Über eine Anwendung der Störungsrechnung auf das Problem der gekrümmten Leitung

aber eine Anwendung der Storungsrechnung auf das Problem der gekrummten Leitung. Von WILLI RINOW in Berlin. (Eingegangen am 23. 12. 1949.) Die Entwicklung der modernen Hochfrequenztechnik geht dahin, die ge- wohnlichen Drahtleitungen durch vollstandig abgeschirnite Leitungen, urie etwa das konzentrische Kabel, oder durch Hohlrohre zu ersetzen. Das erfordert den Ausbau der Theorie der Schaltelemente derartiger Leitungen. Die geradlinig gefiihrten gleichmiiBigen Leitungen beherrscht man ziemlich gut. Ihre Theorie ist oftmals behandelt worden und in die technische Lehrbuchliteratur eingegangen. Dagegen sind t%ergangsstellen von einer Leitung in eine andere theoretisch nur wenig untersucht worden. Die vorliegende Arbeit sol1 hierzu einen Beitrag liefern. Eine durchweg geradlinige Fuhrung der Leitungen 1&Bt sich nicht verwirklichen; man wird hiiufig dazu iibergehen mussen, Leitungen verschiedener Neigung gegen- einander durch Kniestiicke zu verbinden. Im folgenden wird ausschliefilich der Fall der kreisbogenformip gekriimmten Leitung bei ileichbleibendem Querschnitt be- handelt. Hieriiber sind in der Literatur bisher kauni Angaben enthaltenl). Die Arbeit gliedert sich in drei Abschnitte. Zuniichst wird in 8 1 bei beliebiger Querschnittsform das elektromagnetische Feld in einer gekriimmten Leitung untersucht. Die Methode besteht in einer Reihenentwicklung nach Potenzen 1 1 von - , wobei R den Kriimmungsradius der Leitung bedeutet. Fur -+ 0 R geht das Feld in dasjenige der geraden Leitung vom gleichen Querschnitt iiber. Dieses wird als gegeben betrachtet. Mathematisch bedeutet das eine Anwendung der Storungsrechnung, indem die Kriimmung - nls Storungsparameter auf- gefal3t wirdB). Im vorliegenden Fall geht dieser Storungsparameter quadratisch in die Koeffizienten der zugrunde liegenden Wellengleichung und uberdies linear in die Randbedingungen ein. Dieser Ansatz fuhrt auf ein rekursives System von inhomogenen linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, von dem gezeigt. wird, daB es sukzessive gelost werden kann. Es ergibt sich so in der gekriimmten Leitung eine Folge von Eigenwerten mit zugehorigen Eigenfeldern, die fur + 0 in die Eigenwerte und Eigenfelder der geraden Leitung iibergehen. Treten hicrbei keine Entartungen auf, so kann man den Eigenfeldern der gekriimmten Leitung l) Der Spezialfall der gekriimmten konzentrischen Leitung ist vor kurzem von H. SmON, Dise. Techn. Hochsch. Miinchen 1949, nach einer von der hier mitgeteilten vollig verschie- denen Methode bearbeibt worden. 1 R 1 *) Auf die Konvergenzfrage wird in d iem Arbeit nicht eingegangen. Rinow, Das Problem der gekriimmten Leitung. 177 E- bzw. H-Wellen der geraden Leitung zuordnen. Im Entartungsfall dagegen ergeben sich im allgemeinen durch den Grenziibergang - --f 0 nur Super- positionen von E- und H-Wellen in der geraden Leitung. Es kiinnen also auch bei dem hier betrachteten Storungsproblem Instabilitaten der Art auftreten, auf die R. M ~ E R in einer kiirzlich erschienenen Arbeit aufmerksam gemacht hatl). SchlieBlich werden die Ergebnisse auf den Fall der Grundwelle in einer Doppel- leitung spezialisiert. Bei dieser Gelegenheit wird auf eine Moglichkeit hingewiesen, den Kriimmungsradius einer Leitung, der bei beliebigem Quersohnitt zunachst willkurlich gewiihlt werden k a ~ , zu definieren. I n 0 2 wird das Problem der Verbindung von zwei geraden Leitungen durch ein gekriimmtes Kniestiick bei stets gleichbleibendem , aber beliebig ge- staltetem Querschnitt in Angriff genommen. Das allgemeine Feld in den Leitungen wird durch Superposition der Eigenfelder dargestellt. Es wird vorausgesetzt, daI3 an deh einen Ende der zusammengesetzten Leitung eine Welle von gegebenem Typus eingestrahlt wird und das andere Ende durch ihren Wellenwiderstand (d. h. reflexionsfrei) abgeschlosssn ist. Diese Bedingung zusammen mit der Stetigkeits- bedingung an den Verbindungsstellen fuhrt auf ein System von unendlich vielen linearen Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten, den Amplituden der 1 Eigenfelder. Dieses System kann wieder durch einen Potenzreihenansatz nach - R sukzessive gelost werdene). Die ersten Schritte werden naher durchgefiihrt, ins- 'besondere wieder fur den Fall der Grundwelle in einer Doppelleitung. Man erhiilt auf diese Weise einen Weg zur Berechnung des Reflexionsverhiiltnisses. Es gibt iiber das elektrodynamische Verhalten eines Kniestiickes AufschluB. I n 5 3 wird schlieI3lich die allgemeine Theorie auf das Beispiel der zusammen- gesetzten konzentrischen Leitung angewendet. Bei der numerischen Auswertung des Reflexionsverhiiltnisses, die hier nicht mitgeteilt werden soll, haben sich Werte von der GroBenordnung lop3 ergeben, falls das Verhaltnis des AuBenleiter- radius zum Kriimmungsradius < - bleibt, ein Wert, der wider Erwarten klein ist3). Es sei zum SchluB noch bemerkt, daB man die beschriebene Methode mit Erfolg auch auf das elektrostatische Problem anwenden kann, den EinfluI3 der Kriiminung der mehrfachen Leitung auf die Kapazitat zu ermitteln. 1 R 1 R 6 §l . Das Feld in der gekriimmten Leitung. Es seien 5 , , Z rechtwinklige kartesische Koordinaten. Durch den Ansatz - 2 = (R f y) cosp, = (R + y) sinp, z = z werden die neuen Koordinaten x , y, p eingefiihrt. R ist eine beliebige positive Zahl. Dieses Koordinatensystem ist regular ,in dem Bereich --OO < x < +a, -R < y < +OO, OSp < 2 . ~ . R. MULLER, Uber Stabilitiit und Dhmpfung von Rohrwellen elektrischen und magnetischen T y p gleicher Grenzfrequenz. Z . Naturforsch. 4 a (1949), 218-234. a) Vgl. FuDnote 2 S. 176. Zur gleichen GroDenordnung gelangt auch H. SIMON a. a. 0. 13* 178 Rinow, Das Problem der gekriimmten Leitung. Die Halbebenen p = const , y > - R sollen die Querschnitte heiaen. Die Z-Achse (y = -R) hei.13e die Kriimmungsachse. (2, y) ist ein kartesisches Ko- ordinatensystem im Querschnitt, das mit dem Querschnitt um die Krummungs- nchse rotiert und dessen Ursprung dabei einen Kreis vom Radius R beschreibt, die Leitlinie. Im Querschnitt sei ein beliebiges beschranktes Gebiet Q gegeben, welches von endlich vielen abteilungsweise stetig differenzierbaren Kurven be- grenzt sei. Das Leitersystem wird von den Rotationsfliichen gebildet, welche die Begrenzungskurven von Q erzeugen. Die Punkte von Q beschreiben das Innere des Leitersystems, in welchem das Feld berechnet werden soll. Die Leitlinie liege irgend- wo im Innern des AuBenleiters und kann gegebenenfalls passend gewahlt werden. Bei der Ableitung von Naherungsausdriicken mu13 vorausgesetzt werden, daB die AusmaBe des Gebietes Q klein gegenuber dem Kriimmungsradius seien. Es wird weiter angenommen, daB die Leiter samtlich ideale Leitfahigkeit besitzen. Das Bogenelement im Koordinatensystem x , y ,4p lautet dS2 = d ~ * + dy2 + (R + Y ) ~ dV2. Hieraus konnen leicht die Operatoren der Vektorrechnung berechnet werden. Das elektrische Feld 6 genugt der Wellengleichung A 4 + z2i3 = 0, w - 21c ;c = - I/E,u = - C il mit der Zusatzbedingung div4 = 0 und der Randbedingung n X Q = 0 auf den Leitern. n ist die ins Innere weisende Normale der Leiteroberflachen. Ausfiihrlich lauten diese Gleichungen und auf den Leiteroberflachen (3) nX&# - n,&, = 0, Qp = 0. Den magnetischen Feldvektor erhalt man bekanntlich aus C 8 = j-rot&. WCC (4) Zunachst soll die Variable q J durch den Ansatz (5) = ?1(x, y)e-JYR' Rinow, Das Problem der gekriimmten Leitung. 179 separiert werden. Es lii13t sich dann 21q elirninieren. Aus der Divergenzbedingung (2) folgt niimlich und die dritte der Wellengleichungen (1) ist eine Folge der iibrigen. Man hat es also nur noch iri i t einem Randwertproblem in der Querschnittsebene zu tun. Da die Koeffizienten der Differentialgleichungen (I), wenn z = Rp, als neue unabhangigevariable aufgefaat wird, nach Multiplikation mit den1 Faktor 1 + - regular analytische (sogar quadratische) Funktionen von sind und das Problem fur - + 0 in das bekannte der geraden Leitung ubergeht, lassen sich die Methoden der Storungsrechnung anwenden. Es werde also gesetzt : 1 ( 8 1 R (7) Zur Bestimmung der Koeffizienten !AiIiz, Bb, zi erhalt man aus (1 ) und (3) das rekursive Differentialgleichungssystem Fur i = 1 ist hierin 91i-2,a == 91i-l,y = 0 zu setzen, und die Suniinenausdriicke verschwinden. Fur i = 0 ergeben sich die Gleichungen der geraden Leitung: ( A + ai)BIo = 0 mjt n X 210 = 0 und divao = 0 auf den Leiteroberflachen. Die Eigenwerte dieser Randwertaufgabe seien d')' = x 2 - yik)2 und die zugehorigen Eigenfelder Zu jedem Eigenwert dk)' gehiirt demnach ein rekursives Gleichungssystem (8), (9)) und es ist l) ?lo = %(k), yo 2 - - yo (k)2 . I) Im Falle eines mehrfachen Eigenwertes, der spiiter behandelt wird, ist fur ?I, eine Linearkombination der %(') anzusetzen. 1EO Rinom, Das Problem der gekrilniniten Leitung. Um fur ein festes k die inhomogene Randwcrtaufgabe (8), (9) sukzessit-e zu losen , bemerke man, daB die zugehorige homogene Randuertaufgabe eine LBsung besitzt, namlich gerade %(k). Das inhomogene Problem ist infolgedessen dann und nur dann Iosbar, wenn die Orthogonalitiitsbedingung erfullt ist. Alan erhalt sie, indem man (8) mit @k) skalar multipliziert, uber das Gebiet Q integriert und die Greensche Formel anwendet. Beriicksichtigt inan dann noch die Rand- bedingungen (9) und die fur %(k), so erhiilt man Es ist hiernach r:k) eindeutig bestirnmt durch die W:'), T : ~ ) ( r , < i), falls ein einfacher Eigenwert ist. Die Losung 91ik) des zum k-ten Eigenwert gehiiripen inhomopenen Problems setzt sich aus einer speziellen Losung des inhomogenen und der nllgeriieinen des zugehorigen homogenen Problems zusamnien. Sie ist von der Form = ElE) + c gck) mit einer noch \villkurlichen Konstanten c . Uni diese Konstttnte festzulegen, ist noch eine Normierunp des Feldvektors 9L notig. 1st nainlich eine zum k-ten Eigenwert gehorige Losung der Feldgleichungen 1 und f - eine willkiirliche Potenzreihe in -, 50 ist offenbnr auch f - 9i(k) eine Losung. In dem Reihenansatz (7) steckt also noch eine IVillkiirlichkeit, die durch die Norniierringsbedingung (i i G 1 R d. h. beseitigt wird. Dann ist c und mithin auch durch die %tk), rkk) ( v < i) eindeutig bestimmt. ein Efacher Eigenwert, so gehoren zu ihm 1 linear unabhiingige Eigenfelder %ik), . . . , %:", die man als norniiert und zueinander orthogonal annehmen kann. Nach den allgenieinen Methoden der Storungsrechnung hat man dann so zu verfahren : Zunachst wird fur einen mehrfachen Eigenwert %Lk) = Ccv %tik) piit noch unbestimmten Kon- stanten c v . Die Orthogonalitiitsbedingungen (12) mussen jetzt fur jedes der %Lk) erfullt sein : Dies gilt im Falle eines einfachen Eigenwertes. 1st 1 v = 1 (p = 1 , . . . , I ) . Im Falle i = 1 hangen die '$ik), qik) nur von den ahk), und zwar linear, ab, und (14) liefert, wenn man den Ansatz fur %Ak) eintriigt, ein System von 2 homogenen linearen Gleichungen fur die cy , welches die Gestalt 1 v = l t ~ ~ ) C ~ + ~ ~ " C v = O ( , u = l , ..., Z) (15) Rinow, Das Problem der gekriimmten Leitung. 181 besitzt und worin die P,, nur von den a:”,, . . . , %ik) abhangen. Die Determinante Icy + zlk)6,y 1 dieses Systems ist ein Polynom 1-ten Grades in rik). Die Wurzeln mien T$) (j = 1 , . . . , 2 ) . 1st T::) eine einfache Wurzel, so gehort zu ihr ein System von Koeffizienten &), welches bis auf einen gemeinsamen Faktor be- stimmt ist. Dieser Faktor wird durch die Normierungsbedingung (13) festgelegt. Dadurch sind = 83) = 2 C;~)I@,~) und -cik) = 7:;) vollig bestimmt. Eine weitere Aufspaltung des Eigenwertes kann jetzt nicht mehr erfolgen. Beim i-ten Schritt etwa sind die zi;), . . . , T:!\,~, %$), . . . , a:”-’,, ,. vollig bestimmt, und fur Yi21,f hat man den Ansatz 1 v=1 worin 6 eine spezielle Losung des inhomogenen Randwertproblems fur Wg-l bedeutet. Die C, und rik) sind dann aus (14) und der Normierungsbedingung (13) zu bestimmen. (14) liefert ein inhomogenes Gleichungssystem der Gestalt Da13 hierin dieselben Koeffizienten PPy wie in dem System (15) auftreten, kann leicht aus (10) gezeigt uerden, wenn man in (14) den Ansatz fur YiiL\,i eintragt. Die W, hangen nur von T $ ) , . . . , T ~ - ~ , ( k ) i , %$), . . , , ‘i!ii:\, ,. und 6 ab. Der Ein. fachheit halber sol1 angenommen werden, daD %ik), . . . , 50 gewiihlt sind, da13 Y$) = %jk) wird; durch eine yassende orthogonale lineare Transformation der %:k) la& sich das stets erreichen. Aus (15) folgt dann P,j = 0 fur p + j, und (16) ergibt fur p j 1 Z ( k ) 2, + li v = 1 PfiY c, = w, . Dies sind 1 - 1 Gleichungen fur die I - 1 Grol3en ?, (p =i= j). Das Summenglied P,,,.Ci fallt namlich nach dem eben uber die P,, Gesagten heraus, und die Determinante dieses Systems verschwindet nicht, weil z$)eine einfache Nullstelle von I PPy + zlk)Bpv I ist. Die Z,, (p + j) sind demnach vollig hestimmt. Zi ergibt sich aus der Normierungsbedingung (13), welche unter der gemachten Annahme lautet : Cj + lJ 0;8jk)dzdy = 0. Die Gleichung ,u = j des Systems (16) liefert schliealich z$), und man hat fur 91ii wieder den Ansatz ‘$I$) = 1 = 0; dann gehoren zu d$) r linear unabhiingige Losungen von (15), also r linear unabhangige Vektor. felder ’$@, . . . , a$:, und man darf wieder ohne Beschriinkung der Allgemeinheit annehmen, daI3 dies gerade die Felder %ik), . . . , 8ik) sind; durch eine passende Q 1 v = 1 + 2;v%Lk). Es sei jetzt r@) eine. r-fache Wurzel von I PPv + 182 Transformation der = 2 c, $3ik). Fur Rinow, Das Problem der gekriimmten Leitung. laBt sich das jedenfalls stets erreichen. Man hat also ist wieder der Ansatz %$) = 6 + 2 C, @) zu machen. Hierin hangt die spezielle Losung 6 linear und homogen von den c, ab, und man darf ohne Beschrankung der Allgemeinheit annehmen, daB Cl = + - - = C I - - 0 ist. Die Orthogonalitatsbedingung (14) liefert wieder ein Gleichungssystem der Gestalt (16). Jetzt ist Pp, = 0 fur p + Y ( Y = 1 , . . . , P). Die letzten 1 - r Gleichungen enthalten daher weder Ca, , . . , C, noch t ik ) , Da -@ eine r-fache Wurzel ist, verschwindet die zugehorige Determinante nicht. Die Konstanten Cr+l, . . . , c1 sind daher als lineare Forman in cl, . . . , c, gegeben. Die r ersten Gleichungen (p = 1 , . . . , r ) von (16) enthalten nicht die C1, . . . , &. Sie bilden ein System von r linearen homogenen Gleichungen fur c,, , , . , c,. Die Determinante dieses Systems, gleich Null gesetzt, liefert eine Gleichung r-ten Grades fur .tik), und zu jeder ihrer Wurzeln gehort ein Losungssystem cl, . . . , c,. Liegt eine einfache Wurzel vor, so schlieBt man wie im Falle der einfachen Wurzel fur rik) weiter. Andernfalls wendet man das Verfahren der mehrfachen Wurzel tik) auf zikJ an. I n jedem Falle ergibt sich, daB das System (8), (9) zusammen mit den Normungsbedingungen (13) die GroBen ai, zi eindeutig bestimmt, falls der zugehorige Eigenwert vollig in einfache Eigenwerte aufspaltet. Spaltet ein Eigen. wert nicht vollig auf, so liefert er einen oder mehrere mehrfache Eigenwerte der Randwertaufgabe der gekriimmten Leitung, und zu einern solchen gehorcn mehrere linear unabhangige Usungen. Fur eine spatere Anwendung soll dies Ergebnis auch so ausgesprochen werdenl) : Man kann die Eigenfelder %@) der geraden Leitung so wahlen, daB die Eigen- felder @k) der gekriimmten Leitung fur ubergehen (2@) = 23(k)), daB die %(k) normiert und zueinander orthogonal sind und da13 die c l *=1 v = l - 1 -+ 0 gerade in die den Normierungsbedingungen (13) geniigen : Zur wirklichen Berechnung der '$ilk) kann man etwa die bekannte Methode der Entwicklung nach den Eigenfeldern %@) heranziehen. Darauf soll jedoch hier nicht eingegangen werden. Im Hinblick auf das spater behandelte Beispiel der konzentrischen Leitung sollen noch einige nahere Ausfuhrungen fur den Fall dei Eigenwertes Ora = 0 erfolgen. Bekanntlich ist ( ~ 2 = 0 dann und nur dann ein Eigenwert, wenn der Leitungsquerschnitt Q mehrfach zusammenhangend ist das Leitersystem also &us einem AuBenleiter und einem oder mehreren Innenleitern besteht. Es ist dann y i = x2. Fur das zugehorige Eigenfeld $3 der geraden Leitung gilt a a dY $32. + -%$/ = 0, l) Dabei ist jetzt wie auch im folgenden Paragraphen die Folge der Eigenwerte wie iiblich so numeriert zu denken, da13 a(r)a S wert in der Folge gerade so oft auftritt, wie seine Vielfachheit angibt. fur k < 1 gilt und daD jeder Eigen- Rinow, Das Problem der gekriimmten Leitung. 183 Man kann ferner !I3 als Gradienten darstellen: 8 = -grad V . V ist die Losung der Randwertaufgabe A I’ = 0 mit V = const auf den Leiteroberflachen. Gibt es penau 1 Innenleiter, so ist a2 = 0 als ein 2-facher Eigenwert anzusehen. Eine Losunq ist durch die Potentialdifferenzen zwischen den Leiteroberflachen bestimm t. Es wird a B1 = - - + i”lc2y) PI, und qI = -NOv. E (17) L Y Sind g1, . . , , die Eipenfelder fur a* = 0, so ist PI, = cc, 23”. Durch einige Kniforni ungen, die niit Hilfe der eben angegebenen Eigenschaften der 8, leicht vorpenoninien werden ltonnen, ergibt sich fur z, das System v = 1 Der Eiyenuei t a2 = 0 wird also in1 allgenieinen aufspalten, und man kann die nach einer passenden linearen Transformation so hahlen, dalj (18) wird. Es ist nun LU beachten, daB die Wahl der Leitlinie noch vollig willkurlich gelassen ist. Sie sol1 jetzt wenigstens teilweise fixiert werden. Eine andere ll’ahl der Leitlinie bedeutet eine Koordinatentransformation der Form x’ = a + J , 9‘ = b + 9 . Gegenuber der Transformation x’ = (I + 2 sind aber alle Gleichungen invariant ; hierdurch wird j a auch der Krummungsradius R nicht veriindert. Bei der Transformation y’ = b + y ist dies jedoch nicht der Fall. b peht z . B. in iljl und damit in (14) fiir i = 1 linear mit einem nicht ver- schwindenden Falrtor ein. Das Kilt ganz allgemein bei beliebigen Querschnitts- fornien und Wellentgpen. Man kann drther stets noch verlangen, daB eine der GroBen r!:), etwa die dern kleinsten Eigenwert entsprechende, verschwindet. Dadurch ist dann die Krummung fi- der Leitung definiert. In1 vorliegenden speziellen Fall (es nioge nur der Fall des zaeifachen Zusammenhanges r o n Q weiterhin betrachtet nerden) ist also zl = 0. Man braucht daher noch die zweite Siiherung. E:s wird (19) ilj2 = - (- + 2 z l p y ) !Al + y is + 3x2y) ‘?lo - div (2?f)[, + y%,) prady und auf den1 Rande von Q ( 20) Dann folgt nach (12) fur i = 2 1 i? 184 Rinow, Das Problem der gekriimmten Leitung. 8 2. Die zusammengesetzte Leitung. h'achdeni das allgemeinste Feld in einer gekrummten Leitung bestimmt ist, soll jetzt das folgende, technisch bedeutsame Problem behandelt werden. Die gekriimmte Leitung mit dem Querschnitt Q werde auf den Winkelraum 0 S cp d ry beschriinkt, wobei 'y ein fest gegebener Wert mit 'y I K sei. An den beiden Enden p = 0 und p --- ly mogen zmei gerade, unendlich lange Leitungen mit demselben Querschnitt Q so angesetzt sein, daB die Leiteroberflachen an den Ansatzstellen ohne Spriinge (d. h. mit stetiger Normale) verbunden sind. Die perade Leitung, die an = 0 angeschlossen ist, soll die Zuleitung, die andere, die bei rp = I,IJ angesetzt ist, die Ableitung heifien. Die gekrummte Leitung heiBe das Kniestiick und w sein Winkel. Die geradlinigen Fortsetzungen der kreisbogen- fiirinigen Leitlinie des Kniestiickes seien als Leitlinie der Zuleitung bzw. Ab. leitung bezeichnet. Es soll das Feld im Innern dieser zusammengesetzten Leitung wieder unter T'orsussetzung idenler Leitfahigkeit der Leiteroberflachen berechnet werden. Ferner sei angenonimen, da13 die Materialkonstanten E , .u iiberall irn Innern der Leitung denselben Wert haben. In den Querschnittsebenen der geraden Leitungsteile seien ebenfalls kartesi- sche Koordinaten x, y eingefiihrt, und zwar so, daB die Achsenkreuze der Zu- leitungsquerschnit te durch Parallelverschiebung &us dem Achsenkreuz des Knie. stiickes bei p = 0 herrorgehen, und entsprechend die der Ableitungsquerschnitte. -41s dritte Koordinate wahle man z = R I ~ im Kniestiick (0 S z g C mit C = Ry) , z ist dann die Lange der Leitlinie, gerechnet von der Querschnittsebene rp = 0 an. In der Zuleitung sei z der negativ genommene Abstand eines variablen Quer- schnitts von dem Querschnitt 'p = 0, also --oo < z S 0. Entsprechend sei fur einen yariablen Ableitungsquerschnitt z - C der positiv genommene Abstand von der Querschnittsebene Q, = y , also d z < +co. " 1 Es seien nun = 2 'i!l:z)F die im vorhergehenden berechneten Eigenfelder v = o stuck, Dann sind x2 - ~ 6 " ) ~ die Eigenwerte der geraden Leitungsteile und die '#A1) kijnnen als die zugehorigen Eigenfelder gewahlt werden. Man darf annehmen, da13 die 9ii1) normiert und zueinander orthogonal sind. Die beiden zum Z-ten Eigenwert gehorigen Komponenten @:, %f) bestirnrnen nach (6) die dritte Komponente '?A!') = a$). Das allgemeinste Feld im Kniestuck kann dann angesetzt werden als m 6 = 2 ( A ~ e-j+''z + B~ ,+~+"z) %(l) in 0 z 1=1 (22) und im Zu- bzw. Ableitungsstiick Rinow, Das Problem der gekrummten Leitung. 185 Hieraus ergibt sich nach (4) der magnetische Feldvektor 8 in dem Kniestuck bzw. 41, lj, in der Zu- und Ableitung. Die Koeffizienten Al, Bz, q, bI, cz, 4 eind aus der Forderung der Stetigkeit des Feldes an den beiden Querschnitten z = 0 , z = [ und der Einstrahlungs- bzw. Ausstrahliingsbedingung fur z + - 00 bzw. z + $00 zu bestimmen. Was die letzte Bedingung anbetrifft, so geniigt es, den folgenden Fall zu betrachten: In der Zuleitung werde eine Welle von dem zum n-ten Eigenwert gehorigen Typus, eine E- oder H-Welle bzw. im Entartungsfalle eine Super- position beider, eingestrahlt. Die Ableitung sei durch ihren Wellenwiderstand, d. h. reflexionsfrei, abgeschlosssn. Es ist alsdann zu setzen a; = I , al = 0 fur 1 =# n und dl = 0 fur alle 1. Dadurch ist auch uber das Vorzeichen von yf) und y ( l ) verfugt; denn den Amplituden al , A z , c1 entspricht die Einstrahlungs- und den Amplituden bl , Bl die Reflexionsrichtung. Fallt y;') reel1 aus, so ist der positive Wurzelwert #) = zu wahlen, ist dagegen y$ imaginar, so ist zu wahlen - ~2 (n2 < d2j2). Ferner ist zu verlangen, daB y p ) 2 = x2 -. a(")' > 0 ist, damit es sich bei der einfallenden Welle urn einen wirklichen Wellenfortpflanzungsprmefi handelt. Der Forderung der Stetigkeit des Feldes ist Geniige getan, wenn die Tangential- komponenten von B und @ stetig sind: (24) ("2 > -k = - i f ~ ( O ' X P ( x , Y, 0) - e,(z, Y, 011 = 0, n(')x [Q(z, Y , CI -e,(z, Y, OI = 0, (25) I1'O)X C%(x, Y, 0) - h(z , 9 , 011 = 0, n(')X [@(%, Y J O - $z(x, Y, C)J = 0 (it(') der Normalvektor einer Querschnittsebene z = const). Multipliziert man die ersten beiden Bedingungsgleichungen, die auf die Form el, = Qz, eiy = B, fur z = 0 und z = C gebraoht seien, skalar mit ?Xik) und integriert uber den Leitungsquerschnitt &, so folgt, wenn man noch die Ortho. gonalitatseigenschaften der ahk) sowie die Normierungsbedingung (13) fur die berucksiohtigt, ( 0 ~ + h) - (4 + Be) = C (4 + 4) [ ]U""?l~k'dxdg, (26) 8 Die Stetigkeitsbedingungen fur das magnetische Feld fuhren nicht zu so einfachen Beziehun8en. Es wird zunachst nach (22), (4) und (6) Die x- und y-Komponente des magnetischen Feldei bzw. 11, in den geraden Leitungsteilen erhiilt man hieraus, indem man die Koeffizienten A l , BJ durch 1 al , bl bzw. q , 0 ersetzt und sonst iiberall - = 0 setzt. Es interessiert insbesondere R 186 Rinow, Das Problem der gekriimmten Leitung. der in n@) X bzw. n(”) X $2 auftretende Vektor der Querschnittsebene ( 1 ) - * (z)9[(z) + grada$ , g!$ = ’- 1 divP(hz) . 1 Y6f’ tJ - 17’0 0 Multipliziert man ihn skalar mit atk) und integriert uber den Querschnitt, so erhalt man unter Verwendung des GauBschen Integralsatzes Das Randintegral verschwindet, da auf dern Randc von Q stets 21:;) = 0 ist. Fur eine H-welle verschwindet stets die z-Koniponente des elcktrischen Feld. vektors, also qoz E 0 in &. Entspricht oder 91;’) einer H-Welle, so ver- schwindet mithin auch das rechts stehende Integral iiber &. Das gleiche gilt fur den Wellentypus, der dem Eigenwert Null entspricht. Es bleibt niir der Fall zu betrachten, in dem beide Feldvektoren %Ak) oder ‘$1;’) E-WelIen darstellen oder, was bei mehrfachen Eigenwerten vorlrommen kann, vom gemischten Typus !Jg) = a&? + $’’ ( y = k , E ) sind. Jedenfalls verschwinden dann durch die Divergenzbildung in dem Flachenintegral die H-Wellananteile ?I;%, und fur die E-Wellenanteile gilt 21% = gradS(’) mit ( A + 8‘’) = 0. Da Sck) und 8‘‘) auf dem Rande von Q verschwinden, gilt ferner 0 Q = Ortn2 // S(k) f?@) d x d y = qkl , Q wobei die qkz Konstanten sind, die verschwinden, wenn die Eigenwerte a(’), a(‘) verschieden sind, auf jeden Fall aber eine symmetrische Matris ( q k z ) bilden, bei welcher in jeder Zeile und Spalte nur endlich viele von Null verschiedene Elemente auftreten. Im Fflle des reinen E-Typus ist q p l = d k l . Unter Beruck- sichtigung aller dieser Umstande folgt schliel3lich Man erhalt so ganz allgemein (27) wobei (Okz) die gleiche Eigenschaft besitzt wie (qkz ) . Um die Darstellung nicht zu koniplizieren, sol1 im folgenden vorausgesetzt werden, dal3 akl = akdkz ist. Wegen der genannten Eigenschaft der akl kann die Methode jedoch uuch im allgemeinen F a h angewendet werden. ak ist eine wohlbekannte Konstante, die gleich ya)’ oder x2 wird, jc nachdem eine reine HI-Welle oder eine reine E-Welle darstellt. Multipliziert man nun die Stetigkeitsbedingungen do) X $, = do) X 8 , n(t) X Q2 = n(t) X Sj an den beiden Querschnitten z = 0 , z = mit ‘$If) und integriert iiber den Querschnitt Q, s6 gelangt man zu dem Gleichungssystem Rinow, Das Problem der gekriimmten Leitung. 187 darin ist gesetz t . sich wieder durch eine Entwicklung nach Potenzcn von - losen. Man setze die in 9 1 erhaltenen Reihenentwicklungen fur y( l ) und % ( l ) in (26), (28) ein und mache fur die zu bestimmenden Koeffizienten den Ansatz Das Gleichungssystem (20), (28) 1 R Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich fiir die b,,, A,, , B,, , c,, ein rekursives Gleichungssystem . Nur die ersten Schritte sollen naher ausgefuhrt werden. Fur - 3 0 , 5 = const geht die zusammengesetzte Leitung in eine einzige gerade Leitung uber. Daher ergibt sich ohne weiteres Alo = clo = alo = 0 oder 1, je nachdem 1 =+= n oder 1 = n ist, und blo f Blo fur alle 1 . Fur die erste und zweite Naherung benotigt man die Reihenentwicklungen 1 R 1 1 @Ek = @lk, 0 k @lk, 1 + @lk , 2 + ' * * 1 R Qlk.0 kann leicht berechnet werden. Setzt v a n in (29) - = 0, so entsteht ein Ausdruck, der niit der rechten Seite von (27) ubereinstimmt. Es ist also ok 0 @lk, 0 = i ?k) d1k * Die ubrigen GroBen CDlks so da13 darauf verzichtet werden soll, aie hier wiederzugeben. @k, *, . . . sind fur den allgeineinen Fall recht urnstandlich, Durch Vergleich der Koeffizienten von - in (20) und (28) erhalt man vier 1 R lineare Gleichungen fur bkl, Akl, B k l , c k l . Die Losung lautet 188 Rinow, Dam Problem der gekriimmten Leitung. Auf ganz iihnliche Weise limn man die zweite Nilherung berechnen, nur werden die Ausdriicke wesentlich komplizierter. Es moge daher geniigen, die Tiir die Anwendungen wichtige GroBe bk, irn Falle $‘) = 0 anzugeben: Die vorstehend abgeleiteten Formeln sollen nun noch auf das Problem der Doppelleitung angewendet werden. Die einfallende Welle sei vom Typus der Grundwelle, d. h. entspreche dem Eigenwert Null: vio)a = x2. Der Querschnitt Q sei ferner so dimensioniert, daB weder E- noch H-Wellen auftreten. Die GroBen #, #), . . . sind dann siimtlich imaginiir. Die Leitlinie sei so gewlihlt, wie a111 Schlusse von 5 1 angegeben. Also ist ria) = 0 . Fur die GroBe u0 ist uo = x* au setzen, und daher folgt @lk,o = jxdlk. Man benotigt nunnoch die Ausdriicke @ok,l; bedenkt man, daB %g), a$), !Xi:), abgesehen von dem Faktor e-jxz, die X 3mponenten des elektrischen Feldvektors der Grundwelle in der geraden Leitung sind und daB fur diese bekanntlich %hi) = 0, div8ib0) = 0 gilt, so ergibt sich aus (29) leicht Hieraus folgt wegen zio)= 0 und der Normierungsbedingung (13) @oo,l = 0; Mithin ist = Aol = B,, = elo = 0. Es treten also in erster Niiherung keine Re- flexionen auf. Fur die zweite Naherung benotigt man noch die GraBen &I, Bkl . Aus (30) crhalt man Indem man den Koeffizienten von (k)g der Eatwicklung von nach (29) berechnet, den darin eingehenden Wert von nach (21) eintragt iind beachtet, daB fur die Grundwelle auch die z-Komponente des magnetischen Feldes ver- Rinow, Das Problem der gekriimmten Leitung. I89 schuindet, ergibt sich fur Ooo,2 der Ausdruck SchlieBlich wird noch fur k =!= 0 Damit sind alle Ausdriicke angegeben, aelche zur Berechnung von b,,, notig sind. Die physikalische ,Bedeutung von b,, ist diese : bo. stellt in zweiter Saherung das Verhaltnis der Amplitude der reflektierten zu derjenigen der einfallenden Welle dar, das Retlexionsverhiiltnis. R2 8 3. Die konzentrische Leitung. Die allgemeine Methode sol1 nun auf das Beispiel der gekriininiten konzen- trischen Leitung angewendet werden. Der Querschnitt Q iet daa Ringgebiet xwischen zwei konzentrischen Kreisen. Der Ort der genieinsanien Mittelpunkte der beiden Kreise werde als Leitlinie gewahlt. Man fiihrt in der Querschnittsebene am besten Polarkoordinaten e, 8 ein: x = e cos8, y = e s i n a . Fiir Q ergibt sich das Gebiet e, s: e 6 < 2n; dabei ist el der Radius des Innen- leiters und e2 der des AuSenleiters. Es werde fi = v gesetzt. Die Eigenwerte und Eigenfelder der geraden konzentrischen Leitung sind bekannt. (22 = 0 ist ein einfacher Eigenwert. Zu ihm gehort das Eigenfeld e2, 0 el 8 --, N & , = O niit N = _ _ . 1 1 2 - e i 2 n log 2, Man hat a lsol io)=%. Der Wert zy) verschwindet mch (18): z:')=O. DieLeitlinie ist also iibereinstimmend mit der Forderung am Ende von 5 1 gewahlt. Zur Emitt lung von 7i0) ist 91:') zu berechnen. Das Differentialgleiehungssysteni (8) lautet fur i = 1 in Polarkoordinaten Die Randbedingungen sind Man erkennt leicht, daB man mit den1 Ansatz '%g) = f N s i n 6 , ?@ = gN cos9 auskommt : Fur f und g ergibt, sich das System 1 2 2%*$ - 1 ea ' - (et')' - 2 (f - 9) = - e 1 2 1 - ( ? B Y + -p (f - 9) = - j 5 e mit den Randbedingungen (ef)' = 1, g = 0 fur e = el, ez. 190 Rinow, Das Problem der gekriimmten Leitunp;. Durch Addition der beiden Differentialgleichungen findet man fur u = f + g die leicht zu integrierende Differentialgleichung 1 - (p')' == - 2x2, e Die Elimination von f fuhrt auf eine inhomogene lineare Differentialgleichung, von der man ebenfalls auf elementarem Wege die allgemeine Lasung finden kann. Die hierin auftretenden vier Integrationskonstanten sind durch die vier Rand- bedingungen bestimmt. Die Normierungsbedingung (13) ist durch den Ansatz von selbst erfiillt. Auf diese Weise bekommt man die Liisung hierin iat auBer v = noch a = scea = 2 n h gesetzt. el I Es kann nun ~(8') nach der Formel (21) berechnet werden. Statt ~ ' 2 " ) sol1 y(O) selbst angegeben werden ; Es ist ferner auch die GroBe @,,o,s bestimmt: Urn auch die iibrigen Glieder des Ausdrucksfiir boy zu berechnen, miissen auBer der Grundwelle auch die von Null verschiedenen Eigenwerte beriicksichtigt werden. Man erhglt diese Eigenwerte bekanntlich vermittels der Zylinder- funktionen J , , N , auf folgende Weise: Es seien q = vmj, q = i jmj die positiven Wurzeln der Gleichungen Nm(q)Jm(vq) - Jm(q)iVm(vq) = 0 bzw* NL(q)JL Rinow, Das Problem der gekriimmten Leitung. 191 so gehoren zu jedem Eigenwert aLj die beiden Eigenfunktionen s inme, szj = N ~ ~ c ~ ~ ( $ ) cosm8 T*. mi - - N -mi .D mj( . - l1)s inmfi und zu jedem Eigenwert & k j cosm@, mit geeigneten Xormierungsfaktoren Nmj, h r m j . Die Eigenwerte sind also samtlich zweifach, niit Ausnahme des Falles a:j = i%$, in welchem ein vierfacher Eigen- wert vorliegt. Aus (12) ergibt sich in jedem Fall z, = 0 . Eine Aufspaltung der Eigenwerte tritt also beim ersten Schritt nicht auf. AuBerdern ist die gesamte Anordnung der zusammengesetzten konzentrischen Leitung sowie die Ein- strahlung synimetrisch beziiglich der Ebene der Leitlinie. Man kann daher ituf die Eigenfunktionen S z j , TEj uberhaupt verzichten und nach Einfuhrung der Sjninietriebedingung alle Eigenwerte als einfach bzw. im Ausnahmefall als zweifach ansehen. Jedenfalls geniigt es, bei der Berechnung von b, .. %mj, 0 = Smj, 81,,,0 = n(') X grad Tmj antusetzen, wobei n(') wieder der Einheitsvektor der z-Richtung ist. Die Nor- mierungsfiiktoren N,,, , Nmj ergeben sich aus der Bedingung - Es ist ferner bekannt, daB ii.:l der kleinste aller von Null verschiedenen Eigen- werte ist. Der Querschnitt ist also so zu dimensionieren, da13 5c < 211 wird. Die zu den Eigenwerten akj, &%j gehorigen Fortpflanzungskonstanten ymi ,o , sind dann alle imaginar. Nun niussen die in den Ausdriicken (32), (33), (35) auftretenden Integrale berechnet werden. Man erhalt Da %$) sowohl im Falle des E-Typus als auch im Falle des 61-Typus den Faktor sinm6 besitzt, verschwindet dieses Integral fur alle Typen mit Ausnahme der Elj- und Hlj-Typen. Wie ebenfalls aus den Orthogonalitatseigenschaften der Funktionen sinma , cosm8 folgt, gilt das gleiche fur das Integral/blPlhk)dsdy und damit nach (33) auch fur die zugehorigen Koeffizienten Akl, Bkl . Es brauchen daher alle auftretenden Integrale nur fur die beiden genannten Typen ausgewcrtet zu werden; die iibrigen gehen nicht in den Ausdruck fur boa ein. Die beiden eben betrachteten Integrale sowie das noch in (35) auftretende I n t e g r a l ~ ~ $ ~ ) % & ? d z d y konnen entweder direkt mit Hilfe der bekannten Fornieln &us der Theorie der Besselschen Funktionen oder durch partielle Integrationen berechnet 0 0 Math. Nnchr. 1950. Bd. 3. H. 3. 14 192 Rinow, Daa Problem der gelrrihmten Leitung. werden. Die ziemlich langwierigen Rechnungen sollen hier nicht wiedergegeben werden. %$’)$dzdy aus (35) zu untersuchen. Wegsn .Ik) = 0 gilt ( A + u ( ~ ) ~ ) % $ ~ ) = ek). Multipliziert man diese Gleichung mit 2.3 und integriert uber den Querschnitt, so ergibt, ahnlich wie bei der Ableitung der Bedingung (12), eine Anwendung der Greenschen E’ormel Es bleibt noch das Integral ss 8 0 0 Die einzelnen Glieder von @ik) und qik) hangen nur von aAk) ab. Daher ist zur Berechnung des betrachteten Integrals die Renntnis von %Ik) nicht erforderlich. Es sind jetzt alle GroBen bekannt, welche 602 bestimmen. Man erhalt das Ergebnis (37) Die in den Summengliedern auftretenden Koeffizienten Kt und I& hangen nur von PI ab und haben die Gestalt 1 1 a - DII(V) - DII (1)) q&{[(qiaw)* - 11 [D11(W - [7?$ - 11 [D1r(1)I2) M u ’ ( i i l l W 711 Kt = Das ausschlaggebende Glied in (37) ist das erste. Von den ubrigen Summen- gliedern hat nur das dem Hll-Typus entsprechende, also das erste Glied der zweiten Summe, einen merklichen EinfluB, da die Konvergem der Reihen gut ist.