Volume 1 conjuntos e funções

GELSON IEZZI CARLOS MURAKAMI FUNDAMENTOS DE - 1 MATEMATICA ELEMENTAR CONJUNTOS FUNÇÕES 75 Exercícios resolvidos 326 Exercícios propostos - com resposta 272 Testes de Vestibulares - com resposta 3!\ edição ATUAL EDITORA Capa Roberto Franklin Rondino Sylvio Ulhoa Cintra Filho Rua Inhambu, 1235 - S. Paulo Composição e desenhos AM Produções Gráficas Ltda. Rua Castro Alves, 135 - S. Paulo Artes Atual Editora Ltda. Fotolitos H.O.P. Fotolitos Ltda. Rua Delmira Ferreira, 325 - S. Paulo Impressão e acabamento Gráfica Ed itora Hamburg Ltda. Rua Apeninos, 294 278-1620 - 278-2648 - 279-9776 São Paulo - SP - Brasil CIP-&rasil. CatalogAção-na-Fonte câmara Brasileira do Livro, SP FundBlllentDB dI! matemátlcllI elementar (por] Gel- F977 aon Iezzl (e outros) 5BO Paulo, 'Atul!l1 v.l-2, Ed., 1977- 4-6 CO-Butores: Carlos HurakBllll, Osvaldo Dolce e Semuel H!!Izzsn; 8 Butarh dos volumes indi- viduais vada entre 08 4 autores. Conteúdo; v.l. Con1untos, funçeea.-v.2. Logsrltmos.-v.4. SeQÜencias, mB~rize8 determl Mantes, a1etl!lllB8.-v.5. CClllbln!tor1ll!l, prob!bl- lidsde.-v.6. Complexos, polinomioB, equsçoes. 1. Metemétlca (zg grau) 1. Dolce, Osvaldo, 1938- lI. II!zzl, Gdson, 1939- IlI. Hl!!lzzan, Sl!IIIlt1el, 1946- 1\1. Hurskeml, C8rl08, 1943- 77-1333 1::00-510 tndice para catálogo sistemático: 1. Ket_tlce 510 Todos os direitos reservados a ATUAL EDITORA l TOA Rua José Antônio Coelho, 785 Telefones: 71-7795 e 549-1720 CEP 04011 - São Paulo - SP - Brasil '( APRESENTACÃO• "Fundamentos de Matemática Elementar" é uma coleção em dez volumes elaborada com a pretensão de dar ao estudante uma visão global da Matemática, ao nível da escola de 'P. grau. Desenvolvendo os programas em geral adotados para o curso colegial, os "Fundamentos" visam aos alunos em preparativos para exames vestibulares, aos universitários que necessitam rever a Matemática Elementar e também, como é óbvio, àqueles alunos de colegial mais interessados na "rainha das ciências" . No desenvolvimento dos inúmeros capítulos dos livros de "Fundamentos" procuramos seguir uma ordem lógica na apresentação de conceitos e propriedades. Salvo algumas exceções bem conhecidas da Matemática Elementar, as proposições e teoremas estão sempre acompanhados das respectivas demonstrações. Na estruturação das séries de exercícios, buscamos sempre uma ordenação crescente de dificuldade. Partimos de problemas simples e tentamos chegar a questões que envolvem outros assuntos já vistos, obrigando o estudante a uma revisão. A seqüência do texto sugere uma dosagem para teoria e exercícios. Os exercícios resolvidos, apresentados em meio aos propostos, pretendem sempre dar explicação sobre alguma novidade que aparece. No final do volume o aluno pode encontrar a resposta para cada problema proposto e, assim, ter seu reforço positivo ou partir à procura do erro cometido. A última parte de cada volume é constitUl'da por testes de vestibulares até 1.977 selecionados e resolvidos o que pode ser usado para uma revisão da matéria estudada. Queremos consignar aqu i nossos agradecimentos sinceros ao Prof. Dr. Fernando Furquim de Almeida cujo apoio foi imprescindível para que pudéssemos homenagear nesta coleção alguns dos grandes matemáticos, relatando fatos notáveis de suas vidas e sua obras. Finalmente, como há sempre uma enorme distância entre o anseio dos autores e o valor de sua obra, gostaríamos de receber dos colegas professores um{ apre- ciação sobre este trabalho, notadamente os comentários críticos, os quai's--agra- decemos. Os autores , INDICE CAPiTULO I - NOCOES DE lÚGICAX Prop~çã()' . . . . . . . . . . . . . .. l-A 1l.''Nega.çao ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2-A '1.1.1'. Proposição composta - conectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3-A IV. -Condicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5-A V; Tautologias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. B-A VI. Proposições logicamente falsas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9-A VII. Relação de implicação 10-A VIII. Relação de equivalência ll-A IX. ~tenças abertas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. l2-A X. CÔi!íÔ negar proposições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. l4-A CAPiTU la 11 - CONJUNTOS I.~njunto, elemento, pertinência . 11. ~escrição de um conjunto . 1I1.(Ç,?)'ljunto unitário, conjunto vazio . IV. -obnjunto universo . V. ~~juntos iguais . VI. Subconjuntos . VII.' ~eunião de conjuntos . VIII. 1.lltersecção de conjuntos . IX'.tr0priedades . X;uiferença de conjuntos . X( ~mplementarde B em A . CAPI"rUlO 111 - CONJUNTOS NUMJ:RICOS I. CoMunto dos números naturais )) . 11. cqJVunto dos números inteiros . Z. . 111. C&r'junto dos números raciona is .. ;..\ . IV. (\onjunto dos números reais ti".:. . V. Ii4térvalos . VI. Coni\Jnto dos números complexos. CAPlIU LO IV - RELAÇOES I. Par ord enado 59-A 11. Sistema cartesiano ortogonal 60-A 111. Produto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62-A IV. Relação binária. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 65-A V. Dom(nio e imagem 68-A VI. Relação inversa 70-A VII. Propriedades .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71-A CAPlIU LO V - FU NÇOES I. Conceito de função 73-A 11. Definição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74-A 111. Notação das funções 77-A IV. Dom(nio e imagem 80-A V. Funções iguais 84-A APÊNDICE SOBRE INEQUAÇÕES 86-A CAPlIULO VI - FUNÇOES DO 19 GRAU I. Função constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 93-A 11. Função identidade 94-A 111. Função linear 94-A IV. Função afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96-A V. Gráfico 96-A VI. Imagem 100-A VII. Coeficientes da função afim 101-A VIII. Zero da função afim 102-A IX. Funções crescentes e decrescentes 103-A X. Teorema 105-A XI. Sinal de uma função 106-A XII. Sinal da função afim 108-A XIII. Inequações simultâneas 112-A XIV. Inequações-produto 113-A XV. Inequações-quociente 120-A CAPliULO VII - FUNÇAO QUADRATICA I. Defin ição 123-A 11. Parábola 123-A 111. Concavidade 125-A IV. Forma canônica 125-A V. Zeros 126-A VI. Máximos e m(nimos 130-A V11. Vértice da parábola 131-A VIII. Imagem 133-A IX. Eixo de simetria 136-A X. Gráfico " 136-A XI. Sinal 140-A XII. Inequações do 2? grau 144-A X111. Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148-A XIV. Comparação de um número real com as ra(zes da equação do 2? grau. . 150-A XV. Sinais das ra(zes da equação do 2 Johann F. C. Gauss (1777 - 1855) a) 9 *- 5 b) 7> 3 c) 2 E ;Z d) 3111 e) ;Z C O De plebeu a príncipe Johann Friederich Carl Gauss nasceu em Brunswick, Alemanha. De fam(lia humilde mas com o incentivo de sua mãe obteve brilhantismo em sua carreira. Estudando em sua cidade natal, certo dia quando o professor mandou que os alunos somassem os números de 1 a 100, imediatamente Gauss achou a resposta - 5050 - aparentemente sem cálculos. Supõe-se que já aI' houvesse descoberto a fórmula de uma soma de uma progressão aritmética. Gauss foi para Gottingen sempre contando com o aux(lio financeiro do duque de Brunswick, decidindo-se pela Matemática em 30 de março de 1796, quando se tornou o primeiro a construir um polígono regular de dezessete lados somente com o aux(lio de régua e compasso. Gauss doutorou-se em 1798, na Universidade de HelmsÜidt e sua tese foi a demonstração do "Teorema fundamental da Álgebra", provando que toda equação polinomial f(x)=O tem pelo menos uma ra(z real ou imaginária e para isso baseou- se em considerações geométricas. Deve-se a Gauss a representação gráfica dos números complexos pensando nas partes real e imaginária como coordenadas de um plano. Seu livro "Disquisitiones Arithmeticae" (Pesquisas Aritméticas) é o principal responsável pelo desenvolvimento e notações da Teoria dos Números, nele apresen- tando a notação b=c (mod al, para relação de congruência, que é uma relação de equivalência. Ainda nesta obra Gauss apresenta a lei da reciprocidade quadrática classifi- cada por ele como a "jóia da aritmética" e demonstrando o teorema segundo o qual todo inteiro positivo pode ser representado de uma só maneira como produto de primos. Descreveu uma vez a Matemática como sendo a rainha das Ciências e a Arit- mética como a rainha da Matemática. No começo do séc. XI X abandonou a Aritmética para dedicar-se à Astrono- mia, criando um método para acompanhar a órbita dos satélites, usado até hoje, e isto lhe proporcionou em 1807, o cargo de diretor do observatório de Gottingen, onde passou 40 anos. Suas pesquisas matemáticas continuaram em teoria das funções e Geometria aplicada ã teoria de Newton. Em Geodésia inventou o helitropo, aparelho que transmite sinais por meio de luz refletida e em Eletromagnetismo inventou o magnetômetro bifiliar e o telégrafo elétrico. Sua única ambição era o progresso da Matemática pelo que lutou até o momento em que se conscientizou do fim por sofrer de dilatação cardíaca. Gauss morreu aos 78 anos e é considerado o "príncipe da Matemática". CAPiTULOl NOÇÕES DE LÓGICA I. PROPOSiÇÃO 1. Definição Chama-se proposição ou sentença toda oração declarativa que pode ser classificada de verdadeira ou de falsa. Observemos que toda proposição apresenta três características obrigatórias: 1~) sendo oração, tem sujeito e predicado; 2~) é declarativa (não é exclamativa nem interrogativa) 3~) tem um, e somente um, dos dois valores lógicos: ou é verdadeira (V) ou é falsa (F). 2. Exemplos São proposições: (Nove é diferente de cinco) (Sete é maior que três) (Dois é um número inteiro) (Três é divisor de 11) (O conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos racionais) Dessas proposições, todas são verdadeiras exceto d. Não são consideradas proposições as frases: f) 3· 5 + 1 (onde falta predicado) g) V2 E O? (que é oração interrogativa) h) 3x - 1 = 11 (que não pode ser classificada em verdadeira ou falsa) l-A 11. NEGAÇÃO 3. A partir de uma proposlçao p qualquer sempre podemos construir outra, denominada negação de p e indicada com o símbolo ~p. Exemplos a) p: 9 "* 5 b) p: 7 > 3 ~p: 9 = 5 ~p: 7 ~ 3 c) p: 2EZ d) p: 3 1 11 ~p: 2gZ ~p: 3111 e) p: ;z.C(} -p: Zrj.O 4. Para que ~p seja realmente uma proposição devemos ser capazes de classificá-Ia em verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso vamos postular (decretar) o segu inte cri tér io de classificação: A.2 Qual é a negação de cada uma das seguintes proposições? Que negações são verdadeiras? ai 3 • 7 = 21 b) 3 • 111 - 71 "* 5 cl 3'2+1>4 di 5'7-2~5'6 el (2..)7 A conjunçio P  q é verdadeira sap e q são ambas verdadeiras; se ao menos uma delas for falsa, então p  q é falsa. 8. Vamos postular um critério para decidir o valor lógico (Vou F) de uma disjunção a partir dos valores lógicos (conhecidos) das proposições p e q: 1~) p: 5> O q: 5 > 1 p Y q: 5 > O ou 5> 1 ~) p: 3 = 3 q: 3 < 3 p V q: 3';;; 3 Colocando o conectivo Y entre duas proposições p e q, obtemos uma nova proposição, p y q, denominada disjunção das sentenças p e q. Exemplos Reexaminando os exemplos anteriores, temos: 1~) p é V e q é V, então pÂq é V 2~) p é V e q é F, então PÂq é F 3~) p é F e q é V, então pÂq é F 4~) pé F e q é F, então pÂq é F 7. Conectivo Y A disjunção P Y q é verdadeira se ao menos urna das pro· posições p ou q e verdadeira; se p e q são ambas falo sas, então p y q é falsa. p q Pyq V V V V F V F V V F F F Revendo os exemplos anteriores, temos: 1~) p é V e q é V, então Pyq é V 2~) p é V e q é F, então pyq é V 3~) p é F e q é V, então pyq é V 4~) p é F e q é F, então p yq é F EXERCICIO A.3 Classificar em verdadeira ou falsa cada uma das seguintes proposições compostas: a) 3> 1 e 4> 2 b) 3> 1 ou 3 = 1 c) 2 I 4 ou 2 I (4 + 1) d) 3(5 + 2) = 3 • 5 + 3 • 2 e 3 I7 e).!. < ~ ou 5111 2 4 t) (_1)6 = -1 e 2s < (_2)7 g) ...,riS = 6 ou mdc (4, 7) = 2 Este critério está resumido na tabela ao lado, denominada tabela· -verdade da proposição p Y q. p q PÂq V V V V F F F V F F F F Este critério está resumido na tabela ao lado, onde são e~aminadas todas as possibilidades para p e q. Esta tabela é denominada tabela-ver- dade da proposição p  q. :1,» p: 10 é número primo q: 10 é número composto p y q: 10 é número primo ou número composto IV. CONDICIONAIS 4~) p: ~ < 26 q: 22 < (_3)s p V q: 34 < 26 ou 22 < (_3)s Ainda a partir de proposições dadas podemos construir novas proposlçoes através do emprego de outros dois símbolos lógicos chamados condicionais: o condicional se ... então ... (símbolo: -+) e o condicional ... se e somente se ... (símbolo: +-+) 4-A 5-A 9. Condicional _ 11. Condicional *---+ Colocando o condicional -+ entre duas proposições p uma nova proposlçao, p -+ q, que se lê: "se p então q", necessária para q", "q é condição suficiente para p". Exemplos e q, obtemos "p é condição Colocando o condicional *---+ entre duas proposições p e q, obtemos uma nova proposição, p Revendo os exemplos dados, temos: 1?) p é V e q é V, então p q é V 2?) pé V e q é F, então p q é F 3~) p é F e q é V, então p q é F 4?) p é F e q é F, então p q é V EXERCICIOS A.4 Classificar em verdadeira ou falsa cada Uma das proposições abaixo a) 2 - 1 ~ 1 -->- 5 + 7 = 3 • 4 b) 22 = 4 (_2)2 = 4 c) 5 + 7 • 1 = 10 -->- 3·3 = 9 d) mdc (3, 6) = 1 4 é nÚmero primo e) 2 18 -->- mmc (2. 8) ~ 2 f) 6';;; 2 6 - 2 ;;;. O g) 1. < ~ -->- 3' 7 = 2 • 5 5 7 A.5 Admitifldo que p e q são verdadeiras e r é falsa, determine o valor (Vou F) de cada proposição abaixo. a) p -->- r b) p q c) r -->- p d) (p V rl q el p -->- (q -->- ri f)p-->-(qVrl g) -p -q h) ~p r V. TAUTOLOGIAS 13. Seja v uma proposição formada a partir de outras (p, q, r, ... ), mediante emprego de conectivos (Vou 1\) ou de modificador (_) ou de condicionais (-->- ou +-». Dizemos que v é uma tautologia ou proposição logicamente verdadeira .quando v tem o valor lógico V (verdadeira) independentemente dos valores lógicos de p, q, etc.-Assim a tabela-verdade de uma tautologia v apresenta só V na coluna de v. 8-A Exemplos 1'?) (p 1\ ~p) -->- (q V p) é ';Ima tautologia pois p q ~p p 1\ ~p qV p (p 1\ -p) -+- (q V f)} V V F F V V: V F F F V V' F V V F V V F F V F F V. 2?) ~ (p 1\ q) (-p V -q) é uma tautologia pois p q pl\q ~(pl\q). ~p -q ~pV~q ~(p I\q)+-+ (_pV _q) ..... V V V F F F F V V F F V F V V V F V F V V F V V F F F V V V V V VI. PROPOSiÇÕES LOGICAMENTE FALSAS 14. Seja f uma proposição formada a partir de outras (p, q, r, ...L mediante emprego de conectivos (Vou 1\) ou de modificador (-) ou de condicionais (-->- ou 2 c) da conjunção relativamente à disjunção d) da negação p /\ (q V rl = (p/\q) V (p/\ rl ~(~p) = p p V (q /\ r) = (p V ql /\ (p V rl ~(p /\ q) = ~pV ~q p/\(pVq) = p ~(p Vq) = ~p/\ ~q p V (p /\ q) = p onde p, q, r são proposições quaisquer, v é uma tautologia e f uma proposição logicamente falsa. Exemplos 1l?) (V xlix + 1 = 7) que se lê: "qualquer que seja o número x, temos x + 1 2l?) (Vx)(x 3 = 2x z ) que se lê: "para todo número x, x 3 = 2xz". (Falsa) 7". (Falsa) IX. SENTENÇAS ABERTAS, QUANTI FICADORES 30 ) (Va) ((a + 1)z = a2 + 2a + 1) que se lê: "qualquer que seja o número a, temos (a + 1)z = aZ + 2a + 1". (Verdadeira) 40 ) (Vy)(yZ + 1 > O) que se lê: "para todo número y, temos yZ + 1 positivo". (Verdadeira) 25. Algumas vezes utilizamos também outro quantificador: ::J I que se lê: "existe um único, "existe um e um só", "existe só um". o quantificador existencial é indicado pelo slmbolo 3 que se lê: "existe", "existe pelo menos um", "existe um". 24. O quantificador existencial 2l?) (3 x)(x 3 = 2xz) que se lê: "existe um número x tal que x 3 = 2xz". (Verdadeira) 3l?) (3a)(az + 1 ~ O) que se lê: "existe um número a tal que aZ + 1 é não positivo". (Falsa). 4l?) (31m) (m(m + 1) *' mZ + m) que se lê: "existe pelo menos um número m tal que mIm + 1) i mZ + m". (Falsa) (Verdadeira) Exemplos 1l?) (3 xlIx + 1 = 7) que se lê: "existe um número x tal que x + 1 = 7". Exemplos 22. Sentenças que contêm variáveis são chamadas funções proposicionais ou sentenças abertas. Tais sentenças não são proposições pois seu valor lógico (Vou F) é discutível, dependem do valor dado às variáveis. Há, entretanto, duas maneiras de transformar sentel)ças abertas em pro· posições: la) atribuir valor às variáveis 2a) utilizar quantificadores. 21. Há expressões como: a) x + 1 = 7 b) x> 2 c) x3 = 2xz que contêm variáveis e cujo valor lógico (verdadeira ou falsa) vai depender do valor atribuldo à variável. Nos exemplos citados temos: a) x + 1 = 7 é verdadeira se trocarmos x por 6 e é falsa para qualquer outro valor dado a x; b) x > 2 é verdadeira, por exemplo, para c) x3 = 2xz é verdadeira se trocarmos x por O (0 3 = 2 • OZ) ou 2 (23 = 2 • 2z ) e é falsa para qualquer outro valor dado a x. o quantificador universal, usado para transformar sentenças abertas em proposições, é indicado pelo símbolo V que se lê: "qualquer que seja", "para todo", "para cada"\ 2l?) (3Ix)(x 3 = 2xz ) que se lê: "existe um só número x tal que x 3 = 2x z" que se lê: x tal que x + 2 > 3". 23. o quantificador universal 1l?) (3Ix)(x + 1 = 7) lIex iste um só número 3l?) L3Ix)(x + 2 > 3) "existe um só número que se lê: x tal que x + 7". (Verdadeira) (Falsa) (Falsa) 12-A 13-A EXERCíCIO Exemplos Transforme as seguintes sentenças abertas em proposições verdadeiras usando quan- tificadores: A.7 ai x2 - 5x + 4 = O c).::L + .::L '" .::L 3 4 7 e) -(-x) = x g) H= x b) (a + 1)(a - 11 = a2 - 1 di y;;r + 9 '" m + 3 1)5a+4';;11 2 h) a - a = a _ 1 a 1?) p: O triângulo ABC é isósceles q: o triângulo ABC é equilátero p V q: o triângulo ABC é isósceles ou equilátero -(p V q): o triângulo ABC não é isósceles e não é equilátero 2?) p: a = O q: b = O P V q: a = O ou b = O -(p V q): a", O e b '" O X. COMO NEGAR PROPOSiÇÕES Já vimos o que é a negação de uma proposição simples, no item II deste capítulo. Vamos destacar aqui resultados obtidos no exercício A.6, os quais cons- tituem processos para negar proposições compostas e condicionais. 26. Negação de uma conjunção Tendo em vista que ~ (p 1\ q) 3'?) sentença: negação: 4'?) sentença: negação: (Vx)(~ = x + 1) (3X)(~ =1= x + 1) Todo losango é um quadrado Existe um losango que não é quadrado b) Uma ( 3x)(p(x)), nega-se p(x), sentença quantificada com o é negada assim: substitui-se obtendo: (Vx)(-p(x)). quantificador existencial, do tipo o quantificador pelo universal e Exemplos 1'?) sentença: (3 x)(x = x) negação: (Vx)(x =1= x) 2'?) sentença: (3 a)(a + 1 ;;;. .1.) 2 3 negação: . (va)(a + ..!... < .1.) 2 3 3'?) sentença: (3a)(..!... E iR) a negação: (va)(..!... fJ. IR) a EXERCICIO A.S Dizer qual é a negação de cada proposição abaixo: a) rode (2, 3) = 1 ou mme (2, 3) =1= 6 b) ~ = ~ ou 3· 10 =1= 6 • 5 5 10 e) ~ ;;;. 1 e -3;;;' - 7 7 d) 22 = 4 .... v'4 = 2 e) (_3)2 = 9 .... Y9 =1= -3 t) 2';;;; 5 .... 32 ,;;;; 52 g) IVx)(x > 2 .... 3x > 32 ) h) (3 x)(...tx" < O i) Todo número inteiro primo é Impar j) Todo triângulo isósceles é equilétero k) Existe um losango que não é quadrado I) Existe um número cuja raiz quadrada é zero m) Todo triângulo que tem três ângulos congruentes, tem três lados congruentes A.9 16-A Classificar em V ou F as ne9;:ões constru (das no exerc(cio anterior. Criado um novo paraíso Georg Ferdinand Ludwing Phillip Cantor nasceu em S. Petersburgo, passando a maior parte de sua vida na Alemanha. Seus pais eram cristãos de ascendência judia, e Georg logo se interessou pelos conceitos de continuidade e infinito da Teologia medieval. Estudou em Zürich, Gottingen e Berlim, concentrando-se em Filosofia, FIsica e Matemática. Possuindo grande imaginação, em 1867 obteve seu doutoramento em Berlim, com uma tese sobre Teoria dos Números. Muito atraído pela Análise, sua preocupação estava voltada para a idéia de "infinito", que até 1872 foi muito discutida tanto em Teologia como em Matemá- tica mas sem se chegar a uma conclusão precisa. Em 1874, Cantor publicou no Journal de Crelle o mais revolucionário artigo que até mesmo seus editores hesitaram em aceitar: havia' reconhecido a proprie- dade fundamental dos conjuntos infinitos e, ao contrário de Dedekind, percebeu que nem todos eram iguais, passando a construir uma hierarquia destes conjuntos conforme suas potências. Mostrou que o conjunto dos quadrados perfeitos tem a m~ma potência que o dos inteiros positivos pois, podem ser postos em correspondência biunívoca; provou que o conjunto de todas as frações é contável ou enumerável e que a po- tência do conjunto dos pontos de um segmento de reta unitário é igual à potência do conjunto dos pontos de um quadrado de lado unitário. Alguns destes resultados eram tão paradoxais que o própio Cantor, certa vez escrevendo a Dedekind, disse: "Eu vejo isso, mas não acredito", e pediu ao seu amigo que verificasse a demonstração. Seus incríveis resultados levaram ao esta- belecimento da Teoria dos Conjuntos como uma disciplina matemática comple- tamente desenvolvida. de profundos efeitos no ensino. Georg F. L. P. Cantor (1845 - 1918) Os matemáticos da época duvidavam da teoria da infinidade completa de Cantor, mas este, juntando as provas, construiu toda uma aritmética transfinita. Cantor passou a maior parte de sua carreira na Universidade de Halle, de pouca importância, nunca conseguindo realizar uma de suas grandes aspirações que era a de ser professor na Universidade de Berlim, devido à perseguição de Kronecker. o reconhecimento de suas real izações mereceram a exclamação de Hilbert: "Nin- guém nos expulsará do paraíso que Cantor criou para nós". CAPITULO II CONJUNTOS Faremos aqui uma revlsao das principais noções da teoria dos conjuntos, naquilo que importa à Matemática Elementar. Em seguida usaremos estas noções para apresentar os principais conjuntos de números. I. CONJUNTO. ELEMENTO. PERTINENCIA 30. Na teoria dos conjuntos três noções são aceitas sem definição, isto é, são consideradas noções primitivas: ta) conjuntob) elementoc) pertinência entre elemento e conjunto A noção matemática de conjunto é praticamente a mesma que se usa na linguagem comum: é o mesmo que agrupamento, classe, coleção, sistema. Eis alguns exemplos: 1) conjunto das vogais 2) conjunto dos algarismos romanos 3) conjunto dos nú.meros ímpares positivos 4) conjunto dos planetas do sistema solar 5) conjunto dos números primos positivos 6) conjunto dos naipes das cartas de um baralho 7) conjunto dos nomes dos meses de 31 dias Cada membro ou objeto que entra na formação do conjunto é chamado elemento. Assim, nos exemplos anteriores, temos os elementos: 1) a, e, i, o, u 2) I, V, X, L, C, D, M 3) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... 4) Mercúrio, Venus, Terra, Marte, 5) 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... 6) paus, ouro, copas, espada 7) janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro 19-A No exemplo 3, cada número ímpar é elemento do conjunto dos números ímpares, isto é, pertence ao conjunto. Em particular, 5 pertence ao conjunto dos números ímpares e 2 não pertence. Um elemento de um conjunto pode ser uma letra, um número, um nome, etc. é importante notar que um conjunto pode ser elemento de outro conjunto. Por "exemplo, o conjunto das seleções que disputam um campeonato mundial de futebol é um conjunto formado por equipes que, por sua vez, são conjuntos de jogadores. 31. Indicamos um conjunto, em geral, com uma letra maiúscula A, B, C, ... e um elemento com uma letra minúscula a, b, c, d, x, y, .... Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x pertence ao conjunto A, escrevemos xEA Para indicar que x não é elemento do conjunto A escrevemos x ri. A 33. Quando um conjunto é dado pela enumeração de seus elementos devemos indicá-lo escrevendo seus elementos entre chaves. Exemplos 1) conjunto das vogais {a, e, i, o, u} 2) conjunto dos algarismos romanos {I, V, X, L, C, O, M} 3) conjunto dos nomes de meses de 31 dias {janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro} Esta notação também é empregada quando o conjunto é infinito: escrevemos alguns elementos que evidenciem a lei de formação e em seguida colocamos reticências. Exemplos 1) conjunto dos números ímpares positivos {1, 3, 5, 7, 9,11, 13, ... } 2) conjunto dos números primos positivos {2, 3, 5, 7, 11, 13, ... } 32. É habitual representar um conjun- to pelos pontos interiores a uma linha fechada e não entrelaçada. Assim, na representação ao lado temos: a E A, b E A e d 1= A. No caso de usarmos um círculo para representar um conjunto, estaremos usando os assim chamado diagrama de Euler-Venn. C)a•.•••• A. .• c·b .d 3) conjunto dos múltiplos inteiros de 3 {O, 3, -3, 6, -6, 9, -9, ... } A mesma notação também é empregada quando o conjunto é finito com grande número de elementos: escrevemos os elementos iniciais, colocamos re- ticências e indicamos o último elemento. Exemplos 1) conjunto dos números inteiros de O a 500 {O, 1, 2, 3, ... , SOO} 2) conjunto dos divisores positivos de 100 {1, 2, 5, 10, ... , 100} 11. DESCRiÇÃO DE UM CONJUNTO Utilizamos dois recursos principais para descrever um conjunto e seus elementos: enumeramos (citamos, escrevemos) os elementos do conjunto ou damos uma propriedade característica dos elementos do conjunto. 2o-A 34. Quando queremos descrever um conjunto A por meio de uma proprieda- de característica P de seus elementos x, escrevemos A = {x I x tem a propriedade P} e lemos: "A é o conjunto dos elementos x tal que x tem a propriedade P". 21-A 37. Ouando vamos desenvolver um certo assunto de Matemática, admitimos a existência de um conjunto U ao qual pertencem todos os elementos utilizados no tal assunto. Esse conjunto U recebe o nome de conjunto universo. Assim, se procuramos as soluções reais de uma equação, nosso conjunto· universo é IR (conjunto dos números reais); se estamos resolvendo um problema cuja solução vai ser um número inteiro, nosso conjunto-universo é Z (conjunto dos números inteiros); se estamos resolvendo um problema de Geometria Plana, nosso conjunto-universo é um certo plano a, {o, 1,2,3, .. ,' 500} 3) {x I x é inteiro e O.,;; x .,;; 500} pode também ser indicado por: 2) {x I x é divisor inteiro de 3} é uma maneira de indicar o conjunto: {1. -1, 3, -3} Exemplos IV. CONJUNTO - UNIVERSO 1) {x I x é estado da região sul do Brasi I} é uma maneira de indicar o conjunto: {Paraná, Santa Catarina, Rio Grande do Sul} 111. CONJUNTO UNITÃRIO. CONJUNTO VAZIO 38. Quase sempre a resposta para algumas questões depende do universo U em que estamos trabalhando. Consideremos a questão: "qual é o conjunto dos pontos P que ficam a igual distância de dois pontos dados A e B, sendo A i' B?" 35. Definição Chama-se conjunto unitário aquele que possui um único elemento. 1) Se U é a reta AB, o con- junto procurado é formado só por P; A • p • ~I B • Exemplos 1) conjunto dos divisores de 1, inteiros e positivos: { 1} 2) conjunto das soluções da equação 3x + 1 = 10: {3} 3) conjunto dos estados brasileiros que fazem fronteira com o Uruguai: {Rio Grande do Sul} 2) Se U é um plano contendo A e B, o conjunto procurado é a reta mediatriz do segmento AB; p B , A 36. Definição Chama-se conjunto vazio aquele que não possui elemento algum, O símbolo usual para o conjunto vazio é 0. Obtemos um conjunto vazio quando descrevemos um conjunto através de 'Ima propriedade P logicamente falsa. Exemplos 1){xlxi'x}=0 2) {x I x é ímpar e múltiplo de 2} 3) {x I x > O e x < O} = 0 3) Se U é o espaço, o conjunto procurado é o plano mediador do segmen- to AB (plano perpendicular a AB no seu ponto médio).. 39. Portanto, quando vamos descrever um conjunto A propriedade P, é essencial fixarmos o conjunto-universo U trabalhando, escrevendo A = {x E U I x tem a propriedade p} através de uma em que estamos 22-A 23-A EXERCfclOS A.l0 Dê os elementos dos seguintes conjuntos: A = {x I x é letra da palavra "matemática"} B = {x I x é cor da bandeira brasileira} C ={x Ix é nome de estado que começa com "a"} Solução A ~ {m, a, t, e, i, c} B = {branco, azul, amarelo, verde} C = {amazonas, amapá, acre, alagoas} V. CONJUNTOS IGUAIS 40. Definição Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A. Em símbolos: 1) {a, b, c, d} = {d, c, b, a} 2) {l, 3, 5, 7, 9, ... } = {x I x é inteiro, positivo e ímpar} A.ll Descreva através de uma propriedade caracter(stica dos elementos cada um dos conjuntos seguintes: A ~ {O, 2, 4. 6, 8, ... } B = {O, 1, 2, ''', 9} C = {brasllia, rio de janeiro, salvador} Solução A = {x Ix é inteiro, par e não negativo} B = {x Ix é algarismo arábico} C ~ {x I x é nome de cidade que já foi capital do Brasil} Exemplos A B _ ('v'x)(x EA = X E B) A.12 Escreva com srmbolos: aI conjunto dos múltiplos inteiros de 3, entre -10 e +10 b) conjunto dos divisores inteiros de 42 c) conjunto dos múltiplos inteiros de O d) conjunto das frações com numerador e denominador compreendidos entre O e 3 el conjunto dos nomes das capitais da região centro-oeste do Brasil A.13 Descreva por meio de uma propriedade dos elementos A = {+1, -1, +2, -2, +3, -3. +6, -6} B = {O, -10, -20, -30, -40, ... } C = {I, 4, 9,16,25,36, ... } O ~ {Lua} 3) {x I 2x + 1 = 5} = {2} Observemos que na definição de igualdade entre conjuntos não intervém a noção de ordem entre os elementos, portanto: {a, b, c, d} = {d, c, b, a} = {b, a, c, d} Observemos ainda que a repetição de um elemento na descrição de um conjunto é algo absolutamente inútil pois, por exemplo: {a, b, c, d} = {a, a, b, b, b, c, d, d, d, d} A.14 Ouais dos conjuntos abaixo são unitários? A = {x I x < ~ e x > ~ } 4 5 C = {x I x é inteiro e x' = 3} A.15 Ouais dos conjuntos abaixo são vazios? A = {xlo-x ~ O} B ~ {x I x > ~ e x < ~ } 4 5 C = {x Ix é divisor de zero} O = {x I x é divisrvel por zero} 24-A B = {x IO - x = 2} O = {x 12x + 1 = 7} (para conferir basta usar a definição). Assim, preferimos sempre a notação mais simples. 41. Se A não é igual a B, escrevemos A"* B. ~ evidente que A é dife- rente de B se existe um elemento de A não pertencente a B ou existe em B um elemento não pertenctlnte a A. Exemplo {a, b, d} "* {a, b, c, d} 25-A VI. SUBCONJUNTO 44. Vimos anteriormente o conceito de igualdade de conjuntos: A = B -= (\f x)(x E A -= x E B) A C B -= (\fx)(x E A => X E BI o símbolo C é denominado sinal de inclusão. Em símbolos, a definição fica assim: Se A = {a} os elementos de![J(A) são °e {a}, isto é: &(A) = {g!, {a}} Se A = {a, b} os elementos de fJ(A) são 0, {a}, {b} e {a, b}, 45. Propriedades da inclusão Sendo A, B e C três conjuntos arbitrários, valem as seguintes propriedades: 1~) iz5 C A 2~) A C A (reflexiva) 3~) (A C B e B C A) => A = B (anti-simétrica) 4~) (A C B e B C C) => A C C (transitiva) A demonstração dessas propriedades é imediata com exceção da 1~ que passamos a provar. Para todo x, a implicação xEgJ=>XEA é verdadeira pois x E g! é falsa. Então, por definição de subconjunto, 0 C A. 46. Conjunto das partes Nesta definição está expl ícito que todo elemento de A é elemento de B e vice-versa, isto é, A C B e B C A, portanto, podemos escrever: A = B -= (A C B e B C A). 2?) isto é: 1?) Exemplos Provaremos mais adiante (capítulo 111) que se A é um conjunto finito com n elementos, então fJ(A) tem 2" elementos. Dado um conjunto A, chama-se conjunto das partes de A - notação &(A) - aquele que é formado por todos os subconjuntos de A. Em símbolos: &(A) = {X I X C A} fJ(A) = {g!, {a}, {b}, {a, b}} 3?) Se A = {a, b, c} os elementos defJ(A) são 0, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c} {b, c} e {a, b, c}, isto é: r[iJ(A) = {0, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {c, a}! {a, b, c}} A rj. B 88 é inteiro e primo} Exemplos 1) {a, b} C {a, b, c, d} 2) {a} C {a, b} 3) {a, b} C {a, b} 4) {x I x é inteiro e par} C {x I x é inteiro} 42. Definição Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A pertence também a B. Com a notação A C B indicamos que "A é subconjunto de B" ou "A está contido em B" ou "A é parte de B". Com a notação A '1- B indicamos que "A não está contido em B", isto é, a negação de A C B. É evidente que A '7'- B somente se existe ao menos um elemento de A que não pertence a B. Assim, por exemplo, temos: 1) {a, b, c} '7'- {b, c, d, e} 2) {a, b} çz' {c, d, e} 3) {x I x é intei ro e par} '7'- {)( I x 43. Quando A C B, também podemos escrever B:J A que se lê "B contém A". 26-A 27-A EXERCI'CIOS VII. REUNIÃO DE CONJUNTOS A.16 Dados A = {', 2.3, 4} e S = {2, 4}, pede-se: a) escrever com os símbolos da teoria dos conjuntos as seguintes sentenças: 47. Definição b) classificar as sentenças anteriores em falsa ou verdadeira. A.17 Sendo A={1,2},B=c2,3}.C=',1,3,4} e V ou F cada sentença abaixo e justificar: Solução ai V pois 1 E A, , E O, 2 E A e 2Eo b) F pois lEA e ,ris c) F pois 2EB e 2 ri C . di V pois 2 E B, 2 E O, 3 E B e 3 E O el F POIS 2EO e 2~C fi V pois 2EA e 2riC ®o x E A ou x E B. Exemplos 1) {a, b} U {c, d} = {a, b, c, d} 2) {a, b} U {a, b, c, d} = La, b, c, d} 3) {a, b, c} U {c, d, e} = {a, b, c, d, e} 4) ia, b, c} U ~ = {a, b, c} 5) r/J U r/J = E {O} h) \2> C {O, {a}} di O E VIII. INTERSECÇÃO DI: CONJUNTOS 49. Definição 51. Coniuntgs djsjuntr Quando A n B = 0, isto é, quando os conjuntos A e B não têm elemento comum, A e B são denominados conjuntos disjuntos. IX. PROPRIEDADES A n B = {x I x EA e x E B} Dados dois conjuntos A e B, chama·se intersecção de A e B o con- junto formado pelos elementos que pertencem a A e a B. o conjunto A n B (Iê-se"A inter B") é formado pelos elementos que pertencem aos dois conjuntos (A e B) simultaneamente. Se x E A n B, isto significa que x pertence a A e também x pertence a B. O conectivo e colocado entre duas condições significa que elas devem ser obedecidas ao mesmo tempo. Exemplos 1) {a, b, c} n {b, c, d, e} = { b, c} 2) {a, b} n {a, b, c, d} = {a, b} 3) {a, b, c} n {a, b, c} = {a, b, c} 4) {a, b} n {c, d} = 0 5) {a, b} n 0 = íZ5 50. Propriedades da intersecção 00 52. Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades, que inter-relacionam a reunião e a intersecção de conjuntos: 1~) A U (A n B) = A 2~) A n (A U B) = A 3~) A U (B n C) = (A U B) n (A U C) (distributiva da reunião em relação à intersecção) 4~) A n (B U C) = IA n B) U (A n C) (distributiva da intersecção em relação à reunião). Demonstremos, por exemplo, a H e a 3~: A U (A n B) = {x I p(x) V (p{x) 1\ q(x))} = {x I (p(x))} = A A U (B n C) = {x I p{x) V (q(x) 1\ r(x))} = {x I (p{x) V q{x)) 1\ (p(x) V r{x))} = = {x I p{x) Vq(x)} n {x I p{x) V r(x)} = (A U B) n (A U C) EXERCICIOS A.22 Dados os conjuntos A = {a. b. c}. B = {c. d} e C = {c. e}. determinar A U B. A U C. B U C e A U B U C. A.23 Provar que A C IA U B). "I A. Solução x E A => x E A ou x E B I! uma implicação verdadeira, "I x. portanto: A C (A U B) Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades: 1~) A n A = A (idempotente) 2~) A n U = A (elemento neutro) 3~) A n B = B n A (comutativa) 4~) A n (B n C) = (A n B) n C (associativa) A.24 Classificar em V ou F: a) 0 C IA U BI c) A E IA U B) e) B C IA U B) admitindo que A. B e C bl IA U B) C A d) IA U B) C IA U BI f) (A U B) C (A U B U C) são conjuntos quaisquer. Como mostramos para a operação de reunião, estas propriedades são também demonstráveis com aux(ljo do exercício A.5. 3O-A A.25 Determinar a reunião dos circulas de raio r. contidos num plano a e que têm um ponto comum O E a. 31-A A.26 Determinar a reunião das retas de um plano Q que são paralelas a uma dada reta r de Q. X. DIFERENÇA DE CONJUNTOS A.28 Provar que (A () B) C Ao 'ri A. A.31 Dados os conjuntos A = {lo 2. 3}. B = {3o 4} e C = {lo 2. 4}o determinar o conjunto X tal que X U B = A U C e X () B = 0. A.27 Dados os conjuntos A = {a. bo c. d}o B = {b. Co do e} e C = {co e o f}, pede-se descrever A () Bo A () C. B () C e A () B () C. @ 00 @ A - B = {x I x E A e x1=- B} XI. COMPLEMENTAR DE B EM A Dados dois conjuntos A e B, tais que B C A, chama-se complementar de 8 em relação a A o conjunto A - B, isto é, o conjunto dos elementos de A que não pertencem a jB. 54. Definição Dados dois conjuntos A e B, cha- ma-se diferença entre A e B o con- junto formado pelos elementos de A que não pertencem a B. Com o símbolo C~ ou A indicamos o complementar de B em relação a A. Notemos que C~ só é definido para B C A e aí temos: 53. Definição Exemplos· 1) {a, b, c} - {b, c, d, e} = {a} 2) {a. b, c} - {b, c} = {a} 3) {a, b} - {c, d, e. f} = {a, b} 4) {a, b} - {a, b, c, d, e} = 0 e) L () Q f) pU Q c) L () R d) Q () R a) L () P b) R () P A.32 Determinar o conjunto X tal que {ao b, Co d} U X = {a, b, Co d, e}o {c, d} U X = {a, c, d, e} e {b. Co d} () X = {c}. Solução ai X U B = {1. 2 0 3. 4} então os posslveis elementos de X são: 1, 2, 3 e 4. b) X () B = 0 "* 3 fÍ. X e 4 ri:. X Conclusão X = {1. 2} Solução x E (A () B) = (x E A e x E B) = x E A é uma implicação verdadeira, 'ri X o portanto (A () B) C A. A.29 Classificar em V ou F a) oC (A () B) bl A C (A () B) c) A E (A () BI d) (A () B) C (A () B) e) (A () B) C B f) (A () B) :) (A () B () C) admitindo que Ao B e C são conjuntos quaisquer. A.30 Consideremos os conjuntos: K = conjunto dos quadriláteros planos P = {x E K Ix tem lados 2 a 2 paralelos} L = {x E K I x tem 4 lados congruentes} R = {x E K I x tem 4 ângulos retos} Q = {x E K Ix tem 2 lados paralelos e 2 ângulos retos} Pede-se determinar os conjuntos: A.33 Assinalar no diagrama ao lado, um de cada vez, os seguintes conjuntos: a) A () B () C b) A () (B U C) c) A U (B () C) d) A U B U C 32-A 33-A Exemplos A.35 Provar que (A - B) C A, V A. admitindo que A e B são conjuntos quaisquer. Solução A implicação x E (A-B) ='(x E A e x ~ BI =>x E A é verdadeira para todo x, então (A - BI C A. 1) Se A = {a, b, c, d, e} e B = {c, d, e}, então: C~ = {a, b} 2) Se A = {a, b, c, d} B, então: C~ = 0 3) Se A = {a, b, c, d} e B = >t, então: C~ = {a, b, c, d} = A A.36 Classificar em V ou F as sentenças: ai (A - BI ..:) >t cl (A- B) C B bl (A - B) U (A n B) A di (A-BI C (A U BI 55. Propriedades da complementação A.37 Dados os conjuntos A ~ {l, 2, 3, 4, 5}, B = {l, 2, 4,6, a} e C = {2, 4, 5, 7}, obter um conjunto X tal que X C A e A - X = B n C. Sendo B e C subconjuntos de A, valem as seguintes propriedades: H) C~ n B = 0 e C~ U B = A 2~) C~ 0 eC~ = A 3\1) CAl C~) B • 4\1) C~ n CI C~ U C; 5~) C~ U CI C~ n C; A.39 Provar que A - a = A n B onde A e B são conjuntos quaisquer do universo U. Provemos, por exemplo, a 2\1 e a 4\1: C~ = {x E A I x ~ A} = 0 CP = {x E A I x ~ 0} = A C ~ n C) = {x E A I x ~ B n C} = {x E A I x ~ B = {x E A I x ~ B} U {x E A I x ~ C} = ou x ~ C} = C~ U C; A.38 Assinalar no diagrama ao lado, um de \ cada vez, os seguintes conjuntos: ai à - B bl à - A U B c) li" UA d) A U B e) A n B f) li" nA Solução A implicação x E (A - a) = (x E A e x ~ ai = x E A e x E a ==> ===> )( E A n a é verdadeira, V x, portanto, está provado. A.40 Classificar em V ou F as segu intes sentenças: a) (A - BI U (B - A) = (A U BI - (A n B) b) A C B = ( C BI C ( CAI cl (A - B) C ( CAI d) (A-BI C ( CBI EXERCICIOS SUPLEMENTARES u EXERCICIOS A = {a, b, c. d}, B = {c, d. e. f} C {b d },g e = , ,e. g .A.34 Sejam os conjuntos Determinar: a) A - B bl B - A 34-A cl C - B d) (A U C) - B e) A- (B n C) f) (AUB)-(AnCI A.41 Descrever os elementos dos canju ntos abaixo: A = {x I x2 - 5x - 6 = O} B = {x I x é letra da palavra "exercício"} C = {x I x2 - 9 = O ou 2x - 1 = 9} D = {x I2x + 1 = O e 2x2 - x - 1 = O} E = {x I x é algarismo do número 234543} 35-A A.42 Seja E ~ la, {a}}. Dizer quais das proposições abaixo são verdadeiras. a) a E E b) {a} E E c) a C E d) {a} C E e) 0E E f) 0 C E A.43 Sejam A e 8 dois conjuntos finitos. Provar que nA U 8" nA + n8 - nA n 8' o símbolo nX representa o número de elementos do conjunto X. A.44 Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estudam Inglês, 163 estudam Francês e 52 es· tudam ambas as línguas. Quantos alunos estudam Inglês ou Francês? Quantos alunos não estudam nenhuma das duas? A.45 Sendo A,8 e C conjuntos finitos, estabelecer uma fórmula para calcular nAU 8 ue· A.46 Uma população consome três marcas de sabão em pó: A, B e C. Feita uma pesquisa do mercado, colheram-se os resultados tabelados abaixo: marca A 8 C Ae8 8ee eeA A,8ee nenhuma das três número de 109 203 162 25 41 28 5 115 consumidores Pede-se: a) número de pessoas consultadas bl número de pessoas que só consomem a marca A c) número de pessoas que não consomem as marcas A ou C d) número de pessoas que consomem ao menos duas marcas. A.47 Determinar os conjuntos A, 8 e C que satisfazem as segu intes seis condições: 1~) A U 8 U C " {z, x, v, u, t, S, r, q, p} 2a) An 8 {r, s} 3a l 8 n C {s, x} 4~) enA {s, t} 5~) AU C {p, q, r, s, t, u, v, x} 6a) AU 8 {p, q, r, s, t, x, z} A.4S Em certa comunidade há indivfduos de três raças: branca, preta e amarela. Sabendo que 70% são brancos e 210% não são pretos e 50% são amarelos, pergunta-se: a) quantos indiv(duos tem a comunidade? b) quantos são os indivfduos amarelos? 36-A A.49 Dados dois conjuntos A e 8, chama-se diferença simétrica de A com 8 o con- junto A1l8 tal que: A1l8 " (A - 8) U (8 - A) Pede-se: a) determinar {a, b, c, d} II {c. d, e, f, g} b) provar que A1l0" A, para todo A cl provar que AllA" rz5, para todo A d) provar que A1l8" 811A, para A e 8 quaisquer e) assinalar em cada diagrama abaixo o conjunto AtJ.8: @oo A.50 Desenhar um diagrama de Venn representando quatro conjuntos A, 8, C e D não vazios de modo que se tenha A;Z 8, 8;Z A, C :J IA U 81 e D C (A n 81 37-A CAPÍTULO III CONJUNTOS NUMÉRICOS I. CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS 56. Chama-se conjunto dos números naturais - símbolo PlJ - o conjunto forma- do pelos números O, 1, 2, 3, ... N = {O, 1,2,3, ...} 57. Neste conjunto são definidas duas operações fundamentais a adição e a mul- tiplicação, que apresentam as seguintes propriedades: [A.l) associativa da adição (a + b) + c = a + (b + c) para todos, a, b, c E PlJ. [A.2) comutativa da adição a+b=b+a para todos a, b E PlJ. [A.3) elemento neutro da adição a + O = a para todo a E PlJ [M.1] associativa da multiplicação (ab)c = a(bc) para todos a, b, c E PlJ [M.2) comutativa da multiplicação ab = ba para todos a, b E PlJ 39-A [M.3]elemento neutro da multiplicação a • 1 = a para todo a E IW [D] Distributiva da multiplicação relativamente à adição a(b + c) = ab + ac para todos a, b, c E IW 58. Veremos que os próximos conjuntos numéricos a serem apresentados são ampliações de IW, isto é, contêm til, têm uma adição e uma multiplicação com as propriedades formais já apresentadas e outras mais, que constituem justamente o motivo determinante da ampliação. Assim, dado um natural a *" O, o simétrico de a não existe em til: -a E N. O resultado disso é que o símbolo a - b não tem significado em til para todos a, b E IW, isto é, em til a subtração não é uma operação. Venceremos esta dificuldade introduzindo um novo conjunto numérico. [A,4] simétrico ou oposto para a adição Para todo a E Z. existe -a E 1: tal que a +. (-a) = O Devido à propriedade [A41. podemos definir em 1: a operação de sub- tração, estabelecendo que a - b = a + (- b) para todos a, b E z.. 62. Os números inteiros podem ser representados sobre uma reta orientada através do seguinte procedimento: a) sobre a reta estabelecemos um sentido positivo e um ponto O (origem) que representa o inteiro O (zero) o b) a partir de O, no sentido positivo, marcamos um segmento unitário u *" O cuja extremidade passará a representar o inteiro 1 I U .. o 63. Uma importante noção que devemos ter sobre números inteiros é o con- ceito de divisor. Dizemos que o inteiro a é divisor do inteiro b - símbolo a I b - quando existe um inteiro c tal que ca = b. c) para cada inteiro POSitiVO n, a partir de O, marcamos um segmento de medida nu no sentido positivo cuja extremidade representará n e marcamos um segmento de medida nu no sentido negativo cuja extremidade representará o inteiro - n. O resu Itado é este: -4 -3 -2 -1 O 2 3 4 I I I I I I ~ 11. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS 59. Chama-se conjunto dos números inteiros - símbolo Z - o seguinte conjunto: ,z = { ••• , -3, -2, -1, O, 1, 2, 3, ...} 60. No conjunto Z. distinguimos três subconjuntos notáveis: -l+ = {O, 1, 2, 3, ...} = t.I u u u u u u u u (chamado conjunto dos inteiros não negativos) -l_ = {O, -1, -2, -3, ...} (chamado conjunto dos inteiros não positivos) ,Z* = {... , -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... } (chamado conjunto dos inteiros não nulos) 61. No conjunto ,z são definidas também as operações de adição e multiplicação que apresentam, além de [A1l. [A21. [A3]. [Mll. [M2], [M3] e D, a proprie- dade: 4O-A Exemplos 1) 2 I 12 2) 3 I -18 3) -5 I 20 4) -2 I -14 5) 4 I O 6) O I O pois pois pois pois pois pois 6·2=12 (-6) • 3 = -18 (-4) (-5) = 20 7·(-2) -14 0·4 O 1 • O O b) 41-A 64. Quando a é divisor de b dizemos que "b é divisível por a" ou "b é múltiplo de a". Para um inteiro a qualquer, indicamos com Ora) o conjunto de seus di- visores e com M(a) o conjunto de seus múltiplos. 111. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS Exemplos 1) 0(2) {1, -1, 2, -2} M(2) = {O, ±2, ± 4, ±6, ... } 2) 0(-3) {1, -1, 3, -3} M(-3) = {O, ±3, ±6, ±9, ... } 3) 0(0) =;z M(O) = {O} 65. Dizemos que um número inteiro p é primo quando p *- O, 1 e -1 e O(p) = {1, -1, p, -p}. 66. Dado um número inteiro q *- 1 e -1, o inverso de q não existe em z: ~ rf Z. Porisso não podemos definir em ;Z a operação de divisão, dando q significado ao símbolo p Vamos superar esta dificuldade introduzindo os núme- q ros racionais. 67. Chama-se conjunto dos números racionais - símbolo lIl- o conjunto dos pares ordenados (ou frações) ~, onde a E Z e b E Z*, para os quais adotam-se as seguintes definições: Exemplos 2, -2, 3, -3, 5, -5, 7 e -7 são primos. EXERCíCIOS A.51 Quais das proposições abaixo são verdadeiras? (j) igualdade: ~=~ad=bc b d Descrever os seguintes conjuntos: 0(6), 0(-18), 0(-24) n 0(16), M(4), M(10) M(-9) n M(6), A.52 a) O E 1\1 d) 1\1 U R._ = 71 g) (-4) (-5) E R.+ b) (2 - 3) E 1\1 e) R.+ n R._ = í25 h) O E 7l c) 1\1 Cz. f) 1-3)2 E 7l i) (5-11)E7l e (i i) (iii) adição: a c ac multiplicação: b' d = bd A.53 Quais dos seguintes elementos de ;Z não são primos: 12, -13, O, 5, 31, -1, 2, -4, 1, 49 e 53? A.54 Sendo a e b dois números inteiros, pergunta-se: a) D(a) e D(b) podem ser disjuntos? b) Que nome se dá a um inteiro m tal que D(a) n Dlb) = Dlm)? c) Quando Dia) n D(b) = {1, -1}, qual é a relação existente entre d) Em que caso ocorre Mia) C M(b)? e) Em que caso ocorre M(a) n Mlb) = M(ab)? f) Que nome se dá a um inteiro n tal que M(a) n M(b) Mln)? Determinar os seguintes números inteiros: III conjunto dos racionais não positivos sãoaeb a é uma fração irredu- b 6 não é: 10 o denominador. Sebé o numerador ea a b' lIl* conjunto dos racionais não nulos Na fração o f_23 7 -'do, tive!. Assim, as raçoes 3' 7" e 15 sao Irre utlvelS mas primos entre si, isto é, se mdc(a, b) = 1, dizemos 68. No conjunto dos racionais destacamos os subconjuntos: lIl+ conjunto dos racionais não negativos 69. a e b? b) mdc(-4, 6) d) mmc(2,3) f) mmc(-6, -14) a) mdc(2,3) c) mdc(-6, -14) e) mmc 1-4, 6) A.55 42-A 43-A 70. Consideremos o conjunto ([1' formado pelos números racionais com de- nominador unitário: ([1' = {~ I x E Z}. Temos: a b A.57 Colocar na forma de uma fração irredutlvel os seguintes números racionais: 0,4; 0,444. ..; 0,32; 0,323232,.,; 54,2; 5,423423423, A.59 Mostrar que se ri e r2 são racionais e ri < r2, então existe um racional r tal que ri < r < r2' 15 11 18 1 47 A.58 Colocar em ordem crescente os números racionais seguintes: 16' 12' 19' '48 2 e 3' .J2 = 1,4142136 ... rr = 3.1415926, .. a = 1,010010001 ... Outro recurso para construção de irracionais é usar o fato de que se a é a r irracional e r é racional não nulo, então: a + r, a· r. r e a são todos irracionais. chamados números irracionais. Se quisermos outros números irracionais, poderemos obtê-los, por exemplo, através da expressão ...;p onde p é primo e positivo. São irracionais: .,[3, v'5. ...[7, etc. 3 -2, -"2' -1, 6 e 2' A.60 Representar sobre uma reta orientada os números racionais seguintes: IV. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS Exemplos .J2 + 1, 3../1 .,[3 --ª- , 2' v'5 são irracionais. ~ é racional. Por exemplo, V2 fi m o que é provado facilmente assim: e um número natural conjunto dos reais não negativos conjunto dos reais não positivos conjunto dos reais não nlilos. Além de m, destacamos em IR três outros subconjuntos75.nem sempren ;;. 2. seja tal que a b a b admitamos que a fração irredutível(i) Dado um número racional73. lii) ~ = ...[2 = a2 = 2b2 = a2 é par = a é par (iii) fazendo a = 2m. com m E z., temos: a2 = 2b2 ==> (2m)2 = 2b2 =- b2 2m2 ==> b2 é par =- b é par e isto é absurdo pois ITldc (a, b) = 1. Vamos agora in\roduzir um conjunto numérico que contém o. e onde a radiciação pode ser definida. 76. As operações de adição e multiplicação em IA gozam das mesmas pro- priedades vistas para o conjunto m. Em IR é também definida a operação de subtração e em IR* é definida a divisão, Com a introdução dos números irracionais, a radiciação é uma operação em IR+. isto é, v-; E IR para todo a E IR+. 77. Já vimos que os números inteiros podem ser representados por pontos de uma reta Analogamente, os números racionais não inteiros também podem. Se qui- I ,1 bsermos, por exemp o, representar o numero '2 so re a reta, marcamos a par- 1 tir de O um segmento de medida 2"u no sentido positivo. A extremidade desse 74. Chama-se conjunto dos números reais IR - aquele formado por todos os púmeros com representação decimal, isto é, as decimais exatas ou peribdicas (que são números racionais) e as decimais não exatas e não periódicas (chamadas lJúmeros irracionais). Assim, todo racional é número real. o.elA e, além dos racionais, estão em IR números como: -4 I -3 I -2 I -1 I ° 1 I I u 2 I 3 I 4 I 5 I • 46-A 47-A -2 -1 O 2 3 I I I I I I I I I I I segmento representa números racionais. -3 I 1 2' Na figura abaixo representamos sobre a reta vários A.63 Mostrar que J4 + 2 v'3 o 1 + v'3. A.64 Mostrar que existem a e b raeionaistaisque V18-8V2 o a + bV2. A.65 Dados dois números x e y reais e positivos, chama-se média aritmética de x com V o real a ""~ e chama-se média geométrica o real 9 o;; ..J;;;. Mostrar 2 que a;;;' g para todos x, y E IR+. Quando representamos também sobre a reta os números irracionais, cada ponto da reta passa a representar necessariamente um número racional ou irra- cional (portanto, real), isto é, os reais preenchem completamente a reta. -3 -2 -, O 1 2 3 I ~l I I I I I ti I I I I I .. o§. -~ -t , , 9 11 Jr2 -"2 "2 4 "4 -.../3 ,.fi Esta reta, que representa IR, é chamada reta real ou reta numérica. A.66 Representar sobre a reta real, cada um dos seguintes conjuntos: A o {x E IR I , ",;; x ",;; 2} B ~ {x E IR I O < x < 3} C ~ {x E IR I x ",;; O ou x > 2} D = {x E IR 1-' .< x < O ou x;;;' 3} V. INTERVALOS 78. Na reta real os números estão orde- nados. Um número a é menor que qual· quer número x colocado à sua direita e maior que qualquer número x à sua es· querda. EXERCfclOS a • --,---~-~/ ',-;~=--,----::--,- {xEIRlxa} 79. Dados dois números reais a e b, com a < b, definimos: a) intervalo aberto de extremos a e b é o conjunto ] a, b [ = {x ~ IR I a < x < b} que também pode ser indicado por a - b. A.61 Ouais das proposições abaixo são verdadeiras? a) 3 E IR aI ~ E IR-Ill gl (V2 - 3 v'3) E IR - III b) N C IR e) v'4 E IR-Ill h) 3V2 E IR-m v'5 c) 7L. C IR f) V4 E IR-m i) 3y'2 E m 572 b) intervalo fechado de extremos a e b é o conjunto [a, b] = {x E IR I a ",;; x ",;; b} que também pode ser indicado por af---lb. c) intervalo fechado à esquerda (ou aberto à direita) de extremos a e b é o conjunto [a, b [ = {x E IR I a ",;; x < b} A.62 Provar que se a, b, c, d são racionais, p é primo positivo e a + b-V-;;- o c + d-V-;;-, então a = c e b = d. Solução a+b~oe+d~ (b-dly';;"oe-a Como c - a é racional, a última igualdade s6 subsiste quando (b - di V; E O, isto é, se b - d = O. Neste caso, c - a = O, provando a tese. 4S-A que também pode ser indicado por af--b. d) intervalo fechado à direita (ou aberto à esquerda) de extremos a e b é o conjunto ] a, b] = {x E R I a < x ",;; b} que também pode ser indicado por a ---; b. 49-A 80. Os números reais a e b são denominados, respectivamente, extremo in- ferior e extremo superior do intervalo. EXERCíCIOS ~.67 Descrever, conforme a notação da teoria dos conjuntos, os seguintes intervalos: 81. Exemplos [-1.3]. [0.2[. ]-3.4[. ]-00. S[ e [1. + 00[. 83. Os intervalos têm uma representação geométrica sobre a reta real como segue: .. ... .. .. 1 3 0111 Ili 1111 li Ili 11111111 li 111111111110 1 4 01111111111111111111111111111111111111111111111111111110 e A U B c [O. 4] o 3 0111111111111111111111111111111111111111111111111111111o O 4 0'"11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 A ai [0.2] n [1.3] bl [0.2) n ]1. 3[ cl ]-1. ~[ n )0. ~[ di )-00.2) n [O. + oo[ 9 e) [-1. + oo[ n [-'2,21 t) [1.2] n [O. 3] n [-1, 4) B Solução A U B A n B então A n B ~ [1. 3] A n B e A U B sendo A o [O. 3) e B o [1. 4] ~.68 Utilizando a representação grâfica dos intervalos sobre a reta real, determinar ~.69 Descrever os seguintes conjuntos: 1 1 . ]- 3' v'2] = {x E IR I - 3 < x .;;; v'2} é intervalo fechado à direita. 19) ]2, 5[ = {x E IR I 2 < x < 5} é intervalo aberto 29) [-1, 4] = {x E IR I -1 .;;; x .;;; 4} é intervalo fechado [i, 7 [ = {x E IR I ~.;;; x < 7} é intervalo fechado à esquerda39) 49) 82. Também consideramos intervalos lineares os "intervalos infinitos" assim definidos: a) ]- 00, a [ = {x E IR I x < a} que podemos também indicar por - 00 -- a. b) ]- 00, a] = {x E IR I x .;;; a} que também podemos indicar por - 00-----1 a. c) ] a, + 00 [ = {x E IR I x > a} que também podemos indicar por a-- + 00. d) [a, + 00 [ = {x E IR I x ;;;. a} que também podemos indicar por a I--- + 00. e) ]-00, + co[ = IR que também podemos indicar por -00 -- + 00. b ---------..~llIl1llllll-l+III11I1II+lIl++llIlllllrl!II-1+lIllllllrl!lIll1l11llllli!+lllllo---------1,,- a b ---------cllIIlIl+llI++IIIIllIl-l+II11'IIIIllIl++IIIl1II1IllIll+IIIIllIlIKIIIlIIIIIllIIt_--------1,,_ ai [- 1. 3] U [O. 4] bl ]-2. 1] U ]0. S[ c) [-1. 3] U [3. S] 1 3 1 d) h-, O[ U ]-'2' - '4) ~.70 Determinar os seguintes conjuntos: ... .. a b --------01111111111111111111111111111111111110'--------1... a b 1IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIItIlllllllllUIo la. b [ [a. b] [a. b[ la. b] ]- 00, a] 1I111111111111111111111111111111111111111111~ la. + oo[ a---------olllllllllllllIlIIIIIIIIIIIIIIIIIlIlIlIlIUlllllllHllllIlIl111111111111111. ..71 Sendo A [O. S [ e B )1. 3 [. determinar C~ 50-A 51-A VI. CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS 84. Em IR. a radiciação é uma operação, isto é, va E IR. qualquer que seja o real a não negativo. Assim, por exemplo, .,f2, V'5, .era, sj3! e 6~ _, . V 7T sao numeros reais. Desde que o índice da raiz seja ímpar, os radicais da forma ~, onde a E IR., também representam números reais. É o caso, por exemplo, de if=1, Z! -32 e Z!"=3 Se o radicando é negativo e o índice da raiz é par, entretanto, o radical v::a não representa elemento de IR. Por exemplo, v'""=l não é real, pois: v'""=l = x===>- 1 = x2 e isto é impossível pois se ,x E A, então x 2 ;;;. O. 85. Resolveremos definitivamente o problema de dar significado ao símbolo va, para todo número a, introduzindo no volume F desta coleção o con· junto 29) Dada relação n3 3n2 7n 3, definida todoa y +- - - + para 6 2 3 n E IW *, temos: 1 = y 13 3. 12 7 . 1 + 3 = -1+9-14+18 2n -- +-- --- 6 2 3 6 2= Y 23 3. 22 7· 2 + 3 -8 + 36 - 28 + 18 3n = --+ -- --- 6 2 3 6 33 3. 32 7· 3 -27 + 81 - 42 + 18 5n 3= y --+-----+3 6 2 3 6 n=4=y= 43 3" 42 7· 4 3 = ~64+ 144-56+ 18 = 7-- +-- --- + 6 2 3 6 Poderíamos tirar a conclusão precipitada: "y é número primo, 'ri n E Esta indução também é falsa pois: 29) Se k E 11I, k ;;. no e P(k) é verdadeira, então P(k + 1) também é verdadeira. 29) Admitamos que P(k), com k E N*, seja verdadeira: 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) '" k2 (hipótese da indução) e provemos que decorre a validade de P(k + 1), isto é: + 3 + 5 + ... + (2k - 1) t [2(k + 1) - 1] (k + 1}2 ", (n E IW*) 19) Verifiquemos que P( 1) é verdadeira n = 1 = 1 = 12 90. Provemos, por exemplo, que: 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2 89. Para provarmos que a relação é válida para todo n E IW* empregamos o princípio da indução finita (P.I.F.) cujo enunciado segue: Uma proposição P(n), aplicável aos números naturais n, é verdadeira para todo n E 11I, n ;;. no, quando: 19) P(no) é verdadeira, isto é, a propriedade é válida para n = no, e 8 -125 + 225 - 70'; 18 6 53 3. 52 7" 5 n = 5 ~ y = --+ -- - -- + 3 6 2 3 (n E N*) 88. ~ necessário, portanto, dispor de um método com base lógica que permita decidir sobre a validade ou não de uma indução vulgar. Consideremos, por exemplo, a igualdade: 1 + 3 + 5 +. .. + (2 n - 1) = n2 Temos: • 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2k + 1) = k2 + (2k + 1) \ J ~ r + k2 + 2k + 1 Vamos verificar se ela é verdadeira: n = 10 ~ 1 + 3 + 5 + ... + 19 = 100 = 102 (V) que expressa a propriedade: "a soma dos n primeiros números ímpares positivos , 2 "e n. n 2 == + 3 = 4 22 (V) n = 3 =- + 3 + 5 9 = ~ (V) A.73 A.76 13 + 23 + 33 + + 3 ~ [n(n + 11]2 'ri E."... n 2' n '" EXERCíCIOS Demonstrar usando o prind~a indução finita. n(n+ 1)~ A.72 1 + 2 + 3+... + n = --2-' n E 1lJ* n(4 + 3n) A.74 20 + 21 + 22 + ... 2n-1 - 'ri n E 1\1' ,4.75 2 2 2 2 _ n(n + 11 (2n + 1) '"' E."r- 1+2+3+ ... +n- (6 .v n '" (V)1==n Mesmo que continuemos o trabalho fazendo a verificação até n = 1 000000 não estará provado que a fórmula vale para todo n natural, pois poderá existir um n > 1 000000 em que a fórmula falha. 54-A 56-A A.77 a I 132n - 11. V n E W A.8S o número de diagonais de um polígono convexo de n lados é do nln - 31-2-' Soluçãc 10) Pll) é verdadeira pois a I 132 - 11 29) Admitamos que Plkl, k E ~', seja verdadeira a I 132k - 11 (hipótese da induçãol e provemos que 8 I (32(k + 1) - 11: Solução 10) P(3) é verdadeira pois: n = 3 == d 3 = 3(3 - 3) = O 2 e isto é verdade porque um triângulo não tem diagonais. então 291 Supondo válida a fórmula para um polfgono de k lados Ik;:;' 31: dk - - klk2-3) Ihipótese da indução) provemos que ela vale para um polígono de k + 1 lados: _ Ik + 1I[(k + 11 - 3] = (k + 11 (k - 2) dk + 1 - 2 2 A.79 2 I (n 2 + nl, V n E ~. 6ln(n + llln + 21,Vn E~.A.78 A.80 3 I In3 + 2n), V n E ~. A.81 (1 + 11 (1 + ~) 11 + ~I . • 11 + 2. 1 n n + 1, V n E W Quando passamos de um polígono com k vértices para um de I:< + 1 vértices, acres- centando mais um vértice, ocorre o seguinte: (i) todas as diagonais do primeiro polfgono continuam sendo diagonais do segundo; (ji) um lado do primeiro se 'transforma em diagonal do segundG; (Hi) no segundo há k - 2 novas diagonais las que partem do novo vértice). Vejamos, por exemplo, a passagem de um quadrilátero para um pentágono Solução 19) PI1I é verdadeira pois 2· 1 ;:;, 1 + 1 20 1 Admitamos que P(k), k E ~', seja verdadeira: A.83 1· 2 + 2 • 3 + 3. 4 + c -c 8 .8 D AVnEWn In + 1) (n + 2) 3 n : 1 ,V n E ~. + n(n + 11 1+ --- n(n + 11 + -- + 3-4 A.84 2n ;:;, n + 1, V n E ~. 1 1 A.82 N + 2.3 21k + 11 = 2k + 2 ;:;, Ik + 11 + 2 > (k + 11 + 1 A.85 2 n > n, V n E ~ e provemos que 2(k + 11 ;:;, (k + 11 + 1 Temos: klk-3) k2 -3k+2k-2 dk+ 1 = dk + 1 + Ik - 2) = --2- + k - 1 = 2 (k + 11 Ik - 2) 2 são diagonais ~ AC e BD continuam diagonais ---- AD se transforma em diagonal EB e EC são diagonais AC e BD AD é lado Então: (hipótese da induçãol2k ;:;, k + 4 + n 3 >.':'.- V n E ~'. 4 A.89 A soma das medidas dos ângulos internos de um pol(gono convexo de n lados é Sn = (n - 2) • 1800 . A.87 (1 + aln ;:;, 1 + na,V n E ~', V a E IR, a;:;' -1 A.90 Se A é um conjunto finito com n elementos, então 'syIA), conjunto das partes de A, tem 2n elementos. 56-A 57-A Desvendado mistério da continuidade CAPÍTULO IV -RELAÇOES Julius W. R. Dedekind (1831 - 1916) mas isto ficaria fora do nível deste curso. I. PAR ORDENADO dc e b(c, dI ala, bl Em Matemática existem situações, onde há necessidade de distinguir dois pares pela ordem dos elementos. Por exemplo, no sistema de equações { X+ Y =3 x ~ Y =. 1 x = 2 e Y = 1 é sol ução ao passo que x = 1 e Y = 2 não é solução. Se representássemos por um conjunto teríamos: {2, l} seria solução e {1, 2} . não seria solução. Há uma contradição, pois sendo {2, l} = {1, 2}, o mesmo con- junto é e não é solução. Por causa disso dizemos que a solução é o par ordenado (2, 1) onde fica subentendido que o primeiro elemento 2 refere-se a incógnita x e o segundo elemento 1 refere-se a incógnita y. (a, b) = {{a}, {a, b}} 91. Chama-se par todo conjunto formado por dois elementos. Assim {1, 2}, {3, -l}, {a, b} indicam pares. Lembrando do conceito de igualdade de con- juntos, observamos que inverter a ordem dos elementos não produz um novo par: {1,2} = {2, 1}, {3, -l} = H, 3}, {a, b} = {b, a}. (*) Poderíamos definir par ordenado como Kuratowski fez: 92. Admitiremos a noção de par ordenado como conceito primitivo (. I. Para ca. da elemento a e cada elemento b, admitiremos a existência de um terceiro elemento (a, b) que denominamos par ordenado de modo que se tenha Julius Wilhelm Richar Dedekind foi um dos quatro filhos de uma familia luterana de Braunschweig, Alemanha. Entrou em Gõttingen aos dezenove anos e aos vinte e dois obteve seu doutoramento com uma tese sobre Cálculo, elogiada até por Gauss. Foi aluno de Dirichlet e dedicou-se ao ensino secundário em Brunswick até os últimos anos de sua vida. Preocupado com a natureza das funções e dos números, concentrou~se no problema dos números irracionais desde 1858 quando dava aulas de Cálculo, publicando seu livro mais célebre, "A Continuidade e os Números Irracionais". Uma de suas grandes dúvidas era sobre o que há na reta geométrica contínua que a distingue dos números racionais, pois, Galileu e Leibniz haviam conclUl'do que entre dois 'pontos quaisquer sempre existe um terceiro e, assim, 05 números racionais formam um conjunto denso mas não cont(nuo. Relendo. Dedekind observou que a essência da continuidade da reta não está ligada à densidade mas à natureza da divisão da reta em duas partes, que chamou classes, através de um único ponto sobre a reta. A essa qivisão da reta chamou "schnitt" ou "corte" , que passaria a ser o apoio da Análise, pois com essa observação "o segredo da continuidade seria revelado". Dedekind viu também que os pontos de uma reta podem ser postos em correspondência biunívoca com os números reais, o Que conseguiu ampliando .~ conjunto dos racionais. Esta conclusão é conhecida por nós como Axioma de Cantor-Dedekind. Mais uma de suas observações foi sobre o teorema fundamental dos Iimites, achando que para obter-se uma demonstração rigorosa deste conceito era necessário desenvolvê-lo somente atra- vés da Aritmética, sem interferência de métodos geométricos embora estes tenham sido responsá- veis por seus brilhantes resultados" Em 1879 foi o primeiro a dar uma definição expli'cita de corpo numérico como sendo uma co- leção de números Que formam um grupo abel ia no (comutativo) em relação à adição e multiplicação, no qual a multiplicação é distributiva em relação à adição. Este conceito, que foi fundamental para o desenvolvimento da Álgebra, também é responsável pelo teorema dos inteiros algébricos, bem como introduziu na Aritmética o conceito de "ideal". Dedekind viveu tantos anos depois de Sua célebre introdução dos "cortes" que a famosa editora Tebner deu como data de sua morte, 4 de setembro de 1899. Isto divertiu Dedekind que viveu mais doze anos e escreveu ao editor que passara a data em questão em conversa estimulan- te"·com seu amigo Georg Cantor. 58-A 59-A 11. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL 95. Teorema c) coordenadas de P são os números reais xp e yp, geralmente indi- cados na forma de um par ordenado (xp, yp) onde xp é o primeiro termo. d) eixo das abscissas é o eixo x (ou Ox) e) eixo das ordenadas é o eixo y (ou Oy) f) sistema de eixos cartesiano ortogonal (ou ortonormal ou retangular) é o sistema xOy g) origem do sistema é o ponto O 94. Exemplo hI plano cartesiano é o plano Ci b) ordenada de P é o número real yp representado por P2 (X p, yp), existem PI E x e representa y p' conforme vimos Iv' p E l r~ . , ;-, I" Ir ri' ordenado de números reais P1 representa x p e P2 A.92 Assinalar no plano cartesiano os pontos: A(2, -3), BIO, -4), C(-4, -5), 01-1, OI, 1 5 ElO, 5), F15, 4), G(3, O), H(-3, 2),11 2 '2)' A.91 Dar as coordenadas de cada ponto do plano cartesiano abaixo. Dado o par P2 E Y tais que no item 77. Se construirmos x' /I x por P2 e y' li y por P1 , essas retas vão concorrer em P. Assim, a todo par (xp , yp) corresponde um único ponto P, P E Ci. Esquema: (xp, Ypl ------4 (P I , P2) ----> P EXERCíCIOS Demonstração 2? Parte 1? Parte As definições dadas anteriormente indicam que a todo ponto P, P E Ci, corresponde um único par de pontos (P I , P2 ) sobre os eixos x e y res- pectivamente e, portanto, um único par ordenado de números reais (xp, yp) tais que xp e yp são representados por P1 e P2 , respectivamente. Esquema: P ------4 (P I , P2 ) -+ (xp, ypl Entre o conjunto dos pontos P do plano cartesiano e o conjunto dos pares ordenados (xp, yp) de números reais existe uma correspondência biunívo- ca. Tv ~ - - - . B y C o , y' Ci Y P2 P x' h O P 1 x e dois eixos x e y O, os quais deter- Vamos localizar os pontos 93. Consideremos perpendiculares em minam o plano Ci. Dado um ponto P qualquer, 'P E Ci. conduzamos por ele duas retas: Nestas condições definimos: a) abscissa de P é o número real xp representado por PI x' li x e y' li y Denominemos PI a intersecção de x com y' e P2 a intersecção de y com x'. A(2, O), B(O, -3), C(2, 5). D(-3, 4) 5 9 E(-7, -3), F(4, -5), G( 2' 2) 5 9 H(-2' -2) no plano cartesiano lembrando que, no par ordenado, o primeiro número repre- senta a abscissa e o segundo a ordenada do ponto. 60-A 61-A 96. Definição 111. PRODUTO CARTESIANO Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denominamos produto cartesiano de A por B o conjunto A X B cujos elementos são todos pares ordenados (x, y) onde o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B. A X B = {(x, y) I x E A e y E B} o símbolo A X B Iê-se "A cartesiano B" ou "produto cartesiano de A por B". Se A ou B for o conjunto vazio, definimos o produto cartesiano de A por B como sendo o conjunto vazio. . , « I , I I I :,, I ! x 3 39) Se A = {x E IR I 1 ,;;;; x < 3} v e B = {2} então temos A X B = {(x,2) I x E A}.2 ----- A representação gráfica de A X B dá como resu Itado o conjunto de pontos do segmento paralelo ao eixo dos x da figura ao lado. 49) Se A = {x E R I 1 ,;;;; x ,;;;; 3} e B = {x E IR I 1 ,,;;; x ,;;;; 5} te- mos A X B = {(x, y) E R 2 I 1 ,;;;; x ,;;;; 3 e 1 ,;;;; y ,;;;; 5} representado gra- ficamente no plano cartesiano pelo conjunto de pontos de um retângulo. Note- mos que B X A = {(x, y) E R 2 I 1 ,;;;; x ,;;;; 5 e 1 ,;;;; Y ,;;;; 3} é representa- do por um retângulo distinto do anterior.AXcp=0 AXB 97. Exemplos v 5 -------r-----, v BXA 19) Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2} temos A X B = {(1, 1), (1, 2), (2, 1). (2,2), (3, 1), (3, 2)} e 3 - -- - --,...----------,- B X A = {(1, 1). (1,2), (1,3), (2,1), (2,2). (2,3)} e as representações no plano cartesiano são as seguintes: 29) Se A = {2, 3} então o conjunto A X A (que também pode ser indicado por A2 e lê-se "A dois") é A X A = {(2, 2), (2,3), (3, 2), (3,3)} 2 3 2 ------.~11!!-t!~c?!.~l;l, 2) I I I ______ ~~1_,_ ~ ~_~~~.-1j--~~, 1) , I : I, :, , I I -r----+---+--+---- EXERCICIOS IV. RELAÇÃO BINÃRIA bl B X A ai A X B representar pelos elementos e pelo gráfico cartesiano os seguintes produtos: x .. B 432 A 6 - - - - - - - 0- - -(1)- - -~-- , , I , 5 -------~---t---t-- , , I ' 4 - - - - - - -(1)- - -~- -0- : : 3 ---- --- --t---G-~-+-- , , , , 2 --------8--+---+--, ,, , , : 99. Consideremos os conjuntos A = {2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5, 6}, O produto cartesiano de A por B é o conjunto A X B = {(x, y) I x E A e y E B} formado por 3· 5 = 15 elementos represen- tados na figura ao lado, Se agora considerarmos o conjunto de pares ordenados (x, y) de A X B tais que x I y (lê-se: x é divisor de Y), teremos R = {(x, y) E A X B I xly} = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)} que é chamado relação entre os elementos de A e de B ou, mais simplesmente, uma rela- ção binária de A em B. O conjunto R está contido em A X B e é formado por pares (x, y) em que o ele- mento x de A é "associado" ao elemento y de B mediante um certo critério de "relaciona- mento" ou "correspondência". Será bastante úti I a representação da rela- ção por meio de flechas, como na figura ao lado. c) A X C f) c2 cl B X C f) C2 represente pelos elemen-9, C~{-1,O,2} A C B C C. Estabelecer as relações de in- B, A X C, B X A, B X B, B X C, C X A, e bl B X A el B2 bl A X C e) A2 Bc{-2,1} {11,21, (4,2)} C A2 A2 Dados os conjuntos A c {x E IR 11 Y, ; , ~ : 6 ----.---.---t--\:!J-- .. -- : : : I ! 5 l __ .l __ cb __ .l L_ 1 , 'V I I 4 -)--4--~--~---L ; : : ; : 3 ~_~--l_--~--.L_ W I T I t I I I I I I I ti' 2 + __ +__ +__-+- _-t - I I I I I I ' I I ---~--+--~--~--~- I ti, I " ,:: : Utilizaremos as seguintes nomenclaturas já consagradas A = conjunto de partida da relação R B = conjunto de chegada ou contra-domínio da relação R. Quando o par (x, y) pertence a relação R, escrevemos x R y (lê-se: ". erre y") Ix, yl E R ~ x R y e se o par (x, y) não pertence a relação R escrevemos x fÍ y (lê-se: "x não erre y") 2 3 4 5 x A B Ix, yl !Í R ~ x" y R 39) Se A = {-1, O, 1, 2} quais são os elementos da relação {(x, y) E A2 I x2 = y2}? Fazendo a representação gráfica notamos que R = l(O, O), (1,1), (1, -1), (-1, -1), (-1,1). (2,2)} pe- BA e B = {y E IR I 1 .;;; y .;;; 2} R = {(x, y) E A X B I y = x} y ----~-----e : ', ', , , 2 -~----- ,,, é---1- ---($)---+ , ,, ,, ,, , -1 : : 1 : 2 x , ', " I -1 1 I (D----- ---0---+- 49) Se A = {x E IR I 1 .;;; x .;;; 3} de-se a representação cartesiana de A X B e 101. Exemplos 19) Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4} quais são os elementos da relação R = {(x, y) I x < y} de A em B? Os elementos de R são todos os pares ordenados de A X B nos quais o primeiro elemento é menor que o segundo, isto é, são os pares formados pela "associação de cada elemento x E A com cada elemento de y E B tal que x < y". Temos então y AXB y R = {(1, 2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)} 29) Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, quais são os elemen- tos da relação binária R de A em B assim definida: x R y ~ y = x + 27 Fazem parte da relação todos os pares ordenados (x, y) tais que x E A, y E B e y = x + 2. , , 2 -~--------D~~ , , : :, , , ' Utilizando as representações gráficas 3 x 3 x 66-A 67-A EXERCICIOS 103. Exemplos A.l00 Pede-se: qual x1_____ D ~ A x3 R {(2, 2). (2, 4) (2, 6), (3, 3), (3, 6). (4, 4)} O ; {2, 3, 4} Im ; {2, 3, 4, 6} A.l05 Estabelecer o domínio e a imagem das relações binárias do exercício A.100. Utilizando a representação cartesiana A.l04 Estabelecer o domínio e a imagem das seguintes relações: a) {Il, 1), 11,3),12, 4)} b) {1-2, 4),1-1,1), (3, -71, (2, 1)} c) {12, 1), 11, -3), 15, .,j2Ü d) {Il +..;2, ..;2), 11 -.J3, 1)} { 1 53} e) (3, 2'), ("2' -1),1"2' O) EXERCICIOS temos D ;{xE IR 11 ~x~2} e Im; {yE IR I 2~y~4} B 2?) Se A; {x E IR I 1 ~ x ~ 3} e B; {y E IR I 1 ~ y ~ 4}. é o domínio e a imagem da relação R; {(x, y) E A X B I y ; 2x}? 1?) Se A; {D, 2, 3, 4} e B; {1, 2, 3, 4, 5, 6} qual é o domínio e a imagem da relação R; {(x, y) E A X B I Y é múltiplo de x}? Utilizando o esquema das flechas é fácil perceber que O é o conjunto dos elementos de A dos quais partem flechas e que Im é o conjunto dos elementos de B aos quais chegam flechas, portanto: b) x S y x2 = y dI x V y x + y > 2 a) x R y x + y = 2 c) x T y Ixl = Iyl el x W y Ix - yl2 = 1 102. Definição Seja R uma relação de A em B. Chama-se dominio de R o conjunto D de todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencente a R, x E O ~ 3y, Y E B I (x, y) E R' I Il enumerar pares ordenados 111 representar por meio de flechas 111) fazer o gráfico cartesiano das relações binárias de A = {-2, -1, 0,1, 2} em B = {-3, -2, -1,1,2,3, 4} de- finidas por: V. pOMfNIO E IMAGEM A.103 Dado o conjunto A = {m E Z I -7 ~ m < 7}. Construir O gráfico cartesiano da relação binária R em A definida por: x R y x2 + y2 = 25. A.l0l Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Enu merar os pares ordenados e constru ir o gráfico cartesiano da relação R em A dada por: R = {Ix, yl E A2 I mdc Ix, y) = 2} A.l02 Seja o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Construir o gráfico cartesiano da relação R em A definida por: x R y A.l07 Se R é a relação binária de A ~ {x E IR I 1 ,;; x';; 6} em B {y E IR I 1 ,;; y ,;; 4 definida por xRy=x~2y Pede-se: a) a representação cartesiana de A X B b) a representação cartesiana de R c) o domínio e a imagem de R A.l0S Se R e S são as relações binárias de A ~ {x E;Z I -2 ,;; x ,;; 5} em B ~ {y E;z I -2 ,;; y ,;; 3} definidas por: x R y = 2 divide Ix - y) x S y = Ix - 1)2 ~ Iy - 2)2 A B B A Pedem-se: a) as representações cartesianas de R e de S b) o domínio e a imagem 'de R e de S cl R n S. temos R e R-I {(2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 5), (3, 7), (4, 5), (4, 7), (5, 7l.f {(3, 2), (5,2), (7, 2), (5, 3), (7, 3), (5, 4), (7, 4), (7, 5)} VI. RELAÇAo INVERSA 2?) Se A = {x C IR I 1 ,;; x ,;; 4} e B = {y E IR I 2 ,;; y ,;; 8} re- presentar no plano cartesiano as relações R {(x, y) E A X B I y = 2x} e sua inversa R-I . y . ' -----~- ---_ ..~- 104. Defi nição Dada uma relação binária R de A em B, consideremos o conjunto w ' = {(V, x) E B X A I (x, y) E R} Como R-I é subconjunto de B X A, então R-I é uma relação binária de B em A à qual daremos o nome de relação inversa de R. Iy, xl E R-I = (x, y) E. R 8 2 4 VII. PROPRIEDAQES x 4 2 8 x Decorre dessa definição que R-I é o conjunto dos pares ordenados obtidos a partir dos pares ordenados de R invertendo-se a ordem dos termos em cada par. São evidentes as seguintes propriedades la) D(W' ) = Im(R) Isto é, o domínio de R-I é igual à imagem de R. 105. Exemplos R 70-A 10) Se A = {2, 3, 4, 5} e B = {1, 3, 5, 7} quais são os elementos de {(x. y) E A X B I x < y} e de W ' ? Utilizando o esquema das flechas 2~) Im(R-I ) = D(R) isto é, a imagem de R-I é igual ao domínio de R. 3a) (R-I)-I = R isto é, a relação inversa de R -I é a relação R. 71-A EXERCfclOS A.109 Enumerar os elementos de R-I, relação inversa de R, nos seguintes casos: ai R = {(l, 2),13,1),12, 31} b) R = {(l, -1),12, -1), (3, -1). (-2, 1)} c) R = {(-3, -2), 11,3), 1-2, -31, 13, 1)} A.l10 Enumerar os elementos e esboçar os gráficos de R e R-I, . relações binárias em A = {x E rIJ 1 x ,ç lO}, nos seguintes casos: ai R = {(x, y) E A2 1 x + Y = s} b) R = {Ix, y) E A2 I x + 2y = lO} cl R = {Ix, yl E A2 I y = (x - 31 2 + I} d) R = {Ix, y) E A2 I y = 2 X} CAPÍTULO V -FUNÇOES I. CONCEITO DE FUNÇÃO e as seguintes relações binárias de A em B: 106, Vamos considerar, por exemplo, os conjuntos A = {O, 1, 2, 3} e B = {-1, O, 1, 2, 3} A.lll Dados os conjuntos A = {x E IR 11 ,çx,ç 6}. B = {y E IR 12,ç y,ç lO} e as seguin- tes relações binárias: ai R = {Ix, y) E A X B I x = y} bl S = {(x,y)EAXB I y = 2x} c) T = {Ix, yl E A X B I y = x + 2} d) V = {Ix, v) E A X B Ix+y=7} pede·se o gráfico cartesiano dessas relações e das respectivas relações inversas. R = {(x, V) E A X B S = {(x, V) E A X B T = {(x, V) E A X B V = {(x, V) E A X B W = {(x, V) E A X B V = x + 1} V2 = x2 } V = x} Iv (x-l)2-1} I V = 2} Analisando cada uma das relações temos: a) R = {(O, 1), (1, 2), (2,3)} Para cada elemento x E A, com exceção do 3, existe um só elemento V E B tal que (x, V) E R. Para o elemento 3 E A, não exis- te V E B tal que (3, y) E R. b) S = {(O, O), (1, 1), (1, ~1), (2, 2), (3, 3)} Para cada elemento x E A, com exceção do 1, existe um só elemento V E B tal que (x, V) E S. Para o ele· mento 1 E A existem dois elementos de B, o 1 e o -1 tais que (1, 1) E S e (1, -1) E S. 72-A 73-A As relações T, V, W, que apresentam a particularidade: "para todo x E A existe um só y E B tal que (x, y) pertence a relação", recebem o nome de aplicação de A em B ou função definida em A com imagens em B. f não é função. 109. Podemos verificar através da representação cartesiana da relação f de A em B se f é ou não função: basta verificarmos se a reta paralela.ao eixo y condu· zida pelo ponto (x, O), onde x E A, encontra sempre ográfico de f em um só ponto. @:-----o----- - --A -----. B I não é lu nção ~---a- ---- A "- ••- B 1?) se existir um elemento de A do qual não parta flecha alguma ou 2?1 se existir um elemento de A """do qual partam duas ou mais flechas 108. Vejamos agora com o auxílio do esquema das flechas, que condições deve satisfazer uma relação f de A em B para ser aplicação (ou função). 1?) é necessário que todo elemento x E A participe de pelo menos um par (x, Xl E f, isto é, todo elemento de A deve servir como ponto de partida de fle- aJiJ.---.-- .. - -..' 2?) é necessário que cada elemento x E A participe de apenas um único par (x, y) E f, isto é, cada elemento de A deve servir como ponto de partida de um~ única flecha. Uma relação f, não é aplicação (ou função) se não satisfazer uma das con· dicões acima isto é, 110. Exemplos d) V = {(O, O), (1, -1), (2, O), (3, 3)} c) T = {(O, O), (1, 1), (2, 2), (3, 3)} Para todo elemento x E A, sem exceção, existe um só elemento y E B tal que (x, y) E V. e) W = {(O, 2), (1,2), (2, 2), (3, 2)} Para todo elemento x E A, sem exceção, existe um só elemento y E B tal que (x, y) E W. Para todo elemento x E A, sem exceção, existe um só elemento y E B tal que (x, y) E T. 11. DEFINIÇÃ( 107, Dados dois conjuntos A e Bi '), não vazios, uma relação f de A em B recebe o nome de aplicação de A em B ou função definida em A com imagens em B se, e somente se, para todo x E A existe um só y E B tal que (x, y) E f. 1?) A relação f de A em IR, com A ~ {x E IR I ..1 < x < 3}, representada ao lado é função, pois toda reta vertical conduzida pelos pontos de abscissa x E A encontra sempre o grá- fico de f num só ponto. x f é aplicação de A em B (\Ix E A, 31 y E B I (x, yl E f) (li) Em todo o nosso estudo de funções, fica estabelecido que A e 8 são conjuntos forma- dos de números reais, isto é, A e B contidos em IR. 2?) A relação f de A em IR repre- sentada ao lado, onde A = {x E IR I -2 < x < 2} não é função, pois há retas verticais que encontram o gráfico de f em dois pon- tos. -2 2 x 74-A 75-A A.114 Quais das relações de IR em IR cujos gráficos aparecem abaixo, são funções? Justificar.3?) A relação f de A em IR, re- presentada ao lado, onde A ~ {x E IR I O .;; x .;; 4} não é função de A em IR pois a reta vertical conduzida pelo ponto (1, O) não encontra o gráfico de f. Observemos que f é função de B em IR onde B ~ {x E IR I 2 .;; x .;; 4}. y 2 3 x ai I" 1..- 1/ 1..- 1..- 1.1 1.1 1.1 x G 1.1 bl y ...1-... I\. x,... r--,... c) Iv I, 1/ I' 1..- I' 1/ x I' 1/ EXERC(CIOS fi Iv x e) Iv V I~ x 1/ 1.) di Iv 1\ I1-. 1\ 1I 1\ x B(blABlalA A.112 Estabelecer se cada um dos esquemas das relações abaixo define ou não uma função de A = {-1. 0,1, 2} em B = {-2, -1, 0,1,2, 3}. Justificar. R A.113 Quais dos esquemas abaixo definem uma função de A = {O, 1. 2} em B = {-1, 0, 1, 2}? 111. NOTAÇÃO DAS FUNÇÕES 111. Toda função é uma relação binária de A em B, portanto, toda função é um conjunto de pares ordenados. Geralmente, existe uma sentença aberta y ~ f(x) que expressa a lei me- diante a qual, dado x E A, determina-se y E B tal que (x, y) E f, então f ~ {(x, y) I x E A, y E B e y = f(x)}. Isto significa que, dados os conjuntos A e B, a função f tem a lei de corre~pondência y = f(x). Para indicarmos uma função f, definida em A com imagens em B se- gundo a lei de correspondência y = f(x), usaremos uma das seguintes notações f: A - B x ...---- f(x) ou A -.!..,. B x ..-.. f(x) 76-A 77-A 112. Exemplos EXERCICIOS 19) f: A __ B x ~ 2x é uma função que associa a cada x de A um y de B tal que y; 2x. A.115 Oual é a notação das seguintes funções de IR em IR? a) f associa cada número real ao seu oposto b) 9 associa cada nú.nl"ero real ao seu ·cubo d h associa cada número real ao seu quadrado menos 1 d) k associa cada número real ao número 2 29) f: IR ~ IR x f------* x2 é uma função que leva a cada x de IR um y de IR tal que y ~ x2 • 39) f: IR+ ~ IR x ~ y-; A.116 Oual é a notação das seguintes funções? aI f é função de A.121 Seja a função f de IR - {1} em IR definida por Hxl -~ Oual é o elemento- x - 1 . Notemos, que, feita a representação cartesiana da função f, temos: do domlnio que tem imagem 27 A.122 Ouais são os valores do domlnio da função real definida por f(x) = x2 - 5x + 9 que produzem imagem igual a 37 Dominio (O) é O conjunto das abscissas dos pontos tais que as retas verticais condu- zidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto é, é o conjunto formado por todas as abscissas dos pontos do gráfico de f. IV. OOMfNIO E IMAGEM Imagem (I m) é o conjunto das ordenadas dos pontos tais que as retas horizontais conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto é, é o conjunto for- mado por todas as ordenadas dos pontos do gráfico de f. 115. Definição 116. Exemplos Considerando que toda função f de A em B é uma relação binária, então f tem um dominio e uma imagem. Chamamos de dominio o conjunto O dos elementos x E A para os quais existe y E B tal que (x, y) E f. Como, pela definição de função, todo elemento de A tem essa propriedade, temos nas funções: domrnio = conjunto de partida y x -2 o x para os quais O {x E IR -2 .;;; x .;;; 1} O = {x E IR -2 .;;; x .;;; 3} Im {y E IR O';;; y .;;; 4} Im = {y E IR -1 .;;; y .;;; 4} 3?) y 4?) y er----. .L......-ç, , : :, : 1 : : , x -2 -1 2 x -2 O {x E IR I x *- O} O {x E IR I -2 < x < 2} Im {y E IR I -2 < y < O Im {1, 2} ou 1 < y < 2} 81-A contra-domfnio Im C B domfnio 8o-A isto é, 0= A. Chamamos de imagem o conjunto Im dos elementos y E B existe x E A tal que (x, y) E f, portanto: imagem é subconjunto do contradomrnio isto é, 117. As funções que apresentam maior interesse na Matemática são as funçõe~ numéricas, isto é, aquelas em que o domínio A e o contradomínio B são subcon- juntos de R. As funções numéricas são também chamadas funções reais de variá- vel real. Observemos que uma função f fica completamente definida quando são dados o seu domínio D, o seu contradomínio e a lei de correspondencia y= f(x). Quando nos referirmos à função f e dermos apenas a sentença aberta y = f(x) que a define, subentendemos que D é o conjunto dos números reais x cujas imagens pela aplicação f são números reais, isto é: x E D A.125 Considerando que os gráficos abaixo são gráficos de funções, estabelecer o domíni( e a imagem. i?) As funções f(x) ~ fi e g(x) fi ~ Ixl, vxE IR. 3 - 1 ~ 2 e g(3) ~ 120. Exemplos 2 1 - 1 --~O 1 + 1 4 - 1 2 + 1 9 - 1 3+1 x2 - 1 X+1 Ixl de R em R são iguais, pois e g(2) {-2,-1,O,l,2} entãoasfunçõesde A o e g(l) x - 1 e g(x) - 1 2 - 1 x 3 === f(3) x ~ 2 === f(2) f(x) x ~ 1 = f(l) são iguais, pois 1?) Se A ~ {1, 2, 3} e B em B definidas por:) lv f-I-- f-7~ 1/ '/ l/V V 1/ x I ly 1/1'\ 1/ 1\ i\ 11 x I'l..I d eI - r-r-r- y K J'\ I'. x I'\. I', \ Y ! I'f-1--1- ---+-1- I- I-- ,x L_~__ a b ~7 Sejam as funções f, 9 e h de IR em IR definidas por flx) x3• g(yl ~ y3 e . h( z) = z3. Quais delas são iguais entre si? c I y !"\ 1/ I' lI' I'\. x I y x 3 1} em IR. definidas por: / V. FUNÇÕES IGUAIS A.126 Dar o domínio das seguintes funções reais: ai f(xl = 3x + 2 bl g(x) 1 x - 1 x + 2 c) h(x) = x2 - 4 d) p(x) = .,;x-:l e) q(x) 1 v;:;2 = ~ t) r(x) = x - 2 gl s(xl=~ h) t(xl = 1 ulxl = lf;+2 ~2x + 3 i) x - 3 119. Definição A Duas funções, f de A em B e 9 de C em D são iguais se, e somente se, C, B ~ D e f(x) ~ g(x) para todo x E A. f: IR ----> IR • Jo.o-.--+. + 1 e g: IR - {1} • ---> IR f-----+ .2 - 1 • - 1 são iguais? Justificar. 84-A ( 85-A APl:NDICE SOBRE INEQUAÇÕES Vamos ver aqui algumas técnicas úteis para os próximos capítulos. 121. Definição Sejam as funções f(x) e g(x) cujos domínios são respectivamente Dl C IR e D2 C IR. Chamamos inequação na incógnita x, a qualquer uma das sentenças abertas, abaixo: f(x) > g(x) f(x) < g(x) f( x) ;;. g( x) f(x} ,,;;; g(x} Exemplos , 1~) 2x - 4 > x é uma inequação onde f(x) ; 2x - 4 e g(x); x. 2c:') 3x - 5 < 2 é uma inequação onde f(x) ; 3x - 5 e g(x); 2. 123. Solução o número real Xo é solução da inequação f(x) > g(x} se, e somente se, é verdadeira a sentença f(xo) > g(xo). Exemplo O número real 3 é solução da inequação 2x + 1 > x + 3, pois 2·3+1>3+3 '---.,,--J '--v----l f(3) 9(3) é uma sentença verdadeira. 124. Conjunto-solução O conjunto S de todos os números reais x tais que f(x) > g(x) é uma sentença verdadeira, chamamos de conjunto-solução da inequação. 3c:') x2 - 3 ;;. ~ é uma inequação onde f(x}; x2 - 3 e g(x) x ='- x isto Exemplo A inequação 2x + 1 > x + 3 tem o conjunto-solução S; {x E IR I x> 2}, é, para qualquer Xo E S a sentença 2xo + 1 > Xo + 3 é verdadeira. o r---;. 1 ~ 1 4.) V x - 2";;; x _ 3 é uma inequação onde f(x) ; v x - 2 e g(x); --. x-3 122. Domínio de validade Se não eXistir o número real x tal que a sentença f(x) > g(x) seja verdadeira, diremos que a inequação f(x) > g(x) é impossível e indicaremos o conjunto solução por s; 0. xoÉS = xoED Resolver uma inequação, significa determinar o seu conjunto-solução. Se Xo E' R é solução da inequação f(x} > g(x}, então, Xo é tal que f(xo) E R e g(xo) E IR, isto é, Xo E O (domínio de validade da inequação). Assim sendo, temos Chamamos de domínio de validade da inequação f(x) < g(x) o conjunto D ; Dl n D2 , onde Dl é o domínio da função f e D2 é o domínio da função g. É evidente que para todo Xo E D, estão definidos fIxo) e g(xo), isto é: Xo E D 125. Inequações equivalentes Duas inequações são equivalentes em O C IR se o conjunto-solução da primeira é igual ao conjunto-solução da segunda. Exemplos 1?) 3x + 6 > O e X + 2 > O são equivalentes em IR, pois o conjunto- solução de ambas é S = {x E IR I x> 2}. 2?) x < 1 e x2 < 1 não são equivalentes em IR, pois Xo = -2 é solu- ção da primeira mas não o é da segunda. portanto, como (}) é equivalente a @' temos: S = {x E R I x > 4}. Na prática, aplicamos a propriedade P-l com o seguinte enunciado: "em uma inequação podemos transpor um termo de um membro para outro trocando o sinal do termo considerado": f(x) + h(x) < g(x) = f(x) < g(x) - h(x). Assim, no exemplo anterior, teríamos: 3x - 1 > 2x + 3 = 3x - 1 - 2x > 3 = x > 3 + 1 = x > 4. 126. Princípios P-1) Sejam as funções f(x) e g(x) definidas em Dl e D2 , respectivamente. Se a função h(x) é definida em Dl n D2 , as inequações f(x) < g(x) e f(x) + h(x) < g(x) + h(x) são equivalentes em Dl n D2 - Na resolução de uma inequação procuramos sempre transformá-Ia em outra equivalente e mais "simples", em que o conjunto-solução possa ser obtido com maior facilidade. Surge, então, a pergunta: "que transformações podem ser feitas em uma inequação para obter-se uma inequação equivalente?". A resposta a esta pergunta são os dois princ(pios seguintes: adicionemos h(xl = -2x + 1 aos dois membros: P-2} Sejam as funções f(x) e g(x) definidas em Dl e D2 , respectivamente. Se a função h(x) é definida em Dl n D2 e tem sinal constante, então: a) se h(x) > O, as inequações f(x) < g(xl e f(x) • h(x) < g(xl • h(x) são equivalentes em Dl n D2 • b) se h(x) < O, as inequações f(xl < g(x) e f(x) • h(x) > g(xl • h(x) são equivalentes em Dl n D2 • Exemplos 1?) ; - ~ > ~ e 6x - 9> 4 são equivalentes em R, pois a segunda inequação foi obtida a partir da primeira através de uma multiplicação por 12. 2?) _2x2 + 3x > 1 e 2x2 - 3x < -1 são equivalentes em R pois a segunda foi obtida da primeira através de uma multiplicação por -1 e inversão do sentido da desigualdade. 3?) 4~ - 3 > O e 4x - 3 > O são equivalentes em IR. Notemos que a x + 1 segunda foi obtida da primeira através da multiplicação por x2 + 1 > O, V x E A- Na prática, aplicamos a propriedade P-2 com o seguinte enunciado: "em uma inequação podemos multiplicar os dois membros pela mesma expressão, mantendo ou invertendo o sentido da desigualdade, conforme essa expressão seja positiva ou negativa, respectivamente." (})2x + 3 '----.,,-J g(x) 3x - 1 > '----.,..-J t(x) Exemplo Seja a inequação (3x - 1) '---v---J t(x) + (-2x + 1) '--v---J h(x) > (2x + 3) + '---v---J g(x) (-2x + 1) '---v---J h(x) façamos as simplificações poss(veis: EXERCICIOS x '---.r---J f(x) + h(x) > 4 '---v---J g(x) + h(x) A.132 Resolver as inequações em IR: a) 4x + 5 > 2x - 3 b) 5(x + 3) - 2(x + 1) .;;; 2x + 3 c) 3(x + 1) - 2 ;;. 5(x - 1) - 3(2x - 1) 88-A 89-A A.133 Resolver em IR, a inequação x + 2 -3- x - 1 ~ -2- ?x Solução A inequação proposta é equivalente à inequação que se obtém multiplicando pelo m.m.c. (3, 2) = 6: Família serve a ciência por 100 anos Nenhuma família na história da Matemática produziu tantos matemáticos célebres quanto a família Bernoulli. Oriunda dos Países Baixos espanhóis, esta família emigrou em 1583 para Basiléia, na Sul'ça, fugindo da guerra. Cerca de uma dúzia de membros da família conseguiu renome na Matemática e na F ísica, sendo quatro deles eleitos como sócios estrangeiros da Academia das Ciências, da França. 2(x + 2) - 3(x - 1) ;;;. 6x, Efetuando as operações, temos: -x + 7 ;;;. 6x ou ainda -7x ;;;. -7. Dividindo ambos os membros por -7 e lembrando que devemos inverter a desigual- dade, temos e, portanto, s = {x E IR I x ~ I}. A.134 Resolver em IR, as inequações: a) x-I _ x - 3 ;;;. 1 ~ 4 b) 2x - 3 5 - 3x < -2- - -3- 3x 6 c) (3x + 11 (2x + 1) ~ (2x - 1) (3x + 2) - (4 - 5x) di (3x - 2)2 - (3x - 1)2 > (x + 21 2 - (x - 1)2 el 4(x - 2) - (3x + 2) > 5x - 6 - 4(x - 11 t) 6(x + 2) - 2(3x + 2) > 2(3x - 1) - 3(2x + 1) Nicolaus (1623-17081 1~__--jI-------"11 Jacques Nicolaus I Jean I (1654-1705) (1662-17161 (1667-17481 \ I Nicolaus II Nicolaus 111 (1687-17591 (1695-1726) I Jean III (1746-1807) I. Daniel I (1700-1782) I Daniel 11 (1751-1834) . I Chnstoph (1782-1863) I Jeil n Gustave (1811-18631 I Jean II (17,0-1790) Jaoques II (1759-1789) A.l35 Resolver em IR, a inequação: s = {x E IR I x> I} 2x - 3 ~ 2 x-I Solução Os Bernoulli matemáticos: árvore genealógica Os primeiros Bernoulli que se destacaram em Matemática foram Jacques e Jean, respectivamente quinto e décimo filhos de Nicolaus. Jacques viajou muito para encontrar cientistas de outros países. Destacou-se por seus estudos sobre infinitésimos, seus artigos sobre máximos e mínimos de funções publicadas na revista "Acta Eruditorum" (Anotações dos eruditos), suas pesquisas sobre séries infinitas em que aparece o resultado célebre conhecido como "desi9ualdade de Bernoulli": (1 + x) n > 1 + + nx . .4. ele é também atribuída a demonstração de que a série harmônica é divergente. Jacques tinha uma verdadeira fascinação por curvas, tendo estudado várias delas: a parábola semi-cúbica, a lemniscata, a catenária, a is6crona a espiral logarítmica, etc. Jean Bernoul!i segundo a vontade do seu pai deveria ser médico, porém indo estudar em Paris, desgarrou para a Matemática, escrevendo em 1691-1692 dois livros de Cálculo que foram publicados muito mais tarde. Em 1692, passou a ensinar Cálculo a um jovem marquês de L'Hospital e, em troca de um salário regular, concordou em enviar ao nobre francês suas descobertas matemáticas, para serem usadas como o marquês o desejasse. A conseqüência foi que uma das mais importantes descobertas de Jean passou à Hi~t6ria com nome "regra de L'Hospital" se f(x) e g(x) são funções diferenciáveis em x a, f(a) ~ O e gla) c O, então existe lim f'(x) e fim ~ ~ 11m f'(xl x+ag'(xl x+a glxl x+a g'lxl --4 - 3x < -13x + 2cl 2x - 3 _ 2 ~ O x::1 -1 ~ O, x-I b) 4x - 5 ;;;. 2 2x - 1 deverá ser não positiva; como o numerador -1 é nega- x - 1 deverá ser positivo. Lembrando que o denomina- -1 3x-2~_3 1 - x Notemos que a fração A inequação proposta é cqu,valente a que, reduzindo ao mesmo denominador, fica e, portanto, x - tivo, então o denominador dor não poderá ser nulo a) A.136 Resolver em IR, as inequações: 9O-A 91-A Os irmãos Jean e Jacques mantinham intensa correspondência com Leibniz pois todos eles colaboravam com artigos para a mesma revista, "Acta Eruditorum" (Anotações dos eru- ditos). Jacques é também autor do clássico "Arte de conjecturar", considerada a mais antiga obra sobre probabilidade. Jean foi pai de Nicolas, Daniel e Jean 11. Nicolas foi professor de Matemática em S. Petersburgo e Daniel e Jean II foram professores em Basiléia. Outro Bernoulli. Nicolas li, primo desses três, ocupou durante algum tempo o lugar que foi de Galileu, em Pádua. Da geração mais jovem foi Daniel que mais se destacou com seus resultados em hidro- dinâmica e probabilidade. Houve ainda outros Bernoulli que conseguiram evidência em Matemática, no século XVIII, fazendo juz ao nome da fam(lja. CAPÍTULO VI FUNÇÕES DO I!' GRAU Construir os gráficos das aplicações de IR em IR definida por: constante é uma reta paralela ao eixo dos x passando x x y y lo. c) 2) y = -1 (0,3) y 1)y=3 f: IR ---+ IR x_~. O gráfioo da função ponto (O, c). A imagem é o oonjunto Im {c} 128. Exemplos pelo Uma aplicação f de IR em IR recebe o nome de função constante quan- do a cada elemento x E IR associa sempre o mesmo elemento c E lÃ. Isto é: I. FUNÇÃO CONSTANTE 127. Definição Jacques Bernoulli (1654 - 1705) Jean Bernoulli (1667 - 1748) Daniel Bernoulli (1700 - 1782) x lo, -1) 92-A 93-A 11. FUNÇÃO IDENTIDADE 131. Exemplos x y 2 y = 2xx 1~) Construir o gráfico da função y = 2x. Considerando que dois pontos distintos determinam uma reta e no caso da função linear um dos pontos é a origem, basta atribuir a x um valor não nulo e calcular o correspondente y = 2x. x ... 129. Definição Uma aplicação f de IR em IR recebe o nome de função identidade quando a cada elemento x E IR as- socia o próprio x, isto é; f: R_ R x f----+ X O gráfico da função identidade é uma reta que contém as bissetrizes do 1~ e 3~ quadrantes. A imagem é Im IR. 111. FUNÇÃO LINEAR 130. Definição Uma aplicação de IR em IR re- cebe o nome de função linear quando a cada elemento x E IR associa o elemento ax E IR onde a * O é um número real dado, isto é: f: R-----+ R x~ ax, a * O (*) Demonstra-se que o gráfico da fun- ção linear é uma reta que passa pela origem.(H) A imagem é Im = IR. y Pelos pontos P(O, O) e O( 1, 2) traçamos a reta PO que é precisamente o gráfico da função dada. 2~) Construir o gráfico da função y = -2x. Analogamente, temos: x y = -2x 1 -2 EXERCICIOS A.137 Construir o gráfico das funções de IR em IR: x De fato, qualquer que seja o y E IR, existe x :!.. E IR, a *0, tal a aI y = 2 C)Y=V2 b) y = -3 dI y = O A.138 Construir, num mesmO sistema cartesiano. os gráficos das funções da que f(x) = f(.r) ,. a • l = y. a a a) y = x b) y = 2x cl y = 3x dI y = ~ 2 IR em IR: A.139 Construir, num meSmO sistema cartesiano. os gráficos das funções de(.) Observe que se a = O, teremos a função constante y = o. (.. ) Essa demonstração será feita para um caso mais geral e se encontra na página 96. a) y = -x b) y = -2x cl y = -3x dI y = - ~ 2 IR em IR: 94-A 95-A IV. FUNÇÃO AFIM = aY3 - Y2 Subtraindo membro a membro, temos: Y3 - Y2 = a(x3 - X2)} == Y2 - YI = a(X2 - xtl Os triângulos ABD e BCE são retângulos e têm lados proporcionais, então são semelhantes e, portanto, O! = il. Segue-se que os pontos A, B e C estão alinhados. 132. Definição Uma aplicação de IR em IR recebe o nome de função afim quando a cada x E IR estiver associado o elemento (ax + b) E IR com a *' O, isto é: f:IR ----+ FI x 1---+ ax + b, a *' O 133. Exemplos a) Y = 3x + 2 onde a = 3 e b=2 b) Y = -2x + 1 onde a = -2 e b = 1 c) Y = x - 3 onde a = 1 e b = -3 d) Y = 4x onde a = 4 e b=O 134. "O gráfico cartesiano da função f(x) Notemos que para b na função linear Y = ax; particular função afim. V. GRAFICO Demonstração O a função afim Y = ax + b se transforma podemos, então, dizer que a função linear é uma ax + b (a * O) é uma reta". 135. Aplicaç.ões 1~) Construir o gráfico da função Considerando que o gráfico da fun- ção afim é uma reta, vamos atribuir a x dois valores distintos e calcular os cor- respondentes valores de y. x Y = 2x + 1 O 1 1 3 Y = 2x + 1. (1, 3) x x (O, 1) e (1,3). x Y = -x + 3 O 3 1 2 O gráfico procurado é a reta que passa pelos pontos 2~) Constru ir o gráfico da função Y = - x + 3. De modo análogo, temos x dois, do gráfico e (X3' Y31. res- V2 - fI VI V2 De fato: (XI, yd E f ~ YI = aXI + b G) (X2' Y2) E f ~ Y2 = aX2 + b (3) Sejam A, B e C três pontos quaisquer, distintos dois a cartesiano da função Y = ax + b (a *' O) e (XI, yd, (X2' Y2) pectivamente, as coordenadas cartesianas desses pontos. Para provarmos que os pontos A, V B e C pertencem a mesma reta, mos- V3 tremas, inicialmente que os triângulos retângulos ABD e BCE são seme- lhantes. 96-A 97-A Solução Analltica Existem diversos processos analfticos pelos quais podemos resolver um sistema dE equações. Vamos apresentar dois deles. A.141 Resolver analftica e graficamente o sistema de equações: { X - Y ~ -3 2x + 3y = 4 la) processo: Substituição Este processo, consiste em substituir o valor de uma das inc6gnitas, obtido a partil de uma das equações, na outra. Resolvendo, por exemplo, a primeira equação na incógnita x, temos: x - y = -3 x = y - 3 e substituímos x por este valor na segunda equação: • Lv 1/ !oo.. 1/Iv ~ :, 3 I' / '/ / l/ 1/ ..... 1/ I'-. 1/ '"-2x + 4 y= --- '-L- I I I ,3, ,- 2' (-1) + 3y = 4 ... y = 2 A solução do sistema é o par ordenado (-1, 2). Construrmos os gráficos de y = x + 3 e y = -2x + 4 3 { X - Y = -3Assim, no sistema 2x + 3y = 4 multiplicamos a primeira equação por 3 { 3X - 3y = -9 2x + 3y = 4 Substituindo a primeira equaçiio pela soma das duas equações, temos: { 5x = -5 2x + 3y ~ 4 que é equivalente a: Gx~+-~y = 4 substituindo x = -1 em 2x + 3y = 4, encontramos A solução do sistema são as coordenadas do ponto de intersecção das retas, portanto (-1,2). o fundamento do processo da adição, consiste no seguinte: aplicando a primeira propriedade, multiplicamos cada equação por números convenientes, de modo que, os coeficientes de determinada incógnita sejam opostos e pela segunda propriedade, substitui mos uma das equações pela soma das duas equações. Solução Gráfica O sistema proposto { X - Y = -3 2x + 3y ~ 4 é equivalente a { y~X+3 -2x + 4 y = --3-- 2 que levamos à primeira equação, encontrando: x-2=-3 x -1. A solução do sistema é o par ordenado (-1, 2L 2(y - 3) + 3y ~ 4 2y - 6 + 3y :z'?) processo: Adição Este processo baseia·se nas seguintes propriedades: I. "Num sistema de equações, se multiplicarmos todos os coeficientes de uma equação por um número não nulo, o sistema que obtemos é equivalente ao anterior (-)' { alx + bly = cl _ {kalX + kblY = kCI (k =/=0) a2 x + b2 Y = c2 a2 x + b2 Y = c2 EXERCíCIOS A.140 Construir o gráfico cartesiano das funções de IR em IR: a) Y 2x -- 1 b) Y x + 2 c) 3x + 2 d) 2x - 3Y Y 2 e) Y -3x - 4 f) Y ~ -x + 1 g) -2x + 3 h) 4 - 3xY Y = 2 11. "Num sistema de equações, se substituirmos uma das equações, pela sua soma com umé:i outra equação do sistema, o novo sistema é equivalente ao anterior". A.142 Resolver analltica e graficamente os sistemas de equações. (-) Sistemas de equações são equivalentes quando apresentam as mesmas soluções. {x+ y = 5 b) ex - 2y = -14a) 2x + 3y 8x - y ~ 1 (2X - 5y 9 d) {4X + 5y = 2c) 7x + 4y ~ 10 6x + 7y = 4 {x + 2y ~ 1 fi (2X + 5y = Oa) 2x + 4y = 3 3x - 2y = O 98-A 99-A A.143 Resolver os sistemas de equações: t;' + 3a) x + y 41 1-x - y x + y 4 Sugestão: faça = a e X+Y b x - y {,,;., 2 52x - y + 3 12 b) + 3 x + y + 1 2x - y + 3 A.144 Obter a equação da reta que passa pelos pontos (1, 2) e (3, -2). Solução Seja y = ax + b a equação procurada. O problema estará resolvido se determinarmos o valores de a e b. VII. COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM 137. O coeficiente ..:- da função f(x); ax + b é denominado coeficiente angular ou declividade da reta representada no plano cartesiano. O coeficiente b da função y; ax + b é denominado coeficiente linear. 138. Exemplo Na função y; 2x + 1 o coeficiente angular é 2 e o coeficiente linear é 1. Observe que se x; O temos y; 1. Portanto, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y. Considerando que o ponto substituirmos x = 1 e (1, 2), y = 2 pertence a reta de equação y = ax + b, ae em y = ax + b, temos a sentença verdadeiri 2 = a • 1 + b isto é: a + b = 2 Analogamente, para o ponto (3, -2), obtemos: -2 = a • 3 + b isto é: 3a + b = -2 EXERCíCIOS encontramos a = -2 e b = 4. Assim, a equação da reta é y = -2x + 4. A.145 Obter a equação da reta que passa pelos pontos: Resolvendo o sistema { a+b=2 3a + b = -2 Solução A equação procurada é da forma y = ax + b. Se o coeficiente angular é 2, então a = 2. Substituindo x = 1, y = 3 e a = 2 em y = ax + b, vem: 3=2,1 +b ~ b=1. A equação procurada é y = 2x + 1. A.146 Obter a equação da reta que passa pelo ponto: (1, 3) e tem coeficiente angular igual a 2. b) (1,-1) e (-1,2) d) (1, 2) e (2, 2) a) (2, 3) e (3, 5) c) (3, -2) e (2, -3) VI. IMAGEM A.147 Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-2, 4) e tem coeficiente angular igual a -3. 136. O conjunto imagem da função afim f: IR -+ IR definida por f(x); ax + I com a *' O é IR. A.148 Obter a equação da reta com coeficiente angular igual a - 1 e passando pelo 2 ponto (-3, 1). f(x) De fato, qualquer f(~); a· a que seja y E IR _y-b + b; y. a existe x y - b E IR a A.149 Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-2, 1) e tem coeficiente linear igual a 4. A.150 Obter a equação da reta com coeficiente linear igual a -3 e passa pelo ponto (-3, -2). 100-A 101-A 1 2 ' x = x y O -1 1 1 isto é, no ponto intercepta o eixo dos x em Exemplo Fazendo o gráfico da função y = 2x - 1, podemos notar que a reta 140. Podemos interpretar o zero da função afim, como sendo a abscissa do ponto onde o gráfico corta o eixo dos x. A.151 Dados os gráficos das funções de IR em IR, obter a lei de correspondência dessa! funções. VIII. ZERO DA FUNÇÃO AFIM 139. Definição IX. FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES Zero de uma função é todo número x cuja imagem é nula, isto é, f(x) = O 141. Definição Em símbolos: f é crescente quando ("Ix}, X2)(XI < X2 => f(xtl < f(x2)) x é zero de y = f(x) f(x) O Assim, para determinarmos o zero da função afim, basta resolver a equaçãc do 1Çl grau ax + b = O A função f: A -> B definida por A, C A se, para do is valores quaisquer x} < X2' tivermos f(xtl < f(x2)' y = f(x) é crescente no conjunto x, e x2 pertencentes a A" com Exemplo De fato, resolvendo ax + b = O, a 0/= O, temos y _+-_~_-L_--"'--_---L __ x f(xtl - f(x2) > O) Xl - X2 e isto também pode ser posto assim: Na linguagem prática (não matemá- tica), isto significa que a função é cres- cente no conjunto AI se, ao aumentar- mos o valor atribuído a x, o valor de y também aumenta. b--o a I pois, fazendo 2x - 1 2 é x b a 2x - 1f(x) ax + b = O ax = - b x o zero da função 1x = 2 vem que apresenta uma única solução x 102-A 103-A 142. Exemplo EXERCICIO x y em IR, especificar os intervalos bl y x cl ya) A.152 Com base nos gráficos abaixo, de funções de IR onde a função é crescente ou decrescente. é decrescente no conjunto pertencentes a AI, com é crescente em IR, pois: para todo Xl E IR e todo X2 E IR. A função f(x) ~ 2x XI < x2 => 2x I < 2x2 L....-J L....-J f(xI) f(X2) 143. Definição Afunção f: A ---+ B definida por y ~ f(x) AI C A se, para dois valores quaisquer XI e x2 XI < x2' tem-se f(xd > f(x2). Em símbolos: f é decrescente quando (Vx l , x2)(Xt < x2 => f(xd > f(x2)) e isto também pode ser posto assim: 145, "A função afim é crescente (decrescente) se, e somente se, o coeficiente angular for positivo (negativo)". Na linguagem prática, (não mate- mática) isto significa que a função é decrescente no conjunto A I se, ao au- mentarmos o valor atribuído a X, o valor de y diminui. f(x l ) - f(x2) Xl - x2 v < O) x. TEOREMA 144. Exemplo x ax + b decrescente equivale a bl y = -4x + 3aI y = 3x - 2 Solução aI É crescente, pois o coeficiente angUlar é positivo (a = 31 b) É decrescente, pois o coeficiente angular é negativo (a = -4). A.153 Especificar para cada uma das funções abaixo, se é crescente ou decrescente em IR: EXERCICIOS Fica como exercício provar que f(x) a < O. x y é decrescente em IR, pois para todo XI E IR e todo x2 E IR.=> - 2x I > -2X2 '----------' '----v------' f(Xt) tlx21 A função f(x) ~ -2x Notemos que uma mesma função y ~ f(x), pode não ter o mesmo com- portamento (crescente ou decrescente) em todo o seu domínio. É bastante comum que uma função seja crescente em certos subconjuntos de D e decrescente em outros. O grá- fico ao lado representa uma função cres- cente em IR+ e decrescente em IR_, 104-A 105-A A.154 Especificar para cada uma das funções abaixo, se é crescente ou decrescente em IR. a) V = 1 + 5x b) V = -3 - 2x cl v = x + 2 d) V = 3 - x e) V = -2x f) V = 3x A.155 Estudar segundo os valores do parâmetro m, a variação (crescente, decrescente ou constante) da função V= (m - l)x + 2. Solução Se m - 1 > O, isto é, m > 1, então a função terá coeficiente angular positivo e, portanto, crescente em IR. Se m - 1 < O, isto é, m < 1, então a função terá coeficiente angular negativo e, portanto, decrescente em IR. Se m - 1 = O isto é, m = 1, então será função V = 11 - lIx + 2, ouseja, V = 2 que é constante em IR. A.156 Estudar segundo os valores do parâmetro m, a variação (crescente, decrescente ou constante) das funções abaixo Observemos, inicialmente, que interessa o comportamento da curva y = f(x) em relação ao eixo dos x, não importando a posição do eixo dos y. Preparando o gráfico com aspecto prático, temos: v = f(x) •x tj 2 4 7 xI I I •sinal de _ J ; i III 6 Ó V = f(x) I + O + .+ I I Conclusão: ai V = (m + 2)x - 3 c) V = 4 - (m + 3)x XI. SINAL DE UMA FUNÇÃO b) V = (4 - mlx + 2 dI v = mIx - 1) + 3 - x EXERCICIO f(x) O O XII. SINAL DA FUNÇÃO AFIM a o valor de x para o qual f(x) = O, ocorre f(x) > O ou f(x) < O. .. x b a O+ Colocando os valores de x sobre um eixo, o sinal da função f(x) = ax + b a < O, é:com examinemos, então, para que valores zero da função afim f(x) = ax + b,bx = -Considerando que Devemos considerar dois casos. 148. 1 caso: a > O Podemos analisar o sinal da função f(x) = ax + b com a < O, construindo o gráf ico cartesiano. Lembremos que neste caso a função é decrescente. a f(x) = ax + b > O ax > -b X > _ b f(x) = ax + b < O ax < -b X < _ b a ---------""''' 151. Exemplos 10 ) Estudar os sinais da função f(x) 2x - 1. Temos: f(x) 0= 2x - 1 0= 1 x = 2 a 2== a> O e -a < O Logo: x> 1 f(x) > O (sinal de 2> O)para - = a = 2 x < 1 f(x) < O (sinal de -a=-2 A.162 Sejam as funções f(x) = 2x + 3. g(x) ~ 2 - 3x em R. Para que valores de x E R, tem-se: . XIII. INEQUAÇOES SIMULTÂNEAS A.163 Dados os gráficos das funções f, 9 e h definidas em IA:. Determinar os valores de x E IR, tais que: a) f(x) > g(x) b) g(x) ~ h(x) c) t(x) ;;;. h(x) d) g(x) > 4 e) f(x) ~ O .v 19 IIt 1'\ :/f 11 1--- 1'\ 11 x I '\ I , di x + 1 ~ 7 - 3x < ~ - 1 2 el 3x + 4 < 5 < 6 - 2x fi 2 - x < 3x + 2 < 4x + ai -2 < 3x - 1 < 4 bl -4 < 4 - 2x ~ 3 cl -3 < 3x - 2 < x A.164 Resolver as inequações em IR: A intersecção desses dois conjuntos é 1 4 S = {x E IR 1- ~ ~ x < ~} :]::::::::::::::::1""""""","""",:: 1 2 EXERC(CIOS definidash(x) ~ 4x - 1 2 e c) f(x) ;;;. h(x)?b) g(x) < h(x)?a) f(x) ;;;. g(x)? Indicando com SI o conjunto-solução de CD e S2 o conjunto-solução til @, o conjunto-solução da dupla desigualdade é S = SI n S2' 153. A dupla desigualdade f(x) < g(x) < h(x) se decompõe em duas inequa- ções simultâneas, isto é, equivale a um sistema de duas equações em x, sepa- radas pelo conectivo e: { f(X) portanto 29 caso Cada um dos fatores é negativo, isto é: x + 2 < O ==> X < -2 {x E R I x> 1.} U {x E IR I x < -2} 2 1 2 -2 x 11""1 I1 I1 1IIIIIQ}---------- _ 1111111111111l11111~,tIIPlII110)_---------'.....X e A intersecção das duas so luções é: 53 n 54 = {x E IR I x < -2 } O conjunto-soiução da inequação (x + 2)(2x - 1) > O é: 2x-1 O Se 51 e 52 são, respectivamente, os conjuntos-soluções dessas inequações então 51 n 52 é o conjunto-solução do sistema. 2 :r---D+tt++++II.lllllllll'lll' 1 t(jf-----~:~--+---'Il:.- gd : + Com o objetivo de evitar cálculos algébricos no estudo dos sinais do produto f(x)· g(x), usaremos o quadro abaixo, que denominamos quadro- produto, no qual figuram os sinais dos fatores e o sinal do produto. .1. 2 1 2 -2 ___-(O+t1l111l111~1I111111111111111111111111l.. )( , ,, ---------- rac'loclnlo empregado no estudo dos sinais de um159. Podemos estender o produto de dois fatores para um produto com mais de dois fatores. 5 1 5ou x > -} U {_ _ _ } 2 3' 2 CD @{ (3x + 1) • (2x - 5) > O ou (3x + 1) • (2x - 5) = O o conjunto-solução é: CD 1 5Resolvendo I temos 51 = {x E IR I x < - 3 ou x > "2} Resolvendo @ temos 52 = {_ ~, %} ou seja: x ~ + x.. 3 x • .. + O +O -1 Exemplo Resolver a inequação (3x - 2)(x + 1)(3 - x) < O em IR. Analisando os sinais dos fatores, temos l 3. Vamos, agora, construir o quadro-produto: h(x) = 3 - x g(x) = x + 1 f(x) = 3x - 2 O -1 2 5 = {x E IR I -1 < x < 3 5e recorrêssemos ao quadro-produto, teríamos: 1 5 3 2 x flx) ~ 3x + 1 O + + glxl:2x-5 O + flx) • glxl + O O + 5ou x;;;. -} 2 15 = {x E IR I x ~ __ 3 x + + O 3 3 + + + + 2 3 O ou x > 3} O + + + + O O .r-. ~ -1 1- 3 hlxl glxl flx) fi xl • glx) • h(xl 1?) "toda potência de base real e expoente ímpar conserva o sin al da base", isto é 161. Dentre as inequações-produto, são importantes as inequações; [f(x) )" > 0, [f(x))" < O, [f(x))" ;;;. O e [f(x))" ~ O, onde n E N*, Para resolvermos estas inequações, vamos lembrar duas propriedade s das potências de base real e expoente inteiro: 160. A inequação f(x). g(x) ;;;. O tem por conjunto-solução 5 a reu nião do conjunto-solução 51 da inequação f(x)· g(x) > O com o conjunto solução 52 da equação f(x). g(x) = O, isto é { f(x) • g(x) > O f(x) • g(x} ;;;. O _ ou f(x) . g(x) = O 5= fxE IRlx~-.!. l 3 ou x;;;' ~} 2 Exemplo Resolver a inequação (3x + 1)(2x - 5) ;;;. O em IR, A inequação (3x + 1)(2x - 5) ;;;. O é equivalente a: a2n +1 > O _ a> O a2n +1 = O -= a = O a2n +1 < O -= a < O In E ~) 116-A 117-A 2':» "toda potência de base real e expoente par é um número real não negativo", isto é EXERCfclOS a2n ~ O, Va E IR, V n E IW A.167 Resolver em IR as inequações: -a) (3x + 3)(5x - 3) > O .- cl 15x + 2)(2 - xl(4x + 3) > O e) (6x - 1)(2x + 7) ~ O g) 13 - 2x)(4x + 1)(5x + 3) ~ O _. b) (4 - 2x)(5 + 2x) < O - d) 13x + 21{-3x + 4)(x - 61 < O f) (5 - 2x)(-7x - 21 ,,;; O h) (5 - 3x)(7 - 2xl(1 - 4xl ,,;; O fw1+--------.;~:---+----I:- Solução Estudemos separadamente os sinais das funções f(x) = {x - 31 5 e g{xl = 12x > 3)6 lí~mbrando que a potência de expoente ímpar e base real tem o sinal da base, então, O sinal de {x - 3)5 é igual ao sinal de x - 3, isto é: .. + b) (3x + 8)3 < O d) 11 - 7x)5 > O f) (5x + 1 13 ,,;; O h) (3x - 8)5 ~ O (x - 31 5 • (2x + 31 6 < O. A potência de expoente par e base real não nula é sempre positiva, então (2x + 3)6 é positivo se x*"- ~ e (2x + 3)6 á nulo se x "" - ~, isto é: 2 2 3 Jf------~.2 ~Wl + O A.168 Resolver em IR as inequações: a) (x - 3)4 > O cl 14 - 5x)6 < O e) (3x + 51 2 ~ O gl 14 + 3x)4,,;;0 A.169 Resolver em IR a inequação Assim sendo, temos as seguintes equivalências: [f(x)]n > O = { f(x) > O se n é ímpar f(x) * O se n é par [f(x)]n < O = { f(x) < O se n é ímpar ~ x E IR se n é par [f(x)]n ~ O = {f(X) ~ O se n é Impar V x E D(f) se n é par [f(x)]n ,,;; O { f(x) ";;0 se n é ímpar , = f(x) = O se n é par Exemplos 1°) (3x - 2)3> O = 3x-2>0= S = {x E: IR I x> 3.} 3 2':» (4x - 3)6> O = 4x - 3 * 0= S = {x E IR I x * ~}4 3 x O + + O + "O 3 + O-. + O 3 2 S = {x E IR Ix < 3 flxl • glxl flx) g(x) Fazendo o quadro-produto, temos: 3 2 A.170 Resolver em IR as inequações: ai 15x + 4)4. (7x - 2)3 ~ O b) 13x + 11 3 • 12 - 5x)5 • Ix + 41 8 > O cl Ix + 61 7 • 16x - 21 4 • (4x + 5) 10 ,,;; O d) (5x - 1) • 12x + 6)8. (4 - 6x)6 ~ O (4x - 5)2 ~ O == S = IR (8-2x)4";;0=8-2x=0==S {4} (x - 2)4 < O = S = 0 (3 - 5X)7 ~ O == 3. - 5x ~ O = S = {x E IR I x,,;; ~} 5 (2x + 1)5 < O = 2x + 1 < 0= S = {x E IR I x < - ~}3':» 118-A 119-A XV. INEQUAÇÕES-QUOCIENTE são denominadas inequações-quociente. Considerando que as regras de sinais do produto e do quociente de números reais são análogas, podemos, então, construir o quadro-quociente de modo análogo ao quadro-produto, observando o fato de que o denominador de uma fração não pode ser nulo. .52 ~ {x E IR I x > 1} n {x E IR I x > - l} ~ {x E IR I x > 1} 5 Daremos sempre preferência ao método do quadro-quociente, por sua maior simplicidade. =>x;;;.- 2 5 b) h(x) ~ 1 - x < O, isto é, x > 1 3x + 4 .;;; 2 => 3x + 4 ;;;. 2( 1 - x) 1 - x o conjunto solução é: \ 5 ~ 51 U 52 ~ {x E IR I x .;;; - %ou x > l} duas funções na variável x, as inequações < O f(x) ;;;. O e f(x) .;;; O , g(x) g(x) 162. Sendo f(x) e g(x) f(x) > O f(x) g(x) , g(x) 163. Exemplo 3x + 4 .;;; 2 ==> 3x + 4 _ 2 .;;; O ==> 3x + 4 - 2( 1 - x) .;;; O==> l-x l-x l-x => 5x + 2 .;;; O 1 - x 3x + 4 Resolver em IR a inequação --- .;;; 2. 1 - x Temos: EXERCICIOS \ A.171 Resolver as inequações em IR: ~.a)~ >0 x + 2 __ cl 3 - 4x ;;;. O 5x + 1 ~ bl~ -1 3x - 4 cl -"---.::...!. ;;;. 3 x + 1 5 ~ {x 2 5 E IRlx';;;- 2 ou 5 x> l} a) (1 - 2x)(3 + 4xl (4 - xl cl (5x + 4) (4x + 11 (5 - 4xl >0 bl 5x - 2 < 2 3x + 4 dl~';;;l 2x - 4 bl (3x + 11 (2x + 51(5x + 3) O, isto é, x < 1 3x + 4 .;;; 2 => 3x + 4 .;;; 2( 1 - x) 1 - x =>x.;;;-l. 5 51 ~ {x E IR I x < 1} n {x E IR I x .;;; - 1..} ~ {x 5 E IR I x .;;; - 1..} 5 A.174 Resolver em IR as inequações: ai _1_ < 2 x-4 x+3 c)--"-.:':...!..>~ x+2 x+4 el 5x + 2 >~ 4x - 1 4x + 5 gl _2_ ;;;. _1_ 3x - 1 x - 1 x + 1 bl 1 < 2 i Jovem luta para ser ouvido Niels Henrik Abel de família numerosa e pobre, era filho do pastor da peque- na aldeia de Findo, na Noruega. Aos 17 anos, seu professor insistiu para que lesse as grandes obras matemáti- cas, inclusive as "Disquisitiones" (Pesquisas) de Gauss. Nesta época, Abel conse- guiu generalizar o teorema binomial que Euler só havia provado para potências racionais. Aos 18 anos perdeu o pai e suas responsabilidades ficaram maiores quanto à fam(lia, mas mesmo assim continuou pesquisando e, em 1824, publicou num artigo a prova de que se o grau de uma equação é maior que quatro, não existe uma fórmula geral em função de seus coeficientes para achar suas raízes. Esta era uma dúvida que preocupava os matemáticos há muito tempo e que agora estava resolvida. Uma prova neste aspecto foi dada por Ruffini, anteriormente, mas passou desapercebida e por isso hoje conhecemos este resultado como o "Teorema de Abel-Ruffini", um dos mais importantes da Matemática. Seu nome também está ligado a grupos abelianos, ou comutativos, e alguns de seus resultados foram publicados no Jornal de Crelle. Em 1826, Abel visitou Legendre e Cauchy em Paris, numa tentativa de mostrar suas descobertas mas não obteve êxito e numa de suas cartas a um amigo escreveu "Todo principiante tem muita dificuldade em se fazer notar aqui. ~abei um extenso tratado sobre certas classes de funções transcendentes mas M. Cauchy não se dignou a olhá-lo". 122-A Niels H. Abel (1802 - 1829) Abel esperava obter um posto de professor em alguma Universidade e por isso deixou suas memórias com Cauchy para que fossem examinadas mas este logo as perdeu e ficaram esquecidas. Devido à falta de recursos morreu aos 26 anos, de tuberculose, deixando profundos e importantes resultados em Álgebra e Teoria dos Números. Dois dias após sua morte chegou finalmente a carta informando que havia sido nomeado professor na Universidade de Berlim. Em 1830, Cauchy achou os manus- critos de Abel que foram publicados em 1841 pelo Instituto Francês e que Legendre classificou como "um monumento mais durável que o bronze", contendo impor- tantes generalizações sobre funções el íticas. CAPÍTULO VII FUNÇÕES QUADRÁ TICAS I. DEFINiÇÃO 164. Uma aplicação f de IR em IR recebe o nome de função quadrática ou do :!! grau quando associa a cada x E IR o elemento (ax2 + bx + c) E IR, onde a *- O. Isto é: f: IR ->- IR x ...... ax2 + bx + c, a *- O. Exemplos de funções quadráticas: a) f(x) x2 - 3x + 2 onde a ~ 1, b ~ -3, c ~ 2 b) fi x) ~ 2x2 + 4x - 3 onde a ~ 2, b ~ 4, c ~ -3 c) f(x) ~ _3x 2 + 5x - 1 onde a ~ -3, b ~ 5, c ~ -1 d) f(x) x2 - 4 onde a ~ 1, b ~ O, c ~ -4 e) f(x) _2x 2 + 5x onde a ~ -2, b ~ 5, c ~ O f) f(x) _3x2 onde a ~ -3, b ~ O, c ~ O 11. PARÁBOLA 165. O gráfico da função quadrática é uma parábola. (*) (.) Isto é provado mais adiante no volume de Geometria Analftica desta coleção. 123-A 111. CONCAVIDADEExemplos 1?) Construir o gráfico de y = x2 - 1 x Y 7 x2 - 1 -3 8 -2 3 -1 O O -1 1 O 2 3 3 8 2?) Construir o gráfico de y = _x2 + 1 x 166. A parábola representativa da fun- ção quadrática y = ax2 + bx + c pode ter a concavidade voltada para "cima" ou voltada para "baixo". Se a > O, a concavidade da parábola está voltada para cima. Se a < O, a concavidade da parábola está vo Itada para ba ixo. y y x x x y = _x2 + 1 -3 -8 -2 -3 -1 O O 1 1 O 2 -3 3 -8 x IV. FORMA CANÔNICA 167. A construção do gráfico da função quadrática y = ax2 + bx + c com o auxílio de uma tabela de valores x e y, como foi feito no item anterior, torna-se as vezes um trabalho impreciso, pois na tabela atribuímos a x alguns valores inteiros e pode acontecer que em determinada função quadrática os valores de abscissa (valores de x) onde a parábola intercepta o eixo dos x ou a abscissa do ponto da parábola de maior ou menor ordenada, não são inteiros. Para iniciarmos um estudo analítico mais detalhado da função quadrática, vamos inicialmente transformá-Ia em outra forma mais conveniente, chamada forma canônica. EXERCICIOS A.175 Construir os gráficos das funções definidas em IR: a) y = x2 b) y = _x2 • c) y = 2x2 d) y = _2x2 el y = x2 - 2x 1) y = _2x2 - 4x g) Y = _3x2 - 3 h) y = x2 - 2x + 4 A.176 Determinar uma função quadrática f tal que f(-l) = -4. f(l) = 2 e f(2) = -1. 124-A f(x) = ax2 + bx + c = a(x2 +.Q. x + f-) = a[x2 +.Q. x + b 2 2 _ .!t- + ~] =a a a 4a 4a2 a = a[(x2 +.Q.x + b 2 2 ) _ ( b 2 2 _.f.)] = a[(x +..2-)2 _ (b; - ;ac)] a 4a 4a a 2a 4a Representando b2 - 4ac por 6, também chamado discriminante do trinômio do segundo grau, temos a forma canônica. 125-A V. ZEROS 168. Definição Os zeros ou raízes da função quadrática f(x) = ax 2 + bx + c são os valores de x reais tais que f(x) = O e, portanto, as soluções da equação do segundo grau ax 2 + bx + c = O. Utilizando a forma canônica, temos: ax 2 + bx + c = O a[(x + --E. )2 - ~ I = O 2a 4a2 (x + ~)2 - L\ = O (x + ~)2 = A 2a 4a 2a 4a2 X + b = ± vzs: X = -b ± yz;- 2a 2a 2a 169. Discussão Observe que a existência de raízes reais para a equação do segundo grau ax2 + bx + c = O fica condicionada ao fato de v;5. E IR. Assim, temos três casos a considerar: l?l  > O, a equação apresentará duas raízes distintas que são -b + VIS. -b - ...n;. Xl = e X2 = . 2a 2a 2?)  = O, a equação apresentará duas ra ízes iguais que são -b Xl = X2 = -. 2a 3?)  < O, considerando que nesse caso VIS. fi IR, diremos que a equação não apresenta ra ízes reais. 170. Resumo 171. Interpretando geometricamente, di- zemos que os zeros da função quadrática são as abscissas dos pontos onde a pa- rábola corta o eixo dos x. "1 Exemplo ~; Construindo o gráfico da função tv x2 - 4x + 3 podemos notar que :'a parábola corta o eixo dos x nos . pontos de abscissas 1 e 3, que são as raízes da equação x2 - 4x + 3 = O. EXERCICIOS A.177 Determinar os zeros reai,s das funções: a) f(x) = x2 - 3x + 2 b) f(x) = _x2 + 7x - 12 c) f(x) = 3x2 - 7x + 2 d) f(x) = x2 - 2x + 2 e) f(x) = x2 + 4x + 4 23 1f) f(x) = -x + - x + 2 2 9) f(x} = x - 2x - 1 h) f(x) ~ _x2 + 3x - 4 2.r;, 1 i) f(x) = x - V 2x + 2" j) f(x) = x2 + (1 - V3)x - V3 k) f(x) = 2x 2 - 4x I} f(x) = _3x2 + 6 m) f(x) = 4x2 + 3 n) f(x) = _5x2 x • ax 2 + bx + c = O 126-A -b + fiÂ> O~ x = ou X = 2a -b Â=O~x= 2a  < O ~ não existem raízes reais. -b-~ 2a A.178 (MAPOFEI-76) Resolver o sistema 127-A A.179 Determinar os zeros reais da função f(x) x4 - 3x2 - 4. Solução Queremos determinar x E IR tal que x 4 - 3x 2 - 4 = O. Fazendo a substituição z == x2, vem: z2 _ 3z - 4 ~ O cuja solução é z = 4 ou z = -1 mas z = x:l, então: x2~4=>x~±2 A. 187 Determinar oS valores de m para que a equação mx 2 + (2m - 1Ix + (m _ 2) ~ O não tenha ra(zes reais. A.188 Mostre que na equação do 2':' grau ax2 + bx + c ~ O. de raizes reais xl e x2. S d ( S ~ Xl + x2 ~ ~ e para produto P das ra(zestemos para a soma as ra zes a c P = XI • x2 ~ a A.189 Na equação do 2':' grau 2x2 • 5x - 1 ~ O de raizes Xl e X2. calcular: e ou seja m > _ 1 4 a) 2 e -3 bl .!.. e 3 2 2 cI 0.4 e 5 di 1 e -..ri e) 1 + v'3 e 1 - Y3 A.191 Obter uma equação do segundo grau de raizes: 20 d ( XI e X2 é a equação x 2 - Sx + P = OA.190 Mostre ClJe uma equação do . grau e ra zes onde S = x I + x2 e P ~ xI • x2· d) (x 11 2 + (X2)2 el~ + ~ x2 Xl f) (x 11 3 + (x213 cl .2. XI b) f(x) _x4 + 5x2 + 36 d) f(x) x4 - 4x2 + 4 f) f(xl _x4 + 3x2 - 3 hl f(x) ~ x6 - 7x3 - 8 Considerando que a função é quadrática e os zeros são reais e distintos então: a = m '* O e Ll ~ 4m + 1 > O x 2 ~ -1 = ~ X E IR. Logo. os zeros reais da função t(xl ~ x4 - 3x2 - 4 são X ~ 2 e X -2. Solução Na função f(x) ~ mx2 + (2m - 1)x + (m - 21. temos: a = m. b ~ 2m - 1. c = m - 2 e Ll ~ 4m + 1. A.180 Determinar os zeros reais das funções: a) f(x) = x4 - 5x2 + 4 c) f(x) ~x4 - x2 - 6 el flxl ~ 2x4 + 6x2 + 4 g) t(xl ~ 3x4 _ 12x2 A.181 Determinar os valores de m para que a função quadrática t(x) = mx2 + (2m - 1)x + (m - 21 tenha dois zeros reais e distintos... 2 O -J.. O admite as ra(zes reais não nulas Xl eA. 192 Se a equação ax + bx + c ~ • a.,.- • x2. obter a equação de rarzes: aI (x 11 2 e (x212 b) 1 e 1 Xl Xl c) ~ e ~ Xl Xl dI (XI)3 e (x213 A.182 Determinar os valores de m para que a função quadrática f(x) ~ (m - 11x2 + (2m + 3)x + m tenha dois zeros reais e distintos. i A.183 Determinar os valores de m para que a equação do 2':' grau'-..,...-1 2 . (m + 21x + (3 - 2m Ix + (m - 1) = O tenha ra(zes reais. A.1114 Determinar os valores de m para que a função '-_/ t(xl ~ mx2 + (m + 1)x + (m + 1I tenha um zero real duplo. . A~5 Determinar os valores de m para que a equação \.Y~ x2 ~ (3m + 21x + (m2 + m + 2) ~ O tenha duas ra(zes reais iguais. A.186 Determinar os valores de m para que a função f(x) = (m + 11x2 + (2m + 31x + (m - 1) não tenha zeros reais. A.193 Determinar m na equação ~ + ~ = 4, onde Xl e x2 Xl mx2 _ 2(m - 1)x + m = O x2 são as ra(zes da equação. para que se tenha 128-A 129-A VI. MAxlMO E MfNIMO 172. Definição 174. Exemplos 19) Na função real f(x) = 4x2 - 4x - 8 temos: a = 4, b = -4, c = -8 e  = 144. Como a = 4 > O, a função admite um valor mínimo: - YM = 4a -144 isto é: Ym = -9 4·4' Dizemos que o número YM E Im(f) (Ym E Im(f)) é o valor de máximo (mínimo) da função Y = f(x) se, e somente se, YM;;;' Y (Ym';;; Y) para qualquer Y E Im(f) e o valor de XM E D(f) (xm E D(f)) tal que YM = f(XM) (Ym = f(xm)) é chamado ponto de máximo (mínimo) da função. em xm -b 2a 4 2·4' isto é: 1 X m = 2' 173. Teorema 29) Na função real f(x) = _x2 + x + ~, temos: a = -1, b = 1, c = ~ e  = 4. Como a = -1 < O, a função admite um valor máximo:Y = "A função quadrática Y = ax2 + bx + c admite um valor máximo (mínimo) - -b - em x = - se, e somente se, a < O (a > O)". 4a 2a Demonstração - YM = 4a -4 4(-1) , isto é: YM = 1 Consideremos a função quadrática na forma canônica Y = a [(x + :a)2 - 4~2 1 (1) em -b 2a -1 2(-1) , isto é: XM 1 =- 2 Considerando que (x + ~)2;;;, O V x E IR e - para uma dada 2a' 4a2 função tem valor constante, então Y assumirá valor máximo (mínimo) quando a < O (a > O) e a diferença VII. VÉRTICE DA PARABOLA 175. Definição o ponto V( -b -Â) 2a' 4a é chamado vértice da parábola representativa da for a menor possível, isto é (x + ~)2 = O = x = -b 2a 2a função quadrática. EXERCíCIOS e) y = _x2 + 5x - 7 a) y = 2x2 + 5x c) y = 4x2 - 8x + 4 Substituindo x 130-A -b em (1) temos 2a - 4a . . I mlnimo e o ponto de máximo ou o pontoA.194 Determinar o valor maxlmo ou o va or , de mlnimo das funções abaixo, definidas em IR. b) y = -3x2 + 12x 7 5 d) y = x 2 - - x + 2 2 x2 4 1 fi y = -"2 + "3 x - 2 131-A A.195 Determinar o valor de m na função real flxl mínimo seja ~. 3x2 - 2x + m para que o valo A.206 Num triângulo isósceles de base 6 cm e altura 4 cm está inscrit~ um retângulo. Determine o retângulo de área máxima sabendo que a base do retangulo está sobre a base do triângulo. A.196 Determinar o valor de m na função real f(x) _3x2 + 21m - 1) x + (m + 11 par; que o valor máximo seja 2. A.197 Determinar o valor de m na função real flx) mx 2 + (m - llx + (m + 21 par; que o valor máximo seja 2. A.207 Determinar os vértices das parábolas: A.19B Determine o valor de m na função real f(x) que o valor m{nimo seja 1. Im - lIx2 + (m + l)x - m par; a) y == x 2 - 4 cI y ~ 2x2 - 5x + 2 = _x2 2el y + x - 9 bl y ~ _x2 + 3x 1 3 d) y ~ _x2 + "2 x + 2 fi y ~ x2 - 2 x - 2 3 A.199 Dentre todos os números reais de soma 8 determine aqueles cujo produto é máximo Solução Indicando por x e z esses números e por y o seu produto, temos: VIII. IMAGEM Como precisamos ficar com uma só das variáveis x ou z, fazemos y = x • z => y = xl8 - xl => y -1 < o. y é máximo quando x + Z = 8 paraObservemos queC1 4a que considerar dois casos: b )2f(x) ; a(x + - - 2a x E IR então temos f(x) ; a [(x +.-!?. )2 - ~] 2a 4a2 qualquer ou seja 176. Para determinarmos a imagem da função quadrática, tomemos inicialmente a função na forma canônica: -x2 + 8x. = 4.=> x y == x • z. ==>z=8-x -8 2· (-1) -b 2a x x + z ~ 8 Como a e portanto e, portanto: Substituindo em z = 8 - x vem z 4. Logo, os números procurados são 4 e 4. A.200 Dentre todos Os números reais x e z tais que 2x + z = 8 determine aqueles cujo produto é máximo. 1'?) caso a> O => a(x + ~)2 ;;. O2a b )2Y a{x +- 2a C1 4a -C1;;. 4a A.201 Dentre todos os retângulos de perímetro 20 cm, determine o de área máxima. e, portanto, A.202 Dentre todos os números de soma 6 determine aqueles cuja soma dos quadrados é mínima. A.203 Determine o retângulo de área max,ma localizado no primeiro quadrante. com dois lados nos eixos cartesianos e um vértice na reta y = -4x + 5. 2'?) caso a < O =? a(x + ..E...)2 .;;; O2a a(x + ..E..)2 y 2a C1 4a -C1.;;;--. 4a A.204 t dado uma folha de cartolina como na figura ao lado. Cortando a folha na linha pontilhada resultará um retângulo. Determinar esse retângulo sabendo que a área é máxima. A.205 Determine o retângulo de maior área contido num triângulo eqüilátero de lado 4 em, estando a base do retângulo num lado do triângulo. Resumindo: -C1 a > O - y;;' 4a' "Ix E IR -C1 a < O - y .;;; 4;' "Ix E IR. 132-A 133-A Como a = 2> O, temos: Im(f) = {y E IR I y ;;;. -2} 177. Provemos agora que a imagem da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c Im = {y E IR I y ;;;. ~} para a > O 4a e portanto: - -16 - = - = -2. 4a 4·2 e Vamos provar só para o caso em que a > O. Para provarmos que a imagem da função f(x) = ax2 + bx + c é Im = {y E IR I y ;;;.~} para a > O, devemos mostrar que qualquer que 4a seja y E Im existe x E IR tal que y = ax2 + bx + c. De fato, seja y E Im, então podemos escrever y=a(x+~)2_~ 2a 4a  = b2 - 4ac = 22 - 4 • (- ..!..) (- ~) 3 3 e portanto: logo: definida porR 16 9 emIR 5 c = -- 3 de temos: f e da função x2 1> Na função f(x) = - - + 2x - - 3 3' 1 a=-"3' b=2 2':» Obter a imagem x2 5 = - - + 2x - -. 3 3 f(x) para a < O.{ _-Â}Im = y E IR I y .;;; 4a ou seja: y +~ = a(x + ~)2 (1) 4a 2a - 4a 16 9 4 3 Como igualdade (1) ~ -  ~ O . . .. b dy r -4a' temos y + - r , Isto e, o primeiro mem ro a . 4a é não negativo, logo o segundo membro também o será, isto é, a(x + ~)2;;;. O 2a Como a = _.! < O, 3 temos: Im (f) = {y E IR I y .;;; ~} e como a > O, temos: EXERCICIOS que é uma inequação do segundo grau com solução x E IR. 178. Exemplos 1':» Obter a imagem da função f de IR em IR definida por f(x) = 2x2 - 8x + 6. Na função f(x) = 2x2 - 8x + 6, temos: a = 2, b = -8 e c = 6 A.20S Determinar a imagem das funções definidas em IR: ai y = x2 - 3x b) y = _x2 + 4 c) v = 3x2 - 9x + 6 d) y = -4x2 + 8x + 12 el y = _x2 + ~ x + 1 2 fi y = .! x2 + x + 1 2 A.209 Determinar m na função f(xl = 3x2 - 4x + m definida em IR para que a imagem seja Im = {v E FI I y ~ 2}. logo:  = b2 - 4ac = (_8)2 - 4 • 2 • 6 = 16 A.210 Determinar m na função f(x) = - x 2 + mx - .!... definida em FI para que a imagem seja Im = {y E FI I y .;;; 7}. 3 2 134-A 135-A IX. EIXO DE SIMETRIA Para provarmos que a parábola tem eixo de simetria na reta Se ll. ~ O, a parábola tangencia o eixo dos x no ponto P(~, O). 2a Se ll. < O, a parábola não tem pontos no eixo dos x. 49) Vértice da parábola é o ponto V(~, -ll.) que é máximo se a < O ou é mínimo se a > O. 2a 4a Seguem-se os tipos de gráficos que poderemos obter: P (-b +~ O) 2 2a ' eP (-b - ~ O) 1 2a' 19) O gráfico é uma parábola, cujo eixo de simetria é a reta x ~ .± perpendicular ao eixo dos x. 2a 29) Se a > O (a < O), a parábola tem a concavidade voltada para cima (baixo). 39) Zeros da função Se ll. > O, a parábola intercepta o eixo dos x em dois pontos distintos x pertencente ao gráfico da x ~ -b 2ã' com "r E IR, pertencente y 179. "O gráfico da função quadrática admite um eixo de simetria perpendicular ao eixo dos x e que passa pelo vértice". Os pontos da reta perpendicular ao eixo dos x e que passa pelo vértice da parábola obedecem a equação x ~ -b 2a' po is todos os pontos dessa reta tem abscissa -b. 2a -bdevemos mostrar que dado um ponto A(2ã - r, y), ao gráfico da função, existe B( -b + r, y) também 2a função. Tomando a função quadrática na forma canônica f(x) ~ a[(x + ~)2 - ~] 2a 4a2 -be considerando que A(_ - r, y) pertence ao gráfico da função temos: 2a f ( -b ) [( -b b 2 ll.] [ 2 ll.]y ~ - - r ~ a - - r + -) - - ~ a (-r) -- 2a 2a 2a 4a2 4a2 y a >0 e ll.>o y a >0 y a >0 e ll. EXERCICIOS A.211 Fazer o esboço do gráfico da função y x2 - 4x + 3. Solução Concavidade Como a = 1 > O a parábola tem a concavidade voltada para cima. Gráfico x Concavidade Como a = -1 < O a parábola tem a concavidade voltada para baixo. x 1 1o vértice é V(-l, -2 l.2' ~ x2 + x + 1 • 2 1 4 • 1.. 2 y 4a e-1 Em y = 1. x2 + x + 1; temos: 2 a = ~, b = 1, c = 1 e  = -1. Como -b -1 2a 2. 1. 2 Vértice Gráfico Zeros da função+x2 + x + 1 = O ==  = -1 < O == ~ ra(zes reais. A parábola não tem pontos no eixo dos x. A.213 Fazer o esboço do gráfico da função Solução Concavidade Como a = ~ > O, a parábola tem a concavidade voltada para cima. x Y, podemos determinar um outro em relação a reta x = 2 (eixo y-1, -4 47T ou x = 3 Determinado o ponto onde a parábola corta o eixo ponto (4, 3) da parábola, simétrico a (O, 3) de simetria da parábolal. Gráfico Observe que a parábola sempre inter- cepta o eixo y. Para determinarmos onde o faz, basta lembrar que o ponto situado no eixo y tem abscissa nula, logo y(O) = 02 - 4· O + 3 = 3, isto é, o ponto no eixo y é (O, 3). Vértice Em y = x2 - 4x + 3, temos a = 1, b = -4, c = 3 e  = 4 como~ = _4_ = 2 e -4Âa- 2a 2 • 1 o vértice é V(2, -11. Os pontos no eixo x são P[ (1, O) e P2 (3, O) Zeros da função x2 - 4x + 3 = O == x = A.212 Fazer o esboço do gráfico da função y _x2 + 4x - 4. Solução Zeros da função -x2 + 4x - 4 = O A parábola admite um único ponto no eixo x que é P (2, OI. Vértice Considerando que a parábola admite um único ponto no eixo X, então esse ponto é o vértice da parábola. A.214 Construir o gráfico cartesiano das funções definidas em IR: a) y x2 - 2x - 3 b) y = 4x2 - 10x + 4 c) y = _x2 + !..x+ 1 d) = -3x2 + 6x - 3 2 2 Y e) = x2 - 3x + 9 f) y = 3x 2 - 4x + 2y 4 -!.. x2 3 = _x2 + x - 1 hl y - x - gl y 2 2 138-A 139-A XI. SINAL e vamos resolver o problema: "para que valores de x E IR temos: 181. Consideremos a função quadrática f(x) = ax2 + bx + c (a * O) Exemplos 19) f(x) = x2 - 2x + 2 apresenta t. = (_2)2 - 4· 1 ·2 = -4 < O e, como a = 1 > O, conclu(mos que f(x) > O,V x E IR. -3 < O29) f(x) = _x2 + x - 1 apresenta t. = 12 - 4. (-1) • (-1) e, como a = -1 < O, conclu(mos que f(x) < O, V x E IR.c) f(x) = 07 "b) f(x) < O;a) f(x) > O; Resolver este problema significa estudar o sinal da função quadrática par< cada x E IR. Na determinação do sinal da função quadrática, devemos começar pele cálculo do discriminante t., quando três casos distintos podem aparecer: Vejamos como prosseguir em cada caso. a. f(x) = a 2[(x +~)2 _ (--.2.....)] I~+ positivo (não negativo) zero Da forma canônica, temos: 183. 2l? Caso: t. = O c) t. > Ob) t. = Oa) t. < O A representação gráfica da função f(x) = ax2 + bx + c, quando t. = O, vem confirmar a dedução algébrica. li > O => f(x) ;;. O, "f X E IR a < O =>- f(x) .,;; O. V X E IR 182. 1? Caso: t. < O Se t. < O então -t. > o. Da forma canônica, temos: a. f(x) = a2[(x + ...!::-)2 + (-t.)] => a. f(x) > O, V x E IR -é. ~ ~ POSItIVO (não negativo) ~. POSItiVO Isto significa que a função f(x) = ax2 + bx + c, quando t. < O, ten o sinal de a para todo x E IR, ou melhor: li > O - f(x) > O. V X E IR a < O => f(x) < O. V x E IR então a· f(x) ;;. O, V x E IR. Isto significa que a função o si nal de a para todo x E IR ou melhor: f(x) = ax2 + bx + c, quando t. = O, tem - {xd sendo XI = ;~ zero duplo de f(x), x x .. xflxl< o • x flx) >0 A representação gráfica da função f(x) = ax2 + bx + c, quando t. < O vem confirmar a dedução algébrica. 140-A 141-A Exemplos Xl X X22) se Xl < X < X2 ---ll---'I~--+-I ----., , temos: { X - Xl > O Xl < X < X2 => e X - X2 < O 1t?) f(x) = x2 - 2x + 1 apresenta to = (_2)2 - 4. 1 • 1 = O, então f(x) -btem um zero duplo Xl = - = 1 e, como a = 1 > O, concluímos: 2a { f(xl>O, VxEIR-{1} f( x) = O se X = 1 3) se X > X2 Xl X2 x ---+1--+1---;1--..... , temos: 2t?) f(x) = -2x2 + 8x - 8 f(x) tem um zero duplo para Xl [f(xl < O, l!(x) = O 184. 3C? caso: to > O apresenta to = 82 - 4(-2) • (-8) = O, então = -b = 2 e, como a = -2 < O, concluímos: 2a "Ix ElA - {2} se X = 2 { X - Xl > O X > X2 > Xl => e => X - X2 > O Isto significa que: 1) O sinal de f(x) é o sinal de a para todo x, tal que X < Xl ou x> X2; 2) O sinal de f(x) é o sinal de -a para todo x, tal que XI < X < X2· Da forma canônica, temos: fica evidente que a forma canônica se transforma em: 25> O,(-1) 2 - 4 • 1 • (-6) -----'.'-'-f----~~----x x Em resumo: O gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c, quando to > O, vem confirmar a dedução algébrica. x = Xl X = X2 X O '--v---'--' '-v----' é 0 é -b -~ = _1_-_5 = -2 ---c2=-a-c-- 2 e, como a = 1 > O, concluímos que: e X2 = -b+~ 2a 142-A 143-A 2?) f(x) = -2x 2 + 3x + 2 apresenta .1 32 - 4 . (-2) • 2 25, logo f(x) tem dois zeros reais e distintos: -b + fi ··3 + 5 1 -b -fi -3 - 5 2Xl = e X2 = --- 2a -4 2 2a -4 x a>O e .1=0 x.. S = IR x < -2 ou x> 3 x = -2 ou x = 3 -2 < x < 3. para para para { f(X) > O f(x) = O f(x) < O e, como a = -2 < O, condu imos que a0 f(x) < O 1 X > 2para X O, "f x E IR. Como a inequação é fi x) > O, vem: S = IR. x Resolver, por exemplo, a inequação ax2 + bx + c> O é responder à pergunta: "existe x real tal que f(x) = ax2 + bx + c seja positiva?" A resposta a esta pergunta se encontra no estudo do sinal de f(x), que pode, inclusive, ser feito através do gráfico da função. Assim, no nosso exemplo, dependendo de a e de .1 podemos ter uma das seis respostas seguintes: 185. Se a *- O ax 2 + bx + c ;;, O grau. as inequações ax 2 + bx + c > O, ax2 + bx + c < O, e ax2 + bx + c .;;; O são denominadas inequações do 2'? A.217 Resolver a inequação x2 - 2x + 1 .;;; O. Solução Considerando f(xl = x2 - 2x +.1, temos a = 1 > O, .1 = O e o 2ero duplo x = -b = 1 então 2a fflx) >0 "fx E IR - {1} l!(x) = O se x = 1 Como a Inequação é f(x)';;; O, vem: S = {1}. x 144-A 145-A ou x = 2 Solução 2x 2 + x - 1 ,;;;; O em IR. 2x - x2 Determinar: ai os pontos de intersecção do gráfico da função com o eixo das abscissas. b) o conjunto dos valores de x para os quais y ~ o. A.223 Resolver a inequação A.221 Resolver em IR as inequações: ai (1 - 4x2 1 • (2x2 + 3x) > O bl (2x2 - 7x + 6) • (2x2 - 7x + 5) ,;;;; O c) (x2 - x - 6) • (_x2 + 2x - 1) > O di (x2 + x - 6) • (_x2 - 2x + 31 ;;. O el x3 - 2x2 - x + 2 > O f) 2x 3 - 6x2 + x - 3 ,;;;; O A.222 (MAPOFEI-71) ~ dada a função y (2x2 - 9x - 5) (x2 - 2x + 21. x y x < _! ou 2 1 2 1 2 Considerando f(x) = -2x 2 + 3x + 2. temos a = -2 < O,  = 25 > O e os zeros Xl.= - ~ e X2 = 2, então [ (x) < O para f(x) = O para x = I(xl > O para Como a inequação é f(x);;' O, vem: S={xE IRI-! ';;;;x';;;;2} 2 A.218 Resolver a inequação -2x2 + 3x + ! ;;'0. x.. x... + 1. 2 2 x, O + + + O li + ------------ 1 22" O 2• O + O -1 • O O • + numerador e do denominador, temos: 1 '2• I(x)=2x2 +x-1 + O g(x) = 2x - x2 O + I(x) g(x) Q + -1 O g(xl = 2x _ x2 Solução Analisando os sinais do Fazendo o quadro·quociente, vem -1 O x.. + 2 •• - 1 I( x) = x2 - x - 2 + O O I -------..J------ O cl -3x2 - 8x + 3 ~ O d) _x2 + .:! x + 10 ;;. O 2 e) 8x2 - 14x + 3 ,;;;; O f) 4x2 - 4x + 1 > O g) x2 - 6x + 9 ;;. O h) -4x2 + 12x - 9 ;;. O il x2 + 3x + 7 > O j) -3x2 + 3x - 3 < O k) 2x2 - 4x + 5 < O I) _ ! x2 + !x-.!>O 3 2 4 A.220 Resolver a inequação (x 2 - x - 2)(_x2 + 4x - 3) > O em IR. Fazendo o quadro-produto, vem A.224 Resolver em IR as inequações: s = {x E IR I -1 < x < 1 ou 2 < x 0 b) -9x2 + 9x - 2 ';;;;0 2x2 - 3x - 2 3x2 + 7x + 2 c) x 2 + 2x ;;'0 d) 2 - 3x A.226 Resolver os sistemas de inequaçõ;s: r +x-2>0 {x2 + x - 20 ,;;; oai - x2 < O b) x2 - 4x - 21 > O3x cl r + 2x ;;. O di {-2X2 - x + 1 ;;. O -4x2 + 8x - 3 < O 4x2 - 8x + 3 ,;;; O A.225 Resolver as inequações: ai 4 < x2 .. 12 ,;;; 4x bl x2 + 1 < 2x2 - 3 ,;;; -5x ciO';;; x2 - 3x + 2 ,;;; 6 di 7x + 1 < x2 + 3x - 4 ,;;; 2x + 2 e) O < x 2 + x + 1 < 1 f) 4x2 - 5x + 4 < 3x2 - 6x + 6 < x2 + 3x - 4 > 1. 8'= m(f(x) > O, \f x E IR) (2m - 1)2 - 4 . m . (m + 1) = 4m 2 - 4m + 1 - 4m 2 - 4m = -8m + 1 < O = m > 1 8 Como as condições são simultâneas, conclu(mos que 2°) a = m> O = m > O e Determinar m de modo que a função quadrática f(x) = mx 2 + (2m .. 1)x + (m + 1) seja positiva para todo x real. Devemos ter simultaneamente .0. < O e a > O, portanto 187. Exemplo x 4 _ 5x 2 + 4 ;;. O em IR .. A.227 Resolver a inequação Solução Fazendo 7 -,-- x2 temos EXERC(CIOS z2 _ 52 + 4 ~ O ==> z ~ 1 OiJ 2 > 4 mas 2 = x2 , portanto: Ix2 ,;;; 1 ou x2 ;;' 4) = Ix2 - 1 ,;;; O ou x2 - 4 ;;. 01 = => (-1 ,;;; x ,;;; 1 ou x';;; -2 ou x;;' 2) logo S ~ {x E IR I x ,;;; -2 ou -1';;; x ,;;; 1 ou x;;' 2} A.229 Determinar m para que se tenha para V x E IR. ai x2 + 12m - llx + 1m 2 - 2) >0 bl x2 + 12m + 31 x + 1m 2 + 31 ;;. O cI x2 _ mx + m > O d) x2 + Im + llx + m > O el _x 2 + Im + 21 x - Im + 31 ;;>- O f) Im -11x2 + 41m - lIx + m >0 ql mx 2 + (m - 2) x + m ~ O h) rnx 2 + Im + 31 x + m ;;>- O li (m f lIx2 - 21m - llx + 31m .. 11 < O j) 1m2 - 11 x2 +2Im-llx+ 1 >0 A.228 Resolver em IR as inequações: ai x4 - 10x2 + 9 ,;;; O cI x4 + 8x 2 - 9 < O el x6 - 7x 3 - 8 ;;. O b) x4 - 3x 2 - 4 > O d) 2x4 - 3x2 + 4 < O f) 3x4 - 5x2 + 4 > O A.230 Determinar m para que se tenha Solução x2 + Im + llx + 1 < 2 para\fxEIR. x2 + x + 1 Considerando que x2 + x + 1 é positivo para qualquer x real, multiplicamos ambos os membros de x 2 -+ (m + 1lx + 1 .. XIV. COMPARAÇAo DE UM NOMERO REAL COM AS RAfzES DA EQUAÇÃO DO 29 GRAU A.231 Determinar m para que se tenha para V x E IR: ai x2 + mx + 1 < 2 b) x2 - mx + 2 > m x2 + 1 x2 - x + 2 cl x > x + m x2 + 4 x2 + 1 di -3 < x2 2 + mx - 2 < 2. x - x + 1 189. Resumo Conhecendo a posição de a em relação às raízes reais Xl e X2 de f(x) = O, temos que: { 1) a < X\ .;;; X2 = a· fIa) > O 2) XI < a < X2 = a· fIa) < O 3) XI .;;; X2 < a = a· f(a) > O .. 4) a = XI ou a = X2 = a· fIa) = O Observemos que nos casos 1, 3 e 4 o discriminante é D.;;' O enquanto que no caso 2 temos D. > O. b) se a estiver entre as raízes X\ e X2 (XI * X2) o produto a· f(a) é negativo, isto é: a e f(a) tem sinais contrários. 188. Comparar o número real O! às raizes reais XI ~ X2 da equação do 29 grau ax2 + bx + c = O é verificar se: 1) a < XI .;;; X2 (a está à esquerda de Xl) 2) XI < a < X2 (a está entre as raízes) 3) XI .;;; X2 < a (a está à direita de X2) 4) a = XI ou a = X2 (a é uma das raízes) sem calcular as raízes. Sendo f(x) = ax2 + bx + c uma função quadrática, cuja regra de sinal já discutimos neste capítulo, temos que: a) se a estiver à esquerda de XI ou à direita de X2, o produto a· f(a) é positivo, isto é: a (coeficiente de x2 ) e f(a) = 002 + ba + c tem o mesmo sinal. Se a· f(a) < O, o trinômio f(x) '= ax2 + bx + c tem zeros reais e dis- tintos e a está compreendido entre eles. a . f(a), que conclusão f(x) = O e qual a posição T {D. > O e XI < a < X2H{a • f(a) < O 29) Se o real a estiver à esquerda de XI ou à direita de X2 ou for um zero de f(x), teremos a· fIa) ;;. O, o que contraria a hipótese a· f(a) < O. Concluímos, então que a está compreendido entre XI e )(2. Demonstração 1C?) Se fosse D.';;; O, teríamos: a· fIa) ;;. O, V a, a E R o que é absurdo, pois contraria a hipótese a· fIa) < O. Concluimos, então, que D. > O, isto é, f(x) tem dois zeros XI e X2, reais e distintos. Inversamente, conhecendo o sinal do produto podemos tirar da existência de raizes reais da equação de a em relação às mesmas raízes? É o que veremos em seguida. 190. Teorema 1 f(a) _--l..-+-*_~I-__--1_ x c) se a é zero de f(x), então a· fIa) = O, pois f(a) = O. ----\-~,------;I--- __ x • x Exemplo Comparar o número 1 às raízes da equação 3X2 - 5x + 1 = O. Temos a = 3, a = 1 e f(x) = 3x2 - 5x + 1, então a . f(a) = 3 • f( 1) ~ 3 • (3 • 12 - 5 . 1 + 1) = -3 < O. Conclusão: D. > O e XI < 1 < X2. 150-A 151-A 191. Teorema 2 Exemplos Se a· fia) > O e Á > O, de X2' t·fia) > OH ouÁ>O então O' está à esquerda de x I ou à direita 1C?) Comparar o número 1 às raizes da equação 3x2 + 4x - 3 = O. Á = 42 - 4 • 3 • (-3) = 52 > O } a • f(a) = 3 • f( 1) = 3 • (3 + 4 - 3) = 12 > O = XI < X2 < 1 .§. -b -2 < 1 = O' 2 2a 3 Demonstração Se Á > O e XI < O' < X2, então a· f(a) < O, o que contradiz a hipótese a· f(al > O. Se Á = O e O' X I X2, então a· f(a) = O, o que também contradiz . a hipótese a· fia) > o. 2C?) Comparar o número O com as raizes da equação 4x2 - 6x + 1 = O. Á = (-6)2 - 4 • 4 • 1 = 20 > O } a • f(a) = 4 . f(O) = 4 . 1 = 4 > O = O < XI < X2 S -b 3-=-=->0 2 2a 4 Conclulmos que O' < XI < X2 ou XI < X2 < a. 192. Resumo Se f(x) = ax 2 + bx + c apresenta zeros reais XI < X2 e o' é um número real que vai ser comparado a XI e X2, temos: se O' > ~ < Sse ~ 2 S 2 T-1 aI a . f(a) < O = XI < O' < X2 b) a . f(a) = O ==== o' é uma das raIzes { O' < XI < X2 c) a . f(a) > O e Á > O = XI < X2 < o' que é a média aritmética das raizes XI e X2, pois: Notemos que, se a· f(a) > O e Á > O, o teorema 2 garante que O' I. [XI, X21. mas não indica se O' está à esquerda desse intervalo (O' < XI < X2) ou à direita dele (XI < X2 < 0'). Para verificarmos qual dessas duas situações está ocorrendo, devemos comparar o' com um número qualquer que esteja entre as raizes. Para facilitar os cálculos vamos utilizar o número S XI + X2 -b2 2 2a ' Calculando S 2 -b 2;' temos duas possibilidades a examinar: EXERCICIOS 1~) se o' < S 2à esquerda de X I ; - "a" dd Sentao o' esta esquer a e 2 e, conseqüentemente, A.232 Determinar m de modo que o número equação: mx 2 + Im - l)x - m = O. esteja compreendido entre as raízes da XI então, O' está à direita de S 2 .. X X2 são as raízes reais de Solução Considerando f(xl = mx2 + Im - 1) X - m. Para que aconteça Xl < 1 < X2 onde, x 1 e x2 mx2 + (m - 1)x - m '" 0, devemos ter: af(1) < O = ~[m • 12 + Im - 1) • 1 - m] < O a fií I = m' Im - 1) < O = 0< m < 1 Resposla: O < m < 1. .. X X2 e, conseqüentemente, S "2 XI. S "2 ~ > S ~ < ~ = XI"'" X2 o' 2 ~ < S < ~~ = o' XI"'" X2 2 2~) se o' > S 2'à direita de X2; 152-A 153-A A.233 Determinar m de modo que o número a esteja compreendido entre as raIzes da equação: A.237 Determinar m de modo que a equação (m - 3)x2 + 2(m - 2)x + m + 1 ~ O tenha ral'zes reais tais que xl < x2 < 1. A.235 (MAPOFEI-74) Determinar m para que a equação: (m - 2)x2 - 3mx + (m + 21 ~ O tenha uma raiz positiva e Outra negativa. A.234 (MAPOFEI-75) Determinar os valores de m na equação x2 + (m - 2)x + 1 - m ~ O de modo que o número real 2 esteja compreendido entre as raízes. A.236 Determinar m de modo que a equação mx2 - (2m + l)x + 2 + m O tenha raIzes reais tais que -1 < xl < x2. a) mx2 + (2m - 3)x + m - 1 ~ O e a:2 b) (m - 1)x2 + (2m + 1)x + m ~ O e a ~ -1 c) mx2 + (m - 1)x + (m + 2) ~ O e a~o dI (m2 - 1)x2 + (m - 3)x + m + 1 ~ O e a ~ 1 OA.242 Determinar m para que a equação do 2':' grau (2m + 1) x2 + 2x + m + 1 tenha raIzes reais tais que O < XI < X2 < 4. A.24' Determinar m para que a equação do 2':' grau 3x2 - 2(m + 2)x + m2 - 6m + 8 = O tenha raízes reais tais que xl < 1 < X2 < 4. A.243 Determinar m na equação do 20 grau (3m - 21 x2 + 2mx + 3m O para que tenha uma única raiz entre -1 e O. A.244 Determinar m na equação do 20 grau mx2 - 2(m - l)x - m - 1 O para que se tenha uma única raiz entre -1 e 2. A.238 Determinar m de modo que a equação (m - 1)x2 - mx - 2m - 2 O tenha raIzes reais tais que -1 < xl < x2. A.239 Determinar m de modo que a equação do 2':' grau mx 2 - 2(m + l)x + m + 5 ~ O tenha raízes reais tais que O < xl < X2 < 2. A.240 Determinar m para que a equação do 2':' grau mx 2 - 2(m + l)x + m + 5 O tenha raízes reais tais que xl < O < x2 < 2. s"2 > -1.ea·f(-ll >0 Solução Considerando f(x) ~ mx2 - (2m + l)x + 2 + m. Para que aconteça -1 < xl < x2. onde xl e x2 são as raízes reais de mx2 - (2m + 1) X + 2 + m = O, devemos ter: Analisando separadamente cada condição: 1~) a' f(-1) > O = m' [m(_1)2 - (2m + 1) • (-1) + 2 + m] > O = -; , 11:1) , = m' (4m + 31 > O = m < - ~ ou m > o. 4 XV. SINAIS DAS RAfZES DA EQUAÇÃO DO 29 GRAU Como as três condições são simu Itâneas, fazendo a intersecção dos intervalos acima vamos encontrar: 2~)~>0 = (2m+l)2_ 4 ' m(2+ml>0 = -4m+l>0 = m O 2 ~ ;;;. O e a· f(O) > O e De acordo com a teoria anterior, temos: 193. 1~) as raízes são positivas Neste caso, temos: 0< Xl < O X2 ou 0< o Xl = X2 Estudar os sinais das raízes de uma equação do 2? grau é comparar o núme- ro zero às raízes Xl e X2 da equação dada. Podem ocorrer três situações: 2m + 1 + 1 > O = 4m + 1 > O = ~ 2m = O < m -1 2m ou m > o. m -11 2 (~>Ol 3~1 ~ > -1 = 2 = m 1 -8 0111111111111111111111111111 .. m Notemos que, sendo f( x) ~ ax2 + bx + c, temos: a) a . f(0) ~ a . c > O = ~ > O = P > O a onde P ~ c é o produto das ra(zes da equação do 29 grau. a b) ~ > O ~ 5> O 2 onde 5 ~ b é a soma das ra(zes da equação do 29 grau. a Assim, sendo, uma equação do 29 grau tem ra(zes positivas somente se: ~;;'O e P>O e 5>0 isto é, se as ra(zes forem reais, com produto positivo e soma positiva. 196. Exemplo Determinar os valores de m na equação do 29 grau (m - 1)x2 + (2m + l)x + m ~ O para que as ra(zes reais sejam distintas e positivas. Como a equação é do 29 grau, devemos ter, inicialmente m-l*O ~ m*l e, se as ra(zes são distintas e positivas (O < Xl < x2 1. então: ~ > O (pelo fato de as ra(zes serem reais e distintas) e 5> O e P> O (pelo fato de estas ra(zes serem positivas). Analisando cada condição: (2m + 1)2 - 4(m - 1) • m ~ 8m + 1 > O ~ m > - .!. 8 1 -2 1 S >O~lIl1l1ll1l1l"lIl1lJlJllIlI~ m O < m < 1 que é a resposta. -b - (2m + 1) > O = a m - 1 =-.!..0 Fazendo a intersecção das três condições, vem o 1 0111111111110 .. m De acordo com a teoria anterior, temos: EXERCICIOS e a . f(O) > O e .§. < O 2 A.245 Delerminar m de modo que a equação do 2'.' grau (m + llx2 + 2(m + llx + m - 1 = O tenha ra(zes negativas. Isto também pode ser escrito assim: 195. 3~) as raIzes têm sinais contrários Neste caso, temos: Xl < 0< X2 De acordo com a teoria anterior, temos: a • f(O) < O ou P < O. 156-A A.246 Determinar m de modo que a equação do 20 grau (m + 1)x2 + .2x + m - 1 = O lenha raizes positivas. ... A.247 Determinar m de modo que a equação do 20 grau (m - 2)x2 + (3m - 11 x + (m + 1) = O tenha ra(zes de sinais contrários. A.248 Determinar m de modo que a equação do 2\' grau (m - llx2 + (2m + 3)x + m = O admita raizes negativas. A.249 Determinar m de modo que a equação do 2'.' grau (m2 - 4)x2 + mx + m - 3 = O admita raízes de sinais contrários. A.250 Determinar m de modo que a equação do 2'.' grau mx2 - (2m - llx + (m - 2) = O admita raízes positivas. 157-A As margens dos livros falam CAPÍTULO VIII Pierre S. de Fermat (1601 - 1665) I. FUNÇÃO DEFINIDA POR VARIAS SENTENÇAS ABERTAS x x 2 y -, 3 y -, , -"'+./ ~ '+, ... 1 , ,, f(x) ~ , se x < -1 se x;;;' 1 se x < O se O';;;x EXERCICIOS 11. MÚDULO A.251 Construir o gráfico das funções definidas em IR: a) f(xl o {x + 1 se x;;;, O -x se x < O di flx) o {x2 - 4x + 3 se x - 1 se x 1 x < 1 3 se x;;;, 1 se -1 < x < 1 se x ~ -1 f(xl b) se x ~ -2 se -2 < x < 2 se x ~ 2 cl {-2 flx) o ; A.252 IMAPOFEI-741 Esboçar o gratico da função g) fi xl o{ x2 - 4x se x;;;' O _xl - 4x se x < O x> -2 x,,;; -2 +V2, 1+v31+2 1-V21 5' Isto significa que: 1'?) o módulo de um número real não negativo é igual ao próprio número; 2'?) o módulo de um número real negativo é igual ao oposto desse número. Assim, por exemplo, temos: 1+21 = +2, 1-71 = +7, 101 = O, 1- 2[ 5 x;;;'o x A.255 Construir os gráficos das funções definidas em IR: a) f(xl ~ 12x I b) f(x) ~ 13xl EXERCICIOS f V :=t=1Z / x I T VI- x H+H'-+-+-J-+X Primeira Etapa Se glx);;' O. vamos ter f(x) ~ Ig(x) I ~ ~ glx). isto é. o gráfico da função f coincidirá com o gráfico da função g. Segu nda Etapa: Se glxl < o. vamos ter f(x) ~ Ig(x) I ~ -g(x). isto é. o gráfico da função f será simé- trico do gráfico da função g, relativamente ao eixo das abscissas. Construindo os gráficos obtidos, nas duas etapas, no mesmo plano cartesiano temos o gráfico da função f(x) ~ I x + 11. x y IR+, isto é, a função modular somente se x;;. O se x < O.f(x) ={X-x Utilizando o conceito de módulo de um número real, a função modular pode ser definida também da seguinte forma: o gráfico da função modular é a reunião de duas semi-retas de origem O, que são as bissetrizes do 19 e 29 qua- drantes. A imagem desta função é Im assume valores reais não negativos. A.256 Construir o gráfico da função real definida por fi x) ~ Ix + 11. Solução Podemos construir o gráfico de f(xl Ix + 11 por dois processos: • A.257 Construir os gráficos das seguintes funções reais: a) flx) Ix - 1 I b) f(x) 12x - 1 I d) t(x) 12 - 3xl e) flx) ~ Ix2 + 4xl g) t(x) 14 - x2 1 c) t(x) f) t(x) 12x + 31 Ix2 - 3x + 21 Primeiro Processo cujo gráfico está representado ao lado. Para obtermos O gráfico de f(xl ~ Ig(x)1 ~ Ix + 11 fazemos em duas etapas: 13x - 41 + 1 Ix2 + 4x + 31 - 1 g(x) ~ Ix - 11 f Ix) ~ Ix - 1 I + 2 cl t(x) f) f(x) V I' " :/ .~ V ,,, ,, ' _,x b) flx) 12x - 11 - 2 el f(x) ~ Ix2 - 41 + 3 Solução Construimos inicialmente o gráfico da função g(x) ~ Ix - 11 Para obtermos o gráfico de t(x) ~ g(xl + 2 deslocamos cada ponto do gráfico da função g duas unidades "pa- ra cima", a) t(x) ~ Ix I - 3 d) f(x) ~ Ix2 - 11 - 2 A.258 Construir o gráfico da função definida em IR por f(x) ~ Ix - 1 I + 2 A.259· Construir os gráficos das seguintes funções reais y I T /... I'''/; +xL '-~~ /,/ '+ 1.\+)1 1'\.' D 1'\.1/ yT ~'\m~+ / IL(x) >C ~( 1/ x) jCe,. 1/1 1/1 1 se x ~ -1 se x < -1IX+ll~{ x+l-x - 1Notemos que então a função pode ser definida como uma função a duas sentenças ou seja, se x;)=-1 se x < -1f(x) ~{ x + 1-x - 1 Segundo Processo Para construirmos o gráfico de f(x) ~ I x + 1 I. fazemos inicialmente o gráfico da função glx) ~ x + 1, que está representado ao lado. 162-A 163-A A.26D Construir o gráfico da função definida em IR t(x) Ix + 21 + x - 1. Solução Notemos que { X + 2 se x;>-2 Ix + 21 = -x - 2 se x < -2 1 1':'1 quando x 1, temos t(x) = 12x + 11 + Ix - 11 = 2x + 1 + x - 1 = 3x A.265 Construir os gráficos das seguintes funções reais: cujo gráfico está ao lado. Anotando a função f como uma função definida a várias sentenças vem: a) t(x) = Ix + 11 + Ix - 1 I cl flxl = 12x - 21 + Ix + 31 e) flxl = Ix2 -41-lx-21 Ix + 11 - Ix - 11 13x + 31 - 12x - 31 Ix2 - 2x I - Ix2 - 41 2 y li I\~ i~ \ " :,u ,~ '~ 1\ ~/, li x'"" ~'\~+ V "1.,+ x bl t(x) = dI flx) = fi flxi = se x -+- 1-l- ~--.,. rv" "-.. ~ x.... mio J ~J I I 2'.') quando x < -2, temos: flx) = Ix + 21 + x - 1 = = -x - 2 + x - 1 = -3. Devemos, então considerar dois casos 10 ) quando x;> -2, temos: t(x) = Ix + 21 + x - 1 = = x + 2 + x - 1 = 2x + 1 Anotando a função f como uma fun- ção definida a duas sentenças, vem: t(xl ={2X + 1 se x ;>-2 -3 se x 0, temos: t(x) = Ig(x) I = g(x) Construímos inicialmente o gráfico de glx) = 12x - 21 - 4. Solução A.266 Construir o gráfico da função definida em IR definida em IR 4- • x Ixl se x ~ 1 se x < 1 Devemos então, considerar 3 casos: e IX_11={x-1 -x + 1 { 2X + 1 Notemos que 12x + 1 I = -2x - 1 Solução A.262 Construir o gráfico da função flx) 164-A 165-A A.267 Construir os gráficos das funções reais: a) f(x) ~ Ilxl - 21 b) t(xl ~ 112x + 31 - 21 c) flxl = 11 x2 - 11 - 31 di t(x) = IIx - 11 + x - 3\ e) flx) = Ix2 - 41xl + 31 t) t(x) ~ Ilx+21-lx -211 gl f(x) = 113x - 31 - 12x + 111 3 v. INEQUAÇOES MODULARES Lembrando das propriedades de módu lo dos números reais, para k > O: 1) Ix I < k k k e, utilizando essas propriedades, podemos resolver algumas inequações modulares. I 202. Exemplos lC?) Resolver em R: 12x + 11 < 3 Então: I 2x + 1 I < 3 = -3 < 2x + 1 < 3 = -2 < x < 1 s = {x E IR I -2 < x < 1} 2C?) Resolver em R: 14x - 31 > 5 Então: A.273 Resolver em IR a inequação 2x - 7 + Ix + 1 I ;;. o. Solução I I { X + 1 se x;;'-l Notando que X + 1 = -x _ 1 se x < -1 devemos então, considerar dois casos: l'?)Se x;;'-l, temos: 2x - 7 + Ix + 1 I ;;. O = 2x - 7 + x + 1 ;;. O x;;. 2 A solução S, é S, = {x E IR I x ;;. -1} n {x E IR I x ;;. 2} = {x E IR I x ;;. 2} 20 ) Se x < -1 temos: 2x - 7 + Ix + 11 ;;. O = 2x - 7 - x - 1 ;;. O = x;;. 8. A solução S2 é S2 = {x E IR I x < -l} n {x E IR I x;;. 8} =y) A solução da inequação proposta é S = S1 U S2 e portanto S = {x E IR I x ;;. 2} 14x - 31> 5 = = s ~ {x E IR I x < EXERCfclOS 1 2 (4x - 3 < -5 ou 4x - 3 > 5) 1 (x < - - ou x > 2)2 . ou x > 2}. = A.274 Resolver em IR as seguintes inequações: a) Ix - 11 - 3x + 7 .;; O b) 12x + 1 I + 4 - 3x > O c) 13x - 21 + 2x - 3 .;; O @ 1x + 1 I - x + 2 ;;. O e) 13x-41+2x +1 O j) 14x - 71;;'-1 1 < Ix - 11 .;; 3 , k) A.272 Resolver as inequações seguintes em fi: a) Ix2 - 5x + 51 < 1 bl Ix2 - x - 41 > 2 c) Ix2 - 5x I ;;. 6 di Ix2 - 3x - 41 .;; 6 el 1 2x - 31 > 2 fi 1~1';;23x - 1 2x - 1 g) Ilxl-21>1 hl 112x + 11 - 31 ;;. 2 il 112x - 1 I - 41 .;; 3 168-A Solução Notando que: I { 2X - 6 12x - 6 = -2x + 6 Construímos a tabela: O e Ixl ={ x -x 3 se x ~ O se x < O x 169-A temos: l?l Se x> 3, a inequação proposta é equivalente a: x - 6 < 4 - x~ 2x < 10 = x < 5 { X-6 12x - 61 - IxI o -3x + 6 -x + 6 Devemos considerar três casos: se x> 3 se 0 Observemos que a função f(x) = x3 : a) é uma função crescente em IR, isto é: (\fx[ E IR, \fX2 E R) (XI < X2 = x~ < x~) b) tem imagem Im = R pois, qualquer que seja o y E R, existe x E IF tal que y = x3 , isto é, x =~ EXERCICIO A.279 Fazer o esboço dos gráficos das seguintes funções definidas em IR. ai f(x) ~ x3 + 1 b) f(x) = -x3 c) f(x) = 2 - x 3 d) f(x) = (x + 1)3 e) f(x) = (2 - x)3 f) f(x) = Ix - 1)3 - 1 g) f(x) = 2 + (1 - x)3 h) f(x) = Ix 31 11. FUNÇÃO RECIPROCA 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4x -4 -3 -2 -1 -"2 -3 -4 4" 3" 2 1 1 1 1 1 1 1 -1 -2 -3 -4 4 3 2 1 "2 "3 4"y 0_ -4 -3 -"2x ponto A B C D E F G G' F' E' D' C' B' A' ,- ----- 1 1 ~- ~---~I1- -- y I- -- ~lG'-~-I---- ,~' --~ ~-~- ----t--- tF i \ I Iln' I +-- -~f'.... f----c' B' LA' ..... ~ x A B ~ D[\ - ~--~- ~, F G --- 204. Definição 205. Observemos que a função recíproca y x Uma aplicação f de IR * em IR recebe o nome de função rec/proca quando a cada elemento x E IR * associa o elemento 2-, x Isto é: f: IR* -+ IR 1 XI-> - X Vamos inicialmente construir a tabela 172-A a) não é definida para x = O; b) tem imagem Im = IR* pois, dado um número real y * O, sempre existe um x também real tal que y = 2-; x c) tem por gráfico uma hipérbole equilátera(') Clt) Isto está provado em nosso livro de Geometria Analítica desta coleção. 173-A EXERCfclOS A.282 Fazer O esboço gráfico das seguintes funções: a) f(x) ~ 1 x::-T b) f(x) 1 2="X Vamos construir uma tabela da seguinte maneira: atribu ímos valores a x + 1, calcule 1 mos x + 1 e finalmente calculamos x: A.28D Fazer o esboço do gráfico das funções 1 b) f(x) 1a) f(x) 2xx 1 d) f(x) 1 cl f(x) ~ - 2x lXi A.283 Fazer o esboço gráfico da função f(x) Vamos construir a tabela da seguinte maneira: atribuímos valores a x - 1, calcula- I mos 1 + x-:-1 e finalmente x. x-I 1 1 )(:""l + x-I ~1+ x-I 1 Ix + 21 x-I + x-I cl f(x) Solução Observemos que:1 X+1 Solução A.281 Fazer o esboço do gráfico da função f(x) x -4 -3 -2 O 2 x + 1 -3 -2 -1 1 "3 1 "2 2 3 -1 -2 -3 3 2 1 2 1 3 y \ . ....... -..... x . f\ I x-I 1 + 1x y ~ x-I 2-2 -3 3 Y -1 -2 1 :2 I O -1 O \ 1 1 ""- 2 -2" -1 -r--. 2 1 1\ x 3" -3" -2 4 1 43 3 3 1 2 2 3 2 1 2 3 2 3 2 4 3 4 3 174-A 175-A A.284 Fazer o esboço gráfico das seguintes funções: EXERCICIOS A.285 IMAPüFEI-74) Calcular o valor aproximado da área limitada pela curva Vamos construir uma tabela da seguinte maneira: atribuímos valores a 2x, calcula- mos l2x] e finalmente x. A.286 Construir o gráfico das seguintes funções definidas em IR. a) Ilx) - 2[xj b) Ilxl = -[x] A.287 Construir o gráfico da lunção real delinida por Ilxl = [2x] Solução 2 x + 1 x=-1 I~I x bl f(xl di f(x) y " > e x '" 4. Use no cálcu lo três trapézios de basl x = 3 e x = 4. x = 1 x = 2, pelo eixo Ox e pelas retas contidas nas retas x = 1, a) f(x) x + 3 -;-+2" cl f(x) x - 1 2 - x 206. Definição 111. FUNÇÃO MÃXIMO INTEIRO Isto é: f: R -+ IR X -+ Ixl onde [xJ é o maior inteiro que não supera x. Assim, por exemplo: Uma função f de IR em R recebe o nome de função máximo inteiro quand associa a cada elemento x E IR o elemento [x] que é o maior inteiro qL não supera x. 1 J. '2., A.288 Construir os gráficos das seguintes funções definidas em IR: a) f(x) = [~] bl f(x) [-x] 2 di f(xl - [Ix I] c) f(x) = [x - 1] el Ilxl = 1 [x]1 f) II x) [x J2 g) Ilxl = x - [x] h) f(xl = x + [x] x 2x = [2x] y y -2 Arthur Cayley (1821 - 1895) h(x) ~ g(f(x)) 207. Definição {o, 1, 2, 3, 4} e A~r" C 1!?) Sejam os conjuntos A ~ {-1, O, 1, 2}. B {1, 3, 5, 7, 9} e as funções: f, de A em B, definida por t(x) x2 g, de B em C, definida por g(x) 2x + CAPÍTULO X FUNÇÃO COMPOSTA FUNÇÃO INVERSA I. FUNÇÃO COMPOSTA Seja f uma função de um conjunto A em um conjunto B e seja g uma função de B em um conjunto C; chama-se função composta de g e f à função h de A em C definida por (gof) (x) ~ g(f(x)) para todo x em A. Podemos representar também a com- posta gof pelo diagrama. para todo x em A. Indicaremos esta aplicação h por gof (Iê·se:·g composta com f ou g cir- culo f); portanto 208. Exemplos C Advogado envolvido com Álgebra Arthur Cayley nasceu na Inglaterra. Como estudante em Cambridge ganhou muitos premlos em Matemática. Graduou-se em Trinity e dedicou-se ao Direito durante catorze anos, o que não impediu suas pesquisas matemáticas. Em 1839 fundou-se na Inglaterra o "Cambridge Mathematical Journal", principal veiculo de comunicação que contou com inúmeros artigos de Cayley assim como outros jornais cientificos, caracteristicos do século XIX. Em 1843 criou a Geometria Analitica no espaço n-dimensional usando determ inantes como instrumento básico e foi o primeiro a estudar matrizes, defi· nindo matriz nula, matriz identidade a partir do que se pode pensar em operações sobre elas. Neste aspecto contou com a colaboração de Benjamim e Charles Peirce. Em 1846, Cayley escreveu um artigo para o "Jornal de Crelle" estendendo o teorema de espaço tridimensional para um espaço de quatro dimensões. No "Philosophical Transaction" (Transação Filosófica) em 1868, publicou um desenvolvimento do plano cartesiano a duas dimensões como um espaço de cinco dimensões cujos elementos são as cônicas. Em 1854 aceitou o cargo de professor em Cambridge e em 1881 profeiu uma sériE dé conferências sobre funções abelianas E função theta. Cayley escreveu muitos artigos sobre invariantes algébricos e principalmente nesta teoria teve a ajuda de seu amigo inseparável Sylvester, tanto que foram chamados "gé- meos invariantes". Cayley era essencialmente um alge- brista mas contribuiu também para a Geome· tria e em Análise escreveu "Ensaio sobre as funções ellticas': Produziu q~antidade imensa de arti· gos e obras durante sua vida, tanto qUE neste aspecto chega a competir com Cauchy e Euler. 179-A observemos, por exemplo que: f(2) = 4, g(4) = 9 e h(2) = 9, isto é, h(2) = = (gof)(2) = g(f(2)) = g(4) ~ 9. Para obtermos a lei de correspondência da função composta h = gof, fazemos assim: g(f(x)) é obtida a partir de g(x) trocando-se x por f(x). No exemplo dado. temos: h(x) = (gof)(x) = g(f(x)) = 2 • f(x) + 1 = 2x2 + 1. Se vamos calcular h(2), fazemos deste modo: h(2) = 2 • 22 + 1 = 9. 2?) Sejam as funções reais f e 9 definidas por f(x) = x + 1 e g(x) = x2+ x + 1. Notemos que a função composta h, = gof é definida por: hdx) = (gof)(x) = g(f(x)) = [f(X)]2 + f(x) + 1 = (x + 1)2 + (x + 1) + 1 = x2 + 3x + 3. Notemos, por outro lado, que a função composta h2 = fog é definida por: h2(x) = (fog)(x) = f(g(x)) = g(x) + 1 = x 2 + x + 1 + 1 = x2 + x + 2. 209. Observações 1~) A composta gof só esta definida quando o contra-domínio da f é igual ao domínio da g. Em particular se as funções f e 9 são de A em A então as compostas fog e gof estão definidas e são funções de A em A. 2~) Notemos que em geral, fog *- gof, isto é, a composição de funções não é comutativa. Pode acontecer que somente uma das funções fog ou gof esteja definida. 180-A Assim, no primeiro exemplo, se tentarmos obter fog verificaremos que é impos- sível, pois: 9 é função de B em C mas f não é função de C em A. B 3~) As duas composições fog e gof estão definidas mas fog *- gof co- mo nos mostra o segundo ellemplo: (gof) (x) = x2 + 3x + 3 (fog) (x) = x2 + x + 2. 210. Teorema Quaisquer que sejam as funções A-.!-B~C~D tem-se: (hog)of = ho(gof). Demonstração Consideremos um elemento qualquer x de A e coloquemos f(x) = y, g(y) = w e h(w) = z; temos: ((hog)of)(x) = (hog)(f(x)) = (hog)(y) = h(g(y)) = h(w) = z e notemos que (gof) (x) = g(f(x)) = g(y) = w portanto, (ho(gof))(x) = h((gof)(x)) = h(w) = z então, temos: ((hog)of)(x) = (ho(gof))(x), para todo x de A. 181-A A.295 Dadas as funções reais definidas por f(x) = 3x + 2 e g(x) = 2x + a, determinar o valor de a de modo que se tenha fOg = gOl. A.296 Se t(x) = x3 e g(x) = x4, mostre que fOg = gOf. A.298 Sejam as funções definidas por t(x) =.,;; e g(x) os domínios das funções fOg e gOf. x2 - 3x - 4. Determinar Mostre que see g(x) = x2 + ax + b.t(x) = x2 + 2x + 3 f = g. A.297 Sejam as funções fOg = gOf então Solução a) A lei que define fOg é obtida a partir da lei de f, trocando-se x por g(x): EXERCICIOS A.289 Sejam as funções reais f e g, definidas por t(x) = x2 + 4x - 5 e g(x) 2x - 3. Pede-se: a) obter as leis que definem fOg e gOf b) calcular (fOg) (2) e (gOf) (2) c) determinar os valores do domínio da função fOg que produzem imagem 16. (fOg)(x) = f(g(x)) = [g(x))2 + 4[g(x)] .. 5 = (2x - 3)2 + 4(2x - 3) - 5 (lOg)(x) = 4x2 .. 4x - 8. A lei que define gOf é obtida a partir da lei de g, trocando-se x por t(x): (gOf)(x) = g(t(x)) = 2 • t(x) - 3 = 2(x2 + 4x .. 5) .. 3 (gOf)(x) = 2x2 + 8x .. 13 b) Calculemos fOg para x = 2 (fOg)(2) = 4 • 22 - 4 • 2 - 8 = O calculemos gOf para x = 2 (gOf)(2) = 2 • 22 + 8 • 2 - 13 = 11 Solução a) (fOg)(x) = t(g(x)) =,.;;;w = Vx2 .. 3x - 4. Para que exista (fOg)(x) E IR, devemos ter x2 - 3x - 4 ;;;. O, isto é: x';;;;-1 ou x;;;' 4. Então D(fOg) = {x E IR I x ';;;;-1 ou x ;;;'4} bl (gOt)(x) = g(t(x)) = [g(x))2 - 3 • g(x) - 4 = Ixl - 3..[; - 4. Para que exista (gOf)(x) E IR, devemos ter x;;;' O. Então D(gOf) = {x E IR I x ;;;'O}. A.299 Sejam t(x) =~ e g(x) = 2x2 - 5x + 3. Determinar os domínios das funções fOg e gOf. c) o problema em questão, resume-se em resolver a equação (fOg)(x) = 16 ou seja 4x2 - 4x .. 8 = 16 = 4(x' - x - 6) = O = x = 3 ou x ~ -2. 300 Se () x+1 ..A. jam as funções f x =~ definida para todo definida para todo x real. Pedem-se: a) o domínio e a lei que define fOg b) o domínio e a lei que define gOf. x real e x =1= 2 e g(x) = 2x + 3 . A.302 Sejam as funções reais f(x) 1 - x, g(x) = x2 - x + 2 e h(x) = 2x + 3. Obter a lei que define hO (gOf!. A.290 Sejam as funções reais f e g, definidas por t(x) = x2 - X - 2 e g(xl 1 - 2x. Pede-se: a) obter as leis que definem fOg e gOf b) calcular (lOg)(-2) e (gOf)(-2) c) determinar os valores do domínio da função fOg que produzem imagem 10. A.301 Sejam as funções reais t(x) = 2x + 1, g(x) a lei que define (hOg)Of. x2 - 1 e h(x) = 3x + 2. Obter A.291 Sejam as funções reais f e g. definidas por t(x) = x2 .. 4x + 1 e g(x) = x2 .. 1. Obter as leis que definem fOg e gOf. A.303 Sejam as funções reais t(x) = 3x - 5 e (fOg)(x) = x2 - 3. Determinar a lei da função g. A.292 Sejam as funções reias f e g, definidas por t(x) = 2 e g(x) = 3x - 1. Obter as leis que definem fOg e gOf. e g, definidas por f(x) = x2 + 2 e g(x) = x - 3, obter asA.293 Nas funções reais leis que definem: a) IOg b) gOf c) fOf d) gOg Solução Se f(xl = 3x - 5 então trocando-se x por g(x) temos: (fOg)(x) = f(g(x)) = 3 • g(x) - 5 mas é dado que: 1t0g)(x) = x2 - 3 então 3 • g(x) - 5 = x2 - 3 A.294 Considere a função em IR definida por t(x) = x3 - 3x2 + 2x - 1. Qual é a lei que define t("x)? E t(.!.)? E t(x - 1)? x ou seja x2 + 2 g(x) = --3-' 182-A 183-A A.3D4 Sejam as funções reais f(x) 2x + 7 e (fOg)(x) = x2 - 2x + 3. Determinar a lei da função g. A.3D5 Sejam as funções reais g(x) = 3x - 2 e (fOg)(x) = 9x2 - 3x + 1. Determinar a lei da função f. Solução Se (fOg)(x) = 9x2 - 3x + 1 então f(g(x)) = 9x2 - 3x + 1. g(x) + 2 _ Como g(x) = 3x - 2, decorre x = --3-- e entao: f(g(x)) = 9[g(x)3+2f -3, [g(X)3+ 2 ] + 1 = [g(x)]2 +4g(x)+4-g(x)-2+1 = = [g(x)j2 + 3 • g(x) + 3 logo, f(x) = x2 + 3x + 3. A.3D6 Sejam as funções reais g(x) = 2x - 3 e (fOg)(x) = 2x2 - 4x + 1. Determinar a lei da função f. . A.3D7 Sejam as funções reais g(x) = 2x + 3 definida para todo x real e x cF 2 e 2x + 5 (fOg)(x) = x + 1 definida para todo x real e x cF 1. Determinar a lei da função f. A.31D Sejam as funções reais f e 9 definidas por { x2 + 2 se x';;-1 f(x) = x ~ 2 se -1 < x < 1 4 - x2 se x ~ 1 e g(x) = 2 - 3x. Obter as leis que definem f Og e gOl. A.311 Sejam as funções reais f e 9 definidas por { 4X - 3 se x ~ O {x + 1 se x > 2 f(x) = x2 _ 3x + 2 se x < O e g(x) = 1 _ x2 se x.;; 2 Obter as leis que definem fOg e gOf. A.312 Sejam as funções reais 9 e fOg definidas por g(x) = 2x - 3 e { 4X2 - 6x - 1 se x ~ 1 (fOg)(x) = 4x + 3 se x < 1 Obter a lei que define f. Solução Fazendo g(x) = V, temos (fOg)(x) = f(g(x)) f(v). Temos de examinar dois casos: 1':') v ~ 1 V ~ 1 =* g(x) ~ 1 =* x - 3 ~ 1 =* x ~ 4 V ~ 1 = f(v) = V2 + 2v + 4 ==? f(g(x)) = (g(x)}2 + 2 • g(x) + 4 "* = (fOg)(x) = (x - 3)2 + 2(x - 3) + 4 = x2 - 4x + 7. 2':') v < 1 v < 1 =* g(x) < 1 =* x - 3 < 1 =* x < 4 v < 1 = f(v) = 3v + 4 ==? f(g(x)) = 3 • g(x) + 4 == (fOg)(x) = 3(x - 3) + 4 = 3x - 5 A.308 Sejam f e 9 funções reais definidas { x2 + 2x + 4 se x ~ 1 f (x) = 3x + 4 se x < 1 Obter a lei que define fOgo por e g(x) x - 3. 11. FUNÇÃO SOBREJETORA 211. Definição Uma função f de A em B é sobrejetora se, e somente se, para todo y pertencente a B existe um elemento x pertencente a A tal que f(x) = y. Em símbolos f: A -+ B f é iobrejetora Notemos que f: A -+ B é sobrejetora se, e somente se, Im (f) B. Obter as leis que definem fOg e gOf. A.309 Sejam f e 9 as funções reais definidas por { x2 - 4x + 3 se x ~ 2 f(x) x < 2 e g(x) = 2x + 3.= 2x - 3 se Conclusão: { x2 - 4x + 7, se (fOg)(x) = 3x _ 5, se X~4 x < 4. f: A ... & f é sobrejetora .... Im(f) = B Em lugar de dizermos "f é uma função sobrejetora de A em B" poderemos dizer "f é uma sobrejeção de A em B". 184-A 185-A 212. Exemplos 1'?) A função f de A = {-1, 0, 1, 2} em B = {O, 1, 4} definida pela lei f( x) = x2 é sobrejetora pois, para todo elemento y E B, existe o elemento x E A tal que y ~ x2. Observemos que para todo elemen- to de B converge pelo menos uma flecha. A B 214. Exemplos 1'?) A função f de A = {O, 1, 2, 3} em B = tl, 3, 5,7, 9}definida pela lei f(x) = 2x + 1 é injetora pois, dois elementos 'distintos de A têm como imagens dois elementos distintos de B. Observemos que não existem duas ou mais flechas convergindo para um mesmo elemento de B. 2'?) A função de A = ~ em B = ~ definida por f(x) = 2x é injetora, pois, qualquer que sejam XI e X2 de~, se XI '* X2 então 2xI '* 2X2' 2'?) A função f de A = IR em B = {y E IR I y ?> 1} definida por f( x) = x2 + 1 é sobrejetora pois, para todo y E B, existe )( E A tal que y = x2 + 1, bastando para isso tomar x = v'Y--=-1 ou x = -~. 111. FUNÇAo INJETORA 213. Definição 3'?) A função de A = IR' tora, pois, qualquer que sejam XI e IV. FUNÇAO BIJETORA 215. Definição em B = IR definida por f( x) x • -J- - 1.1-X2 de IR , se x I -r- X2 entao - "I- XI é inje- Uma função f de A em B é injetora se, e somente se, quaisquer que sejam XI e X2 de A, se XI '* X2 então f(xI) cf f(x2). Em símbolos Uma função f de A em B é bijetora se, e somente se, f é sobrejetora e injetora. Em símbolos f: A -> B f é injetora = (\fXI , Xl E A, ,. \f X2, x2 E A)(xI '* X2 ~ f(xtI '* f(X2)). ~ f: A -> B f é bijetora = f é sobrejetora e injetora, Notemos que a definição proposta é equivalente a uma função f de A em B é injetora se, e somente se, quaisquer que sejam XI e X2 de A, se f(x,) ~ f(X2) então XI = X2' f: A -> B f é injetl}ra = (\f Xl , XI E A, \fX2' x2 E A)(f(xt! = f(X2) ~ XI X2) Em lugar de dizermos "f é uma função injetora de A em B" poderemos dizer "f é uma injeção de A em B". 186-A A definição acima é equivalente a: uma função f de A em B é bijetora se, e somente se, para qualquer elemento y pertencente a B existe um único elemento X pertencente a A tal que f(x) = y. f: A -4 B f é bijetora = \f y, Y E B, 31 x, x E A I f(x) V Em lugar de dizermos "f é uma função bijetora de A em B" poderemos dizer "f é uma bijeção de A em B". 187-A 1C?) Se cada uma dessas retas cortar o gráfico em um só ponto ou não cortar o gráfico, então a função é injetora. 2 219. Resumo: EXERCfclOS 220. Teorema xx h c) ., r;=0 f0 "~ ~revB A B "(2+ ~ ~-A ~;~" A.313 Indique qual das funções abaixo é injetora. sobrejetora ou bijetora? A.314 Para as funções em IR ·abaixo representadas qual é injetora? E sobrejetora? E bijetora? y a) b) x c) y d) é sobrejetora então, para todo z de C, existe V em B e a função f é sobrejetora, isto é, dado V em B existe f(x) ~ V. 2?) se toda reta corta o gráfico, então f é sobrejetora. Logo, para toda z em C, existe x em A tal que z ~ g(V) ~ g(f(x)) ~ (gof) (x) Dada a função f de A em B, consideram-se as retas horizontais por (O. V) com V E B: ~?I se nenhuma reta corta o gráfico mais de uma vez, então f é injetora. 3?) se toda reta corta o gráfico em um só ponto, então f é bijetora_ Se duas funções f de A em B e 9 de B em C são sobrejetoras, então a função composta gof de A em C é também sobrejetora. o que prova que gof é sobrejetora. Demonstração A função 9 tal que g(V) ~ z x em A tal que a) f: IR -+ IR tal que f(xl ~ 2x + 1 b) g: IR -+IR tal que g(x) = 1 - x2 cI h: IR -+ IR+ tal que h(xl = Ix - 1 I d) m: t.I -+ t.I tal que m(xl = 3x + 2 el n: IR -+Z tal que n(x) = [x] fi IR' -+ IR' tal que p(x) , p: ( x g) q: IR -+ IR tal que q(x) = x 3 hl r: IR -+ IR tal que r(xl =lxl,(x-1I 191-A 221. Teorema Se duas funções f de A em B e 9 de B em C são injetoras, então a função composta gof de A em C é também injetora. Demonstração Consideremos x I e X2 dois elementos quaisquer de A e suponhamos que (gof) (XI) ~ (gof) (X2), isto é, g(f(x l )) ~ g(f(X2)l. Como 9 é injetora, da última igualdade resulta que" f(xI) ~ f(X2), como f é também injetora vem, XI = X2; portanto gof "é. injetora. 190-A A.315 Nas funções seguintes classifique em II injetora III sobrejetora IV) não é sobrejetora e nem injetora. 111) bijetora A.316 Determine o valor de b em B = {y EIR I y ;;. b} de modo que a função f de IR em B definida por f(x) = x2 -4 x + 6 seja sobrejetora. V. FUNÇÃO INVERSA A.317 Determine o maior valor de a em A =- {x E IR I x ~ a} de modo que a função f de A em IR definida por fi x) = 2x2 - 3x + 4 seja inietora. 222. Dados os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4} a função f de A em B definida por f(x) e B {1, 3, 5, 7} 2x - 1. consideremos A.320 As funções IA e 18 do exercido anterior são iguais? Justificar. A.319 Sejam as funções: f de A em B, definida por y = f(x); identidade em A, anotada por IA, de A em A e definida por IA(xl = x; identidade em B, anotada por IB, de B em B e definida por IB(x) = x. Prove: f()IA=f e IBof=f. A B x tal que V = 2x - 1 V + 1 2 x E A tal que V E B A . isto éx = Im(f- I ) = A. f-I leva cada elemento V E B até o f leva cada elemento x EC A até o1?) 2?) Observemos que a função f é definida pela sentença V = 2x - 1, e f -\ é V + 1 2 DW') = B e definida pela sentença ri = {(l, 1), (3, 2), (5,3), (7, 4)} onde Notemos que a função f é bijetora formada pelos pares ordenados f = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)} onde D(f) = A e Im(f) = B. A relação f-I = {(y, x) I Ix, V) E f}, inversa de f, é também uma função pois, f é uma bijeção de A em B, iS10 é, para todo V E B ex iste um único x EC A tal que (V, xl E f-I. A função f-I é formada pelos pares ordenados xE(D x E (IR - (D) b) g: IR -+ IRr~ 1 se x ;;. 1g(x) = se -1 < x < 1 x + 1 se x ,;;; -1 d) m: IR -+ IR m(xl = { 4 - x 2 se x 1 1111 bijetora fi p: IR -+ (D p(x) = {~:] :: x ;;. O x B. A relação f-I é uma função de B em A se, e somente se, f é bijetora. A.323 Quantas são as sobrejeções de A {a, b, c} em B::. {d, e}? DemonStração la Parte: se f-I é uma função de B em A então f é bijetora. A.324 Mostrar com um exemplo que a composta de uma injeção com uma sobrejeção pode não ser nem injetora nem sobrejetora. ai para todo V E B existe um x E A tal que f- 1 (V) (V, xl E f- \ ou ainda, (x, V) E f. Assim f é sobrejetora. x, isto é, 192-A 193-A b) dados Xl E A e X2 E A, com Xl =lo X2, se tivermos f(xI) = f(x2) = y resultará f-I (y) = XI e f-I (y) = X2, o que é absurdo pois y só tem uma imagem em f-I. Assim f(xl) =lo f(x2) e f é injetora. 2'! Parte: se f é bijetora, então f-I é uma função de B em A. a) Como f é sobrejetora, para todo y E B existe um X E A tal que (x, y) E f, portanto, (y, x) E f-I. b) Se y E B duas imagens XI e x2 em f-I, vem: portanto A O(f-I ) B = Im (f) B e B ImWl) = A = O(f). A Como f é injetora resulta XI = X2' 224. Definição Se f é umjl função bijetora de A em B, a relação inversa de f é uma função de B em A que denominamos função inversa de f e indicamos por f-I. 226. Vimos no exemplo anterior que se a função f é definida pela sentença aberta y = 2x - 1, então a função inversa f-I é definida pela sentença X= Y+ 1 . 2 Observemos, por exemplo, que X = 2 e y = 3 satisfazem a condição y = 2x - 1 e também X = ~. Isto não quer dizer que o par ordenado 2 (2, 3) pertença a f e a ri. De fato (2, 3) E f e (3, 2) E rI. 225. Observações As sentenças abertas y = 2x - 1 e x = r....:':.J.. não especificam quem 2 1~) Os pares ordenádos que formam f-I podem ser obtidos dos pares ordenados de f, permutando-se os elementos de cada par, isto é (x, y) E f -. (y, x) E f-I 2~) Pela observação anterior, temos (x, y) E f -. (y, x) E f-I. Agora, se considerarmos a função inversa de ri, teremos: (y, x) E f-I -. (x, y) E (f-I )-1 isto é, a inversa de f-I é a própria função f (f-I)-I = f. Podemos assim afirmar que f e rI são inversas entre si, ou melhor, uma é inversa da outra. 3~) O domínio da função f-I é B, que é a imagem da função f. A imagem da função ri é A, que é o domínio da função f. 194-A (x? ou V?) é o primeiro termo do par ordenado. Ao construirmos o gráfico cartesiano da função f, colocamos x em abscissas e y em ordenadas, isto é: f = {(x, y) E A X B I y = 2x - 1} e ao representarmos no mesmo plano cartesiano o gráfico de f-I, como o conjunto rI = {(y, x) E B X A I x = ~} 2 devemos ter y em abscissa e x em ordenada. Afim de que possamos convencionar que: 1C?) dada uma sentença aberta que define uma função, x representa sempre o primeiro termo dos pares ordenados e 2C?) dois gráficos de funções distintas podem ser construídos no mesmo plano cartesiano com x em abscissas e y em ordenadas. Justifica-se a segu inte regra prática. 195-A e observemos que PM2 + MR2 = 2(~)2 + 2(~ _ C)2 o a 2 - 2ab + b 2 + a 2 +2ab+b 2 2 2 2 2 x + 4 2 =vx =if"; v I 1/ fll 1/ 11/ ./...... ~ ...... f- I......~ ...... I7Y ........... 1/ J .......... 1/ 'I ./ ...... / J Iv ...... ~,~/ IJ I.,:, 231. Teorema Se as funções f de A em B e 9 de B em C são bijetoras então (gof)-I = f-I og-I. IC' f-I og-I, então basta provar que (gof)OW'og-l ) = Ic· Queremos provar que (gof) -I = (f-1og-1)O(gof) = IA e Notemos que f-IOf = IA, fof- I Demonstração Observemos inicialmente; se as funções f de A em B e 9 de B em C, são bijetoras, então a função composta, gof de A em C é bijetora, logo, existe a função inversa (gof) -I de C em A. I 1/ 1ft V--- V V I ? A.331 Obter a função inversa das seguintes funções: A.332 Seja a função f de IR - {-2} em IR - {4} definida por f(x) é o valor do domínio de f-I com imagem 57 A.328 Seja a função f de IR_ em IR., definida por f(x) ~ x2. Qual é a função inversa de f? Solução A função dada é f(x) = y = x2 com x';; O e V;;;. O. Aplicando a regra prática, temos: I) permutando as variáveis: x ~ V2 com V.;; O e x;;;' O 11) expressando V em função de x x ~ y2 = V ~ -yÇ ou V = --yÇ Considerando que na função inversa f-I. devemos ter V.;; O e x;;;' O a lei de correspondência da função inversa será f-I (x) = -...r;. . Resposta: ~ a função f-I de IR+ em IR_ definida por f-I (x) = -...r;.. a) f: IR - {3} ----> IR - {I} f(x)=~ x - 3 c) f: IR - {3} --+ IR - {-I} f(x) ~~ x - 3 e) f: IR' ----.. IR - {4} f(x) = 4x + 2 x b) f: IR - {-I} ...... IR - {2} f(x) = 2x + 3 x + 1 d) f' IR - O·} --+ IR - {.?}. 3 3 f(x) = 5x + 2 3x - 1 f) f: IR - {3} ----.. IR - {3} f(x) = 3x + 2 x - 3 4x - 3 ~. Qual Resp.: ~ a função f-I. de IR - {I} em IR - {2}. definida por f-I (x) 2x + 1 x-I A.330 Seja a função bijetora f. de IR - {2} em IR - {I} definida por f(x) x • 1 Qual é a função inversa de f7 x - 2 . A.329 Obter a função inversa nas seguintes funções abaixo a) f: IR. IR. f(x) ~ x2 b) f: A ----.. IR•• onde A ~ {x E IR I x .;; 1 } f(x) = (x _ 1)2 c) f: A -----+ IR_. onde A = {x E IR I x .;; 2} f(x) = -(x - 2)2 d) f: A-----+ IR_. onde A ~ {x E IR I x .;; -I} f(x) ~ -(x + 1)2 17 7 a ~.!2.==> 7 f-I: B~ A f-I(x) ~ 1+~ Resposta: a = f(5) ~ 4, 5 - 3 5 + 2 Solução Queremos determinar a E IR - {4} tal que f -I (a) = 5, para isto. basta determinar a tal que f(5) ~ a Solução A função dada é f(x) ~ V ~ x2 - 2x + 3 com x;;;' 1 e V;;;. 2. Aplicando a regra prática temos: Il permutando as variáveis: x = y2 _ 2y + 3 com V;;;. 1 e x;;;' 2 IJ) expressando V em função de x x ~ y2 _ 2y + 3 =>- x ~ y2 - 2y + 1 + 3 - 1=> x ~ (V - 1)2 + 2=> =>- (y _ 1)2 ~~~y - 1 =~ ou y - 1 ~ -~=> =>- y = 1 +~ ou y = 1 -~. Considerando que na função inversa f-I. devemos ter V;;;'l e x;;;' 2, a sentença que define a função inversa é f-I (x) = 1 +~ A.333 Seia a função f de A = { x E IR I x .;; -I} em B = {V E IR I V ;;;. I} definida por f(x) = .J x2 + 2x + 2. Qual é o valor do domínio de ri com imagem 37 A.334 Sejam oS conjuntos A = {x E IR I x ;;;'1} e B = {y E IR I y_;;;'2} e a função f de A em B definida por f(x) ~ x2 - 2x + 3. Obter a funçao Inversa de f. V + 1 = XV - V ~ 2x + 1 =>- vlx - 1) = 2x + 1 ==o~ =xy - 2x ~ y-2 2x + 1 x-I e) f: IR _----> B. onde B={yEIRlv;;;'l} f(x) ~ x2 + 1 f) f: IR. -----+ B. onde B = {V E IR Iv .;; 4} f(x) = 4 - x2 g) f: IR_--->B. onde B = {y E IR I y ;;;. -I} ti x) = x2 - 1 x ~ =>y Solução A função dada é f(x) = y =~ com x*-2 e V *- 1. x - 2 Apl icando a regra prática. temos: 200-A 201-A Solução Notemos que 1?1 se x ~O então t(x) = y = x2 _ 1, logo y ~-1. 2?) se x < O então t(xl = y = x - 1, logo y < -1. A função proposta é y = x 2 - 1 com x ~ O e y ~ -1 ou y = x _ 1 com x < O e y < -1. Aplicando a regra prática: I) permutando as variáveis, temos: x = y2 - 1 com y ~ O e x ~ -1 ou x = y - 1 com y < O e x < -1 11) expressando y em função de x, temos: y =~ com y ~ O e x ~ -1 ou y = x + 1 com y < O e x < -1 . Logo, a função inversa f-I é de IR em IR e definida por f-I (x) = {~ se x ~-1 x + 1 se x < -1 A.335 Obter a função inversa das seguintes funções: a) A = {x E IR I x ~ 1} e B={yEIRIY~-1} f:A--+B f(xl = x2 - 2x bl A = {x E iR I x ~ -1} e B={yEIRIY~1} f:A--+B t( xi = x2 + 2x + 2 cl A = {x E IR I x ,;;; 2} e B {yERIY~-l} f: A---+ B f(xi = x2 - 4x + 3 di A = {x E IR I x ~ 1.} e B {yEIRly~_1-} f: A---+ B 2 4 f( xl = x2 - 3x + 2 ei A = {x E IR I x ~ 2} e B {y E IR I y ,;;; g} f:A--+B t( x) = -x2 + 4x + 5 f) A = {x E IR I x';;; -1} e B={YEIRlv';;;5} f:A--+B t(x) = _x2 - 2x + 4 g) A={xERlx~~} e B={YEIRly~_~} f:A---+B 4 8 flx) = 2x2 - 5x + 2 d f e f-I.A.341 Nas funções que seguem, construir num mesmo plano cartesiano os gráficos e x ~-1 x IR. x f(x) = 2x i) f: IR-.> IR. f(xl = (~)x 2 A.337 Nas seguintes funções em IR, determinar a função inversa. { 2x + 3 se x ~ 2 { 5 _ 3x se a) f(x) = bl flxl = 3x + 1 se x < 2 4 - 4x se A.338 A função f em IR definida por t(x) = I x + 21 + Ix - 1\, adrr:ite função inversa? A.339 Seja a função f em IR definida por f(x) = 2x + 1x + 11 - 12x - 41. Determinar a função inversa de f. f · 'd f() 2 3 Construir num mesmo planoA.340 Seja a função f em IR de In' a por x = x - . cartesiano os gráficos de f e f-I. x ~O x Solução 1':' Processo Determinamos inicialmente gOf e em seguida (gof)-I (gof)(x) = g(f(x)) = 2f(x) + 5 = 2(3x - 2) + 5 = 6x + 1. A.342 Dadas as funções f e 9 em IR definidas por f(x) determinar a função inversa de gof. Aplicando a regra prática, temos: x=6y+1 "* y=~ 6 3x - 2 e g(x) = 2x + 5 A.344 Sejam os conjuntos A = {x E IR I x;;;' -2}, B = {x E IR I x ;;;. -4} e C = {x E IR I x ;;;. -1} e as funções f de A em B definida por f(x) = x2 + 4x e 9 de B em C definida por g(x) = x2 - 1. Pergunta-te: existe (gOf) -17 Justificar a resposta. A.345 Sejam os conjuntos A = {x E IR I x .;;; 1-} e B = {x E IR I x;;;' -1 } e as funções: f 2 de A em IR _ definida por f(x) = 2x - 1, 9 de IR _ em IR. definida por glx) = x2 e h de IR. em B definida por hlx) = 4x - 1. Determinar a função inversa de hOlgof). portanto (gOf) -I (x I 2!...:....! 6 x - 1 63 x - 5 + 2 2 2':' Processo Determinamos inicialmente f-I e g-I e em seguida f-Iog-I pois (gOf)-1 = f-IOg-l . Aplicando a regra prática em f(x) = 3x - 2 e g(x) = 2x + 5 temos: f-I (x) =~ e g-I(x) = x - 5 3 2 (f-Iog-I)(x) = f-I(g-I(x)) = g-I(x) + 2 3 portanto (gOf) -I (x) = x ~ 1 Resposta: (gof) -I: IR ---+ IR (goWI(x) ~ 6 A.343 Dadas as funções f e g, determinar a função inversa de gof: a) f: IR-+ IR e g: IR-+ IR f(x) = 4x + 1 g(x) = 3x - 5 b) I: IR-+ IR e g: IR-+ FI f(x) = x 3 g(x) = 2x + 3 c) I: IR.~ IR. e g: IR.-+ C = {x E IR I x ';;;4} I(x) = x2 g(x) = 4 - x d) A = {x E IR I x;;;' %}, I: A-+ B e f(x) = x2 - 3x B = {x E IR I x ;;;. - ~} 4 g: B-+ IR. g(x) = 4x + 9 f: A ---+ IR. f(x) = x2 - 1 e C = {x E IR I x ;;;. 2} g: IR+---+ C g(x)=~ 204-A 205-A APÊNDICE I EQUAÇOES IRRACIONAIS Equação irracional é uma equação em que há incógnita sob um ou mai: radicais. Exemplos ~ = 3, ~ 2x + 1 = 2, V 3x + 2 = x + 2, ~ +~= 5. Para resolvermos uma equação irracional, devemos transformá-Ia, eliminando os radicais, bastando para tanto elevá-Ia a potências convenientes. Não devemO! esquecer que este procedimento pode introduzir raízes estranhas à equação proposta inicialmente. 232. Equação vIf(;J = g(x) 29) verificando se g(a);;' O. Mostremos que g(a);;' O => a é raiz de (1) fIa) = (g(a))2 ==> [Vf((;) - g(a)] [v't(aj + g(a)] = O=> { g(a) =~ = ou g(a) = -ylf0) Como g(a);;' O resulta que só g(a) =~ é verdadeira, isto é, o: é raiz da equação g(x) = Yf0J. Esquematicamente, temos: I v'ffXf= g(x) => 1M = [g(x)j2 e g(x);;' O EXERCfclOS Façamos o estudo da equação irracional do tipo Yf0J = g(x). Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos: f(x) = [g(x)]2. A.346 Resolver as equações a)~c5 Solução b) Vx2 + 5x + 1 + 1. 2x As duas equações podem ser escritas a) Não há possibilidade de introduzir raízes estranhas ao quadrarmos esta equação, pois yf(;J - g(x) = O e f(x) - [g(x)]2 = O ou Vf(x) - g(x) O (1) e (Yf0J - g(x)) • (Yf(;J + g(x)) O (2). qlxl - 5 > O, V- x E IR yI~ c 5 = 2x - 3 _ 52 => x _ 14 S - {14} É claro que toda raiz da equação (1) é raiz da equação (2) porque anulando-se VI(x) - g(xl anular-se-á o produto (YIf(;J - g(x))(Yf0J + g(x)). Entretanto, a reciproca não é verdadeira, isto é, uma raiz da equação (2) pode não ser raiz da equação (1). De fato, uma raiz de (2) anula um dos fatores, podendo anular Yf0J + g(x) sem anular yIf(;J - g(x). Para verificarmos se a, raiz da equação (2), também é raiz da equação (1) podemos proceder de dois modos: 19) verificando na equação proposta, isto é, substituindo x por a em (1) e notando se aparece uma igualdade verdadeira; 20G-A b) Antes de Quadrarmos esta equação é conveniente isolarmos a raiz em um dos membros. Assim, temos: V x2 + 5x + 1 + 1 - 2x = ~~~ - 2x - 1 = -> x2 + 5x + 1 _ 12x - 1)2 => x2 + 5x + 1 _ 4x2 - 4x + 1 = :::::> 3x 2 - 9x = O ==> x o;;: O ou x"'" 3 x - O não é solução pois, vo"2-+-5-'-0-+-1 + 1 * 2 • O x - 3 é solução pois, ~~-5 • 3 + 1 + 1 - 2 • 3 Para verificar se x == O ou x == 3 são ou não soluções da equação proposta podemos utilizar o segundo processo, como segue: qlxl - 2x - 1 9(0) - -1 < O = x = O não é solução gl31 c. 5 > O ==> x _ 3 é solução. 207-A A.348 (MAPOFEI-74) Resolver a equação~ - x = O. A.349 (MAPOFEI-75) Verificar se existem números reais x tais que 2 - x =~ Justificar a resposta. Soluções a) Fazendo .,;;; = Y e x3 = y2. temos: y2 _ 3y + 2 = O => y = 1 ou y = 2 mas y =.,;;;, logo R = 1 ==> x3 = 1 ==> x = 1 R = 2 ==> x3 = 4 ==> x = .v4 5 = {1. ~} b) Fazendo ~ = Y e .,;;= y2. temos 1 2y2 + y - 1 = O => y = 2" ou y = -1 Agora calculemos x: y = -1 => \f; = -1 ==> x ~ IR y = t =>~ = t ==> x = 116 5 = {..!...} 16 5 = {-2, -1}. b)~+~=l d)~-~=l f) ~+~=14 x = 4 é solução pois V2 • 4 + 1 + Y2. 4 - 4 = 5 5 = {4} A.356 Resolver as equações: a) ~=2+yÇ cl~-~=l e)~-~=l A.356 Resolver a equação ~+~=5 Solução A equação proposta é equivalente a x2 + 3x + 4 - Y x2 + 3x + 6 = O => x2 + 3x + 6 - Y x2 + 3x + 6 - 2 = O Fazendo Y x2 + 3x + 6 = y, temos y2 _ Y _ 2 = O => y = 2 ou y = -1 y = -1, não convém, pois, y = Y~x-:-2-+-3-x-+-6-;;' O Para y = 2, temos: V x2 + 3x + 6 = 2 ==> x2 + 3x + 6 = 22 => x2 + 3x + 2 = O => ~ x = -2 ou x = -1 Solução Antes de elevarmos ao quadrado, devemos transpor uma das ra(zes para o outro membro. Assim, temos: ~+~=5=>~=5-~ => (~12 = (5 _~)2 ==>2x + 1 = 25 _ 10~ + 2x - 4==> ~ 1O~ = 20 =>~ = 2 => 2x - 4 = 22 ==> x = 4 A.353 Resolver as equações: a) 3x2 + 5x + 4 = 2 Y 3x2 + 5x + 7 b) x2 + Y x2 - 4x - 1 = 4x + 7 cl x2 - x + 3 = 5 Y x2 - x - 3 di x2 + 4 Y x2 - 2x - 6 = 2x + 3 A.354 Resolver em IR ... a equação xJX .J:X A.352 Resolver a equação Vx2 + 3x + 6 - 3x = x2 + 4 b) 9x + 12yÇ - 5 = O d) x - 2yÇ - 2 = O f) x3 + 7..[';.3 - 8 = O h) yÇ - \f; - 6 = O j) 9W -8R - 1 = O b) ~ + 2 yÇ - 1 = O b)~=3 d) V 2x2 - 7x + 6 = 2 f) ../16 ... v;+4 = 5 h) V 5x + 10 = 17 - 4x j) x - V25 - x2 = 1 I) Y x2 + x - 1 = 2 - x n) V x4 + 2x2 - x + 1 = 1 - x2 p) ) 2x + V 6x2 + 1 = x + 1 A.351 Resolver as equações: a) x - 5yÇ + 6 = O c) 6x + 7yÇ + 2 = O e) x 3 - 6R + 5 = O g)\f;-yÇ+2=0 j) 3~ - 2yÇ - 1 = O A.360 Resolver as equações: a) x 3 - 3R + 2 = O A.347 Resolver as equações irracionais: a)~=4 c) V x2 - 5x + 13 = 3 e) Y 3x2 - 7x + 4 = 2 g) .j5+~=3 j) x + V25 - x2 = 7 k) 2 - x - 2~= O ml V 9x2 + 2x - 3 + 2 = 3x o) )1-~ = x-l 209-A 208-A Solução Multiplicando os termos da primeira tração por x - Y2 - x2 e os da segunda por x+~. temos: A.357 Resolver as equações: a).J;+ 1=~ cl~-~=3 e) y;;-:;:-; - 1 =~~ gl .J 1 + x + x2 + .J 1 - x + x2 = 4 b)~+~=4 dl~-~=2 fi yÇ - .Jx -~ = 1 A.362 Resolver a equação: 2 x+~· + 2 x-~ = x A.358 Resolver as equações: ai~ -~ = .J4x - 23 bl .,J;04 + 2 y;;-:;:-; =~ cl v;-:;:5 =~ - v;. d)~+~=~ el~-~=~ A.359 Resolver a equação: ~+~=Y;-;S+~ 2Ix-~1 + 2Ix+~1 2x2 _ 2 2x2 _ 2 o;; x => x-Y27 x+..[27 => 2 + 2 =x=>2x=xlx2 -11=>x 3 -3x=0=> x-1 x-1 xlx2 - 3) = O => x = O ou x = Y3 ou x = -Y3 x = Y3 ou x = -V3 não são soluções pois devemos ter 2 - x2 > O para que seja real a expressão ~. Somente x = O é solução e isto pode ser verificado facilmente, substituindo x por zero na equação proposta. S = {O}. A.364 IMAPOFE 1-76) Resolver a equação Solução ~+~=~+v;::1õ=> =>(~ +~12= l..;;:s +~)2 => => x _ 2 + x _ 7 + 2.Jx2 - 9x + 14 = x + 5 + x - 10 + 2.J x2 - 5x - 50 => 2.Jx2 - 9x + 14 = 4 + 2.J x2 - 5x - 50 => =>.J x2 - 9x + 14 = 2 +.J i - 5x - 50 => => 60 _ 4x = 4.J x2 - 5x - 50 => 15 - x = .J x2 - 5x - 50 => => 225 _ 30x + x2 = x2 - 5x - 50 => -25x = -275 => x = 11 x = 11 é solução pois -J11=2 + v'11--=-7 =~ +~ S = {11} A.363 Resolver as equações: ai 1 .Jx+~ + .J21x2 + 11 2 A.360 Resolver as equações: a)~ + .J3x"+"2 - V2x"+"5 = V3x b)~.Jx-10=~+~ cl~+~=~-~ d)~-~=~-~ A.367 Sendo a e b números reais, resolver a equação: ~ +~ = .Ja + b - 2x A.365 Resolver a equação A.366 Resolver a equação +x-~ 1 + x + .J2x + x2 .J4x + 20 di -'----c=_ 4 + ..;;; A.361 Resolver as equações: ai x + .J x2 + 16 = 40 .J x2 + 16 cI~+~= 12 ~ 210-A 211-A A.36B Sendo a E IR:. resolver a equação: ~ 5a2 2x + 2 V a2 + x2 ~ ~ Va2 + x2 A.369 Sendo a e b números reais não negativos, resolver e discutir a equação: ~=v;.+Vb 233. Equação .çf f(x) = g(x) Façamos agora o estudo da equação do tipo .çf f(x) = g(x). Vamos mostrar que ao elevarmos esta equação ao cubo não introduzimos ra ízes estranhas, isto é, obtemos uma equação equ ivalente. .çf f(x) = g(x) A.376 Resolver a equação 3~4 .3; 22V x· - 3v x - 20 = O APÊNDICE 11 A;377 Resolver a equação {I x + 49 - {I x - 49 = 2 Solução {I x + 49 - {I x - 49 = 2 = {I x + 49 = 2 + {I x - 49 => ({I x + 49)3 = = (2 + {I x - 491 3 = x + 49 = 8 +3~ + 3( {I x - 491 2 + x - 49 == =>3({lx - 491 2 +3~ - 90 = 0= ({Ix - 49)2 +~- 15 = O. Fazendo {I x - 49 = y, temos: y2 + Y _ 15 = O == y = 3 ou y = -5 mas, y = {I x - 49, então {I x - 49 = 3 == x - 49 = 33 == x = 76 {Ix - 49 = -5== x - 49 = (_51 3 = x = -76 S = {76, -76}. INEQUAÇÕES IRRACIONAIS 234. Inequação irracional é uma inequação em que há incógnita sob um ou mais radicais. Exemplos vx+2 > 3, Y x2 - 3x + 4 > x, v'X+1 +~ > 2. Observemos inicialmente que se a e b são números reais não negativos então A.378 Resolver a equação .çr,;-:;:-; -~ = 1. A.379 Resolver a equação ~ +~ =~. a> b _ a2 > b2 a < b _ a2 < b2 Assim, por exemplo, são verdadeiras as implicações s = {O V5 _V5} , 2' 2 = 4 < 25 =>3>2 =>2 -5 ~ 4 > 25 2> -3 ~ 4 > 9 2v'2 4 g(x) e [f(x)]2 > [g(x)]2. ~=1-~.A.380 Resolver a equação A.381 Resolver a equação Solução Para resolvermos esta equação vamos utilizar a identidade IA + B)3 = A3 + B3 + 3ABIA + B). Fazendo A =~, B =~ e A + B =~, temos: 1{!5x)3 = 1~13 + (~)3 + 3.çr,;-:;:-; .~.~- ~x + 1 + x -1 + 3{15x3 - 5x = 5x=>{l5x3 - 5x = x=>5x3 - 5x = x3 == v'5 v'5 ~ 4x3 _ 5x = O == xl4x2 - 5) = O == x = O ou x = -2- ou x = - -2- A.382 Resolver a equação: A.383 Resolver a equação: Demonstração Seja SI o conjunto das soluções da inequação f(x) > g(x) conjunto das soluções da inequação [f(X)]2> [g(x)]2, isto é, SI = {x E A I f(x) > g(x)} A.384 Resolver a equação: { X+ Y =72 A.385 Reso Iver o sistema de equações: .3/ 3/ vx+Vy=6 e S2 = {x E A I [f(x)]2 > [g(x)]2} Para provarmos que as inequações f(x) > g(x) e [f(x)]2 > [g(x)]2 são equivalentes, basta provarmos que SI = S2' 214-A 215-A Esquematicamente, temos: As condições (I) e (11) podem ser agrupadas da seguinte forma O ,;; f(x) < [g(x)]2 e g(x) > O Acabamos de provar que S, C S2' provemos agora que S2 C S" Para todo Q de S2' temos: x ~-1 I1I e x ~- 5 111) 2 e x ~-2 ou x?2 (1111 (I) b) ~';;x + 1 { x2 _ 3x ~ O => O ,;; x2 - 3x < 4 => p. x 2 _ 3x < 4 -1 11) ..OI++II++III++II++II++III++II++II++III++II+++IIIIH+++++++++HH++HHf++- x 5 ~! ',',I',',',',',','llil\\!ii\I',',',',',',',I,',',',',',',',',',',',',',\',',',',',',',\!,I',',',',',',!!,'\\1\\~ x(11) -2 (111) 111111111111111111111 ~ e 2x + 5 ,;; (x + 1)2 x + 1 ;;;, O e 2x + 5 ;;;, O x2 _ 3x ~ O { x < O ou x ~ 3 e => e x2 _ 3x - 4 < O -1 < x < 4 (11) O 3 IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII~ 01111111111111111111111111- x(I) -1 4 _____--- [f(a)]2 > [g(a)]2 => [f(a)]2 - [g(a)]2 > O =>} => [f(a) + g(a)] • [fIa) - g(a)] > O => e a E A => fIa) ~ O e g(a) ~ O => fIa) + g(a) ;;;, O f(x) ;;;, O e g(x) > O (I) 2?) Quadramos a inequação proposta e resolvemos f(x) < [g(x)j2 (11) o processo para resolvermos esta inequação é: 1?) Estabelecemos o domínio de validade, isto é; Vejamos agora processos para resolvermos alguns tipos de irracionais. De fato, para todo a de S" temos: . { fIa) - g(a) > O} a E S, C A => f(a) > g(a) > O => e = fIa) + g(a) > O => [f(a) - g(a)]· [f(a) + g(a)] > O=> [f(a)j2 - Ig(a)]2 > O=> => If(a)]2 > Ig(a)]2 => a E S2. a E S2 C A 236, Inequação Irracional YfW < g(x) ..; f(x} < g(x) """" O < f(x} < [g(x}f e g(x) > O Analogamente, podemos estabelecer para a inequação YfW';; g(x) ..; f(x} < g(X} O < f(x} < [g(x}j2 e g(x);;;' O A.387 Resolver as inequações: al~ A.388 Resolver as inequações: a)~';;;x c) v'"2x""+9 < x - 3 el ~ -4 Solução a) V"3x""-=5;;:. 2 => 3x - 5 ;;:. 22 => x ;;:. 3 S = {x E IR I x ;;:. 3} cl~>X-2 237. Inequação' irracional Vf(Xj > g(x) o processo para resolução desta inequação consiste em duas partes, que são TI? Parte bl V 3x2 - 7x + 2 > -4 ==> 3x2 - 7x + 2 ;;:. O ==> x < 1 ou x > 2 3 S = {x E IR I x < .!. ou x> 2} 3 x;;:. 1 2 (111 ) (IV) 1 "2 .,11111111111111111111111111111111111111" X 2x - 1 ;;:. O e x - 2 < O (I) ou 2x - 1 > (x - 2)2 e x - 2 ;;:. O (11) e x x-2 === { Resolvendo (I), temos: { 2x : 1 ;;:. O { x - 2 [g(x)j2 (11) 2'! Parte a) Estabelecemos o domínio de validade da inequação, isto é: f(x) ;;:. O e g(x);;:' O (I) g(x) < O e f(x);;:' O pois sendo g(x) < O e f(x);;:' O, a inequação Vf(Xj > g(x) está satisfeita. As condições (I) e (11) podem ser agrupadas da seguinte forma f(x) > [g(x)j2 e g(x);;:' O Esquematicamente, temos: 2 (IV) 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 ... 1 "2 2 (111) n (IV) .. ,11111111111111", SI = {x E IR 1 .!.. ,;;; x < 2} 2 .. x .. x 1 5 (VI-OIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII1111111110 { f(x) ;;:. O e g(xl < O v'fW > g(xl === ou f(x) > [g(xlj2 e g(xl;;:. O Resolvendo (11), temos: { 2x - 1 : (x _ 2)2 = { x - 2 ;;:. O x 2 _ 6x + 5 < O e === x - 2 ;;:. O (V) (VI) .. x S = SI U S2 = {x E IR I .!.. ,;;; x < 5} 2 2 5 (V) n (vI) ------------------1._ X S2 = {x E IR 12 ,;;; x < 5} A solução da inequação proposta ~ dada por: Analogamente, para a inequação Yf(Xj;;:. g(x). temos: { tlxl ;;:. O e g(x) < O v!flXi ;;:. g(x) == ou f(x) ;;:. [g(x)F e g(xl;;:. O (VI) 2 .. 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111,. x 218-A 219-A o (IV) () (V) 11111111111111111111111111111111111111110 ~ = {x E IR Ix < O} A.390 Resolver as inequações: a)~>5 c) ~>-2 e) ..;x2-2x + 7 :;;" 3 g) v' 5 + 5x - 2x2 :;;" 3 b)~:;;"1 d) v' 4x2 - 13x + 7 > 2 f) v' 4 - 19x - 5x2 :;;" -3 (IV) (VI o 1111111111111111111111111111111111111110 3 11111111111111111111111111111111111111111111111111111I11111111111111111111110 .. x .. x .. x A solução da inequação proposta 11 dada por: S = SI U S2 = {x E IR I x < O ou 2. ,;;; x ,;;; 3} 4 A.391 Resolver as inequações a I v'3x""--=-2 > x c) ~:;;"1-x e) v' x2 - 6x + 5 > x - 2 g)~:;;"x+2 I) v'2+x-x2 >x-4 b)~:;;"x d) v' 6x2 + x - 1 > 2x + 1 f) v' x2 + 4x - 4 :;;" 2x - 2 h) v' 4x2 - 5x + 2 :;;" x - 2 j) v' 2 + 3x - 2x2 > x - 2 A.393 Resolver as inequações a) v'5x""+3 v' g(x! => f(x! > g(x! :;;" O Esquematicamente, temos:.. x .. (11) 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111~ 3 -1 4 1111111111111111111111111110 0111111111111111111111111111111111111111111111111.. x 3 "4 3 0111111111111111111111111110 (111) (I) () (11) () (/11) 2a Possibilidade x < O (IV) De modo análogo, para a inequação v'fTx1 :;;" v'9lXl, temos: ~./ .r.:--~___ :::::::::2~V3-x::?2x x (2x f(x) :;;" g(x) :;;" O 220-A 221-A EXERC(CIOS A.394 Resolver a inequação Y'2-x""2-_-X-_- >Vx2 - 4x + 3 Solução V 2x 2 - x - 1 > V x 2 - 4x + 3 == 2x2 - x - 1 > x2 - 4x + 3 ;;;, O => { 2x2 - x - 1 > x 2 - 4x + 3 { x2 + 3x - 4 > O ===> e ==> e x2 - 4x + 3 ;;;, O x2 - 4x + 3 ;;;, O {x 1 (I)= ex ... 1 ou x;;;'3 (11 ) -4 (I) 11111111111111111:> c) .,;a:-;. -...;;+1 > ~ 2 d) V x2 + 3x + 2 < 1 + Y,...x....2-_-x-+=-- inequação proposta é: 4 .IIIIIIIIIIIIIUlIJIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIJlIIIIIIIIIIIIIIIIIII1111111111111111 .. x 65 1i11ll1ll1ll1l11ll11ll1f11ll11l1l1ll1l1l111111111111 111111111111111" x 65 li'11I1111111I1111111I1I11I1I1I1111111111111111111111111111111111111. x (I) (11 ) A solução da a)~...!...==x-4> ...!...=-x> 65 111) 4 16 16 A.399 Resolver as inequações: 3 1111111111.. x 3 1111111111... x 1 OI~IIII1III1I1I1II1I1III1IIIIIIIII1.. x 1 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. -4 111111111111111110-- (11) (I) n(ll) s = {x E fl Ix < -4 ou x;;;, 3} A.395 Resolver as inequações: a)~;;;'~ c) V 2x2 - 5x - 3 ...~ e) V2x2 - 10x + B >yr~""'2r-_-6-x-+-7 g) V 2 - 3x - x2 > V x2 - 5x + 4 b)~ RESPOSTAS CAPITULO I A.1 São proposições: a, b, c, d, e, f, 9 São verdadeiras: a, d, e, 9 A.2 a) 3 • 7 =ft 21 (F) e) (..!...)7 > (..!..)3 (FI 2 2 bl 3( 11 - 7) = 5 (F) f) V2~ 1 (V) c) 3'2+1";;4 (F) g) -(-4) < 7 (V) d) 5'7-2>5'6 (V) h) 3%7 (V) A.3 a) V b) V c) V d) F e) V f) F g) F A.4 a) V b) V c) V d) V e) V f) F g) V A.5 a) F b) V c) V d) V e) F f) V g) V h) V A.7 a) (3 'al((a + 1)(a - 1) = a2 - 1) c) 13y)(*+:i..=ft .'!'..) d) (3m)(y';;;2 + 9 =ft m + 3)4 7 e) (\>, x)(+~) = x) f) (3a)(5a + 4 ,,;; 11) (3x) rJ;.2 = x) 2 g) h) (3a)(~= a - 1) a A.S a) mde 12. 3) =ft 1 e mme 12, 3) ~ 6 b) ~ =ft ~ e 3'10~6'5 ~ 52 g) (3 2 e 3 x ,,;; 32 h) I\>' 00 cl {b} f) '~a, c, e, f, g} d) V E ~ {2, 3, 4, 5} c) F di V B: {e, x, r, c, i, o} b) {e, f, g} e) {a, b, c} c) F b) V b) V a, b, d, f 332 e 83 nA U B U C = nA + nB + nC - nA n B - nB n C - nC nA + nA n B n C a) 500 bl 61 cI 257 d) 84 A : {p, q, r, 5, t} B: {r, 5, x, z} C: {5, t, U, v, x} a) 560 b) 280 ai {a, b, e, f, g} fi a, c, d, 9, h, i D(6) ~ t±l, ±2, ±3, ±6} D(-18) : {±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18} D(-24) n D(161 : {±1, ±2, ±4, ±8} M(41 : {O, ±4, ±8, ±12, ... } M(101 : {O, ±10, ±20, ±30, ... } MI-9) n M(6) : {O, ±18, ±36, ±54, ... } 12,0,-1,1 e 49 a) não, pois 1 E D(a) n Dlb) b) m é um máximo divisor comum de a e b: mdc(a, b) = ±m c) a e b são primos entre si: mdc(a, bl : ± 1 di quando a I b e) Quando a e b são primos entre si fi n é um m(nimo múltiplo comum de a e b: mmc la, b) : ± n a) ±1, bl ±2 c) ±3 d) ±6, e) ±f2 f) ±42 a, b, e, f, h, k, Q 2 4 8 32 271 e 602 "5' "9' 25' 99' 50 111 A.50 A.42 A.44 A,45 A.46 A.47 A.48 A.49 A.55 A.56 A.57 A.53 A,54 A.34 ai {a, b} d) {a, b} A.36 a) V A.37 X ~ {1, 3. 5} A.40 ai V A.41 A: {6, -1}, C ~ {3, -3, 5}, A.51 A.52 CAPitULO 111 e) F j) F e A n B n C: {c} el V fi V e) Q f) P d) F il V B n C : {c} di V d) Q cl F h) V bl F gl V A ~ {x I x é divisor de 6} B ~ {x Ix é múltiplo inteiro e positivo de la} C : {x I x é quadrado de um inteiro} D : {x I x é satélite natural da Terra} D : {3} B: (3 (A) : {(3, {a}, {b}, {c}, {d}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, te. d}, {a, b, c} {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}, A} A U B : {a, b, c, d}, A U C : {a, b, c, e}, B U C = te. d, e}, A U B U C : {a, b, c, d, e} a) V b) F cl F d) V el V fi V círculo de centro O e raio 2r plano C< A n B = {b, c, d}, A n C: {c}, ai V b) F cl F a) L b) R c) Q X = {a, c. e} todas a) V fi V A.12 ai {-9, -6, -3, O, 3, 6, 9} bl {±1, ±2, ±3. ±6, ±7, ±14, ±21, ±42} cl {+' ~, f, 1} di {O} e) {cuiabá, goiânia} A.13 A.14 A.15 A.18 A.19 CAPfTULO 11 A.20 A.21 A.22 A.24 A.25 A,26 A.27 A,29 A.30 A.32 A.33 226-A 227-A 011111111111111111111111111111111111111111111'" ~~ I I 1 1 I 1 1 ) 1 1 A x B = {(I, -2), (I, 1), (3, -21, (3, 1), (4, -21, (4, 1)} B X A = 11-2, li, (-2, 3), (-2, 41, (I, li, 11, 3), 11, 4)} A X C = til, -1), lI, OI, 11,2),13, -1), (3, O), (3,21,14, -li, (4, O), (4, 21} C X A = :(-1, lI, (-1,31, (-1,41, lO, 1), lO, 31, (0,41, (2, li, (2, 3), (2, 4} B2 = {(-2, -21, 1-2, 11, 11, -2), (I, I)} C2 = ,1-1, -1), (-I, O), (-1,2), (O, -1), (O, O), lO, 21, (2, -1), (2, Dl. (2, 21} a b) cl A.93 aI bl cl d) e) f) C: 1111111",,',I',',',',',',IIIII',',IIII',',',',',II',le -1 O D: 11111 11 11 11111 1IIIIo>---------_eIl1II1I1tIlIl1I1I11t1111111111t1l1l111111t1l1l111111t1l1l11111I+1l11111111t1l..... 1 2 A.66 A:-----------..IIIItIIIl1IIII1tIlIl1I1II1tIlIl1II1I1t"..---------.... O 3 B: ---------- y I- ,-1-1 1 c) T = {1-2, -21. 1-2,2),1-1, -11, 1-1, 1), 11, -1), 11, 11, 12, -21. 12, 2)}4 Y 3 2 1 x cl) 4 y 3 2 1 I" 1 4 b 4 y 1 x 1 34 A.95 a) A.98 A2 ~ {(-2, -21, 1-2, Dl. 1-2. 11, (-2, 3), 10, -21. lO, OI, (O, 1), (O, 3), 11, -2), (1, 01,11,11,11,31, (3, -21, (3, 0),13,11,13, 2)} A.99 A X B ~ {(-1, -11, (-1, OI, (-1, 2), (-1, 5), lO, -11, (O, O), (O, 21, (O, 5),12,-11 (2, O), 12,21, (2, 5)} y H-1--1 x 1 I I y rI- 1-1 x 1 i I y 1 1 di V = {1-1, 4), (O, 3), (O, 4), 11, 21, 11, 31. (1, 41. 12, 11, 12, 2), (2, 3), 12, 41} e) W = ;1-2, -31,1-2, -11,1-1, -2), lO, -11, 10,11. 11,2),12,11,12, 3)} A.101 R = {12, 21, 12, 4),12,61,14,2),14,6),16,21,16, 4)} ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( l y f-+--1-1 x 1 I I I b) S = ;1-2,41.12,4).1-1.1),11, 11} A.100al R = {1-2, 4),1-1,3), 10,2),11, 11} !Y I 1 x 1 'I I A.102 !-'y r- - 1 x 230-A 231-A A.l03 , 5 4 3 2 1 5 ·4 3 2 1 1 2 3 4 5 2 I o A.1OS ai , - - fY. C· .-1-- _. I-t- I- - -- . l-r- 1-1-. 3 1-1- 2 _. I x 8 2 4t-=H1 I r- .-2 I I I I bl -I-Yr- I-I-+- 1 1 - r- I-x- I I 1 lv 1-1 " A.l04al D = {I, 2} e Im= {I, 3, 4} bl D = {-2, -1, 3, 2} e Im = {-7, 4, I} c) D = {2, 1, 5} e Im = {I, -3, v'2} di D = {I + 0, 1 - v'3} e Im = {O, l} e) D={3, t, %} e Im={t,-l,O} A.l05a) DIR)={-2,-1,O,l}e Im(R)={l,2,3,4} bl DISI = {-2, -1, 1, 2} e Im (5) = {I, 4} cl D(T) = {-2, -1, I, 2} e Im (TI = {-2, -1, I, 2.} d) DIVI = {-I, 0,1, 2} e Im IV) = {1, 2, 3, 4} el DIW) = {-2, -1, O, I, 2} e Im (WI = {-3, -2, -1,1,2, 3} A.ll16al R = {(O, OI, (1, -1), (1, 1), (4, -2),14, 21} b) DIR) = {O, I, 4} e Im IRI = {-2, -I, O, I, 2} c) c) Rns=0 A.l09 ai R-I = {12. 1). 11, 31, 13,21} bl R-I ,(-1,1),1-1,21, 1-1,31, (1, -21} c) R-I = {(-2, -31, 13, li, 1-3, -21,11, 31} A.ll0al R= R-I = {IO,SI, 11,7), 12,6)'13,51, (4,41, (5,3), (6,2)'17, 11, IS,OI} bl R= {lO, 51,12,41, (4,3)'16,2), IS, 1), (10,OI} R-I = {15, 01,14,2), 13,41,12,61, 11, S), la, 101} cl R = {lO, 101, 11,51, (2,2), 13, 1), (4,21,15,51,16,10)} R-I = {11 O, O), 15, 1), (2,2), 11, 3), (2,41, 15, 5), (10,61 } di R= {Ia, 11, 11,2),12,4I,13,SI} R-I = {lI, 01,12,11, (4,21, (S, 31} cl D(RI = {x E IR I 2 ,;;;; x';;;; 6} e Im IR) = {y E IR I 1 ,;;;; V';;;; 3} f-- A.l07 ai Y I A x B 1-1 x 1 b) V R 1-1 x 1 I A.lll ai I I -+t·- - rt+ f-+-+--H- I- -+-1- --- I- 1-- - -j- -f-- -----+----~------:..-+---t- I " IR = R 1 I~ r." I iX· I=p ~. 1~2 j I', "f-+-+--+-+'+-r-.+++- I)" ,- I , , 2 _ ._1. ,~__L .L_L _1. bl ~ _. --s±H+-H 10 " I I I =;+--i·- ·_·fJ j--+ 11+ ,-lT T~ ll-j 1 !s-II H-f o:; i ~tt~'=rj-··t-Lit'f-':._-t .r-t-+- 2 + ... ·-t-t··· f--+--.- 11- 1-"1- 1-: ,--t-f-+-+;;- 1 2 5 I I i 10 i 232-A 233-A CAPITULO V b) fl- ~ ) = 1 7 dI f(Y4) = 1 fi 1(0,75) ~ 1 e Im ~ {1, 2, 3, 4} e Im = {y E IR I -3 ,,;;; y ~ 2} e Im = {y E IR I 1 ,,;;; y ,,;;; 5} e Im = {y E IR I 1 ,,;;; y < 3} e Im = {y E IR I -3 ,,;;; y ~ 5} e Im = {-3, -2, -1, 0,1, 2} A.119al f(3) ~ 1 c) f(Y2) = 1 + Vi. e) flv'3 - 1) ~ v'3 A.121 x ~ -4 A.122 x = 2 ou x =3 A.123 a) D(fI = {O, 1, 2} e Im (f) ~ {-1, o,d b) D(g) = {-1, O, 1, 2} e Im(g) = {1, 2} c) D(h)={-1,O,1} e Im(h)~{-2} d) D(k) ~ {-2, 0,1, 2} e Im (k) = {-2, -1, O, 2} A.124ai Im = {-2, O, 2} b) Im = {y E IR c) Im ~ {y E IR I y ~ 1 ou Y ;;. 2} dI Im = IR e) Im = {y E IR I O ~ y ~ 2 ou y > 4} f) Im ~ {y E IR I y ~ 1 } A.125a) D = {-3, -2, -1, 0,1,2, 3} b) D~{xEIRI-2~x~3} c) D = {x E IR I -2 ~ x ~ 4} d) D ~ {x E IR I -3 ~ x < 5} e) D ~ {x E IR I -4 ,,;;; x ,,;;; 4} f) D = {x E IR I -3 ,,;;; x < 3} A.126 a) D(f) = IR b) D(gl ~ IR - {-2} c) D(h) = IR - {2, -2} d) D(pl = {x E IR I x ;;. 1 } e) D(q) = {x E IR I x > -1} fi D(r) = {x E IR I x ;;. -2 e x i= 2} gl D(s) = IR h) D(t) ~ IR - {- ~} il D(nl = IR _ {3} 2 A.127 Todas são iguais, pois são todas funções de IR em IR e associam cada número real ao seu cubo. A.128 Não são iguais, pois para x < O temos R i= x. A.131 Não são iguaisi pois não têm o mesmo domrnio. A.132 a) S = {x E IR I x >-4} b) S = {x E IR I x";; -10} c) S = {x E IR I x ;;. _ -3 } 4 A.129 Somente serão iguais se forem funções de A em IR onde A ol qualquer subcon- junto de {x E IR I x ;;. 1 }. A.130São iguais, pois jX2+1 = ~ para -1 -> - x bl f H) = 8 c) f( .!..) ~ 11 2 4 el fl..,..'3) = 7 - 3v'3 f) f(1 - V2) = 4 + Y2 J- ~" L-L-,;L--+--+-+~+,Tti +---1 I -tH f-i----l--!---'---+--i---L 6 ±J-E A.117 a) f(21 = 2 d) f(_.!..) ~ 46 3 9 A.118al f(2) ~ 4 c) flO) ~ -2 A,112 a) não define função de A em B, pois o elemento 2 E A não está associado a nenhum elemento de B. b) não define função de A em B, pois o elemento 1 E A está associado a dois elementos de B. c e d) define função de A em B, pois todo elemento de A está associado a um único elemento de B. A.113 somente (d) pois o conjunto de partida é A ~ {O, 1, 2} e o conjunto de chegada é B = {-1, O, 1, 2} A,114 a) ol função. b) não ol função de IR em IR, pois qualquer reta vertical conduzida pelos pontos (x, O), com x > O, encontra o gráfico da relação em dois pontos. c) não é função de IR em IR, pois qualquer reta vertical conduzida pelos pontos (x, O), com -1 < x < 1, não encontra o gráfico da relação. d) ol função e) é função f) não é função de IR em IR, pois a reta vertical conduzida pelo ponto (3, O) encontra o gráfico da relação em mais que dois pontos e as retas verticais con- duzidas pelos pontos (x, O), COm x i= 3, não encontram o gráfico da relação. A.115a) f: IR -7 IR b) g: IR -7 IR el h: IR -7 IR x 4 -x X ~ x3 x 1--+ x2 - 1 d) k: IR -7 IR x >->2 A.116 a) f: CO -7 CO X 4 -x + 1 234-A 235-A A.134a) S = {x E IR I x ~3} b) S = {x E IR I x> -3} c) S = {x E IR I x ~ 7} dI S = {x E IR I x < O} a) S = 0 f) S = IR A.l36 aI S = {x E IR I x> 1} b) S = {x E IR I x < ..!.} 22 cI S = {x E IR I x > - -} 3 .CAPITULO VI A.137 aI v (0,2) x c) x b) dI v lO, Vi) x A.139 A.l40a) bl v;::2X\ I !VI 1"1 I \V -;iX v' -X"" 1\ "'10...1 I' ,-x ~"I\\v= - ~2 x ~ I~I" 1"\ ~ 1"\ 1 \1\. r\ I' v x J v V V V / V V x 1/ V 1/ I" a) fI 1\ V 1\ x 1\ 1\ " V'" "I"- " xI"- r\, r\ lO. -3) A.l38 Y.t I V-o LV ~=3>f VI V x IJV AX IIJV n - 2 u ~ x VIA t/ t/ V I1 I" V 10,01 x cI d) V- II 1/ x I1 lv x g) h) , y , , x, 1\, 1\ \ I\. , x, 236-A 237-A A.142 a) S = {(3, 2)} b) S ~ {(-2, 4)} A.158 aI ~ el 6 x c) S = {(2, -li} dI S = {(3, -21} 2 x el S = )21 fI S = {(O, O)} y ~ 3 - ~ S~{(3,-1)} b) S = {(2, I)} + O A.143 aI y = 2x + 3 O + 2 A. 145 aI y = 2x - 1 b) 1 - 3xy = 2 cl y = x - 5 d) y = 2 A.147 y = -3x - 2 A.148y = - .2'... - ..!- 9 2 2 2 -2' x A.149y ~ 1...- x + 4 3 xbl f)2 x ~y = "3 + O + A.150y=-.2'...-3 2 3 y = -3x+ 2 + O A.151 a) x 1 bl x + 4Y = + y = - - 3 3 2 c) 2x 1 d) y ~ 2x + 3y ~ 3 3 2 A.152a) crescente para x E A I x";;-2 ou x ;;;. 1 3 x decrescente para x E IR I -2 ..;; x ..;; 1 4 x g) b) crescente para x E IR I -1 ..;; x";; O ou x ;;;. 1 c) 4 decrescente para x E IR I x ";;-1 ou O";;x";;l Y ~ 2x --"3 O + c) xEIRlx";;o x>O y=4-x + Ocrescente para ou A.154 aI crescente dI decrescente b) decresce0te e) decrescente c) crescente fI crescente A.156 a) crescente para m >-2 decrescente para m 1 decrescente para m < 1 A.160x ~ f(x) > O $=O x 6 3 ou ou ...!....f(x) < O $=O -5 < x -1 e x * 3 c) 11 x E IR c) h(x) = O $=O x = -2 d) x O $=O x * -2 el x";;3 238-A 239-A ( ..... I y c--~·- 1 f--f-- -j , "'J ~II \ t-f-- - . f-- ~l-r' fiI-t-+- I-+- -I r- f--t- f--I- j- ~~- - _. L_ __ L-L_ L- _L-L- bI y ~. + ~ --' \ I \ rr ~- _. - - I II ---f-+- '.- t 'L~ -- t--r\. , t -'- t-- ~ I _I _L-_. - -- --- - -- - CAPITULO VII A.175 aI A.171 a) S = {x E IR I x < -2 ou x > _ J.. } 2 b) S = {x E IR / x < 2 ou x > ~} 3 2 c) S = {x E IR I - J... < x ~ 1.} 5 4 dI S = {x E IR I x ~ - %ou x > _ +} A.172 aI s={xEIRlx~} 8 3 b) S = {x E IR I x < -10 ou x> -~} 3 'c) S={xEIRI-2~x A, 176 f(xl = _2x2 + 3x + 1 A,177 aI x = 1 ou x = 2 b) x = 3 ou x = 4 cl x = 2 1ou x = 3 dI não existe x EIR e) x = -2 f) x=-..!. ou x=2 2 gl x=I+V2ou x=I-V2 b) não existe x E IR i) x = V2 2 jI x = -1 Ou x =V3 kl x = O ou x = 2 I) x =V2 ou x="V2 m) não existe x E IR nl x = O dI 29 el _ ~ ti 155 428 b} 4x2 + 4x - 3 = O dI x 2 - (1 - V2lx - V2 = o 1 m = 3 2 m = 5 bl xM = 2 e YM = 12 cl xm = 1 e Ym = O dI 7 -9Xm = - e Ym = - 4 16 el = ~ e - 3xM YM = 2 4 ti 4 7xM = - e YM = - 3 18 A.I84m = -1 ou A.178 S = {(3, 41, (4, 3)} A.180 aI x = 1 ou x = -1 ou x = 2 ou x = -2 bl x = 3 ou x = - 3 cl x = V3 ou x = - V3 d) x = V2 ou x = - V2 el não existe x E IR ti não ex iste x E IR gl x = O ou x = 2 ou x = -2 h) x = 2 ou x = -1 A.182 m > ~ em*" 1 16 A.183 m ~ 17 em*"-2 16 A.185m = -2 ou A,186m y f- 1\ -- -f-- -H - f- -f- f- I- ~ -c- lt x f- I--+- l~ I 11 .J y . -1, -1) 1/ "- t) f-i-I 1'\10, / 1\ 1/ 1\ f) h) ..!. x + 2 1.- x + 2 iT - - ,-,-----,.-- -,---,----,-['- y I I 1\ --I- --I 1-1- ~l ~\- r-Ia, *1 I R= ---'Ir- - - I\..:--tt - -- r--- l ) - I~, OI --f----j :ij- f++ --- l. _1 '_~ e) g) x 2 - 2x - 3 > O x < -1 ou x > 3 x 2 - 2x - 3 = O x = -1 ou x = 3 x 2 - 2x - 3 < O -1 < x < 3 bl 4x 2 - 10x + 4 > O x < 1 ou x > 2 2 4x 2 - 10x + 4 = O x = 1 ou x = 2 2 4x 2 - 10x + 4 < O1.- < x < 2 2 1 >O- 1 Ii m ~ 4 di fj m E IR gl m CAPITULO VIII - y \ I 1\ I -- 1\ I x b)--- -,- _. y \ I \ I \ I \ I I 1\ I I i I xl I y "'" '" I'" 11 x/ A.252 A.254 x = 4 A.255 a) - y / / \ , / / \ / \ y 11 11 I / " ,/ V / / / d) bl y ,/ / 1/ , / y / ," 1/ " /I" 1/ " /I'. / " , c) A.251 a) aI y "I" "I" "I" I " , f) y r , I \ 1\ I \ A.257 aI y - - - C' . - - f- - ---f- , l.-, V l"- V - f- " V I'. V '"i/ x b) --- - -~~ y f- f-~- li -f- 1\ I - f- 1\ I -- --f-f- f- + r- \ lir- 1 x('2. 0 ) 91 y, I 11 \ 11 , 1\ 11 11 11 h) y I 1\ I 1\ I \ I \ \ 1/ ~ , . c) v \ I \ 1/ \ I 1/ \ I \ 1/ \ I \ 1/ 1\1 3 x 1''2. 0 dI v I 1\ I I 1\ I1 1\1 2 x 1'3. 01 248-A 249-A I' t j 11 el gl ~~ I f/TJv\ :t ~ .~ ~!I-+ --je-. - e~ , I- - 1/ 1\1 I -- t\ II-+-- ~~- Ip- 1\'Iri I -~- I , I +-+--~ -~Fe-:J +--+-ri el A.261 ai ~ - ,. ~ f--- v I- -I-- -fo- I-- f--- - +" ~- f--- c--, \ V "I- I--f- I-- --\ -f I r-I-e -~ -f- I-- I-- ,- -- I-- f-~ ~f--- f--- e-L_ I , 'Tr T ]v ,LL c- ~:= h~ t r-t- I-t-- c·~· . ~--- --r 1/ f-t-- I , i .---+ ,~I-~. Ii fi , I I , I I I I I I ti bl -- ~J T r- n-~I- ~--I- ~ J ..j -I-~ -~ t---~- -I- . .1- __ ~ - L_ c- f-+-e- i\ I I 1 I- _ " 1----1-- ~t-"-J I TI lt I v I I j I I f\ I • - I-o 1\ I , , +-+-I I , I i - -,, I I I + I- ~-++-fj! I L_ A.259 ai ITE v I ... 4=I-+- - ,~···l .- -- - ~ -"K ~ I ' ~- /-V I' ~. -+- 7! I ;~ I-~ I "- / . ... ,,,-- '- l/ '-/ . - f--- --+--t- ~ ~ --I bl I I ~l---ll----'--+-L Lê'_ di cl 250-A 11FF I • t- - ~~- ~- -"-,i :. i---L+- 1--' \ L +___ ... fi I-+--~ i\ t + + ~ ,- ,V , ~_____ i ii i , r , t FÉhTtl , 1 j di y -f--- I-- - -c I- -I- ~ ~ ~~ - -1-. -- I- H- . IJ+-- rT h t- I-- W rT ~- I rt I 1\VNJ ! L'-; : LL J J -1 ,TIT el fi 251-A fI b) y' J J J / x- I ) y--- I. I / 1I e- " 1/1\ x I b d) t--' Y T -,- LI ~k:e- ./'1/ 1'\ V 1'.1/ 1'.1/ x I Y /1\ 11 1\ x I c) c) A.265 a) ~~t:t=tit A.267a) --- Y \ I '"v,I \ J 1\ 11 \ 11 \1' x hly \ -.- ~. fl- >--~e-\ ~- t-- 1\ 11\ 1I \ ~ ./ xt-- f- I I I IY l I I I t-- f- li '-.- -jL!--f- - , I ' =,-til t--+--+--t-+-.--f-- I-j ;f-I i I I I , I I x I -=1 i f~-,- I -- ! I ~- - ri I ( - r tTi I I I -- y , i\ , 11 " f-- ~--,f- -- -\ , \ 11 11 x ---- Y J- -+-H--e- I - I 1 L x I , -~>-- [ -- -- t- t-- jr~~>-- . 11 >--I L.- A.263 i) A.262 g) 252-A 253-A A.26B a) S = {1, -5} bl S = {1, - ~} cl S = { ~} 4 dJ S = ~ a) S = i-l, 1, 2, 4} f) S = {_.!- .!- 2 3} 2' 2' , gl S = {1, 3} A.269 ai S = {- %' - ~} bl S = {2, - ~} cl S = {-6, -1, 1, 4} d) S = {- 1. 2. 1} 2' 3' A.270a) S = {.!-} bl S = ~3 c) S = {4, 2J d) S = {-13, -6} a) S = {x E IR I " ;, ~} 3 a 9 )[f ,~ - ~~~-~-y I \ II II I- 1\ IJ II I-+-I\~ JI\ , fi - f- V "--I ) y I' -~ ~ t- -I-t- I'. I' l- r, 1\ 1\ :-... 1/ 11' 1.1 " ~ t- t-," ) y , , 17 "I f) S = {x E IR I x ;, ~ } 3 A.271 a) S = {" E IR I - ~ < x < 2} 3 bl S = {" E IR I 1 ..;; x ..;; 2} c) S = {x E IR I - .!- ";;,,";; 3} 3 d) S = {- ~} 3 ai S = ~ t) S = {x E IR I x < -1 ou ,,> 2} gl S = {" E IR I " ..;; - -ª- ou ,,;' O} 5 h) S = {x E IR I " ..;; .!- ou ,,;' 1 } 3 i I S = {" E IR I " i= -ª-} 3 j) S = IR k) S = {x E IR I -2 ..;; x < O ou 2 < x ..;; 4} A.272 ai S = {" E IR I 1 < x < 2 ou 3 3} c) S,;, {" E IR I " ..;; -1 ou 2";; x ..;; 3 ou ,,;' 6} di S = {" E IR I -2 ..;; " ..;; 1 ou 2";;,,";; 5} ai S = {" E IR I - .!- CAPITULO IX A.279 a) rT-r-,--,,,--.,,, b) I, . c) , A.280 a) - r- H-++-+-t+t-+++-+-t-+ .+- H-++-+-t-t-+-+-t-Tt---H-t--H c) bl d) d) r++-r+1''-t-H-t-1 eI r+--tLH-t---t-t-i----1 f) , , A.282 aI 1-_ f+H-H-I-HHt-I-HH-i-t-l b) , . 1/ g) r+-+-l-Lt-+-+-+-+- 258-A h) , l..I . c) 257-A [i v cl H-++'-1r-++H-+++-jH-+H--! v f- f0- fo- v j t -.\ - , .... , I- i - f- ·L. v ·f-H- I di I) b) +- v .. +-t- - +- .j- . I , . h ~ H v f - ! , I- j_.- ..... L oI cl A.288 a) \ I- +- - I-fl - v - I [\, '" , l-t- b) di -+-+--jc-+-+--i-t--rl/ -+-+-H-jl- r I-- - t- f- _..". l-- C-+-+-H-+-+-H-f+-+-H-I-- I- ) v 1\ -l- .l--I" !".. 1'\ , f-t-f-- +-+-- +. j- +-H-H---H++-+-H+- - H 35 A.285 12 A.284 a b) g) hl v - +- · I +- 258-A 259-A 9 A=B SOBREJETORA f 9x2 - 12x + 6 se x;;;. 1 1 1 - 3x se "3 < x < 1 1 -9x2 + 12x se x < "3 se x < -1 se -1 < x < 1 se x ;;;. 1 {'''' se x>21 - 4x2 se -1 ",; x ",; 1 x 4 + x 2 se x Não, pois f não é injetora, por exemplo: f(-l) o;;:; f(l) '--- 1, e portanto f não é bijetora. A.381 a) f-I : iR - { 1 } ~.. IR - {3} f-I (xl = 3x~ x - 1 d)'~'I'l J 'U ++-1-+"+- e--: 1 I .-.. t •• I ' lJ , 1/ V iJ' Jr:! ~fí I- r 1/, 1/ 1/ 1/ 1/ 'Y , ' 1/ fj I 1 I ~ I I I !, , I ' I bl Não, pois f não é injetora, por exemplo f(-2) =. f(l) = 3, portanto f não é bijetora. l x - 5 se x;? 7 f-I (xl = ~ se -8';; x < 7 5 x + 5 3 se x el (gofl- I : C ---+ A (gofl-I(x) =~ A.344 Não, pois 9 não é injetora, por exemplo: g(-1) = g(1) =.0, portanto gOl não é bijetora. A.343ai (gofl-I :IR _IR (gofl-I(x) ~ ~ 12 c) (gofl -I : C ---->-IR + (gofl-I(x) ~~ c) S = { ~ } flS={40} c) S = {2, 6} f) S = 0 clS={4} bl S ~ {-4} di S = { 7 + [33 , flS~(77J hIS={3} j) S~{4} I) S = {1} n) S = {O, -±-} pl S = {o, 2} b) S ~ {...!..} 9 d) S = {4 + 2~} flS={l} h) S ~ {81 } j)S~{l'l~} b) S = {5, -1} 1-Y29} 2 b) S = 0 e) S ~ { ]J2 } 4 b) S = {2} e) S = {8} 4--} Y5 b) S = {--[,} e)S~{3a} A.345 [ho(gOII]-I: B -------> A [ ] 2-~holgOfl -I (x) 4 A.347 ai S ~ {e} cl S ~ {1. ,4} e) S ~ {O, ~} gl S ~ {13} i) S ~ {3, 4} k) S ~ {O1 m) S ~ 0 o) s ~ {=} A:348 S ~ {5} A.349 S ~ 0 A.351 a) S = {4, 9} c) S = 0" e) S = {1, V25 } g) S = {16} j) S={l, 1~} A.353 a) S = {-2, ~} c) S ~ {4, -3, 1 + f29 ' d) S ~ 0 A.354 S ~ {o, 1, 4} A.356 a) S ~ {64} d) S = {34} A.357 a) S = {O, 4} d) S = {1, 17} g) S ~ {_4_, V5 A.358 a) S ~ {6} d) S ~ {3} b) (gofl- I : IR -+IR (gofl-I (x) = :/ x ; 3 di (gofl- I : IR+ - A (gofl -I (x) = 3 + ..;: 2 Y --,~ - y",x 1/ / --- 1/1 --- ! ~~ f~f~f- f-I/ ...... / , /'[ - -- / 1--- / I - - - f- -- f- f-17L ~~ Vf- f- - "-f- 1ft y=y 1/ f- i-- - I / '/ 1/ f....... ./:/ .... t-f- f-..... /1/ I-- "--- I/ 1/f- i--7 l-V V hl f-f- - I f-I-- t:.'';.-:.:- .....-+'--+-+-+---1 ~ 1/Y f 1/ f- ~\ - f- I/1/ f- I-- 1\ - 1/f- --- I/ f- i\... [/ 1/ i\... , [/ ....... 1/ _1'--tlf-17 -1- - -- L. L l_ ~1--=~lfIY- v=x 1/ [7~f--t ' f-, ! , 1/ /, r- I/ 1/ f f- V'1/ , , f-- ' I 1/ I 1/ -f-j I 1/ -+f7 f' - Ll/ i - f- e) f- y f - ~tt#l---~ 1---- i H-+-+-rt- -;~+ t Y='= ~ v --------: f' g) 264-A 265-A 2&7-A bl S ~ {x EIR I x ;;>-2} b) S = {x EIR I x > 4} d) S ~ {x E IR I x ;;> 1} ou bl S = {x E IR I - i- ,;;; x ,;;; 2} c) S ~ {x E IR I -2 < x ,;;; -1 ou 1 2--';;;x,;;;- 3 3 A.390 a) S ~ {x E IR I x > 11 } c) S={xEIRlx;;> ~} d) S = {x E IR I x < ~ ou x > 3} oi S = {x E IR I x ,;;; 1 - fi ou x;;> 1 + v'3 } ti S = {x E IR I -4 ,;;; x ,;;; t} g) S = 0 A.376 S ~ 0 A.37B S = {-2, 7} 3 2}A.379 S~{l'2' A.380 S = {1, 2, lO} A.382 S = {O} A.3B3 S _ {V5 _v'5}- 2 ' 2 A. 384 S = { : } A.385 S = {(B, 64), (64, B)} A.3B7a) S={xEIRI~';;;X2} cl S ~ {2} bl a = b =- S ~ {x E IR I x ;;> a} a * b = S = {a + b} • 7 } b) S = 1.4" d) S = {4, -3} ti S={4+V3, 4-vS} { 3+V3 3-V3}h) S = O, 4 ' 4 j) S ~ {O -3, {} b) {(-4, 6)} bl S = { 1. } 3 b) S ~ {19} b) S = { ~ } { 5a2 - b 2 }Ibl;;>lal==>s= o, 4a b) S = {(lO + 4Y6, 10 - 4V61) di S ~ {(9, 4), (4,91} a A.391a) S ~ {x EIR 11 < x TA.6 IMACK-73l Duas grandezas x e y são tais que: "se x = 3 então y = 7", Pode-se concluir que TA.11 Sendo dado um conjunto A com n elementos indiquemos por a o número de sub- conjuntos de A. Seja B o conjunto que se obtém acrescentando um novo elemento a A e indiquemos por b o número de subconjuntos de B, Qual a relação que liga a e b?a) se x * 3 então y * 7 d) se x = 5 então y = 5 b) se y = 7 então x = 3 c) se y * 7 então x * : e) nenhuma das conclusões acima é válida a) 2a = b b) a = 2b c) b = a + 1 d) a = b e) n' a = In + llb TA.12 (MACK-76) Dado o conjunto C {O, 1, 2. 3}. o número de subconjuntos próprios de C é: TA.13ICESCEM-77) Um subconjunto X de números naturais contém 12 múltiplos de 4, 7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e 8 números fmpares, O número de elementos de X é: e) 18d) 16c) 14b) 12a) 6 a) 32 b) 27 c) 24 d) 22 e) 20 TA.14 IMACl TA.18 (MACK-74) Sabe-se que A U 8 U C = {n E rt.I 11';;; n';;; lO}, A n 8 = {2,3,8: A n C = {2, 7}, 8 n C = {2, 5, 6} e A U 8 = {n E rt.I 11 .;;; n .;;; 8}. O conjunto C é: a) {9, lO} dI {2, 5, 6, 7} b) {5, 6, 9.10} e) A U 8 c) {2, 5, 6. 7, 9, lO} TA.25 (GV-761 De todos os empregados de uma firma, 30% optaram por um plano de assistência médica. A firma tem a matriz na Capital e somente duas filiais, uma em Santos e outra em Campinas. 45% dos empregados trabalham na matriz e 20% dos empregados trabalham na filial de Santos. Sabendo-se que 20% dos empregados da Capital optaram pelo plano de assistência médica e que 35% dos empregados da filial de Santos o fizeram, qual a porcentagem dos empregados da filial de Campinas que optaram pelo plano? TA.19 (MACK-741 Dentre as seguintes afirmações: aI 47% b) 32% c) 38% d) 40% e) 29% TA.21 (CESCRANRIO-761 Sejam A = (_00, 2] e 8 ~ [O, +(0) intervalos de números reais Então An8 é: TA.23 (CESGRANRIO-761 Em uma universidade são lidos dois jornais A e 8; exatament, 80% dos alunos lêem o jornal A e 60% o jornal 8. Sabendo-se que todo aluno é leito de pelo menos um dos jornais, o percentual de alunos que lêem ambos é: bl A n (8 - AI =.0 d) (A Ua) nA = {-1, O} a) A U 8 = {2, 4, O, -1 } c) A n 8 = {-I, 4, 2, O, 5, 7, 3} e) nenhuma das respostas anteriores Assinale dentre as afirmações abaixo a correta: ai (An8IUC={xEIR!-2';;;x';;;2} b) C - a = {x E A 1-5 < x< -2} c) A - (8 n C) ~ {x E IR I -1 .;;; x .;;; O} d) A U 8 U C = {x E IR 1-5 < x.;;; 2} e) nenhuma das respostas anteriores TA,27 (CESCEA-72) Dados os conjuntos A = {1, 2, -1, O, 4, 3. 5} e a = {-I, 4, 2, O, 5, 7} assinale a afirmação verdadeira: TA.29 (PUC-75) Sendo A = {x E IR l-I < x';;; 3} e 8 ~ {x E IR 12 < x';;; 5}, então: aI A n 8 = {x E IR I 2 .;;; x .;;; 3} bl AUa={xEIRI-l TA.31 (GV-75l Considere a parte hachurada nos diagramas, onde A e B são subconjuntos de S considere as denominações: c) m > n I 1 e m c Slnl el E CI Inteiro OI Real EI Complexo bl m < n e) m ::.-= n di OcI C B) Irracional bl B A) RJcional A alternativa correta era: ai A ai m c n ou m c Slnl di n < m TA36 (FUVEST--77l Em um teste de cinco iJlter-natlvas, com ':-Ima únicLl corret;l, as alternativas eram" TA37 (CESCEA-68) Se nem são números naturais e se n - C ==> ABC > C2 di ~ < B A TA.44 IGV-73) Sejam a, b e c números reais quaisquer. Assinale a afirmação verdadeira. a) a > b = a2 > b2 bl a > b = ac > bc c) -Ja2 + b2 ;;;. a d) _c_~.:.+.:. e) a2 ~ b2 = a ~ b a + b a b TA.51 ICESGRANRIO-77) Considere a expressão 1 1-+- 5 3 0,999... + -3--1- 5"-15 TA.45 (PUC-70) Sendo a e b números reais quaisquer e m um real diferente de zero, então: Efetuando as operações indicadas e simplificando, obtemos: TA.48 (EPUSP-66) O número x não pertence ao intervalo aberto de extremos -1 e 2. Sabe-s que x 3. Pode-se então concluir que: a) x~-l ou x>3 blx;;;'210u x 3 e) nenhuma das respostas anteriores. a) n é um número natural ímpar se B = iR b) n é um número natural ímpar V p E B cl n é um número natural ímpar se e somente se B = Z d) n é um número natural ímpa"r se e somente se 8 = N e) n é um número natural ímpar se e somente se B = N * TA.47 (CESCEM-66) A desigualdade (x + yl2 > x2 + y2, sendo x e y diferentes de zer a) é sempre verdadeira bl s6 é verdadeira se x e y forem positivos c) só é verdadeira se x e y forem negativos d) só é verdadeira se x e y tiverem o mesmo sinal e) 56 é verdadeira se x e y tiverem sinais contrários a) a>b e am >bm então m~ 1 b) a;;;'b e am ~ bm então m TA.57 (CESCEM-71I Dada uma seqüência de números positivos ai, a2' ''', an um algoritr utilizado em computadores eletrônicos para saber se algum dos elementos da seqüên, é um quadrado perfeito é o seguinte: RELAÇÃO BINÃRIA TA.62Se a é um número negativo e b é um número positivo então assinale a correta: TA.63 Se as coordenadas de A e B são respectivamente (-2, 2) e (-3, -1) então as coorde- nadas de C são: TA.66 (UFF-71) Sabendo que A e B são dois conjuntos tais que: 1'?) (1, 7), (5, 3) são elementos de A X B 2'?) A nB: {1, 3} TA.65 (CESGRANRI0-741 Sejam F: {1, 2, 3, 4} e G: {3, 4, 7}. Então: a) F X G tem 12 elementos b) G X F tem 9 elementos c) F U G tem 7 elementos 'd) F n G tem 3 elementos e) (F U G) n F : >3 b) (b, a) está no 2'? quadrante di (a, -b) está no 4'? quadrante • a) (a, b) está no 1'? quadrante c) (b, -a) está no 1'? quadrante e) (-a, -b) está no 3'? quadrante a) (2, -4) b) 1-4, -2) c) (4, -2) d) (-4,2) e) (-2,4) TA.64 (CESCRANR 10 731 Sendo A ~ {1 ,3} e B ~ {2 .4}, o produto cartesiano A X B é dado por: a) {(1, 21, (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)} b) {(1, 2), (3, 2), (1, 4), (3, 4)} c) {(1, 31, (1, 21, (1,41, (3, 4)} d) {(1, 2), (3, 4)} e) nenhuma das respostas anteriores ai : ai a2 a3 bi : 2,71 4 b3 ci :2 c2 531 di : 4 d2 271961 os dados são suficientes para afirmar que: ai a2 é quadrado perfeito b) a3 é quadrado perfeito cl somente a2 é quadrado perfeito di somente a3 é quadrado perfeito e) nem ai nem a3 são quadrados perfeitos TA.58 (MACK-741 Os números reais x e y são tais que x > 1 > y. Sejam S ~ x + e P = xv. Nessas condições: a) S > P bl P > S c) 5 pode ser maior, igualou menor que P d) S pode ser maior ou menor, mas nunca igual a P e) nenhuma das anteriores. x + 1TA.59 (FCESP-74) O número real r que não pode ser escrito sob a forma r ~-x-' x real, , 1. Construir uma nova seqüência b 1, b2, "', bn. obtida da primeira pela extração da ri quadrada de cada um de seus elementos. 2, Construir uma nova seqüência cI, c2, ''', cn' a partir da anterior, onde cada ci Ê menor inteiro contido em bj. 3. Construir a seqüência di, d2 , .. " dn• obtida da anterior elevando·se os elementos ci quadrado. 4. Comparar os elementos da seqüência di com os respectivos da seqüência aj' Os c forem iguais são quadrados perfeitos. Nestas condições, dadas as seqüências abaixo TA.60 (PUC-76) Se a) X IR e) X IR" X ~ {x E IR I(x + 1) • (x - 1) : x 2-l}, então b) X : IR+ cl X = 0 dl 31 x E R Ix E X ai -1 b) O c) 1 d) 2 e) 3 podemos afirmar com toda segurança que: a) A X B tem B elementos b) A X B tem mais de 8 elementos c) A X B tem menos de 8 elementos d) A X B não pode ter 9 elementos e) nada se pode afirmar sobre o número de elementos de A X B TA.67 (CESCEA-73) Sejam os conjuntos A: {1, 2, 3}, B: {a, {a}} e o produto car- tesiano A X B: {(1, a), (1, {a}),(2, a), (2, {a}):(3, al, (3, {a})}. Entre as relações abaixo, uma e apenas uma, é falsa. Assinale-a: TA.61 (FEI-68) Sendo x um número real positivo qualquer, tem-se ai .,fX + .,fX : 1 + x para algum x > O b) ..rx + ..rx < 1 + x para qualquer x > O c) .,fX + .,fX > 1 + x para qualquer x > O d) .,fX + .,fX : ..rx + ~, para qualquer x > O e) nenhuma das anteriores. a) {a}EB e {a}CB c)j25CAXB e) nenhuma das anteriores b) {(1, a), (1, {a}), 12, a)} C A X B d) {la, {a}), (1, {a})}C A X B 278-A 279-A TA.69 Com base na representação cartesiana de A X B abaixo podemos concluir: c) IR f: IR --->IR uma função. O conjunto dos pontos de com uma reta vertical. d) a) IR+ b) IR" e) {x E IR e x *± 2 } FUNÇÃO TA.73 (PUC-76) O dominio da relação f = { (x, y) E IR X IR 1 y = _2_} é: 4 - x2 TA.74 (CESCEM-75) Dizemos que uma relação entre dois conjuntos A e B é uma função ou aplicação de A em B quando todo o elemento de: a) B é imagem de algum elemento em A b) B é imagem de um único elemento de A c) A possui somente uma imagem em B d) A possui, no mínimo, uma imagem em B e) A possui somente uma imagem em B e vice-versa TA.75 (CESGRANRIO-77) Seja interseção do gráfico de a) possui exatamente dois elementos. b) é vazio. c) é não enumerável d) possui, pelo menos, dois elementos. e) possui um s6 elemento. TA.76 (PUC-75) Qual dos gráficos não representa uma função? .1~ "71\' oi i==. '-k=-. .1 ~ • TA.77 (PUC-76) Qual dos gráficos seguintes representa uma função f de IR~ em IR? a) tl/ b)~ c)~R ---==t=-- IR -----+=::==:=== • IR IR d~IR e) -E- IR - TA.78 (PUC-77) Se x e y são elementos do conjunto R, qual das relações é função de x? a) {(x, y) I x = y2 - 1} b) {(x, y) I x ~ Iy I} c) {(x, y) I y =~ } d) {(x, y), x < y} e) {(x, y) I y = x2 + 1} x 2 2 1 1 3 2 3- 123 Y3 ..------, , , 2 -~ : ~1 ---r----- : I 2 (c 2 1 - 1 3 2 3 2 (e c) F = (5,6,7,8) d) (E n F) U F = E 2 ! iI •I , 1 I 1 --ª- 2 3 b 2 b) E - F = ~ D = { (x, y) E A X B 1 y ;;. x + 4}, tem·se que 2 1 1 3 2 3 2 (d a) A = B ~ {1, 2, 3} b) A ~ { 1, 2, 3} e B ~ {x E IR 11 .;;; x .;;; 3} c) A = {x E IR 11 .;;; x .;;; 3} e B ~ { 1, 2, 3} d) A ~ B ~ {x E IR 11 .;;; x.;;; 3} e) nenhuma das respostas anteriores. o gráfico de A X B é melhor representado por: Então, se ( 2 I I, I, I, , 1 1 --ª- 2 3 TA.71 (PUC-77) Sendo E = {1, 2, 3, 4, 5,6,7, 8}, p(y): y + 1 .;;; 6 e F ~ {y E E I y satisfaz p(y)}, tem·se: Observação: F: complementar de F em relação a E TA.70 (CESGRANRIO-73) Seja Z o conjunto dos inteiros. Sejam ainda os conjuntos A={xEZI-l Sejam M, N, P as imagens das funções f, g e h respectivamente. Então M' U N' U P' onde X' = complementar de X, em relação a A, é o conjunto: d) -2 TA.85 O valor de f (-2) é: 1 a) 2 b) 2 c) O e) nenhuma das respostas anteriores TA.86 (CESCEM-71) ~ dada uma função real tal que: 1. f(x). f(y) ~ f(x + y) 2. f(1) ~ 2 3. f(y2) = 4 O valor de f (3 + V2) é: a) (3 + V2 )2 b) 16 c) 24 d) 32 e) impossfvel de ser determinado pois faltam dados. e) {1, 2, 3}d) 0c) {1}b) {2, 3, 4}a) A TA.79 (GV-72) Os diagramas abaixo definem as funções f, g e h de A em A, sendl A = {1, 2, 3, 4}. flx) ~ -fI-x) e f(x + a) = f(x) TA.87(FEI-65) Uma função flx), definida no conjunto dos números reais, sendo a um número real determinado, verifica as propriedades: TA.88 (CESG RAN RI 0-76) Sejam ,z o conjunto dos números e N = {n E,z In;;;' 1}. Con- sidere a função f: IN--+,z definida por f(n) = xl + ... + xn onde xk = (_l)k, para cada k = 1, ... ,n. A imagem da função f é o conjunto. d) {-1, O, 1} e) {-I, O}c) ,z b) f(x) = fIa) c) f(2a - x) = -f (-x) e) nenhuma das anteriores é correta. b) {O}a) {O, I} Então: a) fIa + x) ~ fi-x) d) fl2a) = fia) x e) [2; 4]d) (3; 6) TA.80 (CESCEM-76) Se f: A .... B é uma fu- ção e se O C A, chamamos de imagem de O pela função f ao conjunto ano- tado e definido por: f = {y E B I existe x E O tal que f (x) = y}. Se g é a função de R em R cujo grá- fico está representado ao lado, então a imagem g < [5; 9] > do intervalo fechado [5; 9] é: a) (2; 6) b) [2; 6] c) [3; 6] (CESCEM-68) O enunciado abaixo refere-se aos testes 81 e 82 que o seguem: Seja f(. uma função cujo domínio é o conjunto dos números inteiros e que associa a tod inteiro par o valor zero e a todo inteiro ímpar o dobro do valor. FUNÇOES DO 19 GRAU TA.81 t(- 2) vale: de IR em IR é tal que, para todo x EIR, f(3x) = 3 f(x). " -1 di -3c) -5b) 2a) O TA.91 (PUC-76) A função 1 ~ x + 1 representa em IR x IR uma reta a) paralela à reta de equação y = x + 3 b) concorrente à reta de equação y ~ 2x + 5 cl igual à reta de equação y ~ x + 2 d) que intercepta o eixo das ordenadas no ponto (O, 1) ,; que intercepta o eixo das abscissas no ponto (-1, O) TA.90 (PUC-75) Na função f definida por f(xl ~ ax + b: a} o coeficiente b determina o ponto em que a reta corta o eixo das absd~s b) o coeficiente a determina o ponto em que a reta corta o eixo das ordenadas c) o coeficiente b determina a inclinação da r8ta " ,I d) o coeficiente a determina o ponto em que a reta corfa O eixo das abscissas 'e) o coeficiente b determina o ponto em que a reta corta O eixo das ordenadas TA.89 (MACK-75) A função f é definida por f(x) ax + b. Sabe-se que f(-I) = 3 e f(l) ~ 1. O valor de f(3) é: umaf(n) el +2 d) zero c) f(l) ~9 e) não sei 84 e 85. Seja d) -2 d) v'2 c) -f (2) c) 2Y4S b) não está dei inidaa) zero a) O b) 1 c) 2 el nenhuma das respostas anteriores TA.82 f (+ y"4S2\ S inteiro, vale: a) 2S b) 4S e) nenhum dos valores acima. TA.83(MACK-77) A função Se f (9) = 45, então: a)f(1)~5 b)f(1)=6 d) f (1) não pode ser calculado (CESCEM-69) O enunciado abaixo refere-se aos testes função definida, para todo n inteiro pelas relações. { f (2) ~ 2 f(p + q) = f(p) • f(q) TA.84 O valor de f (O) é: 282-A 2S3-A TA.92 (MACK-69) o gráfico da aplicação definida por F = {(x, yl E [2,5] • [2,5] Iy = x} C IR X IR, onde [2, 5] = {x E IR I 2 ",;; x ",;; 5} é aI um conjunto finito de pontos b) uma reta cl urna semi·reta )'Il um segmento de reta e) nenhuma das respostas acima é correta. TA.99 (CESCEA-751 A solução do sistema [ 3X + 2 < 7 -2x 48x < 3x + 10 11 - 2(x - 31 > 1 - 3(x - 5) é o conjunto de todos 05 números reais x tais que: TA.94 (EAESP-GV-77) Uma empresa produz e vende determinado tipo de produto. A quar tidade que ela consegue vender varia conforme o preço, da seguinte forma: a um preço' ela consegue vender x unidades do produto, de acordo com a equação y = 50-~ Sabendo·se que a receita (quantidade vendida vezes o preço de venda) obtida foi d Cr$ 1,250,00, pode-se dizer que a quantidade vendida foi de: x - 3 ..... O TA.101(PUC-76) O conjunto verdade da inequação ~ """ a) {x E IR e (-5 < x ",;; 31} b) {x E IR e (x < -5) e (x;;;. 3)} cl {x E IR e [(x < -5) ou (x ;;. 3)]} d) {x E IR e x -=F -5} e) {x E IR e [(x",;; 5) ou (x ;;. 3)]} e) y> O então: é dado por: 2 cl -1 < x < 9" se 1 < x < 2, d) y> 2 b) -1 e) -1 a) -1 < x < O 1 dI -1 < x < 3" TA. 100 (FCESP-74) Seja y = (x - 1I (x - 2) (x - 31; e) y < -2 b) y < O c) y = O y ~ se f(x) < O, então x>3 se x >2, então f(x) > f(2) c) se x ~1 TA.98 (CESGRANRIQ-73) Dada a inequação a solução é: aI {x I x < 2/3 ou 2 < x < 5} c) 2/3 ",;; x ",;; 2 el diferente das quatro anteriores (3x - 2)3 (x - 5)2 (2 - xIx > O, tem·se que b) {x 12/3 < x < 2 ou x < O} di 2/3 < x < 5 TA. 105 (MACK-76) O conjunto solução de a) {x E IR I x > 15 e x < -3} c) {x E IR I x > O} el {x E R 1-15 < x < 15} ~ TA. 106 (GV-74) Seja D o conjunto dos números reais x para os quais : ~ ~ ;;;. 4. Então é o conjunto dos x reais tais que: 9 a) x';;; '2 e x * 2 c) x> 2 e) -1 .;;; x < 2 b) 2 < x';;; 3 d) x < 2 ou x> 3 TA.110 (MACK-77) Se V = ax2 + bx + c é a equação da parábola da figura ao lado, pode-se afirmar que: a) ab < O b) ac > O c) bc < O d) b2 - 4ac ~ O el não sei V x FUNÇÃO QUADRÁTICA TA.111 (PUC-70) O valor máximo da função V = ax2 + bx + c com a * O é: -6 b a) 4a se a < O b) - 2a se a > O c) b2 - 4ac se a > O d) b2 - 4ac se a < O e) nenhuma das anteriores é correta TA.112 (CESCEM-72) Considere o gráfico da função de menor ordenada tem coordenadas: TA. 107 (PUC-76) A função quadrática a) m * 4 c) m * -2 e) m * ±2 V = (m2 - 4)x2 - (m + 2)x - 1 b) m * 2 d) m = -2 ou +2 está definida quando: a) (2,3) b) (3,2) c) (3/2, 1) V = x2 - 5x + 6. O ponto do gráfico d) (5/2, -1) e) (5/2, -1/4) TA. 113 (CESCEA-76) A parábola de equação V = -2x2 + bx + c passa pelo ponto (1, O) e seu vértice é o ponto de coordenadas (3, v). Então v é igual a: TA. 108 (PUC-77) O esboço do gráfico da função quadrática V = 2x2 - 8x + 6 é: a) 8 b) 4 c) 6 d) -5 e) 18 a) V x b) V c) V TA. 114 (CESCEM-69) Se dois trinômios do 29 grau possuem as mesmas raizes, então: a) eles são necessariamente iguais b} eles assumem necessariamente um m(nimo ou um máximo no mesmo ponto c) eles diferem por uma constante d) suas concavidades são de mesmo sentido e) nenhuma das anteriores TA.10S (CESCEM-76) Sabe-se que o gráfico ao lado representa uma função quadrática. Esta função é: x2 3 a) "2 + x + '2 x2 3 b) 2' - x - 2' x2 3 c) -"2 - x -"2 d) x2 - 2x - 3 e) x2 + 2x - 3 c) 15';;; V .;;; 36b) 15 .;;; V < 36 e) -12 .;;; V .;;; 36 a) - 2 .;;; V .;;; 2 d) -12';;; V < 36 TA.115 (PUC-77) O conjunto imagem da função f = {(x, V) E IR XIR Iv = i-3} é: a) {vIVEIR e V;;;. ~} b) {V I V E IR e V;;;. -3} cl {VIVEIR e V .;;; 3} d) {Y I V E IR e V;;;. O} e) {y I V E IR e V.;;; -3} TA. 117 (CESCEA-71) Seja f(x) = ax2 + bx + c. Sabendo-se que f(1) 4, f(2) O e f(3) -2, então, o produto a.b.c é: a) 20 b) 50 c) -8 d) -70 e) não sei TA. 116 (CICE-68) Seja a função V = 3x2 - 12 definida no intervalo -4 < x .;;; 3. A imagem de tal fu nção é tal que: x e) V Vd) 286-A 287-A TA.124 (PUG-77) As curvas representativas das funções: V ~ x2 e 2V ~ -x + 1 TA.118IEPUSP-67) Os trinômios V ~ ax2 + bx + c tais que a + b + c o: a) tem em comum um ponto no eixo dos x b) tem em comum um ponto no eixo dos y c) tem em comum a origem d) não tem ponto em comum e) nenhuma das respostas anteriores a) tem por intersecção os pontos de abscissas b) têm por intersecção os pontos de abscissas - 1 e 1 "2 1 "2 TA. 119 (EPUSP-66) O gráfico da função V ~ ax2 + bx + c, sendo b =1= O e c =1= O o gráfico da função obtida da anterior pela mudança de x em -x se interceptam: c) têm por intersecção os pontos de abscissas -1 e 1 1 +..{5 d) têm por intersecção os pontos de abscissas --2-- e) não se interceptam. e 1 - J5 2 TA.121 Dados três pontos no plano cartesiano, não colineares e com abscissas distintas duas duas, o número de funções quadráticas Que podem ser encontradas de maneira ql esses pontos pertençam aos seus gráficos é: a) em dois pontos, um no eixo dos x e outro no eixo dos y b) em um ponto fora dos eixos c) somente na origem d) em um ponto do eixo dos V e) nenhuma das respostas anteriores a OI (_1,~) e (1' -4) bl (_l'~)e (2'-3)2'4 ' 2' 4 ' (_1~) e (4' -5) d) 3 e (2; -3)cl 2'4 ' (-2; 4) 3 e (1; -4)el (2";4) ~s coordenadas dos pontos P e Q são: TA,l26 (CESCEM-77) Na figura ao lado estão representados os gráficos das funções da- das por I(xl = (x + 1) (x - 3) e x f(x) =2 + 3, TA.125 (MACK-75) O gráfico de uma função f é uma parábola que passa pelos pontos 11,0), (3, O) e (2, -1), O gráfico da função g é uma reta que passa por (1, O) e (O, -1). A sentença I(x) ~ g(x): a) é falsa qualquer que seja x b) é verdadeira se, e somente se, x ~ c) é equivalente ax ~ 1 ou x ~ 4 d) implica x ~ O e) é verdadeira se, e somente se, x é um número inteiro x 2 3 V d) mais que duasc) 2b) 1a) O a) a < b < c < O b) c < b < a < O clO EQUAÇÕES DO 29 GRAU TA. 137 (PUC-75) Seja a função quadrática definida por t(x) ~ mx' - (2m - 2) x + m - 2: TA.130 (CESCEM-67) A equação do segundo grau cujas rafzes são -1 e 3 é: a) x' - x + 3 ~ O bl a(x - lI(x + 3) ~ O, a 0/= O c) (x + l)(x + 31 ~ O d) (x - 1 )Ix - 3) ~ O e) nenhuma das respostas acima é correta. TA.129 (PUC-70) Uma equação do tipo ax' + bx + c ~ O onde a, b, c são números reais a) tem sempre duas raIzes reais. b) pode ter uma só raiz imaginária o) pode ser uma equacão do 1':' grau d) nunca terá rarzes iguais. e) nenhuma das anteriores é correta TA.131 (MACK-74) Dada a equação x + 6 ~ x', a) x (x + 6) x3 bl x + 6 + x' ~ x' + x + 6 com bl somente se a > b > c d) somente se c > a > b a) sempre cl somente se a > c > b e) nunca a) f tem duas raIzes reais e iguais pera "Im E IR' bl f tem duas raIzes reais e iguais para {:u ~ 2 m ~ -2 c) f tem duas rafzes reais e desiguais para -2 < m < 2 d) f tem duas rafzes reais e desiguais pera V m E IR' el f tem duas rarzes imaginárias para m > 2 ou m < -2 TA.138(MACK-74) As raizes da equação (a - b + c)x' + 4(a - b)x + (a - b - c) ~ O a - b + c 0/= O são reais: TA. 139 (CESCEM-72) O tronomio ax' + bx + c tem duas raIzes reais e distintas; ex e (J são dois números reais não nulos. Então o trinômio uma equação equivalente à mesma é: 1 x - 3 = x2 +1 x - 3 ~ 3x' c) x+6+ dI 3(x + 61 TA.133IFEI-66) O número de soluções reais da equação 5x4 + x' - 3 ~ O é: 2x' - 8xTA.132 (MACK-77) O número de soluções reais da equação x' _ 4x e) todas são equivalentes à equação dada a) O b) 1 c) 2 d) 3 x é: e) não sei a) tem duas raízes reais e distintas ou nenhuma raiz real, conforme o sinal de (3. b) pode ter uma, duas ou nenhuma raIzes reais. c) tem duas raIzes reais e distintas se ex e (J forem ambos positivos, nada se podendo afirmar nos demais casos. d) tem duas rafzes reais e distintas ou nenhuma raiz real, conforme o sinal do produto ex(J e) tem sempre duas raizes reais e distintas TA. 134 (PUC-76) O trinômio x' + px + q onde p e q E IR torna-se um trinômio quadradc perfeito quando se adiciona o termo constante: TA. 140 IMACK-74) A equação 10 7cl y = 6b) y> 29 4 a) y < 2 4 5 TA. 141 (CESCEA-721 Considere o seguinte problema: "determinar o número cujo qulntuplo excede o seu quadrado de y unidades". Para que valores de y, o problema admite duas soluções reais? a + 1Oel~ 2 x' _ ax + a' - b' ~ O 4 c) a ~ 2bb) b ~ Oa) a ~ b TA. 136 IITA-72) Seja t(x) ~ x' + px + p uma função real de variável real. Os valores dE p pera os quais t(x) ~ O possue raiz dupla positiva, são: a) O < p < 4 b) p ~ 4 cl p ~ O d) f(xl ~ O não pode ter raiz dupla positiva e) nenhuma das respostas anteriores TA. 142 (CESGRANRI0-73) A equação do 2':' grau cuja menor raiz é 2 - V3 e o produto das duas raízes é igual a 1 é expressa por: a) x' + x - 4 = O bl x' + 4x - 1 ~ O c) x' - x + 4 ~ O dI x' - 4x + 1 ~ O e) nenhuma das respostas anteriores 29o-A 291-A TA. 143 (CESCEA-771 As raízes da equação 2x2 2mx + 3 = O são positivas e uma' o triplo da outra. Então o valor de m é: INEQUAÇOES ai 4 bl -2 el 2..j2 d) -2..j2 el O TA. 150 (PUC-771 O trinômio _x2 + 3x - 4: TA. 144 (FEI-68) Sendo a e b as raizes da equação 2x 2 - 5x + m = 3 , r e s são as raizes da equação ax2 + bx + c + ~ é',2 . TA.145(MACK-76) Se o valor de * el -5 < m < -4bl -1 < m < 2 e) 0< m < 1 ai 1 < m < 2 di -3 < m < 2 a) é positivo para todo número real x bl é negativo para todo nú mero real x c) muda de sinal quando x percorre o conjunto de todos os números reais d) é positivo para 1 < x < 4 el é positivo para x < 1 ou x > 4 TA. 151 (PUC-77) Para qual dos seguintes conjuntos de valores de m o polinômio P(x) = mx2 + 2(m - 21x + m2 é negativo quando x = I? e) nenhu ma das anter ia resd) Oc) 32 4 ~, o valor de m é 3 + 1 b b) _ 4 3 a 3 ai "4 então, se TA. 152 (CESCEM-751 A expressão ax 2 + bx + c, onde b2 - 4ae > O e a < O, é estritamente positiva se x for: ai b2 - 4ae di b2 - 4ae 2a bl b 2 - 2ae el b 2 - 4ae e2 e2 el b 2 - 2ae 2a ai POSItIVO bl não nulo e) interior às raízes d igual às raízes d) exterior às raízes TA. 146 (CESGRANRIO-77) As raízes da equação x2 + bx + 47 = O são inteiras. Podemo afirmar que. a) a diferença entre as duas raízes tem módulo 46 b) a soma das duas ra ízes tem môdulo 2 el b é positivo d) o môdulo da soma das duas rafzes é igual a 94 e) b é negativo TA. 153 (CESGRANRIO-73) O conjunto dos valores de p para os quais a inequação x2 + 2x + p > 10 é verdadeira para qualquer x pertencente a IR é dado por: ai p > -9 bl p < 11 c) p > 11 di p < -9 e) nenhuma das respostas anteriores TA. 154 IMACK-741 A desigualdade x2 - 2(m + 21x + m + 2 > O é verificada para todo nú- mero real x, se e somente se: TA. 148 IMACK-74) O valor de P. para o qual a soma dos quadrados das raizes de x2 + (p - 2) x + p - 3 = O TA. 147 (CESGRANRIO-751 Sejam p e q reais; se a equação do segundo grau em x: x2 + p2 x + q2 + 1 = O tem duas raízes reais Xl e x2, então tem o menor valor. é: ciO O ou x ;;;. 2 a) [-4. -2] di (5. 7] bl [-1,1] e) [-4, 4] 1 é:TA. 157 (CESCEM-71 I O domfnio da função Vx2 - 5x + 6 ai x';; 2 e x ;;;. 3 bl x ;;;. 2 e x .;; 3 el x =1= 2 e x =1= 3 di x';; 2 ou x ;;;. 3 e) x < 2 ou x> 3 292-A 293-A a) a > O, b > O -1 < x < a + b, a TA. 159 (GV-701 Dada a parábola y x2 - 4, quais são os valores de x que produzen imagem maior que 5? TA. 160 lITA-67) Seja y [(ax2 - 2bx - (a + 2b)]1/2, Em qual dos casos abaixo y é rea e diferente de zero? TA.158 (EPUSP-67) Seja A o conjunto dos números inteiros positivos que satisfazem a inequ, ção (3x - 31 (2x - 51 < (5 - 2x)2. Então: a) A évazio b) A = {-2; 5/2} c) A = {-I; I} d) A = {I; 2} e) nenhuma das respostas anteriores x + 1 x2 _ 3x + 2 ;;. O são dadas por: bl -1 .;;;; x .;;;; 1 ou x;;' 2 di x .;;;; 1 e x > 2 a) -1 .;;;; x < 1 ou x > 2 c) x .;;;; -1 e x;;' 2 e) nenhuma das respostas anteriores TA. 166 (CESGRANRI0-73) As soluções da inequação TA. 165 (GV-72) O conjunto de todos os números reais para os quais v' (x2 - 4x + 3) (x 2 - x - 2) exista é: a) {-I < x < 1 ou 1 < x < 2 ou 2 < x < 3} b) {x < -1 ou 2';;;; x .;;;; 3 ou 3 < x} c) {- 1 .;;;; x .;;;; 1 ou 2';;;; x .;;;; 3} d) {x .;;;; -1 ou 1';;;; x .;;;; 2 ou 3';;;; x} e) nenhuma das anteriores c) x < - 3 ou x > +3 e) nenhuma das respostas anteriores a) x > O b) x < O d) -3 < x < 3 TA.161 (GV-76) Para que a função real f(x) = v' x2 - 6x + k, onde x e k são reais, sej' definida para qualquer valor de x, k deverá ser Ul)'l número tal que: 1 TA. 162 (GV-76) Para que a função real f dada por f(x) = seja definid, Vx2 + 2bx + c para qualquer x real, 05 números b e c devem ser tais que: ai b 2 < c e b '* O b) b2 > c e c '* O c) b2 < c d) b2 < c e c;;' O e) b2 > c e b > O c) a> O, b = O, -1 < x O se e somente se: c) t ;;. -1 (x - 3) (x2 + 2x - 8) x2 + 4x + 3 b) t < Oa) t .;;;; -1 TA. 167 IMACK-76) Tem-se el~ < O (x - a) (x - bl < O x - b TA. 168 (GV-73) Assinale a afirmação verdadeira: x2 + 3x + 2 a) ;;.. O x2 + 3x + 2 ;;. O x2 - 1 bl ax2 + bx + c > O, para todo x real b2 - 4ac < O x2 - 1 c) h+1 .;;;; O -1 < x .;;;; d)~ > O (x - a) (x - b) > O x - b TA.169IGV-74) Para que y = e) k ;;. 9d) k .;;;; 9c) k = 5 a + 2b x =-- a b) k = 9 b) a> O, b < O, a) k .;;;; 5 a) -4 < x < -1 ou 1 < x < 2 bl -4 < x < -3 ou -1 < x .;;;; 2 ou x ;;. 3 c) -3 < x < -1 ou 2 < x < 3 d) x< 3 ou x > -1 e) x < -4 ou -3 < x < -1 ou 2 .;;;; x 5 b) 3 < x < 5 ou x < -2 c) -2 < x < 5 d) x > 6 e) x < 3' (x - 3) (-x2 + 3x + 10) < O é: TA. 170 (GV-74) A solução da inequação x ;;. O é: x3 - x2 + x-I TA. 164 (CESCEM-75) Os valores de x que satisfazem à inequação: (x2 - 2x + 8) (x2 - 5x + 6) (x2 - 16) < O são: TA.171 (CESCEM-68) Quais os valores de x que satisfazem à inequação: a) x < -1 ou O < x < 2 c) x .;;;; - 1 ou x;;' 2 e) nenhum valor de x bl -1 < x < 2 e x '* O dI qualquer valor de x diferente de zero x2 - 2 --x- < x>clx 1 ai x ;;. O d) x < O ou x> 4 aI x < -2 ou x> 4 b) x < -2 ou 4< x< 5 cl -4 < x < 2 ou x > 4 d) -4 < x < 2 ou 3 < x < 4 e) x < -4 ou 2 < x < 3 ou 294-A 295-A x2 + 2x - 1 1 TA. 173 (CESCEA-731 A solução da inequação xL 1 ;;. -;+1 é: TA. 172 (GV-771 Seja IR o conjunto dos números reais. O conjunto solução da inequação x - 3 ~~ x - 1 é: bl {x E IR I x > 2} el {x E IR I x < O} e bl x> 2 e b < a 4b dI x > a - 2 e a > 2b b > a ax + bx ;;. O ~ x2 - bx + (2b - aI < O 4 .{ -b a) x < - e a cl O < x < 1 a > O, b > O, b *- a. Tem solução para: TA. 179 (ITA-71 I O sistema de desigualdades cl {x E IR I x ~ 1} ou -1 < x ~ O ou x > 1 ou x;;' O bl x < -1 dI x < -1 a) x ~ O ou x> 1 clO~x 2, 2 < x < a J'L J2 c) - 4 < a < 4 dI não sei b) a = O, x > -a el a> 2, x> 2a J'L bl a> 4.J2a) a < - 2 aI a < O, x < 2a dI a > 2, -a < x < 2 TA. 177 (CESCEM-701 A solução do sistema de inequações: { x2 - 2x ;;. O -x2 + 2x + 3 > O é: TA.176 (CESCEM-68) A solução do sistema de inequações: aI O < x < 2 cl x < -1 e x> 3 bl -1 < x ~ O e 2 ~ x < 3 dI nenhum x el qualquer x TA. 182 (GV-721 O conjunto de todos os números reais x para os quais a expressão: f(xl=~+~ b) {x E IR I O < x < dI {x E IR I O ~ x ~ ': b) {x E IR 1 2 < x ~ 3} dI {x E IR I 1 ~ x ~ 3} aI {2} cl vazio e) {x E IR I 1 ~ x ~ 2} resulta num número real, é: aI {x E IR 1-1 ~ x ~ 1} c) {x E IR 1x > O ou x ~ 1} el {x E IR I x ;;. O} TA. 183 (PUC-77) Se A = {x E IR I x2 - 3x + 2 ~ O} e B ={x E IR I x2 .. 4x + 3 > O}, então A n B é igual a: e) 1 < x < ~ 5 4 aI 1 < Ix 1< J5 -4 b) J5 < x < -1 4 cl1 TA. 185 IGV-70) Dado o trinômio flx) = x2 - 5x + m o zero é externo ao intervalo d, raizes para: x -1x x e) TA. 189 (PUC-771 o esboço do gráfico de y = Ixl - 1 é: ai bl di 0< m Ob) qualquer ma) nenhum m TA. 184 ICESCEA-671 Dado o trinômio do 29 grau flxl = ax2 + bx + c e sabendo-se ql aflal < O, para a um número real, qual das afirmações abaixo é verdadeira? a) o trinômio não tem raízes reais b) para conclu ir a existência de raízes reais é preciso ainda examinar-se b2 - 4ac c) o trinômio se anula para dois valores de x, um menor e outro maior que Q d) a: não pertence ao intervalo cujos extremos são as raízes reais e) nada disso x x x c) x é: x x x 1 2 y y e) b) bl x x y -1 y d) a) a) d) TA. 190 (MACK-74) O gráfico da relação TA. 192 ICESCEM-70) O gráfico de y = Ixl -2 é: TA.191 (MACK-77) O gráfico ao lado representa a função: a) y = - Ix - a I + a Y bl y = Ix - a I - a c) y = - Ix - ai - a di {Ixl- a se x;;'a y = Ixl + a se x O cl O < a .-; 1 16 d) O < a .;;; 6"" el não sei TA.188ICESGRANRIO-COMCITEC-73) Nos gráficos abaixo os pontos do domlnio sã marcados no eixo horizontal e os da imagem no eixo vertical. O gráfico que malhe pode representar a função f: IR+ ~ IR x ~ flx) = - Ixl onde tR + , o conjunto dos reais não negativos, é: 298-A 299-A TA. 193 (CESCEM-73) O gráfico da função y ai y bl y TA. 197 (MACK ·761 O gráfico, de g(x) I x I + Ix-I I é: x x-I ai y b) Y el y di yh e) y 2 --~ 2 2 2 I --.,-- I III I -1 O :1 -1 O -1 O -1 O 11 -1-,. x x I X X O x, I, I I -2 -2 , -2 :L---- 1-2 -2 --------JI 1/3 y x+1 Ix-ll-lxl é: cl -1 ---+-~c-;----~ xx x di 1/2 TA. 194 (GV-74) O gráfico da equação: y 2 V7i + x é: TA.19B ICESCEM-691 A representação gráfica da função y ~ x2 - Ixl é: x Hx) el y d) y ~ Ix2 .. 41xl +31 pode Hxl di cl y .-- x cl flxl y bl bly ser f(x) Se a = -b ai e) nenhum dos anteriores. ai TA.200 ICESCEM-71) Dados dois números reais distintos a e b, podemos definir uma função f(x) Que chamaremos "distância ao conjunto {a. b}". da seguinte forma: distância de x ao conjunto {a, b} é o menor dos números Ix - a I, Ix - b I. 1, o gráfico de flxl é: TA. 199 (MACK-74) O gráfico cartesiano da função definida por f (x) ~ x + ..li... se x *'Ix IR por .--'-"f--+-----_ -1 1 x ---~---- -1 I 1 :- b) d) ~ ~! 1------•• 1 x ~ -y: • I ------1·· 1 __.. -1 1 x a) el e f(ol ~ O. O seu gráfico é: TA.195(MACK-73) O gráfico cartesiano da função definida por y = -x Ixl pode ser .1 W--;" m--;~~ d)__~~ ~"'rP--:- TA. 196 (EAESP- 75) Seja f uma função definida em I I I --)--+---'-.....x y -1 el e) nenhum dos anteriores. a) cl__~Y ... ~ x x yel a) r bl v ----- -_. __ .,...,-----~ --------~ di 1 .._._._---- ~--:- 300-A 301-A TA.209 (CESCEA-681 Se a e b são dois números reais quaisquer, assinale dentre as afirmações abaixo a que é sempre verdadeira TA. 21 O(GV-74) Sejam x e y números reais quaisquer. Assinale a afirmação correta: aI Ix + yl ~ Ixl + Iyl bl Ix _ yl;;;. .lllxl-Iyll 2 2 c) Ixl + Iyl >vx2 + y2 d) Ixyl > Ixl·lyl e) Ixl + Iyl ~ 2Vx2 +y2 TA. 201 (MACK-76) Seja f uma função de IR em IR definida por f(x) ~ 2 Ix - 31 + x - 1 o conjunto imagem da função f é: a) {y E IR I y ;;;. 2} bl {y E IR 1y ~ 3} c) {y E IR I y ;;;. 3} d){yEIRly~2} e) IR TA.202 (PUC-77) Dado A = {x E IR Ilx I = 2}. tem-se: a)ACIW b)ACIR+ c) AUZ+=Z+ d)AnZ_=A e) A n IW = {2} aI la + bl ;;;'Ial + Ibl dI lal - Ibl ;;;.Ia + bl bl la + bl = lal + Ibl e) lal+lbli=la+bl c) la + bl ~ lal + Ibl TA.207 (COMBITEC-COMBIMED-75) A equação Ix + 1 I - Ix I = 2x + 1, x E IR, TA.204 (GV-72) Seja V o conjunto de todas as soluções reais da equação V x2 + 2x + 1 = 1 + x. TA. 206 (EPUSP-65) As ra(zes da equação Ixl 2 + Ixl - 6 = O aI são positivas b) têm soma O c) têm soma 1 d) têm produto 6 e) nenhuma das respostas anteriores a) tem duas soluções distintas cuja soma é 2 b) tem somente as soluções -1 e O c) não tem solução d) tem uma infinidade de soluções e) tem três soluções distintas cuja soma é 4 e) 4 c) [-2, -1] U (O, 1) d) 3 b) -1 TA.218IPUC-70) Qualquer que seja o nÚmero real não nulo x, tem-se sempre: TA.219 IGV-73) O gráfico da função f dada por pode ser: 8 x2 + 4Y TA.223 (MACK-741 O gráfico da função definida por a) Y bl Y cl Y I !~ I, I I I i(" I ..O O 12 x x I I I I I I e) não sei TA.222 (MACK-77) O gráfico da função f dada por f(x) - ~- 1__ é, aproximadamente: - 4x ~ x2 - 4 Y é: elY x .;; O 0---, 2 -------'---+-x 2 x 2 x TA.220 (CESCEM-741 A função cujo gráfico me- lhor se adapta ao da figura é: a) f(xl Ix I b) flx) I~I x cl f(x) Imin (x; ~-) I x dI f(x) min (Ix I; I~I) x min (I x2 1; J,;I -1 el f(xl )( TA.221 (MACK-731 O gráfico cartesiano da função definida por y 304-A 305-A TA.227 (FEI-73) Considere o gráfico da função 2 y = 1 + 1~' Deseja-se calcular a área hachurada da figura ao lado. Calcule um valor aproximado dessa área, substitu in- do os arcos AB, BC e CO por segmentos de reta. A FUNÇÚES COMPOSTAS TA.231 (PUC-771 Sendo f(x) aI 1 b) 3 x3 + 1 e g(xl c) O x - 2, então d) 2 g(f(O)) é igual a: e) -1 TA.228 (EPUSP-67) Sendo A a área limitada pela curva y TA.233 (CESGRANRIQ-731 Seja f uma função de IR em IR tal que f(21 =7, f(9) =3, f(0) =O, f(5) = 16 e f(71 = 4; seja g uma outra função de IR em IR tal que a imagem de cada ponto x do seu domrnio seja 2x + 3. Então, chamando-se h e função com- posta gof, tem-se que: a) 2,95 b) 4,95 c) 3,95 d) 1,95 e) nenhuma das respostas anteriores O 2 3 x e pelas retas x = TA.232 (MACK-751 Dadas as g(x) = x2 - 2x + 1 e a) 1 b) 2 funções f, g e h, de h(xl = x + 2, então c) 3 IR em IR, definidas por ((h.fl og) (21 é igual a: dI 4 el 5 f(xl 3x, x = 3, y = O, tem-se: a) h(ll = 16 b) h(9) = 9 a) A < 0,3 b) 0,3 < A < 0,8 c) 0,8 < A < 1,5 c) h(2) = 49 d) não existe essa função h d) 1,5 < A < 10 e) nenhuma das respostas anteriores e) nada se pode afirmar pois a lei de formação da f não é conhecida TA.234 (CONSART-75) Se f e g são funções definidas em IR por então g(f(x)) é: a) 3x + 11 b) 3x2 + 10 cl 3x2 + 11 x + 10 TA.235(CESGRANRIO-731 Se c) x d14x+7 el f!g(x)/ é expressa por: f(x) = x + 2 e g(x) = 3x + 5, e) nenhuma das respostas anteriores f(f(xl)f(xl - x + 1 então- """"X="1 d) 2x + 2 2x - 1 b) 1a) ~ xx = án x y ONestas condições, a área ao lado indi- cada vale: x3 TA.229 (CESCEM-74) A função y = 3" dá o valor da área da região compreendida entre a curva y = x2 I do ponto de abscissa O ao ponto de abscissa x e o eixo das abscissas, conforme indica a fi· gura ao lado: determinam um quadrilátero, no qual está definida a função y = x I + X2. Sabendo-se que O máximo desta função está num dos vértices deste quadrilátero c seu valor é: ' TA.23D (CESCEM-74) As regiões do plano definidas por: XI + 2X2 < 2, XI ;;. O 2xI + x2 < 2, X2 ;;. O 3 el "2 3f(x) d) 2f(x) + 1 d) 1 3f(x) c) 2f(xl _ 1 cl J.. 2 3f(x) b) 3f(xl _ 3 a) -1 TA.236 (MACK-75) Dada a aplicação f: 0-+ Q definida por f(x) = x2 - 2. o valor de x tal que f(xl = f(x + 1) é: TA.2380TA-77) Considere a função F(x) = Ix2 -11 definida em IR. Se F o F representa a função composta de F com F, então: a) (Fo FI (xl = x I x2 - 1 I, para todo x real b) não existe número real y, tal que (Fo F) (y) = y c) F o F é uma função injetora d) (Fo FI (x) = O, apenas para dois valores reais de x e) nenhuma das anteriores TA.237 (MACK-76) Dada a função f(x) = x ~ l' a expressão de f(3xl, em termos de f(x), é: 3f(xl a) 3f(x) _ 1 e) 3f(x) - 1 x4O 1 d) Ocl 1..3 b)2 3 a) ~ 3 a) 64 3 b) 21 c) l1. 3 d) 64 e) 1.. 3 306-A 307-A para qualquer número real x tal ( x~ 2x + b TA.240 (CESGRANRIO-76) Considere as lunções I:IR 41R g: IR 41R TA.239IFEI-68) Dada a lunção f(x) ~ ~, Ix I FUNÇÕES INVERSAS TA.253 (CESGRANRIO-731 Seja AS um diâmetro de uma esfera tangente a um plano P no ponto S. Seja E o conjunto dos pontos da superffcie esférica que são distintos de A. suaf(xl = x 3 + I, A bijetora definida por c) loge ( 2 7 5 ) b) f-I (x) = 1 x 3 + 1 e) nenhuma das anteriores b) ~ 25 a) 4 3 Considere a função f: E ~ P x ~ t(xl onde f(x) é o ponto de interseção da reta definida por A e x com o plano P. Dentre as afirmações. a falsa é: TA.256 (ITA-75) Seja f(x) = eX - e-x definida em IR. Se 9 fêr a função inversa 7 eX + e-x de f, o valor de e g (2s I será: TA.254 (ITA-761 Considere g: {a, b, c} ~ {a, b, c} uma função tal que g(a) = b e g(bl = a. Então, temos: ai a equação g(x) = x tem solução se, e somente se, 9 é injetora b) 9 é injetora, mas não é sobrejetora cl 9 é sobrejetora, mas não é injetora d) se 9 não é sobrejetora, então g(g(x)) x para todo x em {a, b, c} e} nenhuma das respostas anteriores a) a função é injetora b) a função é sobrejetora c) a função é bijetora di a função leva circunferências em circunferências ai a função leva pontos simétricos em relação ao diâmetro AB em pontos simétricos em relação ao ponto B. TA.256 (MACK-751 Dada a função f: IR ~ IR, inversa f-I: IR ~ IR é definida por: 3 a) f-l(xl=~ 1 d) f-Ilx) ~ '3'--- V'x3+1 yc) x • b) x y I I I I I-1- _ I d) a) TA.251 (MACK-741 f é uma aplicação de A em S; S';;;; S; f é uma aplicação sobrejeto de A em S'. Podemos afirmar: a) f é uma aplicação sobrejetora de A em S bl f é uma aplicação injetora de A em S' c) a informação dada é contraditória; não pode ser uma aplicação de A em e de A em S' d) existe x em A tal que f(x) E S e f(xl E S' e) existe y em S tal que t(x) = y não se verifica para nenhum x de A TA.250 (MACK-75) Ao lado está o gráfIco da função f. Um exame deste grãfico nos permite concluir que: a) f é injetora b) f é periódica cl f(rr) < O dI f(v3i .;;; O e) f(1) + f(21 = f(3) TA.249 (CESCEM-76) Dentre os gráficos abaixo, o que melhor se adapta a uma funçl bijetora (injetora e sobrejetora) com dom(nio IR e contradomrnio IR é TA.252 (MACK-75) A aplicação f: ~ ~ ~ definida por e) nenhuma das respostas anteriores TA.257 (CONSART-75) O gráfico de uma função f é o segmento de reta que une os pontos (-3, 4) e (3, O). Se f-I é a função inversa de f, então f-I (21 én é par é: n é rmpar ai 2 b) O c) 3 2 d) - ~ 2 e) não definida TA.258 (MACK-771 A função O seu contradom(nio é e) não sei a) somente injetora; c) bijetora; e} nenhuma das anteriores. b) somente sobrejetora; d) nem injetora e nem sobrejetora; a) 2 b) -2 f definida em IR - {2} por IR - {a}. O valor de a é: cl 1 dI -1 f(xl 2+x 2 - x é inversível. 310-A 311-A TA.26llCESGRANRIO-77) A imagem da reta y = 2x pela reflexão no eixo dos x a rata de equação estão no intervalo: nenhuma das anteriores el [..!.. , ~] 5 2 di {O, ~} e) nenhuma das anteriores b) tem três raízes reais d) não tem raízes b)[-~,l] e) [5,8] b) {O, 2} el {O} a) tem duas ra ízes reais c) não tem raízes reais ai tem uma única raiz real a) [-2, - ~ ] d) [~, 7] 4 TA.266 (PUC-74) O conjunto verdade da equação irracional .jX-l+~=2 é: a) V = {3} bl V = {3, 9} c) V = {9} d) V = {4} e) nenhuma das anteriores TA.264 (PUC-70) O conjunto verdade da equação y'4;+"1 = 2x - 1 é: TA.265 (GV-75) A equação~ = -~: TA.267 (FEI-68) seja V o conjunto dos números reais que são soluções da equação irracional ..f2;-~=1 ai V={2,18} b) V={2} c) V={18}dl V=çD TA.268 (MACK-761 Todas as raízes da equação TA.269 (ITA-73) A respeito da equação, 3x2 - 4x + y 3x2 - 4x - 6 = 18 podemos dizer: a) 2 ± y'7õ são raízes b) A única raiz é x = 3 3 c) A única raiz é x = 2 + v10 di tem 2 raízes reais e 2 imaginárias e) nenhuma das anteriores O x para todo x em e) y = - J... x 2 c) x x di y = 2x b) y ~ O e) y ~ O x b) y = ..!.. x c) y = -2x 2 a) y = 12x I O gráfico que mais bem representa a função inversa rl:x r+ f-I (x) é a) d) y O TA.2BO (ITA-76) Sejam A e B conjuntos infinitos de números naturais. Se f: A ..... B e g: B ..... A são funções tais que I(g(x)) = x, e g(l(x)) = x, para todo x em A, então, temos: a) existe Xo em B, tal que f(y) = xo, para todo y em A b) existe a função inversa de f c) existem Xo e XI em A, tais que Xo *' XI e I(xo) = I(xI) d) existe a em B, tal que g(l(g(a))) *' g(a) e) nenhuma das respostas anteriores TA.259 (CESGRANRIO-76) Seja f: x ..... I(x) a função cujo gráfico é b) {y E IR IO .;;; y .;;; 2} d){yEIRly;;;'4} b) XI = 3 e x2 = 3 d) não tem raízes reais TA.262 (CESGRANRIO-73) Sendo x ;;;'4, o conjunto imagem da função y = y-; + y;:: é dado por: a) {yEIRly;;;'O} c) {yEIRly;;;'2} e) nenhuma das respostas anteriores TA.270 (ITA-72) Todas as raizes reais da equação a) XI = 3 e x2 = -3 el Xl = 3 e x2 = V3 e) nenhuma das respostas anteriores J~-J_x x x2 + 3 3 são: 2 TA.271 (MACK-74) Se o nÚmero x x2 está entre: 3 3 é solução da equação yr;+g-~"3, EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES IRRACIONAIS a) O e 25 b) 25 e 55 cl 55 e 75 d) 75 e 95 .. e) 95 e 105 então TA.263 (CESCEM-731 Considere-se o número x dado pela expressão x=I~1 e) x não é raiz da equação x2 - x - 2 = O Nestas condições, a) x = 2,222 ... d) x = 2 b) x = 1 ± 3 2 c) x = 2 +~ TA.272 (GV-74) Resolver a desigualdade 1 - 3x > Y2 + x2 - 3x: ai x< 3 - v'41 b) x< 1 c) x < 1 x>216 3 ou d) ..!.. ~x~ 3 +V41 e) x< 3 - v'41 x> 3 +v'41ou3 16 16 16 312-A 313-A RESPOSTAS TA.1 e TA.36 e TA.71 d TA.106 b TA.2 d TA.37 e TA.72 e TA.107 e TA.3 b TA.38b TA.73 e TA.108aTA.4 c TA.39b TA.74 c TA.109bTA.5 c TA.40a TA.75 e TA.nOaTA.6 c TA.41 c TA.76~ TA.111 aTA.7 a TA.42b TA.77 c TA.112 eTA.8 b TA.43d TA.78 e TA.113aTA.9 d TA.44 c TA.79b TA.114bTA.10a TA.45 e TA.80b TA.115bTA.11 a TA.46 e TA.81 a TA.116dTA.12 c TA.47d TA.82d TA.117dTA.13d TA.48 a TA.83 a TA.118aTA.14e TA.49 e TA.84b TA.119dTA.15 d TA,/50 a TA.85b TA.120dTA.16d TA.51 b TA.86d TA.121 bTA.17d TA.52 a TA.87d TA.122bTA.18 c TA.53 c TA.88 e TA.123bTA.19 b TA.54 e TA.89 e TA.124 bTA.20a TA.55d TA.90e TA.125cTA.21 e TA.56 e TA.91 e TA.126aTA.22 c TA.57a TA.92d TA.127 eTA.23 e TA.58 a TA.93 a TA.128d TA.24 a TA.59 c TA.94b TA.129 cTA.25d TA.60a TA.95 a TA.130 e TA.26 a TA.61 a TA.96d TA.131 d TA.27 b TA.62 c TA.97b TA.132b TA.28b TA.63 c TA.98b TA.133 c TA.29b TA.64b TA.99 c TA.134a TA.30b TA.65 a TA.100e TA.135b TA.31 b TA.66b TA.101 b TA.136dTA.32 c TA.67d TA.102d TA.137dTA.33d TA.68b TA.103b TA.138aTA.34 e TA.69 c TA.104b TA.139 e TA.35 e TA.70d TA.105d TA. 140 c 315-A TA.141c TA.142d TA.143 c TA.144 c TA.145b TA.146 a TA.147 e TA.148e TA.149d TA.150b TA.151e TA.152e TA.153 c TA.l54a TA:155d TA.l56 c TA.157 e TA.158d TA.159 c TA.160e TA.161 e TA.162 c TA.163 a TA.164d TA.165d TA.166a TA.167b TA.168d TA. 169 b TA.170 c TA.171 a TA.172b TA.173b 316-A TA.174b TA.175d TA.176e TA.l77b TA.178 a TA.17ge TA.180d TA.181 a TA.182d TA.183 e TA.184c TA.185d TA.186 c TA.187 b TA.l88 e TA.189 c TA.i90 e TA.191a TA.192a TA.193d TA.194b TA.195 c TA.196b TA.197a TA.198a TA.199 a TA.200c TA.201 a TA.202e TA.203c TA.204d TA.205a TA.206b TA.207d TA.208c TA.209 c TA.210b TA.211 c TA.212 a TA.213 b TA.214d TA.215e TA.216 c TA.217 c TA.218 a TA.219 a TA.220d TA.221 d TA.222 c TA.223b TA.224b TA.225b TA226b TA.227c TA.228 c TA.229a TA.230a TA.231 e TA.232 e TA.233b TA.234 a TA.235 c TA.236b TA.237d TA.238e TA.239d TA.240a TA.241 d TA.242 c TA.243e TA.244d TA.245c TA.246b TA.247 b TA.248a TA.249d TA.250d TA.251 e TA252b TA.253d TA.254 a TA.255 c TA.256 a TA.257 b TA.258d TA.259e TA.260b TA.261 c TA.262 c TA.263d TA.264 a TA.265e TA.266 a TA.267c TA.268 c TA.269e TA.270e TA.271 d TA.272 a FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR Vai 1 - Conjuntos e Funções 1. noções de lógica, 2. conjuntos. 3. conjuntos numéricos. 4. relações. 5. funções. 6. funções do 1':> grau. 7. funções do 2':> grau. 8. função modular. 9. função com· posta e função inversa. Vai 2 - Logaritmos 1. potências. 2. função exponencial, 3. função logarítmica. 4. equações e ine- quações logarítmicas, 5. logaritmos decimais. Vai 3 - Trigonometria 1. ciclo trigonométrico, 2. funções circulares, 3. principais identidades, 4. trans- formações, 5. equações, 6. funções circulares inversas, 7. inequações, 8. triân- gulos. Vai 4 - Seqüências, Matrizes, Determinantes, Sistemas 1. seqüências e progressões, 2. matrizes, 3. propriedades dos determinantes, 4. siso temas lineares: método do escalonamento. Vol 5 - Combinatória, Binômio, Probabilidade 1. princípios fundamentais da contagem, 2. arranjos, 3. permutações, 4. combi· nações, 5. desenvolvimento binomial, 6. probabilidade em espaço amostrai finito. Vai 6 - Complexos. Polinômios. Equações 1. números complexos, 2. polinômios, 3. equações polinomiais, 4. transforma· ções, 5. raízes múltiplas. Vol 7 - Geometria Analítica 1. o ponto, 2. a reta, 3. a circunferência, 4. as cônicas, 5. lugares geométricos. Vai 8 - Limites. Derivadas. Noções de Integral 1. definição de limite, 2. propriedades operatórias, 3. definição de derivadas, 4. cálculo de derivadas, 5. estudo de funções, 6. noções de integral definida. Vai 9 - Geometria Plana 1. triângulos, 2. paralelismo, 3. perpendicularismo, 4. circunferência, 5. seme- lhança, 6. relações métricas, 7. áreas das figuras planas. Vai 10 - Geometria Espacial 1. Geometria de posição: paralelismo, perpendicularismo, diedros, triedros, polie- dros; 2. Geometria Métrica: prisma, pirâmide, cilindro, cone, sólidos semelhantes, superfície e sôlidos de revolução, sólidos esféricos.