Cátedra: TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CUENCA FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Profesor: Carlos Morocho Cabrera 1 Teoría Electromagnética Contenido: Electrostática y Ley de Coulomb Ley de Gauss Energía y Potencial Eléctrico de los Sistemas de Carga Conductores en el Campo Electrostático Dieléctricos en el Campo Electrostático Profesor: Carlos Morocho Cabrera 2 Teoría Electromagnética Contenido: Electrostática y Ley de Coulomb Ley de Gauss Energía y Potencial Eléctrico de los Sistemas de Carga Conductores en el Campo Electrostático Dieléctricos en el Campo Electrostático Profesor: Carlos Morocho Cabrera 3 Electrostática y Ley de Coulomb Profesor: Carlos Morocho Cabrera 4 Ley de Coulomb Charles Augustin de Colulomb (1736-1806), en 1875 midió por primera vez cuantitativamente las atracciones y repulsiones eléctricas y dedujo la ley que las rige. Balanza de Torsión 𝐹 ∝ 𝑞1𝑞2 𝑟2 𝐹 = 1 4𝜋𝜀 𝑞1𝑞2 𝑟2 Existe una fuerza entre dos cargas, directamente proporcional a las magnitudes de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. 𝐅, Fuerza Newtons (N) 𝑞1, 𝑞2 Carga eléctrica Coulomb (C) 𝜀, Permitividad del medio 𝑟, Distancia metros (m) Electrostática y Ley de Coulomb Profesor: Carlos Morocho Cabrera 5 Ley de Coulomb – Fuerza Electrostática El estudio de la interacción entre cargas en reposo se llama electrostática, y se fundamenta en la Ley de Coulomb. Para ello, considérese dos cargas puntuales, 𝑞1 y 𝑞2, separadas por una distancia 𝑟12 y situadas en el vacío. Ambas cargas están en posiciones fijas 𝑟1 y 𝑟2 con respecto a una referencia de un sistema arbitrario de coordenadas cartesianas. La fuerza electrostática 𝐹𝑒,12 se refiere a la fuerza que ejerce la carga 𝑞1 sobre la carga 𝑞2. Esta fuerza viene dada en términos del vector de posición relativo de 𝑞2 respecto de 𝑞1. 𝐫12=𝐫2 − 𝐫1 Electrostática y Ley de Coulomb Profesor: Carlos Morocho Cabrera 6 Ley de Coulomb – Fuerza Electrostática El vector 𝐫12 tiene por módulo la distancia 𝑟12 entre las dos cargas (𝑟12 = 𝐫12 ), su dirección es a lo largo de la recta que une las dos cargas y su sentido va desde la carga 𝑞1 a la carga que experimenta la fuerza 𝑞2. El vector unitario 𝐮12 determina la dirección y sentido de 𝐫12. 𝐮12 = 𝐫12 𝑟12 = 𝐫2 − 𝐫1 𝐫2 − 𝐫1 La Ley de Coulomb se escribe entonces: 𝐅𝑒,12 = 𝑘 𝑞1𝑞2 𝑟122 𝐮12 Electrostática y Ley de Coulomb Profesor: Carlos Morocho Cabrera 7 Ley de Coulomb – Fuerza Electrostática 𝐮12 = 𝐫12 𝑟12 = 𝐫2 − 𝐫1 𝐫2 − 𝐫1 𝐅𝑒,12 = 𝑘 𝑞1𝑞2 𝑟122 𝐮12 Siendo 𝑘 la constante de Coulomb. Su valor en el vacío es 𝑘 = 9 × 109 N.m2. C−2, aunque es más común escribir 𝑘 = 1 4𝜋𝜀0 Donde 𝜀0 = 8,85 × 10 −12 C2. N−1. m−2 es la permitividad del vacío. El sentido de la fuerza electrostática depende del valor del producto de las cargas 𝑞1𝑞2, de manera si 𝑞1𝑞2 > 0 (las cargas tienen el mismo signo), la fuerza es repulsiva, y si 𝑞1𝑞2 < 0 (las cargas tienen signos opuestos), la fuerza es atractiva. Electrostática y Ley de Coulomb Profesor: Carlos Morocho Cabrera 8 Ley de Coulomb – Fuerza Electrostática La ley de Coulomb se generaliza para el caso de una distribución discreta de cargas puntuales (es decir, número entero de cargas puntuales individuales separadas una de otra) según el llamado principio de superposición: las fuerzas aplicadas sobre la misma partícula se suman como vectores. Por tanto la fuerza que ejerce una distribución discreta de cargas puntuales 𝑞1, 𝑞2, … , 𝑞𝑁 con vectores de posición 𝐫1, 𝐫2, … , 𝐫𝑁 , sobre una carga puntual 𝑞0 con vector de posición 𝐫0, es: 𝐅𝑒, 1,2,…,𝑁 0 = 𝐅𝑒,10 + 𝐅𝑒,20 +⋯+ 𝐅𝑒,𝑁0 Electrostática y Ley de Coulomb Profesor: Carlos Morocho Cabrera 9 Ley de Coulomb – Fuerza Electrostática Ejemplo 1.- Consideremos que las cargas totales positiva y negativa en una moneda de cobre se pueden separar una distancia tal que su fuerza de atracción sea de 4,5 N. A qué distancia tendrán que estar si la magnitud de la carga q es 1,3 𝑥 10−5 C? Ejemplo 2.- Hallar la fuerza ejercida sobre la carga Q1, 20 𝜇C, debida a la carga Q2 − 300 𝜇C, sabiendo que Q1 se sitúa en (0, 1, 2) m y Q2 en (2, 0, 0) m. Electrostática y Ley de Coulomb Profesor: Carlos Morocho Cabrera 10 Ley de Coulomb Ejemplo 3.- La siguiente figura muestra tres cargas, q1, q2 y q3. ¿Qué fuerza obra sobre q1?. Supóngase que 𝑞1 = −1,2 𝑥 10 −6 C, 𝑞2 = +3,7 𝑥 10 −6 C, 𝑞3 = − 2,3 𝑥 10−6 C, 𝑟12 = 15 cm, 𝑟13 = 10 cm, y 𝜃 = 32°. Electrostática y Ley de Coulomb Profesor: Carlos Morocho Cabrera 11 Ley de Coulomb Ejemplo 4.- Cuál es la fuerza resultante sobre la carga colocada en el vértice inferior izquierdo del cuadrado?. Tome como valores 𝑞 = 1,0 × 10−7C y 𝑎 = 5,0 cm. Ejemplo 5.- Un cubo de arista 𝑎 tiene una carga punto 𝑞 en cada vértice. Demuestre que la magnitud de la fuerza resultante en cualquiera de esas cargas es: 𝐹 = 0,213𝑞2 𝜀0𝑎2 Electrostática y Ley de Coulomb Profesor: Carlos Morocho Cabrera 12 Ley de Coulomb Ejemplo 6.- Dos bolas similares de masa 𝑚 se cuelgan de hilos de seda de longitud 𝑙 y llevan cargas similares 𝑞 . Supóngase que 𝜃 es tan pequeña que tan 𝜃 puede remplazarse por sin 𝜃 por ser aproximadamente igual. Haciendo esta aproximación demuestre que: 𝑥 = 𝑞2𝑙 2𝜋𝜀0𝑚𝑔 1 3 Electrostática y Ley de Coulomb Profesor: Carlos Morocho Cabrera 13 Campo Eléctrico creado por cargas puntuales Al analizar la expresión de la ley de Coulomb para la interacción entre dos cargas puntuales en reposo, nos encontramos con el problema de la acción de la distancia. Según la ley de Coulomb, la fuerza electrostática actúa instantáneamente entre cargas que se encuentran separadas una de la otra, y sin embargo ninguna interacción puede propagarse a velocidad infinita. La noción de campo eléctrico resuelve este problema. El campo eléctrico juega un papel intermedio en las fuerzas que obran entre las cargas. Para ello se requiere: • El cálculo de campos establecidos a partir de distribuciones de cargas dadas. • El cálculo de las fuerzas que campos dados ejerzan sobre cargas colocadas en ellos. Pensamos en función de carga ⇌ campo y no desde el punto de vista de acción a distancia, en función de carga ⇌ carga. Electrostática y Ley de Coulomb Profesor: Carlos Morocho Cabrera 14 Definición de Campo Eléctrico Consideremos una carga puntual 𝑞, con vector de posición 𝐫, que experimenta una fuerza electrostática 𝐅𝐞 debida a la acción de otra carga puntual 𝑞0 que está en 𝐫0. Las cargas están arbitrariamente lejos una de la otra. Podemos pensar que la carga fuente 𝑞0 ha modificado el espacio que la rodea de tal manera que, en cada punto de este espacio, ha creado un campo eléctrico. Así, la interacción entre la carga fuente 𝑞0 y la carga 𝑞 ya no es una acción a la distancia, sino una interacción de contacto entre el campo eléctrico que crea 𝑞0 en el punto 𝐫 y la carga 𝑞 que se encuentra también en ese punto. 1. La carga 𝑞1 produce un campo eléctrico en el espacio que le rodea. 2. El campo obra sobre la carga 𝑞2, esto se pone de manifiesto por la fuerza F que experimenta 𝑞2. Electrostática y Ley de Coulomb Profesor: Carlos Morocho Cabrera 15 Definición de Campo Eléctrico Para obtener el campo eléctrico creado por 𝑞0 en 𝐫, suponemos que 𝑞 es pequeña en comparación con 𝑞0, de tal manera que no afecta considerablemente al proceso de medición de campo eléctrico. Se dice entonces que 𝑞 es una carga de prueba. Se define el campo eléctrico como la fuerza electrostática 𝐅𝒆 que ejerce 𝑞0 sobre 𝑞, 𝐄 = 𝐅𝑒 𝑞 es decir, es la fuerza electrostática ejercida sobre una carga de prueba 𝑞 dividida por la propia carga de prueba. La unidad SI de campo eléctrico es N C . Se usa a menudo otra unidad, llamada voltio (V), tal que 1V = 1N.m. C−1. Con ello, la unidad de campo eléctrico resulta V/m. Electrostática y Ley de Coulomb Profesor: Carlos Morocho Cabrera 16 Intensidad de campo eléctrico Cuando la fuente del campo eléctrico es una carga puntual 𝑞0 situada en el punto 𝑃0, con vector de posición 𝐫0, de la ley de Coulomb se obtiene que el campo eléctrico 𝐄(𝐫) creado por 𝑞0 en el punto P, con vector de posición 𝐫, es: 𝐄 = 𝐅𝑒 𝑞 = 𝑞0 4𝜋𝜀0𝑟2𝑃0𝑃 𝐮𝑃0𝑃 𝐄 𝐫 = 𝑘𝑞0 𝐮𝑃0𝑃 𝐫 − 𝐫0 2 = 𝑘𝑞0 𝐫 − 𝐫0 𝐫 − 𝐫0 3 𝐮𝑃0𝑃 = 𝐫 − 𝐫0 𝐫 − 𝐫0 Electrostática y Ley de Coulomb Profesor: Carlos Morocho Cabrera 17 Intensidad de campo gravitacional La definición de campo gravitacional 𝐠 es muy semejante a la de intensidad de campo eléctrico, salvo que es la masa del cuerpo de prueba y no su carga la propiedad que interesa. Tanto 𝐠 como 𝐄 se expresan como una fuerza dividida entre una propiedad (masa o carga) del cuerpo de prueba. 𝐠 = 𝐅 𝑚 → → m/s2 N/kg , N/C Partícula Símbolo Carga Masa Protón 𝑝 +𝑒 1,67239 x 10−27 kg Neutrón 𝑛 0 1,67470 x 10−27 kg Electrón 𝑒− −𝑒 9,1083 x 10−31 kg 1𝑒 = 1,60206 × 10−19 C 𝐄 = 𝐅𝑒 𝑞 Electrostática y Ley de Coulomb Profesor: Carlos Morocho Cabrera 18 Campo Eléctrico Ejemplo 7.- (a) Cuál es la magnitud de la intensidad de campo eléctrico 𝐄 tal que un electrón, colocado en el campo, experimenta una fuerza eléctrica igual a su peso?. (b) Hacia dónde tendría que apuntar 𝐄 para contrarrestar la fuerza gravitacional? Electrostática y Ley de Coulomb Profesor: Carlos Morocho Cabrera 19 Campo Eléctrico – Distribuciones discretas de cargas puntuales Para una distribución discreta de cargas puntuales, el campo eléctrico satisface también, como lo hacía la fuerza electrostática, el principio de superposición, indicando que los campos eléctricos que actúan en el mismo punto se suman como vectores. El campo eléctrico creado por una distribución discreta de cargas puntuales 𝑞1, 𝑞2, … , 𝑞𝑁 , situadas en los puntos 𝐫1, 𝐫2, … , 𝐫𝑁 , sobre un punto 𝐫 es: : 𝐄 1,2,…,𝑁 𝐫 = 𝐄1 𝐫 + 𝐄2 𝐫 + ⋯+ 𝐄𝑁(𝐫) Electrostática y Ley de Coulomb Profesor: Carlos Morocho Cabrera 20 Líneas de campo eléctrico Para representar gráficamente un campo, éste se lo hace a través de las líneas de campo, que son líneas tangentes al campo en cada punto del espacio. En el caso eléctrico, estas líneas son también tangentes a la fuerza que experimenta una carga de prueba en ese punto. Sin embargo, las líneas de campo eléctrico no tiene por qué coincidir con la trayectoria que seguiría la carga de prueba, ya que la trayectoria no depende sólo de la aceleración sino también de la velocidad. La figura muestra varias líneas de campo, donde se muestran las componentes 𝐸𝑥 y 𝐸𝑦 (esto para el caso de un campo de dos dimensiones, donde 𝐸𝑧 = 0). Con base a la geometría, es evidente que: 𝐸𝑦 𝐸𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Electrostática y Ley de Coulomb Profesor: Carlos Morocho Cabrera 21 Líneas de campo eléctrico La relación entre las líneas de fuerza (imaginarias) y el vector intensidad de campo es el siguiente: 1. La tangente a una línea de fuerza en un punto cualquiera da la dirección de 𝐄 en ese punto. 2. Las líneas de fuerza se dibujan de modo que el número de líneas por unidad de área de sección transversal sea proporcional a la magnitud 𝐄 . Líneas muy cercanas, 𝐄 es grande, y líneas muy alejadas, 𝐄 es pequeña. Electrostática y Ley de Coulomb Profesor: Carlos Morocho Cabrera 22 Campo eléctrico – Distribuciones continuas de carga En situaciones macroscópicas, la distribución de carga de un cuerpo no se puede describir adecuadamente como un conjunto discreto de cargas puntuales en su interior. En lugar de esto, se considera la carga en un cuerpo macroscópico como una distribución continua en su interior. Cuando se tiene un conjunto de cargas puntuales, el campo eléctrico tiene la expresión: 𝐄 = 𝑘𝑞𝑛 𝐫 − 𝐫𝑛 𝐫 − 𝐫𝑛 3 𝑁 𝑛=1 Por extensión, cuando se tiene una distribución continua de carga tenemos → y 𝑞 → 𝑑𝑞 (𝑑𝑞 ubicada en 𝐫′). Con ello la expresión para el campo queda: 𝐄 = 𝑘 𝐫 − 𝐫′ 𝐫 − 𝐫′ 𝟑𝐫′ 𝑑𝑞 Electrostática y Ley de Coulomb Profesor: Carlos Morocho Cabrera 23 Distribuciones de Carga – Carga Lineal En este caso se tiene una densidad lineal 𝜆(𝐫′) [C/m] de modo que el elemento diferencial de carga es 𝑑𝑞 = 𝜆 𝐫′ 𝑑𝑙. 𝐄 = 𝑘 𝐫 − 𝐫′ 𝜆(𝐫′) 𝐫 − 𝐫′ 𝟑 𝑑𝑙′ Electrostática y Ley de Coulomb Profesor: Carlos Morocho Cabrera 24 Distribuciones de Carga – Carga Superficial En este caso se tiene una densidad superficial de carga 𝜎(𝐫′) [C/m2] de modo que el elemento diferencial de carga es 𝑑𝑞 = 𝜎 𝐫′ 𝑑𝑠. 𝐄 = 𝑘 𝐫 − 𝐫′ σ(𝐫′) 𝐫 − 𝐫′ 𝟑 𝑑𝑠 𝑆 Electrostática y Ley de Coulomb Profesor: Carlos Morocho Cabrera 25 Distribuciones de Carga – Carga Volumétrica Consideremos una distribución de carga en volumen representada por el campo escalar 𝜌(𝐫′) [ C/m3 ] de modo que el elemento diferencial de carga es 𝑑𝑞 = 𝜌 𝐫′ 𝑑𝑣′. 𝐄 𝐫 = 𝑘 𝐫− 𝐫′ 𝜌 𝐫 − 𝐫′ 3 𝑑𝑣′ Electrostática y Ley de Coulomb Profesor: Carlos Morocho Cabrera 26 Cálculo de Campo Eléctrico Ejemplo 8.- Dipolo Eléctrico.- La siguiente figura muestra una carga positiva y una carga negativa de igual magnitud 𝑞, separados una distancia 2𝑎, el grupo así formado se llama dipolo eléctrico. Cuál es el campo E debido a esas cargas en el punto P, a una distancia 𝑟 según la perpendicular bisectriz de la línea que une las cargas?. Supóngase que 𝑟 ≫ 𝑎. Electrostática y Ley de Coulomb Profesor: Carlos Morocho Cabrera 27 Cálculo de Campo Eléctrico Ejemplo 9.- La siguiente figura muestra una carga 𝑞1 = +1,0 × 10 −6C a 10 cm de una carga 𝑞2 = +2,0 × 10 −6C. En qué punto de la línea que une las dos cargas es nula la intensidad de campo eléctrico? Electrostática y Ley de Coulomb Profesor: Carlos Morocho Cabrera 28 Cálculo de Campo Eléctrico Ejemplo 10.- La siguiente figura muestra un anillo de carga 𝑞 y de radio 𝑎. Calcúlese E para puntos situados en el eje del anillo a una distancia 𝑥 de su cetro. Considérese un elemento diferencial del anillo de longitud 𝑑𝑠, localizado en la parte superior del anillo. Contiene un elemento cuya carga se expresa así: 𝑑𝑞 = 𝑞 𝑑𝑠 2𝜋𝑎 Siendo 2𝜋𝑎 la circunferencia del anillo. Este elemento produce un campo eléctrico diferencial 𝑑𝑬 en el punto P. Electrostática y Ley de Coulomb Profesor: Carlos Morocho Cabrera 29 Cálculo de Campo Eléctrico Ejemplo 11.- Línea de carga.- La siguiente figura muestra una porción de una línea infinita de carga cuya densidad lineal de carga (esto es, la carga por unidad de longitud, medida en C/m) tiene el valor constante 𝜆. Calcúlese el campo E a una distancia 𝑦 de la línea. Electrostática y Ley de Coulomb Profesor: Carlos Morocho Cabrera 30 Campo eléctrico - Movimiento de una carga prueba Conocido el 𝐄 creado por cierta distribución de carga estática, consideraremos el comportamiento de una carga prueba 𝑞 inmersa en un campo eléctrico. La segunda ley de Newton establece que una partícula de masa 𝑚 sometida a una fuerza externa 𝐅 sufre una aceleración 𝐚 = 𝐅/𝑚 . De la definición de campo eléctrico, la carga de prueba está sometida a una fuerza electrostática 𝐅𝑒 = 𝑞𝐄. Por tanto, la aceleración que adquiere debida al campo eléctrico externo es: 𝐚 = 𝑞 𝑚 𝐄 Siendo 𝑚 la masa de la partícula cargada. Si se conoce el 𝐄 externo y se mide la aceleración de una carga prueba inmersa en él, la ecuación anterior nos informaría la relación carga-masa de la partícula. Electrostática y Ley de Coulomb Profesor: Carlos Morocho Cabrera 31 Movimiento de una carga prueba Ejemplo 12.- Una partícula de masa 𝑚 y carga 𝑞 se coloca en reposo en un campo eléctrico uniforme y se suelta. Describa su movimiento. Electrostática y Ley de Coulomb Profesor: Carlos Morocho Cabrera 32 Energía potencial electrostática El trabajo que realiza una fuerza en el desplazamiento de una partícula sobre la que actúa es una medida de lo eficaz que es esa fuerza para que la partícula realice ese desplazamiento. Cuando la fuerza es conservativa, el trabajo que realiza se relaciona con la variación de una energía potencia. Consideremos una carga de prueba 𝑞 que se mueve bajo la influencia del campo eléctrico 𝐄 creado por cierta distribución de carga. El trabajo que realiza la fuerza eléctrica 𝐅𝑒 = 𝑞𝐄 en una trayectoria de la carga de prueba 𝑞 desde el punto A al punto B es: 𝑊 = 𝐅𝑒 . 𝑑𝐫 𝐵 𝐴 Electrostática y Ley de Coulomb Profesor: Carlos Morocho Cabrera 33 Energía potencial electrostática La fuerza electrostática es conservativa, debido a que el campo electrostático no depende explícitamente ni de la velocidad de la carga de prueba ni del tiempo. El trabajo realizado por la fuerza electrostática sobre una carga prueba se escribe entonces: 𝑊 = − 𝑈𝑒 𝐵 − 𝑈𝑒 𝐴 = −∆𝑈𝑒 Donde 𝑈𝑒 es la energía potencial electrostática. Dado que el campo eléctrico es la fuerza por unidad de carga, podemos definir la energía potencial por unidad de carga como: 𝑊 = −𝑞 𝑉 𝐵 − 𝑉(𝐴) 𝑉 = 𝑈𝑒 𝑞 ∆𝑉 = 𝑉 𝐵 − 𝑉 𝐴 = −𝑊 𝑞 Potencial electrostático → Electrostática y Ley de Coulomb Profesor: Carlos Morocho Cabrera 34 Dipolo en un campo eléctrico El momento de un dipolo eléctrico se puede considerar como un vector 𝐩 cuya magnitud 𝑝 es el producto 𝑑𝑞 de la magnitud de cualquiera de las cargas 𝑞 por la distancia 𝑑 entre las cargas. La dirección de 𝐩 para el dipolo es de la carga negativa a la positiva. El dipolo se coloca en un campo eléctrico uniforme externo E, su momento de dipolo 𝐩 forma un ángulo 𝜃 con 𝐄. Electrostática y Ley de Coulomb Profesor: Carlos Morocho Cabrera 35 Dipolo en un campo eléctrico Un dipolo eléctrico colocado en un campo eléctrico externo 𝐄 experimenta un momento que tiende a alinearlo con el campo. Existe un trabajo (positivo o negativo) mediante un agente externo para cambiar la orientación de un dipolo eléctrico en un campo externo. Este trabajo queda almacenado como energía potencial 𝐔 en el sistema formado por el dipolo y el dispositivo usado para establecer el campo externo. 𝑝 = 𝑑𝑞 𝛕 = 𝐩 × 𝐄 𝑈 = 𝑝𝐸 sin 𝜃 𝑑𝜃 𝜃 𝜃0 Electrostática y Ley de Coulomb Profesor: Carlos Morocho Cabrera 36 Dipolo en un campo eléctrico Ejemplo 13.- Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas opuestas de magnitud 𝑞 = 1,0 × 10−6 C separadas una distancia 𝑑 = 2,0 cm. El dipolo está colocado en un campo externo de 1,0 × 105 N/C. a) Cuál es el máximo momento que ejerce el campo en el dipolo? b) Cuánto trabajo debe hacer un agente exterior para dar al dipolo media vuelta, a partir de una posición colineal al campo (𝜃 = 0°)? Teoría Electromagnética Contenido: Electrostática y Ley de Coulomb Ley de Gauss Energía y Potencial Eléctrico de los Sistemas de Carga Conductores en el Campo Electrostático Dieléctricos en el Campo Electrostático Profesor: Carlos Morocho Cabrera 37 Flujo Eléctrico y Ley de Gauss Profesor: Carlos Morocho Cabrera 38 Concepto general de flujo Flujo de Fluido.- Volumen que cruza una superficie en unidad de tiempo. El elemento de tiempo no es fundamental al concepto de flujo mientras que la superficie sí. El concepto general de flujo es algo que cruza una superficie. Consideremos un campo vectorial 𝐴 definido en todo el espacio y una superficie cualquiera 𝑆. Se define el flujo Ψ de 𝐴 a través de la superficie 𝑆 como la Integral de superficie del producto de dos vectores. Ψ = 𝐴 . 𝑑𝑠 𝑆 El flujo Ψ es un campo escalar que depende del sentido en que se escoja el vector unitario 𝑎 𝑛. 𝑑𝑠 = 𝑑𝑠. 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛 vector unitario normal a S. Flujo Eléctrico y Ley de Gauss Profesor: Carlos Morocho Cabrera 39 Concepto general de flujo Para superficies cerradas, se define el flujo Ψ de 𝐴 , como: Ψ = 𝐴 . 𝑑𝑆 El símbolo (.) se usará para designar el producto punto de dos vectores. Definición producto punto.- Dado dos vectores A y B, el producto punto o producto escalar se define como el producto de la magnitud de A, la magnitud de B y el coseno del ángulo menor entre ellos, 𝐀. 𝐁 = 𝐀 𝐁 cos 𝜃𝐴𝐵 Flujo en esfera cerrada Flujo Eléctrico y Ley de Gauss Profesor: Carlos Morocho Cabrera 40 Flujo eléctrico y densidad de flujo Por definición, el flujo eléctrico Ψ se origina en cargas positivas y termina en cargas negativas. En ausencia de cargas negativas, el flujo Ψ termina en el infinito. También por definición, un coulomb de carga eléctrica da lugar a un coulomb de flujo eléctrico. Ψ=Q Mientras el flujo eléctrico Ψ es una cantidad escalar, la densidad de flujo eléctrico D es un campo vectorial que toma la dirección de las líneas de flujo. (C) Flujo Eléctrico y Ley de Gauss Profesor: Carlos Morocho Cabrera 41 Flujo eléctrico y densidad de flujo La densidad de flujo eléctrico 𝐃 es un campo vectorial que pertenece a la clase de los campos vectoriales de “densidades de flujo” y distinta del tipo de “campos de fuerza”, en la que se incluye la intensidad de campo eléctrico 𝐄. La dirección de 𝐃 en un punto es la dirección de las líneas de flujo en ese punto y su magnitud es igual al número de líneas de flujo que atraviesan una superficie normal a las líneas, dividida entre el área de la superficie. 𝐃 = 𝑑Ψ 𝑑𝑆 𝒂 𝑛 A la densidad de flujo se la mide en C/m2 (unidad algunas veces descrita como “líneas por metro cuadrado”, porque cada línea se debe a un coulomb). Flujo Eléctrico y Ley de Gauss Profesor: Carlos Morocho Cabrera 42 Flujo eléctrico y densidad de flujo Dado que cada coulomb de carga Q tiene por definición un coulomb de flujo Ψ, el flujo neto que cruza una superficie cerrada 𝑆 (de una distribución de carga volumétrica de carga de densidad 𝜌) representa una medida exacta de la carga neta encerrada. Sin embargo, la densidad de flujo eléctrico 𝐃 puede variar en magnitud y dirección en cada punto de 𝑆. En general 𝐃 no estará a lo largo de la normal a 𝑆. Si en el elemento de superficie 𝑑𝑆, 𝐃 hace un ángulo 𝜃 con la normal 𝑎 𝑛, entonces el flujo diferencial que cruza 𝑑𝑆 está dado por: 𝑑Ψ = 𝐷𝑑𝑆 cos 𝜃 = 𝑫. 𝑑𝑆𝑎 𝑛 = 𝑫. 𝑑𝑺 Flujo Eléctrico y Ley de Gauss Profesor: Carlos Morocho Cabrera 43 Ley de Gauss La integración de la expresión 𝑑Ψ = 𝐃. 𝑑𝐒 sobre la superficie cerrada 𝑆 (puesto que Ψ = 𝑄) da la ley de Gauss, que establece que el flujo total que sale de una superficie cerrada es igual a la carga neta contenida dentro de la superficie. 𝐃. 𝑑𝐒 = 𝑄𝑒𝑛𝑐 𝑑Ψ = 𝐃. 𝑑𝐒 Flujo Eléctrico y Ley de Gauss Profesor: Carlos Morocho Cabrera 44 Flujo de campo eléctrico Para un campo de flujo, el flujo (Ψ) se mide por el número de líneas de corriente que atraviesan la superficie. Para un campo eléctrico, el flujo (Ψ𝐸) se mide por el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie. Para superficies cerradas, el Ψ𝐸 es positivo si las líneas de fuerza apuntan hacia afuera en todos lados y negativo si apuntan hacia dentro. Ψ𝐸 es positiva para la superficie 𝑆1. Ψ𝐸 es negativa para la superficie 𝑆2. Flujo Eléctrico y Ley de Gauss Profesor: Carlos Morocho Cabrera 45 Flujo de campo eléctrico Para entender el significado de flujo, consideremos una superficie hipotética donde se han dibujado algunas líneas eléctricas correspondientes a un campo uniforme y que atraviesan una superficie plana de área S. 1. El número N de líneas de campo que atraviesan una superficie es proporcional al campo, pues la intensidad de campo viene determinada por la densidad numérica de las líneas. 2. El número de líneas ha de ser proporcional al área S de la superficie, pues a mayor área, más líneas atraviesan la superficie. 3. El número de líneas depende de la orientación de la superficie, para ello se considera un vector unitario normal 𝐚 𝑛 perpendicular a la superficie y hacia afuera en cada punto. Flujo Eléctrico y Ley de Gauss Profesor: Carlos Morocho Cabrera 46 Flujo de campo eléctrico Se considera una superficie dividida en cuadrados infinitesimales, siendo 𝐄 constante en todos los puntos de un cuadrado dado. Los vectores 𝐄 y Δ𝐒 que caracterizan a cada cuadrado forman un ángulo 𝜃 entre sí. En forma semicuantitativa se define el flujo: Ψ𝐸 ≅ 𝐄. ∆𝐒 Ψ𝐸 = 𝐄. 𝑑𝐒 Flujo Eléctrico y Ley de Gauss Profesor: Carlos Morocho Cabrera 47 Flujo de campo eléctrico Ejemplo 14.- La siguiente figura muestra un cilindro hipotético de radio R colocado dentro de un campo eléctrico uniforme E, estando el eje del cilindro paralelo al campo. ¿Cuál es el Ψ𝐸 para esta superficie cerrada? Flujo Eléctrico y Ley de Gauss Profesor: Carlos Morocho Cabrera 48 Relación entre la densidad de flujo y la intensidad de campo eléctrico Considérese una carga puntual 𝑄 (positiva para simplificar) localizada en el origen. Si está encerrada por una superficie esférica de radio 𝑟, entonces por simetría, 𝐃 debida a 𝑄 es de magnitud constante sobre la superficie y es en todo punto normal a ella. La ley de Gauss establece: 𝐃. 𝑑𝐒 = 𝑄 𝑄 = 𝐷 𝑑𝑆 = 𝐷(4𝜋𝑟2) 𝐷 = 𝑄 4𝜋𝑟2 Se conoce que la intensidad de campo eléctrico debido a Q es: → 𝐄 = 𝑄 4𝜋𝜀0𝑟2 𝐚𝑟 Se concluye: 𝐃 = 𝜀0𝐄 Flujo Eléctrico y Ley de Gauss Profesor: Carlos Morocho Cabrera 49 Ley de Gauss La Ley de Gauss resume todo esto: el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada cualquiera es igual a la carga total encerrada por ella (𝑄𝑖𝑛𝑡) dividida por 𝜖0. 𝐄. 𝑑𝐒 = 𝑄𝑖𝑛𝑡 𝜀0𝑆 Ψ𝐸 a través de la superficie S es 𝑄1 𝜀0 , siendo 𝑄1 la carga encerrada por la superficie. El resto de la carga, que es 𝑄 − 𝑄1, es una fuente de líneas de campo que no atraviesan la superficie, o que la atraviesan un número par de veces, de modo que esta carga no contribuye al flujo. Flujo Eléctrico y Ley de Gauss Profesor: Carlos Morocho Cabrera 50 Aplicaciones de la ley de Gauss Ejemplo 15.- Tres cargas puntuales, 𝑄1 = 30nC, 𝑄2 = 150nC y 𝑄3 = −70nC, están encerradas por una superficie S, ¿Qué flujo neto cruza por S?. Ejemplo 16.- Hallar la carga en el volumen definido por 0 ≤ 𝑥 ≤ 1m, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1m y 0 ≤ 𝑧 ≤ 1m, si 𝜌 = 30𝑥2𝑦 (μC/m3). ¿Qué ocurre para los límites −1 ≤ 𝑦 ≤ 0m? Ejemplo 17.- Una carga puntual 𝑄 = 30nC está localizada en el origen de las coordenadas cartesianas. Hallar la densidad de flujo eléctrico 𝐃 en (1, 3, -4) m. Ejemplo 18.- Dos cargas lineales uniformes idénticas yacen a lo largo de los ejes 𝑥 y 𝑦 con densidades de carga 𝜌𝑙 = 20μC/m. Obtenga 𝐃 en (3, 3, 3) m. Flujo Eléctrico y Ley de Gauss Profesor: Carlos Morocho Cabrera 51 Aplicaciones de la ley de Gauss Ejemplo 19.- Campo creado por una esfera homogénea.- La siguiente figura muestra una distribución de carga esférica de radio R. La densidad de carga 𝑝 (carga por unidad de volumen, C/m3) en cualquier punto depende sólo de la distancia del punto al centro y no de la dirección, condición que se llama simetría esférica. Encuéntrese una expresión para 𝐄 para puntos (a) fuera y (b) dentro de la distribución de carga. Flujo Eléctrico y Ley de Gauss Profesor: Carlos Morocho Cabrera 52 Ley de Gauss Ejemplo 20.- Una lámina de carga.- La siguiente figura muestra una porción una lámina no conductora delgada infinita de carga; la densidad superficial de carga 𝜎 (carga por unidad de área, C m2 ) es constante. Cuál es E a una distancia 𝑟 enfrente del plano? Cátedra: TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CUENCA FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Profesor: Carlos Morocho Cabrera 53