1 Wªasno±ci rozkªadu normalnego Zmienna losowa wzorem: X pochodzi z rozkªadu normalnego je»eli jej funkcja g¦sto±ci wyra»a si¦ (x−µ)2 1 e− 2σ2 2πσ f (x) = √ 1.0.1 Podstawowe wªasno±ci rozkªadu normalnego 1. Standardowy rozklad normalny N (0, 1) Y Y ma rozkªad ma rozkªad 2. Je»eli 3. Je»eli 4. X X ma rozkªad ma rozkªad N (µ, σ), N (0, 1), to to N (0, 1), gdzie Y = (X−µ) ; σ N (µ, σ) gdzie Y = σ · X + µ; E[X] = µ, V ar[X] = σ 2 ; X1 , X2 , . . . Xn σ N (µ, √n ) jest prób¡ z rozkªadu normalnego 5. Je»eli N (µ, σ) to ¯ X ma rozkªad 1.0.2 Praktyczne u»ycie tablic statystycznych Zadanie 1 Zadanie 2 Zadanie 3 Oblicz warto±ci Φ(z) dla z = 0, 1.96, −1, 0.56, −0.25, 1.5, 2.01, 3, 1.75 Znajd¹ warto±ci z , dla których Φ(z) = 0.5, 0.05, 0.95, 0.99, 0.90, 0.025, 0.01 Niech X b¦dzie zmienn¡ losow¡ o rozkªadzie N (0, 1) oblicz: 1. P (−0.55 < z < 0.37); 2. P (0.37 < z < 0.42); 3. P (−0.55 < z < −0.15). Zadanie 4 Niech zmienna losowa X ma rozkªad N (2, 3) oblicz pradopodobie«stwa: 1. P (X > 2); 2. P (X < 1); 3. P (|X − 2| < 0.5); 4. P (X < 1). Zadanie 5 Zadanie 6 Zmienna losowa ma rozkªad N (12, 4). Oblicz prawdopodobie«stwo P (x < 15). rednia zawarto±¢ Hb we krwi kobiet wynosi 13.7g/100ml, wariancja 1.58. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e losowo pobrana do bada« krew kobiet zawiera co najmniej 12g/100ml? Zadanie 7 Dostawca saªaty gwarantuje, »e ±rednia zawarto±¢ oªowiu w jego saªacie nie przekracza 0.10ppm. Kupuj¡cy poleciª sprawdzi¢ 16 losowo wybranych próbek saªaty i otrzymaª w nich ±redni¡ zawarto±¢ oªowiu 0.11ppm z odchyleniem standardowym 0.02ppm. Oce« czy gwarancja producenta jest uczciwa. 1 1.0.3 Wªasno±ci rozkªadu normalnego reguªa 3σ 3σ mówi ono, »e ok. Dla rozkªadu normalnego ma zastosowanie tzw. prawo 68% wszyst- kich warto±ci zmiennej odbiega od ±redniej oczekiwanej nie bardziej ni» o jedno odchylenie standardowe, ok. Natomiast ok. 95% wszystkich warto±ci nie bardziej ni» o dwa odchylenia standardowe. 99.8% odbiega o nie wi¦cej ni» 3σ od warto±ci ±redniej. Zatem w przedziale (µ − σ, µ) i (µ, µ + σ) zna jduje si¦ w przybli»eniu ok. 34% wszystkich pomiarów. W przedziale (µ−2σ, µ) i (µ, µ+2σ) znajduje si¦ ok. 47.72% wszystkich pomiarów. Po za tymi przedziaªami zna jduje si¦ ju» tylko po 2.25% pomiarów. Kiedy X ma rozkªad normalny, wspomniane 95.5% odpowiada prawdopodobie«stwu, »e 95.5% wyników losowo wybranych zawiera si¦ w przedziale o ko«cach µ + 2σ . 1.1 Przedziaªy ufno±ci X1 , X2 , . . . Xn , której rozkªad zale»y od pewnego parametru θ. Niech dana b¦dzie próba losowa rzeczywistego Przedziaªem ufno±ci przedziaª dla parametru θ na poziomie ufno±ci 1−α (0 < α < 1) nazywamy ¯ ¯ (θ1 (X1 , . . . , Xn ), θ2 (X1 , X2 , . . . , Xn )) o wªasno±ci ¯ P (θ1 (X1 , . . . , Xn ) dla ka»dego θ ¯ θ2 (X1 , X2 , . . . , Xn )) = 1 − α θ. 1.1.1 Niech Przedziaª ufno±ci dla parametru poªo»enia miast parametr mujemy, »e X1 , X2 , . . . , Xn b¦dzie to próba losowa przy czym prarametr µ jest nieznany natoσ jest znany. Bezpo±rednio z Centralnego Twierdzenia Granicznego otrzy√ ¯ P (X − aα σ/ n 1−α µ √ ¯ X + aα σ/ n) = 1 − α Jest to przedziaª ufno±ci dla parametru na poziomie istotno±ci µ utworzony na podstawie próby losowej X1 , X2 , . . . Xn Uwaga 1 1.1.2 Niech i W zagadnieniach praktycznych najcz¦±ciej parametr σ nie jest znany. σ nie jest znany). o Przedziaª ufno±ci dla parametru poªo»enia (parametr X1 , X2 , . . . , Xn b¦dzie prób¡ prost¡ z rozkªadu normalnego N (µ, σ) nieznanych µ σ. Zmienna losowa t= ma rozkªad ¯ 1 X − µ√ 2 n, (gdzie Sn−1 = Sn−1 n−1 n ¯ (Xi − X)2 ) i=1 t − Studenta o n − 1 stopniach swobody. Niech t(α, n − 1) oznacza kwantyl rz¦du α tego rozkªadu. Wówczas √ √ α α ¯ ¯ P (X − t( , n − 1)Sn−1 / n < µ < X + t(1 − , n − 1)Sn−1 / n) = 1 − α. 2 2 Zadanie 8 Nale»y oszacowa¢ »ywotno±¢ wyprodukowanej partii ±wietlówek. Wiadomo, »e czas ±wiecenia ±wietlówek ma rozkªad normalny z odchyleniem standardowym σ = 120 godzin. Wylosowano niezale»nie z tej partii towaru n = 25 ±wietlówek, otrzymano w ten sposób nast¦puj¡ce wyniki (pomiary czasu ±wiecenia w godzinach): 2630, 2820, 2900, 2810, 2770, 2840, 2700, 2950, 2690, 2720, 2800, 2970, 2680, 2660, 2820, 2580, 2840, 3020, 2780, 2920, 3060, 2840, 2550, 2790, 2850. Przyjmuj¡c wspóªczynnik ufno±ci 0.98 znale¹¢ przedziaª ufno±ci dla ±redniej. 2 W pewnym do±wiadczeniu medycznym bada si¦ czas snu pacjentów leczonych na pewn¡ chorob¦. Zmierzono czas snu u n = 16 wylosowanych niezale»nie pacjentów i otrzymano nast¦puj¡ce wyniki ( w minutach): 435, 533, 393, 458, 525, 481, 324, 437, 348, 503, 383, 395, 416, 533, 500, 488. Przujmuj¡c, »e czas snu ma rozkªad N (m, 70), oszacowa¢ ±redni m czasu snu pacjentów przyj¡c wspóªczynnik ufno±ci 0.99. Zadanie 9 W pewnym eksperymencie chemicznym bada si¦ czas caªkowitego zako«czenia reakcji. Dokonano n = 60 niezale»nych do±wiadcze« i otrzymano z nich ±redni¡ x = 46 ¯ sek oraz odchylenie standardowe s = 13 sek. Przyjmuj¡c wspóªczynnik ufno±ci 0.99 znajd¹ przedziaª ufno±ci dla ±redniego czasu reakcji. Zadanie 10 W celach antropometrycznych wylosowano n = 400 studentów i dokonano pomiarów, mierz¡c mi¦dzy innymi dªugo±¢ ich stopy. Otrzymano z tej próby x = 26.4 oraz ¯ s = 1.7 cm. Znajd¹ 0.90 przedziaª ufno±ci dla ±redniej dªugo±ci stopy. Zadanie 11 W celu oszacowania ±redniej miesi¦cznej kwoty wydatków studentów na rozrywki, wybrano losowo prób¦ n = 200 studentów i otrzymano z niej ±redni¡ x = 120 oraz ¯ s = 84 zª. Znale¹¢ 0.95 przedziaª ufno±ci dla ±redniej. Zadanie 12 Zadanie 13 Dokonano n = 4 niezale»ne pomiary geªeboko±ci oceanu w pewnym regionie i uzyskano nastepuj¡ce wyniki: 4.33, 4.58, 4.47, 4.50 Wyznaczy¢ przedziaª ufno±ci dla szacowanej ±redniej gª¦boko±ci oceanu w tym rejonie, przyjmuj¡c wspóªczynnik ufno±ci 0.99. Czas potrzebny na opracowanie 1km2 mapy przez techników ma rozkªad normalny. W celu oszacowania ±redniego czasu potrzebnego na t¦ czynno±¢ dla pewnej kategorii trudno±ci terenu, zmierzono czasy dla n = 21 techników wylosowanych niezale»nie i otrzymano nast¦puj¡ce wyniki (w godzinach): 4.00, 3.35, 3.18, 2.89, 3.60, 3.05, 3.71, 3.30, 3.42, 2.96, 3.56, 2.97, 2.78, 2.39, 3.16, 3.04, 2.54, 2.59, 3.62, 3.28, 2.76 . Znale¹¢ 0.95 przedziaª ufno±ci. Zadanie 14 1.2 Przedziaªy ufno±ci dla proporcji Nie zawsze badanie statystyczne jest prowadzone ze wzgl¦du na cech¦ mierzaln¡. Czasem badana cecha ma charakter niemierzalny (jako±ciowy). Wtedy zamiast warto±ci liczbowej badanej cechy uzyskujemy jedynie informacj¦ o tym czy badany element w populacji ma badan¡ cech¦ jako±ciow¡ czy te» jej nie ma. Podstawowym celem badan jest frakcja elementów wyró»nionych (wska¹nik struktury populacji) oznaczana zwykle przez p. Uwaga 2 Najlepszym oszacowaniem wska¹nika p jest m/n gdzie m- liczba elementów wyró»nionych znalezionych w losowej próbie n. Uwaga 3 Kolejn¡ metod¡ jest konstrukcja przedziaªu ufno±ci dla wska¹nika p stosujemy wtedy wzór: m − aα n Zadanie 15 m n (1 − n m n)