Problemas Tema2 SyC

SISTEMAS Y CIRCUITOS ~ PROBLEMASCurso Académico 2009−2010 1 Problemas Tema 2: Sistemas PROBLEMA 1. Dados los siguientes sistemas en tiempo continuo y las señales de entrada indicadas, determine las señales de salida correspondientes: a) Sistema T 1 : ( ) ( ) t x t y = y señal de entrada: ( ) ( ) { } ( ) 1 1 1 1 − − = − − t u e t x t . b) Sistema T 1 : ( ) ( ) t x t y = y señal de entrada: ( ) ( ) { } ( ) { } ) 3 ( 1 ) 3 ( 1 2 − − − + + − + = t u t u t u t u t x . c) Sistema T 2 : ( ) ( ) dt t dx t y = y señal de entrada: ( ) t e t x − = 3 . d) Sistema T 2 : ( ) ( ) dt t dx t y = y señal de entrada: ( ) ( ) ( ) 2 1 4 − Λ + − Λ = t t t x . PROBLEMA 2. Dados los siguientes sistemas en tiempo discreto y las señales de entrada indicadas, determine las señales de salida correspondientes: a) Sistema T 1 : [ ] [ ] ∑ −∞ = = n k k x n y y señal de entrada: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 1 2 3 1 2 2 1 − + − − + + − + = n n n n n n x δ δ δ δ δ . b) Sistema T 2 : [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ¹ ´ ¦ > + + ≤ = 0 , 2 0 , 0 n x n x n x n x n y y señal de entrada: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]. 4 2 2 1 2 3 2 − + − − + + + − = n u n u n u n u n x . PROBLEMA 3. Considere la siguiente interconexión de sistemas: en la que T 1 : y(t) = 2x(t-2); T 2 : y(t) = dx(t)/dt y T 3 : y(t) = x(-t+1) a) Determine la relación entre la entrada x(t) y la salida y(t). b) Calcule la salida cuando la entrada es x(t) = u(t). PROBLEMA 4. Considere la siguiente interconexión de sistemas: en la que T 1 : y[n] = x[n-1]; T 2 : y[n] = x[n+5] y T 3 : y[n] =x[n]-3 a) Determine la relación entre la entrada x[n] y la salida y[n]. T 1 T 3 y(t) x(t) + T 2 y[n] x[n] + T 1 T 3 T 2 SISTEMAS Y CIRCUITOS ~ PROBLEMAS Curso Académico 2009−2010 2 PROBLEMA 5. Considere un sistema discreto con entrada [ ] n x y salida [ ] n y . La relación entrada−salida para este sistema es [Prob. 1.16 del Oppenheim]: [ ] [ ] [ ] 2 − ⋅ = n x n x n y a) ¿El sistema es sin memoria? b) Determine la salida del sistema cuando la entrada es [ ] n A δ ⋅ , donde “A” es un número real o complejo. c) ¿El sistema es invertible? PROBLEMA 6. Considere un sistema continuo con entrada ( ) t x y salida ( ) t y , estando relacionadas mediante [Prob. 1.17 del Oppenheim]: ( ) ) sen( ) ( t x t y = a) ¿El sistema es causal? b) ¿El sistema es lineal? PROBLEMA 7. Determine (argumentando la respuesta) qué propiedades (sin memoria, invariante en el tiempo, lineal, causal, estable) cumplen los siguientes sistemas continuos [Prob. 1.27 del Oppenheim]: a) ) 2 ( ) 2 ( ) ( t x t x t y − + − = b) [ ] ) ( ) 3 cos( ) ( t x t t y ⋅ = c) ∫ ∞ − ⋅ = t d x t y 2 ) ( ) ( τ τ d) ¹ ´ ¦ ≥ − + < = 0 : ) 2 ( ) ( 0 : 0 ) ( t t x t x t t y e) ¹ ´ ¦ ≥ − + < = 0 ) ( : ) 2 ( ) ( 0 ) ( : 0 ) ( t x t x t x t x t y f) | ¹ | \ | = 3 ) ( t x t y g) dt t dx t y ) ( ) ( = PROBLEMA 8. Determine (argumentando la respuesta) qué propiedades (sin memoria, invariante en el tiempo, lineal, causal, estable) cumplen los siguientes sistemas discretos [Prob. 1.28 del Oppenheim]: a) [ ] [ ] n x n y − = b) [ ] [ ] [ ] 8 2 2 − ⋅ − − = n x n x n y c) [ ] [ ] n x n n y ⋅ = d) [ ] [ ] { } 1 − = n x Par n y e) [ ] [ ] [ ] ¦ ¹ ¦ ´ ¦ − ≤ + = ≥ = 1 : 1 0 : 0 1 : n n x n n n x n y f) [ ] [ ] [ ] ¦ ¹ ¦ ´ ¦ − ≤ = ≥ = 1 : 0 : 0 1 : n n x n n n x n y g) [ ] [ ] 1 4 + = n x n y SISTEMAS Y CIRCUITOS ~ PROBLEMAS Curso Académico 2009−2010 3 PROBLEMA 9. Determine si cada uno de los siguientes sistemas es invertible. En caso afirmativo, construya el sistema inverso. Si no, encuentre dos señales de entrada al sistema que den la misma salida [Prob. 1.30 del Oppenheim]. a) ) 4 ( ) ( − = t x t y b) [ ] ) ( cos ) ( t x t y = c) [ ] [ ] n x n n y ⋅ = d) ∫ ∞ − ⋅ = t d x t y τ τ ) ( ) ( e) [ ] [ ] [ ] ¦ ¹ ¦ ´ ¦ − ≤ = ≥ − = 1 : 0 : 0 1 : 1 n n x n n n x n y f) [ ] [ ] [ ] 1 − ⋅ = n x n x n y g) [ ] [ ] n x n y − = 1 h) ∫ ∞ − − − ⋅ ⋅ = t t d x e t y τ τ τ ) ( ) ( ) ( i) [ ] [ ] ∑ −∞ = − ⋅ | ¹ | \ | = n k k n k x n y 2 1 j) dt t dx t y ) ( ) ( = k) [ ] [ ] [ ] ¹ ´ ¦ − ≤ ≥ + = 1 : 0 : 1 n n x n n x n y l) ) 2 ( ) ( t x t y = m) [ ] [ ] n x n y 2 = n) [ ] ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ( ¸ ( ¸ = impar : 0 par : 2 n n n x n y PROBLEMA 10. Considere un sistema LTI cuya respuesta a la señal ) ( 1 t x en la Figura 1(a) sea la señal ) ( 1 t y ilustrada en la Figura 1(b) [Prob. 1.31 del Oppenheim]. 0 1 2 1 x1(t) t t t t -1 0 1 2 3 4 0 1 2 1 2 y1(t) -1 0 1 2 3 4 -1 1 x2(t) x3(t) 1 2 (a) (b) (d) (c) Figura 1 SISTEMAS Y CIRCUITOS ~ PROBLEMAS Curso Académico 2009−2010 4 a) Determine y dibuje cuidadosamente la respuesta del sistema a la entrada ) ( 2 t x dibujada en la Figura 1(c). b) Determine y dibuje la respuesta del sistema considerado para la entrada ) ( 3 t x mostrada en la Figura 1(d). PROBLEMA 11. Considere una entrada [ ] n x y una respuesta al impulso unitario [ ] n h dadas por [Prob. 2.3 del Oppenheim]: [ ] [ ] 2 2 1 2 − ⋅ | ¹ | \ | = − n u n x n [ ] [ ] 2 + = n u n h Determine y dibuje la salida [ ] [ ] [ ] n h n x n y * = . PROBLEMA 12. Suponga que [Prob. 2.10 del Oppenheim]: ¹ ´ ¦ ≤ ≤ = resto t t x : 0 1 0 : 1 ) ( y que ( ) α t x t h = ) ( donde 1 0 ≤ < α . a) Determine y dibuje ) ( * ) ( ) ( t h t x t y = . b) Si dt t dy ) ( contiene sólo tres discontinuidades, ¿cuál es el valor de α? PROBLEMA 13. Calcule la convolución [ ] [ ] [ ] n h n x n y * = de los siguientes pares de señales [Prob. 2.21 del Oppenheim]: a) [ ] [ ] [ ] [ ] β α β α ≠ ¦ ) ¦ ` ¹ ⋅ = ⋅ = n u n h n u n x n n b) [ ] [ ] [ ] n u n h n x n ⋅ = = α c) [ ] [ ] [ ] [ ] n u n h n u n x n n − ⋅ = − ⋅ | ¹ | \ | − = 2 4 4 2 1 d) [ ] n x y [ ] n h son como se muestran en la Figura 2. -1 0 1 2 3 4 5 6 x[n] -1 0 1 2 3 4 5 6 h[n] 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 1 Figura 2 SISTEMAS Y CIRCUITOS ~ PROBLEMAS Curso Académico 2009−2010 5 PROBLEMA 14. Para cada uno de los siguientes pares de formas de ondas, use la integral de convolución para encontrar la respuesta ) (t y a la entrada ) (t x del sistema LTI cuya respuesta al impulso es ) (t h [Prob. 2.22 del Oppenheim]. a) β α β α β α = ≠ ¦ ) ¦ ` ¹ ⋅ = ⋅ = − − para y , para ) ( ) ( ) ( ) ( t u e t h t u e t x t t b) ) 1 ( ) ( ) 5 ( ) 2 ( 2 ) ( ) ( 2 t u e t h t u t u t u t x t − ⋅ = − + − ⋅ − = c) ) (t x y ) (t h son como se muestra en la Figura 3(a). d) ) (t x y ) (t h son como se muestra en la Figura 3(b). e) ) (t x y ) (t h son como se muestra en la Figura 3(c). 0 1 2 1 x(t) t t t t 0 1 2 0 1 2 1 h(t) x(t) h(t) (a) (b) (c) Un periodo de sen(πt) 3 b Pendiente = a 4/3 -1/3 0 1 2 1 x(t) t t 0 1 1 h(t) -1 -1 3 Figura 3 PROBLEMA 15. Dadas las señales x(t) y h(t) siguientes [Prob. 2.23 del Oppenheim]: ( ) ( ) ( ) ∑ ∞ −∞ = ¹ ´ ¦ < < + − < < − + = − = k t t t t t h kT t t x 1 0 , 1 0 1 , 1 δ Determine y dibuje ) ( * ) ( ) ( t h t x t y = para los siguientes valores de T: a) T = 4; b) T = 2; c) T = 3/2; d) T = 1 SISTEMAS Y CIRCUITOS ~ PROBLEMAS Curso Académico 2009−2010 6 PROBLEMA 16. Examine la interconexión en cascada de los tres sistema LTI causales ilustrados en la Figura 4(a). La respuesta al impulso [ ] n h 2 es [Prob. 2.24 del Oppenheim]: [ ] [ ] [ ] 2 2 − − = n u n u n h y la respuesta total al impulso es como se muestra en la Figura 4(b). a) Encuentre la respuesta al impulso [ ] n h 1 . b) Encuentre la respuesta del sistema total a la entrada [ ] [ ] [ ] 1 − − = n n n x δ δ h1[n] x[n] y[n] h2[n] h2[n] -1 0 1 2 3 4 5 6 h[n] 7 n (a) (b) 1 5 10 11 8 4 1 Figura 4 PROBLEMA 17. Considere las respuestas al impulso de los siguientes sistemas LTI. Determine si cada sistema es causal y/o estable [Prob. 2.28 y 2.29 del Oppenheim]. a) [ ] [ ] n u n h n ⋅ | ¹ | \ | = 5 1 b) [ ] ( ) [ ] 2 8 ' 0 + ⋅ = n u n h n c) [ ] [ ] n u n h n − ⋅ | ¹ | \ | = 2 1 d) [ ] ( ) [ ] n u n h n − ⋅ = 3 5 e) [ ] [ ] [ ] 1 ) 01 ' 1 ( 2 1 − ⋅ + ⋅ | ¹ | \ | − = n u n u n h n n f) [ ] [ ] [ ] n u n u n h n n − ⋅ + ⋅ | ¹ | \ | − = 1 ) 01 ' 1 ( 2 1 g) [ ] [ ] 1 3 1 − ⋅ | ¹ | \ | = n u n h n h) ( ) ( ) 2 4 − = − t u e t h t i) ( ) ( ) t u e t h t − = − 3 6 j) ( ) ( ) 50 2 − = − t u e t h t k) ( ) ( ) t u e t h t − − = 1 2 l) ( ) t e t h 6 − = m) ( ) ( ) t u te t h t − = n) ( ) ( ) { } ( ) t u e e t h t t 100 / 100 2 − − − = SISTEMAS Y CIRCUITOS ~ PROBLEMAS Curso Académico 2009−2010 7 PROBLEMA 18. Considere la siguiente interconexión de sistemas LTI. [Septiembre 2001]. [ ] h n 1 ¿ ? Σ [ ] h n 2 [ ] h n 3 [ ] h n 4 donde se sabe que [ ] [ ] n h n h − = 4 3 y las respuestas al impulso h 2 [n] y h 4 [n] están representadas en las figuras siguientes: Determine el valor de h 1 [n] para que la interconexión anterior pueda sustituirse por un único sistema h[n] de respuesta al impulso: [ ] h n ... ... 1 0 1 2 -1 -2 3 -3 [ ] h n n PROBLEMA 19. Considere la siguiente interconexión de sistemas lineales e invariantes en el tiempo. [Febrero 2003]. Las respuestas al impulso de los bloques son: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 t u 2 t u t h ; 4 t u 2 t u 2 t u t h ; t u e t h 4 2 t 1 − − = − + − − = = − y h 3 (t) y h 5 (t) corresponden a sendos derivadores. Calcule la respuesta al impulso del sistema equivalente h(t). ... ... 1 0 1 2 -1 3 n 2 3 4 5 [ ] h n 4 ... ... 2 0 1 2 -1 3 n 7 13 4 7 2 -2 -3 -4 [ ] h n 2 SISTEMAS Y CIRCUITOS ~ PROBLEMAS Curso Académico 2009−2010 8 Soluciones PROBLEMA 1. PROBLEMA 2. PROBLEMA 3. a) { } ( ) 1 ) 2 ( 2 ) ( + − + − = t x dt t x d t y ; b) ( ) ( ) 1 2 2 ) ( + − + − = t u t t y δ . PROBLEMA 4. a) [ ] [ ] [ ] 3 1 4 − − = + − n x n y n y . PROBLEMA 5. a) No; b) y[n] = 0; c) No. PROBLEMA 6. a) No; b) Sí. PROBLEMA 7. a) Lineal, estable; b) Sin memoria, lineal, causal, estable; c) Lineal; d) Lineal, causal, estable; e) Invariante, causal, estable; f) Lineal, estable; g) Invariante, lineal. PROBLEMA 8. a) Lineal, estable; b) Invariante, lineal, causal, estable; c) Sin memoria, lineal, causal; d) Lineal, estable; e) Lineal, estable; f) Sin memoria, lineal, causal, estable; g) Lineal, estable. PROBLEMA 9. a) Invertible, ) 4 ( ) ( + = t x t y ; b) No invertible, ) ( ) ( 1 t x t x = , π 2 ) ( ) ( 2 + = t x t x ; c) No invertible, [ ] [ ] n n x δ = 1 , [ ] [ ] n n x δ ⋅ = 2 2 ; d) Invertible, dt t dx t y ) ( ) ( = ; e) Invertible, [ ] [ ] [ ] ¹ ´ ¦ < ≥ + = 0 : 0 : 1 n n x n n x n y ; f) No invertible, [ ] [ ] n x n x = 1 , [ ] [ ] n x n x − = 2 ; g) Invertible, [ ] [ ] n x n y − = 1 ; h) Invertible, dt t dx t x t y ) ( ) ( ) ( + = ; i) Invertible, [ ] [ ] [ ] 1 5 ' 0 − ⋅ − = n x n x n y ; j) No invertible, ) ( ) ( 1 t x t x = , . ) ( ) ( 2 cte t x t x + = ; k) No invertible, [ ] [ ] n n x δ = 1 , [ ] [ ] n n x δ ⋅ = 2 2 ; l) Invertible, ) 2 / ( ) ( t x t y = ; m) No invertible, [ ] [ ] [ ] 1 1 − + = n n n x δ δ , [ ] [ ] n n x δ = 2 ; n) Invertible, [ ] [ ] n x n y 2 = . a) b) c) d) a) b) SISTEMAS Y CIRCUITOS ~ PROBLEMAS Curso Académico 2009−2010 9 PROBLEMA 10. a) t 0 1 2 1 2 y2(t) 3 4 -2 -1 b) t -1 0 1 2 y3(t) 2 PROBLEMA 11. [ ] [ ] n u n y n ⋅ ( ( ¸ ( ¸ | ¹ | \ | − ⋅ = +1 2 1 1 2 PROBLEMA 12. a) ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ + ≤ ≤ − + ≤ ≤ ≤ ≤ = resto t t t t t t y : 0 ) 1 ( 1 : 1 1 : 0 : ) ( α α α α α ; b) 1 = α . PROBLEMA 13. a) [ ] [ ] n u n y n n ⋅ − − = + + α β α β 1 1 ; b) [ ] [ ] n u n n y n ⋅ + ⋅ = ) 1 ( α ; c) [ ] ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ > ⋅ | ¹ | \ | − ⋅ ≤ = 6 : 64 2 1 9 8 6 : 608 . 4 4 n n n y n n ; d) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 4 3 2 1 − + − + − + − + = n h n h n h n h n h n y . PROBLEMA 14. a) ( ) ( ) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ≠ ⋅ − ⋅ − = ⋅ ⋅ = ⋅ − − − β α α β β α α β α α : ) ( 1 : ) ( ) ( t u e e t u t e t y t t t ; b) ( ) ( ) ( ) ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ > ≤ ≤ − ⋅ ≤ ≤ + ⋅ − ⋅ ≤ + ⋅ − ⋅ = − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ 6 : 0 6 3 : 2 1 3 1 : 2 2 1 1 : 2 2 1 ) ( 2 ) 5 ( 2 ) 5 ( 2 ) 2 ( 2 2 ) 5 ( 2 ) 2 ( 2 2 t t e e t e e e t e e e t y t t t t t t ; c) ( ) [ ] ( ) [ ] ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ > ≤ ≤ − − ⋅ ⋅ ≤ ≤ − ⋅ − ⋅ ≤ = 5 : 0 5 3 : 1 ) 3 ( cos 1 3 1 : ) 1 ( cos 1 1 1 : 0 ) ( t t t t t t t y π π π π d) ) ( ) ( t x t y = ; e) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ < < + − < < − + + − = 2 3 2 1 : 4 7 3 2 1 2 1 : 4 1 ) ( 2 2 t t t t t t t y , periodo “2”. PROBLEMA 15. ( ) ( ) ∑ ∞ −∞ = − = k kT t h t y PROBLEMA 16. a) [ ] 1 0 1 = h , [ ] 3 1 1 = h , [ ] 3 2 1 = h , [ ] 2 3 1 = h , [ ] 1 4 1 = h ; b) [ ] [ ] [ ] 1 − − = n h n h n y . SISTEMAS Y CIRCUITOS ~ PROBLEMAS Curso Académico 2009−2010 10 PROBLEMA 17. a) Causal, estable; b) No causal, estable; c) No causal, no estable; d) No causal, estable; e) Causal, no estable; f) No causal, estable; g) Causal, estable; h) Causal, estable; i) No causal, no estable; j) No causal, estable; k) No causal, estable; l) No causal y estable; m) Causal y no estable; n) Causal y no estable. PROBLEMA 18. h 1 [n] = δ [n+2] + δ [n+1] + 2 δ [n] + 3 δ [n-1] +5 u[n-2]. PROBLEMA 19. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 2 4 2 2 4 2 − − + − + − − = − − − − − t t t u e t u e t u e t h t t t δ δ . INGENIER ´ IA DE TELECOMUNICACI ´ ON – Sistemas y Circuitos Problemas – 14/10/2008 Propiedades de los sistemas 1. Considere el sistema con relaci´on entrada-salida y(t) = x(t 2 ) (a) ¿El sistema es invariante con el tiempo? (b) ¿El sistema es causal? (c) ¿El sistema es estable? Sol. NO, NO, SI 2. Considere el sistema con relaci´on entrada-salida y(t) = t 2 x 2 (t) (a) ¿El sistema es sin memoria? (b) ¿El sistema es invariante con el tiempo? (c) ¿El sistema es invertible? (d) ¿El sistema es estable? (e) ¿El sistema es causal? (f) ¿El sistema es lineal? Sol. SI, NO, NO, NO, SI, NO 3. Considere el sistema con relaci´on entrada-salida y[n] = x[n] + 1 2 x[n −1] + 1 2 x[n + 1] (a) ¿El sistema es sin memoria? (b) ¿El sistema es invariante con el tiempo? (c) ¿El sistema es estable? (d) ¿El sistema es causal? (e) ¿El sistema es lineal? Sol. NO, SI, SI, NO, SI 4. Considere el sistema con relaci´on entrada-salida y[n] = e x[n] + x[n] (a) ¿El sistema es sin memoria? (b) ¿El sistema es invariante con el tiempo? (c) ¿El sistema es estable? (d) ¿El sistema es causal? (e) ¿El sistema es lineal? Sol. SI, SI, SI, SI, NO 1 5. Considere el sistema con relaci´on entrada-salida y(t) = t t−1 x(τ) dτ (a) ¿El sistema es sin memoria? (b) ¿El sistema es invariante con el tiempo? (c) ¿El sistema es estable? (d) ¿El sistema es causal? (e) ¿El sistema es lineal? Sol. NO, SI, SI, SI, SI 6. Considere el sistema con relaci´on entrada-salida y(t) = t−1 t−2 x 3 (τ) dτ (a) ¿El sistema es sin memoria? (b) ¿El sistema es invariante con el tiempo? (c) ¿El sistema es estable? (d) ¿El sistema es causal? (e) ¿El sistema es lineal? Sol. NO, SI, SI, SI, NO 7. Considere el sistema con relaci´on entrada-salida y[n] = n+3 k=−∞ 4 x[k] (a) ¿El sistema es sin memoria? (b) ¿El sistema es invariante con el tiempo? (c) ¿El sistema es estable? (d) ¿El sistema es causal? (e) ¿El sistema es lineal? Sol. NO, SI, NO, NO, SI 8. Considere el sistema con relaci´on entrada-salida y[n] = n−3 k=n−10 4 x 2 [k] + x[k] (a) ¿El sistema es sin memoria? (b) ¿El sistema es invariante con el tiempo? (c) ¿El sistema es estable? (d) ¿El sistema es causal? (e) ¿El sistema es lineal? Sol. NO, SI, SI, SI, NO 2 INGENIER ´ IA DE TELECOMUNICACI ´ ON – Sistemas y Circuitos Problemas – 14/10/2008 Propiedades de los sistemas LIT 1. Considere el sistema con relaci´on entrada-salida y[n] = x[n] + 1 2 x[n −1] (a) Halle la respuesta al impulso (b) ¿El sistema es causal? (c) ¿El sistema es estable? Sol. h[n] = δ[n] + 1 2 δ[n −1], SI, SI 2. Considere el sistema con respuesta al impulso h[n] = δ[n] − π 2 δ[n −1] − π 2 δ[n + 1] (a) ¿El sistema es sin memoria? (b) ¿El sistema es estable? (c) ¿El sistema es causal? Sol. NO, SI, NO 3. Considere el sistema con respuesta al impulso h[n] = u[n] (a) ¿El sistema es sin memoria? (b) ¿El sistema es estable? (c) ¿El sistema es causal? (d) Halle la respuesta s[n] al escal´on unitario. Sol. NO, NO, SI, s[n] = (n + 1) u[n]. 4. Considere el sistema con respuesta al impulso h[n] = e −5n u[n] (a) ¿El sistema es sin memoria? (b) ¿El sistema es estable? (c) ¿El sistema es causal? (d) Halle la respuesta s[n] al escal´on unitario. Sol. NO, SI, SI, s[n] = 1 −e −5(n+1) 1 −e −5 . 1 5. Considere el sistema con relaci´on entrada-salida y[n] = n−1 k=−∞ 2 x[k] (a) Halle la respuesta al impulso. (b) ¿El sistema es sin memoria? (c) ¿El sistema es estable? (d) ¿El sistema es causal? Sol. h[n] = 2 u[n −1], NO, NO, SI 6. Considere el sistema con relaci´on entrada-salida y(t) = x(t) + x(t −0.5) + x(t −1) + x(t −1.5) (a) Halle la respuesta al impulso (b) ¿El sistema es sin memoria? (c) ¿El sistema es estable? (d) ¿El sistema es causal? Sol. h(t) = δ(t) + δ(t −0.5) + δ(t −1) + δ(t −1.5), NO, SI, SI 7. Considere el sistema con respuesta al impulso h(t) = 5 Π(t) (a) ¿El sistema es sin memoria? (b) ¿El sistema es estable? (c) ¿El sistema es causal? (d) Halle la respuesta al escal´on unitario Sol. NO, SI, NO, s(t) = 5(t + 1/2) −1/2 < t < 1/2 5 t ≥ 1/2 8. Considere el sistema con respuesta al escal´on unitario s(t) = 1 −e −t/10 u(t) (a) Halle la respuesta al impulso (b) ¿El sistema es sin memoria? (c) ¿El sistema es estable? (d) ¿El sistema es causal? Sol. h(t) = 1 10 e −t/10 u(t), NO, SI, SI 9. Considere el sistema con relaci´on entrada-salida y(t) = t−1 t−2 π x(τ) dτ (a) Halle la respuesta al impulso 2 (b) ¿El sistema es sin memoria? (c) ¿El sistema es estable? (d) ¿El sistema es causal? Sol. h(t) = π Π(t −3/2), NO, SI, SI 10. La respuesta de un sistema al ingreso x(t)=4 u(t+1) es y(t) = 8 t 2 u(t) (a) Halle la respuesta al escal´on unitario (b) Halle la respuesta al impulso (c) ¿El sistema es estable? (d) ¿El sistema es causal? Sol. s(t) = 2 (t −1) 2 u(t −1), h(t) = 4(t −1), NO, SI 3 INGENIER ´ IA DE TELECOMUNICACI ´ ON – Sistemas y Circuitos Problemas – 27/10/2008 Sistemas – Propiedades y convoluci´on 1. Considere el sistema cuya relaci´on entrada-salida es y(t) = x 3 (t) y considere la se˜ nal peri´ odica x(t) - t 6 x(t) −1 1 2 −1 1 2 3 4 (a) Encuentre y dibuje la salida del sistema a la se˜ nal x(t). (b) Encuentre y dibuje la salida del sistema a la se˜ nal x 1 (t) = 2 x(t − 1). (c) ¿El sistema es causal? (d) ¿El sistema es sin memoria? (e) ¿El sistema es estable? (f) ¿El sistema es invariante con el tiempo? (g) ¿El sistema es LIT? (h) ¿El sistema es invertible? Si lo es, encuentre el sistema inverso. Sol. (sin dibujo) y(t) = x(t); - t 6 y1(t) −8 8 16 −1 1 2 3 4 SI; SI; SI; SI; NO; SI sistema inverso y(t) = 3 x(t). 2. Considere la se˜ nal w[n] = 10 −2n . La se˜ nal x[n] = −w[n] δ[n + 1] se aplica al sistema LIT con respuesta al impulso h[n] = 5 e −n u[n]. (a) Encuentre y dibuje la salida del sistema. (b) ¿El sistema es causal? (c) ¿El sistema es estable? 1 Sol. (sin dibujo) y[n] = 0 n < −1 −500 e −n−1 n ≥ −1 ; SI; SI. 3. Considere el sistema LIT con la respuesta al escal´on unitario s(t) representada - t 6 s(t) 3 1 2 −1 1 2 3 4 5 (a) Encuentre y dibuje la respuesta al impulso. (b) ¿El sistema es estable? (c) ¿El sistema es causal? Sol. - t 6 h(t) 3 1 2 −1 1 2 3 4 5 ; SI; NO. 4. Considere el sistema con respuesta al impulso h(t) = δ(t) − 1 2 δ(t − 1/2) + 1 4 δ(t − 1) (a) ¿El sistema es sin memoria? (b) ¿El sistema es estable? (c) ¿El sistema es causal? (d) Encuentre y dibuje la respuesta s(t) al escal´on unitario. Sol. NO; SI; SI; s(t) = u(t) − 1 2 u(t − 1/2) + 1 4 u(t − 1) - t 6 s(t) 1 3/4 1/4 1/2 −1/2 1/2 1 3/2 2 5/2 5. Encuentre y dibuje la convoluci´ on z(t) = x(t) ∗ y(t), con (a) x(t) = t 0 < t < 1 0 otros y(t) = −t −1 < t < 0 0 otros (b) x(t) = −10 sin(4πt) y(t) = e π Π(t + 5) 2 Sol. (sin dibujo) z(t) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ (t+1) 2 (2−t) 6 −1 < t < 0 t 3 6 − t 2 + 1 3 0 < t < 1 0 otros ; z(t) = 0. 6. Encuentre y dibuje la convoluci´ on z[n] = x[n] ∗ y[n] con (a) x[n] = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 2 −2 < n < 1 −1 n = 1 0 otros y[n] = −n −3 < n < 2 0 otros (b) x[n] = e jπ 8π 3 cos[ 4π 3 n] y(t) = u[n + 1] −u[n − 1] Sol. (sin dibujo) z[n] = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 4 n = −3 6 n = −2 0 n = −1 −3 n = 0 −2 n = 1 1 n = 2 0 otros ; z[n] = 1 2 e jπ 8π 3 . 7. Considere la conexi´ on en serie de un sistema T 1 {·} con relaci´ on entrada-salida y 1 (t) = 2 x 2 1 (t) y un sistema T 2 {·} con relaci´ on entrada-salida y 2 (t) = x 3 2 (t). (a) ¿Se puede representar la conexi´ on en serie de T 1 {·} y T 2 {·} como un ´ unico sistema equivalente T{·}? Si es posible, ¿cual es relaci´on entrada-salida del sistema equiva- lente T{·}? (b) ¿El sistema T{·} es causal? (c) ¿El sistema T{·} es sin memoria? (d) ¿El sistema T{·} equivalente a la serie de T 2 {·} y T 1 {·} (cambiando el orden)? Sol. SI, la relaci´ on entrada-salida T{·} es y(t) = 8 x 6 (t); SI; SI; NO, la relaci´ on entrada- salida de la serie de T 2 {·} y T 1 {·} es y(t) = 2 x 6 (t). 8. Considere la conexi´ on en serie de dos sistemas LIT T 1 {·} y T 2 {·}, con respuestas al impulso h 1 [n] = −2 −2 ≤ n ≤ 1 0 otros y h 2 [n] = 5 n = 6 0 otros , respectivamente. (a) ¿Se puede representar la conexi´ on en serie de T 1 {·} y T 2 {·} como un ´ unico sistema LIT equivalente T{·}? Si es posible, ¿cual es la respuesta al impulso del sistema equivalente T{·}? (b) ¿El sistema T{·} es causal? (c) ¿El sistema T{·} es sin memoria? (d) ¿El sistema T{·} es equivalente a la serie de T 2 {·} y T 1 {·} (cambiando el orden)? Sol. SI, la respuesta al impulso de T{·} es h[n] = h 1 [n] ∗ h 2 [n] = −10 4 ≤ n ≤ 7 0 otros ; SI; NO; SI, siendo h 1 [n] ∗ h 2 [n] = h 2 [n] ∗ h 1 [n]. 3 Sistemas y Circuitos Curso Académico 2008−2009 Segunda Entrega de Problemas Tema 2: Sistemas. Apellidos y Nombre 1: _____________________________________________________________ Apellidos y Nombre 2: _____________________________________________________________ Ejemplo: 3 4 -3 -4 n 1 2 -1 -2 . . . . . . [ ] x n 1 2 -1 5 3 -3 n 1 2 -1 -2 . . . . . . 1 [ ] s n -1 [ ] n x [ ] n s 3 4 -3 -4 n 1 2 -1 -2 . . . . . . 1 2 -2 5 1 -1 - 1 6 7 [ ] y n [ ] [ ] [ ] n s n x n y ∗ = Pág. 2 CUESTIÓN 5: 3 -3 -4 n 1 2 -1 -2 . . . . . . [ ] x n 1 2 -1 3 -1 3 n 1 2 -1 -2 . . . . . . 1 [ ] h n 2 2 1 [ ] n x [ ] n h [ ] [ ] [ ] n h n x n y ∗ = Pág. 3 Ejemplo: [ ] [ ] [ ] [ ] n u n h n u n x n = ⋅ α = [ ] [ ] [ ] [ ] n u 1 1 n h n x n y 1 n ⋅ α − α − = ∗ = + CUESTIÓN 6: [ ] [ ] [ ] [ ] 2 n u n h 2 n u 2 1 n x 2 n + = − ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − Pág. 4 Ejemplo: x(t) t 1 -3 -1 h(t) t 1 1 2 y(t) t 1 -2 -1 1 ) t ( h ) t ( h ) t ( x ) t ( y ∗ = ) t ( x CUESTIÓN 7: x(t) t 1 -1 -2 2 -3 -1 h(t) t 1 -1 -2 2 -1 2 ) t ( x ) t ( h ) t ( h ) t ( x ) t ( y ∗ = Pág. 5 x(t) t 1 -1 2 1 h(t) t -1 1 -2 ) t ( h ) t ( h ) t ( x ) t ( y ∗ = ) t ( x x(t) t 2 1 . . . . . . (periódica) 1 -1 3 4 5 h(t) t 1 -2 2 ) t ( h ) t ( h ) t ( x ) t ( y ∗ = ) t ( x Pág. 6 Ejemplo: ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ − = − ⋅ = − − resto : 0 2 t 1 : 1 ) t ( h ) 2 t ( u e ) t ( x ) 2 t ( ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > − ≤ ≤ − < = ∗ = − − − 4 t : e e 4 t 1 : e 1 1 t : 0 ) t ( h ) t ( x ) t ( y t 1 t 4 t 1 CUESTIÓN 8: [ ] ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ = − − ⋅ ⋅ π = resto : 0 3 t 1 : 2 ) t ( h ) 2 t ( u ) t ( u ) t ( sen ) t ( x Pág. 7 SISTEMAS Y CIRCUITOS ~ PROBLEMAS Curso Académico 2009−2010 PROBLEMA 5. Considere un sistema discreto con entrada x[n] y salida y[n] . La relación entrada−salida para este sistema es [Prob. 1.16 del Oppenheim]: y[n] = x[n] ⋅ x[n − 2] a) ¿El sistema es sin memoria? b) Determine la salida del sistema cuando la entrada es A ⋅ δ [n] , donde “A” es un número real o complejo. c) ¿El sistema es invertible? PROBLEMA 6. Considere un sistema continuo con entrada x(t ) y salida y (t ) , estando relacionadas mediante [Prob. 1.17 del Oppenheim]: y (t ) = x(sen(t ) ) a) ¿El sistema es causal? b) ¿El sistema es lineal? PROBLEMA 7. Determine (argumentando la respuesta) qué propiedades (sin memoria, invariante en el tiempo, lineal, causal, estable) cumplen los siguientes sistemas continuos [Prob. 1.27 del Oppenheim]: a) y (t ) = x(t − 2) + x(2 − t ) 2t b) y (t ) = [cos(3t )] ⋅ x(t ) c) y (t ) = −∞ ∫ x(τ ) ⋅ dτ : t<0 0 d) y (t ) =   x(t ) + x(t − 2) : t ≥ 0 t f) y (t ) = x   3 : x(t ) < 0 0 e) y (t ) =   x(t ) + x(t − 2) : x(t ) ≥ 0 g) y (t ) = dx(t ) dt PROBLEMA 8. Determine (argumentando la respuesta) qué propiedades (sin memoria, invariante en el tiempo, lineal, causal, estable) cumplen los siguientes sistemas discretos [Prob. 1.28 del Oppenheim]: a) y[n] = x[− n] c) y[n] = n ⋅ x[n] b) y[n] = x[n − 2] − 2 ⋅ x[n − 8] d) y[n] = Par{x[n − 1]} : n ≥1  x[n]  e) y[n] = 0 : n=0  x[n + 1] : n ≤ −1  g) y[n] = x[4n + 1]  x[n] : n ≥ 1  f) y[n] = 0 : n=0  x[n] : n ≤ −1  2 Si no.30 del Oppenheim].SISTEMAS Y CIRCUITOS ~ PROBLEMAS Curso Académico 2009−2010 PROBLEMA 9. 1.31 del Oppenheim]. a) y (t ) = x(t − 4) c) y[n] = n ⋅ x[n] b) y (t ) = cos[x(t )] d) y (t ) = −∞ ∫ x(τ ) ⋅ dτ t  x[n − 1] : n ≥ 1  e) y[n] = 0 : n=0  x[n] : n ≤ −1  g) y[n] = x[1 − n] f) y[n] = x[n] ⋅ x[n − 1] h) y (t ) = n−k −∞ ∫e t − ( t −τ ) ⋅ x(τ ) ⋅ dτ 1 ∑  2  ⋅ x[k ] k = −∞    x[n + 1] : n ≥ 0 k) y[n ] =  : n ≤ −1  x[n] i) y[n ] = n j) y (t ) = dx(t ) dt l) y (t ) = x(2t )  n x : n par n) y[n ] =   2    0 : n impar  m) y[n] = x[2n] PROBLEMA 10. Determine si cada uno de los siguientes sistemas es invertible. 1. encuentre dos señales de entrada al sistema que den la misma salida [Prob. Considere un sistema LTI cuya respuesta a la señal x1 (t ) en la Figura 1(a) sea la señal y1 (t ) ilustrada en la Figura 1(b) [Prob. En caso afirmativo. construya el sistema inverso. x 1(t) y 1(t) 2 1 1 0 1 2 t 0 1 2 t (a) (b) x 2(t) x3(t) 2 1 1 -1 -1 0 1 2 3 4 t -1 0 1 2 3 4 t (c) (d) Figura 1 3 . Calcule la convolución y[n] = x[n] * h[n] de los siguientes pares de señales [Prob. b) Determine y dibuje la respuesta del sistema considerado para la entrada x3 (t ) mostrada en la Figura 1(d). 2. PROBLEMA 11. Suponga que [Prob. b) Si dy (t ) dt contiene sólo tres discontinuidades.SISTEMAS Y CIRCUITOS ~ PROBLEMAS Curso Académico 2009−2010 a) Determine y dibuje cuidadosamente la respuesta del sistema a la entrada x 2 (t ) dibujada en la Figura 1(c). a) Determine y dibuje y (t ) = x(t ) * h(t ) . Considere una entrada x[n] y una respuesta al impulso unitario h[n] dadas por [Prob.3 del Oppenheim]: 1 x[n ] =   ⋅ u[n − 2]  2 h[n] = u[n + 2] Determine y dibuje la salida y[n] = x[n] * h[n] . n−2 PROBLEMA 12. 2.21 del Oppenheim]: x[n ] = α n ⋅ u[n ]  a)  α≠β n h[n ] = β ⋅ u[n ]  b) x[n ] = h[n] = α n ⋅ u[n ]  1 x[n] =  −  ⋅ u[n − 4] c)  2 h[n] = 4 n ⋅ u[2 − n] x[n] 1 n d) x[n] y h[n] son como se muestran en la Figura 2. -1 0 h[n] 1 2 3 4 5 6 1 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Figura 2 4 . ¿cuál es el valor de α? PROBLEMA 13.10 del Oppenheim]: 1 : 0 ≤ t ≤ 1 x(t ) =  0 : resto y que h(t ) = x(t α ) donde 0 < α ≤ 1 . 2.  x(t ) = e −αt ⋅ u (t )  a)  para α ≠ β . − 1 < t < 0 h(t ) =  − t + 1. use la integral de convolución para encontrar la respuesta y (t ) a la entrada x(t ) del sistema LTI cuya respuesta al impulso es h(t ) [Prob. 0 < t < 1 Determine y dibuje y (t ) = x(t ) * h(t ) para los siguientes valores de T: a) T = 4.SISTEMAS Y CIRCUITOS ~ PROBLEMAS Curso Académico 2009−2010 PROBLEMA 14. x(t) h(t) 1 Un periodo de sen(πt) 0 1 2 t 1 0 1 2 3 t (a) x(t) h(t) 4/3 b Pendiente = a 2 t 0 1 -1/3 (b) t x(t) h(t) 1 1 -1 0 -1 1 2 3 t 0 1 t (c) Figura 3 PROBLEMA 15. b) T = 2. 2. d) x(t ) y h(t ) son como se muestra en la Figura 3(b). d) T = 1 5 . 2. c) T = 3/2. e) x(t ) y h(t ) son como se muestra en la Figura 3(c). Para cada uno de los siguientes pares de formas de ondas. Dadas las señales x(t) y h(t) siguientes [Prob. y para α = β − βt h(t ) = e ⋅ u (t )  b) x(t ) = u (t ) − 2 ⋅ u (t − 2) + u (t − 5) h(t ) = e 2t ⋅ u (1 − t ) c) x(t ) y h(t ) son como se muestra en la Figura 3(a).23 del Oppenheim]: x(t ) = k = −∞ ∑ δ (t − kT ) ∞  t + 1.22 del Oppenheim]. a) Encuentre la respuesta al impulso h1 [n] .SISTEMAS Y CIRCUITOS ~ PROBLEMAS Curso Académico 2009−2010 PROBLEMA 16. Considere las respuestas al impulso de los siguientes sistemas LTI. 2. 2. La respuesta al impulso h2 [n] es [Prob.29 del Oppenheim].24 del Oppenheim]: h2 [n] = u[n] − u[n − 2] y la respuesta total al impulso es como se muestra en la Figura 4(b).28 y 2. b) Encuentre la respuesta del sistema total a la entrada x[n] = δ [n] − δ [n − 1] x[n] h 1[n] h 2 [n] h2 [n] y[n] (a) h[n] 10 11 8 5 4 1 1 2 3 4 5 6 7 (b) n 1 -1 0 Figura 4 PROBLEMA 17. 1 a) h[n ] =   ⋅ u[n ] 5 1 c) h[n ] =   ⋅ u [− n ]  2  1 e) h[n] =  −  ⋅ u[n ] + (1'01) n ⋅ u[n − 1]  2 1 g) h[n ] =   ⋅ u [n − 1]  3 i) h(t ) = e −6t u (3 − t ) m) h(t ) = te −t u (t ) k) h(t ) = e 2t u (− 1 − t ) n n n n b) h[n ] = (0'8) ⋅ u[n + 2] n d) h[n ] = (5) ⋅ u[3 − n] n  1 f) h[n] =  −  ⋅ u[n ] + (1'01) n ⋅ u[1 − n]  2 h) h(t ) = e −4t u (t − 2 ) j) h(t ) = e −2t u (t − 50 ) l) h(t ) = e −6 t n n) h(t ) = 2e −t − e (t −100 ) / 100 u (t ) { } 6 . Examine la interconexión en cascada de los tres sistema LTI causales ilustrados en la Figura 4(a). Determine si cada sistema es causal y/o estable [Prob. [Septiembre 2001]... Las respuestas al impulso de los bloques son: h1 (t ) = e −t u (t ) . Calcule la respuesta al impulso del sistema equivalente h(t)... h4 (t ) = u (t ) − 2u (t − 10 ) y h3(t) y h5(t) corresponden a sendos derivadores. Considere la siguiente interconexión de sistemas LTI. [Febrero 2003]. -1 0 1 1 2 3 4 5 .... n PROBLEMA 19. Considere la siguiente interconexión de sistemas lineales e invariantes en el tiempo. n .. ¿ h 1 [n] ? h 2 [n] Σ h 3 [n] h 4 [n] donde se sabe que h3 [n ] = h4 [− n ] y las respuestas al impulso h2[n] y h4[n] están representadas en las figuras siguientes: h 2 [n] 13 7 7 2 -2 -1 0 1 2 3 4 h 4 [n] 2 3 . -4 -3 2 .SISTEMAS Y CIRCUITOS ~ PROBLEMAS Curso Académico 2009−2010 PROBLEMA 18. 7 . n Determine el valor de h1[n] para que la interconexión anterior pueda sustituirse por un único sistema h[n] de respuesta al impulso: h [n] 1 h [n] .... h2 (t ) = u (t ) − 2u (t − 2 ) + u (t − 4 ).. -3 -2 -1 0 1 2 3 . y (t ) = x(t + 4) . f) No invertible. PROBLEMA 9. b) No invertible. causal. a) No. k) No invertible. PROBLEMA 6. b) Invariante. estable. x 2 (t ) = x(t ) + 2π . a) Lineal. lineal. causal.  x[n + 1] : n ≥ 0 y[n ] =  . x1 (t ) = x(t ) . causal. i) Invertible. a) b) PROBLEMA 3. y (t ) = x(t ) + dx(t ) dt . g) Invariante. x 2 [n] = 2 ⋅ δ [n] . b) y[n] = 0. x 2 (t ) = x(t ) + cte. lineal. .SISTEMAS Y CIRCUITOS ~ PROBLEMAS Curso Académico 2009−2010 Soluciones PROBLEMA 1. estable. b) y (t ) = 2δ (t − 2) + u (− t + 1) . d) Lineal. x 2 [n] = 2 ⋅ δ [n] . PROBLEMA 4. x 2 [n] = δ [n] . b) Sin memoria. estable. f) Lineal. c) Sin memoria. : n<0  x[n] y[n] = x[1 − n] . a) b) c) d) PROBLEMA 2. x1 [n] = δ [n ] . g) Lineal. l) Invertible. estable. j) No invertible. e) Invariante. a) Invertible. estable. c) No. d) Lineal. PROBLEMA 7. a) Lineal. e) Lineal. y[n] = x[n] − 0'5 ⋅ x[n − 1] . lineal. lineal. PROBLEMA 8. estable. estable. m) No invertible. h) Invertible. causal. c) Lineal. x1 [n] = δ [n] + δ [n − 1] . a) y[n]− y[n + 4] = x[n − 1] − 3 . n) Invertible. lineal. causal. f) Sin memoria. y (t ) = dx(t ) dt . estable. y (t ) = x(t / 2) . y[n] = x[2n] . 8 . x1 (t ) = x(t ) . PROBLEMA 5. d) Invertible. e) Invertible. g) Invertible. estable. estable. b) Sí. a) No. a) y (t ) = 2d {x(t − 2)} dt + x(− t + 1) . c) No invertible. causal. x 2 [n] = − x[n] . x1 [n] = x[n] . estable. x1 [n] = δ [n ] . e) y (t ) =  7 1 3 2 t − 3t + : <t < 4 2 2  PROBLEMA 15. a) y (t ) =  e . periodo “2”.608 c) y[n ] =  . n  8 ⋅  − 1  ⋅ 64 : n > 6    9  2  e −αt ⋅ t ⋅ u (t ) : α=β  −αt PROBLEMA 14. a) h1 [0] = 1 . t α  a) y (t ) =  1 + α − t 0  : 0 ≤ t ≤α : α ≤ t ≤1 : 1 ≤ t ≤ (1 + α ) : resto . h1 [3] = 2 . d) y[n] = h[n] + h[n − 1] + h[n − 2] + h[n − 3] + h[n − 4] . y[n ] = 2 ⋅ 1 −     2    ⋅ u[n]   PROBLEMA 12. y2(t) 2 1 y3(t) 2 0 -1 1 2 3 4 t -1 0 1 2 t a) -2 b) n +1  1 PROBLEMA 11. β −α  4n : n≤6   4.SISTEMAS Y CIRCUITOS ~ PROBLEMAS Curso Académico 2009−2010 PROBLEMA 10. c) y (t ) = π 1  ⋅ [cos(π ⋅ (t − 3) ) − 1]  1 2⋅(t −5) 2 π −e : 3≤t ≤6  ⋅e 0  2 0 : t>6  ( ) ( ( ( ) ) : t ≤1 : 1≤ t ≤ 3 : 3≤t ≤5 : t >5 ) d) y (t ) = x(t ) . PROBLEMA 13. h1 [4] = 1 . 1 1 1  2 −t +t + : − <t <  4 2 2 . 9 . h1 [1] = 3 . b) y[n ] = α n ⋅ (1 + n) ⋅ u[n ] . ( β −α )⋅t − 1 ⋅ u (t ) : α ≠ β β −α ⋅ e   1 2t 2⋅( t − 2 ) + e 2⋅( t −5) : t ≤ 1 2 ⋅ e − 2 ⋅ e 0 1 1 2 2⋅( t − 2 ) 2⋅( t − 5 )  ⋅ [1 − cos(π ⋅ (t − 1) )]  ⋅ e − 2⋅e +e : 1≤ t ≤ 3 b) y (t ) =  2 . b) y[n] = h[n] − h[n − 1] . b) α = 1 . y (t ) = k = −∞ ∑ h(t − kT ) ∞ PROBLEMA 16. h1 [2] = 3 . a) y[n] = β n +1 − α n +1 ⋅ u[n]. m) Causal y no estable. g) Causal. PROBLEMA 18. estable. h1[n] = δ [n+2] + δ [n+1] + 2 δ [n] + 3 δ [n-1] +5 u[n-2]. no estable. estable. a) Causal. estable. 10 . k) No causal. n) Causal y no estable. d) No causal. estable. h(t ) = e − t u (t ) − 2e − (t − 2 )u (t − 2 ) + e − (t − 4 )u (t − 4 ) + δ (t ) − 2δ (t − 10 ) . estable. estable. estable. estable. b) No causal. j) No causal. f) No causal. h) Causal. no estable. c) No causal. PROBLEMA 19. no estable. i) No causal.SISTEMAS Y CIRCUITOS ~ PROBLEMAS Curso Académico 2009−2010 PROBLEMA 17. l) No causal y estable. e) Causal. SI. SI. Considere el sistema con relaci´n entrada-salida o y[n] = ex[n] + x[n] (a) ¿El sistema es sin memoria? (b) ¿El sistema es invariante con el tiempo? (c) ¿El sistema es estable? (d) ¿El sistema es causal? (e) ¿El sistema es lineal? Sol. SI. NO. SI. SI 4.´ INGENIER´ DE TELECOMUNICACION – Sistemas y Circuitos IA Propiedades de los sistemas 1. Considere el sistema con relaci´n entrada-salida o 1 1 y[n] = x[n] + x[n − 1] + x[n + 1] 2 2 (a) ¿El sistema es sin memoria? (b) ¿El sistema es invariante con el tiempo? (c) ¿El sistema es estable? (d) ¿El sistema es causal? (e) ¿El sistema es lineal? Sol. NO 1 Problemas – 14/10/2008 . NO. SI. NO. Considere el sistema con relaci´n entrada-salida o y(t) = t2 x2 (t) (a) ¿El sistema es sin memoria? (b) ¿El sistema es invariante con el tiempo? (c) ¿El sistema es invertible? (d) ¿El sistema es estable? (e) ¿El sistema es causal? (f) ¿El sistema es lineal? Sol. NO. Considere el sistema con relaci´n entrada-salida o y(t) = x(t2 ) (a) ¿El sistema es invariante con el tiempo? (b) ¿El sistema es causal? (c) ¿El sistema es estable? Sol. NO. SI 2. SI. SI. NO 3. SI. NO. NO. NO. SI. Considere el sistema con relaci´n entrada-salida o t−1 y(t) = t−2 x3 (τ ) dτ (a) ¿El sistema es sin memoria? (b) ¿El sistema es invariante con el tiempo? (c) ¿El sistema es estable? (d) ¿El sistema es causal? (e) ¿El sistema es lineal? Sol. SI. NO. Considere el sistema con relaci´n entrada-salida o t y(t) = t−1 x(τ ) dτ (a) ¿El sistema es sin memoria? (b) ¿El sistema es invariante con el tiempo? (c) ¿El sistema es estable? (d) ¿El sistema es causal? (e) ¿El sistema es lineal? Sol. SI. NO. NO. NO. SI. SI. SI. NO 2 .5. SI. SI. SI. NO. SI 6. NO 7. Considere el sistema con relaci´n entrada-salida o n+3 y[n] = k=−∞ 4 x[k] (a) ¿El sistema es sin memoria? (b) ¿El sistema es invariante con el tiempo? (c) ¿El sistema es estable? (d) ¿El sistema es causal? (e) ¿El sistema es lineal? Sol. Considere el sistema con relaci´n entrada-salida o n−3 y[n] = k=n−10 4 x2 [k] + x[k] (a) ¿El sistema es sin memoria? (b) ¿El sistema es invariante con el tiempo? (c) ¿El sistema es estable? (d) ¿El sistema es causal? (e) ¿El sistema es lineal? Sol. SI. SI 8. o Sol. Considere el sistema con relaci´n entrada-salida o y[n] = x[n] + (a) Halle la respuesta al impulso (b) ¿El sistema es causal? (c) ¿El sistema es estable? 1 Sol. SI. SI Problemas – 14/10/2008 1 x[n − 1] 2 2. s[n] = (n + 1) u[n]. NO. SI. Considere el sistema con respuesta al impulso h[n] = δ[n] − (a) ¿El sistema es sin memoria? (b) ¿El sistema es estable? (c) ¿El sistema es causal? Sol. NO.´ INGENIER´ DE TELECOMUNICACION – Sistemas y Circuitos IA Propiedades de los sistemas LIT 1. Considere el sistema con respuesta al impulso h[n] = e−5n u[n] (a) ¿El sistema es sin memoria? (b) ¿El sistema es estable? (c) ¿El sistema es causal? (d) Halle la respuesta s[n] al escal´n unitario. 4. SI. h[n] = δ[n] + 2 δ[n − 1]. NO. NO. s[n] = 1 − e−5(n+1) . SI. SI. NO 3. Considere el sistema con respuesta al impulso h[n] = u[n] (a) ¿El sistema es sin memoria? (b) ¿El sistema es estable? (c) ¿El sistema es causal? (d) Halle la respuesta s[n] al escal´n unitario. 1 − e−5 1 π π δ[n − 1] − δ[n + 1] 2 2 . o Sol. SI. Considere el sistema con relaci´n entrada-salida o t−1 y(t) = t−2 π x(τ ) dτ (a) Halle la respuesta al impulso 2 . SI 6.5. NO. s(t) = 5(t + 1/2) −1/2 < t < 1/2 5 t ≥ 1/2 8.5) + δ(t − 1) + δ(t − 1. Considere el sistema con relaci´n entrada-salida o n−1 y[n] = k=−∞ 2 x[k] (a) Halle la respuesta al impulso. NO. NO. SI.5). SI. SI 9. Considere el sistema con relaci´n entrada-salida o y(t) = x(t) + x(t − 0. Considere el sistema con respuesta al escal´n unitario o s(t) = 1 − e−t/10 u(t) (a) Halle la respuesta al impulso (b) ¿El sistema es sin memoria? (c) ¿El sistema es estable? (d) ¿El sistema es causal? Sol. (b) ¿El sistema es sin memoria? (c) ¿El sistema es estable? (d) ¿El sistema es causal? Sol. h[n] = 2 u[n − 1]. Considere el sistema con respuesta al impulso h(t) = 5 Π(t) (a) ¿El sistema es sin memoria? (b) ¿El sistema es estable? (c) ¿El sistema es causal? (d) Halle la respuesta al escal´n unitario o Sol. SI 7. NO. NO. h(t) = 1 10 e−t/10 u(t).5) + x(t − 1) + x(t − 1.5) (a) Halle la respuesta al impulso (b) ¿El sistema es sin memoria? (c) ¿El sistema es estable? (d) ¿El sistema es causal? Sol. h(t) = δ(t) + δ(t − 0. NO. NO. NO. SI 10. s(t) = 2 (t − 1)2 u(t − 1).(b) ¿El sistema es sin memoria? (c) ¿El sistema es estable? (d) ¿El sistema es causal? Sol. h(t) = π Π(t − 3/2). La respuesta de un sistema al ingreso x(t)=4 u(t+1) es y(t) = 8 t2 u(t) (a) Halle la respuesta al escal´n unitario o (b) Halle la respuesta al impulso (c) ¿El sistema es estable? (d) ¿El sistema es causal? Sol. h(t) = 4(t − 1). SI. SI 3 . (sin dibujo) y(t) = x(t). SI. n 2. Considere la se˜al w[n] = 10−2n . Considere el sistema cuya relaci´n entrada-salida es o y(t) = x3 (t) y considere la se˜al peri´dica x(t) n o x(t) 6 2 1 −1 −1 1 2 3 4 t Problemas – 27/10/2008 (a) Encuentre y dibuje la salida del sistema a la se˜al x(t). n (b) Encuentre y dibuje la salida del sistema a la se˜al x1 (t) = 2 x(t − 1). encuentre el sistema inverso. con respuesta al impulso h[n] = 5 e (a) Encuentre y dibuje la salida del sistema. SI sistema inverso y(t) = 3 x(t). n (c) ¿El sistema es causal? (d) ¿El sistema es sin memoria? (e) ¿El sistema es estable? (f) ¿El sistema es invariante con el tiempo? (g) ¿El sistema es LIT? (h) ¿El sistema es invertible? Si lo es.´ INGENIER´ DE TELECOMUNICACION – Sistemas y Circuitos IA Sistemas – Propiedades y convoluci´n o 1. y1 (t) 16 6 8 −1 −8 1 2 3 4 - t SI. NO. La se˜al x[n] = −w[n] δ[n + 1] se aplica al sistema LIT n −n u[n]. SI. (b) ¿El sistema es causal? (c) ¿El sistema es estable? 1 . Sol. SI. con o (a) x(t) = t 0<t<1 0 otros y(t) = −t −1 < t < 0 0 otros (b) x(t) = −10 sin(4πt) y(t) = eπ Π(t + 5) 2 .. SI. Encuentre y dibuje la convoluci´n z(t) = x(t) ∗ y(t). (sin dibujo) y[n] = 0 n < −1 −n−1 n ≥ −1 . −500 e 3. −1 1 2 3 4 5 .Sol. o Sol. SI. (b) ¿El sistema es estable? (c) ¿El sistema es causal? h(t) 3 6 2 1 Sol. NO. Considere el sistema con respuesta al impulso h(t) = δ(t) − (a) ¿El sistema es sin memoria? (b) ¿El sistema es estable? (c) ¿El sistema es causal? (d) Encuentre y dibuje la respuesta s(t) al escal´n unitario. SI. t 4. SI. s(t) = u(t) − s(t) 1 2 1 1 δ(t − 1/2) + δ(t − 1) 2 4 u(t − 1/2) + 1 u(t − 1) 4 6 1 3/4 1/2 1/4 −1/2 1/2 1 3/2 2 5/2 - t 5. NO. Considere el sistema LIT con la respuesta al escal´n unitario s(t) representada o s(t) 6 3 2 1 −1 1 2 3 4 5 t (a) Encuentre y dibuje la respuesta al impulso. SI. −10 4 ≤ n ≤ 7 . salida de la serie de T2 {·} y T1 {·} es y(t) = 2 x 8. otros 6. SI. h1 [n] = 0 otros 0 otros ´ (a) ¿Se puede representar la conexi´n en serie de T1 {·} y T2 {·} como un unico sistema o LIT equivalente T {·}? Si es posible. SI. ¿cual es relaci´n entrada-salida del sistema equivao lente T {·}? (b) ¿El sistema T {·} es causal? (c) ¿El sistema T {·} es sin memoria? (d) ¿El sistema T {·} equivalente a la serie de T2 {·} y T1 {·} (cambiando el orden)? o Sol. Considere la conexi´n en serie de un sistema T1 {·} con relaci´n entrada-salida y1 (t) = o o 2 x2 (t) y un sistema T2 {·} con relaci´n entrada-salida y2 (t) = x3 (t). la respuesta al impulso de T {·} es h[n] = h1 [n] ∗ h2 [n] = NO. z[n] = Sol. 1 2 ´ (a) ¿Se puede representar la conexi´n en serie de T1 {·} y T2 {·} como un unico sistema o equivalente T {·}? Si es posible. (sin dibujo) z(t) = ⎧ 2 ⎪ (t+1) (2−t) ⎨ 6 3 ⎪ ⎩ t 6 − t 2 + 1 3 0 −1 < t < 0 0 < t < 1 . z(t) = 0. NO. Considere la conexi´n en serie de dos sistemas LIT T1 {·} y T2 {·}. SI. la relaci´n entrada-salida T {·} es y(t) = 8 x6 (t). Encuentre y dibuje la convoluci´n z[n] = x[n] ∗ y[n] con o (a) x[n] = ⎧ ⎪ 2 ⎨ (b) x[n] = ejπ −2 < n < 1 −1 n = 1 ⎪ ⎩ 0 otros 8π 3 y[n] = −n −3 < n < 2 0 otros cos[ 4π n] 3 y(t) = u[n + 1] − u[n − 1] o 7. siendo h1 [n] ∗ h2 [n] = h2 [n] ∗ h1 [n]. ¿cual es la respuesta al impulso del sistema equivalente T {·}? (b) ¿El sistema T {·} es causal? (c) ¿El sistema T {·} es sin memoria? (d) ¿El sistema T {·} es equivalente a la serie de T2 {·} y T1 {·} (cambiando el orden)? Sol. SI.Sol. SI. SI. respectivamente. con respuestas al impulso o −2 −2 ≤ n ≤ 1 5 n=6 y h2 [n] = . la relaci´n entradao 6 (t). 0 otros n = −3 n = −2 n = −1 −3 n = 0 . (sin dibujo) z[n] = ⎪ ⎪ −2 n = 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 n=2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0 otros ⎧ ⎪ 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎨ 1 2 ejπ 8π 3 . 3 . Sistemas y Circuitos Curso Académico 2008−2009 Segunda Entrega de Problemas Tema 2: Sistemas. Apellidos y Nombre 1: _____________________________________________________________ Apellidos y Nombre 2: _____________________________________________________________ . . n ... n x[n ] s[n ] y [n] 2 . -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 .. 1 -2 -1 -4 -3 -1 -2 1 2 -1 3 1 .. 2 ... n 4 5 6 7 y[n ] = x[n ] ∗ s[n ] Pág. -3 1 -2 -1 -1 1 2 3 .Ejemplo: x [n] 2 s [n] 1 ...... -4 1 -3 -2 -1 -1 1 2 -1 3 .. n 1 2 3 x[n ] h[n ] y[n ] = x[n ] ∗ h[n ] Pág.. n .CUESTIÓN 5: x [n] 3 2 2 h [n] 2 1 1 .. -2 -1 . 3 ...... Ejemplo: x[n ] = α n ⋅ u[n ] h[n ] = u[n ] y[n ] = x[n ] ∗ h[n ] = 1 − α n +1 ⋅ u[n ] 1− α CUESTIÓN 6: ⎛1⎞ x[n ] = ⎜ ⎟ ⋅ u[n − 2] ⎝ 2⎠ h[n ] = u[n + 2] n −2 Pág. 4 . 5 .Ejemplo: x(t) 1 1 h(t) y(t) 1 -3 -1 t 1 2 t -2 -1 1 t x(t) h(t) y( t ) = x ( t ) ∗ h ( t ) CUESTIÓN 7: x(t) 1 -1 -3 -2 -1 2 h(t) 2 t -2 -1 -1 1 2 t x(t) h(t) y( t ) = x ( t ) ∗ h ( t ) Pág. 1 1 -1 2 3 4 .. t -2 2 t x(t) h(t) y( t ) = x ( t ) ∗ h ( t ) Pág. 6 ...x(t) 1 h(t) 1 1 -1 2 t -2 -1 t x(t) h(t) y( t ) = x ( t ) ∗ h ( t ) x(t) (periódica) 1 h(t) 5 .. Ejemplo: x ( t ) = e − ( t − 2) ⋅ u ( t − 2) ⎧1 : − 1 ≤ t ≤ 2 h(t) = ⎨ resto ⎩0 : 0 ⎧ ⎪ y( t ) = x ( t ) ∗ h ( t ) = ⎨ 1 − e1− t ⎪e 4− t − e1− t ⎩ : t <1 : 1≤ t ≤ 4 : t>4 CUESTIÓN 8: x ( t ) = sen (π ⋅ t ) ⋅ [u ( t ) − u ( t − 2)] ⎧2 : 1 ≤ t ≤ 3 h(t) = ⎨ ⎩0 : resto Pág. 7 .