RENTAS PEDRO PRADA VEGA OBJETIVOS: Definir y clasificar las rentas. Definirlatasaefectivaparacadaperíododecapitalización, que se efectiviza a lo largo del Horizonte Temporal. Calcularlosdiferentesfactoresqueintervienenenlafórmula delaTeoríaderentauniformes,talescomo:MontooValor Futuro, Valor Presente o Valor Actual , Renta (cobros o pagos) uniforme,NúmerodeperíodosdecapitalizaciónyTasa implícita. Definirydiferenciarcorrectamentelosdiferentesfactores financieros: Factor de capitalización de la serie (FCS i;n ), Factor deactualizacióndelaserie(FAS i;n ),Factordedepósitoal fondodeamortización(FDFA i;n )yFactorderecuperacióndel capital (FRC i;n ) Establecerunconjuntoderelacionesdeequivalencia financiera entre los factores financieros. TEORÍA DE RENTAS UNIFORMES Una rentaes un conjunto de dos o más flujos de efectivo, en el que a partir del segundo: Los plazos de los períodos de tasa ( plazo de la tasa efectiva) y los plazos de los períodos de renta (plazo que media entre uno y otro flujo ) contiene el mismo número de días ( f ). Los importes de cada flujo o renta son uniformes. TEORÍA DE RENTAS UNIFORMES RENTA O ANUALIDADSIMPLE: VENCIDA ANTICIPADA. RENTA O ANUALIDAD DIFERIDA: VENCIDA ANTICIPADA. TEORÍA DE RENTAS UNIFORMES Esunaseriedepagosocobrosperiódicos,quesehacenen cantidadesigualesy a intervalos regulares de tiempo. Plazo de las Rentas sucesivas Período o intervalo de Pago Inicio Término PERÍODOOINTERVALODEPAGO.-Eltiempoquehayentrecadapago sucesivo, este es uniforme a través delplazo de la operación financiera. Estospagossucesivosseconocencomoflujosdeefectivo(ingresos, egresos). Flujo de Efectivo=Renta(Cobros o Pagos) 01 2 3 4 5n R RR R R R Simbología: R =Cobros o pagos periódicos en intervalos regulares detiempo(mes,año).Puedenserconstanteso variables. S (VF)El Valor Futuro que viene a ser la suma de todos los pagos periódicos (R) capitalizados a una tasa de interés . P (VA)ValorActualvieneaserlasumadetodoslos pagos periódicos (R), descontados a una tasa de interés o de actualización. Se conoce como Valor Presente. i=TEEslatasadeinterésefectivaporperíodo,es constante en cada período. n=Númerodecuotasquesepaganocobranenla duración de la operación financiera. Las Anualidades se clasifican en: Eventuales Vitalicia Temporal Ciertas Temporales Perpetuas RENTASEVENTUALES O CONTINGENTES PertenecenaestegrupoaquellasRentasenlasqueelcomienzooel finaldelasseriesdepagosesimprecisoydependedealgún acontecimiento previsible pero sin exactitud. Ejemplo: Uncontratodesegurodevida,dondehayelcompromisodepagar en una fecha una cantidad determinada a una persona, mientras ésta viva. Estas Rentas o Anualidades pueden ser: Vitalicias.-Son las rentas que tienen vigencia mientras dure la vida del rentista. Temporales.-Son en esencia rentas vitalicias que terminan después de un determinado número de pagos, aún cuando el rentista esté con vida. RentasCiertas.- Son aquellas rentas o anualidades en las que la duración de la serie de pagos, no depende de alguna eventualidad externa, sino que se estipula en términos concretos por adelantado como: Plazo, tasa, días del período de capitalización. De acuerdo a su duración, pueden ser: Temporales.- Son aquellas que tienen un plazo determinado. Ejemplo: Crédito Hipotecario.- Permite a personas naturales obtener préstamos a largo plazo para comprar, ampliar bienes inmuebles, terrenos urbanizados, casas , oficinas, locales comerciales. Las rentas ciertas y eventuales pueden ser a su vez: 1.- VENCIDAS U ORDINARIAS.- Cuando las rentas se inician a fin de período. 2.- ANTICIPADAS O IMPOSICIONES.- Cuando las rentas se inician a comienzo de período. 3.- DIFERIDAS.- Cuando las rentas se inician después de un determinado número de períodos de renta, plazo en el cual el capital inicial se va capitalizando. Las rentas diferidas pueden ser a su vez: a.- Diferidas Vencidas o b.- Diferidas Anticipadas. ESQUEMA DE LA CLASIFICACIÓN DE LAS RENTAS CIERTAS TEMPORALES VENCIDAS.- R RRR.RR Plazo de las Rentas Sucesivas 01234n n-1 Nota: Se da inicio cada fin de período. Plazo de las Rentas Sucesivas 01234nn-1 RENTA ANTICIPADA.- RRRRRR RENTA DIFERIDA: VENCIDA Plazo del Contrato Plazo DiferidoPlazo de las Rentas RRRR.R 01kk+1k+2k+3k+n Nota: Se da cada inicio de período. RENTADIFERIDAANTICIPADA.- R RRRR. 01kk+1k+2k+3k+n Plazo DiferidoPlazo de la s Rentas Plazo del Contrato RENTAVENCIDA Se caracteriza porque sus pagos o cobrosperiódicos iguales, se hacen al final de cada intervalo de pago. CÁLCULO DEL VALOR FUTURO (S).- Consiste en hallar la suma de todos los pagos o cobrosperiódicos a unamismatasadeinterésporperíodo,yalfinaldelplazodela anualidad. Plazo de la Anualidad 012345n R RR R R R R n -1 R(1 + i) R(1 + i) 2 R(1 + i) 3 R(1 + i ) n-1 CALCULO DEL MONTO Tipo: Colocamos cero u omitimos, cuando la Renta es vencida Colocamos uno, cuando la Renta es anticipada. ( ) | | ( ) ( ¸ ( ¸ ÷ + = ÷ + ÷ + = i i R i i R S n n 1 1 1 ) 1 ( 1 1 S= R*FCS i; n. Ejercicio # 1: Un equipo industrial es adquirido con 6 pagos periódicos bimestrales de $950, si se aplica una TEA = 21%. ¿Calcular el Valor Futuro? R =$ 950 TEA = 21% n = 6Bimestres Ejercicio #2: ¿Calcular el VFde una serie de 5 depósitos QuincenalesdeS/. 1500 . Los depósitos soncanceladosafinaldecadaperíodoquepercibeunaTNAdel21%convertible mensualmente? % 228012 . 3 1 %) 21 1 ( 360 60 = ÷ + = | . | \ | TEB TEB () 28.6180$ 505553.6*950 %228012.3 1%228012.31 *950 *950 6 6%,228012.3 = = ( ¸ ( ¸ ÷+ = = S S S FCSS R = S/. 1500 n =5 períodos quincenales j = TNA =21% m = C/ 30 días % 871205 . 0 1 30 360 % 21 1 30 15 = ÷ | | | | . | \ | | . | \ | + = | . | \ | TEQ TEQ Hallar el VF de una Anualidad con pagos periódicos deS/. 10 000al final de cada trimestre, durante un año, a una TNA = 18% convertibletrimestralmente. RPTA: S/. 42 781.91 Ejercicio #3 () 82.7631./ 08788281.5*1500 %871205.0 1%871205.01 *1500 *1500 5 5%,871205.0 SS S S FCSS = = ( ¸ ( ¸ ÷+ = = RENTAANTICIPADA Plazo de la Anualidad 01234nn-1 RRRRRRR Es una anualidad cuyo pago periódico se hace al principio de cada intervalo de tiempo CALCULO DEL MONTO: R a R i Conociendo la Renta Vencida (R) , la Renta Anticipada R a puede actualizarse con la tasa efectiva. ) 1 ( 1 i R R i R R a a + = + = RENTA VENCIDARENTA ANTICIPADA Ejercicio # 1: Un equipo industrial es adquirido con 6 pagos periódicos cada inicio de bimestrede $950 cada pago, si se aplica una TEA = 21%. Calcular el Valor Futuro. R a =$ 950 TEA = 21% n = 6Bimestres MONTO CUANDO LA RENTA ES VENCIDA Y ANTICIPADA ni FCSRS , * = () ( ¸ ( ¸ ÷+ = i i RS n 11 * () nia FCSiRS , *1 += () () ( ¸ ( ¸ ÷+ += i i iRS n a 11 *1 Ejercicio #2: Calcular el VFde una serie de 5 depósitos Quincenalesde S/. 1500 . Los depósitos son cancelados al inicio de cada período que percibe una TNA del 21 % convertible mensualmente () 78.6379$ 505553.6*%)128012.31(*950 %228012.3 1%228012.31 *%228012.31(*950 *950 6 6%,228012.3 = += ( ¸ ( ¸ ÷+ += = S S S FCSS () 31.7698./ %871205.0 1%871205.01 *%)871205.01(*1500 *%)871205.01(*1500 5 5%,871205.0 SS S FCSS = ( ¸ ( ¸ ÷+ += += Ejercicio #3: Hallar el VF de lospagos periódicos de S/. 1000pagaderoscada trimestre por un año, con una tasa del 36% convertible C/ 90 días. a.- Cuando se dan a inicio de trimestre. b.- Cuando se dan a fin de trimestre. R= S/. 1000 j= 36% m= C/90 días H= 4 trimestres % 9 90 360 % 36 = | . | \ | = TET Renta VencidaRenta Anticipada S = VF = 1000*FCS 9%,4 S = VF =S/. 4573.13 S = VF = 1000*(1+9%)*FCS 9%,4 S = VF =S/. 4984.71 FCS 9%,4 = 4.573129 Nota: En ventanas financieras la única diferencia es TIPO: se omite en Renta vencida y es 1 en renta anticipada. Ejercicio #4: Un Empleado apertura una Libreta de Ahorros con S/. 2 500 y deseaahorrarcadafin de meslasuma de S/. 500durante¾año. Estas cantidades se consignarán enlaCuentadeahorrosquepagaunaTEA=8%. ¿Cuál es lo acumulado al término del plazo? RPTA: S=VF = S/. 7 265.12 Ejercicio #5: Cadainiciodemesciertacompañíacolocasus excedentes los cuales ascienden a $ 500 en una entidad bancariaquepagaTEQ=0.75%.¿Cuántohabrá acumulado al sexto mes? RPTA: S= VF= $ 3162.12 Ejercicio #6: ¿Por qué monto debe extenderse una Letra de Cambio, simeobligoarealizar8imposicionesquincenalesde $250enunaentidadfinancieraquepagaelTEM= 3% con el deseo de saldar mi cuenta? S = VF= $2138.76 Ejercicio #7: Una empresa reserva $ 20 000 al término de cada año para crear un fondo en caso de futura expansión. Si el fondoganaTEA=20%.¿CuálseráelVFacumulado al término del décimo año? S=VF= $519 173.64 CALCULO DEL VALOR PRESENTE .- Consiste en hallar la suma de las Rentas actualizadasde todos los pagos periódicos . RENTA VENCIDARENTA ANTICIPADA P= VA = R*FAS i,n P=VA= R*(1+i)*FAS i,n ( ) ( ¸ ( ¸ + ÷ + = i i i R P n n ) 1 ( 1 1 P = R*FAS i; n FASi;n= Es traer del futuro S hacia al presente las R ( flujos) que componen la anualidad. ( ) ( ¸ ( ¸ + ÷ + = i i i R P n n ) 1 ( 1 1 VALOR PRESENTE CUANDO LA RENTA ES VENCIDA Y ANTICIPADA P = R (1+ i ) ( ) ( ¸ ( ¸ + ÷ + i i i n n ) 1 ( 1 1 . Ejercicio #1: Un automóvil de segunda es vendido con 8 cuotas uniformes mensuales de $ 350, aplicando una TNA = 8% capitalizable mensualmente. a.- Si los pagos son vencidos. b.- Sí los pagos son anticipados. Calcule el respectivo precio de contado. R = $350 n = 8 cuotas mensuales j = TNA =8% m = C/30 días Renta VencidaRenta Anticipada P=VA= 350*FAS 0.6667%,8 P=VA= 350*7.76522562 P=VA= $ 2717.83 P=VA=350*(1+0.6667%)*FAS 0.6667%,8 P=VA=350*(1+0.6667%)*7.76522562 P=VA= $ 2735.95 % 6667 . 0 30 360 % 8 = | . | \ | = TEM () ( ¸ ( ¸ +÷ = ÷ %6667.0 %6667.011 *350 8 P () () ( ¸ ( ¸ +÷ += ÷ %6667.0 %6667.011 *%6667.01*350 8 P RENTA VENCIDA RENTA ANTICIPADA Ejercicio #2: ¿Quécantidaddedinerotendréquedepositarhoydíaenunbanco para poder disponer de S/. 1 500 al final de cada trimestre durante 3 años, si el banco paga una TNA = 13% capitalizable mensualmente? RPTA: P =VA= S/. 14679.85 Ejercicio #3: LaempresaABCpideunpréstamoalbanco,quese cancela mediante pagos semestrales vencidos de S/. 20 000durantedosañosaunaTNA=36%.¿Cuánto deberáABCdespuésdehaberpagadolosdos primeros pagos? RPTA: P=VA = S/. 31 312.84. Ejercicio #4: ¿DetermineelpreciodecontadodeunTVacolorsi realizo 10 depósitos adelantados mensuales de $ 35 en FINANCORquecobraunaTNA=21%convertible mensualmente? RPTA: P=VA = $ 324.12 Ejercicio #5: La empresa Regial S.A. Solicita un préstamo , que se cancela mediantepagosmensualesdeS/.3000duranteunañoauna TNA=20%.Despuésdehaberrealizado5vencidospagos, decidealsextopagocancelarlasrestantes.¿Cuálseráel importe total a pagar? RPTA:P=VA =S/. 19 667.19 Ejercicio #6: Sedeseaalquilarunlocalcomercialypodercancelarala fecha del contrato anual el total de mis rentas a pagar, el dueño me exige imposicionesmensualesde$500aplicandounaTEM= 1.15%. ¿Cuál será el valor a pagar? RPTA: P=VA= $ 5 638.68 Ejercicio #7: El Señor García necesita tener en un futuro una entrada mensual con el fin de cubrir los estudios universitarios de su hijo. Para esto decide colocarundeterminadocapitalenunbancoconelobjetoque,al comienzode cada mes durante 6 años , pueda retirar S/. 600 al mes. Si la TEA =15%. ¿Cuál es el capital que debe colocar? RPTA: P=VA= S/. 29 414.94. Ejercicio #8: El Sr. Torres quiere adquirir un departamento y le ofrecen dos formas de financiamiento: Inicialde$10000y8cuotasanualesadelantadasde$5000con una TEA = 9%. RPTA = $40 164.76 Inicial de $15 000 con 4 pagos semestrales adelantados de $ 5 000 con un TES =5% RPTA = $33 769.98 ¿Cuál alternativa conviene más? RPTA: LA SEGUNDA Ejercicio #9: Un Camioneta de segunda es vendido con una cuota inicial de $ 1500, y 15 cuotas uniformes vencidas mensuales de $250, aplicando una TNA = 8% capitalizable C/15 días .¿Calcule el respectivo precio de contado? RPTA: VA=$ 5057.03 Ejercicio #10: ¿Quécantidaddedinerotendréquedepositarhoy díaenunbancoparapoderdisponerdeS/.1000al finaldecadaQuincenadurante1año,sielbanco paga una TNA = 15% capitalizable mensualmente? RPTA: VA = S/. 22 227.65 CALCULO DE LAS RENTA.- a.- Conociendo Valor Futuro b.- Conociendo Valor Presente n i a n i FCS i R VF FCS R VF , , * ) 1 ( * * + = = n i a n i FAS i R VA FAS R VA , , * ) 1 ( * * + = = CALCULO DE LA RENTA CONOCIENDO EL VALOR FUTURO: ( ) n i n FDFA S R i i S R ; . 1 1 = ( ¸ ( ¸ ÷ + = FDFA i;n = Transforma el valor futuro S en un conjunto de Rentas R equivalentes, distribuidas uniformemente EJERCICIO #1: Se desea realizar la compra de un Local industrial , dentro de 8 meses , cuyo precio se estima en $ 50 000. ¿ Qué depositó se tendrá que realizar en una entidad bancaria que paga una TNA = 24% con capitalización mensual , con el fin de poder obtener el terreno en el tiempo indicado?. a.- Si la Renta es vencida. b.- Si la Renta es Anticipada. Renta VencidaRenta Anticipada CALCULO DE LA RENTA VENCIDA Y ANTICIPADA () ni n FDFASR i i S R ; . 11 = ( ¸ ( ¸ ÷+ = R(1 + i) = S ( ) ( ¸ ( ¸ ÷ + 1 1 n i i VF = $50 000 n = 8 períodos mensuales j = TNA = 24% m = Cada 30 días Renta VencidaRenta Anticipada R= 50000* FDFA 2%,8 R a = 50000*(1+2%) -1 * FDFA 2%,8 FDFA 2%,8 = 0.1165098 ( ) 49 5825 $ 1 % 2 1 % 2 * 50000 8 · = ( ¸ ( ¸ ÷ + = R R ( ) 26 . 5711 $ 1 % 2 1 % 2 * %) 2 1 ( * 50000 8 = ( ¸ ( ¸ ÷ + + = a a R R % 2 30 360 % 24 = | . | \ | = TEM RENTA VENCIDA RENTA ANTICIPADA Ejercicio #2: ¿Calcularlarentavencidayrentaanticipadadeunfondode S/. 7631.82 , de 5 depósitos Quincenalessucesivos ,que percibe una TNA del 21 % convertible mensualmente? (TEQ = 0.871205%). RPTA: R= S/. 1500 ; R a = S/. 1487.04 Ejercicio #3: ElVFque se acumula en una cuenta de ahorros asciende aS/. 16 996, cuyosdepósitosserealizandurante4bimestresconsecutivosse perciben una TNA del 24% capitalizable mensualmente. ¿Calcularlarentavencidayrentaanticipadaapagarencadaperíodo que le permita acumular el Fondo? RPTA:R a = S/. 3 844.68;R =S/. 4 000 CALCULO DE LA RENTA CONOCIENDO VALOR ACTUAL: n i n n FRC P R i i i P R ; . 1 ) 1 ( ) 1 ( = ( ¸ ( ¸ ÷ + + = FRC i;n = También conocido como Factor de Recuperación del Capital; transforma el valor pte. P , en un conjunto de rentas R equivalentes , distribuidas uniformemente. R (1 + i) = P ( ) ( ¸ ( ¸ ÷ + + 1 1 ) 1 ( n n i i i = VENCIDA ANTICIPADA Ejercicio #1: Seobtieneunpréstamode$50000adevolverseen3semestresen cuotastrimestralesalaTNAdel18%,capitalizabletrimestralmente. ¿Hallar el valor de las letras de devolución del préstamo si son: a.- Vencidas b.- Adelantadas VA =50 000 n =períodos trimestrales j = TNA = 18% m = C/ 90 días Renta VencidaRenta Anticipada R = 50000* FRC 4.5%,6 R a = 50000*(1+2%) -1 * FRC 4.5%,6 ( ) 92 . 9693 $ 19387839 . 0 * 50000 % 5 . 4 1 1 % 5 . 4 * 50000 6 = = ( ¸ ( ¸ + ÷ = ÷ R R R ( ) 48 . 9276 $ 19387839 . 0 * %) 5 . 4 1 ( * 50000 % 5 . 4 1 1 % 5 . 4 * %) 5 . 4 1 ( * 50000 1 6 1 = + = ( ¸ ( ¸ + ÷ + = ÷ ÷ ÷ a a a R R R % 5 . 4 90 360 % 18 = | . | \ | = TET RENTA VENCIDARENTA ANTICIPADA Ejercicio #2: UnaempresasolicitauncréditodeS/.10000aunaentidadfinanciera.Se cancelaran pagos vencidos semestrales por dos años a unaTEA = 25 %. a.-¿A cuánto ascenderá los pagos semestrales? RPTA: S/. 3 278.72 b.-¿A cuánto ascenderán los pagos mensuales? RPTA: S/. 521.37 Ejercicio #3: ¿CuálserálacuotaconstanteapagarporunpréstamobancariodeS/. 8000reembolsable en 4 cuotas cada fin de mes , en unBco. que cobra una TNA del 36 % con capitalización mensual? RPTA: S/. 2152.22; FRC 3%;4 = 0.269027045 Ejercicio #4: SepretendecomprarunaResidenciaquecuesta$80000ysequiere saberacuántoasciendeelmontodelospagosdelasanualidadesque tendríamosquecubrir,sinoscomprometemosarealizarpagoscadafin demes; Si se aplica una TEA = 10 %. a.- Se programan los pagos por 15 años. RPTA:$ 838.71 b.- Se programan los pagos por 20 años. RPTA: $ 749.31 CÁLCULO DE “n” EN UNA ANUALIDAD.- Podemos calcular el número de pagos de una anualidad con las fórmulas: MONTO O VALOR FUTURO :S=VF = R FCS i ;n S=VF= Ra (1+ i) FCS i,n VALOR PRESENTE: P = VA = R FAS i; n ( ) pago. último el Es X FSC X RFCS VF : es pago ùltimo El i) (1 Log 1 i) (1 * R i * VF Log n i) (1 Log 1 R i * VF Log n i 1 i 1 R VF n i; n i; a n = · + = + ( ¸ ( ¸ + + = + ( ¸ ( ¸ + = ( ¸ ( ¸ ÷ + = ( ) ( ) pago. último el Es X FSA X RFAS VA : es pago último El i) (1 Log i 1 * R i * VA 1 Log n i) (1 Log R i * VA 1 Log n i i 1 1 R VA n i; n i; a n = · + = + ( ¸ ( ¸ + ÷ ÷ = + ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ = ( ¸ ( ¸ + ÷ = ÷ Ejercicio #1: ¿EncuántotiempopodráacumularseunFondode$20000 efectuandodepósitosde$800cadafindemesenunbancoque pagaunaTNA=18%capitalizadomensualmente.?¿Cuálserála últimacuotaapagar?.RPTA:n=21.39ylaÚltimaCuota= $ 305.26 VF = 20 000 R= $ 800 depósitos mensuales j = TNA = 18% m =C/ mes % 5 . 1 30 360 % 18 = | . | \ | = TEM ( ) meses n LOG LOG n 39 . 21 % 5 . 1 1 1 800 % 5 . 1 * 20000 = + | . | \ | + = Ejercicio #2: UnabeneficiariadeunaPólizade$10000deSegurodevida, recibirápagosainiciosdemesuniformesde$500.Síla compañíadesegurospagainteresesaunaTNA=15% convertible quincenalmente . a.-¿Cuántos pagos completos de S/. 500 recibirá? b.-¿Conquésumaserealizaríaelúltimopago,elcuálcesaríael beneficio? P = VA = $10 000 R = $500 j = TNA = 15% m = C/ 15 días = ÷ | | | | . | \ | | . | \ | + = | . | \ | TEM TEM 1 15 360 % 15 1 15 30 meses n LOG LOG n 84 . 22 %) 253906 . 1 1 ( %) 253906 . 1 1 ( * 500 % 253906 . 1 * 10000 1 = + | | . | \ | + ÷ ÷ = RPTA: X = S/. 419,47 Ejercicio #3: ¿Cuántos depósitos de fin de mes de S/. 400 serán necesarios ahorrar paraacumularunmontodeS/.4232enunBancoquepagauna TNA del 36% con capitalización mensual?. RPTA: 9.33 ; X =S/. 125.27. Ejercicio #4: ¿EncuántotiempopodráacumularseunmontodeS/.2000efectuando depósitosdeS/.150cadafindequincenaenunBancoquepagauna TNA = 24 % con capitalización mensual?. RPTA: 12.58; X = S/.86.30 Ejercicio #5: ¿CuántosdepósitoscadafindemesdeS/.800seránnecesariospara acumularS/.12000,enunbancoquepagaunaTEA=18%?.RPTA: 13.72 ; X = S/. 566.90 Ejercicio #6: ¿CuántospagoshabrándehacersesemestralmentedeS/.5000para poder cerrar una deuda de S/. 40 000 con una TNA del 6 % capitalizable trimestralmente. RPTA: 9.30 ; X = S/. 1 495.37 Ejercicio #7: Se va a construir un fondo de S/. 50 000 mediante depósitos de S/. 9000 cadatresmeses.Sielfondoganael24%convertibletrimestralmente .¿Hallar el número de depósitos que tendrán que hacerse?. RPTA: 4.94 ; X = S/. 7 942.20 Ejercicio #8: Unindividuode40añosdeedaddepositacadafindemesla cantidaddeS/.150ensuAFP,quelohacedurante25años;ala edad de 65 añosse retira del trabajo y la AFPle abona una pensión mensual de S/. 2 500 a partir de los 66 años .La tasa efectiva en todo el tiempode la aportaciónfue del24 %con capitalización mensual. ¿CuántotiempoabonarámensualmentelaAFP?.RPTA:= S/. 2 844 258. 81 ;n = 159.96aprox. 13.33años Ejercicio #8: Hoy día se contrae una deuda por $ 15 000, con el acuerdote pagarla en 24 meses con una TEA = 20%. Luego de efectuado el sexto paga y ante la aparición de problemas financieros , se plantea al acreedor, eldeseodeseguirpagandosiempreycuandoladeudapendientese refinanciaráa3años,contadosapartirdelafecha.¿Cuálseríael pago mensual que tendría que asumir? Cálculo de i = TE: Por campaña navideña una casa comercial ofrece canastas navideñas en productos por un importe de S/. 1 200 y cobra una cuota inicial de S/.200y11cuotasmensualesvencidasdeS/.120.¿Cuáleslatasa de interés cargada? P= VA = S/. 1 200 – S/. 200 = S/. 1 000 n = 11 CUOTAS MENSUALES R = 120 P=VA = R. FAS i;n Se evalúa cuando i = 5% 1000= 120FAS 0.05;11; EL FAS 0.05;11 = 8.306414218; P=VA = S/. 996.77. Se evalúa cuando i = 4% EL FAS 0.04;11 = 8.76047671; P=VA = S/. 1051.26 4%1 051.26 x% 1 000 5%996.77 ac b d b 4.9473068% x 0.9473068% 4% x % 0.94073068 4% x 1% 1051.26 996.7 1051.26 1000 4% x b d c = + = = ÷ · | . | \ | ÷ ÷ = ÷ · | . | \ | = a La TEM = 4.9473068% Ejercicio #1: ¿Calcule la TEM de una anualidad de 20 rentas trimestrales vencidas de S/. 4000 cada una cuyo valor presente es: S/. 28 989.61 29 877.7745 = 4 000 FAS 0.12;20 28099.006= 4 000FAS 0.13;20 4.0039798% TEM 8 0.04003979 TEM 1 27) 0.12499314 (1 TEM 7% 12.4993142 x TET % 0.49931427 12% x 1% 29877.7745 28099.006 29877.7745 28989.61 12% x 28099.006 13% 28989.61 x% 29877.7745 % 1/3 = = ÷ + = = = = ÷ · ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ ÷ 12 Ejercicio #2:: Un préstamo de S/. 3 545.95 debe amortizarse con cuotas constantes mensuales vencidas. Se cuenta con las siguientes opciones: a.- 4 cuotas de S/. 1 000. b.- 6 cuotas de S/. 698.61 ¿Qué tasa efectiva mensual se aplico a cada alternativa? RPTA:5% Ejercicio #3: Unapersonadepositó$100enunacuentadecapitalizacióndeuna Administradora de Fondos de Pensiones , cada fin de mes y durante 10 años. Al finalizar este plazo, la AFP le informo que su fondo había acumulado$16247.34.¿CuálfuelaTEAquerindiósusdepósitos? RPTA: 6% Ejercicio #4: Unartefactoeléctricotieneunprecioalcontadode$800yalcrédito con una cuota inicial de $ 300 y el saldo amortizable endosmeses con cuotas mensuales de $ 300 .¿Qué TEA esta cargandoal financiamiento?.RPTA: TEA =336.51%; TEM = 13% Ejercicio #5: ¿CuáleslaTEMqueestácargandoINTERBANKporel financiamiento de un préstamo de S/. 20 000 , que debe cancelarse enunplazode4mesesconcuotasuniformesmensualesdeS/. 5380.5409 . RPTA: 3% ANUALIDADES DIFERIDAS. SiunaanualidadVencidaoAnticipadaseiniciacuandohatranscurrido algún tiempo, en el que no se efectúa ninguna condición en la anualidad, entonces decimos que su pago se ha diferido . En este tipo de anualidad se contemplan dos tiempos: uno el Plazo Diferido( k ) y el otro el Plazo de la Anualidad (n ) , que sumados hacen el Plazo del Contrato. Plazo del Contrato Plazo DiferidoPlazo de la Anualidad RRRR.R 01kk+1k+2k+3k+n ANUALIDAD DIFERIDA VENCIDA: RRRR. 01kk+1k+2k+3k+n Plazo DiferidoPlazo de la Anualidad Plazo del Contrato ANUALIDAD DIFERIDA ANTICIPADA: VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD DIFERIDA ( ) . Anticipada Diferida Anualidad una de Monto 1 R S Vencida Diferida Anualidad una de Monto ; a ; n i n i FCS i FCS R S · + · = · = ( ) ( ) n i k a k i n i a n i n i FAS i R P FSA FAS i R P FSA FAS R P ; 1 ; ; ; ; 1 1 ÷ + = · + = = EJERCICIOS: 1.-Unacompañíaadquiereunosyacimientosdemineral,losestudios muestran los trabajos demorarán 6 años ; se estima que la explotación daráunagananciaanualdeS/.2400000,suponiendoquelatasa comercial es del 8 % y que los yacimientos se agotaron después de 15 años continuos de explotación. a.- ¿Calcularel valor futuro?. RPTA: S/. 65 165 073 .42 b.- ¿Calcularel valor presente?. RPTA: S/:12 945 416.38 VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD DIFERIDA VENCIDA.- VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD DIFERIDA ANTICIPADA. k i n i k n i n i k FSA RFAS P i FAS R P FAS R i P ; ; ; ; ) 1 ( ) 1 ( = + = = + ÷ 2.Unacompañía esconcesionariade la explotacióndeunhotel,por15 años contados desde su inauguración; éste estará en servicio dentro de 2años.Seestimaquelosingresosbrutosmensualesseránde $250000.¿CalcularelValorFuturodedichosIngresosBrutos .Síla tasadel12%deinterésconvertiblemensualmente?RPTA: S/. 124 895 049.40 3. ¿Calcular el valor futuro y valor presente de una anualidad diferida de 2 años , de 7 pagos de $ 150 000 c/u a inicio de semestre , si la tasa de interés es del 6.5% semestral. RPTA: RPTA: S = $1 361 528 .47 ;P= $ 681 053.21 4.UnacompañíaFruterasembrócítricosqueempezaronaproducir dentro de 5 años , la producción anual se estima de S/. 400 000 y este rendimiento se mantendrá por espacio de 20 años .¿Hallar conla tasa del 6 % el Valor presente de la producción?.RPTA: S/.3 428 396.95 5.¿Quécapitalhabráquedepositarenunainstitucióndecréditopara disponer de 10 000 pagaderos al principio de cada año durante 4 años a partir de los 3 años de la fecha de depósito si dicha financiera abona el 28% anual? RPTA: S/.13 677.78 6.-¿CalcularelvalordecontadodeunaPropiedadComercialvendida conunacuotainicialde$50000ypagosde$3000mensuales anticipadosapagarpor15años,sidichospagosserealizan1año despuésconunalatasadeinterésdel12%convertible mensualmente? RPTA: $274 049.55 7.-Enunatransaccióncomercialunclienteconvieneconsuacreedor cancelar una deuda efectuando un pago inicial de $/. 5 000 y $/. 1000 al comienzo de cada mes empezando a inicios del sexto mes y durante 10mesesconsecutivos.Sielclientedecidieseefectuartodoelpago alcontado.¿Quéimportedebecancelar,considerandounaTEM= 3%?.RPTA: $ 12 358.23 8.- Calcule el valor presente de una anualidad compuesta de 4 períodos trimestrales diferidos y 12 rentas trimestrales uniformes anticipados aplicando una TEM= 3 % . La renta diferida anticipada debe ser equivalente a los 2/ 3 de la renta vencida que se obtenga de un valor presente de S/. 8 000 , amortizable con 8 rentas uniformes semestrales vencidas aplicando una TEA= 24% ? RPTA:S/. 5681.74 CALCULO DEL VALOR DE LAS RENTAS: ( ) ( ) n i; 1 a ; n i; ; n i; 1 k a ; 1 k i; n i; ; ; FDFA i 1 S R ; 1 S" " a funciónenAnticipada nta Re SFDFA R ; S" " a funciónenVencida Renta FRC i) (1 P R ; ) 1 ( P" " a funciónenAnticipada Renta FSC FRC P R ; P" " a funciónenVencida Renta ÷ ÷ ÷ + = + = = = + = + = = = n i a n i n i k k i n i FCS i R S RFCS S FAS i Ra P FSA RFAS P EJERCICIO: 1.-Secompraunacomputadoradeúltimageneracióncuyopreciode contado es S/. 4 200 y solo tengo S/. 2 200 y resto lo deseo negociar al crédito , acordando tres meses de gracia a una TEM= 3% a.- ¿cuál será la cuota a pagar si son 4 cuotas mensuales cada fin de mes? RPTA: S/.587.95 b.-¿Cuál será la cuota a pagar si las 4 cuotas mensuales son a inicio de mes? RPTA: S/.570.82 2. Una deuda de $ 50 000 debe cancelarse en 6 años mediante pagos por trimestrevencidosalatasadel5%convertible semestralmente.Luegode1añodetiempodiferido.¿Hallarel valor de los pagos? RPTA: S/.2 544.75 3.Unaleydeincentivosparalaagriculturapermiteauncampesino adquirir equipos por el valor de $ 80 000, para pagarlos dentro de dosaños,con8cuotassemestrales.Silaleyfijael6%de interés paraestospréstamos.¿Hallarelvalordelascuotas semestralesvencidas ? RPTA: S/.12 781.53 4.Ciertobanco,comoincentivoparaeldesarrollodelaindustria lechera,haceunpréstamoparaserpagadoenlassiguientes condiciones:$800000semestralesdurante4años,debiendopagar la primera cuota dentro de 3 años.¿Hallar el valor del préstamo, si la tasa es del 8% con capitalización trimestral? RPTA: S/.4 239 972.72 5.Unapersonadeseacomprarunacamioneta4x4deseandoreunir $4700,enunlapsode5añosdeaportacionesconstantesy empieza a reunirlos a partir de 2do.año .Se pregunta:¿ Cuánto habrá de invertir cada principio de año, si el banco le da a ganar el 30% de interés anual? RPTA: S/.399.79 CALCULO DE “n” e “i” EN UNA ANUALIDAD DIFERIDA VENCIDAYANTICIPADA.- Elcálculode“n”e“i”seefectúaenformasimilaraloscálculosde anualidades anticipadas y vencidas . EJERCICIOS: 1.Unempleadopuedeahorrar$800mensualeseinvertirlosenuna compañíafinancieraqueabonael9%convertiblemensualmente .¿En cuántotiemposelograráreunir$55000?.¿Calcularel tiempo y eldepósito final?. RPTA: 55.65 cuotas mensuales. 2.- Un comerciante vende maquinarias en $ 65 000, precio de contado .Para promover sus ventas, idea el siguiente plan a plazos , con cargo del 1 % mensual de intereses. La cuota inicial es de $12 000 y el saldo en 18 abonos mensuales.¿Cuál es el valor de las mensualidades? RPTA: S/. 323.21 3.-Paramantenerenbuenestadociertopuente,esnecesariorepararlo cada6añosconuncostoestimadode850000.Elconcejodel municipiodecideestablecerunareservaanualafindeproveerlos fondos necesarios con miras a sus reparaciones futuras .Si esta reserva se deposita en una cuenta que abona el 8% de interés .¿Hallar el valor de la reserva anual?. RPTA: 183 868.08 4.- Una persona compra una póliza que le asegura una renta de $20 000 cada final de año , durante los próximos 15 años . Desea cambiar su póliza por otra que le asegure una renta de $ 30 000. ¿Durante cuánto tiempo recibirá la nueva renta , si la tasa de interés es del 8%?. RPTA: n = 7.92pagos años. 5.-Unapersonacompraunamaquinariaporunvalorde$60000y acuerdapagar$15000comocuotainicialyelsaldoencuotas trimestralesde$12000,conel12%convertibletrimestralmente .¿Hallarelnúmerodepagosyelvalordelpagofinal?.RPTA:n= 4.038; El último pago S/. 457.70 6.-Ciertapersonadepositalasumade$1000000enunbancoque abonael7%.,paraquedentrode5años,lepagueunarentade $ 200 000 anuales . ¿Hallar el número de pagos?. RPTA: n =6.37 7.-UnAhorristadeposita$100000enunbanco,conlaintenciónde quedentrode10añossepague,aélysusherederos,unarentade $2500,aprincipiodecadames.¿Durantecuántosañossepagará estarenta,sielbancoabonael6%convertiblemensualmente? RPTA: n = 61.38 pagos mensuales. CÁLCULO DEL PLAZO DIFERIDO: Para unaAnualidad Diferida Vencida y Anualidad Diferida Anticipada ) 1 ( 1 ) 1 ( ; ; i Log FAS R P Log k i Log RFAS P Log k n i a n i + ( ( ¸ ( ¸ ÷ = + ( ( ¸ ( ¸ ÷ = EJERCICIO: 1.-Sedeseaobtenerunpréstamode$4342.16enunaentidad financiera,comprometiéndomeapagar$1000durante8cuotas trimestrales y pagando una TEM =4 %.¿ Cuál podría ser el período de gracia que pueda conceder a mi préstamo?RPTA: K =1 trimestre 2.-ParalaconstruccióndeciertoRecreoTurísticoserealizaun préstamode$91283,paralocualsefijapagar$2000mensuales vencidospor10añosimpuestoaunaTEA=20%.¿Cuántopuedo diferirmipagodadoqueestoyenetapadeconstrucción?.K=12 meses. RENTAS VARIABLES EN PROGRESION RENTA VARIABLE TEMPORAL EN PROGRESIÓN CONSTANTE Renta Variable Temporal es una sucesión o flujo de cobros o pagos periódicos que aumentan o disminuyen de manera uniforme en un plazo definido. RENTA VARIABLE TEMPORAL EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA Es una sucesión de cobros o pagos que varían en progresión aritmética, es decir cada flujo de renta es igual al del periodo inmediatamente anterior aumentado o disminuido en la misma cantidad, este incremento o disminución corresponde al gradiente aritmético. GRADIENTE ARITMÉTICO (G) Es la variación aritmética uniforme entre un flujo de renta y el anterior. Puede ser de dos tipos: Gradiente Aritmético Creciente, si la variación es positiva. Gradiente Aritmético Decreciente, si la variación es negativa. Rentas Variables Temporal en Progresión Aritmética, Vencida FASG i,,n = ( ¸ ( ¸ + ÷ + ÷ + n n n i) (1 n i) i.(1 1 i) (1 . i 1 RENTA UNIFORME EQUIVALENTE A UNA ANUALIDAD DE GRADIENTES UNIFORMES Renta Variable Temporal en Progresión Geométrica Es una sucesión de cobros o pagos que varían en progresión geométrica, es decir cada flujo de renta es igual al del periodo inmediatamente anterior aumentado o disminuido en un mismo porcentaje, este incremento o disminución corresponde al gradiente geométrico. GRADIENTE GEOMÉTRICO (g) Es la variación porcentual uniforme entre un flujo de renta y el anterior. Puede ser de dos tipos: Gradiente Geométrico Creciente, si el incremento es positivo. Gradiente Geométrico Decreciente, si el incremento es negativo. RENTA VARIABLE TEMPORAL EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, VENCIDA g>0 Gradiente Positivo; g0 Gradiente Positivo; g0 Gradiente Positivo; g0 Gradiente Positivo; g