Topografia Veiga

FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Engenharia Cartográfica e de Agrimensura Universidade Federal do Paraná Luis Augusto Koenig Veiga Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti Pedro Luis Faggion 2012 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion i www.cartografica.ufpr.br Este material é destinado aos alunos das disciplinas de Topografia I e Topografia II do Curso de Engenharia Cartográfica e de Agrimensura e demais cursos da Universidade Federal do Paraná. A sua distribuição é permitida, sendo vedada sua comercialização. A reprodução de partes do material pode ser feita com a devida atribuição dos créditos aos autores. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion ii Sumário Sumário ....................................................................................................i Lista de Figuras .................................................................................... vii Lista de Tabelas................................................................................... xiii 1 - INTRODUÇÃO À TOPOGRAFIA...................................................1 1.1 -Introdução ......................................................................................1 1.2 - Sistemas de Coordenadas................................................................4 1.2.1 - Sistemas de Coordenadas Cartesianas..........................................4 1.2.2 - Sistemas de Coordenadas Esféricas .............................................6 1.3 - Superfícies de Referência................................................................7 1.3.1 - Modelo Esférico...........................................................................8 1.3.2 - Modelo Elipsoidal ........................................................................8 1.3.3 - Modelo Geoidal..........................................................................10 1.3.4 - ModeloPlano ............................................................................11 1.3.4.1 - Efeito da Curvatura na Distância e Altimetria ........................14 1.4 - Classificação dos Erros de Observação.........................................17 1.4.1 - Erros Grosseiros.........................................................................18 1.4.2 - Erros Sistemáticos......................................................................18 1.4.3 - Erros Acidentais ou Aleatórios ..................................................19 1.4.3.1 - Peculiaridade dos Erros Acidentais.........................................19 1.4.4 - Precisão e Acurácia ....................................................................20 2 - REVISÃO MATEMÁTICA ............................................................21 2.1 - Unidades de Medida......................................................................21 2.1.1 - Medida de Comprimento (metro)...............................................21 2.1.2 - Medida Angular .........................................................................22 2.1.2.1 - Radiano ...................................................................................22 2.1.2.2 - Unidade Sexagesimal ..............................................................22 2.1.2.3 - Unidade Decimal.....................................................................22 2.1.2.4 - Exercícios................................................................................23 2.2 - Revisão de Trigonometria Plana ...................................................25 2.2.1 - Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo ...................25 2.2.2 - Teorema de Pitágoras.................................................................27 2.3 - Exercícios......................................................................................27 2.4 - Relações Métricas com o Triângulo Retângulo.............................30 2.5 - Exercício .......................................................................................31 2.6 - Triângulo Qualquer .......................................................................32 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion iii 2.6.1 - Lei dos Senos .............................................................................32 2.6.2 - Lei dos Cossenos........................................................................32 2.7 - Exercício .......................................................................................33 3 - ESCALAS........................................................................................34 3.1 - Principais Escalas e suas Aplicações.............................................36 3.2 - Exercícios......................................................................................37 3.3 - Erro de Graficismo (eg) ................................................................39 3.4 - A Escala Gráfica ...........................................................................40 4 - NORMALIZAÇÃO.........................................................................42 4.1 - Introdução .....................................................................................42 4.2 - NBR 13133 - Execução de Levantamentos Topográficos.............44 4.3 - NBR 14166 - Rede de Referência Cadastral Municipal................45 5 - MEDIÇÃO DE DISTÂNCIAS........................................................47 5.1 - Medida Direta de Distâncias .........................................................47 5.1.1 - Trena de Fibra de Vidro .............................................................47 5.1.2 - Piquetes ......................................................................................48 5.1.3 - Estacas Testemunhas..................................................................48 5.1.4 - Balizas........................................................................................49 5.1.5 - Nível de Cantoneira....................................................................50 5.1.6 - Cuidados na Medida Direta de Distâncias .................................50 5.1.7 - Métodos de Medida com Trena..................................................51 5.1.7.1 - Lance Único ............................................................................51 5.1.7.2 - Vários Lances - Pontos Visíveis..............................................52 5.1.8 - Erros na Medida Direta de Distâncias........................................53 5.2 - Medidas Indiretas de Distâncias....................................................54 5.2.1 - Taqueometria ou Estadimetria ...................................................55 5.2.1.1 - Formulário Utilizado...............................................................56 5.2.2 - Medição Eletrônica de Distâncias ..............................................58 5.2.2.1 - Correções Ambientais das Distâncias Obtidas com MED ......66 5.2.2.1.1 - Exemplos..............................................................................68 6 - MEDIÇÃO DE DIREÇÕES ............................................................71 6.1 - Ângulos Horizontais e Verticais ...................................................71 6.2 - Medida Eletrônica de Direções .....................................................75 6.2.1 - Introdução ..................................................................................75 6.3 - Teodolito.......................................................................................75 6.3.1 - Sistema de Eixos ........................................................................76 6.3.2 - Círculos Graduados (Limbos): ...................................................77 6.3.3 - Luneta de Visada........................................................................77 6.3.4 - Níveis .........................................................................................78 6.4 - Princípio da Leitura Eletrônica de Direções..................................78 6.4.1 - Sensor Eletrônico de Inclinação.................................................80 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion iv 6.5 - Estações Totais..............................................................................81 6.6 - Métodos de Medida Angular.........................................................82 6.6.1 - Aparelho não Orientado .............................................................83 6.6.2 - Aparelho Orientado pelo Norte Verdadeiro ou Geográfico .......83 6.6.3 - Aparelho Orientado pela Bússola...............................................83 6.6.4 - Aparelho Orientado na Ré..........................................................84 6.6.5 - Aparelho Orientado na Vante.....................................................84 6.6.6 - Deflexão.....................................................................................84 6.7 - Técnicas de Medição de Direções Horizontais .............................85 6.7.1 - Simples.......................................................................................85 6.7.2 - Pares Conjugados (PD e PI) .......................................................85 6.7.3 - Medidas com Reiterações...........................................................87 6.7.4 - Medidas com Repetição .............................................................89 6.8 - Procedimento de Medida em Campo Utilizando um Teodolito....93 6.8.1 - Instalação do Equipamento ........................................................93 6.8.1.1 - Instalando o tripé e retirando o instrumento da caixa..............94 6.8.1.2 - Centragem e nivelamento........................................................98 6.8.2 - Focalização da Luneta..............................................................103 6.8.3 - Leitura da Direção....................................................................105 6.9 - Ângulos Verticais........................................................................105 6.9.1 - Exercícios.................................................................................107 7 - ORIENTAÇÃO..............................................................................109 7.1 - Norte Magnético e Geográfico....................................................109 7.2 - Azimute e Rumo .........................................................................110 7.2.1 - Azimute....................................................................................110 7.2.2 - Rumo........................................................................................110 7.2.3 - Conversão entre Rumo e Azimute ...........................................111 7.2.4 - Exercícios.................................................................................114 7.3 - Declinação Magnética.................................................................117 7.3.1-TransformaçãodeNorteMagnéticoemGeográficoevice-versa .............................................................................................................118 7.4 - Bússolas ......................................................................................119 7.4.1 - Inversão dos Pontos “E” e “W” da bússola..............................120 7.4.2 - Utilização da Bússola...............................................................120 7.4.3 - Exercício ..................................................................................121 7.5 - Métodos de Determinação do Norte Verdadeiro.........................121 8 - LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO - PLANIMETRIA............122 8.1 - Introdução ...................................................................................122 8.2 - Cálculo de Coordenadas na Planimetria......................................124 8.3 - Cálculo de Azimutes a Partir de Coordenadas Planimétricas de Dois Pontos..................................................................................................126 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion v 8.3.1 - Exercícios.................................................................................127 9 - TÉCNICAS DE LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO .............132 9.1 - Levantamento e Cálculo de Poligonais Fechadas .......................137 9.1.1 - Levantamento da Poligonal ......................................................138 9.1.2 - Cálculo de uma Poligonal Fechada ..........................................140 9.1.2.1 - Verificação do Erro de Fechamento Angular ........................142 9.1.2.2 - Cálculo dos Azimutes............................................................143 9.1.2.2.1 - Exercício ............................................................................144 9.1.2.3 - Cálculo das Coordenadas Parciais.........................................145 9.1.2.4 - Verificação do Erro de Fechamento Linear...........................146 9.1.2.4.1 - Exercício ............................................................................147 9.1.2.5 - Correção do Erro Linear........................................................148 9.1.2.6 - Resumo de Cálculo da Poligonal Fechada ............................149 9.1.2.7 - Exercício ...............................................................................149 9.2 - Poligonal Enquadrada .................................................................155 9.2.1 - Exercício ..................................................................................157 9.3 - Irradiação ....................................................................................164 9.3.1 - Exercício ..................................................................................166 9.4 - Intersecção a Vante .....................................................................172 9.4.1 - Exercício ..................................................................................173 10 - CÁLCULO DE ÁREAS ..............................................................176 10.1 - Processo Gráfico .......................................................................176 10.2 - Processo Computacional ...........................................................176 10.3 - Processo Mecânico....................................................................177 10.4 - Processos Analíticos..................................................................178 10.5 - Exercício ...................................................................................182 11 - MEMORIAL DESCRITIVO.......................................................184 12 - NIVELAMENTO.........................................................................187 12.1 - Introdução .................................................................................187 12.2 - Levantamento Topográfico Altimétrico....................................192 12.3 - Nivelamento Geométrico ..........................................................196 12.3.1 - Níveis .....................................................................................196 12.3.2 - Miras ......................................................................................197 12.3.3 - Métodos de Nivelamento Geométrico....................................200 12.3.3.1 - Visadas Iguais .....................................................................201 12.3.3.1.1 - Procedimento de Campo ..................................................206 12.3.3.1.2 - Exercício ..........................................................................209 12.3.3.1.3-CuidadosaSeremTomadosnaExecuçãodoNivelamento .............................................................................................................209 12.3.3.1.4 - Cálculo do Erro Cometido eda Tolerância Altimétrica ..215 12.3.3.1.5 - Exercício ..........................................................................216 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion vi 12.3.3.2 - Método das Visadas Extremas ............................................219 12.3.3.2.1 - Exercício ..........................................................................224 12.3.3.2.2 - Exercício ..........................................................................225 12.3.3.2.3 - Exercício ..........................................................................226 12.3.3.3 - Método das Visadas Eqüidistantes ......................................227 12.3.3.4 - Método das Visadas Recíprocas..........................................229 12.4 - Nivelamento Trigonométrico ....................................................231 12.4.1 - Nivelamento Trigonométrico para Lances Curtos .................231 12.4.2 - Nivelamento Trigonométrico para Lances Longos ................232 12.4.3 - Exercício ................................................................................233 12.4.4 - Exercício ................................................................................233 12.4.5 - Exercício ................................................................................234 12.4.6 - Exercício ................................................................................234 13-INTRODUÇÃOAODESENHOTOPOGRÁFICOASSISTIDO POR COMPUTADOR........................................................................235 13.1 - Introdução .................................................................................235 13.2 - Desenho Técnico.......................................................................240 13.3 - Desenho Topográfico e NBR13133 ..........................................243 14-TERMOSTÉCNICOSUTILIZADOSEMINSTRUMENTAÇÃO TOPOGRÁFICA E GEODÉSICA......................................................246 15 - REPRESENTAÇÃO DO RELEVO.............................................251 15.1 - Introdução .................................................................................251 15.2 - Métodos para a Interpolação e Traçado das Curvas de Nível ...258 15.2.1 - Método Gráfico......................................................................259 15.2.2 - Método Numérico ..................................................................261 15.2.3 - Exercício ................................................................................266 15.2.4 - Exercício ................................................................................267 16 - BIBLIOGRAFIA .........................................................................268 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion vii Lista de Figuras Figura1.1-Desenhorepresentandooresultadodeumlevantamento planialtimétrico........................................................................................3 Figura 1.2 - Sistema de coordenadas cartesianas.....................................5 Figura1.3-Representaçãodepontosnosistemadecoordenadas cartesianas. ..............................................................................................5 Figura 1.4 - Sistema de coordenadas cartesianas, dextrógiro e levógiro. 6 Figura 1.5 - Sistema de coordenadas esféricas. .......................................7 Figura 1.6 - Terra esférica - coordenadas astronômicas. .........................8 Figura 1.7 - Elipsóide de revolução. ........................................................9 Figura 1.8 - Coordenadas elipsóidicas...................................................10 Figura 1.9 - Superfície física da Terra, elipsóide e geóide. ...................10 Figura 1.10 - Vertical. ...........................................................................11 Figura 1.11 - Plano em Topografia........................................................13 Figura 1.12 - Eixos definidos por uma direção notável. ........................14 Figura 1.13 - Efeito da curvatura para a distância. ................................14 Figura 1.14 - Efeito da curvatura na altimetria. .....................................16 Figura 1.15 - Precisão e acurácia...........................................................20 Figura 2.1 - Representação de um arco de ângulo. ................................22 Figura 2.2 - Triângulo retângulo............................................................26 Figura 3.1 - Quadrado 2u x 2u...............................................................36 Figura 3.2 - Símbolos utilizados para representar feições. ....................40 Figura 4.1 - Logotipo ANBT e ISO.......................................................43 Figura 5.1 - Modelos de trenas. .............................................................47 Figura5.2-Representaçãodaimplantaçãodeumpiqueteeestaca testemunha.............................................................................................49 Figura 5.3 - Exemplos de balizas...........................................................49 Figura 5.4 - Nível de cantoneira. ...........................................................50 Figura 5.5 - Medida de distância em lance único. .................................51 Figura 5.6 - Exemplo de medida direta de distância com trena. ............52 Figura 5.7 - Medida de distância em vários lances. ...............................53 Figura 5.8 - Falta de verticalidade da baliza..........................................54 Figura 5.9 - Exemplo de um teodolito. ..................................................55 Figura 5.10 - Mira estadimétrica. ..........................................................56 Figura 5.11 - Determinação da distância utilizando estadimetria. .........57 Figura 5.12 - Princípio de medida de um MED.....................................59 Figura 5.13 - Representação da função trigonométrica envolvida em um sistema de coordenadas polares e retangulares......................................61 Figura5.14-Doissinaissenoidaiscomamesmaamplitudeefases diferentes. ..............................................................................................62 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion viii Figura 5.15 - Modelo de prisma de reflexão total..................................63 Figura 5.16 - Alvo de reflexão através de superfície espelhada. ...........64 Figura 5.17 - Alvo de reflexão difusa. ...................................................65 Figura 5.18 - Ábaco utilizado para a obtenção da correção ambiental. .68 Figura 5.19 - Ábaco utilizado para a obtenção da correção ambiental. .69 Figura 6.1 - Leitura de direções e cálculo do ângulo. ............................71 Figura 6.2 - Ângulo horizontal. .............................................................72 Figura 6.3 - Pontaria para leitura de direções horizontais. ....................72 Figura 6.4 - Ângulo vertical. .................................................................73 Figura 6.5 - Ângulo zenital....................................................................73 Figura 6.6 - Ângulos horizontal e zenital. .............................................74 Figura 6.7 - Indicação da precisão de um teodolito. ..............................76 Figura 6.8 - Teodolito............................................................................77 Figura 6.9 - Modelo de limbo incremental. ...........................................79 Figura 6.10 - Sistema de codificação absoluto. .....................................79 Figura 6.11 - Esquema do Sensor de Inclinação....................................80 Figura 6.12 - Detalhe do sensor de inclinação.......................................81 Figura 6.13 - Estação total.....................................................................82 Figura 6.14 - Ângulo α. .........................................................................82 Figura 6.15 - Aparelho não orientado....................................................83 Figura 6.16 - Aparelho orientado na estação ré. ....................................84 Figura 6.17 - Aparelho orientado na estação vante. ..............................84 Figura 6.18 - Deflexão...........................................................................85 Figura 6.19 - Leitura de pares conjugados.............................................86 Figura 6.20 - Leituras utilizando o método de reiteração - posição I. ...87 Figura 6.21 - Leituras utilizando o método de reiteração - posição II. ..88 Figura 6.22 - Leituras utilizando o método de reiteração - posição III..88 Figura 6.23 - Medida com repetição......................................................90 Figura 6.24 - Direções medidas com o método de repetição. ................91 Figura 6.25 - Direções medidas com o método de repetição. ................92 Figura 6.26 - Exemplificando o método de repetição............................93 Figura 6.27 - Marco de concreto. ..........................................................94 Figura 6.28 - Chapa metálica com a indicação do ponto topográfico....95 Figura 6.29 - Disposição dos equipamentos enquanto não utilizados. ..95 Figura 6.30 - Movimento de extensão das pernas do tripé. ...................95 Figura 6.31 - Cravando o tripé no solo. .................................................96 Figura 6.32 - Cuidados a serem seguidos na instalação do tripé. ..........96 Figura 6.33 - Retirando o instrumento da caixa. ...................................97 Figura 6.34 - Fixando o equipamento ao tripé.......................................97 Figura 6.35 - Eixo principal do equipamento passando pelo ponto.......98 Figura 6.36 - Níveis esférico, tubular e digital. .....................................99 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion ix Figura 6.37 - Posicionando o prumo sobre o ponto. ..............................99 Figura6.38-Ajustandooníveldebolhautilizandoosmovimentosde extensão do tripé..................................................................................100 Figura 6.39 - Calagem da bolha do nível esférico. ..............................100 Figura 6.40 - Nível alinhado a dois calantes........................................100 Figura6.41-Movimentaçãodosdoiscalantesaomesmotempo,em sentidos opostos...................................................................................101 Figura 6.42 - Alinhamento do nível ortogonalmente à linha inicial. ...101 Figura 6.43 - Centragem da bolha atuando no parafuso ortogonal a linha inicial. ..................................................................................................102 Figura 6.44 - Retículos focalizados. ....................................................104 Figura 6.46 - Ângulo zenital em PD. ...................................................105 Figura 6.47 - Ângulo zenital em PI. ....................................................106 Figura 7.1 - Campo magnético ao redor da Terra................................109 Figura 7.2 - Representação do azimute. ..............................................110 Figura 7.3 - Representação do rumo....................................................111 Figura 7.4 - Representação do rumo em função do azimute................112 Figura 7.5 - Representação da declinação magnética. .........................117 Figura7.10-Transformaçãodeazimuteerumomagnéticopara verdadeiro e vice-versa. .......................................................................118 Figura 7.11 - Teodolito TC100 com bússola. ......................................119 Figura 8.1 - Diferentes formas de materialização de pontos. ..............122 Figura 8.2 - Monografia de ponto topográfico. ...................................123 Figura 8.3 - Representação da projeção da distância D em X (∆X)e em Y (∆Y). ................................................................................................124 Figura 8.5 - Quadrantes do Azimute. ..................................................127 Figura 8.6 - Representação do azimute da direção 1-2........................128 Figura 8.7 - Representação do azimute da direção 2-3........................129 Figura 8.8 - Representação do azimute da direção 3-4........................130 Figura 8.9 - Representação do azimute da direção 4-5........................131 Figura 9.1 - Levantamento de uma poligonal. .....................................132 Figura 9.2 - Poligonal fechada.............................................................133 Figura 9.3 - Poligonal enquadrada.......................................................133 Figura 9.4 - Poligonal aberta. ..............................................................134 Figura9.5-Doispontoscomcoordenadasconhecidasevinculadasao SGB comuns a poligonal. ....................................................................134 Figura9.6-Pontoscomcoordenadasconhecidasentrepontosda poligonal. .............................................................................................135 Figura 9.7 - Um vértice de apoio pertencente a poligonal e observação a um segundo vértice..............................................................................135 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion x Figura 9.8 - Norte Geográfico e um ponto com coordenadas conhecidas. .............................................................................................................136 Figura9.9-Transportedecoordenadasutilizandoumapoligonalde apoio. ...................................................................................................136 Figura 9.10 - Problema de Pothénot. ...................................................137 Figura 9.11 - Eixo Y orientado segundo um alinhamento de meio fio.137 Figura 9.12 - Ângulos externos e internos de uma poligonal fechada. 138 Figura 9.13 - Ângulos de deflexão de uma poligonal fechada. ...........139 Figura 9.14 - Estação ré e vante. .........................................................139 Figura 9.15 - Medida do ângulo horizontal. ........................................140 Figura 9.16 - Cálculo das coordenadas................................................141 Figura 9.17 - Pontaria em baliza próxima ao equipamento e longe.....143 Figura 9.18 - Cálculo do azimute. .......................................................144 Figura 9.19 - Erro planimétrico. ..........................................................146 Figura 9.20 - Decomposição do erro planimétrico. .............................146 Figura 9.21 - Croqui de uma Poligonal Fechada. ................................150 Figura 9.22 - Desenho da poligonal enquadrada. ................................155 Figura 9.23 - Croqui de uma poligonal enquadrada. ...........................157 Figura 9.24 - Método de irradiação. ....................................................164 Figura 9.25 - Levantamento por irradiação. ........................................164 Figura9.26-Exemplodecadernetadecampodelevantamentode detalhes. ...............................................................................................165 Figura 9.27 - Croqui. ...........................................................................166 Figura 9.28 - Levantamento de detalhes pelo método de Irradiação. ..167 Figura 9.29 - Intersecçãoa vante. .......................................................173 Figura 9.30 - Exercício Método de Intersecção à vante.......................174 Figura10.1-Cálculodeáreapormétodosgráficos:quadriculadoe figuras geométricas equivalentes.........................................................176 Figura 10.2 - Planímetro digital...........................................................177 Figura 10.3 - Cálculo de áreas. ............................................................178 Figura 10.4 - Cálculo da área de um trapézio. .....................................179 Figura 10.5 - Trapézio 2´2 1 1´. ..........................................................179 Figura 10.6 - Forma de multiplicação dos valores...............................182 Figura 12.1 - Cota, altitude e desnível. ................................................187 Figura 12.2 - Rede altimétrica brasileira. ............................................190 Figura12.3 - Referência de nível - RN 2053-D. ................................191 Figura12.4-Amostragemdepontosaltimétricoserepresentaçãodo relevo. ..................................................................................................195 Figura 12.5 - Eixos do nível. ...............................................................197 Figura 12.6 - Diferentes modelos de miras..........................................198 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion xi Figura 12.7 - Convenção para a indicação do metro para a mira utilizada. .............................................................................................................198 Figura 12.8 - Mira e leituras. ...............................................................199 Figura 12.9 - Nivelamento Geométrico - método das visadas iguais. .201 Figura 12.10 - Nível a igual distância entre os pontos.........................202 Figura 12.11 - Nível em duas alturas diferentes. .................................202 Figura 12.12 - Erro de colimação e curvatura terrestre. ......................203 Figura 12.13 - Lance. ..........................................................................203 Figura 12.14 - Seção............................................................................204 Figura 12.15 - Rede, circuito e linha de nivelamento. .........................205 Figura 12.16 - Nivelamento simples e composto. ...............................206 Figura 12.17 - Leituras efetuadas e distância calculada. .....................207 Figura 12.18 - Caderneta modelo G4 de nivelamento geométrico. .....208 Figura 12.19 - Preenchimento da caderneta. .......................................208 Figura12.20-Rotacionandoamiraduranteonivelamentocomposto. .............................................................................................................210 Figura 13.1 - Croqui e desenho final. ..................................................235 Figura 13.2 - Exemplos de convenções topográficas. .........................237 Figura 13.3 - Diferentes formas de indicação do Norte.......................238 Figura 13.4 - Diferentes representações para uma mesma área. ..........238 Figura 13.5 - Divisão do desenho em camadas. ..................................239 Figura 13.6 - Camadas auxiliares. .......................................................240 Figura 13.7 - Folhas na horizontal e vertical. ......................................240 Figura 13.8 - Espaços para desenho, texto e legenda. .........................241 Figura 13.9 - Exemplo de legenda.......................................................242 Figura 13.10 - Exemplo de quadriculado. ...........................................244 Figura 15.1 - Diferentes formas de representação do relevo. ..............251 Figura 15.2 - Pontos cotados. ..............................................................252 Figura 15.3 - Interseção de um plano vertical com o relevo................252 Figura 15.4 - Perfil. .............................................................................253 Figura 15.4 - Perfil do Terreno. ...........................................................253 Figura 15.5 - Interseção do plano horizontal com a superfície física. .253 Figura 15.6 - Elevaçãoe depressão. ...................................................255 Figura 15.7 - Curvas mestras e secundárias.........................................255 Figura 15.8 - Curvas de Nível“lisas”. ................................................256 Figura 15.9- Erro na representação das curvas: cruzamento. ............256 Figura 15.10- Erro na representação das curvas: encontro de curvas.256 Figura 15.11 - Representação de relevos com diferentes inclinações..257 Figura 15.12 - Representação tridimensional do relevo e curvas de nível. .............................................................................................................257 Figura 15.13 - Representação a partir dos pontos obtidos em campo..258 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion xii Figura 15.14 - Interpolação da cota de um ponto. ...............................258 Figura 15.15 - Diagrama de linhas paralelas. ......................................259 Figura15.16 -Interpolação dascurvasempregandodiagramadelinhas paralelas...............................................................................................260 Figura15.17-Traçadodeumaretarcomcomprimentoigualao desnível entre os pontos A e B. ...........................................................260 Figura 15.18 - Retas paralelas ao segmento AB´.................................261 Figura 15.19 - Exemplo de interpolação numérica..............................262 Figura 15.20 - Resultado da interpolação numérica para o segmento AB. .............................................................................................................263 Figura15.21-Interpolaçãoedesenhodascurvasemumacélulada malha quadrada....................................................................................263 Figura15.22-Ambigüidadenarepresentaçãoemumacéluladamalha quadrada. .............................................................................................264 Figura 15.23 - Malha triangular...........................................................265 Figura 15.24 - Triangulação. ...............................................................265 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion xiii Lista de Tabelas Tabela 1.1 - Efeito da curvatura para diferentes distâncias. ..................16 Tabela 1.2 - Efeito da curvatura na altimetria. ......................................17 Tabela 2.1 - Prefixos. ............................................................................21 Tabela 3.1 - Principais escalas e suas aplicações...................................37 Tabela 3.2 - Representação da precisão da escala. ................................39 Tabela 5.1- Precisão das trenas............................................................51 Tabela 6.1 - Classificação dos Teodolitos. ............................................75 Tabela 6.2 - Exemplo de leituras utilizando reiteração. ........................89 Tabela 9.1-Coordenadas dos pontos de partida e de chegada..........158 Tabela 12.1 - Classificação dos níveis.................................................197 Tabela 13.1 - Formatos da série A.......................................................241 Tabela 15.1 - Escala e eqüidistância....................................................254 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 1 1 - INTRODUÇÃO À TOPOGRAFIA 1.1 -Introdução Ohomemsemprenecessitouconheceromeioemquevive,por questõesdesobrevivência,orientação,segurança,guerras,navegação, construção,etc.Noprincípioarepresentaçãodoespaçobaseava-sena observação e descrição do meio. Cabe salientar que alguns historiadores dizemqueohomemjáfaziamapasantesmesmodedesenvolvera escrita. Com o tempo surgiram técnicas e equipamentos de medição que facilitaramaobtençãodedadosparaposteriorrepresentação.A Topografiafoiumadasferramentasutilizadaspararealizarestas medições. Etimologicamente a palavra TOPOS, em grego, significa lugar eGRAPHENdescrição,assim,deumaformabastantesimples, Topografiasignificadescriçãodolugar.Aseguirsãoapresentadas algumas de suas definições: “A Topografia tem por objetivo o estudo dos instrumentos emétodosutilizadosparaobterarepresentaçãográficade umaporçãodoterrenosobreumasuperfícieplana” DOUBEK (1989). “ATopografiatemporfinalidadedeterminarocontorno, dimensãoeposiçãorelativadeumaporçãolimitadada superfícieterrestre,semlevaremcontaacurvatura resultante da esfericidade terrestre” ESPARTEL (1987). Oobjetivoprincipaléefetuarolevantamento(executar mediçõesdeângulos,distânciasedesníveis)quepermitarepresentar umaporçãodasuperfícieterrestreemumaescalaadequada.Às operaçõesefetuadasemcampo,comoobjetivodecoletardadosparaa posterior representação, denomina-se de levantamento topográfico. ATopografiapodeserentendidacomopartedaGeodésia,ciênciaque tem por objetivo determinar a forma e dimensões da Terra. NaTopografiatrabalha-secommedidas(lineareseangulares) realizadas sobre a superfície da Terra e a partir destas medidas calculam- -secoordenadas,áreas,volumes,etc.Alémdisto,estasgrandezas FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 2 poderão ser representadas de forma gráfica através de mapas ou plantas. Paratantoénecessárioumsólidoconhecimentosobreinstrumentação, técnicasdemedição,métodosdecálculoeestimativadeprecisão (KAHMEN; FAIG, 1988). DeacordocomBRINKER;WOLF(1977),otrabalhoprático da Topografia pode ser dividido em cinco etapas: 1)Tomadadedecisão:ondeserelacionamosmétodosde levantamento,equipamentos,posiçõesoupontosaseremlevantados, etc. 2)Trabalhodecampoouaquisiçãodedados:efetuam-seas medições e gravação de dados. 3)Cálculosouprocessamento:elaboram-seoscálculos baseadosnasmedidasobtidasparaadeterminaçãodecoordenadas, volumes, etc. 4) Mapeamento ou representação: produz-se o mapa ou carta a partir dos dados medidos e calculados. 5) Locação. DeacordocomaNBR13133(ABNT,1991,p.3),Norma Brasileira para execução de Levantamento Topográfico, o levantamento topográfico é definido por: “Conjuntodemétodoseprocessosque,atravésde mediçõesdeânguloshorizontaiseverticais,de distânciashorizontais,verticaiseinclinadas,com instrumentaladequadoàexatidãopretendida, primordialmente, implanta e materializa pontos de apoio no terreno, determinando suas coordenadas topográficas. Aestespontosserelacionamospontosdedetalhe visandoasuaexatarepresentaçãoplanimétricanuma escala pré-determinada e à sua representação altimétrica porintermédiodecurvasdenível,comeqüidistância também pré-determinada e/ou pontos cotados.” ClassicamenteaTopografiaédivididaemTopometriae Topologia. ATopologiatemporobjetivooestudodasformasexteriores do terreno e das leis que regem o seu modelado. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 3 ATopometriaestudaosprocessosclássicosdemediçãode distâncias,ângulosedesníveis,cujoobjetivoéadeterminaçãode posiçõesrelativasdepontos.Podeserdivididaemplanimetriae altimetria. Tradicionalmenteolevantamentotopográficopodeserdivido emduaspartes:olevantamentoplanimétrico,ondeseprocura determinaraposiçãoplanimétricadospontos(coordenadasXeY)eo levantamento altimétrico, onde o objetivo é determinar a cota ou altitude deumponto(coordenadaZ).Arealizaçãosimultâneadosdois levantamentosdáorigemaochamadolevantamentoplanialtimétrico.A figura1.1ilustraoresultadodeumlevantamentoplanialtimétricode uma área. Figura 1.1 - Desenho representando o resultado de um levantamento planialtimétrico. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 4 ATopografiaéabaseparadiversostrabalhosdeEngenharia, ondeoconhecimentodasformasedimensõesdoterrenoéimportante. Alguns exemplos de aplicação: •Projetos e execução de estradas; •Grandesobrasdeengenharia,comopontes,viadutos,túneis, portos, etc.; •Locação de obras; •Trabalhos de terraplenagem; •Monitoramento de estruturas; •Planejamento urbano; •Irrigação e drenagem; •Reflorestamentos; •Etc. EmdiversostrabalhosaTopografiaestápresentenaetapade planejamentoeprojeto,fornecendoinformaçõessobreoterreno;na execuçãoeacompanhamentodaobra;realizandolocaçõesefazendo verificações métricas; e finalmente no monitoramento da obra após a sua execução, para determinar, por exemplo, deslocamentos de estruturas. 1.2 - Sistemas de Coordenadas Um dos principais objetivos da Topografia é a determinação de coordenadas relativas de pontos. Para tanto, é necessário que estas sejam expressasemumsistemadecoordenadas.Sãoutilizadosbasicamente doistiposdesistemasparadefiniçãounívocadaposiçãotridimensional depontos:sistemasdecoordenadascartesianasesistemasde coordenadas esféricas. 1.2.1 - Sistemas de Coordenadas Cartesianas Quandoseposicionaumpontonadamaisestásefazendodo queatribuindocoordenadasaomesmo.Estascoordenadasporsuavez deverãoestarreferenciadasaumsistemadecoordenadas.Existem diversossistemasdecoordenadas,algunsamplamenteempregadosem GeometriaeTrigonometria,porexemplo.Estessistemasnormalmente representam um ponto no espaço bidimensional ou tridimensional. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 5 Noespaçobidimensional,umsistemabastanteutilizadoéo sistemadecoordenadasretangularesoucartesianas.Esteéumsistema de eixos ortogonais no plano, constituído de duas retas orientadas X e Y, perpendicularesentresi(figura1.2).Aorigemdestesistemaéo cruzamento dos eixos X e Y. Figura 1.2 - Sistema de coordenadas cartesianas. Umpontoédefinidonestesistemaatravésdeumacoordenada denominadaabscissa(coordenadaX)eoutradenominadaordenada (coordenada Y). Uma dasnotações P(x, y) ou P= (x,y) é utilizada para denominar um ponto P com abscissa x e ordenada y. Nafigura1.3apresenta-seumsistemadecoordenadas,cujas coordenadasda origemsãoO(0,0).Neleestãorepresentadosospontos A(10,10), B(15,25) e C(20,-15). Figura 1.3 - Representação de pontos no sistema de coordenadas cartesianas. X Y Origem 30 20 10 -10 102030 -20 B A C X Y O FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 6 Um sistema de coordenadas cartesianas retangulares no espaço tridimensionalécaracterizadoporumconjuntodetrêsretas(X,Y,Z) denominadasdeeixoscoordenados,mutuamenteperpendiculares,as quaisseinterceptamemumúnicoponto,denominadodeorigem.A posiçãodeumpontonestesistemadecoordenadasédefinidapelas coordenadascartesianasretangulares(x,y,z)deacordocomafigura 1.4. Figura 1.4 - Sistema de coordenadas cartesianas, dextrógiro e levógiro. Conformeaposiçãodadireçãopositivadoseixos,umsistema de coordenadas cartesianas pode ser dextrógiro ou levógiro(GEMAEL, 1981,nãopaginado).Umsistemadextrógiroéaqueleondeum observador situado no semi-eixo OZ vê o semi-eixo OX coincidir com o semi-eixoOYatravésdeumgirode90°nosentidoanti-horário.Um sistema levógiro é aquele em que o semi-eixo OX coincide com o semi- eixo OY através de um giro de 90° no sentido horário (figura 1.4). 1.2.2 - Sistemas de Coordenadas Esféricas Umpontodoespaçotridimensionalpodeserdeterminadode forma unívoca, conforme a figura 1.5, pelo afastamento r entre a origem dosistemaeopontoRconsiderado,peloânguloβformadoentreo segmentoOReaprojeçãoortogonaldestesobreoplanoxyepelo ângulo α que a projeção do segmento OR sobre o plano xy forma com o Z X Y O P(x,y,z) y x z Z Y X O P(x,y,z) x y z FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 7 semi-eixoOX.AscoordenadasesféricasdeumpontoRsãodadaspor (r, α, β). A figura 1.5 ilustra este sistema de coordenadas. Supõe-seosistemadecoordenadasesféricassobrepostoaum sistemadecoordenadascartesianas(TORGE,1980,p.16).Assim,o pontoR,determinadopeloternocartesiano(x,y,z)podeserexpresso pelascoordenadasesféricas(r,α,β),sendoorelacionamentoentreos dois sistemas obtido pelo vetor posicional: ( ( ( ¸ ( ¸ = ( ( ( ¸ ( ¸ β α β α β sen sen cos cos cos r z y x (1.1) Figura 1.5 - Sistema de coordenadas esféricas. 1.3 - Superfícies de Referência Devidoàsirregularidadesdasuperfícieterrestre,utilizam-se modelos para a sua representação, mais simples, regulares e geométricos equemaisseaproximamdaformarealparaefetuaroscálculos.Cada um destes modelos tem a sua aplicação, e quanto mais complexa a figura empregadaparaarepresentaçãodaTerra,maiscomplexosserãoos cálculos sobre esta superfície. O R (r, α, β) r β α Z Y X FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 8 1.3.1 - Modelo Esférico EmdiversasaplicaçõesaTerrapodeserconsideradauma esfera,comonocasodaAstronomia.Umpontopodeserlocalizado sobreestaesferaatravésdesualatitudeelongitude.Tratando-sede Astronomia, estas coordenadas são denominadas de latitude e longitude astronômicas. A figura 1.6 ilustra estas coordenadas. -LatitudeAstronômica(Φ):éoarcodemeridianocontado desde o equador até o ponto considerado, sendo, por convenção, positiva no hemisfério Norte e negativa no hemisfério Sul. -LongitudeAstronômica(Λ):éoarcodeequadorcontado desdeomeridianodeorigem(Greenwich)atéomeridianodoponto considerado.Porconvençãoalongitudevariade0ºa+180ºnosentido leste de Greenwich e de 0º a -180º por oeste de Greenwich. Figura 1.6 - Terra esférica - coordenadas astronômicas. 1.3.2 - Modelo Elipsoidal AGeodésiaadotacomomodelooelipsóidederevolução (figura1.7).Oelipsóidederevoluçãooubiaxialéafigurageométrica geradapelarotaçãodeumasemi-elipse(geratriz)emtornodeumde seuseixos(eixoderevolução);seesteeixoforomenortem-seum elipsóideachatado.Maisde70diferenteselipsóidesderevoluçãosão utilizados em trabalhos de Geodésia no mundo. PS Λ Φ G P Q’Q PN FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 9 Umelipsóidederevoluçãoficadefinidopormeiodedois parâmetros,ossemi-eixosa(maior)eb(menor).EmGeodésiaé tradicionalconsiderarcomoparâmetrososemi-eixomaioraeo achatamento f, expresso pela equação (1.2). a b a f − =(1.2) a: semi-eixo maior da elipse b: semi-eixo menor da elipse Figura 1.7 - Elipsóide de revolução. Ascoordenadasgeodésicaselipsóidicasdeumpontosobreo elipsóide ficam assim definidas (figura 1.8): LatitudeGeodésica(φ):ânguloqueanormalformacomsua projeçãonoplanodoequador,sendopositivaparaoNorteenegativa para o Sul. LongitudeGeodésica(λ):ângulodiedroformadopelo meridianogeodésicodeGreenwich(origem)edopontoP,sendo positivo para Leste e negativo para Oeste. Anormaléumaretaortogonalaoelipsóidequepassapelo ponto P na superfície física. a b a a b FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 10 Figura 1.8 - Coordenadas elipsóidicas. No Brasil, o atual Sistema Geodésico Brasileiro (SIRGAS2000 -SIstemadeReferênciaGeocêntricoparaasAméricaS)adotao elipsóidederevoluçãoGRS80(GlobalReferenceSystem1980),cujos semi-eixo maior e achatamento são: a = 6.378.137,000 m f = 1/298,257222101 1.3.3 - Modelo Geoidal O modelo geoidal é o que mais se aproxima da forma da Terra. Édefinidoteoricamentecomosendoonívelmédiodosmaresem repouso,prolongadoatravésdoscontinentes.Nãoéumasuperfície regulareédedifíciltratamentomatemático.Afigura1.9representade forma esquemática a superfície física da Terra, o elipsóide e o geóide. Figura 1.9 - Superfície física da Terra, elipsóide e geóide. Q λ φ Gr P P’ h normal h = altitude geométrica (PP’) Superfície Física Geóide Elipsóide FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 11 Ogeóideéumasuperfícieequipotencialdocampoda gravidadeousuperfíciedenível,utilizadocomoreferênciaparaas altitudes ortométricas (distância contada sobre a vertical, do geóide até a superfície física) no ponto considerado. As linhas deforça ou linhasverticais (em inglês“plumb line”) sãoperpendicularesaessassuperfíciesequipotenciaisematerializadas, porexemplo,pelofiodeprumodeumteodolitonivelado,noponto considerado.Aretatangenteàlinhadeforçaemumponto(eminglês “directionofplumbline”)simbolizaadireçãodovetorgravidadeneste ponto,etambéméchamadadevertical.Afigura1.10ilustraeste conceito. Figura 1.10 - Vertical. 1.3.4 - ModeloPlano ConsideraaporçãodaTerraemestudocomsendoplana.Éa simplificaçãoutilizadapelaTopografia.Estaaproximaçãoéválida dentro de certos limites e facilita bastante os cálculos topográficos. Face aoserrosdecorrentesdestassimplificações,esteplanotemsuas dimensõeslimitadas.Tem-seadotadocomolimiteparaesteplanona práticaadimensãode20a30km.ANRB13133(Execuçãode Levantamento Topográfico) admite um plano com até aproximadamente 80 km. Linha de força ou linha vertical P g: direção do vetor gravidade do ponto P (vertical) Superfície equipotencial ou superfície de nível S Superfície equipotencial ou superfície de nível S´ P´ FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 12 SegundoaNBR13133,ascaracterísticasdosistemade projeção utilizado em Topografia são: a)As projetantes são ortogonais à superfície de projeção, significando estar o centro de projeção localizado no infinito. b)Asuperfíciedeprojeçãoéumplanonormalaverticaldolugarno pontodasuperfícieterrestreconsideradocomoorigemdo levantamento,sendoseureferencialaltimétricooreferidoDatum vertical brasileiro. c)As deformaçõesmáximas aproximadas inerentes à desconsideração da curvatura terrestre e à refração atmosférica são: ∆l (mm) = - 0,001 l 3 (km) ∆h (mm) = + 78,1 l 2 (km) ∆h´(mm) = + 67 l 2 (km) Onde: ∆l = deformação planimétrica devida à curvatura da Terra, em mm. ∆h=deformaçãoaltimétricadevidaàcurvaturadaTerra, em mm. ∆h´= deformação altimétrica devida ao efeito conjunto da curvatura da Terra e da refração atmosférica, em mm. l = distância considerada no terreno, em km. d)O plano de projeção tem a sua dimensão máxima limitada a 80 km, apartirdaorigem,demaneiraqueoerrorelativo,decorrenteda desconsideração da curvatura terrestre, não ultrapasse 1:35000 nesta dimensãoe1:15000nasimediaçõesdaextremidadedesta dimensão. e)Alocalizaçãoplanimétricadospontos,medidosnoterrenoe projetadosnoplanodeprojeção,sedáporintermédiodeum sistema de coordenadas cartesianas, cuja origem coincide com a do levantamento topográfico; f)O eixo das ordenadas é a referência azimutal, que, dependendo das particularidades do levantamento, pode estar orientado para o norte geográfico, para o norte magnético ou para uma direção notável do terreno, julgada como importante. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 13 UmavezqueaTopografiabuscarepresentarumconjuntode pontosnoplanoénecessárioestabelecerumsistemadecoordenadas cartesianasparaarepresentaçãodosmesmos.Estesistemapodeser caracterizado da seguinte forma: EixoZ:materializadopelaverticaldolugar(linhamaterializada pelo fio de prumo); EixoY:definidopelameridiana(linhanorte-sulmagnéticaou verdadeira); Eixo X: sistema dextrógiro (formando 90º na direção leste). A figura 1.11 ilustra este plano. Figura 1.11 - Plano em Topografia. Emalgunscasos,oeixoYpodeserdefinidoporumadireção notáveldoterreno,comooalinhamentodeumarua,porexemplo, (figura 1.12). PN PS Eixo Y Eixo X Eixo Z Plano de Projeção 90º 90º FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 14 Figura 1.12 - Eixos definidos por uma direção notável. 1.3.4.1 - Efeito da Curvatura na Distância e Altimetria Aseguirédemonstradooefeitodacurvaturanasdistânciase naaltimetria.Nafigura1.13tem-sequeSéovalordeumadistância considerada sobre a Terra esférica e S´ a projeção desta distância sobre o plano topográfico. Figura 1.13 - Efeito da curvatura para a distância. R: raio aproximado da Terra (6370 km) Eixo X Eixo Y FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 15 A diferença entre S´e S será dada por: S - S' S = ∆ (1.3) Calculando S e S´e substituindo na equação (1.3) tem-se: θ tg R S' = (1.4) θ R S= (1.5) θ θ R Rtg S − = ∆(1.6) ) − = ∆ θ θ (tg R S(1.7) Desenvolvendotgθemsérieeutilizandosomenteosdois primeiros termos: (1.8) (1.9) Onde θ = S/R, logo: (1.10) (1.11) Atabela1.1apresentavaloresdeerrosabsolutoserelativos para um conjunto de distâncias. K + θ + θ + θ = θ 15 2 5 3 3 tg | | ¹ | \ | θ − θ + θ = ∆ 3 R S 3 3 R S 3 θ = ∆ R 3 S S 2 3 = ∆ FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 16 Tabela 1.1 - Efeito da curvatura para diferentes distâncias. S(km) ∆s 10,008 mm 108,2 mm 2512,8 cm 501,03 m 702,81 m Analisando agora o efeito da curvatura na altimetria, de acordo com a figura 1.11. Figura 1.14 - Efeito da curvatura na altimetria. Através da figura 1.11 é possível perceber que: h R R ∆ + = θ cos (1.12) Isolando ∆h na equação anterior: | ¹ | \ | − ⋅ = ∆ 1 cos 1 θ R h (1.13) R:raioaproximadoda:diferençadenívelentreos pontosBeB´,esteúltimoprojeçãodeBnoplano topográfico. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 17 DeacordocomCINTRA(1996),desenvolvendoemsérie1/cosθe considerando que: R S = θ (1.14) Tem-se: 2 2 R h θ ⋅ = ∆ (1.15) R 2 S 2 h ⋅ = ∆(1.16) Atabela1.2apresentaoefeitodacurvaturanaaltimetriapara diferentes distâncias. Tabela 1.2 - Efeito da curvatura na altimetria. S ∆h 100m0,8 mm 500m20 mm 1 km78 mm 10 km7,8 m 70 km384,6 m Como pode ser observado através das tabelas 1.1 e 1.2, o efeito dacurvaturaémaiornaaltimetriaquenaplanimetria.Duranteos levantamentos altimétricos alguns cuidados são tomados para minimizar este efeito, como será visto nos capítulos posteriores. 1.4 - Classificação dos Erros de Observação Para representar a superfície da Terra são efetuadas medidas de grandezascomodireções,distânciasedesníveis.Estasobservações inevitavelmenteestarãoafetadasporerros.Asfontesdeerropoderão ser: FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 18 •Condiçõesambientais:causadospelasvariaçõesdas condições ambientais, comovento, temperatura, etc. Exemplo: variação do comprimento de uma trena com a variação da temperatura. •Instrumentais: causados por problemas como a imperfeição naconstruçãodeequipamentoouajustedomesmo.Amaiorpartedos errosinstrumentaispodeserreduzidaadotandotécnicasde verificação/retificação,calibraçãoeclassificação,alémdetécnicas particulares de observação. •Pessoais:causadosporfalhashumanas,comofaltade atenção ao executar uma medição, cansaço, etc. Oserros,causadosporestestrêselementosapresentados anteriormente, poderão ser classificados em: •Erros grosseiros •Erros sistemáticos •Erros aleatórios 1.4.1 - Erros Grosseiros Causadosporenganonamedição,leituraerradanos instrumentos, identificação de alvo, etc., normalmente relacionados com adesatençãodoobservadorouumafalhanoequipamento.Cabeao observadorcercar-sedecuidadosparaevitarasuaocorrênciaou detectarasuapresença.Arepetiçãodeleituraséumaformadeevitar erros grosseiros. Alguns exemplos de erros grosseiros: •Anotar 196 ao invés de 169; •Enganonacontagemdelancesduranteamediçãodeuma distância com trena. 1.4.2 - Erros Sistemáticos Sãoaqueleserroscujamagnitudeesinalalgébricopodemser determinados,seguindoleismatemáticasoufísicas.Pelofatodeserem produzidosporcausasconhecidaspodemserevitadosatravésde técnicasparticularesdeobservaçãooumesmoeliminadosmediantea aplicação de fórmulas específicas. São erros que se acumulam ao longo do trabalho. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 19 Exemplodeerrossistemáticos,quepodemsercorrigidos através de fórmulas específicas: •Efeitodatemperaturaepressãonamediçãodedistânciascom medidor eletrônico de distância; •Correçãodoefeitodedilataçãodeumatrenaemfunçãoda temperatura. Umexemploclássicoapresentadonaliteratura,referentea diferentesformasdeeliminareouminimizarerrossistemáticoséo posicionamentodonívelaigualdistânciaentreasmirasduranteo nivelamentogeométricopelométododasvisadasiguais,oque proporcionaaminimizaçãodoefeitodacurvaturaterrestreno nivelamento e falta de paralelismo entre a linha de visada e eixo do nível tubular. 1.4.3 - Erros Acidentais ou Aleatórios Sãoaquelesquepermanecemapósoserrosanterioresterem sidoeliminados.Sãoerrosquenãoseguemnenhumtipodeleieora ocorremnumsentidooranoutro,tendendoaseneutralizarquandoo número de observações é grande. DeacordocomGEMAEL(1991,p.63),quandootamanhode uma amostra é elevado, os erros acidentais apresentam uma distribuição de freqüência que muito se aproxima da distribuição normal. 1.4.3.1 - Peculiaridade dos Erros Acidentais •Errospequenosocorremmaisfreqüentementedoqueos grandes, sendo mais prováveis; •Erros positivos e negativos do mesmo tamanho acontecem com igual freqüência, ou são igualmente prováveis; •A média dos resíduos é aproximadamente nula; •Aumentandoonúmerodeobservações,aumentaa probabilidade de se chegar próximo ao valor real. Exemplo de erros acidentais: •Inclinação da baliza na hora de realizar a medida; FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 20 •Erro de pontaria na leitura de direções horizontais. 1.4.4 - Precisão e Acurácia Aprecisãoestáligadaarepetibilidadedemedidassucessivas feitasemcondiçõessemelhantes,estandovinculadasomenteaefeitos aleatórios. Aacuráciaexpressaograudeaderênciadasobservaçõesem relação ao seu valor verdadeiro, estando vinculada a efeitos aleatórios e sistemáticos. A figura 1.15 ilustra estes conceitos. Figura 1.15 - Precisão e acurácia. Oseguinteexemplopodeajudaracompreenderadiferença entreeles:umjogadordefutebolestátreinandocobrançasdepênalti. Ele chuta a bola 10 vezes e nas 10 vezes acerta a trave do lado direito do goleiro.Estejogadorfoiextremamentepreciso.Seusresultadosnão apresentaramnenhumavariaçãoemtornodovalorqueserepetiu10 vezes. Em compensação sua acurácia foi nula. Ele não conseguiu acertar o gol, “verdadeiro valor”, nenhuma vez. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 21 2 - REVISÃO MATEMÁTICA Nestecapítuloérealizadaumarevisãodeunidadese trigonometria,necessáriaparaoestudodospróximostemasaserem abordados. 2.1 - Unidades de Medida 2.1.1 - Medida de Comprimento (metro) Aorigemdometroocorreuem1791quandoaAcademiade CiênciasdeParisodefiniucomounidadepadrãodecomprimento.Sua dimensão era representada por 1/10.000.000 de um arco de meridiano da Terra. Em 1983, a Conferência Geral de Pesos e Medidas estabeleceu adefiniçãoatualdo“metro”comoadistânciapercorridapelaluzno vácuo durante o intervalo de tempo de 1/299.792.458 s. O metro é uma unidade básica para a representação de medidas de comprimento no sistema internacional (SI). Tabela 2.1 - Prefixos. Nome Valor Numérico SímboloNome Valor Numérico Símbolo Deca10 1 dadeci10 -1 d Hecto10 2 Hcenti10 -2 c Kilo10 3 Kmili10 -3 m Mega10 6 Mmicro10 -6 µ Giga10 9 Gnano10 -9 n Tera10 12 Tpico10 -12 p FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 22 2.1.2 - Medida Angular 2.1.2.1 - Radiano Umradianoéoângulocentralquesubentendeumarcode circunferênciadecomprimentoigualaoraio damesma.Éumaunidade suplementar do SI para ângulos planos. 2πR — 360ºarco = R = raio(2.1) R a i o R a i o θ Arco Figura 2.1 - Representação de um arco de ângulo. 2.1.2.2 - Unidade Sexagesimal Grau 1 grau = 1/360 da circunferência grau°1° = (π /180) rad minuto’1’ = 1°/60= (π/10800) rad segundo ”1” = 1°/3600 = (π/648000) rad 2.1.2.3 - Unidade Decimal Grado 1 grado =1/400 da circunferência Um grado é dividido em 100’ e cada minuto tem 100”. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 23 2.1.2.4 - Exercícios 1) Transformação de ângulos: Transforme os seguintes ângulos em graus, minutos e segundos para graus e frações decimais de grau. a)32º 28’ 59” = 32, 48305556º b)17º 34’ 18,3” = 17,57175º c)125º 59’ 57” = 125,9991667º d)200º 08’ 06” = 200,135º 2) Soma e subtração de ângulos: 30º20’ + 20º 52’ = 30º20’ +20º52’→51º 12’ 50º72’ 28º41’ + 39°39’= 28º41’ +39º39’→68º 20’ 67º80’ 42º30’ - 20°40’= 42º30’41º 90’ - 20º40’→- 20º 40’→ 21º 50’ 21º 50’ FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 24 OBS:écomum,utilizandoacalculadora,obterresultados com várias casas decimais, neste caso, recomenda-se o arredondamento. Por exemplo: 30º20’30,33333333º - 20º52’ → - 20,86666666º→ 21º 50’ 9,56666666º = 9º 27’ 59,999999’’ = 9º 28’ Jáparaatransformaçãodegrausdecimaisparagraus, minutosesegundos,énecessáriomanterummínimode6casas decimais para obter o décimo do segundo com segurança. 3) Cálculo de funções trigonométricas utilizando uma calculadora Aoaplicarasfunçõestrigonométricas(seno,cossenoe tangente), com uma calculadora, o ângulo deve estar em graus e frações degrausouradianos,sendoquenesteúltimocaso,acalculadoradeve estar configurada para radianos. Por exemplo: Para o ângulo 22º 09’ 04”, calcular o valor do seno, cosseno e tangente: 1º) transformar para graus decimais ou radianos: 22º 09’ 04” = 22,1511111º = 0,386609821864 rad 2º) aplicar a função trigonométrica desejada: sen(22,1511111º) = sen(0,386609821864 rad) = 0,377050629 cos(22,1511111º) = cos(0,386609821864 rad) = 0,926192648 tg(22,1511111º) = tg(0,386609821864 rad) = 0,407097411 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 25 Aoaplicar-seafunçãosematransformaçãodoângulopode- seincorreremerrosnoscálculosfuturos,comoépossívelobservarno exemplo a seguir. Para o ânguloα = 22º 09’ 04” calculando-se ovalor da função seno sem converter o valor do ângulo, obtém-se: sen(22,0904) = 0,376069016 Já transformando-o para graus decimais obtém-se: sen(22,1511111º) = 0,377050629 Considerando uma distância de 300 m, entre um vértice de uma poligonaleumpontodedetalhequalquer,pode-seobservaraseguinte diferença no valor de ∆x calculado. ∆x = 300 × sen (22,0904) = 300 × 0,376069016→ ∆x = 112,821 m ∆x = 300 × sen (22,1511111) = 300 × 0,377050629→ ∆x = 113,115 m Logo, uma diferença de 29,4 cm. 2.2 - Revisão de Trigonometria Plana AtrigonometriateveorigemnaGrécia,emvirtudedos estudosdasrelaçõesmétricasentreosladoseosângulosdeum triângulo,provavelmentecomoobjetivoderesolverproblemasde navegação, Agrimensura e Astronomia. 2.2.1 - Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. A partir da figura 2.2 podem ser estabelecidas as seguintes relações: FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 26 Figura 2.2 - Triângulo retângulo. Seno sen α = )( )( a Hipotenusa c Oposto Cateto Cosseno cos α = )( )( a Hipotenusa b Adjacente Cateto Tangente tg α = )( )( b Adjecente Cateto c Oposto Cateto α β a A B C b c FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 27 2.2.2 - Teorema de Pitágoras “Oquadradodocomprimentodahipotenusaéigualasoma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.” 2 2 2 c b a + = (2.2) 2.3 - Exercícios 1) No triângulo abaixo, determinar as relações solicitadas. α β a =2m m A B C b =3 c =1m sen α = 2 1 2 1 = m m cos β = 2 1 2 1 = m m cos α = 2 3 2 3 = m m sen β = 2 3 2 3 = m m tg α = 3 1 3 1 = m m tg β =3 1 3 = m m Obs.:Éimportantelembrarqueasfunçõestrigonométricassão adimensionais, ou seja, para qualquer unidade que esteja sendo utilizada, elas sempre se simplificarão como pode ser visto no exemplo acima. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 28 2) Um observador na margem de um rio vê o topo de uma torre naoutramargemsegundoumângulode56º00’00”.Afastando-sede 20,00m,omesmoobservadorvêamesmatorresegundoumângulode 35º 00’00”. Calcule a largura do rio (CEFET, 1984). A B C D 56º 00'00" 35º 00'00" h d 20,00 m FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 29 3) Para determinar alargurade um rio,um topógrafomediu, a partirdeumabasede20,00mdecomprimentoosângulosemAeB, conforme figura. Calcule valor de h. 62º00'00" 74º00'00" A B P M h a b FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 30 2.4 - Relações Métricas com o Triângulo Retângulo Para umtriângulo retânguloABC pode-se estabelecer algumas relações entre as medidas de seus elementos: Onde: b, c: catetos; h: altura relativa à hipotenusa; a: hipotenusa; m, n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa. As seguintes relações métricas podem ser definidas: a) O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre a hipotenusa. n a b × = 2 m a c × = 2 b) O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusapela altura relativa à hipotenusa. A B C b a c n m H h FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 31 h a c b × = × c)Oquadradodaalturaéigualaoprodutodasprojeçõesdos catetos sobre a hipotenusa. n m h × = 2 d) O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. 2 2 2 c b a + =(Teorema de Pitágoras) 2.5 - Exercício Apartirdaprimeirarelaçãométrica,deduziroTeoremade Pitágoras. n a b × = 2 m a c × = 2 n a m a c b × + × = + 2 2 ) ( 2 2 n m a c b + × = + Comoa n m = + ) ( ) ( 2 2 a a c b × = +ou 2 2 2 a c b = + FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 32 2.6 - Triângulo Qualquer 2.6.1 - Lei dos Senos “Numtriânguloqualquerarazãoentrecadaladoeosenodo ânguloopostoéconstanteeigualaodiâmetrodacircunferência circunscrita”. A B C b a c senC c senB b senA a = = (2.3) 2.6.2 - Lei dos Cossenos “Numtriânguloqualquer,oquadradodamedidadeumladoé igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas dos dois lados pelo cosseno do ângulo que eles formam”. A c b c b a cos 2 2 2 2 × × × − + =(2.4) FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 33 2.7 - Exercício Umtopógrafo,apartirdospontosAeB,distantesde20m, realiza a medição dos ângulos horizontais a duas balizas colocadas em D eC,comoauxíliodeumteodolito.Calculeadistânciaentreasbalizas (CEFET, 1984). DC = ? 40º 60º 30º 85º A B D C 20,00 m FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 34 3 - ESCALAS Écomumemlevantamentostopográficosanecessidadede representarnopapelcertaporçãodasuperfícieterrestre.Paraqueisto sejapossível,teremosquerepresentarasfeiçõeslevantadasemuma escalaadequadaparaosfinsdoprojeto.Deformasimples,podemos definirescalacomsendoarelaçãoentreovalordeumadistância medidanodesenhoesuacorrespondentenoterreno.ANBR8196 (Empregodeescalasemdesenhotécnico:procedimentos)defineescala comosendoarelaçãodadimensãolineardeumelementoe/ouum objeto apresentado no desenho original para a dimensão real domesmo e/ou do próprio objeto. Normalmente são empregados três tipos de notação para a representação da escala: M E 1 = (3.1) D d E = (3.2) D d M = 1 (3.3) Onde: M = denominador da escala; d = distância no desenho; D = distância no terreno. Por exemplo, se uma feição é representada no desenho com um centímetro de comprimento e sabe-se que seu comprimento no terreno é de100metros,entãoaescaladerepresentaçãoutilizadaéde1:10.000. Ao utilizar a fórmula (3.2) para o cálculo da escala deve-se ter o cuidado de transformar as distâncias para a mesma unidade. Por exemplo: FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 35 d = 5 cm 000 . 10 1 000 . 50 5 5 , 0 5 = = = cm cm km cm E D = 0,5 km Asescalaspodemserderedução(1:n),ampliação(n:1)ou naturais(1:1).EmTopografiaasescalasempregadasnormalmentesão: 1:250, 1:200, 1:500 e 1:1000. Logicamente que não é algo rígido e estes valores dependerão do objetivo do desenho. Umaescalaéditagrandequandoapresentaodenominador pequeno (por exemplo, 1:100, 1:200, 1:50, etc.). Já uma escala pequena possui o denominador grande (1:10.000, 1:500.000, etc.). Ovalordaescalaéadimensional,ouseja,nãotemdimensão (unidade).Escrever1:200significaqueumaunidadenodesenho equivalea200unidadesnoterreno.Assim,1cmnodesenho correspondea200cmnoterrenoou1milímetrododesenho corresponde a 200 milímetros no terreno. Como asmedidas no desenho sãorealizadascomumarégua,écomumestabelecerestarelaçãoem centímetros: DesenhoTerreno 1 cm200 cm 1 cm2 m 1 cm0,002 km É comum medir-se uma área em um desenho e calcular-se sua correspondentenoterreno.Istopodeserfeitodaseguinteforma: Imagina-se um desenho na escala 1:50. Utilizando esta escala faz-se um desenho de um quadrado de 2 x 2 unidades (u), não interessa qual é esta unidade. A figura 3.1 apresenta este desenho. A área do quadrado no desenho (Ad) será: u u Ad 2 2 × = 2 4u Ad = (3.4) FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 36 Figura 3.1 - Quadrado 2u x 2u. A área do quadrado no terreno (At) será então: ) 2 50 ( ) 2 50 ( u u At × × × = 2 ). 50 50 ( ) 2 2 ( u At × × × = ) 50 50 ( 4 2 × × = u At (3.5) Substituindo a equação (3.4) na (3.5) e lembrando que M=50 é o denominador da escala, a área do terreno, em função da área medida no desenho e da escala é dada pela equação (3.6). 2 M Ad At × = (3.6) 3.1 - Principais Escalas e suas Aplicações A seguir encontra-se uma tabela com as principais escalas utilizadas por engenheiros e as suas respectivas aplicações. 2u 2u FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 37 Tabela 3.1 - Principais escalas e suas aplicações Aplicação Escala Detalhes de terrenos urbanos 1:50 Planta de pequenos lotes e edifícios 1:100 e 1:200 Planta de arruamentos e loteamentos urbanos 1:500 e 1:1000 Planta de propriedades rurais 1:1000 1:2000 1:5000 Planta cadastral de cidades e grandes propriedades rurais ou industriais 1:5000 1:10 000 1:25 000 Cartas de municípios 1:50 000 1:100 000 Mapas de estados, países, continentes ,etc. 1:200 000 a 1:10 000 000 3.2 - Exercícios 1) Qual das escalas é maior 1:1 000 000 ou 1:1000? 2) Qual das escalas é menor 1:10 ou 1:1000? 3)Determinarocomprimentodeumrioondeaescalado desenhoéde 1:18000eoriofoirepresentadoporumalinhacom17,5cmde comprimento. E= 1:18 000d = 17,5 cm D d E = → D cm 5 , 17 18000 1 = D = 17,5 × 18 000 D = 315 000 cm ou 3150 m FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 38 4)Determinarqualaescaladeumacartasabendo-sequedistâncias homólogas na carta e no terreno são, respectivamente, 225 mm e 4,5 km. 5) Com qual comprimentouma estrada de 2500mserá representada na escala 1:10000? 6) Calcular o comprimento no desenho de uma rua com 30 m de comprimento nas escalas abaixo. Escala Comprimento 1:100 1:200 1:250 1:500 1:1000 7)Umloteurbanotemaformadeumretângulo,sendoqueoseu comprimentoéduasvezesmaiorqueasuaalturaesuaáreaéde 16.722,54m 2 .Calcularoscomprimentosdosladosseestaáreafosse representada na escala 1:10 560. (Adaptado de Irvine s.d.) 8)Asdimensõesdeumterrenoforammedidasemumacartaeos valores obtidos foram 250 mm de comprimento por 175 mm de largura. Sabendo-sequeaescaladodesenhoéde1:2000,qualéaáreado terreno em m 2 ? 9) Se a avaliação de uma área resultou em 2575 cm 2 para uma escala de 1:500, a quantos metros quadrados corresponderá a área no terreno? FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 39 3.3 - Erro de Graficismo (eg) Oerrodegraficismo(eg)éumafunçãodaacuidadevisual, habilidademanualequalidadedoequipamentodedesenho.Deacordo comaNBR13133(ExecuçãodeLevantamentosTopográficos),oerro degraficismoadmissívelnaelaboraçãododesenhotopográficopara lançamento de pontos e traçados de linhas é de 0,2 mm e equivale a duas vezes a acuidade visual. Em função deste valor é possível definir o valor da precisão da escala(pe),ouseja,omenorvalorrepresentávelemverdadeira grandeza, em uma escala. M eg pe × = (3.7) A tabela a seguir, ilustra o valor da precisão da escala (pe) para diferentes escalas. Tabela 3.2 - Representação da precisão da escala. Escala p.e. 1:10.000 2m 1:2000 40cm 1:1000 20cm 1:500 10cm 1:250 5cm Emcasosondeénecessáriorepresentarelementoscom dimensões menores que as estabelecidas pela precisão da escala, podem serutilizadossímbolos.Afigura3.2apresentaexemplosdesímbolos empregados em levantamentos topográficos. pe FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 40 Figura 3.2 - Símbolos utilizados para representar feições. 3.4 - A Escala Gráfica Aescalagráficaéutilizadaparafacilitaraleituradeum mapa,consistindo-seemumsegmentoderetadivididodemodoa mostrargraficamentearelaçãoentreasdimensõesdeumobjetono desenhoenoterreno.SegundoJOLY(1996)éumábacoformadopor umalinhagraduadadivididaempartesiguais,cadaumadelas representando a unidade de comprimento escolhida para o terreno ou um dos seus múltiplos. Paraaconstruçãodeumaescalagráficaaprimeiracoisaa fazer é conhecer a escala do mapa. Por exemplo, seja um mapa na escala 1:4000.Deseja-sedesenharumretângulonomapaquecorrespondaa 100metrosnoterreno.Aplicandoosconhecimentosmostrados anteriormentedeve-sedesenharumretângulocom2,5centímetrosde comprimento: D d M 1 = 000 . 10 d 4000 1 = d = 2,5cm 100 m 25 mm Istojáseriaumaescalagráfica,emborabastantesimples.É comumdesenhar-semaisqueumsegmento(retângulo),bemcomo indicarqualocomprimentonoterrenoqueestesegmentorepresenta, conforme mostra a figura a seguir. 0 m 100 m 200 m 300 m Luminária Telefone Público Árvore FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 41 Nocasoanteriordeterminou-sequeaescalagráficaseria graduadade100em100metros. Tambémépossíveldefinirotamanho do retângulo no desenho, como por exemplo, 1 centímetro. ? m 1 cm 0m40 m 80 m 120m 1:4000→1cm = 40 m Existetambémumapartedenominadadetalão,queconsiste em intervalos menores, conforme mostra a figura abaixo. Uma forma para apresentação final da escala gráfica é apresentada a seguir. 0 100 metros Escala 1:4000 1cm = 40m 200 300 50 100 0 m100 m200 m300 m50 m100 m talão FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 42 4 - NORMALIZAÇÃO 4.1 - Introdução AAssociaçãoBrasileiradeNormasTécnicas(ABNT)éo órgão responsável pela normalização técnica no país, tendo sido fundada em1940parafornecerabasenecessáriaaodesenvolvimento tecnológicobrasileiro.Anormalizaçãoéoprocessodeestabelecere aplicar regras a fim de abordar ordenadamente uma atividade específica ecomaparticipaçãodetodososinteressadose,emparticular,de promoveraotimizaçãodaeconomia,levandoemconsideraçãoas condiçõesfuncionaiseasexigênciasdesegurança.Osobjetivosda normalização são (ABNT, 2003): •Economia:proporcionarareduçãodacrescentevariedadede produtos e procedimentos; •Comunicação:proporcionarmeiosmaiseficientesparaatrocade informaçõesentreofabricanteeocliente,melhorandoa confiabilidade das relações comerciais e serviços; •Segurança: proteger a vida humana e a saúde; •Proteçãoaoconsumidor:proverasociedadedemeioseficazes para aferir a qualidade dos produtos; •Eliminação de barreiras técnicas e comerciais: evitar a existência deregulamentosconflitantessobreprodutoseserviçosem diferentes países, facilitando assim, o intercâmbio comercial. Através do processo de normalização são criadas as normas. As normasdaABNTsãoclassificadasemsetetiposdiferentes(BIBVIRT, 2003): •Procedimento:orientamamaneiracorretaparaautilizaçãode materiais e produtos, execução de cálculos e projetos, instalação de máquinas e equipamentos e realização do controle de produtos; •Especificação: fixam padrões mínimos de qualidade para produtos; •Padronização: fixam formas, dimensões e tipos de produtos; •Terminologia:definemostermostécnicosaplicadosamateriais, peças e outros artigos; •Simbologia:estabelecemconvençõesgráficasparaconceitos, grandezas, sistemas, etc.; FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 43 •Classificação:ordenam,distribuemousubdividemconceitosou objetos, bem como critérios a serem adotados; •Métododeensaio:determinamamaneiradeseverificara qualidade das matérias-primas e dos produtos manufaturados. AsnormasdaABNTtêmcaráternacional.Outrospaísestêm seusprópriosórgãosresponsáveispelanormalização,comoaANSI (AmericanNationalStandardsInstitute-EUA)eDIN(Deutsches InstitutfurNormung-Alemanha).Existemtambémassociações internacionais,comoaISO(InternationalOrganizationfor Standardization), fundada em 1946. A figura 4.1 ilustra oslogotipos da ABNT e ISO. Figura 4.1 - Logotipo ANBT e ISO. AlgunsexemplosdenormasdaABNTsãoapresentadosa seguir: NBR 10068 - Folha de desenho - leiaute e dimensões NBR 8196 -Desenho técnico - emprego de escalas NBR 10647 - Desenho técnico - Norma geral NBR 10124 - Trena de fibra - fibra natural ou sintética NBR 14166 - Rede de referência cadastral municipal - procedimento NBR 13133 - Execução de levantamento topográfico UmexemplodenormaISOéaISO17123-1(Opticsand opticalinstruments-Fieldproceduresfortestinggeodeticinstruments and surveying instruments - Part 1: Theory). Particularmente na Topografia são de interesse as normas NBR 13133 e NBR 14166. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 44 4.2 - NBR 13133 - Execução de Levantamentos Topográficos Estanorma,datadademaiode1994,fixaascondições exigíveisparaaexecuçãodelevantamentostopográficosdestinadosa obter (ABNT, 1994, p.1): •Conhecimentogeraldoterreno:relevo,limites,confrontantes, área, localização, amarração e posicionamento; •Informaçõessobreoterrenodestinadasaestudospreliminares de projeto; •Informaçõessobreoterrenodestinadasaanteprojetosou projeto básicos; •Informações sobre o terreno destinadas a projetos executivos. Tambéméobjetivodestanormaestabelecercondições exigíveisparaaexecuçãodeumlevantamentotopográficoquedevem compatibilizarmedidasangulares,medidaslineares,medidasde desníveis e as respectivas tolerâncias em função dos erros, relacionando métodos,processoseinstrumentosparaaobtençãoderesultados compatíveiscomadestinaçãodolevantamento,assegurandoquea propagação dos erros não exceda os limites de segurança inerentes a esta destinação(ABNT,1994,p.1).Estanormaestádivididanosseguintes itens: Objetivos e documentos complementares; •Definições:ondesãoapresentadasasdefiniçõesadotadaspela norma, como por exemplo, definições de croqui, exatidão, erro de graficismo, etc.; •Aparelhagem: instrumental básico e auxiliar e classificação dos instrumentos; •Condiçõesgerais:especificaçõesgeraisparaostrabalhos topográficos; •Condiçõesespecíficas:referem-seapenasàsfasesdeapoio topográficoedelevantamentodedetalhesquesãoasmais importantes em termos de definição de sua exatidão; •Inspeção do levantamento topográfico; •Aceitaçãoerejeição:condiçõesdeaceitaçãoourejeiçãodos produtos nas diversas fases do levantamento topográfico; FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 45 •Anexos:exemplosdecadernetasdecampoemonografias, convençõestopográficaseprocedimentodecálculodedesvio padrão de uma observação em duas posições da luneta, através da DIN 18723. 4.3 - NBR 14166 - Rede de Referência Cadastral Municipal Oobjetivodestanormaéfixarascondiçõesexigíveisparaa implantaçãoemanutençãodeumaRedeCadastralMunicipal.Esta normaéválidadesdesetembrode1998.DeacordocomABNT(1998, p.2), a destinação desta Rede Cadastral Municipal é: •Apoiareelaboraçãoeaatualizaçãodeplantascadastrais municipais; •Amarrar,deummodogeral,todososserviçosdeTopografia, visando as incorporações às plantas cadastrais do município; •Referenciartodososserviçostopográficosdedemarcação,de anteprojeto, de projetos, de implantação e acompanhamento de obrasdeengenhariaemgeral,deurbanização,de levantamentosdeobrascomoconstruídasedecadastros imobiliários para registros públicos e multifinalitários. Esta norma está dividida nos seguintes itens: •Referênciasnormativas:contémdisposiçõesque,aoserem citadasnotextodanorma,constituemprescriçõesparaa mesma; •Definições:sãoapresentadasdefinições,comoadealtura geométrica, alinhamento de via ou alinhamento predial, etc.; •EstruturaçãoeclassificaçãodaRededeReferência Cadastral:seqüênciadeoperaçõesquedevemserobservadas para a estruturação e implantação da Rede de Referência; •Requisitos gerais; •Requisitos específicos; •Inspeção:itensparainspeçãodostrabalhosdeimplantaçãoe manutenção da rede; •Aceitação e rejeição; Alémdisto,apresentaanexostratandodasfórmulaspara transformaçãodecoordenadasgeodésicasemcoordenadasplano- FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 46 retangularesnoSistemaTopográficoLocal,cálculodaconvergência meridianaapartirdecoordenadasgeodésicaseplano-retangularesno SistemaTopográficoLocalemodelodeinstrumentolegalparaa oficialização da Rede de Referência Cadastral Municipal. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 47 5 - MEDIÇÃO DE DISTÂNCIAS 5.1 - Medida Direta de Distâncias Amedidadedistânciasdeformadiretaocorrequandoa mesma é determinada a partir da comparação com uma grandeza padrão, previamente estabelecida, através de trenas ou diastímetros. 5.1.1 - Trena de Fibra de Vidro A trena de fibra de vidro é feita de material resistente (produto inorgânico obtido do próprio vidro por processos especiais). A figura 5.1 ilustraalgunsmodelosdetrenas.Estesequipamentospodemser encontradoscomousemenvólucro,osquaispodemteroformatode umacruzeta,ouformacircularesempreapresentamdistensores (manoplas) nas suas extremidades. Seu comprimento varia de 20 a 50 m (comenvólucro)ede20a100m(semenvólucro).Comparadaàtrena delona,deformamenoscomatemperaturaeatensão,nãosedeteriora facilmenteeéresistenteàumidadeeaprodutosquímicos,sendo também bastante prática e segura. Figura 5.1 - Modelos de trenas. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 48 Duranteamediçãodeumadistânciautilizandoumatrena,é comum o uso de alguns acessórios como: piquetes, estacas testemunhas, balizas e níveis de cantoneira. 5.1.2 - Piquetes Os piquetes são necessários para marcar convenientemente os extremosdoalinhamentoasermedido.Estesapresentamasseguintes características: -fabricadosdemadeiraroliçaoudeseçãoquadradacoma superfície no topo plana; - assinalados (marcados) na sua parte superior com tachinhas de cobre, pregos ou outras formas de marcações que sejam permanentes; -comprimentovariávelde15a30cm(dependedotipode terreno em que será realizada a medição); - diâmetro variando de 3 a 5 cm; -écravadonosolo,porém,partedele(cercade3a5cm) devepermanecervisível,sendoquesuaprincipalfunçãoéa materialização de um ponto topográfico no terreno. 5.1.3 - Estacas Testemunhas Sãoutilizadasparafacilitaralocalizaçãodospiquetes, indicandoasuaposiçãoaproximada.Estasnormalmenteobedecemas seguintes características: - cravadas próximas ao piquete, cerca de 30 a 50 cm; - comprimento variável de 15 a 40 cm; - diâmetro variável de 3 a 5 cm; -chanfradasnapartesuperiorparapermitirumainscrição, indicandoonomeounúmerodopiquete.Normalmenteaparte chanfrada é cravada voltada para o piquete, figura 5.2. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 49 Figura 5.2 - Representação da implantação de um piquete e estaca testemunha. 5.1.4 - Balizas Sãoutilizadasparamanteroalinhamento,namediçãoentre pontos, quando há necessidade de se executar vários lances, figura 5.3. Características: - construídas em madeira ou ferro, arredondado, sextavado ou oitavado; - terminadas em ponta guarnecida de ferro; - comprimento de 2 m; - diâmetro variável de 16 a 20 mm; -pintadasemcorescontrastantes(brancoevermelhoou brancoepreto)parapermitirquesejamfacilmentevisualizadasà distância; Devemsermantidasnaposiçãovertical,sobreoponto marcado no piquete, com auxílio de um nível de cantoneira. Figura 5.3 - Exemplos de balizas. PiqueteEstaca testemunha 50 cm FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 50 5.1.5 - Nível de Cantoneira Equipamentoemformadecantoneiraedotadodebolha circularquepermiteaoauxiliarsegurarabalizanaposiçãovertical sobre o piquete ou sobre o alinhamento a medir, figura 5.4. Figura 5.4 - Nível de cantoneira. 5.1.6 - Cuidados na Medida Direta de Distâncias Aqualidadecomqueasdistânciassãoobtidasdepende, principalmente de: - acessórios; - cuidados tomados durante a operação, tais como: - manutenção do alinhamento a medir; - horizontalidade da trena; - tensão uniforme nas extremidades. Atabela5.1apresentaaprecisãoqueéobtidaquandose utiliza trena emum levantamento, considerando-se os efeitos da tensão, temperatura, horizontalidade e alinhamento. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 51 Tabela 5.1- Precisão das trenas. Trena Precisão Fita e trena de aço 1cm/100m Trena plástica 5cm/100m Trena de lona 25cm/100m 5.1.7 - Métodos de Medida com Trena 5.1.7.1 - Lance Único NamediçãodadistânciahorizontalentreospontosAeB, procura-se,narealidade,mediraprojeçãodeABnoplanohorizontal, resultando na medição de A’B’, figura 5.5. DH =14 m A B A’B’ Ré Vante Figura 5.5 - Medida de distância em lance único. Nafigura5.6épossívelidentificaramediçãodeuma distânciahorizontalutilizandoumatrena,bemcomoadistância inclinada e o desnível entre os mesmos pontos. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 52 Figura 5.6 - Exemplo de medida direta de distância com trena. 5.1.7.2 - Vários Lances - Pontos Visíveis Quandonãoépossívelmediradistânciaentredoispontos utilizandosomenteumamediçãocomatrena(quandoadistânciaentre os dois pontos é maior que o comprimento da trena), costuma-se dividir a distância a ser medida em partes, chamadas de lances. A distância final entreosdoispontosseráasomatóriadasdistânciasdecadalance.A execução da medição utilizando lances é descrita a seguir. Analisando a figura 5.7, o balizeiro de ré (posicionado em A) orientaobalizeirointermediário,cujaposiçãocoincidecomofinalda trena, para que este se mantenha no alinhamento AB. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 53 Figura 5.7 - Medida de distância em vários lances. Depois de executado o lance, o balizeiro intermediário marca o final da trena com uma ficha (haste metálica com uma das extremidades emformadecunhaeaoutraemformacircular).Obalizeiroderé, então,ocupaaposiçãodobalizeirointermediário,eeste,porsuavez, ocuparánovaposiçãoaofinaldodiastímetro.Repete-seoprocessode deslocamentodasbalizas(réeintermediária)edemarcaçãodoslances até que se chegue ao ponto B. É de máxima importância que, durante a medição, os balizeiros se mantenham sobre o alinhamento AB. 5.1.8 - Erros na Medida Direta de Distâncias Dentreoserrosquepodemsercometidosnamedidadiretade distância, destacam-se: - erro relativo ao comprimento nominal da trena; Comprimento da trena = 20m A B Distância Horizontal - DH m DH 35 , 88 35 , 8 ) 20 4 ( = + × = 8,35m 20,0m 20,0m 20,0m 20,0m Intermediária Ré Vante FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 54 - erro de catenária; -faltadeverticalidadedabaliza(figura5.8)quando posicionadasobre opontodoalinhamentoasermedido,o queprovoca encurtamentooualongamentodestealinhamento.Esteerroéevitado utilizando-se um nível de cantoneira. Figura 5.8 - Falta de verticalidade da baliza. 5.2 - Medidas Indiretas de Distâncias Uma distância é medida de maneira indireta, quando no campo sãoobservadasgrandezasqueserelacionamcomesta,atravésde modelosmatemáticospreviamenteconhecidos.Ouseja,énecessário realizaralgunscálculossobreasmedidasefetuadasemcampo,parase obter indiretamente o valor da distância. Posição Correta da Baliza Baliza Inclinada FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 55 5.2.1 - Taqueometria ou Estadimetria Asobservaçõesdecamposãorealizadascomoauxíliode teodolitos.Osteodolitosserãodescritoscommaispropriedadeno capítulo Medidas de Ângulos. Comoteodolitorealiza-seamediçãodoânguloverticalou ângulozenital(figura5.9),oqual,emconjuntocomasleituras efetuadas, será utilizado no cálculo da distância. Figura 5.9 - Exemplo de um teodolito. Asestádias,oumirasestadimétricassãoréguasgraduadas centimetricamente,ouseja,cadaespaçobrancooupreto(figura5.10) correspondeaumcentímetro.Osdecímetrossãoindicadosaoladoda escalacentimétrica(nocasodoexemploaseguironúmero1 corresponde a 1 decímetro, ou 10 cm), localizados próximo aomeio do decímetrocorrespondente(5cm).Aescalamétricaéindicadacom FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 56 pequenos círculoslocalizados acima da escala decimétrica,sendo que o númerodecírculoscorrespondeaonúmerodemetros(utilizandoa figura5.10comoexemplo,acimadonúmero1sãorepresentadostrês círculos,então,estapartedamiraestáaproximadamenteatrêsmetros do chão). Naestádiasãoefetuadasasleiturasdosfiosestadimétricos (superior e inferior). Para o exemplo da figura 5.10 estas leituras são: Superior: 3,095m Médio: 3,067m Inferior: 3,040m Figura 5.10 - Mira estadimétrica. 5.2.1.1 - Formulário Utilizado Na dedução da fórmula para o cálculo da distância através de taqueometriaénecessárioadotarumamirafictícia,jáqueamirareal nãoestáperpendicularàlinhadevisada(figura5.10).Talartifícioé necessário para poder se efetuar os cálculos e chegar à fórmula desejada. Adotando-se: Ângulo Zenital: Z ; Ângulo Vertical: V ; Distância Horizontal: Dh ; Distância Inclinada: Di ; FioEstadimétrico Superior Fio Médio Fio Estadimétrico Inferior FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 57 NúmeroGeradordaMiraReal:G(G=LeituraSuperior- Leitura Inferior); Número Gerador da Mira Fictícia: G’. Figura 5.11 - Determinação da distância utilizando estadimetria. Sabe-se que sen α = cateto oposto / hipotenusa Da figura 5.11 obtém-se: ) 2 / G /( ) 2 / ' G ( senZ =(5.1) senZ G G × = '(5.2) Di / Dh senZ = (5.3) senZ Di Dh × = (5.4) Sabendo-se que para obter a distância utiliza-se a fórmula: K G Di × = '(5.5) FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 58 OndeKéaconstanteestadimétricadoinstrumento,definida pelo fabricante e geralmente igual a 100. K sen Z G× × = Di (5.6) sen Z Ksen Z G× × × = Dh(5.7) Chega-se a: Z sen KGDh 2 × × =(5.8) Seguindoomesmoraciocínioparaoângulovertical,chega-se a: V cos KGDh 2 × × = (5.9) 5.2.2 - Medição Eletrônica de Distâncias A medição de distâncias na Topografia e na Geodésia, sempre foiumproblema,devidoaotemponecessáriopararealizá-laetambém devido à dificuldade de se obter boa precisão. BaseadosnoprincípiodefuncionamentodoRADAR, surgiramem1948osGeodímetroseem1957osTelurômetros,os primeirosequipamentosquepermitiramamedidaindiretadas distâncias,utilizandootempoeavelocidadedepropagaçãodaonda eletromagnética. Em1968surgiuoprimeirodistanciômetroóptico-eletrônico. O princípio de funcionamento é simples e baseia-se na determinação do tempotquelevaaondaeletromagnéticaparapercorreradistância,de ida e volta, entre o equipamento de medição e o refletor (Figura 5.12). FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 59 Figura 5.12 - Princípio de medida de um MED. A equação aplicável a este modelo é: t c 2D ∆ × =(5.10) c: Velocidade de propagação da luz no meio; D: Distância entre o emissor e o refletor; ∆t: Tempo de percurso do sinal. Logo,paraobteradistânciaAB,usandoestametodologiaé necessárioconheceravelocidadedepropagaçãodaluznomeioeo tempo de deslocamento do sinal. Nãoépossíveldeterminar-sediretamenteavelocidadede propagaçãodaluznomeio,emcampo.Emvirtudedisso,utiliza-sea velocidadedepropagaçãodamesmaondanovácuoeoíndicede refração no meio de propagação (n), para obter este valor. Esteíndicederefraçãoédeterminadoemensaiosde laboratórioduranteafabricaçãodoequipamento,paraumdeterminado comprimento de onda, pressão atmosférica e temperatura. Avelocidadedepropagaçãodaluznovácuo(Co)éuma constantefísicaobtidaporexperimentos,esuadeterminaçãoprecisaé umdesafioconstanteparafísicoseatémesmoparaodesenvolvimento deMedidoresEletrônicosdeDistância(MED)dealtaprecisão RÜEGER, (1990, p.06). De posse dos parâmetros, Co e n, a velocidade de propagação da onda eletromagnética no meio (C), é dada por: FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 60 n / Co C =(5.11) Outroparâmetronecessárioparadeterminaçãodadistânciaé o tempo de deslocamento do sinal. Atualmente não existem cronômetros parausoemcampocapazesdedeterminarestetempoumavezqueo mesmo é pequeno e o desvio admissível na medida é da ordem de 10 -12 s. Paraperceberestadificuldade,apresenta-seaseguirumexemplocom basenotempogastoporumaondaeletromagnéticaparapercorreruma distânciade1kmeretornaraunidadeemissoradosinal.Isolandotna equação (5.10), obtém-se a seguinte expressão: c / D 2 t =(5.12) Considerandoqueavelocidadedepropagaçãodaluzno vácuo é cerca de 300.000 km/s e aplicando-a na equação 5.12, obtém-se: s 10 6 t 10 3) /(2 t km/s) 10 (3 /km) 1 (2 t km 1 D 6 - 5 - 5 × = × = × × = = Assimsendo,paraumdistanciômetrogarantiraprecisão nominal de 1 km, o tempo deve ser medido com a precisão da ordem de 6×10 -6 s.Continuandocomamesmaanalogiaparaumdistanciômetro garantiraprecisãode1cmdeve-semedirotempocomprecisãode 6 × 10 -11 s. Comojáfoidito,inexistemcronômetrospráticoscomtal precisão,inviabilizandoautilizaçãodestatécnica.Aalternativa encontrada foi relacionar a variação de tempo com a variação da fase do sinal de medida. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 61 Figura 5.13 - Representação da função trigonométrica envolvida em um sistema de coordenadas polares e retangulares. (Fonte: Adaptado de RÜEGER, 1996). Oselementosquecaracterizamaondaeletromagnética (figura 5.13) são a amplitude (Α), a velocidade angular (ω), a freqüência (φ), o ângulo de fase (ϕ) e o tempo de percurso do sinal (t). Arelaçãoentreotempodedeslocamentodeumsinaleo ângulo de fase deste mesmo sinal é apresentada com base na figura 5.13 e no desenvolvimento a seguir. ) × = ϕ sen( A y (5.13) ou ) . ( t sen A y ω × = , (5.14) Como t × = ω ϕ(5.15) e f × = π ω 2(5.16) Então a equação (5.14) é reescrita como: ) π = t f (2 senAy(5.17) FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 62 O efeito de uma variação de fase (∆ϕ) é igual a uma variação detempo(∆t),paraomesmosinal.Utilizandoasequações(5.13)e (5.14) estas variações ficam assim expressas: [ ] ) ( t t sen A y + ∆ × = ω(5.18) ou ) ( ϕ ϕ + ∆ × = sen A y ,(5.19) Onde: ∆t = Variação do tempo; ∆ϕ = Variação de fase. Na figura 5.14 apresenta-se uma variação de tempo ∆t, a qual percebe-se que é igual à variação de fase ∆ϕ, para uma onda de período T. Esta variação também pode ser expressa pela seguinte equação: ω ϕ × ∆ = ∆ t(5.20) ou f 2 / t π ϕ ∆ = ∆(5.21) Figura 5.14 - Dois sinais senoidais com a mesma amplitude e fases diferentes. (Fonte: Adaptado de RÜEGER, 1996). FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 63 Nafigura5.14,admitindoi=1,aequação(5.18)podeser reescrita da seguinte forma: f t t π ϕ ϕ 2 / ) ( 1 2 1 2 − = − (5.22) Substituindoasequações(5.11)e(5.22)naequação(5.10), obtém-se a seguinte equação para a distância: n f Co D × × − × = π ϕ ϕ 4 / ) ( 1 2 (5.23) Aequação(5.23)apresentaaformaencontradapara determinar a distância (figura 5.14), considerando a variação da fase do sinaldemedidaaoinvésdavariaçãodotempodedeslocamentodeste mesmo sinal. A devolução do sinal de medida, nos MEDs,pode ser feita de três maneiras: reflexão total, superfície especular e reflexão difusa. a)ReflexãoTotal-Utilizadoporequipamentoscomportadora Infravermelho,eparaportadorasLASERquandoutilizadaspara medidas de grandes distâncias (figura 5.15) Prisma de Reflexão Total Raio Incidente Raio Refletido Figura 5.15 - Modelo de prisma de reflexão total. (Fonte: FAGGION,1999). Este tipo de refletor é mais conhecido como refletor de canto, formadoportrêsfacesortogonais.Suaprincipalcaracterísticaconsiste nadevoluçãodosinalindependendodoângulodeincidênciaaoincidir no refletor. O mesmo retorna paralelamente. Nestaestruturaencaixam-setambémasfitasadesivas utilizadas em rodovias para sinalização, conhecidas popularmente como FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 64 “olhos-de-gato”.Estesmodelossãoeconômicoseeficientes,porémsó proporcionamboasrespostasparadistânciascurtas.Taissistemas podemserutilizadosnalocaçãodemáquinasindustriaisecomoalvos permanentes para controle de estruturas. b)SuperfícieEspelhada-podeserutilizadoemcasos específicos,comoparaposicionamentoemtrêsdimensõesdepontos onde não é possível realizar uma visada direta (figura 5.16). Raio Incidente Raio Refletido Alvo Superfíçie Espelhada = = Figura 5.16 - Alvo de reflexão através de superfície espelhada. (Fonte: FAGGION, 1999). Como pode ser visto na figura 5.16, a característica deste alvo consiste em refletir o raio incidente com o mesmo ângulo de incidência. A aplicação deste tipo de alvo na distanciometria é muito restrita. c) Reflexão difusa - Este princípio de reflexão está sendo muito exploradopelosfabricantesdeestaçõestotaisqueutilizamdiodos LASER(LightAmplicationbyStimulatedEmissionofRadiation- Amplificação de Luz por Emissão Estimulada de Radiação) para gerar a onda portadora. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 65 Figura 5.17 - Alvo de reflexão difusa. (Fonte: FAGGION, 1999). O Laser é uma fonte de luz coerente, ou seja, com todos seus fótons em fase, logo com incidência bem localizada. Tal fato possibilita autilizaçãodoprincípiodareflexãodifusapararealizarmedidasde pequenasdistânciassemoprocessodareflexãototal,ouseja,a utilização de um refletor de canto. Tal fato só é possível tendo em vista quepelomenosumaporçãodosinalrefletidoretornaparaleloaosinal emitido(figura5.17). Tendo emvistaestefato,épossíveldeterminaro tempo de deslocamento do sinal até o anteparo e retorno ao emissor. Osinaldemedidaémoduladoeenviadoatéorefletorou superfície refletora, quematerializa o outro extremo da distância que se deseja medir e retorna à origem. Nessemomento énecessário separar a onda portadora da moduladora, ou seja, realizar a demodulação do sinal recebidoparaquesepossacompararafasederetornocomafasede emissão,nocasodosequipamentosqueutilizamportadora infravermelho, ou determinar o tempo de deslocamento do sinal para os equipamentos que utilizam LASER como portadora. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 66 5.2.2.1 - Correções Ambientais das Distâncias Obtidas com MED Comovistoanteriormente,avelocidadedepropagaçãodaluz utilizada para determinar a distância entre dois pontos, é a velocidade de propagação da luz no vácuo, tendo em vista que é a única passível de ser determinadaporprocedimentosfísicos.Porém,nostrabalhosde levantamentos nos interessa a velocidade de propagação da luz onde está sendorealizadaamedição.Paraefetuarestatransformação,os fabricantes dos Medidores Eletrônicos de Distância (MED) determinam oíndicederefraçãoemlaboratório.Mesmoassim,continuasendo necessáriaamedidadetemperatura,umidaderelativadoarepressão atmosféricanomomentodasobservações,ecomestesparâmetros realiza-se a correção particular para o local de operação. Asvariaçõesnascondiçõesatmosféricascausamum aumentooudiminuiçãonavelocidadedepropagaçãodaonda eletromagnéticaeprovocam,conseqüentemente,oserrossistemáticos nasmedidasdasdistâncias.Amaioriadasestaçõestotaispermitea aplicaçãodestacorreçãoemtemporealobtendo-adasseguintes maneiras (RÜEGER, 1996): a) utilizando o ábaco que acompanha o manual do equipamento ondeasinformaçõesnecessáriasparaseobteracorreçãoem parte por milhão (ppm) são a temperatura e a pressão; b)utilizandoasfórmulasqueacompanhamomanualdo equipamento,nestecasoasinformaçõesnecessáriassãoa temperatura, pressão e umidade relativa; c)utilizandoasfórmulasadotadaspelaUGGI(União Geodésica e Geofísica Internacional); d)utilizandoasfórmulasapresentadasporRÜEGER(1996, p.80),parareduçãodemedidasobtidasemlevantamentosde alta precisão. Adiferençaentreosvaloresdacorreçãoobtidacomostrês conjuntosdefórmulasestánacasadocentésimodomilímetro.Tendo emvistaesteaspecto,seráapresentadaaseguir,acorreção meteorológicaparaumadistânciautilizandooformulárioapresentado FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 67 no manual da estação total TC2002 e a correção para a mesma distância utilizando o ábaco. Aequaçãoapresentadapelomanualdoequipamentoéa seguinte (WILD TC2002, 1994, p.24-9): ( ) ( ) ( ( ¸ ( ¸ × × + × × − × + × − = ∆ − x t h t P D 10 1 10 126 , 4 1 29065 , 0 8 , 281 4 1 α α (5.24) Onde: ∆D 1 = Correção atmosférica em ppm; P= Pressão atmosférica (mbar); t = Temperatura ambiente (ºC); h = Umidade relativa (%); α = 1/273,16. 7857 , 0 3 , 237 5 , 7 + + × = t t x (5.25) Normalmentenasúltimaspáginasdomanualdoequipamento encontra-se o ábaco utilizado para a correção atmosférica. Neste caso, os argumentosdeentradasãoatemperaturaeapressão.Nafigura5.18, apresenta-se um ábaco retirado do manual da estação total TC2002. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 68 Figura 5.18 - Ábaco utilizado para a obtenção da correção ambiental. Fonte: WILD TC2002, 1994. p 113. 5.2.2.1.1 - Exemplos Apartirdasinformaçõesdadasaseguir,calcularovalorda correção meteorológica a ser aplicada na distância medida. Temperatura (t) = 25,0 0 C Pressão Atmosférica (p) = 920,0 mbar Umidade Relativa (h) =56 % a) Obtenção da Correção Utilizando Formulário X = ((7,5 × 25,0) / (237,3 + 25,0)) + 0,7857 X = 1,5005 ( ) ( ) ( ( ¸ ( ¸ × × + × × − × + × − = ∆ − x t h t P D 10 1 10 126 , 4 1 29065 , 0 8 , 281 4 1 α α FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 69 ∆D 1 = 281,8 - [a - b] onde: a = ( 0,29065 × 920,0 / ( 1 + 0,00366 ×25,0 ) ) b = ( ( 4,126 × 10 -4 × 56 ) / ( 1 + 0,00366 ×25,0 ) ) × 10 1,5005 ] ∆D 1 = 281,8 - [ 244,9773 - 0,67017] ∆D 1 = 37,49 ppm (parte por milhão) b) Obtenção da correção utilizando o Ábaco Utilizandoasmesmasinformaçõesapresentadas anteriormentecalcularovalordacorreçãoutilizandooábaco(figura 5.19). Temperatura (t) = 25,0 0 C Pressão Atmosférica (p) = 920,0 mbar Figura 5.19 - Ábaco utilizado para a obtenção da correção ambiental. Fonte: WILD TC 2002, 1994. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 70 ∆D 1 = 37,0 ppm Aplicandovaloresparaascorreçõesencontradasparauma distância de 800 m chega-se às seguintes distâncias corrigidas: Para o valor obtido através da equação 1000, 00 m37,49 mm 800, 00 m x mm x = (800,00 × 37,49) / 1000,00 x = 29,99 mm, arredondando para a primeira casa decimal 30,0 mm Logo a distância corrigida das condições ambientais é de 800,030 m. Para o valor obtido com o Ábaco. 1000, 00 m37,00 mm 800, 00 m x mm x = (800,00 × 37,50) / 1000,00 x = 30,00 mm Nestecasoadistânciacorrigidadascondiçõesambientaiséde 800,030 m. Como é possível perceber, não existe diferença significativa entre as duas formas utilizadas. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 71 6 - MEDIÇÃO DE DIREÇÕES 6.1 - Ângulos Horizontais e Verticais UmadasoperaçõesbásicasemTopografiaéamediçãode ânguloshorizontaiseverticais.Narealidade,nocasodosângulos horizontais,direçõessãomedidasemcampo,eapartirdestasdireções são calculados os ângulos (figura 6.1). Para a realização destas medições emprega-se um equipamento denominado de teodolito. Figura 6.1 - Leitura de direções e cálculo do ângulo. Algumas definições importantes: •Ângulohorizontal:ânguloformadopordoisplanosverticaisque contémasdireçõesformadaspelopontoocupadoeospontos visados (figura 6.2). É medido sempre na horizontal, razão pela qual o teodolito deve estar devidamente nivelado. Ponto Ponto Ponto Direção AB Direção Ângulo BAC FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 72 Figura 6.2 - Ângulo horizontal. Conformepodeservistonafigura6.2,oânguloentreas direçõesAO-OBeCO-ODéomesmo,facequeospontosAeCestão nomesmo planoverticalπ eB e D no planoπ’. Em campo, quando da colimaçãoaopontoquedefineadireçãodeinteresse,deve-setomaro cuidadodeapontaroretículoverticalexatamentesobreoponto,visto que este é que define o plano vertical. Semprequepossívelapontariadeveserrealizadaomais próximopossíveldoponto(figura6.3),paraevitarerrosnaleitura, principalmentequandoseestáutilizandoumabaliza,aqualdeveestar perfeitamente na vertical. Figura 6.3 - Pontaria para leitura de direções horizontais. O A B C D Plano Vertical πPlano Vertical π’ Ânguloα FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 73 •Ângulovertical (V): é o ângulo formado entre a linha do horizonte (plano horizontal) e a linha de visada, medido no plano vertical que contémospontos(figura6.4).Variade0ºa+90º(acimado horizonte) e 0º a - 90º (abaixo do horizonte). Figura 6.4 - Ângulo vertical. •Ângulo zenital (Z): ângulo formado entre a vertical do lugar (zênite) e a linha de visada (figura 6.5). Varia de 0º a 180º, sendo a origem da contagem o zênite. Figura 6.5 - Ângulo zenital. Zênite Ângulo zenital Z 1 Ângulo zenital Z 2 Plano horizontal Ângulo vertical V+ Ângulo vertical V- Zênite FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 74 A relação entre o ângulo zenital e vertical é dada pela equação (6.1). º 90 v Z = +(6.1) A figura 6.6 resume a questão do ângulo horizontal e zenital. Figura 6.6 - Ângulos horizontal e zenital. Fonte: Adaptado de KAMEN; FAIG, 1988. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 75 6.2 - Medida Eletrônica de Direções 6.2.1 - Introdução EmTopografiaeGeodésiaosparâmetrosessenciaissãoos ânguloseasdistâncias.Qualquerdeterminaçãogeométricaéobtidaa partir destas duas informações. A evolução da microeletrônica, principalmente após a Segunda GuerraMundial,atingiutambémosequipamentosutilizadosna determinaçãodasgrandezascitadasacima,fazendocomquea participaçãodooperadornaobtençãodosdadosnocamposetornasse menos árdua. No caso dos teodolitos, as inovações concentram-se quase queexclusivamentenosistemadeleituradoscírculosgraduadoseno sistemadosensoreletrônico,quecompensaautomaticamentea inclinação do equipamento, levando-o à horizontal. 6.3 - Teodolito Osteodolitossãoequipamentosdestinadosàmediçãode ângulosverticaisoudireçõeshorizontais,objetivandoadeterminação dos ângulos internos ou externos de uma poligonal, bem como a posição de determinados detalhes necessários ao levantamento (Figura 6.8). Atualmenteexistemdiversasmarcasemodelosdeteodolitos, os quais podem ser classificados em: •Pela finalidade: topográficos, geodésicos e astronômicos; •Quanto à forma: ópticos-mecânicos ou eletrônicos; •Quanto à precisão: A NBR 13133 (ABNT, 1994, p. 6) classifica os teodolitossegundoodesviopadrãodeumadireçãoobservadaem duas posições da luneta, conforme tabela 6.1. Tabela 6.1 - Classificação dos Teodolitos. Classe de TeodolitosDesvio-padrão Precisão angular 1 - precisão baixa ≤ ± 30” 2 - precisão média ≤ ± 07” 3 - precisão alta ≤ ± 02” Fonte: ABNT (1994, p.6). FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 76 Aprecisãodoequipamentopodeserobtidanomanualdo mesmo.Afigura6.7apresentaumexemplodemanualindicandoa precisão de um teodolito. Figura 6.7 - Indicação da precisão de um teodolito. Fonte: LEICA (1998a). Comoelementosprincipaisqueconstituemosteodolitos, mecânicosouautomáticos,ópticosoudigitais,podem-secitar:sistema de eixos, círculos graduados ou limbos, luneta de visada e níveis. 6.3.1 - Sistema de Eixos A figura 6.8 ilustra os eixos de um teodolito, a saber: VV : Eixo vertical, principal ou de rotação do teodolito; ZZ : Eixo de colimação ou linha de visada; KK : Eixo secundário ou de rotação da luneta. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 77 Figura 6.8 - Teodolito. 6.3.2 - Círculos Graduados (Limbos) Quantoaoscírculosgraduadosparaleiturasangularesos mesmospodemterescalasdemarcadasdediversasmaneiras,comopor exemplo: - Tinta sobre plástico; - Ranhuras sobre metal; - Traços gravados sobre cristal. 6.3.3 - Luneta de Visada Dependendodaaplicaçãodoinstrumentoacapacidadede ampliação pode chegar a até 80 vezes (teodolito astronômico WILD T4). EmTopografianormalmenteutilizam-selunetascompoderde ampliação de 30 vezes. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 78 6.3.4 - Níveis Osníveisdebolhapodemseresféricos(commenorprecisão), tubulares, ou digitais, nos equipamentos mais recentes. 6.4 - Princípio da Leitura Eletrônica de Direções Oslimbospodemfuncionarportransparênciaoureflexão.A codificação é feita sempre utilizando elementos que interrompem ou não o caminho óptico entre a fonte emissora de luz e o fotodetector. Noscasosgeraisondeoslimbosfuncionamportransparência, osprincipaiscomponentesfísicosdaleituraeletrônicadedireçõessão dois, a saber: a)umcírculodecristalcomregiõesclaraseescuras (transparenteseopacas)codificadasatravésdeumsistemade fotoleitura; b)fotodiodosdetectoresdaluzqueatravessamocírculo graduado. Existem basicamente dois princípios de codificação e medição, o absoluto que fornece um valor angular para cada posição do círculo, e oincrementalqueforneceovalorincrementalapartirdeumaorigem, isto é, quando se gira o teodolito a partir de uma posição inicial. Paraseentenderdemaneirasimplificadaosprincípiosde funcionamento,pode-sepensarnumcírculodevidrocomumasériede traçosopacosigualmenteespaçadosecomespessuraigualaeste espaçamento.Colocandoumafontedeluzdeumladodocírculoeum fotodetectordooutro,épossível“contar”onúmerodepulsos “claros/escuros”queocorremquandooteodolitoégirado,deuma posição para outra, paramedir um ângulo. Essenúmero de pulsos pode ser então convertido e apresentado de forma digital em um visor. O exemplo a seguir ilustra este raciocínio. Tomandoumcírculograduadode8cmderaio,comum perímetroaproximadode500mm,pode-sepensaremtraçoscom espessurade0,5mm,detalformaquesetenhaumtraçoclaroeum escuroacadamilímetro,logo1000traçosnoequivalenteaos360 0 do círculo.Issolevaaconcluirquecadapulso(claroouescuro) corresponderiaacerca de 20 minutosdearco,queseriaa precisão,não FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 79 muitoboa,dohipotéticoequipamento.Oexemplodescritoseriaocaso do modelo incremental (figura 6.9) (CINTRA, 1993; DURAN, 199_). Figura 6.9 - Modelo de limbo incremental. Numsegundomodelopode-sepensaremtrilhasopacas dispostas concentricamente e não mais na posição radial (figura 6.10). Nestecasoonúmerodetrilhasvemdadopeloraioenãopelo perímetro como no exemplo anterior. Associa-se o valor 0 (zero) quando aluznãopassae1(um)quandoaluzpassa.Paradetectarapassagem ounãodaluzémontadaumasériedediodos,nestecaso,emforma radial.Aposiçãodocírculoéassociadaaumcódigobináriode“0”ou “1” em uma determinada seqüência. Isso forneceria um novo modelo, de sistema absoluto e não incremental como o anterior. Figura 6.10 - Sistema de codificação absoluto. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 80 6.4.1 - Sensor Eletrônico de Inclinação Valeapenaacrescentar,queosteodolitoseletrônicosincluem outracaracterísticadistintaemrelaçãoaosmecânicos:osistemade sensoreseletrônicosdeinclinaçãoquepermitemahorizontalização automática. Alémdefacilitaratarefadooperadoreaumentaraprecisão, esse sistema permite corrigir diretamente uma visada simples de ângulos verticais, sem ter que conjugar os pares de leituras nas posições direta e inversa. Osistemaapresentadonafigura6.11ébaseadonareflexãode uma luz sobre uma superfície líquida, que sempre permanece horizontal e por isso pode ser usada como um referencial. Uma luz gerada em (A) é refletida na superfície líquida (B) e após atravessar alguns componentes ópticosatingeumfotodiodo(C).Ovalordacorrente,induzidaneste, permitedeterminaraposiçãodaluzcomrelaçãoaopontodezero(Z), emquequadrante(figura6.11)equalodeslocamentocomrelaçãoa esse ponto central, ouseja, a inclinação do teodolito na direção do eixo decolimação(horizontal)enasuaperpendicular(vertical)(CINTRA, 1993; DURAN, 199_). Figura 6.11 - Esquema do Sensor de Inclinação. ADAPTADO: CINTRA, 1993. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 81 Figura 6.12 - Detalhe do sensor de inclinação. ADAPTADO: CINTRA, 1993. 6.5 - Estações Totais De maneira geral pode-se dizer que uma estação total nada mais édoqueumteodolitoeletrônico(medidaangular),umdistanciômetro eletrônico (medida linear) e um processador matemático, associados em umsóconjunto(figura6.13).Apartirdeinformaçõesmedidasem campo,comoângulosedistâncias,umaestaçãototalpermiteobter outras informações como: - Distância reduzida ao horizonte (distância horizontal); - Desnível entre os pontos (ponto “a” equipamento, ponto “b”refletor); - Coordenadas dos pontos ocupados pelo refletor, a partir de uma orientação prévia. Alémdestasfacilidadesestesequipamentospermitemrealizar correçõesnomomentodaobtençãodasmediçõesouatérealizaruma programaçãopréviaparaaplicaçãoautomáticadedeterminados parâmetros como: - Condições ambientais (temperatura e pressão atmosférica); - Constante do prisma. Além disto, é possível configurar o instrumento emfunção das necessidades do levantamento, alterando valores como: - Altura do instrumento; FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 82 -Altura do refletor; - Unidade de medida angular; - Unidade de medida de distância (metros, pés); -Origemdamedidadoângulovertical(zenital,horizontalou nadiral); Figura 6.13 - Estação total. 6.6 - Métodos de Medida Angular Em Topografia, normalmente deseja-se determinar o ângulo horizontal compreendido entre duas direções, conforme exemplo abaixo. Figura 6.14 - Ângulo α αα α. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 83 6.6.1 - Aparelho não Orientado Neste caso, faz-se a leitura da direção AB(L1) e AC(L2), sendo que o ângulo α será obtido pela diferença entre L1 e L2. O teodolito não precisa estar orientado segundo uma direção específica (figura 6.15). Figura 6.15 - Aparelho não orientado. 1 L 2 L − = α (6.2) Se α for negativo soma-se 360º. 6.6.2 - Aparelho Orientado pelo Norte Verdadeiro ou Geográfico As leituras L1 e L2 passam a ser azimutes verdadeiros de A para B e de A para C. 6.6.3 - Aparelho Orientado pela Bússola Caso semelhante ao anterior e denominam-se as leituras de azimutes magnéticos. α A B C L1 L2 0º FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 84 6.6.4 - Aparelho Orientado na Ré Nestecaso,zera-seoinstrumentonaestaçãoréefaz-sea pontarianaestaçãodevante.Nocasodeumapoligonalfechada,seo caminhamentodolevantamentoforrealizadonosentidohorário,será determinadooânguloexternocompreendidoentreospontosBÂC (figura 6.16). Figura 6.16 - Aparelho orientado na estação ré. 6.6.5 - Aparelho Orientado na Vante Semelhante ao caso anterior, somente que agora o equipamento será zerado na estação de vante (figura 6.17). Figura 6.17 - Aparelho orientado na estação vante. 6.6.6 - Deflexão Neste caso, força-se a coincidência da leitura 180º com o ponto deré,oqueequivaleateraorigemdagraduaçãonoprolongamento dessadireção.Adeflexãoserápositiva(leituraàdireita)ounegativa (leitura à esquerda) e vai variar sempre de 0º a 180º (figura 6.18) A B C Ré Vante B A C 0º Ré Vante FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 85 Figura 6.18 - Deflexão. 6.7 - Técnicas de Medição de Direções Horizontais 6.7.1 - Simples Instala-seoteodolitoemA,visa-seaestaçãoBemPontaria Direta, e anota-se Lb. A seguir, visa-se a estação C e lê-se Lc. Lb Lc − = α (6.3) Em qualquer medida de ângulo horizontal é fundamental que os retículos verticais estejam perfeitamente sobre o alvo. 6.7.2 - Pares Conjugados (PD e PI) As leituras são feitas na posição direta da luneta e na posição inversa, conforme ilustra a figura 6.19. LPD-Leitura em PD LPI-Leitura em PI B A C 180º FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 86 L+ L+ 180 PD PI L+ L PD PI 2 2 L = L = + 90 Figura 6.19 - Leitura de pares conjugados. Assim: ° ± + = 90 2 PI PD L L L Onde: + se PD > PI (6.4) - se PD < PI Exemplo: 0º 0º P (PI) (PD) L PD L PI 0º 0º P (PI) (PD) LPD LPI L+ L- 180 PD PI L+ L PD PI 2 2 L = L = - 90 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 87 ForammedidasduasdireçõesAeBparaadeterminaçãodo ângulo α. Estas medidas foram feitas em PD e PI. α C A B Pontaria A (ré) Pontaria B (vante) PD 0º 00' 00" 1º 46' 00" PI 180º 00' 00" 181º 48 00" L 0º 00' 00" 1º 47' 00" 6.7.3 - Medidas com Reiterações Existemalgunsteodolitoschamadosreiteradores, quepossuem um parafuso reiterador que permite reiterar olimbo, ou seja, deslocar o limbo independentemente da alidade. Fixado o número de reiterações n, efetuam-se n pares de leituras conjugadas, tendo o cuidado de deslocar a origem da graduação de forma a cobrir todo o círculo horizontal. Exemplificandoométododereiteração:comolimboemuma posiçãoinicialrealizam-seasleiturasdasdireçõescomoilustradona figura 6.20. Figura 6.20 - Leituras utilizando o método de reiteração - posição I. L A = 30º00’ L B = 50º00’ α = 20º00’ 0º FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 88 Utilizando 45° como intervalo de reiteração, gira-se o limbo do equipamento de 45° e as novas leituras são apresentadas na figura 6.21. Figura 6.21 - Leituras utilizando o método de reiteração - posição II. Reiterando mais 45º (figura 6.22), Figura 6.22 - Leituras utilizando o método de reiteração - posição III. Comistoépossívelutilizartodaaextensãodolimbo, minimizando-seosefeitosdeerrosdegravaçãonagraduaçãodo equipamento.Natabela6.2éapresentadoumexemplodeleituras empregando-se o processo de reiteração. L A = 75º00’ L B = 95º00’ α = 20º00’ 45º 0º L A = 120º00’ L B =140º00’ α = 20º00’ Oº FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 89 Tabela 6.2 - Exemplo de leituras utilizando reiteração. 4 4 3 2 1 0 α α α α α + + + = ' ' 2 , 29 ' 08 9° = o α Obs.: α n não pode diferir dos ângulos obtidos em cada uma das sériesmaisque3xaprecisãonominaldoequipamentoutilizadopara realizar a medição. 6.7.4 - Medidas com Repetição Utilizado em equipamentos com movimento geral e particular, ou seja, no qual é possível “fixar” uma direção. Neste método faz-se a leitura de direção inicial (no caso da figura 6.23,direçãoOA,leituraL 0 )edepoisaleituranaoutradireção(L 1 ). Fixa-sealeituraL 1 erealiza-seapontarianovamentenadireçãoOA. Libera-seomovimentodoequipamentoefaz-seapontariaemB novamente (leitura L 2 ), fixa-se esta leitura e repete-se o procedimento. A (ré)B (vante) PD0º31'45,5"9º40'15,5" PI180º31'44,1"189º40'15,7" m10º31'44,8"9º40'15,5"α 1 = 9º08'30,8" PD45º33'11,9"54º41'42,8" PI225º33'15,9"234º41'42,4" m245º33'13,9"54º41'42,6"α 2 = 9º08'28,7" PD90º25'44,2"99º34'13,3" PI270º25'44,5"279º34'14,6" m390º25'44,3"99º34'13,9"α 3 = 9º08'29,6" PD135º26'51,3"144º35'18,9" PI315º26'47,8"324º35'15,9" m4 135º26'49,5"144º35'17,4" α4 = 9º08'27,9" FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 90 β0 β 1 β2 β3 A B 0 L0 L1 L 1 L 2 L2 L3 L 3 L 4 Figura 6.23 - Medida com repetição. O ângulo β poderá ser calculado por: 0 4 3 4 3 2 3 2 1 2 1 0 1 0 __________ L L n L L L L L L L L − = − = − = − = − = β β β β β n L L 0 4 − = β Ou genericamente: n x L L i f ° × + − = 360 ) ( β (6.5) FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 91 Onde: x = nº. de giros completos do círculo graduado, devendo ser contado toda vez que passar pela graduação zero. Exemplo 6.1 - Dadas as observações representadas na figura 6.24, calcular o valor do ângulo AOB. Figura 6.24 - Direções medidas com o método de repetição. Calculando o valor do ângulo: 180º- 0º + x . 360º Onde:x = 1 giro completo n = 6 n n 6 α = α = α = α = 180º + 360º 540º 90º A B 90º180º270º360º90º180º 0º 90º 180º 270º 360º 90º L i = 0º L f = 180º O FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 92 Exemplo6.2-Dadasasobservaçõesrepresentadasnafigura 6.25, calcular o valor do ângulo COD. Figura 6.25 - Direções medidas com o método de repetição. Efetuando-se os cálculos: L- L+ x . 360ºf i x = 1 giro completo n = 3 n 3 α = α = α = 37º27' -247º39' + 360º A figura 6.26 exemplifica o método de repetição. L i = 358º 12’ L f = 110º 33’ 1 C D 0 358º 12' 110º 33' 73º06' 73º06' 35º 39' 35º 39' 23 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 93 Figura 6.26 - Exemplificando o método de repetição. 6.8 - Procedimento de Medida em Campo Utilizando um Teodolito Osprocedimentosparaamediçãoutilizandoumteodolito podem ser resumidos em: •Instalação do equipamento; •Focalização e pontaria; •Leitura da direção. 6.8.1 - Instalação do Equipamento DiversosprocedimentosdecampoemTopografiasão realizadoscomoauxíliodeequipamentoscomoestaçõestotaise teodolitos.Paraqueestesequipamentospossamserutilizados,os mesmosdevemestarcorretamente“estacionados”sobreum determinado ponto. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 94 Estacionar um equipamento significa que o mesmo deverá estar niveladoecentradosobreopontotopográfico.Asmediçõessomente poderãoiniciarapósestascondiçõesseremverificadas.Écomum diferentesprofissionaisteremasuaformaprópriadeestacionaro equipamento,porém,seguindoalgumasregrassimples,este procedimento pode ser efetuado de forma rápida e precisa. Oexemploaseguirdemonstraosprocedimentosparao estacionamento de uma estação total TC 403L da Leica, porém as etapas serãoasmesmasparaoutrosmodelosdeequipamentosquepossuam prumos óticos ou laser. 6.8.1.1 - Instalando o tripé e retirando o instrumento da caixa Paraestacionaroequipamentodemedidasobreum determinado ponto topográfico, o primeiro passo é instalar o tripé sobre oponto.Umpontotopográficopodesermaterializadodediversas maneiras,comoporpiquetes,pregosouchapasmetálicas,entreoutros. A figura 6.27 ilustra um exemplo de ponto materializado através de uma chapa metálica engastada em um marco de concreto de forma tronco de pirâmide. Figura 6.27 - Marco de concreto. Nachapametálicaseráencontradaumamarca(figura6.28), querepresentaopontotopográfico.Teoricamente,apósoequipamento estar devidamente calado e centrado sobre o ponto, o prolongamento do eixo principal do equipamento passará por esta marcação sobre a chapa. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 95 Figura 6.28 - Chapa metálica com a indicação do ponto topográfico. Enquantoosequipamentosnãoestiveremsendoutilizados, deve-seevitardeixá-losapoiadosempé,poisestespodemcairesofrer algumaavaria.Oidealédeixarosequipamentossempre“deitados”no chão,conformeilustraafigura6.29.Escolhidoopontoondeserá estacionado o equipamento, é hora de instalar o tripé. Figura 6.29 - Disposição dos equipamentos enquanto não utilizados. O tripé possui parafusos ou travas que permitem o ajuste das alturas das pernas (figura 6.30). Figura 6.30 - Movimento de extensão das pernas do tripé. Indicação do ponto topográfico sobre a chapa metálica FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 96 Inicialmenteotripédeveserabertoeposicionadosobreo ponto.Deve-seprocurardeixarabasedotripénumaalturaque posteriormente,comainstalaçãodoinstrumentodemedida,o observador fique em uma posição confortável para manuseio e leitura do equipamento.Éfundamentalcravarbemaspontasdaspernasdotripé paraevitarqueomesmosemovaposteriormenteduranteasmedições (figura 6.31). Figura 6.31 - Cravando o tripé no solo. Doispontosdevemserobservadosnestaetapa,parafacilitara posteriorinstalaçãodoequipamento:oprimeiroéqueabasedotripé deve estar o mais horizontal possível (figura 6.32-a)e o segundo é que atravésdoorifícioexistentenabasedotripédeve-seenxergaroponto topográfico. (figura 6.32-b). Figura 6.32 - Cuidados a serem seguidos na instalação do tripé. a)b) FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 97 Terminada esta etapa o equipamento já pode ser colocado sobre otripé.Omesmodeveserretiradocomcuidadodoseuestojo.É importante deixar o estojo fechado em campo para evitar problemas com umidadeesujeira,alémdedificultaraperdadeacessóriosqueficam guardados no estojo. A figura 6.33 ilustra esta questão. Figura 6.33 - Retirando o instrumento da caixa. Depoisdeposicionadosobreabasedotripé,oequipamento deve ser fixo à base com o auxílio do parafuso de fixação (figura 6.34). Enquantooequipamentonãoestiverpresoaotripé,omesmodeve sempre estar sendo segurado com uma das mãos para evitar queda. Figura 6.34 - Fixando o equipamento ao tripé. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 98 6.8.1.2 - Centragem e nivelamento Apósoequipamentoestarfixosobreotripéénecessário realizaracentragemeonivelamentodomesmo.Centrarum equipamentosobreumpontosignificaque,umaveznivelado,o prolongamentodoseueixovertical(tambémchamadoprincipal)está passando exatamente sobre o ponto (figura 6.35). Para fins práticos, este eixo é materializado pelo fio de prumo, prumo ótico ou prumo laser. Figura 6.35 - Eixo principal do equipamento passando pelo ponto. Nivelaroequipamentoéumdosprocedimentosfundamentais antesdarealizaçãodequalquermedição.Onivelamentopodeser divididoemduasetapas,umainicialougrosseira,utilizando-seonível esférico,queemalgunsequipamentosestáassociadoàbasedos mesmos,eaoutradeprecisãoou"fina",utilizando-seníveistubulares, ou mais recentemente, níveis digitais (figura 6.36). FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 99 Figura 6.36 - Níveis esférico, tubular e digital. Inicialmente,comoauxíliodosparafusoscalantes,posiciona- se o prumo laser sobre o ponto (figura 6.37).Para prumos óticos não se deveesquecerderealizarafocalizaçãoecentrarosretículossobreo ponto. Figura 6.37 - Posicionando o prumo sobre o ponto. Realiza-seentãoonivelamentogrosseiroutilizandoo movimentodeextensãodaspernasdotripé(figura6.38).Este nivelamentoérealizadoutilizandoonívelesférico.Observa-seo deslocamentodabolhanonívelesféricoerealiza-seacentragemou calagem do mesmo (figura 6.39). prumo laser prumo laser centrado no ponto Nível tubular Nível esférico Nível digital FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 100 Figura 6.38 - Ajustando o nível de bolha utilizando os movimentos de extensão do tripé. Figura 6.39 - Calagem da bolha do nível esférico. Onivelamento"fino"oudeprecisãoérealizadocomauxílio dos parafusos calantes e níveis tubulares ou digitais. Inicialmente alinha- se o nível tubular a dois dos parafusos calantes (figura 6.40). Figura 6.40 - Nível alinhado a dois calantes. Calantes FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 101 Atuando nestes dois parafusos alinhados ao nível tubular, faz-se comqueabolhasedesloqueatéaposiçãocentraldonível.Cabe salientar que os parafusos devem ser girados em sentidos opostos, a fim de centrar a bolha do nível (figura 6.41). Figura 6.41 - Movimentação dos dois calantes ao mesmo tempo, em sentidos opostos. Apósabolhaestarcentrada,gira-seoequipamentode90º,de formaqueoníveltubularestejaagoraortogonalàlinhadefinida anteriormente (figura 6.42). Figura 6.42 - Alinhamento do nível ortogonalmente à linha inicial. Atuando-se somente no parafuso que está alinhado com o nível (figura 6.43), realiza-se a centragem da bolha. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 102 Figura 6.43 - Centragem da bolha atuando no parafuso ortogonal a linha inicial. Paraequipamentoscomníveisdigitaisnãoénecessário rotacionaroequipamento,bastaatuardiretamentenoparafusoqueestá ortogonalalinhadefinidapelosoutrosdois.Repete-seoprocedimento atéque,aogiraroequipamento,esteestejasempreniveladoem qualquerposição.Casoistonãoocorra, deve-severificaracondiçãode verticalidade do eixo principal e se necessário, retificar o equipamento. Ao terminar este procedimento, verifica-se a posição do prumo. Seomesmonãoestásobreoponto,solta-seoparafusodefixaçãodo equipamento e desloca-se o mesmo com cuidado até que oprumo esteja coincidindocomoponto.Deve-setomarocuidadodenãorotacionar o equipamentoduranteesteprocedimento,realizandosomenteuma translação do mesmo. Feitoisto,deve-severificarseoinstrumentoestániveladoe casoistonãosejaverificado,realiza-senovamenteonivelamentofino. Esteprocedimentodeveserrepetidoatéqueoequipamentoesteja perfeitamenteniveladoecentrado.Aofinaldestaetapa,oequipamento estará pronto para a realização das medições. As etapas para instalação do equipamento podem ser resumidas em: •Posicionarotripésobreopontotomandoocuidadode deixaropratoomaishorizontalpossívelsendopossível enxergaropontoatravésdoorifícioexistentenabasedo tripé; FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 103 •Fixar o equipamento sobre o tripé; •Com o auxílio dos parafusos calantes, posicionar o prumo sobre o ponto; •Nivelarabolhaesféricacomoauxíliodomovimentode extensão das pernas do tripé; •Realizaronivelamentofinoutilizandooníveltubularou digital; •Verificarseoprumosaiudoponto.Casoistotenha ocorrido,soltaroequipamentoedeslocaromesmoaté que o prumo esteja posicionado sobre o ponto; •Repetirosdoisúltimosprocedimentosatéqueo equipamento esteja perfeitamente nivelado e centrado. 6.8.2 - Focalização da Luneta DeacordocomESPARTEL(1987p.147),“focaralunetaéa operação que tem por fim fazer a coincidência do plano do retículo e do plano da imagem do objeto visado com o plano focal comum à objetiva eàocular”.Oprocedimentodefocalizaçãoinicia-sepelafocalização dos retículos e depois do objeto. Deve-se sempre checar se a luneta está bemfocalizada,paraevitaroproblemadenominadodeparalaxede observação,oqualacarretaráemvisadasincorretas.Paraverificarse está ocorrendo este fenômeno deve-semover a cabeça para cima e para baixo, para a direita e esquerda, sempre observando pela ocular. Quando destes movimentos, verificando-se que os fios do retículo se movem em relaçãoàimagem,entãoexisteumaparalaxedeobservaçãoe,neste caso, a pontaria dependerá da posição do observador. Para evitar este problema deve-se proceder da seguinte forma: a)Focalizaçãodosretículos:osretículosdevemestarfocalizadosde formaqueestejamsendovistoscomnitidezebemdefinidos.Para facilitar este procedimento, pode-se observar uma superfície clara, como uma parede branca ou mesmo o céu (figura 6.44), tomando o cuidado de não apontar para o Sol, para evitar danos irreversíveis à visão. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 104 Figura 6.44 - Retículos focalizados. b)Focalizaçãodoobjeto:feitaafocalizaçãodosretículos,faz-sea pontaria ao objeto desejado e realiza-se afocalização do mesmo (figura 6.45-ae6.45-b).Testa-separaverseháoproblemadeparalaxe (deslocamentoaparentedeumobjetoemrelaçãoaumreferencial causadopelodeslocamentodoobservador).Casosejaverificadoa ocorrênciadamesma,deve-serealizarnovafocalizaçãoaoobjeto.Na figura6.45-c,supondoumdeslocamentodoobservadornosentido longitudinal,percebe-sequehouveumdeslocamentodoretículoem relação à imagem, caracterizando a paralaxe de observação. Figura 6.45 - Focalização da imagem e paralaxe de observação. Durante a pontaria, os fios do retículo devem estar posicionados exatamente sobre o ponto onde se deseja realizar a pontaria. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 105 6.8.3 - Leitura da Direção Depoisderealizadaapontaria,faz-sealeituradadireção,que em equipamentos eletrônicos é um procedimento simples, bastando ler o valor apresentado no visor do mesmo. Paraaleituradadireçãohorizontaldoteodolito,adiferença entrealeituraempontariadireta(PD)epontariainversa(PI)deveser iguala180º.ParaleituradoângulozenitalasomadosvaloresdePDe PI devem ser iguais a 360º. 6.9 - Ângulos Verticais Amedidadeângulosverticaiséafetadaquandoaverticaldo equipamento,apesardesteestarcorretamentecentradoenivelado,não coincide com a vertical da estação. NaFigura6.46,Zrepresentaaverticaldoequipamentoisenta deerroeZ’averticaldoequipamentocomerro.Oângulozenitalem PontariaDireta(PD)entreaverticalisentadeerroealinhadevisada para o ponto P é dado por Z 1 igual a Z PD . Porém, o ângulo zenital em PD fornecidopeloequipamentocorrespondeaZ’ PD ,entreaverticalcom erro e a linha de visada para o ponto P. Sendo ε o erro de verticalidade, tem-se: Z PD = Z 1 = Z’ PD + ε(6.6) Figura 6.46 - Ângulo zenital em PD. Z Z’ P Z’ PD Z 1 ε FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 106 A figura 6.47 representa da mesma maneira, as verticais Z e Z’, respectivamente isenta e com erro de verticalidade, e Z PI corresponde ao ânguloverticalsemerroemPIeZ’ PI oânguloverticalcomerrode verticalidade. Figura 6.47 - Ângulo zenital em PI. Observa-se que: Z PI = Z 2 = 360º - Z’ PI + ε (6.7) Somando-se as equações (6.6) e (6.7) obtém-se: (360º - Z’ PI + ε)+ (Z’ PD + ε )(6.8) Chegando-se a: (6.9) A equação (6.9) permite calcular o ângulo zenital isento do erro de verticalidade, a partir de uma PD e uma PI ao mesmo alvo. 2 360 PI PD Z Z Z − + ° = FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 107 Fazendo (6.7) - (6.6): (360º - Z’ PI + ε)- (Z’ PD + ε )(6.10) Obtém-se: (6.11) Através da equação (6.11) calcula-se o erro de verticalidade de umequipamentoapartirdeumaPDeumaPIrealizadasaummesmo alvofixo.Observe-sequeoerrodeverticalidadeconstituiumerro sistemático. Se por algum motivo não for possível efetuarmos PD e PI a um determinadoalvo,calcula-seoerrodeverticalidadedoequipamentoe corrige-se uma leitura efetuada somente em PD através da equação: Z = ZPD + ε(6.12) 6.9.1 - Exercícios a)Calcularoânguloverticalisentodoerrodeverticalidadea partir das leituras efetuadas a um alvo fixo em PD e PI. Z PD = 88º 56’ 54’’Z PI = 271º 05’ 06’’ Z = 88º 55’ 54’’ 2 ) ( 360 PI PD Z Z + − ° = ε 2 360 PI PD Z Z Z − + ° = FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 108 b) Calcular o erro de verticalidade deste equipamento. e = - 0º 01’ 00’’ Portanto,seoequipamentopossuiumerrodeverticalidadede (-1’)eosângulosverticaisfossemlidossomenteemPD,seriapossível corrigi-los: Z = Z PD + ε Z = 88º 56’ 54’’ + (- 0º 01’ 00’’) = 88º 55’ 54’’ 2 ) ( 360 PI PD Z Z + − ° = ε FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 109 7 - ORIENTAÇÃO 7.1 - Norte Magnético e Geográfico OplanetaTerrapodeserconsideradoumgigantescoimã, devido à circulação da corrente elétrica em seu núcleo formado de ferro e níquel em estado líquido. Estas correntes criam um campo magnético, como pode ser visto na figura 7.1. EstecampomagnéticoaoredordaTerratemaforma aproximadadocampomagnéticoaoredordeumimãdebarrasimples (figura7.1).Talcampoexerceumaforçadeatraçãosobreaagulhada bússola,fazendocomqueamesmaentreemmovimentoeseestabilize quando sua ponta imantada estiver apontando para o Norte magnético. Figura 7.1 - Campo magnético ao redor da Terra. Adaptado de: THE EARTHS MAGNETIC FIELD (2004). Pólo geográfico Pólo geomagnético Equador geográfico Equador magnético FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 110 ATerra,nasuarotaçãodiária,giraemtornodeumeixo.Os pontosdeencontrodesteeixocomasuperfícieterrestredenominam-se de Pólo Norte e Pólo Sul verdadeiros ou geográficos (figura 7.2). Oeixomagnéticonãocoincidecomoeixogeográfico.Esta diferença entre a indicação do Pólo Norte magnético (dada pela bússola) eaposiçãodoPóloNortegeográficodenomina-sededeclinação magnética, que será vista em detalhes neste capítulo. 7.2 - Azimute e Rumo 7.2.1 - Azimute Azimute de uma direção é o ângulo formado entre ameridiana de origem que contém os Pólos, magnéticos ou geográficos, e a direção considerada. É medido a partir do Norte, no sentido horário e varia de 0º a 360º (figura 7.2). N S W E P1 P2 P3 P4 Az = 30º 15' 1 Az = 120º 45' 2 Az = 210º 15' 3 Az = 310º 15' 4 1º Q 3º Q 4º Q 2º Q Figura 7.2 - Representação do azimute. 7.2.2 - Rumo Rumoéomenorânguloformadopelameridianaque materializa o alinhamento Norte Sul e a direção considerada. Varia de 0º a 90º, sendo contado do Norte ou doSul por leste e oeste.Este sistema expressa o ângulo em função do quadrante em que se encontra. Além do FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 111 valornuméricodoânguloacrescenta-seumasigla(NE,SE,SW,NW) cuja primeira letra indica a origem a partir do qual se realiza a contagem easegundaindicaadireçãodogiroouquadrante.Afigura7.3 representa este sistema. N S W E P1 P2 P3 P4 30º15' SW ou S 30º 15' W 30º15' NW ou N 30º 15' W 30º15' NE ou N 30º 15' E 30º15' SE ou S 30º 15' E 1ºQ 4ºQ 3ºQ 2ºQ Figura 7.3 - Representação do rumo. Independentedaorientaçãodosistema(geográficoou magnético)aformadecontagemdoAzimuteedoRumo,bemcomoa conversão entre os mesmos ocorre da mesma forma. 7.2.3 - Conversão entre Rumo e Azimute Semprequepossívelérecomendávelatransformaçãodos rumosemazimutes,tendoemvistaapraticidadenoscálculosde coordenadas, por exemplo, e também para a orientação de estruturas em campo. Paraentendermelhoroprocessodetransformação,observea seqüência indicada a partir da figura 7.4. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 112 N S W E 1 2 3 4 R= 360º - 4 Az 4 R= 180º - 2 Az 2 R= - 180º 3 Az 3 R= Az 1 1 1ºQ 3ºQ 4ºQ 2ºQ Az 4 Az 3 Az 2 Figura 7.4 - Representação do rumo em função do azimute. a)Conversão de azimute para rumo No primeiro quadrante: Z1 1 A R =(7.1) No segundo quadrante: Z2 2 A - 180º R = (7.2) No terceiro quadrante: 180º - A R Z3 3 = (7.3) FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 113 No quarto quadrante: Z4 4 A - 360º R = (7.4) b)Conversão de rumo para azimute No primeiro quadrante (NE): 1 Z1 R A =(7.5) No segundo quadrante (SE): 2 2 Z R º 180 A − = (7.6) No terceiro quadrante (SW): 3 3 Z R º 180 A + = (7.7) No quarto quadrante (NW): 4 4 Z R º 360 A − = (7.8) FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 114 7.2.4 - Exercícios 1) Transforme os seguintes rumos em azimute e vice versa. Rumo = 30º 25' SE Azimute = 33º 43' 30º 25' SE 33º 43' N N S S E E W W Rumo = 38º 15' NW Azimute = 233º 40' SE 38º 15' NW 233º 40' N N S S E E W W FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 115 2) Você é o responsável técnico pela divisão de “sistemas transmissores desinaiseletromagnéticos”deumagrandeempresa.Amesmafoi contratadaparaimplantarquatroantenascomasseguintes características: Painel 01 azimute = 45º 15’ Painel 02 azimute = 156º 30’ Painel 03 azimute = 230º 25’ Painel 04 azimute = 310º 20’ Abússoladisponívelnaempresasóapresentaaorientaçãoem formaderumo.Comovocêfariaparatransformarosazimutesem rumos? Represente o resultado nas figuras abaixo. N S W E N S W E N S W E N S W E FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 116 3) Sua empresa foi contratada para montar quatro painéis de transmissão em uma antena de telefonia celular com a seguinte característica: Painel 01 rumo magnético = 45º 15’ NE Painel 02 rumo magnético = 24º 30’ SE Painel 03 rumo magnético = 40º 25’ SW Painel 04 rumo magnético = 25º 20’ NW Abússoladisponívelnaempresasóapresentaaorientaçãoem forma de azimute. Como você faria para transformar os rumos dados em azimute? Represente o resultado nas figuras abaixo. N S W E N S W E N S W E N S W E FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 117 7.3 - Declinação Magnética Declinaçãomagnéticaéoânguloformadoentreomeridiano verdadeiroeomeridianomagnético;outambémpodeseridentificado como desvio entre o azimuteou rumoverdadeiros e os correspondentes magnéticos (figura 7.5). Variacomotempoecomaposiçãogeográfica,podendoser ocidental(δ W ),negativaquandooPólomagnéticoestiveraoeste(W) dogeográficoeoriental(δ E )emcasocontrário.Atualmente,emnosso país a declinação magnética é negativa, logo ocidental. Figura 7.5 - Representação da declinação magnética. Arepresentaçãodadeclinaçãomagnéticaemcartaséfeita atravésdecurvasdeigualvalordevariaçãoanualemgraus(curvas isogônicas)ecurvasdeigualvariaçãoanualemminutos(curvas isopóricas).Ainterpolaçãodascurvasdograueposteriormenteno minuto, para uma dada posição na superfície física da Terra, nos permite adeterminaçãodadeclinaçãomagnéticacomprecisãonaordemdo minuto. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 118 NoBrasiloórgãoresponsávelpelaelaboraçãodascartasde declinaçãoéoObservatórioNacionaleaperiodicidadedepublicações damesmaéde10anos.AtualmenteoObservatórioNacional disponibilizaadeclinaçãomagnéticanoendereço http://staff.on.br/~jlkm/magdec. 7.3.1-TransformaçãodeNorteMagnéticoemGeográficoevice- versa Atransformaçãodeelementos(rumoseazimutes)com orientaçãopeloNorteverdadeirooumagnéticoéumprocessosimples, basta somar algebricamente a declinação magnética. Afigura7.10ailustraocasoemqueadeclinaçãomagnéticaé positiva, ou seja, o Norte magnético está a leste do Norte verdadeiro, e o azimute verdadeiro é calculado por: D Az Az m V + = ParaocasodoBrasil,ondeadeclinaçãomagnéticaénegativa (figura 7.10b), o Norte magnético situa-se a oeste do Norte verdadeiro e o azimute verdadeiro é obtido da seguinte forma: (-D) Az Az m V + = Nv SV P1 Sm Nm Azm Azv D B Nv SV P1 Sm Nm Azm Azv A D Figura 7.10 - Transformação de azimute e rumo magnético para verdadeiro e vice-versa. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 119 Exemplo: 1)Sabe-sequeoazimuteverdadeirodopaineldeumaantenaem Curitiba(φ=25º25’S,λ=49º13’W)é45º21’nodia14demaiode 2001eacorrespondentedeclinaçãomagnéticaé17º32’W.Calcularo azimutemagnéticoparaadireçãoemquestão,tendoemvistaquea empresa só dispõe de bússola para a orientação. 53' 62º Az ) 32' 17º ( 21' 45º Az ) ( ) ( m m = − − = − − = − + = D Az Az D Az Az v m m v 7.4 - Bússolas A bússola é um instrumento idealizado para determinar a direção dos alinhamentos em relação à meridiana dada pela agulha magnética. Umabússolaconsisteessencialmentedeumaagulha magnetizada,livrementesuportadanocentrodeumcírculohorizontal graduado, também conhecido como limbo. A figura 7.11, apresenta um modelo de bússola utilizada em conjunto com teodolitos. Figura 7.11 - Teodolito TC100 com bússola. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 120 7.4.1 - Inversão dos Pontos “E” e “W” da bússola No visor da bússola, além daindicação dos valores emgraus e minutos,variandode0ºà360º,encontram-segravadostambémos quatro pontos cardeais (Norte “N”, Sul “S”, Leste “E”, Oeste “W”). Uma questão importante deve ser observada: para determinados tiposdebússolasospontoscardeaisEeW,estãoinvertidosna representaçãogravadanolimbo.Estasbússolassãodenominadasde bússolasderumo.ParatantosealinhaamarcaçãodadireçãoNorte, dadapelaagulhadabússola,comoalinhamentoe,ondeaagulha estabilizar faz-se a leitura do rumo da direção. 7.4.2 - Utilização da Bússola Normalmenteantesdeutilizarqualquerinstrumentodeve-se realizarumachecagemnomesmo.Nocasodabússola,asseguintes precauções devem ser tomadas: Quantoàsensibilidade:aosoltaraagulhadeumabússolade boaqualidade,amesmarealizaaproximadamente25oscilaçõesaté estabilizar; Quantoàcentragem:duasleiturasopostasdevemdiferirde 180º, caso contrário a agulha ou seu eixo provavelmente estão tortos ou o eixo está inclinado; Quanto ao equilíbrio: ao nivelar-se o prato da bússola, a altura dos extremos da agulha deve ser igual. Como jáfoi visto anteriormente, a bússola contémuma agulha imantada,portanto,deve-seevitaradenominadaatraçãolocal,queé devidoàinfluênciadeobjetosmetálicoscomorelógios,canivetes,etc., bemcomodecertosmineraiscomopiritaemagnetita.Tambéma proximidade de camposmagnéticos anômalosgerados por redes de alta tensão,torresdetransmissãoeretransmissão,sistemasdeaterramento, entre outros, podem causar variações ou interferências na bússola. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 121 Umadasmaneirasdesedeterminarainfluênciadaatração localconsisteemseefetuardiversasobservaçõesaolongodeum alinhamento. Umalinhamentoqualquernoterrenoformaumângulocoma ponta Norte da agulha. Portanto, em qualquer posição deste alinhamento o rumo ou azimute magnético deve ser igual. 7.4.3 - Exercício Suaempresafoicontratadaparaimplantarumaantenade transmissão no alto de uma colina com as seguintes características. -15kmcontadosapartirdomarcozeroimplantadonocentro da praça principal da cidade seguindo a orientação de 30º NE. Casonãohouvesseformasvisuaisdelocalizaropontode partida, como o técnico faria para voltar ao centro da cidade? 7.5 - Métodos de Determinação do Norte Verdadeiro AdeterminaçãodoNorteverdadeiro,fundamentadaem determinaçõesastronômicaseutilizandoosistemaGPSouum giroscópio,émaisprecisaqueatécnicaquesebaseianadeterminação do Norte magnético para uma posterior transformação. Estatécnicadeveserevitada,independentedaprecisão solicitada,quandoseaplicaemlocaisondeexisteexposiçãoderochas magnetizadasqueporventurapossaminduziraumainterpretação errônea por suas influências sobre a agulha imantada da bússola. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 122 8 - LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO - PLANIMETRIA 8.1 - Introdução Duranteumlevantamentotopográfico,normalmentesão determinadospontosdeapoioaolevantamento(pontosplanimétricos, altimétricosouplanialtimétricos),eapartirdestes,sãolevantadosos demaispontosquepermitemrepresentaraárealevantada.Aprimeira etapapodeserchamadadeestabelecimentodoapoiotopográficoea segunda de levantamento de detalhes. DeacordocomaNBR13133(ABNT1994,p.4)ospontosde apoio são definidos por: “pontos,convenientementedistribuídos,que amarramaoterrenoolevantamento topográficoe,porisso,devemser materializados por estacas, piquetes, marcos de concreto,pinosdemetal,tinta,dependendoda sua importância e permanência.” Figura 8.1 - Diferentes formas de materialização de pontos. Afigura8.1apresentaalgumasformasdematerializaçãodos pontos.Paraospontosdeapoiooupontosqueserãoutilizadosem trabalhosfuturosécomumelaborar-seachamada“monografiado Ponto pintado na calçada Marco de concreto Chapas de identificação de pontos FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 123 ponto”,aqualapresentadiversasinformações,comocoordenadas, croqui de localização, data de levantamento, foto do ponto, etc. A figura 8.2 apresenta um modelo de monografia. Figura 8.2 - Monografia de ponto topográfico. OlevantamentodedetalhesédefinidonaNBR13133(ABNT 1994, p.3) como: “conjuntodeoperaçõestopográficasclássicas(poligonais, irradiações,interseçõesouporordenadassobreumalinha- base),destinadoàdeterminaçãodasposiçõesplanimétricas e/ou altimétricas dos pontos, que vão permitir a representação doterrenoaserlevantadotopograficamenteapartirdoapoio topográfico.Estasoperaçõespodemconduzir, FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 124 simultaneamente, à obtenção da planimetria e da altimetria, ou então, separadamente, se as condições especiais do terreno ou exigências do levantamento obrigarem à separação.” Arepresentaçãotopográficaestarábaseadaempontos levantadosnoterreno,paraosquaissãodeterminadasascoordenadas. Nopróximocapítuloserãoapresentadasalgumastécnicasdemedição aplicadas ao levantamento planimétrico. 8.2 - Cálculo de Coordenadas na Planimetria Nesta fase, será detalhado o desenvolvimento necessário para a determinaçãodascoordenadasplanas,ouseja,ascoordenadasxey.A obtençãodacoordenadazserádiscutidaquandodaapresentaçãodo conteúdo referente à altimetria. As projeções planas são obtidas em função da distância entre os vérticesdeumalinhamentoeoazimuteourumo,magnéticoou geográfico,destemesmoalinhamento.Deumaformamaissimples, pode-se dizer que a projeção em “X” é a representação da distância entre osdoisvérticesdoalinhamentosobreoeixodasabscissaseaprojeção em“Y”arepresentaçãodamesmadistâncianoeixodasordenadas (figura 8.3). Figura 8.3 - Representação da projeção da distância D em X (∆ ∆∆ ∆X)e em Y (∆ ∆∆ ∆Y). X (E) A 01 0 1 Y (N) ∆X ∆Y d 01 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 125 Sendo: - d 01 : distância horizontal entre os vértices 0 e 1; - A 01 : azimute da direção 0-1; - ∆X: projeção da distância d 01 sobre o eixo X ; − ∆Y: projeção da distância d 01 sobre o eixo Y; Considerandoafigura8.3eutilizandoosconceitosde Trigonometriaplana,vistosnocapítulo2,épossívelcalcularas projeções em “X” e “Y”da seguinte forma: A send 01 01 × = ∆X (8.1) A cos . d 01 01 × = ∆Y (8.2) Figura 8.4 - Representação de uma poligonal e suas respectivas projeções. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 126 Considerandoapoligonalrepresentadanafigura8.4,as coordenadasdosvérticesdamesmasãoobtidasatravésdasoma algébrica das projeções. Logo: i i ' X X ∑ = e ∑ = i i ' Y Y 8.3 - Cálculo de Azimutes a Partir de Coordenadas Planimétricas de Dois Pontos Conhecendo-seascoordenadasplanimétricasdedoispontosé possívelcalcularoazimutedadireçãoformadaentreeles.Voltandoà Figura 8.3, obtém-se: Y X tgA ∆ ∆ = 01 (8.3) | ¹ | \ | ∆ ∆ = Y X arctg A 01 (8.4) 0 1 X X X − = ∆ (8.5) 0 1 Y Y Y − = ∆ (8.6) De acordo com a definição vista no item 7.2.1, Azimute de uma direção é medido a partir do Norte, no sentido horário, varia de 0º a 360º econsistenoânguloformadoentreameridianadeorigemquecontém os Pólos, magnéticos ou geográficos, e a direção considerada. Pararealizarposterioranálisedequadrante,éimportanteque ∆Xe∆Ysejamobtidosfazendo-sesempreacoordenadadosegundo ponto menos a coordenada do primeiro. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 127 Figura 8.5 - Quadrantes do Azimute. Na Figura 8.5, observa-se que as projeções ∆X e ∆Y da direção 0-1 sobre os eixos cartesianos X e Y são positivas.Analogamente, para adireção0-2,aprojeçãosobreoeixoXépositivaesobreoeixoYé negativa.Considerando-seadireção0-3,verifica-sequeambasas projeçõessãonegativas.E,adireção0-4apresentaaprojeçãosobreo eixo X negativa e sobre o eixo Y positiva. 8.3.1 - Exercícios 1) Calcular o azimute da direção 1-2 conhecendo-se as coordenadas: X 1 = 459,234mY 1 = 233,786 m X 2 = 778,546mY 2 = 451,263 m Y X ≡ 90º ∆X = + ∆Y = + ∆X = + ∆Y = - ∆X = - ∆Y = - ∆X = - ∆Y = + 180º 270º 1 o quadrante 2 o quadrante3 o quadrante 4 o quadrante 0º ≡ 360º 1 2 3 4 0 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 128 Figura 8.6 - Representação do azimute da direção 1-2. Nestecaso∆Xe∆Ysãopositivos,portanto,oazimuteda direção 1-2 está no 1º quadrante, entre 0º e 90ºe é igual a 55º 44’ 31’’. 2) Calcular o azimute da direção 2-3 sendo: X 2 = 459,234 mY 2 = 233,786 m X 3 = 498,376 mY 3 = 102,872 m Fazendo ∆X = X 3 - X 2 tem-se ∆X = +39,142 m ∆Y = Y 3 - Y 2 tem-se ∆Y = - 130,914 m Como ∆X é positivo e ∆Y é negativo, sabe-se que o azimute da direção2-3estáno2ºquadrante,ouseja,entre90ºe180º,conforme ilustra a Figura 8.7. Y (N) X (E) S W 1 2 A 1-2 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 129 Figura 8.7 - Representação do azimute da direção 2-3. Para obter-se o azimute da direção 2-3 no 2º quadrante, extrai- seoarco-tangentedomódulodoquociente(∆X/∆Y),obtendo-seum arco no 1º. quadrante: A 2-3 = 16º 38’ 46’’ (1º. quadrante) A seguir, faz-se a redução ao 2º quadrante: A 2-3 (2º Quadrante) = 180º - [arco (1º quadrante)] A 2-3 (2º Quadrante) = 180º - 16º 38’ 46’’ A 2-3 (2º Quadrante) = 163º 21’ 14’’ 3) Calcular o azimute da direção 3-4 sendo: X 3 = 459,234mY 3 = 233,786 m X 4 = 285,550 mY 4 =99,459 m Y (N) X (E) S W 2 3 A 2-3 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 130 Fazendo ∆X = X 4 - X 3 tem-se ∆X = - 173,684 m ∆Y = Y 4 - Y 3 tem-se ∆Y = - 134,327 m Como ∆X e ∆Y são negativos o azimute da direção 3-4 está no 3º quadrante, entre 180º e 270º, conforme ilustra a Figura 8.8. Figura 8.8 - Representação do azimute da direção 3-4. A 3-4 = 52º 16’ 54’’ (1º quadrante) Reduzindo ao 3º quadrante: A 3-4 (3º Quadrante) = 180º + [arco (1º quadrante)] A 3-4 (3º Quadrante) = 180º + 52º 16’ 54’’ A 3-4 (3º Quadrante) = 232º 16’ 54’’ Y (N) X (E) S W 3 A 3-4 4 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 131 4)Calcular o azimute da direção 4-5 sendo: X 4 = 459,234mY 4 = 233,786 m X 5 = 301,459 mY 5 = 502,591 m Nestecaso,∆Xénegativoe∆Yépositivoeoazimuteda direção4-5estáno4ºquadrante,entre270ºe360º,conformeilustraa Figura 8.9. Figura 8.9 - Representação do azimute da direção 4-5. A 4-5 = 30º 24’ 39’’ (1º quadrante) Fazendo-se a redução ao 4º quadrante: A 4-5 (4º Quadrante) = 360º - [arco (1º quadrante)] A 4-5 (4º Quadrante) = 360º - 30º 24’ 39’’ A 4-5 (4º Quadrante) = 329º 35’ 21’’ Y (N) X (E) S W 4 5 A 4-5 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 132 9 - TÉCNICAS DE LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO Apoligonaçãoéumdosmétodosmaisempregadosparaa determinaçãodecoordenadasdepontosemTopografia,principalmente paraadefiniçãodepontosdeapoioplanimétricos.Umapoligonal consisteemumasériedelinhasconsecutivasondesãoconhecidosos comprimentos e direções, obtidos através de medições em campo. Olevantamentodeumapoligonalérealizadoatravésdo métododecaminhamento,percorrendo-seocontornodeumitinerário definido por umasérie de pontos,medindo-se todos os ângulos, lados e umaorientaçãoinicial(figura9.1).Apartirdestesdadosedeuma coordenadadepartida,épossívelcalcularascoordenadasdetodosos pontos que formam esta poligonal. Figura 9.1 - Levantamento de uma poligonal. Utilizando-seumapoligonalépossíveldefinirumasériede pontosdeapoioaolevantamentotopográfico,apartirdosquaisserão determinadascoordenadasdeoutrospontos,utilizando,porexemplo,o método de irradiação a ser visto posteriormente. ANBR13133(ABNT,1994)classificaaspoligonaisem principal, secundária e auxiliar: •Poligonalprincipal:poligonalquedeterminaospontosde apoio topográfico de primeira ordem; •Poligonalsecundária:aquelaque,apoiadanosvérticeda poligonalprincipaldeterminaospontosdeapoiotopográfico de segunda ordem; OPP P1 P2 P3 d1 d2 d3 α1 α2 Az FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 133 •Poligonalauxiliar:poligonalque,baseadanospontosdeapoio topográfico planimétrico, tem seus vértices distribuídos na área ou faixa a ser levantada, de tal forma que seja possível coletar, direta ou indiretamente, por irradiação, interseção ou ordenadas sobreumalinhadebase,ospontosdedetalhesjulgados importantes,quedevemserestabelecidospelaescalaounível de detalhamento do levantamento. Aspoligonaislevantadasemcampopoderãoserfechadas, enquadradas ou abertas. •Poligonalfechada:partedeumpontocomcoordenadas conhecidaseretornaaomesmoponto(figura9.2).Sua principalvantagemépermitiraverificaçãodeerrode fechamento angular e linear. Figura 9.2 - Poligonal fechada. •Poligonalenquadrada:partededoispontoscomcoordenadas conhecidaseacabaemoutrosdoispontoscomcoordenadas conhecidas(figura9.3).Permiteaverificaçãodoerrode fechamento angular e linear. Figura 9.3 - Poligonal enquadrada. A1 P1 P2 A3 A2 A4 OPP P1 P2 P3 P4 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 134 •Poligonalaberta:partedeumpontocomcoordenadas conhecidaseacabaemumpontocujascoordenadasdeseja-se determinar(figura9.4).Nãoépossíveldeterminarerrosde fechamento,portantodevem-setomartodososcuidados necessários durante o levantamento de campo para evitá-los. Figura 9.4 - Poligonal aberta. Comovistoanteriormente,paraolevantamentodeuma poligonalénecessárioternomínimoumpontocomcoordenadas conhecidas e uma orientação. Segundo a NBR 13133 (ABNT, 1994 p.7), nahipótesedoapoiotopográficovincular-seàredegeodésica(Sistema GeodésicoBrasileiro-SGB),asituaçãoidealéquepelomenosdois pontosdecoordenadasconhecidassejamcomuns(figura9.5).Neste casoépossível,apartirdosdoispontosdeterminarumazimutede partida para o levantamento da poligonal. Figura 9.5 - Dois pontos com coordenadas conhecidas e vinculadas ao SGB comuns a poligonal. OPP P1 P2 P3 P1 P2 P3 M01 M02 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 135 Estesdoispontosnãonecessitamserosprimeirosdeuma poligonal, conforme é ilustrado na figura 9.6. Figura 9.6 - Pontos com coordenadas conhecidas entre pontos da poligonal. Outros casos podem ocorrer: •Um vértice do apoio topográfico coincide com um dos vértices da poligonal e é possível observar outro ponto para a obtenção do azimute de partida (figura 9.7). Figura 9.7 - Um vértice de apoio pertencente a poligonal e observação a um segundo vértice. P3 P4 M01 P1 P2 M02 P3 P4 M01 M02 P1 P2 Az FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 136 •Um vértice, sem ser possível observar outro ponto. Determina- seoNortegeográficocomprecisãocompatívelàprecisãodo levantamento (figura 9.8). Figura 9.8 - Norte Geográfico e um ponto com coordenadas conhecidas. •NenhumpontoreferenciadoaoSGBfazpartedapoligonal, porém existem pontos próximos a poligonal de trabalho (figura 9.9).Nestecasoefetua-seotransportedecoordenadasatravés de uma poligonal de apoio. Figura 9.9 - Transporte de coordenadas utilizando uma poligonal de apoio. •NenhumpontoreferenciadoaoSGBfazpartedapoligonal, porém existem alguns pontos próximos a poligonal de trabalho permitindoque,atravésdoproblemadePothénot,sejam M02 P1 P2 Norte Geográfico Az FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 137 determinadas as coordenadas de um ponto da poligonal (figura 9.10). Figura 9.10 - Problema de Pothénot. •Comocasomaisgeralemenosrecomendado,sãoatribuídas coordenadasarbitráriasparaumvérticeedeterminadooNorte geográfico por Astronomia ou utilizando um giroscópio. Se isto nãoforpossível,determina-seaorientaçãoatravésdoNorte magnético. •ÉpossívelaindateroeixoYorientadosegundoumadireção qualquercomooalinhamentodeummeiofio,porexemplo (figura9.11).DeveserindicadaadireçãodoNortegeográfico ou magnético. Figura 9.11 - Eixo Y orientado segundo um alinhamento de meio fio. 9.1 - Levantamento e Cálculo de Poligonais Fechadas M02 M01 M03 Norte Magnético Eixo Y Eixo X FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 138 Comovistoanteriormente,avantagemdeutilizaruma poligonalfechadaéapossibilidadeverificaroserrosangularelinear cometidos no levantamento da mesma. 9.1.1 - Levantamento da Poligonal Umdoselementosnecessáriosparaadefiniçãodeuma poligonalsãoosângulosformadosporseuslados.Amediçãodestes ângulospodeserfeitautilizandotécnicascomoparesconjugados, repetiçãoououtraformademediçãodeângulos.Normalmentesão determinados os ângulos externos ou internos da poligonal (figura 9.12). É possível ainda realizar a medida dos ângulos de deflexão dos lados da poligonal (figura 9.13). Figura 9.12 - Ângulos externos e internos de uma poligonal fechada. P2 OPP P1 P2 P3 P4 a) ângulos externos.b) ângulos internos. OPP P1 P2 P3 P4 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 139 Figura 9.13 - Ângulos de deflexão de uma poligonal fechada. Notextoaseguir,osentidodecaminhamentoparao levantamentodapoligonalseráconsideradocomosendoosentido horário. Dois conceitos importantes, a saber: estação ré e estação vante. Nosentidodecaminhamentodapoligonal,aestaçãoanterioraestação ocupadadenomina-sedeestaçãoRÉeaestaçãoseguintedeVANTE (figura 9.14). Figura 9.14 - Estação ré e vante. Nestecasoosângulosdeterminadossãochamadosdeângulos horizontaishorários(externos)esãoobtidosdaseguinteforma: Deflexãoà direita P1 P3 P1 P2 P3 OPP P1 P2 P3 P4 Deflexão à esquerda Sentido de caminhamento horário EST 03 Ré Vante Estação Ocupada Sentido de caminhamento horário EST 02 EST 01 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 140 estaciona-seoequipamentonaestaçãoondeserãoefetuadasas medições,faz-seapontarianaestaçãoréedepoisfaz-seapontariana estação vante. O ângulo horizontal externo será dado por: Ângulo = leitura de vante - leitura de ré (9.1) Afigura9.15ilustraadeterminaçãodesteângulo.Deve-se tomar o cuidado de posicionar exatamente sobre o alvo o fio de retículo vertical,vistoqueesteseráareferênciaparaamedidadoângulo horizontal. Figura 9.15 - Medida do ângulo horizontal. Oscomprimentosdosladosdapoligonalsãoobtidos utilizando-setrena,taqueometriaouestaçãototal,sendoesteúltimoo métodomaisempregadoatualmente.Nãosedeveesquecerqueas distâncias medidas devem ser reduzidas a distâncias horizontais para que sejapossívelefetuarocálculodascoordenadas.Aorientaçãoeas coordenadasdepartidadapoligonalserãoobtidasconformevisto anteriormente. 9.1.2 - Cálculo de uma Poligonal Fechada Apartirdosdadosmedidosemcampo(ângulosedistâncias), orientaçãoinicialecoordenadasdopontodepartidaépossívelcalcular ascoordenadasdetodosospontosdapoligonal.Inicia-seocálculoa partirdopontodepartida(costuma-seempregaranomenclaturaOPP Leitura de Ré: 15º 02’ 30” EST 02 EST 03 EST 01 Leitura de Vante: 287º 39’ 40” Ângulo horizontal = 287º 39’ 40” - 15º 02’ 30” = 272º 37’ 10” FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 141 para designar o ponto de partida). A figura a seguir ilustra o processo de cálculo. Figura 9.16 - Cálculo das coordenadas. Onde: Az: Azimute da direção OPP-P1; d: distância horizontal entre os pontos OPP e P1; Xo e Yo: Coordenadas do ponto OPP; X 1 e Y 1 : Coordenadas do ponto P1. As coordenadas do ponto P1 serão dadas por (9.2) e (9.3). X X X o 1 ∆ + =(9.2) Y Y Y 0 1 ∆ + = (9.3) Onde ∆X e ∆Y são calculados por: (Az) send× = ∆X (9.4) (Az) cos d × = ∆Y(9.5) ApartirdacoordenadadopontoP1serápossívelcalculara coordenada do próximo ponto e assim por diante. P1 (X 1 ,Y 1 ) OPP (Xo,Yo) Az d ∆X ∆Y N FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 142 9.1.2.1 - Verificação do Erro de Fechamento Angular Paraapoligonalfechada,antesdecalcularoazimutedas direções, é necessário fazer a verificação dos ângulos medidos. Uma vez que a poligonal forma um polígono fechado é possível verificar se houve algumerronamediçãodosângulos.Emumpolígonoqualquer,o somatório dos ângulos externos deverá ser igual a: Somatório dos ângulos medidos = (n + 2) × 180º (9.6) Onde n é o número de estações da poligonal. O erro angular (e a ) cometido será dado por: e a = Somatório dos ângulos medidos - (n+2)× 180º (9.7) Para ângulos internos o somatório dos mesmos deverá ser igual ao número de estações menos dois, multiplicado por 180º. Esteerroteráquesermenorqueatolerânciaangular(ε a ),que pode ser entendida como o erro angular máximo aceitável nas medições. Se o erro cometido for menor que o erro aceitável, deve-se realizar uma distribuição do erro cometido entre as estações e somente depois realizar ocálculodosazimutes.Écomumencontraraseguinteequaçãoparao cálculo da tolerância angular: m p a × = ε(9.8) Ondeméonúmerodeângulosmedidosnapoligonalepé precisãonominaldoequipamentodemediçãoangular.Emuma poligonalfechadaonúmerodeestaçõeséigualaonúmerodeângulos medidos, portanto, m = n. Casooerrocometidosejamaiorqueoerrotolerávelé necessário refazer as medições angulares. Quando a pontaria for realizada sobre uma baliza deve-se tomar ocuidadodeposicionaroretículoverticalexatamentesobreoeixoda baliza,considerando-sequeamesmaencontra-seperfeitamentena vertical.Dopontodevistaprático,quandoabalizaestápróximaao FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 143 equipamento,achancedecometerumerrodepontariaémaior, conforme ilustra a figura 9.17. Figura 9.17 - Pontaria em baliza próxima ao equipamento e longe. Assim,umcritérioutilizadoparaaeliminaçãodoerroangular cometidoédistribuí-lonosângulosformadospelosmenoresladosda poligonal.Outrocritérioempregadoédistribuirproporcionalmenteo erro para cada estação. Em qualquer um dos casos, a correção calculada não deve ser inferior à precisão com que foram realizadas as medições. 9.1.2.2 - Cálculo dos Azimutes Comoaorientaçãoédeterminadaapenasparaumadireçãoda poligonal,énecessárioefetuarocálculodosazimutesparatodasas demaisdireçõesdapoligonal.Istoéfeitoutilizandoosângulos horizontais medidos em campo. A figura 9.17 ilustra este cálculo. A partir do azimute inicial da direçãoOPP-P1eângulohorizontalexternoOPP-P1-P2(aqui denominadodeα, medidonosentidohorário)épossívelcalcularo azimute da direção P1-P2 a partir da equação (9.9). º 180 Az Az 1 P PP 0 2 P 1 P − α + = − − (9.9) FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 144 Figura 9.18 - Cálculo do azimute. Expressão genérica para o cálculo do azimute: 180º α Az Az i i 1, - i 1 i i, − + = + (9.10) Sendo: -ivariandode0a(n-1),ondenéonúmerodeestaçõesda poligonal.; - se i + 1 > n então i = 0; - se i - 1 < 0 então i = n. Seovalorresultantedaequação(9.10)formaiorque360º deve-sesubtrair360ºdomesmoesefornegativodeverásersomado 360º ao resultado. Quando se trabalhar com ângulos medidos no sentido anti-horário, deve-se somar 180º e subtrair o valor de α do azimute. 9.1.2.2.1 - Exercício Calcularosazimutesdasdireçõesconsecutivasemfunçãodos ângulos horizontais medidos no sentido horário. P2 P1 OPP Az OPP-P1 α Az P1-P2 Az OPP-P1 α − 180º N N FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 145 α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 0 = PP 1 2 3 4 5 6 Az 0 1 Az 0 1 Az 12 Az 12 Az 23 Az 23 Az 34 Az 34 Az 45 Az 56 Az 45 N Az 01 = 30°10’15” α 1 = 210°15’13” α 2 = 78°40’10” α 3 = 310°12’44” α 4 = 250°26’18” α 5 = 280°10’44” 9.1.2.3 - Cálculo das Coordenadas Parciais Apóstodososângulosteremsidocorrigidoseosazimutes calculadosépossíveliniciarocálculodascoordenadasparciaisdos pontos, conforme as equações a seguir. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 146 (9.11) (9.12) 9.1.2.4 - Verificação do Erro de Fechamento Linear A partir do ponto de partida (0PP), calculam-se as coordenadas dos demais pontos até retornar ao ponto de partida. A diferença entre as coordenadascalculadaseasfornecidasparaestepontoresultaráno chamado erro planimétrico ou erro linear cometido (figura9.19). Como osângulosforamajustados,esteerroserádecorrentedeimprecisõesna medição das distâncias. Figura 9.19 - Erro planimétrico. O erro planimétrico pode ser decomposto em uma componente na direção X e outra na direção Y (figura 9.20). Figura 9.20 - Decomposição do erro planimétrico. P1 OPP fornecido P2 P3 OPP - calculado Erro Planimétrico ( ) Az i , 1 i sen d i , 1 i X 1 i X i − ⋅ − + − = ( ) Az i , 1 i cos d i , 1 i Y 1 i Y i − ⋅ − + − = e Y e x e P OPP - calculado OPP fornecido FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 147 Os valores de e X e e y podem ser calculados por: OPP C OPP x X X e − = (9.13) OPP C OPP y Y Y e − = (9.14) Onde: X OPP C e Y OPP C são as coordenadas calculadas; X OPP e Y OPP são as coordenadas fornecidas. O erro planimétrico ep será dado por: 2 / 1 2 2 ) ( y x e e ep + = (9.15) Énecessárioverificarseesteerroestáabaixodeuma determinadatolerâncialinear.Normalmenteestaédadaemformade escala,comoporexemplo,1:1000.Osignificadodistoéque,emuma poligonal com 1000 m o erro aceitável seria de 1 m. Para calcular o erro planimétrico em forma de escala utilizam-se as seguintes fórmulas: (9.16) (9.17) OndeΣdéoperímetrodapoligonal(somatóriodetodasas distâncias da poligonal). 9.1.2.4.1 - Exercício Dadososvaloresdeerrodefechamentolinearetolerância linear, verificar o levantamento efetuado. São dados: Σd = 1467,434 m e x = 0,085 m e Y = -0,094 m tolerância linear = 1:10000 Z 1 = ep e e d Z y x 2 2 + Σ = FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 148 2 / 1 2 2 ) ( y x e e ep + = ep = (0,085) 2 + (-0,094 2 ) 1/2 ep = 0,127m Z = 11554,59 ep ≤ tolerância, então ok! 9.1.2.5 - Correção do Erro Linear Seoerrocometidoformenorqueopermitido,parte-seentão paraadistribuiçãodoerro.Ascorreçõesàscoordenadasserão proporcionais às distâncias medidas. Quanto maior for a distância, maior seráacorreção.SeráaplicadaumacorreçãoparaascoordenadasXe outra para as coordenadas Y, conforme equações abaixo: (9.18) (9.19) Onde: Cx i : correção para a coordenada Xi Cy i : correção para a coordenada Yi Σd: somatório das distâncias d i-1,i : distância parcial i-j ) 094 . 0 ( 085 , 0 434 , 1467 2 2 − + = Z 59 , 11554 1 = e P d d e Cx i i x i Σ × − = − , 1 d d e Cy i i y i Σ × − = − , 1 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 149 As coordenadas corrigidas serão dadas por: (9.20) (9.21) 9.1.2.6 - Resumo de Cálculo da Poligonal Fechada Aseguiréapresentadoumresumodaseqüênciadecálculoe ajuste de uma poligonal fechada. •Determinação das coordenadas do ponto de partida; •Determinação da orientação da poligonal; •Cálculo do erro de fechamento angular pelo somatório dos ângulos internos ou externos (sentido horário ou anti-horário); •Distribuição do erro de fechamento angular; •Cálculo dos Azimutes; •Cálculo das coordenadas parciais (X, Y); •Cálculo do erro de fechamento linear; •Cálculo das coordenadas definitivas (X C , Y C ). 9.1.2.7 - Exercício Dadaacadernetadecampoabaixo,utilizadaparao levantamentodeumapoligonal,determinarascoordenadasdospontos que formam a mesma. São dados: Azimute da direção OPP-1: 106º 52’ 07’’ Coordenadas da estação OPP: X OPP = 224,19 mY OPP = 589,25 m Tolerâncias: Angular:m ' ' 10(m = número de ângulos medidos na poligonal) Linear: 1:2000 ( ) Cx Az sen d X X i i i i i c i c i + × + = − − − , 1 , 1 1 ( ) Cy Az d Y Y i i i i i c i c i + × + = − − − , 1 , 1 1 cos FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 150 Figura 9.21 - Croqui de uma Poligonal Fechada. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 151 PontoDireçãoÂngulo HorizontalDistância (m) OPPOPP-1100,18 11-2246º 47´25’’115,80 22-3261º 29´34’’116,68 33-4301º 45´11’’91,65 44-OPP148º 28´31’’89,06 5≡OPP 301º 29´03’’ 1) Verificação do erro angular e a = Somatório dos ângulos medidos - (n +2)×180º n = 5 (cinco pontos) e a = 1259º 59´44’’ - 1260º = - 16’’ Tolerância angular: ε a =m ' ' 10 =5 ' ' 10 = +/- 22’’e a  < ε a então OK! 2) Correção do erro angular PontoDireçãoÂngulo Horizontal CorreçãoÂngulo Corrigido Distância (m) OPPOPP-1100,18 11-2246º 47´25’’+3”246º 47´28’’115,80 22-3261º 29´34’’+3”261º 29´37’’116,68 33-4301º 45´11’’+3”301º 45´14’’91,65 44-OPP148º 28´31’’+3”148º 28´34’’89,06 5≡OPP 301º 29´03’’+4”301º 29´07’’ Σ +16”1260º Amaiorcorreçãosedaránoânguloformadopelosmenores lados da poligonal. O sinal da correção deve ser contrário ao sinal do erro. Verificando: Σ dos ângulos corrigidos - (n+2) ×180º = 0 1260º - 1260º = 0 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 152 3) Cálculo dos Azimutes PontoDireçãoÂngulo CorrigidoAzimute OPPOPP-1106º 52’ 07’’ 11-2246º 47´28’’173º 39´ 35’’ 22-3261º 29´37’’255º 09´ 12’’ 33-4301º 45´14’’16º 54´ 26’’ 44-OPP148º 28´34’’345º 23´ 00’’ 5≡OPP 301º 29´07’’106º 52’ 07’’ ' 23´00' 345º Az ' 54´26' 16º Az ' 09´12' 255º Az ' 39´35' 173º Az 180º - 47´28 246º ' 07' 52' 106º Az º 180 OPP - 4 4 - 3 3 - 2 2 - 1 2 - 1 1 0 2 1 = = = = + = − + = − α PP Az Az 4) Cálculo das coordenadas provisórias (os cálculos foram realizados considerando-se três casas decimais após a vírgula) ( ) Az sen d X X i i i i i i , 1 , 1 1 − − − × + = ( ) Az d Y Y i i i i i i , 1 , 1 1 cos − − − × + = 1 - OPP 1 - OPP OPP 1 Az send X X × + = 106º52'07" sen18 , 100 19 , 224 1 × + = X m X 060 , 320 1 = 1 - OPP 1 - OPP OPP 1 Az cos d Y Y × + = 106º52'07" cos 18 , 100 250 , 589 1 × + = Y m Y 180 , 560 1 = m Y m X 090 , 445 848 , 332 2 2 = = FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 153 m Y m X 193 , 415 067 , 220 3 3 = = m Y m X 882 , 502 721 , 246 4 4 = = m X Calculado OPP 247 , 224 = m Y Calculado OPP 060 , 589 = 5) Verificação do erro linear 0,057m 224,190 - 224,247 X - X e OPP Calculado OPP x = = = 0,190m - 589,250 - 589,060 Y - Y e OPP Calculado OPP y = = = ( ) ( ) m e e e e e p p y x p 19848306 , 0 ) 190 , 0 ( 057 , 0 2 / 1 2 2 2 / 1 2 2 = − + = + = Expressando o erro em forma de escala: Z ≈ 2586 2000 1 2586 1 〈 ∴Erro planimétrico < tolerância linear ) 190 , 0 ( 057 , 0 37 , 513 2 2 − + = Z 2586 1 = p e FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 154 6) Cálculo das coordenadas corrigidas ( ) ( ) ( ) ( ) m X m X m X m X sen X Cx Az sen d X X m X sen X Cx Az sen d X X c OPP c c c c c c c c PP PP OPP c 190 , 224 674 , 246 031 , 220 824 , 332 ) 013 , 0 ( ' ' 35 ' 39 º 173 80 , 115 049 , 320 049 , 320 ) 011 , 0 ( ' ' 07 ' 52 º 106 18 , 100 190 , 224 4 3 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 0 1 0 1 = = = = − + × + = + × + = = − + × + = + × + = − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) m Y Y Cy Az d Y Y m Y Y Cy Az d Y Y c c c c c c OPP OPP OPP c 170 , 445 043 , 0 ' ' 35 ' 39 º 173 cos 80 , 115 217 , 560 cos 217 , 560 037 , 0 ' ' 07 ' 52 º 106 cos 18 , 100 25 , 589 cos 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 = + × + = + × + = = + × + = + × + = − − − − m Y m Y m Y c OPP c c 250 , 589 039 , 503 317 , 415 4 3 = = = FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 155 Coordenadas finais dos pontos da poligonal (arredondadas para o centímetro): PontoX (m)Y(m) OPP224,19589,25 1320,05560,22 2332,82445,17 3220,03415,32 4246,67503,04 5≡OPP224,19589,25 9.2 - Poligonal Enquadrada Acaracterísticaprincipaldaspoligonaisenquadradasconsiste emunirpontostopográficosdecoordenadasconhecidas.Logo, conhecendoascoordenadasdosvérticesdepartidaP i eP (i+1) ede chegadaP (n-1) eP n épossívelcalcularoazimuteeadistânciaentreos doisvérticesutilizadoscomopartida(P i -P (i+1) )etambémoazimuteea distância entre os vértices de chegada (P (n-1) , P n ) figura 9.22. Figura 9.22 - Desenho da poligonal enquadrada. Agrandevantagemdautilizaçãodestametodologiabaseia-se napossibilidadedeverificarecorrigiroserrosacidentaisocorridos durante a coleta dos dados no campo. Ocálculodascoordenadasdosvérticesdapoligonaldeve seguir os seguintes passos: 1) Cálculo dos azimutes de partida e de chegada em função das coordenadas dos pontos conhecidos. P i P (i+1) P n P (n+1) FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 156 2)Realizarotransportedeazimute,calculandoosdemais azimutesemfunçãodoazimutedepartidaedosânguloshorizontais medidos. 3)Cálculodoerroangularcometido,paratal,compara-seo azimutedaúltimadireçãoobtidopelotransportedeazimutecomo azimutecalculadoatravésdascoordenadasdospontos.Oerroserá calculado por: 0 A A e C a − =(9.22) Onde: e a =erro angular; A C = Azimute calculado a partir do transporte de azimute; A 0 = Azimute obtido a partir das coordenadas. 4)Verifica-seseoerroangularestádentrodatolerância exigida para a poligonal, utilizando a seguinte equação: n p t a = (9.23) Onde: p=precisãonominaldoequipamentoutilizadoparacoletaras informações no campo; n = número de ângulos medidos na poligonal; 5)Acorreçãoangularseráobtidadividindo-seoerroangular pelo número de ângulos medidos na poligonal. n e - a = a c (9.24) Onde: c a = correção angular. Paraocálculodoerrolinearseguem-seosmesmospassos adotados para a poligonal fechada. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 157 9.2.1 - Exercício Comosdadosdacadernetaaseguir,calcularascoordenadas dos vértices da poligonal,cujo croqui é apresentado na Figura 9.23. PontoDireção Ângulo Horizontal* Distância Horizontal (m) 7474 - 195º19’28’’430,19 11 - 2229º31’47’’425,63 22 - 3147º28’43’’332,14 33 - 90232º55’10’’438,51 90252º35’51” * Ângulos horizontais medidos no sentido horário. Figura 9.23 - Croqui de uma poligonal enquadrada. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 158 Tabela 9.1-Coordenadas dos pontos de partida e de chegada. EstaçãoX (m)Y(m) 73200,12900,45 74423,68601,39 901860,06504,01 911700,5689,95 1) Cálculo dos azimutes de partida e de chegada 1.1) Cálculo do azimute da direção de partida (A 73-74 ) ' 13'13' 143 ' 13'13' 143 36º46'47" - 180 : quadrante 2 ao reduzindo quadrante) (1 36º46'47" ) 06 , 299 ( 223,56 tg arc 900,45 - 601,39 200,12 - 423,68 tg arc Y - Y X - X tg arc A 74 73 3 7 74 73 74 74 - 73 ° = ∴ ° = ° ° ° = − = | | ¹ | \ | = | | ¹ | \ | = − A 1.2) Cálculo do azimute da direção de chegada (A 90-91 ) = | | ¹ | \ | = 90 91 90 91 91 - 90 Y - Y X - X tg arc A FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 159 201º04'02" 201º04'02" 21º04'02" 360 : quadrante 3 ao reduzindo quadrante) (1 21º04'02" ) -414,06 ( (-159,50) tg arc 504,01 - 89,95 1860,06 - 1700,56 tg arc 91 90 = ∴ = + ° ° ° = = | | ¹ | \ | − A 2) Cálculo dos Azimutes das direções consecutivas 58º32'41" 180º - A 74 74 - 73 1 74 = + = − α c A ,analogamente: 108º04'28" 2 1 = − c A 75º33'11" 3 2 = − c A 128º28'21" 90 3 = − c A 201º04'12" 91 90 = − c A 3) Cálculo do erro angular total e verificação de sua magnitude 91 90 91 90 - − − = A A e c A 0º00'10" 201º04'02" - º04'12" 1 0 2 = = A e Verifica-se se o erro angular total é menor ou igual em módulo atolerânciaangularprescritaparaapoligonal.Paraesteexercícioas tolerâncias serão: Angular:20’’ n ,ondenéonúmerodeângulosmedidosna poligonal. Linear: 1/2000. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 160 Tolerância angular =) ' ' 45 ( 5 ' ' 20 ± ≅ Portanto, angular Tolerância e A _ ≤ Pois, ' ' 45 ' ' 10 〈 A correção angular será obtida por: c A = - n e A c A = - 5 10" = -2” 4) Cálculo dos azimutes corrigidos das direções consecutivas 58º32'39" c 180º - A A 74 74 - 73 1 74 = + + = − α A 108º04'24" ) ' (-2' '-180 31'47' 229 32'39" 58 2 1 = + ° ° + ° = − A Analogamente, 75º33'05" 3 2 = − A 128º28'13" 90 3 = − A 201º04'02" 91 90 = − A FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 161 5)Cálculodascoordenadasprovisóriasdospontos(paraefeitode cálculo serão utilizados seis casas decimais após a vírgula): A send X 1 74 1 - 74 4 7 1 = × + = − p X 790,651 m A cos d Y 1 74 1 - 74 74 1 = × + = − p Y 825,881 m Analogamente: = 2 p X1195,280 m 2 = p Y 693,835 m = 3 p X1516,915 m = 3 p Y 776,708 m = 90 p X 1860,238 m = 90 p Y 503,907 m 6) Cálculo do erro planimétrico total e das correções lineares: e x =0,178m 06 , 1860 238 , 1860 90 90 = − = − X X p e y =-0,103m 01 , 504 907 , 503 90 90 = − = −Y Y p e p =0,205818) ( ) ( 2 2 ± = + y x e e FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 162 e p = Z 1 Onde: Z = ) ( 2 2 y x medidas e e d + Σ m d medidas 47 , 1626 = Σ Portanto: Z ≈ 7902 UsandoovalorinteirodeZ,oerroplanimétricoseráexpresso na forma relativa como: e p = 7902 1 Como, 2000 1 7902 1 〈 O erro linear cometido é menor que a tolerância linear. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 163 As correções das coordenadas serão calculadas aplicando-se as equações (9.18) e (9.19). 7) Cálculo das coordenadas corrigidas dos pontos da poligonal: Cx A send X 74 1 74 1 - 74 74 1 = + × + = − X 790,60 m Cy A cos d Y 74 1 74 1 - 74 74 1 = + × + = − Y 825,91 m Analogamente: = 2 X 1195,19 m 2 = Y 693,89 m = 3 X1516,79 m = 3 Y 776,78 m = 90 X 1860,06 m = 90 Y 504,01 m Assim, fornecido X X 90 90 calculado = fornecido Y Y 90 90 calculado= FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 164 9.3 - Irradiação Consisteem,apartirdeumalinhadereferênciaconhecida, medirumânguloeumadistância.Ésemelhanteaumsistemade coordenadas polares (figura 9.24). A distância pode ser obtida utilizando umatrena,distanciômetroeletrônicoouestaçãototalouobtidapor métodostaqueométricos.Estemétodoémuitoempregadono levantamento de detalhes em campo. Figura 9.24 - Método de irradiação. Neste método o equipamento fica estacionado sobre um ponto e faz-sea“varredura”doselementosdeinteressepróximosaoponto ocupado,medindodireçõesedistânciasparacadaelementoaser representado (figura 9.25). Figura 9.25 - Levantamento por irradiação. Ponto A (ocupado com o equipamento) Ponto B Direção AB de referência Ângulo α Ponto P Distância AP Estação Ocupada Direção de referência Estação: 02 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 165 A figura a seguir apresenta um exemplo de caderneta de campo paraolevantamentoporirradiação.Nesteexemplofoiutilizadaa técnica da taqueometria para a determinação da distância horizontal. Figura 9.26 - Exemplo de caderneta de campo de levantamento de detalhes. Duranteaexecuçãodeumlevantamentodedetalhesé importanteelaborarumcroquidaáreaqueestásendolevantada, associandoumnomeounúmeroacadafeiçãooupontolevantado,ea mesmaindicaçãodeveserutilizadanacadernetadecampo.Istovisa facilitaraelaboraçãododesenhofinal.Afigura9.27apresentaum croqui elaborado durante um levantamento de detalhes. Ângulos horizontais (direções) Ângulo Zenital Nome do Ponto Altura do instrumento Leituras Estadimétricas LS: fio superior LM: fio médio LI: fio inferior FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 166 Figura 9.27 - Croqui. 9.3.1 - Exercício AFigura9.28ilustraumlevantamentodedetalhesefetuado pelométododeirradiação,utilizandocomoequipamentodemedição uma estação total. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 167 Figura 9.28 - Levantamento de detalhes pelo método de Irradiação. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 168 Calcularascoordenadascartesianasretangularesdosdetalhes apresentadosnaFigura1,referidosàpoligonalfechada,calculada anteriormente. 1) Para ângulos horizontais medidos no sentido HORÁRIO, calcular as coordenadas dos pontos A1, P1 e B1. Estação ocupada: 1Estação visada a RÉ: 0=PP A 0=PP- 1 = 106º52’07’’X 1 = 320,05 mY 1 = 560,22 m Tabela 9.2 - Levantamento de detalhes efetuado na estação 1. Detalhe visado Ângulo horizontal Distância inclinada (m) Ângulo zenital A111º 07’ 15’’58,3888º 21’ 40’’ P1220º 40’ 32’’22,4991º 03’ 12’’ B1290º 37’ 24’’46,8792º 22’ 09’’ 1.1) Cálculo das distâncias horizontais entre a estação 1 e os pontos A1, P1 e B1. 1.1.1) Distância horizontal entre 1 e A1(Dh = Di senZ) Dh = 58,38 sen(88º 21’ 40’’) Dh = 58,36 m 1.1.2) Distância horizontal entre 1 e P1 Dh = 22,49 sen(91º 03’ 12’’) Dh = 22,49 m 1.1.3) Distância horizontal entre 1 e B1 Dh = 46,87 sen(92º 22’ 09’’) Dh = 46,83 m 1.2) Cálculo dos azimutes entre a estação 1 e os pontos A1, P1 e B1. (A 1-detalhe = A 0=PP-1 + ângulo horizontal horário - 180º) 1.2.1) Azimute da direção 1-A1 A 1-A1 = 106º52’07’’+ 11º 07’ 15’’- 180º A 1-A1 = 297º 59’ 22’’ 1.2.2) Azimute da direção 1-P1 A 1-B1 = 106º52’07’’+ 220º 40’ 32’’- 180º A 1-B1 = 147º 32’ 39’’ FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 169 1.2.3) Azimute da direção 1-B1 A 1-P1 = 106º52’07’’+ 290º 37’ 24’’- 180º A 1-P1 = 217º 29’ 31’’ 1.3) Cálculodascoordenadascartesianasretangularesdospontos A1, P1 e B1. X detalhe = X 26 + dh senA 26-detalhe Y detalhe = Y 26 + dh cosA 26-detalhe 1.3.1) Coordenadas cartesianas retangulares de A1 X A1 = X 1 + d sen A 1-A1 X A1 = 320,05+ 58,36sen 297º 59’ 22’’X A1 = 268,52 m Y A1 = Y 1 + d cosA 1-A1 Y A1 = 560,22+ 58,36cos 297º 59’ 22’’Y A1 = 587,61 m 1.3.2) Coordenadas cartesianas retangulares de P1 X P1 = X 1 + d sen A 1-P1 X P1 = 320,05+ 22,49 sen 147º 32’ 39’’X P1 = 332,12 m Y P1 = Y 1 + d cos A 1-P1 Y P1 = 560,22+ 22,49cos 147º 32’ 39’’Y P1 = 541,24 m 1.3.3) Coordenadas cartesianas retangulares de B1 X B1 = X 1 + d sen A 1-B1 X B1 = 320,05+ 46,83sen 217º 29’ 31’’X B1 = 291,55 m X B1 = Y 1 + d cos A 1-B1 X B1 = 560,22+ 46,83cos 217º 29’ 31’’X B1 = 523,06 m 2) Para ângulos horizontais medidos no sentido HORÁRIO, calcular as coordenadas dos pontos A2 e B2. Estação ocupada: 2Estação visada a RÉ: 1 A 1- 2 = 173º39’35’’X 2 = 332,82 mY 2 = 445,17 m FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 170 Tabela 9.3 - Levantamento de detalhes efetuado na estação 2. Detalhe visado Ângulo horizontal Distância inclinada (m) Ângulo zenital B2234º 11’ 13’’35,4089º 44’ 51’’ A2342º 40’ 32’’52,6690º 59’ 39’’ Respostas: Distância horizontal entre 2 e B2:Dh 2-B2 = 35,40 m Distância horizontal entre 2 e A2:Dh 2-A2 = 52,65 m Azimute da direção 2-B2: A 2-B2 = 227º 50’ 48’’ Azimute da direção 2-A2: A 2-B2 = 336º 20’ 07’’ Coordenadas cartesianas retangulares dos pontos B2 e A2: X B2 = 306,58 mY B2 = 421,51 m X A2 = 311,69 mY A2 = 493,39 m 3) Para ângulos horizontais medidos no sentido HORÁRIO, calcular as coordenadas dos pontos A3 e A4. Estação ocupada: 3Estação visada a VANTE: 4 A 3- 4 = 16º54’26’’X 3 = 220,03 mY 3 = 415,32 m Tabela 9.4 - Levantamento de detalhes efetuado na estação 3. Detalhe visado Ângulo horizontal Distância inclinada (m) Ângulo zenital A321º 12’ 40’’84,2290º 03’ 49’’ A448º 11’ 29’’71,1591º 02’ 22’’ 3.1) Cálculo das distâncias horizontais entre a estação 3 e os pontos A3 e A4. 3.1.1) Distância horizontal entre 3 e A3(Dh = Di senΖ) FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 171 Dh = 84,22 sen(90º 03’ 49’’) Dh = 84,22 m 3.1.2) Distância horizontal entre 3 e A4 Dh = 71,15 sen(91º 02’ 22’’) Dh = 71,14 m 3.2) Cálculo dos azimutes entre a estação 3 e os pontos A3 e A4. (A 3-detalhe = A 3-4 + ângulo horizontal horário) 3.2.1) Azimute da direção 3-A3 A 3-A3 = 16º 54’26’’+ 21º 12’ 40’’A 3-A3 = 38º 7’ 6’’ 3.2.2) Azimute da direção 3-A4 A 3-A4 = 16º 54’26’’+ 48º 11’ 29’’A 3-A4 = 65º 5’ 55’’ 3.3) Cálculodascoordenadascartesianasretangularesdospontos A3 e A4. X detalhe = X 3 + dh senA 3-detalhe Y detalhe = Y 3 + dh cosA 3-detalhe 3.3.1) Coordenadas cartesianas retangulares de A3 X A3 = X 3 + d sen A 3-A3 X A3 = 220,03 + 84,22 sen 38º 7’ 6’’X A3 = 272,02 m Y A3 = Y 3 + d cosA 3-A3 Y A3 = 415,32 + 84,22 cos 38º 7’ 6’’Y A3 = 481,58 m 3.3.2) Coordenadas cartesianas retangulares de A4 X A4 = X 3 + d sen A 3-A4 X A4 = 220,03 + 71,14 sen 65º 5’ 55’’X A4 = 284,55 m Y A4 = Y 3 + d cos A 3-A4 Y A4 = 415,32 + 71,14 cos 65º 5’ 55’’Y A4 = 445,27 m 4) Para ângulos horizontais medidos no sentido HORÁRIO, calcular as coordenadas dos pontos MF1 e A5. Estação ocupada: 4Estação visada a VANTE: 0=PP FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 172 A 4-0PP = 345º23’00’’X 4 = 246,67 mY 4 = 503,04 m Tabela 9.6 - Levantamento de detalhes efetuado na estação 4. Detalhe visado Ângulo horizontal Distância inclinada (m) Ângulo zenital MF1301º 49’ 15’’33,2990º 09’ 11’’ A519º 40’ 19’’43,1889º 59’ 15’’ Respostas: Distância horizontal entre 4 e MF1:Dh 4-MF1 = 33,29 m Distância horizontal entre 4 e A5:Dh 4-A5 = 43,18 m Azimute da direção 4-MF1:A 4-MF1 = 287º 12’ 15’’ Azimute da direção 4-A5: A 4-A5 = 5º 3’ 19’’ Coordenadas cartesianas retangulares dos pontos MF1 e A5: X MF1 = 214,87 mY MF1 = 512,89 m X A5 = 250,47 mY A5 = 546,05 m Observe-seadiferençaentreocálculodoazimute“estação ocupada-detalhe”conformeaestaçãoondefoi“zerado”oângulo horizontal é a ré ou a vante. 9.4 - Intersecção a Vante O método de interseção a vante (figura 9.29) consiste em obter as coordenadas planimétricas de um ponto a partir do conhecimento das coordenadasde doisoutrospontosedaexecuçãodemedidasangulares somente. ConhecidasascoordenadasdeA(X A ,Y A )edeB(X B ,Y B ), determina-seosângulosαeβecalcula-seascoordenadasde C(X C , Y C ). FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 173 Figura 9.29 - Intersecçãoa vante. 9.4.1 - Exercício A partir de um levantamento realizado anteriormente, conhece- se as coordenadas de A e B (figura 9.30): X A = 160,19 mY A = 150,08 m X B = 639,42 mY B = 280,63 m Utilizandoumteodolito,determinou-seemcampo,osângulos α e β. α = 48º 50’ 46’’ β = 50º 36’ 41’’ Calcular as coordenadas da estação C. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 174 Figura 9.30 - Exercício Método de Intersecção à vante. 1)Cálculo do lado c (distância entre os pontos A e B) c = 496,69 m 2) Cálculo de γ γγ γ α + β + γ = 180ºγ = 80º 32’ 33’’ 3) Cálculo dos lados a e b, utilizando analogia dos senos A B C N A AB A AC c a β α γ b 2 2 ) ( ) ( A B A B Y Y X X c − + − = γ β α sen c sen b sen a = = FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 175 a = 379,13 m b = 389,16 m 4) Cálculo do azimute da direção AB A AB = 74º 45’ 51’’ 5) Cálculo do azimute da direção AC A AC = A AB - αA AC = 25º 54’ 55’’ 6) Cálculo das coordenadas de C X C = X A + d AC × sen A AC X c = 330,27 m Y C = Y A + d AC × cos A AC Y C = 500,11 m Existemdiversasoutrasmaneirasdesechegaraoresultado correto solicitado. c sen sen a γ α = c sen sen b γ β = 08 , 150 63 , 280 19 , 160 42 , 639 − − = − − = A B A B AB Y Y X X tgA FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 176 10 - CÁLCULO DE ÁREAS AavaliaçãodeáreaséumaatividadecomumnaTopografia. Porexemplo,nacompraevendadeimóveisruraiseurbanosesta informação se reveste de grande importância. Basicamenteosprocessosparadeterminaçãodeáreaspodem ser definidos como analíticos, gráficos, computacionais e mecânicos. 10.1 - Processo Gráfico Nesteprocessoaáreaaseravaliadaédivididaemfiguras geométricas, como triângulos, quadrados ou outras figuras, e a área final serádeterminadapelasomatóriadetodasasáreasdasfiguras geométricas. A figura 10.1 ilustra a aplicação do método gráfico, através do processo de divisão da área em quadrículas e em figuras geométricas equivalentes. Figura 10.1 - Cálculo de área por métodos gráficos: quadriculado e figuras geométricas equivalentes. 10.2 - Processo Computacional Atualmenteéumaformabastantepráticaparaocálculode áreas. Baseado no emprego de algum programa gráfico do tipo CAD, no qualsãodesenhadosospontosquedefinemaárealevantadaeo programa calcula esta área, por métodos analíticos. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 177 10.3 - Processo Mecânico Utiliza-seumequipamentodenominadodeplanímetro(figura 10.2).Esteconsisteemdoisbraçosarticulados,comumpontofixo denominado de pólo e um cursor na extremidade dos braços, o qual deve percorreroperímetrodopolígonoquesedesejacalcularaárea. Tambémapresentaumtamborgiratório.DeacordocomCINTRA (1996),"pode-sedemonstrarqueogirodotambore,portanto,a diferençadeleituras,éproporcionalàáreaenvolvidapelocontorno percorrido". Figura 10.2 - Planímetro digital. A área será dada por: Área = k. (Lf - Li) (10.1) Onde: -kéaconstantedoaparelhoparaumdadocomprimentodobraço graduado; - Lf é a leitura final; - Li é a leitura inicial. O valor de K pode ser determinado planimetrando-seuma área conhecida (S) diversas vezes (n). ( ) Li - Lf S)/. (nk = (10.2) FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 178 DeacordocomCINTRA(1996)opólodeveserposicionado fora da área que esta sendo avaliada, caso contrário, deve-se adicionar à área o chamado "círculo zero", fornecido pelo fabricante. 10.4 - Processos Analíticos Nestemétodoaáreaéavaliadautilizandofórmulas matemáticasquepermitem,apartirdascoordenadasdospontosque definem a feição, realizar os cálculos desejados. Ocálculodaáreadepoligonais,porexemplo,podeser realizado a partir do cálculo da área de trapézios formados pelos vértices dapoligonal(fórmuladeGauss).Atravésdafigura10.3épossível perceberqueaáreada poligonaldefinidapelospontos1,2,3e4pode ser determinada pela diferença entre as áreas 1 e 2. Figura 10.3 - Cálculo de áreas. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 179 Aárea1podesercalculadaapartirdasáreasdostrapézios formadospelospontos2',2,1,1´e1',1,4,4'.Nafigura10.4é apresentada a fórmula de cálculo da área de um trapézio qualquer. Figura 10.4 - Cálculo da área de um trapézio. Para facilitar a compreensão, será calculada a área do trapézio formado pelos pontos 2', 2, 1, 1' (figura 10.5). Figura 10.5 - Trapézio 2´2 1 1´. a b h h = altura a = base menor b = base maior h b a Área ⋅ + = 2 1 2 3 4 x y 1´ 2´ y 2 y 1 x 2 x 1 y 2 - y 1 1 2 1´ 2´ b a h FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 180 Conforme pode ser visto na figura 10.5, a área do trapézio será dada por: ) y y )( x x ( 2 1 2 ) x x ( ) y y ( A 1 2 1 2 1 2 1 2 − + = + − = (10.3) Desta forma a área 1 (figura 10.3) será calculada por: ) y y )( x x ( 2 1 ) y y )( x x ( 2 1 Área 4 1 4 1 1 2 1 2 1 − + + − + =(10.4) Da mesma forma, a área 2 será calculada por: ) y y )( x x ( 2 1 ) y y )( x x ( 2 1 Área 4 3 4 3 3 2 3 2 2 − + + − + = (10.5) A área da poligonal (Ap) será dada por: 1 2 Área Área Ap − =(10.6) Desenvolvendo tem-se: \ | | ¹ | − + + − + − \ | | ¹ | − + + − + = ) y y )( x x ( 2 1 ) y y )( x x ( 2 1 ) y y )( x x ( 2 1 ) y y )( x x ( 2 1 Ap 4 1 1 4 1 2 2 1 4 3 4 3 3 2 3 2 (10.7) | | ¹ | \ | − + − − + − − + + − + = ) y y )( x x ( ) y y )( x x ( ) y y )( x x ( ) y y )( x x ( 2 1 Ap 4 1 1 4 1 2 2 1 4 3 4 3 3 2 3 2 (10.8) Reescrevendo a equação (10.8), eliminando-se o sinal negativo obtém-se: ) y y )( x x ( ) y y )( x x ( ) y y )( x x ( ) y y )( x x ( Ap 2 1 4 1 4 2 1 2 1 4 3 4 3 3 2 3 2 − + + − + + − + + − + = (10.9) FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 181 ) y y )( x x ( ) y y )( x x ( ) y y )( x x ( ) y y )( x x ( Ap 2 1 4 1 4 4 3 4 3 3 2 3 2 2 1 2 1 − + + − + + − + + − + = (10.10) Genericamente a equação (10.10) pode ser reescrita por: ) )( ( 2 1 1 1 + + = − + Σ = i i i i n i y y x x A (10.11) Sendonigualaonúmerodepontosdapoligonal.Deve-se observarquequandoi=n,ovalordei+1deveserconsideradocomo sendo1,ouseja,oprimeiropontonovamente.Outrafórmulapodeser obtida a partir da resolução da equação (10.11). + − + − = 2 2 1 2 2 1 1 1 y . x y . x y . x y . x A 2 + − + − 3 3 2 3 3 2 2 2 y . x y . x y . x y . x + − + − 4 4 3 4 4 3 3 3 y . x y . x y . x y . x 1 1 4 1 1 4 4 4 y . x y . x y . x y . x − + − (10.12) Simplificando os termos semelhantes e reescrevendo a equação obtém-se: 1 4 3 4 4 3 2 3 3 2 1 2 2 1 4 1 y . x y . x y . x y . x y . x y . x y . x y . x A 2 − + − + − + − = (10.13) ) y y ( x ) y y ( x ) y y ( x ) y y ( x A 2 1 3 4 4 2 3 3 1 2 2 4 1 − + − + − + − = (10.14) A equação (10.14) pode ser representada genericamente por: ) y y ( x A 2 1 i 1 i i + − − Σ = (10.15) Outambémdeoutraforma,conformeequação(10.16)cuja dedução fica para o leitor: ) x x ( y A 2 1 i 1 i i − + − Σ =(10.16) Outra equação também pode ser empregada (CINTRA, 1996): FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 182 ∑ ⋅ − ∑ ⋅ = + + ) ( ) ( 2 1 1 i i i i y x x y A(10.17) Utilizando-seaequação(10.17)podeserrealizadofacilmente montando-se uma tabela com as coordenadas dos pontos, com o cuidado derepetiracoordenadadoprimeiropontonofinaldatabela,e multiplicando-se de acordo com o ilustrado pela figura 10.6. Figura 10.6 - Forma de multiplicação dos valores. 10.5 - Exercício Calcularaáreadapoligonalfechadadoexercício9.3empregando-sea equação (10.17), a partir de suas coordenadas (p.155). X (m)Y (m) x 0 y 0 y 0 .x 1 x 1 y 1 x 0 .y 1 y 1 .x 2 x 2 y 2 x 1 .y 2 y 2 .x 3 x 3 y 3 x 2 .y 3 y 3 .x 4 x 4 y 4 x 3 .y 4 y 4 .x 1 x 0 y 0 x 4 .y 1 Área = 0,5×(Σ1 - Σ2) área poligonal x 1 y 1 y 1 .x 2 x 2 y 2 x 1 .y 2 y 2 .x 3 x 3 y 3 x 2 .y 3 y 3 .x 4 x 4 y 4 x 3 .y 4 y 4 .x 1 x 1 y 1 x 4 .y 1 Σ1Σ2 Área = 0,5(Σ1-Σ2) 1(x 1 ,y 1 ) 4(x 4 , y 4 ) 3 (x 3 , y 3 ) 2 (x 2 , y 2 ) FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 183 XY Σ1 224,19589,25 Σ2 188588,852320,05560,22 125595,0778 186453,9155332,82445,17 142476,1459 97950,98415220,03415,32 138227,4819 102447,9352246,67503,04 110684,0549 112776,4224,19589,25 145352,8428 688218,0869662335,6033 (Σ1 - Σ2) / 2 Área =12941,24m 2 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 184 11 - MEMORIAL DESCRITIVO Omemorialdescritivodeumaáreaéindispensávelparaseu registroemCartório.Deveconteradescriçãopormenorizadada propriedade, incluindo: a)Nomedapropriedade(sehouver),nomedoproprietárioe localização; b)Descriçãodoperímetrocitandodistânciaseângulosentreos alinhamentos(azimutes,rumos,deflexões,ângulosinternosou ângulos externos); c)Nome dos confrontantes em cada trecho; d)Áreaabrangida,data,assinatura,nomeeregistrodo profissional responsável pelo levantamento; M E M O R I A LD E S C R I T I V O(exemplo 1) O presente memorial descreve a área rural, sem benfeitorias, na localidadedeFlores,nomunicípiodeFloresta,EstadodoParaná, pertencente a herdeiros de José da Silva, com cadastro junto ao INCRA de número 9999999999-9. A estaca 0=PP situa-se na divisa das propriedades de Wilson de Oliveira e Nelson dos Santos. Partindo-sedaestaca0=PPemumazimuteverdadeirode87º 41’06”a110,54mchega-senaestaca1,limitando-secoma propriedadedeNelsondosSantos.Daestaca1,emumazimute verdadeiro de 13º 40’ 30’’ a 97,62 m, limitando-se com a propriedade de ValdirdeMelo,chega-seaestaca2.Daestaca2,emumazimute verdadeiro de 274º 04’ 12” a 162,30 m, limitando-se com a propriedade de Valdir de Melo, chega-se a estaca 3. Da estaca 3, a 114,40 m, em um azimute verdadeiro de 165º 38’ 54’’, limitando-se com a propriedade de WilsondeOliveira,retorna-seaestaca0=PP,totalizandoparaaárea desta propriedade 13.994,40 m 2 . Engenheiro Cartógrafo Fulano da Silva CREA PR Carteira 00000-D Registro 00000 Curitiba, 29 de fevereiro de 2010. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 185 M E M O R I A LD E S C R I T I V O (exemplo 2) Propriedade de: Odilon Viana e outros Lote:16-C-3/C-1-A-2-A/C-1-A-3-A/C-1-A-2do Croqui4687 da Planta Herdeiros de Lourenço Viana. Indicação Fiscal: 5151515151-51 Lotedeformairregular,com14,00m(catorzemetros)de frente para a Rua Marquês das Oliveiras. DoladodireitodequemdaRuaMarquêsdasOliveirasolhao lote,mede61,30m(sessentaeummetrosetrintacentímetros), confrontandocomoslotesind.fiscais:51-057-018.000dePedroJosé Viana e 51-057-022.000 de Pedro Viana. Do lado esquerdo de quem da rua Marquês das Oliveiras olha o lote, mede em cinco segmentos, sendo o primeiro com 34,50 m (trinta e quatrometrosecinqüentacentímetros).Osegundosegmentodefleteà esquerda90°(noventagraus)emede16,00m(dezesseismetros), confrontandocomoloteind.fiscal51-057-016.000deJoãoViana.O terceirosegmentodefleteàdireita90°(noventagraus)emede12,00m (dozemetros)defrenteparaaRuaJoséMatos.Oquartosegmento deflete à direita 90° medindo 16,00 m (dezesseis metros). O 5º segmento deflete à esquerda 90° (noventa graus) e mede 14,30 m (catorze metros e trintacentímetros),confrontandocomoloteind.fiscal51-057-030.000 deDaniloViana.Nalinhadefundo,mede18,70m(dezoitometrose setentacentímetros),confrontandocomoslotesind.fiscais51-057- 030.000 de Danilo Viana e 41-057-022.000 de Pedro Viana. Oloteémuradoemtodasuaextensãoesuaáreatotalé 1.187,45 m 2 (um mil cento e oitenta e sete metros quadrados e quarenta e cinco decímetros quadrados). Noloteexistem4(quatro)imóveis,sendoqueoimóvelI,de madeira, com área de 120 m 2 (cento e vinte metros quadrados)e forma irregular, localiza-se a 31,00 m (trinta e um metros) da frente do lote na ruaMarquêsdasOliveiras,possuindo9,00m(novemetros)defrente por 13,0 m (treze metros) no seu lado esquerdo. Na divisa do primeiro segmento dolado esquerdo de quem da rua Marquês das Oliveiras olha o lote, a 22,50 m (vinte edoismetros e cinqüenta centímetros) desta, situa-se o imóvel II, de alvenaria, medindo 3,50 m x 12,00 m (três metros e cinqüenta centímetros por doze metros) com área de 42,00 m 2 (quarenta e dois metros quadrados). A 5 m (cinco metros) do terceiro segmento do lado esquerdo de quem da rua Marquês das Oliveiras olha o lote, de frente para a rua José FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 186 Matos,situa-seoimóvelIII,dealvenaria,medindo12,00mx8,75m (doze metros por oito metros e setenta e cinco centímetros), com área de 105,00 m 2 (cento e cinco metros quadrados). No quinto segmento do lado esquerdo de quem da rua Marquês das Oliveiras olha o lote, a 4,80 m (quatro metros e oitenta centímetros) localiza-se o imóvel IV, de alvenaria, com 3,80 m x 9,50 m (três metros e oitenta centímetros por nove metros e cinqüenta centímetros) e área de 36,10 m 2 (trinta e seis metros quadrados e dez decímetros quadrados). A largura da rua Marquês das Oliveiras é 10,00 m (dez metros) ecadacalçadanestaruamede5,50(cincometrosecinqüenta centímetros). AlarguradaruaJoséMatosé10,00m(dezmetros)ecada calçada nesta rua mede 4,50 m (quatro metros e cinqüenta centímetros). João da Silva - EngenheiroCartógrafo CREA Nº.00000 - D / PR Curitiba, 29 de fevereiro de 2010. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 187 12 - NIVELAMENTO 12.1 - Introdução Adeterminaçãodacota/altitudedeumpontoéumaatividade fundamentalemengenharia.Projetosderedesdeesgoto,deestradas, planejamentourbano,entreoutros,sãoexemplosdeaplicaçõesque utilizamestasinformações.Adeterminaçãodovalordacota/altitude estábaseadaemmétodosquepermitemobterodesnívelentrepontos. Conhecendo-seumvalordereferênciainicialépossívelcalcularas demaiscotasoualtitudes.Estesmétodossãodenominadosde nivelamento.Existemdiferentesmétodosquepermitemdeterminaros desníveis,comprecisõesquevariamdealgunscentímetrosatésub- milímetro.Aaplicaçãodecadaumdelesdependerádafinalidadedo trabalho. Os conceitos de cota e altitude podem ser assim definidos: Cota: é a distância medida ao longo da vertical de um ponto até um plano de referência qualquer (figura12.1). Altitudeortométrica:éadistânciamedidanaverticalentreum pontodasuperfíciefísicadaTerraeasuperfíciedereferência altimétrica (nível médio dos mares). A figura 12.1 ilustra este conceito. Figura 12.1 - Cota, altitude e desnível. H Á (altitude de A)H B (altitude de B) S.F. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 188 Conhecendo-se a altitude ou cota de um ponto e determinando- seodesníveloudiferençadenívelentreesteeumsegundoponto, obtém-se a altitude ou cota do segundo ponto, através da equação: (12.1) Seosegundopontoestivermais“alto”queoprimeiroo desnível será positivo, em caso contrário, negativo. AsaltitudesnoBrasilsãodeterminadasapartirdaRede Altimétrica Brasileira, estabelecida e mantida pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). Esta é um exemplo de rede vertical, que deacordocomGEMAEL(1987,p.9.1)podeserdefinidacomoum conjunto de pontos materializados no terreno (referências de nível - RN) eidentificadosporumacoordenada,aaltitude,determinadaapartirde um ponto origem do datum vertical. No Brasil o datum altimétrico é o ponto associado com o nível médio do mar determinado pelo marégrafo de Imbituba, Santa Catarina. Umresumohistóricodarededenivelamentobrasileiraé apresentado em IBGE (2004): “Em13deOutubrode1945,aSeçãodeNivelamento(SNi) iniciavaostrabalhosdeNivelamentoGeométricodeAlta Precisão,dandopartidaaoestabelecimentodaRede AltimétricadoSistemaGeodésicoBrasileiro(SGB).No DistritodeCocal,MunicípiodeUrussanga,SantaCatarina, ondeestálocalizadaaReferênciadeNívelRN1-A,aequipe integrada pelos Engenheiros Honório Beserra - Chefe da SNI, José Clóvis Mota de Alencar, Péricles Sales Freire e Guarany CabraldeLavôrefetuouaoperaçãoinicialdenivelamento geométrico no IBGE. Em Dezembro de 1946, foi efetuada a conexão com a Estação Maregráfica de Torres, Rio Grande do Sul, permitindo, então, ocálculodasaltitudesdasReferênciasdeNíveljá AB A B H H H ∆ + = FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 189 implantadas.Concretizava-se,assim,oobjetivodoProfessor AllyriodeMattosdedotaroBrasildeumaestrutura altimétricafundamental,destinadaaapoiaromapeamentoe servirdesuporteàsgrandesobrasdeengenharia,sendode vitalimportânciaparaprojetosdesaneamentobásico, irrigação, estradas e telecomunicações. Em1958,quandoaRedeAltimétricacontavacommaisde 30.000quilômetrosdelinhasdenivelamento,oDatumde TorresfoisubstituídopeloDatumdeImbituba,definidopela estaçãomaregráficadoportodacidadedemesmonome,em SantaCatarina.Talsubstituiçãoensejouumasensível melhoriadedefiniçãodosistemadealtitudes,umavezquea estaçãodeImbitubacontavanaépocacomnoveanosde observações,bemmaisqueoalcançadopelaestaçãode Torres. Ofinaldadécadade70marcouaconclusãodeumagrande etapadoestabelecimentodaRedeAltimétrica.Naquele momento,linhasdenivelamentogeométricochegaramaos pontosmaisdistantesdoterritóriobrasileiro,nosestadosdo Acre e de Roraima. Apósaproximadamente35anosdeajustamentomanualdas observaçõesdenivelamento,oIBGEiniciou,nosprimeiros anosdadécadade80,ainformatizaçãodoscálculos altimétricos.Talprocessopossibilitouaimplantação,em 1988,doProjetoAjustamentodaRedeAltimétrica,como objetivo de homogeneizar as altitudes da Rede Altimétrica do SGB.Depoisdarecenteconclusãodeumajustamentoglobal preliminar,oDepartamentodeGeodésiaprepara-seagora para dar continuidade ao projeto, com a realização de cálculos aindamaisrigorosos,considerando-setambémobservações gravimétricas. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 190 Fatotambémmarcantefoioiníciodasoperaçõesde monitoramento do nível do mar, em 1993. Com o objetivo de aprimorar o referencial da Rede Altimétrica, o IBGE passou a operar a estação maregráfica de Copacabana, transformando-a emumaestaçãoexperimentalparafinalidadesgeodésicas. HojeoIBGEoperaoutraestação,noPortodeImbetiba,em Macaé, Rio de Janeiro, com a perspectiva de também assumir a operação da Estação Maregráfica de Imbituba.” A figura 12.2 ilustra a Rede Altimétrica Brasileira Figura 12.2 - Rede altimétrica brasileira. Fonte: IBGE (2010). FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 191 As altitudes dos pontos que fazem parte desta rede, denominada dereferênciasdenível(RRNN,pluraldeRN)sãodeterminadas utilizando o nivelamento geométrico (de precisão ou alta precisão). Este éumprocedimentolentoedelicado,emvirtudedaprecisãocomque devemserdeterminadososdesníveis.Maioresdetalhessobreo procedimentodenivelamentogeométricoutilizadonoestabelecimento destasredespodemserencontradosemBRASIL(1998)eMEDEIROS (1999). As RRNN são marcas características de metal (latão ou bronze) cravadasempilaresdeconcretoerguidosnosextremosdasseçõesou pontosnotáveis(obrasdearte,monumentos,estaçõesferroviáriasou rodoviárias)dospercursosdelinhasgeodésicas.Afigura12.3ilustra uma Referência de Nível. Figura12.3 - Referência de nível - RN 2053-D. Épossívelobterasinformaçõessobrearedealtimétrica brasileira através do site do IBGE. Para tal, deve-se conhecer o nome da RNesuaposição(latitudeelongitude),tendoemvistaqueas informaçõesforamorganizadascombasenasfolhasdaCarta InternacionaldoMundoaoMilionésimo.ParaaRNilustradanafigura 12.3 estas informações são apresentadas no quadro a seguir. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 192 Quadro 12.1 - Descrição da RN 2053-D. Fonte: IBGE (2002) 12.2 - Levantamento Topográfico Altimétrico DeacordocomaABNT(1994,p3),olevantamento topográfico altimétrico ou nivelamento é definido por: “levantamentoqueobjetiva,exclusivamente,adeterminação das alturas relativas a uma superfície de referência dos pontos deapoioe/oudospontosdedetalhe,pressupondo-seo conhecimentodesuasposiçõesplanimétricas,visandoa representação altimétrica da superfície levantada.” Basicamente três métodos são empregados para a determinação dos desníveis: nivelamento geométrico, trigonométrico e taqueométrico. Nivelamento geométrico ou nivelamento direto: “nivelamento que realiza a medida da diferença de nível entre pontos no terreno por intermédio de leituras correspondentes a visadashorizontais,obtidascomumnível,emmiras colocadasverticalmentenosreferidospontos.”ABNT(1994, p3). RN: 2053-D Altitude:914.3259 m Classe: AP Ajust Latitude: -25 26 43 Longitude:-49 14 07Fonte: C50 Situação da RN: BomÚltima visita: 00/12/1998 Localização: LOCALIZADO EM UM PEQUENO CANTEIRO AJARDINADO; 9 M AQUEM DA PAREDE LESTE DO SEXTO BLOCO DO CENTRO POLITECNICO DA UNIVERSIDADE, DESTA CIDADE, E 1,14 KM ALEM DA RN 2053-C. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 193 Nivelamento trigonométrico: “nivelamentoquerealizaamediçãodadiferençadenível entrepontosnoterreno,indiretamente,apartirda determinaçãodoânguloverticaldadireçãoqueosuneeda distânciaentreestes,fundamentando-senarelação trigonométricaentreoânguloeadistânciamedidos,levando emconsideraçãoaalturadocentrodolimboverticaldo teodolito ao terreno e a altura sobre o terreno do sinal visado.” ABNT (1994, p.4). Nivelamento taqueométrico: “nivelamento trigonométrico em que as distâncias são obtidas taqueometricamenteeaalturadosinalvisadoéobtidapela visadadofiomédiodoretículodalunetadoteodolitosobre umamiracolocadaverticalmentenopontocujadiferençade nívelemrelaçãoàestaçãodoteodolitoéobjetode determinação.” ABNT (1994, p.4). ANBR13133estabelece,emseuitem6.4,quatroclassesde nivelamentodelinhasoucircuitosedeseções,abrangendométodosde medida,aparelhagem,procedimentos,desenvolvimentose materialização (ABNT, 1994, p.15): a) Classe IN - nivelamento geométrico para implantação de referências de nível (RN) de apoio altimétrico. b)ClasseIIN-nivelamentogeométricoparaa determinaçãodealtitudesoucotasempontosdesegurança FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 194 (Ps)evérticesdepoligonaisparalevantamentostopográficos destinadosaprojetosbásicosexecutivoseobrasde engenharia. c)ClasseIIIN-Nivelamentotrigonométricoparaa determinaçãodealtitudesoucotasempoligonaisde levantamento,levantamentodeperfisparaestudos preliminares e/ou de viabilidade de projetos. d)ClasseIVN-Nivelamentotaqueométricodestinadoa levantamento de perfispara estudos expeditos. Anormaapresentaparaestasquatroclassesumatabela abrangendoosmétodosdemedição,aparelhagem,desenvolvimentoe tolerânciasdefechamento.Somentecomoexemplo,paraaclasseIN (nivelamentogeométrico),executadocomníveldeprecisãoalta,a tolerância de fechamento é de 12 mm . k 1/2 , onde k é a extensão nivelada emumúnicosentidoemquilômetros.Cabesalientarquenaprática costuma-seadotarovalordekcomosendoamédiadadistância percorrida durante o nivelamento e contranivelamento, em quilômetros. Independentedométodoaserempregadoemcampo,durante umlevantamentoaltimétricodestinadoaobtençãodealtitudes/cotas para representação do terreno, a escolha dos pontos é fundamental para a melhor representação do mesmo. A figura 12.4 apresenta uma seqüência deamostragemdepontosparaumamesmaárea,iniciandocoma amostragemmaiscompletaefinalizandoemumcasoondesomenteos cantosdaáreaforamlevantados.Ospontoslevantadossão representadospelasbalizas.Apresentam-setambémasrespectivas curvas de nível obtidas a partir de cada conjunto de amostras. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 195 Figura 12.4 - Amostragem de pontos altimétricos e representação do relevo. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 196 12.3 - Nivelamento Geométrico Onivelamentogeométricoéaoperaçãoquevisaa determinaçãododesnívelentredoispontosapartirdaleituraemmiras (estádiasouemcódigodebarras)efetuadascomníveisópticosou digitais. Este pode ser executado para fins geodésicos ou topográficos. A diferençaentreambosestánaprecisão(maiornocasodonivelamento para fins geodésicos) e no instrumental utilizado. 12.3.1 - Níveis Os níveis são equipamentos que permitem definir com precisão um planohorizontalortogonalàverticaldefinidapeloeixoprincipaldo equipamento. As principais partes de um nível são: •Luneta; •Nível de bolha; •Sistemas de compensação (para equipamentos automáticos); •Dispositivos de calagem. Quantoaofuncionamento,osequipamentospodemser classificadosemópticosedigitais,sendoqueparaesteúltimoaleitura namiraéefetuadaautomaticamenteempregandomirasemcódigode barra.Osníveisópticospodemserclassificadosemmecânicose automáticos.Noprimeirocaso,onivelamento"finooucalagem"do equipamentoérealizadocomoauxíliodeníveisdebolhabi-partida. Nos modelos automáticosa linha de visada é nivelada automaticamente, dentrodeumcertolimite,utilizando-seumsistemacompensador (pendular).Osníveisdigitaispodemserenquadradosnestaúltima categoria. São três os eixos principais de um nível: •ZZ’= eixo principal ou de rotação do nível •OO’= eixo óptico/ linha de visada/ eixo de colimação •HH’= eixo do nível tubular ou tangente central A figura 12.5 representa estes eixos. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 197 Figura 12.5 - Eixos do nível. As condições que os eixos devem satisfazer são as seguintes: o eixo ZZ’ deve estar na vertical, HH’ deve estar na horizontal e ortogonal ao eixo principal e o eixo OO’ deve ser paralelo ao eixo HH’. Caso isso não ocorra os níveis devem ser retificados ANBR13133classificaosníveissegundoodesvio-padrãode 1 km de duplo nivelamento, conforme a tabela abaixo. Tabela 12.1 - Classificação dos níveis. Classes de níveisDesvio-padrão 1 - precisão baixa > ± 10 mm/km 2 - precisão média ≤ ± 10 mm/km 3 - precisão alta ≤ ± 3 mm/km 4 - precisão muito alta ≤ ± 1 mm/km Fonte: ABNT (1994, p.6). 12.3.2 - Miras Existemnomercadodiversosmodelosdemiras,asmais comuns são fabricadas em madeira, alumínio ou fiberglass. Estas podem ser dobráveis ou retráteis. A figura a seguir apresenta alguns exemplos. Z Z’ O’ O H’ H FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 198 Figura 12.6 - Diferentes modelos de miras. Fonte: MYTOOLSTORE (2004). Durantealeituraemumamiraconvencionaldevemserlidos quatro algarismos, que corresponderão aos valores do metro, decímetro, centímetroemilímetro,sendoqueesteúltimoéobtidoporuma estimativa e os demais por leitura direta dos valores indicados na mira. A seguir é apresentado um exemplo de leitura para um modelo demirabastanteempregadonostrabalhosdeTopografia.Amira apresentada na figura 12.8 está graduada em centímetros (traços claros e escuros). A leitura do valor do metro é obtida através dos algarismos em romano(I,II,III)e/oudaobservaçãodosímboloacimadosnúmeros que indicam o decímetro.A convenção utilizada para estes símbolos, no caso da mira em exemplo, é apresentada na figura 12.7. Figura 12.7 - Convenção para a indicação do metro para a mira utilizada. 1 metro 2 metros 3 metros FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 199 Seonúmeroqueindicaodecímetronãoapresentarumdestes símbolos acima da indicação do valor, significa que a leitura esta sendo efetuada abaixo de 1m. Figura 12.8 - Mira e leituras. Aleituradodecímetroérealizadaatravésdosalgarismos arábicos(1,2,3,etc.).Aleituradocentímetroéobtidaatravésda graduação existente na mira. Traços escuros correspondem a centímetros ímpareseclarosavalorespares.Finalmentealeituradomilímetroé estimadavisualmente.Nafigura12.8sãoapresentadosdiversos exemplos de leitura na mira. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 200 12.3.2.1 Exercício Indicar nas miras a seguir, as seguintes leituras: 1,615m1,705m1,658m1,600m1,725m Obs.:amiradaesquerdaéchamadademiraemE,emfunção do tipo de marcação utilizada. 12.3.3 - Métodos de Nivelamento Geométrico Épossíveldividironivelamentogeométricoemquatro métodos: - visadas iguais - visadas extremas - visadas recíprocas - visadas eqüidistantes FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 201 12.3.3.1 - Visadas Iguais Éométodomaisprecisoedelargaaplicaçãoemengenharia. Neleasduasmirassãocolocadasàmesmadistânciadonível,sobreos pontosquedeseja-sedeterminarodesnível,sendoentãoefetuadasas leituras(figura12.9).Éumprocessobastantesimples,ondeodesnível será determinado pela diferença entre a leitura de ré e a de vante. ∆H AB = Leitura de ré - Leitura de vante Figura 12.9 - Nivelamento Geométrico - método das visadas iguais. Anecessidadedeonívelestaraigualdistânciaentreasmiras nãoimplicanecessariamentequeomesmodevaestaralinhadoentre elas.Afiguraaseguirapresentadoiscasosemqueistoocorre,sendo que no segundo caso, o nível não está no mesmo alinhamento das miras, porém está a igual distância entre elas. A Ré Vante B ∆h FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 202 Figura 12.10 - Nível a igual distância entre os pontos. Nesteprocedimentoodesnívelindependedaalturadonível, conformeilustraafiguraaseguir.Épossívelobservarqueaomudara alturadonívelasleiturastambémsemodificam,porémodesnível calculado permanece o mesmo (figura 12.11). ∆H AB = 1,100 - 0,500 = 0,600 m ∆H AB = 2,200 - 1,600 = 0,600 m Figura 12.11 - Nível em duas alturas diferentes. d d d d A Ré 1,100 2,200 Posição 01 Posição 02 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 203 Agrandevantagemdestemétodoéaminimizaçãodeerros causadospelacurvaturaterrestre,refraçãoatmosféricaecolimaçãodo nível(figura12.12).Cabesalientarqueosdoisprimeiroserros (curvaturaerefração)sãosignificativosnonivelamentogeométrico aplicado em Geodésia. Figura 12.12 - Erro de colimação e curvatura terrestre. Alguns conceitos importantes para o nivelamento geométrico: •Visada: leitura efetuada sobre a mira. •Lance:éamedidadiretadodesnívelentreduasmirasverticais (figura 12.13). Figura 12.13 - Lance. A Ré Vante B Visada à mira ré Visada à mira vante A B ε-errode colimação ε ε FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 204 •Seção:éamedidadodesnívelentreduasreferênciasdeníveleé obtida pela soma algébrica dos desníveis dos lances (figura 12.14). Figura 12.14 - Seção. •Linhadenivelamento:éoconjuntodasseçõescompreendidas entres duas RN chamadas principais (figura 12.15). •Circuito de nivelamento: é a poligonal fechada constituída de várias linhasjustapostas.PontosnodaissãoasRNprincipais,àsquais concorrem duas ou mais linhas de nivelamento (BRASIL, 1975). •Rededenivelamento:éamalhaformadaporvárioscircuitos justapostos (figura 12.15). RN RN Seção FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 205 Figura 12.15 - Rede, circuito e linha de nivelamento. O nivelamento geométrico poderá ser simples ou composto. No primeiro caso o desnível entre os pontos de interesse é determinado com apenasumaúnicainstalaçãodoequipamento,ouseja,umúnicolance (figura 12.16-a). No nivelamento geométrico composto, o desnível entre ospontosserádeterminadoapartirdevárioslances,sendoodesnível final calculado pela somatória dos desníveis de cada lance (figura 12.16- b). RN 3 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 206 Figura 12.16 - Nivelamento simples e composto. 12.3.3.1.1 - Procedimento de Campo Para a determinação do desnível entre dois pontos inicialmente deve-seposicionarasmirassobreosmesmos.Estasdevemestar verticalizadas,sendoqueparaistoutilizam-seosníveisdecantoneira. Umavezposicionadasasmiraseoníveldevidamentecalado,são realizadas as leituras. Devem ser feitas leituras do fio nivelador (fio médio) e dos fios estadimétricos(superioreinferior).Amédiadasleiturasdosfios superior e inferior deve ser igual à leitura do fio médio, com um desvio tolerável de 0,002 m. Como visto anteriormente o método de nivelamento geométrico porvisadasiguaispressupõequeasmirasestejamposicionasaigual distância do nível. Na prática se aceita uma diferença de até 2m. Caso as diferenças entre a distância de ré e vante seja maior que esta tolerância, RN RN b – nivelamento composto RN RN a – nivelamento simples FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 207 oníveldeveserreposicionadoaigualdistânciadasmirasenovas leituras efetuadas. A distância do nível à mira é calculada por: Distância nível-mira = C×S Onde: S é a diferença entre a leitura do fio superior e fio inferior; C é a constante estadimétricado equipamento, a qual consta domanual do mesmo. Normalmente este valor é igual a 100. A figura 12.17 apresenta uma mira e os fios de retículo, com as respectivas leituras efetuadas e distância calculada. Figura 12.17 - Leituras efetuadas e distância calculada. Osdadosobservadosemcampodevemseranotadosem cadernetasespecíficasparaestefim.Ummodelodecaderneta empregado é apresentado na figura 12.18. Fio Superior1,488m Fio Inferior1,438 m Fio Médio1,462 m Distância(1,488 -1,438)×100 = 5m FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 208 Figura 12.18 - Caderneta modelo G4 de nivelamento geométrico. Estacadernetaéamplamenteempregadaparanivelamentos comfinsgeodésicos,podendotambémserutilizadaparafins topográficos.Afigura12.19apresentaaformadepreenchimentodesta caderneta voltada para levantamentos topográficos. Figura 12.19 - Preenchimento da caderneta. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 209 12.3.3.1.2 - Exercício FoirealizadoumlancedenivelamentogeométricoentreospontosAe B,cujasleiturasefetuadasnasmirassãomostradasabaixo.Preenchera caderneta de nivelamento e calcular o desnível entre os pontos A e B. 12.3.3.1.3-CuidadosaSeremTomadosnaExecuçãodo Nivelamento Paraocasodonivelamentogeométricocompostoumcuidado adicional deve ser tomado. Quando a mira de vante do lance anterior for reposicionada para a leitura do lance seguinte (neste caso passará então a ser amira ré), deve-se tomaro cuidado de queesta permaneça sobre o mesmoponto,paraevitarerrosnadeterminaçãododesnível(figura Leituras Estadimétricas Fio NiveladorPonto s Visad os Distância RÉ RéVante Distância VANTE RéVante Desnível Ponto A – Mira RéPonto B – Mira Vante FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 210 12.20). É possível empregar neste caso um equipamento denominado de sapata (figura 12.21), sobre o qual a mira é apoiada. Esta é colocada no solo e permite o giro da mirasem causar deslocamentos namesma. Em trabalhosparafinstopográficosnãoécomumousodesapatas,sendo queasmesmassãoobrigatóriasparaadeterminaçãodedesníveisem Geodésia. Figura 12.20 - Rotacionando a mira durante o nivelamento composto. RN 1 RN 1 RN 2 Mira 01 (Ré) Mira 02 Lance RN 1 RN 2 RN 2 Mira 01 Lance Mira 02 Mira 02 (Ré) FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 211 Figura 12.21 - Sapata. “5.17.4-Asmiras,devidamenteverticalizadas,devemser apoiadassobrechapasoupinose,nocaminhamento,sobre sapatas,masnuncadiretamentesobreosolo.”ABNT(1994, p10). Afigura12.21apresentadaanteriormenteilustraumasapata. Emlevantamentostopográficosnormalmenteassapatasnãosão empregadas,sendoqueparatrabalhoscomprecisãogeodésicasão essenciais. A NBR 13133 no seu item 5.17 estabelece alguns cuidados para aimplantaçãodereferênciasdenível,afimdeevitaraocorrênciae propagação de erros sistemáticos. Estes cuidados são: “5.17.1 - Os comprimentos das visadas de ré e de vante devem seraproximadamenteiguaisede,nomáximo,80m,sendoo ideal o comprimento de 60m, de modo a compensar os efeitos dacurvaturaterrestreedarefraçãoatmosférica,alémde melhoraraexatidãodolevantamentoporfacilitaraleitura da mira.” ABNT (1994, p10). FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 212 “5.17.2- Para evitar os efeitos do fenômeno de reverberação, asvisadasdevemsituar-seacimade50cmdosolo.”ABNT (1994, p10). “5.17.3-Asmirasdevemserposicionadasaospares,com alternânciaa vante e a ré, de modo que a mira posicionada no pontodepartida(lidaaré)sejaposicionada,emseguida,no pontodechegada(lidaavante),sendoconvenientequeo número de lances seja par.” ABNT (1994, p10). Oprocedimentodescritoanteriormentevisaeliminaro chamado erro de índice (i). Este é definido como a distância entre a base inferior da mira até a primeira graduação da escala da mesma. Cada mira apresenta umvalor próprio de erro de índice. Desta forma, realizando o nivelamentodeumlanceutilizandoduasmirasdiferentes,conforme mostra a figura 12.22, estarão embutidos os erro de índices das miras no desnível determinado. Figura 12.22 - Erro de índice. Paraeliminaroerrodeíndicedeve-serealizarumnúmeropar delancesparacadaseção,conformevistoanteriormente.Aexplicação para tal fato é apresentada a seguir (figuras 12.23 e 12.24). Ponto A Ponto B L R L V i B i A ∆H AB = L R + i A - L V + i B FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 213 Figura 12.23- Desnível entre os pontos A e B. Estacionando o equipamento no lance BC, tem-se: Figura 12.24- Desnível entre os pontos B e C. Ponto A Ponto B Ponto C Mira 1 (M1) Mira 2 (M2) ∆H AB = L A I + i M1 – (L B I + i M2 ) ∆H AB = L A I – L B 1 + i M1 - i M2 Mira 1 (M1) Mira 2 (M2)  L A I + i M1 Ponto A ∆H BC = L B II + i M2 – ( L C II + i M1 ) ∆H BC = L B II – L C II + i M2 - i M1 Ponto B Ponto C L C II + i M1 L B I + i M2 L C II + i M1 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 214 O desnível entre os pontosA e C será dado por: ∆H AC = ∆H AB + ∆H BC (12.7) Efetuando-seaoperaçãoacimaobtém-seovalordodesnível isento do erro de índice da mira: ∆H AC = L A I - L B I + i M1 - i M2 + L B II - L C II + i M2 - i M1 ∆H AC = L A I - L B I + L B II - L C II (12.8) “5.17.5-Aqualidadedostrabalhosdevesercontrolada atravésdasdiferençasentreonivelamentoeo contranivelamento,seçãoaseção,eacumuladanalinha, observandoosvaloreslimitesprescritosem6.4.”ABNT (1994, p10). Noitem6.4danormasãoestabelecidasastolerânciasparaos levantamentos. Anormatambémtratadainspeçãodostrabalhosde nivelamentogeométrico.Estatemcomoobjetivoasseguraroseu desenvolvimentosegundoasprescriçõeserecomendaçõesdanorma. Paraonivelamentogeométricodevemserinspecionadososseguintes itens (ABNT, 1994, p.23 e 24): a) aparelhagem e instrumental auxiliar; b)conexãocomoapoiosuperior,comaverificaçãodos comprimentos das seções, referentes às referências de nível de partida e de chegada; c)nivelamentoecontra-nivelamentoemhoráriosdistintosno nivelamento duplo; FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 215 d) alturamínima das visadas; e) número par de estações numa seção, alternância das miras e diferença acumulada da distância entre o nível e a mira; f)diferençasentrenivelamentoecontranivelamento, acumuladanasseçõeselinhas,evalormáximoparaarazão entrediscrepânciaacumuladaeoperímetrodeumcircuito (quando for o caso); g) erro médio após o ajustamento; h) no caso de nivelamento da classe IN,eqüidistância entre as visadas de vante e ré; 12.3.3.1.4 - Cálculo do Erro Cometido eda Tolerância Altimétrica Pararealizaraverificaçãodoprocedimentodecampo,as seçõesdevemserniveladasecontraniveladas(nivelamentogeométrico duplo),eosdesníveisobtidosnosdoiscasoscomparados.Adiferença encontradadeveestarabaixodeumatolerânciaestabelecida. Normalmente esta tolerância é dada por: Tolerância altimétrica = n × k 1/2 (12.2) Ondenéumvaloremcentímetrosoumilímetrosekéa distânciamédianiveladaemquilômetros,ouseja,amédiadadistância percorridanonivelamentoecontranivelamento.Porexemplo,sejam fornecidososvaloresabaixocorrespondentesaonivelamentoe contranivelamento de uma seção, definida pelos pontos A e B, realizar a verificação do trabalho. Desnível do nivelamento ∆H NIV = 2,458 m (sentido de A para B) Desníveldocontranivelamento∆H CON =-2,460m(sentidodeBpara A) Distância nivelada (nivelamento)D NIV = 215,13 m Distância nivelada (contranivelamento) D CON = 222,89 m Tolerância altimétrica (t) = 20 mm× k 1/2 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 216 Erro Cometido (Ec) Ec = |∆H NIV | - | ∆H CON |(12.3) Ec = |2,458| -|-2.460| Ec = 0,002 m Distância média nivelada (Dm) Dm = (D NIV + D CON )/2 (12.4) Dm = (215,13 + 222,89)/2 Dm = 219,01 m Dm = 0,21901 km Cálculo da tolerância (t) t = 20mm× k 1/2 (12.5) t = 20mm× 0,21901 1/2 t = 9,359 mm t = 9,4 mm Realizando a verificação: |Ec| (2mm) < t (9,4mm) então OK! Quando o erro cometido for menor que a tolerância, o desnível será dado pela média do desnível obtido no nivelamento e contranivelamento, com o sinal igual ao do nivelamento. Desnível AB = (|∆HNIV | + | ∆HCON|)/2 (12.6) Desnível AB = ( |2,458| + |-2.460| ) /2 Desnível AB = + 2,459 m 12.3.3.1.5 - Exercício Dadas as cadernetas de nivelamento, realizar o cálculo do desnível entre asRRNN217eHV04.Verificarosresultadosencontradosecalculara altitudeortométricadeRNHV04sabendo-sequeaaltitudeortométrica de RN 217 é igual a 900,00 m. Considerar a tolerância altimétrica igual a k cm ta × = 2 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 217 CADERNETA DE NIVELAMENTO GEOMÉTRICO RN217 aRN HV04Data:09/01/2004 OPERADOR:ANOTADOR: EQUIPAMENTO:Nº. DE SÉRIE: FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 218 CADERNETA DE NIVELAMENTO GEOMÉTRICO RNHV04aRN 217Data:09/01/2004 OPERADOR:ANOTADOR: EQUIPAMENTO:Nº. DE SÉRIE: FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 219 Respostas: Erro cometido: Ec = 0,4 cm Tolerância altimétrica: ta = +/- 1,267 cm Desnívelmédio entre A e B: ∆h AB = + 4,417 m Altitude da RNHV04: H RNHV04 = 904,417 m 12.3.3.2 - Método das Visadas Extremas Nestemétododetermina-seodesnívelentreaposiçãodonível edamiraatravésdoconhecimentodaalturadoníveledaleitura efetuadasobreamira(figura12.25).Éummétododenivelamento bastante aplicado na área da construção civil. Figura 12.25 - Nivelamento geométrico método das visadas extremas. Onde: hi: altura do instrumento; L M : Leitura do fio nivelador (fio médio); ∆h AB = desnível entre os pontos A e B. Agrandevantagemdestemétodoéorendimentoapresentado, poisseinstalaonívelemumaposiçãoefaz-seavarreduradospontos quesedesejadeterminarascotas.Porémtemcomoinconvenientenão eliminaroserroscomocurvatura,refraçãoecolimação,alémda Ponto A hi L M Ponto B ∆h AB FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 220 necessidade de medir a altura do instrumento, o que pode introduzir um errode0,5cmoumaior.Paraevitaresteúltimo,costuma-serealizar umavisadaderéinicialsobreumpontodecotaconhecida,edesta formadeterminaraalturadoinstrumentojánoreferencialaltimétricoa ser utilizado (figura 12.26). Figura 12.26 - Visada a uma RN para determinação da altura do instrumento. Onde: hi: altura do instrumento; L M : Leitura do fio nivelador (fio médio); L RN : Leitura na mira posicionada sobre a RN; H RN : altitude da RN; H B : altitude do ponto B; ∆h AB = desnível entre os pontos AB. Parailustraraaplicaçãodestemétodoéapresentadoaseguir umexemplo.Deseja-sedeterminarascotasdospontosA,B,CeD, localizadosdentrodeumaedificação,emrelaçãoareferênciadenível plano de referência RN Ponto B H RN L RN hi Lm H B visada inicial à estação ré visada de vante hi = H RN + L RN H B = hi – Lm H B = H RN + L RN - Lm FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 221 dada(figura12.27).Oníveléestacionadoemumaposiçãoqualquere faz-se primeiro uma visada de ré à referência de nível para determinar a altura do instrumento. Figura 12.27 - Determinando as cotas de pontos em uma edificação. AgorasãofeitasasvisadasdevanteàsestaçõesAeB.Da posição atual do nível é impossível realizar as leituras dos pontos C e D. Entãooequipamentoseráestacionadoemumanovaposição(figura 12.28).Cadavezqueoequipamentoéestacionadoénecessário determinar a altura do mesmo e deve-se realizar uma leitura de ré em um ponto com cota conhecida. ComoacotapontoBjáfoideterminadanaocupaçãoanterior do equipamento, é possível utilizá-lo agora como estação de ré. Sempre queumpontoforutilizadocomestepropósito,aleituradevanteno mesmo será denominada de mudança. Todas as demais visadas de vante serãodenominadasdeintermediárias.Nesteexemplo,paraaprimeira ocupação,avisadaaopontoAédenominadadeintermediáriaeao ponto B de mudança. Após a nova instalação do equipamento é feita a visada de ré ao pontoB,sendoentãopossívelfazerasvisadasdevanteaospontosCe D. O exemplo de preenchimento de caderneta para este caso é mostrado nafigura12.29.Aúltimaleituradevanteexecutadanotrabalhoserá sempre considerada como de mudança (será visto adiante o porque). Os valores das observações e dados iniciais estão representados emnegrito eosvalorescalculadosestãosublinhados.Duranteopreenchimentoda caderneta deve-se tomar o cuidado de, para cada posição do nível, anotar A B C D Referência de nível Visada à estação Ré Visadas de vante Intermediária mudança FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 222 primeirotodasasvisadasdevanteintermediáriaseporúltimoavisada de vante de mudança. Figura 12.28 - Determinando as cotas de pontos C e D. Visada VantePontoVisada Ré Altura do Instrumento IntermediáriaMudança Cota (m) RN1,52311,52310,000 A11,5231,5259,998 B11,5231,5249,999 B1,62111,6209,999 C11,6201,52210,098 D11,6201,52010,100 Cota da RN= 10,00 m Figura 12.29 - Caderneta para nivelamento geométrico método das visadas extremas. Osdadosdesteexemplopodemserrepresentados esquematicamente,conformeéapresentadoaseguir,ondeosvalores indicados sobre as linhas de visada representam as leituras efetuados nos pontos, em metros (figura 12.30). A B C D Referência de nível Visada à Ré Visadas de vante FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 223 Figura 12.30 - Representação esquemática do nivelamento. Aseguiréapresentadooporquêdeconsideraraúltimaleitura efetuadacomosendodemudança.Tome-secomoexemploocaso apresentadonafigura12.31,ondeforamdeterminadasascotasdos pontosde1a7atravésdonivelamentogeométricoporvisadas extremas. Neste caso o nível foi estacionado quatro vezes. Figura 12.31 - Determinação do desnível entre os pontos 1 e 7. Pela figura pode-se deduzir que: ∆H RN 7 = ΣRé - ΣVante Mudança (12.9) H 7 = H RN + ΣRé - ΣVante Mudança(12.10) A B C D Referênci a de nível 1,52 1,525 1,524 1,621 1,522 1,520 Cota = 10,00 P1 P2 Visada de Ré Visada Intermediária Visada de Mudança FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 224 Desta forma, ao realizar-se os cálculos, é possível verificar se a cota do último ponto está correta. 12.3.3.2.1 - Exercício Dadooesquemadonivelamentogeométricoporvisadasextremas, preencher a caderneta de campo e realizar os cálculos e verificações (as leituras estão em metros). Visada VanteEstacaVisada Ré Altura do Instrumento IntermediáriaMudança Cota RN2,755100,000 E1102,7550,855101,900 E2102,7552,730100,025 E3102,7551,368101,387 E4102,7550,220102,535 E5102,7550,995101,760 E54,000105,760101,760 E6105,7602,530103,230 E7105,7601,749104,011 Σ Ré 6,755 Σ Mudança 2,744 E1E2E3E4 E5 E7E6 RN = 100,000 m 2,755 0,855 2,7301,368 0,220 0,995 4,000 2,530 1.749 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 225 Fazendo a verificação: H E7 = H RN + ΣRé - Σ Mudança H E7 = 100,000 + 6,755 - 2,744 H E7 = 104,011 m Emalgunscasospodesernecessáriodeterminaracotade pontos localizados na parte superior de uma estrutura, conforme ilustra a figura 12.32. Neste caso a única diferença é que a leitura efetuada com a miranestaposiçãodeveserconsideradanegativa.Nafigura12.32a leitura efetuada na mira ré é de 1,5m e na mira vante de 1,7m, a qual terá osinalnegativo.Odesnívelécalculadofazendo-seadiferençaentrea leitura de ré e vante, ou seja: Desnível = 1,5 - (-1,7) = 3,2 m Figura 12.32 - Determinação de cotas de pontos no “teto”. 12.3.3.2.2 - Exercício CalcularascotasdospontosB,C,DeEutilizandoonivelamento geométricoporvisadasextremas.NospontosBeDamirafoi A ∆H AB B Mira Ré Mira Vante L L FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 226 posicionada no teto da edificação (mira invertida). A cota do ponto A é igual a 100,00m. As leituras são dadas na caderneta do nivelamento. Visada VanteEstacaVisada Ré Altura do Instrumento IntermediáriaMudança Cota A1,687100,000 B-2,436 C1,357 D-1,566 D-3,587 E3,698 12.3.3.2.3 - Exercício Sabendo-sequeoponto1temaltitudeiguala974,150m,calculara altitude dos demais pontos. Obs.: As leituras estão em metros (m). B C D E A (Referência) FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 227 12.3.3.3 - Método das Visadas Eqüidistantes Nestemétododenivelamentogeométricoefetuam-seduas medidas para cada lance (figura 12.33), o que permite eliminar os erros decolimação,curvaturaerefração.Aprincipaldesvantagemdeste método é a morosidade do mesmo. Visada VanteEstacaVisada RéAltura do Instrumento IntermediáriaMudança Cota Σ Ré Σ Mudança 1 2 3 4 7 6 5 0,98 1,74 3,09 2,42 0,50 3,71 0,81 1,90 2,33 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 228 Figura 12.33 - Nivelamento geométrico método das visadas eqüidistantes. Onde: E1: erro na visada no lado curto E2: erro na visada no lado longo ∆H AB I = L A I + E1 - (L B I + E2)(12.11) ∆H AB I = L A I + E1 - L B I - E2(12.12) ∆H AB II = L A II + E2 - (L B II + E1)(12.13) Ponto A Ponto B L A I + E1 I L B I + E2 d1 d2 Ponto A Ponto B L A II + II L B II + E1 d1 d2 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 229 ∆H AB II = L A II + E2 - L B II - E1 (12.14) ∆H AB = (∆H AB I + ∆H AB II ) /2 (12.15) ∆H AB = (L A I - L B I + L A II - L B II + E1-E2+ E2-E1)/2 (12.16) ∆H AB = (L A I - L B I )/2 + (L A II - L B II )/2(12.17) Paraqueestemétodotenhasuavalidadeénecessárioqueao instalaronívelnasduasposições,tome-seocuidadodedeixaras distâncias d1 e d2 sempre iguais (ou comuma diferençainferior a 2m). Umadasprincipaisaplicaçõesparaestemétodoéatravessiade obstáculos,comorios,terrenosalagadiços,depressões,rodovias movimentadas, etc. (Figura 12.34). Figura 12.34 - Contorno de obstáculos utilizando o método de visadas extremas. 12.3.3.4 - Método das Visadas Recíprocas Consisteemfazeramedidaduasvezesparacadalance,sendo quediferentementedosoutroscasos,oníveldeveráestarestacionado sobreospontosquedefinemolance(figura12.35).Tambémsão A B L A I L B I L A II L B II I II Estações FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 230 eliminados os erros de refração, colimação e esfericidade, porém não se elimina o erro provocado pela medição da altura do instrumento. Figura 12.35 - Método das visadas recíprocas. Observando a figura é possível deduzir que: ∆H A AB = hi A - (L B + E)(12.18) ∆H B BA = hi B - (L A + E)(12.19) ∆H B AB =- ( ∆H B BA )(12.20) ∆H B AB = L A + E - hi B ∆H AB = (∆H A AB + ∆H B AB )/2(12.21) ∆H AB = (L A + E - hi B + hi A - L B - E)/2(12.22) ∆H AB = (hi A - hi B )/2 + (L A - L B )/2 (12.23) ∆H A AB Ponto A Ponto B L B + E hi A ∆H B BA Ponto A Ponto B hi B L A + E FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 231 12.4 - Nivelamento Trigonométrico Onivelamentotrigonométricobaseia-senaresoluçãodeum triânguloretângulo.Paratanto,énecessáriocoletaremcampo, informaçõesrelativasàdistância(horizontalouinclinada),ângulos (verticais,zenitaisounadirais),alémdaalturadoinstrumentoedo refletor. Este método de determinação de desnível pode ser dividido em nivelamento trigonométrico de lances curtos e lances longos. 12.4.1 - Nivelamento Trigonométrico para Lances Curtos Utilizam-selancescurtos,visadasdeaté150m,para levantamentoporcaminhamento,amplamenteaplicadonos levantamentostopográficosemfunçãodesuasimplicidadeeagilidade. Quandooângulozenitalémenorque90 0 ,arepresentaçãodo levantamento pode ser vista através da figura 12.36. di Dh Z hi DV hs h AB A B Figura 12.36 - Nivelamento trigonométrico. DV + hi = hs + ∆h AB (12.24) ∆h AB = hi - hs + DV (12.24) FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 232 DV Dh ) Z ( tg = (12.26) ) Z ( tg Dh DV = = Dh × cotg(Z)(12.27) ou ainda: DV = Di × cos(Z) (12.28) Substituindo a equação (12.27) em (12.24) obtém-se: )] ( cot [ Z g Dh hs hi h AB × + − = ∆ (12.29) Substituindo a equação (12.28) em (12.24) obtém-se: )] cos( [ Z Di hs hi h AB × + − = ∆(12.30) Onde: ∆h AB = Desnível entre os pontos A e B sobre o terreno; h i = Altura do instrumento; h s = Altura do sinal (prisma); D i = Distância inclinada; D h = Distância horizontal; D v = Distância vertical; Z = Ângulozenital. 12.4.2 - Nivelamento Trigonométrico para Lances Longos Estemétodoestávinculadocomadeterminaçãodosdesníveis entreosvérticesdatriangulaçãodesegundaordem.Nestescasosdeve- selevaremconsideraçãoainfluênciadacurvaturadaTerraerefração atmosférica. A expressão utilizada neste caso é a mesma que foi apresentada no item anterior, porém com a inclusão de um termo referente à correção relativa a curvatura da Terra e refração atmosférica: FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 233 )] 1 ( 2 [ 2 k R Dh − × × = correção relativa à curvatura da Terra e refração atmosférica(12.31) Onde: Dh = Distância horizontal entre os pontos; R = raio aproximado da Terra, que pode ser considerado como 6.400.000 m; k=coeficientederefração,variávelparacadaregião,anoe para as horas do dia. No Brasil é utilizado o coeficiente médio k = 0,13. Associando esta correção a expressão (12.29), a mesma toma a seguinte forma: )] 1 ( 2 [ )] ( cot [ 2 k R Dh Z g Dh hs hi h AB − × × + × + − = ∆ (12.32) 12.4.3 - Exercício UmEngenheiroCartógrafofoicontratadoparadeterminaro desnívelentreummarcogeodésicolocalizadonapraçapúblicada cidadedeMarianoMoro(RS)eumacolinaafastadade aproximadamente100metros.Osdadoscoletadosnocamposãoos seguintes. Dados: D i = 124,32 m Z = 81 0 10’ 25” h i = 1,45 m h s = 1,67 m 12.4.4 - Exercício Idem ao anterior, agora com uma distância D i =187,23 m. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 234 12.4.5 - Exercício Objetivandodeterminaraprofundidadedeumaminade exploração de minérios um topógrafo realizou as seguintes observações: Dados: D i = 101,3 m Z = 132 0 14’ 33” h i = 1,54 m h s = 1,56 m 12.4.6 - Exercício Idem ao anterior, agora com uma distância D i =322,23 m. Outratécnicadenivelamentoéonivelamentotaqueométrico. Asúnicasdiferençascomrelaçãoàmetodologiadescritaanteriormente consistemnaformadeobteradistânciaentreospontosena determinaçãodaalturadosinal.Comrelaçãoàdistânciautiliza-sea taqueometria e na determinação da altura do sinal, utiliza-se a leitura do fiomédio.Estesdoisconteúdos,medidadedistânciautilizando taqueometriaeleiturasutilizandomiraestadimétricaforamdiscutidos no capítulo relacionado à determinação indireta de distâncias. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 235 13 - INTRODUÇÃO AO DESENHO TOPOGRÁFICO ASSISTIDO POR COMPUTADOR 13.1 - Introdução Estetextonãotemoobjetivodeensinarautilizaçãodeum programaCADparaaexecuçãododesenhotopográfico,esimdiscutir tópicos relacionados a este. Odesenhodaárealevantadaseráefetuadoapartirdosdados medidosedocroquielaboradoemcampo.Duranteaetapadodesenho este croqui desempenha papel fundamental, pois é por meio dele que se saberão quais pontos serão unidos e o que representam. Figura 13.1 - Croqui e desenho final. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 236 DeacordocomaABNT(NBR13133,1994,p.2)ocroquié um“esboçográficosemescala,embrevestraçosquefacilitama identificação de detalhes”. Como desenho topográfico final a ABNT (NBR 13133, 1994, p 2) define: “peça gráfica realizada, a partir do original topográfico, sobre basetransparente,dimensionalmenteestável(poliésterou similar),quadriculadapreviamente,emformatodefinidonas NBR 8196, NBR 8402, NBR 8403, NBR 10068, NBR 10126, NBR10582eNBR10647,comáreaútiladequadaà representaçãodolevantamentotopográfico,comportando ainda,molduraeidentificadoressegundomodelodefinido pela destinação do levantamento.” Adicionalmente, o original topográfico é definido como: “baseemmaterialdimensionalmenteestável,quadriculada previamente,ondesãolançados,naescalagráfica predeterminada,ospontoscoletadosnocampopelo levantamentotopográfico,devidamentecalculadose compensadose,emseguida,definidososelementos planimétricosemsuasdimensõese/outraçadasascurvasde nívelapartirdospontosdedetalhesecomcontrolenas referênciasdeníveldoapoiotopográfico.Podetambémser obtidoporprocessoinformatizado,atravésdeestações gráficas.” (NBR 13133, 1994, p 4). Umdesenhotopográficodeveinformarcomprecisãoao usuárioaposiçãodasfeiçõeslevantadasemcampo,bemcomodados adicionais para o uso destas informações, como origem planimétrica das coordenadas, orientação, etc. Atualmenteépossívelconjugarousodeumprogramapara cálculotopográficoeumprogramaCAD.Algunsprogramasde TopografiatêmseuCADpróprio,outrostrabalhamemconjuntocom umCADespecífico,comooAUTOCAD.Basicamenteoqueestes programasfazemécalcularascoordenadasdospontoselançá-lasno editor gráfico para a realização do desenho. Além disto, apresentam uma FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 237 série de facilidades e utilitários para o desenho, como traçado de curvas denívelutilizandoModelosDigitaisdeTerreno,criaçãoautomáticade malhadecoordenadas,elaboraçãodeperfisdoterreno,inserção automáticadefolhasdedesenho,rotulaçãodelinhascomazimutese distâncias, etc. ComautilizaçãodeumCADparaaelaboraçãododesenho ganha-seemtempoequalidade.Aelaboraçãododesenhodeforma tradicional émuito demorada. Desenho com esquadros e transferidores, a elaboração de texto, entre outros, faz com que o processo seja bastante lento,alémdisto,nestecasoéfundamentalparaumbomprodutofinal queodesenhistatenhahabilidadeparaestefim.DesenhosemCAD requeremqueodesenhistatenhaconhecimentodoprogramaea qualidade do produto final dependerá, entre outras coisas, da capacidade dodesenhistadeexplorarasferramentasdisponíveisnomesmo.Cabe salientarque,sejanométodotradicionalquantoutilizandoo computador,odesenhistadeveconhecerosconceitosdedesenho técnico e de representação topográfica. Nodesenhotopográfico,assimcomonaproduçãodequalquer mapa, emfunção da escala de representação, algumas dasfeições serão representadasemverdadeiragrandezaatravésdesuasdimensões medidasemcampo,outrasserãorepresentadasutilizando-sesímbolos. Estes poderão ser uma réplica da feição a ser representada, como o caso deumsímbolodeárvoreouabstrações,ouumsímboloparaa representaçãodeumaRN,porexemplo.Nasabstraçõessão normalmenteutilizadoselementosgeométricoscomocírculose triângulosparacomporosímbolo.ANBR13133apresentaemseu anexoBumconjuntodeconvençõestopográficasparaseremutilizadas nosdesenhostopográficos.Afigura13.2apresentaalgunsdestes símbolos. Figura 13.2 - Exemplos de convenções topográficas. Fonte: ABNT (1994, p.32). RN Oficial 1º Ordem 3º Ordem 2º Ordem Vértices Topográficos Pol. Principal Pol. Auxiliar Pol. Secundária Vértices Geodésicos 1º Ordem 3º Ordem 2º Ordem FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 238 Utilizando-seumCADépossívelcriarconjuntosdesímbolos que podem ser facilmente empregados nos desenhos. Exemplos de setas de Norte são apresentados na figura 13.3. Figura 13.3 - Diferentes formas de indicação do Norte. Parafacilitaracompreensãododesenhodeveserelaborada uma legenda com o significado de cada símbolo. Correçõesoualteraçõestambémpodemserrealizadascom facilidade. Afigura 13.4 ilustra diferentes formas de representação para uma mesma área. São alterados os símbolos, posição dos textos e outros elementos,oque,emdesenhosfeitosàmãoeramatividadesnãomuito práticas. Figura 13.4 - Diferentes representações para uma mesma área. OutrafacilidadenautilizaçãodeCADéapossibilidadede dividir os elementos em diferentes camadas ou layers (figura 13.5), útil nogerenciamentoeelaboraçãododesenho,umavezquepodemser mostradasemtelasomenteasfeiçõesdesejadas,semquehajaa necessidade de apagar as demais feições. P01 Rua X P01 Rua gramadogramado FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 239 Figura 13.5 - Divisão do desenho em camadas. Épossívelutilizarcamadasparaaelaboraçãodedesenhos auxiliares, que não devem fazer parte do desenho final, como é o caso de umatriangulaçãoparaarealizaçãodaModelagemDigitaldoTerreno (figura13.6)oulinhasdefinidorasdeáreasaserempreenchidascom texturas (hachura). Quando da elaboração do desenho final basta ocultar estas camadas. Pontos da poligonal Textos Ruas Folha, moldura e legenda Vegetação Calçadas Edificações Estacionamento FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 240 Figura 13.6 - Camadas auxiliares. No caso “a”a camada com a triangulação está ativa. No caso “b” esta camada está desativada. 13.2 - Desenho Técnico Osdesenhosdevemserrealizadosemfolhascomformato padrãodeacordocomaNBR10068,sendoqueasfolhaspodemser utilizadas tanto na vertical como na horizontal (figura 13.7). Figura 13.7 - Folhas na horizontal e vertical. a) b) FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 241 Osformatosdasfolhasdasériedenominadade“A”são apresentados na tabela 13.1. Tabela 13.1 - Formatos da série A DesignaçãoDimensões (mm) A0841 x 1189 A1594 x 841 A2420 x 594 A3297 x 420 A4210 x 297 Fonte: ABNT (1987). DeacordocomaNBR10582(ABNT,1988),afolhade desenhodeveconterespaçosparadesenho,textoelegenda,conforme ilustra a figura 13.8. Figura 13.8 - Espaços para desenho, texto e legenda. FONTE (ABNT, 1988). Noespaçoparatextodevemconstartodasasinformações necessáriasaoentendimentodoconteúdodoespaçoparadesenho.Este Espaço para texto Espaçopara desenho Espaço para legenda Espaçopara desenho Espaçopara legenda Espaçopara texto FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 242 espaçodeveserlocalizadoàdireitaounamargeminferiordafolha, devendo ter largura igual a da legenda ou, no mínimo, 100 mm. Alegendadeveráconterasseguintesinformações(ABNT, 1988): •Designação da firma; •Projetista,desenhistaououtroresponsávelpeloconteúdodo desenho; •Local, data e assinatura; •Nome e localização do projeto; •Conteúdo do desenho; •Escala (conforme NBR 8196); •Número do desenho; •Designação da revisão; •Indicação do método de projeçãoconforme a NBR 10067; •Unidade utilizada no desenho conforme a NBR 10126. DeacordocomaNBR10068(ABNT1987)alegendadeverá ter178mmdecomprimentonosformatosA4,A3eA2e175mmnos formatos A1 e A0. A figura 13.9 apresenta um exemplo de legenda. Figura 13.9 - Exemplo de legenda. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 243 13.3 - Desenho Topográfico e NBR13133 ANBR13133,nosseusitens5.23e 5.24,apresentaumasérie denormativasrelacionadasaodesenhotopográfico,divididasentrea elaboraçãodooriginaltopográficoeodesenhotopográficofinal.A seguirsãoapresentadosalgunsdestesitens.Onúmeroindicadoentre parênteses refere-se ao número do item na norma. “(5.23)Oselementoslevantadosnocampo,devidamente calculadosecompensados,devemserlançadosnaescala predeterminada,numabasedimensionalmenteestávelquadriculada, constituindo-se no original topográfico.” ABNT (1994, p.11). “(5.23.2) Os processos e instrumentosutilizadosna elaboração dooriginaltopográficodevemestardeacordocomaescalaadotadae nãodevemconduzirerrosdegraficismoqueprejudiquemaexatidão conseguida nas operações de campo.” ABNT (1994, p.11). “(5.23.6)Olançamentodospontosdedetalhepodeser realizadoporsuascoordenadasplanorretangularesoupormeiodesuas coordenadaspolares,nosistematopográficoadotado.”ABNT(1994, p.11). “(5.23.8)Ascurvasdeníveldevemsertraçadasapartirdos pontosnotáveisdefinidoresdorelevo,passandopelasinterpolações controladasnasaltitudesoucotasentrepontosdedetalhe.Ascurvas- mestras,espaçadasdecincoemcincocurvas,devemserreforçadase cotadas.Nocasodehaverpoucascurvas-mestras,asintermediárias também devem ser cotadas.” ABNT (1994, p.11). “(5.24)Odesenhotopográficofinaldolevantamento topográficodeveserobtidoporcopiagemdooriginaltopográfico,de formapermanentesobrebasedimensionalmenteestável,edeveutilizar asconvençõestopográficasadotadasnestaNorma(verAnexoB). Alternativamente,podesersubstituídopormesadedesenho automático.” ABNT(1994, p.11). FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 244 “(5.24.1)Asplantasdevemserapresentadasemformatos definidospelaNBR10068 1 ,adequadasàfinalidadedolevantamento topográficopelassuasáreasúteis,comrepresentaçãodequadrículasde 10cmdelado,trazendonasbordasdafolhaascoordenadas planorretangularesdeidentificaçãodalinhaquerepresentam, comportando,ainda,moldura,convençõeseidentificadoressegundo modelo definido pela destinação do levantamento.” ABNT (1994, p.12). Afigura13.10apresentaumquadriculadocujoespaçamentoé de 50m (a escala de representação seria de 1:500). A figura não está em escala. Figura 13.10 - Exemplo de quadriculado. “(5.24.2)Atoponímia,osnúmeroseoutrasreferênciasdevem ser desenhados de acordo com a NBR 6492 2 .” ABNT (1994, p.12). “(5.24.3)Osvérticesdaspoligonaisdeapoiotopográficoeas referênciasdeníveldevemestarlançadasnasplantas,sendoestascom assuasaltitudesoucotasassinaladasconforme5.22.2eosvértices locados por suas coordenadas conforme 5.22.1.3.” ABNT (1994, p.12). 1 Nota dos autores: NBR 10068 – Folha de desenho – leiaute e dimensões. 2 Nota dos autores: NBR 6492 – Representação de projetos de arquitetura. 10cm 100 m150 m200 m250 m 450 m 500 m 550 m FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 245 Oitem5.22.2danormaestabeleceque,altimetricamente,os resultadosdoscálculosdevemserregistradosatéomilímetro, centímetro e decímetro, respectivamente, para altitudes ou cotas obtidas por nivelamentogeométrico,nivelamentotrigonométrico e nivelamento estadimétrico ABNT (1994, p.11). O item 5.22.1.3, referente a concordância das medidas, diz que, processados os cálculos, as coordenadas analíticas devem ser registradas de forma concordante com as medidas observadas ABNT (1994, p.11). “(5.24.4)Nodesenhofinaltambémdevemserregistradasas origensplanimétricaealtimétrica,bemcomoafinalidadedo levantamento.” ABNT (1994, p.12). FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 246 14-TERMOSTÉCNICOSUTILIZADOSEM INSTRUMENTAÇÃO TOPOGRÁFICA E GEODÉSICA Aterminologiautilizadaemlevantamentostopográficose geodésicos,principalmentenoqueserefereàinstrumentação,gera muitaincertezaemesmoconflitodeinterpretaçãonacomunidade usuária.Naseqüênciaserãoapresentadostermostécnicosquepodem contribuirparaacompreensãodoconteúdoabordadonestadisciplina, como também para aprofundar a discussão da terminologiaaplicada em instrumentação topográfica e geodésica (FAGGION, 2001). METROLOGIA - Ciência das medições. METROLOGIA CIENTÍFICA - Parte da metrologia que trata dapesquisaemanutençãodospadrõesprimários.NoBrasiloInstituto NacionaldeMetrologia(INMETRO)éoórgãoquedetémospadrões nacionais,noLaboratórioNacionaldeMetrologia,equeéencarregado derepassarosvaloresdosmesmosaosdemaislaboratóriosnacionais, inclusive aos responsáveis pela metrologia legal. METROLOGIALEGAL-Partedametrologiaquetratadas unidades de medida, métodos de medição e instrumentos de medição em relaçãoàsexigênciastécnicaselegaisobrigatórias,asquaistêmo objetivodeassegurarumagarantiapúblicadopontodevistada segurança e da acurácia das medições. O principal objetivo estabelecido legalmentenocampoeconômicoéprotegeroconsumidorenquanto compradordeprodutoseserviçosmedidos,eovendedor,enquanto fornecedordestes.Atualmente,nãosóatividadesnocampocomercial sãosubmetidasàsupervisãogovernamentalempaísesdesenvolvidos, mas também, instrumentos de medição usados em atividades oficiais, no campomédico,nafabricação demedicamentos,bemcomonoscampos deproteçãoocupacional,ambientaledaradiaçãosãosubmetidos, obrigatoriamente,aocontrolemetrológico.Aexatidãodasmedições assumeespecialimportâncianocampomédicofaceaosváriosefeitos negativosqueresultadosdemenorconfiabilidadepodemprovocarà saúde humana. AMBIGÜIDADEEMTEMPO-Condiçãoemquesetenha mais do que um valor possível. Por exemplo, se um relógio de 24 horas FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 247 mostra15horas,5minutose8segundos,háumaambigüidadeem relação ao dia, mês e ano. ACURÁCIA 3 ou EXATIDÃO - Grau de conformidade de um valor medido ou calculado em relação à sua definição ou com respeito a uma referência padrão. ACURÁCIADEMEDIÇÃO-Graudeconcordânciaentreo resultado de uma medição e um valor verdadeiro do mensurando. ACURÁCIADEUMINSTRUMENTODEMEDIÇÃO- Aptidãodeuminstrumentodemediçãoparadarrespostaspróximasa um valor verdadeiro. CLASSIFICAR - consiste em distribuir em classes ou grupos segundoumsistemadeclassificação.AnormabrasileiraNBR13133 (Execução de levantamentos topográficos), define as classes que devem serenquadradososinstrumentosbaseando-senodesviopadrãodeum conjunto de observações obtidas seguindo uma metodologia própria. AJUSTABILIDADE-Capacidadedeumdispositivoem reproduziromesmovalorquandoparâmetrosespecíficossãoajustados independentemente sob condições estabelecidas de uso. CALIBRAÇÃO-conjuntodeoperaçõesqueestabelece,em condiçõesespecificadas,acorrelaçãoentrevaloresdequantidades indicados por um instrumento de medida, ou sistema de medida, ou uma medidamaterializadaeosverdadeirosconvencionaisdagrandeza medida. 3 DeacordocomFAGGION(2001)exatidãoéumtermodescritivode resultadosdeoperaçõesexatas,portantodesvinculadasdeobservações.A definiçãoacimacabeaotermoAcurácia.Estetermoquandotraduzidoparao portuguêspodeservinculadoàpalavraprecisãoeexatidão,porémsesabeque em português suas definições são diferentes. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 248 Observações: 1) o resultado de uma calibração permite determinar os valores das medidas indicadas ou as correções relativas aos valores indicados. 2) uma calibração também pode determinar outras propriedades metrológicascomo,porexemplo,ainfluênciadaaplicaçãodas correções nas medições. 3)oresultadodeumacalibraçãopodeserregistradoemum documento,chamadodecertificadodecalibraçãoourelatóriode calibração.Nãoseefetuajuntodacalibraçãonenhumaintervençãoe nenhumaalteraçãonoaparelhodemedição.Todavia,eventualmentea possibilidadedeeliminarosdesviosmedianteafixaçãodosvaloresde correção existe. CERTIFICAÇÃO-Procedimentopeloqualumorganismo imparcialcredenciadoatestaporescritoqueosistemaoupessoassão competentes para realizar tarefas específicas. CERTIFICADO DE CALIBRAÇÃO - Documento que atesta eforneceaoproprietáriodoequipamentoasinformaçõesnecessárias paraainterpretaçãodosresultadosdacalibração,eametodologia utilizada no processo de calibração. ENVELHECIMENTO-Mudançasistemáticaemfreqüência, aolongodotempo,devidoamudançasinternasemumoscilador.Por exemplo,afreqüênciade100kHzdeumosciladoraquartzopode envelheceratéquesuafreqüênciasetorne100,01kHz(ver deslizamento). FAIXANOMINAL-Faixadeindicaçãoquesepodeobter em uma posição específica dos controles de um instrumento de medição. FAIXADEMEDIÇÃO-Conjuntodevaloresdeum mensurando,paraoqualseadmitequeoerrodeuminstrumentode medição mantenha-se dentro dos limites especificados. INSTRUMENTO DE MEDIÇÃO - dispositivo utilizado para uma medição, sozinho ou em conjunto com dispositivo(s) complementar (es). FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 249 INCERTEZADEMEDIÇÃO-Parâmetroassociadoao resultadodeumamedição,quecaracterizaadispersãodosvaloresque podem ser fundamentalmente atribuídos a um mensurando. FASE-Medidadeumafraçãodoperíododeumfenômeno repetitivo, em relação a alguma característica bem definida do fenômeno emsi.Nosserviçosdefreqüênciapadrãoesinaishorários,são consideradasprincipalmenteasdiferençasdefaseemtempo,taiscomo asdiferençasdetempoentreduasfasesidentificadasdomesmo fenômeno ou de dois fenômenos diferentes. FREQÜÊNCIA-Razãodevariaçãotemporaldeum fenômeno periódico. PADRÃO-Medidamaterializada,instrumentodemedição, materialdereferênciaousistemademediçãodestinadoadefinir, realizar, conservar ou reproduzir uma unidade ou um ou mais valores de uma grandeza para servir como referência. PADRÃOINTERNACIONAL-Padrãoreconhecidoporum acordointernacionalparaservir,internacionalmente,comobasepara estabelecer valores a outros padrões da grandeza a que se refere. PADRÃONACIONAL-Padrãoreconhecidoporuma decisãonacionalparaservir,emumpaís,comobaseparaestabelecer valores a outros padrões da grandeza a que se refere. PADRÃOPRIMÁRIO-Padrãoqueédesignadoou amplamentereconhecidocomotendoasmaisaltasqualidades metrológicasecujovaloréaceitosemreferênciaaoutrospadrõesde mesma grandeza. PADRÃO SECUNDÁRIO - Padrão cujo valor é estabelecido por comparação a um padrão primário da mesma grandeza. PADRÃODEREFERÊNCIA-Padrão,geralmentetendoa maisaltaqualidademetrológicadisponívelemumdadolocalouem umadadaorganização,apartirdoqualasmediçõesláexecutadassão derivadas. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 250 PADRÃO DE TRABALHO - Padrão utilizado rotineiramente paracalibraroucontrolarmedidasmaterializadas,instrumentosde medição ou materiais de referência. PRECISÃO-Ograudeconcordânciamútuaentreumasérie demedidasindividuais.Aprecisãoémuitasvezes,masnão necessariamente, expressa pelo desvio padrão das medidas. RASTREABILIDADE-Propriedadedoresultadodeuma mediçãooudovalordeumpadrãoestarrelacionadoareferências estabelecidas,geralmentepadrõesnacionaisouinternacionais,através deumacadeiacontínuadecomparações,todastendoincertezas estabelecidas. REPRODUTIBILIDADE-Quandoserefereàsmedidas realizadas por um conjunto independente de dispositivos semelhantes, a reprodutibilidadeconstituiahabilidadedessesdispositivosem reproduzir os mesmos resultados. RESOLUÇÃO-Resoluçãodeumamedidaéoalgarismo menossignificativoquepodesermedido,edependedoinstrumento utilizadopararealizaramedida.Porexemplo,amedidade deslocamentoslinearesfeitoscomuminterferômetroLASERpodeter uma resolução de 1mm. VERIFICAÇÃO-Conjuntodeoperações,compreendendoo exame,amarcaçãoouselagem(ou)emissãodeumcertificadoeque constate que o instrumento de medir ou medida materializada satisfaz às exigências regulamentares. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 251 15 - REPRESENTAÇÃO DO RELEVO 15.1 - Introdução Orelevodasuperfícieterrestreéumafeiçãocontínuae tridimensional.Existemdiversasmaneiraspararepresentaromesmo (figura15.1),sendoasmaisusuaisascurvasdeníveleospontos cotados. Figura 15.1 - Diferentes formas de representação do relevo. PontoCotado:éaformamaissimplesderepresentaçãodo relevo; as projeções dos pontos no terreno têm representado ao seu lado assuascotasoualtitudes(figura15.2).Normalmentesãoempregados em cruzamentos de vias, picos de morros, etc. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 252 Figura 15.2 - Pontos cotados. Perfistransversais:sãocortesverticaisdoterrenoaolongode umadeterminadalinha.Umperfiltransversaléobtidoapartirda interseção de um plano vertical com o terreno (figura 15.3). É de grande utilidadeemengenharia,principalmentenoestudodotraçadode estradas. Figura 15.3 - Interseção de um plano vertical com o relevo. Um exemplo de perfil é apresentado na figura 15.4. Plano Vertical Pontos Cotados FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 253 Figura 15.4 - Perfil. Figura 15.4 - Perfil do Terreno. Durantearepresentaçãodeumperfil,costuma-seempregar escalasdiferentesparaoseixosXeY,buscandoenfatizarodesnível entreospontos,umavezqueavariaçãoemY(cotaoualtitude)é menor.Porexemplo,pode-seutilizarumaescalade1:100emXe1:10 em Y. Curvas de nível: forma mais tradicional para a representação do relevo. Podem ser definidas como linhas que unem pontos com a mesma cotaoualtitude.Representamemprojeçãoortogonalainterseçãoda superfície do terreno com planoshorizontais (figura 15.5). Figura 15.5 - Interseção do plano horizontal com a superfície física. Plano Horizontal Linha de interseção do plano horizontal com o relevo FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 254 Adiferençadecotaoualtitudeentreduascurvasdenívelé denominadadeeqüidistânciavertical,obtidaemfunçãodaescalada carta,tipodoterrenoeprecisãodasmedidasaltimétricas.Alguns exemplos são apresentados na tabela a seguir. Tabela 15.1 - Escala e eqüidistância. EscalaEqüidistância 1:5000,25 a 0,50m 1:10001,00 m 1:20002,00 m 1:50005,00 m 1:1000010,00 m 1:5000020,00 m 1:10000050,00 m As curvas de nível devem ser numeradas para que seja possível a sua leitura.Afigura 15.6 apresenta a representação de uma depressão eumaelevaçãoempregando-seascurvasdenível.Nestecasoesta numeração é fundamental para a interpretação da representação. Elevação FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 255 Figura 15.6 - Elevaçãoe depressão. Ascurvasdenívelpodemserclassificadasemcurvasmestras ouprincipaisesecundárias.Asmestrassãorepresentadascomtraços diferentesdasdemais(maisespessos,porexemplo),sendotodas numeradas(figura15.7)Ascurvassecundáriascomplementamas informações. Figura 15.7 - Curvas mestras e secundárias. - - - - - 1 3 5 7 9 Elevação Curvas Mestras Curvas secundárias FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 256 Algumasregrasbásicasaseremobservadasnotraçadodas curvas de nível: a)As curvas de nível são "lisas", ou seja não apresentam cantos. Figura 15.8 - Curvas de Nível“lisas”. b)Duas curvas de nível nunca se cruzam (figura 15.9). Figura 15.9- Erro na representação das curvas: cruzamento. c)Duas curvas de nível nunca se encontram e continuam em uma só (figura 15.10). Figura 15.10- Erro na representação das curvas: encontro de curvas. 15 10 1 1 Representação com cantos FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 257 d)Quantomaispróximasentresi,maisinclinadoéoterrenoque representam (figura 15.11). Figura 15.11 - Representação de relevos com diferentes inclinações. Afigura15.12apresentaumavistatridimensionaldorelevoe as respectivas curvas de nível. Figura 15.12 - Representação tridimensional do relevo e curvas de nível. . 10 2 10 1 10 0 10 3 10 2 10 1 10 0 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 258 15.2 - Métodos para a Interpolação e Traçado das Curvas de Nível Comolevantamentotopográficoaltimétricosãoobtidos diversos pontos com cotas/altitudes conhecidas. A partir destes é que as curvas serão desenhadas (figura 15.13). Cabe salientar a necessidade das coordenadas planas dos pontos para plotá-los sobre a carta. Comovistonocapítuloreferenteaaltimetria,onúmerode pontosesuaposiçãonoterrenoinfluenciarãonodesenhofinaldas curvas de nível. Figura 15.13 - Representação a partir dos pontos obtidos em campo. Oquesefaznapráticaé,apartirdedoispontoscomcotas conhecidas,interpolaraposiçãoreferenteaumpontocomcotaiguala cotadacurvadenívelqueserárepresentada(figura15.14).Acurvade nível será representada a partir destes pontos. Figura 15.14 - Interpolação da cota de um ponto. 45,0 47,2 4 47,0 46,0 m 46,0 m Terreno a ser levantado Pontos Levantados Curvas de Nível FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 259 Entreosmétodosdeinterpolaçãomaisimportantesdestacam- se: 15.2.1 - Método Gráfico Ainterpolaçãodascurvasbaseia-seemdiagramasdeparalelas edivisãodesegmentos.Sãoprocessoslentoseatualmentepouco aplicados. a) Diagramas de paralelas Nestemétodotraça-seumdiagramadelinhasparalelas eqüidistantes (figura 15) em papel transparente, correspondendo as cotas das curvas de nível. Figura 15.15 - Diagrama de linhas paralelas. Rotaciona-seodiagramadeformaqueascotasdospontos extremos da linha a ser interpolada coincidam com osvalores das cotas indicadasnodiagrama.Umavezconcluídaestaetapa,bastamarcar sobre a linha que une os pontos, as posições de interseção das linhas do diagrama com a mesma. A figura 15.16 ilustra este raciocínio. 48 49 50 51 52 53 54 55 56 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 260 Figura 15.16- Interpolação das curvas empregando diagrama de linhas paralelas. b)Divisão desegmentos. Oprocessodeinterpolaçãoempregando-seestatécnicapodeser resumido por: -Inicialmente,toma-seosegmentoABquesedesejainterpolar ascurvas.PelopontoAtraça-seumaretarqualquer,com comprimento igual ao desnível entre os pontos A e B, definido- seopontoB´(figura15.17).Emprega-seaescalaquemelhor se adapte ao desenho. Figura 15.17 - Traçado de uma reta rcom comprimento igual ao desnível entre os pontos A e B. 0,8 cm 1,0 cm 1,0 cm 0,7 cm Cota 46 m Cota 47 m Cota 48 m B´ Desnível 1,0m =1,0cm Ponto B Cota = 48,7m Ponto A Cota = 45,2m FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 261 Marcam-se os valores das cotas sobre esta reta e une-se o ponto B´aopontoB.SãotraçadasentãoretasparalelasàretaB´Bpassando pelas cotas cheias marcadas na reta r (figura 15.18). A interseção destas retas com o segmento AB é a posição das curvas interpoladas. Figura 15.18 - Retas paralelas ao segmento AB´. 15.2.2 - Método Numérico Utiliza-seumaregra de três para a interpolação das curvas de nível. Devem ser conhecidas as cotas dos pontos, a distância entre eles e aeqüidistânciadascurvasdenível.Tomando-secomoexemploos dadosapresentadosnafigura15.19,sabe-sequeadistânciaentreos pontosAeBnodesenhoéde7,5cmequeodesnívelentreeleséde 12,9m.Deseja-seinterpolaraposiçãoporondepassariaacurvacom cota 75 m. Ponto A Cota = 45,2 m Ponto B Cota = 48,7 m 0,8 cm 1,0 cm 1,0 cm 0,7 cm Cota 46 m Cota 47 m Cota 48 m B´ Cota 48 m Cota 47 m Cota 46 m Desnível 1,0m = 1,0cm FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 262 Figura 15.19 - Exemplo de interpolação numérica. ÉpossívelcalcularodesnívelentreopontoAeacurvade nível com cota 75 m ( 75 m - 73,2 = 1,8 m). Sabendo-se que em 7,5 cm o desnível entre os pontos é de 12,9 m, em "x" metros este desnível será de 1,8 m. ( ) m m m x m cm 8 , 1 2 , 73 75 9 , 12 5 , 7 = − → → (15.1) 9 , 12 8 , 1 . 5 , 7 = x x = 1,05 cm, arredondando para 1cm. Nestecaso,acurvadenívelcomcota75mestarápassandoa 1,05cmdopontoA.Damesmaforma,épossívelcalcularosvalores para as curvas 80 e 85 m (respectivamente 3,9 e 6,9 cm). A figura 15.20 apresenta estes resultados. Ponto B Cota = 86,1 m Ponto A Cota = 73,2 m ∆h AB = 12,9 m Distância AB no desenho = 7,5 cm FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 263 Figura 15.20 - Resultado da interpolação numérica para o segmento AB. Notraçadodascurvasdenível,ospontosamostradospodemestar emformatodemalharegulardepontos.Nestecaso,ascurvasdenível são desenhadas a partir desta malha. A seqüência de trabalhos será: -definir a malha de pontos; -determinar a cota ou altitude de todos os pontos da malha; -interpolar os pontos por onde passarão as curvas denível; -desenhar as curvas. A figura 15.21 ilustra o resultado para uma célula da malha. Figura 15.21 - Interpolação e desenho das curvas em uma célula da malha quadrada. Ponto B Cota = 86,1 m Ponto A Cota = 73,2 m 1,0 cm 3,9 cm 6,9 cm Cota = 75 m Cota = 80 m Cota = 85 m FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 264 Quando se utiliza este procedimento aparecerão casos em que o traçadodascurvasdenívelemumamesmamalhapodeassumir diferentesconfigurações(ambigüidadenarepresentação),conforme ilustraafigura15.22.Nestescasos,cabeaoprofissionalqueestá elaborandoodesenhooptarpelamelhorrepresentação,bemcomo desprezarasconceitualmenteerradas,comoocasodaprimeira representação na figura 15.22. Figura 15.22 - Ambigüidade na representação em uma célula da malha quadrada. Aoinvésdeutilizarumamalhaquadradaépossíveltrabalhar com uma malha triangular. A partir dos pontos amostrados em campo, é desenhadaumatriangulaçãoenestasãointerpoladosascurvasdenível (figura 15.23). 6 77 8 8 68 8 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 6 6 7 7 7 7 6 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 265 Figura 15.23 - Malha triangular. Neste caso não existem problemas com ambigüidade. Durante a triangulaçãodeve-setomarocuidadodeformarostriângulosentreos pontos mais próximos e evitar triângulos com ângulos agudos. Na figura 15.24,paraasegundatriangulação,ostriângulosforamformadospor pontos próximos, tentando-seevitar ângulos agudos. Figura 15.24 - Triangulação. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 266 15.2.3 - Exercício Dadas as curvas de nível e os pontos A, B, C e D, pede-se: PontoX (m)Y (m) A110135 B155125 C170115 D110105 1 - O espaçamento entre as curvas de nível (eqüidistância); 2 - A cota dos pontos A, B, C e D; 3 - A distância AB; 4 - Traçar o perfil da estrada entre os pontos C e D. 140 130 120 110 100 100110120130140160150180170 765 755 760 765 770 FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 267 15.2.4 - Exercício Dados os pontos cotados, desenhar as curvas de nível. Comparar com as curvasgeradasapartirdeumprogramaparaModelagemDigitalde Terrenos. Desenhar as curvas com eqüidistância de 0,5m. As cotas estão em metros. FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 268 16 - BIBLIOGRAFIA ASSOCIAÇÃOBRASILEIRADENORMASTÉCNICAS(ABNT). NBR 13133: Execuçãode levantamento topográfico. Rio de Janeiro, 1994.35p. ASSOCIAÇÃOBRASILEIRADENORMASTÉCNICAS(ABNT). 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