Probleme de Analiza a Si Ecuatii Diferentiale

GHEORGHEPROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZ ˘ AMATEMATIC ˘ A S¸I ECUAT¸IIDIFERENT¸IALE IAS¸I,2007 Cuprins 1 Elementedeteoriaspat ¸iilormetrice 4 1.1 Spat ¸ii metrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Mult ¸imea numerelor reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 S¸iruri ¸siserii 15 2.1 S¸iruri de numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Principiul contract ¸iei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 S¸iruri ˆın R p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4 Serii de numere reale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5 Serii cu termeni pozitivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.6 Serii cu termeni oarecare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 Limitedefunct ¸ii 42 3.1 Limita unei funct ¸ii reale de o variabil˘a real˘a. . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2 Limita unei funct ¸ii de o variabil˘a vectorial˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4 Funct ¸iicontinue 49 4.1 Continuitatea funct ¸iilor reale de o variabil˘a real˘a . . . . . . . . . . . . . . 49 4.2 Continuitatea uniform˘a a funct ¸iilor de o variabil˘a. . . . . . . . . . . . . . 51 4.3 Continuitatea funct ¸iilor de o variabil˘a vectorial˘a . . . . . . . . . . . . . . 53 5 Derivate ¸sidiferent ¸iale 55 5.1 Derivata ¸si diferent ¸iala funct ¸iilor de o variabil˘a . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.2 Propriet˘at ¸i ale funct ¸iilor derivabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.3 Derivatele ¸si diferent ¸iala funct ¸iilor den variabile . . . . . . . . . . . . . . 64 6 Funct ¸iidefiniteimplicit 74 6.1 Funct ¸ii definite implicit de o ecuat ¸ie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 6.2 Funct ¸ii definite implicit de un sistem de ecuat ¸ii . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.3 Transform˘ari punctuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.4 Dependent ¸˘a ¸si independent ¸˘a funct ¸ional˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.5 Schimb˘ari de variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2 CUPRINS 3 7 Extremepentrufunct ¸iidemaimultevariabile 87 7.1 Puncte de extrem pentru funct ¸ii de mai multe variabile . . . . . . . . . . 87 7.2 Extreme pentru funct ¸ii definite implicit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.3 Extreme condit ¸ionate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 8 S¸iruri ¸siseriidefunct ¸ii 93 8.1 S¸iruri de funct ¸ii reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 8.2 Serii de funct ¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 8.3 Serii de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 8.4 Serii Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 9 Elementedegeometriediferent ¸ial˘a 104 9.1 Curbe plane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 9.2 Curbe ˆın spat ¸iu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 9.3 Suprafet ¸e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 10 IntegralaRiemann ¸siextinderi 122 10.1Primitive. Integrala nedefinit˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 10.2Integrala definit˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 10.3Integrale improprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 10.4Integrale cu parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 11 Integralecurbilinii 140 11.1Lungimea unui arc de curb˘a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 11.2Integrale curbilinii de primul tip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 11.3Integrale curbilinii de tipul al doilea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 11.4Independent ¸a de drum a integralelor curbilinii . . . . . . . . . . . . . . . . 146 11.5Calculul ariei cu ajutorul integralei curbilinii . . . . . . . . . . . . . . . . 147 12 Integralemultiple 148 12.1Integrala dubl˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 12.2Aria suprafet ¸elor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 12.3Integrala de suprafat ¸˘a de primul tip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 12.4Integrale de suprafat ¸˘a de tipul al doilea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 12.5Integrala tripl˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 13 Ecuat ¸iidiferent ¸ialeordinare 167 13.1Ecuat ¸ii diferent ¸iale de ordinul ˆıntˆai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 13.2Alte ecuat ¸ii integrabile prin metode elementare . . . . . . . . . . . . . . . 173 13.3Ecuat ¸ii diferent ¸iale de ordin superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 13.4Ecuat ¸ii c˘arora li se poate mic¸sora ordinul . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 14 Ecuat ¸ii ¸sisistemediferent ¸ialeliniare 178 14.1Sisteme diferent ¸iale liniare de ordinul ˆıntˆai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 14.2Sisteme diferent ¸iale liniare cu coeficient ¸i constant ¸i . . . . . . . . . . . . . 180 14.3Ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare de ordinuln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 14.4Ecuat ¸ii de ordinuln cu coeficient ¸i constant ¸i . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 CUPRINS 4 14.5Ecuat ¸ia lui Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Capitolul1 Elementedeteoriaspat ¸iilor metrice 1.1 Spat ¸iimetrice 1.1Fie (G, +) un grup comutativ ¸sip : G →R + o funct ¸ie ce satisface propriet˘at ¸ile: 1)p(x) = 0 d.d. x = 0; 2)p(−x) = p(x), ∀x ∈ G; 3)p(x +y) ≤ p(x) +p(y), ∀x, y ∈ G. S˘a se arate c˘a aplicat ¸iad : GG →R,d(x, y) = p(x −y), ∀x, y ∈ G este o metric˘a peG. R: Verific˘am c˘ad satisface axiomele metricii: 1 o . d(x, y) =p(x − y) ≤ 0, ∀x, y ∈G pentru c˘ax − y =x + (−y) ∈G ¸si d(x, y) = 0 ⇔p(x − y) = 0 ⇔x − y = 0 ⇔x =y; 2 o . d(x, y) =p(x − y) =p(−x + y) =p(y − x) =d(y, x); 3 o . d(x, y) =p(x − y) = p(x −z +z −y) ≤ p(x −z) +p(z −y) = d(x, z) +d(z, y), ∀x, y, z ∈ G. 1.2FieNmult ¸imeanumerelor naturale. S˘asearatec˘aurm˘atoareleaplicat ¸ii sunt distant ¸e pe N: 1)d : NN →R + ,d(m, n) = [m−n[, ∀m, n ∈ N. 2)d : N ∗ N ∗ →R + ,d(m, n) = 1 m − 1 n , ∀m, n ∈ N ∗ . 3) d : NN →R + ,d(m, n) = m 1+m − n 1+n , ∀m, n ∈ N. 1.3FieR n =RRR, produsul cartezianconstˆanddinn ≥1factori ¸si x=(x 1 , x 2 , . . . , x n ), y=(y 1 , y 2 , . . . , y n ) ∈R n . S˘asearatec˘aaplicat ¸iile: d, δ, ∆: R n R n →R + , definite prin: d(x, y) = n ¸ k=1 (x k −y k ) 2 , δ(x, y) = n ¸ k=1 [x k −y k [, ∆(x, y) =max k=1,n [x k −y k [ sunt metrici pe R n . 5 CAPITOLUL1. ELEMENTEDETEORIASPAT¸ IILORMETRICE 6 R: Pentrud se aplic˘a inegalitatea lui Minkowski: n ¸ k=1 (a k +b k ) 2 ≤ n ¸ k=1 a 2 k + n ¸ k=1 b 2 k , ∀a = (a 1 , a 2 , . . . , a n ), b = (b 1 , b 2 , . . . , b n ). 1.4S˘a se ha¸sureze ˆın R 2 sferele deschiseS(0, r),r > 0, relative la metriciled, δ, ∆. 1.5S˘a se arate c˘ad, δ, ∆ sunt metrici echivalente pe R n . R: Se demonstreaz˘a inegalit˘at ¸ile: ∆ ≤ δ ≤ √ nd ≤ n∆ ≤ nδ ≤ n √ nδ. 1.6S˘a se arate c˘ad : RR →R + ,d(x, y) = |x−y| 1+|x−y| , ∀x, y ∈ R este o metric˘a pe R. R: Se t ¸ine seama c˘a oricare ar fia, b, c ≥ 0 cua ≤ b +c, avem: a 1 +a a ≤ b 1 +b b + c 1 +c c, deoarece din 0 ≤ α ≤ βurmeaz˘a α 1+α ≤ β 1+β . 1.7Fie d: XX→R + ometric˘ape X. S˘asearatec˘aaplicat ¸iaδ : XX→R + definit˘a prinδ(x, y) = d(x,y) 1+d(x,y) este de asemenea o metric˘a peX. 1.8S˘a se arate c˘a ˆıntr-un spat ¸iu metric (X, d) avem: 1)d(x 1 , x n ) ≤ n ¸ i=1 d(x i , x i+1 ), ∀x 1 , . . . , x n ∈ X,n ≥ 2. 2) [d(x, z) −d(z, y)[ ≤ d(x, y), ∀x, y, z ∈ X. 3) [d(x, y) −d(x , y )[ ≤ d(x, x ) +d(y, y ), ∀x, x , y, y ∈ X. R: 3)d(x, y) ≤ d(x, x ) +d(x , y) ≤ d(x, x ) +d(x , y ) +d(y , y). 1.9FieXo mult ¸ime nevid˘a. S˘a se arate c˘a aplicat ¸iad : X X →R, definit˘a prin: d(x, y) = 0, x = y 1, x = y este o metric˘a peX(metrica discret˘a peX). 1.10S˘a se arate c˘a aplicat ¸iad : R + R + →R + , definit˘a prin: d(x, y) = x +y, x = y, 0, x = y este o metric˘a pe R + . 1.11S˘a se arate c˘a aplicat ¸iad : R n R n →R, definit˘a prin: d(x, y) = n ¸ k=1 1 2 k [x k −y k [ 1 +[x k −y k [ , ∀ x = (x 1 , x 2 , . . . , x n ), y = (y 1 , y 2 , . . . , y n ) ∈ R n este o metric˘a pe R n . CAPITOLUL1. ELEMENTEDETEORIASPAT¸ IILORMETRICE 7 1.12S˘a se arate c˘a urm˘atoarele aplicat ¸ii sunt metrici pe mult ¸imile indicate: 1)d : (0, ∞) (0, ∞) →R,d(x, y) = 1 x − 1 y . 2)d : RR →R,d(x, y) = x 1+ √ 1+x 2 x − y 1+ √ 1+y 2 . 3)d : R 2 R 2 →R, d(x, y) = [x 2 −y 2 [, x 1 = y 1 , [x 2 [ +[y 2 [ +[x 1 −y 1 [, x 1 = y 1 , (metrica mersului prin jungl˘a), unde: x = (x 1 , y 1 ), y = (y 1 , y 2 ). 4)d : R 2 R 2 →R, d(x, y) = (x 1 −x 2 ) 2 + (x 2 −y 2 ) 2 , dac˘a exist˘a odreapt˘aδ ⊂ R 2 a.ˆı. 0, x, y ∈ δ, x 2 1 +x 2 2 + y 2 1 +y 2 2 , ˆınrest, (metrica c˘aii ferate franceze), unde: 0 = (0, 0), x = (x 1 , y 1 ), y = (y 1 , y 2 ). 1.13S˘a se arate c˘a urm˘atoarele aplicat ¸ii sunt norme pe R n : 1) [[x[[ = n ¸ k=1 x 2 k , ∀ x = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) ∈ R n . 2) [[x[[ = n ¸ k=1 [x k [, ∀ x = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) ∈ R n . 3) [[x[[ = sup [x k [,k = 1, n, ∀ x = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) ∈ R n . 1.14Fie ´ = ¦A = ¸ a +bi c +di −c +di a −bi ,cua, b, c ∈ R, i 2 = −1¦ ¸si f: ´ → R + , f(A) = √ det A. S˘asearatec˘a(´, [[[[)estespat ¸iunormat ˆınraportcunormadat˘a prin [[A[[ = f(A). 1.15Fie ( 0 [1,e] = ¦f: [1, e] → R, fcontinu˘ape[1, e]¦. S˘asearatec˘aaplicat ¸ia [[[[ : ( 0 [1,e] →Rdefinit˘aprin [[f[[ = e 1 (f 2 (x)ln x) dx 1/2 esteonorm˘ape ( 0 [1,e] ¸si s˘ase g˘aseasc˘a norma funct ¸ieif(x) = √ x. 1.16Fie ( 1 [0,1] = ¦f: [0, 1] →R, f derivabil˘acuderivat˘acontinu˘ape[0, 1]¦. S˘ase arate c˘a urm˘atoarele aplicat ¸ii sunt norme pe ( 1 [0,1] : 1) [[f[[ = sup ¦[f(x)[, x ∈ [0, 1]¦ . 2) [[f[[ = 1 0 [f(x)[ dx. 3) [[f[[ = [f(0)[ + sup ¦[f(x)[, x ∈ [0, 1]¦ . 4) [[f[[ = 1 0 f 2 (x) dx 1/2 . 1.17Fie mult ¸imeaX = ¦1, 2, 3, 4¦ ¸si clasele: τ 1 = ¦∅, X, ¦2¦, ¦1, 2¦, ¦2, 3¦, ¦1, 2, 3¦¦, τ 2 = ¦∅, X, ¦1¦, ¦2¦, ¦3, 4¦, ¦2, 3, 4¦¦. 1) S˘a se arate c˘aτ 1 este topologie peXdarτ 2 nu este topologie peX. 2)S˘aseg˘aseasc˘ asistemeledevecin˘at˘at ¸i alepunctelor3¸si 4dinspat ¸iul topologic (X, τ 1 ). CAPITOLUL1. ELEMENTEDETEORIASPAT¸ IILORMETRICE 8 R: Severific˘apropriet˘at ¸iledindefinit ¸iatopologiei. Pentruτ 2 seconstat˘ac˘a, de exemplu ¦1¦ ∪ ¦2¦ = ¦1, 2¦/ ∈ τ 2 . 1.18FieX = ¦α, β, γ, δ¦ ¸si familia de mult ¸imi: τ= ¦∅, ¦α¦, ¦γ¦, ¦α, β¦, ¦α, γ¦, ¦α, β, γ¦, X¦. S˘asearatec˘aτ esteotopologiepeX¸si s˘asedeterminesistemeledevecin˘at˘at ¸i ale punctelorα,β,γ¸siδ. 1.19Dac˘aX= ∅¸si τ 0 = ¦∅, X¦, atunci (X, τ 0 ) estespat ¸iutopologicpe X, numit spat ¸iul topologicnondiscret (grosier) peX. 1.20Dac˘aX = ∅ ¸si {(X) este mult ¸imea tuturor p˘art ¸ilor mult ¸imiiX, iarτ 1 = {(X), atunci (X, τ 1 ) este spat ¸iu topologic peX, numit spat ¸iul topologicdiscret peX. 1.21Dac˘aXaremaimultdedou˘aelemente¸si a ∈X, fixat, atunci τ= ¦∅, ¦a¦, X¦ este o topologie peX, diferit˘a de topologia nondiscret˘a ¸si de cea discret˘a. 1.22FieX = ¦a, b, c, d, e¦. S˘a se precizeze care dintre urm˘atoarele familii de p˘art ¸i ale luiXeste o topologie peX: 1)τ 1 = ¦∅, X, ¦a¦, ¦a, b¦, ¦a, c¦¦. 2)τ 2 = ¦∅, X, ¦a, b, c¦, ¦a, b, d¦, ¦a, b, c, d¦¦. 3)τ 3 = ¦∅, X, ¦a¦, ¦a, b¦, ¦a, c, d¦, ¦a, b, c, d¦¦. R:τ 1 ¸siτ 2 nu,τ 3 da. 1.23Fieτ= ¦∅, R, (q, ∞)¦, q ∈ Q. S˘a se arate c˘aτeste o topologie pe R. R: Mult ¸imeaA = ¸ q∈Q ¦(q, ∞),q> √ 2¦ = ( √ 2, ∞) este o reuniune de mult ¸imi dinτ, totu¸si ea nu apart ¸ine luiτdeoarece √ 2/ ∈ Q. 1.24Pe mult ¸imeaX = ¦a, b, c¦ urm˘atoarele familii de p˘art ¸i ale luiXsunt topologii: τ 1 = ¦∅, X, ¦a¦, ¦b, c¦¦; τ 2 = ¦∅, X, ¦a¦, ¦a, c¦¦; τ 3 = ¦∅, X, ¦b¦, ¦a, c¦¦; τ 4 = ¦∅, X, ¦c¦, ¦b, c¦¦. 1.25Fieτ= ¦∅, R, (−α, α)¦,α > 0. S˘a se arate c˘aτeste o topologie pe R. 1.26Pe mult ¸imeaX = ¦1, 2, 3, 4, 5¦ se consider˘a topologia: τ= ¦∅, X, ¦1¦, ¦1, 2¦, ¦1, 3, 4¦, ¦1, 2, 3, 4¦, ¦1, 2, 5¦¦. 1) S˘a se g˘aseasc˘a punctele interioare ale mult ¸imiiA = ¦1, 2, 3¦. 2) S˘a se g˘aseasc˘a punctele exterioare ale mult ¸imiiA. 3) S˘a se g˘aseasc˘a punctele frontier˘a ale mult ¸imiiA. R: 1) Int A = ¦1, 2¦ deoarece 1 ∈ ¦1, 2¦ ⊂ A, 2 ∈ ¦1, 2¦ ⊂ A. 3 nu este punct interior lui Adeoarecenuapart ¸inelanici omult ¸imedeschis˘ainclus˘a ˆınA. 2) (A= ¦4, 5¦¸si Int (A = ∅, deci nu exist˘a puncte exterioare luiA. 3) Fr A = ¦3, 4, 5¦. CAPITOLUL1. ELEMENTEDETEORIASPAT¸ IILORMETRICE 9 1.27S˘a se arate c˘a urm˘atoarele familii de p˘art ¸i sunt topologii pe R: 1)τ i = ¦∅, R, (a, ∞)¦, ∀a ∈ R, (topologiainferioar˘a sau dreapt˘a a lui R). 2)τ s = ¦∅, R, (−∞, a)¦, ∀a ∈ R, (topologiasuperioar˘a sau stˆang˘a a lui R). 1.28S˘aseg˘aseasc˘ainteriorul,exteriorul ¸sifrontieraintervalului I= [3, ∞)relativla spat ¸iul topologic (R, τ i ), undeτ i este topologia inferioar˘a pe R. R: Cea mai ampl˘a mult ¸ime deschis˘a, cont ¸inut˘a ˆın I, este (3, ∞), deci Int A = (3, ∞). (I =(−∞, 3)¸si nucont ¸inenici oalt˘amult ¸imedeschis˘a ˆınafar˘ademult ¸imeavid˘a. Int (A = ∅, Fr A = (−∞, 3]. 1.2 Mult ¸imeanumerelorreale 1.29S˘asearatec˘amult ¸imeaA= ¦x n = n √ n + 1 n √ n + 1 n + 1,n ∈N,n ≥2¦este m˘arginit˘a. R: Dinx + 1 x ≥ 2 pentru orice num˘ar real pozitiv, rezult˘ax n > 2 + 0 + 1 = 3, adic˘a a = 3 este un minorant pentruA. Cum pentrun ≥ 2, 1< n √ n< 2 ¸si 1 n ≤ 1 2 , urmeaz˘a x n < 2 + 1 + 1 2 + 1 = 9 2 , adic˘ab = 9 2 este un majorant pentruA. 1.30S˘a se arate c˘a mult ¸imea A α = ¦y ∈ R, y = αx+1 x 2 +x+2 , x ∈ R¦ este m˘arginit˘ a pentru oriceα ∈ R ¸si s˘a se determine inf A α ¸si sup A α . R: Fiey ∈A α . Atunci: yx 2 + (y − α)x + 2y − 1=0, caretrebuies˘aaib˘asolut ¸ii reale. Deci (y − α) 2 − 4y(2y − 1)= −7y 2 − 2(α − 2)y + α 2 ≥0, deunde, notˆandcu β = 2 √ 2α 2 −α + 1,: y ∈ ¸ 2 −α −β 7 , 2 −α +β 7 . A¸sadar: inf A α = min A α = 2 −α −β 7 , sup A α = max A α = 2 −α +β 7 . 1.31S˘asedetermineminorant ¸ii, majorant ¸ii, cel mai micelement ¸si cel mai mare element (dac˘a exist˘a) ale urm˘atoarelor mult ¸imi de numere reale: 1) A = ¦sin 1, sin 2, sin 3¦. 2) A = ¸ 1 − 1 n , n ∈ N ∗ ¸ . 3) A = 2 n −1 2 n +1 , n ∈ N ∗ ¸ . 4) A = ¦x ∈ R, x 2 ≤ 5¦. 5) A = ¦x ∈ R, x ≥ 0, x 2 > 5¦. 6) A = ¦x ∈ R, x 3 −x ≤ 0¦. 7) A = ¦x −sin x, x ∈ R¦. R: 1) Cum: sin 2 = sin(π−2), sin 3 = sin(π−3), deoarece: 0 < π−3 < 1 < π−2 < π 2 ¸si funct ¸ia sinus este strict cresc˘atoare pe 0, π 2 , rezult˘a: sin 0 < sin(π −3) < sin 1 < sin(π −2) < sin π 2 ¸si deci 0 < sin 3 < sin 1 < sin 2 < 1. A¸sadar: min A = sin 3, max A = sin 2 ¸si orice num˘ar a ≤ sin 3 este un minorant, iar orice num˘arb ≥ sin 2 este un majorant. CAPITOLUL1. ELEMENTEDETEORIASPAT¸ IILORMETRICE 10 2) Deoarece 1 n ≤ 1, rezult˘a c˘a 1 − 1 n ≥ 0. Deci 0 este un minorant al mult ¸imii A ¸si oricenum˘ara ∈ (−∞, 0]esteminorant. Niciunnum˘ara> 0nupoatefiminorantal mult ¸imii A deoarece 0 ∈ A ¸si din definit ¸ia minorantului ar rezulta c˘a a ≤ 0 (contradict ¸ie). Evidentinf A=min A=0. Mult ¸imeamajorant ¸iloreste[1, ∞). ˆ Intr-adev˘ar, b ≥1 implic˘ab ≥ 1 − 1 n , pentru oricen ∈ N ∗ . Dac˘ab < 1 rezult˘a 1 −b > 0 ¸si atunci ∃n ∈ N ∗ a.ˆı. 1 −b > 1 n saub < 1 − 1 n , adic˘ab nu ar mai fi majorant. Evident sup A = 1, ˆın timp ce max A nu exist˘a. 3) Din inegalitatea: 1 3 ≤ 2 n −1 2 n + 1 < 1,n ∈ N ∗ , deducemc˘amult ¸imeaminiorant ¸ilor lui Aeste −∞, 1 3 , mult ¸imeamajorant ¸ilor este [1, ∞), inf A = min A = 1 3 , sup A = 1, iar max A nu exist˘a. 4) inf A = min A = − √ 5, sup A = max A = √ 5, 5) inf A = √ 5, sup A = ∞, 6) inf A = −∞, max A = sup A = 1, 7) inf A 7 = −∞, sup A 7 = ∞. 1.32S˘a se determine inf A, min A, sup A ¸si max A dac˘a: 1) A = ¦x ∈ R, x = a+1 a 2 +a+1 , a ∈ R¦. 2) A = ¦y ∈ R, y = x 2 −3x+2 x 2 +x+1 , x ∈ R¦. 3) A = ¦y ∈ R, y = 3x 2 +4x √ 3−1 x 2 +1 , x ∈ R¦. R: 1) Dinxa 2 + (x − 1)a +x − 1 =0, cua∈R, rezult˘aA= − 1 3 , 1 . Deci inf A = min A = − 1 3 , sup A = max A = 1. 2)A = 9−2 √ 21 3 , 9+2 √ 21 3 . 3)A = [−3, 5]. 1.33UtilizˆandaxiomaluiArhimede,s˘asearatec˘apentruoricex ∈ R ∗ exist˘an ∈ Z a.ˆı. s˘a avem: 1) x 2 +n ≥ nx + 1. 2) x 2 ≥ 2x +n. R: 1) Inegalitatea se mai scrie: x 2 −1 ≥ n(x −1). Pentrux = 1 este evident˘a. Dac˘a x = 1, pentru num˘arul real x 2 −1 x−1 =x + 1, conform axiomei lui Arhimede, exist˘an ∈ Z a.ˆı. x + 1 ≥ n. 1.34Fie[a n , b n ] ⊃[a n+1 , b n+1 ], n ∈N ∗ un¸sirdescendentdesegmentereale. S˘ase arate c˘a: 1) ∞ ¸ n=1 [a n , b n ] = ∅ (Cantor-Dedekind). 2) Dac˘ab n −a n ≤ 1 n ,n ∈ N ∗ , atunci exist˘a un num˘arx 0 ∈ R, unic determinat, cu proprietatea c˘a: ∞ ¸ n=1 [a n , b n ] = ¦x 0 ¦. R: 1) Din [a n , b n ] ⊃ [a n+1 , b n+1 ] rezult˘a c˘aa n ≤ b m , ∀n, m ∈ N ∗ . A¸sadar mult ¸imea A= ¦a n , n ∈N ∗ ¦estem˘arginit˘asuperior(oriceb m esteunmajorant), iarmult ¸imea B = ¦b m , m ∈ N ∗ ¦ este m˘arginit˘a inferior (orice a n este un minorant). Exist˘a deci sup A ¸si inf B ¸si sup A ≤ inf B. ˆ In concluzie, ∞ ¸ n=1 [a n , b n ] ⊃ [sup A, inf B] = ∅. CAPITOLUL1. ELEMENTEDETEORIASPAT¸ IILORMETRICE 11 2) Dac˘a ar existax ¸si ycux b n+1 1 + 1 −b b = b n . 1.42S˘a se arate c˘a: 1) 1 + 1 n + 1 1 n+1 > 1 + 1 n n . 2) 1 − 1 n + 1 n+1 > 1 − 1 n n . CAPITOLUL1. ELEMENTEDETEORIASPAT¸ IILORMETRICE 13 R: Se ia ˆın inegalitatea precedent˘ab = 1 + 1 n , respectivb = 1 + 1 n . 1.43S˘asearatec˘aoricarearfinumerelerealea 1 , a 2 , . . . , a n ≥ −1,deacela¸sisemn, are loc inegalitatea (generalizare a inegalit˘at ¸ii lui Bernoulli): (1 +a 1 )(1 +a 2 )(1 +a n ) ≥ 1 +a 1 +a 2 + +a n . R: Se folose¸ste induct ¸ia matematic˘a. 1.44Inegalitatea lui Cebˆı¸sev. Fie a 1 , a 2 , . . . , a n ¸si b 1 , b 2 , . . . , b n numererealecu a 1 ≥a 2 ≥≥a n , b 1 ≥b 2 ≥≥b n ¸si S=a 1 b i 1 + a 2 b i 2 +a n b i n , n ≥ 2, unde ¦i 1 , i 2 , . . . , i n ¦ = ¦1, 2, . . . , n¦. S˘a se arate c˘a: a 1 b n +a 2 b n−1 + a n b 1 ≤ S ≤ a 1 b 1 +a 2 b 2 + +a n b n . R: Fiej< k,i j < i k atunci (a j −a k )(b i j −b i k ) ≥ 0 implic˘a: a j b i j +a k b i k ≥ a j b i k + a k b i j . Deci oriceinversiune ˆınmult ¸imea ¦i 1 , i 2 , . . . , i n ¦mic¸soreaz˘asumaS, caatare eaestemaxim˘apentrupermutareaidentic˘a ¦1, 2, . . . , n¦ ¸siminim˘apentrupermutarea ¦n, n −1, . . . , 1¦. 1.45Fiea 1 , a 2 , . . . , a n ¸si b 1 , b 2 , . . . , b n numere reale cua 1 ≥a 2 ≥≥a n , b 1 ≥b 2 ≥ ≥ b n . S˘a se arate c˘a: n n ¸ i=1 a i b i ≥ n ¸ i=1 a i n ¸ i=1 b i . R: Din exercit ¸iul precedent rezult˘a c˘a max S = n ¸ i=1 a i b i . Avem deci inegalit˘at ¸ile: n ¸ i=1 a i b i = a 1 b 1 +a 2 b 2 + +a n b n , n ¸ i=1 a i b i ≥ a 1 b 2 +a 2 b 3 + +a n b 1 , ..................... n ¸ i=1 a i b i ≥ a 1 b n +a 2 b 1 + +a n b n−1 . Prin adunare membru cu membru obt ¸inem inegalitatea din enunt ¸. 1.46Fiea, b, c > 0. S˘a se arate c˘a: 1) a b+c + b a+c b + c a+b c ≥ 3 2 . 2)a +b +c ≤ a 2 +b 2 2c + b 2 +c 2 2a + c 2 +a 2 2b ≤ a 3 bc + b 3 ca + c 3 ab . R: Se aplic˘a inegalitatea lui Cebˆı¸sev: 1) pentru tripletele (a, b, c) ¸si 1 b+c , 1 a+c , 1 a+b , 2) pentru tripletele: (a 2 , b 2 , c 2 ) ¸si 1 c , 1 b , 1 a , respectiv (a 3 , b 3 , c 3 ) ¸si a abc , b abc , c abc . CAPITOLUL1. ELEMENTEDETEORIASPAT¸ IILORMETRICE 14 1.47Inegalitatealui H¨older. Dac˘aa 1 , a 2 , . . . , a n ≥0, b 1 , b 2 , . . . , b n ≥0, p>1, q> 1 ¸si 1 p + 1 q = 1, atunci: n ¸ i=1 a i b i ≤ n ¸ i=1 a p i 1/p n ¸ i=1 b q i 1/q . R: Dac˘a n ¸ i=1 a p i = 0 sau n ¸ i=1 b q i = 0 inegalitatea este evident˘a. Fie: A = a p i n ¸ i=1 a p i , B = b q i n ¸ i=1 b q i ¸si funct ¸iaf: [0, ∞) → R, definit˘a prin: f(x) =x α − αx, α ∈ (0, 1). Deoarecefare ˆın x = 1 un maxim egal cu 1 −α, rezult˘a c˘a: x α −αx ≤ 1 −α, ∀x ∈ [0, ∞). Lu˘amx = A B ¸si α = 1 p , deci 1 − α = 1 q , deducem: A 1 p B 1 q ≤ A p + B q . ˆ Inlocuind aici A ¸si B, sumˆand apoi dup˘ai de la 1 lan, obt ¸inem inegalitatea din enunt ¸. 1.48S˘a se arate c˘a pentru oricen ∈ N ∗ are loc inegalitatea: 1 √ 2 3 √ 3! N √ n! ≤ (n + 1)! 2 n . R: Se folose¸ste majorarea: k √ k! = k √ 12k ≤ 1+2+···+k k = k+1 k . 1.49Dac˘ax 1 , x 2 , . . . , x n ∈ R ∗ + , atunci: (x 1 +x 2 + +x n ) 1 x 1 + 1 x 2 + + 1 x n ≥ n 2 . R: Se folose¸ste inegalitatea lui Schwarz-Cauchy cua i = √ x i ,b i = 1 √ x i ,i = 1, n. 1.50Dac˘aa 1 , a 2 , . . . , a n ∈ R ∗ + , atunci: (a 2 1 +a 1 + 1)(a 2 n +a n + 1) a 1 a 2 a n ≥ 3 n . R: Se folose¸ste inegalitatea: x + 1 x ≥ 2, pentru oricex ∈ R ∗ + . 1.51Dac˘aa 1 , a 2 , . . . , a n ∈ R ∗ + ,n ≥ 2 ¸siS = a 1 +a 2 + +a n atunci: a 1 S −a 1 + a 2 S −a 2 + + a n S −a n ≥ n n −1 . R: Not˘amb i = 1 S−a i 1,i = 1, n. DeoareceS> a i rezult˘a c˘ab i > 0. putem scrie: (b 1 +b 2 + +b n ) 1 b 1 + 1 b 2 + + 1 b n ≥ n 2 , sau n 2 n −1 ≤ n ¸ k=1 a k n ¸ k=1 b k ≤ n a 1 S −a 1 + a 2 S −a 2 + + a n S −a n . CAPITOLUL1. ELEMENTEDETEORIASPAT¸ IILORMETRICE 15 1.52Dac˘aa, b, c ∈ R ∗ + , atunci: ab a +b + bc b +c + ca c +a ≤ a +b +c 2 . R: Se t ¸ine seama c˘a ab a+b ≤ a+b 4 etc. 1.53Dac˘aa 1 , a 2 , . . . , a n ∈ R ∗ + ,n ≥ 2, atunci: a 1 a 2 + a 2 a 3 + + a n−1 a n + a n a 1 ≥ n. R: Se foloset ¸e inegalitatea mediilor. 1.54Dac˘aa 1 , a 2 , . . . , a n ∈ R ∗ + , atunci: (1 +a 1 )(1 +a 2 )(1 +a n ) ≥ 2 n . R: Se ˆınmult ¸esc membru cu membru inegalit˘at ¸ile: 1 +a i ≥ 2 √ a i ,i = 1, n. 1.55Dac˘aa, b, c ∈ R ∗ + , atunci: (a +b)(b +c)(c +a) ≥ 8abc. R: Se ˆınmult ¸esc membru cu membru inegalit˘at ¸ile: a +b ≥ 2 √ ab etc. 1.56Dac˘aa 1 , a 2 , . . . , a n > 0,b 1 , b 2 , . . . , b n > 0, atunci: n (a 1 +b 1 )(a 2 +b 2 )(a n +b n ) ≥ n √ a 1 a 2 a n n b 1 b 2 b n . R: Sefolose¸steinegalitateamediilorpentrunumerele: a i a i +b i , i=1, n¸si respectiv: b i a i +b i ,i = 1, n ¸si se adun˘a inegalit˘at ¸ile obt ¸inute. 1.57Dac˘aa, b, c ∈ R ∗ + , atunci: a a b b c c ≥ (abc) a+b+c 3 . R: F˘ar˘aarestrˆangegeneralitatea, putempresupunea ≥b ≥c. Dina a−b ≥b a−b , b b−c ≥c b−c , a a−c ≥c a−c prin ˆınmult ¸ire membru cu membru se obt ¸ine inegalitatea din enunt ¸. Capitolul2 S¸iruri¸siserii 2.1 S¸iruridenumerereale 2.1Folosind teorema de caracterizare cuε a limitei unui ¸sir, s˘a se arate c˘a: 1) lim n→∞ 34 n + (−4) n 5 n = 0. 2) lim n→∞ n 2 + 2 n + 1 = +∞. R: 1) Fieε > 0 arbitrar. Este suficient s˘a ar˘at˘am c˘a exist˘a un rangN= N(ε) a.ˆı. 34 n + (−4) n 5 n −0 < ε, ∀n > N. Dar 3·4 n +(−4) n 5 n ≤ 4·4 n 5 n < ε pentrun > ln ε 4 ln 4 5 . A¸sadar, putem lua N(ε) = 0, ε > 4, ln ε 4 ln 4 5 , ε ≤ 4. 2)Fieε>0arbitrar. Estesuficients˘aar˘at˘amc˘aexist˘aunrangN=N(ε)a.ˆı. n 2 +2 n+1 > ε, ∀n > N. ˆ Ins˘a n 2 +2 n+1 = n −1 + 3 n+1 > n −1 > ε, pentrun > 1 +ε. Putem lua N(ε) = [1 +ε]. 2.2Folosind teorema de caracterizare cuε a limitei unui ¸sir, s˘a se arate c˘a: 1) lim n→∞ n 2n −1 = 1 2 . 2) lim n→∞ 4n + 1 5n −1 = 4 5 . 3) lim n→∞ n 2 2(n 2 + 1) = 1 2 . 2.3Folosindcriteriul lui Cauchy, s˘asearatec˘a¸sirurile(x n ) n∈N ∗ sunt convergente, unde: 1) x n = n ¸ k=1 1 k 2 . 2) x n = n ¸ k=1 sin(kx) 2 k , x ∈ R. 3) x n = n ¸ k=1 α k a k . [α k [ < 1, k ∈ N ∗ , a > 1. 16 CAPITOLUL2. S¸IRURIS¸ISERII 17 R: 1) Ar˘at˘am c˘a ∀ε > 0, ∃ N(ε) a.ˆı. [x n+p −x n [ < ε, ∀n > N(ε) ¸si p ∈ N ∗ . Deoarece 1 (n +k) 2 < 1 (n +k) (n +k −1) = 1 n +k −1 − 1 n +k , avem: [x n+p −x n [ = 1 (n + 1) 2 + + 1 (n +p) 2 < 1 n − 1 n +p < 1 n < ε pentrun > 1 ε . Putem luaN(ε) = 1 ε . 2) Ar˘at˘am c˘a ∀ε > 0, ∃ N(ε) a.ˆı. [x n+p −x n [ < ε, ∀n > N(ε) ¸sip ∈ N ∗ . Avem: [x n+p −x n [ = sin(n + 1)x 2 n+1 + + sin(n +p)x 2 n+p ≤ 1 2 n+1 + + 1 2 n+p = 1 2 n 1 − 1 2 p , deci [x n+p −x n [ < 1 2 n < ε pentrun > ln 1 ε ln 2 . Putem luaN(ε) = ln 1 ε ln 2 . 3) Avem [x n+p −x n [ = α n+1 a n+1 + + α n+p a n+p ≤ [α n+1 [ a n+1 + + [α n+p [ a n+p < 1 a n+1 + + 1 a n+p , deci [x n+p −x n [ < 1 a n (a−1) 1 − 1 a p < 1 a n (a−1) 1 < ε pentrun > ln 1 ε(a−1) ln a . Putem lua N(ε) = ¸ ln 1 ε(a−1) ln a . 2.4Folosind criteriul lui Cauchy, s˘a se arate c˘a ¸sirul (x n ) n∈N ∗este divergent, unde x n = 1 + 1 2 + 1 3 + + 1 n . R: Este suficient s˘a ar˘at˘am c˘a exist˘a unε 0 > 0 ¸si unp ∈ N ∗ a.ˆı.[x n+p −x n [ ≥ε 0 . Se constat˘a ˆıns˘a imediat c˘a pentrup = n avem: [x 2n −x n [ = 1 n + 1 + + 1 2n ≥ 1 2 = ε 0 . 2.5S˘a se cerceteze natura urm˘atoarelor ¸siruri (x n ) n∈N cu termenii generali: 1) x n = 10 1 + 11 3 + + n + 10 2n + 1 . 2) x n = sin n. R: 1) S¸irul este divergent. Se observ˘a c˘a: [x 2n −x n [ = n + 11 2n + 3 + + 2n + 10 4n + 1 > 2n + 10 4n + 1 > 1 2 . 2)Presupunemc˘aexist˘alimx n =x. Atunci avem¸si limx n+1 =x, limx n−1 =x, ceea ce implic˘a: lim n→∞ [sin(n + 1) −sin(n −1)] = 0, adic˘alim2 sin 1 cos n=0saulimcos n=0. Dinsin 2n=2 sin ncos narrezultac˘a limsin 2n = 0. Dar ¸sirul(sin 2n) n∈N ∗ esteunsub¸siral ¸sirului(sin n) n∈N ∗ , deundese deduce c˘a limsin n = 0. A¸sadar am avea: lim sin 2 n + cos 2 n = 0. Contradict ¸ie. Deci ¸sirul (x n ) este divergent. CAPITOLUL2. S¸IRURIS¸ISERII 18 2.6Folosind criteriul lui Cauchy, s˘a se studieze natura ¸sirurilor cu termenii generali: 1) x n = n ¸ k=1 cos k! k (k + 1) . 2) x n = n ¸ k=1 cos kx a k , a > 1. 3) x n = n ¸ k=1 sin kx 3 k . 2.7S˘a se calculeze limita ¸sirului cu termenul general: x n = α 0 n k +α 1 n k−1 + +α k β 0 n h +β 1 n h−1 + +β h , α 0 , β 0 = 0, k, h ∈ N. 2.8S˘a se calculeze limitele ¸sirurilor: 1) x n = 1 + 2 + +n n 2 . 2) x n = C k n n k . 3) x n = n 2 n . 2.9S˘a se arate c˘a dac˘a [a[ < 1, atunci limna n = 0. R: Deoarece [a[ 0a.ˆı. [a[ = 1 1+b ¸si sedezvolt˘adup˘abinomul lui Newton. 2.10Fiex 1 , x 2 , . . . , x p numere reale pozitive. S˘a se arate c˘a: lim n→∞ n x n 1 +x n 2 + x n p = max¦x 1 , x 2 , . . . , x p ¦. R: Fiex = max¦x 1 , x 2 , . . . , x p ¦. Rezult˘a: x n ≤ x n 1 +x n 2 + x n p ≤ px n , adic˘a; x ≤ n x n 1 +x n 2 + x n p ≤ x n √ p. Dar lim n √ p = 1. 2.11Fie ¸sirul cu termenul general: x n = a +n + 1 − n ¸ k=1 k 4 +k 2 + 1 k 4 +k . 1) S˘a se arate c˘a (x n ) este convergent. 2) S˘a se g˘aseasc˘a rangul de la care [x n −a[ ≤ 0, 01. 2.12S˘a se calculeze limitele ¸sirurilor (x n ) date prin termenii generali: 1) x n = √ 5n 2 −3n + 2 4n + 1 . 2) x n = 3n + 2 3n + 5 n . 3) x n = 2a n +b n 3a n + 4b n . 4) x n = 2 2 + 4 2 + + (2n) 2 1 2 + 3 2 + + (2n −1) 2 . 5) x n = √ n + 1 −2 √ n + 2 + √ n + 3. 6) x n = n + 2 √ n + 1 − n + 4 √ n + 1. 7) x n = 3 n 2 +n + 1 −an. CAPITOLUL2. S¸IRURIS¸ISERII 19 8) x n = 2n 2 + 5n + 4 3n 2 + 2 −6n 3n+1 . 9) x n = n + √ n + 1 n + 3 √ n + 2 n . 10) x n = 1 + 1 n 3 −1 3 + 1 n 2 −9 . 11) x n = n(1 3 + 2 3 + +n 3 ) (n + 2) 5 . 12) x n = n 4 +n 2 + 1 − n 4 −n 2 + 1. 13) x n = n k n + 2 n + 5 −1 . 14) x n = n 1 3 3 (n + 1) 2 − 3 (n −1) 2 . 2.13Se consider˘a curba format˘a din semicercuri de razer, r 3 , r 9 , r 27 , . . . cu centrele cer- curilor coliniare. S˘a se calculeze lungimea L n a liniei formate din primele n semicercuri, precum ¸si L = limL n . Caresuntvalorilelui npentrucarediferent ¸aL − L n reprezint˘a cel mult 5% dinL ? R: Avem: L n = π r + r 3 + r 3 2 + + r 3 n−1 = 3πr 2 1 − 1 3 n ¸siL = 3πr 2 . L −L n = 3πr 2 1 3 n ≤ 5 100 3πr 2 , de unde 3 n ≥ 20, adic˘an ≥ 3. 2.14S˘a se discute dup˘a valorile parametrului real p: =lim n→∞ n p ¸ n + 1 n + 2 − 3 n + 2 n + 3 ¸ . R: Not˘am a n = n + 1 n + 2 − 3 n + 2 n + 3 = n + 1 n + 2 −1 + 1 − 3 n + 2 n + 3 . Avema n →0, iarna n →− 1 6 . Deci: = − 1 6 lim n→∞ n p−1 = 0, p ∈ (−∞, 1), − 1 6 , p = 1, −∞, p ∈ (1, ∞). 2.15S˘a se calculeze limita ¸sirului (x n ) cu termenul general: x n = sin 1 +a sin 2 + +a n−1 sinn a n [1 + 2a + 3a 2 + + (n + 1)a n ] , a > 1. R: Din [sin x[ ≤ 1, ∀x ∈ R, deducem: 0 < [x n [ ≤ (1 −a)(1 −a n ) a n [1 −(n + 2)a n+1 + (n + 1)a n+2 ] = α n ¸si cum pentrua > 1,α n →0, rezult˘a c˘ax n →0. CAPITOLUL2. S¸IRURIS¸ISERII 20 2.16S˘a se arate c˘a ¸sirul cu termenul general x n = 1+ 1 1! + 1 2! + + 1 n! este convergent. Limita sa este num˘arul e. R: Folosim criteriul lui Cauchy: x n+p −x n = 1 (n + 1)! + 1 (n + 2)! + + 1 (n +p)! = = 1 (n + 1)! ¸ 1 n + 1 + 1 (n + 1)(n + 2) + + 1 (n + 1)(n + 2)(n +p) de unde: x n+p −x n < 1 n! ¸ 1 n + 1 + 1 (n + 1) 2 1 + + 1 (n + 1) p < 1 n! 1 n ≤ 1 n < ε, pentrun > N(ε) = 1 ε . 2.17S˘a se arate c˘a dac˘aa n →a, atuncis n = a 1 +a 2 +···+a n n →a. R: Se aplic˘a teorema lui Stolz-Cesaro. 2.18S˘a se arate c˘a dac˘a ¸sirul de numere pozitiveb n →b, atunci p n = n b 1 b 2 b n →b. 2.19Fie (a) n un ¸sir de numere pozitive. S˘a se arate c˘a dac˘a lim n→∞ a n+1 a n = α⇒ lim n→∞ n √ a n = α. R: Se t ¸ine seama de egalitatea n √ a n = n a 1 1 a 2 a 1 a n a n−1 . 2.20S˘a se calculeze: 1) lim n→∞ n √ n. 2) lim n→∞ n (n + 1)(n + 2)(2n) n n . 3) lim n→∞ n √ n! n . R: Se aplic˘a exercit ¸iul precedent. Se obt ¸ine: 1) 1, 2) 4 e , 3) 1 e . 2.21S˘a se arate c˘a: lim n→∞ 1 p + 2 p + n p n p+1 = 1 p + 1 , ∀p ∈ N. R: Se aplic˘a teorema lui Stolz-Cesaro: a n+1 −a n b n+1 −b n = (n + 1) p (n + 1) p+1 −n p+1 = 1 + 1 n p n 1 + 1 n p −1 + 1 + 1 n p . Dar limn 1 + 1 n p −1 = p. CAPITOLUL2. S¸IRURIS¸ISERII 21 2.22S˘a se determine limita ¸sirului cu termenul general: x n = 1 p + 3 p + + (2n −1) p n p+1 , p ∈ N ∗ . 2.23S˘a se calculeze: lim n→∞ 1 + √ 2! + 3 √ 3! + + n √ n! n 2 a n , a > 1. R: Se aplic˘a teorema lui Stolz-Cesaro: lim n→∞ a n+1 −a n b n+1 −b n =lim n→∞ n+1 (n + 1)! a n [(n + 1) 2 a −n 2 ] = 1 a −1 lim n→∞ n+1 (n + 1)! n + 1 n + 1 n 2 a n = 0. 2.24S˘a se calculeze: lim n→∞ 1 + (2!) 2 √ 2 + (3!) 2 3 √ 3 + + (n!) 2 n √ n n!(n + 1)! √ n . R: Se aplic˘a teorema lui Stolz-Cesaro: lim n→∞ a n+1 −a n b n+1 −b n =lim n→∞ (n + 1) n+1 √ n + 1 (n + 1)(n + 2) √ n + 1 − √ n = 0. 2.25Se d˘a ¸sirul (x n ) n∈N cu termenul general: x n = n ¸ k=0 1 (k + 1)(k + 4) . 1) S˘a se arate c˘a ¸sirul este m˘arginit ¸si s˘a se calculeze sup x n . 2) S˘a se calculeze lim 18 11 x n n . R: 1) Din identitatea 1 (k + 1)(k + 4) = 1 3 1 k + 1 − 1 k + 4 , k ∈ N, deducem: lim n→∞ x n =lim n→∞ 1 3 11 6 − 1 k + 2 − 1 k + 3 − 1 k + 4 = 11 18 . Dinx n+1 −x n = 1 (n+2)(n+5) > 0 rezult˘a c˘a ¸sirul este cresc˘ator ¸si deci sup x n = 11 18 . 2) lim 18 11 x n n = e −1 . 2.26S˘a se determine limita urm˘atoarelor ¸siruri: 1) x n = 3 1 3 + 5 1 3 + 2 3 + + 2n + 1 1 3 + 2 3 + +n 3 . 2) x n = α n +β n α n+1 +β n+1 , α, β> 0. 3) x n = a n +b n + 3 n 2 n + 5 n +n , a, b ≥ 0. 4) x n = 1 7 n n! n ¸ k=1 k 2 + 3k + 9 . CAPITOLUL2. S¸IRURIS¸ISERII 22 R: La 4) se t ¸ine seama de inegalitateak 2 + 3k + 9 ≥ 3 3 √ 27k 3 = 9k. 2.27S˘a se calculeze limita urm˘atoarelor ¸siruri: 1) x n = n (n!) 2 (2n)!8 n . 2) x n = n ¸ k=1 k 2 +k −1 (k + 1)! . 3) x n = n ¸ k=1 2 k−1 (k −1) (k + 1)! . 4) x n = n 3 3n (n!) 3 (3n)! . 5) x n = n ¸ k=1 1 √ n 2 +k . 6) x n = n ¸ k=1 ¸ 3 1 + k 2 n 3 −1 ¸ . R: 1) lim a n+1 a n = lim n+1 16(2n+1) = 1 32 . 2) Din k 2 +k−1 (k+1)! = 1 (k−1)! − 1 (k+1)! deducem c˘a lim n→∞ n ¸ k=1 k 2 +k −1 (k + 1)! =lim n→∞ ¸ 2 − 1 n! − 1 (n + 1)! = 2. 3) Din 2 k−1 (k−1) (k+1)! = 2 k−1 k! − 2 k (k+1)! deducem c˘a lim n→∞ n ¸ k=1 2 k−1 (k −1) (k + 1)! =lim n→∞ ¸ 1 − 2 n (n + 1)! = 1. 2.28S˘a se calculeze limitele ¸sirurilor cu termenii generali: 1) x n = (2n + 1)!! (2n + 2)!! . 2) x n = n ¸ k=1 k 2 +k n 3 +k . 3) x n = n ¸ k=1 k 2 +k −1 (k + 1)! . 4) x n = 1 + 1 2 + 1 2 2 + + 1 2 n 32 n + (−1) n 2 n . 5) x n = n ¸ k=1 2k + 1 k 2 (k + 1) 2 . 6) x n = 1 n 2 C 2 n + C 2 n+1 + +C 2 2n . 7) x n = 1 n 3 n ¸ k=1 (2k −1) 2 . 2.29S˘a se calculeze limita ¸sirurilor cu termenii generali: 1) x n = cos π n n 2 . 2) x n = 1 + 3 √ n + 1 2 √ n −3 α 6 √ n−3 , α ∈ R. 3) x n = n ¸ k=1 1 (k −1)! +k! . 4) x n = n ¸ k=1 k (k + 1) (k + 2) n 4 . 2.30S˘a se calculeze limita ¸sirului cu termenul general x n = ac + (a +ab)c 2 + (a +ab +ab 2 )c 3 + + (a +ab + +ab n )c n+1 , a, b, c ∈ R, [c[ < 1,b = 1, [bc[ < 1. CAPITOLUL2. S¸IRURIS¸ISERII 23 R: S˘a observ˘am c˘a se mai scrie x n = ac 1 −b [(1 +c + +c n ) −b (1 +bc + +b n c n )] . Deci lim n→∞ x n =lim n→∞ x n ¸ 1 −c n+1 1 −c −b 1 −(bc) n+1 1 −bc = ac (1 −c)(1 −bc) . 2.31S˘a se arate c˘a: 0 < ln [ln (k + 1)] −ln (ln k) < 1 k ln k , ∀k ≥ 2 ¸si apoi s˘a se calculeze lim n ¸ k=2 1 k ln k . R:Inegalitateadinstˆangarezult˘adinfaptulc˘afunct ¸ialnxestestrictcresc˘atoare. Fief: (1, ∞) → R,definit˘a prinf(x) = ln (ln x). Pe fiecare interval [k, k + 1], k ≥ 2, conform teoremei lui Lagrange, exist˘ac k ∈ (k, k + 1) a.ˆı. ln [ln (k + 1)] −ln (ln k) = 1 c k ln c k . Din ln k < ln c k < ln(k + 1) deducem: 1 (k + 1) ln(k + 1) < 1 c k ln c k < 1 k ln k , deci 0 < 1 (k + 1) ln(k + 1) < ln [ln (k + 1)] −ln (ln k) < 1 k ln k . Sumˆand pentruk = 2, n rezult˘a c˘a limita este ∞. 2.32S˘a se calculeze limita ¸sirului cu termenul general x n = n (n 2 + 1)(n 2 + 2 2 )(2n 2 ) n 2 . R: Avem c˘a ln x n = 1 n n ¸ k=1 ln 1 + k 2 n 2 , care este o sum˘a Riemann pentru funct ¸iaf(x) = ln(1 + x 2 ) pe intervalul [0, 1],pentru diviziunea ∆ n = ¸ 0, 1 n , 2 n , . . . , 1 ¸ , cu punctele intermediareξ k = k n ¸si deci lim n→∞ ln x n = 1 0 ln(1 +x 2 ) dx = ln 2 −2 + π 2 . 2.33S˘a se calculeze limita ¸sirului cu termenul general x n = ¸ b a (x −a) n (b −x) n dx ¸1 n , a < b. CAPITOLUL2. S¸IRURIS¸ISERII 24 R: Not˘amI m,n = b a (x −a) m (b −x) n dx. Integrˆand prin p˘art ¸i, obt ¸inem I m,n = m n + 1 I m−1,n+1 = m n + 1 m−1 n + 2 1 n +m+ 1 I 0,n+m . Se obt ¸ine de aici c˘aI n,n = (n!) 2 (2n+1)! (b −a) 2n+1 , de unde limx n = b−a 2 2 . 2.34S˘a se calculeze lim ¸ n ¸ k=1 1 + k n 2 −1 . R: Deoarece 1 + k n 2 −1 = 1 n 2 k 1+ k n 2 +1 . Din 1 n 2 k 1 + 1 n + 1 ≤ 1 n 2 k 1 + k n 2 + 1 ≤ 1 n 2 k 1 + 1 n 2 + 1 , sumˆand pentruk = 1, n, rezult˘a n(n + 1) 2n 2 1 1 + 1 n + 1 ≤ ¸ n ¸ k=1 1 + k n 2 −1 ¸ ≤ n(n + 1) 2n 2 1 1 + 1 n 2 + 1 , deci ¸sirul are limita 1 2 . 2.35Fiinddat˘afunct ¸iaf: R ` ¦−2, −1¦ →R, definit˘aprinf(x)= 1 x 2 +3x+2 , s˘ase calculeze limita ¸sirului cu termenul general x n = f (k) (1) +f (k) (2) + +f (k) (n), undef (k) este derivata de ordinul ka funct ¸ieif. R: Deoarecef(x) se poate scrie: f(x) = 1 x+1 − 1 x+2 , rezult˘a c˘a f (k) (x) = (−1) k k! ¸ 1 (x + 1) k+1 − 1 (x + 2) k+1 , ¸si deci x n = ¸ 1 2 k+1 − 1 (n + 2) k+1 →(−1) k k! 1 2 k+1 . 2.36S˘asestudiezenatura¸sirului (x n )definitprin: x 1 =a ∈[1, 2] ¸si x n+1 =x 2 n − 2x n + 2, pentrun ≥ 1. 2.37Se dau numerele reale a 0 , b 0 , c 0 . Definim ¸sirurile (a n ) n∈N , (b n ) n∈N , (c n ) n∈N prin: a n+1 = 1 2 (b n +c n ) , b n+1 = 1 2 (c n +a n ) , c n+1 = 1 2 (a n +b n ) . S˘a se arate c˘a ¸sirurile sunt convergente la 1 3 (a 0 +b 0 +c 0 ). CAPITOLUL2. S¸IRURIS¸ISERII 25 R: Fiex n = a n + b n + c n . Adunˆand cele trei relat ¸ii, obt ¸inem: x n+1 = x n , deci (x n ) este un ¸sir constant: x n = x 0 . Dina n+1 = 1 4 (a n−1 +x 0 ) rezult˘a c˘aa n → 1 3 x 0 etc. 2.38Fieq = 1− √ 5 2 ¸si ¸sirul (x n )definitprin: x 1 =q, x 2 = 1 + q, x n+2 =x n + x n+1 , n ∈ N ∗ . 1) S˘a se arate c˘a termenii ¸sirului sunt ˆın progresie geometric˘a. 2) S˘a se arate c˘a are loc egalitatea ∆ n = x n+2 x n+1 x n x n x n+2 x n+1 x n+1 x n x n+2 = 4x 3n+2 . 3) S˘a se calculeze limx n . R: 1) Prin induct ¸ie matematic˘a: x 2 = 1 + q =q 2 , x 3 =x 1 + x 2 =q 3 . Presupunem x n = q n . Dinx n+2 = x n +x n+1 = q n +q n+1 = q n (1 +q), rezult˘ax n+2 = q n+2 . 2) ∆ n = q 3n (q 6 −2q 3 + 1) = 4q 3n+2 = 4x 3n+2 . 3) Deoarece [q[ < 1, limx n = 0. 2.39S˘a se calculeze limita ¸sirului: x 1 = √ a, x n+1 = √ a +x n , a > 0. 2.40S˘a se calculeze lim n→∞ 4n −4 −2a n π n , a n = n 1 2x 2 1 +x 2 dx, n ≥ 2. R: Se obt ¸ine: a n = 2n −2 −2 arctg n + π 2 , iar limita estee − 4 π . 2.41Fie (A n ) n∈N ∗¸si (B n ) n∈N ∗dou˘a ¸siruri de numere rat ¸ionale a.ˆı.: a +b √ k n = A n +B n √ k, n ≥ 1, a, b ∈ Q + , √ k ∈ R` Q. S˘a se calculeze lim A n B n . R: DinA n +B n √ k = a +b √ k n ¸siA n −B n √ k = a −b √ k n , urmeaz˘a: A n = 1 2 a +b √ k n + a −b √ k n , B n = 1 2 √ k a +b √ k n − a −b √ k n . A¸sadar lim A n B n = √ k. 2.42Fie matriceaA = ¸ 1 0 3 2 ¸si A n = ¸ 1 0 a n b n , n ∈ N ∗ . S˘a se calculeze lim a n b n . CAPITOLUL2. S¸IRURIS¸ISERII 26 R: Se g˘ase¸ste: a n = 3 (2 n −1) ¸sib n = 2 n . 2.43S˘a se calculeze limsin 2 π √ n 2 +n + 1 . R: Deoarece sin α = sin (α −nπ), urmeaz˘a: sin 2 π n 2 +n + 1 = sin 2 π n 2 +n + 1 −nπ = sin 2 π n + 1 √ n 2 +n + 1 +n ¸si deci limsin 2 π √ n 2 +n + 1 = sin 2π 2 = 1. 2.44S˘a se calculeze limita ¸sirului x n = n+1 (n + 1)! − n √ n!, n ≥ 2. R: Fiea n = (n+1) n n! . Deoarece a n+1 a n = 1 + 1 n+1 n+1 →e, rezult˘a c˘a n √ a n = e. Fie b n = n+1 (n + 1)! n √ n! = n + 1 n √ n! 1 n+1 ¸sib n n = n+1 n √ n! n n+1 →e ¸si e =lim n→∞ ¸ 1 + n+1 (n + 1)! − n √ n! n √ n! ¸ n =lim n→∞ 1 + x n n √ n! n √ n! x n ¸ ¸ x n n n √ n! = e e limx n , deci limx n = 1 e . 2.45S˘a se determine mult ¸imea punctelor limit˘a,limita inferioar˘a ¸si limita superioar˘a pentru ¸sirurile date prin: 1) x n = 1 + (−1) n 3 + (−1) n 2n 3n + 1 . 2) x n = 1 + 1 n n ¸ (−1) n + 1 2 + cos nπ 2 . R: 1) Deoarece ¦x n ¦ n∈N = ¦x 2k ¦ k∈N ∪ ¦x 2k+1 ¦ k∈N ¸si x 2k = 2 3 + 4k 6k + 1 → 4 3 , x 2k+1 = − 4k + 2 6k + 4 →− 2 3 , rezult˘a c˘a ´= ¸ − 2 3 , 4 3 ¸ , liminf x n = − 2 3 , limsup x n = 4 3 . 2) Deoarece ¦x n ¦ n∈N = ¦x 4k ¦ k∈N ∪ ¦x 4k+1 ¦ k∈N ∪ ¦x 4k+2 ¦ k∈N ∪ ¦x 4k+3 ¦ k∈N ¸si x 4k = 3 2 1 + 1 4k 4k + cos 2kπ → 3 2 e + 1, x 4k+1 = − 1 2 1 + 1 4k+1 4k+1 + cos (4k+1)π 2 →− 1 2 e, x 4k+2 = 3 2 1 + 1 4k+2 4k+2 + cos (4k+2)π 2 → 3 2 e −1, x 4k+3 = − 1 2 1 + 1 4k+3 4k+3 + cos (4k+3)π 2 →− 1 2 e, rezult˘a c˘a ´= ¸ − 1 2 e, 3 2 e −1, 3 2 e + 1 ¸ , liminf x n = − 1 2 e, limsup x n = 3 2 e + 1. CAPITOLUL2. S¸IRURIS¸ISERII 27 2.46S˘a se determine mult ¸imea punctelor limit˘a,limita inferioar˘a ¸si limita superioar˘a pentru ¸sirurile date prin: 1) x n = 1 + 1 n n·(−1) n n 2n + 1 + cos nπ 2 , n ∈ N ∗ . 2) x n = 5 −3 (−1) n(n+1) 2 + sin nπ 2 , n ∈ N. 3) x n = 1 n n (−1) n + sin nπ 2 , n ∈ N ∗ . 4) x n = 1 + (−1) n 2 n −1 n + 1 , n ∈ N. 5) x n = (−1) n(n+1) 2 −cos nπ 3 , n ∈ N. 2.2 Principiulcontract ¸iei 2.47S˘asearatec˘aecuat ¸iax 3 + 4x − 1=0areosingur˘ar˘ad˘acin˘areal˘a¸si s˘ase determine aproximat ¸iile pˆan˘a la ordinul trei ale r˘ad˘acinii. R: Se constat˘a imediat c˘a ecuat ¸ia are o r˘ad˘acin˘a pe intervalul [0, 1]. Scriind ecuat ¸ia sub forma echivalent˘ax = 1 x 2 +4 , problema revine la a ar˘ata c˘a aplicat ¸iaϕ : [0, 1] → R, ϕ(x) = 1 x 2 +4 , este o contract ¸ie pe [0, 1]. Dar d(ϕ(x), ϕ(y)) = [ϕ(x) −ϕ(y)[ = [x +y[ (x 2 + 4) (y 2 + 4) d(x, y) ≤ 1 8 d(x, y). ˆ Intr-adev˘ar,din [x[ ≤ x 2 +4 4 ,deducem [x +y[ ≤ [x[ + [y[ ≤ 1 4 x 2 + 4 (y 2 + 4). Deci ϕ este o contract ¸ie pe [0, 1], cuq = 1 8 . S¸irul aproximat ¸iilor succesive: x 0 = 0, x n+1 = 1 x 2 n + 4 , n = 0, 1, 2, . . . ne d˘ax 1 = 0, 25,x 2 = 0, 2461538,x 3 = 0, 2462695 etc. 2.48S˘asearatec˘aecuat ¸iax 3 + 12x − 1=0areosingur˘ar˘ad˘acin˘areal˘ a¸si s˘ase calculeze aceast˘a r˘ad˘acin˘ a cu o eroare mai mic˘a de 0, 0001. R: Se constat˘a imediat c˘a ecuat ¸ia are o r˘ad˘acin˘a pe intervalul [0, 1]. Ca ˆın exercit ¸iul precedent, se arat˘a c˘a aplicat ¸iaϕ : [0, 1] → R,ϕ(x) = 1 x 2 +12 , este o contract ¸ie pe [0, 1], cuq = 2 169 . S¸irul aproximat ¸iilor succesive este: x 0 = 0, x n+1 = 1 x 2 n + 12 , n = 0, 1, 2, . . . Estimarea erorii metodei este dat˘a de [x n −ξ[ < δ 1 −q q n , ∀n ∈ N, CAPITOLUL2. S¸IRURIS¸ISERII 28 ˆın careδ = [x 1 −x 0 [. ˆ In cazul nostru [x n −ξ[ < 1 12 169 167 2 169 n < 10 −4 . Seconstat˘ac˘aestesuficients˘alu˘amn=2. Avem: x 0 =0, x 1 = 1 12 =0, 08 3333, x 2 = 144 1729 = 0, 083285135. 2.49S˘asearatec˘aecuat ¸iasin x − 10x + 1 = 0areosingur˘ar˘ad˘acin˘areal˘ a ¸sis˘ase calculeze aceast˘a r˘ad˘acin˘ a cu o eroare mai mic˘a de 0, 001. R: Se constat˘a imediat c˘a ecuat ¸ia are o r˘ad˘acin˘a pe intervalul [0, 1]. Se constat˘a c˘a aplicat ¸ia ϕ : [0, 1] →R,ϕ(x) = 1 10 (1 + sin x), este o contract ¸ie pe [0, 1], cu q = 1 10 . S¸irul aproximat ¸iilor succesive este: x 0 = 0, x n+1 = 1 10 (1 + sin x n ) , n = 0, 1, 2, . . . Estimarea erorii [x n −ξ[ < 1 10 9 10 1 10 n < 10 −3 . Estesuficients˘alu˘amn=2. Avem: x 0 =0, x 1 = 1 10 =0, 1, x 2 = 1 10 (1 + sin 0, 1)= 0, 10998. 2.50S˘asearatec˘aecuat ¸iax 5 + x 3 − 1, 16 = 0areosingur˘ar˘ad˘ acin˘areal˘a¸sis˘ase calculeze aceast˘a r˘ad˘acin˘ a cu o eroare mai mic˘a de 0, 001. 2.51Fief: [a, b] → [−c, c] ofunct ¸iederivabil˘ape[a, b]¸sia.ˆı. 0 M 2 . ˆ In concluzie, dac˘ap ∈ (max ¸ m, M 2 ¸ , M),ϕ este o contract ¸ie pe [a, b]. Putem generaliza exercit ¸iul precedent, presupunˆandp = p(x). Astfel, dac˘a alegem p(x) = x −x 0 f(x) −f(x 0 ) , x ∈ [a, b], se obt ¸ine medoda coardei, iar dac˘a alegemp(x) = f (x) se ajunge la metoda lui Newton. 2.52Ce condit ¸ie trebuie s˘a ˆındeplineasc˘a funct ¸iaf: [a, b] →R, de dou˘a ori derivabil˘a pe [a, b] pentru ca funct ¸iaϕ(x) = x − f(x) f (x) s˘a fie o contract ¸ie pe [a, b]? R: Deoareced(ϕ(x), ϕ(y)) = [ϕ(x) −ϕ(y)[ = [ϕ (ξ)[d(x, y), condit ¸ia [ϕ (ξ)[ ≤ q< 1 conduce la: [f(x)f (x)[ ≤ qf 2 (x), 0 < q< 1. CAPITOLUL2. S¸IRURIS¸ISERII 29 2.53S˘a se calculeze aproximativ p √ a,a > 0 ¸sip = 2, 3, . . . R: Lu˘amf(x)=x p − a. Atunci ϕ(x)=x − f(x) f (x) = 1 p (p −1) x +ax 1−p . Cum ϕ (x) = p−1 p (1 −ax −p ) < p−1 p , pentru x > 0, rezult˘a c˘a ϕ este o contract ¸ie ¸si deci putem lua p √ a ≈ x n+1 = 1 p (p −1) x n +ax 1−p n . 2.3 S¸iruri ˆınR p 2.54S˘a se calculeze limitele urm˘atoarelor ¸siruri din R 3 : 1) x n = 2n 3n −1 , 1 + 1 n −2n , √ n √ n + 1 − √ n −1 . 2) x n = n 2 + 2 n 2 + 1 , n √ n 2 , e 1 n . 2.55 ˆ In R 4 se consider˘a ¸sirul (x n ) definit prin relat ¸ia de recurent ¸˘a: 6x n+3 = 11x n+2 −6x n+1 +x n , ∀n ∈ N, cu x 0 = (0, 0, 0, 0), x 1 = (1, 9, 3, 6), x 2 = (1, 9, 7, 8). S˘a se determine x n ¸si s˘a se calculeze limita ¸sirului. R: Se caut˘a x n =λ n a, cu a ∈ R 4 . Se obt ¸ine penrtuλ ecuat ¸ia caracteristic˘a 6λ 3 − 11λ 2 + 6λ − 1 = 0, cu r˘ad˘acinile: 1, 1 2 , 1 3 . Deci x n este de forma: x n = a + 1 2 n b + 1 3 n c. Se obt ¸ine limita x = 1 2 , 9 2 , 27 2 , 9 . 2.4 Seriidenumerereale 2.56S˘a se arate c˘a seria 1 12 + 1 23 + + 1 n(n + 1) + = ∞ ¸ n=1 1 n(n + 1) este convergent˘a ¸sis = 1. R: ˆ In adev˘ar, s n = 1 12 + 1 23 + + 1 n(n + 1) = n ¸ k=1 1 k − 1 k + 1 = 1 − 1 n + 1 →1. 2.57Seria 1 + 1 2 + 1 3 + + 1 n + = ∞ ¸ n=1 1 n se nume¸steseria armonic˘a, deoarece pentrun ≥ 2,a n este media armonic˘a a termenilor vecinia n−1 ¸sia n+1 . S˘a se arate c˘a seria este divergent˘a ¸si are suma +∞. CAPITOLUL2. S¸IRURIS¸ISERII 30 R: S¸irul (s n ) al sumelor part ¸iale este strict cresc˘ator ¸si divergent, deoarece [s 2n −s n [ = 1 n + 1 + 1 n + 2 + + 1 2n ≥ 1 2 , ceea ce arat˘a c˘a (s n ) nu este ¸sir fundamental. Deci lims n = +∞. 2.58S˘a se arate c˘a seria 1 −1 + 1 −1 + + (−1) n−1 + = ∞ ¸ n=1 (−1) n−1 este divergent˘a. R: Este o serie oscilant˘a deoarece ¸sirul (s n ) al sumelor part ¸iale este ¸sirul oscilant: 1, 0, 1, 0,. . .. 2.59Seria 1 +q +q 2 + +q n−1 + = ∞ ¸ n=1 q n−1 , q ∈ R se nume¸steseria geometric˘a deoarece ¸sirul (a n ),a n = q n−1 , este o progresie geometric˘a cu rat ¸iaq. S˘a se studieze natura acestei serii dup˘a valorile luiq. R: S¸irul sumelor part ¸iale are termenul general s n = 1 +q +q 2 + +q n−1 = 1−q n 1−q , q = 1, n, q = 1. Obt ¸inem lim n→∞ s n = 1 1−q , [q[ < 1, +∞, q ≥ 1. Pentru q ≤ 1 ¸sirul (s n ) nu are limit˘a. Astfel, seria geometric˘a cu rat ¸ia q este convergent˘a pentru [q[ < 1 ¸si are suma 1 1−q ¸si divergent˘a pentru [q[ ≥ 1. 2.60S˘a se stabileasc˘a natura seriilor urm˘atoare ¸si ˆın caz de convergent ¸˘a s˘a se determine sumele lor: 1) ∞ ¸ n=1 √ n +α + 1 −2 √ n +α + √ n +α −1 , α > 0. 2) ∞ ¸ n=1 1 (α +n)(α +n + 1) , α ∈ R` Z − . 3) ∞ ¸ n=1 n α n , α > 1. 4) ∞ ¸ n=1 1 15n 2 −8n −3 . 5) ∞ ¸ n=1 ln n + 1 n . 6) ∞ ¸ n=1 1 n √ n . 7) ∞ ¸ n=1 n2 n (n + 2)! . 8) ∞ ¸ n=1 2 n [5 + (−1) n ] n . CAPITOLUL2. S¸IRURIS¸ISERII 31 R: 1) Not˘am cu a n = √ n +α− √ n +α −1. Se observ˘a c˘a s n = a n+1 −a n . Se obt ¸ine suma √ α − √ α + 1. 2) Folosind identitatea: 1 (α +k)(α +k + 1) = 1 α +k − 1 α +k + 1 , se obt ¸ines n = 1 α+1 − 1 α+n+1 . Seria este convergent˘a ¸si are suma 1 α+1 . 3) Pentru a evalua suma part ¸ial˘a de ordinuln plec˘am de la identitatea: x α + x 2 α 2 + + x n α n = 1 α n x n+1 −xα n x −α . Derivˆand ˆın raport cux, avem: 1 α + 2x α 2 + + nx n−1 α n = nx n+1 −α(n + 1)x n +α n+1 α n (x −α) 2 . De aici, pentrux = 1, obt ¸inem s n = n −α(n + 1) +α n+1 α n (1 −α) 2 . Seria este convergent˘a ¸si are suma α (1−α) 2 . 4) Termenul general al ¸sirului sumelor part ¸iale se descompune ˆın fract ¸ii simple astfel: 1 16k 2 −8k −3 = 1 4 1 4k −3 − 1 4k + 1 . Folosindaceast˘aidentitateseobt ¸ines n = 1 4 1 − 1 4n+1 . Seriaesteconvergent˘a ¸siare suma 1 4 . 5) S¸irul sumelor part ¸iale al acestei serii s n = n ¸ k=1 ln k + 1 k = ln(n + 1) are limita ∞, deci seria este divergent˘a. 6) Deoarece lim 1 n √ n = 1, seria este divergent˘a. 7) Fie b n = 2 n (n+2)! . Atunci termenul general al seriei se scrie a n = nb n , iar (n+2)b n = 2b n−1 . Deci s n = n ¸ k=1 a k = n ¸ k=1 kb k = 2(b 0 −b n ) = 1 −2b n . Dar b n →0 deoarece seria ∞ ¸ n=1 2 n (n+2)! este convergent˘a. Rezult˘a c˘a seria este convergent˘a ¸si are suma 1. 8) Se observ˘a c˘a: ∞ ¸ n=1 2 n [5 + (−1) n ] n = 1 2 + 1 2 3 + 1 2 5 + + 1 3 2 + 1 3 4 + 1 3 6 + = 19 24 . CAPITOLUL2. S¸IRURIS¸ISERII 32 2.61S˘a se arate c˘a urm˘atoarele serii sunt convergente ¸si s˘a se determine sumele lor: 1) ∞ ¸ n=1 (−1) n+1 3 n . 2) ∞ ¸ n=1 2 n + (−1) n+1 5 n . 3) ∞ ¸ n=1 1 4n 2 −1 . R: 1) Serie geometric˘a cu rat ¸ia 1 3 ¸si suma 1 4 . 2) Serie geometric˘a cu suma 5 6 . 3) Serie telescopic˘a cu suma 1 2 . 2.62S˘a se calculeze sumele urm˘atoarelor serii, ¸stiind c˘a termenii ¸sirului (a n ) formeaz˘a o progresie aritmetic˘a cua 1 > 0 ¸si rat ¸iar > 0: 1) ∞ ¸ n=1 1 a n a n+1 . 2) ∞ ¸ n=1 1 a n a n+1 a n+2 . 3) ∞ ¸ n=1 a n +a n+1 a 2 n a 2 n+1 . R: 1) Pentru oricen ∈ N, avem: 1 a n a n+1 = 1 r 1 a n − 1 a n+1 . Se obt ¸ine o serie telescopic˘a. 2) ¸si 3) Analog, avem: 1 a n a n+1 a n+2 = 1 2r 1 a n a n+1 − 1 a n+1 a n+2 , a n +a n+1 a 2 n a 2 n+1 = 1 r 1 a 2 n − 1 a 2 n+1 . 2.63S˘a se arate c˘a: 1) ∞ ¸ n=1 3 n−1 sin 3 x 3 n = 1 4 (x −sin x) . 2) ∞ ¸ n=1 2 n tg 2 n x = 2 ctg 2x − 1 x . R: 1)Multiplic˘amidentitateasin 3θ =3 sin θ − 4 sin 3 θcu3 n−1 ¸si lu˘amθ = x 3 n . Obt ¸inem: 3 n−1 sin 3 x 3 n = 1 4 3 n sin x 3 n −3 n−1 sin x 3 n−1 . Punema n = 3 n−1 4 sin x 3 n−1 . Atuncis n = a n+1 −a 1 ¸si lim n→∞ s n = 1 4 (x −sin x) . 2) Multiplic˘am identitatea tg θ = ctg θ −2 ctg 2θ cu 2 n ¸si lu˘amθ = 2 n x. Obt ¸inem: 2 n tg 2 n x = 2 n ctg 2 n x −2 n+1 ctg 2 n+1 x. 2.64S˘a se calculeze suma seriei ∞ ¸ n=1 arctg 1 n 2 +n + 1 . CAPITOLUL2. S¸IRURIS¸ISERII 33 R: Din arctg x −arctg y = arctg x −y 1 +xy , 1 n 2 +n + 1 = 1 n − 1 n+1 1 + 1 n 1 n+1 , rezult˘a c˘aa n = arctg 1 n −arctg 1 n+1 ¸si decis n = arctg 1 −arctg 1 n+1 → π 4 . 2.65S˘a se arate c˘a: ∞ ¸ p=2 ∞ ¸ n=2 1 n p = 1. R: Seria 1 2 p + 1 3 p + + 1 n p + este convergent˘a pentru oricep ≥ 2, deci ∞ ¸ p=2 ∞ ¸ n=2 1 n p = ∞ ¸ n=2 ∞ ¸ p=2 1 n p . Dar ∞ ¸ p=2 1 n p = 1 n 2 1 1 − 1 n = 1 n(n −1) = 1 n −1 − 1 n ¸si ∞ ¸ n=2 1 n −1 − 1 n = 1 −lim n→∞ 1 n = 1. 2.66S˘a se arate c˘a urm˘atoarele serii sunt divergente: 1) ∞ ¸ n=1 n √ 2. 2) ∞ ¸ n=1 n n + 1 . 3) ∞ ¸ n=1 2 n + 3 n 2 n+1 + 3 n+1 . 4) ∞ ¸ n=1 1 √ n + 1 − √ n . 5) ∞ ¸ n=1 1 √ 2n + 1 − √ 2n −1 . 2.67S˘a se studieze natura seriei: ∞ ¸ n=1 a n−1 (1 +a n−1 b)(1 +a n b) , a, b ∈ R ∗ + . R: Deoarece termenul general al seriei se poate scrie, pentrua = 1: a n = 1 1 −a a n−1 −a n (1 +a n−1 b)(1 +a n b) = 1 b(1 −a) (1 +a n−1 b) −(1 +a n b) (1 +a n−1 b)(1 +a n b) , adic˘a a n = 1 b(1 −a) 1 1 +a n b − 1 1 +a n−1 b 1 , s n = 1 b(1 −a) 1 1 +a n b − 1 1 +b . Deci ∞ ¸ n=1 a n−1 (1 +a n−1 b)(1 +a n b) = 1 b(a−1)(b+1) , a ∈ (1, ∞), ∞, a = 1, 1 (1−a)(1+b) , a ∈ (0, 1). CAPITOLUL2. S¸IRURIS¸ISERII 34 2.5 Seriicutermenipozitivi 2.68Fie(a n )un¸sirdenumerepozitive. S˘asearatec˘aseria ¸ a n esteconvergent˘a d.d. seria ¸ a n 1+a n este convergent˘a. R: Deoarece a n 1+a n ≤ a n , dac˘a seria ¸ a n este convergent˘a atunci ¸si seria ¸ a n 1+a n este convergent˘a. Dac˘a seria ¸ a n 1+a n este convergent˘a, atunci a n 1+a n → 0, deci a n → 0. Deci pentrun suficient de mare, 0 ≤ a n ≤ 1. Atunci 1 2 ≤ a n ≤ a n 1+a n . Deci seria ¸ a n este convergent˘a. 2.69Seria ∞ ¸ n=1 1 n α , α ∈ R,numit˘aseria lui Riemannsauseria armonic˘a generalizat˘a este: - convergent˘a pentruα > 1; - divergent˘a pentruα ≤ 1. R: ˆ Intr-adev˘ar, dac˘aα ≤0, seriaestedivergent˘adeoarece¸sirul termenilorei nu cunverge la zero. Dac˘aα>0, ¸srul cutermenul general a n = 1 n α estedescresc˘ator¸si deci serialui Riemann are aceea¸si natur˘a cu seria ∞ ¸ n=1 2 n 1 (2 n ) α = ∞ ¸ n=1 1 2 α−1 n , care este o serie geometric˘a cu rat ¸ia q = 2 1−α > 0, convergent˘a dac˘a q = 2 1−α < 1, adic˘a α > 1, ¸si divergent˘a dac˘aq = 2 1−α ≥ 1, adic˘aα ≤ 1. 2.70S˘a se arate c˘a seria cu termenul general a n = n+1 2n−1 n este convergent˘a. R: Avem: lim n→∞ n √ a n =lim n→∞ n n + 1 2n −1 n =lim n→∞ n + 1 2n −1 = 1 2 < 1. 2.71S˘a se arate c˘a seria ∞ ¸ n=0 1 n! este convergent˘ a. R: ˆ Intr-adev˘ar: a n+1 a n = n! (n + 1)! = 1 n + 1 ≤ 1 2 < 1, n ≥ 1. Suma acestei serii estee = 2, 7182818 . . . 2.72S˘asearatec˘aseria ∞ ¸ n=0 2 n (n+1)! esteconvergent˘a¸si ¸saseprecizezenum˘arul de termeni necesar pentru a obt ¸ine suma seriei cu o eroare mai mic˘a de 0, 001. CAPITOLUL2. S¸IRURIS¸ISERII 35 R: Aplic˘am criteriul raportului cu limit˘a lim n→∞ a n+1 a n =lim n→∞ 2 n + 2 = 0 < 1, deci seria este convergent˘a. Deoarece a n+1 a n = 2 n+2 ≤ 1 3 , pentru n ≥ 4, restul de ordinul n r n = s −s n = ∞ ¸ k=n+1 a k ≤ a n 1 3 + 1 3 2 + = 1 2 a n = 1 2 2 n (n + 1)! < 10 −3 , pentrun ≥ 9. 2.73S˘a se stabileasc˘a natura seriei: 1 √ ln 2 + 1 3 √ ln 3 + + 1 n √ ln n + R: Deoarece n √ ln n < n √ n, pentru n ≥ 2, avem c˘a 1 n √ ln n > 1 n √ n . Dar seria ¸ 1 n √ n este divergent˘a. 2.74S˘a se stabileasc˘a natura seriilor: 1) ∞ ¸ n=1 √ 7n n 2 + 3n + 5 . 2) ∞ ¸ n=1 1 n n √ n . 3) ∞ ¸ n=1 1 a n +n , a > −1. R: 1) Seria este convergent˘a. 2) Se aplic˘a criteriul comparat ¸iei cu limit˘a. Se compar˘a cuseria ¸ 1 n . Deoarecelim 1 n √ n =1, seriaestedivergent˘a. 3) Pentrua >1, cum 1 a n +n < 1 a n , seria este convergent˘a. Pentrua = 1 seria dat˘a este seria armonic˘a. Pentru [a[ < 1 se aplic˘a criteriul comparat ¸iei cu limit˘a. Se compar˘a cu seria armonic˘a. Deoarece lim n a n +n = 1, seria este divergent˘a. 2.75S˘a se stabileasc˘a natura seriilor: 1) ∞ ¸ n=1 1 n(1 +a + +a 2 +a n ) . 2) ∞ ¸ n=1 a n n √ n! , a > 0. R: 1) Pentrua ≥ 1, 1 +a + +a 2 +a n ≥ n + 1 > n. Rezult˘a c˘a 1 n(1 +a + +a 2 +a n ) < 1 n 2 ¸si deci seria este convergent˘a. Pentru0 0. R: Se aplic˘a criteriul r˘ad˘acinii cu limit˘a. Pentru a < 1 e seria este convergent˘a, pentru a > 1 e , seria este divergent˘a. Pentrua = 1 e , seria devine: ∞ ¸ n=1 1 e n n + 1 n n 2 . Dine < 1 + 1 n n+1 , obt ¸inem: 1 e n n + 1 n n 2 > 1 1 + 1 n n , de unde lim n→∞ 1 e n n + 1 n n 2 ≥lim n→∞ 1 1 + 1 n n = 1 e > 0. Rezult˘a c˘a seria dat˘a este divergent˘a. 2.79S˘a se stabileasc˘a natura seriilor: 1) ∞ ¸ n=1 n 2 2 n . 2) ∞ ¸ n=1 n 2 arcsin π 2 n . 3) ∞ ¸ n=1 n! n n . 4) ∞ ¸ n=1 ntg π 2 n+1 . R: Se aplic˘a criteriul raportului cu limit˘a. Seriile sunt convergente. CAPITOLUL2. S¸IRURIS¸ISERII 37 2.80S˘a se stabileasc˘a natura seriilor: 1) ∞ ¸ n=1 2712(5n −3) 5913(4n + 1) . 2) ∞ ¸ n=1 135(2n −1) 258(3n −1) . R: Se aplic˘a criteriul raportului cu limit˘a. 1) Serie divergent˘a. 2) Serie convergent˘a. 2.81S˘a se stabileasc˘a natura seriilor: 1) ∞ ¸ n=1 a n √ n! . 2) ∞ ¸ n=1 a ln n , a > 0. R: 1)Seaplic˘acriteriul raportului culimit˘a. Seriaesteconvergent˘a. 2)Criteriul raportului d˘a dubiu. Aplic˘am criteriul lui Raabe-Duhamel. Se obt ¸ineλ = −ln a. Seria este convergent˘a pentrua < 1 e ¸si divergent˘a pentrua > 1 e . Pentrua = 1 e se obt ¸ine seria armonic˘a, deci divergent˘a. 2.82S˘asestudiezenaturaseriei cutermenul general a n definit astfel: a 1 ∈(0, 1), a n+1 = 2 a n −1, pentrun ≥ 1. R: Fief: R →R, definit˘a prinf(x) = 2 x −x −1. Deoarecef (x) = 2 x ln 2 −1 ¸si f (x) = 0 pentrux 0 = −ln(ln 2), avem tabloul de variat ¸ie: x 0 −ln(ln 2) 1 f (x) − − 0 + + f(x) 0 ` m0 Decif(x) < 0 pentru oricex ∈ (0, 1), de unde 2 x < x + 1, ∀x ∈ (0, 1). Ar˘at˘am, prininduct ¸ie, c˘aa n ∈(0, 1). Avemc˘aa 1 ∈(0, 1). Presupunemc˘aa n ∈ (0, 1). Dar a n+1 =2 a n − 1>2 0 − 1=0¸si a n+1 =2 a n − 1 − 1 2 seria este convergent˘a, dac˘a α < − 1 2 seria este divergent˘a, dac˘a α = − 1 2 seria devine: 4 ∞ ¸ n=1 1 2n + 1 care este divergent˘a. CAPITOLUL2. S¸IRURIS¸ISERII 38 2.84S˘a se stabileasc˘a natura seriei: ∞ ¸ n=1 1 2 5 2 9 2 (4n −3) 2 3 2 7 2 11 2 (4n −1) 2 . R: Criteriul raportului ¸si criteriul lui Raabe-Duhamel dau dubiu. Aplic˘am criteriul lui Bertrand: lim n→∞ ¸ n a n a n+1 −1 −1 ln n = −lim n→∞ ln n 16n 2 + 8n + 1 = 0 < 1, deci seria este divergent˘a. 2.85S˘a se stabileasc˘a natura seriilor: 1) ∞ ¸ n=1 (2n)! 4 n (n!) 2 . 2) ∞ ¸ n=1 246(2n) 135(2n −1) 1 n + 2 . 3) ∞ ¸ n=1 lg (n + 1) 2 n(n + 2) . 4) ∞ ¸ n=1 αn +β γn +δ n , α, β, γ, δ> 0. 5) ∞ ¸ n=2 1 nln n . 6) ∞ ¸ n=1 1 n(ln n) ln (ln n) . 2.86S˘a se stabileasc˘a natura seriilor: 1) ∞ ¸ n=1 n!n p (q + 1) (q + 2)(q +n) , p, q ∈ N. 2) ∞ ¸ n=1 n! α(α + 1)(α +n −1) , α > 0. 3) ∞ ¸ n=1 cos (αn)ln n √ n , α ∈ R. 4) ∞ ¸ n=1 (α + 1) (2α + 1)(nα + 1) (β + 1) (2β + 1)(nβ + 1) , α, β> 0. 2.87S˘a se stabileasc˘a natura seriei: ∞ ¸ n=1 1 n! a(a + 1)(a +n −1)b(b + 1)(b +n −1) c(c + 1)(c +n −1) , cua, b ∈ R,c ∈ R` Z, numit˘aseria hipergeometric˘a. CAPITOLUL2. S¸IRURIS¸ISERII 39 R: ˆ Incepˆand de la un rang Ncare depinde de a, b ¸si c, termenii seriei au acela¸si semn ¸si deci putem presupune c˘a seria este cu termeni pozitivi. Avem: a n a n+1 = 1 + 1 +c −a −b n + θ n n 2 , cu θ n = [c −ab −(a +b) (1 +c −a −b)] n 3 −ab (1 +c −a −b) n 2 n(n +a)(n +b) . S¸irul (θ n ) este convergent, deci m˘arginit. Conform criteriului lui Gauss, pentru c > a+b seria este convergent˘a, iar pentruc ≤ a +b seria este divergent˘a. 2.88S˘a se stabileasc˘a natura seriei: ∞ ¸ n=1 α(α + 1)(α +n −1) β (β + 1)(β +n −1) x n , α, β, x > 0. R: Se aplic˘a criteriul raportului cu limit˘a. Pentrux ∈ (0, 1) seria este convergent˘a, pentrux ∈(1, ∞) seriaestedivergent˘a. Pentrux=1seriaesteconvergent˘adac˘a b > a + 1 ¸si divergent˘a dac˘ab ≤ a + 1. 2.89S˘a se stabileasc˘a natura seriei: ∞ ¸ n=1 n!b n (b +a 1 ) (2b +a 2 )(nb +a n ) , undeb > 0, iar (a n ) este un ¸sir de numere reale pozitive, convergent c˘atrea cua = b. 2.6 Seriicutermenioarecare 2.90S˘a se arate c˘a dac˘a ¸ a 2 n este o serie convergent˘a, atunci seria ¸ a n n este absolut convergent˘a. R: Din [a n [ − 1 n 2 ≥0deducemc˘a |a n | n ≤ 1 2 a 2 n + 1 n 2 . Deoarece ¸ a 2 n ¸si ¸ 1 n 2 suntconvergente, conformprimuluicriteriudecomparat ¸ierezult˘ac˘aseria ¸ |a n | n este convergent˘a. 2.91S˘a se arate c˘a seria ¸ sin nx n α este convergent˘a pentruα > 0. R: Pentruα > 0, ¸sirulα n = 1 n α este monoton descresc˘ator la zero, iar s n = n ¸ k=1 sin kx = 1 sin x 2 sin nx 2 sin (n + 1)x 2 , pentrux = 2kπ, cuk num˘ar ˆıntreg. De unde, [s n [ ≤ 1 [ sin x 2 [ , adic˘a (s n ) este m˘arginit. CAPITOLUL2. S¸IRURIS¸ISERII 40 2.92S˘a se studieze natura seriei ∞ ¸ n=1 cos 2nπ 3 √ x 2 +n , x ∈ R. R: Pentru ∀x ∈ R, ¸sirulα n = 1 √ x 2 +n este monoton descresc˘ator la zero, iar s n = n ¸ k=1 cos 2nπ 3 = 1 sin π 3 sin nπ 3 cos (n + 1)π 3 , cu [s n [ ≤ 2 √ 3 , deci m˘arginit. Seria este convergent˘a. 2.93S˘a se arate c˘a seria armonic˘a alternat˘a 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + + 1 2n −1 − 1 2n + este convergent˘a ¸si s˘a se determine suma sa. R: S¸irul ( 1 n ) este monoton descresc˘ator la zero. Dup˘a criteriul lui Leibniz seria este convergent˘a. Pentru calculul sumei folosim identitatea lui Catalan-Botez : 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + + 1 2n −1 − 1 2n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + + 1 2n , care, dac˘a not˘ama n = 1 + 1 2 + 1 3 + + 1 n , revine la: a 2n −2 a n 2 = a 2n −a n . Rezult˘a c˘a: lim n→∞ s n = 1 n 1 1 + 1 n + 1 1 + 2 n + + 1 1 + n n = 1 0 dx 1 +x = ln 2. 2.94S˘a se arate c˘a seria armonic˘a generalizat˘a (sau seria lui Riemann) alternat˘a ∞ ¸ n=1 (−1) n+1 1 n α ˆın care 0 < α ≤ 1 este simplu convergent˘a. R: S¸irul ( 1 n α ) cuα > 0 este monoton descresc˘ator la zero. Dup˘a criteriul lui Leibniz seria este convergent˘a. Pentru α > 1 seria este absolut convergent˘a. ˆ In concluzie, pentru 0 < α ≤ 1 seria lui Riemann alternat˘a este simplu convergent˘a. 2.95S˘a se stabileasc˘a natura seriilor: 1) ∞ ¸ n=1 (−1) n−1 sin 1 n . 2) ∞ ¸ n=1 (−1) n−1 arctg 1 n . R: Serii alternate convergente. CAPITOLUL2. S¸IRURIS¸ISERII 41 2.96S˘a se stabileasc˘a natura seriilor: 1) ∞ ¸ n=1 sin π n 2 + 1 . 2) ∞ ¸ n=1 cos nα n 2 , α ∈ R. R: 1)a n =sin π √ n 2 + 1 −n +nπ =(−1) n sin π √ n 2 + 1 −n ¸si seaplic˘acri- teriul lui Leibniz. 2) Deoarece |cos nα| n 2 < 1 n 2 , seria este absolut convergent˘a. 2.97S˘a se stabileasc˘a natura seriei: ∞ ¸ n=1 1 + 1 2 + + 1 n sinnθ n . 2.98S˘a se studieze convergent ¸a absolut˘a ¸si semiconvergent ¸a seriei: ∞ ¸ n=1 (−1) n+1 2 n sin 2n x n + 1 . R: Pentru studiul absolutei convergent ¸e folosim criteriul r˘ad˘acinii. Avem: lim n→∞ n [a n [ =lim n→∞ 2 sin 2 x n √ n + 1 = 2 sin 2 x. Pentru 2 sin 2 x < 1 seria este absolut convergent˘a ¸si deci convergent˘a. Pentru 2 sin 2 x = 1 obt ¸inemseriaarmonic˘aalternat˘acareestesimpluconvergent˘a. Pentru2 sin 2 x>1, termenul general al seriei nu tinde la 0, deci seria este divergent˘a. 2.99S˘a se efectueze produsul ˆın sens Cauchy al seriilor absolut convergente ∞ ¸ n=0 1 n! , ∞ ¸ n=0 (−1) n 1 n! ¸si s˘a se deduc˘a de aici suma ultimei serii. R: Seria produs ∞ ¸ n=0 c n are termenul general c n = a 0 b n +a 1 b n−1 + +a n−1 b 1 +a n b 0 , adic˘ac 0 = 1, iar, pentrun ≥ 1: c n = 1 (−1) n n! + 1 1! (−1) n−1 (n −1)! + 1 2! (−1) n−2 (n −2)! + − 1 (n −1)! 1 1! + 1 n! 1 = = (−1) n n! ¸ 1 − n 1! + n(n −1) 2! + + (−1) n−1 n 1! + (−1) n = (−1) n n! (1 −1) n = 0. Deci seriaprodul aresumaegal˘acu1. Cum ∞ ¸ n=0 1 n! =e, dup˘ateoremalui Mertens, rezult˘a c˘a ∞ ¸ n=0 (−1) n1 n! = 1 e . CAPITOLUL2. S¸IRURIS¸ISERII 42 2.100S˘a se efectueze produsul ˆın sens Cauchy al seriilor 1 − ∞ ¸ n=1 3 2 n , 1 + ∞ ¸ n=1 3 2 n−1 2 n + 1 2 n+1 . R: Ambele serii sunt divergente deoarece ternenii lor generali nu tind la zero. Seria produs ∞ ¸ n=0 c n are termenul general c n = 1 3 2 n−1 2 n + 1 2 n+1 − 3 2 3 2 n−2 2 n−1 + 1 2 n − − 3 2 n 1 = = 3 2 n−1 ¸ 2 n − 2 n−1 + + 2 + 1 2 n+1 1 2 n + + 1 2 2 − 3 2 = 3 4 n . Se observ˘a c˘a seria produs este convergent˘a,fiind seria geometric˘a cu rat ¸iaq = 3 4 < 1. Rezult˘a de aici c˘a ipotezele teoremei lui Mertens sunt suficiente dar nu ¸si necesare. Capitolul3 Limitedefunct ¸ii 3.1 Limitauneifunct ¸iirealedeovariabil˘areal˘a 3.1S˘a se calculeze: 1) lim x→∞ (x + 1) 2 x 2 + 1 . 2) lim x→∞ 3 √ x 2 + 1 x + 1 . 3) lim x→5 x 2 −7x + 10 x 2 −25 . 4) lim h→0 (x +h) 3 −x 3 h . 5) lim x→0 √ 1 +x −1 3 √ 1 +x −1 . 6) lim x→4 3 − √ 5 +x 1 − √ 5 −x . 3.2S˘a se calculeze: 1) lim x→0 sin 5x sin 2x . 2) lim x→a cos x −cos a x −a . 3) lim x→−2 tg πx x + 2 . 4) lim x→∞ x −1 x + 1 x . 5) lim x→0 (1 + sin x) 1 x . 6) lim x→0 (cos x) 1 x . 3.3S˘a se arate c˘a funct ¸iaf: R` ¦0¦ →R, definit˘a prin f(x) = 1 x cos 1 x nu tinde c˘atre infinit cˆandx →0. R: Pentru ¸sirulx n = 1 π 2 +nπ →0,f(x n ) = 0 ¸si deci tinde la 0. 3.4S˘a se arate c˘a funct ¸iaf: R →R, definit˘a prinf(x) = sin x, nu are limit˘a pentru x →∞. 43 CAPITOLUL3. LIMITEDEFUNCT¸ II 44 3.5S˘a se determineα ∈ R a.ˆı. funct ¸iaf: (0, 2] →R, definit˘a prin f(x) = α 2 −2αxln (ex) +x 2 , x ∈ (0, 1), α + x e , x ∈ [1, 2], s˘a aib˘a limit˘a ˆın punctul x = 1. 3.6S˘a se arate c˘a: 1) lim x→∞ x k e x = 0. 2) lim x→∞ ln x x k = 0, k ∈ N ∗ . 3.7S˘asecercetezedac˘afunct ¸iaf : R →R, definit˘aprinf(x)=[x], arelimit˘a ˆın punctul x = 2. 3.8S˘a se calculeze: 1) lim x→∞ x 2 −2x + 3 x 2 −3x + 2 x+1 . 2) lim x→0 1 + 2 sin 2 x 3 x 2 . 3) lim x→0 ln (1 + arcsin 2x) sin 3x . 4) lim x→0 e sin 2x −e sin x sin 2x −sin x . 5) lim x→3 √ x 2 −2x + 6 − √ x 2 + 2x −6 x 2 −4x + 3 . 6) lim x→2 3 √ x 3 −5x + 3 − √ x 2 + 3x −9 x 2 +x −6 . 7) lim x→5 √ x + 4 − 3 √ x + 22 4 √ x + 11 −2 . 8) lim x→0 3 √ 1 +x 2 − 4 √ 1 −2x x +x 2 . 9) lim x→0 arcsin x −arctg x x 3 . 10) lim x1 arcsin x − π 2 2 1 −x 2 . 11) lim x→0 1 x 2 −ctg 2 x . 12) lim x→∞ x −x 2 ln x + 1 x . 13) lim x→0 1 −cos x √ cos 2x 3 √ cos 3x x 2 . 14) lim x→0 [1 + ln (1 +x) + + ln (1 +nx)] 1 x . 15) lim x→0 p α 1 x 1 +p α 2 x 2 + +p α n x n n 1 x , p i > 0, α i ∈ R. 16) lim x→0 a sin x +b tg x 2 1 x , a, b > 0. R: 1)e. 2)e 6 . 3) 2 3 . 4) 1. 5) − 1 3 . 6) − 7 30 . 7) 112 27 . 8) 1 2 . 9) 1 2 . 10) 1. 11) 2 3 . 12) Se iax = 1 y ,y →0, limita este 1 2 . 13) 3. 14)e n(n+1) 2 . 15) n p α 1 1 p α 2 2 p α n n . 16) √ ab. 3.9S˘a se determine parametrul real α a.ˆı. lim x→∞ x 2 +x + 1 + 3 x 3 +x 2 +x + 1 −ax , s˘a fie finit˘a ¸si nenul˘a. CAPITOLUL3. LIMITEDEFUNCT¸ II 45 R: Adun˘am ¸si sc˘ademx. Se obt ¸inea = 2 ¸si limita egal˘a cu 5 6 . 3.10S˘a se determinea, b, c ∈ R a.ˆı. lim x→∞ 5x 4 + 7x 3 −8x 2 −4x −ax 2 −bx −c = 0. R:a = √ 5,b = 7 2 √ 5 ,c = − 209 40 √ 5 . 3.11S˘a se calculeze: 1) lim x→0 cos (xe x ) −cos (xe −x ) x 3 . 2) lim x→0 1 −cos xcos 2xcos nx x 2 , n ∈ N ∗ . 3) lim x→0 sin x n −sin n x x n+2 , n ≥ 2. 4) lim x→0 tg x n −ln n (1 +x) x n+1 . 5) lim x→0 ¸ (1 +x) 1 x e ¸1 x . R: 1)Set ¸ineseamac˘acos α − cos β=2 sin α+β 2 sin β−α 2 ¸si seobt ¸inelimita2. 2) Not˘am a n =lim x→0 1 −cos xcos 2xcos nx x 2 . Avem c˘a a 1 = 1 2 ¸si a n = a n−1 + n 2 2 . Se obt ¸ine a n = n(n+1)(2n+1) 12 . 3) Funct ¸ia se mai scrie sin x n −sin n x x n+2 = sinx n −x n x n+2 + x n −sin n x x n+2 . Se obt ¸ine limita n 6 . 4) Funct ¸ia se mai scrie tg x n −ln n (1 +x) x n+1 = tg x n −x n x n+1 + x n −ln n (1 +x) x n+1 . Se obt ¸ine limita n 2 . 5) 1 √ e . 3.12S˘a se calculeze: 1) lim x→ π 4 sin x 3 √ cos x −cos x 3 √ sin x ln (tg x −cos 2x) . 2) lim x→∞ x 2 e 1 x −e 1 x+1 . R: 1) 3 √ 2 6 . 2) Putem scrie x 2 e 1 x −e 1 x+1 = x 2 x(x + 1) e 1 x+1 e 1 x(x+1) −1 1 x(x+1) . CAPITOLUL3. LIMITEDEFUNCT¸ II 46 3.2 Limitauneifunct ¸iideovariabil˘avectorial˘a 3.13S˘aseg˘aseasc˘ a¸si s˘asereprezintegraficmult ¸imilededefinit ¸iealeurm˘atoarelor funct ¸ii de dou˘a variabile: 1) f (x, y) = 1 −x 2 −y 2 . 2) f (x, y) = 1 + −(x −y) 2 . 3) f (x, y) = ln (x +y) . 4) f (x, y) = x + arccos y. 5) f (x, y) = 1 −x 2 + 1 −y 2 . 6) f (x, y) = arcsin y x . 7) f (x, y) = y sin x. 8) f (x, y) = ln x 2 +y . 9) f (x, y) = arctg x −y 1 +x 2 +y 2 . 10) f (x, y) = 1 y − √ x . 11) f (x, y) = 1 x −y + 1 y . 12) f (x, y) = sin (x 2 +y 2 ). 3.14S˘a se g˘aseasc˘a mult ¸imile de definit ¸ie ale urm˘atoarelor funct ¸ii de trei variabile: 1) f (x, y, z) = √ x + √ y + √ z. 2) f (x, y, z) = arcsin x + arcsin y + arcsin z. 3) f (x, y, z) = ln (xyz) . 4) f (x, y, z) = (xy) z . 5) f (x, y, z) = z xy . 6) f (x, y, z) = 9 −x 2 −y 2 −z 2 . 7) f (x, y, z) = ln −x 2 −y 2 +z 2 −1 . 3.15Se d˘a funct ¸iaf: E →R,E ⊂ R 2 . S˘a se arate c˘a: lim (x,y)→(x 0 ,y 0 ) f(x, y) = d.d. pentru oriceε > 0 exist˘a unδ (ε) > 0, a.ˆı. pentru orice (x, y) ∈ Epentru care [x −x 0 [ < δ (ε) , [y −y 0 [ < δ (ε) , [f(x, y) −[ < ε. R: Afirmat ¸ia rezult˘a din dubla inegalitate: max ([x −x 0 [ , [y −y 0 [) ≤ |x −y| ≤ ([x −x 0 [ +[y −y 0 [) . 3.16Folosind definit ¸ia, s˘a se demonstreze c˘a: 1) lim (x,y)→(2,4) (2x + 3y) = 16. 2) lim (x,y)→(2,−3) (4x + 2y) = 2. 3) lim (x,y)→(5,∞) xy y + 1 = 1. 4) lim (x,y)→(2,2) x y = 1. 5) lim (x,y,z)→(−1,2,0) (2x + 3y −2z) = 4. CAPITOLUL3. LIMITEDEFUNCT¸ II 47 R: 1) Vom ar˘ata c˘a pentru orice ε > 0 exist˘a un δ (ε) > 0, a.ˆı. pentru orice (x, y) ∈ R 2 pentru care [x −2[ < δ (ε) , [y −4[ < δ (ε) , [(2x + 3y) −16[ < ε. ˆ Intr-adev˘ar, [(2x + 3y) −16[ = [2 (x −2) + 3 (y −4)[ ≤ 2 [x −2[ + 3 [y −3[ . Fieε > 0. Lu˘amδ (ε) = ε 6 . Atunci pentru [x −2[ < δ (ε) ¸si [y −4[ < δ (ε) [(2x + 2y) −16[ < 2 ε 6 + 3 ε 6 = 5ε 6 < ε. 2) Este suficient s˘a lu˘amδ (ε) = ε 7 . 3)δ (ε) = ε 7 . 3.17S˘a se arate c˘a funct ¸ia f (x, y) = x +y x −y , definit˘a pentrux = y, nu are limit˘a ˆın origine. R: Vom ar˘ata c˘a pentru ¸siruri diferite convergente la 0, obt ¸inem limite diferite. Fie x n = 1 n , 2 n . Observ˘am c˘a punctele x n sunt situate pe dreapta y = 2x ¸si limf(x n ) = −3. Fie apoi x n = 1 n , − 1 n . Punctele x n sunt situate pe dreaptay = −x ¸si limf(x n ) = 0. 3.18S˘a se arate c˘a funct ¸ia f (x, y) = y 2 + 2x y 2 −2x , definit˘a pentruy 2 = 2x, nu are limit˘a ˆın origine. R: Vom ar˘ata c˘a pentru ¸siruri diferite convergente la 0, obt ¸inem limite diferite. Fie x n = 1 n , 1 √ n . Observ˘am c˘a punctele x n sunt situate pe parabola y 2 = x ¸si limf(x n ) = −3. Fie apoi x n = 1 n , 2 √ n . Punctele x n sunt situate pe parabola y 2 = 4x ¸si limf(x n ) = 3. 3.19S˘a se demonstreze c˘a lim (x,y)→(0,0) x 2 +y 2 [x[ +[y[ = 0. R: Se t ¸ine seama de inegalit˘at ¸ile: 0 < x 2 +y 2 [x[ +[y[ < x 2 +y 2 + 2 [x[ [y[ [x[ +[y[ < [x[ +[y[ . 3.20S˘a se arate c˘a funct ¸ia f (x, y) = x 2 y x 4 +y 2 , definit˘apentrux = 0 ¸si y = 0,arelimiteleiterate ˆınorigineegalecuzero, ˆıns˘anuare limit˘a ˆın origine. CAPITOLUL3. LIMITEDEFUNCT¸ II 48 R: ˆ In adev˘ar, lim y→0 lim x→0 f (x, y) = 0, lim x→0 lim y→0 f (x, y) = 0. ˆ Ins˘a pe parabolax 2 = my, avem lim (x,y)→(0,0) f (x, y) =lim y→0 my 2 (m 2 + 1) y 2 = m 1 +m 2 . Pentru diferite valori ale luim se obt ¸in valori diferite ale limitei, decifnu are limit˘a ˆın origine. 3.21S˘a se cerceteze existent ¸a limitelor iterate ¸si a limitei ˆın origine pentru urm˘atoarele funct ¸ii: 1) f (x, y) = xy x 2 +y 2 . 2) f (x, y) = xsin 1 y +y cos 1 x . 3) f (x, y) = 2x −3y +x 2 +y 2 x +y . 4) f (x, y) = 2xy 2 2x 2 + 5y 4 . 5) f (x, y) = y 2 −2x y 2 + 2x . 6) f (x, y) = x −y + 2x 2 +y 2 x +y . 7) f (x, y) = xcos 1 y . 8) f (x, y) = (x +y) sin 1 x sin 1 y , 9) f (x, y) = sin x 3 +y 3 x 2 +y 2 , 10) f (x, y) = (x +y) tg x 2 +y 2 x 2 +y 2 . 11) f (x, y, z) = xyz x 3 +y 3 +z 3 . 12) f (x, y) = x 2 +y 2 x 2 +y 2 + 1 −1 . 13) f (x, y) = 1 +x 2 y 2 − 1 x 2 +y 2 . 14) f (x, y) = 1 −cos x 2 +y 2 x 2 y 2 (x 2 +y 2 ) . R: 1) Exist˘a limitele iterate ¸si sunt egale cu 0, dar nu exist˘a limta ˆın origine. 2) Nu exist˘a limitele iterate,deoarece sin 1 y nu are limit˘a pentruy → 0 ¸si cos 1 x nu are limit˘a pentrux →0. Funct ¸ia are ˆıns˘a limit˘a ˆın origine, deoarece 0 ≤ [f (x, y)[ ≤ [x[ sin 1 y +[y[ cos 1 x ≤ [x[ +[y[ →0. 3) Exist˘a limitele iterate: lim y→0 lim x→0 f (x, y) = −3, lim x→0 lim y→0 f (x, y) = 2. Dac˘a limitele iterate exist˘a, sunt finite ¸si distincte nu exist˘a limita ˆın punct. 8) Se t ¸ine seama c˘a −[x +y[ ≤ [f (x, y)[ ≤ [x +y[ . CAPITOLUL3. LIMITEDEFUNCT¸ II 49 9) Funct ¸ia se mai scrie f (x, y) = sin x 3 +y 3 x 3 +y 3 x 3 +y 3 x 2 +y 2 , iar x 3 +y 3 x 2 +y 2 ≤ [x[ 3 +[y[ 3 x 2 +y 2 < 2 ([x[ +[y[) . 3.22S˘a se calculeze lim (x,y)→(1,0) ln (x +e y ) (x −1) 2 +y 2 . R: Fie (x, y) ˆın interiorul discului cu centrul ˆın punctul (1, 0) ¸si de raz˘ar. Obt ¸inem x = 1 +r cos θ,y = r sin θ,θ ∈ [0, 2π). Deci lim (x,y)→(1,0) ln (x +e y ) (x −1) 2 +y 2 = lim r→0 ln 1 +r cos θ +e r sin θ r = ∞. 3.23S˘a se calculeze 1) lim (x,y)→(0,0) xy √ xy + 1 −1 . 2) lim (x,y)→(0,2) sin xy x . R: 1) Suntem ˆın cazul de except ¸ie 0 0 . Rat ¸ionaliz˘am numitorul. Avem lim (x,y)→(0,0) xy √ xy + 1 −1 = lim (x,y)→(0,0) xy + 1 + 1 = 2. 2) Avem lim (x,y)→(0,2) sin xy x = lim (x,y)→(0,2) sin xy xy y = 2. 3.24S˘a se calculeze 1) lim (x,y)→(0,0) x 2 +y 2 sin 1 xy . 2) lim (x,y)→(0,0) x x +y . 3) lim (x,y)→(∞,k) 1 + y x x . 4) lim (x,y)→(∞,∞) x +y x 2 +y 2 . R: 1) Deoarece x 2 +y 2 sin 1 xy ≤x 2 + y 2 , limita este 0. 2) Funct ¸ia nu are limit˘a. De exemplu, pe dreaptay = mx se obt ¸ine o limit˘a ce depinde dem. 3) Limita estee k . 4) Putem presupunex +y> 1. Limita este 0. Capitolul4 Funct ¸iicontinue 4.1 Continuitateafunct ¸iilorrealedeovariabil˘areal˘a 4.1S˘a se determineαreal a.ˆı. urm˘atoarele funct ¸ii s˘a fie continue pe mult ¸imile lor de definit ¸ie: 1)f: [1, 3] →R, definit˘a prin f(x) = √ α 2 −2αx +x 2 , x ∈ [1, 2), αx + 3, x ∈ [2, 3]. 2)f: [0, 2] →R, definit˘a prin f(x) = 6 sin α(x−1) x−1 , x ∈ [0, 1), −α + 5x, x ∈ [1, 2]. R: 1)α = − 1 3 . 2)α = −1. 4.2S˘a se determineα real a.ˆı. urm˘atoarele funct ¸ii s˘a fie continue ˆın punctele indicate: 1)f: R →R, definit˘a prin f(x) = α(1−cos x) x 2 , x = 0, α 2 2 , x = 0, , x 0 = 0. 2)f: [1, ∞) →R, definit˘a prin f(x) = α·arctg (x−1) x 2 −1 , x = 1, α 2 , x = 1, , x 0 = 1. 3)f: R →R, definit˘a prin f(x) = (1 +αx) 1 x , x > 0, x +e, x ≤ 0, , x 0 = 0. 50 CAPITOLUL4. FUNCT¸ IICONTINUE 51 4)f: R →R, definit˘a prin f(x) = 2 x+2 −16 4 x −16 , x = 2, α, x = 2, , x 0 = 2. 5)f: [0, π] →R, definit˘a prin f(x) = e 3x , x ∈ [0, 1], αsin(x−1) x 2 −5x+4 , x ∈ (1, π], , x 0 = 1. 6)f: R →R, definit˘a prin f(x) = (x +e x ) 1 x , x < 0, e 2 , x = 0, (sin x + cos x) α x , x > 0, , x 0 = 0. R: 1)α ∈ ¦0, 1¦. 2)α ∈ ¸ 0, 1 2 ¸ . 3)α = 1. 4)α = 1 2 . 5)α = −3e 3 . 6)α = 2. 4.3S˘a se determine punctele de discontinuitate ale funct ¸iilor: 1) f(x) = √ x − √ x, x > 0. 2) f(x) = x ¸ 1 x , x = 0, f(0) = 1. 3) f(x) = xsin 1 x , x = 0, f(0) = 0. 4) f(x) = x p arctg 1 x , x = 0, f(0) = 0, p > 0. R: 1) Discontinu˘a ˆınx = n 2 ,n ∈ N. 2) Discontinu˘a ˆınx = 1 k , cuk ˆıntreg nenul. 3) ¸si 4) Funct ¸ii continue pe R. 4.4S˘a se studieze continuitatea funct ¸ieif: R →Rdefinit˘a prin: f(x) = x 3 −x 2 , x ∈ Q, − 1 4 x, x ∈ R` Q. R: Dac˘ax 0 ∈Resteunpunctdecontinuitatepentruf, atunci pentruorice¸sir x n ∈Q, x n →x 0 ¸siorice ¸sirx n ∈R` Q, x n →x 0 , avem: x 3 0 − x 2 0 = − 1 4 x 0 , deunde rezult˘a c˘ax 0 ∈ ¸ 0, 1 2 ¸ . 4.5Fie funct ¸iaf: [0, 1] →R, definit˘a prin f(x) = √ x, x ∈ Q, 1 −x, x ∈ R` Q. S˘asestudiezecontinuitatea, s˘asearatec˘af ([0, 1]) esteuninterval ¸si c˘af nuare proprietatea lui Darboux. R:Punctul x 0 ∈[0, 1]esteunpunctdecontinuitatepentrufd.d. √ x 0 =1 − x 0 , adic˘ax 0 = 1− √ 5 2 estesingurul punctdecontinuitateal lui f. Pentruoricex ∈[0, 1], √ x, 1−x ∈ [0, 1], deci f ([0, 1]) ⊂ [0, 1]. Fie y ∈ [0, 1]. Dac˘a y ∈ Q, exist˘a x = y 2 (x ∈ Q) CAPITOLUL4. FUNCT¸ IICONTINUE 52 a.ˆı. f(x) =y, iar dac˘ay ∈ R` Q, exist˘ax = 1 − y(x ∈ R` Q) a.ˆı. f(x) =y. A¸sadar, [0, 1] ⊂f ([0, 1]). Avem: f ([0, 1]) = [0, 1]. Pentruaar˘atac˘afnuareproprietatealui Darboux, fie intervalul 1 9 , 1 4 ⊂ [0, 1], cuf 1 9 = 1 3 ,f 1 4 = 1 2 . Consider˘amλ = 1 4 √ 17 ∈ 1 3 , 1 2 ¸siar˘at˘amc˘aecuat ¸iaf(x)=λnuaresolut ¸ii ˆınintervalul 1 9 , 1 4 . Dac˘ax ∈Q, √ x = 1 4 √ 17 , d˘ax = 1 √ 17 / ∈ Q, dac˘ax ∈ R` Q, 1 − x = 1 4 √ 17 , d˘ax = 1 − 1 4 √ 17 / ∈ 1 9 , 1 4 , deoarece 1 − 1 4 √ 17 > 1 4 . 4.2 Continuitateauniform˘aafunct ¸iilordeovariabil˘a 4.6S˘a se arate c˘a funct ¸iaf(x) = x 3 ,x ∈ [1, 3] este uniform continu˘a pe [1, 3]. R: ˆ Intr-adev˘ar, [f(x) −f(x )[ = [x −x [(x 2 +xx +x 2 ) < 27 [x −x [ < ε, pentru oricex, x ∈ [1, 3] pentru care [x −x [ < δ(ε), cuδ(ε) = ε 27 . 4.7S˘a se arate c˘a funct ¸iaf: (0, ∞) →R, definit˘a prin f(x) = x x + 1 +x, este uniform continu˘a pe (0, ∞). R: Fiex, x ∈ (0, ∞). Avem [f(x) −f (x )[ = [x −x [ 1 + 1 (1 +x) (1 +x ) < 2 [x −x [ < ε, dac˘a [x −x [ < δ (ε) = ε 2 . 4.8S˘a se arate c˘a funct ¸iaf: (−1, ∞) →R, definit˘a prin f(x) = x x + 1 +x, nu este uniform continu˘a pe (−1, ∞). R: ˆ Intr-adev˘ar, s˘a consider˘am ¸sirurilex n = − n+1 n+2 ,x n = − n n+1 . Avem [x n −x n [ = 1 (n + 1) (n + 2) . Punctelex n ¸six n sunt oricˆat de apropiate pentrun suficient de mare, ˆıns˘a [f (x n ) −f (x n )[ = 1 + 1 (n + 1) (n + 2) > 1, deci funct ¸ia nu este uniform continu˘a. CAPITOLUL4. FUNCT¸ IICONTINUE 53 4.9S˘a se arate c˘a funct ¸iaf: [a, e] →R,a > 0, definit˘a prinf (x) = ln x, este uniform continu˘ a pe [a, e]. R: Funct ¸iafestecontinu˘apeintervalul [a, e] m˘arginit¸si ˆınchis, deci esteuniform continu˘a pe acest interval. 4.10S˘a se arate c˘a funct ¸iaf: (0, 1) → R,definit˘a prinf (x) = ln x,este nu uniform continu˘ a pe (0, 1). R: Fiex n = 1 n ,x n = 1 n 2 +1 . Avem [x n −x n [ < δ, dar [f (x n ) −f (x n )[ = ln n 2 + 1 n →∞. 4.11S˘asestudiezeuniformacontinuitateafunct ¸iei f: R →R,definit˘aprinf (x) = xsin 2 x 2 . R: Fie x n = (4n + 1) π 2 , x n = (4n + 3) π 2 . Avem [x n −x n [ = π (4n + 1) π 2 + (4n + 3) π 2 →0 ¸si [f (x n ) −f (x n )[ = (4n + 1) π 2 − (4n + 3) π 2 →0. Dar, pentrux n = √ 2nπ, avem [f (x n ) −f (x n )[ = (4n + 1) π 2 − √ 2nπ0 →∞. A¸sadar,fnu este uniform continu˘a pe R. 4.12S˘a se studieze uniforma continuitate a urm˘atoarelor funct ¸ii: 1) f: (0, 1) →R, f(x) = ln x. 2) f: [a, e] →R, f (x) = ln x, a > 0. 3) f: 0, 1 π →R, f (x) = sin 1 x . 4) f: R →[−1, 1] , f (x) = sin x 2 . 5) f: [0, 1] →R, f (x) = 1 x 2 −x −2 . 6) f: R →[−1, 1] , f (x) = cos x. 7) f: (0, 1) →R + , f (x) = 1 x . 8) f: [0, ∞) →R, f (x) = x 2 . R: 1) Nu. 2) Da. 3) Nu. 4) Nu. 5) Da. 6) Da, se t ¸ine seama c˘a [cos x −cos x [ ≤ 2 sin x −x 2 ≤ 2 [x −x [ . 7) Nu, este suficient s˘a lu˘amx n = 1 n ¸six n = 1 n+1 . 8) Nu, este suficient s˘a lu˘amx n = n ¸six n = n + 1 n . CAPITOLUL4. FUNCT¸ IICONTINUE 54 4.3 Continuitateafunct ¸iilordeovariabil˘avectorial˘a 4.13S˘a se arate c˘a funct ¸ia f (x, y) = x 2 y 3 x 2 +y 2 , x 2 +y 2 = 0, 0, x 2 +y 2 = 0, este continu˘a pe R 2 . R: Funct ¸ia este continu˘a ˆın orice punct ˆın carex 2 + y 2 = 0, adic˘a ˆın orice punct cu except ¸ia originii. R˘amˆane de verificat numai continuitatea ˆın origine, ceea ce revine la a ar˘ata c˘a funct ¸ia are limit˘a ˆın origine ¸si aceasta este egal˘a cu 0. Avem, ˆıns˘a: x 2 y 3 x 2 +y 2 < [x[ [y[ x 2 +y 2 [x[y 2 ≤ 1 2 [x[y 2 , deoarecex 2 +y 2 ≥ 2 [x[ [y[. Deci limita funct ¸iei este 0. 4.14S˘a se arate c˘a funct ¸ia f (x, y) = sin(x 3 +y 3 ) x 2 +y 2 , x 2 +y 2 = 0, 0, x 2 +y 2 = 0, este continu˘a pe R 2 . R: Funct ¸ia este continu˘a ˆın orice punct ˆın carex 2 + y 2 = 0, adic˘a ˆın orice punct cu except ¸ia originii. R˘amˆane de verificat numai continuitatea ˆın origine, ceea ce revine la a ar˘ata c˘a funct ¸ia are limit˘a ˆın origine ¸si aceasta este egal˘a cu 0. Putem scrie: sin x 3 +y 3 x 2 +y 2 = sin x 3 +y 3 x 3 +y 3 x 3 +y 3 x 2 +y 2 . ˆ Ins˘a, pentru (x, y) →(0, 0) avem lim sin(x 3 +y 3 ) x 3 +y 3 = 1 ¸si x 3 +y 3 x 2 +y 2 ≤ [x[ 3 +[y[ 3 x 2 +y 2 < [x[ +[y[ . 4.15S˘a se cerceteze continuitatea funct ¸iei f (x, y) = 1 −x 2 −y 2 , x 2 +y 2 ≤ 1, 0, x 2 +y 2 > 1. R: Punemr = x 2 +y 2 . Funct ¸ia este continu˘a pe R 2 . 4.16S˘a se arate c˘a funct ¸ia f (x, y) = 2xy x 2 +y 2 , x 2 +y 2 = 0, 0, x 2 +y 2 = 0, este continu˘a part ¸ial ˆın raport cux ¸siy, dar nu este continu˘a ˆın origine. CAPITOLUL4. FUNCT¸ IICONTINUE 55 R: Fie(x 0 , y 0 ) ∈R 2 . Funct ¸iilef (x, y 0 )¸si f (x 0 , y)suntcontinue ˆınoricepunct. Funct ¸iaf (x, y) nu are limit˘a ˆın origine. 4.17S˘a se cerceteze continuitatea urm˘atoarelor funct ¸ii: 1) f (x, y) = 1−cos(x 3 +y 3 ) x 2 +y 2 , x 2 +y 2 = 0, 0, x 2 +y 2 = 0. 2) f (x, y) = (1 +xy) 1 √ x+ √ y , x > 0, y> 0, 1, x = 0 sau y = 0. R:1)Set ¸ineseamac˘a1 − cos x 3 +y 3 =2 sin 2x 3 +y 3 2 . Funct ¸iaestecontinu˘a. 2) Putem scrie (1 +xy) 1 √ x+ √ y = (1 +xy) 1 xy xy √ x+ √ y ¸si xy √ x+ √ y ≤ √ xy √ x + √ y . Funct ¸ia este continu˘a. 4.18S˘a se discute dup˘a valorile parametruluiα continuitatea urm˘atoarelor funct ¸ii: 1) f (x, y) = 1−cos √ x 2 +y 2 tg (x 2 +y 2 ) , 0 < x 2 +y 2 < π 2 , α, (x, y) = (0, 0) . 2) f (x, y, z) = x 2 y 2 z 2 x 6 +y 6 +z 6 , (x, y, z) = (0, 0, 0) , α, (x, y, z) = (0, 0, 0) . 3) f (x, y, z) = 3x+2y−z+x 2 +yz x+y+z , (x, y, z) = (0, 0, 0) , α, (x, y, z) = (0, 0, 0) . 4) f (x, y, z) = (x+y+z)tg (x 2 +y 2 +z 2 ) √ x 2 +y 2 +z 2 , (x, y, z) = (0, 0, 0) , α, (x, y, z) = (0, 0, 0) . R: 1)Not˘amr= x 2 +y 2 . Pentrur →0avemlim 1−cos √ r tg r = 1 2 . Funct ¸iaeste continu˘a pe 0, π 2 pentruα = 1 2 . 2) Fiex = t,y = mt,z = nt,t ∈ R o dreapt˘a prin origine. Deoarece lim t→0 f (t, mt, nt) = 2 m 2 n 2 6 +m 6 +n 6 , deci depinde de direct ¸ie, rezult˘a c˘afnu are limit˘a ˆın origine. Funct ¸ia este continu˘a pe R 3 ` ¦(0, 0, 0)¦. Capitolul5 Derivate¸sidiferent ¸iale 5.1 Derivata¸sidiferent ¸ialafunct ¸iilordeovariabil˘a 5.1Utilizˆand definit ¸ia, s˘a se calculeze derivatele urm˘atoarelor funct ¸ii, ˆın punctele spe- cificate: 1) f (x) = √ x + 2, x 0 = 7. 2) f (x) = ln x 2 + 5x , x 0 = 1. 3) f (x) = sin 3x 2 , x 0 = √ π. 4) f (x) = arcsin (x −1) , x 0 = 1. 5) f (x) = e 3x , x 0 = 1. 6) f (x) = tg x, x 0 = π 4 . 5.2S˘a se studieze derivabilitatea urm˘atoarelor funct ¸ii, ˆın punctele specificate: 1)f: − 1 2 , ∞ →R, f (x) = ln (1 + 2x) , x ∈ (− 1 2 , 0], 2x, x ∈ (0, ∞) , x 0 = 0. 2)f: (0, ∞) →R, f (x) = √ x 2 + 5x + 2, x ∈ (0, 2], 9 8 x + 7 4 , x ∈ (0, ∞) , x 0 = 2. R: 1)f (0) = 2. 2)f (2) = 9 8 . 5.3S˘a se calculeze derivatele urm˘atoarelor funct ¸ii: 1) f (x) = x 4 + 5x 3 −8. 2) f (x) = x 2 + √ x − 3 √ x. 3) f (x) = xcos x. 4) f (x) = x−1 x 2 +1 . 5) f (x) = sin x 2+cos x . 6) f (x) = ln x 2 x+1 . 7) f (x) = 3 1−x 2 1+x 2 . 8) f (x) = e x 2 cos x . R: Se obt ¸ine: 1)f (x) = 4x 3 + 15x 2 . 2)f (x) = 2x + 1 2 √ x − 1 3( 3 √ x) 2 . 3)f (x) = cos x −xsin x. 4)f (x) = − x 2 −2x−1 (x 2 +1) 2 . 5)f (x) = 2 cos x+1 (2+cos x) 2 . 6)f (x) = 1 x x+2 x+1 . 7)f (x) = − 4 3 x (1+x 2 ) 2 3 1+x 2 1−x 2 2 . 8)f (x) = 2xcos x −x 2 sin x e x 2 cos x . 56 CAPITOLUL5. DERIVATES¸IDIFERENT¸ IALE 57 5.4S˘a se calculeze derivatele urm˘atoarelor funct ¸ii: 1) f (x) = ln √ 2 sin x + 1 + √ 2 sin x −1 . 2) f (x) = sin x cos 2 x + ln 1+sin x cos x . 3) f (x) = x 2 √ x 2 +k + k 2 ln x + √ x 2 +k . 4) f (x) = 5 sh 3 x 15 + 3 sh 5 x 15 . 5) f (x) = e x arctg e x −ln √ 1 +e 2x . 6) f (x) = x x e x (xln x −x −1) . 7) f (x) = x 2 √ a 2 −x 2 + a 2 2 arcsin x a . 8) f (x) = log e 2 x n + √ x 2n + 1 . R: Se obt ¸ine: 1)f (x) = cos x √ (4 sin 2 x−1) . 2)f (x) = 2 cos 3 x . 3)f (x) = √ x 2 +k. 4)f (x) = sh 2 x 15 ch 3 x 15 . 5)f (x) = e x arctg e x . 6)f (x) = x x+1 e −x (ln x) (ln x −1). 7)f (x) = √ a 2 −x 2 . 8)f (x) = nx n−1 2 √ x 2n +1 . 5.5S˘a se calculeze derivatele urm˘atoarelor funct ¸ii: 1) f (x) = ln 1+ √ sin x 1− √ sin x + 2 arctg √ sin x . 2) f (x) = 3 4 ln x 2 +1 x 2 −1 + 1 4 ln x−1 x+1 + 1 2 arctg x. 3) f (x) = 1 3 ln (1 +x) − 1 6 ln x 2 −x + 1 + 1 √ 3 arctg 2x−1 √ 3 . 4) f (x) = 3b 2 arctg x b−x −(3b + 2x) √ bx −x 2 . R: 1)f (x) = 2 cos x √ sin x . 2)f (x) = x(x−3) x 4 −1 . 3)f (x) = 1 x 3 +1 . 4)f (x) = 4x x b−x . 5.6S˘a se calculeze derivatele urm˘atoarelor funct ¸ii: 1) f (x) = − arcsin x x + ln x 1+ √ 1−x 2 . 2) f (x) = ln √ x 4 +x 2 + 1 + 2 √ 3 arctg 2x 2 +1 √ 3 . 3) f (x) = x 4(x 2 +1) 2 + 3x 8(x 2 +1) + 3 8 arctg x. 4) f (x) = 5 2 (2x 2 + 8x + 1) − 13 √ 2 ln √ 2 (x + 2) + (2x 2 + 8x + 1) . R: Se obt ¸ine: 1)f (x) = arcsin x x 2 . 2)f (x) = 2x 3 +3x x 4 +x 2 +1 . 3)f (x) = 1 (x 2 +1) 3 . 4)f (x) = 5x−3 √ 2x 2 +8x+1 . 5.7S˘asearatec˘aderivatauneifunct ¸iipareesteofunct ¸ieimpar˘a, iarderivataunei funct ¸ii impare este o funct ¸ie par˘a. 5.8S˘a se arate c˘a derivata unei funct ¸ii periodice este o funct ¸ie periodic˘ a. 5.9S˘a se arate c˘a funct ¸iay = xe −x satisface relat ¸iaxy = (1 −x) y. 5.10S˘a se arate c˘a funct ¸iay = xe − x 2 2 satisface relat ¸iaxy = 1 −x 2 y. 5.11S˘a se arate c˘a funct ¸iay = 1 1+x+ln x satisface relat ¸iaxy = y (y ln x −1). CAPITOLUL5. DERIVATES¸IDIFERENT¸ IALE 58 5.12S˘a se calculeze derivatele de ordinul doi ale urm˘atoarelor funct ¸ii: 1) f (x) = x 8 + 7x 6 −5x + 4. 2) f (x) = (arcsin x) 2 . 3) f (x) = e x 2 . 4) f (x) = ln x + √ a 2 +x 2 . 5) f (x) = 1 +x 2 arctg x. 6) f (x) = sin 2 x. R: Se obt ¸ine: 1)f (x) = 56x 6 + 210x 4 . 2)f (x) = 2 1−x 2 + 2x √ (1−x 2 ) 3 arcsin x. 3)f (x) = 2e x 2 + 4x 2 e x 2 . 4)f (x) = − x √ (a 2 +x 2 ) 3 . 5)f (x) = 2 arctg x + 2 x x 2 +1 . 6)f (x) = 2 cos 2x. 5.13S˘a se calculeze derivatele de ordinul n ale urm˘atoarelor funct ¸ii: 1) f (x) = e ax . 2) f (x) = 1 x−a . 3) f (x) = 1 x 2 −a 2 . 4) f (x) = cos x. 5) f (x) = sin x. 6) f (x) = ln 2x x 2 −1 . 7) f (x) = 2 x . 8) f (x) = 1 x 2 −3x+2 . 9) f (x) = ln (ax +b) . 10) f (x) = e ax e bx . 11) f (x) = 1 ax+b . 12) f (x) = (1 +x) α . R: 3) Se t ¸ine seama de identitatea: 1 x 2 −a 2 = 1 2a 1 x−a − 1 x+a . 4) f (n) (x) = cos x + nπ 2 . 5) f (n) (x) = sin x + nπ 2 . 6). f (x) = − x 2 +1 x(x 2 +1) ¸si se scrie fract ¸ia ca sum˘a de fract ¸ii simple. 7)f (n) (x) = 2 x ln n 2. 8)f (x) = 1 x−2 − 1 x−1 , se obt ¸inef (n) (x) = (−1) n n! 1 (x−2) n+1 − 1 (x−1) n+1 . 9)f (n) (x) = (−1) n−1(n−1)!a n (ax+b) n . 10)f (n) (x) = e ax e bx (a +b) n . 11)f (n) (x) = (−1) n n!a n (ax+b) n+1 . 12) Avem: f (n) (x) = α(α −1)(α −n + 1) (1 +x) α−n . 5.14Fief (x) = x 2 e 3x . S˘a se calculezef (10) (x). R: Se aplic˘a formula lui Leibniz. Se obt ¸ine: f (10) (x) = 3 9 e 3x 3x 2 + 20x + 30 . 5.15Fief (x) = x 2 sin x. S˘a se calculezef (20) (x). R: Se aplic˘a regula lui Leibniz. Se obt ¸ine: f (20) (x) = x 2 sinx −40xcos x −380 sin x. 5.16Utilizˆand regula lui Leibniz, s˘a se calculeze derivatele de ordinul n ale funct ¸iilor: 1) f (x) = xe x . 2) f (x) = x 2 e −2x . 3) f (x) = 1 −x 2 cos x. 4) f (x) = 1+x √ x . 5) f (x) = x 3 ln x. 5.17Seconsider˘afunct ¸iapolinomial˘af (x)=x 4 + x 3 + x 2 + x + 1. S˘asecalculeze suma: S = 4 ¸ k=1 1 x k −2 , undex k sunt r˘ad˘acinile ecuat ¸ieif (x) = 0. CAPITOLUL5. DERIVATES¸IDIFERENT¸ IALE 59 R: Dinf (x) = (x −x 1 ) (x −x 2 ) (x −x 3 ) (x −x 4 ), prin derivare, deducem: f (x) f (x) = 4 ¸ k=1 1 x −x k . DeciS = − f (2) f(2) = − 49 31 . 5.18S˘a se determine cu cˆat se modific˘a (aproximativ) latura unui p˘atrat dac˘a aria sa cre¸ste de la 9 m 2 la 9, 1 m 2 . R: Dac˘a x este aria p˘atratului ¸si y latura sa, atunci y = √ x. Se dau: x 0 = 9, h = 0, 1. Cre¸sterea laturii p˘atratului este dat˘a de: y −y 0 ≈ dy = f (x)h = 1 2 √ 9 0, 1 = 0, 016 m. 5.19S˘a se g˘aseasc˘a cre¸sterea y−y 0 ¸si diferent ¸iala dy ale funct ¸iei y = 5x+x 2 ˆın punctul x 0 = 2, dac˘ah = 0, 001. R:y −y 0 = 0, 009001 ¸sidy = 0, 009. 5.20S˘a se calculeze diferent ¸iala funct ¸ieiy = cos x ˆın punctul x 0 = π 6 , pentruh = π 36 . 5.21S˘a se calculeze diferent ¸iala funct ¸ieiy = 2 √ x ˆın punctul x 0 = 9, pentruh = −0, 01. 5.22S˘a se calculeze diferent ¸ialele funct ¸iilor: 1) f (x) = 1 x n . 2) f (x) = xln x −x. 3) f (x) = x 1−x . 4) f (x) = ln 1−x 1+x . 5) f (x) = x 2 e −x . 6) f (x) = e x sin x. R: Se obt ¸ine: 1)df (x) = − n x n+1 dx. 2)df (x) = ln xdx. 3)df (x) = 1 (1−x) 2 dx. 4)df (x) = 2 x 2 −1 dx. 5)df (x) = x(2 −x) e −x dx. 6)df (x) = e x (sin x + cos x)dx. 5.23S˘a se calculeze diferent ¸ialele de ordinul doi ale funct ¸iilor: 1) f (x) = √ 1 −x 2 . 2) f (x) = arccos x. 3) f (x) = sin xln x. 4) f (x) = 1 x ln x. 5) f (x) = x 2 e −x . 6) f (x) = e x sin x. 5.24S˘a se arate c˘a: d n (arctg x) = (−1) n−1 (n −1)! (1 +x 2 ) n/2 sin narctg 1 x dx n . CAPITOLUL5. DERIVATES¸IDIFERENT¸ IALE 60 5.2 Propriet˘at ¸ialefunct ¸iilorderivabile 5.25S˘a se determine abscisele punctelor de extrem ale funct ¸iilor: 1) f (x) = 2 cos x +x 2 . 2) f (x) = x 2 (x −12) 2 . 3) f (x) = x 2 −2x+2 x−1 . 4) f (x) = 3 (x 2 −1) 2 . 5) f (x) = 2 sin 2x + sin 4x. 6) f (x) = 2 cos x 2 + 3 cos x 3 . R: 1)x 0 = 0 este punct de minim. 2)x 1 = 0,x 2 = 12 sunt puncte de minim,x 3 = 6 este punct de maxim. 3)x 1 = 0 este punct de maxim,x 2 = 2 este punct de minim. 4)x 1,2 = ±1 sunt puncte de minim,x 3 = 0 este punct de maxim. 5)x k = − π 6 +kπ sunt puncte de minim,x k = π 6 +kπ sunt puncte de maxim,k ∈ Z. 6) x k =12kπ¸si x k =12 k ± 2 5 πsunt punctedemaxim, y k =6 (2k + 1) π¸si y k = 12 k ± 1 5 π sunt puncte de minim,k ∈ Z. 5.26Fiea 1 , a 2 , . . . , a n ∈ (0, ∞) ¸si a x 1 + a x 2 ++ a x n ≥npentruoricex ∈ R. S˘ase arate c˘a atuncia 1 a 2 a n = 1. R: Fiefunct ¸iaf : R →R, definit˘aprinf (x) =a x 1 +a x 2 ++a x n . Avemc˘a f (x) ≥n=f (0), ∀x ∈R, deci x 0 =0esteunpunctdeminimpentruf¸si conform teoremei lui Fermat: f (0) = 0. 5.27Fiea, b ∈ (0, ∞) ` ¦1¦ a.ˆı. a x 2 b +b x 2 a ≥ 2ab, pentru oricex ∈ R. S˘a se arate c˘aab = 1. R: Fieunct ¸iaf: R →R, definit˘aprinf (x)=a x 2 b + b x 2 a. Avemc˘af (x) ≥ 2ab = f (1), ∀x ∈ R, decix 0 = 1 este un punct de minim pentruf¸si conform teoremei lui Fermat: f (1) = 0. 5.28S˘asestudiezeaplicabilitateateoremei lui Rollepentrufunct ¸iaf : 0, π 2 →R, definit˘a prin f (x) = cos x, x ∈ 0, π 4 , sinx, x ∈ π 4 , π 2 . R: Funct ¸ia nu este derivabil˘a ˆın π 4 . 5.29S˘asestudiezeaplicabilitateateoremei lui Rollepentrufunct ¸iilef : [0, 2] →R, definite prin: 1) f (x) = [x −1[ . 2) f (x) = [x −1[ 3 . R: 1) Nu. 2) Da,c = 1. 5.30S˘a se studieze aplicabilitatea teoremei lui Rolle pentru funct ¸iilef: − π 2 , π 2 →R, definite prin: 1) f (x) = [sin x[ . 2) f (x) = sin 3 x . R: 1) Nu. 2) Da,c = 0. CAPITOLUL5. DERIVATES¸IDIFERENT¸ IALE 61 5.31S˘a se arate c˘a polinomul lui LegendreP n (x) = d n dx n x 2 −1 n aren r˘ad˘acini dis- tincte ˆın intervalul (−1, 1). R: Se aplic˘a den ori teorema lui Rolle funct ¸ieif (x) = x 2 −1 n . 5.32Fief: [a, b] → Rofunct ¸iecontinu˘ape[a, b],derivabil˘ape(a, b) ¸sia.ˆı. f (a) = f (b). S˘a se arate c˘a exist˘ac ∈ (a, b) a.ˆı. f (a) −f (c) = f (c) (c −a). R: Seaplic˘ateoremalui Rollefunct ¸iei g (x)=(x −a) f (x) − xf (a)peintervalul [a, b]. 5.33Fie numerele realea 0 , a 1 , a 2 , . . . , a n care verific˘a relat ¸ia a 0 1 + 2a 1 2 + 2 2 a 2 3 + + 2 n a n n + 1 = 0. S˘a se arate c˘a funct ¸iaf: 1, e 2 →R, definit˘a prinf (x) = a 0 +a 1 ln x+a 2 ln 2 x+ + a n ln n x se anuleaz˘a cel put ¸in ˆıntr-un punct din intervalul 1, e 2 . R: Se aplic˘a teorema lui Rolle funct ¸ieig (x) = a 0 lnx + a 1 ln 2 x 2 + + a n ln n+1 x n+1 . 5.34Fief: [a, b] →R o funct ¸ie continu˘a pe [a, b], derivabil˘a pe (a, b). S˘a sea arate c˘a exist˘ac ∈ (a, b) aˆı. f (c) = a +b −2c (c −a) (c −b) . R: Se aplic˘a teorema lui Rolle funct ¸iei g (x) = e f(x) (x −a) (x −b) pe intervalul [a, b]. 5.35Se consider˘a funct ¸iaf: [−1, 1] →R, definit˘a prin: f (x) = x 2 +mx +n, x ∈ [−1, 0] , px 2 + 4x + 4, x ∈ (0, 1]. S˘a se determinem, n, p ∈ R a.ˆı. fs˘a satisfac˘a ipotezele teoremei lui Rolle pe intervalul [−1, 1] ¸si s˘a se g˘aseasc˘a valoarea constanteic ˆın acest caz. R:n = 4,m = 4,p = −7,c = 2 7 . 5.36Fie f, g : [a, b] →Rdou˘afunct ¸ii continuepe[a, b], derivabilepe(a, b) ¸si cu f (a) =f (b). S˘asearatec˘aecuat ¸iaf (x) g (x) + f (x) = 0arecel put ¸inosolut ¸ie ˆın intervalul (a, b). R: Fie h : [a, b] →R, definit˘a prin h(x) = f (x) e g(x) , care este o funct ¸ie Rolle. Exist˘a decic ∈ (a, b) a.ˆı. h (c) = 0. Darh (x) = f (x) e g(x) +f (x) g (x) e g(x) . 5.37Fief: [a, b] →R o funct ¸ie de trei ori derivabil˘a pe [a, b] a.ˆı. f (a) = f (b) = 0 ¸si f (a) = f (b) = 0. S˘a se arate c˘a exist˘a cel put ¸in un punctc ∈ (a, b) a.ˆı. f (c) = 0. R: Aplic˘am teorema lui Rolle. Exist˘a d ∈ (a, b) a.ˆı. f (d) = 0. Exist˘a apoi c 1 ∈ (a, d) ¸sic 2 ∈ (d, b) a.ˆı. f (c 1 ) = 0 ¸si ´ f (c 2 ) = 0. Deci exist˘ac ∈ (c 1 , c 2 ) a.ˆı. f (c) = 0. CAPITOLUL5. DERIVATES¸IDIFERENT¸ IALE 62 5.38S˘a se cerceteze aplicabilitatea teoremei lui Lagrange pentru funct ¸iaf: [0, 1] →R, definit˘aprinf (x) = √ x 2 +ax, a> 0,¸si ˆıncazafirmativs˘asedetermineconstantac corespunz˘atoare. R: Da,c = 1 2 −a + √ a 2 +a ∈ (0, 1). 5.39S˘asecercetezeaplicabilitateateoremei lui Lagrangepentrufunct ¸iilorf, definite prin: 1) f (x) = x, x ∈ [1, 2] , x 2 4 + 1, x ∈ (2, 3]. 2) f (x) = x 2 , x ∈ [0, 1] , 2x −1, x ∈ (1, 2]. 3) f (x) = √ x + 1, x ∈ (0, 3], x 2 + 1, x ∈ [−4, 0] . 4) f (x) = 3−x 2 2 , x ∈ [0, 1] , 1 x , x ∈ (1, 2]. R: 1) Da,f (c) = 9 8 ,c = 9 4 . 2) Da,c = 3 4 . 3) Da,c = 13 36 . 4) Da,c 1 = 1 2 ,c 2 = √ 2. 5.40S˘asedetermineabscisacaunui punct ˆıncaretangentalagraficul funct ¸iei f: R →R, definit˘a prin f (x) = x+2 2 , x ≤ 0, √ x + 1, x > 0, este paralel˘a cu coarda care une¸ste punctele de pe grafic de abscisex 1 = −4 ¸six 2 = 3. R:c = 13 36 . 5.41S˘a se arate c˘a 3 √ 30 −3 < 1 9 . R: Se aplic˘a teorema lui Lagrange funct ¸iei f: [27, 30] →R, definit˘a prin f (x) = 3 √ x. 5.42S˘aseg˘aseasc˘asolut ¸iilerealealeecuat ¸iei(a −1) x + (a + 3) x =a x + (a + 2) x ,cu a > 1. R: Ecuat ¸ia se mai scrie: a x −(a −1) x = (a + 3) x −(a + 2) x . Consider˘am funct ¸iaf: (0, ∞) →R, definit˘a prinf (t) = t x , pentru x∈ R, fixat. Aplic˘am teorema lui Lagrange pe intervalele [a −1, a] ¸si [a + 2, a + 3]. Exist˘a deci c 1 ∈ (a −1, a) ¸si c 2 ∈ (a + 2, a + 3) a.ˆı. f (a) − f (a −1) =f (c 1 ) ¸sif (a + 3) − f (a + 2) =f (c 2 ). Dinf (c 1 ) =f (c 2 ) cu c 1 = c 2 , rezult˘ax 1 = 0,x 2 = 1. 5.43Fiefo funct ¸ie de dou˘a ori derivabil˘a ˆıntr-o vecin˘atateV a punctuluia ∈ R. S˘a se arate c˘a pentru oriceh suficient de mic exist˘a punctelep, q ∈ Va.ˆı. f (a +h) −f (a −h) 2h = f (p) , f (a +h) −2f (a) +f (a −h) h 2 = f (q) . 5.44S˘a se cerceteze aplicabilitatea teoremei lui Cauchy pentru funct ¸iilef¸sig, definite prin: 1) f, g : [1, e] →R, f (x) = ln x, g (x) = e x . 2) f, g : [−2, 5] →R, f (x) = √ x + 3, x ∈ [−2, 1), x 4 + 7 4 , x ∈ [1, 5] , g (x) = x. 3) f, g : [0, 3] →R, f (x) = x 3 3 −x 2 + 1, x ∈ [1, 3] , −x + 4 3 , x ∈ [0, 1] , g (x) = x. CAPITOLUL5. DERIVATES¸IDIFERENT¸ IALE 63 R: 1) Da,c = e e−1 . 2) Da,c = 1 16 . 3) Da,c = 2 √ 2 3 + 1. 5.45S˘a se calculeze, utilizˆand regula lui l Hospital: 1) lim x→0 tg x−x x−sin x . 2) lim x→1 x x −x ln x−x+1 . 3) lim x→0 ln(sin 2x) ln(sin 3x) . 4) lim x→∞ x n e ax , a > 0. 5) lim x→0 ctg x − 1 x . 6) lim x→0 ¸ (1+x) 1 x e 1 x . 7) lim x→0 1 x 2 −ctg 2 x . 8) lim x→∞ x −x 2 ln 1+x x . 9) lim x→1 tg πx 4 tg πx 2 . R: 1) 2. 2) −2. 3) 1. 4) 0. 5) 0. 6) − 1 2 . 7) Putem scrie: 1 x 2 −ctg 2 x = sin 2 x −x 2 cos 2 x x 2 sin 2 x ¸siseaplic˘adepatruoriregulaluil Hospital. Seobt ¸ine 2 3 . 8)Lu˘amx= 1 t , cut →0 pentrux →∞. Se obt ¸ine 1 2 . 9) 1 e . 5.46S˘a se calculeze, utilizˆand regula lui l Hospital: 1) lim x→0 tg x −xsin x x −sin x . 2) lim x→∞ x[ln x −ln (x + 1)] + 1 ex[ln (ex + 1) −ln x] −1 . R: 1) 5. 2) −e. 5.47S˘a se dezvolte polinomulf (x) = x 3 −2x 2 +3x +5 dup˘a puterile binomuluix −2. R:f (x) = 11 + 7 (x −2) + 4 (x −2) 2 + (x −2) 3 . 5.48S˘asedetermineofunct ¸iepolinomial˘adegradul trei a.ˆı. f (0)=1, f (0)=1, f (0) = 2 ¸sif (0) = 6. R: Polinomul Taylor al funct ¸ieifestef (x) = 1 +x +x 2 +x 3 . 5.49S˘a se g˘aseasc˘a primii 5 termeni din dezvoltarea Taylor a funct ¸ieif (x) = e x dup˘a puterile binomuluix + 1. R:P 4 (x) = 1 e + 1 e (x + 1) + 1 2e (x + 1) 2 + 1 6e (x + 1) 3 + 1 24e (x + 1) 4 . 5.50S˘a se g˘aseasc˘a primii 5 termeni din dezvoltarea Taylor a funct ¸iei f (x) = ln x dup˘a puterile binomuluix −1. R:P 4 (x) = (x −1) − 1 2 (x −1) 2 + 1 3 (x −1) 3 − 1 4 (x −1) 4 . 5.51S˘a se evalueze eroarea comis˘a ˆın aproximarea: e ≈ 2 + 1 2! + 1 3! + 1 4! . R:Avemc˘a: e x = 1 + 1 1! x + 1 2! x 2 + 1 3! x 3 + 1 4! x 4 + R 4 (x),undeR 4 (x) = x 5 5! e θx ,cu θ ∈ (0, 1). Pentrux = 1, [R 4 (1)[ ≤ 3 5! = 1 40 . CAPITOLUL5. DERIVATES¸IDIFERENT¸ IALE 64 5.52S˘a se scrie formula Mac-Laurin de ordinul n pentru funct ¸iile: 1) f (x) = e x , x ∈ R. 2) f(x) = sin x, x ∈ R. 3) f(x) = cos x, x ∈ R. 4) f(x) = ln(1 +x), x ∈ (−1, ∞). 5) f(x) = (1 +x) α , x ∈ (−1, ∞), α ∈ R. R: Avem dezvolt˘arile: 1) e x = n ¸ k=0 x k k! + x n+1 (n+1)! e θx . 2) sin x = n ¸ k=1 (−1) k−1 x 2k−1 (2k−1)! + (−1) n x 2n+1 (2n+1)! sin(θx). 3) cos x = n ¸ k=0 (−1) k x 2k (2k)! + (−1) n+1 x 2n+2 (2n+2)! cos(θx). 4) ln(1 +x) = n ¸ k=1 (−1) k−1 x k k + (−1) n x n+1 (n+1)(1+θx) n+1 . 5) (1 + x) α = 1 + n ¸ k=1 α(α−1)···(α−k+1) k! x k + α(α−1)···(α−n) (n+1)! x n+1 (1 + θx) α−n+1 ,cuθ ∈ (0, 1). 5.53S˘a sedeterminen ∈ Nastfelca polinomul Taylor degradul n ˆın punctul x 0 = 0 asociatfunct ¸iei f (x)=e x s˘aaproximezefunct ¸iapeintervalul [−1, 1] cutrei zecimale exacte. R: Avem [R n (x)[ = [x[ n+1 (n + 1)! e θx < 1 1000 , [x[ ≤ 1. Dar cumθx < 1,e θx < e < 3 ¸si deci [R n (x)[ < 3 (n+1)! < 1 1000 pentrun ≥ 6. 5.54S˘a se scrie formula Mac-Laurin de ordinul n pentru funct ¸ia f (x) = √ a +x, a > 0, x > −a. R: Funct ¸ia se mai scrie: f (x) = √ a 1 + x a 1 2 . Se obt ¸ine: f (x) = √ a ¸ 1 + x 2a + n ¸ k=2 (−1) k−1 13(2k −3) k!2 k x a k ¸ +R n (x) . 5.55S˘a se determine n ∈ N astfel ca valorile polinomului Taylor de gradul n ˆın punctul x 0 = 0 asociat funct ¸ieif (x) = √ 1 +x, pe intervalul [0, 1], s˘a nu difere def (x) cu mai mult de 1 16 . R: Avem [R n (x)[ = 13(2n −1) (n + 1)!2 n+1 x n+1 (1 +θx) n+ 1 2 ≤ 13(2n −1) (n + 1)!2 n+1 < 1 16 . Se obt ¸inen ≥ 2. CAPITOLUL5. DERIVATES¸IDIFERENT¸ IALE 65 5.56Utilizˆand formula Mac-Laurin s˘a se calculeze urm˘atoarele limite: 1) lim x→0 e x +e −x −sin 2 x−2 x 4 . 2) lim x→0 ln(1+2x)−sin 2x+2x 2 x 3 . 3) lim x→0 sin x−sin a x−a . 4) lim x→0 1− √ 1+x 2 ·cos x tg 4 x . 5) lim x→0 cos x−e − x 2 2 x 4 . R: 1) 1 12 . 2) 4. 3) cos a. 4) 1 3 . 5) − 1 12 . 5.3 Derivatele¸sidiferent ¸ialafunct ¸iilordenvariabile 5.57Utilizˆanddefinit ¸ia,s˘asecalculezederivatelepart ¸ialealeurm˘atoarelorfunct ¸ii, ˆın punctele specificate: 1) f (x, y) = x 3 −3x 2 y + 2y 3 ˆın (1, 1) . 2) f (x, y) = x−y x+y ˆın (1, 1) . 3) f (x, y) = sin 2 x + sin 2 y ˆın π 4 , 0 . 4) f (x, y) = ln 1 +x +y 2 ˆın (1, 1) . 5) f (x, y) = x 2 −y 2 ˆın (2, 1) . 6) f (x, y) = ln x −y 2 ˆın (4, 1) . R: Se obt ¸ine: 1)f x (1, 1) = −3,f y (1, 1) = 3. 2)f x (1, 1) = 1 2 ,f y (1, 1) = − 1 2 . 3)f x π 4 , 0 = 1 2 √ 2,f y π 4 , 0 = 0. 4)f x (1, 1) = 1 3 ,f y (1, 1) = 2 3 . 5)f x (2, 1) = 2 √ 3 ,f y (2, 1) = − 1 √ 3 . 6)f x (4, 1) = 1 3 ,f y (4, 1) = − 2 3 . 5.58S˘a se calculeze derivatele part ¸iale ale urm˘atoarelor funct ¸ii: 1) f (x, y) = x 3 +y 3 −3axy. 2) f (x, y) = x−y x+y . 3) f (x, y) = x 2 −y 2 . 4) f (x, y) = x √ x 2 +y 2 . 5) f (x, y) = ln x + x 2 +y 2 . 6) f (x, y) = arctg y x . 7) f (x, y) = e sin y x . 8) f (x, y) = arcsin x 2 −y 2 x 2 +y 2 . R: Se obt ¸ine: 1)f x (x, y) = 3x 2 −3ay,f y (x, y) = 3y 2 −3ax. 2)f x (x, y) = 2y (x+y) 2 ,f y (x, y) = −2x (x+y) 2 . 3)f x (x, y) = x √ x 2 −y 2 ,f y (x, y) = −y √ x 2 −y 2 . 4)f x (x, y) = y 2 √ (x 2 +y 2 ) 3 ,f y (x, y) = x 2 √ (x 2 +y 2 ) 3 . 5)f x (x, y) = 1 √ x 2 +y 2 ,f y (x, y) = y √ x 2 +y 2 x+ √ x 2 +y 2 . 6)f x (x, y) = − y x 2 +y 2 ,f y (x, y) = x x 2 +y 2 . 7)f x (x, y) = − y x 2 e sin y x cos y x ,f y (x, y) = 1 x e sin y x cos y x . 8)f x (x, y) = xy √ 2 (x 2 +y 2 ) √ x 2 −y 2 ,f y (x, y) = − x 2 √ 2 (x 2 +y 2 ) √ x 2 −y 2 . CAPITOLUL5. DERIVATES¸IDIFERENT¸ IALE 66 5.59S˘a se calculeze derivatele part ¸iale ale urm˘atoarelor funct ¸ii: 1) f (x, y) = y y x sin y x . 2) f (x, y) = arcsin x 2 −y 2 x 2 +y 2 . 3) f (x, y) = arctg √ x y . 4) f (x, y) = xyarctg x+y 1−xy . 5) f (x, y, z) = xyz √ x 2 +y 2 +z 2 . 6) f (x, y, z) = e x y −e − z y . 7) f (x, y, z) = e xyz cos y xz . 8) f (x, y, z) = (sin x) yz . 5.60S˘a e calculeze derivatele part ¸iale ale urm˘atoarelor funct ¸ii: 1) f (x, y) = ln xy 2 +x 2 y + 1 + (xy 2 +x 2 y) 2 . 2) f (x, y) = 1 − x+y xy 2 + arcsin x+y xy . 5.61S˘a se calculeze, utilizˆand definit ¸ia, urm˘atoarele derivate part ¸iale de ordinul doi: 1) ∂ 2 f ∂y∂x (1, 1) , unde f (x, y) = x 2 +y 2 . 2) ∂ 2 f ∂x∂y (−2, 2) , unde f (x, y) = 3 x 2 y. 3) ∂ 2 f ∂x∂y π 4 , 0 , unde f (x, y) = xsin (x +y) . 4) ∂ 2 f ∂x∂y (1, 1) , unde f (x, y) = xy ln x. R: 1) Deoarece ∂ 2 f ∂y∂x (1, 1) =lim y→1 ∂f ∂x (1, y) − ∂f ∂x (1, 1) y −1 , se obt ¸ine − 1 2 √ 2 . 2) 1 9 . 3) √ 2 2 1 − π 4 . 4) 1. 5.62S˘a se calculeze derivatele part ¸iale ale urm˘atoarelor funct ¸ii: 1) f (x, y, z) = x 3 y 2 z + 2x −3y +z + 5. 2) f (x, y, z) = (xy) z . 3) f (x, y, z) = x 2 +y 2 +z 2 . 4) f (x, y, z) = z xy . R: Se obt ¸ine: 1)f x (x, y, z) = 3x 2 y 2 z + 2,f y (x, y, z) = 2x 3 yz −3,f z (x, y, z) = x 3 y 2 + 1. 2)f x (x, y, z) = z x (xy) z ,f y (x, y, z) = z y (xy) z ,f z (x, y, z) = (xy) z ln (xy). 3)f x (x, y, z) = x √ x 2 +y 2 +z 2 ,f y (x, y, z) = y √ x 2 +y 2 +z 2 , f z (x, y, z) = z √ x 2 +y 2 +z 2 . 4)f x (x, y, z) = yz xy ln z,f y (x, y, z) = xz xy ln z,f z (x, y, z) = xy z z xy . 5.63S˘asearatec˘aurm˘atoarelefunct ¸iisuntomogene ¸siapois˘aseverificerelat ¸ialui Euler: 1) f (x, y) = ax 2 + 2bxy +cy 2 . 2) f (x, y) = x+y 3 √ x 2 +y 2 . 3) f (x, y) = x x 2 +y 2 . 4) f (x, y) = x 2 −y 2 ln x−y x+y . 5) f (x, y) = x 2 +y 2 sin y x . 6) f (x, y) = x 2 −y 2 e y x . CAPITOLUL5. DERIVATES¸IDIFERENT¸ IALE 67 5.64S˘a se arate c˘a dac˘a u = f (x, y, z) este o funct ¸ie omogen˘a de gradul de omogenitate m, care admite derivate part ¸iale de ordinul doi continue pe T ⊂ R 3 , atunci: 1) x ∂ 2 f ∂x 2 +y ∂ 2 f ∂x∂y +z ∂ 2 f ∂x∂z = (m−1) ∂f ∂x . 2) x 2 ∂ 2 f ∂x 2 +y 2 ∂ 2 f ∂y 2 +z 2 ∂ 2 f ∂z 2 + 2xy ∂ 2 f ∂x∂y + 2yz ∂ 2 f ∂y∂z + 2zx ∂ 2 f ∂z∂x = m(m−1) f. 5.65S˘a se arate c˘a funct ¸iile date mai jos satisfac egalit˘at ¸ile scrise ˆın dreptul lor: 1) z = ln x 2 +xy +y 2 , x ∂z ∂x +y ∂z ∂y = 2. 2) z = xy +xe y x , x ∂z ∂x +y ∂z ∂y = xy +z. 3) u = (x −y) (y −z) (z −x) , ∂u ∂x + ∂u ∂y + ∂u ∂z = 0. 4) u = x + x −y y −z , ∂u ∂x + ∂u ∂y + ∂u ∂z = 1. 5) u = ln x 3 +y 3 +z 3 −3xyz , ∂u ∂x + ∂u ∂y + ∂u ∂z = 1 x +y +z . 5.66Se d˘a funct ¸ia: f (x, y) = y 2 ln 1 + x 2 y 2 , y = 0, 0, y = 0. S˘a se arate c˘a de¸si nu sunt satisf˘acute ipotezele teoremei lui Schwarz, totu¸si ∂ 2 f ∂x∂y (0, 0) = ∂ 2 f ∂y∂x (0, 0) . R: S˘a observ˘am c˘a teorema lui Schwarz d˘a condit ¸ii suficiente nu ¸si necesare pentru egalitatea derivatelor mixte. Deoarece pentrux > 1, ln x > x, avem 0 < y 2 ln 1 + x 2 y 2 = 2y 2 ln 1 + x 2 y 2 < 2y 2 1 + x 2 y 2 = 2 [y[ x 2 +y 2 , deci lim (x,y)→(0,0) f (x, y) = f (x, y) = 0, apoi ∂f ∂x (x, y) = 2xy 2 x 2 +y 2 , y = 0, 0, y = 0, ∂f ∂y (x, y) = 2y ln 1 + x 2 y 2 − 2xy 2 x 2 +y 2 , y = 0, 0, y = 0, CAPITOLUL5. DERIVATES¸IDIFERENT¸ IALE 68 ¸si ∂ 2 f ∂x∂y (0, 0) = lim x→0 ∂f ∂x (x, 0) − ∂f ∂x (0, 0) x = 0, ∂ 2 f ∂y∂x (0, 0) = lim y→0 ∂f ∂x (0, y) − ∂f ∂x (0, 0) y = 0. Dar ∂ 2 f ∂y∂x (x, y) = 4x 3 y (x 2 +y 2 ) 2 , y = 0, 0, y = 0, nu este continu˘a ˆın origine. 5.67S˘a se calculeze derivatele part ¸iale de ordinul doi ale funct ¸iilor: 1) f (x, y) = 2x 2 −3xy −y 2 . 2) f (x, y) = x 2 a 2 + y 2 b 2 . 3) f (x, y) = ln x 2 +y . 4) f (x, y) = 2xy +y 2 . 5) f (x, y) = arctg x+y 1−xy . 6) f (x, y) = (arcsin xy) 2 . 7) f (x, y, z) = x 2 +y 2 +z 2 . 8) f (x, y, z) = xy +yz +zx. 5.68S˘a se calculeze derivatele part ¸iale de ordinul doi, ˆın origine, ale funct ¸iei: f (x, y) = (1 +x) m (1 +y) n . R:f xx (0, 0) = m(m−1),f xy (0, 0) = mn,f yy (0, 0) = n(n −1). 5.69S˘a se calculeze derivatele part ¸iale de ordinul m+n: ∂ m+n f ∂ m y∂x n (x, y) , unde : 1) f (x, y) = x +y x −y . 2) f (x, y) = x 2 +y 2 e x+y . R: 1) Prin induct ¸ie dup˘an ¸si apoi dup˘am, se obt ¸ine: ∂ m+n f ∂y m ∂x n (x, y) = (−1) n 2 (m+n −1)! mx +ny (x −y) m+n+1 . 2) Se obt ¸ine: ∂ m+n f ∂y m ∂x n (x, y) = x 2 +y 2 + 2 (mx +ny) +m(m−1) +n(n −1) e x+y . 5.70S˘a se arate c˘a funct ¸iile: 1) u = arctg y x , 2) u = ln 1 r , unde r = (x −a) 2 + (y −b) 2 , satisfac ecuat ¸ia lui Laplace: ∂ 2 u ∂x 2 + ∂ 2 u ∂y 2 = 0. CAPITOLUL5. DERIVATES¸IDIFERENT¸ IALE 69 5.71S˘a se arate c˘a funct ¸iau = Asin (aλt +ϕ) sin λx satisface ecuat ¸ia undelor: ∂ 2 u ∂t 2 −a 2 ∂ 2 u ∂x 2 = 0. 5.72S˘a se arate c˘a funct ¸ia u = 1 √ πt 3 e − x 2 +y 2 +z 2 t satisface ecuat ¸ia c˘aldurii: ∂u ∂t = 1 4 ∂ 2 u ∂x 2 + ∂ 2 u ∂y 2 + ∂ 2 u ∂z 2 . 5.73Se d˘a funct ¸ia f (x, y) = x 2 +xy−y 2 . S˘a se g˘aseasc˘a variat ¸ia ¸si diferent ¸iala funct ¸iei ˆın punctul (x 0 , y 0 ). R: Variat ¸ia funct ¸iei este: f (x, y) −f (x 0 , y 0 ) = [(2x 0 +y 0 )h + (x 0 −2y 0 )k] + h 2 +hk −k 2 . Deci diferent ¸iala estedf (x 0 , y 0 ) = (2x 0 +y 0 )h + (x 0 −2y 0 )k. 5.74Sed˘afunc˘atiaf (x, y) =x 2 y. S˘asecalculezevariat ¸ia ¸sidiferent ¸ialafunct ¸iei ˆın punctul (x 0 , y 0 ) = (1, 2), pentru: 1) (h, k) = (1, 2), 2) (h, k) = (0, 1; 0, 2). 5.75Utilizˆand definit ¸ia, s˘a se arate c˘a urm˘atoarele funct ¸ii sunt diferent ¸iabile ˆın punctele specificate: 1) f (x, y) = (x −1) 2 +y 2 ˆın (1, 1) . 2) f (x, y) = x 2 + (y −2) 2 ˆın (1, 1) . 3) f (x, y) = z √ x 2 +y 2 ˆın (3, 4, 5) . 4) f (x, y) = ln x 3 +y 3 ˆın (0, 1) . R: 1) Pentru orice (h, k) ∈ R 2 , avem f (1 +h, 1 +k) −f (1, 1) = 2k + h 2 +k 2 = 2k +α(k, h) h 2 +k 2 , cuα(k, h) = √ h 2 +k 2 →0, pentru (k, h) →(0, 0), iardf (1, 1) = 2k. 5.76S˘a se arate c˘a ˆın origine, funct ¸ia f (x, y) = xy √ x 2 +y 2 , x 2 +y 2 = 0, 0, x 2 +y 2 = 0, este continu˘a, admite derivate part ¸iale, ˆıns˘a nu este diferent ¸iabil˘a. CAPITOLUL5. DERIVATES¸IDIFERENT¸ IALE 70 R: Din 0 < [xy[ x 2 +y 2 < [xy[ y 2 = [x[ , deducem c˘a feste continu˘a ˆın origine. Utilizˆand definit ¸ia se arat˘a c˘a funct ¸ia are derivate part ¸iale ˆın origine egale cu 0. S˘aar˘at˘amc˘afunct ¸ianuestediferent ¸iabil˘a ˆınorigine. Dac˘aarfidiferent ¸iabil˘a ˆın origine, ar avea loc egalitatea: f (x, y) −0 = 0 (x −0) + 0 (y −0) +α(x, y) x 2 +y 2 , ˆın care α(x, y) s˘a aib˘a limit˘a ˆın origine egal˘a cu 0. Dar din egalitatea precedent˘a rezult˘a α(x, y) = xy x 2 +y 2 , funct ¸ie care nu are limit˘a ˆın origine. 5.77S˘a se cerceteze dac˘a funct ¸iaf (x, y) = x 2 +y 2 este diferent ¸iabil˘a ˆın origine. R: Funct ¸ia nu admite derivate part ¸iale ˆın origine, deci nu este diferent ¸iabil˘aˆın origine. 5.78S˘a se calculeze diferent ¸ialele funct ¸iilor: 1) f (x, y) = x 3 +y 3 −3xy. 2) f (x, y) = x 2 y 3 . 3) f (x, y) = x 2 −y 2 x 2 +y 2 . 4) f (x, y) = sin 2 x + sin 2 y. 5) f (x, y) = ln x 2 +y 2 . 6) f (x, y) = arctg y x + arctg x y . R: 1)df (x, y) = 3x 2 −3y dx + 3y 2 −3x dy. 5.79S˘a se calculeze diferent ¸ialele funct ¸iilor: 1) f (x, y, z) = xyz. 2) f (x, y, z) = x 2 +y 2 +z 2 . 3) f (x, y, z) = arctg xy z 2 . 4) f (x, y, z) = xy + x y z . R:df (x, y, z) = yz dx +zxdy +xy dz. 5.80S˘a se g˘aseasc˘a cu cˆat se modific˘a (aproximativ) volumul unui con avˆand raza bazei x = 10 cm ¸si ˆın˘alt ¸imeay = 30 cm dac˘a raza se mic¸soreaz˘a cu 1 mm, iar ˆın˘alt ¸imea cre¸ste cu 3 mm. R: Volumul conului esteV= π 3 x 2 y. Variat ¸ia volumului este dat˘a de: V −V 0 ≈ dV= π 3 2xy dx +x 2 dy = π 3 (−6000, 1 + 1000, 3) = −10π cm 3 . 5.81S˘a se calculeze aproximativ (1, 02) 3,01 . R: Consider˘am funct ¸iaz = x y . Lu˘amx 0 = 1,y 0 = 3,h = 0, 02 ¸sik = 0, 01. Putem scrie: z −z 0 ≈ dz = x y 0 −1 0 y 0 h +x y 0 0 ln x 0 k = 30, 02 + 00, 01 = 0, 06. Deciz ≈ 1 + 0, 06 = 1, 06. CAPITOLUL5. DERIVATES¸IDIFERENT¸ IALE 71 5.82S˘a se calculeze diferent ¸ialele de ordinul doi ale funct ¸iilor: 1) f (x, y) = cos xy. 2) f (x, y) = x 2 +y 2 . 3) f (x, y) = e xy . 4) f (x, y) = ln xy. 5) f (x, y, z) = xyz. 6) f (x, y, z) = e x sin yz. R: 1)d 2 f (x, y) = − y 2 dx 2 + 2xy dxdy +x 2 dy 2 cos xy. 5.83S˘a se calculeze diferent ¸iala de ordinul doi a funct ¸ieif(x, y, z) = sin (x −2y +z). 5.84S˘a se calculeze diferent ¸iala de ordinul n a funct ¸ieif (x, y) = e ax+by . R: Se obt ¸ine: d n f (x, y) = e ax+by (a dx +b dy) n . 5.85Aplicˆand formula de derivare a funct ¸iilor compuse, s˘a se calculezeF (x 0 ), ¸stiind c˘aF (x) = f (u(x) , v (x)) ˆın care: 1) f (u, v) = u +uv, u(x) = cos x, v (x) = sin x, x 0 = π 4 . 2) f (u, v) = e u−2v , u(x) = x 2 , v (x) = x 2 −2, x 0 = 2. 5.86S˘a se g˘aseasc˘a dz dt dac˘a: 1) z = e 3x+2y , x = cos t, y = t 2 . 2) z = x y , x = e t , y = ln t. 3) z = ln sin x √ y , x = 3t 2 , y = √ t 2 + 1. 5.87S˘a se g˘aseasc˘a dz dt dac˘a: 1) z = e x 2 +y 2 , x = a cos t, y = a sin t. 2) z = 1 2 ln x y , x = tg 2 t, y = ctg 2 t. 5.88S˘a se g˘aseasc˘a du dt dac˘a: 1) u = xyz, x = t 2 + 1, y = ln t, z = tg t. 2) u = z √ x 2 +y 2 , x = Rcos t, y = Rsin t, z = H. 5.89S˘a se g˘aseasc˘a dz dx dac˘az = u v , undeu = sin x,v = cos x. 5.90S˘a se g˘aseasc˘a ∂z ∂x ¸si dz dx dac˘az = x y , undey = ϕ(x). 5.91S˘a se g˘aseasc˘a ∂z ∂x ¸si ∂z ∂y , dac˘az = f (u, v), undeu = x 2 +y 2 ¸siv = e xy . 5.92S˘a se g˘aseasc˘a ∂z ∂u ¸si ∂z ∂v , dac˘az = arctg x y , undex = usin v ¸siy = ucos v. 5.93S˘a se g˘aseasc˘a ∂z ∂u ¸si ∂z ∂v , dac˘az = f (u), undeu = xy + y x . 5.94S˘a se arate c˘a dac˘aω = f x 2 +y 2 +z 2 , unde: x = Rcos ucos v, y = Rcos usin v, z = Rsin u, atunci: ∂ω ∂u = 0 ¸si ∂ω ∂v = 0. CAPITOLUL5. DERIVATES¸IDIFERENT¸ IALE 72 5.95S˘a se arate c˘a dac˘az = f (x +ay), undefeste o funct ¸ie diferent ¸iabil˘a, atunci ∂z ∂y = a ∂z ∂x . 5.96S˘asearatec˘afunct ¸iaw=f (u, v), undef esteofunct ¸iediferent ¸iabil˘a¸si u= x +at,v = y +bt, satisface ecuat ¸ia: ∂w ∂t = a ∂w ∂x +b ∂w ∂y . 5.97S˘asearatec˘afunct ¸iaz =yf x 2 −y 2 , unde f esteofunct ¸iediferent ¸iabil˘a, satisface ecuat ¸ia: 1 x ∂z ∂x + 1 y ∂z ∂y = z y 2 . 5.98S˘a se arate c˘a funct ¸ia z = xy+f y x , unde feste o funct ¸ie diferent ¸iabil˘a, satisface ecuat ¸ia: x ∂z ∂x +y ∂z ∂y = xy +z. 5.99S˘asearatec˘afunct ¸iaz =e y f ye x 2 2y 2 , unde f esteofunct ¸iediferent ¸iabil˘a, satisface ecuat ¸ia: x 2 −y 2 ∂z ∂x +xy ∂z ∂y = xyz. 5.100S˘a se arate c˘a funct ¸iaz = xf y x +g y x , undef¸sig sunt o funct ¸ii de dou˘a ori diferent ¸iabile, satisface ecuat ¸ia: x 2 ∂ 2 z ∂x 2 + 2xy ∂ 2 z ∂x∂y +y 2 ∂ 2 z ∂y 2 = 0. 5.101S˘asearatec˘afunct ¸iaz=f (xy) + √ xyg y x , undef¸si gsuntofunct ¸iide dou˘a ori diferent ¸iabile, satisface ecuat ¸ia: x 2 ∂ 2 z ∂x 2 −y 2 ∂ 2 z ∂y 2 = 0. 5.102S˘a se arate c˘a funct ¸iaz = f (x +g (y)) satisface ecuat ¸ia: ∂z ∂x ∂ 2 z ∂x∂y = ∂z ∂y ∂ 2 z ∂x 2 . 5.103S˘a se g˘aseasc˘ ad 2 zdac˘a: 1) z = f (u) , u = x 2 +y 2 . 2) z = u v , u = x y , v = xy. 3) z = f (u, v) , u = ax, v = ay. 4) z = f (u, v) , u = xe y , v = ye x . CAPITOLUL5. DERIVATES¸IDIFERENT¸ IALE 73 5.104S˘a se calculeze diferent ¸ialele de ordinul doi ale funct ¸iilor compuse: 1) F (x) = f x 2 , ln x . 2) F (x, y) = f x 2 , x y . 3) F (x, y, z) = f x +y +z, x 2 +y 2 +z 2 . 5.105S˘a se g˘aseasc˘ a polinomul Taylor de gradul 3 asociat funct ¸iei f(x, y) = x 2 +y 2 ˆın punctul (1, 1). R:Polinomul Taylor de gradul 3 asociat funct ¸ieifeste: T 3 (x, y) = √ 2 + 1 1! 1 √ 2 [(x −1) +(y −1)] + 1 2! 1 2 √ 2 [(x −1) 2 −2(x −1)(y −1) +(y −1) 2 ]− − 1 3! 1 4 √ 2 [(x −1) 3 −(x −1) 2 (y −1) −(x −1)(y −1) 2 + (y −1) 3 ]. 5.106S˘aseg˘aseasc˘apolinomul Taylordegradul nasociatfunct ¸iei f(x, y) =e x+y ˆın punctul (1, −1). R: Avem: T n (x, y) = 1 + n ¸ k=1 1 k! [(x −1) + (y + 1)] k = n ¸ k=0 k ¸ i=0 1 i!(k −i)! (x −1) k−i (y + 1) i . 5.107S˘a se g˘aseasc˘ a o valoare aproximativ˘a a num˘arului (1, 1) 1,2 . R: Polinomul Taylordegradul 3asociatfunct ¸iei f(x, y)=x y , x>0, y>0, ˆın punctul (1, 1) este: T 3 (x, y) = 1 + 1 1! (x −1) + 1 2! [2(x −1)(y −1)] + 1 3! [3(x −1) 2 (y −1)]. Putem atunci scrief(1, 1; 1, 2) ≈ T 3 (1, 1; 1, 2) = 1, 1021. 5.108S˘a se dezvolte polinomul f (x, y) = x 3 −2y 3 + 3xy dup˘a formula lui Taylor ˆın vecin˘ atatea punctului (1, 2). R: Avem: f (x, y) = 9 (x −1) −21 (y −2) + 3 (x −1) 2 + 3 (x −1) (y −2) −12 (y −2) 2 + +(x −1) 3 −2 (y −2) 3 . CAPITOLUL5. DERIVATES¸IDIFERENT¸ IALE 74 5.109S˘a se dezvolte polinomul f (x, y) = −x 2 + 2xy + 3y 2 −6x −2y −4 dup˘a formula lui Taylor ˆın vecin˘ atatea punctului (−2, 1). R:f (x, y) = 1 −(x + 2) 2 + 2 (x + 2) (y −1) + 3 (y −1) 2 . 5.110S˘a se dezvolte polinomul f (x, y, z) = x 2 +y 2 +z 2 + 2xy −yz −4x −3y −z + 4 dup˘a formula lui Taylor ˆın vecin˘ atatea punctului (1, 1, 1). 5.111Sed˘apolinomul f (x, y, z)=x 2 + y 2 + z 2 − 2xy − 2xz − 2yz. S˘asedezvolte f (x +k, y +h, z +) dup˘a formula lui Taylor ˆın vecin˘ atatea punctului (x, y, z). 5.112S˘a se g˘aseasc˘ a polinoamele Taylor de gradul 3 asociate, ˆın origine, funct ¸iilor: 1) f (x, y) = e x sin y. 2) f (x, y) = cos xcos y. R: 1)T 3 (x, y) = y +xy − 1 6 y 3 + 1 2 x 2 y. 2)T 3 (x, y) = 1 − 1 2 y 2 − 1 2 x 2 . 5.113S˘a se g˘aseasc˘ a polinomul Taylor de gradul 2 asociat funct ¸iei f (x, y) = x 2 +y 2 ˆın punctul (1, 1). R: Avem T 3 (x, y) = √ 2+ √ 2 1! [(x −1) + (y −1)]+ 1 2! 1 2 √ 2 (x −1) 2 −2 (x −1) (y −1) + (y −1) 2 . 5.114S˘a se deduc˘a formule aproximative (exacte pˆan˘ a la termeni de gradul doi ˆınx ¸si y) pentru funct ¸iile: 1) f (x, y) = arctg 1−x 1−y , 2) f (x, y) = (1+x) m +(1+y) n 2 , dac˘a [x[ ¸si [y[ sunt mici ˆın comparat ¸ie cu unitatea. Capitolul6 Funct ¸iidefiniteimplicit 6.1 Funct ¸iidefiniteimplicitdeoecuat ¸ie 6.1S˘a se arate c˘a ecuat ¸iaF (x; y) = y 3 −xy 2 −xy +x 2 = 0: 1) Admite o infinitate de solut ¸iiy = f (x),f: [0, ∞) →[0, ∞). 2) Admite numai patru solut ¸ii continuey = f (x),f: [0, ∞) →[0, ∞). 3) Exist˘a o vecin˘atateUa punctuluix 0 = 4 ¸si o vecin˘atateVa punctuluiy 0 = 2, ˆın care ecuat ¸iaF (x; y) = 0 admite o singur˘a solut ¸iey = f (x),f: U →V , continu˘ a peU, care satisface condit ¸iaf (4) = 2. R: 1)Ecuat ¸iasemai scrie: (y −x) y 2 −x =0. Deci, pentruoriceα, β ∈R, cu 0 ≤ α ≤ β, funct ¸iiley = f (x),f: [0, ∞) →[0, ∞), definite prin: f (x) = x, x ∈ [α, β), √ x, ˆın rest, f (x) = √ x, x ∈ [α, β), x, ˆın rest. 2) Cele patru solut ¸ii continue pe [0, ∞) sunt: f 1 (x) = x, f 2 (x) = √ x, f 3 (x) = x, x ∈ [0, 1), √ x, x ∈ [1, ∞), f 4 (x) = √ x, x ∈ [0, 1), x, x ∈ [1, ∞). 3) Deoarece F y (4; 2) = −8 =0, dac˘alu˘amU=(1, ∞)¸si V =(1, ∞), funct ¸ia f (x) = √ x este continu˘a ¸sif (4) = 2. 6.2S˘asearatec˘aecuat ¸iaF (x, y; z)=x 2 + y 2 − z 2 − 3xyz=0admitenumaidou˘a solut ¸iiz = z 1 (x, y) ¸siz = z 2 (x, y) continue ¸si diferent ¸iabile pe o vecin˘atate a punctului (0, 1). R: Ecuat ¸iaF (0, 1; z) = 1 −z 2 = 0 are r˘ad˘acinilez 1 = 1 ¸siz 2 = −1, iarF z (x, y; z) = −(2z + 3xy), a.ˆı. F z (0, 1; 1) = −2, F z (0, 1; −1) = 2. Deci exist˘a dou˘a funct ¸ii continue ¸si diferent ¸iabile pe o vecin˘atate a punctului (0, 1) care satisfac condit ¸iilez 1 (0, 1) = 1 ¸si respectivz 2 (0, 1) = −1. Derivatele lor part ¸iale sunt date de: ∂z ∂x = 2x −3yz 2z + 3xy , ∂z ∂y = 2y −3xz 2z + 3xy . 75 CAPITOLUL6. FUNCT¸ IIDEFINITEIMPLICIT 76 Valorile lor ˆın punctul (0, 1) sunt: ∂z 1 ∂x (0, 1) = − 3 2 , ∂z 1 ∂y (0, 1) = 1, ∂z 2 ∂x (0, 1) = − 3 2 , ∂z 2 ∂y (0, 1) = −1. 6.3S˘a se calculeze dy dx ¸si d 2 y dx 2 dac˘a 1) F (x; y) = x 2 +y 2 3 −3 x 2 +y 2 + 1 = 0. 2) F (x; y) = ln x 2 +y 2 −a arctg y x = 0, a = 0. 3) F (x; y) = x 2 +y 2 + ln x 2 +y 2 −a 2 = 0. R: 1) dy dx = − x y ¸si d 2 y dx 2 = − x 2 +y 2 y 3 . 2) dy dx = x+ay ax−y , d 2 y dx 2 = (a 2 +1)(x 2 +y 2 ) (ax−y) 3 . 3) dy dx = − x y , d 2 y dx 2 = − x 2 +y 2 y 3 . 6.4S˘a se calculeze dy dx , d 2 y dx 2 ¸si d 3 y dx 3 dac˘a x 2 a 2 + y 2 b 2 −1 = 0. R: dy dx = − b 2 x a 2 y , d 2 y dx 2 = − b 4 a 2 y 3 ¸si d 3 y dx 3 = − 3b 6 x a 4 y 5 . 6.5S˘a se calculeze dy dx dac˘aF (x; y) = y x −y + 1 = 0. R: dy dx = y x ln x 1−xy x−1 . 6.6Ecuat ¸iile: 1) F (x, y; z) = x 3 + 2y 3 +z 3 −3xyz −2y + 3 = 0, 2) F (x, y; z) = xcos y +y cos x +z cos x −1 = 0, 3) F (x, y; z) = x +y +z −e z = 0, 4) F (x, y; z) = z 2 −xe y −ye z −ze x = 0, definesc funct ¸iiz = z (x, y). S˘a se calculeze: ∂z ∂x ¸si ∂z ∂y . R: 1) ∂z ∂x = x 2 −yz xy−z 2 , ∂z ∂y = 6y 2 −3xz−2 3(xy−z 2 ) . 2) ∂z ∂x = z cos x−cos y cos x−y sin z , ∂z ∂y = x sin y−cos z cos x−y sin z . 3) ∂z ∂x = ∂z ∂y = 1 e z −1 . 4) ∂z ∂x = e y +ze x 2z−ye z −e x , ∂z ∂y = xe y +e z 2z−ye z −e x . 6.7Ecuat ¸iile: 1) xe y +ye x +ze x = 1, 2) x −z + arctg y z −x = 0, 3)sin xy −e xy −x 2 y = 0. definesc funct ¸iiz = z (x, y). S˘a se calculeze ∂z ∂x . R: 1) ∂z ∂x = −y −z −e y−x . 2) ∂z ∂x = 1. 3) ∂z ∂x = − y(e xy +2x−cos xy) x(e xy +x−cos xy) . CAPITOLUL6. FUNCT¸ IIDEFINITEIMPLICIT 77 6.8S˘asecalculezederivatelepart ¸ialedeordinul ˆıntˆai¸si celedeordinul al doileaale funct ¸ieiz = z (x, y) definit˘a de ecuat ¸ia x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 −1 = 0. R: ∂z ∂x = − c 2 x a 2 z , ∂z ∂y = − c 2 y b 2 z , ∂ 2 z ∂x 2 = − c 4 (b 2 −y 2 ) a 2 b 2 z 3 , ∂ 2 z ∂x∂y = − c 4 xy a 2 b 2 z 3 , ∂ 2 z ∂y 2 = − c 4 (a 2 −x 2 ) a 2 b 2 z 3 . 6.9S˘a se calculezedz ¸sid 2 zdac˘a funct ¸iaz = z (x, y) este definit˘a de ecuat ¸ia: x 2 +y 2 +z 2 = a 2 . R:dz = − x z dx − y x dy,d 2 z = y 2 −a 2 z 3 dx 2 −2 xy z 3 dxdy + x 2 −a 2 z 3 dy 2 . 6.10S˘a se calculezedz ¸sid 2 z ˆın punctul (2, 0; 1) dac˘a funct ¸iaz = z (x, y) este definit˘a de ecuat ¸ia: 2x 2 + 2y 2 +z 2 −8xz −z + 8 = 0. R:dz (2, 0) = 0, d 2 z (2, 0) = 4 15 dx 2 +dy 2 . 6.11Funct ¸iaz=z (x, y)estedefinit˘adeecuat ¸ia(y +z) sin z − y (x +z)=0. S˘ase arate c˘a z sin z ∂z ∂x −y 2 ∂z ∂y = 0. R: Avem: ∂z ∂x = y sinz +y cos z +z cos z −y , ∂z ∂y = − sin z −x −z sinz +y cos z +z cos z −y . 6.12Funct ¸iaz = z (x, y) este definit˘a de ecuat ¸iax 2 +y 2 +z 2 = ϕ(ax +by +cz), unde ϕ este o funct ¸ie derivabil˘a ¸sia, b, c sunt constante. S˘a se arate c˘a (cy −bz) ∂z ∂x + (az −cx) ∂z ∂y = bx −ay. 6.13Funct ¸iaz = z (x, y) este definit˘a de ecuat ¸iaF (x −az, y −bz) = 0, undeFeste o funct ¸ie diferent ¸iabil˘a iara ¸sib sunt constante. S˘a se arate c˘a a ∂z ∂x +b ∂z ∂y = 1. 6.14Ecuat ¸iaF (x + 2y, y −2x) = 0define¸stefunct ¸iay =y (x). S˘asecalculezey (x) ¸siy (x). 6.15Ecuat ¸iaF (sin x +y, cos y +x)=0define¸stefunct ¸iay=y (x). S˘asecalculeze y (x) ¸siy (x). 6.16Ecuat ¸ia ln x 2 +y 2 +z 2 + arcsin (ax +by +cz) = 1 define¸ste funct ¸iaz = z (x, y). S˘a se calculeze ∂z ∂x , ∂z ∂y , ∂ 2 z ∂x∂y . CAPITOLUL6. FUNCT¸ IIDEFINITEIMPLICIT 78 6.17Ecuat ¸iaF x + z y , y + z x = 0 define¸ste funct ¸iaz = z (x, y). S˘a se arate c˘a: x ∂z ∂x +y ∂z ∂y = z −xy. 6.18Ecuat ¸iaF x z , y z = 0 define¸ste funct ¸iaz = z (x, y). S˘a se arate c˘a: x ∂z ∂x +y ∂z ∂y = z. 6.2 Funct ¸iidefiniteimplicitdeunsistemdeecuat ¸ii 6.19Sistemul F(x; y, z) = x 2 +y 2 −z 2 = 0, G(x; y, z) = x 2 + 2y 2 + 3z 2 −5 = 0, define¸ste funct ¸iiley = y (x),z = z (x). S˘a se calculezey (x),z (x),y (x) ¸siz (x). R: Din sistemul: x+yy −zz = 0,x+2yy +3zz = 0, se obt ¸ine: y = − 4x 5y , z = x 5z . Derivˆand din nou ¸si ˆınlocuindy ¸siz , obt ¸inem: y = − 4 25 5y 2 + 4x 2 y 3 , z = − 1 25 x 2 −5z 2 z 3 . 6.20Sistemul F(x; y, z) = cos x + cos y + cos z −a = 0, G(x; y, z) = x 3 +y 3 +z 3 −b = 0, define¸ste funct ¸iiley = y (x),z = z (x). S˘a se calculezey (x),z (x). R: Din sistemul: sin x +y siny −z sin z = 0,x 2 +y 2 y +z 2 z = 0, obt ¸inem: y = − x 2 sin z −z 2 sin x y 2 sin z −z 2 sin y , z = − x 2 sin y −y 2 sin x z 2 sin y −y 2 sin z . 6.21Sistemul xyz=a, x + y + z=bdefine¸stefunct ¸iiley=y (x), z=z (x). S˘ase calculezedy,dz,d 2 y ¸sid 2 z. R: Din: yzdx +xzdy +xydz = 0 ¸sidx +dy +dz = 0 se obt ¸ine: dy = − y (x −z) x(y −z) dx, dz = z (x −y) x(y −z) dx, d 2 y = −d 2 z = −2yz x 2 +y 2 +z 2 −xz −xy −yz x 2 (y −z) 3 dx 2 . 6.22Sistemul F(x, y; u, v) = u +v −x −y = 0, G(x, y; u, v) = xu +yv −1 = 0, pentrux = y, define¸ste peu ¸sivca funct ¸ii dex ¸siy. S˘a se calculeze derivatele part ¸iale ale funct ¸iiloru = u(x, y) ¸siv = v(x, y). CAPITOLUL6. FUNCT¸ IIDEFINITEIMPLICIT 79 R: Pentru a calcula derivatele part ¸iale ale funct ¸iilor u = u(x, y) ¸si v = v(x, y), deriv˘am cele dou˘a ecuat ¸ii ˆın raport cux ¸si apoi cuy. Se obt ¸in sistemele liniare: u x +v x = 1, xu x +yv x = −u, u y +v y = 1, xu y +yv y = −v, al c˘aror determinant este D(F, G) D(u, v) = 1 1 x y = y −x = 0. Aplicˆand regula lui Cramer se obt ¸ine: u x = y +u y −x , v x = − x +u y −x , u y = y +v y −x , v y = − x +v y −x . 6.23Sistemul F(x, y; u, v) = u −x −y = 0, G(x, y; u, v) = uv −y = 0, define¸ste peu ¸siv ca funct ¸ii dex ¸siy. S˘a se calculeze derivatele part ¸iale de ordinul ˆıntˆai ¸si doi ale funct ¸iiloru = u(x, y) ¸siv = v(x, y). 6.24Sistemul F(x, y; u, v) = x +y +u +v −a = 0, G(x, y; u, v) = x 3 +y 3 +u 3 +v 3 −b = 0, define¸ste peu ¸siv ca funct ¸ii dex ¸siy. S˘a se calculeze derivatele part ¸iale de ordinul ˆıntˆai ¸si doi ale funct ¸iiloru = u(x, y) ¸siv = v(x, y). R: Obt ¸inem: u x = v 2 −x 2 u 2 −v 2 , v x = x 2 −u 2 u 2 −v 2 , u y = v 2 −y 2 u 2 −v 2 , v y = y 2 −u 2 u 2 −v 2 . 6.25Sistemul F(x, y; u, v) = u +v −x = 0, G(x, y; u, v) = u −yv = 0, define¸ste peu ¸sivca funct ¸ii dex ¸siy. S˘a se calculezedu,dv,d 2 u ¸sid 2 v. R: Din: du +dv = dx ¸sidu −y dv = v dy, se obt ¸ine: du = 1 1 +y (y dx +v dy) , dv = 1 1 +y ( dx −v dy) , d 2 u = −d 2 v = 2 (1 +y) 2 dxdy −v d 2 y . 6.26Sistemul ϕ(u, v) =x, ψ (u, v) =ydefine¸stepeu ¸si vcafunct ¸iidex ¸si y. S˘ase calculeze ∂u ∂x , ∂v ∂x , ∂u ∂y , ∂v ∂y . CAPITOLUL6. FUNCT¸ IIDEFINITEIMPLICIT 80 R: Derivˆand cele dou˘a ecuat ¸ii ˆın raport cux, obt ¸inem: ∂ϕ ∂u ∂u ∂x + ∂ϕ ∂v ∂v ∂x = 1, ∂ψ ∂u ∂u ∂x + ∂ψ ∂v ∂v ∂x = 0. Dac˘a D(ϕ,ψ) D(u,v) = 0, obt ¸inem: ∂u ∂x = − ∂ψ ∂u D(ϕ,ψ) D(u,v) , ∂v ∂x = ∂ψ ∂v D(ϕ,ψ) D(u,v) . 6.27S˘a se g˘aseasc˘az x ¸siz y dac˘a: 1) x = ucos v, y = usin v, z = cv. 2) x = u +v, y = u −v, z = uv. R: 1)z x = cv x = − cy x 2 +y 2 ,z y = cv y = cx x 2 +y 2 . 2)z x = 1 2 x,z y = − 1 2 y. 6.3 Transform˘aripunctuale 6.28FieE = (0, ∞) [0, 2π) ⊂ R 2 ¸siF= R 2 ` ¦(0, 0)¦. S˘a se arate c˘a transformarea punctual˘a: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, (r, ϕ) ∈ E, este regulat˘a peE¸si s˘a se determine inversa sa ˆın vecin˘atatea punctului 1, π 4 ∈ E. R: Determinantul funct ¸ional al transform˘arii este D(x, y) D(r, ϕ) = cos ϕ −r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ = r = 0, ∀(r, ϕ) ∈ E. Deci ˆın orice punct cu except ¸ia originii, transformarea este regulat˘a ¸si inversa ei este r = x 2 +y 2 , ϕ =arctg y x . 6.29FieE = (0, ∞) [0, 2π) R ⊂ R 3 ¸siF= R 3 ` ¦(0, 0, z) , z ∈ R¦. S˘a se arate c˘a transformarea punctual˘a: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z, este regulat˘a peE¸si s˘a se determine inversa sa ˆın vecin˘atatea punctului 1, π 4 , 0 ∈ E. R: Determinantul funct ¸ional al transform˘arii este D(x, y, z) D(r, ϕ, z) = cos ϕ −r sin ϕ 0 sin ϕ r cos ϕ 0 0 0 1 = r = 0, ∀(r, ϕ, z) ∈ E. Deci ˆın orice punct cu except ¸ia celor de pe axaOz este regulat˘a ¸si inversa ei este r = x 2 +y 2 , ϕ =arctg y x , z = z. CAPITOLUL6. FUNCT¸ IIDEFINITEIMPLICIT 81 6.30FieE = (0, ∞) [0, 2π) (0, π) ⊂ R 3 ¸siF= R 3 ` ¦(0, 0, z) , z ∈ R¦. S˘a se arate c˘a transformarea punctual˘a: x = r cos ϕsin θ, y = r sin ϕsin θ, z = r cos θ, (r, ϕ, θ) ∈ E, este regulat˘a peE¸si s˘a se determine inversa sa ˆın vecin˘atatea punctului 1, π 4 , 0 ∈ E. R: Determinantul funct ¸ional al transform˘arii este D(x, y, z) D(r, ϕ, z) = sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ −r sin θ sin ϕ sinθ sinϕ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ cos θ −r sin θ 0 = r 2 sin θ = 0. Deci ˆın orice punct cu except ¸ia celor de pe axaOz este regulat˘a ¸si inversa ei este r = x 2 +y 2 +z 2 , ϕ =arctg y x , θ = arccos z x 2 +y 2 +z 2 . 6.31Se d˘a transformarea punctual˘a f: R 2 →R 2 definit˘a prin: u = x 2 +y 2 , v = x 2 −y 2 . 1)S˘aseg˘aseasc˘aimagineamult ¸imii E= ¸ (x, y) ∈ R 2 [ x > 0, y> 0 ¸ printransfor- marea f . 2) S˘a se arate c˘a transformarea f este regulat˘a ˆıntr-o vecin˘atate a punctului (1, 1). 3) S˘a se g˘aseasc˘a inversa transform˘arii f . R: 1)F= ¸ (u, v) ∈ R 2 u +v> 0, u −v> 0 ¸ . 2) D(u,v) D(x,y) (1, 1) = −8 = 0. 3) Inversa transform˘arii feste: x = 1 √ 2 √ u +v, y = 1 √ 2 √ u −v. 6.32S˘a se arate c˘a transformarea punctual˘a f: R 2 →R 2 definit˘a prin: u = sin (x +y) , v = y 3 , nu este regulat˘a pe mult ¸imeaD = − π 4 , π 4 − π 4 , π 4 . R: D(u,v) D(x,y) = 3y 2 cos (x +y) = 0 pentruy = 0 saux +y = ± π 2 . 6.33S˘a se arate c˘a transformarea: x = cos ϕcos ψ, y = cos ϕsin ψ, este regulat˘a pe mult ¸imeaE = ¸ (ϕ, ψ) [ 0 < ϕ < π 2 , ψ ∈ R ¸ . S˘a se calculeze: ∂ϕ ∂x , ∂ψ ∂x , ∂ϕ ∂y , ∂ψ ∂y , ˆınpunctul (x 0 , y 0 )= 1 2 , 1 2 , imagineaprintransformareadat˘aapunctului (ϕ 0 , ψ 0 )= π 4 , π 4 . CAPITOLUL6. FUNCT¸ IIDEFINITEIMPLICIT 82 R: Determinantul funct ¸ional al transform˘arii este D(x, y) D(ϕ, ψ) = −sin ϕcos ψ −cos ϕsin ψ −sinϕsin ψ cos ϕcos ψ = −2 sin ϕcos ϕ = 0, ∀(ϕ, ψ) ∈ E. Inversa transform˘arii este: ϕ = arccos x 2 +y 2 ,ψ = arctg y x , iar: ∂ϕ ∂x 1 2 , 1 2 = ∂ψ ∂x 1 2 , 1 2 = ∂ϕ ∂y 1 2 , 1 2 = ∂ψ ∂y 1 2 , 1 2 = −1. 6.34Fie transformarea: x = r cos ϕsin ψ,y = r sin ϕsin ψ,z = r cos ψ, (r, ϕ, ψ) ∈ R 3 . 1) S˘a se determine punctele ˆın care transformarea este regulat˘a. 2) S˘asecalculezejacobianul transform˘arii inverse¸si derivatele r xx , ϕ yy , ψ zz ˆın punctul (x 0 , y 0 , z 0 ) = (0, 1, 0). R: 1) Jacobianul transform˘arii este: D(x, y, z) D(r, ϕ, ψ) = cos ϕsin ψ −r sin ϕsin ψ r cos ϕcos ψ sin ϕsin ψ r cos ϕsin ψ r sin ϕcos ψ cos ψ 0 −r sin ψ = −r 2 sin ψ. Transformarea este regulat˘a dac˘ar = 0 ¸siψ = kπ,k ∈ Z. 2) Jacobianul transform˘arii inverse ˆın punctul (0, 1, 0) este: D(r, ϕ, ψ) D(x, y, z) (0, 1, 0) = 1 D(x,y,z) D(r,ϕ,ψ) 1, π 2 , π 2 = −1. Transformarea invers˘a este: r = x 2 +y 2 +z 2 , ϕ = arctg y x , ψ = arccos z x 2 +y 2 +z 2 . Iar: r xx (0, 1, 0) = 1,ϕ yy (0, 1, 0) = 0,ψ zz (0, 1, 0) = −1. 6.4 Dependent ¸˘a¸siindependent ¸˘afunct ¸ional˘a 6.35S˘a se arate c˘a funct ¸iile: 1) f (x, y, z) = x +y +z, g (x, y, z) = x 2 +y 2 +z 2 , h(x, y, z) = xy +xz +yz. 2) f (x, y, z) = x +y +z, g (x, y, z) = x −y +z, h(x, y, z) = 4xy + 4yz. sunt funct ¸ional dependente pe R 3 . R: 1) Matricea funct ¸ional˘a x y z 2x 2y 2z y +z x +z x +y ¸ ¸ CAPITOLUL6. FUNCT¸ IIDEFINITEIMPLICIT 83 are rangul mai mic decˆat 3. Relat ¸ia de dependent ¸˘a funct ¸ional˘a este: g = f 2 −2h. 2) Matricea funct ¸ional˘a 1 1 1 1 −1 1 4y 4x + 4z 4y ¸ ¸ are rangul mai mic decˆat 3. Relat ¸ia de dependent ¸˘a funct ¸ional˘a este: h = f 2 −g 2 . 6.36S˘a se arate c˘a funct ¸iile: f (x, y, z) = ln x 2 +y 2 +z 2 , g (x, y, z) = arctg x y − y x +z , sunt funct ¸ional independente pentrux > 0, y> 0, z> 0. R: Matricea funct ¸ional˘a 2x x 2 +y 2 +z 2 2y x 2 +y 2 +z 2 2z x 2 +y 2 +z 2 1 y + y x 2 1+( x y − y x +z) 2 − x y 2 − 1 x 1+( x y − y x +z) 2 1 1+( x y − y x +z) 2 ¸ ¸ are rangul 2. 6.37S˘a se arate c˘a funct ¸iile: f (x, y, z) = x +y +z, g (x, y, z) = x 3 +y 3 +z 3 + 6xyz, h(x, y, z) = xy (x +y) +yz (y +z) +zx(z +x) , sunt funct ¸ional dependente pe R 3 ¸si s˘a se g˘aseasc˘a relat ¸ia de dependent ¸˘a funct ¸ional˘ a. R: Matricea funct ¸ional˘a 1 1 1 3x 2 + 6yz 3y 2 + 6xz 3z 2 + 6xy y 2 +z 2 + 2x(y +z) z 2 +x 2 + 2y (z +x) x 2 +y 2 + 2z (x +y) ¸ ¸ are rangul mai mic decˆat 3. Relat ¸ia de dependent ¸˘a funct ¸ional˘a este: f 3 = g + 3h. 6.38Dac˘afunct ¸iilef, g, hsunt derivabile¸si inversabile, atunci funct ¸iile: u=f y z , v = g z x ,w = h x y , definite peD = R` ¦(0, 0, 0)¦, sunt funct ¸ional dependente peD. R: Matricea funct ¸ional˘a 0 1 z f − y z 2 f − z x 2 g 0 1 x g 1 y h − x y 2 h 0 ¸ ¸ are rangul mai mic decˆat 3. CAPITOLUL6. FUNCT¸ IIDEFINITEIMPLICIT 84 6.39S˘a se arate c˘a funct ¸iile: f (x, y, z) = xy −z, g (x, y, z) = xz +y, h(x, y, z) = x 2 + 1 y 2 +z 2 − x 2 −1 yz −x y 2 −z 2 , sunt funct ¸ional dependente pe R 3 ¸si s˘a se g˘aseasc˘a relat ¸ia de dependent ¸˘a funct ¸ional˘ a. R: Matricea funct ¸ional˘a are rangul mai mic decˆat 3. Relat ¸ia de dependent ¸˘a funct ¸io- nal˘a este: h = f 2 −fg +g 2 . 6.40S˘a se arate c˘a funct ¸iile: f 1 (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = x 1 +x 2 −x 3 , f 2 (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = x 2 1 +x 2 2 +x 2 3 +x 2 4 , f 3 (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = 2x 1 x 2 −2x 1 x 3 −2x 2 x 3 −x 2 4 , sunt funct ¸ional dependente pe R 4 . R: Rangul matricei funct ¸ionale este mai mic decˆat 3. Relat ¸ia de dependent ¸˘a funct ¸io- nal˘a este: f 2 +f 3 = f 2 1 . 6.41S˘a se arate c˘a funct ¸iile: f 1 (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x 1 +x 2 + +x n , f 2 (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x 2 1 +x 2 2 + +x 2 n , f 3 (x 1 , x 2 , . . . , x 4 ) = x 1 x 2 +x 1 x 3 + +x n−1 x n , sunt funct ¸ional dependente pe R 4 . R: Rangul matricei funct ¸ionale este mai mic decˆat 3. Relat ¸ia de dependent ¸˘a funct ¸io- nal˘a este: f 2 + 2f 3 = f 2 1 . 6.5 Schimb˘aridevariabile 6.42S˘a se efectueze schimbarea de variabil˘a independent˘ ax = 1 t ˆın ecuat ¸ia: x 2 d 2 y dx 2 + 2x dy dx + a 2 x 2 y = 0. R: Deoarece: dt dx = − 1 x 2 = −t 2 ¸si d 2 t dx 2 = 2 x 3 = 2t 3 , avem: dy dx = dy dt dt dx = −t 2 dy dt , d 2 y dx 2 = d 2 y dt 2 dt dx 2 + dy dt d 2 t dx 2 = t 4 d 2 y dt 2 + 2t 3 dy dt ¸si deci ecuat ¸ia devine: d 2 y dt 2 +a 2 y = 0. CAPITOLUL6. FUNCT¸ IIDEFINITEIMPLICIT 85 6.43S˘a se efectueze schimbarea de variabil˘a independent˘a indicat˘a ˆın urm˘atoarele ecu- at ¸ii pentru funct ¸iay = y (x): 1) x 2 y −2y = x 2 + 1 x , x = e t . 2) x 3 y −x 2 y + 2xy −2y = x 3 + 3x, x = e t . 3) 1 +x 2 2 y + 2x 1 +x 2 y +y = 0, x = tg t. 4)(1 +x) 3 y + 3 (1 +x) 2 y + (1 +x) y = ln (1 +x) , x = e t −1. 5) 1 −x 2 y −xy +y = 0, x = cos t. R: Not˘am dy dt =˙ y. Se obt ¸ine: 1)¨ y −˙ y −2y = e 2t +e −t , 2) ... y −4¨ y + 5 ˙ y −2y = e 3t + 3e t . 3)¨ y +˙ y = 0. 4) ¨ y −2 ˙ y +y = te −t . 5)¨ y +˙ y = 0. 6.44S˘aseefectuezeschimbareavariabileiindependente ˆınurm˘atoareleecuat ¸iipentru funct ¸iay = y (x), luˆand drept nou˘a variabil˘a independent˘a funct ¸iat = t (x) indicat˘a: 1)(1 +x) 2 y + (1 +x) y +y = 4 cos [ln (1 +x)] , t = ln (1 +x) . 2) x 1 +x 2 y − 1 −x 2 y √ 1 +x 2 y −3x 3 y 2 = 0, t = √ 1 +x 2 . R: 1) Not˘am dy dt =˙ y. Se obt ¸ine: 1)¨ y +˙ y = 4 cos t. 2)¨ y +y ˙ y −y 2 = 0. 6.45Funct ¸iay = y (x) verific˘a ecuat ¸ia x 2 y + 4xy + 2 −x 2 y = 4x. S˘aseg˘aseasc˘acedevineaceast˘aecuat ¸iedac˘aseefectueaz˘aschimbareadevariabil˘ade- pendent˘ ay = 1 x 2 z, undez = z (x). R:z −z = 4x. 6.46S˘a se efectueze schimbarea de variabile independente indicat˘a ˆın urm˘atoarele ecu- at ¸ii pentru funct ¸iaz = z (x, y): 1) y ∂z ∂x −x ∂z ∂y = 0, u = x, v = x 2 +y 2 . 2) x ∂z ∂x +y ∂z ∂y = z, u = x, v = x y . 3) x ∂z ∂x + 1 +y 2 ∂z ∂y = xy, u = ln x, v = ln y + 1 +y 2 . 4)(x +y) ∂z ∂x −(x −y) ∂z ∂y = 0, u = ln x 2 +y 2 , v = arctg x y . R: 1) ∂z ∂u = 0. 2)u ∂z ∂u −z = 0. 3) ∂z ∂u + ∂z ∂v = e u sh v. 4) ∂z ∂u − ∂z ∂v = 0. 6.47S˘aseefectuezeschimbareadevariabileindependentex=r cos θ, y=r sin θ ˆın ecuat ¸ia lui Laplace: ∂ 2 z ∂x 2 + ∂ 2 z ∂y 2 = 0. R: Se obt ¸ine: ∂ 2 z ∂r 2 + 1 r 2 ∂ 2 z ∂θ 2 + 1 r ∂z ∂r = 0. CAPITOLUL6. FUNCT¸ IIDEFINITEIMPLICIT 86 6.48S˘aseefectuezeschimbareadevariabileindependentex=r cos θ, y=r sin θ ˆın ecuat ¸ia: y 2 ∂ 2 z ∂x 2 −2xy ∂ 2 z ∂x∂y +x 2 ∂ 2 z ∂y 2 −x ∂z ∂x −y ∂z ∂y = 0. R: Se obt ¸ine: ∂ 2 z ∂θ 2 = 0. 6.49S˘a se efectueze schimbarea de variabile independente indicat˘a ˆın urm˘atoarele ecu- at ¸ii pentru funct ¸iaz = z (x, y): 1) x 2 ∂ 2 z ∂x 2 −y 2 ∂ 2 z ∂y 2 = 0, u = xy, v = x y . 2) ∂ 2 z ∂x 2 −a 2 ∂ 2 z ∂y 2 = 0, u = ax +y, v = −ax +y. 3) ∂ 2 z ∂x 2 −4 ∂ 2 z ∂x∂y + 3 ∂ 2 z ∂y 2 , u = 3x +y, v = x +y. R: 1) ∂ 2 z ∂u∂v = 1 2u ∂z ∂v . 2) ∂ 2 z ∂u∂v = 0. 3) ∂ 2 z ∂u∂v = 0. 6.50S˘aseefectuezeschimbareadevariabileindependente u=sin x +x −y, v = x −sin x +y, ˆın ecuat ¸ia: ∂ 2 z ∂x 2 + 2 cos x ∂ 2 z ∂x∂y −sin 2 x ∂ 2 z ∂y 2 −sin x ∂z ∂y = 0. R: ∂ 2 z ∂u∂v = 0. 6.51S˘aseefectuezeschimbareadevariabileindependente u=x 2 −y 2 , v = y x ,ˆın ecuat ¸ia: xy ∂ 2 z ∂x 2 + x 2 +y 2 ∂ 2 z ∂x∂y +xy ∂ 2 z ∂y 2 −y ∂z ∂x −x ∂z ∂y = 0. R:u ∂ 2 z ∂u∂v − ∂z ∂v = 0. 6.52S˘aseefectuezeschimbareadevariabileindependentex=r cos θ, y=r sin θ ˆın ecuat ¸ia: dy dx = x +y x −y . R: Din sin θ·dr+r cos θ·dθ cos θ·dr−r sin θ·dθ = cos θ+sin θ cos θ−sin θ , se obt ¸ine: dr dθ = r. 6.53S˘a se efectueze schimbarea de variabileu = x 2 +y 2 ,v = 1 x + 1 y ,w = ln z −(x +y), ˆın ecuat ¸ia: y ∂z ∂x −x ∂z ∂y = (y −x) z. R: Se obt ¸ine: ∂w ∂v = 0. 6.54S˘a se efectueze schimbarea de variabileu = x,v = 1 y ,w = 1 z − 1 x , ˆın ecuat ¸ia: x 2 ∂z ∂x +y 2 ∂z ∂y = z 2 . CAPITOLUL6. FUNCT¸ IIDEFINITEIMPLICIT 87 R: Se obt ¸ine: ∂w ∂u = 0. 6.55S˘a se efectueze schimbarea de variabileu = x +y,v = x y ,w = z x , ˆın ecuat ¸ia: ∂ 2 z ∂x 2 −2 ∂ 2 z ∂x∂y + ∂ 2 z ∂y 2 = 0. R: Se obt ¸ine: ∂ 2 w ∂v 2 = 0. 6.56S˘aseefectuezeschimbareadevariabileu=x + y, v=x − y, w=xy − z, ˆın ecuat ¸ia: ∂ 2 z ∂x 2 + 2 ∂ 2 z ∂x∂y + ∂ 2 z ∂y 2 = 0. R: Se obt ¸ine: ∂ 2 w ∂u 2 = 1 2 . Capitolul7 Extremepentrufunct ¸iidemai multevariabile 7.1 Puncte de extrempentrufunct ¸ii de mai multe variabile 7.1S˘a se determine punctele de extrem ale funct ¸iilor: 1) f(x, y) = x 3 + 3xy 2 −15x −12y. 2) f(x, y) = x 2 +xy +y 2 −3x −6y. 3) f(x, y) = 1 2 xy + (47 −x −y) x 3 + y 4 . 4) f(x, y) = x 3 +y 3 + 3xy. R: 1) Punctele stat ¸ionare sunt solut ¸iile sistemului: ∂f ∂x = 3(x 2 +y 2 −5) = 0, ∂f ∂y = 6(xy −2) = 0, adic˘a: (2, 1), (−2, −1), (1, 2), (−1, −2). Derivatele de ordinul doi sunt: ∂ 2 f ∂x 2 = 6x, ∂ 2 f ∂x∂y = 6y, ∂ 2 f ∂y 2 = 6x. ˆ In punctul (2, 1), ∆ 1 = 12> 0, ∆ 2 = 108> 0, (2, 1) este un punct de minim, f(2, 1) = −28. ˆ Inpunctul(−2, −1), ∆ 1 = −120, (−2, −1)esteunpunctde maxim, f(−2, −1) = 28. ˆ In punctele (1, 2), (−1, −2), ∆ 2 = −108< 0. Nu sunt puncte de extrem. 2) Un punct stat ¸ionar: (0, 3). ∆ 1 = 2 > 0, ∆ 2 = 3 > 0. Punctul (0, 3) este un punct de minim ¸sif min = f (0, 3) = −9. 3) Un punct stat ¸ionar: (21, 20). ∆ 1 = − 2 3 < 0, ∆ 2 = 47 144 > 0. Punctul (21, 20) este un punct de maxim ¸sif max = f (21, 20) = 282. 4)Unpunctstat ¸ionare: (0, 0), (−1, −1). Punctul (0, 0)nuestepunctdeextrem. Punctul (−1, −1) este un punct de maxim ¸sif max = f (−1, −1) = 1. 88 CAPITOLUL7. EXTREMEPENTRUFUNCT¸ IIDEMAIMULTEVARIABILE 89 7.2S˘a se determine punctele de extrem ale funct ¸iei f(x, y) = xy + 50 x + 20 y , x > 0, y> 0. R: Punctele stat ¸ionare sunt solut ¸iile sistemului: ∂f ∂x = y − 50 x 3 = 0, ∂f ∂y = x − 20 y 2 = 0. Se obt ¸ine un singur punct stat ¸ionar (5, 2). Derivatele de ordinul doi sunt: ∂ 2 f ∂x 2 = 100 x 3 , ∂ 2 f ∂x∂y = 1, ∂ 2 f ∂y 2 = 40 y 3 . Deci ∆ 1 = 4 5 > 0, ∆ 2 = 3 > 0. Punctul (5, 2) este un punct de minim ¸si f min = f (5, 2) = 30. 7.3S˘a se g˘aseasc˘a extremele funct ¸iilor: 1) z = (x −1) 2 + 2y 2 . 2) z = x 2 +xy +y 2 −2x −y. 3) z = (x −1) 2 −2y 2 . 4) z = x 3 y 2 (6 −x −y) , x > 0, y> 0. 5) z = xy 1 − x 2 3 − y 2 3 . 6) z = x 4 +y 4 −2x 2 + 4xy −2y 2 . 7) z = 1 − x 2 +y 2 2/3 . 8) z = x 2 +y 2 e −(x 2 +y 2 ) . R: 1)z min = z (1, 0) = 0. 2)z min = z (1, 0) = −1 3) Nu are extreme. 4)z max = z (3, 2) = 108. 5)Punctestat ¸ionare: (0, 0), 0, ± √ 3 , ± √ 3, 0 , (1, 1), (−1, 1), (1, −1), (−1, −1). Extreme: z max = z (1, 1) = z (−1, −1) = 1 3 √ 3,z min = z (1, −1) = z (−1, 1) = − 1 3 √ 3. 6)z min = z √ 2, − √ 2 = z − √ 2, √ 2 = −8. 7)z max = z (0, 0) = 1. 8)z min = z (0, 0) = 0. ˆ In punctele cerculuix 2 +y 2 = 1,z max = 1 e . 7.4S˘a se g˘aseasc˘a extremele funct ¸iilor: 1) z = 1+x+y √ 1+x 2 +y 2 2) z = x 2 +y 2 e 2x+3y , x ≥ 0, y ≥ 0. 3) z = x 3 +y 3 −9xy + 27. 4) z = sin x + sin y + cos (x +y) , x, y ∈ 0, π 2 . 5) z = x 4 +y 4 + 2x 2 y 2 −8x + 8y. R: 1)z max = z (1, −1) = √ 3. 2)z min = z (0, 0) = 0. 3) (0, 0) nu este punct de extrem,z min = z (3, 3) = 0. 4) π 2 , π 2 nu este punct de extrem,z max = z π 6 , π 6 = 3 2 . 5)z min = z (1, −1) = −12. 7.5S˘a se g˘aseasc˘a extremele funct ¸iilor: 1) f (x, y, z) = x 2 +y 2 +z 2 + 2x + 4y −6z. 2) f (x, y, z) = x 3 +y 2 +z 2 + 12xy + 2z. 3) f (x, y, z) = sin x + sin y + sin z −sin (x +y +z) , x, y, z ∈ (0, π) . CAPITOLUL7. EXTREMEPENTRUFUNCT¸ IIDEMAIMULTEVARIABILE 90 R: 1)Unpunctstat ¸ionar: (−1, −2, 3). d 2 f (−1, −2, 3)=2 dx 2 +dy 2 +dz 2 este oform˘ap˘atratic˘apozitivdefinit˘a¸si deci punctul (−1, −2, 3)esteunpunctdeminim, f min = f (−1, −2, 3) = −14. 2) Dou˘a puncte stat ¸ionare: (0, 0, −1), (24, −144, −1). ˆ Ins˘a d 2 f (x, y, z) = 6xdx 2 + 2 dy 2 + 2 dz 2 + 24 dxdy, iar: d 2 f (0, 0, −1)=2 dy 2 + 2 dz 2 + 24 dxdy=2 (dy + 6 dx) 2 − 72 dx 2 + 2 dz 2 , form˘a p˘atratic˘a nedefinit˘a, deci (0, 0, −1) nu este punct de extrem, d 2 f (24, −144, −1) = 144 dx 2 + 2 dy 2 + 2 dz 2 + 24 dxdy = (12 dx +dy) 2 +dx 2 + 2dz 2 , form˘a p˘atratic˘a pozitiv definit˘a ¸si deci punctul (24, −144, −1) este un punct de minim, f min = f (24, −144, −1) = −6913. 3)f max = f π 2 , π 2 , π 2 = 4. 7.2 Extremepentrufunct ¸iidefiniteimplicit 7.6S˘aseg˘aseasc˘aextremeleurm˘atoarelorfunct ¸ii z=f (x, y), definiteimplicit prin ecuat ¸iile: 1) F (x, y; z) = x 2 +y 2 +z 2 −2x + 4y −6z −11 = 0. 2) F (x, y; z) = x 3 −y 2 +z 2 −3x + 4y +z −8 = 0. R: 1) Sistemul: F x = 2x −2 = 0, F y = 2y + 4 = 0, F= x 2 +y 2 +z 2 −2x + 4y −6z −11 = 0, aresolut ¸iile: (1, −2; −2)¸si (1, −2; 8). Ecuat ¸iaF (x, y; z) =0define¸stedou˘afunct ¸ii: z = z 1 (x, y) ¸siz = z 2 (x, y). Pentruz = z 1 (x, y): A 11 = − F xx (1, −2; −2) F z (1, −2; −2) = 1 5 , A 12 = − F xy (1, −2; −2) F z (1, −2; −2) = 0, A 22 = − F yy (1, −2; −2) F z (1, −2; −2) = 1 5 ¸si deci ∆ 1 = 1 5 >0, ∆ 2 = 1 25 >0, deci (1, −2) esteunpunct deminim, z min = z 1 (1, −2) = −2. Pentruz = z 2 (x, y): A 11 = − F xx (1, −2; 8) F z (1, −2; 8) = − 1 5 , A 12 = − F xy (1, −2; 8) F z (1, −2; 8) = 0, A 22 = − F yy (1, −2; 8) F z (1, −2; 8) = − 1 5 ¸si deci ∆ 1 = − 1 5 0, deci (1, −2)esteunpunctdemaxim, z max = z 2 (1, −2) = 8. 2) Sistemul: F x = 3x 2 −3 = 0, F y = −2y + 4 = 0, F= x 3 −y 2 +z 2 −3x + 4y +z −8 = 0, CAPITOLUL7. EXTREMEPENTRUFUNCT¸ IIDEMAIMULTEVARIABILE 91 are solut ¸iile: (1, 2; 2), (−1, 2; 1), (1, 2; −3), (−1, 2; −2). Ecuat ¸iaF (x, y; z) = 0 define¸ste dou˘a funct ¸ii: z = z 1 (x, y) ¸siz = z 2 (x, y), fiecare avˆand cˆate dou˘a puncte stat ¸ionare. Pentruz = z 1 (x, y), ˆın primul punct: A 11 = − F xx (1, 2; 2) F z (1, 2; 2) = − 6 5 , A 12 = − F xy (1, 2; 2) F z (1, 2; 2) = 0, A 22 = − F yy (1, 2; 2) F z (1, 2; 2) = 2 5 ¸si deci ∆ 1 = − 6 5 0, deci (−1, 2) este un punct de minim, z min = z 1 (−1, 2) = 1. Pentruz = z 2 (x, y), ˆın primul punct: A 11 = − F xx (1, 2; −3) F z (1, 2; −3) = 6 5 , A 12 = − F xy (1, 2; −3) F z (1, 2; −3) = 0, A 22 = − F yy (1, 2; −3) F z (1, 2; −3) = − 2 5 ¸si deci ∆ 1 = 6 5 > 0, ∆ 2 = − 12 25 < 0, deci (1, 2) nu este un punct de extrem. ˆ In punctul al doilea: A 11 = − F xx (−1, 2; −2) F z (−1, 2; −2) = −2, A 12 = − F xy (−1, 2; −2) F z (−1, 2; −2) = 0, A 22 = − F yy (−1, 2; −2) F z (−1, 2; −2) = − 2 3 ¸si deci ∆ 1 = −2 0, deci (−1, 2) esteunpunct deminim, z max = z 1 (−1, 2) = −2. 7.7S˘aseg˘aseasc˘aextremeleurm˘atoarelorfunct ¸ii z=f (x, y), definiteimplicit prin ecuat ¸iile: 1) F (x, y; z) = x 2 12 + y 2 4 + z 2 3 −1 = 0. 2) F (x, y; z) = x 2 3 + y 2 4 − z 2 25 + 1 = 0. R: 1) SistemulF x = 0,F y = 0,F= 0, are solut ¸iile 0, 0; − √ 3 , 0, 0; √ 3 . Ecuat ¸iaF (x, y; z)=0define¸stedou˘afunct ¸ii: z=z 1 (x, y) ¸si z=z 2 (x, y), z min = z 1 (0, 0) = − √ 3,z max = z 2 (0, 0) = √ 3. 2) SistemulF x = 0,F y = 0,F= 0, are solut ¸iile (0, 0; −5), (0, 0; 5). Ecuat ¸iaF (x, y; z)=0define¸stedou˘afunct ¸ii: z=z 1 (x, y) ¸si z=z 2 (x, y), z min = z 1 (0, 0) = 5,z max = z 2 (0, 0) = −5. 7.8S˘aseg˘aseasc˘aextremeleurm˘atoarelorfunct ¸ii z=f (x, y), definiteimplicit prin ecuat ¸iile: 1) F (x, y; z) = 4xy −z 2 −4x −4y + 8 = 0. 2) F (x, y; z) = 5x 2 + 6y 2 + 7z 2 −4xy + 4yz −10x + 8y + 14z −6 = 0. R: 1) SistemulF x = 0,F y = 0,F= 0, are solut ¸iile (0, 0; −2), (0, 0; 2). CAPITOLUL7. EXTREMEPENTRUFUNCT¸ IIDEMAIMULTEVARIABILE 92 7.3 Extremecondit ¸ionate 7.9S˘a se g˘aseasc˘a extremele condit ¸ionate ale urm˘atoarelor funct ¸ii: 1) z = xy, pentru x +y −1 = 0. 2) z = x + 2y, pentru x 2 +y 2 −5 = 0. 3) z = x 2 +y 2 , pentru x 2 + y 3 = 1. 4) z = cos 2 x + cos 2 y, pentru y −x = π 4 . 5) z = x 2 +y 2 , pentru x a + y b = 1. 6) z = 1 x + 1 y , pentru 1 x 2 + 1 y 2 = 1 a 2 . R: 1) Construim funct ¸ia lui Lagrange: L(x, y; λ) = xy +λ(x +y −1). Sistemul: L x = y +λ = 0, L y = x +λ = 0, L λ = x +y −1 = 0 aresolut ¸ia: x 0 = 1 2 , y 0 = 1 2 , λ 0 = − 1 2 . FieΦ(x, y) =L(x, y; − 1 2 ) =xy − 1 2 (x +y −1). Atunci d 2 Φ 1 2 , 1 2 =dxdy. ˆ Ins˘adx +dy = 0 ¸si decid 2 Φ 1 2 , 1 2 = −dx 2 < 0. z max = z 1 2 , 1 2 = 1 4 . 2)z max = z (1, 2) = 5,z min = z (−1, −2) = −5. 3)z min = z 18 13 , 12 13 = 36 13 . 4)z max = z 7π 8 +kπ, 9π 8 +kπ = 2+ √ 2 2 , z min = z 3π 8 +kπ, 5π 8 +kπ = 2− √ 2 2 . 5)z min = z ab 2 a 2 +b 2 , a 2 b a 2 +b 2 = a 2 b 2 a 2 +b 2 . 6)z max = z a √ 2, a √ 2 = 4a 2 ,z min = z −a √ 2, −a √ 2 = 4a 2 . 7.10S˘a se g˘aseasc˘a extremele condit ¸ionate ale urm˘atoarelor funct ¸ii: 1) z = xy, pentru 2x + 3y −5 = 0. 2) z = x 2 +y 2 , pentru x − √ 2 2 + y − √ 2 2 = 9. 3) z = 6 −4x −3y, pentru x 2 +y 2 = 1. 4) z = cos 2 x + cos 2 y, pentru x −y = π 4 , x, y ∈ 0, π 4 . R: Avem: 1)L(x, y; λ) = xy +λ(2x + 3y −5),λ = − 5 3 ,z max = z 5 4 , 5 6 = 25 24 . 2)λ 1 = − 5 3 ,z max = z 5 √ 2 2 , 5 √ 2 2 = 25,λ 2 = − 1 3 , z min = z − √ 2 2 , − √ 2 2 = 1. 3)λ 1 = − 5 2 ,z max = z − 4 5 , − 3 5 = 11,λ 2 = 5 2 ,z min = z 4 5 , 3 5 = 1. 4)z max = z 3π 8 , π 8 = 1. 7.11S˘a se g˘aseasc˘a extremele condit ¸ionate ale urm˘atoarelor funct ¸ii: 1) u = x −2y + 2z, pentru x 2 +y 2 +z 2 = 9. 2) u = x 2 +y 2 +z 2 , pentru x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1, a > b > c. 3) u = xy 2 z 3 , pentru x + 2y + 3z = 6, x > 0, y> 0, z> 0. 4) u = xy +xz +yz, pentru xyz = 1, x > 0, y> 0, z> 0. 5) u = x +y +z, pentru 1 x + 1 y + 1 z = 1, x > 0, y> 0, z> 0. CAPITOLUL7. EXTREMEPENTRUFUNCT¸ IIDEMAIMULTEVARIABILE 93 R: Avem: 1)u min = u(−1, 2, −2) = −9,u max = u(1, −2, 2) = 9. 2)u max = u(±a, 0, 0) = a,u min = u(0, 0, ±c) = c. 3)u max = u(1, 1, 1) = 1. 4)u min = u(1, 1, 1) = 3. 5)u min = u(3, 3, 3) = 9. 7.12S˘a se g˘aseasc˘a extremele condit ¸ionate ale urm˘atoarelor funct ¸ii: 1) u = xyz, pentru x +y +z = 5, xy +xz +yz = 8, x ≥ y ≥ z> 0. 2) u = xyz, pentru x +y +z = 0, x 2 +y 2 +z 2 = 1. R: 1) Funct ¸ia lui Lagrange: L(x, y, z; λ, µ) = xyz +λ(x +y +z −5) +µ(xy +xz +yz −8) , are punctele stat ¸ionare: 7 3 , 4 3 , 4 3 ; 16 9 , − 4 3 ¸si (2, 2, 1; 4, −2). u max = u 7 3 , 4 3 , 4 3 = 112 27 ,u min = u(2, 2, 1) = 4. 2)u min = − 1 3 √ 6 ,u max = 1 3 √ 6 . 7.13S˘a se g˘aseasc˘a extremele condit ¸ionate ale urm˘atoarelor funct ¸ii: 1) u = x 4 +y 4 +z 4 , pentru x +y +z = 3. 2) u = x 3 +y 3 +z 3 , pentru x 2 +y 2 +z 2 = 3, x > 0, y> 0, z> 0. 7.14S˘a se determine dimensiunile unui paralelipiped dreptunghic a.ˆı.: 1) Aria total˘a s˘a fie egal˘a cu 2a 2 ¸si volumul maxim. 2) Suma celor trei dimensiuni egal˘a cua ¸si aria total˘a maxim˘a. 3) Volumul egal cua 3 ¸si aria total˘a minim˘a. R: Avem: 1) 1 max = 1 a √ 3 , a √ 3 , a √ 3 = a 3 √ 3 9 . 2) / max = / a 3 , a 3 , a 3 = 2 3 a 2 . 3) / min = /(a, a, a) = 6a 2 . Capitolul8 S¸iruri¸siseriidefunct ¸ii 8.1 S¸iruridefunct ¸iireale 8.1Sed˘a¸sirul defunct ¸ii (f n ), f n (x)= n 2π e − nx 2 2 . S˘asedeterminemult ¸imeade convergent ¸˘a ¸si funct ¸ia limit˘a. R: Deoarece: lim n→∞ f n (x) = 0, x ∈ R` ¦0¦ , ∞, x = 0, rezult˘a c˘a mult ¸imea de convergent ¸˘a esteA = R` ¦0¦, iar funct ¸ia limit˘a: f (x) = 0. 8.2S˘asearatec˘a ¸sirul defunct ¸ii f n (x) = x 2 n+1 , x ∈ R,estesimpluconvergentpeR c˘atref(x) = 0. R: ˆ Intr-adev˘ar, x 2 n+1 < ε d.d. n > x 2 −ε ε . Deci N(ε, x) = x 2 −ε ε , ε < x 2 , 0, ε ≥ x 2 . 8.3S˘asearatec˘a¸sirul defunct ¸ii f n (x) = cos nx n 2 +1 , x ∈ [0, π], esteuniformconvergent c˘atref(x) = 0. R: ˆ Intr-adev˘ar, cos nx n 2 +1 < ε dac˘a 1 n 2 +1 < ε, adic˘a d.d. n 2 > 1−ε ε . Deci N(ε) = 1−ε ε , ε < 1, 0, ε ≥ 1. 8.4S˘asearatec˘a¸sirul defunct ¸ii f n (x) = sin nx n α , x ∈Rcuα>0, esteuniform convergent pe R c˘atref(x) = 0. R: ˆ Intr-adev˘ar, sin nx n α ≤ 1 n α →0. 94 CAPITOLUL8. S¸IRURIS¸ISERIIDEFUNCT¸ II 95 8.5S˘asearatec˘a ¸sirul defunct ¸ii f n (x) = 1 ne nx , x ∈ [0, ∞),esteuniformconvergent pe [0, ∞) c˘atref(x) = 0. R: Pentrux ≥ 0,e nx ≥ 1 ¸si deci 0 < f n (x) < 1 n →0. 8.6Se d˘a ¸sirul de funct ¸iif n (x) = x 2 n 2 +x 4 ,x ∈ [1, ∞). S˘a se calculeze lim n→∞ f n (x) = f (x). S˘a se arate c˘a ¸sirul de funct ¸ii (f n ) este uniform convergent pe [1, ∞) c˘atref. R: 0 < f n (x) = 2nx 2 n 2 +x 4 1 2n < 1 2n →0. 8.7Sed˘a ¸sirul defunct ¸ii f n (x) = x n+x , x ∈ (0, ∞). S˘asecalculezelim n→∞ f n (x) = f (x). S˘a se arate c˘a ¸sirul de funct ¸ii (f n ) nu este uniform convergent pe (0, ∞) c˘atref. R:f (x) = 0, ˆıns˘a pentrux n = n,f n (x n ) = 1 2 . 8.8Se d˘a ¸sirul de funct ¸iif n (x) = x n+x , x ∈ [3, 4]. S˘a se arate c˘a ¸sirul de funct ¸ii (f n ) este uniform convergent pe [3, 4] c˘atre funct ¸iaf (x) = 0,x ∈ [3, 4]. R: Pentru 3 ≤ x ≤ 4, avem: 0 < f n (x) ≤ 4 n+3 < 4 n →0. 8.9S˘a se arate c˘a ¸sirul de funct ¸ii (f n ),f n (x) = x 3 x 3 +n 3 , nu este uniform convergent pe (0, ∞). R:f (x) = 0, ˆıns˘a pentrux n = n,f n (x n ) = 1 2 . 8.10Sed˘a¸sirul defunct ¸ii (f n ), f n : R →R, definiteprin: f n (x)= n ¸ n=0 x k . S˘ase arate c˘a mult ¸imea de convergent ¸˘a a ¸sirului esteA = (−1, 1), ˆıns˘a ¸sirul nu este uniform convergent pe (−1, 1). S˘a se g˘aseasc˘ a o mult ¸ime de convergent ¸˘a uniform˘a. R:Deoarece, f n (x) = 1 1−x + x n+1 x−1 , pentrux =1, rezult˘ac˘af n (x)estedivergent pentru [x[ > 1,esteconvergentpentru [x[ < 1. Apoi, f n (1) =n + 1 → ∞, f n (−1) = 1 2 (1 + (−1) n )esteun¸sirdivergent. Deci mult ¸imeadeconvergent ¸˘aa¸sirului esteA= (−1, 1) ¸si funct ¸ia limit˘a estef (x) = 1 1−x . Dac˘a ¸sirul ar fi uniform convergent pe (−1, 1), pentru oriceε > 0 ar exista unN (ε) a.ˆı. x n+1 x−1 < ε pentru oricen > N (ε) ¸si oricex ∈ (−1, 1), inegalitate echivalent˘a cu: n + 1 > 1 ln 1 |x| ln 1 ε −ln [x −1[ , dar sup |x| 1, iar pentrux = − π 2 +2kπ, obt ¸inem seria armonic˘a generalizat˘a alternant˘a, convergent˘a dac˘a α > 0. 3) Aplicˆand criteriul raportului obt ¸inem o serie convergent˘a pentru: x ∈ R`¦0¦. Pentru x = 0 seria este de asemenea convergent˘a. DeciA = R. 8.22S˘a se determine mult ¸imea de convergent ¸˘a a urm˘atoarelor serii de funct ¸ii: 1) ∞ ¸ n=1 (−1) n n + 1 n 2 +n + 1 x 2 −2 1 −2x 2 n . 2) ∞ ¸ n=1 n + 1 (n 3 +n + 1) α 1 ln (n 2 + 1) x 3 −2x n , α ∈ R. R:1)Din x 2 −2 1−2x 2 1 2 . CAPITOLUL8. S¸IRURIS¸ISERIIDEFUNCT¸ II 99 8.23S˘a se determine mult ¸imea de convergent ¸˘a a urm˘atoarelor serii de funct ¸ii: 1) ∞ ¸ n=1 (−1) n 1 √ 3 n √ n 2 + 1 tg n x. 2) ∞ ¸ n=0 (−1) n √ n 2 + 1 n 2 +n + 1 4x −1 x + 3 n . R: 1)A = − π 3 , π 3 . 2) − 2 5 , 4 3 . 8.24S˘a se studieze convergent ¸a urm˘atoarelor serii de funct ¸ii, pe mult ¸imile indicate: 1) ∞ ¸ n=1 sinnx √ n , x ∈ [α, 2π −α] , α ∈ (0, π) . 2) ∞ ¸ n=1 cos 2nπ 3 √ x 2 +n , x ∈ R. R: Din criteriul lui Dirichlet rezult˘a c˘a seriile sunt uniform convergente pe mult ¸imile indicate. 8.25S˘a se studieze convergent ¸a urm˘atoarelor serii de funct ¸ii, definite pe R: 1) ∞ ¸ n=1 (−1) n x 2 1 +n 3 x 4 , 2) ∞ ¸ n=1 arctg 2x x 2 +n 4 . 3) ∞ ¸ n=1 ¸ e − 1 + 1 n n cos nx n + 1 . R: 1) Din 1 −x 2 √ n 3 2 ≥0pentruorice x ∈R, deducemc˘a [f n (x)[ ≤ 1 2 √ n 3 , ∀x ∈ R ¸si ∀n ∈ N ∗ . ˆ In bazacriteriului luiWeierstrass,rezult˘a c˘a seriaesteabsolut ¸si uniform convergent˘a pe R. 2) Deoarece [f n (x)[ ≤ arctg 1 n 2 , ∀x ∈ R ¸si ∀n ∈ N ∗ . ˆ In baza criteriului lui Weierstrass, rezult˘a c˘a seria este absolut ¸si uniform convergent˘a pe R. 3) Deoarece [f n (x)[< 3 n 2 , ∀x ∈ R ¸si ∀n ∈ N ∗ . ˆ In baza criteriului lui Weierstrass, rezult˘a c˘a seria este absolut ¸si uniform convergent˘a pe R. 8.26S˘a se studieze convergent ¸a simpl˘a ¸si uniform˘a a urm˘atoarelor serii de funct ¸ii, pe mult ¸imile indicate: 1) x + ∞ ¸ n=1 x 1 +nx − x 1 + (n −1) x , x ∈ [0, 1] . 2) 1 + ∞ ¸ n=1 x n −x n−1 , x ∈ ¸ 0, 1 2 . R:1)s n (x) = x 1+nx → 0,deciseriaesteconvergent˘alafunct ¸iaf (x) = 0pe[0, 1]. Apoi, din: [s n (x) −0[ < 1 n , ∀x ∈[0, 1], rezult˘ac˘aseriaesteuniformconvergent˘ape [0, 1]. 2) s n (x) =x n →0¸si [s n (x) −0[≤ [x[ n ≤ 1 2 n , rezult˘ac˘aseriaesteuniform convergent˘a pe 0, 1 2 . 8.27S˘a se arate c˘a seria de funct ¸ii: ∞ ¸ n=1 ¸ nx 1 +n 2 x 2 − (n −1) x 1 + (n −1) 2 x 2 ¸ , este convergent˘a pe [0, 1] la o funct ¸ie continu˘a, dar nu este uniform convergent˘a pe [0, 1]. CAPITOLUL8. S¸IRURIS¸ISERIIDEFUNCT¸ II 100 R: 1) S¸irul: s n (x) = nx 1+n 2 x 2 converge la funct ¸ia f (x) = 0 pe [0, 1] care este continu˘a. Pe de alt˘a parte,oricare ar fin ∈ N,pentrux n = 1 n ,avem:[s n (x) −0[ = 1 2 . A¸sadar, exist˘a unε> 0 a.ˆı. oricare ar fin ∈ N, [s n (x) −0[ ≥ε pentru cel put ¸in un punct din intervalul [0, 1]. Deci seria nu este uniform convergent˘a pe [0, 1]. 8.28S˘a se studieze convergent ¸a simpl˘a ¸si uniform˘a a urm˘atoarelor serii de funct ¸ii, pe mult ¸imile indicate: 1) ∞ ¸ n=1 nx 1+n+x − (n−1)x n+x , x ∈ [0, 1]. 2) ∞ ¸ n=1 nx 1+nx − (n−1)x (n)−1+x , x ∈ [0, 1]. 3) ∞ ¸ n=1 nxe −nx −(n −1) xe −(n−1)x , x ∈ [0, 1]. 4) ∞ ¸ n=1 (−1) n+1 x 2 (1+x) n , x ∈ R. 5) ∞ ¸ n=1 x n −x 2n −x n−1 +x 2n−2 , x ∈ [0, 1]. 6) ∞ ¸ n=1 (−1) n+1 x 2 +n , x ∈ R. R: 1) Uniform convergent˘a. 2) Simplu convergent˘a. 3) Simplu convergent˘a. 4) Con- form criteriului lui Cauchy, seria este uniform convergent˘a pe R. 5) Simplu convergent˘a. 6) Uniform convergent˘a. 8.29S˘a se arate c˘a seriile urm˘atoare sunt uniform convergente pe mult ¸imile indicate: 1) ∞ ¸ n=1 x n n 2 , x ∈ [−1, 1] . 2) ∞ ¸ n=1 sin nx 2 n , x ∈ R. 3) ∞ ¸ n=1 (−1) n−1 x n √ n , x ∈ [0, 1] . R: 1) Din [x[ ≤ 1, rezult˘a x n n 2 ≤ 1 n 2 . 2) sin nx 2 n ≤ 1 2 n , pe R. 3) (−1) n−1 x n √ n ≤ 1 √ n , pe [0, 1]. 8.30Aplicˆandderivarea¸siintegrareatermencutermens˘aseg˘aseasc˘asumeleurm˘a- toarelor serii de funct ¸ii definite pe intervalul (−1, 1): 1) ∞ ¸ n=1 nx n−1 . 2) ∞ ¸ n=1 1 n x n . 3) ∞ ¸ n=1 (−1) n−1 n x n . 4) ∞ ¸ n=0 (−1) n 2n + 1 x 2n+1 . 5) ∞ ¸ n=1 n 2 x n−1 . R: Seriadefunct ¸ii ∞ ¸ n=0 x n esteconvergent˘apeintervalul m˘arginit(−1, 1)¸si areca sum˘a funct ¸iaf (x) = 1 1−x . 1) Derivˆand termen cu termen seria ∞ ¸ n=0 x n obt ¸inem ∞ ¸ n=1 nx n−1 = 1 (1−x) 2 . 2) Integrˆand termen cu termen seria ∞ ¸ n=0 x n obt ¸inem ∞ ¸ n=1 1 n x n = −ln (1 −x). CAPITOLUL8. S¸IRURIS¸ISERIIDEFUNCT¸ II 101 3) Trecˆand pex ˆın −x ˆın 2) obt ¸inem ∞ ¸ n=1 (−1) n−1 n x n = ln (1 −x). 4) Trecˆandx ˆın −x 2 ˆın seria ∞ ¸ n=0 x n obt ¸inem convergent˘a ∞ ¸ n=0 (−1) n x 2n a c˘arei sum˘a este 1 1+x 2 . Integrˆand termen cu termen aceast˘a serie, obt ¸inem ∞ ¸ n=0 (−1) n 2n + 1 x 2n+1 = arctg x. 5) ∞ ¸ n=0 n 2 x n−1 = x(1+x) (1−x) 3 . 8.31S˘a se arate c˘a: 1 0 ¸ ∞ ¸ n=1 x n −x 2n −x n−1 +x 2n−2 ¸ dx = ∞ ¸ n=1 1 0 x n −x 2n −x n−1 +x 2n−2 dx. R: Seria ∞ ¸ n=1 ∞ ¸ n=1 x n −x 2n −x n−1 +x 2n−2 are casum˘afunct ¸ia f (x) =0, deci 1 0 f (x)dx = 0. Pe de alt˘a parte: ∞ ¸ n=1 1 0 x n −x 2n −x n−1 +x 2n−2 dx = ∞ ¸ n=1 1 n + 1 − 1 n + 1 2n −1 − 1 2n + 1 = 0. 8.3 Seriideputeri 8.32S˘a se calculeze raza de convergent ¸˘a a urm˘atoarelor serii de puteri: 1) ∞ ¸ n=1 n 2 n x n . 2) ∞ ¸ n=1 n α (x −1) n . 3) ∞ ¸ n=1 (2n)! (n!) 2 (x + 3) n . R: 1) ρ = lim n→∞ n [a n [ = lim n→∞ n n 2 n = 1 2 , deci r =2. 2) ρ = lim n→∞ n [a n [ = lim n→∞ n √ n α = 1, decir = 1. 3)ρ =lim n→∞ a n+1 a n = 4, decir = 1 4 . 8.33S˘a se determine intervalul de convergent ¸˘a ¸si s˘a se studieze convergent ¸a la capetele intervalului, pentru urm˘atoarele serii de puteri: 1) ∞ ¸ n=0 x n (n + 1)3 n . 2) ∞ ¸ n=0 (−1) n x n 5 n √ n + 1 . 3) ∞ ¸ n=0 2 n (x + 2) n (2n + 1) 2 √ 3 n . 4) ∞ ¸ n=1 (x −1) n (2n −1)2 n . R: 1) [−3, 3). 2) (−5, 5]. 3) −2 − √ 3 2 , −2 + √ 3 2 . 4) [−1, 3). 8.34S˘a se determine intervalul de convergent ¸˘a ¸si s˘a se studieze convergent ¸a la capetele intervalului, pentru urm˘atoarele serii de puteri: 1) ∞ ¸ n=2 (−1) n √ n 2 + 1 nln α n x n , α > 1. 2) ∞ ¸ n=1 159(4n −3) n! x n . CAPITOLUL8. S¸IRURIS¸ISERIIDEFUNCT¸ II 102 R: 1)r = 1. ˆ In punctulx = 1 seria este convergent˘a, conform criteriului lui Leibniz. ˆ In punctul x = −1 seria este convergent˘a, conform criteriului lui Bertrand. Deci intervalul de convergent ¸˘a este [−1, 1]. 2) r= 1 4 . ˆ Inpunctul x= 1 4 seriaestedivergent˘a, conformcriteriului lui Raabe- Duhamel, iar ˆın punctulx = − 1 4 seria este convergent˘a, conform criteriului lui Leibniz. Deci intervalul de convergent ¸˘a este − 1 4 , 1 4 . 8.4 SeriiTaylor 8.35S˘a se arate c˘a: 1) e x = 1 + 1 1! x + 1 2! x 2 + + 1 n! x n + , x ∈ R. 2)sin x = 1 1! x − 1 3! x 3 + 1 5! x 5 − + (−1) n−1 1 (2n−1)! x 2n−1 + , x ∈ R. 3)cos x = 1 − 1 2! x 2 + 1 4! x 4 − + (−1) n 1 (2n)! x 2n + , x ∈ R. 4)ln (1 +x) = x − 1 2 x 2 + 1 3 x 3 − + (−1) n−1 1 n x n + , x ∈ (−1, 1]. 8.36S˘a se arate c˘a pentru oriceα ∈ R ¸six ∈ (−1, 1) are loc dezvoltarea binomial˘a: (1 +x) α = 1 + α 1! x + α(α −1) 2! x 2 + + α(α −1)(α −n + 1) n! x n + . 8.37S˘a se stabileasc˘a formula lui Euler: e ix = cos x +i sin x, ∀x ∈ R. 8.38S˘a se g˘aseasc˘a seriile Mac-Laurin ale funct ¸iilor: 1) ch x = e x +e −x 2 , 2) sh x = e x −e −x 2 . R: Se obt ¸ine: 1) ch x = 1 + 1 2! x 2 + 1 4! x 4 + + 1 (2n)! x 2n + , x ∈ R. 2) sh x = 1 1! x + 1 3! x 3 + 1 5! x 5 + + 1 (2n + 1)! x 2n+1 + , x ∈ R. 8.39S˘a se g˘aseasc˘a seriile Mac-Maurin ale urm˘atoarelor funct ¸ii: 1) f (x) = 3 (1−x)(1+2x) . 2) f (x) = a x , a > 0. 3) f (x) = cos (x +α) . 4) f (x) = sin 2 x. 5) f (x) = ln (2 +x) . R: 1) Putem scrie: f (x) = 1 1 −x + 2 1 + 2x = ∞ ¸ n=0 1 + (−1) n 2 n+1 x n , [x[ < 1 2 . CAPITOLUL8. S¸IRURIS¸ISERIIDEFUNCT¸ II 103 2) Se obt ¸ine: f (x) = 1 + ∞ ¸ n=0 ln n a n! x n , x ∈ R. 3)Set ¸ineseamac˘a: f (x)=cos xcos α − sin xsin α. 4)Set ¸ineseamac˘a: f (x)= 1 2 (1 −cos x). 5) Funct ¸ia se mai poate scrie: f (x) = ln 2 +ln 1 + x 2 , pentru x ∈ (−2, 2]. 8.40Aplicˆandderivarea¸si integrareatermencutermen, s˘aseg˘aseasc˘aseriileMac- Laurin ale urm˘atoarelor funct ¸ii: 1) f (x) = (1 +x) ln (1 +x) . 2) f (x) = arctg x. 3) f (x) = arcsin x. 4) f (x) = ln x + √ 1 +x 2 . R:1)Deoarecef (x)=ln (1 +x), t ¸inˆandseamadedezvoltareafunct ¸ieiln (1 +x), prin integrare obt ¸inem: (1 +x) ln (1 +x) = 1 12 x 2 − 1 23 x 3 + + (−1) n 1 n(n −1) x n + , x ∈ (−1, 1]. 2)Avemc˘a: f (x) = 1 1+x 2 = 1 +x 2 −1 . Dar, ˆınlocuind ˆındezvoltareabinomial˘a, pentruα = −1, pex prinx 2 , obt ¸inem: f (x) = ∞ ¸ n=0 (−1) n x 2n , care prin integrare, d˘a: arctg x = ∞ ¸ n=0 (−1) n 1 2n + 1 x 2n+1 , x ∈ (−1, 1) . 3) Avem c˘a: f (x) = 1 √ 1−x 2 = 1 −x 2 −1/2 . Dar, ˆınlocuindˆın dezvoltarea binomial˘a, pentruα = − 1 2 , pex prin −x 2 , obt ¸inem: f (x) = 1 + ∞ ¸ n=1 (2n −1)!! (2n)!! x 2n , care prin integrare, d˘a: arcsin x = x + ∞ ¸ n=1 (2n −1)!! (2n)!! 1 2n + 1 x 2n+1 , x ∈ (−1, 1) . 4) Avem c˘a: f (x) = 1 √ 1+x 2 = 1 +x 2 −1/2 . Dar, ˆınlocuindˆın dezvoltarea binomial˘a, pentruα = − 1 2 , pex prinx 2 , obt ¸inem: f (x) = 1 + ∞ ¸ n=1 (−1) n (2n −1)!! (2n)!! x 2n , CAPITOLUL8. S¸IRURIS¸ISERIIDEFUNCT¸ II 104 care prin integrare, d˘a: ln x + 1 +x 2 = x + ∞ ¸ n=1 (−1) n (2n −1)!! (2n)!! 1 2n + 1 x 2n+1 , x ∈ (−1, 1) . 8.41S˘a se g˘aseasc˘a seriile Mac-Laurin ale funct ¸iilor: 1) f (x) = x 0 e −t 2 dt, 2) f (x) = x 0 arctg t t dt, 3) f (x) = x 0 ln (1 +t) t dt. R: 1) ˆ Inlocuind ˆındezvoltareafunct ¸iei e x pexprin −t 2 ¸si integrˆand ˆıntre0¸si x, obt ¸inem: x 0 e −t 2 dt = ∞ ¸ n=0 (−1) n 1 n! 1 2n + 1 x 2n+1 , x ∈ R. 2) ˆ Inlocuind ˆın dezvoltarea funct ¸iei arctg x pex print, ˆımp˘art ¸ind print ¸si integrˆand ˆıntre 0 ¸six obt ¸inem: x 0 arctg t t dt = ∞ ¸ n=0 (−1) n 1 (2n + 1) 2 x 2n+1 , x ∈ [−1, 1] . 3) ˆ Inlocuindˆın dezvoltarea funct ¸iei ln (1 +x) pe x prin t, ˆımp˘art ¸ind prin t ¸si integrˆand ˆıntre 0 ¸six obt ¸inem: x 0 ln (1 +t) t dt = ∞ ¸ n=1 (−1) n−1 1 n 2 x n , x ∈ [−1, 1] . 8.42S˘a se determine parametrii realiα ¸siβa.ˆı. seriile: 1) ∞ ¸ n=1 n ¸ arctg 1 n + ln 1 + 1 n − α n + β n 2 . 2) ∞ ¸ n=1 n ¸ 1 +e 1 n + α n + β −1 n 2 s˘a fie convergente. R: 1) Se folosesc dezvolt˘arile ˆın serii de puteri ale funct ¸iilor arctg x ¸si ln (1 +x) ¸si se g˘ase¸steα = 2 ¸siβ = 1 2 . 2) Se folose¸ste dezvoltarea luie x ¸si se obt ¸ineα = 1 ¸siβ = 3 2 . Capitolul9 Elementedegeometrie diferent ¸ial˘a 9.1 Curbeplane 9.1S˘aseg˘aseasc˘aecuat ¸ialoculuigeometricalpunctelorMdinplanpentrucarepro- dusul distant ¸elor la dou˘a puncte dateF 1 ¸siF 2 , cud(F 1 , F 2 ) = 2c, este o constant˘a egal˘a cua 2 ( ovalele lui Cassini). R: Alegem ca ax˘aOx dreaptaF 1 F 2 , originea ˆın mijlocul segmentului [F 1 F 2 ]. Atunci F 1 (−c, 0),F 2 (c, 0). Pentru un punct oarecare al locului,M(x, y), avem: d(M, F 1 ) = (x +c) 2 +y 2 , d(M, F 2 ) = (x −c) 2 +y 2 . Prin ipotez˘ad(M, F 1 )d(M, F 2 ) = a 2 . De aici, dup˘a efectuarea calculelor, obt ¸inem: (x 2 +y 2 ) 2 −2c 2 (x 2 −y 2 ) = a 4 −c 4 . Pentruc = 0 se obt ¸ine un cerc de raz˘aa. Pentruc = a curba se nume¸ste lemniscata lui Bernoulli : (x 2 +y 2 ) 2 = 2a 2 (x 2 −y 2 ). Luˆandx = r cos θ,y = r sin θ, obt ¸inem ecuat ¸ia ˆın coordonate polare a lemniscatei: r 2 = 2a 2 cos 2θ, cuθ ∈ 0, π 4 ∪ 3π 4 , 5π 4 ∪ 7π 4 , 2π . 9.2Sed˘auncercdediametru [[ −→ OA[[ = 2a ¸sitangenta ˆınA. Ocoard˘avariabil˘acare treceprinO ˆıntˆalne¸stecercul ˆınP¸sitangenta ˆınQ. S˘aseg˘aseasc˘alocul geometrical punctuluiMde pe coard˘a pentru care −−→ OM= −−→ PQ (cissoida lui Diocles). R: Fiex=2aecuat ¸iatangentei ˆınA, y=txodreapt˘avariabil˘aprinorigine¸si (x − a) 2 + y 2 =a 2 ecuat ¸ia cercului. Atunci: Q(2a, 2at), P 2a 1+t 2 , 2at 1+t 2 . Dac˘aM(x, y) este un punct curent al locului, scriind c˘a r = −−→ OM= −−→ PQ, g˘asim: x = 2at 2 1+t 2 , y = 2at 3 1+t 2 , t ∈ R. Ecuat ¸ia implicit˘a a curbei estex(x 2 +y 2 ) = 2ay 2 . 9.3Dreaptax=a ˆıntˆalne¸steaxaOx ˆınpunctul A¸si odreapt˘aoarecareprinOˆın B. PedreaptaOBseiaudeoparte ¸sidealtaalui Bsegmentele[BM 1 ] ¸si[BM 2 ]a.ˆı. 105 CAPITOLUL9. ELEMENTEDEGEOMETRIEDIFERENT¸ IAL ˘ A 106 d(B, M 1 ) = d(B, M 2 ) = d(A, B). S˘a se g˘aseasc˘ a locul geometric al punctelorM 1 ¸siM 2 . S˘a se dea o reprezentare parametric˘a a curbei loc geometric(strofoida). R: FieA(a, 0),B(a, λ). PuncteleM 1 ,M 2 ,A apart ¸in cercului cu centrul ˆınB ¸si raz˘a λ, de ecuat ¸ie: (x −a) 2 + (y −λ) 2 = λ 2 . Dreapta (AB) are ecuat ¸ia: y = λ a x. Eliminˆand peλ obt ¸inem ecuat ¸ia inplicit˘a a locului: x(x −a) 2 −(2a −x)y 2 = 0. Ecuat ¸ia explicit˘a a curbei este: y = ± x(x −a) 2 2a −x , x ∈ [0, 2a). Punˆand y x−a = t, obt ¸inem reprezentarea parametric˘a: x = 2at 2 1+t 2 ,y = at(t 2 −1) 1+t 2 ,t ∈ R. 9.4Extremit˘at ¸ilesegmentului[AB]delungimeaalunec˘ apeaxeleOx ¸si Oyperpendi- culare. Paralelele la axe prinA ¸siBse intˆalnesc ˆınC. DinCse coboar˘a perpendiculara CMpeAB. S˘a se g˘aseasc˘a locul geometric al punctuluiM(astroida). R: Fie A(λ, 0), B(0, µ) cu λ 2 +µ 2 = a 2 . Atunci:(AB) x λ + y µ −1 = 0 sau µx+λy−λµ = 0. CumC(λ, µ) ¸si v = N(λ, −µ) rezult˘a: (CM)λ(x − λ) − µ(y − µ) = 0. Luˆand: λ = a cos t, µ = a sint, obt ¸inem reprezentarea parametric˘a a curbei: x = a cos 3 t, y = a sin 3 t, t ∈ [0, 2π). Eliminˆand parametrult se g˘ase¸ste ecuat ¸ia implicit˘a: x 2/3 +y 2/3 = a 2/3 . 9.5Un cerc ((C, R) se rostogole¸ste f˘ar˘a alunecare pe axaOx, adic˘a [[ −→ OI[[ = lg arc IM (Ifiind punctuldecontact). S˘a seg˘aseasc˘a locul geometric alunuipunctMinvariabil legat de acest cerc(cicloida). R: Fiet unghiul dintre −→ CI¸si −−→ CM. Atunci: x I = lg arc OI = Rt ¸si: x = x I −Rsin t, y = R −Rcos t. Se obt ¸ine: r = R(t −sin t)i +R(1 −cos t)j,t ∈ R. 9.6Se dau:un cerc cu centrul ˆın punctul C ¸si raz˘a d(O, C) = 2a ¸si mediatoarea segmen- tului [OC]. Ocoard˘avariabil˘acaretreceprinO ˆıntˆalne¸stecercul ˆınP¸si mediatoarea segmentului [OC] ˆınQ. S˘aseg˘aseasc˘alocul geometrical punctelor Mdepecoard˘a pentru care −−→ OM= −−→ PQ (trisectoarea lui Mac Laurin). R: Fiey = tx ecuat ¸ia secantei, (x −2a) 2 +y 2 = 4a 2 ecuat ¸ia cercului ¸six = a ecuat ¸ia mediatoarei. Atunci: P 4a 1+t 2 , 4at 1+t 2 , Q(a, at). Scriindc˘ar= −−→ OM= −−→ PQ, obt ¸inem ecuat ¸iileparametricealelocului: x=a t 2 −3 t 2 +1 , y=at t 2 −3 t 2 +1 , t ∈R. Ecuat ¸iacartezian˘a implicit˘a estex(x 2 +y 2 ) −a(y 2 −3x 2 ) = 0. 9.7Se d˘a cerculC(O, a) ¸si punctulA pe cerc. FieP¸siQ dou˘a puncte pe cerc ai c˘aror vectoridepozit ¸ie −−→ OP¸si −−→ OQfaccu −→ OAunghiurile2α¸sirespectiv −α. S˘aseg˘aseasc˘a locul geometric al punctelor Mde intersect ¸ie a tangentelor ˆın P¸si Q la cerc (Trisectoarea lui Longchamps). R: ˆ In reperul ˆın care axa Ox are direct ¸ia ¸si sensul lui −→ OA, avem P(a cos 2α, a sin 2α), Q(a cos α, a sin α) ¸si deci tangentele ˆın cele dou˘a puncte au ecuat ¸iile: xcos 2α +y sin 2α −a = 0, xcos α −y sinα −a = 0. Eliminˆandpe αˆıntreceledou˘aecuat ¸ii, observˆandc˘a y =xtg α, seobt ¸ineecuat ¸ia cartezian˘a implicit˘a a curbei: x(x 2 −y 2 ) −a(x 2 +y 2 ) = 0. CAPITOLUL9. ELEMENTEDEGEOMETRIEDIFERENT¸ IAL ˘ A 107 9.8Curbax=x(t), y =y(t) senume¸ste unicursal˘adac˘ax(t)¸si y(t) sunt funct ¸ii rat ¸ionaledet. S˘asearatec˘aocurb˘adat˘aprintr-oreprezentareimplicit˘adeforma: ϕ n (x, y) + ϕ n−1 (x, y)=0, undeϕ k (x, y)esteunpolinomomogendegradul k, esteo curb˘a unicursal˘a. R: Luˆandy = tx, se obt ¸ine reprezentarea parametric˘a: x = − ϕ n−1 (1, t) ϕ n (1, t) , y = −t ϕ n−1 (1, t) ϕ n (1, t) . 9.9Curba descris˘a de un punctMsituat pe un cerc de raz˘aR, care se rostogole¸ste f˘ar˘a alunecare pe un cerc fix de raz˘aR 0 , cele dou˘a cercuri fiind tangente exterior, se nume¸ste epicicloid˘a. S˘a se g˘aseasc˘a o reprezentare parametric˘a a curbei. R: O reprezentare parametric˘a a curbei este x = (R 0 +R) cos t −Rcos R 0 +R R t, y = (R 0 +R) sin t −Rsin R 0 +R R t. ˆ In particular, dac˘aR = R 0 , curba se nume¸ste cardioid˘a¸si are ecuat ¸ia cartezian˘a (x 2 +y 2 −2Rx) 2 = 4R 2 (x 2 +y 2 ). 9.10Curbadescris˘adeunpunct Msituatpeuncercderaz˘aR, careserostogole¸ste f˘ar˘ aalunecarepeuncercfixderaz˘aR 0 ,celedou˘acercurifiindtangenteinterioare,se nume¸stehipocicloid˘a. S˘a se g˘aseasc˘a o reprezentare parametric˘a a curbei. R: O reprezentare parametric˘a a curbei este x = (R 0 −R) cos t +Rcos R 0 −R R t, y = (R 0 −R) sin t −Rsin R 0 −R R t. PentruR 0 =3Rcurbasenume¸stehipocicloidaluiSteiner, iarpentruR 0 =4Rcurba obt ¸inut˘a este astroidade ecuat ¸ie cartezian˘ax 2/3 +y 2/3 = R 2/3 0 . 9.11Figuradeechilibruaunui firgreu¸si omogen, flexibil darinextensibil alec˘arui capete sunt fixate ˆın dou˘a puncte se nume¸stel˘ant ¸i¸sor. S˘a se g˘aseasc˘a ecuat ¸ia cartezian˘a explicit˘a a curbei. R: Ecuat ¸ia sa cartezian˘a explicit˘a estey = a ch x a . 9.12Curbaplan˘adescris˘adeunpunctcaresemi¸sc˘auniformpeodreapt˘a ˆınrotat ¸ie uniform˘a ˆın jurul unui punct fix al eiO se nume¸stespirala lui Arhimede. S˘a se g˘aseasc˘a ecuat ¸ia explicit˘a, ˆın coordonate polare, a curbei. R: Ecuat ¸ia curbei ester = aθ. 9.13Curba plan˘a descris˘a de un punct care se mi¸sc˘a cu vitez˘a proport ¸ional˘a cu distan- t ¸aparcurs˘apeodreapt˘a ˆınrotat ¸ieuniform˘a ˆınjurulunuipunctfixalei Osenume¸ste spiral˘a logaritmic˘a. S˘a se g˘aseasc˘ a ecuat ¸ia explicit˘a a curbei, ˆın coordonate polare. CAPITOLUL9. ELEMENTEDEGEOMETRIEDIFERENT¸ IAL ˘ A 108 R: Ecuat ¸ia curbei ester = ke mθ . 9.14S˘a se g˘aseasc˘a ecuat ¸iile tangentei ¸si normalei la curbele: 1)x = t 3 −2t,y = t 2 + 1 ˆın punctul M 0 (1). 2)x = a cos 3 t,y = a sin 3 t (astroid˘a) ˆın punctul M(t). 3)x = a(t −sin t),y = a(1 −cos t) (cicloid˘a) ˆın punctul M(t). 4)y = x 2 + 4x + 3, ˆın punctele de abscise −1, 0, 1. 5)y = tg x, ˆın punctele de abscise 0, π 4 . 6)F(x, y) = x 3 +y 3 −3axy = 0 (foliul lui Descartes) ˆınM 0 3a 2 , 3a 2 . 7)F(x, y) = x(x 2 +y 2 ) −ay 2 = 0 (cissoida lui Diocles) ˆınM 0 a 2 , a 2 . 8) F(x, y) =(x 2 + y 2 ) 2 − 2a 2 (x 2 − y 2 ) =0(lemniscatalui Bernoulli) ˆınpunctul M 0 (x 0 , y 0 ). 9) x 2 a 2 + y 2 b 2 −1 = 0, x 2 a 2 − y 2 b 2 −1 = 0,y 2 = 2px ˆın punctul M 0 (x 0 , y 0 ) de pe curb˘a. R: 1) Ecuat ¸iile tangentei ¸si normalei ˆıntr-un punct M 0 (t 0 ) al curbei x = x(t), y = y(t) sunt: x −x(t 0 ) x (t 0 ) = y −y(t 0 ) y (t 0 ) , x (t 0 )(x −x(t 0 )) +y (t 0 )(y −y(t 0 )) = 0. Dar,x(1) = −1,y(1) = 2,x (1) = 1,y (1) = 2, deci: x+1 1 = y−2 2 ,x + 1 + 2(y −2) = 0. 2)x (t) = −3a cos 2 t sin t, y (t) = 3a sin 2 t cos t,ecuat ¸iatangentei: xsin t + y cos t − a sint cos t = 0, ecuat ¸ia normalei: −xcos t +y sin t −a(1 −2 cos 2 t) = 0. 3)x (t) = a(1 −cos t),y (t) = a sint, ecuat ¸ia tangentei: xsin t −y(1 −cos t) −a(t − sin t) sin t +a(1 −cos t) 2 = 0, ecuat ¸ia normalei: (1 −cos t)x +y sin t −at(1 −cos t). 6) Ecuat ¸iile tangentei ¸si normalei ˆıntr-un punct M 0 (x 0 , y 0 ) al curbei F(x, y) = 0 sunt: F x (x 0 , y 0 )(x −x 0 ) +F y (x 0 , y 0 )(y −y 0 ) = 0, x −x 0 F x (x 0 , y 0 ) = y −y 0 F y (x 0 , y 0 ) . F( 3a 2 , 3a 2 ) = 0,M 0 apart ¸ine curbei. F x 3a 2 , 3a 2 = F y 3a 2 , 3a 2 = 9 4 a 2 . Ecuat ¸ia tangentei: x +y −3a, ecuat ¸ia normalei: x −y = 0. 7)F a 2 , a 2 = 0,M 0 apart ¸ine curbei. 4x −2y −a = 0, 2x + 4y −3a = 0. 8)F x (x, y) = 4x(x 2 +y 2 −a 2 ),F y (x, y) = 4y(x 2 +y 2 +a 2 ). 9) Ecuat ¸iile tangentelor: x 0 x a 2 + y 0 y b 2 −1 = 0, x 0 x a 2 − y 0 y b 2 −1 = 0,y 0 y = p(x +x 0 ). 9.15S˘a se scrie ecuat ¸iile tangentelor la curba (()x = t 2 −1,y = t 3 +1,t ∈ R, paralele cu dreapta (D) 2x −y + 3 = 0. R: r (t)N = 0, r (t) = 2ti + 3t 2 j, N(2, −1), 4t −3t 2 = 0,t 1 = 0,t 2 = 4 3 , r (0) = 0, M 1 (−1, 1) este punct singular, r 4 3 = 8 3 (i + 2j). Tangenta ˆınM 2 7 9 , 91 27 are ecuat ¸ia: 54x −27y + 49 = 0. 9.16S˘a se scrie ecuat ¸iile tangentelor la curba (()x = t 3 ,y = t 2 , care trec prin punctul M 0 (−7, −1). R:M 0 / ∈ (. r (t) = 3t 2 i + 2tj. O dreapt˘a prinM 0 de direct ¸ie r are ecuat ¸ia: (D) x + 7 3t 2 = y + 1 2t , t = 0. PunctulM(t 3 , t 2 ) ∈ D, dac˘at 3 + 3t − 14 = 0, cu r˘ad˘acinat = 2, deci ecuat ¸ia tangentei este: x −3y + 4 = 0. CAPITOLUL9. ELEMENTEDEGEOMETRIEDIFERENT¸ IAL ˘ A 109 9.17FieT 0 ¸si respectivN 0 punctele ˆıncaretangenta¸si normala ˆınpunctul M 0 , de abscis˘ax 0 , al curbei y=f(x), ˆıntˆalnescaxaOx¸si P 0 proiect ¸iapunctului M 0 peaxa Ox. S˘asearatec˘asegmentele: tangent˘a[M 0 T 0 ],normal˘a[M 0 N 0 ],subtangent˘a[T 0 P 0 ] ¸si subnormal˘a [P 0 N 0 ] sunt date de: −−−→ M 0 T 0 = f(x 0 ) f (x 0 ) 1 +f 2 (x 0 ), −−−−→ M 0 N 0 = [f(x 0 )[ 1 +f 2 (x 0 ), −−−→ P 0 T 0 = f(x 0 ) f (x 0 ) , −−−→ P 0 N 0 = [f(x 0 )f (x 0 )[ . R: Tangenta ¸si normala ˆın punctulM 0 (x 0 , f(x 0 )) au ecuat ¸iile: y −f(x 0 ) = f (x 0 )(x −x 0 ), x −x 0 +f (x 0 )(y −f(x 0 )). F˘acˆand pey = 0, se obt ¸in coordonatele punctelorT 0 ¸siN 0 . 9.18Tractricea este curba cu proprietatea c˘a ˆın fiecare punct al ei, segmentul tangent˘a are lungimea constant˘aa. S˘a se g˘aseasc˘a ecuat ¸ia acestei curbe. R: Din [ y y [ 1 +y 2 = a rezult˘a: dx dy = √ a 2 −y 2 |y| , de unde prin integrare g˘asim: x(y) = ± a ln a + a 2 −y 2 y − a 2 −y 2 , y ∈ [−a, a]. O reprezentare parametric˘a a curbei se obt ¸ine luˆandy = a sin t,t ∈ − π 2 , π 2 : x = ± ln tg t 2 + cos t , y = a sint, t ∈ − π 2 , 0 , x = ± ln ctg t 2 −cos t , y = a sint, t ∈ 0, π 2 . 9.19S˘a se g˘aseasc˘a punctele multiple ¸si ecuat ¸iile tangentelor ˆın aceste puncte ale curbe- lor: 1)x(x 2 +y 2 ) −2ay 2 = 0 (cissoida lui Diocles). 2) (x 2 +y 2 )(y −a) 2 −b 2 y 2 = 0 (concoida lui Nicomede) 3) (2a −x)y 2 = x(x −a) 2 (strofoida). 4) (x 2 +y 2 ) 2 −2a 2 (x 2 −y 2 ) = 0 (lemniscata lui Bernoulli). 5) (x 2 +y 2 −2ax) 2 −4a 2 (x 2 +y 2 ) = 0 (cardioida). R: 1)O(0, 0) este punct de ˆıntoarcere, ecuat ¸ia tangentei: y = 0. 2)O(0, 0) pentrub > a este nod, ecuat ¸iile tangentelor: y = ± a √ b 2 −a 2 x, pentrub < a este punct izolat, iar pentrub = a este punct de ˆıntoarcere, ecuat ¸ia tangentei: x = 0. 3)M 0 (a, 0) este nod, ecuat ¸iile tangentelor: y = ±(x −a). 4)O(0, 0) este nod, ecuat ¸iile tangentelor: y = ±x. 5)O(0, 0) este punct de ˆıntoarcere, ecuat ¸ia tangentei: y = 0. 9.20S˘a se calculeze lungimea arcului de curb˘a: 1) y = 1 4 x 2 − 1 2 ln x, x ∈ [1, 4]. 2) x = 8at 3 , y = 3a(2t 2 −t 4 ), t ∈ [0, √ 2]. 3) r = a(1 + cos θ), θ ∈ [0, 2π). 4) x = a cos 3 t, y = a sin 3 t, t ∈ 0, π 2 . CAPITOLUL9. ELEMENTEDEGEOMETRIEDIFERENT¸ IAL ˘ A 110 R: 1) Dac˘ay = f(x),x ∈ [a, b], atunci: s = b a 1 +f 2 (x) dx, deci: s = 1 2 4 1 1+x 2 x dx = 2 ln 2 + 15 2 . 2) Dac˘ax=x(t), y =y(t), t∈[a, b], atunci: s = b a x 2 (t) +y 2 (t) dt, deci: s = 12a √ 2 0 t 1 +t 2 dt = 24a. 3)ds = √ dr 2 +r 2 dθ 2 = 2a cos θ 2 dθ, decis = 2a π 0 cos θ 2 dθ = 8a. 4)s = 3a π 2 0 sin t cos tdt = 3 2 a. 9.21S˘a se calculeze curbura curbei: 1) x = a cos t, y = b sin t. 2) x = a cht, y = b sh t. 3) y = sin x. 4) y 2 = 2px. 5) y = a ch ( x a ). 6) y = ln x. R: 1)Pentruocurb˘adat˘aprintr-oreprezentareparametric˘ax=x(t), y=y(t), curbura are expresia: κ(t) = [x (t)y (t) −x (t)y (t)[ (x 2 (t) +y 2 (t)) 3/2 . Se obt ¸ine: κ = ab (a 2 sin 2 t+b 2 cos 2 t) 3/2 . 2)κ = ab (a 2 sh 2 t+b 2 ch 2 t) 3/2 . 3) Pentru o curb˘a dat˘a prin reprezentareay = f(x), curbura are expresia: κ(x) = [f (x)[ (1 +f 2 (x)) 3/2 . Se obt ¸ine: κ = |sin x| (1+cos 2 x) 3/2 . 4)κ = √ p (p+2x) 3/2 = p 2 /(y 2 +p 2 ) 3/2 . 5)κ = a y 2 . 9.22S˘a se g˘aseasc˘a curbura unei curbe dat˘a prin ecuat ¸ia implicit˘aF(x, y) = 0, ˆıntr-un punct ordinar al ei. R: PresupunemF y = 0, atunciy (x) = − F x F y . Se obt ¸ine: κ = F xx F 2 y −2F xy F x F y +F yy F 2 y (F 2 x +F 2 y ) 3/2 . 9.23S˘a se g˘aseasc˘a punctele ˆın care curbura ia o valoare extrem˘a(vˆarfurile curbei): 1) x = at −d sin t, y = a −d cos t. 2) y = e x R: 1) κ(t) =d |a cos t−d| √ (a 2 −2ad cos t+d 2 ) 3 , κ (t) =−a sin t(a 2 +ad cos t−2d 2 ) √ (a 2 −2ad cos t+d 2 ) 3 , pentrua cos t − d>0¸si κ (t)=a sin t(a 2 +ad cos t−2d 2 ) √ (a 2 −2ad cos t+d 2 ) 3 , pentrua cos t − d 0. 9.50S˘a se g˘aseasc˘a ecuat ¸iile planelor osculatoare ale curbei: x = t,y = t 2 ,z = t 3 , care trec prin punctul A(2, − 1 3 , −6). R: r (t)r (t) = 6t 2 i − 6tj + 2k. Ecuat ¸ia planului osculator ˆın punctulM(t, t 2 , t 3 ) este: (P) 3t 2 (x−t) −3t(y −t 2 ) +(z −t 3 ) = 0. A ∈ Pdac˘a 6t 2 −t 3 +t −6 = 0, se obt ¸ine: t 1 = 1,t 2 = 6,t 3 = −1. CAPITOLUL9. ELEMENTEDEGEOMETRIEDIFERENT¸ IAL ˘ A 117 9.51S˘a se g˘aseasc˘a ecuat ¸ia planului osculator al curbei: x = a cos t,y = b sint,z = e t , ˆın punctul M 0 (0). R:bx +ay +abz = 2ab. 9.52S˘a se g˘aseasc˘a ecuat ¸ia planului osculator la curba de intersect ¸ie a sfereix 2 +y 2 + z 2 = 9 cu cilindrul hiperbolicx 2 −y 2 = 3 ˆın punctul M 0 (2, 1, 2). R: Dac˘a y = f(x), z = g(x) este o reprezentare explicit˘a a curbei, cu x = 2, f(2) = 1, g(2) = 2, dinf 2 (x) + g 2 (x) = 9 −x 2 ¸sif 2 (x) = x 2 −3, g˘asim: f(x)f (x) + g(x)g (x) = −x, f(x)f (x) =x, f(x)f (x) + g(x)g (x) = −1, f(x)f (x) + f 2 (x) =1, deunde: f (2) + 2g (2)= −2, f (2)=2, f (2) + 2g (2)= −9, f (2)= −3. Deci: f (2)=2, g (2) = −2,f (2) = −3,g (2) = −3, N = −3(4i −j +k) ¸si planul osculator are ecuat ¸ia: 4x −y +z −9 = 0. 9.53S˘asearatec˘acurba: x =e t cos t, y=e t sin t, z= 2testesituat˘apesuprafat ¸a: x 2 +y 2 −e z = 0 ¸si c˘a planul osculator al curbei se confund˘a cu planul tangent la suprafat ¸˘a. R:F(e t cos t, e t sint, 2t) = 0. r (t) r (t) = −2e t (2i cos t + 2j sin t −e t k), iar grad F(e t cos t, e t sin t, 2t) = e t (2i cos t + 2j sint −e t k). 9.54S˘a se demonstreze c˘a tangentele la curba r = a(i cos t +j sin t) +be t k intersecteaz˘a planul Oxydup˘a un cerc. R: r =a(−i sin t + j cos t) + be t k. Ecuat ¸iile tangentei: x−a cos t −a sin t = y−a sin t a cos t = z−be t be t . Pentruz=0seobt ¸inecurba: x=a(cos t + sin t), y=a(sin t − cos t), ac˘areiecuat ¸ie implicit˘a este: x 2 +y 2 = 2a 2 . 9.55S˘a se demonstreze c˘a planele normale ˆın orice punct al curbei: r = a(1 −cos t)i + aj sint + 2akcos t 2 trec printr-un punct fix ¸si s˘a se determine acest punct. R:xsin t +y cos t −z sin t 2 = 0,O(0, 0, 0). 9.56S˘asedetermineversoriitangentei,normaleiprincipale ¸sibinormalei,precum ¸si ecuat ¸iile planelor normal, rectificator ¸si osculator al curbelor (, ˆın punctele indicate: 1) r = e t i +e −t j +tk √ 2, M 0 (0) ∈ (. 2) r = ti +t 2 j +e t k, M 0 (0) ∈ (. 3) r = ti + t 2 2 j + t 2 2 k, M 0 (1) ∈ (. 4) r = (t 2 −1)i +t 2 j −kln t, M 0 (1) ∈ (. 9.57S˘asedeterminepunctelecurbei: r= 1 t i + tj + (2t 2 − 1)kprincaresepotduce binormale perpendiculare pe dreapta: x +y = 0,z = 4x. R:t 3 −3t −2 = 0,t 1 = t 2 = −1,t 3 = 2. 9.58S˘a se determine punctele de pe curba: r = 1 t i+j ln [t[ +tk unde normala principal˘a este paralel˘a cu planul: 5x + 2y −5z −4 = 0. CAPITOLUL9. ELEMENTEDEGEOMETRIEDIFERENT¸ IAL ˘ A 118 R: 2t 4 −5t 3 + 5t −2 = 0,t 1 = 2,t 2 = 1 2 ,t 3,4 = ±1. 9.59S˘aseg˘aseasc˘ alungimeaarcului elicei: x=a cos t, y=a sin t, z=bt, cuprins ˆıntre punctul de intersect ¸ie cu planul Oxy ¸si un punct arbitrarM(t). R:s = t √ a 2 +b 2 . 9.60S˘aseg˘aseasc˘alungimeaunei spireacurbei: x=a(t − sin t), y=a(1 − cos t), z = 4a cos t 2 , m˘arginit˘ a de dou˘a puncte consecutive ale sale de intersect ¸ie cu planulOxz. R:s = 2a √ 2 2π 0 sin t 2 dt = 8a √ 2. 9.61S˘a se g˘aseasc˘a lungimea arcului curbei: x 3 = 3a 2 y, 2xz = a 2 , cuprins ˆıntre planele y = a 3 ,y = 9a. R: Cu: x = t,y = 1 2a 2 t 3 ,z = a 2 2t , obt ¸inem: s = 3a a t 2 a 2 + a 2 2t 2 dt = 9a. 9.62S˘a se arate c˘a lungimea curbei ˆınchise: x = cos 3 t,y sin 3 t,z = cos 2t este 10. R:s = 4 5 2 π/2 0 sin 2tdt = 10. 9.63S˘aseg˘aseasc˘alungimeaarcului curbei: x=a cht, y=a sh t, z=at, cuex- tremit˘ at ¸ile ˆın puncteleM 0 (0),M(t). R:s = a √ 2 sh t. 9.64S˘a se g˘aseasc˘a expresia elementului de arc al unei curbe: 1) ˆın coordonate cilindrice. 2) ˆın coordonate sferice. R: 1)ds 2 = dr 2 +r 2 dϕ 2 +dz 2 . 2)ds 2 = dr 2 +r 2 dθ 2 +r 2 sin 2 θ dϕ 2 . 9.65S˘a se calculeze curbura ¸si torsiunea curbelor: 1) x = a ch t, y = a sh t, z = at. 2) x = a cos t, y = a sin t, z = bt. 3) x = t cos t, y = t sin t, z = bt. 4) x = e t , y = e −t , z = t √ 2. 5) x = 2t, y = ln t, z = t 2 . 6) x = cos 3 t, y = sin 3 t, z = cos 2t. R: 1)κ = τ= 1 2a ch 2 t . 2)κ = a a 2 +b 2 ,τ= b a 2 +b 2 . 3)κ = 2 1+a 2 . 4)κ = −τ= √ 2 (e t +e −t ) 2 . 5)κ = −τ= 2t (1+2t 2 ) 2 . 6)κ = 3 25 sin t cos t ,τ= 4 25 sin t cos t . 9.66S˘a se arate c˘a urm˘atoarele curbe sunt plane ¸si s˘a se g˘aseasc˘a ecuat ¸iile planelor ce le cont ¸in: 1) x = 1 +t 1 −t , y = 1 1 −t 2 , z = 1 1 +t . 2) x = a 1 t 2 +b 1 t +c 1 , y = a 2 t 2 +b 2 t +c 2 , z = a 3 t 2 +b 3 t +c 3 . CAPITOLUL9. ELEMENTEDEGEOMETRIEDIFERENT¸ IAL ˘ A 119 R: 1) (r , r , r ) = 0. Dac˘a Ax+By+Cz+D = 0 este planul ce cont ¸ine curba, atunci: Ax(t) +By(t) +Cz(t) +D = 0 pentrut ∈ R` ¦−1, +1¦, de unde: x −4y + 2z + 1 = 0. 2) (r , r , r ) = 0. Planul curbei: x −c 1 y −c 2 z −c 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = 0. 9.67S˘a se g˘aseasc˘a ecuat ¸iile intrinseci ale curbelor: 1) x = a cht, y = a sh t, z = at. 2) x = ct, y = c √ 2 ln t, z = c t . R: 1)κ = τ= a 2a 2 +s 2 . 2)κ = τ= c √ 2 4c 2 +s 2 . 9.68S˘a se arate c˘a exist˘a un vectorωa.ˆı. formulele lui Fr´enet s˘a se scrie sub forma: ˙ t = ω t, ˙ n = ω n, ˙ b = ω b. R: Formulelelui Fr´enet sunt: ˙ t =κn, ˙ n=−κt +τb, ˙ b=−τn. Lu˘amω= αt +βn +γb. Se obt ¸ine: ω = τt +κb. 9.3 Suprafet ¸e 9.69 ˆ Inplanul Oxzsed˘acurba(()x =f(u), z=g(u), u ∈I ⊂ R. S˘aseg˘aseasc˘a o reprezentare parametric˘a a suprafet ¸ei de rotat ¸ie obt ¸inut˘a prin rotirea curbei ( ˆın jurul axeiOz. R: PunctulM (f (u) , 0, g (u)) ∈ (descrie cercul de ecuat ¸ii: x 2 +y 2 +z 2 − f 2 (u) +g 2 (u) = 0, z = g (u) , sau x 2 +y 2 −f 2 (u) = 0, z = g (u) . Rezult˘areprezentareaparametric˘a: x=f(u) cos v, y=f(u) sin v, z=g(u), (u, v) ∈ I [0, 2π). 9.70S˘a se g˘aseacs˘a cˆate o reprezentare parametric˘a pentru suprafet ¸ele de rotat ¸ie obt ¸i- nute prin rotirea curbei ( ˆın jurul axeiOz, dac˘a curba (este: 1) Cercul x = a +b cos u, y = 0, z = b sin u, (a > b),u ∈ [0, 2π). 2) L˘ant ¸i¸sorul x = a ch u a , y = 0, z = u,u ∈ R. 3) Tractriceax = a sin u, y = 0, z = a(ln tg u 2 + cos u),u ∈ − π 4 , π 4 . R: 1) Torul x=(a +b cos u) cos v, y =(a +b cos u) sin v, z =b sin u, (u, v)∈ [0, 2π) [0, 2π). 2) Catenoidul x = a ch u a cos v,y = a ch u a sin v,z = u, (u, v) ∈ R[0, 2π). 3) Pseudosfera x=a sin ucos v, y =a sin usin v, z =a(ln tg u 2 + cos u), (u, v) ∈ − π 4 , π 4 [0, 2π). 9.71Numimelicoidsuprafat ¸agenerat˘adeocurb˘a ((numit˘a profil)ˆınmi¸scarede rotat ¸ie ˆınjurul unei axe(∆)¸si ˆınacela¸si timpdetranslat ¸ieparalel˘acuaceast˘aax˘a, vitezele acestor mi¸sc˘ari fiind proport ¸ionale. S˘a se g˘aseasc˘ a ecuat ¸iile elicoidului. CAPITOLUL9. ELEMENTEDEGEOMETRIEDIFERENT¸ IAL ˘ A 120 R: Dac˘a se ia axa Oz drept ax˘a de rotat ¸ie ¸si se presupune c˘a la momentul t = 0 curba (estesituat˘a ˆınplanul Oxz, deci x=f(u), y=0, z=g(u). Avem: x=f(u) cos v, y =f(u) sin v, dz dt =a dv dt , cua=const¸si z [ t=0 =g(u). Ecuat ¸iileelicoidului sunt: x = f(u) cos v,y = f(u) sin v,z = g(u) +av. 9.72Unelicoidsenume¸ste(1)normalsau(2)oblicdup˘acumprofilul esteodreapt˘a perpendicular˘a sau nu pe axa de rotat ¸ie. S˘a se g˘aseasc˘a ecuat ¸iile acestora. R: 1)Ecuat ¸iileprofilului sunt: x=u, y=0, z =0, ecuat ¸iaelicoidului normal: x = ucos v,y = usin v,z = av. 2) Ecuat ¸iile profilului sunt: x =u, y = 0, z =mu, m = 0, ecuat ¸ia elicoidului oblic: x = ucos v,y = usin v,z = mu +av. 9.73Pe suprafat ¸a: x = u+cos v,y = u−sin v,z = λu, se d˘a punctul M 0 de coordonate parametriceu 0 = 1,v 0 = π 2 . 1) S˘a se scrie ecuat ¸iile tangentelor ¸si planelor normale la curbeleu = 1 ¸siv = π 2 . 2) S˘a se g˘aseasc˘a unghiul dintre curbeleu = 1 ¸siv = π 2 ˆınM 0 . 3) S˘a se arate c˘a curba: u = sin v ¸si curbau = 1 admit o tangent˘a comun˘a ˆınM 0 . R: 1) x−1 −1 = y 0 = z−λ 0 , x−1 1 = y 1 = z−λ λ ,x −1 = 0,x +y +λz −(1 +λ 2 ) = 0. 2) cos θ = − 1 √ 2+λ 2 . 3) Curba: x = sin v −cos v, y = 0, z = λcos v admite ca tangent˘a ˆınM 0 dreaptaD. 9.74S˘a se g˘aseasc˘a ecuat ¸iile planelor tangente ¸si normalelor la suprafet ¸ele: 1)x = 2u −v,y = u 2 +v 2 ,z = u 3 −v 3 , ˆın punctul M 0 (3, 5, 7). 2)x = u +v,y = u −v,z = uv, ˆın punctul M 0 de coordonate parametrice (2, 1). 3)z = x 3 +y 3 , ˆın punctul M 0 (1, 2, 9). 4)x 2 +y 2 +z 2 −168 = 0, ˆın punctul M 0 (3, 4, 12). 5)x 2 −2y 2 −3z 2 −4 = 0, ˆın punctul M 0 (3, 1, −1). 6) x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 −1 = 0, ˆın punctul M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) de pe suprafat ¸˘a. R: 1) N = r u r v ,u 0 = 2,v 0 = 1, 18x + 3y −4z −41 = 0. 2) 3x −y −2z −4 = 0. 3) N = −pi −qj +k, cup = f x ,q = f y , 3x +12y −z −18 = 0. 4) N = F x i +F y j +F z k, 3x + 4y + 12z −169 = 0. 5) 3x −2y + 3z −4 = 0. 6) x 0 x a 2 + y 0 y b 2 + z 0 z c 2 −1 = 0. 9.75S˘a se g˘aseasc˘a ecuat ¸ia planului tangent la: 1) Pseudosferax = a sin ucos v, y = a sin usin v, z = a ln tg u 2 + cos u . 2) Elicoidul normal x = ucos v, y = usin v, z = au. 3) Torul x =(7 + 5 cos u) cos v, y =(7 + 5 cos u) sin v, z =5 sin u, ˆınpunctul M 0 (u 0 , v 0 ), cu cos u 0 = 3 5 , cos v 0 = 4 5 ,u 0 ,v 0 ∈ 0, π 2 . R: 1)xcos ucos v +y cos usin v −z sin u +a(ln tg u 2 ) sin u) = 0. 2)axsin v −ay cos v +uz −auv = 0, x−ucos v a sin v = y−usin v −a cos v = z−av u . 3) 12x + 9y + 29z −230 = 0. 9.76S˘aseg˘aseasc˘aecuat ¸iaplanului tangent suprafet ¸ei: xyz=1, paralel cuplanul: x +y +z = 0. CAPITOLUL9. ELEMENTEDEGEOMETRIEDIFERENT¸ IAL ˘ A 121 R:y 0 z 0 = 1,x 0 z 0 = 1,x 0 y 0 = 1, cux 0 y 0 z 0 = 1,M 0 (1, 1, 1),x +y +z −3 = 0. 9.77S˘asearatec˘aplaneletangentelasuprafat ¸axyz =a 3 formeaz˘acuplanelede coordonate un tetraedru de volum constant. R: Planul tangent la suprafat ¸˘aˆın punctul ei M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) are ecuat ¸ia: y 0 z 0 x+z 0 x 0 y+ x 0 y 0 z −3a 3 = 0. Se obt ¸ine 1 = 9a 3 2 . 9.78S˘a se arate c˘a planele tangente la suprafat ¸az = x 3 +y 3 ˆın puncteleM 0 (α, −α, 0) formeaz˘ a un fascicul. R:α 2 (x +y) −z = 0. 9.79S˘a se g˘aseasc˘a prima form˘a fundamental˘a a urm˘atoarelor suprafet ¸e de rotat ¸ie: 1)x = f(u) cos v,y = f(u) sin v,z = g(u). 2)x = Rcos ucos v,y = Rcos usin v,z = Rsin u (sfera). 3)x = a cos ucos v,y = a cos usin v,z = c sin v(elipsoidul de rotat ¸ie). 4)x = a ch ucos v,y = a ch usin v,z = c sh u (hiperboloidul cu o pˆanz˘a). 5)x = a sh ucos v,y = a sh usin v,z = c sh u (hiperboloidul cu dou˘a pˆanze). 6)x = ucos v,y = usin v,z = u 2 (paraboloidul de rotat ¸ie). 7)x = Rcos v,y = Rsin v,z = u (cilindrul circular). 8)x = ucos v,y = usin v,z = ku (conul circular). 9)x = (a +b cos u) cos v,y = (a +b cos u) sin v,z = b sin u (torul). 10)x = a ch u a cos v,y = aa ch u a sin v,z = u (catenoidul). 11)x = a sin ucos v,y = a sin usin v,z = a ln tg u 2 + cos u (pseudosfera). R: Primaform˘afundamental˘aasuprafet ¸ei esteΦ(dr)=Edu 2 + 2Fdudv + Gdv 2 , undeE = r 2 u ,F= r u r v ,G = r 2 v . Se obt ¸ine: 1) Φ(du, dv) = (f 2 (u) +g 2 (u))du 2 +f 2 (u)dv 2 . 2) Φ(du, dv) = R 2 (du 2 + cos 2 v dv 2 ). 3) Φ(du, dv) = (a 2 sin 2 u +c 2 cos 2 u)du 2 +a 2 cos 2 udv 2 . 4) Φ(du, dv) = (a 2 sh 2 u +c 2 ch 2 u)du 2 +a 2 ch 2 udv 2 . 5) Φ(du, dv) = (a 2 ch 2 u +c 2 sh 2 u)du 2 +a 2 sh 2 udv 2 . 6) Φ(du, dv) = (1 +u 2 )du 2 +u 2 dv 2 . 7) Φ(du, dv) = du 2 +R 2 dv 2 . 8) Φ(du, dv) = (1 +k 2 )du 2 +u 2 dv 2 . 9) Φ(du, dv) = b 2 du 2 + (a +b cos u) 2 dv 2 . 10) Φ(du, dv) = ch 2 u a du 2 +a 2 ch 2 u a dv 2 . 11) Φ(du, dv) = a 2 ctg 2 udu 2 +a 2 sin 2 udv 2 . 9.80Se d˘a suprafat ¸a: x = u 2 +v 2 ,y = u 2 −v 2 ,z = uv. 1) S˘a se g˘aseasc˘a prima form˘a fundamental˘a a suprafet ¸ei. 2) S˘a se calculeze elementul de arc al curbelor: u = 2,v = 1,v = au. 3) S˘asecalculezelungimeaarcului curbei v =aucuprinsˆıntrepunctelesalede intersect ¸ie cu curbeleu = 1,u = 2. R: 1) Φ(du, dv) = (8u 2 +v 2 )du 2 + 2uvdudv + (8v 2 +u 2 )dv 2 . 2)ds = Φ(du, dv) = 2 √ 2v 2 + 1dv,ds = √ 8u 2 + 1du,ds = 2u √ 2a 4 +a 2 + 2du. 3)s = 3 √ 2a 4 +a 2 + 2. 9.81S˘a se g˘aseasc˘a unghiul dintre liniileu + v = 0,u − v = 0 de pe elicoidul normal: x = ucos v,y = usin v,z = av. CAPITOLUL9. ELEMENTEDEGEOMETRIEDIFERENT¸ IAL ˘ A 122 R: cos θ = ± 1 −a 2 / 1 +a 2 . 9.82S˘aseg˘aseasc˘aunghiul dintreliniilev= 2u, v= −2udepeosuprafat ¸aac˘arei prim˘a form˘a fundamental˘a este Φ(du, dv) = du 2 +dv 2 . R: cos θ = −3/5. 9.83S˘aseg˘aseasc˘ aunghiul dintreliniilev=u + 1, v= 3 − udepesuprafat ¸a: x = ucos v,y = usin v,z = u 2 . R: cos θ = 2/3. 9.84S˘a se g˘aseasc˘a aria triunghiului curbiliniu m˘arginit de liniileu = ±av ¸siv = 1 de pe o suprafat ¸˘a a c˘arei prim˘a form˘a fundamental˘a este Φ(du, dv) = du 2 + (u 2 +a 2 )dv 2 . R: Elementul de arie al suprafet ¸ei r = r(u, v) este: dS= √ EG−F 2 dudv. ˆ In cazul nostru: dS = √ u 2 +a 2 dudv. Deci / = 1 0 av −av u 2 +a 2 du dv = a 2 2 3 − 1 3 √ 2 + ln 1 + √ 2 . 9.85S˘a se g˘aseasc˘ a aria patrulaterului curbiliniu m˘arginit de liniile u = 0, u = a, v = 0 ¸siv = 1 de pe elicoidul normal: x = ucos v,y = usin v,z = av. R: / = 1 2 a 2 √ 2 + ln(1 + √ 2) . Capitolul10 IntegralaRiemann¸siextinderi 10.1 Primitive. Integralanedefinit˘a 10.1S˘a se calculeze integralele: 1) 6x 2 + 8x + 3 dx. 2) 2pxdx. 3) dx n √ x . 4) dx √ 8 −x 2 . 5) dx x 2 + 7 . 6) dx x 2 −10 . R: 1) 2x 3 + 4x 2 + 3x +C, 2) 2 3 x √ 2px +C, 3) n n−1 x 1− 1 n +C, 4) arcsin 1 4 x √ 2 +C, 5) 1 √ 7 arctg x √ 7 +C, 6) 1 2 √ 10 ln x− √ 10 x+ √ 10 +C. 10.2S˘a se calculeze integralele: 1) xdx (x −1) (x + 1) 2 . 2) dx x 3 −2x 2 +x . 3) dx 2x 2 + 3x + 2 . 4) dx (x 2 + 4x + 5) 2 . 5) dx x 4 + 1 . 6) x 4 dx x 3 −1 . R: 1) 1 4 ln x−1 x+1 − 1 2(x+1) +C. 2) ln x x−1 − 1 x−1 +C. 3) 2 √ 7 arctg 1 √ 7 (4x + 3) +C. 4) 1 2 x+2 x 2 +4x+5 + 1 2 arctg (x + 2) +C. 5) 1 8 √ 2 ln x 2 +x √ 2+1 x 2 −x √ 2+1 + 1 4 √ 2arctg x √ 2 + 1 + 1 4 √ 2arctg x √ 2 −1 +C. 6) 1 2 x 2 + 1 3 ln (x −1) − 1 6 ln x 2 +x + 1 + 1 3 √ 3arctg 1 √ 3 (2x + 1) +C. 10.3S˘a se calculeze, efectuˆand schimbarea de variabil˘a indicat˘a: 1) √ ln x x dx, t = ln x. 2) e x e x + 1 dx, t = e x . 123 CAPITOLUL10. INTEGRALARIEMANNS¸IEXTINDERI 124 3) dx √ 1 −25x 2 , t = 5x. 4) x 3 dx √ 1 −x 8 , t = x 4 . 5) cos x a 2 + 2 sin 2 x dx, t = 1 a sin x. 6) dx sin 2 x + 2 cos 2 x , t = 1 2 tg x. 7) cos x 2 + cos (2x) dx, t = 2 3 sin x. 8) xdx √ 1 +x 4 , t 2 = 1 + 1 x 4 . R: 1) 2 3 ln 3 2 x +C. 2) ln (e x + 1) +C. 3) 1 5 arcsin 5x +C. 4) 1 4 arcsin x 4 +C. 5) 1 |a| √ 2 arctg √ 2 |a| sin x +C. 7) 1 2 √ 2 arcsin 1 3 √ 6 sin x +C. 8) 1 2 ln x 2 + √ 1 +x 4 +C. 10.4S˘a se calculeze integralele: 1) x 1 −x 2 1 +x 4 dx. 2) 2 x √ 1 −4 x dx. 3) √ x + 1 3 √ x 2 dx. 4) 2 x 3 2x 5 3x dx. 5) (tg x + ctg x) 2 dx. 6) x √ 1 −x 2 e arcsin x dx. 7) ln 3 x x 2 dx. 8) e ax cos (bx) dx. 9) x 2 + 1dx. 10) 9 −x 2 dx. 11) √ x √ 1 −x 3 dx. 12) x 2 +x + 1dx. R: 1) 1 2 arctg x 2 − 1 4 ln 1 +x 4 +C. 2)t = 2 x , d˘a: 1 ln 2 arcsin t +C. 3) 1 2 x 2 + 12 7 ( 6 √ x) 7 + 3 3 √ x +C. 4) 1 ln 2+3 ln 5+2 ln 3 2 x 3 2x 5 3x +C. 5) tg x −ctg x +C. 6)t = arcsin x, d˘a: 1 2 e t (sin t −cos t) +C. 7) − ln 3 x x − 3 x ln 2 x − 6 x ln x − 6 x +C. 8) a a 2 +b 2 e ax cos bx + b a 2 +b 2 e ax sin bx +C. 9) 1 2 x (x 2 + 1) + 1 2 ln x + (x 2 + 1) +C. 10) 1 2 x (9 −x 2 ) + 9 2 arcsin 1 3 x +C. 11)t 2 = x 3 , d˘a: 2 3 arcsin t +C. 12) 1 4 (2x + 1) √ x 2 +x + 1 + 3 8 ln x + 1 2 + √ x 2 +x + 1 +C. 10.5S˘a se g˘aseasc˘a formule de recurent ¸˘a pentru integralele: 1) I n (x) = sin n xdx. 2) J n (x) = cos n xdx. R: 1)I n (x) = n−1 n I n−2 (x) − 1 n sin n−1 xcos x,n ≥ 2. 2)J n (x) = n−1 n J n−2 (x) + 1 n cos n−1 xsinx,n ≥ 2. 10.6S˘a se g˘aseasc˘a formule de recurent ¸˘a pentru integralele: 1) I n (x) = dx cos n x . 2) I n (x) = x n e −x dx. CAPITOLUL10. INTEGRALARIEMANNS¸IEXTINDERI 125 R: 1)I n+2 (x) = 1 (n+1) cos n+1 x + n n+1 I n (x). 2)I n (x) = −x n e −x +nI n−1 (x). 10.7S˘a se calculeze integralele: 1) −x 2 + 3x −2dx. 2) x 4 + 1 x 3 + 1 dx. 3) dx x 3 +x 5 . 4) x + 1 x 4 +x 2 + 1 dx. 5) dx x(x + 1) (x + 2) . 6) 3x −1 x 2 −4x + 8 dx. 7) dx (x 2 + 1) 2 . 8) x 2 + 1 (x −1) 3 (x + 3) dx. 9) dx 2x 2 + 3x + 2 . R: 1) − 1 4 (−2x + 3) (−x 2 + 3x −2) + 1 8 arcsin (2x −3) +C. 2) 1 2 x 2 + 2 3 ln (x + 1) − 1 3 ln x 2 −x + 1 +C. 3) dx x 3 +x 5 = − 1 2x 2 −ln x + 1 2 ln x 2 + 1 +C. 4) 1 4 ln x 2 +x+1 x 2 −x+1 − 1 6 √ 3arctg 1 √ 3 (2x + 1) + 1 2 √ 3arctg 1 √ 3 (2x −1) +C. 5) 1 2 ln x −ln (x + 1) + 1 2 ln (x + 2) +C. 6) 3 2 ln x 2 −4x + 8 + 5 2 arctg x−2 2 +C. 7) 1 2 x x 2 +1 + 1 2 arctg x +C. 8) − 1 4(x−1) 2 − 3 8(x−1) + 5 32 ln x−1 x+3 +C. 9) 2 √ 7 arctg 1 √ 7 (4x + 3) +C. 10.8S˘a se calculeze integralele: 1) x + √ x 2 +x + 1 x + 1 + √ x 2 +x + 1 dx. 2) sin √ x + cos √ x √ xsin 2 √ x dx. 3) 3x + 2 √ x 2 +x + 2 dx. 4) dx √ x( 4 √ x + 1) 10 . 5) dx x 4 √ 1 +x 2 . 6) dx 5 + 4 sin x . 7) dx 2 sin x −cos x + 5 . 8) dx sin 2x −cos 2x . 9) tg 7 xdx. 10.9S˘a se calculeze integralele: 1) dx x 3 √ x 2 + 1 . 2) dx 4 √ x 4 + 1 . 3) 3 1 + 4 √ xdx. 4) dx (1 +x) √ 1 +x +x 2 . 5) x + 1 √ −x 2 + 4x + 5 dx. 6) 1 + sin x 1 + cos x e x dx. 10.10S˘a se calculeze integralele: 1) e 3x −e x dx e 4x −e 3x + 2e 2x −e x + 1 . 2) cos xcos 3xcos 6xdx. 3) x 2 +x + 1 x 2 + 1 e arctg x dx. 4) 2x −5 (x −1) (x −2) (x −3) (x −4) +a dx, a > 1. CAPITOLUL10. INTEGRALARIEMANNS¸IEXTINDERI 126 R: 1) ln e 2x −e x +1 e 2x +1 +C. 2) 1 8 1 2 sin 4x + 1 4 sin 8x + sin 2x + 1 5 sin 10x . 3)xe arctg x +C. 4) 1 √ a−1 arctg x 2 −5x+5 √ a−1 +C. 10.11S˘a se calculeze integralele: I (x) = sin 2x √ 3 + sin 4x dx, J (x) = cos 2x √ 3 + sin 4x dx. R:I (x) +J (x) = 1 2 arcsin √ 2 cos 4x +C 1 ,I (x) −J (x) = 1 √ 2 √ 3 + sin 4x +C 2 . 10.12S˘a se calculeze integralele: I (x) = sin x e x + sin x + cos x dx, J (x) = e x + cos x e x + sin x + cos x dx. R: Se calculeaz˘aJ (x) +I (x) ¸siJ (x) −I (x). 10.13S˘a se calculeze integralele: 1) x 3 + 2x 2 + 3x + 4 √ x 2 + 2x + 2 dx. 2) x 4 + 4x 2 √ x 2 + 4 dx. R: 1) Integrala se poate pune sub forma: x 3 + 2x 2 + 3x + 4 √ x 2 + 2x + 2 dx = αx 2 +βx +γ x 2 + 2x + 2 +λ dx √ x 2 + 2x + 2 . Derivˆand ¸si identificˆand coeficient ¸ii, obt ¸inem: α = 1 3 ,β = 1 6 ,γ = 7 6 ,λ = 5 2 . G˘asim: 1 3 x 2 + 1 6 x + 7 6 x 2 + 2x + 2 + 5 2 ln x + 1 + x 2 + 2x + 2 +C. 2) 1 4 x 3 + 1 2 x √ x 2 + 4 −2 ln x + √ x 2 + 4 +C. 10.14S˘a se calculeze integralele binome: 1) dx x 3 √ x 2 + 1 . 2) dx 4 √ x 4 + 1 . 3) xdx 1 + 3 √ x 2 . 4) 3 1 + 4 √ x √ x dx. R: 1) m+1 n = 0, se efectueaz˘a schimbarea de variabil˘a: x 2 + 1 = t 3 ¸si se obt ¸ine: 3 2 tdt t 3 −1 = 1 2 ln t −1 √ t 2 +t + 1 + 1 2 √ 3 arctan 1 3 (2t + 1) √ 3 +C. 2) m+1 n +p = 0, se efectueaz˘a schimbarea de variabil˘a: 1 +x −4 = t 4 ¸si se obt ¸ine: − t 2 t 4 −1 dt = 1 4 ln t + 1 t −1 − 1 2 arctg t +C. CAPITOLUL10. INTEGRALARIEMANNS¸IEXTINDERI 127 3) m+1 n = 3, se efectueaz˘a schimbarea de variabil˘a: 1 +x 2 3 = t 2 ¸si se obt ¸ine: 3 t 2 −1 2 dt = 3 5 t 5 −2t 3 + 3t +C. 4) m+1 n = 2, se efectueaz˘a schimbarea de variabil˘a: 1 +x 1 4 = t 3 ¸si se obt ¸ine: 12 t 3 t 3 −1 dt = 12 7 t 7 −3t 4 +C. 10.15S˘a se calculeze integralele binome: 1) x 3 2x 2 + 1 − 3 2 dx. 2) dx x 2 3 (x 3 + 2) 5 . 3) dx √ x 3 3 1 + 4 √ x 3 . 4) 3 √ x 5x 3 √ x + 3dx. 10.2 Integraladefinit˘a 10.16S˘a se arate c˘a: 1) lim n→∞ n n ¸ k=1 1 n 2 +k 2 = π 4 . 2) lim n→∞ n ¸ k=1 1 n +k = ln 2. R: Se va observa c˘a: 1) lim n→∞ n n ¸ k=1 1 n 2 +k 2 = 1 0 1 1 +x 2 dx. 2) lim n→∞ n ¸ k=1 1 n +k = 1 0 1 1 +x dx. 10.17S˘a se calculeze limitele urm˘atoarelor ¸siruri: 1) a n = 1 n 5 n ¸ k=1 k 4 . 2) a n = 1 n 2 n ¸ k=1 k 2 n +k . 3) a n = 1 n 2 n ¸ k=1 e k 2 n 2 . 4) a n = 1 n n ¸ k=1 1 + k 2 n 2 . 10.18S˘a se calculeze, aplicˆand formula lui Leibniz-Newton: 1) 1 0 1 1 +x dx. 2) x −x e t dt. 3) x 0 cos t dt. 4) 1 0 x x 2 + 3x + 2 dx. 5) 4 1 1 + √ x x 2 dx. 6) −1 −2 x x 2 + 4x + 5 dx. 7) 1 0 x 3 x 8 + 1 dx. 8) π 3 π 6 ctg xdx. 9) 1 0 chxdx. CAPITOLUL10. INTEGRALARIEMANNS¸IEXTINDERI 128 R: 1) ln 2. 2)e x −e −x . 3) sin x. 4) 2 ln 3 −3 ln 2. 5) 7 4 . 6) 1 2 ln 2 − 1 2 π. 7) 1 16 π. 8) 1 2 ln 3. 9) 1 2 e −e −1 . 10.19S˘a se arate c˘a: I n = π 2 0 sin n xdx = π 2 0 cos n xdx, I n = n −1 n I n−2 . 10.20S˘a se g˘aseasc˘ a o formul˘a de recurent ¸˘a pentru integrala: J n = 1 0 1 −x 2 n dx. R: Efectuˆandschimbareadevariabil˘ax=sin t, seobt ¸ine J n =I 2n+1 , deunde: J n = 2n 2n+1 J n−1 . 10.21S˘a se calculeze: 1) 1 0 x 2 e x dx. 2) b a (x −a) (x −b)dx. 3) π 0 x 2 cos xdx. 4) 1 0 x + 1 √ 1 +x 2 dx. 5) 1 0 dx e x +e −x . 6) 4 0 x x 2 + 9dx. 7) π 4 0 ln (1 + tg x) dx. 8) 1 0 x 2 arctg xdx. 9) π 0 x 2 sin 2 xdx. R: 1)e −2. 2) π 8 (b −a) 2 . 3) −2π. 4) √ 2 −1 + ln √ 2 + 1 . 5) arctge − 1 4 π. 6) 98 3 . 7) π 8 ln 2. 8) 1 6 π 2 −1 + ln 2 . 9) π 2 6 − π 4 . 10.22S˘a se calculeze: 1) 2 0 e x max ¸ 1, x 2 ¸ dx. 2) 3 2 dx (x + 1) √ x 2 −1 . 3) 2 −2 min ¦x −1, x + 1¦ dx. 4) e 1 sin (ln x) x dx. 5) 2 0 dx √ x + 1 + (x + 1) 3 . 6) π 3 − π 3 xsinx cos 2 x dx. R: 1) 2e 2 −e. 2) 1 √ 2 − 1 √ 3 . 3) 2. 4) 1 −cos 1. 5) π 6 . 6) 2 2π 3 −ln tg 5π 12 . 10.23S˘a se calculeze: 1) I = π 2 − π 2 cos x (2 −cos 2 x) (e x + 1) dx. 2) I = 2nπ 0 sin (x + sin x)dx, n ∈ N ∗ . CAPITOLUL10. INTEGRALARIEMANNS¸IEXTINDERI 129 R: 1) Avem, succesiv: I = 0 − π 2 cos x 1 + sin 2 x (e x + 1) dx + π 2 0 cos x 1 + sin 2 x (e x + 1) dx = = π 2 0 cos x 1 + sin 2 x dx =arctg (sin x)[ π 2 0 = π 4 . 2) Efectu˘am schimbarea de variabil˘a: x = t +nπ ¸si obt ¸inem succesiv: I = nπ −nπ sin [t +nπ + sin (t +nπ)]dt = nπ −nπ sin [nπ + (t + (−1) n sin t)]dt = = (−1) n nπ −nπ sin [t + (−1) n sin t]dt = 0, deoarece integrantul este o funct ¸ie impar˘a. 10.24S˘a se arate c˘a: lim ε→0 π ε 1 −cos kx 1 −cos x dx = kπ, k ∈ Z. R: Not˘amI (k) = π ε 1−cos kx 1−cos x dx. Se constat˘a c˘a: I (k + 1) +I (k −1) = 2I (k) + 2 π ε cos kxdx, de unde: lim ε→0 [I (k + 1) −2I (k) +I (k −1)] = 0. Cum lim ε→0 I (1) = π, presupunˆand c˘a lim ε→0 I (k −1) = (k −1) π ¸si lim ε→0 I (k) = kπ, rezult˘a prin induct ¸ie, c˘a lim ε→0 I (k + 1) = (k + 1) π. 10.25S˘a se calculeze integrala: I m,n = b a (x −a) m (b −x) n dx, cu m, n ∈ N. R: Integrˆand prin p˘art ¸i, se obt ¸ine formutla de recurent ¸˘a: I m,n = m n+1 I m−1,n+1 , de unde rezult˘a: I m,n = n!m! (n +m+ 1)! (b −a) n+m+1 . 10.26Dac˘aa < b ¸sin ∈ N ∗ , s˘a se arate c˘a: lim n→∞ ¸ b a (x −a) n (b −x) n dx ¸1 n = 1 4 (b −a) 2 . CAPITOLUL10. INTEGRALARIEMANNS¸IEXTINDERI 130 R: Din exercit ¸iul precedent avem c˘a: I n,n = (n!) 2 (2n + 1)! (b −a) 2n+1 , de unde rezult˘a c˘a lim n→∞ n I n,n = (b −a) 2 lim n→∞ n (n!) 2 (2n + 1)! = 1 4 (b −a) 2 . 10.27Fief: [0, 1] →R o funct ¸ie continu˘a. S˘a se arate c˘a: π 0 xf (sin x)dx = π π 0 f (sin x)dx. R: ˆ Intr-adev˘ar, π 0 xf (sin x)dx = π 2 0 xf (sin x)dx + π π 2 xf (sin x)dx. Efectuˆand ˆın cea de-a doua integral˘a schimbarea de variabil˘a: x = π −t, obt ¸inem: π π 2 xf (sin x)dx = π π 2 0 f (sin x)dx − π 2 0 xf (sin x)dx. 10.28Fief: [0, a] →R ∗ + o funct ¸ie integrabil˘a. S˘a se arate c˘a: a 0 f (x) f (x) +f (a −x) dx = a 2 . R: Fie: I (a) = a 0 f (x) f (x) +f (a −x) dx, J (a) = a 0 f (a −x) f (x) +f (a −x) dx. Evident: I (a)+J (a) = a. Efectuˆandˆın integrala J (a) schimbarea de variabil˘a x = a−t, obt ¸inem c˘aJ (a) = I (a). Deci,I (a) = a 2 . 10.29S˘a se calculeze integralele: 1) π 2 0 (cos x) sin x (cos x) sin x + (sin x) cos x dx. 2) π 2 0 sin 2 x + sin x sin x + cos x + 1 dx. R: 1) Fief (x) = (cos x) sin x . Atunci,f π 2 −x = (sin x) cos x ¸si conform exercit ¸iului precedent valoarea integralei este π 4 . 2) Fief (x) = sin 2 x + sin x. Atunci, f π 2 −x = cos 2 x + cos x ¸si deci valoarea integralei este π 4 . 10.30Fief:[−1, 1] →Rofunct ¸iecontinu˘acuproprietateac˘af (x) + f (−x)=π, pentru oricex ∈ [−1, 1]. S˘a se calculeze integrala: I = (2n+1)π 0 f (cos x)dx. CAPITOLUL10. INTEGRALARIEMANNS¸IEXTINDERI 131 R: Efectu˘am schimbarea de variabil˘a: x = (2n + 1) π −t. Obt ¸inem: I = (2n+1)π 0 f (−cos t)dt. Dar: f (−cos t) = π −f (cos t) ¸si deciI = 2n+1 2 π 2 . 10.31Fief: R + → R + ofunct ¸iecontinu˘astrictcresc˘atoarepeR + ¸si f (0) = 0. S˘a se stabileasc˘a inegalitatea lui Young: a 0 f (x)dx + b 0 f −1 (y)dy ≥ ab, ∀a, b ∈ R + . R: FieS x aria suprafet ¸ei cuprins˘a ˆıntre graficul funct ¸ieif, axaOx ¸si dreaptax = a ¸siS y aria suprafet ¸ei cuprins˘a ˆıntre graficul funct ¸ieif, axaOy ¸si dreaptay = b. Evident: S x +S y ≥ ab, de unde inegalitatea cerut˘a. 10.32FieF (x) = x 3 0 e t 2 dt. S˘a se calculezeF (x). R: Not˘am cuG(t) o primitiv˘a a funct ¸ieie t 2 , deci a.ˆı. G (t) = e t 2 . Atunci: F (x) =G(t)[ x 3 0 = G x 3 −G(0) , de unde, F (x) = 3x 2 G (x) = 3x 2 e x 6 . 10.33Fief: R →Rofunct ¸iederivabil˘apeR,definit˘aprin: f (x) = arctg x 0 e tg 2 t dt. S˘a se calculezef (x) ¸si s˘a se arate c˘a: 1 0 xf (x) e x 2 dx + 1 2e 1 0 e x 2 1 +x 2 dx = π 8 . R: Se constat˘a c˘af (0) = 0 ¸sif (x) = e x 2 1+x 2 . Integrˆand prin p˘art ¸i, avem: 1 0 xf (x) e x 2 dx = − 1 2 f (x) e −x 2 1 0 + 1 2 1 0 e −x 2 f (x)dx = π 8 − f (1) 2e . 10.34Fief (x) = √ x 1 x cos t 2 dt,x > 0. S˘a se calculezef (x). R:f (x) = 1 2 √ x cos x + 1 x 2 cos 1 x 2 . 10.35S˘a se determine funct ¸iile derivabilef: [0, ∞) →R, care verific˘a relat ¸ia: x + x 0 f (t)dt = (x + 1) f (x) . R: f (0) = 0 ¸si prin derivarea relat ¸iei date, obt ¸inem: 1 + f (x) = [(x + 1) f (x)] , de unde: f (x) = 1 x+1 . Decif (x) = ln (1 +x). CAPITOLUL10. INTEGRALARIEMANNS¸IEXTINDERI 132 10.36F˘ar˘a a calcula efectiv integrala, s˘a se arate c˘a: 0 ≤ 1 0 ln e x + 1 2 dx ≤ ln e + 1 2 . R: Fief (x) = ln e x +1 2 . Din: f (x) > 0 pe R, rezult˘a: f (0) < f (x) < f (1) etc. 10.37Fief: [0, 1] →[a, b] o funct ¸ie continu˘a pe [0, 1]. S˘a se arate c˘a dac˘a: 1 0 f (x)dx = 0, atunci 1 0 f 2 (x)dx ≤ −ab. R: Se integreaz˘a pe [0, 1] inegalitatea: [f (x) −a] [f (x) −b] ≤ 0. 10.38Fief: [a, b] →R o funct ¸ie derivabil˘a, cu derivat˘a continu˘a, a.ˆı. f (x) ≥ 1 +f 2 (x) , ∀x ∈ [a, b] . S˘a se arate c˘a: b −a < π. R: Se integreaz˘a pe [a, b] inegalitatea: f (x) 1 +f 2 (x) ≥ 1, ∀x ∈ [a, b] ¸si se t ¸ine seama de faptul c˘a: − π 2 < arctg α < π 2 , pentru oriceα ∈ R. 10.39Dac˘af: R →R este o funct ¸ie continu˘a ¸si periodic˘a, de perioad˘aT, atunci: x+T x f (t)dt = T 0 f (t)dt, ∀x ∈ R. R: Fie F: R →R, definit˘a prin F (x) = x+T x f (t)dt. Deoarece F (x) = f (x +T)− f (x) = 0, rezult˘a c˘aF (x) = C. Pentrux = 0 obt ¸inemC = T 0 f (t)dt. 10.40FieI n = 1 0 x 2n 1+x dx. Se cere: 1) S˘a se arate c˘a pentru oricen ∈ N are loc inegalitatea: 0 ≤ I n ≤ 1 2n+1 . 2) S˘a se calculeze lim n→∞ I n . 3) Folosind identitatea: 1 −x +x 2 −x 3 + −x 2n−1 = 1 1 +x − x 2n 1 +x , s˘a se arate c˘a: lim n→∞ 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + − 1 2n = ln 2. 10.41FieP (x) = a 0 +a 1 x +a 2 x 2 + +a n x n . S˘a se arate c˘a exist˘ac ∈ (0, 1) a.ˆı. P (c) = a 0 + a 1 2 + a 2 3 + + a n n + 1 . CAPITOLUL10. INTEGRALARIEMANNS¸IEXTINDERI 133 R: Aplic˘am prima formul˘a de medie integralei 1 0 P (x)dx. 10.42Fief: [0, 1] →R o funct ¸ie continu˘a care satisface condit ¸ia: 6 1 0 f (x)dx = 2a + 3b + 6c. S˘a se arate c˘a exist˘ax 0 ∈ (0, 1) a.ˆı. f (x 0 ) = ax 2 0 +bx 0 +c. R: Fieg: [0, 1] →Rdefinit˘aprin: g (x)=6 f (x) −ax 2 +bx +c . Seconstat˘a imediatc˘a 1 0 g (x)dx=0. Pedealt˘aparte, dinteoremademedie, rezult˘ac˘aexist˘a x 0 ∈ (0, 1) a.ˆı. 1 0 g (x)dx = g (x 0 ). 10.43Fief:[0, 1] →Rofunct ¸iecontinu˘acaresatisfacecondit ¸ia: 1 0 f (x)dx= 1 3 . S˘a se arate c˘a exist˘ac ∈ (0, 1) a.ˆı. f (c) = c 2 . R:Condit ¸iadinenunt ¸ semaiscrie: 1 0 f (x) −x 2 dx=0 ¸siseaplic˘ateoremade medie. 10.44Fief: [0, 1] →R o funct ¸ie derivabil˘a, cu derivat˘a continu˘a pe [0, 1]. S˘a se arate c˘a exist˘ac ∈ (0, 1) a.ˆı. 1 0 f (x)dx = f (0) + 1 2 f (c) . R: Avem: 1 0 f (x)dx =(x −1) f (x)[ 1 0 − 1 0 (x −1) f (x)dx, dar, conform formulei de medie, exist˘ac ∈ (0, 1) a.ˆı. 1 0 (x −1) f (x)dx = f (c) 1 0 (x −1)dx = − 1 2 f (c) . 10.45Fief: [0, 1] → Rofunct ¸iededou˘aoriderivabil˘a,cuderivataf continu˘ape [0, 1]. S˘a se arate c˘a exist˘ac ∈ (0, 1) a.ˆı. 1 0 f (x)dx = f (0) + 1 2 f (0) + 1 6 f (c) . R: Se integreaz˘a de dou˘a ori prin p˘art ¸i ¸si se aplic˘a teorema de medie. 10.46S˘a se determine funct ¸iile continuef: [0, ∞) →R care verific˘a egalitatea sin x 0 f (t)dt = x 1 +x , x > 0. R: Din egalitatea dat˘a rezult˘a: x 0 f (t)dt = arcsin x 1 +x , de unde f (x) = 1 (1 +x) √ 1 + 2x . CAPITOLUL10. INTEGRALARIEMANNS¸IEXTINDERI 134 10.47Fief:[a, b] →Rofunct ¸iecontinu˘ape[a, b]. S˘asearatec˘aexist˘ac ∈(a, b) pentru care: a c a f (x)dx +b b c f (x)dx = b a xf (x)dx. R: Fie funct ¸ia F: [a, b] →R, definit˘a prin: F (t) = t a f (x)dx, derivabil˘a cu F (t) = f (t), ∀x ∈ [a, b]. Avem, succesiv: b a xf (x)dx = b a xF (x)dx =xF (x)[ b a − b a F (x)dx = b b a f (x)dx − b a F (x)dx. Conform teoremei de medie exist˘ac ∈ (a, b) a.ˆı. b a F (x)dx = (b −a) F (c). 10.48Fief: [0, 1] →R o funct ¸ie continu˘a pe [0, 1] pentru care exist˘an ∈ N ∗ a.ˆı. 1 0 f (x)dx = 1 + 1 2 + 1 3 + + 1 n . S˘a se arate c˘a exist˘ax 0 ∈ (0, 1) a.ˆı. f (x 0 ) = 1−x n 0 1−x 0 . R: Fieg : [0, 1] →R, definit˘a prin: g (x) = f (x) − 1 +x +x 2 + +x n−1 . Seconstat˘aimediatc˘a 1 0 g (x)dx = 0, decidup˘ateoremademedieexist˘ax 0 ∈ (0, 1) a.ˆı. g (x 0 ) = 0. 10.3 Integraleimproprii 10.49S˘a se studieze natura ¸si ˆın caz de convergent ¸˘a s˘a se calculeze integralele improprii: 1) I n = ∞ 0 dx (a 2 +x 2 ) n , a > 0, n ∈ N ∗ . 2) I n = a 0 x n √ a 2 −x 2 dx, a > 0, n ∈ N. R: 1) Aplic˘amCriteriul I.Deoarece [f (x)[ x 2n = x 2n (a 2 +x 2 ) n ≤ 1, ∀x ∈ (0, ∞),cum α = 2n > 1 ¸siM= 1, rezult˘a c˘a integrala este convergent˘a. Avem apoi: I 1 = π 2a , I n = 1 a 2 2n −3 2 (n −1) I n−1 , n ≥ 2. 2) Aplic˘am CriteriulII. Deoarece [f (x)[ (a −x) 1 2 = x n √ a+x ≤ a n √ a , ∀x ∈ (0, a), cum α = 1 2 < 1 ¸siM= a n √ a , rezult˘a c˘a integrala este convergent˘a. Avem apoi: I 1 = π 2 , I n = a 2 n −1 n I n−1 , n ≥ 2. CAPITOLUL10. INTEGRALARIEMANNS¸IEXTINDERI 135 10.50S˘a se studieze natura ¸si ˆın caz de convergent ¸˘a s˘a se calculeze integralele improprii: 1) I = ∞ 1 1 x √ x 2 −1 dx. 2) I = ∞ a 1 x √ x 2 + 1 dx, a > 0. 3) I = ∞ 1 ln x x α dx. R: 1) Scriem integrala ca sum˘a de dou˘a integrale, una pe intervalul 1, √ 2 ¸si a doua peintervalul [ √ 2, ∞). Pentruprimaintegral˘aα= 1 2 1,M= √ 2, deci ambele integrale sunt convergente. Se obt ¸ineI = π 2 . 2) Convergent˘a ¸siI = 1 2 ln a 2 +1 a 2 −1 . 3) Convergent˘a pentruα > 1 ¸siI = 1 (α−1) 2 , divergent˘a pentruα ≤ 1. 10.51S˘a se studieze natura ¸si ˆın caz de convergent ¸˘a s˘a se calculeze integralele improprii: 1) I = ∞ 1 dx x(x + 1) . 2) I = 2 0 dx (1 +x 2 ) √ 4 −x 2 . 3) I = 1 −1 x −1 3 √ x 5 dx. R: 1) Convergent˘a ¸siI = ln 2. 2) Convergent˘a ¸siI = π 2 √ 5 . 3) Divergent˘a. 10.52S˘a calculeze integralele: 1) I = 2π 0 dx 4 −3 cos x . 2) I = π 0 dx sin 4 x + cos 4 x + sin 2 xcos 2 x . R: 1) Efectu˘am schimbarea de variabil˘ax = π +u ¸si obt ¸inem: I = π −π du 4 + 3 cos u = ∞ −∞ 2 dt t 2 + 7 = 2π √ 7 . 2)Scriindintegralacasum˘aadou˘aintegrale,unape 0, π 2 ¸siadouape π 2 , π cu schimbarea de variabil˘at = tg x, se obt ¸ine: I = 2 ∞ 0 1 +t 2 t 4 +t 2 + 1 dt = 2π √ 3 . 10.53S˘a calculeze integralele: 1) I n = ∞ 0 e −x x n dx. 2) I = ∞ 0 arctg x (1 +x 2 ) 3 2 dx. 3) I = ∞ 0 xln x (1 +x 2 ) 3 dx. 4) I = b a dx (x −a) (b −x) , a < b. 5) I = 1 −1 ln (2 + 3 √ x) 3 √ x dx. 6) I = ∞ 1 √ x (1 +x) 2 dx. 7) I = b a xdx (x −a) (b −x) , a < b. 8) I = e 1 dx x √ ln x . 9) I = 1 0 ln (1 −x)dx. R: 1)I n =nI n−1 ,deci I n =n!. 2) Deoarece arctg x (1+x 2 ) 3 2 x 3 < π 2 , ∀x(0, ∞),integrala este convergent˘a. Integrˆand prin p˘art ¸i, obt ¸inem: I = π 2 −1. 3)I = − 1 8 . 4)I = π. 5)I = 6 −9 ln √ 3. 6)I = 1 4 (π + 2). 7)I = π 2 (a +b). 8)I = 2. 9)I = 1. CAPITOLUL10. INTEGRALARIEMANNS¸IEXTINDERI 136 10.54S˘a calculeze integralele: 1) I = ∞ 0 e −αx cos (βx) dx, α > 0. 2) I = 1 e 0 dx xln 2 x . 3) I = 5 3 x 2 dx (x −3) (5 −x) . 4) I = 1 0 dx 1 −x 2 + 2 √ 1 −x 2 . 5) I = 1 −1 dx (2 −x) √ 1 −x 2 . 6) I = 1 0 x 2 dx 3 (1 −x 2 ) 5 . 7) I = ∞ 1 dx 2x + 3 √ x 2 + 1 + 5 . 8) I = 4 2 3 + cos x (x −2) 2 dx. 9) I = π 2 0 ln (cos x)dx. R: 1)I = α α 2 +β 2 . 2)I = 1. 3)I = 33π 2 . 4)I = π 3 √ 3 . 5)I = π √ 3 . 6) Divergent˘a. 7) Divergent˘a. 8) Divergent˘a. 9) Efectu˘am schimbarea de variabil˘ax = π 2 −2t ¸si obt ¸inem: I = 2 ln 2 π 4 0 dt + 2 π 4 0 ln (sin t)dt + 2 π 4 0 ln (cos t)dt. ˆ In ultima integral˘a efectu˘am schimbarea de variabil˘at = π 2 −u. Rezult˘aI = − π 2 ln 2. 10.55Fief: [0, ∞) →R o funct ¸ie continu˘a pe [0, ∞) ¸si integrala improprie ( integrala lui Froullani): I = ∞ 0 f (ax) −f (bx) x dx, o < a < b. 1) S˘a se arate c˘a dac˘a exist˘a lim x→∞ f (x) = k ∈ R, atunci integrala I este convergent ¸siI = [f (0) −k] ln b a . 2) Dac˘a exist˘a lim x→∞ f (x) nu este finit˘a, dar ∞ α f (x)dx este convergent˘a pentru oriceα > 0, atunci integralaIeste convergent˘a ¸siI = f (0) ln b a . R: 1) Pentru orice [t 1 , t 2 ] ⊂ [0, ∞) avem: t 2 t 1 f (ax) −f (bx) x dx = t 2 t 1 f (ax) x dx − t 2 t 1 f (bx) x dx = = at 2 at 1 f (u) u du− bt 2 bt 1 f (u) u du = f (c 1 ) bt 1 at 1 du u −f (c 2 ) bt 2 at 2 du u = [f (c 1 ) −f (c 2 )] ln b a , cuc 1 ∈ [at 1 , bt 1 ] ¸si c 1 ∈ [at 2 , bt 2 ]. Dac˘at 1 → 0 ¸si t 2 → ∞, atunci c 1 → 0 ¸si c 2 → ∞, deci: f (c 1 ) →f (0), iarf (c 2 ) →k. 2) FieF: (0, ∞) →R o primitiv˘a a funct ¸iei f(x) x pe (0, ∞). Pentru oricet ∈ (0, ∞), avem: ∞ t f (ax) −f (bx) x dx = ∞ at f (u) u du − ∞ bt f (u) u du = F (bt) −F (at) = = bt at f (u) u du = f (c) ln b a , cuc ∈ [at, bt]. Dac˘at →0, atuncic →0, deci: f (c) →f (0). CAPITOLUL10. INTEGRALARIEMANNS¸IEXTINDERI 137 10.56Folosind integrala lui Froullani, s˘a se calculeze: 1) I = ∞ 0 e −ax −e −bx x dx, a, b > 0. 2) I = ∞ 0 1 x ln p +qe −ax p +qe −bx dx, a, b, p, q> 0. 3) I = ∞ 0 e −a 2 x 2 −e −b 2 x 2 x dx, ab = 0. 4) I = ∞ 0 sinax −sin bx x dx, a, b > 0. 5) I = ∞ 0 cos ax −cos bx x dx, a, b > 0. 6) I = ∞ 0 arctg (ax) −arctg (bx) x dx. R: 1)I = ln b a . 2)I = ln p+q p ln b a . 3)I = ln b a . 4)I = 0. 5)I = ln b a . 6)I = π 2 ln a b . 10.57S˘a se calculezeintegrala lui Euler-Poisson: I = ∞ 0 e −x 2 dx. R:Peintervalul(1, ∞)avem: ∞ 1 e −x 2 dx< ∞ 1 e −x dx= 1 e , iarpeintervalul[0, 1] avemointegral˘adefinit˘a. Deci integraladat˘aesteconvergent˘a. Observ˘amc˘apentru x > 0 are loc egalitatea: ∞ 0 xe −x 2 y 2 dy = ∞ 0 e −y 2 dy = I. Putem scrie succesiv: I 2 = I ∞ 0 e −x 2 dx = ∞ 0 Ie −x 2 dx = ∞ 0 ∞ 0 xe −x 2 y 2 dy e −x 2 dx = = ∞ 0 ¸ ∞ 0 xe −x 2 (y 2 +1) dx dy. Efectuˆand schimbarea de variabil˘at = x 2 y 2 + 1 , obt ¸inem: I 2 = 1 2 ∞ 0 1 y 2 + 1 ∞ 0 e −t dt dy = 1 2 ∞ 0 dy y 2 + 1 = π 2 . Rezult˘a c˘aI = √ π 2 . 10.58S˘a se calculezeintegralele lui Fresnel: I c = ∞ 0 cos x 2 dx, I s = ∞ 0 sin x 2 dx. R: Efectuˆand schimbarea de variabil˘at = x 2 , obt ¸inem: I c = ∞ 0 cos t √ t dt, I s = ∞ 0 sint √ t dt, care sunt convergente. Putem ˆıns˘a scrie: I c −iI s = ∞ 0 cos x 2 −i sin x 2 dx = ∞ 0 e −ix 2 dx. Cu schimbarea de variabil˘aix 2 = u 2 , g˘asim: I c −iI s = 1 2 (1 −i) π 2 , de unde: I c = I s = 1 2 π 2 . CAPITOLUL10. INTEGRALARIEMANNS¸IEXTINDERI 138 10.4 Integralecuparametri 10.59S˘a se calculeze integralele: 1) I (y) = y 0 ln (1 +xy) 1 +x 2 dx. 2) I (m, n) = 1 0 x m ln n xdx. R: 1) Deoarece: I (y) = ln 1 +y 2 1 +y 2 + y 0 x (1 +xy) (1 +x 2 ) dx = ln 1 +y 2 2 (1 +y 2 ) + y 1 +y 2 arctg y, prin integrare, obt ¸inem: I (y) = y 0 ¸ ln 1 +t 2 2 (1 +t 2 ) + t 1 +t 2 arctg t ¸ dt = 1 2 (arctg y) ln 1 +y 2 . 2) Derivˆand egalitatea 1 0 x m dx = 1 m+1 den ori ˆın raport cum, g˘asim I (m, n) = (−1)! n! (m+ 1) n+1 . 10.60S˘a se calculeze integralele: 1) I n (y) = ∞ 0 dx (x 2 +y) n+1 , y> 0, n ∈ N. 2) I (k, y) = ∞ 0 e −kx sin (xy) x dx. R: 1) Avem succesiv: I 0 (y) = π 2 √ y , I 1 (y) = 1 2 π 2y √ y , . . . , I n (y) = 135(2n −1) 246(2n) π 2y n √ y . 2) Pentruk = 0, derivˆand ˆın raport cuy ¸si integrˆand de dou˘a ori prin p˘art ¸i, avem: I (k, y) = ∞ 0 e −kx cos (xy) dx = k k 2 +y 2 . Deci,I (k, y) = arctg y k . Pentruk = 0, avem: I (0, y) = ∞ 0 sin (xy) x dx = − π 2 , y< 0, 0, y = 0, π 2 , y> 0. 10.61S˘a se calculeze integralele: 1) I (y) = ∞ 0 e −x 2 − y 2 x 2 dx, y> 0. 2) I (y) = π 2 0 arctg (y sinx) dx. 3) I (y) = 1 0 arctg (xy) x √ 1−x 2 dx. 4) I (y) = 1 0 arctg (xy) x(1+x 2 ) dx. CAPITOLUL10. INTEGRALARIEMANNS¸IEXTINDERI 139 R: 1) Derivˆand ˆın raport cuy, avem: I (y) = −2 ∞ 0 e −x 2 − y 2 x 2 y x 2 dx = −2 ∞ 0 e − y 2 z 2 −z 2 dz = −2I (y) , ˆınurmaschimb˘ariidevariabil˘ax = y z . Deaicirezult˘a: I (y) =Ce −2y . Pentruy= 0, obt ¸inemC = I (0) = √ π 2 . DeciI (y) = √ π 2 e −2y . 2)I (y) = π 2 ln y + 1 +y 2 . 3)I (y) = π 2 ln y + 1 +y 2 . 4)I (y) = π 2 ln (1 +y). 10.62S˘a se calculeze integralele: 1) I (α, β) = π 2 0 ln α 2 sin 2 x +β 2 cos 2 x dx, α, β> 0. 2) I (y) = π 2 0 ln 1 +y cos x 1 −y cos x dx cos x , [y[ < 1. 3) I (y) = π 2 0 ln y 2 −sin 2 x dx, y> 1. R: 1)I (α, β) = π ln α+β 2 . 2)I (y) = π arcsin y. 3)I (y) = π ln y+ √ y 2 −1 2 . 10.63S˘a se arate c˘aintegrala lui Euler de spet ¸a a doua: Γ(p) = ∞ 0 x p−1 e −x dx, p ∈ R. esteconvergent˘apentrup>0¸si divergent˘apentrup ≤0. S˘asestabileasc˘arelat ¸iile: Γ(p + 1) = pΓ(p), pentrup > 0 ¸si Γ(n + 1) = n!. R: Putem scrie: Γ(p) = 1 0 x p−1 e −x dx + ∞ 1 x p−1 e −x dx. Prima integral˘a este convergent˘a dac˘a 1 −p < 1, adic˘ap > 0, fiind improprie de spet ¸a a doua, cue −1 < x 1−p x p−1 e −x ≤ 1, pe [0, 1]. A doua integral˘a este convergent˘a pentru oricep, deoarece lim x→∞ x α x p−1 e −x = 0, ∀p ∈ R. 10.64S˘a se arate c˘aintegrala lui Euler de prima spet ¸˘a: B(p, q) = 1 0 x p−1 (1 −x) q−1 dx, p, q ∈ R, esteconvergent˘apentrup>0¸si q >0¸si divergent˘apentrup ≤0sauq ≤0. S˘ase stabileasc˘ a relat ¸iile: B(p, q) = Γ(p) Γ(q) Γ(p +q) , p, q> 0, B(m, n) = (m−1)! (n −1)! (m+n −1)! , m, n ∈ N ∗ . CAPITOLUL10. INTEGRALARIEMANNS¸IEXTINDERI 140 R: Putem scrie: B(p, q) = 1 2 0 x p−1 (1 −x) q−1 dx + 1 1 2 x p−1 (1 −x) q−1 dx. Fiem 1 ,M 1 marginile funct ¸iei (1 −x) q−1 pe 0, 1 2 . Atunci: 0 < m 1 ≤ x 1−p x p−1 (1 −x) q−1 ≤ M 1 . Rezult˘ac˘aprimaintegral˘aesteconvergent˘adac˘ap>0, ∀q ∈R. Fieapoi m 2 , M 2 marginile funct ¸ieix p−1 pe 1 2 , 1 . Atunci: 0 < m 2 ≤ p−1 (1 −x) 1−q x p−1 (1 −x) q−1 ≤ M 2 . Rezult˘ac˘aadouaintegral˘aesteconvergent˘adac˘aq >0, ∀p ∈R. Deci B(p, q)este convergent˘a dac˘ap > 0 ¸siq> 0. Capitolul11 Integralecurbilinii 11.1 Lungimeaunuiarcdecurb˘a 11.1S˘a se calculeze lungimile urm˘atoarelor drumuri: 1) x = ln t + √ 1 +t 2 , y = √ 1 +t 2 , t ∈ [0, 1] . 2) x = a cos 3 t, y = a sin 3 t, t ∈ [0, 2π] . R: 1) Avemx (t) = 1 √ 1+t 2 ,y (t) = t √ 1+t 2 , deci L = 1 0 1 1 +t 2 + t 2 1 +t 2 dt = 1 0 dt = 1. 2) Avemx (t) = −3a cos 2 t sin t ¸siy (t) = 3a sin 2 t cos t, deci L = 3a 2π 0 [sin t cos t[dt = 6a π 2 0 sin 2t dt = 6a. 11.2S˘a se calculeze lungimile urm˘atoarelor drumuri: 1) x = ln tg t 2 , y = ln 1 + sin t 1 −sin t , t ∈ π 6 , π 3 . 2) x = 5 sin t −sin 5t, y = 5 cos t −cos 5t, t ∈ [0, 2π] . R: 1) Avemx (t) = 1 sin t ,y (t) = 1 cos t . Atunci L = π 3 π 6 1 sin 2 t + 1 cos 2 t dt = ln 3. 2) Avemx (t) = 5 cos t −5 cos 5t,y (t) = −5 sin t −5 sin 5t, deci L = 5 √ 2 2π 0 √ 1 −cos 3t dt = 10 2π 0 [sin 3t[dt = 60 π 3 0 sin 3t dt = 40. 141 CAPITOLUL11. INTEGRALECURBILINII 142 11.3S˘a se calculeze lungimile urm˘atoarelor drumuri: 1) x = e at (a sin bt −b cos bt) , y = e at (a cos bt +b sin bt) , t ∈ [0, 1] , a, b > 0. 2) x = t 2 [sin (ln t) −cos (ln t)] , y = t 2 [sin (ln t) + cos (ln t)] , t ∈ [1, 2] . 3) x = 3t 2 −6 sin t − t 3 −6t cos t, y = 3t 2 −6 cos t + t 3 −6t sin t, t ∈ [−2π, 2π] . R: 1)L = a 2 +b 2 a (e a −1). 2)L = 1. 3)L = 8π 4 . 11.4S˘a se calculeze lungimile urm˘atoarelor drumuri: 1) x = t, y = √ 2 ln (cos t) , z = tg t −t, t ∈ − π 4 , π 4 . 2) x = tg t, y = ctg t, z = √ 2 ln (tg t) , x ∈ π 4 , π 3 . R: 1)L = 2. 2)L = 2 √ 3 3 . 11.2 Integralecurbiliniideprimultip 11.5S˘a se calculeze integralele curbilinii de primul tip, pe arcele de curb˘a (, indicate: 1) I = C xy ds, (() x = t, y = t 2 , t ∈ [−1, 1] . 2) I = C y 2 ds, (() x = − 1 4 t 4 , y = t, t ∈ [0, 2] . 3) I = C y (2 −y) ds, (() x = t −sin t, y = 1 −cos t, t ∈ 0, π 2 . 4) I = C x 2 y 2 ds, (() x = a cos 3 t, y = a sin 3 t, a > 0, t ∈ [0, 2π] . R: 1) Deoareceds = √ 1 + 4t 2 dt, avem I = 1 −1 t 3 1 + 4t 2 dt = 0, integrantul fiind o funct ¸ie impar˘a ¸si intervalul de integrare este simetric fat ¸˘a de origine. 2) Deoareceds = √ t 6 + 1 dt, avem I = 2 0 t 2 t 6 + 1 dt = 1 3 8 0 u 2 + 1 du = 4 3 √ 65 + 1 6 ln 8 + √ 65 . 3) Deoareceds = (1 −cos t) 2 + sin 2 t dt = 2 sin t 2 dt, avem I = 2 π 2 0 sin t sin t 2 dt = 4 π 2 0 sin 2 t 2 cos t 2 dt = 4 3 √ 2 . 4) Obt ¸inem: I = 3a 5 2 7 2π 0 [sin 2t[ 7 dt = 3a 5 2 5 π 2 0 sin 7 2t dt, deoarece funct ¸ia [sin 2t[ 7 este periodic˘a, de perioad˘a π 2 . Efectu˘am schimbarea de variabil˘a u = cos 2t ¸si obt ¸inem: I = 3a 5 2 6 1 −1 1 −u 2 3 du = 3 70 a 5 . CAPITOLUL11. INTEGRALECURBILINII 143 11.6S˘asecalculezeintegralacurbilinie I = C x 2 +y 2 ds, unde ( estecercul de ecuat ¸iex 2 +y 2 = ax. R: Oreprezentareparametric˘aacercului ( este: x= a 2 (1 + cos t), y = a 2 sin t, t ∈ [0, 2π]. Se obt ¸ineI = 2a 2 . 11.7S˘a se calculeze integralele curbilinii de primul tip, pe arcele de curb˘a (, indicate: 1) I = C x 2 +y 2 ds, (() x = r (cos t +t sin t) , y = r (sin t −t cos t) , t ∈ [0, 2π] . 2) I = C x 2 +y 2 n ds, (() x = a cos t, y = a sin t, t ∈ [0, 2π] . 3) I = C [xy[ds, (() x = a cos t, y = b sin t, a, b > 0, t ∈ [0, 4π] . R: 1)I = r 2 3 √ 1 + 4π 2 3 −1 . 2)I = 2πa 2n+1 . 3)I = 8ab(a 2 +ab+b 2 ) 3(a+b) . 11.8S˘a se calculeze integralele curbilinii de primul tip, pe arcele de curb˘a (, indicate: 1) I = C x 2 +y 2 ln z ds, (() x = e t cos t, y = e t sin t, z = e t , t ∈ [0, 1] . 2) I = C x 2 +y 2 +z 2 −1 ds, (() x = a cos t, y = a sin t, z = bt, t ∈ [0, 2π] . 3) I = C xy 2 z ds, (() x = t, y = 1 3 √ 8t 3 , z = 1 2 t 2 , t ∈ [0, 1] . 4) I = C x 2 +y 2 z ds, (() x = t cos t, y = t sin t, z = t, t ∈ [0, 1] . R: 1) Deoareceds = √ 3e t dt,rezult˘aI= √ 3 9 2e 3 + 1 . 2)I= √ a 2 +b 2 ab arctg 2πb a . 3) I = 5 42 . 4)I = 4 √ 3 5 + 8 √ 2 15 . 11.9S˘a se calculeze integrala curbilinieI = C (x +y +z)ds, unde ( = ( 1 ∪ ( 2 , cu: (( 1 ) x = r cos t, y = r sin t, z = 0, t ∈ 0, π 2 , (( 2 ) x = 0, y = r −t, z = t, t ∈ [0, r] . R:I = 2 + √ 2 r 2 . 11.10S˘asecalculezeintegralacurbilinieI= C 2y 2 +z 2 ds, unde (estecercul de ecuat ¸iex 2 +y 2 +z 2 = a 2 ,y = x. R: O reprezentare parametric˘a a curbei este: x = a √ 2 cos t,y = a √ 2 cos t, z =a sin t, t ∈ [0, 2π]. Se obt ¸ine: I = 2πa 2 . 11.11S˘asecalculezemasa ´firuluimaterial cudensitatealiniar˘aρ (x, y) = 1 + x, care este imaginea curbei: (() x = t, y = 1 2 t 2 , t ∈ [0, 1] . R: Deoareceds = √ 1 +t 2 dt, avem ´= 1 0 (1 +t) 1 +t 2 dt = 7 6 √ 2 + 1 2 ln 1 + √ 2 − 1 3 . CAPITOLUL11. INTEGRALECURBILINII 144 11.12S˘a se calculeze masele firelor materiale care au densit˘at ¸ile liniare ¸si reprezent˘arile parametrice urm˘atoare: 1) ρ (x, y, z) = 4 √ 2y, (() x = 3 8 t 8 , y = 1 2 t 8 , z = √ 11 3 t 3 , t ∈ [0, 1] . 2) ρ (x, y, z) = √ 2y, (() x = t, y = 1 2 t 2 , z = 1 3 t 3 , t ∈ [0, 1] . 3) ρ (x, y, z) = x, (() x = ch t, y = sh t, z = t, t ∈ [0, ln 2] . R: 1) ´= 3 5 + 11 100 ln 11. 2) ´= 1 8 3 √ 3 −1 + 3 2 ln 3+2 √ 3 3 . 3) ´= √ 2 2 15 16 + ln 2 . 11.13S˘asecalculezemasa ´¸si centrul degreutateGalefirelormaterialecuden- sit˘at ¸ile liniare ¸si reprezent˘ arile parametrice urm˘atoare: 1) ρ (x, y) = 1, (() x = Rcos t, y = Rsin t, R > 0, t ∈ [0, π] . 2) ρ (x, y) = 1, (() x = R(t −sin t) , y = R(1 −cos t) , R > 0, t ∈ [0, π] . 3) ρ (x, y) = √ y, (() x = R(t −sin t) , y = R(1 −cos t) , R > 0, t ∈ [0, 2π] . 4) ρ (x, y) = 1, (() x = Rcos 3 t, y = Rsin 3 t, R > 0, t ∈ 0, π 2 . R: 1) ´= πR,G 0, 2R π . 2) ´= 4R,G 4 3 R, 4 3 R . 3) ´= 2R √ 2Rπ,G Rπ, 3 2 R . 4) ´= 3 2 R,G 2 5 R, 2 5 R . 11.14S˘asecalculezemasa ´¸si centrul degreutateGalefirelormaterialecuden- sit˘at ¸ile liniare ¸si reprezent˘ arile parametrice urm˘atoare: 1) ρ (x, y, z) = 1, (() x = a cos t, y = a sin t, z = bt, t ∈ [0, 2π] . 2) ρ (x, y, z) = |z| 2 , (() x = 4t 5 , y = √ 15 t 4 , z = 2t 3 , t ∈ [−1, 1] . R: 1) ´= 2π √ a 2 +b 2 ,G(0, 0, bπ). 2) ´= 7,G 0, 68 7 √ 15 , 0 . 11.3 Integralecurbiliniidetipulaldoilea 11.15S˘a se calculeze integralele curbilinii de tipul al doilea, pe arcele de curb˘a (, indi- cate: 1) I = C xy dx −y 2 dy, (() x = t 2 , y = t 3 , t ∈ [0, 1] . 2) I = C √ 1 −x 2 dx +xdy, (() x = cos t, y = 2 sin t, t ∈ − π 2 , π 2 . 3) I = C ye x dx, (() x = ln 1 +t 2 , y = 2arctg t −t, t ∈ [0, 1] . 4) I = C x 2 y dy −xy 2 dx, (() x = √ cos t, y = √ sin t, t ∈ 0, π 2 . R: 1) Deoarece: dx = 2t dt,dy = 3t 2 dt, avem: I = 1 0 2t 6 −3t 8 dt = − 1 21 . 2) Deoarece: dx = −sint,dy = 2 cos t dt, obt ¸inemI = π. 3)I = π − 8 3 . 4)I = π 4 . 11.16S˘a se calculeze integralele curbilinii de tipul al doilea: 1) I = C x 2 dy−y 2 dx x 3 √ x 2 +y 3 √ y 2 , (() x = r cos 3 t, y = r sin 3 t, t ∈ 0, π 2 . 2) I = C (arcsin y) dx +x 3 dy, (() x = −t, y = √ 1 −t 2 , t ∈ [−1, 1] . CAPITOLUL11. INTEGRALECURBILINII 145 R: 1)I = 3π 16 r 3 √ r. 2)I = 3π 8 −2. 11.17S˘a se calculeze integrala curbilinie de tipul al doilea I = C (x +y) dx−(x −y) dy, unde (este curba simpl˘a, ˆınchis˘ a ¸si orientat˘a pozitiv, care are drept imagine triunghiul cu vˆarfurile ˆın puncteleO(0, 0),A(1, 1),B(0, 2) ¸si ambele capete ˆın origine. R:Avem: (= ( 1 ∪ ( 2 ∪ ( 3 ,cu: (( 1 ) x =t, y=t, t ∈ [0, 1],(( 2 ) x = 2 − t, y= t, t ∈ [1, 2], (( 3 ) x = 0, y= 2 − t, t ∈ [0, 2]. ˆ Incˆat: I= 1 0 2t dt + 2 1 (−4 + 2t)dt + 2 0 (−2 +t)dt = −2. 11.18S˘asecalculezeintegralacurbiliniedetipulaldoileaI= C 2xdy − 3y dx,unde (este curba simpl˘a, ˆınchis˘a ¸si orientat˘a pozitiv, care are drept imagine dreptunghiul cu vˆarfurile ˆın puncteleA(1, 2),B(3, 1),C (2, 5) ¸si ambele capete ˆın punctul A. R:I = 35 2 . 11.19S˘a se calculeze integrala curbilinie de tipul al doilea I = C dx +dy max ¦[x[ , [y[¦ , unde (este curba simpl˘a, ˆınchis˘ a ¸si orientat˘a pozitiv, care are drept imagine triunghiul cuvˆarfurile ˆınpunctele A(−1, −1), B(2, −1), C (2, 1), D(−1, 1)¸si ambelecapete ˆın punctul A. R:I = −1. 11.20S˘a se calculeze integrala curbilinie de tipul al doilea I = C ydx−(x −a) dy, unde (este curba simpl˘a, ˆınchis˘a ¸si orientat˘a pozitiv, care are drept imagine elipsa: (x −a) 2 a 2 + y 2 b 2 = 1, a, b > 0 ¸si ambele extremit˘at ¸i ˆın origine. R: Oreprezentareparametric˘aacurbei (este: x=a (1 + cos t), y=b sin t, t ∈ [−π, π]. Se obt ¸ineI = −2πab. 11.21S˘a se calculeze integrala curbilinie de tipul al doileaI = C x 2 −y 2 dx, unde ( este arcul din parabolay = x 2 cuprins ˆıntre puncteleO(0, 0) ¸siA(2, 4). R:I = − 56 15 . 11.22S˘a se calculeze integrala curbilinie de tipul al doileaI = C x −y 2 dx +2xy dy, unde (estecurbasimpl˘a, ˆınchis˘ a¸si orientat˘apozitiv, carearedreptimagineconturul domeniuluiplandelimitatdecurbele: y 2 = 8x,9x 2 + y 2 = 1 ¸si y = 0,situat ˆınprimul cadran. R: Vˆarfurile conturului sunt: O(0, 0),A 1 3 , 0 ,B 1 9 , 2 √ 2 3 . Se obt ¸ineI = − 80 243 . CAPITOLUL11. INTEGRALECURBILINII 146 11.23S˘a se calculeze integralele curbilinii de tipul al doilea, pe arcele de curb˘a (, indi- cate: 1) I = C y dx −xdy + x 2 +y 2 +z 2 dz, (() x = −t cos t + sin t, y = t sin t + cos t, z = t + 1, t ∈ [0, π] . 2) I = C (y −z) dx + (z −x) dy + (x −y) dz, (() x = a cos t, y = a sin t, z = bt, t ∈ [0, 2π] . R: 1) Deoarece: dx = t sin t dt,dy = t cos t dt,dz = dt,x 2 +y 2 +z 2 = 2t 2 +2t +2, se obt ¸ineI = π 3 +π 2 + 2π. 2)I = −2πa (a +b). 11.24S˘a se calculeze integralele curbilinii de tipul al doilea, pe arcele de curb˘a (, indi- cate: 1) I = C xdx +xy dy +xyz dz, (() x = e t , y = e −t , z = √ 2 t, t ∈ [0, 1] . 2) I = C z √ a 2 −x 2 dx +xz dy + x 2 +y 2 dz, (() x = a cos t, y = a sin t, z = bt, t ∈ 0, π 2 . R: 1)I = 1 2 e 2 + 1 e − 1 2 . 2)I = a 2 b 2 (π −1). 11.25S˘a se calculeze integrala curbilinie de tipul al doilea I = C y 2 +z 2 dx + z 2 +x 2 dy + x 2 +y 2 dz, unde (estecurbasimpl˘acarearedreptimaginesegmentul [AB] cu: A(−1, −1, −1)¸si B(2, 2, 2), iar primul cap˘at ˆınA. R:I = 15 √ 2 2 . 11.26S˘a se calculeze integrala curbilinie de tipul al doilea I = C (y −2z) dx −(z −x) dy + (2x −y) dz, unde ( este curba simpl˘a de ecuat ¸ii: (() x 2 +y 2 +z 2 = a 2 , x −y +z = 0, cu a > 0 ¸si ambele capete ˆın punctul A a √ 2 , 0, − a √ 2 . R: O reprezentare parametric˘a a curbei (este: (() x = a √ 2 cos t + a √ 6 sin t, y = 2a √ 6 sin t, z = a √ 6 sint − a √ 2 cos t, t ∈ [0, 2π] . Se obt ¸ineI = 4a 2 √ 3 . CAPITOLUL11. INTEGRALECURBILINII 147 11.4 Independent ¸adedrumaintegralelorcurbilinii 11.27Constatˆand ˆın prealabil c˘a expresia de sub semnul integral˘a este o diferent ¸ial˘a ex- act˘a, s˘a se calculeze urm˘atoarele integrale curbilinii, ˆın care s-au specificat numai capetele curbei de integrare: 1) I = (1,3) (2,1) y dx +xdy. 2) I = (2,0) (0,2) y 2 e x dx + 2ye x dy. 3) I = (2,3) (1,1) (x + 3y) dx + (3x +y) dy. 4) I = (2,1) (0,0) 2xy dx +x 2 dy. R: 1) CumP (x, y) =y,Q(x, y) =x ¸si ∂P ∂x = ∂Q ∂y = 1, rezult˘a c˘a valoarea integralei nudepindedecurbarectificabil˘acucapetele ˆınpunctele(2, 1)¸si (1, 3). FieA 1 (2, 1), A 2 (1, 1) ¸si A 3 (3, 1). Alegem pentru integrare curba simpl˘a (= ( 1 ∪ ( 2 , ˆın care ( 1 are caimaginesegmentul A 1 A 2 paralelcuaxaOx, iar ( 2 arecaimaginesegmentul A 2 A 3 paralel cu axaOy, avˆand reprezent˘arile parametrice: (( 1 ) x = −t, y = 1, t ∈ [−2, −1] , (( 2 ) x = 1, y = t, t ∈ [1, 3] . Obt ¸inem: I = C y dx+xdy = C 1 y dx+xdy + C 2 y dx+xdy = − −1 −2 dt + 3 1 dt = 1. Se observ˘a u¸sor c˘a funct ¸ia U (x, y) = xy este o primitiv˘a a expresiei diferent ¸iale y dx+xdy, adic˘adU=dx +xdy ¸si deciI = U (1, 3) −U (2, 1) = 1. 2)I = −4. 3)I = 41 2 . 4)I = 4. 11.28Constatˆand ˆın prealabil c˘a expresia de sub semnul integral˘a este o diferent ¸ial˘a ex- act˘a, s˘a se calculeze urm˘atoarele integrale curbilinii, ˆın care s-au specificat numai capetele curbei de integrare: 1) I = (5,12) (3,4) x dx+y dy x 2 +y 2 . 2) I = (9,1) ( 1 2 ,2) 1 2 y x dx + 1 2 x y dy. 3) I = (−3,−2) (1,2) y 2 (x−y) 2 dx − x 2 (x−y) 2 dy. 4) I = (3,0) ( 1 3 ,−2) y 1+xy dx + x 1+xy dy. R: 1)I = ln 13 5 . 2)I = 2. 3)I = 4. 4)I = ln 3. 11.29Constatˆand ˆın prealabil c˘a expresia de sub semnul integral˘a este o diferent ¸ial˘a ex- act˘a, s˘a se calculeze urm˘atoarele integrale curbilinii, ˆın care s-au specificat numai capetele curbei de integrare: 1) I = (2,3,1) (1,1,0) yz dx +xz dy +xy dz. 2) I = (2,1,3) (1,−1,2) xdx −y 2 dy +z dz. 3) I = (3,4,5) (0,0,0) x dx+y dy+z dz √ x 2 +y 2 +z 2 . 4) I = (0,3,4) (1,−2,2) x dx+y dy+z dz (x 2 +y 2 +z 2 ) 3 2 . CAPITOLUL11. INTEGRALECURBILINII 148 R: 1) Cum: P (x, y, z) = yz,Q(x, y, z) = xz,R(x, y, z) = xy, avem: ∂R ∂y = ∂Q ∂z = x, ∂P ∂z = ∂R ∂x = y, ∂Q ∂x = ∂P ∂y = z, deci expresia de sub semnul integral˘a este o diferent ¸ial˘a exact˘a ¸si integrala curbilinie nu depindededrum. FieA 1 (1, 1, 0), A 2 (2, 1, 0), A 3 (2, 3, 0), A 4 (2, 3, 1). Alegempentru integrare curba simpl˘a ( = ( 1 ∪( 2 ∪( 3 , ˆın care ( 1 are ca imagine segmentul A 1 A 2 paralel cuaxaOx, ( 2 arecaimaginesegmentul A 2 A 3 paralel cuaxaOy, ( 3 arecaimagine segmentulA 3 A 4 paralel cu axaOy, avˆand reprezent˘arile parametrice: (( 1 ) x = t, y = 1, z = 0, t ∈ [1, 2] , (( 2 ) x = 2, y = t, z = 0, t ∈ [1, 3] , (( 3 ) x = 2, y = 3, z = t, t ∈ [0, 1] . Obt ¸inem: I = 2 1 0 dt + 3 1 0 dt + 1 0 6 dt = 6. 2)I = 10 3 . 3)I = 5 √ 2. 4)I = 2 15 . 11.30Constatˆand ˆın prealabil c˘a expresia de sub semnul integral˘a este o diferent ¸ial˘a ex- act˘a, s˘a se calculeze urm˘atoarele integrale curbilinii, ˆın care s-au specificat numai capetele curbei de integrare: 1) I = (5,3,1) (7,2,3) −yz dx+zx dy+xy dz (x−yz) 2 . 2) I = (2,2,2) (1,1,1) y 2 z 2 dx+2x 2 z dy+2x 2 y dz (2x+yz) 2 . 3) I = (2,6,3) (−1,3,1) y z dx + x z dy − xy z 2 dz. 4) I = (2,2,4) (−1,1,5) z (dx+dy)−(x+y)dz x 2 +y 2 +z 2 +2xy . R: 1)I = − 9 2 . 2)I = 2 3 . 3)I = 7. 4)I = π 2 . 11.5 Calculularieicuajutorulintegraleicurbilinii 11.31S˘asecalculeze, cuajutorul integraleicurbilinii, ariadomeniuluiplanm˘arginit de: 1) Elipsa: x = a cos t,y = b sin t,t ∈ [0, 2π]. 2) Astroida: x = a cos 3 t,y = a sin 3 t,t ∈ [0, 2π). 3) Cardioida: x = a (2 cos t −cos 2t),y = a (2 sin t −sin 2t),t ∈ [0, 2π]. 4) Foliul lui Descartes: x = 3at 1+t 3 , y = 3at 2 1+t 3 ,t ∈ (0, ∞). R: 1) Deoarecexdy −y dx = ab dt, avem / = 1 2 2π 0 ab dt = πab. 2) Deoarece xdy −y dx= 3a 4 sin 2 2t dt, avem /= 3a 2 8 2π 0 sin 2 2t dt = 3πa 2 8 . 3) / = 6πa 2 . 4) / = 3a 2 2 . Capitolul12 Integralemultiple 12.1 Integraladubl˘a 12.1S˘a se calculeze integralele duble: 1) I = D ln (x +y) dxdy, unde D = ¦(x, y) , 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2¦ . 2) I = D cos y 1+sin x sin y dxdy, unde D = ¸ (x, y) , 0 ≤ x ≤ π 2 , 0 ≤ y ≤ π 2 ¸ . 3) I = D cos 2 x + sin 2 y dxdy, unde D = ¸ (x, y) , 0 ≤ x ≤ π 4 , 0 ≤ y ≤ π 4 ¸ . 4) I = D e x+sin y cos y dxdy, unde D = [0, π] 0, π 2 . 5) I = D x 2 1+y 2 dxdy, unde D = [0, 1] [0, 1] . R: 1) Funct ¸ia de sub semnul integral˘a este continu˘a. Domeniul D este un dreptunghi. Aplic˘am formula de reducere la integrale iterate, ˆın ordineay,x. Avem: I = 1 0 dx 2 1 ln (x +y) dy = 1 0 [(x + 2) ln (x + 2) −(x + 1) ln (x + 1) −1] dx, deciI = 9 2 ln 3 −4 ln 2 − 3 2 . 2) Domeniul D este un dreptunghi. Aplic˘am formula de reducere la integrale iterate, ˆın ordineax,y. Avem mai ˆıntˆai, efectuˆand schimbarea de variabil˘at = tg x 2 : π 2 0 cos y 1 + sin xsin y dx = 1 0 2 cos y dt t 2 + 2t sin y + 1 = 2arctg 1 + sin y cos y −2y = π 2 −y. Apoi, π 2 0 dy π 2 0 cos y 1 + sin xsin y dx = π 2 0 π 2 −y dy = 1 8 π 2 . 3)I = π 4 0 dx π 4 0 cos 2 x + sin 2 y dy = 1 16 π 2 . 4)I = (e −1) (e π −1). 5)I = π 12 . 12.2S˘a se calculeze integralalele iterate: 1) I = 1 0 dx 1 0 x 3 + 2xy dy. 2) I = 2 1 dx 1 0 1 x+y dy. 3) I = 1 −1 dx 1 0 y 1+x 2 y 2 dy. 4) I = 1 0 dx 1 0 x 2 1+y 2 dy. R: 1)I = 3 4 . 2)I = 3 ln 3 −4 ln 2. 3)I = 1 2 π −ln 2. 4)I = 1 12 π. 149 CAPITOLUL12. INTEGRALEMULTIPLE 150 12.3S˘a se calculeze integralele duble: 1) I = D y dxdy (1+x 2 +y 2 ) 3 2 , unde D = [0, 1] [0, 1] . 2) I = D x 2 y cos xy 2 dxdy, unde D = 0, π 2 [0, 2] . 3) I = D x 2 ye xy dxdy, unde D = [0, 1] [0, 2] . 4) I = D dxdy (x+y+1) 2 , unde D = [0, 1] [0, 1. R: 1)I = ln 2+ √ 2 1+ √ 3 . 2)I = − π 16 . 3)I = 2. 4)I = ln 4 3 . 12.4S˘a se transforme integrala dubl˘aI = D f (x, y) dxdy ˆın integrale simple iterate, pentru urm˘atoarele domenii: 1)D = ¸ (x, y) , x 2 +y 2 ≤ 2x ¸ . 2) D = ¸ (x, y) , x 2 +y 2 ≤ 4, x 2 + 1 4 y 2 ≥ 1, x ≥ 0 ¸ . R: 1)D este un domeniu simplu ˆın raport cu axaOy: D = ¦(x, y), − 2x −x 2 ≤ y ≤ 2x −x 2 , x ∈ [0, 2]¦, deciI = 2 0 dx √ 2x−x 2 − √ 2x−x 2 f (x, y) dy. 2)D este un domeniu simplu ˆın raport cu axaOx: D = ¦(x, y), 1 − 1 4 y 2 ≤ x ≤ 4 −y 2 , y ∈ [−2, 2]¦, deciI = 2 −2 dy √ 4−y 2 √ 1− 1 4 y 2 f (x, y) dx. 12.5S˘a se calculeze urm˘atoarele integrale iterate: 1) I = 1 −1 dx x −x xdy. 2) I = 1 0 dx √ x x 2 √ xy dy. 3) I = R −R dy √ R 2 −y 2 − √ R 2 −y 2 3x 2 y 2 dx. R: 1)I = 4 3 . 2)I = 4 27 . 3)I = 2R 6 π 2 − π 2 sin 2 t cos 4 t dt = π 8 R 6 . 12.6S˘a se calculeze integrala dubl˘a: I = D (x −y) dxdy, undeDeste domeniul plan m˘arginit de curbele de ecuat ¸ii: y = 2 −x 2 ¸siy = 2x −1. R:I = 64 15 . 12.7S˘a se calculeze integralele duble pe domeniul Dm˘arginit de curbele indicate: 1) I = D (x + 2y) dxdy, y = x, y = 2x, x = 2, x = 3. 2) I = D x 2 +y 2 dxdy, y = x, x = 0, y = 1, y = 2. 3) I = D 3x 2 −2xy +y dxdy, x = 0, x = y 2 , y = 2. 4) I = D y ln xdxdy, xy = 1, y = √ x, x = 2. 5) I = D (cos 2x + sin y) dxdy, x = 0, y = 0, 4x + 4y = π. CAPITOLUL12. INTEGRALEMULTIPLE 151 R: 1)I = 76 3 . 2)I = 5. 3)I = 244 21 . 4)I = 5 8 (ln 4 −1). 5)I = 1 4 π + 1 −2 √ 2 . 12.8S˘a se calculeze integralele duble pe domeniul D, unde D este interiorul triunghiului cu vˆarfurile ˆın punctele indicate: 1) I = D xdxdy, A(2, 3) , B(7, 2) , C (4, 5) . 2) I = D 4x 2 −y 2 dxdy, O(0, 0) , A(1, 0) , B(1, 1) . R: 1)I = 26. 2)I = 1 3 π 3 + √ 3 2 . 12.9S˘a se calculeze integralele duble: 1) I = D (1 −y) dxdy, unde D = (x, y) , x 2 + (y −1) 2 ≤ 1, y ≤ x 2 , x ≥ 0 ¸ . 2) I = D ([x[ +[y[) dxdy, unde D = ¦(x, y) , [x[ +[y[ ≤ 1¦ . 3) I = D dxdy √ x , unde D = ¸ (x, y) , y 2 ≤ 8x, y ≤ 2x, y + 4x ≤ 24 ¸ . R: 1)I = 1 15 . 2)I = 4 3 . 3)I = 15 √ 2. 12.10S˘a se calculeze integralele duble pe domeniul Dm˘arginit de curbele indicate: 1) I = D (x +y) dxdy, y = x 2 , y = x. 2) I = D x 2 dxdy √ x 2 +y 2 , x = 0, y = 1, y = 3 √ 2, y = x. 3) I = D arcsin √ x +y dxdy, x +y = 0, x +y = 1, y = −1, y = 1. 4) I = D x 3 y dxdy, y = 4, y = x 2 , y = 1 4 x 2 . R: 1)I = 3 20 . 2)I = 1 6 √ 2 −ln 1 + √ 2 . 3)I = π 4 . 4)I = 30. 12.11S˘a se calculeze I = D dxdy 1 +y cos x , unde D = 0, π 2 [0, α] ¸si apoi s˘a se deduc˘ a valoarea integralei: J (α) = α 0 ln (1 +αcos x) cos x dx, α ∈ (0, 1) . R: Integrˆand ˆın ordineay,x, avem: I = π 2 0 dx α 0 dy 1 +y cos x = α 0 ln (1 +αcos x) cos x dx = J (α) . Schimbˆand ordinea de integrare ¸si punˆand tg x 2 = t,y = cos 2θ, obt ¸inem: I = α 0 dy π 2 0 dx 1 +y cos x = −2 1 2 arccos α π 4 sin 2θ dθ 1 0 2 sin 2θ d (ttg θ) 1 +t 2 tg 2 θ , de unde,I = J (α) = π 2 8 − 1 2 (arccos α) 2 . CAPITOLUL12. INTEGRALEMULTIPLE 152 12.12S˘asecalculezeariadomeniului planm˘arginitdeparabolele: y 2 =10x + 26¸si y 2 = 10 −6x. R: Parabolele se intersecteaz˘aˆın punctele:(−1, −4) ¸si (−1, 4). Considerˆand domeniul simplu ˆın raport cu azaOx, putem scrie: D = (x, y) , y 2 −26 10 ≤ x ≤ 10 −y 2 6 , y ∈ [−4, 4] , deci / = D dxdy = 4 −4 dy 10−y 2 6 y 2 −26 10 dx = 1024 45 . 12.13S˘a se calculeze aria domeniului plan m˘arginit de elipsa x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1. R: Considerˆand domeniul simplu ˆın raport cu axaOy, avem D = (x, y) , − b a a 2 −x 2 ≤ y ≤ b a a 2 −x 2 , x ∈ [−a, a] , deci / = D dxdy = a −a dx b a √ a 2 −x 2 − b a √ a 2 −x 2 dy = 2 b a a −a a 2 −x 2 dx = πab. 12.14S˘a se calculeze aria domeniului plan m˘arginit de curbele de ecuat ¸iix = y 2 −2y, x +y = 0. R: / = 1 6 . 12.15S˘a se calculeze volumul corpului m˘arginit de planele de coordonate, planul x+y = 1 ¸si paraboloidul elipticz = 2x 2 +y 2 + 1. R:D = ¦(x, y) , 0 ≤ y ≤ 1 −x, x ∈ [0, 1]¦ ¸si deci: 1 = D (2x 2 +y 2 + 1) dxdy = 1 0 dx 1−x 0 (2x 2 +y 2 + 1) dy = 3 4 . 12.16S˘a se calculeze volumul corpului m˘arginit de planelex = 1,z = 0 ¸si paraboloidul hiperbolicz = x 2 −y 2 . R:D = ¦(x, y) , −x ≤ y ≤ x, x ∈ [0, 1]¦ ¸si deci 1 = D (x 2 −y 2 ) dxdy = 1 0 dx x −x (x 2 −y 2 )dy = 1 3 . 12.17S˘asecalculezevolumul corpului m˘arginit deplaneley=x, y=0, z=0¸si cilindrul x 2 +z 2 = a 2 , situat ˆın primul octant. R: 1 = a 0 dx x 0 √ a 2 −x 2 dy = 1 3 a 3 . CAPITOLUL12. INTEGRALEMULTIPLE 153 12.18S˘a se calculeze volumul corpului m˘arginit de elipsoidul x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1. R: 1 = 8 a 0 dx b 1− x 2 a 2 0 c 1 − x 2 a 2 − y 2 b 2 dy = 4 3 πabc. 12.19S˘a se calculeze, trecˆand la coordonate polare, urm˘atoarele integrale duble: 1) I = D x 2 +y 2 dxdy, unde D = ¸ (x, y) , x 2 +y 2 ≤ 4 ¸ . 2) I = D sin x 2 +y 2 dxdy, unde D = ¸ (x, y) , x 2 +y 2 ≤ a 2 , x ≤ 0 ¸ . 3) I = D a 2 −x 2 −y 2 dxdy, unde D = ¸ (x, y) , x 2 +y 2 ≤ ax ¸ . 4) I = D x 2 +y 2 dxdy, unde D = ¸ (x, y) , ax ≤ x 2 +y 2 ≤ 2ax ¸ . R: 1) Trecˆand la coordonate polarex = r cos θ,y = r sin θ, cumJ (r, θ) = r, avem: I = D r 2 drdθ, unde D = ¦(r, θ) , 0 ≤ r ≤ 2, θ ∈ [0, 2π]¦ ¸si deci: I = 2 0 dr 2π 0 r 2 dθ = 16 3 π. 2)I = a 0 dr 3π 2 π 2 r sin r 2 dθ = 1 2 π 1 −cos a 2 . 3) Trecˆand la coordonate polare avem: I = D r a 2 −r 2 drdθ, unde D = (r, θ) , 0 ≤ r ≤ a cos θ, θ ∈ − π 2 , π 2 ¸ ¸si deci: I = 2 π 2 0 dθ a cos θ 0 r a 2 −r 2 dr = 2 3 a 3 π 2 0 1 −sin 3 θ dθ = 1 9 a 3 (3π −4) . 4) Trecˆand la coordonate polare avem: I = π 2 0 dθ 2a cos θ a cos θ r 2 dr = 7 3 a 3 π 2 0 cos 3 θdθ = 14 9 a 3 . 12.20S˘a se calculeze integrala Ipe domeniul D m˘arginit de curbele de ecuat ¸ii indicate: 1) I = D sin √ x 2 +y 2 √ x 2 +y 2 dxdy, x 2 +y 2 = π 2 9 , x 2 +y 2 = π 2 . 2) I = D dxdy, xy = 1, xy = 2, y = x, y = 3x. R: 1) Trecˆand la coordonate polare avem: D = π 3 , π [0, 2π] ¸si deci: I = D sinr drdθ = 2π 0 dθ π π 3 sin r dr = 3π. 2) Efectu˘amschimbareadevariabile: x= u v , y = √ uv, avem: J (u, v) = 1 2v . Rezult˘aI = ln √ 3. 12.21S˘asecalculezeariadomeniului planm˘arginit decurbeledeecuat ¸ii: xy=a, xy = b (0 < a < b),y = αx,y = βx (0 < α < β) ¸si situat ˆın primul cadran. CAPITOLUL12. INTEGRALEMULTIPLE 154 R: Efectu˘am schimbarea de variabile: u =xy, v = y x , D = [a, b][α, β]. Deoarece J (u, v) = 1 2v , avem: / = D dxdy = D 1 v dudv = b −a 2 ln β α . 12.22S˘asecalculezeariadomeniului planm˘arginit decurbeledeecuat ¸ii: xy=a, xy = b (0 < a < b),x 2 = αy,x 2 = βy(0 < α < β). R: / = b−a 3 ln β α . 12.23S˘a se calculeze integralele duble urm˘atoare, efectuˆand schimb˘ari de variabile co- respunz˘ atoare: 1) I = D 1 − x 2 a 2 − y 2 b 2 dxdy, unde D = (x, y) , x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 ¸ . 2) I = D (x 2 +y 2 ) 3 dxdy, unde D = ¸ (x, y) , x 2 +y 2 ≤ a 2 , y ≥ 0 ¸ . 3) I = D x 2 +y 2 dxdy, unde D = ¸ (x, y) , π 2 ≤ x 2 +y 2 ≤ 4π 2 ¸ . 4) I = D x 2 +y 2 dxdy, unde D = ¸ (x, y) , ax ≤ x 2 +y 2 ≤ a 2 , x ≥ 0, y ≥ 0 ¸ . 5) I = D x 2 +y 2 dxdy, unde D = ¸ (x, y) , ax ≤ x 2 +y 2 ≤ 2ax, y ≥ 0 ¸ . R: 1)I = 2 3 πab. 2)I = 1 5 πa 5 . 3)I = 14 3 π 4 . 4)I = a 3 3 π 2 − 2 3 . 5)I = 14 9 a 3 . 12.24S˘a se calculeze integralele duble urm˘atoare, efectuˆand schimb˘ari de variabile co- respunz˘ atoare: 1) I = D ln(x 2 +y 2 ) x 2 +y 2 dxdy, unde D = ¸ (x, y) , 1 ≤ x 2 +y 2 ≤ e 2 ¸ . 2) I = D e −(x 2 +y 2 ) dxdy, unde D = ¸ (x, y) , x 2 +y 2 ≤ 4 ¸ . 3) I = D 4 −x 2 −y 2 dxdy, unde D = ¸ (x, y) , 1 ≤ x 2 +y 2 ≤ 4 ¸ . 4) I = D ln x 2 +y 2 dxdy, unde D = ¸ (x, y) , e 2 ≤ x 2 +y 2 ≤ e 4 ¸ . R: 1)I = 2π. 2)I = π 1 − 1 e 4 . 3)I = 2π √ 3. 4)I = πe 2 3e 2 −1 . 12.25S˘a se calculeze urm˘atoarele integrale duble: 1) I = D arcsin √ x 2 +y 2 2π dxdy, unde D = ¸ (x, y) , π 2 ≤ x 2 +y 2 ≤ 4π 2 ¸ . 2) I = D (x 2 +y 2 )dxdy √ 4−(x 2 +y 2 ) 2 , unde D = ¸ (x, y) , 1 2 x 2 +y 2 ≤ 1 ¸ . R: 1)I = π 3 7 3 π − 1 2 √ 3 . 2) Trecˆand la coordonate polare, avem: D = (r, θ) , 0 ≤ r ≤ 2 1 + sin 2 θ , 0 ≤ θ ≤ 2π ¸si deciI = D r 3 √ 4−r 4 drdθ = 4arctg √ 2 − √ 2 ln 3. 12.26S˘a se calculeze volumul corpului limitat de suprafet ¸ele de ecuat ¸iiz 2 = xy, √ x + √ y = 1,z = 0. CAPITOLUL12. INTEGRALEMULTIPLE 155 R: Dac˘aD = ¸ (x, y) , √ x + √ y ≤ 1 ¸ , atunci 1= D √ xy dxdy. Efectuˆand schim- barea de variabile: x = u 2 , y = v 2 , (u, v) ∈ ∆, cu ∆ = ¦(u, v) , 0 ≤ u ≤ 1 −v, 0 ≤ v ≤ 1¦ , cumJ (u, v) = 4uv, g˘asim: 1 = 4 3 1 0 v 2 (1 −v) 3 dv = 1 45 . 12.27S˘a se determine masa ¸si coordonatele centrului de greutate ale pl˘acii plane omo- gene (ρ (x, y) = const.), care ocup˘ a domeniul: 1) D = (x, y) , x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 ¸ . 2) D = ¸ (x, y) , x 2 +y 2 ≤ a 2 , x 2 +y 2 ≥ ax, y ≥ 0 ¸ , a > 0. R: 1) ´= 1 3 a 2 bρ,G 4a 3π , 4b 3π . 2) ´= 3 8 πa 2 ,G − a 6 , 14a 9π . 12.28S˘asedeterminecoordonatelecentrelordegreutatealepl˘acilorplaneomogene m˘arginite de urm˘atoarele curbe: 1) y 2 = 4x + 4, y 2 = −2x + 4. 2) 9x 2 + 25y 2 −225 = 0, 3x + 5y = 15, x ≥ 0, y ≥ 0. R: 1)G 2 5 , 0 . 2)G 10 3(π−2) , 2 π−2 . 12.29S˘asedeterminecoordonatelecentruluidegreutatealepl˘aciiplanededensitate superficial˘ aρ (x, y) = y, m˘arginit˘a de curbele: y = x 2 ¸siy = 1. R:G 0, 5 7 . 12.30S˘a se calculeze momentele de inert ¸ie ˆın raport cu axele de coordonate ¸si ˆın raport cu originea ale pl˘acii plane de densitate superficial˘aρ (x, y) = xy, care ocup˘a domeniul D = ¦(x, y) , x +y ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0¦ . R:I x = I y = 1 120 ,I 0 = 1 60 . 12.31S˘asecalculezemomenteledeinert ¸ie ˆınraportcuaxeledecoordonate ¸si ˆınra- port cuorigineaalepl˘acilorplaneomogene, careocup˘adomeniileplanem˘arginitede urm˘atoarele curbe: 1) y = x 2 , x = y 2 . 2) x 2 +y 2 = ay, a > 0. 3) √ x + √ y = √ a, x = 0, y = 0, a > 0. R: 1) I x =I y = 3 35 , I 0 = 6 35 . 2) I x = 5 64 πa 4 , I y = 1 64 πa 4 , I 0 = 3 32 πa 4 . 3) I x = I y = 1 84 a 4 ,I 0 = 1 42 a 4 . 12.32S˘a se calculeze momentul de inert ¸ie ˆın raport cu axaOy a pl˘acii plane de densi- tate superficial˘aρ (x, y) = 1 x 4 , care ocup˘a domeniul m˘arginit de curbele de ecuat ¸ii: √ x + √ y = a, √ x + √ y = b, x = α 2 y, x = β 2 y, 0 < a < b, 0 < α < β. CAPITOLUL12. INTEGRALEMULTIPLE 156 R: Efectu˘am schimbarea de variabile: √ x+ √ y = u, x y = v, D = [a, b] α 2 , β 2 . Se obt ¸ineI y = 2 β 2 −α 2 α 2 β 2 ln b a . 12.33UtilizˆandformulaluiGreen, s˘asecalculezeurm˘atoareleintegralecurbilinii, pe curbele ˆınchise (, parcurse ˆın sens direct: 1)I= C x 2 +y 2 dx + y xy + ln x + x 2 +y 2 dy,unde (esteconturul drep- tunghiuluiD = [1, 4] [0, 2]. 2) I = C e x 2 +y 2 (−y dx +xdy), unde (este cercul x 2 +y 2 = 1. 3) I = C (xy −y) dx + (xy +x) dy, unde (este frontiera domeniului plan D = (x, y) , x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 ¸ , a > 0, b > 0. 4) I = C (x −y) dx +dy, unde (este frontiera domeniului plan D = ¸ (x, y) , x 2 +y 2 ≤ 2x, y ≥ 0 ¸ . 5) I = C y 2 dx +x 2 dy, unde (este frontiera domeniului plan D = ¸ (x, y) , x 2 +y 2 ≤ 1, y ≥ 0 ¸ . 6) I = C x 2 +y 2 dx +y xy + ln x + x 2 +y 2 dy, unde (() x = 1 + cos t, y = 1 + sin t, t ∈ [0, 2π]. 7) I= C 2 x 2 +y 2 dx + (x +y) 2 dy, unde (este conturul triunghiului cu vˆarfurile ˆın puncteleA(1, 1),B(2, 2),C (1, 3). 8)I= C −y 3 dx + x 3 dy,unde (esteconturul cerculuicucentrul ˆınorigine ¸siraza egal˘ a cu 1. 9) I = C e −x 2 +y 2 [cos (2xy) dx + sin (2xy) dy], unde (() x 2 a 2 + y 2 b 2 −1 = 0. R: 1) Deoarece: P (x, y) = x 2 +y 2 ¸si Q(x, y) =y xy + ln x + x 2 +y 2 , obt ¸inem: I = D y 2 dxdy=8. 2) I =2πe. 3) I =2πab. 4) I = 1 2 π. 5) I = − 4 3 . 6)I = 5 4 π. 7)I = − 4 3 . 8)I = 3 2 π. 9)I = 0. 12.2 Ariasuprafet ¸elor 12.34S˘a se determine aria port ¸iunii din sfera (o) x 2 +y 2 +z 2 = a 2 ,a > 0, situat˘a ˆın interiorul cilindruluix 2 +y 2 = ay. R:Datorit˘asimetriei, ariacerut˘aestedepatruoriariaport ¸iuniisituat˘a ˆınprimul octant, pentru care avem: f (x, y) = a 2 −x 2 −y 2 , p = ∂f ∂x = − x a 2 −x 2 −y 2 , q = ∂f ∂y = − y a 2 −x 2 −y 2 , definit˘apeD ¸ (x, y) , x 2 +y 2 ≤ a 2 , x ≥ 0, y ≥ 0 ¸ . Deci S=4a D dxdy √ a 2 −x 2 −y 2 . Tre- cˆandlacoordonatepolare,avem: D = ¸ (r, θ) , 0 ≤ r ≤ a sin θ, 0 ≤ θ ≤ π 2 ¸ . Seobt ¸ine S = 2a 2 (π −2). 12.35S˘a se determine aria port ¸iunii din conul (o) z = x 2 +y 2 , situat˘a ˆın interiorul cilindrului de ecuat ¸ie: x 2 +y 2 = 2x. CAPITOLUL12. INTEGRALEMULTIPLE 157 R:S = S dS = D 1 +p 2 +q 2 dxdy = √ 2 D dxdy = π √ 2. 12.36S˘a se calculeze aria suprafet ¸ei: (o) x = tg ucos v, y = tg usin v, z = sin u 2 cos 2 u + 1 2 ln 1 + sin u cos u +v, (u, v) ∈ ∆ = 0, π 4 [0, 2π]. R:S = ∆ √ A 2 +B 2 +C 2 dudv = 8π 3 . 12.37S˘a se calculeze aria port ¸iunii din paraboloidul de rotat ¸ie (o) z = x 2 +y 2 , situat˘a ˆın interiorul cilindrului: x 2 +y 2 = r 2 . R:S = D 1 + 4x 2 + 4y 2 dxdy = π 6 ¸ (4r 2 + 1) 3 −1 . 12.38S˘aseg˘aseasc˘aariaport ¸iunii dinparaboloidul eliptic(o) z= x 2 2a + y 2 2b , a>0, b > 0, situat˘a ˆın interiorul cilindrului eliptic: x 2 a 2 + y 2 b 2 = c 2 . R:S = 2 3 πab 1 +c 2 √ 1 +c 2 −1 . 12.39S˘asecalculezeariaport ¸iuniidincilindrul parabolic(o) x 2 = 2z,m˘arginit˘ade planele de ecuat ¸ii: x = 2y,y = 2x,x = 2 √ 2. R:S = 13. 12.40S˘aseg˘aseasc˘aariaport ¸iunii dinparaboloidul hiperbolic(o) x=1 − y 2 − z 2 , situat˘a ˆın interiorul cilindrului de ecuat ¸ie: y 2 +z 2 = 1. R: Proiect˘am suprafat ¸a ˆın planulOyz: S = D 1 + 4y 2 + 4z 2 dydz = 1 6 5 √ 5 −1 . 12.41S˘asecalculezeariaport ¸iunii dincilindrul parabolic(o) z=x 2 , m˘arginit˘ade planele de ecuat ¸ii: x +y = √ 2,x = 0,y = 0. R:S = 5 6 + √ 2 4 ln 3 + 2 √ 2 . 12.42S˘a se calculeze aria port ¸iunii din cilindrul (o) x 2 +z 2 = a 2 , situat˘a ˆın interiorul cilindrului de ecuat ¸ie: x 2 +y 2 = a 2 . R: Datorit˘a simetriei, aria c˘autat˘a este de opt ori aria port ¸iunii din primul octant, de ecuat ¸ie: z = √ a 2 −x 2 , definit˘a pe domeniulD = ¸ (x, y) , x 2 +y 2 ≤ a 2 , x ≥ 0, y ≥ 0 ¸ , S = 8a D dxdy √ a 2 −x 2 = 8a 2 π 2 0 1 −cos θ sin 2 θ dθ = 16a 2 . CAPITOLUL12. INTEGRALEMULTIPLE 158 12.3 Integraladesuprafat ¸˘adeprimultip 12.43S˘a se calculeze integralele de suprafat ¸˘a de primul tip: 1) I = S (x +y +z) dS, undeo este suprafat ¸a cubului ale c˘arui fet ¸e apart ¸in planelor de coordonate ¸si planelorx = 1,y = 1,z = 1. 2) I = S x 2 +y 2 dS, unde oeste sferax 2 +y 2 +z 2 = a 2 . 3)I= S x 2 +y 2 dS,unde oeste suprafat ¸a lateral˘a a conului x 2 a 2 + y 2 a 2 − z 2 b 2 = 0, 0 ≤ z ≤ b. R: 1) Scriem integrala ca suma integralelor pe cele ¸sase fet ¸e ale cubului. I = 9. 2)Oreprezentareparametric˘aasfereieste: x =a cos ucos v, y=a sin ucos v, z= a sinv, cu (u, v) ∈ ∆ = [0, 2π] − π 2 , π 2 , iar |r u r v | = a 2 cos v. Deci: I = a 4 ∆ cos 3 ududv = 8 3 πa 4 . 3) O reprezentare parametric˘a a conului este: x =av cos u, y =av sin u, z =bv, cu (u, v) ∈ ∆ = [0, 2π] [0, 1], iar |r u r v | = av √ a 2 +b 2 . Deci: I = a 2 a 2 +b 2 ∆ v 2 dudv = 2 3 πa 2 a 2 +b 2 . 12.44S˘a se calculeze integralele de suprafat ¸˘a de primul tip: 1) I= S y 2 z 2 +z 2 x 2 +x 2 y 2 dS, unde oeste port ¸iunea din conul z = x 2 +y 2 , situat˘a ˆın interiorul cilindruluix 2 +y 2 −2x = 0. 2) I = S z dS √ x 2 +y 2 +a 2 , unde oeste port ¸iunea din paraboloidul 2az = x 2 +y 2 , situat˘a ˆıntre planelez = 0 ¸siz = h (a > 0, h > 0). 3) I = S dS √ x 2 +y 2 +4z 2 , unde: o = ¸ (x, y, z) , x 2 +y 2 +z 2 = a 2 , z ≥ 0 ¸ . 4) I = S z dS, unde: o = ¦(x, y, z) , x = ucos v, y = usin v, z = v, (u, v) ∈ ∆¦, cu ∆ = [0, a] [0, 2π]. 5)I= S x 2 +y 2 dS,unde oestesuprafat ¸aconic˘az 2 =x 2 + y 2 ,cuprins˘a ˆıntre planelez = 0 ¸siz = 1. R: 1)I = 29 8 π √ 2. 2)I = πh 2 . 3)I = 2 3 πa √ 3 ln 2 + √ 3 . 4)I = π 2 a √ a 2 + 1 + ln a + √ a 2 + 1 . 5)I = 1 2 π √ 2. 12.45S˘asedeterminemasasuprafet ¸eiomogene(ρ = ρ 0 ): (o) z= 1 h x 2 +y 2 , 0 ≤ z ≤ h,h > 0. R: ´= ρ 0 S dS = ρ 0 D 1 + 4 h 2 (x 2 +y 2 ) dxdy = 1 6 ρ 0 πh 2 5 √ 5 −1 , undeD = ¸ (x, y) , x 2 +y 2 ≤ h 2 ¸ . 12.46S˘asedeterminemasasuprafet ¸ei(o) z = 1 2 x 2 +y 2 ,0 ≤z ≤ 1,avˆanddensi- tatea superficial˘aρ (x, y, z) = z. R: ´ = S zdS = 1 2 D x 2 +y 2 1 +x 2 +y 2 dxdy = 2 15 π 6 √ 3 + 1 , undeD = ¸ (x, y) , x 2 +y 2 ≤ 2 ¸ . CAPITOLUL12. INTEGRALEMULTIPLE 159 12.47S˘a se determine masa suprafet ¸ei cubului 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1, avˆand densitatea superficial˘aρ (x, y, z) = xyz. R: ´= 3 4 . 12.48S˘a se g˘aseasc˘a coordonatele centrului de greutate al suprafet ¸ei omogenez = x 2 + y 2 , situat˘a ˆın interiorul cilindruluix 2 +y 2 −x = 0. R:G 0, 0, 16 19 . 12.49S˘a se determine masa ¸si coordonatele centrului de greutate ale suprafet ¸ei omogene (ρ = 1): (o) z = 1 −x 2 −y 2 , x ≥ 0, y ≥ 0, x +y ≤ 1. R: ´= 1 2 π √ 2 −1 ¸siG 1 4 √ 2, 1 4 √ 2, 1 π √ 2 + 1 . 12.50S˘asecalculezemomentul deinert ¸ie ˆınraportcuaxaOzal suprafet ¸eiomogene (ρ = ρ 0 ): (o) x 2 +y 2 +z 2 = a 2 , z ≥ 0. R:I z = 4 3 πa 4 ρ 0 . 12.51S˘asecalculezemomentul deinert ¸ie ˆınraportcuaxaOzal suprafet ¸eiomogene (ρ = ρ 0 ): (o) z = x 2 +y 2 , 0 ≤ z ≤ h, h > 0. R:I z = 1 2 πh 4 √ 2. 12.4 Integraledesuprafat ¸˘adetipulaldoilea 12.52S˘a se calculeze integralele de suprafat ¸˘a de tipul al doilea: 1)I= S yz dydz + zxdzdx + xy dxdy, unde oestefat ¸aexterioar˘aatetraedrului m˘arginit de planele de coordonate ¸si de planul x +y +z = a (a > 0). 2) I = S z dxdy, unde oeste fat ¸a exterioar˘a a elipsoidului x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1. 3)I= S x 2 dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy,unde oestefat ¸a exterioar˘aaemisferei x 2 + y 2 +z 2 = a 2 ,z ≥ 0. R: 1) Scriem integrala ca suma integralelor pe cele patru fet ¸e ale tetraedrului: (o z ) z = 0, D z = ¦(x, y) , x ≥ 0, y ≥ 0, x +y ≤ a¦ , (o x ) x = 0, D x = ¦(y, z) , y ≥ 0, z ≥ 0, y +z ≤ a¦ , (o y ) y = 0, D y = ¦(z, x) , z ≥ 0, x ≥ 0, z +x ≤ a¦ , ˆın care perechile o z ¸siD z , o x ¸siD x , o y ¸siD y au orient˘ari diferite, iar o 0 , fat ¸a cont ¸inut˘a ˆın planulx +y +z = a, a c˘arei proiect ¸ii pe planele de coordonate const˘a ˆınD z ,D x ,D y , avˆand aceea¸si orientare cu o 0 . Astfel S xy dxdy = S z xy dxdy + S 0 xy dxdy = − D xy dxdy + D xy dxdy = 0. Rezultate identice avem pentru ceilalt ¸i doi termeni. DeciI = 0. CAPITOLUL12. INTEGRALEMULTIPLE 160 2) Integrala sa reduce la I = D 1 − x 2 a 2 − y 2 b 2 dxdy, undeD z = (x, y) , x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 ¸ . Se obt ¸ineI = 4 3 πabc. 3)I = 1 2 πa 4 . 12.53S˘a se calculeze integralele de suprafat ¸˘a de tipul al doilea: 1) I = S y dydz+z dzdx+3xdxdy, unde o este fat ¸a interioar˘a a sferei x 2 +y 2 +z 2 = a 2 , situat˘a ˆın primul octant. 2)I= S x 2 y 2 z dxdy, unde oestefat ¸aexterioar˘aaemisferei x 2 + y 2 + z 2 =R 2 , z ≥ 0. 3) I = S xz dydz+yz dzdx+ x 2 +y 2 dxdy, unde o este fat ¸a superioar˘a a suprafet ¸ei (o) z = x 2 +y 2 , care se proiecteaz˘a ortogonal pe planul Oxy ˆın domeniul D = ¸ (x, y) , x 2 +y 2 ≤ 1 ¸ . 4) I = S dxdy √ 4x 2 +y 2 +1 , unde oeste fat ¸a exterioar˘a a paraboloidului (o) z = 4x 2 +y 2 , 0 ≤ z ≤ 1. 5)I= S x 2 dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy,unde oeste fat ¸a exterioar˘a a tetraedrului cu vˆarfurile ˆın puncteleO(0, 0, 0),A(1, 0, 0),B(0, 1, 0),C (0, 0, 1). 6) I = S x 2 +y 2 z dxdy, unde oestefat ¸aexterioar˘aaparaboloidului (o) z= x 2 +y 2 , situat˘a ˆın interiorul cilindruluix 2 +y 2 = 1. 7)I= S dydz x + dzdx y + dxdy z ,unde oestefat ¸aexterioar˘aaelipsoidului(o) x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1. R: 1) Deoarece cos α = − x a , cos β = − y a , cos γ = − z a , avem I = − 1 a S (xy +yz + 3zx) dS, cu (o) x =a cos usin v, y =a sin usin v, z =a cos v, (u, v) ∈ 0, π 2 0, π 2 . Deoarece dS = a 2 sin v dudv, se obt ¸ine I = −2a 3 . 2) I = 2 105 πR 7 . 3) Versorul normalei la suprafat ¸˘a ˆın punctulM (x, y, z) este n = 1 √ 1+4x 2 +4y 2 (−2xi −2yj +k), a.ˆı. I = S x 2 +y 2 (1 −2z) 1 + 4x 2 + 4y 2 dS = − π 6 . 4)Deoarececos γ= − 1 √ 1+64x 2 +4y 2 , urmeaz˘ac˘aI = − D dxdy √ 4x 2 +y 2 +1 =π 1 − √ 2 , undeD = ¸ (x, y) , 4x 2 +y 2 1 ¸ . 5)I= 1 12 . 6)I= 25 84 π. 7) O reprezentare parametric˘a aelipsoidului este(o) x=a cos usin v, y=b sin usin v, z =c cos v, (u, v) ∈∆, cu ∆ = [0, 2π] [0, π]. Rezult˘a I = bc a + ca b + ab c ∆ sin v dudv = 4π abc b 2 c 2 +c 2 a 2 +a 2 b 2 . CAPITOLUL12. INTEGRALEMULTIPLE 161 12.54UtilizˆandformulaluiStokes,s˘asecalculezeurm˘atoareleintegralecurbilinii,pe curbele ˆınchise (, parcurse ˆın sens direct: 1) I = C (x + 3y + 2z) dx+(2x +z) dy+(x −y) dz, unde ( este conturul triunghiului cu vˆarfurile ˆın puncteleA(2, 0, 0),B(0, 3, 0),C (0, 0, 1). 2) I = C x 2 y 3 dx +dy +z dz, unde (() x 2 +y 2 = r 2 ,z = 0. 3) I = C (y +z) dx+(z +x) dy+(x +y) dz, unde (() x 2 +y 2 +z 2 = a 2 , x+y+z = 0. 4)I= C y 2 +z 2 dx + z 2 +x 2 dy + x 2 +y 2 dz,unde(() x 2 + y 2 + z 2 = 4x 2 , x 2 +y 2 = 2x,z ≥ 0. 5)I= C (z −y) dx + (x −z) dy + (y −x) dz, unde (esteconturul triunghiului cu vˆarfurile ˆın puncteleA(a, 0, 0),B(0, b, 0),C (0, 0, c). 6)I= C y 2 dx + z 2 dy + x 2 dz,unde(() x 2 + y 2 + z 2 =a 2 , x 2 + y 2 =ax(curbalui Viviani). 7) I = C (y −z) dx + (z −x) dy + (x −y) dz, unde (() x 2 +y 2 = 1,x +z = 1. 8)I= C xdx + (x +y) dy + (x +y +z) dz, unde(() x=a sin t, y=a cos t, z= a (sin t + cos t),t ∈ [0, 2π]. 9) I = C dx 1+x 2 + y dy √ x +xdz, unde (() x 2 +y 2 = 2x,x +y +z = 0. R: 1) Deoarece F(x, y, z) = (x + 3y + 2z) i+(2x +z) j+(x −y) k ¸si rot F = −2i+j− k, ofiind suprafat ¸a triunghiului cu vˆarfurile ˆın puncteleA(2, 0, 0),B(0, 3, 0),C (0, 0, 1) din planul x 2 + y 3 + z 1 −1 = 0 ¸si deci n = 1 7 (3i + 2j + 6k), rezult˘a I = S (nrot F) dS = −5. 2) I = − 1 8 πr 6 . 3) I =0. 4)Deoarececos α= x−2 2 , cos β= y 2 , cos γ= z 2 , rezult˘a I = D (z −y) dS = 4π. 5)I = ab +bc +ca. 6) Avem I = −2 D ¸ x +y + xy a 2 −x 2 −y 2 ¸ dxdy = − π 4 a 3 , cuD = ¸ (x, y) , x 2 +y 2 ≤ ax ¸ . 7)I = 4π. 8)I = −πa 2 . 9)I = −π. 12.5 Integralatripl˘a 12.55S˘a se calculeze integralele triple: 1) I = V x 3 y 2 z dxdydz, undeV= ¦(x, y, z) , 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤ xy¦. 2) I = V x 2 dxdydz, undeV= (x, y, z) , x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 ≤ 1 ¸ . 3) I = V z dxdydz, undeV= (x, y, z) , x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 ≤ 1, z ≥ 0 ¸ . R: 1) I = 1 0 dx x 0 dy xy 0 x 3 y 2 z dz = 1 110 . 2)Domeniul spat ¸ial V estesimplu ˆın raport cu axaOz, deci V= (x, y, z) , −c 1 − x 2 a 2 − y 2 b 2 ≤ z ≤ c 1 − x 2 a 2 − y 2 b 2 , (x, y) ∈ D, ¸ undeD = (x, y) , x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 ¸ . Deci I = D dxdy c 1− x 2 a 2 − y 2 b 2 −c 1− x 2 a 2 − y 2 b 2 x 2 dz = 2c D x 2 1 − x 2 a 2 − y 2 b 2 dxdy. CAPITOLUL12. INTEGRALEMULTIPLE 162 Domeniul planD este simplu ˆın raport cu axaOy, deci D = (x, y) , −b 1 − x 2 a 2 ≤ y ≤ b 1 − x 2 a 2 , x ∈ [−a, a] ¸ , ˆıncˆat I = 2c a −a dx b 1− x 2 a 2 −b 1− x 2 a 2 x 2 1 − x 2 a 2 − y 2 b 2 dy = πbc a −a x 2 1 − x 2 a 2 dx = 4 15 πa 3 bc. 3)I = 1 4 πabc 2 . 12.56S˘a se calculeze integralele triple: 1) I = V dxdydz (1+x+y+z) 3 , undeVeste tetraedrul delimitat de planele de coordonate ¸si planul x +y +x = 1. 2) I = V xyz (1+x 2 +y 2 +z 2 ) 4 dxdydz, undeV= [0, 1] [0, 1] [0, 1]. 3) I = V dxdydz √ (1+x 2 +y 2 −z) 3 , unde V ¸ (x, y, z) , x 2 +y 2 ≥ z, x 2 +y 2 ≤ 1, z ≥ 0 ¸ . 4) I = V z dxdydz, unde V= (x, y, z) , 0 ≤ x ≤ 1 2 , x ≤ y ≤ 2x, 0 ≤ z ≤ 1 −x 2 −y 2 ¸ . 5) I = V x 2 dxdydz, undeV= ¸ (x, y, z) , x 2 +y 2 +z 2 ≤ R 2 ¸ . 6) I = V x x 2 +y 2 +z 2 +a 2 dxdydz, unde: V = ¦(x, y, z) [ x 2 + y 2 + z 2 ≤R 2 , x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0¦. 7) I = V z x 2 +y 2 dxdydz, unde Veste domeniul m˘arginit de cilindrul x 2 +y 2 = 2x ¸si planeley = 0,z = 0,z = a (a < 0). R: 1) DomeniulVeste simplu ˆın raport cu axaOz: I = D dxdy 1−x−y 0 dz (1 +x +y +z) 3 = 1 2 D ¸ 1 (1 +x +y) 2 − 1 4 ¸ dxdy, undeD = ¦(x, y) , 0 ≤ y ≤ 1 −x, x ∈ [0, 1]¦, deci I = 1 2 1 0 1 1 +x − 3 −x 4 dx = ln √ 2 − 5 16 . 2)I= 1 0 dx 1 0 dy 1 0 xyz (1+x 2 +y 2 +z 2 ) 4 dz= 1 192 . 3)Domeniul V estesimplu ˆınraportcu axaOz: I = D dxdy x 2 +y 2 0 dz (1 +x 2 +y 2 −z) 3 2 = −2 D 1 − 1 +x 2 +y 2 − 1 2 dxdy, unde D = ¸ (x, y) , x 2 +y 2 ≤ 1 ¸ . Trecˆand la coordonate polare, avem I = 2π 2 √ 2 −3 . CAPITOLUL12. INTEGRALEMULTIPLE 163 4)I= 1 2 0 dx 2x x √ 1−x 2 −y 2 0 z dz = 1 2 1 2 0 x − 10 3 x 3 dx = 7 192 . 5) Trecem la coordo- nate sferice: x = r cos ϕsinθ, y = r sin ϕsin θ, z = r cos θ, (r, ϕ, θ) ∈ [0, R] [0, 2π] [0, π] . DeoareceJ(r, ϕ, θ) = r 2 sin θ, avem I = R 0 r 4 dr 2π 0 cos 2 ϕdϕ π 0 sin 3 θ dθ = 4 15 πR 5 . 6) Trecem la coordonate sferice: x = r cos ϕsin θ, y = r sin ϕsin θ, z = r cos θ, (r, θ, ϕ) ∈ [0, R] 0, π 2 0, π 2 . Deoarecedxdydz = r 2 sin θ drdϕdθ, avem I = π 2 0 dθ π 2 0 dϕ R 0 r 3 sin 2 θ cos ϕ r 2 +a 2 dr = π 8 R 2 +a 2 ln a 2 a 2 +R 2 . 7)Trecemlacoordonatecilindrice: x =r cos θ, y=r sin θ, z=z, (r, θ, z) ∈V , unde V = ¸ (r, θ, z) , 0 ≤ r ≤ 2 cos θ, 0 ≤ θ ≤ π 2 , 0 ≤ z ≤ a ¸ . DeoareceJ (r, θ, z) = r, avem I = V zr 2 drdθdz = D drdθ a 0 zr 2 dz = a 2 2 D r 2 drdθ, undeD = ¸ (r, θ) , 0 ≤ r ≤ 2 cos θ, 0 ≤ θ ≤ π 2 ¸ , deci I = a 2 2 π 2 0 dθ 2 cos θ 0 r 2 dr = 4a 2 3 π 2 0 cos 3 θ dθ = 8a 2 9 . 12.57S˘a se calculeze urm˘atoarele integrale triple: 1) I = V xyz dxdydz, unde Veste domeniul spat ¸ial m˘arginit de sfera x 2 +y 2 +z 2 = 1, situat ˆın primul octant. 2) I= V xy 2 z 3 dxdydz, undeV este domeniul spat ¸ial m˘arginit de suprafet ¸elez = xy,y = x,x = 1,z = 0. 3) I = V (2x + 3y −z) dxdydz, undeV esteprismatriunghiular˘am˘arginit˘ ade planelex = 0,y = 0,z = 0,z = a,x +y = b, cua, b > 0. 4) I = V x 2 +y 2 +z 2 3 dxdydz, undeV este domeniul spat ¸ial m˘arginit de cilin- drul x 2 +y 2 = 1 ¸si planeley = 0,y = 1. 5) I = V 1 + (x 2 +y 2 +z 2 ) 3 2 dxdydz, undeV= ¸ (x, y, z) , x 2 +y 2 +z 2 ≤ 1 ¸ . 6)I= V x 2 +y 2 dxdydz,undeV estedomeniulspat ¸ialm˘arginitdesuprafet ¸ele 2z = x 2 +y 2 ,z = 2. 7) I = V x 2 +y 2 z dxdydz, undeV este domeniul spat ¸ial m˘arginit de paraboloi- dul z = x 2 +y 2 ¸si sferax 2 +y 2 +z 2 = 6. 8) I = V z dxdydz, undeVeste domeniul spat ¸ial m˘arginit de conul z = a R x 2 +y 2 ¸si planul z = a, cua, R > 0. CAPITOLUL12. INTEGRALEMULTIPLE 164 R: 1)I = 1 48 . 2)I = 1 364 . 3)I = 1 12 ab 2 (10b −3a). 4)I = 3 2 π. 5)I = 8 9 π 2 √ 2 −1 . 6)I = 16 3 π. 7)I = 8 3 π. 8)I = 1 4 πa 2 R 2 . 12.58S˘a se calculeze urm˘atoarele integrale triple: 1) I = V dxdydz x 2 +y 2 +z 2 , unde Veste domeniul spat ¸ial m˘arginit de sferele x 2 +y 2 +z 2 = 1,x 2 +y 2 +z 2 = 4,z ≥ 0. 2) I = V x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 dxdydz, undeV= (x, y, z) , x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 ≤ 1 ¸ . 3) I = V x 2 +y 2 +z 2 dxdydz, unde V= ¸ (x, y, z) , x 2 +y 2 ≤ z 2 , x 2 +y 2 +z 2 ≤ a 2 , z> 0 ¸ . 4) I = V x 2 +y 2 +z 2 dxdydz, unde V= ¸ (x, y, z) , x 2 +y 2 +z 2 ≤ 2az, x 2 +y 2 +z 2 ≤ 3a 2 ¸ , cu a > 0. 5) I = V x 2 +y 2 +z 2 dxdydz, undeV= ¸ (x, y, z) , x 2 +y 2 +z 2 ≤ x ¸ . 6) I = V x 2 dxdydz, undeVeste domeniul spat ¸ial m˘arginit de suprafet ¸elez = ay 2 , z=by 2 cuy> 0 ¸si0 0. R: ´= 3 2 a 4 . 12.63S˘asecalculezemasacorpuluidedensitateρ (x, y, z) =x,careocup˘adomeniul spat ¸ial Vm˘arginit de suprafet ¸elex 2 = 2y,y +z = 1, 2y +z = 2. R: ´= 8 35 √ 2. 12.64S˘a se calculeze coordonatele centrului de greutate ale corpului omogen care ocup˘a domeniul spat ¸ial V= (x, y, z) , x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 . R:G 3a 8 , 3b 8 , 3c 8 . 12.65S˘a se calculeze coordonatele centrului de greutate ale corpului omogen care ocup˘a domeniul spat ¸ial m˘arginit de suprafet ¸elex 2 +y 2 = z,x +y +z = 0. R:G − 1 2 , − 1 2 , 5 6 . 12.66S˘a se calculeze coordonatele centrului de greutate ale corpului omogen care ocup˘a domeniul spat ¸ial V= ¸ (x, y, z) , x 2 +y 2 ≤ 2z, x +y ≥ z ¸ . R:G 1, 1, 5 3 . 12.67S˘a se calculeze coordonatele centrului de greutate ale corpului omogen care ocup˘a domeniul spat ¸ial V= ¸ (x, y, z) , x 2 +y 2 ≤ a 2 , z ≥ by, z ≥ 0 ¸ , b > 0. R:G 0, 3 16 πa, 3 32 πab . 12.68S˘asecalculezemomentul deinert ¸ieˆınraport cuaxaOz al corpului omogen (ρ = 1), care ocup˘a domeniul spat ¸ial m˘arginit de suprafet ¸ele x 2 +y 2 +z 2 = 2, x 2 +y 2 = z 2 , z ≥ 0. R:I z = 4 15 π 4 √ 2 −5 . CAPITOLUL12. INTEGRALEMULTIPLE 167 12.69S˘a se calculeze momentul de inert ¸ie ˆın raport cu axele de coordonate ¸si ˆın raport cuorigineaalepiramidei omogene(ρ = 1), m˘arginit˘adeplaneledecoordonate¸si de planul x +y +z = 1. R:I x = I y = I z = 1 30 ,I 0 = 1 20 . 12.70S˘a se calculeze momentele de inert ¸ie ˆın raport cu planele de coordonate ale cor- pului omogen (ρ = 1), care ocup˘a domeniul spat ¸ial m˘arginit de suprafet ¸ele x 2 a 2 + y 2 b 2 = z 2 c 2 , z = c,c > 0. R:I yz = 1 5 πa 3 bc,I zx = 1 5 πab 3 c,I xy = 1 5 πabc 3 . 12.71S˘asecalculezemomentul deinert ¸ieˆınraport cuaxaOz al corpului omogen (ρ = 1), care ocup˘a domeniul spat ¸ial V= (x, y, z) , x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ z 2 c 2 , 0 ≤ z ≤ h , h > 0. R:I z = 1 5 π ab c 2 h 5 . 12.72S˘asecalculezemomentul deinert ¸ie ˆınraportcuplanul Oxyal corpuluiavˆand densitateaρ (x, y, z) = z (x 2 +y 2 +2z 2 +a 2 ) 2 , care ocup˘a domeniul spat ¸ial V= ¸ (x, y, z) , x 2 +y 2 ≤ z 2 , 0 ≤ z ≤ a ¸ , a > 0. R:I xy = 1 12 πa 2 ln 16 3 27 a 4 . 12.73S˘asecalculezemomentul deinert ¸ie ˆınraport cuorigineaal corpului omogen m˘arginit de sfera de raz˘a 2 cu centrul ˆın origine. R:I 0 = 128 5 π. Capitolul13 Ecuat ¸iidiferent ¸ialeordinare 13.1 Ecuat ¸iidiferent ¸ialedeordinul ˆıntˆai 13.1S˘aseintegrezeecuat ¸ia(t 2 − x 2 ) dt − 2txdx=0¸si apoi s˘asedeterminecurba integral˘a care trece prin punctul (1, 1). R: Avem P(t, x) = t 2 −x 2 ,Q(t, x) = −2tx ¸si P x = Q t = −2x, deci membrul stˆang al ecuat ¸iei date este o diferent ¸ial˘a exact˘a. Atunci integrala general˘a este dat˘a de t t 0 (τ 2 −x 2 0 ) dτ −2 x x 0 tξ dξ = C, (t 0 , x 0 ) ∈ D. sau 1 3 t 3 −tx 2 = C. Solut ¸ia particular˘a care satisface condit ¸ia init ¸ial˘a dat˘a este t 3 −3tx 2 + 2 = 0. 13.2S˘aseg˘aseasc˘aintegralaparticular˘ aaecuat ¸iei t +e t x dt + e t x 1 − t x dx=0, care verific˘a condit ¸ia init ¸ial˘ ax(0) = 2. R: 1 2 t 2 +xe t x = 2. 13.3S˘aseintegrezeurm˘atoareleecuat ¸iidiferent ¸ialecareprovindinanulareauneidi- ferent ¸iale exacte: 1) 3t 2 + 6tx 2 dt + 6t 2 x + 4x 3 dx = 0. 2)(t +x) dt + (t + 2x) dx = 0. 3) t 2 + 2t +x 2 dt + 2txdx = 0. 4) t 3 −3tx 2 + 2 dt − 3t 2 x −x 2 dx = 0. 5)(e t +x + sin x) dt + (e x +t +t cos x) dx = 0. 6)(t +x −1) dt + (e x +t) dx = 0. 7) x t 2 +x 2 −x dt + e x −t − t t 2 +x 2 dx = 0. 8) tg x − x sin 2 t dt + ctg t + t cos 2 x dx = 0. R: 1)t 3 + 3t 2 x 2 +x 4 = C. 2) 1 2 t 2 +tx +x 2 = C. 3) 1 3 t 3 +t 2 +tx 2 = C. 4) 1 4 t 4 − 3 2 t 2 x 2 +2t + 1 3 x 3 = C. 5) e t +tx+t sin x+e x = C. 6) e x + 1 2 t 2 +tx−t = C. 7) arctg t x −tx +e x = C. 8)t tg x +xctg t = C. 168 CAPITOLUL13. ECUAT¸ IIDIFERENT¸ IALEORDINARE 169 13.4S˘aseintegrezeurm˘atoareleecuat ¸iidiferent ¸ialecareprovindinanulareauneidi- ferent ¸iale exacte: 1) e t+x + 3t 2 dt + e t+x + 4x 3 dx = 0, cu x(0) = 0. 2)(arcsin t + 2tx) dt + t 2 + 1 + arctg x dx = 0. 3) ln x −5x 2 sin 5t dt + t x + 2xcos 5t dx = 0, cu x(0) = e. 4)[sin x + (1 −x) cos t] dt + [(1 +t) cos x −sin t] dx = 0. 5) 2txe t 2 + ln x dt + e t 2 + t x dx = 0, cu x(0) = 1. 6)(t +x + 1) dt + t −x 2 + 3 dx = 0. 7)(sin tx = txcos tx) dt +t 2 cos txdx = 0. 8) t 3 +tx 2 dt + t 2 x +x 3 dx = 0. R: 1) e t+x +t 3 +x 4 = 1. 2) t arcsin t + √ 1 −t 2 +t 2 x+xarctg x−ln √ 1 +x 2 +x = C. 3)t ln x +x 2 cos 5t = e 2 . 4) (1 +t) sin x + (1 −x) sin t = C. 5)xe t 2 +t ln x = 1. 6) 1 2 t 2 +t +tx − 1 3 x 3 = 3x = C. 7)t sin tx = C. 8)t 4 + 2t 2 x 2 +x 4 = C. 13.5S˘asedeterminesolut ¸iaecuat ¸iei (x 2 + 1)dt + (2t + 1)x 2 dx=0, caretreceprin punctul (1, 0). R: Separˆand variabilele, avem 1 2t+1 dt + x 2 x 2 +1 dx = 0, cu solut ¸ia general˘a 1 2 ln (2t + 1) +x −arctg x = C. Solut ¸ia particular˘a care safisface condit ¸ia dat˘a este 1 2 ln (2t + 1) +x −arctg x = 1 2 ln 3. 13.6S˘a se integreze urm˘atoarele ecuat ¸ii diferent ¸iale cu variabile separabile: 1) xdt +t dx = 0. 2) tx −x = x 3 . 3) txx = 1 −t 2 . 4) tg t sin 2 xdt + ctg xcos 2 t dx = 0. 5) dx = t 2 + 1 x 2 + 1 dt. 6) t 2 −1 x −tx = 0. 7) x + sin (t +x) = sin (t −x) . 8) x = sh (t +x) + sh (t −x) . R:1)Ecuat ¸iasemaiscrie, separˆandvariabilele: 1 t dt + 1 x dx=0. Deundeln[t[ + ln [x[ = ln [C[, sautx = C. 2)t 2 1 +x 2 = Cx 2 . 3)x 2 −2 ln t +t 2 = C. 4) ctg 2 x = tg 2 t +C. 5)x = tg 1 3 t 3 +t +C . 6)x 2 = C t 2 −1 . 7) ln tg x 2 + 2 sin t = C. 8)x = ln [tg (cht +C)]. 13.7S˘a se integreze urm˘atoarele ecuat ¸ii diferent ¸iale cu variabile separabile, cu condit ¸iile init ¸iale precizate: 1)(1 +e t ) xx = e t , cu x(0) = 1. 2) 1 +e 2t x 2 dx = e t dt, cu x(0) = 0. 3) x + cos (t + 2x) = cos (t −2x) , cu x(0) = π 4 . 4) e 1+t 2 th xdt − 1 t−1 e 2t dx = 0, cu x(1) = π 2 . 5) x = e t+x +e t−x , cu x(0) = 0. 6) x(t + 2) dt +t (x −1) dx = 0, cu x(1) = 1. 7) t x 6 + 1 dt +x 2 t 4 + 1 dx = 0, cu x(0) = 1. CAPITOLUL13. ECUAT¸ IIDIFERENT¸ IALEORDINARE 170 R: 1)x 2 = 1 + 2 ln 1+e t 2 . 2) 1 3 x 3 + π 4 = arctg e t . 3) ln [tg x[ = 4 (1 −cos t). 4) ln sin 2 x = e (x−1) 2 −1. 5)x = ln e t + π 4 −1 . 6)t +x + 2 ln t −ln x = 2. 7) 3arctg t 2 + 2arctg x 3 = π 2 . 13.8S˘a se integreze urm˘atoarele ecuat ¸ii diferent ¸iale cu variabile separabile: 1)(cos t −sin t + 1) x = cos x −sin x −1. 2) 2t √ 1 −x 2 = x 1 +t 2 . 3) e t sin 3 x + 1 +e 2t (cos x) x = 0. 4) x 2 (sin t) + cos 2 t (ln x) x = 0. 5) x = sin (t −x) . 6) x +tx = a (1 +tx) . 7)(tx −1) 2 tx + t 2 x 2 + 1 x = 0. 8) t √ 1 +x 2 +x √ 1 +t 2 x = 0. R: 1) tg x 2 = C 1 + tg x 2 1 −tg t 2 . 2)x = sin C ln 1 +t 2 . 3) arctg e t = 1 2 sin 2 x +C. 4)x = (1 + ln x +Cx) cos t. 5)t +C = ctg x−t 2 + π 4 . 6) 1 +tx = Ce at . 7) Cu schimbarea de funct ¸ieu = tx, obt ¸inemx 2 = Ce tx− 1 tx . 8) √ 1 +t 2 + √ 1 +x 2 = C. 13.9S˘a se determine un factor integrant ¸si s˘a se integreze ecuat ¸ia (t 3 sin x −2x)dt + (t 4 cos x +t)dx = 0. R: AvemP x = t 3 cos x −2,Q t = 4t 3 cos x + 1 ¸si deci 1 Q ∂P ∂x − ∂Q ∂t = − 3 t este funct ¸ie numai det. Ca atare avem 1 µ dµ dt = − 3 t ¸si o solut ¸ie particular˘a esteµ = 1 t 3 . ˆ Inmult ¸ind ecuat ¸ia cuµ, obt ¸inem sinx − 2x t 3 dt + t cos x + 1 t 2 dx = 0 a c˘arei solut ¸ie general˘a estet sin x + x t 2 = C. 13.10S˘a se integreze urm˘atoarele ecuat ¸ii diferent ¸iale ¸stiind c˘a admit un factor integrant de formaµ = µ(t): 1) 2tx +t 2 x + 1 3 x 3 dt + t 2 +x 2 dx = 0. 2) t +x 2 dt −2txdx = 0. 3)(t sin x +xcos x) dt + (t cos x −xcos x) dx = 0. 4)(t + sin t + sin x) dt + cos xdx = 0. R: 1)µ = e t ,xe t t 2 + 1 3 x 2 = C. 2)µ = 1 t 2 , ln [t[ − 1 t x 2 = C. 3)µ = e t , (t sinx +xcos x −sin x) e t = C. 4)µ = e t , 2e t sin x + 2e t (t −1) +e t (sin t −cos t) = C. 13.11S˘a se integreze urm˘atoarele ecuat ¸ii diferent ¸iale ¸stiind c˘a admit un factor integrant de formaµ = µ(x): 1) x(1 +tx) dt −t dx = 0. 2) xdt − t +x 2 dx = 0. 3) 2tx(ln x) dt + t 2 +x 2 √ 1 +x 2 dx = 0. 4) 1 + 3t 2 sinx dt −tctg xdx = 0. CAPITOLUL13. ECUAT¸ IIDIFERENT¸ IALEORDINARE 171 R: 1)µ = 1 x 2 , t x + 1 2 t 2 = C. 2)t = x(x +C). 3)µ = 1 x ,t 2 ln [x[ + 1 3 x 2 + 1 3 2 = C. 4)µ = 1 sin x , t sin x +t 3 = C. 13.12S˘a se integreze urm˘atoarele ecuat ¸ii diferent ¸iale ¸stiind c˘a admit un factor integrant de forma indicat˘a: 1)(t −x) dt + (t +x) dx = 0, µ = µ t 2 +x 2 . 2) tx 2 dt + t 2 x −t dx = 0, µ = µ(tx) 3) 2t 3 + 3t 2 x +x 2 −x 3 dt + 2x 3 + 3tx 2 +t 2 −t 3 dx = 0, µ = µ(t +x) . 4) t 2 +x 2 + 1 dt −2txdx = 0, µ = µ x 2 −t 2 . 5)(t −tx) dt + t 2 +x dx = 0, µ = µ t 2 +x 2 . 6) 3t + 2x +x 2 dt + t + 4tx + 5x 2 dx = 0, µ t +x 2 . R: 1)µ = 1 t 2 +x 2 , 1 2 ln t 2 +x 2 −arctg t x = C. 2)tx −ln [x[ = C. 3)t 3 +tx +x 3 = C (t +x). 4)µ = x 2 −t 2 + 1 −2 ,x 2 −t 2 + 1 = Cx. 5)µ = t 2 +x 2 3 2 ,x −1 = C √ t 2 +x 2 . 6)µ = t +x 2 , (t +x) t +x 2 2 = C. 13.13S˘a se g˘aseasc˘a solut ¸ia ecuat ¸iei omogenet 2 + 2x 2 =txx ,care satisface condit ¸ia init ¸ial˘ax(1) = 2. R:Cu schimbarea de variabil˘ax =ty, ecuat ¸ia devine ydy 1+y 2 = dt t , cu solut ¸ia general˘a t =C 1 +y 2 . ˆ Inlocuindpey, avemt 2 =C √ t 2 +x 2 . Condit ¸iainit ¸ial˘adetermin˘ape C = 1 √ 5 . Solut ¸ia particular˘a c˘autat˘a estet 2 √ 5 = √ t 2 +x 2 . 13.14S˘a se integreze urm˘atoarele ecuat ¸ii diferent ¸iale omogene: 1) tx = x −t. 2) tx = x +te x t . 3) tx = −t −x. 4) t 2 x = x(t −x) . 5) tx = x +ttg x t . 6)(t −x) x = t +x. 7) tx = x +t cos 2x t . 8) 2t 2 x = t 2 +x 2 . 9) txx + 2tx +t 2 = 0. R: 1) Prinschimbareadefunct ¸ie x=tyecuat ¸iasetransform˘a ˆıntr-oecuat ¸iecu variabile separabile: y = − 1 t , de undex = t ln C t . 2) Se obt ¸inety = e y , de undex = −t ln ln C t . 3) Se obt ¸inety = −1 −2y, de undex = C t − t 2 . 4)t = Ce t x . 5) sin x t = Ct. 7) tg x t = ln (Ct). 8) 2t = (t −x) ln (Ct). 9) ln [t +x[ + t t+x = C. 13.15S˘aseintegrezeurm˘atoareleecuat ¸ii diferent ¸ialeomogene, cucondit ¸iileinit ¸iale precizate: 1) tx sin x t +t = xsin x t , cu x(1) = 0. 2) t 2 x = x 2 +tx +t 2 , cu x(1) = 2. 3) 4tx t 2 +x 2 x +x 4 + 6t 2 x 2 +t 4 , cu x(1) = 0. 4) x −3t sin 3t x x + 3xsin 3t x = 0, cu x π 3 = 1. R: Avem: 1) te = e cos x t . 2) arctg x 2t −2 ln [t[ = π 4 . 3) t 5 +10t 3 x 2 +5tx 4 = 1. 4) ln [x[−cos 3t x = 1. CAPITOLUL13. ECUAT¸ IIDIFERENT¸ IALEORDINARE 172 13.16S˘a se integreze urm˘atoarele ecuat ¸ii diferent ¸iale reductibile la ecuat ¸ii omogene: 1)(t +x −3) x = t −x + 1. 2)(t −2x + 3) x = 2t −4x + 1. 3)(t −x + 4) x +t +x −2 = 0. 4)(2t + 2x −1) x +t +x + 1 = 0. 5)(t −x −2) x +t +x = 0. 6)(3t −7x −3) x = 3x −7t + 7. 7)(3t + 2x −5) x + 2t + 3x −5 8)(4t + 2x + 1) x + 8t + 4x + 1 = 0. 9)(t −2x + 3) x + 2t +x −1 = 0. 10)(6t + 2x −10) x = 2t + 9x −20. R: 1)t 2 −2tx −x 2 + 2t + 6x = C. 2) (1 −3t + 6x) 10 9 e 4t−2x 3 = C. 3)t 2 + 2tx −x 2 −4t + 8x = C. 4)t + 2x + 3 ln [t +x −2[ = C. 5)x 2 −2tx −t 2 + 4x = C. 6) (t +x −1) 5 (t −x −1) 2 = C. 7)x 2 + 3tx +t 2 −5t −5x = C. 8) (4t + 2x + 1) 2 = 4t +C. 9)t 2 +tx −x 2 −t + 3x = C. 10) (x −2t) 2 = C (t + 2x −5). 13.17S˘a se integreze ecuat ¸ia liniar˘a neomogen˘ax = xtg t + cos t,t ∈ R` ¦ π 2 +nπ¦. R: Ecuat ¸ia omogen˘a corespunz˘atoare,x = xtg t, are solut ¸ia general˘a x(t) = C 1 cos t , t ∈R ` ¦ π 2 + nπ¦. C˘aut˘ampentruecuat ¸ianeomogen˘aosolut ¸ieparticular˘adeforma x ∗ (t) =u(t) 1 cos t . Se obt ¸ine pentruu ecuat ¸iau = cos 2 t, de undeu(t) = 1 2 t + 1 4 sin 2t. ˆ In consecint ¸˘a, solut ¸ia general˘a a ecuat ¸iei date este x(t) = C 1 cos t + ( 1 2 t + 1 4 sin 2t) 1 cos t , t ∈ R ` ¦ π 2 +nπ¦. 13.18S˘a se integreze urm˘atoarele ecuat ¸ii liniare de ordinul ˆıntˆai: 1) x −xctg t + 2t sin t = 0. 2) 1 +t 2 x +x −arctg t = 0. 3) x +ax −be pt = 0, a, b, p ∈ R. 4) tx − 1 t+1 x −t + 1 = 0. 5) t 2 −1 3 2 x t 3 + 3tx √ t 2 −1 = 0. 6) √ 1 +t 2 x +x +t − √ 1 +t 2 = 0. 7) t t 3 + 1 x + 2t 3 −1 x = t 3 −2 t . 8) x − n t+1 x = e t (t + 1) n , n ∈ N. R: 1)x(t) = t 2 sin t +C sin t. 2)x(t) = arctg t −1 +Ce −arctg t . 3)x(t) = b a+p e pt +Ce −at , pentrup = −a ¸six(t) = (bt +C) e −at , pentrup = −a. 4)x(t) = t + 1 + C t+1 e t . 5)x(t) = 1 4 C −t 4 t 2 −1 − 3 2 . 6)x(t) = 1 t+ √ 1+t 2 ln t + √ 1 +t 2 +C . 7)x(t) = 1 t + Ct t 3 +1 . 8)x(t) = (e t +C) (t + 1) n . 13.19S˘a se integreze urm˘atoarele ecuat ¸ii liniare de ordinul ˆıntˆai, cu condit ¸iile init ¸iale precizate: 1) x = x 1−t 2 −t −1, cu x(0) = 0. 2) tx +x = e t , cu x(a) = b(a = 0) . 3) tx −nx = t n+1 ln t, cu x(1) = 0. 4) x cos 2 t +x −tg t = 0 cu x(0) = 0. 5) tx −nx = t n+1 e t , cu x(1) = 1. 6) tx + 2t 2 −1 x = 2t 2 −1, cu x(1) = 1 − 1 e . R: 1)x(t) = 1 2 t √ 1 −t 2 + 1 2 arcsin t 1+t 1−t . 2)x(t) = 1 t (e t −e a +ab). 3)x(t) = 1 4 t n −t n+2 + 1 2 t n+2 ln [t[. 4)x(t) = −1 + tg t +e −tg t . 5)x(t) = t n (e t −e + 1). 6)x(t) = 1 −te −t 2 . CAPITOLUL13. ECUAT¸ IIDIFERENT¸ IALEORDINARE 173 13.20S˘a se integreze urm˘atoarele ecuat ¸ii diferent ¸iale de tip Bernoulli: 1) tx +x +t t x 2 = 0. 2) 2txx −x 2 +t = 0. 3) 3tx = x 1 +t sin t −3x 3 sin t . 4) x = 2tx +t 3 √ x. 5) x = tx −tx 3 . 6) tx +x = x 2 ln t. 7) 3tx 2 x −2x 3 = t 3 . 8) 2x sin t +xcos t = x 3 sin 2 t. R: 1)x t 2 +Ct = 1. 2)x 2 = t ln C t . 3)x 3 (3 +Ce cos t ) = t. 4)x = Ce t 2 2 − t 2 +2 2 2 . 5) 1 +Ce −t 2 x 2 = 1. 6)x(1 +Ct + ln t) = 1. 7)x 3 = t 3 +Ct 2 . 8)x 2 (C −t) sin t = 1. 13.21S˘a se integreze urm˘atoarele ecuat ¸ii diferent ¸iale de tip Bernoulli: 1) 3t 2 dt = t 3 +e x dx. 2) txdt + t 2 +x 2 + 1 dx. 3) tx +x = t 3 x 4 . 4) t 2 ln x −t dx = xdt. 5) tx + 2x = 3t 3 x 4 3 . 6) x − 2t 1+t 2 x = 4 √ x √ 1+t 2 arctg t. R: 1)t 3 e −x = x +C. 2)x 4 + 2t 2 x 2 + 2x 2 = C. 3)tx 3 3 ln C t = 1. 4)t (1 −Cx + ln x) = 1. 5)x − 1 3 = Ct 2 3 − 3 7 t 3 . 6)x(t) = 1 +t 2 C + arctg 2 t 2 . 13.22S˘aseintegrezeurm˘atoareleecuat ¸ii diferent ¸ialedetipBernoulli, cucondit ¸iile init ¸iale precizate: 1) x +x = e t 2 √ x, cu x(0) = 9 4 . 2) t 3 + 1 x + 3t 2 x = x 2 t 3 + 1 2 sin t, cu x(0) = 1. 3) x 2 + 2x +t 2 x + 2t = 0, cu x(1) = 0. 4) 2 t 2 −1 xx −tx 2 = t t 2 −1 , cu x √ 2 = √ 2. 5) x −xcos t = x n−1 sin 2t, n = 1, n ∈ N` ¦1, 2¦ , cu x(π) = 1. R: 1)x(t) = e −t 1 2 e t + 1 2 . 2)x(t) = 1 (t 3 +1) cos t . 3)t 2 +x 2 = e −x . 4)x 2 = t 2 −1 + √ t 2 −1. 5)x 1−n = 2 sin t + 2 n−1 + n−3 n−1 e (n−1) sin t . 13.23S˘a se arate c˘a ecuat ¸iile diferent ¸iale de tip Riccati de forma t 2 x = at 2 x 2 +btx+c, a, b, c ∈ R,admitsolut ¸iiparticularedeformax ∗ (t) =αt −1 ,dac˘a(b + 1) 2 − 4ac ≥ 0. S˘a se integreze apoi ecuat ¸iile diferent ¸iale: 1) 2t 2 x = t 2 x 2 + 1. 2) 4t 2 x +x 2 + 1 = 0. 3) t 2 x + (2 −tx) 2 = 0. 4) t 2 x = t 2 x 2 +tx + 1. R: ˆ Intr-adev˘ar, x ∗ (t) =αt −1 este solut ¸ie dac˘aaα 2 + (b + 1) α + c = 0, ecuat ¸ie care are r˘ad˘acini reale dac˘a (b + 1) 2 − 4ac ≥ 0. 1) O solut ¸ie particular˘a estex ∗ (t) = −t −1 . Efectuˆand schimbarea de funct ¸iex = − 1 t + 1 y , obt ¸inem ecuat ¸ia liniar˘a 2t 2 y = 2ty − t 2 , a c˘arei solut ¸ie general˘a este: y (t) = t 2 (C −ln t). Deci,x(t) = − 1 t + 2 t(C−ln|t|) . 2)x(t) = 1 2t + 1 t(C+ln|t|) . 3)x(t) = 1 t + 3t 2 t 3 +C . 4)x(t) = − 1 t + 1 t(C−ln|t|) . CAPITOLUL13. ECUAT¸ IIDIFERENT¸ IALEORDINARE 174 13.24S˘aseintegrezeurm˘atoareleecuat ¸ii diferent ¸ialedetipRiccati, ¸stiindc˘aadmit solut ¸iile particulare indicate: 1) x −x 2 + 2e t x = e t +e 2t , x ∗ (t) = e t . 2) tx −x 2 + (2t + 1) x = t 2 + 2t, x ∗ (t) = t. 3) x +x 2 sin t = 2 sin t cos 2 t , x ∗ (t) = 1 cos t . 4) t 2 −1 x +x 2 −2tx + 1 = 0, x ∗ (t) = t. 5) t 2 x +t 2 x 2 +tx = 4, x ∗ (t) = 2 t . 6) 1 +t 3 x −x 2 −t 2 x = 2t, x ∗ (t) = t 2 . 7) x −x 2 − 1 t x + 9t 2 = 0, x ∗ (t) = 3t. 8) t 2 x +x 2 −2 (tx −1) = 0, x ∗ (t) = 2 t . R: 1)x(t) = e t + 1 C−t . 2)x(t) = t + 1 Ct+1 . 3)x(t) = 1 cos t + 3 cos 2 t 3C−cos 3 t . 4) 1 x−t = 1 2 ln t−1 t+1 +C. 5)x(t) = 2 t + 4 Ct 5 −t . 6)x(t) = t 2 + 1+t 3 C−t . 7)x(t) = 3t + t 6Ce −3t 2 −1 . 8)x(t) = 2 t + 1 t(Ct−1) . 13.25S˘aseintegrezeurm˘atoareleecuat ¸ii diferent ¸ialedetipRiccati, ¸stiindc˘aadmit solut ¸iile particulare de formax ∗ (t) = αt n ,α ∈ R,n ∈ N: 1) t (2t −1) x +x 2 + (4t + 1) x + 4t = 0. 2) t 5 −1 x + 2tx 2 −t 4 x −3t 2 = 0. R: 1)n = 1,α = 2,x(t) = 4Ct 3 −1 Ct 4 −t . 2)n = 3,α = −1,x(t) = Ct 3 −1 t 2 −C . 13.2 Alteecuat ¸iiintegrabileprinmetodeelementare 13.26S˘a se integreze ecuat ¸iax = a n (x ) n +a n−1 (x ) n−1 + +a 1 x +a 0 . R: Punemx = p. Atuncidx = p dt,dt = 1 p dx, de unde t = 1 p (na n p n−1 + (n −1)a n−1 p n−2 + +a 1 ) dp. Solut ¸ia general˘a este dat˘a de t = n n−1 a n p n−1 + n−1 n−2 a n−1 p n−2 + +a 2 p +a 1 ln p +C, x = a n p n +a n−1 p n−1 + +a 1 p +a 0 , p > 0. 13.27S˘a se integreze ecuat ¸iax = (x ) 2 tg x . R:t = ptg p −ln (cos p) +C,x = p 2 tg p. 13.28S˘a se integreze ecuat ¸iile: 1) x 2 3 + (x ) 2 3 = 1. 2) x 2 5 + (x ) 2 5 = a 2 5 , a = 0. R:1)Lu˘amx=cos 3 τ¸si x =sin 3 τ. Rezult˘at=3τ + 3tg τ + C, x=cos 3 τ. 2) Lu˘amx = a sin 5 τ¸six = a cos 5 τ. Rezult˘at = 5 1 3 tg 3 τ −tg τ +τ +C,x = a sin 5 τ. CAPITOLUL13. ECUAT¸ IIDIFERENT¸ IALEORDINARE 175 13.29S˘a se integreze ecuat ¸iile: 1) t = 2x +e x . 2) t = x sin x + cos x . 3) t = 2 (x ) 2 −2x + 1 e 2x . 4) t = x sin x . R: 1) Punemx = p. Atuncit = 2p +e p ,dx = p dt = (2p +pe p ) dp. Solut ¸ia general˘a este dat˘a de t = 2p +e p , x = p 2 + (p −1)e p +C. 2)t = p sin p + cos p,x = p 2 −2 sin p + 2p cos p +C. 3)t = 2p 2 −2p + 1 e 2p ,x = 2p 3 −3p 2 + 3p − 3 2 e 2p +C. 4)t = p sin p,x = p 2 −1 sin p +p cos p +C. 13.30S˘a se integreze ecuat ¸ia Lagrangex = 2tx + (x ) 2 . R:Punemx =p. Atunci x= 2tp + p 2 ¸sidiferent ¸iem: dx= 2p dt + 2t dp + 2p dp. Dardx =p dt ¸si deci dt dp = − 2 p t − 1, care este o ecuat ¸ie liniar˘a, a c˘arei solut ¸ie general˘a, pentrup = 0, estet = C p 2 − p 3 , ˆıncˆat solut ¸ia general˘a a ecuat ¸iei date se scrie t = C p 2 − p 3 , x = 2C p + p 2 3 , p ∈ R` ¦0¦. Pentrup = 0 se obt ¸inex(t) ≡ 0, care este o solut ¸ie singular˘a. 13.31S˘a se integreze ecuat ¸ia Clairautx = tx + (x ) n . R: Punemx = p ¸si derivˆand obt ¸inem: p = tp + p +np n−1 p saup (t + np n−1 ) = 0. Avem: p =0, p=C, cared˘asolut ¸iageneral˘ax(t) =Ct + C n . Saut = −np n−1 , x = (1 −n)p n , care reprezint˘a o integral˘a singular˘a. 13.32S˘a se integreze urm˘atoarele ecuat ¸ii de tip Lagrange sau Clairaut: 1) x = 2tx + ln x . 2) x = t (1 +x ) + (x ) 2 . 3) x = 2tx + sin x . 4) x = 3 2 tx +e x . 5) x = 2t + (x ) 2 −4x . 6) x = (x ) 3 +t (x ) 2 . 7) x = (x ) 2 +t (x ) 2 . 8) x = tx + 1 + (x ) 2 . 9) x = 1 +tx + (x ) 2 . 10) x = 2tx −4 (x ) 3 . 11) x = tx +x (1 −x ) . 12) t (x ) 2 −xx = 1. R: 1)t = C p 2 − 1 p ,x + ln p + 2C p −2,p > 0. 2)t = 2 (1 −p) +Ce −p ,x = [2 (1 −p) +Ce −p ] (1 +p) +p 2 . 3)t = C p 2 − cos p p 2 − sin p p ,x = 2C p − 2 cos p p −sin p,p = 0 ¸six = 0, solut ¸ie singular˘a. 4)t = C p 3 −2e p 1 p − 2 p 2 + 2 p 3 ,x = 3C 2p 2 −2e p 1 − 3 p + 3 p 2 ,p = 0. 5)t = 2p +C,x = p 2 + 2C ¸six = 2t −4, solut ¸ie singular˘a. 6)t= 1 (p−1) 2 C −p 3 + 3 2 p 2 , x= p 2 (p−1) 2 C +p − p 2 2 ¸si x=0, x=t + 1, solut ¸ii singulare. 7)t = 1 (p−1) 2 −1,x = Cp 2 (p−1) 2 ¸six = 0,x = t + 1, solut ¸ii singulare. CAPITOLUL13. ECUAT¸ IIDIFERENT¸ IALEORDINARE 176 8)x = Ct + √ 1 +C 2 ¸sit 2 +x 2 = 1, solut ¸ie singular˘a. 9)x = Ct + 1 +C 2 ¸sit = −2p,x = 1 −p 2 , solut ¸ie singular˘a. 10)t = 3p 2 +Cp −2 ,x = 2p 3 −2Cp −1 ,p = 0 ¸six = 0, solut ¸ie singular˘a. 11)x = Ct +C (1 −C) ¸sit = 2p −1,x = p 2 , solut ¸ie singular˘a. 12)t = Cx +C 2 ¸six 2 + 4t = 0, solut ¸ie singular˘a. 13.33S˘a se integreze ecuat ¸iile: 1) xx + (t −x) x −t = 0. 2)(x ) 2 −(2x +t) x + 2tx = 0. R: 1) Ecuat ¸ia se mai scrie: t (x −1) +xx (x −1) = 0, deci x = 1 sau t = −xx . De unde: x = t +C 1 saux 2 +t 2 = C 2 . 2) Ecuat ¸ia se mai scrie: t (x −2x) =x (x −2x), decix = 2x saux =t. De unde x = C 1 e 2t saux = 1 2 t 2 +C 2 . 13.34S˘a se integreze ecuat ¸ia (x ) 2 +tx + 3x +t 2 = 0. R: Punemx =p, avemp 2 + tp + 3x + t 2 = 0. Deriv˘am ˆın raport cut: 2pp + p + tp + 3p + 2t = 0 sau (2p + 1)(p + 2) = 0. Dinp = −2 urmeaz˘ap = −2t + C, de unde solut ¸ia general˘a x(t) = − 1 3 [t 2 +t(C −2t) + (C −2t) 2 ], t ∈ R. Apoit = −2p ¸six = −p 2 , care reprezint˘a o integral˘a singular˘a. 13.35S˘a se integreze ecuat ¸iat = 1 x x + (x ) n . R: Punem x = p, avem t = 1 p x+p n . Deriv˘amˆın raport cu x. Obt ¸inem dp dx (np n−1 − 1 p 2 ) = 0. Deci dp dx = 0,p = C, de unde solut ¸ia general˘at(x) = 1 C x +C n , saux = np n+1 , t = (n + 1)p n , care reprezint˘a o integral˘a singular˘a. 13.3 Ecuat ¸iidiferent ¸ialedeordinsuperior 13.36S˘a se g˘aseasc˘ a solut ¸ia ecuat ¸ieix (5) = 0, care satisface condit ¸iile init ¸iale: x(0) = 1, x (0) = 0, x (0) = −1, x (3) (0) = 0, x (4) (0) = 1. R:Solut ¸iageneral˘aestex(t)= C 1 4! t 4 + C 2 3! t 3 + C 3 2! t 2 + C 4 1! t + C 5 . Condit ¸iileinit ¸iale precizate conduc la solut ¸ia particular˘ax(t) = 1 24 t 4 − 1 2 t 2 + 1,t ∈ R. 13.37S˘a se g˘aseasc˘ a solut ¸ia general˘a a ecuat ¸ieix = 1 t . R:x(t) = t ln [t[ +C 1 t +C 2 . 13.38S˘ase determine solut ¸iaecuat ¸iei x =sin t, care satisface condit ¸iile init ¸iale x(0) = 1,x (0) = −1,x (0) = 0. R: Prin trei integr˘ari succesive obt ¸inem solut ¸ia general˘a x(t) = cos t+ 1 2 C 1 t 2 +C 2 t+C 3 . Solut ¸ia problemei lui Cauchy estex(t) = cos t +t 2 −t. CAPITOLUL13. ECUAT¸ IIDIFERENT¸ IALEORDINARE 177 13.39S˘a se g˘aseasc˘ a solut ¸ia general˘a a ecuat ¸ieit = x + ln x . R:Punemx =τ. Atunci t =τ + ln τ. Avemdx =τ dt =τ(1 + 1 τ ) τ. Seobt ¸ine solut ¸ia general˘at = τ + ln τ,x = 1 6 τ 3 + 3 4 τ 2 +C 1 (τ + ln τ) +C 2 . 13.40S˘a se g˘aseasc˘ a solut ¸ia general˘a a ecuat ¸ieit = e x −(x ) 2 . R: Punemx =τ. Atuncit =e τ − τ 2 . Avemdx =τ dt =τ (e τ −2τ) dτ. De unde x =τe τ − e τ − 2 3 τ 3 + C 1 . Apoi dx=x dt= τe τ −e τ − 2 3 τ 3 +C 1 (e τ −2τ) dτ. De unde x = 1 2 τ − 3 4 e 2τ + 2τ −2 − 2 3 τ 3 +C 1 e τ + 4 15 τ 5 −C 1 τ 2 +C 2 . 13.41S˘aseintegrezeecuat ¸iile: 1)x = 1 − (x ) 2 . 2) (x ) 2 + (x ) 2 = 1. 3) (x ) 2 = 2x . R: 1) O reprezentare parametric˘a a ecuat ¸iei este: x = τ,x = 1 −τ 2 . Dindx = dτ ¸si dx = 1 −τ 2 dt,obt ¸inemdt = 1 1−τ 2 dτ. Deci t = 1 2 ln 1+τ 1−τ + C 1 . Dindx =τ dt = τ 1−τ 2 dτ, de undex = − 1 2 ln 1 −τ 2 +C 2 . 2)Oreprezentareparametric˘aaecuat ¸ieieste: x =cos τ, x =sin τ. Dindx = −sin τ dτ¸si dx = sin τ dt,rezult˘adt = −dτ,deci t = −τ + C 1 . Dindx = cos τ dt = −cos τ dτ,urmeaz˘ax = −sin τ + C 2 ,iar dindx = (−sin τ +C 2 ) dt = (sin τ −C 2 ) dτ, deducemx = −cos τ −C 2 τ +C 3 . 3)Lu˘amx =2τ. Atunci x =2τ 2 . Dindx =4τ dτ ¸si dx =2τ dt, rezult˘a dt = 2 dτ, decit = 2τ + C 1 . Dindx = 2τ 2 dt = 4τ 2 dτ, urmeaz˘ax = 4 3 τ 3 + C 2 , iar din dx = 4 3 τ 3 +C 2 dt = 2 4 3 τ 3 +C 2 dτ, deducemx = 2 3 τ 4 + 2C 2 τ +C 3 . 13.42S˘a se integreze ecuat ¸iax (3) x (4) = −1. R: O reprezentare parametric˘a este x (3) = τ, x (4) = − 1 τ , τ = 0. Obt ¸inem dx (3) = dτ, dx (3) = − 1 τ dt, decidt = −τ dτ. Se obt ¸ine solut ¸ia general˘a t = − 1 2 τ 2 +C 1 , x = − 1 105 τ 7 + 1 8 C 1 τ 4 − 1 2 C 2 τ 2 +C 3 . 13.4 Ecuat ¸iic˘aroralisepoatemic¸soraordinul 13.43S˘a se integreze ecuat ¸iax (n) sin t −x (n−1) cos t + 1 = 0. R:Punemx (n−1) =u ¸si ecuat ¸iasetransform˘a ˆıntr-oecuat ¸ie liniar˘a ˆınu: u sint − ucos t +1 = 0. Cu solut ¸ia u(t) = cos t +C 1 sin t. Deci x (n−1) = cos t +C 1 sin t, cu solut ¸ia general˘a: x(t) = cos t − n −1 2 π +C 1 sin t − n −1 2 π + C 2 (n −2)! t n−2 + + C n−1 1! t +C n . 13.44S˘a se integreze ecuat ¸iaxx −(x ) 2 = x 2 . CAPITOLUL13. ECUAT¸ IIDIFERENT¸ IALEORDINARE 178 R: Ecuat ¸ianucont ¸inepetexplicit. Punemx =u, x =u du dx ¸si obt ¸inemecuat ¸ia xu du dx =u 2 + x 2 , care este o ecuat ¸ie omogen˘a. Luˆandu =xy, obt ¸inemy dy = 1 x dx, de undey 2 = 2 ln [x[ +C 1 , decix = x √ 2 ln x +C 1 , cu solut ¸iax = e 1 2 ((t−C 2 ) 2 −C 1) . 13.45S˘a se integreze ecuat ¸iile: 1) txx +t (x ) 2 −xx = 0. 2) t 2 xx = (x −tx ) 2 . R: Ecuat ¸iile sunt omogene ˆın x, x , x . 1) Cu schimbarea de funct ¸ie x x = u, obt ¸inem x = xu, x = x(u 2 +u ) ¸si deci ecuat ¸ia devine tu −u+2tu 2 = 0. Rezult˘a x = C 2 √ t 2 +C 1 . 2)x = C 2 te − C 1 t . 13.46S˘a se integreze ecuat ¸iat 2 xx +t 2 (x ) 2 −5txx + 4x 2 = 0. R: Ecuat ¸ia este omogen˘a de ordinul patru ˆınt, x, dt, dx, d 2 x. ˆ Imp˘art ¸ind print 2 se poatepunesubforma x t tx + (x ) 2 − 5 x t x + 4 x t 2 =0. Punemt=e τ , x=tu ¸siecuat ¸iadevineuu + (u ) 2 − 2uu = 0. Luˆandacumu =pobt ¸inemecuat ¸ialiniar˘a dp du + 1 u p − 2=0, cusolut ¸iap (u)= 1 u u 2 +C 1 . Deci u = 1 u u 2 +C 1 . Deunde u 2 (τ) = C 2 e 2τ −C 1 . Rezult˘ax 2 = t 2 C 2 t 2 −C 1 . Capitolul14 Ecuat ¸ii¸sisistemediferent ¸iale liniare 14.1 Sistemediferent ¸ialeliniaredeordinul ˆıntˆai 14.1Se d˘a sistemul: x = − 3 t x − 1 t y, y = 1 t x − 1 t y, t > 0. S˘a se verifice c˘a: x 1 = 1 t 2 , y 1 = − 1 t 2 , x 2 = 1 t 2 ln t, y 2 = − 1 t 2 (1 + ln t), formeaz˘ a un sistem fundamental de solut ¸ii ¸si s˘a se scrie solut ¸ia general˘a a sistemului. R: Solut ¸ia general˘a este: x(t) = 1 t 2 (C 1 +C 2 ln t) , y(t) = − 1 t 2 (C 1 ln t +C 2 (1 + ln t)) . 14.2Se d˘a sistemul: x = − 1 t x + 1 t y, y = − 4 t x + 3 t y + 2, t > 0. S˘a se verifice c˘a: x 1 = t, y 1 = 2t, x 2 = t ln t, y 2 = t(1 + 2 ln t), formeaz˘ a un sistem fundamental de solut ¸ii ¸si s˘a se scrie solut ¸ia general˘a a sistemului. R: O solut ¸ie particular˘a a sistemului este: x ∗ (t) = t ln 2 t, y ∗ (t) = 2t(ln 2 t + ln t). 179 CAPITOLUL14. ECUAT¸ IIS¸ISISTEMEDIFERENT¸ IALELINIARE 180 14.3Se d˘a sistemul: tx = x +y, ty = −y + t (t + 1) 2 −ln(t + 1), t > 0. S˘a se verifice c˘a: x 1 = t, y 1 = 0, x 2 = 1 t , y 2 = − 2 t , formeaz˘ a un sistem fundamental de solut ¸ii ¸si s˘a se scrie solut ¸ia general˘a a sistemului. R: O solut ¸ie particular˘a a sistemului este: x ∗ = ln(t + 1), y ∗ = t t+1 −ln(t + 1). 14.4Se d˘a sistemul: x = 4 t x − 4 t 2 y + 1 t , y = 2 x − 1 t y +t, t ∈ (0, ∞). S˘a se verifice c˘a: x 1 (t) = 1,y 1 (t) = t ¸six 2 (t) = 2t 2 ,y 2 (t) = t 3 ,t ∈ (0, ∞), formeaz˘a un sistem fundamental de solut ¸ii ¸si s˘a se scrie solut ¸ia general˘a a sistemului. R:DeoareceW(t)= −t 3 =0, celedou˘asolut ¸iiformeaz˘aunsistemfundametalde solut ¸ii pentrusistemul dat¸si deci solut ¸iageneral˘aasistemului omogencorespunz˘ator este x(t) = C 1 + 2C 2 t 2 , y(t) = C 1 t +C 2 t 3 . C˘aut˘am pentru sistemul neomogen o solut ¸ie particular˘a de forma x ∗ (t) = u(t) + 2t 2 v(t), y(t) = t u(t) +t 3 v(t). Derivˆand ¸si ˆınlocuind ˆın sistem, obt ¸inem u + 2t 2 v = 1 t ,u +t 3 v = t, sau, rezolvˆand ˆın privint ¸a luiu ¸siv : u = 2 − 1 t , v = − 1 t 2 + 1 t 3 , deunde, prinintegrareu(t)=2t − ln t, v(t)= 1 t − 1 2t 2 . ˆ Inlocuind ˆınx ∗ (t)¸si y ∗ (t), obt ¸inem solut ¸ia particular˘a a sistemului neomogen x ∗ (t) = 4t −1 −ln t, y ∗ (t) = 3t 2 − 1 2 t −t ln t ¸si deci solut ¸ia general˘a a sistemului neomogen este x(t) = C 1 + 2C 2 t 2 + 4t −1 −ln t, y(t) = C 1 t +C 2 t 3 + 3t 2 − 1 2 t −t ln t, t > 0. CAPITOLUL14. ECUAT¸ IIS¸ISISTEMEDIFERENT¸ IALELINIARE 181 14.2 Sisteme diferent ¸iale liniare cu coeficient ¸i con- stant ¸i 14.5S˘a se determine solut ¸ia general˘a a sistemului diferent ¸ial liniar omogen cu coefici- ent ¸i constant ¸i: x = 3y −4z, y = −z, z = −2x +y. R: Matricea transform˘arii liniare asociate este A = 0 3 −4 0 0 −1 −2 1 0 ¸ ¸ . Ecuat ¸ia caracteristic˘a a transform˘arii liniare T este λ 3 −7λ−6 = 0, cu r˘ad˘acinile λ 1 = −1, λ 2 = −2, λ 3 =3, simple. Deci transformareaTpoatefiadus˘alaexpresiacanonic˘a. Vectorii proprii corespunz˘atori sunt u 1 = (1, 1, 1), u 2 = (5, 2, 4), u 3 = (5, 1, −3). Deci funct ¸iile x 1 (t) = e −t (1, 1, 1), x 2 (t) = e −2t (5, 2, 4), x 3 (t) = e 3t (5, 1, −3) formeaz˘a un sistem fundamental de solut ¸ii. Solut ¸ia general˘a a sistemului se scrie atunci x(t) = C 1 e −t + 5C 2 e −2t + 5C 3 e 3t , y(t) = C 1 e −t + 2C 2 e −2t +C 3 e 3t , t ∈ R. z(t) = C 1 e −t + 4C 2 e −2t −3C 3 e 3t , 14.6S˘a se determine solut ¸ia general˘ a a sistemului x = y, y = −x. R: Ecuat ¸ia caracteristic˘a esteλ 2 + 1 = 0 ¸si deciλ 1 = i,λ 2 = −i, iar vectorii proprii corespunz˘atori u 1 = (1, i), u 2 = (1, −i). Un sistem fundamental de solut ¸ii (complexe) va fi x 1 (t) = (e it , ie it ), x 2 (t) = (e −it , −ie −it ). Prin schimbarea precedent˘a, obt ¸inem sistemul fundamental de solut ¸ii (reale) y 1 (t) = (cos t, −sint), y 2 (t) = (sin t, cos t), ˆıncˆat, solut ¸ia general˘a a sistemului diferent ¸ial dat se va scrie x(t) = C 1 cos t +C 2 sin t, y(t) = −C 1 sint +C 2 cos t. 14.7S˘a se determine solut ¸iile generale ale sistemelor: 1) x = x +y, y = x −y. 2) x = 3x + 8y, y = −x −3y. CAPITOLUL14. ECUAT¸ IIS¸ISISTEMEDIFERENT¸ IALELINIARE 182 R: Avem: 1)x(t) = C 1 e t √ 2 +C 2 e −t √ 2 ,y (t) = C 1 √ 2 −1 e t √ 2 −C 2 √ 2 + 1 e −t √ 2 . 2)x(t) = −4C 1 e t −2C 2 e −t ,y (t) = C 1 e t +C 2 e −t . 14.8S˘asedeterminesolut ¸iasistemului: x =2x +y, y =x + 2y, caresatisface condit ¸iile init ¸iale: x(0) = 1,y (0) = 3. R:x(t) = 1 e 3t −e t ,y (t) = 2e 3t +e t . 14.9S˘a se determine solut ¸ia general˘ a a sistemuluix = y, y = −x + 2y. R:Ecuat ¸iacaracteristic˘aeste(λ − 1) 2 = 0 ¸sideci λ 1 = 1, cum 1 = 2,iarvectorul propriu corespunz˘ator u 1 = (1, 1). Transformarea liniar˘a Tnu poate fi adus˘a la expresia canonic˘a. C˘aut˘am atunci solut ¸ia general˘a sub formax(t) = (a +bt)e t ,y(t) = (c +dt)e t . Derivˆand ¸si ˆınlocuind ˆınsistem, obt ¸inempentrua, b, c, dsistemul: a + b=c, b=d, a − c + d = 0,b − 2c + d = 0, care este compatibil dublu nedeterminat. Luˆanda = C 1 , b = C 2 , g˘asimc = C 1 +C 2 ,d = C 2 a.ˆı. solut ¸ia general˘a va fi x(t) = (C 1 +C 2 t)e t , y(t) = (C 1 +C 2 +C 2 t)e t . 14.10S˘a se rezolve sistemul liniar: x = Ax, ˆın care: A = 2 −1 0 −1 0 2 0 −1 2 ¸ ¸ . R: Valorile proprii ale matricei A sunt: λ 1 = 2, m 1 = 1, u 1 = (2, 0, 1), λ 2 = 1, m 2 = 2, u 2 =(1, 1, 1). Osolut ¸ieasistemului estex 1 (t) =(2, 0, 1)e 2t . Corespunz˘atorvalorii proprii λ 2 = 1,m 2 = 2, c˘aut˘am o solut ¸ie de forma: x(t) = (a 1 +b 1 t, a 2 +b 2 t, a 3 +b 3 t)e t . Se obt ¸ine prin identificare: x(t) = (C 2 +C 3 t, C 2 −C 3 +C 3 t, C 2 +C 3 t)e t . Solut ¸ia general˘a este: x(t) = 2C 1 e 2t + (C 2 +C 3 t)e t , y(t) = (C 2 −C 3 +C 3 t)e t , z(t) = C 1 e t + (C 2 +C 3 t)e t . 14.11S˘a se rezolve sistemele de ecuat ¸ii diferent ¸iale omogene: 1) x = 2x +y, y = −x + 4y. 2) x = x −5y, y = 2x −y. 3) x = 5x −y, y = x + 3y. R: 1)λ 2 −6λ + 9 = 0,λ 1 = 3,m 1 = 2. C˘aut˘am solut ¸ia sub forma: x(t) = (a 1 +b 1 t, a 2 +b 2 t)e 3t . Se obt ¸ine: x(t) = (C 1 +C 2 t)e 3t , y(t) = (C 1 +C 2 +C 2 t)e 3t . 2)λ 2 + 9 = 0,λ 1 = 3i,λ 2 = −3i. Se obt ¸in solut ¸iile complexe: x 1 (t) = 1 2 + 3 2 i, 1 e 3it , x 2 (t) = 1 2 − 3 2 i, 1 e −3it . CAPITOLUL14. ECUAT¸ IIS¸ISISTEMEDIFERENT¸ IALELINIARE 183 Dar: 1 2 (x 1 (t) +x 2 (t)) = 1 2 cos 3t − 3 2 sin 3t, cos 3t , 1 2i (x 1 (t) −x 2 (t)) = 1 2 cos 3t + 3 2 sin 3t, sin 3t , sunt solut ¸ii liniar independente reale. Deci: x(t) = C 1 1 2 cos 3t − 3 2 sin 3t +C 2 3 2 cos 3t + 1 2 sin 3t , y(t) = C 1 cos 3t +C 2 sin 3t. 3)x(t) = (C 1 +C 2 +C 2 t) e 4t ,y (t) = (C 1 +C 2 t) e 4t . 14.12S˘a se rezolve sistemele de ecuat ¸ii diferent ¸iale omogene: 1) x = 4x −3y, y = 3x + 4y. 2) x = 12x −5y, y = 5x + 12y. 3 x = x −5y, y = 2x −y. R: Avem: 1) x(t) = (C 1 cos 3t −C 2 sin 3t) e 4t , y (t) = (C 1 sin 3t +C 2 cos 3t) e 4t . 2) x(t) = (C 1 cos 5t −C 2 sin 5t) e 12t , y (t) = (C 1 sin 5t +C 2 cos 5t) e 12t . 3) x(t) = C 1 cos 3t + (5C 2 −3C 1 ) sin 3t, y (t) = C 2 sin 3t + (2C 1 −3C 2 ) cos 3t. 14.13S˘a se rezolve sistemele de ecuat ¸ii diferent ¸iale omogene: 1) x = 3x −y +z, y = −x + 5y −z, z = x −y + 3z. 2) x = 2x +y, y = x + 3y −z, z = −x + 2y + 3z. 3) x = −x +y +z, y = x −y +z, z = x +y +z. R: 1)λ 3 −11λ 2 + 36λ −36 = 0,λ 1 = 2,λ 2 = 3,λ 3 = 6. Se obt ¸ine: x(t) = C 1 e 2t +C 2 e 3t +C 3 = C 1 e 2t +C 2 e 3t +C 3 e 6t , y(t) = C 2 e 3t −2C 3 e 6t , z(t) = −C 1 e 2t +C 2 e 3t +C 3 e 6t . 2)λ 3 −8λ 2 + 22λ −20 = 0, valorile proprii: 2, 3 +i, 3 −i ¸si deci: x 1 (t) = (1, 0, 1) = (1, 0, 1) e 2t , x 2 (t) = (1, 1 +i, 2 −i)e (3+i)t , x 3 (t) = (1, 1 −i, 2 +i)e (3−i)t . Solut ¸ia real˘a este: x(t) = C 1 e 2t + (C 2 cos t +C 3 sin t)e 3t , y(t) = (C 2 (cos t −sin t) +C 3 (cos t + sin t)) e 3t , z(t) = C 1 e 2t + (C 2 (2 cos t + sin t) −C 3 (cos t −2 sin t)) e 3t . 3) x(t) = C 1 e 2t −C 2 e −2t +C 3 e −t , y (t) = C 1 e 2t +C 2 e −2t +C 3 e −t , z (t) = 2C 1 e 2t −C 3 e −t . 14.14S˘a se rezolve sistemele de ecuat ¸ii diferent ¸iale omogene: 1) x = 2y, y = 2z, z = 2x. 2) x = y +z, y = z +x, x = x +y. 3) x = 6x −12y −z, y = x −3y −z, z = −4x + 12y + 3z. CAPITOLUL14. ECUAT¸ IIS¸ISISTEMEDIFERENT¸ IALELINIARE 184 R: Avem: 1) x(t) = C 1 e −t sin t √ 3 +C 2 e −t cos t √ 3 +C 3 e 2t , y (t) = − 1 2 C 1 +C 2 √ 3 e −t sint √ 3 + 1 2 C 1 √ 3 −C 2 e −t cos t √ 3 +C 3 e 2t , z (t) = − 1 2 C 1 −C 2 √ 3 e −t sin t √ 3 − 1 2 C 1 √ 3 +C 2 e −t cos t √ 3 +C 3 e 2t . 2)x(t) = C 1 e −t +C 2 e 2t ,y (t) = −(C 1 +C 3 ) e −t +C 2 e 2t ,z (t) = C 2 e 2t +C 3 e −t . 3) x(t) = 2C 1 e t + 7 3 C 2 e 2t + 3C 3 e 3t , y (t) = C 1 e t +C 2 e 2t +C 3 e 3t , z (t) = −2C 1 e t − 8 3 C 2 e 2t −3C 3 e 3t . 14.15S˘a se rezolve sistemul omogen, cu condit ¸iile init ¸iale precizate: x = 8y, y = −2z, z = 2x + 8y −2z, x(0) = −4, y (0) = 0, z (0) = 1. R:x(t) = −4e −2t −2 sin 4t,y (t) = e −2t −cos 4t,z (t) = e −2t −2 sin 4t. 14.16S˘a se determine solut ¸ia general˘a a sistemelor de ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare neo- mogene: 1) x = 2x +y + 2e t , y = x + 2y + 3e 4t . 2) x = 2x + 4y + cos t, y = −x −2y + sin t. R: Avem: 1) x(t) = C 1 e t +C 2 e 3t +te t −e 4t , y(t) = C 1 e t +C 2 e 3t −(t + 1)e t −2e 4t . 2) x(t) = C 1 t +C 2 + 2 sin t, y(t) = 2C 1 t −C 1 −2C 2 −3 sin t −2 cos t. 14.17S˘a se determine solut ¸ia problemei lui Cauchy pentru sistemul: x = x +y, y = −2x + 4y, cu condit ¸iile init ¸iale: x(0) = 0,y(0) = −1. R:x(t) = (1 −t) cos t −sin t,y(t) = (t −2) cos t +t sin t. 14.18S˘asedeterminesolut ¸iageneral˘aasistemelordiferent ¸ialeliniarecucoeficient ¸i constant ¸i: 1) x = y + 1, y = x + 1. 2) x = −2x −4y + 1 + 4t, y = −x +y + 3 2 t 2 . 3) x = 3x − 1 2 y −3t 2 − 1 2 t + 3 2 , y = 2y −2t −1. R: Avem: 1) x(t) = C 1 e t +C 2 e −t −1, y(t) = C 1 e t −C 2 e −t −1. 2) x(t) = C 1 e 2t + 4C 2 e −3t +t +t 2 , y(t) = −C 1 e 2t +C 2 e −3t − 1 2 t 2 . 3) x(t) = C 1 e 2t +C 2 e 3t +t +t 2 , y(t) = 2C 1 e 2t + 1 +t. 14.19S˘asedeterminesolut ¸iageneral˘aasistemelordiferent ¸ialeliniarecucoeficient ¸i constant ¸i: 1) x = 4x + 6y, y = 2x + 3y +t. 2) x = −y +e 3t , y = −x + 2e 3t . CAPITOLUL14. ECUAT¸ IIS¸ISISTEMEDIFERENT¸ IALELINIARE 185 R: Avem: 1)x(t) = − 3 2 C 1 + 2C 2 e 7t − 3 7 t 2 − 6 49 t − 6 343 ,y (t) = C 1 +C 2 e 7t − 3 49 t + 2 7 t 2 − 3 343 . 2)x(t) = C 1 e t +C 2 e −t + 1 8 e 3t ,y (t) = −C 1 e t +C 2 e −t + 5 8 e 3t . 14.20S˘a se rezolve urm˘atoarele sisteme, cu condit ¸iile init ¸iale precizate: 1) x = 2x +y, y = x + 2y, x(0) = 1, y (0) = 3. 2) x = 3x + 8y, y = −x −3y, x(0) = 6, y (0) = −2. R: Avem: 1) x(t) = 2e 3t −e t , y (t) = 2e 3t +e t . 2) x(t) = 4e t + 2e −t , y (t) = −e t −e −t . 14.21S˘a se rezolve urm˘atoarele sisteme, cu condit ¸iile init ¸iale precizate: 1) x = y +t, y = x +e t , x(0) = 1, y (0) = 0. 2) x = 3x −y + sin t, y = −4x + 3y + cos t, x(0) = 1, y (0) = −1. R: Avem: 1)x(t) = 3 4 e t + 5 4 e −t −1 + 1 2 e t t,y (t) = 5 4 e t − 5 4 e −t + 1 2 e t t −t. 2)x(t) = − 9 26 cos t − 3 13 sin t + 75 104 e 5t + 5 8 e t ,y (t) = − 21 26 cos t − 1 26 sin t − 75 52 e 5t + 5 4 e t . 14.22S˘asedeterminesolut ¸iageneral˘aasistemelordiferent ¸ialeliniarecucoeficient ¸i constant ¸i: 1) x = 2x +y −2z −t + 2, y = −x + 1, z = x +y −z + 1 −t. 2) x = −4x + 2y + 5z + 4t −2e −t −4, y = 6x −y −6z −6t −6, z = −8x + 3y + 9z −3e −t + 8t −9. R: Avem: 1) x(t) = C 1 e t +C 2 sin t +C 3 cos t, y(t) = −C 1 e t +C 2 cos t −C 3 sin t +t, z(t) = C 2 sin t +C 3 cos t + 1. 2) x(t) = C 1 e 2t + (C 2 t +C 2 +C 3 )e t +t, y(t) = −2C 1 e 2t + 3C 2 e t +e −t , z(t) = 2C 1 e 2t + (C 2 t +C 3 ) e t + 1. 14.3 Ecuat ¸iidiferent ¸ialeliniaredeordinuln 14.23Se d˘a ecuat ¸ia diferent ¸ial˘a liniar˘a omogen˘ a de ordinul al doilea: x +a 1 (t)x +a 2 (t)x = 0, t ∈ I. S˘asearatec˘adac˘a x 1 (t), x 2 (t) formeaz˘ aunsistemfundamental desolut ¸ii al c˘arui wronskian esteW(t), atunciWeste solut ¸ie a ecuat ¸iei diferent ¸iale: W + a 1 (t)W= 0 ¸si s˘a se deduc˘a formula lui Abel - Ostrogradski - Liouville: W(t) = W(t 0 ) exp − t t 0 a 1 (t)dt , t 0 ∈ I. Generalizare. CAPITOLUL14. ECUAT¸ IIS¸ISISTEMEDIFERENT¸ IALELINIARE 186 R: Avem: x i +a 1 (t) x i +a 2 (t)x i = 0, pentrui = 1, 2. Dar, W (t) = d dt x 1 x 2 x 1 x 2 = x 1 x 2 −a 1 x 1 −a 1 x 2 = −a 1 (t)W(t). 14.24Se d˘a sistemul de funct ¸ii liniar independente x 1 (t), x 2 (t) . S˘a se arate c˘a ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a liniar˘a omogen˘a a c˘arei solut ¸ie general˘a este: x(t) = C 1 x 1 (t) +C 2 x 2 (t), cuC 1 ¸siC 2 constante arbitrare, este: x 1 (t) x 2 (t) x x 1 (t) x 2 (t) x x 1 (t) x 2 (t) x = 0. Generalizare. R: Derivˆandx(t)dedou˘aori, prineliminarealui C 1 ¸si C 2 ˆıntreceletrei relat ¸ii se obt ¸ine ecuat ¸ia din enunt ¸. 14.25S˘a se formeze ecuat ¸ia diferent ¸ial˘a omogen˘a al c˘arui sistem fundamental de solut ¸ii este: 1) x 1 = sin t, x 2 = cos t. 2) x 1 = e t , x 2 = te t . 3) x 1 = t, x 2 = t 2 . 4) x 1 = e t , x 2 = e t sin t, x 3 = e t cos t. R: 1) x +x = 0. 2) x −2x +x = 0. 4) x −2tx +2x = 0. 4) x −3x 4x −2x = 0. 14.26S˘asearatec˘aecuat ¸iadiferent ¸ial˘ax + a 2 x=0, a ∈R ` ¦0¦admitesolut ¸iile x 1 (t) = cos at,x 2 (t) = sin at ¸si s˘a se scrie solut ¸ia general˘a. R: Wronskianul sistemului x 1 (t), x 2 (t) este W(t) = cos at sin at −a sin at a cos at = a = 0. Deci x 1 (t), x 2 (t) formeaz˘aunsistemfundamental desolut ¸ii pentruecuat ¸iadat˘a, iar solut ¸ia ei general˘a este x(t) = C 1 cos at +C 2 sin at, t ∈ R. cuC 1 , C 2 constante arbitrare. 14.27S˘aseintegrezeecuat ¸iax + a 2 x = cos at, a ∈ R ` ¦0¦. S˘aseg˘aseasc˘asolut ¸ia problemei lui Cauchy cu condit ¸iile init ¸ialex π a = 0,x π a = − π 2a . CAPITOLUL14. ECUAT¸ IIS¸ISISTEMEDIFERENT¸ IALELINIARE 187 R: Solut ¸ia general˘a a ecuat ¸iei omogene asociate este x(t) = C 1 cos at +C 2 sin at, t ∈ R. C˘aut˘am o solut ¸ie particular˘a pentru ecuat ¸ia neomogen˘a sub forma x ∗ (t) = u 1 (t) cos at +u 2 (t) sin at, t ∈ R. ˆın careu 1 (t) ¸siu 2 (t) verific˘a sistemul u 1 cos at +u 2 sin at = 0, −au 1 sin at +au 2 cos at = cos at. Rezult˘a u 1 = − 1 2a sin 2at, u 2 = 1 2a (1 + cos 2at). De unde, pˆan˘a la constante aditive arbitrare, obt ¸inem u 1 (t) = 1 4a 2 cos 2at, u 2 (t) = 1 2a t + 1 4a 2 sin 2at. Avem deci solut ¸ia particular˘a x ∗ (t) = 1 4a 2 cos at + 1 2a t sin at, t ∈ R. Solut ¸ia general˘a a ecuat ¸iei date se scrie atunci x(t) = C 1 cos at +C 2 sin at + 1 4a 2 cos at + 1 2a t sin at, t ∈ R. cu C 1 , C 2 constante arbitrare. Solut ¸ia problemei lui Cauchy cu condit ¸iile init ¸iale x π a = 0,x π a = − π 2a , cumC 1 = − 1 4a 2 ,C 2 = 0, estex(t) = t 2a sin at. 14.28S˘aseintegrezeurm˘atoareleecuat ¸ii¸stiindc˘aecuat ¸iileomogenecorespunz˘atoare admit solut ¸iile indicate: 1) (2t + 1)x + 4tx −4x = (2t + 1) 2 , x 1 = t, x 2 = e −2t . 2) (t 2 + 1)x −2tx + 2x = 2(t 2 + 1)e t , x 1 = t, x 2 = t 2 −1. 3) tx = x −tx +x = −t 2 , x 1 = t, x 2 = e t , x 3 = e −t . R: Avem: 1) x(t) = C 1 t +C 2 e −2t +t 2 − 1 2 t + 1 4 . 2) x(t) = C 1 t +C 2 t 2 −1 + (t −1) 2 e t . 3) x(t) = C 1 t +C 2 e t +C 3 e −t +t 2 + 2. 14.29S˘a se integreze ecuat ¸iax + 2 t x +x = 0, dac˘ax 1 (t) = sin t t este o solut ¸ie partic- ular˘a. R: Se face schimbarea de variabil˘a dependent˘ax = x 1 y. Se obt ¸ine: x(t) = 1 t (C 1 sin t +C 2 cos t). 14.30S˘a se integreze ecuat ¸iat 2 (ln t −1)x −tx +x = 0, dac˘ax 1 (t) = t este o solut ¸ie particular˘ a. R:x(t) = C 1 t −C 2 ln t. CAPITOLUL14. ECUAT¸ IIS¸ISISTEMEDIFERENT¸ IALELINIARE 188 14.4 Ecuat ¸iideordinulncucoeficient ¸iconstant ¸i 14.31S˘aseg˘aseasc˘ asolut ¸iilegeneralealeecuat ¸iilordiferent ¸ialeliniaredeordinul al doilea cu coeficient ¸i constant ¸i: 1) x −5x + 6x = 0. 2) x −9x = 0. 3) x −x = 0. 4) x +x = 0. 5) x −2x + 2x = 0. 6) x + 4x + 13x = 0. R: 1) Ecuat ¸ia caracteristic˘ar 2 − 5r + 6 = 0,are r˘ad˘aciniler 1 = 2, r 2 = 3. Solut ¸ia general˘a estex(t) = C 1 e 2t +C 2 e 3t . 2)x(t) = C 1 e −3t +C 2 e 2t . 3)x(t) = C 1 +C 2 e t . 4) x(t) = C 1 cos t+C 2 sin t. 5) x(t) = e t (C 1 cos t +C 2 sint). 6) x(t) = e −2t (C 1 cos 3t+ C 2 sin 3t). 14.32S˘a se integreze ecuat ¸iax +x = 1 cos t ,t ∈ R` ¦kπ + π 2 ¦. R: Ecuat ¸ia omogen˘ax + x = 0 are ecuat ¸ia caracteristic˘ar 2 + 1 = 0, cu r˘ad˘acinile r 1 = i,r 2 = −i. Solut ¸ia general˘a a ecuat ¸iei omogene este deci x(t) = C 1 cos t +C 2 sin t. C˘aut˘am o solut ¸ie particular˘a pentru ecuat ¸ia neomogen˘a sub forma x ∗ (t) = u 1 (t) cos t +u 2 (t) sin t, cuu 1 cos t +u 2 sint = 0, −u 1 sin t +u 2 cos t = 1 cos t , de undeu 1 = −tg t,u 2 = 1 ¸si deci u 1 (t) = ln [ cos t[, u 2 (t) = t, ˆıncˆat, solut ¸ia general˘a a ecuat ¸iei neomogene va fi x(t) = C 1 cos t +C 2 sin t + cos tln [ cos t[ +t sint. 14.33S˘aseg˘aseasc˘asolut ¸iilegeneralealeecuat ¸iilordiferent ¸ialeliniarecucoeficient ¸i constant ¸i de ordinul al doilea, neomogene: 1) 2x −x −x = 4te 2t . 2) x −2x +x = te t . 3) x +x = t sin t. 4) x +x = t 2 +t. 5) x +x = t −2. 6) x −x = te 2t . 7) x −7x + 6x = sin t. 8) x + 4x = t sin 2t. 9) x + 3x + 2x = t sin t. R: 1) Se caut˘a o solut ¸ie particular˘a de forma: x ∗ (t) = e 2t (At +B). Se obt ¸ine x(t) = C 1 e t +C 2 e − t 2 +e 2t 4 5 t − 28 25 . 2) Se caut˘a o solut ¸ie particular˘a de forma: x ∗ (t) = t 2 e t (At +B). Se obt ¸ine x(t) = (C 1 +C 2 t) e t + 1 6 t 3 e t . 3) Se caut˘a o solut ¸ie particular˘a de forma: x ∗ (t) = t[(At +B) cos t + (Ct +D) sin t]. Se obt ¸ine x(t) = C 1 cos t +C 2 sin t − t 2 4 cos t + t 4 sin t. 4)x(t) = −2 +t +t 2 +C 1 cos t +C 2 sin t. 5)x(t) = C 1 +C 2 e −t −3t + 1 2 t 2 . 6)x(t) = C 1 e t +C 2 e −t + 1 3 t − 4 3 e 2t . 7)x(t) = C 1 e t +C 2 e 6t + 7 74 cos t + 5 74 sin t. 8)x(t) = C 1 cos 2t +C 2 sin 2t − 1 8 t 2 cos 2t + 1 16 t sin 2t + 1 64 cos 2t. 9)x(t) = C 1 e −2t +C 2 e −t + − 3 10 t + 17 50 cos t + 1 10 t + 3 25 sin t. CAPITOLUL14. ECUAT¸ IIS¸ISISTEMEDIFERENT¸ IALELINIARE 189 14.34S˘aseg˘aseasc˘asolut ¸iilegeneralealeecuat ¸iilordiferent ¸ialeliniarecucoeficient ¸i constant ¸i de ordinul al doilea, neomogene: 1) x +x = 4t 2 e t . 2) x + 10x + 25x = 4e −5t . 3) x −6x + 9x = 25e t sin t. 4) x + 2x + 5x = e −t cos 2t. R: Avem: 1)x(t) = C 1 +C 2 e −t + 2t 2 −6t + 7 e t . 2) x(t) = (C 1 +C 2 t) e −5t + 2t 2 e −5t . 3)x(t) = C 1 e 3t +C 2 e 3t t + (4 cos t + 3 sin t) e t . 4)x(t) = C 1 e −t cos 2t +C 2 e −t sin 2t + 1 4 te −t sin 2t. 14.35S˘aseg˘aseasc˘asolut ¸iilegeneralealeecuat ¸iilordiferent ¸ialeliniarecucoeficient ¸i constant ¸i de ordin mai mare decˆat doi: 1) x −13x + 12x = 0 2) x +x = 0. 3) x (4) 2x = 0. 4) x −3x + 3x −x = 0. 5) x (4) + 8x + 16x = 0. 6) x (4) −2x +x = 0. 7) x −2x −3x = 0. 8) x + 2x +x = 0. 9) x + 4x + 13x = 0. R: Avem: 1)x(t) = C 1 +C 2 e t +C 3 e 12t . 2)x(t) = C 1 e −t +e t 2 C 2 cos √ 3 2 t +C 3 sin √ 3 2 t . 3)x(t) = C 1 +C 2 t +C 3 e t √ 2 +C 4 e −t √ 2 . 4)x(t) = e t C 1 +C 2 t +C 3 t 2 . 5)x(t) = (C 1 +C 2 t) cos 2t + (C 3 +C 4 t) sin 2t. 6)x(t) = (C 1 +C 2 t) e −t + (C 3 +C 4 t) e t . 7)x(t) = C 1 +C 2 e −t +C 3 e 3t . 8)x(t) = C 1 + (C 2 +C 3 t) e −t . 9)x(t) = C 1 + (C 2 cos 3t +C 3 sin 3t) e −2t . 14.36S˘aseg˘aseasc˘asolut ¸iilegeneralealeecuat ¸iilordiferent ¸ialeliniarecucoeficient ¸i constant ¸i: 1) x + 4x + 5x = 0. 2) x (5) −2x (4) + 2x −4x +x −2x = 0. 3) x (4) + 4x + 8x + 8x + 4x = 0. 4) x (4) −4x + 5x −4x + 4x = 0. R: Avem: 1)x(t) = (C 1 cos t +C 2 sin t) e −2t . 2)x(t) = (C 1 +C 2 t) cos t + (C 3 +C 4 t) sin t +C 5 e 2t . 3)x(t) = [(C 1 +C 2 t) cos t + (C 3 +C 4 t) sin t] e −t . 4)x(t) = C 1 cos t +C 2 sin t + (C 3 +C 4 t) e 2t . 14.37S˘a se g˘aseasc˘ a solut ¸ia general˘a a ecuat ¸iei x (4) + 2x + 5x + 8x + 4x = 40e −t + cos t. CAPITOLUL14. ECUAT¸ IIS¸ISISTEMEDIFERENT¸ IALELINIARE 190 R: Ecuat ¸ia caracteristic˘ar 4 + 2r 3 + 5r 2 + 8r + 4 = 0 are r˘ad˘aciniler 1 = r 2 = −1 ¸si r 3 = 2i,r 4 = −2i. Solut ¸ia general˘a a ecuat ¸iei omogene se scrie x(t) = (C 1 +C 2 t)e −t +C 3 cos 2t +C 4 sin 2t, t ∈ R. Deoarecer = −1 este r˘ad˘acin˘a dubl˘a pentru ecuat ¸ia caracteristic˘a, vom c˘auta o solut ¸ie particular˘a de forma x ∗ (t) = At 2 e −t +Bcos t +C sin t. Introducˆand ˆın ecuat ¸ie ¸si identificˆand coeficient ¸ii, se g˘ase¸ste A = 4, B = 0, C = 1 6 ¸si deci solut ¸ia general˘a a ecuat ¸iei neomogene va fi x(t) = (C 1 +C 2 t)e −t +C 3 cos 2t +C 4 sin 2t + 4t 2 e −t + 1 6 sin t, t ∈ R. 14.38S˘aseg˘aseasc˘asolut ¸iilegeneralealeecuat ¸iilordiferent ¸ialeliniarecucoeficient ¸i constant ¸i de ordin mai mare decˆat doi, neomogene: 1) x (4) −2x +x = e t . 2) x (4) −2x +x = t 3 . 3) x −x +x −x = t 2 +t. 4) x −x = 12t 2 + 6t. R: 1) Se caut˘ax ∗ (t) = At 2 e t . Rezult˘ax(t) = C 1 +C 2 t + C 3 +C 4 t + t 2 2 e t . 2) Se caut˘ax ∗ (t) = t 2 A+Bt +Ct 2 +Dt 3 . Rezult˘a x(t) = (C 1 +C 2 t) + (C 3 +C 4 t) e t + 12t 2 + 3t 3 + 1 2 t 4 + 1 20 t 5 . 3)x(t) = C 1 cos t +C 2 sin t +C 3 e t −1 −3t −t 2 . 4)x(t) = C 1 +C 2 t +C 3 e t −15t 2 −5t 3 −t 4 . 14.39S˘a se g˘aseasc˘ a solut ¸ia particular˘a a ecuat ¸iei: x + 2x + 2x +x = t, care verific˘a condit ¸iile init ¸iale: x(0) = 0,x (0) = 0,x (0) = 0. R:x(t) = e −t +e − t 2 cos √ 3 2 t + 1 √ 3 sin √ 3 2 t +t −2. 14.5 Ecuat ¸ialuiEuler 14.40S˘a se integreze ecuat ¸iile Euler: 1) t 2 x +tx +x = 1. 2) t 2 x + 3tx +x = 0. 3) t 2 x −4tx + 6x = t. 4) t 2 x + 2tx −6x = 0. 5) t 2 x −2tx + 2x = t 2 −2t + 2. 6) t 2 x −tx −3x = t. R: Avem: 1)x(t) = C 1 cos (ln t) +C 2 sin (ln t) + 1. 2)x(t) = (C 1 +C 2 ln t) 1 t . 3)x(t) = C 1 t 3 +C 2 t 2 + 1 2 t. 4)x(t) = C 1 t 2 +C 2 1 t 3 . 5) x(t) = C 1 t +C 2 t 2 −t 2 + 2t ln t + 1 +t 2 ln t + 2t. 6)x(t) = C 1 1 t +C 2 t 3 − 1 4 t. CAPITOLUL14. ECUAT¸ IIS¸ISISTEMEDIFERENT¸ IALELINIARE 191 14.41S˘a se integreze ecuat ¸iile Euler: 1)(t −2) 2 x −3 (t −2) x + 4x = t −2. 2) t 3 x −t 2 x + 2tx −2x = t 3 + 2t. 3)(4t −1) 2 x −2 (4t −1) x + 8x = 0. 4)(t + 1) 3 x + 3 (t + 1) 2 x + (t + 1) x = 6 ln (t + 1) . R: Avem: 1)x(t) = t −2 + [C 1 +C 2 ln (t −2)] (t −2) 2 . 2)x(t) = C 1 t +C 2 t 2 +C 3 t ln t + 1 4 t 3 −t ln 2 t + 2 ln t + 2 . 3)x(t) = C 1 (4t −1) +C 2 (4t −1). 4)x(t) = C 1 t+1 + C 2 t+1 ln (t + 1) + 1 t+1 ln 3 (t + 1). 14.42S˘a se g˘aseasc˘ a solut ¸ia particular˘a a ecuat ¸iei: t 2 x = tx +x = 2t, care verific˘a condit ¸iile init ¸iale: x(1) = 0,x (1) = 1. R:x(t) = t ln t + ln 2 t . Bibliografie [1] LiaAram˘ a,T.Morozanu, Culegere de probleme de calcul diferent ¸ial ¸si integral, Vol. I, Editura Tehnic˘a, Bucure¸sti, 1967. [2] V.Barbu, Ecuat ¸ii diferent ¸iale, Editura Junimea, Ia¸si, 1985. [3] G. N. Berman, AProblemBook in Mathematical Analysis, Mir Publishers, Moscow,1980. [4] Gh. Bucur, E. Cˆ ampu, S. G˘ ain˘ a, Culegeredeproblemedecalcul diferent ¸ial¸si integral, Vol. II ¸si III, Editura Tehnic˘a, Bucure¸sti, 1967. [5] I. Burdujan, Elementedealgebr˘aliniar˘a¸si geometrieanalitic˘a, RotaprintIPI, 1982. [6] N.Calistru,Gh.Ciobanu, Curs de analiz˘a matematic˘a, Rotaprint IPI, 1988. [7] G.Chilov, Analyse math´ematique, ´ Editions Mir, Moscou, 1984. [8] S. Chirit¸˘ a,Problemedematematicisuperioare,EdituraDidactic˘a ¸sipedagogic˘a, Bucure¸sti, 1989. [9] A. Corduneanu, Ecuat ¸ii diferent ¸ialecuaplicat ¸ii ˆınelectrotehnic˘a, EdituraFA- CLA, Timi¸soara, 1981. [10] A.Corduneanu,A.L.Pletea, Not ¸iuni de teoria ecuat ¸iilor diferent ¸iale, Editura MATRIX ROM, Bucure¸sti, 1999. [11] B. Demidovich, Problems in mathematical analysis, Mir Publishers, Moscow, 1981. [12] N. Donciu, D. Flondor, Analiz˘amatematic˘a. Culegeredeprobleme, Editura ALL, Bucure¸sti, 1993. [13] N. Gheorghiu, T. Precupanu, Analiz˘amatematic˘a, Editura Didactic˘a ¸si peda- gogic˘a, Bucure¸sti, 1979. [14] M. Krasnov, A. Kiselev, G. Makarenko, E. Shihin,Mathematical Analysis for Engineers, Vol. I and II, Mir Publishers, Mosvow, 1990. [15] V. A. KudryavtsevandB. P. Demidovich, ABriefCourseofHigherMathe- matics, Mir Publishers, Moscow, 1978. 192 BIBLIOGRAFIE 193 [16] Gh. Moros ¸anu, Ecuat ¸ii diferent ¸iale. Aplicat ¸ii, Editura Academiei, Bucure¸sti, 1989. [17] C.P.Nicolescu, Teste de analiz˘a matematic˘a, Editura Albatros, Bucure¸sti, 1984. [18] M. Nicolescu,N. Dinculeanu,S. Marcus, Analiz˘a matematic˘a, Vol. I, Editura Didactic˘a ¸si pedagogic˘a, Bucure¸sti, 1966 [19] Gh.Procopiuc, Matematic˘a, Univ. Tehnic˘a “Gh. Asachi” Ia¸si, 1999. [20] Gh. Procopiuc, Gh. Slabu, M. Ispas, Matematic˘a, teorie¸siaplicat ¸ii, Editura “Gh. Asachi” Ia¸si, 2001. [21] M. Ros ¸culet¸, Analiz˘ amatematic˘a, EdituraDidactic˘a¸si pedagogic˘a, Bucure¸sti, 1984. [22] IoanA. Rus, ParaschivaPavel, Gh. Micula, B. B. Ionescu, Problemede ecuat ¸ii diferent ¸iale¸si cuderivatepart ¸iale, EdituraDidactic˘a¸si pedagogic˘a, Bu- cure¸sti, 1982. [23] A. A. Shestakov, ACourseof Higher Mathematics, Mir Publishers, Moskow, 1990. [24] Gh. Siret¸chi, Calculdiferent ¸ial ¸siintegral,Vol.1,Not ¸iunifundamentale, Ed. ¸st. ¸si Encicl., Bucure¸sti, 1985. [25] Gh. Siret¸chi, Calcul diferent ¸ial ¸si integral, Vol. 2, Exercit ¸ii, Ed. S¸t. ¸si Encicl., Bucure¸sti, 1985. [26] RodicaTudorache, Culegere de probleme de analiz˘a matematic˘a, Vol. I, Calculul diferent ¸ial, Univ. Tehnic˘a “Gh. Asachi” Ia¸si, 2000. [27] Rodica Tudorache, Culegere de probleme de analiz˘a matematic˘a, Vol. II, Calculul integral, Univ. Tehnic˘a. “Gh. Asachi” Ia¸si, 2001.