Uii estatica

1. MECÁNICA BÁSICA Á ÁEstática – Cuerpos q en Equilibrio Dr. Andrés Blanco Ortega g1 2. Objetivo El alumno examinará los principios de sistemas de fuerzas y momentos y su estado en equilibrio Aplicará el equilibrio equilibrio. para el análisis isostático de estructuras. Conocerá los mecanismos generadores de la fricción.2 3. Equilibrio de una partícula Si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula es cero, la partícula se encuentra en equilibrio equilibrio.F Fx0y03 4. Problema 2 64 (Beer Johnston) 2.64 (Beer-Johnston) El aguilón AB está soportado por el cable BC y una bisagra en A Si el aguilón ejerce sobre el A. punto B una fuerza dirigida a lo largo del aguilón y la tensión en la cuerda BD es de 70lb, calcule: a) el valor de α para el cual la tensión en el cable BC es mínima y b) el valor correspondiente de la tensión. 4 5. Problema 3 7 (Hibbeler) 3.7 Determine la carga máxima que puede suspenderse p sin exceder una tensión de 780 lb en el cable AB o AC AC.5 6. Fuerzas en el espacio6 7. 7 8. 8 9. Fx  F cos  x Fy  F cos  y Fz  F cos  z     F  Fx i  Fy j  Fz k      F  F cos  x i  cos  y j  cos  z k  F       cos  x i  cos  y j  cos  z k9 10. ESTÁTICA Momentos10 11. Introducción Fuerzas que actúan sobre los cuerpos rígidos: L Lasfuerzas externas representan l acción f t t la ió que ejercen otros cuerpos sobre el cuerpo rígido en consideración consideración.  Las fuerzas internas son aquellas que mantienen unidas las partículas que conforman al cuerpo rígido.11 12. Fuerzas externas e internas12 13. Introducción Principio de transmisibilidad Establece que las condiciones de equilibrio o de movimiento de un cuerpo rígido permanecerán inalteradas si una fuerza F que actúa en un punto dado de ese cuerpo se reemplaza por una fuerza F’ que tiene la misma magnitud y dirección, pero que actúa en un diferente punto, siempre y cuando las dos fuerzas tengan l misma lí t la i línea d acción. de ió13 14. Producto Vectorial El producto vectorial de dos vectores P y Q se define como el vector V que satisface las siguientes condiciones: 1. 2.3.La línea de acción de V es perpendicular al plano que tiene a P y a Q. La magnitud de V es el producto de las magnitudes de P y Q por el seno del ángulo  formado por P y Q. Q V PQ V=PQ sen  La dirección de V se obtiene a partir de la regla de la mano derecha, siguiendo el sentido del ángulo  formado por P y Q con los dedos doblados. 14 15. Producto Vectorial• Producto de Vectores: - No son conmutativos Q  P   P  Q  - Son distributivos P  Q1  Q2   P  Q1  P  Q2 - No son asociativos  P  Q   S  P  Q  S  15 16. Producto Vectorial  i i  0    i j k    i k   j      j  i  k k  i  j      j j 0 k  j  i      j k  i k k  0En coordenadas rectangulares:    V  Px i  Py j  Pz k  i  V  PxQx    Qx i  Q y j  Qz k   j kPy QyPz Qz 16 17. Momento de una Fuerza con respecto a un Punto El vector fuerza esta definido por su magnitud y su dirección Su efecto sobre dirección. el cuerpo rígido depende de su punto de aplicación. El momento de F respecto a O esta definido por: MO = r x F El vector momento MO es perpendicular al plano que contiene al punto O y a la fuerza F. La magnitud de MO es una medida de la tendencia de la fuerza a causar la rotación del cuerpo.M O  rF sin   Fd17 18. Momentos El sentido del momento puede determinarse por medio d l mano di de la derecha. Se definen los momentos antihorarios como positivos iti y los l momentos horarios como negativos. 18 19. Teorema de Varignon El momento con respecto a un punto dado O de la resultante de varias fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de las distintas fuerzas con respecto al mismo punto O O.       r  F1  F2    r  F1  r  F2  19 20. Componentes rectangulares del momento de una fuerza El momento de F respecto a O   M O  r  F,    r  x i  y j  zk     F  Fx i  Fy j  Fz k    MO  Mx i  M y j  Mzk    i j k  MO  x y z Fx Fy Fz     M O  yFz  zFy  i  zFx  xFz  j  xFy  yFx k M x  yFz  zFy , M y  zFx  xFz , M z  xFy  yFx 20 21. Momento de una fuerza Momento de una fuerza respecto al p p punto B   M B  rA/B  F   rA/B  rA  rB    x A  x B  i  y A  y B  j  z A  z B  k     F  Fx i  Fy j  Fz k  i M B  x A  x B  Fx j kFyFzy A  y B  z A  z B 21 22. Momento de una fuerza: plano  M O  xFy  yFx k  M O  x A  xB Fy   y A  y B Fx kMO  MZMO  M BM Z  xFy  yFxM B   x A  xB Fy   y A  y B Fx 22 23. Ejercicio 3 4 (Beer & Johnston) 3.4 El pedal para un sistema neumático se articula en B. Se sabe que α=28, determine el momento de la fuerza de 4lb con respecto al punto B d t descomponiendo l f i d la fuerza en sus componentes horizontal y vertical.23 24. SoluciónDonde =8Fx  4lb cos8  3.961lbFy  4lb sin 8  0.557lb 24 25. Solución Fx Fy6.5sin(20)in 6.5cos(20)in 6 5 (20)iM M MB Fx d y  Fy d xB 3,9116.5 sin 20  0.5567 6.5 cos 20B 12.095lb  inlb  in25 26. Ejercicio 3.21 (Beer & J h t ) Ej i i 3 21 (B Johnston) Los cables AB y BC se sujetan como se muestra al tronco de un árbol muy g grande para evitar que se p q caiga. Si las tensiones en los cables AB y BC son de y 990N, , 777N respectivamente; determine el momento con respecto a O de la fuerza p resultante ejercida por los cables sobre el árbol en B. ( ) Sol. (5.24i-3.75k) kNm 26 27. Solución El momento con respecto a 0, está dado por:   M 0  r0 B  TBA  r0 B  TBC  M 0  r0 B  TBA  TBC  Las tensiones en los cables Son determinados como:   rBC rBA TBA  TBA  TBC  TBC  rBA rBCTBATBC r0 B27 28. Solución Las coordenadas de los puntos son: A   0.9,0,7.2 mB  0,8.4,0 m C  5.1,0,1.2 mCalculando los vectores: rBA   0.9  0 i  0  8.4  j  7.2  0 k  rBA  0.9i  8.4 j  7.2k m  2 2 2 rBA   0.9    8.4   7.2   11.1m  rBC  5.1  0 i  0  8.4  j  1.2  0 k  rBC  5.1i  8.4 j  1.2k  2 2 2 rBC  5.1   8.4   12   9.9mTBATBC r0 B28 29. Solución Las tensiones son:  0.9i  8.4 j  7.2k 11.1  63i  588 j  504kTBA  777 TBA TBC TBCN 5.1i  8.4 j  1.2k  990 9.9  510i  840 j  120kEl momento con respecto a 0 es:TBATBC r0 BM 0  8.4 j   63i  588 j  504k  8.4 j  510i  840 j  120k  M 0  5241.6i  3754.8k Nm29 30. Problema 3 23 (Beer & Johnston) 3.23 Una fuerza de 8 Lb se aplica sobre la llave de torsión para enroscar la regadera. Si la línea de acción de la llave de torsión es paralela al eje x determine el x, momento de la fuerza con respecto a A. Sol.(42.2i+40.6j-50.4k)Lb-in 30 31. Problema 3 25 (Beer & Johnston) 3.25 La rampa ABCD se sostiene en las esquinas mediante cables en C y di t bl D. Si la tensión que se ejerce en cada uno de los cables es de 360lb, determine el momento con respecto a A d l t de la fuerza ejercida por: a) el cable en D y b) el cable D, en C. 31 32. Solución  a ) M A  rAE  TDE  b) M A  rAG  TCG   rDE TDE  TDE  rDE   rCG TCG  TCG  rCG r AE r AGTDE TCG32 33. Producto escalar entre dos vectores El producto escalar o producto punto entre dos vectores estadefinido por:  P  Q  PQ cos  1. 2. 3.Propiedades es conmutativo es distributivo no es asociativo    P Q  Q P       P  Q1  Q2  P  Q1  P  Q2   P  Q  S  indefinido33 34. Producto punto componentes rectangulares        P  Q  Px i  Py j  Pz k  Qx i  Q y j  Qz kProducto punto entre vectores unitarios         i i 1 j  j 1 k k 1 i  j  0    j k  0 k i  0  P  Q  Px Qx  Py Q y  Pz Qz   P  P  Px2  Py2  Pz2  P 234 35. Producto P d t escalar: A li l Aplicaciones i Angulo entre dos vectores  P  Q  PQ cos   Px Qx  Py Q y  Pz Qzcos  Px Qx  Py Q y  Pz Qz PQProyección de un vector sobre un eje determinado POL  P cos   proyeccion de P a lo largo de OL   P  Q  PQ cos    P Q  P cos   POL QPara un eje definido por un vector unitario   POL  P  POL  Px cos  x  Py cos  y  Pz cos  z 35 36. Triple producto mixto de vectores Triple producto mixto de vectores   S  P  Q   escalar lLos seis productos triples que se pueden formar entre S, Q y P tienen la misma magnitud pero signos distintos distintos.  S  S          PQ  P  Q S  Q  S  P           P  Q   S  Q  P   P  S  Q  Q  P  S36 37. Componentes rectangulares triple producto escalar Evaluando el triple producto componentes rectangularesescalarporsus   S  P  Q  S x Py Qz  Pz Q y   S y Pz Qx  Px Qz  Sx    S  P  Q  Px Qx S z Pxy Qz  Py Qx  Sy Py QySz Pz Qz37 38. Momento de una fuerza respecto a un eje dado El momento MO de una fuerza aplicado en el punto A respecto al punto O es:   MO  r  FLa magnitud del momento MOL respecto al eje OL es la proyección del vector momento MO en dicho ejeM OL       M O    r  F Momento de una fuerza respecto a los ejes coordenados coordenados. M x  yFz  zFyM y  zFx  xFz M z  xFy  yFx 38 39. Momento de una fuerza respecto a un eje dado dado. Momento de una fuerza respecto a un eje arbitrarioM BL  rA B   MB       rA B  F     rA  rBEl resultado es independiente del p punto B a lo largo del eje dado. g j39 40. Problema 3 38 (Beer & Johnston) 3.38 Determine los ángulos formados por los g p alambres AC y AD de la red de voleibol.40 41. Solución   rAC  rAD cos     rAC rAD rAC rAD41 42. Problema 3 46 (Beer & Johnston) 3.46 La tapa ABCD de un baúl de 0.732x1.2m tiene bi 0 732 1 2 ti bisagras a lo largo de AB y se mantiene abierta mediante una cuerda DEC que pasa sobre un gancho en E sin fricción. Si la tensión de la cuerda es de 54N, determine el momento de la fuerza ejercida por la cuerda en D con respecto a D, cada uno de los ejes coordenados. 42 43. Solución   M A  rAE  TDE   r TDE  TDE DE rDE TDE rAE    MA  Mx i  M y j  Mzk43 44. Problema 3 55 (Beer & Johnston) 3.55 Un mástil se monta sobre el techo de una casa usando una ménsula ABCD, ABCD el mástil está sostenido por los cables EF EG y EH Si se EF, EH. sabe que la fuerza ejercida por el cable EF en E es de 66N, determine el momento de esa Fuerza con respecto a la línea que une los p ntos D e I puntos I.44 45. Solución:45 46. Momento de un Par46 47. Momento de un par Dos fuerzas F y –F que tienen la misma magnitud, líneas de acción paralelas pero g , p p sentido opuesto, se dice que forman un par. Momento de un par     M  rA  F  rB   F      rA  rB  F    rF M  rF sin   FdEl momento M de un par es independiente del origen de coordenadas, es un vector libre que puede ser aplicado en cualquier punto causando el mismo efecto sobre el cuerpo rígido. 47 48. Momento de un par Dos pares t d á momentos i D tendrán t iguales l si:F1d1  F2 d 2 • Si los dos pares se encuentran en planos paralelos o en el mismo plano. • Si los dos pares tienen el mismo sentido o tendencia a hacer rotar la pieza en la misma dirección48 49. Pares Equivalentes49 50. Problema 4 111 (Bedford) 4.111 Se usan dos llaves para apretar un codo hidráulico. La fuerza F=10k lb se aplica en (6,-5,-3)in y la fuerza –F se aplica en F (4,-5,-3)in. Determine el momento respecto p al eje x de la fuerza ejercida sobre la llave derecha. b) Determine el momento del par ) p formado por las fuerzas c) ¿Explique porqué se usan dos llaves? a) )50 51. Solución Calculando el momento respecto al origen: g ijkM 0  6  5  3  50i  60 j 00lbin10El momento respecto al eje x es: Mx=-50lb-in. rEl momento del par es:   r1  r2  2i  6kijkM p  2 0  6  20 j 0 0 r2lbin10 r1   r1  r251 52. Suma de pares Consideremos dos planos que se intersecan P1 y P2 cada uno de los cuales contiene un par    M 1  r  F1 en el plano P 1    M 2  r  F2 en el plano P2 p La resultante de los vectores también forman un par      M  r  R  r  F1  F2Por el Teorema de Varignon      M  r  F1  r  F2    M  M1  M 2 La suma de dos pares cuyos momentos son iguales a M1 y a M2 es un par de momento M igual a la suma vectorial de M1 y M252 53. Un par puede representarse como un vector   Un par puede representarse como un vector con magnitud y dirección igual al momento del par. El vector par obedece las leyes de la adición de vectores. El vector par es un vector libre el punto d aplicación no es t t libre, l lib t de li ió significativo. El vector par puede descomponerse en sus componentes vectoriales Mx, My, y Mz. 53 54. Descomposición de una fuerza dada en una fuerza en O y un par.  El vector F no puede moverse simplemente al punto O sin modificar su efecto sobre el cuerpo rígido. Fuerzas iguales y opuestas en O producen un efecto neto nulo g p p sobre el cuerpo. Las tres fuerzas pueden ser reemplazadas por una fuerza equivalente y un par. Es decir por un sistema fuerza – par. par.54 55. Descomposición de una fuerza en una fuerza y un parSi F se h bi hubiera trasladado d l punto A a un punto dif l d d del diferente O’ se tendría que calcular el momento MO’ =r’ X F de F con respecto a O’. Los momentos de F respecto a O y a O’ están relacionados          M O '  r ' F  r  s  F  r  F  s  F     MO  s  FDonde s es el vector que une a O’ con O. 55 56. Descomposición de una fuerza en una fuerza y un par El momento M0’ de F con respecto a O’ se obtiene sumándole al momento MO de F con respecto a O el producto vectorial s x F que representa el momento con respecto a O’ de la fuerza F aplicada en O56 57. Reducción de un sistema de fuerzas a una fuerza y un parCualquier sistema de fuerzas sin importar que tan complejo sea puede ser reducido a un sistema equivalente fuerza-par que actúa en un punto dado O. Los vectores fuerza y par pueden combinarse en una fuerza resultante y un par resultante.  R  FR   M O   r  F  57 58. Reducción de un sistema de fuerzas a una fuerza y un par El sistema fuerza-par en O puede moverse al punto O’ con la adición del momento de R respecto a O’.Dos sistemas de fuerzas son equivalentes si pueden reducirse al mismo sistema fuerza-par. fuerza par.R   R M 0'  M 0  s  R 58 59. Ejercicio 3 85 (Beer & Johnston) 3.85 Una fuerza y un par se aplican a una viga; a) reemplace este sistema por una sola fuerza F aplicada en el punto G y determine la distancia d; b) resuelve el inciso a) suponiendo que se intercambian las direcciones de las dos fuerzas de 600N.59 60. Solución a) Haciendo suma de fuerzas en y y suma de momentos en A: F  800  600  600  F  M  8001.5  6004  6002  F d yGAGResolviendo para FG y d:FG  800 N d  3m b)FG  F  800  600  600  F  M  8001.5  6004  6002  F d yGAGFG  800 N d  0m 60 61. Ejercicio 3 92 (Beer & Johnston) 3.92 Dos trabajadores usan bloques y polipastos conectados a l parte i f i d la inferior de una viga I para elevar un tanque cilíndrico grande. Se sabe que la tensión en la cuerda CD es de 366N, reemplace l f l la fuerza ejercida j id en C por la cuerda CD por un sistema equivalente fuerza-par en O. 61 62. Solución C  (0,7.5,0)El momento de TCD en 0 está dado por:  rCD  0.3i  5.6 j  2.4k m  rCD  6.1m   r TCD  TCD CD  18i  336 j  144k rCD  M 0  r0C  TCDijD  (0.3,1.9,2.4) (TCDr0CkME  0 7.5 0  18  336 144 M E  1080i  135kNm 62 63. Ejercicio 3.105 (Beer & Johnston) 3 105 El engrane C está rígidamente unido al brazo AB. Si las fuerzas y los pares mostrados se pueden reducir a una sola fuerza equivalente en A, determine esta fuerza equivalente y la magnitud del par M.63 64. Solución Haciendo suma de fuerzas en x y y, y suma de momentos en A tenemos: A, F  125 cos 40  90 sin 30  R  F  125 sin 40  90 cos 30  200  R  M  1.25125 sin 65  .85200 cos 25  0.690 cos 55  M xxyyAA2 R  Rx2  R y  50.752  358.29 2R  361.87 N  358.29    tan    81.21  50.75  M A  326.66 Nm 164 65. Ejercicio 3.125 (Beer & Johnston) 3 125 Las fuerzas mostradas en la figura son la resultante de las cargas verticales hacia abajo sobre las secciones del techo plano de una construcción, debidas a la nieve acumulada. Determine la magnitud y el punto de aplicación de la resultante d estas cuatro cargas. lt t de t t65 66. Ejercicio 3.121 (Beer & Johnston) El cabezal del taladro radial originalmente estaba colocado con el b l brazo AB paralelo al eje z, l l l j mientras que la broca y el portabrocas estaban colocados paralelos al eje y. El sistema se giró 25 con respecto al eje y y 20  t l j alrededor de la línea de centros del brazo horizontal AB, hasta que quedó en la posición mostrada. El proceso d t l d de taladro comienza al i l encender el motor y girar la manivela hasta que la broca entra en contacto con la pieza de trabajo. Reemplace l f R l la fuerza y el par l ejercidos por el taladro por un sistema equivalente fuerza-par en el centro 0 de la base de la columna vertical. l ti l 66 67. Cuerpos en Equilibrio Dr. Andrés Blanco Ortega g67 68. Cuerpos en equilibrio La estática es el análisis de cuerpos en equilibrio, incluidos los operadores robóticos, los puentes, las presas y los edificios. Ahora que ya se tiene el conocimiento para calcular momentos, pueden p , p enfrentarse a problemas de equilibrio más interesantes. Se establecerán las ecuaciones de equilibrio y describiremos los diversos tipos de apoyos utilizados frecuentemente en aplicaciones practicas. Se emplearan las ecuaciones de equilibrio para obtener información respecto a los sistemas de fuerzas y momentos que actúan sobre los cuerpos. 68 69. Equilibrio Cuando un cuerpo está en equilibrio, la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre él es cero.F  0M0  r  F   0Un cuerpo con velocidad constante sigue estas mismas ecuaciones. Recordar que un cuerpo en el espacio ti R d l i tiene 6 posibilidades de movimiento; 3 de translación y 3 de rotación. En el plano un cuerpo tiene 3 posibilidades de plano, movimiento; 2 de translación y 1 de rotación.69 70. Diagrama de Cuerpo Libre (dcl) Seleccionar cuidadosamente el cuerpo sobre el que se quiere trabajar. Aislar l Ai l el cuerpo d cualquier otro cuerpo que t de l i t tenga contacto con él y sustituir su acción por fuerzas. ( (Cuidar que el sentido de las fuerzas sea el q adecuado, es decir, fuerzas que actúan sobre el cuerpo). Considerar las fuerzas de campo y sustituirlas por fuerzas. fuerzas 70 71. Aplicaciones71 72. Aplicaciones72 73. Aplicaciones73 74. Industria metal mecánica metal-mecánica74 75. Industria metal mecánica metal-mecánica75 76. En el plano Fz  0 M x  M y  0 M z  M OPara cuerpos en un plano se ti P l tienen 3 ecuaciones: iFx0Fy0Mz0por lo que se pueden resolver hasta 3 incógnitas.76 77. Fuerzas de reacción A continuación se presentan las fuerzas de reacción de contacto entre el apoyo y el cuerpo, cuerpo así como entre cuerpos77 78. Reacciones en los soportes78 79. 79 80. 80 81. Ejemplos 4 5 (Beer&Johnston) 4.5 Un soporte en forma de T sostiene las cuatro cargas mostradas. Determine las reacciones en A y en B si: a) a=100mm y b) a=70mm.81 82. SoluciónF  0 F  0 M  0 xBy AyBxyB82 83. Ejemplos 4 11 (Beer&Johnston) 4.11 El valor máximo permisible para cada una de las reacciones es de 360 N Sin tomar en c enta el N. cuenta peso de la viga, determine el rango de valores de la distancia d para los cuales la viga es segura. p g g83 84. SoluciónF  0 M  0 M  0 xBxBAAyBy84 85. Ejercicio 4.15 (Beer&Johnston) Ej i i 4 15 (B &J h t ) Un seguidor ABCD se mantiene contra una leva circular por la acción de un resorte estirado estirado, el cual ejerce una fuerza de 21N para la posición mostrada en la figura. Si se sabe que la tensión en la barra BE es de 14N, determine: a) la fuerza ejercida sobre el rodillo en A y b) la reacción en el cojinete C. C 85 86. Solución F 0 F 0 M  0 xyCCyDyCx FEBFA 86 87. Cuerpo sujeto a dos fuerzas Cuando las fuerzas se aplican sólo en dos puntos de un elemento, el análisis puede simplificarse. C l t l áli i d i lifi Cuando l d las fuerzas en A y en B se suman para obtener sus respectivas resultantes el equilibrio se satisface solo si F1 tiene la misma magnitud y dirección, pero sentido opuesta a F2 y el equilibrio de momentos se satisface si F1 es colineal a F2.87 88. Cuerpo sujeto a tres fuerzas Si un elemento esta sujeto a la acción de tres fuerzas coplanares, entonces es necesario que las fuerzas sean concurrentes o paralelas, para que el p p q elemento este en equilibrio88 89. Ejercicio 4 82 (Beer&Johnston) 4.82 El elemento ABCD esta sostenido por un apoyo de pasador en C y por una cuerda inextensible unida en A y D, que pasa sobre poleas sin fricción en B y E. Sin tomar en cuenta el tamaño de las poleas, determine la tensión en la cuerda y la reacción en C.89 90. En el espacio Para cuerpos en el espacio se tienen 6 p p ecuaciones:  Fx  0  Fy  0  Fz  0 Mx  0 My  0 Mz  0por l que se pueden resolver h lo d l hasta 6 incógnitas.90 91. Aplicaciones Las juntas universales que se encuentran comúnmente en las flechas motrices de los autos y de los camiones de tracción trasera, permiten la transmisión d l movimiento rotacional entre d t i ió del i i t t i l t dos ejes no colineales.91 92. Aplicaciones La caja de cojinetes que se muestra sostiene al eje de un ventilador usado en un taller de fundición.92 93. Reacciones93 94. 94 95. Procedimiento de Solución 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4Hacer el diagrama de cuerpo libre del sistema. Identificar el cuerpo que tiene fuerzas conocidas. Identificar el cuerpo que tiene fuerzas como incógnitas. En el caso de problemas en el plano se pueden resolver hasta 3 incógnitas y en el espacio hasta 6 6. 95 96. Caso a considerar Si el número de incógnitas es adecuado adecuado, hacer suma de momentos en el punto en el que se eliminen más incógnitas.De otro modo, hacer diagrama de cuerpo libre d l cuerpo que ti lib del tiene l los d t datos, resolverlo y tomar los resultados como datos para el cuerpo siguiente.96 97. Repetir el paso anterior hasta resolver la incógnita deseada. deseada Recordar que la fuerza que un cuerpo (a) ejerce sobre otro cuerpo (b) es igual en magnitud y de sentido contrario a la que el segundo cuerpo (b) ejerce sobre el primer cuerpo (a). Es muy importante hacer problemas hasta asegurarse de haber entendido adecuadamente los conceptos.97 98. Ejercicio 4 99 (Beer&Johnston) 4.99 Para la porción de máquina que p q q se muestra en la figura, la polea de 4in de diámetro y la rueda B están fijos a una flecha sostenida por cojinetes en A y D El resorte ji t D. t de constante igual a 2lb/in no esta deformado cuando θ=0 y el cojinete en C no ejerce ninguna fuerza axial. Se sabe que θ=180° y que la máquina está en reposo y equilibrio determine: a) la equilibrio, tensión T y b) las reacciones en C y D. No tome en cuenta los p pesos de la flecha, la polea y la , p rueda. 98 99. Solución  F  0,  F  0,  F  0  M  0,  M  0,  M  0 xyxzyzCyCz DyDx DzFr99 100. Ejercicio 4.113 (Beer&Johnston) Ej i i 4 113 (B &J h t ) Un brazo de 3 m esta sometido a una fuerza de 4kN, como se muestra en la figura. Determine la tensión en cada cable y la reacción en el apoyo de la rótula en A A.100 101. Ejercicio 4 1 (Beer & Johnston) 4.1 El mástil sobre un camión de 4 300 kg se usa para descargar de la plataforma, el grupo de tablillas de 1 600 kg que se muestran en la figura. Determine la reacción en las llantas: a) traseras B y b) delanteras C.101 102. SoluciónFy0 W  RB  RC  WG  0RB  RC  4300  1600 9.81MG0W 6 cos15  0.4   RB 4.7   RC 0.5  0RB  RC  57879  4.7 RB  0.5 RC  97246WRB  24266N RC  33613NRB1  12133N, RB 2  12133N RC1  16807 N, RC 2  16807 NRBWGRC 102 103. Ejercicio 4 9 (Beer & Johnston) 4.9 Cuatro cajas están colocadas sobre una plancha de madera que d d descansa sobre d b dos caballetes. Si se sabe b ll t b que las masas de las cajas B y D son, respectivamente, de 4.5kg y 45kg; determine el rango de valores de la masa de la caja A para los cuales la plancha de madera permanece en equilibrio cuando se retira la caja C.103 104. Ejercicio 4 40 (Beer & Johnston) 4.40 La barra AC soporta dos cargas de 100lb, como se muestra en la figura. Los rodillos A y C descansan sobre superficies sin fricción y el cable BD está unido en B. Determine: a) la tensión en el cable BD, b) la reacción en A y c) la reacción C.104 105. Ejercicio 4 60 (Beer & Johnston) 4.60 Una barra delgada AB de masa m se une a los bloques A y B que se mueven libremente sobre las guías mostradas en la figura. El resorte de constante k se encuentra sin deformar cuando θ = 0. a) sin tomar en cuenta el peso de los bloques derive una ecuación en términos de m k l y θ bloques, m, k, que se cumpla cuando la barra está en equilibrio, y b) determine el valor de θ cuando m=2kg, l=750mm y k=30N/m. k=30N/m105 106. Ejercicio 4.77 (Beer & J h t ) Ej i i 4 77 (B Johnston) Una pequeña grúa se monta sobre la parte trasera de una camioneta y se usa para levantar una caja de 120 kg. Determine: a) la fuerza ejercida por el cilindro hidráulico BC sobre la grúa y b) la reacción en A. 106 107. Ejercicio 4 98 (Beer & Johnston) 4.98 Dos bandas de transmisión pasan doble discos soldados a un eje que j se sostiene mediante cojinetes en B y D. Si el disco en A tiene un radio de 50mm, y el disco en C tiene un radio de 40mm y se sabe que el sistema gira con una velocidad angular constante, determine: a) la tensión T, b) las reacciones en B y D. Suponga que el cojinete D no ejerce ninguna fuerza de empuje axial e ignore los pesos de los discos y el eje.107 108. Ejercicio 4 116 (Beer & Johnston) 4.116 El poste ABC de 18 ft de longitud está sometido a una fuerza de 210 lb, como se muestra en la figura El figura. poste se sostiene mediante un apoyo de rótula en A y por dos cables BD y BE. Para a=9ft, determine la tensión en cada cable y la reacción en A.108 109. Ejercicio 4 118 (Beer & Johnston) 4.118 Dos tubos de acero ABCD y EBF se sueldan juntos en B para formar el brazo que se muestra en la figura. El brazo se sostiene q g mediante un apoyo de rótula en D y por dos cables EG e ICFH; el cable ICFH pasa alrededor de poleas sin fricción en C y F. Para la carga mostrada, determine la tensión en cada cable y la g , reacción en D.109 110. Ejercicio 4.144 (Beer&Johnston) 4 144 Para regar las plantas mostradas, mostradas un jardinero une los tres tramos de tubería AB, BC y CD , adaptados con rociadores y sostiene el ensamble con apoyos articulados en A y D y mediante el cable EF. Si la tubería pesa 0.85 lb/ft, determine la tensión en el cable. t ió l bl 110 111. ESTÁTICA Fricción Dr. Andrés Blanco Ortega111 112. Introducción Actualmente no existen superficies sin fricción. Cuando dos superficies están en contacto, siempre se presentan fuerzas tangenciales, llamadas fuerzas de fricción cuando se trata de fricción, mover una superficie respecto a otra.112 113. Introducción Existen dos tipos de fricción:  Fricciónseca o fricción de Coulomb.  Fricción de fluidos que se desarrolla entre capas de fluidos que se mueven a diferentes velocidades.113 114. Introducción El tipo de problemas que analizaremos en este curso involucra cuerpos rígidos que están en contacto a lo largo de superficies que no están lubricadas lubricadas. Fricción seca.114 115. Aplicaciones115 116. Aplicaciones116 117. Fricción estática y cinética La evidencia experimental muestra que el valor máximo Fm de la fuerza de fricción estática es proporcional i l a la l componente normal N de la reacción de la superficie. pFm   s N donde s es una constante llamada coeficiente de fricción estática estática.De forma similar, la magnitud de Fk de la fuerza de fricción cinética puede expresarse como:Fk   k N donde d d k es una constante t t llamada coeficiente de fricción cinética.117 118. Coeficientes de Fricción MATERIALSK0.50.20.15 0 150.09 0 090.60.50.50.4Caucho sobre concreto, seco0.90.7Articulaciones en humanos0.010.01Madera sobre madera Acero sobre acero Metal sobre cuero Madera sobre cuero118 119. Leyes de la fricción seca Coeficientes de fricción Coeficientes de fricción estática Metal – metal0.15-0.60Metal – madera0.20-0.60Metal – piedra0.30-0.70Metal – cuero0.30-0.60Madera – madera0.25-0.50Madera – cuero0.25-0.50Piedra – piedra0.40-0.70Tierra – tierra0.20-1.00 0 20 1 00Hule – concreto0.60-0.90Máxima fuerza de fricción estática: Fm   s N Fuerza de fricción cinética Fk   k N k  0.75 s La fuerza máxima de fricción estática y la cinética son: - Proporcionales a la fuerza normal - Dependen del tipo y condición de las superficies de contacto. - Independientes del área de contacto.119 120. Cuerpo con superficie de contacto Las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo no tienden a moverlo. 2. Las fuerzas aplicadas en un cuerpo que tienden a moverlo no son lo suficientemente grandes para ponerlo en movimiento. 3. Las fuerzas aplicadas hacen que el cuerpo esté a punto de comenzar a deslizarse (movimiento inminente). 4. El cuerpo se desliza bajo la acción de las fuerzas aplicadas. 1.(Px = 0)(Px < Fm)(Px = Fm)(Px > Fm) 120 121. Ángulos de Fricción Cuando se reemplaza la fuerza normal N y la fuerza de fricción F por su resultante se formará un ángulo  con la resultante, normal a la superficie. Este valor recibe el nombre de ángulo de fricción estática y se representa con s. Fm  s N tan s   N Ntan s   stan s   s 121 122. Ángulos de fricción Considere un bloque de peso W que descansa sobre un plano inclinado un ángulo  Sin fricciónSin movimientoMovimiento inminenteMovimiento122 123. Movimiento inminente de un bloque s=0 3 =0.3123 124. Ejemplo 8 1 Ej l 8.1 Una fuerza de 100 lb actua sobre un bloque de 300 lb que esta colocado en un plano inclinado Los inclinado. coeficientes de fricción entre el bloque y el plano son μs= 0 25 μk= 0 20 0.25 k 0.20. Determine si el bloque q esta en equilibrio y encuentre el valor de la fuerza de fricción.124 125. Solución Determinar los valores de la fuerza de fricción y de la normal para el plano inclinado necesaria para p p p mantener el equilibrio. 3 100 lb - 5 300 lb   F  0 Fx  0 :  Fy  0 :F  80 lb 4 N - 5 300 lb   0N  240 lb Calcular la máxima fuerza de fricción y compararla con la fuerza de fricción requerida para el equilibrio. q p q Si es mayor, el bloque no se desliza. Fm   s NFm  0.25240 lb   48 lbEl bloque se desliza hacia abajo del plano 125 126. Solución Si la fuerza de fricción máxima es menor que la fuerza d f i ió requerida para el equilibrio el f de fricción id l ilib i l bloque se desliza. Calcular la fuerza de fricción cinética.Factual  Fk   k N  0.20240 lb Factual  48 lb126 127. Ejemplo 8 3 Ej l 8.3 La ménsula móvil que se q muestra en la figura puede colocarse a cualquier altura a lo largo del tubo de 3 in de g diámetro. Si el coeficiente de fricción estático entre el tubo y la ménsula es de 0.25, determine la distancia mínima x a la cual se puede soportar la carga W, sin tomar en cuenta el peso de la ménsula.127 128. Solución Cuando W se coloca a la distancia mínima x, medida desde el eje del tubo, la ménsula esta a punto de deslizarse y las fuerzas d f i ió en A y en B h alcanzado su valores f de fricción han l d l máximos. FA   s N A  0.25 N A FB   s N B  0.25 N B Aplicando las condiciones de equilibrio estático encontramos el mínimo valor de x. NB  N A  Fx  0 : N B  N A  0 Fy  0 : FA  FB  W  00.25 N A  0.25 N B  W  00.5 N A  WN A  N B  2W M B  0 : N A 6 in.  FA 3 in.  W  x  1.5 in.  0 6 N A  30.25 N A   W  x  1.5  0 62W   0.752W   W  x  1.5  0x  12 in. 128 129. Fricción en bandas Relacionando T1 y T2 cuando la banda esta moviéndose hacia la derecha. Diagrama de cuerpo libre para una parte d l b d Di d lib t de la banda    T cos   s N  0 2 2   Fy  0 : N  T  T sen  Tsen 0  2 2 Fx  0 : T  T  cosCombinando para eliminar N, dividiendo por , T  sin  2  T   cos   s T    2 2   2 El limite cuando  tiende a cero T2 dT  dT   sT  0 T1 T  0  s d d Separando variables e integrando desde p glnT2  s  T1oT2  e s  T1  0a   129 130. Ejemplo 8 8 Ej l 8.8Una banda plana conecta una polea A que mueve una maquina herramienta, con una polea B, la cual esta unida a la flecha de un motor eléctrico eléctrico. Los coeficientes de fricción entre ambas poleas y la banda son: μs = 0 25 y μk = 0 20 Si se 0.25 0.20. sabe que la tensión máxima permisible en la banda es de 600lb, 600lb determine el momento torsional máximo que puede ejercer la banda sobre la polea A. A 130 131. Solución Determine la tensión en la banda basado en la polea B.T2  e s  T1600 lb  e 0.252 3   1.688 T1600 lb T1   355.4 lb 1.688 Tomando la polea A como cuerpo libre y haciendo suma de momentos respecto al centro de la polea para determinar el torque.MA  0:M A  8 in.355.4 lb  600 lb   0 M A  163.1 lb  ft 131 132. Ejercicio 8 11 (Beer & Johnston) 8.11 Los coeficientes de fricción entre todas las superficies de contacto son s=0.40 y k=0.30. Determine la fuerza mínima P requerida para que el bloque de 60lb comience a moverse si el cable AB: a) se une como se muestra en la figura y b) se retira.132 133. Ejercicio 8 16 (Beer & Johnston) 8.16 En la figura se muestra un gabinete de 48kg que se monta sobre ruedas, las cuales se pueden fijar para evitar su rotación. El coeficiente de rotación fricción estática entre el piso y cada rueda es de 0.30. Si las ruedas en A y B están fijas, uedas e está jas, determine: a) la fuerza P requerida para iniciar el movimiento del gabinete hacia g la derecha y b) el máximo valor permisible de h para que el gabinete no vuelque. 133 134. Ejercicio 10.8 (Bedford & Fowler) En la figura la caja A pesa 100lb y la caja B 30lb. Los coeficientes de fricción entre la caja A y la rampa son μs=0.30 y μk=0.28. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de fricción ejercida sobre la caja A por la rampa? 134 135. Ejercicio 10 25 (Bedford & Fowler) 10.25 El disco mostrado pesa 50 lb. Ignore el peso de la barra. Los coeficientes de fricción entre el disco y el piso son μs 0.6 y μk = 0.4. (a) ¿Qué valor tiene el par M máximo que se puede aplicar al disco en reposo sin que éste empiece a girar? (b) ¿Qué par M es necesario aplicar para que el di Q é i li l disco gire con i velocidad constante?135 136. Solución Sin giro:MA0 B2 20   2510 cos 30  0 B2  10.825lbF  0 N  B2  50 cos 30  0 N  54.13lbMB0M  f 5  0f  s NM  54.130.6 5  162.4lbinCon giro:MB0M  f 5  0f  k NM  54.130.4 5  108.25lbin 136 137. Ejercicio 10 33 (Bedford & Fowler) 10.33 El bloque mostrado pesa 80 N. El coeficiente de fricción estática entre las superficies de la abrazadera y el bloque es μs = 0.2. Cuando la abrazadera está alineada como se muestra, ¿qué fuerza mínima debe ejercer el resorte para impedir que el bloque se deslice? 137 138. Solución  s FT FT s FT  W cos  FR s FT FT  W cos FTW138 139. Ejercicio 8.109 (Beer & Johnston) 8 109 Una banda plana se utiliza para transmitir un momento torsional de la polea A a la polea B Como se muestra en la B. figura, cada una de las poleas tiene un radio de 3in y sobre el eje de la polea A se aplica una fuerza con una magnitud P=225lb. P 225lb Si se sabe que el coeficiente d f i ió estática b l fi i t de fricción táti es de 0.35, determine: a) la torsión máxima que puede ser transmitida y b) el valor máximo correspondiente a la ) p tensión en la banda.139 140. Bilbliografía 1.2.3.4.Mecánica Vectorial para Ingenieros – Estática, Beer, p g Johnston, Elisenberg México, 2005. Séptima edición. Mc Graw Hill. ISBN: 970-10-4469-X. Mecánica Vectorial para Ingenieros – Estática, Russel Hibbeler, México, 2004. Decimal edición, Pearson Education - Prentice Hall. ISBN: 970-26-0501-6. Estática - Mecánica para Ingeniería, Bedford/Fowler México, 2000. Prentice Hall – Addison Wesley. ISBN: 968 444 398 6. 968-444-398-6 Engineering Mechanics – Statics, Merian/Kraige Fifth edition, 2002. John Wiley & Sons, Inc. ISBN: 0-47140645-5. 40645 5 140