3 Asociación Fondo de Investigadores y Editores Preguntas Propuesta s Números primos y compuestos 1. Si N2 tiene 63 divisores y N3 tiene 130 divisores ¿Cuántos divisores tiene N4? Calcule la suma de las cifras de esta cantidad. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 UNI 2008 - I 2. Antonio, Benjamín y Carlos han reci- bido sus propinas, las cuales son nú- meros primos entre sí, tales que cada una se diferencia de la anterior en 4 soles. Se sabe además que Carlos re- cibe la mayor cantidad, la cual puede ser expresada por un número exacto de monedas de 5 soles y que la suma total recibida por los tres es un núme- ro de tres cifras divisible por 63. Halle la suma de cifras de la cantidad reci- bida por Carlos, si las 3 propinas son diferentes. A) 9 B) 11 C) 6 D) 8 E) 10 3. Para averiguar si un número es primo se deben realizar diez divisiones y re- sultó compuesto en la sexta división. Si abcd es la suma de todos los valores que puede adoptar dicho número, dé la suma de los números primos com- prendidos entre ab y cd. A) 251 B) 138 C) 204 D) 228 E) 162 4. Si m representa la cantidad de núme- ros capicúas de dos cifras, tal que la cantidad de sus divisores es la suma de sus cifras, calcule la cantidad de diviso- res múltiplos de 2m que tiene 344 736. A) 80 B) 64 C) 100 D) 72 E) 60 5. N es un número entero positivo cuya suma de divisores simples es 10. Si di- vidimos N entre 4, el número de sus divisores se reduce a la tercera par- te; pero si lo multiplicamos por 14, la cantidad de sus divisores se duplica. Determine la suma de divisores de N2. A) 1714 B) 1724 C) 1618 D) 1767 E) 1716 6. Un numeral de la forma abcd es 135 º , pero no de 75 º ni 405 º ; además dicho numeral posee 23 divisores propios y 4 divisores simples. ¿Cuántos números que se encuentran entre cdb y abd son PESI con ab? A) 154 B) 161 C) 156 D) 158 E) 160 7. La descomposición canónica de un nú- mero es N=ab×ba y el producto de divi- sores es un número que tiene 247 diviso- res. Determine en cuántos ceros termina N! al expresarlo al sistema senario. A) 34 B) 35 C) 36 D) 33 E) 39 8. Al construir la tabla de divisores de un número N se obtuvo 3 filas y 3 colum- nas y la suma de sus divisores fue 741. Determine la suma de todos los núme- ros enteros positivos menores o iguales a N y PESI con N. Dé como respuesta la suma de cifras del resultado. A) 15 B) 27 C) 25 D) 24 E) 29 2 Aritmética MCD y MCM 9. Tres peatones cruzan un puente en 10 minutos, 4 minutos y 6 minutos res- pectivamente, dando pasos de distinta longitud. Si estas longitudes son efec- tuadas en tiempos iguales, dar la razón de la longitud de cada paso del peatón más veloz con la suma de las longitu- des de los otros peatones. A) 3/10 B) 4/9 C) 15/16 D) 16/15 E) 18/13 UNI 2003 - II 10. Dos números A y B tienen 16 múltiplos comunes menores que 10 000; además, el MCM de A y B tiene 18 divisores y es divisible entre 34. Calcule A+B si se sabe que A y B tienen 9 divisores comunes. A) 262 B) 648 C) 288 D) 290 E) 306 11. Si MCD(6A; 9B)=216; MCM(4A; 6B)= 1440 y A+B=192, halle la diferencia A y B. A) 24 B) 72 C) 12 D) 48 E) 36 12. Si el MCD(80!; 82!; 81!) tiene n diviso- res, ¿cuántos divisores tiene el MCM de los mismos números? A) 4920 2329 n B) 8821 7443 n C) 4920 2923 n D) 321 143 n E) 683 127 n 13. Si MCM(aa; bb; ab)=8547, calcule a+ b. A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 14. ¿Cuántos pares de números enteros existen, tales que su producto es igual a 36 veces su MCM y que la suma de MCM y MCD es igual a 7596? A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 32 15. Calcule la última cifra del MCM de A y B si A=71293 –1 y B=7862 –1. A) 4 B) 3 C) 5 D) 1 E) 2 16. Si A=37ab y B=abc, además MCM(A; B)=MCM(5A; 13B) y a+b=4, calcule MCD(abc; cba). A) 15 B) 10 C) 12 D) 9 E) 18 Números racionales 17. ¿Cuántas fracciones irreductibles que están comprendidas entre 12/19 y 13/16 existen tales que la diferencia de sus términos sea 40? A) 38 B) 40 C) 43 D) 44 E) 46 18. Juan y Pedro pueden pintar un audito- rio en 5 días, Juan y Carlos lo pueden hacer en 6 días, y Pedro con Carlos lo pueden hacer en 5 días. ¿En cuántos días puede Pedro pintar el auditorio? A) 8 4 7 B) 9 2 7 C) 9 3 7 D) 9 4 7 E) 9 5 7 UNI 2009 - II 3 Aritmética 19. Un estanque vacío puede ser llenado por los caños A y B en 15 y 20 horas, respectivamente; mientras que un de- sagüe C puede vaciar el estanque lleno en 30 horas. Cuando cierto día el estan- que contenía cierto volumen, se abren simultáneamente los caños A y B. Cua- tro horas después se cierra solo el caño A y en seguida se abre el desagüe C, luego de 8 horas se termina de llenar el estanque. ¿Qué fracción de toda la capacidad del recipiente estaba lleno al inicio? A) 3/5 B) 2/5 C) 3/4 D) 1/4 E) 2/3 20. Un padre de familia reparte una can- tidad de dinero entre sus cuatro hijos; al mayor le corresponde los 2 5 del total más S/.90, al segundo la tercera parte del resto más S/.20, al tercero los 3 10 del nuevo resto menos S/.18 y los S/.648 restantes le correspondió al último de sus hijos. ¿Cuál es la suma de las cifras de la cantidad repartida por el padre de familia? A) 13 B) 12 C) 9 D) 11 E) 10 21. Si a una fracción propia e irreductible se le sumara sus 3/7, se obtiene una frac- ción propia que expresada en su forma irreductible origina un decimal periódico puro con dos cifras periódicas. ¿Cuántas fracciones cumplen esta condición? A) 13 B) 11 C) 9 D) 10 E) 12 22. ¿Cuántas cifras se genera en la parte no periódica cuando se dividen los términos de la fracción 10 24 40 ! ! !+ en el sistema duodecimal? A) 7 B) 14 C) 6 D) 8 E) 9 23. Se cumple que 23 19 7 = a c b ,...�� cifras Calcule a+b+c. A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 24. Si la fracción propia m n da origen al número decimal y x x x, ...1 2 6 y, además, p abcde mnpp−( ) =1 5 9, , � � , calcule a+b+c+d+e. A) 15 B) 17 C) 12 D) 13 E) 14 Potenciación y radicación 25. ¿Cuántos cubos perfectos existen en la secuencia? 18×1;18×2;18×3;18×4; ...;18×36 000 A) 10 B) 12 C) 14 D) 13 E) 15 26. Si abca=ddbd(2a) y, además, el núme- ro d(b –1) tiene una cantidad impar de divisores, calcule a+b+c+d. A) 20 B) 19 C) 22 D) 18 E) 21 4 Aritmética 27. Si al cuadrado de un número de 2 cifras se le resta el cuadrado de otro número formado por las mismas 2 cifras, pero en orden inverso, se obtiene un cua- drado perfecto. Calcule el producto de las cifras del primer número. A) 30 B) 20 C) 28 D) 26 E) 22 28. Si ab3=(3c)(b+1)ccb, ¿cuánto debe ser m(m ∈ Z+) como mínimo, de tal forma que al agregarle abc y al extraerle su raíz cuadrada, el resultado sea un resi- duo máximo? A) 23 B) 22 C) 20 D) 21 E) 19 29. Al extraer la raíz cúbica del número 1(b+1)(c –1)99bc(c –1) se obtuvo a(a+c)(c – 1) de raíz y un residuo máxi- mo. Calcule el valor de a+b+c. A) 10 B) 18 C) 13 D) 16 E) 12 30. A un número que no tiene raíz cúbi- ca exacta se le suma 720, entonces la raíz cúbica del nuevo número au- menta en una unidad y el residuo dis- minuye en una unidad. Halle el mayor cubo perfecto menor que el número. A) 2744 B) 3375 C) 4913 D) 4056 E) 4096 31. Se da un número positivo que no tiene raíz cúbica exacta. Si a este número se le disminuye en 721, entonces su raíz cúbica disminuye en una unidad, pero el residuo no se altera. Determine la suma de las cifras de la diferencia en- tre el número y el residuo. A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 2 UNI 2008 - I 32. La raíz cuadrada por defecto con un error menor que 0,1 de una fracción irreductible es 1,3. Halle el producto de cifras del numerador de esta fracción si la suma de sus términos es 81 y el denominador es impar. A) 15 B) 6 C) 10 D) 28 E) 9 Aritmética 01 - B 02 - E 03 - B 04 - A 05 - D 06 - A 07 - A 08 - B 09 - C 10 - B 11 - D 12 - C 13 - C 14 - C 15 - A 16 - D 17 - C 18 - A 19 - B 20 - D 21 - C 22 - A 23 - E 24 - B 25 - C 26 - E 27 - A 28 - C 29 - C 30 - B 31 - D 32 - C 5 Aritmética