ONDASPROBLEMAS 1. La función de onda correspondiente a una onda armónica en una cuerda es Ψ (x, t) = 0,001 sen(314t+62,8x), escrita en el SI. a) ¿En qué sentido se mueve la onda? b) ¿Cuál es su velocidad? c) ¿Cuál es la longitud de onda, frecuencia y periodo? d) ¿Cuál es el desplazamiento máximo de un segmento cualquiera de la cuerda? e) ¿Cuál es la ecuación de la velocidad y aceleración de una partícula de la cuerda que se encuentre en el punto x = – 3 cm? Solución El sentido en que se propaga una onda de función: 0,001 sen (62,8x ± 314t) es, debido al signo+, el sentido negativo del eje X. El período, frecuencia, velocidad de propagación y longitud de onda se obtienen de dicha función: 2π λ De k = 2π =0.1 m 62.8 → De De = 62,8 ω= 2π 2π =314 → T = =0.02 s T 314 1 1 f = →f = =50 Hz T 0.02 Y al ser: λ 0.1 v = → v= =5 m/s T 0.02 El desplazamiento máximo de un segmento cualquiera de la cuerda viene dado por la amplitud de la función Ψ(x, t). Es decir: A = 0,001 m. La función de onda de una partícula de la cuerda que se encuentra en el punto x = -0,03 m es: 89+314 t) La ecuación de su velocidad: dψ =0.001 sen ( 62.ψ (−0.89+314 t )=0.03.2 m.8 (−0.314 cos (−1. Escribir una función que interprete la propagación de una onda que se mueve hacia la derecha a lo largo de una cuerda con velocidad de 10 m/s.314∗314 sen (−1.89+ 314 t) dt Y la de su aceleración: d2ψ =−0. en general. t) resulta: Ψ (z. Solución La función de onda. b) La velocidad y aceleración máxima de las partículas de la cuerda. t) = A sen (k z – ω t) siendo en este caso: ω = 2*π*f = 120π rad /s = 377 rad /s κ= Luego 2 π 6. t) =10 sen (πx/0.10 – 2πt). viene dada por: Ψ (z.001∗314 cos (−1.03 )+314 t ) =0. Sustituyendo estos valores en Ψ (z. Hallar: a) La velocidad de propagación de la onda.89+314 t )=−98. escrita en el SI.2 sen (37. frecuencia de 60 Hz y amplitud 0. t ) =ψ ( t )=0. Solución Considerando la ecuación general de la cuerda: .89+314 t) d t2 2. La ecuación de una onda transversal que se propaga en una cuerda viene dada por Ψ(x.001 sen(−1.68 rad / s λ 10 ( ) 60 A = 0.60 sen(−1.2 m.68z – 377t) 3.28 = =37. t) = 0. Solución a) La ecuación de la onda. Una onda sinusoidal transversal que se propaga de derecha a izquierda tiene una longitud de onda de 20 m. c) Aceleración transversal máxima de un punto del medio. suponiendo que la dirección de propagación es el eje X y que la de vibración es el eje Y.Ψ(x.2 v = = =0.2 m λ 0. es: .1 La velocidad de propagación de la onda resulta entonces igual a: λ 0.1 dt Y su valor máximo: 40π2 m/s2 4. b) La velocidad transversal máxima de un punto alcanzado por la vibración. Es decir: 20π m/s En cuanto a la aceleración es: d2ψ πx =−40 π 2 sen( −2 πt ) 2 0.1 Siendo su valor máximo cuando el coseno se haga la unidad.2m/ s T 1 La velocidad con que se mueve una partícula cualquiera de la cuerda es: dψ πx =20 π cos ( −2 πt ) dt 0. Hallar: a) La ecuación de la onda. t) = A sen 2π ( x t − λ T ) E identificando términos se obtiene: De 2π =2 π →T =1 s T De 2π π = → λ=0. una amplitud de 4 m y una velocidad de propagación de 200 m/s. Solución a) La velocidad de propagación de la onda es: v = λ*f = 20*10-2*25 = 5 m/s b) Al ser A = 3*10-2 m y f = 25 Hz.y=4 sen ( π x +20 πt) 10 b) La velocidad de un punto del medio es: dy π =80 π cos ( x +20 πt ) dt 10 Siendo su valor máximo: 80π m/s c) En cuanto a la aceleración: d2 y π 2 =−1600 π sen ( x+ 20 πt) 2 10 dt Y su valor máximo: 1600π2 ms-2. b) La ecuación de onda sabiendo que el foco emisor se encuentra en el origen de coordenadas y que en t = 0. 5. fijo al resorte. El foco emisor. siendo 20 cm la distancia entre dos puntos que están en fase. c) La velocidad y aceleración máximas de una partícula cualquiera del resorte. Encontrar: a) La velocidad con que se propaga la onda. la ecuación de onda escrita en el SI es: . Ψ(x. vibra con una frecuencia de 25 Hz y una amplitud de 3 cm (se supone que no hay amortiguamiento). t) = 0. Una onda longitudinal se propaga a lo largo de un resorte horizontal en el sentido negativo del eje de las x. 03*(50π) 2 = -739.03∗50 πcos ( −t ) dt 5 ( dψ ) =1.28∗640 )∗2.1=281. t )= Asen 2 πν ( xv −t )=0.5 π =4.2 y 27. Solución La función de onda de cada movimiento viene dada por: ψ 1= Asen ( k x1 −ωt ) ψ 2 =Asen ( k x 2−ωt ) La diferencia de fase entre estos dos movimientos será entonces: φ=( k x 1−ωt ) −( k x 2−ωt )=k ( x 1−x 2) = ¿ ( 6.3 m. Hallar la diferencia de fase con que interfieren en un punto que dista de los orígenes de aquellos respectivamente 25. 34 rad 30 2π 2 πν x 1−x 2 )= ( ( x1 −x2 ) λ v . Dos movimientos ondulatorios coherentes de frecuencia 640 Hz.71 m/s dt max Y la aceleración de un punto cualquiera del resorte: x d2 y =−¿ 0.03*(50π)2 sen 50 π ( −t) 2 5 dt ( d2ψ ) =−¿ 0. 47 m/s2 d t 2 max 6. se propagan por un medio con la velocidad de 30 m/s.ψ ( x .03 sen 50 π ( x5 −t) c) La velocidad de un punto cualquiera del resorte vale: dψ x =0. 400 x +250 t) La ecuación de una onda que se desplaza de derecha a izquierda es: x t y= Asen( + ) λ T a) Comparando: A = 1.75 cm 2π 2π =250 →T = =0. la frecuencia. Una cuerda vibra de acuerdo con la ecuación y = 5 sen (πx/3) cos (40πt) (x en m y t en s). Encontrar a) la amplitud. b) Distancia entre nodos. 75 sen (0. 8.7 f = =40 Hz → λ=v∗T → v= = =628 cm/ s T T 0. La ecuación de una onda transversal en una cuerda es y = 1.7.400 x + 250*0. y = 1.0040 s c) está la onda viajando en la dirección positiva o negativa del eje x. 75 sen (0.025 s T 250 2π =0. c) La onda viaja de derecha a izquierda. 75 sen (0. 75 sen (0.75 sen(0. a) Hallar la amplitud y velocidad de fase de las ondas cuya superposición puede dar lugar a dicha vibración. 0040) = 1. longitud de onda. .5 cm λ 1 λ 15. 5) t = 0. período y velocidad de propagación b) la elongación de la cuerda para t = 0.400 → λ=12.400 x +250*0.400 x +1) Ambas elongaciones dependen de la posición x sobre la cuerda. 0020 s.400 x +250 t) estando las distancias medidas en cm y el tiempo en segundos.025 b) Sustituyendo: t = 0.400 x +0. y = 1. 0040 s.75 sen (0. 0020) = 1. Solución y=1.0020 s y 0. Teniendo en cuenta que la forma general de la ecuación de la onda resultante de la superposición es: y 2=2 Asenkxcosωt Identificando.5 m cuando t = 9/8 s. desarrollando la expresión: y m= y 1 + y 2 E identificando es: 5 A= mφ=π 2 La velocidad de fase será: ω 40 π ν= = =120m/ s κ π ( ) 3 b) La distancia entre nodos es: λ 2π d= = =3 m 2 2κ . amplitud y vector k. Solución a) Una onda de este tipo resulta de la superposición de dos movimientos ondulatorios: y 1= Asen ( kx−ωt ) y 2= Asen(kx−ωt+ φ) De igual frecuencia.c) Velocidad de una partícula de la cuerda situada en x = 1. resulta: π −1 κ= m 3 Y ω=40 π s−1 Por otra parte. propagándose en sentidos opuestos. 5 es entonces: dy 1. Es decir: dy πx =5∗40 π∗sen ( )cos ( 40 π ) dt 3 La velocidad de la partícula considerada en el instante t = 9/8 s e x = 1.2 ) sen( La amplitud es: 2 πx ) cos ( 125. Una cuerda con ambos extremos fijos vibra con su modo fundamental.c) La velocidad de las partículas de la cuerda se obtiene derivando respecto del tiempo la ecuación de la onda.20 v 3200 λ=v .6 rad /s y la ecuación de la onda y=2 ( 1. la amplitud de la onda estacionaria en su antinodo es 1.5∗π π∗9 =200 π∗sen cos 40 =200 π m/ s dt 3 8 ( ) ( ) 9. Solución La onda resultante es: y=2 Asen(kx )cos ( ωt) La amplitud en un antinodo es la máxima A = 1. Las ondas tienen una velocidad de 32 m/s y una frecuencia de 20 Hz.20 cm a) Calcular la amplitud del movimiento de los puntos de la cuerda a distancias de a) 80 cm b) 40 cm y c) 20 cm del extremo izquierdo de la cuerda.T = = =160 cm f 20 ω=2 π∗20=40 π =125.6 t ) 160 . 69 cm ( 160 4 2 .x=80 cm y 0=2 ( 1.4∗sen 2π π √2 .4∗sen 2π π .40 ) =2.4 sen ( ) =2.20 )=2.4 cm ( 160 2 x=20 cm y 0=2.2 ) sen =2.4 sen ( )=2.4 ( )=1.4 sen ( π )=0 cm ( 2 π∗80 160 ) x=40 cm y 0=2.