Pražské algorismy

Institute for Classical Studies, part of the Institute for Philosophy, Czech Academy of Sciences in Prague Pražské algorismy Author(s): ZUZANA SILAGIOVÁ Source: Listy filologické / Folia philologica, Vol. 118, No. 1/2 (1995), pp. 38-59 Published by: Institute for Classical Studies, part of the Institute for Philosophy, Czech Academy of Sciences in Prague Stable URL: http://www.jstor.org/stable/23466857 . Accessed: 14/06/2014 23:30 Your use of the JSTOR archive indicates your acceptance of the Terms & Conditions of Use, available at . http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp . JSTOR is a not-for-profit service that helps scholars, researchers, and students discover, use, and build upon a wide range of content in a trusted digital archive. We use information technology and tools to increase productivity and facilitate new forms of scholarship. For more information about JSTOR, please contact [email protected]. . Institute for Classical Studies, part of the Institute for Philosophy, Czech Academy of Sciences in Prague is collaborating with JSTOR to digitize, preserve and extend access to Listy filologické / Folia philologica. http://www.jstor.org This content downloaded from 188.72.126.181 on Sat, 14 Jun 2014 23:30:45 PM All use subject to JSTOR Terms and Conditions http://www.jstor.org/action/showPublisher?publisherCode=icsipcasp http://www.jstor.org/action/showPublisher?publisherCode=icsipcasp http://www.jstor.org/stable/23466857?origin=JSTOR-pdf http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp Listy filologické CXVIII, 1995, pp. 38-59 Pražské algorismy ZUZANA SILAGIOVÁ (Praha) Algorismy, které spolu s komputy, Boěthiovou De institutione aritmeti ca a Eukleidovou Geometrií byly pro středověkého univerzitního studenta zdrojem základních matematických znalostí, se v minulém i tomto století těšily poměrně velkému zájmu historiků věd a editorů. Respekt badatelů si tyto traktáty, nad jejichž obsahem, tj. výkladem základních početních ope rací, by se dnes, v počítačovém věku, s pobavením či despektem usmíval leckterý žák základní školy (kdyby mu v tom nebránila neznalost latiny), získaly svým významem pro vývoj a rozvoj moderní matematiky. Algo rismus, tj. species artis numerandi secundum Jndos, jak tento pojem dle stře dověkých pramenů stručně a zároveň všeobsažně definuje německý středo latinský slovník,1 odkázal moderní vědě to, co pokládáme za samozřejmé, ba přímo banální: psaní čísel pomocí zvláštních znaků odlišných od písmen - číslic (jež dnes v běžné mluvě poněkud nepřesně nazýváme arabské) - a de sítkový poziční systém zápisu a čtení čísel. I u matematiky, stejně jako u jiných přírodních věd, platí poněkud zjed nodušené tvrzení, že na počátku stáli Arabové; v našem případě dnes ztra cený arabský spis, jehož autorem byl Abú 'Abdulláh Muhammad ibn Músá al-Chwárízmí al-Mádžúsí (asi 780-850), rodák z Chwárízmu (dnes Chíva v Uzbekistánu), matematik, astronom, geograf a komputista, jeden z učenců, pracujících v bagdádském vědeckém centru "Dům moudrosti". Obsah al Chwárízmova matematického pojednání, které se patrně jmenovalo Kitáb al-džam wa-t-tafrígh bi-hisáb al-Hind, tj. Kniha o sčítání a odečítání podle indického počtu,2 známe nyní ze čtyř latinských traktátů, které vznikly na zá kladě nedochovaného prvního latinského překladu z první poloviny 12. stol.: Dixit Algorizmi neznámého překladatele (jediný exemplář, opis ze 13. stol., je v rkp. Cambridge, Univ. lib. Ii 6.5), Liber Ysagogarum alchorismi, připi sovaný Adelardu z Bathu (okolo 1070 - po 1146), Liber alchorismi, dle tra dice z pera Jana ze Sevilly (1. pol. 12. stol.), a Liber pulveris, což je starší kratší verze předcházejícího spisu.3 1 Mittellateinisches Wórterbuch, Berlin 1967, I, 446. 2 A. P. Juškevič, Dějiny matematiky ve středověku, Praha 1977, 189. 3 G. L'Huillier, Le Quadripartitum numerorum de Jean de Murs, Geneve 1990, 33-34. Edici, překlad a rozbor těchto textů přináší A. Allard, Al-Khwarizmi. Les versions latines de ťarithmétique, Louvain-la-Neuve 1989 (cf. L'Huillier, ib.y, před 38 This content downloaded from 188.72.126.181 on Sat, 14 Jun 2014 23:30:45 PM All use subject to JSTOR Terms and Conditions http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp PRAŽSKÉ ALGORISMY Al-Chwárízmův traktát stojí na počátku bohaté řady evropských algo rismů, které mají více či méně shodný obsah a kompozici. "Standardní" al gorismus obsahuje úvodní kapitolu, která pojednává o zápisu a čtení čísel dle indického způsobu (numeratio, repraesentatio), tj. pomocí číslic 1-9 (figu rae significativae) a nuly (figura поп significativa, cifra, theca, nihilum)', po ní následují popisy jednotlivých početních operací s celými čísly (numeri integri): sčítání (additio, aggregatio), odčítání (subtractio, diminuatio), pů lení (mediatio, dimidiatio), zdvojnásobování (duplatio), násobení (multi plicatio), dělení (divisio, partitio), odmocňování (inventio radicis numeri quadrati, cubici; extractio radicis quadratae, cubicae)·, druhá část poučuje o týchž operacích se zlomky (fractiones, minutiae, numeri rupti). Algoristé pozdního středověku vypouštěli či řadili jinam duplaci a mediaci (tyto ope race byly důležité pro výpočet odmocniny, proto je někteří autoři vedli dle al-Chwárízmova vzoru jako samostatné operace), mezi dělení a odmocňo vání byla později vložena kapitola o posloupnostech (progressiones), zlom ky byly velice často zpracovávány samostatně. Výklady byly ilustrovány na příkladech (exempla), doplňovány komentáři, glosami, tabulkami a schéma ty, postupy byly ověřovány zkouškami (probae, probationes). Praktické užití teorie dosvědčují početní slovní úlohy ze života (nejčastěji z oblasti kupeckých počtů) či pro zábavu (aenigmata, probleumata, obvykle byly uvozovány slovy Si vis scire nebo Ponatur in esse, quod). Ne každý vědecký přínos odmění dějiny tím, že jméno jeho autora se sta ne pojmem: al-Chwárízmovi se to poštěstilo. Jeho přídomek v incipitu latin ského překladu Dixit Algorizmi začal být brzy považován za genitiv, nově utvořeným nominativem Algorismus či Algorithmus se začaly označovat učebnice aritmetických postupů a posléze jakýkoliv ustálený matematický postup.4 Zlatým věkem latinských algorismů bylo 13. století, doba vznikajících univerzit, didaktických básní a encyklopedií, učené období latinské literatu ry. Iohannes de Sacrobosco (John of Holywood, 1. pol. 13. stol.), autor nej slavnějšího a nejrozšířenějšího algorismů, nebyl velkým matematikem, jenž by posunul matematické vědění dopředu - z jeho současníků si toto označe ní bezpochyby zaslouží Leonardus z Pisy (Leonardo Fibonacci, 1170/80 - po ním některé z těchto textů vydali B. Boncompagni, Trattati ďaritmetica I (Algoritmi de numero Indorum), II (Ioannis Hispalensis Liber Algorismi), Roma 1857 a K. Vo gel, Muhammed ibn Musa Alch.wariz.mi's Algorismus, Aalen 1963. 4 Poprvé tohoto termínu užil v nové době G. W. Leibniz r. 1684 (Juškevič, op. cit., 345). I jméno a obsah další matematické disciplíny, algebry, odkázal moderní vědě rovněž al-Chwárízmí, a to spisem o rovnicích (až do 19. stol. byla algebra přede vším vědou o rovnicích) Al-muchtasar fí hisáb al-džabr wa-l-muqábala (Krátká kni ha o počítání pomocí doplňování a vyrovnávání). 39 This content downloaded from 188.72.126.181 on Sat, 14 Jun 2014 23:30:45 PM All use subject to JSTOR Terms and Conditions http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp ZUZANA SILAGIOVÁ 1240)5 a Iordanus Nemorarius (de Nemore, 1. pol. 13. stol.)6 -, ale prošel dvěma slavnými univerzitami (v Oxfordu studoval, na Sorbonně učil astro nomii a matematiku) a dobře věděl, co univerzitní student potřebuje. Psal kompendia, příručky ke studiu, jež si brzy a právem získaly oblibu jak stu dentů, tak učitelů v celé Evropě.7 Jeho Algorismus vulgaris čili Tractatus de arte mime randi,*' inc.: Omnia, еще a primeva origine rerum, nazývaný též Al gorismus prosaicus, brzy nahradil veršovanou učebnici encyklopedika Ale xandra de Villa Dei (1160/70-1240/50) Algorismus metricus, inc.: Hec ars presens, que dicitur algorismus? a byl hojně opisován i tištěn, čten, komento ván, přepracováván, překládán do národních jazyků. Komentář Exposicio su per Algorismus, inc.: In hoc tractatu determinatur de arte numerandi sive de numeropractico,]t)z к němu r. 1292 napsal Dán Petrus Philomena de Dacia (Peter Nightingale), byl stejně rozšířený a oblíbený jako komentovaný text.10 Je-li Sacroboskův traktát kanonickým textem mezi algorismy de integris, pak mezi pojednáními o počítání se zlomky zaujímá totéž místo Algorismus de minuciis, inc.: Modům representacionis minuciarum, přičítaný paříž skému astronomovi Jeanu de Ligniěres (Iohannes de Lineriis, 1. pol. 14. stol.),11 obsahem i kompozicí podobný Sacroboskovu spisu. V úvodní ka pitole se píše o zápisu a druhu zlomků, ve druhé se vykládá o operaci, jež je předpokladem к některým dalším úkonům, tj. o převádění na společného jmenovatele (reductio), a pak následují jednotlivé početní operace ve stej ném sledu jako u Sacroboska. 5 Dílo: Liber abaci, Practica geometrie, Flos super solucionibus quarundam questionum ad numerum et ad geometriam vel ad utrumque pertinencium, Liber qua dratorum. Ed.: B. Boncompagni, Scritti di Leonardo Pisano /-//, Roma 1857-1862. 6 Dílo: De elementis arísmetice artis (ed. L. Busard, v tisku), Algorismus demon stratus (ed. G. Ernestróm, Bibliotheca mathematica 111/7, Leipzig 1906-1907), De numeris datis (ed. В. B. Hughes, Berkeley - Los Angeles - London 1981), De trian gulis (ed. M. Clagett, Archimedes in the Middle Ages V, Philadelphia 1984), Plani spherium (ed. R. B. Thomson, 1978). 7 V Praze se ze Sacroboskových spisů četl Algorismus vulgaris (de integris), Sphaera materialis, Compulus ecclesiasticus\ tyto traktáty jsou uvedeny v katalogu v rkp. NK X G 13 z 15. stol. mezi knihami čtenými in mathematica, cf. J. Tříska, Literární činnost předhusitské' university, Praha 1967, 162; algoristický kurs byl vel mi krátký, v r. 1366 trvalo čtení tohoto spisu pouhé tři týdny, cf. Liber decanorum facultatis philosopliicae universitatis Pragensis I, Pragae 1830, 77. 8 Ed.: J. O. Halliwell, in: Rara mathematica, London 18391, 18412, 1-26; M. Curtze, Petři Philomeli de Dacia in Algorismum vulgarem Johannis de Sacro bosco commentarius. Una cum Algorismo ipso, Hauniae 1897, 1-19. 9 Ed.: J. O. Halliwell, in: Rara mathematica, London 18391, 18412, 73-83. 10 Ed.: M. Curtze, op. cit., 20-85. 11 Moderní edice - pokud je mi známo - zatím neexistuje, používá se benátský tisk z r. 1540. 40 This content downloaded from 188.72.126.181 on Sat, 14 Jun 2014 23:30:45 PM All use subject to JSTOR Terms and Conditions http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp PRAŽSKÉ ALGORISMY Zatímco algoristické traktáty, chované v západoevropských sbírkách, byly koncem 19. a začátkem 20. stol. hojně vydávány a zkoumány,12 algo rismy užívané na našem území zůstávají dosud v kodexech - s výjimkou spisku Křišťana z Prachatic13 - nepovšimnuty. Pokládám tedy za užitečné udělat jakousi inventuru našich algorismů, která by ukázala, co bylo na na šem území z tohoto oboru známo, co se používalo na univerzitě, co se sho dovalo s obecně evropskou produkcí či co se odlišovalo. Za podklad к této sondě jsem vzala rukopisy chované v Národní knihov ně a v knihovně Pražské kapituly; horní časovou hranicí je začátek 16. stol. Vzhledem к významu a bohatosti těchto sbírek se domnívám, že takto získa ný soubor rukopisů je dostatečně reprezentativním vzorkem a že poznatky získané rozborem dalších rukopisů z pražských i mimopražských knihoven by závěry zásadním způsobem neovlivnily.14 К tomuto apriornímu úsudku se kloním i proto, že jsem měla možnost seznámit se s repertoárem algoris mů i v cizích knihovnách (Budapešť, Mnichov, Stockholm, Uppsala). Prvním krokem byla excerpce Truhlářova a Podlahova katalogu,15 dru hým prohlédnutí a popis všech rukopisů, které obsahují nějaký algorismus či algoristické poznámky (a to i těch, které katalogy za matematické neozna čily), třetím porovnání obsahu a snaha o identifikaci textů, posledním pak snaha vydělit ty texty, které by stály za edici. V závěru článku pak uvádím soupis všech dotyčných rukopisů, v němž současně koriguji i omyly či ne přesnosti obou katalogizátorů. Rukopisů, v nichž je zapsán nějaký algorismus či spisek s ním souvisejí cí, je v Národní knihovně patnáct (I G 40, III Ε 28, IV G 2, IV G 8, VII Ε 9, 12 Edice vycházely zejména v německých časopisech Bibliotheca mathematica a Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik a v anglickém sborníku Rara ma thematica; významnými editory tohoto období byli B. Boncompagni, J. O. Halliwell, G. Ernestróm, M. Curtze, M. Cantor. 13 Ed.: F. J. Studnička, VKČSN 1893, tř. mat.-př., 1-14 (z rkp. NK XIII F 17), ukázka v českém překladu D. Martínkové a Z. Horského ve Výboru z. české litera tury doby husitské' II, Praha 1964, 588-591; cf. též F. J. Studnička, Uber den Algo rismus Křišťans von Prachatic, VKČSN 1892, tř. mat.-př., 100-104; J. Novák, Křiš ťan z Prachatic a matematika v jeho době, Matematicko-fyzikální rozhledy 38, 1959 1960, 186-188, 235-237, 272-275. 14 Pochopitelně byly prohlédnuty i katalogy jiných knihoven (Národní muzeum, Strahov, Olomoucká kapitula, Brno aj.), revize rukopisů však byla prozatím odlože na; jednak proto, že podle údajů lze usoudit, že v těchto rukopisech není obsaženo něco odlišného či nového, ale i proto, že některé fondy jsou momentálně těžko do stupné. 15 J. Truhlář, Catalogus codicum manu scriptorum Latinorum, qui in с. c. biblio theca publica atque universitatis Pragensis asservantur /-//, Pragae 1905, 1906; A. Podlaha, Soupis rukopisů knihovny metropolitní kapitoly pražské /-//, Praha 1910, 1922. 41 This content downloaded from 188.72.126.181 on Sat, 14 Jun 2014 23:30:45 PM All use subject to JSTOR Terms and Conditions http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp ZUZANA SILAGIOVÁ VIII Ε 27, VIII G 10, XID 7, XIIIF 17, XIIIG 18, XIIIΗ 3h, XIV В 3, XIV Ε 32, XIV F 1, adlig. 43 G 23), v kapitulní knihovně třináct (A 43, С 31, Ε 29, Ε 34, L 48, L 52, Μ 36, Μ 103, Μ 104, Μ 162, Ο 9, Ο 55, Ο 61), při čemž ν rukopisech Národní knihovny nacházíme více souvislých, celistvých textů, zatímco kapitulní zápisy obsahují převážně algoristické poznámky.16 Nejstarší z těchto rukopisů jsou univerzitní XIII Η 3h a kapitulní O 61, oba z přelomu 13. a 14. stol., v nichž je zapsán i nejstarší text z našeho sou boru, algorismus Alexandra de Villa Dei; v nejmladším NK III Ε 28 z přelo mu 15. a 16. stol. čteme anonymní samostatné zpracování traktované látky. Století čtrnácté je reprezentováno 7 kapitulními a 5 univerzitními rukopisy; nápadné je na nich to, že v nich - kromě poznámek к jednotlivostem a tabu lek - nalézáme výhradně Sacroboskův Algorismus (NK IV G 8 obsahuje nadto ještě Speculum algorismi, rovněž text známý i v cizině) a pomocné ta bulky římských a arabských číslic, které usnadňovaly nový, zatím nesnadný zápis čísel. Tato skutečnost svědčí o tom, že algorismus, počítání a psaní dle nového způsobu s "arabskými" číslicemi, byl u nás ve 14. stol. ještě novin kou, která dosud nenalezla své domácí zpracovatele. Ti se objevili - jmenuj me tady Křišťana z Prachatic a břevnovského mnicha, autora Vulgarismu - v souvislosti s rozkvětem pražského vysokého učení teprve v 15. stol., z ně hož pochází třináct rukopisů, z toho 5 kapitulních a 8 univerzitních. Algorismy a algoristické poznámky jsou zapsány do kodexů společně se spisy, s nimiž mají logickou spojitost, s Boethiovou De institutione aritme tica a Bradwardinovým spisem Aritmetica speculativa, s komputy (Sacro boskovy Computusphilosophicus a Computus ecclesiasticus, Computus chi rometralis Jana z Erfurtu, Oicreper Jana z Plavna, Computus manualis Jana z Polonie, anonymní Computus ludaicus) či se spisy astronomickými, nej častěji se Sacroboskovou Sphaera materialis, s Theorica planetarum Ger harda z Cremony, dále s různými kalendáři, cisiojany, ojediněle se spisy hu debními. Již jsem se zmínila o tom, že v nejstarších rukopisech z našeho souboru, v univerzitním XIII Η 3h z přelomu 13. a 14. stol. a kapitulním O 61 ze za čátku 14. stol., je zapsán i nejstarší z našich textů, Algorismus metricus Ale xandra de Villa Dei. Dodejme к tomu nyní, že oba rukopisy jsou per gamenové, že oba zápisy jsou nedokončené a oba se liší od znění v Halli wellově edici; tam totiž Alexandrova didaktická báseň nemá výklad o po sloupnostech, zatímco naše texty ho mají. Není těžké zjistit, že tento doda tek je vlastně zveršovaná Sacroboskova osmá kapitola. Písař univerzitního rukopisu jej zařadil i na správné místo dle Sacroboska, totiž za dělení, a svou práci skončil u výkladu o progressio naturalis; chybí tedy zbytek kapitoly o 16 Signatury rukopisů chovaných v Národní knihovně jsou označeny zkratkou NK, před signaturami rukopisů kapitulní knihovny, jež je dnes součástí Archivu Praž ského hradu, je uvedena zkratka CapPr. 42 This content downloaded from 188.72.126.181 on Sat, 14 Jun 2014 23:30:45 PM All use subject to JSTOR Terms and Conditions http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp PRAŽSKÉ ALGORISMY posloupnostech a celá kapitola o odmocňování. Zdá se, že písař kapitulního rukopisu si byl vědom, že úsek o progresi byl к Alexandrovu textu dodán; začal jej psát po dělení, po dvanácti verších však přestal, pokračoval Alexan drovým textem o odmocňování a teprve na konec připojil kapitolu o po sloupnostech i s oněmi prvními dvanácti verši. Ani tento písař práci nedo končil, z porovnání se Sacroboskem můžeme usoudit, že chybí asi něco mezi 5-10 verši, v nichž by byla vyložena pravidla o progressio intercisa. Nejpočetněji je mezi pražskými algorismy - jak se ostatně dalo očekávat - zastoupen Algorismus vulgaris Iohanna de Sacrobosco, a to celkem 15x, přičemž 8 zápisů je ze století čtrnáctého, 7 ze století patnáctého; 7 textů je komentovaných, 5 nekomentovaných, 3x naopak nacházíme komentář bez textu. Nasnadě je předpoklad, že při tak kanonizovaném textu a tak exaktní vě dě nemůžeme očekávat, že mezi jednotlivými zněními objevíme natolik pod statné rozdíly, aby nás opravňovaly к závěrům o samostatných redakcích; maximálně můžeme konstatovat větší či menší míru stylistických odchylek a větší či menší různost a četnost synonym v glosách a komentářích. Přesto nám zkoumání pražských textů nabízí poznatek, že Sacroboskův traktát u nás koloval ve dvou verzích, kratší a delší, nebo - lépe řečeno - úplné a ne úplné, přičemž i kratší či neúplná verze představuje ucelený text. Tato verze končí totiž předposlední Sacroboskovou kapitolou, tj. u posloupností, a chy bí jí kapitola o odmocňování, které bylo považováno za nový dodatek к do savadním vědomostem. Důkaz toho, že tento kratší text byl považován za algorismus celý a dokončený, nacházíme ve dvou kapitulních rukopisech, Μ 104 z 2. pol. 14. stol. a Μ 103 z 2. pol. 15. stol., a v univerzitním sborníku Oldřicha Kříže z Telče NK XIIIG 18 z 2. pol. 15. stol. Algorismus v CapPr Μ 104 končí s posledními slovy kapitoly o progresi; u progrese končí i pří klady vytvořené dle komentáře к Sacroboskovi, které si zapsal Oldřich Kříž. Dalším důkazem je zápis v rukopise CapPr Μ 103. Podlaha se mýlí i nemý lí, jestliže text na f. 210r-241r rozepisuje do tří položek, a to na Iohannis de Sacrobosco Compendium algorismi cum commentario (f. 210r-232v), De radičům extractione (f. 233r-238v) a znovu De radičům extractione (f. 239r 241r),17 a jednotlivé položky pokládá za samostatné traktáty. Ve skutečnosti jde o jeden text, a to celý Sacroboskův algorismus s komentářem, zapsaný dvěma písaři ve dvou, resp. ve třech úsecích. Na f. 210r-232v zapsal Mat thias Bohemus z Týna nad Vltavou kratší verzi, tj. prvních osm Sacrobosko vých kapitol s předmluvou Commentator circa secundum methaphisice scri bit hanc proposicionem a komentářem Iste liber, cuius subiectum est nume rus mathematice sumptus, к níž další písař na f. 233r-238v připojil komen tář к odmocňování, inc.: In ista parte autor exsequitur de попа specie huius artis, scilicet de radičům extraccione, expl.: Iste numerus ostendens radix 17 Podlaha, op. cit., II, 330-331. 43 This content downloaded from 188.72.126.181 on Sat, 14 Jun 2014 23:30:45 PM All use subject to JSTOR Terms and Conditions http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp ZUZANA SILAGIOVÁ numeri cubici maximi etc. Ecce finis, sit laus et gloria, a teprve pak na f. 239r-241r následuje závěrečná Sacroboskova kapitola o odmocňování bez komentáře, inc.: Sequitur de radičům extraccione. Et primům in numeris quadratis, exp].: Et hec de radičům extraccione tam in numeris quadratis quam in cubicis sujficiant. Et sic est finis, ave Maria, na okraji glosovaná, psaná stejnou rukou jako část druhá. Odmocňování chápané jako něco jiné ho, zvláštního, co bylo к algorismu dodáno a co představuje jakoby nadstan dardní znalosti, není nic ojedinělého, např. osm prvních Sacroboskových ka pitol v NK XID 7, f. 88r-93v je zapsáno spolu s komentářem Hanc proposi cionem scribit Boecius primo arismetice, zatímco poslední kapitola zůstává bez jakéhokoliv komentáře a glos. I v zahraničních rukopisných sbírkách se - předpokládám, že nikoliv ojediněle - nalézají samostatně zapsaná pojedná ní o odmocňování, patrně též často v podobě příslušných kapitol vytržených z původních celků.18 Sledujeme-li komentáře к Sacroboskovu traktátu, zjistíme, že se mezi ni mi - ať už jde o komentáře zapsané samostatně či doprovázející Sacroboskův text - zřetelně vydělují komentáře dva, z nichž jeden se čte výhradně v ruko pisech 14. stol. a druhý v rukopisech 15. stol. Není překvapením, že ty starší jsou varianty slavného komentáře Petra z Dacie Iste liber, in quo determina tur de arte numerandi sive de numero practico (NK VIII Ε 27), častěji se však vyskytují doplněny předmluvou Dubitatur primo circa inicium istius libelli (NK XIV Ε 32, NK XIV F 1). Rukopisy 15. stol. jsou komentovány komentářem Iste liber, cuius subiectum est numerus mathematice sumptus, consideratus in se et in suis partibus, jemuž může předcházet buď předmlu va Quisquis sciencias mathematicas pretermiserit (NK IV G 2, NK XI D 7), nebo předmluva Commentator super secundum librum methaphysice scribit (NK VII Ε 9, CapPr Μ 103), anebo obě (CapPr L 52). S minimálně půlstoletým odstupem se - tak jako Sacroboscus -11 nás ob jevuje Algorismus de minuciis Iohanna de Lineriis. Jeho traktát - kromě Křišťanova nedokončeného pokusu - je možná to jediné, co měli naši stu denti o zlomcích к dispozici;19 a to se ještě dochoval v pouhých dvou exem plářích. Oba jsou celé, starší zápis v kapitulním L 48 je pouze text, opis Mi kuláše z Teplé z r. 1443 v NK VII Ε 9 je bohatě komentovaný a glosovaný. Pestřejší a zajímavější materiál nám skýtají ostatní algoristická zpraco vání. Tradičně se tvrdí, že všechny algorismy po Sacroboskovi vznikly pře pracováním tohoto vzorového spisu. Toto tvrzení lze přijmout bez rizika, že bychom se dopustili zásadního omylu. Myslím, že můžeme směle následo 18 L'Huillier, op. cit., 638, 639, 643. Ze soupisu rukopisů, které autor používal jako prameny, vyplývá, že kromě Sacroboskovy poslední kapitoly fungovaly jako sa mostatný traktát i kapitoly XIV-XV z Liber abaci Leonarda z Pisy. 191 tento algorismus je zapsán v rubrice in mathematica v katalogu knih čtených na artistické fakultě, cf. Tříska, op, cit., 161. 44 This content downloaded from 188.72.126.181 on Sat, 14 Jun 2014 23:30:45 PM All use subject to JSTOR Terms and Conditions http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp PRAŽSKÉ ALGORISMY vat badatele o středověké krásné literatuře a odvážit se soudu, že i v oblasti odborné literatury vznikaly neustálým přepisováním a přepracováváním sa mostatné traktáty, jež mají se svým vzdáleným prototypem společné to, co společné mít musí, totiž téma a jednoznačnou, byť někdy různou termino logii, dále obvykle sled kapitol (ten je ostatně také více či méně dán logikou věci), zatímco stylistická stavba a metodická úroveň odpovídá spíše auto rovým schopnostem a záměrům. Srovnání s moderními vysokoškolskými skripty není jistě nepatřičné. Nejstarší z těchto algorismů je zápis v NK IV G 8, f. lr-5r z konce 14. stol., inc.: Quoniam quibusdam iuvenibus. Tento algorismus nazval Truhlář Speculum algorismi dle úvodní pasáže, v níž autor stejně jako Křišťan a ně kteří jiní algoristé uvádějí tradiční důvod své práce: Quoniam quibusdam iuvenibus sciencia calculandi videtur difficilis et penalis, ut igitur iuniores faciliorem modům in hac sciencia habeant procedendi, capiant presens speculum, in quo omneš utilitates algorismi continentur, což mimochodem svědčí o věčně zelených nářcích na obtížnost matematiky, jakož i o věčně zelených snahách matematiků učinit tyto nářky bezpředmětnými, ba dokon ce - v moderní době - obrátit je v radost a potěšení.20 Kompozičně se toto hutné, spoře glosované a nekomentované, přitom však velmi přehledné a ob sažné kompendium neliší od Sacroboska, s nímž se shoduje v počtu a sledu popisovaných operací. Pozoruhodné a odlišné jsou dvě věci: V oddíle o nu meraci je nula zapsána v řadě spolu s ostatními číslicemi, tedy nikoliv jako figura поп significativa v protikladu к ostatním, a v oddíle o násobení je slo vy popsáno šachovnicové násobení, ačkoliv se v literatuře tvrdí,21 že tento postup byl znám až v 15. stol. Kodex NK IV G 2 patřil podle vlastnické po známky na zadní desce nějakému mistru Václavovi a kromě našeho algo rismů obsahuje další známá matematická a astronomická díla: algorismus Sacroboskův a jeho Computus ecclesiasticus, komputus Jana z Erfurtu, Computus Iudaicus a další komputy cizí provenience. Kde a kdy Speculum algorismi vzniklo, zatím nevíme, víme však, že týž text s titulem Novus algo rismus se nachází též v rukopise А VI 37 basilejské univerzitní knihovny, datovaném do 15. stol.22 20 Pro úplnost dodejme, že ani ve středověku matematická věda nebránila pomy šlením na jiné stránky života. Mysl erfurtského studenta, který si v rkpu. NK XIV F 1 zapsal komentáře к algorismu a komputu, byla patrně rozptylována myšlenkami na jistou dámu, jejímž půvabům vzdal svým přípiskem hold na věky (cf. Truhlář, op. cit., II, 322); na druhé straně však ani vznešenost královny věd nedala písaři NK VII Ε 9 Mikuláši z Teplé zapomenout na kručící žaludek (cf. Truhlář, op. cit., I, 500). 21 F. J. StudniCka, Uber den Algorismus Křišťans von Prachatic, VKČSN 1892, tř. mat.-př., 101. 22 L. Thorndike - P. Kibre, A Catalogue of Incipits of Mediaeval Scientific Wri tings in Latin, London 1963, 1295; G. Binz, Die deutschen Handschriften der óffentli chen Bibliothek der Universitát Basel I, Basel 1907, 69-75. 45 This content downloaded from 188.72.126.181 on Sat, 14 Jun 2014 23:30:45 PM All use subject to JSTOR Terms and Conditions http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp ZUZANA SILAGIOVÁ Další tři algorismy mají jeden společný rys, totiž zmenšování počtu vykládaných operací, v čemž se tato kompendia více či méně přibližují našim učebnicovým čtyřem základním početním úkonům, tj. sčítání, od čítání, násobení, dělení. Anepigrovaný algorismus z r. 1499 v NK adlig. 43 G 23, f. lr-6r, inc.: Numeri propositi representacionem cognoscere, za psaný Michaelem Ainhauserem z Urschenpergu ve freisinské diecézi, po pisuje sedm operací, přičemž vynechává posloupnosti a odmocňování. Uvá žíme-li, že numerace je tradiční condicio sine qua поп algorismu a že dupla ce a mediace jsou jen druhy násobení a dělení, pak se tento spisek od našich početnic prakticky neliší. O něco dále jde Practica arismetrice z r. 1464 v NK XIV В 3, f. 11 vb-13ra, inc.: Cum algorismus sive practica arismetrice multas habeat partes, tamen ad presens tantum quinque sunt necessaria nobis, zapsaná v matematickém kodexu, v němž jsou i Prosdocimovy spisy a algorismus Sacroboskův. Zúžení počtu operací na pět, které chce autor po psat, protože je považuje za nejpotřebnější v praktickém (rozuměj kupec kém) životě, již odpovídá plně našemu úzu, odečteme-li tradičně nepostra datelnou numeraci. (I té se sice současní prvňáčkové musí v prvních hodi nách počtů učit, moderní matematika ji však mezi základní početní operace nepočítá.) Také toto kompendium vzniklo v cizině, v Itálii; s předcházejícím, pocházejícím z Německa, má společné některé odlišné termíny, např. repre sentacio místo numeracio, aggregacio místo addicio, dimidiare místo tne diare apod. Nejmladší z těchto kompendií, NK III Ε 28, f. 99r-101r z přelomu 15. a 16. stol., inc.: Cum apud arithmeticos aliosque mathematice discipliněperi tos, se - ačkoliv autor hned v úvodu deklaruje jiné pojetí - počtem a sledem kapitol hlásí к Sacroboskovi. Hodnota tohoto nedokončeného Algorithmu de integris (chybí posloupnosti a odmocňování) spočívá v jeho definicích. Je dině zde čteme pojem algorismus v novodobém významu "ustálený matema tický postup": autor chce vyložit všechny aritmetické otázky quatuor princi palibus algorithmis, přičemž principales jsou ty, sine quibus поп possumus operari. Početní operace rozděluje do dvou skupin: quinque dicunturprinci pales, scilicet addicio, subtraccio, multiplicacio, divisio et radičům extrac cio, quatuor autem minus principales, scilicet numeracio, mediacio, dupla cio etprogressio; ze základních úkonů tedy vysouvá už numeraci, poddruhy dělení a násobení a posloupnosti. Ačkoliv ohlašuje, že jeho intencio princi palis směřuje к prvním pěti operacím, zatímco к dalším čtyřem jen inciden talis, přece se to v praxi neprojevuje: popisy všech operací jsou stejně dlou hé, méně důležité nejsou nijak vyčleněny. Autor skutečně dostál tomu, co si předsevzal: v úvodu píše, že existuje mnoho algorismů, které vykládají vel mi rozvlekle a přitom sdělují málo, on se však chce učit u těch, kteří vysvět lují stručně. Jeho výklady jsou skutečně stručné (každá kapitolka je asi o pat nácti řádcích) a jasné; definice jsou doplněny marginálními vysvětlivkami, příklady, zkouškami, u násobení je tabulka násobilky digitů. 46 This content downloaded from 188.72.126.181 on Sat, 14 Jun 2014 23:30:45 PM All use subject to JSTOR Terms and Conditions http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp PRAŽSKÉ ALGORISMY Za nejzajímavější z tohoto souboru považuji dva algoristické spisy, které prokazatelně a nepochybně byly sepsány na našem území a u nichž známe jak autora, tak prostředí, v němž vznikly. První z nich, algorismus Křišťana z Prachatic, inc.: Motus parvulorum amore, je spjat s prostředím pražské univerzity a dochoval se ve dvou opi sech, v rkp. NKIV G 2, f. praelig. v-14v, který Truhlář datuje do 15. stol., a v rkp. NK XIII F 17, f. 39r-46v, datovaném do první poloviny téhož století. Křišťan napsal svůj algoristický traktát v době, kdy aritmetiku a kompu tistiku přednášel na artistické fakultě pražské univerzity23 a kdy - jako větši na vysokoškolských učitelů - považoval za nutné napsat pro své studenty, kteří měli к dispozici do té doby jen Sacroboskovy texty, novou učebnici. Sepsal ji pro oba své kursy a v úvodu к oběma kompendiím dle zvyku vyjá dřil důvod svého zpracování: svým žákům chce usnadnit učení a ulehčit po chopení nesnadné látky (algorismus: motus parvulorum amore rudimenta artis compotistice brevi stilo curavi conscribere, komputus: utpueri facilius capiant intellectum computorum). Jeho autorství je doloženo glosami a ko mentářem obou zápisů (IV G 2: Istum vero textům fecit magister Cristannus de Prachaticz', XIII F 17: Incipit Algorismus prosaycus magistři Cristanni; scilicet ego magister Cristannus; mota causa fuit ipse Cristannus), v komen tářích čteme rovněž titul: Rudimenta artis computistice ve IV G 2, Algo rismus prosaycus v XIII F 17. Tento titul nám napovídá, že základním vý chozím textem Křišťanovy verze - jinak ani nelze předpokládat - byl algo rismus Sacroboskův, což potvrzuje i komentátor rukopisu IV G 2, když v 23 Literatura (Studnička, Uber den Algorismus, 100; J. Tropfke, Geschichte der Elementar-Mathematik I, 19212, 117; Q. Vetter, Dějiny matematických věd v českých zemích od založení university v r. 1348 až do r. 1620, Sborník pro dějiny přírodních věd a techniky IV, Praha 1958, 82; Novák, op. cit., 187; Výbor z české literatury doby husitské II, Praha 1964, 588; P. Spunar, Repertorium auctorum Bohemorum pro vectum idearumpost universitatem Pragensem conditam illustrans I, Studia Coperni cana 25, 1985, 124) uvádí, že Křišťanův traktát vznikl kolem r. 1400, doklady к tomu to údaji však nikde nenacházíme. Rukopisy, v nichž je algorismus zapsán, mají sice některé položky datovány (Křišťanův traktát je však vždy bez data), ale nikdy ne tak brzo, nejstarší datum je 1429; Křišťanův komentář к Sacroboskovi z freiburské uni verzitní knihovny je datován 1409. Můžeme předpokládat, že matematické a astrono mické obory přednášel Křišťan na univerzitě patrně dlouho; termínem a quo je rok 1390, kdy složil mistrovské zkoušky a tím získal i licentiam docendi, za termín ad quem můžeme považovat rok 1439, kdy zemřel, přičemž v r. 1437 byl naposled rekto rem. Na zadním přídeští rkpu. CapPr Μ 74 je nedatovaný přípisek Item a magistro Cristanno audivi arithmeticam et inceperat per dies caniculares et finivit ante fes tům Venceslai·, podobné přípisky na předním přídeští, týkající se jiných přednášek, jsou datovány 1433, 1434, 1444, 1445. V Seznamu pramenů Slovníku středověké la tiny (sešit 1, Praha 1977, str. XXVIII) datoval Bohumil Ryba všechny Křišťanovy spisy ante 1439. 47 This content downloaded from 188.72.126.181 on Sat, 14 Jun 2014 23:30:45 PM All use subject to JSTOR Terms and Conditions http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp ZUZANA SILAGIOVÁ předmluvě - dle komentářové tradice - uvádí autority, jimiž jsou primo ... inter Latinos Boecius, demum Algi, quifuit vir sapiens nacione Arabs, a pra men, jímž je starý text s titulem Algorismus, qui incipit Omnia, que a prim eva. I nadále se komentátor přidržuje obvyklých postupů: autora nové verze sice jmenuje (Istum vero textům fecit magister Cristannus de Prachaticz), za důležitější však považuje způsob výkladu (Sed de isto поп est multum curan dum, quis dicit, vel quis fecit..., sed quiddicatur etc.), který by měl studující ho přivést ke causa finalis této vědy, jíž je scire numerare practice. Algoristickou látku vykládá Křišťan rozdělenu do týchž kapitol a ve stej ném sledu jako Sacroboscus, výklad je uzavřen kapitolou o zlomcích. Zdá se, že zlomky měly být součástí Křišťanovy verze, že Křišťan chtěl napsat učebnici, která by obsáhla celé přednášené algoristické učení, tj. algorismus de integris a de minuciis; tak to aspoň oznamuje komentář ve IV G 2, když v předmluvě píše, že spis se skládá z 10 kapitol a poslední že bude o zlomcích. Nová kapitola je však evidentně nedokončená či špatně opsaná z předlohy. Ve XIIIF 17 dokonce partie o zlomcích netvoří integrální část textu (také se o nich komentátor nezmiňuje a na rozdíl od předcházejících kapitol nejsou zlomky komentovány), ale je jakoby připsána na zbylou polovinu stránky, až za násobilkové tabulky, které jsou jako dodatek nakresleny na nové strán ce za dokončenou kapitolou o odmocňování. To vedlo Truhláře к tomu, že za explicit považuje v tomto případě debebit resultare, tedy poslední slova výkladu o odmocňování. V mladším IV G 2 následují zlomky bezprostřed ně za odmocňováním a tvoří s předcházejícím textem celek; rozsahem je vý klad totožný se zněním v XIII F 17 (což je jasné i přes to, že chybí dolní po lovina stránky), věcná chyba v XIIIF 17 je uvedena na pravou míru a traktát je považován za ukončený; za explicit vel integram ulnam (tak i Truhlář) písař totiž připsal et sic est finis. Marginální komentář, psaný stejnou rukou, však pokračuje dál, dočítáme se v něm ještě o převádění na společného jme novatele, což je druhá kapitola "standardního" algorismu de minuciis, až jej v půli slova ukončí přetržená stránka. I přes tato konstatování zůstává (mož ná pouze zatím) bez odpovědi otázka, zda písař rukopisu IV G 2 opisoval z XIII F 17 či zda oba písaři měli к dispozici jinou, nám neznámou předlohu. Oba texty jsou komentovány a bohatě glosovány, doplněny příklady a tabulkami. IV G 2 je uveden dvěma předmluvami, Homo nascitur imper fectus, sed perfectibilis est virtutibus et scienciis a Debemus autem attende re dogma Aristotelis, a kromě marginálního komentáře Iste liber, cuius sub iectum est numerus mathematice sumptus in suis partibus atque passionibus per modům introduccionis consideratus má ještě další komentář na veva zovaných malých lístcích, pocházející z pera dalšího písaře či čtenáře. U pří slušných kapitol jsou nakresleny tabulky násobilky digitů a druhé a třetí mocniny, operace jsou ilustrovány příklady, zapsanými rovněž na okraji. XIIIF 17 je komentován jiným komentářem, inc.: Causa materialis seu sub iectum istius tractatuli est numerus pro signo numerandi; i zde nacházíme 48 This content downloaded from 188.72.126.181 on Sat, 14 Jun 2014 23:30:45 PM All use subject to JSTOR Terms and Conditions http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp PRAŽSKÉ ALGORISMY přípisky a poznámky další rukou. Odmocňování je doplněno tabulkou dru hé a třetí odmocniny, u násobení je in margine předveden výpočet šachov nicovým způsobem, občas jsou důležitá pravidla sestavena do mnemo technických veršů, na konci traktátu jsou narýsovány dvě velmi užitečné ta bulky: čtvercová malé násobilky (nikoliv už jen digitů) a trojúhelníková vel ké, kvůli přehlednosti zakreslená dvojbarevné; z ní je možno vedle násobků rychle a pohodlně vyčíst i druhé mocniny čísel 1-20. Znal-li čtenář princip šachovnicového násobení a měl-li navíc к dispozici tabulku malé násobilky, pak vypočítat násobek jakkoliv velkých vícemístných čísel bylo pro něho hračkou, neboť číslice násobků nalezených v tabulce a dosazených do ša chovnice potřeboval už jen pozorně sečíst. (Právě kvůli těmto tabulkám je Křišťan oceňován a zmiňován historiky matematiky.)24 Lze předpokládat, že autorem obou komentářů je sám Křišťan (v komentáři XIIIF 17 čteme: mo tus, scilicet ego magister Cristannus', o dalším svědectví viz níže), a nabízí se lákavá hypotéza, že je autorem i komentáře к Sacroboskovi s incipitem Iste liber, cuius numerus est mathematice sumptus apod. a že studium a ko mentování tohoto základního textu bylo vlastně přípravnou prací к vlastní verzi; tuto otázku však pomůže rozřešit až prostudování rukopisu Η 57 freiburské univerzitní knihovny. V tomto matematicko-astronomickém sborníku (obsahuje mj. Sacroboskovu Sphaera materialis, Computus chiro metralis Jana z Erfurtu, Computus Iudaicus s komentáři, Algorismus de mi nuciis Iohanna de Lineriis, komputistické a astronomické tabulky) je na f. 114r-120v zapsán komentář к předcházejícímu Sacroboskovu Algorismus prosaicus, inc.: Iste liber, cuius subiectum est numerus in se et in suis parti bus consideratus, datovaný 1409, lokalizovaný do Prahy a připisovaný prá vě Křišťanovi z Prachatic: Expliciunt notabilia super algorismo communi in integris reportata et collecta originaliter Prage a magistro reverendo Cri stando [sic] de Prachaticz astronomico famoso cum enigmatibus, quorum quedam ab eo sunt data, alia vero aliunde collecta.25 Druhý z těchto textů, zapsaný v univerzitním rukopise XIIIF 17, f. 17 lr 175r, inc.: Incipit Bohemarius pulcer et utilis. In nomine infallibilis omnium rerum numeratoris de numero vulgari ob numerum sanctorum 12 aposto lorum 12 regulas sic iuvenibus tradens trado, expl.: Explicit xxxrismus edi tus per quendam religiosum monasterii Brzexvnowiensis, a v kapitulním L 52, f. 2v-3v, inc.: Incipit vulgarismus, id est ars de numero vulgari. Pro hemium. In nomine infallibilis omnium rerum numeratoris ob numerum 24 Studnička, Uber den Algorismus, 101; Tropfke, op. cit., 144; Q. Vetter, Ději ny matematických věd v českých zemích od založení university v r. 1348 až. do r. 1620, Sborník pro dějiny přírodních věd IV, Praha 1958, 82; Novák, op. cit., 237; Juške vič, op. cit., 116. 25 W. Hagenmaier, Die lateinischen mittelalterlichen Handschriften der Univer sitiitsbibliothek Freiburg im Breisgau, Hs. 1-230, Wiesbaden 1974, 22. 49 This content downloaded from 188.72.126.181 on Sat, 14 Jun 2014 23:30:45 PM All use subject to JSTOR Terms and Conditions http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp ZUZANA SILAGIOVÁ sanctorum duodecim apostolorum duodecim regulas hic iuvenibus tradens trado, expl.: Explicit Vulgarismus, id est ars de numero vulgari per quen clam religiosum conventus Brewn. edita, sub anno domini M°CCCC" finita, in nomine dei amen, zařazujeme mezi algorismy s jistými rozpaky a pochyb nostmi. Sám autor, jistý řeholník z břevnovského kláštera, jej v rukopise CapPr L 52 nazývá Vulgarismus (a tak je nutno číst i porušené místo v ex plicitu NK XIII F 17, které Truhlář doplnil na Algorismus),26 id est ars de numero vulgari; písař, který text zapsal do NK XIII F 17, mu přidal ještě jedno jméno, Bohemarius pulcer et utilis, byť o žádný latinsko-český slov níček nejde. Obsahem spisku je užitečný a potřebný výklad o tom, jak zapi sovat čísla, která se dělí na unitates, denarii, centenarii, millenarii; jde tedy o numeraci, která se vykládává v první kapitole algorismu. Tím ale veškerá podobnost s algorismy končí: dvanáct regulí, jichž je právě tolik jako apoš tolů a které tvoří obsah spisku, podává totiž poučení o zápisu čísel pomocí římských číslic, zatímco alfou a omegou algorismu jsou číslice arabské. Cennější je starší zápis z r. 1400 v CapPr L 52: text je sice neglosovaný a nekomentovaný, velkou hodnotu však mají tři tabulky, které jej doprovázejí a které podávají zajímavé informace o vývoji psaní čísel. Z první tabulky se dovídáme, jaký číselný význam mají minuskule latinské abecedy, a to u všech písmen, a-z (podobnou informaci podává i Křišťan v NK XIII F 17, omezil se však jen na literní ekvivalent digitů, tj. prvních devět písmen); tře tí, zaznamenaná na vevázaném lístku, vypovídá totéž o latinských majusku lích. Z našeho hlediska je nejzajímavější tabulka druhá, z níž vyplývá, že autor věděl o tom, že algoristé užívají speciálních znaků pro vyjádření po čtu, na rozdíl od nich však nemá povědomost o jejich neevropském původu a číslice užívané v algoristických traktátech odvozuje od deseti latinských minuskulí: Aliter ad artem algorismi littere alphabeti sunt sumpte decem. Nam significat: a rotulare VII, s usuale VI, I unum, I curvum duo, χ superius clausum //// atd. Zatím nevíme, zda Vulgarismus vznikl jako studijní příručka či jako for mální učenecká hříčka zbožného řeholníka (invokace к Bohu, jež spis uvo zuje a jíž začíná i Dixit Algoriz.mi, je v algoristické literatuře jev řídký a ne obvyklý), toužícího vidět vše uspořádáno dle Božího řádu. Oba texty jsou sice zapsány ve školských konvolutech (podle CapPr L 52, který kdysi pa třil rektorovi v Chebu a svatovítské škole a v němž jsou kromě komputistic kých spisů, Křišťanova kalendáře a Sacroboskova Algorismu zapsány i Kla retův Astronomiarius, Medicaminarius, Complexionarius a Enigmaticus, se učilo ve svatovítské škole;27 z kodexu NK XIII F 17, který obsahuje kano nická komputistická a algoristická díla, se četlo na univerzitě), stopy užívá 26 Cf. Truhlář, op. cit., II, 251. 27 A. Vidmanová, Laborintus, Praha 1994, 157. 50 This content downloaded from 188.72.126.181 on Sat, 14 Jun 2014 23:30:45 PM All use subject to JSTOR Terms and Conditions http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp PRAŽSKÉ ALGORISMY ní však nesou minimálně: glosována je jen polovina zápisu v NK XIII F 17, který je patrně opisem z CapPr L 52. Velmi stručně se zmíním o poznámkách, které v rukopisech porůznu na cházíme. Vyskytují se jak v matematických kodexech, kde doprovázejí ma tematické spisy, což je logické a očekávané, tak i samostatně mezi jinými spisy, velice často na vybylém místě na papíře či na přídeští. Nejhojnější mezi nimi jsou poznámky vysvětlující psaní číslic, a to jak arabských, tak římských. Nástup arabských číslic neproběhl jako rychlý, v krátkém čase uzavřený proces; poprvé bylo sice arabských číslic užito v 9. stol., ale obou systémů a číslovek se i v matematické literatuře promiskue užívalo až do 15. stol., převahy (i v občanském životě) nabývají arabské čí slice teprve v polovině 16. stol.28 Není tedy divu, že poznámky tohoto druhu nacházíme setrvale: arabské číslice zůstávaly dlouho něčím speciálním, běž ně nezažitým; novým a neobvyklým byl především poziční systém. Ještě Klaret ve svém Vokabuláři, kde matematice jsou věnovány verše 230-242 a druhům číslovek a číslic verše 587-731, píše, že obtížnější než římský způ sob je nový, uměle vytvořený (artificialis) systém, používající značek 1-10, a vysvětluje jeho podstatu.29 Rychlou orientaci a poučení v tomto bodě po skytovaly tabulky, které paralelně zaznamenávaly arabské ekvivalenty к římským číslicím (CapPr Ε 29, CapPr Ε 34); některé výslovně upozorňují na zvláštnosti zápisu v algoristických traktátech (CapPr O 9: Pro argorismo quomodo numerus debet scribi) či vysvětlují řádovou hodnotu jednotlivých míst (limites, differencie) v číslici (CapPr L 52, CapPr Μ 103, CapPr Ε 29). Obtíže činilo i psaní římských číslic (to ostatně známe i z moderní doby), kdy vlastně už při zápisu je třeba používat sčítání a odčítání; mnemotechnic ké verše o číselném významu latinských majuskulí a jejich funkci v různém postavení, převzaté z Klaretova Vokabuláře,30 nacházíme v kapitulních ru kopisech: z šesti dochovaných Klaretových veršů jich A 43 a Ε 29 repro dukují pět, naopak L 52 к nim přidává dalších šest veršů; po verších násle duje obvykle ještě tabulka, kde kvantita římské číslice je vyjádřena slovním ekvivalentem. Nejúplnější informace o číslicových systémech (číselný vý znam latinských majuskulí a minuskulí, specifičnost algoristického zápisu čísel) podávají tabulky na f. 2v-3v připojené к Vulgarismu (CapPr L 52); o nich viz výše. Stejně často nacházíme i tabulky komplikovaného a časově náročného odmocňování a různých násobilek (digitů, tj. 1-9, malé a velké), potřebných к dalším úkonům, eventuálně násobky deseti (verše CapPr A 43, CapPr Μ 103); ty prakticky téměř vždy provázejí příslušné kapitoly algorismů, vy 28 Tropfke, op. cit., 38; JuškeviC, op. cit., 189, 194, 342, 347. 29 Ed. V. Flajšhans, Klaret a jeho družina, sv. I, Praha 1926, str. 1-30. 30 ClarVoc 712-717. 51 This content downloaded from 188.72.126.181 on Sat, 14 Jun 2014 23:30:45 PM All use subject to JSTOR Terms and Conditions http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp ZUZANA SILAGIOVÁ skytují se však i samostatně (CapPr Μ 103, CapPr Μ 162). O šachovnico vém násobení u Křišťana jsme mluvili už výše. Správnost operací byla dokazována zkouškami, které byly uváděny nej častěji v komentářích a glosách; a to buď pomocí opačné operace, anebo - pro násobení a dělení - oblíbenými devítkovými zkouškami. Samostatně za psané návody ke zkouškám nacházíme jen v rukopisech NK IV G 2 a NK XIII F 17, tedy v těch kodexech, které byly prokazatelně používány při uni verzitní výuce. Na příkladech, které středověký student znal pod jménem enigmata či probleumata, si bylo možno ověřit pochopení učiva či se v dané látce pocvi čit, eventuálně si zábavným způsobem bystřit mysl. Najdeme je velice často připsány na okrajích jednotlivých kapitol, ale i samostatně sestaveny v po řadí dle jednotlivých operací do nerozsáhlých sbíreček, obvykle doprovo zeny i řešeními; i tady jako u zkoušek pozorujeme zajímavý fakt, že samo statné zápisy nacházíme převážně ve školských konvolutech (NK IV G 8, NK XIIIF 17, CapPr L 52, CapPr Μ 103). Zvláštní charakter mají příklady v NK XIII G 18, v kodexu, který po Rožmbercích vlastnil třeboňský klášter a který je takřka celý dílem Oldřicha Kříže z Telče. Matematika se tu obje vuje ojediněle, nikoliv však nahodile: na tři folia mezi Petrarkův překlad Boccacciovy povídky o Griseldě a Bernardův spis De formula honeste víte si Kříž - patrně v době, kdy byl učitelem31 - opsal odněkud spolu se země měřičskými poznámkami enigmata, která se nepřimykají ke kapitolám, ale к záhlavím nějakého komentáře к Sacroboskovi. Zrekapitulujme nyní závěry, vyplývající z rozboru našeho materiálu. Ukázalo se, že repertoárem a charakterem se algoristická literatura v na šich zemích podobá evropské literatuře tohoto druhu: je spjata především s univerzitním a klášterním prostředím; nejrozšířenější učebnicí pro čísla celá byl Sacroboskův Algorismusprosaicus; poprvé se u nás objevil teprve ve 14. stol. Naopak jsme v našich fondech zatím nenalezli jiné slavné učebnice, ja ko např. spisy Leonarda z Pisy, Iordana Nemoraria či Iohanna de Muris. To, že z algorismů o zlomcích nacházíme jen Algorismus de minuciis Iohanna de Lineriis (poprvé na začátku 15. stol.) a jeden domácí pokus o zpracování tohoto učení, ukazuje na to, že zlomky se patrně začaly učit na univerzitě až v 15. stol. Domácí zpracování algoristické látky z pera Křišťana z Prachatic vzniklo až začátkem 15. stol., a to v přímé souvislosti s pražskou univerzi tou. Je docela možné, že prvním stupněm Křišťanovy práce bylo sepsání ko mentáře к Sacroboskovi, odpověď na tuto otázku je však možná až po dal ším bádání. Rovněž otázka, zda i Speculum algorismi ze 14. stol. vzniklo na naší půdě, zůstává zatím otevřená a nedořešená. Z algoristické tradice se zcela vymyká Vulgarismus ze začátku 15. stol., zabývající se jen jedním pro 31 Cf. J. Kadlec, Oldřich Kříž z Telče, LF 79, 1956, 91-102, 234-238. 52 This content downloaded from 188.72.126.181 on Sat, 14 Jun 2014 23:30:45 PM All use subject to JSTOR Terms and Conditions http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp PRAŽSKÉ ALGORISMY blémem, a to algorismu cizím, tj. psaním římských číslic. Hojnost poznámek, vysvětlujících nový způsob zápisu čísel, svědčí o dosavadní neobvyklosti a obtížnosti tohoto jevu. Tato rekapitulace pomůže zodpovědět i otázku, co z algoristické pro dukce zachované v našich sbírkách by stálo za edici. Měli-li bychom před stavu sborníku textů, které by ilustrovaly dějiny matematického myšlení v Čechách, pak se domnívám, že z algoristiky by v něm neměla chybět kritic ká edice Křišťanova traktátu s komentářem a poznámkami, jeho komentář к Sacroboskovi, Speculum algorismi s určením původu, Vulgarismus s tabul kami a s komentářem, možná některé z pozdějších kompendií, obojí mnemo technické verše a výběr z příkladů. Appendix: Soupis zkoumaných rukopisů Rukopisy jsou řazeny chronologicky (a to podle údajů, nalezených v ru kopisech, v ostatních případech podle datace katalogizátorů), evidovány jsou pouze algoristické traktáty a poznámky. Údaje následují v tomto pořadí: sig natura, foliace, datace (datum není uvedeno v případě, je-li stejné jako u předcházející položky), autor, název spisu, incipit a explicit textu, incipit ko mentáře, údaje o poznámkách, tabulkách, glosách apod., jméno písaře, údaj o úplnosti díla. Jména autorů, písařů a název spisu zachovávají podobu, v níž jsou uvedeny v rukopise; při různosti znění se dává přednost tvaru nalezené mu v titulu, pak v komentáři, glose, obsahu, přípiscích na přídeští apod. Do plněný titul či údaje v něm jsou uvedeny v hranaté závorce, v tom případě znění koresponduje s titulem tradičním či titulem poslední edice. Není-li ob sah spisu v rukopise nijak určen nebo není-li jasný z názvu, je v kulaté zá vorce uvedena česky jeho charakteristika. NK XIII Η 3h f. 75r-78r, XIII/XIV, [Alexandři de Villa Dei Algorismus metricus], Hec algorismus presens ars dicitur ... si par per medium sibi multiplicacio propinquum, komentář Hec sciencia est de numeris, que Algorismus ab inventore vel ab algos, nedokončeno. CapPrO 61 f. 165r-167r, XIV in., [Alexandři de Villa Dei] Algorismus, Hec algoris mus ars presens dicitur... sic numerus unus, tres, 5, 7 novem sunt, nedo končeno. CapPr Μ 36 f. 64v-65r, 1360, Ad algorismum (= úvod к nějakému algorismu), Sicut di cit philosophus in libro topicorum, sciencia est bonům magis appetibile ... ad litteram accedamus, que solito more aliorum auctorum dividitur in duas partes, in partem prohemialem et partem executivam. 53 This content downloaded from 188.72.126.181 on Sat, 14 Jun 2014 23:30:45 PM All use subject to JSTOR Terms and Conditions http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp ZUZANA SILAGIOVÁ NK I G 40 f. 150v-155r, 1383, [Iohannis de Sacrobosco] Algorismus, Omnia, que a primeva ... aliquo modo possemus operari, bez komentáře a glos, ne dokončeno. NK XIV Ε 32 f. 34r-44v, 1396, Iohannis de Sacro Busco Algorismus de integris vel de numero integrorum [cum commentario Petři de Dacia], Omnia, que a primeva ... tam in numeris quadratis, quam cubicis, komentář Iste li ber, de quo determinatur de arte numerandi seu de numero practico, předmluva Dubitatur primo circa inicium istius libelli, písař Petrus de Planass. CapPrС 31 f. 69ra, XIV/2, [Iohannis de Sacrobosco] Ars numeraria (= Algorismus vulgaris), Omnia, que a primevo rerum ordine ... competenter potest poni, bez komentáře a glos, písař Nycolaus de Tusto, nedokončeno. CapPrΕ 29 f. 222r, XIV/2, (Tabulka arabských a římských číslic 1-2 000 000); f. 222r, (Verše o psaní římských číslic), I monos, V quinos, X denos, dupla vicenos ... С si přecedit, aufert centům. CapPr Ε 34 f. 96r, XIV/2, (Tabulka arabských a římských číslic 1-194). CapPr Μ 104 f. 3r-6v, XIV/2, [Iohannis de Sacrobosco] Algorismus, Omnia, que a prime va rerum origine ... patebit summa tocius progressionis, bez komentáře a glos, zkrácená verze (kapitola 1-8). CapPr O 55 f. 25r-30r, XIV/2, [Iohannis de Sacrobosco] Algorismus cum enigmatibus, Omnia, que a primeva origine ... numeri quadrati radičem extrahere. Primo notandum, bez komentáře a glos, nedokončeno. NK IV G 8 f. lr-5r, XIV ex., Speculum algorismi, Quoniam quibusdam iuvenibus ... et hoc patet extra in spacio, bez komentáře, interlineární glosy; f. 48v-55v, [Iohannis de Sacrobosco Algorismus vulgaris], Omnia, que a primeva ... de radičům extraccione dieta suffiuciunt, marginální a interlineární glosy; f. 65v-66v, (Příklady). NK XIV F 1 f. 52v-57v, XIV ex., [Petři de Dacia Commentarius in] Iohannis de Sacro Busco Algorismum de integris vel de numero integrorum, Iste liber, in quo determinatur de arte numerandi seu de numero practico... capia 54 This content downloaded from 188.72.126.181 on Sat, 14 Jun 2014 23:30:45 PM All use subject to JSTOR Terms and Conditions http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp PRAŽSKÉ ALGORISMY tur exemplum tale de toto modo practicandi etc., předmluva Dubitatur primo circa inicium istius libelli, písař studens Erfordiensis, nedokončeno. CapPrO 9 opere, super., XIV ex., Pro argorismo quomodo numerus debet seribi ( = Psaní arabských číslic 1-1010). NK VIII Ε 27 f. 65r-71v, XIV, [Petři de Dacia Commentarius in Iohannis de Sacrobos co Algorismum communem], In hoc tractatu determinat de arte calcu landi sive de numero practico ... bene factum est vel operátům, písař Ryntfles. NK VIII G 10 f. 62r-v, XIV/XV, De numero algorismi notabilia sive regule ( = numera ce), Nota. Numerorum alius digitus, alius articulus, alius compositus ... maiorem numerum preponamus. Versus: Нас in doctrina ... milia quinta decem. CapPr L 48 f. 52vb-58ra, 1410, [Iohannis de Lineriis] Algorismus minuciarum, Mo dům representacionis minuciarum vulgarium etphisicarum ... quipropo nitur ignotus, bez komentáře a glos. CapPr Μ 103 f. 204r-205r, 1427-1430, Quedam tabula de radičům extraccione; f. 205v, Exemplificacio millenarii super se per modům quadratorum ... per modům cubicorum; f. 205v-206r, Versus de progressione; f. 206v, (Příklady к numeraci a sčítání); f. 207r-208r, Enigmata circa Algorismum; f. 209v, Figura de multiplicacione (Verše o násobení deseti); f. 210r-232v, Iohannis de Sacro Busco Algorismus prosaicus, Omnia, que a primeva... summa tocius progressionis, komentář Iste liber, cuius sub iectum est numerus mathematice sumptus, předmluva Commentator cir ca secundum methaphisice seribit hanc proposicionem, písař Mathias Bohemus de Thin, zkrácená verze (kapitola 1-8); f. 233r-238v, [Petři de Dacia Commentarius in ultimum capitulum Io hannis de Sacrobosco Algorismi vulgaris], předmluva: In ista parte autor exsequitur de попа specie huius artis, scilicet de radičům extrac cione et dividitur in duo, komentář Sed numerus dupliciter potest, f. 239r-241r, [Ultimum capitulum Algorismi communis Iohannis de Sa crobosco], Sequitur de radičům extraccione ... et hec de radičům ex traccione in numeris cobicis quam quadratis sufficianf, f. 241v-242r, (Psaní arabských číslic, řádová hodnota míst); f. 242v, (Druhy čísel). 55 This content downloaded from 188.72.126.181 on Sat, 14 Jun 2014 23:30:45 PM All use subject to JSTOR Terms and Conditions http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp ZUZANA SILAGIOVÁ NK XIII F 17 f. 39r-46v, XV/l, Magistři Cristanni Algorismus prosaycus, Motus par vulorum amore ... vel integram ulnam, komentář Causa materialis seu subiectum istius tractatuli est numerus pro signo numerandi, interlineár ní glosy, tabulky; f. 47r-47v, (Příklady к odčítání, mediaci, duplaci, násobení); f. 52rv, Probaciones omnium specierum algorismi per 9; f. 17 lr-175r, Cuiusdam religiosi monasterii Brzewnowiensis Bohemarius pulcer et utilis, In nomine infallibilis omnium rerum numeratoris de nu mero vulgari ob numerum sanctorum 12 apostolorum 12 regulas sic iu venibus tradens trado ... sit deo laus et honor sine omni numero et finálí. Explicit xxxrismus editus per quendam religiosum monasterii Brzewno wiensis, glosy; f. 175v-177r, Regule valentes pro mercimoniis ac aliis proporcionibus in veniendis ( = příklady z kupeckých počtů); f. 177v-178v, Probaciones omnium specierum algorismi. CapPrL 52 f. Iv, XV/1, (Tabulka, psaní arabských číslic, řádová hodnota míst); f. Iv, (Verše o psaní římských číslic), I monos, V quinos, X denos, dupla vicenos ... sed nonaginta dat XC, glosy; f. 2r, Tabula exemplorum numerorum (= Psaní římských číslic), I unita tes ... С centenarii·, f. 2v-3v, 1400, Cuiusdam religiosi conventus Brzewn(owiensis) Vulga rismus, id est ars de numero vulgari, Prohemium. In nomine infallibi lis omnium rerum numeratoris ob numerum sanctorum duodecim apo stolorum duodecim regulas hic iuvenibus tradens trado ... Explicit Vul garismus, id est ars de numero vulgari per quendam religiosum conven tus Brewn(owiensis) edita, sub anno domini M°CCCC" finita, in nomine dei amen, bez komentáře a glos, 3 tabulky; f. 17r-34v, Iohannis de Sacro Busco Algorismus prosaycus, Omnia, que aprimeva ... tam in quadratis, quam in cubicis dieta sufficiant, komentář Iste liber, cuius subiectum est numerus mathematice sumptus, consi deratus in se et in suis partibus atque passionibus, předmluvy Si quis sciencias mathematicas pretermiserit a Comentator supra secundum li brum methaphisice seribit hanc proposicionem, glosy; f. 35r-v, (Příklady к jednotlivým operacím); f. 35v-36r, (Psaní arabských číslic, řádová hodnota míst). NK XIV В 3 f. 9vb-l 1 vb, 1454, [Iohannis de Sacrobosco Algorismus vulgaris], Omnia, que a primitiva ... tam in numeris quadratis, quam in numeris cubicis, písař Franciscus Sanuto, bez komentáře a glos; f. llvb-13ra, Practica Algorismi, [Algorismus, Practica arismetrice], 56 This content downloaded from 188.72.126.181 on Sat, 14 Jun 2014 23:30:45 PM All use subject to JSTOR Terms and Conditions http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp PRAŽSKÉ ALGORISMY Cum algorismus sive practica arismetrice multas habeat partes ... erit proba numeri dividendi, si bene fecisti aut male, písař Franciscus Sanli to, bez komentáře a glos; f. 13rb, 1462, De regulis multiplicandi atque dividendi in calculo, Primo dico, quod quanto numerus multiplicandus fuit ...ad genus frac с ionum inferiorum dividencium. CapPr A 43 f. praelig. Ir, XV/2, (Verše o psaní římských číslic), Imonos, X denos, du pla vigenos ... С si přecedit, aufert centům; f. praelig. Ir, (Verše o násobení deseti). NK XIII G 18 f. 247v-248v, XV/2, Enigmata Algorismi, Est autem numeracio. Sit unus mercator... unus alium in septimo die investigabit, písař Crux de Telcz. NK adlig. 43 G 23 f. lr-6r, 1499, [Algorismus], Numeripropositi representacionem cognosce re ... an bene factum sit, potest probari, bez komentáře a glos, písař Mi chael Ainhauser ex Urschenperg. CapPr Μ 162 f. 88v, XV, Pulcherrima thabella multiplicandi et dividendi. NK IV G 2 f. praelig. r-14v, XV, Magistři Cristanni de Prachaticz Rudimenta artis computistice, Motus parvulorum amore ... vel integram ulnam, komen tář Iste liber, cuius subiectum est numerus in se et in suis partibus atque passionibus per modům introduccionis consideratus, předmluva Homo nascitur imperfectus a Debemus autem atendere dogma Aristotelis, glo sy, tabulky; f. 15rv, Probacio omnium specierum algorismi per 9; f. 32r-33r, Ad probandum speciem quamlibet algoristicam, utrum scili cet bene sit calculatum an non; f. 34r-72r, [Iohannis de Sacrobosco Algorismus vulgaris], Omnia, que a primeva ... radix maximi cubici subnotatur proposito, komentář Iste liber, cuius subiectum est numerus mathematice sumptus, předmluva Quisquis sciencias mathematicas pretermiserit, glosy, neúplné, poslední list vytržen. NK VII Ε 9 f. 257r-275r, XV, Iohannis de Sacrobosco Algorismus, Omnia, que a primeva... scilicet ter tria et erunt novem, komentář Iste liber, cuius sub iectum est numerus mathematice sumptus, consideratus in se et in suis partibus, předmluva Comentator super secundum librum methaphysice scribit, nedokončeno; 57 This content downloaded from 188.72.126.181 on Sat, 14 Jun 2014 23:30:45 PM All use subject to JSTOR Terms and Conditions http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp ZUZANA SILAGIOVÁ f. 244r-256v, 1443, [Iohannis de Lineriis] Algorismus de minuciis, Mo dus representacionis minuciarum vulgarium et phisicarum propone re ... ad propositum nostrum sufficiens minuciarum vulgarium et phisi carum, komentář, glosy, písař Nycolaus de Tepla. NK XI D 7 f. 24r, 25r-26v, XV, Enigmata de numeracione, subtraccione, mediacio ne, duplacione, multiplicacione; f. 74rv, lOlr-llOv, [Commentarius in Iohannis de Sacrobosco Algo rismum vulgaremj, Iste liber, cuius subiectum est numerus mathematice et practice consideratus ... addicione illius, předmluva Quisquis scien cias mathematicas pretermiserit, nedokončeno; f. 88r-93v, [Iohannis de Sacrobosco Algorismus vulgaris], Omnia, que a primeva ... tam in numeris quadratis, quam in cubicis, komentář Hanc proposicionem scribit Boecius primo arismetice sue, glosy. NK III Ε 28 f. 99r-101r, XV/XVI, Algorithmus de integris, Cum apud arithmeticos aliosque mathematice disciplině peritos ... tale residuum demonstrabit, glosy, tabulka, nedokončeno. Poznámka: NK У F 6, f. lr-23r určuje Truhlář mylně jako komentář к Sacroboskovu Algorismu, ve skutečnosti jde o komentář к Bradwardino vu spisu Arithmetica speculativa. ZUSAMMENFASSUNG Prager Algorismen Der Beitrag untersucht mittelalterliche Handschriften mit Algorismen oder the matisch einschlägigen Einträgen. Die Analyse der Handschriften aus den wichtig sten Prager Bibliotheken (15 Hss. aus der Nationalbibiliothek, 13 aus der Bibliothek des Metropolitankapitels) ergibt folgenden Sachverhalt: Am häufigsten (15 Mal) ist der Algorismus prosaicus des Johannes von Sacrobosco vertreten, der hier allerdings erst vom 14. Jh. an, also hundert Jahre nach seiner Entstehung, nachweisbar ist. Der Text erscheint in zwei Redaktionen, einer Vollversion und einer gekürzten Fassung, bei der das letzte Kapitel (über Wurzelextraktionen) weggelassen ist. Den Algo rismus-Handschriften aus dem 14. Jh. ist regelmäßig der Kommentar des Petrus de Dacia beigefügt, denen aus dem 15. Jh. der anonyme Kommentar inc. Iste Uber, cui us subiectum est numerus mathematice sumptus. An weiteren Algorismen finden sich in Prag je zweimal der Algorismus metricus des Alexander von Villadei (in Handschriften aus dem 13. Jh. mit einem zusätzlich angefügten Kapitel über Pro 58 This content downloaded from 188.72.126.181 on Sat, 14 Jun 2014 23:30:45 PM All use subject to JSTOR Terms and Conditions http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp PRAŽSKÉ ALGORISMY gressionen) sowie der Algorismus de minutiis des Johannes de Lineriis. Bei den jüngeren Werken ist eine Reduzierung der Zahl der mathematischen Operationen zu beobachten. Nachweislich böhmischer Provenienz sind zwei Traktate, beide erst aus dem 15. Jh.: Ein Algorismus prosaycus (auch Rudimenta artis computistice ge nannt), verfaßt von dem Magister an der Universität Prag Cristannus von Prachati ce. und der von einem anonymen Geistlichen aus Brevnov verfaßte Vulgarismus. Dieser letztere beschränkt sich darauf, die Schreibweise der Zahlen zu erörtern, wogegen das Lehrbuch des Cristannus von Prachatice den gesamten Lehrstoff des Algorismus bietet, einschließlich des Rechnens mit Brüchen. Es spricht Vieles für die Annahme, daß Cristannus auch der Autor des Kommentars Iste Uber, cuius sub iectum est numerus mathematice sumptus zu Sacroboscos Werk war, und daß jener Kommentar eine Vorarbeit für das eigene Lehrbuch des Cristannus darstellt. Allge mein beziehen sich die kommentierenden Glossen in den Algorismus-Handschrif ten überwiegend auf die Schreibweise der Zahlen und Tabellen als Hilfsmittel für die aufwendigeren Operationen wie Multiplikation oder Wurzelziehen. 59 This content downloaded from 188.72.126.181 on Sat, 14 Jun 2014 23:30:45 PM All use subject to JSTOR Terms and Conditions http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp Article Contents p. 38 p. 39 p. 40 p. 41 p. 42 p. 43 p. 44 p. 45 p. 46 p. 47 p. 48 p. 49 p. 50 p. 51 p. 52 p. 53 p. 54 p. 55 p. 56 p. 57 p. 58 p. 59 Issue Table of Contents Listy filologické / Folia philologica, Vol. 118, No. 1/2 (1995), pp. 1-190 Front Matter Sextos zwischen Gorgias und Karneades [pp. 1-7] De erroribus a scribis editoribusve tam infeliciter commissis, ut Ammianus Marcellinus immerito interdum stultus videatur [pp. 8-19] Budování minulosti: Znojemská rotunda a renesance 12. století [pp. 20-37] Pražské algorismy [pp. 38-59] O minoritské knihovně v Českém Krumlově [pp. 60-90] MISCELLANEA BIO-BIBLIOGRAPHICA Neznámé Balbínovo drama? [pp. 91-93] Úmrtí B. Balbína a Alma congregatio major beatae Virginis Annunciatae u sv. Klimenta v Praze [pp. 93-97] G. Crugerius v zrcadle Catalogi triennales II [pp. 98-99] Elogium P. Alberta Chanovského v Menologiu S. J. [pp. 100-104] J. Korzinek v zrcadle Catalogi triennales II [pp. 104-106] DISCUSSION / POLEMIKA — NÁZORY "Latinitatis medii aevi lexicon Bohemorum" v polovině svého rozsahu [pp. 107-110] Nad "Tajemstvím chrámových pokladů" [pp. 111-115] K recenzi edice Bridelova Básnického díla [pp. 116-121] CHRONICLE / ZPRÁVY Konzumní literatura v řecko-římském světě [pp. 122-124] Konference o artistických fakultách [pp. 124-125] Dva nové teologické časopisy [pp. 125-126] PEOPLE — WORK — TIME / LIDÉ — DÍLO — ČAS KALENDÁRIUM [pp. 127-128] Život a dílo Ferdinanda Stiebitze [pp. 129-140] REVIEWS / RECENZE Review: untitled [pp. 141-146] Review: untitled [pp. 147-147] Einführungen und Hilfsbücher zur Alten Geschichte [pp. 147-150] Review: untitled [pp. 150-152] Review: untitled [pp. 152-153] Review: untitled [pp. 153-154] Review: untitled [pp. 154-155] Review: untitled [pp. 155-156] Review: untitled [pp. 156-157] Review: untitled [pp. 157-158] Review: untitled [pp. 158-159] Review: untitled [pp. 159-160] Review: untitled [pp. 160-161] Review: untitled [pp. 161-162] Review: untitled [pp. 162-163] Review: untitled [pp. 163-164] Review: untitled [pp. 164-165] Review: untitled [pp. 165-165] Review: untitled [pp. 165-167] Review: untitled [pp. 167-168] Review: untitled [pp. 168-171] Review: untitled [pp. 171-172] Review: untitled [pp. 172-175] Review: untitled [pp. 175-179] Review: untitled [pp. 179-182] Review: untitled [pp. 182-184] Review: untitled [pp. 184-186] Review: untitled [pp. 186-186] Review: untitled [pp. 187-187] BOOKS RECEIVED / REDAKCI DOŠLY TYTO PUBLIKACE [pp. 189-190] Back Matter