UNIVERSIDAD AUTÓNOMA "TOMAS FRÍAS" INFORMEFACULTAD DE INGENIERÍA MINERA POTHENOT CARRERA DE INGENIERÍA MINERA POTOSÍ - BOLIVIA Univ. Victor Hugo Nina Ramos Fecha: 09 de julio 2014 - 1 - POTHENOT 1. INTRODUCCIÓN. Llamado también método de intersección inversa, problema de los tres puntos o problema de los tres vértices; consiste en determinar las coordenadas de un punto “P” siempre y cuando desde él sean visibles tres puntos físicos notables, tales como antenas de radio televisión, torres e iglesias o simplemente hitos, y que pertenecen a una red topográfica o geodésica hoy en día, esto quiere decir que se debe conocer sus coordenadas de estos tres puntos para que luego la determinación del punto “P” sea elementalmente fácil de determinar; también puede resolverse el caso múltiple cuando se trate de determinar la ubicación de dos o más puntos, pero su número debe limitarse en atención a la exactitud. Tiene su aplicación directa en los levantamientos topográficos y satelitales. El desconocimiento práctico de este problema, limita su empleo y aun se considera impracticable; pero, cuando la medida directa de distancias presenta dificultades o imposibilidades de ejecutarlas con los instrumentos más usuales o por la falta de personal para la medida o para hacer brechas, el problema de los tres puntos soluciona dichas dificultades. Los problemas que se presentaran para su solución, darán una idea de la facilidad de su ejecución, aunque a varios topógrafos impresione su desarrollo para llegar a las formulas sencillas. 1.1. Antecedentes. El desconocimiento práctico de este problema, limita su empleo y aun se considera impracticable; pero, cuando la medida directa de distancias presenta dificultades o imposibilidades de ejecutarlas con los instrumentos más usuales o por la falta de personal para la medida o para hacer brechas, el problema de los tres puntos UNIVERSIDAD AUTÓNOMA "TOMAS FRÍAS" INFORME FACULTAD DE INGENIERÍA MINERA POTHENOT CARRERA DE INGENIERÍA MINERA POTOSÍ - BOLIVIA Univ. Victor Hugo Nina Ramos Fecha: 09 de julio 2014 - 2 - soluciona dichas dificultades. Los problemas que se presentaran para su solución, darán una idea de la facilidad de su ejecución, aunque a varios topógrafos impresione su desarrollo para llegar a las formulas sencillas. 2. METODOLOGÍA 2.1. Método de campo. No existe el trabajo de campo en esta práctica ya que todo el trabajo fue realizado en gabinete. 2.2. Método de gabinete. El trabajo de gabinete se limitó en sí a proceder a calcular todos los datos. Realizando todas las compensaciones de todos los ángulos dados. 3. OBJETIVOS. Para la realización de la práctica tuvimos que representar dos objetivos: 3.1. OBJETIVOS GENERALES. El objetivo general de esta práctica de Pothenot es hacer una triangulación de tres puntos visado desde un punto “P”, anotando los ángulos de los puntos visados y por medio de esta realizar los respectivos cálculos y sacar sus coordenadas del punto desconocido “P” 3.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS. El objetivo especifico del Pothenot es que conociendo las coordenadas de los puntos tomados y conociendo los ángulos entre los puntos visados con el instrumento se puede calcular las coordenadas del punto, el rumbo de estés puntos respecto al punto de donde se instalo el instrumento mediante los cálculos. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA "TOMAS FRÍAS" INFORME FACULTAD DE INGENIERÍA MINERA POTHENOT CARRERA DE INGENIERÍA MINERA POTOSÍ - BOLIVIA Univ. Victor Hugo Nina Ramos Fecha: 09 de julio 2014 - 3 - 4. CARACTERÍSTICAS GENERALES DEL ÁREA. 4.1. UBICACIÓN. La zona de estudio se encuentra ubicada, en los previos de la Facultad de Ingeniería Minera ubicado en la provincia Tomás Frías en pleno centro de la ciudad de Potosí. Colindante con el Colegio Medinaceli. Geográficamente está ubicada en la provincia Tomas Frías del departamento de Potosí, ubicado en la ciudad de Potosí. 4.2. VÍAS DE ACCESO. Las calles principales son Av. Arce y Av. Villazon, los mismos que permiten una buena accesibilidad hacia el área de estudio. 4.3. CLIMA. El clima de esta región, por las características de su relieve y topografía, corresponde a un clima micro térmico de invierno seco, según la clasificación de Koeppen con una temperatura promedio anual d 15º y 18º C registrándose variaciones máximas de 24º y -15º C. La precipitación pluvial correspondiente a los meses de Diciembre a febrero es de 240 mm. 4.4. FLORA Y FAUNA. FLORA.- En lo que respecta a flora, en este lugar en específico no existe flora ya que nos encontramos en una zona urbanizada. FAUNA.- Con respecto a la fauna de la región de la misma manera que la flora no se observa ningún tipo de fauna por la urbanización del sector. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA "TOMAS FRÍAS" INFORME FACULTAD DE INGENIERÍA MINERA POTHENOT CARRERA DE INGENIERÍA MINERA POTOSÍ - BOLIVIA Univ. Victor Hugo Nina Ramos Fecha: 09 de julio 2014 - 4 - 5. MARCO TEÓRICO. Los casos que se presentan se muestran en las figuras 1, 2, y 3; en el que el punto P es el punto que se tiene que determinar. En el primer caso el punto P se encuentra fuera del triángulo formado por los vértices: A, B y C; el caso más favorable es como se muestra en la figura 2; en el caso de la figura tres la solución no es determinado o es sin solución, esto se da cuando los vértices y el punto por determinar (P), forman un cuadrilátero inscrito en una circunferencia o sea que los ángulos formados dan 180 grados. En las tres figuras el punto “P” es el que se trata de determinar y donde se miden los ángulos alfa y beta. Determinación del punto “P” Como se muestra en el primer caso los ángulos alfa y beta resultan agudos, para el segundo caso los ángulos alfa y beta son obtusos; en ambos casos las formulas se obtienen de la misma manera. Para el tercer caso que es indeterminado se puede observar que los ángulos alfa y beta serán iguales para cualquier posición de “P”. Análisis. Según la matemática, si se tienen dos puntos fijos de coordenadas planimetrías conocidas (A y B) y un punto desconocido (P); cuyas coordenadas es preciso calcular. ¿Se podrá solucionar el problema, midiendo tan solo el ángulo alfa? La respuesta es no, dado que el punto “P” podría ubicarse en varios puntos de la circunferencia ABP, por tanto se presenta varias soluciones. Este problema es más conocido por el de los “tres vértices” porque, si se conocen las coordenadas o los lados y el ángulo que forman tres puntos. La determinación de otro punto es fácil de obtener; también puede resolverse el caso múltiple cuando se UNIVERSIDAD AUTÓNOMA "TOMAS FRÍAS" INFORME FACULTAD DE INGENIERÍA MINERA POTHENOT CARRERA DE INGENIERÍA MINERA POTOSÍ - BOLIVIA Univ. Victor Hugo Nina Ramos Fecha: 09 de julio 2014 - 5 - trate de determinar la ubicación de dos o más puntos, pero su número se debe limitarse en atención a su exactitud. El desconocimiento práctico de este problema, limita su empleo y aun se considera impracticable; pero, cuando la medida directa de distancias presenta dificultades o imposibilidad de ejecutarlas con los instrumentos más usuales o por falta de personal para la medida o para hacer brechas, el problema de los tres vértices soluciona dichas dificultades. Los problemas que se presentan para su solución, darán una idea de la facilidad de su ejecución, aunque a varios topógrafos impresione su desarrollo para llegar a las formulas sencillas. En la práctica realizada determinaremos tanto una solución gráfica y analítica. Método photenot en el cual solo se miden ángulos para la determinación de las coordenadas de un punto V en el cual se estaciona, visando como mínimo a 3 puntos de coordenadas conocidas. (Debido a este motivo este método es conocido como trisección). UNIVERSIDAD AUTÓNOMA "TOMAS FRÍAS" INFORME FACULTAD DE INGENIERÍA MINERA POTHENOT CARRERA DE INGENIERÍA MINERA POTOSÍ - BOLIVIA Univ. Victor Hugo Nina Ramos Fecha: 09 de julio 2014 - 6 - Clasificación: 1. I. Inv. Simple: No se tiene comprobación del resultado. 2. I. Inv. Múltiple: Si se tiene comprobación del resultado. El fundamento geométrico en el que se sustenta la trisección para calcular las coordenadas de V, es el de la intersección de los arcos capaces de los ángulos a y b apoyandose en el segmento AB y en el BC respectivamente. Como se puede apreciar en la figura, el punto V es determinado por la intersección de los arcos capaces de a y b, de aquí por tanto se puede deducir que existe un caso en UNIVERSIDAD AUTÓNOMA "TOMAS FRÍAS" INFORME FACULTAD DE INGENIERÍA MINERA POTHENOT CARRERA DE INGENIERÍA MINERA POTOSÍ - BOLIVIA Univ. Victor Hugo Nina Ramos Fecha: 09 de julio 2014 - 7 - el cual no será posible obtener una solución. Este caso se da cuando la suma de los ángulos B, a y b es igual a 200g, lo cual provoca que los arcos capaces coincidan y por tanto no se intersecten, tal y como se puede apreciar en la figura inferior. 5.3.2.- Intersección inversa simple. Cálculo numérico. En campo solamente se miden los ángulos a y b, a partir de estos posteriormente A continuación se muestran dos métodos diferentes para el cálculo de las coordenadas de V, "Pothenot y Morejón", siendo su objetivo principal el determinar los ángulos A y C, ya que tras su conocimiento el cálculo de las coordenadas de V es directo. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA "TOMAS FRÍAS" INFORME FACULTAD DE INGENIERÍA MINERA POTHENOT CARRERA DE INGENIERÍA MINERA POTOSÍ - BOLIVIA Univ. Victor Hugo Nina Ramos Fecha: 09 de julio 2014 - 8 - Parte común a "Pothenot" y "Morejon": "Pothenot": Si UNIVERSIDAD AUTÓNOMA "TOMAS FRÍAS" INFORME FACULTAD DE INGENIERÍA MINERA POTHENOT CARRERA DE INGENIERÍA MINERA POTOSÍ - BOLIVIA Univ. Victor Hugo Nina Ramos Fecha: 09 de julio 2014 - 9 - entonces podemos decir también que, Si esta última expresión, la transformamos sumando (denominador + numerador) para el denominador y restando (denominador - numerador) para el numerador, entonces queda: A continuación desarrollamos cada una de las dos expresiones de la igualdad por separado, si volvemos a unir ambas expresiones y las desarrollamos, obtendremos, A partir de aquí podemos determinar los ángulos A y C: UNIVERSIDAD AUTÓNOMA "TOMAS FRÍAS" INFORME FACULTAD DE INGENIERÍA MINERA POTHENOT CARRERA DE INGENIERÍA MINERA POTOSÍ - BOLIVIA Univ. Victor Hugo Nina Ramos Fecha: 09 de julio 2014 - 10 - "Morejón": UNIVERSIDAD AUTÓNOMA "TOMAS FRÍAS" INFORME FACULTAD DE INGENIERÍA MINERA POTHENOT CARRERA DE INGENIERÍA MINERA POTOSÍ - BOLIVIA Univ. Victor Hugo Nina Ramos Fecha: 09 de julio 2014 - 11 - Una vez conocidos los ángulos A y C, se hace directa la determinación de las coordenadas del punto V, las cuales pueden ser calculadas por el método de intersección de rectas comentado en el tema 4 "Intersección Directa" o por medio del teorema del seno, el cual será comentado a continuación: El determinar las coordenadas del punto V por ambos lados, nos servirá para asegurarnos de que los cálculos estén bien realizados. 6. PROCEDIMIENTO. En esta práctica primeramente ubicamos un punto que es el punto “P” de partida donde instalamos el instrumento (teodolito electrónico) ubicado en la azotea del primer bloque de la Facultad de Ingeniería Minera del cual debemos determinar sus coordenadas, posterior aquello tomamos tres puntos que son conocidas sus coordenadas las cuales son: UNIVERSIDAD AUTÓNOMA "TOMAS FRÍAS" INFORME FACULTAD DE INGENIERÍA MINERA POTHENOT CARRERA DE INGENIERÍA MINERA POTOSÍ - BOLIVIA Univ. Victor Hugo Nina Ramos Fecha: 09 de julio 2014 - 12 - - Punto “A” cerro KARI KARI ubicado al sur este del punto “P”. - Punto “B” cerro Rico de Potosí ubicado al más al sur este del punto “P”. - Punto “C” cerro CHAPINI ubicado al sur oeste del punto “P”. Para sacar los ángulos horizontales primeramente barremos el ángulo entre el cerro de KARI KARI punto A y el cerro Rico de Potosí punto B obtenemos el ángulo “alfa” posterior aquello barremos el ángulo entre los puntos de CHAPINI y el punto del cerro Rico de Potosí para obtener el ángulo “beta” 7. OBTENCIÓN DE DATOS. POTHENOT PUNTO COOR. N COOR. E ALFA BETA I 7829566,87 212029,30 98º27’25’’ 50º 54' 10'' II 7829792,92 211490,90 III 7829495,55 213164,35 ANOTACIÓN EN LA TABLA DE REGISTRO Punto A. Punto B. Punto C. DESARROLLO DE CAMPO EQUIPO 1 Teodolito electrónico UNIVERSIDAD AUTÓNOMA "TOMAS FRÍAS" INFORME FACULTAD DE INGENIERÍA MINERA POTHENOT CARRERA DE INGENIERÍA MINERA POTOSÍ - BOLIVIA Univ. Victor Hugo Nina Ramos Fecha: 09 de julio 2014 - 13 - 1 Trípode 1 Cuaderno de notas CUADRILLA O GRUPO DE TRABAJO. 1 Observador 1 Anotador 8. OBSERVACIÓN. Se puede comentar que para encontrar estos puntos se requiere las coordenadas exactas de los tres puntos. La operación matemática se debe realizar con mucho cuidado ya que si falla estuviésemos sacando las coordenadas de otro campo El trabajo es fácil no requiere de mucho esfuerzo 9. CONCLUSIONES.- Como conclusiones podemos decir que se pudo obtener los datos, para calcular y encontrar por medios matemáticos todos los datos por medio de los tres punto conocidos También se puede decir que gracias a estos datos dados y en el caso del punto P encontrado se pudo realizar el plano del terreno 10. ANEXOS. En las hojas adjuntas están los cálculos realizados. 11. BIBLIOGRAFÍA. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA "TOMAS FRÍAS" INFORME FACULTAD DE INGENIERÍA MINERA POTHENOT CARRERA DE INGENIERÍA MINERA POTOSÍ - BOLIVIA Univ. Victor Hugo Nina Ramos Fecha: 09 de julio 2014 - 14 - Texto de Topografía Básica: Ing. Hernán Enríquez. Topografía II para Ingenieros. Texto Mensuras Subterráneas I Nivelación topográfica JeralMetrick. Ampliación de Topografía y Mensura Minera - Antonio García Martín