Teoría Basica del Electromagnetismo Hans Christian Oersted descubrió que una aguja magnética podía ser desviada por una corriente eléctrica. Este descubrimiento, que mostraba una conexión entre la electricidad y el magnetismo, fue desarrollado por Ampère, que estudió las fuerzas entre cables por los que circulan corrientes eléctricas, y por Arago, que magnetizó un pedazo de hierro colocándolo cerca de un cable recorrido por una corriente. Faraday descubrió que el movimiento de un imán en las proximidades de un cable induce en éste una corriente eléctrica; este efecto era inverso al hallado por Oersted. Así, Oersted demostró que una corriente eléctrica crea un campo magnético, mientras que Faraday demostró que puede emplearse un campo magnético para crear una corriente eléctrica. La unificación de las teorías de la electricidad y el magnetismo se debió a Maxwell, que predijo la existencia de ondas electromagnéticas e identificó la luz como un fenómeno electromagnético. Los estudios posteriores se centraron en la comprensión del origen atómico y molecular de las propiedades magnéticas de la materia. Langevin desarrolló una teoría sobre la variación con la temperatura de las propiedades magnéticas de las sustancias paramagnéticas, basada en la estructura atómica de la materia. Esta teoría es un ejemplo de la descripción de propiedades macroscópicas a partir de las propiedades de los electrones y los átomos. La teoría de Langevin fue ampliada por Pierre Ernest Weiss, que postuló la existencia de un campo magnético interno, molecular, en los materiales como el hierro. Este concepto, combinado con la teoría de Langevin, sirvió para explicar las propiedades de los materiales como la piedra imán. La teoría de Neils Bohr sobre la estructura atómica, hizo que se comprendiera la tabla periódica y mostró por qué el magnetismo aparece en los elementos de transición como el hierro o los lantánidos o en compuestos que incluyen estos elementos. Samuel Abraham Goudsmit y Uhlenbeck demostraron que los electrones tienen espín y se comportan como pequeños imanes con un momento magnético definido. El momento magnético de un objeto es una cantidad vectorial que expresa la intensidad y orientación del campo magnético del objeto. Werner Karl Heisenberg dio una explicación detallada del campo molecular de Weiss basada en la mecánica cuántica. El campo magnético Una barra imantada o un cable que transporta corriente pueden influir en otros materiales magnéticos sin tocarlos físicamente porque los objetos magnéticos producen un campo magnético. Los campos magnéticos suelen representarse mediante líneas de flujo magnético. En cualquier punto, la dirección del campo magnético es igual a la dirección de las líneas de flujo, y la intensidad del campo es inversamente proporcional al espacio entre las líneas de flujo. En el caso de una barra imantada, las líneas de flujo salen de un extremo y se curvan para llegar al otro extremo; estas líneas pueden considerarse como bucles cerrados, con una parte del bucle dentro del imán y otra fuera. En los extremos del imán, donde las líneas de flujo están más próximas, el campo magnético es más intenso; en los lados del imán, donde las líneas de flujo están más separadas, el campo magnético es más débil. Según su forma y su fuerza magnética, los distintos tipos de imán producen diferentes esquemas de líneas de flujo. La estructura de las líneas de flujo creadas por un imán o por cualquier objeto que genere un campo magnético puede visualizarse utilizando una brújula o limaduras de hierro. Los imanes tienden a orientarse siguiendo las líneas de flujo magnético. Por tanto, una brújula, que es un pequeño imán que puede rotar libremente, se orientará en la dirección de las líneas. Marcando la dirección que señala la brújula al colocarla en diferentes puntos alrededor de la fuente del campo magnético, puede deducirse el esquema de líneas de flujo. Igualmente, si se agitan limaduras de hierro sobre una hoja de papel o un plástico por encima de un objeto que crea un campo magnético, las limaduras se orientan siguiendo las líneas de flujo y permiten así visualizar su estructura. Los campos magnéticos influyen sobre los materiales magnéticos y sobre las partículas cargadas en movimiento. En términos generales, cuando una partícula cargada se desplaza a través de un campo magnético, experimenta una fuerza que forma ángulos rectos con la velocidad de la partícula y con la dirección del campo. Como la fuerza siempre es perpendicular a la velocidad, las partículas se mueven en trayectorias curvas. Los campos magnéticos se emplean para controlar las trayectorias de partículas cargadas en dispositivos como los aceleradores de partículas o los espectrógrafos de masas. Brújula Instrumento que indica el rumbo, empleado por marinos, pilotos, cazadores, excursionistas y viajeros para orientarse. Hay dos tipos fundamentales de brújula: La brújula magnética y el girocompás o brújula giroscópica. Brújula magnética: En su forma más sencilla este tipo de brújula está formado por una aguja magnetizada montada en un pivote situado en el centro de un círculo graduado fijo (denominado rosa de los vientos) de modo que la aguja pueda oscilar libremente en el plano horizontal. En la brújula magnética el rumbo se determina a partir de una o varias agujas magnetizadas que señalan al polo norte magnético bajo la influencia del campo magnético terrestre. El compás náutico, una brújula magnética utilizada en la navegación,tiene varios haces de agujas magnetizadas paralelas fijados a la parte inferior de la rosa que pivota sobre su centro en un recipiente de bronce cubierto de vidrio. El recipiente está montado en un balancín, por lo que la rosa mantiene una posición horizontal a pesar del balanceo y cabeceo del barco. En el compás líquido, el más estable de los compases náuticos, el recipiente está lleno de líquido, una mezcla de alcohol y agua. El líquido ayuda a sostener la rosa, que en este tipo de brújula pivota sobre su centro y flota en el líquido, con lo que se reduce la fricción en el pivote y se amortiguan las vibraciones de la rosa causadas por el movimiento del buque. Estas ventajas hacen que el compás líquido se emplee más que el compás seco. En ambos tipos hay trazada una línea negra vertical, conocida como línea de fe, en la superficie interior del recipiente,orientada según la proa del barco. El rumbo del buque se obtiene leyendo los grados que marca la rosa frente a la línea de fe. La brújula magnética sólo apunta al norte magnético si el barco está libre de magnetismo y si no hay objetos grandes de hierro o acero en las proximidades. Si el barco está magnetizado o la aguja se ve afectada por objetos de hierro o acero, se produce el error conocido como desviación. Para corregir la desviación la brújula se instala en un soporte denominado bitácora de compensación, equipado con un sistema de imanes que compensan las influencias perturbadoras. Para obtener el norte verdadero en una brújula magnética también hay que efectuar las correcciones debidas a la declinación magnética (el ángulo formado entre el meridiano magnético y el meridiano verdadero). Este ángulo (también llamado variación magnética) puede ser positivo o negativo, y varía con la posición geográfica y en cierta medida con el tiempo. Se han determinado la magnitud, el signo y el cambio anual de la declinación de la mayoría de los lugares de la superficie terrestre, y estos datos están registrados en todas las cartas náuticas. Las tormentas magnéticas provocan cambios transitorios e impredecibles de la declinación, sobre todo en las latitudes más elevadas. El compás náutico convencional resulta poco fiable en las aeronaves debido a los errores introducidos por los giros y aceleraciones bruscas del avión. Para eliminar estos errores, los compases aeronáuticos tienen un diseño especial, con unidades direccionales magnéticas estabilizadas respecto al movimiento del avión mediante péndulos o giróscopos. Girocompás: Este dispositivo, dotado de uno o más giróscopos, se emplea para la navegación de todos los buques de cierto tamaño. El girocompás, que no resulta afectado por el magnetismo terrestre, consiste en un giróscopo cuyo rotor gira alrededor de un eje confinado al plano horizontal de forma que dicho eje se alinea con la línea Norte-Sur paralela al eje de rotación terrestre, con lo que indica el norte verdadero, sin estar sometido a los errores inherentes de desviación y declinación que afectan a la brújula magnética. Los girocompases cuentan con dispositivos de corrección para compensar la deriva hacia el Este debida al movimiento de la Tierra y los errores de velocidad y rumbo. En la mayoría de los barcos oceánicos, el girocompás está conectado eléctricamente con un piloto automático, un dispositivo que dirige el timón del barco de forma automática y mantiene su rumbo de acuerdo a las señales del girocompás. Tipos de materiales magnéticos Las propiedades magnéticas de los materiales se clasifican siguiendo distintos criterios. Una de las clasificaciones de los materiales magnéticos (diamagnéticos, paramagnéticos y ferromagnéticos) se basa en la reacción del material ante un campo magnético. Cuando se coloca un material diamagnético en un campo magnético, se induce en él un momento magnético de sentido opuesto al campo magnético. En la actualidad se sabe que esta propiedad se debe a las corrientes eléctricas inducidas en los átomos y moléculas individuales. Estas corrientes producen momentos magnéticos opuestos al campo aplicado. Muchos materiales son diamagnéticos; los que presentan un diamagnetismo más intenso son el bismuto metálico y las moléculas orgánicas que, como el benceno, tienen una estructura cíclica, que permite que las corrientes eléctricas se establezcan con facilidad. El comportamiento paramagnético se produce cuando el campo magnético aplicado alinea todos los momentos magnéticos ya existentes en los átomos o moléculas individuales que componen el material. Esto produce un momento magnético global que se suma al campo magnético. Los materiales paramagnéticos suelen contener metales de transición o lantánidos con electrones no emparejados. El paramagnetismo en sustancias no metálicas suele caracterizarse por una dependencia de la temperatura: La intensidad del momento magnético inducido varía inversamente con la temperatura. Esto se debe a que al aumentar la temperatura, cada vez resulta más difícil alinear los momentos magnéticos de los átomos individuales en la dirección del campo magnético. Las sustancias ferromagnéticas son las que, como el hierro, mantienen un momento magnético incluso cuando el campo magnético externo se hace nulo. Este efecto se debe a una fuerte interacción entre los momentos magnéticos de los átomos o electrones individuales de la sustancia magnética, que los hace alinearse de forma paralela entre sí. En circunstancias normales, los materiales ferromagnéticos están divididos en regiones llamadas dominios; en cada dominio, los momentos atómicos están alineados en paralelo. Los momentos de dominios diferentes no apuntan necesariamente en la misma dirección. Aunque un trozo de hierro normal puede no tener un momento magnético total, puede inducirse su magnetización colocándolo en un campo magnético, que alinea los momentos de todos los dominios. La energía empleada en la reorientación de los dominios desde el estado magnetizado hasta el estado desmagnetizado se manifiesta en un desfase de la respuesta al campo magnético aplicado, conocido como histéresis. Un material ferromagnético acaba perdiendo sus propiedades magnéticas cuando se calienta. Esta pérdida es completa por encima de la temperatura de Curie (la temperatura de Curie del hierro metálico es de 770 °C). Otros ordenamientos magnéticos La mejor comprensión de los orígenes atómicos de las propiedades magnéticas ha llevado al descubrimiento de otros tipos de ordenamiento magnético. Se conocen casos en los que los momentos magnéticos interactúan de tal forma que les resulta energéticamente favorable alinearse entre sí en sentido antiparalelo; estos materiales se llaman antiferromagnéticos. La temperatura por encima de la cual desaparece el orden antiferromagnético se denomina temperatura de Néel,. También se han hallado otras configuraciones más complejas de los momentos magnéticos atómicos. Las sustancias ferrimagnéticas tienen al menos dos clases distintas de momento magnético atómico, orientados entre sí de forma antiparalela. Como ambos momentos tienen magnitudes diferentes, persiste un momento magnético neto, al contrario que en un material antiferromagnético, donde todos los momentos magnéticos se anulan mutuamente. Curiosamente, la piedra imán es ferrimagnética, y no ferromagnética; en este mineral existen dos tipos de ion hierro,con momentos magnéticos diferentes. Se han encontrado disposiciones aún más complejas, en las que los momentos magnéticos están ordenados en espiral. Los estudios de estos ordenamientos han proporcionado mucha información sobre las interacciones entre los momentos magnéticos en sólidos. Aplicaciones El electroimán es la base del motor eléctrico y el transformador. El desarrollo de nuevos materiales magnéticos ha influido notablemente en la revolución de los ordenadores o computadoras. Es posible fabricar memorias de computadora utilizando dominios burbuja. Estos dominios son pequeñas regiones de magnetización, paralelas o antiparalelas a la magnetización global del material. Según que el sentido sea uno u otro, la burbuja indica un uno o un cero, por lo que actúa como dígito en el sistema binario empleado por los ordenadores. Los materiales magnéticos también son componentes importantes de las cintas y discos para almacenar datos. Los imanes grandes y potentes son cruciales en muchas tecnologías modernas. Los imanes superconductores se emplean en los aceleradores de partículas más potentes para mantener las partículas aceleradas en una trayectoria curva y enfocarlas. Ecuaciones de Maxwell Barbol 1 Forma de las ecuaciones Las Ecuaciones de Maxwell surgen de la teoría electromagnética y son el resumen esta teoría desde un punto de vista macroscópico. Esas ecuaciones tienen la forma más general: Y son, por tanto, un total de ocho ecuaciones escalares (tres para cada uno de los rotacionales de los campos eléctrico y magnético y una para las divergencias). 2 Parámetros presentes Los parámetros que intervienen en la formulación de las ecuaciones de Maxwell son los siguientes: · - Campo eléctrico existente en el espacio, creado por las cargas. · - Campo dieléctrico que resume los efectos eléctricos de la materia. · - Campo magnético existente en el espacio, creado por las corrientes. · - Campo magnético que resume los efectos magnéticos de la materia. · - Densidad de cargas existentes en el espacio. · - Densidad de corriente, mide el flujo de cargas por unidad de tiempo y superfície y es igual a . · - Permitividad eléctrica, característica de los materiales dieléctricos. · - Permeabilidad magnética, característica de los materiales paramagnéticos. 3 Significado físico Cuando Maxwell resumió la teoría electromagnética de su época en sus ecuaciones escribió las siguientes ecuaciones: que no es nada más que la ley de Gauss, que se reduce a la ley de Coulomb para cargas puntuales. que no tiene nombre y expresa la inexistencia de monopolos magnéticos en la naturaleza, es decir, esta es la explicación de que al romper un imán obtengamos dos imanes, y no dos medio-imanes. que es la expresión diferencial de la ley de Faraday. que es la ley de Ampère. Sin embargo encontró que esta última ecuación, juntamente con la ley de Faraday conducían a un resultado que violaba el principio de conservación de la carga, con lo cual decidió modificarla para que no violase este principio dándole la forma que ahora se conoce como ley de Ampère modificada. El término introducido recibe el nombre de corriente de desplazamiento. Sin embargo estas ocho ecuaciones no son suficientes para resumir todo el conocimiento de la electrodinámica clásica, nos hace falta una ecuación más, esa es la expresión de la fuerza de Lorentz: 4 Soluciones de las ecuaciones 4.1 Las ecuaciones en función de dos campos En ocasiones es conveniente expresar esas ecuaciones en función de sólo dos campos (uno eléctrico y otro magnético) relacionando los campos mediante las ecuaciones constitutivas (aquí se dan para medios isotrópicos homogéneos lineales): con lo que podemos transformar las ecuaciones de Maxwell a la forma siguiente: 4.2 Electrostática y magnetostática Cuando consideramos que los campos eléctrico y magnético no dependen del tiempo las ecuaciones de Maxwell se nos quedan en: De sacamos que el campo eléctrico se deriva del gradiente de un potencial, es decir, , como se desprende de la ley de Coulomb. De deducimos que el campo magnético es el rotacional de un potencial vector, es decir, , obteniendo el mismo resultado que a partir de la ley de Biot-Savart. 4.3 Ecuaciones de Maxwell en el vacío Cuando estamos en el vacío podemos suponer que no existen fuentes (es decir, que y ) y las ecuaciones de Maxwell nos quedan de la forma: En este caso se puede demostrar que tanto el campo como el campo toman la forma de una ecuación de ondas con una velocidad igual a la velocidad de la luz, de donde Maxwell extrajo la hipótesis de que la luz no eran más que ondas electromagnéticas propagándose en el vacío, hipótesis verificada esperimentalmente por Hertz algunos años después de la muerte de Maxwell. A partir de estas cuatro ecuaciones (dos de ellas vectoriales, con lo que en realidad son ocho ecuaciones escalares) se deduce la óptica electromagnética. 4.4 Caso general El caso más general se obtiene cuando se consideran campos dependientes del tiempo y con fuentes tanto escalares como vectoriales. En ese caso resulta muy práctico obtener una expresión que nos exprese el campo electromagnético como derivación de potenciales. De la ecuación podemos extraer, de la teoría elemental de campos, que . Si sustituímos esto en la ecuación del rotacional del campo eléctrico obtenemos: Con lo cual ya tenemos dos expresiones que nos dan la forma de los campos y en función de dos potenciales y . Sin embargo estos potenciales presentan cierta libertad a la hora de escogerlos lo que les hace poseer una importante característica: una simetría gauge. En efecto, si tomamos un campo escalar y redifinimos los potenciales como y obtenemos el mismo campo electromagnético (que al fin y al cabo es nuestro observable). 5 Teoremas de conservación De las ecuaciones de Maxwell surgen de modo natural teoremas de conservación de la carga, la energía, el momento lineal y el momento angular. La ecuación de conservación de la carga se expresa mediante: La ecuación de conservación de la energía toma la forma: donde es el vector de Poynting. La ecuación de conservación del momento lineal es: donde es el tensor de tensiones de Maxwell con componentes 6 Obtención de las ecuaciones de Maxwell Históricamente las ecuaciones de Maxwell se obtuvieron a partir de leyes empíricas que se fueron generalizando de un modo inteligente hasta llegar al conocimiento actual de la interacción electromagnética desde el punto de vista clásico. Sin embargo es posible obtener las ecuaciones de Maxwell desde un punto de vista más teórico: la teoría de la relatividad. Podemos definir el cuadrivector potencial (se podría demostrar que éste se transforma como un cuadrivector) como: y definir el tensor electromagnético como: recorriendo los índices , los índices 0 , , y y siendo . Con todo esto el tensor electromagnético queda de la forma Podemos definir también el cuadrivector corriente (aquí se usa el convenio según el cual los índices repetidos están sumados) de forma que las ecuaciones de Maxwell se recuperan mediante la ecuación . 7 Aplicabilidad Las ecuaciones de Maxwell constituyen un pilar básico de la teoría electromagnética ya que por ahora se demostraron como válidas siempre. Esto es debido a que la teoría electromagnética siempre fue, sin saberlo, una teoría relativista. De hecho, cuando se estudia desde el punto de vista cuántico estas ecuaciones sólo deben ser revisadas para tener en cuenta el carácter discreto de los fotones, pero cuando tenemos gran cantidad de ellos podemos aplicar los resultados contínuos sin ningún problema. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN MATERIALES INTRODUCCIÓN Las ondas electromagnéticas (OEM) están presentes en diferentes fenómenos que observamos a diario. Los rayos del Sol, las ondas de radio y TV, los rayos X y los rayos láser son ejemplos de ondas electromagnéticas. Las OEM tienen una presencia importante en nuestras vidas. Una onda electromagnética es la forma de propagación de la radiación electromagnética a través del espacio, y sus aspectos teóricos están relacionados con la solución en forma de onda que admiten las ecuaciones de Maxwell. A diferencia de las ondas mecánicas, las ondas electromagnéticas no necesitan de un medio material para propagarse James Clerk Maxwell fue el primero en hacer la observación teórica de que un campo electromagnético variable admite una solución cuya ecuación de movimiento se corresponde a la de una onda. Eso sugería que el campo electromagnético era susceptible de propagarse en forma de ondas, tanto en un medio material como en el vacío. Esta última posibilidad de propagación en el vacío suscitó ciertas dudas en su momento, ya que la idea de que una onda se propagara de forma auto sostenida en el vacío resultaba extraña. Además las ecuaciones de Maxwell sugerían que la velocidad de propagación en el vacío era constante, para todos los observadores. Eso llevo a interpretar la velocidad de propagación constante de las ondas electromagnéticas como la velocidad a la que se propagaban las ondas respecto a un supuesto éter inmóvil que sería un medio material muy sutil que invadiría todo el universo. Sin embargo, el famoso experimento de Michelson y Morley descartó la existencia del éter y quedó inexplicado hasta que Albert Einstein daría con la solución para la constancia de la velocidad de la luz en su teoría especial de la relatividad. Por otro lado los primeros experimentos para detectar físicamente las ondas electromagnéticas fueron llevados a cabo por Heinrich Hertz en 1888, gracias a que fue el primero en construir un aparato que emitía y detectaba ondas electromagnéticas VHF y UHF. PRINCIPIO DE LAS OEM Se tiene una espira conductora en un campo magnético B uniforme pero variable en el tiempo. Supongamos que la magnitud del campo aumenta, entonces, según las leyes de Faraday y Lenz, en la espira habrá una fem inducida y, ya que la espira es conductora, también habrá una corriente inducida en el sentido horario. E B a) b) La fem implica la existencia de un campo eléctrico E a lo largo del conductor. Además el sentido de la corriente es el sentido de las líneas de fuerza del campo eléctrico. Entonces las líneas de fuerza del campo E estarán dispuestas como se muestra en la figura b. Se comprueba que si la espira es no conductora, no hay corriente inducida pero sí hay fuerza electromotriz inducida y, por ende, campo eléctrico. Por tanto, la existencia del campo eléctrico no depende del tipo de material de la espira. Ya que la existencia del campo eléctrico no depende del material de la espira sino solamente del campo magnético, entonces si no hubiese espira, existiría igualmente el campo eléctrico E en dicho espacio. E B Ley de Faraday – Henry: “Un campo B variable en el tiempo genera un campo E” Ley de Ampere-Maxwell: E Campo E creciente B “Un campo E variable en el tiempo genera un campo B” CARACTERÍSTICAS DE UNA OEM · Una onda electromagnética es la propagación del campo electromagnético a través de un medio material o del vacío. · Las OEM son producidas por cargas aceleradas. · E es perpendicular a B.E B · La dirección de propagación está dada por el vector de onda k, que tiene la dirección del producto vectorial (E x B). El módulo del vector de onda se llama número de onda y es igual a: (donde es longitud de onda)E B k K = (E x B). · Son ondas transversales, puesto que en cada punto del espacio, E y B oscilan perpendicularmente a la dirección de propagación. Se propagan en el vacío con una velocidad: B donde o : permitividad eléctrica del vacío o : permeabilidad magnética del vacío · La frecuencia depende sólo de la fuente y no cambia al pasar la OEM de un medio a otro. En cambio la longitud de onda cambia cuando la OEM pasa de un medio a otro. El valor de la longitud de onda en un medio determinado se puede obtener sabiendo que la velocidad de propagación en ese medio se encuentra por la fórmula: n : índice de refracción del medio. Como para toda onda v = v , entonces: = = = = o : = entendiendo por 0 la longitud de onda en el vacío. · Las magnitudes de los campos eléctrico y magnético se relacionan por · Las OEM transportan energía. Densidad de energía (u): Es la energía por unidad de volumen Intensidad (I): Es la energía que atraviesa una superficie por unidad de área y por unidad de tiempo. I = cu = c o E 2 La función de onda para el caso particular de ondas armónicas es: E = E0sen (kx ωt ) B = B0sen (kx ωt ) Entonces la densidad de energía y la intensidad de la OEM en función del tiempo serían respectiva- mente: u = oEo2sen2 (kxt) I = coEo2sen2(kx - t) La densidad de energía y la intensidad son variables en el tiempo. Entonces podemos hablar del valor medio: Densidad media de energía : < u > = oEo2/2 Intensidad media : < I > = coEo2/2 ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO Es la gama de frecuencias o de longitudes de onda donde se puede generar OEM .Cada tipo de OEM es generada de diferente modo y tiene diferentes características A continuación se muestra el espectro en términos de la longitud de onda (). La correspondiente gama de frecuencias () se puede obtener, considerando que en el vacío = c/ , donde c es la velocidad de la luz. 1. Ondas de radio frecuencia (unidades de km > > 0,3 m) 2. Microondas ó UHF (0,3 m > > 103 m) 3. Espectro infrarrojo (103 m > > 7,8 107 m) 4. Espectro visible (luz) (7,8107 m > > 3,8 107 m) 5. Rayos ultravioletas (3,8107 m > > 61010 m) 6. Rayos X (109 m > > 61012 m) 7. Rayos Gamma (1010 m > > 1014 m) RADIACIÓN VISIBLE Es la radiación que puede ser detectada por el ojo humano. El ojo tiene una membrana llamada retina, que es sensible a esta radiación. Como ya se ha indicado arriba, su longitud de onda está en el intervalo 3,8107 m > > 7,8 107 m. Sin embargo los límites no son precisos, dependen generalmente de la forma en que se generan las ondas. Algunos experimentadores, haciendo una aproximación gruesa, señalan como límites 3800 y 7800 . Al incidir en el ojo producen diferentes sensaciones, que son los colores, los mismos que dependen de la longitud de onda (o de la frecuencia).COLOR ( nm ) Rojo 780 - 622 Naranja 622 - 597 Amarillo 597 - 577 Verde 577 - 492 Azul 492 - 466 Violeta 455 - 380 (nm) La sensibilidad del ojo humano depende de . REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE LA LUZ Son dos fenómenos que se producen cuando la luz pasa de un medio homogéneo transparente de índice de refracción n1 a otro medio homogéneo transparente de índice de refracción n2. RI - rayo incidente RR - rayo reflejado RT - rayo refractado N - normal I - ángulo de incidencia R - ángulo de reflexión r - ángulo de refracción n1 - índice de refracción del medio 1 (donde está el rayo incidente) n2 - índice de refracción del medio 2 (donde está el rayo refractado) Leyes de la Reflexión y Refracción de la luz: 1. RI, RR, Rr y N están en un mismo plano. 2. I = R 3. (Ley de Snell) Con la finalidad de recordar más fácilmente la Ley de Snell, se pueden cambiar los subíndices de los ángulos de incidencia y de refracción de la siguiente manera: 1 medio 1 n2 n1 medio 2 2 De este modo 1 es el ángulo del rayo que viaja en el medio 1 y 2 el del rayo que viaja en el medio 2. Entonces la Ley de Snell se escribiría: n1 sen1 = n2 sen2 Ejemplo. Un buzo mira al Sol bajo un ángulo de 30º con la vertical. ¿Bajo que ángulo con la vertical lo verá una persona que está fuera del agua?. [2 = 41,7º] REFLEXIÓN TOTAL Se produce cuando los rayos pasan de un medio determinado (de índice de refracción n1) a otro medio ópticamente menos denso (de índice de refracción n2). Que el segundo medio sea ópticamente menos denso significa que su índice de refracción es menor, o sea n2 < n1. A continuación una explicación del fenómeno, paso a paso: · Si, a partir de cierto valor, vamos aumentando paulatinamente el ángulo de incidencia, entonces el ángulo de refracción se irá acercando cada vez más a 90º. · Para un ángulo de incidencia determinado, que podemos llamar ángulo crítico (c), el ángulo de refracción será 90º y el rayo refractado irá en forma rasante a la superficie de separación de los dos medios. · Para un ángulo mayor que c, siguiendo la tendencia el ángulo de refracción debería ser mayor que 90º, lo que significaría que el rayo refractado viajaría en el medio inicial, donde está el rayo incidente, y por tanto ya no sería rayo refractado, sino reflejado. O sea ya no existe rayo refractado, en consecuencia el rayo incidente se refleja totalmente (REFLEXION TOTAL). Una aplicación de la reflexión total es el principio de funcionamiento de los endoscopios flexibles de fibras ópticas, que se utiliza en el diagnóstico médico. La luz que entra por uno de los extremos viaja a lo largo de la fibra, por su interior, sin salir, debido a las múltiples reflexiones totales que sufre. OTROS FENOMENOS QUE SUCEDEN CON LA LUZ INTERFERENCIA Es la superposición de dos o más ondas, que bajo determinadas condiciones produce en una pantalla un cuadro donde se intercalan regiones de máximos y mínimos de intensidad. Para esto la ondas deben ser monocromáticas y coherentes. Son monocromáticas cuando sólo corresponden a una longitud de onda y son coherentes cuando se originan en una misma fuente. La demostración más sencilla de la interferencia es la ideada por Tomas. Young. En este caso la luz monocromática de una fuente pasa por dos rendijas. Las ondas transmitidas por las dos rendijas llegan a una pantalla donde se superponen produciéndose regiones de máximos (franjas brillantes) y mínimos (franjas oscuras) de intensidad. DIFRACCIÓN Desviación o perturbación del haz por un obstáculo o por una rendija. Como consecuencia se forma un cuadro similar al de la interferencia, o sea de máximos y mínimos que se intercalan. POLARIZACIÓN Se dice que una onda está polarizada linealmente cuando el vector campo eléctrico E oscila siempre en una misma dirección Se puede polarizar una luz haciendo pasar el haz por un cristal llamado polarizador. La luz que pasa resultará polarizada. Otra forma de conseguir una luz polarizada es por reflexión (Ley de Brewster). LEY DE BREWSTER Si hacemos incidir la luz no polarizada en la superficie de separación de dos medios, entonces para un determinado ángulo de incidencia (P) la luz reflejada estará polarizada en la dirección paralela a la superficie reflejante. Este ángulo de incidencia P debe ser tal, que el refractado sea su complemento (P+r=90º). P + r = 90º DUALIDAD ONDA-PARTÍCULA 1. Antecedentes Existentes del Estudio de la luz Las primeras evidencias existentes acerca del estudio de la luz aparecen aproximadamente en los años 500 A.C; se consideraba a los cuerpos como los responsables de la emisión de la luz; esta luz era captada por los ojos y transmitida al alma para ser interpretada. Esta hipótesis fue desarrollada por la escuela atomista en oposición a la escuela pitagórica, quienes consideraban los ojos como emisores de una luz que palpaba los objetos. Pasaron trece siglos para que árabe Ajasen Basora (965-1039) propusiera que la luz provenía del Sol, rebotando de los objetos al ojo. Modelo Corpuscular de la luz: Introducida inicialmente por descartes y posteriormente desarrollada por newton; La teoría corpuscular suponía que la luz era una corriente de partículas que se movían a gran velocidad y en línea recta. Para la teoría corpuscular la reflexión no es más que el rebote de las partículas sobre un cuerpo. Newton proponía que la velocidad de la luz seria mayor en medios donde la densidad fuera más alta, lo cual fue refutado por los resultados experimentales lo que obligo a abandonar esta teoría. Modelo Ondulatorio de la luz: la teoría ondulatoria propuesta por Huygens en el año 1678 nos describe a la luz como una onda y nos dice que la intensidad de la luz se relaciona con la amplitud onda, mientras que los colores se relacionan con la longitud de onda. Según el principio de Huygens, cuando la luz se encuentra con un obstáculo, cada punto de éste se convierte en una nueva fuente de ondas que se propagan en todas direcciones, lo que explica sin problemas la difracción. Como en la época se consideraba que todas las ondas requerían de algún medio que las transportaran, para las ondas lumínicas se postula como medio a una materia insustancial e invisible a la cual se le llamó éter. Uno de los experimento que ayudo a consolidar la teoría ondulatoria de la luz fue el experimento de la doble rendija realizado por Young y Fresnel en el que se mostraban claramente patrones de interferencia en la luz, fenómeno muy bien conocido en las ondas. Ondas electromagnéticas: Maxwell en 1865 al analizar las ecuaciones que describen las Interacciones entre campos eléctricos y magnéticos se dio cuenta de que existía una Perturbación entre ellos; cada cambio del campo eléctrico engendra en su proximidad un campo magnético, e inversamente cada variación del campo magnético origina uno eléctrico que a su vez genera un nuevo campo magnético, ambos casos perturbaciones que se propagan en el espacio a una velocidad muy cercana a la luz. A este tipo de fenómenos se les llamo ondas electromagnética. Al poco tiempo se llego a la conclusión que la luz no era más que una onda electromagnética. Una consecuencia de considerar la luz como una onda electromagnética es que el éter Dejó de ser necesario. El éter había cumplido una función importante como soporte de la teoría ondulatoria, pero ese papel lo tenía ahora el concepto de campo. El fracasadamente exitoso experimento de Michelson y Morley, que pretendía detectar el Éter, así como el posterior desarrollo de la teoría de la relatividad descartaron por completo la existencia del éter propuesto por la teoría ondulatoria para trasportar las ondas de luz. 2. Dualidad Onda-partícula A pesar de los grandes avances que se lograron acerca de la naturaleza de la luz existían fenómenos q ni siquiera la teoría de las ondas electromagnéticas formulada por maxwell podía explicar; uno de ellos era el efecto fotoeléctrico que consiste en la emisión de electrones por un material cuando se le ilumina con radiación electromagnética. El efecto fotoeléctrico fue descubierto y descrito por Hertz en 1887. Pero la explicación teórica tuvo que esperar hasta 1905 a que a Albert Einstein mostrara que este fenómeno podía explicarse fácilmente si se suponía que la luz está formada por paquetes discretos a los que llamó fotones. La energía de un fotón dependería inversamente de la longitud de onda de la luz y se relacionaba de manera directa con la constante de planck. El efecto fotoeléctrico fue uno de los primeros efectos físicos que puso de manifiesto la dualidad onda-corpúsculo característica de la mecánica cuántica. La luz se comporta como ondas pudiendo producir interferencias y difracción como en el experimento de la doble rendija de Thomas Young, pero intercambia energía de forma discreta en paquetes de energía, fotones. No solo la luz tiene una naturaleza de tipo dual todas las ondas electromagnéticas pueden verse. Debido a la evidencia experimental que mostraba a la luz con propiedades de partícula y de onda se dejo de tratar de descartar alguna y se considero a ambas como necesarias para explicar los fenómenos relacionados con ondas electromagnéticas. EL EFECTO FOTOELÉCTRICO Los fotones son las partículas “fundamentales” de la luz, así como los electrones son las partículas fundamentales de la materia, esta analogía es la que sirvió para realizar el descubrimiento del carácter cuántico de la luz. Por esta misma analogía, años después, De Broglie desarrolló la teoría que formula que la materia también tiene un carácter ondulatorio. La carga eléctrica y la energía tienen una estructura granular (está formada por cuantos), al igual que la materia. Primeramente debemos tener en cuenta que todos los metales emiten electrones. Al exponer un metal a una luz homogénea, de una determinada longitud de onda, el metal emite electrones. Supongamos que lo exponemos a una luz homogénea de color violeta (de determinada longitud de onda), se ha comprobado mediante mediciones que el metal emite electrones los cuales llevan cierta velocidad y por lo tanto, energía cinética. Por el principio de conservación de la energía, sabemos que la energía que lleva el electrón debe venir de otra fuente de energía ¿De donde gana esta energía el electrón?. Esta fuente de energía es la luz. La luz incide en el metal provocando que este desprenda electrones. Ahora, ¿qué pasa si aumentamos la intensidad de la luz pero dejamos constante la longitud de onda?, ¿no es de esperarse que los electrones salgan con mayor energía?. Eso es lo que esperamos, pero esto no es lo que sucede, pues, sorprendentemente, todos los electrones salen con la misma velocidad y energía. ¿Y qué pasa si aumentamos la longitud de onda? Experimentalmente, se demuestra que al exponer el metal a una luz homogénea roja (mayor longitud de onda que el color violeta), la energía y velocidad con que salen los electrones es la mitad de la energía producida por el color violeta. La explicación al fenómeno fotoeléctrico la podemos hacer con la teoría cuántica de la luz. Imaginémonos que la luz está compuesta de una cantidad infinita de paquetes de energía llamados cuantos, al chocar la luz con el metal, cada cuanto choca con un electrón y lo arranca del metal. Si aumentamos la intensidad de la luz aumentan la cantidad de cuantos, pero no aumenta la energía con que desprenden al electrón, razón por la cual los electrones salen con la misma velocidad y energía. En cambio, si incrementamos la longitud de onda, los cuantos llegan con menor energía, y por lo tanto, los electrones se desprenden con menos velocidad A finales del siglo XIX una serie de experimentos pusieron de manifiesto que la superficie de un metal emite electrones cuando incide sobre él luz de frecuencia suficientemente elevada (generalmente luz ultravioleta) Este fenómeno se conoce como efecto fotoeléctrico. Se trata de otro fenómeno que, al igual que la radiación de cuerpo negro, también involucra la interacción entre la radiación y la materia. Pero esta vez se trata de absorción de radiación de metales Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894), científico alemán, fue el primero en observar el efecto fotoeléctrico, en 1887, mientras trabajaba en la generación de ondas de radio. Informó esta observación pero no se dedicó a explicarla. Al incidir luz ultravioleta sobre el cátodo metálico (fotocátodo) se detecta el paso de una corriente eléctrica. Se trata de electrones que abandonan el cátodo (colector) y se dirigen al ánodo a través del vacío dentro del tubo. Los electrodos se hallan conectados a una diferencia de potencial de sólo unos pocos voltios. · Estas observaciones no se pueden entender en el marco de la Teoría electromagnética de la luz. · La teoría electromagnética clásica considera que la radiación de mayor intensidad (o brillo, si es visible), que corresponde a ondas de mayor amplitud, transporta mayor energía. Esta energía se halla distribuida uniformemente a lo largo del frente de onda. La intensidad es igual a la energía que incide, cada unidad de tiempo, en una unidad de superficie. · Uno de los aspectos particulares del efecto fotoeléctrico que mayor confusión creó fue el que la distribución de la energía en los electrones emitidos es independiente de la intensidad de la luz. · Un haz de luz intenso da lugar a más fotoelectrones que uno débil, pero la energía media de los electrones es la misma. · Igualmente extraño es que la energía de los fotoelectrones dependa de la frecuencia de la luz empleada. · A frecuencias por debajo de cierta frecuencia crítica característica de cada metal, no se emite ningún fotoelectrón. · Por encima de este umbral de frecuencia, los fotoelectrones tienen un margen de energía que va de 0 a un determinado valor máximo. · Este valor máximo aumenta linealmente con la frecuencia donde es el umbral de frecuencia por debajo del cual no hay foto emisión. Teoría del efecto fotoeléctrico de Einstein Einstein nos dice que el comportamiento de la materia a velocidades cercanas a la velocidad de la luz es diferente, las leyes físicas no son las mismas, las distancias se acortan, los tiempos se dilatan y la materia tiende al infinito. Según la teoría de la relatividad: · Se predice que la mecánica de las partículas próximas a la velocidad de la luz es diferente en algo a la mecánica de Newton. · Los conceptos de espacio y tiempo están relacionados entre sí · Es imposible que una partícula tenga una velocidad más rápida que la velocidad de la luz en el vacío. Cuando Einstein recibió el Premio Nobel en 1921, fue su explicación sobre el efecto fotoeléctrico y no su artículo sobre la relatividad especial lo que se citaría. Quizá fuera debido en parte a la negativa de los científicos a aceptar la teoría especial después de tan poco tiempo. Aún así, su análisis del efecto fotoeléctrico en su artículo “Heurística de la generación y conversión de la luz” es de por sí un trabajo revolucionario. Al explicar un efecto que contradecía las creencias de su tiempo sobre la naturaleza de la luz, Einstein contribuyó a la visión global de hoy en día sobre el mundo subatómico, que no sólo el hombre de la calle, sino incluso de los propios físicos tienen problemas en imaginar. Para los contemporáneos de Einstein, el efecto fotoeléctrico era un fenómeno extraño, aunque común: las láminas de algunos metales. al ser expuestas a una luz de determinada longitud de onda, emitían electrones. La parte más extraña del efecto fotoeléctrico no era si la luz tenía suficiente energía para desprender electrones, sino cómo sucedía este fenómeno. Cuando los físicos comenzaron a medir la energía cinética de los electrones emitidos con distintas frecuencias e intensidades de la luz, se encontraron con que los resultados contradecían todas sus suposiciones. Predicción: al hacer la luz más brillante (es decir, al aumentar su intensidad) se emitirían la misma cantidad de electrones, pero cada electrón tendría mayor energía. Resultado: al hacer la luz más brillante, se emitían más electrones, pero cada electrón tenía la misma energía. Predicción: al cambiar el color de la luz (al cambiar su frecuencia) se emitirían más electrones, pero no habría cambios en la energía de cada electrón. Resultado: el cambiar el color de la luz no tenía efecto en el número de electrones emitidos, pero cada electrón tenía una energía mayor o menor, dependiendo del color. Lo que es más, se descubrió que cada tipo de lámina metálica tenía una “frecuencia umbral’. La luz con frecuencia menor de este umbral no tenía ningún efecto. La luz con frecuencia superior al umbral daba lugar a emisión de electrones. Una vez que se traspasaba esta frecuencia umbral, la energía de los electrones emitidos aumentaba según se aumentaba la frecuencia de la luz. En el caso del zinc, la luz blanca no tenía efecto sobre las láminas, porque su frecuencia estaba por debajo de la frecuencia umbral del zinc. La luz violeta, cuya frecuencia está por encima de este umbral, hacía que se desprendieran electrones; cuando se aumentaba todavía más la frecuencia (luz ultravioleta, por ejemplo) también se aumentaba la energía de los electrones. Para explicar este efecto paradójico, Einstein utilizó la teoría revolucionaria que había desarrollado en 1900 Max Planck (1858-1947), Planck se había dedicado al tema de la energía de radiación, intentando explicar la ausencia de lo que era conocido como la “catástrofe ultravioleta”. La catástrofe ultravioleta era otra vía muerta para los físicos, y tenía relación con un fenómeno denominado “radiación del cuerpo negro”. Cualquier objeto que absorbiera energía electromagnética (un grill de barbacoa, una máquina de café o unas chuletas) emite a su vez energía electromagnética, con distinto grado de eficacia. Un cuerpo negro es sencillamente un objeto idealizado que absorbiera toda la energía electromagnética incidente y que, también emitiera toda la energía absorbida. Aunque este objeto ideal no exista (la aplicación práctica más cercana sería una esfera negra con un pequeño agujero) el término agrupa a todos los absorbentes y radiadores imperfectos. Los estudios sobre las formas en que los objetos emitían la radiación del cuerpo negro revelaron un hecho inquietante: la realidad no estaba de acuerdo con la teoría. Para la teoría, al calentar un cuerpo negro se llegaría a los que se denominaba la “catástrofe ultravioleta”. Para ilustrar el tema, imaginemos que hemos rellenado de carbón la barbacoa y la hemos encendido. El carbón empieza a radiar energía electromagnética, tanto en forma de luz infrarroja de baja frecuencia (lo que llamamos “calor”). y también luz visible de alta frecuencia (lo que denominamos “fuego”). Hay que tener cuidado con no confundir la ausencia de radiación visible (llamas), con la ausencia de radiación, y no intentar encender de nuevo los carbones. Después de colocar un cafetera en el grill, colocamos unas brochetas sobre el carbón. También absorben y emiten radiación electromagnética. Por ahora, todo va perfectamente. Desgraciadamente, la teoría predecía que la energía radiada tenía que estar igualmente dividida entre todas las frecuencias electromagnéticas (es decir, desde la infrarroja de baja frecuencia hasta el rango de las ultravioletas). En otras palabras, al encender los carbones no sólo produciríamos calor y bonitas llamas, sino también radiación ultravioleta y también rayos X y rayos gamma. Según se calentara, no solamente se tostarían las chuletas, sino también nosotros y todo lo que nos rodeara. Esta era la “catástrofe ultravioleta”. Y ya que no se producía, ¿cuál era la explicación? La revolucionaría explicación aportada por Planck fue la de que la energía no se radiaba como un continuo a través del espectro electromagnético, a cualquier frecuencia posible. Solamente se podía emitir en paquetes discretos, discontinuos, que Planck denominó “cuantos”, y frecuencias diferentes requerían también un número diferente de “paquetes” de energía. La emisión de luz de baja frecuencia requiere pocos paquetes de baja energía, mientras que las ondas de luz en el extremo ultravioleta del espectro requieren un número enorme de paquetes de alta energía. Esta era la explicación de por qué sentarse cerca de la barbacoa no es un suicidio. Planck se dio cuenta de que había descubierto algo importante, pero nunca soñó con que sus cuantos representaran cualquier tipo de realidad física. Sin embargo, Einstein utilizó esta teoría para explicar el efecto fotoeléctrico. Donde Planck había afirmado que la radiación se distribuía en paquetes discretos, Einstein fue aún más lejos, afirmando que esos paquetes discretos representaban partículas de luz. Suponiendo que la luz no era sólo una onda sino un partícula con una cantidad discreta de energía, el efecto fotoeléctrico podía explicarse fácilmente: Predicción: el hacer la luz más brillante sólo significaba que más fotones de una energía dada incidían en la placa metálica. Esto quiere decir que hay más colisiones entre fotones y electrones. y que se desprenden más electrones, cada uno con la misma energía. Resultados: coinciden con la predicción. Predicción: al cambiar el color de la luz se cambia la energía de cada fotón, pero no el número de fotones que inciden en la placa metálica. Como resultado, hay el mismo número de colisiones, es decir, se desprende el mismo número de electrones, pero esos electrones tienen distinta energía. Resultados: coinciden con la predicción. Los fotones también explican el umbral de energía. La energía de cada fotón es una función de su frecuencia, es decir, del color. Si la frecuencia es demasiado baja, el fotón no tiene suficiente energía para desprender un electrón de la placa. Esto explica por qué no se produce una corriente eléctrica cada vez que las luces de un automóvil inciden sobre una señal de “Stop”: simplemente, los fotones no tienen energía suficiente. A pesar de lo ingeniosa y matemáticamente correcta teoría de Einstein sobre el efecto fotoeléctrico, ésta no fue muy bien recibida por la comunidad científica. No había ninguna duda de que la luz fuera una onda, ya que había sido demostrado muchas veces. Pero, de pronto, parecía que la única explicación del efecto fotoeléctrico era considerar la luz como un haz de partículas individuales. Este efecto, se trata de otro fenómeno que, al igual que la radiación de cuerpo negro, también involucra la interacción entre la radiación y la materia. Pero esta vez se trata de absorción de radiación de metales Planck había llegado a la conclusión de que el traspaso de energía entre la materia y la radiación en el cuerpo negro ocurría a través de paquetes de energía. Sin embargo, no quiso admitir que la energía radiante una vez desprendida de la materia también viajaba en forma corpuscular. Es decir que siguió considerando a la radiación que se propaga como una onda clásica. En 1905, Albert Einstein fue un paso más allá al explicar completamente las características del efecto fotoeléctrico. Para ello retomó la idea del cuanto de energía de Planck, postulando que: La radiación electromagnética está compuesta por paquetes de energía o fotones y que dicha energía depende de la frecuencia de la luz:. Cada fotón transporta una energía E = h. v donde v es la frecuencia de la radiación y h es la constante de Planck. Cuanto de Energía = Energía máxima del electrón + Función trabajo del metal Cuando un fotón incide sobre el metal, transfiere toda su energía a alguno de los electrones. Si esta energía es suficiente para romper la ligadura del electrón con el metal, entonces el electrón se desprende. Si el fotón transporta más energía de la necesaria, este exceso se transforma en energía cinética del electrón: Expresado en fórmula matemática es: Ecinética = h . v - Eextracción donde Eextracción , es la energía necesaria para vencer la unión con el metal. Esta teoría explica perfectamente los hechos observados 1. Si la frecuencia de la radiación es baja (como en la luz visible), los fotones no acarrean la suficiente energía como para arrancar electrones, aunque se aumente la intensidad de la luz o el tiempo durante el cual incide. Para cada tipo de material existe una frecuencia mínima por debajo de la cual no se produce el efecto fotoeléctrico. 2. Si la frecuencia de la radiación es suficiente para que se produzca el efecto fotoeléctrico, un crecimiento de la intensidad hace que sea mayor el número de electrones arrancados (por ende será mayor la corriente), pero no afecta la velocidad de los electrones. Aumentar la intensidad de la luz equivale a incrementar el número de fotones, pero sin aumentar la energía que transporta cada uno. 3. Según la teoría clásica, habría un tiempo de retardo entre la llegada de la radiación y la emisión del primer electrón. Ya que la energía se distribuye uniformemente sobre el frente de la onda incidente, ésta tardaría al menos algunos cientos de segundos en transferir la energía necesaria. La teoría de Einstein, en cambio, predice que: Una radiación de frecuencia adecuada, aunque de intensidad sumamente baja, produce emisión de electrones en forma instantánea. 4. El trabajo "W" o energía de extracción es necesaria para superar tanto los campos de atracción de los átomos de la superficie, como las pérdidas de energía cinética, debidas a las colisiones internas del electrón. Kmax es la energía cinética de los electrones más débilmente ligados al núcleo. "Wo" es la función trabajo definida como la energía mínima necesaria para que el electrón pase a través de la superficie del metal y escape de las fuerzas de atracción que normalmente fijan el electrón al metal. Se dice que un fotón de frecuencia de umbral, tiene justamente la energía suficiente para extraer los foto electrones, por lo tanto a la frecuencia, Kmax cero, se denomina la frecuencia de corte. Los fotones con energía insuficiente (frecuencia inferior a la umbral), no consiguen arrancar electrones, reflejándose o transformándose en otras formas de energía. No generan corriente eléctrica La frecuencia de corte, es la frecuencia por debajo de la cual no ocurre el efecto fotoeléctrico. Durante el proceso fotoeléctrico un fotón es completamente absorbido por un electrón del foto cátodo 5. Se entiende como potencial de frenamiento "Vo". El potencial para el cual la corriente fotoeléctrica se hace cero. "Kmax" es la energía cinética de los fotoelectrones más rápidos, débilmente ligados al núcleo. Pasaron diez años de experimentación hasta que la nueva teoría fue corroborada y aceptada. Se determinó el valor de h a partir de experiencias de efecto fotoeléctrico y se encontró que concordaba perfectamente con el valor hallado por Planck a partir del espectro de radiación de cuerpo negro Desde ese momento los físicos aceptaron que, si bien la luz se propaga como si fuera una onda, al interactuar con la materia (en los procesos de absorción y emisión) se comporta como un haz de partículas. Esta sorprendente conducta es lo que se ha llamado la naturaleza dual de la luz. Esto muestra que las ideas surgidas del mundo macroscópico no son aplicables al inimaginable mundo de lo diminuto. Ejercicio 1 La función de trabajo del Potasio es de 2.2 eV. Cuando sobre la Superficie del potasio incide luz ultravioleta de 3500 ángstrom, ¿cuál es la energía máxima en electrón-volts de los fotoelectrones? Observaciones · La idea de que la luz se propaga como una serie de paquetes de energía esta en franca contradicción con la teoría ondulatoria de la luz, sin embargo ésta última, nos proporciona el único medio de explicar los fenómenos ópticos, es una de las teorías mas firmemente establecidas. · Qué teoría vamos a tomar por cierta? · Las teorías cuántica y ondulatoria de la luz se complementan. · No tenemos otra alternativa que considerar a la luz como algo que se manifiesta en ocasiones como una corriente de fotones discretos, o bien como un tren de ondas el resto del tiempo. · La verdadera naturaleza de la luz ya no es algo que se puede conceptualizar en términos de la experiencia cotidiana y debemos considerar las dos teorías con todas sus contradicciones, como las mas aproximadas que podemos tener para una descripción de la luz. · La teoría cuántica ha servido para demostrar los fenómenos que no se pudieron explicar con la teoría ondulatoria de la luz, pero hay fenómenos que no pueden ser explicados con la teoría cuántica, y además hay ciertos fenómenos que pueden ser explicados por ambas teorías. Esto nos lleva a una duda: ¿cuál de las dos teorías es la correcta? ¿o son correctas ambas teorías? ¿Cómo pueden asociarse las dos teorías? Hipótesis de De Broglie Tradicionalmente, los electrones se habían considerado como partículas, y por tanto un haz de electrones sería algo claramente distinto de una onda. Louis de Broglie propuso (1923) eliminar esta distinción: un haz de partículas y una onda son esencialmente el mismo fenómeno; simplemente, dependiendo del experimento que realicemos, observaremos un haz de partículas u observaremos una onda. Así, el electrón posee una longitud de onda (que es un parámetro totalmente característico de las ondas). Esta idea, que en un principio era una simple propuesta teórica, fue confirmada experimentalmente en 1927, cuando se consiguió que haces de electrones experimentasen un fenómeno muy característico de las ondas: la distorsión de la onda al atravesar una rendija muy estrecha (difracción). La energía correspondiente a un fotón viene dada por la ecuación: E = h f = h c/l Teniendo en cuenta la ecuación de Einstein: E = m c2 Al fotón, considerado como partícula, le correspondería un momento lineal que va a estar relacionado con su longitud de onda y se puede deducir de las expresiones anteriores: h c/l = m c2 l = h / mc De Broglie, asignó a las partículas una onda asociada cuya longitud de onda viene dada por la siguiente expresión: l = h / mv Ecuación de Schrödinger La ecuación de Schrödinger, desarrollada por el físico austríaco Erwin Schrödinger en 1925, describe la evolución temporal de una partícula masiva no relativista. Es de importancia central en la teoría de la mecánica cuántica, donde representa para las partículas microscópicas un papel análogo a la segunda ley de Newton en la mecánica clásica. Las partículas microscópicas incluyen a las partículas elementales, tales como electrones, así como sistemas de partículas, tales como núcleos atómicos. Formulación moderna de la ecuación En mecánica cuántica, el estado en el instante t de un sistema se describe por un elemento del espacio complejo de Hilbert — usando la notación bra-ket de Paul Dirac. representa las probabilidades de resultados de todas las medidas posibles de un sistema. La evolución temporal de se describe por la ecuación de Schrödinger : donde · : es la unidad imaginaria ; · : es la constante de Planck normalizada (h/2π) ; · : es el hamiltoniano, dependiente del tiempo en general, el observable corresponde a la energía total del sistema ; · : es el observable posición ; · : es el observable impulso. · : es la energía potencial Como con la fuerza en la segunda ley de Newton, su forma exacta no da la ecuación de Schrödinger, y ha de ser determinada independientemente, a partir de las propiedades físicas del sistema cuántico. Debe notarse que, contrariamente a las ecuaciones de Maxwell que describen la evolución de las ondas electromagnéticas, la ecuación de Schrödinger es no relativista. Nótese también que esta ecuación no se demuestra: es un postulado. Se supone correcta después de que Davisson y Germer confirmaron experimentalmente la hipótesis de Louis de Broglie. Para más información del papel de los operadores en mecánica cuántica, véase la formulación matemática de la mecánica cuántica. Limitaciones de la ecuación[editar] · La ecuación de Schrödinger es una ecuación no relativista que sólo puede describir partículas cuyo momento lineal sea pequeño comparado con la energía en reposo dividida por la velocidad de la luz. · Además, la ecuación de Schrödinger no incorpora el espín de las partículas adecuadamente. Pauli generalizó ligeramente la ecuación de Schrödinger al introducir en ella términos que predecían correctamente el efecto del espín; la ecuación resultante es la ecuación de Pauli. · Más tarde, Dirac, proporcionó la ahora llamada ecuación de Dirac que no sólo incorporaba el espín para fermiones de espín 1/2, sino que introducía los efectos relativistas. Resolución de la ecuación La ecuación de Schrödinger, al ser una ecuación vectorial, se puede reescribir de manera equivalente en una base particular del espacio de estados. Si se elige por ejemplo la base correspondiente a la representación de posición definida por: Entonces la función de onda satisface la ecuación siguiente: Donde es el laplaciano. De esta forma se ve que la ecuación de Schrödinger es una ecuación en derivadas parciales en la que intervienen operadores lineales, lo cual permite escribir la solución genérica como suma de soluciones particulares. La ecuación es ,en la gran mayoría de los casos, demasiado complicada para admitir una solución analítica de forma que su resolución se hace de manera aproximada y/o numérica. Búsqueda de los estados propios Los operadores que aparecen en la ecuación de Schrödinger son lineales; de lo que se deduce que toda combinación lineal de soluciones es solución de la ecuación. Esto lleva a favorecer la búsqueda de soluciones que tengan un gran interés teórico y práctico: al saber los estados que son propios del operador hamiltoniano. Estos estados, denominados estados estacionarios, son las soluciones de la ecuación de estados y valores propios, denominada habitualmente ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. El estado propio está asociado al valor propio , escalar real que corresponde con la energía de la partícula en dicho estado. Los valores de la energía pueden ser discretos como las soluciones ligadas a un pozo de potencial (por ejemplo nivel del átomo de hidrógeno); resultando una cuantización de los niveles de energía. Estas pueden corresponder también a un espectro continuo como las soluciones libres de un pozo de potencial (por ejemplo un electrón que tenga la suficiente energía para alejarse al infinito del núcleo de átomo de hidrógeno). A menudo se obtiene que numerosos estados corresponden a un mismo valor de la energía: hablamos entonces de niveles de energía degenerados. De manera general, la determinación de cada uno de los estados propios del hamiltoniano, , y de la energía asociada, da el estado estacionario correspondiente, solución de la ecuación de Schrödinger : Una solución de la ecuación de Schrödinger puede entonces escribirse generalmente como una combinación lineal de tales estados: Según los postulados de la mecánica cuántica, · el escalar complejo es la amplitud del estado sobre el estado ; · el real es la probabilidad (en el caso de un espectro discreto) de encontrar la energía mientras se hace una medida de la energía sobre el sistema. Rareza de una solución analítica exacta[editar] La búsqueda de estados propios del hamiltoniano es en general compleja. Incluso en el caso resoluble analíticamente del átomo de hidrógeno solo es rigurosamente resoluble de forma simple si se descarta el acoplamiento con el campo electromagnético que permite el paso a los estados excitados, soluciones de la ecuación de Schrödinger del átomo, desde el nivel fundamental. Algunos modelos simples, aunque no del todo conformes con la realidad, pueden ser resueltos analíticamente y son muy útiles. Estas soluciones sirven para entender mejor la naturaleza de los fenómenos cuánticos, y en ocasiones son una aproximación razonable al comportamiento de sistemas más complejos (en mecánica estadística se aproximan las vibraciones moleculares como osciladores armónicos). Ejemplos de modelos: · La partícula libre (potencial nulo) ; · La partícula en una caja · Un haz de partícula incidiendo sobre una barrera de potencial · La partícula en un anillo · La partícula en un potencial de simetría esférica · El oscilador armónico cuántico (potencial cuadrático) · El átomo de hidrógeno (potencial de simetría esférica) · La partícula en una red monodimensional (potencial periódico) En los otros casos, hay que usar técnicas de aproximación : · La teoría perturbacional da expresiones analíticas en la forma de desarrollos asintóticos alrededor de un problema sin-perturbaciones que sea resoluble exactamente. · El análisis numérico permite explorar casos inaccesibles a la teoría de perturbaciones. · El método variacional · Las soluciones de Hartree-Fock · Los métodos cuánticos de Montecarlo Límite clásico de la ecuación de Schrödinger[editar] Inicialmente la ecuación de Schrödinger se consideró simplemente como la ecuación de movimiento de un campo material que se propagaba en forma de onda. De hecho puede verse que en el límite clásico, cuando la ecuación de Schrödinger se reduce a la ecuación clásica de movimiento en términos de acción o ecuación de Hamilton-Jacobi. Para ver esto, trabajaremos con la función de onda típica que satisfaga la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo que tenga la forma: Donde es la fase de la onda si se substituye esta solución en la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, tras reordenar los términos convenientemente, se llega a que: (4) Si se toma el límite el segundo miembro desaparece y tenemos que la fase de la función de onda coincide con la magnitud de acción y esta magnitud puede tomarse como real. Igualmente puesto que la magnitud de acción es proporcional a la masa de una partícula puede verse que para partículas de masa grande el segundo miembro es mucho más pequeño que el primero: (5) Y por tanto para partículas macroscópicas, dada la pequeñez de la constante de Planck, los efectos cuánticos resumidos en el segundo miembro se anulan, lo cual explica porqué los efectos cuánticos sólo son apreciables a escalas subatómicas. De acuerdo con el principio de correspondencia las partículas clásicas de gran masa, comparada con la escala cuántica, son partículas localizadas describibles mediante unpaquete de ondas altamente localizado que se desplaza por el espacio. La longitud de onda de las ondas que conformaban dicho paquete material están en torno a la longitud de De Broglie para la partícula, y la velocidad de grupo del paquete coincide con la velocidad del movimiento de la partícula lo que reconcilia la naturaleza corpuscular observada en ciertos experimentos con la naturaleza ondulatoria observada para partículas subatómicas. Formulación matricial[editar] Existe una formulación matricial de la mecánica cuántica, en dicha formulación existe una ecuación cuya forma es esencialmente la misma que la de las ecuaciones clásicas del movimiento, dicha ecuación es (6) De esta ecuación es posible deducir la segunda ley de Newton, resolviendo para el operador . En efecto se tiene (7) evaluando el conmutador se deduce (8) No es difícil demostrar que y, por tanto, se obtiene: (9) donde se ha usado . Este resultado es análogo al de la mecánica clásica, para una ecuación parecida que involucra los corchetes de Poisson, más aún, esta ecuación es justamente la formulación Newtoniana de la mecánica. Momento angular El momento angular de una partícula de masa m con respecto a un punto O es el producto vectorial del vector posición de la partícula respecto al punto O, por su momento lineal o cantidad de movimiento : Como p = m . v , siendo v la velocidad con que se mueve la partícula de masa m, el momento angular de la partícula se puede escribir como: = x m . es una magnitud vectorial de: Módulo: L = m v r senα, siendo α el ángulo que forman y . Siempre que y sean paralelos, el momento angular es cero Dirección: Perpendicular al plano que forman y Sentido: viene dado por la regla del sacacorchos. Las unidades del momento angular en el SI son Kg. m2 /s Variación del momento angular: Tan importante como valor de una magnitud física es su variación con el tiempo. la derivada del vector posición respecto al tiempo es la velocidad y el producto vectorial de esta por la la cantidad de movimiento es cero ya que son vectores paralelos. Se ha definido el momento de una fuerza, con respecto al mismo punto O, como el producto vectorial de y . Este resultado es fundamental para el estudio de las rotaciones; su significado físico es que el momento de la fuerza tiende a cambiar la dirección del movimiento. Teorema de conservación del momento angular Si el momento de la fuerza neta que actúa sobre la partícula es nulo, el momento angular se conserva. Si = 0 → = constante. Esto ocurre cuando la fuerza neta es cero, o cuando la fuerza es paralela a como ocurre en el caso de las fuerzas centrales. Fuerza central La fuerza de atracción entre un planeta y el Sol es central y conservativa. La fuerza de repulsión entre una partícula alfa y un núcleo es también central y conservativa. En este apartado estudiaremos la primera, dejando para más adelante la segunda, en el estudio del fenómeno de la dispersión, que tanta importancia tuvo en el descubrimiento de la estructura atómica. Una fuerza es central, cuando el vector posición r es paralelo al vector fuerza F. El momento de la fuerza M=rF=0. De la relación entre le momento de las fuerzas que actúa sobre la partícula y el momento angular, (Teorema del momento angular) se concluye que El momento angular permanece constante en módulo, dirección y sentido. El momento angular L de una partícula es el vector resultado del producto vectorial L=rmv, cuya dirección es perpendicular al plano determinado por el vector posición r y el vector velocidad v. Como el vector L permanece constante en dirección, r y v estarán en un plano perpendicular a la dirección fija de L.De aquí, se concluye que la trayectoria del móvil estará contenida en un plano perpendicular al vector momento angular L Cuando los vectores r y v son paralelos, es decir, la dirección del movimiento pasa por el origen, el momento angular L=0. La partícula describe un movimiento rectilíneo, cuya aceleración no es constante.