Solucionario de B. Makarenko - Ejercicios y Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - FL

Eduardo Espinoza Ram Graduado y Titulado en Matemát Catedrático de las principales Universidades de la Capital □ B R A S P U B L I C A D A S J ■— —i . ! Ilk$r' "(Vil U B E J m 1 r■ T:W -~*VW / T (X) * V ► Variable Compleja y sus Aplicaciones ► Solucionarlo de Análisis Matemático por Deminovich tomo I, II, III ► Solucionarlo de Análisis Matemático por G.Berman, tomo I, II, III ► Solucionarlo de Matemática Aplicada a la Administración y Economía por E.WEBER. ► Solucionado de Leithold 2da. Parte. ► Geometría Vectorial en R2 ► Geometría Vectorial en R3 SOLUCION ARIO DE B. MAKARENKO EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS *■'"> e> £ Í+ -« .m Y=*(» www.Solucionarios.net Eduardo (Espinoza Ramos Lim a - P e rú EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS SOLUCIONARIO A. KI SEL ION - M. Krsnov - G. MAKARENKO EDUARDO ESPINOZA RAMOS LIMA - PERÚ IMPRESO EN EL PERU Fecha de publicación Ejemplares impresos Númáfo de edición Autor* 0 9 - 0 2 - 2 0 1 0 1 0 0 0 libros 3a EDICIÓN Eduardo*Espinoza Ramos Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo ■ los sistemas de fotocopia, registros magnéiicos o de alimentación de datos, sin expreso consentimiento del autor y editor. DERECHOS RESERVADOS D.L. N° 822 Derechos copyright Edukperu © 2009 reservados RUC N° 20520372122 Ley de Derechos del Autor N° 13714 Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú con el número N° 2007-12593 PROLOGO La presente obra intitulada “ Ejercicios y Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Solucionario ” del libro de Makarenko y otros autores, en su 3ra. Edición, se ha revisado cuidadosamente y ampliado, abarcando los conceptos fundamentales, las ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado, así como sus aplicaciones, las ecuaciones diferenciales lineales de orden n homogénea y no homogéneas, las ecuaciones diferenciales de Euler, las ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes variables, solución de ecuaciones diferenciales por series de potencias, sistemas de ecuaciones diferenciales, solución de ecuaciones diferenciales lineales por medio de Transformada de Laplace, sistemas de ecuaciones diferenciales resueltas por medio de Transformada de Laplace. El objetivo fundamental de la presente obra es servir en la formación de los futuros profesionales en las áreas de ciencia e ingeniería, tanto en los aspectos científicos, como técnicos relacionadas con la impresión. Deseo expresar mi más profundo agradecimiento a mis colegas del área de matemática de las diversas universidades, quienes con sus sugerencias y apoyo han contribuido para mejorar éste trabajo. También mi reconocimiento especial al Doctor Pedro Contreras Chamorro, quien en todo momento está contribuyendo en mis trabajos, a fin que el beneficiado sea el estudiantado. Agradezco por anticipado la acogida que ustedes brindan a cada una de mis publicaciones, las que emanan del deseo de que encuentren en ellas una ayuda para su avance y desarrollo intelectual. Eduardo Espinoza Ramos IN D IC E Pag. 1. Conceptos Fundamentales. i 2. Ejercicios de Verificación. 2 3. Ecuación con Variable separable y ecuaciones reducibles a ellas 14 4. Ecuaciones Homogéneas y Reducibles a ellas 48 5. Ecuaciones lineales de primer orden y Ecuación de Bemoulli 72 6. Ecuaciones Diferenciales Exactas, factor integrante 100 7. Ecuaciones Diferenciales de primer orden no resueltas con respecto a la derivada. 130 8. Ecuación de Lagrange y Clairout 143 9. Composición de las Ecuaciones Diferenciales de las familias de curvas, problemas de Trayectorias. 154 10. Soluciones Singulares 166 11. Diversos Problemas 175 12. Ecuación Diferencial de orden superior, Reducción del orden de la ecuación. 196 13. reducción del orden de la Ecuación 210 14. Ecuaciones Diferenciales Lineales de orden n 245 15. Ecuaciones Lineales Homogéneas de coeficientes constantes 16. Ecuaciones Lineales no Homogéneas de coeficientes Constantes 17. Ecuación de Euler 18. Ecuaciones Diferenciales lineales de Coeficientes Variables 19. Composición de la Ecuación Diferencial dado el Sistema Fundamental de Soluciones 20. Integración de las Ecuaciones Diferenciales mediante series 21. Sistemas de Ecuación Diferencial de coeficientes constantes 22. Reducción de un sistemas a una Ecuación Diferencial de orden n 23. Método Operacional y su aplicación para la resolución de Ecuación Diferencial 24. Propiedades de Transformada De Laplace 25. Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Constantes (con Transformada de Laplace). 26. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales lineales con Transformada de Laplace 27. Apéndice í j nói38U33 «i 3b ksé 260 272 333 345 394 396 430 431 454 455 470 489 510 ICONCEPTOS FUNDAMENTALES! Una ecuación diferencial es aquella que relaciona la variable independiente x, la función incógnita y = y(x) y sus derivadas; y^n): es decir: es una ecuación de la forma. Si la función incógnita y = y(x) depende de una sola variable independiente x, la ecuación diferencial se llama ecuación diferencial ordinaria. El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden que figura en la ecuación. Se llama solución de la ecuación diferencial a una función y = \|/(x), determinada en el intervalo (a, b), junto con sus derivadas sucesivas hasta el orden n inclusive tal que al hacer la sustitución y = \|/(x) en la ecuación diferencial, esta se convierte en una identidad con respecto a x en el intervalo (a, b). La gráfica de una solución de la ecuación diferencial se denomina curva integral de la ecuación. La forma general de una ecuación de primer orden es: F ( x , y ; f ) = 0 Si en la ecuación (1) es posible despejar y ' , resulta; . . . (2) Que representa una ecuación de primer orden, resuelta con respecto a la derivada. 1 Verificar, en los ejercicios que se dan a continuación, que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas. sen* 11.- y = -------, xy'+y = eos* x Solución y - scn£ y'= x cos* se.n.£ 9 reemplazando en la ecuación dada. jc eos jc-sen* sen* x 2 co sx -x sen x sen* 2 y v2X * * senx senx = eos X---------+ ------- -- eos X X X .*. xy'-Hy = cosx 12. - >> = ce“2jr+ — , y + 2j = e* Solución _ c e ~2jr + £ _ => y = - 2c e _2jr + — , reemplazando en la ecuación dada. i "\lp fii- X ex y'+2y = -2ce~lx +— + 2ce~Zr +2 — = e x 3 3 y'+2y = e x 13.- >> = 2 + c V l- x 2 , ( l - j c 2)y+xy = 2x Solución y = 2 + cV i- * 2 => y= -ex 2 ( l - j r 2).y'+jrv = - ( l - x 2)— ^ = r + x(2 + cV l-x 2) = - V l- x 2cc + VT V l-J ’-x2 (1 - j t 2)j '^+jcv = 2jc 14.- j = x V l - x 2", >y’= x - 2 x 3 Solución .y = W l - * 2 => / = V l - x 2 — í ------= —T 2* V i- * 2 V i- * 2 r. 5". 1 —2jc ,= W l - s (■ ,----- - ) = s - 2 x 3 >y' = JC-2:c3 15.- , = , x /= > ;tg (ln j;) Solución aresenexj; = ^aresener ^ l = 'Jl -(cx)2 X c e « * m c x x c y xy - r - ■- = ^ = tg(ln_v).^ V1 ~ ( c x ) 2 -Jl-(cx)2 x} = J'tg(lny) donde: sen(lny) = cx => lny = arc.sen ex => tg(lny) = — v h ^ F f* 2 16.- ^ = e J0 dt+ceX > y ' - y = e - x 2cx + 2x 3 Solución y = e * J * e ' 1 d t + c e * = > y ' = e x £ e ' 2 d t + e * . e * ' + c e * , reemplazando y ’- y = e x J X e , 2 d t + e * . e * 2 - + c e * - e * j o e ' d t - c e * = e *~* .e*1 y ' - y = ex+j;2 f * sen t 17.- y = x \ — ~ d t , x y = y + Jo t xsenx Solución ex Sen t Cx sen i sen x r > sen t . v —x l ------ dt ^ y' = I dt + x - I dt + sen x y J0 t 7 Jo t X Jo t r* sen t r*sení xy’= x ( ------ X y _ J dx + c)=> / = J — dx + c + e* \ reemplazando en la ecuación dada. x f €* xy'-y = x( í — dx + x + ex) - x ( | — dx + c) J x J x Í e x f e x— dx •+■ xc + xc — x I ——- dx — xc — xc X J X x y '-y = xex 4 X = COSÍ 19.- L x+ yy' = 0 y = sen / 20. - Soiución , _ / (O _ eos/ cosí * '(0 sen í ^ sen/ , , eos/* + = cos/ + sen/(---------) = c o s /-c o s / = 0 sen/ JC + J> /= 0 x = í e t y = e (l + xy)y'+y2 =0 Solución ... y\ - e "y = —r = —--------------7 =>y '= —-, reemplazando en la ecuación ' - ' e (1+ t) _ -/ (l + xy)/+j>2 = (l + í)(-----------) + e~2' = - e “2' + e 2' = 0 e' 0 + 0 (1 + xy)y'+y2 =0 x = e »rctg(f) 21.- L y + xy’= 0^ = e -arctg(,)r* jx = esrctg 22 . - 23.- y ' = — = e ‘ 2arct8(' ) = > / = _ e - 2arct8(') y + jcy’= É -arc,8(,) + earct* y in — = 4x y = í (21n í + l)j 4 Solución jt = / ln / => jcJ = ln f+ 1 y = f2(21n/ + l) => y} = 2f(21n / + l) + 2f = 4í(ln/ + l) y [= 4 r ( ln / + l ) =4¿ ^ y,= 4, ' x1 ln í+ 1 y i n — = 4í ln(— ) = 4í ln t = 4x 4 4 jc = ln / + sen í y = r(l + senO + cosíJ y' ln— = 4x 4 , x = ln v’+ sen j'’ Solución , 1 1+/COS/ x = iní + sen t=>x\ = - + cos / = ----- ------ y = /(l + sení) + cosí ^ .V/ = 1 + sen l + t eo s /— sen / = l + f eos/ 6 , >>} 1 +íeosr = - ---------- = t=>y'=t r ‘ 1 + ícosí_____ _ l n y + s e n /= ln í + sení = . x = ln y + sen y ’ x = t + aresen í , x = y + a re s e n / x = í + aresení x; = 1 + Solución 1 1 í(l+ / . i - 1 + 1 = t=>y'=t y'+ aresen y' = t + aresen r = x x = y '+ aresen / x = t 2 +er 2 í 3 y = — + ( r - i y y +ey' = x Solución x = t 2 +e' x\ = 2 t + e'3 s * y = * - + ( , - l ) e ‘ y'(t) = 2t2 +e' + ( í- l )e ' =t( 2t + e‘) , y\ t(2 t+ e') , ,y = - —---- — - = / = > / = í x\ 2t + e ‘ y ’2+ey' = t 2 +el = x y '2+ey = x Verificar que las funciones dadas son las soluciones generales de diferenciales indicadas. las ecuaciones 26.- y = -------, y '- tg x .y = 0 cosx Solución y ------- y'' = c sec x. tg x , reemplazando en la ecuación cosx Q y '- tg x .y = c sec x . tg x - tg x .------ = c .secx .tg x -csecx .tg .t = 0 cosx y - t g x .^ = 0 27.- = y '= 3 y 2 3x + c Solución y = - / = i 3x + c 3 y = (3x + c) = 3(——— ) 2 = 3 ( - y )2 = 3 y2 (3x + c) 3 x + c ••• y '= 3 y 2 8 28.- y = ln(c+ex) , y '= e x~y Solución y - ln(c+ex)=t> y ’= -------- , además y= ln(c + ex)=>c + ex = ey c+ ex e x e xy'-.---------- -- ---- = e ' - ' => y ’= ex~y c+ e x ey 29.- y = -Jx2 - e x , (x2 + y 2)d x - 2 x y d y - 0 Solución y = 4 * 2 - ex => dy = — rl : . c dx x 1 - e x (2 x -c )d x -2 ^ J x 2 -cxd y = 0 , dedonde (2x2 -x c )d x -2 x y d y = 0 (x 2 - x c + x 2)d x -2 x y d y = 0 entonces ( y 2 + x 2)dx -2xydy = 0 30.- j = x(c-ln |j:|) , (x - y) dx + x dy = 0 Solución y = x ( c —lnjxj) => dy = (c -\v \x \)dx-dx x d y = x ( c - \n \ j f y d x - x d x , como y - x{c - lnjx|) entonces: xdy = y d x - x d x => ( x - y ) d x + xdy = 0 31) x = y e * * \ / = x ( ln x - ln ^ ) Solución 9 x - y e \ n x - \ n y = cy + \ => ln — = cy + \ , dedonde x = y e V +l => e ^ 1 = - jc = l = / ^ +1+ o ^ +V = ^ ( 1 + 0 0 / = ~ ( in x - ln .y )y 1 = —(ln jc - ln y ) / entonces: y '= - ^ x (ln x - ln y ) 32) * = >>lncy, / ( * + >>) = .V Solución x e yx = yhicy => — = lncy => — = c , derivando se tiene: y y y e h * ^ f ) - ¿ y ' y y _ x y ' ------------------------- = 0 simplificando - ----- — - / = 0 => y -x y '-y y '= 0 y y ' ( x + y ) y '= y La relación 4>(x, y, c) = 0 que se obtiene en forma implícita determina la solución general que se llama integral general de la ecuación diferencial de primer orden. La relación que se obtiene en la integral general al atribuir a la constante c un valor determinado, se llama integral particular de la ecuación diferencial. El problema de resolución o de integración de una ecuación diferencial consiste en hallar la solución general o la integral de la ecuación diferencial considerada, si además, se ha dado alguna condición inicial, se pide también hallar la solución particular o la integral particular que satisface a la condición inicial considerada. Como geométricamente las coordenadas x e y son equipotentes, además de la ecuación — = f ( x , y ) se considera también la ecuación — = - * dx dy f ( x , y ) 10 ( omprobar si las relaciones dadas son integrales de las ecuaciones diferenciales indicadas o no lo son (c = constante). 33) e~y - e x = 1, jty'+l = ey Solución e~y - 1e y - ex - 1 => ---------= c derivando x -x e ~yy'-(e~y - \ ) n _v , _v . „ ------------ ------------= 0 => - x e y y - e y +1 = 0 x x y '+ l-e y = 0 => xy'+l = ey , a\ 3 1 c 2 j 3 f dx*4) y , xy dy + y dx = — X X ó X Solución >>3 = — + —r- => x 3y 3 - x 2 = c , diferenciando se tiene: x x 3 3x2y 3dx + 3x3y 2d y - 2 x d x = 0 => xy2dx + x 2yd y = 3 y Luego no es integral de la ecuación. 35) x 3 - 4 x 2y + 2 x y 2 - y 3 = 0 , (3x2 -8xy + 2 y 2) d x - ( 4 x 2 - 4 x y + 3 y2)dy = 0 Solución x 3 — 4 x 2y + 2xy2 —y 3 = 0 , diferenciando se tiene: 3x2 dx - Sxydx - 4x 2 dy+ 2 y 2 dx+ 4xydy - 3 y 2 dy - 0 11 (3x2 - i x y + 2 y 2) d x - ^ x 2 -4 x y + 3y2)dy = O Si es integral de la ecuación diferencial. 36) y 2 + 2cx - c 2 y yy '2 +2xy'=x +1 Solución y 2 + 2cx = c 2 => c = x ± tJx 2 + y 2 derivando se tiene: 0 = 1±—^ M = => f sen t 2dt = — , de donde »0 Jo y x = yj0 sen 12 ^ * = y' JQ sen r 2 dt + y sen x 2 , reemplazando se tiene: l = / y + .y s e n x 2 => y = xy'+y2 senx2 Si es integral de la ecuación diferencial. Cx sen t 39) —-—d í - y \ n y , xy'+xiny = x senx + y ln y Solución f*senr f*senr y ln v x \ —— dt = y \ n y => ------ di = ------— t Jo t X cx sen t cx sen t J x Jo —-— dt = y ln y => — — tfí + sen x = v ln y + y , reemplazando se tiene: y ln y — ----hsenx - (lny + l)y' => y \ n y + xsenx = x(\ny + l)y' No es integral de la ecuación diferencial. 13 ECUACIONES CON VARIABLE SEPARABLE Y ECUACIONES REDUCIBLES A ELLAS dy Si en una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y primer grado — = g (x , y ) dx se reduce a la forma: donde M es una función solo d conoce con el nombre de “Ecm solución general se obtiene por M(x)dx + N(y)dy = 0 le x, y N es una funci' ición Diferencial Ordin integración directa, es c ón sola de y, a esta ecuación sé aria de Variable Separable” y la lecir: j M (x)dx + J[ N(y)dy = c Donde c es una constante cualquiera. La ecuación diferencial de la forma: — = f ( a x + by + c) dx donde a, b, c son constantes, se reduce a una ecuación con variable separable haciendo la sustitución z = ax + by + c. Integrar las ecuaciones: 81) (\ + y 2)dx + {\ + x 2)dy = 0 Solución (1 + y 2)dx + (1 + x 2)dy = 0 , separando la variable dx dy „ . , ------ r- + ------ — = 0 integrando 1 + x 1 + y 2 14 f dx f dy J 7 7 7 r + J 7 7 ^ J = C arctgx + arctg.v = c Nota.- tg (A + B) = x + y = c ( l - x y ) tgA + tgB 1-tgA.tgB 82) (l + y 2)dx+xydy = 0 Solución (1 + y )dx + xydy = 0. Separando la variable. dx y dy \ ? — + ------- = 0 integrando lnx + —ln(l+ v ) = A: X l + y 2 ° 2 21nx + ln(l + >'2) =2k de donde ln x 2(l + y 2)=¿ 83) ( y 2 +xy2)y ’+x2 - y x 2 = 0 Solución ( y 2 + xy2)y'+x2 - y x 2 = 0 , agrupando y 1 (\ + x ) - ~ + x 2( l - y ) = 0. Separando la variable. ^ -+ — ~ = 0 , integrando: f ¿ ± + í ^ í , c 1 - y 1 + x j 1 - y i 1 + X ( x + y ) ( x - y - 2) + 21n- y l + x 1 - y = c => x(l + y 2) = c . De donde se tiene: 15 84) (1 + y 2)dx = xdy Solución (1 + y 2 )dx = x d y separando las variables dx dy — = ------ y , integrando ln xk = arctg y x 1 + y y = tg(ln(fcc)) 85) x j l + 'y2 + yy'yfl + x 2 = 0 Solución x ^ l + y 2 + y^ l + x 2 ^ = 0 . Separando las variables. xdx ydy r + -jrr-r = 0 , integrando Vl + * 2 + y 2 r _ x d x _ + ( _ y ^ y _ = c dedonde + - c 86) x - J l - y 2dx + y j l - x 2dy = 0 , ^ x=0 = 1 Solución X i j l - y 2 dx + y j l - x 2dy = 0, separando las variables ydy r xdx c ydyxdx ydy c xdx c yd - = = = + - = = = 0 , integrando — a/Tv ^ 7 J VT^r J VTT dé donde, -\fl-x2 + ^ l - y 2 = k , para x = 0, y = 1 > 2 • = c 16 V i- * 2 + V i- .v 2 = i 87) < r '( l + / ) = l Solución e - * ( i + / ) = i => i + y = ^ => y = ^ - i v r ^ + v n = * => * = i — = - 1, separando las variables, - — -- = d: dx ey -1 t dy c c e ydy i ~ l = i dx+c => J T 7 7 7 ^ +A: l n ( l - e ^ ) = x+A: => l - e -* » ^ * - e V =¡ /. ex = £(1 - 0 88) >>ln.y>)) = k => x ln y = c de donde ln y = - para x = 1, y = 1 => l = e c => c = O x ln y = O => lny = O => y = 1 , integrando se tiene: e * = - L ( l - e -y ) e => lnx + ln(lny) = k => => y = e x 89) y '= a x+y(a > O, a * \ ) Solución dy + — = a x y = a x .ay separando las variables dx a~yd y - a xdx => a xd x - a ydy = 0 integrando Ja xd x - Ja~ydy = k a x +a~y =c 90) e y (\ + x 2)d y -2 x ( \ + ey )dx = 0 Solución e y (1 + x 2 )dy - 2x(l + ey )dx - 0 . Separando las variables. eydy 2xdx f eydy r 2xdx ----------------- — = 0 , integrando ------7 - ------7 = k , l + ey 1 + x 2 J l + ey J 1 + x 2 ln(l + ey ) - ln ( l + x 2) = k . l + e y , l + ey ln ------T = k => ------ t~ — c 1 + x 1 + x l + ey =c(l + x 2) 91) (l + ex )yy '= ey , y\x=0 = 0 Solución dy(1 + e x )y — = ey , separando las variables dx dx r _v , c dx - + c de donde: ye ydy = ------ - integrando f ye ydy = í - l + e x J J 1 de donde (1 + y)e~y = ln( * ) + 1 - x 18 Solución (1 + >>2 )(e2xdx - eydy) - (1 + y)dy = 0 , separando 92) (1 + y 2 )(e2xdx - ey dy) - (1 + y)dy = 0 e 2xdx - dy = 0 , integrando l + >>2 j e2xdx-jeyd y - j Y ^ T dy = c e 2x ^ - e y -a rc tg y - ln ^ l + y 2 = c 93) (xv2 - y 2 +x- l)dx + (x2y - 2xy + x 2 + 2y - 2x + 2)dy = 0 Solución (xry2 - y 2 + x - l ) ¿ * + (x2jy - 2;*7 + x 2 + 2y - 2x + 2)¿/y = 0 , agrupando [y1 ( * - ] ) +(x-V¡\dx+[y(x2 - 2x + 2) + (x2 - 2 x + 2)]dy = 0 , factorizando (y 2 + l)(x - l)dr + (y + l)(x 2 - 2x + 2).dy = 0 , separando la variable ( x - 1 )dx y + 1 ,-------------- + -------- dy - o , integrando x 2 ~ 2x + 2 y 2 + l f ( x - 1 )dx f 7 + 1 I — I-------------------------------------------- + ~~í----dy = k de donde J x - 2x + 2 J y +1 1 9 1 ?~-ln(x + 2x + 2) + — ln(j/ + 1) + arctg y = k ln(x2 - 2 x + 2){y2 + l) = - 2 arctgy + k=>(x2 - 2 x + 2)(y2 +1 ) = e -2tICX*y+k entonces: (x 2 - 2 x + 2)(y2 + l)e2arct8y = c 19 94) y = sen (x -j> ) Solución _ dz ( , . . dzSea z = x - y => — = 1 - y entonces y = 1----- dx dx Como y = se n ( jc -y ) reemplazando se tiene: \ - — = senz => 1- senz = — , separando las variables: dx dx dz dz— = 1 - sen z => ---------- = d x , integrando dx 1 - sen z í — —— = [dx + c=> f(sec2 z + tgz.secz)¿/z = x + c entonces J 1- s e n z J J tgz + secz = x + c => tg(jc-y) + sec(jc-y) = x + c 95) y' = ax + by + c , a,b,c constantes Solución Sea z = ax + by + c => — = a + by’ dx y - i . - a) reemplazando en y'= ax + by + c entonces b dx - ( — - a ) = z => — - a =bz => — = a+bz separando la variable b dx dx dx = dx integrando í ---- --- = f dx + k , de donde a + Z>z J 0 + ¿?z J ~ln(a+Z>z) = * + /: => ln(a + bz) = bx + bk => a+bz = cebx b + c) + a = 20 96) (x + y ) 2y' = a 2 Solución dz S e a z = x + y => — = 1 + y' entonces: dx dz "y / = — - 1, reemplazando en ( x + y ) y ' = a entonces 2 dz 2 z (— - 1) = a separando las variables: dx z Z — — dz = dx integrando z - a. arctg(—) = x + k a +z a y simplificando x + y = a . tg(— + c) 2 97) ( l - y ) ey y '+ ^ — = 0 x \n x Solución (1 - y )ey — + — — = 0 separando las variables dx x ln x ( l - y ) e y d x . ------ ----- d y + ---------- 0 , integrando y L x l n x r ( l - y ) e y r d x r ( y - l ) e y ------ ----- dy+ —— = c=> - ------ -----dx + ln(lnx ) - c j y ¿ J x l n x J y 2 r e y e y - J d (— ) + ln(ln x ) = c, de donde: - — + ln(ln x) = c ey ln(lnx) = — + c y 21 Solución (1 - y 2 )dx = (y - J l + y 2 )(1 + x 2)% dy separando las variables 98) ( l - y 2)dx = (y - -J \ + y 2)(l + x 2)'/ idy dx y - y i + y 2 ------- = ---------------- ñ---- dy integrando ( 1 + X 2 ) A l + y 2 f dx , ------- —rr = ----------^— dy + c entoncesJ (1 + *2)X J l + y 2 I rf(7 = r ) =I {r h - ~ r =^ )dy+cv i+x 1+^ V1+^ * - l n 'l + y 2 J \ + x 2 _y + -\jU y 2 _ + c ioo) jty2(V + > O = 0 2 Solución dz x ----- z2" Sea z = xy => y = — => y ' = — — Como x y 2 (xy' + y) = a 2, reemplazando se tiene z X dz z X ------- ZH----- dx x = a , simplificando z 2dz = a 2xd x , integrando se tiene: 22 Z3 Q2X2 ~ 3 3 >% 2 2 i— = -------- + c=> 2x y =3a x +k 3 2 ' 100) (x 2y 2 +l)dx + 2 x 2dy = 0 Solución 0 z , xdz - zdxSea z = xy => y = — => dy = ------ ------ x x 2 (x2y 2 +1 )dx + 2x2dy = 0 , reemplazando (z2 +l)dx + 2x2(*-Z y ^ ) =0 => (z2 + \)dx + 2xdz — 2z¿/z = 0 x ( z 2 - 2 z + V)dx + 2xdz = 0 => — + — - Z—- = 0 , integrando 2x (Z- l )2 1— m x --------- = c 2 x y - 1 101) (1 + x y )y + ( x y - l ) xy'=0 Solución dzx ----- z Sea z = xy => / = —— — , reemplazando x dz x ---- z (1 + z 2) — + (z - 1)2 x(— — ) = 0 , simplificando * x 2 (1 + z 2 )z + (z - 1)2 x — - (z - 1)2 z = 0 entonces dx 23 ( z - l ) 2xdz + 2 z 2dx = O => —— + dz = O integrando x z ¿ 2 \n x + z - 2 \ n z ~ — = k => - 21n y = — - x v + k => Z JCJ> lncy2 = * y - — => cy1 ^ e gr xl. 3ty *y 102) ( * y + y + j t - 2)dx + (jt3>'2 +;c)rfv = 0 Solución dz x ------z Sea z = xy => / = — — entonces 2 3 3 2* y + j> + jc- 2 + (jc y + jc)— = 0 , reemplazando se tiene: dx dz 3 JC--------Z Z Z 1 d x— + — + x - 2 + (xz +*)(- — ) = 0 , simplificando X X x 2 dz 3 Z --------Z — + — + x - 2 + (z2 + 1)(——----- ) = 0 entonces X X X ( z 2 + l ) - + x - 2 = 0 dedonde (x -2 )d x + ( z 2 +l)dz = 0 dx integrando - - + z + - - 2 x = c 3 x2 - l 2 + 2 x 3y 3 +6xy = c 24 103) (x6 - 2 x 5 + 2x4 - y 3 +4x 2y)dx+(xy2 - 4 x 3)dy = 0 Solución Sea y = tx => dy = tdx + x d t entonces reemplazando se tiene: (x6 - 2 x 5 + 2x4 - f V + 4txi )dx + (x i í 2 - 4jc3){tdx + xdt) x 3(jc3 - 2 x 2 + 2x - t * + 4t)dx+x3(t2 -4){tdx+xdt) = 0 (jc3 - 2 x 2 + 2 x - t i + 4 t+ íi - 4 í)dx+(/2 - 4 )xdt = 0, simplificando (x3 - 2x + 2)dx+ (t2 - 4)dt = 0 , integrando X3 2 f3------x +2x-\------- 4t = c por lo tanto: 3 3 * 3 - y 3 4 y------x + 2 x+ — ,------— = c 3 3x x 104) y + i= (x + ^ (x+.>>)'’ + (*+ > ')'’ (c Solución Sea z = x + y => y = _ i . Reemplazando en la ecuación diferencial dx dz z n z n + z p(— - 1) +1 = ---------- simplificando ------------d z - d x , integrando z " + z * z m r z n + z ' rJ ------— dz = j d x + c , de donde = x + c , n m * -1, p - m ^-1 n - m + 1 / 7-/W + 1 25 105) (ln x + y 3 )d x -3 x y 2dy = 0 tí Solución i dz 1 ^ 2 . Sea z = ln x + y => — = — + 3y y dx x 3x y 2y % = - 1 reemplazando en la ecuación diferencial: dx lnx + y 3 - 3 x y 2 — = 0 => z - ( x ^ - l ) = 0 áx ¿x ln|z + l j - ln x = lnc => l n ^ - ^ = lnc => z + l = x c de donde y 3 - e x - ln x -1 106) (xy+ 2xyln2 y + y ln y )d r + (2x 2 \n y + x)dy = 0 Solución Sea xlny = t => lnj> = — => y = etlx x Reemplazando en la ecuación diferencial dada: , tlx 2e‘lxt 2 íet/x w ^ # . tl xd í- íd x(xe 1 x + ---------- + ------- )dx + (2xí + x)e (-r— ) = 0 x x x simplificando 26 / r x d t - td x _ ^(x + -----------------------+ —)¿¿t + (2/ + 1)(------ ) = 0 x x x ( x 2 + 2 t2 + t)dx + (2t+l)(xdt-tdx) = 0 => x 2dx + (2t+ l)xdt = Q x 2 ,xá* + (2/ + l)rfí = 0 integrando +1 + 1 = Cj entonces: 2x2 + 4/ 2 + 4í + l = c => 2x2 + (2/ + 1) 2 = c por lo tanto: /. 2x 2 + (2x ln y + 1)2 - c 107) y - x y ' = a(\ + x 2y') Solución y - x y ' = a + ax2y' => y - a = (x + ax2)-^- separando las variables dx — Y ~— = —^— integrando f ( - -----— t )dx= — lnc entonces ax + x y - a J x ax + l J y - a xc 1 . . ex= y - a por lo tanto y = a + ax + \ ax + l I0K) (a2 + y 2)dx + 2x^Jax-x2 dy = 0, } \x=a = 0 Solución Separando las variables de la ecuación diferencial se tiene: dx dy + —------ - = 0 integrando 2 x ^ a x - x 2 a 2 + y dx r dyf dx r dy 27 Sea x = - => dx = — , reemplazando en la integral f * . - f . 2x^ox--x^ dt 'J a t - l * - 1 -2 J l y fa t - l a reemplazando (2 ) en (1 ) - (2) - - 1 .y i y — — + — arctg — = c, x = a , y = 0 entonces a a a 0 + 0 = c => c = 0, Luego - —----- + —arctg(—) = 0 a a a * - 1 a a => y = a. tg --1 109) y %+ sen (“ “ ) = sen(^y^) Solución — + sen(—) cos(—) + s e n A c o s ¿ ) = sen(^) c o s Ä - sen(^) c o s¿ ) dx 2 2 2 2 2 2 2 1 2 sen(^) cos(™) separando las variables ^ = - 2 cos(—)dx integrando ln | tg(—) | = - 2 sen(—)+c y 2 4 2 sen — 2 28 110) Hallar una curva que pase por el punto (0,-2) de modo que el coeficiente angular de la tangente en cualquiera de sus puntos sea igual a la ordenada del mismo punto, aumentada tres veces. Solución El coeficiente angular de la tangente en cualquier punto = — ,,y de acuerdo a dx las condiciones del problema se tiene: dy dy 's = 3y => — = 3dx integrando ln y = 3x + c entonces y = ke comodx pasa por (0,-2) => -2 = k por lo tanto y = -2e 3 x II I) Hallar la curva para la cual el área Q, limitada por la curva, el eje OX y las dos ordenadas x = 0, x = x, sea una función dada de Y. Q = a 2 ln — a Solución y = f(x) Q = = a 2 ln(—) , derivando se tiene: a dy J a 1 a 1 y - — •— , entonces d x ---- - dy = 0 integrando se tiene: x + — = c ay dx y y de donde : y = - c - x (hipérbola) 29 112) Un punto material de masa igual a lgr. se mueve en línea recta debido a la ecuación de una fiierza que es directamente proporcional al tiempo, calculado desde el instante t = 0, e inversamente proporcional a la velocitiad del punto. En el instante t = 10 seg. la velocidad era igual a 50 cm/seg. y la fuerza igual a 4 dinas. ¿Que velocidad tendrá el punto al cabo de un minuto del comienzo del movimiento?. Solución t 2 Como F = ma = k — donde Q = 4 cm/seg v t = 10 seg. v = 50 cm/seg. 1 . 4 = Ar— => k = 20 y m ^ - = 2 0 - => 50 dt v v2 = 2012 + c , para t = 10 seg. , v = 50 cm/seg. 502 =20(10) 2 +c => c = 500 entonces v 2 = 2 0 í 2 +500 x _, para t = 60 seg. v = ? de donde: v = -^20(60)^+500 = a/725ÓÓ cm / seg k \ '' t -Vv> \ \ *v v ' ^ , * ‘ ^ 113) Demostrar que la curva que posee la propiedad de que todas sus normales pasan por un punto constante es una circunferencia. Solución Sea Ln : y = b x , de donde mLN =b Además mL, = — , y como LNI X , , entonces: dx 1 d* A hmLN = ---------= — - , es decir que £> = - — N mL, dy dy 30 X b , l = ,Como y = bx x x Separando las variables se tiene: dy y dx + x dx = 0, integrando se tiene: x 2 + y 2 - k 114) Una bala se introduce en una tabla de h = 10 cm. de espesor con la velocidad VQ = 200 m /seg traspasándole con la velocidad Vx = 80 m / seg. suponiendo que la resistencia de la tabla al movimiento de la bala es proporcional al cuadrado de la velocidad, hallar el tiempo del movimiento de la bala por la tabla. Solución F = ma = m dv dt condición del problema: d^ . 2m — = kv dt integrando: m dv ----- T = dt k v m rvi dv _ r' k Jvf2 V -r*Jo k vj v0 * V, 31 k v0v. ... (1) dv además m — = m dt d 2x dt2 2 dv dv dx entonces: kv = m — = m —r •" dt dt dx r dv dx dv kv2 = m — = mv- dx dt dx m dv dx = — .— k v * 1» A > v0 reemplazando (2) en (1) . . . (2) j _ ^ (Zl__^2.) f reemplazando el valor de t es. ln(— ) v0 V0V1 í = 40 ln(2.5) seg. 115) Un barco se retrasa su movimiento por la acción de la re s is te n c ia del a g ^ que es proporcional a la velocidad del barco. La velocidad inicial del barco es, 10 m/seg. después de cuanto tiempo la velocidad se hara 1 m. seg. Solución La descripción m ,Km idc, c. f - * > ' * dt'”d' al resolver '* “ tiene: V = Ae -kt Para t = 0, v = 10m/seg., se tiene 10 - Ae° => A 10 =>V 10e para t = 5 se g ., v = 8 m/seg. se tiene 8 = 10e F = 10eí/5,n(8/10) = 10. ( ^ y /5 -5 k 1 8k = — ln(— ) entonces: 5 10 32 Demostrar que la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es proporcional a la abscisa del punto de contacto, es una parábola. Solución Se conoce que: mLt = - j - , y además por la condición del problema se tiene mLt = k x . Luego ~ = entonces: dy = kx dx integrando y = ~ x 2 + c , que es una parábola. Según la ley de Newton, la velocidad de enfriamiento de un cuerpo en el aire es proporcional a la diferencia entre la temperatura T del cuerpo y la temperatura T0 del aire. Si la temperatura del aire es de 20°C y el cuerpo se enfría en 20 minutos desde 100°C hasta 60°C. Dentro de cuanto tiempo su temperatura descenderá hasta 30°C. Solución Sean T = temperatura del cuerpo. Tm = temperatura del aire = 20°C. T0 = temperatura inicial. La descripción matemática es: dT — = ~k(T - T m ) , de donde la solución es: T = Tm + ( r0 - T m )e~kt para t = 20’, r = r 0 =60°C entonces: 60 = 20 + (100-20)éT2°* 40 = 80e 20A => k = ^-^- por lo tanto: T = 20 + 80e~(ln2/20)í r = 20 + 80.2 '//2° para t = ? , T = 30°C 30 = 20+ 80.2”' 720 entonces I = 2~'/20 => t = 60’ 8 118) Hallar la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es n veces mayor que la pendiente de la recta que une este punto con el origen de coordenadas. Solución dx te 0 = n tg a entonces: — = n(—) => dy = n(—)dx , de donde dx x x — = — dx integrando; ln y = n ln x + ln c => In y — ln x nc , por lo tanto: y x y - e x 119) Determinar el camino s recorrido por un cuerpo durante el tiempo t, si su velocidad es proporcional al trayecto, sabiendo que en 10 seg. el cuerpo P recorre lOOm. y en 15 seg., 200m. Solución 34 Sean s = el camino recorrido t = el tiempo en seg. v = ~ = velocidad del cuerpo ds la descripción matemática es: — = k s , de donde la solución general es: dt s = Aeh , para t = 10 seg. , s= 100m . => 100 = Áei0k de donde = . . . ( 1) e para t= 15 seg. , s = 200 m. => 200 = ,4e15* de donde se tiene : A = ... (2)15Ae a / n 1 0 0 2 0 0 i l n 2comparando (1) y (2) se tiene: ^ = —¡^ 7- => k = - e reemplazando en (1) se tiene: A = 25 por lo tanto el camino recorrido será: s = 25.2r,s 120) El fondo de un deposito de 300 litros de capacidad, esta cubierto de sal. Suponiendo que la velocidad con que se disuelve la sal es proporcional a la diferencia entre la concentración en el instante dado y la concentración de la disolución saturada (1 kg. de sal para 3 litros de agua) y que la cantidad de agua pura dada se disuelve 1/3 de kg. de sal por minuto hallar la cantidad de sal que contendrá la disolución al cabo de una hora. Solución Sea x = cantidad de sal que concentre la disolución, la concentración en el instante dado es: 1/3 kg. Por litro de agua. x La concentración de la disolución saturada = -----; 300 35 — = velocidad con que se disuelve la sal, la descripción matemática es: dt — - - k l - — — ) k factor de proporcionalidad resolviendo la ecuación dt 3 300 diferencial se tiene: jc = 100( -A e k,' m ), encontraremos la constante A p ara t = 0, x = 0 => A =100, luego x = 100-100e*'/30° , para determinar la constante k, para 1 1 299 t= lm in . , x = - k g . se tiene - = 100-100«* '300 => fc = 3001n(——) 3 3 3UU x = 100 - 100e 'ln(299/300) = 100 - 100(299)' para t = 60 min, x = ?, x = 100(1- ( ^ J 60) «18.1542 ¿g. porlotanto: x = 18.1542 kg. 121) Cierta cantidad de una substancia indisoluble contiene en sus poros 10 kg. de sal, actuando con 90 litros de agua se observo que durante 1 hora, se disolvió la mitad de la sal contenida. ¿Cuánta sal se disolvería durante el mismo tiempo si se duplicase la cantidad de agua? La velocidad de disolución es proporcional a la cantidad de sal no disuelta y a la diferencia entre la concentración en el instante dado y la concentración de la disolución saturada (1 kg. para 3 litros). Solución Sea x = cantidad de sal que concentra la disolución — = velocidad con que se disuelve la sal; de acuerdo a las condiciones del dt dx 1 0 -x 1 problema la descripción matematica es: — = De donde resolviendo la ecuación diferencial y reemplazando los datos dados se tiene que: x = 5.2 kg. 36 122) Hallar la curva que tiene la propiedad de que el segmento de la tangente a la curva comprendido entre los ejes coordenados se divide por la mitad en el punto de contacto. Solución 2 y Como mLt = -------= ----- , entre los puntos P y A x x ----- X 2 Además ~~ = mL, => — = - ^ de donde — + — = 0 dx dx x y x Integrando se tiene: ln y + ln x = ln c => xy = c 123) Cierta cantidad de substancia, que contenía 3 kg. de humedad, se colocó en una habitación de 100 m i de volumen donde el aire tenia al principio el 25% de humedad. El aire saturado, a esta temperatura, contiene 0.12 kg. de humedad por l « 3. Si durante el primer día la substancia perdió la mitad de su humedad, ¿qué cantidad de humedad quedara al finalizar el segundo día? Solución Sea s = cantidad de humedad que contiene la substancia (3 — s + 3) = cantidad de humedad que contiene el aire. 37 12 = humedad del aire saturado para 100 m 3 ds La descripción matemática es: — = -k s(-s + 6-12) = ks(s + 6) de donde resolviendo se tiene: — = Ae6kt s + 6 para t = 0, s = 3 => A = para t — 1, s — 1.5 entonces: k = - ln(— ) = -0.0851, para t = 2 entonces s = 0.82kg. 6 7.5 Cierta cantidad de una substancia indisoluble que contiene en sus poros 2 kg. de sal se somete a la acción de 30 litros de agua, después de 5 minutos se disuelve 1 kg., de sal. Dentro de cuanto tiempo se disolverá el 99% de la cantidad inicial de sal. Solución Sea s = cantidad de sal por disolverse. ds La descripción matemática es: — = As, donde k es el factor de la proporcionalidad, la solución de la ecuación diferencial es: s = Aekt, determinaremos A, para t = 0, s = 2 kg. => A = 2 Luego s = 2ekt, determinaremos k. Para t = 5 m in., s = lk g . => k = - l n — Por lo tanto: s = 2e (í/5)lnl/ 2 => s = 2(~ )r/5 Para determinar t, se tiene que buscar el 99% de 5 es decir s = 1.98 kg., entonces: 1.98 = 2( - ) ' /5 => 0.99 = ( - )v/5 luego: t = 1 M ? ’99) mirL 2 2 1 ln — 2 125) Una pared de ladrillos tiene 30 cm. de espesor. Hallar la dependencia de la temperatura de la distancia del punto hasta el borde exterior de la pared, si la temperatura en la superficie interior de la misma es igual a 20° y en el exterior a 0o. Hallar también la cantidad de calor expedida por la pared (por 1 m 2 ) al exterior durante un día. Solución Según la ley de Newton, la velocidad Q de propagadón del calor a través de una superficie A, perpendicular al eje OX, es: de donde k es el coeficiente de conductibilidad térmico, T la temperatura; t el tiempo y s el área de la superficie A, (k = 0.0015). dT OLuego la descripción matemática es: — = - — , donde Q constante dx kA Resolviendo la ecuación diferencial y usando los datos dados se tiene: 2 T = —x ; 864000 cal/día. 3 126) Demostrar que la ecuación — con la condición inicial vi _n = 0 tiene dx x 1 •r_u ’ infinitas soluciones de la forma y = ex. Esta misma ecuación con la condición inicial jyj x=0 — y 0 ^ 0 no tiene solución alguna. Trazar las curvas integrales. Solución dy y dy dx . J t — — ~ => — - — integrando ln y = ln ex => y = ex dx x y x 39 para y = O, x = O se tendrá infinitas soluciones; para cualquier valor de c, se satisface la ecuación así si c = 6, y = 6x satisface _yj = ® Y Para }\ x=o = * 0 => = 0 > cua ^contradice por lo tanto: cuando x = 0, y = y 0 * 0 no tiene solución alguna. Demostrar que el problema ~~ = y a , y\ x=o — 0 , tiene al menos dos soluciones para 0 < ct < 1 y una para a = 1 trazar las curvas integrales para Solución . i-« — = y a => y~ady = dx integrando ------ = x + c dx 1 -a gl-a si x = 0, y = 0 ------ = c solo si 1 - a > 0 3 1- a ósea si a < 1 luego al tomar a valores entre 0 y 1 hay infinitas soluciones. Si a = 1 => — = dx => ln y = x + c y De donde y = kex para x = 0, y = 0, se tiene y = 0 es la única solución. 128) Hallar la solución de la ecuación — = y \ \ n y \ a , (a>0) que satisface a la dx condición inicial >'j x=0 = 0 , para qué valores de a tiene solución única. Solución ~~ ~ y I ln y |° => — —— = dx integrando dx | ln |a | ln v |1_a i , — --------= x + c => y = 0 , x = 0 => -------1 ln v | “ = 0 + c 1- a I - « ln y —>oo, así - a + l > 0 => a < l entonces y 0 El primer miembro se haría cero, así c = 0, lo que significa una solución única. 129) Demostrar que las tangentes a todas las curvas integrales de la ecuación diferencial y ’+ y tg x = x tg + 1, en los puntos de sus intersecciones con el eje O Y son paralelas entre si. Determinar el ángulo bajo el cual se cortan las curvas integrales con el eje OY. Solución -Stgxdx r ftgjratr y = e [ J e (x tg x +1 )dx + c ] , por ser ecuación lineal. y = e ln (tg x sec x+sec x d^ x + ^ efectuancj0 ia integral, y = eos x[x sec x + c] = x + c eos x entonces: y = x + c. eos x , interceptando con el eje Y, para x = 0 , y = c => P(0,c) = (1 - e s e n x)\p = 1 => mL, = 1 L, : y - c = l (x -0 ) de donde L, : x - y + c = 0 41 mL, = — ' dx Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales. 130) cosyf = 0 Solución K Como y eos y ' = 0 => / = arccosO = — (2n + l) — = —(2« + l) => dy = — (2n + l)dx, integrando. dx 2 2 y = ^ (2n + l)x + c, n e Z. 131) ey = l Solución dyey =1 => y'= 0 => = 0 => y = c dx donde c es constante. 132) s e n / = x Solución s e n /= J t => /= a rc se n jt + fl7r entonces: — = arcsenjt +w;r de donde ¿y = (arcsenx + w7r)¿/x dx integrando J dy = J (aresen x + n n)dx + c y = jta rc se n x -V l- * 2 +mx+c donde n = 0,± l ,± 2,. 133) l n / = x Solución ln y '= x => y '= ex dy = exdx => j dy = J e xdx => y = ex +c 134) t g / = 0 Solución t g / = 0 => y ’= arctgO = nn dy — = nn=> dy = nn dx integrando y = nrc + c 135) =jc Solución e ~ x ^ y =\nx de donde dy = l n x d x , ahora integrando j d y = J lnxdx => y = x l n x - x + c 136) tgy '= x Solución tgy ' = x => y'= aictgx+nn , n = 0, ± 1, ±2,... dy = (aiclgx+nn)dx integrando se tiene y = ^{ t tc tgx + njz)dx+c entonces: y = x2 x c tg x -^ \n ( \ + x 2) + njtx + c 43 En los siguientes ejercicios hay que hallar las soluciones de las ecuaciones diferenciales con las condiciones indicadas para x ->+oo. , 16 137) x y 'eos>> + 1 = 0 , y - > — n => x-»+°o Solución x 2 v’co sy + l = 0 => cos>'.>'’+ - 1r- = 0 , separando la variable x dx 1eos ydy H— r- = 0 , integrando sen>>— + c x x 16 16» . 1 l6n cuando y - * — n parax->+oo => c = sen —— luego sen . y - — -se n ^ 10 138) x 2 /+ c o s 2 ^ = l , y-+ — n => x->+*> Solución x 2/ + c o s 2y = 1 => x 2y = l - e o s 2>', separando la variable ___= — => — — = —j integrando l - c o s 2 >' x 2 2 sen y x f ——— = l —^ r~ c de donde c tg y = — + c J sen2 y x x 10 1 cuando y - * — n , x —H-ao => c - —j~ 2 1 2 1 Luego c tg y = —+—j ^ => y - arct^¡T+ ^J'* 44 139) jr3y -s e n y = 1, y -* 5 i t => x-H-oo Solución x 3y ~ sen v = 1 => x 3 -^ = 1 + sen y , separando la variable dx dy dx r dy r dx --------- = —r integrando -— ----- = — + c 1 +sen.y x * l+senj> J x para y-+ 5n , x -H-oo => c = 1 por lo tanto y = 2 arctg(l — i—) 2x 140) (l + x2)y - |c o s 22y = 0 , y ~ ^~ ti , x->-oo Solución (l + x2)y - -c o s2 2 ^= 0 , separando la variable se tiene: dy dx = 0 integrando = k eos 2y 2 (1 + x ) 2 2 y tg 2 y - arc.tg x = c cuando y -» — n , x ->-oc¡ => c = — 2 2 tg 2y - arctg x = — => tg 2y = —- + arctg x => y = — arctg(— + arctg x) 2 ¿ 2 2 141) ey =e4y y'+1, y es acotada para x —>+oo Solución 45 eAydv e y = e 4yy '+ l ; e 4yy'= ey -1 entonces --------= dx ey -1 r e4y fintegrando J —---- dy = J dx + c entonces: í ^ y + e 2y + ey + — -— )dy = x + c y calculando la integral J e y -1 e3y e2-----+ — + ey + ln(l + e y) = x + c , 3 2 como y es acotado y x ->oo entonces y = 0. (x + \)y' = y - \ , y es acotada para x —>+oo Solución (x + 1) / = y - 1 ; (x + \)dy = ( y - 1 )dx separando la variable dy _ dx y - \ Jt + 1 integrando se tiene: ln(y — 1) - ln(x + 1) + ln c i i y - iln ------= ln c => -------= c y + 1 x +1 cuando x —>oo entonces —— — > 0 por lo tanto c = 0 JC+ 1 t í . o =» y . 1 * + 1 y ' — 2x(n + y ) , y es acotada para x-H-oo Solución y'= 2x(n +y) => - — = 2xdx integrando y + n Í y + n = J ent°nces ln (y+n) = x 2 +c entonces: jr2y + n =ke , y es acotado para x —>00 entonces k = 0 Luego y + n = 0 => y = -n 2 11144) x y'+ sen 2y = 1, y - * — rc => x-M-oo 4 Solución 2 • 5 x / + sen 2 ^ = 1 => x dy = l -sen2ydx separando la variable dy dx => integrando se tiene:1 - sen 2y x 2 f dy (• dx 2 y sec2 v 1 J l ^ 2 7 = J ^ ' C => t g - - - — — + ci2 y J x 2 2 2 cuando y —> — ;r , x —>+oc se tiene que: y = arctg(— x) X 47 [ECUACIONES HOMOGENEAS Y REDUCIBLES A ELLAS| A la función f(x,y) llamaremos función homogénea de grado n si se cumple la identidad. Una ecuaciónión diferencial de la forma — = f ( x , y ) , se denomina homogénea si f(x,y)dx es una función homogénea de grado cero. La ecuación diferencial homogénea siempre se puede representar en la forma: H dx x ... (1) Introduciendo una nueva variable incógnita u = ~ , la ecuación (1) se reduce a la ecuación con variable separable: du , x x - — = \¡/(u)-u dx Observación.- Al resolver las ecuaciones homogéneas no es indispensable reducirlas a la forma (1). Se puede hacer inmediatamente la sustitución y = ux. Las ecuaciones diferenciales de la forma: dy _ ^ axx-\-bxy + c l ^ dx a 2x + b2y + c2 . . . (2) se reduce a homogénea trasladando el origen de coordenadas al punto (x0,y 0) de intersección de las rectas: axx + bxy + c, = 0 y a 2x + b2y + c 2 = 0 ; y esto se consigi| haciendo la sustitución de las variables x = z. + x0 , y = w + y 48 El método indicado no es aplicable cuando las rectas a¡x + b{y + cx = 0 y a 2x + b2y + c2 = 0 son p puede escribir en la forma: a 2x + b2y + c2 = 0 son paralelas, en este caso — = ^ - = A a la ecuación (2) se ax bx dy _ axx + bxy + cx x ^ f x — ~ ------- r -------) = F(axx + bxy) dx Á(axx + bxy) + c2 ... (3) que ha sido estudiado en las ecuaciones redjucibles a variable separable. Si la ecuación diferencial viene expresada en la forma: P(x,y)dx + Q(x.,y)dy = 0 Será homogénea, si P(x,y) y Q(x,y) son funciones homogéneas del mismo grado. A veces, la ecuación se puede reducir a homogénea mediante la sustitución de la variable y = z a , esto ocurre cuando todo los términos de la ecuación son de un mismo grado, atribuyendo el grado 1 a la variable x, el grado a a la variable y; y el grado a - 1 a la derivada — . dx Integrar las Ecuaciones: 145) 4* - 3y + y' (2y - 3x) = 0 Solución Observamos que la ecuación es homogénea, entonces: Sea y = ux => dy = u dx + x du, a la ecuación diferencial escribiremos así: (4x - 3y)dx + (2y - 3x)dy=0, ahora reemplazando se tiene: (4x - 3ux) dx + (2ux - 3x)(udx + xdu) = 0, simplificando (4 - 3u) dx + (2u - 3)(u dx + x du) = 0, agrupando 49 (2u 2 - 6 u+4)dx + x(2u - 3)du = O , separando la variable dx 2 u -3 , , „ f dx f , 2 « -3 NJ2 -----1-—-----------du= 0 , integrando 2 ----- 1-1 (—=---------- )du = c x u -3 u + 2 J x J u -3 u + 2 entonces: 21nx + ln(w2 -3w 4 2) = c => \n x 2(u2 -3 u + 2) = c , levantando el logaritmo se tiene: .\ y 2 - 3 xy + 2x2 =k 146) xy' = y + -yjy 2 - x 2 Solución A la ecuación escribiremos así: xdy = (y + ^ 2 - x " ) d x , es homogénea. Sea y = ux entonces dy = u dx + x du => x(udx + xdu) = (ux + J u 2x 2 - x 2 )d x , simplificando xdu = J u 2 - \d x separando las variables ------- V« 2 -1 integrando se tiene: ln | u+ Vu2 - 11= lnx + ln c entonces: du dx 9 X ln ÍÜ Í— -----12 = ln c , levantando el logaritmo x u + ^Ju2 -1 - e x => y + ^ y 2 - x 2 - e x 2 de donde /. 2cy = c 2x 2 +1 147) 4x2 - x y + y 2 + / ( x 2 - x y + 4 y 2) =0 Solución La ecuación diferencial (4x2 - xy + y 2 )dx + (x2 - x y + 4 y 2 )dy = 0 , es homogénea sea y = x => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación. (4x2 - u x 2 + u2x 2)dx + (x2 - u x 2 + 4u2x 2)(udx + xdu) = 0 50 simplificando (4u 3 + 4)dx 4 x(4u 2 - u 4 \)du = 0 , separando las variables dx 4u 2 —u + 1 . c dx c 4u2 — u + \ 4 — 4*------------- du = 0 , integrando: 4 — 4- -— -------- d u = c entonces: X u 3 + 1 J X J u 3 +1 41nx4- í (—— + —~ 1 )du = c J u+ l u - u + \ lnx4 4-21n(w4l)4ln| u 2 - u + l\=c => ln x4 (w4 l )2 (u2 - u 4 l) = c x*(u + l)(u3 + \ ) = k donde w= — por lo tanto: (x 4 y )(x 3 + y 3) = k 148) 4x2 + x y - 3 y 2 + y '( -5 x 2 +2xy + y 2) = 0 Solución (4x + x y—3 y 2)dx + {—5x2 +2xy + y 2)dy = 0, es homogénea entonces: y = ux => dy = u dx 4 x du, reemplazando en la ecuación (4x2 4 x 2w —3x2u 2)dx4 (—5x2 + 2x2w4xV)(wrf*4xrfw) = 0, simplificando: (u3 - u 2 - 4u 4 4)dx 4 (w2 +2u — 5)xdu = 0 , separando las variables se tiene: dx u 2 + 2 u - 5 J ^ . + —^----- 1-----------du = 0 , integrando * W -W -4W4-4 c dx f u 2 + 2 u - 5 " + -----5----------- d u = c , integrando por fracciones parciales se tiene; J x J u - u - 4^ 4-4 ••• ( y - x ) * ( y - 2 x f = c(y + 2x)5 51 Solución 9 2'Ixydx - (3jc - y )dy = 0, es homogénea entonces: y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación 2x2udx-(3x2 - x 2u2)(udx + xdu) = 0 => (u3 -u)dx + (u2 -3)xdu = 0 separando las variables — + —— - du = 0 , integrando í — + í — - du x u 3 - u J x J u 3 ~u f — + f (—---- ---------— )du = c, efectuando la integral se tiene: c(y2 - x 2) J x J u u - 1 w+ 1 150) 2xy'(x2 + y 2) = y ( y 2 +2x2) Solución 2x(x2 + y 2)dy = y (y2 -h2x2)dx , es homogénea y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación 2x(x2 + x 2u2)(udx + xdu) =ux(u2x 2 + x 2)dx 2(1 + w 2 )(m¿x; + x¿/w) = u(u2 +1 )dx f simplificando (u3 + w)rfx + 2(1 + u 2)xdu = 0 , separando las variables dx 2 (u 2 + l ) , . c dx c 2 (u2 + 1) _ r dx du- + ¿(i* + 1) , _ . , f dx C2{u + 1) . ftfx—--------du = 0 9 integrando — + — ------- d u - c => — + 2 — u 3+u J x J u3 +u J x J u 2 y 2entonces: ln x + 21n w = c => lnx.w =c => x — = c porlo tanto: y x 151) x y '= j y 2 - x 2 Solución xdy = ^ y 2 - x 2 d x , es homogénea y = ux => dy = u dx + x du ux(udx + xdu) = *Jü2x 2 - x 2 dx , simplificando udx+xdu = ¡u 2 -1 dx , separando la variable ¿/w dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación (ax2 +2bx2u+cx2u 2)dx+(bx2 +2c2u+ f x 2u2 )(udx+xdu) = 0 , simplificando (a + 2ftw + cu2)dx + (b + 2cu + f u 2)(udx + xdu) = 0 , separando la variable dx b + 2cu + fu 2 , ---- 1--------------- —--------— d u - 0 , integrando * r dx C b + leu + f u 1 — + 1 ---------------- --------- du = c entonces J x J a + 3bu + 3cu + fufu i 2 3 y\nx + — \n \a + 3bu + 3cu + fu |= c , donde para u = — se tiene: 3 x f y 3 +3cxy2 + 3bx2 y + ax3 - c 153) ( y 4 - 3 x 2)dy = -xydx Solución y = z a => dy - a za ld z , reemplazando en (y 4 - 3 x 2)dy = - xydx (z4a - 3 x 2)aza~1dz = - x z adx => (z5a~l - 3 x 2 z a l )odz = - x z adx para que sea homogénea debe cumplir: 1 2 2 5 a - l = c t+ l = a + l => a = — => (z —3jc )¿/z = - I x z d z , es homogénea x = uz => dx = u dz + z du entonces: (z 2 - 3u 2 z 2 )dz = -2 z 2 u(udz + zdu) => (1-3w2)¿/z-2m(w¿/z + z¿/w) (w 2 -l)rfz = 2wz¿/w separando la variable — = —- integrando * w2 - l * ¿z r 2u 54 f — = \ — ^— du + c => lnz = ln(w2 - l ) + cJ ^ J w2- i para w = — , z = y 2 por lo tanto: x 2 = y 4 +c:y6 z 154) y 3dx + 2(x2 - x y 2)dy = 0 Solución Sea y = z a => rfy = aza-1, reemplazando en la ecuación z 3a¿¿r + 2(x2 - x r 2a )aza_1¿/z = 0 , agrupando z 3adx + 2(x2z a l - x z 3a~l )a dz = 0 , para que sea homogénea debe cumplir: 1 2 23 a = a + l = 3 a => a = — r=> z~dx + (x - x )d z = 0 , es homogénea, x = uz => dz = u dz + z du, simplificando zdu + u2dz = 0 , separando la variable + — = 0 u 2 z 1 X 2integrando — + lnz = c de donde para u= — , z - y se tiene w z 1 2 1 reemplazando en - — + ln z = c por lo tanto: y = x ln ky u 155) ( y -xy ' )2 =x2 + y 2 Solución ( y - x y ' ) 2 = x 2 + y 2 => y - x y '= ^ j x 2 + y 2 , es homogénea y = ux entonces dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación (mx- -y/x2 + w2x 2 )dx- x(udx + xdu) = 0 entonces: (u - ^ | l - - u 2 )dx- udx-xdu = 0 , simplificando r T , dx du -V l + w dx - xdu = 0 => — + — - ■___ : = 0 , integrando -Y Vl + t/ 2 55 í — + í —=.ÍU = c => lnx + ln|w + Vl + w2 |-c J * J x(u + 4\~+u2 ) = k , para w = — se tiene: y + J x 2 + v2 = & x v 156) 3* + >,- 2 + j>,( j t - l ) = O Soiución Z1 :3x + ^ - 2 = 0l Sean ^ LX^ L 2 entonces existe un punto L2 :x - \ J />(*o>J o ) G A n ¿2 Y Para encontrar el P(x0, y {)) se resuelve el sistema: 3 x + y -2 = Oj x 0 =1 x _ 1 = 0 j - y 0 = - l ’ Lueg° = P(1’~ l) Sean x = z + 1 , y = w - 1 => (3x + y -2 )d x + (x - l)dy = 0 (3z + w)dz + z dw = 0, es homogénea sea w = uz => dw = udz + zdu (3z + uz)dz + z(u dz + z du) = 0, simplificando (2u + 3)dz + z du = 0, separando la variable: dz du „ . r dz r dudz du . r dz r — + --------= 0 , integrando — + - z 2u + 3 J z J 2u +3 entonces: (x - l)(3x + 2y - 1) = k 157) 2x + 2 y - l + / ( j t + y - 2 ) = 0 Solución = c (2x + 2y — l)dx + (x + y — 2)dy = 0 ==> sea u = x + y entonces: 56 dy = du - dx => (2u - 1 )dx + (u - 2)(du - dx) = 0 entonces (u + 1 )dx + (u - 2)du = 0 => dx + — du = 0 integrando u -1 u 2 2x+y Jdx + J - — - d u - c => x + y + l = ce 3 (3y - 7x + 7)dx - (3x - 7y - 3)dy = 0 Solución Lx : 3 y - l x + l = 0l Sean > => entonces L2 : 3 x - l y - 3 = 0 ¡ 1 2 3v-7jc + 7 = 0l Xq — \ 3 P(xü, y a)&Lx a ! 2 de donde: ' . n => n 3 x -7 > '-3 = 0 J J>0 =0 x = z + l , y = w entonces reemplazando en: (3x—7y+7)dx —(3x—7y—3)dy (3w— 7z)dz - (3z - 7w)dw = 0, es una ecuación homogénea, w = uz => dw = u dz + z du, reemplazando en la ecuación (3uz - 7z)dz - (3z - 7uz)(u dz + z du) = 0, simplificando: (7w2 - l ) d z + (lu - 3)zdu = 0 , separando la variable: _ dz l u - 3 . . , _ f dz c l u - 3 . 7 — + ——— du = 0 , integrando 7 — + I —----du = c Z U2 - i J Z J u 2 + 1 dedonde: .\ (x + y - \ ) 6( x - y - l ) 2 - c (y + y ^ 2y 4 + l)dx + 2xdy = 0 Solución c z , xdz - zdxaea xy - z => y = — => dy = ------ ----- , reemplazando en la ecuación x x 2 (— + — J —T- + l)dx + 2x(— Z ZC^X) = 0 9 simplificando X x \ j x 2 * 2 , Z Z [~~4 2 x ^ (xdz - zdx) (— + —y ^ z +x )dx + 2 -------------- = 0 entonces: X X2 X z(Vz4 + x 2 -x)dx-\-2x2dz = 0 sea x = u 2 => dx = 2udu z(y]z4 + u 4 - u 2 )2udu + 2u4dz = 0 , simplificando z(*J~z^ +u 2 -u )du + u}dz = 0 , es homogénea sea u = zw => du = z dw + w dz, reemplazando en la ecuación z(>/z4 + z 4w2 - z 2w2 )(zchi’+ wdz) + z 3w3dz = 0 wyjl + w4 dz -i- z(s/l + vv4 - w2 = 0 , separando la variable dz 4 l + w 4 - w 2 r dz f 1 w---- h---- ..... — dw = 0 integrando — + I (---------=====?) dw = c Z W l + VV4 Z W ^ /1+w4 lnz + ln w — ln \w 2 + ^ l + w 4 \=c => ln z w - — \n \w 2 + ^ l + w4 |=< 2 2 para w = ^ , u = v x ,z = xy, se tiene: .\ ^ x 2^ 4 =cy2x 2 - \ 4xy2dx + (3jc2 jk -l)dy = 0 Solución Sea y = z a => dy = ctza d z , reemplazando en la ecuación 4xz2adx + (3x2z a - \ ) a z a~ldz = 0 , agrupando 4jcz2of ¿£c + (3jc 2 z 2a_1 - z a~l )adz = 0 para que sea homogénea debe cumplir: 2a + 1 = 2a + 1 = a — 1 => a = -2, reemplazando en la ecuación 4xz~4dx + (3x2z~5 - z~3)(-2rfz) = 0, simplificando 2jcz dtc - (3jc 2 - z 2 )tfz = 0 , es homogénea sea x = uz => dz = u dz + z du, reemplazando en la ecuación 2uz2(udz + zd u )-(3u2z 2 - z 2)dz = 0, simplificando (-u 2 +1 )dz + 2wz¿fw = 0 => — ---- du = 0 y integrando z u -1 ■ dz C 2u í — - í du = c => ln z - ln(u 2 - 1) = c J Z J w2 -1 Jlf 1 ^ 2 de donde para w= —, z = - p r se tiene: .\ y (x ^ y - l) = £ 161) (jc + y 3)¿£t+ (3.y5 - 3 y 2x)dy = 0 Solución y = za dy = a za~ld z , , reemplazando en la ecuación (x + z 3a )¿£c + (3z5° -3z21)oza_1¿/z = 0 , agrupando (x + z3a )dx+(3z6a~1 - 3 z 3a~1x)a dz = 0 para que sea homogénea debe cu nplir: 59 1 - 3a - 6a — l = 3 a => a = \ ' reemPlazan dz = u dz + z du (uz + z)(u dz + z du) + (z - uz)dz = 0, simplificando (u + l)(u dz + z du) + (1 - u)dz = 0, agrupando (u 2 + 1 )dz + z(u + \)du = 0 , separando las variables dz u + 1 z ~ Y ~ ~ du = 0 , integrando f — + í — du = c U2 + 1 J z J u 2 + 1 1 2 x lnz + — ln(w + 1) + arctgu = c , para u = — , z = y 3 2 z y 3 1 ? ¿ se tiene: arctg-— = — ln(x + y ) + k x 2 162) 2(x2y + ^ \ + x 4y 2 )dx + x 3dy = 0 Solución Sea z = x 2y => x 2dy=dz—2xrydx. Reemplazando en la ecuación diferencial: 2(z +Vl + z 2 )dx + x(dz - 2zdx) - 0, simplificando 2 {z+ 4 ü -z2 )dx + xí/z - 2z¿/x = 0 de donde 2^1 + z 2 dx + xdz = 0, separando las variables dx dz _2 — + —= ■■■■■ ■■■■, = 0, integrando * Vi + z 2 J 2 — + f — = lnc => x 2(x2y + ^ l + x 4y 2) = c x Vl + z 2 60 163) (2x - 4y)dx + (x + y - 3)dy = 0 Solución Lx : 2 x -4 y = 0 1 Sean > => Lx4 fL 2 => 3 P(xQ, y 0) e L x n L 2 de donde L2 : x + y - 3 = 0J 2x - 4y = 0 | * o = 2 sea x = z + 2 , y = w + 1, reemplazando en : x + ^ - 3 = 0j Jo =1 (2x-4y)¿fy + (x + y-3)rfy = 0 (2x - 4w)dz + (z + w)dw = 0, es homogénea sea w = uz => dw = u dz + z du, reemplazando en la ecuación (2z + 4uz)dz + (z + uz)(u dz + z du) = 0, simplificando se tiene: (w 2 - 3« + 2)dz + (m + 1 )zdu = 0, separando la variable — 4- . “ + *---- du = c => ( j ; - 2 x + 3)3 = c ( y - x + l ) 2 z t/ - 3w + 2 164) (x — 2y — l)dx + (3x - 6y + 2)dy = 0 Solución Sea z = x — 2y => dx = dz + 2dy, reemplazando en la ecuación (x - 2y — l)dx + (3x — 6y + 2)dy = 0, se tiene: (z - l)(dz + 2dy) + (3z + 2)dy = 0, agrupando (z — l)dz + 5z dy = 0 , separando las variables (1 - — )dz + 5dy = 0 ; integrando z z - ln z + 5 y - c , como z = x - 2 y entonces: x + 3 y - ln |x - 2y| = c 61 165) ( x - y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0 Solución Lj : x - y + 3=0 1 L2 - 3x+y+l = 0\ ^ ^ Ll entonces 3 ^ o J o ) g £ i n ¿ 2 de donde x - y + 3 = 0 ] x0 = - l -» 1 * r =* ^ » sea x = z — 1 , y = w + 2 3x + y + l= 0 J .Vo =2 (x — y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0 (z — w)dz + (3z + w)dw = 0 , es homogénea w = uz => dw = u dz + z du, reemplazando en la ecuación (z - uz)dz + (3z + uz)(u dz - z du) = 0, simplificando (1 — u)dz + (3 + u)(u dz + z du) = 0, agrupando (w 2 + 2w + Y)dz + (u + 3)zdu = 0 separando las variables dz u — 3 r dz r u — 1 — + ~ 2— ------du= 0 , integrando — + —----------- ¿w = c z w + 2w + l J z J u 2 + 2w + l 2 2 ln z + ln(w + 1) -------= c entonces ln z(u +1) ------ — = c donde «+1 «+1 2x+2w y - 2 ------ w = — = ------ setiene y = 1 - x + ce r+>’ z x + 1 166) (x + y)dx + (x + y - l)dy = 0 Solución Sea z = x + y dy = dz — dx, reemplazando en la ecuación 62 z dx + (z — l)(dz — dx) = 0, separando la variable dx + (z— l)dz = 0 , integrando J dx + J ( z - \)dz = c entonces 2 x + - - ~ - - = c porlotanto: 2x + (x + y - l ) 2 =k 167) y cosx dx + (2y — sen x)dy = 0 Solución Sea z = sen x => dz = eos x dx, reemplazando en la ecuación y eos x dx + (2y - sen x)dy = 0, se tiene: y dz + (2y - z)dy = 0, es homogénea sea y = uz dy u dz + z du, reemplazando en la ecuación uz dz + (2uz — z)(u dz — z du) = 0, simplificando u dz + (2u - 1 )(u dz + z du) = 0, agrupando dz 2u - \ J , r dz c 2u - 1 , , , ---- h---- -— du = 0 , integrando — + — du■ = c de donde z 2u2 J z J 2u 2y ln y + sen x = 2cy y y168) ((x -y )co s — )¿/x + xcos — dy = 0 x x Solución y Sea u = — => y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación x (x — ux eos u)dx + x eos u(u dx + x du) = 0 63 (1 — u eos u)dx + u eos u dx + x eos u du = 0, simplificando dx + x eos u du = 0, separando las variables — + eos udu = 0 , integrando f — + f eos udu = c x J x J V VIn x + sen u = c, como u = — => ln x + sen — = c x x por lo tanto x = ke~SQnylx y 3dy + 3y2xdx + 2x3dx = 0 Solución y = ux dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación w3x 3(udx + xdu) + (3x3m2 + 2x3)dx = 0, simplificando u3 (udx + xdu) + (3u2 + 2)dx = 0, agrupando (u 4 + 3u2 + 2)dx + u 3xdu = 0, separando las variables dx u3 ,---- 1_ —__—— -----du - 0 , integrando x u 4 +3u2 +2 — U— -----du = c de donde c J x 2 + y 2 = y 2 + J x J u 4 +3u +2 ydx + (2 ^Jxy - x)dy = 0 Solución y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación udx + (2Vux2 - x)(udx + xdw) =* 0 , simplificando 2u^füdx + x(2Vw - l)rfw = 0 , separando las variables 2dx 2a/w -1 , . . , c dx c du f du -----h------- j=—du = 0 , integrando I — + ------— — = c X u^lu J x J u J u 3 2 2 [x21n x + 21ni/H—j=r = c de donde ln y - c - — entonces Vw v y y = entonces y e = k 171) Hallar la curva que teíiga la propiedad de que la magnitud de la perpendicular bajada del origen de coordenadas a la tangente sea igual a la abscisa del punto de contacto. Solución Por dato del problema d = x0 Además mLt | = y' (x0) y la ecuación de la tangente es: Lt : y - y o = mLt ( x - x 0) 65 Lt : xy' (x0) - y + y0 - yx0y ' (*o) = O por distancia de punto a recta d ( 0 , L , ) J ^ = VO’( por condición del problema se tiene: ¿/(O, Lt ) = x 0 \yxo/(xoÍ J F"" ■ = xo generalizando en cualquier punto se tiene: - M * o))2+i y 2 - 2xKy'+x2/ 2 = x 2 + jc2/ \ simplificando >’2 ~ * 2 — 2xv;v' = 0 de donde ( y 2 — x 2 ) dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación (u2x~ —x ‘’)dx — 2 x 2u(udx + xdu) = 0> simplificando (u -1 )dx — 2u(udx + xdu) = 0 , agrupando — (u ~ + l)¿¿r — 2uxdu = 0 , separando las variables. 2w ^ a • * ^ f ,— + ---- du = 0 , integrando — + ------- ¿fa= lnc * u 2 +l i x J u 2 + 1 lnx+ln£/2 -+1) = lnc => x(u2 + 1) =c* de donde u = — por lo tanto: x2 + y 2 =cjc x Hallar la curva para la cual la razón del segmento interceptado por la tangente en el eje O Y, el radio vector es una cantidad constante. Solución o /(* o )| o))2 + l La ecuación de la recta tangente es: Lt \ y - y0 = m (x - x0), de donde Lt : y = y '(x0) x - y ' ( x 0Kx0) + y 0 parax = 0, se tiene d 1 = y Q- y ' ( x 0)(x0) r r 7 Vn ~ y'(^o)(xn) además = V*o “ .Vo » lueg° :--1— =*==— = generalizando se tiene: 4 xo + y ¡ v - y ' x , rr~ rj =C => y - x y =c^Jx + y i * 2 +jV2 (c-jx1 + y 2 - y)dx + xdy = 0 , es homogénea sea y = ux dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación (c\Jx2 + x 2u - yx)dx + x(udx + xdu) = 0 , simplificando , (c^l + u 2 -u )dx + udx + xdu = 0 , agrupando 67 c^l + u2 dx + xdu = O, separando las variables = 0 , integrando c ln x + ln(w + •\/l+M2 ) = ln&dx duc--4- - ^ ^ * é + u2 x c (u + *K+u2 ) =k dedonde y + ^ Jx2 + y 2 - k x l c x 2 + y 2 = k 2x 2^ ~c>i -2kyxl~c +y2, dedonde . 1 / 1 —(T 1 1+C.. y = — k v ----x 2 * k 173) Empleando coordenadas rectangulares, hallar la forma del espejo si los rayos que parten de un punto dado, al reflejarse, son paralelas a una dirección dada. Solución dy , Á t a O - * ) + 4 7 2 + ( i - * ) 2— = tg^ = c tg 0 = ----------- 2----------------- dx y ydy-( l-x)dx _ . „ r ~5 “ 7 --p— ■. ... = dx integrando ^ y + ( l - j t )~ = j t + c , parax = y = 0, 1 = < 4 y 2 +( l - x ) 2 y = 4 cjc 68 174) Hallar la curva para la cual la longitud del segmento interceptado en el eje de ordenadas por la normal cualquiera de sus puntos, es igual a la distancia desde este punto al origen de coordenadas. Solución Dato del problema dx = d 2, la ecuación de la tangente es: L, : y - y 0 = ^óí^oX^-^o) ecuación de la normal: LN : y - y 0 = ------ — (x - x 0) y \ x o) J J X *0de donde y = ----------- + ---------- 1- y 0 / ( * 0) / ( * » ) parax = 0, dx =—^ - — + y 0 además d2 =Jxo + y'(x 0) y l como dx = d2 => ——— +y 0 =Jxo +.Vo » generalizando + y = - jx2 + y \ * 0) ' dy xdx + (y- -Jx2 + y2 )dy = 0 , es homogénea y = ux => dy = u dx + x du , simplificando (1 + w2 - u ^ l + u2 )dx + x (u -^ \ + u2 )du = 0 69 dx U -V l + M2 x 1 + u 2 -u V l + W^ du= O, integrando y reemplazando y 1 / 2 Ku = — se tiene: y = — (cx — ) x 2 c 175) Hallar la curva para la cual el producto de la abscisa de cualquiera de sus puntos por la magnitud de sus puntos por la magnitud del segmento interceptado en el eje OY por la normal, es igual al duplo del cuadrado de la distancia desde este punto al origen de coordenadas. Solución Condición del problema x {)d\ = 2 d \ , la ecuación de la recta tangente es: Ly - y - y o = y \ x 0) ( x - x 0) ecuación de la normal es: LN : y - y 0 = — 7 7 — ( x - x 0) / ( * o ) x *o l n '■ y = — 77— y (Xfí) y (*0) para x = 0 => d, = ——— i- y 0, d2 =-Jx¡j + Jo P°r 1° tanto: y'(x0) 70 x0d 1 = 2d \ => x n( -X° + y (i) = 2(Jx¿ + y l )2 , generalizando v (jc0 ) 2 dx „ , 2 2\x — +xy = 2(x + y ) dy x 2dx + ( x y - 2 x 2 - 2 y 2)dy = 0, es homogénea sea y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación x 2dx + (x2u - 2 x 2 - 2 x 2u2)(udx + xdu) = 0 , simplificando dx + ( u - 2 - u 2)(udx + xdu) = 0 , agrupando (u 2 - 2u - u3 + \)dx + x(u - 2 - u2 )du = 0 , separando la variable dx u - 2 - u 2 „ . A t , y— + —---------- -----du = 0 , integrando y reemplazando para u = — se tiene: * u 2 - 2 u- u3+\ x 71 ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN: ECUACIONES DE BERNOULLI La ecuación diferencial de la forma: ^ - + P(x)y = Q(x) dx donde P(x) y Q(x) son funciones continuas de x, se llama ecuación diferencial lineal de primer orden. Si Q(x) = 0, la ecuación (1) se llama ecuación diferencial lineal homogénea, y es de variable separable y su solución es dada por: - f p(x)dx y = ce J si Q(x) * 0, la ecuación (1) se llama ecuación diferencial lineal no homogénea, y su solución es dada por la expresión. Ecuación de Bernoulli. La ecuación diferencial de Bernoulli es de la forma: ^ + p(x)y = Q(x)yn dx ..(2) donde n ^ 0,1, para resolver esta ecuación se transforma en una ecuación diferencial lineal, mediante la sustitución. i-« 72 Resolver las Ecuaciones Diferenciales siguientes: 176) y ’+2y = x 2 +2x Solución La solución es: y = e ^p{x]d\ ^ e ^ pix)dxQ(x)dx + c] . . . ( 1) donde P(x) = 2 y Q(x) = x 2 +2x ... (2) luego reemplazando (2) en (1) se tiene: - í 2 dx r ' f 2 dx 2 y = e J [ \ eJ (x +2x)dx + c] , efectuando la integral y = e~2x[ j e 2x(x2 + 2x)dx + c] y = e~2x[—— —- e 2x +—-1-c] por lo tanto: 2 4 2x2 + 2x V= 4 177) {x2 + 2 x - \)y ' - { x + \)y = x - \ Solución / 2 n , / , x + l JC —1(x¿ + 2x-l)y '- (x + l)y = x - \ => y '— ---------- = —---------- x + 2 x - l x + 2 x - - \p(x)dx r (p(x)dx y = e J [ \ e J Q(x)dx + c] -2 v— + ce - la solución es: 1 73 donde P(x) = ---- + *— y O(x) = - - 1— , reemplazando se tiene: x + 2 x - l x 2 + 2x - \ - \ - — ^ ± — dx , - x - \ y = e } x +2x-l r \ e ' x +2x-l f _ J ----rfX + C] J x + 2 x - l iln(*2+2j-l) (• -iln(A:2+2.t~l) x ~l , .. y = e2 [ \ e “i-------¿fo + c] x + 2x -1 y = V*2 + 2 * - l [ f 180) 2xy'-y = 3x2 Solución ^ , -» 2 , 12xv - y = 3x => v ------y = — 2 x ' 2 como la solución es: y = e ^ H * Q(x)dx + c] 1 3x donde P(x) = ------y (?(jc) = — , reemplazando se tiene: 2x 2 f dx r dx = e 2x[ j e 2x — dx + c\ 1 ,— ln x ^ — ln x r— j r r—• y = e 2 [J e 2 xdx + c] => y = ^Jx(—j ^ x d x + c) y = -Jx(x*/2 + c) => y = x 2 +c*Jx 181) (x + \)dy-[2y + {x + \)*]dx = ti Solución (x + \)dy ~[2y + (x + \)A ]dx - 0 dy 2 dx Jt + l V = (jc-h l)3, como la solución es: ’ = e ~ ^ x)Jx[ \ J P^ dxQ(x)dx + c] donde P(x) = — — y Q(x) = (.v + 1)3 x + 1 76 f 2> + 2sen 2y Solución 1 dy 1y = ---------------------------- n> J L = ----------------------------- x sen y + 2 sen 2y dx x sen y + 2 sen 2^ - ¿/je— = x + sen>> + 2sen2y = > ---------------- (sen y)x = 2sen 2v «V úfv la solución es: x = e de donde P(x) = -seny , Q(y) = 2sen2y, reemplazando se tiene: f sen v’rfv f f sen yrfy x = e J [ J e J 2 sen 2ydy + c] x = e cos>'[4j ecos>’ sen y co sy d v + c] x = í T cos>[ ( 4 - 4 c o s \e * * y + c ] => x = 4 ( l - e o s >■) + « > -cos v por lo tanto: x = ü n 2 -- + cí> C0S1' 77 183) y'-2xy = 2xe*2 Solución y = e - ^ x)dx[ ¡ J pMJxq(x)dx + c] donde p(x) = -2x y q(x) = 2xex - f - 2 xdx r i-2.xdx JJ.2 reemplazando se tiene: y - e J [ \e i 2xe dx + c] y = exl [^2xdx + c] = e * \ x 2 + c) por lo tanto: y - (x2 +c)ex 2 x 3 —2 184) x(x3 + l)y'+(2x3 - l ) y = -------- Solución x 2 — 2x(x3 + l ) /+ ( 2x 3 + l)y = -------- dividiendo entre x(x3 + 1) entonces: y'+ — -r— — y = , ecuación lineal en y, la solución es: x(x +1) X (x +1) y = e \ p(x)=-^y— y ?(*) = 2 3 J x(x + 1) x (x + 1) f 2.v3- l ^ f 2 / - 1 ^ 3 reemplazando se tiene: y = e +1) [ f e r(< " * • ^— dx + c] J x 2(x3 +l) y = e , jr3+l . , * 3+l . , 3 -ln------- r ln(-------) (x - 2) , [ i e x ~ 2— í----- dx + c] J x 2(x3 + l) 78 * r f X ~ 2 j n x , 1y = - 3 — - [ I -------— ¿ X + c ] = - y — (x + — + C ) x J +l J x 3 x 3 +l x 2 expor lo tanto: y = —— - + — x +1 X 185) y'+y eos x = sen x eos x , y\ x_0 = 1 Solución y = e /p(vWr[Je^p(x)d'q(x)dx + c] donde: p(x) = cosx y q(x) = sen x eos x . . . - I eos xdx f í eos xdx reemplazando se tiene: y = e J [ \ e J senx eosxdx + c] y = e~ *enx [ J esen x sen x eos xdx + c] y = e~'senA[senxesen v - esenA + c] y = s e n x - l + céTsenK para x = 0 , y = l = > 1 = 0 — 1 + c entonces c = 2, por lo tanto: y = 2e~scnx + s e n x - l 186) x ln * / - ( l + ln x)y + ^ ~Jx (2 + ln x) = 0 Solución x lnx.y'-(\+ lnx)y+~ (2 +lnx) = 0 , dividiendo entre x l nx entonces se tiene: 1 + lnx (2 + lnx) .. i iy _ — -----v = --------¡==----- , ecuación lineal en y, la solucion es: x l nx ' 2^¡xlnx 79 y = e ^p{x) — - -- z = x 2, ecuación lineal . 3 dx 3x 3 dx x 1 dz 2 x dz 2 _ i dx + c] 80 - f - -d x c f -dx cuya solación es: z - e x [ \ e x x~dx + c] entonces: '[ J íf r + c]z = e 2lnx[ \ dx+c] => v 3 = x y +cx2 188) 8 xy '-y = - 1 yl)x + \ Solución o . i dy i i , ^8x y - y = --- ■■p=^ L_1 entonces —-------- v = ----------y^— , ecuación de Bernoulli y^Jx + 1 títe 8x %xy\lx + l multiplicando por y 3 se tiene: y 3— - — v 4 = - - * dx 8x ‘ 8xa/x+T s e a z = y 4 entonces — = 4^ 3 — , reemplazando en la ecuación se tiene: ¿/x ' dx \ dz \ 1 dz 1 1 ., .. — —— — z = ------7= = - ~ => —--------z = -7= , ecuación lineal 4 ¿x 8x 8x v x + 1 dx 2x 2xVx + l f ^ f ¿r ^ cuya solución es: z = e 2* [ - 1 e 2* ----- ........+ c] J 2xvx + l — lmr /• ln.r z - e 1 [ - \ e 2 ----- - + c] entonces J 2xVx+l z = V x [ - f— j J ^ j = + c] => Z = -Vx[frf(^ ^ ) + c] J 2V*W* + 1 J V* ’ = V^(—7=~ + c) = por lo tanto: v4 =4x + \ + c^fx Vx 81 189) (Jty + x 2y 3)y '= l Solución (xy + x 2y 3)y '= l => (xy + x 2y 3) ~ = \ dy 1 dx 2 3— = --------—— entonces — = xy + x y dx xy + x y dv - xy = x 2y 3 multiplicidad por x-------- -> dy -2 dx - 1 3 -1 v-2 dxx ----- yjc = y , sea z = x => — = -x — dy dy dy — - vz = v3 => — +yz = - y 3, la solución es: dy y^ r f , zi ^ = e- í ^ [ - J e ^ V ^ + c] = e ' 2 [ - J e V ^ + c l => _zl ¿ ¿ z = c 2 [ - y 2e 2 + 2 e 2 + c] por lo tanto: 190) / - y = 2*e*+x2 1 2 "T— = 2 - y + ce 2 Solución Como y = e /^(r)í/r[ | e ^ (v)í/X^ (jc)dx + c] donde p(x) = -1 y #(x) = 2xe* Reemplazando se tiene: y = e ^ [Je^ 2xev+v dx + c] 82 y = ex[ j2 x e x dx+c] entonces y = ex (ex +c) por lo tanto: y = ex x + ce 191) xy' = y + x 2 senx Solución 2 dy 1 .,xy = y + x sen x => —----- y = x sen x , ecuación lineal dx x la solución es: y = e r dx r dx y - e x [ f e x xsenxdx + c] y = e lnx[ j e~lnx x sen x dx + c] = x(- eos x + c) por lo tanto: y = -x eos x + ex 192) x 2y'+2x3y = y 2(l + 2x2) Solución x 2y'+2x3y = y 2 (1+2jc2 ) entonces y'+2xy = y 2 - , ecuación de Bemoulli x multiplicando por y~2 se tiene: y~2y'+2xy~x x 2 sea z = y 1 => — = -y 2y' reemplazando dx +2xz=— -— => -----2xz=-------— , ecuación lineal donde la solución es: dx x2 dx x2 83 - f - 2 xdx f [ -2 xdx (l + 2 x 2 ) Z — e J I — I p j ------ 4---- r r \ -2xdx (l + 2x~) , _ [ - U J ----- - d x + c] J X = ^ [ - j dx + c] = e"2 [ J r f ( ^ - ) + c] 1 1 *2 por lo tanto: — + — + ce y * 2 2 2 x - y - a Solución 2xy dx x 2 - v 2 - a 2 ^ ^ ¿ dx 1 __ y 2 +a2 , y —-------- ------- — = ---------------- de d o n d e --------- x = ----- ----- x x 2 - y 1 - a 1 dy 2xv dy 2y 2y . . dx \ 2 v2 + ¿z2multiplicando por x se tiene: x —— — x = ------ ----- y dy 2 y 2 y 0 dz dx . \ dz \ y 2 + # 2 , A A sea z - x => — = 2x — , reemplazando — —— —— z = ----- ----- de donde dy dy 2 dy 2 y 2y 1 cuya solución es: J « y'*«, )dy+c] donde dy y y J 1 2 + a 2p (y ) = ---- y q(y) = -----a reemplazando se tiene: r J v y + a[ - le y - -------- dy + c] J v 2 2 2 : = e ln;l'[-1 —-—- dv + c] = y ( - y + — + c) entonces J y 2 ' ' y 84 z = - y 2 + a2 +cy porlotanto: x 2 + y 2 - a 2 =cy 194) 2 senx.y'+y eosx = y 3 ( x eosx - sen jc) Solución 2 sen x ./+ y eos x = y 3 (jc eos x - sen x) de donde dy c tg x 3, x e o s* -se n * .. , — + —-— y = y (----------------- ), ecuación de Bernoulli dx 2 2 sen* multiplicando por y 3 se tiene: y 3 — + c ^ x y 2 — j [cosx_senx dx 2 2 sen x sea z = >,-2 =* — = -2y~3 — reemplazando - 1 ^ +£ÍM ÍZ=£ £ £ ? Í Z ^ dx dx 2 dx 2 2senx dz —— c tg x.z = -(xc tg x - 1) ecuación lineal cuya solución es: dx -\-cX%xdx f f-rtgjr dx z - e f J e (xctgx — X)dx+ c] _ lnsenjc«- f - ln se n jr / . nz - e [- \ e (x c tg x -l)ax + c] _2 r fx c o s x -s e n x ,y = sen x[ - 1 --------- -------- dx + c] entonces: J sen x — 2 X Xy = sen x[¿/(--------------------------------------) + c] = sen x(------h c) por lo tanto: sen x sen x l — = x + c sen x 85 Solución 3x2 dx x3+y + l , , ,y'=----------- => — = -------— de donde x3 + y +1 dy 3x - — x = - +— x 2, ecuación de Bernoulli dy 3 3 2 . 2 , 2 . x2 +a2 1 *(3jc2 - g 2) Multiplicando por y ¿ se tiene: 3 y y + ^ >' “ ^2 _ a 2 sea z = y 3 => — = 3 y 2 y \ al reemplazar se tiene: djc ffe , ■y2 +fl2 - _ ecuación lineal cuya solución es: _r_£±5l_rf, , f x?fl ~ — = - y ”2y ', reemplazando en la ecuación: dx — = - - ( x + l ) 3 => — — — = - ( x + l ) 3 , ecuación lineal cuya solución e ¿/jc 1 + jc 2 ¿ jc 1 + jc 2 ¿x c dxr dx f dx z = e J l+x[ j e J ,+x ~ ( x + l)3dx + c] z = e ,n(,+*)[ fe - ' n(,+x>± (l + x )3 dx + c] z = (1 + x)[ J + ^ dx + c] por lo tanto: 1 +— = — —— + c(l + x) V O 200) 201) (x 2 + y 2 +1 )dy + xydx = 0 Solución xy — + x 2 + y2 +l = 0 =» — + — x = - x 1, ecuación de Bernoulli dy dy y y dx 1 2 y +1 multiplicando por x se tiene: x — + — x = ----- ---- dy y y sea z = x 2 =» — = 2x — , reemplazando en la ecuación dy dy 1 dz 1 y2 + 1 dz 2 a v i i - ^-----+__Z==_Z------ ^ — 4— z = _2(i------ ), ecuación lineal cuya solucion es: 2 ¿y y y dy y . y ¿/y+ c] z = e - ^ y [_2 ¡ e m y ( ^ - — )dy + c] => x 2 = - ^ f " 2^ + + c]J v v 4 2 por lo tanto: / = 2y lny + y- j c Solución ¿/;t _ 2x ln y + y - x dy x — + L x = 2 \ny + l , ecuación lineal cuya solución es:¡ dy y 90 - J - f J - z = e v fj e y (21n y + \)dy + c] entonces: ,z ~ e ln) [ J e lnv(21n y + Vfdy + c] =$ x = — [J (2y ln y + y)dy + c] Q por lo tanto: x = y ln y + — 202) x(x - l)y ’+y = x 2 (2x - 1) Solución 1 (2jc - 1) ^+ ~ (--ñ ^ =---r x ’ ecuaci°n üneal cuya solución es: — 1J X ~ X r dx r dx y = e 4*4) [ í j ^ ) x< ^ I ± )d x + c] J x - l 1 / x X , JC—1 jc-T r f T / 2 x ~ l w y = e x 1 [ j e x x(— — )dx + c] J x - l y = - ^ — [ \ (2 x - l )d x + c] => y = - ^ —(x2 - x + c) X - l J x - l por lo tanto: y = x 2 +- x - l .2 , CX x - l •*W) y ' - y tgx = sec;c, y|^=o= 0 Solución - f - t g xdx f f - tg jxdx y = e \ \ e J sec xdx + c] 91 204) 205) eos X y = e Ulc:>s;c[J e lnsec* secxdx + c] entonces: C sec xy = L .x x ( ------ dx + c) =secx(x + c ) , parax = 0 setienec = 0 l sec x X por lo tanto: y = sec x (x + 0) => y = - y' eos y + sen y = x + 1 Solución Sea z = sen y => — = eos y.y ' , reemplazando en la ecuación: dx + z = x + 1, ecuación lineal cuya solución es: dx z - e ^ [ je^ (x + l)dx + c] => z - e * [Je* (x + l)dx + c] por lo tanto: sen y = x + ce' y'+ sen y + x eos y + x = 0 -x Solución y y 2 y 2 ySea sen y = 2 sen — eos — , eos y = eos — - sen — 2 2 2 2 y y i y 2 y ^y '+2 sen — eos — + x e o s ----xsen — + x = 0 2 2 2 2 y'+2 sen—eos —+ x eos 2 —- x ( l - e o s 2 —) + x = 0 , simplificando 2 2 2 2 92 / + 2 sen —^os —+ 2xcos2 — = 0 2 2 2 2 y ysec “ — y1’+2 tg — + 2x = 0 entonces: 2 2 sea z = 2 tg — => — = sec2 — .y', reemplazando en la ecuación: 2 dx 2 dz— + z = - 2x , ecuación lineal cuya solución es: dx z - e [ -2 ^ e^‘lXxdx + c] => z = e~x[-2(xex - e x ) + c] 2 tg 2' = ^ + * entonces ig~- = ke x - x + l 206) / - - ^ = é>*(l + x)'1 x + l Solución - f —— J ii/(ax)da = nilf(x) reemplazando = n\¡/(x), derivando: 1 ex 1 f x V ( x ) , / x — \\ir{z)dz = n\¡f{x) => — •lf(z)dz + ny /(x ) x Jo X Jo x como f y/(z)da=nxyf'(x) entonces — ^(nxy/(x)) + ^ - ^ - ny/'(x) Jo X2 (1- « ) , y / ' ( x ) _ \ - n ¥ { x )L - - = n ¥ {x) entonces: — integrando ln(y/tx)) = ln x. (-— ) + In c n i-n ln y/(x) = ln c.x " entonces: y/(x) = c.x n - x 2 2y'+xsen2y = xe eos y Solución 2 y'+xsen 2y = xe~x' eos2 y => sec2 y.y’+2xtg y = xe~x sea z = tg v => — = sec1 x y .y \ reemplazando se tiene J - + 2xz = dy “X z = e~i2xáx\ j J 2xdxXe~x~dx + c\ entonces tg y = e~x [Jxdx + c] xe~x - x 1 por lo tanto: tg y = —- — + ce En los problemas que se dan a continuación hay que hallar las soluciones de las ecuaciones que satisface a las condiciones indicadas. 209) y'-2xy = eos x - 2x sen x , y es una función acotada cuando x ->oo Solución -f-2xdx f f-2xdt v = e J [I e J (eosx-2xsenx)dx + c] y = e A [Je~x (eosx - 2 x senx)dx+c] entonces: y - e x [Jd(d~x senx) + c] => y = e x (e x senx + c) . x2 y = 3 sen x + ce como sen x varia entre -1 y 1 además y es acotada cuando x —>qo => c = 0 , por lo tanto: y = sen x 210) i j x y ' - y = - sen V* - eos V* , y es acotada cuando x ->oo Solución , 1 senV *+cosV * ., ..y ----- t= y = -------------7=-------- , ecuación lineal cuya solución es: 2v * 2V* _ e~^TJ7{ f sen^x+cos^xy = e f , l^ ~ V £ ± c o w « 1 i4 x J 2Vjc y = e^[J y - eos~Jx+c) y = eos a/x + c e ^ como eos x varia entre -1 y 1, además y es acotada cuando x-H -a o = > c = 0 por lo tanto >■ = eos Vx 95 211) ln 2 = 2sen x (eos x -1) ln 2 , y es acotada cuando x -*+oo Solución y = e - \ - la2 y = 2 senx +cexln2 como sen x varia entre -1 y 1, además y es acotada cuando x ->+oo => c = 0 por lo tanto: >' = 2sen' 212) 2 x 2y '-xy = 2x cosx -3 sen x , y -> 0, cuando x->+oo Solución 1 2 x co sx -3 sen x y ------y = ------------ --------- 2x 2x - f f f t 2 x co sx -3 se n x , y = e J 2jt[j e * -------- ------------- dx + c] lnjr lnx— r —t - 2 x eo sx -3 se n x v = e 2 [ \ e 2 (--------------5--------)dx + c] J 2x /— r sen x /— ^ sen x sen x r~ y = J x [ ] d ( - j jY ) + c ] => y = 'Jx(—^jY+c)= - +cV* como sen x varia entre -1 y 1 además y —» 0 cuando x ->+oo => c = 0 96 por lo tanto: y = -~n * , sen 2 xy senx - y eosx -------- -— , y —> 0 cuando x -> oo x Solución . * sen x y c tg x.y - ------— , ecuación lineal cuya solución es: x - j - c tg x d x f j - c tg xd x senxv , y = e J [ \ e } (-r~)dx + c] J x ¿ .. _ ln(senx)r f lnsenjr^COSX y - e L“ J e (— Y~) * + entonces: J x „ f dx i senxy = senx[-J — c] => y = — — + csenx como sen x varia entre -1 y 1 además y -» 0, cuando x r=> c = 0 por lo tanto: y = senx (1 -f x 2) ln(l + x 2)y '-2xy = ln(l + x 2) - 2x aretgx , y - ^ - ~ cuando x->-oo Solución dy 2x 1 2xarctfíc //v ,1 . 2x, * 27^ — 2 “ ~ ---------r » ecuación lineal, la solución es:dx (l+xz)ln(l+x2) 1+x2 (1+x )ln(l+x ) f - 2 x d x f -2 a ¿v v = í? MMbO+j:2) r f J(l+*2)ln(l+jr2W 1 2x.arctgx J 1 + x2 (l + x2)ln(l + x 2) = e ln(ln(l+Jc2))r f ( --------------- 1--------1—------------ 2 x . a r c t g y x + c,j j (l + x 2)ln(l + x - ) (1 + x )ln(l + x ) y = ln(l + x 2)[ f d( arctg^_) + c] •> ln(l + x ) n, r arctgx , y = ln(l + x )[------^ + ^ 1 ln(l + x ) y = arctgx+ cln(l + x 2) , para y - > - | , cuando x ->*> => c por lo tanto: y = arctg x 215) y' - exy = -y s e n —-e * eos—, y —> 2, cuando x —>-oo x * x Solución = ^ f e dx[J e ^ sen —-e * eos —)dx + c] y = e€ [[e~e (-^-sen —-e * eos —)dx + c] x 2 * x y = ke\ J d ( e ~ eX cos^-) + c] => y = ee [ e e co s^ + e] y = eos — + ce6 cuando y ->2, x -> -oo x 1 ^ - eos — c _ _________ £ => c = 2 - 1 => C = 1 , por lo tanto: 1y = e -heos — x 98 216) y ' - y l n x = - ( l + 21nx)x *, y - * 0 cuando x-»+qo Solución - f - ln .v f í - lnj rár y = e J [-1 eJ (l + 21nx)x dx + c] y = e xlDX-x[ - ¡ e x~xln* (1 + 2 In x)x Xdx+c] y = x xe~x [ - J e x (1 + 2 ln x)x~2xdx+c] y - X xe~x[ jd ( e x jc~2x )+c] => y = x*e~*(e*jc~2x +c) y - x ~ x +cxxe~x para y->0, cuando x->oo => c = 0 por lo tanto: y - x~x 99 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS, FACTOR i n t e g r a n t e ! La ecuación diferencial de la forma: M(x,y)dx -f N(x,y)dy = 0 ... (1) Se denomina ecuación diferencial exacta si su primer miembro es la diferencial total de una función u(x,y) du du Mdx + Ndy = du = — dx + — dy ox oy la condición necesaria y suficiente para que la ecuación (1) sea una ecuación diferencial exacta es que se cumpla la condición. dM dN dy dx . . . (2) La integral general de la ecuación (1) tiene la forma u(x,y) = c, o bien. í M (*, y)dx + P N(x, y)dy = c Jx0 Jy0 ... (3) En algunos casos, por cierto muy excepcionales, cuando (1) no representa una ecuación diferencial exacta, se consigue hallar una función u(x,y) tal que al multiplicar el primer miembro de (1) por ella, resulta una diferencial total: du = u Mdx + u Ndy ... (4) Tal función u(x,y) se llama factor integrante, según la definición de factor integrante se tiene: duM d Ar A . . K1du A du .dM dN. ------ = — uN de donde N - — M — = (—------- —)u dy dx ox oy oy ox consideremos los siguiente casos: 100 Primer Caso.- Si u es una función solo de x. r: f ^u dM dN duEntonces: — = 0 => u(------------ ) = N — dy dy dx dx du i M N du 1 dM dN J — - — ( ) de donde — = — (—-----— )dx = f ( x ) d x , integrando se tiene: dx N y x u N dy dx \ ln u = J f ( x )d x => u = e ¡ f {x)dx Segundo Caso.- Si u es una función solo de y entonces: dU . . ,dM dN ^ t r du— = 0 luego m(—-------— ) = - M — ox dy dx dv du _ u dM dN du 1 dM dN ^ , J dedonde v = _ ¥ (1 7 “ &"Mv = g(v)^ ’ mtegrand0 ln u = \ g ( y ) d y =» u = J sWdy Integrar las ecuaciones. 217) x(2 x2 + y 2) + y ( x 2 + 2 y 2)y '=0 ¡M = x (2x 2 + y 2) [N = y ( x 2 + 2 y 2) Solución dM dy dN dx = 2xy = 2xy Luego dM _ dN dy dx la ecuación es exacta 101 218) df(x ,y ) d f(x ,y ) » 3 f ( x , y ) tal que v. • = M y Sx 5v d /fo -jj. = x(2x2 + y2 ) integrando respecto a x. cfcc 4 2 2 f ( x , y ) = j x ( 2x 2 + y 2)dx + g(y) = ^ + ~ - + g (v ) , derivando - x 2y + g ' (y) = N entonces x 2>y + g '(v) — y(x + ) 5v g ’ (^) = 2 ^ 3 => g(y) = + c , reemplazando en la función f ( x , y ) = — + ^ —^ + — + c porlotanto: x* + x ~ y 2 +y 2 2 2 (3x2 + 6x y 2 )dx+(6x 2y + 4;y3 )dy = 0 Solución \m = 3x2 +6xy2 [N = 6x 2y + 4 y ì = 12 xyd M _ dy 8N 10 — = 12xy . dx Luego = la ecuación es exacta dy dx d f(x ,v ) , , d f(x ,y ) Entonces 3 / (x , v) tal que — ^ - — = M y — = N y) _ 2x 1 + 6xy2 integrando respecto a x. dx . 102 f ( x , y ) — -V3 +3x 2y 2 + g(y) derivando respecto a y df(x,y) á 2 , , r— ---- = 6x y + g (y) = N dy 6x y + g '(y) = 6x 2y + 4 y 3 entonces g '(y ) = 4j>3 entonces g(>') = y 4 +c f ( x , y ) —x 3 + 3x2_y2 + y 4 + c por lo tanto: /. x* + 3 x 2y 2 + y 4 =k 2I9) < - ì = - r + i + i ) * + < - T ^ - T + J - - 4 ) « ' - (' V* + / x y 4* + y y y ' Solución x 1 1 M = ■ .— = + —+ — ^ y i X_____ i_ __ ■yfx2 T y 2 y y 1 xvdM dy (x 2 + y 2)3/2 y 2 xy T dM dN 1 Luego —— = —- la ecuación es exacta 220) ^jx2 + y 2 y r +«'CK) = 1 X r + ------ J 7 + 7 y y g' (y) = i . => g(y) = lny + c', reemplazando en la función: f ( x , y ) = J x ^ + y ^ + ln x+ — + ln y+ c por lo tanto J x 2 + y 2 +ln xy+ — = k v ' y (3x2 tg y -^ Y -)d x + (x2 sec2 y + 4y3 + ~ - ) d v = 0 Solución 2 2/M = 3x tg y -----— x 1 3 N = x 3 sec2 y + 4y3 h dM ~ 2 2 6y-----= 3x sec y ------ r- dy x dN , 2 2 6.v2----= 3x sec y ------ y dx x Lueg0 la ecuación es exacta, entonces: dy dx Qf (*> y ) _ 3x2 tg y - integrando con respecto a x. a* x3 f ( x , y ) = \ ( 3x 2t g v - ~ - ) d x + g(y) = x 3 tg y + ^ y + g (y ), derivando ¥ ( x , y ) 3 2 3y ,, „ Ar — ------= x sec y + - y - + g (y ) = JV oy x 3 2 3 2 x 3 sec2 y + - ^ - + g ’(y) = X 3 sec2 y + 4y3 + -=y entonces g ’(y) = 4 y 3 entonces g(y) = y 4 + c , reemplazando en la función: / ( x ,y ) = x 3 tgy + -y + y 4 + c por lo tanto: x 3 3 4 V ,x tg y + y + ~ = k . x 221) (2x + ^ 4 ¿ ) d x = ^ l ^ x 2y xy2 Solución M =2x + x 2 + v2 x 2y N = - x 2 + y 2 A^2 rW 1 1 ■ — + —r y x-dy d N ____I_ ax " / + x 2 dM dN t Luego -----= ----- la ecuación es exacta, entonces: dy dx 3 / 0 , y) tal que —- = M y —■ = A/- de donde ox d/(x ,y) x 2 + y 2 . —------— = 2x + — -- integrando respecto a x se tiene: S* x y /• ^ | y ^ y f ( x , y ) = (2x + ---- —— )dx+g(y) = x 2 + -----— + g (y ) , derivando x y “y x 105 dy y x X 1 X 1 • —r--------------------------------------------------------------------------------- f- g ' (y) = ---- ---------- entonces g' (^) = 0 => g(jy) = c reemplazando: j '2 * v2 * f ( x , y ) = x 2 + — - — + c por lo tanto: .V x 2 * Vx + ------- --= k y x sen 2x sen2x x , .222) (—------ + x)dx + (y — —x— )dy = 0 y y sen 2x M = -------- + x N = v - sen2 x Solución dM sen 2x dy y 1 dN _ 2 sen x. eos x sen2x dx y 2 y 2 dM dN Luego -----= ----- la ecuación es exacta. dy dx Entonces 3 / (x , y) tal que =M y ^ - = N de donde dx dv d f (x, y) _ sen 2x 5x + x integrando respecto a x sen 2x + x)ífr + g(.y) = - cos2x x .---- — + _ + g^y} ^ derivando 2y 2 dl ^ ^ + g ñ — — X_V----1- 2x y —— integrando respecto a x se tiene ' * f ( x , y ) = y-jl + x 2 + x 2y - y ln x + g (y ) , derivando Qf(x ' y ) =-y/l + x 2 + x 2 - ln x + g '(y) = N dy -Jl+~x* + x 2 - ln x + g '( y ) = Vl + * 2 + x 2 - ln x g '(y ) = 0 => g(y) = c reemplazando en la función: / ( x , y) = yV1 + x 2 + x 2y - y ln x + c , por lo tanto: y j l + x 2 + x2v - y \ n x = k xdx+ydy + xdy - vdx _ ■p- + y 2 + * 2 Solución agnlpando +.V2 * d ( J x 2 + y 2 ) + rf(—) = 0 integrando término a término v ' x |d (^ /x 2 + y 2") + Jrf(—) = ¿* entonces: -sjx2 + y 2 + ~ = c (sen v + ysenx + —)dx + (xcos y -c o s x + —)dy = 0 r x y Solución 226) M = sen y + y sen x + — x N = x eos y - eos x + — 7 dy dN_ dx eos y + sen x = cosy + senx dM dN , Luego —— = —— la ecuación es exacta, entonces : dy ¿k 3 / ( x , y) tal que d^ x ' y) = m y S Í J ^ I l = N de donde dx dv d f(x ,y ) 1 . = sen y + y sen x + — integrando respecto a x. OX X f ( x> y) - J (seny+ y senx+ + g(y) = x seny —y cosx+ lnx+ g(y) derivando d f(x ,y ) dy = x c o sy -c o sx + g ’(y) = N x c o s y -c o s x + g '(y ) = x c o sy -c o sx + — y g' (y) = — => g(y) = ln y + c reemplazando en la función: f ( x , y ) = x sen y - y eos x + ln x + ln y + c , por lo tanto: x s e n y -y c o s x + ln(xy) = £ y + senxcos xv . , x ------------ -ax + (------------- ----- + seny)dy = 0 eos xyeos2 xy Solución 109 M = y + sen x. eos xy eos xy N = 2eos xy + sen v -----= sec2 xy + 2xy sec2 xy. tg xy dy SN 2 o 2 t — = sec xv + 2xy sec xy. tg xy dx dM dN , ., .como -----= ----- la ecuación diferencial es exacta dy dx entonces 3 f ( x , y ) tal que y ■ - N de donde dx dy d f (x, y) y + sen x. eos xy dx eos2 xy integrando / ( x , y ) = J(y s e c 2 xy + senx)dx + g(y) = tg x y -co sx + g (y ) derivando df(x,y) dy = xsec xy + g '(y )= N xsec2 xy + g ’(>>) = ----- :— + seny eos2 xy g ’ (y ) = sen >> => g(.y) = - eos y + c reemplazando en la función: f (je, y) = tg xy - eos x - eos y + c , por lo tanto: tg*y - c o s x -c o s y = k 228) ^ d x + 2-— dy = 0 , _Ht=1=1 y \ y> X Solución 110 . dM dN Luego —— = —- la ecuación diferencial es exacta, entonces: dy dx d f (X y) y + sen x eos 2 xy . dx integrando respecto a x se tiene: eos xy f ( x ,y ) = J ( j s e c 2 xv + senx)¿/x + g(y) = tgxy -c o sx + g(y) entonces: ¥{x , y ) dy = x sec xy + g '(y) = N 9 Xx sec xy + g' (y) = ---- -— + sen y eos“ xy g ,( j ) = sen>; => g(y) = -c o s y + c reemplazando en la función f ( x , y) = tg x y -co sx -co s .y + c , por lo tanto: tg xy - eos x - eos y = k [n eos(nx + m y )-m sen(wx + ny)]dx + [m eos(nx + my) - n sen(wx + ny)]dy = O Solución [dM M = n cos(«x+ my) - m sen(rax+ ny) N = m cos(hx+ my) - n sen(wx+ ny) dy dN dx ■nmsQn^ix+my)-nmcos$nx+ny) =-wwsenfax+my)-nmcos^nxA- ny) 230) como = — - la ecuación es exacta, entonces: dy dx 3 f(x,y) tal que dí ^ x ,y) = M y - = JV de donde cbc — n cos(nx + my) - w sen(mx+ny) integrando respecto a x se i ene dx f ( x , y) = J[n cos( mx + m y )-m sen (ms + ny )]dx + g(y) = sen (nx + my) + eos (mx + ny) + g (y ) , derivando respecto a y se tiene fo .Zl = cos(nx + my) - n sen (mx + ny) + g' (y) = N dy m eos (nx + my) - n sen (mx + ny) + g '(y) = m eos (nx + ny) - n sen (mx + wy) g'(j;) = 0 => g(y) = c reemplazando en la función y ) = sen (nx + my) + eos (mx + «y) + c , por lo tanto: sen (nx + wy) + eos (mx + wy) = k xdx + ydv + ( 1 + ^ lL ) . ( y d x - xdy) = 0 ^í(x2~+v2 ) ( \ - x 2 - y 2) y J y 2 - x 2 -v"^í^?~+y2) ^ l - x 2 - y 2) y j } Solución xdx + ydy J ( x 2 + y 2 ) ( l - x 2 - y 2) y j v 2 - x + (— __ + — r-).(ydx- - xdy ) = 0 d(^ x2 + y 2 ) [ y d x -x d y ^ _x/v (ydx-xdy) -Ji—(x2 + y 2) y^Jy — * v2 112 d(arcsem/x2 + y 2)+ d(aresen—) + e ' v d(—) = 0 , integrando término a término y y d(arcsen J x 2 + y 2 )+ fd(arcsen —) + í e x/yd(—) = c J y J y aresen J x 2 + y 2 + aresen — + e Jf'/ x x 1 y . 1 y x x 1---- -se n —+ - c o s —+ g (v) = —eos--------r^sen —+ —5- v 2 V x x x x v .V J' g'(y) = - \ y g(y) = -+ c reemplazando en la función x y 1f (x , y) - - eos — + sen — + x ---- + c , por lo tanto: y x y V-------- x 1 sen---- eos — + x —- = k 232) y ( x 2 + y 2 + a 2 )dy+x(x2 + y 2 - a 2)dx = 0 Solución dM \M = x(x 2 + y 2 - a 2) \ N = y ( x 2 + y 2 + a 2) dy dN dx = 2 xy = 2xv dM dN . .. ,Luego -----= — la ecuación es exacta, entonces: dv dx 3 f(x,y) tal que = M y — = N de donde dx df(x,y) dx = x (x 2 + y 2 - a 2) integrando respecto a x se tiene: f x A x 2v 2 a 2x 2 f ( x , y ) = j x ( x 2 + y 2 - a 2)dx+g(y) = — + - y - - - y - + gOO, derivando df(x,.v) dy = x 2y + g '(y) = N entonces: x ¿y +g '(y) = y ( x 2 + y 2 + a2) 114 y4 a 2 v2 g'(y) = y + a 2y => g(.v) = — + —| — + c reemplazando en la función . x 4 x 2y 2 a 2x 2 v 4 a 2y 2f ( x , y ) = — + ~ -------- + £ _ + _ i _ + c 4 2 2 4 2 por lo tanto: x 4 + y 4 +2x 2y 2 - 2a 2x 2 + l a 2y 2 - k 233) ( x 2 + y 2 + \ )d x -2 xyd y = ti, n = lución = 2 y = -2 v , dM dN , Luego —— * —— la ecuación no es exacta dy dx Sea = = = N y dy dx - 2xy x 2dx u = e (x + y 2 +l)dx— —dx — 0 ósea M =\ + ~ - + -^— entonces: * * x 2 x 2 dM 2 y dy x 2 dM dN , como —— = —— la ecuación es exacta, entonces: oy dx 115 234) 3 f(x,y) tal que í O í lZ i = M de donde ^ ^ - - = l + ^ + - y integrando dx dx x x f ( x , y ) = x - —----- -+ g (v ) derivando - - = - — + g ' ( v) = N entonces: x x dy x -?^L+ g '(y) = => g '(y ) = o => g(y) = c reemplazando en la función x x y2 1.f(x, y) = x - ~ --------+ c , por lo tanto: x x y 2 - x 2 +1 = kx ( \ - x 2y)dx+x ( y - x ) d y - 0 , n = w- 236) 118 como ® L = P1L la ecuación es exacta, entonces dy dx df(x ,y ) _ ^ 2y ^ y 3 integrando respecto a x se tiene: dx f ( x , y ) = x 3y + xy 3 +g(y) derivando ^ = x 3 +3xy- + g '(y) = N x 3 + 3y 2x + g ' ( y ) = x 3 +3y zx entonces g'(y) = 0 => g (y ) -c reemplazando.3 , 1..2 f(x ,y ) = x3y + xy3 +c por lo tanto: /. x*y + xy3 =k xdx + y d y + x(xdy- ydx) = 0 , u - \ j / ( x 2 + y ) Solución A la ecuación dada se escribe en la forma siguiente: (x - yx)dx + ( x 2 + y)dy = 0 entonces: M *=.x-yx U = x 2 + y m dy dN dx - = - x como ±,-£L la ecuación no es exacta. dy ' dx 2 2 dz -> dz _ ? vSea z = * + y => ’ - >Sx dy u = y/(x2 + y 2) => u = \|/(z) => lnu = ln\|/(z) 31nw 3 ln u dz _ 31nw — — = — — = 2x------- dx dz dx dz 31nw dlnw dz . Slnw r — = — — •— = 2y — — , por lo tanto se tiene: dy dz dy dz dM dN xrd lnu d lnu----------— = N —------ M ------- dy dx dx dy dz dz - 3 x = (2x3 + 2 x y -2 xy + 2x y2) d(\nu) dz 3 , 2 , 2x3(lnw) d(lnu) 3- - . ( X + => - i — - z 2 dz dz 2 zn \ 3 lnw = - —lnz entonces u - — r r r - => u = 2z 2 z 3/2 ( j ’ + j ,*)*'2 (x-x$dx+(x+y)dy=Q, a esta ecuación le multiplicamos por el factor integrante: x 2 - x y x 2 + y J ^ T I ivv/T + -^---- TTrT = ® * poniendo bajo diferencial ( o r (x ¿ + y ) j / * “ 1 v „ . , y - 1g(~7= = ) = () integrando — ^ f 2 2 237) (x2 + y)d x -xd y = 0, n = \M = x 2 + y \N = - x dM _ dy 8N_ = _ i . dx dM dN , como -----* — la ecuación no es exacta dy dx .. 1 m dN 1 2 sea / ( * ) = — (—— - r - ) = — ( l - ( - l ) ) -N dy dx x x u~-e - e 2 => W='Tx ¿ x V 1(x 2 + y )d x -x d y = 0 => (1+—\)d x — dy = 0 X X dM 1 dy oc2 é w = J _ Cbr " x 2 como = —— la ecuación es exacta, entonces: dy dx 3 f(x,y) tal que = M y d^ X' V-- = N de donde dx dy d /(*..y) . y dx x 2 f ( x , y ) = x - —+ g (y ) , derivando x — = - - + g '( y ) = N entonces: + g'O0 = - — => áf'OO = 0 => g(y) dy x x x 120 / ( x ,y ) = je- — + c , por lo tanto: x x - l = k 238) {x + y 2)dx-2xydy = 0 , ji = d x - — dy = 0 U - U ¿ * x 2 _ 2 Z dM __2y_ dy x 2 dN _ 2 y x2dx - 2 dM dN , como —— = —— la ecuación es exacta, entonces: dy dx 3 f(x,y) tal que = M y = N de donde dx dy entonces 121 df(x,y) 1 y= — + - dx x x integrando respecto a x se tiene: f i y 2 v2f ( x , y) = ( - + -^r)dx + g (y ) = In x - — + g(y) denvando J x x 1 x dy x — +g'(y)=~— => g'(y) = 0, entonces g(y) = c reemplazando en la función x x y if ( x , y ) = l n x - - — + c , por lo tanto: x l n x - y =kx 239) (2x2y + 2y+5)dx + (2x3 +2x)dy = 0 , n = cp(x) \M = 2 x 2y + 2 y + 5 \ n = 2x 3 +2x Solución dM dy dN_ dx = 2x +2 = 6x 2 + 2 dM dNcorno -----* — no es exacta; entonces dy dx ri \ ^ .dM dN 1 2 o z - 2sea / ( x ) = — (—------ —) = — T-------(2x + 2 - 6 x -2 ) = N dy dx 2x2 +2x - 4 x ¿ - 2x 2x3 +2x x 2 + 1 - r -2 x d x u = e ^ ( ) = e *2+1 = e' [n(Jr +1>, de donde w = — - x 2 + l (2x y + 2y + 5)dx + (2x3 + 2x)dy = 0 entonces 122 j í — (2y ( x 2 +1) + 5)dx + - X(X2 + 1*dy = 0 x* +1 x ' + l (2y-\— -— )dx+ 2xdy = 0 entonces: x 2 +1 M = 2y+ N = 2x x 2 + l dM dy dN dx = 2 = 2 dM dN ,como -----= ----- la ecuación es exacta, entonces: dy dx ctr ay df(x,y) 5 . ---------- = 2_v + —----- integrando con respecto a x se tiene: dx x 2 +1 / (x , y) = 2 yx + 5 arctg x + g(y) derivando ¥ ( x ,y ) dy = 2x + g '(y) = N entonces: 2x + g '(y ) = 2x=» = 0 => g(y) = c / (x ,y ) = 2 x y + 5 arc tg x + c , por lo tanto: 2xy + 5 arctg x - k 240) (x4 ln x -2 x y 3) m 2-----= -6 jcv dy dN 2 — = 6 xy dx dM dNcomo -----* — la ecuación no es exacta. dy dx \m ~ x a l n x - 2xy3 [ j v = 3 * y , 1 .dM SN. 1 , . 2 x 2 x 12xy 4 4sea f ( x ) = — (-—— — (-6xy - to y )==-—— = — =>/(*)=— N dy dx 3x v 3x2v x x j / M d x f--d* = — O X —u = e = e~ ' = e 4lnJr entonces w = —r factor de integración. (x4 In x - 2xy^)dx + 3x 2y 2dy = 0, multiplicando por el factor integrante -7 -(x4 \ n x - 2xy i )dx + ^ — dy = 0 => ( ln x --^ -)< ic + ^ - a f v = 0 M = In x - 2 / jV = 3 / dM 6y¿ 3y x 3 AV 6y2 5« x 3 dM dN ,co m o -----= ----- la ecuación es exacta, entonces: dy dx 3 f(x,y) tal que - yf y —í —1;2 = ¿V de donde dx dy a f(x ,y ) 2 y 3 . -------— = ln x -----— integrando respecto a x se tiene: dx x 3 2 v3 3f ( x , y ) = I (ln x - -~ --)dx + g(y) = x ln x - x + + g(y) derivando J x x 124 — r — = ~ + g ( y ) = N entonces: -± -+ g '(y ) = J L . => g(y) = c -y X X X d/ (x, y) 3 y 2 3V2 í v 2 f ( x , y ) = x \ n x - x + ^ —+c, por lo tanto: jc3(ln jc - l)+ y 3 = kx2 241) (*+senx+seny) 242) df(x ,y ) dx = xe* + e x sen x + e x sen y integrando respecto a x se tiene: f ( x , y ) = J (xex + e * sen x + ex sen y)dx+ g(.v) f ( x , y) = xex - e x + e x sen y + e* (sen* ~ cosx2 + g ( v) derivando df(x ,y ) _ gx CQS y + g '(y )= N dy ex eos y + g '(y) = e x eos y entonces g(y) = c reemplazando en la función r X/sen x -co sx f ( x , y ) = x e x - e + e sen y-he (------- -------- ) + c , por lo tanto: 2ex sen y + l e x (x - 1) + ex (sen x - eos x) = k (2xy2 - 3 y 3)dx + (7 - 3 x y 2)dy = 0 , p = cp(Y) Solución S M A o 2-----= 4xv - 9 y dv ™=-3V2 . dX dM dNcomo ---- * — la ecuación no es exacta. dy dx \m = 2xy2 -3 y* [N = 7 - 3 x y 2 sea s iy )= - - r 7 ^ - - ^ - ) = ~~ i - j ( 4xy ~ 6y 2) M dy dx 2xy - 3 y g i y ) = _ ^ z l y i = - l y \ 2 x - 3 y ) y g(y) = — y 126 ¡g(y)dv í I 1 u = e J =e } = —- 2(xy- - 3 y 3 )dx + (7 - 3xy2 )dy = 0 , multiplicando por el factor integrante (2x -3y)dx + (— -3x)dy = 0 M = 2x - 3 y N = ^ - - 3 x ^ y dM dy dN dx = -3 = -3 dM dN como — - = ---- la ecuación es exacta, entonces: dy dx 3 f(x,y) tal que 'V) = M y d/(*,.v) = N de donde dx d\> df(x,y) dx = 2x - 3y integrando respecto a x se tiene: f ( x , y) - J (2x - 3y)dx + g(y) - x " - 2xy + g(y) derivando df(x ,y ) dy = -3x + g '(y) = N -3x + g '(y) = — - 3 x ./ 7 7 g (y) = —y => g(y) = ----+ c , reemplazando en la función v y f ( x , y) = x - 3 x y ---- + c y x 2 -3 x v ~ — = k y 127 243) (3y 1 -x)dx + (2y3 -6xy)dy = 0, u=y/(x + y 2) Solución \M = 3 yz - x [N = 2 y 3 - 6xy dM dy aN dx = 6v = -6v dM dN , como -----* — la ecuación no es exacta. dy dx 2 , 3z i dzSea z - x + y => u = \f/(z) => — = 1 => —- = 2y dx dv dM SW du _. 5a------------ -- /v-------M ----- entonces: dy dx wdy «dx dM dN ^ d ( \n u ) dlnu dy dx dx dy u = vj/(z ) => lnu = in(y(z)) d ln w _ d ln w dz d(ln«) dy dz dy 'V dz d lnu d ln u dz _ d ln u dx dz dx dz íS y - ( - 6y ) = (2y 3 - 6 x y ) - ^ ^ - - ( 3 v 2 - x ) 2 v ^ * n dz dz 128 12y = (2y3 - 6x y - 6y3 + 2xv) - ^ - dz , a 3 a , d l n u . . ? d(lnw)12y = (-4v -4 x v ) ------- entonces: ~3 = (y“ + x ) --------- dz dz d(lnw) = “ —~ => lnu = -31nz de donde u = - ^ - = — — 2 z z* (* + y ) ------ ------(3 y 2 - x)dx + ^ y dv = 0 agrupando se tiene: (* + y ) ' O+V; ) x - 2 x - V2 d(—- —:~T_r) = 0 integrando se tiene: ------ 1— - = c x - y 2 (x + y 2)2 ( x + y 2r d l n u _ 3 dz z entonces: = c(x + j 2) 2 129 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN» NO RESUELTAS CON RESPECTO A LA DERIVADA I.- Ecuación de Prim er Orden y de Grado n con respecto a y ' . ( /)" +J°i(x,;yX/)" 1 +... + (x ,y) y + P„(x, y) = 0 resolviendo esta ecuación respecto a / , e s decir sean y '= f \ (x ,y ) , y'= f 2 (x,y),..., y ’ = f n(x,y), (k < n) las soluciones reales de la ecuación (1). El conjunto de las integrales. (¡)l (x,y,c) = 0 , 2(x,y,c) = 0 , ... , k (x,y,c) = 0 donde (¡>¿ (x, y, c) = 0 es la integral de la ecuación. y'= f j ( x , y ) (i = l,2,...,k) representa la integral general de la ecuación (1). . . . (2) ... (3) Integrar las siguientes ecuaciones. 244) y '2 ~(2x + y) y'+(x2 + xy) = 0 Solución 2x+ y±^J(2x+ y )2 - 4 ( x 2 +xy) _ 2 x + y ± ; 2 2 y '= x+ y =» y'~y - x => y - c e ~ x - x - 1 y '= x => v = — + c 2 130 245) xy '2 +2 xy '-y = 0 Solución ,2 ,- , „ , - 2 x ± J 4 x 2 +4xy - x ± J x 2 +xvxy +2xy - y - 0 => y = ------------------------------------------------------------- -- -------- entonces: 2x x - x ± J x 2 + xv r—-,------ y = — ---- --------- => (x ± ^ x ~ + xy)dx + xdy = 0 sea y = ux => dy = udx + xdu, reemplazando en la ecuación { x í j x 2 + ux2 )dx + x{udx + xdu) = 0, simplificando (1 ± -J¡ +u)dx + udx + xdu = 0 => — + ------- — = 0 , integrando y X t/ H- 1 di a/ 1 W reemplazando se tiene: (y - c)2 = 4ex 246) 4y'2~9x = 0 Solución 147) y ’2 -2 y y '= y 2 (ex - l ) Solución y ,2 - 2y y '= y 2(ex -1) => y'= y ± y e xi2 131 — = ([ ±ex l l )dx => ln ve = x ± 2 e x' 2 v 248) x 2 y'+3xyy'+2y2 =0 Solución 2 2 , , 2 ^ , -3 x v ± J 9 x 2v2 -8 x 2v2 -3xy±.Ty¿ V +3xvv'+2.y =0 => v = ----- — ----- -------------------------------------:— = ----— , entonces 2x 2x y dv dxy ~ - ± . r=> — = — => xy = c entonces x y x 4 xy dy 2 dx _2/ = ----- 4- =» - >’ = cx 249) xy'2 -2yy'+x = 0 Solución , 2 v ± J 4 v 2 - 4 x 2 v ± J y 2 - x 2 xy ¿ - 2yy'+x = 0 => y'= —-----— ----------- = :------ ------------, entonces 2* x (y ± *[y2 - x 2 )dx - jcrfy . La ecuación es homogénea Sea y = ux => dy =udx + xdu, reemplazando en la ecuación (ux±4 u 2x 2 - x 2 )dx-x(udx + xdu) = 0 , simplificando (u ± Vw2 -1 )dx - udx - xdi/ = 0, separando la variable n 7 , dx du _ . c ? 1±Vw -ld x + xdw = 0 => — + - = = = = 0 , integrando y = ~ x + — * V«2 - i 2 2c 132 250) / 2-2xy '-8 x 2 = 0 Solución |2 O I Q 2 A _ , 2 x ± ^ 4 x 2 + 32x2 2x±6xy -2 a>’-8 x =0 => / = ----------------------- = -----------, entonces y '= 4 x => y = 2x2 + c / = ~2x => y = - x 2 +C 251) y 'r +(x'+2)ey =0 Solución y l3 +(x + 2)ev =0 => y' = -(x + 2)17 3 e v / 3, separando la variable e~yl3dy = - (x + 2)113 dx integrando -3 e~ v/3 = - — (x + 2)4/3 +c 4 de donde 4e”>,/3 = (x + 2)473 + k 212 ) / 3- j y 2- * V + * V = 0 Solución ? 3- y / 2- x 2y + x 2y = 0 => v'2 ( v'->’) - x 2 (y '-y) = 0 2 2 X 2(y ' —x )(y'-y) = 0 entonces y' = ±x entonces y = ± -----1- c 2 y '= y => y = c e x 133 II.- Ecuaciones de la forma f(y, y') = 0 y f(x, y’) = 0. Si en estas ecuaciones se puede despejar y f, resultan ecuaciones de variables separables. Por consiguiente, son de interés los demás casos. a) En la ecuación f ( y , y ' ) = 0 se puede despej ar y, y = y/ (y ’) haremos y'= P => y = v(P), diferenciando esta ecuación y sustituyendo y ' (p )dy por Pdx obtenemos pdx = y/'(p)dp de donde dx = ——— dp , y x _ f V (P\ dp + c , obtenemos la solución general de la ecuación en forma J P paramétrica. y = v(P) b) En la ecuación f ( y , y ' ) = 0 no se puede despejar y ni y' (o se despejan con dificultad) pero estas últimas pueden expresarse en forma paramétrica mediante algún parámetro t. dv y = y(t) , y’=y/(0 , (p= , ) dx entonces dy = p dx = V|/(t) dx , por otra parte dy = y/'(t)dt de modo que: \i/(t)dx = \j/'(t)dt => dx= ^ ■--- di de donde: Y ( t ) J y/(t) por consiguiente, obtenemos la solución general de la ecuación diferencial dada en forma paramétrica. 134 - i V V)x= | -—— dt + c V(t) y = y/(t) por analogía con el caso b, se puede resolver la ecuación introduciendo un parámetro t. Integrar las siguientes ecuaciones: 253) y = Solución ,2 v' dyy = y ey => ~ = P => dy = pdx dx y = p 2ep => dy = (2p e p + p 2e p )dp pdx = (2p e p + p 2ep )dp => dx = (2e p + p ep )dp entonces: x - J + p e p )dp = ep (p +1) + c , por lo tanto: \x =ep {p + \) + c ly = y 2e p 254) y '= e y'/y Solución dy_ dx - p => dy = pdx yl/y P = e ply Inp = - / ( * , / ) = 0 135 y = in p \ n p - \ , \ n p - \dy = — -—— entonces pdx = -------— dx (ln/>) (In V) f ln/7-1 x= ----------- d p J P( lnp)2 x = ln(ln p)-\------- + c In p y = In p 255) x = lny'+sen y' Solución x = In p + sen p diferenciando dx = — + cos pdp P dy dy— = p => dx = — entonces: dx p — = (— + cos p)dp => dy = (1 + p cos p)dp , integrando P P y = J (1 + p cos p)dp = p(l + sen /?) + cos p + c y por lo tanto: x = In p + sen p y = /?(! + sen /?) + cos /? + c 256) x = y '2-2y'+2 x - p 2 - 2p + 2 Solución dy dx = 2pdp - 2dp , dx = — , reemplazando en la ecuación P ----------J dP />(ln p ) 136 dy = (2p - 2)dp => dy = {2p 1 - 2p)dp y = j ( 2 y 2 - 2p)dp => y = ^ - - p 2 + c, porloi tanto: 257) y = y '\n y' Solución y = p In p => dy = ( l+ ln p )d p => pdx = (1 + lnp)dp l + ln/7 dx = (-------- )d p - J 1 + In/? d/? entonces: (1 + ln /?) + c , por lo tanto: M K ) y = arcsen / + ln(l + y t2 ) (1 + ln p) x = -------- -^L— + c 2 y = p \ n p Solución y = arcsen p + ln(l + p ) , diferenciando se tiene dp 2 pdp , dp 2 pdp dy = entonces pdx = - 1 - J i - p 2 i + p 2 ■Ji ~ 2 ì+p 2 137 d x - — t integrando x= í ( — = L = = + ------ j ) d p por lo tanto p f i l p i 1+ P 2 J p ^ p 2 1 + /» 1+ J l - p , x = 2 arctg /? - ln | -------------- 1 +c P y = arcsen /? + ln(l + /?2) 259) y = (y '- \)ey Solución y = (p - l ) ^ diferenciando d y - e pdp + ( p - \)ep dp - p e p dp pdx = p e pdp => dx = epdp => x - e p +c \x = e p + c por lo tanto: \ \ y = ( p - l ) e p 260) y 2 * - « 1"* p 2x = eVp => => dx = - - j - ^ - dp P P Solución v p eV p (\ + 2p) dy = -j e 1/p ( l - 2p) , . t .------ —— dp por lo tanto: y = e V p (\ + - ) + c P e llp X = ---- r - 138 x{\ + y '2) = \ Solución x(l + / 2 ) = l => x = —i — => — = p => dx = ~ l + y ' 2 dx p 1 , -2 pdp x --------— ==> dx = ------- - - - - entonces: i + P 2 a + p 2)2 dy 2 pdp 2 p 2 dp . _ — ----------- T-r => ífy = ----- integrando /> (1+ P 2) 2 (1+ P 2)1 y = - 2 f — - - - -- — haciendo p = tg 0 => dp = sec¿ 0 dO J (1+ P ) y f tg2 0.sec2 0 d6 e ■< c ■-2 \ ------------— -— = -2 i sen 9d0 = -F (1- eos 20)¿0 J (1 + tg 0) •> 1 y = —(0 - sen 0 cosQ) + c = -(arctg p -----^ —-) + c 1 + p p y = — — - - arctg p + c \ + p¿ por lo tanto: x(l + / 2 )3' 2 =a 1x = ---- l + p 2 Solución x(\ + y u )i l ¿ =a => x - (1 + / 2 )3/2 dy dy — = p => dx = — entonces: dx p 1 A ~3PdPx = ------- . => dx = (1 + P 2)V2 (1+ P 2)5' 2 £' y = -----^pdp , _ ----- 3p dp integrando: P a V ) s,! J « V ) ! ' ! y = -3 f — ^ ~ - + c haciendo p = tg 0, dp = sec2 QdO J ( \ + p 2)512 y efectuando operaciones se tiene: |y + c = -fl sen3 r x = acos3 r 263) >>2/5 + y 2/5 =Jfl2/s Solución Sean y = acos5 t y / = f l s e n 5 í = p dy -5 a c o s 4 í.sení , c . 4 , j, dx = ^ - = ------------ -------- dt = -5c tg rdr /? asen* f dx = - 5c tg A t dt => * = - 5 - ^ ^ - 5 c t g / + 5í + c porlotanto: - _ ^ - i. - 5c tg t + 5í + c 3 5 .y = fleos í 264) y * - y ' 4 - y y ' 2 = 0 Solución 140 Sea y '= y t reemplazando se tiene: y 4 - y 4t 4 - y 3t 2 = 0, simplificando y - y t 4 - t 2 =0 => y ( l - ; 4) = / 2 >> = - 1-t* => dy = 2i 5 + 2t (1 ~ t A)2 dt ...(1 ) como y ' - p => y = - ¿fy = ----- T* dx i - í 4 ... (2) de (1) y (2) se tiene: 2 r +2í tdt = ----- r dx de donde a - i 4)2 '" i - í 4 dx = - 2 (t +l)dt . 0 4 - l ) í 2 , ^C,A B C D El F ,integrando x = —2 1 (— i------------- h--------- + -+ — +— )di J t t t + 1 t - 1 t 1 2 . t +1 x = - —+ ln | — - 1 -2arctg t + c .2 y = . i + r (p = yt) ¿65) x = y + s e n y Solución dy dy — = p => dx = -±- dx p x = p + sen p => dx = dp + eos p dp 141 266) dy = (1 + eos p)dp => dy = p (1 + cos p)dp , integrando: 1 = J p( 1 + eos p)dp = + p sen p + cos p + c , por lo tanto: x = p + sen p p 2y = - y + />sen /? + cos p + c y = y '(1 + y'eos y ' ) Solución Sea y ' - p => dy = pdx => y = p( 1 + p cos p) entonces dy = (1 + 2/7cosp - p 2 senp)dp pdx = (1 + 2 p cos p - p 2 sen p )d p , separando la variable dx = (— h 2 cos p - p sen p)dp integrando P x = (-— + 2 cos p - p sen p)dp + c , por lo tanto: P x = ln p + sen p + p cos p + c y = p( 1 + p cos p) 142 ECUACIONES DE LAGRANGE Y CLAIROüll a) La ecuación de Lagrange es de la forma: }> = ■*/(/) + P P lnP i r • j 7 P , x . dp \npy — x — i-------— diferenciando se tiene: dv = — dx + — h------ 1-------dp2 2 * 2 2 2 2 dx 1 ln p + l , ---------x = ----------, que es lineal, entonces la solucion es: dp p p , ln p + 2 x ^ ,x = p{------------- \-c) = c p - m p - 2 , luego: P x - pe - ln /? - 2 268) j> = 2 ^ '+ l n / Solución Sea y %= — - p => dy = pdx dx y = 2xp + ln p diferenciando ¿/y = 2pdx + Ixdp + — , de donde P — + — x = -----— es lineal, entonces la solución es: /> p 1 r i C 1 ,x = —— [—p + e] = —------- , por lo tanto: P P P c 1 269) y = x(i + y ) + y 2 Solución 144 Sea y' = — = entonces dy = pdx dx y = x(l + p) + p 2 diferenciando dy = (1 + p)dx + xdp + 2pdp pdx = (1+ p)dx + xdp + 2pdp entonces dx + xdp + 2pdp = 0 de donde dx . — + x = - 2p ecuación lineal cuya solución es: dp entonces:x = e l Jp[ j e l dp (~2p)dp + c], x = e~p [-2j p e pdp + c] , por lo tanto: j x = 2(1- p)ce~p \ y = 2{ \ - p ) + ce p (1 + p) + p 2 270) y = 2xy'+ sen y 1 Solución Sea y' = — = p entonces: dy = pdx dx y = 2xp + sen p , diferenciando dy = dxdp + 2pdx + cospdp pdx = 2xdp + 2pdx + cospdp simplificando 2xdp + pdx + cospdp = 0 fa + 2x _ eos p . _ ; Í 7 , ( J — dp p + — = , ecuación lineal x = e p [J x = —y [ - í p eos pdp + c], por lo tanto: eos p c x = - —- — - sen p + - y P P 2c 2 eos p y --------------- — - sen p P P 271) y = xy'2- - i y Solución dyy'= — = p entonces dy = pdx dx y = xp 2 —— diferenciando dy = p 2 dx + 2pxdp + ~ , reemplazando P P pdx = p 2dx + lpxdp + ^ r - dedonde ( p 1 - p)dx + 2pxdp + —^ j = 0 p P — + —— — x = --------- ------- , simplificando dp p 2 - p p 2(p - p ) — — — * = -------- í------, ecuación lineal cuya solución es: dp p 1 p \ p - 1) . f - L * j V 1 [ í e p (-------------- )dP + c] J p 3(p~l) x = e - w p - » [J e i w p - » _ j E _ + c ] = _ ' {J P - ± dp+c] i p \ p - 1) ( p - 1)2 J p 3 146 x = ----- —:- [ - ( - — h— í—) + c ] , por lo tanto: ( p - 1)2 /i 2/7 cp + 2 /? - l 2p 2 ( p - l )2 cp 2 + 2 / 7 + 1 1 2 ( / 7 - l ) p 272) y = - x y ,+e>; Solución y ' = ^ - = p => dy = pdx dx 3 3 3 y = — xp + diferenciando ¿(y = — xdp + — pdx + epdp , reemplazando 2 2 2 />dx = — xdp + — pdx + e pdp de donde y dx + y xdp = - e pdp dx 3 ep J— 2 ^ — +— x = -2 — , ecuación lineal cuya solución es: x=e p [| e p (----- )dp+cl dp p p J P x = e 3lnp[-2 í e 3Xnp — dp + c] =-^—\- 2p 2ep + 2pep - 4 e p + c ] , por lo tanto: J P p c ^ p A 2 2x= 2ep (------- + — ) P P P P y = * - 2 ^ ( 1 - A + J _ ) 2 P ¿ P P 147 273) 274) o , dy Sea y = — = p dx dy = pdx Solución y = xp + diferenciando dv = xdp + pdx - dp , reemplazando P * P pdx = xdp + pdx - —^ dp de donde (x - ~~ )dp = 0 => x = — — P P P dp = 0 => p = c, Luego: 2 ax = v = xc + - y - xy’+y' Solución dy Sea y' = — = p => dy = pdx dx y - x p + p diferenciando dy = xdp + pdx + 2pdp pdx = xdp+pdx+2pdp de donde (x + 2p)dp = 0 => x = -2p => dp = 0 => p luego: [ y = X C + C 148 275) xy'2-y y ' - y ' + 1 = 0 Solución xy '2 -yy'-y'-t-1 = 0, expresamos en la forma siguiente: , 1 t dVy = xy + — 1 , -f-=7? => dy = pdx y dx y = xp-\------1 diferenciando dv = xdp + pdx - reemplazando P ' p pdx = xdp - pdx - de donde (x — \~)dp = 0 => x = - í - p = c, x = — P P P c 1 1 f c - ly = x c -f — 1 => y - x c ------- , ademas: c c y + ]= xc + - => (y + l ) 2 = x 2c 2 + \ + 2x C c 2 como * = - y => (y + l)2 =4x c 276) y = xy'+a^l + y '2 Solución »2 i-yy'-y'+ 1 = 0 , expresamos en la forma siguiente: 1 i dyy = xy + - - l , ~j~ = p => dy = p dx y dx V = xp + — -1 diferenciando dv = xdp + pdx - reemplazando 149 dp 1 ~ 1 1pdx = xdp - pdx - de donde (x — , dp = 0 => x = — , p = c, * = — p 2 p : P c 1 t c -1y = xc + — -1 => y = xc - — , ademas; c C V + 1 = X C + ™ => ( y + U 2 - X 2C2 + - ^ r + 2x c c 277) xy'+ üy J 7 / 2 Solución Sea y' - — = => dy = pdx dx ap . . adp apdp y = xp + —----- diferenciando av = /wx + .rap + , ---- -----j-y y Vl + P 2 ■v1 + /, : (1 + -P } , . , a(l+ p 2 ) - a p 2pdx = pdx+ xdp+ -------,— dp (\ + p 2)v2 d Cl (* + --------r—7-T- )dp = 0 => JC= - ----- , (1 + /J2)3/2 (1+/?2 )3/2 dp = 0 => p = c y = xc + l* Í = , x 2/3 + y 2/3 = a 2/3 ^ + c 2 150 278) ^ 1* = — + ---; y y ’2 J 1 X = - + 3 7 Solución dx .dx. 2 => x = y — + (— ) ¿ dy dy o dxSea —- = p => dx = pdy dy x - py + p 2 => dx - pdy + ydp + 2pdp reemplazando pdy = pdy + ydp + 2pdp entonces: (y + 2p)dp = 0 => y = -2p dy = 0 => p = c => y = -2c x = cy + c 2 , 4 x = - y 2 ¿/9) Hallar la curva cuya tangente forma con los ejes coordenados un triángulo de área constante s = 2a 2 . Solución ^ 2 be s = 2a = — 4a2 = be 4a2 - = b 4a2 — = b 2 además v'= — c c 4a2y '= b 2 => b - 2 a y 'xn La ecuación de la recta tangente es y = mx + b que al reemplazar se tiene: y = y 'x + 2ay'x' 2 151 Sea — = p => dy = pdx dx y = px + 2ap112 => dy = pdx + xdp t- ap 1 2dp , reemplazando pdx - pdx + xdp + ap ~i n dp , simplificando a a (a + —==)dp =0 => x = — = V/7 dp = 0 => p = c => x - - y = ex + 2 x 2y 2 = a por lo tanto: xy = ±a 280) Hallar la curva para la cual el segmento de la tangente comprendido entre los ejes coordenados tiene una longitud constante a. Solución 152 2 L2 2 a 2 b 2 , b 2 L l í b 2 , ba = b + c ; —— = —- + 1 entonces: a — = b (— + 1); pero y = — c c c c C a 2y '2 = b 2 (y'2+l) ; b = - ^ L = V i+ y 2 La ecuación de la recta tangente es: y = mx + b reemplazando y = y' x + ty-- . de donde — = p => dy = pdx VI+ / 2 dx aP J J -> / a aP 2 V J y = p x + - ¡ = r * d y= pdx+ xdp+ ii r ^ ~ i T 7 ^ 2 )dp i+ p ^j\+p (i + p ) pdx= pdx+---- adp~~ +xdp => (x + ------^r j j j ) d p = 0 => x = -------- - (l+/>2)3/2 (l+/>2) 2 (1 + p 2)V2 además dp = 0 => p = c . a ap ap + ap(l + p 2) , y = P(~ —-----TTTT +^ r----- ------ 7. 3/2 ’ simplificando (i+ /72)3/2 ^/T+7 ( i+ /? 2) 3 _ 1 /3 _ 2 / 3 „ r ------- =» =• - < l ) (l+/> ) (1 + /? ) 1 + ^ „ 1 / 3 „ 2 / 31/3 a 2/ 3 ^ x — 2 3/2 * = i 1/2 ^ X = 2~ •••(2) (i+/> ) ( i+ p ) i + p de (1) y (2) se tiene: _ 2 /3 2 / 3 2 x 2/3 + y 213 = -----— + ------- simplificando 1 + /72 1 + /?2 x 2/3+ y 2/3= a 2/3í l ± 4 2 = « 2/3 por lo tanto: x 2/3 + y 2/3 = a 2/3 l + /> 153 COMPOSICION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE LAS FAMILIAS DE CURVAS, PROBLEMAS DE TRAYECTORIAS 1. Composición de las ecuaciones diferenciales de las familias de curvas. Consideremos la ecuación de una familia monoparamétrica de curvas planas. ... (1)Y l|r(x,a) (a es un parámetro) Derivando (1) respecto a x, se tiene: y' = v [ ( x ,a ) ... (2) eliminando el parámetro “a” entre (1) y (2) se tiene la ecuación diferencial. ... (3)f ( x , y ,y ' ) = 0 esta ecuación expresa una propiedad común de todas las curvas de la familia (1). La ecuación (3) es la ecuación diferencial de curvas se determina por la ecuación. (x, y,a) = 0 dA + d± . y ' = 0 dx dy * Supongamos ahora que se da la relación ... (5) (x,y,al , a 2,...,an ) = 0 ... (6) 154 2. a) donde a¡, a 2 ,—,a n son parámetros, derivando (6) respecto a x, n veces y eliminando los parámetros a 1 ,a 2 ,...,an entre (6) y las ecuaciones obtenidas, obtenemos una relación de la forma: F(x, y, y ' , y " , . . . ,y (n)) = 0 ... (7) esta es la ecuación diferencial de la familia n-paramétrica de curvas (6) dada, en el sentido de que (6) es la integral general de la ecuación (7). Problemas de Trayectorias.- Consideremos una familia de curvas planas. ... (1) dependiente de un parámetro “a”. La curva que en cada una de sus puntos forma un ángulo constante con las curvas de la familia (1) que pasa por el mismo punto, se llama trayectoria 71isogonal de la familia. En particular, si a = — , se obtiene una trayectoria ortogonal. Suponiendo la familia (1) buscaremos las trayectorias isogonales. Trayectorias Ortogonales.- Se forma la ecuación diferencial de la familia de curvas dadas. F ( x ,y , y ’) = 0 La ecuación diferencial de la trayectoria ortogonales tiene la forma: F ( x , y - — ) = 0 y (2) ... (3) la integral general de esta ecuación es: 0, U ,y ,c ) = 0 ... (4) 155 proporciona la familia de trayectorias ortogonales. Suponiendo que la familia de curvas planas se da por una ecuación en coordenadas polares. ... (5) d(¡) donde a es un parámetro, eliminando el parámetro “a” entre (5) y ---- = 0 , d\f/ obtenemos la ecuación diferencial de la familia (5). F (p ,y / ,p ') = 0 Sustituyendo en este p ' p o r ----- - obtenemos la ecuación diferencial de la familia de las trayectorias ortogonales. F (p ,v o p b) Trayectorias Isogonales.- Supongamos que las trayectorias se cortan con las curvas de la familia dada bajo un ángulo a , donde tg a = k. Se puede demostrar que la ecuación diferencial de las trayectorias isogonales tiene la forma: y '-k F ( x , y , - f - — ) = 0 l + ky’ Formar las ecuaciones diferenciales de las siguientes familias de curvas. 281) y = - X Solución Entonces y - — => xy = a, derivando y + xy ' = 0 x 156 282) x 2 - y 2 =ax Solución x 2 - y 2x 2 - y 2 - a x => ---------- = a derivando x (— \ yy ) - ( x 2 - y 2) = 0 => 2x 2 - I x y y ' - x 1 + y 2 = 0 Jt A . , .2por lo tanto: x + y - 2xyy' = 0 283) y = aexla Solución y = aexla => = a => v'= — ex/a ' a a = — => y = — ex/a => y '= e x/a y y lny'= — => a = ------ como y = aexla entonces: a ln y' y = - ^ — e lny entonces y ln y '= x e lny ln y por lo tanto: y ln y'' = xy' 284) y = c x - c - c 2 Solución y = c x - c - c 2 => y' = c => y = y ' x - y ' - y '2 entonces: y '2 -xy'+y'+y = 0 157 285) y = ex (ax + b) Solución y = ex (ax + b) => — = ax + b derivando 6 ^ .. .... = a => ™^— = a derivando e..S Z.— ¥-1 —e ^ ?).. = 0 entonces y' - 2y'+y = 0 286) y 2 = 2cx + c 2 Solución y 2 = 2cx + c 2 => yy' = c => y 2 = - 2cx-hc2 entonces y 2 = 2xyy''+y 2y '2 por lo tanto: yy '2 Y2xy'-y = 0 287) y - a x 2 +bx + c Solución y = ax2 +bx + c => y '= 2ax + b => y " = 2a => y' 288) y = c1x + — + c3 x Solución Cj , c2y = q x + — + c3 => y = c 1 — y X X 2c 2 3 _ y - —y x / ' = 2c2 derivando 3* 2y + * V ,,8=o => / " + - / ' = o X 289) ( x - a ) 2 + ( y - ¿ ) 2 =1 Solución y 2- y 2 ( x - a )2 = ( x - a ) 2 => y 2 = ( l + / 2 ) ( x - a )2 y y = * ~ a => ----------- 7TT37T = 1 a * / 2.)3 y = ( i + y 2 )3/2 => y ,2= ( i + y 2 )3 290) y - c xex +c2e x Solución y = c¡ex +c2e => e xy = cle 2x +c2 entonces exy + y 'e x - 2cxe lx => = 2c¡ derivando e x (y ''+ / ) ” (y + y y *...y \ xu = 0 => y ’+ y '-y '-y = o por lo tanto y ' f- y = 0 159 291) y = asen(x + a) Solución y y = a sen(x + a ) => ----- - ------= a derivando sen(x + a ) sen(x + a ) / - y c o s ( x +_ g ) = 0 ^ tg(x + a ) = ^ sen (x + a ) y y'2-yy" x + a = aretg^- => 1 = — ^— entonces 1 = - - => y'2+ y 2 = y '2~yy" y' 1+ (Z )2 / 2V y' de donde y 2 +yy" = 0 => y"+y = 0 Hallar las trayectorias ortogonales para las siguientes familias de curvas. 292) y 2 +2ax = a 2 , a > 0 Solución y 2 +2ax = a 2 => 2yy'+2a = 0 => yy'=~a reemplazando en y 2 +2ax = a 2 se tiene y 2 - 2x y y '= y 2y '2 => y - 2xy'= yy '2 dy dx , . . dx ,dx. 2 cambiando — p o r ----- se obtiene y + 2x — = y(— ~) dx dy dy dy resolviendo la ecuación se tiene: y 2 - 2bx - b 2 293) y = axn, a es un parámetro. Solución 160 „ ■ É L - n - i , y = ax” => — = a derivando ---------------— ,-= 0 entonces - ^ - - n y = 0 X n X 2n d x y cambiando por — — se tiene: - x — - n y = 0 integrando x 2 +ny2 =c d x d y d y ' J 294) y = ae** , constante Solución e° * $ L - aea*y y = aeca => — - a derivando ----- — ----------= 0 => — ~ay = 0 e e dx u- t dy dx dx dx cambiando — p o r ----- se tien e :---------- ay = 0 = > --------- t-av = 0 => dx dy dy dy 2 dx + aydy = 0 integrando x + ~ ~ = b entonces 2x + a y 2 =c 295) eos y = ae x Solución eos y = ae~x => ex eos y - a derivando e x eos y ~ e x sen y .y = 0 => c o s y - s e n y — = 0 dx u • a dy dx dx cambiando —- por — — se tiene: eos y + sen y — = 0 => ctgy dy + dx = 0 dx dy ' dy ln sen y + x = b => sen y = c.e~x 161 ? 1 7 2 296) x + 2 y Solución dy dy dx 2x + yy' = 0 => 2x + y — = 0 cambiando — por - — se tiene: 77 dx dx dy 2x - y — = 0 => 2 — = 0 , integrando 21ny- lnx = lnc , entonces: dy y x y 2 2— = c => y - e x 297) x 2 - y 2 = a 2 Solución x 2 - y 2 = a 2 => 2 x -2 y y ' = 0 entonces: dy dy dx x — y —-— = 0 , cambiando — por — — * dx dx dy dx . dy dx x + y — = 0 => — + — = 0 dy y x integrando lny + lnx = lnc, por lo tanto: yx = c 298) x k + y k = a k Solución x k + y k = a k => kxk~x + kyk~xy '=0 entonces: x k~x + y k~x — = 0 cambiando — por —-7- 7 dx dx dy 162 299) o => 4 t - 4 t ‘ 0 dy y kA x k~l + *-------= 6 entonces: — -------í-— = b(k - 2 ) para k * 2 y k~2 (k—2) x a_2(A:-2) x ^ 2 y * '2 dx dy dx para k = 2 => x - y — = 0 = > ----------= 0 dy y x lny — lnx = lnc => y = ex x 1 + y 2 = 2ay Solución ? 2 rs x 2 + y 2 .x ~ + y = 2 ---------- = 2¿z derivando y y (2x + 2y — ) - ( x 2 + y 2 )— = 0 entonces: dx dx 2xy + 2.y2 ^ - - ( x 2 + .y2) — = 0 dx dx , • j dy dxcambiando — p o r ----- entonces: dx dy dx 2 xy + (x2 - y 2) — = 0 de donde (x2 - y 2 )dx + 2xydy = 0 dy sea y = ux => dy = udx + xdu entonces (x2 -w 2x 2)dx + 2x2«(wdx + xdw) = 0 (1 - u )dx + 2u dx + luxdu = 0 => (u +l)dx + 2uxdu =0 163 — + . du = 0 => lnjc + ln(l + « 2) = lnc x 1 + u x(\ + u 2) - c => x 2 + y 2 =cx 300) x 2 - j y 2 = a 2 Solución x 2 - i y 2 = a 2 => 2 x - ^ y ~ = 0 3 3 dx dv dy dx 3x - y — = 0 cambiando — por — — y dx dx dy 3 x + y — = 0 => 3^ - + — = 0 integrando 31ny + lnx = c => y 3 dy y x 301) p = a(l + cosy) Solución p = a(l+cos\|/) => ---- ----- = a derivando 1 + eos y dp (1 + eos y/) —— + sen y/ .p dw------------------------------ = 0 entonces: (1 + cost//)2 dp dp p 2 (1 + cosí//)— + sen y/.p = 0 cambiando = ------ - dp d y p 2 - (1 + eos y/)(— ) + sen y/.p = 0 => (1 + eos y)pd\|/ = seny dp = 0 P' 164 1t22^Ld\¡/=— integrando ln|cos^a//-ctgy/|+ln|seri//(=ln/?r => l-c o sv |/ seny/ p 302) y 2 = 4 ( x - a ) Solución 2 ^ „ dy y a dy dxy = 4 (x -a ) => 2yy = 4 entonces y — - 2 cambiando — p o r ------ dx dx dy dx . dy - y — = 2 entonces - d x = 2 — entonces -x = 21ny + c dy y ln y 2 = —x 4-c entonces y 2 -b e ~ x 165 SOLUCIONES SINGULARES) Una solución y = \j/(x) de la ecuación diferencial. f ( x 9y ,y ') = 0 Se llama singular, si en cada uno de sus puntos, se infringe la propiedad de unicidad, es decir, si por cada uno de sus puntos (x0, y0)» además de esta solución, pasa también otra solución y = \|/(x), pero que no coincide con esta última en ningún entorno del punto (jc0 , y0) arbitrariamente pequeño. La gráfica de una solución singular se llamará curva integral singular de la ecuación (1). dF 3F dx ^ 9 / respecto a todos los argumentos x , y, y ', cualquier solución singular de la ecuación (1) satisface también a la ecuación. Si la función F(x, y, y') y sus derivadas parciales y son continuas con dF(x, y, y ) dy' = 0 por consiguiente, para hallar las soluciones singulares de la ecuación (1) hay que eliminar y’ entre las ecuaciones (1) y (2). La ecuación que resulta al eliminar y’: ... (3) Se denomina P-discriminante de la ecuación (1), y la curva determinada por la ecuación (3). Curva P-discriminante (abreviado, escribiremos: CPD). Frecuentemente ocurre que la CPD se descompone en unas cuantas ramas. En este caso se debe averiguar si cada una de éstas por separado es solución (1) y en caso afirmativo se debe de comprobar si es solución singular es decir, si se infringe la unicidad en cada uno de sus puntos. Se llama envolvente de una familia de curvas. Observación 1.- Las condiciones 1) y 2) solamente son suficientes, por lo cual, pueden ser envolventes. También las ramas de la CCD en las que no se cumple alguna de estas condiciones. Observación 2.- En el caso general, el P-discriminante contiene: 1 A la envolvente (E) 2.- Al lugar geométrico de los puntos de contacto al cuadrado (c ) . 3.- Al lugar geométrico de los puntos cuspidales (o de retroceso) (R). Ap = E £ 2.R - . ( 8 ) El c-discriminante contiene: 1 A la envolvente (E) 2.- Al lugar geométrico de los puntos anocdados al cuadrado (A ) . 3.- Al lugar geométrico de los puntos cuspidales (o de retroceso) al cubo (i? ) . Ac =E.A2.Ri (9) Entre todos los lugares geométricos solamente la envolvente es solución (singular) de la ecuación diferencial. Esta figura tanto en la curva P-discriminante como en la curva c-discriminante a la primera potencia, circunstancias que facilita la averiguación de la solución singular. , En los siguientes problemas, se necesita hallar las soluciones singulares, si esta» existen. 303) (1 + y '2 ) y 2 -4yy'-Ax = 0 . Solución (1 + y a ) y 2 - 4yy '-4x = 0 , derivando respecto a y' i 2 2y' y - 4 y = 0 => y'= — 168 Luego: f(l + y 2 ) y 2 ~4yy' - 4x = 0 ... (1) l yy'= 2 . . .(2) 2Ahora eliminando y 1 de estas dos ecuaciones de (2) se tiene y'= — y reemplazando en (1). 4 7 o (1h— j ) y - 8 - 4 x = 0 ==> y + 4 - 8 - 4.x = 0, de donde y y 2 = 4*+ 4 304) y '2 - 4 y = 0 Solución y ’2 - 4y = 0 , derivando con respecto a y 1 2y' = 0 entonces y'= 0 ¡y '2 - 4y = 0 Luego: < , de donde y = 0 [ / - O 305) y '3 - 4xyy'+Sy2 =0 Solución 3 2y' - 4xyy'+%y = 0 , derivando con respecto a y' 3y '2 - 4xy = 0 => y'= SxyJxy 8 xyJxy 2 ,— ,— ,— * —3*j3----------------------------------------- T¡3 + ^ = ^ entonces: x^Jxy - 3x^Jxy + 3^3y = 0 169 3^3y - 2x*Jxy => 2 1 y 2 = 4 x2.xy => >’(27>'—4x3) = 0 - 2x-sfxy + 3-JJy ■ O entonces: y = 0 => 306) y '2- y 2 ** 0 4*3 Solución y 2- y 2 = 0 , derivando con respecto a y \ 2 y' = 0 => y = 0 de donde y = 0, de acuerdo a las condiciones establecidas no tiene solución singular. 307) y ^ ^ J y 2 + a . ¿Para que valores del parámetro a tiene esta ecuación solución singular? Solución _ _ y - ^ ¡ y + a » de acuerdo a las condiciones establecidas para hallar soluciones singulares se tiene que los valores de a es a = 0. 308) (xy'+y)2 + 3jc 5 (xy'-2y) = 0 Solución (xy'+y)2 + 3x5 (*y-2>0 = 0, derivando respecto a y ' 2x(xy’+y) + 3x6 = 0 => y '■ - 2jc Luego reemplazando en la ecuación diferencial 3x^ ■+* 2y 2 ^ 5 / + 2y A------— - + y )2 + 3jT (----------- - 2y) - 0 170 9x10 9x10 -1 3 x 5y = 0 => - ^ —(x 5 - 2 x 5 -4 y ) = 0 2 4 " Q 3 4y + x 5 =0 309) y ( y - 2 j^ ’)2 =2y Solución y ( y - 2xy ')2 = 2y' derivando respecto a y \ 2y ( y - 2xy’)( -2x) = 2 => 2y ( y - 2xy')x = -1 ^ 2 A 2 , 1 , 2xy2 + lentonces 2xy - 4 x yy ——l => y = — — 4 x 2y reemplazando en la ecuación diferencial se tiene: , 2xy 2 + l vx2 - » / 2x y2 + L )) = 2(—........ ) 4 x y 4 x j 2xy +1 2 _ 2xv +1 2xy - 2xy -1 2 2 ^ 2x2y 2xy } / 1 2xy +1 1 2xy + 1 y{— t~j ) = -;— => — r~ = ------------?— entonces: 4 x y 2 x y 4 x y 2 x y por lo tanto: 4x y 2 = -1 310) 8 y 3-1 2 y 2 = 2 7 (y -x ) Solución 8y3 -12y 2 = 2 1 ( y - x ) derivando con respecto a y' 2x y 2 +l 2 x 2y 1 = 4xy2 +2 171 2 4 / 2- 2 4 / = 0 => y ( y - 1) = 0 => y'= 1 4 entonces: 8 -1 2 = 2 7 (y -x ) por lo tanto: y = x ~ — 311) ( / - l ) 2 = y 2 Solución ( y - 1 ) 2 = y 2 derivando con respecto a y' 2 ( / - l ) = 0 => / - I de donde (1-1)2 => '2 entonces y = 0 pero esto de acuerdo a las condiciones establecidas no es solución singular por lo tanto no tiene solución singular. Mediante el c-discriminante, hallar las soluciones singulares de las ecuaciones diferenciales de primer orden, sabiendo sus integrales generales. 312) y = xy'+y'2, y = cx + c 2 Solución Eliminando c del sistema (icx+ c2 = y x . - , 2^ => c = — reemplazando en ex + c = yx + 2c = 0 2 x 2 x 2 x 2 ------------- + ----------= y = > y = -----------— 2 4 4 x 2como y = ------es solución de la ecuación diferencial entonces 4 solución singular. x 2 y m ~ es 172 313) (xy'+y)2 = y y \ y ( c - x ) = c 2 Solución Eliminando c del sistema í y ( c - x ) = c 2 c = y_ \ y = 2c 2 reemplazando en la ecuación y ( c - x ) = c 2 => y ( - - x ) = — 2 4 y = ±l como satisface en la ecuación diferencial entonces y = ± lson soluciones singulares. 315) y '2-yy'+ex = 0 , y = cex + - c Solución 173 Eliminando c del sistema , 1 y = ce + — c _-.t/2 => c = e reemplazando en y = ce* + - => y = e " " V + e Jr/2 c y = e x l l + exn = 2e x' 2 como y = 2eJt/2 es solución de la ecuación diferencial entonces es solución singular. 316) 3xy'2 -úyy'+x+2y = 0 , x 2 + c (x -3 y ) + c 2 = 0 Solución Eliminando c del sistema. x 2 + c (x -3 y ) + c 2 = 0 _ 3y - x x - 3 y + 2c = 0 2 reemplazando en la ecuación x 2 + c (x -3 y ) + c 2 =0 2 ✓ ^ x 3 y - x , 3 y - x x2x ¿ + ( x - 3 y )—----- + (—-----) 2 = 0 2 2 x 2 ( ^ + ( W = 0 2 4 2 x ’ - S ' z f L . o 174 4x2 - 9 y 2 +6x y - x = 0 simplicando 3x2 + 6 ;cy -9y2 = 0 x 2 + 2 x y - 3 y 2 =0 (x + 3y)(x — y) = 0 => y = - | , y = x como son soluciones de la ecuación diferencial entonces y - - — , y = x son 3 las soluciones singulares. 317) y = Xy '+^a 2 y '2 +b2 , y = cx ^ a 2c 2 + b 2 Solución Eliminando c del sistema: y = cx ^ a 2c 2 + b2 ...(1) 2 2 0 = W a V + ¿ 2 + , * -,• ...(2) V a V + 6 2 de las ecuaciones (1) y (2) eliminamos c, obteniéndose la ecuación: x2 y2 —— + —— = 1 la cual es solución de la ecuación diferencial, por tanto: a b x 2 y2— h— — = 1 es la solución singular. a b Diversos Problemas Integrar las siguientes ecuaciones 118) (y - y 3 )dx + ( Ixy 2 - x - a y 1)dy = 0 Solución ( y - y 3)dx + (2x y 2 - x - a y 2)dy = 0 entonces: 175 ( y - y ^ ) — + 2x y 2 - x - a y 2 = 0 entonces: dy *.e¿zp.jsL cslinM, dy y - y y - y t 2y -1 [ 2y -1 -J— r dy t j ^ ~ r dyJ v - v r J V- VJ T»? c I ------ T°y n.v2* = [ j e y~y - V L ^ dy+c] y - y calculando las integrales se tiene: x - a y 2 319) y '= (x - y )2 +1 Solución Sea z = x —y => y ' = \ - — entonces dx y ' - ( x - y )2 + 1 => 1 — — — z 2 + 1 entonces: dx dz 1 i ----7 ~ ^ — = X+C => z = ------ => A z z JC + C de donde y - x — * x + c 320) x senxy'+(senx - x eosx)y - senx eosx - x Solución x sen xy'+ (sen x - x eos x)y = sen x eos x - x dy s e n x -x c o sx s e n x - c o s x -x _ + ---------------- = -------------------------- entonces: dx xsenx xsenx 176 + c y ^ l - y 2 1 - y = --------x + c x - e r sen jr-jrcos;r , r sen x -* eos .v_ ------------dx r I---- —-----dx s e n x c o sx -x , _J x s e n x Y\e xsenv ------------------ dx + c] J x sen x ~ln---- r ln-----s e n x c o sx -x , x = e s e n x [ \ e sen x ------------------ dx + c] J xsenx sen x r r sen x eos x - x ,x = ----[ ---------------- dx + c] entonces: x J sen x ‘ sen x f | sen x xsenx sen xy -------- (jn sen x + xc tg x - ln sen x + c) por lo tanto: x esenx y = eos x + -------- 321) — + yc o sx = y n senllx , n * l dx Solución — + yc o sx = y n sen2x => .y -fcosx.j;1 " =sen2x dx dx sea z - y Xn => — = (l-w )y dx dx * ^2 + eos x.z = sen 2x entonces: — + (1 - n) eos x.z = (1 — n) sen 2x 1 - n dx dx -f (l-n )c o sjr ¿ r f í ( l -« )c o s* á x Z = e J [ e J (1 - w ) sen 2x dx + c] z = e (n_1)sen x[ j e (1~n)sen * (1 - n) 2 sen x. eos xdx + c] 1 - n 2 ^ (n -l)sen xy = 2senx + ------+ cev ' « -1 177 322) (jc3 -3 x y 2)dx + (y* - 3 x 2y)dy = 0 Solución M = x i - 3 x y 2 N = y 3 - 3 x 2y dM dN , como -----= — la ecuación es exacta entonces dy dx 3 f(x,y) tal que = M dx de donde - - - - - - - = x 3 - 3x y 2 integrando dx / ( * , y) = J (x3 - 3xy 2 )dx + g (y ) entonces: x 3x /(*> y) = —-----— y 2 + g(y) derivando = - 3 x 2 y + g'(y) = N => - 3 x 2y + g ' ( y ) = y i - 3 x 2y dy i y g '(y) = y => g (y )= — + c entonces r 4 1x2 v 2 v 4 f ( x , y ) = — - — + ^ - + c porlotanto: x 4 + y 4 - 6x 2y 2 =k dM dy dN_ dx = - 6xy = -6 xy 323) ( 5 x y - 4 y 2 - 6x 2)dx + ( y 2 - 8xy + 2.5x2)dy = 0 Solución 178 Sea x = uy => dx = udy + ydu reemplazando en la ecuación diferencial (5uy2 - 4 y 2 - 6u 2y 2){udy + ydu) + ( y 2 - 8 uy2 + 2.5w2y 2)rfy = 0 (5w - 4 - 6«2 + ydw) + (1 - 8« + 2.5u 2 )dy = 0 (5w2 -4 j/^ 6 w 3 + \-%u + 2.5u2)dy + y ( 5 u - 4 - 6 u 2)du = 0, simplificando (6u 3 - 7.5u 2 +12« -1 )dy + y(6u 2 - 5u + 4)du = 0 , separando la variable dy 6«2 -5 « + 4 „ .— + — -----------------— du = 0 , integrando se tiene: y 6« -7.5« + 12« -1 Es una ecuación homogénea ln y + — ln |6 « 3 -7 .5 « 2 + 1 2 « - l |= ln e de donde — = « 3 v porlotanto: 15x2j'-24x>>2 -1 2 x 3 + 2y3 =c 324) (3x^2 - x 2) + (3jt2.y-6j>2 -l)rfy = 0 Solución ÍA/ = 3xy2 - x 2 [w = 3x2y -6 j> 2 - l SAZ , —— = 6xy dy dN £ — = 6 xv dx dM dN .como -----= ----- la ecuación es exacta entonces dy dx 3 f(x,y) tal que = M , dé donde: - = 3xy2 - x 2 integrando dx dx V 179 f 2 2 3.x2 y2 x3/(x ,y )= J (3xy - x )dx+g{y) entonces: f ( x ,y )= —^----- -+ g (y ) derivando ~ ^ - = 3x2y + g ' ( y ) = N => 3x2y + g'(y) = 3x2y - 6 y 2 -1 5y g' (y) = -6>’2 -1 => g(>’) = 3 - y + c entonces 2 2 3 f{xyy ) - —~ - - —2y3-j>+c por lo tanto: 9x2y 2 -3 x 2 - I 2 y * - 6y = k 325) (j> - jcy2 In x)dx + xdy = 0 Solución 2 dy 2 xdy + ( y - x y lnx)dx = 0 => x — + }> = xy In x , Bernoulli dx dy 1 2 2— + — J = }> In x , multiplicando por y dx x -2 4y 1 - l , - l dz _2 dyy - + - y = ln x , sea z = y => - — = y -f- dx x dx dx dz 1 dz 1 ., t ., — — + — z = lnx = > -------z = - In x , ecuación lineal cuya solucion es: dx x dx x r dx r dx z - e x [ J e x ( - In x) dx + c] , efectuando la integral r f ln* j 1 -1 / to2 xz = x [-1 -----dx + c] => y — x(--------- + c) J x 2 1 , In 2 x + k ^ _ , 2— = x(------------- ) => 2+x^ln x = kxy 180 Solución fdM 326) (2xyex -x se n x ) d x + e x dy = 0 1 M = 2xyex -x s e n x N = e x2 =* 1 *dN = 2xe* dx = 2xex dM dN y .. , ,como -----= — la ecuación es exacta entonces dy a* 3 f(x,y) tal que =M de donde: -- = 2xv^ -x s e n x , integrando Se dx f ( x , y) = | (Ixye*1 - x sen x)dx + g(y) f (x, y) = y e* + x c o sx -se n x + g( y) derivando con respecto a y se tiene: d f(x ,y ) dy = e x + g \ y ) = N de donde e x + g \ y ) = e x =>g(y) = c entonces f (x,y) = yex +xcosx-senx+c, por lo tanto: /. yex +xcosx-senx = A: 327) 2y'+yl + \ = 0 Solución 2y '+ y2 +—j = 0 => 2x ¿ ~ + ( x ¿y i +l) = 0. i dy , / „ 2 . . 2 * 2 x 2dy + ((xy) 2 +1 )dx = 0 entonces u , xdw - udx sea u = xy => y = — => dy = ------ ------ x x 181 _ 2 .xdu-udx. . 2 ^2x (------ ------) + (u + \)dx ~ O entonces: x 2x d u - 2udx + (u2 + l)dx = 0 => 2xdu + (w -l) 2 dx = 0 ^ du dx ^ 2 ,2 ---------- + — = 0 = > ---------- + ln x = c (w-1) x M -l 2 = c - ln x => ( l-x y ) (c - ln x ) = 2 jcv-1 1 328) y ’=- 2x - y L Solución 1 dx ^ 2y = -------- — => — = 2 x - y entonces: 2x - y dy — ~ 2x = - y 2 => x = e 2y[ f e 2y ( - y 2)dy + c] dy J de donde x = — + — + ce2y + — 2 2 4 329) x 2 +xy'=3x + y' Solución x 2 + xy'=3x + y' => ( x - l ) y '= 3 x - x 2 3x — x 2 dy = ----------dx integrando x — 1 J* dy = J ——y -d x + c => y = 2 x - ^ - + 21n 11-x |+c 182 330) 4x3y 2dx + (x4 - 2 x 4y - l ) d y = 0 Solución dx + x 4 - 2x 4y - l _ ^ dx t x (l- 2y) _ 1 dy 4 x 3y 2 dy 4 y 2 4 x 3y 2 3 dx 1 — 2y _2 1 .c — -»------r -x = — — entonces: dy 4 y 2 4 y 2 sea z = x 2 => - = x 3 — , reemplazando en la ecuación 2dx dy dz 1- 2y 1 dz 2y -1 1 .. ,. ,-------- 1-------— z = ----- = > -----h------- z = - -.... . , ecuación lineal 2 dx 4 y2 4y 2 dx 2y 2 2y 2 -jlZZÍdy j l ll ldy j 2 = e 2y [ [ e 2y (---- —r~) + c] , efectuando la integración J 2y i i z = e " ' * 5 [ e M onceS: Í „ ] J 2y2 V J 2y 331) xyy'-y2 =*4 Solución — - — y = x3y 1 multiplicando por y dx x dy 1 2 3 2 dz . dyy — — y = x sea z = y => — = 2y — dx x dx dx 1 dz 1 3 dz 2 3----------- z = x de d o n d e ---------z = 2x 2 dx x dx x 183 332) r 2dx [__2dx ecuación lineal z = e x [Je x 2x 3dx + c\ z = e~1 XTÍX[ j 2xdx + c] entonces: z = x 2[x2 +c] => y 2 = x A +cx2 dx _ dy x 2 - x y - h y 2 2y 2 - x y Solución (2y 2 -xy)dx = (x 2 - x y + y 2)dy es homogénea y = ux => dy = udx + xdu , reemplazando en la ecuación diferencial ( l u 2x 2 - x 2u)dx = (x 2 - x 2y 2 + x 2u 2)(udx + xdu), simplificando dx u 2 - u +1 * w3 - 3w 2 + 2w du = 0 integrando f — + f —r -----— dw =c dedonde .\ — 2 a: )3 = c ( y - x )2 J x J u3 - 3 u2 +2u 333) ( 2 x - l ) / - 2 y = l ^ Solución — — y = — -———r ecuación lineal cuya solución es: dx 2x - l (2x - l ) x . f_i^L i - 4x z - e 2x~l [ \ e 2jc_1------------- dx+c] integrando tenemos J ( 2 x - l ) x 2 184 y = e ln(2T-i)[f 1 4* dx+c] => y = ( 2 * - l ) c + - J (2x —1)3jc2 x 334) (x - y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0 Solución Sean : x - y + 3 = 0 y L2 : 3x+j> + l= 0 como LXUL2 => 3 p (x 0yy 0) e L x a L 2 x - y + 3 = 0 1 de donde: i => p(-l,2) 3 x + v + l = 0J F sean x = z ~ l , y = w + 2 entonces: (x - y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0 (z — w)dz + (3z + w)dw = 0, ecuación diferencial homogénea w = uz => dw = udz + zdu, reemplazando en la ecuación diferencial (z — uz)dz + (3z + uz)(udx + xdu) = 0, simplificando (1 — u)dx + (2 + u)(udz + xdu) = 0, agrupando (u + 2u + 1 )dz + (u + 3)zdu = 0, separando la variable dz u + 3 , A ,— + -------- du= 0 , integrando Z (m + 1) f — + f — ~^— d u - c entonces lnz + ln|w + l | ---- — = c de donde: J ^ J (tt + 1) « + 1 2jt+2 u = — ■=.—------? z = x + 1 por lo tanto: x + y - l = cex+y~l Z Jt+1 185 , x + y x - y 335) y + cos---- — = cos 2 2 Solución , x y x y x v x v y + cos — eos----- sen —sen — = cos —eos —+ sen —sen —2 2 2 2 2 2 2 2 y = 2 s e n y s e n y => cosec— dy = 2 sen — dx integrando y y xln(cos ec — - c tg ~ ) = -4 cos — + c entonces: cosec— - c tg — = ke 4cosxi2 2 2 336) y' (3x 2 - 2x) - y ( 6x - 2) + - (9x - 4) = 0 X Solución dy (6 x -2 ) 2(9x-4 ) _ ^ = ---- ---------- , ecuación diferencial lineal dx 3x2 - 2 x ' (3x2 -2 x )x (6*~2) , f (6x~2)f (6x-2) r (6x-2) y = e 3x2-2x [ t j 3x2-2x (---- 2 (9* -4 ) )dx + c], iintegrando (3xz -2 x )x y = e ln|3 ' 2x1 [-2 f ----- —-— dx + c] integrando J (3x2 - 2 x ) 2x y = (3x 2 - 2x)[ f 2d (■ ■ -------) + c] calculando la integrai J (3x - 2x)x 2 2 y = (3x2 - 2x)(— —-+ C) por lo tanto: y = — +c(3x2 - 2x) (3x 2 - 2 x )x x 186 337) Xy 2y ' - y ì = — Solución dy 1 X _2 - . i* j 2—------y = — y multiplicando y dx x 3 2 dy 1 3 x 3 3 dz 2 dy t , >> —------y = — sea z - y => ----- = y — , reemplazando dx x 3 3Jjc fife 1 x 3 dz 3 3 ., . t l . ,----------z = — = > ------------ z = x , ecuación diferencial lineal 3dx x 3 á x r 3dx r 3dx z = e * [ je x x 3dx + c] => z = e 3ìnx[ j dx + c] entonces z = x 3(x + c) por lo tanto: .\ y 3 = x A +cx3 338) y'=Xg2(ax + by + c ) , b * 0 , ab > 0 Solución dz 1Sea z = ax + by + c => / = (------a) — dx b y '= \g 2(ax + by+c) => = tg 2 z ox o — = a + è tg 2 z de donde ----- — = dx integrando dx 6 a + btg z dz a + b tg2 z - J ì£c+ c entonces: 187 x+ c = —^—[a x + b y + c -J — arctg[J— tg(ax+6y+ c) + c]] a - b \ a \ a 339) ( \+exly)dx+exly( \ - ^ ) d y = 0 , ^ =1=1 Solución Sea — = « => x = uy => dx = ydu + udy, reemplazando en la ecuación. y (1 + eu )(udy+ ydu) + eu (1 - u)dy = 0 entonces: (u + ue" )dy+ eu (1 - u)dy + (1 + eu )ydu = 0 , agrupando (u + eu )dy + (eu + \)ydu = 0 => — + - ..— dy = 0 integrando y e" + u l n y + ln(eu +w) = lnc => > '(e"+«) = c => y(ejr/;’+-^) = c p a r a x = l , y = l => e + l = c por lo tanto: .*. x + yex,y = l + e 340) (x2 + y 2)d-xydy = 0 Solución Sea u = yx => dy = udx + xdu, reemplazando en la ecuación diferencial (x2 +u2x 2) d x - x 2u(udx + xdu) = 0 => (l + u 2) d x - u 2dx-uxdu = 0 dx u 2dx — ux du = 0 = > ------udu = 0 => ln x ------ = c entonces x 2 2 1 n x -w 2 = 0 entonces 2x2 ln x - y 2 = kx2 188 141) (x - y + 2)dx + (x - y + 3)dy = 0 Solución Sea z = x - y => dx = dz + dy, reemplazando en la ecuación diferencial (x - y + 2)dx + (x - y + 3)dy = 0 => (z + 2)(dz + dy) + (z + 3)dy = 0 z + 2 (z + 2)dz + (2z + 5)dy = 0 => --------dz + dv = 0 integrando 2z + 5 í d z + [ dy =c => í ( ——- ( — í— ))dz + y = c entonces J 2z + 5 J J 2 2 2z + 5 ' z 1 ~ - — ln(2z + 5) + y = c => 2 z - ln(2z + 5) + 4y = k 2x - 2y — ln(2z - 2y + 5) + 4y = k => 2y + 2x - ln(2x - 2y + 5) = k por lo tanto: ln(2x - 2y +5) - 2(x + y) = k 142) (x y 2 + y)d x -xd y = 0 Solución y(xy + l)dx - xdy = 0 sea xy = u => y = — entonces xdu -u d x u \ .xdu-udx dy = ------ ------ => -(w + l)d x -x (------ ------) = 0 x 2 x x 2 u(u + 1 )dx — xdu + udx = 0 => (u2 + 2u)dx - xdu = 0 entonces dx du , 1 , 2 ,-------- --------= o => ln x — l n-------= ln c x u 2 + 2u 2 u + 2 , x 2(u + 2) x 2 (u + 2) 2/ 7 ln ------------ = in c => ------- ----- = c => x (xy + 2) = xyc => x y + 2x = cy 189 343) (x 2 4- y 2 + 2x)dx + 2ydy = 0 (x 2 + y 2 + 2x)dx + 2ydy = 0 => (x 2 + y 2)dx + 2xdx + 2ydy = 0 dx+ = 0 dx + d ln (x2 + y 2) = 0 integrando x + y x + ln(x2 + y 2) = c => in(x2 + y 2) = c - x => x 2 + y 2 =ke~ Solución 344) ( x - l ) ( y 2 - y + \)dx = (y + l)(x2 +x + \)dy Solución ( x - l ) ( y 2 - y + \)dx = (y + l)(x2 +x + \)dy separando la variable 1 t x 2 +X+1 rr 2x +1 2 y — i entonces — ln — ----------- V3 (arctg — -==- + arctg —■= -) = c 2 y 2 - y + l V2 ^ 3 345) (jc - 2xy - y 2 )y '+y2 = 0 Solución ( x - 2x y - y 2) — + y 2 = 0 => v2 — + x - 2x v - y 2 = 0 dx ' dy r l - 2 y t\-2y . dx 1 -2 y r J— — + — i f - x = 1 es lineal x = e y [ l e y dy + c] entonces dy y j x = g2In>'+1/>'[ f e~2]ny~1/ydy + c] 190 x = y 2ev ’' [ [ e -V y ^ r + c } => x = .y V ' > ( e u r + c) por lo tanto: * = >'2 (1 + ce1 1) 346) y cosx dx + (2y - senx)dy = 0 Solución Sea z = senx => dz = cosx dx, reemplazando en la ecuación diferencial ydz + (2 y -z )d y = 0, es homogénea sea y = uz => dy * udz + zdu entonces: uzdz + (2uz — z)(udz + zdu) = 0 udz + (2u - 1 )(udz + zdu) = 0, agrupando 2u 2dz+ (2u - \)zdu = 0, separando las variables 2 — + (— — \r)du = 0 integrando x u u 21nz + 21nw+—= c => ln z 2w2 + - = c entonces 2 sen x , a i ■ln y + ------ = c por lo tanto: 2y ln y + senx = cy 347) y - l = e x+2y Solución Sea u = x + 2y => y ’= — (— -1) , reemplazando en al ecuación diferencial 2 dx — (— -1) -1 = e" de donde = 2eu +3 => — —— = dx 2 dx dx 2eu +3 191 348) 349) 2 + 3e~u = ke~3x => 2+3e ^ 2y =ke~3x 2ex + 3 e ly = ke~2x 2(x5 +2 x 3y - y 2x)dx + (y 2 + 2x2y - x 4)dy = 0 Solución Sea y = tx2 => dy = x 2dt + 2xtdx, reemplazando en la ecuación diferencial 2(x5 +2x5t 2)dx + (x4t 2 + 2 x * t - x 4)(x2dt + 2xldx) = 0 , simplificando (2 + 4/ - 2t2 )dx+ (f2 + 2/ - 1)(xí* + 2/¿Ét) = 0 entonces (2 + 4 / - 2 / 2 +2t3 + 412 -2t)dx + (t2 + 2t-l)xdt = 0 (2í3 +2t2 +2í + 2)dx + (l2 +2t -l)xdt = 0, separando la variable „d x í 2 + 2 í-1 j f ^ d x ( / 2 + 2/ -1 2 — + _ ----- --------------- dt = 0 integrando 1 2 —- + | —------- ;-d l - c x / 3 + í 2 +í + i i x J t i + t ¿+t + 1 2 ln x + f (—1— + ? l-— )dt = c de donde se tiene: x 4 + y 2 = c(x2 + y) J t + 1 / 2 + l x 2y ny '= 2 xy '-y , n* -2 Solución x 2y ny'=2xy'-y => y = ( 2 x - x 2y n)y' entonces: integrando: -^ ln (2 + 3e u) = x + c => ln(2 + 3e “) = ~3x + c dx j „ dx 2 2 n -2 dx 2v ------2x = - x v => —------ x = - x y => x -------- x = - y ' dy ‘ ¿V V dy y n 192 sea z - x 1 => dz dy _2 dx = x — dy dz 2 n---------- z = —y dy y => dz 2 — + — z dy y — f— d y m f— d y 0 z = e y [J e y y ndy+c] , efectuando la integración z = e~2hly[ I y n+2dy+c\ i r f y n+3 i 1 >;"+1 cz — — [ I ------ + c] => — = -------+ v J w + 3 jc « + 3 2 350) (J l + x 2 +rty)dx+(sjl + y 2 + ny)dy = 0 , y\x () = n Solución y¡l + x 2dx + nydx + + y 2 dy + nydy = 0 agrupando se tiene •fl + x 2 dx+-Jl+y^dy + n(xdy+ ydx) = 0 ~sj\ + x 2 dx + -Jl + y 2 dy + nd(xy) = 0 integrando J ^ \ + x 2 dx + J -Jl + y 2dy + J nd (xy) = c entonces i[x^Gi + x 2 +ln x] + 4 x 2 + l[v A/Í + .v2 +ln_v] + V^+>'2 +nxy = c paE0„»x = 0 , y = n => c = n^íl + ñ 2 + \n[n + ^[\ + ñ 2 ] por lo tanto: v j l+ x 2 + ln |x W l+ * 2 \+ y ^ + y 2 +ln|-y/l+>>2 |+2nx=W l+«2 + ln |«+V l+«2 351) [3(x+y) + a 2]y'=4(x + y) + b 2 193 Solución Sea z = x + y => y '= — -1 reemplazando en la ecuación diferencial dx (3z + a 2)(— - l ) = 4z + 6 2 => (3z + a 2) — = 7z + a 2 + b2 dx dx 3 z + a 2 , r 3z + a 2 l z + a 2 + b2 dz = dx integrando f ---- — — — dz = í dx + c por lo tanto: J 7z + a 2 +¿>2 J f ■)' - ? * + ¿ (4a2 - 3¿2) ln l7(^ + ^ ) + a2 +A2 I = c 352) axyy'2 +(x2 - ay2 -b )y '-x y = 0 (lasustitución x 2 = .y, y 2 = f ) Solución axyy'2 +(x2 - a y 2 - b ) / - x y = 0 despejando y ’ se tiene: - ( x 2 - ay2 - b ) ± J ( x 2 - a 2 - b )2 + 4ax2y 2 y = ---------------------------------------------------- ^ ------------------------------------------------------------------ 2axy sea ^= x 2 => ds = 2xdx => t - y 2 => dt = 2ydy dy _ [s dt dx V r ds de donde — = ------sustituyendo en la ecuación diferencial : ~ ( x 2 - a v 2 - b ) ± S ( x 2 - ay2 )2 + 4ax2y 2 y ------- 1— 2 axy s dt - (s - at - b ) ( s - at - b)2 + 4ast t ds 2a j s t 194 2as — = -(s - at - b) ± J (sat - b )2 +4 ast ds efectuando operación, agrupando e integrando y reemplazando. 2 2 • 2 2 bex — s 9 y = t se tiene que: y - e x = --------- 1 + ac 353) ( x - y 2)dx+2xydy = 0 Solución 2xydy + ( x - y 2)dx = 0 => 2x y - + x - y 2 = 0 entonces: dx dy 1 y dy 1 1 — + —---- -—- = 0 => 2 —------ y = ----- , ecuación de Bernoulli dx 2y 2x dx x y multiplicando por y, se tiene : 2y — - — y 2 = -1 dx x 2 dz dy sea z - y => — = 2y — , reemplazando en la ecuación diferencial dx dx -------- z = -1 , es una ecuación diferencial lineal cuya solución es: dx x r dx f _ ^ x z = e * [Je * (- y 2 = e lnjc[ J - ~ + c] 2 y 2 = x[- \nxk] => — = - ln j t¿ = ln(jcfc)-1 e yl' x = ( x k y x => xey I / x =c 195 REDUCCION DEL ORDEN DE LA ECUACION] Las ecuaciones diferenciales de n-esimo orden son de la forma: ... (1)F (x ,y ,y ' ,y " , . . . ,y M ) = 0 Donde al despejar y (n) se tiene: ...(2)y (n) = f ( x , y , y ' , y " , - , y (n 1}) Demostrar en los siguientes ejercicios que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones indicadas. 354) y = e~x (3 eos x - 2 sen x ) , / ’+2y'+2y = 0 Solución y - e ~ x (3 eos x - 2 sen x ) , derivando con respecto a x y' = -e~x (3 eos x — 2 sen x) + e~x (-3 sen x - 2 eos jc) = e~x (-5 eos x - sen jc) y"= e~x (5 sen x - eos x ) - e ~ x (-5 eos x - sen x) y" = e ~x(4 eos jc + 6 sen x) y"+2y'+2y = (4cosx+ ósenx) + 2£~*(-5cosx - senx) + 2e~xQcosx - 2senx) = £“*(4 eos x + ó sen x -lO co s x - 2 sen x + 6 co sx -4 se n x) = e -Jf(10 co sx -lO co s x + 6 s e n x -6 sen jc) = 0 por lo tanto: y' '+2y'+2y = 0 y = e lx (c1 eos 2 x + c2 sen 2 x ), - 4/+8>> = 0 Solución y = e 2* (cj eos 2jc + c2 sen 2x) entonces y = e lx[2(ci + c2)cos2x + 2(c2 - c 1)sen2x] y = - S c ^ 2* senx por lo tanto: y " - 4y'+%y = 0 y = x(senx — cosx), y' '+y = 2(eos x + sen x) Solución y = x(senx - cosx) => y ’= s e n x - cox+ x(eos x + sen x) y M= cosx + sen x + cosx + senx + x (co sx - sen x) y = 2 sen x + 2 cosx + x(cos x - sen x) y '+y = 2 sen x + 2 eos x + x(cos x - sen x) + x(sen x - eos x) por lo tanto: y ' '+>> = 2(cosx+ sen x) y = (C\ + c2x)e~3x ; y ’'+6y'+9y = 0 Solución .y ^ C i + c2x)e-3jr => y = - e “3jf(2c2x+ 3c1) y s ^ ^ í ^ x + Pq - 2 c 2) por lo tanto: y"+6y'+9y = O y = x 2 ln x , xyM,= 2 Solución y = x 2 lnx => y '= 2x \ n x + x => y"= 21n*+3 entonces y " '= - 3> xy'” = x ( - ) = 2 => x y " '= 2 X X 359) x = y * + y , Solución x = y 2 + y => 1 = 2yy'+y' => 1 = 2yy’+y’ entonces 1 -2 v 'y’= —----- => y " = -------de donde 2 y + l (2 y + l) -2 12 y " = ----------- => v,M = ----------- entonces (2 y + l)3 (2y + l) y'y'"= 12 , => y / " = 3 ( ----- — y)2 = 3y"2 (2y+ l) (2y + l) por lo tanto: / y " '= 3y ' ' 360) x + c = e~y , y " = y '2 Solución x + c = e_>' => 1 = -e_>,y => y= -ey entonces y " = - e > 361) x = y + ln y , yy”+y’3- y '2 =0 ■»"=- ^ .y => y " = e l y = y 2 => y = ( y ) 2 Solución x = y + lny => 1 = y'+ — => y '= - ^ r entonces y y + 1 198 y ' ’ = ---- —- entonces: (>-+i)3 yy”+y'ì - y '2 = y ( ^ T ) + ( - ZT )3 - ( - ^ r ) 2 = 0 ( y + l) y + 1 y + l por lo tanto: yy’ ’+y '3 - y '2 = 0 .162) y = c, + c21 y d t , xy"+(l - x)y' = 0 Solución f* e* y = cì +c2j — dt => y ' = c2 — entonces M e * { x - \ ) A i. / \ i / (jc — 1)x . e* y = c 2 — ~ —- entonces xy +(-x) y = x(c2— ^ — ) + 0 “"*)c2— X2 X X x " + (l-x )y '= c2 _ Ì £ z l l C2e ^ =0 por lo tanto: x v "+ (l-x )y ,= 0 f2 c* ~> 1»63) y = q x + c2x — d t , x > 0 , x~y”-(x +x)y'+(x + l) = ( Solución /•2 |*2 £>* y = C1X-fC2X --- => y = cl + c 2 ---------- dt- Jx t ' Jx t e x x J r / * + 1 \y = -------- e = - e (------ ) entonces: x x 199 x 2y ' '- (x 2 + x)y'+x(x+ l)y = x 2(- £_ Í£ ÍÜ ) - (* + x)(c, + c , í - d t - e * ) + x A t + (x + l)(cix +c2x j di) xy' 1* lní x 2 ln 2 x.y' '-x ln x ./+ (ln x + 1)>' = O Solución y = C\ lnx + c2 ln x f derivando con respecto a x Jjr lní , c\ c2 te dt , . .y = — + — I ------ c2 nuevamente denvando x x Jx ln í r dt c2 x 2 x 2 Jjf ln í xln x X2 ln2 x y"= -c i ln2 x - c 2 ln2 xj" ^ - - c 2x \n x - x \ n x . y ’= - c 1\ n x - c 2 ln x f — - + c2x ln x Jx lnr (lnx + lXy = Cj ln2 x + q lnx + c2 ln2 x f —- + c2 ln x f Jx lní Jx lní Sumando las tres ultimas ecuaciones. x 2 ln2 x.y''-x ln x ./+ (ln x +1)y = 0 200 x = J (2 1 n í- l)+ c . I 365) I , y ( l + 2 1 n / ) - l y = t ]nt+c2 J Solución fx = í(2 ln í- l)+ C j [.y = í 2 ln í+ c 2 dx dt dy_ di = 1 + 2 ln í — = 2 í ln í + 2í dy_ dy _ dt _ d y d 2y = dy' = dt dx2 dx dx dt y ' ( l+ 2 1 n / ) = 1 1 + 2 ln í (1 + 2 ln í ) = 1, por lo tanto: / ' ( l + 2 1 n /) = l 366) x = (í + l ) e '+ Cl y = t 2e '+ c 2 j y " e y (y'+2) =1 Solución íx = (r + l)e' + q l y = t 2e '+ c 2 dx ~dl = e‘ (t + 2) = te1 (í + 2) dt dy_ cjy_= j L = fg,( 2 ^ d y d y = j t _ 1 _ 1 dx2 dx dx_ e '(t + 2) (/ + 2)e' dt y ’e y ( y +2) = ----- ---- e ' ( t+ 2) = 1 (í + 2)e' por lo tanto: y " e y (y’+2) = 1 367) sen2r* = C2 +C ,(í------— ) y = l - c 2 sen2 t 2 (1 -j 0 / ’= 1 + / 2 Solución , sen 2 r x = c2 + c ,(r ------— ) y = l - c 2 sen2 í dx „— = c, (1 - eos 2 r) dt 1 — = -c? sen 21 dt 2 dy dy dt - c 2 sen2r entonces: dx dx_ c1(l-co s2 f) dt 2 d y dy’ _ dt _ - 2cz eos 21 dx2 dx dx^ q (1 - eos 2t) dt = 2(1 - 1 +c. sen2 Q (-:f o cos2* ) = 2g2 * n * (-2c2 eos2Q q (1 - eos 2r) Cj (1 - eos 2t) por lo tanto: 2(1 - y ) y " = 1 + y '2 202 368) x = — ln í h——r 2 4í r 3 y 2- 2/ y ,+3 =o Solución lní 3x = -----+ —— 2 4/ í 3 3 r - 3 dt 21 2 í3 2í3 1 9 (f2 -3 ) (f2 +3) y '+y = -cx sen x - c2 eos x + cx sen x + c2 eos x por lo tanto: y"+y = 0 y ' = -c¡ sen x - c2 eos x entonces 370) y = — (cxex + c 2e x) , xy"+2y'-xy = 0 X Solución / = — \ ( c xe x + c 2e x)+ — (c1e x - c 2e x) x l x y " - —j ( c xe x + c 2e x) —~¡r(c¡e x - c 2e x) + - ( c 1e x + c 2e x) X X X por lo tanto: xy ' \ 2 y ' - x y = 0 371) y = c1x - t c2 ln x , x 2 (l -]nx)y"+xy'-y = 0 Solución i i c »»y = CjX-f c 2 lnx => y = cx + — => y = — 7- x x 2 x 2( l - l n x ) / ,+xy'-y = x 2( l - ln x ) ( - -^ - ) + xc1 + c2 - q x - c 2 lnx x = -Cj + c2 ln x + x q + c 2 “*CjX-~c2 lnx por lo tanto: x 2 (1 - ln x)y' '+xy'-y = 0 204 Solución /(x + c1) 2 + c 2 , yy"+y,2 = l y = -J(JC + Cl ) 2+C2 => / = ^ /(X + Ci ) 2 + C 2 c,y ' ' = ----------- ------ —- entonces: ( (x + q ) + c 2) yy''+y'2 = ^ [ (x + c ^ y ---------- y ------ + ■■ (x+ c^ — ((x+ ci) + c 2) (x + c i) + c 2 + — + -----= 1 por lo tanto: yy' '+y '2 = 1 ( x + Cj ) 2 + c 2 ( x + C j ) 2 + c 2 >73) x + c2 = y i + c ly , y"+6yy,3= 0 Solución x + c2 = y 3 +c ly => l = 3 y 2y ’+c¡y' entonces 1 _ .... ~6yy' 6yy '= — ------ => y = 3 y 2 +c, (3y2 + c ,)2 (3y2 + c 2)3 y''+6yy'3 = —-— - + 6y(— ------- )3 = 0 por lo tanto: (3y + q ) 3y + c y"+6yy'3 =0 374) x + c 2 = lnsen (y+ C !), y " ~ y '(1 + y '2 ) Solución 205 x + c 2 = lnsen(y+c¡) => 1 = — P +Ci)y' entonces; sen(^ + c ,) , y - tSCv+ c i ) => y ” = sec 2 ( y + c¡ )y entonces y ' '= sec2 ( j + c ,) tg(>> + c ,) y ' = seo2 ( y +c¡) tg(x+c¡) = tg(y+c1) + tg3(y+c¡) y " = y ' ( l+ y 2 ) => y " = y ( i + / 2 ) J -x sen t0 ~ d t , x sen x.y' '-x eos x.y '+ eos x.y = 0 Solución => y = c 1+c2j * ^ d t + c2 sen* Sei1^y - c2 -------+ c2 eos x entonces:x y - x eos xy'+ eos x.y = —---------+ c2 eos x - c xx eos x x 1 J. sen t—— d t - c 2xcosx .senx + cxxc o sx + c2xcos (**—nf dt1 Jo t y % x eos x.y'+ eos x.y - 0 Verificar que las relaciones dadas son integrales (generales o particulares) de las e cuaciones indicadas. 176) (*-ci)2 +(y-c2)2 =1, y = ( i + y 2)3/2 Solución ( j e - C j ) 2 + ( y - c 2) 2 =1 => y - c 2 = tJ \ - ( x - C i ) 2 .derivando y — , = Cl) , => y 2 ( l - ( x - c , ) 2) = ( x - c , ) 2 ^ ~ ( x ~ ci ) 2 v 9 y----- = (x - Cj) => x - c l = , nuevamente derivando i + y 2 v " 1 Ví / 2 * y - + y 2 V i+ y1 = ----------------- -!------ — entonces 1 + / 2 ( i + y 2 )3/2 = y + / 2 y - y y poriotanto: y = ( i + y 2 )3/2 377) y 2 = l + ( l - x ) 2 , y 3y " = l Solución x — 12 yy '= 2 ( l-x ) => y = ------ , derivando nuevamente; entonces: y y - ( x - 2)2 > > -(x -i)y ^ ,v2 - ( x - i ) 2 .2 „ 2 „3 y 3y”= y 3 ^ = y 2 - (x- 1)2 entonces: 207 y 3y " = y 2 - ( x - í ) 2 como y 2 =l + ( l - x ) 2 entonces y 2 —(1—x ) 2 =1 porlotanto: y 3y"= 1 378) sen( y - c 2) = ex~c , y " = y '( l+ y '2 ) Solución s e n Q -c 2) _c ex c o s (y -c 2)y '-ex s e n ( y -c 2) „— € => — ---------------------= 0 e* e 2x y '~ lS ( y ~ c2 ) => y = s e c 2(jv -c2)y entonces: y ’ = sec2 (J - c2 ) tg(y - c 2 ) = tg(7 - c2) + tg3 (y - c2 ) y = y + y 3 = y ( i + y 2 ) porio tanto: y = y ( i + y 2 ) 379) CiX + C2 = ln (C jJ-l), yy ' '= y ,2+y' Solución cix + c2 = ln(cly - l ) => q = — entonces q y - 1 / = ^ - l => y = c 1y = c 12y = c1 yy' '= yy'c de donde al reemplazar se tiene: yy" = y ■2 Cx 2 2380) >- l n = x + e' d t , y{\ + ln y)y''+y'2 = 2xyex Solución y \ n y = x + ^ e ' dt => y i n j 9>'= l+ e ^ entonces: 208 (l+e* ) y 'ln j> + —— K y = 2 x e jr entonces: >’"lnj>+ + y = 2xex 2yxe^_ - ( l + e*2)2 2xy tS - ( l + e ^ ) 2 / ‘( l n j ' + l ) - (l" ^ ^ . . . . - (l^ + 1,!y ( ln y + 1) (2xyexl ~(l + e ' 2)) .2 _ (ln_y+l)2 , ( l+ ex ) 2 ^(1 + ln y)_y"+_v’ = ^ (l + l n j ) ---------------------------1- y(ln_y+l) (lny + 1) y C + l n y ) / ' + / 2 ■= >1 „ (ln;; + l)2 (ln_y+l) ? r2por lo tanto: y(\ + ln y)y' '+y' = 2xye 209 REDUCCION DEL ORDEN DE LA ECUACION! Se consideran los siguientes casos: I. d ny dx" m donde f(x) es función solo x o constante. La solución se obtiene integrando n veces. y - (...( ( f ( x )d x + cx) + c2)„¿n)dx II. Cuando la ecuación no contiene la función incógnita y sus derivadas hasta el¡ orden k - 1 inclusive. se puede disminuir el orden de la ecuación haciendo la sustitución y (k) (x) = p(x) , después de la cual la ecuación toma la forma: F ( x ,p ,p ' .....p (n~k)) = 0 de esta ecuación determinamos: P — f ? ^ 2»***’ cn~k ) siempre que esto sea posible, y hallamos después y de la ecuación y^k) = f ( x , cx, c2,..., cn_k ) integrando k veces. III. La ecuación no contiene la variable independiente. F ( y ,y ’,y ' ' , . . . ,y m ) = 0 210 La sustitución y' - p permite reducir el orden de la ecuación en una unidad. En este caso se considera p como una nueva incógnita de y. p = p(y) expresamos todas las derivadas. ■ y ' . y w 00 mediante las derivadas con respecto a y de la nueva función incógnita F. , dy y = ^ = p M_ dp _ dp dy dp ^ dx dy dx ^ dy dx dy dy dy dx dy dy poniendo estas expresiones en la ecuación en lugar de y'.y,,,...,y ('l) , resulta una ecuación diferencial de orden n - 1. IV. La ecuación F(x, y , y '',..., y (w)) = 0 , es homogénea respecto a los argumentos ;(/l) ósea. .. y ,y ' , y " , . . . , y (n) ósea. se puede disminuir el orden de esta ecuación haciendo la sustitución: f zdx y - e donde z es una nueva función incógnita de x. z = z(x) V. La ecuación es tal, que al escribirla mediante diferenciales. F(x, y, dx, dy, d 2 y,..., d n y) = 0 211 resulta que F es homogénea respecto de sus argumentos x ,y ,d x ,d y ,d 2y,.. . ,dny , donde se supone que x, dx son de primer grado e y ,d y ,d 2y,...f de grado m. dy d 2 y En estas condiciones, — será de grado en m - 1, — — de grado m - 2 , etc. dx dx1 Para reducir el orden de la ecuación se hace la sustitución x = e l , y - uemt, como resultado obtenemos una ecuación diferencial entre u y t que no contiene a t explícitamente, la cual permite reducir su orden en una unidad. Integrar las ecuaciones. 381) y " = xex , y (0) = y '(0) = / '(O ) = 0 Solución y " = xex => y"= ^ x e xdx + cx y %= ex (x — l) + Ci9 y ' ' (0) = 0 entonces: 0 = - l + cx => c¡ = 1 y = e x( x - 1) + 1 => y ' = f ( e x (x - l )+ l)d x + c y '= x e x + x + c , y '(0) = 0 entonces: 0 = 0 + c => c = 0 y '= x e x +x => y = J (xex + x)dx + c , de donde x 2y = xex - e x + — + c , y(0) = 0 => 0 = 0 - l + 0 + c => c = 1 y = (x - l)e* + — 212 382) Solución r x 2 X3 y"= J (— + cl )dx + c2 = — + c1x + c 2 entonces: y ,v =x => y '”=^xdx+cx = ^Y + c l . f , * 3 v . , x Cj 2y =] (— ■+clx + c 2)dx + c 3 => y = j 4- + — X + c2x + c 3 4 ^ y = J"(~~ + x 2 +c2x + c3)dx + c4 por lo tanto: x C,x c2x y = ------ + —— h--------+c-,x + c4 120 0 2 383) / " = x l n x , y(l) = / ( l ) = y"(l) = 0 Solución y " '= x ] n x => y ”= J x l n xdx+c entonces: y " = ^ — ln x - —— f-c, y"(l) = 0 entonces 0 = 0 - —+ c => c = - 2 4 4 4 x 2 x 2 1 r x 2 x 2 1y "= — ln x - — + - => y '= \ { — \ n x - — + - ) d x + c 2 4 4 J 2 4 4 x 3 x 3 x 3 X 1y '= — ln x -------------+ — + c entonces: y' (1) = 0 => c = — ^ 6 18 12 4 6 213 f .x3 , 5x3 x 1 ^ J (T ln ,t“ l 6 - + 7 + 6 |, i ,+ c X 5x X X y = — ln x --h— + —+ c , y(l) = O 96 144 8 6 A n 5 1 1 370 = 0 -+ —i— ye => c = --- 144 8 6 144 x 4 5x3 x x 37 por lo tanto: v = — ln x ------ -i----1- — + ----- 96 36 4 6 144 384) / " = x + cosx Solución y '"= x + co sx => y ” = J (x + eos x)dx + cl entonces: X f x y " = — ■+• senx + => y'= (— + senx + cl )dx + c2 2 J 2 x 3 r x 3 y = -eos x + Cj x + c2 de donde y = (-------------- eosx + c1x + c2)¿£t + c3 6 J 6 r 4 r r 2. X Ci Xpor lo tanto: = — -s e n x + —— + c2x + c3 385) / " = — 1 y ( l ) = / ( l ) = y ( l ) = 0 (x + 2) Solución (x + 2) J (x + 2) (x + 2) 214 / ' = ------- - r-+ ----- — r + c , / ’(1) = 0 3(x+2) 4(x+2) a 1 2 10 = — - + — - + c => c = ----- 3 4.3 162 „ 1 1 1y = ------------ -+ ----------- -+ ----- , integrando 3(x+2) 2(x + 2) 162 ■ ír 1 1 1 wV - (------------ r + -----------r + ----- )í£c + c J 3(x+2) 2(x + 2) 162 y'=------1— ------ J — + J L + C / ( 1 ) = 0 6(x + 2) 6(x + 2) 162 n 1 1 1 30 = --— — - + — —+ c => c —--------- 6.3 6.3 2.3 162 1 1 x 3v = ---------- ---------------— + ------1------, integrando 6(x+2) 6(x + 2) 162 162 f . 1 1 x 3y = (---------- ---------------- + ---- + -----)dx J 6(x+2) 6(x + 2) 162 162' 1 1 x 3x ... .y = ------------- + ------------ - + - —- + ---- t + c , y(l) = 0 12(x + 2) 12(x + 2) 4.3 2.34 1 1 1 3 * 10 = ---------1-------— -i------— H------- + c entonces: c = ----- 12.3 12.3 3.3 2.3 243 , 1 1 x 3x 1por lo tanto: y = ------------ ----------------+ 12(x + 2)2 12(x + 2) 4.34 2.34 243 215 386) / ,2- 5 /+ 6 = 0 Solución y = p => v"= ~ de donde (— )2 -5/? + 6 = 0 entonces dx dx = ^ + => - ~ = = dx => - ^ 5 p + 6 = x + cx dx 4$p + 6 5 w 4(5p + 6) = 25(x + q ) 2 entonces: 20 — + 24 = 25(x + cx)2 dx 20dy = [25(x + c¡) 2 - 24]¿£t, integrando tenemos: 25 2 20y = - j - ( x + c1) -2 4 x + c2 , por lo tanto 5 , x5 6x c2 y = — (* + Ci)3 ---+ — 12 U 5 20 387) ( l+ x 2) / ’+ / 2+l = 0 Solución i dy dp y '= —~ = p => y"= — , reemplazando en la ecuación diferencial dx dx (1 + x ) — + p 2 +1 = 0 , separando la variable se tiene: dx f c +7T Z T = 0 integrand0 \ ^ + ¡ 7 ^ J = c'p +1 l + x ¿ J p ¿ +1 J I + X de donde: arctg p + arctg x = arctg c arctg p = arctg c - arctg x 216 c — x c — Xp ------ :=> dy = -------d x , integrando miembro a miembro: 1 + cx l + cx .. x In 11 + ex | y = ln(l + c r )— + -------=----- + k c c l 388) / ' 2- 2 y ”y'+3 = 0 Solución dy d y dp , , j— = p => — í- = — = t de donde => — (üi— - i ) y ' x x x y x x x dz 1 entonces: — = — (z -1 ) , separando la variable dx x dz dx ----- = — => ln(z — 1) = In xc entonces: z — 1 X yz — 1 = xc => z = l + x c => ln(-—) = 1 + xc se tiene e cjr+1 eac+\ exc+1 y'= x -------dx => y — x -------------- c C e ... y = e ^ - \ ) + k C c 390) y " 2+y'2 = y 4 Solución dy d 2 y dp — = p => — r- = p — , reemplazando en la ecuación diferencial: dx dx2 dy =► & 2 - p 2 - 1dy dy dp r~^ 7 dp — = v P =>' —f = = dy> integrando dy 1 1árceos— = x + c => — =cos(;c + c) P P dy p = sec(x+c) => — = sec(x+c), integrando dx 2J8 _y = Jsecíx + cVit + c, => y + c2 = ln |tg (^ + c ,) | 391) y ” 2 + y " ' 2 = 1 Solución dp y " = p => y ' " = - J - entonces: dx y " ' = J l - y 2 = > — = J l - p 2 , separando la variable dx ^ =dx, integrando: = [ ¿ r + c1 => aresen/; = jc + q => /? = sen(x + q ) — j- = sen(jc + cj) => / = -cos(* + q ) + C2 entonces dx y = c2 x - sen(jc + Cj) + c3 392) / ’(l + 2 1 n / ) » l Solución dy d 2y dp— = p => — = — , de donde dx F dx2 dx — (l + 21n/?) = l => (l + 21n/?)d/? = dx dx J( \ + 2\np)dp = J d x + c => 2 p \ n p - p - c + x x+ c = p(2 ln j? - l) ^ + c = /?ln/? 219 393) x = v" 2+1' Solución y ' ,2= x - l => y ”= 4 x - ^ => / = - ( x - l ) 3/2+C! 5/2entonces: y = — (x~ l) + cxx + c2 394) 4y'+y"2 = 4y"= 4xy” Solución # Sea — = p => , reemplazando en la ecuación diferencial: * dx2 dx Ap + (— ) 2 = 4jc— de donde * dx — = 2 x ± 2 J x 2 - p 2 es homogénea de donde al resolver esta ecuación se dx obtiene: y = c1jc(x-c*1) + c2 => ^ = ~3~ + c 395) y 2- / y = ( 2 L ) 2 Solución — = p => — ^ = — de donde / ' ' = , reemplazando dx F dx2 dx ' dx2 X . . - , p = dx d x 1 x 220 dp du d 2p ~ i ,d 2u du — = — + u => — , = e (— -- + -—)» reemplazando en la ecuación dx d i dx2 dz2 dz .du 2 x - t , d 2u du. i e 2z . . .(— + u) - ue £ (— - + — ) = u —-—, simplificando dz dz2 dz e d d d 2(— ) 2 + --------- — = 0 de donde haciendo la sustitución ydz dz dz2 du d 2u dw 2 dw _— = w => — - = -— => w + w ------= 0 entonces dz dz dz dz = dz resolviendo y reemplazando se tiene:2w + w y = c2(xe“* - - e c'*)+c3 C\ 396) y"(y'+2)ey' =1 Solución ^ = p => => — (/? + 2 ) ^ = 1 entonces: dx dw2 dx dx ^ (p + 2)epdp = dx integrando J (p + 2)epdp = j dx + c ep ( p - l) + 2ep =jc + c entonces: x + c = ep (p +1)1 dy y + cx = p e 397) y = ^ + 4 , y(2) = 0, y (2) = 4 JC >> V* I P dx Solución 221 y ' - p => y"= — de donde ^ — entonces: dx dx x p d p 1 2 2 * d p 2 2 lp —— — — p = x l => 2/7 — — P 2x dx x dx x sea z = /?2 => = 2/7 ^ , reemplazando en la ecuación — - — z = 2jc 2 es una ecuación lineal cuya solución es: dx x r 2 dy p ------------------- como p = — , entonces se tiene 2 dx ln | p + p 2 + 1 |= x + c => p + ^ p 2 +1 = e*+r despejando se tiene: dy e x+c-e~(x+c) f r e x+c-e ~ (*+c) & ” 2 integrando J dy + c = J -----------------dx entonces: y + q =senh(x + c). 399) y " = y 'L n y ' , y \ x=0= 0 , y ' \ x=0=l Solución , , dz y " ,dzln y '= z => — = — => y — = y dx y dx « i n . . dz , dz ,y = y in y =s> y — = y z => — = dx entonces dx z ln z = x + c => z = e x*c => ln(lny’) = e*+c de donde x+c ln y ’= e => y ’= 1 para x = 0, c = 0 e integrando se tiene: y = x. 400) 2 / 11 ln y = y , y | ^ = -6e 2, y' \ ^ = e“2 Solución dy d 2y dp dp — = p => — r = /7— 21n p.p — = p entonces: dx dx2 dy dy 2 ln p.dp = dy => 2 J ln pdp = J dy + c => 2p in p - 2p = y + c 2 — ln — - 2 — = y + c entonces: 2e~2 ln » y = 2p In p - 2p diferenciando dy = 2dp + 2 ln p.dp - 2 dp pdx = 2 In p dp => dx = — -— dp integrando P 2 -2 jc = ln p + c > x = 1 , y' = e entonces 1 = 4 + c => c = -3 ln 2 /? = x + 3 => p = e ^ c => ^ = integrando dx ■ = -2(V x+3 + l)e 401) y"+y ^ y T- ¡ = 0 , = 0 , i Solución y = p => y = — , reemplazando en la ecuación dada dx — + P^j~P2 - 1 = 0 . = -dx integrando: dx ' J 7 -.2 J — ---- = - j* ¿fcr + c => arcsen/? = c - x => p = sec(c — x) = s e c (c -x ) , x = ti, y = Fl => c = 2tidy_ dx dj> = sec(2/r-x)dx , integrando se tiene y = c - ln | tg(- ~ -— ) + ~ | => y = 0 para x = ti => c = 0 f , ,271-x^ K , por lo tanto: j = - ln | tg(— -— ) + — | 224 402) 2 / / ’= l + / 2 , ^ L=0 = l n 2 - l , / | , =0= -1 Solución — = p => ^ ^ = — , reemplazando en la ecuación diferencial se tiene: dx dx dx dp , 2 2pdp f 2/?d/? ' ~~ = 1 + /? => = dx => dx 1 + /? J L-h/7 ln(l + /?2) = x + c , y' — P — “ 1 > x = 0 , ln2 = c l n ^ - — =jc => l + /?2 = e 2* => p = ^ e 2x -1 => — = ^ e 2x -1 2 dx dy = ^ e 2x - Id x integrando se tiene: j; = x - ^ 2 e x -1 + ln 2 403) jcy,,,+ y ,- * - l = 0 Solución y"= p => y '"= — , reemplazando en la ecuación diferencial se tiene: dx x — + p - x - 1 = 0 => — + —/; = ecuación lineal cuya solución es: dx dx x x p - e x d 2 y x 1 Ci dy x 2 1, .— — = — h 1H------+ — entonces: — = — + x + — lnx + Ci lnx + c2 dx2 2 2x x dx 4 2 3 2 X X X X_y = — + — + — ln x — + q x ln x - c] x + c2 x , por lo tanto : J.2 2 2 2 1 1 2 y = — (x + 6x ) + clx ln x + x(c2 - c 1) + c3 225 404) y'y" '-3y”2 =0 Solución dy d 2y dp— = p => — — = p — de donde dx y dx2 dy d ^ y dp 2 ¿ 2P ,,dp. 2 , d 2p „ „ i ,d p 2 n— f = M I) : + p — f = /> (M ) + />(— f )) - 3/»2 M ) = 0 dx ¿V dy2 4v dy2 ¿V resolviendo se tiene: x = cxy 2 + c2y + c3 7 * X4405) xy'2 / ’= / 3 + í _ Solucién / = /> => y * = ^ de donde x/ j2 ^ = />3 + — dx dx 3 de donde — p = — p 2 multiplicando por p 2 dx x 3 2 dp 3 3 3 3 dz - 2 dp3 p -p = x sea z - p => — - 3 p — dx x dx dx dz 3 3 - 3 Í - - f J— 3 —------ z = x entonces z = e x [ \ e x x dx + c] dx x J z = e 3]nx[ je~ 3lnxx 3dx + c] => z = x 3(x + c) => p 3 = x A+cx3 dy = x ljx + c integrando y = — lj(x + c)4 - — (x + c)7/3 + q 4 4 226 406) x V M+ 2 x V '= l Solución / • = / ? => y ' " = ^ - de donde x 4 ^ - + 2x3/> = 1 dx dx ¿P 2 1 - Í V r f í “ ,-£L+ —p = — => ;,=*> *[] 408) (jc - \)y ' ' '+ 2/' = ~ Y Solución j y"= p => y " ' = — , reemplazando en la ecuación diferencial dx / 1 ^ dP * + 1 dp 2 l ,( x - l ) - —+ 2/? = — — => — + -p = — r-, ecuación lineal dx 2x2 dx x -1 2x 12dx 12dx -% ~Í~¡T7r f J^T dx l rC( X~ l) , -> = e x l [ | e x 1 — P ----------t U ----- v ” dx + c] J 2x 2 (x - l )2 J 2jc d 2y 1 x 1 — — = ------- — [— h* x -+ c] integrando dos veces se tiene: dx2 ( x - l ) 2 2 2x x y = —lnx + c ln | jc-1 \+c3x + c2 409) y " y 3 =l Solución y”y 3 = 1 '=> y = - y => y ' % = ~ 3 y 3 ¿fe y 3 _y'— = —— entonces y 2 1 , I 1 — = - —-j-.+ Cj => y = J c2 ---- 2 lntegrand0 2 2y2 y y 2 setiene: c2y 2 -1 = (c2x + c 3) 2 410) yy”- y ’2- 1 = 0 228 Solución y'= p => y ”= p — de donde y p - - p 2 - 1 = 0 ay -^ln(l + ^ 2) - ln y = lnAr 1 + p " J >2 . y l n | l + p 2 l - l n y 2 = l n i 2 => - ** - k 2 => p 2 = k 2y 2 p = 4 k 2y 2 -1 => ^~-=^jk2y 2 -1 => ^ -----= rfr i de donde: c = 3 => y = ( ^ +1)2 412) y " - a e y Solución y' — p => y " = y '— de donde y ' ^ - = aey dy dy entonces y' dy'= aeyu integrando —— = aey +cx => y'='Jaey + c dy , . , . l , i \ a e y+ c 2 - c= dx integrando se tiene: x + k - — l n | ------------------- --- — (U lULbglOlIUU »V UWUV. A 1 ft.------- 1U | i ...—----------- y a e y +c c y a e y + c 2 +c 413) 4 / '= 1 Solución y " = y ' ~ => 4 y ^ = —L => 16y'dy’=dy dy dy 4^ y 8 y '2 = y + c => y' y + c dy _ dx 8 -Jy + c 2^/2 entonces: i J y + c = —4 = + k entonces: 4-JxJy + c =x+2kyfx i 4 x 414) 3 y " = y ~ sn Solución 230 dv' dv' y " = y '~ — de donde 3 y '~ - = y~sn entonces: dy dy 3y'dy' = y 5lidy entonces — — = - — y~2/}+c 2 2 y — k — y => y' — -Jk — y 2/3 integrando se tiene: c2 ) = i(2 c 2>’2/3 +1)-Jc2>,2/3 —1 *•15) 1 + y '2 =2yy” Solución y'= P => y " ~ P ~ de donde l + p 2 = 2 y » -~ dy ^ dy dp _ 1 p , dp 1 1 ¿y 2 ^ 27 ent° nCeS: — , ecuación de Bernoulli -) 1 2 1 2 ífe ¿fo2 /> --------p l = - sea z — p => _ = 2o -£ - ^ y y ' ¿ y ¿z 1 1 3 -------z ~ — , ecuación lineal cuya solución es:dy y y z = e l d y + c ] = e lDy[ j e - lay± + c] => ' 1 z = - l + c y entonces /?2 = - l + cy => p = - \ dy i— — dy 2 i------- ~ = J c y - \ => ^ z ¡ = dx =* - j y ^ ^ x + k por lo tanto: 4c1( ^ - c 1) = (x + /t)2 231 416) y V = - 1. y (l)= 1, / (1 ) = 0 Solución y ”= y ' ~ => y 3y ' ^ r = - 1 => ? c = -i => y 2 = ~ - i => / = — - y 2 y ,2 = dx => - - J l - y 2 = x + c para x = 1, y = 1ydy entonces: 0 = 1 + c => c = -1 => — —- y = -^^2 entonces 2 dx 2 y ^ - = ^ y 2 => 2y'dy'=3y2d integrando: 232 y 2 = / + c , y '= 1, y = 1 => 1 = 1 + c => c = 0 y '= y i n => y 3l2dy = dx => - 2 y ~ 112 = x + c 2 — p - = x + c para x = 0, y = 1 => -2 = 0 + c =í J y —%? = x - 2 => - J y = ------ porlotanto: y f y V * - 2 418) y y " - y ’1 = y 2y' Solución dp 2 2y'= p => y "= p — dedonde y p - - p = y p dy dy — p - y ecuación lineal cuya solución es: dy y _f_4v f fZ . p - e y [Je ^ + c] => = e ln>?[j dv+ c] ~ - = y(y + c) => — —— = dx integrando dx y ( y + c ) y se tiene: cx+k = In | —^ —! 419) yy ' '= y '2 y + c Solución dp dp 2 y ’ = p => p — = y " dedonde y p — = p dy dy entonces: c = -2 4 “ ( x - 2 ) 2 y — = p => — = ^ => lnp = Incy => p = cy /> >> — = cy => “ = cdx => In y = ex + k => y = Aec dx y 420) y = « 2' , y (0 )'= 0 , / ( 0 ) = 1 Solución y"= y’— => v’— = e2y de donde: ' ' ¿y ¿y y 'd y '= e2ydy => y 2 = e 2>,+c para y = l , y s 0 1 = 1 + c => c = 0 => y = e y => e~yd y - d x - e -y = jc+c, x = 0, y =0 => 1 = 0 + c => c = -1 => - e y = x - \ y 1 . . 1 . . . 1e y = 1 -x ^ = l n |—— 1= ln | — - 1 entonces: y = - ln¡x — 11 1 — x x - 1 421) 2yy"-3y’2 = 4 y 2 Solución y ' - p => y = p — dedonde 2 y p - - 3 p 2 - 4 y 2 dy dy dp 3 2y dp 3 2 A— => 2 p - f - ------- p = 4 y dy 2 y p dy y 2 dz _ dp dz 3 ' r isea z - p => — = 2/7— = > -------- z = 4 y , ecuación lineal ¿V dy dy y 234 422) 423) z = e ^ [J e v 4^¿/v + c ] , integrando tenemos p 2 = .v2[ - —+ -T * É = = dx y ^ T y integrando se tiene: >’ eos2 (x + c) = k y = i+ y 2 Solución dp dp 2 y ,= p => y 1 = — de donde — = ! + /?“ , separando la variable dx dx dp ,entonces ----- — = dx integrando: i + p 1 dyarctg p = x + c => p = tg(x + c) => — = tg(x + c) dx de donde y + k - ln |cos(x + c)| = 0 xy '(yy" -y '2 ) - y y ' 2 = x * y 3 Solución dy .du . ,(— + u)e t < ^ dy dt dt dux = e , y = ue => — = ~ ^ --------- = — + u dx dx e' dt dt d j y d x2 d dy — (— ) d t_ d t _ dx Ut d 2u du dt 2 + 'í/r = e ' ( d í2 du. + * > 235 424) después de reemplazar en la ecuación dada se tiene en la forma: d u du ,d u .2 du— —+ — = (— ) => — dt dt dt dt d 2u _ dp d t2 P du , , du 2 dp de donde p — + p - p = p - \ entonces: dp du dp p - 1 p = l+ e u+c -d u => ln ¡ p - l | = u + c => p - l = e u+c entonces: du dt = 1+eu+c resolviendo y reemplazando se tiene: (x2+c)}n y = ke x 4y " = ( y - x y ' ) 3 ; y(l) = y' (1) = 1 Solución x 4y " = ( y ~ x y ' f => x 4y ” = - (x y '-y ) i entonces x 4y" (xy'-y)3 (x2)3 y = (xy ~ yo 2 ' 2 * X X = -(^ -)3 => (~ ) '= p(x) => ^ = ^p(x )dx y = x j p d x derivando y ’= J pdx + xp => / ' = p + p + xp' y " - 2p + xp' por lo tanto: , y v 3 _ 2p + xp' 3 _ p ' , 2 p _ 3 — - - ( — ) = > ------------ -----------= - p = > — + — - = - p x 2 X x2 X x 2 236 />'+ — - - x p 3 => - 2 p 'dp’+ - p 2 =2x X X 2 dz - _ i , dz 4sea z = p => — = —2p p => — — z = 2x dx dx x e 4dx c Adx ecuación lineal z - e x [Je r 2xdx + e\ entonces z = x A\ ¡ —~dx + c] => p~2 = x a( - A t + c) => p~2 =cxA ~ x J V x^cx -1 x^cx -1 x x^cx2 -1 ^ c x 2 - ¡ 1 X= 0 ==> c = oo luego para x - 1, c —>oo ==> — =====. -> o dy dx , xy - y = O => — = — => lny = lnx + c, p a rax = l, y = i y x In I ~ ln 1 + c : r> c ~ 0 => Iny = lnx y = x 425) y"+y’2+2y' = 0 , ^ = ln 2 , y j ^ - l Solución dp y'= p -> y = /? — de donde se tiene dy p - — + p 2 +2p = 0 => - - ± p + 2 = 0 => ^ +dy = 0 dy dy p + 2 237 — = k e y - 2 , para v ' = - 1, y = ln2 => - 1 = —- 2 entonces: k = 2 => — = 2(e - 1) = 2(-—— ) ------- dy = - 2 2 - l = A => A = 1 = l+ e _2jr => 7 = ln 11 + e~2jr | 426) y = y a + y * ) Solución dp dp ? y = p => y " = p — de donde p — = /?(1 + P ) dy dy —'— = ¿V => arctg p = y + c => p = tg(y + c) 1 + /7 dy — = tg(^y * => ctg(y + c)dy = dx por lo tanto: dx ln |sec(y + ln|p + 2| = c - y => p + 2 = ke y Solución 238 y - p => y '= p — de donde 3p~— = (l + /?2)3/2 rfy dy entonces: ---- — dp = dy => - = J L = r= y + c (i+ />2) 3' 2 J i V — ^ y = (>' + c)2 => P 2 + 1= ^ 9 =» ^ = J — i + p (y+ c) y ( y + c ) 2 _ -------- — -1 integrando se tiene: (jc + k) + (3/ 4- c) = 9 O'+e) 428) y '( l + 2 1 n y ) = l , y\x=0 = 0, y \ ^ = l Solución y’= p =» y " = p — de donde p — (l + 21n/?) = l dy dy p(l + 21np)dp~dx => J p(\ + 2 ln p)dp = j dv + c y '2 ln y '= y + c , y = 1, y = 0 => 0 = 0 + c => c = 0 y '2 ln y '= y => y - p 2 diferenciando dy = (2p ln p + p)dp => p dx = (2p ln p + p)dp entonces: dx = (2 lnp + l)dp integrando x + k = 2p ln p - p, x = 0, y'= 1 0 + k = 0 - l => k = -l => x = 2p In p - p + 1 429) y"(y'+2)ey' = 1 , y |x=0 y' |x=0 = -1 Solución 239 y ' - p => y"= p — de donde p — (p + 2)ep =l dy ay ( p 2 + 2p)epdp = dy => J c p 2 +2p)epdp = jd y + c => p 2e‘ p ep ‘2 - J y - c , y ' - - l , x = 0, y = e_1 entonces: - e 12 = y e 1 +c => e ¡ = e 1 + c = > c = 0 entonces \x = (p+ \)e‘’ \ y = p 2ep Solución y ( y y " ' - y ' y " ) - 2 y ' ( y y " - y '2 ) + ^ ( y y " - y '2 ) = 4 2 x V (^ " - y 2 ) | y y 2 y y 2 y 2 x 2 (— )’-2 jc2 (—)(—),h-a:(^-),= 1, x 2(/?'+p 2)'-2jc2pp'+xp' = 1 => x 2(p ' '+ 2pp ') -2x2pp'+xp' =1 x 2 p"+xp' = l sea x = e ' es una ecuación de Euler = . á í f „ , dr2 ¿í dt d t2 ~ y + c 240 entonces: p ' - t - v c => p = — + cf+£ 2 y t , — = — + cr + k y y + c ln x + & integrando: J — = J ^ + c \nx+k)dx+cx, ln 2 x y = c2e*(-j~ln2 x + c ln x + A) 431) Hallar el tiempo que necesita un cuerpo para caer a la tierra desde la altura de 400,000 km. (aproximadamente esta es la distancia desde la luna hasta el centro de la tierra), si la altura se mide desde el centro de la tierra y el radio de la misma es de 6,400 km. aproximadamente. Solución r = 400,000 km. R = 6,400 km. t~ Condicion del problema: F = ma de donde: GMm M ------ — - ma => a = — - r r entonces: d 2r dt2 CM „2 d 2r .dr' resolviendo el problema aplicado: - = r'~^~ se tiene que: t= 122 horas. ■I Solución Ni­ n i —#- HN Condición del problema: F = —— = m d 2 x d i1 resolviendo la ecuación se tiene: 2 « / , 2 j j d x kx = — (í + c2) +c{ donde m — — = — Cj d i1 X Un cuerpo de masa m cae desde una altura con la velocidad v. Durante la caida, el cuerpo experimenta una resistencia que es proporcional al cuadrado de la velocidad. Hallar la ley del movimiento del cuerpo. Solución Condicion del problema: d 2xm — y- = mg - k(—~) d i2 di al resolver esta ecuación se tiene: m ea t+ é 'ca -fig x = — ln(— — -----), a = ----- k 2 m t í x 4_ -|v„ mg Hallar una curva que pase por el origen de coordenadas de modo que el área del triángulo formado por la tangente a la curva en uno de sus puntos, ordenada del mismo punto y el eje OX , sea proporcional al área del trapecio mixtiiineo formado por la curva, el eje OX , y la ordenada de este punto. Solución S 2 Condición del problema: k = (— .v) — = ¥— V 2 2 / ; = k¡oydx derivando ÿ 2- y 2"= 2 ky ÿ2 entonces 2y' 2 ÿ 2- y y ”=2ky'2 sea p = ÿ => y"= p — reemplazando dy 2P 2 ~ y p ^ - = 2kp2 => - y p ^ ~ = (2 k -2 ) — ay dy y - \n pcx= \ny2k~2 => ~^ — = y 2k 2 entonces: PC i d x - c xy 2k~2dy => xc = y 2k~l 435) Hallar la curva cuyo radio de curvatura es constante. Solución Sea p el radio de curvatura ( p = ~ ) donde k 243 , / " ( * ) , ( ! + / ' (x)2)3/2 ( i + / ' w 2)3/2 r w tondición del problenlá p = a, a constante VM'V, - (1+ / ',(, / V — = á =* ( l + / ’W 2)3/2= / " W a / " ( * ) sea f ' ( x ) - ^ - = p => /"(*) = -^ ( l +/?2) 3/2 = a — => dx = — ^ ~ r p r entonces: ) t ~----- — — ^ j ........— ■■■■- + — (x + Cj)2 ¿y = . ( x + C l ) d x => y + c2 = a/ o 2 - ( x + Cj ) 2 -Ja2 - ( x - c ¡ ) 2 por lo tanto: ( x + c , ) 2 + ( y + c 2) 2 = .R , /í = a 2 constante. 244 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES PEÍ ORDEN “n”l r : r v 'M*:5 * / f r t H p , ; y - 7 .A S r , ¡DETERMINANTE DE WRONSKY (WRONSKIANO)I Consideremos un sistema finito de n funciones JiC*), y2(*), (*) definidas en el intervalo (a,b), diremos que son linealmente dependientes en el intervalo (a,b), si existen constantes oc ,^cx2,•••,#„ que no son todos iguales a cero tales que para lodos los valores de x de este intervalo se cumple la identidad. a 1 ?! (*) + g2 y2 (*) + - + a n y n (*) = 0 ‘.i en esta igualdad se tiene que: a l = a 2 =... = a n = 0 diremos que las funciones: y i t o , y 2M ^ y n(x) son lineaímente independiente en el intervalo (a,b). Averiguar si las funciones dadas son linealmente independiente en su campo de definición. 436) 4,x > Solución 4 a + Px = 0 derivando se tiene: P = 0 => a = 0 como a = P = 0 => 4,x son lineal mente independiente. 437) 1, 8, x, x 2 Solución a x + 2 a 2 + a 3x + a 4x 2 = 0 derivando a 3 + 2 a 4x = 0 derivando a A =0 => a 5 =0 => a l = -2 a 1 son linealmente independíente. Solución ax + 2/ix + yx2 = 0 derivando a + 2p + 2yx = 0 derivando y = 0 => a = -2P por lo tanto no es linealmente independiente. 439) ex , xex , x 2ex Solución aex +xex +yx2ex = 0 => a + /2r + )ct2 = 0 derivando P + 2yx = 0 => y = 0 = > P = 0 => a = 0 por lo tanto: a = p = y = o entonces las funciones son linealmente independiente. 440) senx, cosx, cos2x Solución a x senx+ a 2 eosx + a 3 eos2x = 0 derivando a x c o s x - a 2 s e n x - 2 a 3 sen2x = 0 => a x - a 2 t g x - 4 a 3 senx = 0 derivando - a 2 sec 2 x - 4a 3 eos x = 0 de donde - a 2 - 4 a 3 eos3 x = 0 derivando 12a3 eos2 xsenx = 0 entonces: a 3 = 0 => a 2 = 0 => a! = 0 => CL\ = a 2 = a 3 = 0 por lo tanto las funciones son linealmente independiente. 246 441) l,senx, cos2x Solución a x + a 2 s e n x + a 3 cos2x = 0 derivando a 2 c o s x -2 a 3 sen2x = 0 a a 2 - 4 a 3 senx = 0 derivando -4 a 3 cosx = 0 => a 3 = 0 a 2 = 0 => a j = 0 => a x = a 2 = a 3 =0 por lo tanto las funciones son linealmente independiente. « 442) 5, cos2 x , sen2 x * ' Solución 5«! + a 2 eos2 x + a 3 sen2 x = 0 derivando - 2 a 2 sen xeosx + 2a 3 sen xeos x = 0 entonces a 2 = a 3 entonces 5«! * a 3 entonces: a 3 = - 5 a } por lo tanto son linealmente dependiente. 443) cosx, cos(x+ l), cos(x -2 ) Solución acosx + Pcos(x + 1) + ycos(x - 2) = 0 derivando -asenx - Psen(x + 1) - ysen(x — 2) = 0 por lo menos uno de los a,p,y son diferentes de cero por lo tanto son linealmente dependiente. 444) 1, sen2x, (sen x -co sx )2 Solución a + /?sen2x + /( s e n x -c o s x )2 = 0 => a + Psen2x + y (l-sen 2 x ) = 0 247 derivando 2|fcos2x - 2ycos2x = 0 p = y por lo tanto son linealmente dependiente 445) x, a 108"* * Solución ax+ /fa logax = 0 derivando se obtiene que a = V|/(P) por lo tanto no son linealmente independiente. 446) logflx , loga * 2> x > 0 Solución a lo g a x + P loga x 2 = 0 => a loga x +2/? loga x = 0 = > a = -2p las funciones no son linealmente independiente. 447) 1, arcsen x, árceos x Solución a + P arcsen x + y árceos x = 0 derivando: i h ~ i h =0 * P=Y las funciones no son linealmente independiente 448) 5, arctg x, arcetg x Solución 5a + p arctg x + y arcetg x = 0 derivando: P Y l + x 2 l + x 2 = 0 => p = y las funciones no son linealmente independiente 248 X X449) 2ti, arctg— , arctg— 2n 2n Boioniñ n as! oup KornegnoquZ Solución 13x x2na + p arctg— + yarcc tg — = 0 derivando 2n 2n 1 1 p — 2 * ----r _ 2 | ---- o =. p-r i + a + p ¡ * e a,2/2dt = 0 n*2'1derivando fie = 0 = > p = 0 = > a = 0 las funciones son linealmente independiente fi 451) x, x \ ■—r-d i , x > 0 J*0 t Solución f1 e* f1 e 1 a x + p x \ - j d t = 0 => a + fi I — dí= 0 derivando Jxo t XQ t se tiene P = 0 => a = 0 las funciones son linealmente independiente 249 Supongamos que las n funciones y\(x ),y2(x).....y„(x) admiten derivadas hasta el orden (n— 1) El determinante: M .y i ,y i ,~ ,y n ) ss se llama determinante de Wronsky (o Wronskisniano), de estas funciones se observa que el Wronskiano es una función de x definida en cierto intervalo, para el caso de tres fondones, el Wronskiano tiene la forma: y i W y 2(x) y n(x) y !(*) y[(x) y l w y {r l)(x) w iy i ,y 2. y i ) = yi(x) y 2(x) y 3{x) y[(x) y\(x) y \ (*) y\(x) .y 'w En los siguientes ejercicios se pide hallar el Wranskiano de los sistema de funciones indicadas. 452) 1, x. W = Solución = 1 , 0 = 1 => w = 1 453) x, - X Solución 454) l , 2 , x 2 Solución i 2 x 2 k w = 0 0 2x \ 0 0 2 = 0 w = o 455) - x ^„-Xe , xe Solución H1>< H1 - e ~2 1 X H11 *111 — C “R "1 7 = e 2jr( l - x + x) --2xW ~e~ '"■i 456) e*, 2 e \ e~x Solución e x 2ex e x 1 1 1 w = e x 2ex - e x = 2ex 1 1 -1 e x 2ex e~x i 1 1 1 = 0 entonces: W = 0 457) 2, cosx, cos2x 2 cosx cos2jc 0 -se n * - 2 sen 2x 0 L cosx - 4 eos2x Solución = 2(4 sen x eos 2x - 2 eos x sen 2x) = 4(2senx.eos2 jc -2 se n 3 jt-4 sen x .co s2 x) W = ~8sen(sen2 x + eos2 x) = -8 sen x 251 71, 458) sen x, sen(x + —) Solución W = sen* sen(x + -—) 4 71, eos* cos(x+—) 4 K / Ü \= sen x cos(x + ) - eos x sen(x+ —) 2 2 W = - X x 459) aresen—, aresen — 7t 71 Solución W: X X arccos— aresen — 71 71 1 1 i 71 X xW = ....... - ....... (arccos — h aresen —) entonces V *2 - * 2 * * w = - 71 -yj7T2 - X 2 , |x| < 71 460) ti, aresen x, arccos x Solución 252 W = ti aresen x arccos x 1 1 4 i - 7 2 2x W = — 7DC J T - x 2 - 2 x ( l - x 2)3' 2 ( l - x 2)3/2 2/Tt (1-X 2) 2 í l - x 2) 2 461) 4, sen2 x,cos2x = 0 por io tanto; 4 sen2 A' w = 0 sen 2x 0 2 eos 2* Solución entonces: W = -4 sen2x.cos2x + 4 sen2x.cos2x = 0 462) x, inx W = x Inx i I x Solución = 1 - ln x => W = 1 — 1 n x '163) e x W = Mx Solución A i x J 'x e V x e U x e \ ! x ■ — + — = _ _ ( * x X ¿ X W = 0 w = 0 253 464) ex senx , ex cosx W = Solución e' cosx e senx + e cosx e c o s x -e senx W=e~ sen x eos x sen x + eos x eos x - enx entonces W = e2v(sen x co sx -sen 2 x -s e n x c o s x -c o s 2 x) = - e 2x entonces: W = - e I x 465) e 3x sen 2 x , e 3x cos 2x Solución W = e 3x sen 2x e 3x cos 2x -3e~3x sen2x + 2e“3x cos2x -3 e 3x co s2 x -2 e ~3A sen2x W = e - 6 x sen 2x cos 2x - 3 sen 2x + 2 cos 2x - 3 cos 2x - 2 sen 2x W - e 6x[-3 sen 2 x co s2 x -2 se n 2 2x + 3 sen 2 x co s2 x -2 co s2 2x] w = e 6x (-2(sen2 2x + cos2 2x)) = - 2 e '6x 466) cosx, senx Solución W cos x sen x - sen x cos x = cos2 x + sen2 x = 1 entonces W = 1 254 467) sen(~ - x ) , cos(- - x) 4 4 Solución W = sen (---x ) cos(—-x ) 4 4 ~ cos(~— - x) sen(— - x) 4 4 ^ - sen 2 (—~ x) + cos 2 (— - x) = 1 por lo tanto: W =1 4 4 TEOREMA.- Si el sistema de funciones y , (x ) ,y2(x),...,yn(x) es linealmente dependiente en el segmento [a,b] su Wronskiano es idénticamente nulo en [a,b]. Asi, pues, el sistema de función sen x, sen(x + —), sen(x- —) es 8 8 emente aependiente en el intervalo y como fácilmente se comprueba, su Wronskiano es igual a cero. I.ste teorema solamente indica la condición necesaria para la dependencia lineal de un sistema de funciones. El reciproco no se cumple, puesto, que el Wronskiano, puede ser nulo, sin embargo el sistema de funciones son linealmente independiente. I n los siguientes problemas se pide dem ostrar que las funciones dadas son Ilnealmente independiente y su Wronskiano es idénticamente cero, construir las gráficas de estas funciones. x 2 si - l < x ¿ 0 [o si - l < x < 0 y i ( x ) ~ r J‘ , y 2(x )= . 2 [0 si 0 < x < 1 ‘ \ x 2 si 0< x < 1 Solución 255 Y t 469) Para demostrar que: qfx+P/2 = 0 => a = (3 = 0 si x e[-l,0] aafx(x)+ Pf2(x) = 0 => ax2 +P>0 - 0 a = 0 si x e [0,1 ] => afx (x) + Pf2 (x) = 0 entonces: a.O + P jc2 - 0 r=> p = 0 luego a = P = 0 J\ y f 2 son linealmente independiente. Consideremos el wronskiano W en [-1,0] y en [0,1] W- X2 oj 2x o|. = 0 , W = 0 x- 0 2x = 0 periotanto: W[fx, f 2] ~ 0 e n [-1,1] 0 s i 2 < x < 4 >'¡ (*) = ■{ -> ’ y 2Í*) =l (x-I>2 si 0 < x á 2 ( x - 2 Y si 0 < x < 2 0 si 2 < x < 4 Solución 256 y i 2 4 Por demostrar que: + => a = p = 0 => si x g [0,2] a.0 + p ( x - 2 )2 = 0 P = 0 => x g a = 0 por lo tanto a = p = 0 las funciones son linealmente independiente. Consideremos el wronskiano en [0,2] y en [V SI VIXVo i* si Solución Por demostrar que: ay1 (x) + Py2 (x) = 0 => a = p = 0 si x g [-2,0] entonces 257 aje3 +P.0 = 0 =*■ a = O si x e < 0,1] entonces a . 0 + /3 jc 2 = 0 => p = 0 por lo tanto a = p = 0 entonces y \ ( x ) , y 2(x) son linealmente independiente. Consideremos el wronskiano en [-2,0] y en ot = p = 0 si x e[-l,0> entonces: aje2 + P ( - x 2) = 0 => a —p = 0 si x e [0,1] entonces: a a 2 4- Pjc1 = 0 => a + p = 0 Luego: a - p = 0 => a = p = 0 a + fi =0) por lo tanto las fiinciones y x (x) , y 2 (x) son linealmente independiente. Consideremos el wronskiano en los intervalos [-1,0] y en [0,1] W = W = X2 - X 2 2x - 2 x = -2 x 3 + 2x} = 0 => W = 0 2 2 X X = 2x} - 2 x 3 = 0 => W = 0 2x 2x por lo tanto: W\yx, y 2] = 0 259 Ie TITACTONES LINEALES HOMOGENEAS PEI [COEFICIENTES CONSTANTES.] Es la ecuación diferencial de la forma: 4 g0y (/l)+ q [y (w 1}+... + flwy = oj . .. (1) donde a0, ax an , son constantes reales. Consideremos la ecuación característica a0An + axhn 1 + ... + an - 0 . . . (2) supongamos que Alt A2,...,An son las raíces de la ecuación (2), en las cuales se presentan los siguientes casos: a) Si Ai, A.2 K son reales distintas, el sistema fundamental de soluciones es, e \ x ' e^ x ^e -x„x y ja soiuci5n general es: y = cxeKx + c2e ^ x +...+cneX'x b) Si Aj,A2,...,An son reales y algunos de ellos son de multiplicidad por ejemplo A, = A2 = ... = At = A , de modo X es una raíz k = múltiplo de (2), mientras que m - k reales distintas, el sistema fundamental de soluciones es: e**, x e * * x k-xe**, e^k*, x eKx y la solución general es: y = cle*x + c2xe*x +... + cneKx c) Si alguna de , A2 A„ son raíces imaginarias supongamos que: Aj =C£ + //3,A2 = ex — iß ,A3 = A + íA,A4 - y - i S 260 y las demás son reales. Entonces el sistema fundamental de soluciones es: eax eos /&,£** sen cosSx^e** sen 8xyeS*x ,...,eXfíX y la solución general es: y = cleax cosßx + c2eca sen ßx + c ^ eosáx + c4e& senöx + c5eX*x +... + cneX”x d) Si A j= a + i/3 es una raíz k-múltiplo de la ecuación (2) (k < entonces A2 = a -i(5 también será una raíz k-múltiplo y el sistema fundamental de soluciones es: e™ eos sen fk^xe0“ eos fk.xe™ sen fixJ.. .,xn~leax eos )3r, x^ 'e™ sen ,.. .,eXnX y la solución general es: y = cleax eosPx+ c2e Solución A(A+l)(A + 2) = 0 => A(A2 +3A + 2) = 0 Aj + 3A2 +2A = 0 =» y"'+2y"+2/=° " 6> . < A2+1)2=0 Solución • (A2 +1)2 = 0 => A4 +2A2 + 1 = 0 => y ^ y ’+ y - o 477) A3 = 0 Solución " r ” “ S “sus ecuaciones características y escnoir 478) A) = 1 , A2 =2 Solución (X -l)(X -2> = 0 =» A! - 3 i + 2 - 0 => ¡ r - W * y = Clex + c2ex (solución general) 479) A, = 1 , A2 = l Solución At = 1 , => W '1 ) ! = ° * *r - W + 1 ‘ ° V. . 2v.+ 1 . 0 por lo tanto: y « , « ' « , » ' (solución gonertf entonces: y -¿y + i - u 475) \(X + l)(X + 2) = 0 262 480) Aj = 3 - 2 / , A2 = 3+2/ Solución Aj = 3 - 2 / , A2 = 3 + 2 / => (A -3 )2 = -4 A2 - 6A + 9 + 4 = 0 => y '-6y'+13_y = 0 entonces y = c,e3* eos2x + c2eix sen 2x (solución general) 481) Aj =1, A2 =1, A3 =1 Solución Ai =1, A2 =1, A3 =1 => (A - l)3 =0 A3 -3A 2 +3A -1 = 0 => y - 3 y " + 3 y - y = 0 y = c¡ex + c2xex + c3x 2ex (solución general) Formar las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas si se dan sus sistemas fundamentales de soluciones. 482) e~x , ex Solución A = - 1, A = 1 => (A + 1)(A-1) = 0 => A2 -1 = 0 => y " - y = 0 483) 1, Solución A = o , X = i => A2 - A = o => y - y = o 484) e~2x, xe~2x Solución A = -2, A = -2 => (A + 2)2 =0 => A2 +4A + 4 = 0 entonces: y ”+4y’+4y = 0 . 263 485) sen3x , eos 3x Solución A, = 3 / , A2 = -3 i => A2 = 0 =>y = 0 486) l ,x Solución X = 0, X = 0 => A2 =0 => / '= 0 487) e * , e 2jt / e 3* Solución Aj =1 , A2 = 2 , A3 = 3 => (X - 1)(X - 2)(X - 3) = 0 A3 - 6A2 + 11A - 6 = 0 => y " ' -6 y ”+ lly '+ lly '-6y = 0 488) e x , x ex , x 2e x Solución Aj =1 , A2 = 1 , A3 = 1 => (A - l)3 =0 A3 -3A 2 +3A -1 = 0 => y" '-3y"+3y'-y = 0 489) e x , x ex , e 2x Solución Aj = 1 , A2 = 1 , A3 = 2 => (A - l)2(A -2 ) = 0 A3 -4 A 2 + 5A -2 = 0 => y '"-4y"+5y'-2y = 0 490) l , \ , e x Solución At = 0 , A2 = 0 , A3 = 1 => A2( A - 1) = 0 A3 - A2 = 0 => y'" -y"= 0 264 491) 1, senx, cosx Solución ¿i -O , A2 =i , A3 ± - i => A(A2 +1) = 0 => A3 +A = 0 por lo tanto: / " + / = 0 492) e 2x, senx, cosx Solución A2 = 2 , A2 = / , A3 = - i => (A-2)(A2 +1) = 0 entonces A -2 A + A - 2 = 0 => y'"-2y"+y'-2y = 0 493) 1, s e a x , e~x cosx Solución — ® » A2 = —1+/ , A3 = — 1—i => A(A2 +2A + 2) = 0 entonces A3 +2A2 +2A = 0 => / ”+ 2 / '+ 2 /= 0 Integrar las siguientes ecuaciones 494) y = o Solución A2 -1 = 0 => X = ± 1 => _y = CleJr+C2g-Jr 495) 3y"-2y '-Sy = 0 Solución 3A — 2A—8 = 0 (3A. + 4)(X - 2) = 0 entonces: 496) / ”-3 / '+ 3 /+ j / = O, y(0) = 1, / ( 0) = 2 , y "(O) = 3 Solución A3 -3A 2 + 3A-1 = 0 => (A — 1)3 = 0 => Á, = 1 de multiplicidad 3 y = c¡e* +c2xex +c3x 2ex => l = q => y = ex +c2xex +c3x 2ex y '= ex +c2ex +2c3xex +c3x 2ex => 2 = 1+c2 => c2 =1 y '=2ex + xex + 2c3xex + c3x 2ex entonces: y"= 2ex +ex +xex +2 c3ex +2c3xex +2c3xex +c}x 2e x y ”=3ex +xex +2c3ex +4c3xex +c3x 2ex => 3 = 3 + 2c 3 c3 = 0 => por lo tanto: y = ex +xex 497) /'+ 2 /+ j> = 0 Solución A2 +2A + 1 = 0 => (A + l )2 =0 => A. = -1 de multiplicidad la solución general y = cx ~x + c2 498) y ,-4 y + 3y = 0 , y(0) = 6, y(0) = 10 Solución A2 -4 A + 3 = 0 =s> (X -l)(A -3 ) => Aj = I , A2 =3 la solución general es y = c¡ex + c2e3x parax = 0, y = 6 => 6 = c ,+ c 2 ... (1) 266 e - c ¡ e x +c 2e3x => y '=c¡ex +3c2e 3x para x = 0, y'= 10 = > 1 0 = c !+ 3 c 2 ...(2 ) de (1) y (2) se tiene: jc ¡ + c 2 - 6 [c , + 3 c 2 = 1 0 1 Luego: y = 4ex +2e3x 499) y"'+6y"+ny'+6y = 0 Solución A3 + 6A2 +11A + 6 = 0 1 6 11 6 -1 -5 -6 -1 = Aj 1 5 6 0 A2 + 5A + 6 = 0 => (A + 2)(A + 3) = 0 => A2 = - 2 , A3 = -3 Luego A, = -1 , A2 = - 2 , A3 = -3 La solución general es: y = c, e “x + c2 e ~2x + c3 e~3x 500) y ”-2 y '-2 y = 0 Solución A2 ~ 2 A -2 = 0 =» (A—1)2 =3 => A, =1 + ^ 3 , A2 = l - V 3 La solución general es: y = cx e(1+^ * + c 2e (1- ^ )x 501) y * +2yv + y iv = 0 Solución A + 2A + A = 0 => A(A +1)2 = 0 de donde: 267 X = O de multiplicidad 4 X = -1 de multiplicidad 2 la solución general es: = Cj + c2x + c3x 2 + c4x 3 + c5e * + c 6xe 502) 4y"-%y'+5y = 0 Solución 4A2 - 8A + 5 = 0 => A = l ± ^ / la solución general es: * x x x y = cíe eos — + c ?e sen — y 1 2 2 503) y - 8 j y = 0 Solución A3 - 8 = 0 => (A-2)(A2 + 2A + 4) = 0 entonces: Aj = 2 , (A *f 1) 2 — —3 A2 — — 1 + '\/3/ ^ A3 — —1 —->/3i la solución general es: >> = cx e 2x + c2 e x eos -s/3jc + c3e x sen -\¡3x 504) y iv + 4 / M+ 10/'+12/+5.y = 0 Solución A4 + 4A3 + 10A2 + 12A + 5 = 0 => (A + 1)2(A2 +2A + 5) = 0 Aj = -1 de multiplicidad 2. A2 + 2 A + 5 = 0 => A2 = -1 + 2/ , A3 = - 1 - 2 / la solución general es: y — cxe~x + c2xe x + c$e x eos 2x + cAe x sen 2x 268 505) y '+2^ = 0 , y(0) = 0, / ( 0 ) = 1 Solución A2 - 2 A4-2 = 0 => (A—l)2 = —1 Aj = 1 + i ; A2 = l - i la solución general es: 7 eos x + c2e x sen x para x = 0 , y = 0 => 0 = c¿+ 0 = > cx = 0 y = e x (c \c0sx + c2 senx) => / = £ * c o s x íq + c2) + ex senx(c2 - q ) para x = 0, >’’=1 => l = q + c 2 +0 => c2 =1 por lo tanto: y = e x senx 506) y' '-2y'+3y = 0 , y(0) = 1, / ( 0 ) = 3 Solución A“ ~2A + 3 = 0 => (A - l )2 = -4 => Aj = 1 + 2/ ^ A2 = 1 -2 / la solución general es: y = cxex eos 2x + c2e* sen 2x para x = 0, y - 1 => 1 = ^ + 0 => q =1 y = e x (cj eos 2x + c2 sen 2x) entonces se tiene: y % = 2 x eos x2x(c2 + 2c2) + e x sen x(c2 - 2cx) para x = 0, / = 3 => 3 = cx + 2c2 => c2 = 1 por lo tanto: .y = e* (eos2x + sen 2x) 269 507) y ” '+2 y ' 1 '+4y'1 '-2y '-5y = 0 Solución A4 + 2A3 + 4 A2 - 2A - 5 = 0 => (A+1)(A-1)(A2 +2A + 5) = 0 Aj = —1, A2 — 1, A3 = — 1 + 2¿, A 4 = — 1 ~2/ la solución general es: y = c¡e~x +c2ex +c3e x cos2x + c 4e~x sen 2x 508) y v + 4 y iv + 5 / ' ' -6y '-4y = 0 Solución A5 + 4A4 + 5A3 - 6A - 4 = 0 => (A2 -1)(A'+ 2)(A2 + 2A + 2) = 0 dedonde: Aj = - 1 , A2 =1, A3 = - 2 , A4 = - l + i , A5 = . - l - i la solución general es: y = + c2e* + c3e“2* + c4e~x cosx+ C5e~* sen* 509) / " + 2 y " - y ' - 2 y = o Solución A3 + 2A2 - A - 2 = 0 A2 (A + 2) - (A + 2) = 0 =¡> (A2 -l)(A + 2) = 0 Aj = — 1, A2 “ 1, A3 = -2 la solución general es: y = q e '1 + c2e x + c3e~lx 510) y ”- 2y + 2/ = o Solución A3 - 2A2 +2A = 0 => A(A2 -2A + 2) = 0 de donde: Aj — 0 y A2 = 1 + 1, A3 — 1 i la solución general es: y = q + c2e* eosx + c3ex sen x 270 511) y ' " - y = 0 Solución A -1 = 0 (A2 + 1)(A" -1) = 0 de donde: Ai = 1, A2 ~ — 1, A3 =i*, A4 = —j la solución general es: y - q e * +c2e~x + c3 cosx + c4 sen* 512) Solución Ai0 = 0 => A, = 0 de multiplicidad 10. La solución general es: y = c¡ + c2x + c 3x 2 +c4x 3 + c5x 4 + c6* 5 +c7x 6 +c%x 1 + c9;t8 + c10x 9 10 y = Y s c¡x i~l i=l 513) y ' ”-3 y '-2 y =*0 Solución A3 -3A --2 = 0 I 0 -3 2 1 1 2 1 1 1 -2 0 A3 - 3 A - 2 = (A-1)(A + 2)(A-1) => A3 -3 A - 2 = (A - l)2(A + 2) de donde A = 1 de multiplicidad 2 y A, = -2 la solución general es: y = cxe x + c2xex +c3e~2x 514) 2 / " - 3 / ' + / = O 2A2 -3A 2 + A = 0 => A(2A2 -3A + 1) = 0 entonces: Solución X(2X - 1)(A - 1) = 0 => A, = 0 , A2 = - ~ , A3 =1 —jt/2 xla solución general es: y = q + c2£ + c3^ ECUACIONES LINEALES NO HOMOGENEAS (O COMPLETAS) DE C O E F Í l i l S f i s CONSTANTES.- Son las ecuaciones de la forma: d ny a^dn ly Donde a0, ax,..., an son constantes reales. La solución general de ia ecuación no homogénea (1) (llamado también completa es igual a la suma de la solución general de la solución homogénea correspondiente y de cualquier solución particular de la ecuación no homogénea. La solución general de la ecuación homogénea correspondiente se halla según las reglas expuestas anteriormente. Por lo tanto el problema de la integración de ia ecuación (1) se reduce al problema de la búsqueda de una solución particular y p de la ecuación no homogénea. En el caso general la integración de la ecuación (!) puede realizarse por el método de la variación de las constantes arbitrarias. No obstante cuando los segundos miembros tienen una forma especial la solución particular puede hallarse con mayor facilidad por el método de selección. 272 Para que sea posible emplear el método de selección, el segundo miembro f(x) de la ecuación (1) tiene que tener en el caso general la forma: f ( x ) = e°*íPn (x) eos f k + Q n (x) sen fk] (2) La solución particular es de la forma: y p ~ x se0*[Pk (x)eos f3x + Qk (x) sen fix] Donde k = max {m,n} y s es el orden de multiplicidad de la raíz. Resumiremos en un cuadro las formas de soluciones particulares para las distintas formas de segundos miembros. N° de Orden Segundo Miembro de la ecuación diferencial. Raíces de la ecuacián característica. Forma de la Soludon particular, donde k = max {m, n} I W 1) El # 0 no es raíz de la ecuación característica. W 2) El # 0 es raíz de la ecuación característica. x sPmM 11 eaxPm(x) (a es real) 1) El # a no es raíz de la ecuación característica. ea Pmíx) 2) El # a es raíz de la ecuación característica. x sem Pm{x) III Pn(x) eos ¡3x + +Qm (x)s enftx 1) El # s ± ip no raíces de la ecuación característica. l \ (-V) eos (ix + +Qk (x) sen [ix 2) El # s ± i (3 no raíces de la ecuación característica. x s (Pk (x) eos [be + +Qm (x) sen (3x) IV 1 eax(Pn(x)cosíix + +Qm (x) sen ¡¡x) 1) El #s a ± ip no son raíces de la ecuación característica. e,a (Pk (x) eos / i r + +Qk (x ) sen fa) 2) El #s son raíces de la ecuación característica. x seca(Pk Determinar la forma de ia solución particular de la ecuación diferencial lineal no homogénea, si se conocen las raíces de su ecuación característica y el segundo miembro f(x). 515) A¡ = 1, A2 = 2 , f (x )= -a x2 +bx+c Solución La solución particular es: y p - A x2 + Bx+C 516) Aj = 0 , A2 = l , f ( x ) = ax¿ + bx + c Solución Como el cero es raíz de la ecuación característica entonces la solución particular es: y p = x(Ax2 + Bx + C) 517) Aj = 0 , A2 = 0 , f ( x ) = ax2 +bx+c Solución El cero es raíz de la ecuación característica, entonces la solución particular es: yp = x 2(Ax2+Bx+C) 518) A j = l , A2 = 2 , f ( x ) = e~x (ax+b) Solución a = “1 no es raíz => y p - (Ax+ B)e~x 519) Aj = -1 , A2 = 1, f ( x ) = e~x (ax + b) Solución a = -1 es raíz de la ecuación característica entonces y p = xe (Ax + B) 520) Aj = - 1 , A2 = -1 , f ( x ) = e X (ax + h) 274 a = -1 es raíz de la ecuación característica entonces y p = x 521) Aj = 0 , A2 = 1, f ( x ) - sen x + eos x Solución Como ± i no es raíz entonces: y p =A sen x + B eos x 522) Aj = - ; , A2 = i , f ( x ) - senx + eosx Solución Como ± i es raíz de la ecuación característica entonces: y p ~ x(A sen x + B eos x) 523) Aj = -2 /, A2 = 2/, f ( x ) = A sen 2x + B eos 2x Solución Como ± 2i es raíces de la ecuación característica y p =x(Al sen2x + B1 cos2jií) 524) Aj - - k i , h2 = k i9 f ( x ) - A sen Joc + B eos kx Solución Como ± ki es raíz de la ecuación característica. y p =x(A{ sen kx + B¡ eos kx) 525) A j = l , A2 = l , f (x ) ^ e~x (A sen x + B eos x) Solución Solución 2e ' x (Ax+B) 275 Como -1 ± i no es raíz de la ecuación, entonces: y = e~x (Ax sen x + Bx eos x) 526) A, = - 1 - / , A2 = - 1 + i , f ( x ) = e*(Ascnx + B cosx) Solución Como -1 ± i es raíz de la ecuación, entonces: y p = xe~x (Ax senx + BX cosx) 527) A, = A2 = A3 =1, f ( x ) = ax2 +bx + c Solución Como cero no es raíz de la ecuación y p = A x2 + Bx + C 528) A , = 0 , A2 = l , Aj = 2, f ( x ) = ax2 + bx + c Solución El cero es raíz de la ecuación característica. y p = x(A x2 +Bx + C) 529) A, =A 2 = 0 , A3 = 1, f ( x ) = ax2 +bx+c Solución El cero es raíz de multiplicidad 2 de la ecuación y p = x 2 (Ax2 +Bx + C) 530) A, =A2 =A3 = 0 , f ( x ) = ax2 +bx+c Solución Como el cero es raíz de multiplicidad 3 entonces, y p = x 3 (Ax 2 + Bx + C) 276 531) A2 = - / , /(*)■— senx+ eosx Solución Como ± i es raíz de la ecuación característica. ^ = 532) Ax = - 1 , A2 = U A3 = 2 , f ( x ) = ae~x +bex Solución Como -1 es raíz y 1 también es raíz entonces: y p = + Bxex = x(Ae~x + 533) A! = A2 = 1, A 3 = 2 , / ( x ) = 0 senx + ¿cosx Solución Como ± i no es raíz de la ecuación característica, y p 534) Aj = 0 , A2 = 1, f ( x ) = (ax2 +bx+c)ekx, k * 0 , k * Solución Como k no es raíz de la ecuación característica . y p ■ 535) Aj = 3 - 2 / , A2 = 3 + 2 i , / ( x ) = -e*(sen2x + cos2x) Solución 3 ± 2i es raíz de la ecuación característica . y p = xe3x x(Asenx + Bcosx) x ) 1 (Ax2 + Bx+C )ekx (A sen 2x+ B eos 2x) 277 Determinar la forma de la solución particular para las siguientes ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas. 536) / '+ 3 / = 3 Solución A2 +3A = 0 => Aj =0 , A2 = -3 ei cero es raíz entonces: y p =Ax 537) / ’- 7 / = ( x - l ) 2 Solución A2 - 7A = 0 Aj = 0 , A2 = 7 como el cero es raíz de la ecuación características entonces: y p = x(Ax 2 + Bx + C) 538) y"+3y = e x Solución A2 + 3A = 0 => Aj = 0 , A2 = -3 como a = I no es raíz entonces: y p = A ex 539) y ”+ly'=e~lx Solución A2 + 7A = 0 => Aj = 0 , A2 = -7 como a = -7 es raíz entonces: y p =Axe-7* 540) y '- iy '+ 16 v = (1 — x)eAx Solución A2 - 8A +16 = 0 => (A - 4) 2 = 0 X = 4 es raíz de multiplicidad 2, entonces: = x 2 (Ax + B)e~Ax es decir y p =(Ax* + Bx2)e~Ax 278 541) y"-\0y '+25y = e5x Solución A"' - 10A + 25 = 0 => (A - 5 ) 2 = 0 => X = 5 es raíz de multiplicidad 2, entonces: y p = x 2Ae5x es decir y p = A x2e5x 3 542) 4 / ’- 4 / = j t e 4* Solución 4A2 -3A = 0 => Aj = 0 , A2 = — como a = — es raíz entonces: 4 4 -jr 2 y p =(Ax + B)xe4 =(A x2 +Bx)e 4 543) y ,- y - 2 y = ex + e '2x Solución A2 - A - 2 = 0 => (A. - 2)(X + 1) = 0 => X = -1,2 => y p =Ae~x + B elx 544) y " - 4 y = x e Ax Solución r 2 - 4 r = 0 =» = 0 , rj = 4 como a = 4 es raíz entonces: y p =x(Ax + B)eAx => y p = (Ax2 +Bx)eAx 545) y M+25y = cos5jc Solución 2 A +25 = 0 => A, = ± 5i como ± ip es raíz de la ecuación entonces: y p = x( A eos 5jc + B sen 5jc) 279 546) y' '+y = sen x - eos x Solución A2 +1 = 0 => X = ± i como ± i|3 es raíz, entonces: y p = x(i4senx + ¿?cosx) 547) y"+l6y = sen(4x+a) Solución A2 +16 = 0 => X = ± 4i es raiz de la ecuación. y p = x(Aszn4x + B eos 4x) 548) y"+4y'+iy = e 2x (sen2x+ cos2x) Solución A2 +4A + 8 = 0 => X. = -2 ± 2i como a ± ip no es raiz de la ecuación característica entonces: y „ = e 2' (Asen 2x+ B eos 2x) 549) y ’-4y'+&y = e 2x(sen2x + cos2x) Solución A2 -4A + 8 = 0 => X = 2 ± 2i como a ± ip es raíz de la ecuación característica entonces: y „ = xe2x (A sen 2x + B eos 2x) 550) y ’ ’+6y'+13y = e 3x eos 2x Solución A2 +6A + 13 = 0 => X = -3 ± 2i como a ± ip es raíz de la ecuación característica, entonces: y p = xe 3 v (/í sen 2x+ B eos 2x) 280 551) / ’+A2>' = *sen(ADc+a) 12 . .2 Solución A + k 2 - 0 => A . - ± k i como ± ip es raíz de la ecuación característica entonces: sen &r + 5 costo) 552) y"+ k2y = k Solución A2 2 = 0 = > A = ± k i de donde el cero no es raíz de la ecuación entonces: y p - A 553) y " + 4 y = sen x.sen 2x Solución senx.sen2x = senx + sen3x => A2 +4 = 0 =>A = ±2i luego ± i p n o e s raíz de la ecuación característica entonces: y p = A¡ sen * + 5, cosx + /í2 sen3x + B2 cos3x 554) y' '~4y '= 2 eos2 4x Solución / ' - 4 / = 2 c o s 2 4x = l + cos8x => A2 - 4 A = 0 entonces: A, = 0 , A2 = 4 entonces: y p = Ax + B sen 8 x + C eos 8.r 555) y"'+y = x Solución A +1 = 0 => A, = - 1 , A2 = - + £ , , A3 = i - ^ / , e n t o n c e s : y p = x(Ax + B) 281 Solución A3 + 6A2 + 1 1A + 6 = 0 => A1 = - l , A2 = - 2 , A3 = - 3 entonces: y p = A 557) / " + / = 2 Solución A3 +A = 0 => A , = 0 , A2 = í\ A3 = - i entonces: y p =/ü: 558) / " + / ' = 3 Solución A3 + A2 = 0 => A , = 0 de multiplicidad 2, A2 = -1 entonces: yp - x 2A => y p = A x 2 559) y iv- y = 1 Solución A4 — 1 = 0 => Aj = , A2 = -1» A3 = i , A4 = —i entonces: y p - A 560) y iv- y '= 2 536) y '”+6y"+lly'+6y = l Solución A4 - A = 0 => A[ = 0 , X.= 1, A2 +A + 1 = 0 entonces: y p = Ax 561) y iv- y " = 2 Solución A4 - A 2 = 0 => A, = 0 , A2 = ±1 de multiplicidad 2 entonces: y p = Ax2 282 562) / ” - / " = 4 Solución A A —0 => A - 0 , de multiplicidad 3, A = 1 entonces: = A x3 563) y v + 4 / ’ '+ 4 / ' = 1 Solución A4 + 4A3 + 4A2 = 0 => A = 0 de multiplicidad 2, X = -2 de multiplicidad 2 entonces: = /íx2 . 564) y iv+ 2y”’+ y"= ex Solucion A4 + 2A3 + A2 = 0 =>• A = 0 de multiplicidad >. = -1 de multiplicidad 2 entonces: y^ = Ae4x 565) y v - f 2 y ,,+ y ,= ^ Solucion A4 + 2A3 + A2 = 0 => A = 0 de multiplicidad 2, X = -1 de multiplicidad 2 entonces: y p = 566) / v + 2 / " + / ’=*£>-* Solución A4 + 2A3 + A2 = 0 => A = 0 de multiplicidad 2, X = -1 de multiplicidad 2 entonces: y p = x 2(Ax+B)e~x 283 567) y lv + 4 y '+4 y = sen 2x Solución A4 + 4A2 +4 = 0 => (A2 + 2)2 = 0 entonces A = ±^2 i de multiplicidad 2 entonces: y p =(^ísen2x + ^cos2x) 568) y lv + 4 / '+4y = cosx Solución A4 + 4A2 +4 = 0 => A = ±V2i de multiplicidad 2 entonces: y p = (,4 sen*+ 2? cosx) 569) y lv + 4 / '+4y = x sen 2jc Solución A4 + 4A2 +4 = 0 => A = ±V2i de multiplicidad 2 entonces: = (A x+ i?) eos 2x + (Cx + D) sen 2x 570) y lv + 2n2y"+nAy = asen(nx + a) Solucion A4 +2« 2 A2 +/j4 =0 => (A2 + h 2) 2 =0 => A = ± ni de multiplicidad 2 entonces: y = x 2 (Asen nx +B eos nx) 571) y lv - 2 n 2y"+)iAy = eos(/ix + a ) Solución entonces: = A sen nx + B eos nx 572) y v + 4 / " + 6 y ,+ 4 /+ y = senx Solucion A4 + 4A3 + 6A2 + 4A +1 = 0 => (A + 1)4 = 0 de Aj = -1 de multiplicidad 4 entonces: y p = A sen x + B eos x 573) y iv - 4 / ,,4 4 / ,- 4 / + (A — l)4 = 0 de donde X = 1 de multiplicidad 4 entonces: y p = x 4 (,4x + £) y g = cxe x +c2xe x además y p = A = - 2 por lo tanto: y = y p + y g de donde y = cxe~x + c2x e x - 2 576) y"+2y'+2 = 0' Solución A2 + 2A = 0 => Aj = -2 , A2 = 0 entonces: y g = cx +c2e~lx además y p - Ax entonces: y lp = A => y \ = 0 => 0 + 2 A + 2 = 0 A = -1 => y p = -* => = =* 2* - * 577) y " + 9 y -9 = 0 Solución A2 +9 = 0 => A = ±3/ de donde = cx cos3x + c2 sen3x, y ^ y = + y p = cx cos3x + c2 sen3x + l 578) y""+y"= 1 Solución A3 + A2 = 0 => A = 0 de multiplicidad 2 y A = -1 de donde = Cj + c2jc + c3e~v yademás y p = A x2 => y p =2Ax entonces: y p = 2A 286 1 x 20 + 2A = 1 ==> A - — => y p = — entonces: 2 2 2 = q + c 2* + c 3e 579) 5 y " ' - l y " —Z - 0 Solución 3 2 75A -7A = 0 => A = 0 de multiplicidad A = — entonces: 7—jr ^ = c , + c 2x + c3e s yademás y p = A x2 => y ' =2y4x => y* =2^4 de donde 0 - 14A - 3 = 0 => A = ~ — => =3 3x2 14 => 1 3*2por lo tanto: y = y g + y p =cl + c2 +ci e 5 x ------- 580) 3y iv+ y '"= 2 Solución 3A4 + A3 = 0 => A = 0 de multiplicidad 3 y A = - j entonces: X íg = c , + c2x + ci x 2 +c4e 3 yademás y = A x3 entonces: y lp =3Ax2 => y*p =6Ax => y* = 6 A 1 x 3de donde: 0 + 6A = 2 => A = — => y „ = — 3 / p 3 _ í 3 porlotanto: >' = >'g + y p =c, + c 2jc + c3x 2 + c 4e 3 + ^ - 287 581) / v - 6 / ”+6 = 0 Solución A4 - 6A3 = 0 => . A = 0 de multiplicidad 3 y A = 6 entonces: y g = c¡+ c2x + c3x 2 +c4e 6x y además y p = A x3 Entonces y^ p = 3Ax2 => y np =6Ax y® = 6 A 1 x 3de donde 0 - 12A + 6 = 0 => A = — => v „ = — 2 2 x 3 y = >'s + y /, = C j + c 2x + c 3x 2 + c 4e6 t + — 582) / v - 2 y ’ ’+ 2 / '-2/+>> = 1 Solución A4 - 2A3 + 2A2 - 2A +1 = 0 . De donde A, = 1 de multiplicidad 2 y A2 A3 = - / donde: y g = c¡ex +c2xex + c3 cosx + c4 senx, y ^ , = , 4 = 1 ^ ~ y g +y P = c¡ex + c 2xe'r + c3 cosx + c4 senx+1 583) y ' '-4y'+4y = x Solución A2 +4A + 4 = 0 => A = 2 de multiplicidad 2 = c¡e2x +c2xe2x y = A x 2 + Bx+ C entonces: y p = 2Ax + B => y \ = 2A . De donde: 2 A - 8 A x - 4 B + 4 A x 2 +4Bx+4C = x 2 288 Por lo tanto: A = ± * = i , C = | . Dedonde: - í l + í + 2 2 » 4 2 8 entonces: y = y g +y = c¡e2x+c2xe2x+ - + ± + 1 4 2 8 584) y"+8y'=8x Solución A + 8A = 0 => A] = 0 , A2 = —8 . De donde y g =ci+ c2e 6x, y p = x(Ax + B) = Ax2 +Bx, donde: y P = 2Ax+B => y p = 2A . De donde 2A + 16Ax + 8B = 8x entonces: A = ± , B = - ~ , entonces: y = í l _ £ 2 8 ’ p 2 8 Dedonde: y = y g + y =C) +c2e~(,x + £ _ _ £ 2 8 585) y"-2ky'+k2 y = ex , ( k * l ) Solución A - 2£A + k 2 = 0 => A. = k de multiplicidad 2 g =c\ekx +c2xekx, también, ^ = Aex , dedonde: Aex -2kAex + A k2ex =lex => A-2kA + A k2 =1 entonces 4Ax2 + (4 5 - 8 A)x + 2A -4 B + 4C = x 2 289 2 1 e A(k — 1) =1 => A — — => y p — 2 ( ¿ -1 )2 (£-1) ex y = yg + y P = c\ekx +c2xelx + ( ~-¡p- 586) y + 4 y + 4 y = 8 e '2jr Solución + 4 = o => X = -2 de multiplicidad 2 ^ = cxe~2x+c2xe~2x, y ^ ^ V 2' de donde: y , = 4 x V * entonces: y ~ y g +yp =cie ~* + c2xe 2x + 4x2e 587) y"+4y'+3y = 9e~ix Solución A2 +4A+3 =0 => A, = - 1 , A2 = - 3 . De donde: y g = c te~x +c2e~ix y y p =Axe~i , entonces: y p = -^ - xe 3x dedonde: y = y g + y p = cxe x +c2e ix - 588) l y " - y '= \ 4 x Solución A 7 A2 - A = 0 => A, = 0 , A2 = ^ . De donde y e = cx+c2e 1 y p = A x 2 +Bx .entonces: y p = - 7 x 2 -9Xx entonces: X y = y g + y p = + c2e 7 —l x ~ —9Sx to I s o 589) y"+3y'=3xe~ix Solución A2 -i- 3A = 0 => Aj = 0 , A2 = -3 de donde: =C j+c2e _3jr y además .y^ = (/lx2 +fix)e~3jr obteniendo x 2 x y p = 1v y la solución general es: y = y g + yP =c\ + ci ^ x - ( ~ + ~)e^x 590) y+5y+6_y = 10(1 -x )e~ 2x Solución A2 + 5A + 6 = 0 => Aj = -2 , A2 = -3 , de donde: y g = c ^ -2* + c2e~3* , además = (Ax2 + Bx)e~l x , obteniéndose y = (20x - 5jc2 )e~2jr, y la solución general es: y = y g + y p = c\ + c2e~3x + (2 0 x -5 x 2)e~2x 591) y '+ 2 y + +2y = l + x Solución A2 + 2A + 2 = 0 => A = -1 ± / , de donde y g = cxe~x cosx + c2e~x sen* además y p =Ax + B obteniéndose y p = — y la solución general es: x 2 y = y g +yp = cxe~x cosx + c2e~x senx + ^ 291 592) y " + y '+ y = (x+ x2)ex Solución A2 +A + 1 = 0 => A = - - ± a/3 i dedonde: 2 V3 i V3 = q e 2 eos— x + c 2e sen— además — (Ax2 + Bx + C)cx obteniéndose X X 1v = (----------i- —)ex y la solución general es: y p V 3 3 3 —— ~~~ ■\/3 X2 X 1 x y = y g + y P =e 2( q c o s — x + c 2e 2 sen— x) + (— - - + -)** 593) y' '+4y'-2y = 8 sen 2x Solución A2 + 4 A - 2 = 0 => A = -2±-J(> dedonde: y g = c1e(_2+^ )x + c2e("2‘^ )Jr y además: >>p = /4 sen 2x + 5 eos 2x obteniéndose: v _ l 2sen2:c+16cos2:y y ia solución general es: y > 25 (-2+V6), + „ -(2+t/6)jt 12sen 2x+16cos2x = = c ie +C2e 25 292 594) y % '+y = 4x eos x Solución A2 +1 = 0 => A = ± / de donde: = q cosx + c2 senx y además: y p = x[04x + 2?)cosx + (Cx + 2?)senx] obteniéndose: y p = x 2 sen x + x eos x y la solución general es: y = yg +yp = cx eosx + c2 senx + xsen 2 x + xcosx 595) y '-2my'+m2 y = sen /zx Solución A2 - 2/wA + m 2 = 0 => A = m , de multiplicidad 2, de donde: y = q e wt + c2xemx , y además y p = A sen nx + 2? eos /zx . ., , (/w2 - w 2) sen«x+2/wfl.cos/2xobteniendose: y = ----------- -------------------------- (m2 + n2)2 y la solución general es: mx, v (/w2 - w 2)sen«x + 2/w«coswx(q + c2x) + --------------------- — ------------ (m +n ) 596) y '+2y'+5y = e~x sen 2x Solución A2 +2A + 5 = 0 => A = - 1 ± 2/ dedonde: y g = qe~* eos 2x + c2e~x sen 2x además: 293 y p = xe~* (A se n lx + B c o s lx ) obteniéndose y p = - — e~x co s lx y la solución general es: y = y g + y p = (cl eos2x + c2 senlx)e~x ~ ~ e * cos2x 597) y"+a2y = 2costfw + 3senmx, m * a Solución A2 + a 2 = 0 => A =±a/ de donde y g =Cj eos ax + c 2 sen ax y además y p = A eos ms + B sen mx obteniéndose: 2cosmx + 3senmx , ' ., .y = ------------------------, a * m y la solucion general es: a 2 - m 2 eos mx + 3sen mx y - y + y - c x eos ax + c2 senax + --------- ------r------- 8 a - m 598) y " - y '= e x senx Solución A2 - A = 0 => A ! = 0 , A2 = l dedonde y g =cl + c2ex además: y = ex(yísenx+jBcosx) obteniéndose: y p = —— (sen x + eos x) y la solución general es: e y = y +y = cx + c2x + — (senx + cosx) " g p 2 294 599) y ’+2 y =4ex (sen x + eos x) Solución A2 + 2A = 0 => Aj = 0 , A2 = -2 de donde y g = cl +c2e 2x además: y p = ex(Asenx +Bcosx) obteniéndose: e y p = — (6 sen x - 2 eos x) y la solución general es: 2 e' y = y g +yp = + c2e + - - ( 6 s e n x - 2 c o s x ) 600) y ’+ 4 /+ 5y = 10e_2jr eosx Solución A^+4A + 5 = 0 => A = -2 ± i dedonde: y = c¡e 2a cosx + c 2 e 2*senx además: y = xe 2x (A eosx+B sen x) de donde se obtiene: y = 5xe * sen x y la solución general es: y - y g +yp - c xe 2xco sx + c2e 2*senx + 5xe v senx 601) y '+2y'+5y = e x (2x + sen 2x) Solución A2 +2A + 5 = 0 => A = - 1 ± 2/ dedonde: y g = cxe x cos2x + c%e Xsen2x además 295 yp - (Ax + B)e x + ye X(C sen 2x + B eos 2x) obteniéndose x - x x y P cos2* + — e * y la solución general es: y = c¡e~x cos2x + c 2e x sen 2 x - —e~r cos2x + — e~ 4 2 602) 4y''+y' = x sen x Solución 4 A2 + 8 A = 0 => Aj = 0 , A2 = -2 de donde y g = cx + c2e~lx además: y p = (.4x + 2?)senx + (Cx-f £>)cosx, x 7 y i obteniéndose: y = - ( ---------- >senx- (— + — ) cos x , p 20 50 10 50 y la solución general es y = y g + yp es decir: / = c ,+ c 2e ** Senx - ( — + — )cosx 20 50 10 50 603) y' '-3y'+2y = xex Solución A~ - 3A + 2 = 0 => Aj = 1, A2 = 2 de donde y g = c¡e + c2e además y p (Ax + Bx)ex obteniéndose * 2y p = —(.— + x)ex y la solución general es: x 2 y = y g + y p = cxe* + c 2e 2x- ( — + x)ex 296 604) y''+y'-2y = x 2e 4x / Solución ? 1 3A + A - 2 = 0 => A = — ± —/ de donde 2 2 - - 3 3 — 3 y a = Cíe 2 cos —cos —x +ese 2 sen — x además 1 x 2 2 2 y = (Ax2 +Bx +C)4x de donde: 2 7 e 4*y„ = (x - x + — )----- y la solución general es: J p 18 18 5 4x-J 3 - t 3 2 7 ev = Cíe 2 cos — x + ese z sen —x+( x - x + — ) — ' 2 2 2 18 18 605) y' '-3y'+2y = (x2 + x)e3jr Solución A2 — 3A + 2 = 0 => At = 1, A2 = 2 de donde: 3jc= ^ 2* +c2e lx además y =(A x2 +Bx+C)e 3xC 2obteniéndose: y p = --------(x - 2x + 2) y la solución general es: e3x y = cxex +c2e2x + - y ( x - 2 x + 2) 606) y " ’-y "+ y '-y = x 2 +x Solución 297 (A2 +1)(A-1) = 0 => Aj =1, A2 = / , A3 = - / de donde A3 - A2 + A -1 = O => A2(A-1) + (A-1) = 0 entonces: y - c xex + c2 cosx + c3 senx además: y p = A x2 + Bx + C obteniéndose: y = - x 2 - 3x + 1 y la solución general es: y = y g + y p = c1ex +c2 cosx + c3 s e n x - x 2 - 3 x + l 607) y iv -2y '"+ 2y"-2y'+y = ex Solución A4 - 2 A3 + 2A2 - 2A +1 = 0 de donde (A2 + 1)(A-1) 2 = 0 entonces A = ld e multiplicidad 2 y A2 = i , A3 = - i de donde se tiene y g = cle~x +c2xe~x + c3 eosx + c4 sen* además 2 x 2y p = Ax ex de donde y p = — ex y la solución general es: x 2 y = c¡ex + c2xex +c3 eosx + cA senx + — e x 608) y " -2y ,+y = x 3 Solución A2 - 2A +1 = 0 => A = 1 de multiplicidad 2, de donde y = Clex + c2xex además y p = Ax" +Bx2 + Cx + D obteniéndose 298 3 2y p = x + 6x +18x + 24 y la solución general es: y - y g + yp = c¡ex + c2xex + x 3 + 6 x 2 +18 + 24 609) 5y' '-6y'+5y = \3ex coshx Solución 5yM-6y'+5y = -1) => 5A2 -6A + 5 = 0 entonces 3 3jc3 4 -x 4 — 4 A = — ± — 1 de donde y a =c}e 5 eos — x + Cie 5 s e n - x 5 5 ' * 1 5 1 5 2 e2xademás y p = A e x +B obteniéndose: y p = -----+ 1.3 ~x 4 e 2x y = y g + yp =c1e 5 eos —x + —^ - + 1.3 y la solución general es: 3 — X v_ + v _ = c,e5 eos „ 5 2 610) y ,v+ y M= x z +* Solución "A4 + A2 = 0 => Ai = 0 de multiplicidad 2 A2 = i , A3 = - i de donde: y g = C ! + c 2x + c3 cosx + c4 senx además y p = x 2 (Ax2 + £x + C) x 4 x 3 obteniéndose y „ = — h------- x 2 y la solución general es: p 12 6 x 4 x 3 y = y ^ = Cj + C 2 X + C3 COSX + C4 S e n x + — + — - X 2 299 Solución A5 - A4 = 0 => A = 0 de multiplicidad 4, A = 1 de donde: y g = c , +c2x + c^x l + c4x 5 + c5e* , además: x 2 y p = x(Ax + B)ex + Ax4 obteniéndose y p = (— - 4x)ex y la solución general es: x 2 y = y g + y p = q +c2x + c3x 2 +cAx 3 + c5ex + (—— 4x)ex 611) y v - y iv = xex - l 612) y"+y = x 2 senx Solución A2 +1 = 0 => A = ±i dedonde y g = c¡ eosx + c2 senx además y p = x[(Ax2 + B x+ C )senx + (Cx2 + Dx + E)eosx] de donde se obtiene que: x x 3 x 2y p = (— — —) eosx + — sen x y la solución general es: x x 3 x 2 v = Ci cos+ c-j sen x + (---------) eos x + — sen x J 1 4 6 4 613) y ' ,+2y'+y = x 2e x cosx Solución 300 y g - c xe~x + c2xe~x además: y p = e~x[(Alx 2 + A2x +A3) cosx+(B\X2 + B 2x + B3) senx] obteniéndose: y =e~x ( - x 2 eos x + 4x sen x + 6 eos x ) , y la solución general es: y = c¡e~x +c2xe~x +e~x ( - x 2 cosx + 4xsenx + 6cosx) 614) y '" -4y '= xe lx + senx + x 2 Solución A3 - 4A = 0 => Ax - 0 , A2 = 2, A3 = -2 de donde y g =cl +c2e 2x +c3e~2x además se tiene: y Pi =(Ax + B)xe2x, y ?i = C senx + Dcosx, = ( ^ x 2 +A2x + A3)x . Dedonde: = + j, obteniéndose: £ 2 * 2 1 X 3 X= -----(2x - 3x) + — eos x ------------- , y la solución general es: 32 5 12 8 2 x - 2x e 2* 2 x COSX X 3 Xy = c1-hc2e ' + c 3é? + (2x - 3x) h -----— - - 615) y -> > = s e n x 2 A + 2A +1 = 0 => A = -1 de multiplicidad 2 de donde: Solución 301 A3 -1 = 0 => A. = 1, A2 =■-—+ — I, A d e donde 1 2 2 2 2 2 JC T V3 2 V3 -= q e + c2e 2 cos — x + c3e 2 sen — x ademas y p = y4senx-f ¿?cosx obteniéndose y p = — (cosx -senx) y la solución general es y = y g + y p es decir: x ~T V 3 2 1 Í \y - c xe +c2e 2 c o s - ^ - jc + c2e 2 sen-^-Jt + ~ (c o sx -se n x ) 616) y '+2y'+2y = e~x eos x + xe x Solución A2 + 2A + 2 = 0 => A = -1±/' de donde: y g =c¡e~x cosx + c2~x senx además = xé~x (A sen x + B eos x ) , =(Ax + B)e~x de donde y p = y Pl + yp2 obteniéndose que: jc _ _ = — e * sen x+ xe * y la solución general es: x e x y = y g + y p =e x (c¡ eosjc + c2 senx)h— -— senx+ xe 617) j ‘v - 2 / '+ .y = eos* Solución 302 multiplicidad 2. De donde: y g =c,ex + c2xex + c3e~x + cAx e x además eos Xy p = A eosx + B sen x de donde: y p = — y la solución general es: x x -r -r cosjcy = cxe + c 2xe +c3 +c4xe + ------ 4 618) y '+y = 2 sen x. sen 2x Solución 2senx.sen2x = cosx - cos3x => y '+y = eos x - eos 3x 2 A +1 = 0 => A = í / de donde se tiene: y p - cx eos x + c2 sen x además y Pi = x(Ax eos x + A2 sen x) => y P2 = Bx eos 3x + B2 sen 3x de donde y p = y Pl + y Pi - j xsenx cos3x , .,obtemendose: y p --------------------------------------------------------------------------1- - ------------- y la solucion general es: 2 8 x sen x eos 3xy = Ci cosx + c2 senx-f---------+ -------- 2 8 619) / ’+4y = jtsen2 x Solución 2 * XCOS2X -2 ^y +4y = x sen x = --------------- A + 4 = 0 => A = ±2/ 2 2 de donde = cx eos 2x + c2 sen 2x además y =Axx + A2 A4 - 2A2 + 1 = 0 => (A " -l)2 => A, =1 de multiplicidad 2, A2 = -1 de 303 y Pi = 4(SiX + C ,) eos2x + (B2x + C2) sen 2x] de donde: y p = y Pí + yPl obteniéndose: % x xcos2x x 2 sen2x , , ., fv ---------------------------------y la solucion general es: ^ 8 32 16 x xcos2x = q eos 2x + c2 sen2x + - ----- —----- 620) / v + 2 y 1' '+2y '+2/+.y = xe* Solución A4 + 2A3 + 2A2 + 2A +1 = 0 de donde (A2 +1)(A + 1)2 =0 de multiplicidad 2. A = ±i de donde: j;g = cxe~x + c2xe~x + c3 cosx + c4 senx además: ^ = ( ^ x + )** =* .V/>2 = X(B\ sen x + B2 cos x) de donde y p - y p + y Pi obteniéndose que: x 1 xy „ = (-------)ex — cosx y la solución general es: y P v8 4 8 X 1 J y = c1e~x + c2xe~x + c3 cosx + c4 senx + (— ~ ~ )e* " 621) / '+ / = c o s 2 x + e* + x 2 Solución 7 %* 9 • COS 2x r 2y + y = eos x + e +x => y +y = -------- +-e' + x~ - x 2 sen 2x 16 ~ => A = — 1 cosx 304 A2 + A = 0 => Aj = 0 , Aj = -1 de donde: yg =c1+c2e~x además yP{ = A¡ cos2x +A2 senx.sen2x yPi=A3ex, y p3 =x(B¡x2 + B2x + B3) dedonde: yp = ypi +ypi +yp, obteniéndose que: sen2x cos2x ex , x 5 2 ~y - ------------------- + ----+ (------ X + 2 x ) p 20 10 2 3 y la solución general es: y = y g + y p es decir: sen2x cos2x ex x 3 2 ^y = c1 +c2e x + ------------- ------+ — + ------- x +2x 20 10 2 3 y v + 4 y M= e x +3sen2x + l Solución A5 + 4A3 =0 => A = 0 de multiplicidad 3 => A = ±2/ de donde: y g = c¡ + c2x + c3x + c4 cos 2x + c5 sen 2x además y P¡ = A e x , y Pl = *(^2 sen 2* + cos2x ) , y p¡ = /í4x 5 de donde: y p = + y pi + y p¡ obteniéndose ex 3x x 3 = — + — sen 2x + — y la solución general es: 623) y ''-3 y ’+3y '-y = e x cos2x Solución A3 - 3A2 + 3A -1 = 0 => (A - 1)3 = 0 => A = 1 de multiplicidad 3, de donde: y g =cxe* +c2xe* +cix 2e* además: e* y =ex( A eos 2x+B sen 2x} obteniéndose y p = - sen 2x ” O y la solución general es: e* y = y g + y p = cxex +c2xex + c3xex - — sen 2x 624) y 1' '-2y'+4y = ex eos x + x 2 + sen 2x Solución A3 - 2 A + 4 = 0 => (A + 2)(A2 - 2 A + 2) = 0 de donde Ax = -2 , A2 = 1 + / , A3 = l - / y además: ^ rre je”2^ + c2ex cosx+ c3e x senx ; y j;^ = Ax x 2 + A2x + A3 entonces y f2 = Bx sen 2x + B 2 eos 2 x , (cj eos x + c2 sen x) de donde .v„ = y P¡ + yP3 obteniéndose que: 1 1 x 627) y"+4y = ex + 4sen2x + 2cos2 x - l Solución y"+4y = ex + 4sen2jc + 2cos2 j c - 1 y"+4y = ex +4sen2x + 2cos2jt => A2+4 = 0 => A = ±2/ de donde = c{ eos 2x + c2 sen 2x además y Pi=Aex y Pi = x(B eos 2jc + C sen 2jc) de donde y p = y 1obteniéndose: y = — + *(— sen 2jc - eos 2x) 5 4 y la solución general es: y = y g + y p es decir: 1y = c j eos 2* + c 2 sen 2x + ----+ jc(— sen 2x - eos 2x) 5 4 628) y % '+3y'+2y = 6 x ex (1 -e" 'r) Solución y+3y+2y = 6e~x -6xe~2x => A2 + 3A + 2 = 0 , entonces: Aj = -1 , ) De donde y g = x(A2x + B2)e~2x además ypx =x(Axx + B l ) e ; y pi = x(A2x + B 2)e~2x,de donde y p = y obteniéndose: y p = 3(x2 -2x)e~x +3(x2 + 2x)e~lx y la solución general es: y ~ . y g + y p = c{e~x + c 2e~lx + 3(x2 -2x)e~x +3(x2 +2x)e~2x t2 = - 2 308 629) y' '+y = eos2 2a: + sen2 ^ Solución 2 ^ 2 * 1 + cos4jc 1-cos*v + v = eos 2x + sen — = -----------+---------- 2 2 2 « COS4;t COSJC ,2 , , , ,y +y = \ + ---------------- => A +1 = 0 => A = ±i de donde 2 2 y g = Ci eos x + c2 sen x además y Pí = A¡ , y Pi = (yí2 eos 4x + A3 sen 4x) , y P3 = *(¿?j eos x + B2 sen x) de donde y p = y p¡ + y Pi + y obteniéndose , cos4x xsenx , ., y p = 1 ----------------— y la solucion general es: , c o s 4 j c *senx y = y g + y P = ci eosx + c2 senx+ 1 ----- --------- — 630) y' - 4y'+5y = e 2x (sen x + 2 eos x) Solución A2 -4A + 5 = 0 => A = 2±/ de donde y g = c xe 2x eosx + c2e 2x sen* además y p = xe2x (A sen x + B eos x) obteniéndose X 9 y p = (x sen x - — eos x)e x y la solución general es: 2 x 2 x 2x / COS^f.y = c¡e eos x + c 2e senx+xe (sen*---- —) 309 A2 -4A + 5 - 0 => A = 2 ±i dedonde 631) y''-4y'+5y = 1 + eos2 x + e 2x Solución y = cxe 2x eosx + c2e lx senx además: „ ^ 3 eos2* 2xComo y -4 y +5y = — + -------- + e , entonces tenemos: 2 2 y P i= A l9 y Pi = A2 eos2x + A2 sen 2x + A$ sen 2 x , y P i = B e2 de donde y^ = y Pi + yP2 + y o b te n ié n d o s e 2x 3 1 4y w = e + — + ---- cos2x------ sen2x yp 10 130 65 y la solución general es: y = y g + y p es decir: 2x 3 c o s 2 jc 4sen2xy = Cie cosx + c^e senx + e +— +-------------------- y 1 2 10 130 65 2 ^632) y M-2 y '+ 2 y = e sen Solución ff , * 2 * e*y -2y+ 2y = r sen‘ - = - ------— eos x A2 -2A + 2 = 0 => A = l± / de donde y g = cxex eosx + c 2ex senx además y = A ex , y pi = xex (B eos x + C sen x) dedonde: 310 X Xc xc sen x y p = y p + y pi ------------- ------ , y la solución general es: j jr e* xe* sen xy = y g +yp = cxe cosx+ c2e senx+ — - ----- 633) y " -3 y '= l+ e x +cosx+senjc Solución A2 - 3A = 0 => At = 0 , A2 = 3 dedonde y g = Cj +c2eix además y p¡ = Ax , ^ = 5 e " y P} = C s e n x + D eosx de donde: ^ ^ x eos x _2 sen x obteniéndose, y p - - — — — + -------------------------------------------------- ---------- y la solución general es: :\x x e x eos x - 2 sen xy = c, +c2e — = — + ------------------ 1 2 3 2 5 634) y '-2y'+5y = e* (1 - 2 sen 2 x) +10*+1 Solución y -2 y + 5 ^ = e x{l - 2 sen 2 x) + 10x + l y ,-2>'+5>' = e x cos2x +10jc+ 1 ^ A2 -2A + 5 = 0 entonces A = 1 ± 2/ y g = cxex eos 2x + c2e x sen 2x además y Pi = xex(Acos2x-hBsen2x) => y pj =Cx + D dedonde x y p = y p t +yp1 obteniéndose y p = —ex sen2x + 2x+l 311 y la solución general es: y = y g + y p es decir: £ y = (q eos 2x + c2 sen 2x)ex + — sen 2x + 2x +1 4 y' l-4y*+4y = 4* + sen x + sen 2x Solución A2 - 4A + 4 = 0 => A = 2 de multiplicidad 2. ^ = q e 2* + c2xe2x además y Pi =Ax + B y p -C s e n x + D cosx , y Py = 2scos2x + Fsen2jc de donde y p ^ y p i + y p i + y * obteniéndose y p = x +1 + — (4 eos jc + 3 sen x) + - eos 2x y la solución general 25 8 y s q e 2* +c2xe lx + x + l + — (4cosjc + 3sen x )+ —cos2x 25 8 y' '+2y'+y = 1 + 2 eos x + eos 2x - sen 2x Solución A2 + 2A +1 = 0 => A = -1 de multiplicidad 2. = cxe~x +c2xe~x además: y Pi = A x , y Pi = i?cosx + C senx , y Pj = D eos2x + E sen2x de donde: y p = y Pl + y Pl + y P3 obteniéndose , eos 2x + 7 sen 2x , ., = 1 + sen x h---------- —--------- y la solucion general es: y = c1e +c2xe + l + sen;t +jc . i . ___ . eos 2x - 7 sen 2x 25 y"+ y+ y+ l = s e n x + x + x 2 Solución A2 + A +1 = 0 => A = — — ± / de donde 2 2 y p = A scnx + B cosx + Cx2 + Dx +E de donde: 2 y D = — + — x 3e x + — (36sex-21 cosx) 9 2 50 y la solución general es: y = y + y p es decir: _3 r -3 r 1 3xe 1 , __ xy - c ye +Cixe + —+ -+ — (36 sen jc-27cosjc) 1 2 9 2 50 639) y % '+2y+l = 3 sen 2x + eos x Solución A2 + 2A = 0 => Aj = 0 , A2 = -2 entonces: y g = q + c2e~2* además = .4 , >^2 = B sen 2x + C eos 2x y P3 = D cos* + £ sen x de donde: y p = y p¡ + yPi + y P} ., t x eos* 2 3 , obtemendose: v„ = ------------------- h — senx — (sen 2 * -e o s 2x) 2 5 5 8 y la solución general es: y = y g + y p es decir: _2r 2senx cosx x 3 , v = Ct+Coe ' + ---------------------------- (sen2x + cos2x) 7 1 5 5 2 8 En los siguientes problemas se necesita hallar las soluciones particulares de las ecuaciones que cumplen las condiciones iniciales dadas. 640) y '-5y '+ 6y = ( \2 x - l ) e x , y (0) = y (0) = 0 Solución A2 -5A + 6 = 0 => Aj = 2 , A2 = 3 de donde 314 y g =cxe 2x + c2e 3x además y p = ( A x + B ) e x obteniéndose y p = xe~x y la solución general es: y = y g +yp = cxe 2x + c3*3* +xe~x , para x =D, y = 0 Se tiene que: cx + c2 = 0 ... (1) y = 2cxe 2x +3c2e 3x +ex -xe~ x entonces: y ’= 2c¡e2x +3c2e3x +e~x -xe~ x p a rax = 0, v!=Q Se tiene que: + 3c2 +1 = 0 ... (2) de (1) y (2), se obtiene: cx - 1 , c2 *» -1 por lo tanto: y = c¡e2x + c2e3x +xe~x entonces: y = e 2x - e 3x +xe~x 641) y' *+9y = 6e3x, y (0) = y (0) = 0 Solución A2 +9 = 0 => A = ±3/ de donde: y g =cx eos3x + c2 sen3x además y p = Áe3x de donde e 3x y p = - y - y la solución general es: e 3x); = y g +yp = cx cos3x + c2 sen3x + —— 315, 642) para x = O, y = O => 0 = c , + ” => c1 = - ^ 'ycos3x ^ e A Av * — —*------ + csen3x + ---- derivando y 3 3 y ’=sen3x + 3c2 cos3x + e 3* p a r a x - 0 , yf= 0 0 = 3c2 +1 => c2 = - j por lo tanto: 1 3xy =r- — (cos3x+ sen3x-e ) y''-4y'+5y = 2 x 2e x , y(0) = 2, ,v’(0) = 3 Solución i A2 - 4 A + 5 = 0 => A = 2 ± i de donde y g = q e 2x cosx + c2e 2* senx además y p = (ylx2 +Bx + C)ex obteniéndose y p = (x + l)2ex y la solución general es parax = 0, y = 2 entonces 2 = c¡ +1 => q = 1 elx (cosx + c2 senx) + (x + \)2ex , derivando tenemos: y = 2 e 2r(cosx + c2 senx) + e2x(-sen x + c> x o s* ) + 2(x + l)eA + (x + l)2eA parax = 0, y f = 3 => 3 = 2 + c2 + 2 + 1 => c2 = por lo tanto: y = e2A (eos x - 2 sen x) + (x +1)2 e* 316 643) 644) Solución A2 + 6A + 9 = 0 => A = -3 de multiplicidad 2 y = c¡e~3x+c2xe~3x además y p = ,4 senx + 2? cosx y v,+6yf+9y = 10 sen x , y (0) = f (0) = 0 de donde y^ = - (4 sen x - 3 eos x) y la solución general es: y = c¡e 3x + c2xe 3x + -^ (4senx-3cosx ) 3 3 para x = 0, y = 0 => 0 = q - - => ci = “ y '= -Z cxe 3jr+3c2xe 3x + j(4 c o sx + 3 se n x ) 4 para x = 0, y '= 0 => 0 = -3 q + c2 + — => c2 = 1 por lo tanto: y = y e 3x +xe 3x + y (4 sen x -3 co sx ) y"+y = 2 c o sx , y(0) = 1, y'(0) = 0 Solución A2 +1 = 0 => A = ±i dedonde y g = q cosx + c2 senx además y p = x (^ eos x + B sen x) obteniéndose y^ = x sen x y la solución general es: 317 y = y g + y p = q co sx + c2 senjc + jrsenac, parax = O, y = 1 entonces: 1 = c, y '= -C j senjc + c2 cosx + senx + x co sx , para x = 0, y '= 0 entonces: 0 = c2 por lo tanto: y = eos x + x sen x 645) y ’ '+4y = sen x , j,(0) = .y’(0) = l Solución A2 + 4 = 0 => A = ±2/ de donde y g = cx eos 2x + c2 sen 2 x , además sen x y p = A sen x + B eos x , obteniéndose y p = y la solución general es: sen x y ^ y g +yp = cos2x + c2 sen2x+ —— para x = 0, y = 1 => 11 = q eos X y = -2cx sen 2x + 2c2 eos 2x + —^ p a r a x = 0, y' =1 1entonces 1 = 2c 2 + — => c2 = — 2 3 3 sen2x senx por lo tanto: y = eos 2x + — -— + —-— 646) y " - 6 y '+ 9 y - x 2 - x + 3 , y(0) = y y'(0) = ~ Solución 318 .yg = c¡e3x + c2xe3x además y p = A x2 + Bx + C obteniéndose A2 - 6A + 9 = 0 => A = 3 de multiplicidad 2 x 2 jc 1 y - — + — + _ y la solución general es: p 9 27 3 J 6 3 x 3 * X 2 X 1 4^ = Cie + c 2x + — + — + —, para x = 0, y = — 1 2 9 27 3 ' y 3 4 1 i 3* 3x X2 x 1— = C i+ - => Ci =1 entonces: y = e + c ? x e + — + ----- h — 3 1 3 1 7 2 9 27 3 y = 3e3r + c2e 3x +3c2xe3x + — + — para x = 0, y' = — , entonces: 9 27 27 1 ^ 1— = 3 + c2 h----- => c7 = -3 27 2 27 2 1 . . 3X , 3X X2 X 1por lo tanto: y = e - 3xe + — + — + - 9 27 3 647) y"-4y'+4y = e 2xy y(0)= 2, /(O ) = 8 Solución A2 -4A + 4 = 0 => A = 2 de multiplicidad 2 y = q e 2* + c 2xe2x además y = A x2e 2x obteniéndose jc2 y p = — e 2x y la solución general es y = y g + yp x 2 es decir: y = c¡e2x +c2xe2x + — e 2x, para x = 0, y = 2 => 2 = q 319 y = 4 e lx +c2xe2x +xe2x + x 2e 2x y para x = 0, y 1 =8 entonces: 8 = 4 + q => c2 = 4 x 2 por lo tanto: y = 2elx +4xe2x +~J~e2* y"+4y = 4(sen 2x + eos2x) , y(n) = y'Or) = 2/r Solución A2 +4 = 0 => A =±2/ de donde: y g =Cj eos2x + c 2 sen 2 x , además y p - x(A sen 2x + C eos 2jc) obteniéndose y^ = sen 2x - eos 2x) y la solución general es: y = y g + y p es decir: y = c¡ eos 2x + c 2 sen 2x + x(sen 2x - eos 2x) para x = n, y = 2n => 2n ~ c x - n => cx =3n y = 3k eos 2* + c2 sen 2x + x(sen 2x - eos 2x) y = - 6n sen 2x + 2c2 eos 2x + sen 2x - eos 2x + 2x(cos 2x + sen 2x) para x = re, y '= 2 ;r => 2n = 2c2 — 1 + 2/r => c2 = ~ sen 2x , y = 3^ r eos 2x H---------- t- x(sen 2x - eos 2x) y ' - y ' - -5é~x (sen x + cosx), y(0) = -4, y'(0) = 5 y = 2elx + c2x lx + e 2x, derivando se tiene: Solución además: y p = (/í sen x+ B cosx), obteniéndose: y p ~ e~ *(senx-2cosx) y la solución general es: y = c¡+ c2e*+ e~x( s e n x -2 c o sx ) , para x = 0, y = - 4 => -4 = cx = c2 - 2 => cx + c2 = -2 / = c 2ex - e~x(senx - 2 eosx)+ e~x (eosx + 2 sen x) para x = 0, y'= 5 => 5 = c2 +2+1 => c2 = 2, c, = -4 por lo tanto: y = -4 + l e x + e~x (sen x - 2 eosx) 650) y ”-2y'+2y = 4ex cosx , y(n) = nen , y ( ^ ) = e * Solución Az -2A + 2 = 0 => A = 1 ± í de donde: y g = (Cíe* co sx + c2e* senx) además: y p = xex(A c o s x + B senx), obteniéndose: y p = 2xex senx y la solución general es: y = y g + y p - e x (cx eos x + c2 sen x )+ 2 xx sen x para x = / r , y = jten => rten = e ncx => q = n y '= e x(cx co sx + c2 senx) + e x(~cx senx + c2 eos x) + (2e*x senx) para x = k , y '= e n => e* = en {-cx - c 2) entonces: c2 = 1 —c¡ => c2 =1-«- por lo tanto: y = e x{n cosx + (l-7T)senx) + 2xejr senx 2A - A = 0 => A[ = 0 , A2 = 1 de donde y g - c¡ + c 2e * 321 Solución A3 - A = 0 => Aj = 0 , A2 = l , A3 = - l de donde: y g =cl +c2ex +c3e~x además y p -x (A x + B) de donde y p = x 2 y la solución general es: y = y g +yp = cx +c2ex +c3e~ 651) y " ' - y ' = - 2 x , y(0) = 0, / ( 0 ) = 1, /'(O ) = 2 para x - 0, y = 0 entonces: 0 = c¡+ c2 +c3 (1) y '= c2ex - c 3e x de donde para x = 0, y ’=l l = c2 - c 3 = c2 - c 3 =1 (2) y ”=c2ex +c3e x de donde para x = 0, y" =2 ... (3)2 = c2 + c 3 => c2 + c3 = 2 de (2) y (3) se tiene: c2 = , c3 = , c, = —2, por lo tanto: ^ 3 x 1 -x 2v = - 2 + —e h— e + x 2 2 652) y ív- y = 8ex , y(0) = -l, / ( 0 ) = 0 , / ’( 0 ) - l . /" ( 0 ) = 0 Solución A4 -1 = 0 =» Aj =1, A2 = - l , A3 = í , A4 = - i y = c,e* +c2e~x + c 3 cosx + c4 sen* además y p =Axex 322 obteniéndose v;, = 2xex y la solución general es: y = cxex +c2e~x +c3 cosx + c4 senx + 2xex , para x = 0 , y = 0 ¡ => - l = c , + c 2 +c ..(1) y ’=c¡ex - c 2e x - c 3 senx + c4 cosjc + 2í’ r + 2xe1 para x = 0, / = 0 => 0 = q - c 2 + c4 +2 Cj C j + c4 = —2 . . . (2) y''=c¡e +c2e x - c 3 c o s x -c 4 seax + 4ex +2xex para x = 0, y ”= 1 => l = c !+ c 2 - c 3 +4 Cj +Cj —c3 = —3 ... (3) y" '= c¡ex - c 2e r + c3 s e n x - c 4 cosjc + 6er +2xex para x = 0, / " = 0 => 0 = c , - c 2 - c 4 +6 c, - c 2 — c4 = -6 ... (4) desarrollando (1), (2), (3) y (4) se tiene: = -3 , c2 = 1, c3 = 1, c4 = 2 por lo tanto: y = -3 e r + é~x + cosx + 2 sen x + 2xex y " ’- y = 2 x , y(0) = y'(0) = 0 , y " ( 0) = 2 Solución , ' I V3 ~ -73y g =c¡e +c2e 2 eos— x+ c3e ¿ sen— x además y p = Ax + B obteniéndose y p = 2.v y la solución general es: y - y g + y p es decir: , - f V3 i V3 ,y = + c2e 2 co s-^ -x + c3e 1 sen-~~x+2x empleando las condiciones dadas se obtiene la solución particular. 4 _f ^v = — ¡= e ¿ sen — x + 2x -73 2 654) / v ->> = 8 e \ y(0) = 0, / ( 0 ) = 2 , / ’(0) = 4 , / " ( 0 ) = 6 Solución A4 -1 = 0 => Aj = - 1 , A2 =1, A3 = i\ A4 = - / dedonde ^ = cxe~x +c2e x + c3 cosx + c4 senx además y p = Axex obteniéndose: y p = 2xe* y la solución general es: y = cxe~x + c2ex + c3 cosx + c4 senx + 2xex para x = 0, y = 0 ==> c1+ c 2 + c 3 =0 para x = 0, y f= 2 => Cj + c2 + ^ 4 = 0 para x = 0 , / ’= 4 => cx + c2 - c 3 = O para x = 0, y ' 1 = 6 => - c 1+ c 2 - e 4 =0 entonces: cx = c2 = c3 = c4 = 0 de donde y = 2xex 324 En los siguientes problemas se necesita hallar las soluciones particulares de las ecuaciones que cumplen en el infinito las condiciones dadas. 655) / ' - 4 / + 5 y = senx, y es acotada para x -H -00 Solución Sea p(r) - r 1 - 4r + 5 = 0 => ^ = 2 + / , r2 = 2 - i 2 v 2 v •= q e ‘ eos x + c2e sen x . La solución particular es de la forma: y p = A cosx + B sen x => = - /ís e n x + i?cosx \ y \ = -./í co sx - £ senx ahora reemplazando en la ecuación diferencial. -A eos x - B sen x + 4A sen x - 4B eos x+5A eos x + 5B sen x = sen x (4 A + 4 B) sen x + (4 A -4 B ) eos x = sen x entonces: , 1 Í4A + 4B = l [4 .4 -4 5 = 0 ^ g = l 8 cosx senx 8 8 La solución general es: y = y g + y p 2x 2x eos x +senx . . y = cxe eosx + c2e senx + ----------------------- y es acotado cuando x ->00 o q = c 2 = 0 de donde la solución general es eos x + sen xde la forma siguiente: y = - ^ 325 656) y '+2y'+5y = 4 eos 2x + sen 2 x , y es acotada para x ->-oo Solución Sea /?(r) = r2 + 2r + 5 = 0 => rx = -1 + 2/, r2 = -1 - 2 / ^ = q e -* cos2x + c2e~* sen 2 x , la solución particular es de la forma: y p = ,4cos2x + i?sen2x, de donde: y p = -2,4 sen 2x + 25 eos 2x => = - 4 ^ eos 2x - 4B sen 2x reemplazando en la ecuación diferencial. -4Acos2x—4Bsen2x-4Asen2x+4Bcos2x + 5Acos2x + sen2x = 4cos2x + sen 2x (A + 4B) eos2x + (B - 4A) sen 2x = 4 eos 2x + sen 2* L4 + 4 5 = 4 f¿ = 0 \ - 4 A + B = l ^ [5 = 1 y p = sen2x La solución general es: y - y g + y p y = cxe~x eos2x + c2e~x sen2x + sen2x ahora y es acotado cuando x ->-oo o cx = c2 = 0 por lo tanto la solución es: y = sen 2x 657) y' - y = 1, y es acotada para x ->oo Solución Sea p(r) = r 2 - 1=0 => ^ = 1 , r2 = - l 326 y g = cxex +c2e *, la soluciónparticular y = A , de donde: y lp = 0 => y*p = 0 => O —A = 1 =S> A = - 1 por lo tanto la solución particular es y p = -1 y la solución general de la ecuación diferencial es: y = y g + y p de donde: y — cxex +c2e~x -1 y es acotado cuando x —>oo c¡ = c2 = 0 por lo tanto: y = -1 y r— y = -2 eos x , y es acotada para x —>oo Solución Sea p ( r ) - r 2 - 1=0 r j = l , r2 = -1 j y = C ie*+c2>* = -A s e n x + B cosx y p = - A c o s x - B s e n x reemplazando en la ecuación diferencial. - A eos x - B sen x - eos x - 5 sen x = -2 eos x -2 A eos x - 2 B sen x = -2 eos x => A = 1, B = 0 y p = cosx La solución general de la ecuación diferencial es: y = cíex +c2e~* +cosjí y es acotada para x - > o o cx = c2 - 0 por lo tanto: y = eosx 659) y"-2y'+'y = 4e~*, y - * 0 para x-»+oo Solución Sea p(r) = r 2 - 2r +1 = 0 => r = 1 de multiplicidad 2. y g - cle x + c2xex la solución particular es y p =Ae~x => y \ = -A e -x => y \ = Ae~x Ae~x + 2Ae~x + Ae~x = 4e~x entonces: A = 1, ó sea y p =e~x La solución general de la ecuación diferencial es: y = y * + y p = ° ieX+ CiXex + e "x y —>0 cuando x —>00 cx = c2 = 0 por lo tanto: y = e 660) y ' ’+4y’+3y = 8 e * + 9 ,y -> 0 para x->-a> Solución Sea p(r) = r 2 + 4r + 3 = 0 => ^ = - 1 , r2 = -3 y g = + c2e“3*, la solución particular es de la forma: y Ahora derivando tenemos: y ]p = Aex , y J, = , ¿£?*+4ér*+3e*+3¿J = 8é?JC+ 9 = > A = l , B = 3 entonces: 328 Por lo tanto la solución particular es: y p - ex + 3 La solución general de la ecuación diferencial es: y = y g + y p = c\e x + c2e +e* + 3, y ->3 cuando x c¡ = c2 = 0 por lo tanto: y = e x + 3 661) y % '-y '-5 y = 1, y para x ->oo Solución Sea p(r) = r 2 - r - 5 = 0 => r, = 1 + ^ * , r2 = ^ - ~ 1+V2Í 1-V21-- ---Jf ------JC ^ g = c ,e 2 +c2e 2 La solución particular es: y p = ^ => y p = o , ^ =0 0 — 0 — 5A = 1 => A = — — => v = — — 5 p 5 La solución general de la ecuación diferencial es: 1+V2T 1+V2I >' = -Ví r + -v /> = = c l e 2 X + C 2e 2 * 1 I V —> - j parax~>oo cx = c2 = 0 por lo tanto: y = - — í>62) y"+4y'+4y = 2eA(senx + 7cosx), y - » 0 para x-»-oo Solución ■00 si y solo si 329 y g = c1e~2x +c2xe~2x La solución particular es: y p - e x (A eos x + B sen x) y^ p = e*[,4(cosjc- sen jc) + 5(senx + cos x)] yp = e x[2B cosx-2A senx] entonces: ex[2B eos x - 2 A sen x + 4yí(cos jc - sen jc) + 42?(sen x + eos x) + + 4^(cos x + B sen x)] = 2ex (sen x + 7 eos x) e x [(8B - 6A) sen x + (6B + 8,4) eos x] = 2 e x (sen x + 7 eos x) ex[(8B - 6 A) sen x + (6 B + 8^) eos x] = 2ex (sen x + 7 eos x) [%B-6A = 2 A = 1 {65 + 8,4 = 14 ^ 5 = 1 ^ = e r (cosjc + senjc) y '-5'+6y = 2éT2* (9 sen 2jc + 4 eos 2 x ) , y -» 0 , para x -> +oo Solución Sea p(r) = r 2 - 5 r + 6 = 0 => rx = 2 , r2 =3 ^ = q e 2* + c2e 3* , es lá solución general de la ecuación homogénea La solución particular es de la forma: p(r) = r2 + 4r + 4 = 0 => r = -2 de multiplicidad 2. y \ = e~2x[(-2A - IB )sen 2x + (2 B - 2 A )eos2x] y®, = e~2jt (8A sen 2x - 85 eos 2x) ahora reemplazamos en la ecuación diferencial: y \ = e~2x (%Asen2x-%B eosx2x) - 5 y [p =e~lx[(\0A + \ 0 B) sen 2x + (1OA - 1OB) eos 2x] 6 y p = e~2x (6,4 eos 2x + 65 sen 2x) " 5y'p + 6y p = íT2* [(18/1 + 165)sen 2x + (16A -1 2 5 )eos 2x] = = 2 e 2'< (9 sen 2jc + 4 eos 2x) (18v4 + 165)sen 2x + (16,4-125) eos 2x = 18 sen 2x + 8cos2x , 43 Í18.4 + 165 = 18 59 [16.4-125 = 8 ^ 5 = ü 59 por lo tanto: y = e “2jr (— eos 2* + — sen 2x) p 59 59 664) / ,-4 /+ 4 > ' = (9x2 + 5x- l2 )e~ x, y —> 0 para x —> oo Solución Sea p(r) = r 2 - 4 r + 4 = 0 => r = 2 de multiplicidad 2 y p = e 2x (A eos 2x + B sen 2 x ) , ahora derivando tenemos: 331 La solución particular es de la forma: y p = (A x2 +Bx+ C)e~x , derivando tenemos y \ = (2Ax + B)e~x + ( -A x 2 -B x + C)e~x = e_Jr( - A x 2 + (2A - B ) x + B - C ) f y \ =e~x (Ax2 + (B -4 A )x + 2 A -2 B + C) e~x[Ax2 + (B -4 A )x + 2 A -2 B + C ]-4e~x ( - A x 2 + (2 A -B )x + B - C ) + + 4(Ax2 +Bx + C)e~x = e~*(9x2 + 5 x - \2 ) 9Ax2 +(9B-12A)x + 2 A -6 B + 9 C = 9 x 2 + 5x-12 y = cxe lx + c2Jte2* , solución general de la ecuación homogénea. 9 A = 9 9 B -1 2 A = 5 => 2 A -6 B + 9 C = -12 A = 1 5 = H 9 C = ——- 9 / 2 1 7 8 a -^ = ( x 2 + - x - - ) e La solución general de la ecuación diferencial es: 17 8 >' = 3;g +JV = 9e2* +c2xe2x + (x2 +— x - - ) e y —»0 cuando x -*oo o cx = c2 - 0 17 8 por lo tanto: y = (x2 + — x - —)e * 332 e c i j a g i o n e s d e e u l e r I Las ecuaciones diferenciales de Euler son de la forma: n d ny n - \ d n~Xy dy a „x -— + an_lx - — ¡- + ..- + a lx — + a0y = 0 dx dx dx donde an,a n_x,...,ax,a0 son constantes. Para resolver estas ecuaciones se reducen a ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de coeficientes constantes, mediante la sustitución. x - e => t = lnx además dy_ dy _ dt = e -t dy _ . d y _ e_, dy dx dx dt dx dt dt dy' d^y_ _ dy' _ dt = e -t dy__ e -t t = ln(ax + b) 333 Las ecuaciones diferenciales no homogéneas de Euler son de la forma: anx n ^ -^ - + ... + a1x ^ - + a0y = x a Pm(ln(*)) cbt"_________ dx__________________ donde m es el grado de Pm (ln(x)) También estas ecuaciones se resuelven en forma similar al caso anterior. Integrar las siguientes ecuaciones de Euler. 665) x 2y"+xy'-y = 0 Solución Sea x = e* => t = lnx además: d y _ . , d y d 2y _ lt d ^y dy dx dt dt dt dt que reemplazando en la ecuación diferencial se tiene: e 2t ,e~2t (—— - — ) + - e l ,e~* — - y = 0 , simplificando d t2 dt dt d 2y— - y = 0 ecuación homogénea de coeficientes constantes. d t2 A2 -1 = 0 => Aj =1 , A2 = -1 la solución es: y(t) = c^e1 + c1e~t 666) x 2 y' '+3xy'+y = 0 Solución Sea x = e* => t = lnx además: dy_ = e-,dy_. ( 1 423 A2 +A + 6 = 0 => A = — ± ------i de donde: 2 2 (1 4 V 23 , -3 V 23, y (0 = c1e 2 eos —— f 4-c2e 2 sen - — r 1 -723 , V23 . .por lo tanto: y = — [cx eos -ln x 4- c2 sen ——— ln x] - J x 2 2 668) xy"+y'=0 Solución Sea x = ex => t = lnx además: 7 2 , d y . r - 7 t ( d y ^ dx dt ’ d i2 d t2 di t -21 ,d y dy _t dyreemplazando se tiene: e .e (— -—) 4- e — = U d i2 di di 2^ = 0 => A2 = 0 ==> A = 0 de multiplicidad 2.d y A _ 1 2 .2di1 y(t) = cl +c2t => j/ = cj4*c2 lnx 669) (* + 2)2 y ’ '+3(jc 4- 2 ) / - 3 y = 0 Solución Sea x 4- 2 = e r => t = ln(x 4- 2) además: d2y _ r - 2 ' ( J 2y dy , dx dt ’ d t2 d t2 dt reemplazando en la ecuación diferencial se tiene: 336 2 e 2' .e-2' (~7y - - 37) + 3e' .e“' — - 3y = 0 , simplificando A] = - 3 , A2 = 1 => >»(/)«scj«' + c2e~3' y = ci (x + 2) + - C2 (x + 2)3 670) (2x + l)2y ’- 2(2jc + l)y + 4^ = 0 Solución Sea 2x + l = e ' = > t = ln(2x + l) además: — = 2e~' — ; úi* í/í dx2 dt2 dt reemplazando en la ecuación diferencial e21 Ae~2'(~—t~- — ) - 2e'2e~ ' — + A y ~ 0 , simplificando dt1 dt dt d 2y a dy . A d 2y „ dy — f - 8 - f + 4 ^ = 0 => — f - 2 — dt dt dt dt sea A2 - 2A +1 = 0 => A = l d e multiplicidad 2. y(t) = cle‘ +c2te‘ dedonde: y - c l {2x+l) + c2(2x + l)ln(2x+l) 671) x 2y"'-3xy''+3y'=0 Solución 337 Sea x = e‘ => t = lnx además: dy , dy d 2y _ 2 l d 2y _ d y d ' y _ y * d \ y ■ dy * ■ ' i ¡ ’ * r _ {w * h i ? - e V V É L . u - ± , dx dt dx2 dt dt d t3 dt3 dt2 dt reemplazando en la ecuación diferencial dada , * * - * ( í ! f - 3 + 2 ± ) + V .4«-" & - * ) + 2 « - ÉL , o d i3 d t2 dt d t2 dt dt 4 - 8 ^ -4 - + 5 — = 0 ecuación homogénea de coeficientes constantes, de d t3 dt2 dt donde: 4 A - 8A + 5A = 0 => A. = 0 , A2 = 1 h— , A3 = 1 — 2 2 _y(í) = Cj + 02«* cos-^ + c3e ' s e n - j , de donde ,, ln(2x + l) ln(2x + l)y = c¡ +c2 (2 x + l)co s—---------+ c3(2x + l)sen ------------ 675) x 2 y' '+xy'+y = x(6 - ln x) Solución Sea x = e' => t = lnx además: ^ L = e - ' ^ y d y = e - 2,( - - — dx dt ’ dx2 d t2 dt reemplazando en la ecuación dadas se tiene: ,2 e 2' £ 21 +e ' £ ' — + y = e ' ( 6 - 1), simplificando d t2 dt dt 340 dt y g (t) = q eos t + c2 sen t y g = q eos ln x + c2 sen ln x ™ t 1 7 lnx 7 ^ = ( ^ + 5 ) * ' => y P = - - + j => se tiene: .F = .V * + .F » = ci cos(ln x) + c2 sen(ln x) - + — * ^ 2 2 676) x 2y"-;xy,+y = 2* Solución Sea x = er => t = lnx además: 2 2¿/y úíy y g = q x + c2x ln x además y p (t) = A t2e t => y p (t) = t 2et y p = x ln 2 x y la solución general es: y = y g + y^ es decir que: y = q x + c2x ln x + x ln 2 x 2 + = (6 - r )e r, sea A2 +1 = 0 => Aj = / , Á2 = - i 341 2 ,, , „ 16 lnx677) x 2y" -xy '-3 y = ----------- x Solución Sea x = e { => t = lnx además: Q L= e -L y g =cxx + c2x 2 y p (í) = Ate2' + Bte' + C dedonde y p (t) = te2‘ +2tel +\ => y p = x 2 \nx + 2\nxjc + \ entonces: y = y g + y p = ci x +c2x 2 + (x2 +2x)inx+i 679) x 2y''+xy'-y = x m, |m |* 1 Solución Sea x = e ‘ => t = lnx además: ^ y .= e ~‘ ^L d— y .= e - 2‘( ^ l z dy. dx dt ’ dx2 d t2 dt Reemplazando en la ecuación diferencial dada. e .e 1 ( -¿-) + er .e 1 - y = emt, simplificando se tiene: dt dt dt d 2y mt ~ T ~ y - e y ecuación diferencial no homogénea. A2 -1 = 0 => A¡ = 1, A2 = -1 de donde: 343 yg(t) = cle' +c2e~' => yg = ci* + y e m1 x m y ( í) = A e m => y p (O = - 5 — entonces: y p = - 5 — F m -1 m -1 c2 x m Porlotanto: y = + y p = CjX + — + — ^ 7 x w — 1 680) x 2y"+4y'+2y = 2 ln 2 x + l2x Solución Sea x = e ' => t = lnx además: g2' £ - 2t(— ^ - ^ . ) + 4e'.e~f — +2y = 2 /2 +12e', simplificando vd ,2 dt dt ^ Z + 3 ^ + 2y = 2 í2 +12e' => A2 +3A + 2 = 0 entonces: rfí2 A. = - 1 , A2 = -2 de donde: y (í) = cxe ^ +c2e 2' => y g = - ^ + - j X X y p (t) = A t2 +Bt + C+De' => y p (t) = t 2 -7>t + l+ 2 e ' y p = ln 2 x - 3 ln x +7 + 2x y la solución general es: y = yg +yp = — + -^y + ln 2 x -3 1 n x + 7 + 2x x X Porlotanto: y = — + —^ -+ ln2 x - 3 ln x + 7 + 2x x x 2 344 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALESPEl COEFICIENTES VARIABLES. Las ecuaciones diferenciales de orden n, de coeficientes variables son de la forma: d n y d n ly dy a n (x) “TV + a n - 1 W — — + . . . + a¡ (x) —- + a0(x)y = f ( x ) dxn dxn dx Donde a0(x),ax(x),...,an(x) y f(x) son funciones de variable real y continuas en un intervalo. Suponiendo que an (x) * 0 entonces se tiene: d n y d n~ly dy + bx (x) — — +...+ bn_x (x) — + (x)y = g (x) ... (a) dxn dxn 1 dx La solución de la ecuación (a) es la suma de las soluciones particulares y la solución general de la ecuación homogénea correspondiente. Si se conoce una solución particular y x (;t) de la ecuación. d ny dxn + (x) ~ - ~J +... + b„_¡(x)^f + bn(x)y = 0 dx dx ... (1) Se puede rebajar el orden de esta ultima en una unidad (sin dejar de ser lineal), haciendo, donde z es una nueva función incógnita y poniendo después z'=u [se puede hacer directamente la sustitución]. Si se conoce un sistema fundamental de la ecuación homogénea correspondiente (1), la solución general de la ecuación no homogénea (a), se puede hallar mediante cuadráticas por el método de variación de las constantes. La solución general de la ecuación (1) tiene forma: y = cl y 1+c2y 2 +... + cny n ...(2 ) Donde c¡,c2,..., c„ son constantes arbitrarios. 345 La solución particular de la ecuación (a) es: y = cl (x)y1 + c2(x)y2 +...+ cn(x)yn ... (P) Donde c¡ (x), c2 (x),..., c„ (x) son funciones incógnita de x por determinarse. Para determinar las funciones incógnitas se forma el siguiente sistema: Sea c¡(x)yl + c2(x)y2 +.~+cn(x)yn =0 Entonces: y xc\ (x) + y 2c\ (x) + ...+ y nén (x) = 0 (I) y\c\ (x )+ y \c \ (x) +... +y[c[ (x) = 0 y¡n' l)c\ (x) + y {2 nc[ (x) + ...+ y („n~l)c[ (x) = f ( x ) al resolver el sistema (I) se tiene: — 1- ^ ~ = f j ( x ) , i = 1,2,..., n dx donde: c{ (x) = J (x)dx , este resultado se sustituye en ((3). Veremos para una ecuación de segundo orden. y"+P(x)y'+Q(x)y = R(x) Donde y Xfy 2 es un sistema de soluciones. Luego la solución particular es: y p = cx (x)yx + c2 (x)y2 donde cx (x) y c2 (x) Son funciones por determinarse, para esto formaremos el sistema siguiente: W w + w i M - o dedonde (r|cj i*) + 7I3C2 (x) = R(x) 346 w [ y i , y 2] = y 1 y 2 y\ y '2 ' ■ y \ y \ - y \ y 2 entonces: c|(x) = cj2(x) = 0 y 2 R{x) y 2 -R ( x ) y 2 f -R ( x ) v2 , = ™ --------- entonces: c, (jc) = -----¿ dx W Tv„y,l U J ^ b w 2]W[yi ,y2] W[yx, y 2] y\ o y\ *(x) yi&(x) W[yx,y2] W[yu y 2] entonces¡s: c2 (x) = J ,M (x ) w [yx ,y2} dx Integrar las siguientes ecuaciones (y j ,y 2) son soluciones particulares de la ecuación homogénea. 681) x V ’'-3x2/ '+6xy'-6y = 0 , y l = x , y 2 = x 2 Solución x = e dx dt ? 4 > 'dx dt dt dx dx dt dt Reemplazando en la ecuación diferencial dada. d r dt d t2 dt dt - d 3 y d 2 y dy T T - — T +11 —— 6y = 0 , ecuación diferencial homogénea. d r d t2 dt A3 -6A 2 + l lA - 6 = 0 => A, =1, A2 = 2, A3 =3 y (0 = c¡er +c2e 2' +c3e3' dedonde y = cxx + c2x + c 3x 3 347 682) (x 2 - 1 ) / ' = 6 y , y es un polinomio. Solución Como y x es una solución particular luego otra solución particular es y 2 = y xz donde z es una función incógnita que se encuentre derivando y reemplazando en la ecuación dada obteniéndose la solución general. y = c¡ (x 3 - x ) + c 2 ( 6 x 2 - 4 - 3 ( x 3 - x ) l n | ^ j | En el mismo criterio se calcula los siguientes ejercicios. 683) (2x+1)y' '+(4x - 2)y'-Sy = 0 , y x =emx Solución y = cxe~2x + c 2 ( 4 x 2 +1) 684) ( x 2 -x )y " + (2 x -3 )y '-2 y = 0, y x es una fracción racional en cuyo derojminador figuran factores lineales (los divisores del coeficientes de y ' ') . Solución Sea y j = y xz de donde la solución general es: Ci y = c1y 1 + c2y 2 de donde: y = — + c2(2 x -3 ) x 685) (3jc + * 2 )y' -6(1 + x)y'+6y = 0, y x es un polinomio Solución Sea y 2 = y xz la otra solución particular donde z es la función incógnita de donde la solución general es: y = cx jc3 + c 2(x + \ ) - x 348 Solución y = y xz => y '= y [ z + y xz' => y\ = y f z + 2y¡z + y,z" x 2(lnx-lX y'}z+ 2y[z '+ y1z " ) - x y \ z - x y íz'+y1z = 0 ( x 2(ln x - l)yf - xy\ + y x)z + 2 x 2(ln x - l)j>{z'+x2 (ln x - l)y ,z" = xy¡z' = 0 y¡ es solución => x 2(lnx-1)^]1 - xy\ + y¡ = 0 2x 2 (ln x - l)j>| z'+x 2 (ln x - l)y , z' '-xyl z'= 0 2 x 2 (ln x -1 )z'+x3 (ln x - l)z"~x2z' = 0 , simplificando (2(ln x -1) - l)z’+x(ln x -1 )z' ’ = 0 , separando la variable zM 2 ( \ n x - l ) ~ k „ . _ + ---- ------------ = o , integrando se tiene: z x (ln jc-l) ln z’+2 ln x - ln(ln x -1) = ln c entonces: i , x 2 i , c (ln jc-l) .i n z - -------- = lnc => z = ------ ------, integrando se tiene: \ n x - l x 2 686) x 2( lnx- l)y"-xy'+y = 0 , y¡ = x y = ciyi +c2z = c1x + c2 lnx 687) y''+(gx - 2c tg x)y ’+2c tg2 x.y = 0 , y x = sen x Solución 349 y = zy¡ => y '= y \ z + y xz \ y"= y \ z + 2y\z'+yxz" y' '+(tg x - 2c tg x)y'+2c tg2 x.y - O y fz+ 2 \z '+ y1z"+ (tg x -2 c tg x )y \z+ (tg x -2 c tg x )y¡z '+ 2 c tg 2 x.y¡ = 0 0>{ + ( tg x -2 c tg x ) l1 + 2c tg 2 x.yx)z + y xz"+{2y\ + tg x -2 c tg x )z ' = O como y x es solución entonces: .yj1 + (tg x - 2c tg x)y¡ + 2c tg x.yx = O de donde: y x z’ '+(2_vJ + (tg x - 2c tg x)_y, )z' = O sen x.z' '+(2 eos x + tg x sen x - 2c tg x. sen x)z' = O sen .z’ ’+(2 eos x + tg x. sen x - 2 eos x)z’ = O zf *— + tg x = O => ln z'+ ln sec x = ln c z' z' sec x = c => z '= co sx => z = sen x por lo tanto y 2 = y xz = sen x sen x la solución general es: y = c¡ senx + c2 sen2 x y ' tg x ./+ eos2 x.y = 0, y x = cos(senx) Solución >>j = cos(sen x) => y \ = ~ sen(sen x) eos x y = z.y¡ => y'= zy\ + z 'y x , y '= ^ } z + 2 ^ J z ’+>'1z" y \ z + 2y[ z'+y¡ z ' '+ tg x .y \z+ tg x.z' y x +cos2 x._y,z = 0 (.Vi + tg XA + eos 2 x.y¡ )z + y¡ z' '+2y\z'+ tg x.yx z'= 0 como y 1 es solución entonces: y \ + tg x.y J -feos x.yx = 0 de donde y x z' '+(2yJ + tg xy)z' = 0 entonces: cos(sen x)z' '+(-2 sen(sen x). eos x + tg x. cos(sen x)z' = 0 z" — - 2 eos x. tg(sen x) tg x = 0 ln z’+2 ln(cos(sen x)) + ln sec x = ln c ln z'. eos2 (sen x). sec z = lnc , . cosx z = k ---- ---------- = 1 + cos(2 sen x ) , integrando eos (senx) f cosx ,z = l ---- ---------- d x - k tg(sen x) J eos (senx) y = cly l + c2y 2 = Cj cos(sen x) + c2 cos(sen x). tg(sen x) y x = cx cos(sen x) + c2 sen(sen x) 689) (1 + x 2 )y"+xy'-y + 1 = 0 , = x Solución y = zyx => y '= zy[+ z 'yx, y''= y \z + 2y\z\ +ylz" (1 + x 2 )0 'J z+ 2_y|z’+.V! z") + x(zy| + z 'y 1) - 2 y 1 +1 = 0 ((l + x 2)yf +xyl1- y 1) + z + (l + x 2 )(2 y[ z'+y¡ z") + xy¡ z'+1 = 0 351 como y x es solución entonces se tiene: ((l + x 2XyJ +xy\ - j | ) z + l = 0 de donde (1 + x 2 )(2y\z'+yxz " ) + xyxz ' = 0, simplificando ( l+ x 2)(2z'+xz")+x2z'=0 entonces: (2 + 3 x2 )z'+x(l + x 2)z" = 0 , separando la variable z" 3x2 + 2— + ----------------------------------------- = 0 entonces: ln z'+3x - arctg x = c z' x 2 +l ___ 2x2 z = x arctg- - J l+ x ------- entonces: 2 y = cxx + c 2(x2 a rc tg x -W l + x 2 - - y - ) 690) x 2y ' ' -x y ’-3 y = 5x4, y x = Solución e 2' _e~2r (— — - — ) - e ' ,e~' — - 3 y = 5e4' , simplificando jy ,(í) = e 4' => ^ = ^ 4 3 c 2 4y = ^ + y P = c xx +-— + x 352 691) (4xz - x)y''+2(2x-1 ) y ' ^ y = \2 x¿ - 6 x , y , = - x Solución En forma similar que el ejercicio anterior se tiene: Cj y = 2y x obteniéndose: y = cl (2x -1 ) + — + x 692) y y'-y'+ye2x = xe lx - 1, y x = senex Solución Sea y ’= z y \+ z 'y l ==> / ’= j^ j1 ^ h - 2 j ^ j 2T1 ’ que reemplazando en la ecuación dada se tiene la solución general. y = y g + y p es decir: y = x +cx cosex + c2 senex 693) y +y tgx = --------- senjc Soiución C dy d 2 y dp iSea — = p => — — = — de donde dx dx2 dx dp— + tg x.p - c tg x. cos x ecuación lineal, cuya solución es: dx P ~ e ^8 c tgx. cos xdx + c] , integrando p = eln(cosjc)[ J e ln(SQCx)ctgx.cosxdx + c] p = cos x[ f c tg x. cos x sec xdx + c] — = cos x[ln(sen x) + c] J dx 353 — = eos x. ln(sen x) 4- c. eos x integrando: dx y - J (eos x. ln(sen x) + c. eos x)dx + k entonces: v = c. sen x + sen x. ln(sen x) + k 694) (x +1)3 y" '+3(x + 2)2 y+(x + l)y = 6 ln(x +1) Solución Sea x + \ = el => t = ln (x + l) dy__ dy_ ¿ V = - n J 2)’ dy rfx dt ' dx2 d t2 dt reemplazando en la ecuación dada. * 3 r e~2t (— ^ - — ) + 3e2í .e 7 + e* y = 6 t , simplificando ~ ' d t1 dt dt (L jL + 2 — + y = 6?e_í => A2 +2A + 1 = 0 => A = -1 de multiplicidad 2. ¿ f 2 * ’ . c, cln(x +1) +-«— + x + 1 - = í 204r + 2?)e_í => vp (t) = t 3e~t y - de donde la solución general es: x + 1 q + c2 ln(x +1) + ln3 (x +1) y=>y*+y p =* ^ x + 1 354 695) x ( x - l ) y " - ( 2 x - l ) y ,+2y = x (2 x -3 ) , ^ = x 2 Solución Sea y = ==> y¿= y jz + z 'y i , / ' = yj,z + 2yjz'+y1zlf x(x - 1)0/ J z + 2y { z'+j/j z’ ’) - (2x - l)(y{ z + z 'y l ) + 2ylz = x 2 (2x - 3) (x (x-l)y}1 -(2 x -l)y J + 2 y 1)z + 2 x (x -l)y lz ,+ x (x -l)y 1zM- - ( 2 x - l ) z 'y 1 = x 2(2x -3 ) como y x es solución entonces se tiene: (x(x- l)y} - (2x- l)j/J + 2y1) = x 2 (2x - 3)x x 2 (2x - 3)z + 2x(x - l)y \z'+x(x - l)yt. zf !-(2x - l)z' y x = x 2 (2x - 3) x 2 (2x - 3)z + 2x(x - l)2xz'+x(x - l)x 2 ¿ '-(2 x - l)x2 z' = x 2 (2x - 3) x 3( x - l ) z ,f+ (4x3 - 4 x 2 - 2 x 3 + x 2)z '+ x2(2 x -3 )z = x 2(2x -3 ) x 3 (x - l)z' '+2x2 (2x - 3)z'+x2 (2x - 3)z = x 2 (2x - 3) x(x - l)z' '+(2x - 3)z'+(2x - 3)z = (2x - 3) resolviendo la ecuación se obtiene que: y - c\y\ + ^ 2^1 + yp de donde al sustituir se tiene la solución general: y = x 3 +cxx 2 + c2(2 x - l) 696) Una cadena de 6m. de longitud se desliza desde una mesa sin rozamiento. Si el movimiento comienza desde el momento en que cuelga lm. de la cadena. Cuanto tiempo tardara en deslizarse toda la cadena. 355 Solución M W = m g = (— —)y donde y es la longitud del trazo de la cadena que cuelga. ▲ T Wy - T = mya T = mHa Wy - m Ha = mya Wy =(mH +my )a = Ma M . Como Wy = (—— )y . . . (2) W„ Ma = Como d 2y ,dy' g d y g dt = t y d r y '2 = — y2 +c 7 L 356 *L dt y +c integrando y reemplazando sus valores se tiene: t = I— ln(6 + ~j35)seg 697) Hallar la ecuación del movimiento de un punto sabiendo que la dependencia a la aceleración del tiempo se expresa por la formula a = 1.2 t, si para t = 0, la distancia s = 0 y para t — 5 la distancia s = 20 Solución a = 1.21 m a = 1.21 d t 2 = 1.21 => ds _ r d t ~ J1.2 td t + c ~ = 0.612 +c => í = 0.2í3 +ct + k parat = 0, s = 0 dt entonces: k = 0 => s - 0.2í3 + ct para t = 5, s = 20 entonces: 20 = 25.5 + 5c de donde c = -l por lo tanto: s = 0.2ti - t 698) Un cuerpo de masa m se desliza sobre un plano horizontal a causa de la acción de un golpe que ha originado una velocidad inicial V. Sobre el cuerpo actúa la fuerza de rozamiento igual a - km. Hallar la distancia que es capaz de recorrer el cuerpo. Solución t = 0 t V F = -km = ma => a = -k de donde a = d 2x ~dt2 = - k 357 dv d x . .Entonces: a = — = -—=- = -/: => v = -kt + c dt di2 Para t = 0, v = v0 => c =v0 v = -k t + vfì => v = — = -/ri + v{) ==> v = 0 0 dt t = - dx di fV0/* = -k t + v0 => x = Jo (-/tf + v0)di / kt X = ( ------— + v00 v0 /A = > X = 2* 699) Un punto material de masa m = 1 se mueve por una recta acercándose a un centro por el cual es repelido con una fuerza igual a kx (x es la distancia del punto al centro) para t = 0, x = a, = ka . Hallar la ley del movimiento. Solución . V 2— max0 = x| = además x/r x = i 2 , Vw — — = £ x para m = 1 se tiene: ¿ r2 ¿ 2X f2 *’dx' ,2 dx I 2 2— - = k x => ------ x => — = ^Jk x +c d t1 dx dt ktIntegrando y reemplazando los datos se tiene: x = ae Empleando el método de variación de las constantes integrar las siguientes ecuaciones. 358 700) y"+4y = 1 eos 2x Solución A2 + 4 = 0 => Aj = 2/, A2 = -2/ => = q eos 2x + c2 sen 2x La solución general de la ecuación diferencial dada es: y - c¡ (x) eos 2x + c2 (x) sen 2x donde cx (x ) , c2 (x) son funciones incógnitas de x, para hallarlas formamos el sistema: eos 2xr{ (x) + sen 2 x.c[ (x) = 0 - 2 sen 2x.cj (x) + 2 eos 2 x j c \ (x) = 1 eos 2x resolviendo el sistema se tiene: 0 sen 2x eos 2x 2 eos 2x sen 2x.sec 2x eos 2x sen 2x - 2 sen 2x 2 eos 2x , x f ~ ~ , lncos2xcx (x) = sen 2x, sec 2x dx = ----------- + cx 4 (x > = cos2x - 2 sen 2x 0 Ì eos 2x 1 / \ x ,------ ------------------- - — entonces: c2 (x) = — + Ci 2 eos 2x + 2 sen 2 x 2 2 . / ln(cos2x) ,v . , x y = eos 2x(----- -----* + q ) + sen 2x(— + c2 ) eos2x.ln(cos2x) x por lo tanto : y = ---------- -- ---------+ - sen 2x + c¡ eos 2x + c2 sen 2x 359 701) y"+y = ìg2 x Solución A2 +1 = 0 => A! = / , /*2 ” de donde = q cosx + c2 senx La solución general de la ecuación diferencial dada es: y = q O) eos x + c2 (*) sen x donde cx (x) , c2 (x ), son funciones incógnitas de x, para hallarlas, formamos el sistema: *!(*)« 0 sen* tg 2 x eos x eos x sen x -s e n x eos* = -tg~ x.senx C\(x) = j* — tg 2 x.senx dx = J - ( s e c 2 x - 1 ) senxdx) cx (x) = - J (tg x. sec x — sen x)dx — ~ sec x —eos x + q eos* 0 -se n * tg 2 X eos* senx -se n * cosx = eos X. tg X c2(x) = -Jtg2 x.cosxdx = J ( s e c x -e o s x)dx c2 (x) = ln[tg(-^ + ^ )] - sen X + c2 4 2 ,n x . >> = ( - sec x - eos x + c¡ ) eos x + (ln[tg(— + — )] - sen x + c2 ) sen x ,n x_ y = c\ eos x + c2 sen x + sen x ln[tg( ~ + —)] - 2 360 ~e x 702) v " - v = - — e* - l la solución general de la ecuación diferencial dada es: y = Cj (x)e ^ + c2 M e “*, donde cx (x ) , c2 (x) son funciones incógnitas de x, para hallar las formamos el sistema. exc\ (x) + e~xc2 (x) = 0 e *c\ (x ) -e ~ xc2 (x) = — e x -1 Solución A2-1 = 0 => Aj = 1, A2 =-1 de donde _)/ = Cje* + c2e~x , 0 e~x 2ex.... o * 2 ex - i ex -1 1 H1H 2 e-1 -1 ex - e ~ x ci(x) = j ~ - = in(ex - l ) - x + c, ex 0 e x 2ex 2ex e x -1 e x - l e x ex H1 - 2 e x - e x - e ~ x c2(x) = - ¡ ^ - p ^ = j ( e x +l + - ^ — )dx • e -1 J e -1 361 c2(x) = ~ A != 0 , A2 = 1 dedonde y g = c1+ c2ex y la solución general de la ecuación diferencial dada es: y = c¡ (x) + c2 (x)ex, donde c, (x ) , c2 (x) son funciones incógnitas, para hallarlas formaremos el sistema: c\ (x) + e*c2(x) = 0 0r} (x) + e xc2(x) 1 e x +1 q (x ) = 0 1 e x +1 \ + ex 1 e* 0 e ' dx l + ex C\ (x) = - = ln(ex + 1) - x+c, J l + ex - x ) cosx 362 C2 - x ) = |1 0 lo ex + l 1 1 e J 0 cx (x) = _ j ...p .------- = 2 ^ t g x T c 1 Vsen x.cosx 4 ( x ) = cosx -se n x 0 1 Vr*“ 5sen‘ x.cosx cosx cosx senx - sen x cos x -v/r—5sen xcosx c2(x) = J Vi cos xdx _ f sec 2 xt¿c _ ____ 2 sen5 x.cosx tg3 x + c2 >>„ = cos x(2Jc tg x + c, ) + sen x(— + c 2 ) 3^/tg' x _y = c i cos x + c 2 sen x + 2 cos x-Jctg x + 2 sen x tg 3 x y+_v = l (eos 2x)3 / 2 Solución A2 +1 = 0 =» Ai = z , A2 = - i dedonde: =Cj cosx + c2 senx , y la solución general de la ecuación diferencial dada es: y = q (x )co sx + c2(x)senx donde q(*)» c i ( x ) son funciones incógnita de x, para hallar formaremos el sistema siguiente: cos x.cj (x) + sen x.c2 (x) = 0 - sen x.c\ (x) + cos xjc\ (x) = — ------ rr 1 (cos 2x)^ c\ (x) = (cos 2x) 0 senx 1 cosx 3 / 2 senx cosx senx - sen x cos x (cos 2x) 3 / 2 , integrando (X) = - J sen x dx (cos2x) cosx 3/2 - r= T = + ciVeos2x 4 ( x ) = cosx -se n x (cos 2x) 3 / 2 COSX cos x sen x -senx cosx (cos 2x) 3 / 2 , integrando r cosx 1= ---------- T-T-dx = - senxCl (x) = I . . . ---------------- J (cos2x) Vcos2x + c2 / cosx senx7 = (— p = = - + c1)cosx + (-^ = -----+ e2)senx Vcos2x vcos2x >' = q cosx+ c2 senx-Vcos2x 2x3 h-jc2 - 4 x - 6 Solución A3 -2A 2 -A + 2 = 0 => A, = -1 , A2 = 1, A3 = 2 y g = cxe~x +c2e x +c3e 2x y la solución general de la ecuación diferencial dada es: y = cl (x)e~x +c2(x)ex + c3(x)e2x donde c¡(x),c2(x),c3(x) son funciones incógnitas en x , para hallarlas formaremos el sistema. 365 e Xc\(x +exc[(x) + e 2xc\(x) = 0 -e ~ xc\ (x) + exc[ {x)+2elxc\ (x) = O e~xc\ (x) + e xc\ (x)+ 4 e iXc\ (x) =2 x \ 2x3 + x 2 - 4 x - 6 W = e~x e x e2x 2 x-e~x e x 2e ex 4e 2x = 6e 2x i , ^ 3X/2x 3 + x 2 — 4x — 6 1c¡W = e (--------j-------> - 2x e~ ,2 x3 + x 2 - 4 x - 6 .' ---------------- ) integrar c^(x) = 3e*(- 6 x 2x3 + x 2 - 4 x - 6 ^ 1)------ entonces: 6e i 2x3 + x 2 - 4 x - 6 . c [ ( x ) --------- — «------- integrar: 2exx ,1 ---- l í —- ) —L— entonces:c\(x) = 2(- 2a* i 2x3 + x 2 - 4 x - 6 . „4 (x ) = -------- — -------- integrar 3e2x de donde la solución se tiene: y = Cje* + +2* 366 707) y"+y I-----------mmmtm 3 / s _ _ 7 „ _ _ _ 8'sen x.cos x Solución A2 +1 = 0 => A¡ = i , A2 = - i de donde: =c¡ eos x + c2 s e n x , y la solución general de la ecuación diferencial dada es: y = q (x) eos x + c 2(x) senx donde c¡ (x) , c2(x) son funciones incógnita de x, para hallarlas formaremos el sistema. eos x.cj (x) + sen x.c\ (x) = 0 - sen x.c{ (x) + eos x r 2 (x) = * ........... V sen7 x.cos8 x c (x) = 0 senx 1 cosx sen7 x.cos8 x senx cosx sen x Vsen7 x.cos8 x Vi -se n x cosx 3/ 4'v'sen x. eos x . . f senx ate r cAx)~->v- t:..., , -J1 csc2 x dxsen x.cos x q (x) = 3^/dgx+Cj entonces: cosx 0 1— sen r -------------- -------- Vsen7 x.cos8 x cosx senx - sen x eos x cos* Vsen7 x.cos* x 367 c 2 ( * ) = I I 7 o ~ J 3/ 7 8 ' \¡sen x. eos x tgx.^sen x.cos x f eos xdx f dx_______ c2(*)= J sec2 xdx tgx . ^ 7 4 tg 4/3x + c 2 y = Cj eosx + c2 sen x + 3ljc tgx - 4/3 ^ 708) y " -2 y + y = — - x l +1 Solución A2 - 2A +1 = 0 => A = 1 de multiplicidad 2. y g = c¡ex + c2xe*, y la solución general es: y = Cl(x )e* +c2(x)xe* donde q (x ) , c2(x) son funciones incógnita de x, para hallarlas formaremos el sistema. e*c\ (x) + xe*c2(x) = 0 I Ie*c\ (x)+ ex (x + \)c\ (x) = - y —- x +1 q (x ) = xe * 2 + l e x (x + X) - x e 2 x e" xe ex ex (x + X)| - xdx = * ±.L = ----- í — , integrando e lx x 2 +1 ci(x) = J ^ ci(x) = - ^ ln(x2 +1) + Cl 368 c \ (x )= 0 „X x 2 + l e xe e x e x(x+l) —=------, integrando x 2 + l (X) = J dx 77 7 c2 (x) = arctg x + c2 y = e x(~ ln 4 x 2 + l+ c1) + xex (arctgx + c 2) y = e x ( - ln^/x2 +1 + CJ ) + xeJC(arctgx + c2) J' = eJr( - ln -Jx 2 +1 + Cj +xarctgx + xc2 ) 1709) y"+2y'+2y = e senx Solución A2 +2A + 2 = 0 => A j= -1 ± / dedonde y g = ce x cosx+ce x senx la solución general de la ecuación dada es: y = c¡ (x)e~x eosx + c 2 (x)e~x sen x , donde c¡ ( x ) , c2 (x) son fondones incógnita de x, para hallarlas formaremos el sistema. e x eos Xjc\ (x)+e x sen x r 2 (x) = 0 - e~x (eos x + sen x)c¡ (x)+e~x (eos x - sen x)c\ (x) = 1 e senx Resolviendo el sistema y reemplazando se obtiene la solución general. y = (cl -x )e~ x eosx + (c2 + in (sen x )ex senx 369 710) y " - y = e - x cose* Solución A2 - A = 0 => ^ = 0 , A2 = 1 de donde y = c1+c2ex y la solución general de la ecuación diferencial dada es: y = c¡(x) + c2(x)ex , donde c ,(x ), c2(x) s o n funciones incógnitas de x, para hallarlas formamos el sistema. ílc| (x) + e x c2(x) = 0 [0c{(x) + e*c2(x) = e 2x cosex resolviendo el sistema se tiene la solución general: y = c1ex +c2 - eos e ' 7 1 1 ) / ' + / = - — x Solución A2 +A = 0 => A¡ = 0 , A2 = - l de donde y = cl +c2e~x y la solución general de la ecuación diferencial dada es: y = Cj (x) + c2 (x)e~x , donde c, (x ) , c2 (x) son funciones incógnitas de x, para hallarlas formamos el sistema. c[ (x) + e~xc2 (x) = 0 Y , por la regla de Cramer 0 r! ( x ) -e ~ xc[(x) = — x resolviendo el sistema se tiene la solución general. y = cx + c 2e 'x +e~xj ^ —d x - l n | x | 370 712) y ”+3y'+2y = X (x+1)2 A2 +3A + 2 = 0 => A¡ = -1 , A2 = - 2 , y = c¡e~x +c2e~2x y la solución general de la ecuación diferencial es: y ~c¡ (x)e~x + c2 (x)e~2x, donde (x ) , c2 (x) son funciones incógnitas de x, para hallarlas se forma el sistema. e~xc\ (x)+ e~2xc[ (x) = 0 (* + l)2 f e 2xresolviendo el sistema se tiene: y - cxe~x + c2e~2x + e~2x | -dx J Solución x + l 713) y"+y = \ X Solución 2 A +1 = 0 => A ! = / , A2 = - i de donde: y = cx eos x + c2 sen x y la solución general de la ecuación diferencial dada es: y = ci (x)cosx + c2(x)senx , donde cx(x) , c2(x) son funciones incógnitas de x, para hallarlas se forma el sistema. eos x.c[ (x) + sen x.c\ (x) = 0 , , i , por la regla de Cramer, - sen x.c\ (x) + eos xjc\ (x) = — x resolviendo el sistema se tiene: r cosx , r senx ,y = cx eosx + c2 sen x -co sx ------ ¿üx-senx ------- dx j X j X 371 xy'-{\ + 2x2 )y '=4xi ex Solución Sea y '= p => y"= ~ reemplazando en la ecuación diferencial dada x - - ( \ + 2 x1)p = 4 xyexl => — - { — + 2x)p = 4 x 2e xl ecuación lineal dx d x x - í - ( —+2jt)aLt f í - ( —+2jr)it - 2 p = e * [ j e * 4x e x dx+c], integrando — ~ x e xl[[4xdx+c] => — = se* [2x2 +c] ¿y = xe** (2x2 + c) integrando por partes se tiene: y = c¡ex2 +(x2- l ) e x +c2 y " -2 tg x .y ’=l Solución i J „ y '= p => y"= — reemplazando — - 2 tgx./? = 1 dx dx . - f -2 tg jr.títr f f - 2 t g x.dx ecuación lineal p - e J [ \ e J dx + c] p = e 21n(secjc)[ j z i^ ^ d x r+ c ] entonces: p = sec 2 x[J eos2 x dx + c] entonces: dy 2 .x . — = sec x(— + sen x eos x + Ci) d* 2 1 dy x 2 2 i= — s :c x + tg x + Cj sec x integrando se tiene; y = cl tgx + ^ -(l + x tg x ) + c2 716) x l n x . / ’- y ^ l n 2 x Solución y ’= p => v " = ™ reemplazando x ln x — - p = ln2 x dx dx — -— p = ecuación lineal cuya solución es: dx x ln x x f dx f ^ ^ ^ = e jrln* [j*c *lnx - ^ d x + C j], efectuando la integración p = exmx){ \ e A^ x)— dx + Cl} J X dy— = ln x(ln x + Cj) integrando se tiene: dr y = c1(ln x ~ l)x + x (ln 2 x - 2 1 n x - 2 ) + c2 717) xy”+ (2 x - \ ) y '= -4 x 2 Solución y '= p => y M= reemplazando en la ecuación diferencial dada dx x — + (2x-l)/? = -4 x 2 de donde —- + ( 2 - —)/? = ~4x dx dx x 373 - f ( 2 ~ ) d x f [ ( 2 - - ) d x ecuación lineal p = e 1 [ l e x {-Ax)dx + cx] p = xe~2x[—j 4elx dx+cx] => p = xe~2jr[-2e2* + c j — = -2x + cxxe~2x integrando tenemos: y = cx(x + \ ) e ~ 2x - x 2 +c2 dx 2 718) ('x - l )y"-xy '+ y = ( x - l ) 2ex , y x = ex Solución Sea (x - í )y" -xy '+ y = 0 de donde y = y¡z siendo z una función por determinarse es decir. y = y¡z => y '= y[z + y {z' => y"= y \ z + 2y\z'+yxz" (x - l)Cy j1 z + 2y\z'+yx z" ) - x(y {z + y x z ' ) + y x z = 0 ((x- l)_y}' - xy[ + y l ) z + ( x - 1)(2y\z'+yxz " ) - x y xz'=0 como y¡ es solución entonces: ( x - l ) y \ - x y \ + vx - 0 de donde { x - \ ) { 2 y \ z \ y xz " ) - x y ,z '= 0 (x - \ ) (2 exz'+exz") - xexz' = 0 => (x - l) (2 z '+ z " )-x z '= 0 (x - l)z' '+2xz'-2z'-xz' = 0 => (x - l)z "+ (x -2 )z '= 0 z" 1entonces: — + 1-------- = 0 => lnz '= ln (x -l)-x + C ! z' x —1 entonces: z = -ce '* => y 2 = -ex entonces: + c2>'2 =c1e x +c2x y mediante variación de las constantes se encuentra la solución general es decir: x 2 y = cxe x + c2x + (— - x ) e x 374 Soiución Sea y = j i z => j ^ ^ j z + ^ z ’, / ,= y{lz + 2j;jz,+yIz" Reemplazando en la ecuación dada se tiene: y \ z + 2y[z'+ylz' '+y\z + y¡ z'+e~2x y x z = 0 {y\ +y[ +e~2xy i )z + y lz''+2y\z'+ylz'=0 como y j es solución entonces se tiene: y \ +y[ +e~2xy¡ = 0 de donde y¡z''+2y\z’+y¡z" = 0 => .yj = e~* sene-* cose~*.z"+(2e~'t sene’-' +cose 'Jr)z '= 0 7" _ _ — + 2e x tg +1 = 0 integrando; lnz'+21ncose~* +x = 0 => lnz'.cos2 e~x = - x entonces: z'= e~x .sec2 e~x => x = \ge~x Luego y 2 =y¡z = cose~x tge~x =sene~x y g =cx cose~x +c2 sene~x y por variación de las constantes se tiene la solución general: y = c1 cose~x + c 2 sene~x +e~x 110) (x4 - x 3)_y"+(2x3 - 2 x 2 - x )y ' -y - i y x = - X X 719) y"+/+e-'xy = e-3x, y¡= c o s e “' 375 Solución Para (x4 - x 3) / '+ (2 x 3 - 2 x 2 - x ) y ' - y = 0 = => y ' = y \ z + y i z ' ■> y " —y \ z + 2y\z+y \ z (x4 - x 3)0>Jz + 2_y[z,+iy1z") + (2x3 - 2 x 2 -x ){y \z + y xz ')-^yxz - 0 ((x4 - x 3) ^ 1 + (2x3 - 2 x 2 - x ) y \ - ^ ) z + (x4 - x 3 )(2^}z'+>'1z") + + (2x3 - 2 x 2 - x ) y \ z ' como y x es solución entonces se tiene: (x4 - x 3)j>» + (2x3 - 2 x 2 - x ) y \ - y x =0 de donde: (x4 - x 3)(2.y|z'+v1z,,) + (2x3 - 2 x2- - x)^1z'= 0 x 2 (x 2 - * ) ( - — x '+ - z " ) + (2x2 - 2 x - l ) z '= 0 x 2 x - 2 ( x 2 -x)z'+xz”(*2 - x ) + (2x2 - 2 x - l ) z '= 0 entonces: x(x2 -x )z " -z '= 0 =s> 47 = — T — 7 z x(x - x) ln z' = f ( - ~ — L. h— — )dx = - ln x + ln(x -1) + — J x jc2 x - l x i , i x - \ t t z 'xln z = ln ------+ 1 => ln --- = 1 x x - l jn I .JL - _L => z '= e l /x ——— integrando z = el/xx x - l x x y 2 = y xz ~ el/x dedonde y = cxe llx + y la solución general de la ecuación diferencial por medio de variación de las constantes. Se tiene; l/jr c2 1 lnx Kn los problemas que siguen se indica el sistema fundamental de soluciones y lf y 2 de la ecuación homogénea correspondiente. 721) (eos x - sen x ) / '+2 sen x ./-(sen x + eos x)y = ex (eos x - sen x ) 2, y x = ex , y 2 = senx . Solución La ecuación diferencial escribiremos en la forma: 2 senx , sen x +cosx - y - ' y = e x (eos x - senx) eos x - sen x eos x - sen x La solución general de la ecuación dada es; y = cx {x)yx + c2 (x)y2, donde cx (x ), c2 (x) son funciones incógnitas de x por determinarse. c\ = 0 senx e* (cosx-sen x) cosx - e x sen x(cos x - sen x) e x senx e x (cosx -sen x) ex cosx cx = ~senx => q (x) = eos x + cx c\ = e* 0 ex ex (co sx - sen x) e 2x (cosx -sen x ) ex sen x ex cosx ex (cosx -senx) 377 722) /. y - c¡ex + c2 sen x + ex (cosx + sen x) xy”- y ' - 4 x i y = I6x3ex , y ¡ = e x , y 2 - e ~ A . Solución c \ = e x => c2 (x) = ex + c 2 , reemplazando en la solución general -y = (cosx + c1)eA + (ex + c2)senx 1y " — v'_4x v = l6x ex . La solución general es: x ' y = c¡(x)y1 + c2(x)y2 => y = e ' c¡(x)+e~x c2(x) ... (1) ex cj(x) + e a’ c2(x) = 0 2xex‘c \ (x ) -2 x e x c\(x ) = \6x~e c\ (x) = 0 \6 x 2ex -2xe~ x 2xex - 2xe x - 16x -4 x = 4x c}(x) = 4x => c1(x) = 2x‘ + q 4 ( * ) = e x' 2xe 0 l ó x V ' 1 6 x V * 2 xle 2xexl e -2 x e “*2 -4 x = -4xe 2 x ¿ Cj (*) = 4xe2j:2 => c2 (x) = e 2j2 + c2 , reemplazando en la solución general y = (2x¿ +c1)ex + (-e lx +c2)e + c 2e -A +(2x - l ) e x 378 722) xy" -y~4x V = 1 6 x V 2, y x = e v‘ , >2 = e '*2 . Solución y " - —y '-4 x 2y = l6 x 2eJf . La solución general es: >; = ci W J i + c2(x)_y2 => ^ = c,(x) + e 'AÍc2(x) ... (1) é?a c{(x)+e jc2c2(x) = 0 2xex c j(x )-2 x e_Jr2c2(x) = 16x2e Jr¡ c{(x) = 0 e~x 1 6 x V : -2xe~ x* 2xex - 2xe -16x -4 x = 4x cj (x) = 4x => c¡ (x) = 2x2 + C] c \ (x )= ex* 0 2xexl 1 6 x V ’ \6x2e2xl exl -X2e ~4x 2xe -2xe~x* = ~4xe I x 1 c2 (x ) - ^xe => c2 (x) = e*r +c2> reemplazando en la solución general J> = (2x +c1)ex + ( - e 2x' +c2)e~ /. y - c xe x +c2e x +(2x2 - l ) e x 379 723) x ( l - x l \x)y"+(\ + x 2 \nx)y '-(x + V)y = ( l - x l n x ) 2ex , y \ - e x , ,y2 - l n x Solución l + x 2 lnx , x + l (l-x ln x )e* y ^ x(l — jclnjc) ■' x ( l-x ln x ) La solución de la ecuación diferencial es: y - c¡ (x )yx + c2 (x)y2 = e*C\ (x) + ln x r 2 (x) exc\ (x) + ln x.c2 (x) = 0 r i 1 i , 1 -x ln x x e *c (x) + - c\ (x) = -------------e x x y= - ■C (x) = 0 1 - x ln x */»•* lnx 1 X X e* lnx e* I X 1 -x ln x v ,----------- .e .lnx x ----- - = - ln x e x(— - ln x ) x c\ (x) = — ln x => Cj (x) = -x ln x + x + c¡ c \ (x )= e* 0 1 -x ln x , e -----------e 1 -x ln x 2x -----------£ e x lnx e* - x — = e ex (— lnx) x c\ (x) = e x => c2(x) = ex +c2 , reemplazando en la solución general y = ( - x ln x + x+c¡)ex +(ex +c2) lnx y = cxex + c 2 lnx + (l + x -x ln x )e * 380 4(x2 + x)) ' '+2(2x +1 )y '-y = 2^ 1 x 1 +x I _ 2^2 , Wx--i i > y ] ^ 4 2 ’ = a/x , >>2 = Vx + 1y i Solución 1,, (2x + l) , 1y + —-------— y ----------------v = — ===== 2(x2 + x) 4(x2 +x) 2-slx2 + x La solución de la ecuación diferencial es: y = c\ (x)y\ + c2 (x)y2 de donde y = -Jxc{ (x) + -~Jx + \c2 (x) formando el sistema: Vxcj (x) + -y/x + lc[ (X) = 0 i i , ; . i 2~sfx c[ (x) + 2 ^ x + l 4 ( x ) = 2^[x/ + x c\ (x) = 0 Vx + 1 1 1 1 2 ^ x 2 + x 2-^x + l 2->/x Vx Vx+1 1 1 1 2 ^ x 2 + x 2-Vx 2^Jx + l = Vx + 1 cJ(x) = Vx + 1 => c1(x) = | ( x + l)3/2+ c1 cj, (x) = 0 1 1 1 2^[x 2 ^ x 2 + x 2 Vx + 1 r x Vx + 1 1 i 1 2^/x2 + x 2^[x 2-Vx + l = -VxTT 725) c[(x) = -yjx + Í => c2(x) = — ( x + l)3/2 + c 2 , reemplazando en la solución V = (— (x + l)3/2 +C])J x + (c 2 - ^ - { x + l) i ,2 )4x +1 3 y = cl -Jx+ c2^ x + l+ — J x ( x + lhJx + l - — (x + l) eos x .y" - sen x eos x.y’-y = sen x , ^jí=0 = = se c x ’ ^ 2 = tS ; Solución y ' t g xy '- sec2 x.y = tg x. sec x La solución de la ecuación diferencial dada es: V = c, (*)>>! + c2 (x)j>2 es decir: y = sec x.q (x) + tg x.c2 ( x ) , calculando los q (x ) , c2(x), í sec x.cj (x) + tg x.c2 (x) = 0 se tiene el sistema: I q (x ) = x - tg x + q c'2(x) = secx 0 sec x. tg x tg x. sec x sec x tgx secx. tgx sec2 x te x. sec x—----------- = tg x. sec x secx 382 y = (* - tg x + q ) sec x + (sec x + c2) tg x y = xsecx + q secx + c2 tg x , para x = 0, y = 1 => 1 = cl y = x sec x + sec x + c2 tg x , derivando tenemos: y '= secx + xsecx .tgx + secx.tgx + c2 sec2 x para x = 0, y'= 1 => l = l + 0 + c2 => c2 =0 i * * *+1 por lo tanto: y = x sec x + sec x = ----- f- cosx 726) sen x.y” + 2 eos x.y '- sen x.y = 2 eos 2x x 1 y \x=i = ° > y\ = — .vi i —2 2 senx senx Solución c\ (x) = tgx. secx => c 2(x) = secx + c2 . . . . ~cos2x ,y +c tg x.y - y = 2 -------- , cuya solucion general es: senx y = c¡ (x)y{ + c2 (x)y2, reemplazando el y 1, y el y 2 se tiene: x 1 y = -------.C\ (x) + --------c2 (x ), donde c, (x) , c2 (x) sen x sen x se calcula formando el sistema de ecuaciones: x 1 J.c\ (x) + ------- r -2 (x) = 0 sen x sen x ! = £ ! ! £ *i M - f S i *5 ( ; r ) . ! 2 i ? í sen x sen x sen x 383 cj(x) = sen* 2 cos2jc c tg x sen x sen x 1 2 eos 2x - T " = 2cos2x sen x sen x 1 -x c tg x c tgx sen* sen* c¡(x) = 2cos2x => c,(x) = sen2x+*, 4 ( x ) = X 0 2 eos 2x 2xcos 2x senx 1 -x c tg x senx senx sen2 x _ 2xeos2x X 1 -1 sen2 x senx senx 1 -x c tg x ctgx senx senx sen2 x c2(x) = x 2 + 2 x c tg x + x 2 -21n(senx)+*2 c2 (x) = 2 x2 + 2x£ tg x - 2 ln(senx) + k2 V = (sen 2x+kx)+ —— (2x 2 + 2xc tg x.2 ln(sen x )+k 2 ) senx sen* para x = ^ , y = l , y '=0 se tiene: y = senx 727) 4xy"+2y'+y - 1, lim y = 1, = s e n j x , y 2 =cos*Jx y -++oo Solución 384 y ''+ y'+ -7- y = — , la solución general es: 2x 4x 4x y = q (x)_v, + c2 (x)_y2 de donde al reemplazar se tiene: 7 = sen -Jx£¡ (x) + eos 4 x jc2 (x ), para calcular c, (x ) , c2 (x) se forma el sistema de ecuaciones siguiente: sen a/x .c{ (x) + eos -Jx~c\ (x) =• 0 c o s a / x i , „ sen V x , , 1 , por la regla de Cramer 2-Jx - r j ( x ) - — = - 4 ( x ) = — 2yX 4x c{(x) = 0 eos Vx 1 sen Vx 4x 2Vx sen Vx eos Vx eos Vx sen Vx 2-[x 2 Vx eos -Jx 4x eosVx 1 2^fx l 4 x I / \ eos Vx ¡—ci \x) = -j=~ => d (x) = sen -Jx + kx 2-Jx 4 ( x ) = sen Vx 0 eos Vx 1 sen Vx 2 Vx 4x 4x sen Vx sen Vx eos Vx 1 2 Vx eos Vx sen Vx 2 Vx 2Vx 2-[x i / \ sen yx /— c2 (*) = ------ 7=~ => C2 (x) = eos Vx + k2 2 Vx j- ( s e n V x +kl )sQn-fx + (cosVx +k2)cos^[x , de donde: 385 y = 1+ c, sen Jx + c 2 eosJx , de las condiciones se tiene: Jim y = l => C[ = c2 = 0 por lo tanto: y — 1 jr->+oo 728) 4xy' ’+2y’+y = ^ y = 1 Solución 6+ x , , , 1 .... * ____6+ x 724xy' '+2 y'+y = - J - , de donde / ' + — / + — y - Como la solución es y = cx (x)yx + c2 (x)v 2, al calcular c, (x ), c 2 (x) tomamos lim y = 1 obteniéndose la solución: ,v = — X->+00 _ X 1 * 729) (1 + x 2)y"+2xy'=----- y ' lim y ~ ~ T ’ ^*=0 '=0' 1 + X x-*+oc O Solución ? r 1 d2y dP v"+------T y '= -------Y T sea y z z p ^ T T _ X' l + x2 (1 + * 2) dx dx de donde: ^ +- ^ r P = ------V t ecuación Unea1’ cuya solución es: dx 1+x (1 + x ) f 2xdx r2xdx p ~ e T+”? [ J e ’ !+Jt2 ___ ^ 2 + > efectuando las integrales dy__ — + c j dx J (1+X2)2 dy 1 ,__ ____ . arctg x c (arctg x+ c) = 386 para x = 0 , y'= 0 => 0 = c dy arctgx arctg2 x f— = -----Zj- => y = ---- 5— + ¿ dx 1 + x 2 como /z/w y = — *->+00 8 por lo tanto: y = rr2 rr 2tc n f t => — = — + ¿ => k = 0 8 8 arctg2 x 730) ( l - x ) / '+ x / - y = ( x - l ) V , lim y = 0 , y\ =1 , y x = x , y 2 = e x y —>-oo Solución y ' ----- y'-----— = ~{x ~ l)ex , la solución general es: 1 -x l - x y = cl (x)y1+c2(x)y2 de donde cx(x ) , c2(x) se calcula mediante el sistema de ecuaciones siguientes: \x.c\(x)+e* ¿[(x) = 0 \c[ ( x ) - e x c \ (x) = - ( x - \)e , por la regla de Cramer c{(x) = 0 e‘ - ( x - l ) e x e } e 2x( x - l ) x e 1 e 1 = e e ' ( x - l ) c[(x) = ex => c1(x )= e * + k 1 c2 (x) — X 0 1 i vT i V H - x ( x - l ) e x x ex e x{x - \) 1 e* = - X 387 x 2 y = ( e x +kl )x + (— — + k 2)ex entonces: 2 x 2 y = clx + c2ex + xex >' = ^ +x (2 - ln x )2 731) 2x (2 - ln x )y + x (4 - ln x ) y - y ------j=— c !j(x )= -x => c1(x) = - ^ Y + k 1 lim y - 0 , y x = ln x + y 2 =-Jx y - > + 00 Solución „ 4 - ln x , 1 .. 2 - ln x La solución general es: y = c¡ (x)y¡ + c2 (x)y2 es decir: y = ln x£\ (x) + 4~xc2 (x) y formaremos el sistema para calcular c, (x ) , c2 (x ) . ln x.c\ (x)+ -Jx£ 2 (x) = 0 1 i / \ 1 | ¡ -v 2 - ln x — £ J (x) + — r - £ 2 (*) - 2 r~ x 2Vx 2x V* c}(x) = 2 0 - ln x ■Jx 1 2 - ln x 2 x l '[x 2-Jx 2x2 _ 1 lnx r x 2 - ln x x 3/2 1 0 2-Jx X 2 Vx 388 732) Ci(*) = -T7T => Cj(x) = -= + C i x Vx I _^ 4 (x > = lnx 0 1 2 - ln x 2x 24 x lnx -Jx _1_ 1 x 2-Jx ln x(2 - ln x) 2x2-7x 2 - ln x ' 2-fx lnx T T I , -v lnx lnx 1 ................................. c 2 W = — c2 (*) = ~ + ^ 2 > reemplazando en la solución general. >> = (— ^ + c , ) l n x + ( — + - + c 2)4x ■Jx X X y = cl \ nx + c 2J x - ^ í - + - ^ para que lim y = 0 ; c, y c2 deben ser -s/x Vx y-^+cc cx = c2 = 0 de donde la solución es: 1 -ln x 4~x y + l y - y m 4e*t ¡¡m ^ = 0 , ^ — I , , j, » £ _ j, »J X v—>—oo '■*- O £ x ' ' ljr=~ e ' *'1 2 _ x Solución La solución de la ecuación diferencial dada es: + c 2(xXv2 es decir: >^ = c1(x)— + c2(x)— donde cx (x ), c2(x). Calcular mediante el sistema siguiente: c\ (x) + ~ z r + —r c2 W = 0x - x i e í( jc -1 )c| rr'i e ' x(*+1) e_jtCjW 5------------- 389 c}(x) = - e x - r *(* + !) x x 2 e ~ 2 ~-2x e - X— - e ' x (x+\) x ex{x - \ ) c}(x) = - X -2 x e 2x C\(X) =---- — + q C[(X) : — 0 X e*{x-X) e~x X2 X e x - e e'(jc-l) - e *(*+!) 1 Xc\ (x) = - — => c2 (jc) = - — + c2, reemplazando en la solución general. , e 2x . e x x e xy = (---- — + c ,)— + ( - —+ c 2) —— 4 x i x ex e~x e~x e~xv = c , ------------+ e-,-------------- , derivando ' x 4x 2 x 2 (x -1 ) e ' (x + l) ex(x+l) t e — -j-------- ------ c2 ------ -^-----*— 4 x ¿ para x = -l, / = — se tiene: e 390 1 2cl e — = -------+ — entonces: e e 2 c i =- e 2 + 2 tomando lìm y - 0 se tiene la solución general de la ecuación y —> -o o diferencial dada, y = (x - \ ) e x 733) x 3(Inx - l ) y ' ' - x 2y'+xy = 2 In x , lim y = 0 ,y ¡ =x, y 2 = \nxy-++oo Solución .. 1 , 1 2 In* y —~ ---~ y =x ( ln x - l ) - x 2( ln x - l ) x 3( ln x - l ) La solución general de la ecuación diferencial dada es: y = ci (x)yx + c2 (x)y2 , donde c¡ (x ) , c2 (x) se calcula mediante el sistema x.c\ (x) + ln x.c\ (x) = 0 c ¡ ( , ) + l 4 , „ , 2 I n ^ _ x x (lnx-1) 0 21nx lnx 1 21n2 x x 3( ln x - l) X x 3( ln x - l) 21n2 x x Inx i i , X X II Xa71 X , , In X lnx 1 C1 ( X ) = ------- — ------ r-----------+ Cj x L X2 X 391 c\ (x) = x O j 2 lnx x ( ln x - l) x lnx i i x 2x lnx x 3( l n x - l ) __ 2 lnx 1 - ln x x 2 l / ^ 21nx 21nxcUx) = -r— => c2 (x) = -----------------21nx + c2 r 2 X , ln2 x lnx 1 v .21nx y = (----- y-------- 2— " + + ----------- 2lnx + c2 )lnx x 2 x 2 x ln2 x lnx 2 i v = cix + c2 ln+---------------- -2 In x — 1 X X 734) (x2 - 2 x ) / f+(2“-x 2)/-2 ( l-x X y = 2 ( x - l ) , V i= x 2 , y 2 = ex Solución „ 2 - x 1 , 2(1 - x ) _ 2 ( x - l ) y - x 2 - 2 x x 2 - 2 x ' x 2 ~2x La solución general de la ecuación dada es: y = Cj (x)y1 + c7 (x)>’2, donde c¡ (x ) , c2 (x) se calcula mediante el sistema x í c\ (x) + exc\ (x) = 0 2xcJ (x) + exc\ (x) = - :- x -2 x c[(x )= 0 e’ 2(x - l ) , x 2 -2 x x 2 e r 2x ex 2 e* (x -l) x 2 -2 x e*(x2 - 2x) = —2(x — 1) 392 ' c\ (x) = -2(x -1) => c1(x) = - ( x - l ) 2 +c, 2 x 2 ( x - 1 ) J - 2 x 2x2( x - l ) e*(x2 -2 x ) e* 2 4 ( » ) = 2* 1 — ‘i => c2 (x) = -2 e _Jt (x3 + 2x 2 + 4x -1 ) + c2 e* _y = (—(x —1)2 +cx)x2 + -2e~*(x3 + 2 x 2 + 4 x - l + c2)e* y = clx 2 +c2e x -2e~x (x s + 2 x 2 + 4 x - l ) - x 2( x - l ) 2 4 ( x ) = x 2x 0 2 (x - l) x 2 -2 x x 2x 393 COMPOSICION DE LA ECUACION DIFERENCIAL! ""d a d o EL SISTEMA FUNDAMENTAL DE| s o l u c i o n e s ! Si el sistema de función y,(.v).y: (x).....y„(x) linealmente independiente en el segmento |a.b], que tiene derivadas hasta el orden n inclusive. Entonces la ecuación. y, (.v) y; (.v) ... >„ -2 .rv"sen2 .r2 -2.vy"cos2 .v: + 4 x 2y'sen.v2 cos.v2 - 4 * 2/ e o s * 2 sen a2 - -8.vJycos2 x 2 - y 8 . r sen2 x 2 = 0 - 2xy ' (sen2 .v2 +cos2 v2)-8 .t\v (c o s2 x 1 +sen‘ V ) - 0 jrv"+4jr\v = 0 => y"+4.v"y = 0 739) y, ( v) = x , y 2(x) = e TEOREMA.- Si las series p(x) = akx k y q(x) = * son convergentes k =o *=o para |x| < R, la serie de potencia (3) construida del modo indicado anteriormente también es convergente para estos mismos valores de x y es solución de la ecuación (1). En particular, si p(x) y q(x) son polinomios en x, la serie (3) será convergente para cualquier valor de x. 2) Desarrollo de la solución en una serie de potencias generalizada. DEFINICION.- Una serie de la forma. QO x p ^ c kx k , (c0 *0 ) ...(6 ) k= 0 00 donde p es un numero dado y la serie de potencia ' ^ ¡ckx k es convergente en cierto *=o recinto |x| < R, se llama serie de potencia generalizada. Si p es un número entero no negativo, la serie de potencia generalizada (6) se convierte en una serie de potencia ordinaria. TEOREMA.- Si x = 0 es un punto singular de la ecuación (1) cuyos coeficientes p(x) y q(x) admiten los desarrollos. 00 00 2 > . * ‘ Z m ‘ * * ' — . — - m X X Donde las series que figuran en los numeradores son convergentes en cierto recinto jxj < R, y los coeficientes ¿Zq , y bx no son simultáneamente iguales a ^ero, entonces la ecuación (1) posee al menos una solución en la forma de serie de potencia generalizada. 00 y = x p ^ c kx k , (c0 0) ...(8 ) k= o que es convergente al menos en el mismo recinto |x| < R. 398 Para hallar el exponente p y los coeficientes ck es necesario poner la serie (8) en la ecuación (1), simplificar por x p e igualar a cero los coeficientes en distintas potencias de x (método de los coeficientes indeterminados). En este caso, el numero p se halla de la ecuación llamada determinativa. p ( p - l ) + a0p + b0 =0 . ..(9 ) Donde a 0 = lim xp(x), b0 = lint x 2q(x) ... (10) * -> 0 x - > 0 y 7 suponiendo que P\ y p 2 son las raíces de la ecuación determinativa (9) Distinguiremos tres casos. I o.- Si la diferencia p x - p 2 no es un numero entero o cero, se pueden construir dos soluciones de la forma (8) 00 00 y i(x ) = x Pl^ c l x k , (co * 0 ) , y 2( x ) - x A Xk , (A0 * 0 ) k=0 k-Q 2o.- Si la diferencia p x - p 2 es un entero positivo, por lo general, solamente se puede construir una serie (solución de la ecuación(l)). 00 y \ { x ) = x p' ^ c kx k . . . ( í i ) *=0 3o.- Si la ecuación (9) posee una raíz múltiple p x = p 2 también se puede construir solamente una serie (la solución (10)). Este claro que en el primer caso las soluciones y x (x) e y 2 (x) construidas son iinealmente independiente. En el segundo caso y tercer caso, se ha construido solamente una solución (10) señalemos sin exponer la demostración, que si la diferencia p x - p 2 es un número entero positivo o cero, además de la solución (10) habrá una solución de la forma. 399 y 2 =Ayx(x)\nx + x Pi'YáAkx k k=0 00 . ( 12) Vemos, pues, que ahora y 2 (*) contiene un sumando complementario de la forma Ay2(x) Inx donde y x (jc) se expresa en la forma (10) OBSERVACION.- Puede ocurrir que la constante A en (11) sea igual a cero, y entonces, para y 2 resulta una expresión en forma de una serie de potencias generalizada. Integrar mediante series las siguientes ecuaciones diferenciales. 768) y'-2xy = 0 , y(0) = 1 Solución oo Suponiendo que y = ^ cnx n es la solución de la ecuación diferencial. n=0 oo y'=^T^ncnx n~l , reemplazando se tiene n=i 00 00 ncnx n~l - 2 x ^ cnx n = O, poniendo en una misma potencia a x n=l n=0 00 00 £ ( n + l )cn+xx n = ^ 2 c nx n+l = 0 n~0 n=0 00 00 ^ (n + 2)cn+1x n+l - 2cnx n+l = 0 , poniendo los inicios iguales n= -1 n- 0 400 q + | > + 2 ) c B+2* ”+1- ¿ 2 ÍVt'’+1 = n=0 n=0 C i + ¿ ( ( « + 2)cn+2- 2 c n)xn+1= o »=0 c i = 0 ( n + 2 ) c b+2 = 2c„ c»+2 - • 2c„ n + 2 a 2c0para n = 0 , c2 = = c0 i 2cin = 1 , c3 = - j - = 0 n = 2 , c4 2c2 Cq 4 2 2c3 «n = 3 , cs = — - = 0 5 n = 4 , c6 - 2 c 4 C4 C0 4 + 2 3 2.3 - 2c5 n = 5 , c7 = -— . = 0 n = 6 c 2Cfi c° ’ * 8 4! „ _ c 0 c2n ~ .n\ regla de recurrencia. £o 3! 401 y = 'YJc2nx n = X ^ 7 * 2" = c°eX n=O n=O H’ - x 2n tl\ para x = O, y = 1 = c0 , de donde y = ^ 769) 4 x / ’+2/+>> = 0 Solución Como x = 0 es un punto singular regular entonces la solución en la serie 00 y = ^T/ cnx n+r , donde r(r - 1) + p 0r + q0 = O y p 0 = lim^xP{x) y B=0 q0 = lim x 2Q(x ) x—>0 Luego v"+ — v'+ — y = O siendo /*(*) = — , £?(*) = -r - 2x 4x 2x 4 x P0 = lim xP(x) = lim x(— ) = —, q0 = lim x 2Q(x) = /iw x 2 — = O 0 jr_>0 w x->0 y2x 2 x->0 *-+o 4x r ( r - 1)+—+ 0 => r 1 - r + — = 0 2 2 r 1 1 r 2 — = 0 => r (r — ) = 0 => r{ = 0 , r2 = — 2 2 2 para rx se tiene: y = ^ ^ cnx n , de donde n=0 00 00 y ' = ^ n c nx"~1 => _y"= ^ n ( n - l ) c nx n~2 , reemplazando en la ecuación »=1 n=2 402 00 00 4 * ]> \(flM )c„ ;t"“2 + 2 ^ > jc nx'’“1 + ]£c„;c" = 0 «=2 n=l n=0 ~ ^ orí) 2 ] 4w(w - l)cnx nA + + 2 ] cnx ” = 0 n= 2 n=1 «=0 poniendo en una misma potencia a x. 00 00 00 Y j 4»(» + l)cn+1 JC" + 2(n + l)cn+1x n + Y j cnx n = O »=1 «=o igualando los inicios se tiene: OO 00 4«(« +1 )cn+1x n + 2c, + cn + ]T 2(» + l)cn+1x" + Y JCnx n = O W=1 «-1 00 2cx + c0 + ^ [2 (w + l)(2« + l)c„+1 +cn]xn =0 n=O aplicando el método de los coeficientes indeterminados. 2c1+c0 =0 1 2 2! 2(w + l)(2w + l)cn+1+c„ = 0 ^ _ c„ ^ » 4-1 — ~ 2(« + l)(2« + l) ’ para n = 1, c2 = — — = + -^ !— = — 2.2.3 2.3.4 4! como n= 0 = = Co + C j X + C 2 X 2 + c 3x 3 + . . . «>1 La otra solución es para r = ~ 1n+- y = ^ cnx n+r = ^ J cnx 2 » derivando rc=0 n=0 00 i n_ i 00 1 \ n - - / = Y ( n + - ) c „ x 2 = » v ” = ^ ( k + - ) ( « - - ) c „ x 2 *=0 2 *=0 reemplazando en la ecuación diferencial. V““"< 1 1 n~— n+~Z 4 * ]T (n + - ) ( n - - - ) c nx 2 + 2 ¿ j (n + - ) c nx 2 + ¿ ^ cnx „=0 2 n=0 n=0 ¿ 4 ( « + i ) ( n - | ) c „ x 2 + ¿ 2 {n + ~ )cnx 2 + Y J CnAx 2 =0 „=0 2 2 »=0 «=1 n—i 00 ^ n_L y ' i4«(«+— )c„x” 2 + y c „ _ 1x 2 = 0 , poniendo los inicios iguales 0° J 00 n_I 0 + ^ 4 « ( n + - ) c „ x 2 + ^ / cn_lx 2 =0 OO ^ | n_J_ ^ [ 4 « ( n + -~)cn + cn_,]x 2 =0 n = 1 4n(n + ~)cn + cn_x = 0 , de donde se tiene: c„ =■ Cn \ 4n(« + i ) para n > 1, regla de recurrencia. 404 n 1 c0 c0Para n ~ 1, c\ = ------ -------- 1 2.3 3! ci con = 2, c2 = — — = — 2 4.5 5! 1 como y ^ c nx 2 = 4 x (c 0 +clx + c2x 2 +...) n=0 y = 4x(c0 - — + «c0V?(l-- + ----•••) 3! 5! 3! 5! Luego la solución general es: ^ = q (1- —+ ) + c2V *(l- — + — 2! 4! 3! 5! 770) (1 + x)y'-ky = 0 Solución oo Suponiendo que cnx ” es la solución en series de potencias n=0 00 00 y = ^ w c nx n~1 j>M= rt(rt-l)cn;cw“2 , reemplazando en la ecuación n=l «=2 + - k j ' c nx n = 0 , operando tenemos n=l n=0 00 00 00 = 0 , poniendo en la misma potencia a x. n=l «=1 n-0 OO OO 00 ^ ( / i + l)cn+1x n + J ^ n c nx n —kc0 - J ' k c nx n = 0, poniendo los inicios iguales n=0 n=l n=l 405 c¡ —kc0 f ^ ] [ (n + l)cB+i -nc„ -kc„]xn = 0 n=1 C, = ¿ C n Cj - £ c 0 = 0 ^ (n + l)cn+i - ( n + Ar)c„ =0 c„+1 = - ----- c „ , n > l (w + 1) , 1 + A (l + fc)Ar0 n = 1, c , = ------c, = -------------2 2 1 2 (2 + Ár)c2 (2 + k)(\ + k)kc0 (2 + k)(l + k)kco 3 ~ 23 ~ 3! n = 2, c3 = k ( k - l)...(A'-n + l) c n ~ ¡ c on\ ••• y = c o £ 771) 9x(l-;t)y"-12y '+4y = 0 &(& -1)...(£ -w + 1) „ w!n=0 Solución 00 Sea j; = ^ T c n* n+'' la solución en series donde «=o r ( r - l ) + /?0r+ ^ r0 = 0 siendo p 0 = lim xP(x) y q0 = //w x 2g(x) jc-»0 jc->0 12 - 4 n j ^y ------------- y h-------------y = 0 , donde 9 x ( l - x ) 9x(\ - x) p (x ) = Q , / 2 Y g(x) = Q-n4- - luego 9 x (l-x ) 9x(1-jc) 406 P0 = lim xP(x) = lim — -■-* = l im---- —— = - — *_>o x-+o 9x(l - x) *->0 9(1-*) 3 q0 = lim x 2Q(x) = lim x 2 (---- —— ) = lim ——— = 0 x —>o a -—> 0 9 j c ( 1 - x ) x —> o 9 ( 1 ~~x) 4 1r ( r - l ) - — r = 0 => n = 0 , r2 = - para ^ = 0 , 7 = de donde sus derivadas son n=0 00 00 y % = ^ w c nx n_1 => y = ^ ^ n ( n - l ) c nn~2 , reemplazando en la ecuación n=l n=2 00 00 00 9 x ( l - x ) ^ / j ( n - l ) c njr'’~2 - 1 2 ^ « c nx"‘‘ + 4 ^ c „ x " = 0 n=2 n=l n=0 OD OD OD 00 X 9» ( » - D V M - X 9n(n_1)c»*" _ X 12nc»x" 1 + X 4c'>x" =0 h=2 n=2 n=l n=2 poniendo en una misma potencia a x. OP OO 00 ^ 9 ( n + l)/jcn+1x n - ^ 9 « ( n - l ) c „ x " - £ l 2 ( n + l)cB+,x" + ]T 4 c„x " = 0 n=l n—2 n=0 w=0 OO 00 18c2x+ ^ 9(n + X)ncn+xx n - ^ T 9n (n - \)cnx n -1 2 cx -2 4 c2x - n=2 n=2 OO 00 - ^ 1 2 ( K + l)cn+ix ” + 4c0 + 4c1Jc + ^ 4 c nx" = 0 n=2 n=2 00 4c0 -1 2 c¡ + (4q - 6c2 )x + [3(n + 1)(3n - 4)c„_1 -(3n-4)(3« + l)cn]xn =0 n=2 407 por el método de los coeficientes indeterminados e igualando los coeficientes se tiene: 4co -1 2 c ,= 0 C l= C° 4c, - 6c 2 = 0 3 3(«+1X3« - 4)cn+l - (3« - 4)(3n + l)c„ = 0 C* = J J = J ¿ (3« + l)c„ cn+1 = ----------- > n - 2. regla de recurrencia 3(n +1) 7 7.2c0 1.4.7 n = 2, c, = — c? = ---------= ------- c0 3 3.3 2 3.3.3.3 3.6.9 XT"1 n 2 ^ 0 4C() 2 1-4.7 3= c0 + c1x + c 2x +... = c 0 + — x + — x + J ^ co* +••• »=0 x 4 2 1-4.7 3 .v = c0(l + —+ — X + ------ x +...) ' 0 3 3.6 3.6.9 7 La otra solución se obtiene de la serie para r2 = — 3 7«+— = ~'¿LiCnX 3 ’ derivando n=0 n=0 QO m ^ QO « i . ^w—i 7 n+— 5T~i / 4 T / = 2 j (« + - )c „ x 3 => / ' = 2 ^(« + - ) ( « + - ) c bx *=o 3 >1=0 reemplazando en la ecuación diferencial 7 4 n+~ v”"’ 7 n+T V""1 n+T 9ac( 1 - x)^ ( /2 + -) (« + - ) c„x 3 -1 2 2 ^ (w + t )c^ + 42 . /" * = 0 n=0 3 3 n=0 n=0 » 7 4 n+í ® 7 4 ”+t v-> 7 ”+T ]T 9(« + -)(« + - ) c nx 3 - 2 ^ 9 (n + TKw + T)c»jr 3 - X 1 2 (w+T)c"x + «=0 n=0 w=0 7ra+— n=0 408 30 ^ 00 ^ ^ 7 ^ 9 n(n + - )c„ x 3 -]T(3M + 8)(3H + 3)cr,x" 3 =0 igualando las potencias de x se tiene. 4 Z «+T i *»+—3«(3« + 7)c„x 3 - 2 J3(3« + 8)(n + l)c„x 3 = 0«=0 „=0 o> 4Y—' w+~ n+~ 2^3«(3« + 7)c„x 3 - / 3(3w + 5)(« + 2)cn_iC 3 = 0 n=0 *=1 ahora igualando los inicios oo 4 Z rt+~ x—i n+—3«(3« + l )cnx 3 - £ 3(3« + 5)(» - l)c„_,x 3 = 0n- 1 n=1 Oü *t Z n+—[3«(3« + 7)cb -3 (3 « + 5)(«)]c„_jX 3 =0«=0 3n(3n + l)cn - 3(3n + 5)ncn_x = 0 (3w + 5)(/j) c" = — ---- ^7" cn-1* V n > 1, regla de recurrenciaw(3w + 7) m x 14 , 1.4.7 i L 8x 8.11 2 . 8.11.14 , •’' =C,(‘ V « * + 5 l 9 * + ”)+C!‘ ( T ^ m í S * + T o H n I - ) 772) y"+xy'+y = 0 Solución Luego la solución general es: Sea y = ^ icnxH => y ’= 1 => / ' - £ « < » l)0«* »=o «=i *=2 ¿ ü ( i i “ l)c .* ,,"2 + ¿ « c . * ’ + ¿ c . * * = 0 >1=2 «=1 «=° ¿ « ( « - l ^ x " -2 + ¿ » c „ x " =0 »=2 »=1 "=° poniendo las potencias de x iguales £ ( « + 1)(» + 2)cb+2x" + ¿ Jncnx n + 2 ¿ c nxn = 0 »=0 «=1 «®° poniendo los inicios iguales. 00 30 £ [(n + l)(» + 2)c1,+2+c,,]x', + ^ ncHXxn =0 »=0 »=1 00 2c2 + c0 + £ [ ( « + l)(n+ 2)cn+2 + c H]xn +2_j nc„xn = 0 n=l »=1 uu 2c2 + c0 + y^[(w +l)(n + 2)c„+2 + (n + l)c„ ]x" = 0 »=1 n-2 410 por el método de los coeficientes indeterminados Í2c 2 + Cq =0 \(n + 1)(« + 2)cn+2 +(n + 1 )c„ = 0 1 C1 para n = 1, c3 = ~ ~ c2 ~ ~ co cn+2 = ----- 2tr . V n > \n + 2 n = 2, c4 4 2.4 , c 3 c \n = 3, c5 = — - = — 5 3.5 a C4 C0n = 4, c6 = — - ----- — 6 2.4.6 c c 5 c ln = 5, c7 = — - = ----- — 7 3.5.7 y = c0 + q x + c 2x 2 + c3x 3 + c4x 4 + c5x 5 + c6x 6 +.. 7 = Co +Clx - ^ x 2 - ^ - x 3 + ^ x 4 + ^ - x 5 — ^ - x 6 2 3 2.4 3.5 2.4.6 3.5.7 x + . X X X X X Xy = c0 (1------+ -------------- + ...) + c, (x ------ + -------------- + ...) 2 2.4 2.4.6 3 3.5 3.5.7 773) / '- x v -V y - l = 0 , y(0) = / ( 0 ) = 0 Solución OO 00 00 Sea y = ' £ c nx n => / = ^ wc»x"_1 => y " = ^ n ( n - l ) c nx n~ n- 0 n-2 411 w oo w 5 2 k(/i-1 )cnx n~2 + ]T cnx n =1 n-2 n=1 »=0 2 " ( n " 'l)c«jc""2 _ Z ! ”c»x , ,+ S c»x " =1 n=2 n=l n=0 poniendo las mismas potencias a x 00 00 00 Y i (n + l)(n+2)cn+2x n - ^ n c ^ " + Y j cnx" =1 n=0 n=1 n=0 OO 00 ^ [ ( / i + l)(w + 2)c„+2 + ^ /ic„*n = 1, poniendo ios inicios iguales. n=o n=l qo 2c2 + c0 + ]¡T [(« + l)(n + 2)c„+2 - (« - l)c„ ]c„ = 1 »= 1 por el método de los coeficientes. 2c 2 +Cq = («+1)(/i + 2)c„+2 - (n - l)c „ =0 l - c 0 cn+2 = ( n - 1 )cn (w + l)(w + 2) , V «>1 para n = 1, c3 =0 n = 2, c4 = c2 _ 1 ~ g0 _ l ~ c0 3 A ~ 2.3.4 ~ 4! 2c, n = 3, Ce = -----= 0 => c5 = 0 5 4.5 5 „ - 4 „ _ 3 c4 _ 3 ( 1 - c0)n — 4, —----- —----------- 6 5.6 6! 412 para _y(0) = y ( 0 ) = 0 => c0 = 0 1 _ 1 _ 5C 2 — y C3 — 0 , C A —— , C ( « - l ) c „ * " - 2 - ¿ c „ x " - ¿ c „ x n+2 =0 »»=2 n=0 n=0 poniendo en una mismas potencias de x. I OO OO oo X (" + W»+2)cn+2x n - X c»x ” - Z!C'>-2X'’ = 0 n=Q n- 0 n=2 oo * x - £ [ ( « + l ) ( n + 2)cn+2 - c j * " - J ^ c n_2x n = 0 n-Q n-2 413 poniendo los inicios iguales. QO (2c2 - c 0) + (2.3c3 - c 1) x + ^ [ ( « + l)(n + 2)c„+2 - c „ -c„_2]xn n=2 l c 2 - c 0 = 0 2.3c3 = 0 => (n+l)(n + l )cn+2 —c„ -c„_2 = 0 c2 = ^ 2 2 C 3 = ^2.3 C +■ C ■) c = —2---- «z£_ n > 2, regla de recurrencia "+2 (n + í)(n + 2) 6 c2 + Cq 3c0 para n = 2, c4 = - n = 3, c5 = 3.4 2.3.4 c3 + q 7q 4.5 2.3.4.5 y = c0 + 776) para n = 2, cd . . . 4| n = 3, c< = . . . . 5! c0 -3 c 3 _ 2c0 c, _ . 3.4 2.3.4 c, -4 c 4 1 IjP i 1 K> O 0 1 4.5 2.3.4.5 . c2 ~5cs Os10 c0 =l c¡x2 y =c . -c ,jc + --------+ ... 2 O = C] — O => Cj =0 , 2jc4 2x 2xb 2 7 62 8 y = -1 + --------------+ ----------- x + — x 8 + . . . 4! 5! 6! 7! 8! y"+yex = 0 , y(0) = 1, / ( 0 ) = 0 Solución 416 Sea y = ^ ^ a kxk la solución de la ecuación diferencial dada k= 0 y ' - ^ j k a kx k 1 => y"= ^ k ( k - \ ) a kx k 2 , reemplazando en la ecuación *=1 k = 2 w 00 ^ k ( k - l ) a kx k- 2 +ex ^ a kx k = 0 £-2 *=0 k £ * ( * - l ) a t jt*-2 + ( ^ ~ r ) ^ a kx k = 0 *=2 *=0 *• *=0 *=2 Jfc=0 n=0 W ' igualando las potencias de x. I > + D(* + 2)ak+2x k + £ = 0 £=0 *=0 n =0 n ' £ [ ( * + l ) ( * + 2 )ak+2 + V ^ L ] * * = 0 *=0 t í ' i! k (k + l)(k+2)ak+2+ y ^ = 0 , V k > 0'4-—^ nfnn=0 l k+2 = ------------------ y - ^ L , V k > 0(* + l)(* + 2 ) ¿ n! como y = ' ^ a kx k = a0 +alx + a 2x 2 + ... k = 0 417 es la solución de la ecuación diferencial usando la condición inicial 777) y(0) = 1 => a0 = 1 , y' (0) = 0 => ax - 0 para k = 0, a 2 L V ^ = _£o_ = _ 1.2 “ ni 1.2 1.2n=0 k = l , a 3 = — = - L (fl +a — 2.3 “ n\ 2.3 0 1 2.3 k = 2> a4=~ ¿ ¿ ^ f = " ¿ (fl2+ai+? )=0 4.5 n! 1.2.4.5n—0 1 V « 4 - n ( - D 2 9 5 . 6 ^ „! 41.5.6 como y = a0 + alx + a2x 2 +a3x i + a4x4 +. 1.2 2.3 1.2.4.5 1.3.5.6 y '= l + y 2, y(0) = 0 Solución oo Sea y = ^ a kx k . . . (1) ¿=0 la solución de la ecuación dada Luego y' = kakx k~l , reemplazando en la ecuación k=\ 418 ^T/:£z¿.x* 1 = 1 + (^T akx k)2, dedonde k = l k = o - [ ^ j akx k ] [ ^ / akx k ] = 1 Jt=i ¿=o ¿=o ¿a***-1 - ¿ [ ¿ á na*_Jx* =1 *=1 fc=0 k = 0 ahora poniendo en una misma potencia de x. °° oo k ( k + 1 ) a k + \X — y , [ ’y > a n a k -n 1X = ^ * k=0 k = 0 k = 0 ] ? [ (k + l)ak+1 - j ? a na k_n]xk =1 k = 0 k = 0 oo oo k [_Cl\ ~ ^ \ ^ n^k-n 1 ^ y ty^ k+X ~~ ^n^k-n ^ — ^ *= 0 *=1 *=0 ahora por el método de los coeficientes indeterminados 2 ÍZj £Zq .¿Zq = 1 — ^ (l j — 1 4~ (* + l)a t+1 ~ '^ j an.alc_n = 0 , V k > 1 n=0 Luego a{ = l + «o 1 °° V k > 1 n =0 aplicando la condición inicial y(Q) = 0 como y = ^ a kx k = ao +a\x + a2x 2 + ..., es la solución entonces usando la *=o condición inicial obtenemos y(0) = 0 = a0 => a0 = 0 , de c onde al = 1 778) para 1 1 1 k = 1, a 2 = - ^ a „ a i - „ = - ( a 0-a i + a ,.a0) = 0 n - 0 1 ^ 1 1 k = 2, a3 = — '^ PJ a n-a 2-n =T(ao-a 2 + a l2 + a 2'a o) = T j 3 k = 3, a 4 = - ^ a n.a3.„ = 0 , . 1 Vi 2k = 4, a 5 = ~ 2 j an.ci4_n = — 5 “ 15n=0 k = 5, íj6 = 0 k = 6, a1 = — ¿¡^an-a6-n = 6 17 315 n=0 X"'' ¿ 2 3 4 5como y = 2 j akx ~ a o + a \ X + a2x + a3x +aAx +a5x + ... k= 0 * 3 2 5 17 7y = Jt + — + — x + -----x + . 3 15 317 ÿ = e y +xy, y(0) = 0 Solución Usaremos la serie de Taylor y(jt) = ----- j— x la solución pedida k » k=0 420 Calculando y (k)(0) y ’= e y +xy => y’(0) = e y(0)+0 = 1 y " = e yy'+y + xy' => yM(0) = l y ' = e y y '2+ey y"+2y'+xy" => /" (O ) = 4 y lv = e y y'3 +2ey y' y''+ey y' y' '+ey y" '+ 3 / '+xy'" => y lv(0) = l l reemplazando en la serie de Taylor se tiene: X2 4jc3 l l * 4 53 5 269 4 y = jcH-------- 1--------- h ----------1--------X H---------X + .. . ' 2! 3! 4! 120 720 Hallar las soluciones generales de la ecuación de Bessel. 779) x 2y"+xy'+(4x2 ~ ) y = 0 Solución La ecuación parámetrica de Bessel es jt2/'+jty'+(A2x 2 - p 2) y - 0 cuya solución general es: y(x) = c, J p (Ax) + c2 y p (Ax) Luego A2 = 4 , p = ^ de donde X = 2, p = — Por lo tanto la solución es: y(x) = c1y 1/3(2x) + c2yi/3(2x) 780) * 2y + ^ '+ ( j t 2 - - ) 3 ' = 0 4 Solución 781) 782) La ecuación diferencial de Bessel de orden p es x 2y"+xy'+(x2 - p 2)y = 0 , cuya solución general es: y(x) = c{J p (x) + c2J - A x ) y(x) = clJ l/2(x) + c2J_ll2(x) , , 1 , 1/ ’+ - / + - y = 0 x 9 Solución Multiplicando por x 2 a la ecuación diferencial 2 ,, , X 2x y +xy + — y = 0 7 1 ^ 1de donde A = — , p = 0 => A = — , p = 0 9 3 JC JC La solución general dada es: y(0) = cx J 0 (—) + c2y 0 (—) y ' '+ — y'+4y = 0 X Solución Multiplicando por x 2 a la ecuación diferencial. x 2y''+xy'+4x2y = 0 , de donde A2 = 4 , p 2 =0 => A = 2 , p = 0 Luego la solución es: y(x) = cx J 0 (2x) + c2 y0 (2x) 422 ^ 5 5 vSe observa que /? = — y p - — 4 4 Luego la solución es dado por y(x) = axy 2 [c1J 5l4(x 2) + c2J_5/4(x2)] 783) x 2y '-2xy'+4(x* - \ ) y = 0 Solución 784) x y " + ~ y '+ ~ y = Q Solución Se observa que p - ^ y p = - ~ Luego la solución correspondiente a la ecuación diferencial es: y = $[x [cx J x / 2 {4x ) 4- c2 / 2 (a/*)] 785) j " + - - / + ^ = 0 Solución Se observa que p = 2 y X = 1 Luego la solución general es: y = - —-[cj (*) + (*)] 786) y " + -y '+ 4 y = 0 X Solución Se observa que p = 1 y X = 2 entonces la solución general de la ecuación diferencial y = - [ c xJ l {2x)+c1y x(2x)] x 423 787) / p (x) = J p_x( x ) - ^ J p (x) Solución d n Se conoce que — (xpJ (jc)) = x p J x (.x) dx y y Xpj \ (x)+pxp~[J p (x) = x pJ p_x (x) ...(1 ) además ~ (x~p J p (x)) = -x~pJ p+x (x) (probar) *~Pj \ (x)~px~p lJ p (x) = -x~pJ p+l (x) ... (2) dividiendo a la ecuación (1) entre x p se tiene: j'p (x) + ^ J p (x) = J p_1(x) de donde j'p (x) = j p_l ( x ) - ~ j p (x) 788) j'p (x) = - J p+l(x) + ?-Jp (x) Solución Como ~ ( x - pJ p(x)) = - x - pJ p+1(x) x~pJp (x) - px-pAJp (x) = - x - pJ p+l (x) dividiendo entre x p se tiene: J p (x ) - — J p (x) = - J p+1(x) J lp (x) = ^ J p ( x ) - J p+l(x) Dem ostrar la justeza de las siguientes relaciones 424 789) J p+l (x) = Jp(x)-J p_i (x) Solución Como se conoce que: J p (X) = J p - \ ( x ) - ~ J p (x) j 'p (x) = ^ j p ( x ) - j p+l(x) restando se tiene: 2p J p ( x ) - J p- l ( x ) - J p+1(x )= 0 , de donde 2 p J P+1 (*) = ~ J p (x> ~ J p- i W 790) j 2(x) = j \ ( x ) - - j { { x ) Solución Se conoce que J p+l (x) = ^ J P (x) ~ J P (x ) Para p = l , J 2(x) = - J 1(x ) -J [ (x ) como Jq (x) = —J i (x) => j \ (x) = - j \ (x) J 2 (x ) = J \ { x ) - - J [ (x) 425 791) J 2{ x ) - J 0{x) = lJÍ(x) Solución Del ejercicio 790 se tiene: J 2(x) = (x)- — ,/J,(x) ... (1) 2 p como J p+1(x) = - £ - J p ( x ) - J p_1(x) para p = 1 2 J 2(x) = ~ J l ( x ) - J 0(x) para J¡(x) = -J¡,(x) X J 2(x) = - - J ! 0(x) - J 0(x) . ..(2) X a (1) multiplicamos por-2 se tiene: - 2 J 2(x) = - 2 J ,0(x)+ j J'0(x) . ..(3 ) sumando (2) y (3) se tiene: - J 2 (x) = -2 /J (x) - J 0 (x) J 2(x) = 2J l0(x) + J 0(x) de donde J 2( x ) - J 0(x) = 2 /J(x) 792) J 3(x) + 3/J, (x )+47* (x) = 0 Solución J 2 (*) - Jo (x) - 2/JJ (x) del ejercicio 791 4 ( x ) - y ¿ ( x ) = 27« (X) 2J[ (x) - 2J\ (x) = -4 /* (x) ...(1 ) como J \ (x) = J p~\(*)~ ^ J p (x) para p = 2 426 como j \ (x) = - J p+x(x) + t j p (X) para p = 2 J \ (*) = ~Ji (x) + - J 2 (x) ... (3) sumando (2) y (3) se tiene: 2 J \ (x) = (x) - J 3 (x) 2J\ (x) = -7 |, (x) - J 3 (x) ... (4) sumando (1) y (4) se tiene 2 J \ (x) + 2 j \ (x) - 2 J \ (x) = - 4 j \ (x) - j \ ( x ) - j 3 (x) J 3 (x) + 37o (x) + 4/JJ (x) = 0 793) x 27 ■ (x) = ( p 2 - p - x 2 )Jp (x) + xJp+l (x) Solución , (x ) = y — ___(~ )p+2b L a n\(n + P) \ ( 2 } F ' ¿ — i 2 » ! ( » + / > ) ! Vn=1 j " ( x ) = y i . c -1)"(2w+pX2n ( i ) w - 2 P «!(n + /))! 2 427 , y i , M . ÿ < - 1>‘ (2»+'’X2»+ ', - |) (£ ) - > . . . (1) L a n\(n+ dY. 2n\(n + p)\ 2 n=2 n=0 Z°° p (j> -l)(- l)" I h t , y > 4(— 1)” X 2n+P+2n\(n + p)\ 2 Lmin\(n + p)\ 2n- 0 n=0 tt—2 | y (-l)"4w(w + /?) X 2n+p 4(p + l) x p+2 (2) «!(«+»)! 2 0» + l)! 2»=2 OO n j , r , _ V ^ /*x2n+p+l V i W - Z , 2^ !(m+ l ) , ^ n=0 n=0 x / ,(x) = — ( ~ ) ^ 2 - ÿ ( 1 ) " ?- - ( - ) 2n+^ ...(3) P+1 /> + l 2 (« + />)! 2 * igualando (1) con (2) y (3) + y £ M á l ” A ^ + y ( - d " 4W(i.+ /» X 2n+p n\(n + p)\ 2 « ! ( / / + / ? ) ! 2 . 4(/7 + l) X 2 | 2 (x 2 y (- l)"2 n x 2„+n (p + 1)! 2 (/7 + 1)! 2 ¿ - m \ ( n + p)\ 2 n= 2 00 n ûo Z(-l) (2n+p)(2n+p-ï) x)2„+„ _ y [^-l)+4w(»+^)-2«3(-l)'- x 2n+nn!(/2+/>)! 2 ^ «!(«+»)! 2«=2 ^ 4«2 + /7(/?-l) + 2« (/? -l) + 2n/7 = 4«2 + 4 n p -2 » + p ( p - l ) 429 [s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s d e | [COEFICIENTES CONSTANTES.! Un sistema de “n” ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en las funciones incógnitas x l =y/ l (/), x 2 = y^2(t), •••» x n =li/ n(t ) esdelaform a: ^ - = f l (t,xl , x 2,...,xn) dt ~ = f:2(t,xx, x 2,...,xn) dt , fn xl ’ x2 ’ •••’ xn ) dt donde x { = y/{ (t ) , x 2 = V 2 (0 * • • •* xn = \f/n (t) son diferenciables y con derivadas continuas en (a,b) llamadas soluciones del sistema. Un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de primer orden de n funciones incógnitas se puede escribir en la forma: dX¿ = ^ j an {t)+b' {t) H Si b{(t) = 0 , el sistema se llama homogéneo, y si b¡(t)* 0 el sistema se llama no homogénea. v Existen diversos métodos para resolver estas ecuaciones diferenciales lineales. 430 METODO: REDUCCION DE UN SISTEMA A UNA ECUACION DIFERENCIAL DE n-esimo ORDEN.- Consideremos un sistema de dos ecuaciones: dx d ¡ =ax+by + f ( t ) ...(1) ^ - = cx + dy + g(t) ...(2) donde a,b,c,d son constantes, f(t), g(t) son funciones conocidas x(t), y(t) son funciones incógnitas. De la ecuación (1) despejamos: 1 ,dx ■ reemplazando en (2) se obtiene: de donde al simplificar se tiene A + B ~ + Cx + R(t) = 0 dt dt donde A,B»C, son constantes. Resolver los siguientes de ecuaciones diferenciales: dx 812) dt = 3 - 2 y - = 2 x - 2 t dt Solución 431 de (1) se tiene y = — ( 3 - — ) reemplazando en (2) 2 di d i dx d 2x „ -(—(3— —)) = 2x~21 => -----7r = 2x -2 t dt 2 dt 2dt¿ d 2x d t2 + 4x = 4t es una ecuación no homogénea sea r +4 = 0 => rx = 2i, r2 = -2 / (t) = c¡ eos 21+ c2 sen 2í , la solución particular es: xp = At + B => x'p = A => y"= 0 0 + 4At + 4B = 4t => 4t => 4 A =4 B = 0 A= 1 5 = 0 x p = t y la solución general es: = => x = c¡ eos2 í+ c2 sen2t+t dedonde: y = 1 + c, eos 2/ + c2 sen 21 dx ~dt dy dt = x - 2 y = x+ 3y Solución dx .— = x -2 y ... (1) dt ^ = x + 3y ...(2) . dt 1 dx de (1) se tiene y = — ( x ----- ) reemplazando en (2) 2 dt d r l d r ., 3 ¿ r— [— (x -----)1 = x + — (x ------- ) dt 2 dt 2 dt 1 dx 1 d 2x _ 3 3 dx T J t ~ Y ~ i h 2 ~ XJr~2x ~ Y J t ^—^ - - 4 — +5x = 0 dedonde r 2 - 4 r + 5 = 0 entonces: d t2 dt /•j =2 + i , r2 = 2 - i la solución general es: x = cle 2' eost + c 22' sen t de donde: y = c3e 2’ cosí+ c4e 21 sen t 814) + 3x+ y = 0 dy — - x + y =0 dt , x(0) = y (0 )= l Solución + 3 x + y = 0 & - , + y . 0 dt . . . (1) ... (2) de la ecuación (2) despejamos x, es decir 433 x = y + — reemplazando en (1) dt dy d x . dy A — —+ 4 — + 4v = 0 de la e* uación (1) y = — + 7i reemplazando en (2) se tiene: dt ^ - [ - t-+ 7 x] = -5(— + 7 x )-2 x => — dt dt dt dt + 12 — + 37x = 0 dt r +(12r + 37) = 0 r = -6 ± / x = (c, eos t + c2 sen 0 e “6í de donde y = e 61 [(q + c 2)c o s /- (c ! - c 2)sení] 817) dx - n — = 2 x -9 y di y dy_ dt = x + 8y Solución = 2 x - 9 y dy — = x + 8y * - (1) , de la ecuación (2) despejar x. ... (2) dy x = — - 8j> reemplazando en (1) L f . g ± . 2 ± . U y . 9y d t2 dt dt y — 7^-10 — +25y = 0 entonces: r 2 -1 0 r + 25 = 0 dt2 di entonces: r = 5 de multiplicidad 2. 7 = CjC5/ + c2te5/ dedonde x = (q -3 c xt - 3 c 2)e5t 436 818) dx dt dy_ dt dz — = x + y = j> + z = Z + X Solución dx — = y + z dt dy dt dz ~dt = z + x ■ x + y (1) (2), derivando (1) se tiene: (3) d x dy dz = — + — reemplazando (2) y (3) d t1 dt dt d x d x _ i ,— —= x + z + x + y => — — = 2x + ;/ + z reemplazando (1) d t1 ' d t2 d x dx , , d x dx ^ — — = 2x h-----de donde — --------------2x = 0 entonces: ¿ r2 * dt2 dt r 2 - r - 2 = 0 de donde rx = 2 , r2 = -1 x = Cje ' + c2e2' => y = c i í + c2é ?í => z = - ( q + c 2)e ' + c 2e 2' dx (1)— = y + z dt y 819) dy — = 3x+ z dt (2) dz— = 3 x + y (3) 437 Solución Derivando la ecuación (1) se tiene: d 2x dy dz d t2 dt dt reemplazando (2), (3) en (4) se tiene: d 2x d t2 d 2x d t1 = 3 x+ z+ 3 x+ y de donde = 6 x + y + z •■•(5) reemplazando (1) en (5) se tiene: d x d x , . , , . 2 , . — --------- 6x = 0, de donde r - r - 6 = 0 entonces: r, = 3 ; r7 dt 2 dt 820) x = c¡e 2t +c¡e3' de donde y = — c¡e3' - c 2e 31 - c 3e 1 dx „ dt ... (1) ... (2) = 2x + 8 y - 2 z ... (3) Solución Derivando la ecuación (2) se tiene: d y dz dt = -2 - dt ...(4 ) 438 d 2 y — = -4 x -1 6 z + 4 z ...(5 ) d t2 reemplazando (2) en (5) d 2y dy — — = -Ax -1 6 v - 2 — derivando esta ecuación se tiene: dt dt dt dt dt2 dt2 reemplazando (1) en (6) se tiene: d 3y ~ d 2y A, d y ^— f + 2 — f + 1 6 ^ - + 32j> = 0 dt3 dt2 dt r 3 + 2 r2 + 16r + 3 = 0 de donde: ( r 2 + 16)(r + 2) = 0 entonces: reemplazando (3) en (4) se tiene: r{ = -2 ; r2 = 4 /, r3 = -Ai => x =c¡e 2t + c2 cos4r + c3 sen 4/ 1 -2t 1 „ 1 v = — cxe + —es cos4 í— cssen4í 4 2 2 2 3 z = - ~ cxe 2t +c2 sen 41 + c3 eos 41 - = 2x + y - 2 z - t + 2 ... (1) dt dy I — - r o — = x + .y - z - r + l ...(3) ai Solución De (2) se tiene dx _ d y di ~ d t2 reemplazando en (1) -~r- = - 2 - 2 — + y - 2 z - t + 2 d t2 dt d y dy 2 z = — f - 2 — + y - t + 4 d t2 dt y . . . (4 ) de la ecuación (3) se tiene: dz 2 - = 2x + 2 y - 2 z - 2 t + 2 entonces: dt * dx2 ^ - = 2 - 2 ~ - + 2 y - ^ - ~ - + 2 — - y + t - 4 - 2 t + 2 dt d t2 dt dz d 2y 2 ---= -------T -+ V -/ dt d t2 ' ...(5 ) derivando la ecuación (4) se tiene: dz _ d y d 2y dy 2 — = 2 72 — 1dt d t3 d t2 dt reemplazando (6) en (5) se tiene: i d 2y dy d 2y --- ;--- l ---- r - + ----- 1 = ------ - + V - Í dt3 d t2 dt d t2 dt d t2 dt sea p (r) = r 3 - r 2 + r - 1 = 0 => r, = 1, r2 = i , r3 440 • -------------------- dy y - c xe* + c2 COS/ + C3 sen t + t de la ecuación x = 1- — y g = eje' +c2 cosí + c3 sen t => y p =At + B de donde jc = - c xef - c 2 sen/ + c3 eos/ de la ecuación (4) se tiene: z = 1 + c2 sen t + c3 cos r por lo tanto la solución del sistema es: x = - c ler - c 2 senr + c3 cos i y = clet +c2 eos t + c3 sen t + t z - \ + cx sen t + c2 cos t 822) — = - x + y + z + e dt dy t-^- = x - y + z + e dt dz A— = x + y + z + 4 dt ... (1) ... (2) ... (3) Solución De la ecuación (1) y = - + x - z - e T dt -..(4) reemplazando en (2) d 2x dx dz t dx t 3----- + ------------ el - x ----------z + z + e + z + e d t2 dt dt dt d 2x -d x dz _ . / 31 A - a-------h 2 ------------- 2z = 2e + e denvando d r dt dt d3x „ d 2x d 2z _ 2 dz_ = 2e,+3e 3, + 2 d i3 d t2 d t2 dt ... (a) reemplazando (4) en (3) se tiene: dz dx , .— = jch---- + x - z - e + z + 4 dt dt dz „ dx ,— = 2x+ -------e + r dt dt d 2z _ dx d 2x d t2 = 2 — + dt d t2 - e ... (p) - (r) reemplazando (P) y (y) en (a) se tiene: j 2 v j2 . Ì 4 + 2 L l . 2 ^ Ì 4 + e ' . i x . 2 ^ + 2 , - - 8 - V + 3 ^ d t3 dt dt d t2 dt d 3 x d 2x d t3 d t2 - 4 — - 4 x = - e 1 + e 3' +8 dt resolviendo esta ecuación se tiene: p(r) = r 3 + r 2 - 4 r - 4 = 0 => ^ = -2 , r2 = 1, r3 = 2 jc = q e -2' + c2er + c3e 2t y la solución particular es: e 3ex n = — + --------2 la solución general es: p 6 20 j t s q e 2/ + c2e r + c3e 2/ h------1-----e3t - 2 1 2 3 6 20 de la ecuación (P) se tiene: c\ -t c2 21 et e3tz = -— - e — e Lt------+ — 442 y de la ecuación (4) se tiene: -t C2 2t ^3 y - — e + — e — - e 3 6 2 «' 7 3,— + — e - 2 6 20 Luego la solución del sistema es: x = cxe 2t + c 2e' +c3e2' + — + — e3' - 2 6 20 C1 - y - - e + — e 6 -2/e ~ ----- + — e 3/ - 2 2 6 20 C\ - t C2 21 ^ ^z = — - e 1 +— e l ----- + ----- 3 3 2 4 dx — = xcosí (1) dt 2 ^ = ( e , + e-‘)y (2) dt Solución De la ecuación (1) se tiene: dx -------------- — = cos t.dt integrando lnx = sent + k entonces: x = kAe**nt x -------------- de la ecuación (2) se tiene: 2~~ = (er +e~')y => — = cosh t.y dt dt dy ------------ ~ — = cosh t.dt => ln y = senh t + c entonces: y = k\ ea 1y --------------- [x = k xeSQTít La solución es: < \ y = k 2eaeah' 824) dx , dy 2, ’ 9 0 0 ’ 900— =e + x - 3 y dt dt 6 y X 119 211 Solución De la primera ecuación despejamos y es decir: y = e* - 5x - — ahora reemplazamos en la segunda dt t . d x d 2x 2/ >> t .c ^dxe - 5 ----------— = e + x -3 e +15x + 3— dt d t1 dt d x „dx ^ A t ot — ~—h8 — + 16x = 4e - e d t2 dt La solución de esta ecuación diferencial es: 4 , 1 ,x = — c ---------e 25 36 1 , 7 , y = — e + — e 25 36 825) dx ~ o — = 3x + 8y * = -3 y - x ... (1) í x(0) = 6 , y(0) = -2 ... (2) Solución De (2) despejamos x es decir: x = 3y 444 dy d y , d y _ dy— — 3y) = -3 — - 9y + 8y => — f - 3 - ^ = - 3 - ^ - - y dt dt dt dt dt dt d 2v d t¿ ■y = 0 sea p(r) = r 2 - 1 = 0 => ^ = 1 , r2 = - l entonces: y = ciet +c2e x - - 4 c xe l - l c 2e 1 ( t t t= 0 \x = - c 1e - 2 c2e luego: | para x = 6 {y = cle , +c2e~‘ y = _2 6 = -4c { - 2c 2 2 == Cj C2 Cj = - 1 por lo tanto: jx = 4c' + 2e / [y = - e t ~e~‘ 826) dx dt dy_ dt Y r y = - x ... (1) ... (2) x(0) = y(0) = 1 Solución Reemplazando (1) en (2) se tiene: d ,dx. d x — (— ) = - x ==> — - dt dt dt + x = 0 p(r) = r 2 +1 => rx = i , r2 = - i entonces: x = A eos t + B sen t dxv = — = -v4senx + £ co sx => y - = -A s e n t + B cosí ^ dt 445 \x = Acost + Bscnt Luego: < , t = 0, x = y = 1 [y = -A sen t + B eos t 1 = A 1 = 3 por lo tanto: x = eos ¿ +sen í y = - sen r +cosí 827) dx ~dt -4 (x + y) dy a dy a — + 4 — = -4 y dt dt ... (1) x(0) = 1 , y(0) = 0 ••• (2) Solución dxDe (1) se tiene: - 4 y = — + 4 x , derivando dt Ady d 2x A dx4 — = ------r---4 ---- dt dt dt ahora reemplazando en la ecuación (2) dx d 2x dx dx A , ,----------_ 4 — = -\-4x de donde: dt dt dt dt d x dx + 4 — + 4x = 0 dt2 dt sea p(r) = r 2 + 4 r + 4 = 0 r= -2 de multiplicidad 2. x = cle 21 +c2te 2r dxcomo - 4 y = -----\-4x entonces: dt - 4 y = -2c le 2t +c2e 2t - 2 c2te lt +4cxe ¿t + 4c2te- 2 t - 2 t - 2 t - 4 y = 2cxe 2t + (c2 +2c2t)e 2t para t = 0, x = 1, y = 0 entonces: C i+0 = 1 c1 = 1 íx = (1 - 2t)e 1 => por lo tanto: < 2cx + c2 =0 c2 = -2 [ y = te~2t 446 828) — = 4x - 5 y dt dt (1) (2) x(0) = 0 , y(0) = 1 Solución Reemplazando (2) en (1) se tiene: d y - a dy= 4 — - 5 y de donde d t2 dt d y A dy- 4 — +5 = 0 dt2 dt sea p(r) = r 2 - 4 r + 5 = 0 rx = 2 + / r2 = 2 - i y - c xe 2t eos t + c2e 2t sen / como x = ^-==2cle lt eost - c xe 2t scnt + 2c2e 2t sen t + c2e 2t eost jc = (2cx +c2)e2r eost +(2c2 ~ cx)e2t sen t para t = 0, x = 0, y = 1 2 c i-fc2 = 0 cx =1 , \x = -5 e 2t sení => por lo tanto: < ci = 1 c2 ~ “ 2 \y - e 2t c o s t - 2 e 2t sení 829) dx— = x + y + t dt 7 dy^ dt = x - 2 v + 2t (1) •(2) m — j , m — - Solución De (1) despejamos y es decir: 447 y - ~ - x - t , ahora reemplazando en (2) dt dx d 2x dx dt2 dt +—- - 3 x = 4í + l => p(r) = r + r - 3 = 0 entonces: 1 13r + r + —= 3 + — => (rn— ) = — entonces: í+Jñ í+ViT + c2e 2 xp =At + B => => y* =0 0 + A —3At —3B = 4t + 1 => -3At + A —3B = 4t + 1 entonces: — 3A = 4 A - 3 B = 1 3 4 7 =-----1 — p 3 9 •JÍ3-1 -713-1 x = x + x =c ,e + c2e 2 3 9 dx y = ------x - í entonces: dt ■731-1 715+1 4 # i - # ! . 4 , 7— -— c,e ¿ ----------c2e z ------c,e 2 - c 2e 2 +—+—- 2 2 2 3 1 2 3 9 a/3 1 - 3 y = — - — cl£> Vñ-i 2 _ a/13+3 V3I+1 -c2e •' t 5H-------- 3 9 1 5para t = 0, x = — , y - — 9 9 7 7— = c. + c , —9 1 2 9 5 ^ 3 1 -3 -VÍ3+3 5•— = --------- c ------------ c2 ---- 9 2 2 2 [cx + c2 = 0 1 (V31 + 3)0, - (-7Í3 + 3)c2 de donde q = c2 = 0 por lo tanto: 4 7 x = ----1---- 3 9 7 5y = — t ---- 3 9 dx = x+ 5 y dy— = -3 v - x ... (1) (2) x(0) = -2 , y(0) = 1 Solución dyDe (2) despejamos x - -3 y — — ahora reemplazamos en (1) dt ,dy d 2y dy -3—------- 7 T --3 y ------ + 5 y entonces: dt d t2 * d y . d y — f + 2 — + 2y = 0 dt2 dt sea p(r) = r 2 + 2 r + 2 >i = -1 + /' r, = - l - ¡ y = c¡e ' eos t + c2e 's e n t x ^ - 2 y - ^ - = -3cle ' c o s í -3 c 2e 'sen t + cxe r eost + cxe 'sen í + + c2e ' s e n f - c 2e ' eos/ jc = (-2cx - c 2)e ' eost + (cx - 2 c2)e ' senf para t = 0, x = -2, y = 1 entonces: - 2cx - c 2 +0 = -2 cx = \ \x = -2e 1 cosí+ e r sení => por lo tanto: < q + 0 = 1 c 2 = 0 I y = e eos í 831) — + 2 - ^ = 17je+8 y dt di 13 — = 53x+2 y dt - O) ... (2) Solución x(0) = 2, y(0) = -1 De (2) despejamos y es decir: y = — (13 — - 53x) 2 Ahora reemplazamos en (1) se tiene: dx A^ d x „~dx dx---- h 13— — - 53 — = 1 7jc + 4(13 — - 53x) di d t2 dt dt 1 3 - ^ - 1 0 4 — +195* = 0 d t1 dt d x n dx - 8 — + 15x = 0 dt2 dt 450 /?(r) = r -8 r + 15 = 0 => rx =3\ r2 =5 entonces: * ^ e 3' + c 2e 5' j = — (13 — -53jc) entonces: y = — (39cxe3x +65c2e5t -5 3 q e 3/ -5 3 c 2e5/) 2 dt 2 y = - l c xe*x +6c2e5t para t = 0, x = 2, y = -1 entonces: por lo tanto: cx + c2 = 2 -7 c j + 6c2 = -1 q = l c2 =1 * = e 3'+ * 5' y = -7 e 3' + 6 e5' 832) dx Y t = y dx dy--------— = JC+v dt dt . . . a) ...(2) x(n) = -l , y(n) = 0 Solución Reemplazando (1) en (2) dx d x dx a , , — -----— = x + — , de donde dt d t2 dt d 2X „ 2 Aj =1 — —+ x = 0 sea p(r) = r +1 => r f r r2 = - / dx como v = — = -Ci sen r + c-, eos r entonces: ' ¿í 1 2 y = -Cj sen+ c2 eos t para t = n , x = -1 , y = 0 entonces: - c x +0 = -1 |0 + c2 =0 C 1=1 c2 =0 => * _ por lo tanto: x = eos t y = - sen t 451 833) dx dy — + — = e - y d t dt y „dx dy 2 — -i—— = s e n í-2 v dt dt * Restando (2) — (1) se tiene: dx (1) , x(0) = -2 , y(0) = 1 (2) Solución dt = sen t - e - y dxy = sen t - e ----- dt reemplazando en la ecuación (1) se tiene: dx ~dt - t d x -t dx+ c o s / + e ----- — = e - sen t+ e + - d t1 dt d 2x d t2 = cosí + sen t - e ' integrando dx _t — = sen t - eos t + e + Cj integrando x - - c o s í - s e n / - e f +cxt+ c 2 como y = - c o s í - s e n t - e + cxt + c2 y = SQnt-e ' - s e n t + c o s t - e ' + q / y = -2e ' + eos t + Ci para t = 0, x = -2 , y = l entonces: -1 + 0 -1 + c2 = -2 Cj = 2 ¡x = - c o s / - s e n í - e „ t => por lo tanto: < - 2 + l + Ci = 1 c2 =0 = -2e~' +COS+2 452 ’ +2t 834) 2 — = - 6 x - y - 6 t 2 - t + 3 dt De la ecuación (2) se tiene: dtL . dt (2) Solución (1) x(0) = 2 y(0) = 3 2y = -2 1 -1 ecuación lineal en y -\-2dt f Í-2í// y = e J [ \ e 3 (-2t-X)dt + y = e 2,[ - je ~ 2' (2t + \)dt+c{\ => y = e2'[-te -2' + c j >> = l + í+Cie 2» como 2 — = 6 x - y - 6 2 - í + 3 dt 2 — = 6 x - l - í - c 1e 2' - 6 f 2 - r + 3 dr 1 2 — = 6 x - 6 t z - c , e 2' + 2 -2 t dt 1 — -3 x = -3 í2 e 2' +1-1 linealenx dt 2 resolviendo la ecuación y aplicando datos se tiene: jx = e 2' + e3' + í 2 + r 2t[y = 2ez t+t + l 453 |MI TODO OPIÎRACIONAL Y SU APLICACIÓN PARA .. iLA RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES. 1. LA TRANSFORMACION DE LAPLACE Y PROPIEDADES FUNDAMENTALES EL OBJETO Y SU IMAGEN J Se llama función-objeto a una función compleja de Variable Real F(t) que cumple las siguientes condiciones: 1) F(t) = 0 para t < 0 2) F(t) es continua junto con sus derivadas de orden suficientemente grande en todo el* eje t, a excepción de algunos puntos en los que F(t) y sus derivadas tienen discontinuidades de primera especie, siendo finito el número tales puntos en cada intervalo finito del eje t. 3) Al aumentar t, el crecimiento del modulo de la función F(t) no es superior al de alguna función exponencial, es decir existen unos números M > 0 y s0 > 0 , tales que * \F(t)\ s0 donde s0 es el exponente de crecimiento de F(t). La ecuación (1) garantiza la existencia de la integral (2). La transformación (2), que hace corresponder a cada función objeto F(t) una función imagen f(s), se llama transformación de Laplace, lo cual se anota escribiendo: L{F(t)} = f(s) Subsiste el siguiente teorema: 454 Si L{F(t)} = fi(s), en cualquiera de sus puntos de continuidad la función F(t) se determina así: 1 ffl+ioo F(t) = — i es f(s )d s ... (3) 27TI Ja-ico r+wo ña+ibes f(s )d s = lim ep f(s )ds-ico ¿>—>+oo Ja-ib (la formula (2) se denomina formula de inversión para la transformación de Laplace). m PROPIEDADES DE LA TRANSFORMACION DE LAPLACE. 1) Propiedad de Linealidad.- L{aF(t) + pG(t)} = af(s) + pf(s) ... (4) Donde L{F(t)} = f(s) y L{G(t)} = g(s) 2) Teorema de Semejanza.- Para cualquier constante a >0 ‘ L { F ( t ) } = - n - ) . ..(5 ) a a 3) Derivación de la Función Objeto.- Si F'(t) es una función-objeto, se tiene: L{F'(t)} = s f ( s ) - f ( 0 ) . ..(6 ) Generalización.- Si F(t) tiene derivadas continuas hasta el orden n en siendo F (n) (t) función objeto, se tiene: Z,{F(n)(O} = s n/ ( 5 ) - 5 '’"1^ ( 0 ) -5 '” 1^ ” ( 0 ) - . . . - F ("“1)(0) ... (7) 455 Es equivalente a la multiplicación de la función objeto por el argumento tomado con el signo menos, es decir: f ' ( s ) = -íF(t) . ..(8 ) Generalizando.- f M (s) = ( - l ) nL{tnF(t)} ...(9 ) La Integración de la Función Objeto.- Se reduce a la división de la imagen por s. J V ( 0 < * = ^ ...(1 0 )Jo 5- La Integración de la Imagen.- Es equivalente a la división de la función-objeto por t. r f (S)d s = . . . (i i ) Js t Teorema de la Tardanza.- Para cualquier numero positivo a, se tiene: L {F (t-a )} = e-“sf ( s ) ...(12 ) Teorema del Desplazamiento.- La Derivada de la Imagen.- (Multiplicación de al función objeto por una función exponencial), para cualquier numero complejo X, se tiene: Teorema del Producto.- E1 producto de dos imágenes f(s) y g(s) es también una función imagen, siendo L~X{f(s)g(s)} = I 'F(u)G(t-u)du ... (14) La integral que figura en el segundo miembro de (14) lleva el nombre de Convolución de las funciones F(t) y G(t) y se denota por: . F * G = í F(u)G(t-u)du Jo El teorema IX afirma que la multiplicación de las imágenes es equivalente a la convolución de las funciones objetos. f(s)g(s) = F*G ...(15) Teorema de la Imagen Racional.- Para que la imagen f(s) sea una función racional es necesario y suficiente como la función-objeto F(í) sea una combinación lineal de funciones de la forma: t ne ÁJ (n es un numero no negativo, X es un complejo). Calculo de la función-objeto- Cuando la imagen es una fracción racional, supongamos que f(s) es una fracción racional propia, cuya descomposición en fracciones simple es: / M - 1 1 7 7 7 7 - < “ > k r-\ (P ~ Pk) como M kr y p k son números complejos, entonces: Sera una función-objeto cuya imagen es la función f(s). En particular, si todos los polos de f(s) son simples, se tiene: A(s) si f ( s ) = — ^ es una fracción racional, siendo el grado del polinomio A(s) menor que el del polinomio B(s) la función objeto correspondiente a f(s) es: 1 d Hk~l t í lim ~ - ^ u m - s k ) nkest ... (i9) L? ( n k_x)\p->pk ds donde sk son los polos de F(s), nk son sus ordenes de multiplicidad y la suma se extiende a todos los polos de f(s) son simples, la formula (19) se simplifica y toma la forma: F(t) = Y * ° J ± e ‘k ' r * '(**) En los siguientes ejercicios hay que hallar la imagen de la función objeto dada: 915) F{t) = t l - 2 t + 2 Solución L{F(t)} = L{t2 - 2 t + 2 } = \ - ~ + - = f ( s ) s s s S 916) F(í) = t 3 + 4 /2 +4í Solución /(5)= i {f (0}=¿{í3+4/2+4/}=4+4- 4 +4 = 4 +4 +4s s s s s s 458 917) F(t) = ( t - 2 ) \ ( t - 2 ) Solución f ( s ) = L{F(t)} = L { ( t - 2)3 u(t - 2)} = e~2sL{t3} = ^ s s 918) F(t) = t - e ~ cu Solución Z{e- « } = _ L => ! { * “ }= — L _ s+ a (^+ a ) 919) F(t) = (t + 2)te' Solución F(t) = t 2e‘ +2te‘ / (* ) = I { í V +2te'} = (-1)2 ± T L{e'} + 2 ( - l ) ^ -L { e '} = ds ds ii,_L ).2Í-(-L)__?-+-?____— ds2 í - 1 ds s - 1 ( j - 1 ) 3 ( í - 1 ) 2 ( j - l ) 3 2 s por lo tanto: f ( s ) = L{t 2e' + 2te‘} = ------— ( s - i y 920) F (/) = cosh2 at F(t) = cosh2 at = ( -—-£■— )2 = Solución a,+e~at e 2al +e~2(tt +2 459 / ( J) = i l { e 2" + e -2‘tf+ 2} = I ( - L - + — ! _ + ! ) 4 4 5 - 2a (.y + 2a) ^ s - l a s f ( s ) = ---- r-------— s(s - 4 a ) 921) F(t) = (/ -1 ) 2 u(t - l)e1-' Solución L{F(0} = c - í ¿{í2e- , } = ( - l ) 2e -í = ds m9- < L (- L . ) m - e - ± (— L _ ) & 2 í + 1 ^ (J+ 1)2 922) Z,{e" sen fit} Solución s 2 + p 2 ( s - a ) 2 + p 2 923) F(í) = e3' eos 3í eos 4/ Solución eos 31 eos 4í = ™ (eos It + eos i) 1 1 s sZ,{cos3í cos4í} = — Ajeos 7f+ cos) = — (—--------t- —— ) 2 2 í ‘ +49 j +1 L{3' eos 3 í eos 41} = — [— S—^------+ — - —-— 1 2 (í -3 ) +9 (j — 1) +1 2e~J (* + l)3 460 924) F (0 = é>A('~a) s e n ( /-a ) t /( f -a ) Solución L{F(t)} = e ^ L i e “ senr} = -----------— ( s - a ) +1 925) F{t) = e2t sen(í + —) 4 Solución 7T. V2 , . sen(í+ —) = — (sen t + eos í) ^ 1 t Solución tí 1 rfScní. f°° du /°° n 1¿{sen t} = —---- => I{------ } = —---- = arctg / = ----- arctg s = arctg(—) j +1 í w +1 ' * 2 s 928) F (0 = e"Aí — t Solución . sení 1 senr , 1 v L{------} = arctg(-) => L{e m ------} = arctg(------ ) t s í s+A 929) F(t) = sen 51 sen 21 Solución sen 5í sen 2t = (eos 3f - eos 7r) entonces: 1 1 »y vZ,{sen 51 sen 2t) = — ¿{eos 31 - eos I t} = — (—------------------ ) 2 2 s +9 s 2 +49 20í i 4 + 58j 2 +141 930) F(t) = sen 2 2í Solución £{sen2 2í} = —Z,{l-cos4f} = —(—— ^ — ) = - 8 2 2 s s 2 + 16 s (s2 +16) 931) F(t) = t cosh t Solución 462 L{tcoshí} = L{t — —) = —\ ~ r L { e ' + e '} 2 2 ds 1 d 1 | 1 1 En los siguientes ejercicios están dados las imágenes y hay que hallar las funciones- objeto correspondientes.objeto correspondientes 935) f ( s ) = - T^ ± 3 s +45 +5s Solución F(t) = U x { /(í)} = L~l { 3 2S+. 3-----} 5 + 4j + 5¿ _ 1 £-i f3 3s__________2 5 5 ( j+ 2 )2 +1 (í + 2 )2 +1 F(t) = — (3 - 3e_2í eos t - l e 1' sen í) s 2 + a 2 936) f ( s ) = —------—— (a es una constante) (s - a ) Solución f / \ _ _ s 2 + o 2 _ 1 l a 2 ( s 2 - a 2) 2 s 2 - a 2 + (s 2 - a 2)2 aplicando convolución se tiene: F(t) = 2T1 { f(s)} = r 1 { ~ +a' . } (s ~a ) = L ' {—;----- T + —T ~ 7 ■> } = 1 cosh at1 - n 2 ( v 2 ^ „ 2 \ 2s 2 - a 2 (s2 - a 1) 93?) f(s) = -£ r Solución 464 Como ¿{í XO} = £ { '* } = - £ t O 5 F(t) = t k = 1 1 por lo tanto: I 1 { -£ f} = t k 938) F ( í ) ( 5 - l ) ( 5 - 3 ) Solución m = 2 L + . 1 (í -1)(í -3 ) 5 -1 s - 3 F(í) = 2T> { --* -+ J _ } = -e' + e3' 5 -1 s - 3 939) / ( , ) = _ 3í+19O * A2j +85+19 Solución 19 19 _ 13 5 + ------ 1 5 H --------- - 5 + 2 + m - f (--------^ - 1 ( ---------- ^ T 7 ) - T ( --------~ 7 T > 2 5 2 + 4 5 + ——■ ( 5 + 2)2 + — ( 5 + 2)2 + — 2 2 2 F(0 - i" 1 L 1 {—-— ---- -} = f H(u)G(t-u)du donde ( í +5+1) Jo i 1 { - r - } = H(t) = e~t2t sen ^ í j ^ + í +I 2 I ’1 { 2 1 } - G(t) = e -'/2 s e n ^ f j +5+1 2 ¿ _1 {—5— ---- - } = f e ~ “/2 sen— u£ 1 sen— (t-u )dt V + í + 1 ) 2 Jo 2 2 4-^3 _j/2 ^3 2 _//2 ^ 3= - ^ — e sen — r — te " z cos — r 9 2 3 2 941) / ( , ) 1 ( 5 - l ) Z(5 + 2) Solución v A B C 1 . 1 1 3 v 5 + 2 + s-1 + ( j- 1 )2 9 5 + 2 5 - l + ( ,- i> ? * F(r) = i x - 1{ - Í - — L + __3 _ _L(g~2/ _ e , +3(e/y 9 5 + 2 5-1 ( j - l ) 2 9 ’ 942) n s ) = 2f - ~ 2f S 5 -35 + 2 Solución . . . 252 -2-725 2 j2 -2 -J ls / ( J ) = „4 ,„2 = -------------------5 —35 + 2 (5 —2)(5 —1) 466 ¿ g | c | ü _ -2V2 | V 2-11 - J 2 + 1 i - s Í 2 + s + J l + 5 - l + 5 + l í + V 2 + 5 -1 5 + 1 . -2V2 V2-1 V2+1. . t ,I *{---------- -+ ---------} por lo tanto: 5+V 2 5 -1 5+1 F (í) = -2 ^ 2 e ~ ^ ' + (V 2 - l)e' + (^ 2 + l)e- ' 1 _ + 1 Solución 943) / ( 5 ) = - ^ 5 + 5 + 1 m = L~l { ■ ■1— -} = I - ‘ {------ 1 = - | e - , /2 sen s +s + 1 ( í + I ) 2 + ( l l ) 2 v 2 2 944) / ( 5 ) = - 1 5 — 1 Solución 1 1 _ A B Cs + D ^ ” í 4 - 1 ” ( 5 . - . 1 ) ( 5 + 1 ) ( 5 2 + 1 ) ” 5 - 1 + 5 + 1 + J 2 + 1 / ( i ) = ^ [ - ^ — — 2~ ] entonces: 2 r - i 5 +1 F (í) = I _1{ - ( - / -------r — )} => F(/) = ^ (c o sh f-se n í) 2 s -1 s +1 2 945) m = se2s s 2 +4 Solución I “1 ^ — } = eos 2/ => L 1 {— — } = sen(2r - 4)w(í - 2) 5 +4 5 +4 467 e-'2 946) f(s) = s 2 +9 Solución l 1{~ T — } = |s e n 3 r => L l { - ----- } = - s e n 3 ( í - - ) u ( r - - ) s + 9 3 V + 9 3 2 V 2 947) f ( s ) = j 3 + 9 s2 + 27j + 25 (í + 1)3(s + 2)2 Solución 6 1/(•*) = --------r + - 948) /(* ) = (5 + I) 3 (s + 2)2 m - 1~' ' 6e" r ' + •~2' (1>(i + 1) (j + 2) 5 5 F(t) = 3e~'t2 +te~2’ 2s + 5 s 2 - 6 s + 12 Solución „ V 2j + 5 2 (^-3 ) + l lj (S) - ------------ _ --------- ------ entonces: s 2 -6 5 + 12 ( j - 3 ) +3 r l {- — 23 ) >+1 i r 1 {— - — } (5 — 3) + 3 (s — 3) + 3 F(t) = 2e3' eos V3í + -^L sen ~¿3t s 468 949) / ( í ) = ^ — i 2 í 4 + 2 s¿ - 3 Solución / ( s ) = —— ~ ~------ = —7-----~ 2---- j +2s - 3 (s +3)(í -1) / ( Í ) = T ( - 2 Í , 24 -1 s ¿ +3 5 -1 5 +3 1 J í F (í) = — (senh t ------- sen ^ 31) 4 3 3 - - S 950) / ( * ) - - y - Solución 3 {-y> = í =* =5- 2 Z F (í) = ( í - | ) « ( í - | ) [ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTE! c o n s t a n t e s ] Consideremos una ecuación diferencial lineal de segundo orden de coeficientes constantes. x"(t) + axx'{t) + a2x(t) = f ( t ) y las condiciones iniciales x(0) = x0 , x' (0) = x , , se toma la Transformada de Laplace en la ecuación (1) es decir: L{x (í) + a¡x (t) + a 2x{t)} = L { f( t )} , por propiedades se tiene: í 2 x(s) - íx' (0) - x(0) + a is x ( s ) -a l x(0) + a2x(s) = F(s) ( s 2 + a , +a2)x(s) = / r(í) + x0í + x1 + a tx, x ( í ) = + + x x + axjCj s + axs + a2 ahora tomamos la transformada inversa. x(f) = L"1 + + + fli*i J s~ + axs + a 2 que es la solución general de la ecuación diferencial. Resolver las siguientes ecuaciones: 951) x'+3x = e ~2‘ , x(0) = 0 Solución Aplicando la Transformada de Laplace se tiene: L{x'+3x} = H e ' 21} 470 sx(s)-x(0 ) + 3x(s) = —l— => (i + 3 ) x ( í ) = ^ - => x(s) = entonces: x(t) = L~l < + ^ + 3) > = 1 ' f e ~ f e x( í)= e 2' ~e~3' 952) x ’-3 x = 3r3 + 3í2 + 2í +1, x(0) = -l Solución L{x’-3x} = L{3í3 + 3í2 + 2t +1} 18 6 2 1 æx( s) - x(0)-3x(s) = - + — + — + - s s s s 18 6 2 1 . ( í-3 )x (s ) = -T + T + - y + - - 1 S S S s 18 6 2 1 j 4(s -3 ) ' j 3( j - 3 ) ' í 2( s -3 ) ' *(*-3) s - 3 1 , - s 4 + s 3 + 2 j 2 +6s + 18 *(° - i 5*(5) - x(0) - X(j) = —- ------- -i— 52 +l 52 +l Z{x'~x} = Z{cos t - sen í} entonces: g _ | | 1 ( í - I ) x ( j ) — ---- => x(í) = —----- entonces: x( t)= L ~l {—----- } s 2 +l s 2 + 1 V + l por lo tanto: x(f) = sen t 954) x'+x = 2 sen t , x(0) = 0 Solución L{x'~x} = L{2 sen/} íx( j ) - x(0) + x(í ) = — => (í -1 )x(í ) = —^ r _i_1 „2 x(5) = s*+1 j 2+l 1 5 1 (5 + l)(52 +l) 5 + 1 Í 2 +1 í 2 +l x ( f ) = r 1{ - L - ^ _ + - ± 4 í + l s +1 s + 1 x(t) =e 1 -c o s /+ se n / 955) 2x'+6x = te~3t, x(0) = ~ ~ Solución L{2x'+6x} = L{te~3t} 2sx(s) - 2x(0) + 6x(j) = -— entonces: (2s + 6)x(í) = ------------- —— -1 (í +3)2 ( ,+ 3)2 472 956) 957) x(.í) = ----- —y — — entonces x(t) = L 1 {----- — - — ,.’(í + 3) 5(5 + 3) 5(5 + 3) í (j + 3) 1 e~3' _ e~3í 2 e~3' x(t) = e 3,L{— - } --------entonces: x(í) = 2 5 3 2 x’ '+4x’+3x = 1, x(0) = 3, x' (0) = -2 Solución L{x"+4x'+3x\ = L{1} s 2 Jt(f) - sx' (0) - x(0) + 4sx(s) - 4x(0) + 3 x(s) = — s ? 1 ($ + 4s + 3)x(s) = — 2x - 7 entonces: , \ - 2 s 2 - 7 s - 2 s 2 - 1 s + \ 1 3 2 — --------------------------------------— — --------------------------------------------= ------------------------------------1--------------------------- ( í 2 +45 + 3)5 5(5 + l)(5 + 3) 3i 5 + 1 3(5 + 3) x(o=r1{4 - ~ + : 23s s +1 3(^ + 3) x(t) = - - 3 e - ' + - e -3' 3 3 x”-2 x ’+2x = l , x(0) = i , x' (0) = 0 Solución L{x"-2x'+2x\ = L{\\ - 1 s x(x) - 53t(0) - x (0 ) - 2sx(s) + 2x(0) + 2x(s) = - s 473 2 - 2^ -f 2)x(.y) = —- —- 1 entonces: x(s) — ------ —— = - — s 2 2 s ( s - 2 s + 2) 2s x(t) = L 1 {— —} = por lo tanto: x(í) = - — 2s 2 2 958) x' '-5x'+6x = 12, x(0) = 2, x'(0) = 0 Solución L{x"-5x'+6x\ = ¿{12} s 2x{x) - 5x(0) - x ' (0) - 55x0) + 5x(0) + 6jt(,y) = — s 2 12 (s - 5j + 6)x(.y) = — + 2^-10 entonces: , , 2*2 -l í t e + 12 2 r-i,2 . * x (s) ------- z-------------- — => x(í) = L {—} = 2 entonces: x(t) = 2 s(s - 5 s + 6) s s 959) x"+3x'-l = 0 , x(0) = 0 , x'(0) = - 3 Solución L{x' ,+3jc'-1} = 0 entonces: £ 2 x(s) - sx( 0) - x' (0) + 3 j^c(^) - 3x(0) = - r 2 t \ \ 1 1 / x S + 3 1(s +3s)x(s) = - + - => x(s) = — -------- = — S 3 3j (j + 3) 3s x(t) = L~l {-^-} = t por lo tanto: x(t) = — s 3 474 960) x''-2x'+\ = 0 , x(0) = x'(0) = i Solución L{x' -2jc,+1} = 0 entonces: s 2 *(.?) - 5jc(0) - x1 (0) - 2sx(s) + 2jc(0) + — = 0 s . 2 ^ ^ ^ 1 $ 1 i(s - 2í)jc(5) = — H---- h----1 entonces: s 2 2 (s -2 ) (x + l) s + l 1 1 W 2s(s2 -2 s ) 2 s 2 2 s 2 s 2 , X T - l , 1 1 > 1 1 , . . /X í + 'x(t) = L {— + —y } = - + - por lo tanto: x(t) = — 2 s 2s1 2 2 2 961) x”+3x'+2x= 2í2 +1 , x(0) = 4 , x’(0) = -3 Solución L{jc,,+3jc’+2jc} = L{2r2 +l} s 2 x(.y) - ^ (O) - x' (0) + 35x(5) - 3 x(0) + 2x(s) = A r + — 2 \ 4 1 ( j + 3s + 2)x(s) = — + — + 4.S + 9 entonces: ( .♦ 2 X .♦ 1W») - 4J< * « 4 ± í l í l , Solución *' '-2x'-3x = 3 + It + 3t2, x(0) = x'(0) = l L{x' '-2x'-3x} = L{3 + I t + 3t2} entonces: ^ n / ^2 *(.?) - .sx(O) - *' (0) - 2^(5) + 2 jc(0) - 3*0?) = - + — + — s s 2 s 3 / 2 ~ ox / x 1 ^ 3 ^ 2 + 7 ^ + 60 -2 ^ -3 )x (^ ) + .y + l - 2 = -------- ------ entonces: s ( 2 o \ 3^2 +7.V + 6(s -2 x -3 ) jc (» = ------- ----------s +1 s t i \ i . t\ / \ —í 4 + $3 + 3 í2 + 7j + 6(j - 3 )(j+ 1)x(í) = ---------------3------------- j - í 4 + j 3 +3s2 + 7 í + 6 s 2 + s + 2 í 3( í - 3 ) ( í + 1) í x(t) = L~X{~—— \ -------------------------------- \-} entonces: x(t) = - ( t 2 + t +1) s s s x " - l x '= -(14f + 5 ) , x(0) = 2, *' (0) = 8 Solución L {x" - lx '} = -Z,{14f + 5) entonces: í 2 x(s) - sx(0) - x' (0) - 7sx(s) + 7x(0) = - ^ - - í 2 J (j 2 - 7s)x(s) - 2s - 8 +14 = --- ■■ 14 s 964) 965) ( í 2 - 7s)x(j) = ——y — + 2s - 6 entonces: £ s ( * ) - 2*3 - f 2 - 5 j ~— => ^ ) = 7 + J r + 7 + 7 T ?5 ( j - 7 ) s S S S I x(Ú = I “1 { - + — + — + —— } porlo tanto: x(0 = 1 + r + í 2 + e 7' w s j 2 s 3 í - 7 x"+2jt'= 6í2, x(0) = 0, x'(0) = | Solución L{x' '+2x'} = L{6í2 } entonces: 12 ,? 2x(.s) - 5*(0) - (0) + 2 - 2x(0) - - y l 2 3 (s2 + 2s)x(s) = — + 2 entonces: _ 3í 2 +24 . 3 , 1 . 1 ^ x ( s ) = i z----------- = — 3 4 ’ • 2j ( j + 2j) 2 s 2 s s x{t) = - L A { \ - \ + ^ } entonces: x (t) = ^ t ~ t 2 + í 3 2 s s s x"+6x'= í , x ( 0) = 0, *'() = - j ¿ Solución L{x"+6jc’} = í ,{í} 477 s 2 x( s) - sx( 0) - x’ (0) + 6jx(í) - 6x(0) = —- s s 2 36 36í T(J)_ ~36 _ (s + 6 )(s-6 ) 36s 2(s 2 + 6 s) 36í 3(j + 6) , , j - 6 1 1 = ------- r = ------- ¡r + — r entonces: 36 j 3 36s 6s3 ~ i l 1 t t 2 —tx( t)= L {------- - + — -} por lo tanto: x(t) = -+ — = -- 36s 6s 36 12 36 966) x" + x = 2 e ' , x(0) = 1, x' (0) = 2 Solución L{x* '+*} = -Z,{2ef} entonces: 5- 2x(^) - jx(0) - x’ (0) + x(s) = 2 s - l 2 2(s + l)x(s) - s - 2 = ----- entonces: s - l , v s 2 +s 1 1x(s) = ( s - l ) ( s 2 +l) s - l s 2 +1 x(t) = L 1 {—— + — —^ } = e l + sen r por lo tanto: x(f) = e ' + sen / *y-l s z + 1 478 967) 7x”+ 1 4 x '= ( í- - )e 2‘ , x(0) = 2, x’(0) = - 7 ~ 4 56 Solución I{7x"+14x'} = L { ( t - - ) e ~ 2'} 4 Is 2x(s) - 7sx(0) - 7x' (0) + 14jx(í) - 14x(0) = -— ------ — (s+ 2)2 4(j + 2) (7j 2 + 14j )x(í ) - 14s+ i - 28 = 4 8 4(í + 2) 2 , 112s3 + 671j 2 + 1338s+896 (7í 2 + 14j)x(í) ------------------------z------------- 8(j +2) , ' 112j 3 +671í 2 +1338í + 896 JC(iy) = ----------------------- _ -------- entonces: 56.í (í + 2) ! 112i3 +671j2 + 1338í + 896 x(í) = L 1 {---------------------- ------------ } por lo tanto: x(í) = 2 - 56í (j + 2)3 968) x’'-4x'+4x = ( / - l)e2í, x(0) = 0, x'(0) = 1 Solución L{x’’-4x'+4x} = L{(l - \)e2' } entonces: 1 s x ( s ) - sx(0) - x' (0) - 4sx(s) + 4x(0)+ 4x(í) : (s 2 - 4 j + 4)x(s) = ---- -— y ----- “ + 1 ( s - 2 ) s - 2 ( s - 2 ) s - 2 + 2, 56 479 / x s 2 - 5 s + 7 *(.?) = ---------- -— entonces: (í - 2 ) 4 x(í) = I _1{----- ^ i Z } = (L— t +í)e 2' por lo tanto: x(t) = (-— — + t)e21 (s - 2 ) 6 2 6 2 969) 4x' '-Ax'+x = e " 2, x(0) = -2, x' (0) = 0 Solución L{4x"-4x'+x} = L{etl2} entonces: 4s 2 x(s) - 4sx(0) - 4x' (0) - 4sx(s) + 4x(0) + x(s) = —— s — 2 (4.? 2 - 4s + l)x(s) + 8s - 8 = —— entonces x(.v) = ----- ---- + — — 2 j - l (2 s - l ) ( 2 s - l ) 3 2 1 s 2 x(f) = L l {--------- - + 8 -------^—} por lo tanto: x(í) = (— + f - 2 ) e ,/2 (2 s - l ) (2 s - l ) 8 970) x''+3x'+2x =e~‘ + e~2‘ , x(0) = 2, x '(0) = -3 Solución L{x' '+3x'+2x} = L{e~‘ + e ~2t} entonces: s 2 x(s) - sx( 0) - x' (0) + 3sx(s) - 3x(0) + 2x(s) = —— +- 1 s + 1 s + 2 ( i 2 + 3s + 2 )x (s)-2 s + 3 - 6 = 2 í + 3 (s+ l)(s+ 2 ) 480 (2s + 3)(s + 3s + 3) ^ i (2s + 3)(s + 3s + 3) x(s) = -------- ------------- entonces x(í) = L l {-------- —--------- (s + 1) (s + 2) (s + 1) (s + 2) „ 1 1 1 1 ,x(t) = L {----- + -------- t- + ----------------- r-} í + 1 (s + 1)2 s + 2 (s+2) x(í)=e~t + te~t + e~2t -te~2t porlotanto: x(t) = (\ + t)e~t + ( l - t )e ~ 2t 971) x''-x'-6x = 6e3' + 2e~2' , x(0) = 0, x' (0) = | Solución L{x' '-x'-6x} = L{6e3/ + 2e 2t) entonces: s 2 jt(j) - jx(0) - jc’ (0) - £*($) + x(0) - 6*(.y) = —— + ^ s - 3 s+2 / 2 ¿\ / \ 6 2 4(s - s -6 )x ( s ) = ----- + ------------ j - 3 s+2 5 , „ -2 (2 s 2 -2 2 s -2 7 ) r_ , - 2 ( 2 s 2 -2 2 s -2 7 ) . x(s) = — ¿------ 5-------^ entonces x(í) = l ‘ {— ---------------------- 5-j 1 } 5 (s-3 ) (s + 2) 5 (s-3 ) (s + 2) x(í) = — L 1 {------- -—----- -——} por lo tanto: x(í) = — [6íe3' - 2te~2’ ] 5 ( s - 3) (s + 2)2 5 972) x"+4x'+4x = t2e~2‘ , x(0) = x'(0) = 0 Solución L{x' ’+4x'+4x} = -L{ 2 - e 2' } entonces: „2 , ................................................ . . . 2s x(s) - sx(0) - x' (0) + 4s(s) - 4x(0) + 4x(s) = (s + 2)3 481 ( í + 4 í+ 4 )x (í) = -------- - => x(s)= -- (j +2) (j + 2) x(r) = ZT1 {-— => x(^) = 2e-2,U x{ \ ) J ~ e - ,^ (s + 2) í 5 12 por lo tanto: x(r) = < v 2' 12 973) x' '-x ' = 2 sen f , x(0) = 2, x’ (0) = 0 Solución L{x' ' - x ' } = L {2 sen í} entonces: s 2 x(s) - sx(0) - x' (0) -sx(s) + x(0) = ~ s L +1 , 2 \ % 2 _ .. - 2( j 3 + j - 1)( í + s)x(j) = —— — 2 s => x(s) = — --------- — - s 2 + 1 (s —s)(s + 1) _1 1 s 1 x(t) = L {— - + —5-,— } por lo tanto: x(t) = e‘ + c o s /-s e n í s - l J 2 +l i 2 +l 974) x' '+9x = 18 eos 3 í , x(0) = 0, x ’ (0) = 9 Solución L{x’ ’+9x} = 18£{eos 3} entonces: s 2x ( s ) - íx(0) - x' (0) + 9x(j) = - -1--— s +9 18(s 2 + 9)x(¿) = —-+ 9 entonces: s 2 + 9 (s +9) (i +9) por lo tanto: x{t) = 3(t +1) sen 31 s e n 9 / 975) x' '+4x = 4 eos 21-------— , x(0) = 0, x' (0) = - t < 2 8 Solución sen 2t L{x' *+4x} = L{4 eos 2 í----- — } entonces: 45 1 s x (5 )-5x (0 )-x '(0 ) + 4x(5) = —----------- —^ s + 4 s + 4 * ( • ? ) = - s 2 +4 8 8 (í2 + 4 )2 2 x(r) = L~l {- +t 32- y ) por lo tanto: x(í) = 8(s2 +4) 976) x' '+2x'+3x = t eos t , x(0) = - ^ , x' (0) = 0 Solución L{x' ’+2x'+3x} = L{t o s í} entonces: „2J ¿ x( s) - sx(0) - x' (0 )+ 2ix(j) - 2x(0) + 3x(í ) = (s s 2 s 2 - 1o + 2 í + 3)x(í ) + — + — = —------ - entonces: 4 4 (j 2 +1)2 s 5 +2s4 +2s3 +s + 6 , . T-\ ,x(i) = ---------------------- ------ r- => x(t) = L l {- 4(í + 2 í + 3)(j +1) 4 . „ cos2í. í(sen 2/ + —-— ) , 2 - l 2 + l)2 s 5 + 2s4 + 2 i3 + s + 6 , 4 ( i2 +2s + 3 )(i2 +1)2 x(/) = -—- (eos t + sen í) 4 483 1 977) x"-2jc'+10jc = cos3r, x(0) = 1, x'(0) = ~ Solución L{x' '-2x'+\0x} = Z{cos 3r} entonces: j 2 x(.y) - sx(0) - x' (0) - 2.yjc(1y) + 2x(0) +1 0x(» = S s 2 + 9 (s2 -2 s + 1 0 )x ( s ) - s ~ — +2 = - 5 37 í +9 . . 37s3 + 373s-494 - 56s2x(.y) = — — ------ ——-----------entonces: 37(s +9)(s - 2 s + 10) ! 37s3 + 37 3 s-5 6 s2 -4 9 4 ,x(t) = L {------- --------- ---------------} por lo tanto: 37(s + 9)(s - 2 s + 10) (36ef + l)co s3 f-6 sen 3 / X(t) = ----------- L— -------------- 37 978) x' '-4x + 5x = 2e2í(sení + eos/) , x(0) = 1, jc’(0) = 2 Solución L{x' ’-4x'+5x} = 2 L{e21 (sen t + cot)} entonces: s 2x(s) - sx( 0) - x' (0) - 4sx(s) + 4x(0) + 5x(s) = 2[------ ------- + — -—\ — 1 (s -2 ) +1 ( s -2 ) +1 484 j ( s - 1) (s -4 s -u5 )x ( s ) -x -2 + 4 = 2 -------- t—— ( s -2 ) +1 s 3 - 6 x 2 + l ls -1 2 r- i , s 3 - 6 s 2 + l l s - 1 2 , x(s) = --------- --------:------------ => x(t) = I {—-r ---- ——r —} ((s -2 ) + l)(s -4 x + 5 ) (s - 4 s + 5)(s - 4 s + 5) /. x(t) = [(1 — í)cosí + (l + /)sen /]e2' 979) x’" - x " = 0 , x(0) = 1, x'(0) = 3 , x"(0) = 2 Solución X{x"'-x"} = 1(0} entonces: s 3 x(s) - s 2x(0) - sx’ (0) - (0) - s 2 x(s) + 5x(0)+x'(0) = 0 (s3 - s 2)x ( s ) - s 2 - 3 s - 2 + s + 3 = 0 entonces: , x s 2 + 2 s - l 1 1 2x(s) = — -----— = — + — + ----- entonces: s —s s s s “ 1 1 1 2 x(t) = L~l {----- 1— r-H-------} por lo tanto: x(t) = - \ + t + 2e‘ s s 2 s —1 980) x '" -4 x '= l , x(0) = 0, x’(0) = - i , x " (0 )= 0 Solución í,{x'"-4x'} = ¿{1} s 3 x(s) - s 2 x(0) - sx' (0) - x" (0) - 4sx(s)+ 4x(0) = ~ 485 (j 3 -4s)x (s) + ^ = - 4 s x(s) = 4 - 5 2 = ( j - 2 ) ( j + 2) = _ J _ 4í (s 3 - 4 í ) 4í 2(í -2 ) ( í + 2) 4í 2 x(í) = - L l {—i—} = - — por lo tanto: x(t) = - — 4í 4 4 981) x,”+x"-2x = 5 e ', x(0) = 0, x’(0) = l , x"(0) = 2 Solución £{x"’+x"-2x} = L{5e' } entonces: j 3 x ( í ) - j 2 x(0) - sx' (0) - x" (0) + j 2 x( j ) - íx(0) - x' (0) - 2x(s) = — 5 -1 (í 3 + í 2 - 2 ) x(j ) - í - 2 - 1 = — 5-1 3 2 5(s + 5 -2)x(5) = 5 + 3 + ----- entonces: 5 -1 , . s 2 +2s + 2 s 2 +25 + 2 x(s) = r-----«-----= -----------}------------ s 3 + s 2 - 2 (5 - l)(5 2 +25 + 2) x(,y) = - i — => x(t) = Z~1{—^—} por lo tanto: x ( t)= e t s - l 5 -1 982) jt,,+* = 8>/2sen(f+;r \ x(0)^=0, x'(0) = -4 4 Solución L{x' '+*} = 8V2Z{sen(í + -^)} entonces: s 2 x( s) - sx(0) - x'(0) + x(í ) = 8Í —— - + ) j 2 +l j +1 ( , 2 + l ) x ( í ) = 8 ( 4 l L ) _ 4 = z V r ^ l 2 ) 5 + 1 5 " + l _ 4(52 - 2 5 - 2 ) x(s) = — ———-r —- mediante convolución ( i 2 + i)2 x(t) = L 1 { — -—— = 4r(sen t - eos t) (í 2 + D 2 por lo tanto: x(í) = 4í(sen t - eos t) 983) x’'+4x = 2 eos2 t , cx(0) = x(0) = 0 Solución í.{x"+4x} = 2I{cos t} s 2 x(s) - sx(0) - x' (0) + 4x(s) = - + S s +4 2 . ->\ o / ,27 2(s +2) , , 2(s +2) „r 1 2 f + 4 )x (j) = —^ ------ entonces: x(s) = — ------ = 2[—-------------------- ------ - s + 4 ( í + 4) s 2 + 4 ( í + 4) 487 aplicando el teorema de convolución se tiene: i 1 2 x(t) = L~ {2(—---------- - ----- -} entonces: x(t) = - (1 - eos 2/ + í sen 2í) í -t4 (s +4) 4 984) x"+x’ = l , x(0) = 0, x'(0) = 1 Solución L{x' M-*'} = Z{1} entonces: s 2 (x) - soc(O) - JC'(0 )+ jx(í ) - x(0) = - s (s2 +s)x(s) = ^ + l => x(S) ----- ^ - = - 1 2 .y2 x(t) = L 1 {-^-} = t por lo tanto: x(t) = t .y 488 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES. Supongamos que se necesita hallar la solución de un sistema de dos ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes. ... (1) que cumple las condiciones iniciales: x(0) = x0, y(0) = y0 ahora se toma la transformada al sistema de ecuaciones diferenciales L{— ) = alL{x} + blL{y} + L { f{(t)} dt L{‘^ } = a 2L{x)+b2L{y) + L { f2(t)} dt sx( s) = fl] x(s) + ¿>j y(í) + F, (t) + x0 ^ ( s ) = a 2x(s)+b2y(s) + F2(t) + y 0 = a lx+ b l y + /] (t) dt dy — = a 2x + b2y + f 2(t) dt mediante la regla de Cramer se tiene: x(s) = f ( s ) í x(t) = L 1 {x(s)} y(s) = g(s) ** {•>,(,) = L-'{y(s)} y se obtiene la solución del sistema lineal de ecuaciones diferenciales. 489 En los siguientes ejercicios hay que resolver los sistemas de ecuaciones por el método operacional (Transformación de Laplace). 985) dx dt +y = 0 dy — + x = 0 dt ; x(0) = 2, y(0) = 0 Solución L { ^ } + L{y}=0 ¿ Á + H y } = 0 dt sx(5) - x(0) + y(5) = 0 ^ (5 )-y (0 )+ x (5 ) = 0 i j [sx(5) + y(5) = 2 reemplazando datos 4 por la regla de Cramer lx(5)+jy(5) = 0 *(*) = 2 1 0 5 2 5 5 1 5 2 - 1 1 5 x (t) = L 1 {*(*)} = L 1 = 2 cosh t =e ' +e s 2 - l - Rpta. x(t) = e ' +e ' y(t) = e~‘ - e ' 986) dx „ — + x - 2 y = 0 dt dy — + x+ 4 y = 0 dt ! x(0) = y (0 )= l Solución Tomando Transformada de Laplace 490 Í ( í+ l)x ( í) -2 y ( í) = l , , J „ { , por la regla de Cramer [W + ( s + 4 M j ) = 1 1 - 2 1 5 + 4 5 + 6 4 3 5 + 1 2 5 2 + 5 5 + 6 5 + 2 5 + 3 1 5 + 4 y(í) = 5 + 1 1 1 1 5 3 2 5 + 1 - 2 5 2 + 5s + 6 s + 2 5 + 3 1 5 + 4 y(t) = 1 - ) = 3 e 2' - 2 e ~ 3' 5+2 5+3 ¡x(t) = 4e~2' -3e~3' por lo tanto: < 1^(0 = 3e ~ 2e dx - d t= ~y ^ = 2 (x + y) dt ; x(0) = y(0) = l Solución L{^-} = -L{y) L Á = 2L{x} + 2L{y} dt Ííx(í) - x(0) + y(.v) = O W c o - j(0 ) - 2x(s) - 2y(s) = O |jx ( j )+ y ( í) = l [(¿ -2 X y (j)-2 x (j) = l , por la regla de Cramer x(s) = 1 1 1 j -21 s - 3 s -1 s 1 - 2 i - 2 l ( j - i r + i ( j - i r + i (j - i) 2 + i x(t) = L 1{ —- } - 2 L l {-— L— } = e ' c o s r -2 e ' senf ( s - l ) 2 + l ( i - l ) + l y(s) = s 1 - 2 1 J + 2 s -1 s 1 - 2 s - 2 ( j - l ) 2 +l (j -1 )2 +1 (j -1 )2 +1 y(t) = L ! {-------------- 1------- ------- } = e ' cosí+ 3e ' senr (j -1 )2 +1 (í -1 )2 +1 Rpta. ¡x(t) = e' c o s r -2 e ' senr I y(t) = e ‘ eos t + 3e‘ sen t 988) dx -— + 2 y = 3r dt dt ; x(0) = 2 , y(0) = 3 Solución 492 L Á + 2L{y} = L{3tl dt * L Á - 2 L { x } = L{4\ dt sx(s) - x(0) + 2y(s) sy(s)-y{Q )-2x(s) íx(s) + 2>'(s) = — +2 s , por la regla de Cramer - 2x(s)+ sy(J) = —+3s x(s) = - y + 2 2 s —+ 3 5 2s s 2 - 2 s 6s + 5 s 2 + 4 í ( j 2 +4) 3 3s-------+- 12x(s) = 2 - . . s 2 + 4 2x s +4 s +4 x(t) = L~\- 5s 12 2 + 4 2s s 2 + 4 x (t) = 5 eos 2t - — - 12 sen 21 y(s) = s —+2 s - 2 - + 3 s 3 ^+ 8 S 2 +4 52(52 +4) y(0 = r 1{ i 35 + 8 5 2 +4 5 ( 5 +4) 2 } = — t + 3 eos 2t + 13 4 5 sen 2/ 3 13y(t) = — í + 3 eos 2t + — sen 2í 2 4 989) dt dx , ; x(0) = y (0 )= l Solución L { ~ )+ L { x } = L{y}+L{e'} L{~ } + L{y} = L{x} + L{e'} sx(s)-x(0) + x(s) = y(s)+ sy(s) -y(0 )+ y(s) = x(s) + (s + 1)x(ì) - ^ ( j) = _ L + 1 S ~ 1 (s + O X i) - x(s) = —— +1 J - l , por la regia de Cramer x(ì ) = ì -1 1 s - 1 + 1 -1 + 1 s + 1 s + 2 _ s - l + (s+2) ì + 1 -1 -1 j+ 1 s ¿ +2s (* + l)2 - l (ì -1)(j 2 + 2 j ) y(s) = J + l — +l| j -1 -1 — +li j -1 s 2 + 2 j ì + 1 -1 -1 s + 1 [ ( J -1 ) '- 1 ] ( J -1 ) s - l y ( t) - L 1 {— -} = e' por lo tanto: j - 1 \x (t) = e l W ) = e ‘ 494 990) dx dy ,y + e dt dt dt dt ; x(0) = y(0) = 0 Solución L { ^ - } + L { % = L{y}+L{e‘} dt dt 2 Z . Á + + 2 L{y) = I{cos t } dt dt , operando tenemos 5x( j) - x(0) + sy(s) - y( 0) = >>(ì ) + s - l 2sx(s ) - 2x(0) + .?_y(i)->'(0) + 2y(5) = —---- s +1 íx(í ) + (í -1)^(í ) = s - 1 , por la regia de Cramer 2ìx(ì) + (.5 + 2)y(s) = - y — s +1 x(s) = s - l s s 2 + 1 s - l s-1-2 s s - l 2 s s + 2 s+ 2 s +s------- 1— ----- S - 1 J 2 +l - ( s 2 -4 s ) x (s )= ____________________= - ( s - l)(i 2 + l)(i 2 - 4ì) _ 1 1 11________3s | _____ 5 2s J - l 3 4 ( j-4 ) 17(s2 +1) 17(52 +1) 495 2 34 17 17 /v» 1 t 11 4, 3 5x(t) = — e ' ----- e ----- eos t + — sen t y (í) = 2s s - 1 s 52 +l 2s s s - 1 2^ 5 + 2 5 + 1 S - l - ( s 2 - 4 s) 2 t 22 4, 41 = — e + — e + — cy(t) = - —e' h-----e " h-----eos í ------sen t 3 51 17 17 991) dx * = y ~ Z ^ = x + y ; x(0) = i , y(0) = 2 , z(0) = 3 dz — = x + z dt Solución L { ~ } = L {y \-L {z} L {^} = L { x } + L { y } L { ~ } = L{x} + L{z) dt 5*(5) - x(0) = y(s) - z(s) syis)-y(Q) = x(s) + y(s) sz(s) - z(0) = x(s) + z(s) s x ( s ) - y ( s ) + z ( s ) = l - x(í ) + (x + 1)^(í) = 2 , por la regla de Cramer -x (5 ) + (5 + l)z(5) = 3 496 x(s) = 1 -1 1 2 2 + 1 0 3 0 5 + 1 (s + l )2 - ( s + l) _ 1 5 -1 1 -1 5 + 1 0 -1 0 5+1 5(5 + 1)2 5 + 1 x ( s ) = 1 5 + 1 x(t) = L 1{ ^ - \ = e -‘ y(s) = 5 1 1 - 1 2 0 - 1 3 5 + 1 5 + 1 25(5 + 1) + 5 2 5 -1 1 -1 5+1 0 -1 0 5+1 5(5 + 1)2 í + i ( s + i ) 3 y(t) = I “1 { ^ - + - - L r } = 2e~l +e~’t 5 + 1 (5 + 1) Z(5) = 5 - 1 1 - 1 5+1 2 - 1 0 3 5 - 1 1 -1 5+1 0 -1 0 5+1 3 1 - + - Z(o = r 1{— + 1 5 + 1 (5 + 1) 35(5 +1) + 5 5(5 + 1)2 S + \ (5 + 1 ) : r} = 3 e ”'+ e " 'í La solución es: x(t) = e - y(t) = 2e~' +te~' + te~' z(í) = 3e~' +te~' 497 992) dx ~Jt dy dt dz dt — z ; x(0) = 5 , y(0) = O , z(0) = r = 4y = 4 y + z L { ^ } = 4L{y)+L{z) í { j } = ¿{z| dt L { ~ ) = 4 L{y) Solución íx(j) - x(0) = 4y(s) + z(s) í>'(í )-> '(0) = z(j ) sz(s) - 2(0) = 4y(.v) íx ( í- ) -4 y (j) -z ( í) = 5 ■ sy(s) - z(s) = O , por la regla de Cramer - 4 y ( i) + .sz(.y) = 4 x (j ) = Tti*1 0 í -1 4 - 4 s 5s2 + 4 í - 4 s - 4 -1 s(s2 - 4 ) 0 í -1 0 - 4 s x(í) = Z,-I{ i + — s s - 2 s+ 2 1 } =l + 3e2' + e~2' x(t) =l+3e2r +e~2> 498 y(j) = s 5 -1 0 0 - 1 0 4 í 4s s - 4 -1 0 í -1 0 - 4 i s(s2 - 4 ) s 2 - 4 s- z(s) = s - 4 5 0 5 0 0 - 4 4 45 4 5 5 - 4 -1 0 5 - 1 0 - 4 5 5( 5 2 - 4 ) 5 2 - 4 Z(0 = L~x { *S } = 4 cosh 21 = 2e2' + 2e~2' s - 4 z(t) = 2e2' + l e -21 993) dx . dy — + 2 — + x + y + z = 0 dt dt dx dy — + — + x + z = 0 dt dt dz dy--------— y = 0 dt dt ; x(0) = y(0)=l Solución 2 s + 1 1 , z(0) = -2 499 L {d t ] “ 2L{d t ] + z w + L {y}+ L {z}= 0 ' L{— } + £{-—} + L{x} + Z,{z} = 0 , operando tenemos at ai ix (i) - x(0) + 2sy(s) - 2y(0) + x(s)+ j>(j)+ z(s) = 0 • sx(s) -x (0 ) + jy(x) - ^ (0) + x(s) + z(s) = 0 jz (ì) - z(0) - 2iy(i) + 2^(0) - y(i) = 0 ( s + l)x(s) + (2 s + 1)>>(ì)+ z(s) = 3 - ( j + l)jf(j) + sy(s) + z(s) = 2 , por la regia de Cramer - (2s + l).y($) + sz(s) = -4 3 25 + 1 1 2 5 1 - 4 “ (25 + 1) s _ 3(s + l)2 -2 (2 j + 1)(ì + 2 ) - 2 5 + 3 5 + 1 25 + 1 1 - j (ì + 1)2 5(5 + 1) 5 + 1 5 1 0 - (2j +1) s 5 + 1 3 1 5 + 1 2 1 0 - 4 5 - s O + l) 1 5 + 1 25 + 1 1 - i ( i + l)2 s + l 5 + 1 5 1 0 (2s+1) s y(£ = L l { - U = e“' => y(t) = e-‘ 5 + 1 Z(j) = s +1 2 s +1 3 j+ 1 s 2 0 - ( 2 j +1) - 4 5 + 1 2s+\ 1 j + 1 s 1 0 - (2s +1) s (5+1)(2j +3) 1___ 3 - s ( j + l)2 s + 1 s z(/) = L~l {—--------------------------------- } = é T '-3 => z(t) = e~' -3 ì+ 1 s 1 3 994) * _ & _ 2 * + 2 , , i _2 , dt dt d 2x dy + 2 — + x = 0 x(0) = y(0) = x’(0) = 0 A Solución L & ~ U r f ) ~ 2L{x} + 2L{y} = I{1 - 2t) at at , operando tenemos I{— }+2!{^-} + I W = 0 ¿ i'' dt sx(s) - x(0) - jy (j) + ^ (0) - 2x{s) + 2y(s) = ~ ~ \ s s s 2 *(5) - 5*(0) - Jt(0) - 2sy(s) - 5j>(0) + *(5) = 0 ( í - 2 ) x ( í ) - ( i - 2 M í ) = i - - 4 s s , por la regia de Cramer (5 2 + 1)jc(5) + 257(5) = 0 501 x(s) = 1 2 / ^ 5 S2 O 2 s 2 - — s - 2 - ( s - 2) s 2 +l 2s (s -2 )(s + l) s(s + l)2 s s + l (s + l) s s + l (í + i) : -} = 2 -2 e~ ‘ -2te~ y(s) = - s - 2 1 2 s 2 +l 2 s 2 0 2 1 2 2 s - 2 - ( s - 2 ) i s 2 s+ l (s + l)2 s 2 +1 2s -------r ------ ----------- 7 } entonces: y ( t ) - 2 - t - 2 e - 2 te" s s 2 S + l (j + 1)2 995) d 2x d t‘ d 2y = y d t2 = X x(0) = y(O) = 1, x'(O) = 2 , / ( 0 ) = 0 Solución 2 B ¿ - ± ) = L { y ) dt d 2y L {— = dt I s x(s) - sx' (0) - x(0) = y(s) (s 2y(s) - sy' (0) - y{ 0) = x(s) , por la regla de Cramer 502 996) x(s) = 2 s+ l -1 1 s ; 2 s 3 + s 2 +1 2 1 s 2 -1 -1 s : ?4 -1 í - 1 s 2 +l x(t) = L 1 {—í— + — } = 2e' + sen t s - 1 S + l y(s) = s 2s + l -1 l ( j + i r s + i 1 1 s ¿ -1 -1 s : s 4 - l ( s - l ) ( s 2 +l) s - l í 2 +l y (0 = L 1 {—-t “— } =e' - sen; => v(t) = e' - s e n / s - l s +1 d 2x - T T = x ~ 4y , , x(0) = 2 , y(0) = 0 , x’ (0) = —^ 3 , / ( 0 ) = ^ - d 2y 2 2 = - * + > ’ d t2 Solución d 2x d t2 * - j s 2x (s )-sx '(0 )-x (0 ) = x(s)-4.y(s) r , . , , . | s 2y(s) - s / ( 0 ) - y(0) = -x ( s ) + _y(s) I{— í - )= -L {x ) + L{y\ dt í i i, (s2 - l)x (s) + 4y(s) = 2 - f í s J J , por la regla de Cramer x(s) + (s2 - l)y (s ) = — — s 503 jc(j ) = V3 2 ,------ s s -1 2 2 ~ j3 s 4 5¿ -1 4 1 s 2 - ì 52 +l 5-1-^3 x(t) = L-1{ S 52 +l 5 + V3 -— 1 = cos/ + e y(i) = 52 - l 2 -V 3 j 1 ------ s 2 5 ^ - 1 4 1 s 2 - Ì 2 ( 5 2 + 1 ) 2 ( ì + ^ 3 ) y(t) = L i { s } = — c o s i- — e 2 ( 5 2 + 1 ) 2 ( j + V 3 ) 2 2 997) d x dy , — T + — = e ' - x d t2 dt d 2 y dx + — = 1 d t2 dt , x (0 ) = l , y(0) = 0 , x'(0) = 2, Solución L* r - y } +L{x) + L{y) = ¿{5}dt1 d 2y L { - f } - 4 L { x } - 3 L { y } = L { - 3 } dt , operando tenemos i 5 5 x(5)-5x'(0)-jt(0) + jt(5) + j>(>) = — s 2y ( s ) - s y ' ( 0 ) - y (0 ) -4 x ( s ) -3 y (s ) = - - (s2 -l)x(5) + >^ (5) = - s - 4 x(ì ) + (ì 2-3 W s) = - - , por la regia de Cramer x(s) = - 3- s 2 -3 5j s ¿ + 1 1 - 4 s 2 -3 (ì 2 -1 )2 x(t) = L '{—^ — } = 12coshí - 1 2 - —fsenh t 2(s2 - l ) ' x(f) = 12 co sh í-1 2 — isenhr 2 ^(5) = - 4 +1 1 - 4 52 -3| -, I7 (s2 - i ) 2 506 y(t) = L '{——j— - y } = 1 tsenht - 17(cosh? -1) j ( j -1) v(0 = 7i. senh / - 1 7(cosh / -1) 999) — + 4v + 2x = 4/ + l dt dy 3 2——+ x —y = — f dt 2 x(0) = y(0) = 0 Solución l Á + 4 I M + 2 IW = I{4í + l} at L Á + L { x } - L { y } = L { - -} at l sx(s) - x(0)+ 4y (ì) + 2x(s) = A r + — s 2 S (s + 2 )x(s) + 4 _y(i)= ^ - + i = S^ - s s , por la regia de Cramer *(■*) + ( j - lM - 0 = - ys x(s) = 4 1 ^— + - 4 s 2 s 7 - s+ 2 4 1 J - l l ■r3 + 3 ^ 2 — 4 j —12 j 3(í 2 + J - 6 ) x(j) = s(j 2 + ì -6 ) 2(ì 2 + 5 -6 ) j 3(j 2 + í - 6 ) ì 3(ì 2 + j - 6 ) , a 1 2 *(J) = - T + -T s s s s x ( / ) = / + r 507 y(s) = s + 2 s + 4 - ( s z + s - 6) 1 s + 2 4 1 s - 1 53(52 + 5 - 6 ) 1 ty{t) = L~l {— —} = ----- por lo tanto: s 2 x(t) = t + t A 0 = - y 1000) de ~dt di + y - 2 x = 0 + x - 2 y = -5 e‘ seni , x(0) = 2 , y(0) = 3 Solución L { ^ } + L{y}-2L{x} = 0 /.{— } + L{x) - 2L{y) = -5 L{e‘ sen /} dt , operando tenemos 5x(5) - jc(0) + y (5) - 2x(s) = 0 sy(s) - y(0) + x(s) - 2y(j) = - 5 ( ì - 1 ) 2 + 1 s 2 - 2 s + 2 ( s -2 )x (s ) + y(s) = 2 (3s2 - 6 ì+1) , por la regia de Cramer x(i) + ( i -2 ) y ( j ) = - (ì -1 ) +1 508 x(s) = 2 1 3s 2 - 6 j + 1 2 * 2 s - 2 i + 2 2s 3 -11s 2 +18s - 9 s - 2 1 1 s - 2 ( j 2 - 2 s + 2)(s 2 - 4 s + 3) x(s) = 2 5 -3 2(j -1) s 2 - 2 s + 2 ( i - l ) 2 +l ( J - 1 ) 2 +1 . . „ 1. 2(5-1) x(t) = L '{ 7 ( s - l ) 2 + l ( i - l ) 2 +l x(t) = 2e' c o s i - e ' sen/ => x(t) = e' (2 cosí -se n /) y(s) = s - 2 2 j 3s2 - 6 i + l s - 2 1 1 s - 2 3s3 - 1 4 j2 + 1 7 ^ -6 (s2 - 4 ì + 3)(s2 - 2 s + 2) 3 s - 2 3(5 -1 ) +1y(s) = —-----------= -------- -— entonces: 52 - 25 + 2 (5 — 1) +1 (5 — 1) + 1 (5 — 1) + 1 y(t) = 3e' eos t + e* sen / => y(t) = e1 (3 eos t + sen t) por lo tanto: \x(t) = e '(2 e o s / - s e n t) I y(t) = e1 (3 eos t + sen t 509 A P E N D I C E DERIVADAS ELEMENTALES !) y = f ( x ) = c = > ^- = f ' ( x ) = o dx 2) y = k f (x ) = c=> — = k f '(x ) dx 3) y= f ( x ) ± g ( x ) ^ ^ - = f ' ( x ) ± g ( x ) dx 4) y = f { x ) = x n => — = f ' ( x ) = nxn~1 dx 5) y = f ( x ) g ( x ) = > - ~ = r ( x ) .g ( x ) + f ( x ) .g ' ( x ) dx f ( x ) dy g ( x ) . f ' ( x ) - f ( x ) . g ' ( x ) 6) y = — =>— --------------- 2--------- g(x) dx g(x) 7) y = ( / ( x ) ) n dx DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y SUS INVERSAS dy 1) y = 3en(/(x)) => — = cos f ( x ) . f ' ( x ) dx 2) j = cos(/ (* ) ) =* ^ = - sen( f ( x ) ) . f ' ( x ) dx 3) J = tg(/(jc)) => — = sec2(/(x ) ) ./" (x ) dx 4) y = c tg ( f (x ) ) => — = -cosec2 ( f ( x ) ) . f ' ( x ) dx dy 5) = sec(/(x )) => — = s e c ( /(x )) .tg ( /0 ) ) ./ '(x ) dx 6) _y = cosec(/(x)) => — = ~cosec( f (x))£ig(f (x)) . f ' (x) dx 510 7) y = arc.senif (x)) 8) y = arc.cos(f (x )) 9) y = are. tg (/(x )) = 10) y = arc.cig(f{x)) dy / '(* ) dx •y/T -/2(x) dy -/■ (* ) — dx V1_/ 2w dy / ' ( * ) dx \ + f 2(x) dy dx 1 + / (x) dy / ’(x) 11) y = arc.sec(f(x)) 1 dy - / ' ( * ) 12) y = arc.cosec(/(x)) => — = dx 1 / w l V / 2 ^ ) " 1 DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS ¿/v loe c 1) y = logfl( / (x ) )= > - j-= " a *0,1 dx f ( x ) dy / ' ( * ) 2) ,y = ln (/(x))=> — = —— dx / ( x ) 3) y = a f{x) => — = a f{x).Ln a . f ' ( x ) dx 4) J = e dx 5) y = ( f ( x ) g{X) ^ — = g ( x ) ( f ( x ) f i*)~i . f ' ( x ) + ( f ( x ) f (X)M f( x ) ) .g ' ( x ) dx DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS Y SUS INVERSAS dy 1) y = s e n h ( /(*)) => — = cosh ( / ( * ) ) • / ’(*) dx dy 2) v = c o s h ( /(x )) => — = s e n h ( / (x ) ) . / ' ( x ) 511 r = tgh(/(jr)) => — = sech2( f ( x ) ) . f ' ( x ) dx dv 9 4) ,y = c tg h (/(x )) => — = -cosech ( f ( x ) ) . f ' ( x ) dx dy 5) y = sec A ( /(* ) ) => — = -sec A(/(x)).tgh( f(x ))./'( jc ) dx dy 6) _y = coseh(f(x)) => — = -cosecA( f (x)).ctgh( f(x)). f ' ( x ) dx 7) j = örc. senh(/(x)) => — = • a/ / 2W + 1 ¿V + f (*) 8) j; = — = • ¿¿r ¿ í 2(x)~ 1 dy f ' ( x ) 9) _y = arc. tgh(/(jr))=> — = —— ----- , -1 < f(x) < 1 dx l - f (x) dy f ' ( x ) 10) y = arc .c tgh (/(x )) => — = —:— ---------------------- , (f(x>) > 1 dx 1 - f { x ) i n u n n d y * / '( * )11) y = arc.sec h ( f (x ) ) => — = 12) y = arc. cos e c h ( f (x)) dx f ( x ) ^ l - / 2(x) dy - f ' ( x ) dx |/(x ) |V l + / 2W TABLA DE INTEGRALES 1) fa d x = ax + c 2) j kf(x)dx = k j f ( x ) d x 3) f d ( / ( x ) ) = / ( x ) + c 4) j ( f (x )± g (x ))d x = j f ( x ) d x ± j g(x)dx f Xn+* r i/n+* \ x ndx = ----- + c, « * - 1 6) i undu = ------- + c, n * -1 J «+1 J n + \ 5) 7) = Ln\u\ + c 8) j" e“du = eu+ c 9) 512 L udu = ^ — +c, a > 0, a * l 10) \ ~ * U - = l a r e t g - J Ina J a 2 + w2 a a + c ID I Si 15) 16) 17) 18) *19) 21) 23) 25) 27) 29) 31) 33) 35) 37) 38) 1 ; u - a 12) f d u ----— Ln u + a — Ln 2 a u + a + c i a 2 - u 2 2a u - a du i u \ , s ..—= = = = = -= arc.sen(—) + c I 2 2 aV a —u i duV - 7 a 2 J a " - ¿/ r_ _ i f ^ L - = i l + V ¡ W 1 _ ______ 2 * J J a 2 - i c du --- " \/a' - h ’ + y «« . sen ^ + c j Vm2 - "a2 dit = >/«" - a2- * - 1—- Lnu + ^ u2 - a2 + jV î/2 +a2 dit = ^ 4 î ( Jscn = -ÇOSM.+ 6* J tg il du = - L/?jcob 4 + c‘ + c = Ln u +'yliF~+a* + 6* + a" +— Ln u + \ ¡/' + a +:c ! + c 20) Jcoshc/w = senw + c 22) J c tg udu = ¿«|sen «[+ c Jscc udu = /.«¡sec w + Ig u\ + C 24) J cos ecudu = Z.«|cos ecu - c tg w| + c 26) Jcos ec2udu = -c tg u + c 28) J cos ecu. c tg udu = - cos ecu + c 30) Jcosh udu = senh u + c 32) Je tgh z/c/z/ = I^ |sec hu\ + c 34) Jcos ech2 udu — - c tgh u 4- c Jsec hu. tgh udu = - sec />« + c 36) j cos edi «. c tgh udu = - cos ecA » + c r „ fa sen(¿>z/) - b cos(bu)) \e au scn(bu)du = ----------- f , /m (ùfCosèw + èsen(ÔM)) j euU cos(bdt)du ~-:e' — Jsec'' u du - tgw J sec u tg z/ c/i/ -- sec £/ + c J senh udu = cosh + c Jtgh udu - ¿wjcosh m| + c J sec h udu — tgh u + c a2 +b2 - c