Uso de la Transformada de Laplace en la resoluci ´on de circuitos de primer y Segundo Orden.

USODE LA TRANSFORMADADE LAPLACE EN LA RESOLUCIO´N DE CIRCUITOS DE PRIMER Y SEGUNDOORDEN. ASIGNATURA: CIRCUITOS 3.1 Uso de la Transformada de Laplace en la resolucio´n de circuitos de primer y Segundo Orden. Estupin˜a´n Barrera Juan Carlos, Vaca Ortiz Yersson Esteban [email protected], [email protected] Universidad Distrital Francisco Jose´ de Caldas Resumen—Este documento contiene informacio´n que describe el desarrollo de circuitos de orden 1 y 2 mediante la transformada de Laplace ya que esta herramienta matema´tica facilita el ana´lisis y disen˜o de circuitos y sistemas, ademas permite sintetizar la informacio´n de dichos sistemas en ecuaciones algebraicas ”simples”. De forma concreta se mostrara el uso de la transformada de Laplace para llevar a cabo el proceso de ana´lisis en el dominio del plano complejo s para 10 circuitos, de manera que se comprenda a totalidad sus respectivos funcionamientos. Por lo tanto, dicho ana´lisis se enfocara principalmente en el planteamiento mediante la funcio´n de transferencia y las respectivas simulaciones sobre cada circuito para ayudar a entender el comportamiento de los mismos y la importante aplicacio´n de la Transformada de Laplace en el ana´lisis de circuitos. Index Terms—Circuito de primer orden, Circuito de segundo orden, Funcio´n de transferencia, Polos complejos, Polos repetidos, Polos simples, Transformada de Laplace, Transformada inversa de Laplace. F 1. INTRODUCCIO´N M EDIANTE la aplicacio´n de latransformada de Laplace se ha logrado describir y/o interpretar de manera mas acertada distintos tipos de sistemas, ya sean fı´sicos, estadı´sticos o hipote´ticos, en nuestro caso los sistemas objeto de estudio son los circuitos ele´ctricos y mas especı´ficamente los de primero y segundo orden, por lo cual se procedera´ a realizar la solucio´n de 10 circuitos, algunos propuestos en clase y otros planteados por los autores, mediante la transformada de Laplace. Siguiendo este planteamiento, para • Este informe, tiene como propo´sito hacer uso de la memoria EEPROM de arduino mediante un dispositivo fı´sico que nos permita hacer interaccio´n con ella. • Juan Carlos Estupin˜an Barrera, estudiante de la Universi- dad Distrital Francisco Jose´ de Caldas de Colombia. (jcestu- pin˜[email protected]). • Yersson Esteban Vaca Ortiz, estudiante de la Universidad Distrital Francisco Jose´ de Caldas de Colombia. (yeyovaor- [email protected]). Documento entregado para revisio´n el 5 de Abril del 2014, esta obra es presentada para ser evaluada bajo el criterio del docente. mostrar la correcta solucio´n de los circuitos las respuestas obtenidas sera´n respaldadas por sus respectivas simulaciones elaboradas en MATLAB. 2. OBJETIVOS 2.1. General Generar la solucio´n de los circuitos plan- teados en el dominio del plano complejo s. 2.2. Especı´ficos De precisar cierta informacio´n hallar la funcio´n de transferencia para diferentes salidas respecto a una u´nica entrada del sistema. Realizar la simulacio´n de todos los cir- cuitos mediante el software de calculo MATLAB. Analizar la respuesta de los circuitos en el dominio del tiempo tomando como base USODE LA TRANSFORMADADE LAPLACE EN LA RESOLUCIO´N DE CIRCUITOS DE PRIMER Y SEGUNDOORDEN. ASIGNATURA: CIRCUITOS 3.2 las caracterı´sticas descritas en su funcio´n de transferencia. 3. MARCO TEO´RICO Aplicada en el ana´lisis de circuitos, la Trans- formada de Laplace es una base fundamental en la solucio´n de estos sistemas, ya que per- mite obtener una respuesta sencilla para luego expresarla en el tiempo; ana´logamente, realizar este proceso directamente en el dominio tem- poral resulta bastante tedioso cuando el orden del sistema es considerable. A continuacio´n, se definen las principales caracterı´sticas dadas en la resolucio´n de estos sistemas. 3.1. Circuito de Primer Orden Los circuitos de primer orden, son aque- llos que conformados por elementos resisti- vos, pueden tener un elemento almacenador de energı´a (capacitor o un inductor). Adema´s, es- tos elementos pueden estar excitados o no por un voltaje de entrada, y ası´ mismo, puede tener dichos elementos en serie, paralelo o posibles combinaciones, como se representa en la Figura 1. Figura 1. Circuitos de Primer Orden. 3.2. Circuito de Segundo Orden Los circuitos de segundo orden, son aque- llos que conformados por elementos resistivos, pueden tener dos elementos almacenadores de energı´a (capacitores o inductores),estos elemen- tos pueden estar en diferentes tipos de com- binaciones. Adema´s, estos elementos pueden estar excitados o no por un voltaje de entrada, y ası´ mismo, puede tener dichos elementos en serie, paralelo o posibles combinaciones, como se representa en la Figura 2. Figura 1. Circuitos de Segundo Orden. 3.3. Funcio´n de Transferencia Se define como la transformada de Laplace de la respuesta al impulso, con todas las con- diciones iniciales iguales a cero. Suponiendo que G(s) denota la funcio´n de transferencia de un sistema con entrada u(t), salida y(t) y respuesta al impulso g(t), entonces la funcio´n de transferencia G(s) se define como: G(s) = Y (s) U(s) (1) Donde Y (s) y U(s) son las transformadas de Laplace de y(t) y u(t), respectivamente. 3.4. Transformada de Laplace (L) Es una transformacio´n integral de una fun- cio´n f(t) del dominio temporal al dominio de la frecuencia complejo, lo que da por resultado F (s). Dada una funcion f(t), su transformada de Laplace, denotada por F (s) o L[f(t)], se define como: L[f(t)] = F (s) = ∫ ∞ 0− f(t)e−st dt (2) donde s es una variable compleja dada por: s = σ + jω (3) USODE LA TRANSFORMADADE LAPLACE EN LA RESOLUCIO´N DE CIRCUITOS DE PRIMER Y SEGUNDOORDEN. ASIGNATURA: CIRCUITOS 3.3 3.5. Transfromada inversa de Laplace (L−1) Dada una funcio´n F (s), la Transformada inversa de Laplace se define como la transformacio´n desde el dominio de frecuencia complejo al dominio temporal, para la obtencio´n de f(t). Suponiendo una forma general, expresada en la ecuacio´n (1), las raı´ces de Y (s) = 0 denota los ceros de G(s), mientras que las raı´ces de U(s) = 0 expresa los polos del sistema. De estar separados los polos del sistema, se usa directamente una Tabla de transformadas. De no ser ası´, es decir, las polos esta´n factorizados, es necesario aplicar una expansio´n en fracciones parciales, donde dichos polos pueden ser: Polos simples Si todos los polos de G(s) son simples y reales, la ecuacio´n (1) se puede escribir como: G(s) = Y (s) U(s) = Y (s) (s+ s1)(s+ s2)...(s+ sn) (4) donde s1 6= s2 6= ... 6= sn. Al aplicar la expansio´n en fracciones parciales, la ecuacio´n (5) se escribe como: G(s) = Ks1 s+ s1 + Ks2 s+ s2 + ...+ Ksn s+ sn (5) El coeficiente Ksi(i = 1, 2, ..., n) se determina al multiplicar la ecuacio´n (4) por el factor (s + si) y reemplazando s por −si. Polos repetidos Si r de los n polos de G(s) son ide´nticos, o se dice que el polo en s = −si es de multiplicidad r, G(s) se escribe: G(s) = Q(s) P (s) = Q(s) (s+ s1)(s+ s2)...(s+ sn−r)(s+ si)r (6) (i 6= 1, 2, ..., n− r). Entonces G(s) se puede expandir como: G(s) = Ks1 s+ s1 + Ks2 s+ s2 + ...+ Ks(n−r) s+ sn−r + n− r terminos de polos simples A1 s+ si + A2 (s+ si)2 + ...+ Ar (s+ si)r (7) r terminos de polos repetidos Los n− r coeficientes, Ks1, Ks2, ..., Ks(n−r), que corresponden a los polos simples, se pueden evaluar con el me´todo descrito en el item anterior. Las ecuaciones para deter- minar los coeficientes que corresponden a los polos de orden mu´ltiple se describen como sigue: Ar = [(s+ si) rG(s)]|s=−si Ar−1 = [ d ds (s+ si) rG(s)]|s=−si Ar−2 = [ 1 2! d2 ds2 (s+ si) rG(s)]|s=−si . . . A1 = [ 1 (r − 1)! dr−1 dsr−1 (s+ si) rG(s)]|s=−si (8) Donde posteriormente es aplicable la tabla de transformadas. Polos complejos Suponiendo que G(s) tiene un par de po- los complejos: s = −α + jω s = −α− jω Los coeficientes correspondientes de estos polos son: K−α+jω = (s+ α− jω)G(s)|s=−α+jω (9) K−α−jω = (s+ α + jω)G(s)|s=−α−jω (10) Ahora, considerando la funcio´n G(s): USODE LA TRANSFORMADADE LAPLACE EN LA RESOLUCIO´N DE CIRCUITOS DE PRIMER Y SEGUNDOORDEN. ASIGNATURA: CIRCUITOS 3.4 G(s) = ω2n s2 + 2ζωns+ ω2n (11) Y suponiendo que ζ y ωn son tales que los polos de G(s) son complejos, la expansio´n a realizar es: G(s) = K−α+jω s+ α− jω + K−α−jω s+ α + jω (12) Donde: α = ζωn (13) Y, ω = ωn √ 1− ζ2 (14) Los coeficientes (12) se determinan como: K−α+jω = (s+ α− jω)G(s)|s=−α+jω = ω 2 n 2jω (15) . K−α−jω = (s+α+jω)G(s)|s=−α−jω = − ω 2 n 2jω (16) Por lo que la expansio´n en fracciones par- ciales completa en (11) es: G(s) = ω2n 2jω [ 1 s+ α− jω+ 1 s+ α + jω ] (17) Posteriormente, al realizar la Transforma- da inversa de Laplace en ambos miembros de (17), se obtiene: g(t) = ω2n 2jω e−αt(ejωt − e−jωt) g(t) = ωn√ 1− ζ2 e −ζωnt sinωn √ 1− ζ2 (18) . 4. RESOLUCIO´N DE LOS CIRCUITOS Como se dijo anteriormente, los 10 circuitos se resolvera´n planteando me´todos de ana´lisis convencionales y por medio de la transformada de Laplace se conseguira´ su respuesta en el tiempo a determinadas fuentes de excitacio´n. 4.1. Planteamiento del Problema, Solucio´n matema´tica y solucio´n Gra´fica 4.1.1. Ejercicio 1 Hallar la corriente y el voltaje en los elementos del sistema de la Figura 3. Aplicando LTK en el circuito, se obtiene: Ejercicio 1. Circuito de Primer Orden. . Vi(t) = L di dt + i(t)R (19) Despejando la variable de estado del sistema, es decir di dt , se obtiene la siguiente expresio´n: di dt = Vi(t)− i(t)R L (20) Reescribiendo este ultimo te´rmino mediante variables de estado (19), se obtiene la siguiente matriz : [˜ i ] = [−R L ] · i(t) + [ 1L] · Vi(t) (21) Para el hallazgo de los valores del sistema, se crea a partir de la Ecuacio´n (22) la matriz de salida, que tiene la forma dada en la ecuacio´n (19d):i(t)VR VL  =  1R −R  · i(t) + 00 1  · Vi(t) (21a) Solucionando la ecuacio´n (22) mediante,la forma de la ecuacio´n (20), se obtiene la funcio´n de transferencia para las variables de estado. Ası´, dicha solucio´n es:[˜ i ] = [ L SL+R ] [ 1 L ] · Vi(S) (21b) USODE LA TRANSFORMADADE LAPLACE EN LA RESOLUCIO´N DE CIRCUITOS DE PRIMER Y SEGUNDOORDEN. ASIGNATURA: CIRCUITOS 3.5 I(S) Vi(S) = 1 SL+R (22) Finalmente, asumiendo que R y L tienen un valor de 1, la Funcio´n de transferencia se reduce a: I(S) Vi(S) = 1 S + 1 (23) Ahora, sabiendo que Vi = 220u(t), realizando su Transformada de Laplace y despejando I(S), se tiene: I(S) = 220 s(s+ 1) (24) Realizando la expansio´n en fracciones par- ciales se tiene: 220 s(s+ 1) = A s + B s+ 1 (25) Donde: A = ( 220 s(s+ 1) s)|s=0 = 220 (26) B = ( 220 s(s+ 1) (s+ 1))|s=−1 = −220 (27) De modo que finalmente se obtiene: 220 s(s+ 1) = 220( 1 s − 1 s+ 1 ) (28) Aplicando la Transformada inversa de Lapla- ce se obtiene finalmente: g(t) = 220(1− e−t) (29) Ahora, generando el co´digo para realizar la simulacio´n mediante variables de estado, se obtiene: a = [-1]; b = [1]; c = [1;1;-1]; d= [0;0;1]; sys = ss(a,b,c,d); step(t,sys); tf(sys); [u, t] = gensig(’square’,20,40,0.1); u = [0.5-u]*240; plot(t,u); lsim(sys,u,t); Finalmente, la simulacio´n se observa en la Figura 4. Simulacio´n Ejercicio 1. 4.1.2. Ejercicio 2 Hallar la corriente y el voltaje en los ele- mentos del sistema de la Figura 5., Donde V1 = 220u(t). Aplicando LCK en el circuito, se obtiene: Ejercicio 2. Primer Orden. V1(t)− vc(t) 5 = C dvc(t) dt + vc(t) 10 + vc(t) 100 (30) Despejando la variable de estado del sistema, es decir dvc dt , se obtiene la siguiente expresio´n: dvc dt = −31 vc(t) 100C + V1(t) 5C (31) Reescribiendo este ultimo te´rmino mediante variables de estado (19), se obtiene la siguiente USODE LA TRANSFORMADADE LAPLACE EN LA RESOLUCIO´N DE CIRCUITOS DE PRIMER Y SEGUNDOORDEN. ASIGNATURA: CIRCUITOS 3.6 matriz :[ v˜c ] = [− 31 100C ] · vc(t) + [ 15C ] · V1(t) (32) Hallando la funcio´n de transferencia del sis- tema: vc(s) Vi(s) = 2 s+ 31/10 (33) Ahora se hallaran las funciones de transfe- rencia de los dema´s elementos del sistema: Para R1: vR1(s) = Vi(s)− vc(s) (34) Donde: vR1(s) vi(s) = s+ 11/50 s+ 31/50 (35) i1(s) vi(s) = s/5 + 11/50 s+ 31/50 (36) Para Ic: ic(s) vi(s) = s/5 s+ 31/50 (37) Para el hallazgo de los valores del sistema, se pasa la Ecuacio´n (32) al dominio de Laplace, con V1(s) = 220S . 220 5S = S vc(S) 10 + 31 vc(S) 100 (38) Despejando de la ecuacio´n (35) vc(S),tenemos: vc(S) = 4400 S(31 + 10S) (39) Ahora realizando la expansio´n en fracciones parciales se tiene: 4400 S(10S + 31) = A s + B 10S + 31 (40) Donde: A = 4400 31 B = −4400 31 De modo que finalmente se obtiene para esta fuente: 4400 S(10S + 31) = 4400 31S − 4400 10S + 31 (41) Aplicando la Transformada inversa de Lapla- ce, y sumando el suministro dado por V1, se obtiene finalmente: vc(t) = 141, 935− 141, 935e−3,1t (42) De la cual obtenemos: iR1(t) = 1, 41e −3,1t ∗ (0, 35e3,1t + 0, 64) iR2(t) = 14, 19e −3,1t ∗ (0, 032e3,1t + 0, 032) iR3(t) = 1, 41e −3,1t ∗ (0, 032e3,1t + 0, 032) iC(t) = 44e −3,1t Finalmente, la simulaciones se observa en las Figuras 6-10. Simulacio´n Ic Ejercicio 2. USODE LA TRANSFORMADADE LAPLACE EN LA RESOLUCIO´N DE CIRCUITOS DE PRIMER Y SEGUNDOORDEN. ASIGNATURA: CIRCUITOS 3.7 Simulacio´n corriente R1 Ejercicio 2. Simulacio´n corriente R2 Ejercicio 2. Simulacio´n corriente R3 Ejercicio 2. Simulacio´n Vc Ejercicio 2. 4.1.3. Ejercicio 3 Ejercicio 3; Primer orden En el circuito de la Figura 11, se tiene que Vi = 10u(t). Aplicando LCK en el circuito, se obtiene: Vi(t) = VR(t) + VC(t) (43) Donde: Vi(t) = Ri(t) + 1 c ∫ i(t) · dt (44) Pasando la ecuacio´n (41) al dominio de La- place obtenemos: Vi(s) = Ri(s) + 1 cs i(s) (45) Donde: Vi(s) = i(s)(R + 1 cs ) (46) USODE LA TRANSFORMADADE LAPLACE EN LA RESOLUCIO´N DE CIRCUITOS DE PRIMER Y SEGUNDOORDEN. ASIGNATURA: CIRCUITOS 3.8 Hallando su funcio´n de transferencia: i(s) Vi(s) = cs crs+ 1 (47) Simulacio´n: Realizando la simulacio´n, las sen˜ales obtenidas para las variables de salida se representan en la Figura 8-11. Simulacio´n Corriente Ejercicio 3. Ahora hallaremos las funciones de transfe- rencia de los dema´s elementos del circuito: vc(s) = 1 cs i(s) (48) Donde: vc(s) = 1 cs s/r s+ 1/cR (49) Simulacio´n: Simulacio´n Voltaje del capacitor Ejercicio 3. Hallando su funcio´n de transferencia: vc(s) vi(s) = 1/cr s+ 1/cR (50) Para la resistencia: vR(s) = Ri(s) (51) Donde su funcio´n de transferencia es: vR(s) vi(s) = s s+ 1/cR (52) Finalmente, la simulaciones se observan en las Figuras 14-15. Simulacio´n Voltaje del resistor Ejercicio 3. Simulacio´n Polos del sistema Ejercicio 3. 4.1.4. Ejercicio 4 USODE LA TRANSFORMADADE LAPLACE EN LA RESOLUCIO´N DE CIRCUITOS DE PRIMER Y SEGUNDOORDEN. ASIGNATURA: CIRCUITOS 3.9 Ejercicio 4, Primer orden. para este ejercicio tenemos un transformador el cual solo deja pasar voltajes con frecuencias de 60Hz, con una relacio´n N = 0, 1, con lo cual las relaciones de voltaje y corriente que se tienen en este transformador son: V2 = v1 10 i2 = 10i1 Donde V1 = 120sen377t y V2 = 2u(t), : En este ejercicio realizaremos superposicio´n para poder realizarlo, primero se apagara la fuente v2 : Como se apagara la fuente v2 el circuito queda: Diagrama del sistema con v2 apagada Ejercicio 4. Ahora realizaremos LTK en el circuito: Malla 1: 2i1 + v1 = 120 Malla 2: 15i2 − 10i3 − v2 = 0 Malla 3: (10− 0, 0132j)i3 − 10i2 = 0 Reemplazando las relaciones dadas: Escrito en forma matricial:1200 0  =  2 1 0150 −1/10 10 −100 0 10− 0, 01326j  · i1v1 i3  (53) Resolviendo el sistema de ecuaciones: i1 = 0, 239 + 0, 000632j v1 = 119, 52− 0, 001263j i3 = 2, 39 + 0, 009487j De lo cual podemos hallar: i2 = 10i1 = 2, 39 + 0, 006316j iR10 = i2 − i3 = 0, 0001− 0, 003166j vR10 = 10(i2 − i3) = 0, 0001− 0, 03166j Ahora realizaremos la segunda parte del ejercicio apagando v1, por consiguiente como el transformador solo deja pasar sen˜ales con frecuencias de 60 Hz el circuito quedarı´a Figura 18: Diagrama del sistema con v1 apagada Ejercicio 4. Primero reduciremos el circuito realizando el paralelo de 5 y 10 con lo que: R = 10∗5 15 = 10 3 Con esto el circuito queda Figura 19: Diagrama del sistema reducido Ejercicio 4. Ahora realizaremos LTK en el circuito resul- tante: Malla 1: 10 3 i(t) + 1 c ∫ i(t) · dt = 12u(t) Transformando al dominio de Laplace: 10 3 i(s) + 5 s i(s) = 12 s Despejando i(s): i(s) = 36 10s+15 Realizamos la transformada inversa de La- place para pasarlo al dominio del tiempo: i(t) = 18 15 e−1,5t Por consiguiente realizamos un divisor de corriente y hallamos IR10: iR(t) = 6 5 e−1,5t vR(t) = 12e −1,5t USODE LA TRANSFORMADADE LAPLACE EN LA RESOLUCIO´N DE CIRCUITOS DE PRIMER Y SEGUNDOORDEN. ASIGNATURA: CIRCUITOS 3.10 Por lo tanto la respuesta total de nuestra variable vR10 ecuacio´n (65): vR(t) = 12e −1,5t + 0, 0315sin(377t− 89, 81) Realizando la simulacio´n, las sen˜ales obteni- das para las variables de salida se representan en la Figura 20: Simulacio´n Ejercicio 4. 4.1.5. Ejercicio 5 Ejercicio 5, Segundo orden. En el circuito de la Figura 21, se tiene que I1 = 10u(t), por lo cual se plantean las variables de estado: Se mostrara los pasos a seguir para desa- rrollar un circuito RLC en paralelo (ver figura ??), el cual es de orden 2, lo que queremos es obtener el voltaje en funcio´n del tiempo, para comenzar al usar la ley de corrientes de kirchhoff tenemos que: iC + iL + iR = i(t) Al reemplazar las ecuaciones que describen la corriente en el tiempo para cada elemento y del voltaje tenemos la siguiente respuesta: C dV (t) dt + 1 L ∫ V (t) dt+ V (t) R = 10u(t) Al convertir esta ecuacio´n en el dominio de Laplace obtenemos: C(sV (s)− V (0)) + 1 L ( 1 s + i(0) S ) + 1 R = 10 s Usando factorizacio´n, resumiendo y teniendo en cuenta que las condiciones iniciales son cero: V (s)[Cs+ 1 Ls + 1 R ] = 10 s V (s) s2 + 1 LC + s CR s C = 10 s Finalmente al reemplazar los valores de los elementos pasivos en la anterior ecuacio´n: V (s) = 1 s2 + s 250 + 1 100 Se podrı´a manejar V(s) como: V (s) = Wn s2 + ζWns+Wn2 Por tanto, la ecuacio´n para V(s) quedarı´a como: V (s) = 100( 1 100 ) s2 + s 250 + 1 100 Al aplicar la inversa de la Transformada de Laplace para obtener la respuesta en el tiempo, encontramos que segu´n tablas para la forma V(s) corresponde un V(t) igual a: V (t) = Wn√ 1− ζ2 e −ζWntsen(Wndt) Las raı´ces de la funcio´n de transferencia son: s1 = −0, 002 + j0, 009 s2 = −0, 002 + j0, 009 Donde ademas en seguida se muestra cada uno de los valores a reemplazar en la ecuacio´n para obtener V(t): Wn = 0,1 ζ = −0,002 0,099 = 0,02 d = √ 1− ζ2 = 0, 99 Finalmente se obtiene la respuesta en el tiempo para el voltaje buscado en el ejercicio: V (t) = 10, 101e−0,002tsen(0, 009t) USODE LA TRANSFORMADADE LAPLACE EN LA RESOLUCIO´N DE CIRCUITOS DE PRIMER Y SEGUNDOORDEN. ASIGNATURA: CIRCUITOS 3.11 Realizando la simulacio´n, las sen˜ales obteni- das para las variables de salida se representan en la Figura 22. Ejercicio 5. 4.1.6. Ejercicio 6 Ejercicio 6, Segundo orden. En esta ejercicio mostraremos como solucio- nar un circuito de segundo orden el cual tiene dos fuentes de voltaje a diferentes frecuencias como lo muestra la figura ??. Lo primero que debemos hacer es aplicar principio de superposicio´n apagando la fuente sinusoidal, haciendo lo anterior, nos queda que: V (t) = VL(t) + VC(t) + VR(t) V (t) = L di(t) dt + 1 C ∫ i(t)dt+ i(t)R Aplicando transformada de Laplace obtene- mos: V (s) = sLI(s) + I(s) sC + I(s)R V (s) = I(s)( s2LC + sRC + 1 sC ) Ademas tenemos la funcio´n de transferencia: I(s) V (s) = s L s2 + sR L + 1 LC Teniendo los siguientes valores en el circuito mostrados en la figura ??: R = 100, C = 1, L = 1 fuente : 60u(t) Por tanto la corriente: I(s) = 60 s2 + 100s+ 1 Polos reales con criterio del polo dominante. Los polos para la anterior ecuacio´n se mues- tran en la figura ??, donde claramente se puede apreciar que el polo ma´s cercano al origen se encuentra a una distancia mayor a diez veces respecto al segundo polo ma´s negativo: s1 = −0,01, s2 = −99,99 Por criterio del polo dominante conservamos la raı´z s1 y la corriente en el tiempo quedarı´a expresada de la siguiente manera: I(s) = 60 99,99 s+ 0,01 Ası´ tenemos que la respuesta para i(t) quedarı´a como: i1(t) = 60 99, 98 e−0,01t USODE LA TRANSFORMADADE LAPLACE EN LA RESOLUCIO´N DE CIRCUITOS DE PRIMER Y SEGUNDOORDEN. ASIGNATURA: CIRCUITOS 3.12 Por otro lado, apagando la fuente de 60u(t) y prendiendo la fuente sinusoidal de 120 vol- tios podemos analizar al circuito por mallas y ası´ obtendremos la segunda corriente: XC = −j2, 6525 XL = j377 i(t) = 120 100 + j374, 38 i2(t) = 0, 31sen(337t−−75, 04) Finalmente al aplicar el principio de super- posicio´n tenemos la corriente total: i(t) = 60 99, 98 e−0,01t + 0, 31sen(377t− 75, 04) Realizando la simulacio´n, las sen˜ales obteni- das para las variables de salida se representan en las Figuras 25-27. Corriente respecto a la fuente de 60u(t). Corriente respecto a fuente sinusoidal de 120v. Corriente total i(t). 4.1.7. Ejercicio 7 Ejercicio 7. Segundo orden. En el circuito de la Figura 28, se tiene que i1 = 10u(t), la variable a hallar en este caso sera ic(t) Definiendo su funcio´n de transferencia como: USODE LA TRANSFORMADADE LAPLACE EN LA RESOLUCIO´N DE CIRCUITOS DE PRIMER Y SEGUNDOORDEN. ASIGNATURA: CIRCUITOS 3.13 ic(s) ii(s) = s2 + 2s s2 + 2s+ 1 Ahora hallaremos las dema´s funciones de transferencia: vc(s) = 1 cs ic(s) vc(s) ic(s) = 2s+ 4 s2 + 2s+ 1 vr(s) = Rii(s) vr(s) ii(s) = 4 s2 + 2s+ 1 vl(s) = lsii(s) vl(s) ii(s) = 2s s2 + 2s+ 1 Realizando la simulacio´n, las sen˜ales obteni- das para las variables de salida se representan en las Figuras 29-33: Simulacio´n corriente capacitor Ejercicio 7. Simulacio´n polos del sistema Ejercicio 7. Simulacio´n voltaje capacitor Ejercicio 7. Simulacio´n voltaje inductor Ejercicio 7. 4.1.8. Ejercicio 8 Ejercicio 8, Segundo orden. USODE LA TRANSFORMADADE LAPLACE EN LA RESOLUCIO´N DE CIRCUITOS DE PRIMER Y SEGUNDOORDEN. ASIGNATURA: CIRCUITOS 3.14 En el circuito de la Figura 34, se tiene que v1 = 10u(t). Definiendo su funcio´n de transferencia como: i2(s) = s+ 4 s+ 6 + 1/2s i0(s) i0(s) vi(s) = s/2 + 3s+ 1/4 s2 + 17/4s+ 1 Ahora hallaremos las dema´s funciones de transferencia: i2(s) vi(s) = s/2 s+ 1/4 i1(s) vi(s) = 1 s+ 4 vRl(s) = i0(s)R1 vR1(s) Vi(s) = s2/2 + 3S + 1/4 s2 + 17/4s+ 1 vR2(s) = i1(s)R2 v2(s) Vi(s) = 4 s+ 4 vR3(s) = i2(s)R3 v3(s) Vi(s) = s s+ 1/4 vl(s) = i1(s)ls vl(s) Vi(s) = 1/4 s+ 1/4 vc(s) = i2(s) 2s vc(s) Vi(s) = 1/4 s+ 1/4 Realizando la simulacio´n, las sen˜ales obteni- das para las variables de salida se representan en la Figura 33-41: Simulacio´n corriente R1 Ejercicio 8. Simulacio´n corriente R2 Ejercicio 8. Simulacio´n corriente R3 Ejercicio 8. USODE LA TRANSFORMADADE LAPLACE EN LA RESOLUCIO´N DE CIRCUITOS DE PRIMER Y SEGUNDOORDEN. ASIGNATURA: CIRCUITOS 3.15 Simulacio´n voltaje capacitor Ejercicio 8. Simulacio´n voltaje inductor Ejercicio 8. Simulacio´n voltaje R1 Ejercicio 8. Simulacio´n voltaje R2 Ejercicio 8. Simulacio´n voltaje R3 Ejercicio 8. 4.1.9. Ejercicio 9 Ejercicio 9, Segundo orden. En el circuito de la Figura 43, se tiene que v1 = 10sin(t)u(t). Definiendo su funcio´n de transferencia como: ii(s) vi(s) = 4/5s3 + 1 s2 + 7/2s+ 3 Ahora hallaremos las dema´s funciones de transferencia: vi(s) = ii(s)(s+ 10/s) ii2(s) vi(s) = s/5 s+ 2 i2(s) vi(s) = 1/2 s+ 3/2 vl(s) = i1(s)R1 v1(s) Vi(s) = s s+ 2 USODE LA TRANSFORMADADE LAPLACE EN LA RESOLUCIO´N DE CIRCUITOS DE PRIMER Y SEGUNDOORDEN. ASIGNATURA: CIRCUITOS 3.16 v2(s) = i2(s)R2 v2(s) Vi(s) = 3/2 s+ 3/2 vc(s) = 1 cs i2(s) vc(s) Vi(s) = 2 s+ 2 vl(s) = i2(s)ls vl(s) Vi(s) = 3/2s s+ 3/2 Realizando la simulacio´n, las sen˜ales obteni- das para las variables de salida se representan en la Figura 44-49: Simulacio´n corriente R1 Ejercicio 9. Simulacio´n corriente R2 Ejercicio 9. Simulacio´n voltaje capacitor Ejercicio 9. Simulacio´n voltaje inductor Ejercicio 8. Simulacio´n voltaje R1 Ejercicio 8. USODE LA TRANSFORMADADE LAPLACE EN LA RESOLUCIO´N DE CIRCUITOS DE PRIMER Y SEGUNDOORDEN. ASIGNATURA: CIRCUITOS 3.17 Simulacio´n voltaje R2 Ejercicio 8. 4.1.10. Ejercicio 10 El circuito mostrado en la figura 50 muestra un circuito de segundo orden, con una sen˜al de entrada tipo escalo´n unitario con magnitud 100. Al aplicar la ley de corrientes de Kirchhoff en el dominio de Laplace obtenemos: Circuito RLC de Tercer orden con Raı´ces Complejas. I(s) = Ic(s) + IL(s) + Iz(s) Haciendo la relacio´n correspondiente para cada elemento: V (s) 1 s + V (s) s + V (s) 10 ∗ 103 + 1 1 ∗ 106s = 100 s − V (s) 50 Factorizando se reduce la expresio´n a: V (s)[s+ 1 s + 1 ∗ 106sV (s) 1 + 0,01s + 1 50 ] = 2 s Operando de forma algebraica tenemos: V (s)[ 0,5s3 + 50,0101s2 + 1,5s+ 50 50s(1 + 0,01s) ] = 2 s Finalmente obtenemos para V(s): V (s) = 100(1 + 0,01s) 0,5s3 + 50,0101s2 + 1,5s+ 50 Ahora para obtener la funcio´n de Transferen- cia del circuito respecto al voltaje de entrada tenemos que: V (s) Vi(s) = (0,01s+ 1)s 0,5s3 + 50,0101s2 + 1,5s+ 50 La figura 51 muestra los polos complejos para el sistema donde se puede ver que el polo ma´s cerca al origen se encuentra a una distancia mayor a diez veces del polo ubicado en -100 sobre el eje X, y por esta razo´n se puede aplicar el criterio del polo dominante aun ası´ las raı´ces del sistema sean complejas. Realizando la simulacio´n, las sen˜ales obteni- das para las variables de salida se representan en las Figuras 51-52. Polos de la Funcio´n de Transferencia para el circuito de Tercer orden. Respuesta del voltaje en funcio´n del tiempo del circuito. 5. CONCLUSIONES Se realizo´ la simulacio´n de las variables obtenidas mediante MATLAB, para com- prender de mejor manera el comporta- miento de los sistemas. La transformada de Laplace simplifica de gran manera la complejidad de los sis- temas, lo cual facilito´ el ana´lisis de los mismos. USODE LA TRANSFORMADADE LAPLACE EN LA RESOLUCIO´N DE CIRCUITOS DE PRIMER Y SEGUNDOORDEN. ASIGNATURA: CIRCUITOS 3.18 Una ventaja de trabajar con la funcio´n de transferencia es que no es necesaria la pre- sencia de condiciones iniciales; adema´s, el hecho de aplicar la Transformada de Laplace a la solucio´n de un sistema genera la solucio´n tanto homoge´nea como parti- cular y no depende de la sen˜al de entrada al sistema. La funcio´n de transferencia tambie´n faci- lita el ana´lisis de el comportamiento de un sistema, en cuanto a su estabilidad y orden, principalmente. Los circuitos ele´ctricos hasta segundo or- den se dice que son estables, aunque con algunas excepciones las cuales son con- siderados como circuitos crı´ticamente es- tables, los cuales no tienden a un va- lor fijo en infinito pero generan una sa- lida armo´nica con periodo y frecuencia en ellos. Mediante el uso de MATLAB, se evidencio que la mayorı´a de simulaciones corres- pondı´a a salidas acotadas, lo que quiere decir que se trataron en este documento sistemas estables o crı´ticamente estables. Latex nos parecio´ una excelente forma de presentar trabajos con bastante escritura matema´tica ya que despue´s de maneja´rlo bien ayuda es muy agı´l y muy este´tico. Se puede concluir que los circuitos pueden tener multı´ples usos,tipos y modos de so- lucionarlos y que es de gran aplicabilidad saberlos y conocerlos todos, ademas usar elementos compu´tacionales es muy valio- so, ya que esto nos permite enfrentarnos con mas felicidad a ejercicios de mayor envergadura. REFERENCIAS [1] Alexander C.; Matthew S Fundamentos de los circuitos Ele´ctricos 3ed. Mc GraW Hill. [2] Benjamin C. Kuo Sistemas de Control Automa´tico 7ed.Prentince Hall. [3] Principle of Superposition by Direction Images Artyom M. Grigoryan, Senior Member, IEEE, and Nan Du, Stu- dent Member, IEEE [4] Piecewise Linear Circuits Operating on First-Order Multi- Level and Second-Order Binary Sigma-Delta Modulated Signals. AUTORES -Juan Carlos Estupin˜a´n Barrera, Estudiante Ingenierı´a Ele´ctrica (6o Semestre), Universidad Distrital Francisco Jose´ de Caldas. -Yerson Esteban Vaca Ortiz, Estudiante Ingenierı´a Ele´ctrica (6o Semestre), Universidad Distrital Francisco Jose´ de Caldas. Introducción Objetivos General Específicos Marco Teórico Circuito de Primer Orden Circuito de Segundo Orden Función de Transferencia Transformada de Laplace (L) Transfromada inversa de Laplace (L-1) Resolución de los Circuitos Planteamiento del Problema, Solución matemática y solución Gráfica Ejercicio 1 Ejercicio 2 Ejercicio 3 Ejercicio 4 Ejercicio 5 Ejercicio 6 Ejercicio 7 Ejercicio 8 Ejercicio 9 Ejercicio 10 Conclusiones Referencias Biographies