UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA DEPTO.DE FÍSICA ELECTROMAGNETISMO (FIS-620) INGENIERIA PLAN COMUN PROBLEMAS RESUELTOS DE CONTROLES, PRUEBAS Y EXAMENES PRIMER SEMESTRE 2005 A PRIMER SEMESTRE 2007 Tema V: Campo magnético. PROBLEMA V.1: La espira conductora de la figura se encuentra en el plano XY y transporta una corriente I = 2,0 A en sentido antihorario. En la Y(m) 0,2 r región existe un campo magnético uniforme B r c b a 0,2 I d X(m) dirigido a lo largo del eje Y ( por determinar si la dirección es + ˆ o − ˆ ). Sobre el lado “a” de la j j 0,1 ˆ espira se ejerce una fuerza F = 0,3k ( N ) . Determine: 0,1 r a) la magnitud y dirección del campo magnético B , b) la fuerza sobre cada uno de los otros tres lados de la espira, c) la fuerza total sobre la espira. 0,3 0,4 SOLUCION: a) La fuerza magnética sobre un conductor rectilíneo en un campo magnético constante es: En este caso se conoce la fuerza sobre el lado “a” de la espira: r r r F = Il × B r r r ˆ Fa = Ia × B = 0,3k ( N ) La magnitud de esta fuerza es Despejando F = IaB ⋅ sen90º = IaB F 0,3 = = 1,5T , Ia 2,0 ⋅ 0,1 r y por la regla de la mano derecha B = 1,5 ˆ(T ) j B= b) Fuerza sobre los otros tres lados: r r r r Fb = Ib × B = 2,0 ⋅ (−0,1 ˆ) × 1,5 ˆ = 0 j j r r r ˆ ˆ Fc = Ic × B = 2,0 ⋅ (−0,3i ) × 1,5 ˆ = −0,9k ( N ) j r r r ˆ ˆ Fd = Id × B = 2,0 ⋅ (0,2i + 0,1 ˆ) × 1,5 ˆ = 0,6k ( N ) j j c) Fuerza total sobre la espira: r r r r r ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ F = Fa + Fb + Fc + Fd = 0,3k + 0k − 0,9k + 0,6k = 0 Material Instruccional ( Departamento de Física, UTEM, 2º Semestre 2007) / FIS-620 / Edición Piloto 1 PROBLEMA V.2: La figura muestra una espira cuadrada en el plano XY , con lados de longitud L = 30 cm, que transporta una corriente I = 2 A en la dirección indicada. En la región existe un campo magnético uniforme de magnitud B = 0,5 T en dirección paralela al eje x. Calcule: a) la fuerza que actúa sobre cada lado de la espira b) la fuerza neta sobre la espira, a) el flujo magnético que atraviesa la espira. Justifique este resultado. y N B M I Q P x SOLUCION: r r r ˆ ˆ ˆ a) FMN = IL × B = ILBsen 45º (− k ) = 2 ⋅ 0,3 ⋅ 0,5sen 45º (− k ) = −0,21k ( N ) r r r ˆ ˆ ˆ FNP = IL × B = ILBsen45º (+ k ) = 2 ⋅ 0,3 ⋅ 0,5sen45º (+ k ) = 0,21k ( N ) r r r ˆ ˆ ˆ FPQ = IL × B = ILBsen135º (+ k ) = 2 ⋅ 0,3 ⋅ 0,5sen135º (+ k ) = 0,21k ( N ) r r r ˆ ˆ ˆ FQM = IL × B = ILBsen135º (−k ) = 2 ⋅ 0,3 ⋅ 0,5sen135º (− k ) = −0,21k ( N ) b) Fneta = FMN + FNP + FPQ + FQM = 0 r r r r r r c) φ = ∫ B • dA = ∫ B ⋅ dA ⋅ cos 90º = 0 S S r r r dA es un vector perpendicular a la superficie encerrada por la espira y por lo tanto, perpendicular al campo magnético. Entonces, el producto escalar es cero y el flujo que atraviesa la espira es cero. Material Instruccional ( Departamento de Física, UTEM, 2º Semestre 2007) / FIS-620 / Edición Piloto 2 PROBLEMA V.3: Una barra de masa m = 0,2 kg descansa sobre dos rieles paralelos separados por una distancia d = 12 cm y longitud L = 50 cm. La barra conduce una corriente I = 10 A en la dirección indicada y se encuentra inicialmente en reposo justo en la punto central de los rieles. Existe un campo magnético uniforme B = 0,4 T dirigido hacia dentro de la página. Despreciando los efectos de fricción, determine: a) la magnitud y dirección de la fuerza que actúa sobre la barra, 2 b) la rapidez con que llega la barra al final de su recorrido. (Recuerde que v 2 − v 0 = 2ax ) d I r B L SOLUCION: a) La fuerza magnética sobre un alambre recto de largo L , portador de una corriente I es r r r F = IL × B En este caso el largo del conductor es d . Además , d y B son perpendiculares entre sí. Por lo tanto, la magnitud de la fuerza ejercida sobre la barra es: r r F = IdB = 10 ⋅ 0,12 ⋅ 0,4 = 0,48 N y está dirigida hacia la derecha. b) De acuerdo a la 2ª ley de Newton: ∑ F = ma r r , de modo que la aceleración que adquiere la barra es a= F 0,48 m = = 2,4 2 , m 0,2 s dirigida hacia la derecha. Conocida la aceleración, se puede calcular la rapidez de la barra después de recorrer L/2, partiendo del reposo: v = 2⋅a⋅ L m = 2 ⋅ 2,4 ⋅ 0,25 = 1,1 s 2 Material Instruccional ( Departamento de Física, UTEM, 2º Semestre 2007) / FIS-620 / Edición Piloto 3 PROBLEMA V.4: a) Determine el campo magnético debido a una corriente I que circula por un alambre semicircular de radio R , en el punto P de la figura. r dl ˆ r I R P Por la ley de Biot y Savart r r µ 0 Id l × r ˆ dB = 2 4π R Como y apunta hacia atrás de la página. Por lo tanto hacia atrás de la página. r ˆ d l es perpendicular a r , entonces µ Idl dB = 0 2 4π R B = ∫ dB = µ0 I µ I µ I dl = 0 2 ⋅ πR = 0 , 2 ∫ 4R 4πR 4πR b) Usando el resultado anterior, encuentre el campo magnético en el punto P de la figura. I R1 P R2 El campo debido a la corriente que circula por el alambre superior apunta hacia atrás de la página y tiene un módulo B1 = µ0 I 4R1 , el campo debido a la corriente que circula por el alambre inferior también apunta hacia atrás de la página y vale B2 = µ0 I 4R2 ˆ y el campo debido a los segmentos rectos de la espira es cero ya que d l y r son paralelos en este caso. El campo resultante en P es y apunta hacia atrás de la página. r B = B1 + B2 = µ0 I 1 4 ( R1 + 1 ) , R2 Material Instruccional ( Departamento de Física, UTEM, 2º Semestre 2007) / FIS-620 / Edición Piloto 4 PROBLEMA V.5: En la figura se muestra una espira cerrada, formada por un cuarto de circunferencia de radio 2R0 y dos tramos rectos, por la cual circula una corriente de valor 4I0 en el sentido indicado. La espira se encuentra inmersa en un campo magnético uniforme externo ˆ de la forma B1 = 8 B0 i a) Determine la fuerza total sobre v la espira, debido a B1 . r r ) y b) Si deja de actuar B1 , calcule el campo magnético producido por la corriente que circula por la espira en el origen del sistema de coordenadas, solamente para el cuarto de circunferencia.- v B1 2R0 4I0 x SOLUCION: a) Sean 1, 2 y 3 los lados de la espira indicados en la figura. r r r r F1 = 0 , ya que l y B son antiparalelos r ˆ ˆ ˆ F2 = IlB(− k ) = −4 I 0 ⋅ 2 R0 ⋅ 8 B0 k = −64 I 0 R0 B0 k r r r r ˆ dF3 = Id l × B , con d l = 2 R0 dθ ( senθi − cosθˆ) . j y v B1 ˆ r θ 4I0 1 3 r dl Entonces: 2 r ˆ ˆ dF3 = 64 I 0 R0 B0 dθ ( senθi − cosθˆ) × i = 64 I 0 R0 B0 k cosθdθ j ˆ π x E integrando en θ desde 0 a π/2 , 2 r ˆ cosθdθ = 64 I R B k ˆ F3 = 64 I 0 R0 B0 k ∫ 0 0 0 r r r r r Ftotal = F1 + F2 + F3 = 0 b) El campo magnético producido por un elemento de corriente está dado por la ley de Biot y Savart: r 0 ˆ En este caso d l y r son perpendiculares entre si y r = 2R0, de modo que la magnitud del campo magnético es: B = ∫ dB = r r µ Id l × r ˆ dB = 0 2 4π r µ0 4 I 0 µ I π (2 R0 ) µ0 I 0 dl = 0 02 ⋅ = 2 ∫ 4π (2 R0 ) 4πR0 2 4 R0 Y vectorialmente, usando la regla de la mano derecha, se tiene: r µI ˆ B=− 0 0k 4 R0 Material Instruccional ( Departamento de Física, UTEM, 2º Semestre 2007) / FIS-620 / Edición Piloto 5 PROBLEMA V.6: Una espira MNPQ consta de dos arcos de circunferencia de radios R y 4R y dos tramos rectos coincidentes con los ejes coordenados. Esta espira conduce una corriente I en sentido “horario”. Determine, en función de µ0, I, R: a) el vector campo magnético resultante en el origen del sistema de coordenadas, b) el vector campo magnético que generan los segmentos rectos MN y PQ de la espira, en el punto A, de coordenadas (R; 0) y P I Q N M A x SOLUCION: a) Los segmentos rectos MN y PQ no generan campo magnético en el origen del sistema. Sólo los conductores curvos generan campo en el origen. r r r BO = BQM + B NP Usando la ley de Biot-Savart: perpendiculares entre sí, se tiene que la magnitud del campo magnético debido al tramo QM es: r r µ 0 Id l × r r ˆ ˆ dB = con d l tangente a la curva y r dirigido hacia el centro, o sea, ambos 4π r 2 BQM = ∫ Usando la regla de la mano derecha, vectorialmente se obtiene: µ 0 I ⋅ dl µ 0 I µ I 2πR µ 0 I dl = 0 2 ⋅ = = 2 2 ∫ 4 8R 4π R 4π R 4πR r µ I ˆ BQM = 0 k 8R Por analogía, la magnitud del campo magnético debido al tramo curvo NP en el origen es: Por lo tanto: 8 ⋅ 4 R 32 R r µ 0 I 1 1 ˆ 3µ 0 I ˆ BO = k ( − )k = R 8 32 32 R B NP = µ0 I = µ0 I , y vectorialmente: r µ I ˆ B NP = 0 (−k ) 32 R y P I r dl ˆ r b) En el punto A, el segmento recto MN no genera campo magnético. Para determinar el campo magnético debido al segmento PQ, elegimos un elemento de largo “dy” a una distancia “y” del eje X. Usando la ley de Biot-Savart: dB = con µ 0 I ⋅ dy ⋅ senθ , 4π y 2 + R 2 R y2 + R2 . θ Q N M O A x senθ = Entonces: B PQ µ IR 4 R µ IR ⎡ dy y = 0 ∫ = 0 ⎢ 3 2 2 2 4π R ( y + R ) 2 4π ⎢ R y 2 + R 2 ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦R 4R Material Instruccional ( Departamento de Física, UTEM, 2º Semestre 2007) / FIS-620 / Edición Piloto 6 r r µ I⎡ 4 1 ⎤ ˆ 0,26µ 0 I ˆ − B A = B PQ = 0 ⎢ ⎥ k = 4πR k , 4πR ⎣ 17 2⎦ donde se usó la integral dada en tabla y la regla de la mano derecha para determinar la r dirección de B . PROBLEMA V.7: a) Usando la ley de Ampère, determine el campo magnético debido a una corriente I que circula por un alambre rectilíneo infinitamente largo, a una distancia r de él. Dos conductores paralelos muy largos llevan corriente en direcciones opuestas, como muestra la figura. Los conductores se encuentran en el plano XY, separados por una distancia d = 18 cm. El de la derecha lleva una corriente I1 = 10 A. El de la izquierda lleva una corriente I2 desconocida. El punto A está a mitad de distancia entre los alambres y el punto C está a la derecha de la corriente I1, a una distancia d/2 del alambre. Si I2 se ajusta de modo que el campo magnético en el punto C sea cero, encuentre: b) el valor de la corriente I2, c) el campo magnético en el punto A. I2 I1 A C d d/2 SOLUCION: a) Las líneas de campo magnético son circunferencias concéntricas con el alambre r rectilíneo y el campo B es tangente a ellas. Tomamos una circunferencia de radio r que rodee al conductor. El campo magnético es constante en magnitud a lo largo de esa curva. Por lo tanto: C ∫ B ⋅ d l = B ∫ dl = B ⋅ 2πr = µ C r r 0 I O sea B= µ0 I 2πr r µ I µ I ˆ ˆ B1 = 0 1 (− k ) = − 0 1 k , d πd 2π ⋅ 2 y el campo debido a la corriente I2: r µ0 I 2 ˆ µ0 I 2 ˆ B2 = k= k 3d 3πd 2π ⋅ 2 r r r Como B1 + B2 = 0 en el punto C, entonces debe cumplirse: µ 0 I1 µ 0 I 2 = . πd 3πd Por lo tanto b) El campo magnético debido a la corriente I1 en el punto C es: I 2 = 3I 1 = 3 ⋅ 10 = 30 A c) En el punto A se tiene: Material Instruccional ( Departamento de Física, UTEM, 2º Semestre 2007) / FIS-620 / Edición Piloto 7 Entonces: r µ I ˆ B1 = 0 1 k d 2π ⋅ 2 y r µ I ˆ B2 = 0 2 k d 2π ⋅ 2 r r r 4π ⋅ 10 −7 ⋅ 10 ˆ 4π ⋅ 10 −7 ⋅ 30 ˆ ˆ B = B1 + B2 = k+ k = (22,2 + 66,6) ⋅ 10 −6 k (T ) π ⋅ 0,18 π ⋅ 0,18 r ˆ B = 88,8k ( µT ) PROBLEMA V.8: a) Determine el campo magnético debido a una corriente I que circula por un alambre rectilíneo infinitamente largo, a una distancia r de él. b) Dos largos conductores paralelos conducen cada uno una corriente I . Están ubicados a lo largo del eje z, con las corrientes saliendo de la página en los puntos (0,a) y (0,-a) . Determinar el vector r campo magnético B en los puntos A (-a,0), B(0,0) y C(a,0). y I a A B a a I a C x SOLUCION: a) Usamos la ley de Ampère. Tomando una circunferencia que rodea al conductor, el campo magnético es constante en magnitud y tangente a esa curva. Por lo tanto: C ∫ B ⋅ d l = B ∫ dl = B ⋅ 2πr = µ C r r 0 I O sea B= µ0 I 2πr y I1 r B2 A θ b) Los campos creados por las corrientes en el punto A están mostrados en la figura. Hemos llamado I1 e I2 a las corrientes para distinguir los campos creados por cada una. Usando el resultado obtenido en a) : µ0 I B1 = B2 = 2π ⋅ 2a a r B1 B a a I2 a C x Las componentes a lo largo del eje x se anulan, de modo que el campo resultante está dado por: B = 2 B1 cos θ = 2 B1 cos 45º = 2 Y vectorialmente: µ0 I 2 µ0 I ⋅ = 2πa 2π 2a 2 y I1 r r B2 B1 B I2 8 r µ I B=− 0 ˆ j 2πa En el punto B los campos se anulan. Por lo tanto: r r B=0 A C x En el punto C el cálculo es análogo al Material Instruccional ( Departamento de Física, UTEM, 2º Semestre 2007) / FIS-620 / Edición Piloto del punto A, pero el vector resultante apunta en dirección positiva del eje y: r µ I B= 0 ˆ j 2πa y I1 a A B a a I2 r B2 θ r B1 C x PROBLEMA V.9: a) Determine el campo magnético debido a una corriente I que circula por un alambre rectilíneo infinitamente largo, a una distancia r de él. b) Los conductores A y B son de largo infinito y paralelos al eje Z. La magnitud y dirección de las corrientes se indica en la figura. Determine el campo magnético debido a los conductores en el punto P, de coordenadas (3b,0). c) Calcule la fuerza magnética por unidad de longitud que ejerce el conductor A sobre el conductor B. y 2I0 A 3b P x -4b B I0 SOLUCION: a) El campo magnético se puede determinar usando la ley de Ampère. Sobre una circunferencia que rodea al conductor, el campo magnético es constante en magnitud y r tangente a la misma. d l también es tangente a la circunferencia. Sea r el radio de la circunferencia. Por lo tanto: C r r B • d l = B ∫ dl = B ⋅ 2πr = µ 0 I ∫ C ⇒ B= µ0 I 2πr y 2I0 A b) Con la magnitud encontrada en (a) y aplicando la regla de la mano derecha, se obtiene: r µ ⋅ 2I 0 ˆ µ I BA = 0 j (− j ) = − 0 0 ˆ 2π ⋅ 3b 3πb r µ I µ I ˆ ˆ B B = 0 0 (−i ) = − 0 0 i 2π ⋅ 4b 8πb Por lo tanto, el campo magnético total en P es: r B B 3b P r BA x -4b y 2I0 A θ r µ I 1ˆ 1 B = − 0 0 ( i + ˆ) j 3 πb 8 B I0 c) Campo magnético debido al conductor A en el punto (3b,-4b): r µ ⋅ 2I 0 µ I 4ˆ 3 ˆ B= 0 (− cos θi − senθˆ) = 0 0 (− i − ˆ) j j 2π ⋅ 5b 5πb 5 5 3b P 5b B I0 x La fuerza sobre el conductor B se calcula a partir de Material Instruccional ( Departamento de Física, UTEM, 2º Semestre 2007) / FIS-620 / Edición Piloto -4b θr B r F 9 r r r 4ˆ 3 ˆ µ I F = I 0 l × B = I 0 lk × 0 0 ( − i − ˆ ) j 5πb 5 5 Por lo tanto, la fuerza por unidad de longitud sobre el conductor B es: r µ I2 ˆ F µ 0 I 02 ˆ (−4 ˆ + 3i ) = 0 0 (3i − 4 ˆ) j j = 25πb l 25πb PROBLEMA V.10: Los conductores de la figura son de largo infinito y paralelos al eje Z. La magnitud y dirección de las corrientes se indican en la figura. Sabiendo que la magnitud del campo magnético a una distancia r de un conductor largo µ I y recto es B = 0 , determine: 2πr y a) el vector campo magnético debido a los conductores A y B en el punto P, de coordenadas (4a,3a) , b) la fuerza por unidad de longitud que ejercen los conductores A y B sobre el conductor C. 4I0 A 4 B 4I0 3a P C 2I0 x SOLUCION: a) Dada la magnitud del campo magnético a una distancia r de un conductor largo, para el campo debido al conductor A en el punto P se tiene: r µ ⋅ 4I0 ˆ µI j j=− 0 0 ˆ , BA = − 0 2π ⋅ 8a 4πa r µ ⋅ 4I0 ˆ µI j j=− 0 0 ˆ BB = − 0 2π ⋅ 4a 2πa r r r 3µ I j B = BA + BB = − 0 0 ˆ 4πa donde se ha aplicado la regla de la mano derecha para determinar la dirección. El campo debido al conductor B en el punto P es: El campo total en el punto P es la superposición de ambos, es decir: b) El campo magnético debido al conductor A en el punto donde se encuentra el conductor C está dado por: A FA B siendo θ el ángulo mostrado en la figura. Como r µ ⋅ 4I0 ˆ (− senθi − cosθˆ) , j BA = 0 2π ⋅ 5a θ BB FB 3 4 senθ = y cosθ = , 5 5 θC BA 10 Material Instruccional ( Departamento de Física, UTEM, 2º Semestre 2007) / FIS-620 / Edición Piloto entonces r 2µ 0 I 0 ˆ BA = (−3i − 4 ˆ) j 25πa Y la fuerza sobre el conductor C debido al campo creado por el conductor A es: r r 4 µ I 2l ˆ ˆ ˆ j FA = 2 I 0l(− k ) × BA = 0 0 (− k ) × (−3i − 4 ˆ) 25πa Fuerza por unidad de longitud de A sobre C : Campo magnético debido al conductor B en el punto donde se encuentra el conductor C: r FA 4µ0 I 02 ˆ ˆ = (3 j − 4i ) l 25πa r 2µ I ˆ µ ⋅ 4I0 ˆ ( −i ) = − 0 0 i BB = 0 3πa 2π ⋅ 3a La fuerza sobre C debido al campo creado por el conductor B es: r r 4 µ0 I 02l ˆ ˆ ˆ ( − k ) × ( −i ) FB = 2 I 0l(− k ) × BB = 3πa y fuerza por unidad de longitud de B sobre C es : Fuerza total sobre el conductor C por unidad de longitud: r FB 4µ0 I 02 ˆ = j 3πa l 2 ˆ ⎤ = 8µ 0 I 0 j⎥ ⎦ 25πr r F 4 µ 0 I 02 3 ˆ 4 ˆ 1 ˆ 4 µ 0 I 02 ( j − i + j) = = 25 3 l πa 25 πa ⎡ 4 ˆ 34 ⎢− 25 i + 75 ⎣ ⎡ ˆ 17 ⎢− 2i + 3 ⎣ ˆ⎤ j⎥ ⎦ PROBLEMA V.11: Cinco conductores rectilíneos largos y paralelos al eje Z están igualmente espaciados en un semicírculo de radio R. Todos ellos transportan una corriente I0 en el sentido negativo del eje Z. Determine en función de µ0, : I0 y R: a) el campo magnético en el origen del sistema debido a los cinco conductores, b) la fuerza por unidad de longitud que se ejerce sobre otro conductor ubicado a lo largo del eje Z que transporta una corriente 2I0 en el sentido positivo del eje Z. y I0 I0 2I0 I0 I0 I0 R x SOLUCION: r r r r r a) Llamamos B1 , B2 , B3 , B4 , B5 a los campos magnéticos debido a las corrientes numeradas 1, 2, 3, 4 y 5. Todos los campos tienen igual módulo: y (1) B1 = B2 = B3 = B4 = B5 = µ0 I 0 2πR I0 I0 (3) (2) I0 r B5 r r Se observa que los vectores B1 yB5 se anulan y las r B2 I0 (4) r B1 r r B4 B3 (5) I0 x Material Instruccional ( Departamento de Física, UTEM, 2º Semestre 2007) / FIS-620 / Edición Piloto 11 componentes X de los campos B2 yB4 también se anulan. Entonces: r r r µ I µ I 2 j B = ( B3 + 2 B2 cos 45º )(− ˆ) = 0 0 (1 + 2 ⋅ j )(− ˆ) = − 0 0 (1 + 2 ) ˆ j 2πR 2 2πR b) Fuerza sobre el conductor ubicado en el origen: 2 r r r ˆ × (− µ 0 I 0 )(1 + 2 ) ˆ = 2,41µ 0 I 0 l i ˆ F = 2 I 0 l × B = 2 I 0 lk j πR 2πR Fuerza por unidad de longitud: r F 2,41µ 0 I 02 ˆ = i l πR PROBLEMA V.12: a) Se tiene un conductor largo y recto por el cual circula una corriente I = 20 A en dirección Y positivo. Usando la ley de Ampère, determine el campo magnético (magnitud y dirección) en el punto P, que se encuentra en el eje X, a una distancia x = 1 cm del conductor. b) Un electrón (q = -1,6*10-19C) se encuentra en el punto P moviéndose con una rapidez v = 5*106 m/s, Hallar la magnitud y dirección de la fuerza magnética sobre el electrón cuando se mueve: i) a lo largo del eje X positivo, ii) a lo largo del eje Y positivo, z iii) a lo largo del eje Z positivo. y I P x SOLUCION: a) Dibujamos una circunferencia que rodea al conductor , pasando por el punto P. Sobre esta circunferencia el campo magnético tiene una magnitud constante y es tangente a la r r misma. Además B y d l son paralelos a lo largo de toda la circunferencia. La ley de Ampère se expresa como: C r r B • dl = µ0 I C ∫ Entonces: C r r B • d l = ∫ B ⋅ dl =B ∫ dl = B ⋅ 2πr = µ 0 I ∫ C C Despejando B se obtiene: Reemplazando valores: B= µ0 I 2πr B= 4π ⋅ 10 −7 ⋅ 20 = 4 ⋅ 10 − 4 T 2π ⋅ 0,01 12 Usando la regla de la mano derecha, se obtiene el campo magnético en el punto P: Material Instruccional ( Departamento de Física, UTEM, 2º Semestre 2007) / FIS-620 / Edición Piloto r ˆ B = −4 ⋅ 10 −4 k (T ) b) La fuerza sobre una carga puntual en movimiento está dada por: r r r F = qv × B . En este caso i) q = -1,6*10-19 C y v = 5*106 m/s Si el electrón se mueve en la dirección x positivo, Entonces ii) r ˆ m v = 5 ⋅ 10 6 i ( ) . s r ˆ ˆ F = −1,6 ⋅ 10 −19 ⋅ 5 ⋅ 10 6 i × (−4) ⋅ 10 −4 k = −3,2 ⋅ 10 −16 ˆ( N ) j Si el electrón se mueve en la dirección y positivo, r ˆ ˆ F = −1,6 ⋅ 10 −19 ⋅ 5 ⋅ 10 6 ˆ × (−4) ⋅ 10 −4 k = 3,2 ⋅ 10 −16 i ( N ) j iii) Si el electrón se mueve en la dirección z positivo, r r F = 0 ya que la velocidad y el campo magnético son antiparalelos. PROBLEMA V.13: Se sabe que la magnitud del campo magnético debido a una corriente I que circula por un alambre rectilíneo infinitamente largo, I1 M µ0 I a una distancia r de él, es . 2πr I2 R Se tiene un conductor rectilíneo muy M I1 N x N largo que transporta una corriente I1 , ubicado I2 a lo largo del eje y. Abraza a este conductor z una espira por la que circula una corriente I2 , Vista desde arriba de la forma indicada en la figura. Los lados NP y QM son rectos, de largo L, paralelos a Q R la corriente I1. MN y PQ son semicircunferencias P de radio R cuyo centro coincide con el alambre recto. Determine: a) la fuerza magnética que actúa sobre los lados semicirculares MN y PQ de la espira, b) la fuerza sobre cada lado recto NP y QM . c) la fuerza total sobre la espira. Especifique claramente la dirección de la fuerza resultante. SOLUCION: a) La fuerza sobre un elemento de corriente es R r r r dF = Idl × B Como las líneas de campo magnético son circunferencias concéntricas con el alambre r r r rectilíneo y el campo B es tangente a ellas, dl es paralelo al campo magnético B , de modo Material Instruccional ( Departamento de Física, UTEM, 2º Semestre 2007) / FIS-620 / Edición Piloto 13 que dl × B = 0 a lo largo de los lados semicirculares de la espira y la fuerza sobre los lados MN y PQ es cero. b) La fuerza sobre un alambre recto de largo L por el cual circula una corriente I está dada por r r r r r r F = IL × B Fuerza sobre el lado NP: r µ I ˆ µ I I Lˆ ˆ FNP == I 2 Lˆ × Bk = I 2 L ⋅ 0 1 i = 0 1 2 i j 2πR 2πR r µ I ˆ µ I I Lˆ ˆ FQM = I 2 L(− ˆ) × B (− k ) = I 2 L ⋅ 0 1 i = 0 1 2 i j 2πR 2πR Fuerza sobre el lado QM: c) Por lo tanto, la fuerza total sobre la espira es: r µ I I Lˆ µ I I Lˆ F = 2⋅ 0 1 2 i = 0 1 2 i πR 2πR PROBLEMA V.14: Un conductor aislado infinitamente largo está sobre el eje X y transporta una corriente I en la dirección x positiva. Un segundo conductor aislado infinitamente largo que está sobre el eje Y transporta también una corriente I en la dirección y positiva. Si la magnitud del campo magnético a una distancia r de un conductor largo y recto es y I P x µ I B = 0 , encontrar el campo magnético 2πr resultante en : a) el punto P, de coordenadas (2,3) , b) el punto M, de coordenadas (-2,-2) Exprese sus resultados en términos de µ0 e I. M I SOLUCION: a) Llamemos conductor 1 al que está ubicado sobre el eje X y conductor 2 al que se encuentra sobre el eje Y. Usando la expresión dada para el campo magnético y la regla de la mano derecha, en el punto P se tiene: r µ I ˆ µ I ˆ B1 = 0 k = 0 k 2π ⋅ 3 6π r µ I µ I ˆ ˆ B2 = 0 ( − k ) = − 0 k 2π ⋅ 2 4π Por lo tanto: r µ I 1 1 ˆ µ I ˆ BP = 0 ( − )k = − 0 k π 6 4 12π 14 Material Instruccional ( Departamento de Física, UTEM, 2º Semestre 2007) / FIS-620 / Edición Piloto b) En el punto M: r µ I ˆ B1 = 0 (−k ) 2π ⋅ 2 r µ I ˆ B2 = 0 k 2π ⋅ 2 Por lo tanto: r r BM = 0 PROBLEMA V.15: Los conductores A y B son de largo infinito. El conductor A es paralelo al eje Z y transporta una corriente de intensidad I0 en la dirección negativa del eje Z. El conductor B es paralelo al eje Y, y transporta una corriente 2I0 en dirección positiva del eje Y. Determine: a) la dirección y magnitud de la fuerza dF que el conductor A ejerce sobre un elemento de corriente del conductor B en el punto P de la figura, r b) la dirección y magnitud de la fuerza dF que el conductor A ejerce sobre un elemento de corriente del conductor B en el punto Q de la figura, c) la fuerza total que ejerce el conductor A sobre el B. Y B 2I0 X I0 A 3a P 3a r Q 4a SOLUCION: a) En el punto P, la fuerza sobre un elemento de corriente del conductor B debida al campo magnético creado por el conductor A está dada por: r r r dF = 2 I 0 d l × B P , donde r d l = dl ⋅ ˆ j y r µ I ˆ B P = 0 0 ( senθ ⋅ i − cos θ ⋅ ˆ) . j 2π ⋅ 5a En la figura se observa que: Material Instruccional ( Departamento de Física, UTEM, 2º Semestre 2007) / FIS-620 / Edición Piloto B 2I0 5a I0 A r d l Pr B θ P 3a 3a 15 θ 4a O r dl senθ = Por lo tanto: 3 4 y cos θ = . 5 5 r µ I 3ˆ 4 dF = 2 I 0 ⋅ 0 0 dl ⋅ ˆ × ( i − ˆ ) j j 5 10πa 5 Se obtiene entonces: r 3µ I 2 dl ˆ dF = 0 0 (− k ) 25πa b) En el punto Q se tiene: r d l = dl ⋅ ˆ j Por lo tanto: y r µ I ˆ BQ = 0 0 (− senθ ⋅ i − cos θ ⋅ ˆ) j 2π ⋅ 5a r µ I 3ˆ 4 dF = 2 I 0 ⋅ 0 0 d l ⋅ ˆ × ( − i − ˆ ) j j 10πa 5 5 Finalmente llegamos a: r 3µ I 2 dl ˆ dF = 0 0 k 25πa c) Las fuerzas sobre los puntos P y Q son de igual magnitud pero en dirección contraria. Como esos puntos son simétricos respecto al punto O, sumando las fuerzas sobre todos los elementos de corriente del conductor B se obtendrá una fuerza total igual a cero. PROBLEMA V.16: Un conductor muy largo se dobla en la forma indicada en la figura. Si transporta una corriente I = 10 A y R = 5 mm, determine el vector campo magnético en el punto P de la figura. I P R SOLUCION: Calculamos por separado el campo magnético en P debido al alambre recto semi-infinito superior, el alambre recto semi-infinito inferior y la espira semicircular. Alambre superior: Usando la expresión del campo magnético debido a un alambre rectilíneo, con θ1 = 0º y θ2 = 90º , la magnitud del campo en P es: I P R B1 = µ 0 I 4π ⋅ 10 −7 ⋅ 10 = = 0,2 ⋅ 10 −3 T , 4πR 4π ⋅ 5 ⋅ 10 −3 16 Material Instruccional ( Departamento de Física, UTEM, 2º Semestre 2007) / FIS-620 / Edición Piloto y por la regla de la mano derecha, está dirigido hacia fuera del papel. Alambre inferior: La magnitud del campo magnético debido a este conductor inferior es igual a la del conductor superior, y el vector también está dirigido hacia fuera del papel. B2 = B1 = 0,2 ⋅ 10 −3 T Espira semicircular: Usando la ley de Biot-Savart: r r µ 0 Id l × r ˆ dB = . 2 4π r r ˆ En este caso d l es perpendicular a r y r es igual al radio de la semiespira. Por lo tanto la magnitud del campo magnético en P es: B3 = ∫ dB = ∫ µ 0 Idl µ 0 I µ I µ I = dl = 0 2 ⋅ πR = 0 2 2 ∫ 4R 4πR 4πR 4πR B3 = 4π ⋅ 10 −7 ⋅ 10 = 0,63 ⋅ 10 −3 T 4 ⋅ 5 ⋅ 10 −3 Este campo también está dirigido hacia fuera del papel. Por lo tanto, el campo magnético en el punto P es: B = B1 + B2 + B3 = (2 ⋅ 0,2 + 0,63) ⋅ 10 −3 T = 1,03 ⋅ 10 −3 T y está dirigido hacia fuera del papel. , PROBLEMA V.17: Un cable coaxial está formado por un conductor sólido cilíndrico de radio a = 1,0 mm y una corteza cilíndrica externa conductora de radio interno b = 2,0 mm y un radio externo c = 3,0 mm. Por el conductor interior circula una corriente de intensidad I = 18 A y una corriente igual retorna por el conductor exterior. Las corrientes están uniformemente distribuidas en toda la sección transversal de cada conductor. Determinar el valor numérico de r r la integral B • d l para una trayectoria circular cerrada (centrada en el eje del cable y en un ∫ C plano perpendicular al eje) de radio r para: a) r = 0,5 mm, b) r = 1,5 mm, c) r = 2,5 mm, d) r = 3,5 mm. SOLUCION: Según la ley de Ampère , la integral pedida es: ∫ B • dl = µ C r r 0 C I , donde C es cualquier curva cerrada e IC la corriente que atraviesa el área limitada por dicha curva. Por lo tanto, para calcular el valor de la integral bastará encontrar la corriente IC en cada caso. a) r = 0,5 mm: Como la corriente está uniformemente distribuida en la sección transversal del conductor, y en este caso r < a , entonces Material Instruccional ( Departamento de Física, UTEM, 2º Semestre 2007) / FIS-620 / Edición Piloto 17 IC r2 I 0,5 2 = 2 ⇒ I C = I 2 = 18 ⋅ 2 = 4,5 A a πr 2 πa 1,0 r r Por lo tanto: ∫ B • d l = 4π ⋅ 10 −7 ⋅ 4,5 = 5,65 ⋅ 10 −6 Tm C c a b b) r = 1,5 mm: Aquí, a < r < b , de modo que Por lo tanto: C I C = 18 A r r B • d l = 4π ⋅ 10 −7 ⋅ 18 = 22,6 ⋅ 10 −6 Tm ∫ c) r = 2,5 mm: Ahora b < r < c y la curva elegida pasa por dentro del conductor exterior. Haciendo relación entre las áreas se puede calcular la corriente que, pasando por el conductor exterior, atraviesa el área encerrada por la curva: I´ I = ⇒ 2 2 2 π ( r − b ) π (c − b 2 ) I ´= I ⋅ r 2 − b2 2,5 2 − 2,0 2 = 18 ⋅ = 8,1A c2 − b2 3,0 2 − 2,0 2 Como las corrientes circulan en sentido contrario en ambos conductores, I C = 18 − 8,1 = 9,9 A r r B • d l = 4π ⋅ 10 −7 ⋅ 9,9 = 12,4 ⋅ 10 −6 Tm ∫ C d) r = 3,5 mm: r r B • d l = 0 , ya que IC = 18 – 18 = 0 ∫ C PROBLEMA V.18: Se tiene un conductor cilíndrico sólido muy largo de radio R. Por él circula una corriente de intensidad I uniformemente distribuida en toda la sección transversal del conductor. a) Usando la ley de Ampère, calcule la magnitud del campo magnético a una distancia r = R/2 del eje del conductor. b) Encuentre la distancia, medida desde el eje del conductor, a un punto fuera de él para el cual la magnitud del campo magnético es igual a la magnitud del campo para r = R/2. I R R/2 SOLUCION: a) Ley de Ampère: C r r B • dl = µ0 I C ∫ 18 Material Instruccional ( Departamento de Física, UTEM, 2º Semestre 2007) / FIS-620 / Edición Piloto Como el campo magnético es tangente a una circunferencia de radio r (tanto dentro como fuera del conductor) y tiene una magnitud constante en todos los puntos de la misma, se elige como curva de integración una circunferencia de radio r = R/2 centrada en el alambre. En ese caso, r r B y d l son paralelos. C ∫ B • d l = ∫ B ⋅dl = B ∫ dl = B ⋅ 2π ⋅ 2 = B ⋅ πR = µ C C r r R 0 C I La corriente IC es la corriente que pasa a través del área encerrada por la curva C, de modo que IC debe ser proporcional a dicha área: IC = π ( R 2) 2 πR 2 I= 1 I 4 or lo tanto, reemplazando IC en la expresión anterior y despejando B: B= µ0 I 4πR en r = R/2 . b) Fuera del conductor el campo magnético a una distancia r del centro se encuentra también a partir de la ley de Ampère: C ∫ B • d l = ∫ B ⋅dl = B ∫ dl = B ⋅ 2π ⋅ r = B ⋅ 2πr = µ C C r r 0 I y, despejando B: B= µ0 I 2πr Como el campo debe tener el mismo valor que el campo encontrado en la parte (a), r = 2R PROBLEMA V.19: 100 alambres rectos y muy largos se colocan paralelamente unos a otros formando una superficie compacta de forma cilíndrica de radio R (ver figura). Cada alambre transporta una corriente I0 hacia afuera de la hoja. Encuentre la magnitud y dirección de la fuerza R por unidad de longitud que actúa sobre otro alambre recto y largo que transporta una corriente I0 hacia adentro de la hoja, a) colocado a una distancia R/2 del eje del cilindro, b) colocado a una distancia 2R del eje del cilindro. Ayuda: Calcule primero el campo magnético debido a los 100 alambres en r = R/2 y r = 2R. SOLUCION: a) En r = R/2: Material Instruccional ( Departamento de Física, UTEM, 2º Semestre 2007) / FIS-620 / Edición Piloto 19 El conjunto de 100 alambres en esa distribución se puede considerar como una corteza cilíndrica muy larga que transporta una corriente total I = 100I0. Debido a la simetría, se puede usar la ley de Ampère para calcular el campo magnético. r Tomando una circunferencia de radio R/2 con centro en el eje del cilindro, como B es tangente a esa circunferencia y constante en magnitud en todos sus puntos, se tiene: r r R B • d l =B ∫ dl = B ⋅ 2π ⋅ = B ⋅ πR = µ 0 I C ∫ 2 C C La corriente que atraviesa el área encerrada por la circunferencia es cero, de modo que en cualquier punto interior de la corteza el campo magnético es cero. Por lo tanto, la fuerza sobre el alambre ubicado en r = R/2 es cero. b) En r = 2R: En este caso tomamos una circunferencia de radio 2R. La integral del campo magnético a lo largo de la curva es C r r B • d l = B ⋅ 2π ⋅ 2 R = 4πBR = µ 0 I C ∫ R I C = 100I 0 2R donde la corriente que atraviesa el círculo de radio 2R es Por lo tanto, la magnitud del campo magnético en r = 2R es B= 25µ 0 I 0 πR y, en el punto donde se encuentra el alambre exterior, la dirección es vertical hacia arriba (regla de la mano derecha). La fuerza sobre ese alambre se calcula a partir de La magnitud de esta fuerza por unidad de longitud es r r r F = Il × B y está dirigida hacia la derecha . 25µ 0 I 02 F = I0B = l πR Material Instruccional ( Departamento de Física, UTEM, 2º Semestre 2007) / FIS-620 / Edición Piloto 20