UTN San Rafael CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS ING. ELECTROMECÁNICA AÑO: 2012 MAXIMILIANO J. T. MARTEL LEG. 5632 H O J A 145 TRABAJO PRÁCTICO INDIVIDUAL 1. Mecanismo de biela manivela a. Deducir la expresión del desplazamiento. b. Deducir la expresión aproximada del desplazamiento. c. Deducir la expresión de la velocidad. d. Deducir la expresión de aceleración. e. Graficar desplazamiento, velocidad y aceleración tomando incrementos cada 5° de la rotación del cigüeñal. Datos: Peso de la biela Peso del pistón Peso del perno ∑( ∑ ∑ ∑ ∑ [Kg] [Kg] [Kg] ) [RPM] ) [mm] [mm] ∑( Aclaración: si los valores que correspondan no son coherentes desde el punto de vista mecánico, plantear otros según consulta con el docente. f. Con los datos anteriores graficar las fuerzas de inercia hasta el tercer armónico. Introducción: El mecanismo de biela y manivela tiene por objeto transformar el movimiento rectilíneo alternativo en un movimiento circular de rotación, y viceversa. Es un mecanismo muy difundido en las maquinas de vapor, motores de combustión interna, bombas, maquinas de embutir y estampar, prensas denominadas de balancín, escopleadoras, mortajadoras y muchas otras maquinas industriales. UTN San Rafael CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS ING. ELECTROMECÁNICA AÑO: 2012 MAXIMILIANO J. T. MARTEL LEG. 5632 H O J A 146 TRABAJO PRÁCTICO INDIVIDUAL El mecanismo mas comun esta compuesto por una manivela M solidaria a un arbol A, que recibe o comunica su movimiento de rotacion; una cruceta, dado o corredera C, cuyo unico movimiento es rectilineo alternativo, recibido mediante un vastago V, (por ejemplo, desde el embolo del motor o comunicado al embolo de una bomba), y que corre entre dos guias paralelas G, y por una biela B, cuyos extremos se articulan por una lado al gorron de la manivela y por el otro al gorron de la cruceta. En la figura anterior se representa el mecanismo de biela manivela de una maquina de vapor, con la forma de las piezas enumeradas en el caso comun. En la sigueiente figura se representa el mismo mecanismo de biela y manivela aplcado a un motor de combustion interna. La diferecncia con el anteriores que la cruceta es reemplazada por el embolo mismo; por lo tanto la biela B esta articulada por su pie directamente a este. De este modo el embolo cumple una doble funcion, y de allí la necesidad de una mayor longitud que la de las utilizadas en las maquinas de vapor, lo que es debido a la necesidad de repartir sobre una mayor superficie la presion normal a su eje N proveniente de la oblicuidad de la biela. Datos del ejercicio N° 1: Peso de la biela Pb= Pb= Pb= 8,4 Kg Peso del pistón Pp= Pp= Pp= 25,2 Kg Peso del perno Pp= ( ∑ [Kg] ) [Kg] ( [Kg] ∑ [Kg] ) [Kg] ( [Kg] ∑ [Kg] ) [Kg] UTN San Rafael CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS ING. ELECTROMECÁNICA AÑO: 2012 MAXIMILIANO J. T. MARTEL LEG. 5632 H O J A 147 TRABAJO PRÁCTICO INDIVIDUAL Pp= Pp= 2,1 Kg ∑( ( [Kg] ) [mm] ) ∑ ( [RPM] ) [RPM] ∑( ( ) [mm] ) [mm] Estudio del movimiento: Si denominamos O al centro de rotación del árbol al cual esta unida la manivela AO, el punto A, denominado botón de la manivela, cumple una trayectoria circular alrededor de O. La biela AK esta unida al botón de la manivela A y el botón de la cruceta K o del embolo. Su extremo K esta obligado a recorrer una trayectoria rectilínea cuya prolongación pasa por O. Siendo finita a longitud de la biela, el botón de la cruceta o del embolo recorre una trayectoria también finita; en efecto, cuando la biela se coloca en línea recta con la manivela, el punto A habrá llegado a B y, por lo tanto, el punto extremo de la biela K habrá alcanzado la posición B1. Al girar la manivela en el sentido de las agujas del reloj, el punto A llegará a D, después de girar 180°. En esta posición la manivela y biela están otra vez en línea recta, pero superpuestas en partes, debido a su desigualdad de longitud. El botón de la cruceta K o del embolo habrá alcanzad, en su movimiento rectilíneo hacia la derecha, el punto D1. UTN San Rafael CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS ING. ELECTROMECÁNICA AÑO: 2012 MAXIMILIANO J. T. MARTEL LEG. 5632 H O J A 148 TRABAJO PRÁCTICO INDIVIDUAL La magnitud del recorrido rectilíneo B1D1 es igual al doble de la longitud de la manivela; por lo tanto, igual al diámetro del movimiento circular de rotación descrito por punto A, o sea: B1D1 = 2r = S. A este recorrido rectilíneo se lo denomina carrera. B1 y D1 son llamados puntos muertos, por cuanto colocadas la biela y manivela, ambas en línea recta y en situación de reposo, no es posible imprimir al mecanismo el movimiento; por lo tanto, la puesta en marcha en estas condiciones no es posible si no se varia por otros medios la posición de la manivela. Al girar la manivela, prosiguiendo el movimiento de rotación, el punto A llegara nuevamente al punto B; por lo tanto, el botón de la cruceta ha realizado dos carreras rectilíneas de igual longitud y, por consiguiente, un movimiento rectilíneo alternativo. La carrera determinada por el botón de la cruceta es al mismo tiempo carrera del embolo, al cual se desliza en el interior de un cilindro y se une a la cruceta mediante una barra V, denominada vástago. Tal como se ha dicho anteriormente el vástago puede o no existir y la cruceta ser reemplazada por un embolo cruceta. Carrera del embolo: UTN San Rafael CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS ING. ELECTROMECÁNICA AÑO: 2012 MAXIMILIANO J. T. MARTEL LEG. 5632 H O J A 149 TRABAJO PRÁCTICO INDIVIDUAL Se tiene que A su vez: Luego: Pero: ( ) Entonces: ( ) ( ) En esta expresión podemos remplazar el valor de cos β en función de α; para ello se tiene que Y como √ ( ) Esto sale de que la suma del coseno cuadrado mas el seno cuadrado del mismo angulo es igual a 1. Se obtiene que: √ ( ) Llevando la expresión anterior a la ecuación de x obtenemos: ( ) ( √ ( ) ) De igual forma podemos obtener la carrera de retroceso del pistón UTN San Rafael CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS ING. ELECTROMECÁNICA AÑO: 2012 MAXIMILIANO J. T. MARTEL LEG. 5632 H O J A 150 TRABAJO PRÁCTICO INDIVIDUAL Se tiene que Pero: Luego: ( Por lo tanto: ( Y como: √ ( ) ) ( ) ) Llevando la expresión anterior a la ecuación de x obtenemos: ( ) ( √ ( ) ) La podemos escribir de forma más general como: ( ) ( √ ( ) ) Donde el signo mas es de avance y el signo menos es de retroceso. De esta formula se deduce también que, a igualdad de ángulo α, el camino recorrido es mayor durante el retroceso que durante el avance del pistón. Algunos autores simplifican la formula general anterior y dan la siguiente: ( ) ( ) ( ) ( ) Esta formula es aproximada, y es muy utilizada por algunos autores para el calculo de biela-manivela. UTN San Rafael CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS ING. ELECTROMECÁNICA AÑO: 2012 MAXIMILIANO J. T. MARTEL LEG. 5632 H O J A 151 TRABAJO PRÁCTICO INDIVIDUAL Para este caso particular la ecuación del movimiento es; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Se expresa con el signo positivo ya que el ángulo queda en función de la velocidad angular por el tiempo. Grafica del desplazamiento: Velocidad del embolo: Tanto en las maquinas de vapor como en todos los motores de embolo, la energía calórica se transforma en mecánica, originando el movimiento rectilíneo alternativo, que a su vez es transformado en circular por el mecanismo biela manivela. UTN San Rafael CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS ING. ELECTROMECÁNICA AÑO: 2012 MAXIMILIANO J. T. MARTEL LEG. 5632 H O J A 152 TRABAJO PRÁCTICO INDIVIDUAL Con la expresión del camino recorrido en función del ángulo que gira la manivela: ( ) ( √ ( ) ) Donde la expresión bajo el signo radical también puede expresarse como: ( ) El cual constituye un binomio de la forma: ( ) ( ) En este caso se tendrá: ( ) ( ) ( ) ( ) De este desarrollo solamente se utilizaran los dos primeros términos, puesto que el tercero es despreciable. Se tendrá entonces: √ ( ) ( ) Que reemplanzadolo en la ecuación general obtenemos: ( ) ( ( ) ) Simplificando se obtiene: ( ) UTN San Rafael CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS ING. ELECTROMECÁNICA AÑO: 2012 MAXIMILIANO J. T. MARTEL LEG. 5632 H O J A 153 TRABAJO PRÁCTICO INDIVIDUAL Diferenciando esta ecuación obtenemos que la velocidad v es: ( ) Que para este caso particular es: ( ) ( Grafica de la velocidad: ) Aceleración del embolo: Se obtiene derivando la ecuación de la velocidad, obteniendo: ( ) Que para este caso particular es: ( ) UTN San Rafael CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS ING. ELECTROMECÁNICA AÑO: 2012 MAXIMILIANO J. T. MARTEL LEG. 5632 H O J A 154 TRABAJO PRÁCTICO INDIVIDUAL ( ) ( ) ( ) Grafica de la aceleración: Fuerza de inercia: La fuerza de inercia se obtiene de multiplicar la función de la aceleración por la masa total del conjunto: Donde la masa total es: UTN San Rafael CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS ING. ELECTROMECÁNICA AÑO: 2012 MAXIMILIANO J. T. MARTEL LEG. 5632 H O J A 155 TRABAJO PRÁCTICO INDIVIDUAL Obteniendo: ( ) ( ) ( ) Grafica de la fuerza de inercia: Una forma más sencilla pero con menor exactitud que la anterior: Ecuación del desplazamiento: Teniendo en cuanta el radio de la manivela Rm y la biela tiene una longitud l donde se debe cumplir que l > 2*Rm. La manivela gira con una velocidad angular constante ω. Ecuación de la posición del pistón respecto a O: ( ) √ ( ) Ecuación de la posición del pistón cuando θ=90°: UTN San Rafael CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS ING. ELECTROMECÁNICA AÑO: 2012 MAXIMILIANO J. T. MARTEL LEG. 5632 H O J A 156 TRABAJO PRÁCTICO INDIVIDUAL √ La ecuación de posición del pistón es: ( ) √ ( ) √ Donde θ es igual a ω*t, obteniendo ( ) √ ( ) √ Los valores máximos y mínimos de la posición se obtienen igualando ω*t a 0 y Pi. Máximo: √ √( ) ( ) Mínimo: √ √( ) ( ) Obtenemos como ecuación de posición la siguiente expresión: ( ) √( ) ( ) ( ) √ ( ) Función aproximada de la posición: Esta la obtenida al ver el movimiento como un movimiento armónico simple de la manivela. ( ) ( ) Donde los valores máximos de x son: UTN San Rafael CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS ING. ELECTROMECÁNICA AÑO: 2012 MAXIMILIANO J. T. MARTEL LEG. 5632 H O J A 157 TRABAJO PRÁCTICO INDIVIDUAL Si ω*t es 0 Si ω*t es π Grafica de la función de posición: Función aproximada de la velocidad: Esta función se obtiene derivando la función de posición respecto al tiempo, lo que se puede escribir como: ( ) ( ( ) ) Grafica de la velocidad: UTN San Rafael CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS ING. ELECTROMECÁNICA AÑO: 2012 MAXIMILIANO J. T. MARTEL LEG. 5632 H O J A 158 TRABAJO PRÁCTICO INDIVIDUAL Función aproximada de la aceleración: Esta función se obtiene derivando la función de velocidad respecto al tiempo, lo que se puede escribir como: ( ) ( ( ) ( ) ) Gráfica de aceleración: Fuerza de inercia: La fuerza de inercia se obtiene de multiplicar la función de la aceleración por la masa total del conjunto: Donde la masa total es: UTN San Rafael CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS ING. ELECTROMECÁNICA AÑO: 2012 MAXIMILIANO J. T. MARTEL LEG. 5632 H O J A 159 TRABAJO PRÁCTICO INDIVIDUAL Por lo que obtenemos como ecuación de la fuerza de inercia: ( ) ( ) Grafica de la fuerza de inercia: UTN San Rafael CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS ING. ELECTROMECÁNICA AÑO: 2012 MAXIMILIANO J. T. MARTEL LEG. 5632 H O J A 160 TRABAJO PRÁCTICO INDIVIDUAL 2. Determinar el perfil de una leva que gira a velocidad constante, ∑ [rad/s]. La condición del movimiento con desplazamiento vertical debe cumplir en un determinado arco de rotación con MRUV, teniendo en cuenta aquellos puntos donde existe una aceleración vertical. Graficar el perfil cada 5 en 360 . A demás graficar desplazamiento, velocidad y aceleración. El radio base es Datos del ejercicio N° 2: ∑ ( ∑ ( ∑ [mm]. [rad/s] ) [rad/s] [mm] ) mm Una leva es un cuerpo sólido con una forma determinada, tal que su movimiento imparte un desplazamiento concreto a un segundo cuerpo denominado seguidor, que se mantiene en todo momento en contacto con la leva. La forma de la leva y la relación física entre esta y el seguidor definen la relación que existirá entre la posición de la leva y la del seguidor. La utilización de levas es una de las formas más simples de generar movimientos complejos periódicos con precisión, obteniéndose a un costo razonable. Una leva transforma el movimiento según una cierta ley. El conjunto de transmisión está formado por dos elementos: Leva y palpador o seguidor (a veces existe un tercer elemento, el rodillo de contacto). La ley de una leva se puede definir como la función que refleja la relación entre el desplazamiento de la leva (lineal o angular) y el palpador (lineal o angular) UTN San Rafael CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS ING. ELECTROMECÁNICA AÑO: 2012 MAXIMILIANO J. T. MARTEL LEG. 5632 H O J A 161 TRABAJO PRÁCTICO INDIVIDUAL Definiciones útiles: -Perfil de leva: Es la parte de la superficie de la leva que hace contacto con el seguidor. -Círculo base: Es el círculo más pequeño que, estando centrado en el eje de rotación de la leva, es tangente al perfil de la misma. -Curva primitiva: Es la curva cerrada descrita por el punto de trazo. Dicho punto se considerará el eje de rotación del rodillo si el seguidor es de rodillo. -Círculo primitivo: Es el círculo más pequeño que estando centrado en el eje de rotación de la eleva es tangente a la curva primitiva. Tiempo que tarda la leva en dar una vuelta: Aquí vemos la forma a la corresponde cada ecuación de movimiento: Esta imagen es ilustrativa, obtenida de bibliografía. Los tiempos t1, t2 y t3 son: UTN San Rafael CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS ING. ELECTROMECÁNICA AÑO: 2012 MAXIMILIANO J. T. MARTEL LEG. 5632 H O J A 162 TRABAJO PRÁCTICO INDIVIDUAL Desplazamiento: La ecuación del desplazamiento para 0 < t < 0,25*T ( ) Donde S es la distancia que se debe levantar la leva y T el periodo de la leva, quedando la ecuación como: ( ) La ecuación es definida entre el intervalo de 0 s a 3,7375*10-3 s La ecuación del desplazamiento para 0,25*T < t < 0,75*T ( ) Donde S es la distancia que se debe levantar la leva y T el periodo de la leva, quedando la ecuación como: ( ( ) ) La ecuación es definida entre el intervalo de 3,7375*10-3 s s a 0,01122 s La ecuación del desplazamiento para 0,75*T < t < T ( ) Donde S es la distancia que se debe levantar la leva y T el periodo de la leva, quedando la ecuación como: UTN San Rafael CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS ING. ELECTROMECÁNICA AÑO: 2012 MAXIMILIANO J. T. MARTEL LEG. 5632 H O J A 163 TRABAJO PRÁCTICO INDIVIDUAL ( ( ) ) La ecuación es definida entre el intervalo de 0,01122 s a 0,01495 s La grafica de la suma de las 3 funciones es: Velocidad: La ecuación del desplazamiento para 0 < t < 0,25*T Donde S es la distancia que se debe levantar la leva y T el periodo de la leva, quedando la ecuación como: UTN San Rafael CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS ING. ELECTROMECÁNICA AÑO: 2012 MAXIMILIANO J. T. MARTEL LEG. 5632 H O J A 164 TRABAJO PRÁCTICO INDIVIDUAL La ecuación es definida entre el intervalo de 0 s a 3,7375*10-3 s La ecuación del desplazamiento para 0,25*T < t < 0,75*T Donde S es la distancia que se debe levantar la leva y T el periodo de la leva, quedando la ecuación como: ( ) La ecuación es definida entre el intervalo de 3,7375*10-3 s s a 0,01122 s La ecuación del desplazamiento para 0,75*T < t < T Donde S es la distancia que se debe levantar la leva y T el periodo de la leva, quedando la ecuación como: ( ) La ecuación es definida entre el intervalo de 0,01122 s a 0,01495 s La grafica de la suma de las 3 funciones es: UTN San Rafael CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS ING. ELECTROMECÁNICA AÑO: 2012 MAXIMILIANO J. T. MARTEL LEG. 5632 H O J A 165 TRABAJO PRÁCTICO INDIVIDUAL Aceleración: La ecuación del desplazamiento para 0 < t < 0,25*T Donde S es la distancia que se debe levantar la leva y T el periodo de la leva, quedando la ecuación como: La ecuación es definida entre el intervalo de 0 s a 3,7375*10-3 s La ecuación del desplazamiento para 0,25*T < t < 0,75*T Donde S es la distancia que se debe levantar la leva y T el periodo de la leva, quedando la ecuación como: La ecuación es definida entre el intervalo de 3,7375*10-3 s s a 0,01122 s La ecuación del desplazamiento para 0,75*T < t < T Donde S es la distancia que se debe levantar la leva y T el periodo de la leva, quedando la ecuación como: La ecuación es definida entre el intervalo de 0,01122 s a 0,01495 s UTN San Rafael CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS ING. ELECTROMECÁNICA AÑO: 2012 MAXIMILIANO J. T. MARTEL LEG. 5632 H O J A 166 TRABAJO PRÁCTICO INDIVIDUAL La grafica de la suma de las 3 funciones es: Perfil de la leva: ALZADA Radio base