornal A, 42 o jornal B e 18 lêem ambos os jornais. sabendo que todo auxiliar deste grupo é leitor de pelo menos um dos jornais, o número N de auxiliares é: R: c) 68 Fora dos diagramas teremos 150 elementos que não são leitores de nenhum dos três jornais. Na região I, teremos: 70 - 40 = 30 elementos. Na região II, teremos: 65 - 40 = 25 elementos. Na região III, teremos: 105 - 40 = 65 elementos. Na região IV, teremos: 300 - 40 - 30 - 25 = 205 elementos. Na região V, teremos: 250 - 40 -30 - 65 = 115 elementos. Na região VI, teremos: 200 - 40 - 25 - 65 = 70 elementos. Dessa forma, o diagrama figura preenchido com os seguintes elementos: Raciocínio Lógico 3. Em uma turma, 45% dos alunos falam inglês e 33% falam francês. Se 25% dos alunos não falam nenhuma duas línguas, a porcentagem de alunos que falam francês, mas não falam inglês é de: a) 3% b) 15% c) 27% d) 30% e) 33% 4. Realizou-se uma pesquisa e verificou-se que, das pessoas consultadas, 200 ouviam a rádio A, 300 ouviam a rádio B, 20 ouviam as duas rádios (A e B) e 220 não ouviam nenhuma das duas rádios. Quantas pessoas foram consultadas? a) 520 b) 560 c) 640 d) 680 e) 700 39 30.  o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número dos alunos que praticam só vôlei.ApostilasBrasil. O numero de estudantes que usa ao mesmo tempo. basquete e vôlei. Quantas pessoas foram entrevistadas: a) 670 b) 970 c) 870 d) 610 Raciocínio Lógico Seu Futuro é o Nosso Presente! e) 510 11. 6 usam óculos e 8 usam relógio.170 e) n. (NCNB_02) Uma professora levou alguns alunos ao parque de diversões chamado Sonho. 50 pessoas compram os produtos B e C. 250 pessoas compram o produto C. 210 pessoas compram o produto N. 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete. apenas o produto C. óculos e relógio é: a) exatamente 6 b) exatamente 2 c) no mínimo 6 d) no máximo 5 e) no mínimo 4 10. foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a 3 produtos: A. C e U ( universo ). No problema anterior. entre os 45. (ICMS_97_VUNESP) Em uma classe. (A_MPU_ESAF_04) Um colégio oferece a seus alunos à prática de um ou mais de um dos seguintes esportes: futebol. Em uma pesquisa. no atual semestre. 17 alunos praticam futebol e vôlei.  45 alunos praticam futebol e basquete. B e C.  6 já andaram de montanha russa.mostrou os seguintes resultados: Do total de pessoas entrevistadas: 500 assinam o jornal X 350 têm curso superior 250 assinam o jornal X e têm nível superior Do total de mulheres entrevistadas: 200 assinam o jornal X 150 têm curso superior 50 assinam o jornal X e têm nível superior O número de homens entrevistados que não assinam o jornal X e não têm curso superior é. Ao todo. Quantos assistiam à televisão de dia e de noite? a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 6. 60 iam regularmente ao teatro e 50 não iam regularmente nem ao cinema nem ao teatro. igual a: a) 100 b) 200 c) 0 d) 50 e) 25 14. Ao todo. Quantas dessas pessoas iam regularmente a ambos? a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 7.250 b) 150. é igual a: a) 93 b) 114 c) 103 d) 110 e) 99 13. O número total de alunos do colégio.150 d) 120. Ao todo. calcular quantas pessoas compram apenas o produto A. 60 assistiam à televisão à noite e 50 assistiam à televisão de dia. A região sombreada corresponde à seguinte operação:   40 . Sabe-se que. foram entrevistados 100 telespectadores. B. No diagrama abaixo. O total dos que praticam vôlei é 15.d. 100 pessoas não compram nenhum dos 3 produtos. 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei. Pode-se afirmar que a professora levou ao parque Sonho: a) 60 alunos b) 48 alunos c) 42 alunos d) 366alunos e) 32 alunos 8.150. Numa pesquisa de mercado. 20 pessoas compram os três produtos. foram entrevistadas 200 pessoas.140. apenas o produto B. no atual semestre. não praticam vôlei. mas nunca haviam ido ao parque Sonho.a. 18 nunca haviam ido ao parque Sonho.180 c) 100. Desses alunos: 16 já haviam ido ao parque Sonho. existem 17 alunos que não praticam futebol. Em uma pesquisa.210.com 5. 70 pessoas compram os produtos A eC. portanto. 12. há 20 alunos que praticam futebol mas não praticam vôlei e há 8 alunos que praticam vôlei mas não praticam futebol.120. 20 já andaram de montanha russa. (ESAF_97) Uma pesquisa entre 800 consumidores sendo 400 homens e 400 mulheres. O número de alunos da classe é: a) 30 b) 35 c) 37 d) 42 e) 44 9. considere os conjuntos A. Os resultados da pesquisa indicaram que: 210 pessoas compram o produto A. a) 210. mas nunca andaram de montanha russa.  20 alunos praticam vôlei e basquete. 60 pessoas compram o produto A e B. Suponhamos que numa equipe de 10 estudantes. 100 delas iam regularmente ao cinema. (UNB) Numa entrevista realizada pelo Departamento de Ciências Econômicas da UCG com 50 pessoas. Nessa livraria.C. Mais de 140 moradores apresentaram pelo menos. Pedro. "Não tem ninguém aqui" é equivalente à "Tem alguém aqui". Semanticamente. os vírus A e C. Com base nas informações acima é possível que Pedro. Selecionado para compra um livro nacional de direito de capa dura. p e q são equivalentes se elas têm os mesmos valores para qualquer interpretação. alguns livros de direito e todos os de administração fazem parte dos produtos nacionais.E. Normalmente argumentos são utilizados para provar ou disprovar algum enunciado ou para convencer alguém da verdade ou da falsidade de um enunciado.C 15.com a) A ∪ B ∪ C b) (A ∪ B) ∩ C c) A ∩ B∩ C d) (A ∩ B) ∪ C EQUIVALÊNCIA LÓGICA QUESTÕES CERTO / ERRADO (CESPE / UNB) 15. necessitando adquirir livros para se preparar para o concurso. se p = q e q = p.E. 17.C. III. Respostas exercícios: 1-C 2-A 3-A 4-B 5-B RESPOSTAS 1. Todos os metais se dilatam com o calor 2. ~p: Dá para não ler.D Seu Futuro é o Nosso Presente! 11. (MPU_99UNB) Em exames de sangue realizados em 500 moradores de uma região com péssimas condições sanitárias foi constatada a presença de três tipos de vírus: A. Logicamente falando.C. que vende livros nacionais e importados. ou uma conclusão. V. Exemplos: a) p: Não tem ninguém aqui.E 9. EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS NOTÁVEIS Negação da Negação (Dupla Negação) ~(~p) ⇔ p p ~q ~(p) F V F V F V Como as tabelas-verdade são idênticas podemos dizer ⇔ p. III. e embora eles se disponham numa forma geralmente associada com a de um argu- 41 . Do ponto de vista da teoria da demonstração. a UNICAMP é uma boa universidade. e os vírus B e C.C (certo) 16. o vírus B. 16. B. os vírus A e B. Além disso. O número de moradores que não foram contaminados pelos vírus B e C representa menos de 16% do total de pessoas examinadas. obteve-se o seguinte resultado: 21 pessoas disseram que aplicam em fundos de renda fixa.A 7. ~(~p): Dá para ler. em 80.E 13. Em termos intuitivos. Alem disso. "Não dá para não ler" é equivalente à "Dá para ler". um argumento: 1. julgues os itens abaixo: I.B 2. Assim sendo. Num argumento os enunciados têm que ter uma certa relação entre si e é necessário que um deles seja apresentado como uma tese. não há livro nacional disponível de capa dura. 345 moradores apresentam somente um dos vírus. O resultado dos exames revelou que o vírus A estava presente em 210 moradores.C Raciocínio Lógico Na lógica. ~(~p): Tem alguém aqui.ApostilasBrasil.B 6.E. II. duas sentenças são logicamente equivalentes se possuem o mesmo "conteúdo lógico".E 10. O número de moradores que apresentam o vírus C é igual a 230. Adquirido dessa livraria um livro de economia de capa flexível.C 3. embora todos os enunciados sejam (pelo menos à primeira vista) verdadeiros. em 230. dois vírus. ou premissas para a conclusão. Todas os meses há pelo menos quatro domingos 3. Comprado um livro importado de direito de capa flexível. Com base nessa situação. 34 em cadernetas de poupança e 50 não aplicam em nenhuma dasmodalidades.: uma mesma pessoa pode aplicar em mais de uma modalidade). em 90. Logo. candidato ao cargo de Escrivão de Polícia Federal. Deste modo. ~p: Tem ninguém aqui.D 4.E 17.E 5. p e q são equivalentes se cada uma delas pode ser derivada a partir da outra. o seguinte conjunto de enunciados não é. IV.C.C 12. e os demais como justificativa da tese. Logicamente falando. especializada nas áreas de direito. na realidade. da classe média de Goiânia.mas não um conjunto qualquer de enunciados. O número de pessoas contaminadas pelo três vírus simultaneamente representa 9% do total de pessoas examinadas. C . tenha: I.A 14. acerca de suas preferências por aplicações de seus excedentes financeiros. em sua pesquisa. IV. em 70.B 8. as asserções p e q são ditas logicamente equivalentes ou simplesmente equivalentes. Neste caso. administração e economia. II. 10 pessoas aplicam nas duas modalidades (obs. Encontrado um livro de administração de capa dura. em 5 moradores não foi detectado nenhum dos três vírus e o numero de moradores infectados pelo vírus C era igual ao dobro dos infectados apenas pelo vírus B. utilizou um site de busca da Internet e pesquisou em uma livraria virtual. b) p: Não dá para não ler. ARGUMENTOS VÁLIDOS E INVÁLIDOS Eduardo O C Chaves Conceituação de Argumento Um argumento é um conjunto de enunciados -. que ~(~p)  Exemplo: "Não é verdade que Mario não é estudioso" é logicamente equivalente a "Mario é estudioso". Imaginemos o seguinte argumento. Sócrates é mortal. constituídos. z é x 9. Logo. geralmente. Dá-se o nome de falácia a um argumento inválido. Isso é indicativo do fato de que a validade de um argumento não depende de serem suas premissas e sua conclusão efetivamente verdadeiras. Como o argumento constituído pelos enunciados 4-6 é válido. premissa 2. muitas pessoas são persuadidas por argumentos desse tipo. ou um argumento válido com premissas falsas. A um argumento válido cujas premissas são todas verdadeiras (e. de eu herdar uma fortuna enorme de uma tia rica). Logo. Ou podem admitir sua validade e negar a verdade de uma ou mais de suas premissas. O argumento constituído pelo conjunto de enunciados (2) tem a seguinte forma: 7. tem premissas e conclusão todas falsas. Argumentos. Logo. Quando dois ou mais argumentos têm a mesma forma. portanto. necessariamente. A questão da cogência ou solidez de um argumento é ao mesmo tempo lógica (porque depende da sua validade) e epistemológica (porque depende de suas premissas serem verdadeiras). algumas pessoas podem estar certas da validade de um argumento e estar absolutamente convictas de que a conclusão é inaceitável.Existe relação de simetria. ser verdadeira. Em primeiro lugar. Contudo. a um argumento válido que possua premissas falsas. Sócrates é homem 6. e o argumento constituído pelos enunciados 10-12 tem a mesma forma (7-9). não fiquei milionário A questão da validade ou não de um argumento é inteiramente lógica. Se eu ganhar sozinho na Sena. Contradição Diz-se que há contradição quando se afirma e se nega simultaneamente algo sobre a mesma coisa. q A forma do segundo é: 22. portanto. este (1012) também é. não temos um argumento porque os enunciados não têm a menor relação entre si. Todos os homens são analfabetos 11. Podem admitir a verdade de suas premissas e negar sua validade. que tem a mesma forma do argumento constituído pelo conjunto de enunciados 4-6: 10. Ganhei sozinho na Sena 15. No entanto. Todos os x são y 8. Este argumento. necessariamente. Se p. este (1012) também é válido. quando é um argumento válido? Argumentos Válidos e Inválidos Um argumento é válido quando. todos os outros também são. Se eu ganhar sozinho na Sena. se um deles é válido. Raquel de Queiroz é analfabeta. Logo. muitas pessoas podem não admitir que o argumento é cogente ou sólido. No entanto. Logo. Seu Futuro é o Nosso Presente! primeiro é: 19. A questão da força persuasiva de um argumento é uma questão psicológica. Um argumento inválido (falácia). imaginando-se que se tem um conjunto de Esses dois argumentos são muito parecidos. Neste caso. nem sempre isso acontece. Falácias e Argumentos Sólidos ou Cogentes Argumentos da forma representada pelos enunciados 2224 são todos inválidos. e conclusão. z é y.ou pelo menos assim parecem à primeira vista. Sua conclusão. pois é válido e suas premissas são verdadeiras. O princípio da contradição informa que duas proposições contraditórias não podem ser ambas falsas ou ambas verdadeiras ao mesmo tempo. Todos os homens são mortais 5. A Forma de um Argumento e a Verdade das Premissas O último exemplo mostra que um argumento pode ser válido apesar de todas as suas premissas e a sua conclusão serem falsas. precedida por "logo"). temos um argumento válido. fiquei milionário Segundo: 16. Neste caso. pelos enunciados 13-15 e 16-18 Primeiro: 13. tem exatamente a mesma forma ou estrutura do argumento anterior (forma explicitada nos enunciados 7-9). q 20. Logo. não-q O primeiro argumento é válido porque se as duas premissas forem verdadeiras a conclusão tem que. todos os outros também são. por exemplo. p 21. O segundo argumento é inválido porque mesmo que as duas premissas sejam verdadeiras a conclusão pode ser falsa (na hipótese. não deveria convencer ninguém. A Forma de um Argumento Argumentos têm uma certa forma ou estrutura. Mas se esse é o caso. a sua conclusão tiver que. Considere os dois argumentos seguintes. respectivamente. Raquel de Queiroz é homem 12. Por exemplo.com mento (premissa 1. Convicção e Persuasão Um argumento cogente ou sólido deveria convencer a todos. Em segundo lugar. ser verdadeira (sob pena de auto-contradição). fico milionário 14. Não devemos sequer afirmar que temos um argumento inválido aqui. segue das premissas. em que todas as premissas são verdadeiras e a conclusão também -. o seguinte é um argumento: 4. Logo. Se p. cuja conclusão também é verdadeira) dáse o nome de um argumento cogente ou sólido. Por outro lado. ou psicossocial. se todas as suas premissas forem verdadeiras. ou falsa. fico milionário 17. Se o argumento anterior (4-6) é válido (e é). mas não. Se eu argumentar com 13 e 14. e concluir que não fiquei milionário. e se um deles é inválido. porque mesmo num argumento inválido as premissas e a conclusão precisam ter uma certa relação entre si. Não ganhei sozinho na Sena 18. não podem ter o mesmo valor de verdade. podem usar o mesmo argumento para mostrar que pelo menos uma de suas premissas tem que ser falsa. A forma do Raciocínio Lógico 42 .ApostilasBrasil. diferentemente do argumento constituído pelos enunciados 4-6. não-p 24. q 23. estou me contradizendo. "Toda Bola é Vermelha" tem que ser falsa e se "Alguma Bola não é Vermelha" for falsa. sem poderem ser demonstradas. "Alguma Bola não é Vermelha" tem que ser falsa se "Toda Bola é Vermelha" for falsa. equivalentemente. a afirmação "Toda Bola é Vermelha" e a afirmação "Nenhuma Bola é Vermelha". (A B)c = Ac Bc 2. Uma propriedade fundamental das tautologias é que existe um procedimento efetivo para testar se uma dada fórmula é sempre satisfeita (ou. As discussões em torno do princípio de contradição têm diferido consoante se acentua o lado ontológico ou o lado Raciocínio Lógico Tautologia Na lógica proposicional. no segundo. "Toda Bola é Vermelha" pode tanto ser verdadeira quanto falsa E sendo uma negação total (ao nível da quantidade e da qualidade) a contraditória da afirmação "As contraditórias das grandes verdades são grandes verdades" seria: Algumas contraditórias das grandes verdades não são grandes verdades. neste sentido.. trata-se então de saber se o princípio deve ser considerado como um axioma evidente por si mesmo ou como uma convenção da nossa linguagem que nos permite falar acerca da realidade. Quando se dá mais relevância ao lado ontológico. No primeiro caso o princípio refere-se à realidade. "Nenhuma Bola é Vermelha" tem que ser falsa mas se "Toda Bola é Vermelha" for falsa. A noção de contradição é. Estas formulações podem reduzir-se a três interpretações do mesmo princípio: ontológica. O primeiro pensador que apresentou este princípio de forma suficientemente ampla foi Aristóteles. Vamos construir a tabela verdade da proposição s : Considerando-se o que já foi visto até aqui. usada para a prova de algumas conclusões. Tais proposições são ditas insatísfatíveis. apresenta-o como uma «noção comum». Uma fórmula que não é nem uma tautologia nem uma contradição é dita logicamente contingente. lógica e metalógica. a sua negação é verdadeira. O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é a interseção dos complementares desses conjuntos. An)c = A1c A2c . duas proposições contraditórias não podem ser ambas verdadeiras ou ambas falsas. no processo dialético da sua evolução. uma fórmula proposicional que é falsa independentemente dos valores de verdade de suas variáveis. mas nem sempre o princípio é formulado do mesmo modo. enuncia-se do seguinte modo: «É impossível que uma coisa seja e não seja ao mesmo tempo. (A1 A2 . Várias partes da sua obra estão consagradas a este tema. teremos: Observe que quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples p e q. e então enunciado do modo seguinte: «não se pode ter p e não p». Noutras ocasiões. O problema de decisão de determinar se uma fórmula é satisfatível é o problema de satisfabilidade booleano. Anc Por outro lado. Com frequência. o princípio é uma regra que permite realizar inferências lógicas. é considerado como um princípio lógico.. O complementar da interseção de uma coleção finita de conjuntos é a reunião dos complementares desses conjuntos. visto que se "Toda Bola é Vermelha" for verdadeira. converte-se numa formula lógica ou numa tautologia de lógica sequencial. An)c = A1c A2c . uma tautologia (do grego ταυτολογία) é uma fórmula proposicional que é verdadeira para todas as possíveis valorações de suas variáveis proposicionais. "Toda Bola é Vermelha" tem que ser falsa mas se "Nenhuma Bola é Vermelha" for falsa. Às vezes apresenta-o como uma das «noções comuns» ou «axiomas» que servem de premissa para a demonstração. a negação de uma contradição é uma tautologia.com bolas. A negação de uma tautologia é uma contradição ou antilogia. Um método deste tipo usa as tabelas-verdade. que se enuncia do seguinte modo: ¬(p Ù ¬p) e que se chama geralmente de lei de contradição. Apresenta ainda este princípio como uma tese segundo a qual se uma proposição é verdadeira.. tal princípio é considerado um princípio ontológico e. um exemplo importante de um problema NPcompleto na teoria da complexidade computacional. "Toda Bola é Vermelha" tem que ser verdadeira Seu Futuro é o Nosso Presente! lógico e metalógico. não formam uma contradição. a afirmação "Toda Bola é Vermelha" e a afirmação "Alguma Bola não é Vermelha" formam uma contradição. geralmente estudada sob a forma de um princípio: o «princípio de contradição» ou «princípio de não contradição». Tal fórmula pode ser verdadeira ou falsa dependendo dos valores atribuídos para suas variáveis proposicionais. "Nenhuma Bola é Vermelha" pode tanto ser verdadeira quanto falsa e se "Nenhuma Bola é Vermelha" for verdadeira.ApostilasBrasil. quer dizer.. Tautologias e Contradições Considere a proposição composta s: (p∧q) → (p∧q) onde p e q são proposições simples lógicas quaisquer... O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a reunião dos complementares desses conjuntos. a realidade supera. Reciprocamente.. LEIS DE AUGUSTUS DE MORGAN 1. se seu complemento é insatisfatível). O complementar da reunião de uma coleção finita de conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos. a sua negação é falsa e se uma proposição é falsa. (A1 A2 . onde p é símbolo de um enunciado declarativo.. "Alguma Bola não é Vermelha" tem que ser verdadeira se "Alguma Bola não é Vermelha" for verdadeira. Anc 3. No terceiro caso. Outras vezes. ou de o negar supondo que a própria realidade é contraditória (Hereclito) ou que. visto que: se "Toda Bola é Vermelha" for verdadeira. (A B)c = Ac Bc 4. a proposição composta s é sem- 43 . trata-se sobretudo de afirmar o princípio como expressão da estrutura constitutiva do real. a mesma coisa». transcende ou vai mais além do princípio de contradição (Hegel). como a tese segundo a qual. Quando predomina o lado lógico e metalógico. podemos concluir que a proposição composta “Se o Sol é um planeta e a Terra é um planeta plano então o Sol é um planeta ou a Terra é um planeta plano” é uma proposição logicamente verdadeira.F). São válidas as seguintes propriedades: NOTA: Se uma proposição composta é formada por n proposições simples.g5ofertas. na última coluna da tabela verdade teremos V V V V. Ex. v uma proposição verdadeira e f uma proposição falsa. Trazendo isto para a linguagem comum. Álgebra das proposições Sejam p . http://www. Dizemos então que s é uma TAUTOLOGIA. as quais você poderá verificá-las. exemplos de TAUTOLOGIAS. senão vejamos: Seu Futuro é o Nosso Presente! b) como uma tautologia é sempre verdadeira. verificarmos que ela é sempre falsa. podemos dizer que as seguintes proposições compostas. q e r três proposições simples quaisquer. se ao construirmos uma tabela verdade para uma proposição composta.br/ 44 . Apresentaremos a seguir. Ex. uma contradição. simplesmente construindo as respectivas tabelas verdades: Sendo p e q duas proposições simples quaisquer. Opostamente.com pre logicamente verdadeira. a sua tabela verdade possuirá 2n linhas.: A proposição composta t: p∧~p é uma contradição. NOTAS: a) as tautologias acima são também conhecidas como regras de inferência. diremos que ela é uma CONTRADIÇÃO. podemos concluir que a negação de uma tautologia é sempre falsa.com. ou seja. Raciocínio Lógico Todas as propriedades acima podem ser verificadas com a construção das tabelas verdades.ApostilasBrasil.F) e q: A Terra é um planeta plano (valor lógico falso . considere as proposições: p: O Sol é um planeta (valor lógico falso . são TAUTOLOGIAS: 1) (p∧q) → p 2) p → (p∧q) 3) [p∧ (p→ q)] → q (esta tautologia recebe o nome particular de “modus ponens”) 4) [(p→ q) ∧ ~q] → ~p (esta tautologia recebe o nome particular de “modus tollens”) Você deverá construir as tabelas verdades para as proposições compostas acima e comprovar que elas realmente são tautologias. ou seja.: Construa a tabela verdade da proposição composta t: (p∧q) ∧r Teremos: Observe que a proposição acima não é Tautologia nem Contradição. Assimilaremos melhor este simbolismo se tivermos em conta que." Como é que podemos saber se todos os britânicos pertencem à mesma sub-classe que os homens sábios? É preciso notar que na primeira premissa "homens" é predicado e tem uma extensão particular. Esta regra pode ser violada facilmente quando se usa um termo com mais de um significado: "Se o cão é pai e o cão é teu. verificamos que no primeiro silogismo ele é sujeito na premissa maior e predicado na premissa menor. Estes dois termos são simbolizados respectivamente pelas letras P e S. Os outros dois termos são o termo maior.) Finalmente. Modo do silogismo Assim. Todo o M é P.. pois não se sabe que relação existe entre os dois grupos de homens considerados. existem outras duas formas mais vulgarizadas. (Nenhum M é P. Em primeiro lugar. Todo o S é M. A particular é mais fraca do que a universal e a negativa mais fraca do que a afirmativa. posse na segunda premissa e parentesco na conclusão. Regras das premissas 5. "homens" e "franceses".) Todos os jovens são travessos. pois nada é dito nas premissas acerca das baleias que não são orcas. então os franceses não são brasileiros. P. que figura na primeira premissa. com os respectivos esquemas: Nenhum asiático é europeu. P. como no-lo indicam os esquemas que os acompanham. que por isso é também designada de premissa maior.) Todos os coreanos são asiáti(Todo o S é M. o mesmo acontecendo se uma das premissas for negativa: "Se os europeus não são brasileiros e os franceses são europeus. I. O. S. Apenas existem três termos num silogismo: maior. Portanto nenhum coreano é (Portanto nenhum S é europeu. mas igualmente em relação à quantidade e qualidade dessas proposições e à maneira como o termo médio nelas se apresenta. o que invalida o raciocínio. Neste caso as premissas e a conclusão são todas proposições universais afirmativas (A). no primeiro silogismo temos uma proposição universal negativa (E). então. nada se pode concluir: "Se o homem não é réptil e o réptil não é peixe. (Algum S é M. 4. A conclusão segue sempre a premissa mais fraca. um silogismo com estas premissas violaria também a regra 4. Regras do silogismo São em número de oito. Nada se pode concluir de duas premissas particulares.) Portanto alguns políticos não são (Portanto algum S não ladrões. então os britânicos são sábios. (Todo o M é S. São duas as espécies de silogismos que estudaremos aqui. que recebem a sua designação do tipo de juízo ou proposição que forma a primeira premissa: O silogismo categórico A natureza do silogismo. De duas premissas negativas.) Ý Nenhum ladrão é sábio. De "Alguns homens são ricos" e "Alguns homens são sábios" nada se pode concluir. no terceiro. Assim. Isto significa que se uma das premissas for particular. (Nenhum P é M.) cos. Fazendo variar todos estes factores de todas as maneiras possíveis obteremos provavelmente uma soma assustadora de silogismos diferentes. ou raciocínio dedutivo. Todo o S é P. então todos os franceses são mortais. O termo médio não pode entrar na conclusão. O SILOGISMO O silogismo é uma forma de inferência mediata. e que servirá de ponto de partida para o nosso estudo desta forma de dedução: Se todos os homens são mortais e todos os franceses são homens. é predicado e o termo menor. De duas premissas afirmativas não se pode tirar conclusão negativa." Que conclusão se pode tirar daqui acerca do "homem" e do "peixe"? 6. é predicado em ambas as premissas. que figura na segunda premissa ou premissa menor. uma das quais será aquela que utilizaremos com mais frequência. nas três proposições entram unicamente três termos: "mortais". (Todo o M é P. 2. Regras dos termos 1. Um destes termos entra nas premissas mas não na conclusão: é o chamado termo médio. então é teu pai. é P." O termo "baleias" é particular na premissa e universal na conclusão. Logo todo o S é P." Que outra conclusão se poderia tirar? 8. o elo de necessidade lógica que liga as premissas à conclusão. Modo e figura do silogismo Consideremos os três silogismos seguintes. P. uma universal afirmativa (A) e mais uma universal negativa (E).) Portanto alguns travessos são (Portanto algum S é alegres.. Em segundo lugar. então as baleias são ferozes. Nenhum termo deve ter maior extensão na conclusão do que nas premissas: "Se as orcas são ferozes e algumas baleias são orcas.com Seu Futuro é o Nosso Presente! 3. que simbolizaremos pela letra M. A. no segundo. embora a forma que utilizamos para apresentar o silogismo seja a melhor para dar conta da ligação lógica entre as premissas e a conclusão e esteja mais de acordo com a formulação original de Aristóteles. a conclusão sê-lo-á igualmente. Aliás. 7. é sujeito. que é a 45 . Todo o S é M. está bem patente no exemplo que daremos a seguir.) Todos os jovens são alegres. Pelo menos uma vez o termo médio deve possuir uma extensão universal: "Se os britânicos são homens e alguns homens são sábios.) Alguns políticos são sábios. I. na conclusão. não apenas em relação às proposições concretas que os formam. particular afirmativa (I) ou particular negativa (O). Todo o M é P. Raciocínio Lógico Estes silogismos são. médio e menor.ApostilasBrasil. evidentemente. Quanto à posição do termo médio. o que faz com que este silogismo apresente na realidade quatro termos. mas cada uma poderia em princípio ser de qualquer outro tipo: universal negativa (E). Quatro referem-se aos termos e as outras quatro às premissas. se considerarmos o modo do silogismo. o termo maior. e que podem muito bem não ser ferozes." Aqui o termo "teu" tem dois significados. A. e o termo menor. notemos que o silogismo categórico é composto de três proposições ou juízos: duas premissas – "Todos os homens são mortais" e "Todos os franceses são homens" – e uma conclusão – "Todos os franceses são mortais". e no terceiro silogismo é sujeito também tanto na maior como na menor. temos a sequência E. diferentes. no segundo. de silogismo hipotético. mas convém rever o que dissemos anteriormente sobre o assunto (cf. uma vez que a aplicação das regras do silogismo permitem perfeitamente definir se um qualquer silogismo é ou não válido. Portanto alguns políticos não são ladrões. I. a primeira figura tem sido considerada como a mais importante. afirmar a verdade do antecedente é afirmar simultaneamente a verdade do consequente. modo Festino. então q. Inferência imediata ) –. os lógicos medievais associaram-nos a determinadas palavras. e que poderíamos sintetizar nas seguintes regras: 1. a afirmação do antecedente obriga à afirmação do consequente. Existe uma particularidade importante em relação às diversas figuras. é um exemplo de silogismo na primeira figura. Fresison. num silogismo na segunda figura e transformá-lo num silogismo na primeira figura. o modo IIO compõe-se de duas premissas particulares.ª figura: Bamalip. Os modos válidos das outras figuras teriam também as suas designações mnemónicas próprias: 2." A premissa menor limitase a repetir. O importante é notarmos que uma das proposições surge como consequência da outra. Por exemplo. de maneira que não se conseguem mais do que dezanove silogismos concludentes. Celarent. o antecedente –. Se simbolizássemos a primeira proposição por "p" e a segunda por "q". que é definida pelo papel.". Da afirmação do consequente nada se pode concluir. não com os termos. Barbara. como o facto de alguém o ter regado. João estuda. Raciocínio Lógico Seu Futuro é o Nosso Presente! O silogismo hipotético No silogismo categórico. a primeira premissa. Disamis. Camestres. 3) sujeito-sujeito e 4) predicado-sujeito. mas também o pode estar outros motivos. por exemplo. Felizmente para nós muitos desses silogismos são repetições – por exemplo. pegar.. que é o número de proposições num silogismo categórico. Portanto passa no exame. Da negação do antecedente nada se pode concluir. temos de ter em consideração a figura. A utilidade de decorar os diversos modos válidos é relativa. que corresponde ao seguinte esquema: "se p. afirmar o consequente para afirmar o antecedente. Modos válidos Assim. o chão estaria molhado. como em: "Se chovesse. mas é precisamente dessa afirmação que decorre logicamente a conclusão – que não é outra coisa senão o consequente. o médio. ora o chão está molhado.com forma como os diferentes tipos de proposição – A. Formas muito vulgarizadas. Reduzir os silogismos nas outras figuras a silogismos equivalentes na primeira figura seria uma maneira de demonstrar a validade dos mesmos. obtemos o bonito produto de 256 silogismos. Para memorizar melhor estes modos. O modo do novo silogismo é Ferio. Trata-se portanto de um silogismo da segunda figura. dos quais o mais importante é a conversão. Neste caso. ora não q. em que o termo médio é sujeito na premissa maior e predicado na menor. Modus tollens Modus tollens. o que isto quer dizer é que. Se combinarmos estas quatro figuras com os sessenta e quatro modos encontrados acima. Tradicionalmente. logo choveu. Felapton. passar no exame". ligadas entre si pelas partículas "se. ou seja. logo não p". para além do modo." Evidentemente. Dimatis. Figura do silogismo Todavia. Festino. Portanto alguns políticos não são ladrões. número que é obtido quando fazemos todas as combinações possíveis das quatro letras em grupos de três.ApostilasBrasil. daí se chegando a uma conclusão acerca da relação existente entre os dois primeiros: "Se todos os lagartos são répteis e alguns animais não são lagartos. 2. então alguns animais não são répteis. Alguns políticos são sábios. então q. modo Celarent. para João. a negação do consequente torna necessária a negação do antecedente. EIO. ora Roberto não tomou vene- 46 . Calemes. etc. O – nele se dispõem. ou premissa maior. mas não válidas." No silogismo hipotético lidaremos. Num juízo hipotético. E. Ferio.. Fesapo. ou outras equivalentes. ou infringem diversas das regras do silogismo – por exemplo. Baroco. Outro exemplo: "Se Roberto tomasse veneno ficaria doente. o modo AEE equivale a EAE – . que corresponde ao exemplo dado. 4. logo q. transformámo-lo num silogismo categórico da primeira figura. Nenhum sábio é ladrão.ª figura: Darapti. Ferison. Alguns políticos são sábios. estão em causa dois termos. com o mesmo sentido: "Estudar implica. Poderíamos substituir as letras "p" e "q" por outras proposições verdadeiras que o raciocínio continuaria válido. AII. poder-se-ia dizer também. mas com as proposições em si. apenas são válidos os modos seguintes: AAA. pela regra 8. ou "João passa no exame desde que estude". O primeiro exemplo que demos neste ponto. face a uma condição como a que é estabelecida na premissa maior. que o termo médio desempenha nas duas premissas. 2. é possível reduzir silogismos de uma figura a outra figura. e cuja mecânica poderíamos sintetizar nas seguintes regras: 1. é constituída por uma proposição composta por duas outras proposições: "João estuda" e "João passa no exame". Vejamos um exemplo: Se João estuda então passa no exame. Nenhum ladrão é sábio. que são comparados com um terceiro termo. sujeito ou predicado. são aquelas que quebram as regras atrás expostas.ª figura: Cesare. sobre os asiáticos e os coreanos. Num juízo hipotético. que se tornaram uma espécie de designação para os mesmos: são elas. correspondendo as três primeiras aos exemplos dados. Darii. é provável que o chão esteja molhado por causa da chuva. "João estuda" – e a outra como consequente – "João passa no exame. Numa formulação mais intuitiva. teremos 64 (sessenta e quatro) silogismos possíveis. na primeira figura. em que o termo médio desempenha o papel de sujeito na premissa maior e predicado na menor. aquela em que a evidência da dedução é mais forte. EAE. 2) predicado-predicado. 3. então. a afirmar. Existem quatro figuras possíveis: 1) sujeito-predicado.. Aqui o primeiro silogismo tem o termo médio na posição de predicado das duas premissas. poderíamos reduzir o silogismo anterior a este esquema: Se p. Através da conversão da premissa maior – um processo simples neste caso. ora p. o maior e o menor. respectivamente. Através de diversos procedimentos. O silogismo hipotético possui duas figuras válidas ou modos: Modus ponens Modus ponens. uma das proposições que compõem a primeira premissa – neste caso. Bocardo. não é válido –. constituindo aquilo que designamos por juízo hipotético ou condicional: daí designarmos uma delas como antecedente – neste caso.. pelo que. devemos observar que não podemos colocar o zero como primeiro algarismo do número. Para saber o numero de diferentes possibilidades de computadores que podem ser montados com essas peças. basta multiplicar. porém excluímos a escolha feita para o 1º algarismo. Quantas placas onde o número formado pelos algarismos seja par. temos de saber que existem 26 letras.835.. 2º algarismo: 8 possibilidades (0.2. cada placa é formada por três letras e quatro algarismos.3..000 placas onde a parte dos algarismos formem um número par. Portanto. Logo. não é possível que duas ou mais das fases sejam realizadas em conjunto. A fase 1 poderá ser seguida da fase 2 até a fase k. Da sua cidade até a cidade A existem 2 caminhos possíveis.567 -> parte das letras 10 x 10 x 10 x 5 = 5.. apresentaremos ainda alguns exemplos um pouco mais complexos de aplicação. k2. para que o numero formado seja par. PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM PRINCÍPIO DA ADIÇÃO Suponhamos um procedimento executado em k fases.000 = 87.. para montar um computador.835. da cidade A até a B existem 4 caminhos disponíveis e da cidade B até a C há 3 rotas possíveis. 26 x 26 x 26 = 17. Exemplo Supondo uma viagem para a cidade C.. podemos pensar na construção desse número como um processo composto de 2 fases excludentes entre si. pois queremos um número par (0. + nk maneiras de ser realizado... k3 .000 Raciocínio Lógico Sem fixar o zero. para esta viagem.. . de modo diferente. temos as seguintes possibilidades de escrever os demais algarismos: 1º algarismo: 9 possibilidades (1. têm-se 72 possibilidades de configurações diferentes.8.. Resposta para a questão: existem 87.ApostilasBrasil.7.2.5. PRINCÍPIO DA MULTIPLICAÇÃO Suponhamos um procedimento executado em k fases. Na 33 etapa é k3. Por exemplo.7. Se um evento (ou fato) ocorre em n etapas consecutivas e independentes. nk maneiras de executar o procedimento.4.6. 8). 8)..1. tendo disponível 3 tipos de arroz.5.. Primeiro. Contudo. portanto não ficou doente".3. uma vez que são concomitantes. Portanto. Depois. . um acontecimento pode ocorrer. Como o cliente não pode pedir cerveja e refrigerantes juntos.9) 2º algarismo: 8 possibilidades (1..com Seu Futuro é o Nosso Presente! no. a fase 2 possui n2 maneiras de ser executada e a fase k tem nk modos de ser executada. Quem nos garante isso? Podia ter apanhado uma gripe.. 4.4. como na questão: Quantos pratos diferentes podem ser solicitados por um cliente de restaurante. excluindo a escolha feita para o último algarismo. Segundo. teremos de limitar o ultimo algarismo à um numero par.567 x 5. Agora é só multiplicar as partes: 17.. somente multiplicamos as opções: 3 x 4 x 2 x 3 = 72 Então.5. não podemos multiplicar as opções de refrigerante pelas opções de cerveja. 47 . mas para chegar até lá você deve passar pelas cidades A e B.4. nossas escolhas para distribuição dos algarismos mudam.. 6.. A fase 1 tem n1 maneiras de ser executada.8.4. concomitantes entre si. podem ser formadas? Exemplo Deseja-se fazer uma viagem para a cidade A ou para a cidade B.8) 1º algarismo: 8 possibilidades (1. O princípio fundamental da contagem nos diz que sempre devemos multiplicar os números de opções entre as escolhas que podemos fazer.. 2 tipos de impressora e 3 tipos de "CPU".. 3º algarismo: 1 possibilidade (fixamos o zero).. 2 de feijão. ou seja.6.. As fases são excludentes entre si.. se colocamos o zero como último algarismo do número. existem no total 5 + 3 = 8 caminhos possíveis. então o número total de possibilidades de ocorrer o referido evento é o produto k1. de maneira que o número de possibilidades: Na 1a etapa é k1.9). O que devemos fazer aqui é apenas somar essas possibilidades: (3 x 2 x 3) x (2 + 3) = 90 Resposta para o problema: existem 90 possibilidades de pratos que podem ser montados com as comidas e bebidas disponíveis.6. Os princípios enunciados acima são bastante intuitivos. 2 tipos de cervejas e 3 tipos de refrigerante. Contudo..7..8. Um problema que ocorre é quando aparece a palavra "ou".6.5.. Existem 5 caminhos possíveis para a cidade A e 3 possíveis caminhos para a cidade B. Logo. Na enésima etapa é kn. porém excluindo as escolhas feitas para o primeiro e último algarismos. .. todo o procedimento tem n1 + n2 + . e que ele obrigatoriamente tenha de escolher uma opção de cada alimento? A resolução é simples: 3 x 2 x 3 = 18 . Quantos números naturais pares de três algarismos distintos podemos formar? Inicialmente.9).3. Na 2a etapa é k2. temos 8 x 8 x 4 = 256 maneiras de escrever um número de três algarismos distintos sem zero no último algarismo. 4 .9) . há 2 x 4 x 3 = 24 diferentes caminhos possíveis de ida da sua cidade até a cidade C.3. temos 3 diferentes tipos de monitores. Logo. Fixando o zero como último algarismo do número.. 3 de macarrão. note que na última casa temos apenas 5 possibilidades. podemos determinar quantas vezes.. 2 . temos: 3º algarismo: 4 possibilidades (2.6. somente pela comida. kn. n2 ...7. Por meio do princípio fundamental da contagem. 4 tipos de teclados. sendo que o cliente não pode pedir cerveja e refrigerante ao mesmo tempo.2. 2.. Como os números devem ser pares. 6 ..8.4. A fase 1 tem n1 maneiras de ser executada.2. Portanto.000 -> parte dos algarismos. Outro exemplo: No sistema brasileiro de placas de carro. Logo. há 9 x 8 x 1 = 72 formas de escrever um número de três algarismos distintos tendo o zero como último algarismo. a fase 2 possui n2 maneiras de ser executada e a fase k tem nk modos de ser executada. existem apenas 5 formas de escrever o último algarismo (0. há n1 . d) 9. C. azul. que começam pelo dígito 3 e terminam pelo dígito zero. formando desenhos.331 4) (UFC/2002) A quantidade de números inteiros. e a palmeira. por uma questão de contraste.3. palmeira e fundo). 6. cada um com três algarismos.3. mas em qualquer ordem. 5. 4. 2. 7} formam-se números de 4 algarismos distintos. 7 e 8. havia duas rodovias e duas ferrovias. Exercícios Princípio Fundamental da Contagem Professores: Jorge e Lauro 1) (FGV/2005) Em uma gaveta de armário de um quarto escuro há 6 camisetas vermelhas. em viagem de férias pela Europa. e) 10.com Seu Futuro é o Nosso Presente! Ao todo. 2. c) 8. 4. b) 7. 7. o 4o e o 5o dígitos são da segunda fileira. b) 10. 3) (UFES/2002) Num aparelho telefônico. 1. positivos e ímpares. Quantos destes números são ímpares e começam com um dígito par? a) 375 b) 465 c) 545 d) 585 e) 625 9)(UNESP/2000) Um turista. é igual a: a) 320 b) 332 c) 348 d) 360 e) 384 5)(UFAL/200) Quantos números pares de quatro algarismos distintos podem ser formados com os elementos do conjunto A={0. 4. d) 15. verde e amarela. 2. conforme a figura. a ordem do número 75389 é: a) 54 b) 67 c) 66 d) 55 e) 56 7)(UFAL/99) Com os elementos do conjunto {1. 3. havia três rodovias e duas ferrovias e que. e) 20. 3. é comum encontrarmos peças de artesanato constituídas por garrafas preenchidas com areia de diferentes cores. sem que se vejam suas cores. podem ser formados com os algarismos 2. Qual é o número mínimo de camisetas que se deve retirar da gaveta.1. mantendo o mesmo desenho. mas variando as cores da paisagem (casa. 5. para ir de B até uma outra cidade. o 2o e o 3o dígitos são da primeira fileira do teclado. é: a) 9. e o 6o e o 7o são da terceira fileira. c) 12.ApostilasBrasil. Quantos dos números formados NÃO são divisíveis por 5? a) 15 b) 120 c) 343 d) 720 e) 840 O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza. 2) (Enem/2004)No Nordeste brasileiro. b) Se tenha certeza de ter retirado duas camisetas de mesma cor. além disso.6 e 7.4}? a) 60 b) 48 c) 36 d) 24 e) 18 6)(UFPI/2000) Escrevendo-se em ordem decrescente todos os números de cinco algarismos distintos formados pelos algarismos 3. 8)(ITA/2001) Considere os números de 2 a 6 algarismos distintos formados utilizando-se apenas 1.2. Um artesão deseja fazer peças com areia de cores cinza. a casa. 10 camisetas brancas e 7 camisetas pretas. para que: a) Se tenha certeza de ter retirado duas camisetas de cores diferentes. 10)(UECE/99) Quantos números ímpares. O valor de N é a) 27 b) 216 c) 512 d) 729 e) 1. 8 e 9. então o número de variações que podem ser obtidas para a paisagem é a) 6. Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa nem da palmeira. 8 e 9. 7. O número de percursos diferentes que o turista pode fazer para ir de A até C. nas cores azul. temos 72 + 256 = 328 formas de escrever o número. formados por três algarismos distintos. escolhidos dentre os algarismos 0. para ir da cidade A à cidade B.4. passando pela cidade B e utilizando rodovia e trem obrigatoriamente. 6. verde ou amarela. conforme indica a figura a seguir. nas cores cinza ou verde. 5. observou pelo mapa que. Seja N a quantidade de números de telefone com 8 dígitos. as dez teclas numeradas estão dispostas em fileiras horizontais. 5. e. c) Se tenha certeza de ter retirado pelo menos uma camiseta de cada cor. se a repetição de algarismos é permitida? a) 60 b) 50 c) 40 d) 30 GABARITO: 1) a)11 b)4 c)18 2)B 3)D 4)A 5)A 6)C 7)D 8)D 9)B 10)B Raciocínio Lógico 48 . será representado da seguinte maneira: C = { x | x possui uma determinada propriedade } . Não interessa a ordem e quantas vezes os elementos estão listados na coleção. x. conjuntos com infinitas elementos que tenham uma lei de formação bem clara.. q. sem que tenhamos definido o que é conjunto. c. Se e podemos escrever não é um elemento de dizer que o elemento podemos escrever . mas não a ordem. . é chamada multiconjunto. 1. porém apresenta lei de formação bem clara. e. 1. d. . F = ( 1. uma coleção de elementos na qual a multiplicidade. 0. podemos representa-lo.. p. 2. 2} {x : x é um número inteiro tal que 0<x<4} Os três exemplos acima são maneiras diferentes de representar o mesmo conjunto. 6. C. v. u. por enumeração.. 3. 3. Assim. . Conceitos primitivos que se lê: C é o conjunto dos elementos x tal que possui uma determinada propriedade: Exemplos Antes de mais nada devemos saber que conceitos primitivos são noções que adotamos sem definição.. m. c) Quando um conjunto possui número elevado de elementos. 4. t. 3. podemos representar. B. z ) indica o conjunto formado pelas letras do nosso alfabeto. o que é elemento e o que significa dizer que um elemento pertence ou não a um conjunto. n.. 1. de elementos x. x. Representação dos conjuntos Um conjunto pode ser representado de três maneiras: • por enumeração de seus elementos. h.  Elemento: qualquer um dos componentes de um conjunto. 1. 2. d) Ainda usando reticências. A representação de um conjunto por meio da descrição de uma propriedade característica é mais sintética que sua representação por enumeração. 2. . . devemos entender perfeitamente a frase: determinado elemento pertence a um conjunto. ) indica o conjunto dos números inteiros. O conjunto A = { 0. como os seguintes: D = ( 0. 5. . 3. 4. Em contraste. .. um conjunto C. 7. Neste caso. ) indica o conjunto dos números ímpares positivos.. A notação padrão lista os elementos separados por vírgulas entre chaves (o uso de "parênteses" ou "colchetes" é incomum) como os seguintes exemplos: {1. Raciocínio Lógico O conjunto G = { a. 9 } pode ser representado por descrição da seguinte maneira: A = { x | x é algarismo do nosso sistema de numeração } Adotaremos aqui três conceitos primitivos: o de conjunto. Pertence ou não pertence Se é um elemento de elemento . 7. -1. • o fato de um elemento x pertencer a um conjunto C é indicado com x ∈ C. b. Assim: C = ( 2.  Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto. Conjuntos são um dos conceitos básicos da matemática. na teoria dos conjuntos. . 8. nós podemos não pertence ao conjunto e a) A = ( 0. 2. 98 ) indica o conjunto dos números pares positivos. • o fato de um elemento y não pertencer a um conjunto C é indicado y ∉ C. l. 4. ) indica o conjunto dos números inteiros não negativos. Um conjunto é apenas uma coleção de entidades.. g.. b) B = ( a. por enumeração. o. . 2.ApostilasBrasil.com Seu Futuro é o Nosso Presente! 2 Notação TEORIA DOS CONJUNTOS Normalmente adotamos. 6. nós podemos dizer que o pertence ao conjunto . E = ( . 8. -2. menores do que100. • os conjuntos são indicados por letras maiúsculas: A. • por descrição de uma propriedade característica do conjunto. 3. chamadas de elementos. f. 1. 3} {1. indicando os primeiros e os últimos elementos. um conjunto é uma coleção de elementos. s. 1. 5. intercalados por reticências. i. é relevante. a seguinte notação: CONJUNTO Em matemática. 2. 6. y. o. . geralmente representado por letras minúsculas. 9 ) indica o conjunto formado pelos algarismos do nosso sistema de numeração. não importando a quantidade e nem a ordem das ocorrências dos elementos. Dizemos que dois conjuntos são iguais se e somente se cada elemento de um é também elemento do outro. i. Conceitos essenciais  Conjunto: representa uma coleção de objetos. j... 3. b. 7. • através de uma representação gráfica. Um conjunto é representado por enumeração quando todos os seus elementos são indicados e colocados dentro de um par de chaves. . 5. r. e. Exemplo: É possível descrever o mesmo conjunto de diferentes maneiras: listando os seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos) ou definindo uma propriedade de seus elementos. u } pode ser representado por descrição da seguinte maneira G = { x | x é vogal do nosso alfabeto } 49 . • os elementos são indicados por letras minúsculas: a. . 2. geralmente representado por letras maiúsculas. . o de elemento e o de pertinência de um elemento a um conjunto. c. i. Exemplo Resolução a) n(A) = 4 b) n(B) = 6.u} = {i. 6.i. Chamamos de número de elementos deste conjunto. c) n(C) = 2. unitário. 3.o. os elementos de um conjunto são representados por pontos interiores a uma linha fechada que não se entrelaça. apesar de possuir dote letras..'pois a palavra alegria.i. 6. .a} c) {a. b) O conjunto B = { 0.i.e.u} = {a. 4 é o 4º par positivo . e.. n( E ) = 1. 6. b) B ⊃ A. e indicaremos com A = 8. c ∉ C. o. . y ∈ C. chamada diagrama de Euler-Venn.u. 1 é o 1º par positivo 4 = 2 . esquematizadas na figura. 4. u } é tal que n(A) = 5. Por esse tipo de representação gráfica. d ∉ C. z ∈ C. 50 . .. } pode ser representado por descrição da seguinte maneira: H = { x | x é par positivo } A representação gráfica de um conjunto é bastante cômoda.i.e. .u. 49 é o 49º par positivo logo: n(D) = 49 e) As duas retas.u} = {a. 7. 9 } é tal que n(B) = 10. -10} 2 f) { x | x = 400} ≠ {20} a) O conjunto A = { a.i. Logo. . 4. c) O conjunto C = ( 1.e.o. Exemplo Sejam os conjuntos A = {x | x é mineiro} e B = { x | x é brasileiro} . . Exemplos Vamos dizer que dois conjuntos A e 8 são iguais.ApostilasBrasil. . esquematizadas a seguir : Raciocínio Lógico Indicamos que A é um subconjunto de B de duas maneiras: a) A ⊂ B. i. Os pontos exteriores a esta linha representam os elementos que não pertencem ao conjunto. 99 ) é tal que n (C) = 99. que deve ser lido : A é subconjunto de B ou A está contido em B ou A é parte de B.o.o. . 2 é o 2° par positivo 6 = 2 . ao número de elementos diferentes entre si.o. 1.e. possuem apenas um ponto comum. 2. e o conjunto E é. b ∉ C. tal que n(C) = 0.i. Exemplos . 98 ) e) E é o conjunto dos pontos comuns às relas r e s. Neste caso. 4.e. 98 = 2 . 3. a) {a. 7 Subconjuntos de um conjunto 5 Conjunto unitário e conjunto vazio Chamamos de conjunto unitário a todo conjunto C.u} b) {a.o. tal que n (C) = 1.u} d) {a.e.u} ≠ {a. 8. usando os diagramas de Euler-Venn. que deve ser lido: B contém A ou B inclui A. Dizemos que um conjunto A é um subconjunto de um conjunto B se todo elemento.o} 2 e) { x | x = 100} = {10.com Seu Futuro é o Nosso Presente! O conjunto H = { 2.i. . 4. 8. 5. Quando isto não ocorrer. Exemplo: C = ( 3 ) E chamamos de conjunto vazio a todo conjunto c. percebemos que x ∈ C. também pertencer a B. . possui apenas seis letras distintas entre si. e indicamos com n(C). diremos que os conjuntos são diferentes e indicaremos com A ≠ B.e. que pertencer a A. . . . que pertencem ao conjunto. pois há dois elementos que pertencem a C: c e C e d e C d) observe que: 2 = 2 .o. o conjunto A estará "totalmente dentro" do conjunto B : 2 Exemplo: M = { x | x = -25} O conjunto vazio é representado por { } ou por ∅. Através dela. Exercício resolvido Determine o número de elementos dos seguintes com juntos : a) A = { x | x é letra da palavra amor } b) B = { x | x é letra da palavra alegria } c) c é o conjunto esquematizado a seguir d) D = ( 2. 3 é o 3º par positivo 8 = 2 . portanto.i.a. temos então que A ⊂ B e que B ⊃ A. se ambos possuírem os mesmos elementos.e. 6 igualdade de conjuntos 4 Número de elementos de um conjunto Consideremos um conjunto C. e que a ∉ C. como no exemplo a.com Seu Futuro é o Nosso Presente! Observações: • Quando A não é subconjunto de B. v } A ∩ B = {x } A ∪ C = {x. ao conjunto constituído por todos os elementos que pertencem a A ou a B.e} {a. ao conjunto constituído por todos os elementos que pertencem a A e a B. o.t} A ∩ B ∩ C= ∅ (A ∩ B) ∪ u (A ∩ C)={x} ∪ {y}={x.d.u. e indicamos com A ∩ B.c} .c} ∩ {a. determinar os seguintes conjuntos: f) B ∩ C a) A ∪ B b) A ∩ B g) A ∪ B ∪ C h) A ∩ B ∩ C c) A ∪ C i) (A ∩ B) U (A ∩ C) d) A ∩ C e) B ∪ C Resolução a) b) c) d) e) f) g) h) i) Resposta: 1024 3. o 5 número dos seus subconjuntos será 2 = 32. 3. 4. . 6.c} = {a.b. e representando com hachuras a interseção dos conjuntos. y. então este conjunto terá 2 subconjuntos. e representando com hachuras a intersecção dos conjuntos.b. se um conjunto possui n n elementos. ⊄ 8 Número de subconjuntos de um conjunto dado Pode-se mostrar que.c} c) {a.y. Exercício resolvido: Quando a intersecção de dois conjuntos é vazia.c}={a. e indicamos com A ∩ B.c.b.e} = ∅ ∩ {b.y.b.z. 1. 7. ele 2 terá 2 = 4 subconjuntos.w. i. . indicamos com A B ou B A.b.c} U {b. Dado o diagrama seguinte.c} U {a.c} U {d. 8. represente com hachuras os conjuntos: : Usando os diagramas de Euler-Venn. e. dizemos que os conjuntos são disjuntos. temos: a) b) c) ∩ {d.  2 3 4 4 4 5  Resposta: 32 B) OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 1 União de conjuntos Dados dois conjuntos A e B.b. Sendo A = ( x.b. chamamos união ou reunião de A com B. • Admitiremos que o conjunto vazio está contido em qualquer conjunto.c. y.b.e}= {a. 2.d}={a. t ). Usando os diagramas de Euler-Venn.z.v.u.d} {a. Determine o número de subconjuntos do conjunto C= 1 1 1 2 3 3  . Exercícios propostas: 2.d} = {b.c} O conjunto C = {1. w. w. B = ( x. Determine o número de subconjuntos do conjunto C = { 0. chamamos de interseção de A com B. 5. temos: Raciocínio Lógico A ∪ B = {x.w.ApostilasBrasil.t} B ∩ C= ∅ A ∪ B ∪ C= {x. z. u. Determine o número de subconjuntos do conjunto C = (a. t } A ∩ C = {y } B ∪ C={x. v ) e C = ( y.y} 2.c. 2 } possui dois elementos. a) A ∩ B ∩ C b) (A ∩ B) ∪ (A Exemplos {a. Resolução: Como o conjunto C possui cinco elementos. 1. u.c} 51 ∩ C) .Resolução 2 Intersecção de conjuntos Dados dois conjuntos A e B. z ). y. u ) .v.c} b) {a. Exemplo Exemplos a) {a. logo. . 9 } Exercícios resolvidos 1. .b.c. v } e C = { y. EXEMPLO 1 4 Conjunto complementar Dados dois conjuntos A e B. é incorreto. Sendo A = { x. e representando com hachuras o complementar de B em relação a A. evidentemente.t} B – C = {x. de acertar o resultado de um jogo etc. e indicamos com CA B.b. No entanto.n(A ∩ B) ou seja: n(A ∪ B) = 20 + 30 – 5 e então: n(A ∪ B) = 45. Como são duas possibilidades (cara ou coroa) podemos dizer que as chances de dar cara é de 1 para 2. os resultados cara e coroa têm as mesmas chances de ocorrer.d.5 ou 50%. u. C-A B–C 52 . com B ⊂ A.f} Observação: O conjunto complementar de B em relação a A é formado pelos elementos que faltam para "B chegar a A". No diagrama seguinte temos: n(A) = 20 n(B) = 30 n(A ∩ B) = 5 A . qual deles realmente vai ocorrer em cada situação. aos 20 elementos de A. para corrigir este erro. Isto é o mesmo que dizer que a probabilidade de o resultado ser cara é ou 0. Qual a chance de dar cara no lançamento de uma moeda? Usando os diagramas de Euler-Venn. se fizermos muitos lançamentos.t} PROBABILIDADES Introdução Determine n(A ∪ B). o que. w.ApostilasBrasil. determinar os seguintes conjuntos: A–B B–A Raciocínio Lógico Neste exemplo calculamos intuitivamente a probabilidade de o resultado ser cara e você deve ter percebido que a probabilidade de dar coroa é a mesma.d. quando dizemos que a probabilidade é ½ ou 50% isso não significa que a cada 2 lançamentos um vai ser cara e o outro vai ser coroa.u. para B se igualar a A. não podemos prever o resultado mas podemos calcular as chances de ocorrência de cada um.f} . t }. de acertar numa aposta.C= {x.v} A . chamamos de conjunto complementar de B em relação a A. Exercícios resolvidos: 4. Por meio dos exemplos desta aula. 50%. z } . usamos probabilidades em situações em que dois ou mais resultados diferentes podem ocorrer e não é possível saber.z} C – A = {u. z } B .B. B = { x. teremos então: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) .v} C – B = {y.e. Observação: O complementar é um caso particular de diferença em que o segundo conjunto é subconjunto do primeiro.c.c. estaremos considerando os 5 elementos de A n B duas vezes. isto é.{b. prever. temos: Solução: Raciocinando matematicamente. devemos subtrair uma vez os 5 elementos de A n B. ao conjunto A . Resolução Quando usamos probabilidades? Se juntarmos. você aprenderá o cálculo de probabilidades. Este cálculo é a probabilidade de ocorrência de um resultado. os 30 elementos de B. e.e}= {a. Exemplo: {a. O fato de a probabilidade ser ½ ou 50% quer dizer apenas que as chances são iguais e que. é provável que aproximadamente metade deles dê cara como resultado.com Seu Futuro é o Nosso Presente! A–C C–B Resolução a) b) c) d) e) f) 3. Ao lançarmos para o alto uma moeda e quisermos saber se o resultado é cara ou coroa. de um candidato vencer uma eleição. y.w.B = { y.A= {w. Ouvimos falar desse assunto em situações como: a probabilidade de ser sorteado. Portanto. num restaurante que prepara 4 pratos quentes. A probabilidade de ocorrer um desses resultados ou um conjunto de resultados que satisfaçam uma condição ou exigência E. qual a probabilidade de ela ser branca? Solução: nº de bolas bran2 1 = = = 20% p(branca) = cas 10 5 nº total de bolas Assim. por exemplo. EXEMPLO 6 De um baralho normal de 52 cartas e mais 2 coringas retiramos uma das cartas ao acaso. Como o número de cardápios possíveis é 24. EXEMPLO 5 Solução: Para que o resultado seja par devemos conseguir: Numa urna estão 10 bolas de mesmo tamanho e de mesmo material. em jogos que também consideram o 2 como coringa? Solução: O número total de cartas é 54 sendo que há 13 cartas (ás. Então. podemos dizer que a chance.6 = 18 opções mais caras. 3. valete. ou 1/5.com O conceito de probabilidade Seu Futuro é o Nosso Presente! a probabilidade de um freguês desavisado escolher uma das opções mais caras? EXEMPLO 2 Solução: O chefe de uma seção com 5 funcionários deu a eles 1 ingresso da final de um campeonato para que fosse sorteado. 4 ou 6) em um total de 6 resultados possíveis (1. Qual Raciocínio Lógico mulheres. a probabilidade de tirar um coringa será: nº de coringas EXEMPLO 4 p(coringa) = No Exemplo 2 da Aula 48 vimos que. podemos dizer que a probabilidade de isso acontecer é 3/6 ou 1/2 . com 6 homens e 3 No Exemplo 3 daquela aula descobrimos que havia.11 = 11% EXEMPLO 7 Em análise combinatoria. de cada um deles ser sorteado é de 1/5 . temos 24 . ou ainda 20%. então: p(mais caro) = EXEMPLO 3 No lançamento de um dado. qual a probabilidade de o resultado ser um número par? 18 3 = = 0. as chances de ser sorteado são de 1 para 5. 4. 2 saladas e 3 sobremesas diferentes. temos 3 resultados favoráveis (2. No caso de Paulo. é representado por p (E) e calculado por: nº de resultados favoráveis a E p (E) = nº total de resultados possíveis b) ser um coringa. Pegando-se uma bola qualquer dessa urna. Se temos 6 opções econômicas num total de 24. paus e espadas) e 2 coringas.ApostilasBrasil. existem 24 maneiras diferentes de um freguês se servir de um prato quente.75 = 75% 54 4 As chances de esse freguês escolher um dos cardápios mais caros é de 75%. ouro. Qual a probabilidade de: a) ser um ás? Generalizando essa solução: nº de resultados favoráveis a 3 1 = = = P (par) E 6 2 = nº total de resultados possí50% veis Onde P (par) significa probabilidade de o resultado ser par. Qual a chance que cada um tem de ser sorteado? Já sabemos que a probabilidade de escolher os mais caros será: nº de cardápios mais p(mais caro) caros = nº de cardápios possíveis Solução: Os 5 funcionários têm todos a mesma chance de serem sorteados. vimos que. todos com a mesma chance de ocorrer. podemos formar C 59 = 126 grupos de 5 pessoas e 53 . ou 0. Então. ou a probabilidade.2. dentre os 24 cardápios possíveis. dama. Após escreverem seus nomes em papéis idênticos. colocaram tudo num saco para fazer o sorteio. nº total de cartas = 6 = 54 0. sendo 8 pretas e 2 brancas. a) nº de ases existen4 = = p (ás) tes 54 = nº total de cartas 7% 0. Nos três exemplos que acabamos de ver há dois ou mais resultados possíveis. 2 a 10.07 = b) Como as 4 cartas com nº 2 também são consideradas coringas. 5. 6). uma salada e uma sobremesa. rei) de cada um dos 4 naipes (copas. As chances de dar um resultado par são 3 num total de 6. 2. 6 cardápios econômicos. 95 = 95% 126 p (par) = 0 =0 6 Os valores possíveis para as probabilidades No Exemplo 7 os grupos contados em a) e em b) completam todos os grupos possíveis (6 + 120 = 126). a teoria das probabilidades é muito utilizada em outros ramos da Matemática (como o Cálculo e a Estatística).05 = 5% 126 b) p (pelo menos 1 mulher) = Assim. um verde e outro vermelho. por exemplo. Já sabemos que: p (E) = nº de resultados favoráveis a E nº total de resultados possíveis A quantidade m será escolhida dentre as n existentes. Dentre eles escolhemos um número. temos: 120 = 0. podemos concluir que: 0≤ m ≤1 n ou a) Qual a probabilidade de a carta retirada ser um rei? 0 ≤ p (E) ≤ 1 b) Qual a probabilidade de a carta retirada ser uma figura (valete. m =0 n Percebemos ainda que a fração Exercícios Exercício 1 m será sempre positiva n pois m e n são números naturais. 3! = 6. ao acaso. a probabilidade de isso ocorrer será: a) um grupo onde não há mulheres. auxiliando na descoberta da vacina contra a varíola no século XVIII. Raciocínio Lógico b) 1 c) maior que 12 54 . Solução: a) p (não mulher) = 6 = 0. Com Fermat (1601-1665) e Pascal (1623-1662). De um baralho de 52 cartas é retirada uma carta ao acaso. Atualmente.ApostilasBrasil. o número m será zero e p (E) = Um pouco de história Os primeiros estudos envolvendo probabilidades foram motivados pela análise de jogos de azar. Assim. como. Portanto as possibilidades somadas darão 6 120 126 + = ou 100% 126 126 126 (5% + 95%). P (múltiplo de 3) = 6 =1 6 b) um grupo onde haja pelo menos uma mulher. 3 e 5 em três posições. Sabe-se que um dos primeiros matemáticos que se ocupou com o cálculo das probabilidades foi Cardano (1501-1576). da Economia. dama ou rei)? EXEMPLO 8 Com os algarismos 1. ou seja. que é um múltiplo de 3. b) Como qualquer dos algarismos 1. ou seja. Data dessa época a expressão que utilizamos até hoje para o cálculo da probabilidade de um evento (número de casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis). qualquer um dos números formados será múltiplo de 3. qual é a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja: Solução: a) 7 O total de números formados por 3 algarismos é igual ao número de permutações possíveis com os algarismos 1. passando a ser utilizada em outros aspectos da vida social. qual a probabilidade de escolher: a) Como a soma dos algarismos 1 + 3 + 5 é igual a 9. a teoria das probabilidades começou a evoluir e ganhar mais consistência. a) Qual a probabilidade de escolher um número que seja múltiplo de 3? b) Qual a probabilidade de o número escolhido ser par? Exercício 2 No lançamento de um dado. qual a probabilidade de o número obtido ser menor ou igual a 4? Exercício 3 No lançamento de dois dados. como a quantidade de casos favoráveis é zero. 3 e 5 formamos todos os números de 3 algarismos possíveis. não formaremos nenhum número par. da Física (como na Física Nuclear).com Seu Futuro é o Nosso Presente! C 56 = 6 grupos de 5 pessoas nos quais só escolhemos homens. por isso m deverá ser menor ou igual a n (m ≤ n) e a fração m será menor ou igual a 1: p (E) ≤1. da Biologia (especialmente nos estudos da Genética). 3 e 5 colocados no final do número formado gera um número ímpar. da Sociologia etc. Assim. n Caso a condição E exigida não possa ser cumprida. Supondo que as chances de cada um dos grupos é a mesma. se não houver nenhum resultado favorável a E. e vice-versa.000 000 000 11 = 9034502400 Como queremos calcular P (A e B).com Seu Futuro é o Nosso Presente! d) um número par nº de resultados favoráveis a E p (E) = nº total de resultados possíveis Exercício 4 Na Aula 48 vimos que na SENA existem 11. a probabilidade de que um jovem 5 5 . dizemos que os eventos são independentes.000 000 011% 3! 6 = = 0.0 não depende do fato de saber jogar futebol. bem como a ocorrência de um ou outro evento. pense o seguinte: de 1 têm média acima de 7.000 000 000 087 = 1144130400 0 0. Então. 24 = 67% d) 36 4.0 e saiba jogar futebol? Solução: O fato de ter média maior que 7. Leia-os com bastante atenção e procure refazer as soluções apresentadas. Para abordarmos situações como as que acabamos de descrever. qual a probabilidade de sua aposta ser a sorteada? Exercício 5 O que acontece se você apostar em 5 números de 01 a 100? Qual a probabilidade de você acertar a quina de números sorteada? Exercício 6 Suponha que sejam iguais as chances de qualquer uma das placas novas para automóveis (3 letras e 4 números) ser escolhida para o seu automóvel. Cálculo da probabilidade de ocorrência de um evento e de outro Qual a probabilidade de você receber uma placa com as iniciais de seu nome em qualquer ordem? Respostas: 1.0 é 4 1 = = 7.69% 52 13 b) 12 2 = = 23% 52 3 2.0.0 e 5 5 1 5 1 jogar futebol.000 000 034 = 6. 3 4 175760000 26 10 Repare que para encontrarmos P (A e B) efetuamos P (A) · P (B). nesse caso dizemos que são ocorrências dependentes.000 maneiras de escolher 6 números de 01 a 50.304. c) 0 B: saber jogar futebol. Em situações onde não há essa dependência. utilizaremos vários exemplos durante esta aula. Iremos calcular a probabilidade de ocorrência de um evento e outro. ou seja. Ora.000 000 0087% 5. quando A e B são eventos independentes (não têm “nada a ver” um com o outro): P (A e B) = P (A) · P (B) 0. sabem 6 jogar futebol e têm média acima de 7. concluímos que. precisamos calcular probabilidades de duas situações ocorrerem ao mesmo tempo.0.000 003 4% EXEMPLO 2 Calculando probabilidades Você já aprendeu que a probabilidade de um evento E é: Raciocínio Lógico 55 . a) EXEMPLO 1 1 . x = 6 5 6 5 todos os jovens. Quando isso ocorre. 4 1 = = 67% 6 13 3. P (A e B) = 1 . A e B: ter média acima de 7.ApostilasBrasil. 1 = 0. tenha média acima de 7. Qual a probabilidade de escolhersaiba jogar futebol é 6 mos um jovem (ao acaso) que tenha média maior que 7. Portanto.441. 6 0. Em muitas situações a ocorrência de um fato qualquer depende da ocorrência de um outro fato. de . Se você apostar em 6 números. 1 = 0. 5 sabem 6 1 . 6 1 = = 17% 36 6 Considere então os eventos: b) 0 A: ter média acima de 7. Nesse mesmo grupo.0 e saber jogar futebol. a) Num grupo de jovens estudantes a probabilidade de que um jovem. escolhido ao acaso. Como a ocorrência de B está condicionada à ocorrência de A. usamos: P(A e B) = P(A) · P(B/A) Nesse caso dizemos que a ocorrência do evento B depende (está condicionada) à ocorrência do evento A. Qual a probabilidade de que um atleta que 4 Os eventos A e B não são independentes. que o evento B/A denota a ocorrência do evento B. terminar a 1ª. EXEMPLO 4 A probabilidade de que ele seja canhoto e vá de ônibus para o trabalho é de 5 . assim. 4 3 3 x = 7 4 7 P(A e B) = P(A) · P(B/A)= A probabilidade de que um atleta. para começar a 2ª etapa é necessário. A probabilidade de que um atleta escolhido ao acaso termine a primeira etapa (natação) é No exame para tirar a carteira de motorista. 3 Qual a probabilidade de que. 2 . há uma prova prática de direção. ou melhor. temos: B/A terminar a 2ª etapa (corrida). Para calcular P(A e B). B: aprovação na prova prática de direção. qual a probabilidade de que ele seja canhoto e vá de ônibus para o trabalho? Solução: deste exemplo. escolhido um candidato ao acaso. 7 4 É claro que A e B são eventos independentes. Dos atletas que terminam a primeira etapa. pois é preciso ter aprovação na prova escrita e para fazer a prova prática de direção. usaremos P(B/A) já que a ocorrência de B depende da ocorrência de A. escolhido ao acaso. ele seja aprovado em ambas as provas escrita e prática e tire a carteira de motorista? 3 . escolhido ao acaso. A probabilidade de os dois eventos (A e B) ocorrerem simultaneamente é calculada por P (A e B) = P (A) · P (B). dado que A já ocorreu. 10 são canhotos e 25 vão de ônibus para o trabalho. Note que A e B não são eventos independentes pois. 18 4 . termine de passar nessa prova prática é Solução: Considere os eventos: iniciou a prova. Depois de ser 10 aprovado na parte teórica. corrida e ciclismo). a probabilidade de aprovação na prova escrita é EXEMPLO 3 a segunda é 3 . Calculando: termine a 1ª e a 2ª etapas é P (A) = P (B) = 10 1 = 30 3 Quando A e B não são eventos independentes a probabilidade de ocorrência de A e B é calculada por: 25 5 = 30 6 P (A e B) = P (A) · P (B/A) 1 5 5 P (A e B) = P (A) · P (B) = x = 3 6 18 onde P (B/A) é a probabilidade de B. sabendo que o candidato foi aprovado na prova escrita. a probabilidade de que um deles. E agora? Como calcular P (A e B)? É simples: no lugar de usarmos P(B) na fórmula P(A e B) = P(A) · P(B).ApostilasBrasil. Calculando: Utilizamos então a notação B/A. a probabilidade Alguns atletas participam de um triathlon (prova formada por 3 etapas consecutivas: natação. B : terminar a 2ª etapa da prova (corrida). Escolhendo ao acaso um desses empregados. No caso Raciocínio Lógico 9 .com Seu Futuro é o Nosso Presente! Dos 30 funcionários de uma empresa. sabendo que o atleta terminou a 1ª etapa (natação). 7 P(A) = 56 9 10 . sabendo que A já ocorreu. Considere os eventos: A : ser canhoto O B : ir de ônibus para o trabalho enunciado deste problema nos diz que P(A) 4 3 = P(B/A)= . termine a primeira e a segunda etapas? A: aprovação na prova escrita. criamos o evento: B/A: ter aprovação na prova prática de direção. antes. Para continuar na competição 7 com a segunda etapa (corrida) o atleta precisa ter terminado a natação. Solução: A : terminar a 1ª etapa da prova (natação). que significa a dependência dos eventos. portanto um não depende em nada do outro. tendo terminado a 1ª. e seja escolhido ao acaso. Para os que já passaram no exame escrito. escolhido ao acaso.com P(B/A) = 2 3 P(A e B) = 9 2 3 x = 10 3 5 A probabilidade de passar na prova escrita e na prova de 3 direção é . a probabilidade de que uma das faltas seja a escolhida dentre as 10 é 3 6 = . devemos tomar cuidado com o seguinte: existem pessoas que consomem os dois sucos indiferentemente. apesar de preferirem um dos sucos. Se A e B são os eventos (escolher uma falta de Leonardo ou escolher uma falta de André Cruz). os melhores lances foram reprisados. ou seja. dentre os quais uma falta cometida pelo Brasil. EXEMPLO 5 Solução: Na Copa América de 1995. 3 foram de Leonardo e 3 de André Cruz. No primeiro tempo. Observe que a soma dos resultados é maior que o número de entrevistados (300 + 100 + 200 + 50 = 650). a seleção brasileira cometeu 10 faltas.ApostilasBrasil. Mas. para saber a probabilidade da ocorrência de um evento ou outro. Essa empresa é chamada SOSUMO. Para facilitar daremos nomes aos eventos: Também podemos resolver este problema da seguinte maneira: • probabilidade de ser escolhida uma falta do Leonardo = 3 . Assim. escolhida ao acaso. há pessoas que. os dois juntos cometeram 6 das 10 faltas do Brasil. 300 preferiam o SUMOBOM. somamos as probabilidades de os dois eventos ocorrerem separadamente. 10 A : preferir o SOSUMO B: preferir o SUMOBOM • probabilidade de ser escolhida uma falta do André Cruz = • A e B: consumir SOSUMO e SUMOBOM 3 . ou seja. A pesquisa concluiu que dos 500 entrevistados. Logo. consuma os dois sucos é: 100 1 = . 250 preferiam SOSUMO e 50 nenhum dos dois. neste exemplo. estamos interessados na probabilidade do evento A ou B. subtrair de P(A) + P(B) o resultado de P(A e B) para retirar a “contagem dobrada”. EXEMPLO 6 Raciocínio Lógico 57 P(A) = 250 1 = 500 2 P(B) = 300 3 = 500 5 . o Brasil jogou com a Colômbia. Lembre-se de que qualquer uma das duas escolhas terá um resultado favorável. 100 consumiam os dois. devemos . 10 A ou B: consumir SOSUMO ou SUMOBOM probabilidade de ser escolhida uma falta de um destes dois jogadores= 3 3 6 3 + = = 10 10 10 5 Repare que este ou quer dizer: apenas o SOSUMO ou apenas o SUMOBOM. Cálculo da probabilidade de ocorrência de um evento ou outro b) consumidor de SOSUMO ou SUMOBOM. sendo que 3 foram cometidas por Leonardo e outras 3 por André Cruz. consomem os dois. Logo. 100 consomem os dois sucos. Portanto. por exemplo. consomem os dois. Um dos entrevistados foi escolhido ao acaso. Temos então: P (A ou B) = P (A) + P (B) P (A e B) Temos então: Calculando: P(A ou B) = P(A) + P(B) Note que isso vale porque uma falta não pode ser cometida pelos dois jogadores ao mesmo tempo. Qual a probabilidade de que ele seja: a) consumidor de SOSUMO e SUMOBOM. 5 Seu Futuro é o Nosso Presente! Uma empresa que fabrica suco de laranja fez uma pesquisa para saber como está a preferência do consumidor em relação ao seu suco e ao fabricado por seu principal concorrente. Fazendo P(A ou B) = P(A) + P(B) estamos contando duas vezes as pessoas que apesar de preferirem um dos sucos. Qual a probabilidade de que a falta escolhida seja de Leonardo ou de André Cruz? Solução: Das 10 faltas. e seu concorrente SUMOBOM. o evento A e B é impossível. não podemos contar essas pessoas (que consomem um e outro) duas vezes. a probabilidade de que um entrevistado. Assim. 5 10 a) De acordo com a pesquisa dos 500 entrevistados. No intervalo. 500 5 b) Usando o raciocínio do Exemplo 5. compram o que estiver mais barato. Desse modo. escolhido ao acaso: a) fume FUMAÇA e TOBACO Observe que o evento A ou B (consumir um suco ou outro) deve incluir como casos favoráveis todas as pessoas que não fazem parte do grupo dos que não consomem esses dois sucos. 100 viam o canal VERMELHOR e Raciocínio Lógico b) P (A ou B) = 58 40 + 30 + 50 120 6 = = 140 140 7 . Já a probabilidade de esse habitante ser um 12 1 comerciante é . ao acaso. calcule a probabilidade de que um funcionário.ApostilasBrasil. ou seja. seja contratado. Exercício 3 Em uma noite de sexta-feira. Inicialmente. d) não fume nenhuma das duas marcas de cigarro Exercício 1 e) não fume FUMAÇA Em uma cidade do interior do Brasil. calcule a probabilidade de que um prodo na escrita) é 3 é fessor. a) P (A e B) = 3 30 = 140 14 1 e de aprovação na prova prática (depois de ser aprova4 2 . qual a probabilidade de que ele tenha televisão em casa e seja comerciante? 2. podíamos concluir que a probabilidade de não fazer a) fume só FUMAÇA 1 9 = . escolhido ao acaso. qual a probabilidade de que a TV esteja sintonizada no canal VER-DE-PERTO ou no canal VER-MELHOR? Exercício 4 A probabilidade de que o escolhido consuma um suco ou outro é 9 . 80 preferem TOBACO e 30 fumam ambas sem preferência.com P(A e B) = Seu Futuro é o Nosso Presente! outras 100 casas não estavam com a TV ligada. pesquisadores percorreram 500 casas perguntando em que canal estava ligada a televisão. Sabendo que a probabilidade de aprovação na prova escrita 4. Sabendo que 20 funcionários não fumam. 3. a probabilidade de que um habitante escolhido ao acaso tenha televisão em f) não fume TOBACO 11 . 500 10 b) fume FUMAÇA ou TOBACO Exercício 5 Com as mesmas informações do exercício anterior. Observação Em exemplos como o que acabamos de ver há outras soluções possíveis. Eventos independentes: ao acaso. calcule a probabilidade de que um funcionário. farão uma prova prática. eles farão uma prova escrita e. descobriram que em 300 casas assistiam ao canal VER-DE-PERTO. 10 Dos 140 funcionários de uma fábrica. 50 pessoas consumiam nenhum dos dois e a probabilidade de escolhermos uma dessas pessoas ao acaso era 50 1 . 70 preferem a marca de cigarros FUMAÇA. Sabíamos que dos 500 entrevistados. . Eventos dependentes: Exercício 2 1 12 1 6 300 100 400 4 + = = 500 500 500 5 Alguns professores estão prestando concurso para dar aulas em uma escola. raciocinando por exclu10 10 b) fume só TOBACO parte desse grupo era 1 são. Aquele que for aprovado na prova prática será contratado.= + = = 2 5 5 2 5 10 10 das 500 casas. Escolhida uma 100 1 = 500 5 1 3 1 1 2 5+4 9 P(A ou B) = + . Escolhendo um habitante dessa cidade 11 Respostas casa é 1. escolhido ao acaso: Assim. depois de serem aprovados nessa prova. c) fume só FUMAÇA ou só TOBACO Exercícios propostos. números ou quantidades. 100 100 100 100 Podemos representar uma razão centesimal de outras formas: 7 = 0. chegamos a seguinte definição: Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.00. Alguns exemplos: Calcular 25% de 200kg. Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10.usp. Quantos gols de falta esse jogador fez? Razão centesimal Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal.00. ele vendeu 25 cavalos. EXERCÍCIOS: 1) Um jogador de futebol. sempre tomando por base 100 unidades. Quantos cavalos ele vendeu? b) 5 50 = 140 14 c) 40 + 50 9 = 14 140 d) 20 1 = 140 7 e) 50 + 20 70 1 = = 140 140 2 f) Seu Futuro é o Nosso Presente! Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos. O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.00 Dos jogadores que jogam no Grêmio.25 = 125% (lê-se “cento e vinte e cinco por cento”) 100 Portanto. 90% são craques.futuro. Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO. 7 16 125 210 . .bibvirt. 40 + 20 60 3 = = 140 7 140 Exemplos: Fonte: http://www.07 = 7% (lê-se “sete por cento”) 100 2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250.com 5. Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio. Alguns exemplos: Portanto o jogador fez 6 gols de falta.00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250.00. Logo. onde somando os R$250. qual a taxa percentual de lucro obtida? Montamos uma equação. ao longo de um campeonato.00. a) Considere o seguinte problema: 40 2 = 140 7 João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada. A gasolina teve um aumento de 15% Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15. cobrou 75 faltas.br Calcular 10% de 300.00 e a revendi por R$300. a taxa percentual de lucro foi de 20%.16 = 16% (lê-se “dezesseis por cento”) 100 125 = 0. Logo. 90 são craques. PORCENTAGEM É freqüente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços. transformando em gols 8% dessas faltas.ApostilasBrasil. As expressões 7%. Portanto. . 16 = 0. resulte nos R$300. Raciocínio Lógico 59 . que representa a porcentagem procurada. 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. considere o seguinte diálogo: (1) Você sabe dividir? — perguntou Ana. (E) II é uma sentença aberta. (B) 2. na relação dada.90 = R$ 9. V. na relação dada. III. qual é o resto da divisão de onze milhares. são sentenças apenas os itens de números (A) 1. III. Considere a seguinte lista de sentenças: I. Existe vida em outros planetas do universo. III. Mente sã em corpo são. Escreva uma poesia.10 Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10. É verdade que APENAS (A) I e II são sentenças abertas. Se o acréscimo for de 20%. 5 e 6. O Palácio Itamaraty em Brasília é uma bela construção do século XIX. A metade de um número.20.00 No caso de haver um decréscimo.10 1. 6. que é o fator de multiplicação. por exemplo. Nessa situação. B) 2. A frase que não possui essa característica comum é a (A) I. 3 e 5.com Seu Futuro é o Nosso Presente! Se. O barão do Rio Branco foi um diplomata notável. A terça parte de um número. 2. 4. Que horas são? 3. (C) 2. 4.com. 3. (E) 2 e 4. 4. (E) 2.somatematica. apenas uma delas não é uma proposição. Qual é o nome pelo qual é conhecido o Ministério das Relações Exteriores? II. respectivamente. 02. 03. (D) I é uma sentença aberta. A idade de Maria. (4) O resto é dois. Três vezes dois são cinco. (D) 3 e 5. (D) 1. (B) 2. É correto afirmar que.40 90% 0. (C) 3.20 1. (SEBRAE-2008/CESPE) Uma proposição é uma sentença afirmativa ou negativa que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F). — respondeu Mauro. 4 e 6.br PROVA SIMULADA I EXERCÍCIOS PROPOSIÇÕES E CONECTIVOS Prof. 3 e 5. (MRE 2008 CESPE) Julgue os itens a seguir. dos itens da relação acima. (2) Claro que sei! — respondeu Mauro. multiplicamos por 1. 3 e 5. (B) II. As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui são. (C) II e III são sentenças abertas. IV. Veja a tabela abaixo: Acréscimo ou Lucro 10% 15% 20% 47% 67% Fator de Multiplicação 1. A frase (2) é uma proposição. Exercícios físicos são saudáveis. Tomara que chova. A partir das informações e do diálogo acima. 4 e 5.ApostilasBrasil. 3 e 4. enquanto uma delas não tem essa característica. O jogo terminou empatado? IV. 3. (B) I e III são sentenças abertas. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005. (TRF 2ª Região 2007 FCC) Sabe-se que sentenças são orações com sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1. De acordo com a definição dada. O jogador de futebol. é correto afirmar que. 1.15 1. 5 e 6. Dois mais dois são 5. Policiais são confiáveis. 6. (ICMS/SP 2006 FCC) Das cinco frases abaixo. É correto afirmar que. O triplo de 15 é maior do que 10. julgue os itens que se seguem. 06. (ICMS/SP 2006 FCC) Considere as seguintes frases: I. 5. x e y. I. (E) V. 04. Evite o fumo.taxa de desconto (na forma decimal) Veja a tabela abaixo: Desconto Fator de Multiplicação 10% 0. A frase indicada por (3) não é uma proposição. Nesse sentido. Quarenta e dois detentos.47 1. onze centenas e onze por três? — perguntou Ana. C) 3.00 temos: 10 * 0. 1. quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum. e assim por diante. Na relação seguinte há expressões e sentenças: 1.00 temos: 10 * 1. o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 . Indivíduo com 50 anos de idade ou mais não poderá se inscrever no concurso do TRT/ES. E) 5 e 6. Pelé é brasileiro. 3.75 34% 0. (C) III. (D) IV. há um acréscimo de 10% a um determinado valor. mas não como ambas. 4 e 5. 2. 2. 4 e 5. (PM-Bahia 2009 FCC) Define-se sentença como qualquer oração que tem sujeito (o termo a respeito do qual se declara alguma coisa) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Trinta e dois centésimos.66 60% 0. são sentenças APENAS os de números A) 1. Que belo dia! II. 2 e 6. (x + y)/5 é um número inteiro. 60 . 5. é correto afirmar que entre as sentenças acima. Um excelente livro de raciocínio lógico. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000. (3) Então.10 = R$ 11. 05. II. 07. (TCE/PB 2006 FCC) Sabe-se que sentenças são orações com sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação seguinte há expressões e sentenças: 1. Na relação que segue há expressões e sentenças : 1. Weber Campos 01. 5. Jasão é elegante. após fazer a conta. 2.00 Fonte: www. são sentenças APENAS os itens de números Raciocínio Lógico (A) 1.67 Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10. Três mais nove é igual a doze. D) 4 e 6.90 25% 0.10. 6. 2. V. 16. então todos os homens são sábios. (B) Apenas uma. Logo: a) alguns atos não têm causa se não há atos livres. (TRF 1ª Região Técnico Jud 2006 FCC) Se todos os nossos atos têm causa. 61 . então (A) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição necessária para fazer frente ao fluxo positivo. então P. então não há atos livres. é correto concluir que: (A) Todos os homens são sábios se. (E) bicondicional. Jud. (BACEN 2006 FCC) Sejam as proposições: p: atuação compradora de dólares por parte do Banco Central. (C) Apenas duas. (MRE 2008 CESPE) Julgue o seguinte item: Item 1. é correto afirmar que (A) a proposição composta “P ou Q" é verdadeira. as proposições “A publicação usa e cita documentos do Itamaraty” e “O autor envia duas cópias de sua publicação de pesquisa para a Biblioteca do Itamaraty”. (C) Todos os homens são sábios e há justiça para todos. tais que p é verdadeira e q é falsa. Se p implica em q. (C) Se P. Nessa proposição. (TRT-SP Anal Jud 2008 FCC) Considere as seguintes premissas: "Se todos os homens são sábios. então P. Área Administrativa 2008 FCC) Dadas as proposições simples p e q. então Q. e somente se. (D) Apenas três. então não Q. (D) P é equivalente a Q. (ICMS/SP 2006 FCC) Considere a proposição “Paula estuda. (C) a negação de P é equivalente à negação de Q. (E) Quatro. (B) conjunção. (PETROBRAS 2007 CESPE) Julgue o seguinte item: Item 1. considere as seguintes proposições compostas: Quantas dessas proposições compostas são verdadeiras? (A) Nenhuma. (B) fazer frente ao fluxo positivo é condição suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central. d) Todos os nossos atos não têm causa se e somente se não há atos livres. (TRT 9ª Região 2004 FCC) Leia atentamente as proposições simples P e Q: P: João foi aprovado no concurso do Tribunal. (B) Todos os homens são sábios se. (E) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central não é condição suficiente e nem necessária para fazer frente ao fluxo positivo. (D) condicional. então a proposição BA é uma simbolização correta para a proposição “Uma condição necessária para que o autor envie duas cópias de Raciocínio Lógico Seu Futuro é o Nosso Presente! sua publicação de pesquisa para a Biblioteca do Itamaraty é que a publicação use e cite documentos do Itamaraty”. uma proposição condicional correta em relação a P e Q é: (A) Se não Q. 11." Para que se tenha um argumento válido. então o fato de (A) ser possível provar que ∞ + 1 = ∞ é uma condição necessária e suficiente para que os computadores sejam capazes de processar quaisquer tipos de dados. b) Todos os nossos atos têm causa se e somente se há atos livres. assinale a opção que apresenta valor lógico falso nas proposições abaixo. Considerando que A e B simbolizem. Do ponto de vista lógico. então não Q. (D) computadores serem capazes de processar quaisquer tipos de dados é condição necessária para que seja possível provar que ∞ + 1 = ∞.ApostilasBrasil. (D) fazer frente ao fluxo positivo é condição necessária e suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central." "Se não há justiça para todos. há justiça para todos. 14.p: Computadores são capazes de processar quaisquer tipos de dados. (B) a proposição composta “P e Q” é verdadeira. . (E) ser possível provar que ∞ + 1 = ∞ é condição necessária para que os computadores sejam capazes de processar quaisquer tipos de dados. (D) Todos os homens são sábios e não há justiça para todos. então não há justiça para todos. não há justiça para todos. 12. então todos os nossos atos têm causa. A proposição “O piloto vencerá a corrida somente se o carro estiver bem preparado” pode ser corretamente lida como “O carro estar bem preparado é condição necessária para que o piloto vença a corrida”.com 08. 13. e) Alguns atos são livres se e somente se todos os nossos atos têm causa 15. o conectivo lógico é (A) disjunção inclusiva. Se p implica em q. q: fazer frente ao fluxo positivo. c) Todos os nossos atos têm causa se e somente se não há atos livres. (E) Se P. 10.q: É possível provar que ∞ + 1 = ∞. mas não passa no concurso”. (TRT-SP Téc. (C) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição suficiente para fazer frente ao fluxo positivo. (C) disjunção exclusiva. 17. (TRT 9ª Região 2004 FCC) Leia atentamente as proposições P e Q: P: o computador é uma máquina. Se não há atos livres. Em relação às duas proposições. respectivamente. (B) Se não P. (E) P implica Q 18. (Petrobrás 2006 Cesgranrio) Sabendo que as proposições p e q são verdadeiras e que as proposições r e s são falsas. Q: João foi aprovado em um concurso. (C) ser possível provar que ∞ + 1 = ∞ é uma condição suficiente para que os computadores sejam capazes de processar quaisquer tipos de dados. (D) Se Q. (E) Todos os homens são sábios se há justiça para todos. (B) computadores serem capazes de processar quaisquer tipos de dados não é condição necessária e nem suficiente para que seja possível provar que ∞ + 1 = ∞. 09. Q: compete ao cargo de técnico judiciário a construção de computadores. e somente se. (TRT-SP Anal Jud 2008 FCC) São dadas as seguintes proposições: . c) Lulu irá ao cinema. Divino e Esmeralda − foram convocados para uma reunião em que se discutiria a implantação de um novo serviço de telefonia.Benê: Se Aldo não executou o projeto. 24. (Tec da Fazenda Estadual de SP 2010 FCC) Considere as seguintes premissas: p: Estudar é fundamental para crescer profissionalmente. Se somente a afirmação de Benê é falsa. 62 . além de Esmeralda. (C) Benivaldo e Corifeu. três amigos fizeram as seguintes declarações: Ariovaldo: Benício foi reprovado no concurso e Corifeu foi aprovado. cinco Agentes de um mesmo setor do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo − Amarilis. então Esmeralda também participou”. então estudar não é fundamental para crescer profissionalmente” é. então (A) Ariovaldo foi o único dos três que foi aprovado no concurso. (Metrô-SP 2009 FCC) Entre outros. mas Aldo ou Benê o executaram. (Câmara dos deputados 2007 FCC) Relativamente a uma mesma prova de um concurso a que se submeteram. alguns funcionários fizeram os seguintes comentários: – “Se Divino participou da reunião. Considerando que as três declarações são falsas. pelo menos um desses três enfermeiros não havia comparecido ao local designado. então Corifeu participou”. (C) Clóvis faltou. (C) p é falsa ou q é falsa. (E) Benício e Clóvis faltaram. Corifeu: Eu fui aprovado no concurso. Benício: Clóvis compareceu ou Abigail faltou. (ICMS/SP 2006 FCC) Na tabela-verdade abaixo. Benício: Se Ariovaldo foi reprovado no concurso.Aldo: Não é verdade que Benê e Caio executaram o projeto. Considerando que as afirmações contidas nos quatro comentários eram verdadeiras. então Caio o executou. 25. pode-se concluir com certeza que. . (D) Aldo e Benê. (Analista BACEN 2005 FCC) Aldo. Após a reunião. não participaram de tal reunião (A) Amarilis e Benivaldo. FALSA quando: (A) p é falsa e q é verdadeira. Benivaldo.ApostilasBrasil. com certeza. então Corifeu também o foi. d) Lenine irá à Biblioteca. (C) Caio. – “Se Divino não participou da reunião. (A) Abigail faltou. e) Lulu irá ao cinema e Lenine não irá à Biblioteca. 22. três enfermeiros − Abigail. Benê e Caio receberam uma proposta para executar um projeto. Raciocínio Lógico Seu Futuro é o Nosso Presente! 23. (B) Benê. a ser executado em uma mesma estação de trens metropolitanos da cidade de São Paulo. p e q são proposições A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é 21. é correto afirmar que.” Considerando que. (B) Amarilis e Divino. Lenine irá à Biblioteca. (D) Benivaldo e Divino.” “Se o professor não adiar a prova. (D) Abigail e Benício faltaram. então Amarilis não participou”.Caio: Eu não executei o projeto. – “Se Benivaldo ou Corifeu participaram. apenas. após a conclusão do projeto: . o professor adiará a prova. (E) p é verdadeira e q é verdadeira. com certeza. – “Esmeralda não participou da reunião”. (Téc Controle Interno RJ 99 ESAF) Dadas as proposições A que tem valor lógico FALSO é a (A) IV (B) V (C) III (D) II (E) I 20. ouvindo deles as seguintes declarações: Abigail: Benício faltou e Clóvis faltou. Benício e Clóvis − foram incumbidos de acompanhar um Programa de Vacinação contra o vírus da dengue. então Abigail faltou. q: O trabalho enobrece. Lulu irá ao cinema. A afirmação “Se o trabalho não enobrece. (TCE-SP 2010 FCC) Certo dia. então o projeto foi executado APENAS por (A) Aldo. (C) Corifeu foi o único dos três que foi aprovado no concurso. Sabedor de que. (E) Aldo e Caio. (B) Benício faltou. (B) Benício foi o único dos três que foi aprovado no concurso. é correto afirmar que a) Lulu e Lenine não irão à Biblioteca b) Lulu e Lenine não irão ao cinema. Admitindo-se que as três declarações são verdadeiras. o Coordenador do Programa convocou-os a prestar esclarecimentos. (E) Corifeu e Divino. Clóvis: Se Benício compareceu. Corifeu. . no dia estipulado para a execução do programa. (D) p é falsa e q é falsa. (TRT-SP Tec Jud 2008 FCC) Considere que são verdadeiras as seguintes premissas: “Se o professor adiar a prova. mas pelo menos um dos outros dois não o foi. 26.com 19. A seguir são registradas as declarações dadas pelos três. (B) p é verdadeira e q é falsa. (E) os cargos deste concurso são ou de analista. Quando ouvi a campainha e percebi que era o vendedor. então é verdade que: (A) nenhum funcionário público é eficiente. (D) pelo menos um dos filhos de Maria desgosta de quiabo. o jornal se viu obrigado a retratar-se. d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. (C) todo funcionário público é eficiente. (TRT 9ª Região 2004 FCC) A correta negação da proposição "todos os cargos deste concurso são de analista judiciário” é: (A) alguns cargos deste concurso são de analista judiciário. d) Alguma planta não é venenosa. NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES 27. (C) Nem toda Linha do Metrô de São Paulo é ociosa. 29. Então. não fui a lugar nenhum. ou no judiciário. (B) existem cargos deste concurso que não são de analista judiciário. (E) Ariovaldo foi o único dos três que foi reprovado no concurso. (TRT 9ª Região 2004 FCC) Em uma declaração ao tribunal. do ponto de vista puramente lógico. Nenhum sapo é príncipe. comprou alguma coisa do vendedor e tem coisas a declarar sobre o crime. (Especialista em Políticas Públicas SP 2009 FCC) A sentença a seguir foi dita pelo chefe da manutenção de determinada indústria durante uma reunião: “Não é verdade que todos os funcionários do meu setor deixaram de cumprir a meta de atender a 100% das chamadas dentro do prazo recomendado. (C) pelo menos um dos filhos de Maria gosta de quiabo.” Embora a dupla negação seja utilizada com certa freqüência na língua portuguesa como um reforço da negação. (B) não foi a lugar algum. (D) foi a algum lugar. A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição: a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. (D) nenhum dos cargos deste concurso não é de analista judiciário. comprou alguma coisa do vendedor e não tem coisas a declarar sobre o crime. (D) apenas um funcionário da manutenção teve pelo menos uma chamada que não foi atendida dentro do prazo recomendado. (E) alguns filhos de Maria não gostam de quiabo. d) João é bom médico se e só se estudou muito. comprou alguma coisa do vendedor e tem coisas a declarar sobre o crime. Existem funcionários públicos que não são eficientes. então não faz calor. 28. Dê a negação de cada uma das proposições abaixo. (Oficial de Justiça TJ-PE 2006 FCC) Considere a afirmação abaixo. o acusado afirmou. Algum gato não sabe pular. 33. afirmou: “Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. Nessas condições. Toda planta é venenosa. publicando uma negação de tal manchete. (B) Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel. que (A) não foi a lugar algum. a) Todos os corvos não são negros. b) Nenhum gato não sabe pular. e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta. (E) 100% das chamadas feitas a funcionários da manutenção deixaram de ser atendidas dentro do prazo recomendado. o acusado de um crime diz: Raciocínio Lógico Seu Futuro é o Nosso Presente! "No dia do crime. (C) foi a algum lugar. (B) nenhum dos filhos de Maria desgosta de quiabo. Se essa afirmação é FALSA. 30. 32. Algum corvo é negro. (D) Algumas Linhas do Metrô de São Paulo não são ociosas. após visitar uma aldeia distante. Das sentenças seguintes. (Prominp 2009 Cesgranrio) A negação de “Todos os filhos de Maria gostam de quiabo” é (A) nenhum dos filhos de Maria gosta de quiabo. (Escriturário Banco do Brasil 2011 FCC) Um jornal publicou a seguinte manchete: “Toda Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários. 36. (C) Alguma Agência do Banco do Brasil não tem déficit de funcionários. em relação ao dia do crime. (Metrô-SP 2010 FCC) A negação da proposição “Existem Linhas do Metrô de São Paulo que são ociosas. Isso posto. (B) Nenhuma Linha ociosa é do Metrô de São Paulo. (B) Nenhuma Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários. (C) existem cargos deste concurso que são de analista judiciário. 35. não tenho nada a declarar sobre o crime. (B) nenhuma pessoa eficiente é funcionário público. (Metrô-SP 2010 FCC) Considere as proposições simples: p: Maly é usuária do Metrô e q: Maly gosta de dirigir automóvel A negação da proposição composta p ∧ ~q é: (A) Maly não é usuária do Metrô ou gosta de dirigir automóvel. na mesma reunião. c) Se o tempo está chuvoso. os dados apresentados pelos outros setores da indústria mostraram que o chefe da manutenção se equivocara.hoje não compro nada. (E) Toda Linha do Metrô de São Paulo é não ociosa. (D) nem todos os funcionários públicos são eficientes. Dê uma negação para cada uma das proposições abaixo. (Fiscal Recife 2003 ESAF) Pedro. (C) Não é verdade que Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel. é necessário concluir que (A) nenhum funcionário da manutenção conseguiu atende a qualquer chamada dentro do prazo recomendado. (C) todos os funcionários da manutenção tiveram pelo menos uma chamada que não foi atendida dentro do prazo recomendado.” Mais tarde.” é: (A) Nenhuma Linha do Metrô de São Paulo é ociosa.ApostilasBrasil. não comprou coisa alguma do vendedor e não tem coisas a declarar sobre o crime. ela equivale a uma afirmação. c) Algum sapo é príncipe. (D) Existem Agências com deficit de funcionários que não pertencem ao Banco do Brasil. 63 . eu disse a ele: . (E) foi a algum lugar.com (D) Benício foi o único dos três que foi reprovado no concurso. c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta. b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta. 34. aquela que expressaria de maneira correta a negação da manchete publicada é: (A) Qualquer Agência do Banco do Brasil não têm déficit de funcionários. b) X ≤ Y ou Z < W. 37. 31. (E) todas as pessoas eficientes são funcionários públicos. sendo falsa sua sentença. (E) O quadro de funcionários do Banco do Brasil está completo. (B) pelo menos um funcionário da manutenção não conseguiu atender nenhuma chamada dentro do prazo recomendado. não comprou coisa alguma do vendedor e não tem coisas a declarar sobre o crime. do ponto de vista lógico. a) X > Y e Z = W.” Diante de tal inverdade. então o presidente da mesa não começará a votação. dirigindo. (B) Se não há nevoeiro. Jaime trabalha no Tribunal de Contas e não é eficiente. encaminhea ao setor verde. então ela é feliz. (Prominp 2008 Cesgranrio) Sejam p. então ele não é eficiente. (D) Se Lucia não é pintora. c) Ana está viajando e Paulo não vai viajar. Esta declaração é logicamente equivalente à afirmação (A) se as manifestações desrespeitosas continuarem. os aviões decolam. d) Ana não está viajando e Paulo não vai viajar. (A) As proposições ~(p ∧ q) e (~p ∨ ~q) não são logicamente equivalentes. o presidente da mesa fez a seguinte declaração. 46. então ela não é pintora. então as manifestações desrespeitosas não foram interrompidas. a temperatura está igual a ou acima de 5°C.” Considerando que essa instrução é sempre cumprida corretamente. (4) Jaime é eficiente ou não trabalha no Tribunal de Contas. (D) Se há nevoeiro. (B) se as manifestações desrespeitosas não continuarem. ou um Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira ou ele participa de projetos de aperfeiçoamento. 3 e 4 (D) 1. então ela não é feliz. então há nevoeiro. ~q e ~r as suas respectivas negações. (ANEEL Analista 2006 ESAF) A negação da afirmação condicional “se Ana viajar. então ela gosta de dirigir automóvel. (B) Se um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento. b) se Ana não viajar. também é verdadeira a sentença: (A) Se não há nevoeiro. Portanto: (A) Se Lucia não é feliz. então o presidente da mesa dará início à votação. e) se Ana estiver viajando. então ele não progride na carreira. (3) Não é verdade que. então eu não darei início à votação”. se Maly não é usuária do Metrô. necessariamente. Se a temperatura está abaixo de 5°C. pode-se concluir que. (C) Se os aviões não decolam. (TRF 3ª Região Analista Judiciário 2007 FCC) Considere que as sentenças abaixo são verdadeiras. 39. então a temperatura está abaixo de 5°C. então ela é pintora. (E) se as manifestações desrespeitosas forem interrompidas. (ICMS/SP 2006 FCC) Das proposições abaixo. (E) toda pessoa que não é encaminhada ao setor verde não precisa autenticar documentos.se às galerias da casa: “Se as manifestações desrespeitosas não forem interrompidas. um Auditor-Fiscal Tributário não participa de projetos de aperfeiçoamento e não progride na carreira. então ele progride na carreira. então ela é feliz. (E) Se Lucia é pintora. (2) Se Jaime não trabalha no Tribunal de Contas. então ela não gosta de dirigir automóvel.ApostilasBrasil. então ela não é pintora. 38. (E) Se a temperatura está igual a ou acima de 5°C os aviões decolam. então ele é eficiente. (Assembléia Legislativa/SP 2010 FCC) Durante uma sessão no plenário da Assembléia Legislativa. assinale a correta. (D) a única função das pessoas que trabalham no setor verde é autenticar documentos. 64 . (C) se o presidente da mesa deu início à votação. A negação de é EQUIVALÊNCIA ENTRE PROPOSIÇÕES 40. Assim sendo. (E) Um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento e progride na carreira. (ICMS/SP 2006 FCC) Dentre as alternativas abaixo. (D) Ou um Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira ou ele participa de projetos de aperfeiçoamento.com (D) Não é verdade que. 47. então a proposição p ∧ (~q) é equivalente a 48. então o presidente da mesa começará a votação. Paulo não vai viajar. (C) Não é verdade que. (TCE MG 2007 FCC) São dadas as seguintes proposições: (1) Se Jaime trabalha no Tribunal de Contas.” Essa proposição é tautologicamente equivalente à proposição: (A) Não é verdade que. (E) Se Maly não é usuária do Metrô. (ICMS/SP 2006 FCC) Se p e q são proposições. (A) uma pessoa que não precise autenticar documentos nunca é encaminhada ao setor verde. (B) Se Lucia é feliz. (C) Se Lucia é feliz. a única que é logicamente equivalente a p → q é 41. 45. 42. responsável por orientar o público. (ISS São Paulo 2007 FCC) Considere a seguinte proposição: “Se um Auditor-Fiscal Tributário não participa de projetos de aperfeiçoamento. Paulo vai viajar” é: a) Ana não está viajando e Paulo vai viajar. (B) toda pessoa encaminhada ao setor verde precisa autenticar documentos. há nevoeiro. q e r proposições simples e ~p. (TRE-PI – Téc Jud 2009 FCC) Um dos novos funcionários de um cartório. É correto afirmar que são logicamente equivalentes apenas as proposições de números Raciocínio Lógico Seu Futuro é o Nosso Presente! (A) 2 e 4 (B) 2 e 3 (C) 2. (TRF 3ª Região 2007 FCC) Se Lucia é pintora. (C) somente as pessoas que precisam autenticar documentos são encaminhadas ao setor verde. (D) se o presidente da mesa não deu início à votação. os aviões não decolam. então as manifestações desrespeitosas foram interrompidas. Paulo vai viajar. Se há nevoeiro. 2 e 3 (E) 1. recebeu a seguinte instrução: “Se uma pessoa precisar autenticar documentos. 43. 3 e 4 44. no mês de abril. no mínimo. (TRT9 2004 FCC) Considere a seguinte proposição: "na eleição para a prefeitura. Se o Brasil vencer ou empatar o jogo contra o Equador. a) não viajo e caso. (B) os valores constantes no contrato sofreram uma correção de 1%. então a Lua é triangular” é falsa. Eu vi quando ele pagou. então foi para o hotel. (B) uma tautologia. mas do Basílio não sei dizer. 30. o garçom. (D) uma contingência. 33. 36. (Todo sapo não é príncipe. Se o turista não foi para o hotel. c) o turista perdeu o voo e a agência de viagens não se enganou. e somente se. Se a agência de viagens não se enganou. 06.) d) Toda planta é venenosa. estava a nota de R$ 50. Questão 3: Vunesp 2012 . então os valores constantes no contrato não sofrerão qualquer correção.com Seu Futuro é o Nosso Presente! (B) A negação da proposição “Ele faz caminhada se. formados por uma nota de R$ 100. então a agência de viagens não se enganou. a) Algum corvo é negro. no mínimo. C 13. 50. b) X > Y e Z ≥ W. então.00 ali foi o Antônio quem colocou. b) viajo e caso. CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA 50. 49.00. (D) A proposição “Se está quente. 09. QUESTÕES RESOLVIDAS Questão 1: FUNIVERSA/2012 . e somente se. Assim. ocorreu uma dificuldade no fechamento da conta. 04. (E) A proposição “Se a Terra é quadrada. Eduardo: — Só sei que alguém pagou com quatro notas de R$ 10. a equipe brasi- 65 . Do ponto de vista lógico. então o turista não foi para o hotel. O contrato trazia a seguinte cláusula: “Se o IPCA de abril for menor do que 2%.Concurso TJ/RJ para Analista Judiciário/Análise de Sistemas Pergunta: Considere a seguinte análise. RESPOSTAS 01. A 15. conclui-se que a) sonho dormindo. C 20. todas verdadeiras: Antônio: — Basílio pagou. Questão 5: FCC/2012 . d) mesmo afinado o instrumento não soa bem. 45.00 que ele retirou. independentemente de outros resultados. c) não vou morar em Pasárgada e não viajo. 34. necessariamente. então o IPCA de abril foi. 37. e nos R$ 60. (C) uma equivalência.00. 47. (E) os valores constantes no contrato não sofreram qualquer correção. 03. Imediatamente após essas falas. o tempo está bom”. Como se encontravam ligeiramente alterados pelo Raciocínio Lógico álcool ingerido. então o avião atrasou. E 12. b) Algum gato não sabe pular. Questão 4: Cesgranrio/2012 . (C) A proposição ~[ p ∨ ~(p ∧ q)] é logicamente falsa. uma de R$ 20. 22. e) toco bem acordado e dormindo. Ou não toco muito bem ou sonho acordado. no máximo. B 18. A C E D E B B C A B 27. 44. 24. Se o turista perdeu o voo. Afirmo ser verdadeira a frase: não sonho acordado.ApostilasBrasil.Concurso PC-DF Perito Criminal – Odontologia Pergunta: Cinco amigos encontraram-se em um bar e. d) compro uma bicicleta e não viajo.Concurso TJM-SP Analista de Sistemas Pergunta: Se afino as cordas. Depois que todos julgaram ter contribuído com sua parte na despesa. dirigiu-se exatamente àquele que ainda não havia contribuído para a despesa e disse: O senhor pretende usar seu cartão e ficar com o troco em espécie? Com base nas informações do texto. 1% TAUTOLOGIA. a qual fora de. d) o turista não foi para o hotel e não perdeu o voo. (Nenhuma planta não é venenosa. C C C C A C A A 41.00. O avião não atrasou. 42. as seguintes declarações. Se o instrumento soa bem. e) o turista não foi para o hotel e perdeu o voo. é correto concluir que. 26. então o IPCA de abril ficou entre 1% e 2%. 35. Seguiram-se.00. c) O tempo está chuvoso e não faz calor. CC 17. então os valores do contrato sofreram algum tipo de correção. a) X ≤ Y ou Z ≠ W.) 36. se (A) os valores constantes no contrato sofreram uma correção de 2%. 28. 05. 49. que ouvira atentamente o que fora dito e conhecia todos do grupo. c) Nenhum sapo é príncipe. Se o turista não perdeu o voo. um contrato para realização de um serviço que seria pago somente em maio. a) o turista foi para o hotel e a agência de viagens se enganou. (D) o IPCA de abril foi 1%. B C B C B D B C D 31. 38. c) as cordas não foram afinadas. 32. Basílio: — Aquela nota de R$ 100. 48. D 14. Logo. então o instrumento soa bem. o garçom fez a pergunta a: a) Antônio b) Basílio c) Carlos d) Danton e) Eduardo Questão 2: ESAF/2012 . 23. eu vi quando ele pegou seus R$ 60. feita por um comentarista esportivo durante um torneio de futebol. a afirmação da proposição caracteriza: (A) um silogismo. 46.00 e quatro de R$ 10.00 de troco. o tempo não está bom”. 29. 25. b) o instrumento afinado não soa bem. 43. R$ 200. E C C C B C A D B C 21. (E) uma contradição. então toco muito bem.Concurso Petrobrás – Técnico de Exploração de Petróleo Júnior – Informática Pergunta: O turista perdeu o voo ou a agência de viagens se enganou. 2%.” De acordo com essa cláusula. é logicamente equivalente à proposição “Não está quente e ele usa camiseta”. e) compro uma bicicleta e viajo. é a proposição “Ele não faz caminhada se. b) o turista perdeu o voo e a agência de viagens se enganou. apenas. já com a gorjeta incluída. mas não ambos. (C) o IPCA de abril foi 3%. ele usa camiseta”.00 que o Eduardo colocou na mesa. depois de algumas horas de muita conversa. Danton: — Carlos também pagou. 40. A 11. E 16. o total colocado sobre a mesa era de R$ 160. Viajo ou não caso. 39.Concurso Auditor Fiscal da Receita Federal Pergunta: Caso ou compro uma bicicleta. Dessa forma. d) Ou João é bom médico ou estudou muito. o candidato A será eleito ou não será eleito”. exatos. Ora. Vou morar em Pasárgada ou não compro uma bicicleta. Classificando-se para a semifinal. Carlos: — Sim. 27. (Especialista em Políticas Públicas SP 2009 FCC) Um fornecedor do governo apresentou. C 19.00. não vou morar em Pasárgada. 10. então os valores do contrato sofreram correção de. então o IPCA de abril foi. então estará classificado para a semifinal. 1%. 02. dividiram igualmente a conta. 07. 08. com leira vai enfrentar o Uruguai. Se o pintor é um bom pintor até usando tinta ruim a aparência do ambiente melhora. A letra B está incorreta porque o fato de empatar o Equador classifica o Brasil. A classificação pode acontecer de 3 formas: ganhando.00 reais. Eduardo pagou. Mas. concluise que. Pintor bom: pintura melhora a aparência. a partir dessas afirmações. b) não se classificar para a semifinal. chegar atrasado não é sinônimo de chegar atrasado. A letra C está errada porque o termo necessariamente generaliza a informação. De acordo com essa análise. Questão 6 Premissas: Tinta boa: pintura melhora a aparência. d) A tinta era de boa qualidade e o pintor não era bom pintor. b) nenhum paciente será atendido se todos tiverem chegado atrasados. d) perder seu jogo contra o Equador.Concurso TCE. Incluíndo a nota de R$ 50. Questão 2 Afirmação: Não vou morar em Parságada. então ele terá chegado atrasado. necessariamente terá perdido o jogo para o Equador. Questão 7 Com a afirmação dada no exercício pode-se concluir que: -Se você chegar na hora será sempre atendido. então ele não será atendido. A aparência do ambiente melhorou. Proposições: A (Falsa) v B (Verdadeira) A (Falsa) -->> ~B (Falsa) ~B (Falsa) -->> ~C (Falsa) ~C (Falsa) -->> D (Falsa) ~A (Verdadeira) -->> C (Verdadeira) ~D (Verdadeira) O avião não se atrasou. ou seja o turista foi para o hotel. A agência de viagens se enganou. d) se um paciente chegar atrasado.00 reais e retirou da mesa o troco de R$ 60. Carlos pagou. Sabendo que o ambiente foi pintado e aparência melhorou. consequentemente o instrumento não soa bem e as cordas não estão afinadas.00 que havia sido dada por Eduardo. A pintura só pode melhorar a aparência se usar tinta boa ou se for um pintor bom. e) Bons pintores não usam tinta ruim. portanto o turista foi para o hotel. Respostas Questão 1 O enunciado informa que todas as informações dadas são verdadeiras.TCE – SP Agente de Fiscalização Financeira – Administração Pergunta: Se a tinta é de boa qualidade então a pintura melhora a aparência do ambiente. o ambiente pode ter sido melhorado por outros motivos. A questão D também está incorreta porque o Brasil pode perder o jogo e mesmo assim se classificar. Questão 3 Afirmação: Não sonho acordado. necessariamente. Resposta certa: O turista foi para o hotel e a agência de viagens se enganou. e) se um paciente for atendido. Questão 6: FCC/2012 .AP Técnico de Controle Externo Pergunta: O responsável por um ambulatório médico afirmou: “Todo paciente é atendido com certeza. e) se classificar para a semifinal.ApostilasBrasil. b) O pintor era um bom pintor e a tinta era ruim. Se o instrumento soa bem.” De acordo com essa afirmação. Questão 5 A: Vencer o jogo contra o Equador B: Empatar o jogo C: Ir para a semifinal D: Enfrentar o Uruguai Não se fala na questão que se o Brasil perder ele não vai para a semifinal. então necessariamente não terá sido derrotado pelo Equador. -Se chegar atrasado talvez possa ser atendido. então o instrumento soa bem. Raciocínio Lógico Seu Futuro é o Nosso Presente! Ou seja. é verdade que: a) O pintor era um bom pintor ou a tinta era de boa qualidade. Para ser verdadeiro deve ter pelo menos uma proposição verdadeira. Questão 4 A: o turista perdeu o voo B: a agência de viagens se enganou C: o turista foi para o hotel D: o avião atrasou Afirmação: O avião não atrasou. Então. c) enfrentar o Uruguai. perdendo ou empatando fazendo com a questão e fique incorreta. então ele não terá chegado atrasado. conclui-se que se o Brasil a) não enfrentar o Uruguai. O ambiente foi pintado. então toco muito bem. Caso e Não compro a bicicleta. necessariamente terá vencido ou empatado seu jogo contra o Equador. Gabarito das Questões Questão 1 Questão 2 Questão 3 Questão 4 Questão 5 Questão 6 Questão 7 Resposta Certa Letra D Letra B Letra C Letra A Letra A Letra A Letra C Okconcursos PROVA SIMULADA II 66 . c) A tinta não era de boa qualidade. como já se sabe que ele não toca bem. Antônio pagou com R$ 100. Isso nos leva a pensar na frase: "Ou não toco muito bem ou sonho acordado". portanto: Basílio pagou. necessariamente não se classificará para a semifinal. c) se um paciente não for atendido. Caso (V) v Compro a Bicicleta (F) Viajo (V) v Não caso (F) Morar em Parságada (F) v Não compro bicicleta (V) Conclusão: -Viajo. portanto sobra danton. a menos que tenha chegado atrasado. terá necessariamente empatado o jogo com o Equador. Se afino as cordas. Porque se ele não sonha acordado também não toca muito bem. Questão 7: FCC/2012 . ou seja. a) nenhum paciente terá chegado atrasado se todos tiverem sido atendidos. (C) alguns que conhecem Maria não conhecem João. (D) Válter inveja só quem é mais rico do que ele. . 4. . (D) quem conhece João admira Maria.. (B) Todo espião é vegetariano e algum vegetariano não é espião. Válter tem inveja de quem é mais rico do que ele. 11. temos (A) 21. O AUTOR QUER DIZER QUE O PENSADOR CRÍTICO (A) precisa tolerar respostas corretas. Marta corre tanto quanto Rita e menos do que Juliana. Logo. (E) Todo vegetariano é espião e algum espião não é vegetariano. (B) Não é possível que algum acontecimento não tenha causa. Logo.' (David Canaher. (E) 32. Logo. em vez de apenas quatro. Em uma avenida reta. e o posto de gasolina fica entre a banca de jornal e a sapataria. 2. Um técnica de futebol. (A) o conjunto dos marinheiros contém o conjunto dos republicanos.com Seu Futuro é o Nosso Presente! 1. (E) Dois dos últimos quatro jogos foram realizados em seu campo e os outros dois. a padaria fica entre o posto de gasolina e a banca de jornal. Logo. (D) a padaria fica entre a sapataria e o posto de gasolina. Continuando a seqüência 47. (A) algumas plantas verdes são comestíveis. (C) 18. (A) a sapataria fica entre a banca de jornal e a padaria. Há 4 caminhos para se ir de X a Y e 6 caminhos para se ir de Y a Z. (C) o posto de gasolina fica entre a padaria e a banca de jornal. (A) Todo espião não é vegetariano e algum vegetariano é espião. (A) Sua equipe venceu os últimos seis jogos. Algumas plantas que tem clorofila são comestíveis. (E) nenhum marinheiro é republicano. (C) Nenhum espião é vegetariano e algum es pião não é vegetariano. 9. 8. O número de caminhos de X a Z que passam por Y é 67 . Raciocínio Lógico Todas as plantas verdes têm clorofila. (B) 22. (D) algum marinheiro não é republicano. Geraldo não é mais rico do que quem o inveja. (C) Cada um dos últimos quatro jogos foi ganho por uma diferença de mais de um gol. Assinale a alternativa que apresenta uma contradição. (A) todos os que conhecem Maria a admiram. (C) todos os republicanos são marinheiros.ApostilasBrasil. Assim sendo. 10. (B) algumas plantas verdes não são comestíveis. 26. (B) a banca de jornal fica entre o posto de gasolina e a padaria. 37. animado com as vitórias obtidas pela sua equipe nos últimos quatro jogos. (C) algumas plantas comestíveis têm clorofila. 42. (E) só quem conhece João e Maria conhece Maria. A proposição 'É necessário que todo acontecimento tenha causa' é equivalente a (A) É possível que algum acontecimento não tenha causa. Alguns que conhecem Maria não a admiram. 3. 12. (C) Válter não tem inveja de quem não é mais rico do que ele. (D) O artilheiro de sua equipe recuperou-se do estiramento muscular. (D) todas as plantas que têm clorofila são comestíveis. . (E) É impossível que algum acontecimento tenha causa.. 7. (B) 12. 33. em que o problema ainda não é totalmente compreendido. Todos os marinheiros são republicanos. (D) Marta corre mais do que Juliana. (A) 10. decide apostar que essa equipe também vencerá o próximo jogo. Senso Crítico). essa ansiedade pode impedir a exploração mais completa do problema. (B) Fátima corre mais do que Marta. (B) nunca sabe a resposta correta.. (B) Geraldo é mais rico do que Válter. (A) quem não é mais rico do que Válter é mais pobre do que Válter. (B) Choveu nos últimos quatro jogos e há previsão de que não choverá no próximo jogo. (E) todas as plantas vendes são comestíveis. em campo adversário.. (D) 24. (D) Algum espião é vegetariano e algum es pião não é vegetariano. 6. Se ele ficar aflito quando não sabe 'a resposta correta'. Logo. (B) o conjunto dos republicanos contém o conjunto dos marinheiros. 29. (C) 23. (B) ninguém admira Maria. (E) Geraldo não é mais rico do que Válter. (E) Juliana corre menos do que Marta. (E) o posto de gasolina fica entre a sapataria e a padaria. (A) Fátima corre menos do que Rita. Fátima corre tanto quanto Juliana. Todos os que conhecem João e Maria admiram Maria. (E) 25. (D) 24. (C) É necessário que algum acontecimento não tenha causa. (C) Juliana corre menos do que Rita. 5. Indique a Informação adicional que tornaria menos provável a vitória esperada. (D) Não é necessário que todo acontecimento tenha causa. ó pensador crítico precisa ter uma tolerância e até predileção por estados cognitivos de conflito. Os conceitos tradicionais de educação não são mais suficientes. quanto mais jovens forem os estudantes. Também será necessário aprender a ser eficaz como membro de uma organização. (D) Todos os cisnes são brancos. (A) seu esforço é condição suficiente para vencer. (B) Cátia é menos gorda do que Bruna. (E) mesmo que se esforce. então (A) os sobrinhos de não músicos nunca são músicos. 18. ortografia. Se você se esforçar. 14. O paciente está bem. O professor motiva. Vera é menos gorda do que Bruna. 13. Logo. (D) não tenho dinheiro suficiente para comprar duas dúzias de lírios. mas a educação precisará ir muito além desses itens básicos. outro cisne branco . então não irá vencer. (C) TEM FEBRE." (Peter Drucker. Contudo. Essas matérias . Através dos tempos. mas também muitas daquelas ensinadas em estágios posteriores do processo educacional. uma compreensão básica de ciência e da dinâmica da tecnologia. 17. (B) os sobrinhos de não músicos sempre são músicos. (C) os sobrinhos de músicos sempre são músicos. (B) toda cabeça de cavalo é cabeça de animal. biologia. isto é. dirige. Logo. (E) não deve tolerar estados cognitivos de conflito.. conhecimento de línguas estrangeiras. (D) NÃO TEM FEBRE. (B) não tenho dinheiro suficiente para comprar uma dúzia de rosas. (B) Vi um cisne. (A) tenho dinheiro suficiente para comprar uma dúzia de rosas. o paciente (A) TEM FEBRE E NÃO ESTÁ BEM. Para o autor. (E) tenho dinheiro suficiente para comprar uma dúzia de lírios. (D) tende a ser mais utilizado por médicos. (B) TEM FEBRE OU NÃO ESTÁ BEM. a educação universal apresenta tremendos desafios. O paciente não pode estar bem e ainda ter febre. repetição e feedback. "O primeiro impacto da nova tecnologia de aprendizado será sobre a educação universal. (E) Bruna é menos gorda do que Vera. Na verdade. (D) você vencerá só se se esforçar. (C) será a ferramenta de aprendizado para os professores. Todo cavalo é um animal. (E) Todos os cisnes são brancos. com programas de computador como ferramentas. em sua maioria. (E) nenhum animal é cavalo. escrever e aritmética continuarão a ser necessários como hoje. a escola de primeiro grau tem sido totalmente intensiva de mão-de-obra. aritmética. (D) os sobrinhos de músicos nunca são músicos. (A) Vera é mais gorda do que Bruna. (A) Vejo um cisne branco. suficiente para comprar meia dúzia de lírios. então todos os cisnes são brancos. coisas que são aprendidas de forma comportamental e através de exercícios. Seu Futuro é o Nosso Presente! 20. então irá vencer. (D) que não fica aflito explora com mais dificuldades os problemas. Não tenho dinheiro suficiente para comprar duas dúzias de rosas. As rosas são mais baratas do que os lírios. há 20 alunos que praticam futebol mas não praticam vôlei e há 8 alunos que prati- . então outros cisnes devem ser brancos. incentiva. 21. ortografia. 22. gastaram horas intermináveis tentando ensinar coisas que eram melhor aprendidas do que ensinadas.ApostilasBrasil. 68 Em uma classe. você não vencerá.. Assim sendo. (E) deve se dar através de meras repetições e exercícios. (B) seu esforço é condição necessária para vencer. o ensino de matérias como aritmética. (E) NÃO ESTÁ BEM. INSTRUÇÃO: Utilize o texto a seguir para responder às questões de nº 17 e 18. então este cisne pode ser branco. (C) será afetado pelo desenvolvimento da informática. neste novo cenário. Cátia é mais gorda do que Bruna. Ler. o computador (A) terá maior eficácia educacional quanto mais jovem for o estudante. Logo. Na verdade. 19. diagnóstico médico e a maior parte da engenharia . nas próximas décadas. 15. Para Peter Drucker. Na escola de amanhã os estudantes serão seus próprios instrutores. Se os tios de músicos sempre são músicos. as escolas. (C) Vi dois cisnes brancos. (A) toda cabeça de animal é cabeça de cavalo. então este cisne é branco. (E) será uma ferramenta acessória na educação.seja ler e escrever. (C) todo animal é cavalo. ele passa a ser um líder e um recurso. (B) deve ser diferente do ensino de matérias como neurocirurgia e diagnóstico médico. (C) se você não se esforçar. ou mesmo matérias avançadas como neurocirurgia. (D) não deverá se modificar. história. A escola de primeiro grau de amanhã será fortemente intensiva de capital. Pertencem a esta categoria todas as matérias ensinadas no primeiro grau. 16. (B) tende a substituir totalmente o professor em sala de aula. (C) não tenho dinheiro. outro cisne branco. A sociedade pós-capitalista). como empregado. maior o apelo do computador para eles e maior o seu sucesso na sua orientação e instrução. (C) Bruna é mais gorda do que Cátia. (D) nem todo cavalo é animal. história e biologia (A) Deve Ocorrer Apenas No Primeiro Grau. (E) os sobrinhos de músicos quase sempre são músicos.com (C) precisa gostar dos estados em que não sabe a resposta correta. Raciocínio Lógico Assinale a alternativa em que se chega a uma conclusão por um processo de dedução. Historicamente. Logo. Ela irá exigir familiaridade com números e cálculos. (D) Vera é menos gorda do que Cátia.são melhor aprendidas através de programas de computador. então ele é branco. apesar da tecnologia disponível. (B) Rodrigo é culpado. (C) E. (B) 35. que todo B é C. Segue-se. 31 . Sabe-se. (A) Francisco desviou dinheiro da campanha assistencial. (D) acham incompatíveis os dois tipos de autoridade. (D) pelo menos uma hipótese desse conjunto é verdadeira. sua predição mostra-se falsa. todo pensamento é um movimento. com a condição de que estas comunicações sejam razoavelmente consistentes com as vantagens de escopo e perspectiva que são creditadas a estas posições. Y. portanto algumas cadeiras tem quatro pés. então. (C) Todo cachorro mia. Esta é a autoridade de posição”. então ele não é culpado. (C) pelo menos uma hipótese desse conjunto é falsa. geram respeito. . independentemente da posição. Todavia. (C) a autoridade de liderança se estabelece por características individuais de alguns homens.. 28. (D) 42. 27. (E) Toda cadeira é um objeto.' (Chester Barnard. (A) O. (C) Francisco cometeu um grave delito. (C) se Rodrigo não mentiu. Os homens atribuem autoridade ao que eles dizem. o autor procura mostrar que as pessoas (A) não costumam respeitar a autoridade de posição. (B) 244. . E muitas vezes reconhecido que. O número de alunos da classe é Mas Francisco não desviou dinheiro da campanha assistencial. Se Rodrigo mentiu. sua recomendação deve ser superior pela simples razão da vantagem de posição. então ele não mentiu. (A) 30. portanto cachorros não são gatos. O. (B) Francisco não cometeu um grave delito. O seu conhecimento e a sua compreensão. 10. O cientista deve logicamente concluir que (A) todas as hipóteses desse conjunto são falsas. (B) a maioria das hipóteses desse conjunto é falsa. Assinale a alternativa em que ocorre uma conclusão verdadeira (que corresponde à realidade) e o argumento inválido (do ponto de vista lógico). necessariamente a) Y está contido em Z b) X está contido em Z c) Y está contido em Z ou em P d) X não está contido nem em P nem em Y 69 . Mas é óbvio que alguns homens têm habilidade superior. (B) também respeitam autoridade que não esteja ligada a posições hierárquicas superiores. (E) confundem autoridade de posição e liderança.. 30. (D) Rodrigo mentiu. Raciocínio Lógico Continuando a seqüência de letras F. independente da habilidade pessoal do sujeito que ocupa a posição. (E) 256. The Functions of the Executive). e todo ser é homem. (D) 254.Considere as seguintes premissas (onde X. visto que todos os raciocínios são movimentos. (B) autoridade de posição é uma autoridade superior à autoridade de liderança.. então ele cometeu um grave delito. portanto Sócrates é mortal. necessariamente que a) todo C é B b) todo C é A c) algum A é C d) nada que não seja C é A e) algum A não é C 32. Logo. temos (A) 236. apenas por esta razão. (E) alguém não desviou dinheiro da campanha assistencial. existem 17 alunos que não praticam futebol. e nenhum gato mia. e todo homem é mortal. 82. (E) 44. M.. (C) respeitam mais a autoridade de liderança do que de posição. (E) D.Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. 28..com Seu Futuro é o Nosso Presente! cam vôlei mas não praticam futebol. 26. P. P.. .ApostilasBrasil. portanto. (E) tanto a autoridade de posição quanto a autoridade de liderança são ineficazes. (A) se Rodrigo não é culpado. “Os homens atribuem autoridade a comunicações de posições superiores. . Para o autor. (D) alguém desviou dinheiro da campanha assistencial. em uma organização. então ele é culpado. Durante o texto. até um grau considerável. temos. (A) autoridade de posição e autoridade de liderança são sinônimos. respectivamente. e todo objeto tem cinco pés. G. 24. também. 23. Z e P são conjuntos não vazios): Premissa 1: "X está contido em Y e em Z. (B) I.. (D) a autoridade de posição se estabelece por habilidades pessoais superiores de alguns líderes. (C) 37. Utilizando-se de um conjunto de hipóteses. (D) Todo pensamento é um raciocínio. 25. 29. (D) L. então ele mentiu. Ao todo. Se Francisco desviou dinheiro da campanha assistencial. (E) se Rodrigo é culpado. (B) Toda pedra é um homem. pois alguma pedra é um ser. Logo. Continuando a seqüência 4.. Esta autoridade é. (A) Sócrates é homem.. portanto. H . L. um cientista deduz uma predição sobre a ocorrência de um certo eclipse solar. ou X está contido em P" Premissa 2: "X não está contido em P" Pode-se. INSTRUÇÃO: Utilize o texto a seguir para responder às questões de nº 23 e 24. O total dos que praticam vôlei é 15. Esta é a autoridade de liderança. (C) 246. embora este sujeito possa ter habilidade pessoal limitada. concluir que. I. N. (E) a maioria das hipóteses desse conjunto é verdadeira. então o gato não mia 43. Beatriz e Camile. respectivamente: a) Caio e José b) Caio e Adriano c) Adriano e Caio d) Adriano e José e) José e Adriano 42. Ana. independentemente da verdade dos termos que a compõem.Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se. 80 estão matriculados em Francês. ou Caio é o mais velho. então Paulo é paulista 70 . então Guilherme é gordo 39. Celso. segue-se que as esposas de Luís. Ora. Perguntados sobre quem era o culpado. Sandra. Logo: a) B ¹ C b) B ¹ A c) C = A d) C = D e) D ¹ A 41. então João é alto e Guilherme é gordo e) se João é alto ou não é alto.ApostilasBrasil.com e) X não está contido nem em Y e nem em Z 33. Teresa. quando C ocorre. Logo: a) o jardim é florido e o gato mia b) o jardim é florido e o gato não mia c) o jardim não é florido e o gato mia d) o jardim não é florido e o gato não mia e) se o passarinho canta. então o gato mia. uma ao lado da outra. e mais meia barra. lado a lado. pode-se concluir que o culpado é: a) Armando b) Celso c) Edu d) Juarez e) Tarso 35. Se o jardim é florido. pois a minha esposa é Sandra" Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que o marido de Teresa disse a verdade. que a ocorrência de D é condição necessária e suficiente para a ocorrência de A. Juarez e Tarso.A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo. ou Adriano é o mais moço. Regina 44.Se o jardim não é florido. então A=D. Sandra. B=D. os cinco. por ser a mais velha. Sabe-se. Um exemplo de tautologia é: a) se João é alto. Beatriz recebeu a metade do que sobrou. Adriano e Caio –. o mesmo que dizer que: a) se Pedro é pedreiro. ou B=C. Regina. Sabe-se. na mesma fila. Seleciona-se.De três irmãos – José.Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando. os três fizeram as seguintes declarações: Nestor: "Marcos é casado com Teresa" Luís: "Nestor está mentindo. um dos 200 estudantes. Teresa c) Regina.Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é. Marcos e Nestor – são casados com Teresa.Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocorrência de C e condição suficiente para a ocorrência de D. Assim. e mais meia barra. 110 em Inglês e 40 não estão matriculados nem em Inglês nem em Francês. sabe-se que ou José é o mais velho. o número de barras de ouro que Ana recebeu foi: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 38. Coube a Camile o restante da herança. Edu.Três amigos – Luís. Após Ana ter recebido sua parte. então João é alto ou Guilherme é gordo b) se João é alto. Marcos e Nestor são. Se B=D. do ponto de vista lógico. que ou Adriano é o mais velho.De um grupo de 200 estudantes. Regina b) Sandra. igual a uma barra e meia. Perguntados sobre os nomes das respectivas esposas. então o passarinho não canta. Sandra e) Teresa. o passarinho canta. Regina. Teresa d) Teresa. também. Regina e Sandra (não necessariamente nesta ordem). o mais velho e o mais moço dos três irmãos são.Uma herança constituída de barras de ouro foi totalmente dividida entre três irmãs: Ana. Assim. também. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças fiquem juntas. cada um deles respondeu: Armando: "Sou inocente" Celso: "Edu é o culpado" Edu: "Tarso é o culpado" Juarez: "Armando disse a verdade" Tarso: "Celso mentiu" Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade.A operação Å x é definida como o dobro do quadrado de x. mas não ambos. então João é alto e Guilherme é gordo c) se João é alto ou Guilherme é gordo. o valor da expressão Å 21/2 . pois a esposa de Marcos é Regina" Marcos: "Nestor e Luís mentiram. Então. eu levo o guarda-chuva b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d) se estiver chovendo. respectivamente: a) Sandra. eu levo o guarda-chuva" é: a) se não estiver chovendo.Å [ 1Å 2 ] é igual a a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 6 34. em Inglês ou em Francês) é igual a a) 30/200 b) 130/200 c) 150/200 d) 160/200 e) 190/200 37. Ora.Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira. A probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado em pelo menos uma dessas disciplinas (isto é.Ou A=B. recebeu a metade das barras de ouro. a) D ocorre e B não ocorre b) D não ocorre ou A não ocorre c) B e A ocorrem d) nem B nem D ocorrem e) B não ocorre ou A não ocorre 40. ao acaso. então Guilherme é gordo Raciocínio Lógico Seu Futuro é o Nosso Presente! d) se João é alto ou Guilherme é gordo. Assim. eu não levo o guarda-chuva e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva 45. é igual a a) 2 b) 4 c) 24 d) 48 e) 120 36. 50. 4) ou o Corsa é preto. portanto. mas não a mão da princesa e) não deve dar nem o cavalo veloz. 15. C 35. preto d) preto. 26. 23. 3. branco. 30. se ela for falsa. 45. . 05.Se Frederico é francês.Maria tem três carros: um Gol. A C E B TESTE DE HABILIDADE NUMÉRICA 1. B A C E E B 11. 212 179 146 113 ? 47. 24. então Sônia é inocente. então Pedro é pedreiro c) se Pedro não é pedreiro. então Pedro estuda Matemática. a) branco. 46. O jovem sábio disse. ou o Corsa é azul. 03. 48. azul. 06. Se Pedro não é português. branco c) azul. 25. e o outro é azul. Sabe-se que: 1) ou o Gol é branco. Segue-se logicamente. Luís estuda História ou Helena estuda Filosofia. Escreva. ou o Fiesta é preto. Frederico é francês 07. 40. azul e) branco. B 34. Logo: a) Pedro é português e Frederico é francês b) Pedro é português e Alberto é alemão c) Pedro não é português e Alberto é alemão d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês e) Se Alberto é alemão. 02. A D B E 37. B C D E A B 71 . então Lauro é culpado e) Roberto é inocente se e somente se Lauro é inocente 49. Ou Alberto é alemão. 42. o outro é preto. 28. C A D D 27. 49. 13. ou o Fiesta é branco. então Paulo não é paulista 46. . então Alberto não é alemão.Um rei diz a um jovem sábio: "dizei-me uma frase e se ela for verdadeira prometo que vos darei ou um cavalo veloz. azul b) preto. 16. Escreva o número que falta. nem a linda espada. ou uma linda espada. o número que falta. então Paulo não é paulista e) se Pedro não é pedreiro. 6 8 10 11 ? ? 14 14 6. 17 (112) 39 28 ( . que: a) Lauro é culpado e Sônia é culpada b) Sônia é culpada e Roberto é inocente c) Pedro é culpado ou Roberto é culpado d) Se Roberto é culpado. 10. azul. E 36. o rei: a) deve dar o cavalo veloz e a linda espada b) deve dar a mão da princesa. 19. Escreva o número que falta. então Jorge estuda Medicina. Um dos carros é branco. 38. Escreva o número que falta. 14. 04. 18 20 24 32 2. preto. 08. então Paulo é paulista d) se Pedro é pedreiro. Portanto. 3) ou o Fiesta é azul.Se Pedro é inocente. respectivamente. . 12. B 31. ) 49 7 Escreva o número que falta. 39. 3 9 3 5 7 1 7 1 ? 9. Se Helena estuda Filosofia.com Seu Futuro é o Nosso Presente! b) se Paulo é paulista. segue-se necessariamente que: a) Pedro estuda Matemática ou Jorge estuda Medicina b) Pedro estuda Matemática e Jorge estuda Medicina c) Se Luís não estuda História. então Frederico é francês. um Corsa e um Fiesta. . 18. C 33. não vos darei nada". E A C A 47. 44. então: "Vossa Majestade não me dará nem o cavalo veloz.ApostilasBrasil. B D C B 17. nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana. Raciocínio Lógico C B C E D D 41. 09.) 678 10 Escreva o número que falta. 22. ou a mão da princesa. do Corsa e do Fiesta são. preto 50. Se Roberto é inocente. Ora. Logo. Ora. ou o Corsa é azul. nem a mão da princesa 01. Escreva o número que falta. C C D A A D RESPOSTAS 21. Escreva. mas não o cavalo veloz nem a linda espada c) deve dar a mão da princesa e o cavalo veloz ou a linda espada d) deve dar o cavalo veloz ou a linda espada. Escreva o número que falta. Pedro é culpado ou Sônia é culpada. Escreva o número que falta. nem a linda espada". então Lauro é inocente. 234 (333) 567 345 (. 43. dentro do parêntese. E 32. então Jorge não estuda Medicina d) Helena estuda Filosofia e Pedro estuda Matemática e) Pedro estuda Matemática ou Helena não estuda Filosofia 48. 2) ou o Gol é preto. 5. o número que falta. Para manter a promessa feita. branco. as cores do Gol. dentro do parêntese. 4. 7 13 24 45 ? 8. Ora. 20. 29. ou Egídio é espanhol.Se Luís estuda História. finalmente 16). Seu Futuro é o Nosso Presente! Escreva o número que falta. 6 7 9 13 21 ? Escreva o número que falta. 9 333. 11 35. . (Os números da terceira coluna são a semi-soma dos números das outras duas colunas).ApostilasBrasil. (Multiplique o número por dois e subtraia 1. o número que falta. (A série aumenta em 1. 3 80. 12 37. 718 (26) 582 474 (. 9 Escreva o número que falta. 341 (250) 466 282 (. 4. o número que falta. 5 e 6). 8 3. 4 8 6 6 2 4 8 6 ? Escreva o número que falta. dentro do parêntese. 9 4 1 6 6 2 1 9 ? Escreva o número que falta. 2. (O número da cabeça é igual a semi--soma dos números dos pés). . 15 13 12 11 ? 22 Escreva. (No sentido contrário aos ponteiros do relógio.) 226 16. dentro do parêntese. 8 e. 17 18. 4 7 6 8 4 8 6 5 ? RESPOSTAS . . 13.) 16 25 Escreva o número que falta. . . Escreva o número que falta. 14. 19 20. 21 Escreva o número que falta. 3 e 4). 24 Escreva. 8 e 16 unidades sucessivamente). 4 5. 12 (336) 14 15 (. 8 5 2 4 2 0 9 6 ? Escreva o número que falta.) 398 23 Escreva o número que falta. 42 72 . dentro do parêntese. (Os braços para cima se somam e os para baixo se subtraem. 4 5 7 11 19 ? Escreva o número que falta. 4. 10 5.TESTE DE HABILIDADE NUMËRICA 9 1 48. 2 24. (Multiplique cada termo por 2 e subtraia 5 para obter o seguinte). (Subtraia os números das duas primeiras colunas e divida por 2). 7 86. uma que aumenta de 4 em 4 e a outra de 3 em 3). . Raciocínio Lógico 26 5 18. 13 7. (Subtraia 33 de cada número). (Existem duas séries alternadas. 2 e 1 sucessivamente). (Some 2.com 11- 12. 3. 64 48 40 36 34 ? 15 Escreva. 11 12 14 ? Escreva o número que falta. os números aumentam em 2. 4. o número que falta. (A série diminui em 16. 4. 2. (Subtraia o número da esquerda do número da direita para obter o número inserto no parêntese). 14 33. 8. para obter o número da cabeça). (Some os números de fora do parêntese e multiplique por 2). 6 154. (Cada fileira soma 14). 17 6. dentre as numeradas. 22 232. TESTE DE HABILIDADE VÍSUO-ESPACIAL 1 mais. 23 21. Assinale a figura que não tem relação com as de- 24 480. (Os números diminuem em saltos iguais. posição etc. 16 3. (A terceira coluna é o dobro da diferença entre a primeira e a segunda). Assinale a figura que não tem relação com as de- 3 mais. (Subtraia a parte esquerda da parte direita e multiplique o resultado por dois). 6 e 8). a outra de 2 em 2). (Os números aumentam em intervalos de 2. 2 na segunda e 3 na terceira). (Existem duas séries alternadas: uma diminui de 3 em 3. Assinale a figura que não tem relação com as de- 7 mais. Escolha. 21 18. 20 3. (O número inserto no parêntese é o dobro do produto dos números de fora do mesmo).ApostilasBrasil. Assinale a figura que não tem relação com as de- 2 mais. 18. (Some os números de fora do parêntese e divida por 50 para obter o número inserto no mesmo). (No sentido dos ponteiros do relógio. por questão de detalhe. Assinale a figura que não tem relação com as de- 6 mais. 3 na primeira fileira. 2. a figura que corres- * Não ter relação no sentido de não conservar as mesmas relações com as demais.com Seu Futuro é o Nosso Presente! ponde à incógnita. 25. 15 14. 4. 5 mais. (Os números são o dobro de seus opostos diametralmente). 4 Raciocínio Lógico 73 . Assinale a figura que não tem relação com as de- 9 mais. 18 19 4. Assinale a figura que não tem relação com as de- Assinale a figura que não tem relação com as de- 8 mais. multiplique por 3). (Dobre cada termo e subtraia 10 para obter o seguinte). Assinale a figura que não tem relação com as de- 18 mais. 11 mais. 15 mais. Assinale a figura que não tem relação com as demais.ApostilasBrasil. 14 mais. Assinale a figura que não tem relação com as de- 17 mais. Assinale a figura que não tem relação com as de- Assinale a figura que não tem relação com as de- Assinale a figura que não tem relação com as de- Assinale a figura que não tem relação com as de19. Assinale a figura que não tem relação com as de- 21 mais. Seu Futuro é o Nosso Presente! Assinale a figura que não tem relação com as de- 16 mais. 20 mais. 13 mais. Assinale a figura que não tem relação com as de- Assinale a figura que não tem relação com as de- Assinale a figura que não tem relação com as de- Raciocínio Lógico 74 .com 10 mais. 12 mais. ApostilasBrasil. Seu Futuro é o Nosso Presente! 27 mais. Assinale a figura que não tem relação com as de- 29 mais. Assinale a figura que não tem relação com as de- 25 mais. Assinale a figura que não tem relação com as de- 24 mais. a que corresponde à incógnita. dentre as figuras numeradas. Assinale a figura que não tem relação com as de- 30 Escolha. Assinale a figura que não tem relação com as de- 23 mais.com 22 mais. Assinale a figura que não tem relação com as de- 28 mais. Assinale afigura que não tem relação com es de- Assinale a figura que não tem relação com as de- Raciocínio Lógico 75 . 26 mais. porém o sombreado preto avança urna posição a mais. RESPOSTAS . 6. 23 1. (Todas as outras figuras podem girar até se sobreporem). (Todas as outras figuras podem girar até se sobreporem). (As outras figuras podem girar até se sobreporem). 4 1. 10 2. (As outras três figuras são esquemas de urna mão esquerda. 8 4. (Todas as outras figuras podem girar até se sobreporem). e 2 e 4 são duplas que podem se sobreporem girando 45°. (A figura principal gira no sentido dos ponteiros do relógio. 26 3. 4. (A figura principal gira 180° e o círculo pequeno passa para o outro lado). 29 3. (Todas as outras figuras podem girar até se sobreporem). A figura 5 não pode sobrepor-se porque a Raciocínio Lógico 76 . (Todas as outras figuras podem girar até se sobreporem). 27 5. 3 4 . 14 1. em sentido contrario aos ponteiros do relógio. (1 e 4 formam urna dupla e o mesmo ocorre com 2 e 5. 13 5. a figura 3 tem o sombreado em posição diferente). (Todas as outras figuras podem girar até se sobreporem). 12 3. (Todas as outras figuras podem girar até se sobreporem). (A figura gira 90° cada vez em sentido contrario aos ponteiros do relógio. 20 2. a figura que não corresponde as demais).ESPACIAL ficariam em posição dife- 1 4.° 3 é o esquema de urna mão direita). 7 4. que é. 22 4. (Todas as outras figuras podem girar até se sobreporem). na figura 4 os setores branco e hachur estão em posição diferente). a seta. a de n. (1 e 3. 15 4.ApostilasBrasil. (A figura gira 45° cada vez em sentido contrario aos ponteiros do relógio. 17 6. (Todas as outras figuras podem girar até se sobreporem). (Todas as outras figuras podem girar até se sobreporem). 21 5. Em cada dupla os retângulos preto e hachur alternam sua posição. da EDITORA MESTRE JOU – SÃO PAULO – SP. 28 6. branco ou hachur giram em sentido contrario aos ponteiros do relógio. 18 3. 25 4.com Seu Futuro é o Nosso Presente! cruz e o circulo interiores rente). exceto em 3. Em todas as demais figuras o + está na mesma fileira que o círculo preto). exceto a 4 que gira no sentido dos mencionados ponteiros). 24 4. exceto o 4 que gira no mesmo sentido dos mencionados ponteiros). (Todas as outras figuras podem girar até se sobreporem). 30. (Todas as outras figuras podem girar até se sobreporem). (Todas as outras figuras podem girar até se sobreporem no plano do papel). 11 3. (Todas as outras figuras podem inverterem-se sem qualquer diferença). no sentido contrario). 2 3. BIBLIOGRAFIA Os testes acima foram extraídos da coleção “FAÇA SEU TESTE”. 5 1. (Todas as outras figuras podem girar até se sobreporem). 16 5. (O conjunto completo de 4 círculos gira num ângulo de 90° cada vez. (Todas as outras figuras podem girar até se sobreporem). portanto. 19 2. (Os setores preto. (A figura gira 90° cada vez. Em 5 os círculos com + e o com x trocaram suas posições. (Todas as outras figuras podem girar até se sobreporem). (Todas as outras figuras podem girar até se sobreporem).TESTE DE HABILIDADE VÍSUO . (Todas as outras figuras podem girar até se sobreporem). 9 4. 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