Programación Lineal: Método Gráfico

ApuntesInvestigación de Operaciones Lic. Miguel González Hipólito y Lic. Oscar Mayo Leytte http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE INDICE DEL MODULO: CONTENIDO Página 3. PROGRAMACION LINEAL 3.1 Definición 3.2 Requerimientos básicos 3.3 Etapas de solución y problemas de ejemplo Problema 1 Problema 2 Problema 3 Problema 4 Problema 5 3.4 Casos especiales 3.5 La dualidad y los precios sombra (análisis preliminar) 3.6 Problemas propuestos MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 2 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE Capítulo 3 PROGRAMACION LINEAL 3.1 Definición La Programación Lineal (PL) puede definirse como la técnica matemática para determinar la mejor asignación de recursos limitados. La programación lineal es un método determinista de análisis para elegir la mejor entre varias alternativas. Cuando esta mejor alternativa incluye un conjunto coordinado de actividades, se le puede llamar plan o programa. Programar significa seleccionar la mejor combinación de actividades. Con frecuencia seleccionar una alternativa incluye satisfacer varios criterios al mismo tiempo, por ejemplo, cuando se alquila una habitación en un hotel se tiene el criterio de que la habitación sea confortable, limpia, con las comodidades básicas, el precio accesible, etc. Se puede ir un paso más adelante y dividir estos criterios en dos categorías: las restricciones y el objetivo. Las restricciones son las condiciones que debe satisfacer una solución que esta analizándose. Si más de una alternativa satisface todas las restricciones, el objetivo se usa para seleccionar la mejor entre todas las alternativas factibles, a lo cual se le llama optimizar. Optimizar va en uno de dos posibles sentidos: maximizar o minimizar. Se optimizará maximizando, cuando nuestra intención es alcanzar los mas altos beneficios posibles, en tanto que se optimizará minimizando, cuando nuestra intención es obtener los menores costos posibles en un problema específico. Existen muchos problemas administrativos que se ajustan a este molde de tratar de maximizar o minimizar un objetivo que esta sujeto a una lista de restricciones. Un hotelero, por ejemplo, trata de maximizar sus utilidades en relación a mejorar y ampliar sus diferentes servicios, con el empleo más óptimo de sus recursos y la satisfacción de sus clientes. Un Restaurante debe planear que las comidas satisfagan ciertas restricciones sobre sabor, propiedades nutritivas, tipo y variedad, al mismo tiempo que se trata de minimizar el costo. La programación lineal se ha aplicado con éxito a estos y otros problemas. La programación lineal es una técnica determinista, no incluye probabilidades. El objetivo y cada una de las restricciones se deben expresar como una relación lineal, de ahí su nombre. El tema de programación lineal es muy extenso. Forma una de las ramas del campo de la programación matemática, como se ilustra a continuación: MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 3 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA PROGRAMACIÓN LINEAL OTRAS OPCIONES Método Gráfico Programación no lineal Método Simplex Programación estocástica Programación por objetivos Programación Dinámica Programación entera Otras Método del transporte Método de asignación de recursos 3.2 Requerimientos básicos La Programación Lineal tiene los siguientes requerimientos básicos: 1. Que se defina claramente una función objetivo en forma matemática 2. Debe haber varios cursos alternativos de acción 3. Las ecuaciones y desigualdades deben describir el problema en forma lineal 4. Debe ser posible establecer relaciones entre las variables a través de formulaciones matemáticas que pueden describir el problema y todas las relaciones entre las variables 5. Existe un suministro limitado de recursos 3.3 Etapas de solución y problemas El método grafico es una de las formas más sencillas para resolver problemas de programación lineal, cuando estos se refieren a únicamente dos variables. Este método permite visualizar el MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 4 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE proceso de solución de la programación lineal. Sin embargo, esta severamente limitado en sus aplicaciones por que el numero de dimensiones en la grafica es igual que el numero de variables. Pero aún con todas sus limitaciones, el método gráfico nos es muy útil para entender como funciona la Programación Lineal para optimizar (maximizar o minimizar) y como una ilustración de la manera como el Método Simplex (que veremos mas adelante), analizará y determinará la mejor solución posible. Etapas de solución de un problema de programación lineal por el método grafico: ETAPA 1.- FORMULAR EL PROBLEMA Y CONSTRUIR EL MODELO MATEMÁTICO DE PROGRAMACIÓN LINEAL. El primer paso, consiste en plantear el problema y expresarlo en términos matemáticos bajo el formato general de la programación lineal, en otras palabras determinar el modelo matemático de programación lineal, compuesto de una función objetivo y las restricciones (condiciones) a las cuales esta sujeta Se puede iniciar respondiendo a las siguientes preguntas: ¿Que busca determinar el modelo?, es decir, ¿Cuales son las variables (incógnitas) del problema? ¿Que restricciones deben imponerse a las variables a fin de satisfacer las limitaciones del sistema representado por el modelo? ¿Cual es el objetivo (meta) que necesita alcanzarse para determinar la solución óptima (mejor) de entre todos los valores factibles de las variables? El punto crucial del modelo matemático consiste en identificar en 1er. lugar las variables y después expresar el objetivo y las restricciones como funciones matemáticas de las variables. ETAPA 2.- GRAFICAR LAS RESTRICCIONES Y DETERMINAR EL AREA DE SOLUCIONES BASICAS FACTIBLES El segundo paso es graficar cada restricción en el plano cartesiano, para definir el espacio de soluciones básicas factibles a que dan lugar, es decir, identificando hacia donde esta el área que de acuerdo al signo de desigualdad corresponde a cada ecuación. Determinando luego, las coordenadas que están en los cruces de las restricciones entre sí y con los ejes MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 5 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE cartesianos, pero dentro del espacio de soluciones, es decir, dentro de las áreas que de acuerdo al signo de desigualdad les correspondan. ETAPA 3.- OBTENER LA SOLUCION OPTIMA. El tercer paso consiste en sustituir en la función objetivo del modelo matemático, cada una de las coordenadas donde se cruzan las restricciones entre sí ó con los ejes cartesianos pero dentro del espacio o área de soluciones básicas factibles, en otras palabras, las coordenadas que están en los “picos” del espacio de soluciones, observando donde se alcanza el valor mas alto (si estamos maximizando) o donde se obtiene el valor mas bajo (si estamos minimizando). Luego, seleccionaremos como resultado óptimo, las coordenadas donde se alcanza el máximo (si estamos maximizando) o el mínimo valor en la función objetivo (si estamos minimizando). ETAPA 4.- ANALISIS DE SENSIBILIDAD. Esta etapa consiste en determinar que tanto podrían variar los recursos considerados en el problema, sin que se afecte el óptimo alcanzado, se aplica tanto a los coeficientes de la Función Objetivo, como a los coeficientes de cada una de las restricciones. En los problemas de ejemplo se dejará para más adelante su aplicación, con el fin de permitir el aprendizaje de las primeras tres etapas. MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 6 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE PROBLEMAS DE EJEMPLO: PROBLEMA Núm. 1 Una empresa dedicada a la transportación turística ofrece dos recorridos en un parque arqueológico, uno diurno y otro nocturno. Al guía se le pagan 6 dólares por recorrido diurno y 5 dólares por recorrido nocturno. El recorrido incluye la entrada a una galería que cuesta 2 dólares en el diurno y 3 dólares en el nocturno. Los costos de operación ascienden a 3 dólares por recorrido diurno y 12 dólares por recorrido nocturno. La utilidad es de 2 dólares por el recorrido diurno y 1 dólar por el nocturno. Únicamente se cuenta con 30 dólares para salarios de guías, 12 dólares para entradas a la galería y no se quiere que los costos de operación excedan 36 dólares. ¿Cuántos recorridos diurnos y cuántos recorridos nocturnos se deben programar para obtener las mayores utilidades? SOLUCION DEL PROBLEMA ETAPA No. 1.- FORMULACION DEL PROBLEMA Y CONSTRUCCION DEL MODELO MATEMATICO OBJETIVO (VERBAL).- Se desea determinar cuántos recorridos diurnos y nocturnos se deben programar para obtener las mayores utilidades por tanto, se trata de una maximización. RESTRICCIONES (VERBALES) 1.- Solo se dispone de 30 dólares para salarios de los guías. 2.- Solo se dispone de 12 dólares para entradas a la galería. 3.- No se quiere que los costos de operación excedan los 36 dólares. VARIABLES (ESTRUCTURA MATEMÁTICA) Para representar las variables de decisión (o incógnitas del problema) se establece que: X 1 = Número de recorridos diurnos VARIABLES DE DECISIÓN ó INCÓGNITAS DEL PROBLEMA X 2 = Número de recorridos nocturnos MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 7 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE COEFICIENTES DE LA FUNCION OBJETIVO (Z) La función objetivo se expresa en dólares y representa maximizar las utilidades de cada tipo de recorrido, por tanto se establece que: C 1 = $2 dólares = utilidad por recorrido diurno C 2 = $1 dólares = utilidad por recorrido nocturno Función Objetivo: Max Z = C 1 X 1 + C 2 X 2 Max Z = 2X 1 + X 2 Apoyándonos ahora, en una tabla de doble entrada para facilitar la construcción del modelo matemático, asentamos la información de referencia en el problema de la siguiente forma: RECORRIDOS RUBROS Recorrido Diurno X 1 Recorrido Nocturno X 2 Restricciones SALARIOS COSTO DE ENTRADA A GALERÍA COSTOS DE OPERACION Función Objetivo: Max Z 6 2 3 $2 5 3 12 $1 30 12 36 8 Observamos la interrelación entre los datos y determinamos el modelo matemático, al considerar que la tabla se puede re-escribir de la siguiente manera: RECORRIDOS RUBROS Recorrido Diurno X 1 Recorrido Nocturno X 2 Restricciones SALARIOS COSTO DE ENTRADA A GALERÍA COSTOS DE OPERACION Función Objetivo: Max Z 6 X 1 2 X 1 3 X 1 $2 X 1 5 X 2 3 X 2 12 X 2 $1 X 2 ≤ 30 ≤ 12 ≤ 36 El modelo matemático para el problema estará dado entonces por: MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE Función Objetivo: Max Z = 2X 1 + X 2 Sujeto a: 0 , 0 .... 36 12 3 ...... 12 3 2 ...... 30 5 6 2 1 2 1 2 1 2 1 ≥ ≥ ≤ + ≤ + ≤ + X X III X X II X X I X X Restricciones ETAPA No. 2 GRAFICAR LAS RESTRICCIONES Y DETERMINAR EL AREA DE SOLUCIONES BASICAS FACTIBLES Obtener los parámetros para graficar cada una de las restricciones: Para la restricción I ) 6 , 0 ( 6 5 30 0 ..... 30 5 6 2 1 2 1 A X X Si I X X = = = = + ) 0 , 5 ( 5 6 30 0 1 2 B X X Si = = = Para la restricción II ) 4 , 0 ( 4 3 12 0 ....... 12 3 2 2 1 2 1 C X X Si II X X = = = = + ) 0 , 6 ( 6 2 12 0 1 2 D X X Si = = = Para la restricción III ) 3 , 0 ( 3 12 36 0 ........ 36 12 3 2 1 2 1 E X X Si III X X = = = + 0) F(12, 12 3 36 X 0 1 2 = = X Si MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 9 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE GRAFICA DE RESTRICCION I 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 X 1 X 2 A (0,6) ESPACIO DE SOLUCIONES B (5,0) GRAFICA DE RESTRICCION II 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0 1 2 3 4 5 6 7 X 1 X 2 C (0,4) ESPACIO DE SOLUCIONES D (6,0) GRAFICA DE RESTRICCION III 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 2 4 6 8 10 12 14 X 1 X 2 E (0,3) ESPACIO DE SOLUCIONES F (12,0) MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 10 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE COLOCANDO TODAS LAS RESTRICCIONES EN UN SOLO GRAFICO E IDENTIFICANDO EL AREA O ESPACIO DE SOLUCIONES SIMULTANEAS, TENEMOS: GRAFICA DE TODAS LAS RESTRICCIONES 0 1 2 3 4 5 6 7 0 2 4 6 8 10 12 14 X 1 X 2 I II III E (0,3) 11 ETAPA No. 3 OBTENER LA SOLUCION OPTIMA POR PRUEBA Y ERROR Considerando cada coordenada del área de soluciones básicas factibles (área sombreada de la gráfica), donde se cruzan las restricciones entre sí ó con los ejes cartesianos, se obtiene en la Función Objetivo, el resultado de la sustitución de tales coordenadas se muestra a continuación: CALCULO DE ¨R¨ (Cruce de Ecuación II con Ecuación III) 2.4 X 5 - -12/ X -12 5X - _________ __________ 36 12X 3X -48 12X - 8X - _________ __________ 12 3 2 ) 4 ( 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = = = = + = = + = + − III 36 12X 3X II X X L L 4 . 2 3 / 2 . 7 2 . 7 3 8 . 4 12 3 12 3 8 . 4 12 3 ) 4 . 2 ( 2 ....... 12 3 2 : , 2 2 2 2 2 2 2 1 1 = = = − = = + = + = + X X X X X X II X X tenemos II Ecuación en X do Sustituyen Nota: No puede haber X 1 = 2.4 recorridos diurnos, solo para efectos de estos cálculos no se redondea R (2.4, 2.4) ESPACIO DE SOLUCIONES R S B (5,0) MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE CALCULO DE ¨S¨ (Cruce de Ecuación I con Ecuación II) 5 . 1 4 / 6 6 4 ________ __________ 36 9 6 30 5 6 ________ __________ 12 3 2 ) 3 ( 30 5 6 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 = − − = − = − − = − − = + = + − = + X X X X X X X II X X I X X L L 75 . 3 6 / 5 . 22 5 . 22 6 5 . 7 30 6 30 5 . 7 6 30 ) 5 . 1 ( 5 6 30 5 6 : , 5 . 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 = = = − = = + = + = + = X X X X X X X X tiene se I Ecuación en X do sustituyen Nota: No puede haber X 1 = 3.75 recorridos diurnos, solo para efectos de estos cálculos no se redondea S (3.8, 1.5) GRAFICA DE TODAS LAS RESTRICCIONES 0 1 2 3 4 5 6 7 0 2 4 6 8 10 12 14 X 1 X 2 I II III E (0,3) 12 Los cruces de las restricciones entre si y con los ejes cartesianos dentro del Espacio de Soluciones (los picos), constituyen los puntos de solución factible, los cuales al sustituirlos en la Función Objetivo, nos permitirán identificar cual de ellos alcanza el valor máximo, es decir, el valor optimo ESPACIO DE SOLUCIONES R (2.4, 2.4) S (3.8, 1.5) B (5,0) MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE SUSTITUYENDO CADA UNA DE LAS COORDENADAS EN LA FUNCION OBJETIVO TENEMOS Punto E (0, 3) Punto R (2.4, 2.4) Implica: Ningún Recorrido diurno y 3 nocturnos Implica: 2.4 Recorridos diurnos y 2.4 nocturnos utilidad de dólares Z Z Z X X Z Max 00 . 3 $ 3 0 ) 3 ( 1 ) 0 ( 2 2 2 1 = + = + = + = utilidad de dólares Z Z Z X X Z Max 20 . 7 $ 4 . 2 8 . 4 ) 4 . 2 ( 1 ) 4 . 2 ( 2 2 2 1 = + = + = + = Punto S (3.8, 1.5) Punto B (5, 0) Implica: 3 Recorridos diurnos y un nocturno Implica: 5 Recorridos diurnos y ningún nocturno utilidad de dólares Z Z Z X X Z Max 10 . 9 $ 5 . 1 6 . 7 ) 5 . 1 ( 1 ) 8 . 3 ( 2 2 2 1 = + = + = + = utilidad de dólares Z Z Z X X Z Max 00 . 10 $ 0 10 ) 0 ( ) 5 ( 2 2 2 1 = + = + = + = <<<OPTIMO>>> Los resultados nos indican que el punto “B” es donde se obtienen las mayores utilidades, con 5 recorridos diurnos y ningún recorrido nocturno para alcanzar así, $10.00 dólares de utilidad. Grafiquemos ahora la Función Objetivo Elegimos de manera arbitraria un número, por ejemplo el 6 para la igualdad de la Función Objetivo, como primera aproximación: ) 6 , 0 ( 6 0 6 2 2 1 2 1 G X X Si X X Z Max = = = + = ) 0 , 3 ( 3 2 6 0 1 2 H X X Si = = = Observamos a continuación la Gráfica de la Función Objetivo preliminar en líneas punteadas: MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 13 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE GRAFICA DE RESTRICCIONES Y DE FUNCION OBJETIVO 0 1 2 3 4 5 6 7 0 2 4 6 8 10 12 14 X1 X 2 I II III ESPACIO DE SOLUCIONES Z Z Ahora desplacemos paralelamente la recta de la Función Objetivo “cuesta arriba”, hasta el máximo punto donde tenga contacto con el Espacio de Soluciones, esto será generalmente en alguno de los cruces de las restricciones entre sí o con los ejes cartesianos; en este caso es donde se cruza la Restricción (I) con el eje de las X 1 , es decir, en el punto ¨B¨ de coordenadas (5, 0) como se ilustra a continuación: GRAFICA DE TODAS RESTRICCIONES Y DE FUNCION OBJETIVO 0 1 2 3 4 5 6 7 0 2 4 6 8 10 12 14 X 1 X 2 I II III 14 Es otra manera de determinar gráficamente el punto óptimo (máximo), donde se obtienen los mayores beneficios y que por supuesto, coincide con lo calculado por prueba y error Z ESPACIO DE SOLUCIONES OPTIMO B (5,0) MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE Al sustituir estas coordenadas en la Función Objetivo, vemos que se alcanza una utilidad máxima de: utilidad de dólares Z Z Z X X Z Max 00 . 10 $ 0 10 0 ) 5 ( 2 2 2 1 = + = + = + = Esto significa realizar 5 recorridos diurnos y ninguno nocturno, como antes ya habíamos visto. GRAFICA DE SOLUCION COMPLETA POR EL METODO GRAFICO MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 15 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE PROBLEMA Núm. 2 Se contrato una agencia de edecanes para realizar un servicio de guías en una exposición. La exposición se divide en dos secciones: 1) Sección de Exhibición y 2) Sección de Talleres Un grupo de estudiantes de secundaria tarda una hora en el área de exhibición y 3 horas en el área de talleres; mientras que un grupo de estudiantes de primaria tarda 2 horas en el área de exhibición y una hora en el área de talleres. El área de exhibición permanece abierta un máximo de 10 horas, mientras que el área de talleres puede abrirse hasta 15 horas. No se puede atender a más de 4 grupos de primaria por día. La utilidad por grupo de primaria es de $60.00 y por grupo de secundaria es de $50.00 ¿Cuántos grupos de cada nivel se deben programar diariamente para obtener las mayores utilidades? SOLUCION DEL PROBLEMA ETAPA No. 1.- FORMULACION DEL PROBLEMA Y CONSTRUCCION DEL MODELO MATEMATICO OBJETIVO (VERBAL).- Se desea determinar cuántos grupos de primaria y cuantos grupos de secundaria se deben programar diariamente para obtener las mayores utilidades por esa razón, se trata de una maximización. RESTRICCIONES (VERBALES) 1.- El área de exhibición permanece abierta un máximo de 10 horas 2.- El área de talleres puede abrirse hasta 15 horas. 3.- No se puede atender a más de 4 grupos de primaria por día. VARIABLES ( ESTRUCTURA MATEMÁTICA) Para representar las variables de decisión (o incógnitas del problema) se establece que: MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 16 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE X 1 = Número de grupos de primaria programados por día X 2 = Número de grupos de secundaria programados por día 17 COEFICIENTES DE LA FUNCION OBJETIVO (Z) La función objetivo se expresa en dólares y representa maximizar las utilidades de cada tipo de recorrido, por tanto se establece que: C 1 = $60 = utilidad por grupo de primaria C 2 = $50 = utilidad por grupo de secundaria Función Objetivo: Max Z = C 1 X 1 + C 2 X 2 Max Z = 60X 1 + 50X 2 Apoyándonos ahora, en una tabla de doble entrada para facilitar la construcción del modelo matemático, asentamos la información de referencia en el problema de la siguiente forma: TIPO DE GRUPO INSUMOS Grupos de Primaria X 1 Grupos de Secundaria X 2 Restricciones EXHIBICION TALLERES DISPONIBILIDAD DE ATENCION Función Objetivo: Max Z 2 1 X 1 $60 1 3 $50 10 15 4 Observamos la interrelación entre los datos y determinamos el modelo matemático, al considerar que la tabla se puede re-escribir de la siguiente manera: TIPO DE GRUPO INSUMOS Grupos de Primaria X 1 Grupos de Secundaria X 2 Restricciones EXHIBICION TALLERES DISPONIBILIDAD DE ATENCION Función Objetivo: Max Z 2X 1 X 1 X 1 60X 1 X 2 3X 2 50X 2 ≤ 10 ≤ 15 ≤ 4 VARIABLES DE DECISIÓN ó INCÓGNITAS DEL PROBLEMA MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE El modelo matemático para el problema estará dado entonces por: Función Objetivo: Max Z = 60X 1 + 50X 2 Sujeto a: 0 , 0 .... 4 ...... 15 3 ...... 10 2 2 1 1 2 1 2 1 ≥ ≥ ≤ ≤ + ≤ + X X III X II X X I X X Restricciones ETAPA No. 2 GRAFICAR LAS RESTRICCIONES Y DETERMINAR EL AREA DE SOLUCIONES BASICAS FACTIBLES Obtener los parámetros para graficar cada una de las restricciones: Para la restricción I ) 10 , 0 ( 10 0 ..... 10 2 2 1 2 1 A X X Si I X X ⎭ ⎬ ⎫ = = = + ) 0 , 5 ( 5 2 10 0 1 2 B X X Si ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = = = Para la restricción II ) 5 , 0 ( 5 3 15 0 ..... 15 3 2 1 2 1 C X X Si II X X ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = = = = + ) 0 , 15 ( 15 0 1 2 D X X Si ⎭ ⎬ ⎫ = = La restricción III (X 1 = 4) es una constante, desde X 2 = 0 hasta X 2 = infinito MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 18 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE COLOCANDO TODAS LAS RESTRICCIONES EN UN SOLO GRAFICO E IDENTIFICANDO EL AREA O ESPACIO DE SOLUCIONES, TENEMOS: GRAFICA DE TODAS LAS RESTRICCIONES 0 2 4 6 8 10 12 0 2 4 6 8 10 12 14 16 X 1 X 2 I II III C (0,5) ESPACIO DE SOLUCIONES X 1 =4 A (0,10) R S B (5,0) D (15,0) E (4,0) ETAPA No. 3 OBTENER LA SOLUCION OPTIMA POR PRUEBA Y ERROR Considerando cada coordenada del área de soluciones básicas factibles (área sombreada de la gráfica), donde se cruzan las restricciones entre sí ó con los ejes cartesianos, se obtiene en la Función Objetivo, el resultado de la sustitución de tales coordenadas se muestra a continuación: CALCULO DE ¨R¨ (Cruce de Ecuación I con Ecuación II) 4 5 20 20 5 30 6 2 10 2 15 3 ) 2 ( 10 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 = − − = − = − − = − − = + = + − = + X X X X X X X II X X I X X L L Sustituyendo X2 = 4 en Ecuación I, tenemos: 3 2 6 6 2 4 10 2 10 4 2 10 2 1 1 1 1 1 2 1 = = = − = = + = + X X X X X X X Las coordenadas del punto “R” son: (3, 4) MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 19 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE CALCULO DE ¨S¨ (Cruce de Ecuación I con Ecuación III) III X I X X ....... 4 ..... 10 2 1 2 1 = = + Sustituyendo X1 = 4 en Ecuación I, tenemos: 2 8 10 10 8 10 ) 4 ( 2 10 2 2 2 2 2 2 1 = − = = + = + = + X X X X X X Las coordenadas del punto “S” son: (4, 2) GRAFICA DE TODAS LAS RESTRICCIONES 0 2 4 6 8 10 12 0 2 4 6 8 10 12 14 16 X 1 X 2 I II III C (0,5) ESPACIO DE SOLUCIONES X 1 =4 A (0,10) R (3, 4) S (4, 2) B (5,0) D (15,0) E (4,0) Los cruces de las restricciones entre si y con los ejes cartesianos pero dentro del Espacio de Soluciones, constituyen los puntos de solución factible, los cuales al sustituirlos en la Función Objetivo, nos permitirán identificar cual de ellos alcanza el valor máximo, es decir, el valor optimo MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 20 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE SUSTITUYENDO CADA UNA DE LAS COORDENADAS EN LA FUNCION OBJETIVO TENEMOS Punto C(0,5) 00 . 250 $ 250 0 ) 5 ( 50 ) 0 ( 60 50 60 2 1 = + = + = + = Z Z Z X X Z Max Punto R(3,4) 00 . 380 $ 200 180 ) 4 ( 50 ) 3 ( 60 50 60 2 1 = + = + = + = Z Z Z X X Z Max <<<OPTIMO>>> Punto S(4,2) 00 . 340 $ 100 240 ) 2 ( 50 ) 4 ( 60 50 60 2 1 = + = + = + = Z Z Z X X Z Max Punto E(4,0) 00 . 240 $ ) 0 ( 50 ) 4 ( 60 50 60 2 1 = + = + = Z Z X X Z Max Se concluye que el punto “R” es donde se obtienen las mayores utilidades, debiendo programarse por día 3 grupos de primaria y 4 grupos de secundaria logrando así la más alta utilidad que será de $380.00 Grafiquemos ahora la Función Objetivo Elegimos de manera arbitraria un número, por ejemplo el 180 para la igualdad de la Función Objetivo, como primera aproximación: Max Z = 60X 1 + 50X 2 = 180 Si X 1 = 0 Si X 2 = 0 X 2 = 3.6 X 1 = 3 G (0, 3.6) H (3, 0) Observamos a continuación la Gráfica de la Función Objetivo preliminar en líneas punteadas: MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 21 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE GRAFICA DE RESTRICCIONES Y DE FUNCION OBJETIVO A (0,10) B (5,0) D (15,0) C (0,5) X 1 =4 ESPACIO DE SOLUCIONES R (3, 4) S (4, 2) E (4,0) 0 2 4 6 8 10 12 0 2 4 6 8 10 12 14 16 X 1 X 2 I II III Z Ahora desplacemos paralelamente la Gráfica de la Función Objetivo “cuesta arriba”, hasta el máximo punto donde tenga contacto con el Espacio de Soluciones, esto será generalmente en alguno de los cruces de las restricciones entre sí o con los ejes cartesianos; en este caso es donde se cruza la Ecuación 1 con la Ecuación II, es decir, en el punto ¨R¨ de coordenadas (3, 4) como se ilustra a continuación: A (0,10) B (5,0) D (15,0) C (0,5) X 1 =4 ESPACIO DE SOLUCIONES R (3, 4) S (4, 2) E (4,0) 22 MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico Es otra manera de determinar gráficamente el punto óptimo (máximo), donde se obtienen los mayores beneficios y que por supuesto, coincide con lo calculado por prueba y error Al sustituir estas coordenadas en la Función Objetivo, vemos que se alcanza una utilidad de: GRAFICA DE RESTRICCIONES Y DE FUNCION OBJETIVO 0 2 4 6 8 10 12 0 2 4 6 8 10 12 14 16 X 1 X 2 I II III Z http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE 00 . 380 $ 200 180 ) 4 ( 50 ) 3 ( 60 50 60 2 1 = + = + = + = Z Z Z X X Z Max sto significa que deben programarse por día 3 grupos de primaria y 4 grupos de secundaria, GRAFICA DE SOLUCION COMPLETA POR EL METODO GRAFICO E como ya se había definido. MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 23 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE PROBLEMA Núm. 3 Una agencia de viajes está planeando dos paquetes diferentes para visitar el sureste mexicano: “Sureste Inolvidable” y “Sureste Mágico”. La agencia normalmente vende todos los paquetes que ofrece. El primer paquete consiste en dos noches de estancia en Mérida, una noche en Chetumal y cuatro noches en Cancún. El segundo paquete consiste en dos noches en Mérida, dos noches en Chetumal y dos noches en Cancún. La agencia de viajes ha establecido un contrato con varios hoteles en los destinos visitados y tiene 160 noches reservadas en Mérida, 120 en Chetumal y 280 en Cancún. La ganancia que se obtiene por cada paquete “Sureste Inolvidable” es de $1,000.00 y por cada paquete “Sureste Mágico” es de $1,500.00 ¿Cuántos paquetes de cada tipo se deben ofertar para obtener las mayores utilidades? SOLUCION DEL PROBLEMA ETAPA No. 1.- FORMULACION DEL PROBLEMA Y CONSTRUCCION DEL MODELO MATEMATICO OBJETIVO (VERBAL).- Se desea determinar cuántos paquetes de cada tipo se deben ofertar para obtener las mayores utilidades por tanto, se trata de una maximización. RESTRICCIONES (VERBALES) 1.- Solo se dispone de 160 noches para Mérida. 2.- Solo se dispone de 120 noches para Chetumal. 3.- Solo se dispone de 280 noches para Cancún. VARIABLES ( ESTRUCTURA MATEMÁTICA) Para representar las variables de decisión (o incógnitas del problema) se establece que: X 1 = Número de paquetes “Sureste Inolvidable” VARIABLES DE DECISIÓN ó INCÓGNITAS DEL PROBLEMA X 2 = Número de paquetes “Sureste Mágico” MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 24 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE COEFICIENTES DE LA FUNCION OBJETIVO (Z) La función objetivo se expresa en pesos y representa maximizar las utilidades de cada tipo de paquete, por tanto se establece que: C 1 = $1,000 pesos = utilidad por paquete “Sureste Inolvidable” C 2 = $1,500 pesos = utilidad por paquete “Sureste Mágico” Función Objetivo: Max Z = C 1 X 1 + C 2 X 2 Max Z = 1000X 1 + 1500X 2 Apoyándonos ahora, en una tabla de doble entrada para facilitar la construcción del modelo matemático, asentamos la información de referencia en el problema de la siguiente forma: PAQUETES NOCHES DE ESTANCIA “ Sureste Inolvidable” X 1 “ Sureste Mágico” X 2 Restricciones (Disponibilidad) MERIDA CHETUMAL CANCUN Función Objetivo: Max Z 2 1 4 $1,000 2 2 2 $1,500 160 120 280 25 Observamos la interrelación entre los datos y determinamos el modelo matemático, al considerar que la tabla se puede re-escribir de la siguiente manera: PAQUETES NOCHES DE ESTANCIA “ Sureste Inolvidable” X 1 “ Sureste Mágico” X 2 Restricciones (Disponibilidad) MERIDA CHETUMAL CANCUN Función Objetivo: Max Z 2 X 1 1 X 1 4 X 1 $1000 X 1 2 X 2 2 X 2 2 X 2 $1500 X 2 ≤ 160 ≤ 120 ≤ 280 El modelo matemático para el problema estará dado entonces por: MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE Función Objetivo: Max Z = 1000X 1 + 1500X 2 Sujeto a: 0 , 0 .... 280 2 4 ...... 120 2 ...... 160 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ≥ ≥ ≤ + ≤ + ≤ + X X III X X II X X I X X Restricciones ETAPA No. 2 GRAFICAR LAS RESTRICCIONES Y DETERMINAR EL AREA DE SOLUCIONES BASICAS FACTIBLES Obtener los parámetros para graficar cada una de las restricciones: Para la restricción I ) 80 , 0 ( 80 0 ..... 160 2 2 2 1 2 1 A X X Si I X X ⎭ ⎬ ⎫ = = = + ) 0 , 80 ( 80 0 1 2 B X X Si ⎭ ⎬ ⎫ = = Para la restricción II 60 , 0 ( 60 0 ........ 120 2 2 1 2 1 C X X Si II X X ⎭ ⎬ ⎫ = = = + ) 0 , 120 ( 120 0 1 2 D X X Si ⎭ ⎬ ⎫ = = Para la restricción III ) 140 , 0 ( 140 0 ..... 280 2 4 2 1 2 1 E X X Si III X X ⎭ ⎬ ⎫ = = = + ) 0 , 70 ( 70 0 1 2 F X X Si ⎭ ⎬ ⎫ = = MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 26 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE COLOCANDO TODAS LAS RESTRICCIONES EN UN SOLO GRAFICO E IDENTIFICANDO EL AREA O ESPACIO DE SOLUCIONES SIMULTANEAS, TENEMOS: GRAFICA DE TODAS LAS RESTRICCIONES 0 20 40 60 80 100 120 140 160 0 20 40 60 80 100 120 140 X 1 X 2 I II III E (0,140) A (0,80) R S ESPACIO DE SOLUCIONES C (0,60) D (120,0) F (70,0) B (80,0) ETAPA No. 3 OBTENER LA SOLUCION OPTIMA POR PRUEBA Y ERROR Considerando cada coordenada del área de soluciones básicas factibles (área sombreada de la gráfica), donde se cruzan las restricciones entre sí ó con los ejes cartesianos, se obtiene en la Función Objetivo, el resultado de la sustitución de tales coordenadas se muestra a continuación: CALCULO DE ¨R¨ (Cruce de Ecuación I con Ecuación II) 40 120 2 1 160 2 2 ..... 120 2 ) 1 ( .... 160 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 = − = − − = + = + − = + X X X X X II X X I X X 40 2 80 80 2 80 160 2 160 2 80 160 2 ) 40 ( 2 ........ 160 2 2 : , 40 2 2 2 2 2 2 2 1 1 = = = − = = + = + = + = X X X X X X I X X tenemos I Ecuación en X do Sustituyen Las coordenadas del punto “R” son: (40, 40) MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 27 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE CALCULO DE ¨S¨ (Cruce de Ecuación I con Ecuación III) 60 2 120 120 2 280 2 4 160 2 2 ....... 280 2 4 ) 1 ( ..... 160 160 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = − − = − = − − = − − = + = + − ≤ = + X X X X X X X III X X I X X 20 2 40 40 2 120 160 2 160 2 120 160 2 ) 60 ( 2 160 2 2 : , 60 2 2 2 2 2 2 2 1 1 = = = − = = + = + = + = X X X X X X X X tenemos I Ecuación en X do Sustituyen Las coordenadas del punto “S” son: (60, 20) GRAFICA DE TODAS LAS RESTRICCIONES 0 20 40 60 80 100 120 140 160 0 20 40 60 80 100 120 140 X 1 X 2 I II III E (0,140) A (0,80) R (40, 40) S (60, 20) ESPACIO DE SOLUCIONES D (120,0) F (70,0) B (80,0) C (0,60) Los cruces de las restricciones entre si y con los ejes cartesianos pero dentro del Espacio de Soluciones, constituyen los puntos (coordenadas) de solución factible, los cuales al sustituirlos en la Función Objetivo, nos permitirán identificar cual de ellos alcanza el valor máximo, es decir, el valor optimo MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 28 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE SUSTITUYENDO CADA UNA DE LAS COORDENADAS EN LA FUNCION OBJETIVO TENEMOS Punto C (0, 60) 000 , 90 $ 90000 0 ) 60 ( 1500 ) 0 ( 1000 1500 1000 2 1 = + = + = + = Z Z Z X X Z Max Punto F (70, 0) 000 , 70 $ 0 70000 ) 0 ( 1500 ) 70 ( 1000 1500 1000 2 1 = + = + = + = Z Z Z X X Z Max Punto S (60, 20) 000 , 90 $ 30000 60000 ) 20 ( 1500 ) 60 ( 1000 1500 1000 2 1 = + = + = + = Z Z Z X X Z Max Punto R (40, 40) 000 , 100 $ 60000 40000 ) 40 ( 1500 ) 40 ( 1000 1500 1000 2 1 = + = + = + = Z Z Z X X Z Max <<<OPTIMO>>> Se concluye que el punto “R” es donde se obtienen las mayores utilidades, debiendo ofertarse 40 paquetes “Sureste Inolvidable” y 40 paquetes “Sureste Mágico” logrando así la más alta utilidad que será de $100,00 pesos Grafiquemos ahora la Función Objetivo Elegimos de manera arbitraria un número, por ejemplo el 50,000 para la igualdad de la Función Objetivo, como primera aproximación: Max Z = 1000X 1 + 1500X 2 = 50,000 Si X 1 = 0 Si X 2 = 0 X 2 = 33 X 1 = 50 G (0, 33) H (50, 0) Observamos a continuación la Gráfica de la Función Objetivo preliminar en líneas punteadas: MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 29 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE GRAFICA DE RESTRICCIONES Y DE FUNCION OBJETIVO 0 20 40 60 80 100 120 140 160 0 20 40 60 80 100 120 140 X 1 X 2 I II III Z A (0,80) E (0,140) R (40, 40) S (60, 20) ESPACIO DE SOLUCIONES C (0,60) D (120,0) F (70,0) B (80,0) Ahora, desplacemos paralelamente la Gráfica de la Función Objetivo “cuesta arriba”, hasta el máximo punto donde tenga contacto con el Espacio de Soluciones, esto será generalmente en alguno de los cruces de las restricciones entre sí o con los ejes cartesianos; en este caso es donde se el cruza la Ecuación 1 con la Ecuación II, es decir, en el punto ¨R¨ de coordenadas (40, 40) como se ilustra a continuación: 30 Es otra manera de determinar gráficamente el punto óptimo (máximo), donde se obtienen los mayores beneficios y que por supuesto, coincide con lo calculado por prueba y error Al sustituir estas coordenadas en la Función Objetivo, vemos que se alcanza una utilidad de: GRAFICA DE RESTRICCIONES Y DE FUNCION OBJETIVO 0 20 40 60 80 100 120 140 160 0 20 40 60 80 100 120 140 X 1 X 2 I II III R (40, 40) Z MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE 00 . 000 , 100 $ 000 , 60 000 , 40 ) 40 ( 1500 ) 40 ( 1000 1500 1000 2 1 = + = + = + = Z Z Z X X Z Max Esto significa que deben ofertarse 40 paquetes “Sureste Inolvidable” y 40 paquetes “Sureste Mágico”, como ya antes se había definido. GRAFICA DE SOLUCION COMPLETA POR LE METODO GRAFICO MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 31 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE PROBLEMA Núm. 4 Un dietista esta tratando de seleccionar la combinación más barata de dos tipos de alimentos concentrados “K” y “W” de importación, que deben cumplir con ciertas necesidades diarias de vitaminas para turistas adultos mayores. Los requerimientos vitamínicos diarios son de al menos 40 unidades de vitamina “A”, 50 unidades de vitamina “B” y 49 unidades de vitamina “D”. Cada onza del alimento “K” proporciona 4 unidades de vitamina “A”, 10 unidades de vitamina “B” y 7 unidades de vitamina “D”, Cada onza del alimento “W” proporciona 10 unidades de vitamina “A”, 5 unidades de “B” y 7 unidades de “D”. El alimento “K” cuesta 0.50 centavos de dólar la onza y el alimento “W” cuesta 0.80 centavos de dólar la onza. ¿Cuantas onzas de cada alimento deben utilizarse para satisfacer las necesidades vitamínicas diarias con el menor desembolso monetario? ETAPA No. 1.- FORMULACION DEL PROBLEMA Y CONSTRUCCION DEL MODELO MATEMATICO OBJETIVO (VERBAL).- Se pretende seleccionar la manera menos costosa para satisfacer las necesidades vitamínicas diarias, considerando la combinación de los alimentos “K” y “W”. RESTRICCIONES (VERBALES) 1.- Se deben consumir por lo menos 40 unidades de Vitamina A 2.- Se deben consumir por lo menos 50 unidades de Vitamina B 3.- Se deben consumir por lo menos 49 unidades de Vitamina D VARIABLES (ESTRUCTURA MATEMÁTICA) Determinar el número de onzas a elaborar de cada platillo esto define dos variables de decisión: MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 32 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE X 1 = Cantidad de onzas del alimento K X 2 = Cantidad de onzas del alimento W 33 COEFICIENTE DE LA FUNCION OBJETIVO La función objetivo se expresa en dólares y nos muestra el desembolso en que se incurre por concepto de la compra de dos alimentos, por tanto, la función objetivo deberá ser una minimización con coeficientes: C 1 = $0.50 Costo por onza de Alimento “K” C 2 = $0.80 Costo por onza de Alimento “W” Función Objetivo es: Min Z = C 1 X 1 + C 2 X 2 Min Z = 0.5X 1 + 0.8X 2 Apoyándonos ahora, en una tabla de doble entrada para facilitar la construcción del modelo matemático, asentamos la información de referencia en el problema de la siguiente forma: ALIMENTOS VITAMINAS ALIMENTO K X 1 ALIMENTO W X 2 REQUERIMIENTOS VITAMINA A VITAMINA B VITAMINA D Función Objetivo: Min Z 4 10 7 0.50 10 5 7 0.80 40 50 49 Observamos la interrelación entre los datos y determinamos el modelo matemático, al considerar que la tabla se puede re-escribir de la siguiente manera: ALIMENTOS VITAMINAS ALIMENTO K X 1 ALIMENTO W X 2 REQUERIMIENTOS VITAMINA A VITAMINA B VITAMINA D Función Objetivo: Min Z 4 X 1 10 X 1 7 X 1 0.50 X 1 10 X 2 5 X 2 7 X 2 0.80 X 2 ≥ 40 ≥ 50 ≥ 49 VARIABLES DE DECISIÓN ó INCÓGNITAS DEL PROBLEMA MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE El modelo matemático para el problema estará dado entonces por: Función Objetivo: Min Z = 0.5X 1 + 0.8X 2 Sujeto a: 4X 1 + 10X 2 > 40 ………………..I 10X 1 + 5X 2 > 50 ………………..II 7X 1 + 7X 2 > 49 ………………..III X 1 > 0, X 2 > 0 Restricciones ETAPA No. 2 GRAFICAR LAS RESTRICCIONES Y DETERMINAR EL AREA DE SOLUCIONES BASICAS FACTIBLES Obtener los parámetros para graficar cada una de las restricciones: Para restricción I ) 4 , 0 ( 4 0 ..... 40 10 4 2 1 2 1 A X X Si I X X = = = + ) 0 , 10 ( 10 0 1 2 B X X Si ⎭ ⎬ ⎫ = = Para restricción II ) 10 , 0 ( 10 0 ..... 50 5 10 2 1 2 1 C X X Si II X X = = = + ) 0 , 5 ( 5 0 1 2 D X X Si ⎭ ⎬ ⎫ = = MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 34 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE Para restricción III ) 7 , 0 ( 7 0 ..... 49 7 7 2 1 2 1 E X X Si III X X = = = + ) 0 , 7 ( 7 0 1 2 F X X Si ⎭ ⎬ ⎫ = = GRAFICA DE RESTRICCION I 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0 2 4 6 8 10 X 1 X 2 B (10, 0) ESPACIO DE SOLUCIONES A (0, 4) 12 GRAFICA DE RESTRICCION II 0 2 4 6 8 10 12 0 1 2 3 4 5 6 X 1 X 2 ESPACIO DE SOLUCIONES D (5, 0) C (0, 10) MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 35 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE GRAFICA DE RESTRICCION III 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 2 4 6 X 1 X 2 F (7, 0) ESPACIO DE SOLUCIONES E (0, 7) 8 COLOCANDO TODAS LAS RESTRICCIONES EN UN SOLO GRAFICO E IDENTIFICANDO EL AREA O ESPACIO DE SOLUCIONES SIMULTANEAS, TENEMOS: 36 GRAFICA DE TODAS LAS RESTRICCIONES 0 2 4 6 8 10 12 0 2 4 6 8 10 12 X 1 X 2 S R C (0, 10) ESPACIO DE SOLUCIONES B (10, 0) I E (0, 7) A (0, 4) II III D (5, 0) F (7, 0) ETAPA No. 3 OBTENER LA SOLUCION OPTIMA POR PRUEBA Y ERROR Considerando cada coordenada del área de soluciones básicas factibles (área sombreada de la gráfica), donde se cruzan las restricciones entre sí ó con los ejes cartesianos, se obtiene en la Función Objetivo, el resultado de la sustitución de tales coordenadas se muestra a continuación: MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE CALCULO DE ¨R¨ (Cruce de Ecuación II con Ecuación III) 4 X 140/35 X 140 35X _________ __________ 490 70X 70X -350 35X 70X - _________ __________ 49 7 7 ) 10 ( 50 5 10 ) 7 ( 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 = = = = + = − = + = + − III X X II X X L L 3 10 / 30 10 20 50 10 50 20 10 50 ) 4 ( 5 10 ....... 50 5 10 : , 4 1 1 1 1 1 2 1 2 = = − = = + = + = + = X X X X X II X X tenemos II Ecuación en X do Sustituyen R (3, 4) S (5, 2) Las coordenadas son R (3, 4) B (10, 0) CALCULO DE ¨S¨ (Cruce de Ecuación I con Ecuación III) 2 X 42 - 84/ X 84 42X _________ __________ 196 28X 28X -280 70X - 28X - _________ __________ 49 7 7 ) 4 ( 40 10 4 ) 7 ( 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 = − = − = − = + = = + = + − III X X I X X L L 5 4 / 20 20 40 4 40 20 4 40 ) 2 ( 10 4 ....... 40 10 4 : , 2 1 1 1 1 1 2 1 2 = = − = = + = + = + = X X X X X I X X tenemos I Ecuación en X do Sustituyen Las coordenadas son S (5, 2) MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 37 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE 38 GRAFICA DE TODAS LAS RESTRICCIONES 0 2 4 6 8 10 12 0 2 4 6 8 10 12 X 1 X 2 C (0, 10) ESPACIO DE SOLUCIONES E (0, 7) A (0, 4) R (3, 4) S (5, 2) B (10, 0) I II III D (5, 0) F (7, 0) Los cruces de las restricciones entre si y con los ejes cartesianos dentro del Espacio de Soluciones, constituyen los puntos de solución factible, los cuales al sustituirlos en la Función Objetivo, nos permitirán identificar cual de ellos alcanza el valor máximo, es decir, el valor optimo SUSTITUYENDO CADA UNA DE LAS COORDENADAS EN LA FUNCION OBJETIVO TENEMOS Punto C (0, 10) Punto R (3, 4) Implica: ninguna onza de alimento “K” y 10 onzas de alimento “W” Implica: 3 onzas de alimento “K” y 4 onzas de alimento “W” to de dólares Z Z Z X X Z Min cos 00 . 8 $ 8 0 ) 10 ( 8 . 0 ) 0 ( 5 . 0 8 . 0 5 . 0 2 1 = + = + = + = to de dólares Z Z Z X X Z Min cos 70 . 4 $ 2 . 3 5 . 1 ) 4 ( 8 . 0 ) 3 ( 5 . 0 8 . 0 5 . 0 2 1 = + = + = + = Punto S (5, 2) Punto B (10, 0) Implica: 5 onzas de alimento “K” y 2 onzas de alimento “W” Implica: 10 onzas de alimento “K” y ninguna de alimento “W” to de dólares Z Z Z X X Z Min cos 10 . 4 $ 6 . 1 5 . 2 ) 2 ( 8 . 0 ) 5 ( 5 . 0 8 . 0 5 . 0 2 1 = + = + = + = <<<OPTIMO>>> to de dólares Z Z Z X X Z Min cos 00 . 5 $ 0 5 ) 0 ( 8 . 0 ) 10 ( 5 . 0 8 . 0 5 . 0 2 1 = + = + = + = MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE Se obtiene el menor costo de $ 4.10, utilizando 5 onzas del alimento “K” y 2 onzas del alimento “W” Grafiquemos ahora la Función Objetivo Elegimos de manera arbitraria un número, por ejemplo el 6 para la igualdad de la Función Objetivo, como primera aproximación: ) 5 . 7 , 0 ( 5 . 7 0 6 8 . 0 5 . 0 2 1 2 1 G X X Si X X Z Min = = = + = ) 0 , 12 ( 12 0 1 2 H X X Si = = Observamos a continuación la Gráfica de la Función Objetivo preliminar en líneas punteadas: GRAFICA DE RESTRICCIONES Y DE FUNCION OBJETIVO 0 2 4 6 8 10 12 0 2 4 6 8 10 12 14 X 1 X 2 I II III Z C (0, 10) E (0, 7) F (7, 0) A (0, 4) D (5, 0) R (3, 4) S (5, 2) B (10, 0) Ahora desplacemos paralelamente la Gráfica de la Función Objetivo “cuesta abajo”, porque se trata de una minimización, hasta el mínimo punto donde tenga contacto con el Espacio de Soluciones, es decir, hasta el punto más cercano al origen pero dentro del espacio de soluciones, esto será generalmente en alguno de los cruces de las restricciones entre sí o con los ejes cartesianos; en este caso es donde se el cruza la Ecuación I con la Ecuación III, es decir, en el punto ¨S¨ de coordenadas (5, 2) como se ilustra a continuación: MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 39 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE 40 Es otra manera de determinar gráficamente el punto óptimo (mínimo), donde se obtienen los menores costos y que por supuesto, coincide con lo calculado por prueba y error Al sustituir estas coordenadas en la Función Objetivo, vemos que se determina un costo de: to de dólares Z Z Z X X Z Min cos 10 . 4 $ 6 . 1 5 . 2 ) 2 ( 8 . 0 ) 5 ( 5 . 0 8 . 0 5 . 0 2 1 = + = + = + = Esto significa emplear 5 onzas del alimento “K” y 2 onzas del alimento “W”, para cumplir con los requerimientos al menor costo, como antes ya habíamos visto. GRAFICA DE RESTRICCIONES Y DE FUNCION OBJETIVO 6 8 10 12 12 14 I II 0 2 4 0 2 4 6 8 10 X 1 X 2 III Z OPTIMO S (5, 2) Z MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE GRAFICA DE SOLUCION COMPLETA POR EL METODO GRAFICO MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 41 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE PROBLEMA Núm. 5 En el Restaurante del Hotel “Xalpa” de Ciudad Victoria, se acostumbra preparar la carne para albondigón con una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo, ambas de importación. La carne molida de res contiene 20% de grasa, 12% de proteína y le cuesta al restaurante $8.00 por libra La carne molida de cerdo contiene 32% de grasa, y 20% de proteína y le cuesta al restaurante $6.00 por libra. ¿Que cantidad de cada tipo de carne debe usar el restaurante en cada libra de albondigón; si se desea minimizar el costo, manteniendo el contenido de grasa en no mas del 25% y manteniendo el contenido de proteína en no menos del 15%? SOLUCION DEL PROBLEMA ETAPA No. 1.- FORMULACION DEL PROBLEMA Y CONSTRUCCION DEL MODELO MATEMATICO OBJETIVO (VERBAL).- Se desea determinar cuanta carne molida de res y cuanta carne molida de cerdo deben utilizarse en cada libra de albondigón para obtener el menor costo posible, por tanto se trata de una minimización RESTRICCIONES (VERBALES) 1.- El contenido de grasa debe ser cuando mas del 25% 2.- El contenido de proteínas debe ser cuando menos del 15% 3.- La suma de los dos tipos de carne molida de res y de cerdo deben dar una libra de albondigón VARIABLES ( ESTRUCTURA MATEMÁTICA) Para representar las variables de decisión (o incógnitas del problema) se establece que: X 1 = Cantidad de carne molida de res VARIABLES DE DECISIÓN ó INCÓGNITAS DEL PROBLEMA X 2 = Cantidad de carne molida de cerdo MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 42 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE COEFICIENTES DE LA FUNCION OBJETIVO (Z) La función objetivo se expresa en dólares y representa minimizar los costos de cada tipo de carne molida, por tanto se establece que: C 1 = $8 = costo por libra de carne molida de res C 2 = $6 = costo por libra de carne molida de cerdo Función Objetivo: Max Z = C 1 X 1 + C 2 X 2 Max Z = 8X 1 + 6X 2 Apoyándonos ahora, en una tabla de doble entrada para facilitar la construcción del modelo matemático, asentamos la información de referencia en el problema de la siguiente forma: TIPO DE CARNE CONTENIDO Carne Molida de Res X 1 Carne Molida de Cerdo X 2 Restricciones GRASA PROTEINA COMBINACION Función Objetivo: Min Z 20 12 X 1 $8 32 20 X 2 $6 25 15 1 Observamos la interrelación entre los datos y determinamos el modelo matemático, al considerar que la tabla se puede re-escribir de la siguiente manera: TIPO DE CARNE CONTENIDO Carne Molida de Res X 1 Carne Molida de Cerdo X 2 Restricciones GRASA PROTEINA COMBINACION Función Objetivo: Min Z 20 X 1 12 X 1 X 1 $8 X 1 32 X 2 20 X 2 X 2 $6 X 2 ≤ 25 ≥ 15 = 1 MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 43 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE El modelo matemático para el problema estará dado entonces por: Función Objetivo: Min Z = 8X 1 + 6X 2 Sujeto a: Restricciones 0 , 0 ...... .......... 1 ........ 15 20 12 ....... 25 32 20 2 1 2 1 2 1 2 1 ≥ ≥ = + ≥ + ≤ + X X III X X II X X I X X ETAPA No. 2 GRAFICAR LAS RESTRICCIONES Y DETERMINAR EL AREA DE SOLUCIONES BASICAS FACTIBLES Obtener los parámetros para graficar cada una de las restricciones: Para la restricción I ) 78 . 0 , 0 ( 78 . 0 32 25 0 .......... 25 32 20 2 1 2 1 A X X Si I X X ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = = = = + ) 0 , 25 . 1 ( 25 . 1 20 25 0 1 2 B X X Si ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = = Para la restricción II ) 75 . 0 , 0 ( 75 . 0 20 15 0 . .......... 15 20 12 2 1 2 1 C X X Si II X X ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = = = = + ) 0 , 25 . 1 ( 25 . 1 12 15 0 1 2 D X X Si ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = = = Para la restricción III ) 1 , 0 ( 1 0 .... .......... 1 2 1 2 1 E X X Si III X X ⎭ ⎬ ⎫ = = = + ) 0 , 1 ( 1 0 1 2 F X X Si ⎭ ⎬ ⎫ = = MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 44 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE COLOCANDO TODAS LAS RESTRICCIONES EN UN SOLO GRAFICO E IDENTIFICANDO EL AREA O ESPACIO DE SOLUCIONES SIMULTANEAS, TENEMOS: GRAFICA DE RESTRICCION I 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 X 1 X 2 A (0, 0.78) ESPACIO DE SOLUCIONES B (1.25, 0) GRAFICA DE RESTRICCION II 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 X 1 X 2 D (1.25, 0) C (0, 0.75) ESPACIO DE SOLUCIONES GRAFICA DE RESTRICCION III 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 X 1 X 2 E (0, 1) F (1, 0) EL ESPACIO DE SOLUCIONES DE LA RESTRICCION III ESTA SOBRE LA LINEA RECTA MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 45 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE COLOCANDO TODAS LAS RESTRICCIONES EN UN SOLO GRAFICO E IDENTIFICANDO EL AREA O ESPACIO DE SOLUCIONES SIMULTANEAS, TENEMOS: GRAFICA DE TODAS LAS RESTRICCIONES 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 0.5 1 1.5 X 1 X 2 I II III B,D (1.25, 0) F (1, 0) S R E (0, 1) C (0, 0.75) A (0, 0.78) En este caso, el espacio de soluciones simultáneas, es decir, donde convergen a su vez todos los espacios de soluciones de las tres restricciones, esta sobre la línea recta que representa a la Restricción III, entre la pequeña franja al centro, en el segmento donde se cruza con la Restricción I por un lado y donde se cruza con la Restricción II, ETAPA No. 3 OBTENER LA SOLUCION OPTIMA POR PRUEBA Y ERROR Considerando cada coordenada del área de soluciones básicas factibles (área sombreada de la gráfica), donde se cruzan las restricciones entre sí ó con los ejes cartesianos, se obtiene en la Función Objetivo, el resultado de la sustitución de tales coordenadas como se muestra a continuación: MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 46 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE CALCULO DE ¨R¨ (Cruce de Ecuación III con Ecuación I) 4167 . 0 12 5 5 12 20 20 20 25 32 20 ......... 1 ) 20 ( ........ 25 32 20 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 = = = − = − − = + = + − = + X X X X X X X III X X I X X Sustituyendo X 2 = 0.4167 en la Ecuación I, se tiene: 5833 . 0 20 667 . 11 667 . 11 20 334 . 13 25 20 25 334 . 13 20 25 ) 4167 . 0 ( 32 20 25 32 20 1 1 1 1 1 1 2 1 = = = − = = + = + = + X X X X X X I X X K K Las coordenadas del punto “R” son: (0.5833, 0.4167) CALCULO DE ¨S¨ (Cruce de Ecuación III con Ecuación II) 375 . 0 8 3 3 8 12 12 12 15 20 12 ..... 1 ) 12 ( ..... 15 20 12 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 = = = − = − − = + = + − = + X X X X X X X III X X II X X Sustituyendo X 2 = 0.38 en Ecuación III, se tiene: 625 . 0 38 . 0 1 1 38 . 0 ......... 1 1 1 1 2 1 = − = = + = + X X X III X X Las coordenadas del punto “S” son: (0.625, 0.375) MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 47 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE GRAFICA DE TODAS LAS RESTRICCIONES 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 0.5 1 1.5 X 1 X 2 I II III S (0.625, 0.375) R (0.58, 0.42) F (1, 0) B,D (1.25, 0) E (0, 1) C (0, 0.75) A (0, 0.78) Aquí las posibles soluciones están solo en dos opciones: el cruce entre la Restricción III con la I, representada por “R” ó el cruce entre la Restricción III con la II, representada por “S”. SUSTITUYENDO CADA UNA DE LAS COORDENADAS EN LA FUNCION OBJETIVO TENEMOS Punto R (0.5833, 0.4167) 17 . 7 $ 5 . 2 6664 . 4 ) 4167 . 0 ( 6 ) 5833 . 0 ( 8 6 8 2 1 = + = + = + = Z Z Z X X Z Min <<<OPTIMO>>> Punto S (0.625, 0.375) 25 . 7 $ 28 . 2 96 . 4 ) 375 . 0 ( 6 ) 625 . 0 ( 8 6 8 2 1 = + = + = + = Z Z Z X X Z Min Se concluye que el punto “R” es donde se obtienen las menores costos, debiendo incorporarse 0.58 libras de carne molida de res y 0.42 libras de carne molida de cerdo, para de esa manera obtener el costo más bajo, es decir, $7.17 dólares para elaborar una libra de albondigón. MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 48 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE Grafiquemos ahora la Función Objetivo Elegimos de manera arbitraria un número, por ejemplo el 6 para la igualdad de la Función Objetivo, como primera aproximación: Min Z = 8X 1 + 6X 2 = 6 Si X 1 = 0 Si X 2 = 0 X 2 = 1 X 1 = 0.75 G (0, 1) H (0.75, 0) Observamos a continuación la Gráfica de la Función Objetivo preliminar en líneas punteadas de color rojo 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 0.5 1 1.5 X 1 X 2 I II III Z GRAFICA DE RESTRICCIONES Y DE FUNCION OBJETIVO E (0, 1) A (0, 0.78) C (0, 0.75) R (0.58, 0.42) S (0.62, 0.38) B,D (1.25, 0) Z F (1, 0) Ahora desplacemos paralelamente la Gráfica de la Función Objetivo “cuesta abajo” por tratarse de una minimización, hasta el mínimo punto donde tenga contacto con el Espacio de Soluciones, esto será generalmente en alguno de los cruces de las restricciones entre sí o con los ejes cartesianos; en este caso es donde se el cruza la Ecuación III con la Ecuación I, es decir, en el punto ¨R¨ de coordenadas (0.58, 0.42) como se ilustra a continuación: MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 49 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 0.5 1 1.5 X 1 X 2 I II III Z GRAFICA DE RESTRICCIONES Y DE FUNCION OBJETIVO Z OPTIMO R (0.58, 0.42) Es otra manera de determinar gráficamente el punto óptimo (máximo), donde se obtienen los mayores beneficios y que por supuesto, coincide con lo calculado por prueba y error Al sustituir estas coordenadas en la Función Objetivo, vemos que se obtiene el menor costo: 17 . 7 $ 5 . 2 6664 . 4 ) 4167 . 0 ( 6 ) 5833 . 0 ( 8 6 8 2 1 = + = + = + = Z Z Z X X Z Min Esto significa que debe componerse el albondigón de 0.58 libras de carne molida de res y 0.42 libras de carne molida de cerdo, para de esa manera obtener el costo más bajo, es decir, $7.17 dólares. MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 50 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE GRAFICA DE SOLUCION COMPLETA POR EL METODO GRAFICO MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 51 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE 3.4 Casos especiales Nos vamos a encontrar con problemas que son especiales, por diversas razones, los cuales podrían tener un error en el planteamiento o efectivamente estar en alguna de las situaciones descritas a continuación. Soluciones múltiples: Cuando la Función Objetivo es paralela a una restricción, como se ilustra en la siguiente grafica: -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X 2 X 1 Función Objetivo Problemas sin solución: ocurren cuando los espacios de solución de cada una de las restricciones no se intersectan entre sí: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X 2 X 1 Espacio de soluciones Espacio de soluciones MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 52 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE Soluciones no acotadas: Se presenta esta situación cuando en un problema no se delimita apropiadamente cada restricción, como se ilustra a continuación: 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 X1 X 2 4 AREA DE SOLUCIONES FACTIBLES (NO ACOTADA) MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 53 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE 3.5 La dualidad y los precios sombra (análisis preliminar) LA SIMETRÍA EN LA PROGRAMACIÓN LINEAL Todo problema de programación lineal esta asociado con un problema complementario llamado dual. Para distinguir entre estos dos problemas, al problema original se le denomina primal. Si el problema primal trata de maximizar, entonces el problema dual será minimizar y viceversa. Veamos un ejemplo para comprobar como se formula, resuelve e interpreta el dual. CASO 1 Un fabricante tiene dos recursos disponibles: R 1 y R 2 . Estos recursos pueden usarse para producir dos productos diferentes “A” y “B”, de acuerdo con la siguiente regla: Para producir “A” se emplean 1 unidad de R 1 y 4 unidades de R 2 ; para producir “B” se emplean 1 unidad de R 1 y 2 unidades de R 2 . El fabricante cuenta con 3 unidades de R 1 y 8 unidades de R 2 . Recibe una ganancia por unidad de “A” de $3.50 y por unidad de “B” de $2.50. ¿Cuantas unidades de “ A” y “ B” debe producir para maximizar sus ganancias? SOLUCION POR EL METODO GRAFICO PRIMAL Apoyándonos en una tabla de doble entrada se tiene: PRODUCTO RECURSO Producto “ A” X 1 Producto “ B” X 2 RESTRICCIONES R 1 R 2 Función Objetivo: Max Z 1 4 $3.50 1 2 $2.50 3 8 MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 54 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE Re-escribiendo la tabla considerando las interrelaciones existentes, tenemos: PRODUCTO RECURSO Producto “ A” X 1 Producto “ B” X 2 RESTRICCIONES R 1 R 2 Función Objetivo: Max Z X 1 4 X 1 $3.50 X 1 X 2 2 X 2 $2.50 X 2 ≤3 ≤8 55 El Modelo Matemático de Programación Lineal quedará dado por Max Z = 3.5X 1 +2.5X 2 . . . . . . . . . . . PRIMAL Sujeto a: X 1 + X 2 ≤ 3............I 4X 1 + 2X 2 ≤ 8............II X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0 GRAFICA DE SOLUCION COMPLETA DEL PRIMAL A (0, 3) S (1, 2) D (2, 0) MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE DUAL La simetría de los problemas de programación lineal puede ilustrarse colocando los coeficientes del modelo en una matriz o tabla de doble entrada como se hizo al principio del problema. La tabla tiene renglones y columnas que pueden invertirse. Rotamos la tabla dándole vuelta 90 0 grados en sentido opuesto a las manecillas del reloj. Los resultados son: DESPUÉS DE LA ROTACIÓN DE 90º GRADOS 3 8 B A 1 1 R 1 2 4 R 2 2.5 3.5 Reescribiendo la tabla tenemos: 3r 1 8r 2 1r 1 1r 1 2r 2 4r 2 ≥ 2.5 ≥ 3.5 Esto representa el DUAL, donde los coeficientes de la Función Objetivo están ahora arriba. Puede re-escribirse en forma directa el modelo general para este problema. Solo se necesitan nuevas letras para las variables. Entonces el problema puede quedar de la siguiente manera: Min Z = 3r 1 + 8r 2 . . . . . . . . . . . DUAL Sujeto a: r 1 +2r 2 ≥ 2.5....................I r 1 +4r 2 ≥ 3.5……………..II r 1 ≥ 0 , r 2 ≥ 0 Nótese que las restricciones son ahora del tipo ≥ y la Función Objetivo es para minimizar, lo contrario que plantea el problema inicial (el PRIMAL). MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 56 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE La minimización nos lleva al siguiente resultado: GRAFICA DE SOLUCION COMPLETA DEL DUAL NOTESE Que El resultado nos muestra que el valor “Z” de la Maximización del Primal y el valor “Z” de la Minimización del Dual es el mismo, 8.5, este valor recibe el nombre de Precio Sombra, en tanto que los coeficientes resultantes en la Función Objetivo del Dual reciben el nombre de Costos de Oportunidad INTERPRETACION DEL PROBLEMA DUAL El problema dual puede entenderse reinterpretando el problema original. Supóngase que el fabricante prefiere vender directamente al mercado los dos recursos R 1 y R 2 en lugar de usarlos para fabricar los productos “A” y “B”. Los recursos tienen un valor, puesto que pueden usarse para crear productos que luego se comercializarán. Pero, aun cuando se conoce el valor unitario de los productos, no se conoce el valor unitario de los recursos. Esto es lo que se quiere encontrar. MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 57 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE ¿Cuánto debe cobrarse por los recursos si tuviesen que venderse directamente? Por supuesto, en un mercado libre los recursos deben venderse en la cantidad más alta que el mercado acepte. Sin embargo, existe un precio mínimo abajo del cual le conviene mas al fabricante usar los recursos para los productos “A” y “B” que venderlos directamente. Para analizar esta situación consideremos L 1 y L 2 como los precios unitarios de los recursos r 1 y r 2 , respectivamente. La cantidad total recibida de la venta directa de los dos recursos seria L 1 r 1 + L 2 r 2 . Como lo que se busca es determinar el precio mínimo que se debe cobrar por estos recursos, la Función Objetivo es: Min Z = L 1 r 1 + L 2 r 2 Min Z = 3r 1 + 8r 2 Como se menciono antes, seria un error vender los recursos por menos de lo que puede obtenerse al usarlos en la fabricación de los productos “A” y “B”. El precio de cada producto proporciona un límite inferior o una restricción sobre el precio del recurso. El resultado de la minimización en el Dual, es decir, 8.50 es llamado Precio Sombra y es el mismo resultado que en el Primal. Vemos entonces, que r 1 =1.5 llamado Costo de Oportunidad de r 1 , porque significa que el fabricante puede aumentar su ganancia total en $1.50 si dispone de una Unidad Adicional de r 1 , es decir, si de 3 pasara a 4, lo cual a su vez, implicaría que Z sería igual a $10 en vez de los $8.50 originales (8.50 + 1.50), si permanece invariable r 2 También significa que $1.50 es el precio máximo que debe pagar el fabricante por una Unidad Adicional del Recurso r 1 r 2 =0.50, significa el Costo de Oportunidad de r 2 , que aumentaría la ganancia Z, en 0.50 si dispone de una Unidad Adicional de r 2 , es decir, si de 8 pasara a 9, implicaría que Z sería igual a $9.00 en vez de los $8.50 originales (8.50 + 0.50), si permanece invariable r 1 . MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 58 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE CASO 2 Un fabricante tiene dos recursos disponibles: Q 1 y Q 2 . Estos recursos pueden usarse para producir dos productos diferentes “M” y “N”, de acuerdo con la siguiente regla: Para producir “M” se emplean 7 unidad de Q 1 y 10 unidades de Q 2 ; para producir “N” se emplean 7 unidad de Q 1 y 5 unidades de Q 2 . El fabricante cuenta con 49 unidades de Q 1 y 50 unidades de Q 2 . Recibe una ganancia por unidad de “M” de $7 y por unidad de “N” de $10. ¿Cuantas unidades de “ M” y “ N” debe producir para maximizar sus ganancias? SOLUCION POR EL METODO GRAFICO PRIMAL Apoyándonos en una tabla de doble entrada se tiene: PRODUCTO RECURSO Producto “ M” X 1 Producto “ N” X 2 RESTRICCIONES Q 1 Q 2 Función Objetivo: Max Z 7 10 $7 7 5 $10 49 50 Re-escribiendo la tabla considerando las interrelaciones existentes, tenemos: PRODUCTO RECURSO Producto “ M” X 1 Producto “ N” X 2 RESTRICCIONES Q 1 Q 2 Función Objetivo: Max Z 7 X 1 10 X 1 $7 X 1 7 X 2 5 X 2 $10 X 2 ≤ 49 ≤ 50 MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 59 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE El Modelo Matemático de Programación Lineal quedará dado por Max ………… PRIMAL 2 1 10 7 X X Z = + Sujeto a: 60 0 , 0 ..... 50 5 10 ..... 49 7 7 2 1 2 1 2 1 ≥ ≥ ≤ + ≤ + X II X X I X X X SOLUCION POR EL METODO GRAFICO: GRAFICA DE SOLUCION COMPLETA DEL PRIMAL MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE DUAL DESPUÉS DE LA ROTACIÓN DE 90º GRADOS 49 50 N M 7 7 R 1 5 10 R 2 10 7 49r 1 50r 2 7r 1 7r 1 5r 2 10r 2 ≥ 10 ≥ 7 Min Z = 49r 1 + 50r 2 . . . . . . . . . . . DUAL Sujeto a: 7r 1 +5r 2 ≥ 10....................I 7r 1 +10r 2 ≥ 7……………..II r 1 ≥ 0 , r 2 ≥ 0 Nótese que las restricciones son ahora del tipo ≥ y la Función Objetivo trata de minimizar. La minimización nos lleva al siguiente resultado: GRAFICA DE SOLUCION COMPLETA DEL DUAL MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 61 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE INTERPRETACION ECONOMICA DEL PROBLEMA DUAL El resultado de la minimización en el Dual, es decir 70, es llamado Precio Sombra y es el mismo resultado que en el Primal. Vemos entonces, que r 1 =1.43 llamado Costo de Oportunidad de r 1 , significa que el fabricante puede aumentar su ganancia total en $1.43 si dispone de una Unidad Adicional de r 1 , es decir, si de 49 pasara a 50, esto implicaría que Min Z sería $71.43 en vez de los $70 originales (porque 70 + 1.43 = 71.43), considerando que permanece invariable r 2. También significa que $1.43 es el precio máximo que debe pagar el fabricante por una Unidad Adicional del Recurso r 1 r 2 =0, es llamado el Costo de Oportunidad de r 2 , significa por ser cero, que no impacta en la ganancia Min Z MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 62 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE Limitaciones de Método Gráfico Para dos variables es posible visualizar en un gráfico la solución del óptimo y realizar los análisis de sensibilidad tanto a restricciones como a los coeficientes de la Función Objetivo, sin embargo, para el Método Dual, si el numero de variables se incrementa al rotar la tabla de doble entrada, ya no será posible visualizar los resultados gráficamente, por tales limitaciones, solo es un paso ilustrativo para entender y comprobar el METODO SIMPLEX, que veremos mas adelante, en Módulo. MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 63 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE 3.6 Problemas propuestos A. Una empresa produce dos artículos turísticos promocionales “A” y “B” para Hoteles. La elaboración de una unidad del articulo A se lleva $20.00 de mano de obra y la de una unidad del articulo B se lleva $10.00 de mano de obra. De materia prima se utilizan $10.00 por unidad de A y $30.00 por unidad de B. El desgaste del equipo se supone proporcional a la producción y es $5.00 por cada unidad de A y de $1.00 por unidad de B. La utilidad por unidad de artículo es de $8.00 para A y $5.00 para B. Si solamente se cuenta con $100,000 para salario, $180,000 para materia prima y no se quiere que el desgaste de los equipos supere los $40,000, ¿Cuál es la cantidad que se debe producir de cada artículo para obtener las utilidades más altas posibles? B. Un fabricante está tratando decidir sobre las cantidades de producción para dos artículos: mesas y sillas especiales para restaurantes en costas a base de bambú. Se cuentan con 96 unidades de material y con 72 horas de mano de obra. Cada mesa requiere 12 unidades de material y 6 horas de mano de obra. Por otra parte, las sillas usan 8 unidades de material cada una y requieren 12 horas de mano de obra por silla. El margen de contribución es el mismo para las mesas que para las sillas: $5.00 por unidad. El fabricante prometió construir por lo menos 2 mesas por mes ¿Cuántas mesas y cuantas sillas deberá producir para obtener las mayores utilidades? C. Un dietista en un restaurante esta tratando de seleccionar la combinación más barata de dos tipos de alimentos “A” y “B”, que deben cumplir con ciertas necesidades diarias de vitaminas para turistas adultos mayores. Los requerimientos vitamínicos diarios son de al menos 40 unidades de vitamina “W”, 50 unidades de vitamina “X” y 49 unidades de vitamina “Y”. Cada onza del alimento “A” proporciona 4 unidades de vitamina “W”, 10 unidades de vitamina “X” y 7 unidades de vitamina “Y”, Cada onza del alimento “B” proporciona 10 unidades de vitamina “W”, 5 unidades de “X” y 7 unidades de “Y”. El alimento “A” cuesta 0.50 centavos de dólar la onza y el alimento “B” cuesta 0.80 centavos de dólar la onza. ¿Cuantas onzas de cada alimento deben utilizarse para satisfacer las necesidades vitamínicas diarias con el menor desembolso monetario? D. Una empresa dedicada a la limpieza en Hoteles, prepara sus propias soluciones mezclando dos ingredientes importados: “A” y “B”: Esto lo hace para obtener una solución combinada apropiada de fosfatos y cloruro. El ingrediente “A” tiene 5% de fosfato y 2% de cloruro y cuesta $0.25 centavos la onza. El ingrediente “B” tiene 7% de fosfato y 1% de cloruro y cuesta $0.20 centavos la onza. La empresa necesita que la mezcla final tenga no mas del 6% de fosfatos y no mas del 1.5% de cloruro. ¿Cuántas onzas de cada ingrediente debe mezclar para formar la solución apropiada al menor costo? E. Una fábrica de automóviles y camiones consta de los departamentos que a continuación se enumeran: 1.- Estampado de planchas metálicas 2.- Armado de motores 3.- Montaje de automóviles 4.- Montaje de camiones MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 64 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE El Departamento 1 puede estampar, por mes las planchas necesarias para 25,000 automóviles ó 35,000 camiones ó las correspondientes combinaciones de autos y camiones. El Departamento 2 puede armar por mes 33,000 motores de autos ó 16,000 motores de camión ó sus correspondientes combinaciones de autos y camiones. El Departamento 3 puede montar y terminar 22,500 automóviles y el Departamento 4 puede montar y terminar 15,000 camiones. Si cada automóvil deja una utilidad de $300.00 dólares y cada camión de $250.00 dólares ¿Qué cantidades de automóviles y camiones deben producirse para obtener las mayores utilidades? F. La compañía “Pegasus” de carga aérea desea maximizar los ingresos que obtiene por la carga que transporta. La compañía tiene un solo avión diseñado para transportar dos clases de carga: carga frágil y carga normal. La compañía no recibe pago extra por transportar carga frágil, sin embargo, para asegurar ciertos contratos de negocios, la compañía a acordado transportar cuando menos 5 toneladas de carga frágil. Este tipo de carga debe llevarse en una cabina presurizada, mientras que la carga normal debe llevarse en una cabina normal, no presurizada. La cabina presurizada no puede llevar más de 10 toneladas de carga y la cabina normal 20 toneladas. El avión tiene una restricción de peso que le impide llevar más de 28 toneladas de carga. Para mantener el equilibrio de peso la carga de la cabina presurizada debe ser menor o igual que 2/3 de la cabina principal, mas una tonelada. La compañía recibe $1,000 por tonelada de cualquiera de los dos tipos de carga que transporta ¿cuantas toneladas de cada tipo de carga debe transportar el avión para obtener las mayores utilidades y mantener el equilibrio del avión? G. Desde hace muchos años la agencia de viajes “Tur Mundo” se ha especializado en elaborar 2 tipos de paquetes turísticos: 1) “Acapulco de ensueño” y 2) “Exótico Puerto Vallarta”. Cada paquete para Acapulco utiliza 80 dólares por concepto de servicios hoteleros, 200 dólares para transportación y 50 dólares para alimentos e impuestos. Cada paquete a Puerto Vallarta utiliza 70 dólares por servicios hoteleros, 100 dólares para transportación y 60 dólares para alimentos e impuestos. El beneficio por unidad de paquete es de 40 dólares para Acapulco y de 35 dólares para puerto Vallarta. El departamento de comercialización y ventas pronostica que en la próxima temporada vacacional pueden venderse cuando mucho 450 paquetes para Acapulco y no mas de 350 paquetes a puerto Vallarta. Si la agencia tiene una línea de crédito de únicamente 56,000 dólares para servicios hoteleros, solo 100,000 dólares para transportación y 30,000 dólares para alimentos e impuestos. ¿Cuántos paquetes de cada tipo debe armar y vender para obtener las mayores utilidades? H. Una empresa produce colorantes para interiores y exteriores especiales para pinturas de hoteles en lugares húmedos, que se distribuyen al mayoreo. Se utilizan dos materiales básicos “A” y “B” , para producir las pinturas. La disponibilidad máxima de “A” es de 6 toneladas mensuales, la de “B” es de 8 toneladas por mes. Los requisitos mensuales de materia prima por tonelada de pintura para interiores y exteriores se resume como sigue: Colorantes para Pintura: Disponibilidad EXTERIOR INTERIOR Máxima (ton.) Materia Prima A 1 2 6 Materia Prima B 2 1 8 Un estudio de mercado determinó que la demanda mensual de pintura para interiores no puede ser mayor que la de pinturas para exteriores en más de una tonelada. El mismo estudio señala que la demanda máxima de pintura para interiores está limitada a 2 toneladas por mes. El precio en miles de pesos, al mayoreo por tonelada es de $3 para la MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 65 http://omlay.iespana.es Apuntes sobre Investigación de Operaciones MIGUEL GONZÁLEZ HIPÓLITO y OSCAR MAYO LEYTTE pintura de exteriores y $2 para la pintura de interiores. ¿Cuanta pintura para exteriores e interiores debe producir la empresa mensualmente para maximizar su ingreso? MODULO PROGRAMACION LINEAL: Método Gráfico 66 http://omlay.iespana.es