PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 1 CURSO: PROBABILIDAD Y ESTADISTICA TEMA: MEDIDAS DE DISPERSION SEMANA 04 1. Hubo cinco representantes de servicio al cliente trabajando en Electronic Super Store durante la pasada venta de fin de semana. Las cantidades de TV que vendieron estos representantes son: 5, 8, 4, 10 y 3. a) Hallar e interpretar el promedio. 𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝐴𝑔𝑟𝑢𝑝𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑋= ∑ 𝑋𝑖𝑛𝑖=1 𝑛 𝑋= 5 + 8 + 4 + 10 + 3 5 = 6 Interpretación. La cantidad promedio de TV vendidos por Electronic Super Store es de 6 b) Determinar la varianza e interpretarla. Xi (𝑋𝑖 − 𝑋)2 5 (5 − 6)2 = 1 8 (8 − 6)2 = 4 4 (4 − 6)2 = 4 10 (10 − 6)2 = 16 3 (3 − 6)2 = 9 30 34 𝑆2= ∑ (𝑋𝑖 − 𝑋)2𝑛𝑖=1 5 𝑆2= 34 4 = 8.5 𝑢2. Interpretación. La variabilidad de la cantidad de TV vendidos por Electronic Super Store es de 8.5 𝑢2. c) Halla la desviación estándar e interpretarla. S = √𝑆 = √8.5𝑢. = 2.92𝑢 Interpretación. La variabilidad de la cantidad de TV vendidos por Electronic Super Store es de 2.92 𝑢. d) Determinar el coeficiente de variación. CV = S 𝑋 . 100 = 2.92 6 . 100 = 48.7% Interpretación. Los datos son Heterogéneos. e) Hallar el rango e interpretarlo. 𝑅𝐴𝑁𝐺𝑂 = 𝑀𝐴𝑋 − 𝑀𝐼𝑁 𝑅 = 10 − 3 𝑅 = 7 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 2 2. En un ensayo de cada probeta de un material particular para la construcción, se determinó la duración en horas hasta que falla cada uno de las 50 probetas bajo estudio; obteniéndose los siguientes datos: Cuadro N° 01: Duración en horas de 50 probetas Tiempo (hs * 10) Xi fi Fi Xi.Fi ((Xi-X)^2)*fi Li Ls [ 200 < 220) 210 3 3 630 9408 [220 < 240) 230 8 11 1840 10368 [240 < 260) 250 10 21 2500 2560 [260 < 280) 270 13 34 3510 208 [280 < 300) 290 9 43 2610 5184 [300 < 320) 310 5 48 1550 9680 [320 < 340) 330 2 50 660 8192 TOTAL 50 13300 45600 Fuente: Base de Datos Práctica 4 Elaboración: Ing. Marvil Rimarachín Díaz a) Hallar e interpretar el promedio. 𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠 𝐴𝑔𝑟𝑢𝑝𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑋= ∑ 𝑋𝑖 ∗ 𝑓𝑖𝑛𝑖=1 𝑛 𝑋= 13 300 50 = 266 Interpretación. El tiempo de duración promedio hasta que falla una de las 50 probetas es de 266 (hs * 10) b) DISPERSIÓN: 𝑀𝑜 = 𝐿inf (𝑀𝑜) + 𝐴 ( 𝐷1 𝐷1 + 𝐷2 ) ⇒ 𝑀𝑜 = 260 + 20 ( 3 3 + 4 ) = 268.57 𝐷1 = 13 − 10 = 3 𝐷2 = 13 − 9 = 4 Interpretación. El tiempo de duración más frecuente hasta que falla una de las 50 probetas es de 268.57 (hs * 10) 𝑀𝑒 = 𝐿inf (𝑀𝑒) + 𝐴 ( 𝑛 2 − 𝐹(𝑀𝑒−1) 𝑓(𝑀𝑒) ) ⇒ 𝑀𝑒 = 260 + 20 ( 25 − 21 13 ) = 266.15 𝑛 2 = 50 2 = 25 Interpretación. El 50% de Probetas tienen un tiempo de duración mayor o igual a 266.15 (hs * 10) 𝑆2= ∑ (𝑋𝑖 − 𝑋)2 ∗ 𝑓𝑖𝑛𝑖=1 𝑛 − 1 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 3 𝑆2= 45600 49 = 930.61 (hs ∗ 10)2. Interpretación. La variabilidad del tiempo de duración de las probetas hasta que falla una es de 930.61 (hs ∗ 10)2. S = √𝑆 = √930.61 = 30.51(hs ∗ 10) Interpretación. La variabilidad del tiempo de duración de las probetas hasta que falla una es de 30.51(hs ∗ 10) c) Determinar el coeficiente de variación. CV = S 𝑋 . 100 = 30.51 266 . 100 = 11.47% Interpretación. Los datos son Homogéneos. 3. En el estado de Nueva York, las cajas de ahorro están autorizadas para vender una especie de seguro de vida llamado Savings Bank Life Insurance. El proceso de aprobación está integrado por los siguientes puntos: revisión de la solicitud, verificación por parte de una agencia de información médica, una posible petición de información y la realización de exámenes médicos adicionales, además se incluye la etapa de compilación de la póliza para generar las páginas de la misma y enviarlas al banco para su entrega. La entrega oportuna de las pólizas aprobadas a los clientes es crítica para la rentabilidad de este servicio de la caja de ahorros. Durante un mes, se seleccionó una muestra aleatoria de 26 pólizas aprobadas y el tiempo total de procesamiento en días. Los resultados fueron los siguientes: 19 16 64 28 28 31 90 60 56 31 56 22 18 45 48 17 17 17 91 92 63 50 51 69 16 17. a) Calcule e interprete la media aritmética 𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠 𝐴𝑔𝑟𝑢𝑝𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑋= ∑ 𝑋𝑖 ∗ 𝑓𝑖𝑛𝑖=1 𝑛 𝑋= 1 157 26 = 44.5 Interpretación. El tiempo de Procesamiento promedio de las 26 pólizas es de 44.5 días. Cuadro N° 02: Tiempo de procesamiento de 26 pólizas aprobadas Tiempo (días) Xi fi hi% Fi Hi% Xi.fi ((Xi-X)^2)*fi Li Ls 16 < 29 22.5 11 42.3 11 42.3 247.5 5 324 29 < 42 35.5 2 7.7 13 50.0 71 162 42 < 55 48.5 4 15.4 17 65.4 194 64 55 < 68 61.5 5 19.2 22 84.6 307.5 1 445 68 < 81 74.5 1 3.8 23 88.5 74.5 900 81  94 87.5 3 11.5 26 100.0 262.5 5 547 TOTAL 26 100.0 1 157 13 442 Fuente: Base de Datos Práctica 4 Elaboración: Ing. Marvil Rimarachín Díaz 𝑅𝐴𝑁𝐺𝑂 = 𝑀𝐴𝑋 − 𝑀𝐼𝑁 𝑅 = 92 − 16 𝑅 = 76 𝐾 = 1 + 3.3 ∗ log (26) 𝐾 = 5.7 𝐾 = 6 𝐴 = 𝑅/𝐾 𝐴 = 76/6 = 12.6 𝐴 = 13 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 4 b) Calcule e interprete la mediana 𝑀𝑒 = 𝐿inf (𝑀𝑒) + 𝐴 ( 𝑛 2 − 𝐹(𝑀𝑒−1) 𝑓(𝑀𝑒) ) ⇒ 𝑀𝑒 = 42 + 13 ( 13 − 13 4 ) = 42 𝑛 2 = 26 2 = 13 Interpretación. El 50% de Pólizas tienen un tiempo de procesamiento mayor o igual a 42 días. c) Calcule e interprete la varianza 𝑆2= ∑ (𝑋𝑖 − 𝑋)2 ∗ 𝑓𝑖𝑛𝑖=1 𝑛 − 1 ⇒ 𝑆2= 13 442 25 = 537.68 𝑑í𝑎𝑠2. Interpretación. La variabilidad del tiempo de procesamiento de las pólizas es de 537.68 𝑑í𝑎𝑠2. d) Calcule e interprete la desviación estándar S = √𝑆 = √537.68 = 23.19 𝑑í𝑎𝑠 Interpretación. . La variabilidad del tiempo de procesamiento de las pólizas es de 23.19 𝑑í𝑎𝑠 e) Calcule e interprete el coeficiente de variación CV = S 𝑋 . 100 = 23.19 44.5 . 100 = 52.11% Interpretación. Los datos son Heterogéneos. 4. El número de días necesarios por 10 equipos de trabajadores para terminar 10 instalaciones de iguales características han sido: 21, 32, 15, 59, 60, 61, 64, 60, 71, y 80 días. Calcular la varianza y desviación típica. Cuadro N° 03: Número de días necesarios por 10 equipos de trabajadores para terminar 10 instalaciones Tiempo (días) Xi fi hi% Fi Hi% Xi.fi ((Xi-X)^2)*fi Li Ls 15 < 31 23 2 20.0 2 20.0 46 924.5 31 < 47 39 1 10.0 3 30.0 39 30.25 47 < 63 55 4 40.0 7 70.0 220 441 63 < 79 71 2 20.0 9 90.0 142 1404.5 79  95 87 1 10.0 10 100.0 87 1806.25 TOTAL 10 100.0 534 4606.5 Fuente: Base de Datos Práctica 4 Elaboración: Ing. Marvil Rimarachín Díaz 𝑅𝐴𝑁𝐺𝑂 = 𝑀𝐴𝑋 − 𝑀𝐼𝑁 𝑅 = 80 − 15 𝑅 = 65 𝐾 = 1 + 3.3 ∗ log (10) 𝐾 = 4.322 𝐾 = 4 𝐴 = 𝑅/𝐾 𝐴 = 65/4 = 16.25 𝐴 = 16 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 5 a) Calcule e interprete la varianza 𝑆2= ∑ (𝑋𝑖 − 𝑋)2 ∗ 𝑓𝑖𝑛𝑖=1 𝑛 − 1 ⇒ 𝑆2= 4606.5 9 = 511.8 𝑑í𝑎𝑠2. Interpretación. La variabilidad de días necesarios por 10 equipos de trabajadores es de 511.8 𝑑í𝑎𝑠2 b) Calcule e interprete la desviación estándar S = √𝑆 = √511.8 = 22.62 𝑑í𝑎𝑠 Interpretación. La variabilidad de días necesarios por 10 equipos de trabajadores es de 22.62 𝑑í𝑎𝑠 5. La asistencia de espectadores a las 4 salas de un cine un determinado día fue de 200, 500, 300 y 1000 personas. a) Calcular la dispersión del número de asistentes. Hallar e interpretar el promedio. 𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝐴𝑔𝑟𝑢𝑝𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑋= ∑ 𝑋𝑖𝑛𝑖=1 𝑛 𝑋= 200 + 500 + 300 + 1000 4 = 500 Interpretación. La asistencia promedio de espectadores a las 4 salas de un cine es de 500 personas. Determinar la varianza e interpretarla. Xi (𝑋𝑖 − 𝑋)2 200 (200 − 500)2 = 90 000 500 (500 − 500)2 = 0 300 (300 − 500)2 = 40 000 1000 (1000 − 500)2 = 250 000 2000 380 000 𝑆2= ∑ (𝑋𝑖 − 𝑋)2𝑛𝑖=1 4 𝑆2= 380 000 3 = 126 666.67 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠2. Interpretación. La variabilidad de la asistencia de espectadores a las 4 salas de un cine es de 126 666.67 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠2. Halla la desviación estándar e interpretarla. S = √𝑆 = √126 666.67 = 355.9 𝑢 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 6 Interpretación. La variabilidad de la asistencia de espectadores a las 4 salas de un cine es de 355.9 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠. Determinar el coeficiente de variación. CV = S 𝑋 . 100 = 355.9 500 . 100 = 71.18% Interpretación. Los datos son Heterogéneos. 6. El siguiente cuadro distribuye a 30 Fábricas de Harina de Pescado del Perú según su producción mensual en toneladas métricas en el año 2012 Tomando como base los datos del cuadro anterior, calcule e interprete: a) La media o promedio. 𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠 𝐴𝑔𝑟𝑢𝑝𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑋= ∑ 𝑋𝑖 ∗ 𝑓𝑖𝑛𝑖=1 𝑛 ⇒ 𝑋= 2 220 30 = 74 Interpretación: La producción promedio mensual de harina de pescado del Perú es de 74 𝑡𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 b) La varianza 𝑆2= ∑ (𝑋𝑖 − 𝑋)2 ∗ 𝑓𝑖𝑛𝑖=1 𝑛 − 1 ⇒ 𝑆2= 5 600 29 = 193.1 𝑡𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠2. Interpretación. La variabilidad de la producción mensual de harina de pescado del Perú es de 193.1 𝑡𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠2 c) Calcule e interprete el coeficiente de variación CV = S 𝑋 . 100 = 13.896 74 . 100 = 18.78% Interpretación. Los datos son Homogéneos. Cuadro N° 04: Producción mensual del Perú en toneladas métricas en el año 2012 Producción mensual [ Toneladas métricas > Xi fi hi% Fi Hi% Xi.fi ((Xi-X)^2)*fi Li Ls 50 < 58 54 4 13.3 4 13.3 216 1600 58 < 66 62 8 26.7 12 40.0 496 1152 66 < 74 70 2 6.7 14 46.7 140 32 74 < 82 78 6 20.0 20 66.7 468 96 82 < 90 86 5 16.7 25 83.3 430 720 90  98 94 5 16.7 30 100.0 470 2000 TOTAL 30 100.0 2220 5600 Fuente: Base de Datos Práctica 4 Elaboración: Ing. Marvil Rimarachín Díaz RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 7 7. A continuación se presentan los pesos en kilogramos de 84 artículos de la Empresa “MAKEL”. a) Determinar la varianza de los pesos. 𝑆2= ∑ (𝑋𝑖 − 𝑋)2 ∗ 𝑓𝑖𝑛𝑖=1 𝑛 − 1 ⇒ 𝑆2= 1330.3 83 = 16.03 𝑘𝑔2. Interpretación. La variabilidad de los pesos en kg de 84 artículos de la Empresa “MAKEL” es de 16.03 𝑘𝑔2. b) Determinar el peso promedio. 𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠 𝐴𝑔𝑟𝑢𝑝𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑋= ∑ 𝑋𝑖 ∗ 𝑓𝑖𝑛𝑖=1 𝑛 ⇒ 𝑋= 1146 84 = 13.64 Interpretación. El peso promedio en kilogramos de 84 artículos de la Empresa “MAKEL” es de 13.64. c) Determinar e interpretar el coeficiente de variación CV = S 𝑋 . 100 = 4 13.64 . 100 = 29.48% Interpretación. Los datos son Homogéneos. Cuadro N° 04: Pesos en kilogramos de 84 artículos de la Empresa “MAKEL”. Pesos en Kg Xi fi artículos hi% Fi Hi% Xi.fi ((Xi-X)^2)*fi Li Ls 6 < 9 7.5 8 9.5 8 9.5 60 301.6 9 < 12 10.5 20 23.8 28 33.3 210 197.2 12 < 15 13.5 35 41.7 63 75.0 472.5 0.7 15 < 18 16.5 10 11.9 73 86.9 165 81.8 18 < 21 19.5 4 4.8 77 91.7 78 137.4 21 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 8 8. Las alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto vienen dadas por la tabla: a) Calcular: Promedio 𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠 𝐴𝑔𝑟𝑢𝑝𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑋= ∑ 𝑋𝑖 ∗ 𝑓𝑖𝑛𝑖=1 𝑛 ⇒ 𝑋= 42.9 23 = 1.87 Interpretación. La altura promedio de los jugadores de un equipo de baloncesto es de 1.87 m. La desviación estándar. 𝑆2= ∑ (𝑋𝑖 − 𝑋)2 ∗ 𝑓𝑖𝑛𝑖=1 𝑛 − 1 ⇒ 𝑆2= 0.1 22 = 0.00454 𝑚2. S = √𝑆 = √0.00454 = 0.067 𝑚. Interpretación. La variabilidad de la altura de los jugadores de un equipo de baloncesto es de 0.067 𝑚. Cuadro N° 05: Alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto Altura (m) Xi fi N° Jugadores hi% Fi Hi% Xi.fi ((Xi-X)^2)*fi Li Ls 1.70 < 1.75 1.7 1 4.3 1 4.3 1.7 0.02 1.75 < 1.80 1.8 3 13.0 4 17.4 5.3 0.03 1.80 < 1.85 1.8 4 17.4 8 34.8 7.3 0.01 1.85 < 1.90 1.9 8 34.8 16 69.6 15.0 0.00 1.90 < 1.95 1.9 5 21.7 21 91.3 9.6 0.02 1.95  2.00 2.0 2 8.7 23 100.0 4.0 0.02 TOTAL 23 100.0 42.9 0.1 Fuente: Base de Datos Práctica 4 Elaboración: Ing. Marvil Rimarachín Díaz RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 9 9. A través de una tabla de distribución de frecuencias halle la distribución de las notas o calificaciones de un examen en una clase con 28 alumnos: 3,0; 3,5; 5,2; 6,1; 6,5; 6,8; 7,0; 7,2; 7,2; 7,3; 7,5; 7,5; 7,6; 7,7; 7,8; 7,8; 8,0; 8,3; 8,5; 8,8; 9,0; 9,1; 9,6; 9,1; 9,6; 9,7; 10 y 10. Hallar e interpretar la desviación estándar, la varianza y el coeficiente de variación. Promedio 𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠 𝐴𝑔𝑟𝑢𝑝𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑋= ∑ 𝑋𝑖 ∗ 𝑓𝑖𝑛𝑖=1 𝑛 ⇒ 𝑋= 216 28 = 7.7 Varianza 𝑆2= ∑ (𝑋𝑖 − 𝑋)2 ∗ 𝑓𝑖𝑛𝑖=1 𝑛 − 1 ⇒ 𝑆2= 81.9 27 = 3. 03 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠2. Interpretación. La variabilidad de las Calificaciones de un examen es de 3. 03 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠2 La desviación estándar S = √𝑆 = √3.03 = 1.74 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 Interpretación. La variabilidad de las Calificaciones de un examen es de 1.74 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 El coeficiente de variación CV = S 𝑋 . 100 = 1.74 7.7 . 100 = 22.6% Interpretación. Los datos son Homogéneos. Cuadro N° 06: Calificaciones de un examen en una clase con 28 alumnos Calificación (Puntos) Xi fi hi% Fi Hi% Xi.fi ((Xi-X)^2)*fi Li Ls 3.0 < 4.2 3.6 2 7.1 2 7.1 7.2 33.8 4.2 < 5.4 4.8 1 3.6 3 10.7 4.8 8.5 5.4 < 6.6 6.0 2 7.1 5 17.9 12.0 5.8 6.6 < 7.8 7.2 9 32.1 14 50.0 64.8 2.3 7.8 < 9.0 8.4 6 21.4 20 71.4 50.4 2.9 9.0  10.2 9.6 8 28.6 28 100.0 76.8 28.6 TOTAL 28 100.0 216 81.9 Fuente: Base de Datos Práctica 4 Elaboración: Ing. Marvil Rimarachín Díaz RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 10 10. De esta distribución de frecuencias absolutas acumuladas Calcular e interpretar la desviación estándar. 𝑋= ∑ 𝑋𝑖 ∗ 𝑓𝑖𝑛𝑖=1 𝑛 ⇒ 𝑋= 214 40 = 5.35 𝑆2= ∑ (𝑋𝑖 − 𝑋)2 ∗ 𝑓𝑖𝑛𝑖=1 𝑛 − 1 ⇒ 𝑆2= 223.1 39 = 5.72 𝑎ñ𝑜𝑠2. La desviación estándar S = √𝑆 = √5.72 = 2.39 𝑎ñ𝑜𝑠 Interpretación. La variabilidad de la edad de 40 alumnos de educación primaria es de 2.39 𝑎ñ𝑜𝑠 11. Hallar la desviación estándar y la varianza para la siguiente distribución de frecuencias. Cuadro N° 07: Edad en años de 40 alumnos de Educación Primaria Edad Xi fi hi% Fi Hi% Xi.fi ((Xi-X)^2)*fi Li Ls 0 < 2 1 4 10.0 4 10.0 4.0 75.69 2 < 4 3 7 17.5 11 27.5 21.0 38.66 4 < 6 5 13 32.5 24 60.0 65.0 1.59 6 < 8 7 10 25.0 34 85.0 70.0 27.23 8  10 9 6 15.0 40 100.0 54.0 79.94 TOTAL 40 100.0 214 223.1 Fuente: Base de Datos Práctica 4 Elaboración: Ing. Marvil Rimarachín Díaz Cuadro N° 08: Tiempo de Servicio de los trabajadores de Pucalá S.A.C Tiempo de Servicio Xi fi hi% Fi Hi% Xi.fi ((Xi-X)^2)*fi Li Ls 10 < 15 12.5 2 5.1 2 5.1 25.0 254.5 15 < 20 17.5 8 20.5 10 25.6 140.0 315.5 20 < 25 22.5 13 33.3 23 59.0 292.5 21.3 25 < 30 27.5 10 25.6 33 84.6 275.0 138.4 30  35 32.5 6 15.4 39 100.0 195.0 456.2 TOTAL 39 100.0 927.5 1185.9 Fuente: Base de Datos Práctica 4 Elaboración: Ing. Marvil Rimarachín Díaz RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 11 𝑋= ∑ 𝑋𝑖 ∗ 𝑓𝑖𝑛𝑖=1 𝑛 ⇒ 𝑋= 927.5 39 = 23.78 𝑆2= ∑ (𝑋𝑖 − 𝑋)2 ∗ 𝑓𝑖𝑛𝑖=1 𝑛 − 1 ⇒ 𝑆2= 1185.9 38 = 31.2 𝑎ñ𝑜𝑠2. La desviación estándar S = √𝑆 = √31.2 = 5.59 𝑎ñ𝑜𝑠 Interpretación. La variabilidad del tiempo de servicio de los Trabajadores de Pucalá S.A.C es de 5.59 𝑎ñ𝑜𝑠 12. Dada la siguiente tabla del tamaño de un conjunto de empresas medidas en números de empleados. 𝑋= ∑ 𝑋𝑖 ∗ 𝑓𝑖𝑛𝑖=1 𝑛 ⇒ 𝑋= 18 185 65 = 279.77 𝑆2= ∑ (𝑋𝑖 − 𝑋)2 ∗ 𝑓𝑖𝑛𝑖=1 𝑛 − 1 ⇒ 𝑆2= 15 821.5 64 = 247.21 𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑎𝑑𝑜𝑠2. Interpretación. La variabilidad del tamaño de un conjunto de empresas medidas en números de empleados es de 247.21 𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑎𝑑𝑜𝑠2 La desviación estándar S = √𝑆 = √247.21 = 15.72 𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑎𝑑𝑜𝑠 Interpretación. La variabilidad del tamaño de un conjunto de empresas medidas en números de empleados es de 15.72 𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑎𝑑𝑜𝑠 Cuadro N° 09: Tiempo de Servicio de los trabajadores de Pucalá S.A.C Número de Empleados Xi fi N° empresas hi% Fi Hi% Xi.fi ((Xi-X)^2)*fi Li Ls 250 < 260 255 8 12.3 8 12.3 2040 4908.4 260 < 270 265 10 15.4 18 27.7 2650 2181.5 270 < 280 275 16 24.6 34 52.3 4400 364.0 280 < 290 285 14 21.5 48 73.8 3990 382.9 290 < 300 295 10 15.4 58 89.2 2950 2319.5 300 < 310 305 5 7.7 63 96.9 1525 3182.8 310  320 315 2 3.1 65 100.0 630 2482.3 TOTAL 65 100.0 18185 15821.5 Fuente: Base de Datos Práctica 4 Elaboración: Ing. Marvil Rimarachín Díaz RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 12 13. En dos pruebas de conocimiento A y B, la prueba A se calificó sobre 100 puntos; la media aritmética de las calificaciones fue de 72 puntos con una desviación típica de 9 puntos. La prueba B se calificó sobre 80 puntos y los resultados dieron una media de 52 puntos con una desviación típica de 6. Halle en cuál de las dos pruebas hubo mayor variación. PARA “A”: 𝑆2= ∑ (𝑋𝑖−𝑋)2𝑛𝑖=1 𝑛−1 ⇒ 𝑆2= 8091−72 99 = 81 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠2. S = √𝑆 = √81 = 9 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 PARA “B”: 𝑆2= ∑ (𝑋𝑖−𝑋)2𝑛𝑖=1 𝑛−1 ⇒ 𝑆2= 2896−52 79 = 36 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠2. S = √𝑆 = √36 = 6 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 14. Las siguientes tablas muestran a dos grupos de alumnos clasificados según el número de palabras que han memorizado. a. Determine e interprete las medidas de dispersión para cada grupo. b. ¿Cuál de los grupos presenta mayor homogeneidad? Cuadro N° 10: Alumnos clasificados según el número de palabras Grupo A fi hi% Fi Hi% 43 12 30.8 12 30.8 56 9 23.1 21 53.8 69 8 20.5 29 74.4 82 10 25.6 39 100.0 TOTAL 39 100.0 Fuente: Base de Datos Práctica 4 Elaboración: Ing. Marvil Rimarachín Díaz Cuadro N° 11: Alumnos clasificados según el número de palabras Grupo B Xi fi hi% Fi Hi% Xi.fi ((Xi-X)^2)*fi Li Ls 30 < 45 37.5 5 5.3 5 5.3 187.5 5392.3 45 < 60 52.5 14 14.7 19 20.0 735.0 4455.7 60 < 75 67.5 34 35.8 53 55.8 2295.0 274.2 75  90 82.5 42 44.2 95 100.0 3465.0 6210.4 TOTAL 95 100.0 6682.5 16332.6 Fuente: Base de Datos Práctica 4 Elaboración: Ing. Marvil Rimarachín Díaz RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 13 PARA “A”: Promedio. 𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠 𝐴𝑔𝑟𝑢𝑝𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑋= ∑ 𝑋𝑖𝑛𝑖=1 𝑛 𝑋= 43 + 56 + 69 + 82 4 = 62.5 Varianza Xi (𝑋𝑖 − 𝑋)2 43 (43 − 62.5)2 = 380.25 56 (56 − 62.5)2 = 42.25 69 (69 − 62.5)2 = 42.25 82 (82 − 62.5)2 = 380.25 X= 62.5 845 𝑆2= ∑ (𝑋𝑖 − 𝑋)2𝑛𝑖=1 𝑛 − 1 𝑆2= 380.25 3 = 281.67 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠2. Desviación estándar. S = √𝑆 = √281.67 = 16.78 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 Coeficiente de variación. CV = S 𝑋 . 100 = 16.78 62.5 . 100 = 26.85% Interpretación: Los datos son Homogéneos PARA “B”: Promedio. 𝑋= ∑ 𝑋𝑖 ∗ 𝑓𝑖𝑛𝑖=1 𝑛 𝑋= 6682.5 95 = 70.34 Varianza. 𝑆2= ∑ (𝑋𝑖 − 𝑋)2 ∗ 𝑓𝑖𝑛𝑖=1 𝑛 − 1 ⇒ 𝑆2= 16332.6 94 = 173.75 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠2. Desviación Estándar. S = √𝑆 = √173.75 = 13.18 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 Coeficiente de variación. CV = S 𝑋 . 100 = 13.18 70.34 . 100 = 18.74% Interpretación. Los datos son Homogéneos. POR TANTO: Los datos del grupo B presenta mayor homogeneidad. RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 14 CURSO: PROBABILIDAD Y ESTADISTICA TEMA: MEDIDAS DE DISPERSION SEMANA 05 1. Dé 4 ejemplos de experimento que es de interés para su carrera profesional, con su respectivo espacio muestral  Ensayo de probetas  Tipos de Suelos  Ensayo de granulometría  Grado de compactación del suelo En una empresa existe una grúa que tiene un sistema de guayas, las cuales requieren ser reemplazadas cada cierto tiempo de uso. Para probar si se debe cambiar, se somete el sistema a una tensión exagerada, si se rompen 2 o más hilos, se dice que la guaya no sobrevive y por lo tanto debe ser reemplazada. Se sabe por experiencia, que en cada tensión exagerada, se rompe a lo más un hilo y que la probabilidad de que se rompan más de uno es despreciable. Codifiquemos como cero (0) si no se rompe algún hilo y uno (1) si se rompe un hilo S={{0,0,0},{0,0,1},{0,1,0},{0,1,1},{1,0,0},{1,0,1},{1,1,0},{1,1,1}}. 2. Indique el espacio muestral para los siguientes experimentos: (Utilice el diagrama del árbol) a. Lanzar 2 monedas: C  CC C S  CS C  SC S S  SS b. Lanzar 3 monedas C  CCC C S  CCS C C  CSC S S  CSS C  SCC C S  SCS S C  SSC S S  SSS S= {CC, CS, SC, SS} S= {CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS} RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 15 c. Lanzar 1 dado y una moneda C  1C 1 S  1S C  2C 2 S  2S C  3C 3 S  3S C  4C 4 S  4S C  5C 5 S  5S C  6C 6 S  6S d. Anotar el sexo de un recién nacido M  RN. M RN F  RN. F S= {RN. M, RN. F} S= {1C, 1S, 2C, 2S, 3C, 3S, 4C, 4S, 5C, 5S, 6C, 6S} RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 16 e. Lanzar 2 dados 1  11 2  12 1 3  13 4  14 5  15 6  16 1  21 2  22 2 3  23 4  24 5  25 6  26 1  31 2  32 3 3  33 4  34 5  35 6  36 1  41 2  42 4 3  43 4  44 5  45 6  46 1  51 2  52 5 3  53 4  54 5  55 6  56 1  61 2  62 6 3  63 4  64 5  65 6  66 f. Jugar un partido de fútbol G  1G 1 P  1P E  1E S= {11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66} S= {1G, 1P, 1E} RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 17 3. En cada uno de los siguientes casos realizar lo que se pide: A. Una familia tiene 3 hijos, examinar su sexo. H  HHH H M  HHM H H  HMH M M  HMM H  MHH H M  MHM M H  MMH M M  MMM B. Si un investigador de mercados entrevista a una ama de casa y a su esposo para determinar la “aceptación” o “no aceptación” de un cierto producto. Asigne el valor 1 si acepta el producto. Asigne el valor 2 si rechaza el producto. Ea1  Eo1Ea1 Eo1 Ea2  Eo1Ea2 Eo1  Ea2Eo1 Ea2 Eo2  Ea2E02 CALCULAR LAS SIGUIENTES PROBABILIDADES: 1. Si el experimento consiste en E: Lanzar 2 monedas, calcular: C  CC C S  CS C  SC S S  SS a. La probabilidad de que ambas sean cara. Rpta: 1 4 = 0.25 b. La probabilidad de que la primera sea cara. Rpta: 2 4 = 0.5 c. La probabilidad de que la segunda sea sello. Rpta: 2 4 = 0.5 a. Determinar su espacio muestral: S= {HHH, HHM, HMH, HMM, MHH, MHM, MMH, MMM} b. Determinar el evento A: Los 3 sean masculinos A = {MMM} c. Determinar el evento B: Por lo menos uno sea femenino B = {HHM, HMH, HMM, MHH, MHM, MMH, MMM } Construya el espacio muestral para este experimento: S= {Eo1Ea1, Eo1Ea2, Ea2Eo1, Ea2E02} Determine el evento A: ambos acepten el producto. A = {Eo1Ea1} Determine el evento B: Por lo menos uno de ellos acepte el producto. B= {Eo1Ea1, Eo1Ea2, Ea2Eo1} S= {CC, CS, SC, SS} RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 18 2. Si el experimento cosiste en E: Lanzar 3 monedas, calcular: C  CCC C S  CCS C C  CSC S S  CSS C  SCC C S  SCS S C  SSC S S  SSS a. La probabilidad de que las tres sean cara. Rpta: 1 8 = 0.125 b. La probabilidad de que la primera sea cara. Rpta: 4 8 = 0.5 c. La probabilidad de que la segunda sea sello. Rpta: 4 8 = 0.5 3. Si el experimento consiste en E: Lanzar 1 dado y una moneda, calcular: C  1C 1 S  1S C  2C 2 S  2S C  3C 3 S  3S C  4C 4 S  4S C  5C 5 S  5S C  6C 6 S  6S a. La probabilidad que caiga el número 1 y sello. Rpta: 1 12 = 0.0833 b. La probabilidad de que caiga el número 6 y cara. Rpta: 1 12 = 0.0833 c. La probabilidad de que caiga el 3 y sello. Rpta: 1 12 = 0.0833 S= {CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS} S= {1C, 1S, 2C, 2S, 3C, 3S, 4C, 4S, 5C, 5S, 6C, 6S} RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 19 4. Si el experimento consiste en E: Jugar 3 partidos de fútbol, calcular: G GGG G P GGP E GGE G GPG G P P GPP E GPE G GEG E P GEP E GEE G PGG G P PGP E PGE G PPG P P P PPP E PPE G PEG E P PEP E PEE G EGG G P EGP E EGE G EPG E P P EPP E EPE G EEG E P EEP E EEE a. La probabilidad de que todos los partidos se ganen. Rpta: 1 27 = 0.037 b. La probabilidad de que por lo menos un partido se empate. Rpta: 19 27 = 0.7037 c. La probabilidad de que a lo más un partido se pierda. Rpta: 12 27 = 0.444 5. Si el experimento consiste en E: lanzar dos dados simultáneamente, calcular: a. La probabilidad de que el puntaje obtenido sea 5. 4 36 = 0.11 b. La probabilidad de que el puntaje obtenido sea menor de 6. Rpta: 10 36 = 0.28 c. La probabilidad de que el puntaje obtenido sea mayor de 4 o menor de 9. Rpta: 20 36 = 0.56 S= {GGG, GGP, GGE, GPG, GPP, GPE, GEG, GEP, GEE, PGG, PGP, PGE, PPG, PPP, PPE, PEG, PEP, PEE, EGG, EGP, EGE, EPG, EPP, EPE, EEG, EEP, EEE} S= {11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66} RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 20 6. Quince amigos juegan ajedrez una vez a la semana. Este grupo está formado por 5 parejas de casados, 4 jóvenes y una joven. Antes del juego cada uno coloca S/. 10 en una bolsa cuyo contenido ganará el que obtenga mayor puntuación. Se le pide encontrar: ESTADO CIVIL Y SEXO FEMENINO 𝑩𝟏 MASCULINO 𝑩𝟐 TOTAL CASADO 𝑨𝟏 5 5 10 SOLTERO𝑨𝟐 1 4 5 TOTAL 6 9 15 a. ¿Cuál es la probabilidad que un hombre soltero gane? 𝑃(𝑨𝟐 ∩ 𝑩𝟐) = 4 15 = 0.27 b. ¿Cuál es la probabilidad que una mujer casada gane? 𝑃(𝑨𝟏 ∩ 𝑩𝟏) = 5 15 = 0.33 c. ¿Cuál es la probabilidad que una mujer soltera gane? 𝑃(𝑨𝟐 ∩ 𝑩𝟏) = 1 15 = 0.067 d. ¿Cuál es la probabilidad que un hombre casado gane? 𝑃(𝑩𝟐 ∩ 𝑨𝟏) = 5 15 = 0.33 RESOLVER LAS PROBABILIDADES DE LOS SIGUIENTES CASOS: 1. Si un investigador de mercados entrevista a un ama de casa y a su esposo para determinar la “aceptación” o “no aceptación” de un cierto producto (asigne el valor 1 si acepta el producto y el valor 2 si rechaza el producto. Calcular la probabilidad de que: Asigne el valor 2 si rechaza el producto. Ea1  Eo1Ea1 Eo1 Ea2  Eo1Ea2 Eo1  Ea2Eo1 Ea2 Eo2  Ea2E02 2. Un comerciante tiene en su bolsillo cheques de 10 (D), 20 (V), 30 (T) y 50 (C) dólares. Si saca dos cheques de su bolsillo, uno tras otro. Calcular la probabilidad de que: a. El primer Cheque sea de 10 y el siguiente sea de 20: 𝑃(𝐷 ∩ 𝑉) = 1 4 ∗ 1 3 = 1 12 b. El primer Cheque haya sido de 20: 𝑃(𝑉 ∩ 𝐷) = 1 4 ∗ 1 3 = 1 12 𝑃(𝑉 ∩ 𝑇) = 1 4 ∗ 1 3 = 1 12 𝑃(𝑉 ∩ 𝐶) = 1 4 ∗ 1 3 = 1 12 c. El primero sea de 20 y el segundo de 50: 𝑃(𝑉 ∩ 𝐶) = 1 4 ∗ 1 3 = 1 12 a. Ambos acepten el producto. Rpta: 1 4 = 0.25 b. b. Uno de ellos acepte el producto. Rpta: 2 4 = 0.5 c. e. El esposo rechace el producto. Rpta: 1 4 = 0.25 f. d. La esposa rechace el producto. Rpta: 3 4 = 0.25 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 21 3. Tres personas A, B, C solicitan empleo a una empresa. Si el experimento consiste en ordenar las solicitudes de acuerdo a sus habilidades para el trabajo. Calcular la probabilidad de que: Bp ApBp Ap Cp ApCp Ap BpAp Bp Cp BpCp Ap CpAp Cp Bp CpBp 4. El cuadro siguiente contiene la clasificación de 558 obreros de un sindicato respecto a dos características: a. El número de años de pertenencia de cada uno al sindicato b. Su respuesta a la pregunta: “Desea Ud. Ir a la huelga para obtener un aumento de salarios” RESPUESTA A LA PREGUNTA NÚMERO DE AÑOS EN EL SINDICATO TOTAL Menos de 1 (A) De 1 a 3 (B) De 4 a 10 (C) Más de 10 (D) Si (S) 57 64 137 39 297 No (N) 58 26 65 26 175 No sé (NS) 26 14 16 30 86 TOTAL 141 104 218 95 558 Describa y Encuentre la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos: NSUC: 𝑃(𝑁𝑆) + 𝑃(𝐶) − 𝑃(𝑁𝑆 ∩ 𝐶) ⇒ 86 558 + 218 558 − 16 558 = 0.52 S ∩ B: ⇒ 64 558 = 0.11 S U B: 𝑃(𝑆) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝑆 ∩ 𝐵) ⇒ 297 558 + 104 558 − 64 558 = 0.60 S / B: 𝑃(𝑆∩𝐵) 𝐵 ⇒ 64 558 104 558 = 0.615 NS / A: 𝑃(𝑁𝑆∩𝐴) 𝐴 ⇒ 26 558 141 558 = 0.615 A / NS: 𝑃(𝐴∩𝑁𝑆) 𝑁𝑆 ⇒ 26 558 86 558 = 0.3 N ∩ C: 65 558 = 0.12 S ∩ (C U D): 𝑆 ∩ [𝑃(𝐶) + 𝑃(𝐷) − 𝑃(𝐶 ∩ 𝐷)] ⇒ 297 558 − [ 218 558 + 95 558 ] = −0.03 S U (C ∩ D): ⇒ 297 558 + [∅] = 0.53 NS U C: ⇒ 86 558 + 218 558 − 16 558 = 0.52 A. B ocupe el primer lugar. Rpta: 4 6 = 0.67 B. A y B ocupen los primeros lugares. Rpta: 2 6 = 0.33 C. C ocupe el primer lugar. Rpta: 4 6 = 0.6725 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 22 5. Un contratista minero tiene 500 clientes clasificados en la siguiente tabla según si realizan pedidos regularmente o de forma esporádica y según si efectúan el pago al contado o a través de crédito. Tipo de Pedido A Forma de Pago B Total Al contado 𝑩𝟏 Crédito 𝑩𝟐 Regular 𝑨𝟏 65 𝑨𝟏 ∩ 𝑩𝟏 120 𝑨𝟏 ∩ 𝑩𝟐 185 Esporádico 𝑨𝟐 40 𝑨𝟐 ∩ 𝑩𝟏 275 𝑨𝟐 ∩ 𝑩𝟐 315 Total 105 395 500 En el marco de la campaña publicitaria, el mayorista decide sortear un paquete turístico entre sus clientes eligiendo uno de ellos al azar. 𝑃(𝑨𝟏) = 185 500 ; 𝑃(𝑨𝟐) = 315 500 𝑦 𝑃(𝑩𝟏) = 105 500 ; 𝑃(𝑩𝟐) = 395 500 a. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente afortunado con el viaje realice pedidos regularmente o bien utilice créditos para efectuar sus pagos? (𝑨𝟏 ∪ 𝑩𝟐) ⇒ 𝑃(𝑨𝟏) + 𝑃(𝑩𝟐) − 𝑃((𝑨𝟏 ∩ 𝑩𝟐) ⇒ 185 500 + 395 500 − 120 500 = 460 500 = 0.92 b. Calcule la probabilidad de que el cliente afortunado con el viaje realice pedidos regularmente si sabemos que el elegido efectúa sus pagos mediante crédito 𝑷(𝑨𝟏/𝑩𝟐) ⇒ 𝑃(𝑨𝟏 ∩ 𝑩𝟐) 𝑩𝟐 ⇒ 120 500 395 500 = 120 395 = 0.3 c. Calcule la probabilidad de que el cliente afortunado con el viaje realice los pagos mediante crédito si sabemos que realiza pedidos regularmente. 𝑷(𝑩𝟐/𝑨𝟏) ⇒ 𝑃(𝑨𝟏 ∩ 𝑩𝟐) 𝑨𝟏 ⇒ 120 500 185 500 = 120 185 = 0.65 𝑷(𝑨𝟏 ∩ 𝑩𝟐) = 𝑷(𝑩𝟐 ∩ 𝑨𝟏) d. ¿Son independientes los sucesos “ comprar a crédito” y “ comprar regularmente”. No existe Intersección por tanto son INDEPENDIENTES 6. Si la probabilidad de que un proyecto de investigación sea correctamente planeado es de 0.80 y la probabilidad de que sea planeado y correctamente ejecutado es de 0.72, ¿qué probabilidad hay de que un proyecto de investigación correctamente planeado, sea correctamente ejecutado? 𝑃(𝑨𝟏) = 𝟎. 𝟖 = 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒓 𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒆𝒂𝒅𝒐 𝑃(𝑩𝟏) = 𝟎. 𝟕𝟐 = 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒓 𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒆𝒂𝒅𝒐 𝒚 𝒆𝒋𝒆𝒄𝒖𝒕𝒂𝒅𝒐 P(𝑩𝟏/𝑨𝟏) = 𝑷(𝑨𝟏∩𝑩𝟏) 𝑨𝟏 = 𝟎.𝟕𝟐 𝟎.𝟖 = 𝟎. 𝟗 7. En un grupo de 200 estudiantes graduados de ingeniería, 98 se inscriben en un curso avanzado de estadística, 73 en un curso de investigación de operaciones; y 50 en ambos. ¿Cuántos de estos estudiantes no se inscriben en ningún curso? 𝑁𝑜 𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑖𝑏𝑒𝑛 𝑒𝑛 𝑛𝑖𝑛𝑔𝑢𝑛 𝑐𝑢𝑟𝑠𝑜 = (48 + 50 + 23) − 200 = 79 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 8. Si la probabilidad de que un sistema de comunicación tenga alta fidelidad es de 0.81 y la probabilidad de que tenga alta fidelidad y alta selectividad es de 0.18. ¿Cuál es la probabilidad de que un sistema con alta fidelidad, tenga alta selectividad? Datos: 𝐹 = 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑎 𝑓𝑖𝑑𝑒𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 → 𝑃(𝐹) = 0.81 𝐹 ∩ 𝑆 = 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑎 𝑓𝑖𝑑𝑒𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑦 𝑎𝑙𝑡𝑎 𝑠𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 → 𝑃(𝐹 ∩ 𝑆) = 0.18 E=48 O=23 50 E=98 E=73 𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 200 79 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 23 𝑃 ( 𝑆 𝐹 ) = 𝑃(𝑆 ∩ 𝐹) 𝑃(𝐹) = 0.18 0.81 = 0.22 𝐿𝑒𝑦 𝐶𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑃(𝐹 ∩ 𝑆) → 𝑃(𝑆 ∩ 𝐹) 9. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, p(A)= 0.29 y p(B)=0.43, determine, a. 𝑃(𝐴𝐶) = 1 − 𝑃(𝐴) = 1 − 0.29 = 0.71 b. 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) = 0.29 + 0.43 = 0.72 10. De un grupo de ingenieros, el 30% practica futbol y el 40% juega ajedrez. De los futbolistas el 20% juega ajedrez. Si se elige aleatoriamente a un ingeniero. ¿ Cuál es la probabilidad de que: a. Sea futbolista: 𝑃(𝑋 = 𝐹) = 10 100 = 0.1 b. Juegue Ajedrez: 𝑃(𝑋 = 𝐴) = 20 100 = 0.2 c. No practique ni futbol ni ajedrez: 𝑃(𝑋 = �̅� , �̅� ) = 1 − 50 100 = 0.5 11. En una encuesta pública se determina la probabilidad que una persona consuma el producto A es 0.50, que consuma el producto B es 0.37 que consuma el producto C es 0.30, que consuma A y B es 0.12, que consuma solamente A y C es 0.08, que consuma solamente B y C es 0.05 y que consuma solamente C es 0.15. Calcular la probabilidad que una persona consuma 𝑃(𝐴) = 0.5 ; 𝑃(𝐵) = 0.37 ; 𝑃(𝐶) = 0.30; 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.12 𝑃(𝑠𝑜𝑙𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒𝐴 ∩ 𝐶) = 0.08 𝑃(𝑠𝑜𝑙𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐵 ∩ 𝐶) = 0.05 𝑃(𝑆𝑜𝑙𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐶) = 0.15 a. A o B pero no C 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝑆𝑜𝑙. . 𝐴) + 𝑃(𝑆𝑜𝑙. . 𝐵) + 𝑃(𝑆𝑜𝑙. . 𝐴 ∩ 𝐵) = 0.3 + 0.1 + 0.2 = 0.6 b. Solamente A 𝑃(𝑠𝑜𝑙𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐴) = 0.3 10% 20% 20% F=30% A=40% 𝐼𝑛𝑔𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 100% 0.3 0.2 0.1 A=0.5 B=0.37 𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 1 C=0.30 0.15 0.05 0.08 0.02 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 24 12. A una muestra aleatoria de 200 personas se clasifica según su sexo y su nivel de educación: Educación (A) Hombre 𝐵1 Mujer 𝐵2 Total Primaria 𝐴1 38 𝑨𝟏 ∩ 𝑩𝟏 45 𝑨𝟏 ∩ 𝑩𝟐 83 Secundaria 𝐴2 28 𝑨𝟐 ∩ 𝑩𝟏 50 𝑨𝟐 ∩ 𝑩𝟐 78 Superior 𝐴3 22 𝑨𝟐 ∩ 𝑩𝟏 17 𝑨𝟑 ∩ 𝑩𝟐 39 Total 88 112 200 Si se escoge una persona al azar de este grupo, calcular la probabilidad de que: a. La persona sea hombre. 𝑃(𝐵1) = 88 200 = 0.44 b. La persona sea hombre dado que tiene educación secundaria 𝑃(𝐵1 ∩ 𝐴1) = 28 200 = 0.14 c. La persona no tiene educación superior dado que es mujer. 𝑃 ( 𝐴3 𝐵2 ) = 𝑃(𝐵2 ∩ 𝐴3) 𝐵2 = 𝑃 ( 17 200) 39 200 = 0.4359 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑒𝑑𝑢𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟 ∴ 𝑅𝑝𝑡𝑎: 1 − 0.4359 = 0.5641 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑁𝑂 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑒𝑑𝑢𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟 13. Una compañía que concierta citas por computadoras tiene en sus archivos los nombres y direcciones de 200 chicos. De estos 200, un total de 35 miden 1.75 mts. o menos de estatura; 60 son de cabello negro; 12 de los chicos de cabello negro miden 1.75 mts. o menos. Andreína Grossi envía su solicitud por correo, ¿Cuál es la probabilidad de que : Estatura (A) Color de Cabello (B) Total 𝑁 𝑁 < 175 12 23 35 > 175 48 117 165 Total 60 140 n=200 a. En función al cuadro anterior, dé un ejemplo de eventos mutuamente excluyentes.  En el lanzamiento de un dado: Lanzamientos pares y lanzamientos impares  Color de cabello negro o no negro.  En el lanzamiento de una moneda: lanzamientos cara y lanzamientos Sello.  Que el personal sea hombre o que el personal sea mujer b. Reciba el nombre de un chico de cabello negro o estatura mayor a 1.75mts? 𝑃(𝐵1 ∪ 𝐴2 = 𝑃(𝐵1) + 𝑃(𝐴2) → 𝑃(𝐵1 ∩ 𝐴2) = 60 200 + 165 200 − 48 200 = 0.885 c. Reciba el nombre de un chico de cabello negro y que su estatura menor ó igual a 1.75mts? 𝑃(𝐵1 ∩ 𝐴1) = 12 200 = 0.06 d. Reciba el nombre de un chico de estatura máxima de 1.75 y tenga cabello no negro. 𝑃(𝐴1 ∩ 𝐵2) = 23 200 = 0.115 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 25 CURSO: PROBABILIDAD Y ESTADISTICA Tema: VARIABLE ALEATORIA - DISTRIBUCION BINOMIAL Y POISSON SEMANA: 6 I. VARIABLE ALEATORIA DISCRETA 1. Sea X el número de defectos diarios de artículos industriales que produce la Fabrica “EDELSA SAC”. La función de probabilidad para X es: Calcule: a. El valor de la constante K sabiendo que la distribución es de probabilidad. 𝑎 = 𝑘 + 𝑘 + 𝑘 + (𝑘 + 0.2) + 0.2 + +𝑘 + 𝑘 = 1 6𝑘 + 0.4 = 1 𝑘 = 1 − 0.4 6 = 0.1 b. La probabilidad de que el número de defectos diarios en los artículos sea superior a 4. 𝑃(𝑥 > 4) = 𝑃(𝑥 = 5) + 𝑃(𝑋 = 6) = 0.1 + 0.1 = 0.20 c. La probabilidad de que el número de defectos diarios en los artículos sea por lo menos 2. 𝑃(𝑥 ≥ 2) = 𝑃(𝑥 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3) + 𝑃(𝑋 = 4) + 𝑃(𝑋 = 5) + 𝑃(𝑋 = 6) = 0.4 + 0.4 = 0.8 d. La probabilidad de que el número de defectos diarios en los artículos sea menos de 2. 𝑃(𝑥 > 2) = 𝑃(𝑥 = 1) + 𝑃(𝑋 = 0) = 2𝑘 = 0.2 e. La probabilidad de que el número de defectos diarios en los artículos sea a lo más 3. 𝑃(𝑥 ≤ 3) = 𝑃(𝑥 = 3) + 𝑃(𝑥 = 2) + 𝑃(𝑥 = 1) + 𝑃(𝑥 = 0) 𝑃(𝑥 ≤ 3) = 0.6 f. La probabilidad de que el número de defectos diarios en los artículos sea por lo menos 2 y a lo más 5. 𝑃(5 ≤ 𝑥 ≥ 2) = 𝑃(𝑥 = 2) + 𝑃(𝑥 = 3) + 𝑃(𝑥 = 4) + 𝑃(𝑥 = 5) 𝑃(5 ≤ 𝑥 ≥ 2) = 0.7 g. Determine el número esperado de defectos diarios y su desviación estándar. 𝐸(�̅�) = ∑ 𝑋𝑖𝑓𝑖 = (0𝑥0.1) + (1𝑥0.1) + (2𝑥0.1) + (3𝑥0.3) + (4𝑥0.2) + (5𝑥0.1) + (6𝑥0.1) = 3.1 ∑ 𝑋𝑖2𝑓𝑖 = (02𝑥0.1) + (12𝑥0.1) + (22𝑥0.1) + (32𝑥0.3) + (42𝑥0.2) + (52𝑥0.1) + (62𝑥0.1) = 12.5 𝑉 = ∑ 𝑋𝑖2𝑓𝑖 − 𝐸(�̅�)2 𝑉 = 12.5 − (3.1)2 = 2.89 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 26 2. Se lanza una moneda tres veces y definimos a la variable X como el número de caras. C  CCC C S  CCS C C  CSC S S  CSS C  SCC C S  SCS S C  SSC S S  SSS Calcule: a) Su distribución de probabilidad. b) La probabilidad de que el número de caras sea 1. 𝑃(𝑋 = 1) = 1 8 = 0.125 c) La probabilidad de que el número de caras sea lo más 2 𝑃(𝑋 ≤ 2) = 0.875 d) La probabilidad de que el número de caras sea más de 1. 𝑃(𝑋 > 1) = 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3) = 0.375 + 0.125 = 0.5 e) La probabilidad de que el número de caras sea por lo menos 1 𝑃(𝑋 ≥ 1) = 1 − 𝑃(𝑋 = 0) = 1 − 0.125 = 0.875 f) La probabilidad de que el número de caras sea a lo más 3 𝑃(𝑋 ≤ 3) = 1 g) La probabilidad de que el número de caras sea 2 𝑃(𝑋 = 2) = 0.375 h) Calcular la probabilidad 𝑃(1 < 𝑋 ≤ 3) = 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3) = 0.375 + 0.125 = 0.5 Determine el número esperado de caras y su desviación estándar. 𝐸(�̅�) = 𝑋𝑖. 𝑃 = 0𝑥0.125 + 1x0.375 + 2x 0.375 + 3x0.125 0 + 0.375 + 0.75 + 0.375 = 1.5 ∑ 𝑋𝑖2𝑓𝑖 = 02𝑥0.125 + 12x0.375 + 22x 0.375 + 32x0.125 0 + 0.375 + 1.5 + 1.125 = 3 𝑉 = ∑ 𝑋𝑖2𝑓𝑖 − 𝐸(�̅�)2 𝑉 = 3 − (1.5)2 = 0.75 3. Sea X el número de accidentes mensuales en una empresa procesadora de alimentos. La función de probabilidad para X es: Calcule: a) El valor de a. 0.01 + 𝑎 + 0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.09 = 1 𝑎 + 0.8 = 1 𝑎 = 0.2 b) La probabilidad de que el número de accidentes mensuales es 3. 𝑃(𝑋 = 3) = 0.2 c) La probabilidad de que el número de accidentes mensuales es a lo más 4 𝑃(𝑋 ≤ 4) = 𝑃(𝑥 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3) + 𝑃(𝑋 = 4) = 0.91 S= {CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS} 2 3 1 0 Probabilidad Puntual P(X=0) = 0.125 P(X=1) = 0.375 P(X=2) = 0.375 P(X=3) = 0.125 Probabilidad Acumulada P(X≤0) = 0.125 P(X≤1) = 0.5 P(X≤2) = 0.875 P(X≤3) = 1 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 27 d) La probabilidad de que el número de accidentes mensuales es por lo menos 2. 𝑃(𝑋 ≥ 2) = 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3) + 𝑃(𝑋 = 4) + 𝑃(𝑋 = 5) = 0.79 e) La probabilidad de que el número de accidentes mensuales como máximo es 3. 𝑃(𝑋 ≤ 3) = 𝑃(𝑋 = 3) + 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 0) = 0.81 f) Hallar el nº esperado de accidentes mensuales y su desviación estándar. 𝐸(�̅�) = 𝑋𝑖. 𝑃 = 0𝑥0.01 + 1𝑥0.2 + 2𝑥0.4 + 3𝑥0.2 + 4𝑥0.1 + 5𝑥0.09 𝐸(�̅�) = 0 + 0.2 + 0.8 + 0.6 + 0.4 + 0.45 = 2.45 ∑ 𝑋𝑖2 𝑓𝑖 = 02𝑥0.01 + 12𝑥0.2 + 22𝑥0.4 + 32𝑥0.2 + 42𝑥0.1 + 52𝑥0.09 0 + 0.2 + 1.6 + 1.8 + 1.6 + 2.25 = 7.45 𝑉 = 7.45 − 2.452 = 1.45 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠2 4. Una variable aleatoria X puede tomar los valores 30, 40, 50 y 60 con probabilidades 0.40; 0.20; 0.10 y 0.30. Represente en una tabla su función de probabilidad y determine las siguientes probabilidades. Valores 30 40 50 60 Probabilidades 0,40 0.20 0.10 0.30 a) P (X≥60) = 0.30 b) P (X RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 28 6. Un trabajador recibirá un premio de 300, 200 o 100 soles, según el tiempo que tarde en realizar un trabajo en menos de 10 horas, entre 10 y 15 horas y más de 15 horas respectivamente. La probabilidad de realizar el trabajo en cada uno de estos casos es de 0.5; 0.4 y 0.1. Horas Premio (x) P(x) 𝑋𝑖. 𝑃𝑥 < 10 300 0.5 150 10 - 15 200 0.4 80 >15 100 0.1 10 Total 𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =1 ∑ = 140 a) Determine la esperanza y la función de probabilidad de la variable aleatoria X = Premio recibido. 𝐸(�̅�) = 𝑋𝑖. 𝑃 = 0.5𝑥300 + 0.4x200 + 100x 0.1 = S/140 b) Defina una nueva variable aleatoria Y, con valor 1 si tarda menos de 10 horas y valor 0, en caso contrario. Obtenga su distribución de probabilidad, esperanza y varianza. Horas Premio (y) P(y) 𝑋𝑖. 𝑃𝑦 < 10 300 1 300 >15 100 0 0 Total 𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =1 ∑ = 300 𝐸(�̅�) = 𝑌𝑖. 𝑃𝑦 = 1 × 300 + 0 × 100 = 300 ∑ 𝑋𝑖2 𝑓𝑖 = 3002 × 1 + 1002 × 0 = 90 000 𝑉 = 90 000 − 3002 = 0 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑒𝑠2 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 7. El 20% de los trabajadores de una empresa irá a la huelga. Se seleccionan 5 trabajadores de dicha empresa. Obtenga la probabilidad: 𝑥 = 𝑛º 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑟𝑎 𝑎 𝑙𝑎 ℎ𝑢𝑒𝑙𝑔𝑎 𝑛 = 5 𝑦 𝑝 = 0.20 a) De que al menos tres vayan a la huelga. 𝑃 (𝑋 ≥ 3) = 𝑃(𝑥 = 3) + 𝑃(𝑥 = 4) + 𝑃(𝑥 = 5) = 0.05792 b) De que todos vayan a la huelga. 𝑃 (𝑋 = 5) = 0.00032 c) De que ninguno vaya a la huelga. 𝑃 (𝑋 = 0) = 0.32768 d) Hallar media y varianza 𝐸(�̅�) = 𝑛. 𝑝 = 5𝑥0.2 = 1 𝑉 = 𝑛. 𝑝. 𝑞 = 5𝑥0.2𝑥0.8 = 0.8 → 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑞 = 1 − 0.2 = 0.8 8. El almacenero del laboratorio reporta que de las treinta puntas de un dosificador electrónico de reactivos, el 20% están malogradas, él desea saber la probabilidad de que: 𝑥 = 𝑛º 𝑑𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑑𝑜𝑠𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑛 = 30 𝑦 𝑝 = 0.20 a) Estén malogradas 4 puntas de prueba. 𝑃 (𝑋 = 4) = 0.13252 b) Ninguna punta esté malograda 𝑃 (𝑋 = 0) = 0.00124 c) A lo más 3 puntas están malogradas 𝑃 (𝑋 ≤ 3) = 0.12271 d) Más de 2 puntas estén malogradas RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 29 𝑃 (𝑋 > 2) = 0.95582 e) Hallar la media y Varianza 𝐸(�̅�) = 𝑛. 𝑝 = 30𝑥0.2 = 6 𝑉 = 𝑛. 𝑝. 𝑞 = 30𝑥0.2𝑥0.8 = 4.8 → 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑞 = 1 − 0.2 = 0.8 9. Una cadena grande de tiendas compra cierto tipo de dispositivo electrónico de un fabricante. El fabricante indica que el porcentaje de defectuosos es de 3%. 𝑥 = 𝑛º 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑓𝑎𝑏𝑟𝑖𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑛 = 𝑥 𝑦 𝑝 = 0.03 a) El inspector de la cadena elige 20 artículos al azar de un cargamento ¿Cuál es la probabilidad de que haya a lo más dos artículo defectuoso? 𝑛 = 20 𝑦 𝑝 = 0.03 𝑃 (𝑋 ≤ 2) = 0.97899 b) El inspector de la cadena elige 10 artículos al azar de un cargamento ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos un artículo defectuoso? 𝑛 = 10 𝑦 𝑝 = 0.03 𝑃 (𝑋 ≥ 1) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 0) = 1 − 0.73742 = 0.26258 10. En la empresa SAVA S.A. se realiza la producción de tornillos para motores diesel por parte de una máquina automática italiana. Esta máquina dependiendo de factores externos produce el 1% de tornillos defectuosos. El Ingeniero jefe del área de Control de Calidad selecciona en forma aleatoria 18 tornillos al azar de la producción: 𝑥 = 𝑛º 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑖𝑙𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑒𝑠𝑒𝑙 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑛 = 18 𝑦 𝑝 = 0.01 a) Cuál es la probabilidad de que exista a los más 3 defectuosos. 𝑃 (𝑋 ≤ 3) = 0.99997 b) Cuál es la probabilidad de que exista por lo menos 3 defectuosos. 𝑃 (𝑋 ≥ 3) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 2) = 1 − 0.99927 = 0.00073 c) Cuál es la probabilidad de que haya entre 2 y 4 defectuosos inclusive. 𝑃 (2 ≤ 𝑋 ≥ 4) = 𝑃(𝑥 ≥ 4) − 𝑃(𝑥 ≤ 2) = 0.01376 d) Hallar la media y Varianza 𝐸(�̅�) = 𝑛. 𝑝 = 18𝑥0.01 = 0.18 𝑉 = 𝑛. 𝑝. 𝑞 = 18𝑥0.01𝑥0.99 = 0.1782 → 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑞 = 1 − 0.01 = 0.99 11. Cuando se prueban tarjetas de circuitos empleados en la manufactura de reproductores de discos compactos, a la larga el porcentaje de partes defectuosas es de 5%. Sea X = número de tarjetas defectuosas en una muestra aleatoria de tamaño 25. Determine: 𝑥 = 𝑛º 𝑡𝑎𝑟𝑗𝑒𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑛𝑢𝑓𝑎𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐷𝐶. 𝑛 = 25 𝑦 𝑝 = 0.05 a) P ( X ≤ 2) = 0.87289 b) P ( X ≥ 5) = 0.998787 c) P ( 1 ≤ X ≤ 4) = 0.71545 d) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las 25 tarjetas esté defectuosa? 𝑃 (𝑋 = 0) = 0.27738957 e) Calcule el valor esperado y desviación estándar de X. 𝐸(�̅�) = 𝑛. 𝑝 = 25𝑥0.05 = 0.25 𝑉 = 𝑛. 𝑝. 𝑞 = 25𝑥0.05𝑥0.95 = 0.1875 → 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑞 = 1 − 0.05 = 0.95 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 30 12. Se conjetura que hay impurezas en 30% de los pozos de agua potable de cierta comunidad aledaña a una actividad minera. Para obtener algún conocimiento del problema se determina que debería realizarse algún tipo de prueba. Es muy costos probar todos los pozos del área por lo que se eligieron 10 aleatoriamente para la prueba. 𝑥 = 𝑛º 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑧𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑟𝑒𝑧𝑎 𝑛 = 10 𝑦 𝑝 = 0.3 a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente tres pozos tengan impurezas, considerando que la conjetura es cierta? 𝑃 (𝑋 = 3) = 0.26683 b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de tres pozos tengan impurezas? 𝑃 (𝑋 > 3) = 0.35039 c) ¿Cuál es la probabilidad de que más de dos pozos pero menos o igual a 5 pozos tengan impurezas? 𝑃 (2 < 𝑋 > 5) = 0.46695 13. La probabilidad de error de un determinado programa de automatización industrial es 0,28. Calcular la probabilidad de que una vez instalado en 15 máquinas: 𝑥 = 𝑛º 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑚𝑎𝑡𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑑𝑢𝑠𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑛 = 15 𝑦 𝑝 = 0.28 a) Ninguna tenga error 𝑃 (𝑋 = 0) = 0.007244 b) Todos tengan un error 𝑃 (𝑋 = 15) = 0.00000 c) Dos de ellas tengan error 𝑃 (𝑋 = 2) = 0.11503 14. Un ingeniero se presenta a un examen de selección múltiple que contiene 8 preguntas cada una con tres respuestas opcionales. Si el ingeniero está adivinando al responder cada pregunta y además se sabe que para aprobar el examen debe responder correctamente 6 o más preguntas. ¿ Cuál es la probabilidad de aprobar el examen?. 𝑥 = 𝑛º 𝑝𝑟𝑒𝑔𝑢𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑛 = 8 𝑃 = 1 3 = 0.33 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑔𝑢𝑛𝑡𝑎 𝑦 𝑄 = 2 3 = 0.67 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 𝑚𝑎𝑙 𝑢𝑛𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑔𝑢𝑛𝑡𝑎 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑒𝑥𝑎𝑚𝑒𝑛 𝑃 (𝑋 ≥ 6) 𝑃 (𝑋 ≥ 6) = 1 − 𝑃(𝑥 ≤ 5) 𝑃 (𝑋 ≥ 6) = 1 − 0.98134 = 0.01866 15. Una compañía que produce cristal fino sabe por experiencia que 10% de sus copas tienen imperfecciones y deben clasificar como “de segunda” 𝑥 = 𝑛º 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑝𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑛 = 𝑥 𝑦 𝑝 = 0.1 a) Entre seis copas seleccionadas al azar ¿Qué tan probable es que sólo una sea de segunda? 𝑛 = 6 𝑦 𝑝 = 0.1 𝑃 (𝑋 = 1) = 0.35429 b) Entre ocho copas seleccionadas al azar ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos dos sean de segunda? 𝑛 = 8 𝑦 𝑝 = 0.1 𝑃 (𝑋 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑥 ≤ 1) = 1 − 0.81310 = 0.18690 c) Entre 5 copas seleccionadas al azar ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más 4 sean de segunda? 𝑛 = 5 𝑦 𝑝 = 0.1 𝑃 (𝑋 ≤ 4) = 0.9999 DISTRIBUCIÓN POISSON 16. En un almacén particular los clientes llegan al mostrador de la caja, en promedio de 7 por hora. En una hora dada, ¿cuál es la probabilidad de que: 𝑥 = 𝑛º 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎𝑛 𝑝𝑜𝑟 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝜆 = 7 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 ℎ𝑜𝑟𝑎 a) ¿No lleguen más de 3 clientes? 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑢𝑒𝑛 𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 3 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 ⇒ 𝑃(𝑋 > 3) = 0,97036 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 31 𝑁𝑜 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑢𝑒𝑛 𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 3 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 ⇒ 1 − 𝑃(𝑋 > 3) = 1 − 0,97036 = 0,02964 b) ¿Lleguen al menos 2 clientes? 𝑃(𝑋 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 1 − 0,007295 = 0,99270 c) ¿Lleguen exactamente 5 clientes? 𝑃(𝑋 = 5) = 0,127717 17. El cajero automático ubicado dentro de una tienda por departamentos, en promedio es utilizado por seis personas en una hora. 𝑥 = 𝑛º 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑗𝑒𝑟𝑜 𝜆 = 6 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 ℎ𝑜𝑟𝑎 a) ¿Cuál es la probabilidad de que dos o cuatro personas utilicen el cajero durante una hora? 𝑃(𝑋 = 2) ∪ 𝑃(𝑋 = 4) = 0,04462 + 0,13385 = 0,17847 b) ¿Cuál es la probabilidad de que nadie utilice el cajero durante diez minutos? 6 clientes  60 min X clientes  10 min 𝜆 = 1 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑃(𝑋 = 0) = 0,36788 c) ¿Cuál es la probabilidad de que en dos horas el número de personas que utilicen el cajero sea mayor o igual a tres y menor a seis? 6 clientes  1 hora X clientes  2 horas 𝜆 = 12 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑃(3 ≤ 𝑥 < 6 = 0) = 𝑃(𝑋 = 3) + 𝑃(𝑋 = 4) + 𝑃(𝑋 = 5) 𝑃(3 ≤ 𝑥 < 6 = 0) = 0,00177 + 0,00531 + 0,01274 = 0,01982 𝑂𝑡𝑟𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 = 𝑃(𝑋 ≥ 3) ∩ 𝑃(𝑋 < 6) = 0,01982 18. Suponga que una compañía de seguros asegura las vidas de 5000 hombres de 42 años de edad. Si los estudios actuales muestran que la probabilidad de que un hombre muera en cierto año es 0.001, entonces la probabilidad de que la empresa pague exactamente 4 indemnizaciones en un cierto año es? 5 000 x 0.001  5 hombres por año 5 000 x X = 4 hombres  X= 0.0008 P (X=4) en un cierto año 19. Una planta tiene 200 máquinas, si la probabilidad de que falla una en cierto día es 0.005. Encuentre la probabilidad de que durante un día determinado fallen dos máquinas. 200 x 0.005  1 maquina en un día 200 x X = 2 maquina en un día  X= 0.01 P (X=2) en un cierto día 20. En la Universidad Privada del Norte las llamadas entran cada 2 minutos 𝑥 = 𝑛º 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝜆 = 1 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑛 2 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 a) ¿Cuál es la cantidad esperada de llamadas en una hora? 1 llamada  2 min X llamadas  60 min 𝜆 = 30 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑛 1 ℎ𝑜𝑟𝑎 b) ¿Cuál es la probabilidad de 3 llamadas en los sig. 5 minutos? 1 llamada  2 min X llamadas  5 min 𝜆 = 2.5 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑛 5 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑃(𝑋 = 3) = 0,21376 c) ¿Cuál es la probabilidad de no llamadas en los sig. 5 minutos? 𝜆 = 2.5 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑛 5 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑃(𝑋 = 0) = 0,08208 d) ¿Cuál es la probabilidad de recibir 10 llamadas en los sig. 15 minutos? 1 llamada  2 min X llamadas  15 min 𝜆 = 7.5 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑛 5 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑃(𝑋 = 10) = 0,08583 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 32 21. El número medio de personas que llegan a un cierto comercio es de 2 personas cada 5 minutos, y admitimos que el número X de personas que llegan a ese comercio cada 5 minutos sigue una distribución de Poisson. Obtener: 𝑥 = 𝑛º 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎 𝑎 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑒𝑟𝑐𝑖𝑜 𝜆 = 2 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑑𝑎 5 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 a) La probabilidad de que en el periodo de 5 minutos no llegue ninguna persona. 𝑃(𝑋 = 0) = 0,13534 b) Que llegue una persona 𝑃(𝑋 = 1) = 0,27067 c) Que lleguen dos personas 𝑃(𝑋 = 2) = 0,27067 d) Que lleguen más de dos personas. 𝑃(𝑋 > 2) = 0,32332 22. Se sabe que el 1% de los artículos importados de un determinado país tienen algún defecto. Si tomamos una muestra de tamaño 80 artículos, determinar la probabilidad de que tres o más de ellos tengan algún defecto. 𝑥 = 𝑛º 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑛 = 80 𝑃 = 1% = 0.01 𝑃(𝑋 ≥ 3) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 2) = 1 − 0.95345 = 0.04655 23. El número de nudos en un tipo particular de madera tiene una distribución de Poisson con una media de 1,5 nudos por 10 pies3 de madera. Encuentre la probabilidad de que un bloque de madera de 10 pies3 tenga a lo más un nudo. 𝑥 = 𝑛º 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎 𝜆 = 1,5 𝑛𝑢𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 10 𝑝𝑖𝑒𝑠3 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 0.55783 24. Supongamos que el número de imperfecciones en un alambre delgado de cobre sigue una distribución Poisson con una media de 2.3 imperfecciones por milímetro. 𝑥 = 𝑛º 𝑑𝑒 𝑖𝑚𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝜆 = 2.3 𝑖𝑚𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑚𝑚 a) Determine la probabilidad de 2 imperfecciones en un milímetro de alambre. 𝑃 (𝑋 = 2) = 0.26518 b) Determine la probabilidad de 10 imperfecciones en 5 milímetros de alambre. 1 mm  2.3 imperf 5 mm  x 𝜆 = 11.5 𝑃 (𝑋 = 10) = 0.1129 c) Determine la probabilidad de al menos una imperfección en 2mm de alambre. 1 mm  2.3 imperf 2 mm  x 𝜆 = 4.6 𝑃 (𝑋 ≥ 1) = 1 − 𝑃(𝑥 ≤ 0) = 0.98995 25. El número de pinchazos en los neumáticos de cierto vehículo industrial tiene una media 0.3 por cada 50 000 kilómetros. Si el vehículo recorre 100 000 km, se pide: 𝑥 = 𝑛º 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑛𝑐ℎ𝑎𝑧𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑛𝑒𝑢𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑝 = 0.3 𝑝𝑖𝑛𝑐ℎ𝑎𝑧𝑜𝑠 𝑦 𝑛 = 50 000 𝑘𝑚 50 000 km  0.3 pinchazos 100 000 km  x 𝜆 = 0.6 𝑝𝑖𝑛𝑐ℎ𝑎𝑧𝑜𝑠 𝑒𝑛 100 000 𝑘𝑚 a) Probabilidad de que no tenga pinchazos 𝑃 (𝑋 = 0) = 0.54881 b) Probabilidad de que tenga menos de tres pinchazos 𝑃 (𝑋 < 3) = 0.97688 c) Número de km recorridos para que la probabilidad de que no tenga ningún pinchazo sea 0.4066. RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 33 50 000 km  0.3 pinchazos X km  0.4066 pinchazos 𝑋 = 67 766.67 𝑘𝑚 26. Un operador elige al azar entre “n” chips de una caja. La probabilidad de que sea defectuoso es 0,2. 𝑥 = 𝑛º 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑛𝑐ℎ𝑎𝑧𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑛𝑒𝑢𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑝 = 0.2 𝑦 𝑛 = 𝑋 a) Si n = 7, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 3 chips sean defectuosos? 𝑝 = 0.2 𝑦 𝑛 = 7 𝑃 (𝑋 ≥ 3) = 1 − 𝑃(𝑥 ≤ 2) = 1 − 0.851968 = 0.14803 27. ¿Cuántos chips hay en la caja si la varianza es 32? 𝐸(�̅�) = 𝑛. 𝑝 = 25𝑥0.05 = 0.25 𝑉 = 𝑛. 𝑝. 𝑞 = 𝑛𝑥0.2𝑥0.8 = 32 ⇒ 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 = 200 → 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑞 = 1 − 0.2 = 0.8 28. Un banco recibe en promedio 6 cheques falsos al día, hallar: 𝑥 = 𝑛º 𝑑𝑒 𝑐ℎ𝑒𝑞𝑢𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑖𝑏𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑎𝑙 𝑑𝑖𝑎 𝜆 = 6 𝑐ℎ𝑒𝑞𝑢𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑖𝑏𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑑𝑖𝑎 a) Probabilidad de que se reciban cuatro cheques falsos en un día. 𝑃(𝑋 = 4) = 0.13385 b) Probabilidad de que se reciban más de 30 cheques falsos en 5 días. 6 𝑐ℎ𝑒𝑞𝑢𝑒𝑠 ⇒ 01 𝑑𝑖𝑎 𝑋 𝑐ℎ𝑒𝑞𝑢𝑒𝑠 ⇒ 05 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝜆 = 30 𝑃(𝑋 > 30) = 1 − 𝑃(𝑥 ≤ 30) = 0.45165 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 34 CURSO: PROBABILIDAD Y ESTADISTICA Tema: VARIABLE ALEATORIA CONTINUA – DISTRIBUCIÓN NORMAL SEMANA: 07 Y 8 1. Sea Z una variable aleatoria normal estándar; calcular las siguientes probabilidades empleando graficas cuando sea apropiado: a) 𝑃 (0 ≤ 𝑍 ≤ 2) 𝑃(𝑍 ≤ 2) − 𝑃(𝑍 ≤ 0) = 0.9772 − 0.5000 = 0.4772 𝑃(𝑍 ≤ 2) 𝑃(𝑍 ≤ 0) 𝑃 (0 ≤ 𝑍 ≤ 2) = 0.4772 b) 𝑃 (−1 ≤ 𝑍 ≤ 1) 𝑃(𝑍 ≤ 1) − 𝑃(𝑍 ≤ −1) = 0.8413 − 0.1587 = 0.6826 𝑃(𝑍 ≤ 1) 𝑃(𝑍 ≤ −1) RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 35 𝑃 (−1 ≤ 𝑍 ≤ 1) = 0.6826 c)𝑃 (𝑍 ≤ 1.65) = 0.9505 d) 𝑃 (𝑍 ≤ −1.96) = 0.0250 e) 𝑃 (0 ≤ 𝑍 ≤ 2.32) 𝑃(𝑍 ≤ 2.32) − 𝑃(𝑍 ≤ 0) = 0.9898 − 0.5000 = 0.4898 𝑃(𝑍 ≤ 2.32) 𝑃(𝑍 ≤ 0) RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 36 𝑃 (0 ≤ 𝑍 ≤ 2.32) = 0.4898 f) 𝑃 (|𝑍| > 1.5) = 1 − 𝑃(𝑍 ≤ 1.5) = 1 − 0.9332 = 0.0668 𝑃(𝑍 > 1.5) = 0.0668 g) 𝑃 (−1.9 ≤ 𝑍 ≤ 2) = 𝑃(𝑍 ≤ 2) − 𝑃(𝑍 ≤ −1.9) = 0.9772 − 0.0287 = 0.9485 𝑃(𝑍 ≤ 2) 𝑃(𝑍 ≤ −1.9) 𝑃 (−1.9 ≤ 𝑍 ≤ 2) = 0.9485 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 37 h) 𝑃 (𝑍 ≤ 1.37) = 0.9147 𝑃 (𝑍 ≤ 1.37) = 0.9147 i) 𝑃 (|𝑍| > 2.57) = 1 − 𝑃(𝑍 ≤ 2.57) = 1 − 0.9949 = 0.0051 𝑃(𝑍 > 2.57) 2. Sea 𝑋~𝑁(80, 102) = 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎). Determinar: a) 𝑃(𝑥 ≤ 80) = 𝑍 ≤ 𝑃 ( 𝑏−𝜇 𝜎 ) = 𝑃 (𝑍 ≤ 80−80 10 ) = 𝑃(𝑍 ≤ 0) = 0.500 𝑃(𝑍 ≤ 0) = 0.5000 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 38 b) 𝑃(𝑥 ≥ 100) = 𝑃 (𝑍 ≥ 100−80 10 ) = 𝑃(𝑍 ≥ 2) = 0.0228 𝑃(𝑍 ≥ 2) = 0.0228 c) 𝑃(75 ≤ 𝑥 ≤ 100) = 𝑃(𝑋 ≤ 100) − 𝑃(𝑋 ≤ 75) 𝑃 (𝑍 ≤ 100 − 80 10 ) − 𝑃 (𝑍 ≤ 75 − 80 10 ) = 𝑃(𝑍 ≤ 2) − 𝑃(𝑍 ≤ −0.5) = 0.9772 − 0.3085 = 0.6687 𝑃(𝑍 ≤ 2) 𝑃(𝑍 ≤ −0.5 𝑃(𝑍 ≤ 2) − 𝑃(𝑍 ≤ −0.5) = 0.6687 d) 𝑃(75 ≤ 𝑥) = 𝑃(𝑋 ≥ 75) = 𝑃 (𝑍 ≥ 75−80 10 ) = 𝑃(𝑍 ≥ −0.5) = 0.6915 𝑃(𝑍 ≥ −0.5) RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 39 e) 𝑃(|𝑥 − 80| ≤ 19.6) 𝑥 − 80 ≤ 19.6 ⇒ 𝑋 ≤ 99.6 𝑃(𝑋 ≤ 99.6) = 𝑃 (𝑍 ≤ 99.6 − 80 10 ) = 𝑃(𝑍 ≤ 1.96) = 0.9750 𝑃(𝑍 ≤ 0.196) = 0.9750 −(𝑥 − 80) ≤ 19.6 = 𝑋 ≤ 60.4 𝑃(𝑋 ≤ 60.4) = 𝑃 (𝑍 ≤ 60.4 − 80 10 ) = 𝑃(𝑍 ≤ −1.96) = 0.0250 𝑃(𝑍 ≤ −1.96) = 0.0250 3. En cada uno de los siguientes casos, determinar el valor de "c" que hace verdadero el enunciado de probabilidad. a) 𝑃(|𝑧| ≤ 𝑐) = 0.95 𝑃 (|𝑍| ≤ 𝐶) = 𝑃(𝑍 ≤ 𝐶) ⇒ 𝐶 = 1.64 𝑃(𝑍 ≤ 1.64) = 0.9495 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 40 b) 𝑃(|𝑧| ≤ 𝑐) = 0.99 ⟹ 𝐶 = 2.33 𝑃(𝑍 ≤ 2.33) = 0.9901 c) 𝑃(𝑧 ≤ 𝑐) = 0.05 ⟹ 𝐶 = −1.64 𝑃(𝑍 ≤ −1.64) = 0.0505 4. El gerente de personal de una gran compañía requiere que los solicitantes a un puesto efectúen cierta prueba y alcancen una calificación de 500. Si las calificaciones de la prueba se distribuyen normalmente con media de 485 y una desviación estándar de 30, ¿Qué porcentaje de los solicitantes pasará la prueba? 𝜇 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙; 𝑥 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙; 𝜎 = 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 𝜇 = 485; 𝑥 = 500; 𝜎 = 30 Calculando el valor de Z obtenemos: 𝑃(𝑍 = 𝑋 − 𝜇 𝜎 = 500 − 485 30 = 0.5 𝐿𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑒𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑎 500 𝑃 (𝑋 < 500) = 𝑃(𝑍 < 0.5) = 0.6915 El porcentaje pedido es 𝑋 ≥ 500 ⟹ 𝑃(𝑍 ≥ 0.5) = 𝑃(𝑍 ≥ 0.5) = 0.3085 0.3085 𝑥 100 = 30.85% 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖𝑝𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑠𝑎𝑟á𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎. RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 41 𝑃(𝑍 ≥ 0.5) = 0.3085 = 30.85% 5. Un ciento de pequeños tornillos se empaca en una caja. Cada tornillo pesa 1 onza con desviación estándar de 0.01 onzas. Encuentre la probabilidad de que la caja pese más de 102 onzas. 𝐸𝑛 100 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑖𝑙𝑙𝑜𝑠 → 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝜇 = 100 × 0.01 = 1 𝑋~𝑁(100 , 12) 𝑃(𝑥 > 102) = 𝑃 (𝑍 ≤ 100 − 102 1 ) = 𝑃(𝑍 > −2) = 0.9772 𝑃(𝑍 > −2) = 0.9772 6. Sea X una variable aleatoria N (5, 4) ¿Cuál es la probabilidad que X tome valores entre 3 y 8? ¿Cuál es la probabilidad que tome valores mayores a 8? Sea 𝑋~𝑁(5,4) a) 𝑃(3 ≤ 𝑥 ≤ 8) = 𝑃(𝑥 ≤ 8) − 𝑃(𝑥 ≤ 3) 𝑃 (𝑍 ≤ 8 − 5 4 ) − 𝑃 (𝑍 ≤ 3 − 5 4 ) = 𝑃(𝑍 ≤ 0.75) − 𝑃(𝑍 ≤ −0.25) = 0.7734 − 0.4013 = 0.3710 𝑃(𝑍 ≤ 0.75) − 𝑃(𝑍 ≤ −0.25) = 0.3710 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 42 b) 𝑃(𝑥 ≥ 8) = (𝑍 ≥ 8−5 4 ) = 𝑃(𝑍 ≥ 0.75) = 0.2266 𝑃(𝑍 ≤ 0.75) = 0.2266 7. Para cierto examen la calificación media es de 11 y desviación estándar es igual a 2. Se desea desaprobar al 40% de los examinados. ¿Cuál debe ser la calificación máxima desaprobatoria? Sea X = calificación vigesimal de los examinados Sea 𝑋~𝑁(11, 22), entonces: 𝑃 (𝑍 ≤ 𝑋−11 2 ) ~ N (0, 1). Sea M la máxima nota desaprobatoria buscada, entonces: 0.4 = 𝑃(𝑋 < 𝑀) = 𝑃 (𝑍 ≤ 𝑀−11 2 ) = 𝑃 ( 𝑀−11 2 ) ⟹ ( 𝑀−11 2 ) = 𝑍0.40 0.40 = −0.25 ⇒ 𝑀 = 10.5 𝑅𝑝𝑡𝑎 8. La distribución de los salarios mensuales de los trabajadores de la Mina Yanacocha tiene un comportamiento normal cuya media es S/. 2100 y una varianza de S/. 62 500. Si el número de trabajadores es de 4250 ¿Cuántos de los trabajadores tienen salarios: 𝑋~𝑁(2100, 62 5002) a) Menores de S/. 2100? 𝑃 (𝑍 < 2100 − 2100 62 500 ) = 𝑃(𝑍 < 0) = 0.5000 b) Menores de S/. 2500? 𝑃 (𝑍 < 2500 − 2100 62 500 ) = 𝑃(𝑍 < 0.0064) = 0.5026 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 43 c) Mayores de S/. 2600? 𝑃 (𝑍 > 2600 − 2100 62 500 ) = 𝑃(𝑍 > 0.0080) = 0.4968 d) Entre 2000 y 2500 soles? 𝑃(2000 ≤ 𝑋 ≤ 2500) = 𝑃 (𝑍 ≤ 2500 − 2100 62 500 ) − 𝑃 (𝑍 ≤ 2000 − 2100 62 500 ) 𝑃(𝑍 ≤ 0.0064) − 𝑃(𝑍 ≤ −0.0016) = 0.5026 − 0.4994 = 0.0030 𝑃(𝑍 ≤ 0.0064) − 𝑃(𝑍 ≤ −0.0016) = 0.0030 9. El tiempo requerido para ensamblar una pieza mecánica es una variable aleatoria cuya distribución es aproximadamente normal con media 12.9 minutos y una desviación estándar de 2.0 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que el ensamblado de una pieza mecánica cualquiera tarde 𝜇 = 12.9 𝑦 𝜎 = 2 a) ¿Al menos 11.5 minutos? 𝑃(𝑋 ≥ 11.5) = 𝑃 (𝑍 ≥ 11.5 − 12.9 2 ) = 𝑃(𝑍 ≥ −0.7) = 0.7580 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 44 𝑃(𝑍 ≥ −0.7) = 0.7580 b) ¿Entre 11.0 y 14.8 minutos? 𝑃(11 ≤ 𝑋 ≤ 14.8) = 𝑃(𝑋 ≤ 14.8) − 𝑃(𝑋 ≤ 11) 𝑃 (𝑍 ≤ 14.8 − 12.9 2 ) − 𝑃 (𝑍 ≤ 11 − 12.9 2 ) = 𝑃(𝑍 ≤ 0.95) − 𝑃(𝑍 ≤ −0.95) = 0.8289 − 0.1711 = 0.6578 𝑃(𝑍 ≤ 0.95) − 𝑃(𝑍 ≤ −0.95) = 0.6578 c) ¿A lo más 12 minutos? 𝑃(𝑋 ≤ 12) = 𝑃 (𝑍 ≤ 12 − 12.9 2 ) = 𝑃(𝑍 ≤ −0.45) = 0.3264 𝑃(𝑍 ≤ −0.45) = 0.3264 d) ¿Entre 10.9 y 13.4 minutos? 𝑃(10.9 ≤ 𝑋 ≤ 13.4) = 𝑃 (𝑍 ≤ 13.4 − 12.9 2 ) − 𝑃 (𝑍 ≤ 10.9 − 12.9 2 ) 𝑃(𝑍 ≤ 0.25) − 𝑃(𝑍 ≤ −1) = 0.5987 − 0.1587 = 0.4400 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 45 𝑃(𝑍 ≤ 0.25) − 𝑃(𝑍 ≤ −1) = 0.4400 10. Los salarios mensuales de los trabajadores de una empresa tiene un comportamiento normal cuya media es S/. 2100 y una desviación estándar de S/. 450. ¿Cuál es la probabilidad de que los trabajadores tengan salarios: 𝑋~𝑁(2100, 4502) a) Menores de S/. 2150. 𝑃(𝑋 < 2150) = 𝑃 (𝑍 < 2150 − 2100 450 ) = 𝑃(𝑍 < 0.1111) = 0.5442 𝑃(𝑍 < 0.1111) = 0.5442 b) Menos de S/. 2200. 𝑃(𝑋 < 2200) = 𝑃 (𝑍 < 2200 − 2100 450 ) = 𝑃(𝑧 < 0.22) = 0.5871 𝑃(𝑧 < 0.22) = 0.5871 c) Más de S/. 2180. 𝑃(𝑥 > 2180) = 𝑃 (𝑧 > 2180 − 2100 450 ) = 𝑃(𝑧 > 0.18) = 0.4286 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 46 𝑃(𝑧 > 0.18) = 0.4286 11. Los focos de alumbrado eléctrico producidos por una compañía eléctrica tienen una distribución normal con una media de 1000 horas y una desviación estándar de 50 horas. Determinar la probabilidad de que: 𝑋~𝑁(1000, 502) a) Un foco tomado al azar se queme en menos de 950 horas 𝑃(𝑋 < 950) = 𝑃 (𝑍 < 950 − 1000 50 ) = 𝑃(𝑍 < −1) = 0.1587 𝑃(𝑍 < −1) = 0.1587 b) Un foco de que queme entre 900 y 1200 horas 𝑃(900 ≤ 𝑋 ≤ 1200) = 𝑃 (𝑍 < 1200 − 1000 50 ) − 𝑃 (𝑍 < 900 − 1000 50 ) = 𝑃(𝑍 < 4) − 𝑃(𝑍 < −2) 𝑃(𝑍 < 4) − 𝑃(𝑍 < −2) = 1 − 0.0228 = 0.9772 𝑃(𝑍 < 4) − 𝑃(𝑍 < −2) = 0.9772 c) Un foco se queme en no menos de 990 horas 𝑃(𝑋 < 990) = 𝑃 (𝑍 < 990 − 1000 50 ) = 𝑃(𝑍 < −0.2) = 0.4207 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 47 ∴ 𝑃(𝑍 > −0.2) = 0.5793 ⟶ 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑢𝑛 𝑓𝑜𝑐𝑜 𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑚𝑒 𝑒𝑛 𝑛𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 990 ℎ𝑟𝑠 ∴ 𝑃(𝑍 > −0.2) = 0.5793 12. El contenido de las botella de jugo de naranja llenadas por una máquina automática tiene una distribución aproximadamente normal con media 63.9 onzas y desviación estándar de 0.25. Encontrar la probabilidad de que: 𝑋~𝑁 (63.9 , 0.252) a) Una botella contenga menos de 64 onzas de jugo de naranja. 𝑃(𝑋 < 64) = 𝑃 (𝑍 < 64 − 63.9 0.25 ) = 𝑃(𝑍 < 0.4) = 0.6554 𝑃(𝑍 < 0.4) = 0.6554 b) Una botella contenga al menos 63.75 onzas de jugo de naranja. 𝑃(𝑋 ≥ 63.75) = 𝑃 (𝑍 ≥ 63.75 − 63.9 0.25 ) = 𝑃(𝑍 ≥ −0.6) = 0.7257 𝑃(𝑍 ≥ −0.6) = 0.7257 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 48 13. Un análisis realizado al contenido de grasa en jamones determina que en cada corte de 5 onzas de jamón se tiene en promedio 12.34 gramos de grasa si se asume que la cantidad de grasa tiene distribución normal con desviación estándar de 0.8 gramos. 𝑋~𝑁 (12.34 , 0.82) a) ¿Qué porcentaje de cortes de jamón de 5 onzas tiene un contenido de grasa entre 10.2 gramos y 12.5 gramos? 𝑃(10.2 ≤ 𝑋 ≤ 12.5) = 𝑃 (𝑍 ≤ 12.5 − 12.34 0.8 ) − 𝑃 (𝑍 ≤ 10.2 − 12.34 0.8 ) = 𝑃(𝑍 ≤ 0.2) − 𝑃(𝑍 ≤ −2.675) 𝑃(𝑍 ≤ 0.2) − 𝑃(𝑍 ≤ −2.675) = 0.5793 − 0.0037 = 0.5756 ∴ 57.56% 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑗𝑎𝑚ó𝑛 𝑑𝑒 5 𝑜𝑛𝑧𝑎𝑠 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑠𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 10.2 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑦 12.5 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑃(𝑍 ≤ 0.2) − 𝑃(𝑍 ≤ −2.675) = 0.5756 b) ¿Qué porcentaje de cortes de jamón de 5 onzas tienen más de 14 gramos de grasa? 𝑃(𝑋 > 14) = 𝑃 (𝑍 > 14 − 12.34 0.8 ) = 𝑃(𝑍 > 2.075) = 0.0190 𝑃(𝑍 > 2.075) = 0.0190 ∴ 1.9% 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑗𝑎𝑚ó𝑛 𝑑𝑒 5 𝑜𝑛𝑧𝑎𝑠 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑚á𝑠 𝑑𝑒 14 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑠𝑎 14. El concejo distrital de Cajamarca tiene en estudio elevar los impuestos sobre la propiedad para financiar una nueva biblioteca. El concejo considera que debe gravar a quienes tengan casas valoradas en el 40% superior. Si los valores de la propiedad se pueden expresar como normal con media S/.62000 y desviación estándar S/. 8250, ¿Cuál es el valor más alto que se puede atribuir a su propiedad sin que tenga que pagar el impuesto? 𝑋~𝑁 (62 000 , 8 2502) 𝑃(𝑋 > 40%) = 𝑃 (𝑍 > 𝑀 − 62 000 8 250 ) = 𝑍0.40 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎𝑙 40% 0.40 ⟶ 𝑍 = 0.25 ⇒ 𝑀 = 64 062.6 ∴ 64 062.6 𝑅𝑝𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑟 𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 sin 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑔𝑎𝑟 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 49 15. Los salarios anuales de los ejecutivos de mandos medios de la compañía están distribuidos como una normal con desviación estándar de S/. 12000. Se tiene programado un recorte de personal que implica el despido de aquellos que ganen menos de S/. 18000. Si tal medida representa el 10% de los ejecutivos de mandos medios, ¿Cuál es actualmente el salario medio de este grupo de funcionarios? 𝑋~𝑁 (18 000 , 12 0002) 𝑃(𝑋 = 10%) = 𝑃 (𝑍 = 𝑆 − 18 000 12 000 ) = 𝑍0.10 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎𝑙 10% 0.10 ⟶ 𝑍 = 1.28 ⇒ 𝑆 = 33 360 ∴ 33 360 𝐸𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑎𝑙𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠 16. El contenido de nicotina de un cigarrillo de una marca en particular es una variable aleatoria con media 0.8 mg y una desviación estándar 0.1 mg. Si una persona fuma 5 cajetillas por semana, ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad total de nicotina consumida en una semana sea por lo menos de 82 mg? 𝑆𝑢𝑝𝑜𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑔𝑎𝑟𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑗𝑒𝑡𝑖𝑙𝑙𝑎 𝑒𝑠 𝑑𝑒 20 ⟶ 𝜇 = 20 × 0.1 = 2 𝐸𝑛 100 𝑐𝑖𝑔𝑎𝑟𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜𝑠 𝑜 5 𝑐𝑎𝑗𝑒𝑡𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑠 𝜇 = 5 × 2 = 10 𝑚𝑔 → 𝑋~𝑁 (100 , 102) 𝑃(𝑋 ≥ 82) = 𝑃 (𝑍 ≥ 82 − 100 10 ) = 𝑃(𝑍 ≥ −1.8) = 0.9641 𝑃(𝑍 ≥ −1.8) = 0.9641 17. El tiempo total necesario para procesar una solicitud de préstamo hipotecario en un banco local sigue una distribución normal con un promedio de 7 días y una desviación estándar de 3 días. → 𝑋~𝑁 (7 , 32) a) ¿Cuál es la probabilidad de que le tiempo promedio de procesamiento de una muestra de 20 solicitudes, elegidas al azar, sea superior a 9 días? 20 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒𝑠 → 𝜇 = 20 × 3 = 60 → 𝑋~𝑁 (20 , 602) 𝑃(𝑋 > 9) = 𝑃 (𝑍 > 9 − 7 60 ) = 𝑃(𝑍 > 0.33333) = 0.3694 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 50 𝑃(𝑍 > 0.33333) = 0.3694 b) ¿Cuántas solicitudes de préstamos se deben seleccionar para encontrar un tiempo promedio de procesamiento inferior a 8 días, con 97.5 de probabilidad? 𝑠𝑒𝑎 𝐾 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒𝑠 → 𝜇 = 𝐾 × 3 → 𝑋~𝑁 (𝐾 , 𝑢2) 𝑃(𝑋 < 8) = 𝑃 (𝑍 < 8 − 7 (𝐾 × 3) ) = 𝑃(𝑍 < 1.96) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ( 8 − 7 (𝐾 × 3) ) = 1.96 → 𝑘 = 0.17 𝐸𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎: 0.17 × 100 = 17 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒𝑠 𝑃(𝑍 < 1.96) = 0.9750 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 51 CURSO: PROBABILIDAD Y ESTADISTICA Tema: MUESTREO Y TAMAÑO DE MUESTRA Semana: 09 1. El Gerente de planificación tiene interés en estimar el consumo de agua promedio por familia en una ciudad. Determine: a. Población: El número total de familias de la ciudad (N) b. Muestra: El subconjunto de familias determinados mediante muestreo probabilístico. c. Unidad de análisis: Una familia d. Marco muestral: Marco digital de viviendas (sectores o manzanas) e. Tipo de muestreo: Muestreo Probabilístico Estratificado. 2. Una empresa Industrial está constituida por muchas plantas o fábricas pequeñas localizadas a lo largo y ancho del país. Un ejecutivo quiere encuestar las opiniones de los empleados sobre la política vacacional de la empresa. ¿Qué sugeriría Ud. que el ejecutivo usará como unidad de muestreo? ¿Cuál sería su marco muestral? a. Unidad de análisis (muestreo): Un empleado b. Marco muestral: Planilla de empleados de las fábricas pequeñas de la empresa. 3. El ministerio de Salud-Cajamarca está realizando una investigación acerca del comportamiento del peso y estatura de niños en la ciudad de Cajamarca y ver si presenta un plan de salud para mejorar este factor latente de bajo peso. Además se sabe que han acudido a los Hospitales del MINSA de la ciudad, para tomar los pesos y estaturas de los niños. Identifique los siguientes elementos: a. Unidad de estudio: Un niño b. Marco muestral: Listado de niños que acudieron a hospitales del MINSA c. Población: Total de niños que acudieron a todos los hospitales del MINSA d. Tipo de muestreo: Muestreo probabilístico 4. En cierto barrio se quiere hacer un estudio para conocer mejor el tipo de actividades de ocio que gustan más a sus habitantes. Para ello van a ser encuestados 100 individuos elegidos al azar. Explicar qué tipo de muestreo sería más adecuado utilizar. Probabilístico por estratos por asignación proporcional; porque el tamaño de cada estrato en la muestra es proporcional a su tamaño en la población. 5. Supongamos que la población es de tamaño 1000 y deseamos sacar una muestra de tamaño 20, en este caso se divide a la población en 1000/20 = 50 partes. Luego de entre las observaciones 1 al 50 se elige una de ellas al azar, supongamos que salió la observación 37, ese sería el primer elemento de la muestra, los siguientes serían elegidos de 50 en 50. Determine las observaciones de la muestra e identifique el tipo de muestreo utilizado. 𝑁 = 1000 ; 𝑛 = 20 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 52 𝐾 = 1000 20 = 50 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑟 = 37 𝑿𝟏 37 𝑿𝟔 287 𝑿𝟏𝟏 537 𝑿𝟏𝟔 787 𝑿𝟐 87 𝑿𝟕 337 𝑿𝟏𝟐 587 𝑿𝟏𝟕 837 𝑿𝟑 137 𝑿𝟖 387 𝑿𝟏𝟑 637 𝑿𝟏𝟖 887 𝑿𝟒 187 𝑿𝟗 437 𝑿𝟏𝟒 687 𝑿𝟏𝟗 937 𝑿𝟓 237 𝑿𝟏𝟎 487 𝑿𝟏𝟓 737 𝑿𝟐𝟎 987 𝑀𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑜 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑜 6. Si en una población existieran un 60% de mujeres y un 40% de hombres, ¿esta proporción se respetaría en el estrato? 𝑆𝑖 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎; 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑎𝑠𝑖𝑔𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑎 𝑠𝑢 𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛. 7. Supongamos que estamos interesados en conocer la afición al cine en una determinada ciudad. Podemos considerar que la edad es invariable relevante, por lo que podríamos establecer diversos estratos: de 18 a 25años, de 26 a 40, de 41 a 60 y mayores de 61, presuponiendo que los gustos cinematográficos de los sujetos que forman un estrato son más parecido entre sí que en lo que respecta al de otros estratos diferentes. ¿Qué tipo de afijación se usaría? 𝑀𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑎𝑓𝑖𝑗𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 8. Identifique el tipo de muestro que utilizaría en cada uno de los siguientes casos. a. Hacer un sorteo con papelitos que se sacan de un sombrero. 𝑀𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑜 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 b. Por ejemplo, mandando un encuestador a 850 ciudades o pueblos distintos para encuestar en total a 1000 personas. Para un estudio de opinión, puede resultar interesante estudiar por separado las opiniones de hombres y mujeres pues se estima que, dentro de cada uno de estos grupos, puede haber cierta homogeneidad. Así, si la población está compuesta de un 55% de mujeres y un 45% de hombres, se tomaría una muestra que contenga también esa misma proporción. 𝑀𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑜 𝐸𝑠𝑡𝑟𝑎𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜 𝑛 𝑎𝑓𝑖𝑗𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 c. Transeúntes que digan lo que opinan sobre un tema. 𝑀𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑙𝑜𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 d. Distintas especialidades médicas: oftalmólogos, cardiólogos, anestesistas. 𝑀𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 e. Se extrae una muestra de una "población" de bombillas para estimar la vida media de las bombillas que la integran, no será posible medir más que una vez la bombilla seleccionada. 𝑀𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑜 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 f. En un I.E.S. hay 120 alumnos en 2º de Bachillerato provenientes de 4 zonas o pueblos. 𝑀𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜  Zona A: 20 alumnos  Zona B: 32 alumnos  Zona C: 60 alumnos RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 53  Zona D: 8 alumnos 9. Sean los siguientes enunciados: A. La gerencia de mercadeo de una empresa de café, desea estimar el número de tazas de café que consumen al día los residentes de la Provincia de Cajamarca, a fin de colaborar con una campaña que está realizando el MINSA, para dar a conocer los pro y contra del consumo del café. B. Un perito de seguridad de una compañía está interesado en estimar la proporción de vehículos asegurados en la compañía que no tienen un sistema de frenos adecuado, los mismos que muchas veces causan los accidentes de tránsito. C. El departamento Sanitario de un Municipio quiere estimar la proporción de bodegas que funcionan bajo un estado sanitario defectuoso. D. El ministerio de Salud desea estimar la proporción de escolares que tienen problemas con las drogas y/o alcohol en la ciudad de Cajamarca. De los enunciados anteriores, responda con una V (si es verdadero) o con una F (si es falso) y en algunos casos complete. 1. La unidad de estudio en B, es un vehículo con sistema de frenos malogrado. V 2. La unidad de estudio en B, es el sistema de frenos. F 3. La población en C, está formada por las bodegas que funcionan en toda la jurisdicción del Municipio. V 4. La unidad de estudio en D, es un niño en edad escolar que vive en la ciudad de Cajamarca. V 5. La población en B, es el conjunto de vehículos asegurados de la CIA. 6. El marco muestral en C, puede ser la relación de bodegas con licencia municipal. 7. El marco muestral en A es: 8. El marco muestral en B, puede ser la cartera de clientes asegurados en la CIA. 9. El marco muestral en D, será: 10. La técnica en C, es entrevista por teléfono. 11. La técnica en D, es entrevista personal. 12. La técnica en B, es observación e inspección directa. 13. El instrumento de medición en A, puede ser un cuestionario. 10. Se tienen la siguiente población hipotética de 30 sectores, donde Xi = Número de viviendas y Yi = Gasto mensual en energía eléctrica por vivienda. (Soles) RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 54 a. Seleccionar una muestra aleatoria de tamaño n=10 sectores, sin reemplazo considerando como punto de arranque A (3,4) y con los datos sobre el número de viviendas y gasto mensual en energía eléctrica, estimar su promedio y varianza. b. Seleccionar una muestra aleatoria de tamaño n=8 sectores, sin reemplazo considerando como punto de arranque A (2,5) y con los datos sobre el número de viviendas y gasto mensual en energía eléctrica, estimar su promedio y varianza. 11. ¿A cuántas familias tendríamos que estudiar para conocer la preferencia del mercado en cuanto a las marcas de shampoo para bebé, si se desconoce la población total? Teniendo una Seguridad = 95%; y una precisión (error) = 3%. 12. Queremos ajustar una máquina de refrescos de modo que el promedio del líquido dispensado quede dentro de cierto rango. La cantidad de líquido vertido por la máquina sigue una distribución normal con desviación estándar 0.15 decilitros. Deseamos que el valor estimado que se vaya a obtener tenga un error de estimación no mayor a 0.2 decilitros con una confianza del 95%. ¿De qué tamaño debemos escoger la muestra? 13. Una máquina llena cajas con cierto cereal. El supervisor desea conocer con un error de estimación de máximo 0.1 y un nivel de confianza del 90%, una media estimada del peso. Como la varianza era desconocida se procedió a escoger una muestra piloto. Los resultados fueron los siguientes: 11.02, 11.14, 10.78, 11.59, 11.58, 11.19, 11.71, 11.27, 10.93, 10.94. ¿Cuántas cajas debe escoger? 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐸𝑥𝑐𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 (= 𝑣𝑎𝑟. 𝑆) 𝑦 𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 = 0.1014 𝐸 = 0.10 1 − 𝛼 = 90% = 0.90 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝐼𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎: 𝑛 = 𝑍2 × 𝑆2 𝐸2 𝑛 = 1.6452 × 0.1014 0.102 𝑛 = 27,44 ≈ 28 𝑐𝑎𝑗𝑎𝑠 14. Se desea hacer una encuesta para determinar la proporción de familias que carecen de medios económicos para atender los problemas de salud. Existe la impresión de que esta proporción está próxima a 0.35. Con un 95% de confianza y con un error de estimación de 0.05. ¿De qué tamaño debe tomarse la muestra? RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 55 15. Un productor de semillas desea saber con un error de estimación del 1% el porcentaje de semillas que germinan en la granja de su competidor. ¿Qué tamaño de muestra debe tomarse con un nivel de confianza del 95%? 16. Se desea realizar una encuesta entre la población juvenil de una determinada localidad para determinar la proporción de jóvenes que estaría a favor de una nueva zona de ocio. El número de jóvenes de dicha población es N=2000. Determinar el tamaño de muestra necesario para estimar la proporción de estudiantes que están a favor con un error de estimación de 0.05 y un nivel de confianza del 95%. 17. Un analista desea estimar el sueldo promedio de los trabajadores de una compañía determinada, con un margen de error de 80 y una confianza del 90%. Se estima que la desviación estándar de los salarios no es mayor de 400 soles. ¿Cuál es el número de trabajadores que deben muestrearse, como mínimo, para satisfacer este objetivo de investigación si se conoce que en total son 1200 trabajadores? 18. Un centro médico quiere estimar la media del tiempo que se necesita para programar una cita de un paciente. ¿De qué tamaño deberá ser la muestra si se quiere que el margen de error sea de dos minutos y que el nivel de confianza sea del 95%? ¿De qué tamaño deberá tomarse la muestra si se quiere que el nivel de confianza sea de 99%? Para la desviación estándar poblacional use como valor planeado, 8 minutos. 19. Se desea estimar el peso promedio de ochocientas bolsas con cereales. Para ello se va a escoger aleatoriamente cierto número de ellas. Se desea que el error de estimación sea máximo de 3 gramos con una confianza del 90%. ¿Cuántas bolsas deben seleccionarse? Suponga que la varianza es aproximadamente de 144 gramos al cuadrado. 20. Para estimar la proporción de familias de una determinada ciudad que poseen microondas, se quiere realizar una muestra aleatoria de medida n. Calcula el valor mínimo de n para garantizar que, a un nivel de confianza del 95%, el error en la estimación sea menor que 0,05. 21. Se desea determinar una muestra representativa para conocer la opinión en contra de la población acerca de la explotación del Cerro Quilish-Cajamarca. Se aplicó una muestra piloto a 20 de los 12000 cajamarquinos, obteniéndose los siguientes datos. Cuál es el tamaño de muestra con un 95% de confianza y un error del 3%? RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL 56 22. Una firma de tarjetas de crédito de un banco conocido desea estimar la proporción de tarjetahabientes que al final del mes tienen un saldo distinto de cero que ocasiona cargos. Suponga que el margen de error deseado es 0.03 con 99% de confianza. a. ¿De qué tamaño deberá tomarse la muestra si se cree que el 70% de los tarjetahabientes de la firma tienen un saldo distinto de cero al final del mes? 𝑝 = 0.70 𝑦 𝐸 = 0.03 1 − 𝛼 = 99% 𝑁𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝛼 = 1% 𝑁𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛 = 𝑍2 × 𝑝 × 𝑞 𝐸2 = 2.582 × 0.70 × 0.30 0.032 = 1553.16 ≈ 1554 𝑡𝑎𝑟𝑗𝑒𝑡𝑎𝑠 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 b. ¿De qué tamaño deberá tomarse la muestra si no se puede dar ningún valor planeado para la proporción? 𝑝 = 0.50 𝑦 𝑞 = 0.50 𝐸 = 0.03 𝑛 = 𝑍2 × 𝑝 × 𝑞 𝐸2 = 2.582 × 0.50 × 0.50 0.032 = 1849 𝑡𝑎𝑟𝑗𝑒𝑡𝑎𝑠 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 23. En una biblioteca se tienen cinco secciones con 500, 860, 1200, 700 y 740 libros respectivamente. Si se desea obtener una muestra estratificada del 5% de los libros. a. ¿Cuántos se toman en cada estrato con una afijación igual? b. ¿Y si la afijación es proporcional? 24. En estudios previos se determinó que 30% de los turistas que van a Atlantic City a apostar durante un fin de semana, gastaron más de $1000 dólares. La administración desea actualizar ese porcentaje. a. Usando un grado de confianza de 0.95, la administración desea estimar el porcentaje de turistas que gastan más de $1000 dentro de 1% de error. ¿Qué tamaño de muestra debería emplearse? b. La administración indicó que el tamaño de muestra que se sugirió en la parte a es demasiado grande. Sugiera que podría hacerse para reducir el tamaño de muestra. Con base en su sugerencia, vuelva a calcular el tamaño de la muestra.