Problemas de Transporte

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE BABAHOYO.MÉTODOS PARA SOLUCIONAR PROBLEMAS DE TRANSPORTE. GILMA TABLADA MARTÍNEZ. INGENIERA EN MATEMÁTICAS. AGOSTO 2014 MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE TRANSPORTE. El problema de transporte puede ser resuelto por el Método Simplex tradicional o cualquier otro método analítico. Sin embargo, esta metodología se hace muy tediosa por la cantidad y magnitud de sus variables y datos. Problemas de transporte. Consiste en encontrar un plan de transportación óptimo de productos o bienes desde diferentes centros de oferta a varios centros de demanda. Están incluidos en una amplia gama de problemas, que se conocen como problemas de redes. Estos problemas de transportación óptima pueden hacerse con el fin de que los costos de transportación sean mínimos o de que la ganancia de transportación se maximice. Los modelos de distribución de recursos o transportación deben tener las siguientes condiciones generales:    Se deben cumplir las exigencias de los clientes. No se puede exceder la capacidad de producción o existencia de los productos. La demanda no puede exceder a la oferta. Para estos modelos las variables representan las cantidades de productos que se enviarán desde un centro de producción a un centro de recepción, por lo que llevarán 2 índices. El primero indica el número de la planta y el segundo el número de punto de recepción, de forma tal que → Número de productos que se enviarán desde el centro de producción recepción . al centro de Antes de formular un modelo matemático para un problema de transporte, es posible dibujar un diagrama de redes esquemático para representar los diversos componentes del problema, como se ilustra en la figura 1. Los círculos o nodos representan las plantas de producción y los centros de recepción o clientes. Cada arco indica que los productos pueden embarcarse desde la planta hasta el cliente . Nodo: Un círculo en un diagrama de redes que representa un aspecto importante de un problema, como la fuente y destino de bienes en un problema de transportación. Arco: Una línea que conecta dos nodos en un diagrama esquemático que representa una relación entre estos dos nodos, como podría ser una posible ruta para el embarque de bienes en un problema de transportación. Además de los nodos y arcos, el diagrama de redes incluye los datos del problema. En este caso, los números que están junto a los nodos correspondientes a los centros de producción indican el número de productos que se oferta en cada centro, los números que están junto a los nodos correspondientes a los demandantes o clientes indican el número de productos que se solicitan allí. Finalmente, las variables del problema se escriben junto a cada arco representan los embarques de productos desde la planta correspondiente al cliente asociado. Todos los aspectos importantes de este problema se incluyen en este diagrama de redes y, como verá, el diagrama simplifica la formulación matemática del modelo. Ing. Gilma Tablada Martínez. Investigación Operativa. 2 Suponga que queremos enviar ciertos productos desde centros de producción a centros de recepción o clientes con sus correspondientes ofertas y demandas de cada uno de los centros. El gráfico de redes se presenta a continuación: Centros de recepción Centros de producción 𝑎 . 1 . 𝑎2 𝑎𝑚 . . 1 𝑏 2 𝑏2 3 𝑏3 𝑛 𝑏𝑛 . 2 2 𝑚 Figura 1. Estructura general de un modelo de transporte Los modelos de transporte pueden ser de dos tipos:   Balanceados. No balanceados. Cuando la cantidad de productos o bienes ofertados es igual a la cantidad de productos o bienes demandados se dice que el modelo es balanceado, caso contrario, se dice que es no balanceado. Primeramente vamos a estudiar los métodos de solución para problemas balanceados. El modelo para un problema de transporte balanceado es el siguiente: ∑ Min ∑ Sujeto a: ∑ ( ) ∑ ∑ ∑ Los métodos de transporte en sentido general tienen los siguientes pasos: 1. Determinar una solución inicial factible básica. 2. Aplicar la condición de optimalidad para encontrar una variable de entrada, entre todas las variables no básicas. Si se satisface la condición de optimalidad terminar el proceso. De lo contrario vaya al paso 3. Ing. Gilma Tablada Martínez. Investigación Operativa. 3 3. Utilizar la condición de factibilidad para encontrar la variable saliente, de entre todas las variables básicas y determinar la nueva solución factible básica. Regrese al paso 2. Prueba de optimalidad. Consiste en encontrar los indicadores de la tabla simplex para analizar la posibilidad de encontrar una nueva variable básica. Las variables básicas tienen indicador nulo. La variable que ingresa a la base es la que tiene indicador más negativo. La variable entrante a la base es la que tiene el menor coeficiente y debe cumplir las siguientes condiciones: 1. Satisfacer las condiciones de disponibilidades de oferta y requerimientos de demanda. 2. No se permiten envíos de cantidades negativas de recursos por ninguna vía. Prueba de factibilidad. Consiste en encontrar un nuevo plan de transportación con costo menor a los obtenidos en las soluciones básicas anteriores. Los modelos de distribución de recursos o transportación deben tener las siguientes condiciones generales:    Se deben cumplir las exigencias de los clientes. No se puede exceder la capacidad de producción o existencia de los productos. La demanda no puede exceder a la oferta. El método de solución de problemas de transporte se basa en una tabla, llamada tabla característica de transportación, en la que se plasman los datos del problema de la siguiente forma:     En la parte superior derecha de cada cuadrícula en el cuerpo de la tabla, se escriben los coeficientes de la FO, o sea, los costos de transportación desde un origen a un destino. Los valores de oferta se ponen en la columna final. En la última fila se ponen los valores de demanda. En la parte inferior izquierda de cada cuadrícula en el cuerpo de la tabla, se escriben los valores de las variables del modelo, o sea, los valores de envíos o cantidades de transportación desde un origen a un destino. Cuando no se hace envío desde un origen a un destino no se pone ningún valor en esa posición, o en su defecto se coloca un cero. Antes de aplicar un método de solución, se debe verificar la condición de equilibrio. ESTRUCTURA DE LA TABLA CARACTERÍSTICA DE TRANSPORTE PARA UN PROBLEMA CON 3 OFERETANTES Y 4 CLIENTES. Para la elaboración de la tabla característica vamos a considerar un problema con 3 centros de oferta y 4 centros de recepción. La información brindada para plantear el problema es:  Costos de los embarques posibles. Ing. Gilma Tablada Martínez. Investigación Operativa. 4 Clientes 2 𝑥 𝑥 𝑥 2 Ofertantes 24 𝑎2 𝑥24 33 34 𝑎3 𝑥34 𝑥33 𝑏3 𝑏2 𝑎 4 23 32 𝑥32 𝑏 3 𝑥23 3 𝑥3 𝑥 22 𝑥22 4 𝑏4 Demandas Ofertas 2 𝑥2 3 3 4 ∑ ∑ Ecuación de balance SOLUCIÓN INICIAL PARA UN PROBLEMA DE TRANSPORTE. entonces se asigna cero en una celda vacía hasta completar el número de variables básicas que necesitamos. Gilma Tablada Martínez. La solución inicial de un problema de transportación debe tener variables básicas. Si se encuentra un plan de transportación inicial con un número menor de embarques. sin embargo. Para encontrar la solución usaremos dos métodos diferentes:   Método de la esquina noroeste. Demanda de los clientes (Centros de distribución)  Oferta de las Plantas. sin descuidar las condiciones de ofertas y demandas. La solución inicial para un problema de transporte puede encontrarse de manera arbitraria. MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE. 5 . (Plantas de producción) Las variables para este problema serían: Cantidad a transportar desde la planta al centro de recepción . siguiendo alguno de los métodos que vamos a estudiar. esto no es aconsejable porque podemos violar criterios técnicos como el número de asignaciones que deben hacerse o encontrar soluciones iniciales que dificulten el proceso de cálculo de la solución óptima. Ing. haciendo asignaciones a las variables. Método de la celda de mínimo costo. Investigación Operativa. 200 250 650 Investigación Operativa. de Dist. de Dist. según se requiera teniendo en cuenta los valores de la tabla. 1 21 28 Planta 1 Planta 2 C. respectivamente. Gilma Tablada Martínez. 1 21 C. Dichas unidades deben ser trasladadas a tres centros de distribución con demandas diarias de 200. Hacer la asignación posible al destino 1 desde la planta 1. 3 15 Planta 1 250 28 13 19 Planta 2 400 200 a) 200 250 650 Usando el método de la esquina noroeste debemos realizar los siguientes pasos: 1. Una empresa posee dos plantas que elaboran un determinado producto en cantidades de 250 y 400 unidades diarias. MÉTODO DE LA CELDA DE MÍNIMO COSTO. 3 15 19 Se quiere encontrar una solución inicial para el problema de transportación descrito anteriormente. de Dist. 200 y 250 unidades. Los costos de transporte en $/unidad del producto son: C. de Dist. 21 25 15 250 200 28 13 19 400 200 Ing. de Dist. 2 25 C.El método consiste en asignar al destino 1 la mayor cantidad posible de la oferta 1 y así sucesivamente se van haciendo las asignaciones de las ofertas recorriendo la tabla de izquierda a derecha y de arriba abajo para satisfacer las demandas. de Dist. Ejemplo de un problema de transporte. 2 25 13 C. El método consiste en buscar la oferta de menor costo en la tabla y asignar al destino correspondiente según los valores de la tabla y así sucesivamente seguir haciendo asignaciones hasta satisfacer las demandas y ofertas. La tabla característica para este problema es: C. respectivamente. 6 . Las 250 unidades restantes de la planta 2 se asignan al centro 3. Requerimiento de demanda 1 Requerimiento de demanda 2 Requerimiento de demanda 3 Limitaciones de oferta 1 2 22 ∑ ∑ Ing. Asignar a la centro 2 las 50 unidades restantes de la planta 1. Caso contrario debíamos añadir un cero en una celda vacía y considerarlo un embarque.2. 200 250 650 Asignar al centro 2 150 unidades de las 400 que oferta la planta 2. 21 25 15 250 200 50 28 13 19 400 200 3. 21 25 15 250 200 50 28 13 19 400 150 200 250 200 250 650 La solución inicial de embarque debe tener Esta solución tiene 4 variables básicas y por lo tanto cumple la condición inicial del método de transporte. Verifiquemos que también cumple con los requerimientos de demanda de cada centro de distribución y las limitaciones de oferta de cada planta. Gilma Tablada Martínez. 7 . Limitaciones de oferta 2 22 23 ∑ 2 ∑ 23 ∑ Investigación Operativa. 21 25 15 250 200 50 28 13 19 400 150 200 200 250 650 4. Ing. 21 25 15 250 250 28 13 19 400 200 200 200 250 650 3. Buscar el menor costo de los restantes sin cubrir ($19. 21 25 15 250 28 13 19 400 200 200 200 250 650 2.00).00). b) Usando el método de la celda de mínimo costo debemos realizar los siguientes pasos: 1. y hacer la mayor asignación posible. Buscar el menor costo de envío en la tabla ($13. El valor de costo para la FO se calcula: es el costo de transportación para esta solución inicial. y hacer la mayor asignación posible. Buscar el menor costo de los restantes sin cubrir ($15. Buscar el menor costo de los restantes sin cubrir ($21.00).00). 50 al centro 2 desde la planta 1. 8 . 21 25 15 250 250 28 13 19 400 200 200 0 200 250 650 4. Gilma Tablada Martínez. y hacer la mayor asignación posible. Investigación Operativa. 150 al centro 2 desde la planta 2 y 250 al centro 3 desde la planta 2. y asignar la mayor cantidad posible a ese centro.Para este caso la solución inicial es: Asignar 200 unidades diarias al centro de distribución 1 desde la planta 1. Generalmente la solución inicial generada con el método de mínimo costo genera una solución inicial más próxima a la solución óptima. y hacer la mayor asignación posible. y hacer la mayor asignación posible. por lo que se hace necesario asignar cero a una variable no básica cualquiera para garantizar el número de mínimo de envíos en la solución inicial.21 25 15 250 0 250 28 13 19 400 200 200 0 200 250 650 5. Ing. 9 . 200 al centro 1 desde la planta 2 y 200 al centro 2 desde la planta 2. Investigación Operativa. 21 25 15 250 0 0 250 28 13 19 400 200 200 0 200 250 650 6. 21 25 15 250 0 0 250 28 13 19 400 200 200 200 0 200 250 650 Para este caso la solución inicial es: Asignar 250 unidades diarias al centro de distribución 3 desde la planta 1.00).00). El valor de costo para la FO se calcula: es el costo mínimo de transportación. Gilma Tablada Martínez. Buscar el menor costo de los restantes sin cubrir ($25. Buscar el menor costo de los restantes sin cubrir ($28. Note que la solución inicial consta de tres embarques y se requieren 4. Verifiquemos que también cumple con los requerimientos de demanda de cada centro de distribución y las limitaciones de oferta de cada planta. 1. Los circuitos formados tienen como vértices celdas con variables básicas y estas serán los vértices de los mismos. 4. Investigación Operativa. Encontrar la cantidad a enviar de modo que el costo total de envío sea mínimo. Para encontrar el valor de la variable entrante se envía desde una celda actualmente vacía una unidad de transportación. ofertas y demandas que se muestran en la siguiente tabla. 3. Centros de oferta 1 2 3 Demandas 1 10 5 9 200 Centros de demanda 2 3 15 20 7 6 10 15 200 150 Ofertas 4 14 8 13 300 400 300 150 SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE TRANSPORTE. Encontrar la solución inicial. Hacer la prueba de optimalidad para cada solución encontrada. Hacer la prueba de factibilidad para cada solución encontrada. Esto se logra hallando los costos reducidos para las celdas vacías (variables no básicas). 2. Gilma Tablada Martínez. plantee la tabla característica y encuentre una solución inicial.Requerimiento de demanda 1 3 Requerimiento de demanda 2 Limitaciones de oferta 1 Limitaciones de oferta 2 Limitaciones de oferta 3 2 3 22 ∑ 2 ∑ ∑ 22 ∑ ∑ Deber 1: Para los datos de costos de envío por unidad. El costo reducido es el valor en el que cambia la FO al enviar una unidad por el circuito correspondiente a una celda vacía. Pasos del método: 1. Verificar que tenga asignaciones. Si es menor completar con ceros. Ing. 10 . MÉTODO DEL CRUCE DEL ARROYO. El signo indica un incremento en el costo de la transportación y el signo – indica una disminución en el valor de la FO. - Prueba de factibilidad. A la celda de la variable no básica se asigna un signo y de manera alternada se asigna – y a las restantes celdas del circuito. Prueba de factibilidad y optimalidad para el método del cruce del arroyo. Consiste en formar los circuitos cerrados posibles desde las celdas de las variables no básicas de la tabla característica inicial (las que no tiene envíos asociados). por tanto vamos a tener 2 circuitos con las característica antes mencionadas. - Prueba de optimalidad. Gilma Tablada Martínez. Tomemos la solución inicial para nuestro problema obtenida por el método de la esquina noroeste. 11 . También pueden plantearse los cálculos sin que sean dibujados en la tabla. 250 200 250 650 6 Investigación Operativa. Para nuestro caso la tabla que representa al circuito correspondiente a la variable 21 25 2 es: 15 250 200 50 28 13 19 400 150 200 250 200 250 650 Costo reducido: La tabla que representa al circuito correspondiente a la variable 21 25 3 es: 15 250 200 50 28 13 19 400 150 200 Costo reducido: Ing. Los circuitos para calcular el costo reducido se pueden representar en la misma tabla. 3 y 2 . pero para ganar en claridad los representaremos en tablas separadas. Consiste en verificar la optimalidad de la solución nueva encontrada consiste en comprobar si todos los costos reducidos son positivos.Dentro del circuito de costo reducido más negativo se toma la menor cantidad a transportar asociada a los costos que tienen signos negativos en el circuito. Selección de la solución inicial para nuestro ejemplo. 21 25 15 250 200 50 28 13 19 400 150 200 250 200 250 650 En esta solución inicial tenemos 2 variables no básicas. Este valor se suma y se resta al circuito de acuerdo con su signo y se genera la próxima tabla característica. Ing.El segundo costo calculado es negativo. Para calcular el valor posible a asignar a 3 tomamos el menor de los envíos establecidos para las variables básicas del circuito con signo en este caso 50. Se calcula el costo total mínimo. Ese valor se suma y se resta según indican los signos de las celdas del circuito. Gilma Tablada Martínez. 12 . por lo que la variable 3 es la que entra a la base. Investigación Operativa. 3 2 22 23 La nueva solución es: 3 22 23 Restableciendo nuestra tabla característica: 21 25 15 250 200 50 28 13 19 400 200 200 200 200 250 650 Haciendo la prueba de optimalidad para esta solución: 21 25 15 250 200 Costo reducido: 50 28 13 19 6 400 200 200 200 200 21 250 25 650 15 250 200 Costo reducido: 50 28 13 19 400 200 200 200 200 250 650 Como todos los costos reducidos son positivos la solución es óptima. 2 Para cada variable no básica . 2 . o sea. Ing.00 El nuevo plan de transportación es . . Para los cálculos nos auxiliamos de la siguiente tabla: Variables básicas Ecuación Solución 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 Como resultado de estas operaciones tenemos: .Costo total = (200*21) + (50*15) + (200*13) + (200*19) = 4200 + 750 + 2600 + 3600 = $11 350. MÉTODO DE MODIFICADO DE DISTRIBUCIÓN (MODI) Condición de factibilidad: Las variables básicas tienen indicadores nulos. de manera tal que . Para ello. 13 . Gilma Tablada Martínez. pero para las variables no básicas debemos calcularlos. La solución es óptima ti todos los indicadores son no negativos. En este caso la solución no es óptima. En nuestro caso hagamos . a cada fila asociamos los valores para y para las columnas y cada variable básica hacemos corresponder una ecuación. . los coeficientes de las variables estructurales en la FO. 2. Determinamos arbitrariamente cualquier o igual a cero para luego ir calculando los otros. Investigación Operativa. 3 evaluamos Variables no básicas Ecuación 3 2 3 2 Los cálculos anteriores equivalen a calcular la fila de indicadores de la tabla simplex. En nuestro caso sería: 0 0 -12 15 0 0 Condición de optimalidad. 3 y 22 23 Deber 2: Use el método del cruce del arroyo para resolver el problema del deber 1 y encontrar un plan de transportación óptimo. excepto la de la variable entrante. 14 . Para cada VNB hay exactamente un circuito. Para encontrar el valor de la variable entrante se construye un circuito cerrado con segmentos verticales y horizontales (no diagonales) desde la celda de la VE.Los valores antes calculados de manera independiente podrían ser calculados directamente en la tabla característica para simplificar el cálculo de la siguiente manera: Los indicadores para las variables no básicas aparecen en azul en el cuerpo de la tabla. El circuito puede hacerse en cualquier sentido. actualmente vacía. 21 25 21 27 25 15 0 250 200 50 28 -12 19 13 -8 400 15 150 + 200 250 200 250 650 Luego de asignar las cantidades a las variables se calcula el valor de análisis: a través del siguiente 23 2 22 El valor de es 50 porque es valor que hace cero a la variable básica con menor valor. comenzando por un + en la celda de la VE. Cada esquina del circuito debe ser una celda con una variable básica. Partiendo de que 21 25 21 27 25 15 13 -12 19 0 250 200 50 28 -8 400 15 150 200 250 200 250 650 19 – (– 8+15) = 12 28 – (– 8 + 21) = 15 La variable entrante es 3 porque tiene el coeficiente más negativo. Gilma Tablada Martínez. A la VE se le asigna la cantidad y en el sentido del circuito diseñado se resta y se suma la cantidad a las asignadas anteriormente a las variables del circuito. Las condiciones que debe cumplir como VE determinan el valor máximo de la variable entrante y la variable que sale de la base. Ing. Investigación Operativa. Esta variable se convierte en la variable saliente. Ahora el nuevo plan de transportación es: 3 22 23 Probemos si se cumplen las condiciones de oferta y de demanda. 15 . Si se anulasen 2 variables al mismo tiempo se escoge arbitrariamente cualquiera de las ellas. en cada iteración sale una variable de la base y entra otra. Requerimiento de demanda 1 Requerimiento de demanda 2 Limitaciones de demanda 3 22 Limitaciones de oferta 1 3 22 23 ∑ Limitaciones de oferta 2 ∑ 3 ∑ 23 ∑ ∑ Actualizando la tabla característica: 21 25 15 250 200 50 28 13 19 400 200 200 200 200 250 650 Debemos hacer las pruebas de optimalidad. por lo que se mantendrán 4 variables básicas. En este método. Calculemos los valores básicas. Investigación Operativa. y para las variables básicas y los indicadores para las variables no Variables básicas Ecuación Solución 3 2 3 2 2 3 3 2 2 2 Para las variables no básicas los indicadores son: Variables no básicas Ecuación 2 2 2 6 2 Los indicadores para las variables estructurales son: Ing. Gilma Tablada Martínez. al igual que en el Simplex. Prueba de optimalidad para el método de multiplicadores. Las variables básicas tienen indicadores nulos. Es bastante parecido al anterior. PARA SOLUCIONAR PROBLEMAS DE Este método de solución de problemas de transporte parte de una solución inicial y requiere de las pruebas de optimalidad y factibilidad. Para ilustrar el método apliquémoslo al ejemplo anterior. obviemos esos pasos. enviando desde la planta 1 200 unidades al centro de distribución 1 y 50 al centro de distribución 2 y enviando desde la planta 2 200 unidades al centro de distribución 2 y 200 al centro de distribución 3. Para los cálculos nos auxiliamos de la siguiente tabla: Investigación Operativa. Tomemos la tabla característica inicial aplicando el método de la esquina noroeste: 21 25 15 250 200 50 28 13 19 400 150 200 250 200 250 650 Como ya verificamos las condiciones de la solución inicial. El plan de embarque óptimo tiene costo mínimo de $11 350. MÉTODO DE MULTIPLICADORES TRANSPORTACIÓN.0 16 0 3 0 0 La solución es óptima porque todos los indicadores son no negativos. 16 . en la que . Gilma Tablada Martínez. 3.00. Deber 3: Use el método MODI para resolver el problema del deber 1 y encontrar un plan de transportación óptimo. En nuestro caso hagamos Ing. se diferencia en el criterio para calcular los indicadores de la FO y el criterio para escoger la variable entrante. Vayamos directamente a la prueba de optimalidad. Para cada variable básica corresponde una ecuación. o igual a cero para luego ir calculando los . pero para las variables no básicas debemos calcularlos en función de los valores para las filas y para las columnas. Determinamos arbitrariamente cualquier otros. 150 + 250 - Investigación Operativa. El circuito puede hacerse en cualquier sentido comenzando por la celda de la VE. En nuestro caso serían: 0 0 12 -15 0 0 Los valores antes calculados de manera independiente podrían ser calculados directamente en la tabla característica para simplificar el cálculo.Variables básicas Ecuación Solución 2 Para cada variable no básica 2 2 2 2 2 2 3 2 3 evaluamos Variables no básicas Ecuación 3 2 3 2 Los cálculos anteriores equivalen a calcular la fila de indicadores de la tabla simplex. Para cada VE hay exactamente un circuito. comenzando por un + en la celda de la VE. Gilma Tablada Martínez. o sea. Cada esquina del circuito debe ser una celda con una variable básica. a la que se le asigna la cantidad y en el sentido del circuito diseñado se resta y se suma la cantidad a las asignadas anteriormente a las variables del circuito. los coeficientes de las variables estructurales en la FO. 21 25 21 27 25 15 0 250 200 50 28 12 19 13 -8 400 -15 150 200 La variable entrante es 3 250 200 250 650 porque tiene el coeficiente mayor (positivo). 21 25 21 31 25 15 13 16 19 0 250 200 50 28 -12 400 -15 Ing. actualmente vacía. Para encontrar el valor de la variable entrante se construye un circuito cerrado con segmentos verticales y horizontales (no diagonales) desde la celda de la VE. excepto la de la variable entrante. Los indicadores para las variables no básicas aparecen en azul en el cuerpo de la tabla. 17 . partiendo de que . Deber 4: Use el método de multiplicadores para resolver el problema del deber 1 y encontrar un plan de transportación óptimo. 1. Determinar una penalización para cada fila o columna. Investigación Operativa. Si se anulasen 2 variables al mismo tiempo se escoge arbitrariamente cualquiera de las ellas. Determinar la mayor penalización. 3. Esta variable se convierte en la variable saliente.00 Mediante el método anterior probamos que esta solución fue la óptima. se escoge arbitrariamente cualquiera. 18 . 2. Pasos del método. Eliminar la fila o columna satisfecho. MÉTODO DE APROXIMACIÓN DE VOGEL (MAV). Si hay más de una penalización mayor con igual valor. la solución es óptima. Gilma Tablada Martínez.200 200 250 650 Luego de asignar las cantidades a las variables se calcula el valor de análisis: a través del siguiente 23 2 22 El valor de es 50 porque es valor que hace cero a la variable básica con menor valor. Las penalizaciones se denotarán y respectivamente. 22 y 23 para un costo de $11 350. Asignar la mayor cantidad posible a la variable con el costo unitario mínimo de esa fila o columna elegida. restando los dos costos menores de esa fila o columna. Los envíos son: . llenando de ceros las celdas vacías para que no se tomen en cuenta en cálculos posteriores. 3 . Este método permite resolver el problema en su totalidad sin necesidad de tener una solución inicial. Ahora el nuevo plan de transportación es: 21 9 15 21 25 15 0 250 200 -16 13 28 19 4 400 -3 200 200 200 200 250 650 Como todos los indicadores son negativos. Ing. 4. 4. 19 . 7. corresponde asignar 200 unidades al centro de distribución 2. Si sólo queda una fila o columna sin eliminar. Aplicación del MAV para nuestro ejemplo. vaya al paso 1 sino al paso 7. 21 25 15 250 0 28 13 19 400 200 200 200 ------- 21 250 25 650 15 250 6 0 28 Ing. 21 25 15 250 28 13 19 400 200 200 250 650 A la tabla. Gilma Tablada Martínez. según avanza el método se agregan filas y columnas para incorporar las penalidades obtenidas.5. que es su demanda. continúe con el método de costo mínimo para balancear el sistema. por lo que se tacha esa columna. Halle el valor de costo de la FO. 21 25 28 15 13 200 7 200 12 250 6 400 6 19 250 4 650 Penalidades de demanda Penalidades de oferta Como la mayor penalidad la tiene la segunda columna (12) y el costo menor en esa columna lo tiene la celda (2. Si no se cumple el paso 5. 6. 13 19 Investigación Operativa. 2). Este método parte de la tabla característica con los costos de cada envío y las condiciones de demanda y oferta. cuenta los columna 400 9 200 200 7 200 ------- 250 4 650 calcular las sin tomar en costos de la eliminada. Gilma Tablada Martínez. 21 25 15 250 6 400 ---- 0 28 0 13 200 200 19 200 200 ------- 250 650 Se vuelven a calcular las penalidades: 21 25 15 250 6 400 ---- 0 28 0 13 200 200 19 200 200 ------- 250 650 Como sólo nos queda la fila de la oferta 1. 3). a ella se asigna lo que resta de la oferta 2 siempre y cuando el valor de la demanda para el centro 3 lo permita.Se vuelven a penalidades. se asignan las cantidades posibles. 250 6 400 ---- 50 28 0 15 19 200 200 ------- 250 650 Investigación Operativa. de los costos disponibles el menor es 19 en la celda (2. 21 200 25 0 13 200 200 Ing. La máxima penalidad corresponde a la oferta 2. 20 . Para este ejemplo tenemos 2 circuitos porque tenemos 2 celdas vacías que representan las variables no básicas. El costo reducido se calcula asignando a cada celda del circuito el envío de una unidad y se corresponde al costo del envío de esa unidad. se procede a hacer el análisis de optimalidad para esta solución. 250 650 Investigación Operativa.Todas estas tablas pueden ser resumidas en una sola. Consiste en formar todos los circuitos posibles desde las celdas vacías y calcular para cada uno de ellos el costo reducido. La celda de la VB que comienza el circuito siempre es positiva y en los restantes vértices se alternan los signos – y + en el sentido que fue escogido el circuito. También se puede aplicar la prueba del método MODI. 21 25 15 250 200 0 Costo reducido: 50 28 13 19 6 400 0 200 200 200 200 21 250 25 650 15 250 200 0 50 28 13 Costo reducido: 19 400 0 200 200 200 200 Ing. 21 . Gilma Tablada Martínez. 2 15 19 200 200 12 250 4 4 650 Completada la distribución. añadiendo en cada paso una nueva fila y una nueva columna para los y según se muestra a continuación: Oferta 21 200 25 0 0 13 200 200 7 7 2 250 6 6 400 6 9 6 50 28 Demanda. Prueba de optimalidad para el MAV. de lo contrario se toma el circuito con costo más negativo y se resta y suma la cantidad a las variables básicas del circuito para encontrar el nuevo plan de envío con costo menor. Si todos los costos reducidos son positivos la solución es óptima. FO: ∑ ∑ Sujeto a: ∑ ( ) ∑ ∑ ∑ Ing. la solución inicial encontrada al aplicar el método MAV coincide con la solución óptima del problema encontrada en varios pasos en los restantes métodos. No se permiten cantidades de envíos negativos Verificar las condiciones de optimalidad de la solución.Como todos los costos reducidos son positivos la solución es óptima. siempre y cuando las ofertas y las demandas estén balanceadas. MAXIMIZACIÓN PARA PROBLEMAS DE TRANSPORTACIÓN. Para estos problemas se aplican las mismas herramientas de solución estudiadas y los pasos a seguir son los mismos: - Búsqueda de una solución inicial con envíos que satisfagan las condiciones de oferta y demanda. Modelo matemático para el problema de transportación. Los problemas de planificación de transportación también incluyen la maximización de las ganancias en las transportaciones. Compare las soluciones encontradas por cada uno de los diferentes métodos. Use el método MAV para resolver el problema del deber 1 y encontrar un plan de transportación óptimo. Deber 5: 1. La solución encontrada por cada uno de los métodos estudiados es la misma.00 El nuevo plan de transportación es: 3 y 22 23 . Gilma Tablada Martínez. Sin embargo. 22 . 2. Haga un resumen con los resultados que obtenga. Investigación Operativa. Verificar las condiciones de factibilidad de la solución. Se calcula el costo total mínimo: Costo total = (200*21) + (50*15) + (200*13) + (200*19) = 4200 + 750 + 2600 + 3600 = $11 350. 23 . Se repite el proceso hasta que sólo nos quede una fila o columna por eliminar. Método de la ganancia máxima. Si la solución no es óptima se toma como VE a la que tenga el indicador más negativo. 200 y 150 toneladas de un determinado producto. Gilma Tablada Martínez. En el circuito correspondiente a esa variable se toma la menor asignación con signo negativo para la VE y ese valor se adiciona o resta a las VB. Las penalizaciones se calculan tomando en cuenta los mayores cotos de las filas o columnas. Ejemplo de un problema de maximización. Si la solución no es óptima se toma como VE a la que tenga el costo reducido mayor.Los métodos para obtener la solución inicial son: - Método de la Esquina Noroeste. Método MAV para problemas de maximización. Método de multiplicadores para problemas de maximización.00 100 000. Pago Requerimiento (Toneladas) ($/Ton) 200 300 250 120 000. Método del Cruce del arroyo para problemas de maximización. La solución es óptima si todos los indicadores son positivos para las variables no básicas. según indican los signos de las variables que forman el circuito.00 110 000. Esmeralda y Guayaquil 400. En el circuito correspondiente a esa variable se toma la menor asignación con signo negativo para la VE y ese valor se adiciona o resta a las VB.00 Investigación Operativa. De las penalizaciones calculadas se toma la menor. Método de la aproximación de Vogel. según indican los signos de las variables que forman el circuito. Una empresa ecuatoriana envía desde su cede en Quito a sus unidades portuarias en Manta. Las asignaciones se hacen tomando el criterio de mayor ganancia. respectivamente para atender pedidos de Panamá. La solución es óptima si todos los costos reducidos son negativos para las variables no básicas. Honduras y Venezuela con las siguientes consideraciones: Panamá Honduras Venezuela Ing. Investigación Operativa. - Costo de transportación desde la planta a cada unidad portuaria. de manera tal que las ganancias netas serían: De Manta a Honduras $35 000.00 De Esmeraldas a Panamá $55 000.Los costos de transporte en $/toneladas del producto son: Desde Manta Esmeralda Guayaquil Panamá 25 000 25 000 20 000 Hasta (por mar) Honduras Venezuela 25 000 20 000 20 000 20 000 15 000 15 000 Costo desde la planta al puerto. Solución al problema de maximización. - Costos de los embarques posibles de cada tonelada.00 De Guayaquil a Honduras $50 000.00 Ing.00 De Esmeraldas a Venezuela $40 000. - Oferta desde las unidades portuarias. FO: ∑ ∑ ∑∑ Por ejemplo de Manta a Panamá la ganancia neta sería: ( ) .00 De Guayaquil a Panamá $55 000. 24 .00 De Esmeraldas a Honduras $50 000.00 30 000. 50 000.00 40 000. ( ) En base a los datos de precio y costos debemos encontrar el valor de ganancia neta desde cada unidad portuaria a cada país. La información brindada para plantear el problema es: - Precio de venta de cada tonelada del producto. 00 Se requiere formular un modelo de Programación Lineal que permita satisfacer los requerimientos de demanda y garantizar la ganancia máxima.00 De Manta a Venezuela $30 000. Gilma Tablada Martínez. - Demanda de los clientes. Las variables para este problema son: Cantidad a transportar desde la unidad portuaria al país . 00 Del mismo modo procedemos con los demás. Gilma Tablada Martínez. Ing. 25 .De Guayaquil a Venezuela $40 000. 750 Investigación Operativa.00 Esquema del modelo para el problema Unidades portuarias Países 𝑥 M 𝑥 𝑥2 E P 2 3 𝑥22 H 𝑥23 𝑥3 150 𝑥 G 𝑥32 𝑥33 V 750 750 Tabla característica para el modelo. En la tabla 45 35 30 400 55 50 40 200 70 65 55 250 200 300 250 característica vamos a ubicar la cantidad de miles solamente. Apliquemos el método de aproximaciones de Vogel para encontrar una solución inicial al problema. 26 . 45 35 55 30 50 70 10 200 5 150 5 40 65 150 400 55 0 0 200 15 300 15 250 15 750 2 45 35 55 50 200 0 200 15 10 10 10 200 5 5 250 5 40 65 200 400 0 70 2 30 55 0 300 15 15 250 15 10 35 30 750 2 45 150 50 150 2 3 0 Ing. 200 5 5 150 5 10 40 65 200 15 10 - 10 0 70 150 10 250 55 50 400 3 55 0 300 15 15 - 250 15 10 - 750 Investigación Operativa. Gilma Tablada Martínez. Calculemos las penalizaciones y asignaciones. Investigación Operativa. haciendo los siguientes envíos: 50 Toneladas desde Manta a Panamá. Procedemos De las variables que integran el circuito de mayor contribución. Gilma Tablada Martínez. 250 Toneladas desde Manta a Venezuela. Debemos proceder a calcular el valor de ganancia según los valores de las variables básicas y sus contribuciones: La ganancia neta de la compañía es de $33 750 000. por lo que la VE es con la metodología conocida para encontrar la nueva solución. 100 Toneladas desde Manta a Honduras. La tabla característica que muestra la nueva solución es: 45 35 30 400 50 100 250 55 50 40 200 0 200 0 70 65 55 250 150 0 200 0 300 250 750 Calculemos los costos reducidos para las variables no básicas: 6 No hay costo reducido positivo.Calculemos los costos reducidos para las variables no básicas: 6 El mayor costo reducido corresponde al circuito .00. la que tiene menos asignación es 2 . por lo que es la variable que sale de la base y esa cantidad se adiciona o resta a las variables del circuito según el signo que tienen. 27 . esto es que la ganancia no se incrementará con un nuevo envío por lo que la solución obtenida es óptima. Ing. 200 Toneladas desde Esmeralda a Honduras y 150 Toneladas desde Guayaquil a Panamá. B. Investigación Operativa. - Problemas no balanceados. - Inseguridad de alguna ruta. ha instalado 3 distribuidores 1. La empresa tiene cuatro compradores potenciales A. Como ejercicio haga la prueba este nuevo plan de transportación. Estas situaciones se producen por alguna de las siguientes razones: - Limitaciones por características de la región. - Muy caro el costo de transportación. 2 y 3. Al aplicar las técnicas de transporte para resolver un problema de PL se pueden presentar algunos de los siguientes casos: - Soluciones óptimas múltiples. Soluciones Múltiples. Ing. 28 . Hay múltiples soluciones cuando los indicadores o costos reducidos de alguna variable no básica es cero. ofertas y demandas se muestran en la siguiente tabla: A B C D Ofertas 1 $80 $70 $60 $60 80 000 2 $5 $70 $80 $70 40 000 3 $70 $50 $80 $60 70 000 Demandas 50 000 40 000 60 000 40 000 Encuentre un plan óptimo de distribución para maximizar las ganancias.Deber: Una empresa con el fin de incrementar sus ventas y posicionarse en el mercado. Las ganancias. Esto significa que podemos tener otro plan de transportación por esta vía con el mismo valor de ganancia. - Excesivo gasto de tiempo en la transportación. El ejemplo de maximización resuelto en la actividad anterior tiene soluciones múltiples pues la vía Guayaquil-Honduras tiene costo reducido cero al aplicar la prueba de optimalidad. Este concepto coincide con el del método simplex. CASOS ESPECIALES EN LOS PROBLEMAS DE TRANSPORTE. - Rutas no aceptables. Gilma Tablada Martínez. C y D. Rutas no aceptables. - Soluciones degeneradas. de ellas escogemos la mayor penalización que es 4. Gilma Tablada Martínez. 5 3 1 2 8 4 5 2 M 0 3 7 6 11 1 20 Investigación Operativa. 29 . sombreamos la fila y hacemos las asignaciones respectivas: 2 4 1 6 5 5 2 6 1 Ing. Para la siguiente tabla de datos encuentre un plan de distribución óptimo que minimice los costos de embarque y transportación que se dan en el cuerpo de la tabla: D1 D2 D3 Ofertas O1 $2 $2 $3 7 O2 $2 $3 -- 8 O3 $3 $1 $4 5 Demandas 6 3 11 20 La tabla característica es: 2 4 5 7 1 5 M 8 3 5 6 5 6 3 11 20 Aplicando el método MAV se obtienen las primeras penalidades.En tales casos se asigna un valor de costo M muy grande para de minimización y –M para indicar la no rentabilidad de esa ruta en problemas de maximización. Ejemplo de problema con rutas no aceptadas. Gilma Tablada Martínez. 30 . esto significa que no existe otro envío que permita minimizar los costos. Como hay dos penalizaciones que son iguales y mayores. 6 6 Investigación Operativa. Hay 5 asignaciones y están balanceadas. Procedemos a calcular el costo mínimo: 6 Ing. escogemos cualquiera de ellas y repetimos el proceso anterior.Calculemos las nuevas penalizaciones y escogemos de ellas la mayor. A continuación debemos calcular los costos reducidos para las variables no básicas para saber si la solución obtenida es óptima: Para : Para 23 : Para 3 : 6 Para 32 : 6 6 Los costos reducidos son no negativos. Vamos a escoger la primera fila que tiene menores costos: 2 0 4 5 1 1 6 7 2 8 4 5 2 2 6 5 M 2 0 3 5 6 1 1 6 3 1 1 11 1 1 2 20 Ahora sólo se puede calcular penalizaciones en la última fila y en ella se hacen las últimas asignaciones: 2 0 4 1 5 2 5 0 6 1 1 -- 2 2 -- 8 4 -- -- 5 2 2 2 M 0 3 0 7 6 1 6 5 6 5 3 1 1 -- 11 1 1 -- 20 Se debe verificar el número de asignaciones y el balance en ellas. 1300 y 1 200 autos respectivamente y las demandas de los centros de distribución son de 2 300 y 1 400 autos respectivamente. Cuando el problema de transportación es no balanceado. con el fin de equilibrar el modelo y aplicar los métodos estudiados. Detroit y Nueva Orleans y dos centros de distribución. desde el origen 2. 6 unidades al destino 1 y 2 al destino 2 y desde el origen 3 5 unidades al destino 3 Problemas de transportación no balanceados. Denver Miami Ofertas Los Ángeles 80 215 1 000 Detroit 100 108 1 300 Nueva Orleans 102 68 1 200 Planta ficticia 0 0 200 Demandas 2 300 1 400 3 700 Ing. Denver Miami Ofertas 80 215 1 000 Detroit 100 108 1 300 Nueva Orleans 102 68 1 200 2 300 1 400 Los Ángeles 3 500 Demandas 3700 Como tenemos mayor demanda que oferta. La empresa MG Autos tiene tres plantas. Se desea encontrar una distribución óptima en la que los autos recorran la menos distancia. enviando desde el origen 1 1 unidad al destino 2 y 6 unidades al destino 3. agregamos una planta ficticia con millaje cero con el fin de balancear el modelo. Ejemplos de problema de transporte no balanceado. Gilma Tablada Martínez. significa que hay mayor oferta que demanda o viceversa. uno en Denver y otro en Miami.00. 1. ubicadas en Los Ángeles. 31 . En estos casos se introduce al modelo un destino u origen ficticio según convenga. La siguiente tabla muestra el millaje entre las plantas y los centros de distribución: Denver Miami Los Ángeles 80 215 Detroit 100 108 Nueva Orleans 102 68 Debemos agregar las demandas y ofertas al cuadro y chequear el balance de las ofertas y las demandas. Las capacidades de las plantas son 1 000.El costo mínimo es de $80. 3 700 Investigación Operativa. _____ d. ____ Ing. 1. para equilibrar el sistema. 32 . Para poder resolver el problema de transportación. Si por el contrario tuviésemos el caso en que la oferta supera a la demanda. Investigación Operativa. _____ g. debemos agregar un centro de distribución ficticio de la siguiente manera: Denver Miami Centro ficticio Ofertas Los Ángeles 80 215 0 1 000 Detroit 100 108 0 1 500 Nueva Orleans 102 68 0 1 200 Demandas 1 900 1 400 400 3 700 3 700 Una vez que tenemos los problemas balanceados se procede a buscar una solución inicial y aplicar alguno de los métodos conocidos para encontrar su solución óptima. EJERCICIOS PROPUESTOS. Un modelo de transporte que no está equilibrado no se puede resolver aplicando ninguno de los métodos estudiados. Las cantidades enviadas a un punto de origen ficticio representan un faltante en los puntos destino de recibo. tal vez sea necesario añadir tanto un punto de origen como de destino. Por ejemplo: Denver Miami Ofertas Los Ángeles 80 215 1 000 Detroit 100 108 1 500 Nueva Orleans 102 68 1 200 Demandas 1 900 1 400 3 700 3 300 En este caso. sólo que agregaríamos un centro de distribución ficticio. _____ e. Los modelos de transporte no se utilizan para maximizar ganancias. Las cantidades enviadas a un punto de destino ficticio representan el excedente en el punto de origen del envío. _____ h. Decir si son Verdaderos o Falsos los siguientes enunciados: a. El método de la esquina noroeste permite encontrar la solución óptima del problema de transporte. Los modelos de transportación no se pueden resolver usando el método simplex. se procede del mismo modo. _____ b. necesariamente la solución inicial debe tener variables básicas. Para equilibrar un modelo de transporte. _____ f. _____ c.2. Gilma Tablada Martínez. S y T. Para los siguientes tablas características encuentre las soluciones iniciales usando los métodos estudiados y haga comparaciones de los resultados obtenidos: a. La cantidad consumida es 20. en las que se muestra el costo de transportación de trasladar un artículo desde un origen a un destino . se encargan de suministrar la carne consumida semanalmente en tres ciudades. El objetivo fundamental del problema de transporte es 2. Ing. Para las siguientes tablas de datos de un problema de transporte. 4. b. Investigación Operativa. encuentre la solución inicial y luego determine la solución óptima. a. Dos mataderos. P y Q. 1 2 6 7 0 4 2 12 3 1 5 11 10 10 10 5 1 8 12 2 4 0 14 3 6 7 4 9 10 11 3. Gilma Tablada Martínez. 33 .i. R. 22 y 14 toneladas. c. D1 D2 D3 Ofertas O1 $0 $2 $1 6 O2 $2 $1 $5 9 O3 $2 $4 $3 5 Demandas 5 5 10 D1 D2 D3 Ofertas O1 $0 $4 $2 8 O2 $2 $3 $4 5 O3 $1 $2 $0 6 Demandas 7 6 6 D1 D2 D3 Ofertas O1 --- $3 $5 4 O2 $7 $4 $9 7 O3 $1 $8 $6 19 Demandas 5 6 19 b. que generen un costo mínimo. mientras que el tercero necesita 9 toneladas diarias. Investigación Operativa. y el Q. disponibles en las plantas. R S T P 1 3 1 Q 2 1 1 Desde dos almacenes A y B. 8 toneladas de fruta. Los dos primeros mercados necesitan. 1. Cada camión puede transportar 1000 cajas de cerveza.respectivamente en cada ciudad. para transportar es la siguiente: A: 90 000. en tres plantas localizadas en tres ciudades del país. 34 . 2: 60 000. El costo del transporte desde cada almacén a cada mercado viene dado por el siguiente cuadro: Mercados Almacenes 1 2 3 A 10 15 20 B 15 10 10 6. Determinar cuál es la distribución de transporte que supone un costo mínimo. se tiene que distribuir fruta a tres mercados de la ciudad. son los reflejados en la siguiente tabla: Ciudades Mataderos 5. La empresa Gal elabora cerveza. Los costos de transporte (en cientos dólares) por camión de cerveza. Se desea minimizar los costos totales de transporte de los camiones de cerveza desde las 3 plantas hasta los cuatro almacenes. Una fábrica de jamones tiene dos secaderos A y B que producen 50 y 80 jamones por mes. B y C. B: 40 000. 3: 50 000. se indican en la siguiente matriz de costos que se le presenta: Plantas Almacenes 1 2 3 4 A 10 20 5 9 B 2 10 8 30 C 1 20 7 10 Ing. 3 y 4 para su posterior distribución. diariamente. desde cada matadero de a cada ciudad. Las cajas de cerveza que requiere cada almacén son las siguientes: 1: 40 000. Gilma Tablada Martínez. Este producto se transporta a cuatro almacenes localizados en cuatro ciudades del país. La cantidad de cajas de cerveza. N y O cuya demanda es 35. sabiendo que los costos de transporte en dólares. 4: 60 000. A. El costo del transporte por jamón en dólares se ve en la tabla siguiente: Tiendas Secaderos M N O A 5 6 8 B 7 4 2 ¿Cuántos jamones deben enviarse desde cada secadero a cada tienda para hacer mínimo el gasto en transporte? 7. 30. El matadero P puede producir cada semana 26 toneladas de carne. El almacén A dispone de 10 toneladas de fruta diarias y el B de 15 toneladas. como uno de sus productos. que se reparten en su totalidad. C: 80 000. 2. 50 y 45 respectivamente. por tonelada de carne. Se distribuyen a tres tiendas de las ciudades M. Planificar la distribución de frutas para que el costo de transporte sea mínimo. 8. F3. Distribuidores C1 10 C2 20 C3 9 Investigación Operativa. P2 y P3. el E puede vender 6 000 unidades/día y el F puede vender 7 000 unidades/día. Una compañía tiene tres fábricas (A. F3 puede elaborar 10 en total y F4 puede elaborar 20 unidades de publicidad en total. propuestos como ejemplos en el texto anterior. Plantee y resuelva un modelo para minimizar los costos totales de la publicidad del producto elaborado por las 4 firmas existentes en el mercado.000. que generen un costo mínimo. 8. Actualmente saca al mercado un nuevo producto y desea tener disponibles 30 unidades de publicidad en prensa. Gilma Tablada Martínez. en P2 existen 4.000. y F4. B y C son 1 000. en C2: 5. y 25 en radio. Los costos unitarios de transporte. La máxima cantidad que puede vender el almacén D es 3 000 unidades/día.Aplique el método de la esquina noroeste para encontrar una solución inicial factible y con un método de transportación conocido halle un plan de transportación óptimo. 10. Las unidades de producto requeridas en C1 es de 6. E y F). Los costos (en dólares) de transporte de cada fábrica a cada almacén están dados en la siguiente tabla: Demanda Suministro D E F A 1 4 2 B 3 1 2 C 4 5 2 Encuentre un plan de distribución óptimo. 11. F2.000. La cantidad de unidades de producto disponible en P1 es de 9. que se realizará en los tres medios publicitarios. 5 000 y 4 000 unidades por día respectivamente. B y C) para ensamblar computadoras.000 y en P3. Una empresa manufacturera elabora un producto en tres países diferentes P1. y dispone de tres tiendas habilitados para la venta (D. Encontrar la solución óptima de los problemas no balanceados de MG Autos. dentro de tres meses.000. C2 y C3 para su posterior venta. F2 puede elaborar 25 en total. desde cada país hasta cada una de los distribuidores de las tres ciudades se muestran en la siguiente matriz: Países P1 Ing. Los costos de las ofertas que presentaron esas firmas (en cientos de dólares por unidad de publicidad) se presentan a continuación: Medios de divulgación F1 Firmas que fabrican el producto F2 F3 F4 Prensa 16 20 12 12 TV 26 20 30 21 Radio 22 15 23 14 9. Las cantidades producidas por A. Dado el tamaño de las firmas se espera que F1 pueda elaborar 15 unidades de publicidad en total. que permita satisfacer los requerimientos de demanda al mínimo costo. Su empresa realiza la publicidad de sus productos con cuatro firmas que existen en el mercado: F1. en unidades monetarias.000 y en C3: 7. 15 en televisión. 35 . que debe ser transportado a tres distribuidores situados en tres diferentes ciudades C1. Tres huertos de naranjos suministran cajas de naranjas a 4 detallistas. 8. 36 . La cantidad demandada diariamente por los detallistas es de 150. El costo de transporte por caja desde los huertos hasta los detallistas se proporciona en la siguiente tabla: Huertos Detallistas 1 2 3 4 1 1 2 3 2 2 2 4 1 2 3 1 3 5 3 Construya la tabla característica y resuelva el problema de transporte. respectivamente. 200 y 250 cajas al día.P2 8 10 6 P3 10 30 7 Se desea minimizar los costos totales de transporte del producto desde los cuatro países hasta los distribuidores de las tres ciudades. 9. La tabla muestra el millaje entre los centros de distribución y las distribuidoras. 150. El contratista de carreteras para quien trabaja le ha dado el programa de la semana siguiente: Cargas de camiones Proyectos Necesidades Semanales A 50 B 45 C 50 Información de Costos: Proyectos A B C Disponibilidad de cada planta W 4 3 3 75 X 6 7 6 60 Y 4 2 5 40 Planta Calcule el plan óptimo del transporte con costo mínimo. junto con las cifras mensuales de oferta y de demanda dadas en el número de automóviles. 400 y 100 cajas.00. La Empresa transportista posee varios camiones usados para acarrear piedra molida para proyectos de carreteras en el municipio. 12. La oferta en los tres huertos es de 150. El costo del envío se basa en el millaje entre los puntos de origen y destino y es independiente de si el camión hace viaje con cargas totales o parciales. Ing. Gilma Tablada Martínez. Un camión con carga completa incluye 18 automóviles y el costo de transporte por milla es de $25. Tres centros de distribución a cinco distribuidores. Investigación Operativa. Solución inicial por el método de la esquina noroeste. d. Investigación Operativa.Distribuidores Centros de distribución 1 2 3 4 5 1 100 150 200 140 35 400 2 50 70 60 65 80 200 3 40 90 100 150 130 150 160 140 Demandas 100 200 150 Ofertas Formule el modelo de transporte y halle un envío óptimo. Los productos pueden fabricarse por uno de los tres métodos 1. 2 y 3. La tabla que se muestra a continuación proporciona el precio en dólares por millón de kilovatios por hora en las tres ciudades: Distribuidores Países P1 C1 $600 C2 $700 C3 $400 P2 $320 $300 $350 P3 $500 $480 $450 Durante el mes de agosto hay un incremento de 20% en la demanda de cada una de las tres ciudades que se puede satisfacer comprando electricidad a otra red a un precio más elevado ($1 000. estratificándolas por clases sociales: 1. 2 y 3. 37 . Sin embargo. En la siguiente tabla se indica la capacidad de producción de cada método y las ganancias asociadas a cada producto según el método de fabricación. 40 y 50 millones de kilovatios por hora. 10. Determine un plan de distribución óptima para la compañía de servicios públicos. Método Unidad / Semana Producto 1 160 2 3 Ganancia/ Unidad ($) 1 2 3 X 139 140 137 120 Y 209 207 210 140 Z 254 255 255 Para el problema realice lo siguiente: a. la red no está conectada con la ciudad 3.00 por millón de kilovatios por hora). Un taller elabora tres productos X. La compañía de servicios públicos quiere determinar el plan más económico para la distribución y la compra de la energía eléctrica adicional. Solución óptima por el método del cruce del arroyo. 210 y 120 unidades por semana. Una empresa. Gilma Tablada Martínez. b. C y D. Las ganancias por unidad de producto de los distribuidores se muestran en la siguiente tabla: Ing. b. 12. c. proporcionan la electricidad a tres ciudades. 11. Y y Z y la demanda de éstos es de 90. con el fin de incrementar las ventas y de posicionarse en el mercado ha instalado tres distribuidoras. B. Determine el costo de energía adicional en el mes de agosto. Plantee la interpretación económica de la solución. Tabla característica del modelo. 35 y 25 kilovatios por hora. La empresa tiene 4 compradores potenciales: A. respectivamente. a. La demanda en las tres ciudades se calcula en 30. Tres plantas de energía eléctrica con capacidades de 25. Investigación Operativa. D3 y D4). Una empresa de alquiler de carros sirve a siete ciudades y presenta actualmente un exceso de carros en tres ciudades (C1. El huerto que está cerca de Orlando tiene 20 000 libras de naranjas y el huerto cercano a Gainesville tiene 12 000 libras de naranjas. el objetivo. 10 000 y 50 000 unidades por mes respectivamente. La Ing. 13. Miami y Jacksonville. C2. Florida Citrus. Inc. 38 .. El departamento de mercado realizó un pronóstico de la demanda esperada por parte de los clientes y los resultados son: Compradores Demanda (Unidades/mes) A 50 000 B 40 000 C 60 000 D 40 000 Plantee la tabla característica del modelo y encuentre la ganancia máxima de los distribuidores. es determinar. La planta de Tampa requiere al menos 8 000 libras de naranjas para cumplir su cuota de producción. procesa jugo de naranja y lo transforma en concentrado congelado en tres plantas localizadas en Tampa. 20 en C2 y 32 en C3. Los costos de embarque e ingresos se ofrecen en las tablas que se muestran a continuación: Costo de embarque ($/ton) Desde Tampa Miami Jaksonville Orlando 50 75 60 Gainesville 60 90 45 Ingresos ($/ton de naranjas procesadas) Tampa 550 Miami 750 Jaksonville 600 Dado el costo de embarque y el precio de venta del concentrado. Use la técnica de agrupamiento para identificar todos los grupos de restricciones y las restricciones de cada grupo. Gilma Tablada Martínez. El exceso de carros: es de 20 en C1. D2. De cualquiera de los dos huertos ubicados cerca de Orlando y Gainesville se pueden enviar naranjas hacia cualquier planta. sujeto a ciertas restricciones de oferta y demanda.Compradores A B C D 1 80 70 60 60 2 50 70 80 70 3 70 50 80 60 Distribuidores La capacidad de ventas de la distribuidora 1. Las plantas de Miami y Jacksonville requieren cada una al menos 11 000 libras de naranjas.2 y 3 es de 80 000. cómo embarcar estas naranjas desde los dos huertos a las tres plantas procesadoras para maximizar la ganancia total. C3) y una carencia de ellos en cuatro de las ciudades (D1. 14. La tabla o matriz de distancias en kilómetros. Los valores de F en la tabla. La C1 17 23 20 F turbosina C2 23 15 23 20 puede C3 25 F 13 21 comprarse a tres vendedores posibles en cada aeropuerto. entre las ciudades se le presenta al finalizar el enunciado.00 Ing. La empresa americana COMPUTER produce dos tipos de computadoras: PC y VAX. World Airlines reabastece sus aeronaves regularmente en los cuatro aeropuertos en donde da D1 D2 D3 D4 servicio. 20 en D3 y 16 en D4. porque las vías están en reparación y no se permite el paso. Tiempo de fabricación (hrs) New York Los Ángeles PC 2 3 VAX 2 4 Investigación Operativa. (Si en la solución final aparece una cantidad de carros con ese costo será la confirmación de que no existe solución óptima posible para el modelo).00 1 300. La tabla indica (1) el costo de entrega (compra más embarque) por mil galones de cada vendedor a cada aeropuerto.00 1 000. La sucursal de Nueva York puede producir hasta 800 computadoras y la de Los Ángeles hasta 1 000 computadoras. 39 . representan distancias muy largas. 20 en D2. para determinar las cantidades que se deben comprar y enviar por parte de cada vendedor a cada aeropuerto para minimizar el costo total. Las computadoras se fabrican en dos lugares: Nueva York y Los Ángeles. Esto indica que no es posible transportar carros desde C1 hasta D4. 15. Gilma Tablada Martínez. por ejemplo. ni desde C3 hasta D2 por alguna razón. Se desea determinar cómo distribuir los carros para satisfacer las restricciones y minimizar la distancia total recorrida.00 VAX 800. 16.escasez de carros es de 16 en D1. El beneficio de venta (sin contar la mano de obra) y el tiempo de fabricación asociado a cada sucursal y a cada producto es el siguiente: Beneficio de venta ($) New York Los Ángeles PC 600. (2) el número disponible de miles de galones que cada vendedor puede suministrar cada mes y (3) el requerimiento mensual de turbosina (en miles de galones) en cada aeropuerto. COMPUTER vende no más de 900 PC y 900 VAX. Aeropuerto Costo de entrega Cantidad de combustible requerido 1 Vendedor 1 900 Vendedor 2 800 Vendedor 3 900 2 900 1 200 1 300 270 3 800 1 300 500 450 4 1 000 1 400 1 000 480 360 500 600 Provisión máxima 260 For mule un modelo y resuelva usando un método de transportación. 40 . Suponga que un contratista externo ofrece de aumentar la capacidad de producción de Nueva York a 850 computadoras. a un costo de $800. Si hubiera disponibles 3 000 horas de trabajo.00.00 por hora. Investigación Operativa.Un total de 4 000 horas de trabajo se encuentran disponibles. ¿Cuánto debería aumentar el beneficio de una VAX producida en Los Ángeles. La mano de obra se paga a $20. ¿Le conviene a COMPUTER aceptar la oferta? c. ¿cuál sería el beneficio total de COMPUTER? b. ¿Cuánto es lo máximo que COMPUTER estaría dispuesto a pagar por cada hora extra de trabajo? 17. Gilma Tablada Martínez. Ing. COMPUTER quiere maximizar los beneficios. a. para que a COMPUTER le convenga producir VAX en Los Ángeles? d.