Capítulo I 2 Investigación Operativa Tomo I Capítulo II 3.- Les remito un conjunto de problemas seleccionados, de los cuales escogerán 5 de ellos con dos variables y resolverán por el método gráfico manualmente, otros 3 con dos variables para resolverlos mediante la computadora y finalmente 2 problemas con más de dos variables que solamente plantearán. PROBLEMAS PROPUESTOS 1) 2.3a.5 La señorita Fernanda Erazo es una estudiante emprendedora de primer año en la Pontificia Universidad Católica del Ecuador. Comprende que “sólo el trabajo y nada de diversión hacen de Fernanda una muchacha aburrida”. Como resultado, Fernanda quiere distribuir su tiempo disponible, de alrededor de 10 horas al día, entre el trabajo y la diversión. Calcula que el juego es dos veces más divertido que el trabajo. También quiere estudiar por lo menos tanto como juega. Sin embargo, Fernanda comprende que si quiere terminar todas sus tareas universitarias, no puede jugar más de cuatro horas al día. ¿Cómo debe distribuir Fernanda su tiempo para maximizar su satisfacción tanto en el trabajo como en el juego? 2) 2.3b.4 Viviana Erazo debe trabajar por lo menos 20 horas a la semana para completar su ingreso mientras asiste a la escuela. Tiene la oportunidad de trabajar en dos tiendas al detalle: en la tienda 1 Viviana puede trabajar entre 5 y 12 horas a la semana, y en la tienda 2 le permiten trabajar entre 6 y 10 horas. Ambas tiendas pagan el mismo por hora. De manera que Viviana quiere basar su decisión acerca de cuántas horas debe trabajar en cada tienda en un criterio diferente: el factor del estrés en el trabajo. Basándose en entrevistas con los empleados actuales, Viviana calcula que, en una escala de 1 a 10, los factores del estrés son de 8 y 6 en las tiendas 1 y 2, respectivamente. Debido a que el estrés aumenta por hora, ella supone que el estrés total al final de la semana es proporcional al número de horas que trabaja en la tienda. ¿Cuántas horas debe trabajar en cada tienda? 3) 2.3c.3 Dos productos se fabrican en un centro de maquinado. Los tiempos de producción por unidad de los productos 1 y 2 son de 10 y 12 minutos, respectivamente. El tiempo regular total de la máquina es de 2.500 minutos por día. En un día cualquiera, el fabricante vende entre 150 y 200 unidades del producto 1, pero no más de 45 unidades del producto 2. Se pueden emplear horas extras para satisfacer la demanda a un costo adicional de 0.50 de dólar por minuto. a) Suponiendo que las utilidades por unidad de los productos 1 y 2 son. 6.0 y 7.50 dólares, respectivamente, formule un modelo y determine el nivel óptimo de fabricación para cada producto, así como cualesquiera número de horas extra necesarias en el centro. b) Si el costo por minuto de horas extra se incrementa a 1.50 dólares, ¿la compañía debe utilizar horas extras? 4) 2.4a.3 La tienda de comestibles B&K vende dos tipos de bebidas no alcohólicas: la marca de sabor de cola A1 y la marca propia de la tienda, B&K de colas, más económica. El margen de utilidad en la bebida de cola A1 es de alrededor de 5 centavos de dólar por lata, mientras que la de la bebida de cola B&K suma una ganancia bruta de 7 centavos por lata. En promedio, la tienda no vende más de 500 latas de ambas bebidas de cola al día. Aún cuando A1 es una marca más conocida, los clientes tienden a comprar más latas de marca B&K, porque considerablemente es más económica. Se calcula que la venta de la marca B&K superan a las de la marca A1 en una razón de 2 a 1 por lo menos. Sin embargo, B&K vende, como mínimo, 100 latas de A1 al día. a) ¿Cuántas latas de cada marca debe tener en existencia la tienda diariamente para maximizar su utilidad? 5) 2.4a.6 Electra produce dos tipos de motores eléctricos, cada uno en una línea de ensamble separada. Las respectivas capacidades diarias de las dos líneas son de 600 y 750 motores. El motor tipo 1 emplea 10 unidades de cierto componente electrónico y el motor tipo 2 sólo utiliza 8 unidades. El proveedor del componente puede proporcionar 8.000 piezas al día. Las utilidades por motor para los tipos 1 y 2 son de 60 y 40 dólares, respectivamente. a) Determine la mezcla óptima para la producción diaria. 6) 2.4a.7 Popeye Canning tiene un contrato para recibir 60.000 libras de tomates maduros a 7 centavos de dólar por libra, con las cuales produce jugo de tomate enlatado, así como pasta de tomate. Los productos enlatados se empacan en cajas de 24 latas. Una lata de jugo requiere una libra de tomates frescos y una lata de pasta sólo requiere 1/3 de libra. La participación de mercado de las compañías se limita a 2.000 cajas de jugo y 6.000 cajas de pasta. Los precios de mayoreo por caja de jugo y de pasta son de 18 y 9 dólares, respectivamente. a) Desarrolle un programa de producción óptima para Popeye. 7) 2.4a.8 Dean’s Furniture Company ensambla dos tipos de gabinetes de cocina de madera precortada: regulares y de lujo. Los gabinetes regulares están pintados de blanco y los de lujo están barnizados. Tanto la pintura como el barnizado se llevan a cabo en un departamento. La capacidad diaria del departamento de ensamble puede producir un máximo de 200 gabinetes regulares y 150 gabinetes de lujo. El barnizado de un gabinete del lujo se lleva el doble de tiempo que pintar uno regular. Si el departamento de pintura /barnizado se dedica únicamente a las unidades de lujo, terminaría 180 unidades diarias. La compañía calcula que las utilidades por unidad de los gabinetes regulares y de lujo son de 100 y 140 dólares, respectivamente. a) Formule el problema como un programa lineal y encuentre el programa de producción óptima por día. b) Supongamos que, debido a la competencia, las utilidades por unidad de las unidades regulares y de lujo deben reducirse a 80 y 110 dólares, respectivamente. Utilice el análisis de sensibilidad para determinar si la solución óptima en (a) se mantiene inalterada o no. 8) 2.4b.4 Show & Sell puede anunciar sus productos en la radio o la televisión locales. El presupuesto para anuncios está limitado a 10.000 dólares al mes. Cada minuto de anuncios por radio cuesta 15 dólares y cada minuto de comerciales por televisión cuesta 300 dólares. A Show & Sell le agrada utilizar los anuncios por radio por lo menos el doble de los anuncios por televisión. Por lo pronto, no es práctico utilizar más de 400 minutos de anuncios por radio. La experiencia pasada muestra que se calcula que los anuncios por televisión son 25 veces más efectivos que los de la radio. a) Determine la asignación óptima del presupuesto para los anuncios por radio y televisión. b) Determine el valor por unidad de incrementar el límite mensual en la publicidad por radio. c) Si el presupuesto mensual se aumenta a 15.000 dólares, utilice la definición de valor de la unidad para determinar la medida resultante de la efectividad publicitaria. 9) 2.4b.5 Wyoming Electric Coop. Es propietaria de una planta generadora de energía con turbina de vapor. Debido a que Wyoming es rica en depósitos de carbón, la planta genera vapor con carbón. Sin embargo, esto crea el problema de satisfacer los estándares de emisión. Las regulaciones de la Environmetal Protection Agency (Agencia de Protección Ambiental) limitan la descarga de dióxido de azufre a 2.000 partes por millón y la descarga de humo de las chimeneas de la plante a 20 libras por hora. La Cooperativa recibe dos grados de carbones pulverizados, C1 y C2, para ser utilizados en la planta. Por lo común, los dos grados se mezclan antes de quemarlos. Por simplicidad, supondremos que el contaminante de azufre de la mezcla (en partes por millón) es un promedio ponderado de la proporción de cada grado empleado en la mezcla. Los siguientes datos se basan en el consumo de una tonelada por hora de cada uno de los dos grados de carbón. Grado de carbón Descarga de azufre en partes por millón Descarga de humo en libras por hora Vapor generado en libras por hora C1 1 800 2.1 12 000 C2 2 100 0.9 9 000 a) Determine la proporción óptima para mezclar los dos grados de carbón. b) Determine el efecto de relajar el límite de la descarga de humo 1 libra sobre la cantidad de vapor generado por hora. 10) 4b.8 ChemLabs fabrica dos productos de limpieza para el hogar, A y B procesando dos tipos de materia prima, I y II. El procesamiento de una unidad de materia prima I cuesta 8 dólares y produce 0.5 unidad de solución A y 0.5 unidad de solución B. Además, el procesamiento de una unidad de materia prima II cuesta 5 dólares y produce 0.6 unidad de solución A y 0.4 unidad de solución B. La demanda diaria de la solución A es entre 10 y 15 unidades y la solución de B es entre 12 y 20 unidades. a) Encuentre la mezcla óptima de A y B que debe producir ChemLabs. b) Determine el valor por cambio de unidad en los límites de la demanda de los productos A y B. 11) 2.2B.6 Ahorros S.A. desea invertir una suma que genere un rendimiento anual mínimo de $10,000. Dispone de dos grupos accionarios: acciones selectas y alta tecnología, con un rendimiento anual promedio de 10 y 25%, respectivamente. Aunque las acciones de alta tecnología dan más rendimiento, son más arriesgadas, y Ahorros desea limitar la cantidad invertida en ellas a un máximo de 60% del total. ¿Cuál es la cantidad mínima que debe invertir Ahorros en cada grupo de acciones para alcanzar la meta de inversión? 12) 3.1-6 La empresa Whitt Window tiene sólo tres empleados que hacen dos tipos de ventanas a mano: con marco de madera y con marco de aluminio. La ganancia es de $60 por cada ventana con marco de madera y de $30 por cada una con marco de aluminio. Doug hace marcos de madera y puede terminar 6 al día. Linda hace 4 marcos de aluminio por día. Bob forma y corta el vidrio y puede hacer 48 pies cuadrados de vidrio por día. Cada ventana con marco de madera usa 6 pies cuadrados de vidrio y cada una de aluminio, 8 pies cuadrados. La compañía desea determinar cuántas ventanas de cada tipo producir al día para maximizar la ganancia total. a) Construya y llene una tabla para este problema, identifique las actividades y los recursos. Recurso Ventanas Disponible Con marco de madera Con marco de aluminio Vidrio 6 8 48 Aluminio 0 1 4 Madera 1 0 6 Ganancia $60 $30 b) Formule un modelo de programación lineal c) Use el método gráfico para resolver el modelo. d) Un nuevo competidor en la ciudad también produce ventanas con marco de madera. Esto puede forzar a la compañía a bajar el precio y por ende la ganancia debida a este tipo de ventanas. Cómo cambiaría la solución óptima (si cambia) si la ganancia por ventana de madera disminuye de $60 a $40? ¿Y de $60 a $20? e) Doug piensa reducir sus horas de trabajo, lo cual reduciría el número de ventanas de madera que produce por día. (Cómo cambiaría la solución óptima si hace sólo 5 marcos diarios? 13) 3.1-7 La Apex Televisión Company debe decidir el número de televisores de 27 y 20 in producidos en una de sus fábricas. La investigación de mercado indica ventas de a lo más 40 televisores de 27 in y 10 de 20 in cada mes. El número máximo de horas-hombre disponibles es 500 por mes. Un televisor de 27 in requiere 20 horas-hombre y uno de 20 in, 10. Cada televisor de 27 in produce una ganancia de $120 y cada uno de 20 in produce $80 de ganancia. Un distribuidor está de acuerdo en comprar todos los televisores producidos si el número no excede el máximo indicado por el estudio de mercado. a) Formule un modelo de programación lineal b) Use el método gráfico para resolver el modelo. 14) 3.1-8 La compañía Worldlight produce dos dispositivos para lámparas (productos 1 y 2) que requieren partes de metal y componentes eléctricas. La administración desea determinar cuántas unidades de cada producto fabricar para maximizar la ganancia. Por cada unidad del producto 1 se requieren 1 unidad de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricas. Por cada unidad del producto 2 se necesitan 3 unidades de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricas. La compañía tiene 200 unidades de partes de metal y 300 de componentes eléctricas. Cada unidad del producto 1 da una ganancia de $1 y cada unidad del producto 2, hasta 60 unidades, da una ganancia de $2. Cualquier exceso de 60 unidades del producto 2 no tiene ganancia, por lo que fabricar más de 60 está fuera de consideración. a) Formule un modelo de programación lineal. b) Utilice el método gráfico para resolver este modelo. (Cuál es la ganancia total que resulta? 15) 3.1-10 Weenies and Buns es una planta procesadora de alimentos que fabrica hotdogs y pan para hotdogs. Muelen su propia harina para el pan a una tasa máxima de 200 libras por semana. Cada pan requiere 0.1 libras. Tienen un contrato con Pigland, Inc., que especifica la entrega de 800 libras de productos de chancho cada lunes. Cada hot-dog requiere 1/4 de libra de producto de chancho. Se cuenta con suficiente cantidad del resto de los ingredientes de ambos productos. Por último, la mano de obra consiste en 5 empleados de tiempo completo (40 horas por semana). Cada hotdog requiere 3 minutos de mano de obra y cada pan de 2 minutos de mano de obra. Cada hotdog proporciona una ganancia de $0.20 y cada pan de $0.10. Weenies and Buns desea saber cuántos hotdogs y cuántos panes deben producir cada semana para lograr la ganancia más alta posible. a) Formule un modelo de programación lineal. b) Use el método gráfico para resolver el modelo 16) Las máquinas A y B pueden fabricar el mismo artículo, la máquina A produce 18 unidades por hora, mientras que la máquina B produce 10 unidades por hora. Se deben producir a lo mucho 600 unidades del artículo trabajando 40 horas semanales por lo menos; sin embargo la máquina B tiene una capacidad máxima de 35 horas semanales. Si el costo de operar la máquina A es de 25 dólares y 20 dólares la máquina B. Determinar cuántas horas por semana debe operar cada máquina para satisfacer las necesidades de producción a un costo mínimo. 17) Una fábrica elabora dos clases de cerveza Pílsener y Club, para lo cual dispone de ingrediente para llenar por lo menos 30 botellas combinadas. Toma 1 hora llenar 20 botellas de la cerveza Pílsener y 2 horas llenar 25 botellas de cerveza Club, se dispone a lo mucho de 2 horas. La demanda de la cerveza Pílsener se estima en el mercado un total de 22 botellas y a lo mucho 10 botellas de la cerveza Club. Cada botella de Pílsener deja una utilidad de 10 centavos y 15 centavos cada botella de la cerveza Club. ¿Cuántas botellas de cada cerveza se deben llenar para alcanzar la máxima ganancia? 18) Una fábrica elabora dos clases de shampoo A y B, para lo cual dispone de ingrediente para llenar a lo mucho 80 botellas combinadas de A y B. Toma 1 hora llenar 10 botellas de A y 4 horas llenar 10 botellas de B, se dispone cuando mucho de 20 horas, la demanda de A se estima a lo más en 70 botellas. La fábrica está en capacidad de llenar cuando mucho 90 botellas de A o 60 botellas de B. Cada botella de A le deja una utilidad de 80 centavos y 90 centavos la de B. ¿Cuántas botellas de A y B se deben llenar para que la fábrica obtenga Los mayores beneficios? 19) 7.8-17 Costo de mano de obra Una compañía paga a sus trabajadores calificados y semicalificados en su departamento de ensamblado $14 y $8 por hora, respectivamente. En el departamento de embarques, a los empleados se les paga $ 9 por hora y a los aprendices $6 por hora. La compañía requiere al menos de 90 trabajadores en el departamento de ensamblado y al menos 60 empleados en el departamento de embarques. Debido a acuerdos sindicales, deben emplearse al menos el doble de trabajadores semicalificados que de calificados. También, deben contratarse al menos el doble de los empleados de embarques que de aprendices. Resuelva por computadora para determinar el número de trabajadores de cada tipo que la compañía debe emplear, de modo que el total de salarios por hora sea mínimo. ¿Cuál es el costo mínimo en salarios por hora? 20) 7-16 Un candidato a alcalde de un pequeño pueblo asignó $40,000 para publicidad de último minuto en los días previos a la elección. Se utilizarán dos tipos de anuncios: radio y televisión. Cada anuncio de radio cuesta $200 y llega a un auditorio estimado de 3000 personas. Cada anuncio de televisión, que cuesta $500, afectará a unas 7000 personas. Al planificar la campaña de publicidad, la directora de ésta desea llegar a tantas personas como sea posible, y estipuló que se deben utilizar, por lo menos, 10 anuncios de cada tipo. Además, el número de anuncios de radio debe ser por lo menos 1.5 del número de anuncios de televisión. ¿Cuántos anuncios de cada tipo se deberán utilizar? ¿A cuántas personas llegarán? 21) 7-17 La Outdoor Furniture Corporation fabrica dos productos, bancas y mesas de día de campo, que pueden ser usados en jardines de casas y parques. La firma cuenta con dos recursos principales: sus carpinteros (fuerza de mano de obra) y existencias de madera de pino para construir el mobiliario. Durante el siguiente ciclo de producción, están disponibles 1200 horas de mano de obra según un acuerdo con el sindicato. La firma también dispone de 3500 pies de madera de pino de buena calidad. Cada banca que Outdoor Furniture produce requiere 4 horas de mano de obra y 10 pies de madera; cada mesa de día de campo, 6 horas de mano de obra y 35 pies de madera. Las bancas terminadas redituarán una ganancia de $20 cada una. ¿Cuántas bancas y mesas de día de campo deberá producir Outdoor Furniture para obtener la ganancia máxima posible? Use el método gráfico de programación lineal. 22) 7-18 El decano de Western College of Business debe planificar las ofertas de cursos de la escuela para el semestre de otoño. Las demandas de los estudiantes hacen necesario ofrecer por lo menos 30 cursos de licenciatura y 20 de posgrado en el semestre. Los contratos del profesorado también dictan que se ofrezcan por lo menos 60 cursos en total. Cada curso de licenciatura impartido le cuesta a la universidad un promedio de $2500 en salarios de profesores, mientras que cada curso de posgrado cuesta $3000. ¿Cuántos cursos de licenciatura y posgrado deberán ser impartidos en el otoño de modo que los salarios de los profesores se mantengan en su mínima expresión?