1 Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà MODELLI IDEALI 1) ELASTICO-PERFETTAMENTE PLASTICO 2) RIGIDO - PERFETTAMENTE PLASTICO 3) ELASTICO – PLASTICO INCRUDENTE Corso diCorso di Geotecnica IIGeotecnica II A.A. 2010A.A. 2010--20112011 E F y E F y FE1E2 y E1 E2 Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà Corso diCorso di Geotecnica IIGeotecnica II A.A. 2010A.A. 2010--20112011 SUPERFICIE DI SNERVAMENTO LUOGO CHE SEPARA NELLO SPAZIO TENSIONALE, IL COMPORTAMENTO ELASTICO DA QUELLO PLASTICO 2 Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà SUPERFICIE DI SNERVAMENTO CRITERIO DI SNERVAMENTO Wp= lavoro di deformazione plastica Nello spazio σ’1, σ’2 ,σ’3 la funzione individua la superficie di snervamento che può cambiare dimensione e forma (poiché dipende anche da εpij) Superficie di snervamento ≤ Superficie di rottura Coincidono solo per mat. perfettamente plastico Corso diCorso di Geotecnica IIGeotecnica II A.A. 2009A.A. 2009--20102010 1= a r3= Regione Elastica Superfici successive di snervamento Superficie di rottura r3=r a1= a ( ) 0=pijijF εσ ,' ( )[ ] 0=pij WhF ,'σ ( )[ ] 0=pij WhF ,'σ Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà Corso diCorso di Geotecnica IIGeotecnica II A.A. 2010A.A. 2010--20112011 La superficie di snervamento deve sempre seguire l’evoluzione dello stato tensionale (incrudimento) in modo che sia sempre verificata la condizione di consistenzacondizione di consistenza (un punto (un punto rapprrappr. dello stato tensionale può trovarsi dentro o sulla sup. di sne. dello stato tensionale può trovarsi dentro o sulla sup. di snervamento)rvamento) Condizioni di sollecitazione Carico dF>0 def. plastiche Scarico dF 3 Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà Corso diCorso di Geotecnica IIGeotecnica II A.A. 2010A.A. 2010--20112011 COMPORTAMENTO PERFETTAMENTE PLASTICO Per un mezzo perfettamente plastico si ha che Superficie di Snervamento = Superficie di RotturaSuperficie di Snervamento = Superficie di Rottura di conseguenza, noto lo stato tensionale agente, conosco per ogni incremento di carico la direzione della deformazione plastica (ortogon. alla superficie di rottura) y ( ) 0=ijF 'σ ( ) 0=ijF 'σ Mezzo isotropo ( ) 0321 =IIIF ,, Metalli (def. plastiche indip. da p) ( ) 032 =JJF , Invarianti di tensione Invarianti del deviatore di tensione CRITERI: - Tresca (1869) - Von Mises (1913) Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà COMPORTAMENTO DEI TERRENI CARICO produce DEFORMAZIONI che sono REVERSIBILI IRREVERSIBILI elastiche plastiche Espresse con la teoria della plasticità si ha: N.B. Il legame costitutivo elastico isotropo consente di calcolare le δεe Poiché, nell’ipotesi di isotropia, la direzione principale di tensione coincide con la direzione principale di deformazione, noto l’incremento di stato tensionale sono noti non solo modulo ma anche direzione del vettore δεe Corso diCorso di Geotecnica IIGeotecnica II A.A. 2010A.A. 2010--20112011 p ij e ijij ddd εεε += 4 Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà Corso diCorso di Geotecnica IIGeotecnica II A.A. 2010A.A. 2010--20112011 MATERIALI ELASTOMATERIALI ELASTO--PLASTICIPLASTICI Comportamento INCRUDENTE L’incremento della tensione di snervamento a causa di deformazioni plastiche x x x3 x2 x1 O1 O2 O3 x1 pl Y1 Y2 Y3 pl x 1δε = INCRUDIMENTO Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà Corso diCorso di Geotecnica IIGeotecnica II A.A. 2010A.A. 2010--20112011 MATERIALI ELASTOMATERIALI ELASTO--PLASTICIPLASTICI Comportamento RAMMOLLENTE La riduzione della tensione di snervamento a causa di deformazioni plastiche = RAMMOLLIMENTO x A B O1 O2 x pl x x x el x 5 Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà ELEMENTI PER UN MODELLO ELASTO-PLASTICO 1) Legge costitutiva elastica 2) Superficie di snervamento: • rappresenta il limite elasto-plastico nello spazio σ’ij 3) Potenziale plastico : • descrive in che modo avvengono le def. plast. εp • definisce le componenti del vettore {εp} 4) Legge di incrudimento : •definisce l’espansione della superficie di snervamento • stabilisce come l’entità del vettore {εp} è legata al cambiamento di dimensioni della superficie di snervamento Corso diCorso di Geotecnica IIGeotecnica II A.A. 2010A.A. 2010--20112011 Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà Corso diCorso di Geotecnica IIGeotecnica II A.A. 2010A.A. 2010--20112011 MATERIALI ELASTICIMATERIALI ELASTICI Caratteristiche: 1) Sono materiali CONSERVATIVI: il lavoro svolto dagli sforzi esterni per un incremento di deformazione viene immagazzinato e restituito allo scarico, cioè tutte le deformazioni sono restituite se l’incremento di carico che le ha prodotte viene rimosso. 2) EFFETTI volumetrici e distorsionali DISACCOPPIATI: per mat. elastici ed isotropi effetti volumetrici e distorsionali sono disaccoppiati, quindi la relazione costitutiva può essere espressa da: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ el v el s δε δε 'K0 0'G3 pδ 'qδ 6 Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà Corso diCorso di Geotecnica IIGeotecnica II A.A. 2010A.A. 2010--20112011 Nella meccanica dei terreni conviene adoperare i moduli di elasticitmoduli di elasticitàà trasversale Gtrasversale G’’ e di dilatazione cubica Kdilatazione cubica K’’ (piuttosto che i moduli elastici di Young E’ e del coeff. di Poisson ν’) perché è importante disaccoppiare gli effetti. )'( '' ν+= 12 EG )'( '' ν213 −= EK deformazioni tangenziali = variazioni di forma deformazioni di compressione = variazioni di volume q s el 3G ' Comportamento mat. elastico lineare a TAGLIO p' p'0 K' el v Comportamento mat. elastico lineare a COMPRESSIONE E RIGONFIAMENTO Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà ELEMENTI PER UN MODELLO ELASTO-PLASTICO 1) Legge costitutiva elastica 2) Superficie di snervamento: • rappresenta il limite elasto-plastico nello spazio σ’ij 3) Potenziale plastico : • descrive in che modo avvengono le def. plast. εp • definisce le componenti del vettore {εp} 4) Legge di incrudimento : •definisce l’espansione della superficie di snervamento • stabilisce come l’entità del vettore {εp} è legata al cambiamento di dimensioni della superficie di snervamento Corso diCorso di Geotecnica IIGeotecnica II A.A. 2010A.A. 2010--20112011 7 Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà Corso diCorso di Geotecnica IIGeotecnica II A.A. 2010A.A. 2010--20112011 CRITERIO DI TRESCACRITERIO DI TRESCA (1869) Condizione di plasticità: quando la massima tensione di taglio raggiunge il valore critico max (σi – σj)= 2c (i,j= 1, 2, 3) 2c: tensione di snervamento in trazione semplice Il crit. di Tresca non dipende dalla tensione principale intermedia σ2. CRITERIO DI VON MISESCRITERIO DI VON MISES (1913) Condizione di plasticità: il secondo invariante del deviatore di tensione raggiunge un valore critico F(J2) = costante 2c = tensione di snervamento in trazione semplice (σ2 = σ3 =0) ( ) ( ) ( )[ ] 22212232231 86 cK ==−+−+− σσσσσσ crit=c Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà Corso diCorso di Geotecnica IIGeotecnica II A.A. 2010A.A. 2010--20112011 SUPERFICIE DI TRESCASUPERFICIE DI TRESCA SUPERFICIE DI VON MISESSUPERFICIE DI VON MISES CONFRONTOCONFRONTO Asse Idrostatico Asse Idrostatico Tresca Von Mises 30° 8 Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà Corso diCorso di Geotecnica IIGeotecnica II A.A. 2010A.A. 2010--20112011 CRITERIO MOHRCRITERIO MOHR--COULOMBCOULOMB (1773) Condizione di plasticità: si ha quando la massima tensione di taglio raggiunge il valore critico c’= intercetta di coesione φ’= angolo di attrito interno N.B. Per φ’=0 (metalli): σ1- σ3=2c criterio di Tresca CRITERIO DRUCKERCRITERIO DRUCKER--PRAGERPRAGER (1952) E’ il criterio di Von Mises modificato sulla base di Mohr-Coulomb per materiali aventi coesione c’ e φ’. 'tan''' φστ += c 'φsen)'σ'σ('φcos'c2'σ'σ 3131 ++=− 05021 =−+= KIIf .α )'( ' φ φα sen sen −= 33 2 )'( 'cos' φ φ sen cK −= 33 6 c' Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà Corso diCorso di Geotecnica IIGeotecnica II A.A. 2010A.A. 2010--20112011 SUPERFICIE DI MOHRSUPERFICIE DI MOHR--COULOMBCOULOMB SUPERFICIE DI DRUCKERSUPERFICIE DI DRUCKER--PRAGERPRAGER CONFRONTOCONFRONTO Asse Idrostatico Asse Idrostatico L1 L2 Mohr-Coulomb Drucker-Prager )'( 'cos φ φ sen KL −= 3 26 1 )'( 'cos φ φ sen KL += 3 26 2 9 Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà Corso diCorso di Geotecnica IIGeotecnica II A.A. 2010A.A. 2010--20112011 SUPERFICIE DI SNERVAMENTO LUOGO CHE SEPARA NELLO SPAZIO TENSIONALE, IL COMPORTAMENTO ELASTICO DA QUELLO PLASTICO Supponiamo che il terreno abbia sup. di snervamento definita dall’equazione: p’0 definisce la dimensione di una superficie della famiglia In forma differenziale: p' q p'0 ( ) 00 == ',', pqpf 0'pδ 'p fqδ q f'pδ 'p f 0 0 =∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà ELEMENTI PER UN MODELLO ELASTO-PLASTICO 1) Legge costitutiva elastica 2) Superficie di snervamento: • rappresenta il limite elasto-plastico nello spazio σ’ij 3) Potenziale plastico : • descrive in che modo avvengono le def. plast. εp • definisce le componenti del vettore {εp} 4) Legge di incrudimento : •definisce l’espansione della superficie di snervamento • stabilisce come l’entità del vettore {εp} è legata al cambiamento di dimensioni della superficie di snervamento Corso diCorso di Geotecnica IIGeotecnica II A.A. 2010A.A. 2010--20112011 10 Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà Corso diCorso di Geotecnica IIGeotecnica II A.A. 2010A.A. 2010--20112011 DEFINIZIONE: POTENZIALE PLASTICO SUPERFICIE CHE DEFINISCE LA DIREZIONE DEL VETTORE DELLE DEFORMAZIONI PLASTICHE Le deformazioni plastiche prodotte sono dipendenti dallo stato tensionale in corrispondenza del quale avviene lo snervamento (non del percorso tensionale seguito) scomposizione del vettore deformazione plastica nelle due componenti La direzione del vettore uscente, normale alla superficie di potenziale plastico, definisce il rapporto (grandezza relativa) delle varie componenti di deformazione plastica S pl q Y ppl q p' q pl pl p Y Data un’espressione generale per la famiglia di curve di potenziale plastico, un membro della famiglia può essere tracciato in corrispondenza di ciascuno stato tensionale Yi al quale avviene lo snervamento. 1) per un dato stato tensionale si raggiunge lo lo snervamento, indicato dal punto Y 2) in Y si generano deformazioni plastiche: vettore componenti 3) se Yi sono i punti di snervamento appartenenti a diverse superfici (diverse combinazioni tensionali) 4) da ciascun punto di snervamento Yi si generano vettori di deformazioni plastiche Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà Corso diCorso di Geotecnica IIGeotecnica II A.A. 2010A.A. 2010--20112011 p' q Y pldε pl pd 'ε plqdε pldε pl q Y ppl pl Diverse famiglie di potenziale plastico 11 Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà Corso diCorso di Geotecnica IIGeotecnica II A.A. 2010A.A. 2010--20112011 POSTULATO DI “NORMALITA’” 1) Superficie di snervamento = Potenziale Plastico Il vettore incremento di deformazioni ha direzione normale alla superficie di snervamento MATERIALE SEGUE UNA LEGGE DI FLUSSO ASSOCIATALEGGE DI FLUSSO ASSOCIATA 2) Superficie di snervamento ≠ Potenziale Plastico MATERIALE SEGUE UNA LEGGE DI FLUSSO NONNON ASSOCIATA { }pldε q p' Y G F pld pld V d Spl Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà Corso diCorso di Geotecnica IIGeotecnica II A.A. 2010A.A. 2010--20112011 POTENZIALE PLASTICO Il potenziale plastico può essere espresso come: g(p’, q, ξ) ξ = parametro che controlla la dimensione del potenziale plastico che passa in corrispondenza dello stato tensionale p’;q Gli incrementi di deformazione plastica sono ortogonali al potenziale plastico in corrispondenza dello stato tensionale corrente p’;q: (1) (2) χ = moltiplicatore scalare il cui valore sarà ricavato dalla legge di incrudimento assunta 'p gχδεpl'p ∂ ∂= q gχδεplq ∂ ∂= 12 Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà ELEMENTI PER UN MODELLO ELASTO-PLASTICO 1) Legge costitutiva elastica 2) Superficie di snervamento: • rappresenta il limite elasto-plastico nello spazio σ’ij 3) Potenziale plastico : • descrive in che modo avvengono le def. plast. εp • definisce le componenti del vettore {εp} 4) Legge di incrudimento : •definisce l’espansione della superficie di snervamento • stabilisce come l’entità del vettore {εp} è legata al cambiamento di dimensioni della superficie di snervamento Corso diCorso di Geotecnica IIGeotecnica II A.A. 2010A.A. 2010--20112011 Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà Corso diCorso di Geotecnica IIGeotecnica II A.A. 2010A.A. 2010--20112011 LEGGE DI INCRUDIMENTO DETERMINA LA GRANDEZZA (SCALARE) DEGLI INCREMENTI DI DEFORMAZIONE PLASTICA = LEGGE DELLA “VARIAZIONE” DELLA SUPERFICIE DI SNERVAMENTO Si ipotizza che il cambiamento di dimensione della superficie di snervamento, espresso come variazione di p’0, sia legato agli incrementi di deformazione plastica sia volumetrici dεplp’ che di taglio dεplq. Nel piano q;p’ si ha: (3) Superficie di snervamento (4) in forma differenziale: pl qpl q 0pl 'ppl 'p 0 0 δεε 'pδε ε 'p'pδ ∂ ∂+∂ ∂= 0'pδ 'p fqδ q f'pδ 'p f 0 0 =∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ 13 Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà Corso diCorso di Geotecnica IIGeotecnica II A.A. 2010A.A. 2010--20112011 Relazione Generale tra: SFORZI-DEFORMAZIONI PLASTICHE In termini di invarianti p’; q, il legame tra gli incrementi di tensione efficace dp’;dq e le deformazioni plastiche corrispondenti e diventa: OCCORRE DETERMINARE LA MATRICE DI RIGIDEZZA [K] [ ] ijplij 'δσKδε = pl qdεplpdε [ ] ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ qδ 'pδ K δε δε pl q pl p Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà Corso diCorso di Geotecnica IIGeotecnica II A.A. 2010A.A. 2010--20112011 Combinando le equazioni (1) - (4) si ottiene un’espressione per lo scalare χ Sostituendo questa espressione di χ nelle precedenti (3) e (4) si ottiene: Nel caso in cui POTENZIALE PLASTICO e SUPERFICIE DI SNERVAMENTO coincidono si ha: f=gf=g LEGGE DI FLUSSO LEGGE DI FLUSSO ASSOCIATAASSOCIATA La matrice delle rigidezza [K] è simmetrica ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ∂ ∂⋅∂ ∂+∂ ∂⋅∂ ∂ ∂ ∂ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂+∂ ∂ −= q g ε 'p 'p g ε 'p 'p f qδ q f'pδ 'p f χ pl q 0 pl p 0 0 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂⋅∂ ∂+∂ ∂⋅∂ ∂ ∂ ∂ −= ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ qδ 'pδ q g q f q g 'p f 'p g q f 'p g 'p f q g ε 'p 'p g ε 'p 'p f 1 δε δε pl q 0 pl 'p 0 0 pl q pl 'p 14 Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà Corso diCorso di Geotecnica IIGeotecnica II A.A. 2010A.A. 2010--20112011 MODELLO SEMPLICE Blocco scorrevole su Comportamento plastico superficie con attrito dei materiali A) Agisce solo Qx Condizione di scorrimento Con: µ = coeff. di attrito P = peso proprio B) Agiscono Qx e Qy Condizione di scorrimento Il corpo si muove nella direzione della risultante Da A) e B) si ottiene la formula generale: Analogia x z P Qx P Qx Qy x y PQQ yx µ=+ 22 PQx µ= 02222 =−+= PQQf yx µ Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà Corso diCorso di Geotecnica IIGeotecnica II A.A. 2010A.A. 2010--20112011 Condizione di scorrimento = Superficie di scorrimento nello spazio Qx, Qy, P 3D Condizioni generali f0 NON AMMISSIBILE Es. agisce solo Qx che provoca scorrimento in A Sezione Qy=0 02222 =−+= PQQf yx µ P Qy Qx sz xs P Qx QxABO P sx ys Qy 0222 =−= PQf x µ Sezione P=cost 15 Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà Corso diCorso di Geotecnica IIGeotecnica II A.A. 2010A.A. 2010--20112011 Ip: esistono deformazioni elastiche di taglio xe esistono deformazioni plastiche di scorrimento xs 1) Applico solo Qx ( O A) In A scorrimento in direzione x (Il blocco non si solleva: δz=0) 2) Dopo un certo scorrimento in direz. X riduco il il carico di taglio: Qx=µP/2 senza variare P ( A B) 3) Applico Qy: B C scorrimento in C quando: Qx x xe P se xxx δδδ += C QxABO P sx ys Qy sz xs P Qx 23 /PQy µ= Qx x xe P Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà Corso diCorso di Geotecnica IIGeotecnica II A.A. 2010A.A. 2010--20112011 N.B.: anche se lo scorrimento è indotto da Qy, esso avviene nella direzione della risultante del carico di taglio Pertanto il vettore scorrimento, di componenti δxs :δys, è sempre ortogonale alla sezione circolare della superficie di scorrimento nel piano Qx:Qy Si ricorda che la deformazione plastica dipende dallo stato di carico agente e NONNON dal percorso del carico che la innesca QY x C Relazione carico- spostamento Qx:x Relazione carico- spostamento Qy:x 16 Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà Corso diCorso di Geotecnica IIGeotecnica II A.A. 2010A.A. 2010--20112011 Anche se causato dall’incremento di una sola componente (Qy) la direzione dello scivolamento coincide con la direzione della risultante dei carichi, ovvero è ortogonale alla sezione circolare della superficie di snervamento f POTENZIALE DI SCIVOLAMENTO K= costante = ampiezza del cilindro nello spazio P:Qx:Qy Gli spostamenti che si ottengono sono: χ: moltiplicatore scalare N.B. SUPERFICIE DI SCIVOLAMENTO CONO POTENZIALE DI SCIVOLAMENTO CILINDRO 0222 =−+= KQQg yx x x Q2χ Q gχxδ ⋅=∂ ∂= y y Q2χ Q gχyδ ⋅=∂ ∂= 0 P gχzδ =∂ ∂=