18/05/2012 1 Fórmula de integración de Simpson 1/3 ( ¸ ( ¸ A | | . | \ | + + A ( ¸ ( ¸ + ÷ + A ( ¸ ( ¸ ÷ + A + = } } dk y j k y n n n y n n y n ny h dx x F j n x x n 0 0 0 3 2 3 4 0 2 2 3 0 2 0 6 6 24 4 6 2 ) ( 0 Paraobtener unamejor aproximaciónal valor delaintegral definida entre x 0 y x n de F(x), considérese hasta las segundas diferencias en la ecuación (37): (39) r x x e y n n y n ny h dx x F n + ( ¸ ( ¸ A ( ¸ ( ¸ ÷ + A + = } 0 2 2 3 0 2 0 4 6 2 ) ( 0 ¸ ¸ . \ ¸ ¸ ¸ ¸ j 6 6 24 4 6 2 donde 0 1 0 y y y ÷ = A 0 1 2 0 2 2 y y y y + ÷ = A Estas ecuaciones se sustituyen en la ecuación (39) y después de simplificar se obtiene: r x x e y y y y y y h dx x F + ( ¸ ( ¸ + ÷ + ÷ + = } ) 2 ( 6 2 ) ( 2 2 ) ( 0 1 2 0 1 0 2 0 r x x e y y y h dx x F + + + = } ) 4 ( 3 ) ( 2 1 0 2 0 La interpretación geométrica es: 0 2 0 0 2 1 y k y k y y A | | . | \ | + A | | . | \ | + = En forma similar, al integrar entre x 2 y x 4 : x h } 4 y así sucesivamente; la última integral es: P l r x e y y y h dx x F + + + = } ) 4 ( 3 ) ( 4 3 2 4 2 r n n n x x e y y y h dx x F n n + + + = ÷ ÷ } ÷ ) 4 ( 3 ) ( 1 2 2 Por lo tanto, dx x F dx x F dx x F dx x F n n n x x x x x x x x } } } } ÷ + + + = 2 4 2 2 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 18/05/2012 2 r n n n r r x x e y y y h e y y y h e y y y h dx x F n + + + + + + + + + + + + = ÷ ÷ } ) 4 ( 3 ) 4 ( 3 ) 4 ( 3 ) ( 1 2 4 3 2 2 1 0 0 Esta expresión se simplifica y se obtiene: (40) donde e r es la suma algebraica de los errores en cada integración parcial. EstaecuaciónesconocidacomofórmuladeintegracióndeSimpson 3 3 3 r n x x e par índice con ordenadas impar índice con ordenadas y y h dx x F n + ( ¸ ( ¸ + + + = ¿ ¿ } 2 4 3 ) ( 0 0 EstaecuaciónesconocidacomofórmuladeintegracióndeSimpson 1/ 3. Adiferenciadelafórmuladeintegracióntrapecial, laecuación(40)es aplicable solamente para valores pares de n, ya que de lo contrario no se podrá obtener el valor de la última integral. Fórmula de integración de Simpson 3/8 ( ¸ ( ¸ A | | . | \ | + + A ( ¸ ( ¸ + ÷ + A ( ¸ ( ¸ ÷ + A + = } } dk y j k y n n n y n n y n ny h dx x F j n x x n 0 0 0 3 2 3 4 0 2 2 3 0 2 0 6 6 24 4 6 2 ) ( 0 Si seconsideranhastalastercerasdiferenciasenlaecuación(37)yse integra entre x 0 y x 3 se tiene: r x x e y n n n y n n y n ny h dx x F n + ( ¸ ( ¸ A ( ¸ ( ¸ + ÷ + A ( ¸ ( ¸ ÷ + A + = } 0 3 2 3 4 0 2 2 3 0 2 0 6 6 24 4 6 2 ) ( 0 A ¸ ¸ . \ ¸ ¸ ¸ ¸ j 6 6 24 4 6 2 0 1 0 y y y ÷ = A 0 1 2 0 2 2 y y y y + ÷ = A 0 1 2 3 0 3 3 3 y y y y y ÷ + ÷ = A Al sustituir estas expresiones y simplificar: x e y y y y y y y y y y h dx x F + ( ( ÷ + ÷ + + ÷ + ÷ + = } ) 3 3 ( 3 ) 2 ( 9 ) ( 9 3 ) ( 3 r x e y y y y y y y y y y h dx x F + ( ¸ ¸ + + + + + = } ) 3 3 ( 8 ) 2 ( 4 ) ( 2 3 ) ( 0 1 2 3 0 1 2 0 1 0 0 r x x e y y y y h dx x F + + + + = } ) 3 3 ( 8 3 ) ( 3 2 1 0 3 0 Su interpretación geométrica es: 0 3 0 2 0 0 3 2 1 y k y k y k y y A | | . | \ | + A | | . | \ | + A | | . | \ | + = 18/05/2012 3 Por lo que: x x x x } } } } Y al sustituir los valores de las integrales: r r x x e y y y y h e y y y y h dx x F n + + + + + + + + + + = } 3 ) 3 3 ( 8 3 ) 3 3 ( 8 3 ) ( 6 5 4 3 3 2 1 0 0 dx x F dx x F dx x F dx x F n n n x x x x x x x x } } } } ÷ + + + = 3 6 3 3 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( r n n n n e y y y y h + + + + + + ÷ ÷ ÷ ) 3 3 ( 8 3 1 2 3 Finalmente, al simplificar se obtiene: (41) d d l l b i d l d i ió i l r n x x e ordenadas de resto de múltiplo índice con ordenadas y y h dx x F n + ( ( ( ¸ ( ¸ + + + = ¿ ¿ } 3 3 2 8 3 ) ( 0 0 donde e r es la suma algebraica de los errores en cada integración parcial. Esta expresión se conoce como fórmula de integración de Simpson 3/ 8 y es aplicable para valores de n múltiplos de tres. Ejemplo 3.10 A partir de los siguientes datos: x y =F( x ) 1 -4 encontrar el valor de la integral de la función en los siguientes intervalos: ) 1 ≤ x ≤ 9 2 6 3 18 4 32 5 48 6 66 7 86 8 108 a) 1 ≤ x ≤ 9 b) 1 ≤ x ≤ 6 c) Para los incisos anteriores determine el error relativo porcentual, si F(x)=x 2 +7x-12 9 132 Ejemplo 3.11 Integre la siguiente funciónenforma analítica y numérica. Para las evaluaciones numéricas use a) una sola aplicaciónde la regla del t i b) l l d Si / ) l l d Si /8 d) l trapecio, b) la regla de Simpson 1/3, c) la regla de Simpson 3/8 y d) las reglas de Simpson de aplicación múltiple de n=5. dx senx } + t 0 ) 3 5 ( Calcule los errores relativos porcentuales de los resultados numéricos. 18/05/2012 4 Ejercicio 3.7 El trabajo producido por un proceso termodinámico a temperatura, presión y volumen constantes, se calcula por medio de Donde Wes el trabajo, p la presión y V el volumen. Con el empleo de una combinación de la regla del trapecio, la de Simpson 1/3 y la de Simpson 3/8, utilice los siguientes datos para calcular el trabajo en kJ } = pdV W 3/ , g p j (kJ=kNm): Presión [kPa] 336 294.4 266.4 260.8 260.5 249.6 193.6 165.6 Volumen [m 3 ] 0.5 2 3 4 6 8 10 11 Ejercicio 3.8 El contorno de una alberca de 1.60 metros de profundidad esta dado por los siguientes puntos (coordenadas en metros), (10,8), (13,7), (16,7), ( ) ( 8) ( ) ( 6) ( ) ( ) ( 6) ( 8) (19,5), (22,8), (25,13), (23,16), (21,17), (19,17), (17,16), (15,18), (13,18), (11,16), (9,15) y(7,13). Calcular el volumen de la alberca mediante Simpson 1/3 y 3/8. Ejercicio 3.6 Para un cohete, se recabaron los siguientes datos de la distancia recorrida contra el tiempo: Use derivaciónnumérica para estimar la velocidady aceleracióndel cohete en cada momento t [s] 0 25 50 75 100 125 y [km] 0 32 58 78 92 100 cohete en cada momento. Ejercicio 3.7 La función tabular mostrada corresponde al comportamiento de un móvil. Determine el tiempoque transcurre para que el móvil recorra 50 t metros. t(seg) 0 1 2 3 4 5 v(m/seg) 0 15 18 15 12 15