FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL CURSO: MECANICA DE FLUIDOS SESION 03: SUPERFICIES SUMERGIDAS PLANAS AUTOR: Ing. JORGE RONDO VASQUEZ TRUJILLO - PERÙ Fuerza hidrostática Una válvula de una compuesta de una presa se encuentra sometida a presiones distribuidas como se muestra en la figura Fuerza hidrostática sobre una superficie plana horizontal sumergida Consideremos la superficie sumergida mostrada en la figura La fuerza hidrostática sobre dA será dF pdAk La fuerza hidrostática resultante será R A F pdAk Fuerza hidrostática sobre una superficie plana horizontal sumergida Teniendo en cuenta la variación de la presión con la profundidad Debido a que todos los puntos de la superficie está, a la misma profundidad 0R A F p gh dAk 0R A F p gh dAk 0RF p gh Ak Fuerza hidrostática: CENTRO DE PRESIONES El centro de presiones se determina aplicando el teorema de momentos El momento de la fuerza resultante con respecto a los ejes x ó y es igual al momento del conjunto de fuerzas distribuidas respecto al mismo eje x ó y. Es decir C R A x F xpdA C R A y F ypdA Fuerza hidrostática: CENTRO DE PRESIONES Reemplazando la magnitud de FR y el valor de la presión a una profundidad h en la ecuación (), tenemos 0 0C A x p gh A x p gh dA 1 C A x xdA A Cx x 0 0C A y p gh y p gh dA 1 C A y ydA A Cy y Esta ecuaciones indican que la fuerza hidrostática esta dirigida hacia abajo y esta aplicada en el centroide de la región Fuerza hidrostática sobre una superficie plana inclinada sumergida Considere la superficie inclinada un ángulo Para encontrar la fuerza resultante se divide a la superficie en elementos de área dA. Debido a que el fluido esta en reposo no existe esfuerzos cortantes, entonces la fuerza FR actuará perpendicularmente a dA. Esto es Fuerza hidrostática sobre una superficie plana inclinada sumergida La fuerza hidrostática será dF pdAk Teniendo en cuenta que la presión a una profundidad h es p = po + ρgh 0 0dF p gh dAk De la figura se tiene además que h = y senθ, entonces 0 0dF p gysen dAk Fuerza hidrostática sobre una superficie plana inclinada sumergida La fuerza resultante será Teniendo en cuenta la definición de centroide R 0 R 0 ˆF ρgysen dA ˆ ˆ F Ak ydA A A p k p gsen k CG A ydA y A 0 ˆ ( ) R CGF p A gsen y A k De la figura se observa CG CGh y sen 0 ˆ ( ) R CGF p gh Ak La magnitud de la fuerza hidrostática será R CGF p A Centro de presiones El punro de aaplicación de la fuerza resultante se determina aplicando el principio de momentos Momento respecto al eje x Donde es el momento de inercia respecto al eje x2xx A I y dA 0 0 2 0 0 ( ) ( ) CP R CP R CG xx y F ydF y p h dA y p y sen dA p ydA sen y dA y F p y A sen I Centro de presiones Utilizando el teorema de los ejes paralelos Entonces se tiene 2 ,xx G x CGI I y A 2 0 , 0 , 0 , , ( ) ( ) ( ) CP CG CG G x CG CG CG G x CG CG G x CP CG CG CG G x y p A p y A sen I y A p sen y y A sen I p h y A sen I y p A p y A sen I ,G x CP CG CG sen I y y p A Centro de presiones Momento respecto al eje x Donde es el producto de inercia del área. Utilizando el teorema de steiner se tiene xy A I xydA 0 0 0 0 ( ) ( ) CP R CP R CG xy x F xdF x p h dA x p y sen dA p xdA sen xydA x F p y A sen I ,xy G xy CG CGI I x y A Centro de presiones Entonces se tiene 0 , 0 , 0 , , ( ) ( ) ( ) CP CG CG G xy CPG CG CG CG G xy CG CG G x CP CG CG CG G xy x p A p x A sen I x y A p sen y x A sen I p h x A sen I x p A p x A sen I ,G xy CP CG CG sen I x x p A FUERZA RESULTANTE La magnitud de la fuerza resultante FR actuando sobre una superficie plana de una placa completamente sumergida en un fluido homogéneo es igual al producto de la presión en el centro de gravedad pCG de la superficie por el área A de dicha placa y está actuando en el centro de presiones Propiedades geométricas de regiones conocidas Fuerza hidrostática sobre una superficie plana vertical Fuerza hidrostática sobre una superficie plana vertical: Prisma de presiones Consideremos una superficie vertical de altura h y ancho b como se muestra en la figura. La fuerza hidrostática resultante es ( )( ) 2 R CG CG h F p A h A bh Fuerza hidrostática sobre una superficie plana vertical Es decir la fuerza hidrostática es igual al volumen del prisma de presiones Fuerza hidrostática sobre una superficie plana vertical Su punto de aplicación será 390 ( /12) ( / 2)( ) 2 6 2 3 CP CG CP sen bh h h y y h bh y h Fuerza hidrostática sobre una superficie plana vertical Si la superficie no se extiende hasta la superficie libre (compuerta) como se muestra en la figura Fuerza hidrostática sobre una superficie plana vertical La fuerza resultante se obtiene sumando el paralelepípedo de presiones más la cuña de presiones Fuerza hidrostática sobre una superficie plana vertical La fuerza resultante se obtiene sumando el paralelepípedo de presiones más la cuña de presiones 1,( ) 2,( ) 1 2 1( ) ( ) R paralelipipedo prisma R ABDE BCD R F V V F F F F h A h h A La localización de la fuerza resultante se obtiene tomando momentos. Es decir Donde MOMENTOS DE INERCIA DE ÁREAS • El momento de inercia del área alrededor del eje x, es • El momento de inercia del área alrededor del eje y, es • El productor de inercia Teorema de los ejes paralelos • El momento del area con respecto a ejes paralelos se expresa en la forma EJERCICIOS PARA DESARROLLAR Para desarrollar en casa EJEMPLO 01 • La placa AB de 3 m por 4 m de un depósito al aire es basculante en torno a su borde inferior y se mantiene en posición mediante una barra delgada BC. Sabiendo que va a llenarse de glicerina, cuya densidad es 1263 kg/m3. Determinar la fuerza T en la barra y las reacciones en la bisagra A cuando el depósito se llena hasta una profundidad d = 2,9 m. EJEMPLO 02 • La compuerta de 6 m de ancho mostrada en la figura se mantiene en la posición mostrada en la figura mediante un momento M aplicado en sentido antihorario. Halle el valor de dicho momento para mantener cerrada la compuerta EJEMPLO 03 • Una placa rectangular AB, mostrada en sección vertical tiene 4 m de altura por 6 m de anchura(normal al plano de la figura) y bloque el extremo de un depósito de agua de 3 m de profundidad. La placa se encuentra articulada en A y en el extremo inferior es sostenida por una pared horizontal. Encuentre la fuerza en B ejercida por el muro de contención EJEMPLO 04 • La compuerta vertical accionada por el resorte está engoznada por su borde superior A según un eje horizontal y cierra el extremo de un canal rectangular de agua dulce de 1,2 m de anchura (normal al plano del papel). Calcular la fuerza F que debe ejercer el resorte para limitar la profundidad del agua a h =1,8 m. EJEMPLO 05 • El eje de la compuerta de 2 m de ancho normal plano del papel fallará con un momento de 160 kN.m. Determine el máximo valor de la profundidad del líquido h. El peso específico del líquido es 10 kN/m3. EJEMPLO 06 • La presa de concreto está diseñada para que su cara AB tenga una pendiente gradual en el agua, como se muestra. Por esto, la fuerza friccional en la base BD de la presa se incrementa debido a la fuerza hidrostática del agua que actúa sobre la presa, Calcule la fuerza hidrostática que actúa en la cara AB de la presa. La presa tiene un ancho de 60 pies. w =62.4 lb/pies3. EJEMPLO 07 • El aire del espacio superior del tanque cerrado es mantenido a una presión de 5,5 kPa sobre la atmosférica- Determine la fuerza resultante ejercida por el aire y el agua sobre uno de los extremos del tanque EJEMPLO 08 • Un cilindro hidráulico acciona la palanca articulada que cierra la compuerta vertical venciendo la presión del agua dulce represada al otro lado. La compuerta es rectangular con una anchura de 2 m perpendicular al plano del dibujo. Para una altura de agua h = 3 m, calcular la presión p del aceite actuante sobre el pistón de 150 mm del cilindro hidráulico EJEMPLO 09 • Una placa rectangular uniforme AB, representada en sección, tiene una masa de 1600 kg y separa los dos cuerpos de agua dulce en un depósito que tiene una anchura de 3 m (normal al plano de la figura). Determine la tensión T del cable soportante. EJEMPLO 10 • En la figura se representa la sección normal de una compuerta rectangular AB de dimensiones 4m por 6m que cierra el paso de un canal de agua dulce (ρ = 1000 kg/m3). La masa de la compuerta es de 8500 kg y está engoznada en un eje horizontal que pasa por C. Determine: (a) La fuerza ejercida por el agua sobre la compuerta, (b) el punto de aplicación de dicha fuerza y (c) la fuerza vertical P ejercida por la cimentación sobre el borde inferior A de la compuerta. EJEMPLO 11 • Calcular la magnitud, dirección y localización de la fuerza resultante ejercida por los fluidos sobre el extremo del tanque cilíndrico de la figura. EJEMPLO 12 • Una placa rectangular, mostrada de perfil en la figura, tiene una altura de 274 cm y una anchura de 244 cm (normal al papel) y separa depósitos de agua dulce y petróleo. El petróleo tiene una densidad relativa de 0,85. determine la altura h que ha de alcanzar el agua para que sea nula le reacción en B. EJEMPLO 13 • Calcular la fuerza vertical mínima F, requerida para mantener cerrada la cubierta de esta caja. La cubierta tiene una anchura de 3m de perpendicular a plano del dibujo. EJEMPLO 14 • En la figura mostrada. (a) Determine la fuerza única resultante que actúa sobre la compuerta Ģ provocada por la presión hidrostática para el caso en el que θ = 53º. El ancho de la compuerta es 5 m y la densidad del agua es 1 g/cm3, (b) Calcule las reacciones en el perno A y el piso B. EJEMPLO 15 • La compuerta rígida OBC, tiene 5 m de ancho normal al plano del dibujo. Despreciando el peso de la compuerta, y suponiendo que el peso de la bisagra es despreciable. Determine la magnitud de la fuerza P necesaria para mantener cerrada la compuerta. EJEMPLO 16 • En un canal de agua dulce, de 1.5 m de ancho, se construye un dique temporal clavando dos tablas a los pilotes ubicados a los lados del canal y apuntalando una tercera tabla AB contra los pilotes y el piso del canal. Sin tomar en cuenta la fricción, determine la magnitud y la dirección de la tensión mínima requerida en la cuerda BC para mover la tabla AB. EJEMPLO 17 • La compuerta AB está situada al final del canal de agua de 6 ft de ancho y se mantiene en la posición mostrada en la figura mediante bisagras instaladas a lo largo de su extremo superior A. Si el piso del canal no tiene fricción, determine las reacciones en A y B. EJEMPLO 18 • Una compuerta colocada en el extremo de un canal de agua dulce de 1 m de ancho fue fabricada con tres placas de acero rectangulares de 125 kg cada una. La compuerta está articulada en A y descansa sin fricción sobre un apoyo puesto en D. Si d 0.75 m, determine las reacciones en A y D. EJEMPLO 19 • Al final de un canal de agua dulce se encuentra una compuerta en forma de prisma que está sostenida por medio de un pasador y una ménsula colocados en A y descansa sin fricción sobre un soporte ubicado en B. El pasador se localiza a una distancia de h 4 in. por abajo del centro de gravedad C de la compuerta. Determine la profundidad del agua d para la cual se abrirá la compuerta. EJEMPLO 20 • Un tanque abierto tiene una partición vertical y en un lado contiene la gasolina con una densidad de ρ = 700 kg/m3 a una profundidad de 4 m, como se muestra en la Figura. Una puerta rectangular que es de 4 m de altura y 2 m de ancho y con bisagras en un extremo se encuentra en la partición. El agua se va añadiendo lentamente hacia el lado vacío del tanque. ¿A qué profundidad, h, será el inicio para abrir la puerta? EJEMPLO 21 • Una puerta rectangular que es de 2 m de ancho se encuentra en la pared vertical de un tanque que contiene agua como se muestra en la Figura. Se desea que la puerta se abra automáticamente cuando la profundidad del agua en la parte superior de la puerta llegue a los 10m.(a) ¿A qué distancia, d, si el eje horizontal sin rozamiento se encuentra? (b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza en la puerta cuando se abra? EJEMPLO 22 • Una puerta rectangular con una anchura de 5 m se encuentra en el lado en declive de un tanque como se muestra en la Figura. La puerta está articulada a lo largo de su borde superior y se mantiene en posición por la fuerza P. Despreciando la fricción de la bisagra y el peso de la puerta. Determinar el valor requerido de P. EJEMPLO 23 • Una puerta rectangular de 4 m de anchura, 8 m de largo con un peso de 300 kg se mantiene en su lugar mediante un cable flexible horizontal como se muestra en la Figura. El agua actúa contra la puerta que está articulada en el punto A. La fricción de la bisagra es insignificante. Determine la tensión en el cable EJEMPLO 24 • Una compuerta circular de 3 m de diámetro, tiene su centro a 2,5 m debajo de la superficie del agua, y descansa sobre un plano con pendiente de 60º. Determine la magnitud, dirección y localización de la fuerza total sobre la compuerta debido al agua. EJEMPLO 25 • Un área triangular de 2 m de base y de 1,5 m de altura tiene su base horizontal y yace en un plano inclinado 45º, con su ápice debajo de la base y a 2,75 m debajo de la superficie libre del agua. Determine la magnitud, dirección y la localización de la fuerza resultante del agua sobre el área triangular. EJEMPLO 26 • Una compuerta, cuya sección transversal se muestra en la figura, cierra una abertura de 0,6 m de ancho por 1,2m de alto. La compuerta es homogénea y su masa es de 600 kg. Calcular la fuerza P requerida para abrir la compuerta. EJEMPLO 27 • La compuerta AB es una placa rectangular de 280 Kgf que tiene 1,5 m de altura y 1,1 m de anchura y se utiliza para cerrar el canal de desagüe en la parte inferior de un depósito de petróleo. A consecuencia de la condensación en el depósito, se recoge agua dulce en la parte inferior del canal. Calcular el momento M respecto del eje del pasador en B necesario para cerrar la compuerta contra la acción de las fuerzas hidrostáticas del agua y del petróleo, la densidad relativa del petróleo es 0,85. Ejemplo 28 • La compuerta rectangular mostrada en la figura tiene 1, 2 m de ancho y un resorte se encarga de mantenerla cerrada. Cuando la compuerta está cerrada la fuerza de compresión sobre el resorte vale 15000 N. Determine el valor de H para que la compuerta empiece a abrirse. Ejemplo 29 • En la figura: (a) determine la fuerza resultante que actúa sobre la compuerta ABC debido a la presión hidrostática; (b) ¿Cuáles son las reacciones en el piso A y en el perno C?. Considere que b = 1,5 m; c = 1,25 m; d = 2 m y el ancho de la compuerta es 1,5 m. Ejemplo 30 • Una placa plana cierra una abertura triangular existente en la pared vertical del depósito que contiene un líquido de densidad ρ . La placa está articulada en el borde superior O del triángulo. Determine la fuerza P requerida para cerrar la compuerta venciendo la presión del líquido. Ejemplo 31 • La tapa de la abertura de 20 por 30 cm del depósito está roblonada, siendo despreciables las tensiones iniciales en los roblones. Si el depósito se llena con mercurio (DR = 13,6) hasta el nivel que se indica. Determine: (a) La fuerza ejercida por el mercurio sobre la tapa de la abertura y (b) la tensión inducida en cada uno de los roblones A y B. Ejemplo 31 • Las caras de un canjilón en forma de V para agua dulce, representado en sección, están articuladas por su intersección común que pasa por O y unidas por un cable y un torniquete colocados cada 183 cm a lo largo del canjilón. Determine la tensión T que soporta cada torniquete. Ejemplo 31 • En la figura puede verse la sección de una compuerta ABD que cierra una abertura de 1,5 m de anchura en un calla de agua salada. Para el nivel del agua indicado. Determine la fuerza de compresión F del vástago del cilindro hidráulico que mantenga una fuerza de contacto de 3 kN por metro de anchura de compuerta a lo largo de la línea de contacto que pasa por A. La compuerta pesa 17 kN y su centro de gravedad está en G. Ejemplo 31 • Halle la fuerza total sobre la compuerta AB y el momento de esta fuerza respecto del fondo de la compuerta. GRACIAS
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