COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACĂU PROFESOR CONSTANTIN CIOFU Recapitulare pentru bacalaureat. DREAPTA ÎN PLAN 1.( ) ( ) 2 2 ( , ) ( , ) A A B A B A B B A x y AB x x y y Bx y ¬ = ÷ + ÷ - distanţa dintre două puncte A si B sau lungimea segmentului AB 2. ( , ) , ( , ) 2 2 A A A B A B M M B B A x y x x y y x y Bx y + + ¬ = =coordonatele mijlocului segmentului[AB] 3.0, , , ax by c a b c + += eR - ecuaţia generală a dreptei 4., , y mx n m n = + eR- ecuaţia explicită a dreptei 5.( ) A A y y m x x ÷ = · ÷- ecuaţia dreptei determinată de un punct( , ) A A A x yşi panta m 6. A A B A B A x x y y x x y y ÷ ÷ = ÷ ÷ - ecuaţia dreptei determinată de doua puncte( , ) A A A x yşi( , ) B B Bx y 7. 1 1 0 1 A A B B x y x y x y =- ecuaţia dreptei prin doua puncte( , ) A A A x yşi( , ) B B Bx ysub formă de determinant 8. B A B A y y m x x ÷ = ÷ - panta dreptei AB 9. ( , ) 1 ( , ) , 1 0 1 ( , ) A A A A B B B B C C C C Ax y x y Bx y A B si C coliniare x y x y Cx y ¬ · = 10. 1 1 1 2 1 A A ABC B B C C x y A x y x y A =- aria triunghiului ABC 11. 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 : 0 ; 1 : 0 d a x b y c d d m m d d m m d a x b y c + + = ¬ · = ± · · = ÷ + + = 12. Distanţa de la un punct( , ) A A A x yla o dreaptă: 0, d ax by c + += ( ) 2 2 , A A ax by c d A d a b + + = + COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACĂU PROFESOR CONSTANTIN CIOFU Exerciții rezolvate 1. În reperul cartezian xOy se consideră punctele( ) ( ) ( ) 1;1 ; 2; 3 ; 0; 2 A B C ÷ ÷ . a) Reprezentați punctele A, B și C în reperul cartezian xOy; b) Calculați perimetrulABC A ; c) Determinați coordonatele mijloacelor segmentelor | | | | , AB ACși | | BC ; d) Determinați coordonatele simetricului punctului A față de originea sistemului de axe xOy; e) Scrieți ecuația dreptei ce trece prin punctele A și C; f) Scrieți ecuația dreptei ce trece prin A și este paralelă cu dreapta (BC); g) Scrieți ecuația înălțimii din B; h) Scrieți ecuația mediatoarei corespunzătoare segmentului | | AB ; i) Determinațimeastfel încât punctele( ) , ; 3 A B si Dm ÷să fie coliniare; j) Calculați ariaABC A ; k) Determinați distanța de la punctul B la dreapta() : 3 2 1 0 d x y ÷ ÷ = . Rezolvare. b) ABC P AB AC BC A = + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 3 25 5 1 0 1 2 2 5 2 29 2 0 3 2 29 A B A B A C A C ABC B C B C AB x x y y AC x x y y P BC x x y y A = ÷ + ÷ = ÷ ÷ + + = = = ÷ + ÷ = ÷ ÷ + ÷ = ¬ = + + = ÷ + ÷ = ÷ + ÷ ÷ = c) Fie M-mijlocul lui | | 1 2 1 1 2 2 2 ; 1 1 3 2 1 2 2 A B M A B M x x x AB M y y y + ÷ + ¦ = = = ¦ ¦ | | ¬ ¬ ÷ ´ | + ÷ \ . ¦ = = = ÷ ¦ ¹ Fie N-mijlocul lui | | 1 0 1 1 3 2 2 2 ; 1 2 3 2 2 2 2 2 A C N A C N x x x AC N y y y + ÷ + ¦ = = = ÷ ¦ ¦ | | ¬ ¬ ÷ ´ | + + \ . ¦ = = = ¦ ¹ Fie P-mijlocul lui | | 2 0 1 1 2 2 1; 3 2 1 2 2 2 2 B C P B C P x x x BC P y y y + + ¦ = = = ¦ ¦ | | ¬ ¬ ÷ ´ | + ÷ + \ . ¦ = = = ÷ ¦ ¹ d) Fie S simetricul punctului A față de originea O ( ) 1 0 3 2 2 3; 1 1 0 1 2 2 A S S O S A S S O S x x x x x N y y y y y + ÷ + ¦ = ¬= ¬ = ¦ ¦ ¬ ÷ ´ + + ¦ = ¬= ¬ = ÷ ¦ ¹ e)( ) ( ) ( ) 1 1 : : : 2 0 0 1 2 1 A A C A C A x x y y x y AC AC AC x y x x y y ÷ ÷ + ÷ = · = · ÷ + = ÷ ÷ + ÷ f) Notăm dreapta ce trece prin A și este paralelă cu BC cu( ) A d 5 2 A C B A d BC C B y y d BC m m x x ÷ · = = = ÷ ÷ COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACĂU PROFESOR CONSTANTIN CIOFU ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 : : 1 1 : 2 5 3 0 2 A A A d A A A d y y m x x d y x d y x ÷ = ÷ · ÷ = ÷ + · + += g) Fie 1 1 1 BB AC BB AC BB AC m m m m ' ' ' ± ¬ · = ÷ ¬ = ÷ = ÷ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : : 3 1 2 : 5 0 B BB B BB y y m x x BB y x BB x y ' ' ' ' ÷ = ÷ · + = ÷ · ÷ + += h) 1 ; 1 2 M | | ÷ | \ . este mijlocul segmentului | | AB | | ( ) ( ) | | ( ) | | ( ) 4 1 : : 1 : 6 6 8 4 3 2 M AB M AB AB AB d y y m x x d y x d y x | | ÷ = ÷ · + = ÷ ÷ · + = ÷ + · | \ . | | ( ) : 8 6 2 0 AB d x y + + = i) 1 1 1 1 , 1 0 2 3 1 0 4 8 0 2 1 3 1 A A B B D D x y A B si D coliniare x y m m x y m ÷ · = · ÷ = · ÷= · = ÷ j) 1 1 1 1 7 , 2 3 1 7 2 2 0 2 1 ABC ABC A d d A A A ÷ = = ÷ = ¬ = k)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 32 2 3 1 11 1113 , 13 13 3 2 B B ax by c d B d a b ·+ ÷ · ÷ + ÷ + + = = = = + + ÷ . 2. Se consideră punctele( ) ( ) ( ) 1; 2, 1;3 ,1 A B si Cm ÷ ÷ . Determinațimepentru careABC Aeste dreptunghic în A. Rezolvare. Metoda 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1; 2 29 1;3 1; 2 1 9 1 2 4 29 1 2 9 ;1 1;3 1 4 ;1 A AB B A AC m BC AB AC m m m m Cm B BC m Cm ÷ ¬ = ÷ ÷ ¬ = ÷ + ¬ = + ¬ + + + = + ÷ + + ¬ ÷ ¬ = ÷ ÷ + 34 17 4 34 4 2 m m m ¬ = ¬ = ¬ = Metoda 2 5 2 5 3 17 1 1 2 2 15 3 2 1 2 1 B A AB B A AB AC C A AC C A y y m x x AB AC m m m m y y m m x x m ÷ = = ÷ ¬ ± · · = ÷ ·· = ÷ ·÷ = · = ÷ ÷ = = ÷ ÷ 3. Să se determine numărul real m pentru care punctul 1 1; 2 A | | ÷ | \ . se află pe dreapta de ecuaţie 2 3 3 0 x y m ÷ + ÷ = Rezolvare COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACĂU PROFESOR CONSTANTIN CIOFU 1 1; 2 A | | ÷ | \ . este situat pe dreapta dată dacă coordonatele sale verifică ecuația dreptei. ( ) 1 1 3 13 2 1 3 3 0 5 1 2 2 2 2 x m m m y = ÷ ¬· ÷ ÷ · + ÷= ¬ = +¬ = = 4. Aflati numărul real m, ştiind că lungimea segmentului determinat de punctele( ) 1; 2 Ași( ) ; 1 Bm ÷ este egală cu 3. Rezolvare. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1; 2 1 9 2 10 3 2 10 9 2 1 0 ; 1 A AB m m m m m m m Bm ¬ = ÷ + · ÷ + = · ÷ + = · ÷ + = ¬ ÷ 1 2 1 m m ¬ = = 5. Determinați coordonatele punctului de intersecție al dreptelor de ecuații( ) 1 : 3 1 0 d x y ÷ + =și ( ) 2 : 2 7 0 d x y ÷ + ÷ = . Rezolvare. Fie{ } 1 2 P d d = · Coordonatele punctului de intersecție al celor 2 drepte sunt date de soluțiile sistemului determinat de cele 2 ecuații. ( ) 3 1 0 2 6 2 0 5 5 0 1 1 3; 1 2 7 0 2 7 0 2 7 0 2 1 7 0 3 x y x y y y y P x y x y x y x x ÷ + = ÷ + = ÷ ÷= = ÷ = ÷ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ · · · · ¬ ÷ ´ ´ ´ ´ ´ ÷ + ÷ = ÷ + ÷ = ÷ + + = ÷ ÷ + = = ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACĂU PROFESOR CONSTANTIN CIOFU 1. Se da triunghiul de varfuri A(-2, 3), B(-1, -1), C(1, 4). Sa se gaseasca : a.ecuatia dreptei AC. b.ecuatia paralelei prin B la AC. c.ecuatia mediatoarei segmentului BC. d.ecuatia medianei din C. e.ecuatia inaltimii din C . 2.SeconsiderăpuncteleA(1,1),B(2,3)şiC(3,m).AflatinumărulrealmpentrucareA,BşiCsunt coliniare. 3. Se consideră punctele A(-1,-1), B(1,1) şi C(0,-2). Aratati că triunghiul ABC este dreptunghic în A. 4. Să se determine ecuaţia dreptei care conţine punctul A(1,1) şi este paralelă cu dreapta 4x+2y+5=0. 5. Să se calculeze lungimea segmentului determinat de punctele A(2,3) şi B(5,-1). 6. Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctele A(2,-1) şi B(1,-2). 7.SăsedeterminenumărulrealmpentrucarepunctulA(2,3)seaflăpedreaptadeecuaţie 2 4 3 1 0 x y m ÷ + ÷ = . 8.Aflatinumărulreala,ştiindcălungimeasegmentuluideterminatdepuncteleA(-1,2)şiB(1-a,1+a), este egală cu 2 9. Să se determine coordonatele simetricului punctului A(2,-4) faţă de B(1,-2) 10.CalculatidistanţadelapunctulO(0,0)lapunctuldeintersecţiealdreptelor 1 : 2 2 0 d x y ÷ ÷ = și 2 : 3 8 0 d x y + ÷ = 11.SeconsiderăpuncteleA(1,a),B(2,-1),C(3,2)şiD(1,-2).Săsedeterminenumărulreala,ştiindcă dreptele AB şi CD sunt paralele. 12. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera triunghiului ABC determinat de dreptele de ecuatii( ) ( ) AB: x 2y 4 0, BC: 3x y 2 0 + ÷ = + ÷ =și( ) AC: x 3y 4 0 ÷ ÷ = . Sa se calculeze perimetrul triunghiului ABC. 13. Se considera dreptele de ecuatii( ) ( ) 1 2 d : 2x 5y 7 0 sid : 4x 10y 9 0. + ÷ = + += a) Sa se arate ca dreptele sunt paralele. b) Sa se calculeze coordonatele punctelor de intersectie ale celor două drepte cu dreapta (d 3 ): x+y+1=0.