Fisica ICognome: Torino, 23 gennaio 2014 Nome: N. matr: A Un secchio di massa M è legato a una fune di massa Mf e lunghezza L avvolta per un tratto L − y su un rocchetto omogeneo di massa m e raggio R, al quale è fissata in un punto P. Il secchio viene tirato su fino alla massima altezza (y = 0) e poi lasciato cadere. Trascurando l’attrito e la resistenza dell’aria, utilizzare la legge di conservazione dell’energia per calcolare: a) la velocità del secchio in funzione della lunghezza y del tratto di fune svolto (per Mf = 0); b) l’accelerazione del secchio (per Mf = 0); c) le coordinate del baricentro del tratto L − y di fune avvolto sul rocchetto; d) la velocità del secchio in funzione della lunghezza y del tratto di fune svolto (per Mf > 0); e) se ci sono condizioni per le quali il secchio lasciato andare non cade. Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1. si possono portare al tavolo solo gli strumenti per scrivere e un documento di identificazione; non è permesso in particolare portare con sé calcolatrici, telefoni cellulari, libri, appunti o fogli propri; 2. per il regolare svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio, non scambiare informazioni con i colleghi, e attenersi alle indicazioni che verranno fornite; 3. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome, cognome e numero di matricola su tutti i fogli degli esercizi e sui fogli di brutta; 4. lo svolgimento e i risultati dovranno essere riportati in bella utilizzando il fronte e il retro dei fogli degli esercizi; i fogli di brutta non verranno presi in considerazione ai fini della valutazione della prova, ma dovranno comunque essere consegnati; 5. dopo un’ora dall’inizio della prova è possibile uscire dall’aula consegnando il compito, ma non è consentito il rientro; 6. al termine della prova si prega di rimanere seduti attendendo che i fogli vengano ritirati; 7. l’inosservanza delle regole comporta l’annullamento della prova. La massa di un tratto di fune lungo R dϕ avvolto sul rocchetto è Mf L R dϕ. Il centro di massa di un tratto di fune lungo R ϕ = L − y avvolto sul rocchetto è rCM = Mf R Lϕ −1 Z ϕ (ex R cos θ − e y R sin θ) 0 Mf R sin ϕ 1 − cos ϕ dϕ = ex R − ey R L ϕ ϕ L’energia potenziale del sistema è Ep = Ep,cavo avvolto + Ep,cavo svolto + Ep,secchio 1 − cos ϕ Mf g R2 Mf R L−y ϕ · g·R = Ep,cavo avvolto = 1 − cos L ϕ L R y Mf g y 2 y ·g· − = − Ep,cavo svolto = Mf 2L 2 L Ep,secchio = −M g y L’energia cinetica è Ek = Ek,rocchetto + Ek,cavo avvolto + Ek,cavo svolto + Ek,secchio 1 m R2 y˙ 2 Ek,rocchetto = 2 2 R 2 1 Mf y˙ Ek,cavo avvolto = (L − y) R2 2 L R 1 Mf Ek,cavo svolto = y y˙ 2 2 L 1 M y˙ 2 Ek,secchio = 2 La conservazione dell’energia cinetica fornisce: i h 2 y M g R 1 m y L − y Mf g y 2 f + Mf 1 − −Mgy Ek + Ep = + Mf + M y˙ 2 + 1 − cos − L L 2 2 2L L R Mf g R2 L = 1 − cos L R s L−y L Mf g y 2 + 2 M g L y + 2 Mf g R2 cos R − cos R ⇒ y˙ = (quando l ′argomento è > 0) m + Mf + M L 2 che per Mf = 0 si riduce a y˙ = s 2Mgy m +M 2 Il punto y = 0 è stabile se dEp . . > 0 dx . x=0 y¨ = g m 1 + 2M M R L > − sin Mf L R . Assumendo che la caffettiera sia un cilindro di sezione S inizialmente a temperatura ambiente T0. dens. 2. 4. Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1. 7. calore latente di vaporizzazione dell’acqua: λ = 4 · 104 J/mol.Fisica I Cognome: Torino. cognome e numero di matricola su tutti i fogli degli esercizi e sui fogli di brutta. 23 gennaio 2014 Nome: N. Dopo aver ricavato le necessarie formule si stimino i vari contributi sostituendo i seguenti valori approssimati: a = d = 4 cm. che la differenza di pressione che l’acqua deve superare per passare attraverso il filtro sia ∆pfiltro ≃ 105 Pa. non scambiare informazioni con i colleghi. d) il calore che si deve fornire alla caffettiera perché il caffé inizi a uscire. telefoni cellulari. accelerazione di gravità: g = 10 m/s2. dopo un’ora dall’inizio della prova è possibile uscire dall’aula consegnando il compito. costante dei gas: R = 8 J/(K·mol): pressione atmosferica: p = 105 Pa. . al termine della prova si prega di rimanere seduti attendendo che i fogli vengano ritirati. densità dell’acqua: ρ = 103 kg/m3. appunti o fogli propri. si calcoli (considerando trascurabili la capacità termica della caffettiera. e attenersi alle indicazioni che verranno fornite. S = 10 cm2. dell’aria: ρaria = 1 g/m3. l’inosservanza delle regole comporta l’annullamento della prova. che la massima temperatura raggiunta nella caffettiera sia di poco superiore alla temperatura T1 di ebollizione dell’acqua. 3. T1 = 4 · 102 K. non è permesso in particolare portare con sé calcolatrici. calore specifico dell’aria: cV = 1 J/(g·K). il volume del filtro e del condotto): a) il numero n di moli di aria contenute inizialmente nella regione B. matr: A Durante la preparazione del caffé con una caffettiera moka (si veda lo schema semplificato in figura) l’aria e il vapore acqueo nella regione B vengono riscaldati e spingono l’acqua A attraverso il condotto e il filtro carico di caffé. b = c = 1 cm. i fogli di brutta non verranno presi in considerazione ai fini della valutazione della prova. f) quanto calore si deve fornire alla caffettiera per estrarre tutto il caffé . ma dovranno comunque essere consegnati. si possono portare al tavolo solo gli strumenti per scrivere e un documento di identificazione. libri. b) la differenza di pressione ∆paria dovuta al passaggio dalla temperatura T0 alla temperatura T1. ma non è consentito il rientro. lo svolgimento e i risultati dovranno essere riportati in bella utilizzando il fronte e il retro dei fogli degli esercizi. 6. 5. c) la differenza di pressione ∆pvap dovuta alla vaporizzazione di nvap moli di vapore acqueo. per il regolare svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome. calore specifico dell’acqua: c = 4 J/(g·K). T0 = 3 · 102 K. che il volume B non cambi significativamente fintanto che T < T1. le perdite per convezione e irraggiamento. e) il lavoro necessario a far scendere di dx il livello dell’acqua nel serbatoio. a) V = S b = (10 cm2) (1 cm) = 10−5 m3 pV (105 Pa) (10−5 m3) n = ≃ ≃ 4 · 10−4 mol R T0 (8 JK−1mol−1) (3 · 102 K) b) ∆paria p V R (T1 − T0) n R (T1 − T0) = = = R T0 V V T1 − 1 p ≃ 0.3 p T0 c) ∆pvap = nvap R T1 nvap T1 = p V n T0 d) ∆pfiltro = nvap = Q1 Q2 Q3 Q = = = = nvap T1 T1 + −1 p ∆pvap + ∆paria = n T0 T0 ∆pfiltro 3 T0 −4 1+ − 1 ≃ (4 · 10 mol) n · 2 − 1 = 2 · 10−4 mol p 4 T1 c ρ S a (T1 − T0) ≃ (4 Jg−1K−1) (106 g/m3) (10−3 m2) (4 10−2 m) (102 K) ≃ 16 kJ cV ρaria S b (T1 − T0) ≃ (1 Jg−1K−1) (103 g/m3) (10−3 m2) (10−2 m) (102 K) ≃ 1 J λ nvap ≃ (4 · 104 J/mol) (2 · 10−4 mol) = 8 J Q1 + Q2 + Q3 ≃ 16 kJ e) dW = ∆pfiltro S dx +Z (h − x) g ρ S dx a (h − x) g ρ S dx = ∆pfiltro S a + g ρ S (h − a/2) a W = ∆pfiltro S a + 0 Qtot = (105 Pa) (10−3 m2) (4 · 10−2 m) +(10 m/s2) (106 g/m3) (10−3 m2) (8 · 10−2 m) (4 · 10−2 m) = 4 J+32 J = 36 J = Q + W ≃ 16 kJ . e attenersi alle indicazioni che verranno fornite. il fronte e il retro dei fogli prestampati saranno usati per riportare in bella lo svolgimento e i risultati degli esercizi. I rilievi della polizia rivelano che. subito prima dell’urto. ma non è consentito il rientro. al termine della prova si prega di rimanere seduti attendendo che i fogli vengano ritirati. l’inosservanza delle regole comporta l’annullamento della prova. Dopo l’urto i rottami delle due auto sono rimasti uniti ed i loro pneumatici hanno lasciato strisciate di slittamento lunghe ℓ nella direzione individuata dall’angolo α prima di arrestarsi. 7. libri.Fisica I Cognome: Torino. dopo un’ora dall’inizio della prova è possibile uscire dall’aula consegnando il compito. l’automobile A e l’automobile B procedevano come in figura lungo vie formanti un angolo di 60◦. si calcoli: a) la velocità vf delle due automobili immediatamente dopo l’urto. 8 luglio 2013 Nome: N. 5. 2. teorema dell ′energia: 1 (mA + mB) vf2 = µd ℓ (mA + mB) g 2 ⇒ vf = √ 2 µd ℓ g conservazione della quantità di moto: 1 mA vA + mB vB = (mA + mB) vf cos α √2 3 mB vB = (mA + mB) vf sin α 2 mA √ 2 1+ 2 µd ℓ g sin α ⇒ vB = √ mB 3 mB √ sin α vA = 1 + 2 µd ℓ g cos α − √ mA 3 Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1. b) le velocità vA e vB di ciascuna automobile prima dell’urto. matr: In un incrocio un’automobile A di massa mA urta un’automobile B di massa mB. 3. i fogli di brutta non verranno presi in considerazione ma dovranno comunque essere consegnati. Supponendo che le ruote di entrambe le automobili siano rimaste bloccate dopo l’urto e che il coefficiente di attrito dinamico fra le ruote bloccate e la pavimentazione sia µd. non è permesso in particolare portare con sé calcolatrici. telefoni cellulari. 4. Viene richiesta una perizia per stabilire se una delle due automobili superava il limite di velocità. 6. appunti o fogli propri. non scambiare informazioni con i colleghi. verranno corretti solo i fogli prestampati. cognome e numero di matricola su tutti i fogli prestampati e sui fogli bianchi. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome. si possono portare al tavolo solo gli strumenti per scrivere e un documento di identificazione. . per il regolare svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio. per il regolare svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio. 2 mR 2 m 1 + (r/R)2 −m v0 R sin γ = −m v R sin γ + I ω (conservazione del momento angolare) v − v0 sin γ (v − v0) m R sin γ = . non è permesso in particolare portare con sé calcolatrici. 3. 4. Posto che l’urto sia elastico e che la coppia di dischi abbia massa M . e attenersi alle indicazioni che verranno fornite. cognome e numero di matricola su tutti i fogli prestampati e sui fogli bianchi. 8 luglio 2013 Cognome: Nome: N. determinare: a) la velocità angolare ω della coppia di dischi dopo l’urto. ⇒ ω = R c I ⇒ m v02 = m v 2 + I ω 2 (conservazione dell ′energia) 1 v02 − v 2 = (v − v0)2 (sin γ)2 ⇒ c (v0 + v) = (sin γ)2 (v0 − v) c −2c (sin γ)2 − c v0. 2. libri. dopo un’ora dall’inizio della prova è possibile uscire dall’aula consegnando il compito. ma non è consentito il rientro. b) la velocità v del proiettile dopo l’urto. v − v0 = v0 ⇒ v = 2 (sin γ)2 + c (sin γ) + c 2 sin γ v0 ⇒ ω = − . . i fogli di brutta non verranno presi in considerazione ma dovranno comunque essere consegnati. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome. Il sistema è inizialmente fermo e libero di ruotare senza attrito attorno a un asse fisso verticale passante per il suo centro O. al termine della prova si prega di rimanere seduti attendendo che i fogli vengano ritirati. si possono portare al tavolo solo gli strumenti per scrivere e un documento di identificazione. appunti o fogli propri. non scambiare informazioni con i colleghi. telefoni cellulari. matr: Su un disco omogeneo di densità ρ e raggio R è saldato coassialmente come in figura un secondo disco di uguale densità e raggio r. (sin γ)2 + c R Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1. verranno corretti solo i fogli prestampati. 5.Fisica I Torino. 7. Un proiettile puntiforme di massa m viene lanciato con velocità v nel piano del disco maggiore e ne urta il bordo formando un angolo γ con la direzione normale. l’inosservanza delle regole comporta l’annullamento della prova. il fronte e il retro dei fogli prestampati saranno usati per riportare in bella lo svolgimento e i risultati degli esercizi. con M = ρ π (R2 + r2) 1 1 π M R4 + r 4 I = (ρ · π R2) R2 + (ρ π r 2) r 2 = ρ (R4 + r 4) = = c m R2 2 2 2 2 R2 + r 2 I 1 M 1 + (r/R)4 c = = . 6. In seguito all’urto il proiettile rimbalza con velocità v in una direzione che forma il medesimo angolo γ con la direzione normale. Supponendo di partire dallo stato A. i fogli di brutta non verranno presi in considerazione ma dovranno comunque essere consegnati. e attenersi alle indicazioni che verranno fornite. appunti o fogli propri. il fronte e il retro dei fogli prestampati saranno usati per riportare in bella lo svolgimento e i risultati degli esercizi. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome. per il regolare svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio.Fisica I Torino. ma non è consentito il rientro. 2. c) si calcoli la variazione di entropia nella trasformazione AB. l’inosservanza delle regole comporta l’annullamento della prova. a) b) c) QBC = QCA = WAB = ∆UAB = QAB = W = η = ∆SAB = = (n=1) = 5 pC V C − pB V B 5 5 nR = pB (VA − VB) = − pA VA < 0 2 nR 2 2 pA V A − pC V C 3 3 3 nR = (pA − pB) VA = pA V A > 0 CV (TA − TC) = nR 2 4 2 3 1 (pA + pB) (VB − VA) = pA V A 2 2 3 3 (pB VB − pA VA) = pA V A 2 4 9 ∆UAB + WAB = p A VA > 0 4 C p (TC − TB) = 1 1 (pA − pB) (VB − VA) = pA V A 2 2 W 1 W = = QCA + QAB 6 Qass Z B Z B δQ dU + p dV 3 dT p dV = = nR + T T 2 T T A A A Z B 3 3 d(p V ) p dV pB V B VB = nR +nR n R log + n R log 2 2 pV pV pA V A VA A 3 3 R log + R log 3 2 2 Z B Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1. verranno corretti solo i fogli prestampati. non scambiare informazioni con i colleghi. non è permesso in particolare portare con sé calcolatrici. b) si calcoli il rendimento del ciclo. al termine della prova si prega di rimanere seduti attendendo che i fogli vengano ritirati. di cui sono note pA e VA. 7. . matr: Una mole di gas perfetto monoatomico effettua il ciclo reversibile descritto in figura. 4. 3. e sapendo che pB = pA/2 e VB = 3 VA: a) si determini lungo quali cammini il sistema assorbe calore. 5. telefoni cellulari. libri. dopo un’ora dall’inizio della prova è possibile uscire dall’aula consegnando il compito. 6. si possono portare al tavolo solo gli strumenti per scrivere e un documento di identificazione. 8 luglio 2013 Cognome: Nome: N. cognome e numero di matricola su tutti i fogli prestampati e sui fogli bianchi. L’energia meccanica dell’astronave a grande distanza dal pianeta è positiva. La velocità v1 in quell’istante si può determinare usando la conservazione dell’energia meccanica e del momento angolare: 1 2 m v02 = 1 2 m v12 −G Mm R ⇒ v12 = v02 + 2 G 2 bv 2 v1 = R0 . telefoni cellulari. a) determinare i valori di b (si veda la figura) per i quali l’astronave evita l’impatto col pianeta. e attenersi alle indicazioni che verranno fornite. L’equipaggio è ibernato e non può modificare la traiettoria dell’astronave. 22 luglio 2013 Cognome: Nome: N. b) nel caso in cui l’astronave riesca a evitare l’impatto. il fronte e il retro dei fogli prestampati saranno usati per riportare in bella lo svolgimento e i risultati degli esercizi. dopo un’ora dall’inizio della prova è possibile uscire dall’aula consegnando il compito. matr: L’astronave Icarus 1 si avvicina a un pianeta con velocità v0 = 102 m/s provenendo dallo spazio profondo. non scambiare informazioni con i colleghi. libri. 7. Il pianeta è privo di atmosfera. M R m v0 b = m v1 R ⇒ quindi: 2GM 2 (8 10−11 m3kg−1 s−2) (5 1020 kg) 2 2 2 = 9 R2 ⇒ b = R 1 + R v2 = R 1 + (106 m) (102 m/s)2 0 b > 3R = 3 · 106 m. l’inosservanza delle regole comporta l’annullamento della prova.] M = 4 3 π R 3 2 4 ρ + 3 π R3 − R 3 ′ ρ 2 = π R3 6 (ρ + 7ρ ′) = π R3 ρ 2 = 5 · 1020 kg. per il regolare svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio. Si utilizzi il valore approssimato G = 8 · 10−11 m3 kg−1 s−2 per la costante gravitazionale. quindi se la massa fosse stata distribuita in modo uniforme avremmo trovato lo stesso risultato. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome. La traiettoria che permette il massimo avvicinamento evitando l’impatto sfiora il pianeta passando a una distanza R dal suo centro.Fisica I Torino. [Suggerimento: calcolare la velocità di Icarus 1 nel punto di massimo avvicinamento al pianeta. quindi una volta superato il pianeta l’astronave si allontana senza essere catturata dal suo campo gravitazionale. 2. . La massa dell’astronave è trascurabile rispetto alla massa del pianeta. al termine della prova si prega di rimanere seduti attendendo che i fogli vengano ritirati. non è permesso in particolare portare con sé calcolatrici. entra in orbita attorno al pianeta o sfugge nuovamente nello spazio? c) se la massa del pianeta fosse distribuita in maniera uniforme il risultato cambierebbe? Motivare le risposte. verranno corretti solo i fogli prestampati. Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1. ed è composto da un nocciolo interno di raggio 2 R/2 avente densità ρ = π −1 · 103 kg m−3 e da un mantello esterno di densità ρ ′ = 7 ρ. i fogli di brutta non verranno presi in considerazione ma dovranno comunque essere consegnati. 6. 4. 3. ha raggio R = 106 m. Il teorema di Gauss assicura che il campo gravitazionale generato dal pianeta è identico a quello che si avrebbe se tutta la massa fosse concentrata nel centro. appunti o fogli propri. ma non è consentito il rientro. si possono portare al tavolo solo gli strumenti per scrivere e un documento di identificazione. 5. cognome e numero di matricola su tutti i fogli prestampati e sui fogli bianchi. e attenersi alle indicazioni che verranno fornite. 2. = F − M g sin θ (componente tangenziale della I equazione cardinale) |F − M g sin θ| < µ M g cos θ (legge di Coulomb per l ′attrito statico) ⇒ M g (sin θ − µ cos θ) < F < M g (sin θ + µ cos θ). 6. Fa. il fronte e il retro dei fogli prestampati saranno usati per riportare in bella lo svolgimento e i risultati degli esercizi. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome. e perché. libri. cognome e numero di matricola su tutti i fogli prestampati e sui fogli bianchi. Se il coefficiente di attrito statico relativo al contatto dei dischi col piano è µ = 3/4. l’inosservanza delle regole comporta l’annullamento della prova. A un filo di massa trascurabile avvolto sul cilindretto R situata nel piano di simmetria del rocchetto. determinare: a) per quali valori di F il rocchetto rotola senza strisciare da destra verso sinistra. tenendo conto anche della condizione (1): √ 4+3 3 M g sin θ < F < M g (sin θ + µ cos θ) = M g. non scambiare informazioni con i colleghi. per il regolare svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio. 4.Fisica I Cognome: Torino. ma non è consentito il rientro. parallela al piano è applicata una forza costante F inclinato e diretta come in figura. matr: Un rocchetto omogeneo di massa M formato da due dischi di raggio R e da un cilindretto di raggio r = R/2 di spessore uguale allo spessore dei due dischi è inizialmente fermo su un piano inclinato di un angolo θ = 30◦ rispetto al piano orizzontale. 7. 5. M = 2 ρ π R2 h + ρ π r 2 h = mdischi + mcilindro 1 1 2 + (r/R)4 M R2 11 ICM = mdischi R2 + mcilindro r2 = = M R2 2 2 + (r/R)2 2 2 24 35 M R2 IA = ICM + M R2 = 24 IA ω˙ = F (R − r) − M (II equazione cardinale) g R sin θ r F 24 M g sin θ 1− ⇒ a = R ω˙ = − g sin θ > 0 per F > . 3. . b) la legge di moto del rocchetto per questi valori di F . al termine della prova si prega di rimanere seduti attendendo che i fogli vengano ritirati. verranno corretti solo i fogli prestampati. 22 luglio 2013 Nome: N. telefoni cellulari.s. Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1. appunti o fogli propri. i fogli di brutta non verranno presi in considerazione ma dovranno comunque essere consegnati. non è permesso in particolare portare con sé calcolatrici. dopo un’ora dall’inizio della prova è possibile uscire dall’aula consegnando il compito. Mg = 1 − r/R 8 il filo si avvolge perché durante il moto ω > 0. si possono portare al tavolo solo gli strumenti per scrivere e un documento di identificazione. (1) R M 35 1 − r/R il moto è uniformemente accelerato. c) se per questi valori di F il filo si avvolge o si svolge. appunti o fogli propri.04 log (2) litri · atm/K 1 1 1 La trasformazione 2 → 3 è una compressione adiabatica reversibile: p2 V2γ =p3 V3γ dove V3 = V1. ma non è consentito il rientro. a) Viene eliminato il setto e il gas si espande liberamente. il fronte e il retro dei fogli prestampati saranno usati per riportare in bella lo svolgimento e i risultati degli esercizi.4 atm (2 litri) p V V quindi p3 = p2 V2 = 25/3 p2 =22/3 · 5. Determinare lo stato finale del gas (valori di pressione. T3 = n3 R3 = (0. verranno corretti solo i fogli prestampati. volume e temperatura) e la variazione di entropia del gas. γ 22/3 · 5. è diviso in due parti uguali da un setto. 7. nRT (0. e attenersi alle indicazioni che verranno fornite.Fisica I Torino.7 atm. contiene n = 0.5 moli) (0.08 litri atm/(moli K)) = 22/3 · 270 K. di volume V1 =2 litri.4 atm. non è permesso in particolare portare con sé calcolatrici. 3. libri. quindi p2 = 2V1 1 = (4 litri) R 2 V V T ∆S1→2 = 1 dS =ncV log T2 +nR log V2 =nR log V2 =nR log (2) = 0. b) Successivamente il gas viene compresso in modo reversibile tramite il pistone fino a riportarlo al volume iniziale.08 litri atm /(moli K)] Espansione libera: W1→2 = 0 e Q1→2 = 0. al termine della prova si prega di rimanere seduti attendendo che i fogli vengano ritirati. telefoni cellulari. 6. per il regolare svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio. non scambiare informazioni con i colleghi.5 moli) · (0. 1 Per il primo principio: W2→3 = Q2→3 − ∆U2→3 = −∆U2→3 = −ncV (T3 − T2) = −(22/3 − 1) 16. anch’esso isolante e a tenuta stagna. V2 = 2V1 = 4 litri. matr: Un cilindro a pareti adiabatiche e munito di pistone. cognome e numero di matricola su tutti i fogli prestampati e sui fogli bianchi.08 litri atm /(moli K)) · (270 K) = 2. 22 luglio 2013 Cognome: Nome: N.2 litri · atm Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1. . 2. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome. l’inosservanza delle regole comporta l’annullamento della prova. si possono portare al tavolo solo gli strumenti per scrivere e un documento di identificazione. Determinare la temperatura e la pressione del gas in questo stato e il lavoro subito dal gas. dopo un’ora dall’inizio della prova è possibile uscire dall’aula consegnando il compito. 5. Inizialmente il pistone è bloccato nella posizione di figura e la parte sinistra. 4. i fogli di brutta non verranno presi in considerazione ma dovranno comunque essere consegnati. quindi ∆U1→2 = 0 e T2 = T1 = 270 K. [R = 0. mentre nella parte destra vi è il vuoto.5 moli di gas perfetto monoatomico alla temperatura T1 =270 K. questo descriva una circonferenza completa centrata nel piolo. ma non è consentito il rientro. 7. c) Conservazione dell’energia quando la massa si trova sulla verticale del piolo: 1 mg [L −2(L − d)] = 2 mv 2. . Affinché il pendolo percorra una circonferenza completa è necessario che quando la massa si trova sulla verticale del piolo.Fisica I Torino. i fogli di brutta non verranno presi in considerazione ai fini della valutazione della prova. e attenersi alle indicazioni che verranno fornite. ma dovranno comunque essere consegnati. al termine della prova si prega di rimanere seduti attendendo che i fogli vengano ritirati. per il regolare svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio. e T = m g + m v 2/L = (3 − 2 cos θ) mg al momento dell’urto. cioè: mv 2 L−d >mg. c) Calcolare il valore minimo di d tale che. la tensione nel filo sarà m g cos θ all’istante inizale. ′ a) Per la conservazione dell’energia la quota massima raggiungibile è h = h. libri. 3. 4. matr: Un pendolo costitutito da un filo inestensibile di massa trascurabile e lunghezza L e da un pesetto assimilabile a una massa puntiforme m oscilla in un piano verticale. non è permesso in particolare portare con sé calcolatrici. Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1. quali altezze h può raggiungere la massa m dopo che il filo ha urtato il piolo? b) Calcolare la velocità del pendolo nel momento in cui il filo urta il piolo. p b) v = 2gL (1 − cos θ) . lasciando cadere il pendolo a partire dalla posizione orizzontale (θ = 90◦). non scambiare informazioni con i colleghi. telefoni cellulari. se il pendolo viene lasciato cadere partendo da un angolo iniziale θ. cognome e numero di matricola su tutti i fogli degli esercizi e sui fogli di brutta. da cui risolvendo: d > 5 L. 2. e la tensione del filo all’istante iniziale e subito prima dell’urto. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome. dopo un’ora dall’inizio della prova è possibile uscire dall’aula consegnando il compito. 5. appunti o fogli propri. a) Il pendolo inizialmente in quiete viene lasciato libero di oscillare partendo da un’altezza h al ′ di sotto del piolo. quindi 2(2d − L) L−d 3 >1. lo svolgimento e i risultati dovranno essere riportati in bella utilizzando il fronte e il retro dei fogli degli esercizi. 16 settembre 2013 Cognome: Nome: A N. la forza centrifuga superi la forza peso. A una distanza d dal punto di sospensione del pendolo è fissato un piolo P (si veda la figura). v 2 = 2(2d − L)g . l’inosservanza delle regole comporta l’annullamento della prova. si possono portare al tavolo solo gli strumenti per scrivere e un documento di identificazione. 6. telefoni cellulari. cognome e numero di matricola su tutti i fogli degli esercizi e sui fogli di brutta. al termine della prova si prega di rimanere seduti attendendo che i fogli vengano ritirati. matr: Un disco omogeneo di raggio R e massa M saldato a un albero di raggio r e momento di inerzia trascurabile è libero di ruotare senza attrito intorno a un asse verticale. dopo un’ora dall’inizio della prova è possibile uscire dall’aula consegnando il compito. 7. Una massa m è sospesa come in figura mediante un filo inestensibile che si avvolge sull’albero senza slittare. libri. 3. i fogli di brutta non verranno presi in considerazione ai fini della valutazione della prova. per il regolare svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio. 2. si possono portare al tavolo solo gli strumenti per scrivere e un documento di identificazione. viene lasciata cadere. ma dovranno comunque essere consegnati. lo svolgimento e i risultati dovranno essere riportati in bella utilizzando il fronte e il retro dei fogli degli esercizi. La massa del magnetino e il suo momento di inerzia rispetto all’asse di rotazione sono trascurabili. All’istante t=0 la massa m. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome. non è permesso in particolare portare con sé calcolatrici.Fisica I Torino. b) Calcolare il numero nh di giri compiuti dalla ruota in questo tempo. 16 settembre 2013 Cognome: Nome: A N. ma non è consentito il rientro. c) Sul bordo della ruota è attaccato un magnetino di massa m0 che esercita una forza F sul disco. inizialmente in quiete. 6. a) Calcolare il tempo th al quale la massa m risulta aver percorso la distanza h. l’inosservanza delle regole comporta l’annullamento della prova. appunti o fogli propri. 2 1 + I/m r 2 1 + I/m r s I 2h 1+ 2 mr g z = 1 g t2 2 1 + I/m r 2 h 2πr (g tF )2 m0 R F = m0 ω 2 R = r 2 (1 + I/m r 2)2 p 2 F r /m0 R I tF = 1 + 2 g mr Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1. 5. z˙ = . non scambiare informazioni con i colleghi. z˙ = r ω 2 rT mg −T gt g . Determinare l’istante tF al quale il magnetino si stacca dal disco. 4. . e attenersi alle indicazioni che verranno fornite. I = I ω˙ = m z¨ = ⇒ z¨ = ⇒ th = nh = ⇒ 1 M R2. dopo un’ora dall’inizio della prova è possibile uscire dall’aula consegnando il compito. il calore specifico dell’acqua. b) si calcoli la variazione di entropia. ma non è consentito il rientro. 6. il calore latente di vaporizzazione dell’acqua. matr: A Un lingotto di metallo incandescente di massa m∗ a temperatura TA∗ è raffreddato mediante immersione in un recipiente contenente un volume VA di acqua che si trova inizialmente a temperatura TA. 5. non scambiare informazioni con i colleghi. e la densità dell’acqua. ρ rispettivamente il calore specifico del metallo. Quando il sistema raggiunge l’equilibrio termico rimane nel recipiente un volume VB di acqua. λ. c. . al termine della prova si prega di rimanere seduti attendendo che i fogli vengano ritirati. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome. 16 settembre 2013 Cognome: Nome: N. telefoni cellulari. l’inosservanza delle regole comporta l’annullamento della prova. e attenersi alle indicazioni che verranno fornite.Fisica I Torino. 3.] ⇒ m∗ c∗ (TA∗ − T ∗) = ρ VA c (TB − TA) m∗ c∗ (T ∗ − TB) = ρ (VA − VB) λ m∗ c∗ (TA∗ − TB) = ρ VA c (TB − TA) + ρ (VA − VB ) λ ρ VA c ρ (VA − VB ) λ ⇒ TA∗ = TB + ∗ ∗ (TB − TA) + m∗ c∗ Z TB m c Z TB dT ρ (VA − VB ) λ dT ρ VA c m∗ c∗ ∆S = + + ∗ T T TB TA TA TB TB ρ (VA − VB ) λ = m∗ c∗ log ∗ + ρ VA c log + TA TA TB (TB = temperatura di ebollizione dell ′acqua) Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1. non è permesso in particolare portare con sé calcolatrici. per il regolare svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio. i fogli di brutta non verranno presi in considerazione ai fini della valutazione della prova. 4. Trascurando gli scambi di calore con l’ambiente esterno: a) si determini la temperatura iniziale del metallo. 2. appunti o fogli propri. libri. lo svolgimento e i risultati dovranno essere riportati in bella utilizzando il fronte e il retro dei fogli degli esercizi. 7. si possono portare al tavolo solo gli strumenti per scrivere e un documento di identificazione. [Si indichino con c∗. ma dovranno comunque essere consegnati. cognome e numero di matricola su tutti i fogli degli esercizi e sui fogli di brutta. appunti o fogli propri. non è permesso in particolare portare con sé calcolatrici. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome. B di massa rispettivamente mA e mB connessi da un filo inestensibile di massa trascurabile e lunghezza complessiva l che passa all’interno di una carrucola. i fogli di brutta non verranno presi in considerazione ai fini della valutazione della prova. dopo un’ora dall’inizio della prova è possibile uscire dall’aula consegnando il compito. Sul blocco A agisce una forza (non costante) che tira A verso destra. ma dovranno comunque essere consegnati. lo svolgimento e i risultati dovranno essere riportati in bella utilizzando il fronte e il retro dei fogli degli esercizi. 3. l’inosservanza delle regole comporta l’annullamento della prova. e attenersi alle indicazioni che verranno fornite. h B mB A O v0 F A mA Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1. al termine della prova si prega di rimanere seduti attendendo che i fogli vengano ritirati. determinare in funzione della posizione di A (e quindi in termini della sua coordinata x) la forza F che deve essere esercitata sul corpo A affinché si muova di moto uniforme. matr: Un sistema è costituito da due blocchi rettangolari A. cognome e numero di matricola su tutti i fogli degli esercizi e sui fogli di brutta. 2. Le due masse sono libere di muoversi senza attrito come rappresentato in figura. si possono portare al tavolo solo gli strumenti per scrivere e un documento di identificazione. telefoni cellulari. 6.Fisica I Cognome: Nome: N. . sospesa a un’altezza h al di sopra del piano orizzontale. 7. Sapendo che il corpo A si trova inizialmente nel punto O (punto del piano su cui scorre A corrispondente alla verticale di B) con velocità v0. non scambiare informazioni con i colleghi. libri. anch’essa di massa trascurabile. 5. 4. ma non è consentito il rientro. per il regolare svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio. ma devono soddisfare la relazione: ℓ = BC + CA = h − yB + p x2A + h2 (2) L’analoga relazione tra le velocità si ottiene facilmente derivando ambo i membri della Eq. Quindi: F = mB ! v02 h2 + g cos θ (x2A + h2)3/2 (5) Non rimane pche esprimere cos θ in termini delle coordinate dei p due corpi A. B. mentre la prima delle Eq. Si ottiene così che la forza necessaria a mantenere la velocità di A costante e uguale a v0 è F = F (xA) = mB v02 h2 +g (x2A + h2)3/2 ! p xA x2A + h2 (6) .Soluzione C T h yB B mB A O v0 ! T mA A F xA Le equazioni del moto per A e B sono (si veda la figura): mA x¨A = −T cos θ + F mB y¨B = T − mB g (1) Le coordinate xA. (1) segue che la forza da applicare è F = T cos θ. che ci servirà per calcolare la tensione nel filo: y¨B = d xA v 0 v02 h2 p = dt x2A + h2 (x2A + h2)3/2 (4) Siccome x¨A = 0 (il corpo A si muove di moto rettilineo uniforme) dalla seconda delle Eq. (1) fornisce T = mB (y¨B + g). (2) rispetto al tempo: 0 = d dℓ = − y˙B + AC dt dt ⇒ y˙B = dp 2 xA x˙ A xA + h2 = p dt x2A + h2 x˙ A =const = p xA v0 x2A + h2 (3) Derivando ancora troviamo l’accelerazione del corpo B. Per farlo notiamo che CA = x2A + h2 e che CA cos θ = xA. quindi cos θ = xA/ x2A + h2 . xB non sono indipendenti. B (si veda la figura). y A x m z B a b mp. non è permesso in particolare portare con sé calcolatrici. v y Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1. 5. l’inosservanza delle regole comporta l’annullamento della prova. b) la frazione di energia dissipata nell’urto. 6. . ma dovranno comunque essere consegnati. non scambiare informazioni con i colleghi. cognome e numero di matricola su tutti i fogli degli esercizi e sui fogli di brutta. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome. Un proiettile di massa mp viene sparato con velocità v lungo una traiettoria orizzontale inclinata di 60◦ rispetto al piano della banderuola e ne colpisce il centro di massa conficcandosi nel legno. matr: Una banderuola rettangolare di legno omogenea di massa m e lati a. si possono portare al tavolo solo gli strumenti per scrivere e un documento di identificazione. dopo un’ora dall’inizio della prova è possibile uscire dall’aula consegnando il compito. b è libera di ruotare intorno a un suo lato verticale vincolato mediante due cerniere lisce A. i fogli di brutta non verranno presi in considerazione ai fini della valutazione della prova. 7. ma non è consentito il rientro. libri.Fisica I Cognome: Nome: N. appunti o fogli propri. e attenersi alle indicazioni che verranno fornite. al termine della prova si prega di rimanere seduti attendendo che i fogli vengano ritirati. c) la reazione vincolare in A e in B prima dell’urto. per il regolare svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio. lo svolgimento e i risultati dovranno essere riportati in bella utilizzando il fronte e il retro dei fogli degli esercizi. 3. d) la reazione vincolare in A e in B dopo l’urto. 2. Determinare: a) la velocità angolare della banderuola dopo l’urto. telefoni cellulari. 4. Soluzione Il momento di inerzia della banderuola rispetto all’asse AB prima dell’urto è I = m a2/3. quindi la corrispondente componente del momento angolare si conserva nell’urto: √ d mp v 3 v/a ′ d mp v = I ω ⇒ ω = = ′ I (4/3) (m/mp) + 1 √ dove d = 3 a/4 è la distanza della traiettoria del proiettile dall’asse AB e ω è la velocità angolare del sistema dopo l’urto. a) La componente verticale del momento rispetto al polo B delle forze esterne agenti sul sistema è nulla. ω r dm = R ′ = R + mp ω 2 = (m + mp) ω 2 R = a 2 2 2 0 0 Procedendo come al punto precedente si trova: FA = F + R ′/2 FB = F − R ′/2 N = (m + mp) g . La componente orizzontale della forza centrifuga (relativa rispettivamente alla banderuola e al sistema) è Z a Z a m a a a 2 ω 2 r dr = m ω 2 . b) ∆E = 1 1 mp v 2 − I ′ ω 2 2 2 ⇒ 1 2 ∆E 1 = 1− > 0 (16/9) (m/mp) + (4/3) mp v 2 c) F FA R mg F N m+mp g N FB I momenti rispetto ai poli A e B delle forze applicate sulla banderuola prima dell’urto si annullano: Fb = mg a 2 ⇒ F = a mg 2b Analogamente si annullano la componente verticale e orizzontale della risultante delle forze: N = mg d) Dopo l’urto il sistema ruota con velocità angolare costante. Dopo l’urto il corrispondente momento d’inerzia del sistema composto dalla banderuola e dal proiettile è I ′ = m a2/3 + mp a2/4. Successivamente per mezzo di una sequenza di trasformazioni reversibili: la sua pressione è triplicata a volume costante (processo A→ B). cognome e numero di matricola su tutti i fogli degli esercizi e sui fogli di brutta. d) il calore assorbito durante il processo A → B e il calore ceduto durante il processo B → C in funzione di pA . non scambiare informazioni con i colleghi. ma non è consentito il rientro. dopo un’ora dall’inizio della prova è possibile uscire dall’aula consegnando il compito. e attenersi alle indicazioni che verranno fornite. appunti o fogli propri. ma dovranno comunque essere consegnati. al termine della prova si prega di rimanere seduti attendendo che i fogli vengano ritirati. b) la pressione pD nello stato finale. libri. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome. . lo svolgimento e i risultati dovranno essere riportati in bella utilizzando il fronte e il retro dei fogli degli esercizi. matr: Un gas ideale in un contenitore occupa inizialmente un volume VA e si trova a pressione pA. l’inosservanza delle regole comporta l’annullamento della prova. per il regolare svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio. VA e del calore specifico c p (che si suppone noto). i fogli di brutta non verranno presi in considerazione ai fini della valutazione della prova. Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1.Fisica I Cognome: Nome: N. e) la variazione di energia interna del gas nel processo A → D. 4. 2. f) la variazione di entropia del gas nel processo A → D. il volume è triplicato a temperatura costante (processo C → D). Determinare: a) le temperature iniziale e finale TA e TD in funzione di TB (che si suppone nota). e rappresentare i tre processi in un diagramma p-V . VA e di TB . 5. 7. 3. c) il numero di moli n del gas in funzione di pA . telefoni cellulari. il volume è ridotto di un fattore tre a pressione costante (processo B → C). si possono portare al tavolo solo gli strumenti per scrivere e un documento di identificazione. 6. non è permesso in particolare portare con sé calcolatrici. l’entropia non varia. l’energia interna non varia.Soluzione a) p A VA = n R T A pB V B = 3 pA V A = n R T B pC V C = 3 pA 1 VA = n R TC 3 ⇒ ⇒ TA = TA 1 TB 3 1 = TC = TD = TB 3 b) pD V D = n R T D = pD V A = n R T A = pA V A pD = pA ⇒ quindi gli stati A e D coincidono e la trasformazione è ciclica: p C B A≡D V c) n = 3 pA V A pA V A = R TB R TA d) cp −1 ∆QAB = n cV 2 TA = 2 pA VA R cp −∆QBC = 2 pA VA R e) siccome la trasformazione A → D è reversibile e ciclica. f) siccome la trasformazione A → D è reversibile e ciclica. . 6. telefoni cellulari. All’istante iniziale il pendolo viene lasciato libero di oscillare e quando raggiunge la verticale urta in modo elastico contro una massa m2 ferma sul bordo di un gradino alto h. 5. 4. cognome e numero di matricola su tutti i fogli degli esercizi e sui fogli di brutta. appunti o fogli propri. Sapendo che m1 =m2 =m e trascurando la resistenza dell’aria.Fisica I Cognome: Torino. al termine della prova si prega di rimanere seduti attendendo che i fogli vengano ritirati. ∆l. e attenersi alle indicazioni che verranno fornite. l’inosservanza delle regole comporta l’annullamento della prova. ∆h. Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1. 30 giugno 2014 Nome: N. dopo un’ora dall’inizio della prova è possibile uscire dall’aula consegnando il compito. non scambiare informazioni con i colleghi. 3. c) il tempo di caduta tc. 7. 2. per il regolare svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio. lo svolgimento e i risultati dovranno essere riportati in bella utilizzando il fronte e il retro dei fogli degli esercizi. ma dovranno comunque essere consegnati. si possono portare al tavolo solo gli strumenti per scrivere e un documento di identificazione. ma non è consentito il rientro. i fogli di brutta non verranno presi in considerazione ai fini della valutazione della prova. matr: A Un pendolo semplice di massa m1 e lunghezza l è tenuto fermo in equilibrio statico in una posizione caratterizzata da un angolo θ = π/2 rispetto alla verticale. b) l’angolo di oscillazione massimo θmax raggiunto dalla massa m1 dopo l’urto. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome. libri. Dopo l’urto la massa m2 cade in avanti sotto l’azione della forza peso. d) una stima dell’errore ∆tc nel valore del tempo di caduta della massa m2. supponendo che i dati del problema siano noti con incertezze ∆m. . ∆g. la gittata d e la velocità di caduta vc della massa m2 all’impatto con il terreno. non è permesso in particolare portare con sé calcolatrici. calcolare: a) la velocità v2 di m2 subito dopo l’urto. energia) confrontando le due equazioni si deduce che v1 v2 = 0. d) Usando la legge di propagazione degli errori: (∆tc)2 = ∂tc ∂h 2 (∆h)2 + ∂tc ∂g 2 (∆g)2 ⇒ ∆tc = tc s ∆h 2h 2 ∆g + 2g 2 . y = 1 2 gt 2 da cui derivando rispetto al tempo: x˙ = v0. q.a) L’energia del pendolo è E = m 2 v − m g l cos θ 2 (c. e orientando l’asse y verso il basso. ricordando che m1 = m2 = m si ha: v0 = v1 + v2 ⇒ v02 = v12 + v22 + 2 v1 v2 v02 = v12 + v22 (cons.) (cons. quindi dopo l’urto v1 = 0. c) Indicando con t = 0 l’istante dell’urto. prendendo lo spigolo del gradino come origine degli assi.d. la gittata è d = v0 tc = 2 h l . quindi θmax = 0. √ √ e all’istante dell’impatto la velocità è vc = v0 i + g tc j = 2 g l i + 2 g h j. y˙ = g t p √ L’impatto con la base del gradino (y = h) avviene al tempo tc = 2 h/g .in. la legge del moto di m2 è: x = v0 t.m. b) Dopo l’urto la massa m1 è in quiete.) = 0 di qui ricaviamo la velocità di m1 subito prima dell’urto: √ v1(θ) = ± 2 g l cos θ ⇒ v1(θ=0) ≡ v0 = √ 2 gl Nell’urto si conservano energia e quantità di moto. v2 = v0 i. telefoni cellulari. libri. . e attenersi alle indicazioni che verranno fornite. non è permesso in particolare portare con sé calcolatrici. i fogli di brutta non verranno presi in considerazione ai fini della valutazione della prova. 3. b) la reazione vincolare nel punto di contatto tra la ruota e il binario. in funzione del tempo. 6. Determinare: a) la legge del moto di C nell’ipotesi che la ruota non strisci. 2. non scambiare informazioni con i colleghi. al termine della prova si prega di rimanere seduti attendendo che i fogli vengano ritirati. appunti o fogli propri. Inizialmente la molla ha lunghezza R. ma dovranno comunque essere consegnati. R O Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1. l’inosservanza delle regole comporta l’annullamento della prova. dopo un’ora dall’inizio della prova è possibile uscire dall’aula consegnando il compito. 4. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome. si possono portare al tavolo solo gli strumenti per scrivere e un documento di identificazione. 5. ma non è consentito il rientro. il centro C ha velocità v0 e la ruota non striscia. 30 giugno 2014 Nome: N. (Suggerimento: si scriva la forza elastica agente su C come F = −k r.Fisica I Cognome: Torino. lo svolgimento e i risultati dovranno essere riportati in bella utilizzando il fronte e il retro dei fogli degli esercizi. con r = OC). C k m. c) il massimo valore di v0 per il quale la ruota durante il proprio moto non striscia. 7. matr: A In un piano verticale una ruota omogenea di massa m e raggio R rotola su un binario orizzontale (coefficiente di attrito statico µ) ed ha il centro C collegato a un punto fisso O del binario mediante una molla ideale avente lunghezza a riposo nulla e costante elastica k. per il regolare svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio. cognome e numero di matricola su tutti i fogli degli esercizi e sui fogli di brutta. Durante il moto di puro rotolamento l’energia del sistema si conserva: E = 1 1 k 3 k m x˙ 2 + IC ω 2 + (R2 + x2) = m x˙ 2 + x2 + const = const 2 2 2 4 2 a) L’equazione di moto di C si ottiene derivando rispetto al tempo e dividendo per x˙: 3 m x¨ = −k x 2 che è l’equazione di un moto armonico con pulsazione Ω = p 2 k/3 m . x˙ (0) = v0 si trova la legge del moto x(t) = v0 sin Ω t Ω b) La reazione vincolare nel punto di contatto ha una componente N normale al vincolo e una componente Fs tangente. Quindi: x(t) = A cos Ω t + B sin Ω t x˙(t) = −A Ω sin Ω t + B Ω cos Ω t da cui. imponendo le condizioni iniziali x(0) = 0.Scegliamo come coordinata libera la coordinata x del centro C rispetto all’origine O. La prima equazione cardinale per la ruota fornisce: m x¨ = Fs − k x 0 = N −kR−mg da cui Fs = m x¨ + k x = N = kR+mg r mk v0 sin Ω t 6 c) Non vi è strisciamento se è soddisfatta la condizione di Coulomb |Fs| 6 µ N : r mk v0 |sin Ω t| 6 µ (k R + m g) 6 Tenendo conto che |sin Ω t| 6 1 durante il moto e che il valore 1 è effettivamente raggiunto nei punti di inversione si trova che deve essere r 6 v0 6 µ (k R + m g) mk . Il momento di inerzia è IC = m R2/2. La velocità angolare della ruota è ω = x˙/R. telefoni cellulari. non scambiare informazioni con i colleghi.Fisica I Cognome: Torino. a) Si disegnino le trasformazioni sul piano p-V . i fogli di brutta non verranno presi in considerazione ai fini della valutazione della prova. si possono portare al tavolo solo gli strumenti per scrivere e un documento di identificazione. dopo un’ora dall’inizio della prova è possibile uscire dall’aula consegnando il compito. inizialmente in uno stato A con volume VA e temperatura TA. 3. matr: A Due moli di gas perfetto monoatomico. libri. ma non è consentito il rientro. ma dovranno comunque essere consegnati. per il regolare svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio. lo svolgimento e i risultati dovranno essere riportati in bella utilizzando il fronte e il retro dei fogli degli esercizi. sono sottoposte a una trasformazione isocora che le porta a una temperatura TB = TA/2. c) si determini il rendimento del ciclo. b) si determini il volume VC del gas in C in funzione del volume VA. 4. Successivamente il gas è sottoposto a una compressione adiabatica che lo porta a uno stato C con la stessa temperatura di A. 2. Tutte le trasformazioni sono reversibili. e attenersi alle indicazioni che verranno fornite. 7. appunti o fogli propri. al termine della prova si prega di rimanere seduti attendendo che i fogli vengano ritirati. Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1. infine il gas è riportato in A lungo un’isoterma. 5. . non è permesso in particolare portare con sé calcolatrici. 6. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome. 30 giugno 2014 Nome: N. l’inosservanza delle regole comporta l’annullamento della prova. cognome e numero di matricola su tutti i fogli degli esercizi e sui fogli di brutta. dividendo membro a membro: γ = c p/cV = pC VC = n R TC pC VCγ = pB VBγ 1 γ −1 V ⇒ VCγ −1 = 2 A 1 ⇒ VC = 2 − γ −1 VA = 2−3/2 VA c) Calcolo del rendimento: lungo l ′isocora: lungo l ′isoterma: 3 TA 3 QAB = ∆E int = n cV (TB − TA) = − n R = − n R TA 2Z 2 4 Z A A dV VA QCA = Lsistema.a) Nella trasformazione A → B il gas viene raffreddato mantenendo costante il volume: pA V A = n R T A pB VA = n R TB = n R (TA/2) ⇒ pB = pA/2 p C A B V b) Nella compressione adiabatica B → C: 5 3 5 R/ R = 2 2 3 = n R T A = pA V A = (pA/2) VAγ da cui.CA = p dV = n R TA = n R TA ln V VC C C Lsistema QCA − |QAB| |QAB| 1 η = = = 1− = 1− Qassorbito QCA QCA 2 ln 2 . R m a) L’allungamento x0 della molla all’equilibrio si ottiene dalla condizione che siano equilibrati i momenti rispetto al centro della carrucola delle forze agenti sulla carrucola stessa: k x0 R = T R = m g R ⇒ x0 = mg . matr: A Si consideri il sistema rappresentato in figura.Fisica I Cognome: Nome: N. c) il periodo delle oscillazioni di m attorno alla propria posizione di equilibrio. Calcolare: a) l’allungamento x0 della molla e la tensione T nel filo all’equilibrio. Un filo inestensibile e di massa trascurabile che si avvolge sulla carrucola senza strisciare collega la molla ad una massa m. k M. La molla è ideale e ha massa trascurabile e costante elastica k. La carrucola è costituita da un cilindro omogeneo di raggio R e massa M che ruota senza attrito attorno ad un asse orizzontale passante per il centro. b) la reazione vincolare agente all’equilibrio sull’asse della carrucola. ricaviamo la reazione vincolare F agente sulla cerniera dalla condizione che si annulli la risultante delle forze agenti sulla carrucola: F −Ti−Tj −Mgj = 0 ⇒ F = m g i + (m + M )g j c) Il momento di inerzia del cilindro rispetto al proprio asse è I = M R2/2. dividendo per y˙ e ricordando che x0 = m g/k si trova l’equazione del moto: M + m y¨ = −k y 2 p che descrive un moto armonico con pulsazione Ω = k/(M /2 + m) e periodo r 2π M /2 + m T = = 2π Ω k 1 . y nella maniera consueta. Scriviamo l’equazione per la conservazione dell’energia scegliendo la posizione di equilibrio di m come origine degli assi: 1 1 k I ω 2 + m y˙ 2 + (y − x0)2 + m g y = const 2 2 2 dove ω = y˙/R. Derivando rispetto al tempo. k T = mg b) Scelti gli assi x. m v0 L 2 θ . Tra il cuneo ed il piano orizzontale si ha attrito statico µ. b) il minimo valore del coefficiente di attrito statico tra cuneo e piano di appoggio necessario affinché il cuneo rimanga fermo. e inoltre M = m. partendo da una distanza L dalla base del piano inclinato. c) la velocità del cuneo quando la massa m raggiunge la base del piano inclinato nel caso in cui non vi sia attrito fra il cuneo e il piano di base. mentre non si ha attrito tra il corpo e cuneo. matr: A Un cuneo di massa M e angolo alla base θ = π/6 poggia su un piano orizzontale ed è inizialmente fermo (si veda la figura). Assumendo che il cuneo non si muova.Fisica I Cognome: Nome: N. Sulla superficie inclinata del cuneo viene lanciata verso il basso lungo il piano inclinato una massa m con velocità iniziale v0. determinare a) la velocità di m nel momento in cui raggiunge la base del piano inclinato. Si assuma che il contatto tra i corpi si mantenga sempre durante il moto. sin θ = 1/2): √ 3 v0 + V 2 !2 + 1 3 √ 3 v0 + 2 V 2 !2 + V 2 = v02 + g L q √ √ 2 1 5 3 v0 + 120 g L − 5 3 v0 ⇒ V = 20 perché solo la radice positiva da il risultato corretto (V = 0) quando L → 0. 3 .n n mg Mg θ F N a) Se il cuneo è fermo. l’energia del corpo m è conservata: 1 1 L 1 m v2 = m v02 + m g L sin θ = m v02 + m g 2 2 2 2 p p 2 2 v = v0 + 2 g L sin θ = v0 + g L b) Utilizziamo la prima equazione cardinale separatamente per i due corpi. In assenza di attrito la componente x della quantità di moto e l’energia del sistema si conservano: √ 3 m v0 2 1 = m v02 + m g L sin θ 2 m vx + M V = − 1 1 1 m vx2 + m vy2 + M V 2 2 2 2 Nel sistema di riferimento solidale col cuneo (ma non nel sistema di riferimento di laboratorio!) la velocità del corpo m è inclinata di θ rispetto alla direzione orizzontale: vy 1 = tan θ = √ vx − V 3 ⇒ 1 v y = √ (vx − V ) 3 quindi (con M = m. e imponiamo la condizione di Coulomb per l’attrito statico al contatto tra il cuneo e il piano orizzontale: n = m g cos θ N = M g + m g cos2θ Fs = m g cos θ sin θ |Fs| 6 µ N ⇒ µ > µmin √ |cos θ sin θ| 3 ≡ = 2 M /m + cos θ 3 + 4 M /m √ c) Siano V = V i la velocità del cuneo e v0 = −v0 j + 3 i /2 la velocità iniziale della massa m. l’attrito tra esso e le pareti del cilindro è trascurabile. Trovare in funzione dei dati del problema: a) la pressione iniziale pA e la temperatura iniziale TA del gas. matr: A Un contenitore cilindrico di sezione S ha pareti sottili e termicamente conduttive ed è a contatto con aria a pressione p0 e a temperatura costante. b) la pressione pB e la quota hB del pistone quando tutta l’acqua è evaporata (B). Il cilindro è chiuso nella sua parte superiore da un pistone di massa M fatto di materiale termicamente isolante. Al di sopra del pistone vi è inizialmente una massa m di acqua (A) e il pistone si trova ad una quota hA dal fondo del cilindro. Sebbene il pistone sia a tenuta stagna. a) (m + M ) g + p0 S pA V A pA S hA (m + M ) g + S p0 = = = · hA nR nR nR pA = TA b) Mg + p0 S n R TA = pB n R TA n R TA = = = S pB M g + S p0 pB = S hB = VB hB (m + M ) g + S p0 · hA = M g + S p0 mg 1+ M g + S p0 · hA c) ∆S = Z B A δQ = T Z B A p dV TA Z = nR B A dV V 4 VB mg = n R ln = n R ln 1 + VA M g + S p0 . All’interno del cilindro sono contenute n moli di O2 (trattabile come un gas ideale). c) La variazione di entropia ∆S del gas durante la trasformazione da A a B. Poi l’acqua evapora molto lentamente fino a quando passa tutta allo stato di vapore (B).Fisica I Cognome: Nome: N.