6. UNITATEA ZUZENAK ETA PLANOAK ESPAZIOAN 152. orrialdea 1. Planoan lerrokatuta dauden puntuak Egiaztatu A (5, 2), B (8, 3) eta C (13, 5) puntuak ez daudela lerrokatuta. C (13, 5) B (8, 3) A (5, 2) AB = (3, 1); BC = (5, 2) No tienen las coordenadas proporcionales; luego no están alineados. → → 153. orrialdea 2. Zuzenak planoan Ondoren agertzen den zuzenaren ekuazio parametrikoak → aurkitzeko, p (1, 4) bektorea hartuko dugu zuzenaren gainean kokatzeko eta d (5, 2) bektorea zuzenetik higitzeko. Aurkitu, horrez gain, bere ekuazio inplizitua. r (5, 2) → (1, 4) 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan 1 Ecuaciones paramétricas: x = 1 + 5λ y = 4 + 2λ Ecuación implícita: –2x = –2 – 10λ 5y = 20 + 10λ –2x + 5y = 18 → 2x – 5y + 18 = 0 Aurkitu ondorengo grafikoan irudikatu dugun s zuzenaren ekuazio parametrikoak. s Aurkitu, horrez gain, bere ekuazio inplizitua. La recta s pasa por el punto (–1, 0) y tiene la dirección del vector d (1, –1). Ecuaciones paramétricas: x = –1 + λ y = –λ Ecuación implícita: Sumando las dos anteriores: x + y = –1 → x + y + 1 = 0 → 154. orrialdea 1. Adierazi ondorengo puntuak: P (5, 2, 3), Q (3, –2, 5), R (1, 4, 0), S (0, 0, 4) y T (0, 6, 3). P (5, 2, 3) Q (3, –2, 5) R (1, 4, 0) S (0, 0, 4) T (0, 6, 3) 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan X P R Y Z S Q T 2 2. Kokatu P puntua koordenatu ardatz batean. Proiekta ezazu P', XY planoaren gainean. Jarraitu prozesua P-ren koordenatuak zehaztu arte. (Ikusten duzunez, urrats arbitrario bakarra P' puntuaren kokapena erabakitzea da). P (3, 5, 2) X Z P Y P' 156. orrialdea 1. A (1, 7, 3), B (–1, 3, 0), C (3, –4, 11) eta D (1, 0, –5) puntuak izanda: a) Aurkitu bektore hauen koordenatuak: AB, BC, CD, DA, AC b) Aurkitu zuzenki hauetako bakoitzaren erdigunea: AB, BC, CD, AC, AD → → → a) AB = (–2, –4, –3) BC = (4, –7, 11) CD = (–2, 4, –16) → → DA = (0, 7, 8) AC = (2, –11, 8) b) MAB = 0, 5, MAC → → → → → ( 3) 2 3 = (2, , 7) 2 MBC = 1, MAD ( –1 , 11 ) 2 2 7 = (1, , –1) 2 MCD = (2, –2, 3) 2. Lortu zuzenki hauen erdiguneen koordenatuak: a) (3, –5, 1) eta (–3, 1, 13) muturreko zuzenkiarenak. b) (–5, 1, 7) eta (4, 2, 0) muturreko zuzenkiarenak. ( 3 2– 3 , –5 2+ 1 , 1 +2 13 ) = (0, –2, 7) –5 + 4 1 + 2 7 + 0 –1 3 7 , , = , , b) ( 2 2 2 ) ( 2 2 2) a) 3. Aurkitu zein diren aurreko ariketako zuzenkietako bakoitza hiru zati berdinetan banatzen dituzten puntuen koordenatuak. Dado un segmento de extremos P y Q: Q S R P → → → 1 → → 1 → → 1 → 1 → OR = OP + PQ = OP + (OQ – OP) = OP + OQ – OP = 3 3 3 3 = → → OQ + 2 OP 3 → → → → 2OQ + OP 2 → OS = OP + PQ = 3 3 O 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan 3 Según esto, los puntos que buscamos son: a) (–3, 1, 13) + 2(3, –5, 1) = (1, –3, 5) 3 2(–3, 1, 13) + (3, –5, 1) = (–1, –1, 9) 3 b) ( ) 2(4, 2, 0) + (–5, 1, 7) 5 7 = (1, , ) 3 3 3 (4, 2, 0) + 2(–5, 1, 7) 4 14 = –2, , 3 3 3 4. P (1, –3, 5), Q (0, 7, 2) eta R (–1, 5, 6) triangelu baten erpinak dira. a) Kalkulatu alde bakoitzaren erdigunearen koordenatuak. b) Gogoratu barizentroa (triangeluaren erdikariek elkar ebakitzen du2 ten puntua), erdikari bakoitzaren gainean dagoela, erpinetik -ra 3 1 eta aurkako aldearen erdigunetik -ra. 3 Kalkulatu aurreko triangelu horren barizentroa erpinetako batetik abiatuz. Egin ariketa bera beste bien kasuan eta emaitza bera lortuko duzu. a) P (1, –3, 5) MPR MPQ R (–1, 5, 6) MQR Q (0, 7, 2) MPQ = ( 1 , 2, 7 ) 2 2 ( 1 , 6, 4 2 11 2 G MQR = – ) MPR = 0, 1, ( ) b) A partir de P: (ver ejercicio 3) → → 2OMQR + OP → (–1, 12, 8) + (1, –3, 5) 13 OG = = = 0, 3, 3 3 3 ( ) A partir de Q: → → 2OMPR + OQ → (0, 2, 11) + (0, 7, 2) 13 OG = = = 0, 3, 3 3 3 ( ( ) ) 4 A partir de R: → → 2OMPQ + OR → (1, 4, 7) + (–1, 5, 6) 13 OG = = = 0, 3, 3 3 3 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan 5. Kokatu A(2, –1, 3), B(0, 4, 1), C(1, 1, 0) erpinak dituen triangeluaren barizentroa. A Hallamos el punto medio, M, del lado BC: M= G M C (1, 5, 1) 2 2 2 G, El baricentro, está sobre la mediana, a B 2 1 de M (ver ejercicio 3): de A y a 3 3 → → 2OM + OA → (1, 5, 1) + (2, –1, 3) 4 4 OG = = = 1, , 3 3 3 3 ( ) 157. orrialdea 1. Aurkitu beheko puntuetatik igarotzen diren zuzenen ekuazio parametrikoak: a) A (2, 0, 5) y B (–1, 4, 6) c) P (1, 0, –3) y Q (1, 4, –3) → a) Vector dirección: AB = (–3, 4, 1) x = 2 – 3λ Ecuaciones paramétricas: y = 4λ z = 5 + λ → b) Vector dirección: MN = (4, –4, –8) // (1, –1, –2) x = 5 + λ Ecuaciones paramétricas: y = 1 – λ z = 7 – 2 λ → c) Vector dirección: PQ = (0, 4, 0) x = 1 Ecuaciones paramétricas: y = 4λ z = –3 → d) Vector dirección: RS = (0, 0, –2) x = 0 Ecuaciones paramétricas: y = 2 z = 3 – 2 λ b) M (5, 1, 7) y N (9, –3, –1) d) R (0, 2, 3) y S (0, 2, 1) 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan 5 159. orrialdea 2. Lortu beheko puntuetatik igarotzen den zuzenaren ekuazio parametrikoak, forma jarraituan adierazitakoa eta inplizituak. Puntuak hauek dira: (–5, 3, 7) eta (2, –3, 3) Vector dirección: (2, –3, 3) – (–5, 3, 7) = (7, –6, –4) Ecuaciones paramétricas: x = 2 + 7λ y = –3 – 6λ z = 3 – 4λ Ecuación continua: x–2 y+3 z–3 = = –6 7 –4 Ecuaciones implícitas: x – 2 y +3 ——— = ——— 7 –6 x–2 z–3 —–– = ——— 7 –4 → → –6x + 12 = 7y + 21 → –4x + 8 = 7z – 21 6x + 7y + 9=0 4x + 7z – 29 = 0 3. Aurreko zuzenaren kasuan, emandako puntuez gain, aurkitu beste sei puntu. Dándole valores a λ, obtenemos: λ=1 λ=2 λ=3 λ=4 → (9, 9, –1) → (16, –15, –5) → (23, –21, –9) → (30, –27, –13) λ = –2 → (–12, 9, 11) λ = –3 → (–19, 15, 15) (Para λ = 0 y λ = –1, obtenemos los puntos que teníamos). 4. Egiaztatu ondorengo puntuetakoren bat behean adierazita dagoen r zuzenekoa den: A (5, 0, 0) B (3, 3, 4) C (15, –15, 4) D (1, 6, 0) 5 – 2λ = 3 B: 3λ = 3 4=4 → → λ = –5 λ = –5 C ∈ r → → λ=1 λ=1 B∈r A ∉ r, pues z ≠ 4 5 – 2λ = 15 C: 3λ = –15 4=4 D ∉ r, pues z ≠ 4 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan 6 163. orrialdea 1. Aztertu hurrengo zuzen bikote hauen posizio erlatiboak. Elkar ebakitzen dutenean, kalkulatu zein puntutan egiten duten. x = 1 – 5λ a) y = 2 + 3λ z = –5 + λ a) P = (1, 2, –5) Q = (1, 1, 0) → PQ = (0, –1, 5) M' = x=1 y=1 z=λ x = 3 + 2λ b) y = 1 – λ z=5 x = –1 – 6λ y = 3 + 3λ z= 5 → d1 = (–5, 3, 1) → d2 = (0, 0, 1) M ( ( –5 0 0 3 0 –1 ; |M'| = –5 → ran (M' ) = 3 → Las rectas se cruzan. 1 1 5 → d1 = (2, –1, 0) → d2 = (–6, 3, 0) ) ) b) P = (3, 1, 5) Q = (–1, 3, 5) → PQ = (–4, 2, 0) 2. Aztertu hurrengo zuzen bikote hauen posizio erlatiboak. Elkar ebakitzen dutenean, kalkulatu zein puntutan egiten duten. x=λ a) y = λ z=0 x=3 y=3 z=λ x= 3+λ b) y = –2 – λ z= 1 → d1 = (1, 1, 0) → d2 = (0, 0, 1) 3 3 ; ran (M ) = ran (M' ) = 2 → Las rectas se cortan. 0 x= – 2λ y = 3 + 2λ z = –1 a) P = (0, 0, 0) Q = (3, 3, 0) → PQ = (3, 3, 0) M' = Hallamos el punto de corte: λ=3 λ = 3 Se cortan en el punto (3, 3, 0). 0=μ 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan M ( M 1 1 0 0 0 1 2 –6 –4 M' = –1 3 2 ; ran (M ) = ran (M' ) = 1 → Las dos rectas coinciden. 0 0 0 ) 7 b) P = (3, –2, 1) Q = (0, 3, –1) → PQ = (–3, 5, –2) → d1 = (1, –1, 0) → d2 = (–2, 2, 0) 165. orrialdea 1. a) Aurkitu P (1, 7, –2), Q (4, 5, 0) eta R (6, 3, 8) puntuetatik igarotzen den planoaren ekuazio parametrikoak eta ekuazio inplizitua. b) Aurkitu planoko beste hiru puntu. c) Kalkulatu n zein izango den, A (1, n, 5) puntua planokoa izateko. → → a) El plano es paralelo a PQ = (3, –2, 2) y a QR = (2, –2, 8) // (1, –1, 4) Ecuaciones paramétricas: Ecuación implícita: Un vector normal al plano es: (3, –2, 2) × (1, –1, 4) = (–6, –10, –1) // (6, 10, 1) La ecuación es: 6(x – 4) + 10(y – 5) + 1(z – 0) = 0, es decir: 6x + 10y + z – 74 = 0 b) x = 4 + 3λ + μ y = 5 – 2λ – μ z = 2λ + 4μ ( 37 , 0, 0); (0, 37 , 0); (0, 0, 74) 3 5 → 6 + 10n + 5 – 74 = 0 10n = 63 → n = 63 10 c) Sustituimos en la ecuación: 6 · 1 + 10 · n + 5 – 74 = 0 167. orrialdea 1. Aztertu plano eta zuzen hauen posizio erlatiboa: π : 2x – y + 3z = 8 x = 2 + 3λ r : y = –1 + 3λ z= – λ Hallamos los puntos de corte de r y π: 2(2 + 3λ) – (–1 + 3λ) + 3(–λ) = 8 4 + 6λ + 1 – 3λ – 3λ = 8 → 0λ = 3 → No tiene solución. La recta y el plano son paralelos, pues no tienen ningún punto en común. 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan M 1 –2 –3 M' = –1 2 5 ; ran (M ) = 1; ran (M' ) = 2 → Las rectas son paralelas. 0 0 –2 ( ) 8 2. Aztertu hiru plano hauen artean binaka duten posizio erlatiboa: 2x – y + 3z = 8 x + 3y – z = 5 2x + 6y – 2z = 5 Hiru planoek punturen bat berdina dute? 2x – y + 3z = 8 Se cortan en una recta. x + 3y – z = 5 x + 3y – z = 5 Son paralelos. 2x + 6y – 2z = 5 2x – y + 3z = 8 Se cortan en una recta. 2x + 6y – 2z = 5 No hay ningún punto común a los tres planos. 3º 1º 2º 169. orrialdea 1. Idatzi ondorengo irudi hauen ekuazio inplizituak eta parametrikoak: a Z b Z c Z Y X PLANO Y – Z EJE X X Y X Z Y d Z e f Z Y X X Y X Y a) x siempre vale 0. y puede tomar cualquier valor. z puede tomar cualquier valor. x = 0 π: x = 0 → π: y = λ z = μ 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan 9 b) x puede tomar cualquier valor. y siempre vale 0. z siempre vale 0. y = 0 Eje X: z = 0 x = λ → Eje X: y = 0 z = 0 c) z puede tomar cualquier valor. El plano π en su intersección con el plano XY determina la recta r de ecuación: r: x – y = 0 Así, en el espacio XYZ: x = λ π: x – y = 0 → π: y = λ z = μ d) Calculamos la ecuación de la recta en el plano XZ: → r pasa por A(4, 0) y B(0, 3) → AB = (–4, 3) x = 4 – 4λ r: 3λ z = → λ= z 3 4 z 3 x=4– r: 3x + 4z = 12 en el plano XZ. En el espacio XYZ la recta no toma valores en y, por tanto, y = 0. Luego la ecuación de la recta r en el espacio XYZ es: y = 0 r: 3x + 4z = 12 x = 4 – 4λ → r: y = 0 z = 3λ e) x puede tomar cualquier valor. z puede tomar cualquier valor. y siempre vale 7. x = λ π: y = 7 → π: y = 7 z = μ f) y puede tener cualquier valor. Calculamos la recta que determina el plano π en su intersección con el plano XZ: r pasa por A(4, 0) y B(0, 3). Por el apartado d): r: 3x + 4z = 12 en el plano XZ. 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan 10 Así: x = 4 – 4λ π: 3x + 4z = 12 → π: y = μ z = 3λ 2. Adierazi ondorengo ekuazioen bitartez emandako irudiak: a) z = 4 x=λ b) y = μ z=4 x=0 f) z=0 x=λ j) y = μ z=ρ x=λ c) y = λ z=4 g) y = 0 x=λ d) y = 0 z=4 x=3 h) y = 0 z=λ+μ x+y+z≤1 x≥0 y≥0 z≥0 y=0 e) z=4 x=3 i) y = 4 z=5 k) x + y + z = 1 l) Kontuz! Euretako batek puntu bat adierazten du eta beste batek espazio osoa. Ekuazioetako batek bi parametro ditu, baina bakar baten moduan jokatzen dute. a) z = 4 → z siempre vale 4. x e y pueden tomar cualquier valor. Y X Z x = λ b) y = μ z = 4 → → → x puede tomar cualquier valor. y puede tomar cualquier valor. z siempre vale 4. Es el mismo plano que el del apartado anterior. x = λ c) y = λ z = 4 x e y siempre toman el mismo valor. → z siempre vale 4. Z Como solo hay un parámetro, es una recta (paralela al plano XY). Y X 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan r 11 x = λ d) y = 0 z = 4 → → → x puede tomar cualquier valor. y siempre vale 0. z siempre vale 4. Z Como solo hay un parámetro, es una recta. Como y = 0 siempre, es una recta del plano XZ. r X Y y = 0 e) Es la ecuación implícita de la recta anterior. z = 4 Z x = 0 f) z = 0 → → x siempre vale 0. z siempre vale 0. y puede tomar cualquier valor. Y Es la ecuación del eje Y. X Z g) y = 0 → y siempre vale 0. x puede tomar cualquier valor. z puede tomar cualquier valor. Es la ecuación del plano XZ. X Y x = 3 h) y = 0 z = λ + μ → si hacemos λ + μ = ρ, ρ ∈ Á, tenemos: x = 3 → x siempre vale 3. y = 0 → y siempre vale 0. → Nos movemos en el plano XZ. z = ρ → z puede tomar cualquier valor. Como solo hay un parámetro, es una recta. r Z Y X 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan 12 x = 3 → x siempre vale 3. i) y = 4 → y siempre vale 4. z = 5 → z siempre vale 5. Es un punto. Z P Y X x = λ → x puede tomar cualquier valor. j) y = μ → y puede tomar cualquier valor. z = ρ → z puede tomar cualquier valor. Representa todo el espacio. k) x + y + z = 1 Calculamos las intersecciones con los ejes: Eje X: y = 0 z = 0 x = 0 z = 0 x = 0 y = 0 Z → x = 1 → (1, 0, 0) Eje Y: → y = 1 → (0, 1, 0) Y Eje Z: → z = 1 → (0, 0, 1) X l) 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan x + y + z ≤ 1 → Describe la región limitada por el plano anterior, cuyas coordenadas están por debajo de él. x≥0 y≥0 z≥0 Z Las tres variables tienen que ser positivas. Representa la región comprendida entre la parte positiva de los planos XY, YZ, XZ y el plano x + y + z = 1. Y X 13 175. orrialdea EBATZITAKO ARIKETAK ETA PROBLEMAK TREBATZEKO Puntuak 1 Irudi honetan adierazi ditugun puntuen koordenatuak hauek dira: (0, 0, 3); (0, 3, 3); (3, 3, 3); (3, 0, 3); (3, 0, 0); (3, 3, 0); (0, 3, 0); (0, 3/2, 3); (0, 3, 3/2); (3, 3/2, 0); (3, 0, 3/2) Lotu puntu bakoitza bere koordenatuarekin. A D S X E R F Z P B Q G Y C A(0, 0, 3); B(0, 3, 3); C (3, 3, 3); D (3, 0, 3); E (3, 0, 0,); F (3, 3, 0); G (0, 3, 0); P(0, 3/2, 3); Q (0, 3, 3/2); R (3, 3/2, 0); S (3, 0, 3/2) 2 Egiaztatu A (1, –2, 1), B (2, 3, 0) eta C (-1, 0, –4) puntuak lerrokatuta dauden. → AB (1, 5, –1) Sus coordenadas no son proporcionales. Luego los puntos no es→ AC (–2, 2, –5) tán alineados. → 3 → 2 → AB eta AP = AQ betetzen duten P eta Q puntuak, A(2, 5 3 0, 1) eta B(5, 3, –2) izanik. → • Si Q (x, y, z), entonces AQ(x – 2, y, z – 1): 3 Aurkitu AQ = → 3 → 3 9 9 –9 AB = (3, 3, –3) = , , = (x – 2, y, z – 1) 5 5 5 5 5 x–2= y= 9 5 9 5 → z= –4 5 9 5 → x= 19 5 ( ) Q ( 19 , 9 , –4 ) 5 5 5 ( ) z–1=– → • Si P (a, b, c), entonces AP (a – 2, b, c – 1): 2 → 2 3 → 2 → 2 6 6 –6 AQ = · AB = AB = (3, 3, –3) = , , = (a – 2, b, c – 1) 3 3 5 5 5 5 5 5 a–2= b= 6 5 –6 5 → c= –1 5 6 5 → a= 16 5 P ( 16 , 6 , –1 ) 5 5 5 14 c–1= 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan 4 Aurkitu A (-2, 3, 0) puntuaren simetrikoa M (1, –1, 2) puntuarekiko. A' Sea A' (x, y, z) el simétrico de A respecto del punto M. Como M es el punto medio del segmento AA', entonces: M ( x 2– 2 , y + 3 , z2 ) = (1, –1, 2) 2 A y+3 x–2 z = –1 → y = –5; =2 → z=4 = 1 → x = 4; 2 2 2 Por tanto: A' (4, –5, 4) 5 Kalkulatu a eta b zein diren A (1, 2, –1), B (3, 0, –2) eta C (4, a, b) lerrokatuta egoteko. → AB (2, –2, –1) → AC (3, a – 2, b + 1) Por tanto: a–2 3 = –2 2 b+1 3 = –1 2 → a – 2 = –3 → a = –1 → b= –3 –5 –1 → b= 2 2 3 a–2 b+1 = = Para que estén alineados ha de ser: 2 –2 –1 Zuzenak 6 Aurkitu koordenatu ardatzen ekuazio parametrikoak. x = λ Eje OX → y = 0 z = 0 7 Idatzi A(-3, 2, 1) eta B – Eje OY → x = 0 y = λ z = 0 Eje OZ → x = 0 y = 0 z = λ 5 3 , , 0 puntuetatik igarotzen den zuzenaren ekuazioak. 2 2 → 1 –1 Un vector dirección de la recta r es AB , , –1 . 2 2 → → Tomamos el vector d(1, –1, –2) // AB . ( ) ( ) • Ecuación vectorial: (x, y, z) = (–3, 2, 1) + λ(1, –1, –2) • Ecuaciones paramétricas: x = –3 + λ y = 2 – λ z = 1 – 2λ • Forma continua: 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan 15 x+3 y–2 z–1 = = –1 1 –2 • Forma implícita: x+3 ——— = 1 x+3 —— = 1 8 y–2 ——— –1 z–1 —— –2 x+y+1=0 → –2x – 6 = z – 1 → 2x + z + 5 = 0 → –x – 3 = y – 2 → Egiaztatu P (3, 1, 0), Q (0, –5, 1) eta R (6, –5, 1) puntuetatik igarotzen den zuzenik dagoen. → PQ (–3, –6, 1) → AC (3, –6, 1) Las coordenadas no son proporcionales, luego los puntos no es tán alineados. 9 S Aurkitu A (-4, 2, 5) puntutik igarotzen den eta OZ ardatzaren paraleloa den zuzenaren ekuazioak. Si es paralela al eje OZ, tiene como vector dirección (0, 0, 1). • Ecuación vectorial: (x, y, z) = (–4, 2, 5) + λ(0, 0, 1) • Ecuaciones paramétricas: x = –4 y = 2 z = 5 + λ • Forma continua: x+4 y–2 z–5 = = 0 0 1 • Forma implícita: x = –4 y= 2 → → x+4=0 y–2=0 → → 10 S Idatzi P (1, –3, 0) puntutik igarotzen den eta u × v bektorearen paralelo → → den zuzenaren ekuazioak, u (1, –1, 2) eta v (2, 0, 0) izanda. → → u × v = (0, 4, 2) // (0, 2, 1) • Ecuación vectorial: (x, y, z) = (1, –3, 0) + λ(0, 2, 1) 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan 16 • Ecuaciones paramétricas: x = 1 y = –3 + 2λ z = λ • Forma continua: x–1 y+3 z–0 = = 2 0 1 • Forma implícita: x=1 y+3 z —–— = — 2 1 11 S → x–1=0 → y + 3 = 2z → y – 2z + 3 = 0 Aztertu beheko zuzenen posizio erlatiboa eta aurkitu ebaki puntua, ahal denean: a) r : b) r : c) r : x–1 y+2 z–1 = = 3 2 4 x–1 y–1 z–2 = = –1 2 1 x z+1 =y–1= 2 3 x–1 y z = = 2 3 4 s: s: x+2 y–3 z–2 = = –1 2 3 x–4 y–4 z–5 = = 4 1 2 x – 2y – 1=0 s: 3y – z + 1 = 0 x = 3 + 4λ s: y = 3 + 6λ z = 4 + 8λ d) r : → a) dr (3, 2, 4); P (1, –2, 1) → ds (–1, 2, 3); P' (–2, 3, 2) → PP' (–3, 5, 1) M' = → b) dr (–1, 2, 1); P (1, 1, 2) → ds (4, 1, 2); P' (4, 4, 5) → PP' (3, 3, 3) M' = ( ( 3 –1 –3 2 2 5 4 3 1 M ) → |M'| = –51 ≠ 0 → Las rectas se cruzan. –1 4 2 1 1 2 M 3 3 3 ) → |M'|= 0 y 1 2 = 3 ≠ 0 2 1 → ran (M) = ran (M') = 2 → → Las rectas se cortan. 17 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan Para hallar el punto de corte, escribimos las dos rectas en forma paramétrica: x = 1 – λ r: y = 1 + 2λ z = 2 + λ 1 – λ = 4 + 4μ 1 + 2λ = 4 + μ 2 + λ = 5 + 2μ x = 4 + 4μ s: y = 4 + μ z = 5 + 2μ a a Sumando la 1- y la 3- : 3 = 9 + 6μ → μ = –1 a: 1 – λ = 4 – 4 → λ = 1 Sustituyendo en la 1 Sustituyendo λ = 1 en las ecuaciones de r (o bien μ = –1 en las de s), obtenemos el punto de corte: (0, 3, 3). → c) dr (2, 1, 3); P (0, 1, –1) → ds (1, –2, 0) × (0, 3, –1) = (2, 1, 3) Tienen la misma dirección, y el punto P ∈ r, pero P ∉ s, luego las rectas son paralelas. → d) dr (2, 3, 4) → ds (4, 6, 8) Tienen la misma dirección. → → → λ = –1/2 λ = –1/2 P ∈ s λ = –1/2 Veamos si el punto P(1, 0, 0) ∈ r, pertenece también a s: 3 + 4λ = 1 3 + 6λ = 0 4 + 8λ = 0 Por tanto, las rectas r y s coinciden, son la misma recta. 12 S Aurkitu a-ren balioa r eta s zuzenek elkar ebakitzeko eta aurkitu ebaki puntua: r: x = y = z – a s: 2x – 1 y + 3 z – 2 = = 3 –2 0 ☛ s-ren kasuan, zatitu 2rekin lehen zatikiko zenbakitzailea eta izendatzailea. → r: x = y = z – a → dr (1, 1, 1); P(0, 0, a) s: x – 1/2 y + 3 z – 2 = = –2 3/2 0 → 3 1 → ds , –2, 0 ; P' , –3, 2 2 2 ( ) ( ) PP' ( 1 , –3, 2 – a) 2 M' = ( 1 1 1 3/2 1/2 –2 –3 0 2–a ) → ran (M) = 2 M 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan 18 Para que las rectas se corten, ha de ser ran (M' ) = 2, es decir, |M'| = 0: |M'| = 7a – 21 =0 → a=3 2 1 3 x=—+—μ 2 2 s: y = –3 – 2μ z=2 –1 = –3 – 2μ λ = –1 Para hallar el punto de corte, escribimos las rectas en forma paramétrica: x = λ r: y = λ z = 3 + λ 1 3 λ=—+—μ 2 2 λ = –3 – 2μ 3+λ=2 → μ = –1 Sustituyendo λ = –1 en las ecuaciones de r (o μ = –1 en las de s), obtenemos el punto de corte: (–1, –1, 2). 13 S Aurkitu m eta n-ren balioak r eta s zuzenak paraleloak izateko: x = 5 + 4λ r: y = 3 + λ z= – λ → dr (4, 1, –1) → ds (m, 3, n) s: x y–1 z+3 = = n m 3 Las coordenadas han de ser proporcionales: → m = 12, n = –3 m 3 n = = 4 1 –1 (El punto P(0, 1, –3) ∈ s; pero P ∉ r; luego las dos rectas son paralelas si m = 12 y n = –3). 14 x – y =0 a) Aurkitu planoek mugatzen duten zuzenaren norabide bektorea. y+z=2 b) Idatzi r-ren ekuazio parametrikoak. → a) d = (1, –1, 0) × (0, 1, 1) = (–1, –1, 1) b) Obtenemos un punto de la recta haciendo y = 0: x=0 El punto (0, 0, 2) pertenece a la recta. z=2 x = –λ Ecuaciones paramétricas: y = –λ z = 2 + λ 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan 19 15 x y+1 = = z zuzena edukita, idatzi bi planoren ebakidura moduan. 2 –1 x — = z → x = 2z → x – 2z = 0 2 x y+1 — = ——— → –x = 2y + 2 → x + 2y + 2 = 0 2 –1 176. orrialdea Planoak 16 S Aurkitu ondorengo planoen ekuazioak: a) A (1, –3, 2) puntuak eta u (2, 1, 0) eta v (–1, 0, 3) bektoreek mugatzen dutenarena. b) P (2, –3, 1) puntutik igaro eta n (5, –3, – 4) bektore normala duenarena. c) x y+1 z = = zuzenarekiko perpendikular izan eta (1, 0, 1) puntutik iga2 3 –1 rotzen denarena. → → → → → a) u × v = (2, 1, 0) × (–1, 0, 3) = (3, –6, 1) 3(x – 1) – 6(y + 3) + (z – 2) = 0 3x – 6y + z – 23 = 0 b) 5(x – 2) – 3(y + 3) – 4(z – 1) = 0 5x – 3y – 4z – 15 = 0 → c) n(2, –1, 3) 2(x – 1) – (y – 0) + 3(z – 1) = 0 2x – y + 3z – 5 = 0 17 Aurkitu OXY, OYZ, OXZ planoen ekuazio parametrikoak eta inplizituak. Plano OXY: x = λ Paramétricas: y = μ z = 0 Plano OYZ: x = 0 Paramétricas: y = λ z = μ 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan Implícita: z = 0 Implícita: x = 0 20 Plano OXZ: x = λ Paramétricas: y = 0 z = μ 18 Implícita: y = 0 Idatzi ondorengo planoen ekuazio parametrikoak: a) z = 3 x = λ a) y = μ z = 3 b) x = –1 c) y = 2 x = –1 b) y = λ z = μ x = λ c) y = 2 z = μ 19 Zein da x = –1 planoaren bektore normala? Idatzi plano horrekiko perpendikularra den eta A (2, 3, 0) puntutik igarotzen den zuzenaren ekuazioak. → El vector normal al plano x = –1 es n (1, 0, 0). x = 2 + λ Recta: y = 3 z = 0 20 S Kalkulatu m eta n ondorengo planoak: α: mx + y – 3z – 1 = 0 y β: 2x + ny – z – 3 = 0 paraleloak izateko. Bat etor daitezke? → nα(m, 1, –3) Las coordenadas han de ser proporcionales: → nβ(2, n, –1) m 1 –3 = = 2 n –1 Así, quedaría: α: 6x + y – 3z – 1 = 0 → 6x + y – 3z – 1 = 0 1 β: 2x + —y – z – 3 = 0 → 6x + y – 3z – 9 = 0 3 Los planos son paralelos, no coincidentes. No pueden ser coincidentes pues los términos independientes no son proporcionales a los anteriores. → m = 6, n = 1 3 21 S Idatzi (0, 0, 0), (2, 2,0) eta (1, 1, 2) puntuetatik igarotzen den planoaren ekuazioa. (2, 2, 0) × (1, 1, 2) = (4, –4, 0) → P(0, 0, 0) El plano es: x – y = 0 → n(1, –1, 0) 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan 21 22 S Zehaztu zein den P (2, 1, 2) puntua eta beheko zuzena hartzen dituen planoaren ekuazioa: x–2= y–3 z–4 = –1 –3 → Si contiene a la recta, contendrá al punto Q(2, 3, 4) y será paralelo a d(1, –1, –3). → También será paralelo a PQ(0, 2, 2) // (0, 1, 1). Un vector normal al plano es: (1, –1, –3) × (0, 1, 1) = (2, –1, 1) La ecuación del plano es: 2(x – 2) – (y – 1) + (z – 2) = 0 2x – y + z – 5 = 0 23 S Egiaztatu zuzen hauek paraleloak direla r: x–1 =y=z–2 2 x– 2z = 5 s: x – 2y = 11 eta aurkitu hartzen dituen planoaren ekuazioa. → dr (2, 1, 1); P(1, 0, 2) → ds = (1, 0, –2) × (1, –2, 0) = (–4, –2, –2) // (2, 1, 1) Las rectas r y s tienen la misma dirección. Además, P(1, 0, 2) ∈ r, pero P ∉ s. Luego las rectas son paralelas. r Obtenemos un punto, Q, de s haciendo y = 0: P s x – 2z = 5 x = 11 Q(11, 0, 3) x = 11 z= 3 Q → → El plano que buscamos será paralelo a dr (2, 1, 1) y a PQ (10, 0, 1). Un vector normal es: (2, 1, 1) × (10, 0, 1) = (1, 8, –10) La ecuación del plano será: 1 · (x – 1) + 8 · (y – 0) – 10 · (z – 2) = 0 x + 8y – 10z + 19 = 0 24 S A (1, 0, 0), B (0, 1, 0), C (2, 1, 0) eta D (-1, 2 ,1) puntuak planokideak dira? → AB = (–1, 1, 0) → AC = (1, 1, 0) → AD = (–2, 2, 1) –1 1 0 1 1 0 –2 2 1 = –2 ≠ 0 Los puntos no son coplanarios. 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan 22 EBAZTEKO 25 A (1, 3, –1), B (2, 0, 2) eta C (4, –1, –3) puntuak paralelogramo baten ondoz ondoko erpinak dira. Aurkitu D erpina eta paralelogramoaren zentroa. B A Sea D(x, y, z) el otro vértice: → → BA = CD → (–1, 3, –3) = (x – 4, y + 1, z + 3) x – 4 = –1 → y+1= 3 → z + 3 = –3 → x= 3 y = 2 D(3, 2, –6) z = –6 M C D → Si M es el centro del paralelogramo, es el punto medio de AC: M= 26 S ( 4 + 1 , –12+ 3 , –32– 1 ) = ( 5 , 1, –2) 2 2 Kalkulatu b-ren balioa r eta s zuzenek elkar ebaki dezaten. Zein da ebaki puntua? x–1 y+5 z+1 x y–b z–1 r: = = s: = = 4 –1 2 –3 2 2 → dr (2, –3, 2); P (1, –5, –1) → ds (4, –1, 2); P' (0, b, 1) → PP' (–1, b + 5, 2) 2 4 –1 M' = –3 –1 b + 5 2 2 2 M |M'| = 4b + 44 = 0 → b = –11 Para hallar el punto de corte, escribimos las dos rectas en forma paramétrica: x = 1 + 2λ r: y = –5 – 3λ z = –1 + 2λ 1 + 2λ = 4μ –5 – 3λ = –11 – μ –1 + 2λ = 1 + 2μ μ= 3 2 x = 4μ s: y = –11 – μ z = 1 + 2μ a a Restando la 3- ecuación a la 1- : 2 = –1 + 2μ λ= 4μ – 1 5 = 2 2 ( ) → Para que las rectas se corten, ha de ser |M'| = 0 (para que ran (M ) = ran (M' ) = 2). Sustituyendo λ = el punto de corte: 6, ( 5 3 en las ecuaciones de r (o μ = en las de s), obtenemos 2 2 –25 ,4. 2 23 ) 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan 27 S Zehaztu a-ren balioa r eta s zuzenak planokideak izan daitezen. r: x y–a z = = 1 1 0 x= 1+λ s: y = 1 – λ z = –1 + λ Aurkitu zein planok hartzen dituen. → dr (1, 1, 0); P (0, a, 0) → ds (1, –1, 1); P' (1, 1, –1) → PP' (1, 1 – a, –1) 1 1 M' = 1 –1 0 1 ( 1 1–a –1 ) → Para que las rectas sean coplanarias, ha de ser |M'|= 0. |M'| = a + 2 = 0 → a = –2 → → Un vector normal al plano es: dr × ds = (1, 1, 0) × (1, –1, 1) = (1, –1, –2) El plano que las contiene es: 1(x – 1) – 1(y – 1) – 2(z + 1) = 0 x – y – 2z – 2 = 0 28 S Aldeetako bi r eta s zuzenen gainean dituen triangelu bat eraiki daiteke? r: x–1 =y=z+1 2 x = 2λ s: y = –1 + λ z=λ Estudiamos la posición relativa de las rectas: → dr (2, 1, 1); P(1, 0, –1) → ds (2, 1, 1) Las dos rectas tienen la misma dirección. Además, P (1, 0, –1) ∈ r, pero P ∉ s 2λ = 1 → λ = 1/2 puesto que: –1 + λ = 0 → λ = 1 λ = –1 Por tanto, las rectas son paralelas. Luego no se puede construir un triángulo que tenga dos de sus lados sobre las rectas r y s. 29 S Aztertu zuzen honen: r : x–3 y+1 z = = eta π: x – y + z – 3 = 0 2 1 –1 planoaren posizio erlatiboa. x = 3 + 2λ r: y = –1 + λ z = –λ 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan 24 π: x – y + z – 3 = 0 (3 + 2λ) – (–1 + λ) + (–λ) – 3 = 0 3 + 2λ + 1 – λ – λ – 3 = 0 1=0 La recta es paralela al plano (pues no tienen ningún punto en común). 30 S A(1, 1, 1) eta B (3, 1, 2) puntuek mugatzen duten r zuzena eta honako hau edukita: x– 2z – 1 = 0 s: y –2=0 aztertu euren posizio erlatiboa eta aurkitu, existitzen bada, hartuko dituen planoaren ekuazioa. → → dr = AB = (2, 0, 1); A(1, 1, 1) Las rectas son paralelas. → ds = (1, 0, –2) × (0, 1, 0) = (2, 0, 1); A ∉ s r A s Obtenemos un punto de s haciendo z = 0: x=1 P (1, 2, 0) y=2 P → → El plano que buscamos es paralelo a dr y a AP (0, 1, –1). → → → Un vector normal al plano es: n = dr × AP = (2, 0, 1) × (0, 1, –1) = (–1, 2, 2) El plano es: –1 · (x – 1) + 2 · (y – 1) + 2 · (z – 1) = 0 –x + 2y + 2z – 3 = 0 31 S 3x + ay + z = 1 Zuzen hau izanda r : 2x + 6y – 2z = 6 a) Aurkitu ra-ren ekuazio parametrikoak a-ren balio bakoitzerako. b) Eztabaidatu a-ren zein baliorekin egongo den ra zuzena x + y + z = 1 planoaren barruan. a) 3x + z = 1 – ay 3x + z = 1 – ay Sumando: 4x = 4 – (a + 3)y 2x – 2z = 6 – 6y x – z = 3 – 3y a+3 x = 1 – ——— y 4 a+3 9–a z = x – 3 + 3y = 1 – y – 3 + 3y = –2 + y 4 4 x = 1 – (a + 3)λ ra: y = 4λ z = –2 + (9 – a)λ 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan 25 b) x + y + z = 1 1 – (a + 3)λ + 4λ – 2 + (9 – a)λ = 1 1 – aλ – 3λ + 4λ – 2 + 9λ – aλ = 1 (10 – 2a)λ = 2 10 – 2a = 0 → 10 = 2a → a = 5 • Si a = 5 → La recta es paralela al plano. • Si a ≠ 5 → La recta y el plano se cortan en un punto. Por tanto, no existen valores de a para los que la recta esté contenida en el plano. 177. orrialdea 32 S Aurkitu A(1, 3, 2) eta B (-2, 5, 0) puntuetatik x= 3– λ igarotzen den eta y = 2 + λ zuzenaren paraleloa den planoaren ekuazioa. z = –2 – 3λ → → El plano será paralelo a AB(–3, 2, –2) y a d(–1, 1, –3). Un vector normal al plano es: (–3, 2, –2) × (–1, 1, –3) = (–4, –7, –1) → El plano es: 4(x – 1) + 7(y – 3) + 1(z – 2) = 0 4x + 7y + z – 27 = 0 33 S Aztertu hurrengo zuzenen posizioa eta, ahal izanez gero, aurkitu zein planoren barruan dauden: r: x–2 y–1 z = = 2 1 –1 s: x–1 y–1 z+2 = = –1 1 –2 → n(4, 7, 1) → dr (1, –1, 2); P(2, 1, 0) → ds (–1, 1, –2) Las rectas tienen la misma dirección. Además P (2, 1, 0) ∈ r, pero P ∉ s; luego las rectas son paralelas. r P Un punto de s es Q (1, 1, –2). s → El plano que buscamos es paralelo a dr y → a PQ(–1, 0, –2). Un vector normal al plano es: → n = (1, –1, 2) × (–1, 0, –2) = (2, 0, –1) Q El plano es: 2(x – 2) + 0(y – 1) – 1(z – 0) = 0 2x – z – 4 = 0 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan 26 34 S Aurkitu eta zuzena hartzen duen x = 2 + 3λ r : y = –1 – λ z= λ eta beheko zuzenaren paraleloa den planoaren ekuazioa: s: x–3 y+1 z = = –3 5 2 → → El plano será paralelo a dr (3, –1, 1) y a ds (5, 2, –3). → Un vector normal al plano será: n = (3, –1, 1) × (5, 2, –3) = (1, 14, 11) Un punto del plano es (2, –1, 0). Por tanto, el plano es: 1(x – 2) + 14(y + 1) + 11(z – 0) = 0 x + 14y + 11z + 12 = 0 35 S Kalkulatu zein izango den m-ren balioa A(m, 0, 1), B(0, 1, 2), C(1, 2, 3) eta D(7, 2, 1) plano berean egoteko. Zein da plano horren ekuazioa? Hallamos la ecuación del plano que contiene a B, C y D. → → El plano será paralelo a BC(1, 1, 1) y a CD(6, 0, –2), es decir, a (1, 1, 1) y a (3, 0, –1). Un vector normal al plano es: → (1, 1, 1) × (3, 0, –1) = (–1, 4, –3) → n(1, –4, 3) La ecuación del plano es: 1(x – 0) – 4(y – 1) + 3(z – 2) = 0 x – 4y + 3z – 2 = 0 Para que A pertenezca al mismo plano, ha de ser: m – 4 · 0 + 3 · 1 – 2 = 0 → m + 1 = 0 → m = –1 x–1 y–2 z+1 = = , zuzena izanda, aurkitu 1 –1 2 36 S π: 2x – 3y + z = 0 planoa eta r: r zuzena hartzen duen eta π planoarekiko perpendikularra den planoaren ekuazioa. El plano será paralelo a (2, –3, 1) y a (1, –1, 2). Un vector normal al plano es: (2, –3, 1) × (1, –1, 2) = (–5, –3, 1) El punto (1, 2, –1) pertenece al plano. La ecuación del plano es: 5(x – 1) + 3(y – 2) – 1(z + 1) = 0 5x + 3y – z – 12 = 0 → → n(5, 3, –1) 37 S Aztertu plano hauen posizioa: x + 2y – z – 3 = 0 2x – y + z – 3 = 0 x– y+ z–1=0 a) b) x – y + z – 2 = 0 c) 3x + y – 2z 3y + 2z – 1 = 0 =0 x+ y + z–2=0 3x – y + z – 4 = 0 2x + 2y – 3z + 4 = 0 27 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan a) |M|= 8 → ran (M) = ran (M') = 3 → Los tres planos se cortan en un punto. 2 –1 1 2x – y + z = 3 b) x – y + z = 2 M' = 1 –1 1 3 –1 1 3x – y + z = 4 M La 3- columna es –1 · 2-; y la 4- columna se obtiene sumando la 1- y la 3-. ª ª ª ª ª Luego ran (M) = ran (M') = 2 → Los tres planos se cortan en una recta. 1 –1 1 x– y + z = 1 c) 3x + y – 2z = 0 M' = 3 1 –2 2 2 –3 2x + 2y – 3z = –4 M ( M 1 2 –1 x + 2y – z = 3 3y + 2z = 1 M' = 0 3 2 1 1 1 x+ y + z = 2 ( |) 3 1 2 3 2 4 |) | ) 1 0 –4 3 1 = 4 ≠ 0 1 –1 y |M| = 0 → ran (M) = 2 Los planos se cortan dos a dos, pero no hay ningún punto común a los tres. 38 S Idatzi A (1, –3, 2) eta B (0, 1, 1) puntuetatik igarotzen den eta beheko zuzenaren paraleloa den planoaren ekuazioa: 3x – 2y +1=0 r: 2y + 3z – 3 = 0 Un vector dirección de r es: (3, –2, 0) × (0, 2, 3) = (–6, –9, 6) // (2, 3, –2) → AB(–1, 4, –1) El plano que buscamos es paralelo a (2, 3, –2) y a (–1, 4, –1). → Un vector normal al plano es: n = (2, 3, –2) × (–1, 4, –1) = (5, 4, 11) La ecuación del plano es: 5(x – 0) + 4(y – 1) + 11(z – 1) = 0 5x + 4y + 11z – 15 = 0 39 mx + 2y – 3z – 1 = 0 eta 2x – 4y + 6z + 5 = 0 planoak izanda, aurkitu m-ren balioa plano horiek: a) Paraleloak izateko. b) Perpendikularrak izateko. 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan 1 –1 1 3 1 0 = –12 ≠ 0 → ran (M' ) = 3 2 2 –4 ( 28 a) Las coordenadas de (m, 2, –3) y de (2, –4, 6) han de ser proporcionales: m 2 –3 = = 2 –4 6 → m = –1 b) (m, 2, –3) · (2, –4, 6) = 2m – 8 – 18 = 2m – 26 = 0 → m = 13 40 S Aurkitu a-ren balioa r eta s zuzenak plano berean egoteko eta aurkitu plano horren ekuazioa: x – 2z = 0 r: y– z=2 x+y =1 s: x + 2z = a Escribimos las ecuaciones de r y s en forma paramétrica: x – 2z = 0 → x = 2z r: y– z=2 → y=2+z x+y =1 → y=1–x a x s: + 2z = a → z = — – — x 2 2 x = 2λ r: y = 2 + λ z = λ x = 2λ y = 1 – 2λ s: a z=—–λ 2 Obtenemos un punto y un vector dirección de cada recta: → dr (2, 1, 1); P (0, 2, 0) → ds (2, –2, –1); P' (0, 1, a/2) → PP' (0, –1, a/2) → → → Para que las rectas estén en el mismo plano, los vectores dr , ds y PP' han de ser coplanarios: → → El plano será paralelo a dr y a ds . Un vector normal al plano es: → n = (2, 1, 1) × (2, –2, –1) = (1, 4, –6) El punto P (0, 2, 0) pertenece al plano. La ecuación del plano es: 1(x – 0) + 4(y – 2) – 6(z – 0) = 0 x + 4y – 6z – 8 = 0 41 x=3 Aztertu r : zuzenaren eta z = 1 planoaren posizioa. y=2 Son perpendiculares y se cortan en el punto (3, 2, 1). 2 2 1 –2 1 –1 0 –1 a/2 = –3a – 4 = 0 → a = –4 3 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan 29 42 S 3x – y + z =0 zuzena eta ax – y + 4z – 2 = 0 planoa ditugu. 2x –z+3=0 a) Kalkulatu a-ren balioa, r-ren paralelo izateko. b) Badago a-ren baliorik r-rekiko perpendikularra izateko? → Un vector dirección de r es: d = (3, –1, 1) × (2, 0, –1) = (1, 5, 2) → Un vector normal al plano es n = (a, –1, 4). → → a) Para que r sea paralela al plano, d y n han de ser perpendiculares: (1, 5, 2) · (a, –1, 4) = a – 5 + 8 = a + 3 = 0 → a = –3 b) Los vectores Como → d y → n deberían tener sus coordenadas proporcionales. 5 2 ≠ , no es posible; es decir, no existe ningún valor de a para el –1 4 cual r sea perpendicular al plano. 43 S x – 2z + 3 = 0 r: zuzena eta π: x + 2y + 3z – 1 = 0 planoa izanda, y– z–4=0 aurkitu π planoaren barnean egon, P (2, 1, –1)-etik igaro eta perpendikularra den s zuzen bat. ☛ s zuzenaren norabide bektoreak r-ren norabide bektorearen eta planoaren bektore normalarekiko perpendikularra izan behar du. → Un vector dirección de r es: d = (1, 0, –2) × (0, 1, –1) = (2, 1, 1) → Un vector normal al plano es n = (1, 2, 3). Un vector dirección de la recta que buscamos es: (2, 1, 1) × (1, 2, 3) = (1, –5, 3) x = 2 + λ La recta es: y = 1 – 5λ z = –1 + 3λ x–1 y+3 z+2 x + 2z = 5 Aurkitu r : zuzenaren paraleloa, s: = = y + 3z = 5 4 2 3 zuzenaren eta π: x – y + z = 7 planoaren ebaki puntutik igarotzen dena. Un vector dirección de la recta es: (1, 0, 2) × (0, 1, 3) = (–2, –3, 1) // (2, 3, –1) Escribimos la recta s en forma paramétrica para hallar el punto de corte de s y π: x = 1 + 4λ s: y = –3 + 2λ z = –2 + 3λ π: x – y + z = 7 1 + 4λ + 3 – 2λ – 2 + 3λ = 7 5λ = 5 → λ = 1 44 S El punto de corte de s y π es (5, –1, 1). 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan 30 Por tanto, la recta que buscamos es: x = 5 + 2λ x–5 y+1 z–1 = = y = –1 + 3λ o bien 3 2 –1 z = 1 – λ 178. orrialdea 45 S Aurkitu P(1, 2, 3) puntutik igaro eta jatorritik eta B(1, 1, 1) eta C(1, 2, 1) puntuetatik igarotzen den planoarekiko perpendikularra den zuzenaren ekuazioa. → → Un vector normal al plano es: OB × OC = (1, 1, 1) × (1, 2, 1) = (–1, 0, 1) Este vector es un vector dirección de la recta que buscamos. Las ecuaciones de la recta son: x = 1 – λ y = 2 z = 3 + λ 46 S 1–x y z+2 x+y –1=0 Idatzi r : zuzena hartzen duen eta s: = = 2x – y + z =0 –2 3 –4 zuzenaren paraleloa den planoaren ekuazioa. Un vector dirección de r es: (1, 1, 0) × (2, –1, 1) = (1, –1, –3) El plano que buscamos es paralelo a (1, –1, –3) y a (–2, 3, –4). Un vector normal al → plano es: n = (1, –1, –3) × (–2, 3, –4) = (13, 10, 1) Obtenemos un punto de r haciendo x = 0: y– 1= 0 → y = 1 P (0, 1, 1) –y + z = 0 → z = y = 1 La ecuación del plano es: 13(x – 0) + 10(y – 1) + 1(z – 1) = 0 13x + 10y + z – 11 = 0 47 S 2x + y – az = 2 Aztertu plano honen π: x + ay – z = 1 eta r : x–y– z=a–1 zuzenaren posizio erlatiboak a-ren balioen arabera. π: x + ay – z = 1 1 a –1 M' = 2 1 –a 2x + y – az = 2 r: 1 –1 –1 x– y – z= a – 1 M |M| = –a 2 + a + 2 = 0 → a = 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan ( | ) 1 2 a–1 a = –1 a= 2 31 –1 ± √ 1 + 8 –1 ± 3 = = –2 –2 • Si a = –1, queda: 1 –1 –1 M' = 2 1 1 1 –1 –1 • Si a = 2, queda: 1 2 –1 M' = 2 1 –2 1 –1 –1 ( ( | ) |) 1 2 1 1 ← 2 planos paralelos. La recta es paralela al plano. –2 ← La 1- ecuación se obtiene restándole a la 2- la 3-. ª ª ª Por tanto, la recta está contenida en el plano. • Si a ≠ –1 y a ≠ 2 → La recta y el plano se cortan en un punto. 48 S Kalkulatu A (1, 0, 1) puntuak eta beheko zuzenak mugatzen duten planoaren ekuazioa. x+y– z+1=0 r: =0 2x – y + 2z → Un vector dirección de la r es: d = (1, 1, –1) × (2, –1, 2) = (1, –4, –3) r A d P → Obtenemos un punto de r haciendo x = 0: y – z + 1 = 0 Sumando: z + 1 = 0 –y + 2z = 0 y = 2z = –2 P (0, –2, –1) → z = –1 → → El plano es paralelo a d(1, –4, –3) y a PA(1, 2, 2). Un vector normal al plano es: (1, –4, –3) × (1, 2, 2) = (–2, –5, 6) // (2, 5, –6) La ecuación del plano es: 2(x – 1) + 5(y – 0) – 6(z – 1) = 0 2x + 5y – 6z + 4 = 0 49 u (2, 3, 5), v (6, –3, 2), w (4, – 6, 3), p (8, 0, a) bektoreak eta plano hauek → → → → izanda: π (x, y, z) = (1, 2, 3) + λ u + μ v π': (x, y, z) = (1, 2, 3) + λ w + μ p aztertu eta π'-ren posizio erlatiboak a-ren balioen arabera. Obtenemos las ecuaciones implícitas de los dos planos: → → u × v = (21, 26, –24) π: 21(x – 1) + 26(y – 2) – 24(z – 3) = 0 π: 21x + 26y – 24z – 1 = 0 → → w × p = (–6a, 24 – 4a, 48) π': –6a(x – 1) + (24 – 4a) (y – 2) + 48(z – 3) = 0 π': –6ax + (24 – 4a) y + 48z + (14a – 192) = 0 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan → → → → 32 M' = –6a 21 • Si a = 7, queda: 21 ( –42 26 –24 –4 48 1 94 21 ( –6a 26 –24 24 – 4a 48 M 1 192 – 14a ) –24 = 1 008 – 144a = 0 → a = 7 48 ) → Los planos se cortan en una recta. • Si a ≠ 7 → ran (M) = ran (M' ). Los planos se cortan en una recta. Los planos se cortan en una recta cualquiera que sea el valor de a (aunque no sea siempre la misma recta). 50 S Aztertu plano hauen posizioa m-ren balioen arabera: x+ y =1 my + z = 0 x + (1 + m)y + mz = m + 1 y =1 my + z = 0 x + (1 + m)y + mz = m + 1 |M| = m 2 – m = 0 • Si m = 0, queda: x+ 1 1 0 m 1 M' = 0 1 1+m m M m=0 m=1 ( 1 1 0 0 0 1 1 1 0 | ) 1 0 1 El 1- y el 3- son el mismo plano; el 2- los corta. Por tanto, se º º º cortan en una recta. • Si m = 1, queda: M' = 0 1 = 1 ≠ 0 1 1 ( 1 1 0 0 1 1 1 2 1 M | ) 1 0 2 y |M| = 0 → ran (M) = 2 Los planos se cortan dos a dos, pero no hay ningún punto común a los tres. • Si m ≠ 0 y m ≠ 1 → ran (M) = ran (M') = 3. Los planos se cortan en un punto. 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan 1 1 1 0 1 0 = 1 ≠ 0 → ran (M') = 3 1 2 2 ( | 1 0 m+1 ) 33 51 S Aurkitu P (2, 0, –1) puntutik igaro eta beheko zuzenak ebakitzen dituen r zuzenaren ekuazioa: s1: x–2 y–2 z+1 = = 2 –1 1 x+y +4=0 s2: y – 3z + 3 = 0 Escribimos las dos rectas en forma paramétrica: x = 2 + 2λ s1: y = 2 – λ z = –1 + λ x = –1 – 3λ s2: y = –3 + 3λ z = λ La recta r está determinada por los siguientes planos: α: contiene a la recta s1 y al punto P: β: contiene a la recta s2 y al punto P: x – 2z – 4 = 0 Así, r: x + 3z + 1 = 0 52 S Plano hauek edukita: π: ax + y + z = a y π' : x – ay + az = –1 egiaztatu zuzen batean ebakitzen dutela elkar, a-k edozein balio izanda. Aurkitu zuzen horren norabide bektorea a-ren funtzioan. a 1 1 π: ax + y + z = a M = 1 –a a π': x – ay + az = –1 x–2 y z+1 2 –1 1 =0 0 2 0 x–2 y z+1 –3 3 1 =0 –3 –3 1 ( ) 1 a 1 = –a 2 – 1 = –(a 2 + 1) ≠ 0 para todo valor de a. –a Por tanto, ran (M ) = 2 para cualquier valor de a; es decir, los planos se cortan en una recta (cualquiera que sea el valor de a). • Vector dirección de la recta: (a, 1, 1) × (1, –a, a) = (2a, 1 – a 2, –a 2 – 1) 53 S Zuzen hauek kontuan hartuta: x= 3+ λ r : y = –1 + 2λ z= 2+ λ 4x + 5y +7 =0 s: 3y – 4z + 7 – m = 0 a) Kalkulatu m-ren balioa plano batean egon daitezen. b) Idatzi plano horren ekuazioa. → dr (1, 2, 1) a) → ds = (4, 5, 0) × (0, 3, –4) = (–20, 16, 12) // (–5, 4, 3) 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan 34 Como las rectas no son paralelas ni coincidentes, para que estén en un mismo plano se han de cortar en un punto. Imponemos esta condición. Para averiguar el punto de corte, sustituimos las coordenadas de un punto de r en las ecuaciones de s y resolvemos el sistema: 4(3 + λ) + 5(–1 + 2λ) + 7 = 0 → 14λ + 14 = 0 → λ = –1 3(–1 + 2λ) – 4(2 + λ) + 7 – m = 0 → 2λ – 4 – m = 0 → –6 –m = 0 → m = –6 Por tanto, para que las rectas estén en un mismo plano, ha de ser m = –6. b) Si m = –6, las rectas se cortan en el punto (2, –3, 1) (lo obtenemos haciendo λ = –1 en las ecuaciones de r). → → El plano que buscamos pasará por ese punto y será paralelo a dr y a ds . Luego, un vector normal al plano será: → (1, 2, 1) × (–5, 4, 3) = (2, –8, 14) → n(1, –4, 7) La ecuación del plano es: 1(x – 2) – 4(y + 3) + 7(z – 1) = 0 x – 4y + 7z – 21 = 0 x – 3y x – 2ay + 4a – 1 = 0 +6=0 r: eta s: ax – 3z + 3 = 0 2y – z – 4 = 0 54 S zuzenak izanda: a) Aurkitu zuzen biak plano berean egon ahal izateko a-ren baliorik existitzen den. Horrela bada, aurkitu plano horren ekuazioa. b) Zehaztu a-ren zein baliorekin diren zuzenak paraleloak eta a-ren zein baliorekin elkar gurutzatuko duten zuzenek. a) Obtenemos un vector dirección de cada una de las rectas: → → dr : (1, –3, 0) × (a, 0, –3) = (9, 3, 3a) // (3, 1, a) = dr → → ds : (1, –2a, 0) × (0, 2, –1) = (2a, 1, 2) = ds Las coordenadas de los dos vectores no son proporcionales para ningún valor de a; por tanto, las rectas no son paralelas ni coincidentes. Para que estén en un mismo plano, se han de cortar en un punto. Obtenemos un punto de cada una de las rectas: r: x = 0 → y = 2, z = 1 → P (0, 2, 1) s: y = 0 → z = –4, x = 1 – 4a → P' (1 – 4a, 0, –4) → PP' (1 – 4a, –2, –5) → → → Para que las rectas se corten, los vectores dr , ds y PP' han de ser coplanarios: 3 1 a 2a 1 2 =a–1=0 → a=1 1 – 4a –2 –5 Si a = 1, las rectas son secantes, y, por tanto, están contenidas en un plano. 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan 35 El plano será paralelo a (3, 1, 1) y a (2, 1, 2). Un vector normal al plano será: → n = (3, 1, 1) × (2, 1, 2) = (1, –4, 1). Un punto del plano es, por ejemplo, P (0, 2, 1). Así, la ecuación del plano es: 1(x – 0) – 4(y – 2) + 1(z – 1) = 0 x – 4y + z + 7 = 0 b) Por lo obtenido en el apartado anterior, sabemos que: • No hay ningún valor de a para el que las rectas sean paralelas. • Si a ≠ 1, las rectas se cruzan. GALDERA TEORIKOAK 55 Egiaztatu koordenatu ardatzak A (a, 0, 0), B (0, b, 0) eta C (0, 0, c) puntuetan ebakitzen dituen planoaren ekuazioa honela idatz daitekeela: x y z + + =1 a b c • Si sustituimos las coordenadas de los puntos A, B y C en la ecuación dada, vemos que la cumplen. • Por otra parte, para ver los puntos de corte con los ejes de coordenadas del plano dado, hacemos lo siguiente: — corte con el eje X → y = z = 0 → x = a → A(a, 0, 0) — corte con el eje Y → x = z = 0 → y = b → B (0, b, 0) — corte con el eje Z → x = y = 0 → z = c → C (0, 0, c) 56 Plano bat A puntuak eta u eta v bektoreek mugatzen dute. Zein baldintza → → bete behar dute u-k eta v-k planoa mugatzeko? Tener distinta dirección. 57 Azaldu nola lortzen diren ekuazio inplizitua ezagun duen plano baten ekuazio parametrikoak. Aplikatu x + 2y – z – 1 = 0 planoaren kasuan. Hacemos, por ejemplo, y = λ, z = μ y despejamos x. En el caso del plano x + 2y – z – 1 = 0, quedaría: x = 1 – 2y + z; es decir: x = 1 – 2λ + μ son sus ecuaciones paramétricas. y = λ z = μ → → 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan 36 Página 179 58 Zein dira x–4 y+3 z–1 = = zuzenaren ekuazio inplizituak? 0 0 2 x–4=0 y + 3 = 0 59 Zein posizio erlatibo izan behar dute bi zuzenek plano bat mugatzeko? Paralelas o secantes. 60 π1 eta π2 bi plano paralelo dira eta r1 eta r2, hurrenez hurren, π1 eta π2 planoetan dauden bi zuzen. r1 eta r2 paraleloak direla esan dezakegu? No. Pueden ser paralelas o cruzarse. 61 r eta s zuzenek elkar gurutzatzen dute. r hartu eta s zuzenaren paraleloa den planoa aurkitzen badugu, eta s hartzen duen eta r zuzenaren paraleloa den planoa, nolakoak dira plano horiek euren artean? Paralelos. 62 A (x1, y1, z1) eta B (x2, y2, z2) dira ax + by + cz + d = 0 planoko bi puntu. Egiaztatu AB bektorea n (a, b, c) bektorearekiko perpendikularra dela. ☛ Ordezkatu A-ren eta B-ren koordenatuak planoaren ekuazioan eta egin lortzen dituzun berdintzen kenketa. → → A∈π B∈π → → ax1 + by1 + cz1 + d = 0 ax2 + by2 + cz2 + d = 0 Restando, obtenemos: a(x2 – x1) + b(y2 – y1) + c(z2 – z1) = 0; es decir: → → → (a, b, c) · AB = 0 → n · AB = 0 → → Por tanto, AB es perpendicular a n. ax + by + cz + d = 0 r: zuzena eta a"x + b"y + c"z + d" = 0 planoa izanda, a'x + b'y + c'z + d' = 0 geometriari dagokionez, zer esan nahi du zuzen eta planoaren ekuazioak lotuz lortzen den sistema bateraezina dela? Eta bateragarri indeterminatua dela? Si el sistema es incompatible, significa que la recta y el plano son paralelos. Si es compatible indeterminado, significa que la recta está contenida en el plano. 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan 63 37 64 Zein baldintza bete behar dute a, b, c eta d-k ax + by + cz + d = 0 planoa izan dadin: a) OXY planoaren paraleloa. b) OXY planoarekiko perpendikularra. c) Z ardatzaren paraleloa. d) Ez dadin ardatz baten beraren paraleloa izan. a) a = b = 0, c ≠ 0, d ≠ 0 b) c = 0 c) c = 0, d ≠ 0 d) a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 SAKONDU 65 π : ax + y + z + 1 = 0 planoa eta beheko zuzenak izanda: x=1 x=2 x=3 r1: r2: r3: y=z y = 2z y = 3z Kalkulatu a-ren balioa planoak zuzen bakoitzarekin irudikaturiko ebaki puntuak lerrokatuta egon daitezen. ☛ Aurkitu P, Q eta R ebaki puntuak a-ren funtzioan. Gero, adierazi PQ eta QR bektoreen arteko menpekotasun lineala. → → Hallamos los puntos de corte del plano con cada una de las tres rectas: π con r1: a + 2z + 1 = 0 → z = P 1, π con r2: –1 – a 2 ( –1 – a –1 – a , 2 2 ) ) ) –1 – 2a 3 2a + 3z + 1 = 0 → z = Q 2, ( –2 – 4a –1 – 2a , 3 3 π con r3: 3a + 4z + 1 = 0 → z = R 3, –3 – 9a –1 – 3a , 4 4 → → Los vectores PQ y QR han de tener sus coordenadas proporcionales: → –1 – 5a 1 – a → –1 – 11a 1 – a PQ 1, , ; QR 1, , 6 6 12 12 ( –1 – 3a 4 ( ) ( ) 38 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan –1 – 5a –1 – 11a = 6 12 1–a 1–a = 6 12 Por tanto, a = 1. 66 → –2 – 10a = –1 – 11a → a = 1 → a=1 Aurkitu zein ekuazio duen zuzen batek A(1, 1, 1) puntutik igaro, π : x – y + z – 3 = 0 planoaren paralelo izan eta x=1 s: zuzena ebakitzen badu. y=3 • Como corta a s, pasará por el punto P (1, 3, K) para cierto valor de K. → • Como pasa por A(1, 1, 1) y por P(1, 3, K), un vector dirección es: AP(0, 2, K – 1). • Como ha de ser paralelo al plano π, será perpendicular al vector normal de π, →(1, –1, 1). Por tanto: n → → AP · → = –2 + K – 1 = 0 → K = 3, es decir: AP (0, 2, 2) // (0, 1, 1) n • Las ecuaciones de la recta son: x = 1 y = 1 + λ z = 1 + λ GEHITXOAGO PENTSATZEKO 67 Zuzenki baten barneko puntuak PQ zuzenkia bost zati berdinetan zatitu dugu eta V puntua P-tik bi unitatera eta Q-tik hirura kokatu dugu. Zein dira V-ren koordenatuak? Aurkitzeko, honela jokatuko dugu. → p = OP, q = OQ esango diegu → → → → OV = p + → 2 → → 2 → → 3 → 2 → PQ = p + (q – p ) = p+ q 5 5 5 5 P → V Q p → q O n m → → p+ q m+n m+n a) P (4, –1, 8) eta Q (–1, 9, 8) badira, aurkitu V-ren koordenatuak. b) Aurkitu PQ zuzenkian dagoen W puntuaren koordenatuak: zuzenkia 7 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan 39 zati berdinetan zatitu eta W puntua P-tik 2 unitatera dago. Aplikatu P (2, 11, –15), Q (0, –3, 6) kasuan. c) Frogatu PQ zuzenkia m + n zatitan banatu eta X puntua P-tik m unitatera jarriz gero, X-ren koordenatuak hauek direla: n m → → p+ q m+n m+n — → → d) Frogatu 0 ≤ α < 1 bada, orduan (1 – α) p + α q puntua PQ-koa dela. a) V = 3 2 (4, –1, 8) + (–1, 9, 8) = (2, 3, 8) 5 5 b) Razonando como en el caso anterior, llegamos a: → → 2 → → 2 → → 5 → 2 → OW = p + PQ = p + ( q – p) = p+ q 7 7 7 7 Si consideramos el caso P (2, 11, –15) y Q (9, –3, 6), entonces: W= 5 2 (2, 11, –15) + (9, –3, 6) = (4, 7, –9) 7 7 c) Razonando como en los casos anteriores, tenemos que: → → OX = p + = 1– → → m → → m PQ = p + ( q – p) = m+n m+n → → m m → n m → p+ q= p+ q m+n m+n m+n m+n ( ) → d) Llamamos d = |PQ|. Sea X un punto del segmento PQ que esté a una distancia αd de P y (1 – α)d de Q. (Como 0 ≤ α < 1, entonces 0 ≤ αd < d; luego X pertenece al segmento PQ). Razonando como en los apartados anteriores, tenemos que las coordenadas de X son: → → (1 – α)d → αd → p+ q, es decir, (1 – α) p + α q d d Por tanto, este punto (que es X) es un punto del segmento PQ. 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan 40 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan 41 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan 42 6. unitatea. Zuzenak eta planoak espazioan 43