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Praticando6 MATEMÁTICA Edição Renovada Á L V A R O ANDRINI prm6_capa_pnld_2017.indd 1 M A R I A J O S É VASCONCELLOS COLEÇÃO PRATICANDO M A T E M Á T I C A M AT E M ÁT I C A 18/05/2015 11:19 Praticando 6 Matemática Edição Renovada Coleção Praticando M a t e m á t i c a Á L V A R O ANDRINI M at e m át i c a Licenciado em Matemática. Pós-graduado em Álgebra Linear e Equações Diferenciais. Foi professor efetivo de Matemática da rede estadual durante trinta anos. Autor de diversos livros didáticos. M a r i a J o s é vasconcellos Licenciada em Matemática. Coordenadora de Matemática em escola da rede particular. Coautora de coleção de Matemática para o Ensino Médio. 4a edição São Paulo, 2015 prm6_001_024_unid01.indd 1 5/13/15 3:02 PM Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Andrini, Álvaro Praticando matemática 6 / Álvaro Andrini, Maria José Vasconcellos. – 4. ed. renovada. – São Paulo: Editora do Brasil, 2015. – (Coleção praticando matemática; v. 6) Suplementado pelo manual do professor. Bibliografia ISBN 978-85-10-05889-6 (aluno) ISBN 978-85-10-05890-2 (professor) 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Vasconcellos, Maria José. II. Título. III. Série. 15-03473 CDD-372.7 Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática: Ensino fundamental 372.7 © Editora do Brasil S.A., 2015 Todos os direitos reservados Direção executiva: Maria Lúcia Kerr Cavalcante Queiroz Direção editorial: Cibele Mendes Curto Santos Gerência editorial: Felipe Ramos Poletti Supervisão editorial: Erika Caldin Supervisão de arte, editoração e produção digital: Adelaide Carolina Cerutti Supervisão de direitos autorais: Marilisa Bertolone Mendes Supervisão de controle de processos editoriais: Marta Dias Portero Supervisão de revisão: Dora Helena Feres Consultoria de iconografia: Tempo Composto Col. de Dados Ltda. Coordenação editorial: Valéria Elvira Prete Consultoria técnica: Eduardo Wagner e Nilza Eigenheer Bertoni Edição: Igor Marinho Guimarães da Nóbrega Assistência editorial: Andriele de Carvalho Landim e Rafael Volner Auxílio editorial: Paola Olegário da Costa Coordenação de revisão: Otacilio Palareti Copidesque: Gisélia Costa e Ricardo Liberal Revisão: Alexandra Resende, Ana Carla Ximenes, Elaine Fares e Maria Alice Gonçalves Coordenação de iconografia: Léo Burgos Pesquisa iconográfica: Elena Ribeiro, Joanna Heliszkowski e Juliane Orosco Coordenação de arte: Maria Aparecida Alves Assistência de arte: Leticia Santos Design gráfico: Andrea Melo Capa: Patrícia Lino Imagem de capa: Pygmalion Karatzas com pesquisa iconográfica de Léo Burgos Ilustrações: DAE, Danillo Souza, Estúdio Ornintorrinco, Hélio Senatore, Ilustra Cartoon, Jorge Zaiba, Leonardo Conceição, Marcelo Azalim, Paulo José, Pedro Sotto, Reinaldo Rosa, Ronaldo Barata e Zubartez. Produção cartográfica: Sônia Vaz Coordenação de editoração eletrônica: Abdonildo José de Lima Santos Editoração eletrônica: Adriana Albano, Armando F. Tomiyoshi, Débora Jóia, Gabriela César, Gilvan Alves da Silva, José Anderson Campos e Sérgio Rocha Licenciamentos de textos: Cinthya Utiyama, Paula Harue Tozaki e Renata Garbellini Coordenação de produção CPE: Leila P. Jungstedt Controle de processos editoriais: Beatriz Villanueva, Bruna Alves, Carlos Nunes e Rafael Machado 4a edição, 2015 Rua Conselheiro Nébias, 887 – São Paulo/SP – CEP 01203-001 Fone: (11) 3226-0211 – Fax: (11) 3222-5583 www.editoradobrasil.com.br prm6_001_024_unid01.indd 2 5/13/15 3:02 PM Apresentação Prezado aluno, Você já deve ter perguntado a si mesmo, ou a seu professor: “Para que eu devo estudar Matemática?” Há três respostas possíveis: 1. A Matemática permite que você conheça melhor a realidade. 2. A Matemática pode ajudar você a organizar raciocínios. 3. A Matemática pode ajudar você a fazer descobertas. Este livro e as orientações de seu professor constituem um ponto de partida. O caminho para o conhecimento é você quem faz. Os autores prm6_001_024_unid01.indd 3 5/13/15 3:02 PM “Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real.” Lobachevsky Agradecemos ao professor Eduardo Wagner pelos comentários e sugestões que contribuíram para a melhoria deste trabalho. prm6_001_024_unid01.indd 4 5/13/15 3:02 PM Sumário Unidade 1 – Sistema de Unidade 5 – Potenciação e raiz numeração decimal quadrada de números naturais 1. Um pouco da história dos números............. 7 1. Potenciação......................................................................79 2. Criando símbolos e regras...................................10 2. Quadrados, cubos e potências.......................81 3. O sistema de numeração decimal 3. O expoente 0 e o expoente 1..........................82 e os algarismos indo-arábicos..........................14 4. Raiz quadrada.................................................................84 4. Leitura e escrita de números no sistema de numeração decimal......................16 Unidade 2 – Números naturais 1. Os números naturais e os processos de contagem.........................................25 Unidade 6 – Múltiplos e divisores 1. Sequência dos múltiplos de um número...............................................................91 2. Fatores ou divisores de um número natural.............................................................93 2. A reta numérica e os números naturais.......28 3. Critérios de divisibilidade – Unidade 3 – Adição e subtração 4. Números primos..........................................................99 economizando cálculos........................................95 de números naturais 5. Quando os múltiplos 1. As ideias da adição e da subtração.............35 6. Divisores comuns e o mdc..............................106 se encontram...............................................................103 2. Cálculo mental nas adições e nas subtrações...........................................................40 3. Estimando por arredondamento..................42 Unidade 4 – Multiplicação e divisão de números naturais Unidade 7 – Dados, tabelas e gráficos de barras 1. Para que servem os gráficos?..........................113 2. Vamos fazer uma pesquisa estatística?...............................................119 1. As ideias da multiplicação..................................49 2. As ideias da divisão....................................................54 Unidade 8 – Observando formas 3. Expressões numéricas.............................................62 1. As formas da natureza e as formas 4. Propriedade distributiva criadas pelo ser humano...................................123 da multiplicação..........................................................66 2. Formas planas e não planas............................125 5. Vamos resolver mais problemas?..................68 3. Investigando os blocos retangulares..........130 6. Medindo o tempo.....................................................71 4. Perspectivas e vistas...............................................133 prm6_001_024_unid01.indd 5 5/13/15 3:02 PM Unidade 9 – Ângulos Unidade 12 – Números decimais 1. Falando um pouco sobre ângulos............141 1. A notação decimal..................................................205 2. Números decimais e o registro 2. Ângulos – elementos e representação..........................................................142 3. Medidas de ângulos...............................................144 4. Utilizando o transferidor...................................147 5. Retas perpendiculares e retas paralelas..........................................................149 6. Os esquadros................................................................151 Unidade 10 – Polígonos e circunferências 1. Polígonos..........................................................................157 2. Triângulos........................................................................160 3. Quadriláteros...............................................................161 4. Polígonos regulares.................................................164 5. Perímetro.........................................................................166 de medidas.....................................................................210 3. Números decimais na forma de fração...........................................................................212 4. Comparando números decimais...............212 5. Adição e subtração de números decimais............................................................................214 6. Multiplicando por 10, 100, 1 000..................216 7. Multiplicação de números decimais.........218 8. Divisão de números naturais com quociente decimal.....................................221 9. Divisão de números decimais.......................222 Unidade 13 – Porcentagens 1. O que é porcentagem?........................................231 2. Calculando porcentagens.................................234 3. A forma decimal das porcentagens............238 6. Circunferências...........................................................168 Unidade 14 – Medidas 7. Simetria nos polígonos 1. O que é medir?...........................................................243 2. Comprimentos no sistema e no círculo....................................................................171 Unidade 11 – Frações 1. Inteiro e parte do inteiro....................................177 2. Frações de uma quantidade...........................180 3. Números mistos e frações impróprias.......................................................................182 4. Frações equivalentes..............................................185 5. Comparação de frações.....................................188 6. Operações com frações......................................191 7. Inversa de uma fração..........................................196 8. Potenciação e raiz quadrada de frações........................................................................199 prm6_001_024_unid01.indd 6 métrico decimal.........................................................245 3. Medindo superfícies..............................................250 4. A área do retângulo...............................................251 5. Volumes............................................................................256 6. Quando usamos cada unidade?.................259 7. Medidas de massa...................................................261 Sugestões de livros e sites.........273 Referências..................................276 Moldes e malhas.........................277 Respostas dos exercícios...........284 Manual do Professor ................293 5/13/15 3:02 PM podemos responder à pergunta acima com facilidade. Um pouco da história dos números Ilustrações: Ronaldo Barata Você sabe o que cinco pessoas. as pessoas não sabiam contar! E como elas aprenderam? Provavelmente a partir de suas necessidades práticas. É isso mesmo! Antigamente. A humanidade levou centenas de milhares de anos para construir a ideia de número. Sistema de numeração decimal prm6_001_024_unid01.Sistema de numeração decimal 1 unidade 1. cinco flores e cinco pedras têm em comum? A quantidade! Isso mesmo! Hoje. a Matemática não existia na forma que conhecemos hoje. Quando as antigas civilizações começaram a criar animais e a plantar. Na maior parte da história da humanidade. mas nem sempre foi assim.indd 7 7 5/13/15 3:02 PM . contar passou a ser importante para que pudessem controlar o que possuíam. Um dia. Hoje. o número de carteiras é igual ao número de alunos... Desde a utilização das pedrinhas. Para cada ovelha que sai para pastar. no final do dia. ordenar. coloco uma pedra no saquinho. ele sabia que todas as ovelhas haviam voltado. o pastor separava uma pedrinha para cada ovelha que levava para pastar. O comentário dele tem relação com o processo de contagem usado pelo pastor dos quadrinhos acima? Justifiquem a resposta no caderno. ou seja. À tarde.indd 8 5/13/15 3:02 PM . Sim. Fernando Favoretto/Criar Imagem Jorge Zaiba Numeral é a forma usada para expressar um número. usamos os números para contar. Essas pedrinhas eram guardadas em um saquinho. muito tempo se passou. 8 prm6_001_024_unid01. o pastor comparava a quantidade de ovelhas que voltava do pasto com a quantidade de pedrinhas do saquinho. Se não sobrassem pedrinhas após a passagem do rebanho. O numeral pode ser um símbolo gráfico. o professor observou duas carteiras vazias e comentou que dois alunos haviam faltado.. podemos usar numerais diferentes. medir. cada carteira corresponde a um aluno. pois ele estabeleceu uma correspondência um a um. retiro uma pedra do saquinho.. costumamos usar a palavra número no lugar da palavra numeral. Forest/Shutterstock Número e numeral Para representar um mesmo número. ao chegar na sala. Vale sempre a pena lembrar quanto a humanidade trabalhou para chegar até aqui! Ronaldo Barata Veja uma situação que pode ter acontecido em um tempo bem distante.Aprendendo a contar Para cada ovelha que volta. De manhã. Várias civilizações contribuíram com a criação de métodos de contagem e símbolos para representar quantidades. Em certa sala de aula. Veja alguns numerais que representam o número cinco: cinco five V 5 Na linguagem comum. uma palavra ou um gesto. identificar. foi registrada de dois modos: 1. porque os tracinhos foram agrupados de 5 em 5. ele inventou o seguinte código: II 51 55 5 10 10 1 10 1 5 1 1 1 1 1 1 5 28 Ilustrações: Ilustra Cartoon III 5 1 1 1 1 1 10 5 17 Agora é a sua vez! Identifique o número representado em cada situação. Espera-se que o aluno responda que é a anotação do garçom. a) b) Responda: a) Em qual situação há menos jogadores do que bolas? II b) Em qual situação há mais jogadores do que bolas? III c) Em qual situação há o mesmo número de jogadores e de bolas? I d) Para responder a essas perguntas é preciso saber contar? Não. Carlos gosta de brincar com palitos de fósforo usados. Se vale 29 vale 32 e vale 45. Foi fazendo a correspondência um a um que durante muitos anos o ser humano pré-histórico pôde praticar a contagem. 24 18 c) 26 d) 19 e) 35 f) 28 g) 4. num restaurante. Veja os exemplos: 9 5/13/15 3:02 PM . I om garç te clien Em qual dessas anotações é mais fácil ler o resultado? Por quê? Resposta pessoal. 3. Para representar a quantidade de palitos que reunia em cada caixinha. bastava somar os valores de cada símbolo.indd 9 Ilustrações: DAE Para escrever um número.EXERCÍCIOS 2. Observe as ilustrações. quanto ? 27 SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL prm6_001_024_unid01. antes mesmo de estabelecer o que é número. A quantidade de latas de refrigerante consumidas durante uma festa. os primeiros sistemas de numeração. no papiro. Observe. Cada agrupamento de 10 era trocado por um novo símbolo. a posição ocupada pelo símbolo não altera seu valor. registrar essas quantidades empilhando pedras ou fazendo marcas na madeira devia ser difícil e pouco prático. criando símbolos especiais para esses agrupamentos e regras para registrar quantidades com esses símbolos.indd 10 5/13/15 3:03 PM .2. para visualizar melhor as quantidades. No sistema egípcio. há milhares de anos. Veja o exemplo: 23 23 23 10 prm6_001_024_unid01. então. Daí veio a ideia de agrupar. Surgiam. Afinal. era trabalhar com grandes quantidades. O sistema de numeração egípcio um dez  10 cem  10 dez mil mil  10  10 cem mil  10 um m ilhão Ilustrações: Jorge Zaiba Os antigos egípcios contavam formando grupos de 10 elementos. um mesmo símbolo poderia ser repetido até 9 vezes. Criando símbolos e regras Ilustra Cartoon Outra dificuldade que as pessoas provavelmente encontravam. que cada símbolo representa 10 vezes o que o símbolo anterior representa:  10 Nesse sistema. responda: a) Quantos símbolos eram usados? 7 símbolos b) Quantas vezes era permitido 53 26 Até repeti-los? 9 vezes. Copie e complete a tabela.)? Não. Ele tem 6 741 quilômetros de extensão e corta o Egito de norte a sul. g) Isso facilitava os cálculos (somar. Veja a adição 86 1 47 no sistema egípcio: Fazer operações no sistema egípcio é trabalhoso! EXERCÍCIOS 5. 10 231 7. sistema de numeração egípcio. O Nilo é um dos maiores rios do mundo. 411 2 352 1 527 e) O valor do número era dado pela soma dos valores dos símbolos usados? Sim. c) Havia símbolo para o zero? Não. f) Os números eram representados de forma resumida (poucos símbolos)? Não. 204 345 d) A posição em que os símbolos eram colocados para representar um número influía no valor desse número? Não.indd 11 11 5/13/15 3:03 PM . A civilização egípcia contribuiu bastante para o conhecimento matemático. subtrair etc. Com base nas informações do texto sobre o 6. Como os egípcios representavam esse número antigamente? SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL prm6_001_024_unid01.Ilustrações: Jorge Zaiba Coleção particular Representação do número 999 no sistema egípcio: A repetição de símbolos faz os registros ficarem longos! Pintura que representa a colheita de linho no Egito Antigo. Durante mais de 1 000 anos. X. Com base nas informações do quadro anterior. Hoje. O que acontece com o símbolo do número VI quando colocamos um traço horizontal sobre ele? Seu valor passa de 6 para 6 000. Quais os símbolos que podem ser repetidos? I. em vez de VIIII. para representar o 9. ou seja.indd 12 5/13/15 3:03 PM . 8 é representado com 5 1 3.O sistema de numeração romano Os antigos romanos também tinham um sistema de numeração formado por sete símbolos: I V X L C D M Observe exemplos de números escritos em nosso sistema e no sistema romano: sistema de numeração romano (forma moderna) 1 I 10 X 100 C 1 000 M 2 II 20 XX 200 CC 2 000 MM 3 III 30 XXX 300 CCC 3 000 MMM 4 IV 40 XL 352 CCCLII 4 000 5 V 50 L 400 CD 5 000 6 VI 60 LX 500 D 5 700 VDCC 7 VII 70 LXX 600 DC 10 000 X. você e seus colegas devem responder oralmente às questões. 8 VIII 80 LXXX 700 DCC 16 500 XVID 9 IX 90 XC 800 DCCC 1 000 000 tIV V. Todos os símbolos romanos podem ser repetidos? Não. pois IV eram as duas primeiras letras do nome Júpiter (deus romano): não se podia invocar esta palavra em vão. a numeração romana ainda é utilizada em algumas situações. o sistema de numeração romano foi utilizado na Europa. como nos mostradores de alguns relógios. Os antigos romanos registravam o 4 assim: IIII. IX 9 10  1 I antes do X Da mesma forma: XL 40 50  10 X antes do L XC 90 100  10 X antes do C Observe que usamos a subtração para não repetir o mesmo símbolo mais de três vezes seguidas. Por volta do século XIII. com a expansão do comércio e das navegações. na numeração de capítulos de livros e de leis. os símbolos romanos foram substituídos pelos algarismos indo-arábicos. Como registramos 99 no sistema romano? E 999? CMXCIX 12 prm6_001_024_unid01. na escrita dos números dos séculos. C e M 3. inxti/Shutterstock Mu No entanto. XCIX 4. escreve-se IX. 1. 2. na designação de reis ou papas de mesmo nome etc. Aqui usaremos a forma moderna do sistema romano. No sistema romano encontramos: VIII 5 V 1 III. na qual cada símbolo será repetido até três vezes. Descubra o menor número que se pode escrever com os símbolos I. usamos os símbolos romanos. Copie e complete o quadro. V. a soma é sempre 15. a) Usando esse raciocínio. Veja o quadro e faça o que se pede. d) Em que ano começou e em que ano terminará o século XXI? 2001 e 2100 e) E o século XXX? 2901 e 3000 14. coluna ou diagonal. Para escrever os séculos. Como podemos representar esse número no sistema romano? XLIX 12.Estou lendo o capítulo 49 de um livro. a) b) V III X XX XXV XXX XXXV XL XII XV XVIII XXI XXIV Invenção Ano XVII telescópio 1609 XIX bicicleta 1842 XV VI IX 10. usamos a subtração para não repetir o mesmo símbolo mais de três vezes seguidas. CM b) O número CM tem o mesmo valor que MC? Não. c) Observando o item anterior. em São Paulo. d) Qual número está escrito na fachada desta casa? 11. XLIV 13. 26 XXVI LXXIII 73 505 DV DCCCII 802 1 034 1 409 b) Copie o quadro e escreva o século referente às seguintes invenções: MXXXIV MCDIX Século c) Em que século Pedro Álvares Cabral chegou ao Brasil? Século XV. X e L. podemos concluir que no sistema romano a posição do símbolo é importante? Sim. O que você descobre neste quadrado? II VII VI IX V I IV III VIII Em qualquer linha. Zubartez Nasci em 1992. Rubens Chaves/Pulsar Imagens 1911 Ano Século 1 a 100 I 101 a 200 II 201 a 300 III 301 a 400 IV e assim por diante… a) Em que século nasceu Vítor? Século XX. por exemplo. Descubra o segredo da sequência e continue-a.indd 13 13 5/13/15 3:03 PM . escreva como se representa 900 no sistema romano. SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL prm6_001_024_unid01.EXERCÍCIOS 8. 9. No sistema de numeração romano moderno. ◆◆ As quantidades de 1 a 9 têm símbolos diferentes para representá-las. deu origem ao sistema de numeração que hoje usamos. ◆◆ ◆◆ Possui um símbolo (o zero) para representar no número a ausência de unidades. 10 unidades 1 dezena 10 dezenas 1 centena 10 centenas 1 unidade de milhar 10 unidades de milhar 1 dezena de milhar 10 dezenas de milhar 1 centena de milhar 10 centenas de milhar 1 unidade de milhão e assim por diante. 230 etc. Sistemas de numeração em que a posição do algarismo altera seu valor são chamados sistemas posicionais. como: 23. Um deles. centenas etc. inventado na Índia. 5 5 5 valor 5 valor 500 Cada posição à esquerda vale 10 vezes a posição imediatamente à direita. dezenas. ◆◆ O sistema é decimal ou de base 10. Com somente dez símbolos (os algarismos) é possível registrar todos os números. pois o mesmo algarismo assume valor diferente de acordo com sua posição na escrita do número.3. agrupamos quantidades de 10 em 10.indd 14 5/13/15 3:03 PM . ele apresentou características que o tornaram mais prático que os outros. ou seja. Depois de aperfeiçoado. fica difícil diferenciar registros feitos com os mesmos algarismos. 203. valor 50 7 0 4 6 valor 6 valor 40 valor 7 000 o zero nesta posição indica que não há centenas 15 648 5 10 000 1 dezena de milhar 1 5 000 5 unidades de milhar 1 600 6 centenas 1 40 4 dezenas 1 8 8 unidades 14 prm6_001_024_unid01. O sistema de numeração decimal e os algarismos indo-arábicos Muitas civilizações antigas criaram seus próprios sistemas de numeração. Vamos resumir essas características. 2 003. Zero – a grande sacada! Sem um símbolo para indicar a ausência de agrupamentos em determinada posição. indd 15 15 5/13/15 3:03 PM . 10 e 1 unidades. um medicamento foi embalado em caixas onde cabem 1 000. trocaria os cartões brancos por um cartão azul. Danillo Souza 8 606 Quantas unidades desse medicamento foram embaladas? 2 364 unidades 20. O total de caixas utilizadas aparece na figura a seguir. Numa gincana ficou acertado que: ◆◆ cada 19. Qual número tem uma centena a mais que 13 centenas e 8 unidades? 1 408 1 500 1 6 15 50 50 000 5 400 000 1 30 000 1 600 1 2 f) 430 602 21.EXERCÍCIOS 15. ponto valeria um cartão branco. Marcelo Azalim 22. Responda: verdadeiro ou falso? a) b) c) d) 35 centenas são 3 500 unidades V 1 200 unidades são 12 dezenas F 18 milhares são 108 centenas F 23 460 unidades são 2 346 dezenas V 18. Escreva o número formado por: a) 2 centenas mais 9 dezenas. Completaria 300 pontos e deveria trocar seus cartões brancos e azuis por mais um cartão vermelho. 17. B: 298. Copie e complete. O que aconteceria com a equipe B se tivesse conseguido mais 2 cartões brancos? é o mesmo que o das centenas. Qual equipe fez menos pontos? A equipe A. (Saresp) Numa farmácia. Descubra o número: 2 494 e o meu algarismo das unidades a) b) c) d) Quantos pontos fez cada equipe? A: 254. 500 000 cartões brancos Sou um número com 249 dezenas. trocaria por 1 cartão vermelho. Considere o número 9 580 752. Quantas unidades representa o algarismo 5 que está à esquerda do 2? E o que está à esquerda do 8? 50. ◆◆ quando uma equipe fizesse 10 pontos. C: 266 Qual é a equipe vencedora? A equipe B. 290 b) 1 milhar mais 5 dezenas. 100. SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL prm6_001_024_unid01. 1 050 c) 8 milhares mais 6 centenas mais 6 unidades. 400 5 5 60 000 1 600 1 6 c) 60 606 1 3 000 1 d) 13 076 5 e) 50 555 5 Equipe C cartões vermelhos cartões azuis 1 70 10 000 Veja o resultado no final das provas: Equipe B 1 30 1 b) 8 435 5 8 000 1 ◆◆ quando Equipe A 5 5 000 1 80 1 9 a) 5 089 16. uma equipe juntasse 10 cartões azuis. Nas manchetes e reportagens de jornais e revistas é comum encontrarmos números. classe dos milhares. recortem e colem no caderno um número que tenha: a) 5 ordens. b) o algarismo 4 na ordem das centenas. b) Escrevam o número que é dez vezes maior que oito centenas. classe das unidades simples. No caderno respondam às questões ou faça o que se pede. Jorge Zaiba À esquerda da classe dos milhões vem a classe dos bilhões. e) Quanto falta: ◆ a 350 para completar 1 unidade de milhar? 650 ◆ a 1 200 para completar 1 dezena de milhar? 8 800 16 prm6_001_024_unid01. Em dupla com um colega. a) A posição do símbolo no registro de números no sistema de numeração Nas quantias em dinheiro decimal é importante? devemos separar as classes Expliquem. Respostas pessoais. Note que também separamos os algarismos da direita para a esquerda em grupos de três ordens. c) o algarismo 2 na ordem das unidades de milhão. dos quatrilhões. e assim por diante. Lê-se: duzentos e três milhões.indd 16 5/13/15 3:03 PM . Cada grupo desses forma uma classe. depois dela. recibos. Assim.com Cheques. 8 000 c) Uma centena equivale a quantas dezenas? 10 d) Quais são as classes de um número escrito com oito algarismos no sistema de numeração decimal? Classe dos milhões. novecentos e oitenta e sete mil. Sim. 2. procurem. Partindo da direita para a esquerda. É preciso saber ler e escrever os números corretamente para não ter dificuldades na vida prática! Segundo dados do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). temos: 2 0 3 ordem das ordem das ordem das centenas dezenas unidades de milhão de milhão de milhão classe dos milhões 9 8 7 ordem das ordem das ordem das centenas dezenas unidades de milhar de milhar de milhar classe dos milhares 2 2 3 ordem ordem ordem das das das centenas dezenas unidades classe das unidades simples 1. a classe dos trilhões. Leitura e escrita de números no sistema de numeração decimal AMilkin/iStockphoto. em certo momento do ano de 2015 a população brasileira era de 203 987 223 habitantes. com um ponto. deem exemplos. cada algarismo corresponde a uma ordem. Escrevam por extenso cada um dos números encontrados.4. Esse número tem nove algarismos. pois posições diferentes determinam números diferentes: 803  380. notícias. d) a classe dos bilhões... duzentos e vinte e três habitantes. com nove mil.018.Quando emitimos um cheque. Copie e complete o quadro: 26.000. Ao final de um jogo de futebol. Oitocentos e doze mil. quatro mil e cinco Jorge Zaiba 24. seiscentos e oitenta e cinco reais.00 27. Considere o número 81 235. Trinta mil e dezoito reais. a) Como você escreveria por extenso esses números? Público: vinte e seis mil e nove pessoas. b) E como escreveria com algarismos esta outra renda: ◆◆ dois milhões e cinquenta reais? R$ 2. Observe: 20 100 vinte mil e cem 9 660 Gorvik/Dreamstime. 812 305 b) Escreva a leitura do número obtido.050. SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL prm6_001_024_unid01. o painel eletrônico mostrou: Renda: quinhentos e quarenta mil. trezentos e cinco.00# a) Quantos quilômetros esse automóvel já percorreu? Escreva por extenso. No painel de controle dos automóveis podemos ler o número de quilômetros que o veículo já percorreu. Zubartez Ronaldo Barata 25. é necessário escrevermos por extenso o seu valor. Sessenta mil.EXERCÍCIOS 23. a) Coloque um zero entre dois dos seus algarismos. 060423 #30. quatrocentos e vinte e três.indd 17 17 5/13/15 3:03 PM . b) Qual é o maior número que esse marcador de quilometragem pode mostrar? 999 999 Agora entendi o significado da expressão: “um zero à esquerda”. seiscentos e sessenta trinta e dois mil e 32 062 sessenta e dois um milhão e um 1 000 001 12 004 005 doze milhões. Escreva por extenso a quantia que deveria ser preenchida neste cheque. de modo a obter o maior número possível. fazendo a correspondência correta entre as quantidades. 18 prm6_001_024_unid01. d) Quantas unidades vale o algarismo 2? 2 000 000 32. Nesse número: a) Qual algarismo ocupa a ordem das dezenas de milhar? 5 b) Qual ordem o algarismo 8 ocupa? Unidades de bilhão. Quantas vezes em um dia os algarismos 1. cada corresponde a 20 milhões de habitantes. 190 000 000 b) A quantos habitantes corresponde cada da representação acima? 10 milhões ou 10 000 000 c) Na representação abaixo. a população brasileira é de: 190 milhões de habitantes 30. 3 e 6 aparecerão todos juntos no visor do relógio? Alternativa b. (C) (H) (I). 2. Os seis algarismos vão do menor ao maior. (D) (G) (J) 31. 16 : 32. (CPII-RJ) Veja como o número de habitantes do Brasil foi representado em um jornal carioca: Hoje. Qual é o número da credencial de Sílvia? 235 689 Ilustrações: DAE 29. O número da credencial de Sílvia tem seis algarismos distintos. Exemplo: A F K A 10 centenas B 50 dezenas C 50 milhares D 5 milhões E 500 F 1 000 G 5 000 000 H 50 000 I 5 000 dezenas J 50 000 centenas K 1 milhar L 5 centenas (B) (E) (L). Ronstik/Dreamstime.indd 18 5/13/15 3:03 PM .Danillo Souza 28. 7 e 1. Relacione três círculos. um de cada cor. Entre eles não há 0. Considere o número: 8 972 056 143. 23 : 16 A fotografia mostra uma das possibilidades. milhões. 4. 12 : 36. 5 vezes 6 vezes 7 vezes 8 vezes 16 : 23. c) A que classe pertence o algarismo 4? E o 9? Unidades.com a) Escreva o número de habitantes do Brasil utilizando apenas algarismos do sistema de numeração decimal. variando de 00:00 até 23:59. 21 : 36.(CAP-UFPE) Sérgio tem um relógio digital que marca horas e minutos. Quantos habitantes estão representados? 220 milhões ou 220 000 000 a) b) c) d) 13 : 26. (indo porque o antigo povo indiano foi seu criador. STRUIK.Objeto educacional digital História dos numerais indo-arábicos Os hindus trouxeram muitas contribuições para a Matemática. A palavra algarismo vem do nome de um matemático árabe. Lembre-se sempre de quanto tempo e trabalho foram necessários para desenvolvê-lo! Eduard Kim/Shutterstock Por que o nome indo-arábico? Mohammed ibn Musa al-Khwarizmi. SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL prm6_001_024_unid01. Trata-se de uma das mais importantes invenções da humanidade. chamados de algarismos. Escrevemos. e arábico porque os árabes ajudaram a aperfeiçoá-lo e também foram os responsáveis por sua divulgação. O primeiro registro que temos de um número nesse sistema é uma data (346) escrita em um prato do ano 595. 1997.indd 19 19 5/13/15 3:03 PM . Lisboa: Gradiva. Somente depois da invenção da imprensa é que os símbolos foram padronizados até chegar aos que utilizamos hoje. que escreveu e traduziu muitas obras matemáticas levadas pelos árabes para o Ocidente. ou indo-arábico. O sistema de numeração que hoje usamos é conhecido como sistema de numeração decimal. Dirk J. século vi (indiano) século X (árabe oriental) século X (europeu) século Xv (árabe oriental) Jorge Zaiba Veja como a grafia dos numerais indo-arábicos foi se modificando com o passar do tempo: século Xv (europeu) um dois três quatro cinco seis sete oito nove zero A forma de desenhar os numerais variava porque antigamente os livros e documentos eram todos escritos à mão. lemos e fazemos operações com números usando seus símbolos e regras. É difícil imaginar a vida sem ele. O sistema de numeração decimal posicional é a mais conhecida delas. Mohammed ibn Musa al-Khwarizmi. obviamente com diferentes caligrafias. História concisa das matemáticas. principalmente na Europa). O sistema de numeração decimal está presente em inúmeras situações do nosso dia a dia. Além disso. quando aprendemos e aplicamos a Matemática.. que permitem termos computadores.indd 20 5/13/15 3:03 PM ... TV digital e aparelhos de tomografia.VALE A PENA LER Matemática – uma grande criação da humanidade É comum as pessoas imaginarem que a Matemática foi inventada por grandes gênios. a Matemática é construída com tentativas. que. nossa sociedade utiliza esses conhecimentos. amanhã as operações e no domingo.. Portanto. por exemplo. A Matemática possibilita descrever e estudar fenômenos da natureza como o clima. importantes para a vida pessoal e profissional. “. programavam suas criações. a estrutura do DNA dos seres vivos. Pensar é exercício de alegria” Jorge Zaiba Mas não é assim que as coisas acontecem. Gosta de investigar. Hoje.. E então? A Matemática não é mesmo uma grande criação da humanidade? Pense nisso! Carlos Drummond de Andrade 20 prm6_001_024_unid01. o movimento dos planetas. Ronaldo Barata Hoje vou inventar os números. com muito trabalho. pensar não é triste. Além de ter necessidade de criar ferramentas matemáticas para resolver problemas práticos.. erros e acertos.. como o cálculo de um troco ou a medição de um terreno.. descobrir e explicar coisas que acontecem ao seu redor! Por isso. até os sofisticados. desenvolvemos nossas habilidades de raciocínio e de pensamento lógico. as ligações químicas.. o ser humano é curioso por natureza. desde os mais simples. algumas fórmulas bem difíceis. radares. debruçados sobre seus livros. O conhecimento matemático vem sendo construído pela humanidade ao longo de milênios.. O correto é falar “oito algarismos”. Considere os números: 35.REVISANDO 39. 1 feijão vermelho vale 10 feijões brancos. Dos sete bilhões de habitantes do planeta. 37. Ganharia a brincadeira quem conseguisse acertar com os três feijões o número escrito no cartão. Reescreva a notícia representando os números com algarismos. Veja a placa de um carro: Valéria Vaz 33. Zero. o zero pode ser suprimido? 800 000 000 passam fome. aparece o número que havia no cartão e os três feijões extraídos. Três. oitocentos milhões passam fome. 770 7 700 7 707 777 7 077 70 700 Quais deles têm 77 centenas? 7 700 e 7 707 Léo Burgos 36. SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL prm6_001_024_unid01. a) Escreva esse número usando algarismos. Ari Carla Lucas Sílvia 3 12 201 21 Pedro Solange Luís Maria 30 111 300 102 Ilustra Cartoon No quadro seguinte. o número de séculos que a Terra tem. duzentos e sete. Três. Em seguida. 38. Não. embaixo do nome de cada participante. Sim ou não? a) Os números 6 873 e 06 873 são iguais? Sim. nove. aqui ele aparece como código. haviam combinado a seguinte regra de cores: 1 feijão branco vale uma unidade. É correto falar assim? Os telefones da minha cidade têm 8 números. cada um tirou. Uma. 1 feijão preto vale 10 feijões vermelhos. c) quatrocentos mil e quinze. Dos 7 000 000 000 de habitantes do planeta. Não. Quem ganhou? Lucas. 40. Uma turma de 8 alunos brincava com feijões.Veja o número representado no visor da calculadora: 41. 4 600 000 000 b) Escreva. Três milhões. Quarenta e seis milhões de séculos. c) Qual é o maior número que se pode escrever utilizando todos esses algarismos? 9 410 d) Nesta situação. Indique quantas vezes você vai usar a tecla 0 da sua calculadora para representar nela cada um dos seguintes números: a) nove mil e doze. 34. Os cientistas afirmam que a Terra existe há cerca de quatro bilhões e seiscentos milhões de anos. b) O número 085 é considerado de dois algarismos? Sim. b) oitenta mil e oito.indd 21 21 5/13/15 3:03 PM . a) Quantos algarismos há nesta placa? 4 b) Escreva por extenso o número da placa. três feijões de um único saco com feijões pretos. Escreva como se lê esse número. Anteriormente. quatro: cento e noventa e quatro. cinquenta mil. um. Cada um tirou de uma caixa um cartão em que aparece um número escrito. ao acaso. por extenso. vermelhos e brancos. b) Quantas unidades vale o algarismo 2? 200 c) Na escrita do número aparece duas vezes o algarismo 3. O ábaco é um instrumento que possibilita contar e calcular. 5:55. e assim por diante.indd 22 5/13/15 3:03 PM . Represente no sistema de numeração decimal o número formado por 1 centena de milhar mais 4 milhares mais 3 dezenas.DESAFIOS 45. Entre os vários tipos de ábaco. Um representa 30 unidades e o outro. A haste na 1a posição à direita representa a casa das unidades. Um número de cinco algarismos apresenta: ◆◆ zero nas duas primeiras ordens. Mauro e Carlos deveriam representar números num ábaco de acordo com a legenda: ◆◆ Paulo: Que número está representado abaixo? 40 832 2 3 dois mil cento e quatro ◆◆ Mauro: dez mil e cinquenta e três ◆◆ Carlos: cento e sete mil e dezoito 8 4 47. 11:11. Paulo.com Paulo Mauro Carlos Quem errou? Mauro. 22:22 Ronstik/Dreamstime. 1:11. 104 030 a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 22 prm6_001_024_unid01. No Brasil. chamado por eles de soroban. quantas vezes por dia o mostrador apresenta todos os algarismos iguais? 0:00. 2:22. Veja um número representado no ábaco: para representar 56 e 2 a) Como se lê esse número? Cinquenta e três mil. a das dezenas. ele é muito usado nas escolas. na 3a posição. Alternativa c. o povo desenha: 5 6 Ilustrações: Jorge Zaiba 42. na 2a posição. 44. O valor de cada bolinha muda de acordo com a posição da haste na qual é colocada. ◆◆ o algarismo de maior valor posicional é 3. a das centenas. 4:44. Não. 3 000 unidades. Os japoneses são extremamente hábeis para calcular com o ábaco. ◆◆ o algarismo das centenas é 5. Será que esse algarismo tem o mesmo valor em ambas as posições? 3 7 para representar 723. duzentos e trinta e sete. um deles é composto de hastes verticais em que são encaixadas pequenas bolinhas. No país dos quadrados. 43. (OBM) Num relógio digital que marca de 0:00 até 23:59. 3:33. Qual é esse número? 38 500 46. ◆◆ o algarismo 8 tem valor posicional 8 000. Ele cometeu um erro em: Alternativa d. 48.050. (Saresp) Rubens contou e separou alguns selos. 750 b) 1 426. a) 1 308 407 c) 1 308 470 b) 1 308 047 d) 1 380 047 1o ábaco 50.00 51.00 c) R$ 5. a) 333 b) 660 c) 900 d) 963 49. a) R$ 500. o total de habitantes dessa cidade é: Alternativa b. Então. a) 3 890. Anunciou-se que o próximo prêmio da Loto será de cinco milhões e cinquenta mil reais. a) 239 459 c) 835 317 b) 655 738 d) 428 816 2o ábaco a) 658 c) 586 b) 856 d) 685 53. a) 3 algarismos. (Saresp) A população de uma cidade é de um milhão trezentos e oito mil e quarenta e sete habitantes.005. a) 4 240 b) 1 244 c) 40 204 d) 4 244 23 prm6_001_024_unid01. quantos selos de cada tipo havia? Alternativa b. d) Nenhuma das anteriores. Utilizando algarismos. um número apresenta 3 classes e 7 ordens. 6 050 c) 6 421. 4 302. (OM-SP) No sistema decimal de numeração.000. Se somarmos 3 centenas com 30 dezenas e com 300 unidades. 5 070 d) 5 735.00 b) R$ 5. Rodrigo deveria escrever vários números usando as palavras quarenta. Qual é outra forma de escrever essa quantia? Alternativa c.050. obtemos um novo número.000. 3 402. Colocando o algarismo 6 à esquerda deles. 3o ábaco Na ordem da figura. o algarismo das unidades é 8 e o das dezenas é 5.A diferença entre o maior número de 4 algarismos diferentes e o menor número também de 4 algarismos diferentes é: Alternativa b. Ilustrações: Jorge Zaiba 52. c) 10 algarismos.Em um número.AUTOAVALIAÇÃO Anote no caderno o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta.050. 4 374. a) 8 642 b) 8 853 c) 9 876  1 023 5 8 853 8 999 d) 9 000  54. duzentos. esse número tem: Alternativa b. quanto obtemos? Alternativa c. 4 700 56. Ele registrou a quantidade de cada tipo de selo em 3 ábacos.000. mil e quatro. b) 7 algarismos.indd 23 5/13/15 3:03 PM . que é: Alternativa a. 55.00 d) R$ 5. Em qual dos números abaixo o algarismo das dezenas de milhar é igual ao das centenas? Alternativa c. uma só vez em cada número. 583. a) b) c) d) dois números de três algarismos. 3 e 4. seis números de três algarismos. d) multiplicado por 100. Oitocentos e cinquenta e quatro dezenas. dois milhões cinquenta mil e seis. Sou um número com o algarismo das unidades 4 e tenho 218 dezenas. 58. O número formado por 1 centena de milhar mais 3 milhares mais 8 dezenas é: Alternativa c. Oito mil e cinquenta e quatro centenas. Alternativa c. A leitura do número representado pela expressão 2  1 000 000 1 5  10 000 1 6 é: Alternativa d. b) dividido por 10. a) b) c) d) Oito mil e cinquenta e quatro unidades. quatro números de três algarismos. Quem sou eu? Alternativa a. 60. a) b) c) d) dois milhões quinhentos mil e seis. dois milhões cinco mil e seis. precisamos de: Alternativa b. a) 70 353 b) 53 320 c) 43 302 d) 35 230 a) 5 e1 b) 5 e2 c) 5 e3 d) 4 e3 64. (Obmep) Cláudia inverteu as posições de dois algarismos vizinhos no número 682 479 e obteve um número menor. o valor do algarismo 3 ficou: Alternativa c. 62.AUTOAVALIAÇÃO 57. a) 2 184 b) 2 1804 c) 2 1844 d) 2 1884 63. Observe o número 68 734 219 e indique a opção correta. d) Os algarismos que formam a classe dos milhões são 7. (Prominp) Considere um sistema de representação de quantidades em que Dessa forma. 65. duzentos mil e cinquenta e seis. Qual alternativa mostra o maior número possível usando os mesmos algarismos do número representado no ábaco da figura abaixo? Alternativa b. vale 1 e vale 3. (Saresp) No número 1 372. três números de três algarismos. a) 130 080 b) 103 800 c) 103 080 d) 1 308 000 61. foi colocado um zero entre os algarismos 3 e 7. sem repetir nenhum. (Saresp) Usando os algarismos 1. 66. Quais foram esses algarismos? a) 6 e 8 Alternativa c. Pode-se afirmar que. no novo número representado. 59. vale 4. b) 2 e 4 c) 8 e 2 d) 4 e 7 24 prm6_001_024_unid01. a) dividido por 1. para Jorge Zaiba representar 17.indd 24 5/13/15 3:03 PM . Oito centenas e cinquenta e quatro milhares. Qual das frases corresponde a uma leitura do número 8 540? Alternativa b. b) O algarismo da unidade de milhar é 8. c) multiplicado por 10. a) O número apresenta 3 ordens. é possível formar: Alternativa d. 2 e 3. c) O algarismo da sexta ordem é 7. Nesse sistema. . 4. 2. 11 3. optaram por incluir o zero nesta sequência. As reticências ao fim indicam que a sequência prossegue infinitamente. ◆◆ o sucessor de 13 é 14. mais recentemente.2 Leonardo Conceição UNIDADE Números naturais 1. Escrevemos a sequência de números naturais assim: 0. 2. o funcionário vai contando: 1.indd 25 25 5/13/15 3:05 PM .. 4. . Estúdio Ornitorrinco Observe que: ◆◆ o sucessor de 8 é 9. 6 etc. 5. Alguns matemáticos. 6. 6. 9. 8. Repasse mentalmente suas ações no dia de hoje. Para contar. e assim por diante. ◆◆ o sucessor de 2 345 é 2 346. 1. 3. 11 4. 11 Sucessor de um número natural é o que vem imediatamente depois dele. 11 2. Basta somar 1 a ele. pois é sempre possível escrever o sucessor de um número natural. Eles são chamados de números naturais. 8. usamos os números 1. 0.. . 5.. 3. 4. 5. 3. Enquanto coloca os pães no saquinho. 1. 7. Os números naturais e os processos de contagem Muitas situações de nosso dia a dia envolvem contagens. Dona Sílvia foi à padaria comprar oito pãezinhos. Você utilizou os números naturais?Em quais situações? NÚMEROS NATURAIS prm6_025_034_unid02. 7. 2. 10. As palavras sucessor e antecessor aparecem na linguagem comum. CAMPO GRANDE. 13. 17. 15. 15. 9. 16. 10.. Danillo Souza Documentos de identificação. 18. 2. 4 301. Pense em um número natural bem grande. 18.. Quantos são os números naturais de dois algarismos? 99  9  90 0. 14. 7. 6.. Um número natural pode ter dois sucessores? Não. Escreva cinco números consecutivos compreendidos entre 12 e 20. 6 DE NOVEMBRO DE 2010..indd 26 5/13/15 3:05 PM . Ele tem sucessor? Sim. 4 302 e 4 303 são consecutivos. 5.. 19 4. . 5. Que número natural não tem antecessor? O zero. E o que seriam números naturais consecutivos? Veja alguns exemplos: ◆◆ ◆◆ 3. O sucessor de um número ímpar é sempre par. para identificar endereços. A HORA DA NOTÍCIA DAE Friso Gentsch/dpa/ Corbis/Latinstock Edson Antunes/Gelpi JM/Shutterstock A seguir vemos alguns exemplos do uso de números naturais.. 14. . 16. .. 17. . Há três possibilidades. 7. . E a sequência dos números naturais ímpares: 8. 8. Felipe Massa larga em 9o no GP do Brasil 26 prm6_025_034_unid02.. 1. 6. 13. placas de automóveis e . Qual é o décimo número ímpar? 19 1. sentido de ordem. 15.. Há mais de uma possibilidade de sequência ? Procurem escrever todas elas. Qual é o décimo número par? 18 9. 24 e 25 são consecutivos. telefones. Resposta pessoal. 4. que atribuem um número para cada pessoa. 2. O sucessor de um número par é sempre ímpar. Essas afirmações são verdadeiras? Sim. Depois discuta com os colegas as respostas.. Conhecemos também a sequência dos números naturais pares: ◆◆ Sim. podemos entender o que é antecessor de um número natural: é o número que vem imediatamente antes dele. 3. 11. 7 e 8 são consecutivos.. 17. ◆◆ ◆◆ Responda às questões a seguir no caderno.. Os sentidos atribuídos a elas são os mesmos da Matemática? Crie sentenças que exemplifiquem sua resposta.. 16. . 12. 23. 4 300.. O antecessor de 10 é 9. O antecessor de 2 413 é 2 412. .. e assim por diante.Mais sobre os números naturais Com base no conceito de sucessor.. A casa vizinha tem um número par ou ímpar? E a casa de frente? Par. Para quem segue do começo para o fim da rua as casas do lado direito são as de número par. Veja os números: Leonardo Conceição 1 011 a) b) c) d) 1 101 1 110 1 100 1 001 Qual é o maior deles? E o menor? 1 110. ímpar. c) Quantos números naturais existem? Infinitos. NÚMEROS NATURAIS prm6_025_034_unid02. O 4 000 é sucessor de que número? 3 999 O 1 690 é antecessor de que número? 1 691 Jorge Zaiba Danillo Souza 5. 200 001 100 102 3 005 000 a) Qual será o número da casa azul? 328 b) Eu moro na casa de número 436. Quais são eles? 162 e 163 Professor. Descubra os números que estão faltando. Copie e complete o quadro. b) Existe o maior número natural? Não. 451 e 54 683 Invente um problema parecido e peça a um colega para resolvê-lo. as de número ímpar. Veja os números que aparecem a seguir: 4.EXERCÍCIOS 1. a numeração das casas é indicada pela prefeitura. 8. 319. 2. Responda. Resposta pessoal. Quais deles representam números naturais? 1.indd 27 27 5/13/15 3:06 PM . Dois números naturais consecutivos somam 325. Jorge Zaiba a) b) c) d) Qual é o sucessor do zero? 1 Todo número natural tem sucessor? Sim. a) Qual é o menor número natural? O zero. Responda. Numa rua. e as do lado esquerdo. Antecessor Número 199 999 200 000 100 100 100 101 3 004 998 3 004 999 Sucessor Danillo Souza 3. Qual deles é sucessor de outro? 1 101 é sucessor de 1 100 7. estimule os alunos a descobrir a solução por tentativas. 99. 27 a) 9 15 21 b) 69 68 66 45 33 63 39 59 54 48 6. 1 001 Quais são menores que 1 010? 1 001 Quais são maiores que 1 111? Nenhum. 5 e 6. ◆◆ Paulo José Resposta: 6. a partir do zero. 0. Porém. 1. A reta numérica possibilita visualizar facilmente essa comparação. Existem infinitos números naturais maiores que 7. a) Quantos números há de 38 até 46? 9 números De 1 até 46 são 46 números. . 3. Caminhando para a direita. 10. Você descobriu padrões? Calcule quantos números há: c) de 124 até 345. ◆◆ Quantos números naturais há de 3 até 7? Resposta: Há cinco números naturais: 3. Porém. e considerando sempre a mesma distância. 9. 46  37  9 b) Quantos números há entre 38 e 46? 7 números De 1 até 45 são 45 números. 222 números d) entre 124 e 345. Pense e responda no caderno. de 1 a 37 não servem. 4. 9. Dados dois números. 5. Veja os exemplos: 0 1 2 3 4 5  maior  menor  igual ◆◆ 4  2 (lemos: quatro é maior que dois) ◆◆ 1  0 (um é maior que zero) ◆◆ 2  7 (dois é menor que sete) ◆◆ 5  5 (cinco é igual a cinco) Observe: ◆◆ Quais são os números naturais menores que 7? ◆◆ Quais são os números naturais maiores que 7? Resposta: 8. 220 números 28 prm6_025_034_unid02. 45  38  7 Compare suas respostas com os exemplos acima. Você sabe comparar números naturais e dizer quando um é maior (). 4 e assim por diante. o maior número é o que estiver representado à direita do outro na reta numérica. 6.. 8. 2. 2. 3. igual () ou menor () que outro. 4. 0 ◆◆ ◆◆ 1 2 3 4 5 6 7 8 Escolhemos um ponto para representar o zero. 2. … ficam entre 3 e 7 Quantos números naturais há entre 3 e 7? Resposta: Há três números naturais: 4. 6 e 7. marcamos os pontos correspondentes aos números naturais 1. 5. 5. 1. de 1 a 38 não servem.. 7.2. 3. vamos representá-la em uma linha reta que chamaremos de reta numérica. A reta numérica e os números naturais Para visualizarmos melhor a sequência dos números naturais.indd 28 5/13/15 3:06 PM . 4. 11. de 3 até 7 0. 37. 38.indd 29 29 5/13/15 3:06 PM . b) O modelo mais barato é o de maior consumo? Não. A. 6 006 ou 6 660. C. 11. d) Ordene os modelos de automóveis em ordem decrescente de consumo. B.com 1 000 200 500 100 250 0 0 10. B. Na tabela seguinte estão indicados os preços de alguns modelos de automóvel e o consumo de combustível aproximado. C. Modelo Preço (em reais) Consumo (em litros) A 28 613 8 B 31 584 7 C 37 006 12 D 29 508 10 E 56 227 19 10 4 2 6 8 c) 12 d) 300 750 Luminis/Dreamstime. Sábado. D. colocando os números indicados em ordem decrescente. 8 800 T números naturais prm6_025_034_unid02. para percorrer 100 km. Encontre todos os números naturais que são maiores do que 35 e menores do que 42. 35  x  42 Boituva. D. A. 41 1 4. 39. Antes de dormir. E. 36. Quantas páginas Sabrina leu? 46 páginas 1 3. a) 0 6 9 3 12 b) 0 1 2.Exercícios 9. Descubra o nome de uma cidade paulista. de cada um. 6 000   6 066  6 006 com um dos números:  6 606  6 600  6 666 8 808 I 8 088 U 8 008 A 8 880 O 8 080 V 8 888 B 6 660 Você acabou de escrever números em ordem crescente. Copie e preencha cada 6 600. c) Ordene os modelos de automóveis em ordem crescente de preços. ela leu do início da página 20 até o final da página 65 de um livro. Copie as retas numéricas e complete-as com os números que correspondem a cada um dos pontos assinalados. a) O modelo mais caro é o de menor consumo? Não. Sabrina sempre lê um pouco. E. 40. Responda. 495 Quais começam por 5? 549. 954 Quantos são no total? Seis. AM.Atleta Tempo Lico 13 segundos Zeca 16 segundos Dinei 12 segundos Dudu 15 segundos 18. 594 Quais começam por 9? 945. Observe o gráfico. Fonte: Censo 2010/IBGE. Manaus. 5 e 9. 1 555 Os seus três últimos algarismos são iguais. o resultado final de uma corrida de 100 metros. d) Qual cidade tem mais de dois milhões e seiscentos mil habitantes? Nenhuma. Veja. Quantidade de habitantes em algumas capitais brasileiras DAE 15. formados por 4. 30 prm6_025_034_unid02. Brasília Belo Horizonte Manaus Curitiba Quais começam por 4? 459. 17. Tenho a soma dos seus algarismos na camiseta.indd 30 5/13/15 3:06 PM . c) Quais cidades têm população entre 1 milhão e 2 milhões de habitantes? Manaus e Curitiba. a) Associe as cidades ao número que mais se aproxima da população de cada uma delas. Ilustra Cartoon É um número entre 1 000 e 2 000. Escreva o número em que os três amigos estão pensando. b) Quem correu com menor velocidade? Zeca.com a) b) c) d) Natal 16. na tabela abaixo. Considere todos os números naturais de três algarismos diferentes. Greg Brezinski/iStockphoto. I 785 722 Natal IV 530 308 Cuiabá II 1 678 965 Curitiba Belo V 2 258 096 Horizonte III 2 469 489 Brasília VI 1 718 584 Manaus b) Quais cidades têm menos de um milhão de habitantes? Cuiabá e Natal. Cuiabá a) Quem foi o vencedor? Dinei. três. Por que será que a natureza. Estamos usando o senso numérico. um com seis pedaços. quatro.indd 31 31 5/13/15 3:06 PM .com Quando olhamos para a fruteira e dizemos que nela há 5 maçãs. somente o ser humano tem. A natureza é mesmo maravilhosa! NÚMEROS NATURAIS prm6_025_034_unid02. o que mostra que o senso numérico é limitado. fugir de seus predadores e controlar o número de filhotes de sua ninhada. Professores da Universidade da Pensilvânia fizeram um experimento interessante com macacos. O prato escolhido. era o prato com sete pedaços. de alguma maneira.VALE A PENA LER Senso numérico é a capacidade de reconhecer e comparar pequenas quantidades. Se retirarmos dois ou três ovos do ninho. cinco. dota os animais de senso numérico? Sobrevivência! A capacidade de distinguir e comparar pequenas quantidades presentes no meio ambiente ajuda o animal a se alimentar melhor. o pássaro o abandona. Os macacos começavam a errar quando o número de pedaços ficava maior do que dez.com Senso numérico Os animais não sabem contar. ela coloca ao lado de cada ovo algumas larvas de inseto que servirão de alimento para quando o filhote nascer. dois. na evolução das espécies. que é diferente da capacidade de contar – capacidade mais elaborada que. As leoas são capazes de comparar a quantidade de elementos de seu grupo com a de um grupo de leoas invasoras e avaliar se devem defender seu território ou fugir. na grande maioria das vezes. Eles ofereciam ao macaco dois pratos com pedaços de chocolate: um com sete pedaços. Podemos citar também uma espécie de vespa em que a fêmea é maior do que o macho. normalmente fazemos isso sem precisar contar: um. Steve Byland/Dreamstime. O notável é que. em todo o reino animal. mas muitos têm senso numérico. Pixelspieler/Dreamstime. fatores importantes para a perpetuação da sua espécie. pois percebe que a quantidade de ovos se alterou. a mãe sabe se um dado ovo originará uma vespa macho ou fêmea e deixa cinco larvas de insetos se for um ovo de vespa macho e dez se for ovo de vespa fêmea. Quando uma vespa mãe bota seus ovos. 67 metro de altura. 10 e 46 F 1 129 1 139 1 119 Invente duas sequências e peça a um colega que as complete. Curitiba e Brasília. 32 607. B e C? 716. Belo Horizonte c) DAE a) Ilustrações: Jorge Zaiba 20. Os números naturais nem sempre representam quantidades. 999. a) Qual desses carros rodou mais? B b) E qual rodou menos? A c) Escreva todos esses números em ordem crescente. Veja os números que aparecem neste texto: A C B D Ilustra Cartoon Jorge Zaiba Lúcio foi ao médico. 32 prm6_025_034_unid02.REVISANDO 22. c) Indique duas cidades que distam uma da outra mais de 1 200 quilômetros. qual é a mais próxima de São Paulo? E a mais afastada? Curitiba. 7 814.indd 32 5/13/15 3:06 PM . mede 1. Observe os marcadores de quilometragem de alguns carros: 19. 80 001 Quais desses números citados são naturais? 23 e 65 21. Em quais situações abaixo ocorre o uso do número como código? 807. No quadro estão registradas as distâncias. 434. entre algumas cidades brasileiras. a) Quais são as distâncias representadas por A. 852. Ele tem 23 anos. Brasília. pesa 65 quilos e está com 38. respectivamente b) Das cidades indicadas.6 °C de febre. substituindo as letras pelos números convenientes: a) 28 35 A b) 4 500 C 3 500 49 56 B 3 000 D 2 000 42 1 089 1 099 2 500 E 1 109 São Paulo A 1 004 434 586 1 366 1 148 1 015 B 408 Brasília 716 Curitiba 1 004 1 366 Rio de Janeiro C 1 148 852 São Paulo 586 1 015 408 429 429 63 4 000 c) Rio de Janeiro Belo Horizonte Curitiba d) Brasília b) 23. em quilômetros. Complete as sequências. 479 e) é o sucessor de 480. 6 427 b) o menor número par. Luciana: 396. ◆◆ o número de Luciana não é maior que o número de Rui. 998 k) é o maior número de 3 algarismos. 10 234 b) 19 camisetas? 20 prendedores c) 40 camisetas? 41 prendedores d) n camisetas? n 1 1 prendedores 2 7. Paula: 137. Nos cartões abaixo estão escritos cinco números. 100 j) é o maior número par de 3 algarismos. 374 g) tem cinquenta e quatro centenas. em um mesmo varal. 999 l) é o menor número de 5 algarismos que se pode escrever sem repetição. Quatro amigos querem saber o número que os identifica como sócios de um clube. Rui: 972. 6 247 d) o maior número par menor que 6 000. 54 c) é o maior número. 10 243 d) é o antecessor de 480. 396 7 2 a) o maior número ímpar. 5 400 h) forma com 700 um par de números consecutivos. 481 f) tem 100 unidades a mais que 274. Rodrigo: 825. Para pendurar 5 camisetas no varal. 2 476 c) o menor número ímpar maior que 6 000. 4 762 825 137 6 Arranje-os de modo a representar: 8 6 2 5. Danillo Souza 2 4. 699 i) é o menor número de 3 algarismos. números naturais prm6_025_034_unid02. Veja: Continuando a usar os prendedores dessa maneira. usou 6 prendedores de roupa. Desenhe e recorte cartões como estes: 4 51 972 Descubra o número de cada um. nem o maior de todos. Dona Romilda acabou de lavar umas camisetas. quantos prendedores serão necessários para pendurar: a) 8 camisetas? 9 prendedores Utilize os números representados acima e indique qual deles: a) é igual a cinco dúzias. ◆◆ o número de Rodrigo não é o menor.indd 33 33 5/13/15 3:06 PM .DESAFIOs 10 243 481 699 54 374 100 60 10 234 999 5 400 998 479 26. 409 3 Qual é o menor número que você pode formar ao juntar os cinco cartões? 34 095 168 2 8. 60 b) é o menor número. sabendo que: ◆◆ os números de Paula e Rodrigo não são pares. Qual é o maior desses três números? Alternativa c. a) 73 109 070 b) 73 109 069 c) 73 019 070 d) 73 109 068 30. a) 21 dias b) 22 dias c) 23 dias d) 24 dias 33. Uma pessoa escreve os números naturais entre 1 e 100. 334. considere: Os próximos números a serem escritos são: Alternativa d. 50. 62. ele ocupa a 10a posição. 2. 29. c) 4. a) 14 b) 15  9 A  5 c) 16 d) 17 ◆◆ os quatro primeiros números. 26. Estúdio Ornintorrinco 31. A soma de três números naturais consecutivos é igual a 90. São números naturais consecutivos: Alternativa b. Quando as pessoas na fila são contadas de trás para frente. 344. 7 ◆◆ os quatro primeiros números pares. Quantos dias esse produto ficou em promoção? Alternativa c. 6 Quantos números você considerou? Alternativa b. No entanto. (Saresp) Ana está escrevendo uma sequência de sete números: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 36. 61. 335. Quantas vezes ela escreve o algarismo 6? Alternativa d. 6.indd 34 c) 19 10 1 10 20 d) 20 (unidades) (dezenas) 5/13/15 3:06 PM . a) 28 b) 29 c) 31 d) 32 35. 4 e 5. 345. 7.16. O sucessor do número setenta e três milhões. cento e nove mil e sessenta e nove é: Alternativa a.Alfredo está em uma fila. 5. 8 d) 100. 343. 5. Na sequência dos números naturais. 1. Um produto ficou em promoção do dia 17 de maio ao dia 8 de junho. …. a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 333. O padeiro comparou os quatro pacotes em uma balança e disse que o mais pesado é o pacote: Alternativa d.AUTOAVALIAÇÃO Anote no caderno o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta. a) 20 e 31 b) 22 e 33 c) 24 e 30 d) 24 e 31 32. 355 38. a) 10 b) 11 (6. 4. 14 b) 49. 300 Ilustrações: Danillo Souza a) 0. 0. 0. 96) (60. se contadas da frente para trás. 3. Quantas pessoas há nessa fila? Alternativa b. 51 34. 3 ◆◆ os quatro primeiros números ímpares. 353. …. é: Alternativa b. 2. 69) 34 prm6_025_034_unid02. 354. 200. Alfredo é o 6o. A quantidade de números naturais compreendidos entre 300 e 400 que podemos formar usando apenas os algarismos 3. a) 7 b) 8 c) 9 d) 12 37. (SEE-RJ) Quatro pacotes de farinha de trigo foram entregues na padaria. 1. 3 UNIDADE Adição e subtração de números naturais 1. nos meses de janeiro e fevereiro. Peças Janeiro Fevereiro calças 73 89 camisetas 130 110 bermudas 92 48 camisas 105 74 Para saber quantas calças foram confeccionadas no total. As ideias da adição e da subtração A tabela a seguir apresenta o número de peças de roupa produzidas por uma fábrica nos meses de janeiro e fevereiro de 2016. fazemos uma adição: 73 1 89 5 162 Ilustra Cartoon 89 1 73 também é 162. temos: 2 5 12 7 5 minuendo subtraendo diferença ou resto ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS prm6_035_048_unid03. acrescentar. Veja: a cada par de parcelas. associamos sua soma: 9 1 5 5 14 parcela parcela soma Subtração Efetuamos subtrações para responder às perguntas: ◆◆ Quanto resta? ◆◆ Quanto falta? ◆◆ Quanto a mais? Numa subtração.indd 35 35 5/13/15 3:07 PM . Mudar a ordem das parcelas não altera a soma! Adição A adição está ligada à ideia de juntar. fazemos uma subtração: 400 2 321 5 79 Epa! Na subtração é diferente! 321 2 400 não resulta em um número natural! Então não dá para trocar minuendo por subtraendo! Ilustrações: Ilustra Cartoon Vou fazer: 89 1 110 5 199.Lembrando algoritmos Você lembra como funciona o algoritmo da adição? Começamos pelas unidades: 1 73 189 162 ◆◆ 3 unidades 1 9 unidades 5 12 unidades 5 1 dezena 1 2 unidades Depois adicionamos as dezenas: ◆◆ 7 dezenas 1 8 dezenas 1 1 dezena (que veio da adição das unidades) 5 16 dezenas ou 1 centena e 6 dezenas O total é de 1 centena. A ordem das parcelas não altera a soma! 89 1 110 1 48 1 74 5 321 A produção de fevereiro foi de 321 peças. ou seja. Para descobrir quantas peças foram produzidas a mais.indd 36 5/13/15 3:07 PM . A fábrica produziu mais peças em janeiro que em fevereiro. 162. Que legal! O resultado final foi o mesmo! 36 prm6_035_048_unid03. Para saber a produção total de peças de cada mês. 6 dezenas e 2 unidades. também utilizamos a adição: 73 1 130 1 92 1 105 5 400 A produção de janeiro foi de 400 peças. 48 1 74 5 122 e finalmente 199 1 122 5 321. 130 1 105 1 92 1 73 também resulta em 400. Como também não há dezenas.indd 37 37 5/13/15 3:07 PM . ◆ Dar 2 passos para a esquerda. ◆◆ Em seguida. entre meninos e meninas. Quantos são os meninos? Quantas são as meninas? Somente com esses dados não podemos responder às perguntas. Veja: 17 15 1 28 22 27 1 10 50 2 28 29 1 11 5 40 14 60 2 10 64 24 40 2 11 5 29 40 2 29 5 11 Repare como no dia a dia há ações que apresentam uma ação inversa: ◆ Subir 10 degraus. podemos calcular o número de meninas: 16 1 5 28 28 2 16 5 12 meninas Se da soma de dois números subtraímos um deles. Descer 10 degraus. Emagrecer 1 kg. podemos calcular o número de meninos: 28 2 12 5 16 meninos se soubermos que são 16 meninos. Dar 2 passos para a direita. 79. o 6o ano A tem 28 alunos. fazemos: 4 centenas 5 3 centenas 1 10 dezenas 5 3 centenas 1 9 dezenas 1 10 unidades Logo. ◆ Engordar 1 kg. 10 unidades  1 unidade 5 9 unidades. não é possível tirar 1 de zero. ou seja. obtemos o outro. então recorremos às dezenas. Adição e subtração: operações inversas 1 12 5 28 ◆◆ Fernando Favoretto Em certa escola. A subtração é a operação inversa da adição.Agora observe o cálculo: 3  9  1 4 0 0 2 3 2 1 7 9 ◆◆ Vamos recordar as ideias envolvidas nesse cálculo? Começamos pelas unidades: Quando trabalhamos com números naturais. subtraímos as dezenas e as centenas: 9 dezenas 2 2 dezenas 5 7 dezenas 3 centenas 2 3 centenas 5 0 centena A diferença é de 7 dezenas e 9 unidades. No entanto: ◆◆ se soubermos que são 12 meninas. adição e subtração de números naturais prm6_035_048_unid03. Sílvia 3. Léo Burgos B 83 Pontos na 2a etapa Responda: a) Quantos pontos Sílvia fez no jogo? 464 pontos b) Quantos pontos Carlos fez na 1a etapa? 235 pontos c) Quantos pontos Maria fez na 2a etapa? 237 pontos d) Quantos pontos foram feitos na 1a etapa? 634 pontos e) Quantos pontos fizeram as meninas? 915 pontos 161 A Pontos na 1a etapa a) Quantos quilômetros percorrerá um ônibus para ir de A até C passando por B? 254 quilômetros b) Quantos quilômetros percorrerá um automóvel para ir de A até C passando por D? 270 quilômetros c) A viagem mais curta é a do ônibus ou a do automóvel? A diferença é de quantos quilômetros? Ônibus.00 7 770 Calcule e escreva os totais obtidos com: a) a soma dos dois números menores. 38 prm6_035_048_unid03. Os números indicam quantos quilômetros há em cada trecho.00. Raquel foi presenteada pelos familiares com dinheiro em notas de 20. (Unicamp-SP) Minha calculadora tem lugar para 8 algarismos. 20 1 20 1 20 1 10 1 5 2. Qual é a quantidade mínima de notas que ela precisa usar para pagar um brinquedo que custa R$ 75. Observe o quadro de um jogo.00 a mais que você.indd 38 5/13/15 3:07 PM .00 e não receber troco? 5 notas. Tenho R$ 10. Eu digitei nela o maior número possível. 14 771 5. Qual era a população do estado de São Paulo nesse ano? 36 966 527 habitantes 99 999 999 2 63 033 472 5 36 966 527 Fonte: Censo 2000. A diferença entre dois números é 68. D 93 C Danillo Souza 187 185 279 193 Carlos Maria 214 Total 428 451 Responda. 14 078 b) a soma dos dois números maiores. do qual subtraí o número de habitantes do estado de São Paulo. 63 033 472. Em seu último aniversário. 7. IBGE. com quanto ficarei a mais que você? R$ 6. a) Qual é o outro? 32 ou 168 b) Quantas soluções haverá? Duas soluções. como resultado. 6. a diferença é de 16 quilômetros. A figura mostra trechos de estradas de rodagem. Se eu lhe der R$ 2. 15 477 c) a soma do número maior com o menor. Considere os seguintes números: 7 001 7 077 7 707 Banco Central do Brasil 7 700 4. 10 e 5 reais. obtendo. Um dos números é 100.EXERCÍCIOS 1. Neles. A soma de quatro dos seis cartões abaixo dá como resultado 65. c) Qual é a diferença entre o número de limoeiros e o de laranjeiras plantadas? 3 árvores 1 5. Observe as figuras: Ilustrações: Pedro Sotto 1 3 5 20 17 a) 50 reais 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 DAE 2. A tabela abaixo mostra o número de alunos (me- ninos e meninas) matriculados numa escola.indd 39 39 5/13/15 3:07 PM . 13 árvores. Quando minha filha nasceu.Pedro Sotto 8. 19 25 15 12 20 9 Quais são os dois cartões que ficam de fora dessa soma? 20 e 15 a) Quantos alunos cursam o 9o ano? 182 alunos b) Quantas meninas cursam o 7o ano? 153 meninas c) Quantos meninos cursam o 8o ano? 124 meninos d) Em que período há mais meninas matriculadas? Manhã. Calcule o número que falta em: b) 49 1 5 85 36 c) 2 8 5 17 25 d) 85 2 5 71 14 1 0. Hoje minha filha fez 12 anos. eu tinha 28 anos. (Saresp) O gráfico abaixo mostra a quantidade 1 de árvores de um sítio. Sabendo disso. a soma dos números de qualquer linha. 120 reais Quantos reais custa uma bola? 20 reais abacateiros limoeiros bananeiras laranjeiras a) Quantas árvores estão plantadas nesse sítio? 39 árvores b) Qual é o tipo de árvore mais plantada? Quantas? Bananeira. Os quadrados abaixo são “mágicos”. Qual é a soma de nossas idades? 52 anos 11. copie e complete adequadamente cada quadrado. coluna ou diagonal é sempre a mesma. 9 a) 4 8 2 5 3 8 7 6 1 b) 1 5 3 4 6 c) 30 40 25 2 35 5 15 20 0 7 10 45 adição e subtração de números naturais prm6_035_048_unid03. Quantos centímetros de material serão necessários para emoldurar esta tela? 88 cm 13. e) Quantos meninos estão matriculados no período da tarde? 305 meninos 1 4. Manhã Classe Tarde meninos meninas meninos meninas 25 cm 6o ano 98 124 137 108 7o ano 84 101 86 52 8o ano 70 85 54 39 9o ano 65 71 28 18 19 cm 9. em quanto aumentaremos a soma? 14 O cálculo mental é rápido. A diferença entre dois números naturais pode ser par ou pode ser ímpar.) Podemos resolver essa mesma subtração usando a ideia de completar: de 34 para 40 de 40 para 80 6 40 Portanto.Você costuma calcular mentalmente? Acompanhe a história dos irmãos Felipe e Carlos. Se aumentarmos em 2 unidades cada parcela. Cada um levou sua carteira com as economias que tinha. 40 prm6_035_048_unid03. Mentalmente.00 e Carlos. É ímpar quando um deles é par e o outro é ímpar. 3. Resposta pessoal. É par quando os dois números são pares ou quando são ímpares. As passagens acontecem em nossa mente. Como você costuma efetuar adições mentalmente? Dê exemplos e troque ideias com os colegas. se aumentarmos 15 unidades no minuendo e diminuirmos 25 unidades no subtraendo. Felipe tinha R$ 34.indd 40 5/13/15 3:07 PM . 1. Uma adição tem 7 parcelas. eles foram a uma loja de miniaturas comprar um novo carrinho para a coleção deles. Respondam no caderno.00. Observe agora algumas maneiras de efetuar subtrações mentalmente: 80 2 34 5 80 2 34 5 80 2 30 2 4 5 50 2 4 5 46 (Subtraímos 30 de 80 e depois subtraímos 4 do resultado. Numa subtração. Logo encontraram uma miniatura sensacional! Seu preço: R$ 57. Cálculo mental nas adições e nas subtrações É nosso! 3. o que acontecerá com a diferença? Ficará 40 unidades maior. 2. faltam 46 ao 34 para completar 80. Já Carlos decompôs as duas parcelas: 34 5 30 1 4 25 5 20 1 5 5 30 1 20 1 4 1 5 5 50 1 9 5 59 9 Podemos comprar este para nossa coleção! Ilustrações: Leonardo Conceição 2. Investigue com os colegas: Quando a diferença é par? Quando é ímpar? 4.00. R$ 25. Certo dia. Felipe calculou: 34 1 25 5 34 1 20 1 5 5 54 1 5 5 59 54 Carlos também não perdeu tempo e pensou: 34 1 25 5 30 1 4 1 20 1 5 5 50 Felipe decompôs 25 em 20 1 5 para achar a soma mais facilmente. 00 Qual valor terei de pagar em cada prestação? R$ 405. para facilitar o troco.00. Continue calculando mentalmente. Preço: R$ 75.00 ou 0 1 3 de R$ 200.00 Ilustra Cartoon (19 1 11) 1 (18 1 12) 1 (17 1 13) 1 (16 1 14) 1 15 5 135 Ronaldo Barata 11 1 12 1 13 1 14 1 15 116 1 17 1 18 1 19 Qual é a forma mais rápida de chegar ao resultado? ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS prm6_035_048_unid03.EXERCÍCIOS 16.00 Bicicleta Ilustrações: Pedro Sotto Sim. 21. Entrei em uma loja e comprei os três produtos da propaganda abaixo para pagar em três prestações. Calcule mentalmente e anote os resultados. 21. d) 275 2 99 176 e) 546 2 98 448 f) 800 2 101 699 a) 83 2 9 74 b) 405 2 9 396 c) 170 2 11 159 Atendimentos Liquidificador ◆◆ 19. confira suas respostas com a calculadora! 20.Lúcia saiu para fazer compras com 2 notas de R$ 100. Gastou no supermercado R$  142. 23.00 na carteira. Observe a cena abaixo: Ronaldo Barata São 97 reais. Quanto o consumidor vai receber de troco da moça do caixa? Por que a moça pediu R$ 2. Com quanto Lúcia ficou após essas compras? R$ 20.indd 41 41 5/13/15 3:07 PM .00 Total: R$ 600.00. na padaria R$  6. d) 790 1 43 1 110 943 e) 320 1 590 1 10 1 80 1 000 f) 69 1 77 1 31 1 23 200 a) 5 1 17 1 15 37 b) 9 1 28 1 11 48 c) 156 1 4 1 120 280 18. Continue calculando mentalmente. Resolva os problemas 20.00 Receberá R$ 5. 22 e 23 “de cabeça”.00 Total: R$ 540. Tarde 125 Noite 75 Total 360 22.00 ou 0 1 3 de R$ 180.00 ao comprador? ◆◆ Preço: R$ 600. TV Tem 2 reais? O consumidor pagou a compra com uma nota de R$ 100.00. Qual é o número desconhecido da tabela abaixo? 160 d) 19 1 36 55 e) 480 1 25 505 f) 290 1 110 400 a) 12 1 7 19 b) 4 1 39 43 c) 13 1 45 58 Período Manhã 17. pois 102 2 97 5 5. Em seguida.00.00 Total: R$ 75.00 e no açougue R$ 32.00 ou 0 1 3 de R$ 25. Calcule mentalmente.00 ◆◆ Preço: R$ 540. 28 para 30 62 para 60 87 para 90 30 1 60 1 90 5 180 Esta é uma boa estimativa. esquecesse de digitar o zero do número 12 035. pois o valor exato da compra é R$ 177. Usamos estimativas quando queremos obter um valor aproximado para uma grandeza. Como fazer? Uma soma aproximada. o dinheiro é suficiente.0 Calça R$ 62.3.00 para gastar nessa loja e quer saber rapidamente se o dinheiro é suficiente para comprar uma camiseta.00. uma calça e um par de tênis. sabemos que o resultado deve estar próximo de 18 000.00 ênis Par de t 0 R$ 87. é uma alternativa. Estimando por arredondamento Observe abaixo uma vitrine de loja e pense na situação: Camis et R$ 28 a . Fizemos uma estimativa para o valor da compra. Se você estivesse usando uma calculadora para efetuar a operação acima e. Seria fácil perceber que houve erro.indd 42 5/13/15 3:07 PM . As estimativas utilizando arredondamentos podem nos auxiliar a detectar erros no resultado de operações. Efetuamos a operação 12 035 1 5 828 5 17 863 e comprovamos que o resultado está bem próximo da estimativa inicial. Acompanhe: Vou usar os arredondamentos para estimar resultados e evitar erros! Arredondando. sem querer. o resultado no visor seria 7 063. Ilustrações: Reinaldo Rosa 12 035 1 5 828 5 42 prm6_035_048_unid03. Então.00 Você tem R$ 200. muito longe da estimativa inicial. arredondando os preços para a dezena mais próxima. fazemos uma estimativa para a soma: 12 000 1 6 000 5 18 000 Assim. 530.00. 540 pessoas Situação 2: R$ 1. Arredonde cada número para a centena mais próxima.00. Para cada diferença. procure no quadro abaixo o valor que corresponde à sua melhor estimativa: a) 92 2 38 50 b) 591 2 193 400 c) 25 031 2 4 920 20 000 50 20 000 400 21 000 500 19 000 60 40 300 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS prm6_035_048_unid03. 550 está no meio de 500 e 600. Um trem leva 481 passageiros sentados e 57 em pé. Leia e faça o arredondamento dos seguintes números para a centena exata mais próxima. R$ 1.527. Em cada uma das situações seguintes. Use o arredondamento do número de passageiros para a dezena mais próxima para estimar quantas pessoas podem viajar nesse trem. Qual foi o consumo aproximado de água no trimestre indicado no quadro? 13 500 litros 2 050 2 100 6 999 7 000 41 684 41 700 380 609 380 600 Situação 2 Edson Grandisoli/Pulsar Imagens 25. Estúdio Ornitorrinco Mês Consumo de água (em litros) janeiro 5 175 fevereiro 3 804 março 4 485 27. entre outros dois. a) b) c) d) 165 200 312 300 850 900 1 038 1 000 e) f) g) h) Ilustrações: Pedro Sotto 543 está mais próximo de 500 do que de 600. Situação 1 Quando um número está precisamente no meio. R$ 132.indd 43 43 5/13/15 3:07 PM .00. Arredonde cada preço para a dezena mais próxima. 575 está mais próximo de 600 do que de 500. Situação 1: R$ 130.EXERCÍCIOS 24. arredonda-se para a centena seguinte. calcule o preço exato. 26. em seguida. faça uma estimativa do custo total e.00. 28. conhecendo seus recursos. ◆ Priscila compra sapatilhas de uma fábrica para revender em sua loja.com Para fazer bom uso da calculadora. e Márcio R$ 76. Luís e Márcio estão numa loja de brinquedos. pois a calculadora efetuou 195  176  19. A tecla MRC resgata as informações da memória. Quanto Priscila gastará no total? R$ 912. usamos cálculo mental. Sobrarão R$ 19. Terminado o cálculo. R$ 83. fazemos muitas contas. mesmo as M . papel e lápis e.00.00. (Somamos as quantias que eles possuem e guardamos o resultado na memória. quando necessário. Quanto do dinheiro que levaram vai sobrar depois da compra? Na calculadora. têm as chamadas teclas de memória e MRC M . Use a calculadora e as teclas de memória para resolver o problema a seguir.indd 44 5/15/15 6:27 PM . Ela escolheu uma dúzia de sapatilhas que custam R$ 18. Luís tem R$ 119. Juntaram essas quantias para comprar três jogos que custam R$ 39. a calculadora.00 Martin Bureau/AFP/Getty Images Fácil e útil. Aprenderemos a usá-las resolvendo um problema. não? 12  18 M 24  29 M MRC 44 prm6_035_048_unid03. (Somamos os preços dos jogos e guardamos o total na memória.00 cada uma.00 cada e duas dúzias de um modelo mais caro: R$ 29.) Em seguida digitamos: 39  83  54 M e aparece 176.00 e R$ 54.) Apertamos então a tecla MRC para chamar os dados da memória.00. aperte a tecla MRC novamente para limpar a memória e a tecla ON/C para voltar ao zero no visor.00 do dinheiro que Luís e Márcio levaram. mais simples. As calculadoras. Thorsten Rust/iStockphoto. não é? Para isso.00. digitamos: 119  76 M e aparece 195. avisando que será subtraído.SEÇÃO LIVRE Calculadora – usando as teclas de memória Em nosso cotidiano. precisamos aprender a operá-la. As teclas M e M servem para guardar na memória da cal- culadora o resultado de uma operação que depois será usado em outra operação. Aparece 19. 1o turno 2o turno 3o turno Meninas 135 120 105 Meninos 120 115 125 Cidade População São Paulo 10 931 749 Rio de Janeiro 6 143 046 Belo Horizonte 2 304 377 Salvador 2 593 768 Fortaleza 2 397 176 Fonte: IBGE. Carlos completou 18 anos no ano de: Alternativa c. 1 309 5 5 041 4 732 c) 8 782 2 c) 10 d) 11 5 8 072 710 Rido/Shutterstock 3 2. (OM-MG) Quanto é? 10 305 12 345 2 2 345 1 345 2 45 1 5 Confira na calculadora o seu resultado! 30. o Brasil era uma monarquia e ainda existia escravidão. Cláudio deve: Alternativa b. b) Qual é a população total dessas cidades? 24 370 116 habitantes c) Quantos habitantes Salvador tem a mais que Belo Horizonte? 289 391 habitantes d) Qual é a diferença em número de habitantes entre a cidade mais populosa e a menos populosa? 8 627 372 habitantes Gero/Fotoarena Banco Central do Brasil revisando É correto afirmar que: Alternativa d. Para atingir o 7o degrau. b) descer 1 degrau. Na época. (IBGE) O primeiro censo brasileiro foi realizado em 1872. 35. Copie e complete as igualdades. Observe o quadro com informações do Censo 2010 e responda às questões utilizando uma calculadora. Nessas condições. 10 reais e 50  reais. c) o número de meninas é maior que o de meninos. das quais 1 510 806 foram declaradas escravas. Foram contadas 9 930 480 pessoas. qual é o número mínimo de cédulas que ela poderá receber? 2 9. d) descer 2 degraus. subiu 6. a) 2006 b) 2008 c) 2009 d) 2010 33. Em 1872. adição e subtração de números naturais prm6_035_048_unid03. c) subir 2 degraus. Alternativa b. 5 1 243 614 a) 629 1 b) 3 6. 34. (Prominp) Cláudio estava no 6o degrau de uma escada. recebendo cédulas de todos esses valores e o maior número possível de cédulas de 50 reais. Desceu 4 degraus e. quantas pessoas foram declaradas não escravas no Brasil? 8 419 674 pessoas 31. depois. a) Qual é a cidade com maior população? São Paulo. a) a escola tem um total de 360 alunos.indd 45 45 5/13/15 3:08 PM . d) o terceiro turno tem 230 alunos. b) todos os turnos têm o mesmo número de alunos. a) 8 b) 9 a) subir 1 degrau. (Saresp) A tabela mostra a distribuição dos alunos dos 3 turnos de uma escola. (Fesp-RJ) Os pais de Carlos casaram-se em 1988 e ele nasceu três anos depois. (Fesp-RJ) Uma pessoa quer trocar duas cédulas de 100 reais por cédulas de 5 reais. de acordo com o sexo. Danillo Souza A 15 1 8 123 Danillo Souza 15 7 47 Ilustra Cartoon 35 12 50 28 22 a) Quantos rapazes gostam de MPB? 21 rapazes b) Quantas garotas não gostam de MPB? 5 garotas c) Qual é o total de garotas nessa classe? 22 garotas Qual a idade de Carlinhos? 11 anos 46 prm6_035_048_unid03. ao comprar uma blusa de R$  17. Jair saiu de B em direção a A e percorreu 52 km. Quantos CDs tem Flávia? 17 CDs x 5 2 20 8 Dica: 27 15 12 3 42. Sua amiga Flávia disse-lhe: “Se você me desse 10 dos seus CDs.00. corrija o ano de seu nascimento. Percorrendo a rodovia. O vendedor. (NCE-UFRJ) Do lado de cá somos 84. senão as pessoas vão pensar 2 56 5 1949 que você tem 56 anos! 2005 Ele deveria ter escrito 1994. distraído. cinco ou dois bombons. são 72.(Obmep) O aniversário de Carlinhos é no dia 20  de  julho. Fabiana tem 37 CDs. então a diferença entre a quantidade final dos de cá e dos de lá será: 2 32 1 43 a) 23 Cá: 84 b) 34 104 61 Lá: 72 Diferença 5 95 2 61 5 34 52 1 32 95 2 43 3 caixas de 5 bombons 5 4 caixas de 2 bombons 5 Alternativa b. Carlinhos inverteu a posição dos dois últimos algarismos do ano em que nasceu. ficaríamos as duas com o mesmo número de CDs”. 50 2 10 5 40 a1b a b 6 9 Qual é o número que deve substituir a letra x. 2005 2 1994 5 11 Total 17 21 5 38 Não gostam de MPB 7 Total Compare sua resposta com a dos colegas.00. Na doceria.indd 46 5/13/15 3:08 PM . só há caixas com dez.00 e outra de R$ 50. assim que a pirâmide for preenchida com números naturais. enganou-se e deu ao vendedor uma nota de R$ 10. A rodovia que liga as cidades A e B mede 180 km. A professora que recebeu a ficha disse: 2 Carlinhos. do lado de lá. Ari saiu de A para B e andou 87 km. Por exemplo: fazer a compra? 10 caixas de 10 bombons 5 100 38.00. Qual foi o prejuízo de Mariana? R$ 40. ao preencher uma ficha em sua escola. deu o troco como se Mariana lhe tivesse dado duas notas de R$ 10. Em agosto de 2005. Que distância os separa? 41 km B 180 km 87 km 52 km 40.(Obmep) Mariana. Foi feita uma pesquisa entre os 50 alunos de uma classe para saber quantos gostavam e quantos não gostavam de MPB (Música Popular Brasileira).DESAFIOS 37.Uma professora quer comprar exatamente 123  bombons. Como ela poderá Existem várias soluções. (Vunesp) Observe a pirâmide de números: 41. Parte do resultado da pesquisa encontra-se na tabela: Rapazes Gostam de MPB Garotas 44. de acordo com a regra fixada? 82 43.00. Se 32 dos de cá forem para lá e 43 dos de lá vierem para cá. por favor. c) 38 d) 41 39. (Cesgranrio-RJ) O Brasil começou o ano com um forte ritmo de contratações com carteira assinada. 5a-feira 6a-feira Adultos 239 228 Crianças 307 324 a) quinta-feira b) sexta-feira Sábado 297 353 c) sábado d) domingo Indústria de transformação 68 920 57 889 Construção civil Fruta Calorias por 100 g abacaxi 52 banana 88 maçã 64 mamão 67 morango 39 pêssego 52 uva 78 Agropecuária Serviços de água. (Vunesp) Um grande mágico se apresentou no Teatro Municipal. em janeiro de 2010? Alternativa b. 100 g de abacaxi. Serviços Domingo 252 298 d) 388 É correto afirmar que nessa semana o total de períodos de chuva e de sol superam o total de períodos nublados em: Alternativa c.htm>. c) 362 4 143 49. 100 g de mamão e 100 g de uva. a) 49 953 b) 50 187 c) 51 213 d) 53 746 Disponível em: <www. (Prominp) A tabela abaixo apresenta a quantidade de calorias. de algumas frutas. pode-se afirmar que o dia em que o Teatro ficou completamente lotado foi: Alternativa c. Carla misturou 100 g de morango. Observando a frequência do público (adultos e crianças) na tabela. (Vunesp) A tabela mostra o clima durante uma semana. O gráfico abaixo apresenta o número de empregos com carteira assinada criados em alguns setores da economia. luz e gás Indústria extrativa g é o símbolo de grama 2 538 1 192 Dia da semana Manhã Tarde Noite 2a-feira sol nublado chuva 3 -feira nublado chuva chuva 4 -feira nublado nublado nublado 5 -feira sol sol estrelado a a 6 -feira sol sol nublado sábado chuva nublado nublado domingo sol sol estrelado a Para preparar meio quilo de salada de frutas. Levando-se em consideração os dados apresentados na tabela. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 47 prm6_035_048_unid03. a b) 340 54 330 Quantas vagas com carteira assinada a construção civil ofereceu a mais do que o setor agropecuário. a) 324 DAE Fernando Favoretto/Criar Imagem 48. 45. 47.Autoavaliação Anote no caderno o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta. por 100 gramas. (Obmep) Quanto é 99 1 999 1 9 999? Alternativa d.terra. cuja lotação é de 650 pessoas. em janeiro de 2010. 100 g de banana. 2014.br/saude/calorias.com. Acesso em: out. quantas calorias tem a salada de frutas que Carla preparou? Alternativa a. a) 9 997 b) 10 997 c) 11 007 d) 11 097 46.indd 47 5/13/15 3:08 PM . 5. 9. 56. Se a diferença entre eles é a maior possível. qual é essa diferença? Alternativa d. 5. a) 1810 b) 1840 1 891 2 66 5 1 825 1 825 1 15 5 1 840 c) 1825 d) 1876 Qual dos seguintes valores Daniel não pode pagar sem receber troco? Alternativa a. 5. A soma de todas as faces visíveis vale 17.indd 48 5/13/15 3:08 PM . b) dezenas. começou a reinar quando fez 15 anos. que morreu em 1891.AUTOAVALIAÇÃO 50. a) 4 reais c) 7 reais b) 6 reais d) 8 reais 58. c) centenas. 9. a) 2. b) 3 anos. a) unidades. d) milhares. 7 e 9 anos. uma moeda de 1 real e uma nota de 2 reais. 55. 1. C e D são. (Cesgranrio-RJ) Uma pesquisa realizada com 500 empresas mostrou que somente 120 utilizam papel reciclado. B e C são desconhecidos. 9 d) 4. (OJM-SP) Dom Pedro II. A 3 C a) b) c) d) 2 3 4 5 57. A diferença entre o número de empresas pesquisadas que não usam e que usam papel reciclado é: Alternativa a. Alternativa c. Mauro completou a conta com os números que faltavam. 8. A diferença entre o número cento e vinte mil e o número trinta mil e dois é: Alternativa a. Veja a representação de uma adição em que os algarismos A. a) 89 998 b) 80 098 c) 90 098 d) 90 002 a) 260 b) 300 c) 340 d) 380 e Jorg Ele cometeu um erro na coluna de: Alternativa c. respectivamente: Alternativa d. 8 b) 4. Abaixo está representada uma subtração. imperador do Brasil. 864 2 135 5 729 a) 507 b) 531 c) 777 d) 729 48 prm6_035_048_unid03. 52. (Obmep) Considere dois números naturais. cada um deles com três algarismos diferentes. O maior deles só tem algarismos pares e o menor só tem algarismos ímpares. Daqui a 8 anos. e seus filhos 6. d) 13 anos. Um pai tem 35 anos. 8 54. 8 c) 4.Um dado comum foi lançado sobre uma mesa. 14 1 15 1 17 2 43 5 3 a) 2 anos. Em que ano ele começou a reinar? Alternativa b. O valor da face que está em contato com a mesa é: Reinaldo Rosa Zaib a 51. a soma das idades dos três filhos menos a idade do pai será de: Alternativa b. c) 11 anos. D 8 B 6 2 2 C 1 A 5 9 4 2 Os algarismos A. Daniel tem na carteira uma nota de 5 reais. com 66 anos de idade. 1 5 B 8 1 3 3 3 Qual é o valor da soma A 1 B 1 C? Alternativa c. 5. 59. B. B59 C55 b) 19 c) 21 Banco Central do Brasil A57 a) 165 d) 26 53. para evitar que o sinal da multiplicação seja confundido com a letra x.indd 49 49 5/13/15 3:09 PM . foram arrecadados R$ 1. Quanto foi arrecadado? Acompanhe: Temos 78 camisetas vendidas por R$ 12.4 UNIDADE Multiplicação e divisão de números naturais 1. Existem dois sinais que indicam multiplicação: 3 ou . 5 fator 3 2 5 10 ou 5  2 5 10 fator produto MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS prm6_049_059_unid04. 3  3  3  3 5 4  3 5 12 4  4  4 5 3  4 5 12 4 parcelas iguais a 3 3 parcelas iguais a 4 Os números multiplicados são chamados fatores e o resultado é o produto. fazemos: 78 3 22 5 1 716 Portanto.00 cada: ◆ 22  22  22  22  22  . As ideias da multiplicação A turma do 6o ano de certa escola mandou confeccionar camisetas e pretende.. conseguir dinheiro para uma excursão. Foram vendidas 78 camisetas por R$ 22. 78 3 22 5 78  22 5 1716 Usaremos com mais frequência o ponto. com a venda delas.00.00 cada uma..716.  22 Leonardo Conceição 78 parcelas iguais a 22 Para simplificar o registro dessa operação. Multiplicação Usamos a multiplicação para registrar uma adição de parcelas iguais. Leonardo Conceição Acessórios Camisetas Com duas cores de camiseta e três tipos de acessório. quantos kits diferentes poderiam ser montados? 3  4 5 12. bonés e porta-lápis. Contando possibilidades Qual a soma do dobro de uma dezena com o triplo de uma dúzia? Use cálculo mental! 56 Além das camisetas.Lembrando o algoritmo Nos algoritmos. chaveiro ou porta-lápis. os alunos encomendaram chaveiros. A multiplicação é aplicada na contagem de possibilidades. ◆ O triplo de 7 é o mesmo que 3 3 7. obtivemos o número de kits diferentes com uma camiseta e um acessório. os alunos podem montar seis kits diferentes: 2356 Multiplicando o número de cores de camiseta pelo número de tipos de acessório. ◆ O quádruplo de 3 é o mesmo que 4 3 3. usa-se o sinal 3 para indicar multiplicação. A tabela mostra as opções de kits que eles podem montar. ◆ O quíntuplo de 2 é o mesmo que 5 3 2.indd 50 5/13/15 3:09 PM . Veja como foi feito o cálculo a seguir: 2 7 17 15 4 171 3 2 8 6 0 6 8 vezes 22 unidades 5 8 unidades 3 22 unidades 5 176 unidades 70 vezes 22 unidades 5 7 dezenas 3 22 unidades 5 1 540 unidades 176  1 540 5 1 716 É comum usarmos nomes especiais para indicar algumas multiplicações. 12 kits 50 prm6_049_059_unid04. Exemplos: ◆ O dobro de 6 é o mesmo que 2 3 6. Com três cores de camiseta e quatro tipos de acessório. Montaram kits contendo uma camiseta e um dos outros itens: boné. g) O que você pode concluir? Trocando a ordem dos fatores. Represente o número de xícaras: Respostas possíveis: a) usando o sinal . Calcule mentalmente. rge Jo Nos itens a e b o produto é 21. em c e d o produto é 72. Agora responda. Sabendo que 6  37 5 222 10  1 9  37 5 333 12  37 5 444 escreva o valor dos seguintes produtos. iba Za a) 3  7 c) 8  9 b) 7  3 d) 9  8 Paulo José s: õe aç str Ilu 4. c) Qual é o valor do produto? 180 f) O que você observa nos resultados dos itens c e d? São iguais. 5. ou 444 334 a) 9  4  1 36 f) 25  60  0 0 b) 7  3  10 210 g) 63  2  50 6 300 c) 605  1 000 605 000 h) 2 000  1  15 30 000 d) 2  18  5 180 i) 27  2  5  5  2 2 700 e) 39  4  25 3 900 j) 96  200  5 96 000 6.EXERCÍCIOS 1. 3  3  3  3 b) usando o sinal 3. 25 ou Marcelo Azalim 7. 2. 3  37 5 111 3. 5  2. Que operação é essa? Multiplicação. Escreva duas multiplicações que representem o número de caixas de leite da figura. podemos fazer uma operação. sem efetuar cálculos: a) 15  37 555 b) 21  37 777 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS prm6_049_059_unid04. o produto não se altera. O que acontece com o produto quando um dos fatores da multiplicação é igual a zero? O produto também é zero. b) Que nome se dá aos números 15 e 12 nessa operação? Fatores. 4 3 3 ou e) O que você observa nos resultados dos itens a e b? São iguais. Numa papelaria há 15 caixas com 12 lápis de cor em cada uma. a) Para calcular de forma mais rápida o número total de lápis.indd 51 51 5/13/15 3:09 PM . Determine os produtos. Somando o quádruplo de 135 com o quíntuplo de 206. 15. Quantos anos tem o pai de Flávia e Daniela? 42 anos 17. 12. Calcule mentalmente. h) O que você observa nos resultados dos itens c e d? Foram acrescentados dois zeros à direita do último algarismo do primeiro fator. Calcule mentalmente. Um saco de cimento pesa 50 kg.Quantas caixas de sapato estão empilhadas na loja? 140 caixas Jorge Zaiba b) Quanto pesam 100 sacos de cimento? 5 000 kg Quantas cerâmicas faltam para cobrir o piso da cozinha? 15 cerâmicas 10. Calcule os produtos. a) o mesmo. como mostra a figura abaixo. Efetue a multiplicação completando-a com os algarismos representados por .indd 52 5/13/15 3:09 PM . a) 1 958 b) 2 050 d) multiplicado por 9. Alternativa a. Subtraindo o dobro de dois mil e vinte e sete do triplo de dois mil e quatro. o produto fica: Alternativa d. Já foram colocadas 9 cerâmicas. obtém-se: c) multiplicado por 6. a) 6  10 60 d) 59  100 5 900 b) 45  10 450 e) 7  1 000 7 000 c) 4  100 400 f) 82  1 000 82 000 Agora responda. O pai das meninas tem o dobro da idade das duas juntas. g) O que você observa nos resultados dos itens a e b? Foi acrescentado um zero à direita do último algarismo do primeiro fator. a) b) c) d) 1 560 1 570 1 300 1 499 52 prm6_049_059_unid04. a) Quanto pesam 10 sacos de cimento? 500 kg 14. Flávia tem 7 anos de idade. 9. Multiplicando cada um dos fatores por 3. O piso de uma cozinha está sendo revestido com cerâmica quadrada. 7 280 728  728  728  728  728   728  728  728  728  728 11. b) aumentado de 6 unidades. 13. e sua irmã Daniela tem o dobro de sua idade. obtemos: Alternativa b. a) 6 4 b) 8 1 2 3 3 1 9 1 1 2 4 4 9 0 4 7 5 2 3 4 9 6 3 2 7 6 8 5 7 1 2 4 4 c) 3 958 d) 10 066 16. i) O que você observa nos resultados dos itens e e f? Foram acrescentados três zeros à direita do último algarismo do primeiro fator.8. O produto de dois números é 30. 00.00 22. tenho disponíveis os seguintes ingredientes: a) 96 c) 79 b) 98 d) 99 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS prm6_049_059_unid04. por exemplo. sabendo-se que: 125 100 75 50 25 19. depois T. passando por B. B C Estúdio Ornitorrinco A Quantidade de refeições (em unidades) 150 DAE 18. teremos 24. Observe o gráfico. quanto se gasta semanalmente? R$ 4. Quantidade de refeições servidas em uma escola B existem 2 caminhos diferentes. teremos o número: Alternativa c. qui.Uma loja oferece os seguintes carros com as cores: 0 seg. depoisT. apertando T. Assim. que apaga o algarismo das unidades do número escrito no visor. que duplica o número escrito no visor. Ela tem uma tecla D. se estiver escrito 123 no visor e apertamos D. pois 2 · 3 5 6 ◆ de A para ◆ 21. Dia da semana Marcelo Azalim a) Em que dia da semana foram servidas menos refeições? Quarta-feira. ou seja.600.indd 53 53 5/13/15 3:09 PM . (Saresp) Para montar um sanduíche. de B para C existem 3 caminhos diferentes. depois. e a tecla T. ter. b) Qual é o total de refeições servidas durante a semana? 575 refeições c) Se o custo de cada refeição é R$ 8. (OBM) A calculadora de Juliana é bem diferente. qua. Se apertarmos D. Suponha que esteja escrito 1999. teremos 246.6. Quantas escolhas possíveis tem um consumidor? 3 · 4 5 12. sex. De quantas maneiras diferentes este garoto pode ir de A até C. em seguida D. 12 escolhas Pão Recheio Verdura/ Legume de forma queijo alface de leite presunto tomate De quantas formas diferentes poderia montar meu sanduíche combinando um ingrediente de cada coluna? 8 formas Ma rce lo Az alim Aryaphoto1000/ Dreamstime.com 20. Então. ◆ Por que não demos 1 bombom a cada criança e dissemos que sobraram 12? se o resto é zero. Acompanhe: 4 7 6 28 34 5 30 36 Vamos recorrer à ideia de operação inversa para ver como o zero se comporta nas divisões. dividir por zero. pois 0  4 5 0. dê 4. 54 prm6_049_059_unid04. 20 5 8  8  4 5 2 3 8  4 Numa divisão: ◆ o resto é sempre menor que o divisor. Conclusão: É impossível Fizemos esse raciocínio para o caso particular de 4  0. efetua-se uma divisão. multiplicado por zero. a divisão é exata. ◆ Cada criança recebe 2 bombons. Sobram 4.indd 54 5/13/15 3:09 PM . é Atenção! impossível efetuar 4  0. é possível fazer uma nova distribuição. 0  4 5 0. ou seja.2. Enquanto o resto for maior que o divisor. dividendo resto 20 4 8 2 divisor quociente Com 20 unidades podemos formar 2 grupos de 8 e sobram 4 unidades. E 4  0? O resultado de 4  0 deveria ser o número que. o No entanto. ele é válido para qualquer outro exemplo de divisão por zero. espera-se que os alunos percebam que cada criança deve receber o maior número possível de bombons. zero nunca pode ser divisor. 20  8 tem quociente 2 e resto 4 Professor. Considere a situação: Distribuir igualmente 20 bombons entre 8 crianças. ou ainda ◆ 8 unidades cabem 2 vezes em 20 e sobram 4 unidades. Veja que esse exemplo faz sentido: zero objeto dividido em 4 partes dá zero para cada parte. Por exemplo. As ideias da divisão Usamos a divisão para repartir uma quantidade em partes iguais ou descobrir quantas vezes uma quantidade cabe em outra. Não há número que. tudo bem. Até aí. resultasse 4. Quantos bombons recebe cada uma? Sobram bombons? Quantos? Para obter a resposta. Multiplicação e divisão: operações inversas A divisão exata é a operação inversa da multiplicação. multiplicado por zero. 28. Calcule mentalmente. quantos bombons há em cada coluna? 13 26. 24. a) quatro laranjas. Para conseguir distribuir minhas laranjas da forma planejada. b) 61 dividido por 3. Az alim Se em cada linha há 5 bombons. c) 89 dividido por 6. 27  3 9 80  4 20 70  2 35 120  6 20 95  5 19 f) g) h) i) j) 74  74 1 0  29 0 420  7 60 900  10 90 6 000  100 60 Alternativa c. Para qual dos grupos abaixo ele poderá fazer corretamente a distribuição? Alternativa a. b) Seus 8 vizinhos. a) 42 dividido por 5. 35 a) 1 c) 3 b) 2 d) 4 Reinaldo Rosa a) b) c) d) e) 29.com 25. d) Seus 7 sobrinhos. d) sete laranjas. multipliquei o resultado por 6 e obtive 54. (OMRP) Sofia lançou um dado quatro vezes e obteve um total de 23 pontos. Copie e complete as expressões sem efetuar qualquer cálculo. preciso então colher mais: Alternativa a. Em que número pensei? 18 36 2 18 9 54 a) Qual é o número total de lugares? 36 b) Quantas carteiras há em cada fila? 6 c) Quantos alunos há em cada fila? 12 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS prm6_049_059_unid04. 27. 31. Leonardo Conceição Ma rce lo c) Seus 11 colegas. c) seis laranjas. b) cinco laranjas. verifiquei entretanto que. desse jeito. Em seguida. 30. Dividi esse número por 2. a) Seus 6 primos.indd 55 55 5/13/15 3:09 PM .EXERCÍCIOS 23. d) 100 dividido por 7. (NCE-UFRJ) Tentei distribuir as laranjas que colhi em meu pomar por sete pessoas de modo que todas recebessem a mesma quantidade de laranjas. Pensei num número. Quantas vezes ela obteve 6 pontos? 14 a) 14  35 5 490 490  14 5 490  35 5 b) 700  28 5 25 25  28 5 700  25 5 700 28 Bear66/Dreamstime. sem sobrar nenhuma bolinha. Uma sala de aula tem 18 carteiras de dois lugares igualmente distribuídas por três filas. Observe a caixa de bombons. O resto de 37 dividido por 4 é igual ao resto de: Alternativa b. (Saresp) Paulo deseja distribuir 60 bolas de gude de maneira que todos os favorecidos recebam a mesma quantidade. sobravam três laranjas. os alunos do 6o ano venderam 131 kits. Esta é uma divisão exata. 1 dezena 5 10 unidades 10 unidades  5 unidades 5 15 unidades Finalmente dividimos 15 unidades por 15. Mas 1 unidade de milhar 5 10 centenas e. Portanto. pois o resto é zero. como já temos 9 centenas no número 1 965. Usando a ideia de que multiplicação e divisão são operações inversas.Algoritmo usual Leonardo Conceição Lembra-se dos kits dos alunos do 6o ano? Com a venda deles. os alunos arrecadaram R$ 1.indd 56 5/13/15 3:09 PM . Dá 1 e restam 4 centenas. Dividimos agora 46 dezenas por 15.00. ficamos com 10 centenas  9 centenas 5 19 centenas. Dá 3 e resta 1 dezena. se cada um custava R$ 15. 1 965  15 5 ? Como fazer essa divisão? ◆ 1 9 6 5 15 Não dá para dividir 1 por 15.00? A divisão permite descobrir essa quantidade. que cálculo devemos fazer para verificar se realmente 1 965  15 5 131? 131 3 15 56 prm6_049_059_unid04. 1 9 6 5 15 1 5 1 04 ◆ 1 9 6 5 15 1 5 1 046 4 centenas 5 40 dezenas ◆ 40 dezenas  6 dezenas 5 46 dezenas 1 1 0  9 5 4 4 0 6 5 15 13 6 5 1 1 1 0  9 5 4 4 0 6 5 15 13 6 5 15 1 1 0  9 5 4 4 0 6 5 15 131 6 5 15 15 0  ◆ ◆ ◆ Dividimos 19 centenas por 15. Quantos kits foram vendidos. Dá 1 e resta zero.965. 33. 486 17 .EXERCÍCIOS Paulo José 32.. Estúdio Ornitorrinco 34. pois o quociente é 309.Quais números devem ocupar o lugar dos a) 250  5 5 18  32 b) 480  8 5 3 15 4 c) 300  10 5 70  40 39. Confira os resultados na calculadora! 167 5 17 32 7 268 3 28 88 4 40.. 12 d) a décima parte do dobro de 70. de sua mãe ela recebe. a) 624  2 312 b) 963  3 321 c) 848  4 212 ? 37. pois o quociente é 319.00 b) R$ 25. calcule. errou a conta. Observe as divisões e responda: Leonardo Conceição f) 7 490  7 1 070 Paulo José e) 6 036  6 1 006 Estúdio Ornitorrinco d) 1 010  5 202 Estão certas ou erradas? Por quê? Erradas. Calcule: a) a soma de 28 com metade de 12. (Vunesp) De mesada.00 75  3 5 25 d) R$ 35. errou a conta. Sabendo que existem 1 650 aeroportos no mundo. 28 10 Qual é o menor número que se deve adicionar ao dividendo para obter um quociente exato? 7 Paulo José 35. quantos deles ficam nos Estados Unidos? 550 Primeiro estime o quociente.indd 57 57 5/13/15 3:09 PM . Júlia recebe mensalmente do seu pai o dobro que recebe de sua mãe. por mês: Alternativa b. Observe a divisão abaixo. 1854 6 054 39 00 38. (Ipad-PE) A terça parte dos aeroportos do mundo fica localizada nos Estados Unidos. Três milhões e seiscentos é o triplo de: Alternativa d. Qual é o menor número de caixas que ele precisa para armazenar 78 ovos? Alternativa b.. porque o resto é maior que o divisor. pois o quociente é 139. a) 1 200 000 c) 1 000 020 b) 1 020 000 d) 1 000 200 Nessa divisão o aluno: Alternativa c. Considere a divisão. 34 b) a diferença entre o triplo de 7 e a terça parte de 30. 11 c) a quinta parte de metade de 120. errou a conta. então. a) 6 b) 7 c) 9 d) 13 41.00 375  5 5 75 c) R$ 30.00 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS prm6_049_059_unid04.00. a) b) c) d) 36. 14 acertou a conta. Calcule mentalmente. Um sitiante cria galinhas e tem caixas para armazenar 6 ovos e caixas para armazenar 12 ovos.. depois. a) R$ 15. Se em 5 meses ela recebeu R$ 375. 465 15 450 30 15 ◆ Como 465  450 5 15.) ◆ Por aproximação. Você quer sugerir outro procedimento para efetuar essa divisão? Vá em frente! Mostre-o aos seus colegas! 15 15  15 1 0 ◆ Finalmente. 100  30  1 5 131.Divisão por subtrações sucessivas Há um outro modo de registrar essa divisão que acabamos de mostrar na página 56. sobram 15 reais. Respondam no caderno 1. 3. qual é o maior resto possível? 12 5.indd 58 5/13/15 3:09 PM . Se x  y 5 x e x e y são diferentes de zero. Um número natural dividido por 6 deixa resto 4. qual é o valor de y? y 5 1 4. Qual é o resto da divisão deste número por 3? 1 6. Procurem todos os números naturais que divididos por 5 dão resto igual ao quociente. O que podemos afirmar sobre eles? Que pelo menos um deles é zero. 6. Atenção! Zubartez Repare que o resultado foi o mesmo para os dois raciocínios feitos: algoritmo usual e por subtrações sucessivas. Na divisão de um número por 13. podemos colocar mais 30 kits. O produto de dois números é ímpar. você também poderia raciocinar assim: ◆ Vendendo 100 kits.12.18 e 24 58 prm6_049_059_unid04. pois 30  15 5 450. O que podemos afirmar sobre eles? São ambos ímpares. 2. os alunos arrecadariam 15  100 5 1 500 reais: 1965 15 1500 100 465 1 965  1 500 5 465 (Ficam faltando 465 reais para completar o valor arrecadado. Para saber quantos kits foram vendidos. O produto de dois números é zero. que correspondem a mais 1 kit. divida o número quarenta e sete mil seiscentos e quarenta e quatro por dezenove. (Cotuca/Unicamp-SP) Usando a “velha matemática”. respectivamente: Alternativa d. O quociente e o resto obtidos valem.Seção livre 2014 King Features Syndicate/Ipress 4 2. Na figura. 55 ♦ ♥ 16 ♥ ♥ ♥ 12 ♦ ♦ ♥ 14 14 13 15 Multiplicação e divisão de números naturais prm6_049_059_unid04. a) 257 e 11 b) 2 057 e 9 c) 2 507 e 9 d) 2 507 e 11 43. cada um dos três símbolos representa um algarismo. Os números indicados são a soma dos 4 algarismos de cada linha e de cada coluna. há um padrão que se repete sempre. Qual é o algarismo representado por cada símbolo? 5 7.indd 59 59 5/13/15 3:09 PM . Quantas bolinhas azuis ele desenhou? 48 4. Na sequência. Veja uma sequência de bolinhas azuis e brancas que Tiago desenhou. 5 4. 80  5 5 16 16 3 3 5 48 a) Quais são as três bolinhas que vêm a seguir na sequência? b) Tiago desenhou um total de 80 bolinhas na sequência. que é o dividendo. os alunos devem concluir que o quociente não se altera.Relação fundamental da divisão Em todas as divisões temos: quociente 3 divisor 1 resto 5 dividendo Veja exemplos: Divisão não exata 45 6 3 7 ◆ ◆ Divisão exata 24 8 0 3 8 3 3 5 24 42 1 3 5 45.indd 60 5/13/15 3:14 PM . 2. 60 prm6_060_078_unid04. 24 1 0 5 24. os alunos devem concluir que o resto de uma divisão é multiplicado por esse número. Dividendo Divisor 37 3 2 74 3 2 Quociente resto 5 7 2 10 7 4 3 3 111 3 3 15 7 6 3 4 148 3 4 20 7 8 3 5 185 3 5 25 7 10 Troque ideias com os colegas e responda no caderno às questões a seguir. Qual é o divisor? 77 ? 5 9 Zubartez Qual é o dividendo? ? 12 3 5 63 8 Copie o quadro no caderno e complete-o. O que acontece com o resto de uma divisão quando multiplicamos o dividendo e o divisor por um mesmo número diferente de zero? Professor. O que acontece com o quociente de uma divisão quando multiplicamos o dividendo e o divisor por um mesmo número diferente de zero? Professor. que é o dividendo. Paulo José 7 3 6 5 42 Tente descobrir mentalmente. 1. 61. Nos jogos válidos de um campeonato de futebol.eXerCÍCioS 45. que tem 12 figurinhas por página. três números da tabela não puderam ser identificados. Um número natural dividido por 20 deixa resto 8. 62 ou 63 47. sendo substituídos pelas letras x. y e z. Quantas figurinhas tem Tiago? 215 18 3 12 2 1 5 215 51. b) y 19 c) z 5 Francois Xavier Marit/Afp/Getty Images 7 2 a) 1 b) 2 a) Quantas poltronas tem a última fila? 31 b) Quantas filas de 26 poltronas existem? 14 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS prm6_060_078_unid04. Entretanto. A igualdade 41 5 6 1 7 ? 5 pode representar uma divisão cujo divisor é igual a: Alternativa b.O dividendo e o resto desta divisão foram apagados: 4 15 a) Quais são os valores possíveis do resto nesta divisão? 0. Procure os números que faltam: 4 5 3 1 4 2 7 5 2 7 Time Pontos ganhos No de vitórias No de empates Corinthians x 8 0 Vasco y 6 1 Cruzeiro 17 z 2 6 9 48. 4 b) 121 17 2 a) 29 1 7 Você consegue reconstituí-las? 7 50. 46.Tiago precisa de mais uma figurinha para completar as 18 páginas de seu álbum. o time não ganha pontos. 1.indd 61 61 5/13/15 3:14 PM .Um garoto sujou com tinta um papel no qual estavam escritas duas divisões. Uma sala de teatro tem 395 lugares. 2 ou 3 b) Que números naturais podem ser escritos no dividendo? 60. Um jornal publicou uma tabela com a classificação dos três melhores times. em filas de 26 poltronas. a) 5 b) 7 52. Se perder. exceto a última que tem mais. enquanto cada empate vale 1 ponto. conforme é mostrado abaixo: 41 1 c) 3 d) 4 Calcule o valor de: a) x 24 c) 7 ou 5 d) 6 ou 7 Leonardo Conceição 49. O resto da divisão desse número por 5 é igual a: Alternativa c. cada vitória dá ao time 3 pontos. Ilustra Cartoon Para resolver expressões numéricas. Expressões numéricas Na língua portuguesa encontramos expressões como as mostradas nas figuras. chegamos a um número. que envolvem números e operações. Ilustra Cartoon O número 3 deve ser somado a 7 1 7. Até amanhã! Ilustrações: Reinaldo Rosa Silêncio! Que calor! Na Matemática encontramos as expressões numéricas.3. Então: 3 1 2 ? 7 5 3 1 7 1 7 5 17 3 1 2 ? 7 5 3 1 14 5 17 A multiplicação deve ser efetuada antes da adição. Quando efetuamos uma expressão numérica. Então. 1o) As multiplicações e as divisões na ordem em que aparecem na expressão (da esquerda para a direita). A expressão numérica 3 1 2 ? 7 envolve adição e multiplicação. 2o) As adições e as subtrações na ordem em que aparecem na expressão (da esquerda para a direita). Como podemos efetuá-la? Sabemos que 2 ? 7 5 7 1 7. pois devemos fazer primeiro a multiplicação e depois a adição. as operações devem ser efetuadas na seguinte ordem: 62 prm6_060_078_unid04. o resultado da expressão do nosso exemplo é 17.indd 62 5/13/15 3:14 PM . Veja os exemplos: 1. depois. 5 100 2 44 2 45 5 5 56 2 45 5 11 Então. Ana precisa de nossa ajuda para calcular de quantas caixas ela vai precisar. Para resolver o problema. Não é o que queremos! Mas Ana não precisa se preocupar. ◆ No exemplo 2. Ana preparou deliciosos pães de mel para vender às freguesas no sábado e no domingo. devemos calcular o total de pães de mel produzidos na semana e. Atenção! Para indicar que certas operações devem ser feitas antes de outras. Dos R$ 100. Acompanhe. 2.00 o quilo: 3 ? 15 A expressão fica: Vamos efetuar primeiro 100 2 2 ? 22 2 3 ? 15 5 as multiplicações. Dona Zélia comprou 2 kg de muçarela e 3 kg de linguiça. Se ela pagou a compra com uma nota de R$ 100. dividir esse total por 6. Os pães de mel serão embalados em caixas com 6 unidades.indd 63 63 5/13/15 3:14 PM .Que tal mais alguns exemplos? Observe: 18 2 3  3 1 7 ? 3 2 2 5 5 18 2 1 1 21 2 2 5 5 17 1 21 – 2 5 5 38 2 2 5 5 36 Muitas vezes utilizamos uma expressão numérica para representar e resolver um problema. ela recebeu R$ 11.00. Para controlar a produção. quanto recebeu de troco? Podemos descobrir a resposta resolvendo a expressão numérica que representa o problema. pagando por quilo o preço anunciado no cartaz ao lado. teremos de efetuar primeiro a divisão e depois a adição. Respostas pessoais. se escrevermos a expressão 47 1 59 1 42 1 44 1 54  6 e obedecermos às regras que determinam a ordem das operações. No entanto. pois existem regras para evitar esse tipo de erro. vamos encontrar uma situação nova. usaremos símbolos: ( ) parênteses [ ] colchetes { } chaves MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS prm6_060_078_unid04. utilizou o quadro a seguir.00 o quilo: 2 ? 22 Ilustrações: Marcelo Azalim 2?93255 5 18  3 2 5 5 56255 51 3 kg de linguiça a R$ 15. Durante a semana.00 de troco. Invente uma situação que possa ser resolvida pela expressão 8 1 12  2.00 devemos tirar: ◆ 2 kg de muçarela a R$ 22. nesse caso os parênteses são desnecessários e não precisam ser escritos. não! Vou estudar! O que fez com que o sentido mudasse? A pontuação. Portanto. devemos colocar parênteses para indicar que a adição deve ser efetuada antes da divisão. Crie exemplos que comprovem essas ideias. ◆ As sentenças abaixo expressam a mesma ideia? Não. devemos obedecer também à ordem de resolução das operações que já vimos anteriormente. A ordem de resolução para expressões que apresentam parênteses. Atenção! Ao escrever uma expressão numérica. além desses símbolos. ◆ Hoje não vou estudar! ◆ Hoje. Agora resolva as expressões no caderno: a) (15 2 7) ? 3 2 1 8 ? 3 2 1 5 23 b) 15 2 7 ? (3 2 1) 15 2 7 ? 2 5 15 2 14 5 1 Elas têm o mesmo resultado? Não. certo? Ilustra Cartoon 1o) resolver as operações que estão dentro dos parênteses. Por exemplo: ◆ sem parênteses: com parênteses: (7 ? 2 2 6) 1 5 5 7?226155   5 (14 2 6) 1 5 5   5 14 2 6 1 5 5   58155   58155   5 13   5 13 Respeitando a ordem em que as operações devem ser efetuadas. 2o) resolver as operações que estão dentro dos colchetes. Respostas pessoais. 64 prm6_060_078_unid04. colchetes e chaves numa expressão numérica. 3o) resolver as operações que estão dentro das chaves.indd 64 5/13/15 3:14 PM . colchetes e chaves é: Mas. observe se os parênteses. (47 1 59 1 42 1 44 1 54)  6 5 246  6 5 41 Ana precisa de 41 caixas. os colchetes e as chaves são mesmo necessários. escreva suas conclusões sobre a importância da posição de parênteses.Ordem de resolução Na expressão que escrevemos para o problema de Ana. obtemos o mesmo resultado. No caderno. Copie as expressões e coloque em cada 57. observando que o resultado da expressão deve ser igual ao número indicado na caixa. ◆ Quantas caixas receberam duas fichas? 2 caixas ◆ Quantas caixas receberam uma ficha? 6 caixas ◆ Quantas caixas não receberam ficha? 4 caixas a) b) c) d) e) f) (12 1 2 ? 5) 2 8 14 25 2 (15 1 6 : 3) 8 25 1 [7 1 (8 2 4 : 2)] 38 60 2 [8 1 (10 2 2) : 2] 48 80 2 [22 1 (5 ? 2 2 1) 1 6] 43 14  2 1 [13 2 (4 ? 2 1 1)] 11 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS prm6_060_078_unid04. a) Resolva as expressões que constam em cada ficha. Faça o que se pede.00 para fazer compras. ◆ 1 camiseta por R$ 14. A 9 1 5 ? 6 39 F 20  4 1 6 ? 8 53 B 21  3 1 4 11 I 50 1 12  2 56 C 30 2 6  2 27 J 16  2 1 6 14 D 40 2 5 ? 8 0 K 3 ? 7 2 2 ? 5 11 E 6 ? 10 2 8  2 56 L 5?63282 56. Viviane tem R$ 185. Das coisas que viu. c) Responda.00 cada um. 14 16  2 ? 4 5 2 16  (2 ? 4) 5 2 14 1 3 ? 12 5 204 (14 1 3) ? 12 5 204 4 ? 3 1 6 ? 7 5 252 4 ? (3 1 6) ? 7 5 252 2 1 7 ? 3 1 5 5 58 2 1 7 ? (3 1 5) 5 58 2 1 7 ? 3 1 5 5 32 (2 1 7) ? 3 1 5 5 32 2 1 7 ? 3 1 5 5 72 (2 1 7) ? (3 1 5) 5 72 Reinaldo Rosa 53. Pedro Sotto 84 ◆ Escreva e resolva a expressão numérica que indica quanto dinheiro sobrou.eXerCÍCioS 55. Copie as expressões e descubra onde devem ser colocados os parênteses para que os resultados sejam os indicados. ◆ 5 pares de meias por R$ 3.00. 185 2 (2 ? 68 1 14 1 5 ? 3) 5 20 b) Identifique a caixa abaixo em que deve ser colocada cada ficha.indd 65 65 5/13/15 3:14 PM .00 cada um. Calcule o valor das expressões. um dos sinais 1 ou 2 de modo a obter igualdades. ela decidiu comprar: 2 27 12 56 53 31 3 0 11 39 2 pares de sapatos por R$ 68. a) 5 3 1 5 7 1 2 b) 8 1 a) b) c) d) e) f) 5 5 2 2 2 c) 15 5 10 5 30 1 1 d) 16 2 1 5 15 2 1 54. R$ 2. 3 ? 4 1 3 ? 2 5 12 1 6 5 18 3 ? (4 1 2) 5 3 ? 6 5 18 preço de 1 suco preço de 1 suco preço de 1 mega-hambúrguer preço de 1 mega-hambúrguer Lembre-se de que os parênteses indicam que faremos primeiro a adição. Propriedade distributiva da multiplicação Três amigos foram juntos a uma lanchonete. porque são 3 pessoas. Lembre-se de que devemos fazer primeiro as multiplicações.00.00. Seu nome é propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. 3 vezes o preço do suco e então somar esses valores. Sim. Podemos dizer que: 3 ? (4 1 2) 5 3 ? 4 1 3 ? 2 Objeto educacional digital É possível distribuir a multiplicação pelas parcelas da adição! Veja mais exemplos: ◆ 5 ? (2 1 7) 5 5 ? 2 1 5 ? 7 5 10 1 35 5 45 ◆ (3 1 5) ? 2 5 3 ? 2 1 5 ? 2 5 6 1 10 5 16 5 ? 9 5 45 8 ? 2 5 16 A propriedade que verificamos envolve a multiplicação e a adição. Resposta pessoal.Reinaldo Rosa 4. Como você viu. José fez 6 ? 157 5 6 ? (100 1 50 1 7) 5 5 6 ? 100 1 6 ? 50 1 6 ? 7 5  5 600 1 300 1 42 5 942 Ele encontrou o resultado correto? Você costuma usar esse procedimento de cálculo mental? Converse com os colegas. Calcular 3 vezes o preço do mega-hambúrguer. Também podemos distribuir a multiplicação em relação à subtração. Determinar quanto cada um gastou (1 mega-hambúrguer 1 1 suco) e multiplicar o valor por 3. Quanto eles gastaram no total? Vamos pensar em dois modos de resolver esse problema: 1.indd 66 5/13/15 3:14 PM . Cada um deles tomou um suco e comeu um mega-hambúrguer. os dois procedimentos levaram à mesma solução: a conta da lanchonete ficou em R$ 18. Observe os exemplos: ◆ 3 ? (6 2 2) 5 3 ? 6 2 3 ? 2 5 18 2 6 5 12 ◆ (4 2 1) ? 2 5 4 ? 2 2 1 ? 2 5 8 2 2 5 6 3 ? 4 5 12 3?256 Para calcular mentalmente 6 ? 157. 2.00 e o suco. 66 prm6_060_078_unid04. O mega-hambúrguer custa R$ 4. calcule mentalmente. Acompanhe os quadros: 4 ? 50 são 200. Calcule mentalmente. 59. Silvina trabalha 6 dias por semana. Aplique a propriedade distributiva para resolver cada uma das expressões. a) 6 ? 25 150 b) 9 ? 81 729 c) 4 ? 72 288 d) 9 ? 15 135 e) 8 ? 35 280 61. deve-se construir uma cerca com 3 fios de arame farpado. 27 pontos. Quantos rolos devem ser comprados? 6 rolos 3 ? 100 5 300 g) 13 ? 101 1 313 h) 50 ? 102 5 100 300 : 50 5 6 Ilustra Cartoon 2 ? (20 1 30) 5 100 f) 5 ? 140 700 64. a quantidade de azulejos que há nessa cozinha. Em volta de um terreno retangular de 20 metros por 30 metros. a pontuação total dos dados. O item a vou resolver assim: 7 ? 60 – 7 ? 1. de duas maneiras diferentes. Ilustrações: Estúdio Ornitorrinco 58. vendido em rolos de 50 m.eXerCÍCioS a) 6 1 5 1 3 b) 6 1 (5 1 3) c) (6 1 3) ? 5 d) 6 ? (3 1 5) 63. 62. 280 azulejos 15 ? 10 1 13 ? 10 5 280 ou (15 1 13) ? 10 5 280 Marcelo Azalim 60. de dois modos diferentes. 3 horas de manhã e 5 horas à tarde. e 4 ? 9 são 36 Faço 4 ? 59 assim. Qual das expressões seguintes representa o número de horas que Silvina trabalha numa semana? Alternativa d.indd 67 67 5/13/15 3:14 PM .. Calcule. Calcule..Em uma parede da cozinha há 15 fileiras de 10 azulejos e em outra há 13 fileiras de 10 azulejos. a) 2 ? (8 1 9) 2 ? 8 1 2 ? 9 5 34 c) 3 ? (8 2 2) 3 ? 8 2 3 ? 2 5 18 b) (2 1 4) ? 6 2 ? 6 1 4 ? 6 5 36 d) (7 2 5) ? 4 7 ? 4 2 5 ? 4 5 8 a) 7 ? 59 413 b) 5 ? 78 390 c) 8 ? 99 792 d) 4 ? 19 76 e) 12 ? 29 348 f) 3 ? 198 594 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS prm6_060_078_unid04. 3 ? (5 1 4) 5 27 ou 3 ? 5 1 3 ? 4 5 27 200 1 36 são 236 Pensando desse mesmo modo. Dona Eliana quer dividir igualmente certa quantia de dinheiro entre seus 6 netinhos. Juntaram suas quantias para comprar 12 CDs de mesmo preço.00 e Maurício. ou seja. pois assim você poderá trocar informações e comparar os resultados com um colega.00. o cartaz anuncia: 68. e a idade de meu avô é o produto de nossas idades. ◆ Confira estratégias e resultados. ◆ Esse registro pode conter desenhos. trabalhe em dupla. expressões e algoritmos. ◆ Leia com atenção o enunciado do problema. ◆ Apresente a resposta do problema de forma completa. a seguir. desde que apresentados com clareza e coerência. Quanto custou cada CD se gastaram todo o dinheiro? R$ 13. minha irmã é 7 anos mais velha que eu. R$ 85. Um estacionamento cobra R$ 3. A caixa de remédio receitada contém 36 cápsulas.00 69. Leia o que Carla disse e responda. Um paciente deve tomar uma cápsula de 8 em 8 horas. Leia.00 pela primeira hora. eXerCÍCioS Pedro Sotto 65. identificando as informações dadas e o que se quer descobrir. Quanto vai receber cada neto? R$ 43.00 Quantos anos tem o avô de Carla? 60 anos. o valor é de R$ 2.indd 68 5/13/15 3:14 PM . Zubartez 67. Eu tenho 5 anos.5. ◆ Registre essa estratégia para que outras pessoas possam entender como você chegou à resposta.00 Quanto pagará a mais quem comprar a prazo? a R$ 28. nos exercícios a seguir.00. Quanto pagará o proprietário de um carro que esteve estacionado durante 7 horas? R$ 15. Vamos resolver mais problemas? Nesta seção. A partir da segunda. quais são os passos para resolver o problema. cinco de 10 e uma de 5 reais) e três moedas de 1 real. Quantos dias demorará o tratamento? uz 66.00 Pedro Sotto 12 dias So llo ni Da 70. pois 5 ? 12 5 60 68 prm6_060_078_unid04. Para promover a venda de uma televisão. Maristela possuía R$ 71. Ela tem oito cédulas (duas de 100. ◆ Imagine uma estratégia para a resolução. algumas sugestões que podem ajudá-los nesta tarefa. Enilda. 360 : 90 5 4 5 ? 4 5 20 a) 10 vezes mais. Cândido Portinari. 61 cm 3 49 cm.00 360  4 5 90 90 ? 12 5 1 080 78. (Obmep) Pedro Américo e Cândido Portinari foram grandes pintores brasileiros.00. Se considerarmos que 1 ano tem aproximadamente 360 dias. deseja que todas as salas do 9o ano fiquem com o mesmo número de alunos. havia certa quantidade de doces.00 5. 7 enquanto que uma pilha recarregável chega a durar 5 anos. Um grupo de 12 amigos encomendou um jantar a um bufê. poderemos dizer que uma pilha recarregável dura. No dia do jantar. Um aluno obteve as seguintes notas bimestrais em Geografia: 8 9 6 5 Qual é a média aritmética dessas notas? 7 4. ao todo. c) 20 vezes mais. o valor total 45 ? 8 5 360 desse jantar? R$ 1. diretora de uma escola. e Leonardo da Vinci foi um notável artista italiano. Sala A 31 Alunos Sala B 27 Alunos Sala D 29 Alunos Sala C 40 Alunos Sala E 38 Alunos Que cálculo deve ser feito? Qual será seu resultado? 33       (31 1 27 1 40 1 29 1 38)  5 5 33 76. dona Carmem entregou 170 doces. 73. Para entregar uma encomenda. d) 25 vezes mais. quanto havia no primeiro pacote? 45 doces 170 2 10 2 25 5 135 135  3 5 45 77. cada um dos participantes precisou desembolsar R$ 45. Um custou R$ 19. 1960. Se. No primeiro. b) 15 vezes mais. Multiplicação e divisão de números naturais prm6_060_078_unid04. Pedro Américo nasceu em 1843. e o outro 7 R$ 13. Óleo sobre tela. Qual era. Já Leonardo da Vinci nasceu 391 anos antes de Pedro Américo e 451 anos antes de Portinari. ela fez três pacotes. em reais. quatro deles não puderam comparecer. Meninos no balanço. (Fesp-RJ) Dona Carmem é doceira. Qual é o preço médio (média aritmética dos preços) desses dois CDs? R$ 16.00 a mais. Em que ano Portinari nasceu? a) 1903 b) 1904 c) 1905 d) 1906 Alternativa a. (Saresp) A tabela abaixo indica a quantidade de doces que foi comprada para a festa de aniversário de Glorinha e a quantidade de doces que sobrou no final da festa.Doce Caixas Doces em Doces que compradas cada caixa sobraram beijinho 2 215 325 brigadeiro 1 400 312 Quantos doces foram consumidos na festa? 193 doces 72. O número que você determinou é a média aritmética.indd 69 69 5/13/15 3:14 PM .00. Comprei dois CDs. No terceiro. em relação a uma pilha comum: Alternativa c. Com isso. havia 15 doces a mais que no segundo. e) 1907 1 843 2 391 5 1 452 1 452 1 451 5 1 903 Coleção particular 7 1. No segundo pacote havia 10 doces a mais que no primeiro. (Saresp) Uma pilha comum dura cerca de 90 dias.080. para que o pagamento do jantar fosse efetuado. 00 para comprar seu uniforme. sempre trocando o maior número de revistinhas que podia. (CPII-RJ) Leia com atenção a história em quadrinhos abaixo e depois responda às perguntas. E assim. Um dia encontrou um jornaleiro que troca duas revistinhas velhas por uma nova. 18 ? 8 5 144 Ele leu rapidamente todas as novas revistinhas que trocou. o tráfego se divide igualmente entre elas.. Quanto 284 2 156 5 128 custou cada camiseta? R$ 32... Maurício saiu correndo para trocar suas 20 revistinhas velhas por outras novas. Responda. 50 – 32 5 18.. e voltou ao jornaleiro para uma nova troca.. a) Quantos carros saem por B? 32 carros b) Quantos carros saem por C? 96 carros 81. até que não pudesse fazer mais nem uma troca.. Sabe-se que ela gastou R$ 156. 20 10 4 2 1 1  1 10 2 1 1 5 guardou 1 a) Quantas revistinhas trocadas pelo jornaleiro Maurício leu? 19 revistinhas b) Quantas vezes ele foi ao jornaleiro para trocar revistinhas? 5 vezes 70 prm6_060_078_unid04. ◆ 128 carros entraram em A ◆ Na esquina em que há duas opções de direção. isto é. Dei 4 bombons para cada um. 3 bombons.79. . 128  4 5 32 Danillo Souza Ronaldo Barata Maurício adora ler revistinhas de histórias em quadrinhos.. (OBM) Um pequeno caminhão pode carregar 50 sacos de areia ou 400 tijolos. quantos tijolos ele ainda poderá carregar? 144 tijolos Danillo Souza 400  50 5 8.indd 70 5/13/15 3:15 PM . .A figura abaixo representa algumas ruas de mão única. Glaucia gastou R$ 284. Se foram colocados no caminhão 32 sacos de areia. Quantos bombons eu trouxe? 146 bombons. 83..00 para comprar 3 calças e que o restante foi utilizado para a compra de 4 camisetas idênticas. pois 35 ? 4 1 3 1 3 5 146 80. Maurício foi fazendo trocas. dos que sobraram dei metade para a professora e comi o que restou.00 82. Ontem resolvi trazer bombons para meus 35 colegas de classe. Ele possuía 20 revistinhas e já tinha lido todas elas. C. estabeleceu-se que o dia teria 24 horas. Vamos relacionar algumas delas? ◆ 1 ano 5 365 dias ◆ 1 dia 5 24 horas Atenção! ◆ 1 hora 5 60 minutos A cada 4 anos temos um ano com 366 ◆ 1 minuto 5 60 segundos É importante dormir oito horas por noite! Ilustrações: Reinaldo Rosa Ronaldo Barata Pênalti aos 45 minutos do 2o tempo. O deslocamento da sombra projetada pela haste mede a passagem do tempo. Quando a areia escoa totalmente. Só depois surgiram os minutos e os segundos. do Egito (1504-1450 a. A ampulheta apareceu por volta do século VIII como um importante instrumento para marcar o tempo. Carlos Magno tinha uma ampulheta de 12 horas. Hoje utilizamos várias unidades de tempo.com dias: são os chamados anos bissextos. MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS prm6_060_078_unid04. Cristóvão Colombo usava uma de meia hora. nessa longa história.indd 71 71 5/13/15 3:15 PM .com Vemos ao lado a fotografia de um relógio de sol. Medindo o tempo Meu aniversário é daqui a cinco dias! O tempo e suas medidas são importantes em nossa vida. Há milhares de anos o ser humano percebeu que as sombras projetadas pela incidência da luz do Sol se moviam e. Njnightsky/Dreamstime.). Acredita-se que pertenceu ao faraó Tutmés III. A areia leva um tempo fixo para cair de um recipiente de vidro para o outro por uma pequena passagem. era possível medir o tempo entre o amanhecer e o anoitecer. Irochka/Dreamstime. vira-se o instrumento para ter um novo e igual intervalo de tempo. Distribuímos nossas atividades e marcamos compromissos com base na passagem do tempo.6. pelo caminho percorrido por elas. O mais antigo relógio de sol existente está exposto no Museu de Berlim. Em algum momento. Os soldados romanos usavam ampulhetas para marcar a troca de guarda. Como são 13h30min.As medidas de tempo estão presentes em inúmeras situações do cotidiano. Lendo as informações no encarte do DVD a que pretendo assistir. Qual é a diferença entre o tempo dos dois atletas quenianos? Precisamos efetuar 45 min 15 s 2 44 min 45 s. Portanto. 2. produzia uma peça defeituosa. Coloquei o DVD às 13h30min. O 4o lugar da prova destacada no exemplo acima também foi conquistado por um brasileiro: Giovani dos Santos. quantas peças serão perdidas por hora? 80 peças 4. A corrida de São Silvestre. O segundo e o terceiro lugar foram conquistados pelos quenianos. Calcule no caderno a diferença entre o tempo de Marilson e o de Giovani.br Situações e problemas envolvendo medidas de tempo 13h30min 1 2h48min 15h78min Mas 78 minutos correspondem a 1 hora e 18 minutos. Pesquisem informações sobre instrumentos utilizados para medir o tempo nos dias de hoje. 15h78min 5 15 h 1 1 h 1 18 min 5 16h18min. Resposta pessoal.laeti. com 45min33s. Paulo Pinto/Estadão Conteúdo 2. temos: Luisa Henriqueta/www.com. ou seja. Quantos segundos há em uma hora e meia? 5 400 s. sendo Barnabas Kiplagat Kospei com 44 minutos e 45 segundos e James Kipsang Kwambai com 45 minutos e 15 segundos. teve como vencedor em 2010 o brasileiro Marilson Gomes dos Santos com um tempo de 44 minutos e 2 segundos. A que horas terminarei de assistir ao filme? 2 horas têm 120 minutos 168 2 120 5 48 minutos O filme tem duração de 2 horas e 48 minutos. Se o defeito não for corrigido. Vamos examinar algumas delas? 1.indd 72 5/13/15 3:15 PM . tradicionalmente disputada em São Paulo no dia 31 de dezembro. 44min75s 2 44min45s 0min30s A diferença entre os tempos foi de 30 segundos. 72 prm6_060_078_unid04. 1 minuto e 31 segundos 3. uma prensa usada para cortar peças em aço apresentou um defeito intermitente: a cada 45 segundos. Para poder subtrair os segundos procederemos assim: 45 min 15 s 5 44 min 1 60 s 1 15 s 5 44 min 75 s Agora fazemos a subtração: 1. vi que o filme tem duração de 168 minutos. Durante testes. o filme terminará às 16h18min. 22h45min f) 35 min depois das 23h45min. na manhã seguinte. Responda. Paulo foi dormir às 22h15min e. quantos segundos faltavam para que o sinal fechasse para os pedestres? a) Quantos minutos têm 5 horas? 300 min b) Quantos segundos têm 2 minutos? 120 s c) Quantos minutos tem meia hora? 30 min d) Quantas horas equivalem a 420 minutos? 7 h 9 segundos Enmanuel/Shutterstock 5. que tem duração de 112 minutos e começou a ser exibido às 18h30min. Os tempos gas- tos foram: Etapa A: 6 h 43 min 39 s Etapa B: 5 h 24 min 35 s Qual foi o tempo total da viagem? 12 h 08 min 14 s Multiplicação e divisão de números naturais prm6_060_078_unid04. Lúcia foi assistir ao filme Central do Brasil. Um show tem início exatamente às 21h15min35s Paulo José e termina às 23h48min15s. 11h05min d) 17 min depois das 8h45min. A que horas terminou o filme? 20h22min 93. a que horas ela vai terminar. Fiz uma viagem em duas etapas. Qual foi a duração desse espetáculo? 2 h 32 min 40 s 23h48min15s 2 21h15min35s 23h47min75s 2 21h15min35s 88. Durante quanto tempo Paulo dormiu. Uma pessoa partiu de uma das calçadas 5 segundos após a abertura do sinal e levou 16 segundos atravessando a rua. Se ela iniciar a faxina às 8 horas. (Cesgranrio-RJ) O sinal de trânsito de certa rua permanece aberto para pedestres por 30 segundos. O ônibus saiu de São Paulo às 5h45min. A viagem até Catanduva demorou 4 h e 25 min. 9 0. acordou às 7h20min. em quanto tempo dará 3 voltas? 4 minutos 92.indd 73 73 5/13/15 3:15 PM .Exercícios 8 4. Supondo condições equivalentes. 9h02min e) 55 min depois das 21h50min. Em uma faxina. Quando ela terminou a travessia. Diga que horas são: 8 a) 35 min depois das 8h. A que horas o ônibus chegou? 10h10min 91. se parar uma hora e 30 minutos para o almoço? 16h30min João Prudente/Pulsar Imagens 8 7. 8h35min b) 25 min depois das 8h35min. O piloto Felipe Massa dá uma volta em uma pis- ta em 1 minuto e 20 segundos. já que ele não acordou durante a noite? 9h05min 89. Silmara gasta 7 horas de trabalho 8 diário. 9h c) 10 min depois das 10h55min. 0h20min 6. 24 ? 16 5 256 1 128 5 384. por que os camponeses somam apenas os números da segunda coluna correspondentes a números ímpares da primeira coluna. Daí. despreze-o. Vamos usá-la para efetuar 24 ? 16. Se sobrar resto. podemos imaginar 24 grupos com 16 objetos em cada um. pois só envolve dobros. dobramos cada número a partir do 16. metades e somas. Pratiquem a técnica russa para efetuar: 48 ? 35 e 127 ? 204. Na primeira coluna. até terminar as divisões. Na segunda coluna. Somamos os números que restaram na segunda coluna: 128 1 256 5 384  Esse é o produto procurado. 1 680. dividimos os números por 2 a partir do 24. Quando multiplicamos 24 por 16. Confira o resultado no caderno! Use essa técnica para calcular 32 ? 21 e confira se o resultado está novamente correto. 25 908 Que tal ensinar a técnica para outras pessoas? Não se esqueçam de explicar por que ela funciona! 74 prm6_060_078_unid04. fazemos: 1 grupo de 256. Em seguida. 24 3 16 12 32 6 64 3 128 1 256 Área rural no norte da Rússia. com base na justificativa do processo. É fácil aplicá-la. riscamos as linhas que têm número par na primeira coluna. O processo parte da seguinte ideia: Ter 24 grupos de 16 dá no mesmo que ter: 42 42 12 grupos de 32 6 grupos de 64 3 grupos de 128 32 32 Como agora devemos dividir 3 por 2 e 3  2 5 1 e sobra 1.indd 74 5/13/15 3:15 PM . Junte-se a um colega e tentem explicar. 672 Por que será que dá certo? Qual é a explicação matemática para isso? Acompanhe.Seção livre Aprendendo coisas novas! A técnica russa Fedor Sidorov/Dreamstime.com Vamos conhecer uma técnica interessante para resolver a multiplicação? Essa técnica era usada por camponeses russos. sem esquecer que sobrou um grupo de 128 da divisão acima. 00 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS prm6_060_078_unid04. O gerente de uma empresa vai comprar macacões para seus funcionários. quanto pagará por 120 macacões? R$ 5. Durante o ano de 2008.com a) DAE 96.br. 3 7 5 84 4 15 5 6 12 90 95. 1 2 4 3 b) 1 4 2 3 c) 2 1 4 3 d) 1 3 4 2 Rolandm/Dreamstime. e seu saldo atual é R$ 182. qual passa a ser a média da idade dos ocupantes do automóvel? 30 anos As teclas que ele apertou para chegar a esses resultados foram: Alternativa d. 40  2 5 20 16 1 4 5 8 1 7 1 5 Se me dividir por 15.br/portalbr/calandra. Entrando uma criança de 6 anos. você obtém 84.00.nsf>.reviSANDo 94.indd 75 75 5/13/15 3:15 PM . Como você colocaria os pacotes na balança para ela ficar equilibrada? 16 1 8 1 7 1 5 1 4 5 40 b) Se me multiplicar por 7. João recebeu 2 multas graves. Quantos pontos foram acrescentados à carteira de motorista de João em 2008 se uma multa média foi cancelada? 21 pontos PREÇO DE CADA MACACÃO: R$ 65.00 LEVE 4 E PAGUE 3 Se aproveitar a oferta.00 100. Disponível em: <www.658. Quem sou? a) 97. 3 multas médias e 1 multa leve.00.com. A média de idade de quatro pessoas que viajam num carro é 36 anos. (Cesgranrio-RJ) Você conhece o sistema de pontuação das multas de trânsito? 7 5 99.850. Qual é o valor do salário mensal depositado na conta de Mário? R$ 904. O talão de cheques mostra que nesse tempo ele fez retiradas no total de R$ 3.(SEE-RJ) Há 4 meses o salário de Mário vem sendo depositado num banco. (Saresp) Joãozinho resolveu várias operações utilizando uma calculadora e encontrou os resultados mostrados na tabela abaixo: Números digitados resultado na calculadora 1a 838 162 1 000 2a 160 15 2 400 3a 3 600 2 1 800 4a 1 864 17 1 847 Pedro Sotto No da operação 98. Veja a oferta que ele encontrou em uma loja: 4 3 pontos pontos pontos pontos Gravíssimas Graves Médias Leves Fonte: Petrobras.00 e um depósito de R$ 224. você obtém 6. 00 b ) Se ela comprar 2 cadernos e não pedir dinheiro emprestado. U m 1 08. tirei 8 e ficou 25. 24 passageiros 103. em metros. tem o triplo da idade de Eva. e resolva a expressão numérica que indica quantos passageiros estão em pé.indd 76 5/13/15 3:15 PM . No sábado à noite apenas uma das mesas não estava com todos os ocupantes. de C a E? 14 m A B C D E F Qual é o número mínimo de clientes que se encontravam na lanchonete? 69 clientes b ) Qual é o número máximo? 71 clientes a) 109. adicionei 14. Se ela comprar 3 cadernos. Em que número pensei? 38. prevê-se que o atendimento será encerrado a que horas? 16h12min 1 05. qual a distância. Sua mãe. dividi por 2. Às 15 horas. Cláudia tem 3 pares de tênis e 4 pares de meias. Eva tem 12 anos de idade. pois 3 ? 4 5 12 1 07. (Cesgranrio-RJ) A distância entre duas árvores vizinhas é sempre a mesma. A jornada de trabalho em uma empresa é de 42 horas semanais. Nesta papelaria os cadernos custam R$ 6. Viajam nesse ônibus 83 passageiros. Se de A até F são 35 metros. sobram R$ 4. 83 2 (26 ? 2 1 7) 5 24. Uma lanchonete tem 18 mesas com 4 cadeiras cada uma.00 cada um. Vilma. Pensei em um número.DESAFIOs 1 01. Ilustrações: Danillo Souza ônibus tem 1 banco de 7 lugares e 26 bancos de 2 lugares. 33 2 14 5 19 e 19 ? 2 5 38 76 prm6_060_078_unid04. com 24 pessoas a serem atendidas. Qual é a carga horária diária nos outros 4 dias de trabalho? 6 horas e 30 minutos 1 04. quantas das canetas acima Ester poderá comprar? 5 canetas Luiz Santos Jr/Laeti Images Escreva 1 06.00. a) Quanto custa cada caneta? R$ 2. (Obmep) Ester vai a uma papelaria para comprar cadernos e canetas.00. De quantas maneiras diferentes ela pode calçar seus pés com um par de meias e um par de tênis? 12 maneiras. com o total ela conseguirá comprar 2 cadernos e outras 7 canetas iguais. (Uerj) O serviço bancário atende uma pessoa a cada três minutos. Se o seu irmão lhe emprestar R$ 4. Que idade terá Vilma quando Eva tiver o dobro da idade que tem agora? 48 anos 102. pois 25 1 8 5 33. Em 2 dias da semana os funcionários trabalham 8 horas por dia. b) todas estão erradas.(OM-SP) Da igualdade: 19 5 3 ? 5 1 4 podemos obter uma divisão de: Alternativa a. Carlos. resto 4 e divisor 3. 115. a) todas estão certas.(Obmep) Na adição abaixo. 111. respectivamente: Alternativa c. a) 9 b) 12 c) 22 d) 32 2484:2? e) 46 Zubartez Anote no caderno o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta. Qual é o resultado da expressão que a professora escreveu? Alternativa d. o símbolo ♣ representa um mesmo algarismo.Qual das expressões numéricas não indica a quantidade de fotos no quadro? Alternativa b. foi ao quadro-negro e trocou todos os algarismos 3 por 5. resto 3 e divisor 5. a) 2 006 e 515 c) 2 006 e 5 015 b) 2 060 e 5 150 d) 2 060 e 5 015 113.(Obmep) Uma professora de Matemática escreveu uma expressão no quadro-negro e precisou sair da sala antes de resolvê-la com os alunos.AUToAvAliAção a) b) c) d) resto 4 e divisor 5. d) somente a segunda está errada. (13 : 5)  (53  2)  25 ? Zubartez Ilustra Cartoon 112.indd 77 5/13/15 3:15 PM . ? ? 114. Na ausência da professora. (Obmep) Qual é o resultado de 2 1 4 ? 8 2 4  2? Alternativa d.Considere as seguintes expressões: I) 10  5 1 5 5 7 III) 6 ? 3 2 2 ? 5 5 8 II) 2 ? 1 ? 0 ? 3 5 6 IV) 48  16 1 8  4 5 5 19 4 Paulo José 110. Qual é o valor de ♣ ? ♣ 1 ♣ ? Alternativa b a) 3 ? 8 1 4 b) 3 ? 8 1 2 ? 5 c) 3 ? 6 1 2 ? 5 d) 5 ? 8 2 6 ? 2 3 3 3 1 3 5 12 4 ♣ 7 18 9 5 1♣♣2 a) 6 c) 20 b) 12 d) 30 e) 42 77 prm6_060_078_unid04. c) somente a primeira está errada. os 5 por 3. o sinal de 1 pelo de 3 e o de 3 pelo de 1. muito brincalhão. e a expressão passou a ser (13  5) 3 (53 1 2) 2 25. Podemos afirmar que: Alternativa d.O dobro de 1 003 e a metade de 10 030 são. resto 4 e divisor 19. (15  3) 1 (35 3 2) 2 23 5 52 a) 22 b) 32 c) 42 d) 52 e) 62 116. Paulo 25. d) Cristina 25. Daqui a 6 anos. 119. a) 80 b) 100 16 3 3 5 48 48  2 5 24 24 3 5 5 120 An tun es B son A 125. Paulo 23. a ) 6 alunos. d) 32 alunos. Como 2 envelopes foram rasgados e não puderam ser utilizados.com 1 23. para percorrer 840 km. a ) 750 c) 2 500 b) 1 500 d) 7 500 Tale/Dreamstime. Supondo condições equivalentes. o pai de Douglas tem o dobro de sua idade. 840  12 5 70 d) 80 litros. Para completar essa turma. Maria 23.Autoavaliação d ) 41 e) 42 124. (Vunesp) Uma pessoa comprou 5 envelopes 1 grandes. Zubartez 1 17. (Prominp) Cada vez que uma máquina residencial de lavar roupas é utilizada. (Obmep) O pé do Maurício tem 26 centímetros de comprimento. Nesse ritmo. Como existem 450 alunos matriculados. a ) 76 bombas. a ) 44 anos. d) 116 bombas. são gastos 150 litros de água. Paulo 30. O número total de folhas que deveriam ser colocadas nos envelopes era: Alternativa c. quantos celulares são vendidos por hora no país? Ed 120. (Ufla-MG) Caminhando sempre no sentido da direita. (Ipad-PE) No grupo de trabalho de Cristina. Alternativa c. Na casa de Maria. b) 84 bombas. Ela ainda deverá fazer: Alternativa a. essa pessoa precisou colocar 16 folhas a mais em cada um dos envelopes restantes. dessa forma você economizará água e energia. (Vunesp) A cozinheira precisa fazer 1 000 bombas de chocolate. a ) 70 litros. arredondando o resultado para cima. ele multiplicou essa medida por 5. Faltam 6 alunos para completar a turma. Douglas terá 30 anos. o número de caminhos possíveis entre A e B é: Alternativa c. somou 28 e dividiu tudo por 4. a ) 12 b) 16 c) 24 d) 30 121. para colocar o mesmo número de folhas dentro de cada um deles. c) 12 alunos. b) 46 anos. c) 102 bombas. 450 38 32 11 b) 11 alunos. Para saber o número de seu sapato. Maria 30. Qual é a idade de cada um do grupo? Alternativa b.com a) 1 080 celulares b) 1 820 celulares c) 2 640 celulares d) 2 880 celulares Alternativa d. Quantos litros de água são gastos em um mês? Alternativa b. 122. b) Cristina 25. Maria 25. Já estão prontas 22 assadeiras com 42 bombas em cada uma. uma delas ficará incompleta.   4 ? 2 ? 3 5 24 c) 120 d ) 160 78 prm6_060_078_unid04. 600  50 5 12 b) 68 litros. Qual é o número do sapato de Maurício? Pense nisso! Use a máquina de lavar sempre na capacidade máxima. Paulo 25. a) 38 b) 39 c) 40 118. esse mesmo carro. (UMC-SP) Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600 km. A média da idade desse grupo é de 26 anos.indd 78 5/13/15 3:15 PM . Maria tem dois anos a menos que ela. Uma diretora deseja formar turmas de 38 alunos. c) Cristina 23. c) 75 litros. consumirá: Alternativa a. Maria 23. 26. c) 48 anos. a máquina é utilizada cinco vezes a cada 15 dias. Alexeyboldin/Dreamstime. O pai de Douglas tem hoje: Alternativa c. e Paulo tem cinco anos a mais que Cristina. (Ipad-PE) A cada cinco segundos. d ) 60 anos. Hoje. ela deverá matricular: Alternativa a. quatro celulares são vendidos no Brasil. a ) Cristina 30. PotEnCiação E raiz QuaDraDa DE númEros naturais prm6_079_090_unid05. Uma multiplicação de fatores iguais chama-se potenciação e pode ser escrita de forma simplificada. ◆ em cada gaveta há cinco caixas. Veja: número de fatores 5 ? 5 ? 5 ? 5 5 54 (Lemos: cinco elevado à quarta potência. ◆ cada chaveiro tem cinco chaves. ◆ 4 é o expoente. e Za iba Para responder a essa pergunta devemos efetuar uma multiplicação de fatores iguais: Jorg 5 ? 5 ? 5 ? 5 5 625 4 fatores iguais a 5 Estão guardadas no armário 625 chaves. ◆ 625 é o valor da potência. ◆ em cada caixa há cinco chaveiros. temos que: ◆ 5 é a base. Potenciação Vamos calcular quantas chaves estão guardadas no armário a seguir? Observe: ◆ o armário tem cinco gavetas.) fator que se repete potência Em 54 5 625.indd 79 PRATICANDO MATEMÁTICA 79 5/13/15 3:16 PM 12a PROVA .5 UNIDADE Potenciação e raiz quadrada de números naturais 1. 24 e 42 80 prm6_079_090_unid05. 3 4 3 5 5 Valor da potência 900 243 3 64 64 3 7. Descubra qual é. o valor de uma potência é alterado se trocarmos a base pelo expoente. há um caso em que a base é diferente do expoente e isso não acontece. Todos os livros de uma sala de aula estão em 8 estantes.7 343 0 09 10 104. 5. 7. Copie e complete o quadro. Veja um exemplo: Seguindo esse modelo.indd 80 PRATICANDO MATEMÁTICA 12a PROVA 5/13/15 3:16 PM . 15 625 8. cada prateleira tem 8 livros. b) uma potência cuja base é 1? É sempre igual a 1. (SEE-RJ) As bandejas para expor os doces ou salgados da padaria são numeradas de acordo com o tamanho: 1 2 3 4 225 152 118 1 18 1 4.EXERCÍCIOS 1. Digitaram numa calculadora: 5 d) 19 19 ? 19 5 361 e) 203 20 ? 20 ? 20 5 8 000 f) 104 a) 7 7 ? 7 5 49 b) 25 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 5 32 c) 53 5 ? 5 ? 5 5 125 3 5 3 5 3 5 3 10 ? 10 ? 10 ? 10 5 10 000 Potência Base Expoente 302 30 2 82 8 2 43. 4 10 000 a) Que potência foi calculada? 57 b) Quanto é 58? E 56? 390 625. Quantos livros há na sala de aula? 512 livros Ilustrações: Jorge Zaiba 15. 3. 6. O que você pode dizer a respeito de: a) uma potência cuja base é 0? É sempre zero. Escreva na forma de potência. 9 3 No visor apareceu o resultado: 3. Indique na forma de produto e calcule. c) 52 ou 25? 25 d) 04 ou 019? São iguais. 5 5 2 Edson Antunes 2 a) 32 ou 23? 32 b) 72 ou 27? 27 52 5 5 ? 5 5 25 25 5 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 5 32 No entanto. Em geral. Cada estante tem 8 prateleiras. 2 5 5 3 0. quantos doces cabem na bandeja de número 8? 64 doces 9. Qual é o maior: d) 7 ? 7 ? 7 ? 7 ? 7 75 e) 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 27 f) 13 ? 13 ? 13 ? 13 134 a) 6 ? 6 ? 6 63 b) 9 ? 9 92 c) 5 ? 5 ? 5 ? 5 54 2. Então? Percebeu por que o expoente 2 se chama quadrado? Quando elevamos os números 1. 25. Somente para 0 e 1 isso não acontece. Já com 81 é possível. Assim: ◆ 53 lê-se cinco elevado ao cubo ou o cubo de cinco.2. … E o expoente 3? Veja abaixo outra sequência: ela é formada por cubos. ana tentou formar um quadrado com 15 quadradinhos. 4. cubos e potências As potências com expoente 2 e com expoente 3 recebem nomes especiais. ◆ 83 lê-se oito elevado ao cubo ou o cubo de oito. Quantos quadradinhos formarão o quadrado cujo lado mede n unidades? n2 4. porque 10 não é quadrado de um número natural. 23 5 2 ? 2 ? 2 5 8 33 5 3 ? 3 ? 3 5 27 O expoente 3 recebe o nome de cubo. 16. 4.. 2 Não.. Quer saber de onde vem esse nome? Observe a sequência formada por quadrados: ◆ 12 5 1 ? 1 5 1 22 5 2 ? 2 5 4 32 5 3 ? 3 5 9 42 5 4 ? 4 5 16 troque ideias com os colegas e respondam no caderno às questões a seguir: 1. 3. O expoente 2 é chamado de quadrado. e assim por diante. o quadrado de um número ímpar é par ou ímpar? Ímpar. Para os demais é verdadeiro. 43 5 4 ? 4 ? 4 5 64 Quantos cubinhos terá o próximo cubo dessa sequência? Escreva no caderno esse número na forma de potência. 53 5 125 PotEnCiação E raiz QuaDraDa DE númEros naturais prm6_079_090_unid05. 132 será lido como treze ao quadrado ou o quadrado de treze. Então: ◆ 72 será lido como sete ao quadrado ou o quadrado de sete. ao quadrado. Vocês sabem explicar por quê? É possível formar um quadrado com 10 quadradinhos? E com 81? 15 não é quadrado de um número natural. Quantos quadradinhos terá o próximo quadrado da sequência? 25 2. 3.indd 81 PRATICANDO MATEMÁTICA 81 5/13/15 3:16 PM 12a PROVA . o quadrado de um número natural será sempre maior que o próprio número? 5. obtemos a sequência dos números quadrados: 22 32 42 52 12 DAE 1. . e não conseguiu. Quadrados. 5. 2. 9. pois 9 5 81. Eles observaram padrões que ocorriam nas potências: ◆ 25 5 32 2 ◆ 24 5 16 ◆ 23 5 8 ◆ 22 5 4 Quando o expoente diminui uma unidade. a0 5 1. Digite 5 pela terceira vez para obter 625. deveriam ter: ◆ 21 5 2 2 ◆ 20 5 1 Como isso também ocorria em outras bases. Por isso. que é 52.indd 82 PRATICANDO MATEMÁTICA 12a PROVA 5/13/15 3:16 PM . incentive a troca de ideias entre os alunos. se a é um número diferente de zero. Digite 5 novamente. Respostas pessoais. os matemáticos precisavam determinar o que aconteceria quando esses números aparecessem no expoente. que é 53. Professor. O expoente 0 e o expoente 1 Vimos que. Quer ver como é fácil? Digite 5 e a tecla 3 e a seguir a tecla 5 . que é 54. Então: ◆ 61 5 6 80 5 1 ◆ ◆ 151 5 15 ◆ 430 5 1 robert_s/Shutterstock ◆ Sendo a base diferente de zero. 2 2 Para manter o padrão. ficou resolvido que: ◆ se a é um número. digitamos: 2 3 5 5 5 5 5 5 e obtemos 128. na potenciação. eliminamos mais uma situação complicada: 00 5 ? Para nós. aparece 25. para que outros fatos ligados à potenciação funcionassem bem. Entendeu? Para calcular 27. Vamos explorar os recursos da calculadora? Experimente formas de obter 220 usando o mínimo de teclas possíveis. é estranho pensar em: ◆ expoente 1 só um fator na multiplicação? ◆ expoente 0 nenhum fator na multiplicação? No entanto. a potência é dividida pela base. essa expressão não terá significado. a1 5 a. 82 prm6_079_090_unid05. por exemplo. o expoente indica o número de fatores iguais da multiplicação. registre suas tentativas no caderno.3. A calculadora e as potenciações Podemos efetuar potências em uma calculadora comum. aparece 125. Leitura da potência 5?5 73 7?7?7 Escreva esses números na forma de potência. Por que será? A quantidade de quadradinhos no 2 19. Veja as figuras da sequência: A potência fica dividida pela base da potenciação. Responda. 243 b) c) 34 81 44 256 54 625 33 27 43 64 53 125 32 9 42 16 52 25 31 3 41 4 51 5 30 1 40 1 50 1 Nas sequências acima. 784 c) o cubo de 8. 18 ? 18. 42. 64 5 43 . Calcule o valor das potências. o que acontece com o resultado da potenciação? DAE 1 3. sete ao cubo 1 4. 12. Calcule o valor das potências. quando o expoente da potenciação diminui uma unidade. a) e) 113 1 331 f) 502 2 500 2. 125 5 53 dezoito ao quadrado 15. b) Escreva o número de quadradinhos de cada figura usando a forma de potência. 20 b) o quadrado do número 10.indd 83 Praticando Matemática 83 5/13/15 3:16 PM 12a prova . Quadrado de lado 9 quadradinhos (total 81 quadradinhos). Calcule: 64 6?6?6?6 a) o dobro do número 10. Quantos cubinhos tem cada um dos cubos desta sequência? DAE 1 0. 1 000 26 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 8?8?8?8?8 85 oito à quinta seis à quarta. Dê o valor das potências. 52. Calcule: 1 a) o quadrado de 15. 22. 225 b) o quadrado de 28. a) Qual é maior: 2000 ou 0200? 2000 b) Qual é maior: 1501 ou 1150? 1501 c) Qual é menor: 6000 ou 0600? 0600 a) Desenhe as duas figuras seguintes da sequência. 17. Sabendo que 75 5 16 807. 30 d) o cubo do número 10. 8 5 23 . c) 720 1 d) 721 72 a) 61 6 b) 100 1 e) 1050 1 f) 1051 105 18. d) Lê-se 3 . Copie e complete o quadro. habitualmente três ao quadrado. 182 1 5 13 . 27 5 33 . 62 c) Construa um quadrado que tenha entre 80 e 90 quadradinhos. c) 93 729 d) 132 169 a) 82 64 b) 63 216 1 6. dois à sexta 1 1. 32. 512 d) a quinta potência de 3. Quadrado de lado 5 quadradinhos (total 25 quadradinhos) e quadrado de lado 6 quadradinhos (total 36 quadradinhos). 100 c) o triplo do número 10. faça uma só conta e calcule: a) 76 117 649 b) 74 2 401 Confira na calculadora! quadrado 3 3 3 é igual a 3 2 Potenciação e raiz quadrada de números naturais prm6_079_090_unid05.Exercícios Produto 52 Potência cinco ao quadrado. pois 32 5 9. ◆ O símbolo recebe o nome de radical.4. 1. ◆ A raiz quadrada de 25 é 5. 81 e 100 Muitas calculadoras possuem a tecla . 0. Algumas possíveis: 10. eles devem ser resolvidos em primeiro lugar. Já sei: 49 5 7. 49. ◆ Qual é o número natural que elevado ao quadrado resulta em 25? Acertou quem respondeu 5.indd 84 PRATICANDO MATEMÁTICA 12a PROVA 5/13/15 3:16 PM . pois 32 5 9. pois 52 5 25. Por exemplo. 25. pois 52 5 25. √12 não é um número natural. 9. não existe número natural que elevado ao quadrado resulte em 12. 2. No visor aparecerá o número 7. Depois. 64. 1. pois 72 5 49. Se a expressão tiver parênteses. digite 49 e aperte a tecla . não? A raiz quadrada de 9 é 3. 36. Estúdio Ornitorrinco Radical!!! Para encontrar 49 basta procurar o número natural que elevado ao quadrado dá 49. Fácil. Para encontrar 49 . As potenciações e as raízes quadradas aparecem nas expressões numéricas. Escrevemos 25 5 5. Raiz quadrada Qual é o número natural que elevado ao quadrado resulta em 9? Acertou quem respondeu 3. 4. Na Matemática. acompanhe: 32 é 9 e 2 4 já é 16. Escreva no caderno os números naturais de 0 até 100 cuja raiz quadrada é um número natural. Danillo Souza ◆ √9 5 3 √25 5 5 Atenção a raiz quadrada de muitos números naturais não é um número natural. 16. 18 e 27. Veja exemplos de como efetuá-las: ◆ 5 ? 23  100 1 36  40 5 ◆ (4 ? 5 2 3 ? 6)5  ( 81 2 14) 5 5 5 ? 8  10 1 6  1 5 5 (20 2 18)5  (9 2 1) 5 5 40  10 1 6  1 5 5 25  8 5 5 4 1 6 5 10 5 32  8 5 4 Primeiro efetuamos as potenciações e as raízes quadradas. escrevemos 9 5 3. 84 prm6_079_090_unid05. Encontre exemplos de outros números cuja raiz quadrada não seja um número respostas natural. Sabe do que mais? Você acabou de achar a raiz quadrada de 9 e a raiz quadrada de 25. seguimos a ordem já conhecida para as outras operações. Então. O chão de uma cozinha de forma quadrada está coberto com 144 ladrilhos quadrados. 22. 11 extraída a raiz quadrada somado com 11 21. 23. Por que a raiz quadrada de 1 600 é 40? Porque 402 5 1 600. Calcule. 2 28.EXERCÍCIOS 20. 5 45 b) elevado ao quadrado resulta 49. representa o valor de 324 . Obtenha a resposta mentalmente: a) elevado ao quadrado resulta 25. Copie e faça do mesmo modo. Um dos seguintes números: 17. Qual é esse número? 18 25. Quantos ladrilhos há em cada lado do chão? 12 ladrilhos Estúdio Ornitorrinco a) 7 5 25 49 10 5 √100 64 36 24. Paulo José 1 81 49 e) 20 5 400 b) 12 5 144 f ) 25 5 625 c) 13 5 169 g) 30 5 900 d) 15 5 225 h) 50 5 2 500 4 9 16 29. Calcule a diferença entre a raiz quadrada de 81 e a raiz quadrada de 49. 18. a) 36 1 64 b) 36 1 64 10 14 c) 4 ? 25 d) 4 ? 25 10 10 a) b) c) d) e) f) 22 1 81  9 5 23 1 100  5 2 32 1 2 ? ( 1 ? 5 2 16 ) 2 82  (6 ? 2 2 100 ) 32 12 ? [92 2 ( 64 1 7 ? 10)] 36 23  4 1 3 ? [ 25 2 (3 2 2)] 2 7 7 PotEnCiação E raiz QuaDraDa DE númEros naturais prm6_079_090_unid05. a) 9 3 d) 81 b) 4 2 e) 0 0 c) 64 f) 1 1 8 6 9 27. 7 c) elevado ao quadrado resulta 100. Calcule. 10 elevado ao quadrado dividido por 9 d) elevado ao quadrado resulta 121.indd 85 PRATICANDO MATEMÁTICA 85 5/13/15 3:17 PM 12a PROVA . 19 ou 20 30. Descubra o número natural que: 26. Calcule. Complete o quadro com raízes quadradas de modo a obter um “quadrado mágico”. 3 Número Quadrado 1 9 8 16 25 36 49 27 64 125 216 64 343 36. Escreva as potências em ordem crescente. Calcule. Edson Antunes a) 101 10 b) 102 100 c) 103 1 000 d) 104 10 000 e) 105 100 000 f) 106 1 000 000 Nas potências de 10. 86 prm6_079_090_unid05. Sabendo que 25 5 32 e 33 5 27. Com as mangas de cada uma. 8 16 4. 4 0. o expoente nos indica quantos zeros tem o número. 32. calcule mentalmente: Cubo 1 1 2 a) 26 64 b) 27 128 4. Rodrigo pensou em um número e determinou 3 a sua raiz quadrada. 52. Considere a expressão 2 1 32 ? 5 2 1. Danillo Souza O que você pode concluir sobre as potências de base 10? a) Mostre que ela representa o número 46. Em que número ele pensou? 252  625 33. Qual é o valor da potência? a) A base é 2 e o expoente é 7.revisando 3 5. Copie e complete o quadro. 25. 62. de2 modo que represente Ficaria 2 1 3 ? (5 2 1). 9 100 10. 2 1 45 2 1 5 46 b) Será possível modificar essa expressão colocando parênteses. 33. 1 c) A base é 6 e o expoente é 3.indd 86 Praticando Matemática 12a prova 5/13/15 3:17 PM . 110. Sim. 72. Ficaria (2 1 32) ? 5 2 1. 64 5 37. Numa chácara há 7 mangueiras. 110 25 43 52 32 020 92 23 72 102 33 62 3 9. 92. O resultado foi 25. 102 34. 38? E 54? Sim. 216 a) b) 2. 43. 8 000 c) 34 81 d) 35 243 c) 9 ou 16 ? √ 16  d) 8 ou 3? 3 8. 125 27 é maior? a) 62 ou 26? 26 b) 42 ou 24? São iguais. Qual número falta em cada sequência? 31. 128 b) A base é 1 e o expoente é 5. encheram-se 7 caixas com 7 kg cada. 3. Qual 25. Qual é o número de quilogramas de mangas colhidas? 73. 23. 343 quilogramas 020. 1 000 400 20. (CPII-RJ) Você sabe o que é e-mail? É uma mensagem enviada ou recebida através do computador. mostrando como você fez. 42.DESAFIOS DESAFIO 41. em vez de um. 5 Leonardo Conceição 44. havia dois monstrinhos na tela do computador. Esse vírus fazia a quantidade de monstrinhos duplicar a cada dez segundos. tinha aparecido um outro igualzinho ao primeiro. Responda às perguntas a seguir. Reinaldo Rosa Flávio recebeu por e-mail um desenho engraçado de um monstrinho. viu que. a) 72 2 10 1 (23 2 5) 42 Leonardo Conceição b) 25 2 (16  2 1 32) 15 c) [100 2 (52 2 32)]  2 42 d) 7 1 [52  (10 2 5) 1 23 ? 2] 28 e) 50 2 2 ? [8 1 (10 2 32) 2 3] 38 f) 2 ? [(6 1 7 ? 9 )  32 1 (21 2 5 ? 4 )] 28 43. Calcule a diferença entre a raiz quadrada de 81 e a raiz quadrada de 16.indd 87 PRATICANDO MATEMÁTICA 87 5/13/15 3:17 PM 12a PROVA . Calcule o valor das expressões. O número de filas deve ser igual ao número de alunos em cada fila. Um professor de Educação Física precisa separar 64 alunos em filas. 32 figuras b) sabendo que a tela ficou completamente cheia de monstrinhos em um minuto e meio. o dobro do número de bolinhas da gaveta anterior. quanto tempo foi necessário para encher a Quantas bolinhas colocou na 9 gaveta? 28 5 256 a metade da tela? 1 minuto e 20 segundos PotEnCiação E raiz QuaDraDa DE númEros naturais prm6_079_090_unid05. Ele abriu o arquivo e. Um garoto colocou na primeira gaveta uma bolinha de gude e. em cada gaveta seguinte. dez segundos depois. Qual deve ser o número de filas? 8 filas 45. a) Quantas figuras do monstrinho vão aparecer na tela depois de 50 segundos? 25 5 32. Foi assim que Flávio descobriu que havia um vírus no arquivo recebido. apertando a tecla . 1. Você resolveu e M2 ) robert_s/Shutterstock Na página 44. e guardamos Leonardo Conceição memória para ser somado depois. registrando. precisamos limpar a memória da calculadora. problemas guardando resultados na memória da calculadora e resgatando-os no momento necessário e M2 ( MRC M1 da calculadora. para guardar na memória 23 ? 6 5 48. peguem a calculadora e acompanhem! 1) √ 81 1 23 ? 6 5 .  para calcular 23. 88 prm6_079_090_unid05. Agora vamos puxar os resultados da memória usando a tecla MRC! Para resolver uma nova expressão. e aparece o resultado final da expressão: 57. pois as operações já estão na ordem em que devem ser efetuadas.indd 88 PRATICANDO MATEMÁTICA 12a PROVA 5/13/15 3:17 PM . resolvam vocês. que é o resultado final da expressão.resoluções com uso da calculadora M1 . Há calculadoras em que a tecla MRC é substituída pelas teclas MR (resgata a memória) e MC (apaga a memória). Digitamos 81 e a tecla Como a multiplicação deve ser feita antes da adição. guardamos o 9 na Digitamos agora 2 E aí. Confiram os resultados com as demais duplas! a) 24 1 125  5 2 49 34 b) ( 81 1 36 2 22)  121 1 2. Vamos resolver dois exemplos passo a passo? Junte-se a um colega. Resgatamos tudo digitando MRC . mostramos como são úteis as teclas ( MRC ). teclando M2 M1 .SEÇÃO LIVRE Expressões numéricas .  6 Teclamos M1 MRC   M1 . Faremos parecido para re- solver algumas expressões numéricas. pois precisamos efetuar primeiro a divisão e guardar o resultado na memória. Aparece 9 no visor. troquem ideias com os colegas! Não. Para resolver a expressão 100  16  25 será preciso usar as teclas da memória? E para resolver 240 1 60  20? Expliquem as respostas. Sim. as teclas usadas. e aparece no visor 170. Finalmente digitamos 200  8 e teclamos M1 para somar esse resultado (25) aos demais. Teclamos novamente MRC e em seguida AC . 2) 152 2 8 ? √ 100 1 200  8 5 Fazemos inicialmente 15   e guardamos o resultado (225) teclando Efetuamos a multiplicação 8 ? √ 100 digitando 8  100 esse resultado (80) na memória para subtrair. no caderno. respectivamente: Alternativa b a) 16 e 16 c) 64 e 16 b) 16 e 64 d) 64 e 64 47. 2 ? 24 1 3 ? 13 2 6 5 51 b) 62 c) 75 O valor da expressão 2 ? 103 2 (102 1 4 ) fornece o ano do seu nascimento. 172 e 303 são. b) 108 reais. A metade de 2 bilhões de reais corresponde a: Alternativa c. a) 1898 52. Leonardo Conceição Foto Arquivo/Agência O Globo Par ou ímpar? a) 52 1 32 b) 7 ? 5 ? 11 ? 13 ? 2 c) 3 ? 5 1 7 ? 9 1 11 ? 13 d) 7 1 9 1 11 1 13 1 15 1 17 49. (Obmep) Qual das expressões abaixo tem como resultado um número ímpar? Alternativa c. 289 e 27 000  48. a) 51 Os bailes de Carnaval foram inspiração para muitas obras de Heitor dos Prazeres. d) 1010 reais. O dobro do quadrado de sete é igual a: Alternativa c. a) 225. (Saresp) O Teatro Martins Pena tem 243 poltronas. d) 123 b) 1900 c) 1896 d) 1902 55. Observe o tabuleiro de xadrez.AUTOAVALIAÇÃO 46. Quanto é o dobro de 24 mais o triplo de 13 menos o quadrado de2 6? Alternativa a. Heitor dos Prazeres. a) 24 b) 25 c) 26 d) 28 54. c) 109 reais. a) 14 b) 28 c) 98 d) 196 89 prm6_079_090_unid05. respectivamente: Alternativa d. a) 107 reais. carioca nascido no morro. foi compositor de sambas e marchinhas. que é: Alternativa a. 53. tto So dro Pe Anote no caderno o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta. A quantidade de casas brancas do tabuleiro pode ser indicada por: Alternativa b. Qual dos números é o maior? Alternativa d. mas foi também pintor de quadros de renome internacional. 289 e 2 700 b) 225. 189 e 900 d) 225.indd 89 PRATICANDO MATEMÁTICA 5/13/15 3:17 PM 12a PROVA . a) 34 b) 35 c) 36 d) 37 51. O número de poltronas do teatro equivale a: Alternativa b. cantadas até hoje nos bailes de Carnaval. O dobro de 8 e o quadrado de 8 são. 289 e 900 c) 225. Os resultados de 152 . a) 222 b) 2 ? 2 ? 2 c) 222 d) 222 50. Nesse novo prédio. A raiz quadrada da metade de 200 é: Alternativa a. o número de janelas do 8o bloco (o mais próximo do chão) é: Alternativa c.AUTOAVALIAÇÃO 56. 59. a) b) c) d) Ilustra Cartoon a) 2 15 25 125 625 53 5 125 d) 81 90 prm6_079_090_unid05. DAE a) 10 61. também numerados de cima para baixo como o da figura. então: a) b) c) d) 62 2 22 2 1 62 2 22 1 1 52 2 4 2 1 6?52421 Qual foi o algarismo manchado? Alternativa b. a) b) c) d) 3 √0 b) 79 2o bloco 3o bloco 8o bloco: 82 5 64 8 9 √1 Qual é o maior valor possível da expressão obtida depois de preenchidos todos os quadradinhos? Alternativa b. então n é igual a: Alternativa c. manchando um algarismo em uma expressão que lá estava escrita. Um gato come 5 ratos por dia. Qual das expressões numéricas indica a quan- c) 9 d) 23 tidade de 58. Se x 5 100 e y 5 4 1 9 2 1 . foi construído um outro com 8 blocos. 16 1 162 5 260 0 II 2 a diferença entre o quadrado de 7 e a raiz quadrada de 49. i. a) 78 1o bloco 32 48 64 128 c) 80 DAE Paulo José 2 c) 2 d) 3 65. b) 20 c) 50 d) 100 57. i c) ii. 2 ? 3 1 0 1 8 ? 9 1 1 5 79 a) 0 b) 1 64. 8  2 ? 32 5 36 Organizando os valores obtidos em ordem crescente. ii. Se 2 1 n 5 5. Matilde deixou cair no seu caderno. (Vunesp) Seguindo o mesmo padrão de construção do prédio abaixo. na qual cada quadradinho representa uma janela. Quantos ratos 5 gatos comem em 5 dias? Alternativa c. ii. iii d) i. iii. a) 3 b) 6 c) x < y d) x 5 2y 62. Calcule: I 2 a soma da raiz quadrada de 16 com o quadrado de 16. iii b) iii. b) 3 c) 4 d) 6 63. a) i. A expressão ficou assim: 52 1 8  16 2 Alternativa b. Cada quadradinho da figura deve ser preenchido com um sinal de adição (1) ou de multiplicação (3).indd 90 PRATICANDO MATEMÁTICA 12a PROVA 5/13/15 3:17 PM . tem-se: Alternativa b. (CAP-Uerj) O resultado da expressão 13 ? (14 2 4 ? 3)  (72  12 2 22) é: Alternativa b. a) x 5 y b) x > y 3950 da figura? Alternativa a. 72 2 49 5 42 III 2 o produto da metade de oito pelo quadrado de três. ii 60. 21. . 24.. MÚLTIPLOS E DIVISORES prm6_091_104_unid06.. A sequência dos múltiplos de 7 começa com o zero!! Sim. acompanhe: 0. 31. nesta unidade usaremos em várias oportunidades a denominação “sequência de múltiplos” para indicar a sequência dos múltiplos naturais de um número natural. 33. Estúdio Ornitorrinco A sequência dos múltiplos de 7 “vai de 7 em 7”! 0?750 1?757 2 ? 7 5 14 3 ? 7 5 21 4 ? 7 5 28  A sequência dos múltiplos naturais de 7 é infinita.. Sequência dos múltiplos de um número Paulo nasceu em 2006.6 UNIDADE Múltiplos e divisores 1.. . • 12. 10. é a sequência dos múltiplos naturais de 7 Ela é obtida multiplicando-se os números naturais por 7. Veja: • 3. Antes. 17. Ilustra Cartoon Ele esteve imaginando: ◆◆ O que estará acontecendo nesse ano? ◆◆ Haverá eleições para presidente do Brasil? ◆◆ Haverá Olimpíadas? Vamos usar a Matemática para ajudar Paulo a encontrar as respostas para essas questões. 14. 19. 28. 26.. . etc. 7..indd 91 91 5/13/15 3:17 PM . Por praticidade. mas muitas sequências “vão de 7 em 7” e não formam a sequência dos múltiplos naturais de 7. No ano 2066 ele completará 60 anos. pois 1 035  7 não é uma divisão exata. Mas vamos voltar ao Paulo. que resulta em 1 036.indd 92 5/13/15 3:17 PM . Então 805 é múltiplo de 7. 92 prm6_091_104_unid06. faremos: 2066 06 26 2 4 516 resto Sim! Se a legislação não mudar. 7 115 Descobrimos que 115 ? 7 5 805. os anos em que acontecem as eleições não são múltiplos de 4. podemos verificar que 1 035 não é múltiplo de 7. então 1 029  7. Da mesma forma. Para saber se em 2066 haverá eleições para presidente. Então. em 2066 haverá eleições para presidente no Brasil. 2014 014 2 4 503 2018 018 2 4 504 Os anos de eleição deixam resto 2 quando divididos por 4. E se 1 029 é múltiplo de 7. Agora é com você! Ajude Paulo a descobrir se em 2066 teremos Jogos Olímpicos. Reinaldo Rosa 805 10 35 0 Você deve estar pensando: “Dizer que 805 é múltiplo de 7 é o mesmo que dizer que 805 é divisível por 7?” É isso mesmo! As sentenças “805 é múltiplo de 7” e “805 é divisível por 7” são equivalentes. E assim por diante. é múltiplo de 7. Observe que se o resto é 6. Estúdio Ornitorrinco ◆◆ A sequência “ vai de 4 em 4”. mas os anos não são múltiplos de 4. No entanto. Em 2066 não teremos Jogos Olímpicos. Veja: Houve eleições para presidente em 2014. Atualmente. basta subtrair 6 do dividendo para que a divisão fique exata. As próximas serão em 2018. 1 029 (que é o resultado de 1 035  6) é múltiplo de 7.Como saber se um número é múltiplo de outro? Veja o exemplo: Para saber se 805 é múltiplo de 7. basta verificar se existe um número natural que multiplicado por 7 dê 805. as eleições para presidente do Brasil acontecem de 4 em 4 anos. 1035 7 33 147 55 resto 6 Não há número natural que multiplicado por 7 resulte em 1 035. 27. Veja outros exemplos: ◆◆ Divisores ou fatores de 15: 1. Fatores ou divisores de um número natural Dizer 24 é múltiplo de 4 é o mesmo que dizer 4 é divisor de 24. 3. 3. Observe: 0150 0250 0350 Quais são os divisores de zero? Todos os números naturais com exceção do zero. 32. 6. 8. 2. 16. 4. 17 17 5 1 ? 17 Danillo Souza ◆◆ 1. 15 15 5 1 ? 15 15 5 3 ? 5 ◆◆ Divisores ou fatores de 33: 1. Por que fator? Vamos escrever 24 como produto de dois números naturais. MÚLTIPLOS E DIVISORES prm6_091_104_unid06. O produto de um número par por um ímpar resulta em um número par. 32 e 13. Exemplo: 18 é múltiplo de 3. 8. 6. Podemos escrever todos os múltiplos de um número diferente de zero? Não. naturais. Que números entre 10 e 40 deixam resto 2 quando divididos por 5? 12. 2. Temos as seguintes possibilidades: 24 5 1 ? 24 24 5 2 ? 12 24 5 3 ? 8 O 1 é divisor 24 5 4 ? 6 4 é um dos fatores dessa multiplicação de todos os números Observe que 24 tem 8 fatores ou divisores: 1. 5. 12. que é ele mesmo. 32 e 37 5. 4. e de 13: 1. Por exemplo.2. 23  12. a sequência dos múltiplos desses números é infinita. que é ímpar. e 12 tem seis divisores. ou ainda que 4 é fator de 24. O zero é múltiplo de zero? Sim. 25. mas 23 tem dois divisores. Quais números de dois algarismos são múltiplos de 30? 30. 17. 4. Os múltiplos de um número ímpar são todos ímpares? Não. 22. É verdade que quanto maior o número mais divisores ele tem? Não. 11. 5. Escreva no caderno os divisores ou fatores de 25. 33 33 5 1 ? 33 33 5 3 ? 11 Divisores ou fatores de 17: 1. 24. de 32: 1. e tem um único divisor. 2. De 25: 1. é o único múltiplo de zero. 60 e 90 8. 3. 7.indd 93 93 5/13/15 3:18 PM . 13. 3. 0..indd 94 5/13/15 3:18 PM . a) a sequência dos múltiplos de 6. 42. 4. c) a sequência dos múltiplos de 1. 2. no Uruguai. b) a sequência dos múltiplos de 11. A primeira Copa do Mundo de futebol foi realizada em 1930. 94 prm6_091_104_unid06.EXERCÍCIOS 5.com 1. Leo e Rui estão contando de 3 em 3. 21 e 28 3. 6. 12. 30. . 30 e 35 1998 França 2002 Japão-Coreia 2006 Alemanha 2010 África do Sul d) os múltiplos de 7 compreendidos entre 20 e 30. 0. Escreva: Brasil b) Divida por 4 cada um dos números da tabela acima. c) O que há em comum nessas divisões? O resto é igual a 2. 22. Determine: Ano a) os múltiplos de 3 menores que 10. Os números que se seguem são múltiplos de que número? 2014 a) 12 26 20 40 2 b) 10 80 35 25 5 Andreykuzmin/Dreamstime. 0. 20. . Paulo. 1. 6. 6 e 9 País b) os múltiplos de 7 maiores que 40. 174  3 5 58 21 49 14 28 7 d) 18 30 21 12 3 3 6 Ilustrações: Zubartez c) A divisão 58 por 3 tem como resto 1. a) Copie e complete o quadro indicando os anos em que aconteceram as últimas cinco Copas do Mundo antes de 2014. d) a sequência dos múltiplos de 0. e a mais recente em 2014. 49. 25. 63. d) Está prevista uma Copa do Mundo para o ano 2022? Por quê? Sim. 18. 56. O Campeonato Mundial de Futebol acontece a cada 4 anos. 4. 5. 24. 11. 33. 0 2.. 3.. 0. Essas divisões são exatas? Não. 6.. . Porque a divisão de 2022 por 4 tem resto 2. Responda usando apenas estes números: Paulo a) b) c) d) 35 6 12 14 17 8 Qual é divisor de 32? 8 5 é divisor de qual número? 35 7 é divisor de dois números. no Brasil. 44. Quais são? 14 e 35 Quais são os dois divisores de 12? 6 e 12 Leo 12 9 Rui Paulo Quem dirá 174? Paulo... 15.. . 1994 Estados Unidos c) os múltiplos de 5 maiores que 10 e menores que 40.. 3. 3. não. 3.. 70. 2. 50. para que elas vendam o produto. Quando um número é divisível por 5? Quando o algarismo das unidades é zero ou cinco. A soma de dois números ímpares quaisquer é sempre divisível por 2? E o produto? Sim. ◆◆ Múltiplos de 10: 0.com Uma indústria de materiais plásticos produziu 1 359 478 bolinhas coloridas e pretende dividir igualmente essa quantidade entre duas filiais. 5. O algarismo das unidades também nos informa se um número é divisível por 5 e se ele é divisível por 10. são os números pares. 30. . ele é um número par.. Quando um número é divisível por 10? Quando o algarismo das unidades é zero. Critérios de divisibilidade – economizando cálculos Divisibilidade por 2. é divisível por 2. 5. Daí. 6. 25. 14.. e a indústria poderá dividir a quantidade de bolinhas entre suas duas filiais. 45. 1. 20. ◆ os números divisíveis por 10? O zero como algarismo das unidades. Pense e responda no caderno. Como 1 359 478 termina em 8. 16.indd 95 95 5/13/15 3:18 PM . Os múltiplos de 2 são 0. 12. 4. não precisamos efetuar a divisão. ◆ os números divisíveis por 5. 10. Mas será que o número 1 359 478 é divisível por 2? Para saber.. ◆◆ Múltiplos de 5: 0. É só olhar para o algarismo das unidades do número. 60. 8. 15. 10.. 2. 20. .. Todo número par é divisível por 2. 5 e 10 Sebastian Czapnik/Dreamstime. O que há de comum entre: ◆ os números divisíveis por 2. 30. 10.. 35. 40. Todo número divisível por 10 é divisível por 5? Sim. . 40. ou seja. MÚLTIPLOS E DIVISORES prm6_091_104_unid06. 4. pois 100 5 25 ? 4. pois: ◆◆ 200 5 2 ? 100 5 2 ? 25 ? 4 50 ◆◆ 300 5 3 ? 100 5 3 ? 25 ? 4 75 ◆◆ Os múltiplos de 4 são obtidos multiplicando-se 4 pelos números naturais. descubra o critério de divisibilidade por 8. 19 326 não é divisível por 4. mas 26 não é. enfim.indd 96 8 125 Como a divisão é exata. 400. concluímos que 5 632 é divisível por 4. 1 700 5 17 ? 100 5 17 ? 25 ? 4 425 Conhecendo esse fato. Então. Para descobrir se um número é divisível por 4. 1 000 é divisível por 8. precisamos verificar se o número termina em 00 ou se os dois últimos algarismos da direita formam um número divisível por 4. 200. os números terminados em 00 (dois zeros) são divisíveis por 4. Pense e responda no caderno: Todo número divisível por 8 é divisível por 4? Confira com o professor! Um número é divisível por 8 quando termina em 000 ou quando o número formado pelos seus três últimos algarismos da direita é divisível por 8. 5/13/15 3:18 PM .Divisibilidade por 4 e por 8 É fácil perceber que 100 é divisível por 4. podemos descobrir se um número qualquer é divisível por 4. Será que 1 000 é divisível por 8? 1000 20 40 0 96 prm6_091_104_unid06. 95 500. Como 32 também é divisível por 4. Acompanhe: ◆◆ 5 632 é divisível por 4? Danillo Souza 5 632 5 5 600  32 5 600 termina em dois zeros: é divisível por 4. ◆◆ 19 326 é divisível por 4? 19 326 5 19 300  26 19 300 é divisível por 4. Sim. A partir das ideias anteriores. 1 700. 300. Da mesma forma. e 18 é divisível por 9. De forma semelhante. pois 5  4  8  9 5 26. podemos saber se um número é divisível por 9. porque 4  2 5 6. 777 777 é divisível por 3.Divisibilidade por 3 e por 9 Para descobrir se um número é divisível por 3 ou é divisível por 9. pois 5  4  3  7  0  1 5 20. 102 ◆ o menor número de três algarismos divisível por 9. Descubra mentalmente: ◆ o menor número de três algarismos divisível por 3. podemos saber. então esse número é divisível por 3. e 26 não é divisível por 3. Usando esse critério.indd 97 97 5/13/15 3:18 PM . e 42 é divisível por 3. Pense e responda no caderno: Todo múltiplo de 9 é também múltiplo de 3? Sim. Veja alguns números divisíveis por 3: 261 3 2 1 87 0 Somando os algarismos de 261. 82032 3 Somando os algarismos de 82 032. então esse número é divisível por 9. Se a soma dos algarismos de certo número é um número divisível por 9. não adianta observar o algarismo das unidades. que é divisível por 3. temos 2  6  1 5 9. que: ◆◆ ◆◆ 5 489 não é divisível por 3. ◆◆ ◆◆ 738 é divisível por 9. MÚLTIPLOS E DIVISORES prm6_091_104_unid06. Ilustrações: Estúdio Ornitorrinco Se a soma dos algarismos de certo número é um número divisível por 3. 108 2. 543 701 não é divisível por 9. regra vale sempre. e 20 não é divisível por 9. temos 8  2  0  3  2 5 15. 1. pois 7  3  8 5 18. 22 27 3 4 4 10 13 Os matemáticos 12 provaram que essa 0 Esses exemplos não são casos particulares. que é divisível por 3. sem efetuar divisões. pois 7  7  7  7  7  7 5 42. 621. pois. 15 144 b) Quais são os números divisíveis por 3? 432. Obtivemos a sequência dos múltiplos de 6: 0. Considere os números: 7. 24. indique aqueles que são: a) divisíveis por 2. 640. 12. . 36 . EXERCÍCIOS 9. 6 . 824.indd 98 5/13/15 3:18 PM . 2 136. embora seja par. 3. 1 900 b) divisíveis por 5. 1 575. que não é divisível por 3). 12 . 33. Considere os números: 432 244 1 575 183 621 824 15 144 2 136 a) Quais são os números divisíveis por 2? 432. 2 136. 15 144 c) Quais são os números divisíveis por 2 e 3? 432. 9. 640... Um número é formado por três algarismos. 1 842.. 24 . 36. Qual é o maior número de três algarismos que é: a) divisível por 2? 998 b) divisível por 5? 995 c) divisível por 2 e por 5? 990 d) Os números divisíveis por 2 e 3 são divisíveis por 6? Sim. 15 144 640 1 842 1 900 Desses números. Acompanhe: ◆◆ 1 530 é divisível por 6. 2 11. Circulamos nessa sequência os números que também são múltiplos de 2. 640. 27. 21 . 15.Divisibilidade por 6 Observe a sequência dos múltiplos de 3: 0 . 30 . sendo o algarismo das unidades desconhecido: 3 A 4 Quais devem ser os valores de A. 1 900 d) divisíveis por 100. pois é divisível por 2 (é par) e é divisível por 3 (1  5  3  0 5 9). Os múltiplos de 6 são múltiplos de 2 e de 3 simultaneamente. de modo que o número seja divisível: a) por 2 e não por 3? 0. 6. 1 900 c) divisíveis por 10. 18. não é divisível por 3 (7  3  0  6  6 5 22. ou seja: Um número é divisível por 6 se ele for divisível por 2 e também por 3. 18 . 244. ◆◆ 73 066 não é divisível por 6. . 1 575 8. 4 ou 6 b) por 3 e não por 6? 5 98 prm6_091_104_unid06. 1 900 e) divisíveis por 5 e não por 2. 2 136. 30. Identifique o menor algarismo que deve ser colocado no lugar do para que o número 5 83 seja divisível por 4. 10.. 3.org/primes/M57885161. 23. por exemplo. Na computação. os números primos compreendidos entre 30 e 50. 29 O número 1 não é primo. O número 257 885 161  1 está escrito por completo no endereço: <www. não encontraram um padrão geral para a formação dessa sequência. Quer saber mais sobre os números primos? Os demais números pares são divisíveis por 2. Esses números são chamados de números primos. Desde 1951. 13. 5. utilizando uma fórmula matemática chamada fórmula de Mersenne. Pesquise com seus colegas como funciona esse método. 1. em 5 de fevereiro de 2013 o projeto GIMPS encontrou um número primo com mais de 17 milhões de algarismos. 41. O número 2 é o único número primo que é par. Os números primos intrigam a humanidade há mais de 2 mil anos. onde hoje está a Líbia. Você sabe explicar por quê? Eratóstenes foi um importante geógrafo e matemático nascido em 276 a. com os colegas. Como curiosidade. Os números primos são usados na criptografia. 17. computadores vêm procurando determinar números primos cada vez maiores. No entanto. portanto não são primos. 47 Maximilian Schonherr/Dpa/Zuma Press/Glow Images Qual é o interesse de encontrar esses números enormes? Por exemplo.4. GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) é um grupo que busca grandes números primos. Existem sites especializados na busca desses números. Veja a seguir os números primos até 30: 2. para proteger os computadores contra hackers.mersenne. 19. por exemplo. por meio de uma tabela conhecida como crivo de Eratóstenes. pois tem somente um divisor. 11. 37. Consulte o Manual do Professor. ciência que estuda as formas de enviar uma mensagem em código. Números primos Existem números que têm exatamente dois divisores: a unidade e o próprio número.txt>. Os matemáticos já provaram. a criptografia consiste em técnicas e processos que permitem armazenar e trocar informações de forma que somente as pessoas autorizadas tenham acesso a elas. 7. MÚLTIPLOS E DIVISORES prm6_091_104_unid06. Descubra. Como o número 13 e o 17. 31. que há infinitos números primos. Atribui-se a ele a criação de um método para encontrar números primos até um limite escolhido.C. 2. 43.indd 99 99 5/13/15 3:18 PM . 30 5 2 ? 15 30 5 2 ? 3 ? 5 O número 30 foi decomposto num produto de fatores primos: 2 ? 3 ? 5 é a forma fatorada prima de 30. Na forma fatorada prima de 30. os divisores de 45 são os números: 1. 5. 5. 9. 45. pode ser escrito por meio de uma multiplicação de números primos? Comecemos com o número 30. em que eu pensar. 45 5 32 ? 5 3 5 45 5 3 ? 3 ? 5 3?359 Então. 30. que é divisor de todo número natural! 2 ? 3 ? 5 5 30 Vamos fazer o mesmo com o número 45: 45 5 9 ? 5   45 5 3 ? 3 ? 5 ou. Danillo Souza Como? Qualquer número natural maior que 1.indd 100 5/13/15 3:18 PM . Veja como é: 2 3 5 30 5 2 ? 3 ? 5 2?356 2 ? 5 5 10 3 ? 5 5 15 Atenção! Não esqueça o 1. 10. É isso mesmo! Acompanhe os exemplos. ◆◆ todo número natural maior que 1 e não primo pode ser escrito como produto de números primos. 6. usando a potenciação. 3. que não seja primo. 3 ? 5 5 15 3 ? 3 ? 5 5 45 100 prm6_091_104_unid06. 15. 15. 2.Decomposição em fatores primos Sabe-se que: ◆◆ há infinitos números primos. 3. encontramos os seus divisores: 1. A forma fatorada prima de certo número natural x é a ? b².indd 101 101 5/13/15 3:18 PM . 4. 1 323 441 147 49 7 1 3 3 3 7 7 1 323  3 5 441 441  3 5 147 147  3 5 49 49  7 5 7 7 7 51 ◆◆ O primeiro número primo que divide 1 323 é 3. Não é mais possível dividir por 3. ◆◆ O próximo número primo que divide 135 é o 3. 1. Nada impede que se inicie o processo dividindo 1 323 por 7 e depois por 3. Decompor 540 em fatores primos. 30 e 60. Vamos apresentá-lo por meio de exemplos.Para decompor números maiores. pois essa soma é um número ímpar. d) a² ? b² é divisor de x. 43 e 53. ◆◆ ◆◆ Não é mais possível dividir por 3. O número primo que divide 5 é o próprio 5. a) a é primo e b é primo. Não. pois a² ? b²  x. 5. O número 32 ? 5 é divisor de 34 ? 53? Sim. b) a e b são divisores de x. usando a potenciação. em que é mais difícil descobrir os fatores primos que os formam. Por exemplo: 13. 3. c) a ? b é divisor de x. Verdadeira. 10. 3. 20. 2. ◆◆ ◆◆ 1 323 5 3 ? 3 ? 3 ? 7 ? 7 5 33 ? 72 Tomamos os números primos em ordem crescente por uma questão de organização. Quais são os divisores do número cuja forma fatorada é 2² ? 3 ? 5? 1. ◆◆ Terminou o processo. Verdadeira. 1. Falsa. Escrevam no caderno quatro números primos cujo algarismo das unidades é 3. 6. 540 270 135 45 15 5 1 2 2 3 3 3 5 540  2 270  2 135  3 45  3 15  3 5 5 5 270 5 135 5 45 5 15 55 51 O primeiro número primo que divide 540 é 2. Decompor 1 323 em fatores primos. existe um processo prático. 6. ◆◆ O número primo que divide 7 é o próprio 7. b) Verdadeira. 5. O número primo que divide 49 é 7. 4. 2. O número 91 é primo? Expliquem por quê. pois todos os fatores da forma “fatorada prima” são divisores do número. MÚLTIPLOS E DIVISORES prm6_091_104_unid06. Não é mais possível dividir por 2. Classifiquem as afirmações em verdadeiras ou falsas. 12. ◆◆ ◆◆ A coluna da direita apresenta os fatores primos de 540. Procuramos o primeiro número primo pelo qual o número a ser decomposto é divisível. ◆◆ Terminou o processo. 15. pois na forma “fatorada prima” todos os fatores são primos. 91 é divisível por 7. 540 5 22 ? 33 ? 5 2. 540 5 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? 5 ou. A soma de um número natural com seu sucessor é divisível por 2? Não. Neste exemplo é o 2. 23. 73. responda: a) A é divisível por 5? Qual é o quociente? Sim. 31. c) 1 não é um número primo. 71. Explique por que: a) 37 é um número primo. Considere os números A e B sendo: A 5 22 ? 3 B 5 23 ? 32 ? 5 a) O número B é múltiplo de A? Sim. continuo primo. 31 i) 23 ? 3 ? 13 j) 2 ? 172 18. o número 36. 9. 2. 17. b) Ele é divisível por quais números naturais? 1. b) 25 não é um número primo. 3.. em fatores primos os números: a) 40 f) 125 b) 48 g) 154 c) 72 h) 220 d) 80 i) 312 e) 60 j) 578 c) 23 ? 32 d) 24 ? 5 e) 22 ? 3 ? 5 f) 53 g) 2 ? 7 ? 11 h) 22 ? 5 ? 11 Paulo José 13. b) A é divisível por 6? Qual é o quociente? Sim. c) Qual é o quociente da divisão de A por 15? 22 21. d) zero não é um número primo. 2. por ele próprio e por 5. 19 320 261 56 17. de modo que todos os fatores sejam primos. Sem efetuar os cálculos. 2. Tem apenas um divisor: 1. Tem mais que dois divisores: 1. 13. 18 e 36 c) Decomponha o número 36 em produto. 79. 3.Exercícios 16. 12. Qual é o número cuja fatoração resulta em 22 ? 32 ? 11? 396 1 9. 37. b) Qual é o número que deve ser multiplicado por A para obter B? 2 ? 3 ? 5 5 30 15.indd 102 5/13/15 3:18 PM . Observe o os números: 75 105 235 445 665 725 1 005 5 555 8 095 Responda: a) Algum desses números é primo? Não.Trocando a posição de meus algarismos. Sou número primo de dois algarismos. Tem apenas dois divisores: 1 e 37. Quais destes números são primos? 11. 55.. . 66. 4. 35 e 36 1 260 5 22 ? 32 ? 5 ? 7 102 prm6_091_104_unid06. 6. a) Ele é primo? Não. a) 44 5 22 ? 11 c) 117 5 32 ? b) 80 5 24 ? 5 d) 231 5 3 ? 13 ? 11 7 2 0. Considere o número A 5 2 ? 3 ? 5 ? 11. b) Por que não existe número primo terminado em 5 e formado por mais de um algarismo? Porque o número será divisível por 1. Decomponha 45 111 98 93 60 a) 23 ? 5 b) 24 ? 3 11 31 57 414 423 156 14. 36 5 2 ? 2 ? 3 ? 3 Tem mais que dois divisores: 1. 19. Quem sou? Há várias possibilidades: 11. Copie e complete com os fatores primos que faltam. 97. Considere 1 2. Descubra dois números naturais consecutivos 2 cujo produto seja 1 260. 4. 5 e 25. 156. As pessoas não deveriam precisar de multas para assumir suas responsabilidades em relação à nossa segurança.5. 192 Atenção! O excesso de velocidade é a causa da maioria dos acidentes com vítimas. Assim determinamos quais os quilômetros em que haverá telefone e radar. 12) 5 36 Lemos: o mínimo múltiplo comum de 9 e 12 é 36. 72. 126. 108. diremos que 36 é o mínimo múltiplo comum de 9 e 12. São eles: 0. 96. 144 e 180. 198 Observe que há números que são múltiplos de 9 e também de 12. 45. a partir do km 0 serão colocados: ◆◆ um telefone para emergências a cada 9 km. 72. A vida é o que temos de mais precioso. 72. 24. 153. 36. 48. 135. 189. Nas sequências tomaremos os múltiplos comuns de 9 e 12 existentes de 0 a 200. ◆◆ um radar para fiscalização de velocidade a cada 12 km. 36. 36 é o menor número diferente de zero que é múltiplo comum de 9 e 12. escrevemos: mmc (9. 81. É fácil perceber que para continuar a escrever seus termos bastaria ir somando sempre 36. 60. Para economizar palavras. 90. 36. 54. Os múltiplos comuns de 9 e 12 formam uma nova sequência. Pense nisso! O radar é um instrumento que ajuda a fiscalizar a velocidade dos carros. 162. Por isso. 108. 12. 144. 180. Eles são múltiplos comuns de 9 e 12. Os radares serão colocados nos quilômetros múltiplos de 12: Nilton Fukuda/Agência Estado Ilustra Cartoon 0. 144. 84. Em quais quilômetros da estrada haverá simultaneamente telefone de emergência e radar? Os telefones serão instalados nos quilômetros múltiplos de 9: 0. 180.indd 103 103 5/13/15 3:18 PM . 171. 168. 120. 132. 108. 9. Quando os múltiplos se encontram Numa estrada de 200 km. 117. MÚLTIPLOS E DIVISORES prm6_091_104_unid06. 27. 99. 18. 63. Assim. de 6 e de 15. 6. mmc (48. 7. 5. vamos usar a potenciação para escrever o mmc. 30) 5 30 ◆ mmc (6. 30. 12. 0. 15) 5 60. 6) 12 ◆ mmc (20. 150) 5 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 5 ? 5 5 1 200 2. 24. Não serve. 1. O cálculo do mmc pela decomposição em fatores primos Para calcular o mmc de números também podemos usar a decomposição em fatores primos. É o mmc procurado. Então. 7. mas não é múltiplo de 4. Experimente determinar mentalmente: ◆ mmc (12.indd 104 5/13/15 3:18 PM . 14. até encontrar o primeiro múltiplo comum a 4 e 6. 3. 1. O mmc será o produto dos fatores primos encontrados: mmc (48. podemos determinar mentalmente o mmc de números. 1. 30. pense e responda no caderno. Exemplos: 1. 10) 40 2. 15. 14) 5 14 ◆ mmc (15. 1. Observe. 30. mmc (4. 12. Veja: mmc (28. 147 147 147 49 49 7 1 2 2 3 5 7 7 Nesse segundo exemplo. 36) 5 36 O que acontece com o mmc de dois ou mais números quando um desses números é múltiplo dos outros? O mmc é o número que é múltiplo dos outros. mmc (28. 1. 1. 2 2 2 2 3 5 5 Ilustra Cartoon 48. 16) 48 ◆ mmc (4. Acompanhe: mmc (4. 8) 5 8 ◆ mmc (7. ◆ mmc (4. 147) 28. 15. 30. 1. 6. 6. 1. 1. 147) 5 22 ? 3 ? 5 ? 72 5 2 940 104 prm6_091_104_unid06. 150 75 75 75 75 25 5 1 Há casos em que calcular mentalmente o mmc é muito difícil! É melhor resolver no papel. 15) 5 ? Listamos mentalmente a sequência dos múltiplos de 15. É múltiplo de 4. 150) Fatoramos simultaneamente 48 e 150. 15. 7. 25) 100 ◆ mmc (8. 60 É múltiplo de 15 e de 6. 45.Em muitos casos. 1 F 2 9. Substitua as letras por números para que as decomposições fiquem corretas e. calcule o mmc dos pares de números. 8. 18. 3. ◆◆ Se tirarmos de 10 em 10. Sou múltiplo de 10 e de 25. 15. Calcule. 12. a) mmc (2. 15) 120 f) mmc (12. Sou maior que 100 e menor que 170. 18. 24) 120 c) mmc (28. 9 C D. Porto de Valência. mmc (15. 3 0. 6) 5 12 ◆◆ um comprimido de 4 em 4 horas. O pai volta para casa a cada 20 dias e o filho a cada 15 dias. 10. B C D. Quantos ovos há na cesta? 31 ovos. 12. E 3 5. 6. 30. ◆◆ uma colher de xarope de 6 em 6 horas.Exercícios a) Indique todos os que são menores que 36. 110 cm 3 116 cm. Pense nos múltiplos de 3. 1. em seguida. 40) 360 Às 10 horas da manhã ele tomou os dois remédios. 15) 5 30 e 30 1 1 5 31 Múltiplos e divisores prm6_105_112_unid06. 12. 5) 35 c) mmc (9. 18) 5 90 A 5 18 B 5 15 C53 D55 E53 F55 Ronaldo Barata a) 30.indd 105 105 5/13/15 3:19 PM . A que horas ele voltará a tomar os dois remédios juntos? Às 22 horas. Cada um tem um barco e vão ao mar no mesmo dia. 1 mmc (300. (OM-RN) Um pai e um filho são pescadores. ◆◆ Se tirarmos de 6 em 6. 45) 180 e) mmc (6. 15 e 30 c) Qual é o mínimo múltiplo comum entre 3 e 5? 15 2 8. 6. Em quantos dias se encontrarão em casa pela primeira vez? 60 dias. 20) 5 60 Museu Nacional de Belas Artes. Quem sou? 150 2 5. A Antônio Garcia Bento. Óleo sobre tela. 36. 2 4. 4. quais são também múltiplos de 5? 0. Em uma cesta há menos de 40 ovos. mmc (30. 1 b) A. O senhor José Quintino toma: mmc (4. mmc (6. 4) 4 b) mmc (7. 6) 12 2 6. 175 3 E. sobra 1 ovo. Rio de Janeiro 2 3. sobra 1 ovo. 24. 75) 150 b) mmc (60. 21. 0. 350 2 150. 1927. 9) 72 e) mmc (3. G 5 1. 7 H 1. 2 B. 350) 5 2 100 A 5 300 B 5 175 C52 D 5 75 E 5 25 F 5 175 G 5 35 H57 27. 9. sobra 1 ovo. Calcule mentalmente. 9) 18 f) mmc (2. ◆◆ Se tirarmos de 15 em 15. 1) 9 d) mmc (8. 33 b) Dos números que escreveu. 48) 336 d) mmc (10. F 5 5. a) mmc (50. 27. 15 . 2. Então. com 105 lugares. Um número é divisor de outro. Qual será o mdc desses números? O número que é divisor do outro. 105 e 90. na lateral esquerda do palco. 10. 84) 5 5 2  2  3 5 12 mdc (135. 15 é o máximo divisor comum de 135. 5. 84) 5 ? 120 2 84 2 60 2 42 2 30 2 21 3 3 7 7 15 5 5 1 1 Marcamos os fatores primos comuns a 120 e 84. 9. Por exemplo: 4 e 5. x) 5 2  5  7. 1. 9. Quantas fileiras de quantas poltronas haverá em cada setor? Como o número de poltronas em cada fileira deve ser o mesmo nos três setores. de frente para o palco. 3 . 7. Os números 1. Logo. 15 . 105. 2. 3 . com 135 lugares.Leonardo Conceição 6. com 90 lugares. O mdc será o produto destes fatores: mdc (120. 120 5 23  3  5 84 5 22  3  7 mdc (120. 84) 5 22  3 5 12 Setor C: 6 fileiras de 15 poltronas cada. O número de poltronas por fileira será o mesmo nos três setores e esse número deve ser o maior possível. E quantas serão as fileiras? Registrem no caderno. Encontre um valor possível para x. 105. 6. Ele terá três setores para acomodar o público: ◆◆ setor A. 105 e 90. 4. 45. 27. mdc (120. Por exemplo: 14. 21. 35. 5 e 15 são os divisores comuns de 135. setor C. 6. ◆◆ Divisores de 105: 1 . Como queremos que esse divisor seja o maior possível. ◆◆ setor B. 105 e 90.indd 106 5/13/15 3:19 PM . 30. 90  15 5 6 Experimente usar o processo no cálculo do mdc (135. Divisores comuns e o mdc Vamos resolver este problema? Um teatro está em fase final de construção. 3 e 7. 135. Indique pares de números cujo mmc seja igual ao produto desses números. 18. tomados com o menor expoente. escolhemos o 15. tal que mmc (35. 5 . 5 . 3. na lateral direita do palco. Escrevemos abreviadamente assim: Também podemos determinar o mdc de dois ou mais números por meio da decomposição em fatores primos. o mdc será o produto dos fatores comuns. 45. as fileiras devem ter 15 poltronas. ele deve ser ao mesmo tempo divisor de 135. 5 . 90). Por que não consideramos o zero ao determinar o mmc de dois ou mais números? Porque zero é múltiplo de todos os números. 15 . 3 ◆◆ Divisores de 90: 1 . 105  15 5 7 Se a forma fatorada for escrita usando potências. Qual o máximo divisor comum de dois números primos? 1 3. ◆◆ ◆◆ Divisores de 135: 1 . 105. 135  15 5 9 Setor B: 7 fileiras de 15 poltronas cada. 90) 5 15 Setor A: 9 fileiras de 15 poltronas cada. 106 prm6_105_112_unid06. 90. Qual o mínimo múltiplo comum de dois números primos? O produto deles. Ele quer dividir as duas em montes iguais. Pense nos divisores de 60. Veja no quadro a distribuição de alunos por ano. mdc (120. 75) 5 f) mdc (20. cada equipe será formada por alunos de um mesmo ano com o mesmo número de participantes. 40) 5 Leonardo Conceição 32. um de 200 metros e outro de 240 metros de comprimento. 240) 5 40 mento possível. 120 : 4 5 30 Quantas serão as equipes do 2o ano? 27 equipes. O senhor Sebastião tem uma banca de frutas na feira. 100 : 4 5 25 MÚLTIPLOS E DIVISORES prm6_105_112_unid06. 130) 10 Este é para resolver mentalmente. 33. 34. 48. 48 de suco e 36 de mel em caixas com o maior número possível de garrafas. 72 garrafas de água. 30) 6 c) mdc (15. mdc (72. a) Quais desses números são também divisores de 45? 1. 36) 5 12 Ano Número de alunos 1o 120 2o 108 3o 100 Pedro Sotto Responda. 100) 5 4 Quantas serão as equipes do 1o ano? 30 equipes. Nela há uma penca com 18 bananas e outra com 24 bananas. precisam ser cortados em pedaços iguais e no maior compri(200. 3. Todos os alunos de uma escola de Ensino Médio participarão de uma gincana. Em uma mercearia o proprietário deseja estocar. 108. Dois rolos de corda. 10) 5 b) mdc (18. sem misturá-las e sem que sobre ou falte garrafa. mdc 200  40 5 5 240  40 5 6 a) mdc (35. a) b) c) d) Qual é o número máximo de alunos por equipe? 4 alunos. Qual deve ser a quantidade de garrafas por caixa? 12 garrafas. 5 1 6 5 11 36.EXERCÍCIOS 31. 24) 5 6 Responda. Para essa competição. 46) 2 e) mdc (85. mdc (18. 5 e 15 b) Qual é o máximo divisor comum entre 45 e 60? 15 35. Qual é? d) mdc (22. em quantidades iguais.indd 107 107 5/13/15 3:19 PM . 108 : 4 5 27 Quantas serão as equipes do 3o ano? 25 equipes. Qual é o maior número possível de bananas em cada monte? 6 bananas. a) Quanto medirá cada pedaço? 40 m b) Quantos pedaços serão obtidos? Leonardo Conceição 11 pedaços. o jogador lança o dado. ◆◆ A partir da segunda rodada. Vence o jogo quem primeiro chegar à casa 100 ou ultrapassá-la. O primeiro múltiplo de 4. Seu peão deve ocupar a casa 8. Seu peão deve ocupar a casa indicada pelo primeiro múltiplo do número de pontos obtidos no dado. com 6 pontos o peão é colocado na casa 6. o jogador lança o dado e vai para a casa que corresponde ao número de pontos obtidos. Exemplos ◆◆ O jogador está na casa 6 e obtém 4 pontos no dado.indd 108 5/13/15 3:19 PM . ◆◆ O jogador está na casa 13 e obtém 6 pontos no dado. depois da casa onde ele se encontra. o jogador que parar sobre uma casa em que haja um número primo ficará a próxima rodada sem jogar. ◆◆ pista numerada de 1 a 100 que está na página 281. é o 8. o terceiro jogador etc. iria para a casa 10. em Moldes e malhas. ◆◆ Instruções 1a rodada ◆◆ Estabeleçam uma ordem para jogar. ◆◆ Na sua vez. Entendeu? Sim. que é a primeira casa com um múltiplo de 5.Jogando com múltiplos Vamos encerrar esta Unidade com um jogo? Material necessário: peões. Por exemplo. Quem será o primeiro. Se esse mesmo jogador obtivesse 5 pontos no dado. o segundo. ◆◆ um dado. vamos jogar! Reinaldo Rosa ◆◆ Depois de jogar uma partida. Rodadas seguintes ◆◆ Na sua vez. Ele deve avançar para a casa 18. vocês podem combinar outras regras que tornem o jogo mais difícil! 108 prm6_105_112_unid06. depois da casa 6. tampinhas ou fichinhas diferentes (1 para cada jogador). 27 B d) divisíveis por 5. 2. 27 c) múltiplos de 3. 21. Três. 61. 30. Qual é o número de dois algarismos que é o quadrado de um número natural e que tem 9 divisores? 36 a) De quantas formas diferentes ele pode fazer o retângulo? Explique o seu raciocínio usando desenhos.revisando 3 7. Nenhum. Os cartões numerados de 1 a 30 devem ser colo3 cados nas caixas correspondentes. j) divisíveis por 0. Marcílio tem 12 azulejos quadrados para colocar 4 sobre uma prancheta. 21. Todos. c) Quais caixas podem receber o cartão 24? A e B. 71. 6 e 12 Múltiplos e divisores prm6_105_112_unid06. 0. 9. 306 b) os múltiplos de 28 menores que 100. 3. 18. a) pares. 48. 12. 102. b) Quais caixas podem receber o cartão 17? C. 68. 41. 30. 84 c) o maior múltiplo de 17 menor que 300. 14. 12. 60 Só para cartões cujo número é múltiplo de 4. 28. 12. 48. 31. 33. Encontre e anote: 41. 30. 51. 5. B I N G O 5 18 33 48 64 12 21 31 51 68 14 30 60 71 13 16 44 46 61 11 27 41 49 73 Indique os números: Só para cartões cujo número é múltiplo de 3. 60. 16. 0. 51. 33. 60. 73 Só para cartões cujo número é ímpar. 5. 46 b) divisíveis por 3. 49 g) múltiplos de 10. 289 d) o menor múltiplo de 17 maior que 300. 30. 12.indd 109 109 5/13/15 3:19 PM . 4. 48. 204. 21. A é uma cartela de um jogo de bingo. i) divisíveis por 1. Ele vai fazer um retângulo com os azulejos. 30. 13. 18. a) Quais caixas podem receber o cartão 15? A e C. Esta a) os quatro menores múltiplos de 102. 48. 10. 11. 22 e 26 987 40. 44. d) Quais caixas podem receber o cartão 28? B. 14. 18. 14. 60. 56. 60 C h) primos. 60 f) múltiplos de 7. 30. Um número natural foi multiplicado por 3. 18. 64. 306 8. b) Quais são os divisores de 12? 1. Qual 3 dos seguintes números não pode representar o resultado final? 103 103 195 204 444 Es túd io Or nito rrin co e) Quais cartões não podem ser colocados em nenhuma caixa? 2. e) divisíveis por 6. 2. Uma prateleira do supermercado estava cheia de caixas de ovos. escreva todos os números de três algarismos que são divisíveis por: a) 2 508. Que idade eles têm? troco. . 300  20 5 15 b) Qual é a composição de cada pacote? 5 kg do tipo A 1 7 kg do tipo B 1 8 kg do tipo C 110 prm6_105_112_unid06. O produto das duas idades é 143. 23 ◆◆ por 3. sabendo que é um número inferior a 25? 21 balas 50. 00 Zubartez Reinaldo Rosa ◆◆ o 45.. 850 b) 5 580. Utilizando uma única vez todos os algarismos. 24. Qual é o total de ovos na prateleira. 49. 28. sobraria uma bala. 8.. 11. 580.. quer fazer pacotes iguais de 20 kg da mistura. Para servir os seus clientes. 44. Diga quanto custou o tênis de Marcela.. também sobraria uma bala. 16. Um cerealista tem: Jorge Zaiba ◆◆ 75 kg de arroz do tipo A. 8 48. 4. 6. 850 Os divisores de 143 são: 1. 21.. Que condição tem de satisfazer um número para ser divisível por 100? Terminar em dois zeros. 20. 24 ◆◆ por 5. 32. A nossa soma é 52. Adivinhe quem somos nós! 24 e 28 0. não sobraria nenhuma. Somos dois múltiplos consecutivos de 4. . 13 e 143. 3. 850. ◆◆ 120 kg de arroz tipo C. 21 Marcelo Azalim 46.. 12.DESAFIOS 43. cada uma com 12 ovos..16.00. Lúcia levou um pacote de balas para os amigos e observou que. ◆◆ 105 kg de arroz do tipo B. Um número é divisível por 10 se terminar em zero.18.. 805 c) 10 580. 6. sabendo que: ◆◆ pagou com 3 notas de R$ 100. As idades são 11 e 13. ◆◆ recebeu As idades atuais dos meus dois filhos são números primos.. 21. preço é múltiplo de 65. 3. se as dividisse: ◆◆ por 2.indd 110 5/13/15 3:19 PM . .. R$ 260. 19. sabendo que esse número é maior que 1 000 e menor que 1 010? 1 008 ovos Quantas balas Lúcia levou. 5. Considere os algarismos: 0 5 47. 11.. . a) Quantos pacotes de 20 kg ele pode fazer? 15 pacotes. existem outras soluções possíveis. Marcelo Azalim a) 1984 Sim. b) 1992 Sim. 6 em 6 horas..SEÇÃO LIVRE “Todo número par maior que 4 pode ser escrito como soma de dois números primos. não haverá mudanças nos horários de um dia para o outro. Usando essa informação. Grécia. Porque. Mas há um detalhe: um ano terminado em 00 só é bissexto quando seu número for divisível por 400.indd 111 111 5/13/15 3:19 PM . O matemático Goldbach (se fala “goldbá”).com 51. pois não se encontrou até hoje nenhum número par que não obedecesse a essa afirmação.. durante um certo período.” Não sabemos se Goldbach estava certo. Na Grécia Antiga chamava-se o número 6 de número perfeito porque a soma dos seus divisores menores do que 6 é igual a 6. Mostre isso para os seguintes números pares: 54. verifique quais desses pares de números são primos entre si. Quando você vai ao médico e ele receita-lhe um medicamento para tomar mais de uma vez por dia. Dos anos indicados a seguir.. c) 1998 Não. e) 2000 Sim. O médico com certeza não indica um intervalo de: 9 em 9 horas. f) 2050 Não. Quando o mdc de dois números é igual a 1. construído por volta de 440 a. Partenon. Por que isso ocorre? Marcelo Azalim d) 2040 Sim.C. Um ano é bissexto se o número que corresponde ao ano é divisível por 4. geralmente indica um intervalo de: 12 em 12 horas. a) 24 11 1 13 b) 30 13 1 17 c) 64 23 1 d) 72 31 1 41 41 52. utilizando os divisores de 24 (um dia tem 24 horas). dizemos que eles são primos entre si. 7 em 7 horas. MÚLTIPLOS E DIVISORES prm6_105_112_unid06. 6511213 Verifique que 12 não é um número perfeito e tente encontrar o número perfeito compreendido entre 20 e 30. no século XVIII. em Atenas. afirmou: Professor. a) 4 e 6 b) 5 e 8 c) 26 e 39 d) 55 e 121 53. Alternativa b. 28 Serjedi/Dreamstime. ou 5 em 5 horas. quais são bissextos? 55. 8 em 8 horas.. Se existe uma estaca em cada vértice. pode-se estimar que o número de alunos dessa turma era: Alternativa c. (PUC-RJ) Um terreno retangular de 108 m 3 51 m vai ser cercado com arame farpado fixado em estacas igualmente espaçadas. b) 4 horas. 210 livros e 252 cadernos. 60. e da terceira. uma de 6 em 6 minutos. c) múltiplo de 5 e divisor de 100. respectivamente. a) um número divisível por 5. Essa distribuição foi feita de modo que cada aluno recebesse o mesmo número de borrachas. a) 13. da segunda. então o número mínimo de estacas a usar é: Alternativa c Ronaldo Barata a) divisíveis por 60. c) um número divisível por 17. megainarmy/Shutterstock Anote no caderno o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta. 6 2. Pense nisso! Fique de olho nos desperdícios e nos vazamentos. a) 0 e 6 c) 0 e 12 b) 1 e 6 d) 1 e 12 58. d) um número divisível por 28. uma de 10 em 10 minutos. 729 6 3. b) divisíveis por 90. de lápis. a) múltiplo de 8 e divisor de 120. 529 d) 11. 300. 57. (OM-SP) Subtraindo uma unidade do quadrado do número 17. Os números 10 e 15 são: Alternativa c.indd 112 5/13/15 3:19 PM . mdc (126.Autoavaliação 56. 429. Da primeira cai uma gota de 4 em 4 minutos. 169 b) 189. A próxima vez em que pingarão juntas novamente será às: Alternativa a. aquela que não contém números primos é: Alternativa b. Além de pagar menos na conta você economiza água que é um bem fundamental para nossa saúde. encontramos: Alternativa b. b) múltiplo de 4 e divisor de 120. Exatamente às 2 horas cai uma gota de cada torneira. Três torneiras estão com vazamento. 10) 5 60 2h 1 1h 5 3h a) 3 horas. 252) 5 42 a) 26 b) 32 c) 42 d) 45 64. c) divisores de 60. (PUC-MG) Em uma turma do 6o ano com mais de 30 alunos foi distribuído um total de 126 borrachas. 210. mmc (4. Nesse caso. de livros e de cadernos. então o valor máximo que A pode assumir é: Alternativa c. 108) 5 3 318 : 3 5 106 112 prm6_105_112_unid06. O menor e o maior divisor de 12 são. 168. 111. 1 029 c) 2. d) múltiplo de 9 e divisor de 180. Se esse número é divisível por 4. a) 102 b) 104 c) 106 d) 108 mdc (51. (FCMSCSP-SP) Considere o número 3 1 3 1 3 1 A em que A representa o algarismo das unidades. a) 0 c) 6 b) 4 d) 8 61. d) divisores de 100. c) 2 horas e 30 minutos. 59. 6. (UFMT) Das sequências abaixo. O número 60 é: Alternativa b. b) um número divisível por 8. iguais a: Alternativa d. d) 3 horas e 30 minutos. 168 lápis. 427. é mais fácil visualizar e comparar dados. 5. DADOS. fev. maio jun. Quantidade de bicicletas produzidas DAE Produção de bicicletas Superbike 1o semestre de 2016 350 300 250 200 150 100 Usando gráficos. Em quais meses a produção de bicicletas manteve-se constante? Junho.indd 113 113 5/13/15 3:20 PM . 50 0 jan. Para que servem os gráficos? Você já viu gráficos como o apresentado abaixo? Eles aparecem com frequência em jornais. TABELAS E GRÁFICOS DE BARRAS prm6_113_122_unid07. Muitas vezes o gráfico tem um título que informa o assunto do qual ele trata. revistas e outros meios de comunicação. Os meses estão marcados no eixo horizontal. Sim. Ao lado. Em que mês a produção de bicicletas atingiu o dobro da produção de janeiro? 6. Qual é o título desse gráfico? Ele indica claramente o assunto? Produção de bicicletas Superbike 1o semestre de 2016. Março e Abril. mar. temos um gráfico de barras. Observe que cada barra se refere a um mês. 2. O eixo vertical fornece o número de bicicletas produzidas pela indústria em cada mês. Mês Observem o gráfico e respondam no caderno: 1. E em maio? 150 bicicletas 250 bicicletas 4. Em que mês a produção de bicicletas foi maior? Junho.Dados. abr. Quantas bicicletas foram produzidas em janeiro? 3. tabelas e gráficos de barras 7 UNIDADE 1. 10 alunos responderam que aproveitam suas horas de lazer para praticar esportes.Construindo um gráfico de barras Paulo José Como você aproveita suas horas de lazer? Os 30 alunos de um 6o ano responderam a essa pergunta. ◆◆ ◆◆ Forma de lazer Deram um título ao gráfico: Forma de lazer preferida.indd 114 5/13/15 3:20 PM . Observe: Resposta Frequência Pratico esportes 10 4 Passeio com a família 8 Assisto à TV 3 Jogo video game 5 Ronaldo Barata Leio livros e revistas Entendi! A frequência indica quantos alunos deram determinada resposta. todas com a mesma largura. Forma de lazer preferida Frequência e m ga TV eo Forma de lazer ◆◆ Como foram obtidas 5 respostas diferentes. 114 prm6_113_122_unid07. vi d le itu ra pa ss ei os es po rt es O eixo vertical também é chamado de eixo dos valores. Quer ver como eles fizeram? Ilustrações: DAE Forma de lazer preferida Frequência O eixo horizontal também é chamado de eixo das categorias. Os dados obtidos foram colocados numa tabela. Por exemplo. nesta pesquisa. o gráfico deve ter 5 barras (retângulos). Traçaram e nomearam dois eixos: um horizontal (Forma de lazer) e um vertical (Frequência). Os alunos apresentaram os dados dessa tabela por meio de um gráfico de barras. esse valor deve ser mantido em todo o eixo vertical. Forma de lazer preferida DAE Frequência 10 9 Gráficos de barras aparecem com frequência em jornais. Escolha uma escala adequada e use-a regularmente no eixo vertical. graduaram o eixo vertical para marcar a frequência de cada resposta. 4. Deixe a mesma distância entre as barras no eixo horizontal. se você escolher que 1 centímetro vale 1 aluno. O título deve se referir ao assunto abordado. escrevendo abaixo de cada um deles uma pequena análise dos dados que ele apresenta. TABELAS E GRÁFICOS DE BARRAS prm6_113_122_unid07. 8 7 6 5 4 3 2 1 e Forma de lazer vi d eo ga m TV pa ss ei os le itu ra es po rt es 0 Não é difícil. É comum dar um título ao gráfico. basta tomar alguns cuidados. Recorte ou imprima um gráfico de barras que trate de um assunto do seu interesse e traga para a aula. DADOS. ◆◆ Finalmente. revistas.indd 115 115 5/13/15 3:20 PM . internet. A frequência é indicada pela altura de cada retângulo. Por exemplo. não é mesmo? Para construir corretamente um gráfico de barras. Nomeie os eixos e faça-os com comprimento suficiente para que caibam todas as barras e todas as frequências da tabela. 3. Você e seus colegas podem montar um cartaz com gráficos. 1. traçaram os retângulos. Reinaldo Rosa Lembre-se de que todas as barras devem ter a mesma largura.◆◆ Em seguida. 2. sobre a frequência dos alunos à biblioteca em cada dia da semana. Há erro na escala do eixo vertical. indicadas na tabela abaixo. O gráfico contém erros. na tabela abaixo. 14 Frequência 12 Atividades de lazer Resposta Frequência Pratico esportes 12 Leio livros e revistas 6 Passeio com a família 8 Assisto à TV 5 Jogo video game 8 12 10 8 8 6 6 8 5 4 2 0 esportes leitura passeio TV Resposta video game 2. Identifique-os e refaça o gráfico corretamente usando papel quadriculado. Frequência de alunos à biblioteca 60 Frequência 50 40 30 34 38 45 50 Dia da semana Frequência de alunos à biblioteca Segunda-feira 25 Terça-feira 34 Quarta-feira 38 Quinta-feira 45 Sexta-feira 50 25 20 10 0 segunda terça quarta quinta sexta Dia da semana A partir dessa tabela. o resultado de um estudo realizado em certa escola.indd 116 5/13/15 3:20 PM . Veja. Frequência de alunos à biblioteca 50 DAE Frequência 45 38 34 25 qu in ta -fe ira se xt afe ira afe ira -fe ira qu ar t te rç a se gu nd a- fe ira 0 Dia da semana 116 prm6_113_122_unid07. as barras devem ter a mesma largura. Observe-o. foi montado um gráfico de barras. use papel quadriculado para fazer o gráfico de barras referente às atividades de lazer preferidas pelos alunos de uma classe de 7o ano.Seção livre 1. Além disso. Para saber se você realmente entendeu. 30 27 25 20 10 5 0 1. A um grupo de crianças foi feita a seguinte pergunta: Você tem algum animal de estimação em sua casa? Como espectador Blend Images/Alamy/Glow Images Como praticante 19 15 15 Exercícios Esporte preferido 23 20 meninos meninas meninos meninas futebol 10 2 5 6 vôlei 1 5 6 1 basquete 2 3 2 2 tênis 0 4 2 7 outros 2 3 0 1 Responda. Tabelas e gráficos de barras prm6_113_122_unid07. 2. de acordo com os dados fornecidos. 10  9 Meninas Meninos 8 7 6 5 4 3 2 Nome do atacante Número de passes Diego 20 Gabriel 27 Paulo 15 Roberto 23 b) Quantas crianças disseram “não”? 13 crianças Davi 19 c) Quantas crianças disseram “sim”? 17 crianças Construa um gráfico. e) É possível que nessa turma haja duas meninas que prefiram praticar natação? Sim.indd 117 117 5/13/15 3:20 PM . Este gráfico foi apresentado como resultado da pesquisa. c) Qual é o esporte que os meninos mais gostam de praticar? Futebol. Todos os alunos responderam escolhendo um esporte apenas.Número de passes 2. d) É possível que nessa turma haja um menino que prefira assistir a uma competição de judô? Não. DAE Crianças com animal de estimação Frequência a) Quantos alunos essa turma tem? 32 alunos b) Qual é o esporte a que as meninas mais gostam de assistir? Tênis. O quadro seguinte refere-se ao número de passes certos que cada atacante do time da escola realizou durante um jogo de futebol em maio de 2016. 1 0 sim não sim não Tipo de resposta a) Quantas meninas disseram “não”? 5 meninas d) Quantos meninos responderam à pergunta? 17 meninos e) Quantas crianças responderam à pergunta? 30 crianças Dados. Diego Gabriel Paulo Roberto Davi Nome do atacante 3. O resultado dessa consulta pode ser visto no quadro abaixo. O professor de Educação Física perguntou aos alunos do 6o ano qual era o esporte preferido deles. O quadro abaixo e o gráfico a seguir referem-se à produção de uma fábrica de confecções. 7 6 9 3 5 6 7 7 4 3 6 7 5 6 8 8 9 2 5 4 7 7 3 8 7 6 5 10 9 6 se gu nd afe ira te rç afe ira qu ar ta -fe ira qu in ta -fe ira se xt afe ira 5 Dia da semana Qual é a média aritmética de horas diárias trabalhadas pela professora de 2a a 6a? 9 horas.indd 118 5/13/15 3:20 PM . (Cesgranrio-RJ) A tabela abaixo apresenta as notas dos 25 alunos de uma turma em uma prova que valia de zero a 10 pontos. Qual é? A barra referente aos casacos não tem comprimento correto. (8 1 9 1 10 1 11 1 7) : 5 5 9 5. 4. durante um mês. está registrado no gráfico. durante uma semana. 0 ou 1 2 ou 3 4 ou 5 6 ou 7 8 ou 9 Notas ou 10 b) No de alunos 12 10 8 6 4 2 0 0 ou 1 2 ou 3 4 ou 5 6 ou 7 8 ou 9 Notas ou 10 c) No de alunos 12 10 8 6 4 2 0 Peças produzidas em maio No de 500 peças 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 Qual das opções abaixo apresenta um gráfico de barras compatível com as notas apresentadas? 0 ou 1 2 ou 3 4 ou 5 6 ou 7 8 ou 9 Notas ou 10 d) No de alunos bl us a id o ve st co sa ca sa ia ca m is a 12 10 8 6 4 2 0 Tipo de peça a) Qual é o número de saias produzidas pela fábrica? 400 saias b) No gráfico há um erro. 11 Ilustrações: DAE No de horas trabalhadas 6. (Vunesp) O número de horas trabalhadas por uma professora. Tipo de peça Número de peças Camisa 200 Saia Casaco 250 Vestido 300 Blusa 450 a) No de alunos 12 10 8 6 4 2 0 Alternativa a. 0 ou 1 2 ou 3 4 ou 5 6 ou 7 8 ou 9 Notas ou 10 e) No de alunos 12 10 8 6 4 2 0 0 ou 1 2 ou 3 4 ou 5 6 ou 7 8 ou 9 Notas ou 10 118 prm6_113_122_unid07. cada aluno deve elaborar um pequeno relatório com suas observações e conclusões.indd 119 119 5/13/15 3:20 PM . com a ajuda do professor. pais. Prédio escolar e região vizinha. Veja os exemplos: DAE 1. Depois. Cada entrevistado deverá escolher somente uma entre as cinco alternativas propostas para cada uma das perguntas. Dica! O IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) criou um programa intitulado “Censo 2010 nas escolas”.ibge. Vamos fazer uma pesquisa estatística? A proposta está detalhada no Manual do Professor. DADOS. Como é a sua escola? ◆◆ O que mais lhe agrada nela? ◆◆ A escola tem problemas? ◆◆ Quais você considera mais sérios e gostaria de ver solucionados? Delfim Martins/Tyba ◆◆ Propomos que você e seus colegas façam uma pesquisa sobre os pontos positivos e negativos da escola onde estudam. Entrevistem um grupo de aproximadamente 100 pessoas: alunos. qual o maior problema da escola? a) Ter somente uma quadra de esportes.2. conversem. qual é o principal problema da escola? Algumas questões podem ser debatidas: ◆ Como conservar e melhorar o que a escola tem de bom? ◆ O que podemos sugerir ou mesmo realizar para que os principais problemas da escola sejam resolvidos ou minorados? Troquem opiniões.br/vamoscontar. 2. professores. Garota fazendo entrevista. envolvendo toda a comunidade.gov. Laeti Images A atividade proposta está detalhada no Manual do Professor. professores e funcionários. Vocês entrevistarão alunos. marcando atentamente a quantidade de respostas que cada alternativa teve. Gráficos prontos. TABELAS E GRÁFICOS DE BARRAS prm6_113_122_unid07. Você pode consultar este material no site www. funcionários. Para elaborar as alternativas para as respostas. Em classe. direção. Um das propostas é a realização de um censo na escola. Em sua opinião. O que mais lhe agrada na escola? a) O pátio. os alunos da classe devem conversar e levantar os principais aspectos positivos e negativos da escola. elaborem uma tabela de frequência para cada pergunta e construam os gráficos de barras em papel quadriculado. partam para a análise dos resultados e conclusões: ◆ Quais foram os aspectos positivos mais apontados pela pesquisa? ◆ De acordo com a pesquisa. B C indecisos Candidatos Responda 2 700 pessoas a) Qual é o número de pessoas consultadas? b) O candidato B pode se considerar eleito? Não.saudeanimal.com. a quantidade de pessoas que alugaram o correspondente número de DVDs.00. por cliente. o candidato C assume a liderança? Sim. B e C. Lucas Lacaz Ruiz/Fotoarena/Folhapress 0 cavalo: 30 anos. 15 anos de idade? É o carneiro. quanto a locadora recebeu nesta semana? A (10  1 1 25  2 1 20  3 1 15  4 1 5  5 1 6  5)  4 5 940 R$ 940. coelho: 12 anos.indd 120 5/13/15 3:20 PM . no eixo horizontal. 2014 a) Qual é o animal que vive. isto é. No eixo vertical. em média. Uma pesquisa eleitoral estudou as intenções de voto nos candidatos A. a correspondente frequência. 2014 Frequência 810 750 700 25 20 15 10 440 5 1 2 3 4 5 6 Número de DVDs a) Qual é o número de pessoas que alugaram 4 ou mais DVDs? 15 1 5 1 5 5 25.br>. carneiro: 15 anos. em média. Acesso em: out. DVDs alugados de 1 a 7 jun.00 8. o número de DVDs alugados por semana numa locadora. No gráfico abaixo está representado. 120 prm6_113_122_unid07. c) Qual é o tempo médio de vida de cada um dos animais indicados? Coruja: 24 anos. 25 pessoas b) Se cada DVD é alugado por R$ 4. b) Quais dos animais indicados vivem. rato: 3 anos. d) Se o candidato C obtiver 525 votos dos indecisos e o restante dos indecisos optarem pelo candidato A. Este gráfico mostra o tempo médio de vida de alguns animais. Tempo médio de vida 30 Tempo (anos) 24 18 12 el ho Animal co ra co ru ja ca rn ei ro ca va lo 0 to 6 Fonte: <www.revisando DESAFIO DESAFIOs 9. mais de 20 anos? A coruja e o cavalo. obtendo os resultados apresentados: Intenção de votos Número de votos Ilustrações: DAE 7. c) O candidato A ainda tem chance de vencer as eleições? Sim. araras e tigres. (Saresp) A tabela mostra o número de carros vendidos. c) 130 pessoas visitaram macacos. Com os dados. d) o Brasil obteve 12 medalhas a menos que a França. durante uma determinada noite. c) a Alemanha ganhou 50 medalhas a mais que o Brasil. é correto afirmar que: a) os Estados Unidos obtiveram 73 medalhas a mais que a França. Alternativa d. 121 prm6_113_122_unid07. d) em fevereiro foram vendidos mais carros do tipo Y. em certa concessionária. Os resultados obtidos estão representados no gráfico de barras abaixo: Ilustrações: DAE Número de residências 100 80 País Bronze Prata Ouro Total EUA 25 32 43 100 França 15 7 15 37 Alemanha 27 18 20 65 Brasil 9 3 3 15 Fonte: <http://www. Alternativa c. 1 2. 60 40 20 0 TVA TVB TVC TVD nenhum Canal de TV O número de residências ouvidas nessa pesquisa foi de aproximadamente: Alternativa b. o grupo construiu o gráfico abaixo. d) as araras receberam metade das visitas recebidas pelas onças. Alternativa c.indd 121 5/13/15 3:20 PM . c) foram vendidos 41 carros em fevereiro. entre as 20 h e as 21 h. (Saresp) A tabela abaixo indica o número de medalhas que alguns países receberam nas Olimpíadas de 1996. tig re s 23 ar ar as 15 s X 0 on ça Março os Fevereiro ac Janeiro m ac Tipo de carro Animais É correto afirmar que: a) 120 pessoas visitaram os macacos e os tigres. b) o melhor mês de vendas foi janeiro.Autoavaliação Anote no caderno o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta. Quantidade de visitas aos animais Número de visitas recebidas 60 40 20 Número de carros vendidos 12 Y 16 18 20 É correto afirmar que: a) foram vendidos 31 carros do tipo X.fia. b) a França obteve exatamente o dobro de medalhas em relação ao Brasil.com>. 10. Um grupo foi ao zoológico e contou a quantidade de visitas que alguns animais receberam. Analisando as informações da tabela. (Enem) Uma pesquisa de opinião foi realizada para avaliar os níveis de audiência de alguns canais de televisão. b) os macacos e as onças foram os animais mais visitados. 11. no primeiro trimestre do ano. onças. a) 135 b) 200 c) 150 d) 220 13. (Saresp) O professor fez uma figura na lousa. 122 prm6_113_122_unid07. a) as vendas aumentaram mês a mês. pediu que desenhassem um gráfico que representasse o número de partes de cada cor. Ilustrações: DAE Número 16 de alunos 14 15. c) as vendas do mês de maio foram inferiores à soma das vendas de janeiro e fevereiro. mar. b) foram vendidos 100 televisores até junho. dividiu-a em várias partes iguais e pediu que quatro alunos colorissem todas as partes usando quatro cores diferentes. d) foram vendidos 90 televisores até abril. (Saresp) Foi realizada uma pesquisa sobre o local onde cada aluno do 6o ano A nasceu. (Furb-SC) O gráfico mostra as vendas de televisores em uma loja: Unidades 60 vendidas 50 40 30 20 10 0 Pode-se No de alunos São Paulo 06 Santos 05 Bauru 15 Campinas 04 jan.indd 122 5/13/15 3:20 PM . fev. Ao final. maio jun. a figura ­f icou mais ou menos assim: 12 10 8 6 Depois.1 4. 4 2 s m pi na Cidade a) c) b) d) Ca Ba ur u s Sa nt o Sã o Pa ul o 0 Qual tabela deu origem ao gráfico? a) Local de nascimento No de alunos São Paulo 15 Santos 06 Bauru 04 Campinas 05 b) Local de nascimento No de alunos São Paulo 06 Santos 04 Bauru 05 Campinas 15 c) Local de nascimento No de alunos São Paulo 06 Santos 15 Bauru 05 Campinas 04 d) Local de nascimento 16. abr. Mês afirmar que: Alternativa d. Qual dos gráficos seguintes foi feito corretamente? Alternativa d. Com as informações obtidas o professor construiu o seguinte gráfico de barras: Alternativa a. Brasília. encontramos inúmeras formas.com Valéria Vaz Olhando ao redor. Charles Stirling (Diving)/Alamy/Other Images Galit Seligmann/Robert Harding World Imagery/Getty Images Nikitu/Dreamstime. Algumas são obras da natureza. outras foram criadas pelo ser humano. Paris.8 unidade Observando formas 1.indd 123 123 5/13/15 3:24 PM . Observando formas prm6_123_140_unid08. As formas da natureza e as formas criadas pelo ser humano Pirâmide do Museu do Louvre.com Bruce Robbins/Dreamstime. DF. Palácio da Alvorada. desde a Antiguidade. as formas são idealizadas. perfeitas. que é a parte da Matemática que estuda as formas. Socializem as pesquisas. observam e estudam as formas presentes na natureza.indd 124 5/13/15 3:24 PM . Vamos aprender um pouco mais? Muitos profissionais utilizam a Geometria em seu trabalho. utilizando a Geometria. em que ramo de atividades podem trabalhar. engenheiro. Combine com seus colegas e pesquisem um pouco sobre elas: Quantos anos é necessário estudar para formar-se. E como é que um arquiteto. Citamos algumas destas profissões no texto ao lado. projetista e outros profissionais conseguem criar formas bonitas e com tantas aplicações na vida prática? Entre outras coisas. Você já sabe algumas coisas de Geometria: são noções que aprendeu na escola ou no seu dia a dia. O conhecimento geométrico é aplicado na construção do mundo real. Muitas delas inspiraram objetos que atualmente utilizamos. 124 prm6_123_140_unid08. Na Geometria. quais as especializações existentes etc.Valéria Vaz Valéria Vaz iStockphoto/Thinkstock Os seres humanos. seria interessante mostrar exemplos de formas bimensionais não planas. Em qualquer posição que você a coloque sobre o tampo de uma mesa. o que diferencia as figuras planas das não planas. Escreva em seu caderno. como ocorreu com o triângulo desenhado.indd 125 125 5/13/15 3:24 PM . uma caixa de fósforos vazia. Veja mais exemplos: Formas não planas Ilustrações: DAE Formas planas Espera-se que os alunos digam que formas não planas “saem” do plano. Não conseguimos fazer com que a caixa fique totalmente contida no plano. partes dela “saem” do tampo. OBSERVANDO FORMAS prm6_123_140_unid08. com a ajuda dos colegas e do professor. não é possível que um único plano as contenha completamente. Pode ser. Agora pegue uma caixa. Observe que o triângulo ficou todo contido no plano da folha. por exemplo. Mauricio Morais O triângulo representa uma forma plana. A caixa representa uma forma não plana. Formas planas e não planas Desenhe um triângulo em uma folha de papel.Professor. isto é.Marcelo Azalim 2. indd 126 5/13/15 3:24 PM . mas a superfície delas é formada por figuras planas. Nela não encontramos formas arredondadas. Veja os exemplos: Polígonos Ilustrações: DAE Não polígonos Observe bem os quadros anteriores e responda: Que características uma figura plana deve ter para ser um polígono? Professor.As formas planas Classificamos as formas planas em: polígonos e não polígonos. definiremos polígonos na página 158. Isso também ocorre com a outra embalagem cuja superfície é formada por dois triângulos e três retângulos. Leonardo Conceição Entendi! As duas formas não são planas. As formas não planas Fernando Favoretto Mauricio Morais Observe as imagens. 126 prm6_123_140_unid08. A superfície da caixa de fósforos é formada somente por figuras planas: seis retângulos. Aqui o objetivo é observar características como não ter linhas curvas no seu contorno e ser uma figura fechada. Atenção! Aldodi/Dreamstime. Não poliedros Ilustrações: DAE Poliedros A superfície dos poliedros é formada somente por polígonos. mas sua superfície lateral é arredondada.indd 127 127 5/13/15 3:24 PM . Os objetos retratados não estão em proporção. os poliedros não têm formas arredondadas. Como os polígonos são figuras planas com contornos retos. OBSERVANDO FORMAS prm6_123_140_unid08. temos duas formas planas (círculos). Cada polígono é uma face do poliedro. Sua superfície é toda arredondada. Pensando nestas características. Já a bola não tem superfícies planas.com Newscast/Alamy/Glow Images Milho vapno or Na lata de milho da fotografia. vamos classificar as formas não planas em dois grandes grupos: poliedros e não poliedros. C e E. Qual desses objetos rola em qualquer posição? C. b) c) d) Escreva quais deles são formados: a) apenas por superfícies planas. G. b) apenas por superfícies arredondadas. D e F. As figuras desenha­ das por Rodrigo estão representadas em: a) 3. ela rola? Não. 128 prm6_123_140_unid08. H. Quais desses objetos não rolam? B. C. Rodrigo desenhou 7 figuras planas. Observe os objetos abaixo: A B C D E F G H Ilustrações: Marcelo Azalim A Ilustrações: DAE 1. Figuras planas: B. Em alguma outra posição ela pode rolar? Sim.indd 128 5/13/15 3:24 PM . L. C. F. Como você separaria todas as figuras abaixo em dois grupos? Alternativa c. K. 4. Observe as figuras representadas a seguir: A B C D E F a) b) c) d) e) f) Na posição em que está a figura E. c) por superfícies planas e superfícies arredondadas. B e G. sendo 4 po­ lígonos e 3 não polígonos. I. Quais desses objetos podem rolar? A. 2. F e H. Em que os objetos B e D são diferentes? Nas dimensões. A. D. Figuras não planas: A.EXERCÍCIOS B C D E F G H I J K L O que você considerou para formar os dois gru­ pos? Responda. D e E. E. J. B A H C D E L J I F Ilustrações: DAE 5. 2. Veja as figuras geométricas e responda: G M K a) Quais são poliedros? A. 2. pelo engenheiro. Carl B. K e M. desenhista etc.indd 129 129 5/13/15 3:25 PM . Por que vocês acham que escolheram a forma da esfera para a bola de futebol e não a de um cone ou um cubo? 3. prm6_123_140_unid08. 6. Dentre eles. ervilhas etc. b) Quais não são poliedros? D. Possivelmente por rolar mais facilmente. Junte-se aos colegas e elaborem uma lista com exemplos de objetos e construções criados pelo ser humano que representem poliedros e não poliedros. O nome teve origem na língua grega: dodeca: doze edro: faces Pesquisas arqueológicas encontraram em Pádua. um dodecaedro de pedra provavelmente esculpido antes de 500 a. E. um dos grandes pensadores da história da filosofia. 1979. Por que as latas em forma de cilindro. J.C. podemos citar Platão (427-347 a. Resposta pessoal. A escolha da forma que terá um objeto. São Paulo: Edgard Blücher. I e L. Há registro de que na porta da Academia lia-se: “Que ninguém que ignore Geometria entre aqui!” Este poliedro chama-se dodecaedro. Fundou em Atenas. Itália. a Academia. Resposta pessoal. Veja como o interesse humano pelos poliedros é antigo! Fonte de pesquisa: BOYER. Qual é a principal característica de um poliedro? Ter a superfície formada somente por polígonos. História da Matemática. poli: muitas edro: faces Na Grécia Antiga. H. deve ter relação com a função a que se destina? Marcelo Azalim O nome poliedro vem do grego: Photos.). C. por volta de 387 a. G. Em pé elas se apoiam nos círculos (bases do cilindro) que são formas planas.com O poliedro tem muitas faces 1. muitos matemáticos estudaram Geometria. e não deitadas?. B. Depois. uma espécie de escola: Busto de Platão. 3. como as de refrigerante..C... F. geralmente são empilhadas em pé. pensem e respondam no caderno: 1. Espera-se que percebam que é importante OBSERVANDO FORMAS conhecer as características das formas geométricas para melhor aplicá-las a situações reais.C. Maíra quer saber o comprimento das arestas de um cubo. 2. O bloco retangular possui 12 arestas. (24  3 5 8) 130 prm6_123_140_unid08.3. Repare que as faces opostas são idênticas. pois no cubo. Como você descreveria um bloco retangular por telefone a um amigo? Resposta pessoal. arestas e vértices. Pegue uma caixa de fósforos: ela tem a forma de um bloco retangular. Investigando os blocos retangulares O poliedro representado abaixo. 6 faces. O bloco retangular possui três dimensões: comprimento. 4. Vemos ao lado a fotografia de um dado que tem a forma parecida com a de um cubo. O cubo é um bloco retangular especial. 6. Como são 6 faces. O que você observa? Quadrada. Quantas faces. Utilizando uma régua. o cubo tem 24 vértices.” O mesmo vértice pertence a 3 faces.indd 130 5/13/15 3:25 PM . Expliquem por que Mariana errou ao raciocinar como abaixo: “Cada face do cubo tem 4 vértices. mediu com a régua o comprimento de uma delas. recebe o nome de bloco retangular. Qual é a forma das faces de um cubo? Compare o cubo com o bloco retangular. No bloco retangular. todas retangulares. Ela precisa medir as demais arestas? Por quê? Não. O ponto de encontro das arestas é um vértice. Mauricio Morais O bloco retangular possui seis faces. O cubo é um poliedro? Sim. arestas e vértices ele possui? e 8 vértices 3. Identifique-as na caixa de fósforos. Registre as medidas em seu caderno e compare com as medidas tiradas pelos colegas. O bloco retangular possui oito vértices. Localize-as na caixa de fósforos. 5. a largura e a altura de uma caixa de fósforos.com Todo poliedro possui faces. cada vértice é ponto de encontro de quantas arestas? 3 arestas 7. com todas as faces iguais. 12 arestas Cameramannz/ Dreamstime. Troque ideias com seus colegas e responda às questões em seu caderno: 1. O trecho de reta produzido pelo encontro de duas faces chama-se aresta. uma das arestas um dos vértices  c 5 comprimento uma das faces  5 largura a a 5 altura DAE  c Vamos nomear partes do bloco retangular. largura e altura. Para isso. obtenha o comprimento. cuja forma aparece em muitas construções e objetos. São na verdade 8 vértices. todas as arestas têm a mesma medida. Confira na caixa de fósforos. Veja ao lado formas de representar e a maneira de nomear retas e segmentos. Vamos representar um ponto com uma marquinha no papel. como nestes exemplos: B representação de pontos M Imagine uma aresta do bloco retangular prolongando-se indefinidamente como na figura a seguir. t lemos: reta s CD D C lemos: segmento CD Q lemos: segmento PQ B Estúdio Ornitorrinco A O segmento de reta é um trecho de reta limitado por dois pontos.Vamos aproveitar as faces. Para ponto dar nome aos pontos. A Você imaginou uma reta. usamos as letras maiúsculas do nosso alfabeto. Observando o encontro das arestas chegamos à ideia de ponto. Qual é a diferença entre reta e segmento de reta? OBSERVANDO FORMAS prm6_123_140_unid08. A reta é ilimitada. por exemplo. arestas e vértices do bloco retangular para compreender melhor três figuras básicas para o estudo da Geometria: ponto. chama-se segmento de reta. como uma aresta do bloco retangular. Usaremos as letras minúsculas do nosso alfabeto para representá-las. reta e plano. Um trecho de reta limitado por dois pontos. s A ‡AB⁄ B lemos: reta t P PQ lemos: reta AB Os pontos A e B são as extremidades do segmento AB.indd 131 Ilustrações: DAE Ponto e reta 131 5/13/15 3:25 PM . Plano Por fim. Desenhe-a em seu caderno e indique em que posições o retângulo poderia estar. como na figura ao lado. ao montar o bloco. nos elementos de um poliedro encontramos: pontos vértices ◆ ◆ retas e segmentos de retas ◆ planos gerados pelas arestas Planificação de blocos retangulares Fotos: Edson Antunes Consiga uma embalagem em forma de bloco retangular. Desmonte-a com cuidado para não rasgá-la. Portanto. por exemplo. Você imaginou um plano.indd 132 5/13/15 3:25 PM . A mais usual é a apresentada abaixo. vamos nomear os planos com letras do alfabeto grego. Ilustrações: Leonardo Conceição gerados pelas faces Nesta planificação de bloco regular. Se ela tiver abas para colar as faces. como  e . Os alunos devem perceber que as faces opostas do bloco retangular são polígonos idênticos e que. Você obterá uma figura plana formada por seis retângulos. mas é preciso ter em mente que o plano é ilimitado. 132 Você saberia apontar quais são as faces opostas de um bloco retangular observando sua planificação? Explique como. as faces opostas não têm arestas ou vértices comuns. prm6_123_140_unid08. um retângulo foi destacado acidentalmente. Ilustrações: DAE  Como já utilizamos as letras maiúsculas do nosso alfabeto (para os pontos) e as minúsculas (para as retas). O plano precisa de uma representação. Essa figura representa a planificação da embalagem em forma de bloco retangular. imagine uma face do bloco retangular prolongando-se indefinidamente. que é outra figura fundamental para a Geometria. corte-as fora. 4. trace as arestas visíveis com linha contínua e as demais com linha pontilhada. Perspectivas e vistas Ilustrações: DAE Muitas vezes precisamos representar formas não planas no papel. no plano (representado pelo papel). e ele as suas. Reinaldo Rosa Desenhar poliedros em perspectiva é bem legal! Veja como eu desenhei outros poliedros no papel quadriculado. OBSERVANDO FORMAS prm6_123_140_unid08. Assinale os vértices da face oposta. troque seus desenhos com um colega. A malha quadriculada nos ajudará nesta tarefa. desenhos em perspectiva. Lembre-se de que as faces opostas do bloco retangular são idênticas. ◆ qual é o número de vértices e arestas. Vamos começar desenhando um bloco retangular em perspectiva. Para isso. por exemplo. Use papel quadriculado e desenhe um bloco retangular e um cubo em perspectiva. podemos usar. como poliedros. A perspectiva é uma técnica que permite representar figuras tridimensionais. Você confere as respostas dele. Desenhe a face do bloco retangular que ficará “de frente”. ◆ quantas são as faces. Depois. Faça como Marcela: experimente desenhar outros poliedros usando perspectiva. Ao fazer cada desenho. Usando régua.indd 133 133 5/13/15 3:25 PM . anote ao lado dele: ◆ os nomes dos polígonos que formam suas faces. Frontal: Superior: Observe os objetos a seguir. as portas e os móveis estão representados no plano como se fossem vistos “de cima”. como na planta do exemplo ao lado. Cilindro. Observe que as paredes. Essa planta representa uma vista superior do imóvel. procurando representar os móveis no plano. Tente desenhar em papel quadriculado como seria sua casa vista de cima se ela não tivesse telhado. 134 prm6_123_140_unid08. esfera e cone. retirada de um anúncio de jornal. Fotos: Edson Antunes Laeti Images A embalagem da fotografia tem a forma de um poliedro. Ilustrações: DAE Podemos representar sua vista superior e sua vista frontal no papel: vista superior vista frontal Que formas cada um deles nos lembra? Desenhe em seu caderno como seria a vista planificada frontal e superior de cada um deles.E o que são vistas? Danillo Souza Veja ao lado um exemplo de planta baixa de um apartamento.indd 134 5/13/15 3:25 PM . Localize cada cômodo. pois nos dá uma boa ideia do espaço e da disposição dos ambientes. Essa representação é útil. C) B C Supermercado 1 2 3 4 Se. A).indd 135 135 5/13/15 3:25 PM . Observe os polígonos e responda: A Escola C A figura é plana ou não plana? Não plana. 8. B A 0 a) (1. Qual das peças deve ser encaixada neste obje­ to para que ele fique com a forma de um bloco retangular? Alternativa b. 8. D 8. 12 B 5. Observe os poliedros: A 10. (Encceja­MEC) Observe o esquema com a loca­ lização de uma escola e de um supermercado. Copie os pontos A. É possível traçar mais? Quantas? Sim. Poliedro 6. B. C) c) (C. 0) d) (C. b) Quantas retas que passam pelos pontos B e D você consegue traçar? Uma. nesse esquema. 11. 5. B e C. c) Existe uma reta que passa por três dos pontos indicados? Sim. 12 A 6. B C C B A cubo paralelepípedo Construa um quadro como este e complete­o. C e D. 8 C Quantas faces? D pirâmide de base quadrada Quantos vértices? Quantas arestas? a) Trace três retas que passem pelo ponto A. 2) 12. então a escola pode ser indicada pelo ponto: Alternativa b. o supermercado pode ser indicado pelo ponto (1.EXERCÍCIOS 7. Observe a figura e responda. a reta que passa por A. 9. a) c) b) d) Ilustrações: DAE a) b) c) d) e) f) OBSERVANDO FORMAS prm6_123_140_unid08. Infinitas. Qual é o número de vértices? 12 vértices Quantas são as arestas?18 arestas Qual é o número de faces? 8 faces Quantas faces são retangulares? 6 faces Quantos lados tem cada uma das faces que não são retangulares? 6 lados D Quais e quantos desses polígonos são ne­ cessários para forrar os “esqueletos” destes poliedros? I II III IV 6B 1B e 4D 2A e 6C 1A e 6D b) (3. Observe as figuras e faça o que se pede: 1 6. que forma espacial resultaria? Bloco retangular. 17. b) Será que as figuras a seguir também represen­ tam planificações do cubo? Dica! Se necessário. 11 c) Quantas caixas faltam ser colocadas para construir um bloco retangular de 5 camadas? 37 b) d) C B A B A C C A B C C A 136 prm6_123_140_unid08. Evaldo desenhou uma planificação em cartoli­ na para construir uma caixa com a forma de um bloco retangular. Observe as caixas cúbicas empilhadas e res­ ponda. Ele escreveu a mesma letra em cada par de faces opostas. b) reduzir o comprimento de todas as arestas do bloco retangular à metade. b) Sim. 13. copie e recorte um modelo em papel para verificar. a) A c) C B B B C A C C A B A a) Quantas já foram colocadas? 23 b) Quantas faltam na segunda camada? E na terceira? 3. Alternativa c. Ilustrações: DAE c) Não. Se a figura abaixo fosse recortada e depois do­ brada de forma conveniente nas linhas traceja­ das. 14. Anote qual é a caixa de Evaldo.1 3.indd 136 5/13/15 3:25 PM . a) Sim. 1 5. Use uma malha quadriculada para: a) reproduzir as duas figuras da parte inferior do quadro. A figura mostra uma das 11 possibilidades de planificação do cubo. construir modelos de poliedros. recortá-los e. em cartolina. observem e registrem no caderno: ◆ forma e número de faces. há moldes de polígonos: quadrados. retângulos e triângulos. Leonardo Conceição ◆ Ferna ndo F avore tto Vejam um exemplo de modelo de poliedro que pode ser construído: Este é um poliedro com 5 faces: 2 triângulos e 3 retângulos. façam uma exposição das composições obtidas para os demais alunos da escola! OBSERVANDO FORMAS prm6_123_140_unid08. Para finalizar. Vocês devem reproduzir os polígonos com capricho. em Moldes e malhas. número de vértices. Em cada modelo de poliedro. Nas páginas 279 e 280. criem novas formas combinando as figuras que vocês construiram. Ele possui 6 vértices e 9 arestas.indd 137 137 5/13/15 3:25 PM . Se desejarem.Construindo poliedros Forme dupla com um colega. Vimos que as faces dos poliedros são polígonos. com o auxílio de fita adesiva. Vocês devem produzir e recortar vários polígonos de cada tipo para ter mais opções de combinação das formas. ◆ número de arestas. 6 cubos. B A C A B x x 5 – 9 – 6 – E D 20. 11 cubos. b) E a do último? Não. 16. 36. esta montagem e de­ pois responda. 31. e na terceira. 138 prm6_123_140_unid08. copie o quadro e preencha­o. Usando cubos podemos fazer as seguintes cons­ truções: A B C D C D E x x x 7 5 – 15 8 – 10 5 1 E Poliedro Não é poliedro Quantas faces? Na primeira usamos 1 cubo. 6. 19. 21.REVISANDO Ronaldo Barata 1 21. nas figuras. ◆ Quantos cubos usaremos na oitava construção? Quantas arestas? Quantos vértices? 36 cubos. A C B Danillo Souza 22. Não vale utilizar a palavra cubo. Acompanhe. 11. Gustavo fez a seguinte construção com seis cubos: Ilustrações: DAE 18. 26. B b) vista de lado. A sequência é 1. Descreva­lhe a figura abai­ xo de modo que seu amigo descubra o que é.indd 138 5/13/15 3:25 PM . Observe as figuras. 2 Observe as diferentes vistas abaixo e identifi­ que qual delas é a: a) vista de cima. na segunda. A c) vista de frente. Resposta pessoal. Imagine que você está conversando com um amigo ao telefone. C 3 a) A figura do primeiro desenho é plana? Sim. c) Quantos tijolos formam a pilha? 12 tijolos A pilha de tijolos vai ficar maior. D. B. C e H. E. G e H. d) Que conclusão se pode tirar observando o cubo e a caixa? O cubo e a caixa têm o mesmo número de vértices. c) Quantas faces tem o cubo? E a caixa? Todas são planas? Ambos têm 6. há faces retangulares. Roxo e amarelo. Esta pilha tem 2 tijolos de comprimento. Veja a planificação de um cubo. Imagine que a figura abaixo seja uma sala. Sim. C e H. Edson Antunes Ambos têm 8. a soma dos valores das faces opos­ tas é sempre 7. 13 m b) A. Reinaldo Rosa E Sabe quantos pontos somam as faces dos três dados que estão apoiadas na mesa? 10 pontos 4m G 6m Ilustra Cartoon 25. G. de um bloco b) Que forma tem a pilha de tijolos? Aretangular. uma mos­ ca. a) Quantos vértices tem o cubo? E a caixa? b) Quantas arestas tem o cubo? E a caixa? Ambos têm 12.indd 139 139 5/13/15 3:25 PM . 24.DESAFIOS 26. A de um bloco a) Qual é a forma de cada tijolo? retangular. Na caixa. responda: 3m A D F H B C Calcule a distância percorrida pela aranha se ela seguir o percurso: a) A. 19 m c) A. e) Qual é a diferença entre as faces do cubo e as faces da caixa? No cubo. Percorrendo a sala pelas “arestas”. 3 de largura e 7 de altura. todas as faces são quadradas. D. Observe estes dois objetos e responda. 2 tijo­ los de largura e 3 tijolos de altura. Quais são as Rosa e azul. Com base nesta informação. Num dado. a) Quantos pontos tem a face oposta a ?5 b) Quantos pontos tem a face oposta a ?3 c) Quantos pontos tem a face oposta a ?6 d) Quantos tijolos terá a nova pilha? 63 tijolos 27. cores das faces opostas? DAE Verde e vermelho. em H. No ponto A temos uma aranha e. faces e arestas. Danillo Souza 23. 25 m OBSERVANDO FORMAS prm6_123_140_unid08. a ara­ nha pretende chegar até a mosca. E. Ela vai passar a ter 3 tijolos de comprimento. F. (Saresp) Bia recortou a figu­ ra ao lado e. Se colocarmos o bloco retangular sobre a face ABCD. 33. a única figura com es­ sas vistas é: Alternativa b. a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 140 prm6_123_140_unid08. 31. a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 29. Ilustrações: DAE Pius99/Dreamstime. A superfície do bloco ao lado foi pintada de verde e. O núme­ ro de faces desta pirâmide. depois. uma das Sete Maravilhas do Mundo Antigo. incluindo a base. d) o dobro do número de vértices. H 30 A linha vermelha mede 18 cm. B E F G D A a) igual ao número de arestas. Quantos cubos estão empilhados? Alternativa a. (Saresp) Abaixo estão desenhadas as vistas superior e frontal de uma figura. os pequenos cubos foram sepa­ rados. b) igual ao número de vértices. O  número de pequenos cubos com exatamente duas fa­ ces verdes é: Alternativa c. c) d) 34. 28. 18 : 6 5 3 33359 a) 9 cm b) 12 cm c) 15 cm d) 18 cm vista superior vista frontal Dentre as opções abaixo.Autoavaliação 3 2. (Saresp) A foto abaixo é de uma pirâmide de base quadrada. a) c) b) d) O sólido que Bia obteve foi: a) b) Alternativa c. a Grande Pirâmide de Quéops. a face que fica voltada para cima é: C a) ABFH b) CBEF c) GHFE d) DCEG Alternativa c. fez uma colagem para obter um sólido de papelão.com Alternativa b. c) a metade do número de arestas. em seguida.indd 140 5/13/15 3:25 PM . é: Anote no caderno o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta. O comprimento total das arestas invisíveis do cubo é: Alternativa a. 9 UNIDADE Ângulos 1.indd 141 PRATICANDO MATEMÁTICA 141 5/13/15 3:27 PM 14a PROVA . Globe Turner/Shutterstock Oleg Belov/Shutterstock Darios/Shutterstock Baloncici/Dreamstime. nesta unidade. medir e traçar ângulos. ÂNGULOS prm6_141_156_unid09. vamos aprender a representar. nas construções e nos objetos criados pelo ser humano. Falando um pouco sobre ângulos Parkinsonsniper/Dreamstime.com as pontas da tesoura aberta formam entre si um ângulo.com encontramos ângulos na natureza. outro ângulo A Como as semirretas fazem parte de ambas as regiões. como você vê na representação a seguir. Ilustrações: DAE um ângulo O B 142 prm6_141_156_unid09.indd 142 Praticando Matemática 14a prova 5/13/15 3:27 PM . separamos o plano em duas regiões.Semirreta Quando marcamos um ponto sobre uma reta.são semirretas opostas. Cada uma dessas regiões é um ângulo. 2. OA% e OB% são os lados do ângulo e fazem parte dele. O ponto O (origem das semirretas) é o vértice do ângulo.elementos e representação Quando traçamos no plano duas semirretas de mesma origem. fazemos assim: B AB- A P A OP- OA- O Lemos: semirreta AB ou semirreta de origem em A passando por B. Observe que elas estão numa mesma reta. é preciso identificar com qual ângulo vamos trabalhar. A Cada uma dessas partes é uma semirreta de origem no ponto A. Para isso usaremos um pequeno arco (veja a figura ao lado). Lemos: semirreta OP ou semirreta de origem em O passando por P. ela fica dividida em duas partes. B O OB- OA. Ângulos .e OB. Para representar e nomear as semirretas. Podemos nomear o ângulo assim: ABOB (lê-se ângulo AOB) ou simplesmente BO (lê-se ângulo O). teremos dois ângulos rasos: dois ângulos de meia volta. o ângulo nulo… Jorge Zaiba Giros e ângulos renata prendeu dois palitos de sorvete com um percevejo. aresta Ilustrações: DAE aresta aresta vértice e se as semirretas de mesma origem estiverem numa mesma reta? ◆ Se elas forem opostas. ÂNGULOS prm6_141_156_unid09. Manteve um deles fixo e girou o outro. como você vê na imagem ao lado. ela percebeu que o giro do palito descreve um ângulo.indd 143 PRATICANDO MATEMÁTICA 143 5/13/15 3:27 PM 14a PROVA .Sim! As arestas dos poliedros formam ângulos! Reinaldo Rosa Já falamos em vértices quando estudamos poliedros. como as semirretas OA e OB abaixo. teremos: O A B O A B … e o ângulo de uma volta. que toma o plano todo. ângulo raso O A B ângulo raso ◆ Se elas coincidirem. pois ABOB tem abertura menor. C O B O D a medida de ABOB é menor do que a medida de CBOD. ou ângulo raso. cujo símbolo é º. 360º Zubartez O a medida do ângulo de meia-volta.indd 144 PRATICANDO MATEMÁTICA 14a PROVA 5/13/15 3:27 PM . O ângulo nulo mede 0. Ilustrações: Jorge Zaiba Observe os ângulos assinalados nos desenhos abaixo. ou 360. é 180. 180º O 180º 144 prm6_141_156_unid09. a medida do ângulo de uma volta é 360 graus. O texto diz que a medida do ângulo depende de sua abertura e as aberturas são iguais. Sim. Medidas de ângulos A Ilustrações: DAE a medida de um ângulo depende de sua abertura.3. a unidade de medida mais utilizada para medir ângulos é o grau. Discuta com os colegas: esses ângulos têm a mesma medida? Mostrem no texto as frases que justificam suas respostas. O ângulo de 90º é chamado ângulo reto. também chamados babilônios. Hoje sabemos que é a Terra que gira ao redor do Sol e que uma volta completa leva 365 dias e algumas horas.indd 145 PRATICANDO MATEMÁTICA 145 5/13/15 3:27 PM 14a PROVA .. Observando o céu. Rio de Janeiro: IBGE. eles imaginaram que o Sol girava ao redor da Terra e levava 360 dias para dar uma volta completa. este símbolo indica que o ângulo mede 90º. 0 253 506 km Fonte: Atlas geográfico escolar. ÂNGULOS prm6_141_156_unid09. O transferidor ao lado é de 360º. Ilustrações: Marcelo Azalim Se dividirmos o ângulo de uma volta (360º) em 360 ângulos de mesma medida. cada ângulo medirá 1º. temos também o transferidor de 180º. Uma volta tem 360 Mesopotâmia Mar Cáspio P Mar Mediterrâneo O TÂ Tigre E S es O R io M Rio Euf ra t © DAE/Sônia Vaz 40° L Mar Negro M IA N 30° N O L Golfo Pérsico S r Ma elho rm Ve De onde vem a ideia de o ângulo de uma volta corresponder a 360º? Trata-se de uma herança muito antiga. que usamos para traçar e medir ângulos. Mas para a época a aproximação era boa.É este instrumento. 2012. Os mesopotâmios. que viveram há milhares de anos numa região que hoje faz parte do Iraque e do Irã. essa região ficava entre os rios tigre e eufrates. ed. chamado transferidor. Mesopotâmia quer dizer “terra entre dois rios”. trouxeram muitas contribuições para a Matemática e a Astronomia. 6. indd 146 PRATICANDO MATEMÁTICA 14a PROVA 5/13/15 3:27 PM . B ou C) serão necessárias para construir cada ângulo que segue. Na figura abaixo há três ângulos. Quais são? 5. a) A que parte do círculo corresponde um ângulo reto? Quarta parte do círculo. c) A que parte do círculo corresponde um ângulo de uma volta? Círculo inteiro. Sugestão de resposta: 9 horas.com a) b) 4. 3. Escreva outro horário em que os ponteiros do relógio formam um ângulo reto. Miflippo/Dreamstime. Copie e complete o quadro referente aos ângulos descritos pelo ponteiro dos minutos quando gira: c) ◆ Quantas fatias A? 2 ◆ Quantas fatias B? 4 ◆ Quantas fatias C? 6 ◆ Quantas fatias A? 3 ◆ Quantas fatias B? 6 ◆ Quantas fatias C? 9 ◆ Quantas fatias A? 4 ◆ Quantas fatias B? 8 ◆ Quantas fatias C? 12 De Para Medida do ângulo 1 2 30° 2 5 90° 5 9 120° 9 3 180° Ilustrações: Marcelo Azalim 6. C 36 fatias Faça a estimativa de quantas fatias de cada tipo (A. b) A que parte do círculo corresponde um ângulo raso? Metade do círculo. A A B 12 fatias 24 fatias B O AÅOB B ÅOC A ÅOC DAE C 2.EXERCÍCIOS 1. O vértice do ângulo é o centro do círculo. Cada um dos círculos abaixo está dividido em um número de “fatias” do mesmo tamanho. Quanto mede o menor ângulo formado pelos ponteiros deste relógio? 105° 146 prm6_141_156_unid09. alguns revestimentos. ou seja. ângulos de 90º. ou seja. ◆ O centro do transferidor deve ser posicionado sobre o vértice do ângulo.indd 147 PRATICANDO MATEMÁTICA Milan Baloun/PantherStock/Glow Images 3. Simbolicamente. ÂNGULOS prm6_141_156_unid09. Como queremos um ângulo de 50º. o transferidor tem duas escalas. na atividade acima. A B retire o transferidor e trace a semirreta OB. med(AB O B) = 50º. 3h. Que relação há entre: a) ângulo reto e ângulo raso? O ângulo reto tem medida igual à metade da do raso. Utilizando o transferidor Vamos construir um ângulo de 50º com auxílio do transferidor. agora. ◆ ◆ ◆ ◆ trace a semirreta OA. marque o ponto B. Em quais horas exatas do dia os ponteiros das horas e dos minutos de um relógio formam um ângulo reto? E um ângulo raso? Raso: 6h. Meça o ângulo a partir do zero que está sobre o lado do ângulo. O Geralmente.4. têm ladrilhos poligonais com diferentes medidas de ângulos. 2. ◆ B Coloque o centro do transferidor sobre o ponto O de modo que a linha de 0º a 180º fique sobre OA%. Reto: 9h. Registre as medidas que encontrar no caderno. Compartilhe seus registros com os colegas. como este piso. O O ponto O será o vértice do ângulo e OA% um de seus lados. b) ângulo reto e ângulo de uma volta? A medida do ângulo reto é a quarta parte da medida do ângulo de uma volta. escrevendo onde obteve cada uma. med(CBOD) = 135º. você deve ter encontrado ângulos retos. obtendo o ângulo AB O B que mede 50º. Os que têm medida maior que 90º são chamados ângulos obtusos. O A Ilustrações: Marcelo Azalim ◆ D O C a semirreta OD passa pela marca 135. 18h. 1. ◆ A a linha de 0º a 180º deve coincidir com um dos lados do ângulo. 147 5/13/15 3:27 PM 14a PROVA . Procure objetos e construções em que seja possível utilizar o transferidor para medir ângulos. vamos medir o ângulo CBOD utilizando o transferidor. Os ângulos com medida menor que 90º são chamados ângulos agudos. Utilize a que tem o zero sobre o lado do ângulo. 15h e 21h. 8. indique no caderno a letra que acompanha o ângulo e a medida a ele correspondente. Qual é o valor de x? 128° 11. 30 45 85 120 145 f) Retos Obtuso e agudo a) 85° b) 120° 9. Observe como Pedro desenhou os movimentos que fez na aula de Educação Física. B = 120°. Veja a representação de vários ângulos. bem como a medida de cada um deles. Identifique todos os ângulos retos da figura. c) um ângulo agudo ou um ângulo obtuso? x 52º Ângulo obtuso. Por estimativa. Seus braços e tronco formam vários ângulos. b) um ângulo reto ou um ângulo obtuso? Ângulo obtuso. Obtusos a) DAE 10. agudos ou obtusos. Usando um transferidor. Classifique-os como retos.EXERCÍCIOS 7. C = 45° e D = 145° d) B Obtusos C illo n Da b) A e) c) D Reto e agudo Ilustrações: Leonardo Conceição Agudos a uz So 12. Qual é maior: a) um ângulo agudo ou um ângulo reto? Ângulo reto. DÔG e CÔF 30° O A e) 145° 148 prm6_141_156_unid09. A = 50°. determine as medidas dos ângulos indicados de uma praça representada no desenho abaixo. D E 26° 32° 32° d) 30° 32° G B 28° 45° DAE F c) C Ilustrações: DAE AÔD.indd 148 PRATICANDO MATEMÁTICA 14a PROVA 5/13/15 3:27 PM . as retas r e s são concorrentes. vamos usar a Geometria para entender melhor o diálogo entre essas pessoas? Rua Vinte Rua Doze Avenida Nove E as avenidas Oito e Nove são paralelas. ou seja. Veja: r a b s as retas a e b também são concorrentes (o ponto de interseção delas está fora do papel).5. Retas perpendiculares e retas paralelas A rua Quinze é perpendicular à rua Treze. v as retas u e v são paralelas. Por exemplo: Rua Doze e Av. duas retas concorrentes que formam entre si ângulos retos são chamadas retas perpendiculares. são chamadas de retas paralelas. as retas c e d são perpendiculares. Nove. ◆ perpendiculares.indd 149 PRATICANDO MATEMÁTICA 149 5/13/15 3:27 PM 14a PROVA . Rua Treze Avenida Oito ze Rua Quin Danillo Souza Considerando que as ruas ilustradas no mapa nos dão a ideia de retas. Rua Doze e Rua Vinte. Volte ao mapa ilustrado no alto da página. u s as retas r e s são paralelas. r Ilustrações: DAE Quando duas retas em um mesmo plano não têm ponto comum. ÂNGULOS prm6_141_156_unid09. Quando duas retas de um mesmo plano se cortam em um único ponto. não se intersectam. t c d u as retas t e u são perpendiculares. Encontre mais pares de ruas que podem ser consideradas retas: ◆ paralelas. elas são chamadas de retas concorrentes. M e N. Indique se as linhas a seguir são paralelas ou perpendiculares. d) A linha do meio em relação às linhas de fundo. E a) Desenhe no mapa a rua São Pedro paralela à rua São João. Paralelas. Paralela. Mário quer ir até o muro pelo caminho mais curto. 150 prm6_141_156_unid09.EXERCÍCIOS 13. que não pode ser paralela nem pode ser perpendicular à rua São Jorge. o São paralelas. Há diversas possibilidades. c) A linha do meio em relação às linhas laterais. Observe a planta de um bairro mostrada na figura abaixo e responda: linha lateral linha do meio linha de fundo a) As duas linhas de fundo.indd 150 PRATICANDO MATEMÁTICA 14a PROVA 5/13/15 3:27 PM . B e C. b) Quais ruas são perpendiculares? A e C. J o Utilize cópia da malha quadriculada disponível na página 278. Olhe para a folha do seu caderno e para esta fotografia. Danilo Souza 15. Perpendicular. Em papel quadriculado. Há diversas possibilidades. b) Uma linha lateral e uma linha de fundo. R u a S ã o Edson Antunes ã Dica! R u a S ã o J o r g e A B C D Danilo Souza 14. Perpendiculares. a) Quais ruas são paralelas? A e B. copie e complete o mapa da figura de acordo com as instruções. Jorge Zaiba 17. pois é perpendicular ao muro. O que você pode dizer sobre a direção das linhas desenhadas nesta folha? 16. Qual caminho deverá escolher? Por quê? O caminho C. b) Desenhe a rua São Sebastião. 45º e 90º. Atualmente. por isso são concorrentes. por sua vez.indd 151 PRATICANDO MATEMÁTICA 151 5/13/15 3:27 PM 14a PROVA . 2. Procure entrevistar um desses profissionais. Eles contam com o auxílio de softwares especializados. Uma reta r é paralela a uma reta s. 30º e 60º e 45º. “Retas perpendiculares com certeza são concorrentes. um ângulo de 60º e um ângulo de 30º. existem dois tipos de esquadro: este tipo tem um ângulo de 90º. mas retas concorrentes podem não ser perpendiculares. Os esquadros Fotos: exopixel/Shutterstock Você já viu um esquadro? Os esquadros são usados por desenhistas e outros profissionais para traçar alguns ângulos e também retas paralelas e perpendiculares. 1. marcando suas medidas: 90º. 30º 45º 90º 90º 45º 60º Com o par de esquadros você pode traçar alguns ângulos: 45º 35º 135º 45º 90º 150º 90º Ilustrações: Jorge Zaiba 75º 60º 1. Justifiquem a afirmação abaixo. ou seja.6. A reta s. para usar corretamente esses softwares é preciso conhecer Geometria.” 3. este tipo tem um ângulo de 90º e dois ângulos de 45º. Retas 2. é paralela à reta t. O que há em comum nos dois tipos de esquadro? São triangulares e possuem um ângulo reto. concorrentes podem não formar entre si 4 ângulos retos. Providencie um par de esquadros. No entanto. muitos profissionais traçam retas perpendiculares ou paralelas e ângulos necessários a seus trabalhos no computador. O que ocorre com as retas r e t? São paralelas. como um arquiteto ou projetista. ÂNGULOS prm6_141_156_unid09. Cole uma etiqueta em cada ângulo dos esquadros. podem não ser perpendiculares. para saber que importância tem a Geometria em seu trabalho. Retas perpendiculares possuem um único ponto em comum. o esquadro para traçar a reta t. do esquadro sobre a régua e e prolongue s e t. s s s t t 1) apoie um lado do ângulo reto 2) Mantenha a régua fixa e deslize 3) as retas s e t são paralelas. do esquadro sobre a régua e trace a reta s. 152 prm6_141_156_unid09. reto do esquadro sobre a reta s e trace um trecho da reta t perpendicular a s. paralelas. que são trace a reta s.Veja agora como traçar retas perpendiculares e paralelas como auxílio de régua e esquadro. também podemos traçar retas paralelas usando o outro lado do esquadro.indd 152 PRATICANDO MATEMÁTICA 14a PROVA 5/13/15 3:27 PM . 1) trace uma reta. Veja a seguir. Retas perpendiculares t s s s 2) apoie um lado do ângulo 3) retire o esquadro e prolongue a reta t. Retas paralelas Ilustrações: Jorge Zaiba s s s t t 1) apoie um lado do ângulo reto 2) Mantenha a régua fixa e deslize 3) retire o esquadro e a régua o esquadro para traçar a reta t. A figura abaixo mostra a trajetória seguida por um grupo de ciclistas. b e d b) duas retas perpendiculares. a e b ou a e d c) duas retas com um só ponto comum e que não são perpendiculares. Nesse percurso. ÂNGULOS prm6_141_156_unid09. Rita e Mauro colocaram os seus esquadros como mostram as figuras: r Mauro Ilustrações: Jorge Zaiba Indique: 23. Com o auxílio de esquadros. a d b 22. c e b ou c e d 20. Quem foi? Rita. Qual é a medida do ângulo determinado pelas semirretas verdes na figura? 15° c a) duas retas paralelas. desenhe um ângulo de: a) a) 60° b) 45° 60° c) 90° d) 135° b) 45° c) d) 21.indd 153 PRATICANDO MATEMÁTICA 153 5/13/15 3:27 PM 14a PROVA . quantas vezes eles mudaram de direção? 3 vezes C P A Rita B Q r P Leonardo Conceição P Só um deles colocou corretamente o esquadro. Para traçarem uma reta perpendicular a r passando por P. Usando régua e esquadro verifique a posição relativa das retas. Qual é a medida do ângulo assinalado na figura? 105° 135° 19.EXERCÍCIOS 18. Gino Santa Maria/Shutterstock A 27. indique a medida aproximada de cada um dos ângulos assinalados nas figuras. BB e BC. Vamos imaginar um relógio parado indicando 2 horas. O que você descobriu? B C Os três ângulos têm medidas iguais a 90°. o menor ângulo formado pelos dois ponteiros vai diminuir ou aumentar? O ângulo vai diminuir. b) 180°? Resposta possível: 6 h. Indique uma solução para cada caso.REVISANDO DESAFIOS 24. Quanto mede cada um deles? A 120° BA = 90° BB = 45° D c) B 90° BC = 135° BD = 90° C Jorge Zaiba Ilustrações: Jorge Zaiba 29. 120° 8 horas? R. Quanto mede o ângulo determinado pelas semirretas verdes? 105° 25. Sem utilizar o transferidor. a) b) 45° 28. Você dá corda nele e os ponteiros começam a rodar. Nos primeiros cinco minutos. Quanto mede o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando: b) c) 60° Hélio Senatore a) 90° 2 horas? 3 horas? d) 150° 5 horas? 30.indd 154 PRATICANDO MATEMÁTICA 14a PROVA 5/13/15 3:27 PM . 154 prm6_141_156_unid09. Na figura há quatro ângulos. A que horas os ponteiros do relógio formam um ângulo de: a) 0°? Resposta possível: 12 h. logo após o início do funcionamento. O 26. Use o transferidor para medir os ângulos A B . c) Avançar 4 casas.Seção livre 31. avançar 2 casas. virar 90° à direita. Paulo João André Qual dos três jogadores tem: a) maior ângulo de visão do gol? João. avançar 3 casas. avançar 3 casas. 3 3. a) Avançar 4 casas. b) Avançar 4 casas. resolveu admirar o próprio desenho (imitando um célebre detetive) através de uma lupa que aumentava 4 vezes um objeto qualquer. d) Avançar 4 casas. (Saresp) Imagine que você tem um robô tartaruga e quer fazê-lo andar num corredor sem que ele bata nas paredes. virar 90° à esquerda. você pode acionar 3 comandos: avançar (indicando o número de casas). Observe a figura: Danilo Souza 3 4. avançar 3 casas. avançar 2 casas. olhando através da lupa. Um estudante desenhou numa folha de papel um ângulo de 20°. Para que você acione de forma correta o comando. Um cavalo puxa uma carroça sempre em linha reta. um ângulo de: Alternativa a.indd 155 Praticando Matemática 155 5/13/15 3:27 PM 14a prova . virar 90° à esquerda. Em seguida. a) 20° b) 10° c) 40° d) 80° Seus comandos para que o robô vá até o final deverão ser: Alternativa a. imagine-se dentro do robô. virar 90° à esquerda. Ele enxergará. Ângulos prm6_141_156_unid09. O que você pode dizer das marcas deixadas pelas duas rodas da carroça na estrada? entrada Estúdio Ornitorrinco Pedro Sotto Dão a ideia de retas paralelas. Para fazer isso. virar 90° à esquerda. virar à direita e virar à esquerda. virar 90° à direita. virar 90° à direita. em uma estrada de terra umedecida pela chuva. virar 90° à direita. avançar 3 casas. avançar 2 casas. b) menor ângulo de visão do gol? Paulo. Final 3 2. avançar 2 casas. (Escola Técnica-UFPR) No sinal de entroncamento oblíquo. DAE entroncamento oblíquo à esquerda. reto e raso. agudo. a) André está à mesma distância das ruas Alegria e Beija-flor. na esquina H. 36. As demais ruas traçadas são paralelas à rua Alegria ou à rua Beija-flor. O ângulo que o ponteiro dos minutos descreve em 14 minutos é de: Alternativa d. adverte o motorista de que em frente há uma via de saída à esquerda. O valor de x é: Alternativa c. agudo. Sílvia André Gil Paula 100 m H 38. Na ilustração. na esquina E. c) Sílvia está a 200 m da rua Alegria e a 100 m da rua Beija-flor.indd 156 PRATICANDO MATEMÁTICA 14a PROVA 5/13/15 3:27 PM . esses ângulos são classificados como: Alternativa a. (Saresp) A figura abaixo mostra a localização de quatro crianças em relação às ruas Alegria e Beija-flor. Cada esquina por onde o garoto passou está indicada por uma letra. na esquina G. d) menor do que 90°. O ângulo assinalado na figura mede: Alternativa c. obtuso. 40. podem ser identificados três ângulos: Rua Alegria 100 m Assinale a alternativa correta. b) menor do que 90°. d) Gil está a 200 m da rua Alegria e a 100 m da rua Beija-flor. Rua Beija-flor Anote no caderno o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta. G F Nessa trajetória há um ângulo: Alternativa d. reto e raso. Alternativa a. obtuso e raso. 37. b) Paula está a 100 m da rua Alegria e a 200 m da rua Beija-flor. está representado o caminho que um garoto fez para ir de sua casa à biblioteca. Na figura. obtuso e reto. A distância entre cada uma das ruas é de 100 metros. os três ângulos indicados têm a mesma medida. agudo. c) maior do que 90°. a) 14° b) 24° c) 120° d) 135° c) 82° d) 84° a) b) c) d) 105° 120° 135° 150° Jorge Zaiba a) b) c) d) a) 60° b) 90° 156 prm6_141_156_unid09. a) de 90° em todas as esquinas. x x x Com relação às suas medidas. 39.AUTOAVALIAÇÃO E Danilo Souza 35. como os das fotografias a seguir. em outras situações. por exemplo. telhados. Polígonos Ilustra Cartoon Repare como na estrutura ilustrada ao lado foram utilizados triângulos. No entanto. Fotos: Edson Antunes Observe que o quadrado é deformável e o triângulo é rígido. a rigidez é uma característica importante. Você sabe por quê? O triângulo torna as estruturas mais firmes. Numa estrutura de telhado. Em seguida. POLÍGONOS E CIRCUNFERÊNCIAS prm6_157_176_unid10.10 UNIDADE Polígonos e circunferências 1. Podemos comprovar isso construindo um triângulo e um quadrado com palitos de sorvete e percevejos. Os polígonos apresentam características e propriedades importantes. a maleabilidade pode ser desejável. móveis etc. poderemos utilizá-los melhor no nosso dia a dia. rígidas. Estudando-os. Isso é bastante comum nas construções de prédios. tentamos deformar essas figuras.indd 157 157 5/13/15 3:29 PM . Veja os principais: No de lados Nome do polígono 3 triângulo 4 quadrilátero 5 pentágono Muitos artistas utilizam-se de polígonos em suas obras. Acrescente a essa lista outras palavras que tenham o prefixo poli. chamados lados do polígono. ◆ poliglota. Procure no dicionário o significado de: ◆ polissílaba.Nomeando polígonos A palavra polígono origina-se do idioma grego: poli: muitos gonos: ângulos Polígono é uma figura geométrica plana limitada por segmentos de reta. BC e CA. ◆◆ 3 vértices: A.indd 158 5/13/15 3:29 PM . Acima vemos um exemplo de mosaico que faz esse uso. ◆ polivalente. B B e BC. Utilize o quadro ao lado para nomear os polígonos abaixo. Podemos chamá-lo de triângulo ABC. De acordo com o número de lados ou ângulos que o polígono apresenta. Observe o polígono: O prefixo poli aparece em várias palavras da língua portuguesa. ele recebe um nome. A B pentágono 6 hexágono 7 heptágono 8 octógono 9 eneágono 10 decágono 12 dodecágono C octógono D decágono hexágono E heptágono 158 prm6_157_176_unid10. DAE A Angelo Gilardelli/Dreamstime. B e C. ◆◆ 3 ângulos internos: BA. com seus respectivos significados. Ele apresenta: ◆◆ 3 lados que são segmentos de reta: AB.com C B Esse polígono é um triângulo. Globe Turner/Shutterstock Jordânia C E DAE A (3) Tenho 8 lados. B C D ( 1) Tenho 12 lados. Por que será que os engenheiros utilizam tantas vezes o triângulo na construção de estruturas? 4. A e B c) pentágonos.Exercícios 1. C f) dodecágonos.indd 159 159 5/13/15 3:29 PM . Porque o triângulo é um polígono rígido. ARTEKI/Shutterstock Fotos: Anselmo Jr. Faça a correspondência do número com a letra. H d) decágonos. indique aque­ les que são: C Emirados Árabes E F G Ilustrações: DAE D H I Paquistão 6. Ilustrações: DAE Esebene/Dreamstime. D – 2. c) dois quadriláteros. B – 4.com A D Polígonos e circunferências prm6_157_176_unid10.E e G b) quadriláteros. 2. Nenhum. (2) Tenho 3 vértices. Quais destas bandeiras apresentam apenas figuras que são polígonos? Globe Turner/Shutterstock Jordânia e Emirados Árabes. Decomponha o polígono dado em: a) três triângulos. J B A a) hexágonos. Isso não acontece com uma figura que tenha mais de três lados. A – 1. (4) Sou um heptágono. b) um triângulo e um quadrilátero. D e) octógonos. O desenho das bandeiras é formado por várias figuras geométricas. C – 3. Veja estas três estruturas: 5. C B Qual delas é rígida? B Coreia do Sul A B Esancais/Shutterstock 3. Entre os polígonos representados. 2. A partir do quadro que você construiu. Triângulos Copie no caderno o quadro abaixo. responda no caderno: 1. Qual dos triângulos é escaleno? DEF Agora. Qual dos triângulos é isósceles? GHI 3.indd 160 5/13/15 3:29 PM . Medidas dos lados em centímetros Triângulo ABC AB  5 BC  5 AC  5 Triângulo DEF DE  5 EF  7 FD  3 Triângulo GHI GH  6 HI  5 IG  5 Usando a régua. Qual dos triângulos é equilátero? ABC 2. Existe triângulo com dois ângulos obtusos? Não. ◆◆ escaleno: 3 lados com medidas diferentes.2. classificamos os triângulos em: ◆◆ equilátero: 3 lados com medidas iguais. veja como os triângulos são classificados de acordo com seus ângulos: Pense e responda: 1. meça os lados de cada triângulo a seguir e anote as medidas no quadro. 160 prm6_157_176_unid10. Existe triângulo com dois ângulos retos? triângulo acutângulo 3 ângulos agudos triângulo obtusângulo 1 ângulo obtuso triângulo retângulo 1 ângulo reto Não. B H E Ilustrações: DAE I C A D F G De acordo com as medidas dos lados. ◆◆ isósceles: 2 lados com medidas iguais. Entre os paralelogramos existem alguns que recebem nomes especiais por causa de suas propriedades. pois apresentam um par de lados paralelos.indd 161 161 5/13/15 3:29 PM . Parinyabinsuk/Dreamstime.com Os paralelogramos são quadriláteros que apresentam 2 pares de lados paralelos. Atenção! Observe que paralelogramos são trapézios. Polígonos e circunferências prm6_157_176_unid10. D 4 vértices: A. B B. ◆◆ Ilustrações: DAE B 4 ângulos internos: : BA. CD e DA. B.3. C e D. BC. Mas não para por aí. Alguns quadriláteros têm características especiais e por isso recebem nomes especiais. C ◆◆ Edson Antunes Os trapézios são quadriláteros que apresentam 1 par de lados paralelos. Ele apresenta: ◆◆ 4 lados: AB. BC e BD. Quadriláteros A O polígono ao lado é um quadrilátero. Os paralelogramos Os paralelogramos que apresentam todos os ângulos retos são chamados de retângulos. é um retângulo e é um losango também! 162 prm6_157_176_unid10. Os paralelogramos que apresentam todos os lados com a mesma medida são chamados de losangos.indd 162 5/13/15 3:29 PM . temos os quadrados. Zubartez Ilustrações: DAE Então retângulos são paralelogramos que têm uma característica especial: 4 ângulos de 90. Zubartez Puxa! O quadrado é um paralelogramo. que são paralelogramos que apresentam todos os ângulos retos e todos os lados com mesma medida. Zubartez E os losangos também são paralelogramos especiais! Por fim. o menor país africano. POLÍGONOS E CIRCUNFERÊNCIAS prm6_157_176_unid10. 5 e 7. 8 e 9. 4. No painel estão representados diferentes qua­ driláteros. um quadrilátero. paralelogramos d) Quais têm todos os lados com medidas iguais? 4e7 e) Quais têm todos os ângulos retos? 2 e 4 f) Quais são retângulos? 2 e 4 g) Quais são losangos? 4 e 7 h) Quais são quadrados? 4 A 15 B C DAE m 15 m 10. BCE. Classifique esse triângulo quanto aos lados e quanto aos ângulos. Responda usando duas das palavras a seguir: equilátero isósceles escaleno acutângulo obtusângulo retângulo 9. BCEFD. O desenho da bandeira é formado por figuras geométricas. Três triângulos quaisquer entre os da figura. c) Identifique dois triângulos obtusângulos representados na bandeira. Classifique-os quanto aos lados e quanto aos ângulos. a) Há quantos triângulos? b) Há quantos c) Há quantos pentágonos? Há 3 pentágonos: ACEFD. Isósceles e retângulo. Veja a bandeira do Seychelles. Não. 4 quadriláteros: ACED. quadriláteros? Há ABED. Amarelo e branco. 6 e 10 b) Quais têm apenas um par de lados paralelos? Como se chamam? 1. BDE. a) A praça tem a forma de um triângulo. 2 5 3 4 Ilustrações: DAE DAE 7. trapézios c) Quais têm dois pares de lados paralelos? Como se chamam? 2. d) Identifique três triângulos escalenos representados na bandeira.indd 163 163 5/13/15 3:29 PM . BEFD. E F Há 4 triângulos: ABD. b) Identifique e escreva a cor dos dois triângulos retângulos representados na bandeira. ABEFD.eXerCÍCios 1 a) Essa bandeira é formada apenas por triânguO polígono vermelho é los? Justifique. Observe a figura: 15 m b) Os esquadros têm a forma de triângulos. pois todos são escalenos. 7 6 9 8 10 a) Quais não têm lados paralelos? 3. DEF. Equilátero e acutângulo. 8. CBDE. Verde e azul. D B Jorge Zaiba A Escaleno e retângulo. 4. Na figura abaixo. 4. O losango pode não ter. na seção Moldes e malhas. Na página 277. Todo losango é um quadrado? Não. 2. O número de vértices de um polígono é sempre igual ao número de lados? Sim. Expliquem por que cada um dos quatro polígonos acima não é regular. 164 prm6_157_176_unid10. b) 4 lados? Quadrado. Identifique e nomeie esses polígonos. Triângulo escaleno: os lados não têm a mesma medida (os ângulos também não). Qual deles é regular? Hexágonos e quadriláteros. Pentágono: os ângulos não têm todos a mesma medida (os lados também não). Valéria Vaz Zubartez Ilustrações: DAE Um polígono é regular quando tem todos os lados com medidas iguais e todos os ângulos com medidas iguais. Você pode fotocopiá-la e criar uma composição bem bonita de formas. os hexágonos são regulares. não. Qual é o nome do polígono regular de: Losango: os lados têm a mesma medida. usando polígonos regulares e não regulares. O vitral retratado ao lado é um exemplo do uso de quadriláteros para compor um mosaico. Retângulo: os lados não têm todos a mesma medida. Todo quadrado é um losango. 1. Polígonos regulares Estes polígonos não são regulares: Registrem nos cadernos. há um modelo de malha triangular que facilita desenhar figuras geométricas. combinamos dois polígonos para formar um mosaico.indd 164 5/13/15 3:29 PM . 5. 3. a) 3 lados? Triângulo equilátero. mas os ângulos. Estes polígonos são regulares: Use régua e transferidor para medir os lados e os ângulos de cada polígono e verificar que eles realmente são regulares. pois o quadrado tem 4 ângulos retos. indd 165 165 5/13/15 3:29 PM . Quadrado. 13. Quais destas placas de trânsito têm forma de polígono regular? C e D. Por quê? Os ângulos não têm a mesma medida. Observe o polígono da figura e responda: a) Qual é o nome que se dá a esse polígono? Octógono. losango. A C 14. b) Quantos graus mede cada um dos ângulos desse polígono? 135° c) É um polígono regular? Por quê? Não. Ilustrações: DAE B 720° 1 080° Qual é a medida de cada ângulo interno do he­ xágono regular? 120° 15. triângulo equilátero. a) b) c) d) Retângulo. POLÍGONOS E CIRCUNFERÊNCIAS prm6_157_176_unid10. quadrado. pois nem todos os lados têm a mesma medida. Alternativa b. Os polígonos representados a seguir têm os la­ dos com medidas iguais. 540° D 900° 12. Observe as figuras e anote a alternativa correta. Retângulo. paralelogramo.Dos polígonos abaixo apenas dois são regulares. mas não são regula­ res. Losango. (Saeb) Cristina desenhou quatro polígonos re­ gulares e anotou dentro deles o valor da soma de seus ângulos internos.eXerCÍCios 11. 1 cm  11 cm. A medida do contorno de uma figura geométrica plana é o seu perímetro. 2. Estime qual deve ser o perímetro da capa retangular do seu livro de Matemática. o senhor Lima precisa de 140 m de arame. Ele pretende cercar esse terreno com arame. Com um colega. 3.indd 166 5/13/15 3:29 PM . calcule o valor correto do perímetro e avalie se sua estimativa foi boa. 5 cm  7 cm. determinem esse perímetro e vejam se as estimativas foram satisfatórias.5. Este hexágono regular tem perímetro de 12 cm. faremos um desenho representando o terreno. Perímetro O senhor Lima possui um terreno em forma de trapézio. Para isso. marcando as medidas necessárias como ele marcou: Danillo Souza Zubartez 10  48  30  52  140 DAE A soma das medidas dos lados do terreno é 140 m. 9 cm  3 cm. Com auxílio de trena ou metro de carpinteiro para tirar as medidas. Para contornar o seu terreno. tem perímetro de 24 cm. 2 cm  10 cm. Tire as medidas com régua. faça estimativas para o perímetro da sala de aula. Um retângulo de 8 cm de comprimento por 4 cm de largura. Podemos construir vários retângulos diferentes cujo perímetro seja de 24 cm. Foi mais fácil estimar o perímetro da capa do livro ou o perímetro da sala de aula? Justifiquem a resposta no caderno. 166 prm6_157_176_unid10. por exemplo.: respostas pessoais. por exemplo. 1. Confira! 1. Apresente outras possibilidades para as medidas de comprimento e largura desses retângulos. 2 e 3. 14 cm 28 cm 18. c) Qual é a largura do retângulo? 3 cm Tenho perímetro de 18 cm e o meu comprimento é o dobro da largura. Use o lado do quadradinho como unidade de medida de comprimento e responda: Qual é o perímetro da figura que foi montada? B 10 cm 2 cm 5 cm 20. 32 cm 6 rolos. Responda. Descubra pelo menos duas dessas figuras e faça o dese­ nho delas. Quantos rolos se­ rão necessários? Juntando os quatro quadrados é possível for­ mar figuras com 20 cm de perímetro. Soma dos “degraus” verticais: 4 cm. 4 cm 9 cm POLÍGONOS E CIRCUNFERÊNCIAS prm6_157_176_unid10. Portanto: 21 cm. pois P  32  28  14  26  100 3  100  300 300  50  6 21. Qual é o perímetro do polígono da figura? Soma dos “degraus” horizontais: 9 cm. 10 cm b) Quanto mede o lado do hexágono regular? 8 cm Tenho perímetro de 48 cm.eXerCÍCios 19. a) Quanto mede o lado desconhecido? 11 cm 26 cm ? 9 cm Tenho perímetro de 30 cm. Cada rolo de arame tem 50 m. Qual é o menor trajeto que uma formiga deve fazer para ir de A até B usando o contorno da figura? P  10  5  6  21. 16 lados de Danillo Souza 17.indd 167 167 5/13/15 3:29 PM . Todos estes quadrados têm as mesmas di­ mensões: 12 cm A 4 cm Ilustrações: DAE 16. P  4  9  4  9  26 Perímetro: 26 cm. Queremos fazer uma cerca de 3 fios de arame em volta do terreno indicado pela figura abaixo. r P O círculo é uma figura plana. A distância de P até qualquer ponto da circunferência é o seu raio. que tem centro no ponto O. r Use a régua para determinar a medida do raio desta circunferência. 168 prm6_157_176_unid10. 2. PA e PB são raios da circunferência.indd 168 5/13/15 3:29 PM . Se tomarmos todos os pontos da folha que distam 2 cm de P.5 cm A P B A medida do diâmetro é o dobro da medida do raio. O segmento AB é um diâmetro da circunferência. Qual é a relação entre a medida do raio e a do diâmetro de uma circunferência? r  2. obtemos um círculo: O ponto P é o centro da circunferência abaixo. O centro e o raio do círculo coincidem com o centro e o raio de sua circunferência. Mas ao redor do quê? Vamos descobrir? Faça assim: P 1.6. obteremos uma linha fechada ao redor de P: uma circunferência. Marcelo Azalim P 3. marque um ponto sobre a folha que esteja a 2 cm de P. Unindo a circunferência e os pontos do seu interior. Vá girando a régua e marcando na folha outros pontos distantes 2 cm de P. O Ilustrações: DAE P 2 cm P é o centro dessa circunferência. A circunferência do exemplo tem raio de 2 cm. Usando régua. Marque um ponto P na folha de seu caderno. Circunferências A palavra circum em latim quer dizer “ao redor”. ◆◆ fixar uma distância (raio da circunferência). Resposta possível: fixar uma ponta de um barbante com 3 m de comprimento. Em cada uma nomeie o centro e anote a medida do raio. traçando a circunferência com giz. Imagine uma forma de ajudá-la a resolver essa situação. Às vezes precisamos traçar circunferências e não dispomos de um compasso.O compasso Para traçar uma circunferência precisamos: fixar um ponto no plano (centro da circunferência). No entanto. uma de suas hastes tem uma ponta metálica que espeta no papel. Fotos: Fernando Favoretto/Criar Imagem ◆◆ O compasso é o instrumento ideal para esta tarefa. esticar e girar o barbante ao redor do ponto fixo. Para uma brincadeira. Ilustra Cartoon Experimente traçar algumas circunferências com compasso em seu caderno.indd 169 169 5/13/15 3:29 PM . a professora precisa traçar no piso do pátio uma circunferência de 3 m de raio. quem sabe o que é preciso para traçar uma circunferência é capaz de improvisar. fixando o centro da circunferência e na outra haste tem um grafite. a ponta seca. POLÍGONOS E CIRCUNFERÊNCIAS prm6_157_176_unid10. que permite traçar a circunferência. pois: ◆◆ ◆◆ as hastes se abrem. o que permite fixar uma distância com auxílio da régua. ◆◆ traçar todos os pontos do plano que estão a essa distância do centro. Rui. Quais são? Ari e Luís. Veja a posição dos jogadores e responda: Luís Rui 24.oba. Observe as argolas. Mercúrio 4 879 Vênus 12 104 Terra 12 756 Marte 6 794 Júpiter 142 984 Saturno 120 536 Urano 51 118 Netuno 49 492 Fonte: <www. com as di­ mensões indicadas: DAE 7 mm de espessura a) Qual objeto nos dá ideia de circunferência? Argola.org. Qual de­ ve ser a menor medida da lateral dessa capa? 12 cm Marcelo Azalim Ilustrações: Ronaldo Barata 23. Veja um tubo cilíndrico de ferro. b) Dois meninos estão à mesma distância da bola. na primeira ilustração. 34 mm de diâmetro externo Qual é o diâmetro interno? 20 mm 170 prm6_157_176_unid10. e responda: diâmetro (em km) 26. b) o maior diâmetro? Júpiter. oco.eXerCÍCios Pedro Sotto 22. c) o diâmetro mais próximo do da Terra? Vênus. b) Qual objeto nos dá ideia de círculo? CD.htm>. na segunda. Lico planeta Ari a) Qual menino está mais próximo da bola? E qual está mais longe dela? Lico. Quero confeccionar uma capa quadrada para guardar um CD que tem 6 cm de raio. 25.indd 170 5/13/15 3:29 PM . e o CD.br/cursos/astronomia/ tabelacomosdiametrosequatorias. Observe o quadro e responda qual é o planeta que tem: a) o menor diâmetro? Mercúrio. indd 171 171 5/13/15 3:29 PM . C Pegue o triângulo equilátero. O paralelogramo F apresenta eixo de simetria? Não. Identifique-os a partir das letras marcadas nas figuras. Quais? O triângulo equilátero e o quadrado. Quantos eixos de simetria apresenta o círculo? Infinitos. Você recortou um hexágono e um pentágono que são regulares. paralelogramo losango hexágono regular pentágono regular círculo Já o triângulo escaleno não apresenta eixo de simetria. Junte-se a dois colegas. Ilustrações: DAE r A B Observe que a reta r separou o triângulo em duas partes idênticas que se superpõem perfeitamente. Dobre-o pela reta r como indica a figura abaixo. Copiem e completem o quadro ao lado nos cadernos. na seção Moldes e malhas. Dobre assim. Discutam com os demais colegas as questões propostas. Procurem eixos de simetria nos demais polígonos e no círculo. O triângulo isósceles apresenta somente um eixo de simetria. fazendo coincidir os vértices B e C. 4. Veja abaixo como fazer as dobras. 2. São iguais. 1. A) B) C) D) E) triângulo isósceles triângulo equilátero triângulo escaleno quadrado retângulo F) G) H) I) J) Comece pelo triângulo isósceles. Além deles. Confira! Número de eixos de simetria Letra Polígono A triângulo isósceles 1 B triângulo equilátero 3 C triângulo escaleno 0 D quadrado 4 E retângulo 2 F paralelogramo 0 G losango 2 H hexágono regular 6 I pentágono regular 5 J círculo Infinitos POLÍGONOS E CIRCUNFERÊNCIAS prm6_157_176_unid10. há mais dois polígonos entre os recortados que são regulares. 3.7. Simetria nos polígonos e no círculo Tire uma cópia e recorte com cuidado os modelos de polígonos que estão nas páginas 282 e 283. Ele apresenta três eixos de simetria. Observe a tabela e escreva a relação entre o número de lados de um polígono regular e o número de eixos de simetria que ele apresenta. A reta r é o eixo de simetria deste triângulo. Observe os mosaicos: 2 9. f A f b e a retângulo d c g hexágono regular triângulo isósceles Fotos: Globe Turner/Shutterstock 3 0. a. Quais os nomes desses polígonos? Grécia 0 Octógono e quadrado. b) Dois tipos de polígonos formam o mosaico B. ACD e ACE b) Indique um triângulo isósceles e acutângulo.indd 172 5/13/15 3:29 PM . ADE Ilustrações: DAE B A A: 0  B: 1  C: 2  D: 2 172 prm6_157_176_unid10. Observe as bandeiras de alguns países: B Finlândia 1 Brasil 0 Japão 2 Photoonlife/Shutterstock a) No mosaico A há apenas um tipo de polígono. ABD c) Indique um triângulo obtusângulo. Indique o número de eixos de simetria de cada uma das figuras. c. Observe as figuras seguintes e escreva quais das retas assinaladas são eixos de simetria. Observe a figura: A Colômbia 1 Jamaica 2 Responda: Quantos eixos de simetria há em cada bandeira? 31. mas lem­ bre-se: não risque o livro! C D B C D E a) Indique os triângulos retângulos.revisando 2 7. e. Escreva a resposta. 28. Qual é o nome dele? Dodecágono. ABC. 16 e 25 b) Escreva o número de triângulos pequenos que seriam usados em cada figura se essa sequência continuasse. b) c) c) um losango. construir: a) a) um retângulo. Desenhe um quadrado. (Obmep) Pedrinho deseja cercar seu terreno quadrado usando 5 estacas em cada lado.. 140 cm c) Compare os dois perímetros. 49. O que você verifica? Como você explica? Os perímetros são iguais. sobrando 2 cm de fita. não houve alteração no comprimento do contorno da figura. 62. Tal como foi feito o corte. 12. No contorno de um jardim retangular há uma calçada que tem sempre a mesma largura. 64. cada um com 10 cm de lado. 32. Observe as figuras: 1 interior n 4n n 5n n 6n Ilustrações: DAE 35.140 cm b) Calcule o perímetro do retângulo inicial. Tente. POLÍGONOS E CIRCUNFERÊNCIAS prm6_157_176_unid10. Recorte­o de modo a obter 4 triângulos retângulos. como mostra a figura. Quantos quadrados conseguirá contar na figu­ ra B? 5 quadrados a) Calcule o perímetro do octógono obtido. com dois ou mais desses triângulos. 72.. Qual é o comprimento do lado do quadrado? 17 cm 17 cm Jorg 38. 36.desaFios 32. d) 37. Quantas estacas ele vai precisar? 34. . Mário contou três quadrados na figura A. b) um paralelogramo. 52. Uma fita de 70 cm serviu para contornar uma toalha quadrada.indd 173 173 5/13/15 3:30 PM . 42. Figura A Figura B e Za iba 33. Qual é a largura dessa calçada? 1 m 39. d) um trapézio. O  perímetro exterior da calçada mede 8  me­ tros a mais que o perímetro interior da calçada. exterior 3n 4  5  4  16 Danillo Souza 16 estacas Discuta com seu colega sobre como descobrir cada número da sequência. Anote-os. 82. 36. . De um retângulo de 30  cm de largura e 40  cm de comprimento. n 4 9 a) Conte o número de triângulos pequenos das últimas figuras. 22.. foram retirados dois quadra­ dos.. Escreva uma expressão do perímetro de cada um dos polígonos regulares. ele explora outros elementos em suas composições: plantas. 1959. 174 prm6_157_176_unid10. lápis. Além de figuras geométricas. Veja exemplos que apresentamos ao lado. Índia. Limite Circular III. Converse com os colegas: Há simetria nessas obras? Que tal desenhar figuras simétricas? Você vai precisar de papel quadriculado. São obras do artista gráfico holândes Maurits Cornelis Escher. régua e alguns lápis de cor. Muitas gravuras de Escher lembram mosaicos. C. DAE M. Agra.. Fotos: 2014 The M. na arquitetura. A simetria nos dá a sensação de equilíbrio. na arte. harmonia. Taj Mahal. ordem.C. 1958 Xilogravura com diâmetro de 42 cm. cujo trabalho impressionou o mundo. Escher. C. prova de 5 matrizes. Depois. Escher Company-Holland Observe as fotografias abaixo. peixes. com diâmetro de 41. Escher. você pode criar uma composição inspirada nas obras acima. estabilidade.indd 174 5/13/15 3:30 PM . Xilogravura.. Comece com figuras mais simples.5 cm.Vale a pena ler Simetria: beleza e equilíbrio Margaridas. Limite Circular I. As linhas em preto são eixos de simetria. Somchai Som/Shutterstock irin-k/Shutterstock Encontramos simetria na natureza. figuras humanas. M. quadrados e hexágonos. Nenhuma das anteriores. triângulos e quadrados. O ponto B. Um polígono de 4 lados chama­se: Alternativa d. b) pentágono. a) b) c) d) 1 6 41. triângulos e hexágonos. a Ca A a) b) c) d) Ilustr B trapézio. 2 7 42. seria necessário: Alternativa d. O A Ilustrações: DAE O ponto A. a) quadrado. C B 43. Lúcia desenhou um polígono ABC. Anote no caderno o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta.indd 175 5/13/15 3:30 PM . 175 prm6_157_176_unid10. a) b) c) d) E3 D3 F3 E6 3 4 5 8 quadrado. losango. d) hexágono. a) b) c) d) Ilustra Cartoon 44. Alternativa c.aUToavaliaÇÃo 40. a) b) c) d) n 46. (Saresp) Na figura abaixo tem­se representado um canteiro de flores que foi construído com a forma de quadrilátero de lados iguais e dois a dois paralelos. nenhuma das anteriores. triângulos e pentágonos. B e C representam os vértices do po­ lígono. Ele fez um esquema desse painel mostrado na figura e uti­ lizou as formas de: Alternativa d. paralelogramo. Nesta figura. A B C D E F G H I 45. O polígono desenhado por Lúcia é um: Alternativa c. c) descer dois quadradinhos e virar à direita até o ponto A. c) triângulo. em que as letras A. quadrado. qual dos pontos está mais próximo do ponto O? Alternativa d. retângulo. partindo do ponto em que o lápis está desenhado e chegan­ do ao ponto A. (Encceja­MEC) Observe o desenho abaixo: a) virar à direita até o ponto A. b) virar a esquerda até o ponto A. (Cefet­SP) Uma das condições para tornar o rosto do palhaço simétrico é desenhar a outra sobrancelha no quadradinho: Alternativa b. O ponto C. (Saresp) Um artista plástico está construindo um painel com ladrilhos decorados. retângulo. d) descer um quadradinho e virar à direita até o ponto A. Sua forma é de um: rtoo Para você completar o desenho do triângulo retângulo na malha quadriculada. 5 cm 7 cm c) 7 cm d) 5 cm 52. S. dois hexágonos e cinco retângulos.indd 176 5/13/15 3:30 PM . Um retângulo de arame tem largura de 5 cm e comprimento de 7 cm. com fundo e tampa. R. a) b) c) d) dois pentágonos e seis quadrados. 6 cm. a partir de pedaços de papelão que são. (Saresp) Alguém construiu uma caixa. R. (Saresp) Uma folha de papel de seda tem 40 cm de perímetro. o lado desse triângulo mede: Alternativa c.47. U V T Na construção dessa caixa foram utilizados: S Alternativa b. cada um deles. 4 cm 9 cm. Ela tem a forma de um retângulo e um dos seus lados tem 4 cm de comprimento. 9 cm 16 cm. R. 4 cm. conforme mos­ tra a figura. a) 3 cm b) 4 cm c) 5 cm d) 6 cm 50. U. T R Ilustrações: DAE Ilustra Cartoon a) 4 cm b) 6 cm d) T. 4 cm. Para formar um retângulo utilizando necessa­ riamente a peça branca. 4 cm. (SEE­RJ) As peças abaixo podem ser encaixa­ das de várias maneiras para formar quadrados ou retângulos inteiros. a) b) c) d) 2 peças pretas. polígonos com lados de mesma medida. T 176 prm6_157_176_unid10. T c) R. qual será a medida do seu lado? Alternativa b. (Obmep) Cinco discos de papelão foram colo­ cados um a um sobre uma mesa. 48. 2 peças azuis. dois hexágonos e seis quadrados. 12 cm 51. 49. dois pentágonos e cinco quadrados. 1 peça azul  1 peça preta. 1 peça cinza  2 peças pretas. Se a soma dos lados de um triângulo equilátero é menor do que 17 cm e maior do que 13 cm e a medida de seus lados é um número natural. U. T b) U. Em que ordem os discos foram co­ locados na mesa? Alternativa a. S e) V. U. U. você precisa de: Alternativa c. S. V. Veja como ficou essa caixa aberta e cheia de bolinhas de algodão: a) b) c) d) 6 cm. S. 16 cm 12 cm. V. S. V. Se desmancharmos o retângulo e fizermos um quadrado. Então os outros lados medem: Alternativa c. a) V. R. Para representar a parte da pizza reservada para Daniel. 9 Ilustra Cartoon DAE 9 1 9 FRAÇÕES prm6_177_183_unid11. A mãe dele preparou uma pizza. ou seja. 6 A parte pintada corresponde a do triângulo. Dividiu-a em 4 partes iguais e guardou uma delas para Daniel. e 6 delas foram pintadas.  1. 1 usamos uma fração: . Inteiro e parte do inteiro Daniel vai se atrasar para o jantar. O número que aparece embaixo (chamado denominador da fração) indica em quantas partes iguais o inteiro foi dividido.11 J. Veja mais um exemplo: O triângulo foi dividido em 9 partes iguais. C. 4 Nas frações temos: 1 4 4 da pizza correspondem à pizza inteira.indd 177 177 5/13/15 3:30 PM . 4 4 4 A fração indica uma quantidade inteira. Ruzza UNIDADE Frações 1. 4 4 Observe que O número que aparece em cima (numerador da fração) indica quantas dessas partes foram tomadas. C. Fração Leitura ◆ As frações de denominador 3 são os terços.) são chamadas frações decimais. 131 e um décimos Veja: 10 000 de milésimos 7 ◆ Lê-se: sete doze avos. Veja como nomeá-las: ◆ denominador 10 décimos ◆ denominador 100 centésimos Fração Leitura ◆ denominador 1 000 milésimos 3 três décimos ◆ denominador 10 000 décimos de milésimos 10 e assim por diante. 10 000 etc. Na fração 1 b) do minuto? 1 segundo 60 1 do dia? 1 hora c) 24 3. mais exemplos de aplicações de frações. por exemplo. 1 000. 64 J. Que nome damos a: 1 a) da hora? 1 minuto 60 1 8 1. unidade de medida usada principalmente na Inglaterra e nos Estados Unidos. Encontramos frações em várias situações do dia a dia. 178 prm6_177_183_unid11. Resposta pessoal. 100. ◆ As frações de denominador 2 são os meios. Ruzza ◆ Juntamente a um colega registre no caderno 3 . Descubra. as brocas na fotografia ao lado. É o denominador que dá nome à fração. 2. trinta e sete 37 100 centésimos Para ler frações com denominador maior que 10 e que não sejam cento e trinta decimais. 1 um meio 2 Prosseguindo: 2 ◆ denominador 4 quartos dois terços ◆ denominador 5 quintos ◆ denominador 6 sextos ◆ denominador 7 sétimos ◆ denominador 8 oitavos 3 2 5 5 9 7 8 dois quintos cinco nonos sete oitavos denominador 9 nonos As frações cujo denominador é uma potência de base dez (10. usamos a palavra avos. com os colegas.Lendo frações Denominador quer dizer “aquele que dá nome”. 12 5 ◆ Lê-se: cinco sessenta e quatro avos. Veja. o que indica o denominador 8? 8 Que o inteiro foi dividido em 8 partes iguais.indd 178 5/13/15 3:30 PM . 7 64 5 64 3 32 A medida do diâmetro dessas brocas é dada em fração de polegada. faça marcas que correspondam a: a) metade da sua altura. c) três quartos da sua altura. Qual é a fração que representa a quantidade de matemáticos desse grupo? 2 Ana ca Ze Lia Rui d) i Ru 8 16 na a) sete meses do ano. O numerador é 7. Como se lê essa fração? Sete dezesseis avos. Ele representará a sua altura. Quatro nonos. Um grupo de 15 pessoas é formado por 8 engenheiros. Comeu de uma pizza. 5 7 9 c) nove horas de um dia. os pontos que Ana. c A a Ilustrações: DAE a) Escreva a fração que representa a parte colorida do azulejo. 5 10 2. 7. (Saresp) Num campeonato de boliche. Alternativa a. 24 d) onze minutos de uma hora. Reproduza este segmento de reta. E F Usando a régua. Rui e Zeca marcaram aparecem na tabela a seguir. Escreva a fração que representa a parte ­colorida das figuras. 5. três quintos. Quatro dessas partes estão coloridas. 9 e) Escreva como se lê a fração que representa a parte não colorida do azulejo. E Cinco nonos.indd 179 179 5/13/15 3:30 PM . b) 6 1 ou 24 4 19 36 Jogador Pontos Ana 8 Lia 32 Rui 8 Zeca 16 Escreva qual gráfico mostra a correta distribuição desses pontos. Lia. 8 Rui c) Ana Zeca Lia Rui Lia Zeca 32 11 60 b) 4.Exercícios 1. c) Indique o numerador dessa fração. 8. Evandro está jantando. 7 12 b) cinco dias da semana. 4 9 b) Escreva como se deve ler essa fração. b Zeca Lia 15 Frações prm6_177_183_unid11. A soma dos termos de uma fração é 23. 8 3 1 de uma torta de maçã e tomou de um suco. d) cinco sextos da sua altura. Escreva essas frações por extenso. b) um quarto da sua altura. Três oitavos. a) A 3. 4 d) Indique o denominador dessa fração. 5 médicos e os demais são matemáticos. A figura representa um azulejo dividido em 9 partes iguais. Indique as frações que representam: F na a) d 3 6. um décimo. 3 O marcador. das figurinhas de Mário 3 corresponde a 8 figurinhas. Ele ficou com mais ou com menos do que a metade do 3 número de figurinhas? Menos. 1. 600 km a) 4 4 3. passou a marcar de 4 tanque. Frações de uma quantidade Ilustrações: Ilustra Cartoon Veja outras situações em que podemos aplicar a ideia de fração. 4 ou seja. que antes assinalava tanque vazio. Bruno colocou 39 litros de gasolina no tanque de seu automóvel. 800 km de tanque.2. 200 km de tanque. 1 ◆ Logo. Qual é a capacidade total desse tanque? ◆ ◆ ◆ 3 4 1 4 4 4 39 39  3  13 4  13  52 3 do tanque correspondem a 39 litros de gasolina 4 1 do tanque corresponde a 39  3  13 litros 4 4 A capacidade total do tanque corresponde a . dividimos 3 24 em 3 partes iguais e tomamos 1 parte. a 4  13  52 Resposta: 52 litros. 2 ◆ Então. Em classe. Mário tem 24 figurinhas. das figurinhas de Mário 3 correspondem a 16 figurinhas. Mário deu 2. Quantas figurinhas correspondem a 3 das figurinhas de Mário? 1 ◆ Para achar das figurinhas.indd 180 5/13/15 3:30 PM . montem juntos um quadro como o representado ao lado e façam os cálculos necessários para completá-lo. Calcule quantos quilômetros ele pode percorrer com: 1 3 b) c) o tanque cheio. Luísa. Certo automóvel percorre 10 km com 1 litro de gasolina e seu tanque tem capacidade para 80 litros de combustível. dois 2 terços dessas figurinhas. Ele pretende dar a sua irmã. Lucas Lacaz Ruiz/Estadão Conteúdo 1. Junte-se a um colega e registre no caderno. DAE 2. Combine com os colegas: cada um pesquisa a capacidade do tanque de combustível de um modelo de automóvel. Modelo Tanque cheio 1 tanque 2 1 de tanque 4 Resposta de acordo com a pesquisa. 2 de suas figurinhas a Luisa. 180 prm6_177_183_unid11. Quatro amigos dividiram entre si 3 pizzas em partes iguais. transportando 48 passageiros. nasceu em 1994. Numa turma de um curso de inglês com 24 alu1 3 nos. 12. Rodrigo vai receber a quinta parte dos brinquedos de cada uma das coleções abaixo ilustradas. 28 alunos 16. ficando 3 apenas deles. 4 bicicletas. Qual é o número de alunos aprovados sem necessidade de recuperação? 15. Lia comeu um quarto e Maria. Maria: 4 jujubas. Carlos tem 11 anos. a maioria dos passageiros desceu. Qual fração corresponde aos alunos mais novos? 11 24 Calcule mentalmente o que Rodrigo deverá ganhar. Em uma classe de 36 alunos. Porém. b) Será que restou um terço das jujubas no pacote? Não. Na segunda parada. 5 6 13. Recebo 30 reais de mesada mensal e gasto ape3 nas dessa quantia. 2 dos ovos de 3 uma caixa como esta. ali embarcaram mais 7 13  pessoas. a) Quantas jujubas comeu cada um deles? Ari: 8 jujubas. Um ônibus saiu de Porto Velho. Numa omelete. Cássia gastou 8 ovos GMEVIPHOTO/ Shutterstock Quantas fatias de pizza caberão a cada um? 2 ficaram para 9 recuperação.indd 181 181 5/13/15 3:30 PM . 3 17. o que corresponde exata1 mente a da idade do pai dele. Um pacote continha 24 jujubas. Margarete comprou um saco de batatas pesando 12 quilogramas.00 3 fatias 10. capital do estado de Rondônia. Na primeira parada. Quanto deposito por mês? R$ 12. pois 1 de 24 é 8.EXERCÍCIOS Ilustrações: Ilustra Cartoon 9. outras 4 pessoas embarcaram. em 1995 e os restan6 8 tes em 1996. um sexto. a metade desses passageiros desembarcou. a) Quantos quilogramas de batatas recebeu a irmã de Margarete? 2 quilogramas b) Escreva uma fração que representa a parte do saco de batatas com que Margarete ficou. e no pacote sobraram apenas 6 jujubas. Lia: 6 jujubas. Que idade tem 3 o pai do Carlos? 33 anos 18. 1 carrinho e 3 aviões 11. Ari comeu um terço. Deposito o restante na 5 poupança para comprar um aparelho de som. Deu um sexto à sua irmã. Nesse mesmo local. Quantos ovos ela gastou? 14. Quantos passageiros seguiram viagem? 25 passageiros FRAÇÕES prm6_177_183_unid11. podemos registrar 4 7 3 7 a parte pintada como . Então. 1  . lembrando que 1  . Usando um número misto. uma vez que. um número misto pode ser escrito como uma fração imprópria.3. 1 palito de fósforo 2 parte fracionária Lemos: quatro inteiros e um meio. Para registrar essa medida. Mariana usou um número misto: O comprimento é de quatro palitos e meio. Frações como 3 7 ou 4 4 No caso a seguir. são chamadas de impróprias. 4 4 No entanto. 1 diferentemente da ideia original de fração. em que o numerador é maior ou igual 4 ao denominador. O comprimento do caderno é de quatro palitos mais meio palito. Números mistos e frações impróprias parte inteira s ne ntu nA so Ronaldo Barata 4 Ed Mariana mediu o comprimento de seu caderno usando palitos de fósforo como unidade de medida.indd 182 5/13/15 3:30 PM . Portanto. Ilustrações: DAE Ao lado vemos dois retângulos idênticos. a parte pintada corresponde 3 a 1 (lemos: um inteiro e três quartos). 4 4 4 7 . a fração imprópria pode ser escrita como uma quantidade inteira. 12 4 3 Como você representaria: inteiro usando uma fração de numerador 10? 10 10 ◆ 2 inteiros usando uma fração de denominador 5? 10 ◆1 5 182 prm6_177_183_unid11. elas não representam uma parte do inteiro. Escreva a quantidade representada pela parte colorida na forma de fração imprópria e de número misto. Escreva a quantidade de laranjas nas formas fracionária e mista. Assim: 13 5 13 3 resto → 3 2 ← inteiros 2 13 3 5 5 2 Escrevemos 6 6  a) Quantos 5 couberam em 13 ? 2 5 5 b) Quanto sobrou? 3 21. Escreva o número misto que representa a parte colorida das figuras. 5 . 27 e 28 de modo que todas representem números naturais. meio de uma divisão. 7 2 2 Léo Burgos a) 2 26.EXERCÍCIOS 23. 2 1 4 b) 3 15 entre dois números naturais con2 secutivos. 6 . verificamos quantos inteiros “cabem” Geralmente é feito por na fração imprópria. 3 1 19. Considere as frações: 2 5 1 8 5 2 2 9 4 9 6 6 2 2 13  5 c) 11 28 27 3 5  5 5 5 c) Você pode descobrir um processo mais rápido e mais prático do que fizemos? Então. 2 c) Indique as que representam números maiores que 1. Como transformar uma fração imprópria em um número misto? Veja um exemplo: 20. 11. a)  5 5 7 6 a) Indique as que representam números menores que 1. 1 . Complete as frações com os números 3. converse isso com seus colegas e com o professor. 9 ou 2 1 4 Ilustrações: DAE 4 Faça do mesmo modo.indd 183 183 5/13/15 3:31 PM . 4 5 8 9 9 6 2 b) Indique as que representam o número 1. 7 1 a)  3 2 2 5 2 b)  1 3 3 8 2 2 c)  3 3 4  3 8  e) 7 19  f) 3 d) 1 1 3 1 1 7 6 1 3 FRAÇÕES prm6_177_183_unid11. 2 . 55 3 5 5  Dizemos que extraímos os inteiros da fração. 7 . Observe: b) 3 1 1 2 2 d) 2 3 22. 2 . Situe 1 2 25. 7 e 8 24. ou seja. Outro exemplo: Ilustrações: Jorge Zaiba O povo egípcio escrevia 1 . registravam frações de numerador igual a 1 da seguinte forma: 1 era indicado assim: 4 (Sobre a representação do número 4. na Europa. Síria e Grécia por conta dos negócios do pai. 184 prm6_184_190_unid11. tenha usado essa forma com frequência em seu livro Líber Abaci. 32 Coleção particular para representar Responda em seu caderno: 2. Egito. já utilizavam frações para representar partes do inteiro.indd 184 5/18/15 1:50 PM . Por volta do século XX a. O Líber Abaci também teve grande importância na divulgação.C. O traço horizontal que usamos hoje para registrar frações tornou-se comum somente no século XVI. Que número representa ? 10 ? 3. Fibonacci e as frações A civilização egípcia contribuiu muito para o desenvolvimento da Matemática.C.SEÇÃO LIVRE Egípcios. Teve um professor muçulmano que lhe transmitiu os conhecimentos matemáticos dos árabes e dos hindus. 1974. Boyer.) 1 . embora o grande matemático Leonardo de Pisa. Como era representada a fração 1 15 1 ? 100 Anônimo. eles desenhavam um símbolo em forma oval. Casal de camponeses colhendo linho. Leonardo viajou para o Egito. A preferência dos egípcios pelo uso de frações de numerador 1 era evidente e influenciou outros povos por muitos séculos. Detalhe de pintura mural da tumba de Sennedjem no cemitério de Deir el-Medina. Aproveitando os símbolos do sistema de numeração criado por eles. século XII a. correspondia a 30 Há indícios de que esse símbolo oval representava um pão que seria o todo a ser dividido. mais conhecido como Fibonacci (filho de Bonacci). Tebas. São Paulo: Edgard Blücher. combinados com uma forma oval. completado em 1202. do sistema de numeração criado pelos hindus. Qual é o valor do símbolo Fonte de pesquisa: Carl B. Stefano Bianchetti/Corbis/Latinstock 1. História da Matemática. mas o número de 1 2 partes consideradas também foi. Registre no caderno. Ficará 3 vezes menor do que era. ×2 1 2 5 ×2 2 4 O número de partes em que o inteiro foi dividido foi multiplicado por 2. Então. 10 etc.indd 185 185 5/13/15 4:31 PM . obtemos uma fração equivalente a ela. . então elas são frações equivalentes. Se multiplicarmos o numerador de uma fração por 2 e o denominador por 6. 5 . . 1 2 3 4 5 1. Felipe dividiu sua barra em quatro partes iguais e comeu duas delas. Quando multiplicamos o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número natural diferente de zero. pois e 2 4 representam a mesma parte do todo. ×3 1 4 5 3 12 ×3 ×4 2 5 5 ×4 8 20 1 4 3 12 2 5 8 20 FRAÇÕES prm6_184_190_unid11. 2 4 6 8 2. na cantina da escola.4. . 2 4 Se duas ou mais frações representam a mesma quantidade. uma barra de chocolate para cada um. As barras são iguais: Felipe Priscila dividiu sua barra de chocolate em duas partes iguais e comeu uma delas. Qual das crianças comeu mais chocolate? 1 2 Acertou quem respondeu que ambos comeram a mesma quantidade de chocolate. Frações equivalentes Priscila Ilustrações: DAE Ronaldo Barata Priscila e Felipe compraram. obteremos uma fração equivalente a ela? O que ocorrerá com esta fração? Não. Dê outros exemplos de frações equivalentes a . Simplificação de frações Dada uma fração qualquer. Veja um exemplo. 4 A fração A simplificação pode ser feita em uma ou mais etapas. Para isso. podemos obter infinitas frações equivalentes a ela. na fração é possível dividir o numerador e o denominador por 5: 20 Ilustrações: DAE Nesse exemplo. 3 Dizemos então que é uma fração irredutível. 3 Frações equivalentes a : 5 ×5 6 9 12 15 18 … 3   5    5  5  5    5 10 15 20 25 30 5 ×2 ×3 ou seja. qual é irredutível? 15 39 3 186 prm6_184_190_unid11. 15 3 . observamos que 3 ? 5 Estúdio Ornitorrinco ×2 ×4 ×3 Pense nisso: já que essas frações representam a mesma quantidade. Exemplo: 2 6 12 18 5 6 2 3 ou 12 18 5 2 3 6 9 5 2 3 14 e Entre as frações 15 14 13 . 5 30 Nem sempre uma fração aparece na sua forma mais simples. é necessário dividir o numerador e o denominador da fração por um mesmo número natural diferente de zero.indd 186 5/13/15 4:31 PM . 15 Por exemplo. obtivemos a fração . com ×4 ×5 3 18 e são frações equivalentes. pois o único 4 número natural que é divisor de 3 e de 4 é o número 1. Mas muitas vezes é possível encontrar uma fração equivalente a ela que tenha numerador e denominador menores. não é preferível trabalhar com a mais simples. que 20 4 3 não pode mais ser simplificada. 5 15 20 5 3 4 5 Simplificando a fração é equivalente a ela. a) 4 8 12 . Escreva três frações equivalentes que são sugeridas pela parte colorida da figura. 2 . Escreva a fração correspondente à parte colorida de cada figura. 30. Copie e complete de forma a obter frações equivalentes. João dividiu uma pizza em 12 fatias iguais e comeu 3. . Simplifique 2 10   5  15 3 3 10 a) 3 6 1 2 d) 12 20 3 5 g) 90 12 b) 6 3 2 e) 30 70 3 7 h) 88 110 c) 18 32 f ) 18 24 3 4 i) 81 108 5 c) 5   5  17 f) 33 15 51 33 30   5  140  10 3 14  10 as frações. Qual teria sido o modo mais rápido de dividi-la para comer a mesma quantidade? c) 2 1 1 4   4   2 b) 3 3 d) 8 2 4 2   2   4 3 5 6 1 10   3   2 3 3 4 8 9 6   12   6 3 3 Dividir a pizza em 4 fatias iguais e comer uma delas. Em cada um dos grupos há duas frações equivalentes. . .Exercícios 3 4 Ilustrações: DAE 2 7. 16 20 . a) 35 7 b) 8 27 c) 72 63 d) 86 140 Frações prm6_184_190_unid11. 6 8 O que você pode concluir a respeito destas frações? São equivalentes. 28 35 b) 5 10 15 .indd 187 187 5/13/15 4:31 PM . 20 25 . a) 2   5  7 6 21 12   5  8 ×3 b) 4 d) ×3 3 2 33. Quais são elas? a) 3 2 9. 8 10 4 e) × 10 1   5  2 10 20 5 34. Escreva os dois termos seguintes de cada sequência. . 28. Qual é? Alternativa b. 9 16 j) 196 210 14 15 4 5 k) 360 270 4 3 3 4 l) 231 924 1 4 15 2 3 5. Uma das frações seguintes é irredutível. 27 a) 3 5 36 4 55 c) 11 5 33 5 30 6 18 16 7 42 5 b) 15 40 2 5 5 d) 24 3 90 60 32. Copie e complete de modo a obter frações equivalentes. 1 . 2 4 6 . 4 2 4 8 3 1. 7 14 21 . a maior fração é a que apresenta o maior numerador. 5 dessas partes representam mais que 2 dessas partes. a maior é a que tem menor denominador.o nald Ro rata Ba 5.. tomaremos uma das partes em que foi dividido o inteiro.indd 188 5/13/15 4:31 PM . 1 1 Então. Só que. 188 prm6_184_190_unid11. Então. o inteiro foi dividido em 7 partes iguais. quando dividimos em 4 partes iguais. Comparação de frações Frações de numeradores iguais Que parte de uma barra de chocolate é maior: 1 1 ou ? 4 5 Em ambas as frações o numerador é 1. 5 4 Quando duas frações têm mesmo numerador. 1 1 .. ou seja. cada parte será maior do que quando dividimos o mesmo inteiro em 5 partes iguais. Que parte de uma barra de chocolate é maior: 2 5 . Diga qual é a maior fração: a) 1 1 ? ou 10 8 1 8 c) 3 3 ou ? 4 5 3 4 b) 1 1 ou ? 12 6 1 6 d) 5 5 ou ? 7 9 5 7 Frações de denominadores iguais 2 5 ou ? 7 7 Esse caso é ainda mais fácil. é maior que . 4 5 Simbolicamente: Ilustrações: DAE Vejamos. 7 7 Quando comparamos frações de denominadores iguais. Em ambas as frações. Numeradores diferentes e denominadores diferentes E se quisermos comparar, por exemplo, 5 8 e ? 6 9 Os numeradores são diferentes, e os denominadores também. No entanto, podemos encontrar frações equivalentes a cada uma delas de modo que essas frações tenham denominadores iguais. O denominador que estamos procurando precisa ser múltiplo de 6 e também de 9. Vamos escolher o menor número que é múltiplo de 6 e de 9: o mmc (6, 9), que é 18. ×3 5 6 5 15 18 Podemos usar no denominador qualquer múltiplo comum de 6 e 9, como 36 ou 54. Mas é melhor trabalhar com números menores, por isso, escolhemos o mmc deles. Agora ficou fácil! ×3 16 15 , ou seja, . 18 18 ×2 8 9 5 16 18 5 8 . 6 9 ×2 Exercícios 3 6. Qual é maior? 1 1 1 a) ou ? 5 5 9 1 1 b) ou ? 100 10 1 10 5 5 ? c) ou 12 7 2 2 d) ou ? 7 5 Explique como você pensou. 1 5 2 6 12 8 2 5 3 12 9 3 5 4 10 5 5 6 12 12 1 é maior? Paulo José 2 5 3 8. Escreva cada uma das frações com denominador 12. a) Qual delas é menor? 2 b) Qual delas é maior? 5 Com numeradores iguais, a fração que tiver menor denominador representa o maior número. 37. Qual 5 7 6 39. Cláudia, Sílvia e Marta foram ao açougue com1 3 prar carne. Cláudia comprou  kg; Sílvia,  kg; 4 4 1 e Marta,  kg. Quem comprou a maior quanti2 dade? E a menor? Sílvia; Cláudia. a) 1 ou 2 ? 3 3 b) 9 ou 3 ? 11 11 Explique seu raciocínio. Com denominadores iguais, a fração que tiver maior numerador representa o maior número. 4 0. Coloque as placas em ordem crescente dos números e descubra a palavra secreta. DIAGONAL 2 3 9 b) 11 a) A A D I G L N O 3 2 3 5 1 5 1 2 2 2 9 5 7 5 6 5 Frações prm6_184_190_unid11.indd 189 189 5/13/15 4:31 PM VALE A PENA LEr As frações e as medidas Ronaldo Barata Já sabemos que os números naturais surgiram da necessidade de contar. Durante muito tempo, os números naturais foram suficientes para resolver os problemas cotidianos do homem primitivo. © DAE/Sônia Vaz A distância entre dois nós era tomada como unidade de medida. Rio No entanto, com o surgimento da agricultura, possuir terras mais férteis passou a ser importante. No Antigo Egito, por exemplo, as terras próximas ao Rio Nilo eram muito disputadas. Por isso, os faraós tinham funcionários que mediam e demarcavam os terrenos. Eles usavam cordas com nós separados sempre pela mesma distância. Para medir um comprimento, a corda era esticada e se verificava quantas vezes a unidade de medida cabia neste comprimento. Muitas vezes, a unidade de medida não cabia um número inteiro de vezes no comprimenEgito to a ser medido, ou seja, os números naturais 30°L não eram suficientes para registrar as medidas. Era preciso criar uma maneira de registrar uma Mar Mediterrâneo parte da unidade. Daí a ligação entre o uso das frações e os problemas de medidas. Todos os anos, as cheias do Rio Nilo carrega30°N Mênfis Península vam as marcações que limitavam os terrenos e do Sinai as medidas tinham de ser refeitas. Por causa do uso das cordas, os funcionários encarregados da demarcação das terras eram chamados de estiradores de cordas. Tebas O Trópico de Câncer o N elh erm rV Ma lo Ni EGITO L S Terras cultiváveis 0 171 342 km O Rio Nilo fica na África e é o segundo maior rio do mundo em extensão, com 6 741 km. Entre junho e setembro, o nível das águas do Nilo sobe, inundando uma vasta região. Quando volta ao seu leito, deixa essas terras muito férteis. Fonte: Atlas geográfico escolar. Rio de Janeiro: IBGE, 6. ed., 2012. 190 prm6_184_190_unid11.indd 190 5/13/15 4:31 PM 6. Operações com frações Ilustrações: DAE Adição e subtração de frações de denominadores iguais Dividi uma cartolina em oito partes iguais. Ontem pintei três partes de verde e hoje, duas de laranja. ◆◆ Que fração da cartolina toda eu já pintei? ◆◆ Que fração da cartolina toda falta pintar? Observe: 8 8 cartolina toda 3 8 fração pintada ontem 2 8 fração pintada hoje 3 2 5 1 5 . 8 8 8 Fração da cartolina já pintada: Resta pintar 8 5 3 2 5 da cartolina. 8 8 8 Exercícios 4 1. Observe as figuras e efetue as operações com as frações: b) 2 3 1 6 6 3 1 2 5 5 5 6 42. Quanto é? 2 3 a) 1 7 7 5 7 b) a figura, calcule e apresente cada um dos resultados na forma de uma fração simplificada: DAE a) 45. Utilizando 2 5 1 9 3 1 1 4 4 4 1 8 1 32 13 4 1 16 43. Calcule e simplifique os resultados, quando for possível. 4 1 3 5 2 3 1 5 b) 2 a) 2 2 5 5 5 6 6 6 44. O Sr. Quintino está pintando o muro da sua casa. No primeiro dia pintou quatro décimos do muro, no dia seguinte cinco décimos. a) Que parte do muro pintou nesses dois dias? b) Que parte do muro ainda falta pintar? 1 10 1 4 9 10 1 1 1 4 4 1 1 b) 1 8 8 1 1 c) 1 16 16 1 1 d) 1 32 32 a) 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 4 4 1 1 1 1 1 f ) 1 1 1 8 8 8 8 2 1 1 1 1 g) 1 1 1 16 16 16 16 1 1 1 1 h) 1 1 1 32 32 32 32 e) 1 4 1 8 1 16 1 4 1 8 Frações prm6_191_198_unid11.indd 191 191 5/13/15 4:32 PM Adição e subtração de frações de denominadores diferentes Dona Júlia vai fazer um bolo. A receita indica a utilização de um terço de tablete de margarina para a massa e meio tablete de margarina para a cobertura. ◆◆ Qual é a quantidade total de margarina necessária? Será que um tablete de margarina dá para a receita e ainda sobra um pouco para untar a forma? 1 1 1 5? 3 2 2 3 5 1 1 5 1 5 , então 1 5 6 6 6 3 2 6 Edson Antunes 1 2 5 3 6 1 3 5 2 6 Ilustrações: Estúdio Ornitorrinco As frações que devem ser somadas têm denominadores diferentes, portanto representam pedaços de tamanhos diferentes, o que dificulta identificar a fração total resultante. Mas podemos encontrar frações equivalentes a cada uma delas que tenham denominadores iguais. Todos os pedaços ficarão do mesmo tamanho e poderemos contar quantos são. 5 6 de um tablete de margarina. Ela deve dividir Para fazer o bolo, dona Júlia utilizará Meu conhecimento sobre frações ajuda na divisão correta do tablete de margarina, evitando desperdício e erro nas quantidades! o tablete em seis partes iguais, usando duas partes na massa e três na cobertura. Ainda 1 sobrará do tablete para untar a forma! 6 Veja exemplos de adição e subtração de frações com denominadores diferentes: ◆◆ 3 5 1 23 20 1 5 1 5 24 6 8 24 24 ◆◆ 1 19 7 5 14 1 1 5 5 4 20 10 20 20 ◆◆ 7 2 10 3 1 5 2 5 2 15 3 15 15 5 A mesma receita de bolo utiliza 1 1 xícara de leite para 2 3 fazer a massa e de xícara de leite para fazer a cobertura. 4 Use um número misto para indicar a quantidade total de leite utilizada na receita. 2 1 xícaras 4 192 prm6_191_198_unid11.indd 192 5/13/15 4:32 PM Exercícios 1. Qual fração deixa a balança equilibrada? 5 5 8 Pedro Sotto 4 6. Calcule e simplifique os resultados, quando for possível. 1 2 7 9 7 2 83 1 a) 1 d) 1 6 2 3 2 4 3 12 1 5 2 3 2 1 1 1 b) 1 e) 1 10 6 3 2 5 2 1 4 2 22 2 3 66 1 c) 1 f) 1 15 10 5 3 7 2 35 1 1 do bolo, e Mara comeu . Que 4 5 11 fração do bolo sobrou? 20 47. Rui comeu 48. Calcule e simplifique os resultados, quando for possível: 1 1 1 7 1 17 a) 2 d) 2 2 3 6 8 6 24 5 1 5 1 3 1 b) 2 e) 2 2 6 3 4 2 4 8 4 2 18 1 3 2 c) 2 f) 10 5 7 35 5 5 1 de litro de suco de laranja de 4 1 1 manhã, litro durante o almoço e de litro no 2 4 jantar. toma Sergioz/Dreamstime.com 49. Rodrigo 5 2. No início de uma viagem, um carro tinha o tan2 que de gasolina cheio até de sua capacidade. 3 No fim da viagem, a gasolina ocupava apenas 1 do tanque. Que fração representa a parte do 6 tanque correspondente à gasolina gasta nesse percurso? 1 2 53. Observe o exemplo e efetue as seguintes adições e subtrações: 21 1 8 1 9 5 1 5 4 4 4 4 número natural Representamos o 2 por uma fração com denominador 4: 25 8   4 Que quantidade de suco ele consome diariamente? 1 litro a) 7 1 5 6 47 6 c) 1 3 121 5 5 14 5 50. Calcule b) 4 2 3 11 41 11 d) 5 7 112 3 3 1 3 mentalmente o valor de cada uma das expressões. 3 1 4 4 2 1 a) 1 c) 2 4 4 3 6 3 1 5 3 2 4 3 2 b) 1 2 1 1 d) 1 6 6 7 5 7 5 54. Calcule a) o valor das expressões. 5 1 2 2 1 6 4 3 5 4 b) 8 1 1 3 2 3 4 91 12 Frações prm6_191_198_unid11.indd 193 193 5/13/15 4:32 PM Multiplicações envolvendo frações Qual é o dobro de 3 ? 8 3 3 6 corresponde a 2  5 , 8 8 8 3 que na forma irredutível é . 4 Ora, o dobro de Observe: 2  3 8 3 8 1 5 6 8 3 2 3 23 6 3 5  5 5 5 . 8 1 8 18 8 4 1  12 5 4, pois a terça parte de 12 é igual a 4. 3 1 1 12 1  12 12 5 5 4. 5 Observe:  12 5  3 3 3 1 31 De forma semelhante, 2 4 de ? As figuras vão nos ajudar a descobrir. 3 5 4 Colorimos da figura. 5 Ilustrações: DAE E que quantidade corresponderá a Hachuramos 2 4 dos coloridos. 3 5 Observe que 8 2 4 da figura. de correspondem a 15 3 5 Então, 8 2 4 24 .  5 5 15 3 5 35 No caderno, mostre por meio de figuras que 1 3 3 de 5 . 2 4 8 Na multiplicação de frações, multiplicamos os numeradores e multiplicamos os denominadores. ◆◆ 15 5 3 53 5 5 (na forma irredutível)  5 5 24 6 4 64 8 ◆◆ 12 4 1 2 6 126 5 (na forma irredutível)   5 5 105 35 3 5 7 357 ◆◆ 18 5 3 183  51 31 5  5 5 25 12 10 255  122 52 1 1 4 21 1  42  213 121 2 ◆◆ 5 5   5 31  71  105 3 7 10 115 5 Esta técnica é chamada de cancelamento. Zubartez Também podemos fazer a simplificação antes de efetuar o produto: 194 prm6_191_198_unid11.indd 194 5/13/15 4:32 PM ExErcícios 55. Escreva um produto que represente a parte colorida da figura. 4  3 5 12 5 4 60. Escreva o produto que a situação sugere. 20 3 56. Vamos relacionar o “de” com a multiplicação. Veja: Três caixas de vinte balas são 3 · 20 ou 60 balas. Complete. a) Quatro pacotes de meio quilo são quilos. 4 ou 1 ou 2 2 61. Quanto é? 2 6 a) 3  5 5 1 5 5 b) 12 12 1 2  3 7 7 2 d) 4  3 c) 5  2 6 5 7 7 10 21 56 3 3 62. Uma lata de achocolatado tem kg. Quantos quilogramas terão 8 latas? 6 kg 4 b) Seis pacotes de um quarto de quilo são ou quilos. 6 1 3 ou 4 2 a) da metade? b) do total? 3 Pedro Sotto 57. A parte colorida corresponde a que fração: 3 4 DAE 8 58. Quanto é? 5 7 35  a) 9 8 72 3 3 9  b) 5 4 20 1 1 1   2 5 3 3 1 3   d) 4 2 2 c) 1 30 9 16 1 da metade de uma melancia. 4 Que fração da melancia ela comeu? 1 1 1 1 da metade 5  5 4 4 2 8 Rubberball 2009/Latinstock 59. Marília comeu 63. Calcule mentalmente: 1 2 de 180 ovos; 60 ovos c) de 30 homens; a) 3 5 12 homens 2 3 b) de 180 ovos; 120 ovos d) de 24 meses. 3 4 18 meses 64. Quanto é? 1 a) 15  1 4 75 4 b) 8 1 3 2 51 2 65. Para preparar um copo de refresco, André en2 che do copo com água. Quanto de água ele 3 vai gastar para preparar: a) 5 copos de refresco? 3 b) 12 copos de refresco? 8 1 3 FRAÇÕES prm6_191_198_unid11.indd 195 195 5/13/15 4:32 PM 7. Inversa de uma fração 2 5 25  5 51 5 2 52 8 3 83 ◆◆  5 51 3 8 38 ◆◆ Ronaldo Barata Por qual fração devemos 7 multiplicar para obter 9 9 produto igual a 1? 7 Observe os produtos: Quando o produto de duas frações é igual a 1, essas frações são inversas uma da outra. 2 5 é a inversa de 5 2 8 3 ◆◆ é a inversa de 3 8 e assim por diante. ◆◆ A inversa de 1 5 é , ou simplesmente 5. 5 1 A inversa de 3, que pode ser escrito 3 1 como , é . 1 3 Divisão envolvendo frações 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 Jorge Zaiba Para descobrir como se efetuam divisões com frações, vamos estudar algumas situações. 1 1. Quantos copos com capacidade igual a de litro cabem em uma vasilha com capacidade igual a 4 3 litros? 1 Para saber quantas vezes uma quantidade cabe em outra, usamos a divisão: 3  5 ? 4 Resolveremos essa divisão com o auxílio de figuras. 1 1 cabe 12 vezes em 3, ou seja, 3  5 12 4 4 Repare que 3  4 5 12. inversa de 1 4 1 é o mesmo que 4 1 multiplicar por 4, que é a inversa de . 4 Dividir por 5 1 L 4 196 prm6_191_198_unid11.indd 196 5/13/15 4:32 PM Qual a inversa de 1? 1 FRAÇÕES prm6_191_198_unid11. dividimos por 2. 8 Mais uma vez. vemos que dividir por Para efetuar divisões envolvendo frações. A quarta parte de é maior ou menor que ? 2  1 9 2 9 2 2. de uma dúzia equivale a que fração de meia dúzia? 3 3 1 4. Quantas vezes cabe em: 2 7 1 a) ? 7 vezes b) 5 ? 11 vezes 2 2 8 1 5.indd 197 197 5/13/15 4:32 PM . ou seja: 8 4 3 1  56 4 8 e 3  82 5 6 41 1 é o mes8 1 mo que multiplicar por 8. os desenhos nos mostram que 3 4 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 ◆◆ ◆◆ 1 3 cabe 6 vezes em . 5 Observe as figuras: 2. que é a inversa de . multiplicamos o dividendo pela inversa do divisor. inversa de 2 3. Quanto é a metade de ◆◆ 3 2 5 3 3 25 10 5 ◆◆ Repare que 3 3 1  5 10 5 2 Zubartez 3 5 Para achar a metade. Nesta outra situação. 6. Duas metades mais três terços equivalem a quantos inteiros? 2 17 17 é maior ou menor que ? Quantas vezes maior ou menor? 10 17 é 10 vezes maior 100 10 1 2 3.3 ? 5 3 A operação que traduz essa pergunta é  2. Respondam no caderno: 1. Metade de 1 1 vale . Quantos pacotes poderão ser enchidos se cada pacote tiver: a) 1 kg? 20 pacotes 2 c) 1 kg? 80 pacotes 8 b) 1 kg? 40 pacotes 4 d) 2 kg? 25 pacotes 5 69. a) 9  9 1 b) 1 1  4 4 c) 7 1 5 1 7 5 1 d) 2  2 e) 1 2 2 f) 3  1 10 1 1  2 3 c) 1 1  3 2 d) 1 1  2 3 73. 1 1 a) 1 2 3 Jorge Zaiba e) 2 3 0 O marcador está dividido em quartos. qual fração desse muro é pintada com o conteúdo de uma lata de tinta? 1 74. Responda.indd 198 5/13/15 4:32 PM . O tanque de gasolina de um carro tem capacidade para 56 litros. a) 4 2  5 3 6 5 f) 5  b) 4 6  9 5 10 27 g) 1 1  10 10 c) 1 7  4 3 3 28 h) 6 5 7 d) 2 1  7 5 10 7 i) 3 8 9  7 2 16 63 j) 15 2 1 6 35 1 4  2 7 49 8 4 1 1 5 2 8 15 72.ExErcícios 66. Com 10 kg de azeitonas se pretende encher pacotes de vários tamanhos. O marcador aponta exata1 3 mente a metade da distância entre e . Calcule mentalmente. Escreva a inversa das frações.Tomei no almoço a metade de uma garrafa de água e no jantar tomei a metade do que sobrou. Quantos litros de gasolina há no tanque? 35 litros 198 prm6_191_198_unid11. 4 5 5 4 c) 6 b) 9 7 7 9 d) 1 6 1 15 15 Edson Antunes a) 1 de litro de leite por dia. Calcule. Josefa toma 67. Alternativa d. Qual dos seguintes números é o maior? b) 68. a) Quantas metades há em cinco pizzas? 10 b) Quantos quartos de pizzas há em três pizzas? Marcelo Azalim 12 Faça um desenho em seu caderno. 4 8 Em metade 28 L 1 7L Em 8 O ponteiro 1 mostra que há 28 1 7 5 35 litros. Qual a fração do líquido que restou na garrafa? 1 4 2 de muro são necessárias 6 la3 tas de tinta. 2 4 1 3 5 5 Outra solução para a questão: 4 1 4 [ ]25 1 25 2 4 4 8 1 • → 7 litros 8 5 → 35 litros • 8 30 70. Quantos 4 1 dias levará para beber 3 litros? 14 dias 2 71. Se para pintar 9 2 1 65 3 9 75. indd 199 199 5/13/15 4:35 PM . Calcule o valor das potências. Calcule o valor de: a) [ 4 2 8 (menor que 1) 125 80. 78. Veja algumas raízes quadradas de frações: ◆ 16 4 4 2 16  porque [ ]  49 7 7 49 ◆ 1 1 1 2 1  porque [ ]  100 10 10 100 Pense e responda no caderno: 1 1 ao quadrado é maior ou menor que ao cubo? 2 2 Maior.8. Calcule. Calcule e compare com a unidade. Potenciação e raiz quadrada de frações Observe: Você se lembra de que a potenciação é uma multiplicação de fatores iguais? 25  2  2  2  2  2  32 5 fatores iguais a 2 ◆ 5 2 5 5 25 [ ]    7 7 7 49 ◆ 9 0 [ ] 1 4 ◆ 1 3 1 1 1 1 [ ]     2 2 2 2 8 ◆ 3 1 3 [ ]  2 2 Ilustra Cartoon Com frações. 2 1 ] 4 3 b) [ 16 25 1 c) [ ] 3 1 64 d) [ 5 2 9 ] 10 1 e) [ ] 2 1 243 f) [ 81 100 3 ] 2 2 b) [ 2 ] 3 4 1 9 ] 15 1 (menor que 1) 25 25 (maior que 1) 4 6 1 16 9 15 [ 4 ] 3 2 2 [ 7 ] 6 3 0 [ 1 ] 3 6 3 3 [ 1 ] 6 2 [ 1 ] 2 5 81. Veja: Sabemos que 25  5 porque 52  25. 4 a) [ ] 5 1 ] 5 3 2 ] 5 2 5 d) [ ] 2 c) [ 1 (igual a 1) 9 4 c) 24 3 16 3 a) 9 4 16 81 d) 2 34 2 81 b) 49 81 3 2 7 9 c) 1 49 1 7 e) 100 81 10 9 d) 36 64 6 8 f) 1 100 1 10 FRAÇÕES prm6_199_204_unid11. a) 16 1 1 1 1    2 2 2 2 b) [ Como se lê essa potência? Um meio elevado a quatro ou um meio à quarta. EXERCÍCIOS 76. Escreva os seguintes números em ordem cres2 1 5 1 3 7 0 4 2 cente: [ 1 ] [ ] [ ] [ ] [ ] 77. Escreva na forma abreviada: [ 1 4 ] 2 79. a ideia é a mesma. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 b) Que fração representa o tempo que Carolina se diverte? 9 24 ◆ 1 hora? 2 3 h 30 min ◆ 3 de hora? 4 3 h 45 min 3 da população torce pelo Corin7 2 thians e torce pelo Palmeiras. Represente por meio de uma fração o número que corresponde a cada um dos pontos assinalados em vermelho na semirreta. 85. comendo: 1. Se o salário de Paula é R$ 750. 89.. Escreva três frações correspondentes à parte escura do tabuleiro e a fração equivalente mais simples. Respostas possíveis: Quaisquer frações equivalentes a 83.REVISANDO 82. Que time tem 5 15 14 mais torcedores? Corinthians: 35 . do dia 3 24 1 comendo.00.B . estudando: 6.C 3 3 3 Portanto. 84.00 200 prm6_199_204_unid11. 88. Observe a figura e responda: 32 64 16 32 8 16 . Numa cidade. 3 Reinaldo Rosa 7 Neveshkin Nikolay/Shutterstock 86. divertindo-se: 9. do dia estudando e o resto do tem4 po divertindo-se. (Cesgranrio-RJ) A firma onde Paula trabalha 20 de seu salário-badará vale quinzenal de 100 se como prêmio pelo aumento de trabalho no mês de julho. Escreva a fração que corresponde à parte das cadeiras ocupadas. o Corinthians tem mais torcedores. Observe a figura: a) Que horas são? Reinaldo Rosa DAE 87. B A C a) Qual fração representa a parte A da figura? 1 3 b) Qual fração representa a parte B da figura? 1 6 c) Qual fração representa a parte C da figura? 1 9 a) Desenhe a figura abaixo e pinte com cores diferentes as partes do dia correspondentes ao tempo dedicado a cada uma das ocupações mencionadas. quanto ela receberá de vale nesse mês? R$ 300. Palmeiras: 35 . Carolina passa 3 horas b) Que horas marcará o relógio se o ponteiro dos minutos se deslocar: 1 ◆ de hora? 4 3 h 15 min Marcelo Azalim Dormindo: 8.indd 200 5/13/15 4:35 PM . 1 2 1 1 do dia dormindo.. A A 0 B 1 C 2 3 2 4 8 . 3 1 a)  4 2 1 4 c) 3 3 3   5 4 10 33 20 3 3  8 2 15 8 d) 8 1 3   5 4 10 21 20 0 3 11   10 20 30 31 60 b) 94. 4. 36 reais a terça parte de 24 kg. 25 kg dois terços de 36 litros. em quanto foi maior? Sim.indd 201 201 5/13/15 4:35 PM . em quanto foi maior? Sim. 5 ou 6. 1 2 a) 4   2 3 Ilustrações: DAE 91. O sr. 3 ou 4. 8 kg um quarto de 100 kg. Calcule mentalmente quantos blocos foram utilizados na construção deste muro. c) A colheita de pimentão vermelho foi maior do que a de pimentão amarelo? Em caso afirmativo. 2. (Saresp) Numa escola foi aplicada uma prova em que os alunos obtiveram notas inteiras de 1 até 10. 4 FRAÇÕES prm6_199_204_unid11. a) b) c) d) mais de um terço tirou 1.90. Calcule mentalmente: a) b) c) d) metade de 72 reais. Calcule. Considere os números: 1 2 bloco inteiro 92. atingiu 4 3 kg. No gráfico abaixo mostramos a distribuição de notas. se necessário. menos de um quinto tirou 7 ou 8. Veja como ele fez: Número de alunos 12 Marcelo Azalim 10 8 6 2 4 1 kg 2 3 kg 2 3 kg 4 2 0 1-2 3-4 5-6 7-8 9-10 Nota Com base nesse gráfico. podemos afirmar que: Alternativa d. a)  31 6 2 1 7 1  3 2 8 25 14 97 24 96. mais de um quarto tirou 9 ou 10. 24 litros 93. 3 kg a mais. 5 7 8 7 12 10 3 2 Qual é a diferença entre o maior e o menor deles? 11 14 97. 3. 4 b) A colheita de pimentão verde foi maior do que a de pimentão vermelho? Em caso afirmativo. a) Será que a colheita atingiu cinco quilogramas? Não. Calcule e simplifique. Francisco colheu a produção de pimentões de sua horta e colocou-os em 3 sacolas. 18 blocos b) 1 1 2 3 5  38 15 d) 2  23 1 1  2 7 3 6 b) 4 1 4 c) 1 1  3 5 22 15 95. 1 kg a mais. 2. metade dos alunos tirou 1. Calcule. com 75 alunos 4 99. As figuras mostram o medidor de gasolina do carro no momento de partida e no momento de chegada de uma viagem feita por João. 5 a) Quantos copos de 102. Quantas pastas ainda faltam ser analisadas? 10 pastas 25 litros 3 1 1   • 4 4 2 1 •  50  25 2 Reinaldo Rosa Jorge Zaiba a) 1 101. dos inscritos foram aprova5 3 dos.Qual é a média aritmética de: a) 1 1 e ? 3 6 1 4 b) 3 13 1 . um automóvel 1 demora 2 h. quantas pessoas se inscreveram • 240  2  120 nesse concurso? • 72  3  24 600 pessoas • 24  10  240 • 120  5  600 202 prm6_199_204_unid11.Tenho 90 alunos. Calcule.indd 202 5/13/15 4:35 PM .DESAFIOS 103.Alberto pretende colocar 5 litros de refrige2 rante em vários copos. passando para a segunda etapa. 2 Na primeira.(Obmep) A capacidade do tanque de gasolina do carro de João é de 50 litros. 2 3 analisou do número total. fo10 ram selecionados. Qual é a diferença de tempo en4 tre uma viagem de automóvel e uma viagem de ônibus? 1 1 h ou 1 h 15 min 98.Um concurso foi realizado em duas etapas. Um ônibus demora 3 2 3 Ekaterina Monakhva/iStockphoto. Quantos alunos não usam óculos? • 1  1  90  15 • 90  15  75 1 h para fazer uma via2 gem de São Paulo a São Carlos. Na segunda. Metade da terça parte dos meus alunos usam óculos.(Saresp) Um inspetor recebeu 120 pastas com contas para analisar. e ? 5 4 2 29 20 105. Quantos litros de gasolina João gastou nessa viagem? 11 9 100. 3 4 do restante. 1 de litro poderá encher? 4 22 copos 1 b) Poderá encher 28 copos de de litro? Não. Na primeira semana. Se os selecionados nessa segunda etapa preencheram as 72 vagas disponíveis. 3 1  7 4 b) 7  c) 3 28 3 1  8 2 1 1 1   5 4 3 7 1 1 d) 2  5 6 21 16 1 60 49 15 e) 2 5  3 2 f) 3 7 4 g) 8  4 5 4 15 3 28 10 1 6 h) 7 3 104. 106.A fração que representa a parte colorida da figura é: Alternativa c.A metade de a) 3 2 b) 3 4 3 é: 8 110. 4 2 107. . Reinaldo Rosa a) 2 4 3 1 . Alternativa c. A fração do tanque que esta torneira enche em 1 minuto é: Anote no caderno o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta.A alternativa verdadeira é: Alternativa a. .(Ipad-PE) Em uma grande indústria. c) 3 16 d) 3 32 Alternativa c. a)  b)  c)  d)  114.Dos números 7 está compreendido entre: 8 c) 5 e 6 d) 7 e 8 108.(Fesp-RJ) Uma torneira aberta enche de água um tanque em 10 minutos. 0 0 6 c) 8 8 0 b) 6 0 0 d) 2 3 6 109.indd 203 5/13/15 4:35 PM .O número Alternativa a. . Quantos funcionários há nessa indústria? Alternativa d. . Alternativa d. 5 3 b) o maior é 4 1 e o menor é . 1 B Alternativa b. 5 2 c) o maior é 3 2 e o menor é . .Na reta numérica: 0 5 3 1 b) A representa 4 7 c) A representa 4 1 d) A representa 5 a) A representa 113. a terça parte em automóvel e os outros 300 funcionários usam transporte coletivo. a) 1 200 funcionários b) 1 500 funcionários c) 1 600 funcionários d) 1 800 funcionários 203 prm6_199_204_unid11. 4 3 d) o maior é 3 1 e o menor é . metade dos funcionários vai ao trabalho de bicicleta. a) 1 2 c) 1 8 b) 1 6 d) 1 10 1 4 b) 3 10 c) 3 16 a) o maior é d) 5 16 4 2 e o menor é .(Obmep) Qual o sinal que Clotilde deve colocar no lugar de “?” para que a igualdade fique correta? Alternativa a. a) 0 e 1 b) 3 e 4 DAE a) 112.AUTOAVALIAÇÃO 111. : 3 5 4 2 2 3 A 1 3 7 e B representa 4 1 e B representa 4 9 e B representa 5 e B representa . d) 32 63 a) R$ 24. os dois erraram.118. a metade do muro. 117.Um pedreiro foi contratado para construir um muro. seu gasto total foi de: Alternativa d. e polegada de diâmetro 16 4 8 2 1 6 A fração de polegada que corresponde ao tubo de plástico mais fino é: a) 1 4 b) 3 8 3 16 c) d) DAE 115. 3  Como o professor aceita o desenvolvimento incompleto da resposta. e no segundo dia o triplo do que havia construído no primeiro dia.00 b) R$ 27.00 em pessoal.000. os dois acertaram. No primeiro dia de serviço ele construiu um oitavo do muro.000. mais da metade do muro. nos dois primeiros dias ele já 1 1 1 construiu: Alternativa b.(PUC-SP) A parte colorida representa que fração do círculo? Alternativa c.000. apenas Cláudio acertou. Alternativa c.000.00 • 1 3 c) R$ 30. Sabendo-se que a firma gastou R$ 18. c) 1 a) b) c) d) Alternativa b.indd 204 5/15/15 6:28 PM .(Fuvest-SP) a) 0 9 7  é igual a: 7 9 2 b) 23 8 o muro inteiro. tuassem a adição  5 10 a) 7 10 • Cláudio encontrou como resposta: 14 20 Dessa forma. menos da metade do muro.Veja este anúncio: 1 2 1 3 b) 3 10 1 12 c) 119. • Sílvio encontrou como resposta: Reinaldo Rosa Paulo José 116. podemos afirmar que: Alternativa d. a) b) c) d) apenas Sílvio acertou.00 d) R$ 36. c) 18 d) 24 1  18  6 3 120. VENDEM-SE TUBOS DE PLÁSTICO PARA JARDINS 1 4 1 2 3 1 3 1 .Um terço da metade de 36 é: a) 6 b) 12 1 da metade de 36 3 d) 1 24 Alternativa a.Um professor pediu a dois alunos que efe2 3 .00 9 000 • 3 3 27 000 204 prm6_199_204_unid11.000. . 8 2 121.(Cesgranrio-RJ) Dois terços da despesa de uma firma destinam-se a pagamento de pessoal. 1. Pois bem. no século XVI novas formas de registro foram criadas para representar essas frações.1 10 (um décimo ou zero vírgula um) Milésimos Décimos de milésimos. A centésima parte da unidade é representada. ◆◆ Centenas Dezenas Unidades. por 0.... o valor do algarismo depende da posição que ele ocupa no numeral..Unidades de milhar Coloca-se uma vírgula para separar a parte inteira da parte fracionária.01 (um centési­mo ou zero vírgula zero um) Números decimais prm6_205_230_unid12. Cada ordem vale dez vezes a ordem que está imediatamente à sua direita.indd 205 205 5/13/15 4:45 PM . como 10. Décimos Centésimos Registramos a décima parte da unidade como 0. lembra-se? São aquelas que têm como denominador uma potência de base 10. Se prosseguirmos com o mesmo padrão. utilizando as regras do sistema de numeração decimal. 1 que é a representação decimal de : 10 1 5 0. 1 000 etc. isto é. A notação decimal A necessidade dos seres humanos de registrar números que não são inteiros é muito antiga. na notação decimal. . 100..12 unidade Números decimais 1. E das frações decimais.. ou cada ordem é a décima parte da ordem que está imediatamente à sua esquerda. que citamos na Unidade 11? As frações foram criadas para que esses números pudessem ser registrados. Essas ideias foram aperfeiçoadas e hoje funcionam assim: ◆◆ O sistema decimal é posicional. 1 100 5 0. ou que são equivalentes a uma fração com um desses denominadores..01. criando ordens à direita da unidade.. teremos: .Unidades. Lembra-se dos estiradores de cordas do Antigo Egito. Seu livro De thiende (O décimo) divulgou as vantagens da utilização do sistema decimal posicional para registrar números não inteiros. França.781 (setecentos e oitenta e um milésimos ou zero vírgula 1000 setecentos e oitenta e um) 3 5 0. O número de casas à direita da vírgula é igual ao número de zeros da potência de dez que está no denominador da fração.indd 206 5/13/15 4:45 PM . Conheça alguns deles: (1540-1603) Foi advogado e dedicava suas horas vagas ao estudo da Matemática.7 (sete décimos ou zero vírgula sete) 10 ◆◆ 13 3 51 5 1. Gravura. provavelmente foi o primeiro a utilizar um ponto para separar a parte inteira da parte fracionária do número. Defendeu o uso das frações decimais e criou notações para representá-las.001. Magini (1555-1617) Italiano. Os numerais decimais não tiveram um único “inventor”. por 0. ◆◆G.001 (um milésimo 1 000 ou zero vírgula zero. na notação decimal. Coleção Particular. valorizava as aplicações práticas da Matemática. François Viète. E assim por diante. três) Curiosidade Em países como a Inglaterra e os EUA.A milésima parte da unidade é representada. Muitos matemáticos contribuíram em seu estudo e aperfeiçoamento.0003 (três décimos de milésimos ou zero vírgula zero. 10 000 zero. A. zero. como nós fazemos.02 (três inteiros e dois centésimos ou três vírgula 100 100 zero dois) 781 5 0.34 (trinta e quatro centésimos ou zero vírgula trinta e quatro) 100 ◆◆ ◆◆ ◆◆ 302 2 53 5 3. zero um) Veja mais exemplos de frações decimais escritas em sua forma de representação decimal: ◆◆ 7 5 0. 206 prm6_205_230_unid12. Bridgeman Images/Keystone Brasil ◆◆François Viète ◆◆Simon Stevin (1548-1620) Engenheiro belga. Nas calculadoras também é utilizado o ponto. 1 5 0.9 (vinte e quatro inteiros e nove décimos ou 10 10 vinte e quatro vírgula nove) ◆◆ 34 5 0.3 (um inteiro e três décimos ou um vírgula três) 10 10 parte inteira parte fracionária ◆◆ 9 249 5 24 5 24. a parte fracionária e a parte inteira do número são separadas por um ponto em vez de uma vírgula. 245 0.007 0.82 Escreva por extenso o preço de cada produto. dez inteiros.49 7.3 5 dois inteiros e sessenta e três centésimos 2.116 1000 693 f) 0.0693 10 000 d) 51. Escreva cada número usando algarismos. o valor do algarismo 3. Indique.9 A b) 36. 3 40 9 b) 10 a) 1 538 30 b) 6. calça: setenta e dois reais e oito centavos.003 d) 7.indd 207 207 5/13/15 4:45 PM .834 0. g. nove inteiros e oito milésimos Danillo Souza 3.63  ? 6.8 1364 13.3 17 1000 10 f) 3 e) a) 7 45 3 d) 100 c) g) 1 10 000 h) 100 9 4. e.271 b) 5 unidades 26. Transforme as frações decimais em números decimais.82 Gravata: vinte e oito reais e quarenta centavos. Quais das frações abaixo são decimais? Alternativas b. um inteiro e nove décimos B. a) 5.64 100 5 116 e) 5. 519 10 87 b) 100 249 c) 100 a) D trinta inteiros e três centésimos C.82 10. Qual é o número que falta em cada a) 5.02 B quinze milésimos 0.9 0.03 6 30 0.4 0. 8 b) Qual é o algarismo das centenas? E o dos centésimos? 7. d. a) Qual é o algarismo das dezenas? E o dos décimos? 3. camiseta: trinta e nove reais e noventa e nove centavos. Uma loja mostra na vitrine algumas peças de roupa com os seguintes preços: 0.87 2.387 2.008 30.015 C dois inteiros e quatro décimos 9.Exercícios 1. c) 9.27 2. Copie e complete o quadro. Considere o número: 736.013 0.08 0. A. duzentos e quarenta e cinco milésimos 1. Números decimais prm6_205_230_unid12. vinte e sete centésimos D.32 0. em cada caso.03 5.083 2 dezenas 2 décimos 6 unidades 7 centésimos 8 centésimos 1 milésimo 3 milésimos 8. 2 c) Que número supera o número acima em 100 unidades? 836. 12 5 3 inteiros. 1 décimo e 2 centésimos.01 O quadrado (unidade) corresponde a 10 barras. Você utilizou algum número decimal hoje? Em que situação? Conte aos colegas! Troquem informações! Resposta pessoal. quatrocentos e noventa e nove milésimos de real.000001 corresponde a que parte de 1 inteiro? 1 milionésimo do inteiro: 1/1 000 000 em grandes quantidades de combustível vendido. 3. dados econômicos etc. no comércio. Como se lê essa quantia? Três reais.01 um centavo de real R$ 6... Basta estar atento para encontrar números decimais em inúmeras situações do nosso cotidiano. o preço de 1 litro de gasolina está indicado por R$ 3. Há moeda que valha 1 milésimo de real? Por que vocês acham que o posto usa esse tipo de registro? Não. Observe: 0. Escreva cada um por extenso e explique o tipo de aplicação que ele tem: registro de uma medida. 208 prm6_205_230_unid12.499. anúncios em que apareçam números decimais. Recorte-os e cole em seu caderno. preço. Na bomba de combustível de um posto. tabelas.4 5 1 inteiro e 4 décimos 2. 1. ou 3 inteiros e 12 centésimos 5 1 décimo tem 10 centésimos 1. R$ 1. na ciência. na TV. Procure em jornais ou revistas: notícias. A barra corresponde a 10 quadradinhos. Espera-se que percebam que 4. No jornal.1 Ilustrações: DAE 1 0.Trabalhando com figuras Vamos representar alguns números decimais por meio de figuras.00 um real R$ 0. A centésima parte do real (unidade monetária brasileira) é o centavo.45 seis reais e quarenta e cinco centavos 3. 0. Danillo Souza 2.03 5 2 inteiros e 3 centésimos Usamos a notação decimal para registrar quantias em dinheiro. gráficos.indd 208 5/13/15 4:45 PM . o milésimo de real fará diferença. Quantos centavos recebi? 830 1 4. A mãe de Luís fez um bolo como o representado na figura. Responda. Durante o lanche. 23 e 2. escreva os maiores que uma unidade.07 a) um número maior que 1 e menor que 10.6 Escreva.30 reais em centavos.01 unidade décimo centésimo escreva os números com vírgulas representados pelas figuras. Quantos centavos recebi? 500 b) Troquei 1 200 centavos em reais.34  0.99  9.3 10 c) 2. Reescreva-o colocando uma vírgula de modo a obter: f) 0. Lembrando que: Ilustrações: DAE 1 0. 9. 11. a) 1. Luís e alguns amigos comeram a parte correspondente à que está colorida.3 12.4. Considere o número 341509 .indd 209 209 5/15/15 6:35 PM .32 c) Troquei 8. 34. 3. a parte do bolo que sobrou.Exercícios 9. Escreva a fração decimal e o número decimal correspondentes à figura.4  0. a) Troquei 5 reais em centavos. Quantos reais recebi? 12 e) 0.01 3.15 d) 2.41509 b) um número maior que 10 e menor que 100.21 b) 1. 0.08 1 3. 3. Destes números. na forma decimal.9 e 1.1509 Números decimais prm6_205_230_unid12.9  1. 2.2 5 1 10 Como 1 kg tem 1 000 g F 1 de kg tem 100 g 10 2 de kg tem 200 g 10 Então 1.4 cm. é usado para medir a temperatura ambiente. A balança está marcando 1.2 cm. Este. apresentada em 1742 à Academia de Ciências da Suécia.7 cm.7 cm Meça com uma régua e registre em seu caderno as medidas em centímetros dos segmentos CD e EF. As extremidades de um segmento são pontos.br/> Evgeny Tomeev/Shutterstock 3. geralmente expressa em graus Celsius (C). 1 cm C D E ◆◆ ◆◆ quilograma grama Marcelo Azalim 2. Números decimais e o registro de medidas Usamos os números decimais para registrar medidas não inteiras. Se dividirmos 1 C em 10 partes iguais. Apesar de morrer jovem.unicamp. ao lado.1 C. 2. Os termômetros medem temperaturas. Registre em seu caderno a temperatura marcada por esse termômetro. com um número decimal: 4. Cada parte corresponderá a 0.2 kg 2 1. 1. em centímetros.indd 210 5/13/15 4:45 PM .2 kg corresponde a 1 kg e 200 g. Registramos a medida do segmento AB. entre elas a escala termométrica que leva seu nome. Veja as situações a seguir. 22 °C Anders Celsius (1701-1744) era sueco e foi um importante astrônomo. Celsius trouxe importantes contribuições em várias áreas do conhecimento. A escala é dividida em 100 partes iguais. 210 prm6_205_230_unid12. obteremos décimos de grau.fem. A B Marcelo Azalim 4. Fonte de pesquisa: Faculdade de Engenharia Mecânica da Unicamp <http://www. Os pontos de fusão e de ebulição da água correspondem respectivamente a 0 oC e a 100 oC. 6. Indique o número decimal correspondente às setas.4 graus 24. 4. Marcelo Azalim a) Trinta e sete graus e quatro décimos.0. b) O que significa 1. a) 4.5 7 22. 198 milésimos de real.4. pesa quarenta e seis quilogramas e meio e está com trinta e oito graus e um décimo de febre (em graus Celsius). o médico examinou Gustavo: ele tem um metro e cinquenta e três centímetros de altura.6 7. A temperatura normal de Rosa é 37 graus. sua temperatura baixou meio grau.34 8 e 9 c) 0.198 centésimos de real.1 100 0. 5. 198 centésimos de real. 3. a) 3 unidades correspondem a quantos décimos? 30 décimos b) 72 unidades correspondem a quantos centésimos? 7 200 centésimos c) 50 décimos correspondem a quantas unidades? 5 unidades 25.5 2 e 3 b) 8. 0. Desenhe a reta e indique os pontos A. Indique entre quais números naturais consecutivos se situa cada um dos números: a) 2.5 a) b) c) d) 16.198 reais o litro. Você já sabe: termômetros servem para medir a temperatura. Copie e complete as sequências abaixo.8 28 f ) 4. que correspondem a 3.6 e 5. Você já sabe: 2. Leia o texto e escreva os números destacados.9 graus de temperatura. a) DAE 8 0 21. 1 c) 0.0 a) O que significa 3. Ela ficou gripada e observou que estava com 37. Em que valor chegou a temperatura de Rosa? 37. 6.ExErcícios 15.1 °C 18.Tomando um antitérmico receitado pelo médico. b) Ronaldo Barata Trinta e oito graus e nove décimos.5 dia? Um dia e meio.4 c) 0.5 b) 1. usando algarismos e vírgula.5 kg. Isso significa que o posto vende a gasolina a 3 reais e: b) 5 0 Alternativa d. Responda: Em uma consulta. 0.5 cm significa dois centímetros e meio. 38.1 0.indd 211 211 5/13/15 4:45 PM .5 15 e) 4 40 b) 0. Leia as temperaturas e escreva-as por extenso. 2 3 A 4 B 5 6 C 17.5 1.5 kg? Três quilos e meio.2.198 décimos de real. Um posto de combustível anuncia o preço da gasolina por 3.6 6 c) 1.7 0 e 1 NÚMEROS DECIMAIS prm6_205_230_unid12.53 m.5 5. B e C. 1.3 43 20.01 1 10 6. Quantos décimos há em cada número a seguir? a) 0. 19.1 1 d) 2. 23. 46.7 0.3 0. 7 5 23.005 5 Ilustrações: Ronaldo Barata 2. obtemos uma fração equivalente a ela.010. então 5.30 5 0.7000 5 … Agora acompanhe a situação a seguir: ◆◆ Paulo tem 1. comparamos primeiro a parte inteira: 1 5 1.3.45 m. Por exemplo: 3 000 300 3 30 ◆◆ 5 5 5 5… 10 000 1000 10 100 Na forma decimal. Comparando números decimais Multiplicando o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número natural. comparamos os décimos: 5  4.300 5 0.57 m e Ademir.009 . 0.57  1. porque 9 milésimos é menor que 10 milésimos. 1. Qual deles é mais alto? Paulo é mais alto.3 5 0. que na forma irredutível fica 1000 200 3 casas decimais: denominador 1 000 4.010.indd 212 5/13/15 4:45 PM . Números decimais na forma de fração Vamos escrever os números decimais na forma de fração? 7 20 7 27 7 521 5 1 5 10 10 10 10 10 1 casa decimal: denominador 10 12. 212 prm6_205_230_unid12.3000 5 … Podemos acrescentar ou retirar zeros à direita da parte decimal de um número decimal sem alterá-lo.45.45.7 5 2 5 1 . 1209 9 5 100 100 2 casas decimais: denominador 100 0.009  5. Pronto! 1.09 5 12 O número de casas decimais é igual ao número de zeros do denominador da fração decimal. Observe mais um exemplo: ◆◆ 5.70 5 23. 5. pois 1.57  1. Mais um exemplo: ◆◆ 23. Como houve igualdade. Para descobrir qual entre dois números decimais é maior.01 5 5.01 Parte inteira: 5 5 5 Décimos: 0 5 0 Centésimos: 0  1 Claro! 5.700 5 23. 02       a) Qual produto aparece em maior quantidade? Aveia. 1. 1.51.05 NÚMEROS DECIMAIS prm6_205_230_unid12.8100 Leonardo 1. Qual é o maior.435 litro Qual etiqueta Gustavo deve colocar no frasco em que há maior quantidade de líquido? 0.93 3.20 0.10 4.EXERCÍCIOS 26. Escreva os números que representam a mesma quantidade.indd 213 213 5/15/15 6:43 PM . 1. 31.5 litro 30.30.51 metro 3.43. Observe as etiquetas: 28.3 ou 1.93 3.50 metro 4.930 6.016 c) f) 7 409 100 5 016 1 000 i) 148.29 329 100 5 100 2 468 2. A tabela a seguir apresenta as medidas de altura de alguns alunos do 6o ano.43 metro 0.48 litro 0.25 litro 0. 1.09 b) e) h) 5.81 0.7 6.500 1. Aluno Altura Marcos 1.30? Justifique sua é igual a 1.002 0.34.34 metro Romário 1. b) Qual dos alunos é mais baixo? Romário.70 Leandro 1.500 1.70 0.468 1 000 23 0. 1.3 30 centésimos 1. colocando: Marcelo Azalim DAE 1.20 38.5 litro 0.2 0.02 38. 9 10 7. Ela prepara uma lata de cada vez.01 0.05 metro Lúcio 1.930 1.023 1 000 a) 0.5 1.8100 0. 1.5 4. 0.9 d) 0.3 29. c) Escreva os cinco números em ordem decrescente. b) Qual produto aparece em menor quantidade? Coco ralado.020 a) Qual dos alunos é mais alto? Lúcio.7 6.2 3.05 g) 74.020 6.33 14 833 100 27.1 71 10 3.81 4. Transforme os números decimais em frações decimais. três décimos é igual a resposta.47 1.30 0.50. Gustavo deve colocar etiquetas em vidros que contêm certa quantidade de líquido. (Saresp) Dona Cláudia faz uma mistura de cereais para o café da manhã. 1. 93 323. Isso fica mais fácil se colocarmos vírgula embaixo de vírgula. Para saber quanto ela gastará no total. 64. + 40. unidades com unidades e assim por diante. 17 2 9 5 8 214 prm6_205_230_unid12.00 8.00 2 0.06 Estúdio Ornitorrinco Paulo José Como não é possível tirar 9 décimos de 7 décimos. Por exemplo: 8 2 0.94 7. décimos com décimos. Paulo José Dona Sílvia vai ao banco pagar as contas do mês. Adição e subtração de números decimais 1 1 35 30 28 93 5 centésimos + 8 centésimos 13 centésimos Reagrupando. 85 Podemos acrescentar zeros à direita da parte decimal para visualizar melhor o que se passa nas adições ou subtrações. Se ela pagar as contas com esse dinheiro.5. Dona Sílvia tem no banco R$ 456.94 5 ? 8 5 8. trocamos 1 unidade por 10 décimos. 132. fazemos: Devemos somar centésimos com centésimos. quanto lhe sobrará? 5 1 456. 78 2 132.78. 13 centésimos = 1 décimo e 3 centésimos Marcelo Azalim 28.indd 214 5/13/15 4:45 PM . 5 1...... Quanto ele recebeu de troco? R$ 10...73 b) a soma dos dois números maiores.00 emprestados a José Marco... devolvi R$ 22.60 Chocolate .. (UFRJ) Pedi R$ 30. R$ 1..R$ 1..00... mas acabei precisando recorrer novamente ao amigo...... Uma semana depois. R$ 2.13 Calcule: a) a soma dos dois números menores.....15...... R$ 1.50 Caju ..7 15 2 0.95 3 8 2 0. R$ 2.......8 15 34 1 0..2 c) a soma do número maior com o menor.8 2 0.... Na hora de registrar o valor da minha compra... depois de tantas pedaladas. Quanto ele me cobrou a mais? 60 centavos 36.. R$ 1.75 Laranja ..00 Cachorro-quente.5 14...71 1 0......30 Alexander Fediachov/Dreamstime.... Considere os números: 14 7..00 Maracujá ..R$ 2.009 1.. Dez reais e oito centavos....06 f) g) h) i) j) 4.20 38.. (Saresp) Observe a tabela de preços desta lanchonete: 35......09 1... o dono da padaria se enganou e trocou o 1 pelo 7.ExErcícios a) b) c) d) e) 12 1 0.2 15.2 16 6 2 1..99 33.. Veja os gastos de Rodolfo com o conserto de sua bicicleta....00..... Acabo de pagar R$ 19. sua “máquina voadora” precisa de manutenção..05 1 2.92 b) Rodolfo pagou com uma nota de R$ 50.. que foi de R$ 9.01 7..20 34... Qual é o perímetro do terreno? 58.8 1 11.... que me emprestou outros R$ 15..5 27 1 3.com Calcule mentalmente: quanto você iria gastar se comprasse o lanche.8 a) Qual é o valor total do conserto? R$ 39. 7...80 0.50 a José Marco.06 34.... Qual é minha dívida atual com ele? R$ 3....08 c) Escreva o valor do troco por extenso.2 6...2 30. NÚMEROS DECIMAIS prm6_205_230_unid12.80 Queijo ..6 15.. 10. Mas. Uma das atividades favoritas de Rodolfo é andar de bicicleta...5 4.indd 215 215 5/13/15 4:45 PM .. R$ 1.70 Hambúrguer .. R$ 1.7 12.00. 16. R$ 2...50 Mortadela ..2 m DAE 32. 29.......6 m Ilustrações: Ronaldo Barata 18..R$ 2. Calcule mentalmente e anote os resultados..50 Coco . Ronaldo Barata Abacaxi .. o sorvete e o suco mais baratos? R$ 5...70 Limão .5 m 37. R$ 2.20 Melão . 1 5 10 ? 10 10 10 ? 1 centésimo 5 1 décimo e 10 ? 1 décimo 5 1 10 5 0. deslocamos a vírgula duas casas para a direita. isso equivale a deslocar a vírgula uma casa para a direita.47 ? 10 5 ? 10 5 5 4. ◆◆ 10 000.. .1 5 1 Digite na calculadora um número decimal qualquer.068 ? 100 5 6.5 ? 10 5 ? 10 5 5 185 10 ? 1 10 A vírgula estaria à direita do 5. podemos verificar que para multiplicar por: ◆◆ 100.036 ? 100 5 203.01 5 10 ? 1 5 10 5 100 100 10 1 5 51 10 ? 0.32 ◆◆ 5.1 Da mesma forma. e assim por diante. 216 prm6_205_230_unid12. 1 47 ? 10 47 47 ◆◆ 0.000145  100 000. ◆◆ 1 000. efetue Observe que foi necessário acrescentar zeros para que a vírgula se deslocasse três casas para a direita. Usando a mesma ideia. Multiplique-o por 10. os centésimos passam a ser décimos. 10 ? 0..4 ? 1 000 5 5 400 Na calculadora.01 5 0.1? Usando frações: 10 ? 0.6 ◆◆ 0.indd 216 5/13/15 4:45 PM .00132 ? 1 000 5 1.8 ◆◆ 2. 10 ? 0. Multiplicando por 10.6. Veja exemplos: ◆◆ 0. 0. Quando multiplicamos por 10. deslocamos a vírgula três casas para a direita. deslocamos a vírgula quatro casas para a direita.1 000. mas não precisa ser escrita. O que ocorreu com a posição da vírgula? Deslocou-se cinco posições para a direita. e os décimos.01? E 10 ? 0. a ser unidades. Você também pode usar a forma fracionária do número decimal. Na prática.7 5 100 ? 1 100 10 10 185 ? 10 185 ◆◆ 18. Ilustrações: DAE Quanto é 10 ? 0. fazemos grupos de dez: 10 vezes 1 centésimo resulta 1 décimo. O que aconteceu com a posição da uma vírgula? Deslocou-se posição para a direita.1 1 unidade Como nosso sistema é decimal. 100. e assim por diante.5 ? 10 ? 10? 50 b) Quanto é 0.5 ? 100? 50 c) Multiplicar por 10 e.30 d) Quanto custam 100 pregos? R$ 3. 43.287 ? 100 28.7  10 5 4.008 ◆◆ 46. Veja os preços e responda: R$ 0.38 5 238  100 12. unidades passam a ser décimos..3 ◆◆ Quando dividimos por: ◆◆ 100.63 ? 1 000 8 630 d) 0.30 b) Quanto custam 100 bombons? R$ 83.75 por dia. .008 j ) 7 814.749 i ) 0.3124 Números decimais prm6_205_230_unid12. deslocamos a vírgula quatro casas para a esquerda.50 4 2.8  100 5 0.. décimos passam a ser centésimos e assim por diante. a) Quanto é 0.00017 l ) 6 312.656 ? 1 000 Exercícios Ilustrações: Ronaldo Barata 3 9.E as divisões por 10.indd 217 217 5/13/15 4:45 PM . é o mesmo que multiplicar por quanto? Por 100.? Como ficam? Quando dividimos por 10.9  1 000 7.169 ? 100 416.483 h) 674.9 c) 8. Na prática.4  100 5 5 0. 1 000. deslocamos a vírgula duas casas para a esquerda. ◆◆ 2. Veja exemplos: ◆◆ 589  1 000 5 0. duas unidades passam a ser dois décimos.00 c) Quanto custam 10 pregos? R$ 0.9  100 6.017  100 0.03 a) Quanto custam 10 bombons? R$ 8.9 900 f ) 10 ? 0. depois. Quanto ganhará em 10 dias? R$ 297.37 b) 4. 100. 0.83 4 1.37 ◆◆ 123  10 5 12.28 Ao dividir por 10. por exemplo: 2. deslocamos a vírgula três casas para a esquerda.08  10 0. Calcule.2  1 000 5 0. Responda.8149 k) 0. ◆◆ 10 000. Você ganha R$ 29. dividir por 10 equivale a deslocar a vírgula uma casa para a esquerda.09 R$ 0.7 e) 1 000 ? 0.8  10 5 0.3 3 g) 4. por 10 de novo. Qual é o valor unitário de cada parafuso? R$ 0.4  1 000 6.237 ? 10 52. 4 3. ◆◆ 1 000.0462 ◆◆ Usando a forma fracionária: 214 214 214 1  100 5 ◆◆ 21.00 4 0.83  10 0. a) 5.45 5 1 245  100 1 656 5 1.214 ? 5 1000 10 10 100 Podemos escrever.589 Foi necessário acrescentar zeros para deslocar a vírgula duas casas para a esquerda. e oito décimos passam a ser oito centésimos. 3. Como 16 5 1.8. Se 128 ? 34 5 4 352.11 O produto obtido é maior ou menor que 84. Discutam: o que acontece com o produto quando multiplicamos um número por outro menor que 1? O produto é menor do que o primeiro dos números.6 tem 1 casa decimal 29. Cinco centésimos de quarenta segundos são quantos segundos? 2s 6.64 ? 100. temos de efetuar 2 ? 29. 0 1 2 5 2 casas decimais.028 ? 100  1 000 c) 2.424 Paulo José Então.38. 1. 47 424  1 000 5 47.8 5 1. arredondando os centavos.6 ? 29. 2.8  10 218 prm6_205_230_unid12. a) 2.6 é menor que 2.5 ? 0. Copiem as operações que têm o mesmo resultado.64 5 59.64 ? 100. qual o resultado de 1.64. E quanto custa 1.6 ? 29. Observe: 2 · 29. Fazemos com facilidade 2 ? 2 964 5 5 928.64 tem duas casas decimais O produto 2 · 29.64 Multiplicando 2 por um número menor que 1. Usem a calculadora para efetuar 84. como 0. Como 2 964 5 29.64 tem 2 casas decimais O produto 1. Observe: 1. 1. por exemplo: 2 não tem casas decimais 29.4? 4. Alternativas a e c.6 kg do mesmo queijo? Mais uma vez devemos multiplicar a quantidade de queijo pelo preço do quilo: 1. Multipliquei um número com três casas decimais por um número com uma casa decimal.5? Menor.28 ? 3.28 Paulo José Portanto.6 O produto 1. o preço obtido é 1 000 vezes maior que o correto. O produto terá quantas casas decimais? 4 4.42.Ronaldo Barata 7.424 tem 3 casas decimais.28 tem 2 ? 0.64 5 47.64. paga-se R$ 59.64.352 5. 5 928  100 5 59.8  10 d) 1 000 ? 2.6 ? 10 e 2 964 5 29. 32. Fazemos 16 ? 2 964 5 47 424. o preço obtido é 100 vezes maior que o correto.28 por 2 kg desse queijo.indd 218 5/13/15 4:45 PM . quanto se paga por 2 kg desse queijo? Para saber.8 ? 10  100 b) 0.6 kg do queijo custa R$ 47. Multiplicação de números decimais Se o quilograma do queijo prato custa R$ 29. 00 e comprou 11 pães de queijo. cuja caixa de 500 gramas custa R$ 1. o fabricante fez a seguinte promoção: Gustavo aproveitou a oferta e levou 14 pães. Um teste é composto de três partes. (CPII-RJ) No lançamento do sabão BOM. R$ 7. uma bandeja de iogurte.5 minutos cada e 2 ligações a distância de 0.5? 28.90. Assinale a opção mais vantajosa (justifique sua resposta). e cada quilômetro rodado vale R$ 2. Qual foi sua nota no teste? 6.5 minuto cada.00 b) Comprar quatro caixas de 500 gramas do sabão UNO.Carolina foi à padaria com R$ 30.67 50. quatro itens da B e cinco itens da C.75 46. Mauro acertou três itens da parte A. R$ 6.87 por minuto em ligações a distância.75 pão de queijo (unidade) 0.ExErcícios a) b) c) d) 48.00 Suponha que o poder de limpeza do sabão BOM seja idêntico ao do sabão UNO.90 o dobro de 0. 1   kg de queijo e 3 litros de leite.29 por minuto em ligações locais para outros celulares e R$ 1.40.5 20 vezes 13 centésimos? 2.25 ponto.indd 219 219 5/13/15 4:45 PM .40 NÚMEROS DECIMAIS prm6_205_230_unid12.60. Quanto é: 49. Quanto ele pagou? R$ 5.65? 1.3 o triplo de 9. Cada item da parte A vale 0. Roberta fez 8 ligações locais para outros celulares de 2.5 ponto. cada item da parte B vale 1. a) Comprar duas caixas do sabão BOM (em promoção).40 47.95 iogurte (bandeja) 3. Com base 2 nos preços dos produtos abaixo.Numa corrida de táxi.45 Leve 6 e pague 5 Ilustrações: Ronaldo Barata 44.6 3 vezes 175 milésimos? 0. Quanto se pagará em reais por uma corrida de 15 km? R$ 44. Uma companhia de telefonia celular cobra R$ 0. Alternativa b.48 queijo (quilograma) 18. o valor fixo (bandeirada) é de R$ 8.12 Produto Preço (r$) leite (litro) 1. qual foi o troco que Carolina recebeu? R$ 6. Levando-se em conta apenas o preço do minuto em cada ligação.525 Fernando Favoretto/Criar Imagem 45. A padaria estava fazendo a seguinte oferta na venda de pães: Pão de coco Unidade: R$ 0.0 ponto e cada item da parte C vale 0. quanto Roberta vai pagar à companhia telefônica? R$ 7. 63 d) 0. De fato: 7. qual é o produto de 16 por 45. que dá 96.8 c) 0. 7.5 ? 64? ExErcícios a) 5 ? 0.3 ? 4 14.7? 731.8 f) 0. por engano.9 ? 30.5 kg de feijão. 2 litros de leite 1 tablete de fermento Cálculo mental Calcule mentalmente: qual quantidade de cada ingrediente o padeiro deve usar para fazer 150 pães do mesmo tipo? 3 kg de farinha. Calcule mentalmente.25 ? 14. você colocasse a vírgula na posição errada.3 Receita para 100 pães de leite: 52. Dona Carmela foi à feira e comprou 2. evitando erros. 3 L de leite. 150 g de sal e 1.016. Quanto gastou? R$ 9.4 5 240.1 ? 20 é 82. Calcule mentalmente o preço de 21 laranjas.9 ? 30.9 ? 0. como 24.5 tablete de fermento 55. Então 4. sua estimativa ajudaria a detectar o erro.7 0. Se o produto de 16 por 457 é igual a 7 312.16 Se. Um décimo de vinte é dois. Sabe como eu fiz para calcular mentalmente 4.1 ? 20? Quatro vezes vinte é oitenta.9 30.6 1.8 4 b) 3 ? 0.4 5 ? Estimamos o produto arredondando: Sugestão de resposta: “Uma vez e meia” de 64 é 64 1 32.2 2 quilos de farinha 53.18 ? 2 ? 5 71.00 ? 3.Estime produtos! Os arredondamentos podem ajudar-nos a estimar produtos de números decimais. R$ 14.5 ? 36 ? 2 36 e) 7.4 8 30 } 8 ? 30 5 240 O produto deve estar próximo de 240. Ilustrações: Ronaldo Barata Veja: 7.indd 220 5/13/15 4:45 PM .00 220 prm6_205_230_unid12.00 100 gramas de sal Marcelo Azalim 54.00 4. (SEE-RJ) Um padeiro usa a seguinte receita: 51. Como você calcularia mentalmente 1.5 5 14. 2 metros de comprimento. 1 8 10 0. Essa divisão tem quociente decimal. e o resto é zero.8. 5 6 Usando somente os números naturais. Mas agora que conhecemos os números decimais.indd 221 221 5/13/15 4:45 PM . 31 10 0 5 6. NÚMEROS DECIMAIS prm6_205_230_unid12. a seguir. pois o algarismo 2 deve estar na casa dos décimos. como em 1  8 ? Paulo José Cada parte deveria ter 7.125 20 40 0 Como 1 é menor que 8.75 metros de comprimento. 31 4 3 0 7. fazemos 1 unidade 5 10 décimos e prosseguimos como nos exemplos anteriores. Veja. Divisão de números naturais com quociente decimal 31 1 Ilustrações: Ronaldo Barata Suponha que temos uma corda com 31 metros de comprimento e precisamos cortá-la em 5 pedaços de mesmo comprimento. A operação a ser feita é 31  5. faríamos 31  4. colocamos zero unidade no quociente.75 20 0 ◆◆ 31 dividido por 4 dá 7 e sobram 3 unidades ◆◆ 3 unidades 5 30 décimos centésimos ◆◆ 30 décimos divididos por 4 dá 7 décimos e sobram 2 décimos décimos ◆◆ 2 décimos 5 20 centésimos ◆◆ 20 centésimos divididos por 4 dá 5 centésimos e resto zero E quando o dividendo é menor que o divisor. Cada parte da corda deve ter 6. Se quiséssemos dividir a mesma corda em 4 partes de comprimentos iguais.2 Colocamos a vírgula. podemos prosseguir a divisão: 1 unidade 5 10 décimos 10 décimos divididos por 5 resultam 2 décimos. obtemos quociente 6 e sobra 1 unidade. como fica a divisão. 7 5 Para ficarmos com uma divisão entre números naturais.1 é quantas vezes menor que 10? 100 vezes 2.004 5 32 320 200 0 50 0.6 5 24  16 5 1. devemos multiplicar o dividendo e o divisor por 100. Usaremos essa propriedade e mais os conhecimentos sobre multiplicação por 10.8  0..4  1. Veja exemplos: 1. 4. Por quanto devemos multiplicar 0. numa divisão.9.45? 29 2. 15.6 1 512 1 620 0 270 5.4  1.8  0. 0.. 100. 3 8 0 3 2 4  10 24 0  10 6 4 2 240 0 2 60 4 480 120 0 4 etc.004 5 800  4 5 200 O quociente de dois números decimais pode ser um número natural! 222 prm6_205_230_unid12. 2.indd 222 5/13/15 4:45 PM . o quociente não se altera quando multiplicamos dividendo e divisor por um mesmo número natural que não seja zero.64 Multiplicamos dividendo e divisor por 1 000.4 por 10 e 1.2  5 5 800  4 dá para dividir mentalmente! Multiplicamos dividendo e divisor por 10.12  2.7 5 1 512  270 5 5.64 0. para efetuar divisões entre números decimais. 0.6 3. Ronaldo Barata 3.5 1.12  2.6 também por 10. 15.6 5 Se multiplicarmos 2. o quociente não se altera e ficamos com uma divisão de números naturais que já sabemos resolver. 2.5 24 80 0 16 1. 3. 1 000. . Divisão de números decimais Vimos que.05 para obter 1.2  5 5 32  50 5 0. 65 62.2  0.15 colorida 2. Calcule mentalmente.72 Perímetro: 46 cm Ilustrações: DAE 59. Perímetro: 39 cm Qual é a medida do lado de cada figura? Quadrado: 9. a) 7.2  1.30 12 6 13.7 8 c) 13. Mais adiante.4 3. Quanto pagou cada um? R$ 12.7 d) 144  0.03 Não.00 e pedi 3 cópias coloridas de uma gravura. Com o dinheiro restante.1 5 ? 1. Produto 2.indd 223 223 5/13/15 4:45 PM . Não.972 0.80  0.9) 2 NÚMEROS DECIMAIS prm6_205_230_unid12.40 Eu tinha R$ 10.08  0. Note que está incompleta. Veja os preços das fotocópias numa papelaria: 10 2 7.80 1.2 2 0.488 (6 ? 1. Calcule.25 margarina 6 Preço Quantidade unitário (r$) pão de queijo 10 0.6 7 61.89.5  0.89.06 1 0.34  6 5 R$ 2. a garrafa do refrigerante Pek Cola de 2 litros custa R$ 3.5 5. 63.7 1 1.83 leite 7.09 800 f) 3.. Na figura estão representados polígonos regulares dos quais se conhece o perímetro.0076 c) 0. No supermercado Tudo Barato. A cerca ficou com 4 voltas de arame. quantas cópias simples poderei pagar? 18 cópias 64. a) 0. Observe a tabela abaixo.1 7..25 576 e) 72  0.89. Pentágono: 9.2 2 5 ? 0.00.76  0.36) 7.80 bolacha 2.6 2 (2. há um cartaz indicando: Travismanley/Dreamstime.8 0 f) 4.80 2.15 5 18.20 5 2. João usou 561 metros de arame para cercar um terreno.18 ? 0. Dividiram a despesa em partes iguais.ExErcícios 57.5  0.5  5 2.8 17.188 3. Qual é o perímetro desse terreno? 140.76  100 0.34 58. Quatro amigos foram jantar num restaurante e gastaram R$ 51.6  5 0.8) 2 (5 2 2 ? 1.4 2 0.8 4 b) 5.1 2 4.076 b) 0. Calcule o valor das expressões. em outra gôndola (prateleira).2 cm 60. Leve 6 garrafas (2 litros) de Pek Cola por R$ 23.25 m cópia Preço (r$) simples 0.8 2 1.75 cm. pois R$ 17.50 7. Há desconto na compra de 6 refrigerantes? Justifique sua resposta.666.6  0.com 56.00076 d) 0.6 e) 0  9.30 Quanto vou gastar comprando uma unidade de cada produto da tabela? R$ 7.76  10 0.76  1 000 0. pois R$ 23.75 Promoção: Preço total (r$) 28. a) b) c) d) e) 5.34  6 5 R$ 3. . Faça os cálculos no caderno e verifique quais quocientes representam dízimas periódicas.7 milhões de celulares e 138.45 é uma dízima periódica. 1.4545 60 50 60 5 Mesmo que continuássemos dividindo indefinidamente. Escreva por extenso. escreveu-se 281.75 milhões 2 750 000 2. Esse tipo de registro é comum nas mídias. Dados preliminares da Anatel indicam que em fev/15 foram adicionados 392 mil acessos móveis no pré-pago. O mês de jan/15 apresentou adições líquidas de 973 mil celulares. Número de celulares a cada 100 habitantes. a) 8  33 b) 17  8 c) 238  35 d) 43  15 www.5 bilhões 224 prm6_205_230_unid12.. pois muitas vezes é mais econômico. na notícia.7 milhões 281. Seu período é 45.. ou 0.com. 5 11 50 0.asp Estatísticas de celulares no Brasil Total de celulares jan/15: 281.teleco.br/ncel. Alternativas a e d.454545.1 bilhões ou 2 100 000 000? Agora você pratica no caderno.3 cel/100 hab. 5  11 5 0.75%.7 milhões de celulares em vez de 281 700 000. A participação do pré-pago caiu para 75.Dízimas periódicas Vamos efetuar 5  11.8 mil b) 1 200 000 1.7 milhões de celulares em jan/15 O Brasil terminou jan/15 com 281. não chegaríamos ao resto zero. 0. rápido e evita erros: é mais fácil escrever 2. Use o registro mais econômico para escrever: a) 36 800 36. Observe que. As reticências indicam que o número tem infinitas casas decimais e que os algarismos 4 e 5 se repetem nesta ordem. O pré-pago apresentou adições líquidas de 470 mil e o pós-pago de 503 mil.2 milhão c) 4 500 000 000 4. a) 973 mil 973 000 b) 2.454545.indd 224 5/13/15 4:46 PM .. Um grupo de 160 amigos fará uma excursão. (NCE-UFRJ) Saí com uma nota de R$ 20. b) 111 cópias.26 No de cópias de um mesmo original Preço por cópia de 1 a 49 R$ 0.00..90  0.5 Números decimais prm6_205_230_unid12.25 e três moedas de R$ 0. Posso então comprar.65  0.00 5 2. 120 passos. (Cesgranrio-RJ) Ao caminhar 100 metros.00 em julho. Passei no açougue e comprei uma peça de carne pela qual paguei R$ 18. Bola_BR/Shutterstock Ronaldo Barata 6 5. por aluno.05 no bolso.65 2.12 5 22.004. ao caminhar 750 metros? 27. Qual foi. uma mulher dá. A escola fez uma pesquisa para verificar a quantidade de livros lidos por turma durante um mês.5 5 900 DAE 67. a) 110 cópias. duas moedas de R$ 0. no máximo: Alternativa b. R$ 1.79  3 5 1.5 livros (4 1 18 1 21 1 12 1 10)  26 5 2.00. No botequim da esquina. a renda média mensal? R$ 1.645. aproximadamente. 70.30. Cheguei na padaria e quero comprar pãezinhos.709.70 tomando um refrigerante e comendo dois pastéis. Quantos micro-ônibus de 24 lugares eles deverão alugar? 7 micro-ônibus 160  24 5 6. em média. em reais.Exercícios 6 9. no máximo.668. em média..indd 225 225 5/13/15 4:46 PM .65 2 25. 8.26333.666 3 2 1 0 0 1 2 4 3 5 Número de livros lidos a) Qual é o número de alunos da turma de Eduardo? 26 alunos 1 1 4 1 9 1 7 1 3 1 2 5 26 b) Qual é a média de livros lidos.71 em maio.08 em junho e R$ 1.10 9 100 ou mais R$ 0.668. (CPII-RJ) Na escola de Eduardo.5 120  7. a) 14 b) 19 c) 22 d) 25 6 6.08 5 111. uma nota de R$ 2.650. 4 IAN HOOTON/SPL/Latinstock 68. Quantos passos uma mulher dará.00. gastei R$ 6.08 8 Número de alunos Baseando-se nessa tabela. nesta turma? 2. o pai ganhou R$ 1.25 900 passos 750  100 5 7. um professor que dispõe da quantia exata de R$ 8.08333... uma nota de R$ 5.12. Cada pãozinho custa R$ 0.90 para fazer cópias de um mesmo original poderá solicitar. Numa família. a seguinte quantidade de pãezinhos: Alternativa c. 5. há uma biblioteca na qual cada aluno pode levar até 5 livros emprestados por mês. d) 113 cópias.15 10 de 50 a 99 R$ 0. (Vunesp) Uma papelaria copiadora tem a seguinte tabela de preços: 7 6 5 c) 112 cópias. O resultado da turma de Eduardo pode ser verificado no gráfico abaixo. Calcule o número representado por cada sentença.9 > e) 0. R$ 1.4 4.9 76. Complete com . Escreva por extenso o valor do cheque.08 2.5 1 0.1 2 a) é o menor número 1.9 1.5 f ) 1.01.98.02.  ou 5.3 5 19. R$ 1. R$ 2.09 b) é o maior número 30 c) é um inteiro e noventa centésimos 1. (Fesp-RJ) 5 a) 9 reais.9 30 29.3 5 22.indd 226 5/13/15 4:46 PM .4 1 1. Utilize os números representados nos quadros para completar as frases. R$ 0.5 < b) 0. Ordene os preços seguintes. Veja a figura e escreva o nome dos três garotos.3 15 1 1 2 < 226 prm6_205_230_unid12. do mais baixo para o mais alto.85 8. Ilustrações: Ronaldo Barata R$ 2. a) 1 6.9 b) 2 7.10 74. do mais barato ao mais caro.300 5 c) 6.0 60 10 5 d) 9.82 30. Mário e Carlos. d) 9 reais e 66 centavos.5 1. c) 9 reais e 60 centavos.8 16.69 77.1 2.09 2.20.08 e) está mais próximo de 30 do que 29. Roberto.3 0. R$ 0. 73. Quatrocentos e setenta e oito reais e sessenta e nove centavos.1 em 75.89.5 29. R$ Roberto Mário Carlos 478. 2 de 24 reais são: Alternativa c. b) 9 reais e 6 centavos. O avô de Pedro esqueceu os óculos e pediu ao neto que preenchesse o cheque.08. a) 0.1 5 10 3. 29.rEVisANDo 71. R$ 0.9 d) está situado entre 2 e 2. Leonardo Conceição Jorge Zaiba 72.12 c) 1 2 1 0. (Cesgr anr io-RJ) A “t err a” é uma moeda social criada em Vila Velha. e um real vale o mesmo que um “terra”. Qual é a média de gols por partida nesses 5 jogos? 2.45 5 65 Danillo Souza 65.4 kg 81.00 e recebeu R$ 5. 32.6 kg a) b) c) d) e) 4 5 6 7 8 Danillo Souza Ilustrações: Leonardo Conceição 78. O gráfico mostra o número de gols marcados por um time nos 5 jogos realizados em um campeonato.8 gols por partida Números de gols 5 DAE 68.25  1. Qual será o comprimento do lado de um pentágono regular com o mesmo perímetro desse hexágono? 6 cm 83. quantos litros ele comprou? 65 litros 100 2 5.00 “terra”. NÚMEROS DECIMAIS prm6_205_230_unid12. Observe e responda.75 5 94.80 b) 1. pagando com “terra”? a) 0. comunidade da Região Metropolitana de Vitória.50.0 kg 1 c) 1.45. Comparado ao real.25 94. como mostra a figura. O comprimento do lado de um hexágono regular é 5 cm.80 d) 2. Patrícia “pesa” 32.0 kg 4 3 b) Quantos quilos tem Ricardo? 29. Se o litro do óleo diesel custava R$ 1.15.40 Alternativa b. (Cesgranrio-RJ) Um motorista parou em um posto para abastecer seu caminhão com óleo diesel.20 2 3 4 5 Jogo 82.75 de troco. Ele pagou com uma nota de R$ 100.80. qual será o desconto para quem comprar 4 pãezinhos e 2 refrigerantes. a) Quantos quilos tem Fernanda? 35.6 kg 2 1 0 79. (Obmep) Lucinda manchou com tinta dois algarismos em uma conta que ela tinha feito.6 kg.10 “terra” e um refrigerante.indd 227 227 5/13/15 4:46 PM . é vendido por 1. ou 0. Qual foi o menor dos algarismos manchados? Alternativa b. Essa moeda só circula na comunidade. O preço do pãozinho é R$ 0. que custa R$ 1. Mas quem compra com “terra” paga mais barato. Para continuar recebendo a quantia planejada. Usando os algarismos 0.5 1 2 2 (7 1 6.6 e menor que 0.67 Um camelô comprou 600 canetas planejando revendê-las a R$ 2. no máximo. 6. 7.6 L Ilustrações: Danillo Souza 84.3 L 1. resulta 3.9 e) 5 ? (0.4 L 1. d) 0. quais recipientes menores devem ser utilizados? 0. 0.00.2) b) 12. algumas das canetas compradas estavam com defeito e não podiam ser vendidas.2  2. Calcule. 15 minutos.9 1 7.3 2 (1.70 c) um número maior que 0.5 2.3 2 1.1 1 2. Portanto.1 1 2.9 Há outras possibilidades.2  4 2 0. Qual é o próximo número desta sequência? 62. 6. cada debatedor tem direito a falar durante 3 minutos e 75 segundos”.6 ou 1.1 1 0.4 4. Quantas canetas estavam com defeito? 50 canetas 600 ? 2. a) 3. O número 380 000 000 pode ser escrito da seguinte forma: Alternativa d.75 5 1 650 1 650  3 5 550 600 2 550 5 50 228 prm6_205_230_unid12. 1. Num debate entre quatro pessoas.8 bilhões. c) 38 bilhões.2 1 1. 91.2 1 1.782 b) 1.7 f ) 4. Dividindo 15 por 4.9 L 3.5)  (1 2 0.5 3. 3.3 1 0. 0. No entanto. a) (0.2 88.6 L Encontre duas soluções diferentes.5 12.5) 9 c) (8 2 0.018 0. Cada debatedor deverá falar durante 3 minutos e 45 segundos.6 1 1.8  2 1 0. ( FCC-SP) 8 7.DESAFIOs 0.07 ou 6. escreva: a) um número maior que 7.9 92.4 2 8 ? 0.5 5 1 86.4) 7.1 O que há de errado nessa regra? 85.06 ou 7.5 1 0.5 12.7.2 L 1.2 ? 2)  (0. b) 3.indd 228 5/13/15 4:46 PM .2 1 0. o camelô aumentou o preço de venda para R$ 3.4) 6 d) (6 2 1.6 1. Para encher completamente de óleo o recipiente maior.8)  (3  0. Copie as expressões e coloque parênteses onde for necessário para que as afirmações sejam verdadeiras.3 4 b) (4 1 0.1 2 0. Calcule 0.75.5 9 0.3) 7.8 25.4 d) 3.5 ? 13 2 6. 7 e a vírgula.2 5 0 8 9.5 c) 2.60 b) um número maior que 6 e menor que 7. a) 7.4 L 0.75 cada uma.38 bilhões.7)  0.5) o valor das expressões. o mediador fixou a seguinte regra: “Cada assunto será discutido em.5 1 2 2 7 1 6. a) 38 milhões. 99. a) 4. Gilda completou a “conta” com os números que faltavam. ele fez uma economia de: Alternativa a.00 R$ 1. a população do Canadá era de 30.10 Danillo Souza a) inteiros.40.32 d) R$ 21. que cobra R$ 2. A 0. c) centésimos. 96. Examine a figura: 0 a) R$ 7.25 kg de carne.16 R$ 1.25 c) R$ 14.5 1 1.3 milhões 5 30.25 b) 1.0072 c) 4. A qual deles? Alternativa d. 3 13 c) 10 37 d) 12 98. Dona Helena pagou R$ 3.65 por litro.5 litros de refrigerante e um pacote de bolachas. 4 6 3 3.85 Alternativa b.72 b) 4. O preço de 1 kg dessa carne é: Alternativa c.3 ? 1 000 000 5 30 300 000 8.072 d) 4.16 b) R$ 10. b) décimos. 9 1 7 2 5. pagando um total de R$ 5.5 2 2.00072 94. (Obmep) Em 1998. a) 1 356 ? 0. a) 2. 1 1 2 1 0.40 a mais que a bolacha. e resolve abastecer o seu carro com 45 litros de gasolina.5 d) 1 356  1 2 229 prm6_205_230_unid12. 5 5 4 Cometeu erro na coluna dos: Alternativa b.35 b) R$ 1. posso efetuar: Alternativa a.45 d) 1.75 d) R$ 1. por um posto que cobra R$ 2. O valor de Anote no caderno o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta. O custo de apenas um litro desse refrigerante foi: 95. d) milésimos. Em relação ao preço do primeiro posto.indd 229 5/13/15 4:46 PM . a) 303 000 b) 303 000 000 c) 30 300 000 d) 30 300 000 000 Marcelo Azalim 30.74 c) 1. 3 O ponto A corresponde a um dos números abaixo. O refrigerante custou R$ 0.(Vunesp) Comprei uma garrafa de 2.55 c) R$ 1.85 a) b) c) d) R$ 1. em uma estrada.AUToAVALiAÇÃo 97. a) R$ 1.5 100. (Vunesp) Para encontrar a metade de 1 356.5 c) 1 356 ? 2 b) 1 356  0.(UFRJ) Um motorista passa. Qual das opções abaixo representa a população do Canadá em 1998? Alternativa c.58 por 0.48 101.3 milhões.08 R$ 1. Quatro inteiros e setenta e dois décimos de milésimos é igual a: Alternativa b.68 por litro de gasolina. Em seguida passa por outro posto. 5 4 6 b) 7 a) 93.75 é: Alternativa d. Horas Ilustrações: DAE Alternativa b.50 b) 13.00 abril 9. Com esse troco ela poderia comprar: Alternativa b. 25 1 tados para os Estados Unidos e . qua.(Cesgranrio-RJ) O gráfico abaixo apresenta a quantidade de arroz. 22. conclui-se que o valor recebido com horas extras em janeiro supera o valor recebido com horas extras em maio em: Alternativa d.10 R$ 1. a) 10.0 kg de batata.25. ter.50 d) 14. em kg.15 R$ 0.72  25 5 0.50 junho 10. qui.9088 ? 9 5 8.00 c) 13. Ao todo. Desse total.48 b) 11. viu o cartaz: Só hoje! Venda Especial Feijão kg – Arroz kg – Batata kg – Mandioca kg – Tomate kg – R$ 1. Mês Valor (r$) janeiro 8. a) 0.00 fevereiro 8. em kg. a) 12.a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 105.00 Analisando o gráfico e a tabela.90 12 10 8 6 4 2 0 jan. sex.00 e recebeu o troco em moedas de R$ 0.(Cesgranrio-RJ) Severina foi ao mercado com R$ 3.18 d) 9.70 R$ 0.72 milhões de barris de petróleo exportados em 8 foram expormarço de 2010. Lá chegando.26 b) 6.(Vunesp) O gráfico a seguir mostra o número de horas extras que um trabalhador fez nos 6 primeiros meses do ano passado.indd 230 5/13/15 4:46 PM .(Prominp) Uma reportagem revelou que a Petrobras atingiu novo recorde de exportação: 22.5 kg de batata. kg é o símbolo de quilograma 104.5 kg de mandioca. fev. Danillo Souza 102. quantos milhares de barris foram exportados para esses dois países? Alternativa c.6 14.3 11. e) 1. Quantas moedas ele recebeu? 20 18 16 14 103. c) 1.50 março 9.00 maio 9.50 com uma nota de R$ 5. b) 0.90 R$ 0.88 mar. jun. nessa semana? Alternativa c. Escola Central Semana de 31/08 a 04/09 Consumo de arroz (em kg) 12 13.16 230 prm6_205_230_unid12.60 c) 12.00 106.9088 a) 4.30 R$ 1.50 R$ 2. consumida durante uma semana na Escola Central. simultaneamente.5 kg de arroz. Qual foi o consumo médio diário de arroz.10 R$ 2.90 R$ 1. Mês A tabela a seguir mostra o valor de cada hora extra a cada mês: Como os preços estavam mais baixos.1 seg.64 d) 12.0 kg de tomate.2 12.(Obmep) Alvimar pagou uma compra de R$  3. abr. mai. aproximadamente. d) 1.00 para comprar 2 kg de feijão.00 R$ 0.28 0.1792 c) 8. para o 25 Canadá. Severina recebeu troco. Aprender porcentagens e os cálculos relacionados a elas nos ajuda a entender e utilizar melhor essas informações.indd 231 231 5/13/15 5:03 PM . esses 30 alunos correspondem a 100% dos alunos da classe. 100 E 100% (cem por cento). Frações de denominador 100 podem ser escritas na forma de porcentagem: 63 5 63% 100 Lê-se: sessenta e três por cento. O símbolo % se identifica com centésimos. Veja alguns exemplos: 100 ◆◆ Se uma classe tem 30 alunos. ou seja. quanto é? 100 . Porcentagens são frações com denominador 100. então R$ 80. Veja os exemplos: 85 5 85% 100 Lê-se: oitenta e cinco por cento. 12 5 12% 100 Lê-se: doze por cento. 79 5 79%. 100% é ◆◆ Se tenho R$ 80. 7 5 7% 100 Lê-se: sete por cento. O que é porcentagem? Léo Burgos Se você abrir o jornal de hoje. Porcentagens prm6_231_242_unid13. 100% é a totalidade.00 na carteira.13 unidade Porcentagens 1.00 correspondem a 100% do que tenho na carteira. provavelmente encontrará dados representados por meio de porcentagens. 07 E quanto é 1%? Para achar 1% de um total.00 de desconto se pagar a compra à vista.75. 50% é a metade do total. Metade dos alunos da classe gostam de Geografia. e conclui que terá R$ 2. Como sua compra soma R$ 20. você calcula: 20  10 5 2. que é a centésima parte do total: 100 ◆◆ 1% de 900 é 9 ◆◆ 1% de 45 é 0. basta dividi-lo por 4. sabemos que as mercadorias estão sendo vendidas pela metade do preço.  5 .9 ◆◆ 1% de 186 é 1.5 ◆◆ 50% de 0. imagine-se aproximando do caixa de uma loja e vendo o aviso ao lado. Você sabe por que. porque 30  2 5 15 ◆◆ 50% de 46 é 23 ◆◆ 50% de 7 é 3. 25% corresponde à 25 1 quarta parte do total.45 232 prm6_231_242_unid13. Para calcular 25% de um número. basta dividi-lo por 100. porque 3  4 5 0.8 é 0. basta dividi-lo por 10? 10 1 Porque 10% 5 5 . Observe: 50% 5 DAE 50% de um número TA O FER 50% de desconto 1 50 5 100 2 Para calcular 50% de um total. basta dividi-lo por 2.5.8 ◆◆ 10% de 9 é 0.5 ◆◆ 25% de 200 é 50. 1 1% 5 . pois 25% 5 100 4 ◆◆ 25% de 12 é 3.indd 232 5/13/15 5:03 PM .00. ◆◆ 50% de 30 é 15. Por quê? Porque se 100% é o total. porque 12  4 5 3 ◆◆ 25% de 26 é 6. porque 26  4 5 6.86 ◆◆ 1% de 7 é 0. porque 200  4 5 50 ◆◆ 25% de 3 é 0. para calcular 10% de um valor.75 Andrey_Popov/Shutterstock 10% de um valor Agora.LIQUIDAÇÃO TOTAL Quando lemos um anúncio como este ao lado.4 Como calcular 25% de um número? Escreva no caderno outra maneira de dar a informação: “Cinquenta por cento dos alunos da classe gostam de Geografia”. 100 10 10% corresponde à décima parte do total: ◆◆ 10% de 50 é 5 ◆◆ 10% de 160 é 16 ◆◆ 10% de 178 é 17. A B 3. a parte colorida de cada uma das figuras: 4  20% 20 amarelos: 13  65% 20 azuis: 3  15% 20 6. Quanto é? Calcule mentalmente e anote os resultados.indd 233 233 5/15/15 6:50 PM . 5. Escreva cada fração na forma de porcentagem.EXERCÍCIOS C A B A A Ilustrações: DAE 1. a) b) c) d) e) f) 50% de 600 reais 300 reais 25% de 4 000 reais 1 000 reais 10% de 2 800 ovos 280 ovos 20% de 2 800 ovos 560 ovos 1% de 2 800 ovos 28 ovos 100% de 350 gramas 350 gramas PORCENTAGENS prm6_231_242_unid13. dos amarelos e dos azuis. Escreva a porcentagem dos quadrados vermelhos. Relativamente ao número total de quadradinhos na figura abaixo. A geleia de morango contida na embalagem abaixo tem 28% de açúcar. Danillo Souza a) 1 ou 50% 2 150 g b) 1 ou 25% 4 a) O que significa a expressão 28% de açúcar? Em cada 100 g de geleia há 28 g de açúcar. qual é a porcentagem dos quadradinhos com a letra: B A 1 5 b) 45% 9 20 c) 5% 1 20 d) 80% 4 5 A C C A a) A? 10% a) 20% B A A 4. b) Qual é o peso do açúcar contido nessa embalagem de geleia? 42 g c) 1 ou 100% d) 3 ou 75% 4 7. 47 7 2 3 a) c) d) 47% b) 35% 40% 12% 100 20 5 25 B A B B b) B? 7% c) C? 3% vermelhos: 2. com fração e na forma de porcentagem. Escreva cada porcentagem na forma de fração irredutível. Represente. 2. as regiões Sudeste. Nosso total é de 300 kWh. 234 prm6_231_242_unid13. Precisamos calcular 20% de 300. Nordeste e Centro-Oeste do Brasil enfrentaram uma crise no fornecimento de energia elétrica. junho e julho de 2000.indd 234 5/13/15 5:03 PM . ◆◆ 10% de 300 5 300  10 5 30 ◆◆ 20% é o dobro de 10% Então. Os moradores dessa residência teriam de economizar 60 kWh. Os moradores de cada residência deveriam consumir 20% menos que a média de consumo dos meses de maio. Calculando porcentagens Agora que sabemos o que é porcentagem. 6 ed. Fernando Favoretto/Criar Imagem Vamos tomar como exemplo uma residência em que essa média de consumo tenha sido de 300 kWh. Acompanhe. Brasil: regiões 60°O Boa Vista COLÔMBIA AMAPÁ Macapá RORAIMA 0° Equador Belém Manaus AMAZONAS 40°O GUIANA SURINAME FRANCESA (FRA) GUIANA São Luís Fortaleza MARANHÃO CEARÁ Teresina PARÁ NORTE Arq. Atlas Geográfico Escolar. 20% de 300 5 2 ? 30 5 60. de Fernando de Noronha RIO GRANDE DO NORTE Natal © DAE/Sonia Vaz VENEZUELA PARAÍBA João Pessoa PERNAMBUCO Recife ALAGOAS Maceió NORDESTE SERGIPE Aracaju BAHIA Salvador PIAUÍ ACRE Rio Branco Porto Velho Palmas RONDÔNIA TOCANTINS PERU MATO GROSSO Cuiabá BOLÍVIA 20°S DISTRITO FEDERAL GOIÁS Brasília MINAS CENTRO-OESTE Goiânia GERAIS MATO GROSSO Belo Horizonte DO SUL SUDESTE Campo Grande OCEANO PACÍFICO SÃO PAULO São Paulo PARAGUAI PARANÁ Curitiba CHILE ARGENTINA Capital de país Capital estadual Limite estadual Limite internacional Limite regional OCEANO ATLÂNTICO ESPÍRITO SANTO Vitória RIO DE JANEIRO Trópico de Capricórnio Rio de Janeiro N SUL SANTA CATARINA Florianópolis RIO GRANDE DO SUL O Porto Alegre L S 0 460 920 km URUGUAI Fonte: IBGE. 1.. ou seja. o consumo deveria cair para: 300 2 60 5 240 kWh. 2012. 300 kWh corresponde a 100%. Neste exemplo. Em 2001. podemos trabalhar com diversas situações. Rio de Janeiro: IBGE. 2. Dica! 3. saber onde é preciso investir em escolas. dos quais 72% viviam na zona urbana. 14 milhões de habitantes. porcentagem da população que vivia na zona urbana. 14 000 000 de habitantes 140 000 habitantes 28 ? 140 000 5 3 920 000 habitantes Ou seja. Paulo José Podemos calcular também quantas pessoas viviam na zona rural: Acho 1% dividindo o total por 100. pois: Você sabe o que é e para que serve o Censo? Além de servir para contar a população do país.4 Arquivo pessoal/Foto: Léo Burgos ◆◆ 2% 5 2 ? 1% A multa seria de R$ 1. Com essa informação podemos afirmar que 28% da população da Bahia vivia na zona rural (campo). em números redondos. o Censo coleta dados importantes sobre as condições de vida nos municípios. qual seria o valor da multa? Veja uma forma bem simples de calcular e registrar os cálculos: 100% 70 ◆◆ 1% 70  100 5 0. criação de empregos e muitas outras coisas.7 ◆◆ 2% 2 ? 0.7 5 1. moram em casa própria. coleta de lixo. aproximadamente 3 920 000 pessoas viviam na zona rural da Bahia no ano de 2010. Por exemplo: se há água. Numa conta de R$ 70. O governo usa essas informações para. Danillo Souza 100% 1% 28% Porcentagens prm6_231_242_unid13. Multiplico esse valor por 28 porque quero determinar 28% do total. se as pessoas trabalham. 100% 2 72% 5 28% porcentagem da população que vivia na zona rural. quanto ganham por mês etc.40. corresponde à população total do estado em 2010. As contas de energia elétrica na cidade de São Paulo têm 2% de multa se pagas com atraso. esgoto. energia elétrica. rede elétrica. estudam. nos estados e nas regiões. o estado da Bahia tinha.indd 235 235 5/13/15 5:03 PM . Segundo dados do Censo 2010 realizado pelo IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística). por exemplo.00. hospitais. nesse ano. Os alunos de certa escola fizeram uma pesquisa estatística. hospitais e centros comunitários em seu tempo livre e sem receber por isso.5 g. quantas pessoas foram entrevistadas pelos alunos? O total de entrevistados corresponde a 100%. Você quer ter boa saúde? Então faça exercícios físicos. creches. Você sabe o que é voluntariado? É a atividade em que as pessoas dão sua contribuição trabalhando em escolas.indd 236 5/13/15 5:03 PM . pratique algum esporte e alimente-se de forma equilibrada.5 5 4. Na composição do queijo de minas. Usando as porcentagens básicas podemos calcular quantos gramas de proteína há numa fatia de 50 gramas de queijo de minas. evitando doces. Eles entrevistaram pessoas perguntando se elas participavam de algum tipo de ação voluntária em sua cidade. 9% corresponde a proteínas.5 g. são fontes de proteína. refrigerantes e frituras. Do total de entrevistados.5 g. ◆◆ 100% 5 4 ? 25% ◆◆ 25% ◆◆ 100% 150 4 ? 150 5 600 Os alunos entrevistaram 600 pessoas. Danillo Souza Fotos: Edson Antunes Como 9% 5 10% 2 1%. que é 4. 5.5 g Eu pensei diferente: Se 1% corresponde a 0. por exemplo. Consumir alimentos que contenham proteínas é essencial. então 9% corresponde a 9 ? 0. 25% responderam afirmativamente à pergunta. Se esses 25% correspondiam a 150 pessoas. O leite e o queijo. ◆◆ 100% 50 g ◆◆ 10% 5g ◆◆ 1% 0.5 g de proteína. Em sua escola há algum tipo de trabalho voluntário? E em seu bairro? Converse com seus colegas.4.5 g. numa fatia de 50 g de queijo de minas há 4. faremos 9% de 50 g 5 5 2 0. Portanto. Alguém conhece ações voluntárias com as quais vocês poderiam contribuir? Pensem nisso! 236 prm6_231_242_unid13. Produto B: loja 3. d) 100% de 800 800 e) 25% de 800 200 f ) 75% de 800 600 a) 50% de 300 150 b) 10% de 300 30 c) 60% de 300 180 1 0.00 R$ 900.500.300.00 Ronaldo Barata c) 100% de 500 500 d) 110% de 500 550 a) 10% de 500 50 b) 90% de 500 450 a) Quanto o garçom recebeu de gorjeta? R$ 0. 5. Uma funcionária da minha escola tem um sa­ 1 lário de R$ 1. 12.000. Doze por cento de um lote de 4 200 peças de au­ tomóvel são peças defeituosas.600.00 R$ 960.00 B R$ 4. Sílvia pagou R$ 6.700. de acordo com a efi­ ciên­cia de cada um.indd 237 237 5/13/15 5:03 PM . 9. Se um deles recebeu 20% desse valor e um outro recebeu 55%.000. 11.00 R$ 4.50 por um sanduíche e um refrigerante e ainda deu uma gorjeta de 10% ao garçom. O gerente de uma empresa recebeu a incum­ bência de distribuir um prêmio de R$ 12.00 R$ 4.280. Veja a figura: 500 g Danillo Souza Danillo Souza 8.65 b) Quanto Sílvia pagou no total? R$ 7. Continue calculando mentalmente.000.Exercícios d) 30% de 600 180 e) 5% de 600 30 f ) 35% de 600 210 a) 10% de 400 40 b) 5% de 400 20 c) 15% de 400 60 1 4. Quantos gramas tem a embalagem em pro­ moção? 660 gramas 1 6. Quanto ela acaba re­ cebendo? R$ 1.00 Promoção desconto de 10% desconto de 15% desconto de 20% Onde será mais vantajoso adquirir cada um dos produtos indicados? Produto A: loja 2.60 marco mayer/Shutterstock Converse com seu colega sobre qual é a maneira mais fácil de fazer esses cálculos. Do valor do salário é descontado 8% para a previdência social.020. Continue calculando mentalmente.15 13. Calcule mentalmente. Produto C: loja 3.00 R$ 16.00. Numa lanchonete.00 R$ 15.00 entre três funcionários. Produto Loja 1 Loja 2 Loja 3 A R$ 860. mas ela não recebe essa quantia.00 C R$ 14. Qual é o núme­ ro de peças sem defeito? 3 696 peças Porcentagens prm6_231_242_unid13. quantos reais recebeu o terceiro? R$ 3.177. Observe o quadro de comparação de preços em três lojas. 3. A forma decimal das porcentagens Como identificamos o símbolo % com centésimos, as porcentagens podem ser escritas na forma decimal. ◆ 35%  35  0,35 100 ◆ 8%  8  0,08 100 ◆ 40%  40  0,40  0,4 100 A forma decimal das porcentagens é bastante utilizada, principalmente para calcular porcentagens na calculadora. Para calcular 43% de 200 na calculadora, basta fazer 0,43  200. Observe por quê: 43 43%   0,43 100 43% de 200  43%  200  0,43  200 Indica multiplicação. Então, 43% de 200  86. Faça na calculadora 0,35  18 para obter 35% de 18. O resultado é 6,3. Falando de calculadoras… A maioria delas possui a tecla % . Como devemos usá-la? Digamos que você queira calcular 17% de 150: ◆ digite 150; pressione a tecla  da multiplicação; ◆ digite 17; ◆ pressione a tecla % . Aparecerá no visor o resultado: 25,5. Vitaly Korovin/Shutterstock ◆ Use a calculadora e a tecla de porcentagem para determinar: a) 32% de 180 57,6 b) 6% de 25 1,5 Registrem no caderno: 1. Mostrem que: 3 a) 150%  2 150 3  100 2 b) 60%  3 5 60 3  100 5 2. Por qual número decimal devemos multiplicar um valor x para obter: a) 10% de x? 0,1 b) 8% de x? 0,08 c) 95% de x? 0,95 3. Invente um anúncio oferecendo um produto com 50% de desconto. Coloque o preço sem desconto. Troque de caderno com um colega. Cada um calcula quanto se pagará pelo produto com desconto. Destroquem os cadernos e confiram as respostas. 4. Peguem uma folha de papel quadriculado. Imaginem e desenhem nessa folha a planificação de um bairro de forma que cada item ocupe a porcentagem do total de quadradinhos indicada a seguir. ◆ residências: 40%; ◆ praças esportivas: 5%; ◆ ruas e avenidas: 20%; ◆ edifícios comerciais: 15%; ◆ colégios: 5%; ◆ áreas verdes: 15%. 238 prm6_231_242_unid13.indd 238 5/15/15 6:53 PM EXERCÍCIOS 17. Copie e complete o quadro. Porcentagem 0,25; 1 4 35%; 7 20 Número decimal Fração 25% Mateus 3 10 0,35 Fábia 0,08 Natália 1 5 Carlos 1 3 100 a) Que fração de CDs Fábia arrumou? 4 b) Que porcentagem de CDs Carlos arrumou? 20% 3% 1 1%; 0,01 70%; 4 4 2 25 0,03; 1 3 75%; 0,75 8%; 20. Os quatro funcionários de uma loja arrumaram todos os CDs nas estantes. O gráfico mostra a quantidade de CDs que cada funcionário arrumou. 21. Copie e complete o quadro. 100 7 10 15% de 200 0,7 0,15  200 30 0,32  500 32% de 500 4 0,16; 25 160 0,87  600 16% 87% de 600 18. Calcule mentalmente. 25%  0,25  522 0,04  900 1 4 36 a) 25% de 800 200 1 b) de 800 200 4 c) 0,25 de 800 200 Marcelo Azalim 22.Em qual das lojas é preferível comprar? Por quê? Estúdio Ornitorrinco Após calcular, responda: O que você concluiu? 4% de 900 19. Uma farinha com mistura de cereais tem 65% de trigo e 25% de milho. a) Você acha que essa mistura contém apenas porque a soma das duas trigo e milho? Por quê? Não, porcentagens não é de 100%. b) Qual é o “peso” do trigo em 800 gramas dessa mistura? 520 g O valor do televisor é o mesmo nas duas lojas. PORCENTAGENS prm6_231_242_unid13.indd 239 239 5/15/15 6:57 PM REVISANDO 23. Calcule. 27. No gráfico, os dados indicam o resultado de uma pesquisa sobre iogurtes em uma escola. Cada pessoa pôde escolher somente um sabor. a) 2% e 20% de 80 1,6; 16 b) 5% e 50% de 80 4; 40 Sabor preferido c) 10% e 100% de 80 8; 80 d) 200% e 300% de 80 160; 240 40% Compare e comente com os colegas os resultados obtidos. 24. Numa empresa com 1 400 empregados, 35% são mulheres. a) Qual a porcentagem de homens? 65% b) Quantas mulheres trabalham na empresa? E quantos homens? 490 mulheres e 910 homens Marcelo Azalim 25. Comprei um refrigerador por R$ 1.400,00, a ser pago do seguinte modo: Porcentagem 40 30 30% 20% 20 10% 10 0 pêssego uva 0% morango mamão ameixa Sabor a) Qual foi o sabor preferido? Morango. b) Qual foi o sabor que nenhum dos entrevistados indicou como preferido? Mamão. c) Se a pesquisa foi feita com 240 alunos da escola, determine quantos indicaram ameixa. 48 alunos a) Qual é o valor da entrada? R$ 210,00 b) Qual é o valor de cada prestação? R$ 297,50 26. (Saresp) Helena vende sanduíches naturais na cantina da escola e, devido ao aumento de custos, teve de reajustar os preços em 6%. Calcule qual será o novo preço de um sanduíche que custava, antes do aumento, R$ 2,50. R$ 2,65 Marcelo Azalim 28. Em um supermercado, várias caixas iguais de bombons foram organizadas da forma que pode ser vista na figura abaixo. O preço de cada caixa de bombons é R$ 18,50, mas vai ser vendida com 12% de desconto. Qual é o valor que o supermercado vai arrecadar se vender todas as caixas de bombons mostradas na figura? R$ 569,80 240 prm6_231_242_unid13.indd 240 5/13/15 5:03 PM DESAFIOS 32. Calcule mentalmente. Água Minerais 65% 12% água: 54,6 gramas proteínas: 10,08 gramas CaptainImages/ Shutterstock Veja o quadro e calcule aproxi­ madamente a quantidade de água, proteínas e gordura que o ovo contém. Proteínas Gordura 12% 11% gordura: 9,24 gramas 33. Um feirante pretendia obter R$ 1.000,00 com a venda de 500 abacaxis. Ao receber os abacaxis de seu fornecedor, constatou que 20% esta­ vam impróprios ao consumo. Para conseguir a quantia prevista inicialmente, por quanto teve de vender cada abacaxi restante? R$ 2,50 • 80% de 500 5 400 • 1 000  400 5 2,50 Stigur Karlsson/E+/Getty Images 30. Numa negociação salarial entre patrão e em­ pregado, ficou decidida a concessão de um au­ mento, dividido em duas parcelas. Para isso, o patrão fez duas propostas: a) Se 4% de um número é 73, quanto será 40% desse número? 730 b) Se 30% de um número é 99, quanto será 3% desse número? 9,9 Leonardo Conceição 29. O conteúdo de um ovo pesa 84 gramas. I. Dois aumentos sucessivos, um de 15% e outro de 10%. R$ 2.024,00 II. Dois aumentos sucessivos, um de 20% e outro de 5%. R$ 2.016,00 Se o empregado tem um salário de R$ 1.600,00, qual proposta é mais vantajosa para ele? A primeira. Veja abaixo o conteúdo dessa nota, e observe que cada algarismo ilegível está representado por um asterisco. Marcelo Azalim Verifique que sobre o consumo foi acrescenta­ do 10% a título de serviço. Qual é o valor total da nota? R$ 59,84 34. (UERJ) Um supermercado vende cada lata de um achocolatado por R$ 4,00 e cada pacote de biscoito por R$ 1,00. Para chamar a atenção dos clientes, ofereceu um desconto de 20% no pre­ ço da lata do achocolatado e de 10% no preço do pacote de biscoito, caso o cliente compras­ se um “kit promoção” com 1 lata de achocola­ tado e 2 pacotes de biscoito. Marcelo Azalim 31. Em um almoço num restaurante foram feitas despesas nos itens bebidas e prato principal. A nota de caixa relativa a essas despesas apre­ sentava alguns números ilegíveis. * * ** * ** 16,0* 3*,34 **,40 *,44 **,84 6 8 54 5 59 a) Qual é o valor, em reais, do “kit promoção”? R$ 5,00 3,20 1 0,90 1 0,90 5 5,00 b) Qual é o número máximo de “kits promoção” que uma pessoa poderá comprar com R$ 20,00? 4 kits PORCENTAGENS prm6_231_242_unid13.indd 241 241 5/13/15 5:03 PM Autoavaliação Anote no caderno o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta. 3 5. (UFRN) 25% da terça parte de 1 026 é igual a: Alternativa d. 25% de 342 5 85,5 a) 855 b) 769,5 c) 94,5 d) 85,5 36. Um aluguel de R$ 700,00, aumentado em 35%, passa a ser de: Alternativa c. a) R$ 735,00 b) R$ 845,00 c) R$ 945,00 d) R$ 950,00 3 9. Um artigo está sendo vendido com 15% de des­ conto sobre o preço de tabela. Então, para cal­ cular o valor a ser pago pelo artigo, o preço de tabela deve ser: Alternativa c. a) dividido por 0,15. b) dividido por 85. c) multiplicado por 0,85. d) multiplicado por 0,15. 40. (Ceetesp) Das 14 toneladas diárias da coleta seletiva de lixo, 37% são de alumínio (latas de refrigerante e cerveja). Ismar Ingber/Pulsar Imagens 37. (Saresp) Em uma chácara há um total de 350 ár­ vores frutíferas, assim distribuídas: 30% mangueiras 10% limoeiros DAE abacateiros laranjeiras 40% 20% As quantidades de laranjeiras e mangueiras são, respectivamente: Alternativa b. a) 140 e 70 c) 105 e 70 b) 140 e 35 d) 140 e 105 38. Em uma fábrica, sobre o preço final do produto, sabe-se que: 1 ◆◆ desse preço são salários; 4 ◆◆ 1 desse preço são impostos; 5 ◆◆ 25% ◆◆ o desse preço é o custo da matéria-prima; restante é o lucro. O percentual do preço que representa o lucro é: a) 10% c) 20% b) 15% d) 30% 242 prm6_231_242_unid13.indd 242 Alternativa d. Com o quilo de alumínio ao preço de R$ 0,70, a arrecadação no final de um dia é: Alternativa b. a) R$ 2.394,00 b) R$ 3.626,00 c) R$ 4.497,00 d) R$ 5.362,00 41. Na loja Compre Aqui, um modelo de televisor tem o preço de R$ 820,00 e pode ser comprado de duas formas: à vista, com desconto correspondente a 20% do preço; a prazo, com entrada correspondente a 10% do preço e o saldo acrescido de 30% de seu valor, pago em 5 parcelas iguais. Carlos e Heitor compraram esse aparelho, o pri­ meiro à vista e o outro a prazo. Quanto Heitor pagou a mais que Carlos? Alternativa d. a) R$ 378,00 b) R$ 357,60 c) R$ 324,80 d) R$ 385,40 Carlos: 820 ? 0,80 5 656 Heitor: 82 1 738 ? 1,3 5 1.041,40 Diferença: 385,40 5/13/15 5:03 PM 14 UNIDADE Medidas Marcelo Azalim 1. O que é medir? Veja, ao lado, várias situações que envolvem medidas. Em todas elas temos um número acompanhado de uma unidade de medida. Medir é comparar. A unidade de medida é o padrão com o qual comparamos o que queremos medir. A medida depende da unidade utilizada. Vamos medir o segmento AB. Acompanhe: A B A B u u u u u A B d d 2 Usando o comprimento d como unidade de medida, temos AB 5 2,5 d. Fernando Favoretto/Criar Imagem Blue Jean Images/Alamy/Glow Images d Usando o comprimento u como unidade de medida, temos AB 5 5 u. Se quero medir uma massa, comparo­a com outra massa tomada como unidade de medida. Se quero medir um comprimento, comparo­o com outro comprimento tomado como unidade de medida. MEDIDAS prm6_243_272_unid14.indd 243 PRATICANDO MATEMÁTICA 243 5/13/15 5:24 PM 14a PROVA O surgimento do sistema métrico decimal Você já reparou como muitas vezes usamos partes do nosso corpo como unidade de Objeto medida de comprimentos? educacional digital — Estou a três passos de você! — Passei a um palmo do poste. — A barra deste par de calças precisa ser abaixada dois dedos. Na realidade, durante muito tempo algumas partes do corpo humano foram usadas para medir. Nas medidas de comprimento, por exemplo, eram comuns unidades derivadas de partes do corpo dos reis de cada território. Ainda hoje, principalmente nos Estados Unidos e na Inglaterra, são utilizadas algumas unidades que têm essa origem, como a polegada, o pé e a jarda. polegada Ilustrações: Ilustra Cartoon jarda pé 1 polegada 5 2,54 centímetros 1 pé 5 30,48 centímetros 1 jarda 5 91,44 centímetros Encontramos medidas em polegadas em algumas situações: Tubo PVC ra3r n/Sh utte c rsto k stuart.ford/Shutterstock V ÃO T MOÇ das O R P olega 20 p diâmetro: 1  polegada 4 Por muitos séculos, os padrões de medida variavam de um território para o outro. No entanto, com a expansão do comércio e o desenvolvimento das ciências, surgiu a necessidade de estabelecer unidades de medida mais universais, pois padrões diferentes geravam dificuldades e muitas confusões. Em 1790, o rei Luís XVI, da França, decretou a criação de uma comissão de cientistas que tinha como missão criar um sistema padronizado de medidas para ser usado por todos. Um decreto, assinado na França em 1795, instituiu o chamado sistema métrico decimal (SMD), mas somente em 1840 ele foi definitivamen­ te implantado nesse país. O Brasil aderiu oficialmente a esse sistema em 1862. 244 prm6_243_272_unid14.indd 244 PRATICANDO MATEMÁTICA 14a PROVA 5/13/15 5:24 PM 2. Comprimentos no sistema métrico decimal Para medir comprimentos, a unidade fundamental do sistema métrico decimal é o metro, cujo símbolo é m. Mas o metro, só, não é suficiente. Para medir distâncias como a da Terra ao Sol é mais adequado usar uma unidade maior que o metro. Da mesma forma, ele não é conveniente para medir a espessura de um vidro de janela, por exemplo. ◆◆ 1 hectômetro (hm) 5 100 metros ◆◆ 1 quilômetro (km) 5 1 000 metros Ilustrações: Ilustra Cartoon Você tem 1,36 m de altura! Por isso, partindo da unidade fundamental, o metro, obtemos seus múltiplos: ◆◆ 1 decâmetro (dam) 5 10 metros Subdividindo o metro, obtemos seus submúltiplos: ◆◆ O decímetro (dm), que é a décima parte do metro 1 dm 5 0,1 m ◆◆ ◆◆ O centímetro (cm), que é a centésima parte do metro 1 cm 5 0,01 m O milímetro (mm), que é a milésima parte do metro 1 mm 5 0,001 m O sistema métrico é decimal. Nesta tabela podemos observar que cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente à sua direita. km hm dam m dm cm mm 1 000 m 100 m 10 m 1m 0,1 m 0,01 m 0,001 m Apesar de existirem e completarem a escala do sistema métrico decimal, algumas dessas unidades são pouco utilizadas na prática. As unidades de medida de comprimento mais comuns são o metro, o quilômetro, o centímetro e o milímetro. Não me lembro de ter visto medidas em hectômetro ou decâmetro! Puxa, usamos medidas de comprimento a toda hora! Responda no caderno: das unidades de medida de comprimento do sistema métrico decimal citadas, qual é a mais adequada para medir: a) o comprimento da sala de aula? Metro. b) o comprimento do seu lápis? Centímetro. c) o diâmetro do seu lápis? Milímetro. d) a distância entre duas cidades? Quilômetro. MEDIDAS prm6_243_272_unid14.indd 245 PRATICANDO MATEMÁTICA 245 5/13/15 5:24 PM 14a PROVA transformamos as medidas 1. para saber quantos metros de arame são necessários para cercar a chácara do senhor Siqueira. Veja os exemplos: ◆◆ 1.indd 246 Praticando Matemática 14a prova 5/13/15 5:24 PM .2 km Entendi! Para converter uma medida de metros para quilômetros. um desenho repre­ sentando a chácara do senhor Siqueira. Para escrever em quilômetros o perímetro de 5 200 metros. Só que não podemos operar com medidas que estão em unidades diferentes! É preciso convertê-las para a mesma unidade. serão necessários 5 200 metros de arame. 1.075 km 5 75 m ◆◆ 8.5 km 900 m 800 m Ilustrações: Danillo Souza Quilômetro e metro 2 km Fazer conversões entre as principais unidades de medida de comprimento do sistema métrico decimal não é difícil. e. Multiplicar por 1 000 equivale a deslocar a vírgula três posições para a direita.26 km 5 8 260 m Então. Para converter uma medida de quilômetros para metros.5 km 5 1 500 m ◆◆ 0. Veja: ◆◆ 1 km 5 1 000 m ◆◆ 2 km 5 2 000 m ◆◆ 3 km 5 3 000 m e assim por diante. o perímetro dessa chácara é de 5 200 metros. se a cerca tiver somente uma volta. ao lado.Conversões entre unidades de medida de comprimento Veja. basta multiplicá-la por 1 000. o que equivale a deslocar a vírgula três posições para a esquerda! 246 prm6_243_272_unid14. basta dividir 5 200 por 1 000: 5 200 m 5 5.5 km e 2 km em metros e calculamos o perímetro. 2 000 m 1 1 500 m 1 800 m 1 900 m 5 5 200 m Portanto. Para calcular quantos metros de arame são necessários para cercá-la. ele pre­ cisa somar as medidas de seu contor­ no. basta dividi-la por 1 000. 4.indd 247 PRATICANDO MATEMÁTICA 247 5/13/15 5:24 PM 14a PROVA .Dona Marta pretende contornar esta toalha com renda. Espera-se que sejam diferentes. DAE Metro e centímetro Não precisa nem falar. respondam às questões ou façam o que se pede. Agora é com você e seus colegas. Um avião comercial viaja a uma altitude de 36 000 pés. No caderno. o passo varia de pessoa para pessoa.7 m ◆◆ 125 cm 5 1. Como se faz para converter uma medida: a) de metros para milímetros? Multiplicamos por 1 000.03 m 80 cm 2m e assim por diante. devo dividir por 100.6 m de renda. 12 polegadas. basta multiplicá-la por 100. tem-se 10 800 m. Usem arredondamento para a medida de 1 pé e calculem mentalmente a quantos metros essa altitude corresponde. a) As medidas obtidas foram iguais? Por quê? Resposta pessoal.8 m 1 0.38 m ◆◆ 70 cm 5 0. Eles devem usar o próprio passo como unidade de medida. Arredondando 1 pé para 30 cm.6 m Então. Escolham dois colegas para medir o comprimento da sala de aula. Descubram situações em que apareçam medidas em pés e em jardas. 6.8 m 5 5. Agora estamos trabalhando com centímetros e metros: ◆◆ 1 m 5 100 cm ◆◆ 2 m 5 200 cm ◆◆ 3 m 5 300 cm É isso mesmo! Veja exemplos: ◆◆ 38 cm 5 0. MEDIDAS prm6_243_272_unid14. E de centímetros para metros? Danillo Souza Para converter uma medida de metros para centímetros. ela precisa converter as medi­ das a uma mesma unidade para calcular o perímetro da toalha e comprar a metragem correta de renda. b) de milímetros para metros? Dividimos por 1 000. calculem quantas polegadas tem 1 pé. Quantos: a) milímetros há em 3 centímetros? 30 milímetros b) centímetros há em 50 mm? 5 centímetros 3. 1 m 5 1 000 mm Resposta pessoal. b) O passo é uma unidade de medida que não varia? Não. 2.48 cm.25 m ◆◆ 3 cm 5 0. Se 1 polegada é igual a 2. 5. certo? Com essas informações podemos calcular quantos metros de renda dona Marta precisa comprar: ◆◆ 80 cm 5 0. Assim como o senhor Siqueira.8 m 2 m 1 2 m 1 0.54 cm e 1 pé é igual a 30. porque já entendi: para converter uma medida de centímetros para metros. ela precisa comprar 5. Em 1 cm há 10 mm. Pedro Sotto 1. 06 m tGHu 3..... a) b) c) d) e) comprimento de uma formiga.70 m b) 29 metros e 6 centímetros. 1o lugar Ana 2o lugar Rita 3 lugar Clara 4o lugar Paula o Comprimento estimado Comprimento medido tABu 2. 3. copie e complete o quadro.38 m c) 5 cm 0....5 km em metros. 2 cm Nome c) 200 folhas. 29.. 1 000 mm 248 prm6_243_272_unid14. 1 cm b) 20 folhas.28 cm 8. Escreva: a) b) c) d) 4 km em metros. Faça a estimativa destes comprimentos: Respostas pessoais... 2 m 7. 10 mm 1 m em milímetros..4 cm b) Qual é o comprimento do prego em milímetros? 64 mm 2. A figura mostra uma régua graduada em centímetros..... Indique em metros: tEFu 1.05 m d) 5 mm 0. B F Classificação E H Meça com uma régua o comprimento de cada um dos segmentos. 4 000 m 0.. Indique a altura de uma pilha com: a) 10 folhas..2 cm 6. Veja a seguir os números de uma competição de lançamento de peso.EXERCÍCIOS Leonardo Conceição 5....... Escreva em metros: a) 65 cm 0. 12.0 cm Você acha que fez boas estimativas? Resposta pessoal. 8. altura de um prédio de 10 andares..4 m Ana ..35 m De acordo com os resultados acima.9 m 8 190 cm f) 2... 20 cm d) 2 000 folhas. 8..4 cm a) 12 metros e 70 centímetros. Faça uma estimativa do comprimento de cada um dos segmentos: G A Rita .. comprimento de um gato. a) Qual é o comprimento do prego em centímetros? 6. comprimento de um lápis.005 m 9.. 4.. 9. Os resultados obtidos pelas quatro primeiras classificadas foram os seguintes: Pedro Sotto 1. copie e preencha o quadro. Escreva em centímetros: a) 7 m 700 cm b) 1... e cada um desses centímetros está dividido em 10 partes (milímetros). Uma folha de cartolina tem 1 mm de espessura. 9. 500 m 1 cm em milímetros.8 mm 0.65 m b) 138 cm 1. comprimento de um automóvel...5 m 150 cm c) 0..42 m 42 cm e) 63 mm 6.indd 248 PRATICANDO MATEMÁTICA 14a PROVA 5/13/15 5:24 PM ..37 m Paula ..23 m Clara.3 cm d) 81.. Um agente é responsável pelo patrulhamento de uma rua de 175 metros de comprimento. em quantos centímetros? Ilustrações: DAE a) b) c) d) e) Sim.14.8 cm.3 m → São necessários 10. Qual é o verdadeiro comprimento do fio? 41 m 40  2 5 20 210 dm Rua Chico Buquira 20 ? 2. (SEE-RJ) Uma agência de entregas só aceita encomendas em caixas se a soma das medidas das três dimensões for.5 km por minuto.3 5 10.50 ? 8 5 4 m 15 cm 7 ? 0. Diariamente ele caminha 18 vezes de uma ponta à outra da rua. O comprimento total dos espetinhos utilizados ultrapassa 100 cm? Se sua resposta for sim.10 5 0.4 cm.05 ? 6 5 6.50 → 0. Quantos quilômetros ele caminha por dia? 3. Verifiquei depois que a vara media 2.05 5 41 MEDIDAS prm6_243_272_unid14. O João das Pedras deixa cair uma pedrinha branca a cada 10 passos. Quanto mede a frente deste terreno? 10 m 8m 26 m 13. 0. 70 cm 3 50 cm 3 50 cm 80 cm 3 60 cm 3 40 cm 80 cm 3 70 cm 3 60 cm 70 cm 3 60 cm 3 40 cm 1 m 3 50 cm 3 40 cm 11. Cada um dos seus passos mede 50 cm e ele tem 328 pedrinhas no bolso. Quantos metros de arame são necessários para construir a grade desenhada abaixo? Leonardo Conceição No quilômetro 42. 10 cm 5 ? 0. Construí o esqueleto do cubo com espetinhos de madeira. Indique a única caixa abaixo que não será aceita para remessa por essa agência: Alternativa c. medi o comprimento de um fio elétrico e encontrei 40 m. A figura abaixo representa um terreno de perímetro 65 m. Onde ele estará depois de 6 minutos? 15. Um automóvel está no quilômetro 33 de uma rodovia e percorre 1.3 m de arame. Com o auxílio de uma vara que julgava ter 2  m.15 km 12. Cada aresta é um espetinho e cada espetinho mede 8.05 m.com 10. no máximo.05 → 1. 17.3 m 4 1 6. 2 metros.indd 249 PRATICANDO MATEMÁTICA 249 5/13/15 5:24 PM 14a PROVA . Quantos metros ele já havia percorrido no momento em que deixou cair a última pedrinha?1 640 m 328 ? 5 5 1 640 Leonardo Conceição Eugenesergeev/Dreamstime. 16.15 5 1. 6. podemos comprar a quantidade correta de carpete. pois a unidade de medida cabe exatamente 15 vezes na superfície da figura. você pode observar várias superfícies: no tampo de uma mesa. Se a unidade de medida for o triângulo . Equador OCEANO ATLÂNTICO 20°S OCEANO PACÍFICO N Trópico de Capricórnio O L S 0 492 984 km 60°O 40°O 250 prm6_243_272_unid14. A unidade fundamental de área nesse sistema é o metro quadrado (m2). no sistema métrico decimal existem padrões para medidas de área. a área da figura é de 30 . 2012. À sua volta. no vidro da janela. Fonte: Atlas Geográfico Escolar. Tomando como unidade de medida o quadradinho u . seriam necessários 8 547 404 quadrados. Visualize no quadro a seguir essas unidades: 1k m Marcelo Azalim m 1k Ronaldo Barata Giuseppe_R/Shutterstock 1 cm 1 cm 1m 1m O quadrado de 1 m de lado tem 1 m2 de área. forra­se a superfície desse piso. nas paredes. que é a superfície ocupada por um quadrado de 1 metro de lado. Uma superfície pode ser medida. No entanto. Ronaldo Barata O quadrado de 1 km de lado tem 1 km2 de área. Se para medir comprimentos utilizamos um comprimento como unidade de medida. para medir superfícies a unidade de medida deve ser uma superfície.. Isso significa que se fosse possível “forrar” o solo brasileiro com quadrados de 1 km de lado. pois cabem exatamente 30 desses triângulos na superfície da figura.3. Brasil Então o quadrado de 1 mm de lado tem 1 mm2 de área! Você consegue imaginar esse quadrado? 0° O Brasil ocupa uma área de 8 547 404 km². Sabendo a área da sala. evitando a falta ou o desperdício de material. a área da figura ao lado é de 15 u . Também são usados o centímetro quadrado (cm2) e o quilômetro quadrado (km2). Medindo superfícies Quando se coloca carpete no piso de uma sala. na folha do caderno. © DAE/Sônia Vaz O quadrado de 1 cm de lado tem 1 cm2 de área. ed. A medida de uma superfície é a sua área. Rio de Janeiro: IBGE. por exemplo.indd 250 PRATICANDO MATEMÁTICA 14a PROVA 5/13/15 5:24 PM . Podemos escolher outras superfícies como unidade de medida. 4. Os dois tapetes vão consumir a mesma metragem de franja? Não.1.5 m por 2 m. alguns tipos de tapetes etc. Pisos cerâmicos. carpetes. são vendidos por metro quadrado (m²) porque se destinam a cobrir superfícies. Com uma lata de tinta pode-se pintar 30 m2 de superfície. revistas ou folhetos. azulejos. Colem os anúncios em uma folha de cartolina e exponham na sala de aula. basta multiplicar a medida do comprimento pela medida da largura. teremos: Aretângulo 5 c ? l Como no quadrado o comprimento é igual à largura. os tapetes são vendidos por metro quadrado. Reúna-se com alguns colegas e procurem anúncios desses tipos de produtos em jornais. Você sabe dizer por quê? MEDIDAS prm6_243_272_unid14. para calcular a área de um retângulo. 1. Ilustrações: Jorge Zaiba 2. • Tapete retangular: 4. Que unidade de medida você usaria para medir a área: a) da capa do seu caderno? b) do piso da sala de aula? cm2 m2 c) do 2estado do Amazonas? km 2. Repare que. A área do retângulo 4 cm Quantos quadrados de 1 cm de lado cabem no retângulo ao lado? Temos 3 fileiras de 4 quadrados cada: 3 ? 4 5 12 quadrados de 1 cm de lado A área deste retângulo é A 5 12 cm2.5 1 4.indd 251 PRATICANDO MATEMÁTICA 251 5/13/15 5:24 PM 14a PROVA . Será que 1 lata é suficiente para pintar um muro retangular de 8 m de comprimento por 3 m de altura? Sim. 8 ? 3 5 24 m² Ambos têm área de 9 m². 1 cm2 3 cm Se chamarmos o comprimento de c e a largura de l. • Tapete quadrado: 4 ? 3 5 12 m de franja.5 1 2 1 2 5 13 m de franja. b) A franja usada no contorno dos tapetes é vendida por metro. Numa loja. a) Um tapete quadrado de 3 m de lado custa o mesmo que um tapete retangular de 4. a área do quadrado de lado l é: Aquadrado 5 l ? l 5 l2 Pense e responda no caderno. 00 20.5 m d) Quantos metros quadrados de tecido são necessários para confeccionar uma toalha? 4. b) a área de B.80 m2 3. Calcule a área da figura. sabendo-se que 1 cm² de publicidade custa R$ 2. cada uma com 6 vidros retangulares de 30 cm de largura por 45 cm de comprimento cada um. Uma costureira confecciona 15 toalhas de retalhos por semana. 64.00? R$ 324. calcule: DAE 22.00 prm6_243_272_unid14.Todos os retalhos têm formato de um quadrado de 30 cm de lado. 5 cm 74 cm² 5 cm DAE iba 7 cm 0. sabendo-se que o m2 de vidro custa R$ 80.5 m e) Quantos metros quadrados de tecido são necessários para confeccionar as toalhas de uma semana? 4. o comprimento da toalha? 240 cm c) Qual é.5 m c) 180 cm 2.05 ? 80 5 324 Jorge Za b) Jorge Zaiba 21.32 ? 15 5 64. Quanto custa este anúncio no jornal. 2 20 cm 11 cm2 19.EXERCÍCIOS 18. Uma casa possui 5 janelas.5 m 2m 23. em centímetros.80. Qual das plantas abaixo representa um quarto que satisfaz a essa norma? Alternativa d.indd 252 PRATICANDO MATEMÁTICA 14a PROVA 5/13/15 5:24 PM .5 m DAE 4m a) 6 retalhos b) Qual é.05 4. no mínimo. 7 cm A 5 49 1 25 5 74.50 5 45 R$ 45. 9 m². a largura da toalha? 3m e) 2.45 ? 6 ? 5 5 4. em centímetros.30 ? 0. d) comprimento Observe as medidas da toalha e responda: a) Quantos retalhos são utilizados na confecção de uma toalha? 48 retalhos 4m 2m 2.32 m2 2. (SEE-RJ) As normas de arquitetura recomendam que um quarto de uma moradia tenha.50? 3 cm 6 cm 252 A 5 18 cm² P 5 18 ? 2. DAE 8 retalhos B A largura a) a área de A. Qual valor será gasto para colocar vidro em todas as janelas. Se a área de um quadradinho é 1 cm2. 5 m de largura e 3 m de altura? R$ 160. Um pintor cobra R$ 1. ◆◆ pintaram o losango de amarelo. 2 5.50 Depois de muito discutir. são colocadas sobre uma mesa umas sobre as outras. 2 6.75 m2 1 b) Que fração da figura foi pintada de amarelo? 2 c) Que percentual da figura foi pintado de azul? 25% d) Eles usaram 3 latinhas de tinta azul.indd 253 Praticando Matemática 253 5/15/15 6:59 PM 14a prova . iguais às de tinta azul. ◆◆ pintaram dois triângulos de verde e dois de azul. amarelo e azul. eles usaram? 6 latinhas de tinta amarela A 5 (7 ? 5) 1 (7 1 7 1 5 1 5) ? 3 5 107 P 5 107 ? 1. essas marcas formando o losango. Quatro tiras de papel retangulares. uma figura colorida de verde.50 Medidas prm6_243_272_unid14.50 por m2 de parede pintada. de comprimento 10 cm e largura 1 cm.50 5 160. (CPII-RJ) Na torcida para a conquista do pentacampeonato. 150 cm 250 cm a) Quantos metros quadrados tem o retângulo? 3. perpendicularmente. Quantas latinhas de tinta amarela. Observe a figura abaixo. Ela representa uma placa retangular de 12 m2 de área. Quanto ele cobrará para pintar as 4 paredes e o teto de um salão que mede 7 m de comprimento. Qual é a área da mesa coberta? 36 cm² 6m A 5 4 ? 10 2 4 ? 1 5 36 Ilsutrações: DAE Vende-se Tratar com: 3913-8000 Um corretor mandou confeccionar várias dessas placas. como mostra a figura. fizeram o seguinte: Estúdio Ornitorrinco ◆◆ marcaram no chão da rua um retângulo com 250 cm de comprimento e 150 cm de largura. ◆◆ marcaram ◆◆ ligaram a metade dos lados do retângulo.2 4. Qual a largura de cada uma dessas placas? 2 m 2 7. todas com 6 m de comprimento. no chão da rua. os meninos e as meninas de uma rua resolveram fazer. Relacionando km2. Você construiu 1 m2. Como cada quadrado tem 0. 1 km2 5 1 000 000 m2 Você é capaz de descobrir quantos cm2 cabem em 1 km2? 2 2 1 km 5 10 000 000 000 cm Estimando áreas Para estimar a área da figura ao lado. 254 prm6_243_272_unid14. Emende­as com cuidado e. Resposta pessoal.25 cm2. Observe que ele tem 100 fileiras com 100 quadradinhos de 1 cm de lado em cada uma.5 5 0. em 1 km2 cabem 1 000 ? 1 000 5 1 000 000 de quadrados de 1 m de lado.25 cm2 Contorne a sua mão em uma folha de papel quadriculado (os quadradinhos devem ter 1 cm de lado) e determine a medida aproximada da área da palma da sua mão.indd 254 PRATICANDO MATEMÁTICA 14a PROVA 5/13/15 5:24 PM .5 cm A 5 0. trace um quadrado de 1 m de lado.5 cm 0.5 ? 0. podemos imaginar que em 1 km2 há 1 000 fileiras de 1 000 quadrados de 1 m de lado cada. em 1 metro quadrado cabem: 100 ? 100 5 10 000 quadradinhos de 1 cm de lado. 0. como sabemos que 1 km 5 1 000 m. obtendo um total de 13. m2 e cm2 Ilustrações: Estúdio Ornitorrinco Consiga folhas de papel quadriculado (os quadradinhos devem ter 1 cm de lado). podemos contar os quadrados inteiros e agrupar de forma aproximada os que ficaram incompletos. a área aproximada da figura é de 13 ? 0. ou seja. ou seja: 1 m2 5 10 000 cm2 Claro que não vamos construir um quadrado de 1 km de lado usando papel quadriculado.25 5 3.25 cm2. Mas. Então. com auxí­ lio da régua. O Distrito Federal ocupa uma área aproximada de 5 814 km2. Veja os dois quadrados da figura. Expresse esse valor em m2. SvetlanaSF/Shutterstock 1 km 20 cm a) Quantos quadradinhos (aproximadamente) cor respondem à área do terreno? 5 quadradinhos b) Qual é a área de cada quadradinho? 100 m2 c) Qual é a área aproximada do terreno? 500 m2 20 cm MEDIDAS prm6_243_272_unid14. 1 cm 1 cm Estúdio Ornitorrinco 32. Quantas mangueiras podem ser plantadas num terreno quadrado de 1 km de lado. 5 814 000 000 m² 33. Qual é a área da figura? 9 cm2 10 mm 10 mm 1 cm Quantos milímetros quadrados formam 1 cm2? 100 mm2 1 cm 29. o lado de cada quadradinho mede 10 m. Qual é a área da figura? 30. Nesse quadriculado. Abaixo mostramos o desenho de um terreno que tem forma irregular.indd 255 PRATICANDO MATEMÁTICA 255 5/13/15 5:25 PM 14a PROVA . reservando 50 m2 para cada mangueira? 20 000 mangueiras 23 cm2 8 1 5 1 4 1 1 1 5 5 23 cm 7 6 5 4 3 2 1 km 1 cm 1 2 3 4 5 6 7 8 34.EXERCÍCIOS 28. (Unicamp-SP) Quantos ladrilhos de 20 cm por 20 cm são necessários para ladrilhar um cômodo de 4 m por 5 m? 500 ladrilhos (400 ? 500)  (20 ? 20) 5 500 Ilustrações: DAE 31. Danillo Souza Quantas caixas de sabão em pó há nesta pilha? Então temos no total 48 caixas de sabão. Então o volume de um objeto é a medida do espaço que ele ocupa! O cubo com aresta de 1 cm tem volume de 1 cm3. o volume da caixa de sabão foi usado como unidade de medida do volume de cada empilhamento. No entanto. ◆◆ Cada camada tem 8 ? 3 5 24 caixas.indd 256 PRATICANDO MATEMÁTICA 14a PROVA 5/13/15 5:25 PM . pois 2 ? 24 5 48. usamos como referência o volume de uma caixa de sabão. Danillo Souza Ilustrações: Reinaldo Rosa Ao comparar o volume das duas pilhas. A segunda pilha tem maior volume. existem unidades de medida mais adequadas para medir o espaço ocupado por algo. Usando o mesmo raciocínio. basta compará­lo com uma delas.5. O cubo com aresta de 1 dm tem volume de 1 dm3. ◆◆ A pilha tem 2 camadas. 256 prm6_243_272_unid14. ou seja. o volume. Volumes Nos supermercados é comum encontrarmos produtos empilhados. ◆◆ Volume da 2a pilha: 60 caixas. Para expressarmos o volume de um objeto. O cubo com aresta de 1 m tem volume de 1 m3. Se para medir superfícies usamos a superfície de quadrados como padrão. calcule o número de caixas desta outra pilha. Nesse caso. Essas são as principais unidades de medida de volume do sistema métrico decimal. Qual dos dois empilhamentos ocupa maior volume? ◆◆ Volume da 1a pilha: 48 caixas. para medir o espaço ocupado usaremos como padrão o volume de cubos. Elas têm formas diferentes. Desenhe em seu caderno outra pilha de forma diferente. 1. comprimento 5 largura 5 altura. Usaremos a ideia das camadas.Volume do bloco retangular Ilustrações: DAE Essas pilhas foram formadas com cubos de 1 cm de aresta.. 2.. ou seja. em que a é a medida da aresta MEDIDAS prm6_243_272_unid14. Cada camada tem 10 ? 8 5 80 cubinhos de 1 cm³. Qual é esse volume em centímetros cúbicos? 6 cm3 Se sua resposta foi 6 cm3. mas o mesmo volume. por exemplo. Resposta pessoal Será que para calcular. o volume de uma caixa em forma de bloco retangular teremos de preenchê­la com cubinhos de 1 cm3 e depois contá­los? Isso não seria muito prático. podemos calcular seu volume fazendo: V 5 a ? a ? a 5 a3. 5 cm O bloco retangular da figura tem 5 cm de altura: temos 5 camadas de 1 cm. você acertou.indd 257 PRATICANDO MATEMÁTICA 257 5/13/15 5:25 PM 14a PROVA . mantendo o mesmo volume. como fizemos para contar as caixas de sabão empilhadas. 8 cm Então o volume do bloco é: V 5 80 ? 5 5 400 cm3 1 cm 10 cm O volume de qualquer bloco retangular pode ser calculado usando este raciocínio: V 5 comprimento ? largura ? altura número de cubos por camada número de camadas ou V 5 c ? l ? a comprimento largura altura Lembrando que o cubo tem todas as arestas com a mesma medida. indd 258 Praticando Matemática 14a prova 5/13/15 5:25 PM . Um caminhão. b) Há duas frutas que têm o mesmo volume? Quais são? Maçã e pera. como o da figura. 3m P 5 480  6 5 80 O m³ custa R$ 80. Veja na figura o resultado dessa experiência. 2m V1 5 2 ? 2 ? 2 5 8 P 5 560  8 5 70 O m3 custa R$ 70. 3.00. m Qual construção ocupa mais espaço? B Ilustrações: DAE B 2m V2 5 2 ? 3 ? 1 5 6 Quais deles têm o mesmo volume? A e B. a) Qual das frutas tem maior volume? Laranja. A primeira custa R$  560. C Pedro Sotto A V 5 6 ? 2 ? 1 5 12 Quantidade de viagens: 60  12 5 5. uma laranja. um limão e uma pera. Uma sala de aula tem as seguintes dimensões: 8 m de comprimento. Um garoto fez várias construções com cubinhos 3 todos iguais.4 m³ 41. é usado para trans­portar areia.80 m de altura. R$ 480. o volume da sala. formando com eles o bloco retangular representado na figura: 12 cm caixas A cabem dentro da caixa B? B Pedro Sotto 38. Os blocos retangulares da figura foram construídos com cubinhos todos iguais. Sabendo que a areia é comprada em metros cúbicos.Exercícios Pedro Sotto 3 5.00 e a segunda. quantas viagens faz o caminhão para entregar um pedido de 60 m3 de areia? 2m 6m 6.78. Calcule. 3 9.00. Em copos iguais com a mesma quantidade de água. Qual a embalagem mais econômica para o comprador? C Comparando os preços. 5 viagens D 42. 8 400  48 5 175 175 cm3 258 prm6_243_272_unid14.50 m de largura e 2. Qual é o volume dessa caixa? 27 m3 40. Uma caixa-d’água tem a forma de um cubo de 3 m de aresta. mergulharam-se uma maçã. vemos que a 1a embalagem é mais econômica. Vanessa arrumou os seus 48 CDs. B 43. em m3. Quantas 12 caixas 1m A 14 50 cm cm a) Que volume ocupam 12 ? 14 ? 50 5 8 400 os CDs de Vanessa? 8 400 cm3 b) Calcule o volume de cada CD. Observe as dimensões destas duas caixas cheias de um mesmo produto químico: 2 m A 1m 2 3 7.00. 6. Quando usamos cada unidade? DAE Usando papel­cartão, tesoura e cola, recorte e monte um cubo de 1 dm de aresta, sem a face de cima (“tampa”), conforme o modelo ao lado. Reforce as arestas com fita adesiva. Forre por dentro com plástico para não haver vazamentos. Apoie o cubo sobre uma mesa e despeje em seu interior exatamente 1 litro de água, usando para isso um recipiente graduado. Se for difícil utilizar água, você pode substituí­la por grãos de arroz. O cubo ficará completamente cheio. Pedro Sotto As unidades de medida de volume estão presentes em nosso dia a dia. O consumo de água em nossas casas, por exemplo, é medido em metros cúbicos. Imagine um cubo medindo 1 metro por 1 metro por 1 metro. Um consumo de 14 m3 indica que poderíamos encher completamente 14 cubos iguais ao que você imaginou com a água que gastamos nesse mês. É um volume grande, não? O centímetro cúbico é usado para medir pequenos vo­ lumes (em laboratórios, por exemplo). E o decímetro cúbico? Ele é muito importante. Sabe por quê? 1 dm 1 dm A capacidade de um cubo de 1 dm de aresta equi­ vale a 1 litro. O litro, que nós tanto usamos, equivale a 1 dm3. 2. Quantos cubos com 3 cm de aresta cabem em uma caixa cúbica com 7 cm de aresta? 8 cubos O litro é uma medida de capacidade, pois é um volume associado à ideia de “quanto cabe”, de volume interno de um objeto que eventualmente pode ser to­ talmente preenchido, como uma garrafa, por exemplo. Outra unidade de capacidade bastante usada é o mililitro (mL). O mililitro é a milésima parte do litro. 1 L 5 1 000 mL 350 mL 10 mL 3. Com os colegas, procurem em jornais, revistas e folhetos anúncios ou textos que apresentem medidas em litros ou mililitros. Façam cartazes com os recortes e exponham-nos na sala de aula. Luiz Santos Jr/ Laeti Images arka38/Shutterstock Os fornos de micro­ondas têm sua capacidade interna dada em litros. As geladeiras também. Respondam no caderno. 1. Que unidade de medida vocês consideram mais adequada para medir:Litro (L) ou3 metro cúbico (m ). a) o volume de água num tanque com peixes? b) a capacidade de uma panela de pressão? Litro (L). c) a quantidade de xarope para medicar uma criança? Mililitro (mL) ou centímetro cúbico (cm3). d) o conteúdo de um vidro de perfume? Mililitro (mL) ou centímetro cúbico (cm3). e) o volume de terra retirado na construção de um túnel? Metro cúbico (m3). Evgeny Karandaev/ Shutterstock símbolo do litro 1 L 5 1 dm3 MEDIDAS prm6_243_272_unid14.indd 259 PRATICANDO MATEMÁTICA 259 5/13/15 5:25 PM 14a PROVA EXERCÍCIOS 44. Quando consultamos a quantidade dos produtos contidos em embalagens, observamos várias unidades de medida. Assim, as unidades de medida usuais, respectivamente, para os produtos desodorante, sabonete e caixa de leite são: Alternativa c. miligrama, quilograma e litro. grama, quilograma e mililitro. mililitro, grama e litro. mililitro, quilograma e grama. 48. A jarra da figura tinha 1 litro de leite. Pedro Sotto a) b) c) d) 47. O sr. Quintino produziu 10 litros de licor de jabuticaba e vai encher 12 garrafas de 750 mL para vender na feira. Não havendo desperdício, quantos litros de licor sobrarão depois que ele encher todas as garrafas? 1 litro 45. Complete. 1 000 a) 1 L de refrigerante é o mesmo que mL de refrigerante 500 1 b) L de água é o mesmo que mL de água 2 250 1 mL de leite c) L de leite é o mesmo que 4 Pedro Sotto 46. Considere os seguintes recipientes: água mineral refrigerante leite suco Calcule mentalmente quantos recipientes são necessários para obter: a) b) c) d) 14 L de refrigerante; 7 recipientes 30 L de água; 6 recipientes 8 L de leite; 16 recipientes 9 L de suco. 36 recipientes Sílvia colocou a mesma quantidade de leite em cada um dos 4 copos representados na figura e ainda ficaram na jarra 100 mL de leite. Quantos mililitros de leite foram colocados em cada copo? 225 mL 49. (Saresp) Das alternativas abaixo, indique a que é mais vantajosa. Alternativa c. a) Comprar uma caixa de iogurte contendo 4 potinhos de 100 mL cada a R$ 2,00. b) Comprar 2 potes de iogurte de 200 mL cada a R$ 2,40. c) Comprar 1 litro de iogurte a R$ 3,00. d) Comprar uma caixa de iogurte contendo 5 potes de 200 mL cada a R$ 3,50. 50. Uma torneira está estragada e, mesmo fechada, pinga. Durante meia hora a torneira perde 2 dm3 de água. Quantos litros de água a torneira perde em 1 dia? 96 litros Atenção! 4 dm3 por hora 5 4 L por hora 24 ? 4 5 96; Desperdício, não! Desperdiçar água não significa só pagar mais pela conta todo mês. A água é um bem precioso e cada vez mais escasso em nosso planeta. Precisamos economizá­la se não quisermos que falte no futuro. Pense nisso! Pedro Sotto Estúdio Ornitorrinco Escreva a alternativa correta no caderno. 260 prm6_243_272_unid14.indd 260 PRATICANDO MATEMÁTICA 14a PROVA 5/13/15 5:25 PM 7. Medidas de massa Johan63/Dreamstime.com iStockphoto/Thinkstock Quem tem mais massa: uma formiga ou um elefante? Massa é a quantidade de matéria de um corpo. A massa de um elefante é maior que a massa de uma formiga. Para medir a massa de um corpo, devemos compará­la com uma massa­padrão. ◆◆ o grama (g); ◆◆ o quilograma (kg). 1 kg 5 1 000 g A milésima parte do grama é o miligrama, cujo símbolo é mg. Os animais retratados ao lado estão fora de proporção. 1. O que você costuma comprar em quilogramas? E em gramas? Dê exemplos. Resposta pessoal. Ilustrações: Pedro Sotto No sistema métrico decimal, as principais unidades de medida de massa são: Atenção! 2. A massa do elefante pode ser expressa em gramas ou quilogramas. Qual delas você usaria? Resposta pessoal, mas espera-se que o aluno perceba que representar a massa do elefante em quilogramas é mais fácil. 1 mg 5 0,001 g ou 1 g 5 1 000 mg Na composição de remédios, por exemplo, é comum encontrarmos massas expressas em miligramas. Atenção! Nos exercícios desta coleção, utilizaremos, algumas vezes, a linguagem comum, ou seja, escreveremos “peso” para indicar a “massa”. Peso não é sinônimo de massa! O peso de um corpo é a força com que um planeta, estrela etc. atrai esse corpo. O peso de um corpo depende da gravidade! Você já viu em filmes como os astronautas ficam “mais leves” na Lua? Isso acontece porque a gravidade na Lua é menor do que na Terra. Por consequência, o peso dos astronautas na Lua é menor do que na Terra. No entanto, a massa (quantidade de matéria) do astronauta é a mesma em qualquer lugar. Como vivemos todos na Terra, ou seja, estamos todos sujeitos à mesma gravidade, é comum usar a palavra peso em vez de massa: ◆◆Meu peso é de 54 kg. O correto seria dizer: ◆◆Minha massa é de 54 kg. MEDIDAS prm6_243_272_unid14.indd 261 PRATICANDO MATEMÁTICA 261 5/13/15 5:25 PM 14a PROVA 1 t 5 1 000 kg 1 saca 5 60 kg 1 arroba 5 15 kg Pedro Sotto A tonelada (t) é utilizada para registrar massas grandes, como a carga de um caminhão ou de um navio. Ainda podemos citar duas unidades que não são do sistema métrico decimal mas aparecem com frequência nas atividades agropecuárias: a saca e a arroba. A saca aparece no comércio de grandes quantidades de grãos, como soja, feijão e milho. A carne bovina é vendida no atacado por arroba. As variações dos preços de produtos agropecuários costumam ser divulgadas em jornais, em tabelas como esta: Produtos Mínimo Máximo Soja* (PR) 60,50 62,40 Milho* (PR) 24,00 25,00 Boi gordo** (à vista) 149,00 Fonte: canalrural.com.br. Acesso em 20 abr. 2015. No caderno, respondam às questões. Ilustra Cartoon 1. Que massa, colocada no outro extremo da gangorra, poderia equilibrar o menino? a) Uma massa de 30 g. b) Uma massa de 300 mg. c) Uma massa de 3 000 g. d) Uma massa de 30 kg. Alternativa d. 2. a) Quantos quilogramas tem um boi com 30 arrobas? 450 kg b) E 2 000 sacas de café têm quantas toneladas? 120 t 3. Num planeta com gravidade maior do que a da Terra, nosso peso aumenta ou diminui? Aumenta. E a nossa massa? Não muda. 4. Combine com seus colegas uma pesquisa sobre o quilograma. O que é 1 kg? Como surgiu? Todos devem trazer o que encontraram para compartilhar em aula. Veja sugestão no Manual do Professor. 262 prm6_243_272_unid14.indd 262 PRATICANDO MATEMÁTICA 14a PROVA 5/13/15 5:25 PM EXERCÍCIOS 51. Coloque em ordem crescente a massa dos bebês: Ilustra Cartoon 3 120 g; 3,25 kg; 3 478 g; 3,5 kg 57. Leia o cartaz que foi encontrado num elevador e responda: 3 120 g Ilustra Cartoon 3,25 kg 56. Um paciente tomou 60 comprimidos durante um tratamento. Cada comprimido tem 25 mg. Quantos gramas de remédio ele ingeriu durante esse tratamento? 1,5 g 3,5 kg 3 478 g 52. O pai de Carlos comprou 2,5 kg de laranja, 1,3 kg de pera e 850 g de maçã. Poderá transportar as compras num saco que só suporta 5 kg? Sim. 53. A mãe de Rúbia comprou: ◆◆ 2 kg de banana a R$ 2,57 o kg; ◆◆ 3,8 kg de laranja a R$ 1,90 o kg; ◆◆ 1,5 kg de maçã a R$ 4,58 o kg. Qual é o número máximo de caixas de 28,3 kg que podem ser levadas numa só viagem? 15 caixas Quanto gastou a mãe da Rúbia? R$ 19,23 58. Leandro trabalha em uma mercearia pesando quantidades variadas de azeitonas. O quadro abaixo mostra os pacotes que ele vai ter de preparar. A balança de Leandro indica o peso em gramas. A B 55. Em quase todos os produtos vendidos em embalagens aparecem as inscrições “peso líquido” e “peso bruto”. E o que é isso? Veja: Peso líquido: massa somente do produto. Peso bruto: massa do produto com a embalagem. C 1 kg 2 1 kg 4 1 kg 8 D E F 3 kg 8 3 kg 2 3 kg 4 Que valores ele deve obter na balança para preparar os pacotes? A) 500 g B) 250 g C) 125 g D) 375 g E) 1 500 g F) 750 g 59. Em qual das situações o preço do sorvete é mais vantajoso? Situação C. C B A Jorge Zaiba Jorge Zaiba 54. Qual produto é mais leve? Os bombons, pois 50 g < 65 g. Com base nessa informação, responda: Uma lata de doce tem peso bruto de 10 kg e peso líquido de 9,625 kg. Qual é, em gramas, o peso da embalagem? 375 g MEDIDAS prm6_243_272_unid14.indd 263 PRATICANDO MATEMÁTICA 263 5/13/15 5:25 PM 14a PROVA REVISANDO 60. Qual é a altura de Lia? 1,09 m DAE 2,05 2,01 2,03 Fábio 1,93 1,95 Fernando Roberto 1,91 André Marcelo 1,84 Rafael Antônio 1,92 1,94 1,98 1,85 2 Gabriel Altura 2,5 (metros) 1,96 Altura dos jogadores Caio 49 cm Ilustra Cartoon 1,58 m 63. O gráfico abaixo apresenta as alturas, em metros, dos jogadores de uma equipe de vôlei. 1,5 1 2,15 0,93 1,8 E C a) Quantos quilômetros há de A até E, passando por D? Ilustra Cartoon B 64. Quantas pessoas formam uma fila de 222 metros de comprimento, se cada pessoa ocupa, em média, 60 cm? 222  0,60 5 370; ou seja, 370 pessoas Ronaldo Barata A 1,07 Jogador a) Qual é a diferença, em cm, entre as alturas de Fernando e de Murilo? 9 cm b) Se as alturas forem organizadas em ordem crescente, qual será o nome do jogador que ocupará a 6a posição? Murilo. c) Utilize a calculadora e calcule aproximadamente a altura média dos jogadores. 1,95 m D 1,6 Murilo 61. O mapa mostra que para ir do bairro A até o bairro E há dois caminhos. As distâncias estão indicadas em quilômetros. Gustavo 0 Lucas 0,5 3,75 km b) Quantos quilômetros há de A até E, passando por B e C? 3,8 km c) Qual é o trajeto mais comprido? Quantos metros a mais que o outro ele tem? B; 50 m 62. (Centro Paula Souza-SP) Marcelo viajava de avião, quando, pelo alto-falante, o comandante do voo deu uma série de informações técnicas, entre elas a de que estavam voando a uma altitude de 18 000 pés. Como está acostumado com o sistema métrico decimal, Marcelo ficou curioso e assim que chegou a seu destino fez uma pesquisa e descobriu que a unidade de medida pé equivale aproximadamente a 30 cm. Qual era, em metros, a altitude do avião? 5 400 metros 65. Temos algumas réguas vermelhas que medem 5 cm e algumas réguas azuis que medem 8 cm. 5 cm 8 cm a) Como você consegue medir exatamente 31 cm com essas réguas? 3 vermelhas 1 2 azuis b) Como você consegue medir exatamente 17 cm com essas réguas? 4 azuis 2 3 vermelhas 264 prm6_243_272_unid14.indd 264 PRATICANDO MATEMÁTICA 14a PROVA 5/13/15 5:25 PM DAE 68. A bandeira da França é formada por três faixas verticais de mesmo tamanho, nas cores azul, branco e vermelho. Fabio Colombini 66. (Encceja-MEC) A tabela indica os valores do imposto sobre propriedade rural em um determinado município. 1,3 m 1,95 m Valor do imposto Até 5 000 m2 isento De 5 001 até 8 000 m2 R$ 50,00 De 8 001 até 50 000 m2 R$ 100,00 Acima de 50 000 m2 R$ 200,00 a) Calcule a área da bandeira. 2,535 m² b) Calcule a área correspondente a cada cor. 0,845 m² 69. Um quadro de dimensões 30 cm por 30 cm recebe uma moldura cuja largura é de 2,5 cm. Marcelo Azalim Área da propriedade Sendo 1 hectare igual a 10 000 m2, um proprietário 3 de uma área com de hectare, com relação ao 4 imposto: Alternativa b. estará isento. pagará R$ 50,00. pagará R$ 100,00. pagará R$ 200,00. Qual é a área em cm2 que cobre somente a moldura? 352 2 302 5 325 325 cm2 70. Tomando como unidade o , qual é o volume da construção abaixo? 35 cubos 7m 6m Cozinha 5m 3,50 m Sala DAE 67. Veja a planta de uma casa e responda: 2m 2,50 m 2m Hall 3m 6m Dormitório 3m 71. Quando a caixa estiver cheia, quantos cubos “caberão”: DAE 1,5 m Banheiro Dormitório DAE a) b) c) d) a) Qual é a área de cada dormitório? 18 m2 b) Qual é a dependência de menor área? Banheiro (3 m2). c) Quantos m2 de carpete são necessários para cobrir o piso da sala e do hall? 21,5 m2 d) Quantos m2 de cerâmica são necessários para cobrir o piso do banheiro e da cozinha? 20,5 m2 e) Qual é a área total da casa? 78 m2 a) na camada inferior? 24 cubos b) no total? 72 cubos MEDIDAS prm6_243_272_unid14.indd 265 PRATICANDO MATEMÁTICA 265 5/13/15 5:25 PM 14a PROVA 72. Cássia fez regime de emagrecimento e anotou seu progresso numa tabela: Semana Perda em quilogramas 1a 1,85 2 1,2 3a 2,08 4a 0,97 a 77. Numa caixa de adubo, o quadro abaixo indica as quantidades adequadas para o seu preparo. Adubo a) Em qual semana ela perdeu menos peso? 4a b) Em qual semana perdeu mais peso? 3a c) Quantos quilos perdeu nas quatro semanas? 6,10 kg Água 30 g 0,2 L 150 g 1L 1 500 g 10 L 3 000 g 20 L De acordo com o quadro, quantos quilogramas de adubo se deve misturar em 15 litros de água? 2,25 kg 78. Observe a figura: Reinaldo Rosa Edson Antunes 73. Um pãozinho francês tem 50 g. Uma criança come 2 pãezinhos por dia. Quantos quilogramas de pão ela comerá em 30 dias? 3 kg 74. (Prominp) Antes da medida que estabelece a venda de pão francês a quilo, uma padaria vendia, por R$ 0,20, pãezinhos de 40 g quando, na verdade, estes deveriam ter 50 gramas. Qual seria, em reais, o preço correto de um pãozinho de 40 g? R$ 0,16 75. Um caminhão tinha carga de 5,3 toneladas. Foram descarregadas 9 caixas de 82 kg cada uma. Quantos quilos de carga restaram no caminhão? 4 562 kg 76. Que peso falta para equilibrar a balança? 3,14 kg 71,5 kg 1 79. Dona Maria foi à feira e comprou 1 kg de arroz, 2 3 kg de feijão, 250 g de alho e 125 g de azeitona. 4 Reinaldo Rosa Marcelo Azalim 6,5 1 5 ,732 1 1,62 1 3 ,008 5 16,86 20 2 16,86 5 3,14 Qual é o peso médio das pessoas representadas? Quanto ela gastou em sua compra? R$ 9,40 266 prm6_243_272_unid14.indd 266 PRATICANDO MATEMÁTICA 14a PROVA 5/13/15 5:25 PM 90 100 mL a R$ 0. (OBM) Um litro de álcool custa R$ 1.75 L 6m 35 cm 12 cm 15 dm 5 1. nos copos menores. Quantos metros cúbicos de água ainda cabem na piscina? 81 m3 Pedro Sotto 81. Veja a figura e determine o volume de cada cubo e de cada esfera. As duas torneiras lançam a mesma quantidade de água por minuto e foram abertas ao mesmo tempo.00 12 m3 5 12 000 L de Henrique percorre 25 km com 3 litros de álcool. O tanque de um posto de combustível tem a forma de um bloco retangular.5 cm3 mesmo tipo são iguais. 4 m e 1 m. Nos copos menores.160.75 5 126 Danillo Souza V 5 12 ? 6 ? 3 5 216 3 de 216 5 81 8 V 5 3 ? 4 ? 1 5 12 cm 12 m 3 piscina de 12 m de comprimento por 6 m de largura e 3 m de profundidade está cheia até 5 os de sua 8 capacidade.DESAFIOs 8 0. 86. 12 000 ? 0.5 dm 12 cm Qual dos recipientes vai encher em primeiro lugar? Os dois recipientes vão encher no mesmo instante. O carro 8 2.5 cm³ 0. Em qual dos copos você toma mais refrigerante pelo mesmo preço? Copo pequeno: 300 mL a R$ 0.90 e. nos maiores. Uma Pedro Sotto 85. 0. O dono do posto paga R$ 1.75 L 6 cm³ Pedro Sotto 4 cm³ Pedro Sotto 0. (Unicamp-SP) Numa lanchonete.00 600  25 5 24 24 ? 3 ? 1. 100 mL a R$ 0.indd 267 Praticando Matemática 267 5/13/15 5:26 PM 14a prova . sabendo que os objetos do : 2 cm3 : 0. m 3. As dimensões do tanque são 3 m. Quantos reais serão gastos em álcool para percorrer 600 km? R$ 126. R$ 1. Medidas prm6_243_272_unid14.75 L 0. o refrigerante custa R$ 0.75 L 8. que ele tem na venda de um tanque completo de álcool? R$ 2.18 5 2 160 83.70.75 ? 6 ? 40 5 180 0.75.30. Qual é o lucro. Quantos litros têm 40 caixas iguais à da figura? 180 litros 8 4.34. Copo grande: 500 mL a R$ 1.15.70 Portanto. em reais.97 por litro de álcool e revende por R$ 2. o refrigerante é vendido em copos descartáveis de 300 mL e de 500 mL. 54 cm 1 pé 5 12 polegadas 5 30. que ainda diferia da légua terrestre. Caravela Portuguesa.48 cm 1 passo 5 5 pés 5 1. 600 cm 3 410 cm. Escola Inglesa. tornando os cálculos trabalhosos e imprecisos.Vale a pena ler Muitas passagens da carta de Pero Vaz de Caminha citam distâncias medidas em léguas ou em braças. 268 prm6_243_272_unid14. XX. O sistema de pesos e medidas usado em Portugal à época do descobrimento do Brasil.52 m 1 palmo 5 20. apresentava sérios inconvenientes: não era uniforme de região para região. Anônimo. Vamos tentar entender o que representam essas medidas. as subdivisões eram numerosas e irregulares. e no tempo colonial. a não ser em um sentido bastante impreciso. A tabela seguinte dá uma ideia de variedade de unidades de medida usadas antigamente para distâncias (as igualdades devem ser entendidas sempre como aproximações): 1 polegada 5 2. além disso. século XX.2 m 1 milha brasileira 5 1 000 braças 5 2 200 m 1 légua brasileira 5 3 000 braças 5 6 600 m Fac-símile da última página da carta de Caminha. litografia colorida. mudava segundo o tempo e as circunstâncias e. unidades que hoje não se usam mais. Séc. Coleção Particular Bridgeman Images/Keystone Brasil Qual era a légua mencionada na carta de Caminha? Provavelmente. era a légua marítima. Ilustração.32 cm Arquivo Nacional da Torre do Tombo Medidas na carta de Caminha 1 braça 5 2.indd 268 Praticando Matemática 14a prova 5/13/15 5:26 PM . 36. tornaram o sistema métrico decimal obrigatório a 2 O autor pede para citar seus colegas Nilton Lapa (SP) partir de 10 de janeiro de 1874. Revista do Professor de Matemática. Medidas prm6_243_272_unid14. Medidas na carta de Caminha. quase todos os países do mundo adotam o sistema métrico decimal. Mozart Cavazza P. Óleo sobre tela. as crescentes necessidades tecnológicas exigem um padrão mais preciso e facilmente reprodutível. Paris. o centímetro. n. 227 cm 3 184 cm. Assim nasceu o atual sistema métrico decimal. em Paris. 299 792 456 Mas voltemos ao tempo do descobrimento do Brasil. Felizmente. de 18 de setembro de 1872. foi definido o metro como sendo o comprimento de um meridiano terrestre dividido por 40 000 000. 21 600 posições são determinadas por ângulos (latitude e longitude). 1 légua marítima 5 6 173 m A milha marítima é talvez a única dessas unidades extravagantes que deverá permanecer sendo usada. tervalo de tempo de de segundo. como o decâmetro. provavelmente. a légua a que se refere Caminha em sua carta é. com os quais desenvolveu a atividade que deu origem a este trabalho. Pintura de Joseph Ducreux. no qual as subdivisões e os múltiplos do metro são feitos de 10 em 10: temos portanto o decímetro. o que a torna igual ao comprimento de um arco de 1 1 minuto do meridiano terrestre. o milímetro. COELHO. Normalização e Qualidade Industrial – CONMETRO. Atualmente. feito de platina e cuidadosamente guardado. DeAgostini/Getty Images Considerando a necessidade de uma uniformização. uma lei de 26 de junho de 1862 e o 1 As definições das unidades legais de medidas no Brasil decreto número 5 089. o rei da França Luís XVI. são feitas pelo Conselho Nacional de Metrologia.Museu Carnavalet. ou seja. no prédio dos Arquivos do Estado. 1998. decretou a criação de uma comissão de cientistas para estabelecer um sistema padronizado de pesos e medidas. do comprimento do meridiano.indd 269 Praticando Matemática 269 5/13/15 5:26 PM 14a prova . Faria (MG). cuja definição também variava de lugar para lugar e de navegador para navegador. O metro é hoje definido como sendo o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo durante um in1 Luís XVI. e Maria Inês V. em 1799. na atualidade. Como já mencionamos. A comissão tomou o comprimento de um meridiano terrestre como referência para as medidas de distância. o que torna extremamente cômodo adotar como unidade de distância o comprimento de um arco de ângulo central unitário. bem como os múltiplos do metro. a légua marítima. Ela é hoje definida como 1 852 m. Assim. Foi então construído um padrão para o metro. Notas do autor No Brasil. o hectômetro e o quilômetro. Em navegação. em maio de 1790. ela é colocada antes de viadutos e túneis. Você sabe por que esta fotografia é chamada de 3 3 4? Porque tem 3 cm de largura por 4 cm de George Doyle/Stockbyte/Glow Images DAE comprimento.5 m3? Gado em pasto brasileiro. A braça é uma antiga medida de comprimento que equivale a 2. (37 2 25)  4 5 3 ◆◆ C percorre 38 cm. ◆◆ A percorre 25 cm. sabendo que o volume de ar aconselhável 2 pessoas para uma pessoa é de 11.indd 270 PRATICANDO MATEMÁTICA 14a PROVA 5/13/15 5:26 PM .70 m. A placa de trânsito abaixo indica a altura máxima que um veículo pode ter para trafegar. O alqueire mineiro é uma medida de área que é igual à área de um quadrado cujo lado mede 100 braças. 92. alqueire paulista 5 24 200 m2 ◆◆1 alqueire nordestino 5 27 225 m2 ◆◆1 Xicoputini/Dreamstime. 91. 3 ? 5 1 4 ? 3 1 2 ? 4 5 35 Quanto mede o caminho percorrido pela formiguinha D? 35 cm 89. Em geral. Quantas pessoas no máximo devem dormir nesse quarto. Kms. Quantos metros quadrados tem um alqueire mineiro? 48 400 m2 2202 5 48 400 O alqueire varia de um estado para outro. A 5 cm B 3 cm C 4 cm D 88. C e D.64 m de altura excede em quantos centímetros o permitido? 69 cm 90. Um quarto tem 3 m por 3 m e altura de 2. Quantos erros há nesta placa? 35 cm DAE Três erros: K maiúsculo. 270 prm6_243_272_unid14.SEÇÃO LIVRE 87.95 m DAE Lembrete: Um caminhão de carga com 5. Veja o percurso realizado por quatro formiguinhas A.2 m. (38 2 18)  5 5 4 ◆◆ D percorre cm.com 4. plural e ponto. B. 25  5 5 5 ◆◆ B percorre 37 cm. Um balconista vendeu 70 centímetros de corda a um freguês. Esse balconista preencheu corretamente a nota fiscal escrevendo: a) 0. uma distância de 80 km corresponde.75 m 97. a largura mais aproximada desse gol. Que distância. Adão comprou uma folha de madeirite.70 m c) 0. a) 6. a) 50 b) 65 c) 72 d) 108 101.com Jorge Zaiba Alternativa b.5 815  91. O número de agulhas que podem ser feitas com 36 m de arame é: Alternativa b. Uma agulha é feita com 0.91 102.6 cm d) 4.(FCC-SP) A milha é uma unidade de medida usada nos Estados Unidos e corresponde a 1. A altura aproximada de um prédio de 13 andares é: a) 15 m b) 40 m Alternativa b. empilham-se 32 tábuas de 2 cm de espessura e outras 18 tábuas de 5 cm de espessura. como mostra a figura.3 b) 8.4 m Alternativa a. Numa carpintaria.4 cm 96.9 1 jarda 5 3 ? 30. Quantos mm há em 1 m e 1 cm? Alternativa c. 94. andando normalmente. 95.8 quilômetro 30 ? 60 5 1 800 1 800 ? 1 5 1 800 271 prm6_243_272_unid14. (Obmep) Guilherme está medindo o comprimento de um selo com um pedaço de uma régua. essa pessoa percorrerá andando meia hora? Alternativa d. (Encceja-MEC) Para construir uma banca de frutas. é: Alternativa b. em milhas. em jardas. desenvolve uma velocidade da ordem de 1 metro por segundo.4 cm c) 3.48 cm. Assim.54 m 1. c) 180 m d) 120 m Dica! Um andar tem aproximadamente 3 metros.08 m de arame.07 m b) 0. a) 30 metros c) 2 quilômetros b) 180 metros d) 1. a) 7 m e 10 m b) 10 m e 25 m c) 15 m e 17 m d) 2. a) 1 001 b) 1 110 c) 1 010 d) 1 100 Considerando que 1 jarda vale 3 pés e que 1 pé mede 30.AUTOAVALIAÇÃO 93. graduada em centímetros. Qual é o comprimento do selo? a) b) c) d) 1. de comprimento e largura? Alternativa d.44 cm c) 10. Vim Mills/Dreamstime. Se o palmo de Adão mede 25 cm.64 m 15. aproximadamente. a) 3 cm b) 3.5 m e 1. Uma pessoa. a) 45 b) 450 c) 4 500 d) 45 000 100. as traves verticais do gol distam entre si 8.6 km. a: Alternativa a. A altura da pilha é de: Danillo Souza Anote no caderno o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta.15 m. 99. quanto a folha de madeirite tem.70 cm d) 0. respectivamente.48 5 91.2 d) 12.070 cm Alternativa b.(Ufac) Num campo de futebol não oficial. Ele utilizou o seu palmo para medir e encontrou 10 palmos de comprimento e 7 palmos de largura. 98.44 5 8.indd 271 PRATICANDO MATEMÁTICA 5/13/15 5:26 PM 14a PROVA .4 m 16. Num pedaço de cartolina retangular foi feita uma margem de 2 cm em toda a volta. O volume do sólido é: a) b) c) d) 14 m3 18 m3 21 m3 27 m3 V1 5 3 · 1 · 3 5 9 V2 5 3 · 1 · 3 5 9 V3 5 1 · 1 · 3 5 3 V 5 9 1 9 1 3 5 21 Alternativa c.(FGV-SP) Numa piscina retangular com 10 m de comprimento e 5 m de largura.Gustavo possui um terreno de 600 m e quer construir nele um canteiro que ocupe 20% da metade da área do terreno. c) 12 dias. 1m 1m m 1m 3 a) b) c) d) Misto Quente Liesllin/Dreamstime. R$ 900. 3.indd 272 PRATICANDO MATEMÁTICA 14a PROVA 5/13/15 5:26 PM .80 m3 Número de viagens: 136  6. DAE 103.50 m DAE 17 · 24 5 408 1m 0. são necessários (litros Alternativa b de água): Alternativa b.00 R$ 1. Quantos metros há desde o primeiro poste até o último? 1m 300 ? 0.40 · 2.50 · 0. a) b) c) d) 107. Paulo utiliza 50 mL de soro fisiológico 3 vezes por dia.Por recomendação médica. 3 ? 50 5 150 104. Essa quantidade de soro é suficiente para fazer o tratamento durante: Alternativa b.40 m 2. mostrado na figura.(Cesgranrio-RJ) De um bloco cúbico de isopor de aresta 3 m recorta-se o sólido. Neste fim de semana.00 R$ 1. d) 15 dias. b) 10 dias.Existem 10 postes com lâmpadas numa avenida retilínea da cidade.2 5 60 60 ? 15 5 900 105. ele comprou 3 garrafas de meio litro de soro.00 por m2 de canteiro construído. O número de viagens necessárias para transportar 136 m3 de areia é: Alternativa c.800. a) 408 cm2 b) 442 cm2 c) 456 cm2 d) 494 cm2 1m 109.80 V 5 6.00 1 500  150 5 10 108.160 288 320 352 9 ? 32 5 288 a) 8 dias.(Ufla-MG) Um caminhão basculante tem carroceria com as dimensões indicadas na figura.00 R$ 1.8 m Danillo Souza 21 cm 28 cm 106. a) 500 b) 5 000 V 5 10 ? 5 ? 0. Para isso contratou um jardineiro que cobra R$ 15.080. Que área restou para o desenho? Alternativa a. A distância entre postes consecutivos é de 32 metros. em forma de “H”.1 5 5 5 m3 5 5 000 L • 3 ? 50 5 150 c) 1 000 d) 10 000 V 5 3.296.com Alternativa b. Quanto Gustavo gastará? Danillo Souza 2 Alternativa a.80 5 20 a) 11 b) 17 c) 20 d) 25 • 1 500  150 5 10 272 prm6_243_272_unid14. para elevar o nível de água em 10 cm. 1997. Ciência Hoje na Escola. Censo 2007 e Censo 2010: como o nome já diz.. Medindo comprimentos. Conta as histórias de Beremiz Samir e outros personagens “das arábias”. 2001. São Paulo: Moderna. Rio de Janeiro: Record. em números. Números na História da Civilização. gráficos e mapas. em particular os poliedros. a famosa personagem de Monteiro Lobato. “O que é medir?”.br> Selecione canais e clique em IBGE teen. Monteiro Lobato. Marion Smoothey. sugerimos os títulos: ◆ Ângulos  ◆ Estimativas  ◆ Formas Formas num mundo de formas.ibge. os sistemas de numeração de civilizações antigas como a dos egípcios – e chegar ao sistema de numeração que hoje usamos.. Um passeio interessante pela história dos números. Para navegar. Também trata da história da evolução dos números. É um clássico da literatura lúdica da Matemática. ◆◆ ◆◆ ◆◆ ◆◆ ◆◆ Calendário: relaciona e comenta datas comemorativas do Brasil e do mundo. como o sistema de base dois usado pelos computadores. 1997. São Paulo: Scipione. Edwaldo Bianchini e Herval Paccola. Quatro amigos participam de uma Olimpíada onde precisam solucionar questões que envolvem medidas. propõe-se nessa história a desvendar o mundo da aritmética. exemplos e atividades para o leitor.gov. Biblioteca: conteúdo para pesquisa. São Paulo: Moderna. temas da Matemática são apresentados de forma descontraída. Coleção Investigação Matemática. São Paulo: Atual. resolve problemas envolventes e desafiadores. Aritmética da Emília. num outro estilo de texto. são apresentadas de maneira agradável e interessante. 1997.indd 273 5/13/15 5:09 PM . Como encontrar a medida certa. compreendendo-o melhor. As formas geométricas.. 2009. Suzana Laino Candido. Nílson José Machado. Emília. escolaridade. partindo sempre de situações práticas que todos nós já vivenciamos. disponíveis para visualização e download.. O homem que calculava. Beremiz.sugestões DE livros e sites Para ler. Rio de Janeiro. 1995. Mapas: para uso escolar. São Paulo: Ática. aluno do 6o ano. Malba Tahan. principalmente em História e Geografia. contém dados dos censos. como população. Você vai conhecer formas primitivas de contagem. Global Editora. ◆◆ Mão na roda: para encontrar informações gerais sobre o Brasil. São Paulo: Brasiliense. Aborda ainda sistemas de numeração em outras bases de contagem diferentes de dez. Carlos Marcondes. Notícias: para ler o que há de novo em dados sobre o Brasil e outros temas. “De onde vem o metro?” Essas e outras questões ligadas às medidas de comprimento são abordadas nesse livro. condições de vida do povo brasileiro. produção agrícola e pecuária. <http://www. 273 prm6_273_283_sugestoes. brilhante nos cálculos e nos raciocínios. Em livros de leitura fácil e rápida. São Paulo: Scipione. Para você. Luiz Márcio Imenes. Todos os livros têm atividades como jogos e quebra-cabeças. Sistemas de Numeração ao longo da história. 2000. 2001. Rico em ilustrações. com/matematica> Site interessante com temas da Matemática e de outras ciências. contendo provas e gabaritos.geogebra.klickeducacao.tvcultura. <http://www. <http://www. jogos e também fóruns de discussão.com.br/layout. Clique em “Matemática” no menu “Biblioteca Viva” para pesquisar temas em vários campos da Matemática. mas são simples. Traz provas de anos anteriores e um grande banco de questões.br> Cadastrando-se gratuitamente é possível acessar listas de exercícios. <http://www.htm> Este site é muito interessante para professores e alunos. Bom para testar seus conhecimentos. General Math ou Technical Math.br> Site das Olimpíadas Brasileiras de Matemática das Escolas Públicas.com. além de acessar várias atividades interativas principalmente de Geometria.uol. brincadeiras envolvendo números e formas. animações.swf> Contém aulas digitais.org/mat. <http://www2.indd 274 5/13/15 5:09 PM . há um grande número de objetos educacionais disponíveis.com/ListObjects.obmep.com/escolinha/ matematica> Site para consulta sobre vários temas.br> Site das Olimpíadas Brasileiras de Matemática.khanacademy. <http://tube.escolakids. projetos. incluindo apresentações em Power Point sobre vários conteúdos como equações. Não é preciso cadastro. laboratório de matemática.wisc-online.org> Plataforma gratuita com videoaulas sobre vários assuntos. como a água. de forma leve e atraente. mas também sobre outros ramos da Ciência. biografias de grandes matemáticos. Há links para sites sobre a História da Matemática e sobre constantes famosas como o número p (pi).org. <http://www.obm. artigos e variedades.aspx> Clicando em Learning Objects. o site aborda temas importantes.br/aloescola> Além de assuntos ligados à Matemática.org> Neste canal é possível fazer o download do software GeoGebra.matinterativa. General Education. frações algébricas e áreas de polígonos. <http://www.com. <http://escolovar. artigos. você encontra um menu que permite acessar não só as páginas sobre Matemática.br> O site permite acesso gratuito a algumas páginas. Permite ao usuário cadastrar-se para receber um acompanhamento de suas atividades.numaboa.com. Há uma variedade enorme de atividades disponíveis: jogos.com. com download disponível. <http://www. <https://pt.br> Clicando em “CH das crianças”. que é gratuito.org. Os textos estão em inglês. games. <http://somatematica. <http://www.<http://cienciahoje. simuladores. 274 prm6_273_283_sugestoes. pt/ html/probabil/html/probabilidades. provas.ime. vídeos.fis. textos históricos.usp.br/~matemateca/> Mostra objetos matemáticos expostos anualmente na Matemateca. softwares. <http://matematica.uc.com. <http://www. apresenta animações de poliedros em 3D.planetaeducacao. voltados para os Ensinos Fundamental e Médio.pt> e <http://alea.ine.br/wiki/ Página_principal> Repositório que reúne mais de 150 recursos educacionais em diversas mídias (áudios.com. textos e experimentos práticos). no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo (IME – USP). Eles são confeccionados com o intuito de despertar curiosidade. jogos. <http://matematica.mat. <http://www. desafios.sapo. bem como conteúdo sobre a aplicação da Matemática no dia a dia. 275 prm6_273_283_sugestoes.unijui. programa para exploração e construção de poliedros.htm> Apresenta texto sobre o surgimento do número. servir de incentivo ao aprendizado e divulgar de maneira interessante e divertida temas da Matemática. problemas.html> Página do site da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. <http://alea-estp.pt/atractor/mat/Polied/ poliedros. desafios. vídeos.br/ matematica/fabrica_virtual/> Contém objetos de aprendizagem do Laboratório Virtual de Matemática da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (Unijuí) e da Rede Internacional Virtual de Educação (Rived).no.br/site/> O site reúne as questões de Matemática de grandes vestibulares.mais. <http://www. dentre eles sobre o teorema de Pitágoras. curiosidades etc.projetos.fc.html> Ação Local de Estatística Aplicada é um ­site de Portugal que traz textos com noções de Estatística e Probabilidades.up.ine.) sobre a disciplina para os Ensinos Fundamental e Médio. (Estes sites foram indicados com base em conteúdos acessados em março de 2015). <http://www. <http://nautilus.edu. curiosidades etc.com/poly> Em inglês.pt/nconcreto. <http://www.br> Portal educacional que tem como objetivo disseminar as novas tecnologias da informação e da comunicação. Portugal.indd 275 5/13/15 5:09 PM . Apresenta artigos sobre números inteiros e números decimais para o 6o ano. Também apresenta um material didático (artigos.<http://www.peda.pt/mn/pitagoras/ pitflash1.html> Contém diversos jogos abordando temas da Matemática. 2009. números e operações. São Paulo: Edgard Blücher. Geometria moderna. Conteúdo e metodologia da Matemática. IMENES. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico. São Paulo: Ática. Matemática no Ensino Fundamental: formação de professores e aplicação em sala de aula. NETO. Da realidade à ação – reflexões sobre educação e Matemática.). Porto Alegre: Artmed. (Coleção Contando a História da Matemática). 1992. (Org.referências BORIN. 276 prm6_273_283_sugestoes. 1975. Rio de Janeiro: Interciência. 1997. Didática da Matemática. História da Matemática. São Paulo: Ática. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de Matemática. 1995. E. DINIZ. GUELLI. São Paulo: Scipione. STRUIK.). F. Lisboa: Gradiva. MOISE. Dirk J. v. São Paulo: Summus. Cléa et al. v. A invenção dos números. 1996. Júlia. Matemática para o curso de formação de professores. DOWNS. CARDOSO. USP. Antoni (Org. John A. Números: a história de uma grande invenção. Georges. São Paulo: Atual. 1971. 1980. Coleção Matemática por Assunto. RUBINSTEIN. São Paulo: IME. Spec/PADCT/Capes. 1995. Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática. LIMA. 1977. IFRAH. Projeto Fundão. REYS. L. Maria Ignez de Souza Vieira. KRULIK. KAMII. Campinas: Papirus. Carl B. BOYER. 1978. Virgínia Cardia. Nílson José.Educação matemática: da teoria à prática. SMOLE. Fernando. O conceito de ângulo e o ensino de geometria. História concisa das Matemáticas. Marília. Aritmética: novas perspectivas. São Paulo: Moderna. 1997. 1996. Vânia Maria Pereira (Coord. Porto Alegre: Artmed. Matemática aplicada.indd 276 5/13/15 5:09 PM . Robert E. A arte de resolver problemas. George. Constance. van de. Elon Lages. Ernesto Rosa. Stephen. 1. São Paulo: IME. Avaliação de aprendizagem e raciocínio em Matemática: métodos alternativos. A  resolução de problemas na matemática escolar. Rio de Janeiro: Globo. 1992. Kátia Cristina Stocco. MACHADO. 1998. 1992. São Paulo: Scipione. USP. 1997. ZABALLA. José. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. São Paulo: IME. 1992. 1994. BRASIL. CENTURION. Brasília: SEF. WALLE. D’AMBRÓSIO. São Paulo: Moderna.  . Áreas e volumes. TROTA. 1988. Ubiratan.). 1998. Campinas: Papirus. Secretaria de Educação Fundamental. 1987. MEC. Luiz Márcio. São Paulo: Edgard Blücher. 1. SANTOS. Materiais didáticos para as quatro operações. 1998. Oscar. JAKUBOVIC. A prática educativa: como ensinar. USP. Rio de Janeiro: IM-UFRJ. Implicações da teoria de Piaget. POLYA. (Coleção Fundamentos da Matemática Elementar). MOLDes e MaLHas cOnserVe seU LiVrO Tire cópias dos moldes e da malha. Malha triangular 277 prm6_273_283_sugestoes.indd 277 5/13/15 5:09 PM . DAE 1. indd 278 5/13/15 5:09 PM . Malha quadriculada 278 prm6_273_283_sugestoes. 2.cOnserVe seU LiVrO Tire cópias dos moldes e da malha. Polígonos (atividade Construindo poliedros) 6 cm 10 cm 6 cm 8 cm 8 cm 8 cm 8 cm 6 cm 6 cm 10 cm prm6_273_283_sugestoes. Ilustrações: DAE 3.cOnserVe seU LiVrO Tire cópias dos moldes e da malha.indd 279 279 5/13/15 5:09 PM . cOnserVe seU LiVrO Tire cópias dos moldes e da malha. 10 cm Ilustrações: DAE 10 cm 8 cm 6 cm 6 cm 6 cm 10 cm 8 cm 6 cm 280 prm6_273_283_sugestoes.indd 280 5/13/15 5:09 PM . 4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 49 48 47 46 45 44 50 51 83 82 81 80 52 84 53 85 54 86 100 55 87 99 56 88 98 57 89 97 58 90 96 59 91 95 60 92 93 94 61 62 63 64 65 66 67 43 42 41 40 79 39 78 38 77 37 76 36 75 35 74 34 73 33 72 32 71 31 70 30 69 29 68 28 27 18 19 20 21 22 23 24 25 26 DAE SAÍDA CHEGADA 281 prm6_273_283_sugestoes.indd 281 5/13/15 5:09 PM . Pista numerada (atividade Jogando com múltiplos) cOnserVe seU LiVrO Tire cópias dos moldes e da malha. cOnserVe seU LiVrO Tire cópias dos moldes e da malha.indd 282 5/13/15 5:09 PM . Polígonos (atividade Simetria dos polígonos) C D E 282 prm6_273_283_sugestoes. B A Ilustrações: DAE 5. Ilustrações: DAE cOnserVe seU LiVrO Tire cópias dos moldes e da malha.indd 283 5/13/15 5:09 PM . F G H I J 283 prm6_273_283_sugestoes. 38. d 46. c 51. c Página 48 50. c 52. UNIDADE 1 Revisando Página 21 33. Paula: 137. Apresentamos apenas as respostas de algumas seções. c 48. 7 700 e 7 707 41. c) 9 410 d) Não. B 5 852. 11 anos Autoavaliação Autoavaliação Página 34 Página 47 29. Três milhões. Página 45 29. a) 21 rapazes b) 5 garotas c) 22 garotas Desafios 41. 34 095 168 28. b 58. d 62. Página 33 24. b 34. 40. a) A 5 716. Mauro. c 66. a) B b) A c) 999. a) Sim. 10 305 30. b 64.indd 284 5/13/15 5:10 PM . a) São Paulo. 8 419 674 pessoas 36. duzentos e sete. c 35. d 36. 80 001 23. a) Uma. b 59. c 33. b 55. C 5 434 b) Curitiba. d 60. nove. c 65. 38 500 46. 32 607. c) Três. c) Curitiba e Brasília.00 Revisando Página 32 19. b) 200 c) Não. Um representa 30 unidades e o outro. O correto é falar “oito algarismos”.respostas dos exercícios Preferimos não incluir aqui as respostas de todos os exercícios que permeiam as páginas de teoria. 82 38. Página 22 42. b) Sim. 44. b 50. Lucas. cinquenta mil. b 38. 40 832 47. duzentos e trinta e sete. c UNIDADE 3 UNIDADE 2 Revisando Seção Livre Página 44 R$ 912. uma vez que este Manual do Professor contem todas as respostas. Dos 7 000 000 000 de habitantes do planeta. 43. 7 814. b 56. c 61. um. 800 000 000 passam fome. Rui: 972. 10 e 46 21. c 33. a 53. R$ 40. d c) 710 45. c 49. b 35.00 43. Resposta possível: 10 caixas de 10 bombons 5 100 3 caixas de 5 bombons 5 115 81 4 caixas de 2 bombons 5 123 44. 104 030 Desafios 45. c 52. 807. 23 e 65 20. 17 CDs 42. Rodrigo: 825. quatro: cento e noventa e quatro. 3 000 unidades. a 63. aqui ele aparece como código. B 5 63 b) C 5 4 000. O fizemos dessa forma para proporcionar ao aluno uma oportunidade de verificar os conhecimentos recém adquiridos e a você a opção de fornecer ou não resoluções ao aluno. 35. 37. F 5 1 119 22. c Autoavaliação Página 23 48. a 30. a) 6 427 b) 2 476 e) 481 i) 100 f) 374 j) 998 g) 5 400 k) 999 h) 699 l) 10 234 c) 6 247 d) 4 762 Desafios 26. Brasília. d 32. a) Cinquenta e três mil. 36. b) Três. b 54. 41 km 40. 39. a 47. b 31. a) 4 b) Zero. D 5 2 500 c) E 5 1 109. a) 4 600 000 000 b) Quarenta e seis milhões de séculos. a) 614 b) 4 732 32. b 49. a) 9 prendedores b) 20 prendedores c) 41 prendedores d) n 1 1 prendedores 27. c 284 prm6_284_288_respostas. Luciana: 396. d Página 24 57. Não. a) 60 b) 54 c) 10 243 d) 479 25. d 34. b 31. b 39. 34. a 51. b) 24 370 116 habitantes c) 289 391 habitantes d) 8 627 372 habitantes Página 46 37. a) A 5 42. b 37. a) 69 clientes b) 71 clientes 109. 103 40. 16 1 4 5 8 1 7 1 5 98. 204. 13. 10. a) A e C b) C e) 2. c 111. 73 i) Todos. 580. 36 41.00 b) 5 canetas Autoavaliação Página 77 110. 43. c 57. c UNIDADE 5 b) 48 5 4. 21. 12 maneiras 102. d 116. 5 5 Seção Livre Página 74 672. 28. d 54. b 123. 16. 850 285 prm6_284_288_respostas. a) 42 b) 15 43. 60. a 58. 343 quilogramas 40. Página 78 Página 89 117. a 122. 25 908 Revisando Página 75 94. b 54. 48. 60 h) 5. 60 e) 18. 25² 5 625 39. 30. d 48. b 125. a) 9 b) 343 36. 62. Página 87 41. 8 filas 42. 102 34. c UNIDADE 6 Revisando Página 109 37. 48. 14 m 106. 12. 38 Desafios 107. 32. c 52. a 57. b 59. a 114. 020. 850. a) 18. 33. c Autoavaliação 46. 23. c 119.53. 41. a) 128 32. d 43. 12. 44.850. 1 680. a) 0. 28 5 256 c) 42 d) 28 Desafio 45. 6 horas e 30 minutos 104. R$ 5. 72. 7³. a 120. 49 g) 30. d 112. a 63. d UNIDADE 4 Seção Livre Página 59 42. d 126. 84 d) 306 d) B 38. 56. a) 12 b) 90 95. a) Três. Sim. 27 c) 18. 27 d) 5. 48 anos 108. a) 10 d) 10 000 b) 100 e) 100 000 c) 1 000 f) 1 000 000 35. 30. a) 44. 71. 52. 30. b 113. 805 c) 580. 60. c 121. 14. d 50. 4. 21 pontos 97. a) 508. d 115. a) 26 c) 16 b) São iguais. 60 f) 21. d) 3 38. Ficaria (2 1 3²) · 5 – 1. 21. 31. 64. a) 2 1 45 2 1 5 46 b) Sim. 25. 30. b 59. 42. 33. 14. b 55. 46 b) 18. a 55. 14. 51. a 53. b 47. 5 7. 92. b) 1. 51.00 100. 48. c 49. 48. 22 e 26 c) A e B 39. 16h12min 105. 33. b 60. b Página 90 Revisando Página 86 31. b 64. 12. 2. b 62. 60. 6 e 12 Página 110 43. 110. a 124. 5 44. 850 b) 580. 306 c) 289 b) 0. 68. 61.00 Página 76 101. b 61. a) 64 b) 128 c) 81 d) 243 37.indd 285 5/13/15 5:10 PM . b) 1 c) 216 Número Quadrado Cubo 1 1 1 2 4 8 4 16 64 5 25 125 3 9 27 10 100 1 000 20 400 8 000 33. j) Nenhum. b 51. a) 32 figuras b) 1 minuto e 20 segundos e) 38 f) 28 56. d 96. Ficaria 2 1 3² · (5 2 1). c 65. c 118. a 56. 24 passageiros 103. a) R$ 2. 30 anos 99. R$ 904. 12. c 58. 102. 30. 11. 3. c 61. As idades são: 11 e 13 49. Terminar em dois zeros. d) Sim. a 15. 28 55. a) 45º b) 120º c) 90º 25. a) B b) A c) C 24. 21 balas 50. c) Não. Roxo e amarelo. b 13. d) O cubo e a caixa têm o mesmo número de vértices. a) Sim. a) Resposta possível: 12h. 20. b 60. 19. d Página 116 × C 26. c) 12 pilhas d) 63 tijolos 27. c 30.00 45. b) Sim. a 29. rato: 3 anos. utilizando os divisores de 24 (um dia tem 24 horas). e) No cubo. Gráfico 1 D Autoavaliação 10. c 12. a) Sim. b) Ambos têm 12. f) Não. coelho: 12 anos. b) Resposta possível: 6h. c 9. faces e arestas. 24 e 28 48. c UNIDADE 8 UNIDADE 9 Revisando Revisando Página 138 Página 154 Página 122 1.00 a) É o carneiro. b 53. e) Sim. b 57. a 31. b) Não. c 11. c) Coruja: 24 anos. d) Sim. R$ 260. 24. d 16. a 63. d 58. Sugestão de resposta: a) 11 1 13 c) 23 1 41 b) 13 1 17 d) 31 1 41 52. 25. se gu nd afe ira te rç afe ira qu ar ta -fe ira qu in ta -fe ira se xt afe ira 0 Revisando Página 120 7. Gráfico 2 22. a) 13 m b) 19 m c) 25 m Página 121 Seção livre Não é poliedro Quantas faces? Quantas arestas? Quantos vértices? B Desafios a) 2 700 pessoas b) Não. c 64.44. b 62. a) Ambos têm 8. 286 prm6_284_288_respostas. cavalo: 30 anos. carneiro: 15 anos. Autoavaliação UNIDADE 7 Poliedro A Frequência 14 12 12 10 8 8 6 6 8 5 4 2 e eo ga m TV vi d pa ss ei os le it u ra es po rt es 0 18. Verde e vermelho. Sim. b) A coruja e o cavalo. c 32. Rosa e azul. a) A de um bloco retangular. Os três ângulos têm medidas iguais a 90º. b) A de um bloco retangular.indd 286 5/13/15 5:10 PM . Atividades de lazer × × × E × 5 – 7 5 – 9 – 15 8 – 6 – 10 5 1 Página 139 23. c) Sim. Autoavaliação Página 112 Desafio 56. Na caixa. b 33. 1 008 ovos 2. 8. c 59. Porque. 46. 36 cubos 21. b 34. 54. a) 15 pacotes b) 5 kg do tipo A 1 7 kg do tipo B 1 1 8 kg de tipo C Seção livre 60 50 45 40 34 30 50 38 25 20 10 Página 111 51. Frequência de alunos à biblioteca Desafios Frequência 47. c) Ambos têm 6. 26. há faces retangulares. d 28. a) 60º b) 150º c) 90º d) 120º 27. Resposta pessoal. a) 25 pessoas b) R$ 940. todas as faces são quadradas. não haverá mudanças nos horários de um dia para o outro. a) 5 b) 3 c) 6 Balão: 10 pontos Página 140 14. R$ 2. Dão a ideia de retas paralelas. c) Sim. 11 14 Página 175 97. c 111. ACD e ACE. 3 h 45 min 85. B: 1. 29. a) Dodecágono. 89.98. 28. a) 87. b 113. O ângulo vai diminuir. a 39. b) 1 3 c) 1 6 9 84. a) 140 cm b) 140 cm c) Os perímetros são iguais. b) ABD c) ADE 29.00 115. Resposta possível: Quaisquer três frações equivalentes a 1 . a) 1 4 31 94. a) 14 b) 15 8 38 b) 15 c) 25 kg d) 24 litros UNIDADE 12 Revisando Página 226 c) 33 20 31 c) 60 b) 97 24 d) 21 20 d) 22 15 71. a 120.02. 32. c 51. d 36. b 121.08. a 28 b) 21 16 c) 1 60 d) 49 15 100. 1 m 35. d 38. d 44. R$ 0. 1 kg a mais. 3 · n. atingiu 4 3 kg. e. d 118. R$ 1. 600 pessoas Página 172 83. a) 6 25 95. a 34. c 41. 16 32 64 Página 173 32. 33. a) 1 7 27. a.89. 25 litros 105. a 109. 3 h 30 min. d 117. Colômbia: 1. R$ 300.10 72. Tal como foi feito o corte. a 108. ÅA 5 90º. b Página 201 90. Grécia: 0. c 116. b 49. B 5 4  . a) 36 reais b) 8 kg 91. c 50.01. R$ 1. a Autoavaliação Página 156 35. 2 Por exemplo: 8 . c 107. c 48. ÅB 5 45º. Finlândia: 1. d 36. Brasil: 0.9 b) 30. c 74. a) 22 copos b) Não. 16 .. d 46. 31. c 110. a 114. 15 f) 3 28 g) 10 h) 11 9 b) 29 20 Autoavaliação Página 203 106. 64 . 105º 30. a) 3 47. d 112. a) ABC. A: 0. 6 · n Desafios b) c) d) 37. c. C 5 8 3 3 3 86. a) 3. d Página 204 dormindo comendo estudando divertindo-se b) 9 24 88. 32 etc.Desafios 28. a) e) 4 93. b 45. 5 · n. 75 alunos 104. 73. R$ 0. a) 16 e 25 b) 36. 17 cm 34. a 37. b 52. A 5 2  . d 43. Japão: 2. 4 Página 202 98. 33. 1  1 h ou 1 h e 15 min 4 Página 176 99. Jamaica: 2. R$ 0. ÅD 5 90º. c 4 b) Sim. 5 quadrados 38. a) João. Corinthians. c 119. R$ 2. a) Não. a) 1 4 UNIDADE 11 Revisando Desafios UNIDADE 10 Página 200 Revisando 82. d 42. c 40. 102..indd 287 5/13/15 5:10 PM . 4 · n. f 30. 3 103. 10 pastas 101. a) 3 horas b) 3 h 15 min. b) Paulo. b) Octógono e quadrado. Seção livre Página 155 31.1 287 prm6_284_288_respostas.20. 49. C: 2 e D: 2. 3 kg a mais. não houve alteração no comprimento do contorno da figura. ÅC 5 135º. 40. 16 estacas 39.12 c) 16. 18 blocos 92. Quatrocentos e setenta e oito reais e sessenta e nove centavos. c Autoavaliação 96. proteínas: 10.3 1 0. d Página 272 Página 265 d) 20.9 87. Cada debatedor deverá falar durante 3 minutos e 45 segundos.25 kg 78. a) 3 vermelhas 1 2 azuis b) 4 azuis 2 3 vermelhas Página 230 66. b 81. 3 kg 74. a 97.40 Página 241 80. R$ 2. 30.3 2 (1.50 26. 77.160. a 101.2 1 0. 64.6 kg 79.00 b) R$ 297.7 f) 1. b 80.5 c) 25. 62.50 34.95 m b) Murilo.75. c) 21. d 91. a) 4 c) 6 b) 9 d) 7. 2. 28. a) 24 cubos Revisando Página 240 Página 266 23. 50 canetas UNIDADE 13 70.5 m2 68.4 d) 0.65 27. c 37. b 96.8 km c) B. 35 cm 92. a) 2.00 b) 9. A primeira. gordura: 9.9 b) 4 kits Autoavaliação Página 229 Página 264 Página 267 84.16 75. a) R$ 5. a) 9 cm c) 1.14 kg 77. b 94.67 Desafios 89. Os dois recipientes vão encher no mesmo instante.9 76.indd 288 5/13/15 5:10 PM .2) b) 12. c 288 prm6_284_288_respostas. a) .00 83. 88.782 b) 4. b 94. água: 54. 35 cubos 71. 48 400 m2 35.5 cm3 Cubo: 2 cm3 85.535 m2 69. a) 65% b) 490 mulheres e 910 homens 25. Esfera: 0. a) 3. 2. 50 m 62.00 Seção livre 87.07 ou 6. d Revisando c) 6. a 101.70 c) 0. d 39.09 m 61. R$ 126.5 90.6. 81 m3 82. 40 d) 160. c b) 72 cubos 93. c 105.60 b) 6.84 Desafios 32. 4 562 kg 76. a) 3. Três erros: K maiúsculo. 80 b) 4. a) 35. a) 18 m2 b) Banheiro (3 m2). R$ 0. d 36. 180 litros 81. b 60. 5 400 metros 63.9 e) 7.5 m2 e) 78 m² b) 0.5 kg 79.08 gramas.1 1 2. d 98. 31. a) 4a 73. 92. R$ 59. a) 1. 2 pessoas 91.5 1 2 2 (7 1 6. d 97. 86. R$ 2. b 104. d 96. 3. Página 227 78.06 ou 7.6 gramas. Porque tem 3 cm de largura por 4 cm de comprimento. c) 48 alunos b) Mamão.09 d) 2.9 Há outras possibilidades. c 99. d) . c 40.24 gramas. Roberto.10 kg Página 270 Página 242 Autoavaliação b) 3a Desafios Autoavaliação Página 271 UNIDADE 14 93. 65 litros Página 228 84. b) 5 e) 5 c) 5 f) . 325 cm2 102. a) R$ 210. 6 cm 83. 85. 89. a 105. b 102. a) 7.9 c) 1.4 kg b) 29. a) 1.8 gols por partida 82. 29. b 95. b 103. R$ 569. 71.2 1 1.6 1 1. c 100. a 99. 16 c) 8. Mário e Carlos. 370 pessoas 65.6 ou 1. b 108. a) Morango.5) 86. b 67. 1.80 72.08 b) 30 e) 29. b 41. b 100. plural e ponto.75 km b) 3. 240 24. a) 730 33.2 88. b 95. R$ 2. c 109. 69 cm 90. R$ 9. d 106. Nos copos menores. b 107. 1. a 106. a) 3. b 38. c 98.845 m2 103. b 104. Manual do Professor 6 M a t e m á t i c a prm6_mp_289_292_especifica.indd 289 5/13/15 5:06 PM . Agradecemos à professora Nilza Eigenheer Bertoni pelos comentários e sugestões que contribuíram para a melhoria deste manual. prm6_mp_289_292_especifica.indd 290 5/13/15 2:39 PM . Colega Professor Este manual tem diversos objetivos: ◆◆ revelar as ideias que nortearam a concepção desta coleção de Matemática e esclarecer sua proposta pedagógica. contribuindo para o sucesso de seus alunos.indd 291 5/13/15 2:39 PM . atividades voltadas para o desenvolvimento das habilidades de leitura. Os autores prm6_mp_289_292_especifica. Esperamos que este manual o auxilie em seu trabalho. ◆◆ contribuir para o processo de formação contínua do docente. escrita e resolução de problemas. propostas para avaliação e integração com outras áreas do conhecimento. ◆◆ fornecer subsídios para enriquecer as aulas por meio de orientações específicas para o trabalho com o Livro do Aluno. apresentando textos e artigos que propiciam a reflexão sobre educação e práticas metodológicas. sugestões de textos. ................................. escrita e oralidade em Matemática usando o livro didático............................................. 339 Unidade 5  Potenciação e raiz quadrada de números naturais..............391 Sites....relação de conteúdos 1........................ Avaliação – O que se pede por aí......... multiplicação e divisão de números naturais...361 Matemática............................................................................. 297 Medidas......................................................................384 6...................... 298 Tratamento da Informação e Estatística...................... 296 Álgebra.................. 325 Sobre jogos e brincadeiras na aula de Matemática.......................381 5................ 298 Razões...........................................326 QUADRO DE CONTEÚDOS...........................................370 Unidade 12  Números decimais............309 Como ensinar Matemática?.............................................................................................308 Unidade 10  Polígonos e circunferências............................................................................................327 4........................................................................................ 324 prm6_mp_289_292_especifica... Educação e práticas metodológicas.....................................................................................................................294 Principais temas abordados.........................363 Sugestões de registros – avaliação continuada.............323 Comunicação e expressão na proposta de Avaliação do Documento Básico do Enem – Brasília/2002.......................................................................395 5/13/15 2:39 PM ...390 Livros.......392 7.......... Ideias sobre a avaliação em Algumas sugestões de estratégias envolvendo leitura.........305 Sobre o erro................................ Considerações sobre o ensino da Matemática e a concepção da obra.........................indd 292 Unidade 11 Frações......................................................... 299 A Interdisciplinaridade na obra.................. 298 Funções.....356 Unidade 8  Observando formas.................................................................................................. escrita e oralidade: competência de todas as áreas.................................................. a escrita e a oralidade em Matemática... Referências................................................................................................................................................................................................................................. 390 Paradidáticos..............................................................293 Estrutura da obra...........................................................332 Unidade 2  Números naturais....................... 297 Geometria.................................................................................336 Unidades 3 e 4  Adição....... 315 Livros didáticos × contexto histórico.............. 390 História da Matemática e História da Educação Matemática................................. Sugestões de livros e sites para o professor..................... porcentagens e proporcionalidade............................................. Sobre o livro do 6o ano............................................. 311 Algumas sugestões de estratégias envolvendo resolução de problemas usando livro didático....296 Números...................................................................................................................................................................................................................................................303 2....................................................332 Unidade 1  Sistema de numeração decimal.......... 390 Educação Matemática.............390 Matemática por meio de jogos e resolução de problemas. 317 Sugestão de atividade contemplando a história da Educação Matemática..............................................................394 Anexos..................300 Tecnologia nesta obra.................................377 Unidade 14 Medidas.............................. 390 Revistas.................................................304 Unidade 9 Ângulos...........310 Os vários tipos de problema: uma possível classificação.......................365 3......... subtração. tabelas e gráficos de barras............................................................................................................................348 Unidade 6  Múltiplos e divisores.............................................375 Unidade 13 Porcentagens.............................................299 O uso de paradidáticos nesta obra. 324 A leitura...........................................................................309 Matemática e resolução de problemas...................323 Leitura.......................................352 Unidade 7  Dados............. para não levar à banalização e à perda de consistência do texto. manual do professor prm6_mp_293_306_comum. respeitar o pensamento do outro e trabalhar de maneira colaborativa. Visando ao equilíbrio entre as aplicações práticas e a percepção da Matemática como ciência estruturada – aspectos que se complementam –. Em várias oportunidades o aluno será incentivado a elaborar. e sim mediações indispensáveis para a construção do conhecimento matemático. O caráter instrumental e científico da Matemática possibilita a resolução de problemas práticos e fornece ferramentas importantes para a construção do saber científico. perseverança e disciplina na busca de resultados. aproximando a Matemática do dia a dia do aluno. É necessário ressaltar que o ensino de Matemática deve buscar também o desenvolvimento de posturas e atitudes necessárias à formação cidadã: confiança na própria capacidade. Essa abordagem valoriza estratégias diversificadas de resolução. como dedução. afetivas e de inserção social. respeitando o desenvolvimento cognitivo dos alunos.indd 293 293 5/13/15 2:40 PM . nesta coleção. uso adequado de procedimentos e análise da solução obtida. escrita e oralidade em Matemática. Contemplar satisfatoriamente cada um des­ ses aspectos em sala de aula e conciliá-los não é tarefa fácil. portanto. Nosso objetivo é estimulá-lo a refletir sobre a própria maneira de pensar e propiciar a criação de mecanismos que facilitem cada vez mais seu aprendizado. sobretudo. enriquece o aprendizado e promove o desenvolvimento de habilidades importantes. argumentação e capacidade de conjecturar. de maneira que as abstrações não constituam o início ou o fim do processo. o trabalho em pequenos grupos. Consideramos indispensável o trabalho com leitura. Com esse objetivo. por meio da leitura de textos sobre História da Matemática. A interação entre alunos desempenha papel fundamental no desenvolvimento das capacidades cognitivas. sempre que possível a obra apresenta os temas e sua exercitação por meio de problemas. Concomitantemente. com cuidado. Contemplamos. mas dando a sustentação necessária para a construção de conceitos e demonstração de propriedades. Trabalhamos a contextualização de forma criteriosa. mas há outro objetivo também importante: desenvolver nele o gosto pelo desafio. Conhecimentos matemáticos. ser um parceiro eficiente para o professor e para o aluno: essa foi a intenção dos autores ao desenvolverem esta coleção. forma indivíduos com visão mais ampla da realidade.1. preparados para atuar num mundo em constante mudança. cujas questões incentivam conjecturas e investigação. a contextualização de conteúdos exerce papel de destaque e deve ser explorada. que possibilita a troca de ideias. presente em situações da própria Matemática. compreensão e aplicação de conceitos. Nesse sentido. indispensável nos dias de hoje. Considerações sobre o ensino da Matemática e a concepção da obra A presença cada vez maior da Matemática nas atividades humanas torna o aprendizado dessa disciplina fundamental para a inserção do cidadão no mundo do trabalho e das relações sociais. generalização. explicitar e compartilhar diferentes caminhos para a resolução de questões. O aluno deve aplicar conhecimentos da Matemática na vida prática. leituras de interesse científico ou social e. Essas habilidades são desenvolvidas em todos os anos escolares. o desenvolvimento das capacidades intelectuais do pensamento matemático. os textos didáticos são muitas vezes acompanhados por atividades marcadas com o selo ­Refletindo. Acreditamos que o primeiro passo é criar um ambiente que dê significado ao que se aprende. O livro didático deve. como saber ouvir. respeito pelo pensamento do outro e trabalho cooperativo. escrito com foco no aluno e permeado por quadros interativos com propostas de atividades que facilitam a compreensão e enfatizam aspectos importantes. são necessários para a alfabetização científica e técnica do indivíduo. mesmo os que não fazem parte do cotidiano imediato. Situações que propiciam o desenvolvimento do pensamento abstrato foram inseridas de forma gradual. do próprio texto didático. de forma não linear. fichas de planejamento e de acompanhamento. Como representamos o antecessor e o sucessor de um número natural x  2? Antecessor: x  1. Nas orientações específicas deste manual oferecemos opções de atividades lúdicas. 12 é o produto 1  12  12 Observe que encontramos os fatores ou divisores de 12: 1. A soma de dois números ímpares é par ou ímpar? E o produto? Par. cuja prática é possível em sala de aula. 5. Os textos para reflexão. O texto didático estabelece um diálogo com o aluno por meio de uma linguagem clara e simples para facilitar a compreensão e ajudá-lo a progredir na leitura. gráficos e esquemas explicativos. concretiza o conteúdo teórico e possibilita uma saudável interação entre pares. André falou que 32 é divisível por 8. os ovos são dispostos assim: 2  6  12 No entanto. 20. 2. pois consideramos que conhecimentos sobre práticas escolares em Matemática. 4. ao longo do tempo. 7. Os temas são distribuídos de modo equilibrado. NÚMEROS NATURAIS 13 MANUAL DO PROFESSOR prm6_mp_293_306_comum. as atividades em grupo não impedem o exercício individual. Os selos Refletindo e Interagindo permeiam o desenvolvimento do conteúdo. Respondam no caderno. 2. 3. Por meio de atividades ao longo do texto. 1. respectivamente: ◆ o contato com questões mais reflexivas ou investigativas.indd 294 5/18/15 1:56 PM . 25 5. sucessor: x  3. em unidades. 35 c) 100 1. Quantos números naturais há do número 15 até o número 65? Quantos são pares? 51. 4. Consideramos que a coleção atende às demandas do mundo atual e valoriza as propostas vigentes para o ensino da Matemática. Contudo. Como obtemos a sequência dos múltiplos de um número natural x? Multiplicando x pelos números naturais: 0  x.. 4. ilustrações. atividades com o selo Interagindo oportunizam esse trabalho. x é múltiplo de y se a divisão x  y é exata. 3  x. 50. pois 816  24  34 e não há resto. Pautados em nossa prática docente. cada um com um Manual do Professor específico. propiciando. Reinaldo Rosa No decorrer das unidades. atividades e jogos adicionais. A soma de um número natural com seu sucessor é par ou ímpar? Ímpar. você pode fazer o levantamento dos conhecimentos prévios dos alunos e checar o progresso da leitura. 2. 2. 6 e 12. Quer ver mais um exemplo? Os divisores de 20 são: 1. Disponibilizamos para você. Ilustrações: Marcelo Azalim A abordagem da História da Matemática é uma grande aliada para despertar o interesse dos alunos. 25. Também dizemos que 12 é divisível por 1. d) 1 1 2. artigos de renomados especialistas em Educação Matemática. Escreva os divisores ou fatores de: a) 18 1. Reinaldo Rosa Propomos. 2  x. Quem acertou? Os dois. podendo ter subitens relacionados. 18 b) 351. todo o conteúdo foi cuidadosamente selecionado para dar apoio ao trabalho docente. 2. sugerimos exemplos práticos de como desenvolver conteúdos e avaliar a aquisição de habilidades e competências. visando dar a você o suporte necessário. Ímpar. 10. ◆ o trabalho em grupo. professor. no Livro do Aluno. 1  x. estimativas e o uso da calculadora para o aluno prever e verificar resultados. Os temas de cada unidade estão subdivididos em itens numerados. mas sem refrear sua liberdade de criação. apresentando a Matemática como construção humana em constante evolução. importante para a socialização. 6. 10 e 20. 3. . com a contribuição de grandes gênios da ciência e também de não especialistas. Procuramos articular ao máximo este manual com o Livro do Aluno sugerindo estratégias de aula. Por isso. Ana disse que 8 é divisor de 32. não perdemos de vista o fato de que um jogo ou uma brincadeira ajuda o aprendizado.. Responda no caderno! 3. de modo que você possa escolher as mais adequadas a seus objetivos. 6. além de dar subsídios teóricos. abrindo espaço para a criatividade e considerando a realidade da sala de aula em nosso país. 6 e 12. fornecemos uma base sólida para professor e aluno transitarem com segurança. Ressaltamos ainda o trabalho com cálculo mental. e é acompanhado de fotografias. alguns artigos sobre a história da Educação Matemática. 5. atividades interdisciplinares. 2. É possível distribuir 816 maçãs em caixas com 24 maçãs cada uma sem que sobrem ou faltem maçãs? Justifique sua resposta.Entendemos que o Manual do Professor deve ser realmente útil e presente no planejamento e desenvolvimento das aulas. 3. 3. enfim. podemos imaginar outras formas de dispô-los: 3  4  12 3 e 4 são os fatores. Divisores de um número natural Nas embalagens mais encontradas no comércio. estimularão a reflexão sobre a sala de aula dos dias atuais e o ajudarão a enxergá-la num contexto histórico. A obra se vale desse recurso em muitos momentos. Como descobrimos se um número é múltiplo de outro? Quando x e y são naturais e x  y. além dos apresentados no livro didático (do aluno). As atividades de sistematização estão presentes na coleção e têm o objetivo de gerar maior agilidade no uso de técnicas e procedimentos. Ao mesmo tempo. Sim. alguns jogos matemáticos e atividades com material concreto. importante para a autodisciplina e a autonomia. nos quais foram desenvolvidos partes do tema central. 4. 9. 100 Qual é o menor divisor de um número natural?1 E o maior? O próprio número. procurando contribuir para a construção de um ambiente pedagógico mais descontraído. 5. 294 Estrutura da obra A obra compõe-se de quatro volumes. complementos teóricos. 1. com títulos. 4. Partenon. Xilogravura. Simetria: beleza e equilíbrio Encontramos simetria na natureza. apuradamente selecionadas. Uma sugestão é pedir aos alunos que resolvam as questões sem ajuda. O médico com certeza não indica um intervalo de: 9 em 9 horas. a) 24 11  13 b) 30 13  17 c) 64 23  d) 72 31  41 41 52. Escher. No eixo vertical. iStock/Thinkstock Além das atividades sugeridas pa ra le lamente à apresentação dos temas. por cliente. 15 anos de idade? É o carneiro. vestibulares e avaliações da rede oficial. História da Matemática e outras áreas do conhecimento. as respostas e analisando o próprio aproveitamento. 25 pessoas b) Se cada DVD é alugado por R$ 4. Taj Mahal. São propostas questões do tipo teste. Ao fim de 50 exercícios. cada equipe ganha 2 pontos por jogo que vencer e 1 ponto por jogo que perder. utilizando os divisores de 24 (um dia tem 24 horas). c) O candidato A ainda tem chance de vencer as eleições? Sim. Descubra quem foi o vencedor sabendo que o número de 13 e sua camiseta está compreendido entre 5 13 Ari. 26. Escher Company-Holland B DAE 1 A 3 8 Marcelo Azalim 0 A irin-k/Shutterstock c) sinaliza textos e ativi- dades que abordam a Matemática aplicada a outras áreas do conhecimento e/ou à vivência cotidiana. d) Se o candidato C obtiver 525 votos dos indecisos e o restante dos indecisos optarem pelo candidato A. régua e alguns lápis de cor. na arte. DVDs alugados de 1 a 7 jun.00 e estudantes pagam somente metade. Sugerimos que sejam resolvidas em duplas ou trios.00. fatos históricos.. pois não se encontrou até hoje nenhum número par que não obedecesse a essa afirmação. c) Qual dos bolos leva mais manteiga?O bolo Delícia. b) entre 1 L e 2 L. cada unidade tem seções de atividades específicas. Você pode encaminhar essas atividades como tarefa de casa ou reservá-las para aplicação na recuperação paralela. M. 163 14. Quando você vai ao médico e ele receita-lhe um medicamento para tomar mais de uma vez por dia. dando-lhe a possibilidade de mobilizar recursos para exercer as competências adquiridas. a) a) 15 b) 25 c) 30 d) 35 5x  3y  130 x  y  50 a) x  y  100 10x  20y  1 550 c) x  y  100 x  2y  1 550 b) x  y  100 20x  10y  1 550 d) 2x  y  100 x  y  1 550 9. b) 4 partidas e perdeu 5. apresentadas a seguir. Converse com os colegas: Há simetria nessas obras? Que tal desenhar figuras simétricas? Você vai precisar de papel quadriculado. Grécia. b) 1992 Sim. c) Qual é o tempo médio de vida de cada um dos animais indicados? Coruja: 24 anos. então y é igual a: Alternativa d. d) 6 partidas e perdeu 3.799 c) Quais desses números são iguais? 0. chá água leite A A 0. 6 em 6 horas. Depois. Professor. Construa uma reta como esta e represente nela as frações a seguir: D 3 2 29. cujo trabalho impressionou o mundo. dizemos que eles são primos entre si. Chá. (Saresp) Pelo regulamento de um torneio de basquete. O matemático Goldbach (se fala “goldbá”).5 L e 1 L. 4 10 L. 7 em 7 horas. Um dos corredores venceu a maratona. Dos anos indicados a seguir. A simetria nos dá a sensação de equilíbrio. e) 2000 Sim. As linhas em preto são eixos de simetria.8 a) Qual deles é o maior? 0..799 SEÇÃO LIVRE 0. x  y  100 x  0.C. 1958 Xilogravura com diâmetro de 42 cm. não haverá mudanças nos horários de um dia para o outro. Mostre isso para os seguintes números pares: Atividades ou textos sobre curiosidades.800 0. Alternativa b.com. construído por volta de 440 a. verifique quais desses pares de números são primos entre si. autoavaliação Melancia R$ 1. Agra. Observe as jarras da tia Januária e o que há em cada uma. Índia. d) uma quantidade equivalente a 2.. Uma pesquisa eleitoral estudou as intenções de voto nos candidatos A. Refrigerante e água.75 25. na arquitetura. em média. Os exercícios estão dispostos em grau crescente de dificuldade. ao final. Acesso em: out. 8 em 8 horas. são diversificados e muitos foram retirados de avaliações oficiais. (Saresp) Entre bananas e melancias. (Saresp) Tenho 100 moedas que dão um total de R$ 60. Nesse torneio. geralmente indica um intervalo de: d) 2040 Sim. 28 Não sabemos se Goldbach estava certo. 120 B C indecisos Candidatos Responda O selo 2 700 pessoas a) Qual é o número de pessoas consultadas? b) O candidato B pode se considerar eleito? Não. com diâmetro de 41.83 0. Desafios REVISANDO DESAFIO DESAFIOS 9.50 o quilo xy9 2x  y  15 Cirkoglu/Thinkstock A história da Matemática é abordada em diversas oportunidades em todos os volumes: por meio de textos de caráter histórico. isto é. a quantidade de pessoas que alugaram o correspondente número de DVDs.com refrigerante Há duas outras seções em várias unidades. x5 c) a) x  5 2 x5 x5 d) b) 4 4 Ivan Danik/Thinkstock Ao item numerado segue-se uma lista de exercícios para a prática do aluno e pela qual você pode avaliar a aquisição de habilidades e conteúdos procedimentais na aprendizagem. Laranjada. Muitas gravuras de Escher lembram mosaicos. A bilheteria de um teatro apurou R$ 1. b) Quais dos animais indicados vivem. São obras do artista gráfico holândes Maurits Cornelis Escher. Se x  4y  5. estabilidade. a) 30 b) 32 58. o candidato C assume a liderança? Sim. Lucas Lacaz Ruiz/Fotoarena/Folhapress 0 a) Qual é o número de pessoas que alugaram 4 ou mais DVDs? 15  5  5  25.5x  y  7 c) 10 d) 12 Bananas R$ 1. em média. 174 15 10 440 5 1 2 3 4 5 6 Número de DVDs A (10  1  25  2  20  3  15  4  5  5  6  5)  4  940 R$ 940. conferindo. a) 3 de bananas e 2 de melancias b) 3 de melancias e 2 de bananas c) 1 de banana e 4 de melancias d) 1 de melancia e 4 de bananas EXERCÍCIOS 24. comentários e informações biográficas. Observe os números: 0. Contribuem para desenvolver nos alunos as habilidades leitora e de interpretação de textos. quais são bissextos? a) 1984 Sim. quanto a locadora recebeu nesta semana? car Agrupamos. em meio aos itens numerados ou ao final deles. 2014 a) Qual é o animal que vive. mais de 20 anos? A coruja e o cavalo. a) 3 partidas e perdeu 6. procurando motivar o aprendizado. Tempo médio de vida Tempo (anos) 30 24 18 12 to coe lh o al o uja ra cor cav 0 nei ro 6 Animal Fonte: <www. c) entre 0. ele explora outros elementos em suas composições: plantas. Por que isso ocorre? Porque.00 8. descritas a seguir. 2014 Frequência 810 750 700 25 20 54.5 laranjada Pedro Sotto E 4 L 2 7 L 7 4 2 L 3 L 5 2 L Indique a jarra que contém: a) menos de 0. no eixo horizontal. ordem.50. Observe as fotografias abaixo.5 L. arte.. Descubra o nome de um objeto colocando os números indicados em ordem crescente. Alternativa a. Margaridas. 54. figuras humanas. MÚLTIPLOS E DIVISORES Vale a pena ler 111 VALE A PENA LER Textos variados sobre Matemática. Quantos quilogramas comprei de cada fruta? 55. a) As quantidades de farinha nos dois bolos são iguais? Sim. 55. observando sempre a adequação ao nível cognitivo da turma. uma equipe disputou 9 partidas e acumulou 15 pontos ganhos.550. Mas há um detalhe: um ano terminado em 00 só é bissexto quando seu número for divisível por 400.8 10 9 57. 1959. Um ano é bissexto se o número que corresponde ao ano é divisível por 4. rato: 3 anos. cavalo: 30 anos. Se p e q são tais que: Alternativa a. 12 em 12 horas.5y  60 59. C. MANUAL DO PROFESSOR prm6_mp_293_306_comum. harmonia. então pq  2 vale: Alternativa c. mas certifique-se de que cada aluno contribua para a resolução.800 Paulo Rui Ari seção livre Sílvio Marcos Léo Ao final de cada unidade há três seções com atividades. coelho: 12 anos. O ingresso custa R$ 20. Na Grécia Antiga chamava-se o número 6 de número perfeito porque a soma dos seus divisores menores do que 6 é igual a 6.99 1 7 2 1 5 N T 1 2 3 30. ciência e situações do cotidiano. questões que exigem soluções mais criativas e elaboradas. Comece com figuras mais simples.00 é: Banco Central do Brasil Anote no caderno o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta. Este gráfico mostra o tempo médio de vida de alguns animais. 4 Ilustra Cartoon 5 C 27. descritas a seguir. 2 D 1 4 Marcelo Azalim C Somchai Som/Shutterstock B 5 4 Fotos: 2014 The M.br>. Limite Circular III. No gráfico abaixo está representado. Limite Circular I. comprei 5  quilogramas de frutas e gastei R$ 7. 51. Uma certa quantidade são moedas de  R$ 1. ou 5 em 5 horas. É correto afirmar que essa equipe venceu: Alternativa d. no século XVIII. Caneta. lápis. f) 2050 Não. Veja exemplos que apresentamos ao lado. a) 4 e 6 b) 5 e 8 c) 26 e 39 d) 55 e 121 53. ou no enunciado de alguns exercícios. em Atenas.C. Além de figuras geométricas. Escher. o número de DVDs alugados por semana numa locadora. c) 5 partidas e perdeu 4.. Veja os ingredientes de dois bolos e responda: 60. carneiro: 15 anos. Usando essa informação. 28.” 6123 Verifique que 12 não é um número perfeito e tente encontrar o número perfeito compreendido entre 20 e 30.00. Leite. durante um certo período. Você pode utilizar essas atividades de diversas maneiras. Revisando As atividades dessa seção constituem mais uma oportunidade para o aluno retomar e interligar os diferentes assuntos. peixes. B e C. existem outras soluções possíveis.saudeanimal. você pode criar uma composição inspirada nas obras acima. afirmou: 35 FRAÇÕES E NÚMEROS DECIMAIS Serjedi/Dreamstime.5 b) 13 14 15 10 11 12 Marcelo Azalim 11. c) 1998 Não.. Quantos exercícios acertou? Alternativa d. a correspondente frequência.00 o quilo 56.00. . C.AUTOAVALIAÇÃO qp4 q  p  12 a) 20 b) 80 c) 15 d) 10 . Quando o mdc de dois números é igual a 1. M. xy5 1. obtendo os resultados apresentados: Intenção de votos Número de votos Ilustrações: DAE 7.00 vendendo ingressos a 100 pessoas. nessa seção. tinha 130 pontos.00 e as restantes são moedas de R$ 0. (UNB-DF) Um aluno ganha 5 pontos por exercício que acerta e perde 3 por exercício que erra. A quantidade de moedas de R$ 1. O número x de estudantes é dado pelo sistema formado pelas equações: Alternativa a.83 b) Qual deles é o menor? 0.indd 295 295 5/13/15 2:41 PM .5 cm. prova de 5 matrizes. b) Qual dos bolos leva menos açúcar? O bolo Espetacular.8 e 0. Você já sabe representar números naturais em uma reta. Copie as retas numéricas e represente os números decimais indicados pelas setas vermelhas. Muitas vêm de olimpíadas. “Todo número par maior que 4 pode ser escrito como soma de dois números primos. abordando temas que podem ser classificados nas categorias a seguir: ◆◆ Números. lembramos o registro e a leitura de números decimais. Os problemas dos textos e das seções de exercícios exploram habilidades variadas e buscam desenvolvê-las. A coleção procura. Pesquisando a História da Matemática. Quem deve. apresentamos o conceito de fração como quociente e retomamos os números decimais. bem como suas aplicações no cotidiano. porcentagens e proporcionalidade. O volume do 6o ano retoma e aprofunda os conhecimentos sobre o sistema de numeração decimal e seus princípios. Apresentamos a potenciação. No 7o ano. dos processos de contagem e dos sistemas de numeração criados por antigas civilizações. Trabalhamos. Sugerimos apresentar vários exemplos concretos. antes de apresentar os números negativos. Não construímos o conjunto  nesse volume. ◆◆ Medidas. sem construir ainda os conjuntos Z e Q. estimativas. 2 pizzas divididas entre 8 pessoas etc. portanto você pode utilizá-los no trabalho com leitura em Matemática. o conceito de número primo e a determinação do mmc e do mdc de números naturais. o professor da disciplina. compreender. como: 4 barras de chocolate divididas en­tre 5 crianças. como facilitadores. os critérios de divisibilidade mais importantes. tratar da leitura de textos em Matemática é você. As operações com números decimais são cuidadosamente trabalhadas nos textos. com raízes quadradas de números naturais com foco nas raízes exatas. sua notação e o cálculo de potência com base e expoente natural.Principais temas abordados O conteúdo da coleção está distribuído em quatro volumes. fracionários e decimais. sempre que possível. com o objetivo de promover o entendimento do aluno sobre algoritmos usuais. no entanto. mas em todos os componentes curriculares. principalmente os propostos com base em situações do contexto particular deles. em seguida. articular Números com Medidas e Geometria. fizemos um levantamento sobre a história dos números. ◆◆ Álgebra. Precedendo os estudos das frações. em seus algoritmos usuais e nas propriedades da adição e da multiplicação. Retomamos as operações de adição. apresentamos as relações “múltiplo de” e “divisor de”. ◆◆ Funções. apresentamos os números reais Números 296 multiplicação e divisão com números naturais com base nas ideias elementares dessas operações. No volume do 6o ano apresentamos inicialmente os números naturais e suas aplicações. argumentação e iniciação à articulação lógica e dedutiva. São trabalhados procedimentos de cálculo mental. ◆◆ Tratamento da Informação e Estatística. manual do professor prm6_mp_293_306_comum. A ideia é garantir um aprendizado mais consistente das operações e da resolução de problemas envolvendo números negativos antes de formalizar os conjuntos numéricos. Entendemos que o aluno do 8o ano está mais preparado para essa construção. relembramos os números naturais. a novidade é a localização de frações e de números decimais na reta numérica. No 8o ano. apresentando problemas com frações e suas aplicações. Acreditamos que a competência de ler. Lembramos. preferencialmente. Não se esqueça de que todos os textos didáticos foram escritos pensando no aluno como leitor. ◆◆ Razões. subtração.indd 296 5/13/15 2:41 PM . pois pode desenvolver melhor a construção das relações entre as duas linguagens diferentes – palavras e símbolos matemáticos. A ideia de fração co­ mo quociente parte de situações que envolvem desenhos. Incentivamos técnicas de cálculo mental e uso de arredondamentos para estimar resultados. Iniciando com as regras do sistema de numeração decimal. em especial nas multiplicações e divisões. ◆◆ Geometria. mas retomamos e ampliamos o trabalho com frações abordando as operações. que os alunos devem ter acesso a problemas de outras fontes. com apoio da história dos números e sua relação com o desenvolvimento da humanidade. Optamos por apresentar os números negativos inteiros. interpretar e produzir textos não se desenvolve unicamente na aprendizagem de Língua Portuguesa. para facilitar o entendimento dos alunos. Ao final da Unidade 1 do 8o ano. Os comentários sobre funções estão mais à frente. O maior objetivo nesse volume é mostrar as equações como ferramentas úteis na representação e resolução de problemas. nesse volume. irracionais e fracionárias. seguindo os passos da História. as resoluções por tentativas e por meio da Aritmética. ao final do 9o ano. Definições. No 7o ano. resgatando o que foi visto no 7o ano. Optamos por apresentar as equações biquadradas. Antes disso. para prosseguir os estudos no Ensino Médio. nos valemos da experimentação constatando alguns fatos importantes por meio de atividades. Nos volumes do 8o e do 9o ano as demonstrações em Geometria são mais frequentes e têm o objetivo de desenvolver o raciocínio dedutivo e a argumentação lógica. Geometria A Geometria é abordada nos quatro volumes da coleção. Prosseguindo. bem como introduz informalmente a noção de equilíbrio entre quantidades e incógnitas. como os produtos notáveis e a fatoração. no 8o ano o aluno trabalha com cálculo algébrico por meio da manipulação de expressões. raízes com índice natural maior que 2. o aluno tenha formação adequada no campo dos números. mas é preciso cuidado e calma ao introduzir sua linguagem para não gerar confusão. No 9 o ano. apresentamos as propriedades dos números reais. conceitos e propriedades geométricas importantes são revisitados antes da apresentação de novos conteúdos. de fórmula e de incógnita. Entendemos que a construção do conhecimento geométrico acontece de forma acumulativa e fica facilitada se apoiarmos novos conhecimentos em manual do professor prm6_mp_293_306_comum. apresentada agora de maneira mais formal. números quadrados perfeitos e raízes não exatas.iniciando pela construção dos conjuntos N. mas também como uma ferramenta que auxilia o desenvolvimento de conceitos da Matemática (e poderíamos até dizer.indd 297 297 5/13/15 2:41 PM . Propomos a abordagem gradual das diferentes concepções ou finalidades da Álgebra atualmente: a Álgebra como generalizadora da Aritmética. No 9o ano. há a retomada da potenciação e de suas propriedades e da radiciação. suas propriedades. A importância da Geometria na História da Matemática é ressaltada em textos complementares. estudo da relação entre grandezas e de estruturas matemáticas (manipulação de expressões). Z e Q e dos números irracionais. aprende a usar corretamente conhecimentos importantes da Álgebra. ao provarmos a congruência de ângulos opostos pelo vértice. as equações e as inequações do 1o grau são introduzidas. Dessa forma. Sabemos que a Álgebra possibilita aos alunos uma abertura para o estudo de outros ramos da Matemática. valorizando sempre sua conexão com outros campos do conhecimento e com a vida prática. O trabalho com Geometria está relacionado às atividades de observação e construção. sem ofuscar as habilidades de cálculo mental. procuramos sempre respeitar o desenvolvimento cognitivo dos alunos. incluindo expoentes inteiros negativos e a radiciação. Antes de apresentarmos os sistemas de equações do 1o grau. A apresentação dos números irracionais é feita de forma cuidadosa. Álgebra O livro do 6o ano trabalha com a observação de regularidades e algumas generalizações. o objetivo é que. da construção do conceito de variável. que facilitam o progresso do aluno. vêm as equações do 2 o grau. mas entendemos que é um tema indispensável em um livro didático. a potenciação. A demonstração de propriedades relativas à Geometria aparece inicialmente no volume do 7 o ano. que fundamenta e serve como recurso didático). desenvolvidas por meio de textos simples. Destacamos. uma vez que são conteúdos necessários no Ensino Médio. Ao apresentar essas demonstrações. a linguagem algébrica. como estudo de processos para resolver problemas. retomamos a resolução de equações. Apresentamos a Geometria não apenas como conteúdo isolado. Abordamos a representação na reta numérica estendendo o registro para números reais. com textos acessíveis e uma atividade concreta para apresentar o número  (pi). insegurança e dificuldades. precedendo o trabalho com radicais. o trabalho é retomado e o estudo da Álgebra é abordado de modo mais formal. pois possibilita ao aluno desenvolver habilidades importantes para a compreensão e a representação organizada do mundo físico. Destacamos nossa preocupação com o cálculo mental de porcentagens básicas e com o uso da calculadora como facilitadora no cálculo de porcentagens frequentes no dia a dia das pessoas. de volume. também. Geometria com Medidas e com Álgebra. em razão de sua importância na sociedade atual. retomamos o conceito de razão para definir segmentos proporcionais. os alunos são convidados a fazer construções com régua. porcentagens e proporcionalidade As ideias e aplicações de razões. Razões. e. para a vida profissional dos alunos por isso. Deixamos espaço para que você enriqueça as aulas com atividades que abordem temas atuais.conhecimentos anteriores e se articularmos. tabelas e dados estatísticos em jornais. de massa. a utilidade do conhecimento matemático em seu cotidiano. e. Sempre que foi adequado ao contexto. incluímos medidas nos exemplos e atividades dos conteúdos de Álgebra. Outro aspecto valorizado na obra é o uso do material de desenho geométrico. por exemplo. diversificadas. apresentamos textos acessíveis e atividades interessantes. O desenvolvimento do raciocínio proporcional tem importância significativa para o conteúdo de Matemática do Ensino Fundamental. de área. Ensinamos a usar o transferidor na Unidade 9 do 6o ano. Objeto Medidas educacional digital As medidas fazem parte de nosso dia a dia e constituem um conhecimento necessário nas mais variadas profissões. sempre que possível. problemas mais complexos envolvendo porcentagens e noções sobre cálculo de juros são abordados na Unidade 10. do contexto dos alunos. Estatística e no Tratamento da Informação (cons­tru­ção de gráficos). de tempo. Por isso. envolvem situações com medidas. possibilitando melhor compreensão do mundo físico e integração com outras áreas do conhecimento. atividades relacionadas à leitura de tabelas e de gráficos em todos os volumes. Balanças. esse tema mostra também ao aluno. fitas métricas. colunas. Muitas das dificuldades dos alunos no trato com medidas e conversões entre unidades vêm de um conceito de medida mal desenvolvido. No volume do 7o ano. Tais situações são a base para a criação de diversos problemas interessantes e significativos aos alunos. trabalhamos com cuidado a construção do conceito de medida. Incluem-se na abordagem de Estatística os problemas de contagem e noções de manual do professor prm6_mp_293_306_comum. medidas de ângulos. Para isso. a coleção traz. que será revisitado e consolidado nos demais volumes. educacional Tratamento da Informação e Estatística digital O tema Estatística também é constante em toda a obra. Unidades e seções específicas foram dedicadas ao estudo de gráficos e sua apresentação. fazer previsões e escolher rumos de ação. relógios e termômetros. com clareza. sempre que possível. construir e interpretar gráficos estatísticos para analisar situações. o trabalho com Medidas se estende por toda a coleção. Consideramos a prática com material de desenho desejável em todos os anos. futuramente. É importante que todos vivenciem experiências concretas com medidas. ao longo da obra. a Unidade 5 dedica-se especificamente a razões e porcentagens. É importante que o aluno seja capaz de ler uma tabela. Abordamos. antes de demonstrar o teorema de Tales. setores. 298 No 9o ano.indd 298 5/13/15 2:41 PM . compasso e transferidor em várias oportunidades. calcular médias. no 8o ano este conhecimento é retomado e aprofundado. Encontramos gráficos. revistas e meios de comunicação em geral: faz parte do cotidiano da população. para o cotidiano e. Geometria. nos volumes do 7o e 8o anos. porcentagens e proporcionalidade são abordadas em uni­da­des específicas em todos os volumes da coleção. medidas de comprimento. essa coleção retoma e amplia conhecimentos básicos em Tratamento da Informação e Estatística. Aproveitando sempre o conhecimento prévio dos alunos. proporcionando um primeiro contato com a Objeto Matemática Financeira. No volume do 9o ano. No volume do 6o ano. Além da importância social. linhas e pictogramas. Assim como fizemos com Geometria. Explicamos como construir diversos tipos de gráficos: de barras. Na vida. O entendimento. a escrita e aplicação de fórmulas para representar algebricamente a relação entre variáveis. Observará a simetria nas parábolas e o ponto de vértice. escrever e se expressar oralmente. como: questões ambientais. uma vez que esse conteúdo é retomado e aprofundado no Ensino Médio. Também abordamos no Livro do Aluno e aqui. que pode ser útil em sua reflexão sobre o tema. a compreensão do princípio multiplicativo e de ideias básicas sobre o cálculo de probabilidades que serão complementadas no Ensino Médio. relacionar os diferentes campos da Matemática entre si e com a vivência cotidiana e do trabalho. específicos. é trabalhado com mais facilidade e desenvolvido com o título “Funções”. Procuramos torná-lo menos formal. terá um primeiro contato com as funções do 1o e do 2o graus e com o tipo de gráfico que as representa. saúde e educação financeira. A ênfase está em saber reconhecer uma função. definimos função.probabilidade trabalhados gradualmente desde o 6o ano. damos noções de domínio e imagem e representamos funções por meio de diagramas de flechas. pois acreditamos que as habilidades de comunicação são verdadeiramente interdisciplinares. uma organização na construção dessa rede. Por meio de problemas. entre outros. como Matemática. Ciências etc. ou o enfrentamento de uma questão real.indd 299 299 5/13/15 2:41 PM . buscando formar uma rede em que um saber se entrelaça com muitos outros e dá significado a cada um deles. de forma a torná-la mais firme. O conceito de função. É sempre desejável usar como base situações da realidade dos alunos e mostrar aplicações práticas para o estudo de funções. procuramos. A segunda prioridade foi estabelecer um vínculo com a linguagem. não pertencem exclusivamente ao âmbito de uma única disciplina. no Manual do Professor. a relação de interdependência entre grandezas. procurando desenvolver a comunicação eficiente na língua materna e na linguagem simbólica da Matemática. tanto oral como escrita. para depois obter informações sobre o comportamento das grandezas da função. tendo noção geral sobre funções do 1o e do 2o graus. oferecendo aos alunos a oportunidade de enxergar um fato de diversas ópticas. a maioria dos fatos não acontece de forma compartimentada. orçamento familiar. manual do professor prm6_mp_293_306_comum. O aluno será convidado constantemente a ler. devem servir de canal de ligação entre situações reais e o que se aprende na escola. vindos das mais variadas fontes. além de cumprirem objetivos próprios. tratado informalmente desde os anos anteriores como preparo para o 9o ano. o aluno trabalhará com gráficos e lei de formação. Em seguida. Apresentamos nos comentários de muitas unidades sugestões para trabalhos integrados com outras disciplinas. o trabalho com temas importantes para a formação cidadã. dando ideias de como isso pode acontecer. Um planejamento bem organizado pode ajudar a estabelecer ligações entre temas da própria disciplina e entre esta e outras áreas da atividade humana. Português. pretendemos desenvolver o raciocínio combinatório dos alunos. Funções Desde o 6o ano e de forma mais específica a partir do 8o ano. depende da capacidade de mobilizar e articular diversos conhecimentos. em primeiro lugar. Isso não quer dizer que não deva haver uma ordem. alimentação. Nesta obra. identificar e interpretar suas variáveis e utilizar suas formas de representação – tabela de valores. Acreditamos que todas as reflexões a respeito da interdisciplinaridade apontam para um objetivo comum: desfragmentar o conhecimento. A interdisciplinaridade na obra Objeto educacional digital Entendemos que os diversos componentes curriculares tradicionais. determinará zeros se existirem. Na Unidade 4. lei de formação e gráfico –. Fechamos esses comentários com o trecho de um artigo escrito pelo professor Nílson José Machado. trabalhamos com a observação e generalização de padrões.. o reconhecimento e uso de variáveis. A determinação de uma língua comum é a condição do surgimento de um saber novo” (1984: 35). de escapar ao regime de confinamento que lhe é imposto pela divisão do trabalho intelectual. um debate por meio do qual. 2015. Em todas as sistematizações filosóficas.] De modo algum a concepção de conhecimento como uma rede de significações implica a eliminação ou mesmo a diminuição da importância das disciplinas. 4.. em cada participante. conforme citamos a seguir.proposicoes.] O caso da Matemática No caso específico da Matemática. ainda que com a mediação do Cálculo.. de Flávio Carneiro (referência completa no final deste texto). bem como a influência que dele se irradia para todos os relacionamentos disciplinares. [. ordenação.. Nílson José. mar. A nosso ver. uma reflexão crítica sobre o papel que ela deve desempenhar na configuração curricular é imprescindível e inadiáveI. procedimentos algorítmicos. essa é a correção de rumo absolutamente fundamental para uma reconstrução da árvore cartesiana – ou do círculo piagetiano: a língua e a Matemática constituem os dois sistemas básicos de representação da realidade. Saiba mais detalhes sobre o programa acessando o endereço eletrônico: www.fe. assim se espera. Campinas. como acontece geralmente. Embora conte a história de um adolescente que suspeita que sua mãe não morreu em um acidente e decide descobrir a verdade. MACHADO. Por mais que se pretenda desenvolver a imagem alegórica da teia cognitiva.A rede e as disciplinas [. Em múltiplos sentidos. mas também receber instrução. n. Nesse sentido. tal língua comum deve ser uma linguagem mista.. Em uma analogia com os relacionamentos funcionais no estudo dos fenômenos naturais. Na construção do conhecimento.fnde. O par língua/Matemática compõe uma 300 linguagem mista. precisamente. a ser desenvolvida de modo contínuo e permanente a partir da prototeia com que todos aportamos à escola. O Programa Nacional Biblioteca da Escola (PNBE) é responsável pela avaliação e distribuição de algumas dessas obras.unicamp.gov. além do trabalho com leitura. a língua materna e a Matemática. partilha com as mesmas o fato de não atribuir uma especial relevância à língua nossa de cada dia. conjuntamente. 1993. as palavras de Gusdorf são incisivas: “Estudos interdisciplinares autênticos supõem uma pesquisa comum e a vontade. São instrumentos de expressão e de comunicação e.. constatamos a importância do papel que lhe é destinado. de forma proveitosa.pdf>. se consolidaria o sentido da unidade humana. ter-se-ia um verdadeiro diálogo. Interdisciplinaridade e Matemática. O uso de paradidáticos nesta obra Indicamos a leitura de algumas obras que podem ser encontradas nas bibliotecas da escola. são uma condição de possibilidade do conhecimento em qualquer área. ainda que o conhecimento não possa ser caracterizado apenas por estes elementos constitutivos. As disciplinas são os fornecedores naturais de tais mapeamentos. A ideia cartesiana da Matemática como a seiva/condição de possibilidade de todos os ramos do conhecimento. isoladamente ou em conjunto. 1 [10].br/programas/ biblioteca-da-escola/ biblioteca-da-escola-apresentacao A distância das coisas Sugerimos a leitura do livro A distância das coisas. Afirmar que os procedimentos algorítmicos não esgotam os processos cognitivos não significa que tais procedimentos possam ser dispensados: seguramente não o podemos. sempre será necessário um mapeamento para ordenar e orientar os caminhos a seguir sobre a teia. a escola será sempre um espaço propício ao trabalho disciplinar. Disponível em: <www. cujos ingredientes seriam.br/proposicoes/ textos/10-artigos-machadonj. A nosso ver. Esses títulos possibilitam. apesar de significações distintas das de Comte ou de Piaget. o desenvolvimento de atividades que articulam outros componentes. Acesso em: 21 fev. v. há momentos em que é possível estabelecer conexões entre o texto e a Matemática.indd 300 5/13/15 2:41 PM . Pro-Posições. manual do professor prm6_mp_293_306_comum. Em vez de uma série de monólogos justapostos. sempre serão necessários disciplina. é tão verdadeiro que nem todos os fenômenos podem ser expressos por funções lineares quanto o é que nenhum fenômeno pode ser funcionalmente descrito sem referência aos processos lineares. Cada especialista não procuraria somente instruir os outros.. imprescindível para o ensino e com as características de um degrau necessário para alcançar-se as linguagens específicas das disciplinas particulares. pois. rios. É também fonte de cultura popular. medir é comparar e para comparar é preciso de uma referência. São Paulo: Edições SM. imaginando uma estratégia para a resolução? ◆◆ Quem quer contar como costuma proceder quando tem de resolver um problema de Matemática? ◆◆ Nos problemas comuns do cotidiano – como organizar uma escrivaninha ou um armário. CARNEIRO. variedade de animais e de plantas. das mais básicas. Mais adiante. em meio a bichos. às mais complicadas. que partiria de questões como: ◆◆ Quando resolvemos questões em Matemática. no desenrolar da história. Flávio. plantas. reservas de água. Feche a roda de conversa retomando o que sugerimos no item Matemática e resolução de problemas na página 310. Exemplos: ◆◆ área ocupada por esse bioma. ordenar e estabelecer procedimentos. falando de abraços fortes. Pode-se propor a pesquisa e análise de dados sobre vários aspectos da Amazônia. A terra onde viveu deu origem à capital do Amazonas: Manaus. descobrir o melhor caminho para a casa de um colega. principalmente no comércio e nas Ciências. trazendo questões como: Uma “pitada” é quanto? Um “pouquinho” é quanto? O autor extrapola os exemplos para os relacionamentos pessoais. Você pode pedir que pensem em exemplos nos quais é necessário ter medidas precisas (nos cálculos para a construção de um edifício. Edições SM Nas páginas iniciais do romance. “Melhor virar bicho que o homem não come”. levando a refletir sobre a relatividade de alguns conceitos como muito ou pouco. Deixe que conversem sobre isso. há outra oportunidade de trabalho com medidas. Matemática. e “Ajuricaba não se rende ao homem branco”. que conta a saga do bravo índio que lutou contra a escravidão de seu povo pelos colonizadores. porcentagem de vegetação remanescente. fracos. crença indígena sobre a origem dos animais. nas lendas e tradições indígenas que fazem parte da identidade brasileira. mulheres e homens corajosos e apaixonados. Geografia. Ele diz inclusive que sua mãe estranhava o fato de ele ter boas notas em Matemática e mesmo assim ter tanta dificuldade para organizar. por exemplo) e outros em que um valor aproximado é suficiente. Dentre elas destacamos “O grande rio sai dos potes de água”. Fale da importância das estimativas e da criação de um sistema internacional de unidades padronizadas para facilitar o relacionamento entre os povos. o garoto discorre sobre a importância de criar e utilizar métodos para facilitar a execução de tarefas. A distância das coisas. – utilizamos métodos ou processos organizados? A discussão teria como levá-los a perceber que os processos mentais organizados são facilitadores em várias atividades humanas e que o aprendizado da Matemática oferece oportunidades para desenvolver esses processos.indd 301 301 5/13/15 2:41 PM . Explique aos alunos que. nos valemos de métodos ou procedimentos organizados? Estas práticas nos auxiliam na resolução? ◆◆ Ao resolver um problema em Matemática é comum primeiro organizarmos nosso pensamento. Esse livro possibilita um trabalho interdisciplinar proveitoso. lenda sobre a origem do Rio Amazonas. O autor é feliz ao relacionar inicialmente medidas com culinária.Esse trecho pode dar margem a uma conversa com os alunos. traz 25 histórias sobre a região. Contos e lendas da Amazônia A Amazônia não é apenas rica em recursos naturais. Língua Portuguesa e. daí a necessidade de haver uma unidade para servir de padrão. em Matemática. médios. 2008. situação do desmatamento. Você pode propor que façam um pequeno texto resumindo tudo o que discutiram. gráficos de barras e de setores e pictogramas. que pode envolver História. por que não. No livro do 7o ano os alunos trabalharão com tabelas. O livro Contos e lendas da Amazônia (ver referência completa ao final do texto). animais ameaçados de manual do professor prm6_mp_293_306_comum. ◆◆ espécies endêmicas. montar um belo sanduíche etc. onde encontram o avô de um deles.extinção.org. www.shtm www.wwf. localizando a época em que viveram. Na unidade 1 do livro do 8o ano apresentamos os números irracionais tomando como exemplo raiz quadrada de 2 e demonstrando que esse número não pode ser escrito na forma de fração. outros datam essa descoberta em cerca de 50 anos mais tarde.28 2008 12 911 2007 0. Arquimedes. de Ricardo Hofstetter (ver referência completa ao final do texto).indd 302 5/13/15 2:41 PM . direitos e demarcação de terras. pois a equação que pode levá-los de volta ao presente é roubada por Anaximandro.40 2013 5 891 2012 0. qualidade de vida. pecuária e projetos que visam à sustentabilidade. agricultura. tradições e direitos sobre terras que devem ser demarcadas e protegidas pela União. em seu artigo 231. Reginaldo. ressaltando que Aristóteles chegou a ela também por redução ao absurdo. a pesquisa pode ressaltar a importância de Sócrates para a filosofia ou a escola pitagórica. Os adolescentes conhecem o grande filósofo Sócrates. das Letras. Sugerimos também fontes para a pesquisa de vários desses temas.amazonas. 302 Editora Cia.22 2011 6 418 2010 * 2012 4 571 2011 0. dados sobre educação. ◆◆ população. socializada depois em sala de aula por meio de uma roda de conversa.28 2010 7 000 2009 0. moradia e saúde na região.br/home/estatistica/populacao/ censo2010/default. que é amigo do avô. 2011. como Pitágoras.29 2009 7 464 2008 0.am. Apresentamos a seguir alguns dados sobre o povo indígena no Brasil e a situação da Amazônia. Três adolescentes viajam no tempo depois de resolverem equações do 1o grau encontradas num livro antigo e misterioso. pode ser proposta uma pesquisa sobre as contribuições de pensadores gregos. Em 2010 havia 896 mil índios no Brasil de acordo com o Censo IBGE.inpe.ccst.gov. *Dado preliminar. crenças. entre outros.30 2014 4 848* 2013 0. Inserimos alguns endereços da internet como referência para essa pesquisa. que imagina que nela se encontra a chave para encontrar o valor exato da raiz quadrada de 2. A Constituição Brasileira. Euclides. tinham o “poder” de levar as pessoas para outras épocas. São Paulo: Cia. que pode ser uma tarefa de casa.br/wp-content/uploads/2014/10/ Futuro-Climatico-da-Amazonia. As soluções das equações eram transformadas em uma sequência de notas musicais que. Há relatos sobre manual do professor prm6_mp_293_306_comum.br/o-amazonas/dados www. Fonte: Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (Inpe). Entre outros temas. Fale sobre Hipasus de Metapontum: alguns atribuem a ele a descoberta de que havia números não racionais. o que oferece a oportunidade de integração com História. Porcentagem de índios na população brasileira Desmatamento na Amazônia Ano Área desmatada (km²) Ano Porcentagem 2006 0. que anos antes também viajara por meio do livro.34 Fonte: PNAD 2013. Em 2014 eles ocupavam 709 áreas indígenas. Complemente contando mais detalhes aos alunos sobre o quanto a descoberta de que havia números não racionais abalou os matemáticos da Grécia Antiga. assegura aos índios a manutenção do seu modo de organização social. costumes. somando mais de 111 milhões de hectares de terra. * O critério do Censo 2010 não possibilita comparação. O destino dos jovens é a Grécia Antiga. quando tocadas.gov.ibge.br/natureza_brasileira/ areas_prioritarias/amazonia1 PRANDI. ocupação indígena ao longo da história. anos depois de Sócrates ter vivido. das Let ras www. o que complementa de forma adequada o enredo do livro. O passo seguinte vem da trama. Faça essa ligação mostrando passo a passo a demonstração. Em relação à Matemática. Contos e lendas da Amazônia.pdf Tá falando Grego? Sugerimos a leitura do livro Tá falando Grego?. e passam a conhecer aspectos da Grécia Antiga. Eratóstenes. para essa ciência. 168 680 deles vivendo no estado do Amazonas. 2010. Entendemos tecnologia como o estudo e aplicação de conhecimentos técnicos e científicos na construção de processos.htm HOFSTETTER. como Blade Runner. ferramentas ou materiais que possam facilitar determinadas tarefas. arte. Em 1920.br/GINAPE/VIDA/ia. Apresentamos a seguir sugestões de endereços eletrônicos que podem ser úteis. Matrix ou Eu Robô (clássico da literatura adaptado para o cinema) pode motivar os alunos para a pesquisa. A fábrica de robôs. www. logo após a 1a Guerra Mundial. ofício. Ricardo. Tá falando Grego?.ufcg. podem transformar-se numa ameaça para a humanidade.shtml www. O assunto deve interessar aos jovens. e λογια – estudo).edu. São Paulo: Hedra. A leitura do livro pode ser trabalhada em História. manual do professor prm6_mp_293_306_comum.pt/educacao_final/ trab_final_inteligencia_artificial/ia.Sugestões de sites para pesquisa http://revistaescola. Matemática e Ciências podem propor primeiramente que os alunos façam uma pesquisa sobre as perspectivas de avanço e a história da busca pela inteligência artificial para.no. em certo momento. o nazismo e o stalinismo estavam em fase de idealização. se houver internet disponível. a possível diminuição da privacidade trazida pela internet. sendo posteriormente incorporada por outros idiomas. ético. Até que ponto a tecnologia será benéfica? Quem definirá para que finalidades servirá? O livro A fábrica de robôs (ver referência completa ao final do texto) foi escrito em 1920.ufrj.pt/pitagoras.tecmundo.html Editora Hedra Hipasus ter sido expulso da escola pitagórica por ter revelado a outros o que sabia.br/biografias/HipasusM. pois discute a substituição do trabalho humano pelo dos robôs e as consequências disso. Tecnologia nesta obra A palavra tecnologia está comumente associada ao uso de máquinas como calculadoras e computadores. Vale comentar que em tcheco. por exemplo. Apresentar na escola ou sugerir que procurem assistir a filmes que são referência nesse tema. mas todos apontam sua origem na Geometria. 2012. capazes de fazer tudo e que. língua do autor. tecnológico e biológico. trabalho forçado. quando nem sequer havia computadores. mas permanece atual. Não é raro jornais e revistas trazerem reportagens sobre avanços nessa área. tão perfeitos que podem ser confundidos com seres humanos.com. Matemática e Ciências.br/inteligencia-artificial http://revistaescola. uma vez que as pessoas não precisariam conquistar nada pelo próprio esforço.abril. promover debates sobre as implicações envolvidas nos campos moral.abril. observamos que seu significado pode ser mais amplo.nce.com.com.shtml http://matematica. TCHÁPEK. tendo como pano de fundo os dilemas éticos e científicos ligados ao progresso tecnológico e ao desenvolvimento da inteligência artificial.br/formacao/ mestre-busca-verdade-423245. Rio de Janeiro: Rocco.indd 303 303 5/13/15 2:41 PM .citi. Consta que essa palavra foi empregada pela primeira vez nessa obra. robô significa servidão. As datas e os fatos responsáveis pela descoberta desses números são incertas. Este tema da ficção científica é recorrente e inúmeras vezes foi explorado em filmes e livros.htm www. Editora Rocco www.dec. html A fábrica de robôs Robôs inteligentes. Karel.br/ciencias/ fundamentos/inteligencia-artificial-onde-ela -aplicada-476528. e a pesquisa pode ser feita na própria escola.sapo. mas em sua origem grega (τεχνη – técnica. o que possibilita contextualizar historicamente a obra. O momento também é oportuno para discutir tecnologias já disseminadas no mundo e seus impactos na vida das pessoas. com base nos resultados. como avaliações orais. e eles devem ser preparados para realizá-las. vestibulares. vamos tratar de Avaliação em vários momentos. manipulação de objetos e jogos. selecionar aqueles que a infraestrutura da escola possibilita usar. pois os materiais necessários para o uso desses recursos podem ser facilmente encontrados. No ma­nual sugerimos. outros em trabalhos de grupo. Essa distribuição do tema ao longo do Manual e dos livros didáticos tem por objetivo garantir que uma proposta consistente e atual de avaliação continuada esteja impregnada ao trabalho cotidiano do professor. para todas as unidades do Livro do Aluno. Nesta coleção procuramos trabalhar com esses dois tipos de tecnologia. como provas. O subitem Avaliação. elaboração de painéis – em avaliações de conteúdos pertinentes à unidade. Na elaboração de instrumentos mais formais. do não saber ao saber tudo. e não só no final. já que computadores ou tablets talvez ainda não estejam disponíveis em muitas escolas. As provas formais. O conhecimento é construção humana e social. presente em todas unidades de todos 304 Lembramos que o tema Avaliação comparece também no livro do aluno. as informações recebidas. o qual contém ideias gerais e relevantes sobre avaliação em Matemática. o subitem Avaliação. Caberá a você. objetos educacionais e jogos on-line. e assim por diante. sejam quais forem os recursos utilizados. têm lugar de destaque quando se fala em tecnologia hoje. Cada indivíduo trabalha e reelabora. Ideias sobre a avaliação em Matemática Neste Manual. levando-o a perceber alunos que se saem melhor oralmente. Finalmente. temos neste Manual um item 5. na avaliação. sites interessantes. por toda a gama de possibilidades que oferecem. principalmente. resolução de problemas. produções em casa e em classe. daí a necessidade de se considerar. Incluímos também opções para o uso de s­ oftwares e aplicativos gratuitos. de uma situação para outra. os volumes referidos no Manual. mas o uso de um jogo feito em papel. por exemplo. tarefas. O lembrete para o professor distribuí-la aos alunos. Esta deve servir para facilitar o aprendizado e torná-lo mais significativo e eficiente. propomos o uso da calculadora e nele exploramos a tecnologia citada anteriormente: recursos didáticos que envolvem construções. No Livro do Aluno.indd 304 5/13/15 2:41 PM . postura acadêmica. seleção profissional. A Ficha de acompanhamento do aluno será apresentada neste item. são instrumentos válidos e importantes. deve valer para todas unidades de todos os volumes e é um modo de garantir seu uso ao longo do ano escolar. não somente o produto. o processo. Outros dois aparecem nas unidades de cada volume neste Manual: a “Ficha de acompanhamento do meu desempenho”. professor. são momentos em que procuramos aproveitar estratégias alternativas de avaliação – como trabalho em grupo. Avaliação – O que se pede por aí. 2. do Manual do Professor de cada volume desta coleção. e nosso saber não é construído de um dia para outro. com consulta a caderno ou livro. e ao qual seria útil que o professor voltasse periodicamente para releituras. O primeiro é exatamente neste item que estamos começando. pesquisa. Entendemos a avaliação como parte integrante do processo ensino-aprendizagem. durante a escolaridade básica pode-se trabalhar com instrumentos avaliativos mais diversificados. todos eles comentados. jogos. entre outros. um exercício de recorte e montagem de modelos de sólidos geométricos em cartolina e um ábaco de arame para efetuar operações também são exemplos de tecnologia. No entanto. é importante que a resolução de uma questão não tenha o objetivo de manual do professor prm6_mp_293_306_comum. especialmente na sessão Autoavaliação. estarão presentes posteriormente na vida dos alunos em concursos. que aparece no item 4. de forma particular. mas. Avaliar de forma contínua possibilita checar progressos e dificuldades ao longo de um período. Isso amplia o seu olhar.É claro que a informática e seus recursos. cujo objetivo não é somente verificar (por meio de uma medição) a quantidade de informações “retidas” pelo aluno ao longo de determinado período. compartilhe com eles os objetivos e as atividades que farão (trabalhos. reta numérica. 7. considerando o nível de compreensão e de atuação da turma. oferece a ele a oportunidade de acompanhar o desenvolvimento do curso. analisando as necessidades que levaram à criação. os textos que deverá ler e em que atividades será avaliado. o que se espera dele em cada etapa do aprendizado. 21. Envolver o aluno no processo de avaliação é importante. Ele deve saber quando e como será avaliado e. 8. na elaboração de uma avaliação formal. 14 e 15 p. preenchida em conjunto com o aluno. Por isso. ◆◆ Período 3/3 a 24/3 Número de aulas previstas Palavras-chave 15 Números naturais. (pi). provas. 9 p. reais. racionais. manual do professor prm6_mp_293_306_comum. com base nele. É necessário considerar que a avaliação é um recurso a serviço do desenvolvimento do aluno. metodologia e instrumentos de avaliação). Por exemplo: antes do início de um conteúdo. Desse modo. 22 p. proponha um cronograma de trabalho com o número de aulas previsto para cada assunto. renovando sempre o compromisso com a aprendizagem. É importante efetivar a participação do aluno no desenvolvimento do curso. A ficha a seguir pode ajudar nessa tarefa. ou servirem de referência para novas ideias.). em conjunto com o professor ou algum outro orientador e em parceria com a família. e outras que necessitam ser mais bem trabalhadas. é claro. Uma proposta é tentar torná-lo seu parceiro no processo de ensinar e de aprender. Tudo isso. Acreditamos que essas fichas podem ser agregadas ou adaptadas à realidade de cada escola. Na totalidade das questões. professor.pontuar unicamente: deve revelar se as habilidades e competências foram ou não alcançadas. os objetivos do tema. dízimas. conteúdo. Sugestões de registros – avaliação continuada Fichas de acompanhamento e autoavaliação – alunos Sabemos que o compromisso do aluno com sua própria aprendizagem é uma das premissas para o sucesso escolar. e só então escolher a questão propriamente dita. Leituras p. inteiros. estabelecer ações que o ajudem a melhorar seus resultados. números irracionais. A ficha. Assunto Objetivos Conjuntos numéricos Compreender os diversos tipos de números como criações humanas. que tem o objetivo de levá-lo a assumir um compromisso com a própria aprendizagem. Apresentamos a seguir algumas sugestões para facilitar os registros num processo de avaliação contínuo e abrangente. a avaliação é um instrumento de acompanhamento e regulação do ensinar-aprender e oferece elementos para uma revisão da postura de todos os componentes desse processo (aluno. 11 e 12 p. leituras etc. principalmente. tomar ações necessárias para corrigir rumos. não se deve considerar a soma de pontos. 25 e 27 Atividades avaliativas Texto de criação coletiva envolvendo a ampliação dos conjuntos numéricos. O critério de escolha da questão deve ser a busca da mais adequada para checar a aquisição das habilidades pretendidas – e não o contrário. 17 e 18 p.indd 305 305 5/13/15 2:41 PM . acreditamos que. 20. e sim um conjunto de habilidades e competências adquiridas. Isso significa que por meio da avaliação você pode fazer um diagnóstico e. Classificar os números em conjuntos. O aluno deve ser convidado a refletir sobre seu desempenho e. primeiro é preciso estabelecer os objetivos e as habilidades que serão observadas em cada questão. saber com antecedência o que será abordado nas aulas. Estamos dentro do cronograma?. Trabalhe de modo que. tais como: ◆◆ introduza a ficha aos poucos. mas agora entendi. 171 Fácil Média X X Difícil Dúvidas. ◆◆ observe e incentive o uso da ficha de autoavaliação. Meu grupo acertou todas as questões. Quais das palavras-chave já conhecemos?. é preciso criar demandas que sistematizem seu uso. ◆◆ mantenha o aluno ativo no processo por meio de questões como: O que já aprendemos até aqui?. No entanto. todo esforço terá valido a pena. observações e ideias Como estou em relação a este item? Às vezes esqueço de simplificar o resultado. Nos anexos deste Manual você encontra as fichas destes exemplos disponíveis para cópia. as observações ou questões trazidas por ele para encaminhar a aula. ao final de um mês. percebendo que não é uma folha de papel a mais. a ficha tenha sido avaliada duas vezes. e sabemos que adquirir uma postura e cultivá-la leva tempo e exige paciência. ajustar o cronograma e discutir o aproveitamento. Veja um modelo de tabela a seguir. Para isso. motivando o resto da turma a experimentar o preparo prévio. Quais serão nossas próximas ações?. sempre que possível. ◆◆ mostre a todos que esse aluno aproveita melhor. por exemplo). Use. e não tem. menos a do paralelogramo. por exemplo: destine 20 minutos de uma aula para recolher um número de fichas (de metade da classe. e observe cada uma junto com o aluno. ­atendendo a todas as unidades. Não lembrava o que eram “polígonos regulares”. Estamos atrasados (ou adiantados)? Por quê?. Exercícios corrigidos na lousa: só errei o 46. 193 Atividade em grupo na classe.◆◆ No verso da ficha pode ser colocada uma tabela para autoavaliação. que lê o texto a ser abordado e traz questões ou dúvidas. mas um instrumento útil na gestão de seu aprendizado. ◆◆ valorize o aluno que usa a ficha para preparar-se previamente. Achei que o paralelogramo tinha eixo de simetria. Algumas ideias sobre a prática com esse tipo de ficha O aluno deve incorporar aos poucos a ficha à rotina. assim você poderá perceber dificuldades. se pensarmos que em algum momento os alunos assumirão seu papel de forma consciente e participativa no processo de ensino-aprendizagem. ◆◆ retome constantemente a ficha para verificar o caminho já percorrido. até passar a considerá-la material obrigatório na aula.indd 306 5/13/15 2:41 PM . 306 manual do professor prm6_mp_293_306_comum. aprende mais e ajuda a enriquecer a aula. p. Descobrimos que os polígonos regulares têm número de eixos de simetria igual ao número de lados. reli o texto do livro sobre isso. Ficha de acompanhamento do meu desempenho Conteúdo Adição e subtração de frações Simetria Data 5/8 10/8 Tarefa/ Atividade Exercícios da p. enquanto eles fazem alguma atividade. Todas essas propostas devem ser realizadas com constância. progressos etc. É importante acompanhar os registros periodicamente. Precisamos retomar alguma coisa?. Fichas de acompanhamento – professor O Manual do Professor dessa coleção traz sugestões de instrumentos diversificados para avaliação. atividades em grupo: das tarefas com colegas. escrita e oralidade e também para observação dos aspectos atitudinais de cada aluno. contemplando atividades individuais e em pequenos grupos. disciplinar Contribuição organização respeito. classe funcionários envolvimento registros criatividade Giovana B I N B N I Helen E B E I B I Ícaro … … … … … … manual do professor prm6_mp_307_326_comum. apresentando-a corretamente? Adriana S S S I S S I I S I S S N S S Bernardo N I S N I S I S S I S S N S S Cristina … … … … … Nome Habilidades de leitura. feitas com ou sem consulta ao material didático. de casa e de professor e – atenção e dos para a aula organização. A seguir. colaboração. Resolução de problemas . desenvolvimento de habilidades de leitura. além de outras atividades orais ou por escrito para serem feitas em classe ou em casa.indd 307 307 5/13/15 2:45 PM . Em algumas das sugestões. escrita e oralidade E (eficiente para a faixa etária) I (requer investimento)  Nome Identificação Leitura Compreensão de informações em do texto no texto voz alta Expressão oral Articulação de ideias e argumentação Escrita na língua materna Escrita na linguagem matemática Daniel E I I E I I I Ester E E E I E I E Fabiana … … … … … … … Aspectos atitudinais e procedimentais E (excelente) B (bom) I (requer investimento) N (não adequado) Nome Desempenho nas Relacionamento Realização Postura Material.S (sim)  n (Não)  I (requer investimento) Identifica e compreende o contexto do problema? Seleciona dados e identifica o que se quer saber? Propõe e executa estratégias pertinentes para resolver o problema? Faz registros corretos e claros? Resolve e verifica a validade da resposta. Essas fichas estão disponíveis para cópia no final do manual. mostramos outros modelos que podem ser úteis para a avaliação contínua de atividades que envolvam resolução de problemas. incluímos fichas de acompanhamento específicas para o item em questão. que sejam analisados os trabalhos de Alice.. ao avaliar uma situação.. é apenas o que nós vimos.. a partir disso.br Uma mesma ficha pode conter o registro de várias atividades. mas a partir do que ele está compreendendo dessa representação. Nesse caso. o professor ou a professora não apenas constata e pontua determinada dificuldade do aluno. O professor ou a professora. o processo de avaliação da aprendizagem. o professor ou a professora considera não apenas o que o aluno foi capaz de fazer. Ela também destaca que aquilo que dizemos sobre o nosso aluno é apenas uma parte do que pode ser dito.br/ index. poderíamos refletir sobre a possibilidade de outra explicação para o registro que ela fez do número 21. manifestando a compreensão que o aluno teve da situação-problema. valorizando a sua produção e buscando converter “o não saber. provisório. No caso de Juliana. em ainda não saber. tais questões estão sugerindo uma atenção sobre o que o aluno revela saber no processo que ele construiu e que talvez não tenha manifestado para chegar até sua resposta. Pode indicar caminhos diferentes daqueles que o professor espera. entre outras formas e instrumentos utilizados. mas também aquilo que ele já sabe fazer.] sobre números naturais. criar alternativas para orientá-lo. resolveu da seguinte forma o exercício apresentado pela professora: www. está integral e gratuitamente disponível em: www. é possível acompanhar seu processo de construção da notação do número e interferir. impede o diálogo. O erro representa.. ou seja. [. Quando é perguntado: O que ela acerta? O que ela erra?.mec. de 7 anos. no contexto escolar.biblioteca. A observação atenta a esses diferentes caminhos traçados pelos alunos compõe. Em muitas situações-problema em Matemática. Reportamo-nos agora a algumas questões colocadas no Fascículo I [. 2014.. indícios do seu processo de construção de conhecimentos.indd 308 5/13/15 2:45 PM . sugerimos a edição especial do Boletim de Educação Matemática (Bolema). estático. [. Pode acontecer que o resultado numérico seja um. A edição especial de número 33. mas o processo de resolução até chegar a esse resultado seja construído de diversas maneiras. O professor ou a professora 308 manual do professor prm6_mp_307_326_comum. entre outras manifestações do aluno. O texto a seguir é excerto do fascículo 8 do programa de formação continuada Pró-letramento em Matemática do Ministério da Educação e Cultura e reitera essa disposição de ver nos erros a possibilidade de perceber o desempenho do aluno e. 2001. frente ao erro. p. Será que todos os alunos precisam resolver um cálculo matemático da mesma forma como a professora o resolve? É importante destacar que as nossas soluções não são únicas. se for o caso.php/bolema/issue/view/778 Acesso em: dez. ao final dos episódios (trabalho do primeiro encontro). tornando a avaliação escolar uma prática que desvaloriza os saberes. cujo tema é a avaliação em Educação Matemática.rc. volume 22.] Assim. Juliana e Mariana. como tarefa. de agosto de 2009. não há um padrão de resposta. A autora considera excludente a dicotomia entre o acerto e o erro.unesp. funcionando como instrumento de controle e de limitação das atuações. também decide que tipos de encaminhamentos e intervenções deve inserir em sua prática pedagógica para que o aluno supere a sua dificuldade inicial.] A importância que se dá ao erro é uma questão fundamental no processo avaliativo.periodicos. para. relativo e potencial” (ESTEBAN. aluna da 1a série do Ensino Fundamental. negativo e definitivo. tanto de alunos como de professores e professoras. Está proposto. pode compreender esse novo trajeto seguido pelo aluno. assim você pode visualizar se houve progressos e os aspectos que precisam de mais atenção. planejar as atividades seguintes. 23). como ilustra a situação a seguir: Caroline.. com isso.Como leitura complementar sobre avaliação. A partir da manifestação do aluno. Sobre o erro Sempre falamos sobre a importância de considerar os erros que os alunos cometem como uma estratégia de aprendizagem.gov. como dito acima. c) 1 é múltiplo de todos os números naturais. ninguém é capaz de motivar alunos para o aprendizado. A inspiração do texto vem de um artigo escrito por George Polya. que poderão ser diferentes da sua. pois não desenhou os peixes que Jeremias pescou. 2008. a professora fez o seguinte comentário: Caroline. C. Pró-letramento: Matemática. W. Da mesma forma como está sendo proposto a você discutir com os colegas professores e professoras as soluções apresentadas nas atividades do curso. Tanto para si como para seus colegas a explicação dada pode provocar uma discussão na turma. manual do professor prm6_mp_307_326_comum. Além de. Junto com a motivação para ensinar. Mostre os encantos da Matemática e seu entusiasmo por eles. Justificativas possíveis: c) 1 é divisor de todos os números naturais.. respeitando. os peixes estão dentro da caixa que está na mão do Jeremias. também são muito proveitosas atividades em que os alunos sejam incentivados a identificar erros em questões ou problemas. essa dinâmica pode ser aplicada com a turma. • Adquira e use sua experiência A experiência prática – vivência de sala de aula – é condição básica para melhorar a prática docente. C. 3. [. Identifique as afirmações falsas justificando as respostas. a) 1 é divisor de 30. oportunizando-lhe espaços para verbalizar o que lhe ocorreu ao resolver determinada situação. Se já é professor há tempos. Brasília: MEC. • Demonstre interesse e tenha domínio sobre sua aula Sem motivação. b) 24 é múltiplo de 6. é claro. Caroline. Identifique essa passagem. de forma que o aluno perceba consistência em seu trabalho. É imprescindível ouvirmos a argumentação dada pelo aluno no processo de avaliação. o nível de argumentação dos alunos. Elabore o plano de aula com cuidado. professora. responde: Mas. Fasc. 12  18  (5  1)  12  18  6  12  3  15 2. • Estabeleça contato com os alunos Procure “enxergar” o conteúdo a ser ensinado sob o ponto de vista do aluno.] CHAMORRO. quase que você tira 10.. atendendo às expectativas dele e sendo sensível às suas dificuldades. deve estar. dificilmente fará o aluno interessar-se por ele. d) O maior divisor de 12 é 12. o preparo teórico. criar oportunidades para os alunos explicarem sua forma de pensar antes de você considerar errada uma resolução. Levantamos alguns pontos e apresentamos a seguir sugestões sobre a postura e a prática docentes. que ajuda o aluno a organizar seus pensamentos e compreender sua solução e as dos colegas. Se você é muito jovem. pena que errou a ilustração. Lembre-se de quando você mesmo era estudante e das qualidades dos mestres que mais o influenciaram no período escolar. Ana resolveu a expressão abaixo. mas se confundiu em uma das passagens. transmita aos mais jovens suas vivências e aproveite para aprender também com eles. p. intitulado “Dez mandamentos para professores”. imediatamente. Você precisa mostrar-se seguro para gerar confiança. Apresentamos a seguir dois exemplos desses tipos de atividades. explique qual foi o engano cometido e refaça corretamente a expressão. 9-10. ouça os colegas de profissão mais experientes. 12  18  (5  1)   12  18  6   30  6  5 Espera-se que percebam o erro na terceira linha. explicando que Ana somou 12 + 18 quando deveria primeiro ter efetuado a divisão 18 : 6. interagindo com ele em sala de aula.Ao corrigir o exercício. d) O maior divisor de 12 é 6. é claro.indd 309 309 5/13/15 2:45 PM . Educação e práticas metodológicas Como ensinar Matemática? Essa questão preocupa e ocupa a mente dos professores da disciplina. 1. 8. Espera-se que identifiquem as afirmações c e d como falsas. et al. Se você mostrar que não gosta de um assunto. O artigo é dirigido a professores de Matemática. mas pode ser aproveitado por professores de qualquer disciplina. Hungria. Estudiosos como George Polya e Wayne Wickelgren buscaram entender melhor essas operações e apresentam sugestões ou estratégias que podem ajudar os alunos (e nós. conjecturar e testar. Objeto n. É difícil quebrar esse bloqueio e ter sucesso com quem passou por essa experiência. planejar estratégias de resolução. Passo 1: Analisar e entender o problema Estratégias ◆◆ Identificar e escrever dados: o que se tem. despertem o gosto pela investigação. Decidir os componentes de um cardápio. você deve aplicar-se na tarefa de tornar os alunos capazes de resolver problemas. veja-as a seguir. mas. Algumas são mais frequentes e típicas desse processo. profissionais e sociais o tempo todo. deixar o aluno descobrir o próprio erro e aprender com ele. Consideramos que a capacidade de resolver problemas implica ser capaz de mobilizar conhecimentos. por exemplo: “Você começou bem. fazer conjecturas e construir o próprio conhecimento. o que permite gerar. do que aquilo que você ensina”. nem demais (para que o mérito da resolução seja deles). George Polya (1887-1985) nasceu em Budapeste. educacional digital Matemática e resolução de problemas A resolução de problemas não é de domínio exclusivo da Matemática. • Ajude na medida certa e estimule-os a “aprender a aprender” Ajude os alunos – nem muito pouco (senão não haverá progresso). portanto. pois certamente deve estender-se por todos os anos do Ensino Fundamental e do Médio. professores) a melhorar as habilidades de resolução de problemas. que dá ao aluno a oportunidade de descobrir coisas. Os problemas práticos e teóricos permeiam por completo a Matemática. o que se quer descobrir. 310 optar por um produto no supermercado. diagramas e tabelas que ajudem a representar a situação. no entanto. o aprendizado em Matemática contribui (ou deve contribuir) para desenvolver estruturas de pensamento que possibilitam aos indivíduos resolver situações diversas na vida adulta. Lidamos com problemas pessoais. A sugestão é valorizar o que foi feito corretamente. estímulos para o desenvolvimento de atitudes que possibilitem a continuidade do aprendizado pelo resto da vida deles. requer paciência e preparo. A resolução de problemas envolve operações mentais. por sua estrutura e características.indd 310 5/13/15 6:52 PM . é a que mais propicia aos alunos o desenvolvimento da capacidade de resolver alguns tipos de problema. Desenhar esquemas. 1987. a criação de hábitos de estudo. executá-las e verificar se a solução é adequada. principalmente. Estados Unidos. Foi professor em Zurique durante 26 anos e depois em Stanford. O autor acrescenta: “A maneira como você ensina pode ser mais importante. desenvolver e exercitar habilidades para solucioná-los. desenvolver capacidades nessa área é fundamental para todos. 10. Os alunos não devem ter medo de experimentar. MANUAL DO PROFESSOR prm6_mp_307_326_comum. mas. George Polya diz que o professor deve ser “uma espécie de parteira espiritual”. Podemos dizer que solucionar problemas é inerente ao ser humano e. a Matemática. nas aulas de Matemática. provavelmente passará a detestar a Matemática e. Localizar e compreender o motivo do erro muitas vezes ajuda a compreensão. mesmo que isso leve a um erro inicial. Seu livro A arte de resolver problemas é uma referência para os professores de Matemática de todo o mundo. onde se aposentou em 1953. Muitas pessoas podem não lembrar como utilizar uma propriedade específica de Geometria ou o processo de resolução de uma equação do 2o grau aprendido na adolescência. esta parte está correta. Por essa razão. o professor da disciplina. Você deve oferecer-lhes não apenas informações. acompanhe comigo: o que você observa nesta etapa da resolução? Será que juntos podemos chegar à resposta correta?”. de forma simplificada. O artigo a que nos referimos pode ser lido na íntegra na Revista do Professor de Matemática. Entre as diversas disciplinas. organizá-los. autoconfiança e disciplina.• Corrija os erros por meio da valorização dos acertos O aluno que escuta sem parar “isso está errado”. O processo é longo. consequentemente. financiar um automóvel e escolher um candidato em quem votar são exemplos de situações-problema do cotidiano. Embora escrito com foco no sistema escolar norte-americano. estimar a solução. ◆◆ Tentar encontrar um problema de forma. hierarquicamente. A resposta que encontramos satisfaz o problema? Essas orientações podem parecer óbvias. Exemplos: a) Quais das seguintes equações são do 2o grau? ◆◆ 2x  5  0 ◆◆ x2  x4  18 ◆◆ 3x2  5x  2 b) Verdadeiro ou falso? ◆◆ Todo paralelogramo é um retângulo. Verificar se a resposta se ajusta ao contexto do problema. Acompanhe a descrição de cada tipo. manual do professor prm6_mp_307_326_comum. o que se está fazendo e por quê. Você pode ajudar o aluno em todos os passos mediando as ações por meio de perguntas. da Case Western Reserve University.14. dados ou conclusões similares com menor complexidade. Exercícios algorítmicos Verificam a habilidade no uso de algoritmos. a simplicidade não lhes tira a importância. uma propriedade. O trabalho constante é crucial para o aluno adquirir o hábito do pensamento metódico. O autor recomenda que se usem nesse tipo de exercício enunciados como “dê um exemplo”. problemas de pesquisa aberta. problemas de aplicação. no entanto. Como você sugere que encaminhemos a solução?. que será valioso seja qual for seu campo de atuação no futuro. c. b. exercícios algorítmicos. 3. usando a argumentação por con­tra­­ dição. deixando o resto fixo. em qualquer momento da resolução.13 e 2. exercícios de reconhecimento. Passo 2: Imaginar e planejar a resolução Estratégias ◆◆ Planejar a resolução passo a passo. o objetivo é verificar um conceito. Os vários tipos de problema: uma possível classificação No livro A resolução de problemas na Matemática escolar (veja referência no final do texto) há um artigo escrito por Thomas Butts. com exemplos adequados a nosso sistema educacional. Quais delas são relevantes?. situada em Cleveland. trabalhando nele parte por parte. mudando a perspectiva de leitura ou a forma de notação. c) Dê exemplo de um número racional compreendido entre 2. como: O que queremos descobrir ou mostrar nessa situação?. Questões da forma “verdadeiro ou falso” também são eficientes.indd 311 311 5/13/15 2:45 PM . procedimentos algébricos e técnicas. ◆◆ Tentar reformular o problema: 4. conjecturar. ◆◆ Mobilizar conhecimentos. 1. Quais as informações de que dispomos?. Que conhecimentos utilizaremos nessa estratégia?. Exercícios de reconhecimento Como o nome já diz. Butts classifica os problemas matemáticos em cinco tipos: 1. EUA. São ideias que podem ajudá-lo a organizar melhor e a diversificar as atividades propostas em aula e nas avaliações.◆◆ Examinar casos particulares que exemplifiquem o problema. Exemplos: a) Calcule 15  2(141  3  7). 2. e já devem fazer parte de sua prática em sala de aula. assumindo uma solução particular e descobrindo que características essa solução possui. ◆◆ Explorar o papel de uma variável ou condicionante. avaliar estratégias. sendo capaz de explicar. triviais. ◆◆ O quadrado é um paralelogramo. o autor traz uma proposta interessante de classificação de problemas que resumiremos aqui. 2. a. Alguém tem outras propostas?. situações-problema. b) Coloque o fator comum em evidência na expressão 6ay  2az. Passo 3: Implementar a estratégia e chegar à solução Passo 4: Fazer um retrospecto da resolução Para avaliar o caminho escolhido e a possibilidade de usar outra estratégia. 5. ◆◆ Decompor o problema. sempre que possível. Stephen. pretende-se construir uma casa térrea que será habitada por uma família com 4 pessoas: casal e dois filhos adolescentes. imbricadas todas na situação original. Em seguida. acreditamos que contribuirá para seu aperfeiçoamento. 1997.” Os quadrados mágicos são um bom exemplo de exercício de cálculo. o enunciado desses problemas envolve comandos do tipo: “Descubra quais”. de 15 m de frente e 30 m de fundos. REYS. “Mostre que”. varanda e garagem para dois carros. em seu sentido mais amplo. mas situações mais amplas. O autor lembra que a contextualização deve ser feita com cuidado para não criar situações artificiais. “Encontre os valores possíveis”. por exemplo. O desafio é torná-la interessante. São Paulo: Atual. ◆◆ a cozinha e os quartos não devem ter porta de comunicação direta com a sala. cozinha. lavabo. escritório. ◆◆ 18 polegadas.40 Após quantos minutos de ligação o valor a pagar é o mesmo nos dois planos? b) (CEETPS-SP) A medida da diagonal da tela de uma televisão determina as polegadas da TV.5 cm 312 5.Esses exercícios são importantes para o aluno adquirir agilidade no uso das ferramentas de cálculo. lembrando que na parte específica de cada volume há outras sugestões. Lembrete: 1 polegada  2. A inversão de sentido também é uma estratégia: desenhe dois retângulos diferentes que tenham área de 24 cm2. serem apresentados de forma criativa. 3 quartos com banheiro. O texto a seguir complementa os anteriores e trata especificamente da resolução de problemas e do ensino da Matemática. que devem ser analisadas e enfrentadas buscando uma solução ou rumos de encaminhamento. Junte-se a um colega para desenhar uma sugestão de planta baixa para essa construção. ◆◆ 20 polegadas. a função mais importante dos problemas de pesquisa aberta é incentivar a habilidade de conjectura.42 B pré-pago 1. além de. damos algumas sugestões de estratégias para o trabalho com problemas por meio de exercícios ou seções dessa coleção. tradução do problema para a linguagem matemática e aplicação de procedimentos e algoritmos que levem à solução. 3 10 5 10 5 6 8 6 4 3 7 11 7 2 9 8 9 4 4. requer exercício e prática. Fiquem atentos às observações a seguir: ◆◆ pesquisem a porcentagem de terreno que pode ser ocupada e os recuos exigidos por lei. ◆◆ a casa deve ter sala. Em geral. mas devem ser dosados de forma a não desmotivar os alunos.24 0. Problemas de aplicação São os que envolvem leitura e interpretação de dados. Problemas de pesquisa aberta De acordo com o artigo. de acordo com a tabela: Plano Assinatura mensal (R$) Ligações locais (R$/minuto) A 37. b) Descubra dois números irracionais tais que seu produto seja um número racional. Exemplo: Num terreno retangular. (Org. A e B. Repare que a proposta envolve várias questões. Robert E. Uma televisão cuja tela mede 30 cm × 40 cm possui: ◆◆ 16 polegadas. Situações-problema Não são problemas propriamente ditos.). 3. manual do professor prm6_mp_307_326_comum. Vocês serão os arquitetos. Problemas contextualizados são importantes nessa categoria. O autor do texto explica muito bem essa questão: “A habilidade para fazer cálculos. Exemplos: a) (CEETPS-SP) Uma empresa operadora de telefones oferece dois planos. ◆◆ 29 polegadas. Exemplos: a) Existe um triângulo que tenha: ◆◆ dois ângulos retos? ◆◆ dois ângulos obtusos? ◆◆ um ângulo reto e um obtuso? Justifique suas respostas. A resolução de problemas na Matemática escolar. Fonte de pesquisa: KRULIK. A sugestão é criar problemas com base na realidade dos próprios alunos.indd 312 5/13/15 2:45 PM . br que havia de bom nas formas anteriores de se ensinar e de aprender Matemática. podemos destacar. reconhecer que Matemática é parte invenção e parte convenção. Os contextos dos problemas podem variar de experiências cotidianas envolvendo a vida dos alunos ou o dia a dia escolar. vamos retomar e sistematizar algumas ideias sobre o trabalho docente a partir da resolução de problemas: a. o ensino é consequência de um processo mais amplo. Nessa metodologia. mal conhecidos ou desconhecidos) poderiam surgir no decorrer do processo? f. manual do professor prm6_mp_307_326_comum. trabalhar os conceitos. Que diferentes abordagens poderiam ser aplicadas objetivando sua solução? e. a memorização. Bons problemas integrarão tópicos múltiplos e envolverão matemáticas significativas. que para todo problema os professores podem levantar questionamentos. fazer perguntas e saber ouvir. Os estudantes precisam experimentar esse processo colaborativo. busca-se utilizar tudo o 1 Licenciatura em Física pela Universidade Federal de São Carlos (1974). Numa sala de aula em que o trabalho docente é feito a partir de problemas. […] A resolução de problemas e o trabalho docente A resolução de problemas é uma parte integrante de todo aprendizado matemático. UNESP. de problemas do dia a dia tem um índice de acerto muito superior às tentativas individuais. Como observar a razoabilidade da resposta obtida? i.unesp. c. com contribuições também de Onuchic (2004). Na abordagem da resolução de problemas. Atualmente é Professor Assistente Doutor da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”. É fundamental o trabalho colaborativo na resolução de um problema. em grupos. especialização em Metodologia do Ensino na Área de Ciências pela Associação de Escolas Reunidas (1975). um processo colaborativo. o estudante tanto aprende Matemática resolvendo problemas como aprende Matemática para resolver problemas. a saber: a repetição. Formar grupos. mauro@fclar. tais como: a. enfatizar sobre o pensar. e muito do aprendizado em sala de aula será feito no contexto desses grupos. O ensino da resolução de problemas não é mais um processo isolado. b. o uso da linguagem matemática da teoria dos conjuntos. mestrado em Educação pela Universidade Federal de São Carlos (1987) e doutorado em Educação pela Universidade Estadual de Campinas (1997).Resolução de problemas nas aulas de Matemática Mauro Carlos Romanatto1 Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”. campus de Araraquara. Progredir em direção a um objetivo é possível por meio de esforços combinados de muitas pessoas. Como relacionar o problema dado com aspectos econômicos. dar tempo para pensar. Qual é a resposta desse problema? Ela é única? h. princípios e procedimentos matemáticos por meio da resolução de problemas. a resolução de exercícios. Não deveria ser uma parte isolada do programa matemático. Sabemos que são características dessas matemáticas significativas: a. A resolução de problemas na Matemática deve envolver todos os níveis de ensino da escolarização básica. como uma metodologia de ensino. Assim. Isso é um problema? Por quê? b. Lembrar que aprender é. Para que níveis escolares ele poderia ser indicado? d. segundo Onuchic (2004). devemos organizar os estudantes em pequenos grupos (em torno de quatro pessoas). e deve-se dar a eles oportunidades de aprender uns com os outros. Que problemas secundários (já conhecidos. bem como as ciências do mundo do trabalho. pois esses aspectos também são importantes. e. Ainda como ilustração de trabalhos com a metodologia de resolução de problemas. E também lembrar que a resolução. muitas vezes. Quais as estratégias ou os caminhos que poderiam ser percorridos para se chegar à solução? (processo de resolução) g. sociais e culturais? Por fim. ser elaboradas a partir de um conhecimento prévio.indd 313 313 5/13/15 2:45 PM . Que tópicos da Matemática poderiam ser abordados nesse problema? c. esperar por explicações ou justificativas para as respostas ou pelo modo de pensar. d. os equívocos. procura-se buscar o consenso sobre a solução do problema. Portanto. Com o trabalho em grupo terminado. são retomados. Formalização. materiais manipulativos e simbolismos matemáticos. manual do professor prm6_mp_307_326_comum. jogos. são discutidas as soluções. Como recursos auxiliares. A Matemática precisa ser concebida pelo estudante como um conhecimento que favorece o desenvolvimento e aperfeiçoamento de seu raciocínio. f. o professor anota os resultados obtidos pelos diversos grupos. um interventor. com a participação um pouco maior do professor. as dificuldades. vídeos. gestos. formalmente. mas também ajuda os estudantes a se apoiarem uns aos outros para superar as dificuldades. Assim sendo. A comunicação matemática está presente nesse momento e pode ser expressa por falas. uma situação indesejável seria a de que. sua sensibilidade e sua imaginação. sua capacidade expressiva. um incentivador da aprendizagem. Nessa perspectiva podemos afirmar que a resolução de problemas não é apenas outra metodologia de ensino. Isso é formar para a criatividade. a presença da resolução de problemas nas aulas de Matemática é importante por ser um meio de adquirir conhecimento novo e por ser um processo de aplicação do que havia sido elaborado previamente. estabelecer conexões. descobrir padrões. pela ausência de teorias consistentes para a sua aplicação ou pelo fato de não ser um resolvedor de problemas. c. desenhos. A nossa proposta diferenciada é a resolução de problemas. o processo de ensinar e de aprender Matemática necessita transformar-se. mas sim uma filosofia de ensino.indd 314 5/13/15 2:45 PM . Consenso. O aspecto exploratório é bastante considerado nessa análise. aplicados e refletidos. assim como as mais diversas tecnologias educacionais disponíveis aos professores. nessa metodologia de ensino podem ser utilizados livros didáticos e paradidáticos. mas é um caminho para pensar. Elas estão também presentes em outras tendências diferenciadas para o processo de ensinar e de aprender Matemática. No trabalho com a resolução de problemas. a função do professor se amplia. A compreensão da Matemática envolve a ideia de relacionar. Plenária. E pensamos que o aprendizado da Matemática ganhará muito se caminhos diferenciados forem trilhados desde que fundamentos teóricos e metodológicos do trabalho habitual nessa área do conhecimento sejam revistos. calculadoras. o professor interpretasse essa filosofia e metodologia de ensino de maneira inadequada e as levasse para a sala de aula apenas como novidade. Resultados dos grupos. Pré-requisitos envolvendo conhecimentos ou problemas mais simples. são apresentadas as definições. e não para a memorização. Ele é um observador. mostrando que uma das características da atividade científica é a de ser consensual. A partir da análise feita e com a eliminação das dúvidas e dos equívocos. d. a alienação e a exclusão. passando de um mero treinamento técnico para um instrumento de modelar e interpretar a realidade em seus mais diversos contextos. a cidadania. destacando os resultados corretos. g. princípios e procedimentos matemáticos. a criticidade. os diferentes caminhos que levaram à solução. um organizador. a Matemática não é somente um caminho para resolver problemas. o que induziria a um ativismo no trabalho docente sem grandes repercussões positivas para o aprendizado significativo dos conteúdos matemáticos.b. Mais uma vez. organizar e modelar experiências. materiais didáticos. Análise dos resultados. A função do professor. com uma participação maior do professor. Vale destacar que essas características e possibilidades de um aprendizado mais amplo e produtivo não são exclusivas somente da resolução de problemas como metodologia de ensino para a Matemática. um coordenador. softwares. Nesse momento. assim como as respostas equivocadas. Assim. e. Assim. E no caso da Matemática essa característica é mais forte que nas ciências naturais e humanas. identificadas as propriedades e feitas as demonstrações. faz-se uma síntese do que era objetivo de aprender a partir do problema proposto e. O professor propõe questões desafiadoras. computadores. Os grupos (ou algum componente dos grupos) procuram explicar como chegaram à solução do problema. 314 Considerações finais O ponto central de se trabalhar com o processo de ensinar e de aprender Matemática através da resolução de problemas fundamenta-se na concepção de que a razão mais importante para utilizar esse tipo de metodologia de ensino é ajudar os estudantes a compreenderem efetivamente os conceitos. entre outros elementos do trabalho docente com a Matemática. que são necessários à resolução do problema em questão. quantas das canetas acima Ester poderá comprar? 5 canetas Às 15 horas. oferecemos modelos de fichas de acompanhamento ◆◆ Proponha que resolvam o item a e registrem com palavras nos cadernos como farão a resolução e as operações matemáticas que utilizarão. 24 passageiros 1. seja. adicionei 14. L. Circule pela sala de aula observando o trabalho e dando apoio. 105.00 cada um. Anais Unitirei 8 e ficou 25. futuro. Campinas/SP: Autores Associados. R. nos cadernos. Qual 109. dividi por 2.. registrando as conclusões na lousa. Em 2com dias da semana os do estudante por42 resolver problemas seus trabalham 8 horas por dia. São Paulo: ◆◆ Reúna os alunos em trios. dando a oportunidade para que os demais complementem ou corrijam o que for dito. In: BICUDO. Rio de Janeiro: Interciência. M. 2014. G. por através da resolução de problemas. P. Acesso em: dez. SILVER. Educação Matemática: pesquisa em movimento.reveduc. a) Qual é o número mínimo de clientes que se 83 2 (26 ? 2 1 7) 5 24. São – Qual é o contexto desse problema. saber escolar. Recife. de “fazer matemática”. J. C. V. 2004.00.). M. Problema proposto de número69109 no Livro programas que vêm sendo desenvolvidos com a encontravam na lanchonete? clientes o do Aluno 6 ano. 1989. C. peça 25 1 8 5 33.indd 315 315 5/13/15 2:45 PM . Se de A até F são sores de Ciências: tendências e inovações. E. ALLEVATO. Nos Anexos deste manual. 2 14 5 19 e 19 ? 2 5 38 a um dos grupos que leia as respostas. A. Matemática no ensino fundamental: formação de professores e aplicação em sala de aula. 2000. Learning to Teach Mathematical Problem Solving: Changes in Teachers’ Conceptions and Beliefs. Disponível em: <www. atende do uma pessoa comprar 2 cadernos e outras 7 canetas iguais.. G. Referências prevê-se que o atendimento será encerrado a Luiz Santos Jr/Laeti Images que horas? BORBA. In: CHARLES. 16h12min Informática e Educação Matemática. Virginia: Laurence Erlbaum Associates.Ilustrações: Danillo Sou Ressaltamos que essa metodologia de trabalho que podem ser úteis para avaliar as atividades não é. 14 m atentamente o problema e respondam B C D E F ONUCHIC.). ou Paulo: Editora Unesp. a cada três minutos. (Org.00 b) Se ela comprar 2 cadernos e não pedir dinheiro emprestado. POLYA. simples de ser implantada. GIL-PEREZ. M. 1999. Novas reflexões sobre o ensino-aprendizagem de Matemática através 76 da resolução de problemas. ◆◆ Incentive a troca de ideias e.. qual a distância. São Paulo: Cortez. como alguém capaz de solucionar trabalho? 6 horas e 30 minutos custam R$ 6. L. A resolução de problemas e o trabalho de en– Quais dados foram fornecidos? sino-aprendizagem na construção dos números e das operações definidas sobre eles.AEnsino-aprendizagem de Matemática primeiramente às questões a seguir. A. In: BICUDO. BORBA. 2001. 332004. (Ed. D. A. In: Encontro Nacional – O que se quer saber no item a? 106. Porto Alegre: Artmed. Algumas sugestões de estratégias envolvendo resolução de problemas usando o livro didático Apresentamos a seguir três sugestões de estratégias para o trabalho com resolução de problemas. 2009. a imagem de dernos. de resolução de problemas. M. V. Escreva e resolva a expressão numérica que em razão de nossa indicaprópria quantos formação. A. escrito. concretizá-la mostram a paixão b) Qual do é o número A jornada de trabalhoque em uma empresa é de horas semanais. Exemplo de possível registro: Calcularemos o preço de 3 cadernos fazendo 6 vezes 3 e somaremos 4 reais para saber quanto Ester tem: 3  6  18 e 18  4  22 Ester tem 22 reais. Em que número pensei? versidade Federal 38. N. The teaching and assessing of mathematical problem solving.br/index. 1978. VAN DE WALLE. do mundo (UERj) O serviço bancárioadulto. 2004.php/reveduc/ article/viewFile/413/178>. Pesquisa em Educação Matemática. M. (Org.. A. Se o seu irmão lhe emprestar R$ 4. com 24 pessoas a serem atendidas. Peça que leiam 35 metros. 8.máximo? p. 2000. de la R. SAVIANI. de Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica Editora. M. S. Educação: do senso comum à consciência filosófica. ONUCHIC. Somaremos outra vez 4 reais (dinheiro que seu irmão lhe emprestaria) para descobrir o preço de 2 cadernos e 7 canetas: 22  4  26 Subtrairemos 12 reais (preço de 2 cadernos) para ter o preço de 7 canetas: 26  12  14 manual do professor prm6_mp_307_326_comum. em metros.00.. com certeza.ufscar. 71 clientes finalidade de103. passageiros Mas estão os em pé. I.).(Obmep) Ester vai a uma papelaria para comprar próprios meios. (Cesgranrio-Rj) A distância entre duas árvores CARVALHO. de C a E? Cortez. a) Quanto custa cada caneta? R$ 2. ao final. sobram R$ 4. THOMPSON. G. Formação de profesvizinhas é sempre a mesma. PENTEADO. D.. do que ele trata? . G. Se ela comprar 3 caproblemas. 76. de pois Pernambuco. Encerre as questões com eles. A arte de resolver problemas.Pensei em um número. afuncionários imagem que ele vai construindo é a carga horária diária nos outros 4 dias de cadernos e canetas. com o total ela conseguirá si diante do 104. valem a pena. de la R. Nesta papelaria os cadernos de si mesmo. A. se julgar necessário. que eles b) um número 2 3 escrevam c) asum expressões que número menornuméricas que 4.76. Responda. dividiremos 14 por 7 para achar o preço de 1 caneta: 14  7  2 26. teiro parar sobre o amarelo? 27. No Preço Bom: sim. pois na venda de 6 garrafas o preço de cada garrafa é o mesmo que o da venda de uma garrafa. ◆◆ Na aula agendada para a atividade. mas também com palavras contribui para a compreensão dos processos mentais envolvidos. ◆◆ 101 Com antecedência. pois o preço de 6 garrafas deveria totalizar R$ 23. 10 a) (3  6  4  4  12)  7 b) (3  6  4  12)  2 316 ◆◆ Retome a necessidade do uso dos parênteses nas expressões e em seguida peça que resolvam cada uma delas. grupos pedindo que comentem a proposta. discuta com eles essas questões. envolva os demais 24.50 Ilustrações: Marcelo Azalim 23. ◆◆ Questione-os: Como saberemos se há vantagem na embalagem em oferta? manual do professor prm6_mp_307_326_comum. Quando girado. anotar o número e devolver a bola para a urna. Problema de número 27 no Livro 100 do do 7o ano. uma bola. que sem olhar. pedindo. c) OAluno que representa a fração ? 8 A distância que se percorre com 1 litro de gasolina. Dona Eliane foi a dois supermercados comprar certo refrigerante em embalagem de 2 litros (garrafa) e observou os seguintes anúncios: Marcelo Azalim O registro do raciocínio. a resposta 5 satisfaz ao problema. No Tudo Barato: não. ◆◆ Conclua a atividade com uma conversa coletiva: Por que é importante observar o contexto do problema?. peça aPROPORCIONALIDADE cada aluno que pesquise uma oferta de produto do tipo apresentado no problema. conferindo na lousa os resultados com as respostas que encontraram anteriormente. A roleta da figura está dividida em partes iguais. exemplo. ◆◆ Peça a todos que chequem a resposta encontrada. anotando no quadro as conclusões. Por que é importante verificar se as respostas estão adequadas ao problema? Retome as operações matemáticas usadas na resolução e. Calcule a probabilidade de sair uma com: ◆◆ Há oportunidade de 1aprofundar a atia) o número 7. apresentem as deles e expliquem se foram diferentes das propostas dos outros grupos. os valores dados e o que se quer analisar na situação. qual é a probabilidade de o pon2 ◆◆ Peça a um grupo que leia suas 5estratégias.indd 316 5/13/15 2:45 PM . 10 1 vidade. por par. Um automóvel gasta 8 L para percorrer 100 km. p. comente fatos relevantes sobre essas operações. não só com operações. 101. pergunte: O valor 2 satisfaz às condições do enunciado? ◆◆ Dê tempo aos grupos para resolverem o item b e depois peça que mostrem as soluções e comentem entre si como pensaram. Numa conversa. Para terminar. forme trios e peça aos alunos que leiam o problema do livro e escrevam no caderno qual é o contexto. 0 Você acha vantajosa a oferta de cada supermercado para comprar a embalagem com 6 garrafas? Por quê? 3 e) um número múltiplo de 3. Quanto receberá o maior credor? R$ 37. Peça novamente confiram se ela vai Ângela vai retirar. Deve anotar a oferta e também o preço unitário do produto. 10 d) um número resolvem cada item: maior que 10. Nesta urna há bolas numeradas de 1 a 10. Faça perguntas. a) Quantos litros de gasolina são necessários para percorrer 250 km? 20 L b) Quantos quilômetros poderemos percorrer gastando proposto 28 L de gasolina? 350 km 2. como são 7 canetas.cionais a cada débito. A seção aborda a PNAD e inicia com um texto que explica o que é e quais são os objetivos dessa pesquisa. tão comuns no cotidiano. e o número a ser adicionado. que deve ser o menor. realizamos uma leitura contextualizada dos mesmos escritos para compreender suas características de maneira mais profunda e completa. que deve ser o maior. mostrando o quanto é historicamente difícil implementar mudanças na educação e também o quanto o viés tecnicista foi e por vezes ainda é forte no ensino de Matemática. de autoria da professora Maria Laura Magalhães Gomes. Fazemos uma primeira leitura comparativa desses textos. de modo que todos cheguem à resposta. Deve também ser entendido que. sugerimos uma problemática: os alunos criarão questões com base nos dados da PNAD mais recente. organize a turma em trios ou quartetos e peça-lhes que resolvam as questões da seção enquanto você circula pela classe observando o trabalho. o número ao qual adicionamos o outro. e assim por diante. ◆◆ Conclua a atividade perguntando se o conhecimento matemático é importante em situações como essa. Consideramos o texto interessante porque compara as estratégias utilizadas: uma mais tecnicista e outra mais voltada para a compreensão de ideias e procedimentos. levantem dados.indd 317 317 5/13/15 2:45 PM . mostrarem seu raciocínio. Dois modos Os trechos que se vão ler a seguir reproduzem a introdução da operação de adição de números naturais em dois livros-texto de aritmética escritos por autores de períodos históricos diferentes. ◆◆ Peça a cada aluno que verifique se a oferta que pesquisou e trouxe é mesmo vantajosa. organizar uma apresentação que integre todos os temas. ao final dos trabalhos. Assim. a adição. em que lugar e condições históricas foram produzidos. moradia. na lousa. na operação de adição.Deixe que se manifestem e convide alunos para. publicado na Revista História & Educação Matemática. em seguida. Peça-lhes que escrevam a resolução no caderno. aborda o ensino da operação de adição em períodos e contextos históricos diferentes por dois autores de livros didáticos. pelo menos dois números são necessários. A ideia é que se organizem de modo que cada grupo pesquise um aspecto: emprego. de modo que possamos conhecer a soma resultante desse acréscimo.. explicando qual é a escolha que oferece um desconto maior por unidade e por quê. tirando dúvidas. incentivando a troca de ideias e verificando se todos os grupos desenvolveram satisfatoriamente a tarefa. quais dados são relevantes. montem tabelas e gráficos. A Seção Livre da página 149 do Livro do Aluno do 9o ano oferece uma interessante oportunidade para o trabalho com resolução de problemas aliado à formação cidadã. Inicie com uma sondagem de conhecimentos prévios: Quem já ouviu notícias sobre a PNAD?. a saber. A integração com Geografia é oportuna e. Dois tempos e modos de ensinar a Aritmética O objetivo deste artigo é analisar dois excertos de obras do passado escritas com o propósito de ensinar aritmética. pelo menos de dois. é necessário saber que ela é a união de vários números. saneamento etc. Converse com a turma e pergunte-lhes se seus responsáveis ou eles mesmos fazem contas ou comparações para verificar se um anúncio de promoção vale a pena. Livros didáticos 3 contexto histórico O artigo a seguir. Depois da leitura do texto em voz alta. 3. que tipo de apresentação será mais eficiente. Deixe que lidem com as questões inerentes à situação: em que fontes pesquisar. a quem se destinavam. Essas questões servirão de motivação e referência. pode-se. sem levar em consideração quem os escreveu. sempre adicionamos o menor número manual do professor prm6_mp_307_326_comum. uma vez que. Em seguida. do ponto de vista do conteúdo matemático que abordam. Quem sabe o que faz o IBGE? etc. Primeiro Autor: Para compreender a segunda operação. e apresentem à classe questões interessantes e pertinentes sobre o tema. como organizar e utilizar os dados. identificando todos esses aspectos. por exemplo. e carregando o 1 (pois. que 13 é 1 dezena e 3 unidades: que 26 é 2 dezenas e 6 unidades. O Segundo Autor. além do fato de o segundo ser mais extenso que o primeiro? Certamente percebemos logo que o Primeiro Autor aborda mais diretamente o tema. você pode usar o mesmo meio. primeiro em um desses números. centenas sob centenas etc. fazendo 9. das dezenas. por exemplo. verificamos que o Primeiro Autor (embora não explique a razão disso) procura deixar claro ao leitor que ao adicionar dois números. 2 e 3 são 5. sete dezenas e sete centenas. para isso. seis dezenas. fazendo 4. colocando os algarismos na ordem conveniente. é mais conveniente somar o menor número ao maior. os dois números encerram. Este 1 nós agora somamos a 3. escrevo 7. quando há dois algarismos em um lugar. isto é. escrevo 6. escrevo 6. Segundo Autor: … suponha que você conheça dois números. escrevo 9. Quaisquer que sejam os dois números. das centenas que os dois números contêm você conhecerá sua soma.indd 318 5/13/15 2:45 PM . escrevo 8. e 26 em um outro. pois. portanto. sua soma é. por exemplo. e que queira saber quantas tem ao todo. de conhecer o número que se pode formar juntando um ao outro – o número total de coisas que você sabe existir de uma vez. por exemplo. Você vê. Você verá que os dois primeiros números reunidos encerram oito unidades. sem referir-se a qualquer motivação para efetuar essa operação. Você dirá em seguida: 5 e 3 são oito. as unidades sob as unidades. tomar a soma desses dois números. a qual é de menor valor. e este a 5. a adição. 3 e 6 são 9. 778. 5 966. e deseje ou tenha necessidade de ter a sua soma. das dezenas. 135 mais 643 igualam 778. exige uma atenção fatigante. e. colocando as unidades embaixo das unidades. Seguindo os dois excertos. apesar de o resultado ser o mesmo se for seguida a ordem oposta a essa. em apelar para o desejo ou a necessidade de seu leitor de conhecer o número que se pode formar juntando dois outros. você sabe que 3 unidades e 6 unidades são 9 unidades. se queremos somar 38 a 59. Sempre começamos a somar com a ordem mais baixa. que você tenha 13 coisas em um lugar. você será obrigado a recomeçar a operação. portanto. se adicionarmos 2 a 8. o que é um plano mais conveniente do que seguir a ordem contrária. nove centenas e cinco milhares. se desejamos somar um número a outro. ou 2 345 a 3 621. em seguida no outro desses números. você dirá: 5 e 1 são 6. Fórmula da operação 135  643  778 2345   3621 5966 Uma leitura comparativa Podemos observar que ambos os autores focalizam o mesmo algoritmo da adição de dois números – aquele que é ensinado na escola básica até os dias de hoje. juntar 26 e 13. Da mesma forma. 2 345 mais 3 621 igualam 5 966. sua soma será. você só tem que escrever um sob o outro os números que quer juntar. dezenas sob dezenas. Mas para fazê-la mais facilmente. você perceberia logo que a necessidade de conservar na memória a soma das unidades. por sua vez. Suponha. a soma é. nomeando imediatamente uma operação a ser ensinada. que você queira juntar 135 a 643. escrevo 5. o manual do professor prm6_mp_307_326_comum. que 1 dezena e 2 dezenas são 3 dezenas. escrevendo 7 na coluna que foi somada. 39. 5 966. 4 e 2 são 6. sendo o resultado o mesmo em qualquer caso. Se juntasse assim. Suponha. a soma é 10. escrevo 7. Assim. que é escrito na coluna da qual veio. 9 unidades e 3 dezenas. sua soma será 778. e o mesmo resultado é obtido somando 8 a 2. e conhecendo a soma das unidades. 3 e 4 são 7. em contrapartida. as centenas embaixo das centenas. números compostos de um número maior de algarismos. O que podemos notar nos dois textos. à primeira olhadela. portanto. Portanto. Assim. não manifesta de início qualquer interesse em dar um nome a uma operação a ser feita.ao maior. então. A soma é. das centenas quando tiver chegado aos milhares. embora esta última seja possível. preo­cu­pan­ do­‑se. e que se ela lhe faltar. sempre escrevemos o de ordem mais baixa e carregamos o outro para o lugar seguinte de ordem mais alta). escrevemos o maior em cima e o menor embaixo. as dezenas embaixo das dezenas. Os dois números juntos fazem 97. 1 e 6 são 7. um ao outro. escrevemos os números assim: 59  Soma 38 97 Dizemos então: “8 e 9 fazem 17”. Por exemplo. Você verá que os dois segundos números reunidos contêm 318 seis unidades. nas quais podemos notar a presença dos símbolos “+” e “=”. centenas embaixo de centenas. sim. as unidades sob as unidades. visto que quando há dois algarismos em um lugar. Após a descrição desse procedimento por meio de palavras para dois exemplos. 1 dezena que guardei e 1 dezena são 2. E só então aparece 18  25  43 O exame dos dois textos mostra. A adição escolhida para ilustrar a “reserva” é 18  25. escrevo 3 e guardo 1 dezena. a qual é de menor valor). ele se refere a colocar unidades embaixo de unidades. e é calculada em duas etapas: 18 13  25  30  13  43  30 Vem então uma explicação de como reduzir. centenas sob centenas etc. é de uma “adição com reserva” ou “com transporte”: 59  38. centenas sob centenas etc. É somente depois dessas considerações que o Segundo Autor alerta o leitor para a atenção fatigante que lhe seria exigida caso tivesse de conservar na memória a soma das unidades. não tem mais unidades a considerar: você escreve então 3 unidades. Depois disso. Aí é que aparecem armadas e efetuadas as duas adições.Primeiro Autor instrui diretamente o aprendiz no sentido de escrever o maior número em cima. por comodidade. chamar a atenção do leitor para a maneira como são formados os pares de números que se devem somar – tantas unidades. as unidades sob as unidades. dezenas e centenas. com a instrução de “carregar o 1” que veio do 17 (soma de 9 e 8). isto é. claramente. e escreverá 4 dezenas. das dezenas. Contudo. você notará que depois de ter dito 8 e 5 são 13. Só em seguida vem a explicação do que foi feito. porém (você se lembrará dela) a guardará: dirá. escrevemos o maior em cima e o menor embaixo. dezenas sob dezenas. Sempre começamos a somar com a ordem mais baixa. sem os símbolos “”e “” e sem um traço separando o total (identificado pela palavra Soma) das parcelas. O Segundo Autor não tem qualquer preocupação em fixar uma ordem para a escrita dos números a serem somados. é introduzido no estilo “faça deste modo” (se desejamos somar um número a outro. 8 e 5 são 13. portanto. as duas operações a uma: … para isso. então. e 2 outras são 4. isto é. manual do professor prm6_mp_307_326_comum. o Segundo Autor mostra ao seu leitor que seria interessante buscar um procedimento para aliviar o esforço requerido e então. ele o faz depois dos três exemplos “sem reserva” que mostramos. dezenas sob dezenas. das centenas. colocando os algarismos na ordem conveniente. e de maneira bastante diferente. acompanhada do resultado. como vamos descrever a seguir. mas faz questão de. colocando os algarismos na ordem conveniente.indd 319 319 5/13/15 2:45 PM . Essa adição aparece armada como foi indicado ao leitor. O Segundo Autor também aborda a “adição com reserva” no prosseguimento do excerto que apresentamos. e na continuação do texto aqui reproduzido focaliza a “prova dos noves” para a operação que acabou de ser efetuada. bem como a de um traço que separa os números a serem adicionados de sua soma. atenção essa que cresceria com o crescimento dos números a serem juntados. Por outro lado. Dessa maneira. percebemos que o seu primeiro exemplo de uso do algoritmo da adição que. em três exemplos. dois modos distintos para ensinar o algoritmo da adição de dois números naturais. dezenas embaixo de dezenas. Comparando esses dois modos. ele prossegue apresentando mais dois exemplos de adições (1 916 + 816 e 45 318 + 2 732) no mesmo estilo do exemplo mostrado no trecho transcrito. voltando ao escrito do Primeiro Autor. O Primeiro Autor não esclarece o porquê desse procedimento. mas você tem ainda dezenas: você não escreverá esta dezena que obteve juntando 8 a 5. sempre escrevemos o de ordem mais baixa e carregamos o outro para o lugar seguinte de ordem mais alta. o Segundo Autor apresenta ao leitor o que denomina de Fórmula da operação. pudemos notar que eles se distinguem essencialmente porque: – o primeiro apresenta ao aprendiz instruções diretas de como proceder para efetuar a operação. e o menor número embaixo dele. sendo cada ordem da soma o resultado de juntar as ordens que compõem os números. 97. como vimos. Mais: ele diz explicitamente que esse procedimento é o que servirá para encontrar a soma de dois números quaisquer. Era ainda um centro de ensino e difusão da arte mercantil ao qual acorriam mercadores do norte. escrever o algarismo da ordem menor e carregar o algarismo da ordem seguinte para a próxima coluna. quando a soma dos números em uma coluna exceder 10.indd 320 5/13/15 2:45 PM . Vamos agora examinar esses aspectos para tentar interpretar.. O livro. particularmente das cidades alemãs. as marcas dos novos modos de ensinar a adição. isto é.] Como observamos anteriormente. por buscar explicar os motivos de cada um dos passos executados nas adições. à época dessa Practica. lembremos. Culturalmente. se transformado no principal centro comercial da Europa e ao mesmo tempo em uma das cidades mais ricas do planeta então conhecido. É importante situar Veneza no cenário do mundo do século XV: a cidade tinha. a qual é frequentada pelos filhos de funcionários públicos ou de mercadores. em um livro de Robert Recorde (1510-1558). a qual havia se desenvolvido cedo em decorrência do fato de os italianos em geral e os venezianos em particular terem logo compreendido a importância do uso da aritmética em suas transações diárias a partir de seu contato com o sistema indo-arábico de numeração em suas relações comerciais em torno do Mediterrâneo. no qual um excesso de fichas em manual do professor prm6_mp_307_326_comum. à sua luz. Possivelmente essa recomendação se origina da incorporação de uma prática herdada do uso do ábaco.] 320 O ambiente histórico ao qual pertence o nosso Primeiro Autor. desconhecendo não apenas seus autores e a época em que foram escritos mas também as finalidades e o público a quem se destinaram. Quanto à instrução ao estudante no sentido de. Na Europa do século XV. o conceito físico de “carregar” (portare) um número para a coluna seguinte deve sua origem ao ábaco. Swetz comenta: Claramente. tempo em que escreveu o Primeiro Autor. [. e o menor embaixo dele. A escola em que tem lugar essa parte não é a universidade. com idades entre 12 e 16 anos.. –  o segundo se caracteriza por uma tentativa de dialogar com o leitor de maneira a convencê-lo da necessidade dos procedimentos mostrados para facilitar uma tarefa e mais. no qual o desenvolvimento do comércio faz nascer o capitalismo mercantil. que não tem um título próprio. Ainda que tal sistema já fosse conhecido na Europa desde aproximadamente o ano 1 000. mas a escola mantida pelos mestres de cálculo. obra de autor anônimo publicada em 1478  –  trata-se não somente de um incunábulo. data de 1478. Portanto esses símbolos.] É importante referir-nos aqui ao estado de aceitação do sistema de numeração indo-arábico. enquanto o sinal “5” foi registrado pela primeira vez em 1557. para estudar as práticas de comércio da aritmética comercial e a troca de moedas. O primeiro texto faz parte da Aritmética de Treviso. é uma aritmética comercial. um texto que se propõe a recordar os conhecimentos relevantes para o exercício dos negócios.. nesse período. uma parte importante da educação matemática consiste no ensino e na aprendizagem da aritmética comercial.] Comentamos também a posição do Primeiro Autor em relação à ordem a ser adotada na escrita das parcelas da adição: o número maior em cima.. Uma habilidade básica que esses visitantes esperavam adquirir era certamente a proficiência em métodos da aritmética comercial italiana. especialmente em Treviso e Veneza. na aritmética comercial de Johann Widman. é o do início da Idade Moderna. só foram incorporados aos textos matemáticos depois da publicação do primeiro texto que analisamos que. [. estamos em um contexto marcado pelo florescimento das artes e pelas mudanças na orientação das ciências – é a época do Renascimento. ele ainda não tinha sido adotado universalmente. Dois tempos Comecemos por identificar os livros dos quais foram extraídos os excertos em foco.sem a preocupação de esclarecer a razão dos procedimentos aí envolvidos. que o Segundo Autor usa com naturalidade. de uma publicação do século da invenção da imprensa.... o Primeiro Autor não usa os símbolos “1” e “5”.. portanto. ou seja. Segundo Boyer (1996). mas do primeiro texto impresso de Matemática. [. Até aqui fizemos a leitura e a análise dos dois textos de forma isolada do contexto sócio-histórico em que foram produzidos. o mais antigo aparecimento do sinal “1” ocorreu em 1489. [. a situação da França do Antigo Regime era completamente ineficiente em relação à escolarização. Devemos enfatizar que o próprio Condorcet foi o responsável por um importante projeto para o ensino no qual eram propostas a elaboração desses livros elementares e a escolha dos manuais a serem financiados pela república por meio de um concurso público. ainda muito frequentes no século XV. p. pois o nosso Segundo Autor. devemos recordar.. o segundo texto aqui focalizado insere-se no começo da Idade Contemporânea. não deseja nem crê que tal domínio ocorra por meio da repetição e da memorização mecânicas: acredita na potencialidade da educação aritmética de desenvolver as faculdades intelectuais dos alunos. em 1794. Nessa aritmética. e nenhuma ilustração. em 1789. conquanto o algoritmo seja o mesmo que conhecemos e usamos até hoje. o que reflete a época do manual (Picard.] Assim. A realização do concurso resultava de um aspecto característico da política educacional da França revolucionária – a composição de livros didáticos destinados a todo o país como praticamente o único meio de efetuar reformas no ensino (Schubring. 1989). individualismo. Esse tratado inacabado devido à morte de seu autor. obtinha seus primeiros triunfos. Mais de trezentos anos separam os dois textos de aritmética que estamos analisando.] Passemos a abordar novamente o trabalho do Segundo Autor. cuja visão de mundo abraçava fundamentalmente o Liberalismo com seus princípios básicos de liberdade. o propósito do domínio das técnicas operatórias pelos estudantes. no momento em que a burguesia. igualdade. tempo do Primeiro Autor. o número carregado é somado ao algarismo que está na posição mais embaixo na coluna adjacente à esquerda.. ele gasta mais espaço em sua abordagem do que o autor da Aritmética de Treviso para tratar do mesmo assunto.uma coluna ou linha requereria uma transferência física ou carregamento de fichas para uma posição de ordem superior. Furet e Ozouf (1977) descrevem o quadro da instrução nesse período dizendo que somente após alguns anos passados na aprendizagem da leitura e da escrita. a exposição do Primeiro Autor é portadora de sinais característicos claros das práticas abacistas. por isso. E essa educação precária ainda se mantinha sob o controle direto e constante da Igreja. a imprensa já avançou muito desde o final de século XV. O interesse dos governos revolucionários franceses pela instrução pública – uma concessão ao povo que apoiava tal burguesia – está fortemente ligado ao programa de hegemonia dessa classe. A forma escolhida para a apresentação dos algoritmos das demais operações também compreende muitas palavras. é que. é um manual didático redigido com a intenção de participar de um concurso promovido por esse mesmo governo para selecionar os livros elementares a serem usados na instrução pública. [. como o Primeiro Autor. vários planos para essa educação entre os quais o de nosso Segundo Autor. desde que seja realizada com ênfase na compreensão. manual do professor prm6_mp_307_326_comum. 1989). em que. 188-189). Propuseram-se. [. escreveu a sua Aritmética.] Como pudemos notar no trecho referente ao algoritmo da adição reproduzido neste texto. nosso Segundo Autor embora tenha. e transferiu-se para os poderes civis a supervisão da educação pública. a concepção metodológica de Condorcet envolve necessariamente a compreensão dos procedimentos a partir das propriedades do sistema de numeração decimal e. propriedade. quando fugia da perseguição do governo do Terror durante a Revolução Francesa. 1989. assim.. Historicamente. [.. então. Com a Revolução. então. na qual a adição começa novamente de baixo para cima. o marquês de Condorcet. na convocação dos Estados Gerais. pouca formalização matemática. poucos estudantes – aqueles de melhor condição material – tinham acesso aos rudimentos da aritmética. livro de onde extraímos o trecho inicial da Quarta Lição.. Na verdade. democracia.indd 321 321 5/13/15 2:45 PM . O que podemos notar.. num momento em que o país precisava de uma mão de obra mais preparada considerando-se seu contexto socioeconômico. tomaram-se medidas contra o clero que levaram ao fechamento de muitas escolas católicas. apresentaram-se vigorosas reivindicações quanto à instrução da população. Nem todos os autores antigos usam esse formato: alguns efetuam a adição da esquerda para a direita e escrevem a soma em cima ou ao lado da fileira das parcelas (Swetz. manual do professor prm6_mp_307_326_comum. De fato. após o texto para o estudo dos alunos. assim. mais próximo do que concebemos como o tratamento adequado da matemática na escola. não alcançamos uma significação completa de ambos os textos. Dois modos em dois tempos: comentários finais Na leitura dos textos didáticos aqui focalizados. se incentiva a utilização das calculadoras e se valorizam procedimentos pessoais dos alunos bem como as estimativas e o cálculo mental (Brasil. um mestre de cálculo da república de Veneza no século XV. mas teremos uma visão restrita do significado da matemática. em que um jovem frequentador das escolas de cálculo o fazia por pouco tempo – era uma educação dispendiosa. um filósofo francês do Século das Luzes. indispensável no escrito do Segundo Autor. Também queremos que os nossos alunos dominem as técnicas do cálculo aritmético entendendo-as e não simplesmente memorizando-as mecanicamente. sob outro prisma. as quais tentamos. quer evidenciar a quem o lê os motivos de tudo aquilo que é exposto. e por meio de uma memória por assim dizer automática (Condorcet. Swetz especula que talvez após vários anos de trabalho e associação com outros mestres um calculador poderia de fato começar a pesquisar os “porquês” da aritmética. Em seguida. como comenta Swetz (1989). colocamos em evidência uma dicotomia entre um modo que poderíamos denominar “aprender fazendo”. muito pertinente. o enfoque de nosso Segundo Autor é. provavelmente encontraremos vários aspectos curiosos e interessantes. e um outro modo que batizaríamos como “aprender compreendendo”. no contexto atual em que a destreza no uso dos algoritmos usuais é menos posta em relevo. Contudo. essas diferenças. que ao lado da dimensão instrumental da matemática escolar esteja sempre presente a dimensão formativa – enfatizamos a contribuição da matemática no desenvolvimento das faculdades do intelecto das crianças. ele recomenda que o mestre trabalhe muitos exemplos com os estudantes. sem dúvida. A leitura comparativa dos dois trechos referentes à adição de números naturais mostrou-nos diferenças claras. são insuficientes para revelar todos os aspectos envolvidos nas duas célebres aritméticas aqui abordadas. a abordagem do mestre de Treviso. orientações aos professores. p. procuramos situar esses textos quanto ao entorno de sua produção a fim de enxergar. predominante no trabalho do Primeiro Autor. 1997). essa dicotomização nos serve como ponto de partida para considerar a inadequação e as limitações de uma análise de concepções. focalizado neste artigo. identificamo-nos mais com a atitude do filósofo iluminista. Especificamente quanto ao algoritmo da adição. inicialmente. ainda que traduzam a essência de duas concepções metodológicas. ao comparar mediante uma leitura descontextualizada o modo de ensinar do Primeiro Autor – que parece não se preocupar com a compreensão do significado dos procedimentos que 322 vai ditando ao leitor – com o do Segundo Autor que. diferentemente. como diz o nome usado na época – Practica – seu livro é claramente orientado para objetivos mais imediatos. materiais e práticas na educação matemática dissociada das muitas variáveis sociais e culturais que sempre a compõem. Assim. dos adolescentes. Certamente vamos simpatizar mais com o Segundo Autor. Defendemos. específicas para cada uma das lições que é apresentada.Uma característica do manual que não podemos deixar de mencionar é o fato de conter. destacar mediante um enfoque interno ao conteúdo dos textos. da educação matemática e das relações entre elas e as sociedades em que se desenvolveram. A atitude do Primeiro Autor decorre ainda da inexistência da intenção de escrever um compêndio enciclopédico de conhecimentos mercantis e técnicas matemáticas. não era somente adequada. Todavia. que essas expressões pelas quais estamos chamando em dois estilos. E particularmente em relação à aritmética. como tentamos mostrar. 1989. sem reflexão. a fim de que não adquiram o hábito de repetir as palavras “escrevo”. mas que cuide para que eles se tornem autônomos. mas desejável para as necessidades do século XV. dos jovens e adultos. Os dois modos de ensinar a aritmética ganham significação em dois tempos: dois contextos históricos distintos de educação matemática. Esse jovem logo entrava como aprendiz na profissão comercial e continuava a aprender a aritmética de que precisava. “guardo”. no que acabamos de expor. como Condorcet. 120). É claro.indd 322 5/13/15 2:45 PM . se a leitura e a análise dos textos do passado limitar-se a apresentar descrições das abordagens adotadas para os conteúdos matemáticos. N. Ferdinand. É preciso organizar claramente as ideias para transmiti-las aos outros colegas. presenté et annoté par Charles Coutel. resultando em aprendizado significativo. 1997. bibliographie. dependendo do nível de escolaridade. Brasília: MEC/SEF. Informe sobre la organización general de la instrucción pública. Essas experiências devem ser registradas e comunicadas aos demais colegas de sala de aula. Paris: Librairie Félix Alcan. São Paulo: Editora Edgard Blücher.Referências bibliográficas: BOYER. 1997. 1997. Capitalism and Arithmetic (second printing). Merzbach. Nicole Picard et Gert Schubring. Napoli: Bibliopolis. François & OZOUF. notes. 2. J. Gomide. FURET. Cidade do México: Fondo de Cultura Econômica. La Salle: Open Court. 1981. No ano de 2010. Gert. SCHUBRING. Por exemplo: O que é a “prova dos noves”?. 2002. p. Paris: Éditions de Minuit. Joseph. Dois tempos e modos de ensinar a aritmética. Charles. Rio Claro: Sociedade Brasileira de História da Matemática. LOPES. Eliane Marta T. Como se resolviam os problemas na aula de Matemática?. commentaires. do Círculo de Memória e Pesquisa em Educação Matemática (Cempem). In: CONDORCET. commentaires. Frank J. Uma atividade dessa natureza pode envolver vários componentes.”. PICARD. 1977. 1996. O que se aprendia no primário/ secundário em outros tempos?. BUISSON. SCHUBRING. Condorcet. Réflexions et notes sur l’éducation.. 1929. Moyens d’apprendre à compter sûrement et avec facilité: appareil critique – études. Como eram os livros didáticos?. Tradução de Francisco González Aramburo. Introduction: um savant des lumières. SWETZ. Nicole. 173-186. Lire et écrire: l’alphabétisation des français de Calvin à Jules Ferry. 1989.indd 323 323 5/13/15 2:45 PM . da Unicamp – dedicou uma edição especial ao tema “Linguagem e práticas socioculturais: perspectivas para a Educação Matemática”. C. Origens da educação pública: a instrução na Revolução Burguesa do século XVIII. N. manual do professor prm6_mp_307_326_comum. n. História da Matemática. A. CONDORCET. entre outras questões nesse sentido. Vários conceitos podem ser abordados dessa maneira. A cura di Manuela Albertone. Moyens d’apprendre à compter sûrement et avec facilité. Notes et commentaires sur les “Moyens. pois a necessidade de comunicação favorece a compreensão. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Un livre élémentaire pour La république. In: Bosquejo de un cuadro histórico de los progresos del espíritu humano y otros textos. Rio de Janeiro: Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Revista História & Educação Matemática. Paris: ACL Éditions. 2. a revista Zetetiké. Paris: ACL Éditions. Paris: ACL Éditions. In: CONDORCET. e é uma estratégia para desenvolver a escrita. A. 1989. a oralidade e a habilidade de síntese. notes. como Língua Portuguesa e História. Leitura. J. Como se ensinava a tabuada no seu tempo?. Revista por Uta C. bibliographie. 1983. escrita e oralidade nas aulas de Matemática? Essa pergunta está presente no cotidiano de todos os professores: tanto dos que ainda não estão seguros de como desenvolver essas habilidades quanto dos que já têm ações nesse sentido e querem melhorar sua prática. Secretaria de Educação Fundamental. . Jean-Antoine-Nicolas Caritat. Analysis of Historical Textbooks in Mathematics. GOMES. v. avós e conhecidos para descobrirem exemplos de experiências escolares antigas relativas à Matemática. C. São Paulo: Loyola. Esse esforço de ultrapassar a própria compreensão (e suas estratégias para entender algo) leva o aluno a refletir sobre o conceito/conteúdo para torná-lo claro aos demais alunos. BRASIL. Lecture Notes. S. Moyens d’apprendre à compter sûrement et avec facilité: appareil critique – études. ­­ . Gert. escrita e oralidade: competência de todas as áreas Objeto educacional digital Como trabalhar leitura. 1989. Maria Laura Magalhães (Universidade Federal de Minas Gerais – UFMG).. Sugestão de atividade contemplando a história da Educação Matemática Você pode propor aos alunos uma pesquisa junto aos pais. O tema “leitura e escrita na aula de Matemática” tem sido cada vez mais presente nas produções brasileiras na área de Educação Matemática. Tradução de Elza F.1989. compreender. desenvolvendo. texto científico. pois provavelmente terá informações valiosas para melhorar o trabalho dos demais docentes. – tem características próprias e requer habilidades leitoras diferenciadas. manuais etc.unicamp. Comunicação e expressão na proposta de Avaliação do Documento Básico do Enem – Brasília/2002 A Matriz de Competências do Enem pressupõe que a competência de ler.fe. mas em todas as áreas e disciplinas que estruturam as atividades pedagógicas na escola. expoente etc. mesmo. interpretar e produzir textos. internet. Leia a seguir um parágrafo sobre esse tema. ao longo do período escolar. poema. possuir instrumental de comunicação e expressão adequado. jornais. escrita e oralidade dos alunos.Essa edição da revista pode ser acessada integral e gratuitamente no endereço: www. ◆◆ Ter claro qual é o objetivo da leitura de cada texto. apresentaremos exemplos de atividades que envolvem leitura. por prazer. revistas. Apresentaremos a seguir algumas sugestões para o trabalho em sala de aula tendo por base o livro didático. ◆◆ variar as estratégias de leitura em função dos objetivos dela. Para concluir. Na seleção das palavraschave é importante contemplar termos próprios da Matemática: incógnita. ◆◆ perceber as diversas funções da leitura: ler para aprender. aprender a ler em Matemática envolve a participação efetiva do professor dessa disciplina em suas aulas. da geografia e da literatura. você pode mediar a discussão dos alunos em torno das palavras-chave e de seus significados. portanto. ◆◆ organizar e expressar o conhecimento obtido por meio da oralidade ou da escrita.indd 324 5/13/15 2:45 PM . não se desenvolve unicamente na aprendizagem da Língua Portuguesa. ◆◆ mobilizar conhecimentos prévios utilizando-os para alcançar a compreensão do que lê. O professor de Língua Portuguesa pode e deve ajudar seus colegas. radical. no sentido amplo do termo. escrita e oralidade nas aulas de Matemática. e um texto para informação e reflexão. No entanto. tanto para a compreensão de um problema matemático quanto para a descrição de um processo físico. 2015.br/revistas/ged/zetetike/ article/view/2828/2485 Acesso em: jan. hábitos e procedimentos de leitura que por fim se incorporem à rotina do estudante. formar um aluno competente em leitura. extraído de documento básico do Enem. para a percepção das transformações de espaço/ tempo da história. demonstrar. notícia de jornal. a escrita e a oralidade em Matemática Como ficou explicitado acima. Vale lembrar que nos Anexos deste manual há um modelo de ficha para acompanhamento e avaliação dessas atividades. Exemplos de procedimentos ◆◆ Leitura individual silenciosa identificando no texto palavras-chave previamente indicadas por você. Cada tipo de texto – romance. Consideramos que o objetivo final é formar indivíduos capazes de: ◆◆ 324 ler criticamente textos de diferentes suportes (livros. A leitura. O participante deve. por necessidade.) construindo significados para a leitura. Terminada a leitura. ◆◆ Ler todos os textos do livro para escolher os que serão trabalhados em sala de aula com o objetivo de estimular o desenvolvimento das habilidades de leitura. O aluno precisa construir essas habilidades por meio do trabalho pedagógico de todos os componentes curriculares. concomitantemente. relatório etc. ◆◆ Mapear os textos com base nos objetivos de leitura: serão lidos na íntegra ou só em parte? A leitura será feita em classe ou em casa? A resolução das atividades permeará a leitura? ◆◆ Criar estratégias diversificadas de leitura. manual de instruções. O aluno precisa saber por que lerá o texto e para que aspectos deve voltar sua atenção. É importante ressaltar que esse trabalho deve ser constante. interpretação e escrita não é responsabilidade somente do professor de Língua Portuguesa. retomando sempre que necessário manual do professor prm6_mp_307_326_comum. químico ou biológico e. para se informar. por exemplo: Que informações ou conhecimentos você identifica nestas imagens? O que já conhecemos? O que há de novo para você? Observando as imagens. enquanto você atua como mediador. Esse tema possibilita trabalho em parceria com Geografia. Crie muitas oportunidades para os alunos expressarem as ideias deles oralmente e por escrito. ler e executar cada passo dos manual do professor prm6_mp_307_326_comum. 3. O registro das informações. escrita e oralidade em Matemática usando o livro didático Nesta parte comum do Manual do Professor. gráficos. peça a alguns alunos que leiam suas anotações e permita que os demais participem complementando ou corrigindo o que foi lido. O texto das páginas 25 e 26 do volume do 6o ano usa como base a ideia de contagem para abordar números naturais e os conceitos de sucessor. presentes no texto. como interpretamos a unidade hab. diagramas etc. orientando os alunos a anotar no caderno as posições relativas entre duas retas de um mesmo plano e como caracterizamos retas paralelas./km2 e a resolução do problema proposto. sem lê-lo. como é calculada. Em sala de aula. depois da leitura das anotações que fizeram sobre o item 1 e o registro dos conceitos na lousa. com base no que lerem. Os itens 1. Em seguida. 2 e 3 da Unidade 10 do volume do 8o ano possibilitam um trabalho interessante envolvendo leitura de textos instrucionais (itens 2 e 3). bem como algumas das funções dos números naturais. Uma variação é pedir que leiam previamente as atividades que permeiam o texto e só depois procurem no texto as informações de que precisam para responder às questões. Algumas sugestões de estratégias envolvendo leitura. retas concorrentes e retas perpendiculares. Os alunos têm conhecimentos prévios sobre esses assuntos. 1. Peça aos alunos que observem somente fotografias. ruas perpendiculares etc. Em seguida. conceitos. o que pode enriquecer a atividade. Você pode pedir como tarefa de casa a leitura do item 1. números naturais consecutivos. ao final do texto. 2. os alunos. oriente os alunos a ler o texto em voz alta e compartilhar as respostas das questões acima.a leitura de trechos mais importantes do texto. de posse de régua e compasso. Em sala de aula. criamos um exemplo detalhado de estratégia para cada volume. ◆◆ exemplos de números naturais consecutivos diferentes dos apresentados no texto. É uma forma eficiente de resgatar conhecimentos prévios. Pergunte. Na parte específica dos manuais há mais sugestões contemplando assuntos e tipos de texto variados. temos uma ideia do assunto do texto? Essa estratégia costuma motivar os alunos para a leitura integral do texto. organize-os em duplas ou trios e peça que respondam às questões do Interagindo da página 26. Solicite que apresentem exemplos de situações reais que nos lembram esses conceitos. ◆◆ exemplos de outras situações reais em que os números naturais são usados. É importante registrar na lousa os conceitos finalizados. Você pode solicitar leitura individual silenciosa em sala de aula. trocando ideias sobre o que aprenderam com o texto. que deve acontecer depois dos questionamentos. verificando como resolveram a atividade sobre Roraima e São Paulo. Anote as informações mais importantes na lousa. antecessor. Sugira que pesquisem a área e a população do município em que se localiza a escola e calculem a densidade demográfica da cidade. pares.indd 325 325 5/13/15 2:45 PM . A Seção Livre da página 110 do volume do 7o ano (Razões e Geografia) aborda o tema “densidade demográfica”. pedindo que. registrem no caderno: ◆◆ como explicariam a um colega o que é sucessor e o que é antecessor de um número natural. tais como trilhos de trem. Você pode solicitar a leitura antecipada do texto (tarefa de casa) e que. ímpares. conclusões sobre o texto e exemplos pode ser feito na lousa. os alunos registrem no caderno o que é densidade demográfica. podem responder aos itens 2 e 3. ◆◆ ◆◆ Leitura de imagens. como tarefa. o que o leva a detectar as jogadas erradas realizadas e buscar alternativas para solucioná-las a tempo de ganhar a partida e produzir conhecimento. Deixe claro que.roteiros apresentados. Este pode questionar e ousar propor soluções aos problemas encontrados num clima de investigação. como introdutores ou desencadeadores de conceitos ou como verificadores/aplicadores de conceitos já desenvolvidos e formalizados. desenvolver e aprofundar conceitos ou ser uma maneira mais agradável de propor a exercitação de um conteúdo.. [. este é levado a refletir sobre as estratégias que utilizou durante as jogadas e a avaliá-las. explicando passo a passo o raciocínio.. Moura (1992) afirma que tanto o jogo quanto o problema podem ser vistos. saber ganhar e saber perder (p. 7. no processo educacional. o interesse por um assunto. No sentido abordado por Moura (1992). e não a memorização das fórmulas. Podemos definir jogo como um problema em movimento. O texto do item 2 da Unidade 7 do volume do 9o ano pode ser utilizado para desenvolver a habilidade de leitura de textos mais específicos da Matemática. entre outros. respeito às regras.br/arquivos/pdf/fasciculo_ mat. [. proponha a resolução da atividade proposta na página 179 e a prática dos processos. Esse momento é oportuno para destacar que um novo conhecimento foi produzido com base em outro já comprovado (teorema de Pitágoras).] Aliar jogos à resolução de problemas no contexto do ensino da Matemática proporciona um ambiente de aprendizagem no qual há a exploração 326 dos conceitos mediante a estrutura matemática subjacente ao jogo e que pode ser vivenciada pelo aluno. Disponível em: <http://portal. fasc. desestrutura o sujeito. em maior quantidade. para desenvolverem a habilidade de compreender e executar instruções escritas.pdf>. pois apresenta a dedução das fórmulas para o cálculo da diagonal do quadrado e da altura do triângulo equilátero. Terminadas as construções. tomada de decisão. Problema que envolve a atitude pessoal de querer jogar tal qual o resolvedor de problemas. o desenrolar do processo. devem explicar como chegar às fórmulas por meio do teorema de Pitágoras. Sobre jogos e brincadeiras na aula de Matemática Citamos a presença de jogos no Livro do Aluno e.gov. A análise do erro e do acerto pelo aluno se dá de maneira dinâmica e efetiva. Na aula. além de estabelecer uma relação entre jogo e problema ao afirmar que … o jogo tem fortes componentes da resolução de problemas na medida em que jogar envolve uma atitude psicológica do sujeito que. Secretaria de Educação Básica. peça a dois ou mais alunos para irem à lousa e fazer as deduções. Resolver problemas – o lado lúdico da Matemática. no sentido psicológico. A leitura pode ser feita em casa. onde a construção de estratégias e de conhecimentos matemáticos está em evidência. Ao se propor a análise do jogo pelo aluno. 4. desestruturando o indivíduo e possibilitando a este desenvolver a postura de analisar situações e criar estratégias próprias de resolução de problemas ao possibilitar o desenvolvimento de habilidades como análise de possibilidades. a elaboração de estratégias e a mobilização de conhecimentos. Um jogo pode despertar a curiosidade. É importante que eles procurem seguir as instruções sem ajuda direta. que só os tem quando estes lhes exigem busca de instrumentos novos de pensamento. sugestões desse tipo de atividade neste Manual do Professor. proporcionando a reflexão e a (re)criação de conceitos matemáticos que estão sendo discutidos.indd 326 5/13/15 2:45 PM .. aceitação da derrota. pois analisar as estratégias elaboradas é exigência do próprio jogo. o jogo é desencadeador de desafios. 53). Jogos também são estratégias interessantes no preparo dos alunos para resolver problemas. p. como cooperação.. 2014. ao se predispor para isso. com sua mediação ao circular pela sala. Entendemos que jogos propiciam o desenvolvimento de aspectos atitudinais. [. fato que terá consequências na habilidade de resolução de problemas. como esclarece muito bem o texto a seguir. trabalho em grupo. que parte em busca de estratégias que o levem a participar dele. com base na leitura.] O jogo.. Acesso em: out. coloca em movimento estruturas do pensamento que lhe permitem participar do jogo. manual do professor prm6_mp_307_326_comum. além de exercitar a criatividade..] Ministério da Educação.mec. In: Pró-letramento – Matemática. Essa reflexão ocorre de forma espontânea por parte do aluno. 38. É bom enfatizar que o objetivo é compreender a dedução. Números naturais ●● ●● ●● ●● 3. Adição e subtração de números naturais ●● ●● ●● ●● ●● ●● 4. Multiplicação e divisão de números naturais ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● 5. tabelas e gráficos de barras ●● ●● ●● Processos de contagem – história dos números Noções sobre os sistemas de numeração egípcio e romano Sistema de numeração decimal – leitura. Sistema de numeração decimal ●● ●● ●● 2. Potenciação e raiz quadrada de números naturais ●● ●● ●● ●● ●● ●● 6. Múltiplos e divisores ●● ●● ●● ●● ●● 7. Dados. antecessor. números naturais consecutivos Aplicações dos números naturais Reta numérica Ideias da adição e da subtração Cálculo mental nas adições e subtrações Estimativas por arredondamento Problemas envolvendo adição e subtração de números naturais As ideias da multiplicação Divisão – ideias e algoritmos Multiplicação e divisão – operações inversas Relação fundamental da divisão Expressões numéricas envolvendo as quatro operações fundamentais Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtração Cálculo mental de produtos Resolução de problemas envolvendo as quatro operações fundamentais Unidades de medida de tempo – problemas Potenciação – significado.quadro de conteúdos 6o ano Unidade Conteúdo ●● 1. escrita e história dos numerais indo-arábicos Sequência dos números naturais Sucessor. representação e cálculos Quadrados e cubos Expoente zero e expoente 1 Raiz quadrada de números naturais Expressões numéricas Sequência dos múltiplos de um número Fatores ou divisores de um número natural Critérios de divisibilidade Números primos e decomposição em fatores primos Mínimo múltiplo comum Divisores comuns e máximo divisor comum Utilidade dos gráficos Dados e tabelas de frequência Construção e interpretação de gráficos de barras Elaboração e análise de uma pesquisa estatística simples manual do professor prm6_mp_327_331_comum.indd 327 327 5/13/15 2:46 PM . 100.6o ano Unidade Conteúdo ●● ●● 8. Números decimais ●● ●● ●● ●● ●● ●● 13. Observando formas ●● ●● ●● ●● ●● 9. representação e cálculos simples envolvendo porcentagens Representação decimal de porcentagens Conceito de medida e de unidade de medida Medidas de comprimento no sistema métrico decimal (SMD) Medidas de superfície e área do retângulo Relações entre km2. … Multiplicação de números decimais Divisão de números naturais com quociente decimal Divisão de números decimais Problemas envolvendo números decimais e suas aplicações Significado. Frações ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● 12. reta. Porcentagens ●● ●● ●● ●● ●● 14. Polígonos e circunferências ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● 11. Ângulos ●● ●● ●● ●● ●● ●● 10.indd 328 5/13/15 2:46 PM . elementos e representação Medidas de ângulos e uso do transferidor Retas paralelas e retas perpendiculares Uso dos esquadros Polígonos – características e nomenclatura Triângulos – classificação Quadriláteros – classificação Polígonos regulares Perímetro de polígonos Circunferência – definição e elementos Uso do compasso Simetria nos polígonos e no círculo Frações como partes do inteiro Representação e leitura Frações de uma quantidade Números mistos e frações impróprias Frações equivalentes Simplificação de frações Comparação de frações Operações com frações Problemas envolvendo frações e suas aplicações Anotação decimal Números decimais e o registro de medidas Números decimais na forma de fração Comparação de números decimais Adição e subtração de números decimais Multiplicação e divisão por 10. m2 e cm2 Conceito de volume e volume de um bloco retangular Equivalência entre litro e decímetro cúbico Medidas de massa manual do professor prm6_mp_327_331_comum. plano e segmento de reta Perspectivas e vistas Construção de poliedros Identificação. Medidas ●● ●● ●● ●● 328 As formas da natureza e as formas criadas pelo ser humano Formas planas e não planas Blocos retangulares – estudo e planificação Ponto. 1 000. mmc e mdc Números primos Expressões numéricas Potenciação e raiz quadrada de números decimais Medidas de tempo Operações com números negativos Expressões numéricas envolvendo operações com números negativos Grandezas diretamente proporcionais Grandezas inversamente proporcionais Regras de três simples Descontos e acréscimos Problemas envolvendo porcentagens Pictogramas Médias Poliedros regulares Cilindros. Construindo e interpretando gráficos 7. Números naturais ●● ●● 2. Equações ●● ●● 10.indd 329 329 5/13/15 2:46 PM . plantas e mapas Representação e cálculo de porcentagens Construção e análise de gráficos de barras e de setores Poliedros Prismas e pirâmides Dimensionalidade Medidas de superfície – unidades e conversões Comparação de áreas Área do retângulo e do quadrado Cálculo de áreas por composição e decomposição de figuras Observação de padrões numéricos – generalizações Uso das letras – linguagem algébrica Algumas operações com letras Desigualdades – símbolos e propriedades Retomada sobre ângulos Ângulos suplementares. complementares. Proporcionalidade ●● ●● 5. sucessor. do losango e do trapézio Problemas envolvendo o cálculo de áreas Relações entre unidades de medida de volume e de capacidade Resolução de equações do 1o grau Resolução de problemas por meio de equações do 1o grau Resolução de inequações Inequações e problemas Os ângulos nos triângulos Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero manual do professor prm6_mp_327_331_comum. Ângulos e triângulos ●● ●● Retomada e aprofundamento dos conhecimentos sobre os números naturais. do triângulo. números consecutivos Fração e divisão Frações equivalentes Frações e números decimais na reta numérica Aplicações dos números negativos Comparação Representação na reta numérica Módulo e simétrico Grandezas e comparação de grandezas Razões e proporções Escalas. abordando: Sequência dos números naturais. Áreas e volumes ●● ●● ●● ●● 9. Números negativos ●● ●● ●● ●● 4.7o ano Unidade Conteúdo ●● 1. antecessor. Sólidos geométricos ●● ●● ●● ●● ●● ●● 8. opostos pelo vértice Grau e subdivisões do grau Bissetriz de um ângulo ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● Representação na reta numérica Múltiplos e divisores . cones e esferas Área do paralelogramo. Frações e números decimais ●● ●● ●● 3. Inequações ●● ●● ●● 11. Razões e porcentagens 6. Circunferência e círculo Multiplicação por potências de base 10 Notação científica ●● ●● ●● ●● Letras no denominador Condição de existência Problemas e equações envolvendo frações algébricas Problemas do 1o grau com duas incógnitas – representação por meio de um sistema de equações Razões e proporções Porcentagens Escalas. perímetro e classificação Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo Congruência de figuras planas Casos de congruência de triângulos Mediana.8o ano Unidade Conteúdo ●● 1. Produtos notáveis 6. Radiciação ●● ●● ●● ●● ●● 5. plantas e mapas Posição relativa entre retas Ponto médio de um segmento Retas perpendiculares e paralelas Elementos. Retas e ângulos ●● ●● ●● ●● 9. Sistemas de equações ●● ●● ●● ●● ●● 12.indd 330 5/13/15 2:46 PM . Possibilidades e estatística ●● Principais casos de fatoração ●● 14. Triângulos ●● Desenvolvimento de produtos notáveis ●● 10. Conjuntos numéricos ●● ●● ●● 2. Cálculo algébrico Números naturais Números inteiros Números racionais Representação dos números racionais ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● Operações e expressões algébricas Simplificação de expressões com letras Multiplicação de polinômios Aplicações dos produtos notáveis no cálculo algébrico Aplicações da fatoração Simplificação de frações algébricas Operações com frações algébricas Método da substituição Método da adição Dízimas periódicas na forma de fração Grandezas diretamente proporcionais Grandezas inversamente proporcionais Regras de três compostas ●● Distância entre dois pontos Distância de ponto à reta ●● Propriedade do ângulo externo ●● ●● ●● ●● Triângulo isósceles e triângulo equilátero Maior lado e maior ângulo de um triângulo Ângulos de um polígono ●● Arco e ângulo central Comprimento de um arco Construção de polígonos regulares Ângulo inscrito ●● Gráficos estatísticos ●● ●● ●● manual do professor prm6_mp_327_331_comum. P  otenciação e notação científica 3. bissetriz e altura em um triângulo Elementos e classificação dos quadriláteros Propriedades dos paralelogramos e dos trapézios isósceles Caracterização Construção de triângulos Posições relativas de duas circunferências Posições relativas entre reta e circunferência Cordas Tabela e árvore de possibilidades Problemas de contagem Números irracionais Pi – um número irracional Números reais Os números reais e as operações ●● ●● ●● ●● 11. Frações algébricas Expoentes inteiros Propriedades das potências Potências de base 10 ●● Retomada de equações Variáveis Expressões algébricas Monômios e polinômios ●● 4. Fatoração 8. Quadriláteros e outros polígonos ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● 330 Raízes não exatas ●● ●● 15. Triângulos: congruência e pontos notáveis ●● 13. Proporcionalidade Aprofundamento sobre raízes Raízes exatas ●● ●● ●● ●● 7. Porcentagem e juro ●● ●● Retomada e aprofundamento da potenciação e suas propriedades Retomada da radiciação Expoentes racionais Propriedades dos radicais Simplificação de radicais Adição e subtração de radicais Cálculos com radicais Racionalização Equações e grau de uma equação Equações incompletas do 2o grau Forma geral de uma equação do 2o grau Resolução de equações do 2o grau pela fatoração do trinômio quadrado perfeito Fórmula geral de resolução de equações do 2o grau Resolução de problemas envolvendo equações do 2o grau Soma e produto das raízes de uma equação do 2o grau Equações fracionárias e biquadradas Equações irracionais Localização no plano Sistema cartesiano Coordenadas geográficas Conceito e aplicações Tabela de valores e lei de formação de uma função Interpretação de gráficos Construção de gráficos das funções do 1o grau e do 2o grau Probabilidade e estatística Problemas envolvendo o cálculo de probabilidades Conceito de população e amostra numa pesquisa estatística Razões. Teorema de Tales e semelhança de triângulos ●● ●● ●● ●● ●● 7. proporções e segmentos proporcionais Teorema de Tales Semelhança Semelhança de triângulos Aplicação da semelhança de triângulos na resolução de problemas Teorema de Pitágoras e suas aplicações Diagonal do quadrado e altura do triângulo equilátero Relações métricas nos triângulos retângulos Problemas de aplicação Razões trigonométricas: tangente. Equações do 2o grau ●● ●● ●● ●● ●● ●● 3. Sistema cartesiano ●● ●● ●● 4.9o ano Unidade Conteúdo ●● ●● ●● 1. Círculo e cilindro ●● ●● ●● 10. Potenciação e radiciação ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● 2. Relações métricas nos triângulos retângulos ●● ●● ●● 8.indd 331 331 5/13/15 2:46 PM . Noções de probabilidade ●● ●● ●● 6. Trigonometria no triângulo retângulo ●● ●● ●● ●● 9. Funções ●● ●● ●● ●● 5. seno e cosseno Aplicações na resolução de problemas As razões trigonométricas e os ângulos de 30°. descontos e acréscimos Juros simples e composto manual do professor prm6_mp_327_331_comum. 45° e 60° Área do círculo Área de setor circular e de coroa circular Área da superfície e volume de um cilindro Aplicações na resolução de problemas Problemas envolvendo porcentagens. apresentando temas e datas e distribuindo a ficha de acompanhamento do desempenho. Identificar diferentes representações do mesmo número. Se os símbolos que compõem um número se apresentam em ordem decrescente dos valores que representam. propostas para o trabalho com leitura. professor. procurando articular as propostas do manual com a prática em sala de aula. ao final do item V de cada unidade. escrita. simulações. comparando-os com o que utilizamos hoje: o sistema de numeração decimal (SND). Os textos e os exercícios abordam processos primitivos de contagem – surgidos devido à necessidade prática – e os sistemas de numeração criados por antigas civilizações. de forma criativa e pertinente.indd 332 5/13/15 3:58 PM . relacionando o desenvolvimento dos sistemas de numeração com a história da humanidade. A rotina de preenchimento dessa ficha pelos alunos e a observação dela por você. jogos. Para cada unidade do livro apresentamos objetivos gerais e específicos. Sugerimos iniciar cada unidade compartilhando o planejamento de conteúdos e exercícios. Essas questões contemplam conteúdos desenvolvidos no Livro do Aluno. então podem ser adicionados. Unidade 1 – Sistema de numeração decimal I. da esquerda para a direita. além de recursos para compor o processo de avaliação.4. tais como ter somente 10 símbolos – tendo um símbolo (o zero) para indicar a ausência de unidades. Ao abordar o sistema romano é necessário tomar alguns cuidados. ou seja. uso de novas tecnologias. Na seção 5. principalmente “números grandes”. Incluímos também. por instituições públicas conceituadas. Registrar números nesses sistemas. contextualizadas ou não. dezenas etc. A apresentação dos símbolos e das regras básicas dos sistemas de numeração egípcio e romano pretende mostrar como ideias e registros evoluíram e ressaltar as vantagens do sistema que hoje usamos. Conhecer os símbolos e as regras básicas do sistema de numeração egípcio e do sistema de numeração romano. oralidade. devemos ir adicionando os valores dos símbolos representados. entre outros. III. Avaliação – O que se pede por aí. Ao final deste Manual disponibilizamos para cópia modelos de fichas que se destinam à elaboração de um planejamento compartilhado. que possibilitará o acompanhamento individual do aluno e a avaliação contínua de seu desempenho. presente no manual de cada volume. Objetivo geral ◆◆ Compreender as necessidades práticas que levaram à criação dos números. resolução de problemas. pode ser combinada com a turma. experimentos. Sobre o livro do 6o ano Esta seção trata do desenvolvimento dos conteúdos do Livro do Aluno do 6o ano. apresentamos um conjunto de questões. – e ser posicional. Ler e escrever corretamente números nes­se sistema. Objetivos específicos ◆◆ ◆◆ ◆◆ ◆◆ ◆◆ Conhecer métodos primitivos de contagem e as situações que motivaram sua criação e evolução. O sistema é aditivo. A História da Matemática é um grande aliado nessa tarefa. Ampliar e aprimorar a compreensão das regras do sistema de numeração decimal. Julgamos importante retomar a leitura e a escrita correta de números. devido à sua aplicação em muitas situações do cotidiano. Exemplo: MDCCXXXVIII M D C C X X X V I I I 5 5  1 000  1 500 1 100 1 100 1 10 1 10 1 10 1 5 1 1 1 1 1 1 332 manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. comentários sobre sua utilização. selecionadas em exames elaborados. Comentários O trabalho com o sistema de numeração decimal desenvolvido nos anos iniciais do Ensino Fundamental deve prosseguir no 6o ano visando ampliar e consolidar os conceitos de número e de sistema de numeração. da esquerda para a direita. sugestões de sites que disponibilizam objetos educacionais envolvendo os temas trabalhados: arquivos de vídeo e de áudio. II. todos com comentários. O Interagindo. cada aluno estará apto a acompanhar o desenvolvimento dos conteúdos. Luís Márcio. V. Após leitura silenciosa. que multiplica o valor do símbolo por mil. preparando-se para os exercícios e avaliando seu próprio desempenho. se possível. Dê oportunidade para vários alunos falarem. IV. mostre a eles algum artigo que apresente avanços atuais em pesquisas na área de Matemática. No texto didático. levantando questões como: ◆◆ A Matemática sempre existiu? ◆◆ Que razões motivaram a criação dos números? ◆◆ Só grandes gênios participaram da construção do conhecimento matemático ao longo da história? ◆◆ Ainda hoje. num primeiro momento. 190 (CXC). 490 (CDXC) e 1040 (MXL). Segue uma obra como referência: IMENES. Articulando a unidade à concepção da obra Compartilhe o planejamento da unidade aos alunos e distribua a eles a ficha de acompanhamento do desempenho. 000    IF VH 5 4 000 000 Xu 5 10  A unidade traz o texto Matemática – uma grande criação da humanidade. disponível para cópia na página 395 desse manual. Sugerir a leitura de um livro paradidático sobre a história dos números pode complementar o estudo desta unidade. Números na história da civilização. LXXXXVIIII representava 99. a barra horizontal. romano e indo-arábico. em particular. que você pode ler em voz alta e debater com os alunos. Explore a oralidade. 1995. lembre aos alunos a origem dele – a Índia Antiga. citamos o sistema de numeração romano moderno. Há. mas sim igual a 500 1 100 1 40 5 640. nessa unidade. DCXL não é igual a 500 1 100 1 10 1 50 5 660. como propusemos na parte geral deste manual. São Paulo: Scipione. ajudará a organizar as ideias sobre o sistema romano. ouça comentários. Editora Scipio ne Mas não é sempre assim. Os componentes de História e Geografia podem trazer para as aulas informações sobre esses povos. a História da Matemática por meio do estudo dos sistemas de numeração egípcio. recursos e propostas do manual A história dos números possibilita a interligação entre a História da Matemática e as antigas civilizações. importante para a formação do pensamento algébrico mais à frente. peça aos alunos que apresentem oralmente a situação narrada no subitem Aprendendo a contar. entre outros números. o que isso significaria?”. Como utilizar. Ao retomar o sistema de numeração posicional decimal na página 14. permitindo ampliar os registros e torná-los mais sucintos. Leitura. Essa unidade contempla. a Matemática continua a ser construída? O objetivo é apresentar aos alunos a Ma­ te­ má­ ti­ ca como criação humana em constante evolução e de cuja história fazemos parte. comentando que. temas. Por exemplo. Mostre aos alunos como registrar corretamente 99 (XCIX). Exemplo: escrever 99 como IC em vez de XCIX. a foto de um relógio indicando 4 por IIII para ilustrar esse registro. por exemplo. a seguir. ainda. opiniões e. O exercício 9 da página 13 proporciona uma relação entre o sistema de numeração romano e a descoberta de padrões em sequências. questionando-os: “Se sobrassem pedrinhas depois das ovelhas voltarem do pasto. na página 12. Ele pode ser estendido conforme mostramos no item VI. observando manual do professor prm6_mp_332_389_especifica.indd 333 333 5/13/15 3:58 PM . Essa sugestão vale para todas as unidades da obra. No sistema que chamamos de moderno introduziu-se o princípio subtrativo e. que seria o correto. cada letras das que se repetiam poderia ser empregada até quatro vezes. escrita e oralidade O texto das páginas 7 e 8 pode ser usado para o trabalho com leitura e oralidade.O uso dessa regra pode causar confusões que gerem registros errados. inclusive. De posse desse material. de acordo com as regras acima. indicando sites confiáveis quanto às informações fornecidas. revistas. Acompanhe as estratégias de cada grupo e depois peça que compartilhem as resoluções entre si. Lembre-os sempre de citar as fontes consultadas. recolher os trabalhos das duplas para correção e comentários. 3 azuis. manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. é possível avaliar. dada sua base. Jogos No exercício 16 vemos um exemplo de jogo que envolve as regras de troca num sistema de numeração. se necessário. Podem-se 334 Uma parte da nota integral do trabalho pode ser definida de acordo com a observação desses itens. aproveitando para trabalhar a ideia de correspondência um a um presente nas contagens. deixando que descubram por que 3 e 6 não podem ocupar a 1a posição.como eles argumentam e interferindo. Além da correção das questões. tesoura sem ponta e cola). durante a execução dos exercícios. alertando-os da existência de sites que podem trazer conteúdo não adequado. Feche a leitura solicitando que expliquem a diferença entre número e numeral. Modo de jogar ●● ●● ●● Três tiras verdes podem ser trocadas por uma tira azul. e chame alguns alunos para colocar outros horários possíveis no quadro. Peça que leiam o enunciado e observem o exemplo na ilustração. A atividade proposta no Refletindo da página 8 complementa essa pergunta. Pergunte se os algarismos podem aparecer em qualquer posição.indd 334 5/13/15 3:58 PM . Essas atividades possibilitam verificar se as regras do sistema de numeração decimal são de domínio dos alunos. Aproveite também para propor uma roda de conversa sobre pesquisas na internet. que trabalha a representação de quantidades numa base não decimal. Três tiras azuis podem ser trocadas por uma tira amarela. Peça a eles que respondam à questão oralmente. Jogos como esse são importantes para verificar se os alunos compreendem essas regras. como os sugeridos a seguir. a pesquisa também pode ser feita em sites. Se houver possibilidade de acesso à internet. Oriente os alunos com antecedência sobre o material necessário (jornais. O aluno lança os dois dados. explique como será a aula (envolverá trabalho em dupla para o recorte de diversos tipos de número presentes em situações contextualizadas) e o que será avaliado – regras do SND (ordens e classes) e aspectos atitudinais. O jogo da base três é um jogo interessante. e o número obtido representa o número de tiras verdes que devem ser trocadas com o outro jogador. Exemplos: ●● ●● O número 4 representa uma tira azul e uma verde. Sugerimos utilizá-los no processo de avaliação. Outras questões podem ser incluídas a seu critério. ◆◆ Organização e responsabilidade: a dupla trouxe o material necessário para o exercício? Os alunos sabem se organizar? Fazem o trabalho com cuidado necessário e zelam pela limpeza da sala de aula? ◆◆ Trabalho cooperativo: Os alunos sabem ouvir? Respeitam a opinião do colega? Negociam entre si para chegar a um entendimento? Resolução de problemas Ao explorar o exercício 32 da página 18 é possível verificar estratégias na resolução de problemas apresentadas pelos alunos. Forme pequenos grupos (de 3 ou 4 alunos) e deixe que discutam como determinar quantos são os horários que atendem à condição do problema. conteúdos atitudinais. 3 amarelas ou outras cores) e 2 dados c ­ omuns. Avaliação O Interagindo da página 16 exibe exercícios que devem ser realizados com o uso de jornais ou revistas. O número 11 representa uma tira amarela e duas verdes. Jogo da base três Material: ●● Tiras de cartolina colorida (3 verdes. Se achar pertinente. uma vez que os sistemas de numeração então vigentes não facilitavam as computações e não havia material conveniente para a escrita (o papiro. Comentários e sugestões sobre os exercícios propostos Exercícios 3 e 4 Trabalham formas diferentes de registro de quantidades. estes números multiplicados por 1 000:  I . traga mais alguns exemplos de pictogramas para analisar com a turma. V. São dispositivos simples inventados para registrar números e efetuar operações. em duplas.mat. Traga para a sala de aula palitos de fósforo usados e exercite o registro de quantidades usando as regras propostas pelo menino do exercício 3. surgiu na Grécia só por volta do século VII a. usando a posição inclinada (   ) para representar 100.edu/es/nav/frames_asid_ 209_g_2_t_1. as tábuas foram substituídas por placas de madeira ou metal. as frações . Com o passar do tempo. barras (10) ou cubinhos unitários para formar um número no SND. Depois de preenchidos. Em cada sulco. e . utilizem os palitos mudando ou ampliando as regras.Matemática e tecnologia http://nlvm. Exercício 13 Aproveite esse momento para trabalhar a leitura de séculos registrados em algarismos romanos. pedra é calculus. Incentive a troca de ideias. X.usu. 10 (X). onde deslizavam pequenas pedras ou contas (em latim. Exercício 9 É possível ampliar a atividade propondo aos alunos que inventem.. internet etc.br/anos_iniciais/ Apresenta Operações com palitos que consiste em um joguinho muito interessante que trabalha operações simples e os símbolos do sistema romano. Proponha aos alunos que. 500 (D) unidades. VI. revistas. 72 2 12 24 48 manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. usada para desenhar figuras e fazer contas. mas sua presença constante em jornais. no caderno. 5 (V). Se possível. possibilita usar esse tipo de recurso para representar dados ainda no 6o ano.html Para verificar se os alunos dominam as regras do SND.usu. 100 (C). 50 (L)..C. Complementação à formação do professor e do aluno Texto para o professor O ábaco Ábacos são tidos como as formas mais elementares de máquinas calculadoras.. No exercício 4.edu/es/nav/frames_asid_ 152_g_2_t_1.html Com os mesmos objetivos do objeto citado anteriormente. placas (100). este ábaco também permite registros na base 5. Há um modelo de cheque disponível na página 400. um para a dezena etc. http://nlvm. . VII. A palavra ábaco vem do grego abax. já na antiguidade. A atividade aborda esse registro. o que é desejável. aqui o aluno tem acesso ao material dourado virtual.html?open=activities&from =category_g_2_ t_1. os cheques mudam de mãos e um aluno corrige o preenchimento feito pelo colega.ufrgs. Continha também sulcos para 1 1 1 1 1 . Eram muito necessários. origem da palavra calcular). Há instruções para o professor.indd 335 335 5/13/15 3:58 PM . que significa tábua coberta com pó ou areia. O ábaco romano continha sulcos designando agrupamentos de 1 (I). com linhas ou sulcos.. O aluno seleciona blocos (1 000). http://mdmat. você pode propor uma atividade com o ábaco de fichas disponível nesse endereço. usado pelos egípcios. Exercício 29 Os pictogramas serão formalmente apresentados no livro do 7o ano. Uma sugestão é pedir que inventem um símbolo para a unidade. Exercício 24 Uma sugestão é levar cópias de folhas de cheque em papel sulfite e pedir aos alunos que preencham corretamente os valores ditados por você usando algarismos e os escrevam também por extenso. . o papel. Verifique se os alunos percebem que cada símbolo do pictograma representa 10 milhões de habitantes. uma sequência utilizando os números escritos no sistema romano que obedeça a um padrão.tml?from=category_g_2_ t_1. por exemplo. deixe que descubram sozinhos quanto vale uma “bolinha” e quanto vale um “quadradinho”. muitos séculos mais tarde). registrem quantidades com esses símbolos e peçam a um colega que descubra o símbolo que representa cada quantidade. São Paulo: SBM.apenas as pedrinhas colocadas no alto entravam na composição do número. os algoritmos. ou soroban. descritos em termos dos algarismos dos números. ◆◆ Utilizar os números naturais em situações de contagem e ordenação. 17. Os que advogavam o uso do sistema indo-arábico eram chamados “algoristas”. os povos. cada conta acima da barra horizontal tem valor igual a 5 vezes o valor de cada conta correspondente. O ábaco japonês O ábaco japonês. chamado de suan phan. abriram os horizontes para a generalização. 10. abaixo da barra horizontal. O ábaco romano Unidade 2 – Números naturais Ilustrações: Marcelo Azalim 336 3 1 3 5 1 773 1 12 2 4 I. Por volta de 1600. estes valores são. os algoritmos. temos: 3 3 1 5 1 000 1 500 1 200 1 50 1 20 1 3 1 1 12 4 2 Os ábacos chinês e japonês possuem varetas verticais com contas. usavam o sistema sem reconhecer o princípio posicional que praticavam. 1 000 etc. Os que preferiam ficar com o ábaco para a computação eram os “abacistas”. 1 773 1 000 1 500 1 200 1 50 1 20 1 3 1 O ábaco chinês Vale notar que os ábacos eram essencialmente uma representação posicional dos números. ◆◆ Representar números naturais na reta numérica. 100. Houve um período de aproximadamente 500 anos de acirrada rivalidade até que os “algoristas” lograssem a aceitação geral de suas técnicas de computação. o uso do sistema indo-arábico estava generalizado e as técnicas aritméticas de operações estavam estabelecidas na forma de hoje. O ábaco. Esse exemplo indica 2 347. MANUAL DO PROFESSOR prm6_mp_332_389_especifica. Objetivos específicos ◆◆ Identificar e ordenar números naturais. Cabe uma observação a respeito do processo de implantação do sistema numérico indo-arábico. ao permitirem efetuar contas no papel. cada vareta vertical indica uma ordem. p. separadas por uma barra horizontal. 63-64. apenas as contas encostadas na barra horizontal entram na formação do número e cada conta acima dessa barra vale cinco unidades das contas abaixo dela. Este sistema possui procedimentos de computação. No exemplo. a partir da direita. Revista do Professor de Matemática. funciona de maneira similar ao chinês. da direita para a esquerda: 1. n.indd 336 5/13/15 3:58 PM . Objetivo geral ◆◆ Reconhecer e explorar os números naturais em diferentes contextos. mas só apresenta uma conta acima da barra horizontal em cada vareta. As computações no ábaco tinham já as vantagens das computações do sistema de numeração indo-arábico. Esse exemplo indica 27 483. Veja na figura seguinte a representação do número: Em cada sulco do ábaco romano apenas as bolinhas que ficam para cima (em dourado na figura) entram na formação do número. II. No ábaco chinês. porém. 1990. recursos e propostas do manual Compartilhe o planejamento da unidade com os alunos e distribua a eles a ficha de acompanhamento do desempenho. disponível para cópia na página 395 deste manual. a divisão. trabalha os conceitos de números consecutivos e de sucessor. você pode observar conteúdos atitudinais. A História também está presente no texto A li­ nha do tempo da tecnologia e no exercício que sugerimos no item V para desenvolver um trabalho com os alunos. Comente que são os números que eles usam para contar.gov. Matemática e tecnologia Após você abordar os temas sucessor e antecessor. Há propostas para discussão. Comentários A expressão números naturais pode ser nova para os alunos. revistas. No entanto. Articulando a unidade à concepção da obra Essa unidade possibilita trabalhar leitura e compreensão. acessíveis. Eles podem apresentar os números naturais. será interessante que os alunos tenham contato com o Objeto Educacional Digital disponível no seguinte endereço: http://objetoseducacionais2. habilidades importantes para a iniciação em Álgebra. registrando por escrito quais aplicações eles têm. Eles podem usar. discutindo a importância dos documentos pessoais (RG. Além de observar a correção das informações pesquisadas. Avaliação A atividade de elaboração de painéis pode ser usada para avaliar os alunos. Esse exercício pode servir para trabalhar a formação cidadã. pois os textos de teoria são simples. como explicado no texto didático. acompanhando a resolução desses exercícios e dando atenção especial à correção delas. A descoberta e a observação de padrões. incluindo o zero. ordenação. É preciso que o aluno entenda que para essa representação é preciso marcar o ponto correspondente ao zero. números consecutivos e colar imagens mostrando situações diversas envolvendo números naturais com diferentes funções.mec. sucessor. Sabemos da importância do trabalho com o tratamento da informação. temas. podem escrever com suas próprias palavras os conceitos de antecessor.br/ handle/mec/19621 Ele apresenta uma pilha de dados comuns de 6 faces. vale a pena checar esse conhecimento prévio. A partir da Unidade 2 introduzimos exercícios que envolvem a leitura de tabelas e de gráficos. Sugerimos deixar que os alunos criem uma forma de descobrir os números. Um alerta: o exercício 7 não deve ter abordagem algébrica. por exemplo. V. Em quadros. folhetos. cartões de visita etc. como no Interagindo da página 26. introduzindo o conceito de frequência e mostrando como construir corretamente esse tipo de gráfico. Como utilizar. da esquerda para a direita. IV. escrita e oralidade Sugerimos desenvolver a escrita por meio da elaboração de painéis pelos alunos. como contagem. nos mesmos moldes do que foi sugerido na Unidade 1. fazendo 324  2 5 162 e então somar 1 a esse número. Resolução de problemas Na questão 3 do Interagindo da página 26 há um problema com mais de uma ­possibilidade de resposta. estabelecer uma unidade para toda a reta e considerar o sentido crescente. A Unidade 7 tratará especificamente dos gráficos de barras. formulação de hipóteses e ligação entre a linguagem matemática e a língua materna. Título de Eleitor) e a utilidade de haver um número de identificação para cada cidadão. códigos de identificação etc. Uma parceria com Geografia ou História seria oportuna. Conceituamos antecessor e sucessor de um número natural e mostramos como representá­ ‑los como pontos de uma reta.indd 337 337 5/13/15 3:58 PM . as quais o aluno conseguirá ­trabalhar utilizando conhecimentos adquiridos na experiência cotidiana e nos anos escolares anteriores. nessa unidade.III. aparecem no Refletindo da página 28. Leitura. CPF. O material para compor os painéis pode ser obtido em jornais. São propostas simples. anúncios. manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. É interessante observar como os alunos procedem e se conseguem encontrar as três possibilidades. Os exercícios priorizam a aplicação dos números naturais em situações contextualizadas. documentos pessoais (como o RG). Julgamos esse tipo de questão importante para o desenvolvimento da capacidade de resolução de problemas. 1860 1876 Alexander Graham Bell inventa o telefone. micro-ondas.. e antes disso? O que de importante aconteceu. Exercício 9 Antes de os alunos iniciarem o exercício. Listamos a seguir importantes conquistas tecnológicas do século XX. Refletindo da página 28 Situações da vida cotidiana envolvem o cálculo de quantos números há entre outros dois números e quantos números há de um número até o outro. em Londres. Se julgar pertinente. papel quadriculado. A linha do tempo da tecnologia Vivemos em meio à tecnologia: televisão. assim como o exercício 12. Dividam-na em dez partes iguais usando régua. Peça aos alunos que tracem uma linha do tempo com 20 cm. 1870 1880 1896 Marconi inventa o telégrafo sem fio. revistas. esse tipo de gráfico será objeto de estudo ainda no volume do 6o ano. Exercício 23 Trabalha distâncias.indd 338 5/13/15 3:58 PM . 1830 1840 1850 1879 Thomas Edison testa a 1a lâmpada incandescente.. Complementação à formação do professor e do aluno Atividade complementar para os alunos O exercício sugerido a seguir pode ser ampliado se for possível acessar a internet. por exemplo. Pode-se dividir a turma em trios e pedir que cada grupo pesquise informações sobre um dos acontecimentos listados. Quando o homem pré-histórico construiu. em anos anteriores. no século XIX? Traçamos a seguir uma linha do tempo. Exercício 18 Traz dados representados em um gráfico de barras. Aproveite para comentar que os avanços tecnológicos acompanham e possibilitam o progresso da humanidade há muito tempo. pedindo a participação deles. mas os alunos provavelmente já tiveram contato com gráficos de barras em jornais. celular. em quilômetros.VI. com pedras afiadas e pedaços de pau. como fizemos acima. se possível. Mas. Como dissemos anteriormente. computador. televisão etc. Auxilie-os no traçado das retas numéricas usando. “mais afastada”. Essa atividade explora essa diferenciação. Relembre com os alunos que 1 km 5 1 000 m. O exercício explora também relações como “mais próxima”. na linha do tempo. Um grande salto no desenvolvimento tecnológico aconteceu no século XX e os avanços são ainda mais rápidos neste início do século XXI. entre cidades brasileiras por meio da leitura de uma tabela de dupla entrada que associa números naturais e medidas. utilizou tecnologia. Solicite que localizem. 1800 1810 1820 1820 Primeira iluminação urbana. 1890 1900 1910 1885 Gottlieb Daimler produz o primeiro carro movido a gasolina. 1859 Primeiro poço de petróleo é perfurado nos EUA. a descoberta de padrões em sequências é importante no preparo para o estudo de Álgebra. proponha novas sequências para que a turma descubra o padrão. O exercício é também interessante porque o aluno deve observar a altura das barras e relacioná-las com a quantidade de habitantes de cada capital. seu primeiro machado para caçar. VII. mostrando alguns avanços desse período: 1814 Stephenson inventa a locomotiva a vapor. o ponto correspondente a cada data e evento. 338 manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. faça exemplos na lousa. Comentários e sugestões sobre os exercícios propostos Exercício 5 Como já dissemos. verificar se as regras do sistema de numeração decimal foram bem compreendidas pelos alunos. 1913: Henry Ford desenvolve a linha de produção em suas fábricas. Unidades 3 e 4 – Adição. Desenvolver o cálculo mental. retomamos as ideias ligadas à adição e à subtração. 1957: União Soviética dá largada à corrida espacial lançando o Sputnik. Por exemplo. III. ◆◆ Relacionar adição/subtração e multiplicação/divisão como operações inversas. não percebem que o resultado não poderia ser aquele. do inglês personal computers). 1981: lançados os primeiros computadores pessoais (PCs. O trabalho com os algoritmos possibilita a você professor. no entanto.indd 339 339 5/13/15 3:58 PM . 1935: primeiras transmissões televisivas. ◆◆ Reconhecer e utilizar as propriedades das operações. Espera-se que o aluno seja capaz de prever a ordem de grandeza do resultado de uma manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. As propriedades comutativa. 1983: é criada a internet. Objetivo geral ◆◆ ◆◆ 13 1 9 1 7 5 9 1 13 1 7 5 9 1 20 comutativa associativa O Interagindo da página 40 apresenta questões que levarão a turma a observar alguns fatos da adição e da subtração. ◆◆ Estabelecer e registrar estratégias para resolver problemas por meio das operações com números naturais.●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● 1906: Santos Dumont voa com o 14-bis e Auguste Lumière inventa a fotografia colorida. diante de um problema. 1950: início da televisão brasileira. é comum haver alunos que. As estimativas por arredondamento são de grande valia para que erros como esse não ocorram. bem como os algoritmos dessas operações. Ainda pior. mas julgamos que termos como parcelas. 1927: Charles Lindbergh torna-se a primeira pessoa a cruzar o Oceano Atlântico em um avião. apontando onde uma propriedade foi aplicada. com palavras e números. na Alemanha e na França. subtração. 1969: o ser humano pisa na Lua. Solicite a eles que descrevam. o cálculo mental que fizeram. sabem que procedimentos e operações devem ser feitos para resolvê-lo e. Dê oportunidade para os alunos mostrarem técnicas que utilizam para fazer cálculos mentalmente. ◆◆ Utilizar arredondamentos e estimativas para prever resultados. e eles não se dão conta disso. associativa e elemento neutro da adição foram trabalhadas com base nas conclusões dos próprios alunos. seus significados e aplicações na resolução de problemas. Comentários Adição e subtração Tomando por base uma situação-problema. multiplicação e divisão de números naturais Retomar e ampliar os conhecimentos sobre as operações fundamentais com números naturais. 1972: lançada a primeira calculadora de bolso do mundo. bem como investigar a subtração entre números pares e ímpares. Objetivos específicos ◆◆ Efetuar adição. erram nos cálculos. subtração. 1943: o primeiro computador eletrônico – Mark I – é projetado e construído nos EUA. reconhecer os elementos desse conjunto e aplicar as ideias associadas a cada operação. A seção que explora o cálculo mental tornará possível associar as propriedades da adição às técnicas usadas nesse tipo de exercício. sem citar a nomenclatura. Exemplo: I. multiplicação e divisão que envolvam números naturais. Com relação às estimativas. II. 1992: os brasileiros passam a ter acesso à internet. soma ou total devam ser sempre utilizados. o resultado obtido é 10 ou 100 vezes maior do que o correto. Que número será es­ se?” – o que corresponde a equações do tipo 7 1 1 1 x 5 12. automobilismo etc. quando nenhum dos fatores é um número natural. bem como os termos fatores e produto. Consideramos importante convidar sem­ pre os alunos a fazer estimativas de produtos e de quocientes. O esporte. Julgamos importante reto­ mar esses significados. Muitas si­ tuações contextualizadas envolvem medidas de tempo. ou quando surgirem oportunidades no cotidiano da sala de aula. Ele deve. sem exageros. mentalmen­ te. por exemplo) será preciso 2 4 mostrar que. ampliando. dessa forma. é desejável que você traba­ lhe com frequência as habilidades de estimar e avaliar resultados. retome as ideias da divisão: repartir igualmente (distribuir. Espera-se que os alunos nessa faixa etá­ ria resolvam problemas que envolvem as qua­ tro operações utilizando Aritmética. No entanto. pergunte a eles: “O resultado deve ser próximo de que número?”. apontando vantagens e desvantagens. Medidas de tempo O item 6 da Unidade 4 retoma conceitos de medidas de tempo como dia. também associada a essa operação. atletismo. não há por que evitar o uso da nomenclatura correta nas quatro operações fundamentais. Julgamos improdutivo trabalhar expressões numéricas extensas. Ao longo do livro. Articulando a unidade à concepção da obra Os destaques dessa unidade são as ideias li­ gadas às quatro operações básicas. formar grupos de uma mesma quantidade) e medir. Nos exercícios trabalhamos informalmen­ te as propriedades comutativa e associativa da multiplicação e a ideia de linhas 3 colunas. exercícios começam a mostrar o poder de generaliza­ ção dessas operações. basquete. que podem ser exploradas: natação. Esse exer­ cício não é suficiente para que os alunos do­ minem o uso das teclas de memória. ao abordar a multiplicação de fração por 1 1 fração (como 3 . A substitui­ ção do sinal (3) por (  ) pode ser nova. Uma ideia é propor um trabalho conjunto com História. semana. respeitando a 340 capacidade cognitiva dos alunos. de modo velado. Multiplicação e divisão A ideia de multiplicação como adição de parcelas iguais foi retomada numa situação­ ‑problema.indd 340 5/13/15 5:33 PM . A tecnologia está contemplada na introdução das calculadoras. e até trabalhando. mas. IV. é uma fonte de situações-problema interessantes. Além disso. mês. A leitura da página 71 pode motivar uma pesquisa so­ bre a evolução dos instrumentos de medida de tempo ao longo da história. É sem­ pre oportuno mostrar a importância de saber usar as ferramentas tecnológicas. manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. Por exemplo. Aproveitando a mesma situação. ho­ ra.operação. No entanto. segundo e suas formas de registro. incluindo certa prepara­ ção para a álgebra. por exemplo. ainda no 6o ano. retome o uso de calculadoras. as estimati­ vas de resultado utilizando arredondamentos e o trabalho com resolução de problemas envol­ vendo essas operações. introduzimos exercícios que preparam para o pensamento al­ gébrico. como o 14 e o 15 da Unidade 3 e o 71 da Unidade 4. a compreensão dos significados des­ sa operação e de seus elementos. Ao efetuar a divisão. nos quadrados mágicos. o produto não é calculado pela adição de parcelas iguais. demos espaço para que os alu­ nos apresentem outra técnica ou forma de registro para efetuar a divisão que eventual­ mente utilizem. Na divisão. desenhos e diagramas. com frases do tipo “sete mais um mais outro número dá doze. Antes de efetuar cada operação. Dê oportunidade para eles avaliarem os processos da divisão. principalmente na resolução de pro­ blemas. trabalha-se. outro significado foi dado à multiplicação: con­ tar possibilidades. a ideia de incógnita. ser capaz de re­ presentar. O texto Calculadora: usando as teclas de memória possibilita descobrir alguns re­ cursos de uma calculadora simples. A linguagem algébrica formal vi­ rá nos anos seguintes. por meio de uma expressão numéri­ ca. Mais adiante. no sentido de “quantas vezes cabe”. isto sim. a resolução de alguns problemas. É preciso exercitar a reso­ lução de expressões para preparar o aluno ten­ do em vista o estudo de Álgebra. Por isso. adaptados (se necessário) e fazer parte de uma futura prova ou lista de exercícios.mais. Nessa atividade. É interessante intermediar todo o processo. em seguida. Destaque para as atividades de cálculo mental. animais na natureza.mat. O texto Calculadora – usando as teclas de memória da página 44 proporciona uma experiência com a leitura de um texto instrucional. http://mdmat. pode-se focar na importância do enunciado bem escrito. um problema com enunciado adequado. ausência de erros ortográficos e/ou gramaticais.htm Apresenta várias atividades e jogos envolvendo operações. Avaliação Seria interessante avaliar a atividade que envolve a elaboração e resolução de problemas. pesquisa de algum fato científico ou de um assunto importante para a comunidade. sistemas de numeração e técnicas de contagem ao longo do tempo.indd 341 341 5/13/15 3:58 PM . manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. por exemplo.ufrgs. como exemplo. Outro aluno pode apresentar a sequência de teclas a ser digitada para resolver a questão proposta. ◆◆ Criatividade na escolha do contexto do problema: uso de notícias ou de alguma situação presente no cotidiano. disponível para cópia na página 395 deste manual. escrita e oralidade Muitas situações do cotidiano. Como utilizar. Solicite que um aluno vá à frente da turma para explicar como utilizar as teclas M1 e M– usando o exemplo do texto. Matemática e tecnologia Sugira aos alunos que acessem o seguinte endereço. temas. Ele deve ser claro e objetivo. de assuntos que viabilizem trabalho integrado com outras disciplinas etc. da própria vivência dos alunos. incentivando as produções. por exemplo. entre outros. recursos e propostas do manual Compartilhe o planejamento da unidade com os alunos e distribua a eles a ficha de acompanhamento do desempenho.escolovar.br/anos_iniciais/ Acesse o repositório. ◆◆ Elaboração do enunciado (seria interessante ter a parceria do professor de Língua Portuguesa): clareza. que traz um vídeo sobre a história dos números.br/wiki/Estimativas Traz vários arquivos de áudio tratando de estimativas a partir de temas importantes. os grupos podem trocá-los entre si. Alguns dos problemas podem ser selecionados. de situações presentes na escola ou na comunidade. como lixo. a denominada Muros onde cada tijolo tem o número correspondente à soma ou ao produto dos dois tijolos sobre os quais está apoiado.V. www. www. Comente com os alunos que encontramos textos instrucionais em manuais. incluindo exercícios para os alunos. do trabalho e das áreas de ciências e de tecnologia envolvem operações fundamentais com números naturais. que deixe margem a dúvidas e.org/mat_operacao_todas.com/watch?v=ntylzQWvzCA O próprio vídeo sugere momentos de pausa e reflexão. anúncios. A atividade é interativa. esclarecendo dúvidas e observando o trabalho dos alunos. Cada grupo redige o enunciado e resolve seu problema. nessa unidade. Com o auxílio do professor de Língua Portuguesa. Peça que descubram os defeitos do enunciado do 1o problema e as características que tornam o 2o enunciado correto. Você pode mostrar. mostrando como é importante apresentar um enunciado claro e coerente. Leitura. um problema que tenha um enunciado mal elaborado. Sugerimos que proponha a eles a leitura silenciosa do texto e que tenham ao lado a calculadora para manuseio. resolvendo-os em seguida. uso de outros conhecimentos matemáticos além das quatro operações etc.mat. Uma ideia interessante é que os alunos trabalhem em duplas ou trios com o objetivo de criar e resolver problemas. muito proveitosa para trabalhar as quatro operações. Quando os problemas estiverem prontos. Resolução de problemas A primeira proposta da seção Leitura. ◆◆ Resolução: se está correta e organizada. oriente a escrita dos problemas. www.youtube. onde há várias atividades e jogos interessantes. como. es­ crita e oralidade já contempla a resolução de problemas. Essa avaliação pode abranger os aspectos a seguir. As ideias ou temas podem vir de notícias. apresentando as informações necessárias para a resolução. Exercício 8 Deixe que os alunos percebam o que ocorre nas multiplicações por 10. Exercício 14 Merece atenção especial. de compreensão e organização das informações. Interagindo da página 60 É importante que os alunos compreendam a propriedade que será observada no exercício 1. Exercícios 24 a 28 Os alunos devem criar o hábito de usar o arredondamento para estimar resultados de operações. trabalhe mais situações desse tipo. pois ela será aplicada mais à frente. Exercício 7 Exercício de cunho lúdico. os alunos podem resolvê-la individualmente e discutir entre si as soluções encontradas. para a aprendizagem de Álgebra. e no gráfico de barras do exercício 12). Deixe que a investiguem e proponha mais exemplos. Sugerimos que os alunos resolvam sozinhos as questões 12 e 13. nas divisões que envolvem números decimais. Já na segunda atividade apresentamos o uso da multiplicação para calcular número de possibilidades. para que troquem informações. Exercícios 16 a 23 Propõem o trabalho com o cálculo mental na adição e na subtração. como os apresentados nos exercícios 19. É uma atividade rica. 22 e 23. se necessário. presente no exercício 78. Exercícios 65 a 78 São problemas que envolvem as quatro operações. em várias unidades. no exercício 13. para que seja possível identificar dificuldades na leitura dos dados apresentados (em tabela de dupla entrada. Você pode propor mais cálculos desse tipo na lousa. sem ajudá-los a encontrar a solução. Aproveite a situação de integração com arte. que explora a observação de padrões numéricos em multiplicações. evitando assim erros e percebendo que o arredondamento é útil nas situações cotidianas. É importante dar tempo para que os alunos pensem sobre ele. tabelas e gráficos aparecem ao longo deste volume. retomando o conceito de dúzia. Exercícios 13 e 14 Úteis para trabalhar a distribuição retangular da multiplicação (o exercício 31 também) e os conceitos intuitivos de área e de volume. de forma velada. 1000 etc. Comentários e sugestões sobre os exercícios propostos Unidade 3: Adição e subtração de números naturais Exercícios 12 e 13 Como dissemos. aplicando-o na resolução de problemas do dia a dia.indd 342 5/13/15 3:58 PM . por isso será utilizado em todos os volumes da coleção. Aproveite para comentar que. Se for possível. Exercícios 63 e 64 Por meio de um exemplo mostram a propriedade distributiva como facilitadora do cálculo mental de produtos. Peça a quem descobrir o resultado que não conte aos colegas. 100. compartilhem e confiram estratégias. O exercício 10 alia a multiplicação por 10 à multiplicação com adição de parcelas iguais. Exercício 22 O enunciado requer habilidade de leitura.VI. assim mais alunos poderão obter a resposta. preparando os alunos. Unidade 4: Multiplicação e divisão de números naturais Atividades Refletindo da página 50 Na primeira das atividades praticamos o cálculo mental usando multiplicações e adição. Deixe para corrigir o exercício na aula seguinte. Exercício 15 Aparece pela primeira vez na coleção um exercício que envolve quadrados mágicos. Os alunos apreciam esse tipo de exercício. Peça aos alunos que expliquem oralmente como calcularam o 342 resultado. Propusemos aos alunos que os resolvam em duplas. em Matemática. Chame um aluno ao quadro para encontrar diretamente mais produtos como esses. Nos quadrados mágicos trabalham-se mentalmente equações do tipo 4 1 8 1 x 5 15. esse recurso é muito utilizado. Esses exercícios se dedicam ao desenvolvimento dessas habilidades. mostrando fotos ou sites com as manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. Exercício 52 Aparecem letras no lugar de números desconhecidos na tabela. no cotidiano de pessoas comuns. agora somo os 2 anos que tirei no início e chego ao ano do nascimento de meu avô: 1872. eu voltaria 40 anos ao ano de 1900. quando estamos no meio de uma conversa e não dispomos de lápis e papel. esta- mos transladando os dois números para a esquerda de 4 unidades) ou. Podíamos também ter transladado para frente. por exemplo. ele nasceu em 1872. do qual volto mais 30 e chego a 1870. Já vai longe o tempo em que se discutia se os alunos podem ou não usá-la. logo. basta subtrair 80 de 1992. assim (mas tudo de cabeça): (1965 1 8) 2 (1872 1 8) 5 1973 2 1880 5 20 1 73 5 93 Outro modo: de 1872 a 1962 são 90 anos (pois só faltam mais 10 para chegar a 100 anos em 1972). ou seja. quando Copérnico completaria 100 anos. incentivando a troca de estratégias e de ideias entre os alunos. na prática. hoje em dia. subtrair 34 de 61 é o mesmo que subtrair 30 de 57 (veja. Aqui é fácil ver que faltam 30 anos para se chegar a 1573.. Lembre-os de mostrar por que dá certo. O resultado é 1912. Então ele viveu 100 2 7 5 93 anos. O professor de Arte pode conversar sobre esses artistas brasileiros com a turma. o caso de Nicolau Copérnico. Eu lhe perguntei a idade e ele me disse: estou com 83 anos. 100 2 30. um instrumento de fácil acesso a qualquer pessoa. logo. no final do texto. que eles ensinem outras pessoas a usar a técnica. pois mostra como a Matemática se desenvolve. Problema 1: Meu avô nasceu em 1872 e faleceu em 1965. Complementação à formação do professor e do aluno Para o professor Texto 1 Fazendo contas sem calculadora Introdução A calculadora de bolso é. Outro modo: se o ano fosse 1940. Deixe que leiam o texto e tentem compreender como funciona. de 1870 a 1900 são 30 anos. 100 anos antes. o que é fácil fazer de cabeça. pois eles a têm em mãos com a maior facilidade. Exercícios 86 a 93 Apresentam problemas contextualizados que envolvem medidas de tempo. ou seja. ano do nascimento desse amigo do meu pai. Em que ano ele nasceu? Vejamos: tenho de subtrair 83 de 1995*. Meu avô viveu 93 anos. Posso também raciocinar assim: 1965 2 1872 5 165 2 72 5 163 2 70 5 63 1 30 5 93. É o que se costuma chamar fazer as contas “de cabeça”. Ora.obras de Pedro Américo e Candido Portinari. Problema 2: Em 1942 meu avô completou 70 anos. Problema 3: Outro dia encontrei-me com um senhor que foi muito amigo do meu pai. Sugerimos. Pode-se propor a resolução dessa lista de exercícios em duplas. obtendo os 93 anos. O importante é saber quando seu uso é recomendado porque ajuda. é fácil ver que a diferença é 27. Alguns desses problemas de calcular a idade de uma pessoa são muito fáceis de resolver quando os anos de nascimento e morte têm formas bem particulares. manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. a estes somo os 63 que vão de 1900 a 1963. muito menos de calculadora. Exercício 83 Propomos que o resolvam em duplas ou trios para compartilharem ideias e depois comentarem as resoluções. VII. Veja. assim: a diferença entre 1965 e 1872 é a mesma que entre 1963 e 1870. ele viveu 70 anos.] Vamos fazer contas “de cabeça” Isso mesmo. e quando a calculadora em nada contribui e deve ser evitada. Em que ano ele nasceu? Somo 30 a 1942 e obtenho 1972. ainda.. Em ambos os casos. Vamos começar com contas de subtrair. aos 90 acrescento 3 para chegar a 1965. usando a técnica da “translação”. Pela técnica de translação. vamos começar com problemas que podemos resolver “na hora”. [. Seção livre da página 74 A técnica russa de multiplicação costuma interessar aos alunos. Quantos anos viveu? Por que pegar lápis e papel para fazer a conta? Use a técnica da translação.indd 343 343 5/13/15 3:58 PM . quando meu avô completaria 100 anos. Por exemplo. Outro modo: de 1965 a 1972 (quando meu avô completaria 100 anos de idade) são 7 anos. o mesmo que subtrair 40 de 67 (agora somamos 6 unidades a ambos os números). que nasceu em 1473 e faleceu em 1543. o aluno vai por si mesmo. (5. 9). 7). Conferindo com a calculadora.. 5). manualmente. o aluno de hoje deve estar preparado para saber. (9. embora não tenha de fazer contas como essas. introduzindo questões como estas: Vai ver que. 7). 7).(7. e só um. Fazendo contas sem calculadora. ou seja. portanto. volto 100 anos a 1912. mais 10 e chego a 2012. 5).98. isso fica para ser resolvido durante a aula. ((9. ((9.4. inventando maneiras próprias de fazer as contas. n. vemos que a primeira dá 30. Chamaremos de operação em A toda função de A 3 A em A. 5). temos de aumentar ou diminuir os dois números. p. 29.indd 344 5/13/15 3:58 PM . como era exigido de mim no 4 ano primário*. y) tais que x  A e y  B. resultando em 86. 40 1 337. que é o mesmo que. (9. São Paulo: SBM. em 1910 ela estava com 3 anos. num clima agradável e de brincadeira com as crianças. 9). enquanto a segunda se aproxima de 2. resulta em aproximadamente 3  10 5 30.411505. neste último ano ela estava com 88 anos de idade. 7). ao Ensino Fundamental e ao Ensino Médio. 1. chamamos produto cartesiano de A por B (ou simplesmente A cartesiano B) o conjunto de pares ordenados (x. que é quando ele nasceu. A relação R do exemplo é uma operação em A. A e B. embora Luciana seja mais velha que o Francisco. 7). pela relação R. quando ele terá 90 anos. Problema 4: Lúcia tinha 10 anos em 1917 e ainda está viva. Por exemplo. [. pois a todo manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. Vai ver que o Gabriel nem sabe a idade da avó ou do pai dele! Então terá mais um dever de casa: trazer. 9). Se A 5 B temos uma relação em A. respectivamente. (7. as idades de seu pai e sua avó. 7).. Dados dois conjuntos não vazios. 9). da mesma quantidade.] Cálculos aproximados Operações e propriedades O que é uma operação? Sempre é bom retomar. (9. amanhã. ((5. 3. 9)} Escreveremos a seguir os pares ordenados da relação R de A 3 A em A. e só um. 5). ((5. é claro que não faz mais sentido. 7).. todo elemento de A 3 A tem um. 9). R 5 {((5. simultaneamente. que é 78. Somar 143 com 234 é o mesmo que somar 140 com 237. Tomemos um conjunto A 5 {5. 7. Revista do Professor de Matemática. que a primeira dessas contas o 344 ÁVILA.193938 e a segunda. y) | x  A e y  B} Os subconjuntos de A 3 B são relações de A em B. Geraldo. Uma relação R de A em B é chamada de função de A em B se verificada a condição abaixo: ●● A todo elemento de A corresponde um. por um rápido exame.21897  9. Outro modo de resolver o problema: se em 1917 Lúcia tinha 10 anos. 1995.8  2 5 1. ((7. 9). resulta que sua idade hoje é 88. ((7.38  ou  2. quando ele terá 100 anos. (5. O 4o ano primário corresponde hoje ao 5o ano. No caso da soma aumentamos um e diminuímos o outro da mesma quantidade. Simbolicamente: A 3 B 5 {(x. De 1910 a 1995 são mais 85 anos. *Nota do editor: Todos os exemplos têm como base o ano de 1995. (7.801799  1. A resolução mental desses probleminhas é um bom exercício para desenvolver bem a compreensão das operações de soma e subtração. data de publicação do artigo. ((9. 1-5.. 5). hoje em dia. Qual a sua idade hoje? 1995 2 1917 é o mesmo que 1998 2 1920. somados aos 10 anos que Lúcia tinha. Temos que A 3 A 5 {(5. 5). ((7. mas tudo isso de cabeça. Texto 2 Contas de somar Quando usamos a técnica da translação nas contas de subtrair. 5). E é coisa que pode ser exercitada durante a aula. elemento de B. 5). R é uma função de A 3 A em A. 7). somar 47 com 39 é o mesmo que somar 46 com 40. 9)} Voltando a falar de cálculos. correspondente em A. 5). o avô deste pode ter nascido antes do que o avô da Luciana. a multiplicação e a potenciação (de expoente natural) são operações em IN. Mas. cálculos como: Observe que. o 1o e 2o graus. que é 377.Outro modo: somo 7 a 1995 e vou para 2002. 9}. nada de lápis e papel. insistir com os alunos para que aprendam a fazer. Mas não vá lhes perguntar em que ano nasceram. De tanto resolver problemas como esses. ou 50 com 36. 9). A adição. Essa questão do cálculo aproximado é muito importante e deveria merecer a devida atenção nos programas do 1o e 2o graus*. 7). que satisfazem à condição: a todo elemento de A 3 A corresponde em A o número que é o segundo elemento do par. y) formado por elementos x e y pertencentes a A. y) formado por elementos x e y pertencentes a A. A adição e a multiplicação têm as propriedades comutativa e associativa em IN. um único elemento z de A. mostrando sempre aos alunos que subtrações. podemos pensar assim: m  (a ± b) significa efetuar m vezes (a  b). Pela multiplicação: 8 3 10 5 80 e 80  IN O mesmo acontece com a divisão e a radiciação. Há pares ordenados de IN 3 IN que não têm correspondente em IN pela relação chamada subtração. Ela pode auxiliar no cálculo mental. pois. que chamaremos de #. as noções prelimi­ nares de produto cartesiano de dois conjuntos. Texto 3 Um artigo que aborda a construção de qua­ dra­dos mágicos. A potenciação não tem a propriedade associativa. Pela adição: 13 1 4 5 17 e 17  IN (8. um elemen­ to do próprio conjunto. e o da multiplicação. Pela potenciação: 23 5 8 e 8  IN A subtração não é uma operação em IN. c em A. que associa todo (x. temos: a * (b # c) 5 (a * b) # (a * c) e (b # c) * a 5 (b * a) # (c * a). para a definição de operação em um conjunto. tem elemento neutro e se x * e 5 e * x 5 x. conforme mostra os exemplos: ●● 12  103 pode ser pensado como: 12  (100 1 3) 5 12  100 1 12  3 5 1 200 1 36 5 1 236 ●● 98  15 5 (100 2 2)  15 5 100  15 2 2  15 5 5 1 500 2 30 5 1 470 Julgamos importante mostrar isso aos alunos. y) de P. a x 2 y em IN.indd 345 345 5/13/15 5:53 PM . de relações nesse produto. devemos definir um conjunto P 5 {(x. b. a operação * tem a propriedade distributiva em relação à operação # se. Exemplos: ●● ●● ●● (13. Propriedades das operações A operacão * associa a todo par (x. y  IN. manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. como os de Jacobson e Jacy Monteiro. A operação *: ●● ●● A multiplicação goza da propriedade distributiva em relação à adição e à subtração em IN. O elemento neutro da adição é o zero. e só um.      m vezes     m  (a  b) Usando um exemplo numérico 3  (5 1 2): (5 1 2) (5 1 2) (5 1 2) 35132 A propriedade distributiva tem aplicações importantes em Álgebra. por razões óbvias. divisões e radiciações nem sempre terão resultado em IN. pela multiplicação e pela potenciação. dados a. A operação * associa todo (x. Para que tenhamos a subtração como uma operação. 4)  IN 3 IN. a * b * c 5 (a * b) * c 5 a * (b * c). (a  b) (2. a divisão e a radiciação como operações em IN. de autoria do professor Lenimar Nunes de Andrade. Ambos estão transcritos a seguir. Para facilitar a compreensão dos alunos. de funções e final­ mente de operações. re­ cebeu a complementação de um leitor e cola­ borador da revista no exemplar de número 48. c em A. dados a. que definem uma operação binária em um con­ junto como uma correspondência que associa a um par de elementos do conjunto. 10)  IN 3 IN. além de interessante. não há perda de informa­ ção em seguir a definição de livros clássicos de álgebra. tem a propriedade comutativa se x * y 5 y * x 5 z. apresenta a propriedade associativa se. y)  IN 3 IN | x > y} e tomar a função de P em IN. dados x. x 2 y só pertence a IN se x > y.. elemento de IN pela adição. um único elemento z de A. No entanto. 3)  IN 3 IN. Nota dos autores: Apesar da abordagem da matemática moderna exigir. nos livros didáticos destinados ao Ensino Fundamental consideramos a subtração.par ordenado de IN 3 IN corresponde um.. ou seja. (a  b) (a  b) (a  b) . ●● b. Definindo outra operação em A. 1. 7). obtemos 2 Vamos descobrir a forma geral de um quadrado mágico de ordem 3: a b c d e f g h i Neste caso. 12. bastando para isso atribuirmos valores inteiros às variáveis a e b. n2}. N. 2. 1 1  M 5 nM.. 41. Para isso. (8. 9). 9). . igual a 2 Resolvendo o sistema linear formado pelas igualdades das somas de linhas. 4 3 8 9 5 1 2 7 6 8 3 4 1 5 9 6 7 2 ... b) pode assumir apenas os valores (2. de Campina Grande. Quadrados mágicos. nais e escolhendo a e b como variáveis livres. ANDRADE. Portanto. 3). a constante “mágica” M deve ser 32(32 1 1) 5 15. n. PB.. (6. M 5  2 n2(n2 1 1) . Nele... são dois a dois distintos e a soma dos números de qualquer linha. Por isso. 1) ou (8. nM 5 n(n2 1 1) . (a. Cada um desses oito quadrados pode ser obtido a partir de qualquer um dos outros através de operações de troca de linhas. . 7). (4. No referido artigo. Por outro lado. chegamos à conclusão de que um quadrado mágico de ordem 3 tem o aspecto a seguir: a b 15 2 a 2 b 20 2 b 2 2a 5 b 2 10 2 2a 25 1 a 1 b 10 2 b 10 2 a DAE Trata-se de um quadrado mágico de ordem 3 que data de 2850 a. a respeito do artigo. 3).. Mas isso deve ser feito levando em conta que os valores obtidos devem ser inteiros não repetidos no intervalo [1. (4. os números ímpares são representados por bolinhas brancas e os pares por bolinhas pretas. fornecendo os quadrados: 2 7 6 9 5 1 4 3 8 . troca de colunas ou transposição de matrizes. L. logo. (6. o autor afirma que MANUAL DO PROFESSOR prm6_mp_332_389_especifica.. colunas e diago- 346 À primeira vista pode parecer que há uma infinidade de quadrados mágicos de ordem 3. 2 9 4 7 5 3 6 1 8 4 9 2 3 5 7 8 1 6 . essa soma é igual a 1 1 2 1 3 1 . cientistas e curiosos por séculos. Nesse caso.indd 346 5/13/15 3:58 PM . dizemos que os quadrados são idênticos e que existe um único quadrado mágico de ordem 3.Quadrados mágicos Introdução Quadrados mágicos têm intrigado matemáticos. basta observar que a soma das n linhas da matriz é igual M 1 M 1 . n2].. A constante M pode ser facilmente calculada em função de n. O exemplo conhecido mais antigo é o Loh-Shu encontrado na China. 1). Revista do Professor de Matemática. São Paulo: SBM. 1 n2 5 n2 (n2 1 1).. p. 12-16). de Lenimar Nunes de Andrade sobre quadrados mágicos (RPM 41.C. 1999. (2. Uma abordagem algébrica Um quadrado mágico de ordem n pode ser definido como sendo uma matriz (aij)n 3 n onde os elementos aij pertencem ao subconjunto de IN {1. Outros quadrados mágicos Escreve-nos mais uma vez nosso leitor e colaborador Sebastião Vieira do Nascimento. qualquer coluna e de qualquer uma das duas diagonais é igual a uma constante M. p. Para os alunos Atividade complementar 1 No trabalho com operações inversas. enquanto tentam obter números de 1 a 10. Cartas do leitor. que explora as expressões numéricas. Caso os alunos tenham dificuldade para entender a proposta. apresente-lhes um exemplo: 4  4 1 4  4 5 2    ou   44  4 2 4 5 7 Dê um tempo para que os alunos construam as expressões e. o qual. observe as duplas: Compreenderam a tarefa? Houve interesse em desenvolvê-la? Utilizam apenas os quatro “quatros”? Utilizam os sinais adequadamente? Resolvem as expressões corretamente? Nesse momento. RPM: Com efeito. k < a 1 b < 3k e 2k < 2a 1 b < 4k. p. se a e b são os dois primeiros elementos da 1a linha e se k é um número natural tal que 0 ≤ ab < 2k. 48. Cada expressão descoberta deve ser anotada para posterior discussão. E para qualquer desses quadrados continuam válidas as propriedades encontradas pelo colega Sebastião. Que número devemos subtrair de a) 123 para obter 48? b) 204 para obter 23? Atividade complementar 2 Sugerimos a seguir um exercício para ser rea­li­za­do em duplas. Revista do Professor de Matemática. inclusive. o colega apresenta outros quadrados mágicos de ordem 3: 10 3 8 7 0 5 16 2 12 5 7 9 2 4 6 6 10 14 6 11 4 3 8 1 8 18 4 Constante mágica 21 Constante mágica 12 Constante mágica 30 Ele mostra ainda que para qualquer quadrado de ordem 3 tem-se que a constante mágica é o triplo do número central (o que ocupa a 2a coluna na 2a linha) e que a soma dos quadrados dos elementos da 1a linha é a mesma que a soma dos quadrados dos elementos da 3a linha. obtenha os números de 1 a 10. pedindo aos alunos que conversem entre si sobre eventuais dificuldades. 46. sugerimos verificar se os alunos resolvem situações como: 38  5 29 mostrando que 29 1 . tão importante para a resolução de problemas. de Malba Tahan (Editora Record). n. Consideramos que este problema é um recurso bastante motivador para levar os alunos a refletir sobre a resolução de expressões numéricas. Seria interessante explorar exercícios como estes. Estimule-os a anotar cada expressão experimentada. eles conseguirão outros resultados. São Paulo: SBM.indd 347 347 5/13/15 3:58 PM . Sem essa condição. Proponha às duplas a seguinte Exercício: ●● Utilizando quatro algarismos 4 e os sinais aritméticos 1. Outros quadrados mágicos. você pode também manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. você e os alunos podem ler. 38  29 5 65  5 13 mostrando que 13 · 65  13 5 5 38 e 5 65 e . você deve auxiliar apenas as duplas que não compreenderam a tarefa. Os quatro “quatros” Este é um problema clássico no ensino da Matemática. Para motivá-los. Lembre-os de que os parênteses são uma indicação de quais operações devem ser feitas em primeiro lugar para obter o resultado desejado. É possível verificar esse resultado de forma análoga à feita na RPM 41.essencialmente existe um só quadrado mágico de ordem 3. 2002. Provavelmente. enquanto isso. Fato análogo acontece com a 1a e 3a colunas.  . procure discutir as dúvidas com toda a turma. Determine o valor do 130 2 5 98  84  : 5 4  288  5 16 2. podendo preencher os espaços com números naturais quaisquer. . e 5. Mesmo assim. O colega Sebastião lembra que isso acontece porque o autor utiliza somente os números de 1 a 9. então é possível construir o quadrado mágico de constante 3k que começa com a e b. Segue uma pequena amostra: 1. que muitos professores conhecem por ter sido proposto no livro O homem que calculava. 3. (  ). o que determina que a constante mágica do quadrado de ordem 3 seja 15. mas de maneira sutil.indd 348 5/13/15 3:58 PM . pois o resultado não se altera: 4  4 3 4  4 5 1 e (4  4) 3 (4  4) 5 1 há casos nos quais a presença de parênteses altera totalmente o resultado: (4 1 4)  4 1 4 5 6 e 4 1 4  4 1 4 5 9 pode haver mais de uma forma de obter um mesmo número. Por ser um assunto novo. ◆◆ Ler e calcular potências. notações e nomenclaturas particulares. na lousa: Estimule os alunos a anotar as observações e conclusões feitas durante a discussão do exercício. Procure estimular a turma a analisar cada expressão. resolvam o problema: Também consideramos importante mostrar que 92  29. pedindo que uma dupla por vez anote na lousa seus resultados. Objetivos gerais 348 II. quais operações priorizar na resolução etc. a casos especiais. verificando que: ●● ●● ●● há casos em que colocar parênteses é irrelevante. Erros do tipo 92 5 18 são comuns. sempre que necessário. em duplas. a unidade apresenta a potenciação. visando à preparação para o estudo da radiciação nos anos seguintes. As potências de expoente 2 e 3 são associadas aos nomes quadrado e cubo. compare e discuta as expressões obtidas. Objetivos específicos ◆◆ Identificar o significado e a vantagem da representação de produtos com dois ou mais fatores iguais na forma de potência. no 8o ano. A raiz quadrada em N é apresentada. 92 5 9  9 5 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 5 81 Portanto. pois nesse início de contato com as potências os alunos podem achar que é permitido trocar base com expoente.transformar o exercício numa espécie de competição.  e/ou (#) para obter os resultados indicados: 9 9 9 9 5 7 9 9 9 9 5 9 9 9 9 9 5 10 9 9 9 9 5 80 Sugestões para resposta: 9  (9 1 9)  9 5 7 (9  9)  9 1 9 5 9 (9 1 9  9)  9 5 10 9  9 2 9  9 5 80 Unidade 5 – Potenciação e raiz quadrada de números naturais I. Procure aproveitar esse momento para esclarecer dúvidas sobre a resolução de expressões. ●● Coloque sinais aritméticos 1. por exemplo. ◆◆ Resolver expressões numéricas simples que envolvem a potenciação e a raiz quadrada em N. 92  9  2. A título de curiosidade. Mostre. de modo lógico. III. Optamos por tratar essas propriedades no 8o ano para que fiquem próximas do cálculo algébrico em que terão mais aplicações. ◆◆ Relacionar a raiz quadrada com as potências de expoente 2. IV. mostrando a vantagem dessa notação. Articulando a unidade à concepção da obra Com base no eixo de números e operações. pode-se comentar que 24 5 42 é o único caso em que a igualdade é verdadeira. proponha que. Após certo tempo. a partir da observação de padrões em sequências de figuras. dando instrumentos importantes para o cálculo e o registro dessa manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. 4 1 4 1 4  4 5 8 ou (4 1 4)  4 3 4 5 8 ou 4344458 ◆◆ Escrever produtos de fatores iguais na forma de potência. Comentários Introduzimos a potenciação como forma de registro da multiplicação de fatores iguais. na qual vence a dupla que conseguir o maior número de expressões corretas. As potências de expoente nulo são abordadas considerando a manutenção das propriedades. ◆◆ Introduzir o cálculo de raízes quadradas em N. sendo a base e o expoente números naturais. que serão estendidas para obter as potências de expoente negativo. . 9  2 5 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 5 18 Em outro momento. ◆◆ Estender essa representação. identificando base e expoente. . trabalhamos com foco no conceito da operação e no uso correto da nomenclatura. organizei as fichas. Resolução de problemas O Refletindo e o Interagindo da página 81 proporcionam ao aluno enfrentar problemas que envolvem regularidades e generalizações. divisão. Utilizando caixas de sapatos. por exemplo. Na segunda rodada são chamados mais dois alunos. Dobre os papeizinhos e coloque-os numa caixa ou envelope. O do grupo A sorteia um papel. A e B. você pode pedir aos alunos que resolvam as potências e as raízes que apareceram no jogo e entreguem a resolução por escrito. o jogo prossegue até acabarem os sorteios. Os alunos gostam de jogos e esse é fácil de ser realizado em sala de aula. 72. que oportuniza o trabalho com a leitura e compreensão de um texto instrucional e pode ser desenvolvido de maneira semelhante ao sugerido na Unidade 3. Após o trabalho com esses exercícios. optei por um recurso didático diferente: construí um Bingo das seis operações. Apresentamos também como sugestão um bingo com operações. se acertar. construí variadas cartelas. que também abordam padrões. parece ser unânime a opinião dos professores em relação às dificuldades existentes para conquistar o interesse dos alunos nos exercícios propostos em sala de aula. Eles podem utilizar a calculadora para conferir os resultados das operações. conforme exemplos a seguir. Avaliação Sugerimos uma atividade lúdica para verificar a compreensão das operações vistas. 150. o grupo B ganha 1 ponto. argumentando. qualquer aluno do grupo A pode se candidatar a resolver o problema e receber o ponto. que apresentem oralmente suas respostas.operação e da operação de radiciação. Como utilizar. pois para que o jogo não fosse considerado difícil pelos alunos. Se acertar. 5 8 1 25 100 1 000 9 81 6 4 0 16 36 10 7 64 27 13 Usando quadrados também construídos a partir das caixas de sapato. Professora de uma turma de quinta série. particularmente para raízes quadradas. A questão 2 do Interagindo. Traga uma ficha com os números dos alunos e aproveite para avaliá-los antes de iniciar a brincadeira fazendo um tipo de aquecimento com questões como: Que número devemos marcar na cartela se sortearmos 36 ? Os alunos levantarão a mão e você anotará o nome dos que acertaram.indd 349 349 5/13/15 3:58 PM . 100 etc. Na aula seguinte. além das operações mencionadas. potenciação e radiciação. Vão à frente da sala de aula um aluno do grupo A e um do grupo B. escrita e oralidade A Seção livre da página 88 traz o texto Expressões numéricas – resoluções com uso da calculadora. recursos e propostas do manual Leitura. conforme as ilustrações a seguir: 23 10 1 3 33 97 58 15  4 36 100 103 77 manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. a serem sorteadas. acrescentei. nessa unidade. que revesti com fita adesiva larga para que não fossem riscadas e pudessem ser utilizadas várias vezes. Escolha um representante de cada grupo para anotar os pontos na lousa. 25 . Incentive a troca de ideias e proponha. Divida a turma em dois grupos. com operações cujos resultados são os números necessários para completar as cartelas. V. ­sugira os exercícios 13. explora a argumentação oral. O uso da calculadora é valorizado. 14 e 16 da página 83. percebendo as dificuldades que eles pos­ suíam em relação às operações de multiplicação. O do grupo B deve ler em voz alta a potência ou a raiz escrita e resolvê-la na lousa. Se errar. Bingo Em meio às maiores preocupações que permeiam a prática didática. para sua avaliação. temas. Corte pedaços de papel e escreva em cada um deles uma potência ou uma raiz quadrada exata em N: 25. só que agora B sorteia e A responde. nessa mesma página. Assim. a adição e a subtração. cujos alunos eram bastante resistentes a atividades. inclusive com perguntas do tipo: “Qual é o número cujo cubo é igual a 8?”. pela primeira vez. em 1525. tem 4 na ordem das unidades. Exercício 12 Verifica a relação entre a língua materna e a linguagem matemática. A mudança na atitude dos estudantes diante do jogo foi notória. o jogador fica com a marca na casa. O jogo colaborou para transformar o ambiente da sala de aula. no livro de Álgebra Die Coss. quando multiplicado por ele mesmo. trigonométricas etc. Matemática e tecnologia www. VI. Leia cada item aos alunos e esteja atento se eles compreendem bem os novos termos. Exercício 24 Vale a pena observar como os alunos resolvem essa questão. n. Acertando. ampliando a participação dos estudantes. São Paulo: SBM. Esse exercício possibilita verificar se os alunos compreendem a diferença entre essas operações.html Apresenta um “jogo da velha” onde cada casa tem uma operação para ser calculada. 2 e 3 A notação de potência é uma novidade e são comuns confusões e erros como 32 5 6. NR. Marcia Bárbara (professora de escola pública – SC). da autoria de Christoff Rudolff. Os expoentes 0 e 1 serão abordados a partir da página 82. VII. assim como o resultado das operações que seria marcado caso estivesse na tabela. BINI. 350 Exercício 7 e Refletindo da página 82 Apresentam oportunidades de trabalho com a calculadora. Se necessário. Exercício 28 Quadrados mágicos são sempre uma boa estratégia para exercitar operações fugindo um pouco dos comandos “resolva” ou “calcule”. os alunos marcam 1 000 na cartela. Exercício 4 Trabalha o resultado da potenciação quan­ do a base é zero e quando a base é 1. Os quadrados e cubos aparecem ao clicar em “Squares” e “Cubes” respectivamente. Lembre-se de aproveitar essas oportunidades para ampliar o uso de recursos dessa tecnologia. Comentários e sugestões sobre os exercícios propostos Exercícios 1. 67.funbrain. ele porém usou outros símbolos.1-2. Um jogo de bingo similar pode ser utilizado em classes do ensino médio. esperando que alguns percebam que somente 18. foi estabelecido como regra que os alunos deveriam anotar em seu caderno cada uma das expressões sorteadas. Complementação à formação do professor e do aluno Texto para o professor O símbolo da raiz O símbolo apareceu impresso.Por exemplo. Esta atividade também pode ser parte do processo de avaliação. se a ficha “cantada” é 36 .: Cabe a cada professor. tas eram indicadas respectivamente por: Quando Michael Stifel editou o Die Coss em 1553. proponha mais itens no quadro. Use esses exercícios para incorporar a notação e as terminologias base e expoente. Os alunos conhecerão um pouco da vida e obra de Piet Mondrian colorindo a reprodução de um de seus quadros a partir da resolução correta de expressões numéricas envolvendo as operações com números naturais. é comum neste início de contato com a potenciação. Exercício 15 Confundir quadrado e cubo de um número com seu dobro e triplo. considerando o número de alunos na classe.indd 350 5/13/15 3:58 PM .com/tictactoe/index. porém sem índices que pode indicassem a natureza da raiz. decidir quantas fichas elaborar e como distribuir os resultados nas cartelas. Comente como seria trabalhoso calcular com lápis e papel as potências apresentadas. O símbolo ter sido usado por se parecer com a forma manuscrita do r minúsculo (r de radix) ou pode ter sido uma invenção arbitrária. 2008. p. Bingo. utilizando operações logarítmicas. Para incentivar a participação efetiva. respectivamente. os alunos devem marcar o número 6 na cartela. manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. e assim por diante. esclarecendo-os sempre que necessário. As raízes cúbicas e quar e . No item VII sugerimos uma atividade complementar que integra Matemática e Arte. se 103 é “cantada”. Revista do Professor de Matemática. 5 cm. Para os alunos Atividade complementar 1 Piet Mondrian foi um importante pintor que nasceu na Holanda em março de 1872. Seria desejável que o professor de Arte abordasse em suas aulas conhecimentos sobre Mondrian. A proposta é que cada aluno receba uma folha com a reprodução da tela de Mondrian “Composição em vermelho. Por volta do século XVII o uso do símbolo de Rudolff para raiz quadrada havia se difundido bastante. Amarelo. Desde jovem interessou-se por pintura. no seu “Géometrie”. Se não for possível. branco e cinza. Holanda As cores e a geometria de Mondrian Sugerimos uma atividade que envolve Arte e resolução de expressões numéricas. quadrados e retângulos. Museu Municipal de Haia. Cinzento e Azul. apresentamos a seguir um pequeno texto que pode ser lido e comentado. p. A obra abaixo. l 4 representava 4 e cl 5. vermelho e amarelo -. a harmonia das cores. disponibilizamos a página para ser copiada. Cada figura geométrica da tela tem uma expressão numérica escrita em seu interior. Colocamos como manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. MONDRIAN.indd 351 351 5/13/15 3:58 PM . de acordo com a legenda. Preto. os desenhos podem ser colocados num mural. texturas ou imitação da natureza. Revista do Professor de Matemática. apesar de ainda existirem muitas variações na maneira de escrever os índices das raízes. O traço que se usa atualmente foi usado por René Descartes. “lado”) era muitas vezes usada. estimulando o interesse pela Arte. John Wallis usou o índice quase como hoje: 3x para o nosso33 x . em Haia. pertence ao Neoplasticismo e intitula-se Composição com Superfície Grande Vermelha. usando relações não simétricas entre as figuras. n. para que percebam que a solução envolve potências de base 2. 3 5 . A letra l (latus. que sugere telas criadas a partir de poucos elementos: linhas retas. Haia. Composição com Superfície Grande Vermelha. Não há curvas. O aluno resolve a expressão no caderno e. Preto. Amarelo. mas sua utilização foi se impondo só no século XVIII. o aluno deve colorir a forma com a cor correspondente ao resultado obtido. 1921. No museu Gemeente (Gemeentemuseum). Em 1655. de 1921. Deixe que reconheçam figuras geométricas nas obras e que percebam a beleza. com apoio nas imagens das obras do artista disponíveis na internet e em livros de história da arte. principalmente. personagem criado pelo professor Júlio César de Mello e Souza. no cinza. em 1637. Em algumas das obras de Mondrian destacamse formas geométricas. Assim. o artista difundiu as ideias que ficaram conhecidas como Neoplasticismo.5 cm 3 59. suas obras e o Neoplasticismo. no branco e no preto. Fonte de pesquisa: Museu de Arte Contemporânea – Universidade de São Paulo. Propomos que você apresente a situação e desafie os alunos a resolvê-la antes de lerem o texto. Os estudantes podem conferir suas respostas com os colegas antes de pintar.azul. 42. 59. O contato com obras famosas. Cinzento e Azul. retângulos e cores primárias . estão expostos vários de seus trabalhos. Óleo sobre tela. além do preto. Haags Gemeentemuseum. Na página 399 deste manual. São Paulo: SBM. Ao final da atividade. sua terra natal. O símbolo da raiz. conhecendo grandes nomes da pintura pode ser um meio de exercitar a resolução de expressões de forma mais prazerosa. Piet. Atividade complementar 2 Potenciação num problema de Beremiz O artigo a seguir apresenta um dos muitos problemas resolvidos por Beremiz. Por meio de artigos publicados revista Stijl (o estilo). mas não tinha o apoio de sua família. A cor pura se projeta no plano.O símbolo criado por Rudolff não teve aceitação imediata nem mesmo na Alemanha. 2. 1983. amarelo e azul”. encontrando seu oposto na não-cor. A colocação moderna do índice na abertura do sinal do radical foi sugerida por Albert Girard em 1629. Beremiz apresentou a seguinte solução: A primeira caixa deve conter uma moeda. v. numeradas e fechadas. 6. Didática e Matemática. 2004. 7 e 6. Como curiosidade. x – 489 tomamos uma ou mais caixas dentre as nove primeiras. Depois de pensar um pouco. uma soma de 500 dinares pode ser obtida com as caixas de números 10. para fazer um pagamento dessa quantia escolhemos todas as caixas. relativa ao conteúdo de moedas que cada uma encerra. da primeira até a nona.SEB. SÁNCHEZ. A segunda caixa deve conter duas moedas pois. isto é 111110100 na notação binária. sem precisar abrir as caixas. usando ou não a décima caixa. que pode ou não ser apresentada aos alunos. para fazer um pagamento de 352 (notação decimal) dinares observamos que: 352 = 1 × 28 + 0 × 27 + 1 × 26 + 1 × 25 + 0 × 24 + + 0 × 23 + 0 × 22 + 0 × 21 + 0 × 20 Logo. I. escolhemos a caixa número 10 e.Quanto à décima caixa. 4. foi um mestre na arte de contar histórias. conclui que deve conter complemento a resolução aplicando a notação binária.. Objetivo geral ◆◆ DAE Caixa e Moeda(s) 9 8 3 2 1 . 1990). protagonista de O homem que calculava. P. o que significa que escolhemos as caixas de números 9. ◆◆ Utilizar corretamente as relações “é múltiplo de”. logo. se tivesse três. A Beremiz. de 1 a 1 000 dinares. 500 = = 1 × 28 + 1 × 27 + 1 × 26 + 1 × 25 + 1 × 24 + 0 × 23 + + 1 × 22 + 0 × 21 + 0 × 20. autor do encantador livro O homem que calculava. apresentou-se o seguinte desafio aritmético: Visto que 511 é 111111111 em notação binária. para o resto. Além de autor de mais de cem livros de Literatura Oriental. Neste artigo farei referência a uma delas. Trata-se do problema dos mil dinares. 2 e 3 dinares. observamos que uma dívida estritamente compreendida entre 490 e 512 dinares pode ser paga de duas maneiras. usando notação binária Sobre uma história de Malba Tahan Uma justificativa da solução de Beremiz pode ser fornecida. também. II. Beremiz continua o seu raciocínio. até estabelecer a seguinte distribuição das moedas nas caixas numeradas de 1 a 9. Unidade 6 – Múltiplos e divisores I. foi feita em ordem estritamente crescente. 8. pois caso contrário não poderíamos fazer um pagamento de um dinar. Brasília. não seria possível fazer um pagamento de dois dinares. In: Explorando o Ensino da Matemática. de maneira que: a) A numeração das caixas. quatro ou mais dinares.indd 352 5/13/15 3:58 PM . na base 2. Por exemplo. 2 e 1. 28 352 27 22 21 Identificar os conceitos de múltiplo e de divisor de um número natural e sua importância e aplicação na Matemática e em problemas do cotidiano. Para cancelar uma dívida de x dinares. A caixa número 3 deve ter quatro moedas. de 1 até 10. apresentado em seu livro Novas Lendas Orientais (Editora Record.. Por exemplo. utilizando-se a notação binária (base 2) para representar os números. 1 000 – (28 + 27 + .. pois 500 = = 489 + 1 × 23 + 1 × 21 + 1 × 20. Objetivos específicos ◆◆ Reconhecer e escrever a sequência de múltiplos de um número natural. pois o conteúdo das duas primeiras caixas já permite fazer pagamentos de 1. 20 manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. O problema dos 1000 dinares Talvez muitos não saibam que Malba Tahan. o número 352 se escreve 101100000. foi o professor de Matemática brasileiro chamado Júlio César de Mello e Souza (1895-1974). Sobre uma história de Malba Tahan. Ministério da Educação . com 551 < x ≤ 1000. 5 e 3. poderíamos também utilizar as caixas de números 9.. Jesús A. + 21 + 20) = 489 moedas Justificativa da solução. 7. Determinar como 1 000 moedas de 1 dinar foram distribuídas em 10 caixas do mesmo tamanho. “é divisível por” e “é divisor de”. b) É possível fazer qualquer pagamento. Mas. 6. 8. resolução de problemas que envolvem múltiplos e divisores e apresentação dos números primos. Você deve mediar a elaboração dos problemas dando sugestões e esclarecendo dúvidas. 9 e 10. Articulando a unidade à concepção da obra A unidade prioriza o campo dos números. O mínimo múltiplo comum é apresentado por meio da observação de múltiplos comuns numa situação contextualizada. O processo prático de decomposição em fatores primos ajuda nessa tarefa. com base nos divisores comuns. 3. possibilitando descobrir mais rapidamente se um número natural é divisível por 2. 5. vale a pena contar aos alunos que esse sábio viveu no século III a. pode-se montar uma lista com todos eles e apresentar para a turma resolvê-los. Peça a alguns alunos que mostrem na lousa como montar o crivo.◆◆ Aplicar os critérios de divisibilidade como facilitadores para verificar se um número é divisível por 2. possibilita um trabalho de pesquisa por meio da leitura. determinando. 30. 9 e 10. o mdc poderá ser encontrado mentalmente. Não achamos necessário mostrar como obter a quantidade de divisores de um número. V. como o cálculo do comprimento da circunferência da Terra. caso julgue interessante fazê-lo. ◆◆ Identificar o menor múltiplo comum de dois ou mais outros números e suas aplicações. organizados em trios. tratando de relações importantes entre números naturais. Mostramos como utilizar a decomposição em fatores primos para o cálculo do mdc. juntamente com o Interagindo. 50. 5. mas apresentamos. por exemplo.indd 353 353 5/13/15 3:58 PM . recursos e propostas do manual Leitura. o texto e os exercícios buscam estabelecer com clareza os conceitos de múltiplo e de divisor. usando os raios do sol e propriedades geométricas de retas e ângulos calculou que o comprimento do planeta seria equivalente a 40 000 km. Resolução de problemas Propomos que os alunos. Em muitas situações. 34. uma sugestão para essa abordagem. 35. proponha uma pesquisa sobre Eratóstenes e o crivo. mostrando como utilizar a forma fatorada prima para determinar os divisores de um número natural. aplicando esse conhecimento na resolução de problemas. da página 108. No entanto. Comentários Prosseguindo no estudo dos números naturais e de suas operações. temas. Após lerem o texto em sala de aula. O Livro do Aluno traz vários desses exercícios: 28. ◆◆ Encontrar divisores de um número natural e o mdc de dois ou mais números naturais. 8. escrita e oralidade O texto Quer saber mais sobre números primos?. elaborem e resolvam um problema contextualizado usando os conteúdos vistos na unidade. constatando sua importância em situações do contexto social. manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. IV. No livro didático sugerimos um jogo para trabalhar conceitos e neste manual apresentamos mais uma opção. A atividade lúdica Jogando com múltiplos. entre outros. III. 4. Partimos de um problema contextualizado para estabelecer o conceito de divisores comuns entre números naturais e definir o mdc. Introduzimos o conceito de número primo e a ideia de fatoração – escrever na forma de pro­ du­to –. Os critérios de divisibilidade devem ser encarados como facilitadores. 46. 29. Como utilizar. o aluno determinará o mmc mentalmente e essa prática deve ser valorizada. nessa unidade. 33. que ele perceba que um produto qualquer é sempre um múltiplo dos fatores que o geraram. Caso as pesquisas não tragam nada sobre as contribuições de Eratóstenes. 3. como fechamento dos conteúdos dessa unidade. 6. No entanto. 4. Quando eles estiverem prontos e corretos. muito próximo do real. na maior parte das situações propostas. ◆◆ Escrever números naturais como produto de fatores primos. pode ser realizada em sala de aula. no item VII. ◆◆ Determinar a sequência de múltiplos comuns de dois ou mais números naturais. e. ◆◆ Identificar número primo. isto é. o processo prático pode ser utilizado para determinar o mmc de números maiores. os números primos até 200. É importante que o aluno associe a palavra múltiplo com produto.C. 36. Paulo.Avaliação Propomos avaliar a atividade de elaboração de problemas sugerida anteriormente. primeiramente eles devem verificar que 174 é. Ele exercitará tal habilidade além de verificar que. pode-se sugerir aos alunos que criem novas trilhas usando as mesmas regras e as troquem entre si. A obtenção do mmc. trabalhando a generalização. Refletindo da página 104 O aluno utilizará o conceito de mmc. Interagindo da página 106 No texto didático apresentamos o procedimento para determinar o mdc por meio da fatoração dos números.edu/es/nav/frames_asid_ 158_g_3_t_1. alternando múltiplos e divisores. Sugerimos que os alunos as respondam em dupla ou trio para que troquem ideias. para chegar ao número 6. Os exercícios 20 e 21 da página 102 complementam as ideias aqui tratadas.ime.tml?from=category_g_3_t_1. Exercícios 5 e 6 O aluno deve partir do número 3 e seguir um caminho reto por casas na horizontal ou na vertical. Muitas vezes.br/portal/Midias/ Experimentos/ExperimentosM3 Matematica/morto_ou_vivo/: Com orientações completas para o professor. Atenção ao exercício 5. pode ser mental. Observe se percebem que. Interagindo da página 101 Os exercícios estimulam o levantamento e a verificação de hipóteses. 354 http://nlvm. nas adições e subtrações com frações. um múltiplo de 3. mas sugerimos incentivar os alunos a listar mentalmente os divisores do maior número. Jogos Além do jogo proposto no Livro do Aluno. este endereço apresenta uma brincadeira com múltiplos e divisores bem interessante. temos que 58 dividido por 3 tem resto 1.usu. por exemplo. Exercícios 18 a 21 Verifique se os alunos compreendem que a forma fatorada nada mais é do que outra representação para o número natural em questão.mais. Trilha dos múltiplos e dos divisores Excelente para exercitar a fatoração prima. Reserve uma parte da nota para a observação do trabalho em sala de aula e outra parte para a correção dos problemas da lista compilada.html Permite construir o crivo de Eratóstenes. Marcamos. ademais.indd 354 5/13/15 3:58 PM . como exemplo. na maioria das operações. o mmc é o próprio múltiplo. portanto quem vai dizê-lo é o primeiro rapaz a falar.html O problema 5 propõe ao aluno que perceba o padrão da sequência dos anos em que há Copa do Mundo: são múltiplos de 4 somados a 2. Matemática e tecnologia http://m3. como 174 5 58 3 3.usu. quando um dos números é múltiplo do outro. por exemplo.html?open=instructions &from=category_g_3_t_1. quem consegue terminar no menor tempo. 3 12 8 60 12 6 4 7 10 20 9 8 2 14 2 18 5 10 3 18 3 25 5 15 6 Esse é apenas um exemplo de resposta. VI. 174 é o 58o número na sequência do exercício.mat. No problema 6. de fato. eles não utilizam a forma fatorada para descobrir os divisores do número.unicamp. segue outra sugestão.edu/es/nav/frames_asid_202_ g_3_t_1. o trajeto correto. www. como 58 5 17 3 3 1 1.br/wiki/N%C3%BAmeros_ primos Arquivo de áudio abordando os números primos e a fatoração prima de um número natural. Comentários e sugestões sobre os exercícios propostos Interagindo da página 93 As questões exploram fatos importantes relacionados a múltiplos e divisores. buscando os divisores comuns do outro número e assim encontrando o maior manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. verificando. há outras possíveis. inclusive com possibilidade de impressão. Esses exercícios exploram essas habilidades. que apresenta letras no lugar de números. http://nlvm. isto é. Feita a brincadeira. basta verificar se a soma dos algarismos é múltiplo de 9 (de 3). Observamos que toda potência de base 10 é um múltiplo de 9 (por consequência. múltiplo de 3) somado a 1. é claro. Atividades complementares para os alunos O primeiro exercício a seguir explora a multiplicação como organização retangular. Soma dos valores absolutos dos algarismos de 12 536. VII. 10. 10  2. obterão os retângulos: 20  1. 4. Complementação à formação do professor e do aluno Texto para o professor O critério de divisibilidade por 3 e por 9 Todos conhecemos a regra. Nesse exemplo. Agora trabalharemos a decomposição em ordens de acordo com as regras do SND. m9 1 17 também não será. por exemplo. Resta analisar a outra. 2. Completando. 20. Eles perceberão também que com 11 quadrados idênticos. Eles devem usar todos os quadrados para formar retângulos. ou seja. Por exemplo. Determinando os divisores de um número natural Para determinar os divisores de 20. Os alunos relacionarão a operação ao cálculo intuitivo da área de retângulos.deles. 5. todos com a mesma área. Vamos mostrar o critério da divisibilidade por 9. peça aos alunos que desenhem e recortem 20 quadrados. 2 unidades de milhar e 1 dezena de milhar: 615 6  (m9 1 1) 5 6  m9 1 6 5 m9 1 6 (pois 6  m9) é um múltiplo de 9 3  10 5 3  (m9 1 1) 5 3  m9 1 3 5 m9 1 3 (pois 3  m9) é um múltiplo de 9 5  100 5 5  (m9 1 1) 5 5  m9 1 5 5 m9 1 5 (pois 5  m9) é um múltiplo de 9 2  1 000 5 2  (m9 1 1) 5 2  m9 1 2 5 m9 1 2 (pois 2  m9) é um múltiplo de 9 1  10 000 5 1  (m9 1 1) 5 1  m9 1 1 5 m9 1 1 (pois 1  m9) é um múltiplo de 9 12 536 5 5  m9 1 (6 1 3 1 5 1 2 1 1) 5 m9 1 (6 1 3 1 5 1 2 1 1) 5 m9 1 17. 3 dezenas. 12 536 não é múltiplo de 3. 5  4. se um número for divisível por 9. Para saber se um número é múltiplo de 9 (ou de 3). O segundo utiliza a fatoração prima para determinar a quantidade de divisores de um número. Como 17 não é múltiplo de 9. Indicaremos por m9 números múltiplos de 9. 17 também não é múltiplo de 3. 5 centenas. por exemplo. pois. será também por 3. Iniciamos observando as potências de base 10:      1 5 0 1 1 5 m9 1 1     10 5 9 1 1 5 m9 1 1    100 5 99 1 1 5 m9 1 1   1 000 5 999 1 1 5 m9 1 1 10 000 5 9 999 1 1 5 m9 1 1 E assim por diante. mas é sempre bom relembrar como se chega a ela. vamos tomar o número 12 536: 12 536 é composto de 6 unidades. As medidas dos lados desses retângulos são exatamente os divisores de 20: 1. O número dado foi decomposto em 2 parcelas: uma delas é um múltiplo de 9. só é possível compor um retângulo manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. Questões relevantes são tratadas nesse momento. por exemplo. qual o mdc quando um dos números é divisor do outro e qual o mmc de dois números primos.indd 355 355 5/13/15 4:09 PM . Comentários O aluno tem contato frequente com tabelas e gráficos estatísticos. Fator 3: 30. No 6o ano. Inicialmente mostramos os gráficos de barras como for­ ma de comunicação eficiente. 51. o número 1 125 tem 12 divisores. Escolhemos um exemplo de pesquisa do co­ tidiano – no ambiente da escola – para propor um exercício prático. 2 ou 3. 1. verificando que os números primos só têm 2 divisores: 1 e ele mesmo. IV. III. O foco é o trabalho com tabelas de dados e com a construção de gráficos de barras. Objetivos específicos ◆◆ Reconhecer e interpretar um gráfico de barras. ou seja. Unidade 7 – Dados. nessa unidade. revistas ou outras fontes um gráfico de barras que trate de assun­ to do interesse deles. exercitando a habilidade de pesquisa com um objetivo claro: encontrar um gráfico que eles possam compreender e analisar. 52 e 53 são 4 possibilidades Temos então 3  4 5 12 produtos possíveis. optamos por trabalhar a ela­bo­ra­ ção de tabelas de frequência. 0.de 11  1. manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. por exemplo. os divisores de 1125 só podem conter os fatores 3 e 5.. mostrando a importância dessas formas de apresentação dos dados. há possibilidade de trabalhar com um editor de planilhas eletrônicas. 31 e 32 são 3 possibilidades Fator 5: 50.indd 356 5/13/15 5:55 PM . Determinando o número de divisores de um número natural Na página 100 do livro do aluno. como já dissemos. O trabalho com jornais e revistas em temas como espor­ te. O expoente do 3 pode assumir valor 0. tabelas e gráficos de barras I. tabelas de frequência e gráficos em situações cotidia­ nas. Articulando a unidade à concepção da obra Essa unidade é dedicada especificamente ao tratamento da informação. temas. como a adequação do título e da escala determinada para o eixo das fre­ quên­cias (ou eixo dos valores). Sugerimos que montem painéis com os gráficos e façam comentários simples so­ bre os dados que apresentam. Quantos divisores o número 1 125 tem? Como 1125 5 32  53. Sugerimos apresentar como fazê-lo por meio de exemplos numéricos. II. política etc. Se houver computadores dis­ poníveis. com a leitura e a construção de gráficos de barras. que possibilita 356 visualizar e comparar dados com rapidez e clareza. saúde. cultura. embora. Enfatizamos aspectos importantes na cons­ trução de gráficos. a partir do 6o ano o conhecimen­ to no campo do tratamento da informação pode ser ampliado e gradualmente sistematizado. Se nos anos anteriores os alunos exploraram ideias básicas sobre a organização e representa­ ção de dados. por exemplo. como o gráfico de barras. Você pode utilizar outras situações do contexto particular dos alunos. é sempre desejável e possibilita a integração com outras disciplinas. gráficos e tabelas sejam explorados em outros conteúdos. como o que colocamos abaixo. A comparação entre tabelas e gráficos cons­ truídos manualmente e eletronicamente deve ser sempre explorada levando em conta as van­ tagens e desvantagens de cada uma. A fatoração prima também possibilita determinar quantos são os divisores. 1 ou 2 e o expoente do 5. por meio do qual será pos­ sível checar se dominam a construção de tabe­ las de frequência e o gráfico de barras que ilustra a pesquisa. tanto na forma escrita como oralmente. apresentando. Objetivo geral ◆◆ Organizar e representar dados por meio de tabelas e gráficos estatísticos. Como utilizar. Esses ­softwares proporcionam ao aluno uma ferramenta de construção de diferentes tipos de tabela e gráfi­ co. escrita e oralidade O Interagindo da página 115 propõe que os alunos procurem em jornais. V. mostramos como podemos obter os divisores de um número natural usando os fatores primos de sua decomposição e os possíveis produtos deles. ◆◆ Construir tabelas de frequência e gráfi­ cos de barras. recursos e propostas do manual Leitura. com/ ferramenta on-line www.com/spreadsheets/ ferramenta on-line www. Se possível. oriente-os a compor uma tabela de dados em que a primeira coluna contenha o número da questão. desse modo. proponha aos alunos que criem o mesmo gráfico utilizando um software de planilhas ­eletrônica: ◆◆ ◆◆ ◆◆ em uma nova planilha. Nos endereços eletrônicos abaixo é possível trabalhar com planilhas e criar gráficos de forma fácil e gratuita. Os seguintes aspectos seriam observados: ●● Participou da discussão de forma oportuna? ●● Sabe ouvir? ●● Sugere? Argumenta? ●● Contribuiu com a ordem e a disciplina? 2 pontos Para a realização e apresentação correta dos dados da entrevista (nota do grupo). o recurso de utilização totalmente on-line. 2 pontos Para a execução do trabalho na aula 4. Aula 1 ●● Divisão da turma em trios ou quartetos e explicitação da forma de avaliação.Resolução de problemas O item 2.indd 357 357 5/18/15 2:00 PM . o corpo da tabela deve contar com as frequências observadas para cada alternativa de resposta. Peça a eles que comparem o gráfico digital com o feito no papel e depois conversem sobre as facilidades que a tecnologia nos traz e como eles podem utilizar planilhas eletrônicas em situações do cotidiano: acompanhar suas notas escolares. escolha o modelo de gráfico que representará os resultados dessa questão. acompanhando como se relacionam para elaborar as perguntas e alternativas de respostas. Segue uma sugestão sobre como fazê-lo. Apresentamos uma ideia para a distribuição de nota com variação de zero a dez: 1 ponto Para a participação individual na aula 1 e na aula 2. 1 ponto Para o preenchimento correto das tabelas de frequência na aula 3 (nota do grupo). pertinência da análise de dados e conclusões apresentadas no relatório. Os alunos serão observados individualmente e no grupo. deixe que os grupos se organizem e enfrentem cada etapa do exercício. apresentem cada uma das alternativas. Os alunos podem mudar rótulos.br/ requer instalação no dispositivo Os relatórios serão o produto final e podem ser encaminhados aos responsáveis pela administração do ambiente escolar. na opção Gráfico) e. agindo de forma cooperativa? ●● Mostraram capricho? 4 pontos Pela análise do produto final (nota do grupo): correção do conteúdo. sem que seja necessária a instalação do ­software no computador utilizado. sugere uma situação-problema: criar. Os alunos precisam saber de antemão o que será observado por você para atribuir a nota.google. e as demais colunas. na página 119. O mesmo procedimento possibilitará criar um gráfico para a segunda pergunta. MANUAL DO PROFESSOR prm6_mp_332_389_especifica. Vamos fazer uma pesquisa estatística?.softonic.org/pt-br/ requer instalação no dispositivo http://broffice. inclusive.com. então. explorando a ferramenta. Avaliação Todo o processo da pesquisa estatística sugerida pode ser avaliado. Com base nas orientações dadas no Interagindo da mesma página. registrar gastos. clique no assistente de gráfico do software (normalmente disponível no menu Inserir.openoffice. https://docs. cores etc. aplicar e analisar uma pesquisa estatística. Dois deles têm. fazer listas de tarefas etc. Auxilie na compilação dos dados e na montagem dos gráficos e dê espaço para que discutam no grupo e com o restante da turma os resultados da pesquisa. nos seguintes aspectos: ●● Trouxeram o material necessário? ●● Souberam organizar-se e distribuir as tarefas? ●● Trocaram ideias. ou seja. com uma linha da tabela selecionada. que estratégias criarão para entrevistar as pessoas etc. cada linha corresponderá a uma das questões observadas.openoffice-online. Sugerimos que cada grupo entreviste 20 pessoas. Construa com eles uma tabela para anotar os dados (ver modelo abaixo). Inicie perguntando aos alunos quais características positivas eles destacam. Explicações sobre a aplicação do questionário – determinação da amostra e forma de recolhimento dos dados. que tratará dos aspectos que precisam melhorar na escola (mesmos procedimentos usados na aula 1). as alternativas de resposta para a pergunta 1. Aula 2 ●● ●● Elaboração das alternativas de resposta para a pergunta 2. Devem surgir opiniões como: “o pátio tem muitas árvores” ou “as quadras são ótimas” e assim por diante.indd 358 5/13/15 3:58 PM . O debate gerará uma lista de aspectos que servirá de referência para que os alunos elaborem.●● Levantamento dos aspectos positivos da escola e elaboração das alternativas de resposta para a pergunta 1. em conjunto. Pesquisa estatística – entrevista Componentes do grupo: Pergunta 1 358 Pergunta 2 a) a) b) b) c) c) d) d) Sexo Idade Ocupação Resposta 1 Resposta 2 F 28 professora a e M 60 bibliotecário b c manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. lápis comum. Apresentamos uma tabela com o consumo mensal estimado de parelhos elétricos comuns nas residências. Aula 4 ●● O exercício 2 tem como objetivo mostrar a maneira correta de graduar o eixo vertical. você encontrará mais informações se julgar interessante ampliar os dados. coloque-os num mural. Finalização do trabalho. régua. Deixe que os alunos percebam os erros na escala e na largura das barras. com sua orientação.Aula 3 ●● É o momento de tabular os dados. encaminhando­ ‑os para discutir formas de utilizar a energia com mais racionalidade. uso do ferro elétrico. Promova uma roda de conversa onde possam compartilhar suas observações. Listamos algumas delas como referência. da máquina de lavar roupas. Comentários e sugestões sobre os exercícios propostos Interagindo da página 113 Sugerimos usá-lo como exercício de sondagem de conhecimentos prévios. se possível. comparando os dados obtidos com os da tabela e estimando qual deverá ser o consumo total da moradia no mês. VII. canetas coloridas ou lápis de cor. Os alunos podem analisar a tabela. também. urgente. para leitura e análise de dados.indd 359 359 5/13/15 3:58 PM . papel quadriculado. Os alunos devem copiar as tabelas no caderno para utilizá-las na aula 4. Exponha os trabalhos de todos os alunos. verificando quais aparelhos têm maior consumo. monte. Complementação à formação do professor e do aluno Atividade complementar para os alunos Consumo e energia Vivemos num tempo em que a educação para o uso racional da energia elétrica é necessária. envolvendo seus familiares: tempo de banho. com temas adequados à faixa etária dos alunos.. Reunidos. com o auxílio dos alunos. tesoura e cola. preencherá as tabelas de frequência: Pergunta 1 Páginas 117 e 118 Pergunta 2 Alternativa Frequência Alternativa Frequência A 6 A 1 B 5 B 4 C 7 C 3 D 2 D 8 E 0 E 4 Total 20 Total 20 Em seguida. A correção do exercício mostrará como eles estão lendo dados apresentados em um gráfico de barras. manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. As dificuldades mais frequentes são com a graduação do eixo vertical e é preciso auxiliá-los. etc. No endereço eletrônico que mencionamos ao final da tabela. VI. feito em duplas. no quadro. É importante observar como eles se organizam e decidem as estratégias de trabalho. as duas tabelas de frequência para o total da amostra – aproximadamente 100 respostas para cada pergunta. Dê tempo para que exercitem o uso da régua para traçar as barras e colori-las. gerando atitudes positivas que podem ser replicadas na comunidade. montando um gráfico de barras a partir dos dados. Uma atividade que conscientize sobre o consumo de aparelhos eletrodomésticos e eletroeletrônicos é interessante e pode motivar conversas sobre o tema. quantas lâmpadas ficam acesas. os trios (ou quartetos) distribuem as tarefas para apresentar os resultados da pesquisa em um painel ou utilizando um software de apresentação de slides. Focam na leitura de gráficos. Os gráficos feitos a partir da tabela podem ser apresentados em murais pelos corredores e pátio. Incentive a pesquisa destas ações. anotar o material necessário para essa aula: folhas de papel canson (duas por trio) tamanho A4. folha de sulfite. tabelas simples e de dupla entrada. Durante um mês cada aluno seria convidado a acompanhar o consumo de energia em sua residência. O grupo. Há muitas ações simples que podem ser citadas. compile com eles uma pequena cartilha que pode ser distribuída na escola. Seria interessante apresentar gráficos de barras retirados de jornais e revistas. Devem. Seção livre da página 116 Os alunos construirão um gráfico de barras em papel quadriculado. com.Aparelhos elétricos Utilização no mês (dias) Tempo de utilização (dia) Consumo médio mensal (kWh) Ferro elétrico 12 1h 7 Ar condicionado 14000 BTU 30 8h 182 Forno elétrico pequeno 30 1h 15 Geladeira de 2 portas 30 Todo o tempo 48 Micro-ondas 30 20 min 14 TV 32 polegadas 30 5h 14 Lâmpada fluorescente 23 W 30 5h 3. se a folha cair está na hora de trocar a borracha. aproveite ainda o seu calor para passar algumas roupas leves. Não abra a porta sem necessidade ou por tempo prolongado. que refletem melhor a luz. longe do fogão. FERRO ELÉTRICO: Passe primeiro as roupas delicadas. Aproveite a luz do sol. Pinte o teto e as paredes com cores claras. TELEVISÃO: Desligue o aparelho se ninguém estiver assistindo. EZTSvc.com.br/main. http://www. dessa forma. Acesso em 20/04/2015. Verifique o estado da borracha de vedação fechando a porta com uma folha de papel. é possível reduzir o consumo de energia em 30%. reduzindo assim o consumo. COMPUTADOR: Desligue o computador quando não estiver usando. acima e no fundo do aparelho. http://www. Por exemplo. LÂMPADA: Evite acender lâmpadas durante o dia. manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. Não deixe os acessórios do computador (impressora. use o timer.asp?View={E6BC2A5F-E787-48AF-B485-439862B17000}.br/ services/DocumentManagement/FileDownload. aquecedores e áreas expostas ao sol.indd 360 5/13/15 3:58 PM . diminuindo a necessidade de iluminação artificial. Evite banhos demorados MODO DE ESPERA: Retire da tomada aqueles equipamentos que são pouco utilizados e que usam modo de espera (stand by). No final. O total consumido por todos os equipamentos ligados em modos de espera (stand-by) pode representar até 12% do consumo de energia elétrica da residência. MÁQUINA DE LAVAR ROUPA: Economize água e energia elétrica lavando de uma só vez 360 a quantidade máxima de roupa indicada pelo fabricante. Substitua as lâmpadas incandescentes por fluorescentes ou LED.5 Chuveiro elétrico 4500 W 30 32 minutos (4 pessoas) 72 Modem internet 30 8h 2 Notebook 30 8h 5 Lava roupas 12 1h 2 Fonte: Eletrobrás. Evite dormir com a televisão ligada. uma de 15 Watts substitui uma lâmpada incandescente de 60 Watts. Uma lâmpada fluorescente economiza até 75% de energia comparada com a lâmpada comum. e dura até oito vezes mais. abrindo bem as janelas. Não use a parte de trás do aparelho para secar panos de prato e roupas. que precisam de menos calor. exceto aquelas que contribuem para a segurança de sua casa ou do condomínio. Deixe espaço mínimo de 15 centímetros dos lados. em caso de instalação entre armários e paredes. Acesso em 20/04 /2015 GELADEIRA: Regule o termostato do refrigerador de acordo com a estação do ano e a quantidade de alimentos que ele armazena. Se ela tiver recursos de programação. Fonte: Eletrobrás. Instale o aparelho em local bem ventilado. cortinas e persianas. Apague e instrua os empregados a apagarem as lâmpadas dos ambientes desocupados. deixe a chave na posição “Verão”.asp?DocumentID={367B9C63-5C2B-46869A4E7108C08CF79F}&ServiceInstUID={46764F02-4164-47489A41-C8E7309F80E1}.) ligados sem necessidade. CHUVEIRO ELÉTRICO: Quando possível.procelinfo. depois de desligar o ferro. estabilizador etc.procelinfo. ◆◆ Caracterizar poliedro. ◆◆ Obter a planificação de um bloco retangular. que a reta é ilimitada nos dois sentidos. Mesmo que a nomenclatura não seja a mais adequada. mostrando a Geometria como ferramenta para modelar o espaço à nossa volta. de forma natural. O estudo específico da dimensionalidade será feito no 7o ano. com a sua mediação. ◆◆ Identificar e quantificar faces. para uma conversa com os alunos. arestas e vértices de um bloco retangular e de alguns poliedros. ◆◆ Construir poliedros a partir de modelos de faces poligonais.DAE Unidade 8 – Observando formas I. Objetivo geral ◆◆ Desenvolver a capacidade de observação do espaço. ◆◆ Representar e identificar pontos. A ideia é trabalhar as características dessas figuras levantadas por meio da observação e da troca de informações entre os colegas. Após a leitura do texto. por exemplo. manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. um arquiteto. os alunos devem escrever o que observaram. a aplicação dos conhecimentos geométricos. Isso motivará os alunos para o aprendizado. III. Comentários O texto inicial chama a atenção para a observação das formas presentes na natureza e das formas criadas pelo ser humano. como ilustramos a seguir. A terminologia correta pode ser introduzida aos poucos. o que será feito posteriormente na coleção. Se for possível. permita que os ­ lunos manuseiem objetos. em situações reais. Nessa unidade trabalhamos mais detalhadamente a planificação do bloco retangular. visando compreender. papel-cartão ou outro material) ou embalagens que tenham forma parecida com as dos sólidos geométricos abordados. apesar de sua representação não ser. ao classificar as formas em planas e não planas. descrever e representar de forma organizada o mundo físico. Consideramos importante deixar claro para o aluno que a “marca” feita no papel com o lápis é a representação de um ponto. modelos (em maa deira. polígonos de não polígonos e poliedros de não poliedros.indd 361 361 5/13/15 5:34 PM . O incentivo à observação do espaço também é importante. algum profissional como um engenheiro. é importante mostrar que uma forma não plana pode não ter volume. retas. professor. segmentos de retas e planos. como prismas e pirâmides. um desenhista ou um azulejista para contar a eles sobre a importância da Geometria em seu trabalho. O desenho de uma reta ou de um polígono é uma representação para podermos trabalhar com os entes geométricos. ◆◆ Caracterizar polígono. convide. arestas e vértices de um bloco retangular. Devemos orientar o aluno a olhar ao redor. Conhecimentos sobre formas geométricas e suas características são necessários para melhor compreensão do cotidiano e do uso das tecnologias. Os alunos devem perceber. O mesmo acontece com qualquer figura geométrica. A investigação levará à descoberta de características e propriedades das formas. procurando. II. Não definiremos polígonos nem poliedros. diferenciando formas planas de não planas. Lembramos que. O trabalho concreto com a caixa de fósforos (ou outra embalagem no formato de um bloco retangular) leva à identificação e à quantificação de faces. Objetivos específicos ◆◆ Identificar e diferenciar formas planas e formas não planas. No 7o ano introduziremos a planificação de outros poliedros. php? option=com_mr_videos&layout= default&vid=154&arquivo=MED154. vistas. htm São vários objetos. sugerimos observar e atribuir uma parte da nota para o esmero e a organização do grupo. asp?url_area=E O aluno escolhe um sólido e uma animação mostra sua planificação. VI. Articulando a unidade à concepção da obra Essa unidade articula Geometria com o mundo físico. www. contextualizado e motivador.rj. Matemática e tecnologia www.br/index. propiciando exercícios de observação. Explique como será a aula e o que será avaliado.gov.multirio.br/index. a atividade Cons­ truin­do poliedros. apresentada na página 137. Resolução de problemas O item 4 aborda vistas e desenho em perspectiva em malha quadriculada.multirio. traz uma oportunidade de exercício em duplas. wmv&Itemid=414 Vídeo (22 minutos) que explora mapas.org/mat_geometri_solidos. www. Embora voltado para o 4o e 5o anos é interessante. pontos cardeais. escrita e oralidade A leitura integral dos itens 1 e 2 pode ser feita em casa. uma vez que os alunos deverão encontrar estratégias para desenhar figuras por meio da observação de um modelo.sitiodosmiudos. manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. Se possível. Depois. como tarefa. deixando que as complementem ou melhorem. diferenciando poliedros e não poliedros e ainda no final há atividades com autocorreção. O ideal é que eles já tragam os polígonos recortados. Solicite aos alunos que façam as atividades propostas na seção Refletindo das páginas 125 e 126 no caderno. Pode ser trabalhado em conjunto com o professor de Geografia.gov. Depois de trocarem os trabalhos entre si e comentarem o exercício. junto com a observação do processo. podem desenhar uma figura de sua escolha.IV. Providencie malhas para todos e proponha que façam os desenhos do bloco retangular e do cubo pedidos no texto. Em seguida. Sugerimos utilizá-lo no processo de avaliação. recursos e propostas do manual Leitura.indd 362 5/13/15 3:58 PM . o relacionamento com o colega de dupla. 362 Se a escola tiver uma fotocopiadora.com/watch?v=CXtadY5c2YI Explora as vistas de empilhamentos com blocos retangulares. solicite que elaborem os desenhos de prisma e de pirâmide sugeridos e verifique se conseguem realizar a tarefa com base nos modelos. que podem ser encarados como situações diferenciadas de resolução de problemas. Resgate a leitura. Uma ideia é representar em desenhos diferentes vistas dos sólidos montados. copie os moldes do livro e forneça cópias para os alunos em papel colorido. www. convide um profissional para conversar com os alunos sobre alguns conhecimentos geométricos que se aplicam à sua profissão. convidando-os a ler suas respostas. Os alunos devem receber orientação sobre o material necessário para a montagem dos poliedros. temas.rj. Como utilizar.wmv&Itemid=414 Vídeo de 12 minutos que aborda sólidos geo­mé­tri­cos e as características dos poliedros e dos não poliedros. Avalie se compreendem as instruções e auxilie. Comentários e sugestões sobre os exercícios propostos Interagindo da página 124 Uma atividade de pesquisa sobre as aplicações da Geometria em profissões ajuda a aproximar o conteúdo da vida prática.php?option =com_mr_videos&layout=default&vid= 156&arquivo=MED156. geraria um instrumento de avaliação. que trazem informações sobre os sólidos.pt/matematica/default. o cuidado com a limpeza da sala de aula. contar faces. http://escolovar. você pode recolher os desenhos para atribuir uma nota que. nessa unidade. arestas e vértices. construção e manipulação de modelos de figuras geométricas que servirão como base para a descoberta de características e de conceitos. Avaliação Além da proposta anterior. Além dos aspectos conceituais.youtube. como apresentado no Interagindo da página 133: eles devem nomear os polígonos que formam as faces do poliedro. se necessário. V. no manuseio da régua. III. constatando sua presença na natureza. se necessário. sombreamento etc. Os alunos usarão o transferidor e os esquadros. compreendendo as funções e o uso desse instrumento.com/watch?v=8v_LGTcyKTM Acesso em: mar. Há diversas sugestões presentes no texto e nos exercícios. paralelas e perpendiculares. Objetivo geral ◆◆ II. manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. desenhar as vistas frontal. É sempre bom lembrar aos alunos que usamos representações das figuras geométricas para podermos estudá-las. identificando nele a presença de ângulos e das ideias que envolvem retas concorrentes. Objetivos específicos ◆◆ Identificar a presença dos ângulos na natureza e a aplicação deles em objetos e em construções humanas. O Interagindo da página 147 traz uma sugestão interessante. Uma dupla de alunos utiliza os cubos montados em cartolina para criar um empilhamento. mesmo que não sejam as mais adequadas o que diferencia formas planas de não planas. ◆◆ Definir ângulo nulo. Comentários A motivação para o aprendizado do con­teú­ do dessa unidade pode começar pela observação do espaço. direcionando-os à resposta correta. Os alunos devem.Refletindo da página 125 Deixe que os alunos troquem ideias e expressem com as palavras deles. O mesmo acontecerá com poliedros e não poliedros. Se possível. ser capazes de diferenciar polígonos de não polígonos pelas suas características. VII. o aluno pode medir ângulos presentes no mundo real. nas obras feitas pelo ser humano e na Matemática. a formulação de hipóteses e a argumentação. conforme detalhamos no texto. A outra dupla deve Construir a noção de ângulo. Exercício 12 Aborda a visão espacial. Interfira. ◆◆ Classificar ângulos em agudos. as duplas trocam de função. Os exercícios das páginas 128 e 129 têm esse objetivo. ◆◆ Identificar os ângulos de um esquadro. Refletindo da página 126 Não nos preocupamos em definir formalmente polígonos nesse momento. ◆◆ Reconhecer retas paralelas e retas perpendiculares e traçá-las com o auxílio do esquadro. Depois de verificar se os desenhos estão corretos. Ele está disponível em: www. Sugerimos sua especial atenção no desenvolvimento dessa habilidade. Proponha aos alunos que discutam suas respostas com outros grupos. ◆◆ Identificar e representar um ângulo e seus elementos. Verifique se os alunos conseguem justificar suas respostas. Comente que representamos no papel formas não planas usando para isso recursos como perspectiva.youtube. Sugerimos que você mostre a eles formas bidimensionais não planas. ◆◆ Medir e traçar ângulos com o auxílio do transferidor. Auxilie-os no manuseio desses instrumentos. lateral e superior do conjunto. Interagindo da página 129 É um momento para desenvolver a reflexão. pode-se propor uma atividade que envolva vistas. Depois de traçar e medir ângulos com transferidor no caderno.indd 363 363 5/13/15 3:58 PM . Exercício 16 É uma boa oportunidade para construir com os alunos as planificações do cubo em cartolina. retos ou obtusos. Sugerimos um vídeo que mostra as 11 planificações possíveis. aprofunde o estudo desse tema. nessa unidade. ângulo raso e ângulo reto. 2015. Unidade 9 – Ângulos I. Complementação à formação do professor e do aluno Atividade complementar para os alunos Vistas Com base na construção de cubos e das possíveis planificações pelos alunos. ◆◆ Representar e nomear semirretas. o desenho deve conter pelo menos um par de retas paralelas e um par de retas perpendiculares. V. transparência ou mesmo na tela de um computador e explore-a em conjunto com o professor de Arte. Você pode pedir a eles que criem um desenho que contenha algumas construções com o uso de transferidor e esquadro. temas.com. Composition VIII. semicírculos e vários polígonos que serão estudados na próxima unidade. Os exercícios 5 e 12 exercitam essa habilidade. faça a construção com palitos proposta para associar giros a ângulos: volta completa. não só os que envolvem operações com números mas também os da Geometria. Você pode orientá-los a explorar livremente o objeto. Os trabalhos podem ser recolhidos e expostos. nessa unidade. Saliente com os manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. gostam de desenhar. um ângulo de 60. Exiba a imagem aos alunos com o auxílio de um projetor. Articulando a unidade à concepção da obra Consideramos o trabalho com estimativas muito importante na resolução de problemas. em seguida. é claro. em geral. retas paralelas e retas perpendiculares são apresentados por meio da observação do mundo real. pratiquem bastante o uso do transferidor no papel traçando ângulos de acordo com as medidas dadas e apresente ângulos já traçados para que eles os meçam. http://revistaescola. perspectiva e efeitos de profundidade podem ser trabalhados. Exercício com palitos da página 143 Objeto educacional digital No endereço que disponibilizamos a ­ baixo. A criação dos desenhos pode ser avaliada observando se eles utilizam corretamente os conceitos e os instrumentos de desenho. Avaliação Os alunos. buscando mostrar que a Geometria está presente em obras de renomados artistas. círculos. um de 40. 1923. Por exemplo.org/mat_geometri_angulos. 1. Óleo sobre tela. A unidade possibilita ainda uma conexão com Arte. Essa reprodução é facilmente encontrada em livros de arte e na internet. um de 150 e pelo menos um ângulo reto. Guggenheim. medir3. além. Exercícios de 1 a 5 Peça aos alunos que. Nova York O quadro apresenta ângulos.abril. meia-volta. Comentários e sugestões sobre os exercícios propostos Wassily Kandinsky.br/arte/ pratica-pedagogica/geometria-tela-vangogh-424904.indd 364 5/13/15 3:58 PM . de despertar o interesse pela obra do pintor. auxiliando-os inclusive na função de cada botão. http://escolovar. a ocultar a ferramenta clicando em Show / Hide Protractor e a estimar a medida do ângulo apresentado sem a ferramenta.swf Oriente-os inicialmente a medir os ângulos com o auxílio do transferidor virtual e. escrita e oralidade Sugerimos um trabalho com a leitura de imagem. O desenvolvimento dessa habilidade se dará com o uso prático dos instrumentos de desenho. recursos e propostas do manual Leitura.Resolução de problemas IV. No endereço eletrônico a seguir há um exercício que exibe diversos ângulos e possibilita que o aluno estime suas medidas com e sem o transferidor.40 m × 2. aproximando assim a Geometria do cotidiano dos alunos. um quarto de volta. Noções de vistas. Matemática e tecnologia Museu Solomon R. retas paralelas e retas perpendiculares. pois o rótulo de cada um está em inglês. antes de fazerem esses exercícios.shtml 364 Se possível. VI.01 m. há sugestões para se trabalhar com a obra em que Van Gogh retrata seu quarto em Arles. Como utilizar. Repare na quantidade de elementos geométricos presentes na tela do pintor russo Wassily Kandinsky (1866-1944). Ângulos. Ampliar e organizar os conhecimentos sobre figuras geométricas planas. 45 5. ◆◆ Reconhecer e caracterizar polígonos regulares.30 1 5. Assim. como mostra o texto acima do quadro. o encarregado tem necessidade de verificar se o ângulo está certo.10 5 9 m. Deixe que manuseiem os esquadros e que os usem como molde no traçado de outros ângulos. lecionava num colégio instalado próximo ao canteiro de obras de uma hidrelétrica na Amazônia. antes de traçar com eles paralelas e perpendiculares usando esse instrumento. Objetivo geral Fui visitar a Central de Armação. I. de 1. Unidade 10 – Polígonos e circunferências Um conselho especialmente interessante e que pude seguir facilmente: afinal. Para isso.3x  pR R Para ser a 5 x. 11. p. São Paulo: SBM. n. Alexandre. ◆◆ Traçar circunferências utilizando o compasso. no comprimento e com a inclinação apropriados. como se verá –. ◆◆ Identificar quadriláteros e seus elementos.30 ◆◆ ◆◆ Identificar e nomear os polígonos e seus elementos. onde são dobrados os ferros para a estrutura de concreto da barragem. É preciso sair em busca disto e conversar com outras pessoas” (RPM 1. VII.10 1. determinando um arco. uma semicircunferência. 2). com giz. p. Complementação à formação do professor e do aluno Texto para o professor o encarregado toma uma trena. vi algo simples e engenhoso. segurando esta marca. ◆◆ Nomear quadriláteros de acordo com suas características e propriedades. um arco de x cm subtende um arco de a. Imenes e Jakubovic diziam que “o mundo está a nossa volta e a Matemática está presente [. KLEIS. vem R  57 cm. A justificativa é simples. Objetivos específicos 2. mais ou menos como na figura abaixo. E um dia desses. ◆◆ Investigar a existência de eixos de simetria em polígonos e em outras figuras planas. tira 45 cm. II. cuidar bem dele e sempre trazê-lo para as aulas de Matemática. O encarregado recebe um lote de barras de ferro com uma plaqueta. Logo: 2pR x 5 360 a a5 180x 57. ◆◆ Resolver problemas que envolvem o cálculo do perímetro de polígonos.alunos a importância de cada um ter seu material. Em seguida. prepara-se um padrão: dobra-se uma pequena barra que é sobreposta a cada barra preparada para conferir. é preciso inicialmente marcar um ângulo de 45 (no nosso exemplo). e entorta. 1987.] nas atividades de muitas pessoas. sobre uma mesa. Marcando um ângulo sem transferidor Num artigo nesta Revista.60 Embora este serviço seja feito por uma máquina. Revista do Professor de Matemática.indd 365 365 5/13/15 3:58 PM .. 45-46. traça. sobre a semicircunferência. ◆◆ Definir circunferência identificando o centro e o raio e dando significado a eles. ◆◆ Classificar triângulos quanto aos lados e quanto aos ângulos.60 1 2. em particular polígonos e circunferências. Como não se tem transferidor – e nem será preciso. querendo dizer que cada barra. O ângulo subtendido por este arco mede 45. Sugestão de atividade da página 151 A ideia de colar etiquetas nos ângulos dos esquadros possibilita o reconhecimento rápido das medidas e ajuda a memorizá-las. tira 57 cm e.. manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. Uma circunferência de raio R cm tem comprimento 2pR cm e subtende um arco cuja medida é de 360. deverá ser dobrada em ângulo reto numa extremidade e a 45 na outra. Marcando um ângulo sem transferidor. a trena. no item VII. cujo estudo prosseguirá nos anos seguintes. utensílios.S.I. ressaltamos a presença das formas dos polígonos em objetos. pisos. Caso tenha sido feito o estudo da tela de Kandinsky (na Unidade 9). abordamos a nomenclatura dos polígonos quanto aos lados e apresentamos os polígonos regulares. o aluno diferenciou figuras planas de não planas.Classificamos os triângulos quanto aos lados e quanto aos ângulos e. apenas com observação e.P. Articulando a unidade à concepção da obra Edson Antunes Maleabilidade B. recursos e propostas do manual Leitura. painéis de azulejos. temas. apresentamos o conceito de perímetro. O manuseio do compasso precisa ser treinado. definimos a circunferência de forma clara. os conhecimentos sobre as figuras planas serão ampliados e organizados. mostre fotos de vitrais em igrejas. então não é correto falarmos em medida do perímetro. V. losangos e quadrados. Peça aos alunos que identifiquem o centro e deem a medida do raio de cada uma das circunferências. 366 Apresentaremos. Essa motivação para a leitura manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. Dessa maneira. construções. Articulando Geometria e Medidas. Os alunos podem compor um desenho usando somente círculos coloridos desenhados com compasso. Simetria nos polígonos e no círculo e na seção Vale a pena ler da página 174. que será trabalhado ao longo de toda a coleção. Progressivamente. Antes da leitura. Sugerimos que você oriente e supervisione o traçado de várias circunferências no caderno. caracterizamos os trapézios. retângulos. Observamos a rigidez como característica dos triângulos. Se possível. Reforce desde já que perímetro é uma medida. solicite uma pesquisa no dicionário sobre os significados da palavra mosaico. enfim. tudo isso aproxima o conteúdo do cotidiano dos alunos. Você pode mostrar mais objetos e utensílios que ilustrem a aplicação dessas características. Inicialmente. o texto Um pouco sobre a história dos mosaicos para ser trabalhado com os alunos. A ligação com Arte está presente no trabalho com mosaicos e no estudo da simetria proposto no item 7. Com auxílio da concepção de compasso (ponto fixo e distância dada). nessa unidade. IV./Corbis/Latinstock Maleabilidade Na Unidade 8.. Comentários Nessa unidade definimos polígonos. mostrando situações em que ela é desejável e situações em que a maleabilidade é necessária. paralelogramos. Como utilizar. na moda. com a investigação de propriedades e características das figuras. em seguida.indd 366 5/13/15 3:58 PM . sugerimos retomá-lo.. atribuímos naturalmente significado ao centro e ao raio. Fernando Favoretto Mais uma vez. tratando dos quadriláteros. móveis. na arte. escrita e oralidade Rigidez Enfatize que o conhecimento de propriedades das figuras geométricas nos capacita a usá-las de maneira mais eficaz em situações práticas. III. polígonos de não polígonos. tapetes etc. Avaliação Pode ser sugerida aos alunos a construção de mosaicos na malha triangular. Você pode.indd 367 367 5/13/15 3:58 PM . Peça a cada aluno que faça individualmente suas propostas para as medidas dos retângulos. Depois de avaliados.org/material/ show/id/22878 Possibilite que os alunos assistam à animação e explorem livremente todos os seus recursos antes de solicitar-lhes que respondam às questões sugeridas pelo próprio exercício. oferece as opções de ser instalado em um computador ou utilizado remotamente. Matemática e tecnologia No endereço eletrônico a seguir. Citaremos algumas delas em outras oportunidades. Neste outro endereço www. observando como pensam: Usam somente números inteiros? Pensam em decimais? Sugeriram um quadrado? As atividades 3 e 4 apresentados nessa seção trabalham estimativas. Peça que tracem várias circunferências. Interagindo da página 171 Envolve a classificação de triângulos quanto aos lados e a classificação de quadriláteros para depois propor a investigação da existência de eixos de simetria nessas figuras. Exercício 9 Consideramos que paralelogramos são trapézios.geogebra. Aproveite a oportunidade para trazer para a sala de aula instrumentos como trena ou metro de carpinteiro para que os alunos os manuseiem. Nos comentários sobre essa unidade sugerimos usá-la no processo de avaliação. O site do desenvolvedor contém tutoriais e muitas sugestões de atividades já prontas. nos corredores da escola. no item b. Por isso. Observe como resolvem e valorize cada resolução diferente. que. o que deve sempre ser estimulado.geogebra. Os alunos podem entregar a tabela preenchida e as respostas das questões propostas para que você faça a avaliação. Esse exercício estimula a criatividade. Eles criariam mosaicos coloridos e juntamente a essa composição. Resolução de problemas O Refletindo da página 166 apresenta uma atividade que envolve reflexão acerca da conservação de um perímetro. sua nomenclatura e se há polígonos regulares. chamá-los à lousa para compartilhar as diferentes resoluções com os colegas. Exercício 22 Depois de definir circunferência. colocarmos apenas um par de lados paralelos e.org/download há o software completo para download e instalação em um computador e também o aplicativo para uso direto na internet (sem instalação). Esse tipo de questão estimula o pensamento criativo. O exercício proposto no item 7. os trabalhos podem ser expostos em murais. Simetria nos polígonos e no círculo também pode ser utilizado para esse fim. inclusive. estimule os alunos a usar o compasso. Esse tipo de questão estimula o pensamento criativo. os alunos têm a oportunidade de visualizar uma atividade interativa usando o software GeoGebra. apresentariam por escrito um relatório destacando os polígonos presentes em seu mosaico. que contextualizará os temas e as imagens exibidas segundo seu componente. trabalha a coordenação motora.pode contar com a parceria do professor de Arte. a classificação dos polígonos quanto ao número de lados e podem iniciar informalmente percepções sobre o ladrilhamento do plano com polígonos. marcando seu centro e traçando um raio. tomamos o cuidado de. direto na internet: https://tube. em vez de perguntar quais são paralelogramos e quais são trapézios. respectivamente à largura e à altura da figura. Comentários e sugestões sobre os exercícios propostos Exercício 6 Trabalha a decomposição de polígonos em outros polígonos. manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. Exercícios 14 e 15 Retomam e salientam a definição do que são polígonos regulares. VI. escrevermos que há dois pares de lados paralelos. no item c. além de gratuito. Exercício 21 Provavelmente os alunos não perceberão de imediato que a soma das medidas dos segmentos horizontais e dos verticais são iguais. o que será desejável posteriormente no trabalho com cálculo de áreas. com Veja mosaicos com motivos geométricos: Calçada de Copacabana. na definição 22. Por volta da segunda metade do século XV. A geometria que se estuda hoje nas escolas tem suas origens num livro chamado Os Elementos. Consagrados artistas brasileiros como Cândido Portinari e Di Cavalcanti utilizaram mosaicos em diversas de suas obras. Texto para o professor Essa técnica tem milhares de anos e foi muito praticada na Grécia e Roma antigas. vai dizer. onde obras belíssimas revestiam pisos e paredes. como um professor pode lidar com tal situação. Hoje. vitrais. a Itália tornou-se o maior centro de produção de mosaicos. As diferentes definições dos quadriláteros notáveis Quadrados são losangos? Paralelogramos são trapézios? Perguntas como essas são formuladas tanto por estudantes como por professores. vidro. NR. a mesma que deu origem à palavra música. ele apresenta caracterizações de alguns quadriláteros notáveis: Rombo Romboide manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. encontram-se maravilhosos mosaicos. encontramos mosaicos na decoração de ambientes. Com o desenvolvimento de novas técnicas pelos artistas. mármore ou outros materiais numa superfície. além de ser praticado como hobby por muitas pessoas. 1952. Em seguida. Mosaicos construídos com peças cortadas à mão são únicos.C. no artesanato. A partir de 40 a. em salões. E uma nota da redação. Na cidade italiana de Ravena. E é lá que iremos ver como Euclides tratava os quadriláteros. mas não com ângulos retos. Oblongo Rombo é uma figura quadrilátera com quatro lados iguais. Marchello74/ Dreamstime. situado no Edifício do Jornal de São Paulo. por Euclides. Painel em mosaico. que significa “próprio das musas”. o gênero praticamente deixou de ser apreciado.indd 368 5/13/15 3:58 PM . escrito aproximadamente em 300 a. na opinião da RPM. pois cada corte é feito separadamente tornando quase impossível reproduzi-lo. Euclides define “figura quadrilátera” como sendo aquela “contida por quatro linhas retas”. mas que não tem quatro lados iguais. Quadrado Oblongo é uma figura quadrilátera com ângulos retos. São Paulo (SP).C. cerâmica. 368 Quadrado é uma figura quadrilátera de quatro lados iguais com ângulos retos. Este artigo vai contar por que um mesmo quadrilátero pode aparecer na literatura matemática com definições diferentes. calçadas. Ilustrações: DAE Na definição 19 do livro I de Os Elementos. Eles eram utilizados principalmente em motivos religiosos. a produção de mosaicos foi perdendo força. Rio de Janeiro (RJ). Di Cavalcanti. Os gregos formavam quadros usando pequenos seixos brancos. Romboide é uma figura quadrilátera que tem lados e ângulos opostos iguais entre si. além de motivos mitológicos. mas não tem quatro lados iguais nem ângulos retos. em que desenhos ou composições são construídos por meio da colagem de pequenos pedaços de pedra. A palavra mosaico tem origem na palavra grega mouseîn.Acervo Elizabetth Di Cavalcanti VII. Complementação à formação do professor e do aluno Texto para os alunos Um pouco sobre a história dos mosaicos Mosaico é uma forma de arte decorativa.. pretos e de vários tons de vermelho com cenas de luta e de caça. É na Grécia que nasceram as principais ideias da geometria. Podemos observar que o oblongo de Euclides é um caso particular do hoje denominado retângulo, que o rombo é um caso particular do nosso losango e que o romboide é um paralelogramo particular. Representaremos a seguir, por meio de um diagrama de Venn, os conjuntos dos quadriláteros notáveis definidos por Euclides. Quadriláteros Oblongos Rombos Quadrados Romboides Paralelogramo é o quadrilátero que tem os quatro lados paralelos dois a dois. Nessas novas definições, as restrições impostas aos retângulos e aos losangos foram eliminadas: agora todo quadrado pode ser considerado losango e retângulo. É importante observar que o processo que possibilitou evoluir para as definições modernas de Hadamard levou muitos anos. Durante séculos, a obra de Euclides serviu de modelo para o ensino de Geometria e cada novo autor de manual de Geometria respeitava a divisão dos conteúdos da obra de Euclides, bem como as definições e proposições. Quadriláteros Legendre, que preconizava uma Geometria mais rigorosa e menos intuitiva, caracterizava os quadriláteros notáveis da seguinte maneira: Paralelogramos Retângulos Quadrados Entre os textos de Geometria que foram importantes no ensino, depois dos Elementos de Euclides, estão os Elementos de Geometria de Legendre (1793) e o tratado de Hadamard (1898), Leçons de géométrie élémentaire. Losangos O quadrado tem seus lados iguais e seus ângulos retos. O retângulo tem ângulos retos sem ter os lados iguais. O losango tem os lados iguais sem que os ângulos sejam retos. O paralelogramo tem os lados opostos paralelos. Podem-se observar algumas diferenças entre as definições de Legendre e as de Euclides. O oblongo e o rombo de Euclides passam a ser denominados, respectivamente, de retângulo e losango. O romboide recebe o nome de paralelogramo, mas o seu conceito é ampliado: agora, o paralelogramo apresenta os lados opostos paralelos. Essa alteração na definição permite que os quadrados, os retângulos e os losangos sejam também classificados como paralelogramos. Mais tarde, em 1898, Hadamard caracteriza os quadriláteros notáveis de uma maneira mais ampla: Quadrado é um quadrilátero que tem todos os lados iguais e todos os ângulos iguais. Retângulo é um quadrilátero que tem todos os ângulos iguais e, consequentemente, retos. Losango é um quadrilátero que tem os quatro lados iguais. Os quadriláteros notáveis na obra de Hadamard Voltando ao ensino dos quadriláteros, podemos dizer que as concepções dos nossos alunos relativas às definições dos quadriláteros notáveis, nas séries iniciais, assemelham-se muito às de Euclides e Legendre. Os quadrados, losangos, retângulos e paralelogramos são identificados dentro de quatro classes distintas de objetos matemáticos. Quando as definições mais amplas são introduzidas, parecenos que uma dificuldade do aluno em aceitá-las está no fato de ter que fazer corresponder a um único nome (por exemplo, retângulo) objetos matemáticos representados por formas diferentes (retângulo e quadrado). Compete a nós, professores de Matemática, a tarefa de acolher o saber trazido pelos alunos (e que não está errado!) e de fazê-los progredir lentamente para uma concepção mais ampla, como a de Hadamard, generalizando proposições relacionadas com quadriláteros. NR Questionamentos causados pelas definições diferentes de alguns quadriláteros incomodam, mas não provocam maiores consequências. manual do professor prm6_mp_332_389_especifica.indd 369 369 5/13/15 3:58 PM O que você, professor, pode fazer: 1. adotar uma das definições existentes (nunca inventar novas definições). Se a turma estiver usando um livro-texto, adotar, de preferência, a definição dada nesse material; 2. avisar aos alunos que talvez eles encontrem definições ligeiramente diferentes, pois, historicamente, elas sempre existiram; 3. responder coerentemente a perguntas como as do início deste artigo, se forem feitas por alunos, mas não provocar esse tipo de questionamento. Desenhe um esquema semelhante para o retângulo, o losango e o quadrado. Coloque nos quadros tudo o que sabe sobre estes polígonos. Confira seus esquemas com os dos colegas e com o professor. Unidade 11 – Frações I. Objetivo geral ◆◆ Reforçando nosso argumento: O que é importante saber sobre o losango? Que é um paralelogramo; que seus lados são congruentes; que suas diagonais são perpendiculares. Falar sobre os ângulos do losango é uma “questão de gosto”. Se eles puderem ser retos, o quadrado é losango. Se eles não puderem ser retos, o quadrado não é um losango. Só isso! BONGIOVANNI, Vincenzo. As diferentes definições dos quadriláteros notáveis. Revista do Professor de Matemática. São Paulo: SBM, n. 55, p. 29-32, 2004. Atividade complementar para os alunos A atividade a seguir ajuda a organizar os conhecimentos sobre os quadriláteros e suas características. Você pode colocar no quadro ou digitar e imprimir para que os alunos completem e depois colem nos cadernos, como uma síntese sobre as figuras vistas. Verifique se nos esquemas que desenharão sozinhos escrevem todas as características vistas no texto didático. Observe o esquema que montamos para o trapézio, escrevendo nos quadros as características deste polígono. Complete o que falta nesse esquema e preencha o esquema do paralelogramo. Trapézio Quadrilátero Tem um par de lados... paralelos Paralelogramo quadrilátero 370 tem dois pares de lados paralelos Reconhecer e interpretar números racionais na forma fracionária em diferentes contextos, aplicando os conhecimentos sobre frações para representar e resolver problemas. II. Objetivos específicos ◆◆ Representar partes de um todo e certos resultados de medidas por meio de frações. ◆◆ Ler e escrever frações, identificando e dando significado ao numerador e ao denominador. ◆◆ Conhecer contextos históricos ligados à criação das frações. ◆◆ Calcular uma fração de uma quantidade. ◆◆ Dada uma fração de uma quantidade, obter essa quantidade. ◆◆ Identificar e obter frações equivalentes a uma fração dada. ◆◆ Comparar frações. ◆◆ Operar com frações. ◆◆ Resolver problemas envolvendo frações e suas operações. III. Comentários Com base em situações contextualizadas, retomamos o significado de fração como parte de um todo, além da representação e leitura de frações. Nesta coleção, o significado de fração como quociente e o conceito de razão serão explorados a partir do 7o ano. Destacamos o trabalho com frações equivalentes, visando à sua aplicação na comparação, na simplificação, na adição e na subtração de frações de denominadores diferentes. É importante mostrar aos alunos como os conceitos de múltiplo e de divisor se aplicam no estudo das frações. Consideramos que há dois aspectos que devem ser assegurados: manual do professor prm6_mp_332_389_especifica.indd 370 5/13/15 3:58 PM ◆◆ o aluno deve perceber que frações equivalentes representam o mesmo número – ou seja, são numerais diferentes para um mesmo número – e que todo número natural pode ser escrito na forma de fração; ◆◆ na adição e subtração de frações, o conceito de fração equivalente é aplicado de forma consciente, evitando procedimentos do tipo: “divide pelo de baixo, multiplica pelo de cima”. Deve-se insistir no cálculo mental para a obtenção do mmc dos denominadores na adição e subtração com frações, valendo-se do processo prático (algoritmo de decomposição) só quando for realmente necessário. Também sugerimos insistir na simplificação dos resultados das operações e na utilização do cancelamento nas multiplicações. Embora não trabalhemos especificamente as propriedades da adição e da multiplicação, por meio de atividades os alunos perceberão que elas também se aplicam às operações com frações. É delicado apresentar a multiplicação de fração por fração, pois a ideia de adição de parcelas iguais não se aplica. Optamos por mostrar por meio de figuras o que ocorre quando, por 2 4 de . Se necesexemplo, queremos calcular 3 5 sário, apresente mais exemplos com figuras. Caso na escola haja acesso à internet, no endereço há um objeto educacional que exibe essas figuras. http://www.visualfractions.com/teachers/ Quando apresentamos a divisão de f­ rações, introduzimos o elemento inverso, mas de maneira informal. No 7o ano, quando apresenta­ re­ mos frações como quocientes, todas as operações serão retomadas e, no 8o e 9o anos, as propriedades das operações serão abordadas formalmente. IV. Articulando a unidade à concepção da obra Procuramos construir conceitos e apresentar as operações com frações priorizando a compreensão, com base em desenhos e esquemas que representem situações com esse tipo de número. Sempre que possível, buscamos integrar frações e Medidas, frações e Geometria, frações em gráficos de setores. Dois textos (páginas 184 e 190) foram selecionados para dar significado histórico às frações, mostrando suas origens, os registros feitos por civilizações antigas e sua presença na obra de Leonardo de Pisa. V. Como utilizar, nessa unidade, temas, recursos e propostas do manual Leitura, escrita e oralidade Propomos a leitura dos textos de caráter histórico das páginas 184 e 190, com estratégias diferentes em cada um. A leitura do texto Egípcios, Fibonacci e as frações pode ser solicitada como tarefa de casa, incluindo as questões propostas e ainda as perguntas a seguir. 1. A partir de que século tornou-se usual o registro de frações usando o traço horizontal? Esse século começou e terminou em quais anos? 2. De onde veio o apelido “Fibonacci” dado à Leonardo de Pisa? 3. Qual é o nome de seu livro mais famoso e em que século foi terminado? Em sala de aula, peça a vários alunos que façam a leitura do texto As frações e as medi­ das em voz alta, cada um lendo um trecho. Você também pode solicitar que escrevam uma síntese das informações a seguir: ◆◆ a influência do Nilo no surgimento de números menores que a unidade no Antigo Egito; ◆◆ o nome dado aos funcionários do faraó que demarcavam terrenos; ◆◆ os procedimentos utilizados nessa demarcação; ◆◆ a necessidade que possivelmente os levou à criação de novos números. Resolução de problemas Na página 181 apresentamos uma seleção de problemas com frações. Sugerimos trabalhá-los com os alunos em trios, na sala de aula. Antes de aplicá-los, coloque na lousa o roteiro a manual do professor prm6_mp_332_389_especifica.indd 371 371 5/13/15 3:58 PM ◆◆ Leiam o problema com atenção. ◆◆ Identifiquem o contexto do problema (do que ele trata?). ◆◆ Escrevam a pergunta (o que se quer determinar?). ◆◆ Escrevam os dados, as informações. ◆◆ Discutam uma estratégia de resolução. ◆◆ Resolvam o problema e apresentem a resposta completa, avaliando se é adequada à situação. Deixe que trabalhem livremente enquanto você circula pela sala acompanhando os grupos e dando apoio a eles. Escolha um dos problemas – por exemplo, o 18 – e solicite que descrevam com palavras como pensaram para resolvê-lo. Terminada a atividade, chame cada grupo para apresentar a resolução de um dos problemas. Valorize soluções diferentes para uma mesma questão. Avaliação A atividade sugerida pode gerar uma nota oriunda parte da observação do trabalho dos grupos (disciplina, concentração, troca de ideias, criatividade, registros adequados etc.), parte da correção dos exercícios. Uma outra sugestão: Pedaços de ­barbante propiciam desenvolver uma atividade manipulativa interessante (também avaliativa), que possibilita observar a representação, a escrita, a leitura, a ideia de fração equivalente e outros conhecimentos sobre frações. Além de um pedaço de barbante de aproximadamente 1,2 m de comprimento, cada aluno deve trazer uma tesoura escolar e uma caneta com tinta colorida. Veja a seguir algumas sugestões de encaminhamento. Também é possível explorar outras questões. 1. Cada aluno, sentado em sua carteira, deve cortar dois pedaços de barbante de mesmo comprimento. Esse comprimento deve ser igual ao de seu braço esticado (do ombro ao punho). 372 2. Feito isso, ele deve dividir o primeiro pedaço de barbante em 4 partes iguais, dobrando-o. O pedaço não deve ser cortado. As divisões serão marcadas com a caneta colorida, como mostra a fotografia. Fernando Favoretto seguir para orientá-los nesta e em outras oportunidades de resolução de problemas. Barbante sobre a carteira. 3. Usando o mesmo procedimento, ele deve dividir o segundo pedaço em 6 partes iguais. Deixe que eles façam sozinhos a divisão e as marcas. Observe e avalie esse procedimento. 4. Os alunos podem inicialmente escrever no caderno as frações do comprimento do bra1 1 ço marcadas em cada barbante: , etc. 4 6 Solicite a participação de alguns oralmente (leitura dessas frações) e de outros por escrito; estes devem ir à lousa para registrá-las. Em seguida, você pode pedir que: ◆◆ 1 do compri4 1 mento do braço de um com do com4 primento do braço de outro, para percecomparem, em duplas, berem que existem vários comprimentos 1 1 correspondentes a , ou seja, de “al4 4 go” depende desse “algo”; ◆◆ explorem no concreto a equivalência en1 2 2 4 tre frações ( 5 , 5 etc.) e algu2 4 3 6 1 1 3 1 mas operações, como 1 5 5 , 6 3 6 2 1 1 5 1 5 . 2 3 6 Avalie o desempenho dos alunos nessas atividades tanto no aprendizado do conteúdo como nos aspectos atitudinais. manual do professor prm6_mp_332_389_especifica.indd 372 5/13/15 3:58 PM Matemática e tecnologia No endereço eletrônico a seguir, você encontra um jogo interativo que explora frações equivalentes. Solicite aos alunos que o explorem individualmente ou em duplas, anotando e simplificando as frações apresentadas no jogo. 2 pode ser representado na forma 3 2 2 6 e, se multiplicarmos o divisor,  , e o divi3 3 3 dendo, 6, pelo número   transformamos o divisor 2 Por exemplo: 6  em 1. Representamos: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/ bitstream/handle/mec/10471/Frações_ Equivalentes.swf 6 3 2 6 3 1 2 VI. Comentários e sugestões sobre os exercícios propostos 2 3  3 2 9 1 Interagindo da página 180 Se julgar interessante, explique o que é consumo por litro de um automóvel e complemente a questão 3 com o cálculo para cada modelo. Refletindo da página 182 Se necessário, dê mais exemplos de frações que representam quantidades inteiras. Exercício 25 Propõe que os alunos descubram como extrair inteiros dada uma fração imprópria, apresentando essa terminologia que, por vezes, é usada. que tem 9 como resultado. É claro que 9 é também 2 o resultado da divisão original 6 : , uma vez que a 3 multiplicação do divisor e do dividendo por um mesmo número não altera o resultado da divisão. Um outro exemplo: 2 2 4    ou   3 3 7 2 7  3 4 7 6 Exercício 53 Trabalha adições com números naturais e frações. Se preciso, faça alguns exemplos na lousa. Refletindo da página 199 Retome o fato de que a multiplicação de um número por outro entre 0 e 1 resulta em um número menor do que o primeiro. VII. Complementação à formação do professor e do aluno Para o professor Texto 1 Divisão de fração por fração Normalmente, muitos alunos de uma turma do 1o grau* têm dificuldade em entender os passos dados na divisão por fração. Uma forma diferente de encaminhar essa divisão pode melhorar o entendimento. * O 1o grau corresponde, neste caso, aos anos finais do Ensino Fundamental, ou seja, do 6o ao 9o ano. que é igual a 4 7 4 7  7 4 1 7 . 6 MADEIRO, Paulo C. Divisão de fração por fração. Revista do Professor de Matemática, São Paulo: SBM, n. 30, p. 22, 1996. Texto 2 Problemas-narrativas Os problemas-narrativas são apresentados por meio de uma situação imaginária, uma pequena história. Malba Tahan, ou Júlio Cesar de Mello e Souza, autor de livros famosos, como O homem que calculava, era especialista nesse tipo de problema, que tem sua origem perdida no tempo. Ao longo da história, problemas-narrativas passaram de geração em geração, apresentando mudanças no contexto e na linguagem, mas ainda atraindo o interesse das pessoas. Apresentaremos três exemplos. Sugerimos trabalhá-los com os alunos. Uma excelente fonte de pesquisa sobre esse assunto é o livro Explorando as operações aritméticas com recursos da história da matemática, de Circe Mary Silva da Silva (Editora Plano, 2003). manual do professor prm6_mp_332_389_especifica.indd 373 373 5/13/15 3:58 PM Primeiro problema Trata-se de um problema bastante conhecido, proposto por Beda, monge saxão nascido em 673, que também era teólogo e historiador. Este problema – atribuído a Júlio Cesar de Mello e Souza (Malba Tahan) – é uma variação de um antigo problema da antologia grega. Um lobo, uma cabra e uma couve têm de atravessar um rio num barco que transporta um de cada vez, incluindo o remador. Como o remador os levará para o outro lado de forma que a cabra não coma a couve e o lobo não coma a cabra? Ao cair da tarde, dois mendigos voltavam para suas choupanas. Cada um deles levava certo número de moedas. Em dado momento, um dos mendigos, em tom queixoso, disse ao companheiro: Solução proposta por Beda: 1o vai o homem com a cabra; 2o volta o homem sozinho; 3o vai o homem com o lobo; 4o volta o homem com a cabra; 5o vai o homem com a couve; 6o volta o homem sozinho; 7o vai o homem com a cabra. Veja um problema semelhante disponível nos dias de hoje: Em um barco, um pescador precisa levar, de uma margem para a outra do rio à sua frente, um saco de milho, uma galinha e uma raposa. O problema é que o barco só aguenta ele e mais uma das três cargas (o milho ou a galinha ou a raposa) por vez. Ele não pode deixar a galinha com o milho, porque a galinha comeria o milho, nem pode deixar a galinha com a raposa, se não a raposa comeria a galinha... O que ele deve fazer? Segundo problema Mais um problema sugerido por Beda: Uma pomba que estava em uma árvore viu chegar um bando de outras pombas e disse: “Se fosseis outras tantas e outras tantas e eu, seríamos 100”. Quantas pombas iam voando? Resposta: 33 pombas. Terceiro problema Este problema – atribuído a Filippo Calandri em seu Tratado di Aritmetica (1491) – é muito parecido com problemas apresentados nos livros didáticos de hoje. Três homens estavam numa prisão da qual desejavam fugir. O primeiro disse que poderia arrombar a prisão em 6 horas; o segundo disse que poderia arrombar em 12 horas; o terceiro disse que poderia arrombar em 18 horas. A pergunta é: Se todos os três trabalharem juntos, em quanto tempo eles arrombarão a prisão? Resposta: 3 horas e 5 minutos. 374 Quarto problema – A sorte hoje não me favoreceu. Se você me desse duas de suas moedas, ficaríamos ambos com a mesma quantia. – Essa é boa – replicou o outro, em tom de gracejo. – Essa é muito boa! Se você me desse duas de suas moedas eu ficaria com o triplo do que você teria de resto. Pergunta-se: Quantas moedas tinha cada um dos mendigos? Resposta: 6 moedas e 10 moedas Para os alunos Atividade complementar 1 Os alunos costumam interessar-se pela atividade dos estiradores de corda, funcionários dos faraós do Antigo Egito. É possível aproveitar esse interesse para trabalhar algumas ideias utilizando um pedaço de barbante. O barbante pode ser “dobrado” de forma que você consiga dar os “nós” que o dividirão em um número n de partes iguais. Adotando a distância entre dois nós como unidade de medida, meça, com o barbante, o comprimento da sala de aula – nesse momento, comente como deve ter surgido a necessidade de fracionar a unidade. Os alunos devem tentar expressar a medida com um número misto: x “nós” e uma fração de “nó” estimada por eles. Provavelmente também perceberão que uma distância menor entre os nós (unidade de medida menor) melhoraria a precisão da medida. Atividade complementar 2 Para exercitar o reconhecimento de frações que representam números inteiros, sugerimos uma atividade lúdica. A ideia pode ser adaptada para frações equivalentes, seguindo as mesmas ideias. O cãozinho quer chegar até o osso. Ajude-o a descobrir o caminho, pois ele só pode se deslocar para casas onde hajam frações que representam números inteiros. manual do professor prm6_mp_332_389_especifica.indd 374 5/13/15 3:58 PM 12 6 8 2 cãozinho 21 4 12 3 21 7 3 2 23 13 9 8 6 10 35 7 10 8 9 4 150 3 18 9 100 5 14 7 26 12 8 8 2 8 osso Unidade 12 – Números decimais I. Objetivos gerais ◆◆ ◆◆ Resolver problemas que envolvam números decimais. Estendendo as regras do sistema de numeração decimal, retomamos o registro e a leitura dos números racionais na forma decimal. Os alunos apresentam conhecimentos anteriores sobre os números decimais. A partir do 6o ano esses conhecimentos são aprofundados e organizados. 16 10 10 5 ◆◆ III. Comentários 3 9 12 5 Operar com números decimais e estimar resultados. 18 6 50 10 6 1 ◆◆ Estender as regras do sistema de numeração decimal na representação de ­números racionais na forma decimal, compreendendo esses registros. Reconhecer a forma decimal dos números racionais em diferentes contextos, aplicando-os na representação e na resolução de situações-problema. II. Objetivos específicos ◆◆ Escrever frações decimais na forma de número decimal e vice-versa. ◆◆ Ler números decimais. ◆◆ Utilizar números decimais para registrar medidas. ◆◆ Comparar números decimais. O trabalho com figuras e com o registro de medidas é importante nesse processo. Explorar a régua é fundamental. Muitos alunos chegam ao 6o ano ainda com dificuldade em sua utilização. Peça que, usando números decimais, tracem segmentos com diferentes medidas. Se for possível, disponibilize em sala de aula uma balança e um termômetro clínico nos quais seja possível observar as subdivisões decimais das unidades. Explore, com os alunos, a leitura de medidas feitas com régua e com esses instrumentos. Uma situação do cotidiano introduz a adição e a subtração de números decimais. O texto lembra que o procedimento adotado na adição de números naturais – ou seja, considerar as centenas, as dezenas e as unidades que formam esses números e reuni-las, separadamente, reagrupando, se necessário – pode ser utilizado com os números decimais. Colocar vírgula embaixo de vírgula é um modo de facilitar o processo. Na comparação de números decimais, vale lembrar que, enquanto com números naturais a quantidade de ordens na escrita do número é um indicador de ordem de grandeza, com números decimais isso não ocorre: 7,1 > 2,6734, por exemplo. Você deve estar atento a essa provável dificuldade dos alunos. Observando padrões nas multiplicações e divisões por 10, 100, 1 000 etc., o aluno compreenderá como obter o produto de números decimais. Esses padrões também serão importantes na escrita de números na notação científica, assunto do 8o ano. Trabalhamos a divisão de números naturais com quociente decimal, retomando mais uma manual do professor prm6_mp_332_389_especifica.indd 375 375 5/13/15 3:58 PM vez as regras do sistema de numeração decimal. Os procedimentos para a divisão de números decimais serão bem compreendidos por meio da propriedade já vista na Unidade 4 e retomada no início da seção que discute a divisão de números decimais. Retome essa propriedade propondo aos alunos que façam divisões como as apresentadas a seguir, chegando eles mesmos à conclusão. 2 2  10  10  10  10 400  600 5 4 12  3 5 4   24  6 5 4  240  60 5 4  2  etc. Enfatizamos o trabalho com estimativas por arredondamento para o resultado de operações com números decimais. É importante mostrar aos alunos como as estimativas podem evitar erros. Sempre que for efetuar uma operação, peça que estimem a ordem de grandeza do resultado. Por exemplo, é comum os alunos errarem em divisões do tipo 81,6  8. Em geral, eles apontam erradamente 1,2 como quociente. Se estimarem que “81  8 dará pouco mais do que 10”, perceberão seu erro. Destacamos, ao longo do texto, situações que podem oferecer dificuldade para os alunos e que merecem sua atenção. A multiplicação por um número racional entre 0 e 1 resulta em um produto menor do que o número inicial. Na divisão por um número racional entre 0 e 1, o quociente obtido é maior do que o número inicial. Para tornar claro por que isso ocorre, você pode utilizar outros exemplos simples ( 0,5 e  0,5) e figuras. IV. Articulando a unidade à concepção da obra Procuramos trabalhar os números decimais por meio de situações contextualizadas, fazendo as conexões entre esse tipo de registro, os números naturais, frações decimais e medidas. A compreensão dos procedimentos usados nas operações com decimais foi prioridade, principalmente na multiplicação e divisão, nas quais o trabalho com estimativas e arredondamentos prossegue, aliado ao uso da calculadora para investigar e conferir resultados. V. Como utilizar, nessa unidade, temas, recursos e propostas deste manual Leitura, escrita e oralidade Solicite a leitura do item 2. Números decimais e o registro de medidas, página 210. O texto trata do registro de medidas não inteiras, usando decimais. Peça aos alunos que leiam o texto em casa e elaborem uma situação-problema na qual apareçam medidas de comprimento, de massa ou de temperatura para ser resolvida por um colega. Eles devem escrever o enunciado no caderno e resolver a questão. Em sala de aula, alguns alunos leem as questões e outros as resolvem na lousa. A atividade também será útil para resgatar conhecimentos prévios sobre medidas, tema da próxima unidade. Resolução de problemas Os números decimais estão presentes em diversos contextos. Usando jornais, revistas, propagandas, folhetos e observando situações do cotidiano, os alunos, organizados em trios, podem elaborar e resolver problemas que envolvam números decimais e suas operações. O encaminhamento da atividade seria o mesmo sugerido para as unidades 3 e 4. Avaliação As atividades sugeridas nos dois itens anteriores podem compor a avaliação dos alunos, também nos mesmos moldes sugeridos para as unidades 3 e 4. Matemática e tecnologia https://pt.khanacademy.org/math/arithmetic/decimals/dividing_decimals/v/dividing-completelyto-get-decimal-answer Videoaula sobre divisão de inteiros com quociente decimal. Na página da Khan Academy há várias opções de vídeos e de exercícios envolvendo operações com decimais. 376 manual do professor prm6_mp_332_389_especifica.indd 376 5/13/15 3:58 PM VII. seguindo a carreira militar. 2003. Ao longo dos anos em que viveu na Holanda. Texto para professor e alunos Na Unidade 12 há um boxe histórico sobre Simon Stevin. manual do professor prm6_mp_332_389_especifica.htm>. punha em prática seus estudos.  De Thiende. Interagindo da página 218 Embora os números decimais tenham sido usados de alguma maneira.usp. anteriormente. tornando as operações com frações decimais tão simples quanto com números inteiros. ◆◆ Resolver problemas que envolvam porcentagens. e muitos outros matemáticos tenham trabalhado com frações decimais. Esta foi uma característica marcante na vida de Stevin: ele não era só um teórico.indd 377 377 5/13/15 3:58 PM . Complementação à formação do professor e do aluno DEVREESE. Em uma obra de 1581.VI. Teve muitas patentes registradas. preço etc. depois de colarem os recortes. pois pretende mostrar o quanto os números decimais são frequentes no cotidiano. que a utilização da notação decimal adquiriu destaque. Florian. sabendo identificar valores correspondentes a porcentagens básicas. Tradução de Lázaro Coutinho. Stevin foi um brilhante engenheiro. o que ajudou a popularizar esta forma de registro. foi publicada em 1585. Pode ser usado como motivação para o aprendizado do conteúdo. Comentários e sugestões sobre os exercícios propostos Sua obra mais famosa. 2a ed. Uma história da Matemática. BERGHE. II. publicou 11 livros e trouxe muitas contribuições à Física e à Astronomia. Trabalhou como guarda livros em Antuérpia e como balconista num escritório de cobrança de impostos de Bruges. Atividades sugeridas na página 216 Incentive o uso da calculadora para investigar o que ocorre nas multiplicações por 10. Jozef T. Objetivos específicos ◆◆ Relacionar o símbolo “%” com frações decimais e centésimos. Verifique novamente se os alunos conseguem concluir o que e por que ocorre. Tradução de Elza F. Stevin aplicou a notação decimal à subdivisão de moedas e de medidas. tão importante para a história da Matemática. ou. pelos Árabes e pelos Chineses. CAJORI. identifiquem a aplicação de cada número: medida de comprimento. Guido Vanden. de massa. construindo moinhos e portos para o exército holandês no qual se alistou em 1593. cujo título traduzido é Nova invenção das contas das empresas. Fontes de pesquisa: A calculadora será útil para perceberem o que acontece quando fazemos uma multiplicação por um número entre 0 e 1. foi a partir das ideias e obras de Stevin. tendo contribuído com invenções importantes no ramo da hidráulica e da navegação. Simon Stevin nasceu em Bruges na Bélgica. 2008. Rio de Janeiro: Ciência Moderna. ◆◆ Construir estratégias variadas para o cálculo de porcentagens. Acrescentamos neste item mais dados sobre sua vida e obra para sua informação. ◆◆ Escrever porcentagens na forma de número decimal. Além de matemático.. Instituto de Física da Universidade de São Paulo Disponível em: <http://ecalculo. Verifique se os alunos percebem regularidades nos produtos e se isso os induz a operar mentalmente. Objetivo geral ◆◆ Reconhecer a importância das porcentagens nos contextos social e científico. ele mostra regras simples para fazer cálculos contábeis facilitando o trabalho no comércio da época. 2007. BOYER. Carl Benjamin. História da Matemática. Interagindo da página 208 O trabalho de Stevin permitiu que evoluíssemos do cálculo com frações para o cálculo com números sem denominadores. 1 000 etc. Acesso em 20/04/2015 Unidade 13 – Porcentagens I. até mesmo para compartilhar com os alunos. antes de ir para Leiden onde ingressou na Universidade. Magic is no magic: the wonderful word of Simon Stevin. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher. Boston: Press Wit. ◆◆ Utilizar corretamente a calculadora para determinar porcentagens.br/historia/ stevin.if. Deixe que os alunos. 100. )? Todos os grupos farão essa parte da pesquisa. A análise e a discussão desses dados serão utilizadas para avançar um pouco mais com os alunos em sua formação cidadã. pois o fechamento do trabalho será a elaboração de um texto coletivo que apresente propostas concretas (mesmo que pequenas. temas. associamos o símbolo “%” com centésimos e priorizamos o cálculo mental das porcentagens usuais. nessa unidade. escrita e oralidade O texto 1. Sugerimos exercitar esse uso com os alunos. A sugestão que apresentamos a seguir é uma entre muitas possibilidades. plástico. alimentação saudável. Aula 1 Você pode motivar a turma levantando questões como: ●● ●● ●● Leitura. o que é 100%. lixo orgânico etc. Terminada a leitura. dando-lhes significado. 2. preços de eletroeletrônicos etc. Comentários As porcentagens. música. como feito no livro. enriquecendo assim seu vocabulário. durante a leitura. como o que é o Censo. IV. anotem no caderno o significado e a representação das porcentagens básicas que aparecem. papel. representações e aplicações serão abordadas em vários momentos nesta coleção. futuras profissões. tóxico etc. é bastante simples e pode ser lido de forma autônoma pelos alunos em sala de aula. Oriente-os a. visando à educação ambiental. Essa temática pode gerar um trabalho interessante que envolva a Matemática na pesquisa e análise de dados numéricos. 10% etc. O produto final será um cartaz. Articulando a unidade à concepção da obra A ênfase nessa unidade está no cálculo men­tal das porcentagens usuais e nos procedimentos de uso da tecla “%” da calculadora. O texto e os exercícios exploram situações contextualizadas que envolvem porcentagens. ele desaparece? O que acontece com o lixo depois que o jogamos fora? Quanto será que uma pessoa produz de lixo por dia? E um país? Para onde vai esse lixo? Em seguida. informática. limitadas ao âmbito escolar) que contribuam para diminuir a produção do lixo. alguns alunos podem ir à lousa explicar aos colegas. porcentagens estão presentes em inúmeros assuntos. manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. Resolução de problemas Como dissemos. O que é considerado lixo? Quais são os tipos de lixo (orgânico. Cada trio pesquisará: 1. recursos e propostas deste manual O trabalho sugerido a seguir terá como finalização a escrita coletiva de um texto com propostas elaboradas pelos alunos. Os problemas ligados à produção e ao destino do lixo – que provavelmente foram trabalhados com os alunos nos anos anteriores – podem ser considerados uma das situações que mais urgentemente necessita de propostas para solução. Mostramos como empregá-la para determinar porcentagens. revistas e internet são importantes fontes para exemplos e atividades.indd 378 5/13/15 3:58 PM . em qualquer texto em que apareçam palavras cujo significado eles não saibam. O que é porcentagem. com suas palavras e com base nas anotações. vidro.. mostrando exemplos numéricos. destacar. da página 231. Jornais.III. sempre associado à ideia de que sua operação e utilidade dependem do domínio dos conceitos matemáticos. trabalho voluntário. Nessa unidade. Dados a respeito de um dos seguintes temas (um tema para cada trio): Composição média do lixo urbano ●● Tipo de material e porcentagem aproximada na composição do lixo: metal. Peça que. 50%. os alunos podem ser organizados em grupos de três. seus significados. O tema “porcentagem” proporciona a oportunidade de abordar assuntos ligados à formação cidadã. 378 ●● Quando jogamos o lixo na lixeira. anotar e procurar em um dicionário as palavras em questão. orçamento doméstico etc. Você pode se valer de outros exemplos que abordem temas do interesse dos alunos: esportes. Essa atividade sem dúvida desenvolverá a capacidade de escrita e de expressão oral. Destacamos a relevância do uso da calculadora. V. Como utilizar. indd 379 379 5/13/15 4:17 PM .br www.br É importante explicitar o cronograma de trabalho e o que será avaliado. Se a escola tiver biblioteca ou hemeroteca. Os gráficos seriam importantes na montagem dos cartazes.Reciclagem 1 ●● Quais são os materiais recicláveis? ●● Quanto tempo cada material leva para se decompor na natureza? ●● Quantidade de lixo produzido no Brasil e no mundo. usinas de compostagem.org.br www. marcando uma data (duas ou três semanas adiante. Alunos do grupo Aula 2 – Pesquisa VALOR 1.usp. aterros sanitários): porcentagem de lixo que vai para cada um desses destinos.0 Nota final: de 0 a 10 Tema Reciclagem 1 Ana Silvia Rui Tema Reciclagem 2 Luís etc. Reciclagem 3 ●● ●● ●● Números da reciclagem no mundo.cempre. Distribua os temas entre os grupos e forneça a bibliografia para as pesquisas.ib. Os alunos podem também compor gráficos em planilhas eletrônicas usando os dados pesquisados. Veja a seguir algumas sugestões de sites confiáveis que tratam desses assuntos: www.0 Aula 3 – Execução em sala VALOR 1.0 Aula 5 – Debate e texto coletivo VALOR 1. Nesse caso. Reciclagem 2 ●● Números da reciclagem no Brasil: porcentagem de reciclagem de cada tipo de material. manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. oriente-os a buscar sites confiáveis. por exemplo) para que os grupos tragam o material colhido. Coleta do lixo: porcentagem de domicílios que têm esse serviço e porcentagem de cidades brasileiras que têm coleta seletiva. Seria interessante utilizar a internet como fonte de pesquisa.com.5 Conteúdo VALOR 4. por dia.br www.lixo.0 Aula 4 – Apresentação dos trabalhos VALOR 1. Destinos do lixo (lixões.com. Sugerimos que a pesquisa seja individual para evitar que os alunos precisem se encontrar fora do horário das aulas.5 Atitude VALOR 1. Na aula 2. as pesquisas serão socializadas entre os três componentes.ciaeco. Como na Unidade 7 trabalharam com gráficos. podem ser retomados nesse momento.ambientebrasil.com. Veja a seguir uma sugestão de tabela para a distribuição da nota. como de órgãos governamentais e não governamentais conhecidos e idôneos (fornecemos sugestões logo a seguir). pode-se pedir que os funcionários recolham com antecedência artigos e reportagens para servir de fonte de consulta aos alunos.br www. as equivalências mais usuais: 4 1 3 1 5 50%. http://objetoseducacionais2. 2 4 5 VII. você deve acompanhar e avaliar os grupos. Aula 4 Depois da correção dos conteúdos. O que há de interessante nessas questões? Elas en- manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. Interagindo da página 238 A questão 4 propicia um trabalho interessante com a aplicação de porcentagens em situações reais. O objetivo é escrever com eles um texto coletivo que contenha as principais informações levantadas e. os trios se reúnem para organizar as pesquisas e definir o formato do trabalho: título. Apresentamos sugestões de como fazê-lo nos comentários da Unidade 1. No final da aula. Esse trabalho pode ser utilizado como instrumento de avaliação. cuja data será marcada por você. cada grupo deve ter.mec. Exercício 20 A título de introdução ao estudo de gráficos de setores a ser abordado propriamente no 7o ano. 5 75%. apresentar textos que complementem os temas selecionados. curiosidades. Aula 3 Montagem e entrega do cartaz. principalmente. Se possível. Novamente.indd 380 5/13/15 3:58 PM . orientar as pesquisas. Esse trabalho apresenta diversas oportunidades para a participação de outras disciplinas: Geografia. Circule pela sala de aula atribuindo uma nota individual para as pesquisas e orientando os grupos quanto ao conteúdo e à formatação do trabalho. pode ser divulgado para o restante da comunidade escolar. retomando informações e ouvindo a análise feita por eles sobre os dados pesquisados. compiladas pela professora Renate Watanabe. por exemplo. Sugerimos o uso de papel canson A4 no lugar de cartolina. A ligação com Língua Portuguesa na elaboração e correção do texto coletivo seria muito proveitosa. Avaliação Esse trabalho oferece oportunidade de avaliação com base no detalhamento acima. Quando o texto estiver pronto e revisado. Complementação à formação do professor e do aluno Texto para o professor Uma forma interessante de propor questões tipo teste Na Revista do Professor de Matemática número 27 há um artigo com exemplos de questões.swf VI. Esse momento também é propício para a avaliação da parte atitudinal. Acompanhe as conversas. Aula 5 Nessa aula propomos mediar uma grande conversa entre todos os alunos. Eles devem anotar informações importantes para discuti-las durante a aula de fechamento do trabalho. 5 20%. O grupo fará o trabalho em sala de aula. Comentários e sugestões sobre os exercícios propostos Exercício 6 Rótulos de produtos costumam trazer informações nutricionais em porcentagens.Aula 2 Na aula marcada. conclusões etc. de um exame realizado nos EUA: o ScholasticAptitude Test (SAT). Permita inclusive que os alunos comparem o tempo que levaram para concluir o jogo pela primeira vez com as vezes seguintes. devolva os trabalhos e solicite aos grupos que socializem as informações por meio de breve exposição oral. dados. relaciona frações e porcentagens dentro de um círculo dividido em setores. por escrito.gov. verificando como pensam em distribuir os locais no bairro. tais como quantidade de nutrientes que apresentam em relação às necessidades diárias recomendadas. Verifique se os alunos escolhem um número total de quadradinhos que facilite determinar as porcentagens – 100.br/ bitstream/handle/mec/10468/Frações_em_ Porcentagem. trabalhe em sala de aula com rótulos verdadeiros. 380 Matemática e tecnologia Pode-se fazer a mesma abordagem que foi sugerida no jogo da memória de frações da Unidade 11. História e Ciências podem promover a motivação dos alunos. Atente para o trabalho com a simplificação das frações e 1 5 25%. um roteiro de tarefas (quais e quem as fará) para a execução do trabalho em classe na aula seguinte. propostas sugeridas para diminuir a produção de lixo na escola e na casa deles. uso de tabelas e gráficos. mas vale a pena retomá-lo. se as duas quantidades foram iguais. ◆◆ Medir superfícies usando unidades de medida padronizadas ou não. conectado a Geometria. pé e polegada. Aproveite esse interesse para discutir as vantagens do sistema métrico decimal em relação a outros sistemas. São apresentados aspectos históricos ligados à evolução dos padrões de medida. na folha de respostas. ◆◆ Construir o conceito de área. ◆◆ Estimar áreas. como o passo e o palmo. metro de carpinteiro e mostre. uma na coluna A e outra na coluna B. concretamente.indd 381 381 5/13/15 3:58 PM . o metro. Veja como a ideia é interessante e pode ser aproveitada na elaboração de atividades que envolvam vários conteúdos. que é o assunto dessa unidade. ◆◆ Calcular a área de retângulos e quadrados. se a quantidade da coluna A for a maior. como o imperial. Objetivos específicos ◆◆ Identificar grandezas como comprimento. questões de múltipla escolha apresentam enunciado e cinco alternativas. III. as questões eram precedidas das instruções a seguir. como jarda. ◆◆ Construir o conceito de volume. ●● B. fita métrica. ◆◆ Registrar volumes usando unidades de medida padronizadas ou não. o decímetro. Em cada teste há duas quantidades. ●● D. ◆◆ Construir o metro quadrado e relacioná­ ‑lo ao centímetro quadrado e ao quilômetro quadrado. os alunos já fizeram trabalho semelhante em anos anteriores. ◆◆ Registrar medidas de comprimento usando unidades de medidas padronizadas ou não. ou. Para exemplificar. II. Em geral. Na prova do SAT. ◆◆ Constatar que 1 dm3 5 1 L. mas têm outra estrutura. se a quantidade da coluna B for a maior. área e volume. Essa unidade apresenta o significado de medida e discute a necessidade de padronização de unidades de medida. Objetivo geral ◆◆ Ampliar a construção do conceito de medida. ◆◆ Identificar unidades de medida de volume e de capacidade em situações concretas. É interessante fazer algumas medidas utilizando unidades não padronizadas. Coluna A Coluna B Respostas 15% de 20 reais 10% de 30 reais C 0. sendo uma delas a correta. utilizando porcentagens. Você deve comparar as duas quantidades e. em unidades específicas. Álgebra e estudo dos números. ◆◆ Compreender as vantagens do uso de uni­ da­des de medidas padronizadas. criadas por nós. ◆◆ Fazer conversões entre as principais unidades de medida do SMD. Sugerimos que você disponibilize em sala de aula régua. apresentamos a seguir algumas questões nesse estilo. percebendo sua importância nas situações do cotidiano. Comentários O trabalho com medidas permeia toda a obra. ◆◆ Conceituar massa e registrar medidas de massa usando unidades padronizadas. O trabalho com régua é sempre manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. trena. Provavelmente. ◆◆ Registrar medidas de comprimento no Sistema Métrico Decimal (SMD). Os alunos costumam se interessar por unidades de medida associadas a partes do corpo.volvem o que se intitula comparações quantitativas. o centímetro e o milímetro. se a relação entre as quantidades não puder ser determinada com base nas informações dadas.028 28% B 20% 150% 1 5 3 2 C C 20% de x 15% de y D 1% de 30 2% de 10 A Unidade 14 – Medidas I. para enfatizar essa necessidade. ●● C. ◆◆ Estimar comprimentos. autores. assinalar: ●● A. As questões mencionadas acima também são do tipo teste. do trabalho e das ciências. Apresentamos o conceito de volume com o empilhamento de caixas. Em sala de aula. Seria interessante propor atividades desse tipo usando papel quadriculado para áreas e cubinhos iguais para volumes. jarra graduada etc. constatando que 1 m2 5 10 000 cm2. 45 mm. Caso não seja possível cada aluno construir seu decímetro cúbico. Medidas de massa.3 cm. Dado um volume. de área e de volume. os alunos podem resolver o Interagindo até a questão 3. A atividade pode ser ampliada para observar também o perímetro das figuras. Peça que desenhem no caderno segmentos com 10. nos anos seguintes. visto as três telas –. Dada uma área. No entanto.indd 382 5/13/15 5:34 PM .edu. solicitando aos alunos que respondam às questões do Refletindo. O exer­cí­cio 37 aborda a conservação de volume. Se possível. Avaliação As atividades acima podem ser feitas em pequenos grupos na sala de aula. Auxilie os alunos na construção do metro quadrado usando folhas com quadradinhos de 1 cm de lado. Tal atividade pode ser recolhida e uma nota atribuída a ela. 382 A adequação da unidade de medida ao que se pretende medir foi um dos cuidados que tivemos quanto à construção dos conceitos de medida. interesse. Resolução de problemas O Refletindo da página 251 apresenta um exercício que trata da conservação de área.projetos. solicite que em duplas ou trios resolvam a atividade sugerida no próprio objeto educacional. peça que montem pilhas diferentes com o mesmo volume. O texto e os exercícios buscam exercitar a habilidade de estimar medidas. Enquanto os grupos trabalham. as habilidades de relacionamento. peça que desenhem figuras diferentes com ela. Em seguida. escrita e oralidade Pode-se pedir a leitura do item 7. Apresentamos massa como a quantidade de matéria de um corpo e. As relações 1 cm3 5 1 mL e 1 m3 5 1 000 L serão vistas no 7o ano. essas ideias serão retomadas e aprofundadas. você pode construir um e trazê-lo para a sala de aula. Se possível. Matemática e tecnologia Permita que os alunos explorem livremente a atividade do endereço eletrônico a seguir. 2 dm etc. No 7o ano aprofundaremos as conversões entre unidades de área do sistema métrico decimal. como tarefa. recursos e propostas deste manual Leitura. junto com uma jarra graduada.br/matematica/ amem/revestindo_sala/atividade2. Leve em consideração aspectos atitudinais como organização. Assim que eles tiverem assistido à história completa do azulejista – ou seja. meça com os alunos comprimentos maiores. argumentação. na página 254. pode-se avaliar a parte conceitual. nas páginas 261 e 262.htm manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. chegando às unidades padrão e ao cálculo do volume do bloco retangular. A pesquisa sugerida na questão 4 pode ser encaminhada como tarefa para a aula seguinte. Articulando a unidade à concepção da obra A unidade trabalha o viés histórico de evolução das medidas de comprimento e a importância das medidas no trabalho e no cotidiano. disponibilize em sala de aula latas. www. V. temas. IV. Também propusemos que o aluno constate experimentalmente que 1 dm3  5 1 L. A unidade se encerra com as medidas de massa. quais são as unidades de massa mais comuns no dia a dia e qual é a diferença entre massa e peso. diferenciamos peso de massa. Apresente questões do tipo: “Quantos comprimentos iguais a esse precisamos para ter 100 m? E para ter 1 km?”. resgate a leitura pedindo que expliquem o que é massa. 3. criatividade etc. Em outras oportunidades. garrafas PET.8 cm. Destinamos uma seção à aplicação prática das principais unidades de medida de volume e de capacidade. como o da quadra ou o do pátio da escola. em nota explicamos que em várias atividades usaremos a palavra peso em vez de massa para nos aproximarmos da linguagem comum. Como utilizar.unijui. uma atividade que ajuda os alunos a descobrir as relações entre quilômetro quadrado e centímetro quadrado. O trabalho com material concreto também é importante para a compreensão do conceito de área. no quadro da página 261. Propusemos. postura e trabalho em equipe.desejável. Use grãos de arroz no lugar de água. nessa unidade. Em geral. tempo. A atividade 6 é interessante porque mostra o inconveniente de medir com unidades não padronizadas. centésima parte e milésima parte.VI. vi uma placa que indicava: Santos – 50 km. Pode-se pedir. peça que produzam um pequeno texto sobre a importância das medidas em nossa vida. Exercício 3 Trabalha estimativas para medidas de comprimento – exercite sempre que possível essa importante habilidade no cotidiano. ◆◆ Num anúncio no jornal de hoje estava escrito: carpete de náilon 10 mm – R$ 73. respectivamente. Para encerrar. podem pesquisar unidades agrárias. Refletindo página 251 Propõe que os alunos deem exemplos reais de produtos vendidos por unidade de área. por exemplo. Exercício 55 Explorar rótulos de produtos é interessante quando se fala em capacidade e também em massa. ◆◆ Fui à loja de armarinhos e comprei 4 m de fita de cetim.8 cm 8m 7 cm 4.032 km 45 cm 3. durante certo período de tempo. mediando a conversa e corrigindo-os.e mili-. Descubra quais são elas. peça aos alunos que comentem coletivamente os relatórios e. Deixe que troquem informações. como porcentagens.00 por metro quadrado colocado. Reforce sempre o significado dos prefixos deci-. mas somente uma medida não está escrita no quadro 2 em outra unidade e somente uma medida não está escrita no quadro 1 em outra unidade. Essa atividade apresenta o significado de peso líquido e de peso bruto.2 cm 0.07 m 80 m 32 m As medidas estão presentes nas mais variadas atividades humanas. por exemplo. caso as conclusões não sejam as esperadas. em seguida. Comentários e sugestões sobre os exercícios propostos Interagindo da página 247 Propusemos que os alunos descubram como converter metros em milímetros e vice-versa.45 m Atividade complementar 1 70 cm 4 500 mm 0. É o momento de discutir com os alunos os motivos que levaram à criação do SMD. MANUAL DO PROFESSOR prm6_mp_332_389_especifica. Os dois quadros abaixo aparentam ser diferentes. números decimais ou frações. Em sala de aula.indd 383 383 5/18/15 2:02 PM . Atividades que aproximam o conteúdo do cotidiano são sempre importantes. a milha. massa etc. como o passo. Exercícios de 18 a 34 Neste volume. associando-os. Complementação à formação do professor e do aluno QUADRO 2 Para os alunos 320 cm 8 mm 0. Você pode pedir aos alunos que observem e anotem. Você pode utilizar esta ideia em outros assuntos. capacidade. solicite que relacionem as unidades de medida com os diversos tipos de grandezas como comprimento. durante o estudo de medidas de superfície. eles gostam de saber quanto vale uma milha em metros. que pesquisem unidades de medida que não pertencem ao SMD. em sua maioria contextualizados. à décima parte. Posteriormente. volume.8 km 0. ◆◆ Minha mãe pediu que eu comprasse na padaria 400 g de muçarela e uma garrafa de 2 L de refrigerante.08 km 700 mm 0. Seguem exemplos: ◆◆ Numa viagem no fim de semana. todas as situações que envolvem medidas que eles vivenciaram e preparem um relatório. Atividade complementar 2 Propomos uma atividade lúdica para exercitar a conversão de medidas de comprimento. como azulejos.5 m VII. como o alqueire e o hectare. área. as questões que ­ envolvem áreas exploram o conceito de área e o cálculo de áreas de quadrados e de retângulos por meio de problemas. centi. QUADRO 1 0. tapetes etc. Com essas informações responda: a) Quantos pontos Bárbara marcou? 27 pontos b) Quem marcou menos pontos? Daniele. sem repetir algarismos. Considerando que objetos iguais tem o mesmo “peso” e que cada cilindro “pesa” 45 g. Avaliação – O que se pede por aí a) Quantos blocos iguais a este pilha? 9 blocos há nesta b) Assinale a figura que representa a vista (lateral direita) que está sendo indicada pela seta. sem repetir algarismos. Bárbara marcou três pontos a menos do que Amanda. Amanda. de modo que ao efetuarmos as operações indicadas. Num certo jogo. 4. exemplos de questões sintonizadas com as atuais tendências para a avaliação em Matemática. escreva: a) o maior número que se pode formar. como pontos básicos. 3. DAE 5. elas tiveram o seguinte desempenho: Camila fez 46 pontos. 7 e 8.indd 384 5/13/15 6:38 PM . Bárbara.  25 1500 384  12 60 9 5 45 C ( ) D ( ) E ( ) MANUAL DO PROFESSOR prm6_mp_332_389_especifica. Complete a sequência abaixo. o resultado seja 45. a aproximação com o cotidiano. Observe a pilha de blocos. 13 847 2.O objetivo desse item é oferecer a você. Camila e Daniele jogam na equipe de basquete da escola que estudam. Alternativa d. a articulação entre conteúdos e a mobilização de habilidades diversificadas para a resolução de problemas. professor. que têm. 13 478 c) o maior número ímpar inferior a 14 000 que se pode formar. Marcelo Azalim 5. 1. sem repetir algarismos. qual deve ser o “peso” de cada bloco? 90 g 6. 87 431 b) o menor número par que se pode formar. as questões foram selecionadas a partir de avaliações aplicadas pelo Colégio de Aplicação – Universidade Federal de Pernambuco (CAP-UFPE) nos anos de 2009 a 2015. A balança representada pela figura abaixo está em equilíbrio. A ( 3. Daniele fez a metade de pontos que Camila conseguiu fazer e Amanda marcou 7 pontos a mais que Daniele. ) B ( ) Qual o número que se deve colocar no espaço sombreado da expressão abaixo de modo que a igualdade seja verdadeira? 300 3  18  64 4. Neste volume. colocando um número no interior de cada um dos três primeiros retângulos. Utilizando todos esses algarismos 1. 5 53. O professor Marcelo pediu que Joana escrevesse a sequência dos números naturais de 1 até 230.. Quantas vezes o algarismo 4 aparece escrito nessa sequência? 43 4 2 6 6 c) Gabriel 2 2 Quantos desses cubos (de aresta 2) são necessários para preencher completamente esse baú. 1.4 8 8.indd 385 385 5/13/15 3:58 PM .3 1 0.5 1 ... Em cada caso abaixo. em qual figura estaria o número 88? 18a figura ou figura 18 12. 1. Marque a única alternativa correta para a data em que Amanda nasceu. mantendo o mesmo padrão.. Clarice quer encher um baú como este com cubos iguais ao desenhado: d) Tiago 14. e com 1 litro dessa tinta pintam-se perfeitamente 8 m2 do chão... Quantas latas de tinta Josué deve comprar? 6 latas 13. vemos o colar de Priscila (que só tem contas pretas e brancas) com uma parte dentro da caixa. 5 1 2 2 f) 42  . Gabriel é maior que Beto e menor que Carlos.8 1 . a) Carlos b) Daniel 10.09.. 1.. O professor Marcelo colocou no quadro a seguinte sequência de figuras: 1 5 8 5 4 Ilustrações: DAE 5 . Amanda completou 15 anos e 11 meses de nascimento em 10/06/2007. Priscila gosta tanto de números que seu colar preferido tem as “contas” (bolinhas) dispostas de acordo com uma regra matemática. Na figura abaixo.. Marcelo Azalim 7. 5 28.Coloque em ordem crescente (do menor para o maior) os seguintes números racionais: 1.1 40. Daniel é maior que Tiago e menor que Gabriel. 5 471. 12 m Quantas “contas” (bolinhas) pretas do colar estão dentro da caixa? 13 contas 18 m Uma lata possui 5 litros de tinta.7 10 b) 2 2 ..25.. sem ultrapassar a borda? 18 cubos 15. Josué quer comprar latas de tintas para pintar todo o chão da quadra. Alternativa d.4 1. escreva nos espaços pontilhados os números que tornam as sentenças verdadeiras: 1 3 1 a) d) 23 3 .09 11.. representado pelo retângulo abaixo: 4 6 3 2 9 11 8 5 Figura 1 14 13 7 10 12 Figura 2 15 Figura 3 Se ele continuasse desenhando essa sequência.1 ou 10 9. 5 420 c) 12.5 20. a) 10/06/1989 b) 10/07/1989 c) 10/06/1991 d) 10/07/1991 MANUAL DO PROFESSOR prm6_mp_332_389_especifica. 5 4 2 4 1 3 e) 287  . Quem é o maior deles? Alternativa a. por fim. 386 a) 22 2 2 3 10 c) 22 2 12 1 4 b) 20 2 (6 1 4) d) 20 2 18 : 3 às 7 h da manhã. são 22 meninas presentes. Artur levou uma caixa de bombons para repartir entre os colegas da escola e disse: “Só vai ganhar bombons quem acertar quantos têm na caixa. Do Terminal Integrado existente no bairro CRUZ DAS FLORES. Complete as contas. um balde pesa 450 gramas. A dica é: se eu formar grupos de 9 bombons. Uma pessoa encontra-se em certo andar de um prédio de 12 andares. a quantidade de meninas ficou o dobro da quantidade de meninos. Agora. sobe 6. conforme mostra o procedimento a seguir. preenchendo cada quadradinho com um algarismo. o dia 10 foi num sábado. A líder do clube Doce Novembro fez uma bandeira com três faixas horizontais. os ônibus de três linhas saem de acordo com os seguintes intervalos de tempo: ◆◆ Linha 1: de 18 em 18 minutos ◆◆ Linha 2: de 30 em 30 minutos ◆◆ Linha 3: de 45 em 45 minutos Obedecendo essas regras. Qual é o peso desse balde com 5 copos de água? Alternativa a. não sobrará bombons. nem todos os seus colegas (meninos e meninas) estavam na hora de a festa começar. qual será o próximo horário. quando vazio. volta a descer 2 e. No aniversário de Carol. a) 7 h 31 min c) 8 h 30 min b) 8h d) 8 h 33 min manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. 4 7 a)  5 9 4 7 LHOR.16. Paula resolveu uma expressão numérica solicita- d) 6 resolvida por Paula. Ao colocar dois copos de água nesse balde. e pintando cada faixa de uma cor diferente? Alternativa d. também não sobrará nenhum bombom. 5 3 12 2 5 3 8 1 5 = 8 7 6 3 2 60 2 40 1 5 = 6 3 9 4 1 a) 1 350 gramas c) 900 gramas b) 1 260 gramas d) 180 gramas 18. a) 1 da por sua professora na escola APRENDER ME- 3 8 b) 1 9 22. Saibam ainda que não há mais de 45 bombons na caixa”. ele verificou que o peso subiu para 810 gramas. Próximo ao final da festa. a) 3o andar c) 7o andar b) 5o andar d) 12o andar 19. b) Em que dia da semana foi a última segunda­ ‑feira desse mês? Dia 26. Uma hora depois. Qual das expressões numéricas a seguir é uma simplificação correta da expressão 22 2 2  (6 1 12 : 3)? Alternativa a. sobe 4 para chegar ao 12o andar. Clube De quantas maneiras ela pode Doce pintar a bandeira usando as coNovembro res amarela. a) 5 3 12 2 8 1 5 b) 5 3 12 2 (8 1 5) c) 5 3 (12 2 8) 1 1 d) 5 3 (12 2 8 1 1) 23. Marcelo sabia que. foram embora 10 meninos e 6 meninas. desse mesmo dia. Em que andar essa pessoa se encontrava? Alternativa c. 24. em que eles sairão novamente ao mesmo tempo? Alternativa c. de modo que fiquem corretas. nesse momento. chegaram 9 meninos e 8 meninas. Se eu formar grupos de 12.indd 386 5/13/15 3:58 PM . Desce 3 andares. verde e branca. b) 3 c) 4 20 1 5 5 25 Assinale a alternativa que corresponde à expressão aritmética solicitada pela professora para ser 17. a) Em que dia da semana foi a primeira segunda­ ‑feira desse mês? Dia 5. Em um mês de 31 dias. Alternativa d. se em um dia da semana os ônibus das três linhas saírem pontualmente 21. Responda: Quantos bombons havia na caixa que Artur levou para a escola? 36 bombons 25. Quantos meninos estavam presentes no início da festa? 17 meninos 20. nos sabores chocolate (cinza) e baunilha (branco). Com os dados coletados em uma pesquisa que buscava analisar a venda de salgadinhos na ­cantina da escola APRENDER MELHOR. encomendou um bolo bastante diferente. Ao invés de ser formado por 12 arestas. d) Vista de frente Vista de cima Sabendo que cada andar do bolo é do mesmo sabor. A figura abaixo foi obtida a partir da planificação de um dos cubos representados. Alternativa d. 30. como um dado normal. 5 0 Terça­‑feira Coxinha Livros Ler Livros Mais Ler Mais Quarta­‑feira Quinta­‑feira Dias da semana Pastel Sexta­‑feira Esfirra A partir das informações organizadas no gráfico. Assinale a alternativa que cor­res­pon­de a esse cubo. os alunos produziram o seguinte gráfico: 28. b) c) b) ( F ) Em cada dia a venda de esfirras foi sempre menor do que a de pastéis. ele tem 36 arestas como mostra a figura ao lado. Temos as seguintes vistas desse bolo: 27.26. para o seu aniversário. marque V (verdadeiro) ou F (falso) nos parênteses ao lado de cada afirmação a seguir: a) ( F ) A venda de coxinhas superou diariamente a venda de pastéis. A figura abaixo representa uma pilha de caixas de livros que a livraria LER MAIS enviou à Bienal de Livros. a) c) ( V ) A quinta-feira foi o dia em que se vendeu mais salgadinhos na escola. Em seu aniversário. Ele é feito de bolinhos em forma de paralelepípedo. Ilustrações: DAE d) ( V ) Houve um dia em que as vendas de pastéis e de esfirras foram iguais. a) 6 faces c) 12 faces a) 6 bolinhos c) 14 bolinhos b) 8 faces d) 14 faces b) 9 bolinhos d) 15 bolinhos MANUAL DO PROFESSOR prm6_mp_332_389_especifica.indd 387 387 5/18/15 2:15 PM . Luís ganhou um jogo com um dado bastante estranho. Livros Ler Mais Livros Ler Mais VENDAS DE SALGADINHOS NA ESCOLA APRENDER MELHOR 35 Livros Livros Ler Ler Mais Mais Quantidade vendida 30 25 Qual das figuras abaixo representa a vista superior dessa pilha de caixas? Alternativa a. 20 a) b) c) d) 15 10 29. em quatro dias seguidos. Alternativa d. quantos bolinhos de baunilha foram utilizados no bolo de aniversário de Luís? Alternativa c. Luís adora geometria e. Assinale a alternativa que indica quantas faces tem esse dado estranho. em cada item abaixo.70 c) R$ 5. a) ( V ) 2 241 dos animais em extinção são pássaros. coloque V. a professora pediu que Amanda digitasse mais três vezes a tecla 5 (igual) e. se a afirmação for verdade. “120” e “240”.5 d) 6.20 b) R$ 4. se for falsa.5 como quociente e resto zero.indd 388 5/13/15 3:58 PM . 17 928 espécies de animais estão ameaçadas de extinção.70 Com base nessas informações. Em seguida. é correto afirmar que Joana comprou todos os produtos da sua lista e ainda lhe sobrou: Alternativa b.25 c) 2. MANUAL DO PROFESSOR prm6_mp_332_389_especifica.70 d) R$ 5. obteve 634. O marcador de combustível do carro de Carlos indicava meio tanque. d) ( F ) Dentre as espécies em extinção.31. Se essa regra é válida também para a divisão. Deste total. o número de pássaros é o dobro do número de mamíferos. b) ( F ) 25% dos animais em extinção são anfíbios.00 para comprar os produtos da seguinte lista: ◆ 2 desodorantes SEMSUOR. um em cada oito é pássaro e um quarto é mamífero. Joana foi ao MERCADO CESTINHA com uma cédula de R$ 20. Polyana dividiu um número por 4. qual seria o último número que apareceria na tela da calculadora de Amanda se ela digitasse as teclas 5  2 5 e depois digitasse mais duas vezes a tecla 5 ? Alternativa a. apareceu o número 30.70 lenço de papel ASSUABEM – R$ 2. apareceram no visor os resultados: “60”.30 desodorante SEMSUOR – R$ 3.25 35.5 b) 1 c) 2 d) 3 Carlos colocou 12 litros de gasolina e observou que o marcador passou a indicar três quartos de tanque.625 MERCAdINHO CESTINHA creme dental ANTIKARIE – R$ 2. Jorge Zaiba a) 0. a professora de Amanda pediu para que a aluna digitasse as seguintes teclas de sua calculadora: 5 1 3 2 5 No visor. a) R$ 4.50 hastes LIMPABEM – R$ 1. e F. como resultado. obteve 634 como quociente e resto diferente de zero. No mundo. Em uma aula de matemática da escola APRENDER MAIS. 33. ◆ 1 xampu KABELOMACIO. a) 0.40 sabonete BOAESPUMA – R$ 1. Qual a capacidade do tanque de combustível do carro de Carlos? 48 litros 32. Com base nessas informações.20 xampu KABELOMACIO – R$ 4. 34. O quadro abaixo mostra os preços por unidade desses e de outros produtos. Qual o resto deixado na conta realizada por Luís? Alternativa c. Luís dividiu esse mesmo número por 4.80 388 b) 1. ◆ 3 sabonetes BOAESPUMA. res- pectivamente. um terço é anfíbio. c) ( V ) 7 das espécies em extinção são formados 12 por anfíbios e mamíferos. a turma de Gustavo construiu “cubinhos” (   ) de papel. a partir de óleo de cozinha que foi coletado nos restaurantes. Em nove meses. Quantos “cubinhos” a turma de Gustavo deveria construir para montar um sólido como este ilustrado abaixo?   Alternativa c. b) ( V ) Faltam 103 cubinhos para preencher toda a caixa. o consumo médio de água de uma família corresponde aos percentuais indicados no gráfico de setores abaixo. d) ( V ) As figuras A e C possuem mesma área. foram produzidas pelo projeto da comunidade nesse período?   28 750 manual do professor prm6_mp_332_389_especifica. há 15 cubinhos. 39. em uma casa em que o consumo total diário é de 250 litros?   62. Sem sobrepor. em geral. assinale V (verdadeiro) ou F (falso) em cada uma das afirmações a seguir.3 mil quilogramas de óleo no meio ambiente. Ilustrações: DAE 36. por dia. mede 118 cm2. a) ( F ) Na caixa. Os especialistas afirmam que. c) ( V ) A capacidade da caixa é de 120 cm3. a) ( F ) A figura B é a que tem maior área dentre as três figuras.indd 389 389 5/13/15 3:58 PM . ela construiu as seguintes figuras: Com base nessas informações. sem deixar brechas e tendo um lado comum. b) ( F ) A figura A tem perímetro maior que o da figura B. em cada item abaixo. correspondente ao gasto médio de água com higiene pessoal. cada. de 400 g. sem a tampa. o óleo reciclado corresponde a 20% de sua massa. se for falsa. coloque V. d) ( V ) A área total da superfície interna da caixa. c) ( V ) A figura C é a que tem o menor perímetro dentre as três figuras. Um projeto feito por uma comunidade produziu Sabão Reciclável. quantos litros de água são gastos. A figura abaixo representa uma caixa de vidro em formato de bloco retangular e nela tem-se cubinhos de 1 centímetro de aresta.38. para lavar roupas. 10 cm 25 cm 40. Eva cortou em papelão duas peças iguais a esta. cada.   30% b) De acordo com esses especialistas. 15 cm a) 12 b) 36 c) 48 d) 60 30 cm Figura B Figura A 15 cm Figura C Observe as figuras e. se a afirmação for verdadeira e F. Na escola APRENDER MELHOR. Quantas barras de Sabão Reciclável. cujas faces são quadrados de lados medindo 5 cm. que foram direcionados para a produção de sabão.5 litros 37. a inciativa evitou o despejo de 2. Na fabricação do Sabão Reciclável. beber e cozinhar 3% lavar pratos 10% DAE lavar roupas 25% outros 17% higiene pessoal limpeza de casa 15% a) C  alcule o percentual que não aparece indicado no gráfico. 2000. 6. ◆◆ LOBATO. Alex no país dos números. 1997. João Frederico da Costa de Azevedo. São Paulo: Atual. Aritmética da Emília. 1996. ◆◆ . São Paulo: IME–USP. ◆◆ KRULIK. Rio de Janeiro: Eduff. São Paulo: Artmed. História da Matemática. Matemática e Arte. lógica. Flashes da História da Matemática e situações-problema para o aluno resolver. 1996. Rio de Janeiro: Record. Alex. Coleção: Tendências em Educação Matemática. ◆◆ Série A descoberta da Matemática. Dirceu Zeleski. Kátia Stocco. A. São Paulo: Atual. Belo Horizonte: Autêntica Editora. ◆◆ BELLOS. Na vida dez. Lisboa: Gradiva. Júlia. História concisa das matemáticas. Fornecemos algumas sugestões de livros e sites que podem auxiliá-lo nesta nobre tarefa – a de ensinar. Bento Jesus. Ademir Donizeti. Robert E. Carl B. As maravilhas da Matemática. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de Matemática. 2011. Modelagem em Educação Matemática. MIORIM. Stephen. O diabo dos números. São Paulo: Atual. das Letras. 1996. Belo Horizonte: Autêntica Editora. ângulos e Álgebra. Lisboa: Sá da Costa. 2004. ◆◆ ENZENSBERGER.4 Educação Matemática ◆◆ CARRAHER. ◆◆ MIORIM. estudar continuamente e atualizar-se é indispensável. ◆◆ SMOLE. 1995. ◆◆ Filho. (Coleção O Prazer da Matemática). 1997. (Org. Georges. manual do professor prm6_mp_390_398_comum. entre outros. na escola zero. Dirk J. Malba. 2003. ◆◆ Coleção Pra que serve Matemática? Diversos autores. 1992. 6. Belo Horizonte: Autêntica Editora. 6.1. ◆◆ CARAÇA. Quebra-cabeças geométricos e formas planas. São Paulo: Companhia das Letras. como em várias outras profissões. Os números: a história de uma grande invenção. São Paulo: Cia. CALDEIRA. Maria I­ gnez. Temas variados como: números negativos. 6. São Paulo: Cortez. entre outros. Conceitos fundamentais de Matemática.indd 390 5/13/15 4:03 PM . Diversos autores. São Paulo: Ática.2 História da Matemática e História da Educação Matemática ◆◆ 390 BOYER. Sugestões de livros e sites para o professor ◆◆ IFRAH.6. 1995. São Paulo: Brasiliense. São Paulo: Ática.1. 2007. São Paulo: Scipione. Hans. Rio de Janeiro: Globo. 1990. A resolução de problemas na Matemática escolar. ◆◆ KALEFF. M. MILANI. 1990. Ana Paula dos Santos.1. ◆◆ MEYER. frações e ângulos. Terezinha. Diversos autores. O homem que calculava. História na educação matemática: propostas e desafios. os números na história das civilizações. ◆◆ TAHAN. ◆◆ MIGUEL. Coleção: Tendências em Educação Matemática. 2011. 1998. 2013. Temas variados como: problemas curiosos. Analúcia.. ◆◆ Coleção Vivendo a Matemática. 1997.1. No magistério. São Paulo: Edgar Blücher. São Paulo: Atual.1 Livros 6. CARRAHER. teo­ re­ ma de Pitágoras.1 Matemática por meio de jogos e resolução de problemas ◆◆ BORIN. Ana Maria.). A. Diversos autores. Monteiro. Rio de Janeiro: Bloch. poliedros etc. Cadernos do Mathema: jogos de Matemática de 6o a 9o ano. SCHLIEMANN. REYS. A. DINIZ.3 Paradidáticos ◆◆ Coleção Contando a História da Matemática. 2001. 1991. ◆◆ Coleção Matemática: aprendendo e ensinando. Temas variados como: números negativos. MELHEIROS. Introdução à história da educação matemática. 1998. David. Estela. M. Diversos autores. 1987. ◆◆ STRUICK. São Paulo: Atual. Aprendendo e ensinando Geometria.br. 110. Stephen. Belo Horizonte: Autêntica Editora. Educação Estatística (de 2011) e Modelagem Matemática (de 2012). O conceito de ângulo e o ensino de Geometria.2 Revistas Revista do Professor de Matemática (RPM) Conhecida como RPM. Etnomatemática. Diversos autores. php/bolema/issue/archive Atualmente o Bolema tem três edições anuais e alguns números especiais. Matemática e língua materna. 7. SCHULTE. G. Coleção de publicações do Caem*–IME/USP: 1. ◆◆ LINDQUIST.biblioteca. O endereço para contato * Nota do editor: O Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática (Caem) é um órgão de extensão vinculado ao Instituto de Matemática e Estatística (IME) da Universidade de São Paulo (USP). 1990. na América Latina.br manual do professor prm6_mp_390_398_comum.. ◆◆ MACHADO. 1994. ◆◆ 6. a revista é distribuída ininterruptamente desde 1982. Arthur F. Albert P.rc. dentre outras atividades. Revista Zetetiké O nome Zetetiké está relacionado ao termo pesquisa.br/caem> e caem@ime. ◆◆ Boletim de Educação Matemática (Bolema) www. promove também as Olimpíadas de Matemática. M. A revista é uma publicação do Círculo de Memória e Pesquisa em Educação Matemática (Cempem) da Faculdade de Educação da Unicamp e circula bimestralmente desde 1993. São Paulo: Ática. São Paulo: Atual. Antonio.unesp. A resolução de problemas na Matemática escolar. Jardim Botânico. M. As ideias da Álgebra.org. O uso de malhas no ensino de Geometria. A homepage da revista é: www. SHULTE.usp. O Caem assessora professores. Maria Ângela. de periodicidade bimestral. Era uma vez na Matemática: uma conexão com a literatura infantil.fe. Albert P.indd 391 391 5/13/15 4:03 PM . Estrada Dona Castorina. Nílson José. Ubiratan.br/index. ◆◆ O Bolema foi criado em 1985. Robert E. Materiais didáticos para as quatro operações. e é uma publicação da Sociedade Brasileira de Matemática que. 4.). que é o mais antigo programa de pós-graduação..: (21) 2529-5095. Rio de Janeiro: Interciência. São Paulo: ­Atual. ◆◆ POLYA.usp. 1994. A arte de resolver problemas. São Paulo: Cortez. todo o conteúdo da revista está disponível gratuitamente no site: www. pode ser acessado gratuitamente no site: www. 3. São Paulo: Atual. ◆◆ D’AMBRÓSIO. (Org. no Programa de Pós-graduação em Educação Ma­te­má­ ti­ca da Unesp de Rio Claro.ufrrj. RJ. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de Matemática. 2.). REYS.◆◆ Coleção Tendências em Educação Matemática. 1995. Nas revistas o professor encontrará artigos sobre ensino de Matemática e discussões gerais que podem auxiliá-lo em suas dúvidas.php ◆◆ Boletim Gepem O Grupo de Estudos e Pesquisa em Educação Matemática (Gepem) é um grupo carioca que começou a atuar em 1976 e é o mais antigo ainda em funcionamento no Brasil. O site do Caem e o e-mail para contato são. voltados à discussão de temas específicos – Ensino de números racionais (de 2008). respectivamente. nessa área.br/revistas/ged/zetetike/ issue/archive.periodicos. História da Educação Matemática (de 2010).unicamp. o Boletim Gepem. (Org. Todas as suas edições podem ser acessadas gratuitamente em: 5. Tel. 6. Álgebra: das variáveis às equações e funções.rpm. Rio de Janeiro.). com a RPM.gepem. Voltado a publicar artigos de pesquisa e experiências em sala de aula. promovendo cursos e produzindo materiais de apoio para as aulas de Matemática. (Org. ◆◆ MIGUEL.br. 2001. 1980. Avaliação em Matemática (de 2009). <www. ◆◆ COXFORD. ◆◆ KRULIK. Voltado à divulgação de artigos de pesquisa. 2001. O ensino da Matemática no primeiro grau.ime. MIORIM. 1986. A Matemática das sete peças do Tangram. br O Mathema é um grupo que investiga novos métodos e materiais para o ensino de Matemática.pt/apm/revista/educ. exemplos – dentre os muitos existentes – de sites de programas de pós­ ‑gra­dua­ção em Educação Matemática e Ensino de Ciências e Matemática em funcionamento no Brasil.◆◆ Revista Nova Escola Publicada pela Editora Abril.br Site do Instituto Brasileiro de Geografia e Es­ta­ tís­ti­ca em que recentemente foi disponibilizado um mapa-múndi digital na página Países @ no menu Banco de Dados. Embora sugestões criativas para nosso trabalho possam vir de onde menos se espera – o mundo está cheio de situações que podem ser usadas criativa e criteriosamente nas salas de aula –. não é uma revista específica de Educação Matemática. disciplinas.sbem.sbm.com. indicadores sociais. eventos e outras atividades relativas à pesquisa sobre o ensino de Matemática e a práticas de ensino de Matemática. A internet é um dos melhores exemplos dessas infinitas possibilidades.revistaescola. Ao contrário das demais publicações aqui referenciadas. Divulga artigos sobre o ensino e a aprendizagem de Matemática. profissionais experientes. Fre­quen­ te­men­te. Seu site contém textos e materiais para vários níveis de escolaridade. Veja.pt A Sociedade Brasileira de Matemática (SBM). www. histórico.apm.com. instituições oficiais e não governamentais reconhecidas por sua atuação e programas de pós-graduação são endereços mais seguros – embora não sejam os únicos – que podem. os professores devem ser cautelosos quando “passeando” pelo mundo virtual. Esse mapa-múndi traz síntese. O canal temático IBGE Teen dá acesso aos dados do censo 2010 de maneira didática.htm 6. acessível para os alunos. motivações e propostas para implementarmos em sala de aula ou usarmos para nossa formação complementar continuada.ibge. Nesses sites. você pode encontrar informações sobre cursos. informar o professor e motivá-lo a criar atividades e abordagens para seu cotidiano escolar. seu conteúdo é sobre educação. Para auxiliar os professores em suas buscas. ao serem acessados. relativos a todos os países do mundo. o que implica serem infinitas as possibilidades de encontrarmos. a Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM) e a Associação de Professores de Ma­te­má­ ti­ca de Portugal (APM) são sociedades voltadas à pesquisa e ao ensino. relatos de experiências e propostas de atividades para a sala de aula. nossas visitas a sites não podem prescindir de uma boa dose de cuidado. www. sugerimos 392 alguns sites. e em seus sites os professores podem encontrar informações sobre eventos e publicações. que pode ser comprada em bancas e cujas edições são mensais.mathema.br www. podemos encontrar em suas páginas artigos que tratam do ensino e aprendizagem de Matemática.org. manual do professor prm6_mp_390_398_comum.indd 392 5/13/15 4:03 PM . Há alguns artigos e materiais disponíveis on-line (o acesso integral a todos os artigos só é possível a associados) no ­site: www. a seguir. além de textos relativos a outras disciplinas e de discussões gerais acerca das práticas escolares.gov.3 Sites Vivemos num mundo de comunicação e informação. outros indicaremos agora: www. entre outras curiosidades.br ◆◆ Revista Educação e Matemática Revista da Associação de Professores de Matemática de Portugal. economia. para atua­li­zar­ mos nossos conhecimentos. universidades. centros de formação conhecidos. publicada desde 1987 e com periodicidade atual de cinco edições anuais.com. O site da revista é: www. redes.br www. Mas exatamente por serem tantas as informações disponíveis. Páginas virtuais de grupos de pesquisa. a revista Nova Escola é uma edição comercial. porém. Essas sociedades mantêm revistas especializadas em ensino de Matemática. à nossa disposição. Alguns sites já foram citados nos tópicos anteriores. meio ambiente.apm. gov.cinted.pt nautilus.br/CESTA ◆◆ Repositórios Internacionais: – Merlot – www.php www.apm.com.br/~ppgem/ www.gov.sapo.edumat.ufpe.br/matematica matematica.htm www.mec.br/~matemateca www. disponibilizados na internet para uso de professores e alunos.mat.org.somatematica.pt www.gov.cabri.br/index.gov.ufrgs.labvirt.usp.org.br/pos/edmat/ www.ufrj. Seguem sugestões: mdmat.sc.com/ListObjects.ufjf.br/igce/pgem/ www.obmep.wisc-online.pt/portal/index.programaescoladigital.pucsp.br educar.pg.gov.uc.im.mec.php?option5com_ content&view5article&id=70&Itemid=138 www.ccet.ufrn. vídeos.br – Cesta – www.rc.matinterativa.br – Bioe – objetoseducacionais2. animações.ufrgs. Há vários portais e repositórios que podem ser consultados.br/ www.usp.com.ppgecnm.ariadne-eu.br/index.mec.org manual do professor prm6_mp_390_398_comum.br/mestradoedumat/ www.aspx www.br/index.br www.merlot.br/ – LabVirt – www.br/wiki/Pagina_principal www.obm.portaldoprofessor.html objetoseducacionais2.. experimentos.www.com.pr.php?id=26373 www.swf www.br www.htm www.ime.ufrgs.br Portais educacionais e objetos de aprendizagem Objetos de aprendizagem (OA) são jogos.propesq.mec.diaadia.br/ Outros sites de interesse para os professores de Matemática www.mat.org – Ariadne – www. textos etc.br/layout.mais.fe.fis.br ◆◆ Repositórios de Objetos de Aprendizagem: – Rived – rived.br escolovar.org.br www.org/mat.br/pemat/mestrado.indd 393 393 5/13/15 5:37 PM .usp.ufms.unesp.com.mat. Diretrizes Curriculares Nacionais da Educação Básica. 394 LIMA. Kátia Cristina Stocco. 1. Matemática para o curso de formação de professores. São Paulo: Edgard Blücher. 1996. STRUIK. Osvaldo. Ministério da Educação. Campinas: Papirus. 2013. 1995. 1992. Conteúdo e metodologia da Matemática. números e operações. F. 1977. A invenção dos números. Cléa et al. DINIZ. Materiais didáticos para as quatro operações. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de Matemática. Brasília: SEB/ MEC. A prática educativa: como ensinar. Maria Ignez de Souza Vieira. Matemática. Georges.). 1997. Vânia Maria Pereira (Coord. 1994.. 1997. Jacy. Dirk J. 1984. GUNDLACH. GUELLI. 2009. 1997. DINIZ. São Paulo: Atual. BERGHE. CENTURION. (Coleção Fundamentos da Matemática Elementar). MOISE. 1978. Números: a história de uma grande invenção. DOLCE. Rio de Janeiro: Globo. Rio de Janeiro: SBM. São Paulo: Ática. Spec/ PADCT/Capes. Referências BORIN. Marília.. 1978. São Paulo: IME– USP. Avaliação de aprendizagem e raciocínio em Matemática: métodos alternativos. São Paulo: Edgard Blücher. São Paulo: Summus. São Paulo: Scipione. A arte de resolver problemas. SMOLE. Eliane Reame. 1. Didática da Matemática. BOYER. van de. v. POMPEO. (Coleção Fundamentos da Matemática Elementar). George. CARDOSO. 1971. Guido Vanden. Matemática aplicada. MACHADO. Projeto Fundão. Geometria moderna. Antoni (Org. POLYA. 1998. São Paulo: IME–USP. Áreas e volumes. SANTOS. L. v. Ernesto Rosa. Da realidade à ação: reflexões sobre educação e Matemática. São Paulo: Moderna. Gelson et al. C. 1980. 1998. Nílson José. RUBINSTEIN.indd 394 5/13/15 4:03 PM . Maria Ignez de Souza Vieira. Números e numerais. M. IMENES. WALLE. Ivan. (Coleção Fundamentos da Matemática Elementar). Ubiratan. São Paulo: Atual. NIVEN. Bernard H. A resolução de problemas na matemática escolar. 1995. 9. DEVREESE. Jozef T. Perspectiva em Aritmética e Álgebra para o século XXI. Robert (Org.. 1975. Boston: Wit Press. Secretaria de Educação Básica. 1992. São Paulo: IME–USP. São Paulo: Atual. v. Júlia. J.7. ZABALLA. José Nicolau. Virgínia Cardia. Matemática no Ensino Fundamental: formação de professores e aplicação em sala de aula. LINS. 1993. J. DOWNS. Stephen. D’AMBRÓSIO. O conceito de ângulo e o ensino de Geometria. História concisa das Matemáticas. Carl B. IFRAH. L. São Paulo: Artmed. 1988. (Coleção Tópicos de História da Matemática). São Paulo: Melhoramentos. 1. São Paulo: Ática. (Coleção Contando a História da Matemática). Rio de Janeiro: IM-UFRJ. MONTEIRO.. São Paulo: IME–USP.. Rio de Janeiro: Interciência. v. 1992. São Paulo: Moderna. Charles. Série Prisma. REYS. Porto Alegre: Artmed. 1980. JAKUBOVIC. Coleção Matemática por Assunto. funções. São Paulo: Scipione. John A. Conjuntos. Lisboa: Gradiva. 1994. 1987. F. TROTA. IEZZI. Elon Lages. 1985. BRASIL. Magic is no Magic: The Wonderful World of Simon Stevin. KRULIK. 1978. E. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico. História da Matemática.).). manual do professor prm6_mp_390_398_comum. 1992. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico. R. 2008. GIMENEZ. Elementos de álgebra. Geometria plana. SOLOMON. NETO. SOUZA. Números: racionais e irracionais. São Paulo: Atual. Oscar. Álgebra: das variáveis às equações e funções. Anexos ficha de acompanhamento da unidade Assunto Objetivos Período Número de aulas previstas Palavras-chave Leituras Atividades avaliativas ficha de acompanhamento do meu desempenho  unidade Conteúdo Data Tarefas/ Atividades Fácil Média Difícil Dúvidas e observações Como estou em relação a esse item manual do professor prm6_mp_390_398_comum.indd 395 395 5/13/15 4:03 PM . Resolução de problemas . apresentando-a corretamente? manual do professor prm6_mp_390_398_comum.indd 396 5/13/15 4:03 PM .S (sim) N (não)  I (requer investimento) Nome 396 Identifica e compreende o contexto do problema? Seleciona dados e identifica o que se quer saber? Propõe e executa estratégias pertinentes para resolver o problema? Faz registros corretos e claros? Resolve e verifica a validade da resposta. escrita e oralidade E (eficiente para a faixa etária)  I (requer investimento)  Nome Identificação Leitura de em informações voz alta no texto Compreensão do texto Expressão oral Articulação de ideias e argumentação Escrita na língua materna Escrita na linguagem matemática manual do professor prm6_mp_390_398_comum.Habilidades de leitura.indd 397 397 5/13/15 4:03 PM . organização dos registros Postura disciplinar – atenção e envolvimento Relacionamento com colegas. de casa e de colaboração. criatividade manual do professor prm6_mp_390_398_comum.Aspectos atitudinais e procedimentais E (excelente) B (bom)  I (requer investimento) N (não adequado) Nome 398 Contribuição para a aula Material. classe organização.indd 398 5/13/15 4:03 PM . professor e funcionários Desempenho nas atividades Realização em grupo: das tarefas respeito. Colorir a figura a seguir de acordo com a legenda e o resultado das expressões  5    10    6    12    0 DAE   8    (132  9  1 36 )  52 1 100 (63 2 27)  64 2 50 (216  12 1 42  3)  121 15 1 9  8 2 2  64 2 13 135  5 2 144 2 9 ( 64 1 100 )  4 2 30 81 2 (2 2 3 2 1 ) : 4 5 3 8 16 1 210  15 2 380  19 ( 81 2 49 )3 1 16 208  16 2 1600 (80 1 25)  11 1 49 24 2 64  9  36 85 2 33  4 2 1 2 52 (52 1 42 1 60)  ( 100 2 9 ) (150 1 9 )  4 32  64 2 2  62 33 2 (150  25 1 330  22) 3  ( 225 2 81 ) 2 3  36 (43 2 33 2 60)  3 (6  9 2 7  4)  64 1 4 manual do professor prm6_mp_399_400_especifica.indd 399 399 5/13/15 2:48 PM . indd 400 5/13/15 2:48 PM .Ilustrações: Jorge Zaiba Pergunta 1: Pergunta 2: a) a) b) b) c) c) d) d) e) e) Sexo 400 Idade Ocupação Resposta da pergunta 1 Resposta da pergunta 2 MANUAL DO PROFESSOR prm6_mp_399_400_especifica. . indd 2 18/05/2015 11:19 .prm6_capa_pnld_2017.