UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRE´S FACULTAD DE CIENCIAS PURAS Y NATURALES Pre-Facultativo 4 √ x3 4 √ x3 4 √ x3 4 √ x3 · · ·∞ 5 √ x4 5 √ x4 5 √ x4 5 √ x4 · · ·∞ × log5 1 252 + 1 254 + 1 256 + · · · · · · 1 254 + 1 256 + 1 258 + · · · · · · 1 2 ξ τ τ o ∫ s Coordinador: Dr. Mario ξττo ∫ s Chavez Gordillo PhD. Pra´ctica Preparatoria para el 2do Examen Parcial Introduccio´n a la Matema´tica, MAT-99 2014 - 2do semestre Contenido CAP 1. Lo´gica Proposicional CAP 5. Ecuaciones de Primer y Segundo grado CAP 2. Teor´ıa de Conjuntos CAP 6. Sistemas de Ecuaciones CAP 3. Sistemas Nume´ricos CAP 7. Exponenciales y Logaritmos CAP 4. Expresiones Algebraicas CAP 8. Induccio´n Matema´tica y Divisibilidad Calendario Acade´mico PARCIAL CAPI´TULOS FECHA PUNTOS Inicio de Clases Lunes 18 de Agosto del 2014 Primer Parcial 1, 2 y 3 Sa´bado 11 de Octubre del 2014 50 puntos Segundo Parcial 4, 5, 6 y 7 Sa´bado 13 de Diciembre del 2014 50 puntos Culminacio´n del curso Mie´rcoles 17 de Diciembre del 2014 A B S + - S W u W ss 0(s ) ( ) W u 0(s ) s s s + - + - W ( ) s s + - u g g 0 1 FCPN-UMSA-I 2014 ξττo ∫ s ζℏαυεz 2 Cap´ıtulo IV. Expresiones Algebraicas Operaciones con los polinomios . 1. Simplificar: 2(5[x− 2(x− 1) + 6] + 1) 2. Realizar las operaciones y simplificar: x(x+ 4)− (x+ 2)(x− 1) 3. Simplificar la expresio´n 2{3x− 2[4(x− 2) + 1]}+ x 4. Substraiga la expresio´n algebraica:(( 3 5 ) x2y + ( 7 3 ) xy2 − 11x+ 12y ) − (( 8 3 ) xy2 + ( 7 5 ) x2y + 8x− 11xy ) 5. Simplificar: 5[a(a+ b)− 3b(b− a)− 3ab(1− a)] 6. En cada uno de los polinomios siguientes identificar los te´rminos semejantes. c) xy2 + x2y2 − 3x2y + 7x2y d) 3(x+ y)− 5(x+ y) + 2(x− y) e) 76p4qr2s3 + 76p2q2rs4 − 33p4qr2s3 + 21p2q2rs4 7. Escribir 3 te´rminos semejantes de grado 2. 8. Realizar las siguientes operaciones algebraicas. c) (+8x2y2) + (11x2y2) + 30(x2y2) d) 6y2 − x2 + 10xy + 8x2 e) 5a3b2 − 5c2d4 − 4a3b2 + 6b2a3 − 3c2d4 f) 10p3q2r2s4 − 10s2r4q3p2 + 8s4r2q2p3 − 8p2q3r4s2 9. Reducir los siguientes te´rminos semejantes B = 3xy + 2x2y − 6x2y2 − (6x2y2 − 5x2y + 3xy) 10. Simplificar la siguiente operacio´n algebraica. 10p3q2 − 2r2s4 − 10s2r4 + q3p2 + 8s4r2 − 2q2p3 − 8p2q3 + r4s2 11. En cada uno de los siguientes ejercicios calcular la suma de las expresiones algebraicas: (a) 8x+ y + z + u, −3x− 4y − 2z + 3u, 4x+ 5y + 3z − 4u, −9x− y + z + 2u. (b) a2 − ab+ 2bc+ 3c2, 2ab+ b2 − 3bc− 4c2, ab− 4bc+ c2 − a2 , a2 + 2c2 + 5bc− 2ab. (c) m3 − n3 + 6m2n, −4m2n+ 5mn2 + n3, m3 − n3 + 6m2n , −2m3 − 2m2n+ n3. 12. En cada uno de los siguientes ejercicios hallar la diferencia obtenida al restar la segunda expresio´n de la primera. (a) x3 − 4x2 + 2x− 5, −x3 + 2x2 − 3x− 3. (b) 5a4 + 9a3b− 40ab3 + 6b4, 7a3b+ 5ab3 − 8a2b2 + b4. (c) 3 5 x4 + 3 4 x3y − 5 7 xy3 + 2 3 y4, x4 + 5 8 x2y2 − 1 3 xy3 + 5 6 y4. 13. En cada uno de los siguientes ejercicios hallar el producto indicado (a) ( −1 3 x4y2 )( −5 7 a3x4y3 ) . (b) ( 5a2xy2 )( − 3x3 + 5x2y − 7xy2 − 4y3 ) . email
[email protected] 2 βo ∫ ιυατ FCPN-UMSA-I 2014 ξττo ∫ s ζℏαυεz 3 (c) ( a+ 2b )( a2 − 2ab+ 4b2 ) . (d) ( a2 − a + 1 )( a4 − a2 + 1 )( a2 + a + 1 ) . (d) ( 2 5 m2 + 1 3 mn− 1 2 n2 )( 3 2 m2 + 2n2 −mn ) . 14. Realizar las operaciones y simplificar: a) (2a2 + 3ab+ c) + (2c− 5a2 − ab). b) (5x4 − 2a2 + 4xy)− (2x4 + 5a2 − xy) + 3x4 + 2a2 + xy). c) (4x+ x4 − 5x3 + 2)(2x− 3 + x2). d) (4x4 − 5x3 + x2 − 2x+ 2)(x2 − 2x+ 2). e) (4ab3 − 3a2bc + 12a3b2c4) : (−2ab2c3). f ) (x4 + xy3 + x3y + 2x2y2 + 4) : (xy + x2 + y2). 15. Dados dos polinomios Q1(x) = x 5 + 2x3 + 4x2, y Q2(x) = x 3 − 2x2, encuentre los siguientes polinomios: P1 = Q1 +Q2, P2 = Q1 −Q2, P3 = Q1 ∗Q2. 16. Dados dos polinomios Q1(x) = 2x 5− x4 − 3x3, Q2(x) = x2 + x encuentre los siguientes polinomios: P3 = Q1 ∗Q2, P3 = Q1Q2 17. Multiplicar los polinomios (5x2y + 3xy2)(3x3 − 2x2y + xy2 − 4y3) 18. Hallar los valores de m y n para que el polinomio x3 +mx2 + nx− 6, sea divisible por x2− 5x+6. 19. Hallar el valor de m para que la divisio´n de x4 + 2x3 + 3x2 +mx− 7 entre x+ 2 tenga resto 3. 20. ¿Cua´l es el residuo de la siguiente divisio´n? (3x5 − 2x4 + 3x3 − 2x2 − x− 1)÷ (x− 2) 21. Determine el valor de 3 √ α + √ α− β si la divisio´n de x4−3x3y+x2y2+αxy3+βy4 entre x2−xy+y2 tiene resto igual a 7xy3 + 8y4. Teorema del Resto y Ruffini 1. Sabiendo que p(x) = 2x3 − 3x2 + 5x− 4, calcula el resto de las siguientes divisiones: p(x) : (x− 1), p(x) : (x− 3), p(x) x+ 2 , p(x) x+ 3 2. Determine el cociente y el resto. a) 2x4 − x3 − 18x2 − 7 divido por (a) x− 3, (b) x+ 3. b) 3x4 − 7x− 20 divido por (a) 2− x, (b) x+ 2. c) x5 − 2x4 + 2x3 − 5x2 + 2x+ 5 divido por (a) x− 1, (b) 2x+ 1. 3. Halle k de manera que se satisfaga la condicio´n indicada. a) x3 + kx2 + 3x− 12 divido por x− 2, tenga resto igual a 4. b) 2x3 − 5x2 + kx+ 3 divido por x+ 1, sea divisio´n exacta. 4. Calcula el valor de a para que el resto de la divisio´n 2x 3−5x+4a x−3 sea 18. 5. Calcula el valor de a para que el resto de la diviso´n p(x) x+2 sea -3 siendo p(x) = 2x2 + 3ax− 5 6. Utilizar Ruffini para descomponer los polinomios en producto de binomios de grado 1. (1) p(x) = 5x2 − 3x− 2 (2) q(x) = x3 + 2x2 − 5x− 6 (3) h(x) = x4 − 10x2 + 9 (4) p(x) = x4 + 7x3 + 12x2 (5) q(x) = x5 − 2x4 − 8x3 (6) h(x) = 2x8 − 6x6 − 4x5 email
[email protected] 3 βo ∫ ιυατ FCPN-UMSA-I 2014 ξττo ∫ s ζℏαυεz 4 Las fracciones algebraicas 1. Simplifica las siguientes expresiones: (1) x+ 1 x2 − 1 (2) x2 − 4 x2 − 4x+ 4 (3) x2 − 1 x− 1 (4) x2 − 4x+ 3 x3 − 6x2 + 11x− 6 (5) x2 − x x3 − x2 (6) x2 − 3x+ 2 x2 − x− 2 (7) (3xy)3 − 6x2y4 24(x3y)2 (8) x4 + x3 + x2 3x23x+ 3 2. Simplificar: (a) 36xy4z2 −15x4y3z (b) 75a7m5 100a3m12n3 (c) ax4 − a2x3 − 6a3x2 9a4x− a2x3 (d) 2x2 − 9x− 5 10 + 3x− x2 3. Simplificar: (4x2 + 4xy − 3y2) (x2 − 2xy − 3y2) · (2x2 − xy − 3y2) (4x2 − 9y2) , 2x+ 1 x2 − 4 + x x+ 2 − 3x− 1 x2 − 4x+ 4 4. Opera las siguientes fracciones algebraicas (sumar o restar), haciendo mcm: (a) 8 x2 + 2x − 4x 2x+ 4 (b) 1 x2 − x+ 1 x2 + x (c) 1 2x− 1 − x+ 1 (2x− 1)2 5. Ahora, no hay que aplicar el mcm, puesto que so´lo vamos a multiplicar y dividir. Descompo´n los polinomios en producto de factores, y simplifica: (a) 2x x− 1 · x2 − 4 2 (b) 3x+ 3 3x · x 2 − 3 x2 − 9 (c) 3x 2x− 2 : 2x x− 1 (d) x2 − x x− 3 : 4x− 4 x2 − 9 6. Ahora complicamos un poco ma´s las cosas. Combinamos sumas y restas con multiplicaciones y divisiones de fracciones algebraicas. (a) ( 1 x + 2 x2 ) · 3x 2 x+ 2 , (b) ( x+ x 1− x ) : ( x− x 1− x ) , (c) ( x+ 1 y ) ÷ ( x− 1 y ) email
[email protected] 4 βo ∫ ιυατ FCPN-UMSA-I 2014 ξττo ∫ s ζℏαυεz 5 7. Simplificar las expresiones. (a) t− 5 25− t2 . (b) x2 − 9x+ 18 3x2 − 5x− 12 . (c) (a + b)2 − 4ab (a− b)2 . (d) (x− y)2 − z2 (x+ z)2 − y2 . (e) a2 − b2 + a− b a2 + 2ab+ b2 − 1 . (f) (x+ y)2 − 4(x+ y)a+ 3a2 x2 + 2xy + y2 − z2 . (g) x2 x+ 1 − 1 x+ 1 . (h) y2 − 2 y2 − y − 2 + y + 1 y − 2 . (i) 3 y2 − 9 − 2 y2 + 6x+ 9 . (j) 2x 4x3 − 4x2 + x − x 2x3 − x2 + 1 x3 . (k) xy3 − 4x2y2 y − x : 16x2y2 − y4 4x2 − 3xy − y2 . (l) 1 x+ y − 1 x− y 2y x2 − y2 . (m) z2 − 49 z2 − 5z − 14 : z + 7 2z2 − 13z − 7 . (n) x 1− 1 1 + x y . (o) 6 x2 + 3x− 10 − 1 x− 2 1 x− 2 + 1 . (p) 2− 2 1− 2 2− 2 x2 . 8. Realizar la operacio´n y simplificar su respuesta (1) 2x− 2y 3z x− y 6z3 (2) a b + b a a b − b a (3) 1 + 1 1 + 1 1 + 1 x (4) 2 x + 2 − 4 x2 − 4 x− 8 x− 2 (5) a2 − 2ab + b2 a2 − 2ab a2 − b2 a2 − ab− 2b2 (6) email
[email protected] 5 βo ∫ ιυατ FCPN-UMSA-I 2014 ξττo ∫ s ζℏαυεz 6 Productos Notables 1. Resolver empleando productos notables: (b+ 4)2 2. Resolver empleando productos notables: (5− c)2 3. Representar el a´rea de un cuadrado cuyo lado es: (x+7) m. a)x2 + 49, b)x+ 49, c)x2, d)x2 + 14x+ 49, e)x2 + 7. 4. Resolver empleando productos notables: (a+ b)(a− b). Subraye el inciso correcto. a)a2 − b2, b)ab, c)a2 + b2 − a− b, d)1, e)a− b. 5. Hallar: (2c+ 1)(2c− 1). Subraye el inciso correcto a)4c− 1, b)4c2− 1, c)4c2 + 2c− 1, d)2c2 + 1, e)4c2 + 2. 6. Hallar: (1− 2a)(2a+ 1) 7. Resolver empleando productos notables: (x2 + a2)(x2 − a2) a)x2a2, b)x4 + a4, c)x2 + a4, d)x4 − a4, e)x4 − x2 + a2x2 8. Resolver empleando productos notables: (x+ y + 3)2 9. Resolver empleando productos notables: (2x+ 3y − 2)2 10. Resolver empleando productos notables: (a+ b)(a2 − ab+ b2) a)a3 + ab+ a3, b)a3 + b3, c)a3 + ab2 + a2b+ b3, d)a3 − b3e)N.A. 11. Realice las operaciones que se indican. (a) 2xy(3x2y − 4xy2 + 5y3). (b) (3a+ 5b)(3a− 5b). (c) (x− 5y)(x+ 3y). (d) (5x+ 3y)(2x− 7y). (e) (2x+ 1)3. (f) (x− 2y2)2(x+ 2y2)2(x2 + 4y4)2. (g) (y + 2)(y − 2)(y2 + 4)(y4 + 16). (h) (x− 2)3(x+ 2)3. (i) (3x+ 4y)2 (j) (x2 − 9)(x2 + 9) (k) (4− 3x2y)(4 + 3x2y) (l) (2xa+4 − 8ya−1)3 12. Simplificar: (√ a2 + b2 − a) (√a2 + b2 + a) 13. Si ab+ ac + bc = 5 y a2 + b2 + c2 = 3 calcular a+ b+ c =? 14. Si x+ y = 12 y x2 + y2 = 60 calcular x3 + y3 =?. 15. Si ab(a + b) = 1 y a3b3(a3 + b3) = 5 2 calcular F = a2b2(a2 + b2). 16. Si a + b ab = 4 a + b el valor de F = √ a2 + 3b2 5a− 2b + a b es: Respuesta.- F = 2. 17. Si m+ n = 1 el valor de F = 6(m2 + n2)− 4(m3 + n3) es: Respuesta.- F = 2. 18. Si √ x+ b+ √ x− b = b; x ≥ b > 0, el valor de F = √x+ b−√x− b es: F = 2 . 19. Si √ m n + √ n m = 7, el valor de F = 8 √ m n − 8 √ n m es: F = 1 . 20. Si 1 a + 1 b = 4 a + b donde ab 6= 0, el valor de F = n √ (a+ b)n+1 an+1 + bn+1 es: F = 2 . 21. Si mn(m+ n) = 1, m2n2(m2 + n2) = 2 el valor de F = m3n3(m3 + n3) es: 5 2 email
[email protected] 6 βo ∫ ιυατ FCPN-UMSA-I 2014 ξττo ∫ s ζℏαυεz 7 22. Si 8 m2 n − n 2 m = 6(2m− n) el valor de F = 4 (m n + n m ) es: F = 10 . 23. Si x3 + y3 = 10, xy = 6 el valor de F = (x+ y)3 − 18(x+ y) + 20 es: F = 30 . 24. Sabiendo que b a + b2 a2 = −1 4 el valor de F = a+ 3b b + 8b2 a2 es: F = 3 . 25. Sabiendo que m > n, adema´s 3 √ m n + 3 √ n m = 3, el valor de F = √ m n − √ n m es: F = 4 26. La simplificacio´n de E = (a+ b)4 + a4 + b4[ (a− b)2 + (a+ b)2 + 2ab ]2 es: E = 12 . 27. Si a + b+ c = 3 con a 6= 0, b 6= 1, c 6= 2, el valor de F = a 3 + (b− 1)3 + (c− 2)3 a(b− 1)(c− 2) es: F = 3. 28. Si se cumple x2 − 3x+ 1 = 0 el valor de F = x 7 − x5 + x3 x5 es F = 6. 29. Si (a b )n + 4 ( b a )n = 725 con a, b reales positivo, halle el valor de F = 3 √ an + 2bn√ anbn . Respuesta.- F = 3. 30. Si x4 + x−4 = 34, halle el valor de F = x+ x−1. Respuesta.- F = 2. 31. Conociendo m+ n = mn+2 = 3 calcular el valor nume´rico de F = m5 + n5. Respuesta.- F = 123. 32. Sabiendo que m+n = mn = 5 calcular el valor nume´rico de F = m2 + n2 + 5 m3 + n3 + 10 . Respuesta.- F = 1 3 . 33. Si 1 m + 1 n = 1 m+ n hallar el valor de F = (m+ n)6 − 6(m6 + n6) (mn)3 . Respuesta.- F = −11. 34. Si m+ n+ p = 0 calcular el valor nume´rico de F = m2 np + n2 mp + p2 mn . Respuesta.- F = 3. 35. Si a2 + b2 = 62ab halle el valor nume´rico de F = ( a + b√ ab )1 3 . Respuesta.- F = 2. 36. La simplificacio´n de E = √√√√(x3 + 2x2 + 2x+ 1)(x3 − 2x2 + 2x− 1) x2 − 1 + x 2 es: E = x2 + 1 37. Simplificar ( a2b + abba + b2a + ab − ba )2 − ( a2b + abba + b2a − ab + ba )2 Respuesta.- 4a3b − 4b3a. 38. Si x+ y = a, xy = b y adema´s x3 + y3 5xy(x+ y) = 1 5 , la relacio´n entre a y b es: Respuesta.- a = 2 √ b. 39. Sabiendo que a (a b − 3 ) = b ( b a − 3 ) , al efectuar (a− b+ c)3− (a− b− c)3 se obtiene: Respuesta.- 2c3 email
[email protected] 7 βo ∫ ιυατ FCPN-UMSA-I 2014 ξττo ∫ s ζℏαυεz 8 Binomio de Newton 1. indicar el valor de p en (x5 + yp)30, si el termino 16 contiene a x75y60. Respuesta p = 4. 2. Hallar el termino independiente de x en el desarrollo de (√ x+ 1 3x2 )10 . Respuesta t3 = 5. 3. Hallar el quinto termino de ( 4 √ x− 1√ x )8 . Respuesta t5 = 70 x . 4. El exponente de un binomio excede en 3 al de otro. Determinar estos exponentes sabiendo que la suma de los coeficientes de ambos binomios es 144. Respuesta.- los exponentes son a = 7 y b = 4. 5. Cua´ntos te´rminos debe poseer el binomio de la forma ( x y8 + y2 4 √ xn−4 )n , si en el desarrollo existe un nu´mero independiente de x e y. Respuesta.- 6 te´rminos. 6. Del siguiente binomio, hallar el coeficiente del te´rmino independiente: ( a2 2b3 + 4b2 a4 )6 . Respuesta.- No existe te´rmino independiente. 7. Los coeficientes de los te´rminos quinto, sexto y se´ptimo del desarrollo del binomio (1 + x)n forman una progresio´n Aritme´tica. Hallar n. Respuesta.- n = 7, n = 14. 8. Determinar el lugar que ocupa el te´rmino a7 en el desarrollo del binomio ( 3 4 3 √ a2 + 2 3 √ a )12 . Respuesta.- 7mo lugar. 9. Hallar para que valores de x, la diferencia entre los te´rminos cuarto y sexto en el desarrollo del binomio (√ 2x 16 √ 8 + 16 √ 32√ 2x )m es igual a 56, sabiendo que el exponente del binomio m es menor que el coeficiente bino´mico del tercer te´rmino del desarrollo en 20 unidades. Respuesta.- x = 1. 10. Hallar el lugar que ocupa el termino del desarrollo del binomio ( 3 √ a√ b + √ b 13 √ a )21 , que contiene a y b elevados a la misma potencia. Respuesta.- 10mo lugar. 11. Si (a+ b)4 − (a− b)4 (a2 + b2)2 − (a2 − b2)2 = 4, halle el valor de F = 7a+ 3b a + 4b . Respuesta.- F = 2. 12. Simplificar la expresio´n ( a + 1 a2/3 − a1/3 + 1 − a− 1 a− a1/2 )10 y determinar el termino del desarrollo que no contiene a a. Respuesta.- 210. 13. Hallar el termino de´cimo tercero del desarrollo ( 9x− 1√ 3x )m , sabiendo que el coeficiente del tercer termino del desarrollo es 105. Respuesta t13 = 455 x3 . 14. En el desarrollo de ( x2 − a x )m , los coeficientes de los te´rminos cuarto y decimotercero son iguales. Hallar el te´rmino que no contiene x. Respuesta 3003a10. 15. ¿Para que valores de n, los coeficientes de los te´rminos segundo, tercero y cuarto del desarrollo del binomio (1 + x)n forman una progresio´n Aritme´tica. Respuesta.- n = 7. email
[email protected] 8 βo ∫ ιυατ FCPN-UMSA-I 2014 ξττo ∫ s ζℏαυεz 9 16. Hallar x en la expresio´n ( 3 √ 2 + 1 3 √ 3 )x sabiendo que en el desarrollo del binomio la relacio´n entre el se´ptimo termino contando desde el principio y el se´ptimo termino contando desde el final vale 1 6 . Respuesta x = 9. 17. Determinar para que valor de x, el cuarto termino del desarrollo del binomio: (√ 2x−1 + 1 3 √ 2x )m es 20 veces mayor que el exponente del binomio, sabiendo que el coeficiente binomico del cuarto termino es 5 veces mayor que el del segundo termino. Respuesta x = 4. 18. Los te´rminos de lugares se´ptimo y noveno en el desarrollo del binomio: (√ 13 2 x+ y2 )n tienen coeficientes iguales. Halle el valor de n. Respuesta.- n = 20. 19. En el desarrollo del binomio: (xa + yb)c se tienen los te´rminos: dx12y10, dx15y8 que esta´n incluidos en el desarrollo. Calcular el valor de: a + b+ c+ d. Respuesta.- 140 20. El de´cimo termino del binomio ( x y + y x )n es 20 y6 x6 , determinar n. Respuesta n = 12. 21. En la expresio´n ( 5 √ a4 x √ ax−1 + a x+1 √ ax−1 )5 determinar x para que el cuarto termino del desarrollo del binomio valga 56a5,5. Respuesta x = 2 o x = −5. 22. En la expresio´n ( 2 x √ 2−1 + 4 4−x √ 4 )6 determinar x para que el tercer termino del desarrollo del binomio valga 240. Respuesta x = 2. Cocientes Notables 1. En el cociente notable: x12 − y20 x3 − y5 cua´ntos te´rminos centrales tiene. Respuesta.- 2 2. Calcular el te´rmino 47 contando del extremo final del desarrollo x111 − a111 x− a . Respuesta.- x 46y64 3. Cua´l es el lugar que ocupa un te´rmino en el siguiente cociente notable, contando a partir del primer te´rmino, sabiendo que la diferencia del grado absoluto de este te´rmino con el grado absoluto del te´rmino que ocupa la misma posicio´n contando a partir del extremo final es 9. x350 − y140 x5 − y2 . 4. Dado el cociente notable x21 − y21 xn − ym determinar el valor de m y n sabiendo que el cuarto te´rmino es a la vez el te´rmino central. Respuesta.- n = m = 3 5. En el cociente generado por xa − yb x3 − y7 existe un te´rmino central que es igual a x cy231, hallar e valor de a + b+ c. Respuesta.- 769 6. En el cociente notable x12 − y18 x2 − yn . Determinar el valor de n, el nu´mero de te´rminos y encontrar el cociente de sus te´rminos centrales. Respuesta.- 3; 6; x2/y3. email
[email protected] 9 βo ∫ ιυατ FCPN-UMSA-I 2014 ξττo ∫ s ζℏαυεz 10 7. Dado el cociente notable x6n+3 + a6n−22 x(n−6)/2 + a(n−8)/2 . (a) Calcular el valor de n. (b) Calcular el nu´mero de te´rminos. (b) Calcular el te´rmino 19. Respuesta.- 12; 25; x18a36 8. Para el cociente notable x3n+9 + y3n x3 + y2 . Calcular el valor nume´rico del te´rmino central para x = 1; y = 2. Respuesta.- 256 9. El te´rmino nume´rico 5 del cociente notable x50 − y30 x5 − y3 es: Respuesta.- x 25y12 10. En el cociente notable xm − yn x3 − y5 se conoce que el nu´mero de te´rminos es ocho. Hallar el quinto te´rmino. Respuesta.- x9y20 11. Para el cociente notable x15m − y15n xmy3 − yn+3 se sabe que el octavo te´rmino es x 4y42. Hallar el u´ltimo te´rmino. Respuesta.- y87 12. Siendo A el decimosexto te´rmino del cociente notable de a100 − 1 a5 − 1 , proporcione el te´rmino central de A11 + b44 A + b4 . Respuesta.- −a100b20. 13. Hallar el tercer te´rmino del cociente notable x50 − yn x2 − y3 . Respuesta.- x 44y6 14. Calcular E = t1 × t8 t10 × t5 de x105 + y147 x5 + y7 . Respuesta.- x30y−42. 15. Hallar el cociente notable xα − yβ x3 − y4 si t6 × t9 t7 = x12y28. Calcule α + β Respuesta.- 84. 16. En el cociente notable ym − z30 y2 − zn . Si el cuarto te´rmino es de grado relativo respecto a z igual a 9, calcular la relacio´n entre los te´rminos centrales. Respuesta.- y2/z3 17. Dado el cociente notable x21 − y21 xn − ym . Hallar el valor de E en la siguiente ecuacio´n E = √√√√ m √ n √ m √ n √ m √ n.................. si m es igual al nu´mero de te´rminos. Respuesta.- √ 21 18. Para que valores de α y β la siguiente expresio´n es un cociente notable: 5α+β − zα3+β3 5αβ + zM donde M = α4 − α3β + α2β2 − αβ3 + β4, si se cumple que α + β = 5 2 . Respuesta.- α = 1 2 , β = 2. 19. Hallar el coeficiente de x24 en el cociente de x45 − 243 x3 − 3√3 . Respuesta.- 9 email
[email protected] 10 βo ∫ ιυατ FCPN-UMSA-I 2014 ξττo ∫ s ζℏαυεz 11 20. Si en el cociente notable x3 n−3 − y3n−3 x2p 2−1 − y2p2−1 el segundo te´rmino es x210y15. Calcular E = √ 4p2n 5 . Respuesta.- 4 Factorizacio´n 1. Factorizar (1) (5x− 2y)x2 − (5x− 2y)6xy (2) 3x3 − 6x+ 9 (3) 8b2m2 + 32b2m+ 6bm2 (4) y6 − y4 (5) 5y(3x+ 7)− 2m(3x+ 7) (6) xm+nym − x2nym+n − xny2m (7) xm+nym − x2nym+n − xny2m (8) −44axn + 286a2xn+1 − 66a3xn+2 (9) 26a4 − 39a3x+ 13a3 (10) 4x3 + 4x2 − 9x− 9 (11) a3 − a2b− ab2 + b3 (12) y4 + 4 (13) max+mby +mbx+may (14) 36am− 45an+ 4m− 5n (15) 3ax− ay − 3bx+ by (16) ax− 6x− 6a+ 36 + bx− 6b (17) x3n − xny2m + x2nym − y3m (18) (xm+n)2 − (xman)2 − (xnam)2 + (am+n)2 2. Factorizar (1) 9x2 + 12xy + 4y2 (2) 81z6 − 90z3w2 + 25w4 (3) x2 + 3x− 4 (4) 6x2 + 11x− 10 (5) 4x2 − 4xy − 3y2 (6) x2 + 18x+ 81 (7) 9x2 − 48xy + 64y2 (8) a2b2 − 20ab+ 100 3. Factorizar (1) x2 − 81 (2) 9x 2 a2 − y 2 b2 (3) 16A2 − 25B2 (4) 4(x+ 3y)2 − 9(2x− y)2 (5) 8x3 + 27y3 (6) p3 64 − q 3 125 (7) (x− a)3 + b3 (8) (2x− 5)2 − (3x− 5)2 (9) 9 z4 − 25x4 (10) 8x3 − 27y3 (11) 64(m+ n)3 − 125 (12) (x+ y)3 − (x− y)3 4. Factorizar x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3 5. Factorizar x3n − xny2m + x2nym − y3m. 6. Factorizar 9(x− y)2 + 12(x− y)(x+ y) + 4(x+ y)2 7. Factorizar 144a2b8 · 25a10 − 49c4 · 25a10 − 144a2b8 + 49c4 email
[email protected] 11 βo ∫ ιυατ FCPN-UMSA-I 2014 ξττo ∫ s ζℏαυεz 12 8. Factorizar 16x2 · 64a6b6 − 225(3m− n)2 · 64a6b6 + 16x2 − 225(3m− n)2 9. Factorizar 13x2y2 · 3a− 52y4 · 3a− 13x2y2 · 9a2 + 52y4 · 9a2 10. Factorizar 5x4y + 3x3y − 9y2 − 15xy2 11. Factorizar a(a+ 1)(a+ 2)(a+ 3) + 1 12. Factorizar 9(x− y)2 + 12(x− y)(x+ y) + 4(x+ y)2 13. Factorizar las siguientes sumas y/o restas: i) (x− 5)(x− 7)(x+ 6)(x+ 4)− 504 ii) x4 + 324y4 14. Factorizar: 2y2 + 7y + 3, 16t2 + 8t+ 1, x3 + 5x2 + 6x, 2x3 − 16, 8x2 + 6x− 27 15. Factorizar (x+ 8)4(x+ 2)3 − (x+ 8)3(x+ 2)4 16. Factorizar: a4 − 8a2b2 − 9b4 17. Factorizar: x−2 + 8x−1 − 20 18. Factorizar; 16x2y2 − 81a2b2c2, x2y2 − 36y4, 4(x+ 3y)2 − 9(2x− y)2. 19. Factorizar: 8x3 − 27y3, 64(m+ n)3 − 125, (x+ y)3 − (x− y)3. 20. Factorizar: 3ax− ay − 3bx+ by, x2 − 4y2 + x+ 2y, x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3 21. Factorizar las siguientes expresiones algebraicas (a) 14a2b− 35ab− 63ab2. (b) 2(x− y)r2 + 2(x− y)rh. (c) a2(s+ 2t)2 + a(−s− 2t). (d) (x+ y)2 − 49z2. (e) 100a4 − (3a+ 2b)2. (f) (a− 2b)2 − 2(a− 2b)c− 15c2. (g) 6(x+ y)2 − 5(x+ y)− 6. (h) 8x2 + 22x(y + 2z) + 5(y + 2z)2. (i) p4 + q4 − pq3 − p3q. Racionalizacio´n 1. Racionalicemos el denominador en la siguiente expresio´n h√ x+ h−√x , 3 √ x− 3√y x− y 2. Racionalizar el denominador (a) 3√ 5 + √ 2 (b) x+ √ x2 − 1 x−√x2 − 1 (c) a √ b− b√a a √ b+ b √ a (d) √ 3√ 2 + √ 3−√5 Simplificacio´n de expresiones con exponentes enteros 1. Usando las propiedades de exponentes, simplificar. (a) [ 30 4−2 ]−2 . (b) a−1 + b−1 (a+ b)−2 . (c) [ (cd)−2n c−2nd−2n ]5n . (d) 3pq+q 3pq+p · 3 2q 32p . (e) 1 1 + ax−y + 1 1 + ay−x . (f) ( a + 1 b )p( a− 1 b )q ( b+ 1 a )p( b− 1 a )q . (g) 1 + (a+ x)−1 1− (a+ x)−1 [ 1− 1− (a 2 + x2) 2ax ] . (h) [ 1− (a b )−2] a2(√ a−√b )2 + 2 √ ab . email
[email protected] 12 βo ∫ ιυατ FCPN-UMSA-I 2014 ξττo ∫ s ζℏαυεz 13 2. Simplificar: (a) 1− x 2 + x − 1 + x 2− x − 3x x2 − 4 (b) x2 − 4xy + 4y2 x2 + 2xy x2 x2 − 4y2 3. Simplificar x 2x2 + 3xy + y2 − x− y y2 − 4x2 + y 2x2 + xy − y2 4. Simplificar x2 + 4ax+ 4a2 3ax− 6a2 2ax− 4a2 ax+ a 6a+ 6x x2 + 3ax+ 2a2 5. Simplificar 1 (a− b)(b− c) + 1 (b− a)(c− b) − 1 (a− c)(b− c) . 6. Simplificar a (a− b)(a− c) + b (b− c)(b− a) + c (c− a)(c− b) 7. Demuestre que bc (a− c)(a− b) + ac (b− c)(b− a) + ab (c− a)(c− b) = 1 8. Simplificar la expresio´n. 1 a(a− b)(a− c) + 1 b(b− a)(b− c) + 1 c(c− a)(c− b) . 9. Simplificar: (a) 6x2 − x− 2 3x− 2 2x+ 1 (b) x2y + xy2 x− y x+ y (c) x+ 3 x+ 4 − x+ 1 x+ 2 x− 1 x+ 2 − x− 3 x+ 4 (d) 1 1 + 1 1− 1 x 10. Simplificar a− b+ a 2 + b2 a + b a + b− a 2 − 2b2 a− b · b+ b2 a a− b · 1 1 + 2a− b b 11. Determine el valor de x si x = p2qr (p− q)(p− r) + pq2r (q − r)(q − p) + pqr2 (r − p)(r − q) . 12. Sea a+ b+ c = 0, hallar el valor de a2 bc + b2 ca + c2 ab . 13. Simplificar x3 − x2 − x− 1 3x3 − 3x email
[email protected] 13 βo ∫ ιυατ FCPN-UMSA-I 2014 ξττo ∫ s ζℏαυεz 14 14. Operar u simplificar al ma´ximo E = x x− y − x x+ y y x− y + x x+ y , F = ( x+ 1 y )n( x− 1 y )n ( y + 1 x )n( y − 1 x )n , G = x−2 − 2(xy)−1 + y−2(y x )−2 + xy−1 − 2x0 15. Sea a3 b3 + b3 a3 = 2, hallar el valor de E = ( a2 + b2 )2 + ( a2 − b2 )2 ( a2 + b2 )2 − ( a2 − b2 )2 16. En la siguiente expresio´n hallar el valor de E: Si a 6= x y n un nu´mero impar E = 1 a− x + x (a− x)2 + x2 (a− x)3 + · · ·+ xn (a− x)n+1 1 a− x − x (a− x)2 + x2 (a− x)3 − · · · − xn (a− x)n+1 17. El valor de la expresio´n (2 + 3)(22 + 32)(24 + 34) · · · (21024 + 31024)(22048 + 32048) + 24096 32048 18. Los nu´meros reales a 6= 0 y b 6= 0 cumplen que ab = a − b. ¿Cua´l de los siguientes valores es un valor posible para a b + b a − ab? A) −2 B) −1/2 C) 1/3 D) 1/2 E) 2 Simplificacio´n de expresiones con exponentes racionales 1. Simplificar A = [ 3x−1/3 x2/3 − 2x−1/3 − x1/3 x4/3 − x1/3 ]−1 − ( 1− 2x 3x− 2 )−1 2. Simplificar A = 1 a1/4 + a1/8 + 1 + 1 a1/4 − a1/8 + 1 − 2a1/4 − 2 a1/2 − a1/4 + 1 3. Simplificar la expresio´n. (m+ x)1/2 + (m− x)1/2 (m+ x)1/2 − (m− x)1/2 , si x = 2mn n2 + 1 , m > 0, 0 < n < 1. 4. Simplificar la expresio´n. a1/2 − a− a −2 a1/2 − a−1/2 + 1− a−2 a1/2 − a−1/2 + 2 a3/2 . 5. Simplificar A = [ 1− (a b )−2] a2(√ a−√b )2 + 2 √ ab 6. Simplificar ( x √ y x − y √ x y )2 email
[email protected] 14 βo ∫ ιυατ FCPN-UMSA-I 2014 ξττo ∫ s ζℏαυεz 15 7. Simplificar la expresio´n x+ √ x2 − 4x x−√x2 − 4x − x−√x2 − 4x x+ √ x2 − 4x 8. Simplificar A = n + 2 + √ n2 − 4 n+ 2−√n2 − 4 + n+ 2−√n2 − 4 n+ 2 + √ n2 − 4 9. Simplificar A = (√ a+ 1 )2 − a− √ ax√ a−√x(√ a+ 1 )3 − a√a+ 2 −3 10. Calcule el valor de la expresio´n x = a √√√√9a+ 14 · √3a−2√ 1 3 · √3a 11. Simplificar n √ 2n 2+2n n+2 √ 22n2+n3 12. En la siguiente expresio´n simplificar A: A = 4 √ x3 4 √ x3 4 √ x3 4 √ x3 · · ·∞ 5 √ x4 5 √ x4 5 √ x4 5 √ x4 · · ·∞ 13. En la siguiente expresio´n simplificar B: B = log5 1 252 + 1 254 + 1 256 + · · · · · · 1 254 + 1 256 + 1 258 + · · · · · · 1 2 14. Si √ x √ x = 3 calcular √ x √ x √( x √ x ) 3 2 . 15. Si xy = √ 2 , yx = √ 2 2 Hallar E: email
[email protected] 15 βo ∫ ιυατ FCPN-UMSA-I 2014 ξττo ∫ s ζℏαυεz 16 E = [ xy x+1 + xy 1−x yx1+y + yx1−y ]2√2 Cap´ıtulo V. Ecuaciones de Primer y Segundo Grado Ecuaciones de Primer Grado o Ecuaciones Lineales 1. Completa esta tabla: Igualdad ¿Es una Primer Segundo Inco´gnitas ecuacio´n? miembro miembro 2 + 5x = 3− 4x (5− 4)2 = 52 + 42 − 2 · 5 · 4 5t+ 5 = 3t+ 2 2x2 + 2x− 3 2. Distingue entre ecuaciones e identidades e indica el grado de las primeras: Igualdad ¿Es ecuacio´n? ¿Es identidad? Grado 2 + 3x = 3x+ 2 2 + 3x = 5 + 3x (x+ 2x)2 = 3x2 1 + 3x = −1 x2 + 1 = 1 + x · x 3. Utiliza las identidades notables para desarrollar o factorizar las expresiones siguientes: (a+ 2b)2 = (2m+ 3n) · (2m− 3n) = (2x− y)2 = p2 + 9q2 − 6pq = 4. Resuelve las siguientes ecuaciones sin pare´ntesis ni denominadores: i) 18 + 2x− 8 = x− 25 ii) 8x− 6 = x+ 8 + 6x iii) 5x+ 4 = 20 + 2x 5. Resuelve las ecuaciones (1) y (2) quitando primero los pare´ntesis: 2(x+ 3)− 6(5 + x) = 3x+ 4 (1) 4 · (x− 2) + 1 = 5 · (x+ 1)− 3 · x (2) 6. Utiliza la fo´rmula e = vt (donde e, es el espacio; v, la velocidad, y t, el tiempo) para calcular: a) El espacio recorrido en 3 horas por un ciclista que lleva una velocidad constante de 35Km h . b) El espacio recorrido en 15 minutos por un atleta que corre a una velocidad constante de 200Km h . c) El espacio recorrido en una hora y media por un caracol que se desplaza a una velocidad constante de 3m h . email
[email protected] 16 βo ∫ ιυατ FCPN-UMSA-I 2014 ξττo ∫ s ζℏαυεz 17 7. Resuelve las siguientes ecuaciones sin pare´ntesis ni denominadores: i) 18 + 2x− 8 = x− 25 ii) 8x− 6 = x+ 8 + 6x iii) 4x− 12 + x = 4x− 1 iv) 3x = −27 v) 5x+ 4 = 20 + 2x 8. Resuelve las siguientes ecuaciones con pare´ntesis: a) 2(x+ 3)− 6(5 + x) = 3x+ 4 b) 5(2− x) + 3(x+ 6) = 10− 4(6 + 2x) c) 4 · (x− 2) + 1 = 5 · (x+ 1)− 3 · x d) 3 · (x− 3) = 5 · (x− 1)− 6x e) 3 · (5 · x+ 9)− 3 · (x− 7) = 11 · (x− 2) + 7 9. Resuelve las siguientes ecuaciones con denominadores: i) 10x− 95−10x 2 = 10x−55 2 ii) 2x+3 4 − 143 6 = 9x−5 8 − 2x iii) 3x−7 12 = 2x−3 6 − x−1 8 iv) 5x+7 2 − 2x+4 3 = x−5 4 − 1 v) 5x−2 3 − x− 3x−1 2 = 3x+19 2 − x+1 6 + 5 10. Resuelve las ecuaciones (3) y (4) quitando primero los denominadores: 2x+ 3 4 − 143 6 = 9x− 5 8 − 2x (3) 5x+ 7 2 − 2x+ 4 3 = x− 5 4 − 1 (4) 11. Resolver −{1− [2− (3− x)]} = −{4− [5− (6− x)]}. 12. Resolver 99(−36x+ 90) = 81(81x+ 1110) 13. Resolver la siguiente ecuacio´n de primer grado (5x− 2)(7x+ 3) 7x(5x− 1) = 1 14. Resolver la siguiente ecuacio´n 1 + 2x 1 + 3x − 1− 2x 1− 3x + 3x− 14 1− 9x2 = 0 15. Hallar x de la ecuacio´n x− a− b c + x− b− c a + x− c− a b = 3 16. Resolver las siguientes ecuacio´n lineal. a) x− 6− (3x+ 1) = 4x− 2(x− 8). b) 2x− (5x− 6)− 3x(1 + 2x) = 1− 6x(x− 1). c) ax− b a+ b + bx+ a a− b = a2 + b2 a2 − b2 . d) x− 1 n− 1 + 2n2(1− x) n4 − 1 = 2x− 1 1− n4 − 1− x 1 + n . e) 3ab+ 1 a x = 3ab a+ 1 + (2a+ 1)x a(a+ 1)2 + a2 (a + 1)3 . email
[email protected] 17 βo ∫ ιυατ FCPN-UMSA-I 2014 ξττo ∫ s ζℏαυεz 18 f ) 3abc a+ b + a2b2 (a+ b)3 + (2a+ b)b2x a(a + b)2 = 3cx+ bx a . 17. Resolver x− ab a+ b + x− ac a+ c + x− bc b+ c = a+ b+ c Respuesta.- x = ab+ ac+ bc. 18. Un nu´mero ma´s el doble del siguiente es 26 ¿Cua´l es ese nu´mero? 19. Halla tres nu´meros pares consecutivos cuya suma sea 24. 20. Javier tiene 30 an˜os menos que su padre y e´ste tiene cuatro veces los an˜os de Javier. Averigua la edad de cada uno. 21. Los 2 3 ma´s los 2 9 de un nu´mero valen 80 ¿Cua´l es ese nu´mero? 22. Halla las dimensiones de un recta´ngulo sabiendo que su per´ımetro es 272 m y que el largo es 5 3 del ancho. 23. Si a un nu´mero le sumamos 18 nos da 97. ¿De que´ nu´mero se trata? (Solucio´n=79) 24. Ayer sal´ı de paseo y gaste´ 275 ptas. LLegue´ a mi casa con 350 ptas. ¿Con cuanto sal´ı de paseo? (Solucio´n=625) 25. A una fiesta so´lo han asistido la tercera parte de los invitados. En total asistieron 19 personas. Averigua el nu´mero de invitados. (Solucio´n=57) 26. Entre las edades de un padre y su hijo suman 41 an˜os. Calcula la edad del hijo sabiendo que el padre tiene 34 an˜os (Solucio´n=7) 27. Unos zapatos y un paraguas valen 3.000 ptas. Calcula el precio de cada art´ıculo sabiendo que los zapatos valen el triple que el paraguas. (Solucio´n=2.250 y 750) 28. Fui con mi madre al cine y compramos dos entradas, una de infantil y otra de adulto. La de adulto costo´ el doble que la de infantil y en total pagaron 675 ptas. Averigua el precio de cada entrada. (Solucio´n=225 y 450) 29. De un saco de naranjas sacamos 8 y au´n quedaron la tercera parte. ¿Cuantas naranjas hab´ıa en el saco? (Solucio´n=12) 30. Un nu´mero ma´s el doble del siguiente es 26 ¿Cua´l es ese nu´mero? 31. Halla tres nu´meros pares consecutivos cuya suma sea 24. 32. Javier tiene 30 an˜os menos que su padre y e´ste tiene cuatro veces los an˜os de Javier. Averigua la edad de cada uno. 33. En un corral hay conejos y gallinas; en total hay 61 cabezas y 196 patas. ¿Cua´ntos conejos y gallinas hay? 34. Un agricultor vende 1 3 de su cosecha de vino; despue´s embotella 4 7 de lo restante. Le queda 120 hl ¿Cua´ntos hectolitros de vino hab´ıa cosechado? 35. ¿Cua´nto costo´ un libro, si un quinto, ma´s un sexto, ma´s un se´ptimo de su precio, menos 2 pesetas, suman la mitad de su precio? 36. Los 2 3 ma´s los 2 9 de un nu´mero valen 80 ¿Cua´l es ese nu´mero? 37. Jaime y su hermana van un sa´bado al cine y otro al circo; en total se gastan 2,050 pesetas ¿Cua´nto cuesta cada entrada si la entrada del cine vale 75 pesetas menos que la del circo? 38. En una fiesta de fin de curso hay doble nu´mero de mujeres que de hombres y triple nu´mero de nin˜os que de hombres y mujeres juntos. Halla el nu´mero de hombres, mujeres y nin˜os que hay en la fiesta si el total es de 156 personas. 39. Halla las dimensiones de un recta´ngulo sabiendo que su per´ımetro es 272 m y que el largo es 5 3 del ancho. email
[email protected] 18 βo ∫ ιυατ FCPN-UMSA-I 2014 ξττo ∫ s ζℏαυεz 19 40. Halla un nu´mero de dos cifras, tal que: 1) La cifra de las unidades es triple de la de las decenas. 2) Si se intercambian las dos cifras, el nu´mero aumenta en 54. 41. Encuentre las dimensiones de un terreno rectangular con un per´ımetro de 540 metros, si sabemos que el largo mide 30 metros ma´s que el ancho. Respuesta.- largo = 150 metros, ancho = 120 metros . 42. Una lancha recorre 6km en 40 minutos en favor de la corriente; el viaje de regreso le toma 1 hora. Calcular la rapidez de la lancha en km/h. Respuesta.- Su rapidez es 7,5 km/h 43. Sara y Jeff han acordado reunir sus ahorros cuando tengan ahorrado la misma cantidad de dinero. Sara puede ahorrar $40 en una semana, pero primero debe darle $65 a su madre. Cuatro semanas despue´s Jeff comenzo a ahorrar $25 por semana. ¿Cua´ndo podra´n ellos reunir sus ahorros? ¿Cua´nto dincero habra´n ahorrado cada uno de ellos? 44. Sally gana $15 por hora. Ella ha decidido ahorrar automa´ticamente un de´cimo del dinero que le queda despue´s de que ha sido substra´ıdo semanalmente $10 para Salud. Ella desea ahorrar al menos $50 cada semana. ¿Cua´ntas horas debe ella trabajar cada semana? 45. S = 2pirh es la fo´rmula para el a´rea S de la superficie curvada de un cilindro que tiene radio r y altura h. Usted tiene una hoja de papel rectangular para envolver, que tiene una longitud l y un ancho w. ¿Cua´l es el radio del cilindro, con altura l y que tenga la mayor a´rea, que la hoja de papel pueda envolver? 46. Un automo´vil cuesta $22000, cuando nuevo pierde un nu´mero fijo de do´lares en el valor cada an˜o. Despue´s de cuatro an˜os, el carro cuesta $12000. ¿Cua´nto sera´ su valor despue´s de site an˜os? 47. El tiempo que toma un barco para viajar una distancia rio abajo (con la corriente) puede ser calculado dividiendo la distancia por la suma de la velocidad del baroco y la velocidad de la corriente. Escriba una ecuacio´n que calcule el tiempo t que toma un barco que se mueva a una velocidad r con una corriente c para viajar una distancia d. Resuleva su ecuacio´n para r. 48. La diferencia entre la longitud de una rampa y la longitud de la distancia horizontal que e´sta cubre es 4 pies. El cuadrado de la distancia vertical que e´sta cubre es 56 pies. ¿Cua´l es la longitud de la rampa? 49. Dave puede limpiar la fachada de un barco en 3 horas. Annette puede limpiar la misma fachada en 2 horas. Si hay muchos barcos para limpiar, y Annette le da a Dave una ventaja de 3 horas, ¿cua´nto tiempo despue´s de que Dave comenzara´, ellos habra´n limpiado el mismo nu´mero de fachadas? ¿Cua´ntas habra´n limpiado cada uno? 50. Se vendio´ cierta cantidad de pin˜as por la man˜ana y sobraron dos cajas de 50 pin˜as cada una por la tarde. Al empezar la venta se ten´ıa 520 pin˜as. ¿Cua´ntas pin˜as se vendio´? 51. La suma de la tercera y cuarta parte de un nu´mero equivale al duplo del nu´mero disminuido en 17. Hallar el nu´mero. 52. Un comerciante ten´ıa cierta cantidad de dinero. El primer an˜o gasto´ 100 bs, aumento el resto con un tercio de este, al an˜o siguiente volvio´ a gastar 100 bs y aumento la suma restante en un tercio de ella. EL tercer an˜o gasto de nuevo otros 100 bs. Despue´s de que hubo agregado su tercera parte, el capital es el doble del inicial. ¿Cua´l fue su capital inicial?. 53. La empresa Terra Sur SA compro´ un terreno en la zona sur de la ciudad de La Paz a razo´n de Bs 5000 la hecta´rea, una vez saneado los papeles la empresa se da cuenta que el terreno tiene 8 hecta´reas menos, pero ya no existe lugar a reclamos, sin embargo vende el terreno a Bs 6000 la hecta´rea (contenida exactamente) y gana as´ı el 12% de su inversio´n. ¿Cua´ntas hecta´reas media el terreno? email
[email protected] 19 βo ∫ ιυατ FCPN-UMSA-I 2014 ξττo ∫ s ζℏαυεz 20 54. El jueves, Pedro compro´ 6 DVDs para una computadora. Dos d´ıas despue´s el precio de los DVDs se redujeron en 1.2bs por unidad. Claudia compro 10 DVDs en la oferta y pago 4 bs mas que Pedro por los DVDs. ¿Cua´l es el precio original?. Resp. 4bs 55. En un festival los 2/3 son adultos y de ellos los 3/5 son hombres. Hay 20 nin˜os y nin˜as ma´s que mujeres. ¿Cua´ntos hombres, mujeres y nin˜os hay en el festival? 56. Un jugador perdio´ la mitad de su dinero, volvio´ a jugar y perdio´ 1/2 de lo que le quedaba, repitio´ lo mismo por 3ra vez y 4ta vez, despue´s de lo cual le quedaron 6 Bs. ¿Cua´nto dinero ten´ıa al comenzar el juego?. Ecuaciones de Segundo Grado o Ecuaciones Cuadra´ticas 1. Resolver: (1) √ 2x+ 3−√2x− 3 = 1 (2) (x+ 5)2 = 16 (3) 2 x + 9 x+1 = 4 (4) y+1 2y + y+5 y2 = 1 (5) (10− 2x)(5− x) = 50 (6) 2 x − 15 x−1 = 4 (7) x4 − 7x3 − 30x2 = 0 (8) y y+2 + y+4 y−3 = 7(2y−1) y2−y−6 (9) √ x+ 2 = x− 4 (10) √ 2x+ 5 = x− 5 (11) √2x+ 7 = x− 4 (12) 2√x− 1 = √2x+ 7 (13) 3 = √ x2 − 8x (14) x4 − 2x2 + 1 = 0 (15) √13 + x− x = 7 (16) √ x+ 2 = x− 4 (17) √2x+√x− 4 = 2 (18) 6x2 + 13x+ 5 = 0 2. Resolver la ecuacio´n factorizando 3x2 − 2x− 5 = 0 3. Determinar si la siguiente ecuacio´n tiene ra´ıces reales. Si tiene ra´ıces reales, encontrarlas, de lo contrario decir que no tiene ra´ıces reales: √ x− 1 +√2x+ 1 = 1 4. Resolver: (2x+ 1)2 − (3x+ 2)2 + 5x2 + 8x+ 3 = 0 5. Resolver: (2x+ 1)2 = 2(2x2 + 2x+ 5) 6. Resolver: 6x4 − 13x2 + 5 = 0 7. Resolver: x4 − 8x2 + 15 = 0 8. Resolver la ecuacio´n cuadra´tica. (a) x2 − 7x+ 12 = 0. (b) 2x2 − 5x+ 2 = 0. (c) 1 4−x − 12+x = 14 . (d) 2xx+b − xb−x = b 2 4(x2−b2) . (e) x 2+1 n2x−2n − 12−nx = xn . (f) 1− 2bx−a = a 2−b2 a2+x2−2ax . (g) 1 2n+nx − 1 2x−x2 = 2(n+3) x3−4x . (h) √ 2x− 3 +√4x+ 1 = 4. (i) √ x+ 1 + 2 √ 2x− 3 = −3. (j) (2x+ 1)3/2 − 13x 2 = 1. (k) √ 1 + x √ x2 + 24 = x+ 1. (l) 3+x 3x = √ 1 9 + 1 x √ 4 9 + 2 x2 . (m) √ x−5 x+2 + √ x−4 3+x = 7 x+2 √ 2+x x+3 . 9. Problemas de planteamiento. a) Halle p tal que px2 − x+ 5− 3p = 0, que tenga una ra´ız igual a 2. b) Halle p tal que (2p+ 1)x2 + px+ p = 4(px+ 2), la suma de sus ra´ıces sea igual a su producto. c) Halle p tal que 4x2 − 8x+ 2p− 1 = 0, tenga una de las ra´ıces sea igual al triple de la otra. d) Halle p tal que x2 = 5x− 3p+ 3, tenga la diferencia entre sus ra´ıces igual a 11. e) Halle p tal que (p2 − 3)x2 − 3(p− 1)x− 5p = 0, tenga una ra´ız igual a −2. f ) Hallar a y b tal que x2 + (2a+ 3b− 1)x+ a− b− 3 = 0, sabiendo que ambas ra´ıces valen cero. email
[email protected] 20 βo ∫ ιυατ FCPN-UMSA-I 2014 ξττo ∫ s ζℏαυεz 21 10. El cociente de dividir 84 entre cierto nu´mero, excede en 5 a e´ste nu´mero. Hallar el nu´mero. 11. La ganancia semanal P en mikes de bolivianos de una tienda de video depende del precio de la renta de las cintas t. La ecuacio´n de ganancia es P = 0.2t2 + 1.5t− 1.2 ¿A que´ precio por cinta su ganancia semanal sera´ de 1.6 miles de bolivianos? 12. Las ra´ıces de la ecuacio´n (k + 6)x2 − (k + 8)x+ 3 = 0 poseen la propiedad: r21 + r 2 2 = 13 16 . Hallar el valor de k 13. Hallar p y q tal que la ecuacio´n x2 + (−2p− q + 1)x+ (−3p+ q + 2) = 0 tenga ra´ıces iguales a 1. 14. Suponga que la altura h en metros de los fuegos artificiales disparados en l´ınea recta ascendente desde la tierra esta´ dada por h = 24,5t − 4,9t2 donde t esta´ en segundos. ¿Cua´ndo los fuegos artificiales estara´n a 50 metros de la tierra? 15. Suponga que los ingresos semanales para una compan˜´ıa esta´n dados por r = −3p2 + 60p donde p es el precio de su servicio. Cua´nto es el precio de su servicio ai el ingreso es $400. 16. Un arco parabo´lico tiene una forma descrita por la ecuacio´n y = −x2 +10x−11 (unidades en pies). A que´ altura (arriba del eje x) es el arco 4 pies de ancho? 17. El costo total de una compan˜´ıa es 11q+144, donde q es el nu´mero de miles de unidades producidas. El ingreso total es q(71 − 4q). Encontrar los dos valores de q para los cuales la compan˜´ıa tiene exactamente el costo igual al ingreso. 18. Usted ha estado en un tren X horas viajando X millas por hora. Son las 6 p.m y usted esta´ a 3249 millas desde la estacio´n del tren. ¿Cua´ntas horas ha estado viajando y que tan ra´pido viajo´? 19. Las millas que una persona puede ver al horizonte desde un punto por encima de la superficie de la Tierra es 0,85 de la ra´ız cuadrada de la distancia en pies de la persona por encima de la superficie. Arturo esta´ a 65 pies ma´s arriba y ve 4.25 millas ma´s alla´ que Luis. A cua´ntos pies esta´n Arturo y Luis por encima de la superficie. Cap´ıtulo VI. Sistemas de Ecuaciones Sistemas Lineales 1. Resolver los sistemas de ecuaciones lineales. (a) { 4x+ 2y = 10 2 5x− 3y = −2 (b) { 2x− 5y = 10 4x+ 3y = 7 (c) { 2y − x = 1 2x+ y = 8 (d) { 2x 3 + y 5 = 6 x 6 − y 2 = −4 (e) { 2x−1 3 + y+2 4 = 4 x+3 2 − x−y 3 = 3 (f) { ax− by = a2 + b2 2abx− ay = 2b2 + 3ab− a2 (g) 2x− y + 2z = −8 x+ 2y − 3z = 9 3x− y − 4z = 3 (h) x = y − 2z 2y = x+ 3z + 1 z = 2y − 2x− 3 (i) x 3 + y 2 − z = 7 x 4 − 3y 2 + z 2 = −6 x 6 − y 4 − z 3 = 1 email
[email protected] 21 βo ∫ ιυατ FCPN-UMSA-I 2014 ξττo ∫ s ζℏαυεz 22 (j) ¿Tiene solucio´n el sistema? 2x− y + z = 1 x+ 2y − 3z = −2 3x− 4y + 5z = 1 (k) ¿Tiene solucio´n el sistema? x+ y + 2z = 3 3x− y + z = 1 2x+ 3y − 4z = 8 2. Un padre tiene 24 an˜os ma´s que su hijo. Determinar sus edades actuales sabiendo que dentro de 8 an˜os, la edad del padre es el doble que la del hijo. 3. La edad actual de Jose´ es el doble de la de Fernando. Hace 5 an˜os Jose´ era 3 veces mayor que Fernando. Hallar sus edades actuales. 4. Una bolsa contiene Bs 215 en monedas de 5 y 25, sabiendo que hay 19 monedas ma´s de 5 que de 25. Hallar el nu´mero de monedas de cada clase. 5. Las entradas de un teatro valen Bs 50 para los adultos y Bs 20 para los nin˜os. Sabiendo que asistieron 280 personas y que la recaudacio´n fue de Bs 8000. Hallar el nu´mero de nin˜os que asistieron a la funcio´n. 6. Hallar un nu´mero de dos cifras sabiendo que la suma de e´stas es igual a 1 7 del nu´mero y que la cifra de las decenas excede en 3 a las correspondiente de las unidades. 7. Hallar un nu´mero de dos cifras sabiendo que la suma de e´stas es igual a 10 y que, si se invierten, el nu´mero que resulta es una unidad menor que el nu´mero original. 8. Dos fa´bricas de una misma compan˜´ıa tiene telares que ocupan en total de 700 personas. La fa´brica A utiliza 10 obreros en cada uno de los telares, mientras que la fa´brica B utiliza 20 por cada telar. Se desea cerrar la mitad de los telares de A y duplicar el nu´mero de telares en B. Para ello es necesario emplear 550 personas ma´s. ¿Cua´ntos telares tiene cada una de las dos fa´bricas?. 9. En un testamento se dice lo siguiente: ”Tengo 10 herederos hombres y 20 herederos mujeres. Quiero que mi fortuna, que es de Bs 1000000, se reparta en la siguiente forma: Todos los hombres recibira´n igual cantidad de dinero como tambie´n las mujeres. Las cantidades que les toque a cada hombre y a cada mujer deben ser tales que si se intercambian los papeles de hombres y mujeres al repartir la herencia se agotar´ıa exactamente toda la fortuna”. Usted es la persona encargada de hacer la voluntad de la persona del testamento. ¿Co´mo repartir´ıa la herencia? 10. Hallar las dimensiones de un recta´ngulo sabiendo que su per´ımetro es igual a 110 cm y que su longitud es 5 cm ma´s pequen˜a que el doble de su altura. 11. El per´ımetro de un tria´ngulo recta´ngulo es igual a 40 cm. Sabiendo que uno de los catetos mide 15 cm. Hallar la longitud de los otros dos lados. 12. Un granjero puede trabajar un cierto terreno a una velocidad tres veces mayor que la de su hijo. Trabajando juntos invierten 6 horas en realizar la labor. Hallar el tiempo que tardar´ıan en realizarlo trabajando por separado. 13. En la mitad del combate, el furioso hijo de Prit’ha tomo´ un cierto nu´mero de flechas para matar a Carna; empleo´ la mitad contra su defensa; el cua´druplo de la ra´ız cuadrada contra los caballos; seis flechas traspasaron el cochero Salya, otras tres desgarraron el parasol de Carna y rompieron su estandarte y su arco, y una le atraveso´ la cabeza. ¿Cua´ntas flechas ten´ıa el hijo de Prit’ha? 14. A ambas orillas de un rio crecen dos palmeras, la una frente a la otra. La altura de una es de 30 metros, y de la otra de 20 metros. La distancia entre sus troncos, 50 metros. En la copa de cada palmera hay un pa´jaro. De su´bito los dos pa´jaros descubren un pez que aparece en la superficie del agua, entre las dos palmeras. Los pa´jaros se lanzaron y alcanzaron el pez al mismo tiempo. ¿A que distancia del tronco de la palmera mayor aparecio´ el pez? email
[email protected] 22 βo ∫ ιυατ FCPN-UMSA-I 2014 ξττo ∫ s ζℏαυεz 23 15. En una lucha amorosa se rompio´ un collar de perlas; un sexto de las perlas cayo´ al suelo, un quinto sobre el lecho, la zagala salvo´ un tercio, un de´cimo guardo´ consigo el mancebo y seis perlas quedaron enhebrados. Dime, ¿Cua´ntas perlas ten´ıa el collar? 16. Seis libras de te´ y cinco libras de cafe´ cuestan $9.85. Siete libras de te´ y 8 de cafe´ cuestan $13.55. Encontrar el precio por libra de cada uno. 17. Jose´ tiene 75 bs para comprar 160 tornillos. Un tipo de tornillo cuesta 0.50 bs y el otro 0.40 bs. ¿Cua´ntos tornillos de cada tipo puede comprar? 18. Un grupo A y un grupo B pueden armar una ma´quina, si el grupo A trabaja 6 horas y el grupo B trabaja 12 horas; o pueden hacer el trabajo si el grupo A trabaja 9 horas y el grupo B trabaja 8 horas. ¿Que´ tiempo debera´ trabajar cada grupo si solamente uno hace el trabajo? 19. Carlos tiene doble dinero que Pedro, si Carlos pierde 10 Bs y Pedro pierde 5 Bs, Carlos tendra´ 20 Bs ma´s que Pedro. ¿Cua´nto tiene cada uno?. 20. Un auto viaja a una cierta velocidad durante 5 h y, a continuacio´n a otra velocidad durante 3h, se han recorrido 250 Km, pero si se hubiera viajado 2 h ma´s a cada una de las velocidades se habr´ıan recorrido 370 Km. Hallar ambas velocidades. 21. Un tren ha recorrido 200 Km en cierto tiempo. Para recorrer esa distancia en 1 hora menos, la velocidad deber´ıa haber sido 10 Km/h ma´s. Hallar la velocidad del tren en Km/h. 22. Dos turistas se dirigen simulta´neamente a San Buenaventura que se halla a 30 Km de ellos. El 1ro de ellos hace por hora 1 km ma´s debido a lo cua´l llega a la ciudad una hora antes. Hallar las velocidades de los turistas en Km/h. 23. Una escalera de 10 m de longitud se apoya en una pared. La parte inferior se encuentra a 6 m de la pared, la parte inferior de la escalera se separa luego 3 metros adicionales. ¿Que´ distancia hacia abajo se mueve la parte superior?. 24. Un padre tiene 24 an˜os ma´s que su hijo. Determinar sus edades actuales sabiendo que dentro de 8 an˜os, la edad del padre es el doble que la de su hijo. 25. La edad de Marcelo hace 6 an˜os era la ra´ız cuadrada de la edad que tendra´ dentro de 6 an˜os. Hallar su edad actual. 26. Se compran 5 la´pices, 2 cuadernos y 2 gomas de borrar y se cancela por ello bs 45. Si cada cuaderno cuesta el triple de cada goma ma´s bs 2 y cada la´piz cuesta el doble de cada goma ma´s bs 1. ¿Cua´nto cuesta cada material? 27. La edad de Jose´ es el doble de la de Mario. Hace 5 an˜os Jose´ era 3 veces mayor que Mario. Hallar sus edades actuales. Respuesta: 20, 10 28. Una bolsa contiene Bs. 215 en monedas de 5 y 25, sabiendo que hay 19 monedas ma´s de 5 que de 25. Hallar en nu´mero de monedas de cada clase. Respuesta: 23, 4. 29. Las entradas de un teatro valen Bs. 50 para los adultos y Bs. 20 para los nin˜os. Sabiendo que asistieron 280 personas y que la recaudacio´n fue de Bs. 8000. Hallar en nu´mero de nin˜os y adultos que asistieron a dicha reunio´n. Respuesta: 200, 80. 30. En una jaula donde hay conejos y palomas pueden contarse 35 cabezas y 94 patas. ¿Cua´ntos animales hay de cada clase?. Respuesta: 12, 23. 31. Un obrero hace un cierto nu´mero de piezas ide´nticas en un tiempo determinado. Si hubiera hecho 10 piezas ma´s cada d´ıa, habr´ıa terminado el trabajo completo 9 2 d´ıas antes de lo previsto, y si hubiera hecho 5 piezas menos cada d´ıa habr´ıa tardado 3 d´ıas ma´s de lo previsto. ¿Cua´ntas piezas hizo y en cuanto tiempo? email
[email protected] 23 βo ∫ ιυατ FCPN-UMSA-I 2014 ξττo ∫ s ζℏαυεz 24 32. La suma de tres nu´meros es 200. El mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65. Hallar el producto de dichos nu´meros. Resp. 225522 33. Hallar dos nu´meros sabiendo que su suma es 36 y que al dividir el mayor por el menor el cociente es 2 y el resto 3. Resp 25, 11. 34. Hallar las dimensiones de un recta´ngulo sabiendo que su per´ımetro es igual a 110cm y que su longitud es 5cm ma´s pequen˜a que el doble de su altura. Resp. 8, 17 35. En una jaula donde hay conejos y palomas pueden contarse 35 cabezas y 94 patas. ¿Cua´ntos animales hay de cada clase?. Resp. 12, 23. 36. La cabeza de un lagarto mide 9cm. La cola mide tanto la cabeza mas la mitad del cuerpo, y el cuerpo mide la suma de las longitudes de la cabeza y la cola. ¿Cua´nto mide el lagarto?. Resp. 72 37. A ambas orillas de un r´ıo crecen dos palmeras, una frente a la otra. La altura de una de ellas es de 30 codos, y de la otra, de 20. La distancia entres sus troncos es de 50 codos. En la copa de cada palmera hay un pa´jaro. De su´bito los dos pa´jaros descubren un pez que aparece en la superficie del agua, entre las dos palmeras. Los pa´jaros se lanzaron y alcanzaron el pez al mismo tiempo. ¿A que´ distancia del tronco de la palmera mayor aparecio´ el pez?. Resp. 20 codos. 38. Un campesino piensa utilizar 180 pies de malla para encerrar un terreno rectangular, aprovechando parte de la orilla recta de un r´ıo como cerca de uno de los lados del recta´ngulo. Halle el a´rea del terreno, si la longitud del lado paralelo al r´ıo es el doble de la longitud de uno de los lados adyacentes. Resp. 4050 39. Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos, lamenta´base el caballo de su pesada carga, a lo que el mulo le dijo: ¿De que te quejas? Si yo te tomara un saco, mi carga ser´ıa el doble de la tuya. En cambio si te doy un saco tu carga se igualar´ıa a la mı´a. ¿Cuantos sacos llevaba cada uno?. Resp. 7, 5. 40. Una escalera de 13m de longitud, esta apoyada contra una pared. La base de la escalera se encuentra a 5 m del muro. ¿Cua´nto habr´ıa que desplazar la base de la escalera para que la punta superior de la misma se desplace hacia abajo la misma distancia? Resp. 7m 41. Dos ciclistas parten al mismo tiempo de dos puntos A y B distantes 320 km; uno de A en direccio´n de B y otro con direccio´n a A. El primero recorrio´ 8 km ma´s por hora que el segundo y el nu´mero de horas que demoraron en encontrarse esta´ representado por la mitad del nu´mero de kms que el segundo recorrio´ en una hora. ¿Cua´l es la distancia recorrida por el primer ciclista? 42. Claudia y Mario caminaban juntos por el prado cargados de mochilas repletas de libros. En cierto momento Claudia se queja a Mario de su pesada mochila, a lo que Mario responde: ¿De que te quejas? si yo te tomara un libro, mi carga seria el doble de la tuya. En cambio si te doy uno de mis libros tu carga se igualar´ıa a la mı´a. ¿Cua´ntos libros llevaba cada uno? 43. En una primera visita al mercado usted compro´ dos libras de te´ y cinco libras de cafe´ pagando un total de 50 bolivianos. Dı´as despue´s el una segunda visita usted compro tres libras de te´ y 7 de cafe´ pagando esta ves 71 bolivianos. Usted no recuerda cuanto pago por cada libra de cada uno de los productos. Plantee un sistema de ecuaciones para encontrar el precio de cada libra de te´ y el precio de cada libra de cafe´. 44. Entre todas las familias de un pueblo suman 252 hijos. Las hay de dos tipos, las que tienen 6 hijos y las que tienen 2 hijos. Si el nu´mero de las que tienen 6 hijos dobla a las otras, calcular en nu´mero de hay de cada tipo de familia. 45. En Abril tengo el doble de dinero que en Enero, si en abril pierdo 10 bolivianos y en enero pierdo 5, en Abril tendre´ 20 bolivianos ma´s que en enero ¿Cua´nto ten´ıa en abril y cua´nto en enero? email
[email protected] 24 βo ∫ ιυατ FCPN-UMSA-I 2014 ξττo ∫ s ζℏαυεz 25 46. Un ganadero le da de comer a sus vacas una mezcla de dos tipos de alimentos, A y B. Un kilo de A proporciona a una vaca el 10% de las prote´ınas y el 15% de las vitaminas que necesita a diario. Un kilo de B proporcionan el 12% de prote´ınas y el 8% de vitaminas. Calcular los kilos que hay que dar a cada animal para conseguir el 100% necesario diario de prote´ınas y vitaminas. 47. Hallar los valores de m y n para que el polinomio x3 +mx2 + nx− 6, sea divisible por x2 − 5x+ 6. Sistemas Cuadra´ticos 1. Resolver los sistema de ecuaciones. (a) { 2x− y = 6 y2 = x (b) { x+ y = 2 x2 + y2 = 4 (c) { 2x+ y = 4 y2 + 4x = 0 (d) { 3x− y − 8 = 0 x2 + y2 − 4x− 6y + 8 = 0 (e) { x+ y = 5 x2 + y2 = 9 (f) { x y + y x = 25 12 x2 − y2 = 7 (g) { ( x a )m · (y b )n = c( x b )n · (y a )m = d 2. Problemas de planteamiento. a) Hallar dos nu´meros sabiendo que su suma es 12 y su producto 35. b) Hallar dos nu´meros sabiendo que el cuadrado de uno de ellos excede en 16 al doble del otro, y que la suma de sus cuadrados es 208. c) La diagonal de un recta´ngulo mide 85 cm. Sabiendo que si el lado menor se aumenta en 11 y el mayor se disminuye en 7 cm, la longitud de la diagonal no var´ıa. Hallar las dimensiones del recta´ngulo original. d) Despue´s de los exa´menes finales en una escuela, los estudiantes intercambiaron fotograf´ıas. ¿Cua´ntos estudiantes hab´ıa si se sabe que se intercambiaron un total de 870 fotograf´ıas? e) Des campesinas llevaron en total 100 huevos al mercado. Una de ellas ten´ıa ma´s mercanc´ıa que la otra, pero recibio´ por ella la misma cantidad de dinero que la otra. Una vez vendidos todos, la primera campesina dijo a la segunda: Si yo hubiera llevado la misma cantidad de huevos que tu´, habr´ıa recibido Bs 15. La segunda contesto´: Y si yo hubiera vendido los huevos que ten´ıas tu´ habr´ıa sacado de ellos Bs 20 3 . ¿Cua´ntos huevos llevo´ cada una? f ) En la plaza hay instalados 5 altavoces distribuidos en dos grupos: uno de ellos consta de dos aparatos, y el otro, de 3. La distancia que separa los dos grupos es de 50 metros. ¿Donde habra´ que colocarse para que el sonido de ambos grupos se oiga con la misma intensidad? g) Hallar dos nu´meros sabiendo que si uno de ellos se suma con el doble del otro se obtiene 21, y que si este u´ltimo se suma con el doble del primero resulta 18. h) Hace 6 an˜os, jose´ era cuatro veces mayor que Pablo. Hallar sus edades actuales sabiendo que dentro de 4 an˜os solo sera´ dos veces mayor que Pablo. i) DosKg. de cafe´ y 3Kg. de mantequilla cuestan Bs 420. Al cabo de un mes, el precio del cafe´ ha subido un 10 %, y el de la mantequilla un 20 % de forma que la adquisicio´n de los productos anteriores cuestan ahora Bs 486. Hallar el precio primitivo de cada uno de los productos. j ) Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos. Lamenta´base el jamelgo de su enojosa carga, hallo que el mulo le dijo: ¿De que te quejas? Si yo te tomara un saco, mi carga ser´ıa el doble que la tuya. En cambio, si te doy un saco, tu carga se igualara´ a la mı´a. Decidme, doctos matema´ticos, ¿cua´ntos sacos llevaba el caballo y cua´ntos el mulo? email
[email protected] 25 βo ∫ ιυατ FCPN-UMSA-I 2014 ξττo ∫ s ζℏαυεz 26 Cap´ıtulo VII. Exponenciales y Logaritmos Problemas de Exponenciales 1. El crecimiento de una colonia de mosquitos sigue un crecimiento exponencial que puede ser modelado con la siguiente ecuacio´n A(t) = A0e kt. Si inicialmente hab´ıan 1000 mosquitos y despue´s de un d´ıa la poblacio´n de e´stos aumenta a 1800, ¿cua´ntos mosquito habra´n en la colonia despue´s de 3 d´ıas?¿Cua´nto tiempo tendr´ıa que pasar para que la colonia tenga 10000 mosquitos? 2. Un pollo que tiene una temperatura de 40oF es movido a un horno cuya temperatura es de 350oF . Despue´s de 4 horas la temperatura del pollo alcanza 170oF . Si el pollo esta´ listo para comer cuando su temperatura llegue a 185oF . ¿Cua´nto tiempo tomara´ cocinarlo? 3. El crecimiento de una colonia de abejas esta´ determinado por la siguiente ecuacio´n P (t) = 230 1+56,5e−0,37t . ¿Cua´ntas abejas hab´ıan inicialmente?¿Cua´nto tiempo le tomara´ a las abejas tener una poblacio´n igual a 180?¿Cua´l sera´ la poblacio´n de las abejas cuando haya transcurrido mucho tiempo? 4. Una funcio´n exponencialW tal queW (t) = W0e kt, para k > 0, describe el primer mes de crecimiento de cultivos como de ma´ız, algodo´n y soya. La funcio´n W es el peso total en miligramos, W0 es el peso del d´ıa del brote o emergencia y t es el tiempo en d´ıas. ¬ Si, para un tipo de soya k = 0,2 y W0 = 68, calcule el peso final al mes de haber brotado (t = 30). Rta. 27433,16 mg A menudo es dif´ıcil medir el peso W0, de la planta cuando acaba de emerger del suelo. Si para una planta de algodo´n, k = 0,21 y W (10) = 575 mg. Calcule W0. Rta. 70,41 mg 5. En 1980 la poblacio´n estimada de la India era de 651 millones y ha estado creciendo a una tasa de alrededor del 2% anual. La poblacio´n N(t), t an˜os ma´s tarde, puede aproximarse mediante N(t) = 651e0.02t. Suponiendo que esta tasa alta de crecimiento continua, calcule la poblacio´n de la India en el an˜o 2000 y 2010. 6. La poblacio´n N(t) de la India en millones t an˜os despue´s de 1980 puede aproximarse por N(t) = 651e0.02t. Cua´ndo sera´ de mil millones?. Rta. en 21 an˜os. 7. Intere´s compuesto Si se invierten P do´lares a una tasa de intere´s anual r y el intere´s se capitaliza n veces al an˜o, el valor final de la inversio´n despue´s de t an˜os bajo intere´s compuesto n veces al an˜o denotado por In(t) es: In(t) = P ( 1 + r n )nt . (5) ¬ Suponga que se invirtio´ 1000 do´lares a una tasa de intere´s compuesto del 9% mensual. + Calcular el monto final del capital inicial despue´s de 5 an˜os, despue´s de 10 an˜os, despue´s de 15 an˜os. Rta. 1565,68 do´lares; 2451,36 do´lares; 3838,04 do´lares. Grafique el crecimiento de la inversio´n. 8. El crecimiento de una colonia de abejas esta´ determinado por la siguiente ecuacio´n log´ıstica: P (t) = 230 1 + 56.6e−0.37t . ¿Cua´ntas abejas hab´ıan inicialmente?. ¿Cua´nto tiempo le tomara´ a las abejas tener una poblacio´n igual a 180?. ¿Cua´l sera´ la poblacio´n de las abejas cuando haya transcurrido mucho tiempo?. email
[email protected] 26 βo ∫ ιυατ FCPN-UMSA-I 2014 ξττo ∫ s ζℏαυεz 27 9. El crecimiento de los a´rboles se representa con frecuencia mediante una ecuacio´n log´ıstica. Suponga que la altura h en pies, de un a´rbol de edad de t an˜os, es: h(t) = 120 1 + 200e−0,2t . ¿A que´ edad su altura es de 100 pies?. ¿Que´ altura alcanzo´ si su edad es de 40 an˜os? Solucio´n. ¿A que´ edad su altura es de 100 pies?. h(t) = 120 1 + 200e−0,2t = 100 h(t) = 120 1 + 200e−0,2t = 100 100 ( 1 + 200e−0,2t ) = 120 20000e−0,2t = 20 −0,2t = −6, 9077, t = 34, 54 ¿Que´ altura alcanzo´ si su edad es de 40 an˜os? h(40) = 120 1 + 200e−0,2(40) = 120 1 + 200e−8 Problemas de Logaritmos 1. Calcula las siguientes potencias y escr´ıbelas en forma de logaritmo, tal y como se indica en el ejemplo: 53 = 125 ⇔ log5 125 = 3 a) 72 b) 35 c) ( 1 9 )2 d) ( 2 3 )2 e) 106 f ) 27 g) 5–3 h) ( 5 3 )− 2 i) 6 –2 2. Calcula las siguientes potencias y escr´ıbelas en forma de logaritmo, tal y como se indica en el ejemplo: 32 = 9 ⇔ log3 9 = 2 a) 25 b) 32 1 5 c) 3 –4 d) 34 e) 81 1 4 f ) 2 –5 g) 52 h) 125 1 3 i) 5 –3 3. Calcula el exponente de las siguientes igualdades y escr´ıbelo, posteriormente, en forma de logaritmo, tal y como muestra el ejemplo: 125x = 5 ⇒ x = 1 3 ⇒ log 125 5 = 13 email
[email protected] 27 βo ∫ ιυατ FCPN-UMSA-I 2014 ξττo ∫ s ζℏαυεz 28 a) 10 a = 1000 b) 10 b = 1 c) 10 c = 0,001 d) 1000 d = 10 e) 16 e = 1 16 f ) 16 f = 4 g) 16 g = 256 h) 16 h = 1 4 i) 16 i = 1 256 4. Calcula el exponente de las siguientes igualdades y escr´ıbelo, posteriormente, en forma de logaritmo, tal y como muestra el ejemplo: 5x = 1 5 ⇒ x = –1 ⇒ log 5 15 = –1 a) 10 a = 0,1 b) 9 b = 1 c) 64 c = 4 d) 10 d = 10 e) 17 e = 1 f ) 32 f = 2 g) 27 g = 9 h) 4 h = 1 16 i) 7 i = 1 256 5. Calcula la base de los siguientes logaritmos: log a36 = 2 log a64 = 3 log a0,01 = –2 log a0,001 = 3 log a12345 = 1 log a8 = 3 6. Calcula la base de los siguientes logaritmos: log a3 = 1 log a1 = 0 log a0,25 = –2 log a2 = 2 log a121 = –1 log a8 = –3 7. Calcula: log 3 81 log 3 9 log 3 (1/3) log 2 1 log 41 41 log 0,01 log 5 √ 5 log 2 32 log 100 8. Calcula: log 4 1024 log 16 256 log 7 343 log 64 8 log 625 5 log 27 3 log 9 243 log 64 256 log 625216 9. Calcula el valor aproximado de los siguientes logaritmos, sabiendo que el log 2 3 ∼= 1,60: log 2 6 log 2 24 log 2 (2/3) log 2 (3/4) log 2 15 – log 2 5 log 2 (1/9) log 2 0,5 log 2 0,25 10. Calcula el valor aproximado de los siguientes logaritmos, sabiendo que el log 2 ∼= 0,301: log 8 log 40 log 25 log 200 log 0,04 log 1,25 log 0,008 log 0,0016 11. Calcula las siguientes expresiones sin hacer uso de la calculadora: log 4 ( 3 √ 45 )2 log 15 5 2 + log 15 3 2 log 2 4 √ 2 3 √ 22 log 3 5 √ 3 3 √ 75 6 √ 225 log 1 6 4 √ 6 3 √ 36 5 √ 216 log 2 ( 3 √ 1 4 · 5 √ 1 16 ) 2 3 email
[email protected] 28 βo ∫ ιυατ FCPN-UMSA-I 2014 ξττo ∫ s ζℏαυεz 29 12. Si log a H = 2 y log a 32 · N = 5, ¿cua´nto vale a? 13. Si log 5 N = t, expresa en funcio´n de t los siguientes logaritmos: log 5 125 · N log 5 N25 log 5 55 log 5 4 √ N 14. Si log 7 N = p, expresa en funcio´n de p los siguientes logaritmos: log 7 49 · N log 7 N49 log 7 75 · N log 7 N343 log 7 2401 · N 15. Si log 6 N = q, expresa en funcio´n de q los siguientes logaritmos: log 6 36 · N log 6 N6 log 6 64 · N log 6 N36 log 6 216 · N 16. Si al nu´mero N lo multiplicamos por 81, ¿que´ alteracio´n experimenta su logaritmo en el sistema de base 3? ¿Y en el de base 9? 17. Si al nu´mero N lo dividimos por 256, ¿que´ alteracio´n experimenta su logaritmo en el sistema de base 16? ¿Y en el sistema de base 2? ¿Y en el sistema de base 4? 18. Si log a N = 2,2577 y el log a 125 · N = 5,2577, halla razonadamente el valor de la base a de los logaritmos. 19. Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en forma de logaritmo, sabiendo que a = log 3, b = log 5 y c = log 7: a) a + b + c b) 2a + 3b c) a+b 2 d) c−b 3 e) a + c−b 3 20. Reduce las siguientes expresiones logar´ıtmicas a un solo logaritmo: 5 log 2 – 3 log 2 log x4 – log x3 log 3 + log 4 – log 2 (log 27 + log 64) – (log 8 – log 9) 21. Toma logaritmos decimales en las siguientes expresiones, para obtener la expresio´n logar´ıtmica correspondiente: A = a 3·b4·c d2 C = x2 t3 z5 t7 B = √ a3 · 3 √ b2 · c4 D = xyz t E = 4pi r 3 3 F = 4 √ x 3 √ x2 22. Toma logaritmos decimales en las siguientes expresiones, para obtener la expresio´n logar´ıtmica correspondiente: A = a· 3 √ b4·c4 d2 · 4 √ e2 B = x –2 y 2 3 t3 z 1 5 C = √ a−3 · 3 √ b2 · 1 c−4 D = 4 √ x 3 √ x2 3 √ x F = x 2 3 y 1 2 z 5 √ t6 23. Escribe la forma algebraica de A , B, C, D y E en las siguientes expresiones: log A = 3 7 log a + 2 log b – 5 log c – 4 log d log B = 1 2 log a + 3 log b – 2 log c + 2 log C = 2 (log a + 3 log b) – 1 2 (2 log c + log d) log D = 2 log 5 + 3 log 7 – 4 log 11 log E = 1 6 log 2 – 1 4 log 7 – 1 8 log 5 email
[email protected] 29 βo ∫ ιυατ FCPN-UMSA-I 2014 ξττo ∫ s ζℏαυεz 30 24. Escribe la forma algebraica de A , B, C, D y E en las siguientes expresiones: log A = 3 log x – 5 log y log B = 5 log x + 3 log y 2 log C = 2 log x – 3 log y + 5 log z log D = 2 log 5 + 3 log 7 – 4 log 11 log E = 1 6 log 2 – 1 4 log 7 – 1 8 log 5 25. Completa esta tabla: a b log a b log b a log a b 2 log b a 2 11 121 25 3 2 1 2 –2 3 – 4 0,1 3 2 1000 3 2√ 7 1 4 3 √ 36 √ 6 26. El pH de un l´ıquido es el logaritmo de la inversa de la concentracio´n de iones H+ que hay en e´l. Por ejemplo, si la concentracio´n de H+ es 10 –7, entonces su pH es: log 1 10−7 = log 10 7 = 7. Calcula el pH de los l´ıquidos que tienen las siguientes concentraciones de H +: 5 · 10 –5 3,8 · 10 –8 9,32 · 10 –7 27. La poblacio´n rural de una provincia espan˜ola disminuye un 2% cada an˜o. Si la poblacio´n actual de la provincia es de 100000 habitantes, y suponiendo que la disminucio´n se sigue realizando en la misma proporcio´n, ¿en cua´ntos an˜os su poblacio´n quedara´ reducida a 60000 habitantes? (Nota: la fo´rmula de crecimiento o disminucio´n continuos de una poblacio´n es: P(t) = P0 · (1 ±c)t, siendo P0 la poblacio´n inicial y c el tanto por ciento con el que crece o disminuye la poblacio´n) 28. La poblacio´n de un estado crece en un an˜o un 2,5%. ¿Cua´nto tiempo se necesitara´ para duplicarse suponiendo que sigue creciendo con el mismo ritmo? 29. El 1 de enero de 1900 la poblacio´n de una ciudad era de 75000 habitantes y el 1 de enero de 1950 hab´ıa alcanzado 180000 habitantes. ¿Cua´l fue su tanto por ciento de crecimiento anual, si e´ste se hizo de manera continua? 30. La constante de desintegracio´n del polonio 218 (Po218) es λ = 4 · 10 –3 s –1. ¿Cua´nto tiempo necesitara´ una muestra de ese elemento para que se reduzca a la mitad de sus a´tomos? (Nota: la fo´rmula de la desintegracio´n continua de los a´tomos es: N = N0 · e –λ·t, siendo N0 el nu´mero inicial de a´tomos) 31. La constante de desintegracio´n del torio C es λ = 2 · 10 –4 s –1. ¿Cua´ntos a´tomos quedara´n sin desintegrarse, al cabo de 15 minutos de una muestra que inicialmente ten´ıa un millo´n de a´tomos? Ecuaciones Exponenciales 1. Resolver la ecuacio´n ( 43−x )2−x = 1. Sol.- x = 2, x = 3. email
[email protected] 30 βo ∫ ιυατ FCPN-UMSA-I 2014 ξττo ∫ s ζℏαυεz 31 2. Resolver la ecuacio´n ( 105−x )6−x = 100. Sol.- x = 4 3. Resolver la ecuacio´n 2x+1 + 4x = 80. Sol.- x = 3. 4. Resolver la ecuacio´n 3x + 3x−1 + 3x−2 + 3x−3 + 3x−4 = 363. Sol.- x = ln 243 ln 3 . 5. Sea a > 0, x > 0, adema´s (7x)loga 7 − (5x)loga 5 = 0. Determinar el valor de x. Respuesta.- 1 35 . 6. Resolver las siguientes ecuaciones especiales 1 + 3 2 + 4 9 + 8 27 + · · ·+ 2 x 3x = 19 9 7. Resolver la siguiente ecuacio´n exponencial 23x · 3x − 23x−1 · 3x+1 = −288. 8. Resolver la siguiente ecuacio´n exponencial 52x − 7x − 35 · 52x + 35 · 7x = 0. 9. Resolver la siguiente ecuacio´n exponencial x √ 53 + x √ 56 = 30. 10. Resolver la siguiente ecuacio´n exponencial 5logx − 3log x−1 = 3log x+1 − 5log x−1. 11. Resolver la siguiente ecuacio´n exponencial 9log √ x 3 = 27x. Ecuaciones Logaritmicas 1. En la expresio´n u = a · rn−1 despejar r y n. 2. En la fo´rmula S = a(1−r n) 1−r , despejar n. 3. Hallar el valor de x. a) logb x = logb 2 + 3 logb 2− logb 4. b) logb x = 1 2 logb 3 + logb 4− 12 logb 2. c) x = 10,100 1 2 log 9−log 2. d) x = 100 1 2 −log 4 √ 4. 4. Resolver las siguientes ecuaciones a) log3(x+ 1) + log3(x+ 3) = 1. b) log4 log3 log2 x = 0. c) loga y + loga(y + 5) + loga 0, 02 = 0. d) log(35−x 3) log(5−x) . e) 3x+1 = 81. f ) 5x+1 = 32x. g) ex − e−x = 2. h) ln 12− ln(x− 1) = ln(x− 2). i) ln x− ln(x− 2) = ln 2. j ) logx √ 5− logx(5x)− 2, 25 = logx √ 5. k) log16 x+ log4 x+ log2 x = 7. email
[email protected] 31 βo ∫ ιυατ FCPN-UMSA-I 2014 ξττo ∫ s ζℏαυεz 32 l) log4(x+ 12) · logx 2 = 1. m) logx(5x 2) · log25 x = 1. n) ( 3 7 )3x−7 = ( 7 3 )7x−3 . n˜) 3x+1 − 5x+2 = 3x+4 − 5x+3. o) 52 · 54 · 46 · · · · · 52x = 0, 04−28. p) 4x−2 − 17 · 2x−4 + 1 = 0. q) log5 120 + (x− 3)− 2 log5(1− 5x−3) = − log5(0, 02− 5x−4). 5. Resolver la siguiente ecuacio´n logar´ıtmica x+ log(1 + 2x) = x log 5 + log 6. 6. Resolver la siguiente ecuacio´n logar´ıtmica log4 ( 2 log3 ( 1 + log2 ( 1 + 3 log2 x ))) = 1 2 . 7. Resolver la siguiente ecuacio´n logar´ıtmica logm ( 1 + logn ( 1 + logp ( 1 + logq x ))) = 0. 8. Resolver la siguiente ecuacio´n:√ 2 log24 x− 5 log4 x+ 6 + √ 2 log24 x− 5 log4 x+ 11 = 5. Sugerencia Realizar el cambio de variables t = 2 log24 x− 5 log4 x+ 6. 9. Resolver la ecuacio´n logar´ıtmica 2 log(logx) = log(7− 2 log x)− log 5. 10. Resuelva la ecuacio´n: log2 ( 10x ) + log4 ( 100x ) + log8 ( 1000x )− 2 log64 (x) = 9 Sistemas de Ecuaciones Exponenciales y Logaritmicas 1. Resolver el siguiente sistemas de ecuaciones logy x+ logx y = 2, (1) xy + yx = 8, (2) 2. Determine los valores de x y y que satisfacen simultaneamente las ecuaciones{ xy = 1010 ylog x = 1025. Respuesta.- x = y = 105. 3. Resolver el siguiente sistemas de ecuaciones loga x+ loga y = 2, (1) logb x− logb y = 4, (2) 4. Resolver el siguiente sistemas de ecuaciones x−y √ x+ y = 1 2 √ 3 , (1) (x+ y)2y−x = 48, (2) email
[email protected] 32 βo ∫ ιυατ FCPN-UMSA-I 2014 ξττo ∫ s ζℏαυεz 33 5. Resolver el siguiente sistemas de ecuaciones{ logm x+ logym = 2, (1a) ylogm x + ylogm y = 2m, (2a) Cap´ıtulo VIII. Induccio´n Matema´tica y Divisibilidad Induccio´n Matema´tica 1. Realice la deduccio´n inductiva para la formula de la suma de los n primeros nu´meros naturales impares: 1 + 3 + 5 + 7 + · · ·+ (2n− 1) 2. Realice la deduccio´n inductiva para la formula de la suma de los n primeros nu´meros naturales de la forma: 12 + 22 + 32 + 42 + · · ·+ n2 3. Realice la deduccio´n inductiva para la formula de la suma de los n primeros nu´meros naturales de la forma: 13 + 23 + 33 + 43 + · · ·+ n3 4. Conjeture una fo´rmula para la siguiente suma y demue´strela por induccio´n: 1 2 + 1 6 + 1 12 + 1 20 + · · ·+ 1 n(n + 1) 5. Conjeture una fo´rmula para la siguiente suma y demue´strela por induccio´n: 1 3 + 1 15 + 1 35 + 1 63 + · · ·+ 1 (2n− 1)(2n+ 1) 6. Conjeture una fo´rmula para la siguiente suma y demue´strela por induccio´n: 8 27 + 4 9 + 2 3 + 1 + 3 2 + · · ·+ ( 3 2 )n−4 7. Demostrar por induccio´n las siguientes formulas: a) Para todo n ∈ N, 12 + 22 + 32 + 42 + · · ·+ n2 = n(n + 1)(2n+ 1) 6 b) Para todo n ∈ N, 12 + 32 + 52 + 72 + · · ·+ (2n− 1)2 = n(2n− 1)(2n+ 1) 3 c) Para todo n ∈ N, 14 + 24 + 34 + 44 + · · ·+ n4 = n(n + 1)(2n+ 1)(3n 2 + 3n− 1) 30 d) Para todo n ∈ N, 15 + 25 + 35 + 45 + · · ·+ n5 = n 2(n+ 1)2(2n2 + 2n− 1) 12 8. Demostrar por induccio´n las siguientes formulas: a) Para todo n ∈ N, 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · ·+ n · (n+ 1) = n(n + 1)(n+ 2) 3 b) Para todo n ∈ N, 1 · 2 + 3 · 4 + 5 · 6 + · · ·+ (2n− 1) · (2n) = n(n + 1)(4n− 1) 3 c) Para todo n ∈ N, 1 · 2 · 3+ 2 · 3 · 4+3 · 4 · 5+ · · ·+n · (n+1) · (n+2) = n(n + 1)(n+ 2)(n+ 3) 4 email
[email protected] 33 βo ∫ ιυατ FCPN-UMSA-I 2014 ξττo ∫ s ζℏαυεz 34 9. Demuestre que para todo m ∈ N 1 1 · 5 + 1 5 · 9 + 1 9 · 13 + · · ·+ 1 (4m− 3) · (4m+ 1) = m 4m+ 1 10. Demuestre que para todo n ∈ N, 12 1 · 3 + 22 3 · 5 + 32 5 · 7 + · · ·+ n2 (2n− 1) · (2n + 1) = n(n + 1) 2(2n+ 1) 11. Demuestre que para todo n ∈ N, (n + 1)(n+ 2)(n+ 3) · · · · · · (n+ n) = 2n · (2n− 1)! (2(n− 1))! 12. Demuestre que para r ∈ R, r 6= 0, r 6= 1, la siguiente igualdad se verifica, para todo n ∈ N: 1 + r + r2 + r3 + r4 + · · ·+ rn = r n+1 − 1 r − 1 . 13. Demuestre que para todos los nu´meros a, r ∈ Z, a 6= 0, r 6= 1, la siguiente igualdad se verifica, para todo n ∈ N: a + ar + ar2 + ar3 + · · ·+ arn = a(1− r n+1) 1− r . 14. Demostrar por induccio´n las siguientes afirmaciones: a) Para todo natural n > 10, se tiene n− 2 < n 2 − n 12 b) Para todo natural n ≥ 2, se tiene n2 > n+ 1 c) Para todo natural n ≥ 4, se tiene n! > n2 d) Para todo natural n ≥ 4, se tiene n2 > 3n e) Para todo natural n ≥ 2, se tiene 2n+1 < 3n f) Para todo natural n ≥ 7, se tiene 2n > n2 + 4n + 5 g) Para todo natural n ≥ 2, se tiene 1√ 1 + 1√ 2 + 1√ 3 + 1√ 4 + · · ·+ 1√ n > √ n h) Para todo natural n ≥ 2, el u´ltimo d´ıgito del nu´mero 22 n + 1 es 7 15. Demostrar que para todo nu´mero natural n, se cumple (2n)! < 22n(n!)2. 16. Demostrar que para todo nu´mero natural n, se cumple ( 1 + 1 3 )n ≥ 1 + n 3 . 17. Demostrar la desigualdad de Bernoulli. Si a > −1, para todo nu´mero natural n, se cumple (1+a)n ≥ 1 + na. ¿Por que´ es esto trivial si a > 0?. 18. Sea a un d´ıgito entre 1 y 9. Denotaremos por n veces︷ ︸︸ ︷ aa...a al nu´mero cuya expresio´n decimal esta´ formada por n d´ıgitos a. (a) Por induccio´n matema´tica demuestre que para todo natural n > 1 se tiene que aa...a ≥ a× 10n−1 > an (b) Demuestre que la identidad n veces︷ ︸︸ ︷ aa...a = an email
[email protected] 34 βo ∫ ιυατ FCPN-UMSA-I 2014 ξττo ∫ s ζℏαυεz 35 no se satisface para ningu´n entero n. Divisibilidad 1. Determinar si el producto de 3 nu´meros impares consecutivos es siempre divisible por 6. 2. Determinar si la suma de 3 nu´meros impares consecutivos es siempre divisible por 6. 3. Probar que la suma de los cubos de tres nu´meros enteros consecutivos es divisible por 9. 4. Demostrar por induccio´n las siguientes propiedades: a) Para todo n ∈ N, 22n − 1 es mu´ltiplo de 3 b) Para todo n ∈ N, 23n−1 + 5n es mu´ltiplo de 3 c) Para todo n ∈ N, n5 − n es mu´ltiplo de 30 d) Para todo n ∈ N, np − n es mu´ltiplo de p para todo nu´mero primo p. e) Para todo n ∈ N, 32n + 4n+1 es mu´ltiplo de 5. 5. Demostrar por induccio´n las siguientes propiedades: a) Para todo n ∈ N, n3 + 2n es divisible por 3 b) Para todo n ∈ N, 2n+ (−1)n+1 es divisible por 3 c) Para todo n ∈ N, 10n + 3 · 4n+1 + 5 es divisible por 9 d) Para todo n ∈ N, 52n + (−1)n+1 es divisible por 13 e) Para todo n ∈ N, 72n + 16n− 1 es divisible por 64 f) Para todo n ∈ N, 10n − 1 es divisible por 9 g) Para todo n ∈ N, 3 · 52n+1 + 23n+1 es divisible por 17 h) Para todo n ∈ N, 92n + 42n es divisible por 13 i) Para todo n ∈ N, 52n − 1 es divisible por 6 j) Para todo n ∈ N, 23n − 1 es divisible por 7 k) Para todo n ∈ N, 7n − 1 es divisible por 6 6. Demuestre que para todo n ∈ N, x2n − y2n es divisible por x− y. 7. Demuestre que para todo n ∈ N, x2n+1 + y2n+1 es divisible por x+ y. 8. Demostrar que para todo n natural 32n+2 + 26n+1 es divisible por 11. E-mail address, Mario ξττo ∫ s Cha´vez Gordillo:
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[email protected] 35 βo ∫ ιυατ