Problemas de Introducción a la Mecánica Cuántica Otoño 2011 Unidad I: El amanecer de la teoría cuántica 1.1 En 1900, Max Planck halló un modelo más adecuado para la radiación del cuerpo negro (el cual ahora se conoce como ley de Planck): ( ) = 8 ( ) − 1 a) Utilice la regla de l’Hôpital para mostrar que ( ) para la ley de Planck. Por lo tanto, esta ley es un modelo de la radiación de cuerpo negro que resulta mejor que la ley de Rayleigh- Jeans para ondas cortas. b) Utilice un polinomio de Taylor para mostrar que para longitudes de onda largas la ley de Planck proporciona aproximadamente los mismos valores que la ley de Rayleigh-Jeans. Haga una gráfica que muestre el comportamiento cualitativo de ambas leyes. 1.2 La energía necesaria para extraer un electrón del sodio es 2.3 eV. a) ¿El sodio presentará efecto fotoeléctrico para luz amarilla con = 5890Å ? b) ¿Cuál es la longitud de onda de corte para emisión fotoeléctrica de sodio? 1.3 Calcule la longitud de onda de De Broglie de: a) Una partícula con una masa de 2.0x10-9 kg que se mueve a 3 cm/s. b) Un electrón con velocidad de 107m/s y masa de 9.1x10-31 kg Compare las magnitudes de estas cantidades y diserte, discuta, opine, etc. sobre la diferencia encontrada. ¿Qué conclusión saca de esta comparación? ¿Es el electrón una partícula o una onda? 1.4 Supongamos un átomo de hidrogeno excitado en estado n=7. ¿A qué estado pasará si emite un fotón de longitud de onda 2.17x10-6 m? 1.5 Tomando la ecuación = , la ley de desplazamiento de Wien puede ser escrita de la siguiente forma: = donde es la longitud de onda a la cual la radiación espectral tiene su valor máximo para una temperatura T. El valor experimental de la constante de Wien es 2.898x10-3mºK. Si se asume que la superficie de las estrellas se comporta como un cuerpo negro, podemos obtener una buena aproximación de su temperatura midiendo . Para nuestro Sol= 5100Å, mientras que para la estrella Polar 3500Å. Hallar la temperatura de la superficie de esas estrellas. 1.6 Suponiendo que la temperatura de la superficie del Sol es de 5700 0K y que su radiancia total RT corresponde a la de un cuerpo negro a esa temperatura, encuentre la energía radiante emitida por el Sol en un segundo. Al utilizar la fórmula de Einstein E= m c2 para la conversión de masa en energía, encuentre también la cantidad de masa perdida por el sol en cada segundo. Tome en cuenta que la superficie del Sol es aproximadamente igual a 6x1020 m2. Por último, determinar el tiempo que durará nuestro sol. 1.7 Se requieren 4.2 eV para extraer un electrón del aluminio. Si este material se ilumina con luz cuya longitud de onda es de 0.2μm, encontrar la energía cinética de los fotoelectrones más rápidos y su potencial de frenado. ¿Cuál es la longitud de onda de corte para el aluminio? 1.8 Fotones de longitud de onda de 0.024 Å inciden sobre electrones libres en una muestra de grafito. Encontrar la longitud de onda de los fotones que son dispersados, por medio del proceso Compton, a 30º de la dirección incidente y la energía cinética suministrada al electrón. 1.9 Utilizando la fórmula de Bohr para 1/λ, calcular las tres longitudes de onda más largas en la serie de Balmer. 1.10 Un electrón es acelerado a partir del reposo por medio de una diferencia de potencial φ=50 V. Suponiendo que el electrón no alcanza velocidades relativistas, obtener la longitud de onda de de Broglie asociada al electrón. 1.11 Suponiendo que max está en el infrarrojo cercano para el rojo y en el ultravioleta cercano para el color azul, aproximadamente, ¿Qué temperatura en el desplazamiento de la ley de Wien corresponde al color rojo? ¿Cuál para el color azul? 1.12 En un experimento se determinó que los fotoelectrones liberados de una placa de zinc por rayos ultravioleta, podían ser detenidos utilizando un voltaje de 4.3 V. encuentre la energía cinética máxima y la velocidad máxima para estos electrones. 1.13 El electrón en un átomo de hidrógeno en reposo, realiza una transición desde el estado energético n=2 hasta el estado fundamental n=1. Encuentre: (a) la longitud de onda, (b) la frecuencia y (c) la energía (eV) del fotón emitido. 1.14 Encuentre la longitud de onda del fotón que es emitido cuando un átomo de hidrógeno sufre una transición de ni=5 a nf=2. Puede usar la ecuación del modelo de Bohr o la fórmula de Rydeberg-Ritz 1.15 Considérese un átomo positronio, que consiste de un positrón y un electrón que se mueven alrededor de su centro de masas común, el cual se encuentra equidistante de ambos. a) Si tal sistema fuera un átomo normal, ¿cómo sería su espectro de emisión comparado con el del átomo de hidrógeno? b) ¿Cuál sería el radio de la órbita para el estado base del positronio? Unidad II: El triunfo de la teoría cuántica 2.1 La función de onda Ψ( , ) para el estado de energía más bajo de un oscilador armónico simple, que consiste de una partícula de masa actuada por una fuerza de restitución lineal con constante de fuerza, se puede expresar como:Ψ( , ) = (√ ) ( ⁄ )( ⁄ ) donde la constante real puede tener cualquier valor. Verificar que esta expresión es una solución a la ecuación de Schrödinger para el potencial apropiado. 2.2 Derivar la ley de cuantización de la energía para el pozo cuadrado infinito, directamente de la relación de de Broglie = metiendo un número entero de mitades de longitudes de onda de Broglie λ 2⁄ en el ancho del pozo 2.3 El tamaño del átomo de hidrógeno, en su estado base, se puede tomar como el radio de la capa correspondiente a n=1 para Z=1, el cual es esencialmente el radio de Bohr a = Demostrar que esta unidad atómica fundamental se puede obtener del principio de incertidumbre. Sugerencia: ΔpR = y E = − . 2.4 Se hace pasar un haz de átomos de hidrógeno provenientes de un horno que trabaja a una temperatura de T=400 °K, a través de un imán Stern-Gerlach de longitud de L= 1m. Los átomos experimentan un campo magnético con un gradiente de 10 Tesla/m. Calcular la deflexión transversal de un átomo típico en cada componente del haz, debida a la fuerza ejercida sobre su momento magnético dipolar del spin, en el punto en el que el haz abandona el imán. 2.5 Estimar la magnitud de la energía potencial de orientación Δ para el estado n=2 y l=1 del átomo de hidrógeno para comprobar si es del mismo orden de magnitud que el desdoblamiento de estructura fina observado del nivel de energía correspondiente. (No existe energía spin-órbita en el estado n=1, ya que para n=1 el único valor posible de l es l=1, que significa L=0) 2.6 Evaluar la densidad de probabilidad para la función del estado de menor energía de un oscilador armónico simple, que consiste de una partícula de masa m actuada por una fuerza de restitución lineal con una constante de fuerza C. la función de onda de este oscilador se puede expresar como: Ψ( , ) = (√ ) ( ⁄ ) ⁄ donde la constante real A puede tener cualquier valor 2.7 Un átomo de helio está confinado a moverse unidimensionalmente entre dos paredes rígidas separadas por 1μm. Obtener las tres velocidades más bajas permitidas para el átomo. 2.8 Dentro de un pozo de potencial cuadrado unidimensional de paredes infinitas un electrón se encuentra en el estado n=1. Encontrar la longitud L del pozo para la cual la fuerza F ejercida por el electrón sobre las paredes sea de un Newton. Utilizar el hecho que cuando la longitud del pozo cambia por dL, la energía cambia por dE = −F dL. 2.9 Un electrón incide sobre una barrera de potencial rectangular de altura = 10 y ancho a=1.8x10-10m. Esta barrera rectangular es una idealización de la barrera que encuentra un electrón al ser dispersado por un átomo de gas ionizado negativamente en el “plasma” de un gas de un tubo de descarga. La barrera real no es rectangular pero es aproximadamente de la altura y ancho mencionados. Evaluar el coeficiente de transmisión T y el coeficiente de reflexión R como una función de la energía total E del electrón. 2.10 Debido a que las eigenfunciones de oscilador armónico simple para n pequeñas tienen formas matemáticas simples, no es muy difícil verificar por sustitución directa que satisfacen la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para el potencial:( ) = 2(en la ecuación anterior C es una constante) y los eigenvalores para el potencial de oscilador armónico simple dado por: = ( + 0.5) Hacer esta verificación para n=1. (Para n=0 la función de onda se verificó por substitución directa en la ecuación de Schrödinger) 2.11 Una partícula limitada en el eje x tiene una función de onda Ψ = entre x=0 y x=1; fuera de esta región Ψ = 0. a) Encontrar la probabilidad de que la partícula se pueda encontrar entre x=0.45 y x=0.55. b) Encontrar el valor de expectación 〈 〉 de la posición de la partícula. 2.12 Encontrar la probabilidad de que una partícula atrapada en una caja de ancho L se pueda encontrar entre 0.45L y 0.55L para el estado base y el primer estado excitado. 2.13 Si un sistema tiene un momento angular caracterizado por el número cuántico l=2. ¿Cuáles son los valores posibles de Lz? ¿Cuál será la magnitud L? y ¿cuál es el ángulo más pequeño posible entre → y el eje z? 2.14 Encontrar la velocidad ecuatorial de un electrón considerando que es una esfera de radio r =5.00x10-17m que está rotando alrededor de un eje que pasa por su centro. 2.15 Enumerar los valores posibles de los números cuánticos j y mj, para estados en los cuales l=2, y por supuesto s=1/2. Unidad III: Las Aplicaciones de la Teoría Cuántica 3.1 El tratamiento más simple, pero menos preciso, del átomo de helio, implica ignorar la interacción de Coulomb entre sus dos electrones y tomar la energía total del átomo, como la suma de la energía de cada electrón, considerándolo como un átomo de un solo electrón, en torno al núcleo de Z=2. Utilizar este tratamiento para predecir las energías del estado base y del primer estado excitado del átomo. 3.2 Dado que para una molécula de HCI vibrando la constante de fuerza equivalente C, es aproximadamente 470 N/m, estimar la diferencia de energías entre el primero y el más bajo de los niveles vibracionales del HCI. 3.3 La energía de Fermi, , para el litio es 4.72eV a T=0K. Calcular el número de electrones de conducción por unidad de volumen en litio. 3.4 Hacer una estimación a grosso modo de la energía de enlace del electrón donante del arsénico en un cristal de germanio, tomando el valor de la constante dieléctrica del cristal como k=16 y el valor de la masa efectiva del electrón como m*=0.2m 3.5 Hacer un dibujo que muestre cualitativamente la diferencia entre conductores, semiconductores y aislantes según la mecánica cuántica. Hacer una tabla de varios de estos materiales con sus respectivos anchos de banda prohibida. 3.6 Debido a la gran diferencia de las masa entre un átomo de hidrogeno y uno de yodo, las oscilaciones de estos átomos alrededor de sus posiciones de equilibrio en la molécula HI se pueden modelar como un oscilador armónico de masa m≈mH (el átomo de yodo casi permanece fijo) y constante de fuerza κ=313.8 N m-1. Evaluar la separación de los niveles de energía y predecir la longitud de onda de la luz necesaria para inducir una transición entre niveles de energía vecinos. 3.7 La rotación de la molécula HI puede ser modelada como un átomo de hidrógeno orbitando alrededor de un átomo de yodo, casi estacionario, a un radio de 160x10-12 m. Si se supone que la rotación tiene lugar en un plano, ¿cuáles son sus niveles de energía? ¿Cuál es la longitud de onda de la radiación emitida en la transición ml=+1 -> ml=0? 3.8 Hacer una estimación del número relativo de electrones de conducción en un metal que son excitados térmicamente a estados de mayor energía. 3.9 Considérese una banda prohibida de anchura que separa una banda de valencia y una banda de conducción simétrica vacía, en un semiconductor intrínseco. Demostrar que la energía de Fermi se encuentra en el centro de la banda prohibida, es decir, que = /2 si= 0 se toma como el extremo superior de la banda de valencia. 3.10 Hacer una estimación del número relativo de electrones en la banda de conducción de un aislante o de un semiconductor a temperatura T. 3.11 Escriba la configuración electrónica del: (a) cloro, (b) zinc, (c) germanio. 3.12 Calcule la masa reducida del HCl, siendo la masa del átomo de hidrógeno de 1.01 u y la del átomo de clore de 35.5 u 3.13 Encontrar la energía de Fermi en el cobre considerando que cada átomo de cobre contribuye con un electrón libre al gas del electrón. (Esto es razonable debido a que un átomo de cobre tiene un solo electrón 4s en su capa más externa). La densidad del cobre es =8.94x103kg/m3, y su masa atómica es 63.5 u, siendo 1u=1.66x10-27kg 3.14 ¿Cuál es la magnitud de la velocidad de arrastre de los electrones en un alambre de cobre típico de radio 0.815 mm que lleva una corriente de 1A ? (Densidad del cobre =8.92g/cm3, masa molar del cobre M=63.5 g/mol ) 3.15 Determinar los valores del número cuántico de spin nuclear i, para los núcleos en N2 y O2, utilizando las relaciones de intensidades, medias, 1/2 y 0/1 en la siguiente ecuación:= + 1 donde es el número de estados de spin asimétrico, y es el número de estados de spin simétrico