TRABAJO DE ESTADISTICA INFERECIAL. Iván René Gómez Suarez. Carlos Andrés Polo Cantero. Yalidis Velásquez Méndez. DOC. Matemática y física. Especialista en estadística. Universidad de Córdoba. Facultad de ciencias jurídicas y administrativas. Administración en finanzas y Negocios Internacionales. Berastegui –Córdoba. 2015 HISTORIA DE LA ESTADISTICA La historia de la estadística comienza alrededor de 1749, Es una ciencia con tanta antigüedad como la escritura, y es por sí misma auxiliar de todas las ciencias. Procede del vocablo estado pues era función principal de los Gobiernos de los Estados establecer registros de población, nacimientos, defunciones, impuestos, cosechas con La necesidad de poseer datos cifrados sobre la población y sus condiciones. Es difícil conocer los orígenes de la Estadística. Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadística, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o ciertas cosas. Más tarde y con el tiempo se han venido aplicando las diferentes fórmulas para incluir el análisis en la interpretación de datos para la toma de decisiones, el termino estadística aunque han habido cambios en su interpretación hoy día en términos modernos significa conjuntos de información recopilada aplicados en diferentes áreas como lo es la contabilidad financiera, salud, arquitectura y porque no en nuestro diario vivir. La estadística ha tenido un importante impacto en un amplio rango de ciencias, estas la aplican en sus actividades desde diseños de experimentos especialmente en la práctica médica mediante el uso de la probabilidad y sus otras teorías requiriendo obviamente de estas. PERSONAS QUE LE HAN HECHO APORTES A LA ESTADÍSTICA. Thomas Bayes, Jakob Bernouilli, Gertrude Mary Cox, Pafnuti Chebyshev, Abrahán De Moivre, Pierre de Fermat, Galton, Francis, Charles Dogson, Fisher, Ronald Aylmer, Gauss, Carl Friedrich, Laspeyres, Etienne L. y Paasche, Hermann, Gosset Y William Sealey, Kolmogorov Y Andrei Nikolaevich, Pearson, Karl entre otros. Abraham de Moivreeste: Fue un matemático francés. Conocido por la fórmula de De Moivre y por su trabajo en la distribución normal y probabilidad, A pesar que la posición social de su familia no está clara, su padre, cirujano de profesión, pudo mandarlo a la academia protestante de Sedan (1678-82). De Moivre estudió lógica en Saumur (1682-84), asistió al Collège de Harcourt en París (1684), y estudió privadamente con Ozanam (1684-85). De todas maneras no hay referencias que De Moivre haya obtenido un título académico.Conocido por la fórmula de Moivre, la cual conecta números complejos y trigonometría, y por su trabajo en la distribución normal y probabilidad. Fue elegido un miembro de Royal Society de Londres en 1697, y fue amigo de Isaac Newton y Edmund Halley. De Moivre escribió un libro de probabilidad titulado The Doctrine of Chances.Como era calvinista, tuvo que salir de Francia después de la revocación del Edicto de Nantes (1685), y pasó el resto de su vida en Inglaterra. Toda su vida fue pobre y era cliente regular del Slaughter's Coffee House, en St. Martin Lane, en Cranbourn Street, donde ganaba algo de dinero jugando al ajedrez.Murió en Londres, siendo enterrado en St Martin's-in-the-Fields, aunque más tarde su cuerpo fue trasladado. Pierre Simón Laplace: Pierre-Simón Laplace era un matemático francés que inventó y desarrolló la Transformada de Laplace y la ecuación de Laplace. Fue un creyente del [[determinismo cau creó una curiosa fórmula para expresar la probabilidad de que el Sol saliera por el horizonte. Él decía que la probabilidad era de (d + 1) / (d + 2), donde d es el número de días que el sol ha salido en el pasado. Laplace decía que esta fórmula, que era conocida como la Regla de Sucesión (de Laplace), podía aplicarse en todos los casos donde no sabemos nada, o donde lo que conocíamos fue cambiado por lo que no. Aún es usada como un estimador de la probabilidad de un evento, si sabemos el lugar del evento, pero sólo tenemos muy pocas muestras de él. Karl Pearson: Fue un científico, matemática británico, que implemento la estadística matemática. Desarrollo una investigación sobre la aplicación de los métodos estadísticos en la biología y fue el fundador de la bioestadística. Hizo el primer departamento de estadística en la Universidad, donde fue profesor. Creo la revista Biometrika, desde entonces una de las más importantes en el campo de la estadística. Carl Friedrich Gauss: Fue uno de los matemáticos más grandes de la historia. Se le considera uno de los tres genios de la historia de las Matemáticas. Realizó grandes aportes a todas las ramas de la ciencia. El talento de Gauss llamó la atención del duque de Brunswick, quien, se propuso su educación secundaria y universitaria. Uno de los principales aportes a la Estadística, fue el de la teoría de los errores, además dedujo la curva normal de la probabilidad, a la que también se le llama "Curva de Gauss", está aún se usa en los cálculos estadísticos. Thomas Bayes: Fue un clérigo matemático británico. Él estudió e investigo el problema de la determinación de la probabilidad de las causas a través de los efectos que se observan. El teorema de Bayes, habla acerca de la probabilidad que existe para un suceso que se presenta como suma de diversos sucesos mutuamente excluyentes. La Teoría Bayesiana se basa en la enumeración de los posibles eventos que son diferentes, a la vez que asocia cada uno con una posible probabilidad de ocurrencia. Por medio de la medición del impacto de cada evento, y la multiplicación por su correspondiente probabilidad de ocurrencia, se pueden calcular los daños esperados de cada uno de los factores de riesgo. El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. Jakob Bernoulli: Fue un matemático y científico suizo, hermano mayor de Johan Bernoulli (y miembro de la reconocida Familia Bernoulli). Bernoulli se considera como el iniciador de la teoría de la probabilidad, que hasta ese momento sólo estaba tratando de fenómenos experimentales con resultados equiprobables, motivados, aparte de los juegos de azar, por problemas de las ciencias sociales, intereses económicos, seguros, meteorología y medicina. En su obra "Ars Conjectandi", introduce lo que hoy se conoce como la primera ley de los grandes números. El cuál es el principio fundamental, que establece que, bajo ciertas condiciones, un promedio muestral se aproxima al promedio de la población de donde se obtuvo la muestra, si el tamaño de ésta es grande. Simeón Deneis Poisson: Ingeniero civil y matemático francés, estudió y fue profesor en la Ecole Polytechnique de parís. Tuvo como profesores, entre otros, a Laplace y Lagranje, que pronto se dieron cuenta de su talento matemático. Poisson estudio problemas sobre ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales y cómo aplicarlas a varios problemas de física. Público artículo sobre movimientos planear la rotación de la tierra, el método de lagrange aplicado a problemas mecánicos, así como varios estudios sobre electricidad magnetismo superficial entre otros. La distribución poisson que describe la probabilidad de que un suceso aleatorio ocurra en un periodo de tiempo o en una región del espacio bajo ciertas condiciones. También introdujo la expresión ley de los grandes números. DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD. DISTRIBUCIÓN UNIFORME La distribución de probabilidad uniforme es una distribución en la cual las probabilidades de todos los resultados son las mismas para todos los posibles. La figura 5.3 muestra una distribución uniforme en la cual todos los resultados sobre el rango total de posibilidades de distribución son igualmente posibles, desde el mínimo de a hasta el máximo de b, a continuación la gráfica y las fórmulas que hacen parte de dicha distribución. La media o valor esperado de una distribución uniforme está a mitad de camino entre sus dos puntos extremos así: Media de una distribución uniforme: En donde a y b son los valores más bajos y más altos respectivamente. Varianza de una distribución uniforme de probabilidad: Probabilidad que una observación caiga entre dos valores: Ejemplos de distribución uniforme. Dow chemical produce un fertilizante inorgánico par césped, para aquellos que fertilizan su pasto en casa, de manera que lo puedan podar con más frecuencia. Este tipo de fertilizante se vende en bolsas con un peso uniformemente distribuido. Con una media de 25 libras y un rango de 2.4 libras. Harry Yánez necesita 23 libras para fertilizar su césped, pero duda si comprar solo una bolsa ya que se desvía de las 25 libras en un rango de 2.4 libras. También tiene curiosidad sobre la probabilidad de comprar una bolsa con más de 25.5 libras. Solución. Si las bolsas tienen un promedio de 25 libras sobre un rango de 2.4 libras, entonces la mitad de ese rango, o 1.2 libras, debe estar por debajo de 25, y la otra mitad, por encima de 25 libras. Por consiguiente, el peso mínimo será 25 -1.2 =23.8 libras y el peso máximo es 25+1.2 = 26.2libras, como se observa en la figura. La probabilidad de seleccionar una sola bolsa que contenga entre 25.5 y 26.2 libras es: Interpretación: Harry no tiene por qué preocuparse. La bolsa más liviana que podría comprar pesa 23.8 libras. Definitivamente comprara por lo menos 23 libras que necesita para su césped. Además, la probabilidad de seleccionar una bolsa con más de 25.5 libras es de 29.17%. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. Es una de las distribuciones de probabilidad más útiles (control de calidad, producción, investigación). Tiene que ver con el experimento aleatorio que produce en cada ensayo o prueba uno de dos resultados posibles mutuamente excluyentes: ocurrencia de un criterio o característica específico (llamado éxito) y no ocurrencia de éste (llamado fracaso). Los términos o calificativos de "éxito y fracaso" son solo etiquetas y su interpretación puede no corresponder con el resultado positivo o negativo de un experimento en la realidad. Queriendo decir: · N experimentos · La variable aleatoria tiene dos posibles resultados. · Independientes · Probabilidad de éxito permanece constante. La variable aleatoria binomial x definida como el número de éxitos en n ensayos tiene una distribución con parámetros n y p. P(x=x)= () Q= 1 – p · ()= Si x es el binomial de parámetros p y n entonces: 1- E (x) = n * p media (valor esperado) 2- Var(x)= n * p (1-p) varianza 3- NOTA: Teniendo en cuanta las siguientes formulas. · P(x ≥ a) = 1 – p (x < a – 1) · P(x > a) = 1 – p (x ≤ a – 1) · P (x ≤ a) = · P(x < a) = · P (a ≤ x ≤ b) = p( x ≤ b) – ( x ≤ a) EJEMPLO: Usted ha encontrado 8 recepcionistas telefónicas para que tome los pedidos telefónicos para una línea de productos deportivos que su empresa está comercializando. Una recepcionista está ocupada el 30% del tiempo catalogando un pedido. Usted no desea que la probabilidad de que una llamada del cliente se reciba con una señal de ocupada exceda el 50% ¿Debería usted contratar más recepcionistas si 3 clientes llaman? DONDE N=8 P=0.30 Q=1- 0.30 = 0.70 P (x=3) = () P (x=3) = 0.2541*100=25.41% EJEMPLO 2: un gerente de américa express a descubierto que el 10% de los usuarios de tarjeta no paga el monto completo de la deuda durante un mes dado. Determinar, la probabilidad que de 20 cuentas seleccionadas aleatoriamente, 5 de las cuentas no sean pagadas. Solución. Evento Número de cuentas no pagadas N=20 P= 0.10 Q= 0.90 P (x=5) = () Análisis: la probabilidad que 20 cuentas seleccionadas aleatoriamente, 5 de las cuentas no sean pagadas es de 0.0319 DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA Como se acaba de explicar, la distribución binomial es apropiada solo si la probabilidad de un éxito permanece constante para cada intento. Esto ocurre si el muestreo se realiza con remplazo o de una población finita (o muy grande). Sin embargo, si la población es pequeña y ocurre el muestreo sin reemplazo, la probabilidad de un éxito variara. Si la probabilidad de un éxito no es constante, la distribución hipergeometrica es de especial utilidad. La función para de probabilidad de la función para la distribución hipergeometrica es: En donde: N= es el tamaño de la población R= es el número de éxitos en la población N: es el tamaño de la muestra La distribución hipergeometrica si se selecciona una muestra sin reemplazo de una población finita conocida y contiene una proporción relativamente grande de la población, de manera que la probabilidad de éxito sea perceptiblemente alterada de una selección a la siguiente, debe utilizarse la distribución hipergeometrica. Ejemplo: supongamos que en un establo de caballos de carrera hay N= 10 caballos, y r = 4 de ellos tienen una enfermedad contagiosa. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una muestra de n=3 en la cual x= 2 caballos enfermos? Solución P (X=2) = 4C2 10-4C3-2 / 10 C 3 = Existe un 30% de probabilidad de seleccionar 3 caballos de carreras dos de los cuales están enfermos. DISTRIBUCIÓN POISSON. Si x es una variable aleatoria que cuenta el número de veces que un evento ocurre en un intervalo unidad de tiempo longitud superficie, volumen entre otros. Y si se tiene que los eventos son independientes y el número promedio por intervalo es λ, se dice que x tiene una distribución de poisson y su probabilidad es: Para X = 0, 1, 2,3…n MEDIA: E (X)= λ VARIANZA: varianza (x) = λ Ejemplo: Supóngase que se está interesado en la probabilidad de que exactamente 5 clientes lleguen durante la siguiente hora laboral. La observación ha demostrado que en las últimas 80 horas han entrado 800 clientes al negocio. Solución Evento Si x = el número de clientes que llegan al negocio Entonces decimos que la probabilidad de que exactamente 5 clientes lleguen durante la siguiente hora laboral es de 0.0378. DISTRBUCION GEOMETRICA Esta distribución es un caso especial de la Binomial, ya que se desea que ocurra un éxito por primera y única vez en el último ensayo que se realiza del experimento. ADICIONALMETE SE TIENE QUE CUMPLIR LO SIGUIENTE · que existan solamente dos resultados posibles en cada ensayo que vamos a llamar éxitos y fracasos igual que en la distribución binomial. · la probabilidad de un éxito representada por P permanece constante en todos los intentos igual que la suponemos en la distribución binomial · todos los n intentos repetidos son independientes similar a lo que suponemos en la distribución binomial. Es decir se cumplen todas las mimas suposiciones de la distribución binomial, excepto que n no es fijo. Si en pruebas independientes repetidas puede resultar un éxito con una probabilidad P y un fracaso con una probabilidad Q=1-P es decir la probabilidad de fracaso es uno menos la probabilidad de éxito entonces: La distribución de probabilidad de variable aleatoria X (donde X es el número de la prueba en la cual ocurre el primer éxito) es la distribución geométrica dada por la ecuación: EJEMPLO: Si la probabilidad que un tirador experto de en el blanco es del 95% ¿cuál es la probabilidad de que falle por primera vez en su decimoquinto disparo? SOLUCION Análisis Tenemos que solo hay éxitos y fracasos que el tirador o da en el blanco o no da en el blanco, también tenemos que cada disparo es independiente es decir si en un disparo acierta o falla eso no va a afectar en el siguiente disparo pueden acertar o pueden fallar, también tenemos que la probabilidad de éxito es constante en este caso del 95%. Se cumplen todas las condiciones de una distribución binomial acepto que él no va a disparar 15 veces solo queremos saber la probabilidad de que falle por primera vez en el decimoquinto disparo. Entonces es un problema de distribución geométrica más no binomial. Datos: X=15 P= 0.05 Hay 95% de probabilidad de que el acierte pero lo que andamos buscando es que falle entonces el éxito es la falla y la probabilidad de falla seria de 5% La probabilidad de que falle por primera vez en su decimoquinto disparo es 2.44% INTRODUCCION La estadística es una ciencia de manejo de datos, que es muy importante estudiar en nuestra carrera lo cual es de vital importancia para la toma de decisiones. En el siguiente trabajo hicimos un breve estudio de la historia de la estadística y de lo importante que es para las demás ciencias, también se verá reflejado los diferentes aportes que personajes del mundo le han hecho para hacer de esta más exitosa en sus resultados que nos arroja, al momento de elaborar nuestros problemas. Presentaremos en que consisten las distribuciones discretas de probabilidad, sus conceptos, modelos matemáticos o ecuación y un ejemplo que se nos hace importante analizar, para el desarrollo de esta materia importante. OBJETIVOS. · Tener claro en que consiste la estadística y de lo importante que es estudiarla el nuestra carrera. · Analizar las diferentes distribuciones discretas de probabilidad. · Saber usar sus fórmulas que nos permitan llegar a lo que queremos lograr en la elaboración de problemas que se nos planteen. CONCLUSIÓN. Con la elaboración de este trabajo queda claro en que consiste la ciencia de la estadística, sus personajes que le han hecho aporte y en que problemas pueden ser aplicadas sus fórmulas, obviamente estudiando sus diferentes distribuciones discretas de probabilidad. Cabe aclarar todo esto se llevara a cabo en las tutorías desarrolladas durante el semestre cursado aclarando dudas que se nos presentes y desarrollando problemas estadísticos para nuestro aprendizaje. BIBLIOGRAFÍA. Estadística aplicada a los negocios y la economía, por Allen l. webster (3ª edición) Cuaderno de estadística descriptiva III semestre (Tutora: Johana Hernández) http://www.uv.mx/cienciahombre/revistae/vol18num2/articulos/historia/ http://www.estadisticaparatodos.es/historia/histo_esta.html http://aportesestadisticos.blogspot.com/ http://www.ine.es/explica/explica_historia_personajes.htm https://www.youtube.com/watch?v=PCt4vvWnRlc