CATATAN KULIAH Pertemuan I: Pengenalan Matematika Ekonomi dan Bisnis A. Sifat-sifat Matematika Ekonomi 1. Perbedaan Matematika vs. Nonmamatematika Ekonomi y Keuntungan pendekatan matematika dalam ilmu ekonomi ◦ Ketepatan (Precise), Keringkasan (concise) ◦ Memaksa pernyataan asumsi-asumsi dengan jelas ◦ Menarik kesimpulan / dalil dari asumsi yang digunakan melalui Penalaran Deduksi ◦ Memungkinkan pembahasan kasus n-variabel y Matematika sebagai Bahasa dari Logika ◦ Memudahkan proses logika (deduksi/induksi) ◦ Dengan matematika dapat memperluas Logika deduksi ◦ Mampu mengambil esensi dari realitas dengan alat matematika y Kekurangan : Terlalu kaku dan terlalu menyederhanakan realitas dengan teori. (Realitas Æ Teori) 2. Perbedaan Matematika Ekonomi vs. Ekonometrik y Deduksi vs. induksi ◦ Deduksi: dari umum ke spesifik Æ Matematika Ekonomi ◦ Induksi: dari spesifik ke umum Æ Ekonometrik y Kekurangan deduksi: ◦ Tergantung ketepatan asumsi awalnya y Kekurangan induksi: ◦ Kebenaran dari hasil akhirnya berupa probabilitas y Paradoks Hume: ◦ Bukan deduksi atau induksi yang menuju Kebenaran ◦ Maka gunakan keduanya: masing-masing digunakan bersama untuk saling mengkoreksi satu dengan yang lain. B. Model-model Ekonomi 1. Unsur-unsur dalam Model Matematis y Variabel, Konstanta, Parameter dan Koefisien y Persamaan Æ identitas, kondisi ekuilibrium dan persamaan perilaku. y Contoh: y π ≡ TR – TC (identitas atau definisi) y Qd = Qs (Kondisi ekuilibrium) y Y = 6 + b X0 (Persamaan perilaku) y Y: variabel endogen Æ diperoleh dari dalam y X0: variabel eksogen Æ diperoleh dari luar y 6: Konstanta y b: Parameter dan koefisien dari variabel eksogen X0 B. Sistem Bilangan Real y Bilangan real Æ digambarkan dengan garis bilangan yang mengandung bilangan +, -, dan 0, serta bersifat kontinu. Disimbolkan dengan R, dan terdiri dari: ◦ Bilangan Rasional x Pecahan: dapat dinyatakan sebagai pembagian dua bilangan bulat x Bilangan Bulat: bilangan yang utuh ◦ Bilangan Irasional x Bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pembagian dua bilangan bulat, contohnya akar 2, pi. y Perkembangan sistem bilangan dimulai dari yang paling sederhana yaitu bilangan Asli sampai ke bilangan Imajiner, merupakan perkembangan dari pemikiran peradaban manusia itu sendiri. Sketsanya di bawah ini: Bil Kompleks (C) Bil. Nyata (R) Bil. Imaginer Bil. Rasional (Q) Bil. Irasional (Q’), cont: 2 Bil. Bulat (−) 0 Bil. Bulat (+) Bil. Asli (N) Bil. Bulat (Z) Bil. Cacah Bil. Pecahan C. Konsep Himpunan y Definisi Himpunan: Kumpulan dari sembarang objek yang didefinisikan. y Notasi Himpunan = huruf besar, ex; A, B, …… y Notasi Elemen / anggota = huruf kecil ex; a, b, …… y Notasi Keanggotaan ∈ y Contoh: Himpunan A= {i,…,n} maka elemen i ∈ A y Hubungan antar Himpunan-himpunan y Himpunan Bagian A adalah himpunan bagian dari B, dinotasikan sebagai A⊂B dan dinyatakan sebagai: A⊂B = { x / Ax∈∀ , x∈B } Contoh: A = { 1,2,3 } , B = { 3,2 } maka B⊂A y Jumlah Himpunan Bagian=2N, N: jumlah anggota himpunan. Misalnya anggota himpunan A = 3, maka himpunan bagiannya = 23 = 8 y Himpunan kosong :himpunan tanpa anggota. Notasi = { } atau ∅ y Himpunan Semesta :himpunan dari semua anggota. Notasi = S y Operasi himpunan 1. A∪B = { x / x ∈A atau x∈B } 2. A∩B = { x / x ∈A dan x ∈ B } 3. A – B = { x / x ∈A, tetapi x ∉B } 4. Ac = { x / x ∉A, tetapi x ∈S } y Contoh : A = { 5,6,7 } B = { 1,2,3 } Maka A – B = { 5,6,7 } y Dalil dalam Operasi himpunan 1. Hukum Komutatif: A∪B= B∪A dan A∩B= B∩A 2. Hukum Assosiatif: A∪ ( B∪C)= (A∪B)∪C 3. Hukum Distributif: A∪ ( B∩C)= (A∪B) ∩ ( A∪C) dan A∩ ( B∪C)= (A∪B) ∩ ( A∪C) Contoh: y Model Permintaan dan Penawaran (demand supply model) dapat disajikan dalam bentuk himpunan sebagai pasangan berurut (ordered pair Æ definisi ini dilihat pada bagian Fungsi) y Æ berupa garis lurus y Æ berupa garis lurus y D∩S = Æ perpotongan berupa titik Keterangan notasi: ∃/ : tidak ada ∃ : ada ∀ : untuk setiap D. Himpunan dan Fungsi • Pasangan berurut (ordered pairs): (a,b) ≠ (b,a) Hal ini berbeda dengan definisi himpunan di mana {a,b} = {b,a} • Hasilkali Kartesian (Cartesian Product): X × Y = { (a,b) a ∈ X dan b ∈ Y} Contoh: X = {1,2}; Y = {3,4} ; maka Hasilkali Kartesian X × Y = { (1,3) (1,4) (2,3) (2,4) } • Hubungan (relation): pasangan berurut (x, y) yang bersifat sembarang nilai x dapat menentukan lebih dari satu nilai y • Fungsi (function): pasangan berurut (x, y) yang bersifat sembarang nilai x dapat menentukan HANYA satu nilai y. Fungsi dinotasikan sebagai f: x Æ y • Catatan: Hubungan belum tentu fungsi, fungsi pasti hubungan ! Contoh yang bukan fungsi: Fungsi: Sebelah kiri (domain) harus habis. Ini juga bukan Hubungan. Fungsi: tidak boleh punya 2 pasangan. Ini merupakan Hubungan. ( ){ }PQQPD βα −== , ( ){ }dPQQPS +== γ, ( )QP, a b c d x y z B A a b c d x y z B A Penulisan Fungsi secara umum: y y = f (x) y y adalah variabel terikat (dependent variable) Æ gambaran (image) dari nilai x. y Himpunan semua gambaran disebut kisaran (range), digambarkan sebagai sumbu vertikal. y f adalah fungsi atau aturan pemetaan (mapping) nilai x menjadi hanya satu nilai y. y x adalah variabel bebas (independent variable) y Himpunan semua nilai x disebut daerah asal (domain), digambarkan sebagai sumbu horizontal. E. Tipe-tipe Fungsi y Fungsi Konstan: y = f (x) = k, k∈R Contoh : y = f (x) = 5 y=f (x) 5 y Fungsi Polinom (suku banyak) Bentuk umum: y = f (x) = ∑ = n i i i xa 0 . n = 0 y = f (x) = a0x0 = a0 fungsi konstan (berderajat 0) n = 1 y = f (x) = a0+a1x1 f. linear (f. polinom berderajat 1) n = 2 y = f (x) = a0+a1+a2x2 n = 3 y = f(x) = a0+a1x+a2x2+a3x3 x y=f(x) a0 y=a0+a1x+a2x2 x y=f(x) a0 y=a0+a1x a1 y=f(x) x a0 y=a0+a1x+a2x2+a3x3 y Fungsi Rasional : pembagian fungsi polinom Contoh: y = f(x) = 12 1 ++ − xx x y Fungsi Non-Aljabar (Fungsi transenden) o y = ax (fungsi eksponensial) o y = lnb(x) (fungsi logaritma) Penyimpangan Eksponen y Dalil Eksponen: Xn = (X×X×X×...×X) n kali 1. Dalil I: Xm × Xn = Xm+n 2. Dalil II: 3. Dalil III: X-n = 4. Dalil IV: X0 = 1 5. Dalil V: X1/n = 6. Dalil VI: (Xm)n = Xmn 7. Dalil VII: Xm × Ym = (XY)m Sifat-sifat fungsi: y Sebuah fungsi NAIK jika: f(xB) ≥ f(xA) untuk xB > xA y Sebuah fungsi SELALU NAIK jika: f(xB) > f(xA) untuk xB > xA y Sebuah fungsi TURUN jika: f(xB) ≤ f(xA) untuk xB > xA y Sebuah fungsi SELALU TURUN jika: f(xB) < f(xA) untuk xB > xA F. Fungsi dari Dua atau Lebih Variabel Bebas y y = f(x) y y = f(x, z) Æ dua variabel bebas (3 dimensi) y y = f(w,x,z) Æ tiga variabel bebas (hypersurface) G. Tingkat Generalitas y Fungsi spesifik 1: bentuk spesifik dan parameter spesifik x y = 10 – 5x y Fungsi spesifik 2: bentuk spesifik dan parameter umum x y = a – bx nm n m X X X −= nX 1 n x y Fungsi umum: bentuk umum dan tanpa parameter x y = f(x) x f memetakan x ke hanya satu nilai y LATIHAN: 1. Dalam teori perusahaan, para ekonom mempertimbangkan biaya total C sebagai fungsi dari tingkat output Q: C=f(Q) A. Menurut definisi fungsi, akah setiap angka biaya berkaitan dengan tingkat output yang unik? B. Apakah setiap tingkat output (Q) menentukan angka biaya yang unik? C. Jika C=5+3Q di mana {Q|1≤Q≤9}, carilah range dari fungsi dan nyatakan dalam bentuk himpunan! CATATAN KULIAH Pertemuan II: Analisis Keseimbangan Statik dan Arti Keseimbangan A. Pengertian Ekuilibrium • Ekuilibrium: kumpulan variable-variabel terpilih yang saling berhubungan satu dengan lainnya dalam model, yang berada dalam keadaan (state) tidak ada kecenderungan yang melekat untuk berubah. • Ada 2 jenis: Ekuilibrium Tujuan (goal equilibrium) dan Ekuilibrium bukan Tujuan (nongoal equilibrium) B. Ekuilibrium Pasar Parsial – Suatu Model Linear 1. Pembentukan Model Linear Persoalan: Pandang satu komoditas, kemudian cari Harga ekuilibrium (Pe) Kuantitas ekuilibrium (Qe), jika • Diberikan variabel: o Qd Kuantitas Permintaan (demand) o Qs Kuantitas Penawaran (supply) o P Harga, bedakan dengan Pe = Harga ekuilibrium • Dengan asumsi: o Qd = Qs o Qd Fungsi linier TURUN dari P o Qs Fungsi linier NAIK dari P o Pe > 0 • Kasus ini adalah satu persamaan ekuilibrium dan dua persamaan perilaku. o Model Permintaan-Penawaran o Qd = a - bP Persamaan Permintaan o Qs = -c + dP Persamaan Penawaran o Qd = Qs Kondisi ekuilibrium Kasus ini, secara grafik dapat digambarkan sebagai: 2. Penyelesaian melalui Eliminansi Variabel Model Ekuilibrium Pasar Parsial • Qd = Qs = Qe Kondisi ekuilibrium • Qd = a - b(P) (a,b > 0) Permintaan • Qs = -c + d(P) (c,d > 0) Penawaran Penyelesaian: a - bPe = -c + dPe a + c = bPe + dPe a + c = Pe(b+d) ¾ Pe = (a+c)/(b+d) ¾ Qd = Qe = a-bPe = a-b(a+c)/(b+d) = (ad-bc)/(b+d) Contoh Soal: Model Ekuilibrium Pasar Parsial ¾ Qd = Qs = Qe Kondisi ekuilibrium ¾ Qd = 51 - 3P = a - b(P) ¾ Qs = – 10 + 6P = -c + d(P) Cari nilai Pe dan Qd? Jawab: Qd = Qs = Qe Qd = 51 - 3P Qs = 6P – 10 Qs = −c+dP (supply) a Qd P (demand) O -c QQQ sd == ( )QP, P bPaQd −= 51 - 3Pe = 6Pe - 10 -9Pe = -61 Pe = 61/9=6 7/9 ¾ Pe = 61/9 = 6 7/9 ¾ Qd = 51 – 3 (61/9) = 459/9 – 183/9 = 276/9 = 30 2/3 Sehingga (Pe, Qe) = (6 7/9, 30 2/3) C. Ekuilibrium Pasar Parsial – Suatu Model Nonlinear 1. Pembentukan Model Nonliner Model Ekuilibrium Pasar Parsial • Qd = Qs = Qe Kondisi ekuilibrium • Qd = 4 – P2 Permintaan • Qs = 4P -1 Penawaran Jawab: 4-P2 = 4P -1 P2 + 4P -5 = 0 Bagaimana cara mencari nilai P? o Secara grafik o Memfaktorkan o Rumus abc (akar persamaan kuadrat) A. Secara grafik Dengan memplot persamaan kuadrat di atas: B. Memfaktorkan Qd=4-P2 Qs=4P-1 Qd=Qs 4-P2=4P-1 P2+4P-5=0 (P+5)(P-1)=0 ¾ P={-5, 1} ¾ Qd=4-P2={-21,3} C. Rumus abc ax2 + bx + c = 0 → P2+4P-5=01 2. Penurunan Rumus abc dengan melengkapkan persamaan kuadrat • Persoalan: Persamaan kuadrat ax2+ bx + c = 0, cari nilai x dalam parameter a, b, c. ( ) ( ) 12 )5)(1)(4(164 2 4 , 2 21 ⋅ −−±−=−±−= a acbb PP ( ) { }5,1 2 64 2 20164, 2/1 21 −=±−=+±−=PP Penurunan Rumus abc: • x2 + bx/a + c/a = 0 • x2 + bx/a + b2/4a2 = b2/4a2 - c/a • (x + b/2a)2 = (b2-4ac)/4a2 • x + b/2a = ±(b2-4ac)½/2a Sehingga: D. Ekuilibrium Pasar Umum 1. Model Pasar dengan Dua Barang Kasus: Ada dua jenis komoditi yang saling berhubungan satu dengan lainnya. Diasumsikan Persamaan Permintaan dan Penawaran Linear sbb: Kita dapat menyederhanakan sistem persamaan di atas dengan subtitusi menjadi dua persamaan dengan dua variabel, yaitu: ( ) ( ) ( ) 022211100 =−+−+− PbaPbaba ( ) ( ) ( ) 022211100 =−+−+− PP βαβαβα Definisikan : iii bac −= iii βαθ −= Didapat: 0.22110 =++ PcPcc 0.22110 =++ PP θθθ Terakhir diperoleh solusi, sbb : ( ) a acbb x 2 42 2,1 −±−= 221102 221102 22 221101 221101 11 0 0 PPQ PPQ QQ PbPbbQ PaPaaQ QQ s d sd s d sd βββ ααα ++= ++= =− ++= ++= =− 1221 0110 2 θθ θθ cc ccP − −= 1221 2002 1 θθ θθ cc ccP − −= 2. Contoh dengan Angka Diketahui: • Qdi = Qsi • Qd1 = 18-3P1+P2 • Qs1 = -2+4P1 • Qd2 = 12+P1-2P2 • Qs2 = -2+3P2 Cari nilai P1, P2 Jawab: E. Ekuilibrium dalam Analisis Pendapatan Nasional 1. Model Pendapatan Nasional Keynes (tanpa Pajak): • Y= C + I0 + G0 (a>0, 0 b bGbIababa b GIabaC bYaC − +++−= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − +++= += 1 1 00 00 b abGbI Ce − ++= 1 00 2. Model Pendapatan Nasional Keynes (dengan Pajak): • Y = C + I0 + G0 (1) • C = a + b(Y-T) (2) • T = d+tY (3) Keterangan: Variabel endogen= Y (pendapatan nasional), C (pengeluaran konsumsi), T (pajak) Parameter = a, b, d, t Variabel eksogen = I0 (investasi),G0 (pengeluaran pemerintah) Cari nilai ekuilibrium pendapatan nasional (Ye), ekuilibrium Pajak (Te) dan ekuilibrium pengeluaran konsumsi (Ce) Persoalan ini merupakan persoalan tiga persamaan linier dengan tiga variabel, yang akan mudah diselesaikan dengan konsep MATRIKS pada bab selanjutnya. 3. Contoh dengan Angka: Diberikan Model Pendapatan Nasional Keynes (tanpa Pajak): Y = C + I0 + G0 C = 25 + 6Y.5 I0 = 16 G0= 14 Cari nilai Ye dan Ce Jawab: Y = C + 16+ 14 C= Y-30 Y-30 = 25 + 6Y.5 Misalkan: W = Y.5 W2-30 = 25 + 6W W2-6W-55 =0 (W-11)(W+5) W=11, -5 (ambil yang positif) Ye = 121 Ce = 91 Latihan: 1. Pecahkan Model Pendapatan Nasional Keynes (dengan Pajak) di atas dengan menggunakan metode substitusi atau eliminasi! CATATAN KULIAH Pertemuan III: Model-model linier dan Aljabar Matriks (1) Tujuan mempelajari Aljabar Matriks : ¾ Memberikan suatu cara penulisan sistem persamaan yang singkat walaupun persamaannya luas sekali ¾ Memberikan suatu cara pengujian suatu pemecahan dengan pendekatan determinan ¾ Mendapatkan cara pemecahan yang ringkas (jika solusinya ada) A. Matriks dan Vektor 1. Matriks sebagai Susuan [Array] y Asumsikan Model Ekonomi sebagai system persamaan linear , di mana: aij : parameter, dengan i = 1.. n baris, j = 1.. m kolom, dan nilai n=m, xi : variabel endogen, di : variabel eksogen dan merupakan konstanta. Maka Model tersebut dapat dituliskan sebagai: • Kemudian definisikan : Matriks adalah suatu susunan segi empat dari bilangan, parameter dan variabel. nn n n nm m m nn d d d x x x ax ax ax axa axa axa # " # " " ## 2 1 2 22 12 211 22121 12111 = = = + + + + + + Bentuk umum dari matriks dinyatakan sebagai : A = [ aij] i = 1, 2, ……., m = baris, j = 1, 2, ……., n = kolom A = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ a a a a a a a a a mnm2m1 2n2221 1n1211 … ### … … y Selanjutnya dengan penulisan matriks, maka sistem persamaan linear dapat dituliskan sebagai: Ax = d dimana: A = matriks dari parameter x = vektor kolom dari variabel endogen x = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ x x x n 2 1 # d = vektor kolom dari variabel eksogen dan berupa konstanta d = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ d d d n 2 1 # Selanjutnya untuk memecahkan model ekonomi tersebut, kita harus mencari nilai vektor x, sbb: dAx dAx d d d x x x aaa aaa aaa nnnmnn m m 1* 2 1 2 1 21 22221 11211 −= = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ## " #### " " • Ilustrasi untuk Model dua persamaan dua variabel 1) Qd=Qs 2) Qd = a – bP (a,b >0) 3) Qs = -c + dP (c,d >0) • Selanjutnya atur sehingga menjadi bentuk di bawah ini: 4) 1Q + bP = a 5) 1Q – dP = -c • Selanjutnya ditulis dengan Aljabar Matriks sebagai: • Solusi didapat dengan Invers Matriks (Pertemuan selanjutnya) 2. Vektor sebagai Matriks Khusus • VEKTOR dapat dianggap tipe khusus dari matriks, contohnya: ¾ Vektor baris Æ matriks yang hanya memiliki 1 baris Contoh : R= [ r1, r2, …..rn ] ¾ Vektor kolom Æ matriks yang hanya memiliki 1 kolom Contoh : C= ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ n 2 1 c c c B. Operasi dengan Matriks y Penjumlahan Matriks Secara umum, aturannya: dAx c a P Q d b = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −1 1 dAx c a d b P Q 1* 1 * * 1 1 − − = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 117 25 20 13 97 12 [ ] [ ] [ ]ijijij cba =+ y Pengurangan Matriks Secara umum, aturannya: Interpretasi geometrik dari Penjumlahan Vektor Misalkan y v = [2 3], y u = [3 2], dan y v+u = [5 5] maka dapat digambarkan sebagai: • Perkalian skalar Secara umum, aturannya: a=konstanta y Perkalian skalar ini merupakan asal dari konsep ketergantungan linear (linear dependence) y Himpunan vektor saling tergantung linear (linearly dependence) jika sembarang dari anggotanya dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari anggota-anggota yang lain. ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡−⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 65 11 32 01 97 12 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 8143 2141 16 42 8 1 848 3216 16 42 8 [ ] [ ]ijij baba = [ ] [ ] [ ]ijijij cba =+ x1 x2 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 V U V+U y Ketergantungan linear ini yang akan menyebabkan kesukaran dalam memecahkan sistem persamaan linear. y Contoh: Maka vektor V3 adalah bergantung linear, karena: Interpretasi geometrik dari Perkalian skalar • Perkalian Vektor (hasilkali titik) Jika c dan z adalah vektor baris berikut ini: Maka hasilkali titik dari dua vektor tersebut adalah: [ ] 44332211 4 3 2 1 4321'. zczczczc z z z z cccczcy +++= ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ == [ ] [ ] [ ]54 81 72 3 2 1 = = = v v v [ ] [ ] [ ]54 162216 23 213 = −= −= vvv 023 321 =−− vvv x2 x1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 -2 [ ] U246 = [ ] U=23 [ ]231 −−=⋅− U [ ]4321 ccccc = [ ]4321 zzzzz = • Catatan pada Operasi Vektor Sebuah vektor kolom u [m x 1] dan baris vektor v [1 x n] maka hasil kalinya uv mempunyai dimensi [m x n]. Contoh: • Perkalian Matriks y Perkalian matriks membutuhkan Kondisi Kesesuaian (conformability condition) y Kondisi Kesesuaian adalah bahwa untuk perkalian, dimensi kolom matriks dari matriks yang di awal (lead matrix) A harus sama dengan dimensi baris dari matriks yang di akhir (lag matrix) B. y Jadi apabila A dan B adalah sembarang matriks dimana dimensi dari kedua matriks adalah A(mxn) dan B(pxq), perkalian matriks A dan B dapat dilakukan apabila n = p dan hasil dari perkalian tersebut adalah sebuah matriks yang berdimensi (mxq). y Contoh: • Dimensi: A(1x2), B(2x3), maka C(1x3) • Notasi Sigma Σ y Simbol Yunani sigma yang digunakan untuk Penjumlahan adalah cara lain untuk menyajikan Perkalian Matriks. y Dalam notasi ini digunakan, indeks penjumlahan biasanya disimbolkan i. y Contoh: Notasi untuk Hasilkali titik: [ ] [ ] [ ] Cccc babababababa bb bbb aaAB == +++= ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡= 131211 231213112212121121121111 232221 131211 1211 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= 2 3 12x u [ ]541 31 = x v [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= 1082 15123 541 2 3 32x uv 332211 3 1 babababa i ii ++=∑ = C. Hukum Komutatif, Asosiatif dan Distributif • Hukum Komutatif Penjumlahan Matriks: A + B = B + A y Perkalian Matriks, secara umum tidak bersifat komutatif. Sehingga, AB ≠ BA, bahkan jika BA memenuhi kondisi kesesuaian. y Kekecualian: AB=BA jika dan hanya jika y B = sebuah skalar, y B = matriks identitas I, atau y B = invers dari matriks A, atau A-1 D. Matriks Identitas dan Matriks Nol y Matriks Bujursangkar Matriks segi adalah matriks yang memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama Contoh : m 2x2 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ d c b a y Matriks Identitas ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++ ++=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=+ 22222121 12121111 2221 1211 2221 1211 abaa abba bb bb aa aa BA ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++ ++=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=+ 22222121 12121111 2221 1211 2221 1211 abab abab bb aa bb bb AB ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= 76 10 , 43 21 BA ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−+ +−+= 2524 1312 74136403 72116201 AB ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++ −+−+= 4027 43 47263716 41203110 BA Matriks identitas adalah matriks bujursangkar yang memiliki nilai sama dengan 1 untuk diagonal utama dan nol untuk yang lainnya. Contoh : I 2x2 = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 10 01 I 3x3 = y Matriks Nol Matriks Nol adalah matriks yang semua elemennya sama dengan nol. Contoh : E. Matriks Transpos y Transpos dari suatu matriks A= aij yang berukuran m x n dinotasikan sebagai AT yang berukuran n x m dimana setiap elemennya adalah aTij = aji . y Contoh: A = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=→⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ s q r p A sr q Tρ y Sifat Matriks Transpos: (AT)T = A F. Determinan dan Sifat Dasar Determinan y Definisi: Determinan suatu matriks A dinotasikan sebagai |A| adalah bilangan skalar yang dihubungkan secara tunggal dengan matriks tersebut. y Contoh: ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 000 000 000 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 100 010 001 . ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= 401 983 A ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 49 08 13 TA y Ordo 2 x 2 A = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ d c b a ⏐A⏐= ad – bc y Ordo 3 x 3 y Secara umum dapat dihitung dengan Ekspansi Laplace dengan menggunakan Kofaktor: Maka dengan Ekspansi Laplace didapat bahwa: Di mana: Dan matriks Mij adalah matriks A tanpa baris ke-i dan kolom ke-j, yaitu: y Contoh: A = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 6 1 2 4 3 1 1 5 2 3231 2221 13 3331 2321 12 3332 2322 11 aa aa M aa aa M aa aa M = = = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A = skalarCaA n j jj == ∑ =1 11 ( ) ijjiij MC +−≡ 1 312213332112233211 322113312312332211 333231 232221 131211 aaaaaaaaa aaaaaaaaa aaa aaa aaa A −−− ++= = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A y Sifat - sifat determinan 1. ⏐AT⏐ = ⏐A⏐ 2. |A-1⏐ = A I 3. BA = B A Contoh : A = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 6 5 3 4 |A| = 95.36.4 65 34 =−= B = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 2 3 1 2 |B| = 13.12.2 23 12 =−= Maka: |A.B|=|A|.|B|=9.1=9 4. Apabila 1 baris atau 1 kolom matriks A dikalikan dengan skalar k, maka ⏐A*⏐ = k.|A|, A*=Matriks A yang 1 baris atau 1 kolomnya dikalikan dengan skalar k. Contoh : )145(6 2 75 2.3 24 75 3 212 715 bcad dc ba dc ba dc ba −=== 5. Pertambahan (pengurangan) dari suatu kelipatan baris manapun ke baris yang lain, TIDAK menyebabkan nilai determinan berubah. 52.31.1 12 31 22.46.1 62 41 141.46.3 61 43 3231 2221 13 3331 2321 12 3332 2322 11 −=−=== −=−=== =−=== aa aa M aa aa M aa aa M ( ) 3351028)5.(1)2.(514.21 1 1 =−+=−+−−+=−= ∑ = +n j ij ji j MaA Contoh : dc ba bcadkacbkbda kbdkac ba =−=+−+=++ )()( G. Matriks Singular: Karakteristik dan Identifikasi y Beberapa kasus, dimana suatu sistem persaman linear tidak mempunyai solusi: 1. Tidak konsisten dan tergantung linear (linear dependent) x + y = 8 x + y = 9 2. Tergantung linear (linear dependent) 2x + y = 12 4x + 2y= 24 3. Terlalu banyak persamaan 2x + 3y = 58 3x + y = 18 x + y = 20 • Syarat suatu sistem persaman linear mempunyai solusi: 1. Matriks A bujur sangkar (nxn), sehingga: jumlah persamaan n = jumlah variable n. 2. Baris atau Kolom Matriks A bersifat saling bebas linear (linearly independent). Hal ini dipenuhi jika rank(A)=n (syarat cukup non- singular) 3. Jika syarat (1) dan (2) dipenuhi maka matriks A disebut matriks nonsingular. Jika tidak maka disebut sebagai matriks singular, yang mengakibatkan sistem persamaan linear tidak mempunyai solusi. ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 9 8 11 11 y x ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 24 12 24 12 y x ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 20 18 58 11 13 32 y x H. Tes Singularitas. • Definisi: Misalkan diberikan matriks A berordo (nxn), matriks A dikatakan matriks singular, bila |A| = 0 • Identifikasi Matriks Singular 1. Tes Singularitas : Teknik Determinan Contoh: Apakah matriks A singular? ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1224 612 357 A Jawab: 0)44.(3)2424.(5)1212.(7 24 12 .3 124 62 .5 122 61 .7 1224 612 357 =−+−−−= +−==A Karena determinan matriks A sama dengan nol, maka matrik A adalah matriks singular. Sekarang perhatikan apa yang menyebabkan matriks A singular! Pada matriks A, Baris ke-2 dan Baris ke-3 merupakan kelipatan satu dengan yang lainnya. Oleh karena itu determinannya 0, berdasarkan sifat determinan ke-5. 2. Kebebasan linier (syarat cukup non-singular) • Definisi : Kombinasi linier Suatu vektor w dikatakan kombinasi linier dari V1, V2, V3, … , Vn Apabila w dapat diungkapkan sebagai berikut : W = K1V1 + K2V2 + … + KnVn = Σ KiVi • Definisi : Kebebasan linier Misalkan V = { V1, V2, V3, … , Vn } merupakan komponen vektor dan K= { K1, K2, K3, … , Kn } merupakan komponen parameter skalar, maka perhatikan persamaan vektor dalam bentuk: Σ KiVi =K1V1 + K2V2 + … + KnVn = 0, Persamaan ini akan mempunyai paling sedikit satu pemecahan trivial yaitu K1 = K2 = K3 = … = Kn = 0 ¾ Jika Ki = 0, maka Vi adalah satu-satunya pemecahan maka V dikatakan bebas linier.Jika tidak, maka V bergantung linier. (singular) y Contoh Tes Singularitas : B = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 46 23 , periksalah apakah B=non-singular ? 1. Gunakan teknik determinan: |B| = 12-12 = 0 → B singular 2. Gunakan teknik kebebasan linier Misalkan : V={ V1, V2 } adalah vektor-vektor kolom dari matriks B, sbb: K1V1 + K2V2 = 0 → K1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 6 3 + K2 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 4 2 = 0 3K1 + 2K2 = 0 6K1 + 4K2 = 0 Dua Persamaan di atas identik, maka gunakan salah satu Pilih Persamaan 1 : 5 K1 + 2 K2 = 0 3 K1 = -2 K2 Pemecahan ini menunjukkan adanya banyak solusi bagi persamaan K1V1 + K2V2 = 0. Contoh solusi selain K1 = K2 = 0, adalah K1 = -2 dan K2 = 3, sehingga V1 dan V2 tidak bebas linier (bergantung linier). Selanjutnya disimpulkan maka B adalah matriks singular. y Latihan: 1. Periksa apakah matriks A berikut ini singular? A= ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 946 127 531 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= 4 2 6 3 21 VdanV CATATAN KULIAH Pertemuan IV: Model-model linier dan Aljabar Matriks (2) A. Mencari Matriks Invers • Suatu matriks A (nxn) mempunyai invers bila terdapat suatu matriks B, sehingga AB = BA = I. Matriks B disebut invers matriks A, ditulis A-1, yang merupakan matriks bujur sangkar berdimensi n. • Syarat keberadaan dari Matriks Invers adalah jika |A| ≠0 y Kita tertarik untuk mencari invers, karena matriks invers dapat digunakan untuk memecahkan sistem persamaan linier Ax=d, yaitu: x=A-1d • Cara mencari Matriks Invers: 1. Mencari invers melalui transformasi elementer dengan reduksi Gauss (Gaussian Reduction). Prosedurnya adalah: a. Menggandengkan matriks A di depan matriks identitas: (A|I). b. Lakukan operasi baris elementer sehingga matriks A bertransformasi menjadi matriks identitas (I); di mana A-1 dapat dilihat di sebelah kanan garis vertikal. Contoh: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= 32 75 10 01 | 32 03/1 10 3/71 | 13/2 03/1 3/10 3/71 | 10 03/1 52 3/71 | 10 01 52 73 | 52 73 IA IA IA IA IA A Kalikan baris pertama dengan 1/3 Kalikan baris 1 dgn –2 dan tambahkan ke baris ke-2 Kalikan baris 2 dengan 3 Kalikan baris 2 dgn –7/3 dan tambahkan dengan baris pertama 2. Mencari Invers dengan Kofaktor. Prosedurnya adalah: a. Tentukan matriks kofaktor Ac dari matriks A Ingat kembali bahwa: Dan matriks Mij adalah matriks A tanpa baris ke-i dan kolom ke-j b. Tentukan adjoint matriks Aj yang merupakan transpose dari Ac, sehingga: Aj = AcT c. Invers dari A diperoleh dengan mengalikan adjoint matriks dengan determinan dari A, sehingga didapat: Contoh: • Carilah Matriks Invers dari matriks A dengan metode kofaktor, ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−= 12 34 A • Jika matriks A berukuran (nxn),maka Mij merupakan suatu cubmatriks dari A yang berukuran (n-1) x (n-1), di mana baris ke-i dan kolom ke-j (dari A) dihilangkan. 4;3 2;1 12 34 2221 1211 == −=−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−= MM MMmakaA • Minor dari suatu matriks A adalah |Mij| dan kofaktor dari A adalah: Maka: )int(11 Aadjo A A =− ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = nnnn n n C CCC CCC CCC A " ### " " 21 22221 11211 ( ) ijjiij MC +−≡ 1 ( ) ijjiij MC +−≡ 1 ( ) 1)1.(111 1111 −=−=−−≡ +C ( ) 2)2).(1(21 2112 =−−=−−≡ +C • Maka: B. Aturan Kramer (Cramer’s Rule) • Pendekatan lain untuk mencari solusi bagi x dari SPL Ax = b : ATURAN CRAMER. • Misalkan sistem persamaan linear Ax = b, apabila diasumsikan |A|≠0, maka untuk mencari solusi digunakan metode determinan di mana: Dimana |Aj|= determinan matriks A dengan kolom ke–j diganti vektor b. • Contoh pecahkan sistem persamaan linear berikut ini: A . x = b ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−== = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−== ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−= − 21 2/32/1 )det( 1Maka 2||Determinan 42 31 AdjointMatriks 43 21 Kofaktor 12 34 1 j T cj c A A A A AA A A ( ) 33).1(31 1221 −=−=−≡ +C ( ) 44.141 2222 ==−≡ +C ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ =+ =+ 80 80 42 23 8042 8023 2 1 21 21 x x xx xx A A x jj = Jawab: C. Aplikasi pada Model Pasar dan Pendapatan Nasional • Aplikasi dalam Model Pasar dan Pendapatan Nasional akan dipecahkan dengan mudah menggunakan aturan Cramer atau matriks invers. • Model Pasar (Market Model) Model dua komoditi dapat ditulis sebagai suatu sistem dua persamaan linear, sbb: Akan dipecahkan dengan metode matriks Invers: • Model Pendapatan Nasional Y= C + I0 + G0 (a>0, 0 Variabel endogen= Y (pendapatan nasional), C (pengeluaran konsumsi) Parameter = a, b Variabel eksogen = I0 (investasi),G0(pengeluaran pemerintah) Nilai ekuilibrium pendapatan nasional Ye dan ekuilibrium pengeluaran konsumsi (Ce) akan dicari dengan Aturan Cramer. Dengan Aturan Cramer: Model Pendapatan Nasional dengan Pajak y Y=C+I0+G 1Y - 1C – 1G = I0 y C=a+b*(Y-T0) -bY + 1C + 0G = a-bT0 y G=g*Y -gY + 0C +1G = 0 = Carilah nilai Y, C, G dengan (a) Matriks Invers (b) Aturan Cramer a. Dengan Matriks Matriks ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − − a GI C Y b 00 1 11 b aGI b a GI Ye − ++= − − −+ = 1 1 11 1 1 00 00 ( ) b GIba b ab GI Ce − ++= − − − + = 1 1 11 1 00 00 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − −− 10 01 111 g b ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ G C Y ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 0 0 0 bTa I ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − −− = 10 01 111 g bA Maka: Sehingga: b. Dengan Aturan Cramer ( )gb g bA +−= ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − −− = 1 10 01 111 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −= bb gg gb AC 11 11 1 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −= bgg bgbAj 1 1 111 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −−−=⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 01 1 111 1 1 0 0 bTa I bgg bgb gb G C Y ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )gb bTaIgG gb bTagbIC gb bTaIY +− −+= +− −−+= +− −+= 1 1 1 1 00 00 00 )(1 100 01 11 00* 000 0 gb bTaI A A YbTaIbTa I A YY +− −+==−+= ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− = ( )( ) ( )( ) )(1 11 10 0 11 00* 000 0 gb bTagbI A A CbTagbI g bTab I A CC +− −−+==−−+= ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− − = ( ) ( ) )(1 00 1 11 00* 000 0 gb IbTag A A GIbTag g bTab I A GG +− +−==+−= ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− − = ( )gb g bA +−= ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − −− = 1 10 01 111 D. Aplikasi pada Model I-O • Model Input-Output (I-O) menjawab pertanyaan: “Berapa tingkat output dari setiap industri n yang harus diproduksi dalam perekonomian, sehingga memenuhi total permintaan produk tersebut?” • Susunan Model I-O adalah: Dengan: xi = tingkat output industri i aij = input komoditi ke-i untuk menghasilkan output ke-j. di = permintaan akhir untuk output ke-i y Selanjutnya dapat diturunkan solusi untuk Model I-O dengan Matriks invers sbb: [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ]iiij iiiji iijii iiiij iiiij dxAI dxAxI xAxId xIdxA xdxA =− =− −= =+ =+ nnnnnnn nn nn dxaxaxax dxaxaxax dxaxaxax ++++= ++++= +++= " # " " 2211 222221212 112121111 ( ) ( ) ( ) ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− −− −−− nn nnnn n n d d d x x x aaa aaa aaa ## " 2 1 2 1 21 22221 11211 1 1 1 [ ] [ ] [ ]iij dAIxi 1* −−= • Contoh Model I-O dalam numerik Misal : ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= 05.20. 25.15. A Maka Model I-O menjadi: Latihan 1. Diberikan SPL sbb : 2X1 + 3X2 – X3 = 0 X1 + X2 + X3 = 4 3X1 – 2X2 + X3 = 5 Tentukanlah solusi bagi X1, X2, X3 dengan aturan cramer dan matriks invers ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 2 1 2 1 2 1 05.20. 25.15. x x d d x x ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 2 1 2 1 2 1 10 01 05.20. 25.15. x x d d x x ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡−⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 2 1 2 1 2 1 05.20. 25.15. 10 01 x x x x d d ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡−⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 2 1 2 1 2 1 05.20. 25.15. 10 01 d d x x x x ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −− −− 2 1 2 1 05.120. 25.15.1 d d x x ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − 2 1 1 2 1 95.20. 25.85. d d x x ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 2000 1000 1700 350 85.20. 25.95. 7575. 1 2 1 x x CATATAN KULIAH Pertemuan V: Analisis Komparatif Statik dan Konsep Derivatif A. Pengertian Komparatif Statik dan Konsep Derivatif • Analisis Statis (ekuilibrium)yang dipelajari dalam bab yang lalu, mempunyai dua keterbatasan dalam: • Kasus pergeseran keadaan ekuilibrium • Kasus ekuilibrium tidak stabil (unstable equilibrium) • Kasus pergeseran keadaan ekuilibrium sebagai tanggapan terhadap perubahan variabel eksogen berkaitan dengan Analisis Komparatif Statik. • Dan pembahasan mengenai pencapaian dan kestabilan ekuilibrium terdapat dalam Analisis Dinamik. • Di bab ini akan dibahas Komparatif Statik: studi dari keadaan ekuilibrium yang berbeda-beda dengan himpunan nilai parameter dan variabel eksogen yang berbeda-beda. • Dimulai dengan mengasumsikan keadaan ekuilibrium awal • Contoh: – Model Pasar Tertutup (P0,Q0) (terguncang)→ (P1,Q1) – Model Pendapatan Nasional (Y0, C0) (terguncang)→(Y1, C1) Contoh Diagram: Pergeseran pada Permintaan (demand) Q P Qs Qd0 Qd1 P1 P0 Q0 Q1 • Perbedaan antara Analisis Ekuilibrium Statik dan Analisis Ekuilibrium Komparatif Statik: 1. Analisis Ekuilibrium Statik: y* = f(x) 2. Analisis Ekuilibrium Komparatif Statik: y1* - y0* = f(x1) - f(x0) Di mana subskrip 0 menyatakan keadaan awal dan 1 menyatakan keadaan selanjutnya. • Misal ∆y = y1-y0 dan ∆x = x1-x0 atau x1 = x0 + ∆x Selanjutnya diketahui y=f(x) maka: ∆y = f(x1) - f(x0) dan subtitusikan persaman x1 didapat: ∆y =f(x0 + ∆x) - f(x0) Bagi persamaan terakhir, kedua sisinya dengan ∆x, maka akan didapat Hasil-Bagi Beda (difference quotient) Dan ambil limit ∆x -> 0, maka akan didapat derivatif (derivative) dari fungsi y=f(x): • Contoh: Jika fungsi y=3x2-4, maka cari Hasil-bagi Beda dan Derivatifnya: a. b. maka ( ) ( ) x xfxxf x y o ∆ −∆+=∆ ∆ 0 ( ) ( ) x xfxxf x y xx ∆ −∆−=∆ ∆ →∆→∆ 00 00 limlim ( ) ( ) X XfXXf X Y o ∆ −∆+=∆ ∆ 0 ( ) ( ) ( ) 43 43 2 00 2 00 −∆+=∆+ −= xxxxf xxf ( ) ( ) x xxx x y ∆ −−−∆+=∆ ∆ 4343 2020 x xxxxx ∆ +−−∆+∆+= 434363 2 0 2 0 2 0 xx ∆+= 36 0 ( ) ( ) ( ) X XfXXf X Y dx dyXf xx ∆ −∆+=∆ ∆==′ →∆→∆ 00 limlim 00 6lim x x y x =∆ ∆ →∆xxx y ∆+=∆ ∆ 36 0 B. Derivatif dan Kemiringan (Slope) Kurva • Intrepetasi geometric dari Hasil Bagi Beda (Difference Quotient) • Apa yang terjadi bila kita mengubah besarnya ∆x = x1-x0? Bila diberikan kenaikan x yang kecil, maka y rata-rata akan diukur oleh kemiringan garis=Hasil Bagi Beda. • Selanjutnya bila kenaikan x dikurangi terus-menerus akan diperoleh garis yang mendatar, sampai akhirnya dalam limit ∆xÆ0 akan diperoleh garis singgung fungsi y di x0 (garis warna merah) C. Konsep Limit dalam Kaitannya dengan Derivatif • Konsep Limit fungsi (f(x), x→a) function menggambarkan batas nilai dari f(x) jika x mendekati a dari sebelah kanan dan sebelah kiri. Nilai limit tersebut dapat berhingga (N), tak berhingga (infinite), tidak dapat didefinisikan (undefined) • Notasi limit : Persamaan diatas dibaca : limit dari fungsi f(x) untuk x mendekati a (dari arah kanan dan arah kiri) adalah L • Intrepetasi geometrik dari Konsep Limit: f(x0+∆x) f(x) f(x0) x0 x1 y=f(x) x Kemiringan = f(x0+∆x)-f(x0) (x1-x0) LxfLim ax = → )( f(x) L x a • Horizontal Asymptote: Garis y = a disebut asimptot horisontal dari grafik f jika dan hanya jika : atau Di sini nilai x menuju Ketakhinggaan positif atau negative • Vertical Asymptote: Garis x = a disebut asimptot vertikal dari grafik f jika dan hanya jika : • Interpretasi geometrik dari asimptot horisontal dan vertikal: • Untuk menentukan limit dari suatu fungsi, kita dapat mensubstitusikan nilai x = a ke dalam fungsi f. Namun cara ini tidak berlaku untuk semua jenis fungsi. • Cara lain yang digunakan untuk menentukan limit dari fungsi adalah dengan mengobservasi nilai dari a yang didekati dari 2 arah yaitu : Menunjukkan bahwa limit f(x) ketika x mendekati a dari kiri Menunjukkan bahwa limit f(x) ketika x mendekati a dari kanan Sehingga untuk menguji eksistensi dari limit ada, jika : maka axfLim x = −∞→ )( axfLim x = ∞→ )( ∞=−→ )(xfLimax −∞=−→ )(xfLimax ∞=+→ )(xfLimax −∞=+→ )(xfLimax f(x) a x → -∞ x → +∞ LxfLim ax =−→ )( LxfLim ax =+→ )( LxfLimxfLim axax == −+ →→ )()( LxfLimax =→ )( • Contoh-contoh: 1. dan Maka: 2. dan karena maka 3. x2 – 9 (x-3) (x+3) 4. lim ––––– = ––––––––– = x+3 = 3+3 = 6 x → 3 x – 3 (x-3) 5. Tentukan nilai lim f(x) =…….? x → 2 lim f(x) = 6(2) – 4 x → 2- lim f(x) = 3(2) +2 x → 2+ Jadi Lim f(x) = 8, karena limit kiri = limit kanan x → 2 3 2 xLim x→ 83 2 =−→ xLimx 8 3 2 =+→ xLimx 83 2 = → xLim x ⎩⎨ ⎧ >+ ≤= 4;32 4;2 )( xx xx xf )()( 44 xfLimxfLim xx −+ →→ ≠ 8)( 4 =−→ xfLimx 11)(4 =+→ xfLimx adatidakxfLim x )( 4→ 2)(lim 1 32lim 1 52lim)(lim = ++=+ += +∞→ +∞→+∞→+∞→ vq vv vvq v vvv ⎩⎨ ⎧ SIFAT-SIFAT LIMIT D. Fungsi kontinu dan Diferensiabel • KONTINUITAS PADA SUATU TITIK Suatu fungsi f disebut kontinu pada x = a jika : 1. Fungsi tersebut terdefinisi pada x = a 2. Limit f(x) untuk x menuju a adalah f(a) Maka fungsi kontinu di titik x = a, jika: • KONTINUITAS SEPANJANG INTERVAL Fungsi f kontinu sepanjang interval [a,b] jika kontinu pada setiap titik dalam interval [a,b]. • Contoh-contoh: 1. Periksalah Apakah f(x) = x3 kontinu di x = 2 ? Jawab : 1. f (2) = 8 2. lim x3 = 8 x → 2- lim x3 = 8 x → 2+ 3. lim f(x) = f(2)=8 x → 2 Jadi f(x) kontinu di x=2 1. Jika f(x) = c maka ccLim ax = → )( 2. Jika f(x) = xn maka nn ax axLim = → 3. )(.)(. xfLimcxfcLim axax →→ = 4. [ ] [ ] [ ])()()()( xgLimxfLimxgxfLim axaxax →→→ +=± 5. [ ] [ ] [ ])(.)()().( xgLimxfLimxgxfLim axaxax →→→ = 6. )( )( )( )( xgLim xfLim xg xfLim ax ax ax → → → = dimana 0)( ≠→ xgLimax )()(lim afxf ax =→ 2. Periksa apakah fungsi q(v) di bawah ini kontinu di v=2 dan v=-2? Fungsi rasional ini tidak dapat didefinisikan di v = 2 dan -2, meskipun terdapat limit ketika v → 2 atau -2. maka fungsi ini diskontinu di v = 2 dan -2. • Diferensiabel pada suatu titik Suatu fungsi f disebut diferensiabel pada x = a jika : 1. Hasil-Bagi Beda dari Fungsi f’(x)tersebut terdefinisi pada x = a 2. Limit Hasil-Bagi Beda untuk x menuju a adalah f’(a) Maka fungsi diferensiabel di titik x = a, jika: • Jika suatu fungsi diskontinu, maka fungsi tersebut tidak diferensiabel. Tetapi Jika suatu fungsi tidak diferensiabel, maka fungsi tersebut belum pasti diskontinu. • Contoh: Periksa apakah fungsi y=f(x)=|x-2|+1 kontinu dan diferensiabel di x=2? a. Karena maka y=f(x) kontinu b. Diferensiasi dari fungsi f(x) Uji keberadaan limit: 4 44)( 2 23 − −−+= v vvvvq x xfxxf x yxf xx ∆ −∆+=∆ ∆= →→ )()(limlim)( 00 000 ' )1(1)(lim)(lim 22 fxfxf xx === −+ →→ 2 2 lim 2 112 lim 2 )2()(lim 222 − −=− −+−=− − →→→ x x x x x fxf xxx 11lim 2 2lim 2 2 lim 222 ==− −=− − +++ →→→ xxx x x x x 1)1(lim 2 )2(lim 2 2 lim 222 −=−=− −−=− − ++− →→→ xxx x x x x Karena maka fungsi f(x) tidak diferensiabel di x=2 Latihan: x2 - 9 1. f(x) = –––––– , periksalah apakah f(x) kontinu di x = 3? x – 3 2. ,periksalah apa f(x) diferensiabel di x = 2? 2 2 lim 2 2 lim 22 − −≠− − +− →→ x x x x xx ⎩⎨ ⎧ CATATAN KULIAH Pertemuan VI: Aturan Derivatif, Konsep Derivatif Parsial dan Aplikasinya pada Komparatif Statik REVIEW TURUNAN (DERIVATIVE) • Diberikan fungsi y = f(x) maka turunan dari fungsi tersebut adalah : Dalam pertemuan sebelumnya, telah dipelajari cara menentukan turunan dengan pendekatan limit, sbb: 1. Tentukan difference quotient dari fungsi dengan menggunakan persamaan : 2. Tentukan limit dari difference quotient untuk ∆x Æ 0 dengan menggunakan persamaan : 1. Dalam pertemuan ke-6 ini akan dipelajari aturan-aturan cara menentukan turunan (diferensiasi) secara praktis. A. Aturan Diferensiasi untuk Fungsi dengan Satu Variabel 1. Fungsi Konstan Jika f(x) = k maka f ‘(x) = 0=k dx d 0 m0)( 0lim)()(lim m , Jika :Bukti f '(x) akaNf Nx kk Nx Nfxf f '(N) kf(N)aka kf(x) NxNx ==′ =− −=− −= == →→ x xfxxfLim dx dy x ∆ −∆+= →∆ )()( 0 x xfxxf x y ∆ −∆+=∆ ∆ )()( x xfxxfLim dx dy x ∆ −∆+= →∆ )()( 0 2. Fungsi Pangkat (Power Function) Jika f(x) = xn maka 1−= nn nxx dx d 34 4x dx dy maka , xy Jika :Contoh == B. Aturan Diferensiasi yang Melibatkan Dua atau Lebih Fungsi dari variable yang Sama 3. Aturan Penambahan dan Pengurangan Jika h(x) = f(x)+g(x) maka ( ) ( )[ ] ( ) ( )xgxfxgxf dx d ′±′=± Contoh: 01083 75104 75104 2 23 23 ++−= ++−= ++−= QQ dQ dC dQ dQ dQ dQ dQ dQ dQ d dQ dC QQ QC 4. Aturan Perkalian Jika h(x) = f(x) g(x) maka ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxfxgxgxf dx d ′+′= Contoh: ( ) ( )( ) Q dQ dR QQR QQQ Q dQ dPP dQ dQ dQ dR -Q)Q(R-Q PPQR 215 15 2151151 1515 2 −= −= −=−+−= += === 5. Jika f(x) = c.g(x) maka f ‘(x) = c. g‘(x) 6. Aturan Pembagian Jika h(x) = f(x)/g(x) maka ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xg xgxfxfxg xg xf dx d 2 ′−′=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ Contoh: Hubungan antara Fungsi Biaya-Marjinal dan Biaya-Rata-rata ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) MCAC m,0 jika 11 1 rata-Rata Marjinal B minimum rata-Rata Biaya Cari 2 == −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −′= ⋅−′⋅= = = = aka Q QC dQ d ACMC QQ QCQC Q Q QCQCQ Q QC dQ d Biaya C(Q)/QAC Biaya C'(Q) MC Totaliaya C(Q) TC C. Aturan Diferensiasi yang Melibatkan Fungsi-fungsi dari Variabel yang Berbeda. 7. Aturan Rantai (Chain Rule) ( )( ) ( ) ( )xgyf dx dy dy dz dx dzmakaxgfzMisalkan ′′=== ,: Contoh: o Jika f(x) = [u(x)]n maka f’(x) = n.[u(x)]n-1.u’(x) o Jika f(x) = eu(x) maka f’(x) = u’(x)eu(x) o Jika f(x) = Ln[u(x)] maka f’(x)= u’(x)/u(x) 8. Aturan Rantai untuk multivariabel ( )( ) 1 0 1 1 ..2 ,,..., x y dy dz dx dzmakaxxgfzMisalkan ndxn ∂ ∂== = 9. Aturan Fungsi Invers unik.y nilaian menghasilkakan x nilai sembaranguntuk karena inversnya fungsi dicaridapat selalu yang fungsiadalah monoton Fungsi ( ) ( ) dxdy yfdydxyfxaka xfdxdyanxfy 1dan )(m x dariNaik Selalu Monoton Fungsiadalah y dimana d),(Misal 11 =′== ′== −− • Sifat pemetaan satu-satu adalah unik untuk fungsi monoton • Definisi fungsi: fungsi: satu y untuk setiap x fungsi monoton: satu y untuk setiap x dan satu x untuk setiap y (fungsi invers) • Contoh: Jika x1 > x2 ⇒ f(x1) > f(x2) monoton naik Qs = b0 + b1P Fungsi Penawaran (dimana b1 > 0) P = -b0/b1 + (1/b1)Qs Invers Fungsi Penawaran Jika x1 > x2 ⇒ f(x1) < f(x2) monoton turun Qd = a0 - a1P Fungsi Permintaan (dimana a1 >0) P = a0/a1 - (1/a1)Qd Invers Fungsi Permintaan D. Deferensiasi Parsial • Misalkan fungsi z = f(x,y), turunan/diferensiasi parsial dari z terhadap x pada (x,y) adalah • Turunan/diferensiasi parsial dari z terhadap y pada (x,y) adalah • Interpretasi dari turunan/diferensiasi parsial 1. Fx menyatakan ekspresi dari KEMIRINGAN GARIS SINGGUNG (tangent slope) yang parallel dengan bidang xz 2. Fy menyatakan ekspresi dari KEMIRINGAN GARIS SINGGUNG (tangent slope) yang parallel dengan bidang yz • Selanjutnya untuk fungsi multivariabel ),,,( 21 nxxxfy …= /dPdQ /b dP/dQ b/dP dQ )imana b( )Q/b( /b -bP P b b Q (Q) f P f(P)Q s ss ss - 11 0d 1 :Contoh• 11 1 11010 1 === > +=+= == ∆x y)f(x,y)∆x,f(xLimf 0∆x −+= →x ∆y y)f(x,∆y)yf(x,Limf 0∆yy −+= → Maka turunan/diferensiasi parsial thd x1 adalah: 1 1 1 21211 0 1 0 ),,,(),,,(limlim 11 f x y x xxxfxxxxf x y nn xx ≡∂ ∂≡ ∆ −∆+=∆ ∆ →∆→∆ …… Dan secara umum turunan parsial thd sembarang xi adalah: 1...ni ,lim 0 =≡∂ ∂≡∆ ∆ →∆ i ii x f x y x y i • Contoh: 1. 2. y = f (x1, x2) = 3x12 + x1x2 + 4 x22 1x f ∂ ∂ = 1f = 6x1 + x2 2x f ∂ ∂ = 2f = 8x2 + x1 3. ),( νufy = = )( ν+u )23( ν+u = )253( 22 νν ++ uu u f ∂ ∂ = ν56 +u υ∂ ∂f = ν45 +u 4. 221 3 2121 )3()2(),( xxxxxxfy +++== 1x f ∂ ∂ = 1).3(22.)2(3 21221 xxxx +++ = )3(2)2(6 21 2 21 xxxx +++ 2x f ∂ ∂ = 3.)3(21.)2(3 21221 xxxx +++ = )3(6)2(3 21 2 21 xxxx +++ ( ) ( ) ( ) 3.03.03.03.0 7.07.7.07. 0.70.3 2.67967.0 8.28963.0 L 96K Q1 Douglas-CobbProduksiFungsi −− −− === === ==+ LKLK L QMPP LKLK K QMPP L K ∂ ∂ ∂ ∂ βα E. Aplikasi pada Analisis Statis-Komparatif Setelah memiliki pengetahuan mengenai aturan diferensiasi, selanjutnya akan diaplikasikan untuk menganalisis: Bagaimana nilai ekuilibrium suatu variabel endogen akan berubah jika terjadi perubahan dalam setiap variabel eksogen atau parameter. 1. Model Pasar (Market Model) Model Pasar sederhana dengan satu komoditi: penawarandcdPcQ taanperbabPaQ s d )0,( min)0,( >+−= >−= Solusinya dengan metode matriks invers adalah: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ +−+ ++=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −− +−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ c a dbdb db b db d P Q c abd dbP Q 11 11 1 * * * * db caP db bcadQ + +=+ −= ** Untuk mencari bagaimana perubahan yang sangat kecil dalam satu parameter akan mempengaruhi nilai P* dan Q*, kita perlu mendiferensiasi secara parsial terhadap setiap parameter ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −− +− ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −=− =+ * * 11 1 1 1 P Q c abd db c a P Q d b CdPQ abPQ s d Interpretasi Geometrik dari derivatif parsial 0+ +=∂ += dba P ∂ ∂ Q S D P D1 ( ) ( ) 02 2. Model Pendapatan Nasional (National-income model) Model Pendapatan Nasional dengan 3 variabel endoge, Y (Pendapatan Nasional), C (Konsumsi), dan T (Pajak): 1) t 0 0; (d MPT t tY;dT 1) b 0 0; (a MPC b T);-b(Y a C G I C Y 00 +− −=>+−= btb t G T btb tb G C btbG Y ooo ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ =∂∂ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + +=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 2 1 2212 2111 2 1 1111 222221 112111 2 1 maka ,b d/x ika d d dxdx dxdx x x j dbdb dbdb x x F. Catatan atas Determinan Jacobian • Gunakan Determinan Jacobian |J| untuk mengetest eksistensi dari ketergantungan fungsional antara fungsi-fungsi Dalam bentuk umumnya adalah: 1 1 x y ∂ ∂ 2 1 x y ∂ ∂ ............. xn y ∂ ∂ 1 J = 2 2 x y ∂ ∂ 2 2 x y ∂ ∂ ............. nx y ∂ ∂ 2 1x yn ∂ ∂ 2x yn ∂ ∂ ............. n n x y ∂ ∂ • Penerapannya tidak terbata pada fungsi-fungsi linier • Jika |J| = 0 maka fungsi nonlinier atau linier adalah saling tergantung (dependent) dan tidak ada solusi untuk sistem persamaannya. Contoh : 1. Periksalah apakah terdapat hubungan fungsional diantara fungsi- fungsi berikut : Y1=2x1+3x2 Y2=4x12+12x1x2+9x22 1 1 x y ∂ ∂ 2 1 x y ∂ ∂ 2 3 J = = 1 1 x y ∂ ∂ 2 1 x y ∂ ∂ 1221 1218128 xxxx ++ = )3624(3624 2121 xxxx +−+ = 0 21 ydany∴ terdapat hubungan fungsional, secara tidak linier dalam hal ini 212 yy = 2212 2111 xyxy xyxy J ∂∂∂∂ ∂∂∂∂= Latihan : 1. Periksalah apakah terdapat hubungan fungsional diantara fungsi- fungsi berikut : Y1=3x12+2x22 Y2=5x1+1 2. Periksalah apakah terdapat hubungan fungsional diantara fungsi- fungsi berikut : Y1=3x12+x2 Y2=9x14+6x12(x2+4)+x2 (x2+8)+12 CATATAN KULIAH Pertemuan VII: Konsep Total Derivatif dan Aplikasinya pada Komparatif Statik A. Diferensial • Masalah yang Dihadapi: Bagaimana analisis komparatif-statik jika tidak ada solusi bentuk-ringkas (reduced-form) dikarenakan oleh bentuk umum dari model? • Contoh: Bagaimana menghitung ∂Y / ∂T jika: Y = C(Y, T0) + I0 + G0 • Model ini mengandung fungsi umum, sehingga tidak bias diperoleh solusi bentuk ringkas yang eksplisit. Di sini T0 dapat mempengaruhi C secara langsung atau secara tidak langsung melalui Y (artinya variabel dependen (yaitu Y dan T0) dari fungsi C tidak bebas satu dengan yang lain). Hal ini melanggar asumsi derivatif parsial. Solusi: • Jawabannya adalah kembali ke konsep diferensiasi total. Berdasarkan proses diferensiasi total dapat membawa ke konsep derivatif total. • Oleh karena itu harus dipahami dahulu KONSEP DIFERENSIAL • Simbol dy/dx yaitu simbol untuk derivatif dari fungsi y=f(x), seringkali dianggap sebagai entitas tunggal. Sekarang akan diinterpretasikan kembali sebagai suatu perbandingan dari 2 kuantitas dy dan dx. Simbol dy dan dx masing-masing disebut diferensial dari y dan x. • Sebuah diferensial menggambarkan perubahan dalam y sebagai hasil dari perubahan dalam x dari sembarang nilai awal x dalam domain fungsi y = f(x). • Berdasar definisi derivatif: Selanjutnya f '(x) dapat dipandang sebagai aproksimasi dari dy: dxxfdy )('= x yLimxfgariskemiringan dx dyxfy x ∆ ∆==== →∆ 0 )(')( Interpretasi Geometrik dari diferensial dy dan dx • Istilah “diferensiasi” selanjutnya dapat berarti: • Proses mencari diferensial (dy) – (dy/dx) dipandang sebagai operator yang mengubah (dx) menjadi (dy) ketika dx →0 dx dx dydy ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= • Proses mencari turunan/derivatif (dy/dx) atau – (dy/dx) dipandang sebagai diferensiasi terhadap x ( ) ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= dx dy dx dy Diferensial dan Elastisitas Titik • Misal Qd = f(P) (fungsi permintaan) • Elastisitas Permintaan terhadap Harga, didefinisikan sbg: Contoh: 1. Carilah elastisitas titik permintaan jika fungsi permintaan adalah Q=100-2P. Fungsi Marjinal dan fungsi rata-ratanya dari fungsi permintaan ini adalah : dQ/dP=-2 dan Q/P=(100-2P)/P, sehingga perbandingannya adalah: P P P Q dP dQ d d d − −= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ≡= 50 ε ( ) ( ) 1,1 % % −= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ==∆ ∆≡ dd d d d d d d jikainelastikjikaelastik rataRataFungsi MagjinalFungsi P Q dP dQ P dP Q dQ P Q εε ε f(x0+∆x) f(x) f(x0) x0 x1 y=f(x) x Kemiringan= f(x0+∆x)-f(x0) (x1-x0) dy dx f’(x) B. Diferensial Total • Konsep diferensial selanjutnya diperluas untuk fungsi dua atau lebih variabel bebas. • Misal y = f (x1, x2), maka diferensial total dy adalah: Dengan notasi yang lain: • Kasus yang lebih umum misalnya fungsi utilitas U = U (x1, x2, …, xn) • Diferensial total dari U adalah: • ∂U/ ∂xi adalah utilitas marjinal dari barang xi • dxi adalah perubahan dalam konsumsi dari barang xi • dU sama dengan jumlah dari perubahan marjinal dari setiap barang dalam fungsi konsumsi. Contoh: 1. Carilah diferensial total dari fungsi U(x1, x2) =x12+ x23 + x1 x2 Dan C. Aturan-aturan Diferensial • Untuk mencari diferensial total dy, dari fungsi y=f(x1,x2) caranya : 1. Cari derivatif parsial f1 dan f2 terhadap x1 dan x2 2. Substitusi f1 dan f2 dalam persamaan dy = f1.dx1 + f2.dx2 • Cara yang lain dengan menggunakan Aturan-aturan diferensial. Misal k adalah fungsi konstan; u = u(x1); v = v(x2) 1. dk = 0 (Aturan Fungsi Konstan) 2. d(c.un) = c.nun-1.du (Aturan Fungsi Pangkat) 3. d(u ± v) = du ± dv (Aturan Penambahan dan Pengurangan) 4. d(uv) = v.du + u.dv (Aturan Perkalian) 2211 dxfdxfdy += n n dx x Udx x Udx x UdU ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ +++= "2 2 1 1 2 2 1 1 dx x ydx x ydy ∂ ∂ ∂ ∂ += 211 1 2 xxU x U +==∂ ∂ 1 2 22 2 3 xxU x U +==∂ ∂ 21 2 2121 )3()2( dxxxdxxxdU +++= 5. (Aturan Pembagian) Contoh: 1. Cari diferensial total dari 22x yxz += a. Maka: dx x yxdy x dz 32 2 2 2 1 +−= b. Dengan Aturan diferensial: 2v udvvdu v ud −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 222 22 2 1 22 22 xx y yx x y x y x x yy z dx x zdy y zdz =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +∂ ∂=∂ ∂ ∂ ∂+∂ ∂= ( )( ) 34 2 22 22 2 2 )2(2)( 2 1 )()( 2 1 2 1 x yx x xyxx x x x yxyx x x x yx xx z +−=+−= ∂ ∂+−+∂ ∂ = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + ∂ ∂=∂ ∂ ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] dx x yxdy x dx x yxxdy x x yxdxdxxdyx x yxdxdxxdyxdxx x xdxyxdydxx x xdyxyxdx xx yxd 32 4 2 4 2 22 4 222 4 2 4 22 222 2 2 2 1 4 42 4 2 422 4 1 4422 4 1 4)()(2 4 1 )2()()(2 2 1 2 +−= +−= −−= −−+= +−+= +−+=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + D. Derivatif Total • Tidak seperti derivative parsial, derivative total tidak mensyaratkan fungsi eksplisit. • Cara mencari derivatif total dari diferensial total adalah : • Diberikan fungsi y = f (x1, x2, …, xn) • Selanjutnya Diferensial Total dy adalah: • Maka Derivatif Total dari y terhadap x2 didapat dengan membagi kedua sisi dengan dx2 • INGAT : Ada dua simbol yang mirip yang harus dibedakan, yaitu : derivatif total 2dx dy dan diferensial total 2x y ∂ ∂ . Simbol yang terakhir hanya merupakan salah satu komponen dari simbol pertama. • Contoh: 1. 32 2 121 435),( vuxvuxxxfy −=+== Carilah dy/du dan dy/dv ! a. 21 21 dxfdxfdy xx += 1.10. 21 21 21 xx xx fuf du dxf du dxf du dy += += b. 21 21 dxfdxfdy xx += )12.(3. 2 21 21 21 vff dv dxf dv dxf dv dy xx xx −+= += nn n n dxfdxfdxfdy dx x ydx x ydx x ydy +++= +++= ...2211 2 2 1 1 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ " 2 2 2 1 1 2 dx dx ff dx dxf dx dy n n+++= " 2. 42)(3),( 22 ++==−== wwwgxwxwxfy Carilah dy/dw ! dwfdxfdy wx += 310)2()14.(3 +=−++= += www f dw dxf dw dy wx E. Derivatif dari Fungsi-fungsi Implisit • Konsep diferensial total memungkinkan untuk mencari derivatif dari fungsi implisit. • Fungsi eksplisit: y = f(x) mudah diubah menjadi fungsi implicit F(y, x)=0 tetapi arah sebaliknya belum pasti. • Contoh fungsi implisit F(y,x)=y2+x2 -9 =0 (Persamaan lingkaran) • Fungsi Implisit F(y, x1 …, xm) = 0 dapat diubah menjadi Fungsi eksplisit: y = f(x) bila memenuhi TEOREMA FUNGSI IMLISIT berikut ini, yaitu : a) Jika F mempunyai derivative parsial kontinu Fy, F1, …, Fm and Fy≠0 b) Jika pada titik (y0, x10, …, xm0), dapat dikonstruksi lingkungan (neighborhood) N dari (x1 …, xm), contohnya dengan membatasi jangkauan (range) y = f(x1 …, xm), sehingga setiap vektor (x1 …, xm) dipetakan tepat satu nilai y. Maka: i) Terdapat fungsi y dalam bentuk y = f(x1 …, xm) dan ii) Masih memenuhi F(y, x1 …, xm) untuk setiap titik di N sedemikian sehingga F ≡ 0 • Contoh aplikasi Teorema Fungsi Implisit: 1. Untuk F(y,x)=y2+x2 -9 =0 (Persamaan lingkaran), 2 22 9 9 xy xy −±= −= Di sini dapat dibatasi jangkauan (range) y menjadi dua bagian agar fungsi diatas menjadi fungsi eksplisit, yaitu (0,∞) dan (-∞,0) Sehingga didapat : (0,∞) Æ 29 xy −+=+ dan (-∞,0) Æ 29 xy −−=− Derivatif dari Fungsi Implisit Untuk mencari derivatif fungsi implisit dapat digunakan 2 cara : 1. Diubah dahulu menjadi fungsi eksplisit (kalau bisa) atau gunakan 2. Konsep diferensial total dalam bab sebelumnya Contoh : 1. Carilah derivatif dy/dx dari fungsi F(y,x)=y2+x2 -9 =0 a. Diketahui fungsi eksplisitnya : (0,∞) Æ 29 xy −+=+ + + −= − −=− − = y x x xx xdx dy 22 9 )2( 9 1 2 1 dan (-∞,0) Æ 29 xy −−=− − − −= − =− − −= y x x xx xdx dy 22 9 )2( 9 1 2 1 b. Dengan diferensial total dyFdxFdF yx += dx dyFF dx dF yx += y x y x F F dx dy dx dyFF y x yx −=−=−= += 2 2 0 2. Jika F(z, x, y) = x2z2 + xy2 – z3 + 4yz = 0, maka F. Statika Komparatif dari Model-model Fungsi Umum 1. Model Pasar (Market Model) Misalkan fungsi permintaan dan penawaran dari sebuah komoditi adalah: ( ) ( ) )0;0(,)2 )0;0(,)1 // 0 // 0 0 0 = > Hitung tanda dari Determinan Jacobiannya : Hitunglah Persamaan derivatif total – parsial terhadap Y0 dan T0 dari matriks di atas: ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − − ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡−= ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − − / 0 0 / / / 0 0 / / 0 0 0 1 1 01 1 TP P Y P P S dT Qd dT Pd S D D dY Qd dY Pd S D Dapatkan solusinya dengan metode Matriks Invers : a. ; 0 111 0 0 / //// 0 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡−⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − − − dY Qd dY Pd D DSDS Y PPPP Sehingga di dapat : ;;0;0 // // 0 // / 0 00 >−=>−= PP YP PP Y DS DS dY Qddan DS D dY Pd b. ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − − − 0 0 ///// 0 0111 dT Qd dT Pd SDSDS TPPPP Sehingga didapat : 0;0 // // 0 // / 0 00 − −= PP TP PP T DS SD dT Qddan DS S dT Pd 0 1 1 // / / >−=− −= PP P P DS S D J